Nas matemáticas, o **produto tensorial**, denotado por {\displaystyle \otimes }, pódese aplicar en diversos contextos de vectores, matrices, tensores e espazos vectoriais. En cada caso a significación do símbolo é a mesma: a operación bilinear máis xeral.

Un caso representativo é o produto de Kronecker de dúas matrices calquera. 
**Exemplo:**

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{1}\\a\_{2}\\a\_{3}\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}&b\_{4}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{1}b\_{1}&a\_{1}b\_{2}&a\_{1}b\_{3}&a\_{1}b\_{4}\\a\_{2}b\_{1}&a\_{2}b\_{2}&a\_{2}b\_{3}&a\_{2}b\_{4}\\a\_{3}b\_{1}&a\_{3}b\_{2}&a\_{3}b\_{3}&a\_{3}b\_{4}\end{bmatrix}}}

rango resultante = 2, dimensión resultante = 3x4.

Aquí o rango denota o número de índices indispensables, mentres que a dimensión conta o número de graos de liberdade na matriz que resulta.

Definición formal
-----------------

### Produto tensorial de grupos abelianos

Sexan M e {\displaystyle N} dous grupos abelianos. Consideramos o grupo abeliano libre {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(M\times N)}} de M e {\displaystyle N}. Este grupo abeliano é o formado por aplicacións

{\displaystyle f\_{(m,n)}:M\times N\longrightarrow \mathbb {Z} }
de forma que eventualmente {\displaystyle f\_{(m,n)}=0} (p.e. para cada {\displaystyle (m,n)\in M\times N:f\_{(m,n)}(a,b)=0} excepto para unha cantidade finita de elementos {\displaystyle (a,b)\in M\times N}). Como todo grupo abeliano, podemos consideralo como {\mathbb {Z}}-módulo. Baixo esta óptica, o grupo abeliano libre {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(M\times N)}} pode expresarse como o conxunto das combinacións {\mathbb {Z}}-lineares dos elementos:

{\displaystyle \{e\_{(m,n)}:M\times N\longrightarrow \mathbb {Z} :(m,n)\in M\times N,e\_{(m,n)}(a,b)=\delta \_{(m,n)}(a,b)\}}
onde {\displaystyle \delta \_{(m,n)}} é a delta de Kronecker do elemento {\displaystyle (m,n)\in M\times N}, que é unha función {\displaystyle M\times N\longrightarrow \{0,1\}} de forma que {\displaystyle \delta \_{(m,n)}(a,b)=1} se e só se {\displaystyle m=a} e {\displaystyle n=b}, e 0 en calquera outro caso.

Tomando agora o conxunto dos {\displaystyle f\_{(m,n)}\in \mathbb {Z} ^{(M\times N)}} de forma que, calquera que sexan {\displaystyle m\in M} e n\in N é

{\displaystyle f\_{(m,n)}=e\_{(m\_{1}+m\_{2},n)}-e\_{(m\_{1},n)}-e\_{(m\_{2},n)}}
para algúns {\displaystyle m\_{1},m\_{2}\in M} ou ben

{\displaystyle f\_{(m,n)}=e\_{(m,n\_{1}+n\_{2})}-e\_{(m,n\_{1})}-e\_{(m,n\_{2})}}
para algúns {\displaystyle n\_{1},n\_{2}\in N}. Denominamos K o subgrupo xerado por este conxunto. É un subgrupo normal (xa que é un subgrupo dun grupo abeliano) de {\displaystyle \mathbb {Z} ^{(M\times N)}}.

O produto tensorial de M e {\displaystyle N} é o grupo cociente {\displaystyle {\frac {\mathbb {Z} ^{(M\times N)}}{K}}}. Denótase por {\displaystyle M\otimes N}.
A clase de equivalencia do elemento {\displaystyle e\_{(m,n)}} denótase {\displaystyle m\otimes n}.

### Produto tensorial de módulos

Sexan R un anel unitario, M un R-módulo a dereitas e N un R-módulo a esquerdas. Consideramos o módulo libre {\displaystyle R^{(M\times N)}} de M e {\displaystyle N}. Tomando agora o conxunto dos {\displaystyle f\_{(m,n)}\in R^{(M\times N)}} de forma que, calquera que sexan {\displaystyle m\in M} e todo n\in N é

{\displaystyle f\_{(m,n)}=e\_{(m\_{1}+m\_{2},n)}-e\_{(m\_{1},n)}-e\_{(m\_{2},n)}}
para algúns {\displaystyle m\_{1},m\_{2}\in M}, ou ben {\displaystyle f\_{(m,n)}=e\_{(m,n\_{1}+n\_{2})}-e\_{(m,n\_{1})}-e\_{(m,n\_{2})}} para algúns {\displaystyle n\_{1},n\_{2}\in N}, ou ben

{\displaystyle f\_{(m,n)}=e\_{(m\_{1}\cdot r,n\_{1})}-e\_{(m\_{1},r\cdot n\_{1})}}
para algúns {\displaystyle r\in R,m\_{1}\in M} e {\displaystyle n\_{1}\in N}. Denominamos K o submódulo xerado por este conxunto.

O produto tensorial de M e {\displaystyle N} é o grupo cociente {\displaystyle {\frac {R^{(M\times N)}}{K}}}. Denótase por {\displaystyle M\otimes \_{R}N}.
A clase de equivalencia do elemento {\displaystyle e\_{(m,n)}} denótase {\displaystyle m\otimes n}.

Produto tensorial de dous tensores
----------------------------------

*Véxase tamén**:* Cálculo tensorial.
Hai unha fórmula particular para o produto de dous (ou máis) tensores 

{\displaystyle (V\otimes U)\_{i\_{1},i\_{2},...i\_{n},j\_{1},j\_{2},...j\_{m}}=V\_{i\_{1},i\_{2},...i\_{n}}U\_{j\_{1},j\_{2},...j\_{m}}},
onde se esta asumindo, para simplificar, tensores ortogonais, sen distinción entre índices covariantes e contravariantes.

Os parámetros introducidos arriba traballan así: 

{\displaystyle {\rm {rank}}(U\otimes V)={\rm {rank}}(U)+{\rm {rank}}(V)}
{\displaystyle {\rm {dim}}(U\otimes V)={\rm {dim}}(U)\cdot {\rm {dim}}(V)}

Produto tensorial de funcións multilineares
-------------------------------------------

Dadas as funcións multilineares *f(x1... xk)* e *g(x1... xm)* o seu produto tensorial é a función multilinear {\displaystyle (f\otimes g)(x\_{1},...x\_{k+m})=f(x\_{1},...x\_{k})g(x\_{k+1},...x\_{k+m})}

Produto tensorial de espazos vectoriais
---------------------------------------

O produto {\displaystyle V\otimes W} de dous espazos vectoriais *V* e *W* teñen unha definición formal polo método de *xeradores e relacións*. A clase de equivalencia de (v, w) chámase un tensor e é denotada por {\displaystyle v\otimes w}. Por construción, pódese probar só tantas identidades entre os tensores, e as sumas de tensores, como se seguen das relacións usadas.

Tómese o espazo vectorial xerado por *W x V* e aplíquense (factorizar os subespazos xerados) as relacións multilineares detalladas abaixo. Con esta notación as relacións toman a forma:

* {\displaystyle (v\_{1}+v\_{2})\otimes w=v\_{1}\otimes w}{\displaystyle +v\_{2}\otimes w}
* {\displaystyle v\otimes (w\_{1}+w\_{2})=v\otimes w\_{1}+v\otimes w\_{2}}
* {\displaystyle cv\otimes w=v\otimes cw=c(v\otimes w)}
* cada elemento do produto tensorial é unha suma finita de tensores: requírese máis dun tensor xeralmente para facer iso. Móstrase simplemente como construír unha base dos {\displaystyle V\otimes W}.

Dadas bases para *V* e *W*, o conxunto de produtos tensoriais dos vectores de base, un de *V* e un de *W*, fórmase unha base para {\displaystyle V\otimes W}.

A dimensión do produto tensorial polo tanto é o produto de dimensións.

Propiedade universal do produto tensorial
-----------------------------------------

Sexan G un grupo abeliano, R un anel unitario, M un R-módulo a dereitas, {\displaystyle N} un R-módulo a esquerdas e {\displaystyle f:M\times N\longrightarrow G} unha aplicación R-equilibrada (se M e {\displaystyle N} os consideramos só como grupos abelianos, entón {\displaystyle R=\mathbb {Z} }; se fosen M e {\displaystyle N} espazos vectoriais, entón R sería un corpo, se M e {\displaystyle N} fosen espazos vectoriais reais, sería {\displaystyle R=\mathbb {R} }). Existe un único homomorfismo de grupos {\displaystyle \varphi \in \hom(M\otimes \_{R}N,G)} de maneira que {\displaystyle \varphi (m\otimes n)=f(m,n)}, calquera que sexan {\displaystyle m\in M} e n\in N.

### Particularización a espazos vectoriais reais

O espazo de todos as funcións bilineares desde *V x W* a **R** é naturalmente isomorfo ao espazo de todas as funcións lineares de {\displaystyle V\otimes W} a **R**. Isto é por construción: {\displaystyle V\otimes W} teñen só as relacións que son necesarias para asegurarse de que un homomorfismo dos {\displaystyle V\otimes W} a **R** será bilinear.

Produto tensorial de espazos de Hilbert
---------------------------------------

O produto tensorial de dous espazos de Hilbert é outro espazo de Hilbert, que se define segundo o descrito abaixo.

### Definición

Sexan *H*1 e *H*2 dous espazos de Hilbert cos produtos internos < ·, ·>1 e < ·, ·>2, respectivamente. Constrúese o produto tensorial de *H*1 e *H*2 como espazos vectoriais segundo o explicado arriba. Podemos converter este produto tensorial de espazos vectoriais nun con produto escalar definindo:

{\displaystyle \langle \phi \_{1}\otimes \phi \_{2},\psi \_{1}\otimes \psi \_{2}\rangle =\langle \phi \_{1},\psi \_{1}\rangle \_{1}\,\langle \phi \_{2},\psi \_{2}\rangle \_{2}\quad \forall \phi \_{1},\psi \_{1}\in H\_{1}{\mbox{ y }}\phi \_{2},\psi \_{2}\in H\_{2}}
e estendendo por linearidade. Finalmente, tomamos completación deste produto interno. O resultado é o produto tensorial de *H*1 e *H*2 como espazos de Hilbert.

### Propiedades

Se *H*1 e *H*2 teñen bases ortonormais {φ*k*} e {ψ*l*}, respectivamente, entón {φ*k*⊗ψ*l*} son unha base ortonormal para *H*1⊗*H*2.

### Exemplos e aplicacións

Os exemplos seguintes mostran que os produtos tensoriais se presentan naturalmente.

Dados dous espazos de medida *X* e *Y*, con μ e ν as medidas respectivamente, un pode considerar L²(*X* × *Y*), o espazo das funcións en *X* × *Y* que son cadrado-integrables con respecto á medida produto μ × ν. Se *f* é unha función cadrado-integrable en *X*, e *g* é unha función cadrado-integrable en *Y*, entón podemos definir unha función *h* en *X* × *Y* por *h*(*x*, *y*) = *f*(*x*) *g*(*y*). A definición da medida produto asegúranos que todas as funcións desta forma son cadrado-integrables, así que esta define unha función bilinear de L²(*X*) × L²(*Y*) → L²(*X* × *Y*). As combinacións lineares das funcións da forma *f*(*x*) *g*(*y*) están tamén en L²(*X* × *Y*). Resulta que o conxunto de combinacións lineares é de feito denso en L²(*X* × *Y*), se L²(*X*) e L²(*Y*) son separables. Isto demostra que L²(*X*) ⊗ L²(*Y*) é isomorfo a L²(*X* × *Y*), e tamén explica porque necesitamos tomar a completación na construción do produto tensorial do espazo de Hilbert.

Semellantemente, podemos demostrar que L²(*X*; *H*), denotando o espazo das funcións cadrado-integrables de *X* → *H*, é isomorfo ao L²(*X*) ⊗ *H* se este espazo é separable. O isomorfismo manda *f*(*x*) ⊗ψ ∈ L²(*X*)⊗ *H* a *f*(*x*)ψ ∈ L²(*X*; *H*). Podemos combinar isto co exemplo anterior e concluír que L²(*X*) ⊗ L²(*Y*) e L²(*X* × *Y*) son ambos isomorfos a L²(*X*; L²(*Y*)).

Os produtos tensoriais dos espazos de Hilbert preséntanse a miúdo na mecánica cuántica. Se unha certa partícula é descrita polo espazo de Hilbert *H*1, e se describe outra partícula por *H*2, entón o conxunto que consiste en ambas partículas é descrito polo produto tensorial de *H*1 e *H*2. Por exemplo, o espazo de estado dun oscilador harmónico cuántico é L²(**R**), así que o espazo de estado de dous osciladores é L²(**R**) ⊗ L²(**R** ), o cal é isomorfo a L²(**R**²). Polo tanto, o conxunto de dúas partículas é descrito polas funcións da onda da forma φ(*x*1, *x*2). Un exemplo máis intricado é proporcionado polos espazos de Fock, que describen un número variable de partículas.

Descrición intrínseca
---------------------

Na álxebra abstracta, a álxebra linear é elevada a álxebra multilinear introducindo o **produto tensorial** de dous espazos vectoriais. Introdúcese para reducir o estudo dos operadores bilineares ao dos operadores lineares. Isto é suficiente para facer o mesmo con todas as funcións multilineares.

Formalmente, o produto tensorial dos dous espazos vectoriais *V* e *W* sobre o mesmo corpo base *F* é definido pola seguinte propiedade universal: é un espazo vectorial *T* sobre *F*, xunto cun operador bilinear: {\displaystyle \otimes :V\times W\rightarrow T}, tales que para cada operador bilinear {\displaystyle B:V\times W\rightarrow X} existe un operador linear *L* único: *L: T → X* con {\displaystyle B=L\circ \otimes }, i.e. {\displaystyle B(x,y)=L(x\otimes y)} para todo *x* en *V* e *y* en *W*.

O produto tensorial é único salvo isomorfismo, especificado univocamente por este requisito, e podemos polo tanto escribir {\displaystyle V\otimes W} en vez de *T*. Pola construción directa, segundo o suxerido na sección anterior, un pode demostrar que existe o produto tensorial para dous espazos vectoriais calquera. O espazo {\displaystyle V\otimes W} é xerado pola imaxe da {\displaystyle \otimes } e aínda máis: se *S* é unha base de *V* e *T* é unha base de *W*, entón os
{\displaystyle s\otimes t} (tal que {\displaystyle s\in S} e {\displaystyle t\in T}) son unha base para {\displaystyle V\otimes W}.

A dimensión do espazo polo tanto está dada polo produto das dimensións de *V* e de *W*. É posible xeneralizar a definición a un produto tensorial de calquera número de espazos. Por exemplo, a propiedade universal de {\displaystyle V\otimes W\otimes X} é que cada operador tri-linear en {\displaystyle V\times W\times X} corresponde a un operador linear único en {\displaystyle V\otimes W\otimes X}.

O produto binario tensorial é asociativo: {\displaystyle (V\otimes W)\otimes Z} é naturalmente isomorfo a {\displaystyle V\otimes (W\otimes Z)}.

O produto tensorial dos tres pódese polo tanto identificar con calquera deses: o binario {\displaystyle \otimes } será suficiente. Os espazos tensoriais permiten que utilicemos a teoría de operadores lineares para estudar operadores multilineares, onde o caso bilinear é o principal.

Relación co espazo dual
-----------------------

Nótese que o espazo {\displaystyle (V\otimes W)^{\star }} (espazo dual de {\displaystyle V\otimes W} que contén todos os funcionais lineares nese espazo) corresponde naturalmente ao espazo de todos os funcionais bilineares nos {\displaystyle V\times W}. É dicir, cada funcional bilinear é un funcional no produto tensorial, e viceversa. Cando os espazos V e W son de dimensión finita, existe un isomorfismo natural entre {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }} e {\displaystyle (V\otimes W)^{\star }}. Así pois, os tensores dos funcionais lineais son funcionais bilineares. Isto dános unha nova maneira de mirar o espazo de funcionais bilineares: como *produto tensorial*. No caso de dimensión arbitraria, tan só temos a inclusión {\displaystyle V^{\star }\otimes W^{\star }\subset (V\otimes W)^{\star }}.

Tipos de tensores, v.g. alternantes
-----------------------------------

Os subespazos lineares de operadores bilineares (ou en xeral, operadores multilineares) determinan espazos cociente naturais do espazo tensorial, que son con frecuencia útiles. Vexa produto cuña para o primeiro exemplo principal. Outro sería o tratamento das formas alxébricas como tensores anti-simétricos.

Sobre aneis máis xerais
-----------------------

É tamén posible xeneralizar a definición para os produtos tensoriais de módulos sobre o mesmo anel. Se o anel é non conmutativo, necesitaremos ter coidado en distinguir os módulos dereitos e os módulos esquerdos. Escribiremos *RM* para un módulo esquerdo, e *MR* para un módulo dereito. Se un módulo *M* ten unha estrutura esquerda de módulo sobre un anel *R* e unha estrutura de módulo dereito sobre un anel *S*, e ademais para cada *m* en *M*, r en *R* e s en *S* temos r(ms) = (rm)s, entón diremos que *M* é un bimódulo, e notarémolo *RMS*. Nótese que cada módulo esquerdo é un bimódulo con **Z** actuando por mn = *m + m +... +m* de m como o anel dereito, e viceversa.

Ao definir o produto tensorial, necesitamos ser coidadosos respecto ao anel: a maioría dos módulos pódense considerar como distintos módulos sobre diversos aneis ou sobre o mesmo anel con diversas accións do anel nos elementos do módulo. A forma máis xeral da definición de produto tensorial é como segue: Sexan *MR* e *RN* un módulo dereito e un módulo esquerdo, respectivamente. O seu produto tensorial *R* é un grupo abeliano *P* xunto cun operador *R*-bilineal *T*: *M* x *N* → *P* tal que para cada operador *R*-bilinear *B*: *M* x *N* → *O* hai un homomorfismo de grupos único *L*: *P* → *O* tales que *L* ou *T* = *B*. *P* non necesita ser un módulo sobre *R*. Mais se *S1MR* é un *S1-R*-bimódulo, entón hai unha única estrutura de *S1*-módulo esquerdo en *P* que é compatible con *T*. Similarmente *RMS2* é un *R-S2*-bimódulo, entón semellantemente hai unha única estrutura de *S2*-módulo dereito en *P* que é compatible con *T*. Se *M* e *N* son ambos bimódulos, entón *P* é tamén un bimódulo, outra vez dunha maneira única. (*P*, *T*) é único salvo un isomorfismo único, e chámaselle "produto tensorial" de *M* e *N*. Se *R* é un anel, *RM* é un *R*-módulo esquerdo, e o conmutador rs-sr de dous elementos calquera *r* e *s* de *R* está no anulador de *M*, entón pódese facer de *M* un módulo dereito de *R* fixando *mr=rm*. Obsérvese que nesta situación a acción de *R* en *M* factoriza por unha acción do anel comutativo *R/Z(R)*, i.e. *R* módulo o seu centro. Neste caso o produto tensorial de *M* consigo mesmo sobre *R* é outra vez un *R*-módulo. Se *M* e *N* é ambos *R*-módulos que satisfán esta condición, entón o seu produto tensorial é outra vez un *R*-módulo. Isto é unha técnica moi común na álxebra comutativa.

Exemplo: Considere os números racionais **Q**  e os enteros módulo *n* **Z***n*. Ambos pódense considerar como módulos sobre os números enteiros, **Z**. Sexa *B*: **Q** x **Z***n* → *M* sexa un operador **Z**-bilinear. Entón *B(q, i) = B(q/n, n\*i) = B(q/p, 0) = 0*, así que cada operador bilinear é identicamente cero. Polo tanto, se definimos *P* como o módulo trivial, e *T* como a función bilinear cero, entón as propiedades para o produto tensorial son satisfeitas. Polo tanto, o produto tensorial de **Q** e **Z***n* é {0}.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Potencia tensorial
* Fibrado vectorial

### Ligazóns externas

* Eric W. Weisstein. Wolfram Research, ed. "Vector Space Tensor Product". *MathWorld* (en inglés).

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1163016
* GEC: 0203807
* MAG: 51255310

 |