Un corte de Dedekind separa o conxunto de números racionais en dous subconxuntos: aqueles que teñen un cadrado menor que 2 e os que teñen cadrado maior que 2. Este corte pode identificarse co número irracional {\displaystyle {\sqrt {2}}}. O conxunto de cortes de Dedekind pódese usar para construír o conxunto de números reais a partir dos números racionais.
En matemáticas, un **corte de Dedekind** dun conxunto totalmente ordenado {\displaystyle E} é un par ({\displaystyle A}, {\displaystyle B}) de subconxuntos de {\displaystyle E}, que forman unha partición de {\displaystyle E}, e onde todos os elementos de {\displaystyle A} son menores que calquera elemento de {\displaystyle B}.

De certa maneira, este corte conceptualiza algo que estaría "entre" {\displaystyle A} e {\displaystyle B}, pero que non ten por que ser un elemento de {\displaystyle E}.

Richard Dedekind introduciu os cortes de Dedekind como un medio para construír o conxunto dos números reais (presentando formalmente o que hai "entre" números racionais).

Definición
----------

Un **corte de Dedekind** dun conxunto totalmente ordenado {\displaystyle E} defínese por un par ({\displaystyle A}, {\displaystyle B}), onde {\displaystyle A\subset E} e {\displaystyle B\subset E}, tal que: 

1. {\displaystyle A\neq \emptyset ,B\neq \emptyset }
2. {\displaystyle A\cap B=\emptyset }
3. {\displaystyle A\cup B=E}
4. {\displaystyle \forall x\in A,\forall y\in B,x<y}

Os puntos 1, 2 e 3 din que {\displaystyle A} e {\displaystyle B} constitúen unha partición de {\displaystyle E}. Polo tanto, a definición de corte determina completamente unha partición.

O punto 4 establece a partición dos elementos de {\displaystyle E} nestas dúas partes. Pode demostrarse que este punto equivale a:

* {\displaystyle \forall x\in E,(a\in A\land x\leq a\Rightarrow x\in A)} e
* {\displaystyle \forall y\in E,(b\in B\land y\geq b\Rightarrow y\in B)}.

Exemplos
--------

### Construción dos números reais

Se {\displaystyle E=\mathbb {Q} }, o conxunto de números racionais, pode considerarse o corte seguinte:

{\displaystyle A=\{a\in \mathbb {Q} |a^{2}<2\lor a\leq 0\}}
{\displaystyle B=\{b\in \mathbb {Q} |b^{2}\geq 2\land b>0\}}
Este corte permite representar o número irracional {\displaystyle {\sqrt {2}}} que aquí se define tanto polo conxunto de números racionais que teñen cadrado máis pequeno que 2 como polo dos que teñen cadrado maior que 2.

A consideración de todos os cortes de Dedekind sobre {\displaystyle \mathbb {Q} } permite unha construción do conxunto dos números reais {\displaystyle \mathbb {R} }.

Orde dos cortes de Dedekind
---------------------------

Sexan {\displaystyle (A,B)} e {\displaystyle (C,D)} dous cortes de Dedekind en {\displaystyle E}. Defínese unha orde no conxunto de cortes de Dedekind de {\displaystyle E} establecendo:

{\displaystyle (A,B)<(C,D)\Leftrightarrow A\subset C}.
Pódese demostrar que o conxunto dos cortes de Dedekind {\displaystyle E} provisto desta orde posúe a propiedade do elemento principal, aínda que {\displaystyle E} non a posúa. Somerxendo {\displaystyle E} neste conxunto, esténdese a un conxunto do cal todo subconxunto limitado superiormente posúe un supremo.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Número real
* Construción de números reais
* Sucesión de Cauchy

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q851333
* BRE: 1944135
* EBID: ID
* MAG: 76449584

 |