Tales de Mileto.
Existen dous teoremas relacionados coa xeometría clásica que reciben o nome de **teorema de Tales**, ambos atribuídos ao matemático grego Tales de Mileto no século VI a. C.

Os dous teoremas de Tales
-------------------------

Semicírculo que ilustra o segundo teorema de Tales.
O primeiro deles explica esencialmente unha forma de construír un triángulo semellante a un previamente existente ("os triángulos semellantes son os que teñen ángulos congruentes, isto deriva en que os seus lados homólogos sexan proporcionais e viceversa").

Mentres que o segundo desentraña unha propiedade esencial dos circuncentros de todos os triángulos rectángulos ("atopándose estes no punto medio da súa hipotenusa"), que á súa vez na construción xeométrica é amplamente utilizado para impor condicións de construción de ángulos rectos.

Se diversas rectas paralelas son intersecadas por dúas transversais, os segmentos determinados polas paralelas e correspondentes entre transversais, son proporcionais.

Primeiro teorema
----------------

Unha aplicación do teorema de Tales.
Como definición previa ao enunciado do teorema, é necesario establecer que dous triángulos son semellantes se teñen os ángulos correspondentes iguais ou si os seus lados son proporcionais entre si. O primeiro teorema de Tales recolle un dos resultados máis básicos da xeometría:

|  |
| --- |
| 
**Teorema primeiro**
Se nun triángulo se traza unha liña paralela a calquera dos seus lados, obtense un triángulo que é semellante ao triángulo dado.
Tales de Mileto |

Segundo parece, Tales descubriu o teorema mentres investigaba a condición de paralelismo entre dúas rectas. De feito, o primeiro teorema de Tales pode enunciarse como que a igualdade dos cocientes dos lados de dous triángulos non é condición suficiente de paralelismo. Con todo, a principal aplicación do teorema, e a razón da súa fama, derívase do establecemento da condición de semellanza de triángulos, por mor da cal se obtén o seguinte corolario.

### Corolario

Do establecemento da existencia dunha relación de semellanza entre ambos os triángulos dedúcese a necesaria proporcionalidade entre os seus lados. Iso significa que a razón entre a lonxitude de dous deles nun triángulo mantense constante no outro.

Por exemplo, na figura obsérvanse dous triángulos que, en virtude do teorema de Tales, son semellantes. Entón, do mesmo dedúcese a modo de corolario que o cociente entre os lados A e B do triángulo pequeno é o mesmo que o cociente entre os lados D e C no triángulo grande. Isto é, que como polo teorema de Tales ambos os triángulos son semellantes, cúmprese que:

{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}\,}
Este corolario é a base da xeometría descritiva. A súa utilidade é evidente; segundo Heródoto, o propio Tales empregou o corolario do seu teorema para medir a altura da pirámide de Keops en Exipto. En calquera caso, o teorema demostra a semellanza entre dous triángulos, non a constancia do cociente.

Do primeiro teorema de Tales dedúcese ademais o seguinte (realmente é outra variante de devandito teorema, e, á súa vez, consecuencia do mesmo): Se as rectas A, B, C son paralelas e cortan outras dúas rectas R e S, entón os segmentos que determinan nelas son proporcionais.

Segundo teorema
---------------

***fig 2.1*** Ilustración do enunciado do segundo teorema de Tales de Mileto.

|  |
| --- |
| 
**Teorema segundo**
Sexa **B** un punto da circunferencia de diámetro **AC** e centro "O", distinto de **A** e de **C**. Entón o triángulo **ABC**, é un triángulo rectángulo onde <ABC = 90º.
Tales de Mileto |

Este teorema (*véxase* ***fig 2.1*** e ***2.2***), é un caso particular dunha propiedade dos puntos cocíclicos e da aplicación dos ángulos inscritos dentro dunha circunferencia.

### Demostración

fig 2.2 Sempre que AC sexa un diámetro, o ángulo B será constante e recto.***fig 2.2*** Sempre que **AC** sexa un diámetro, o ángulo **B** será constante e recto.
fig 2.3 Os  triángulos  AOB e BOC son isósceles.***fig 2.3*** Os triángulos **AOB** e **BOC** son isósceles.

Na circunferencia de centro **O** e raio **r** (*véxase **fig 2.3***), os segmentos

**OA** , **OB** e **OC**
son iguais por seren todos raios da mesma circunferencia. Polo tanto os triángulos **AOB** e **BOC** son isósceles.

A suma dos ángulos do triángulo **ABC** é:

{\displaystyle 2\alpha +2\beta =\pi =180^{\circ }}
Dividindo ambos os membros da ecuación anterior entre dous, obtense:

{\displaystyle A{\widehat {B}}C=\alpha +\beta ={\frac {\pi }{2}}\;=90^{\circ }}
Coa expresión anterior o segundo teorema queda demostrado.

### Corolarios

|  |
| --- |
| 
**(Corolario 1)**
En todo triángulo rectángulo a lonxitude da mediana correspondente á hipotenusa é sempre a metade da mesma.
 |

Xa que aplicando o teorema anterior, sábese que para calquera posición que adopte o vértice **B** vale a igualdade, **OA** = **OB** = **OC** = ***r***, onde **OB** é a mediana da hipotenusa, (véxase ***fig 2.3***).

|  |
| --- |
| 
**Corolario 2**
A circunferencia circunscrita a todo triángulo rectángulo sempre ten raio igual á metade da hipotenusa e o seu circuncentro localizarase no punto medio da mesma.
 |

O corolario 2 tamén xorde de aplicar o teorema anterior. Para unha comprensión intuitiva basta observar a ***fig 2.2***.

Aplicación do segundo teorema
-----------------------------

Construción de tanxentes (liñas vermellas) a unha circunferencia k desde un punto P, utilizando o segundo teorema de Tales.
O segundo teorema pode ser aplicado para trazar as tanxentes a unha circunferencia ***k*** dada, que ademais pasen por un punto ***P*** coñecido e externo á mesma (*véxase figura*).

Suporase que unha tanxente calquera ***t*** (por agora descoñecida) toca a circunferencia ***k*** nun punto ***T*** (tamén descoñecido por agora). Sábese por simetría que calquera raio ***r*** da circunferencia ***k*** é perpendicular á tanxente do punto ***T*** que devandito raio define na mesma, polo que se conclúe que o ángulo ***OTP*** é necesariamente recto.

O anterior implica que o triángulo ***OTP*** é rectángulo. Lembrando o corolario 2 do teorema segundo de Tales pódese deducir que entón o triángulo ***OTP*** é inscribible nunha circunferencia de radio ½ da hipotenusa ***OP*** do mesmo.

Entón marcando o punto ***H*** como punto medio da hipotenusa ***OP*** e facendo centro no mesmo, pódese debuxar unha segunda circunferencia auxiliar (*gris na figura*) que será a que circunscribe ao triángulo ***OTP***.

Esta última circunferencia trazada intersecarase coa circunferencia ***k*** en dous puntos ***T*** e ***T'***, estes son xustamente os puntos de tanxencia das dúas rectas que son simultaneamente tanxentes a ***k*** e ademais pasan polo punto ***P***, agora xa coñecidos os puntos ***T*** e ***T'*** só basta trazar as rectas ***TP*** e ***T'P*** (*vermellas na figura*) para ter resolto o problema.

Lenda relatada por Plutarco
---------------------------

Segundo a lenda relatada por Plutarco, Tales de Mileto nunha viaxe a Exipto, visitou as pirámides de Gizeh, construídas varios séculos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos desta civilización, quixo saber a súa altura.
De acordo á lenda, tratou este problema con semellanza de triángulos (baixo a suposición de que os raios solares incidentes eran paralelos), puido establecer unha relación de semellanza (teorema primeiro) entre dous triángulos rectángulos, por unha banda o que ten por catetos (***C*** e ***D***) á lonxitude da sombra da pirámide (que se pode coñecer) e a lonxitude da súa altura (descoñecida), e doutra banda, valéndose dunha vara cravada no chan de modo perfectamente vertical cuxos catetos coñecibles (***A*** e ***B***) son, a lonxitude da vara e a lonxitude da súa sombra. Realizando as medicións nunha hora do día en que a sombra da vara sexa perpendicular á base da cara desde a cal medía a sombra da pirámide e agregando á súa sombra a metade da lonxitude dunha das caras, obtiña a lonxitude total ***C*** da sombra da pirámide até o centro da mesma.

Como en triángulos semellantes se cumpre que {\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {D}{C}}}, polo tanto a altura da pirámide é {\displaystyle D={\frac {AC}{B}}}, co cal resolveu o problema.

Notas
-----

1. ↑  *Convivio dei Sette Sapienti* (2, 147 A)

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Agricola, Ilka; Friedrich, Thomas (2008). *Elementary Geometry*. AMS. p. 50. ISBN 0-8218-4347-8.
* Heath, T.L. (1921). *A History of Greek Mathematics: From Thales to Euclid* **I**. Oxford. pp. 131ff.

### Ligazóns externas

* Munching on Inscribed Angles
* Teorema de Tales explicado con animacións interactivas

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q285719
* BNCF: 21635
* GEC: 0065057
* MAG: 32373669

 |