Exemplo gráfico de ecuacións lineares.
Unha **ecuación de primeiro grao** ou **ecuación linear** significa que é unha ecuación que involucra unha ou máis variables elevadas á primeira potencia, que non contén produtos entre as variables, é dicir, que só inclúe sumas e restas de variables á **primeira potencia**. En todo anel conmutativo poden definirse ecuacións de primeiro grao.

Cunha incógnita
---------------

Unha ecuación dunha variable {\displaystyle mx+n=0} definida sobre un corpo {\displaystyle \mathbb {K} }, é dicir, con {\displaystyle \{m,n,x\}\subset \mathbb {K} ,m\neq 0} onde *x* é a variable, admite a seguinte solución:

> 
> {\displaystyle x=-{\frac {n}{m}}}
> 
> 
> 

Cando tanto a incógnita como os coeficientes son elementos dun anel que non é un corpo, o asunto é máis complicado xa que só existirán solucións cando *m* divide a *n*:

> 
> {\displaystyle \exists k:n=m\cdot k\Rightarrow x=-k}
> 
> 
>

Con dúas incógnitas
-------------------

No sistema cartesiano representan rectas. Unha forma común das ecuacións lineares de dúas variables é:

> 
> {\displaystyle y=mx+n};
> 
> 
> 

Onde m representa a pendente e o valor de n determina o punto onde a recta corta o eixe Y (a *ordenada na orixe*).

Algúns exemplos de ecuacións lineares:

> 
> {\displaystyle 3x+2y=5}
> {\displaystyle 3x+y-5=-7x+4y+3}
> {\displaystyle x-y+z=15}
> {\displaystyle 3x-2y+z=20}
> {\displaystyle x+4y-3z=10}
> 

### Formas alternativas

Formas complexas como as anteriores poden reescribirse empregando as regras da álxebra elemental en formas máis simples. As letras maiúsculas representan constantes, mentres *x* e *y* son variables.

* **Ecuación xeral**

{\displaystyle Ax+By+C=0}
*A* e *B* non son ambos cero. Representa unha liña no plano cartesiano. É posible atopar os valores onde *x* e *y* se anulan.
* **Ecuación segmentaria ou simétrica**

{\displaystyle {\frac {x}{E}}+{\frac {y}{F}}=1}
Nin *E* nin *F* poden ser cero. O gráfico desta ecuación corta o eixe X e o eixe Y en *E* e *F* respectivamente.
* **Forma paramétrica**

1. {\displaystyle x=Ut+x\_{0}}
2. {\displaystyle y=Vt+y\_{0}}

Dúas ecuacións que deben cumprirse de xeito simultáneo, cada unha na variable *t*. Pode converterse á forma xeral despexando *t* en ambas as ecuacións e igualando. Nesta representación pode afirmarse que a recta pasa polo punto {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})} e forma co eixe de abscisas un ángulo con tanxente: {\displaystyle \tan \alpha =V/U}
* **Casos especiales:**

{\displaystyle y=F}
Un caso especial é a forma estándar onde {\displaystyle A=0} y {\displaystyle B=1}. O gráfico é unha liña horizontal sen intersección co eixe X ou (si *F* = 0) coincidente con ese eixe.
{\displaystyle x=E}
Outro caso especial da forma xeral onde {\displaystyle A=1} e {\displaystyle B=0}. O gráfico é unha liña vertical que interseca o eixe X en *E*.
{\displaystyle 0=0}
Neste caso, todas as variables foron canceladas, deixando unha ecuación que é verdadeira en todos os casos. A forma orixinal (non unha tan trivial como a do exemplo) chámase identidade. O gráfico é todo o plano cartesiano, xa que a satisfai todos os pares de números reais *x* e *y*.
Se a manipulación alxébrica leva a unha ecuación como **1 = 0** entón a orixinal chámase *inconsistente*, ou sexa que non se cumpre para ningún par de números *x* e *y*. Un exemplo podería ser: {\displaystyle 3x+2=3x}.

Adicionalmente podería haber máis de dúas variables, en ecuacións simultáneas.

Ecuación linear no espazo n-dimensional
---------------------------------------

As ecuacións lineares de varias variables admiten tamén interpretacións xeométricas, cando os coeficientes da ecuación pertencen a un corpo. Así, unha función linear de dúas variables da forma

> 
> {\displaystyle f(x,y)=a\_{1}x+a\_{2}y}
> 
> 
> 

representa unha recta nun plano. En varias variables asumendo que tanto as variables {\displaystyle x\_{i}\in \mathbb {K} } e os coeficientes {\displaystyle x\_{i}\in \mathbb {K} }, onde {\displaystyle \mathbb {K} } é un corpo entón unha ecuación linear como

> 
> {\displaystyle f(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=a\_{1}x\_{1}+a\_{2}x\_{2}+...+a\_{n}x\_{n}}
> 
> 
> 

representa un hiperplano de *n*-1 dimensións no espazo vectorial n-dimensional {\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}.

### Sistemas de ecuacións lineares

Os sistemas de ecuacións lineares expresan varias ecuacións lineares simultaneamente e admiten un tratamento matricial. Para a súa resolución debe haber tantas ecuacións como incógnitas e o determinante da matriz ha de ser real e non nulo. Xeometricamente corresponden a interseccións de liñas nun único punto (sistema linear de dúas ecuacións con dúas incógnitas), planos nunha recta (dúas ecuacións lineares de tres incógnitas) o un único punto (tres ecuacións lineares de tres incógnitas). Os casos nos que o determinante da matriz é nulo non posúen solución.

> 
> {\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}5\,x&-&3\,y&+&4\,z&=&8\\-3\,x&+&2\,y&+&6\,z&=&5\\4\,x&-&5\,y&+&3\,z&=&3\end{array}}\right.}
> 
> 
> 

Se se consideran *n* ecuacións de primeiro grao linearmente independentes definidas sobre un corpo entón existe solución única para o sistema se se dan as condicións do teorema de Rouché-Frobenius, e pode ser calculada mediante a regra de Cramer que é aplicable a calquera corpo. Se as ecuacións non son linearmente independentes ou non se dan as condicións do teorema a situación é máis complicada. Se o sistema se formula sobre un anel conmutativo que non sexa un corpo, a existencia de solucións é tamén máis complexa.

Linearidade
-----------

Unha función definida sobre un espazo vectorial é linear se e só se cumpre a seguinte proposición:

> 
> {\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)}
> {\displaystyle f(\alpha x)=\alpha f(x)}
> 

onde *α* é calquera escalar. Tamén se chama a *f* operador linear

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Función linear
* Ecuación de segundo grao

### Ligazóns externas

* Exercicios de ecuacións de primeiro grao

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q484637
* BNCF: 32452
* BNF: 11940360c
* EBID: ID
* GND: 4234490-6
* JSTOR: linear-equations
* LCCN: sh85044522
* MAG: 77346573
* PSH: 7218

 |