Función signo {\displaystyle y=\operatorname {sgn} x}
En matemáticas, a **función signo** é unha función que devolve o signo dun número real. En notación matemática a función signo a miúdo represéntase como {\displaystyle \operatorname {sgn}(x)}.

Definición
----------

A función signo dun número real {\displaystyle x} é unha función por intervalos que se define como segue: 


sgn
⁡
x
:=

{

−
1

if 

x
<
0
,

0

if 

x
=
0
,

1

if 

x
>
0.



{\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}

{\displaystyle \operatorname {sgn} x:={\begin{cases}-1&{\text{if }}x<0,\\0&{\text{if }}x=0,\\1&{\text{if }}x>0.\end{cases}}}
Os números con función signo 1 son números positivos.

Os números con función signo -1 son números negativos.

Propiedades
-----------

A función signo é discontínua en x = 0.

Calquera número real pódese expresar como o produto do seu valor absoluto e a súa función signo {\displaystyle x=|x|\operatorname {sgn} x.}

Daquela, cando {\displaystyle x} non é igual a 0 temos {\displaystyle \operatorname {sgn} x={\frac {x}{|x|}}={\frac {|x|}{x}}}.

Tamén temos:{\displaystyle \operatorname {sgn} x^{n}=(\operatorname {sgn} x)^{n}}.

A función signo é a derivada da función valor absoluto, sen incluír o cero.{\displaystyle {\frac {{\text{d}}|x|}{{\text{d}}x}}=\operatorname {sgn} x{\text{ para }}x\neq 0.}

A función signo é diferenciable con valor 0 en tódalas partes agás en x = 0. 

Outra identidade, usando a función de Heaviside sería {\displaystyle \operatorname {sgn} x=2H(x)-1}.

Signo complexo
--------------

A función signo pódese xeneralizar a números complexos como:


sgn
⁡
z
=

z

|

z

|



{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}

{\displaystyle \operatorname {sgn} z={\frac {z}{|z|}}}para calquera número complexo {\displaystyle z} agás {\displaystyle z=0}. O signo dun número complexo dado {\displaystyle z} é o punto da circunferencia unitaria do plano complexo que está máis próximo a {\displaystyle z}. Entón, para {\displaystyle z\neq 0},{\displaystyle \operatorname {sgn} z=e^{i\arg z},} onde {\displaystyle \arg } é o argumento do número complexo.

Por razóns de simetría, e para manter unha axeitada xeneralización da función signo nos reais, tamén no dominio complexo adóitase definir, para {\displaystyle z=0,\operatorname {sgn}(0+0i)=0}.

Outra xeneralización da función de signo para expresións reais e complexas é {\displaystyle {\text{csgn}}},  que se define en función do signo das partes real {\displaystyle {\text{Re}}(z)} e imaxinaria {\displaystyle {\text{Im}}(z)}: 


csgn
⁡
z
=

{

1

if 

R
e

(
z
)
>
0
,

−
1

if 

R
e

(
z
)
<
0
,

sgn
⁡

I
m

(
z
)

if 

R
e

(
z
)
=
0



{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}

{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\begin{cases}1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)>0,\\-1&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)<0,\\\operatorname {sgn} \mathrm {Im} (z)&{\text{if }}\mathrm {Re} (z)=0\end{cases}}}Logo temos (para {\displaystyle z\neq 0} ):


csgn
⁡
z
=

z

z

2


=

z

2

z

.

{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}

{\displaystyle \operatorname {csgn} z={\frac {z}{\sqrt {z^{2}}}}={\frac {\sqrt {z^{2}}}{z}}.}

Notas
-----

1. ↑  "signum function". *www.maeckes.nl*.
2. ↑  "Signum function - Maeckes". *www.maeckes.nl*.
3. ↑  Maple V documentation. May 21, 1998

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Función signo Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Outros artigos

* Valor absoluto