Nas matemáticas, un **infinitesimal** é un número maior que cero en valor absoluto mais menor que calquera número real positivo. Un número *x* ≠ 0 é un infinitesimal se toda suma |*x*| + ... + |*x*| cunha cantidade finita de termos é menor que 1, independente da cantidade de termos. Neste caso, 1/*x* é maior que calquera número real positivo.

Un infinitesimal é apenas unha cantidade notacional - non hai ningún número real que sexa un infinitesimal. Isto pode demostrarse recorrendo ao axioma do menor maiorante no contexto dos números reais: considerar se o menor maiorante *c* do conxunto de todos os infinitesimais é ou non un infinitesimal. Se for, entón 2*c* tamén é, contradicindo así o feito de que *c* é un maiorante do referido conxunto. Se non for, entón *c*/2 tamén non é, contradicindo o feito de que *c* é o menor dos maiorantes.

Definición
----------

Un **infinitesimal** ou infinitésimo é unha cantidade infinitamente pequena. Pódese definir matematicamente como:

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=0} dise que f é un infinitésimo en x=a

Algunhas funcións son infinitésimos en determinados puntos, por exemplo:

f(x) = x-1 é un infinitésimo en x=1
g(x) = sen(x) é un infinitésimo en {\displaystyle 0+k\pi } con {\displaystyle k\in \mathbb {Z} }

Propedades dos infinitésimos
----------------------------

1. A suma de dous infinitésimos é un infinitésimo.
2. O produto de dous infinitésimos é un infinitésimo.
3. O produto dun infinitésimo por unha función acoutada é un infinitésimo.
4. O produto dunha constante por un infinitésimo é un infinitésimo.

Comparación de infinitésimos
----------------------------

Dadas {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=0} e {\displaystyle \lim \_{x\to a}g(x)=0}

1. Se {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\infty } f e g son infinitésimos comparábeis en x=a e f é un infinitésimo de orde inferior a g en x=a
2. Se {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l} con l pertencente a {\displaystyle \mathbb {R} } f e g son infinitésimos comparábeis en x=a

Se {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=l} con l pertencente a {\displaystyle \mathbb {R} -\left\{0\right\}} f e g son infinitésimos da mesma orde en x=a
1. En particular, se {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=1} f é un infinitésimo equivalente en x=a

Uso ao longo da historia
------------------------

O primeiro matemático en usar infinitesimais foi Arquimedes.

Máis tarde, Newton e Leibniz desenvolveron o cálculo facendo uso de infinitesimais. Velaquí un argumento típico:

Achando a derivada *f* '(*x*) da función *f*(*x*) = *x*², sexa d*x* un infinitesimal. Logo, f '(*x*) = (*f*(*x*+d*x*)-*f*(*x*))/d*x* = (*x*²+2*x*\*d*x*+d*x*²-*x*²)/d*x* = 2*x*+d*x* = 2*x*, pois d*x* é infinitamente pequeno.
Este argumento, aínda que sexa intuitivamente atraente, e produza o resultado correcto, non é matematicamente rigoroso. Atacouse uso de infinitesimais, como incorrecto, por George Berkeley na súa obra *The analyst: or a discourse addressed to an infidel mathematician*. O problema fundamental reside no feito de que d*x* é, primeiro, tratado como non-cero (pois é utilizado como divisor), mais descártase despois como se fose cero.

Foi na segunda metade do século XIX cando obtivo o cálculo infinitesimal unha fundamentación matemática formal, grazas a Karl Weierstrass e outros, utilizando a noción de límite, que eliminou a necesidade do uso de infinitesimais.

O uso de infinitesimais continúa a ser conveniente para simplificar notacións e cálculos.

Os infinitesimais son cantidades lexítimas na análise non-padrón de Abraham Robinson. Nesta teoría, o cálculo enriba mencionado da derivada *f*(*x*) = *x*² pode ser xustificado cunha pequena modificación: hai que se referir á *parte padrón* do cociente da diferenza, e a parte padrón de *x* +d*x* é *x*.

De forma alternativa, pódese ter a xeometría diferencial sintética.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Número hiperreal
* Número surreal

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q193885
* EBID: ID
* JSTOR: infinitesimals
* MAG: 91229774

 |