As C-álxebras estúdanse en análise funcional e utilízanse nalgunhas formulacións da mecánica cuántica. Unha C-álxebra é un álxebra de Banach sobre o corpo dos números complexos, xunto cunha función \*: A → A chamada *involución* que ten as propiedades seguintes:

* {\displaystyle (x+y)\_{}^{\*}=x\_{}^{\*}+y\_{}^{\*}} para todo *x*, *y* en *A*
* {\displaystyle (\lambda x)\_{}^{\*}={\bar {\lambda }}x\_{}^{\*}} para cada λ en **C** e cada *x* en *A*; aquí, λ\* significa a conxugación complexa de λ.
* {\displaystyle (xy)\_{}^{\*}=y\_{}^{\*}x\_{}^{\*}} para todo *x*, *y* en '*A*
* {\displaystyle (x\_{}^{\*})\_{}^{\*}=x} para todo *x* en *A*
* a C\* identidade:

{\displaystyle \|xx\_{}^{\*}\|=\|x\|\_{}^{2}} para todo *x* en *A*.
As álxebras C\* son tamén \* álxebras.

Se se omite a última propiedade, falamos dunha B\*-álxebra.

Polo teorema de Gelfand-Naimark, as C-álxebras son (módulo un isomorfismo) exactamente aquelas álxebras de operadores acoutados nos espazos de Hilbert que son pechadas na topoloxía da norma e baixo tomar adxuntos, coa función de involución dada polo tomar adxunto.

### \*-Homomorfismos e \*-Isomorfismos

A función f: *A* → *B* entre B\*-álxebras *A* e *B* chámase un \*-**homomorfismo** se:

* *f* é **C**-lineal
* *f*(*xy*) = *f*(*x*)*f*(*y*) para *x* e *y* en *A*
* *f*(*x*\*) = *f*(*x*)\* para *x* en *A*.

Tal función f é automaticamente continua. Se *f* é bixectiva, entón a súa inversa é tamén un \*-homorfismo e *f* chámase un \***-isomorfismo** e *A* e *B* dinse \***-isomorfos.** Nese caso, *A* e *B* son para todos os propósitos practicamente iguais; diferéncianse soamente na notación dos seus elementos. A estrutura dunha C\*-álxebra forza calquera \*-homomorfismos a ser contractivos; e un homomorfismo é inxectivo se e soamente se é isométrico.

### Exemplos de C\*-álxebras

A álxebra de *n*-por-*n* matrices sobre **C** convértese nunha C\*-álxebra se utilizamos a norma da matriz ||.||2 que xorde como a norma de operador da norma euclidiana en **C***n*. A involución ven dada pola trasposta conxugada. O exemplo motivante dunha C\*-álxebra é a álxebra dos operadores lineais continuos definidos nun espazo de Hilbert complexo *H*; aquí *x*\* denota o operador adxunto do operador *x*: *H* → *H*. De feito, cada C\*-álxebra é \*-isomorfa a unha subálxebra pechada de tal álxebra de operadores para un espazo de Hilbert *H* conveniente; este é o contido do teorema de Gelfand-Naimark.

Un exemplo dunha C\*-álxebra conmutativa é a álxebra C(*X*) de todas as funcións continuas complexo-valoradas definidas nun compacto de Hausdorff *X*. Aquí a norma dunha función é o supremo do seu valor absoluto, e a operación estrela é a conxugación complexa. Cada C\*-álxebra conmutativa con elemento unidade é \*-isomorfa a unha tal álxebra C(*X*) usando a representación de Gelfand.

Se un parte dun espazo localmente compacto de Hausdorff *X* e considera as funcións continuas complexo-valoradas en *X* que se *anulan no infinito* (definido no artigo sobre a compacidade local), entón estas forman unha C\*-álxebra conmutativa C0(*X*); se *X* non é compacto, entón C0(*X*) non ten elemento unidade. Unha vez máis a representación de Gelfand demostra que cada C\*-álxebra conmutativa é \*-isomorfa a unha álxebra da forma C0(*X*).

### Álxebras de von Neumann

As álxebras de von Neumann, coñecidas como W\* álxebras antes dos anos 60, son unha clase especial de C\* álxebras. Requíreselles ser pechadas nunha topoloxía que é máis débil que a topoloxía da norma. O seu estudo é unha rama en si mesma das matemáticas, á parte das C-álxebras.

### C\*-álxebras e a teoría cuántica de campos

En teoría cuántica de campos, descríbese tipicamente un conxunto físico cunha C\*-álxebra *A* con elemento unidade; os elementos auto-adxuntos de *A* (elementos *x* con *x\* = x*) interprétanse como observables, as cantidades medibles, do sistema. Un *estado* do sistema defínese como unha funcional positiva en *A*, unha función **C**-lineal φ: *A* → **C** con φ(*u, u\**) > 0 para todo *u* ∈ *A*, tal que φ(1) = 1. O valor esperado do observable *x*, se o sistema está no estado φ, é entón φ(*x*).

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Física local cuántica
* Álgebra
* Álxebra asociativa
* \* álgebra
* B\*-álxebra

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q263809
* GND: 4136693-1
* LCCN: sh85018534
* MAG: 55648075

 |