Na teoría dos números, **a densidade natural**, tamén coñecida como **densidade asintótica** ou **densidade aritmética**, é un método para medir o "grande" que é un subconxunto do conxunto de números naturais. Depende principalmente da probabilidade de atopar membros do subconxunto desexado ao pasar polo intervalo [1, n] a medida que n aumenta.

Intuitivamente, vemos que hai máis números enteiros positivos que cadrados perfectos. No entanto, o conxunto de enteiros positivos non é de feito maior que o conxunto de cadrados perfectos: ambos os dous conxuntos son infinitos e contables e, polo tanto, pódense poñer en correspondencia un a un. Con todo, se un pasa polos números naturais, os cadrados fanse cada vez máis escasos. 

Se seleccionamos un número enteiro aleatoriamente do intervalo [1, n], entón a probabilidade de que pertenza a A é a relación entre o número de elementos de A en [1, n] e o número total de elementos en [1, n]. Se esta probabilidade tende a algún límite mentres n tende ao infinito, entón este límite denomínase densidade asintótica de A. Esta noción pódese entender como unha especie de probabilidade de escoller un número do conxunto A. De feito, a densidade asintótica (así como outros tipos de densidades) estúdase na teoría probabilística dos números .

Definición
----------

Un subconxunto A de enteiros positivos ten densidade natural α se a proporción de elementos de A entre todos os números naturais de 1 a n converxe a α mentres n tende ao infinito.

Máis explicitamente, se se define para calquera número natural n a función de contaxe a(n) como o número de elementos de A menor ou igual a n, entón a densidade natural de A sendo α significa exactamente que 

a(n)/n → α as n → ∞.


d
\_

(
A
)
=

lim inf

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}Da definición despréndese que se un conxunto A ten densidade natural α entón 0 ≤ α ≤ 1.

### Densidade asintótica superior e inferior

Define a *densidade asintótica superior* {\displaystyle {\overline {d}}(A)} de {\displaystyle A} (tamén chamada "densidade superior") por


d
\_

(
A
)
=

lim inf

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}Do mesmo xeito, define a *densidade asintótica máis baixa* {\displaystyle {\underline {d}}(A)} de {\displaystyle A} (tamén chamada "densidade inferior") por


d
(
A
)
=

lim

n
→
∞


a
(
n
)

n

{\displaystyle d(A)=\lim \_{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}

{\displaystyle d(A)=\lim _{n\rightarrow \infty }{\frac {a(n)}{n}}}Pódese dicir que {\displaystyle A} ten densidade asintótica {\displaystyle d(A)} se {\displaystyle {\underline {d}}(A)={\overline {d}}(A)}, nese caso {\displaystyle d(A)} é igual a este valor común se existe este límite.

Propiedades e exemplos
----------------------

* Para calquera conxunto finito *F* de enteiros positivos, *d* (*F*) = 0.

* Se *d* (*A*) existe para algún conxunto *A* e *A* c denota o seu conxunto complemento con respecto a {\displaystyle \mathbb {N} }, entón *d* (*A* c) = 1 − *d* ( *A* ).
	+ Corolario: Se {\displaystyle F\subset \mathbb {N} } é finito (incluíndo o caso {\displaystyle F=\emptyset } ), {\displaystyle d(\mathbb {N} \setminus F)=1.}

* Se {\displaystyle d(A),d(B),} e {\displaystyle d(A\cup B)} existen, daquela

max
{
d
(
A
)
,
d
(
B
)
}
≤
d
(
A
∪
B
)
≤
min
{
d
(
A
)
+
d
(
B
)
,
1
}
.

{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}

{\displaystyle \max\{d(A),d(B)\}\leq d(A\cup B)\leq \min\{d(A)+d(B),1\}.}

* Se {\displaystyle A=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}} é o conxunto de todos os cadrados, entón *d* (*A*) = 0.

* Se {\displaystyle A=\{2n:n\in \mathbb {N} \}} é o conxunto de todos os números pares, entón *d* (*A*) = 0,5. Do mesmo xeito, para calquera progresión aritmética {\displaystyle A=\{an+b:n\in \mathbb {N} \}} obtemos {\displaystyle d(A)={\tfrac {1}{a}}.}

* Para o conxunto *P* de todos os primos obtemos do teorema dos números primos que *d* (*P*) = 0.

* O conxunto de todos os enteiros libres de cadrados ten densidade {\displaystyle {\tfrac {6}{\pi ^{2}}}.} De forma máis xeral, o conxunto de todos *os* números libres dunha potencia *n* para calquera *n* natural, ten densidade {\displaystyle {\tfrac {1}{\zeta (n)}},} onde {\displaystyle \zeta (n)} é a función zeta de Riemann .

* O conxunto de números abundantes ten unha densidade distinta de cero.  Marc Deléglise demostrou en 1998 que a densidade do conxunto de números abundantes está entre 0,2474 e 0,2480.

* O conxunto

{\displaystyle A=\bigcup \_{n=0}^{\infty }\left\{2^{2n},\ldots ,2^{2n+1}-1\right\}}
de números cuxa expansión binaria contén un número impar de díxitos é un exemplo dun conxunto que non ten unha densidade asintótica, xa que a densidade superior deste conxunto é
{\displaystyle {\overline {d}}(A)=\lim \_{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}}=\lim \_{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)}}={\frac {2}{3}},}
mentres que a súa menor densidade é
{\displaystyle {\underline {d}}(A)=\lim \_{m\to \infty }{\frac {1+2^{2}+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}}=\lim \_{m\to \infty }{\frac {2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)}}={\frac {1}{3}}.}
* Considera unha secuencia equidistribuída {\displaystyle \{\alpha \_{n}\}\_{n\in \mathbb {N} }} en {\displaystyle [0,1]} e define unha familia monótona {\displaystyle \{A\_{x}\}\_{x\in [0,1]}} de conxuntos:

{\displaystyle A\_{x}:=\{n\in \mathbb {N} :\alpha \_{n}<x\}.}
Daquela, por definición, {\displaystyle d(A\_{x})=x} para todos os {\displaystyle x} .
* Se *S* é un conxunto de densidades superiores positivas, entón o teorema de Szemerédi afirma que *S* contén progresións aritméticas finitas arbitrariamente grandes, e o teorema de Furstenberg–Sárközy afirma que algúns dous membros de *S* difiren por un número cadrado.

Notas
-----

1. ↑  Tenenbaum (1995) p.261
2. ↑  Nathanson (2000) pp.256–257
3. ↑  *Divisors*. Cambridge Tracts in Mathematics **90**. 1988. p. 95. ISBN 978-0-521-34056-4. Zbl 0653.10001.
4. ↑  ""Bounds for the density of abundant integers"". 1998. pp. 137–143. ISSN 1058-6458. MR 1677091. Zbl 0923.11127. doi:10.1080/10586458.1998.10504363.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Nathanson, Melvyn B. (2000). *Elementary Methods in Number Theory*. Graduate Texts in Mathematics **195**. Springer-Verlag. ISBN 978-0387989129. Zbl 0953.11002.
* Niven, Ivan (1951). "The asymptotic density of sequences". *Bulletin of the American Mathematical Society* **57** (6). pp. 420–434. MR 0044561. Zbl 0044.03603. doi:10.1090/s0002-9904-1951-09543-9.
* Steuding, Jörn (2002). "Probabilistic number theory" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o December 22, 2011. Consultado o 2014-11-16.
* Tenenbaum, Gérald (1995). *Introduction to analytic and probabilistic number theory*. Cambridge Studies in Advanced Mathematics **46**. Cambridge University Press. Zbl 0831.11001.

### Outros artigos

* Densidade de Dirichlet
* Conxectura de Erdős sobre progresións aritméticas

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q752723
* MAG: 156491182

 |