En matemáticas unha **aplicación linear** é unha aplicación entre dous espazos vectoriais, que preserva as operacións de adición de vectores e multiplicación por un escalar.

En álxebra abstracta e en álxebra linear unha aplicación linear é un homomorfismo entre espazos vectoriais ou na linguaxe da teoría de categorías un morfismo sobre a categoría dos espazos vectoriais sobre un corpo dado.

Definición
----------

Denomínase aplicación linear, función linear ou transformación linear a aplicación en que os seus dominio e codominio sexan espazos vectoriais que cumpra a seguinte definición:

Sexan V e W espazos vectoriais sobre o mesmo corpo K. Unha aplicación T de V en W é unha transformación linear se para todo par de vectores {\displaystyle u,v\in V} e para todo escalar {\displaystyle k\in K}, se satisfai que:
1. {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}
2. {\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}.

Exemplos
--------

1. A aplicación {\displaystyle B:\mathbb {C} \to \mathbb {C} } que envía {\displaystyle \alpha } en {\displaystyle {\bar {\alpha }}} (o seu conxugado) é unha transformación linear se se considera {\displaystyle \mathbb {C} } como un {\displaystyle \mathbb {R} }-espazo vectorial. Non obstante, non o é se se pensa como {\displaystyle \mathbb {C} }-espazo vectorial, xa que {\displaystyle B(i)=-i\neq iB(1)=i}.
2. Dado un espazo vectorial calquera, pódese definir a función identidade {\displaystyle T:V\rightarrow V\quad /\quad T(x)=x,} {\displaystyle \forall x\in V}, que resulta unha transformación linear.
3. As homotecias: {\displaystyle T:\mathbb {K} ^{n}\rightarrow \mathbb {K} ^{n}\quad /\quad T(x)=kx} con {\displaystyle k\in \mathbb {K} }. Se *k* > 1 denomínanse dilatacións e se *k* < 1 denomínanse contraccións.
4. Dada unha matriz {\displaystyle A\in M\_{n\times m}(K)}, a función {\displaystyle L\_{A}:K^{m}\rightarrow K^{n}} definida como {\displaystyle L\_{A}(x)=Ax} é unha transformación linear. Grazas á matriz asociada, pódese concluír que calquera transformación linear definida entre espazos vectoriais de dimensión finita pode verse como multiplicar por unha matriz.
5. Sexa V o conxunto de funcións continuas en {\mathbb {R}} e defínase {\displaystyle \phi :V\rightarrow V} mediante {\displaystyle \phi (f)(t)=\int \_{0}^{t}f(x)\,dx}, ocorre que:

{\displaystyle \int \_{0}^{t}(f(x)+g(x))\,dx=\int \_{0}^{t}f(x)\,dx+\int \_{0}^{t}g(x)\,dx}
e
{\displaystyle \int \_{0}^{t}cf(x)\,dx=c\int \_{0}^{t}f(x)\,dx} para {\displaystyle c\in \mathbb {R} }
Polo tanto, cúmprese que {\displaystyle \phi (f+g)=\phi (f)+\phi (g)} e {\displaystyle \phi (cf)=c\,\phi (f)} para todo f e {\displaystyle g} en V e todo {\displaystyle c\in \mathbb {R} }, así que \phi é unha aplicación linear de V en V.

Propiedades das transformacións lineares
----------------------------------------

Sexan {\displaystyle V\_{}^{}} e {\displaystyle W\_{}^{}} espazos vectoriais sobre {\displaystyle K\_{}^{}} (onde {\displaystyle K\_{}^{}} representa o corpo), satisfaise que:
Se {\displaystyle T:V\rightarrow W} é linear, defínese o núcleo (ker) e a imaxe (Im) de {\displaystyle T\_{}^{}} como:

> 
> 
>   
> 
> 
> 
> {\displaystyle \operatorname {ker} (T)=\{\,v\in V:T(v)=0\_{W}\,\}}
> {\displaystyle \operatorname {Im} (T)=\{\,w\in W:\exists v\in V:T(v)=w\,\}}
> 

É dicir, que o núcleo dunha transformación linear está formado polo conxunto de todos os vectores do dominio que teñen por imaxe o vector nulo do codominio.

O núcleo de toda transformación linear é un subespazo vectorial do dominio:

1. {\displaystyle 0\_{V}\in \operatorname {ker} (T)} dado que {\displaystyle T(0\_{V})=0\_{W}} (para probar isto, obsérvese que {\displaystyle T(0\_{V})=T(0\_{V}+0\_{V})=T(0\_{V})+T(0\_{V})}).
2. Dados {\displaystyle u,v\in \operatorname {ker} (T):T(u+v)=T(u)+T(v)=0\_{W}+0\_{W}=0\_{W}\Rightarrow u+v\in \operatorname {ker} (T)}
3. Dados {\displaystyle u\in \operatorname {ker} (T)\land k\in \Re :T(ku)=kT(u)\land T(ku)=k0\_{W}=0\_{W}\Rightarrow ku\in \operatorname {ker} (T)}

Denomínase nulidade á dimensión do núcleo. {\displaystyle \operatorname {null} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {ker} (T))}

A imaxe dunha transformación linear está formada polo conxunto de todos os vectores do codominio que son imaxe de polo menos algún vector do dominio.

* A imaxe de toda transformación linear é un subespazo do codominio.
* O rango dunha transformación linear é a dimensión da imaxe.

{\displaystyle \operatorname {ran} (T)=\operatorname {dim} (\operatorname {Im} (T))}

Obtención de novas transformacións lineares a partir doutras dadas
------------------------------------------------------------------

Se *f*1:V→W e *f*2:V→W son lineares, entón tamén o é a súa suma *f*1+*f*2 (definida como (*f*1+*f*2)(*x*)=*f*1(*x*)+*f*2(*x*)).

Se *f* :V→W é linear e *a* é un elemento do corpo *K*, entón a función *af*, definida como (*af*)(*x*) = *a*(*f*(*x*)), tamén é linear.

Grazas a estas dúas propiedades, e a que a función que envía todo ao elemento nulo é unha aplicación linear, é que o conxunto de transformacións lineares *f*:V→W forma un subespazo das funcións de V en *W*. A este subespazo denótase *L*(W,W) ou Hom(W,W). A dimensión de *L*(V,W) é igual ao produto das dimensións de V e W.

Se *f*:V→W e *g*:W→Z son lineares entón a súa composición *g*∘*f*:V→Z tamén o é.

Dado un espazo vectorial V, o espazo vectorial *L*(V,V), que adoita denotarse End(V), forma unha álxebra asociativa sobre o corpo base, onde a multiplicación é a composición e a unidade é a transformación identidade.

Se *f*:V→W é unha transformación linear bixectiva, entón a súa inversa tamén é transformación linear.

Teoremas básicos das transformacións
------------------------------------

* Sexa *B* = {*v**i*: *i* ∈ *J*} base de V e *C* = {*w**i*: *i* ∈ *J*} unha colección de vectores de W non necesariamente distintos, entón existe unha única transformación linear **T: V → W** que satisfai:

{\displaystyle T(v\_{i})=w\_{i},\ \forall i\in J}
* Sexa {\displaystyle T:V\rightarrow W} unha transformación linear.

entón {\displaystyle \dim(V)=\dim(N(T))+\dim(\operatorname {Im} (T))}
Como corolario básico deste teorema, obtense que unha transformación linear dun espazo vectorial de dimensión finita nel mesmo é un isomorfismo se e só se é un epimorfismo se e só se é un monomorfismo.

Clasificación das transformacións lineares
------------------------------------------

* Funcional linear: So as transformación lineares {\displaystyle T:V\rightarrow \mathbb {K} } (onde {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo base de V).
* Monomorfismo: Se {\displaystyle T:V\rightarrow W} é inxectiva; equivalentemente, se o único elemento do núcleo é o vector nulo. {\displaystyle \operatorname {ker} (T)={0\_{V}}}
* Epimorfismo: Se {\displaystyle T:V\rightarrow W} é sobrexectiva.
* Isomorfismo: Se {\displaystyle T:V\rightarrow W} é bixectiva (inxectiva e sobrexectiva)
* Endomorfismo: Transformación linear en que dominio e codominio coinciden.
* Automorfismo: Endomorfismo bixectivo.

Matriz asociada a unha transformación linear
--------------------------------------------

Se V e W teñen dimensión finita e se teñen escollidas bases en cada un dos espazos, entón toda transformación linear de V en W pode representarse por unha matriz. Reciprocamente, toda matriz representa unha transformación linear.

Sexan T:V→W unha transformación linear, *B*={**v**1, ... **v***n*} unha base de V, *C*={**w**1, ... **w***m*} base de W. Para calcular a matriz asociada a T bas bases *B* e *C* cómpre calcular T(**v**i) para cada *i*=1,...*n* e escribilo como combinación linear da base *C*:
T(**v**1)=*a**11***w**1+ ...+a*m1* **w***m*, ... T(**v**n)=*a**1n***w**1+ ...+a*mn* **w***m*.

A matriz asociada denótase C[T]B e é:

{\displaystyle \_{C}[T]\_{B}={\begin{pmatrix}a\_{11}&...&a\_{1n}\\...&...&...\\a\_{m1}&...&a\_{mn}\end{pmatrix}}} .
Como un vector de W se escribe de forma única como combinación linear de elementos de *C*, a matriz é única.

Como dada calquera escolla de *u1*, ... *un* existe e é única a transformación linear que envía *v*i en *u*i, entón, dada *A* calquera matriz *m*×*n*, existe e é única a transformación linear T:V→W tal que *C* [*T*] *B*=*A*.

Ademais, as matrices asociadas cumpren que *C* [*aT*+*bS*] *B* = *a* *C* [*T*] *B* + *b* *C* [*S*] *B* para calquera *a*,*b*∈ℝ, *T*,*S*∈ *L*(*V*,*W*). Por isto, a aplicación que fai corresponder cada transformación linear coa súa matriz asociada é un isomorfismo entre *L*(V,W) e *M**n*×*mC* (*K*).

De restrinxirse ao caso V=W, *C*=*B*, tense ademais que esta aplicación é un isomorfismo entre álxebras.

Notas
-----

1. ↑  "Álgebra lineal y matrices" (1989) Herstein y Winter ISBN 968-7270-52-7; pág. 331

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Halmos, Paul R. (1974). *Finite-Dimensional Vector Spaces*. Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-90093-4.
* Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2013). *Matrix Analysis* (Second ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-83940-2.
* Lang, Serge (1987). *Linear Algebra* (Third ed.). Nova York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96412-6.
* Rudin, Walter (1976). *Principles of Mathematical Analysis* (Third ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-085613-3.
* Rudin, Walter (1991). *Functional Analysis* (Second ed.). McGraw-Hill. ISBN 0-07-054236-8.

### Outros artigos

* Álxebra linear
* Teorema rango-nulidade
* Lista de funcións matemáticas
* Operador linear limitado

### Ligazóns externas

* Universidad Politécnica de Madrid: Aplicaciones lineales
* Universidad Politécnica de Catalunya: Aplicaciones Lineales
* Matemáticas para todos: Aplicaciones Lineales
* Universidad de Cantabria: Aplicaciones lineales

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q207643
* BNCF: 45394
* BNF: 11944511p
* GND: 4167700-6
* JSTOR: linear-transformations
* LCCN: sh85077178
* MAG: 49766605
* PSH: 7276

 |