Na álxebra abstracta, un **corpo** é unha estrutura alxébrica na cal se dan as operacións de adición e multiplicación que ademais cumpren as propiedades asociativa, conmutativa e distributiva, e posúen un inverso aditivo e un inverso multiplicativo, que permiten efectuar as operacións de resta e división (excepto a división por cero). Estas propiedades xa son familiares da aritmética de números ordinarios.

Os corpos son obxectos importantes de estudo na álxebra posto que proporcionan a xeneralización apropiada de dominios de números tales como os conxuntos de números racionais, dos números reais ou dos números complexos.

O concepto dun corpo emprégase tamén para definir o concepto de espazo vectorial e as transformacións nestes obxectos, dadas por matrices, obxectos que na álxebra linear os seus compoñentes poden ser elementos dun corpo arbitrario. A teoría de Galois estuda as relacións de simetría nas ecuacións alxébricas, desde a observación do comportamento das súas raíces e as extensións de corpos correspondentes e a súa relación cos automorfismos de corpos correspondentes.

Definición
----------

Un corpo é un anel de división conmutativo, é dicir, un anel conmutativo e unitario no que todo elemento distinto de cero é invertible respecto do produto. Polo tanto, un corpo é un conxunto *K* no que se definiron dúas operacións, + e ·, chamadas *suma* e *multiplicación* respectivamente, que cumpren as seguintes propiedades:

***K* é cerrado para a suma e a multiplicación**

Para todo *a*, *b* en *K*, *a* + *b* e *a* \* *b* pertencen a *K* (ou máis formalmente, + e \* son operacións matemáticas en *K*);
**Asociatividade da suma e a multiplicación**

Para todo *a*, *b*, *c* en *K*, *a* + (*b* + *c*) = (*a* + *b*) + *c* e *a* \* (*b* \* *c*) = (*a* \* *b*) \* *c*.
**Conmutatividade da suma e a multiplicación**

Para todo *a*, *b* en *K*, *a* + *b* = *b* + *a* e *a* \* *b* = *b* \* *a*.
**Existencia dun elemento neutro para a suma e a multiplicación**

Existe un elemento 0 en *K*, tal que para todo *a* en *K*, *a* + 0 = *a*.
Existe un elemento 1 en *K* diferente a 0, tal que para todo *a* en *K*, *a* \* 1 = *a*.
**Existencia de elemento oposto e de inversos:**

Para cada *a* en *K*, existe un elemento -*a* en *K*, tal que *a* + (- *a*) = 0.
Para cada *a* ≠ 0 en *K*, existe un elemento *a* -1 en *K*, tal que *a* \* *a*-1 = 1.
**Distributividade da multiplicación respecto da suma**

Para todo *a*, *b*, *c*, en *K*, *a* \* (*b* + *c*) = (*a* \* *b*) + (*a* \* *c*).
O requisito a ≠ 0 asegura que o conxunto que contén só un cero non sexa un corpo, e de paso elimina a posibilidade de que no corpo existan divisores de cero distintos de 0, o que o converte tamén nun dominio de integridade. Directamente dos axiomas, pódese demostrar que (*K*, +) e (*K* - { 0 }, \*) son grupos conmutativos e que polo tanto (véxase a teoría de grupos) o oposto -*a* e o inverso *a*−1 son determinados unicamente por *a*. Ademais, o inverso dun produto é igual ao produto dos inversos:

(*a\*b*)-1 = *a*-1 \* *b*-1
con tal que *a* e *b* sexan diferentes de cero. Outras regras útiles son:

-*a* = (-1) \* *a*
e máis xeralmente

- (*a* \* *b*) = (-*a*) \* *b* = *a* \* (-*b*)
así como

*a* \* 0 = 0,
todas regras familiares da aritmética elemental.

Exemplos de corpos
------------------

### Racionais e alxébricos

Os números racionais {\displaystyle \mathbb {Q} =\{{a \over b}|a,b\in \mathbb {Z} ,b\neq 0\}} onde está incluído o conxunto {\displaystyle \mathbb {Z} } dos números enteiros, forman un corpo.

Os números complexos conteñen o corpo de números alxébricos, a clausura alxébrica de **Q**.

### Números reais, complexos e *p*-ádicos

Os números reais {\displaystyle \mathbb {R} } coas operacións usuais forman un corpo.

Os números hiperreais forman un corpo que contén os reais máis os números infinitesimais e infinitos. Os números surreais forman un corpo que contén os reais, a excepción do feito de que son unha clase propia, non un conxunto. O conxunto de todos os números surreais coa condición de seren menor que un certo cardinal inaccesible é un corpo.

Os números reais conteñen varios subcorpos interesantes: os números reais alxébricos, os números computables, e os números definibles.

Os números complexos {\displaystyle \mathbb {C} } consisten en expresións do tipo

*a* + *b*i
onde i é a unidade imaxinaria, *i.e.*, un número (non real) que satisfai i2 = −1.
A adición e multiplicación dos números reais son definidos de tal maneira para que todos os axiomas do corpo se cumpren para **C**. Por exemplo, a lei distributiva cumpre

(*a* + *b*i)·(*c* + *d*i) = *ac* + *bc*i + *ad*i + *bd*i2, que é igual a *ac*−*bd* + (*bc* + *ad*)i.
Os números racionais pódense ampliar aos corpos de números p-ádicos para cada número primo *p*.

### Corpos finitos

O corpo máis pequeno ten só dous elementos: 0 e 1. É denotado por {\displaystyle {\mathbb {F} }\_{2}} o {\displaystyle {\mathbb {Z} }\_{2}} e pode ás veces ser visto nas dúas táboas que seguen:

{\displaystyle {\begin{array}{|c|c|c|}\hline +&\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\hline \mathbf {0} &0&1\\\mathbf {1} &1&0\\\hline \end{array}}\quad {\begin{array}{|c|c|c|}\hline \cdot &\mathbf {0} &\mathbf {1} \\\hline \mathbf {0} &0&0\\\mathbf {1} &0&1\\\hline \end{array}}}
Ten aplicacións importantes na informática, especialmente na criptografía e na teoría da codificación.

Máis xeralmente, para un número primo {\displaystyle p}, o conxunto dos números enteiros módulo {\displaystyle p} é un corpo finito cos {\displaystyle p} elementos: isto pode escribirse como {\displaystyle {\mathbb {Z} }\_{p}=\{0,1,...p-1\}} onde as operacións son definidas realizando a operación en {\displaystyle \mathbb {Z} }, dividindo por {\displaystyle p} e tomando o resto, ver aritmética modular.

### Corpos de funcións

Para un corpo dado *K*, o conxunto *K*(*X*) de funcións racionais na variable *X* con coeficientes en *K* é un corpo; isto defínese como o conxunto de cocientes de polinomios con coeficientes en *K*.

Se *K* é corpo, e *p*(*X*) é un polinomio irreducible nun anel de polinomios *F*[*X*], entón o cociente *F*[*X*]/<*p*(*X*)> é un corpo cun subcorpo isomorfo a *K*. Por exemplo, **R**[*X*]/(*X*2+1) é un corpo (de feito, é isomorfo con respecto ao corpo dos números complexos).

Cando *K* é un corpo, o conxunto *K*[[X]] de series formais de Laurent sobre *K* é un corpo.

Se *V* é unha variedade alxébrica sobre *K*, entón as funcións racionais *V* → *K* forman un corpo, o corpo de funcións *V*. Se *S* é unha superficie de Riemann, entón as funcións meromorfas de *S* → **C** forman un corpo.

### Ultrafiltros

Se *I* é un conxunto de índices, *U* é un ultrafiltro sobre *I*, e *K**i* é un corpo para cada *i* en *I*, o ultraproduto de *K**i* (usando *U*) é un corpo.

### Subcorpos

Sexan *E* e *K* dous corpos con *E* un subcorpo de *K* (é dicir, un subconxunto de *K* que contén 0 e 1, cerrado baixo as operacións + e \* de *K* e coas súas propias operacións definidas por restrición). Sexa *x* un elemento de *K* non en *E*. Entón *E*(*x*) defínese como o subcorpo máis pequeno de *K* que contén a *E* e a *x*. Por exemplo, **Q**(*i*) é o subcorpo dos números complexos **C** que consisten en todos os números da forma *a+bi* onde *a* e *b* son números racionais.

Algúns teoremas iniciais
------------------------

* O conxunto de elementos diferentes de cero dun corpo *K* (denotado tipicamente por *K*×) é un grupo abeliano baixo multiplicación. Cada subgrupo finito de *K*× é cíclico.
* A característica de calquera corpo é cero ou un número primo. A característica defínese como o número enteiro positivo máis pequeno *n* tal que *n*·1 = 0, ou cero se non existe tal *n*; aquí *n*·1 significa *n* sumandos 1 + 1 + 1 +... + 1).
* Se {\displaystyle q>1} é unha potencia dun número primo, entón existe (salvo isomorfismo) exactamente un corpo finito con {\displaystyle q} elementos. Ademais, estes son os únicos corpos finitos posibles.
* Como anel, un corpo no ten ningún ideal excepto {0} e el mesmo.
* Todo anel de división finito é un corpo (teorema de Wedderburn).
* Para cada corpo *K*, existe (salvo isomorfismo) un corpo único G que contén a *K*, é alxébrico sobre *K*, e é alxebricamente pechado. *G* denomínase clausura alxébrica de *K*.

Construcións de corpos
----------------------

### Subcorpos e ideais

Se un subconxunto *E* dun corpo (*K*,+,\*) xunto coas operacións \*, + restrinxido a *E* é en si mesmo un corpo, entón denominase subcorpo de *K*. Tal subcorpo ten os mesmos 0 e 1 que *K*.

Sexa {\displaystyle (K,+,\cdot )} un corpo, e {\displaystyle E\subset K}. Dise que {\displaystyle \ E} é subcorpo de {\displaystyle \ K} ou que {\displaystyle \ K} é extensión de {\displaystyle \ E} se se cumpre que {\displaystyle (E,+,\cdot )} é un corpo cando as operacións {\displaystyle \ (+)} e {\displaystyle (\cdot )} se restrinxen a {\displaystyle \ E}. En particular, {\displaystyle \ E} será entón un subanel de {\displaystyle (K,+,\cdot )}. Tense logo que {\displaystyle \ (E,+)} e {\displaystyle (E\setminus \{0\},\cdot )} son subgrupos respectivos dos grupos abelianos {\displaystyle \ (K,+)} e {\displaystyle (K\setminus \{0\},\cdot )}.

Como todo corpo é un anel, poderíamos preguntarnos pola forma que teñen os seus ideais. Para empezar, como todo corpo é anel conmutativo, todo ideal pola esquerda é ideal (bilátero) e todo ideal pola dereita é tamén ideal (bilátero). Así pois, só hai que estudar os ideais do corpo.

Se {\displaystyle \ I} é ideal do corpo {\displaystyle \ K}, entón todo elemento non nulo {\displaystyle a\in K} terá inverso, {\displaystyle a^{-1}\in K}, logo {\displaystyle \ a} é unha unidade de {\displaystyle \ K} [isto é, {\displaystyle a\in U(K)}], e terase que {\displaystyle I\cap U(K)\neq \varnothing }, é dicir, {\displaystyle \ I=R}. Desta forma, os únicos ideais dun corpo son o propio corpo e o ideal nulo.

### Corpo de fraccións

Dado un corpo K, o corpo polinómico *K*(*X*) é o corpo de fraccións de polinomios en *X* con coeficientes en *K*, é dicir, os seus elementos son funcións racionais con coeficientes en K.

### Extensión de corpos

Unha extensión alxébrica dun corpo *K* é o corpo máis pequeno que contén a *K* e unha raíz dun polinomio irreducible *p*(*X*) en *K* [*X*]. Alternativamente, é idéntico ao anel factor *K* [*X*]/(*p*(*X*)), onde (*p*(*X*)) é o ideal xerado por *p*(*X*).

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* *Field*, en Math World *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q190109
* BNCF: 18363
* BRE: 3152167
* EBID: ID
* GEC: 0166175
* MAG: 9652623

 |