En álxebra linear, a **matriz identidade** de tamaño {\displaystyle n} é a matriz cadrada {\displaystyle n\times n} con todo uns na diagonal principal e ceros no resto de posicións. Ten propiedades únicas, por exemplo, cando a matriz de identidade representa unha transformación xeométrica, o obxecto permanece inalterado pola transformación. Noutros contextos, é análogo a multiplicar polo número 1.

Terminoloxía e notación
-----------------------

A matriz identidade adoita denotarse por {\displaystyle I\_{n}}, ou simplemente por {\displaystyle I} se o tamaño non é importante ou pode determinarse polo contexto. 



I

1

=

[

1

]

,
 

I

2

=

[

1

0

0

1

]

,
 

I

3

=

[

1

0

0

0

1

0

0

0

1

]

,
 
…
,
 

I

n

=

[

1

0

0

⋯

0

0

1

0

⋯

0

0

0

1

⋯

0

⋮

⋮

⋮

⋱

⋮

0

0

0

⋯

1

]

.

{\displaystyle I\_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I\_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I\_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I\_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}

{\displaystyle I_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \dots ,\ I_{n}={\begin{bmatrix}1&0&0&\cdots &0\\0&1&0&\cdots &0\\0&0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}.}Nalgúns campos, como a teoría de grupos ou a mecánica cuántica, a matriz de identidade denótase ás veces por un número 1 en letra grosa, {\displaystyle \mathbf {1} }, ou chámase "id" (abreviatura de identidade). Con menos frecuencia, algúns libros de matemáticas usan {\displaystyle U} ou {\displaystyle E} para representar a matriz de identidade, que significa "matriz unitaria"  e a palabra alemá Einheitsmatrix respectivamente. 

Outra nomenclatura pode ser



I

n

=
diag
⁡
(
1
,
1
,
…
,
1
)
.

{\displaystyle I\_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}

{\displaystyle I_{n}=\operatorname {diag} (1,1,\dots ,1).}Ou coa notación do delta de Kronecker : 


(

I

n

)

i
j

=

δ

i
j

.

{\displaystyle (I\_{n})\_{ij}=\delta \_{ij}.}

{\displaystyle (I_{n})_{ij}=\delta _{ij}.}

Propiedades
-----------

Cando {\displaystyle A} é unha matriz de tamaño {\displaystyle m\times n} , temos que a multiplicación matricial pola matriz identidade sería



I

m

A
=
A

I

n

=
A
.

{\displaystyle I\_{m}A=AI\_{n}=A.}

{\displaystyle I_{m}A=AI_{n}=A.}En particular, a matriz de identidade serve como a identidade multiplicativa do anel matricial de todas as matrices {\displaystyle n\times n}, e como elemento de identidade do grupo lineal xeral {\displaystyle GL(n)}, que consta de toda matriz invertible {\displaystyle n\times n} baixo a operación de multiplicación matricial. Neste grupo, dúas matrices cadradas teñen a matriz identidade como produto exactamente cando son inversas entre si.

O determinante da matriz identidade é 1, e a súa traza é {\displaystyle n}.

A matriz identidade é a única matriz idempotente con determinante distinto de cero. É dicir, é a única matriz tal que:

1. Cando se multiplica por si mesma, o resultado é ela mesmo
2. Todas as súas filas e columnas son linealmente independentes.

A raíz cadrada principal dunha matriz de identidade é ela mesma, e esta é a súa única raíz cadrada definida positivamente. No entanto, cada matriz de identidade con polo menos dúas filas e columnas ten unha infinidade de raíces cadradas simétricas. 

O rango dunha matriz de identidade {\displaystyle I\_{n}} é igual ao tamaño {\displaystyle n}, é dicir:


rank
⁡
(

I

n

)
=
n
.

{\displaystyle \operatorname {rank} (I\_{n})=n.}

{\displaystyle \operatorname {rank} (I_{n})=n.}

Véxase tamén
------------

* Matriz binaria (matriz cero-uno)
* Matriz elemental
* Matriz de uns
* Matriz de Pauli (a matriz de identidade é a matriz de Pauli cero)
* Matriz unitaria
* Matriz cero

Notas
-----

1. ↑  *Khan Academy* (en inglés) .  Falta o `|title=` (Axuda)
2. ↑ . Prentice-Hall International Series in Applied Mathematics. 1963. p. 91 .  Falta o `|title=` (Axuda)
3. 1 2  *mathworld.wolfram.com* (en inglés) .  Falta o `|title=` (Axuda)
4. ↑   **87**: 499–500. JSTOR 3621289. doi:10.1017/S0025557200173723.  Falta o `|title=` (Axuda); `|data-acceso=` require `|url=` (Axuda)