Función divisor σ 0 (*n*) ata *n* = 250
 Función sigma σ1 (*n*) ata *n* = 250
En matemáticas, e concretamente na teoría de números, unha **función divisor** é unha función aritmética relacionada cos divisores dun número enteiro. Aparece en varias identidades notables, incluíndo relacións coa función zeta de Riemann e a serie de Eisenstein de formas modulares. As funcións divisor foron estudadas por Ramanujan, que deu unha serie de congruencias e identidades importantes; estas son tratados por separado no artigo Suma de Ramanujan (de momento en inglés).

Unha función relacionada é a función sumatorio da función divisor, que, como o nome indica, é unha suma sobre a función divisor.

Definición
----------

A **función suma de divisores positivos** σ*z* (*n*), para un número real ou complexo *z*, defínese como a suma das potencias *z*-ésimas dos divisores positivos de *n*. Pódese expresar como

{\displaystyle \sigma \_{z}(n)=\sum \_{d\mid n}d^{z}\,\!,}
onde {\displaystyle {d\mid n}} é a abreviatura de "*d* divide a *n* ". O número de divisores é {\displaystyle \sigma \_{0}=d(x)} (secuencia A000005 na OEIS) e a suma de divisores é {\displaystyle \sigma \_{1}},   moitas veces omitindo o subíndice polo que σ(*n*) é o mesmo que σ1 (*n*) (secuencia A000005 na OEIS).

Nomenclatura
------------

Hai que ter coidado coa nomenclatura desta función e outras relacionadas cos divisores, tendo en conta tamén os usos en varios idiomas.
Hai fundamentalmente 3 funcións relacionadas,

* {\displaystyle d(n)}: **función número de divisores**. Dá o número de divisores e coincide con {\displaystyle \sigma \_{0}(n)}. Fálase dela no artigo divisor.
* {\displaystyle \sigma \_{z}(n)}: **función suma de divisores positivos**.É a función tratada neste artigo. É a función que suma os valores das potencias z dos divisores. {\displaystyle \sigma \_{1}(n)} escríbese moitas veces sen subíndice e representa a suma dos divisores.
* {\displaystyle D(x)}: **función sumatorio da función divisor**. Que dá como valor o sumatorio da función divisor para {\displaystyle d(n)} dos n menores que x.

Para a **función suma de divisores positivos** úsase frecuentemente o reducido **función divisor**, en francés denomínase de xeito moi descritivo "Fonction somme des puissances k-ièmes des diviseurs" e en italiano "funzione sigma, na maioría de resto de linguas denomínase "función divisor".

Para a función "número de divisores", úsase aproximadamente esa mesma nomenclatura mais as veces tamén a inclúen como función divisor, pola súa igualdade con {\displaystyle \sigma \_{0}(n)}.

En canto a función sumatorio da función divisor non atopamos moitas referencias sendo en inglés "Divisor summatory function" e en español "Función suma de divisores".

Exemplo
-------

Por exemplo, σ0 (12) é o número dos divisores de 12:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{0}(12)&=1^{0}+2^{0}+3^{0}+4^{0}+6^{0}+12^{0}\\&=1+1+1+1+1+1=6,\end{aligned}}}
mentres que σ1 (12) é a suma de todos os divisores:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{1}(12)&=1^{1}+2^{1}+3^{1}+4^{1}+6^{1}+12^{1}\\&=1+2+3+4+6+12=28,\end{aligned}}}
e podemos ver tamén para a potencia 2

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{2}(12)&=1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+6^{2}+12^{2}\\&=1+4+9+16+36+144=210,\end{aligned}}}
para a primeira potencia negativa temos

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{-1}(12)&=1^{-1}+2^{-1}+3^{-1}+4^{-1}+6^{-1}+12^{-1}\\&={\tfrac {1}{1}}+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{4}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12}{12}}+{\tfrac {6}{12}}+{\tfrac {4}{12}}+{\tfrac {3}{12}}+{\tfrac {2}{12}}+{\tfrac {1}{12}}\\&={\tfrac {12+6+4+3+2+1}{12}}={\tfrac {28}{12}}={\tfrac {7}{3}}={\tfrac {\sigma \_{1}(12)}{12}}\end{aligned}}}
σ-1 ( *n* ) está relacionado co número abundante.

Algúns valores son:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{0}(p)&=2\\\sigma \_{0}(p^{n})&=n+1\\\sigma \_{1}(p)&=p+1\end{aligned}}}

Táboa de valores
----------------

Os casos *x* = 2 a 5 están listados na (secuencia A001157 na OEIS) ata (secuencia A001160 na OEIS), *x* = 6 a 24 están listados na (secuencia A013954 na OEIS) ata (secuencia A013972 na OEIS).

Propiedades
-----------

### Fórmulas en potencias primas

Para un número primo *p*,

{\displaystyle \sigma \_{0}(p\_{n}\#)=2^{n}}.
porque por definición, os factores dun número primo son 1 e el mesmo. A maiores, se *pn* # denota o primorial ,

A función divisor é multiplicativa (xa que cada divisor *c* do produto *mn* con {\displaystyle \gcd(m,n)=1} corresponde claramente cun divisor *a* de *m* e un divisor *b* de *n*), mais non completamente multiplicativa,

{\displaystyle \gcd(a,b)=1{\text{ implica }}\sigma \_{x}(ab)=\sigma \_{x}(a)\sigma \_{x}(b).}
A consecuencia disto é que, se escribimos

{\displaystyle n=\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{a\_{i}}}
onde *r* = *ω* ( *n* ) é o número de factores primos distintos de *n*, *pi* é o *i-ésimo* factor primo e *ai* é a potencia máxima de *pi* pola cal *n* é divisible, daquela temos: 

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\prod \_{i=1}^{r}\sum \_{j=0}^{a\_{i}}p\_{i}^{jx}=\prod \_{i=1}^{r}\left(1+p\_{i}^{x}+p\_{i}^{2x}+\cdots +p\_{i}^{a\_{i}x}\right).}
que, cando *x* ≠ 0, é equivalente á útil fórmula: 

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\prod \_{i=1}^{r}{\frac {p\_{i}^{(a\_{i}+1)x}-1}{p\_{i}^{x}-1}}.}
Cando *x* = 0, {\displaystyle \sigma \_{0}(n)} é: 

{\displaystyle \sigma \_{0}(n)=\prod \_{i=1}^{r}(a\_{i}+1).}
Por exemplo, se *n* é 24, hai dous factores primos (*p1* é 2 e *p2* é 3); tendo en conta que 24 é o produto de 23 × 31, *a*1 é 3 e a2 é 1. Así podemos calcular {\displaystyle \sigma \_{0}(24)} do seguinte modo:

{\displaystyle \sigma \_{0}(24)=\prod \_{i=1}^{2}(a\_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\cdot 2=8.}
Os oito divisores contados por esta fórmula son 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12 e 24.

### Outras propiedades e identidades

Euler demostrou a notable recorrencia:  

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{1}(n)&=\sigma \_{1}(n-1)+\sigma \_{1}(n-2)-\sigma \_{1}(n-5)-\sigma \_{1}(n-7)+\sigma \_{1}(n-12)+\sigma \_{1}(n-15)+\cdots \\[12mu]&=\sum \_{i\in \mathbb {N} }(-1)^{i+1}\left(\sigma \_{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}-i\right)\right)+\sigma \_{1}\left(n-{\frac {1}{2}}\left(3i^{2}+i\right)\right)\right),\end{aligned}}}
onde {\displaystyle \sigma \_{1}(0)=n} se ocorre, e {\displaystyle \sigma \_{1}(x)=0} para {\displaystyle x<0}, e {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(3i^{2}\mp i\right)} son pares consecutivos de números pentagonais xeneralizados (OEIS : A001318, comezando con desprazamento 1). De feito, Euler demostrou isto mediante a diferenciación logarítmica da identidade no seu teorema de números pentagonales .

Tamén temos *s* (*n*) = *σ* (*n*) − *n*. Onde *s*(*n*) denota a suma dos divisores *propios* de *n*, é dicir, os divisores de *n* excluíndo o propio *n*. Esta función úsase para recoñecer números perfectos, que son os *n* tal que *s*(*n*) = *n*. Se *s* (*n*) > *n*, entón *n* é un número abundante, e se *s* (*n*) < *n*, entón *n* é un número deficiente.

Se n é unha potencia de 2, {\displaystyle n=2^{k}}, entón {\displaystyle \sigma (n)=2\cdot 2^{k}-1=2n-1} e {\displaystyle s(n)=n-1}, o que fai *n* case perfecto.

Como exemplo, para dous primos {\displaystyle p,q:p<q}, e sexa

{\displaystyle n=p\,q} .
Daquela

{\displaystyle \sigma (n)=(p+1)(q+1)=n+1+(p+q),}
{\displaystyle \varphi (n)=(p-1)(q-1)=n+1-(p+q),}
e

{\displaystyle n+1=(\sigma (n)+\varphi (n))/2,}
{\displaystyle p+q=(\sigma (n)-\varphi (n))/2,}
onde {\displaystyle \varphi (n)} é a función totiente de Euler.

Entón, as raíces de

{\displaystyle (x-p)(x-q)=x^{2}-(p+q)x+n=x^{2}-[(\sigma (n)-\varphi (n))/2]x+[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]=0}
e podemos expresar *p* e *q* só en termos de *σ* (*n*) e *φ* (*n*), sen necesidade de coñecemento de *n* ou {\displaystyle p+q}, como

{\displaystyle p=(\sigma (n)-\varphi (n))/4-{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}},}
{\displaystyle q=(\sigma (n)-\varphi (n))/4+{\sqrt {[(\sigma (n)-\varphi (n))/4]^{2}-[(\sigma (n)+\varphi (n))/2-1]}}.}
En 1984, Roger Heath-Brown demostrou que a igualdade {\displaystyle \sigma \_{0}(n)=\sigma \_{0}(n+1)}

é certa para infinitos valores de n, consulte (secuencia A005237 na OEIS).

Relacións con series
--------------------

Dúas series de Dirichlet que inclúen a función divisor son: 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)\quad {\text{for}}\quad s>1,s>a+1,}
onde {\displaystyle \zeta } é a función zeta de Riemann. 

A serie para *d*(*n*) = *σ*0 (*n*) dá: 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {d(n)}{n^{s}}}=\zeta ^{2}(s)\quad {\text{for}}\quad s>1,}
e unha identidade de Ramanujan 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)\sigma \_{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}},}
que é un caso especial da convolución de Rankin-Selberg .

Unha serie de Lambert que inclúe a función divisor é: 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma \_{a}(n)=\sum \_{n=1}^{\infty }\sum \_{j=1}^{\infty }n^{a}q^{j\,n}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
para dous complexos arbitrarios |*q*| ≤ 1 e *a*. Esta suma tamén aparece como a serie de Fourier da serie de Eisenstein e as invariantes das funcións elípticas de Weierstrass .

Para {\displaystyle k>0}, hai unha representación explícita como serie coas sumas de Ramanujan {\displaystyle c\_{m}(n)} como: 

{\displaystyle \sigma \_{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\sum \_{m=1}^{\infty }{\frac {c\_{m}(n)}{m^{k+1}}}.}
O cálculo dos primeiros termos de {\displaystyle c\_{m}(n)} mostra as súas oscilacións arredor do "valor medio" {\displaystyle \zeta (k+1)n^{k}}:

{\displaystyle \sigma \_{k}(n)=\zeta (k+1)n^{k}\left[1+{\frac {(-1)^{n}}{2^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {2\pi n}{3}}}{3^{k+1}}}+{\frac {2\cos {\frac {\pi n}{2}}}{4^{k+1}}}+\cdots \right]}

Véxase tamén
------------

* 
* Función totiente de Euler, función phi de Euler
* Táboa de divisores
* Divisor unitario

Notas
-----

1. ↑  Long (1972, p. 46)
2. ↑  Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 58)
3. 1 2 3 4 5 6 7  Hardy & Wright (2008).
4. ↑  , *Découverte d'une loi tout extraordinaire des nombres par rapport à la somme de leurs diviseurs*
5. ↑  , *De mirabilis proprietatibus numerorum pentagonalium*
6. ↑ . 1981. p. 130.  Falta o `|title=` (Axuda) (German)

Bibliografía
------------

* Akbary, Amir; Friggstad, Zachary (2009). *Superabundant numbers and the Riemann hypothesis* (PDF). *American Mathematical Monthly* **116**. pp. 273–275. doi:10.4169/193009709X470128. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-04-11. .
* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey, *Algorithmic Number Theory*, volume 1, 1996, MIT Press. ISBN 0-262-02405-5, see page 234 in section 8.8.
* Caveney, Geoffrey; Nicolas, Jean-Louis; Sondow, Jonathan (2011). *Robin's theorem, primes, and a new elementary reformulation of the Riemann Hypothesis* (PDF). *INTEGERS: The Electronic Journal of Combinatorial Number Theory* **11**. pp. A33. Bibcode:2011arXiv1110.5078C. arXiv:1110.5078.
* Choie, YoungJu; Lichiardopol, Nicolas; Moree, Pieter; Solé, Patrick (2007). *On Robin's criterion for the Riemann hypothesis*. *Journal de théorie des nombres de Bordeaux* **19**. pp. 357–372. ISSN 1246-7405. MR 2394891. Zbl 1163.11059. arXiv:math.NT/0604314. doi:10.5802/jtnb.591.
* Gioia, A. A.; Vaidya, A. M. (1967). *Amicable numbers with opposite parity*. *The American Mathematical Monthly* **74**. pp. 969–973. JSTOR 2315280. MR 220659. doi:10.2307/2315280.
* Grönwall, Thomas Hakon (1913). *Some asymptotic expressions in the theory of numbers*. *Transactions of the American Mathematical Society* **14**. pp. 113–122. doi:10.1090/S0002-9947-1913-1500940-6.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938]. *An Introduction to the Theory of Numbers*. Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-921986-5. MR 2445243. Zbl 1159.11001.
* Ivić, Aleksandar (1985). *The Riemann zeta-function. The theory of the Riemann zeta-function with applications*. A Wiley-Interscience Publication. New York etc.: John Wiley & Sons. pp. 385–440. ISBN 0-471-80634-X. Zbl 0556.10026.
* Lagarias, Jeffrey C. (2002). *An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis*. *The American Mathematical Monthly* **109**. pp. 534–543. ISSN 0002-9890. JSTOR 2695443. MR 1908008. arXiv:math/0008177. doi:10.2307/2695443.
* Long, Calvin T. (1972). *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). *Elements of Number Theory*. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77081766.
* Ramanujan, Srinivasa (1997). *Highly composite numbers, annotated by Jean-Louis Nicolas and Guy Robin*. *The Ramanujan Journal* **1**. pp. 119–153. ISSN 1382-4090. MR 1606180. doi:10.1023/A:1009764017495.
* Robin, Guy (1984). *Grandes valeurs de la fonction somme des diviseurs et hypothèse de Riemann*. *Journal de Mathématiques Pures et Appliquées*. Neuvième Série **63**. pp. 187–213. ISSN 0021-7824. MR 774171.
* Williams, Kenneth S. (2011). *Number theory in the spirit of Liouville*. London Mathematical Society Student Texts **76**. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-17562-3. Zbl 1227.11002.

Ligazóns externas
-----------------

* Weisstein, Eric W. "Divisor Function". *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Robin's Theorem". *MathWorld*.
* Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions PDF of a paper by Huard, Ou, Spearman, and Williams. Contains elementary.