En matemáticas, as **funcións polinomiais** ou **polinomios** son unha clase de funcións simples e infinitamente diferenciábeis. Debido á natureza da súa estrutura, os polinomios son moi simples de avaliar e por consecuencia úsanse extensivamente na análise numérica.

Historia
--------

Determinar as raíces de polinomios, ou "resolver ecuacións alxébricas", é un dos problemas máis antigos da matemática. Algúns polinomios, tales como {\displaystyle f(x)=x^{2}+1}, non posúen raíces dentro do conxunto dos números reais. Se, no entanto, o conxunto de candidatos posíbeis se expande ao conxunto dos números imaxinarios, ou sexa, se se ten en conta o conxunto dos números complexos, entón todo polinomio (non-constante) posúe polo menos unha raíz (teorema fundamental da álxebra).

Existe unha diferenza entre a aproximación de raíces e a determinación de fórmulas concretas que as definen. As fórmulas para a determinación das raíces dos polinomios de ata 4º grao son coñecidas desde o século XVI (ver ecuación cuadrática, Gerolamo Cardano, Niccolo Fontana Tartaglia).. En 1824, Niels Henrik Abel probou que non pode haber unha fórmula xeral (incluíndo apenas as operacións aritméticas e radicais) para a determinación de raíces de polinomios de grao igual ou superior ao 5º en termos de coeficientes (ver teorema de Abel-Ruffini). Este resultado marcou o comezo da teoría de Galois, onde se aplica a un estudo detallado das relacións entre as raíces de polinomios.

Definición
----------

Para a sucesión de termos {\displaystyle a\_{0},...a\_{n}\in \mathbb {R} } (ou {\mathbb {C}}) con {\displaystyle a\_{n}>} diferente de cero, un **polinomio de grao n** (ou tamén **función racional enteira**) é unha función que posúe a forma

{\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+....a\_{1}x+a\_{0}\,},con {\displaystyle a\_{n}\,} diferente de 0
Alternativamente, o polinomio pode ser escrito recorrendo á notación sigma

{\displaystyle f(x)=\sum \_{v=0}^{n}a\_{v}x^{v}\,}
Os elementos {\displaystyle a\_{0},...a\_{n}} denomínanse de coeficientes do polinomio e o termo {\displaystyle a\_{0}} de **coeficiente constante**.

Cada elemento sumado {\displaystyle a\_{n}x^{n}} do polinomio denomínase **termo**. Un polinomio cun, dous ou tres termos chámase de monomio, binomio ou trinomio respectivamente.

En relación ao **grao**, os polinomios de:

* grao 0 chámanse funcións constantes,
* grao 1 chámanse funcións lineares caso {\displaystyle a\_{0}=0} e funcións afins caso {\displaystyle a\_{0}\neq 0},
* grao 2 chámanse funcións cuadráticas,
* grao 3 chámanse funcións cúbicas,

Pódese estender a definición de polinomio para incluír {\displaystyle f(x)=0}, chamado **polinomio nulo**. O polinomio nulo non posúe grao definido.

A **raíz** (ou **cero**) dun polinomio {\displaystyle f(x)} é un valor de x tal que {\displaystyle f(x)=0}.

Notas
-----

Os polinomios ata o grao *n* e mais o polinomio nulo forman un espazo vectorial que se denomina normalmente Πn. Neste artigo os polinomios representáronse a partir dunha base monomial (ex.: {\displaystyle 1,x,x^{2},...x^{n}}) mais debe notarse que se pode usar calquera outra secuencia polinomial como base, como por exemplo os polinomios de Chebyshev.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* secuencia polinomial
* polinomios de Chebyshev
* polinomio de Ehrhart
* polinomio de Hermite
* polinomio de Hurwitz
* polinomios de Legendre
* interpolación polinomial

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q43260
* BNCF: 21918
* BNF: 119786822
* BRE: 2220871
* EBID: ID
* GEC: 0133235
* JSTOR: polynomials
* LCCN: sh85104702
* MAG: 90119067
* NDL: 00572625
* PSH: 7245

 |