Na análise matemática, a **regra do produto** ou **regra de Leibniz para a derivación dun produto**, establece como derivar o produto de funcións derivables.

Pode declararse informalmente como: "*A derivada dun produto de funcións é a derivada da primeira pola segunda sen derivar máis a derivada da segundo pola primeira sen derivar*". Matematicamente:

{\displaystyle (f\cdot g)'=f'\cdot g+f\cdot g'\,}
Ou usando a notación de Leibniz:

{\displaystyle {d \over dx}(u\cdot v)=u{dv \over dx}+v{du \over dx}}
Na resolución final de suma de produtos, a orde é indiferente, o importante é non confundir f(x), g(x), f'(x) e g'(x).

Demostración
------------

Pode chegarse á regra usando as características do límite e a definición da derivada como o límite do cociente da diferenza.

Entón, temos:

{\displaystyle f(x)=g(x)h(x)\,}
supoñendo que *g* e *h* son diferenciables na variable *x*. Logo

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)}{\Delta x}}}
Como

{\displaystyle g\left(x+\Delta x\right)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)=g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x)),}
tense que

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x+\Delta x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x)+g(x)h(x+\Delta x)-g(x)h(x+\Delta x)}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {g(x)(h(x+\Delta x)-h(x))+h(x+\Delta x)(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}}
{\displaystyle =\lim \_{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
Como *h* é continua en *x*, tense que

{\displaystyle \lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)=h(x)}
e pola definición de derivada, e a diferenciabilidade de *h* e *g* en *x*, tense tamén que

{\displaystyle \left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]=h'(x)} e {\displaystyle \left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]=g'(x)}
Así, xustifícase a descomposición dos produtos dentro do límite, e reorganizando todo chégase á regra do produto.

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}\left[g(x)\left({\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right)+h(x+\Delta x)\left({\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right)\right]}
{\displaystyle =\left[\lim \_{\Delta x\to 0}g(x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(h(x+\Delta x)-h(x))}{\Delta x}}\right]+\left[\lim \_{\Delta x\to 0}h(x+\Delta x)\right]\left[\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(g(x+\Delta x)-g(x))}{\Delta x}}\right]}
{\displaystyle =g(x)h'(x)+h(x)g'(x)\,}

Exemplo
-------

Supoñendo que se quere derivar:

{\displaystyle f(x)=x^{2}\,\sin(x)}
Usando a regra do produto, obtense a derivada:

{\displaystyle f^{\prime }(x)=2x\,\sin(x)+x^{2}\,\cos(x)}
xa que a derivada de {\displaystyle x^{2}\,} é {\displaystyle 2x\,}
e a derivada de {\displaystyle \sin(x)\,} é {\displaystyle \cos(x)\,}.

Regra xeneralizada do produto
-----------------------------

Esta regra pode ser xeneralizada para a obtención do termo dunha derivación sucesiva de produto.
Sexan f e g funcións n-veces diferenciables. A derivada *enésima* do produto {\displaystyle f\cdot g} vén dada por:

{\displaystyle (f\cdot g)^{(n)}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}}
onde {n \choose k} é chamado coeficiente binomial.

Isto próbase a través da regra do produto e a indución.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* *Product Rule*, en Math World *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q466720
* EBID: ID
* JSTOR: product-rule
* MAG: 1675596

 |