Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Distribución t de Student**| Función de densidade |
| Función de distribución |
| **Parámetros** | {\displaystyle \nu >0\!} graos de liberdade (real) |
| **Soporte** | {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi }}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+x^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}\!} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}+x\Gamma \left({\frac {\nu +1}{2}}\right)\cdot \\[0.5em]{\frac {\,\_{2}F\_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {\nu +1}{2}};{\frac {3}{2}};-{\frac {x^{2}}{\nu }}\right)}{{\sqrt {\pi \nu }}\,\Gamma \left({\frac {\nu }{2}}\right)}}\end{matrix}}} onde {\displaystyle \,\_{2}F\_{1}} é a función hiperxeométrica |
| **Media** | {\displaystyle 0} para {\displaystyle \nu >1}, indefinida para outros valores |
| **Mediana** | {\displaystyle 0} |
| **Moda** | {\displaystyle 0} |
| **Varianza** | {\displaystyle {\frac {\nu }{\nu -2}}\!} para {\displaystyle \nu >2}, indefinida para outros valores |
| **Asimetría** | {\displaystyle 0} para {\displaystyle \nu >3} |
| **Curtose** | {\displaystyle {\frac {6}{\nu -4}}\!} para {\displaystyle \nu >4} |
| **Entropía** | {\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {\nu +1}{2}}\left[\psi ({\frac {1+\nu }{2}})-\psi ({\frac {\nu }{2}})\right]\\[0.5em]+\log {\left[{\sqrt {\nu }}B({\frac {\nu }{2}},{\frac {1}{2}})\right]}\end{matrix}}}* {\displaystyle \psi }: función digamma,
* B: función beta
 |
| **F. xeradora de momentos** | (Non definida) |
| **Func. caract.** |  |

A **distribución t** (**de Student**) é unha distribución de probabilidade que xorde do problema de estimar a media dunha poboación normalmente distribuída cando o tamaño da mostra é pequeno.

Aparece de xeito natural ao realizar a proba t de Student para a determinación das diferenzas entre dúas medias das mostras e para a construción do intervalo de confianza para a diferenza entre as medias de dúas poboacións cando se descoñece o desvío estándar dunha poboación e esta debe ser estimada a partir dos datos dunha mostra.

Caracterización
---------------

A distribución t de Student é a distribución de probabilidade do cociente

{\displaystyle T={\frac {Z}{\sqrt {V/\nu \ }}}=Z{\sqrt {\frac {\nu \ }{V}}}}
onde

* *Z* é unha variable aleatoria distribuída segundo unha normal típica (de media nula e varianza 1).
* *V* é unha variable aleatoria que segue unha distribución χ² con {\displaystyle \nu \ } graos de liberdade.
* *Z* e *V* son independentes

Se *μ* é unha constante non nula, o cociente {\displaystyle {\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu \ }}}} é unha variable aleatoria que segue a distribución t de Student non central con parámetro de non-centralidade \mu .

Aparición e especificacións da distribución *t* de Student
----------------------------------------------------------

Supóñase que *X*1,... *X**n* son variables aleatorias independentes distribuídas normalmente, con media μ e varianza σ2

Sexa

{\displaystyle {\overline {X}}\_{n}=(X\_{1}+\cdots +X\_{n})/n}
a media da mostra. Entón

{\displaystyle Z={\frac {{\overline {X}}\_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}}}
segue unha distribución normal de media 0 e varianza 1.

Non obstante, dado que o desvío estándar non sempre se coñece previamente, Gosset estudou un cociente relacionado,

{\displaystyle T={\frac {{\overline {X}}\_{n}-\mu }{S\_{n}/{\sqrt {n}}}},}
{\displaystyle S^{2}(x)={\frac {1}{n-1}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}
é a varianza da mostra e demostrou que a función de densidade de *T* é

{\displaystyle f(t)={\frac {\Gamma ((\nu +1)/2)}{{\sqrt {\nu \pi \,}}\,\Gamma (\nu /2)}}(1+t^{2}/\nu )^{-(\nu +1)/2}}
onde {\displaystyle \nu \ } é igual a *n* − 1.

A distribución de *T* chámase agora a **distribución-*t* de Student**.

O parámetro {\displaystyle \nu \ } representa o número de *graos de liberdade*. A distribución depende de {\displaystyle \nu \ }, pero non de \mu  ou \sigma , o que é moi importante na práctica.

Intervalos de confianza derivados da distribución *t* de Student
----------------------------------------------------------------

O procedemento para o cálculo do intervalo de confianza baseado na *t* de Student consiste en estimar o desvío estándar dos datos S e calcular o erro estándar da media: {\displaystyle {\overline {X}}={\frac {S}{\sqrt {n}}}}, sendo entón o intervalo de confianza para a media: {\displaystyle {\overline {X}}=\pm t\_{\alpha /2,n-1}{\frac {S}{\sqrt {n}}}} .

Este resultado é o que se emprega no test de Student: posto que a diferenza das medias de mostras de dúas distribucións normais distribúese tamén normalmente, a distribución *t* pode empregarse para examinar se esa diferenza se pode supor razoablemente igual a cero.

Para efectos prácticos o valor esperado e a varianza son:

{\displaystyle E(t(n))=0} e {\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)} para {\displaystyle n>3}
{\displaystyle E(t(n))=0} e {\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)} para {\displaystyle n>3}
{\displaystyle E(t(n))=0} e {\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)} para {\displaystyle n>3}
{\displaystyle E(t(n))=0} e {\displaystyle Var(t(n-1))=n/(n-2)} para {\displaystyle n>3}

Historia
--------

A distribución de Student foi descrita en 1908 por William Sealy Gosset. Gosset traballaba nunha fábrica de cervexa, Guinness, que prohibía aos seus empregados a publicación de artigos científicos debido a unha difusión previa de segredos industriais. Por ese motivo, Gosset publicou os seus resultados baixo o pseudónimo de *Student* ("estudante").

Distribución t de Student non estandarizada
-------------------------------------------

A distribución t pode xeralizarse a 3 parámetros, introducindo un parámero locacional \mu  e outro de escala \sigma. O resultado é unha distribución t de Student non estandarizada cunha densidade que está definida por:

{\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma )={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu }}\sigma }}\left(1+{\frac {1}{\nu }}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}
Equivalentemente, pode escribirse en termos de \sigma ^{2} (correspondente á varianza en vez de ao desvío estándar):

{\displaystyle p(x|\nu ,\mu ,\sigma ^{2})={\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{\Gamma ({\frac {\nu }{2}}){\sqrt {\pi \nu \sigma ^{2}}}}}\left(1+{\frac {1}{\nu }}{\frac {(x-\mu )^{2}}{\sigma ^{2}}}\right)^{-{\frac {\nu +1}{2}}}}
Outras propiedades desta versión da distribución t son:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=\mu \quad \quad \quad {\text{para }}\,\nu >1,\\{\text{Var}}(X)&=\sigma ^{2}{\frac {\nu }{\nu -2}}\,\quad {\text{para }}\,\nu >2,\\{\text{Moda}}(X)&=\mu .\end{aligned}}}

Notas
-----

1. ↑  Walpole, Roland; Myers, Raymond; Ye, Keying (2002). "Probability and Statistics for Engineers and Scientists". Pearson Education.
2. 1 2  Jackman, Simon (2009). *Bayesian Analysis for the Social Sciences*. Wiley. pp. 507.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* Tabla de distribución de t de Student
* Prueba t de Student na UPTC de Colombia
* Distribución t-Student: Puntos porcentuais para probabilidade superior
* Cálculo da probabilidade dunha distribución t de Student con R (linguaxe de programación)

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q576072
* BRE: 4170429
* EBID: ID
* MAG: 49232408

 |