Condensado de Bose-Einstein.
A **mecánica estatística** é a parte da física que trata de determina-lo comportamento termodinámico de sistemas macroscópicos, a partir de consideracións microscópicas (é dicir, a escalas próximas ou inferiores ó átomo) de tipo estatístico.

Historia
--------

Pódese dicir que a mecánica estatística naceu dos traballos de James Clerk Maxwell e Ludwig Boltzmann. Dos estudos sobre as partículas constituíntes dos gases (átomos e moléculas) e dos niveis de enerxía resultou unha gran cantidade de informacións sobre as magnitudes macroscópicas baseadas soamente nas magnitudes microscópicas medias.

Características
---------------

A mecánica estatística estuda os comportamento de sistemas con elevado número de entidades constituíntes a partir do comportamento destas entidades. Os constituíntes poden ser átomos, moléculas, íons, entre outros. É unha teoría reducionista, en oposición á holística termodinámica, que ten factura *fenomenolóxica*.

A mecánica estatística inclúe ferramentas matemáticas para tratar con grandes poboacións no campo da mecánica, ou que concirne ó movemento das partículas ou obxectos suxeitos a forzas. Subministra unha base para relacionar as propiedades microscópicas dos átomos e moléculas individuais ás correspondentes macroscópicas dos materiais, as que poden ser observadas na vida diaria, explicando a termodinámica como un resultado natural da estatística e a mecánica (mecánica clásica e mecánica cuántica). En particular, pode ser usada para calcular as propiedades termodinámicas dos materiais a partir dos datos espectroscópicos das moléculas individuais. En combinación coa mecánica cuántica, resulta de grande utilidade na análise do comportamento de sistemas macroscópicos.

O estudo de tales sistemas en toda a súa complexidade é pouco práctico ou mesmo inviábel. Para superar esa dificultade o que se fai é esbozar un conxunto de simplificacións e atribuír unha serie de vínculos matemáticos, como a hipótese ergódica. Alén diso, a mecánica estatística divídese en áreas: mecánica estatística cuántica, mecánica estatística de equilibrio, mecánica estatística do non-equilibrio etc.

Por exemplo, para predicir o comportamento dun gas, a mecánica clásica esixiría calcular a traxectoria exacta de cada unha das partículas que o compoñen. A mecánica estatística ignora os comportamentos individuais das partículas, preocupándose só por promedios: desta forma, podemos calcula-la presión, temperatura, volume etc. dun gas a partir do noso coñecemento xenérico das moléculas que o compoñen.

Entropía microscópica, o factor de Boltzmann e a función de partición
---------------------------------------------------------------------

O núcleo da mecánica estatística é a función de partición (ver Derivación da función de partición):

Q = Σ exp ( -Ei / kT) = Σ e-Ei / kT ( *exp* e *e...* denota a función exponencial)
i i
onde **k** é a constante de Boltzmann, **T** é a temperatura e **Ei** reflicte cada posible estado enerxético do sistema. A función de partición subministra unha medida do número total de estados enerxéticos dispoñibles polo sistema á temperatura dada. De forma semellante,

e -Ei / kT
danos unha medida do número de estados enerxéticos dunha enerxía particular que están próximos a ser ocupados a unha temperatura dada.

Dividindo a segunda ecuación pola primeira, obtémo-la probabilidade de atopa-lo sistema nun estado enerxético particular -Ei:

pi = e -Ei/kT / Q
Esta probabilidade pode ser usada para atopa-lo valor medio que corresponde ó valor macroscópico dunha propiedade, **J**, o que depende do estado enerxético do sistema segundo a relación:

<J> = Σ pi Ji = Σ Ji e-Ei/kT / Q
i i
onde **<J>** é o valor medio da propiedade **J**. Esta ecuación pode ser aplicada á enerxía interna, **U**, e a presión, **P**:

U = Σ Ei e-Ei/kT / Q
i
P = Σ Pi e-Ei/kT / Q
i
De forma derivada, estas ecuacións poden ser combinadas con coñecidas relacións termodinámicas entre **U** e **P** para chegar a expresións para **P** en función de tan só temperatura, volume e a función de partición. Relacións semellantes poden ser derivadas para outras propiedades termodinámicas, segundo amosa a continuación.

|  |  |
| --- | --- |
| enerxía libre de Helmholtz: | A = -kT·ln Q |
| enerxía interna: | U = kT2 (*d*lnQ/*d*T)N,V |
| Presión: | P = kT (*d*lnQ/*d*V*)N,T* |
| Entropía: | S = k·ln Q + U/T |
| enerxía libre de Gibbs: | G = -kT·ln Q + kTV (*d*lnQ/*d*V)N,T |
| Entalpía: | H = U + PV |
| Capacidade calorífica a volume constante: | CV = (*d*U/*d*T)N,T |
| Capacidade calorífica a presión constante: | CP = (*d*H/*d*T)N,P |
| potencial químico: | mui = -kT(*d*lnQ/*d*Ni)T,V,N |

Con frecuencia é útil considera-la enerxía dunha molécula dada para ser distribuída entre un certo número de modos. Por exemplo, a enerxía de traslación indica que porción de enerxía está asociada co movemento do centro de masas da molécula. A enerxía de configuración indica a porción de enerxía asociada coas diversas forzas atractivas e repulsivas entre moléculas nun sistema. Os outros modos son considerados internos de cada molécula. Isto inclúe os modos de rotación, vibración, electrónico e nuclear. Se facemos asunción de que cada modo é independente, a enerxía total pode ser expresada como suma de cada unha das compoñentes:

E = Et + Ec + En + Ee + Er + Ev
Onde os subíndices t, c, n, e, r, e v corresponden respectivamente ós modos de translación, configuración, nuclear, electrónico, rotational e vibratoria. A relación nesta ecuación pode ser substituída na primeira ecuación para dar::

Q = Σ e(-Eti - Eci - Eni - Eei - Eri - Evi)/kT
= Σ e-Eti/kT·Σ e-Eci/kT·Σ e-Eni/kT·Σ e-Eei/kT·Σ e-Eri/kT·Σ e-Evi/kT.
= Qt·Qc·Qn·Qe·Qr·Qv
Tal función de partición pode ser definida para cada modo. De aí pódense obter expresións sinxelas que relacionan os diversos modos coas propiedades macroscópicas, tales como frecuencias características de rotación e vibración.

Expresións para as diferentes funcións de partición moleculares amósanse na seguinte táboa.

|  |  |
| --- | --- |
| nuclear | Qn = 1 \qquad (T < 108K) |
| electrónico | Qe = W0exp(kT·De + W1·exp(-θe1/T) + ... |
| vibracional | Qv = Π exp(-θvj / 2T) / (1 - exp(-θvj/ T)} |
| rotacional (lineal) | Qr = T/σθr |
| rotacional (no lineal) | Qr = √(π/σ) T3/ (θAθBθC)1/2 |
| Translacional | Qt = (2πmkT)3/2/h3 |
| Configuracional (gas ideal) | Qc = V |

Estas ecuacións poden ser combinadas coas da primeira táboa para determina-la contribución dunha enerxía en particular a unha propiedade termodinámica determinada. Por exemplo, a *presión rotacional* pode ser determinada nesta forma. A presión total pode ser atopada sumando as contribuciones da presión para todos os modos individuais, ie:

P = Pt + Pc + Pn + Pe + Pr + Pv
No corazón da mecánica estatística atópase a definición de Boltzmann da entropía dun sistema físico:

A entropía dun estado macroscópico é proporcional ó logaritmo do número dos estados microscópicos asociados.
A constante de proporcionalidade de Boltzmann denotase con *k*. Ver conxunto microcanónico.

Desta definición pódese deducir que, se un sistema está en contacto cun baño de calor, a probabilidade de ter un microestado de enerxía *E* é proporcional a

{\displaystyle \exp \left({\frac {-E}{kT}}\right)}
onde a temperatura *T* xorde do feito de que o sistema está en equilibrio co baño de calor (ver conxunto canónico). Esta cantidade chámase **factor de Boltzmann**. As probabilidades dos diversos microestados súmanse, e o factor normalización é a función de partición:

{\displaystyle Z=\sum \_{i}\exp \left({\frac {-E\_{i}}{kT}}\right)}
onde {\displaystyle E\_{i}} é a enerxía do microestado *i-ésimo* do sistema. A función de partición é unha medida do número de estados accesibles ó sistema a unha temperatura dada. Ver derivación da función de partición para ver como xorde o factor de Boltzmann e a forma da función de partición dos principios fundamentais.

Para rematar, a probabilidade de atopar un sistema cun estado particular de enerxía *E*i (a temperatura *T*) é

{\displaystyle p\_{i}={\frac {\exp(-E\_{i}/kT)}{Z}}}

Colectividades (Ensembles)
--------------------------

* Colectividade microcanónica: É un conxunto de réplicas de microsistemas identicamente preparados, no que cada unha ten os mesmos valores de masa(m), volume(V) e enerxía (E), mais cada unha pode evolucionar diferentemente a través do espazo de configuracións.
* Colectividade canónica: É un conxunto de réplicas dun sistema, identicamente preparadas, no que cada unha ten valores definidos de masa(m), volume(V) e temperatura(T), mais non necesariamente a mesma enerxía, no que difire dunha colectividade microcanónica.
* Colectividade gran-canónica.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Salinas, Silvio R. A (1999). *Física estatística*. *Editora da Universidade de San Paulo*. ISBN 85-314-0386-3.
* Huang, Kerson (1990). *Statistical mechanics*. *Wiley, John & Sons*. ISBN 0-471-81518-7.
* Reichl, L. E (1998). *A modern course in statistical physics*. *Wiley, John & Sons*. ISBN 0-471-59520-9.

### Outros artigos

* Problema de moitos corpos
* Termodinámica
* Estatística cuántica
* Principio da equipartición da enerxía

| * v
* c
* e
Campos de estudo da física |
| --- |
| 
* Acústica
* Astrofísica
* Biofísica
* Física cuántica
* Electromagnetismo
* Electrónica
* Física química
* Física ondulatoria
* Óptica
* Termodinámica
* Xeofísica

 |
| Física | 
* Atómica
* Médica
* Molecular
* Nuclear
* De partículas
* Da materia condensada
* Estatística
* Non linear

 |
| Mecánica | 
* Clásica
* De fluídos
* Cuántica

 |
| Relatividade | 
* Xeral
* Especial

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q188715
* BNCF: 21433
* BNE: XX524922
* BNF: 11958255n
* EBID: ID
* GND: 4056999-8
* JSTOR: statistical-mechanics
* LCCN: sh85127571
* MAG: 99874945
* NDL: 00573177
* NKC: ph170616
* SUDOC: 027570711
* Treccani: meccanica-statistica

 |