Función eta de Dirichlet {\displaystyle \eta (s)} no plano complexo. A cor nun punto {\displaystyle s} codifica o valor de {\displaystyle \eta (s)} Cores fortes denotan valores próximos a cero e o ton codifica o valor do argumento.
Nas matemáticas, na área da teoría analítica de números, a **función eta de Dirichlet** defínese como

{\displaystyle \eta (s)=\left(1-2^{1-s}\right)\zeta (s)}
onde ζ é a función zeta de Riemann. Tamén pode ser usada para definir a función zeta. Ten unha expresión en serie de Dirichlet, válida para todo número complexo *s* con parte real positiva, dado por

{\displaystyle \eta (s)=\sum \_{n=1}^{\infty }{(-1)^{n-1} \over n^{s}}.}
Aínda que esta é converxente só para s con parte real positiva, é sumable Abel para todo número complexo, o que permite definir a función eta como unha función completa, e mostra que a función zeta de Riemann é meromórfica cun polo simple en *s* = 1.

En forma equivalente, pódese definir

{\displaystyle \eta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{s}}{\exp(x)+1}}{\frac {dx}{x}}}
na rexión de parte real positiva. Isto dá por resultado a función eta como unha transformada de Mellin.

Hardy deu unha demostración simple da ecuación funcional para a función eta, que é

{\displaystyle \eta (-s)=2\pi ^{-s-1}s\sin \left({\pi s \over 2}\right)\Gamma (s)\eta (s+1).}
A partir disto, pódese obter tamén en forma directa a ecuación funcional da función eta, como así mesmo atopar outro modo de estender a definición de eta a todo o campo dos números complexos.

Método de Borwein
-----------------

Peter Borwein utilizou aproximacións baseadas nos polinomios de Chebyshov para desenvolver un método para avaliar en forma eficiente a función eta. Se

{\displaystyle d\_{k}=n\sum \_{i=0}^{k}{\frac {(n+i-1)!4^{i}}{(n-i)!(2i)!}}}
entón

{\displaystyle \eta (s)=-{\frac {1}{d\_{n}}}\sum \_{k=0}^{n-1}{\frac {(-1)^{k}(d\_{k}-d\_{n})}{(k+1)^{s}}}+\gamma \_{n}(s),}
onde o termo erro γn atópase acoutado por

{\displaystyle \gamma \_{n}(s)\leq {\frac {3}{(3+{\sqrt {8}})^{n}}}(1+2|t|)\exp(|t|\pi /2)}
onde {\displaystyle t=\Im (s)}.

Valores particulares
--------------------

Véxase tamén constante zeta

* η(0) = 1⁄2, a suma de Abel da serie de Grandi 1 − 1 + 1 − 1 + · · ·.
* η(−1) = 1⁄4, a suma de Abel de 1 - 2 + 3 - 4 +. . ..
* Para *k* enteiro > 1, se *Bk* é o k-esimo número de Bernoulli entón
{\displaystyle \eta (1-k)={\frac {2^{k}-1}{k}}B\_{k}.}

Tamén:

{\displaystyle \!\ \eta (1)=\ln 2}, esta é serie harmónica alternada
{\displaystyle \eta (2)={\pi ^{2} \over 12}}
{\displaystyle \eta (4)={{7\pi ^{4}} \over 720}}
{\displaystyle \eta (6)={{31\pi ^{6}} \over 30240}}
{\displaystyle \eta (8)={{127\pi ^{8}} \over 1209600}}
{\displaystyle \eta (10)={{73\pi ^{10}} \over 6842880}}
{\displaystyle \eta (12)={{61499\pi ^{12}} \over {15\times 3790360487}}}
A forma xeral para enteiros positivos pares é:

  

{\displaystyle \eta (2n)=(-1)^{n+1}{{B\_{2n}(2\pi )^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {2^{2n}(2n!)}}=(-1)^{n+1}{{B\_{2n}\pi ^{2n}(2^{2n-1}-1)} \over {(2n)!}}}

Notas
-----

* Borwein, P. *An Efficient Algorithm for the Riemann Zeta Function*, Constructive experimental and nonlinear analysis, CMS Conference Proc. 27 (2000), 29-34.
* Xavier Gourdon e Pascal Sebah, *Numerical evaluation of the Riemann Zeta-function*, Numbers, constants and computation (2003)
* Borwein, P. http://www.cecm.sfu.ca/~pborwein/
* Knopp, Konrad (1990). *Theory and Application of Infinite Series*. Dover. ISBN 0-486-66165-2.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q973313
* MAG: 112411267

 |