O **cálculo de variacións** é un problema matemático consistente en buscar máximos e mínimos (ou máis xeralmente extremos relativos) de funcionais continuos definidos sobre algún espazo funcional.

Constitúen unha xeneralización do cálculo elemental de máximos e mínimos de funcións reais dunha variable

Historia
--------

O cálculo de variacións desenvolveuse a partir do problema da curva braquistócrona, exposto inicialmente por Johann Bernoulli (1696). Inmediatamente este problema captou a atención de Jakob Bernoulli e o marqués de L'Hôpital, aínda que foi Leonhard Euler o primeiro que elaborou unha teoría do cálculo variacional. As contribucións de Euler iniciáronse en 1733 coa súa *Elementa Calculi Variationum* ("Elementos do cálculo de variacións") que deu nome á disciplina.

Lagrange contribuíu cumpridamente á teoría e Legendre (1786) asentou un método, non enteiramente satisfactorio para distinguir entre máximos e mínimos. Isaac Newton e Gottfried Leibniz tamén prestaron atención a este asunto. Outros traballos destacados foron os de Vincenzo Brunacci (1810), Carl Friedrich Gauss (1829), Siméon Poisson (1831), Mikhail Ostrogradski (1834) e Carl Jacobi (1837). Un traballo xeral particularmente importante é o de Sarrus (1842) que foi resumido por Cauchy (1844). Outros traballos destacados posteriores son os de Strauch (1849), Jellett (1850), Otto Hesse (1857), Alfred Clebsch (1858) e Carll (1885), aínda que quizais o máis importante dos traballos durante o século XIX é o de Weierstrass. Este importante traballo foi unha referencia estándar e é o primeiro que trata o cálculo de variacións sobre unha base firme e rigorosa. Os problemas 20 e 23 de Hilbert expostos en 1900 estimularon algúns desenvolvementos posteriores. Durante o século XX, David Hilbert, Emmy Noether, Leonida Tonelli, Henri Lebesgue e Jacques Hadamard, entre outros, fixeron contribucións notables. Marston Morse aplicou o cálculo de variacións ao que actualmente se coñece como teoría de Morse. Lev Semenovich Pontryagin, Ralph Rockafellar e Clarke desenvolveron novas ferramentas matemáticas dentro da teoría do control óptimo, xeneralizando o cálculo de variacións.

### Problema isoperimétrico

Cal é a área máxima *A* que pode rodearse cunha curva de lonxitude *L* dada? De non existiren restricións adicionais, a solución é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={\frac {L^{2}}{4\pi }}}
> 
> 
> 

que é o valor que se obtén para un círculo de raio {\displaystyle R=L/2\pi }.

Se se impoñen restricións adicionais a solución é diferente. Un exemplo é se se supón que *L* se considera sobre unha función {\displaystyle f(x)} e os extremos da curva están sobre os puntos {\displaystyle A=(a,0),B=(b,0)} onde a distancia entre eles está dada. É dicir {\displaystyle AB=L\,}. O problema de achar unha curva que maximice a área entre ela e o eixe *X* sería atopar unha función {\displaystyle f(x)} de modo que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \max \_{f:[a,b]\to \mathbb {R} }I[f]=\int \_{a}^{b}f(x)dx}
> 
> 
> 

coas restricións:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\begin{cases}G[f]=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}dx=L&{\mbox{longitud de arco}}\\f(a)=f(b)=0\end{cases}}}
> 
> 
> 

### Braquistócrona

O problema da curva braquistócrona remóntase a Jakob Bernoulli (1696). Refírese a atopar unha curva no plano cartesiano que vaia do punto {\displaystyle P=(x\_{0},y\_{0})} á orixe de modo que un punto material que se desliza sen fricción sobre ela tarda o menor tempo posible en ir de P á orixe. Usando principios de mecánica clásica o problema pode formularse como, 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \min \_{f}T[f]=\int \_{0}^{x\_{0}}{\frac {\sqrt {1+(f'(x))^{2}}}{\sqrt {2g(y\_{0}-y)}}}\ dx}
> 
> 
> 

onde *g* é a gravidade e as restricións son, {\displaystyle f(0)=0}, {\displaystyle f(x\_{0})=y\_{0}}. Hai que notar que en {\displaystyle x=x\_{0}} existe unha singularidade.

Formulación xeral
-----------------

Un dos problemas típicos en cálculo diferencial é o de atopar o valor de x\, para o cal a función f(x)\, alcanza un valor extremo (máximo ou mínimo). No cálculo de variacións o problema é atopar unha función {\displaystyle f(x)} para a cal un funcional {\displaystyle J[f]\,} alcance un valor extremo. O funcional {\displaystyle J[f]} está composto por unha integral que depende de x, da función {\displaystyle f(x)} e algunhas das súas derivadas.

> 
> (1a)
> 
> 
> {\displaystyle \max \_{f}/\min \_{f}\left\{I[f]=\int \_{a}^{b}{\mathcal {L}}(x,f(x),f'(x),f''(x),\dots ,f^{(n}(x))\,dx\right\}}
> 
> 
> 

Onde a función {\displaystyle f(x)} pertence a algún espazo de funcións (espazo de Banach, espazo de Hilbert), e tanto ela como as súas derivadas poden ter restricións. Esta fórmula integral pode ser máis complicada permitindo a x ser un vector, e polo tanto incluíndo derivadas parciais para f:

> 
> (1b)
> 
> 
> {\displaystyle \max \_{\mathbf {f} }/\min \_{\mathbf {f} }\left\{J[\mathbf {f} ]=\int \_{{\mathcal {D}}\subset \mathbb {R} ^{n}}{\mathcal {L}}(\mathbf {x} ,\mathbf {f} (\mathbf {x} ),D\mathbf {f} (\mathbf {x} ),\dots ,D^{n}\mathbf {f} (\mathbf {x} ))\,d^{n}\mathbf {x} \right\}}
> 
> 
> 

### Espazos funcionais

A fundamentación rigorosa do cálculo de variacións require considerar variedades diferenciais lineares de dimensión infinita. De feito o punto de partida do cálculo de variacións é un teorema da análise funcional que proba que é posible considerar unha curva nun espazo funcional (p.ex. traxectoria no espazo fásico) simplemente como unha función cunha variable adicional, concretamente:

> 
> 
> A categoría formada por espazos vectoriais convenientes e funcións suaves entre eles é pechada polo produto cartesiano, de tal manera que se ten a seguinte bixección natural:
> 
> > 
> > 
> >   
> > 
> > 
> > 
> > {\displaystyle C^{\infty }(E\times F,G)\approx C^{\infty }(E,C^{\infty }(F,G))}
> > 
> 
> 
> onde {\displaystyle \scriptstyle E,F} son espazos vectoriais convenientes e a bixección anterior é un difeomorfismo.
> 
> 

O teorema anterior pode aplicarse por exemplo ao principio de mínima acción onde trata de atoparse a traxectoria posible no espazo de fases que fai mínima a integral de acción. Dita traxectoria é unha curva suave no espazo de traxectorias *E*, considerando agora:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle E=C^{\infty }(\mathbb {R} ,\mathbb {R} ^{n}),\quad F=G=\mathbb {R} }
> 
> 
> 

Tense que o problema de minimización pode reducirse a minimizar unha certa función real *f* de variable real:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f\_{q\_{0}}(\varepsilon ):=S[q\_{0}+\varepsilon \delta q],\qquad S:\mathbb {C} ^{\infty }(\mathbb {R} ^{n})\to \mathbb {R} ,\ S[q]:=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\mathcal {L}}(q(t),{\dot {q}}(t),t)\ dt,\ q(t)\in \mathbb {R} ^{n}}
> 
> 
> 

### Extremos relativos débiles e fortes

Un problema variacional require que o funcional {\displaystyle \scriptstyle J(f)} estea definido sobre un espazo de Banach {\displaystyle \scriptstyle (V,\|\cdot \|\_{V})} adecuado. A norma vectorial de devandito espazo é o que permite definir rigorosamente se unha solución é un mínimo ou un máximo relativo. Por exemplo unha función {\displaystyle \scriptstyle f\_{0}} é un mínimo relativo se existe un certo {\displaystyle \scriptstyle \delta >0} tal que, para toda función {\displaystyle \scriptstyle f} se cumpre que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \|f-f\_{0}\|<\delta \quad \Rightarrow \quad J(f\_{0})\leq J(f)}
> 
> 
>

Notas
-----

1. ↑  A. Kriegl y P. Michor, 1989, p. 3

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* A. Kriegl y P. W. Michor: "Aspects of the theory of inifinite dimensional manifolds", *Differential Geometry and its Applications*, **1**, 1991, pp. 159–176.
* Leonida Tonelli: Fondamenti di calcolo delle variazioni, N. Zanichelli, 1921-23
* Todhunter, I. A history of the calculus of variations, Chelsea, 1861
* Carll, L. B. A Treatise On The Calculus Of Variations John Wiley & sons, 1881
* Hancock, H. Lectures on the calculus of variations (the Weierstrassian theory) Cincinnati University Press, 1904
* Bolza, O Lectures on the calculus of variations, Chicago University Press, 1904
* Byerly, W. E. Introduction to the calculus of variations Harvard University Press, 1917
* Weinstock, R. Calculus Of Variations With Applications To Physics And Engineering, McGrawHill, 1952
* Hadamard J. e Fréchet, M. Leçons sur le calcul des variations (francese) Hermann, 1910
* Fomin, S.V. and Gelfand, I.M.: Calculus of Variations, Dover Publ. 2000
* Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1 – 98
* Charles Fox: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ. 1987
* Giuseppe Buttazzo, Gianni Dal Maso, Ennio De Giorgi. Variazioni, calcolo delle, *Enciclopedia del Novecento*, II Supplemento (1998), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani
* Gianni Dal Maso, Variazioni, calcolo delle, *Enciclopedia della Scienza e della Tecnica*, (2007), Istituto dell'Enciclopedia italiana Treccani

### Outros artigos

* Charles-Augustin de Coulomb
* Ecuacións de Euler-Lagrange
* Derivada funcional
* Mecánica de chans
* Teoría de Mohr-Coulomb
* Torsión mecánica

### Ligazóns externas

* Variational calculus. *Encyclopedia of Mathematics*.
* calculus of variations. *PlanetMath*.
* Calculus of Variations. *MathWorld*.
* Calculus of variations. Example problems.
* Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
* Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q216861
* BNCF: 31241
* BRE: 1900433
* EBID: ID
* GEC: 0239860
* JSTOR: variational-methods
* LCCN: sh85018809
* MAG: 97985569
* NDL: 00563089
* PSH: 7695

 |