*Para a derivación en cálculo, véxase Derivada*.
*Para a técnica de análise numérica, véxase Derivación numérica*.
Derivación.Derivación.
A **derivación**, matematicamente, é un concepto esencial para determinar os espazos tanxentes sobre variedades diferenciábeis, e as súas calidades, propiedades e consecuencias.

É unha peza fundamental, clave no desenvolvemento da teoría para a xeometría diferencial tal e como está estruturada actualmente.

Definición de derivación
------------------------

Sexa M unha variedade diferenciábel e {\displaystyle p\in M}, chamaremos **derivación** no punto p a

{\displaystyle \forall \delta \_{p}:{\mathcal {F}}(M)\longrightarrow \mathbb {R} } aplicación {\displaystyle \mathbb {R} -} lineal, é dicir:
{\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}, {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} },
* {\displaystyle \delta \_{p}(g+f)=\delta \_{p}(g)+\delta \_{p}(f)},

* {\displaystyle \delta \_{p}(\lambda f)=\lambda \delta \_{p}(f)}.

e tal que {\displaystyle \delta \_{p}(f\cdot g)=\delta \_{p}(f)g\_{|p}+f\_{|p}\delta \_{p}(g)}, {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)}, é dicir, que cumpre a regra de Leibniz.
**Observación**

{\displaystyle {\mathcal {F}}(M)} é o conxunto de funcións diferenciábeis en M, e é un {\displaystyle \mathbb {R} -} álxebra conmutativa, (é un {\displaystyle \mathbb {R} -}espazo vectorial).
{\displaystyle f\_{|p}} é equivalente a {\displaystyle f(p)}, é dicir, f avaliado no punto p.
### Exemplos de derivación

#### A derivada parcial

Sexa {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}} e {\displaystyle p\in M}, vexamos que a aplicación seguinte é derivación:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \;\cdot }{\partial x\_{i}}}\_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \;.\\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\_{|p}\end{matrix}}}
**Demostración:** 

Vexamos primeiro que é {\displaystyle \mathbb {R} -}lineal, é dicir, que {\displaystyle \forall f,g\in {\mathcal {F}}(M)} e {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} } vemos que:
* {\displaystyle {\frac {\partial (f+g)}{\partial x\_{i}}}\_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\_{|p}+{\frac {\partial g}{\partial x\_{i}}}\_{|p}},

* {\displaystyle {\frac {\partial (\lambda g)}{\partial x\_{i}}}\_{|p}=\lambda {\frac {\partial g}{\partial x\_{i}}}\_{|p}}.

Vexamos finalmente que é unha derivación:
{\displaystyle {\frac {\partial (f\cdot g)}{\partial x\_{i}}}\_{|p}={\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\_{|p}g\_{|p}+f\_{|p}{\frac {\partial g}{\partial x\_{i}}}\_{|p}}.
Queda, así, demostrado que a derivada parcial é unha derivación.
#### A derivada direccional

Sexa {\displaystyle M=\mathbb {R} ^{n}}, {\displaystyle p\in M} e {\displaystyle v\in M:\|v\|=1}, pódese ver, de igual modo que no exemplo anterior, que a aplicación seguinte é derivación:

{\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {\partial \cdot }{\partial v}}\_{|p}:&{\mathcal {F}}(M)&\longrightarrow &\mathbb {R} \\&f&\mapsto &{\cfrac {\partial f}{\partial v}}\_{|p}\end{matrix}}}.

Definicións
-----------

Plano tanxente.Plano tanxente.
Sexa M unha variedade diferenciábel e {\displaystyle p\in M}, chamaremos **espazo tanxente** a M en p ao {\displaystyle \mathbb {R} -}espazo vectorial das derivacións de M en p, notado por {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{p}M}, e os seus elementos chamaranse **vectores tanxentes** a M en p.

Consecuencias
-------------

### Propiedade da derivación dunha función localmente constante

Sexa M unha variedade diferenciábel, {\displaystyle p\in M}, {\displaystyle \forall \delta \_{p}\in {\mathcal {T}}\_{p}M} e {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} tal que {\displaystyle \exists U} contorno aberto en p onde {\displaystyle f(x)=\lambda }, {\displaystyle \forall x\in M}, entón temos que {\displaystyle \delta \_{p}f=0}.

**Demostración:**

Por linealidade de {\displaystyle \delta \_{p}} temos
{\displaystyle \delta \_{p}(f)=\delta \_{p}(\lambda )=\delta \_{p}(\lambda \cdot 1)=\lambda \delta \_{p}(1)},
aquí, aplicando a condición de derivación a {\displaystyle \delta \_{p}(1)} temos
{\displaystyle \delta \_{p}(1)=\delta \_{p}(1\cdot 1)=\delta \_{p}(1)1+1\delta \_{p}(1)=\delta \_{p}(1)+\delta \_{p}(1)},
de simplificar este último, resulta {\displaystyle \delta \_{p}(1)=0}, aplicándoo ao anterior resulta que {\displaystyle \delta \_{p}(f)=0}.
#### Exemplo

Interésanos que a función localmente constante sexa infinitamente diferenciábel en todas as partes, é dicir, de clase {\displaystyle {\mathcal {C}}^{\infty }}:

* a función meseta \rho  asociada a {\displaystyle (p,V)}, onde {\displaystyle \rho (x)=1,} {\displaystyle \forall x\in k\subset V,\;k} compacto cuxo interior contén a p.

### Propiedade da derivación do produto coa función meseta

Sexa M unha variedade diferenciábel, {\displaystyle p\in M}, {\displaystyle \forall \delta \_{p}\in {\mathcal {T}}\_{p}M}, {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(M)} e \rho  unha función meseta asociada a {\displaystyle (p,V)}, temos que:

{\displaystyle \delta \_{p}(\rho \cdot f)=\delta \_{p}(f)}.
**Demostración:**

Aplicando a regra de Leibniz temos que {\displaystyle \delta \_{p}(\rho \cdot f)=\delta \_{p}(\rho )f(p)+\rho (p)\delta \_{p}(f)}, pola propiedade anterior temos que {\displaystyle \delta \_{p}(\rho \cdot f)=0\cdot f(p)+1\cdot \delta \_{p}(f)=\delta \_{p}(f).}
### Propiedade

Sexa M unha variedade diferenciábel, {\displaystyle p\in M,\;\forall \delta \_{p}\in {\mathcal {T}}\_{p}M} e {\displaystyle f,g\in {\mathcal {F}}(M)} tal que {\displaystyle \exists V} contorno aberto en p onde {\displaystyle f\_{|V}=g\_{|V}}, entón temos que:

{\displaystyle \delta \_{p}(f)=\delta \_{p}(g)}.
**Demostración:**

Sexa \rho  unha función meseta asociada a {\displaystyle (p,V)}, temos así que {\displaystyle \rho \cdot f=\rho \cdot g} en todo M tamén {\displaystyle \rho \cdot f,\rho \cdot g\in {\mathcal {F}}(M)} por tanto {\displaystyle \delta \_{p}(\rho \cdot f)=\delta \_{p}(\rho \cdot g)}, e pola propiedade anterior temos que {\displaystyle \delta \_{p}(f)=\delta \_{p}(g)}.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Carlos Currás Bosch, *Geometria diferencial: varietats diferenciables i varietats de Riemann*, Ed:UB. 2003.