Diagrama que representa tres sucesións de termo xeral 1(*r**n*−1) ata 6 iteracións. O primeiro bloque é unha unidade e a liña é a suma infinita da sucesión: 2, 3/2 e 4/3
En matemáticas, unha **progresión xeométrica** é unha sucesión de números onde cada termo despois do primeiro atópase multiplicando o anterior por un número fixo diferente de cero denominado *razón*. Por exemplo, a sucesión 2, 6, 18, 54, ... é unha progresión xeométrica de razón 3. Analogamente 10, 5, 2.5, 1.25, ... é unha progresión xeométrica de razón 1/2.

Exemplos de sucesións xeométricas son as potencias *r**k* dun número determinado *r*, como 2*k*]] e 3*k*. A forma xeral dunha sucesión xeométrica é

{\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }
onde *r* ≠ 0 é a razón e *a* é o factor de escala, igual ao primeiro valor da sucesión.

Propiedades elementais
----------------------

O termo *n*-ésimo dunha progresión xeométrica con valor *a* e razón *r* vén dado por

{\displaystyle a\_{n}=a\,r^{n-1}.}
Unha progresión xeométrica segue a relación recursiva

{\displaystyle a\_{n}=r\,a\_{n-1}} for every integer {\displaystyle n\geq 1.}
En xeral, para comprobar se unha sucesión é xeométrica, abonda con comprobar se cada un dos termos consecutivos teñen a mesma razón.

A razón dunha progresión xeométrica pode ser negativa, dando lugar a unha sucesión alternada, con números positivos e negativos alternativamente. Por exemplo

1, −3, 9, −27, 81, −243, …
é unha progresión xeométrica de razón −3.

O comportamento dunha progresión xeométrica depende do valor da razón. Se esta é:

* Positiva, os termos terán o mesmo signo que o inicial.
* Negativa, os termos terán signos alternos.
* Maior que 1, terá crecemento exponencial cara a máis ou menos infinito, dependendo do signo do primeiro termo.
* 1, a progresión será unha sucesión constante.
* Entre -1 e 1, pero non cero, sufrirá decrecemento exponencial cara ao cero.
* −1, a progresión será unha sucesión alternada.
* Menor que -1, os valores absolutos dos termos crecerán exponencialmente cara ao infinito.

As progresión xeométricas (con razón diferente a −1, 1 ou 0) amosan crecemento o decrecemento exponencial, en oposición ao crecemento ou decrecemento linear dunha progresión aritmética como 4, 15, 26, 37, 48, … (con diferenza 11). Este resultado foi tomado por T.R. Malthus como fundamento matemático da súa obra *Principle of Population*.

Un resultado interesante das progresións xeométricas é que para cada valor da razón común, tres termos consecutivos *a*, *b* e *c* satisfarán a ecuación

{\displaystyle b^{2}=ac}
onde *b* se considera a media xeométrica entre *a* e *c*.

Series xeométricas
------------------



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 2 | + | 10 | + | 50 | + | 250 |  |  | = | 312 |
| − ( |  |  | 10 | + | 50 | + | 250 | + | 1250 | = | 5 × 312 ) |
| 

---

 |
|  | 2 |  |  |  |  |  |  | − | 1250 | = | (1 − 5) × 312 |

Cálculo da suma 2 + 10 + 50 + 250. A sucesión consiste en multiplicar termo a termo por 5, e logo subtraer da sucesión orixinal. Permanencen dous termos: o primeiro termo, *a*, e o termo seguinte ao último, *ar**m*. O resultado desexado, 312, atópase subtraendo estes dous termos e dividindo por 1 − 5.


Unha **serie xeométrica** é a suma dos termos dunha progresión xeométrica. Por exemplo:

{\displaystyle 2+10+50+250=2+2\times 5+2\times 5^{2}+2\times 5^{3}.\,}
Se *a* é o primeiro termo (neste caso 2), *n* o número de termos (aquí 4) e *r* a constante pola que se multiplica cada termo para atopar o seguinte (aquí 5), a suma vén dada por:

{\displaystyle {\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}}
No exemplo anterior, resulta:

{\displaystyle 2+10+50+250={\frac {2(1-5^{4})}{1-5}}={\frac {-1248}{-4}}=312.}
A fórmula funciona para calquera números reais *a* e *r* (agás *r* = 1, que resulta nunha división entre cero). Por exemplo:

{\displaystyle -2\pi +4\pi ^{2}-8\pi ^{3}=-2\pi +(-2\pi )^{2}+(-2\pi )^{3}={\frac {-2\pi (1-(-2\pi )^{3})}{1-(-2\pi )}}={\frac {-2\pi (1+8\pi ^{3})}{1+2\pi }}\approx -214.855.}
### Derivación

Para derivar a fórmula escríbese primeiro unha serie xeométrica como:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}ar^{k-1}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}.\,}
Pódese atopar unha fórmula máis simple para a suma multiplicando ambos os membros da ecuación superior por 1 − *r*, e verase que

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum \_{k=1}^{n}ar^{k-1}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n-1}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n-1}-ar^{n}\\&=a-ar^{n}\end{aligned}}}
posto que todos os outros termos se cancelan. Se *r* ≠ 1, pódese reordenar a expresión superior para conseguir a fórmula conveniente dunha serie xeométrica que calcule a suma de *n* termos:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}ar^{k-1}={\frac {a(1-r^{n})}{1-r}}.}
### Fórmulas relacionadas

Se a suma non comezase en k=1, senón nun índice diferente *m*, entón

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.}
Derivando esta fórmula respecto de *r* pódese chegar ás fórmulas das dumas da forma

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}
Por exemplo:

{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum \_{k=0}^{n}r^{k}=\sum \_{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}
Para series xeométricas que conteñen só potencias de *r* multiplicadas por 1 − *r*2  :

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.}
Entón

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}
Equivalentemente, tomando *r*2  como a razón e empregando a formulación estándar.

Para unha serie que só ten potencias impares de *r*

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}
e

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}
### Series xeométricas infinitas

Unha serie xeométrica infinita é unha serie infinita con termos consecutivos que teñen unha razón común. Estas series converxen se e só se o valor absoluto da razón é menor que 1 (|*r*| < 1). O valor pode ser calculado coas fórmulas

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim \_{n\to \infty }{\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}={\frac {a}{1-r}}-\lim \_{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}
Diagrama que amosa a serie xeométrica 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ⋯ que converxe a 2.
Dado que:

{\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.}
Entón:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}
Para unha serie que contén só potencias pares de r,

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}
e se só contén potencias impares,

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}
Nos casos nos que a suma non comeza en *k* = 0,

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}
As fórmulas dadas arriba só son válidas para |*r*| < 1. A última fórmula é válida en toda álxebra de Banach, cando a norma de *r* sexa menor ca 1, e tamén no corpo dos números *p*-ádicos |*r*|*p* < 1. No caso dunha suma finita pódese diferenciar para calcular as fórmulas das sumas relativas.
Por exemplo,

{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum \_{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum \_{k=1}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}
Esta fórmula só funciona para |*r*| < 1. De aquí séguese que, para |*r*| < 1,

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum \_{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum \_{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}}
Tamén a serie infinita 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯ é un exemplo elemental dunha serie que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo igual a 1/2 e razón 1/2, logo a súa suma é

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.}
A serie 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯ é un exemplo sinxelo dunha serie alternada que converxe absolutamente.

É unha serie xeométrica con primeiro termo e razón −1/2, polo que a súa suma é

{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.}
### Número complexos

A fórmula da suma de series xeométricas é válida mesmo cando a razón é un número complexo. Neste caso a condición de que o valor absoluto de *r* sexa menor que 1 convértese en que o módulo de *r* sexa menor que 1. É posible calcular as sumas dalgunhas series xeométricas non obvias. Por exemplo, considérese a proposición

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}
A demostración procede do feito de que

{\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},}
que é consecuencia da fórmula de Euler. Substituíndo na serie orixinal

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum \_{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum \_{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}.
Esta é a diferenza entre dúas series xeométricas, e é unha aplicación directa da fórmula das series infinitas xeométricas que completa a demostración.

Produto
-------

O produto dunha progresión xeométrica é o produto dos seus termos. Se todos os termos son positivos entón pode calcularse rapidamente tomando a media xeométrica do primeiro e do último termo da progresión e elevando o valor á potencia dada polo número de termos:

{\displaystyle \prod \_{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a\_{0}\cdot a\_{n}}}\right)^{n+1}} (if {\displaystyle a,r>0}).
Demostración:

Sexa *P* o produto:

{\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}.
Realizando as multiplicacións, conclúese que

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}}.
Aplicando a suma dunha serie aritmética, a expresión resultará

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}.
{\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}.
Elevando ao cadrado ambos os membros:

{\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}.
Consecuentemente,

{\displaystyle P^{2}=(a\_{0}\cdot a\_{n})^{n+1}} and
{\displaystyle P=(a\_{0}\cdot a\_{n})^{\frac {n+1}{2}}},
que conclúe a demostración.

Relación entre as progresións xeométricas e a obra de Euclides
--------------------------------------------------------------

Os libros VIII e IX dos *Elementos* de Euclides analizan as progresións xeométricas e dan varios exemplos das súas propiedades.

Notas
-----

1. ↑  Heath, Thomas L. (1956). *The Thirteen Books of Euclid's Elements* (2nd ed. [Facsimile. Original publication: Cambridge University Press, 1925] ed.). Nova York: Dover Publications.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Hall & Knight, *Higher Algebra*, p. 39, ISBN 81-8116-000-2

### Outros artigos

* Progresión aritmética

### Ligazóns externas

* Derivation of formulas for sum of finite and infinite geometric progression at Mathalino.com
* Geometric Progression Calculator
* Nice Proof of a Geometric Progression Sum at sputsoft.com

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q173523
* EBID: ID
* MAG: 14367171

 |