Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Arco.
Arco dunha circunferencias.
Na xeometría, **arco** é calquera curva continua que une dous puntos. Existen arco de circunferencia, de elipse, de parábola e outras figuras xeométricas.

O arco circunferencia fica definido por tres puntos, ou dous puntos extremos e o raio ou a corda da circunferencia. A corda une os dous extremos do arco, estando a frecha unindo os puntos medios.

Arco dun cuadrante (en vermello)

Cálculo da lonxitude dun arco (rectificación dunha curva)
---------------------------------------------------------

### Métodos históricos

#### Antigüidade

No longo da historia das matemáticas moitos grandes pensadores consideraron imposible calcular a lonxitude dun arco irregular. Arquimedes ideou un método por aproximación de rectángulos para calcular a área dun polígono curvilíneo mediante o método de exhaustión, aínda que poucos creron que era posible que unha curva tivese unha lonxitude medible como as da liñas rectas.

As primeiras medicións fixéronse a través de métodos de aproximación. Os matemáticos da época empezaron a trazar polígonos dentro da curva, e calculando a lonxitude dos lados destes, obtendo así a lonxitude aproximada da curva. Cantos máis segmentos se usasen, máis diminuía a lonxitude de cada segmento, e obtíñase unha aproximación cada vez mellor.

Método de exhaustión: cálculo da lonxitude da circunferencia mediante a aproximación de polígonos inscritos e circunscritos.
#### Século XVII

Nesta época, o método de esgotamento levou á rectificación por métodos xeométricos de moitas curvas transcendentais: a espiral logarítmica por Torricelli en 1645 (algúns pensan que foi John Wallis en 1650); o cicloide por Christopher Wren en 1658, e a catenaria por Gottfried Leibniz en 1691.

Determinar a lonxitude dun arco dun segmento irregular, facer a rectificación dunha curva, historicamente foi difícil. Aínda que foron utilizados varios métodos para curvas específicas, a chegada do cálculo trouxo consigo fórmulas xerais que daban solucións concretas para algúns casos.

A lonxitude dun arco de circunferencia de radio *r* e ángulo θ (medido en radiáns), con centro na orixe, é igual a θ*r*. Para un ángulo α, medido en graos, a lonxitude en radiáns é α/180° × π, sendo a lonxitude de arco igual a (α/180°)π*r*.

### Métodos modernos

Ao considerar unha función {\displaystyle f\left(x\right)} e a súa respectiva derivada {\displaystyle f'\left(x\right)}, que son continuas nun intervalo *[a, b]*, a lonxitude do arco delimitado por *a* e *b* vén dada pola fórmula:

{\displaystyle s=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+\left[f'\left(x\right)\right]^{2}}}\,dx}

Se a función está definida parametricamente, onde {\displaystyle x=f\left(t\right)} e {\displaystyle y=g\left(t\right)}:

{\displaystyle s=\int \_{a}^{b}{\sqrt {\left[f'\left(t\right)\right]^{2}+\left[g'\left(t\right)\right]^{2}}}\,dt}

Se a función está en coordenadas polares, onde a coordenada radial e o ángulo están relacionados {\displaystyle r=f(\theta )}, a lonxitude dunha curva redúcese a:

{\displaystyle s=\int \_{a}^{b}{\sqrt {r^{2}+\left[{\frac {dr}{d\theta \ }}\right]^{2}}}\,d\theta \ }

Na maioría dos casos non hai unha solución dispoñible e será necesario usar métodos de integración. Por exemplo, aplicar esta fórmula a unha elipse levaría a unha integral elíptica de segunda orde.

Entre as curvas con solucións coñecidas están a circunferencia, catenaria, cicloide, espiral logarítmica e parábola.

### Lonxitude de arco

A lonxitude de arco é unha medida da lonxitude dun arco dunha curva calquera, se vén dada en coordenadas cartesianas, a lonxitude de arco pode calcularse como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle L\_{a}=\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}{\sqrt {1+f'(x)^{2}}}\ dx}
> 
> 
> 

Se a curva vén especificada en coordenadas polares, a lonxitude entre o ángulo {\displaystyle \phi \_{1}} e {\displaystyle \phi \_{2}} vén dada por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle L\_{a}=\int \_{\phi \_{1}}^{\phi \_{2}}{\sqrt {\rho '(\phi )^{2}+\rho (\phi )^{2}}}\ d\phi }
> 
> 
> 

Desta última dedúcese que para unha circunferencia, dado que {\displaystyle \scriptstyle \rho (\phi )=R} e {\displaystyle \scriptstyle \rho '(\phi )=0}, a lonxitude de arco pode expresarse simplemente como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle L\_{a}=R(\phi \_{2}-\phi \_{1})\,}
> 
> 
>

Notas
-----

1. ↑  Mathworld: Arc.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo (1992). *Fórmulas y tablas de matemática aplicada*. Aravaca (Madrid): McGraw-Hill. ISBN 84-7615-197-7.

### Ligazóns externas

* Arc, en mathworld

| * v
* c
* e
Xeometría plana |
| --- |
| Xeometría de rectas | segmento ·  semirrecta ·  recta |
| Xeometría de curvas | arco ·  circunferencia ·  centro ·  raio ·  diámetro ·  secante ·  tanxente ·  círculo ·  sector ·  elipse ·  parábola ·  hipérbole |
| Xeometría de polígonos | 

|  |  |
| --- | --- |
| Rectas | altura ·  apotema ·  bisectriz ·  ceviana ·  diagonal ·  mediana ·  mediatriz |
| Puntos | baricentro ·  circuncentro ·  incentro ·  ortocentro |

 |
| 

| * v
* c
* e
Polígonos |
| --- |
| 1–10 | Triángulo ·  Cuadrilátero ·  Pentágono ·  Hexágono ·  Heptágono ·  Octógono ·  Enneágono ·  Decágono |
| 11–20 | Hendecágono ·  Dodecágono ·  Tridecágono ·  Tetradecágono ·  Pentadecágono ·  Hexadecágono ·  Heptadecágono ·  Octodecágono ·  Eneadecágono ·  Isodecágono |
| Outros | Triacontágono · Tetracontágono ·  Pentacontágono · Hexacontágono · Heptacontágono · Octacontágono · Eneacontágono  ·  Hectágono ·  Chiliágono ·  Miriágono · Megágono · Googólgono |

 |