En cálculo vectorial, o **operador laplaciano** é un operador diferencial elíptico de segunda orde, denotado como Δ, relacionado con certos problemas de minimización de certas magnitudes sobre un certo dominio. O operador ten ese nome en recoñecemento a Pierre Simon Laplace que estudou solucións de ecuacións diferenciais en derivadas parciais nas que aparecía dito operador.

Expresado en coordenadas cartesianas é igual á suma de todas as segundas derivadas parciais *non mixtas* dependentes dunha variable. Corresponde á div (grad φ), de onde sae o uso do símbolo delta (Δ) ou nabla cadrado ({\displaystyle \nabla ^{2}}) para representalo. Se \phi e {\displaystyle \mathbf {A} } son un campo escalar e un campo vectorial respectivamente, o laplaciano de ambos pode escribirse en termos do operador nabla como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta \phi =(\nabla \cdot \nabla )\phi =\nabla ^{2}\phi \qquad \qquad \Delta \mathbf {A} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {A} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {A} )=(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {A} }
> 
> 
>

Problemas relacionados co operador laplaciano
---------------------------------------------

En física, o laplaciano aparece en múltiples contextos como a teoría do potencial, a propagación de ondas, a condución da calor, a distribución de tensións nun sólido deformable etc. Pero de todas estas situacións ocupa un lugar destacado na electrostática e na mecánica cuántica. Na electrostática, o operador laplaciano aparece na ecuación de Laplace e na ecuación de Poisson. Mentres que na mecánica cuántica o laplaciano da función de onda dunha partícula da enerxía cinética da mesma.
En matemáticas, as funcións tales que o seu laplaciano se anula nun determinado dominio, chámanse funcións harmónicas sobre o dominio. Estas funcións teñen unha excepcional importancia na teoría de funcións de variable complexa. Ademais o operador laplaciano é o ingrediente básico da teoría de Hodge e os resultados da cohomoloxía de Rham.

Motivación da ubicuidade do operador laplaciano
-----------------------------------------------

Unha das motivacións polas cales o laplaciano aparece en numerosas áreas da física é que as solucións da ecuación {\displaystyle \Delta f=0} nunha rexión *U* son funcións que minimizan o funcional de enerxía:  

  

{\displaystyle E(f)={\frac {1}{2}}\int \_{U}\Vert \nabla f\Vert ^{2}\mathrm {d} x}
  

Para ver isto, supóñase que {\displaystyle f\colon U\to \mathbb {R} } é unha función, e 
{\displaystyle u\colon U\to \mathbb {R} } é unha función que se anula sobre a fronteira de *U*. Entón,   

  

{\displaystyle {\frac {d}{d\varepsilon }}{\Big |}\_{\varepsilon =0}E(f+\varepsilon u)=\int \_{U}\nabla f\cdot \nabla u\mathrm {d} x=-\int \_{U}u\Delta f\mathrm {d} x}
  

onde a última igualdade séguese usando a primeira identidade de Green. Este cálculo mostra que se {\displaystyle \Delta f=0}, entón o funcional de enerxía *E* é estacionario arredor de *f*. Reciprocamente, se *E* é estacionario arredor de *f*, entón {\displaystyle \Delta f=0} polo teorema fundamental do cálculo integral.

Outra razón da súa ubicuidade é que cando un escribe a ecuación de Laplace en forma diferenzas finitas apréciase que o laplaciano nun punto é a diferenza entre o valor da función no punto e o valor da función arredor do mesmo. É dicir, calquera magnitude que pode expresarse como unha magnitude fluxo que se conserva e satisfai a ecuación de Laplace.

Propiedades do operador laplaciano
----------------------------------

O laplaciano é linear:

{\displaystyle \nabla ^{2}(\lambda f+\mu g)=\lambda \nabla ^{2}f+\mu \nabla ^{2}g}
A seguinte afirmación tamén é certa:

{\displaystyle \nabla ^{2}(fg)=(\nabla ^{2}f)g+2(\nabla f)\cdot (\nabla g)+f(\nabla ^{2}g)}

Operador laplaciano en diversos sistemas de coordenadas
-------------------------------------------------------

### Coordenadas cartesianas

En coordenadas cartesianas (plano) bidimensionais, o laplaciano dunha función *f* é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}}
> 
> 
> 

En coordenadas cartesianas tridimensionais:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={\partial ^{2}f \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}}
> 
> 
> 

En coordenadas cartesianas en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f(x\_{1},...x\_{n})=\sum \_{k=1}^{n}{\partial ^{2}f \over \partial x\_{k}^{2}}(x\_{1},...x\_{n})}
> 
> 
> 

### Coordenadas cilíndricas

En coordenadas cilíndricas {\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)\,}:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}={1 \over \rho }{\partial f \over \partial \rho }+{\partial ^{2}f \over \partial \rho ^{2}}+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
> 
> 
> 

### Coordenadas esféricas

En coordenadas esféricas {\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,}: 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}}
> 
> 
> 

### Coordenadas curvilíneas ortogonais

En coordenadas ortogonais xerais {\displaystyle (u\_{1},u\_{2},u\_{3})\,}: 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Delta f=\nabla ^{2}f={\frac {1}{h\_{1}h\_{2}h\_{3}}}\left[{\frac {\partial }{\partial u\_{1}}}\left({\frac {h\_{2}h\_{3}}{h\_{1}}}{\frac {\partial f}{\partial u\_{1}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u\_{2}}}\left({\frac {h\_{3}h\_{1}}{h\_{2}}}{\frac {\partial f}{\partial u\_{2}}}\right)+{\frac {\partial }{\partial u\_{3}}}\left({\frac {h\_{1}h\_{2}}{h\_{3}}}{\frac {\partial f}{\partial u\_{3}}}\right)\right]}
> 
> 
> 

Onde {\displaystyle (h\_{1},h\_{2},h\_{3})\,} son os factores de escala do sistema de coordenadas, que en xeral serán tres funcións dependentes das tres coordenadas curvilíneas.

Función harmónica
-----------------

Unha función {\displaystyle f:E\subset \mathbb {R} ^{n}\rightarrow \mathbb {R} } dise que é harmónica en *E* se:

{\displaystyle \forall x\in E,\,\,\Delta f(x)=0}
Exemplos de funcións harmónicas:

* {\displaystyle f(x,y)=log({\sqrt {x^{2}+y^{2}}})} sobre o plano euclídeo.
* O potencial gravitatorio dado por {\displaystyle \phi (x,y,z)=GM/({\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}})} é harmónico sobre o espazo euclídeo tridimensional.
* os harmónicos esféricos son funcións harmónicas sobre un dominio finito ou infinito, que aparecen na resolución de problemas con simetría esférica.

Xeneralizacións do Laplaciano
-----------------------------

O laplaciano pode ser estendido a funcións definidas sobre superficies, ou en forma máis xeral, en variedades de Riemann e variedades seudoriemannianas.

### Operador de Laplace-Beltrami

Unha extensión do laplaciano a funcións reais definidas sobre unha variedade é o **operador de Laplace-Beltrami** (denotado {\displaystyle \nabla ^{2}}). Defínese, en forma similar ao laplaciano, como a diverxencia do gradiente, onde o gradiente unha función *f* definida nunha variedade (seudo)riemaniana e a diverxencia dun campo vectorial *X* sobre a mesma veñen dados en compoñentes por:

> 
> {\displaystyle ({\mbox{grad}}\ f)^{i}=g^{ij}{\frac {\partial f}{\partial x^{j}}}\qquad {\mbox{div}}\ X={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}\left({\sqrt {|g|}}X^{i}\right)}
> 
> 
> 

Onde:
{\displaystyle g^{ij}}, é tensor 2-contravariante asociado ao tensor métrico.
{\displaystyle {\sqrt {|g|}}}, é a raíz cadrada do valor absoluto do determinante do tensor métrico.
O operador de Laplace-Beltrami dunha función escalar obtense como a diverxencia e o gradiente definidos como anteriormente, é dicir:

> 
> {\displaystyle \nabla ^{2}f={\frac {1}{\sqrt {|g|}}}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}\left({\sqrt {|g|}}g^{ik}{\frac {\partial f}{\partial x^{i}}}\right)}
> 
> 
> 

### Operador de Laplace-deRham

En variedades riemannianas e seudoriemanninas existe outra xeneralización do laplaciano que o estende a k-formas, que é a base da cohomoloxía de Hodge-deRham. Esta extensión chamada **operador de Laplace-deRham**, e denotado como {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}}, defínese en termos da diferencial exterior (*d*) e a codiferencial exterior (δ) de *k*-formas ou alternativamente en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge. Este operador de Laplace-deRham defínese como:

> 
> {\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}\alpha =(d\delta +\delta d)\alpha =(d+\delta )^{2}\alpha }
> 
> 
> 

Onde a codiferencial pode reescribirse en termos da diferencial exterior e o operador dual de Hodge:

> 
> {\displaystyle \delta =(-1)^{n(k+1)+1}\*d\*\;}
> 
> 
> 

Onde *n* é a dimensión da variedade (seudo)riemanniana e *k* é a orde da *k*-forma α.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* O operador laplaciano en MathWorld *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q203484
* BRE: 2133203
* EBID: ID
* GEC: 0118878
* GND: 4166772-4
* LCCN: sh85074667
* MAG: 165700671
* NDL: 01181008

 |