Un número **cadrado perfecto** en matemáticas, ou un **número cadrado**, é un número enteiro que é o cadrado doutro; ou dito doutro xeito, é un número que ten como raíz cadrada un número natural.

Un número é un cadrado perfecto se se pode dispor nunha figura cadrada. Por exemplo, 9 é un número cadrado perfecto xa que pode ser escrito como 3 × 3, e pódese dispor do seguinte xeito:

|  |  |
| --- | --- |
| 3² = 9 |  |

Un número enteiro positivo que non ten divisores cadrados fóra do 1 denomínase número libre de cadrados.

Elevar 5 ao cadrado dá a área dun cadrado de lado 5.
En álxebra, o cadrado dun número *n* exprésase como *n²*, e equivale a *n × n*. A operación alxébrica de elevar ao cadrado un número *n* proporciónanos a área dun cadrado xeométrico cun lado que mide *n*. Por tal razón, esta operación coñécese como *elevar ao cadrado*.

Un número natural *n* elevado ao cadrado pódese linearizar por medio da seguinte expresión:

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{i=1}^{n}{(2i-1)}}
Así, por exemplo:

{\displaystyle 3^{2}=\sum \_{i=1}^{3}{(2i-1)}=1+3+5=9}
Que dá o mesmo resultado que a multiplicación:

{\displaystyle 3^{2}=3\times 3=9}

Propiedades
-----------

A fórmula xeral para o *n*-ésimo número cadrado é *n2*. Esta expresión é igual á suma dos *n* primeiros números impares, demostrable por indución matemática, rexistrada na seguinte fórmula:

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}\;(2k-1)}
{\displaystyle e.g.\ 5^{2}=\sum \_{k=1}^{5}\;(2k-1)=1+3+5+7+9=25}
Un cadrado par pódese expresar como a suma de dous impares consecutivos. Se cumpre a condición cabe pois {\displaystyle P=4n^{2}} e exponse a seguinte ecuación:

{\displaystyle P=(2n^{2}+1)+(2n^{2}-1)}
Un número primo da forma {\displaystyle 4k+1} pódese expresar como a suma de dous cadrados:

{\displaystyle 4k+1=m^{2}+n^{2}}
{\displaystyle e.g.\ k=4\rightarrow 17=16+1=4^{2}+1^{2};\quad k=9\rightarrow 37=6^{2}+1^{2}=36+1}
Os babilonios usaban táboas de cadrados para a multiplicación aplicando a fórmula:

{\displaystyle ab={\frac {1}{4}}[(a+b)^{2}-(a-b)^{2}]}
{\displaystyle e.g.\ 5\times 2={\frac {1}{4}}[(5+2)^{2}-(5-2)^{2}]={\frac {49-9}{4}}={\frac {40}{4}}=10}
O teorema dos catro cadrados de Lagrange establece que calquera número enteiro positivo pode ser escrito como a suma de catro cadrados perfectos. Tres cadrados non son suficientes para ser representados como números da forma 4*k*(8*m* + 7). Un número positivo pode ser representado como unha suma de dous cadrados precisamente se a factorización en números primos non contén potencias impares da forma 4*k* + 3. Esta é unha xeneralización do problema de Waring.

Segundo o último díxito do número *n* do que se quere calcular o seu cadrado pódese comprobar que este cadrado terá as propiedades seguintes:

1. Se o último díxito é 0, o seu cadrado acaba en 00 e os díxitos precedentes forman un cadrado.
2. Se o último díxito é 1 ou 9, o seu cadrado termina en 1 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
3. Se o último díxito é 2 ou 8, o seu cadrado termina en 4 e os díxitos precedentes forman un número par.
4. Se o último díxito é 3 ou 7, o seu cadrado termina en 9 e os díxitos precedentes forman un múltiplo de 4.
5. Se o último díxito é 4 ou 6, o seu cadrado termina en 6 e os díxitos precedentes forman un número impar.
6. Se o último díxito é 5, o seu cadrado termina en 25 e os díxitos precedentes forman un número par.
7. Polo tanto, ningún cadrado perfecto enteiro acaba en 2, 3, 7 nin 8.

Exemplos
--------

|  |  |
| --- | --- |
| 12 = 1 |  |
| 22 = 4 |  |
| 32 = 9 |  |
| 42 = 16 |  |
| 52 = 25 |  |

A cantidade de factores (divisores) dun número cadrado perfecto é sempre impar. Ou dito doutro xeito, cúmprese que para todo número natural que non é cadrado perfecto, a cantidade dos seus factores é un número par.

> Todo número natural pódese descompor en factores primos e os seus correspondentes expoñentes: {\displaystyle N=p\_{1}^{a}.p\_{2}^{b}.p\_{3}^{c}...},
> 
> 

> onde ***N*** é un número natural, {\displaystyle p\_{1},p\_{2},...} son números primos e ***a**,**b**,**c**,*... os seus correspondentes expoñentes. Dado que todos os posibles divisores de ***N*** son unha combinación deste produto desde ***a***=0,1,2,..*a*, ***b***=0,1,2,...*b* e ***c***=0,1,2,...*c*, a cantidade de divisores de ***N*** é:
> 
> 

> ***n** = (**a**+1).(**b**+1).(**c**+1)*... onde ***n*** é a cantidade de factores ou divisores de calquera número natural.
> 
> 

> Posto que nun número cadrado perfecto os expoñentes *a*, *b*, *c*, ... son números pares, todos os factores de ***n*** serán impares e polo tanto o produto tamén é un número impar. Isto pode comprobarse revisando unha táboa de divisores.
> 
> 

Os primeiros 50 cadrados perfectos son:

02 = 0 ((sucesión )) (REVISAR ISTO)

12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81
102 = 100

112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361
202 = 400

212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841
302 = 900

312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521
402 = 1600

412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401
502 = 2500

Cadrados seguintes e anteriores a outro
---------------------------------------

Pode calcularse un cadrado a partir do anterior ou do anterior cadrado par/impar respecto doutro coñecido.

* A distancia entre un cadrado e o seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado do seguinte e restarlle 1: Se para 42 = 16, para 52 = 42 + (2 \* 5) - 1 = 16 + 10 - 1 = 25.

Exemplos:

cadrado 0, calcular cadrado 1: 0 + (2 \* 1) - 1 = 00 + 02 -1 = 00 + 01 = 01
cadrado 1, calcular cadrado 2: 1 + (2 \* 2) - 1 = 01 + 04 -1 = 01 + 03 = 04
cadrado 2, calcular cadrado 3: 4 + (2 \* 3) - 1 = 04 + 06 -1 = 04 + 05 = 09
cadrado 3, calcular cadrado 4: 9 + (2 \* 4) - 1 = 09 + 08 -1 = 09 + 07 = 16
cadrado 4, calcular cadrado 5: 16 + (2 \* 5) - 1 = 16 + 10 -1 = 16 + 09 = 25
cadrado 5, calcular cadrado 6: 25 + (2 \* 6) - 1 = 25 + 12 -1 = 25 + 11 = 36
cadrado 6, calcular cadrado 7: 36 + (2 \* 7) - 1 = 36 + 14 -1 = 36 + 13 = 49
Outra maneira de calcular a distancia é tendo en conta a seguinte propiedade:

A diferenza entre un número cadrado e o consecutivo (se se comeza co 0) son todos os números impares, en orde ascendente:

0 + 1 = 1

1 + 3 = 4

4 + 5 = 9

9 + 7 = 16

  

* A distancia entre un cadrado e o seguinte do seguinte, resulta de sumar ao cadrado primeiro, 4 veces o lado desexado -1: Se para 42 = 16, para 62 = 42 + (4 \* (6-1)) = 16 + 20 = 36

Exemplos:

cadrado 0, calcular cadrado 2: 0 + (4 \* (2 - 1)) = 0 + 4 = 4
cadrado 2, calcular cadrado 4: 4 + (4 \* (4 - 1)) = 4 + 12 = 16
cadrado 4, calcular cadrado 6: 16 + (4 \* (6 - 1)) = 16 + 20 = 36
cadrado 6, calcular cadrado 8: 36 + (4 \* (8 - 1)) = 36 + 28 = 64

---

cadrado 1, calcular cadrado 3: 1 + (4 \* (3 - 1)) = 1 + 8 = 9
cadrado 3, calcular cadrado 5: 9 + (4 \* (5 - 1) = 9 + 16 = 25
cadrado 5, calcular cadrado 7: 25 + (4 \* (7 - 1) = 25 + 24 = 49
Estes casos resultan de interese con números moi grandes, para achar en bucles o seguinte cadrado ou o seguinte cadrado de lado par/impar, especialmente en computación onde as sumas son moito menos custosas que as multiplicacións e as multiplicacións por potencias de 2 poden ser realizadas con instrucións de desprazamento de bits. Á súa vez as multiplicacións ('2 \* x' ou por '4 \* x' segundo o caso), dentro dun bucle pode manterse como unha suma se se garda o valor previo de suma. Nótese como en ambos os casos á dereita do todo, o seguinte cadrado, para ambos os casos resólvense con sumas.

A operación á inversa é facilmente deducible, é dicir, achar o cadrado anterior a outro dado.

* A distancia entre un cadrado e o anterior, resulta de restar ao cadrado primeiro, 2 veces o lado actual e sumarlle 1: Se para 62 = 36, para 52 = 62 - (2 \* 6) + 1 = 36 - 12 + 1 = 25

* A distancia entre un cadrado e o anterior do anterior, resulta de restar ao cadrado 4 veces o lado actual -1: Se para 62 = 36, para 42 = 62 - (4 \* (6-1)) = 36 - 20 = 16

Cadrados como sumas
-------------------

O *n*-ésimo número cadrado pode ser calculado do resultado obtido nas dúas anteriores posicións e ao que se lle engade o (*n* − 1)-ésimo cadrado de si mesmo, subtraendo o (*n* − 2)-enésimo cadrado, e engadindo 2 ({\displaystyle n^{2}=2(n-1)^{2}-(n-2)^{2}+2}). Por exemplo,
2×52 − 42 + 2 = 2×25 − 16 + 2 =
50 − 16 + 2 = 36 = 62.

É a miúdo útil notar que o cadrado de calquera número pode ser representado como a suma 1 + 1 + 2 + 2 +... + *n* − 1 + *n* − 1 + *n*. Por exemplo, o cadrado de 4 ou 42 é igual a 1 + 1 + 2 + 2 + 3 + 3 + 4 = 16. Este é o resultado de engadir unha columna de grosor un ao grafo cadrado de lado tres (como nun taboleiro de tres en raia). Pódese engadir tamén tres lados e catro á parte superior para obter un cadrado. Isto pode ser tamén útil para atopar o cadrado dun número grande de forma inmediata. Por exemplo, o cadrado de 52 = 502 + 50 + 51 + 51 + 52 = 2500 + 204 = 2704. É máis fácil así:1572=1502 + 7 sumandos que buscamos a continuación: 150+151= 301. É o primeiro sumando e os demais son máis fáciles de atopar, 303, 305,307, 309, 311, 313. Conclusión 22500+ 301+ 303 + 305 +307 + 309 + 311 + 313 = 24649

Un número cadrado pode ser considerado tamén como a suma de dous números triangulares consecutivos. A suma de dous números cadrados consecutivos é un número cadrado centrado. Cada cadrado impar é ademais un número octogonal centrado.

Números cadrados pares e impares
--------------------------------

O cadrado dun número par sempre é par (de feito é divisible por 4), xa que (2*n*)2 = 4*n*2.

O cadrado dun número impar é sempre impar, xa que (2*n* + 1)2 = 4(*n*2 + *n*) + 1.

Disto séguese que a raíz cadrada dun cadrado perfecto par sempre é par, e a raíz cadrada dun cadrado perfecto impar sempre é impar. Este feito emprégase moito nas demostracións (véxase raíz cadrada de 2).

Suma dos primeiros n cadrados
-----------------------------

Para o primeiros cinco cadrados perfectos

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{5}\;k^{2}=1+4+9+16+25={\frac {5(5+1)(2\times 5+1)}{6}}}

Xeneralizando para os primeiros *n* cadrados perfectos resulta a suma

{\displaystyle S\_{2}={\frac {n(n+1)(2n+1)}{6}}}

Construción de cadrados perfectos
---------------------------------

* O produto de dous pares consecutivos sumánolle 1 é un cadrado perfecto

{\displaystyle (2n)(2n+2)+1=4n^{2}+4n+1=(2n+1)^{2}}Exemplo: 52·54 + 1 = 2809, cadrado de 53.

* O produto de dous impares consecutivos máis 1 é un cadrado perfecto.

{\displaystyle (2n-1)(2n+1)+1=4n^{2}-1+1=4n^{2}}Por exemplo, 95·97 + 1 = 9216. Nos dous casos achamos o cadrado da media aritmética dos factores.

* O produto de catro enteiros consecutivos aumentado en 1 é un cadrado perfecto.{\displaystyle (n-1)(n)(n+1)(n+2)+1=(n^{2}+n-1)^{2}}

 Por exemplo 13·14·15·16 + 1 = 43681, cadrado de 209.

* O produto dun múltiplo dun número polo múltiplo transconsecutivo do mesmo máis o cadrado do xerador é cadrado perfecto.

{\displaystyle kn[(k+2)n]+n^{2}=n^{2}(k+1)^{2}}Por exemplo, 7, 14, 21, 28, 35 son múltiplos de 7. Logo 21·35 + 49 = 784, cadrado de 28.

Notas
-----

1. ↑  Agustín Anfossi, M. A. Flores Meyer (2006). "Lenguaje algebraico". *Álgebra*. Cuauhtémoc, México. p. 20. ISBN 968-436-213-7.
2. ↑  Hofmann. *Historia de la Matemática*. ISBN 968-18-6286-4
3. ↑  Compróbase multiplicando as súas formas típicas e ao produto súmaselle 1
4. ↑  Róbinson Castro: Álgebra moderna e introducción a geometría algebraica (2013)
5. ↑  Castro: Ibídem

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Cadrado perfecto Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Bibliografía

* Conway, J. H. and Guy, R. K. *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag, pp. 30-32, 1996. ISBN 0-387-97993-X
* Weisstein, Eric W. «Square Number». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

### Outros artigos

* Potenciación
* Raíz cadrada
* Ecuación de segundo grao

### Ligazóns externas

* Alpertron.com.ar Un applet XAVA que descompón un número natural na suma de catro cadrados.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q50705
* EBID: ID
* MAG: 173808221

 |