A **fórmula de Euler** ou **relación de Euler**, atribuída a Leonhard Euler, establece o teorema, no que:

 {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\,\operatorname {sen} x}
para todo número real *x*, que representa un ángulo no plano complexo. Nela, *e* é a base do logaritmo natural, *i* é a unidade imaxinaria, {\displaystyle \operatorname {sen} x} e {\displaystyle \cos x} son as funcións trigonométricas seno e coseno.

Tamén adoita expresarse como:

{\displaystyle e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}(\cos y+i\,\operatorname {sen} \,y)}
onde z {\displaystyle z} é a variable complexa definida por {\displaystyle z=x+iy}

Demostración
------------

Nótese que esta non é unha demostración baseada nas propiedades dos números complexos e da función exponencial, senón que é necesaria a definición da exponencial complexa como o equivalente á serie de Taylor sobre os números reais para parámetros complexos.

A fórmula pode interpretarse xeometricamente como unha circunferencia unidade no plano complexo, debuxada pola función *e**ix* ao variar x sobre os números reais. Así, x é o ángulo dunha recta que conecta a orixe do plano e un punto sobre a circunferencia unidade, co eixe positivo real, medido no sentido contrario ás agullas do reloxo e en radiáns. A fórmula só é válida se tamén o seno e o coseno teñen os seus argumentos en radianes.

A fórmula de Euler foi formulada por primeira vez por Roger Cotes en 1714, e logo redescuberta e popularizada por Euler en 1748. É interesante notar que ningún dos descubridores viu a interpretación xeométrica sinalada anteriormente: a visión dos números complexos como puntos no plano xurdiu en 1787 por parte do matemático Caspar Wessel no seu único informe para a Real Academia Danesa.

### Demostración usando as series de Taylor

A fórmula de Euler ilustrada no plano complexo.
Sabendo que:

{\displaystyle {\begin{aligned}i^{0}&{}=1,\quad &i^{1}&{}=i,\quad &i^{2}&{}=-1\quad &i^{3}&{}=-i,\\i^{4}&={}1,\quad &i^{5}&={}i,\quad &i^{6}&{}=-1,\quad &i^{7}&{}=-i,\\\end{aligned}}}
e así sucesivamente. Ademais disto, as funcións *e**x*, cos(*x*) e sen(*x*) (asumindo que *x* sexa un número real) poden ser expresadas empregando as súas series de Taylor ao redor de cero.

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&{}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots \\\cos x&{}={\frac {x^{0}}{0!}}-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots \\\sin x&{}={\frac {x^{1}}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots \end{aligned}}}
Outra definición que se lle pode dar a *e* elevado a xe baseándose nas series de Taylor é a seguinte:
{\displaystyle e^{x}=1+{\biggl (}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}
tamén valido para.
{\displaystyle \cos x=1+{\biggl (}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}
{\displaystyle \sin x=1+{\biggl (}\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}{\biggr )}}
Defínese cada unha destas funcións polas series anteriores, substituíndo *x* por *i·z*, onde *z* é unha variable real e *i* a unidade imaxinaria. Isto é posible porque o raio de converxencia é infinito en cada serie. Entón atópase que:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&{}={\frac {(iz)^{0}}{0!}}+{\frac {(iz)^{1}}{1!}}+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}={\frac {z^{0}}{0!}}+i{\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}-i{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+i{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-i{\frac {z^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&{}=\left({\frac {z^{0}}{0!}}-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left({\frac {z^{1}}{1!}}-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&{}=\cos(z)+i\sin(z)\end{aligned}}}
O reordenamento é posible debido a que cada serie é absolutamente converxente. Substituíndo *z* = *x* como un número real resulta identidade orixinal como a descubriu Euler.

Relevancia matemática
---------------------

A fórmula proporciona unha potente conexión entre a análise matemática e a trigonometría. Utilízase para representar os números complexos en coordenadas polares e permite definir o logaritmo para números negativos e números complexos.

### Logaritmo dun número negativo

Neste caso, a fórmula de Euler avalíase en {\displaystyle x=\pi }, obtendo a identidade de Euler:

{\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=\cos \pi +\mathrm {i} \,\operatorname {sen} \pi =-1}
{\displaystyle e^{\mathrm {i} \pi }=-1\,\!}
Logo, ao aplicar o logaritmo natural obtense:

{\displaystyle \mathrm {i} \pi =\ln(-1)\,\!}.
### Logaritmo dun número negativo calquera

Como extensión da ecuación anterior, o logaritmo de calquera número negativo defínese como:

{\displaystyle \ln(-a)=\ln(a)+\ln(-1)=\ln(a)+\mathrm {i} \pi \,\!}. Onde {\displaystyle a>0}.
Ademais pode definirse o logaritmo dun número negativo en calquera base, a partir do logaritmo natural e a fórmula de cambio de base.

### Integración e derivación

Unha propiedade importante da fórmula de Euler é que é a única función matemática que permanece coa mesma forma (excepto pola unidade imaxinaria) coas operacións de integración e derivación do cálculo integral, o que permite que se empregue para converter ecuacións diferenciais en ecuacións con forma alxébrica, simplificando enormemente esas operacións.

Das regras da exponenciación

{\displaystyle e^{a+b}=e^{a}\cdot e^{b}}
e

{\displaystyle (e^{a})^{b}=e^{a\cdot b}}
(válidas para todo par de números complexos a e b), pódense derivar varias identidades trigonométricas, así como a fórmula de De Moivre.

### Funcións trigonométricas

A fórmula de Euler tamén permite interpretar as funcións seno e coseno como simples variacións da función exponencial:

{\displaystyle \cos x={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
{\displaystyle \operatorname {sen} x={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}}
A partir destas igualdades, é posible definir as funcións trigonométricas para os números complexos deste xeito:

{\displaystyle \operatorname {sen} z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{2i}}}
{\displaystyle \cos z={\cfrac {e^{zi}+e^{-zi}}{2}}}
{\displaystyle \tan z={\cfrac {e^{zi}-e^{-zi}}{e^{zi}+e^{-zi}}}\*{\cfrac {1}{i}}}
sendo {\displaystyle z\in \mathbb {C} }, é dicir, que pertence ao conxunto de números complexos. Estas funcións trigonométricas cumpren as leis das súas similares aplicadas aos números reais. Sexan os números complexos {\displaystyle z} e w, é dicir {\displaystyle z\land w\in \mathbb {C} }, entón son válidas as seguintes igualdades:

{\displaystyle \cos ^{2}{z}+\operatorname {sen} ^{2}{z}=1}
{\displaystyle \cos(-z)=\cos(z)}
{\displaystyle \operatorname {sen}(-z)=-\operatorname {sen}(z)}
{\displaystyle \operatorname {sen}(z+w)=\operatorname {sen}(z)\cos(w)+\operatorname {sen}(w)\cos(z)}
{\displaystyle \cos(z+w)=\cos(z)\cos(w)-\operatorname {sen}(w)\operatorname {sen}(z)}
### Ecuacións diferenciais

Nas ecuacións diferenciais, a expresión {\displaystyle e^{ix}} é utilizada a miúdo para simplificar derivadas, mesmo se a resposta final é unha función real na que aparezan senos ou cosenos. A identidade de Euler é unha consecuencia inmediata da fórmula de Euler.

### Análise de sinais

Os sinais que varían periodicamente adoitan describirse como unha combinación de funcións seno e coseno, como ocorre na análise de Fourier, e estas exprésanse máis convenientemente como a parte real dunha función exponencial con expoñente imaxinario, empregando a fórmula de Euler.

Notas
-----

1. ↑  John Stillwell (2002). *Mathematics and Its History*. Springer.
2. ↑  Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle of *Introduction to the Analysis of the Infinite*, páxina 214, sección 138. (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths)
3. ↑  Ricardo, Henry J. *A Modern Introduction to Differential Equations* (en inglés). p. 428.
4. ↑  Alaminos Prats, Jerónimo (15 de outubro de 2012). "Apuntes de Cálculo avanzado" (PDF) (en castelán). Departamento de Análisis Matemático de la Universidad de Granada. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 13 de abril de 2012. Consultado o 18 de abril de 2016.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Número complexo
* Pi

### Ligazóns externas

* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Euler formulas»
* Weisstein, Eric W. «Euler Formula».
* Elements of Algebra
* Euler's Formula and Euler's Identity : Rationale for Euler's Formula and Euler's Identity, video at Khanacademy.org

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q184871
* BNCF: 67730
* BRE: 4940325
* EBID: ID
* MAG: 62884695

 |