En matemáticas, un **divisor** dun número enteiro {\displaystyle n,} tamén chamado **factor** de {\displaystyle n,} é un número enteiro {\displaystyle m} que se pode multiplicar por algún número enteiro para producir {\displaystyle n.}  Neste caso, tamén se di que {\displaystyle n} é **múltiplo** de {\displaystyle m.} Un número enteiro {\displaystyle n} é **divisible** por outro número enteiro {\displaystyle m} se {\displaystyle m} é un divisor de {\displaystyle n}; isto implica que ao dividir {\displaystyle n} por {\displaystyle m} non temos un resto.

Definición
----------

Un número enteiro {\displaystyle n} é divisible por un número enteiro distinto de cero {\displaystyle m} se existe un número enteiro {\displaystyle k} tal que {\displaystyle n=km.} A nomenclatura habitual é

{\displaystyle m\mid n.}
En latex sería "m \mid n".

Isto pódese ler así {\displaystyle m} divide a {\displaystyle n,} {\displaystyle m} é un divisor de {\displaystyle n,}{\displaystyle m} é un factor de {\displaystyle n,} ou {\displaystyle n} é múltiplo de {\displaystyle m.} Se {\displaystyle m} non divide a {\displaystyle n,} daquela a notación é {\displaystyle m\not \mid n.}  

Que en latex sería "m \not\mid n".

Xeral
-----

Os divisores poden ser tanto negativos como positivos, aínda que moitas veces o termo está restrinxido a divisores positivos. Por exemplo, hai seis divisores de 4, que son 1, 2, 4, −1, −2 e −4, pero só se mencionarían os positivos (1, 2 e 4).

1, -1, {\displaystyle n} e {\displaystyle -n} coñécense como **divisores triviais** de {\displaystyle n.} Un divisor de {\displaystyle n} que non é un divisor trivial coñécese como un **divisor non trivial** (ou divisor estrito ). Un número enteiro distinto de cero con polo menos un divisor non trivial coñécese como número composto, mentres que as unidades −1 e 1 e os números primos non teñen divisores non triviais.

Os **divisores propios** son todos menos o número en si e o seu negativo, para o exemplo de 4 e tendo en conta só os divisores positivos, o 1 e o 2 son os divisores propios. 

Existen regras de divisibilidade que permiten recoñecer certos divisores dun número a partir dos díxitos do número.

Exemplos
--------

* 7 é un divisor de 42 porque {\displaystyle 7\times 6=42,} así podemos dicir {\displaystyle 7\mid 42.} Tamén se pode dicir que 42 é divisible por 7, 42 é múltiplo de 7, 7 divide 42 ou 7 é un factor de 42.
* Os divisores non triviais de 6 son 2, − 2, 3, − 3.
* Os divisores positivos de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21, 42.
* Os divisores positivos propios de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21.
* O conxunto de todos os divisores positivos de 60, {\displaystyle A=\{1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60\},} parcialmente ordenado pola divisibilidade, ten o diagrama de Hasse:

Outras nocións e feitos
-----------------------

Algunhas regras elementais:

* Se {\displaystyle a\mid b} e {\displaystyle b\mid c,} entón {\displaystyle a\mid c,} é dicir, a divisibilidade é unha relación transitiva.
* Se {\displaystyle a\mid b} e {\displaystyle b\mid a,} entón {\displaystyle a=b} ou {\displaystyle a=-b.}
* Se {\displaystyle a\mid b} e {\displaystyle a\mid c,} entón cúmprese que {\displaystyle a\mid (b+c)}, igual para a resta {\displaystyle a\mid (b-c).}

Se {\displaystyle a\mid bc,} e {\displaystyle \gcd(a,b)=1,} entón {\displaystyle a\mid c.}  Isto denómínase lema de Euclides.

Se {\displaystyle p} é un número primo e {\displaystyle p\mid ab} entón {\displaystyle p\mid a} ou {\displaystyle p\mid b.}

Un número enteiro {\displaystyle n>1} cuxo único divisor propio é 1 chámase número primo. 

Calquera divisor positivo de {\displaystyle n} é un produto de divisores primos de {\displaystyle n} elevado a algunha potencia. Esta é unha consecuencia do teorema fundamental da aritmética .

Un número {\displaystyle n} dise que é perfecto se é igual á suma dos seus divisores propios, deficiente se a suma dos seus divisores propios é menor que {\displaystyle n,} e abundante se esta suma supera {\displaystyle n.}

O número total de divisores positivos de {\displaystyle n} é unha función multiplicativa {\displaystyle d(n),} no caso de {\displaystyle m} e {\displaystyle n} seren relativamente primos, entón {\displaystyle d(mn)=d(m)\times d(n).} Por exemplo, {\displaystyle d(42)=8=2\times 2\times 2=d(2)\times d(3)\times d(7)} ; Os oito divisores de 42 son 1, 2, 3, 6, 7, 14, 21 e 42. Esta función tamén se pode escribir como a número cero das funcións sigma {\displaystyle \sigma \_{0}(n)}

A suma dos divisores positivos de {\displaystyle n} é outra función multiplicativa {\displaystyle \sigma \_{1}(n)} (p. ex {\displaystyle \sigma \_{1}(42)=96=3\times 4\times 8=\sigma \_{1}(2)\times \sigma \_{1}(3)\times \sigma \_{1}(7)=1+2+3+6+7+14+21+42} ). Esta última coñécese como función divisor e cada subíndice de sigma representa a potencia dos divisores cos que se fai a suma, por iso {\displaystyle d(n)=\sigma \_{0}(n)}, pois os divisores elevados a cero é igual que contalos.

Se a factorización de {\displaystyle n} está dada polos primos

{\displaystyle n=p\_{1}^{\nu \_{1}}\,p\_{2}^{\nu \_{2}}\cdots p\_{k}^{\nu \_{k}}}
daquela o número de divisores positivos de {\displaystyle n} é

{\displaystyle d(n)=(\nu \_{1}+1)(\nu \_{2}+1)\cdots (\nu \_{k}+1),}
e cada un dos divisores ten a forma

{\displaystyle p\_{1}^{\mu \_{1}}\,p\_{2}^{\mu \_{2}}\cdots p\_{k}^{\mu \_{k}}}
onde {\displaystyle 0\leq \mu \_{i}\leq \nu \_{i}} para cada {\displaystyle 1\leq i\leq k.}

Para cada número natural {\displaystyle n,} temos {\displaystyle d(n)<2{\sqrt {n}}.}

En álxebra abstracta
--------------------

### Teoría de aneis

*Artigo principal**:* Divisibilidade (anel).
### Retícula de división

*Artigo principal**:* Retícula de división.
Nas definicións que permiten que o divisor sexa 0, a relación de divisibilidade converte o conxunto {\displaystyle \mathbb {N} } de enteiros non negativos nun conxunto parcialmente ordenado que é unha retícula distributiva completa. O elemento maior desta retícula é 0 e o menor é 1. A operación de encontro **∧** ven dada polo máximo común divisor e a operación de unión **∨** polo mínimo común múltiplo. Esta retícula é isomorfa ao dual da retícula de subgrupos do grupo cíclico infinito Z.

Notas
-----

1. ↑  {\displaystyle \gcd } refírese ao máximo común divisor, siglas en inglés.

1. ↑  Tanton 2005, p. 185.
2. ↑  Hardy & Wright 1960, p. 1.
3. ↑  Niven, Zuckerman & Montgomery 1991, p. 4.
4. ↑  "FoCaLiZe and Dedukti to the Rescue for Proof Interoperability by Raphael Cauderlier and Catherine Dubois" (PDF).

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Durbin, John R. (2009). *Modern Algebra: An Introduction* (6th ed.). New York: Wiley. ISBN 978-0470-38443-5.
* Guy, Richard K. (2004). *Unsolved Problems in Number Theory* (3rd ed.). Springer Verlag. ISBN 0-387-20860-7. ; section B
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1960). *An Introduction to the Theory of Numbers* (4th ed.). Oxford University Press.
* Herstein, I. N. (1986). *Abstract Algebra*. New York: Macmillan Publishing Company. ISBN 0-02-353820-1.
* Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). *An Introduction to the Theory of Numbers* (5th ed.). John Wiley & Sons. ISBN 0-471-62546-9.
* Øystein Ore, Number Theory and its History, McGraw–Hill, NY, 1944 (and Dover reprints).
* Sims, Charles C. (1984). *Abstract Algebra: A Computational Approach*. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-09846-9.
* Tanton, James (2005). *Encyclopedia of mathematics*. New York: Facts on File. ISBN 0-8160-5124-0. OCLC 56057904.

### Outros artigos

* Funcións aritméticas
* Algoritmo euclidiano
* Fracción (matemáticas)
* Factorización de enteiros
* Táboa de factores primos – unha táboa de factores primos de 1 a 1000
* Divisor unitario
* Regras de Divisibilidade

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q50708
* EBID: ID
* MAG: 81785779
* PSH: 7178

 |