En matemáticas, unha **matriz** é un conxunto de números ordenados en filas e columnas de forma rectangular, na que se pode definir un conxunto de operacións. As matrices teñen múltiples aplicacións, como na resolución de sistemas de ecuacións lineais, e son fundamentais na álxebra lineal.

Definición
----------

| Liñas | Matriz |
| --- | --- |
| Filas | matiz 4x4‎ |
| Columnas | ‎ |

Unha **matriz** en *R* é unha colección dobremente indexada de elementos dun anel *R*, é dicir, que os elementos disporanse en *filas* e *columnas* e que os elementos teñen definidos operacións semellantes a suma e ao produto. A meirande parte deste artigo referirase as matrices de elementos nun corpo *K*, en particular, ás *matrices reais* ou *complexas*, é dicir, matrices cuxos elementos son números reais ou complexos, respectivamente. Un exemplo dunha matriz sería:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{pmatrix}}}
Os obxectos matemáticos que conforman a matriz son os seus *elementos*. As liñas horizontais chámanse *filas*, e as verticais, *columnas*.

### Orde

Unha *matriz de orde m×n* ou, xeralmente, unha *matriz m×n* é unha matriz con *m* filas e *n* columnas, e *m* e *n* son as dimensións da matriz. Por exemplo, a matriz **A** anterior é unha matriz 2×3. A matriz 1×*n* será unha matriz fila, e a matriz *n*×1 será unha matriz columna. 

Para referirmos ao conxunto de matrices de orde *m×n*, usaremos {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{m\times n}({\mathcal {R}})}, onde {\displaystyle {\mathcal {R}}} é o anel ao que pertencen os elementos. No caso do conxunto de matrices cadradas e *m=n*, usaremos a notación de {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{n}({\mathcal {R}})}

Notación
--------

As matrices adoitan denotarse con letras maiúsculas, en tanto que os seus elementos son denotados por letras minúsculas con dous índices. Aquí, usaremos a notación de dobre subindexado para falar dos elementos dunha matriz **A**: o elemento de **A** na fila *i* e na columna *j* denótase por *a*ij. Normalmente, unha matriz escribirase da seguinte forma:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a\_{ij}\right)}
Deste xeito, se:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}4&7&1\\-1&0&3\end{pmatrix}}}
entón *a*23 = 1 e *a*11 = 4. Ás veces, utilizarase *Aij* para representar *aij* e a notación de (*aij*) para referirse á matriz *A* cando a súa orde estea clara polo contexto. Hai que ter en conta que existen outras notación, nas que se escribirá {\displaystyle a\_{j}^{i}}para indicar o mesmo elemento. Ás veces, para traballar comodamente coas columnas dunha matriz, escribiremos {\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{1},\ldots ,a\_{n}\end{pmatrix}}}onde {\displaystyle a\_{i}}é a columna i-ésima.

Diremos que dúas matrices {\displaystyle \mathbf {A} } e {\displaystyle \mathbf {B} } son iguais cando teñen a mesma orde *m×n* e todos os elementos correspondentes son iguais, é dicir, {\displaystyle a\_{ij}=b\_{ij},\,1\leq m,\,1\leq n}.

No estudo das matrices, adoitase chamar *escalar* aos elementos do anel, é dicir, os escalares serán os números reais se o noso anel son os reais.

Operacións de matrices
----------------------

### Multiplicación por un escalar

A multiplicación é unha das operacións máis sinxelas que poden ser feitas con matrices. Para multiplicar un número calquera por unha matriz *m*×*n* {\displaystyle \mathbf {A} }, basta multiplicar cada elemento de {\displaystyle \mathbf {A} } por {\displaystyle k}. Así, a matriz resultante {\displaystyle \mathbf {B} } será tamén *m*×*n* e {\displaystyle b\_{ij}=k\cdot a\_{ij}}. Con iso, pódese pensar tamén na noción de dividir unha matriz por un número: basta multiplicala polo inverso dese número. Mais esa noción pode ser perigosa: en canto a multiplicación entre un número e unha matriz pode ser dita "conmutativa", o mesmo non vale para a división, pois non se pode dividir un número por unha matriz.

Por exemplo:

{\displaystyle 2{\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\times 1&2\times 8&2\times -3\\2\times 4&2\times -2&2\times 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}}
### Adición de matrices

Se {\displaystyle \mathbf {A} }e {\displaystyle \mathbf {B} }son dúas matrices da mesma orde *m*×*n*, entón a **suma** {\displaystyle \mathbf {A+B} } é a matriz de orde *m*×*n* que se obtén ao sumar os elementos de {\displaystyle \mathbf {A} } cos elementos de {\displaystyle \mathbf {B} } que lle corresponden, é dicir, dadas as matrices {\displaystyle \mathbf {A} }e de mesma orde, {\displaystyle \mathbf {A} =(a\_{ij})} e {\displaystyle \mathbf {B} =(b\_{ij})}, entón a suma {\displaystyle \mathbf {A+B} =(a\_{ij}+b\_{ij})}.

Por exemplo:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\\2&1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&2+5\\1+7&0+5&0+0\\1+2&2+1&2+1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&7\\8&5&0\\3&3&3\end{pmatrix}}}.
A matriz {\displaystyle (-1)\mathbf {A} } escríbese {\displaystyle -\mathbf {A} }, e entón podemos definir a diferenza de dúas matrices: dadas as matrices {\displaystyle A}e {\displaystyle B}de mesma orde, {\displaystyle \mathbf {A} =(a\_{ij})} e {\displaystyle \mathbf {B} =(b\_{ij})}, entón a diferenza {\displaystyle \mathbf {A-B} =\mathbf {A+(-B)} =(a\_{ij}-b\_{ij})}.

### Transposición

Se {\displaystyle \mathbf {A} }é unha matriz de orde *m*×*n*, entón a matriz trasposta de {\displaystyle \mathbf {A} } é a matriz *n*×*m* {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}que se forma intercambiando as filas e as columnas de {\displaystyle \mathbf {A} }, isto é, {\displaystyle (\mathbf {A} \_{ij})^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} \_{ji}}.

Por exemplo:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{pmatrix}1&4\\8&-2\\-3&5\end{pmatrix}}}
### Produto de matrices

O produto de dúas matrices é só posíbel se o número de columnas da matriz da esquerda é o mesmo número de liñas da matriz da dereita. Se {\displaystyle \mathbf {A} }é unha matriz *m*×*n* e {\displaystyle \mathbf {B} } é unha matriz *n*×*p*, entón o produto {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {AB} } é unha matriz *m*×*p* é {\displaystyle c\_{ij}=a\_{i1}b\_{1j}+a\_{i2}b\_{2j}+\ldots +a\_{in}b\_{nj}}.

Por exemplo:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{pmatrix}}\times {\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}(1\times 3+0\times 2+2\times 1)&(1\times 1+0\times 1+2\times 0)\\(-1\times 3+3\times 2+1\times 1)&(-1\times 1+3\times 1+1\times 0)\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\\\end{pmatrix}}}

Álxebra de matrices
-------------------

### Propiedades da adición de matrices e da multiplicación por escalares

Dadas as matrices {\displaystyle \mathbf {A} }, {\displaystyle \mathbf {B} }, {\displaystyle \mathbf {C} }da mesma orde e {\displaystyle c}, {\displaystyle d}escalares, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. **Conmutabilidade**: {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {B} =\mathbf {B} +\mathbf {A} }
2. **Asociatibidade**: {\displaystyle (\mathbf {A} +\mathbf {B} )+\mathbf {C} =\mathbf {A} +(\mathbf {B} +\mathbf {C} )}
3. **Elemento neutro da suma de matrices**: Para todas as matrices da mesma orde, existe unha matriz {\displaystyle \mathbf {O} }tal que {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {O} =\mathbf {A} }para calquera matriz {\displaystyle \mathbf {A} }
4. **Elemento oposto da suma de matrices**: Para toda matriz {\displaystyle A}existe unha matriz {\displaystyle -\mathbf {A} }tal que{\displaystyle \mathbf {A} +(-\mathbf {A} )=\mathbf {O} }
5. **Distributibidade respecto a suma de matrices**: {\displaystyle c(\mathbf {A} +\mathbf {B} )=c\mathbf {A} +c\mathbf {B} }
6. **Distributibidaderespecto a suma de escalares**:{\displaystyle (c+d)\mathbf {A} =c\mathbf {A} +d\mathbf {A} }
7. {\displaystyle c(d\mathbf {A} )=(cd)\mathbf {A} }
8. {\displaystyle 1\mathbf {A} =\mathbf {A} }onde {\displaystyle 1}é o elemento neutro do produto do anel *R* ao que pertence o escalar.

### Propiedades do produto de matrices

Dadas as matrices {\displaystyle \mathbf {A} }, {\displaystyle \mathbf {B} }, {\displaystyle \mathbf {C} }das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e {\displaystyle k}un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. **Conmutabilidade**: {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C} }
2. **Asociatibidade pola esquerda**: {\displaystyle \mathbf {A} (\mathbf {B+C} )=\mathbf {AB+AC} }
3. **Asociatibidade pola dereita**: {\displaystyle (\mathbf {A+B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC+BC} }
4. {\displaystyle k(\mathbf {AB} )=(k\mathbf {A} )\mathbf {B} =\mathbf {A} (k\mathbf {B} )}
5. Se {\displaystyle \mathbf {A} } té orde *m*×*n*, {\displaystyle \mathbf {I} \_{m}\mathbf {A} =\mathbf {A} =\mathbf {AI} \_{n}}

En xeral, observamos que o produto de matrices dúas matrices {\displaystyle \mathbf {A} } e {\displaystyle \mathbf {B} } é non conmutativo:

* Se as matrices non son cadradas, polo menos un dos dous produtos non estará definido.
* De seren dúas matrices cadradas, os produtos {\displaystyle \mathbf {AB} } e {\displaystyle \mathbf {BA} }estarán definidos, pero non teñen porque coincidir, como no seguinte exemplo:

```
Exemplo: {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&2\\0&4\end{pmatrix}}}  e {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\3&4\end{pmatrix}}} as matrices non conmutan.
```

De coincidiren, {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} } e diremos que as matrices {\displaystyle \mathbf {A} } e {\displaystyle \mathbf {B} } conmutan.

### Propiedades da transposición

Dadas as matrices {\displaystyle \mathbf {A} }, {\displaystyle \mathbf {B} } das ordes axeitadas para que as operacións estean definidas, e {\displaystyle k}un escalar, entón cúmprense as seguintes propiedades:

1. {\displaystyle (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} }
2. {\displaystyle (k\mathbf {A} )^{\mathrm {T} }=k\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}
3. {\displaystyle (\mathbf {A+B} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }+\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }}
4. {\displaystyle (\mathbf {AB} )^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}

Matriz cadrada
--------------

Unha matriz cadrada é unha matriz co mesmo número de filas que de columnas, é dicir, son as matrices de orde *n*x*n* ou, simplemente, de orde *n*. Chamaremos ao conxunto de elementos da forma {\displaystyle a\_{ii}} como diagonal principal.

### Principais tipos

#### Matrices diagonais e triangulares

| Nome | Exemplo con *n*=3 | Definición |
| --- | --- | --- |
| Matriz diagonal | {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&0&0\\0&a\_{22}&0\\0&0&a\_{33}\\\end{pmatrix}}} | {\displaystyle i\neq j\implies a\_{ij}=0} |
| Matriz triangular inferior | {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&0&0\\a\_{21}&a\_{22}&0\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\\\end{pmatrix}}} | {\displaystyle i>j\implies a\_{ij}=0} |
| matriz triangular superior | {\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\0&a\_{22}&a\_{23}\\0&0&a\_{33}\\\end{pmatrix}}} | {\displaystyle i<j\implies a\_{ij}=0} |

Se todos os elementos da matriz {\displaystyle \mathbf {A} } por debaixo da diagonal principal son nulos , {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz triangular superior. Analogamente, se os elementos que están por riba da diagonal principal son cero, entón {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz diagonal inferior. Se todas os elementos que no estean na diagonal principal son nulos, diremos que {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz diagonal.

Se os elementos da diagonal son {\displaystyle \lambda \_{1}\ldots \lambda \_{n}}, defínese {\displaystyle \operatorname {diag} (\lambda \_{1}\ldots \lambda \_{n})} como a matriz diagonal na que {\displaystyle a\_{ii}=\lambda \_{i}}.

#### Matriz identidade

A matriz identidade {\displaystyle \mathbf {I} \_{n}}de orde *n* é a matriz de orde *n*x*n* tal que todos os elementos da diagonal principal son iguais a 1, e o resto de elementos son iguais a 0, como:

{\displaystyle \mathbf {I} \_{1}={\begin{pmatrix}1\end{pmatrix}},\ \mathbf {I} \_{2}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} \_{n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}}
Son un tipo especial de matrices cadradas, que toman o seu nome porque manteñen as matrices despois do produto: {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {I} \_{n}=\mathbf {I} \_{n}\mathbf {A} } para toda matriz {\displaystyle \mathbf {A} }de orde *m*x*n*.

#### Matriz simétrica e antisimétrica

Unha matriz cadrada {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz simétrica se {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}, mais se {\displaystyle \mathbf {A} =-\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}, entón {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz antisimétrica.

Pódense construír matrices destes tipos a partir doutras que non pertence, por exemplo, se {\displaystyle \mathbf {A} }é unha matriz cadrada, {\displaystyle \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}é unha matriz simétrica e {\displaystyle \mathbf {A} -\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}é unha matriz antisimétrica, e para calquera matriz {\displaystyle \mathbf {A} }, {\displaystyle \mathbf {AA} ^{\mathrm {T} }}é unha matriz simétrica.

#### Matriz invertible e matriz inversa

Unha matriz cadrada {\displaystyle \mathbf {A} } de orde *n*, é *invertible* o *non singular* se existe unha matriz {\displaystyle B} tal que {\displaystyle \mathbf {AB} =\mathbf {BA} =\mathbf {I} \_{n}}, onde {\displaystyle \mathbf {I} \_{n}} é a matriz identidade *n*x*n*. Se {\displaystyle \mathbf {B} } existe, entón denotarémola como a matriz inversa de {\displaystyle \mathbf {A} } ou {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}.  A matriz inversa ten as seguintes propiedades:

* Se {\displaystyle \mathbf {C} =\mathbf {AB} }e todas son matrices cadradas e invertibles, entón {\displaystyle \mathbf {C} ^{-1}=\mathbf {B} ^{-1}\mathbf {A} ^{-1}}.
* {\displaystyle (\mathbf {A} ^{-1})^{\mathrm {T} }=(\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })^{-1}}
* Se {\displaystyle \mathbf {A} }é simétrica, entón {\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}}tamén.
* Se existe a matriz inversa, entón esta ha de ser única.

#### Matriz ortogonal

Unha matriz cadrada {\displaystyle \mathbf {A} } é unha matriz ortogonal con elementos reais e que a súa matriz trasposta é igual a súa matriz inversa: {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {A} ^{-1}}. Deste xeito, temos que {\displaystyle \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} =\mathbf {A} \mathbf {A} ^{\mathrm {T} }=\mathbf {I} \_{n}}.

### Operacións principais

#### Traza

A traza, {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )}, dunha matriz cadrada {\displaystyle \mathbf {A} } é a suma dos elementos da súa diagonal, é dicir, {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=\sum \_{i=1}^{n}a\_{ii}}. Un exemplo sería

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{pmatrix}},\ \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}3&-4&3&6\\1&8&-7&5\\-2&0&1&-2\\4&1&5&-9\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A} )=a\_{11}+a\_{22}+a\_{33},\ \operatorname {tr} (\mathbf {B} )=3+8+1-9=3}
Pódese deducir pola definición de produto de matrices que:

{\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {AB} )=\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}b\_{ji}=\operatorname {tr} (\mathbf {BA} )}
Disto conclúese que a traza dun produto de máis de dúas matrices é independente dunha permutación cíclica de matrices, mais isto non se aplica en xeral a permutacións arbitrarias, por exemplo {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {ABC} )=\operatorname {tr} (\mathbf {CAB} )=\operatorname {tr} (\mathbf {BCA} )\neq \operatorname {tr} (\mathbf {BAC} )}. Tamén temos que a traza dunha matriz é ten a mesma traza que a súa trasposta, isto é, {\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {A^{\mathrm {T} }} )=\operatorname {tr} (\mathbf {A} )}.

#### Determinante

O determinante {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {A} )}ou {\displaystyle |\mathbf {A} |}dunha matriz cadrada é a única función matricial que leva ao conxunto {\displaystyle {\mathcal {M}}\_{n}(\mathbb {K} )}á {\displaystyle \mathbb {K} }que cumpre:

1. {\displaystyle \operatorname {det} (\ldots ,b\_{i}+c\_{i},\ldots )=\operatorname {det} (\ldots ,b\_{i},\ldots )+\operatorname {det} (\ldots ,c\_{i},\ldots )}
2. {\displaystyle \operatorname {det} (\ldots ,\lambda a\_{i},\ldots )=\lambda \operatorname {det} (\ldots ,a\_{i},\ldots )}
3. {\displaystyle \operatorname {det} (a\_{1},\ldots ,a\_{i},\ldots ,a\_{j},\ldots ,a\_{n})=-\operatorname {det} (\ldots ,a\_{j},\ldots ,a\_{i},\ldots )}
4. {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {I} \_{n})=1}

Ás propiedades 1 e 2 din que é unha función n-lineal para as columnas e a propiedade 3 di que é alternada para as columnas.

O determinante ten diferentes propiedades, entre as que salientan:

* Unha matriz é invertible se e só se o seu determinante non é cero.
* {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {A} ^{\mathrm {T} })=\operatorname {det} (\mathbf {A} )} , polo que temos as mesmas propiedades para as filas que para as columnas.
* {\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {AB} )=\operatorname {det} (\mathbf {A} )\operatorname {det} (\mathbf {B} )}
* O seu valor absoluto equivale á área (en {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}), ao volume (en {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}) ou ao volume xeneralizado (en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) do cubo que ten por costados aos vectores que corresponden coas columnas da matriz.
* Mediante a regra de Cramer, pódese usar para resolver sistemas de ecuacións lineais.

Ecuacións lineais
-----------------

A álxebra de matrices é interesante para a representación de sistemas de ecuacións lineais. Por exemplo, supoñamos que queremos resolver o seguinte sistema:

{\displaystyle {\begin{aligned}5x\_{1}+10x\_{2}+20x\_{3}&=40\\3x\_{1}-9x\_{2}+27x\_{3}&=-54\\-2x\_{1}+15x\_{2}+10x\_{3}&=4\\\end{aligned}}}
Entón poderemos representalo pola ecuación de matrices {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }, onde

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}5&10&20\\3&-9&27\\-2&15&10\end{pmatrix}},\ \mathbf {x} ={\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\x\_{3}\end{pmatrix}},\ \mathbf {b} ={\begin{pmatrix}40\\-54\\4\end{pmatrix}}}
Como neste caso temos que {\displaystyle \mathbf {A} }é invertible, entón:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {A} ^{-1}\cdot \mathbf {A} \mathbf {x} &=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \\\mathbf {x} &=\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} \\\end{aligned}}}
En xeral, se {\displaystyle \mathbf {A} }é unha matriz *m*x*n*, {\displaystyle \mathbf {x} }é unha matriz columna *n*×1 e {\displaystyle \mathbf {b} }é outra matriz columna *m*×1, entón a ecuación {\displaystyle \mathbf {A} \mathbf {x} =\mathbf {b} }é equivalente ao sistema de ecuacións

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{1,1}x\_{1}+a\_{1,2}x\_{2}+&\cdots +a\_{1,n}x\_{n}=b\_{1}\\&\ \ \vdots \\a\_{m,1}x\_{1}+a\_{m,2}x\_{2}+&\cdots +a\_{m,n}x\_{n}=b\_{m}\end{aligned}}}
Como no caso anterior, se *n* = *m* e {\displaystyle \mathbf {A} }é invertible (as ecuacións son independentes), podemos escribir {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} ^{-1}\mathbf {b} }para resolver o sistema. En calquera outro caso, ou ben o sistema non té solucións ou ben té infinitas.

Descomposición
--------------

*Artigo principal**:* Descomposición de matrices.
Hai diferentes métodos para traballar coas matrices dun xeito máis sinxelo, para o cal unha posibilidade é o uso de técnicas coñecidas como "descomposición matricial" ou "factorización matricial". Debido a que estas transformacións manteñen certas propiedades da matriz orixinal, como o determinante, o rango ou os autovalores, estas propiedades poden ser calculadas a partir da descomposición no canto da matricial orixinal. Deste xeito son utilizadas na análise numérica para realizar certas operacións matriciais de maneira máis eficiente.

Aplicacións
-----------

### Teoría de grafos

En teoría de grafos, usando as matrices pódense representar grafos, atopar caracterizacións e demostrar resultados con técnicas de álxebra lineal. Entre as matrices que se utilizan salientan:

* A **matriz de adxacencia**, que garda a información de que vértices están conectados por unha aresta.
* A **matriz de incidencia**, que almacena en aij un -1 se a aresta j sae do vértice i, 1 se entra e 0 no outros casos.
* A **matriz laplaciana**, que se define como a matriz diferenza entre a matriz de grados e a matriz de adxacencia.
* A **matriz de distancias**, que é a matriz que garda a distancia entre os vértices dun grafo.

Notas
-----

1. ↑  Lang et al. 2002, p. 503.
2. ↑  Rojo et al. 2007, p. 115.
3. ↑  Poole et al. 2011, p. 167.
4. ↑  Blyth & Robertson 1986, p. 86.
5. ↑  Bapat et al. 2010.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Anton, Howard (2003). *Introducción al Álgebra Lineal*. México: Editorial Limusa, S.A. ISBN 9789681863173.
* Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (2002). *Basic Linear Algebra*. Springer. ISBN 9781852336622.
* Blyth, Thomas S.; Robertson, Edmund F. (1986). *Essential Student Algebra: Volume Two: Matrices and Vector Spaces*. Springer. ISBN 978-0-412-27870-9.
* Lang, Serge (2002). *Algebra*. Nova York: Springer-Verlag New York. ISBN 0-38-795385-X.
* Poole, David (2011). *Linear Algebra: A Modern Introduction*. Brooks Cole. ISBN 0-538-73544-9.
* Rojo, Jesús (2007). *Algebra lineal*. Madrid: McGraw-Hill. ISBN 978-84-481-5635-0.
* Strang, Gilbert (2016). *Introduction to Linear Algebra* (Quinta ed.). Wellesley-Cambridge Press. ISBN 978-09802327-7-6.
* Bapat, R.B. (2010). *Graphs and Matrices*. Springer. ISBN 978-1-84882-980-0.
* Godsil, Chris; Royle, Gordon F. (2001). *Algebraic graph theory*. Graduate Texts in Mathematics. Springer. ISBN 9780387952208.

### Ligazóns externas

* MIT Linear Algebra Video Lectures de Gilbert Strang *(en inglés)*

  


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q44337
* BNCF: 17734
* BNE: XX529678
* BNF: 119324420
* BRE: 2193547
* EBID: ID
* GEC: 0153673
* GND: 4037968-1
* LCCN: sh85082210
* MAG: 137127113
* NKC: ph122686

 |