Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Norma.
Unha bóla centrada na orixe de \mathbb{R} ^{2} relativa a tres normas distintas.
Nas Matemáticas, unha **norma** consiste nunha función que a cada elemento dun espazo vectorial lle asocia un número real non-negativo. O concepto de *norma* está relacionado intuitivamente coa noción xeométrica de lonxitude.

Definición
----------

Dado un espazo vectorial X sobre o corpo {\displaystyle \mathbb {K} } dos números reais ou complexos, unha función {\displaystyle \|\cdot \|:X\to \mathbb {R} ^{+}} é chamada de norma se, para calquera {\displaystyle {\vec {x}},{\vec {y}}\in X} e todo {\displaystyle \alpha \in \mathbb {K} }:

* {\displaystyle \|{\vec {x}}\|=0\Rightarrow {\vec {x}}={\vec {0}}}. Se esta condición non for atendida, a función será como máximo unha seminorma.
* {\displaystyle \|\alpha {\vec {x}}\|=|\alpha |\|{\vec {x}}\|}
* {\displaystyle \|{\vec {x}}+{\vec {y}}\|\leq \|{\vec {x}}\|+\|{\vec {y}}\|} (desigualdade triangular)

Se o espazo vectorial X ten unha norma, pasa a coñecerse como espazo normado, e denótase por {\displaystyle \left(X,\|\cdot \|\right)}.

Métrica e topoloxía inducida
----------------------------

Toda norma induce de forma natural unha métrica d en X que ten valores dados por:

{\displaystyle d({\vec {x}},{\vec {y}})=\|{\vec {x}}-{\vec {y}}\|\,.}
Tamén induce unha topoloxía localmente convexa que é xerada por todas as bólas:

{\displaystyle B({\vec {x}}\_{0},r)=\{{\vec {x}}\in X:\|{\vec {x}}-{\vec {x}}\_{0}\|<r\},~~\forall {\vec {x}}\in X,\forall r\in \mathbb {R\_{+}} }

Normas equivalentes
-------------------

Dúas normas {\displaystyle \|.\|\_{1}} e {\displaystyle \|.\|\_{2}} sobre o mesmo espazo vectorial X chámanse *equivalentes* se existiren constantes reais positivas {\displaystyle C\_{1}} e {\displaystyle C\_{2}\,(C\_{1}\leq C\_{2})} tales que:

{\displaystyle C\_{1}\|{\vec {x}}\|\_{1}\leq \|{\vec {x}}\|\_{2}\leq C\_{2}\|{\vec {x}}\|\_{1}~~\forall {\vec {x}}\in X}
Cando dúas normas son equivalentes, inducen a mesma topoloxía.

Normas en espazos de dimensión finita
-------------------------------------

Sexa {\displaystyle {\vec {x}}=\left(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}\right)=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}{\vec {e}}\_{i}} a representación dun vector en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} ou {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}.

As normas canónicas definidas nestes espazos son as chamadas *normas {\displaystyle \ell ^{p}}*:

* {\displaystyle \|{\vec {x}}\|\_{p}=\left(\sum \_{i=1}^{n}|x\_{i}|^{p}\right)^{1/p}~~,1\leq p<\infty }
* {\displaystyle \|{\vec {x}}\|\_{\infty }=\max \_{i=1}^{n}(|x\_{i}|)}

O caso particular no que {\displaystyle p=2} corresponde á norma euclidiana:

{\displaystyle \|{\vec {x}}\|\_{2}=\left(\sum \_{i=1}^{n}|x\_{i}|^{2}\right)^{1/2}}
Pódense definir tamén outras normas, mais pódese demostrar que serán equivalentes.

Norma matricial
---------------

Se o espazo vectorial considerado é o formado polas matrices reais ou complexas de orde n\times m, denotado por {\displaystyle M^{n\times m}}, unha norma sobre ese espazo é chamada de norma matricial.

Un exemplo de norma matricial é a norma *1*, denotada {\displaystyle \|.\|\_{1}} definida como o máximo da suma módulo dos elementos de cada liña, ou sexa se {\displaystyle A=\left[a\_{ij}\right]\_{r\times s}} entón a norma do máximo da matriz A é o número non negativo dado por

{\displaystyle \|A\|\_{1}=\max \_{1\leq i\leq r}\sum \_{j=1}^{s}|a\_{ij}|.}
A norma do máximo da matriz {\displaystyle A={\begin{vmatrix}1&3\\2&-1\end{vmatrix}}}, por exemplo, é

{\displaystyle \|A\|\_{1}=\max \left\{|1|+|3|,|2|+|-1|\right\}=\max \left\{4,3\right\}=4.}

Normas en espazos de dimensión infinita
---------------------------------------

### Espazos LP

*Artigo principal**:* Espazo Lp.
As normas {\displaystyle \ell ^{p}} teñen análogos nalgúns espazos de dimensión infinita.

Notas
-----

1. ↑  SANTOS (2010), p.3, ex. 54.
2. ↑  SANTOS (2010), p.60.
3. ↑  Boldrini *et. al*, p. 342.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Santos, José Carlos (xuño de 2010). *Introduçión à Topologia* (PDF). Porto: Departamento de Matemática - Faculdade de Ciencias da Universidade do Porto. p. 171.
* Boldrini, José Luiz *et. al*. *Álgebra Linear* (3ª ed.). Harbra. p. 342.

### Outros artigos

* Produto interno
* Espazo de Banach
* Espazo euclidiano
* Espazo métrico
* Espazo topolóxico
* Seminorma