Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Distribución χ² (khi cadrado)**| Función de densidade |
| Función de distribución |
| **Parámetros** | {\displaystyle k>0\,} graos de liberdade |
| **Soporte** | {\displaystyle x\in [0;+\infty )\,} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {(1/2)^{k/2}}{\Gamma (k/2)}}x^{k/2-1}e^{-x/2}\,} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle {\frac {\Gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}\,} |
| **Media** | {\displaystyle k\,} |
| **Mediana** | aproximadamente {\displaystyle k-2/3\,} |
| **Moda** | {\displaystyle k-2\,} if {\displaystyle k\geq 2\,} |
| **Varianza** | {\displaystyle 2\,k\,} |
| **Asimetría** | {\displaystyle {\sqrt {8/k}}\,} |
| **Curtose** | {\displaystyle 12/k\,} |
| **Entropía** | {\displaystyle {\frac {k}{2}}\!+\!\ln(2\Gamma (k/2))\!+\!(1\!-\!k/2)\psi (k/2)} |
| **F. xeradora de momentos** | {\displaystyle (1-2\,t)^{-k/2}} for {\displaystyle 2\,t<1\,} |
| **Func. caract.** | {\displaystyle (1-2\,i\,t)^{-k/2}\,} |

A **distribución khi cadrado** (**χ²**), chamada tamén **distribución de Pearson** é unha distribución de probabilidade continua cun parámetro k que representa os graos de liberdade da variable aleatoria:

> 
> {\displaystyle X=Z\_{1}^{2}+\cdots +Z\_{k}^{2}}
> 
> 
> 

Onde {\displaystyle Z\_{i}} son variables aleatorias normais independentes de media cero e varianza un. Se a variable aleatoria X segue esta distribución represéntase habitualmente {\displaystyle X\sim \chi \_{k}^{2}}.

Propiedades
-----------

### Función de densidade

A súa función de densidade é:

{\displaystyle f(x;k)={\begin{cases}\displaystyle {\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}&{\text{para }}x>0,\\0&{\text{para }}x\leq 0\end{cases}}}
onde {\displaystyle \Gamma } é a función gamma.

#### Demostración

A función densidade de {\displaystyle X\_{1}=Z^{2}} se Z é tipo N(0,1) vén dada por
{\displaystyle P(x,x+dx)=f(x\_{1})dx\_{1}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-z^{2}/2}dz}

Despexando e tendo en conta as contribucións positivas e negativas de z
{\displaystyle f(x\_{1})={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-x\_{1}/2}x\_{1}^{-{\frac {1}{2}}}}

A función distribución de {\displaystyle X=X\_{1}+X\_{2}+...+X\_{n}} vén dada pola súa convolución
{\displaystyle f(x;k)=f(x\_{1})\*f(x\_{2})\*...\*f(x\_{k})}

Aplicando a transformada de Laplace
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(x;k)\right\}=({\mathcal {L}}\left\{f(x\_{1})\right\})^{k}={\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}}

Aplicando a antitransformada obtense f(x;k)
{\displaystyle f(x;k)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{{\frac {1}{(2(s+{\frac {1}{2}}))^{\frac {k}{2}}}}\right\}={\frac {1}{2^{k/2}\Gamma (k/2)}}\,x^{(k/2)-1}e^{-x/2}}

### Función de distribución

A súa función de distribución é 

> 
> {\displaystyle F\_{k}(x)={\frac {\gamma (k/2,x/2)}{\Gamma (k/2)}}}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle \ \gamma (k,z)} é a función gamma incompleta.

O valor esperado e a varianza dunha variable aleatoria X con distribución χ² son, respectivamente, *k* e 2*k*.

Relación con outras distribucións
---------------------------------

A distribución χ² é un caso especial da distribución gamma. De feito, {\displaystyle X\sim \Gamma \left({\frac {k}{2}},\theta =2\right).}
Como consecuencia, cando k=2, a distribución χ² é unha distribución exponencial de media k=2.

Se *k* é suficientemente grande, como consecuencia do teorema central do límite, pode aproximarse por unha distribución normal:

> 
> {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {\chi \_{k}^{2}(x)}{k}}=N\_{(1,{\sqrt {2/k}})}(x)}
> 
> 
>

Aplicacións
-----------

A distribución χ² ten moitas aplicacións en inferencia estatística. A máis coñecida é a denominada proba χ², empregada como proba de independencia e como proba da bondade do axuste e na estimación de varianzas. Tamén aparece no problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída e no problema de estimar a pendente dunha recta de regresión linear, a través do seu papel na distribución t de Student.

Aparece tamén en todos os problemas da análise da varianza pola súa relación coa distribución F de Snedecor, que é a distribución do cociente de dúas variables aleatorias independentes con distribución χ².

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Táboa de continxencia
* Coeficiente de continxencia
* Coeficiente fi
* Jean-Paul Benzécri

### Ligazóns externas

* Cálculo da probabilidade dunha distribución khi cadrado con R (linguaxe de programación)

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q243462
* GND: 4448035-0
* MAG: 89447420

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Identificadores | 
* MeSH: D016009
* MeSH: E05.318.740.994.300

 |