Un exemplo de hélice natural, utilizada pola videira.
Hélice
A **hélice** (do grego *έλικας/έλιξ*,*hélix*, espiral), é unha curva que se pode explicar como o enrolamento regular dunha recta sobre un cilindro, tendo polo tanto forma de parafuso ou espiral (máis correctamente, helicoidal).

En matemática, a hélice é descrita como unha curva no espazo tridimensional que combina un movemento de rotación arredor dun punto cun movemento de translación deste punto. As tres ecuacións a seguir definen unha hélice en coordenadas rectangulares:

{\displaystyle x=\cos(t),\,}
{\displaystyle y=\sin(t),\,}
{\displaystyle z=t.\,}
En coordenadas cilíndricas (*r*, θ, *h*), a mesma hélice é descrita por:

{\displaystyle r=1,\,}
{\displaystyle \theta =t,\,}
{\displaystyle h=t.\,}
As hélices son importantes na bioloxía, onde o ácido desoxirribonucleico está constituído por cadeas helicoidais e moitas proteínas posúen subestruturas helicoidais, coñecidas como alfa-hélices.

Definición Matemática
---------------------

Toda curva con tanxentes que formen un ángulo α, constante, cunha dirección fixa do espazo recibe o nome de hélice.

Se a súa ecuación vectorial é {\displaystyle {\bar {R}}={\bar {R}}(s)}, sendo s o arco, quere dicir que existe un vector unitario {\displaystyle {\bar {a}}} fixo tal que para todo s verifícase {\displaystyle {\bar {T}}(s)\bullet {\bar {a}}=\cos \alpha } (constante).

Teorema de Lancret
------------------

Unha caracterización das hélices vén dada polo teorema coñecido coma teorema de Lancret, que di que é condición necesaria e suficiente para que unha curva sexa unha hélice que se verifique {\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}=cte}, sendo tanα a constante, onde {\displaystyle \kappa } é a curvatura e \tau  a torsión.

Hélices importantes
-------------------

### Hélice cilíndrica

Unha **hélice cilíndrica** é unha curva que corta as xeratrices dun cilindro recto cun ángulo constante. Isto quere dicir que a distancia entre dous puntos de corte consecutivos da hélice con calquera das mencionadas xeratrices (rectas paralelas ao eixo do cilindro e contidas na súa superficie externa) é unha constante da curva, independente da xeratriz ou os puntos escollidos, chamada "paso de hélice".

#### Expresión analítica

Dende un punto de vista analítico, unha hélice cilíndrica queda definida polas seguintes expresións:

{\displaystyle x=\rho \cos \theta \,}
{\displaystyle y=\rho \sin \theta \,}
{\displaystyle z=\tan \alpha \theta \,}
O paso de hélice (o que "avanza" cando a curva dá unha volta ao redor do cilindro) é:

{\displaystyle 2\pi \tan \alpha \,}
#### Propiedades

* A proxección da hélice sobre un plano paralelo ao eixo do cilindro é unha curva sinusoidal.
* A xeodésica dun cilindro recto de base circular é un arco de hélice (é dicir, o camiño máis curto entre dous puntos situados na superficie dun cilindro, que non saia de dita superficie, é un anaco de hélice).

### Hélice cónica

Chámase hélice cónica a toda hélice situada sobre un cono.

#### Expresión analítica

{\displaystyle x=t\cos t\,}
{\displaystyle y=t\sin t\,}
{\displaystyle z=at\,}
### Hélice esférica

Chámase hélice esférica a toda hélice contida nunha esfera. Por ser hélice verificarase {\displaystyle {\frac {\kappa }{\tau }}=\tan \alpha \,} (constante), ou o que é o mesmo {\displaystyle \tau =\kappa \cot \alpha \,}.

Por ser unha curva esférica, a esfera osculatriz será constante, sendo dita esfera osculatriz a esfera sobre a que está situada a curva. Entón o radio da esfera osculatriz é constante. Polo tanto {\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{4}\tau ^{2}}}=a^{2}} (constante).

Como {\displaystyle \tau =\kappa \cot \alpha \,}, será {\displaystyle {\frac {1}{\kappa ^{2}}}+{\frac {\kappa ^{'2}}{\kappa ^{6}\cot ^{2}\alpha }}=a^{2}}

Facendo o cambio {\displaystyle \kappa ={\frac {1}{\rho }}}, obtense:

{\displaystyle \rho ^{2}+\rho ^{2}\rho ^{'2}\tan ^{2}\alpha =a^{2}\,}, ou o que é o mesmo, {\displaystyle {\frac {\rho d\rho }{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}}\tan \alpha =ds}

Integrando a igualdade anterior obtense: {\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha =s+C}.
Pódese facer C=0, tomando coma orixe de arcos, é dicir s = 0, o punto no que {\displaystyle \kappa (s)={\frac {1}{a}}} e polo tanto {\displaystyle \rho =a}. Aceptando esta hipótese e elevando ao cadrado {\displaystyle -{\sqrt {a^{2}-\rho ^{2}}}\tan \alpha =s} obtense {\displaystyle a^{2}-\rho ^{2}=s^{2}\cot ^{2}\alpha \,}. Como {\displaystyle \rho ={\frac {1}{\kappa }}} será:

{\displaystyle a^{2}-{\frac {1}{\kappa ^{2}}}=s^{2}\cot ^{2}\alpha }

e como {\displaystyle \kappa =\tau \tan \alpha \,} resulta {\displaystyle a^{2}-{\frac {\cot ^{2}\alpha }{\tau ^{2}}}=s^{2}\cot ^{2}\alpha }, e polo tanto:

{\displaystyle s^{2}+{\frac {1}{\tau ^{2}}}=a^{2}\tan ^{2}\alpha }

As ecuacións obtidas anteriormente determinan as ecuacións intrínsecas das hélices esféricas. Despexando {\displaystyle \kappa ^{2}e\tau ^{2}\,} obtense:

{\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {1}{a^{2}-s^{2}\cot ^{2}\alpha }}}
{\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -s^{2}}}}

No caso xeral, sen facer a particularización C=0, obtense coma ecuacións intrínsecas:

{\displaystyle \kappa ^{2}={\frac {1}{a^{2}-\left(s+C\right)^{2}\cot ^{2}\alpha }}}
{\displaystyle \tau ^{2}={\frac {1}{a^{2}\tan ^{2}\alpha -\left(s+C\right)^{2}}}}

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Coordenadas polares.
* ADN, coñecido pola súa estrutura de *dobre hélice*.

### Ligazóns externas

* "¿Por qué es la hélice una forma tan popular en la Naturaleza?" Arquivado 27 de setembro de 2007 en Wayback Machine. artigo en www.solociencia.com *(en castelán)*.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q201717
* BNCF: 19745
* EBID: ID
* LCCN: sh85078679
* MAG: 147224300

 |