En teoría da probabilidade, a **función de distribución** ou **función de distribución acumulada** , é a función que describe completamente a distribución da probabilidade dunha variable aleatoria de valor real *X*. Para cada número real *x*, a función de distribución vén dada por:

{\displaystyle F(x)=\operatorname {P} (X\leq x),}

é dicir, a función de nome "F" é igual á probabilidade de que a variable aleatoria *X* tome un valor inferior ou igual a un determinado *x*. Segundo esta definición, para cada *x*, a función F asumirá un valor diferente.

A probabilidade de que *X* se sitúe nun intervalo ]*a*, *b*] (aberto en *a* e pechado en *b*) é *F*(*b*) − *F*(*a*) se *a* ≤ *b*. Por convención emprégase un *F* maiúsculo para a función de distribución, en contraste co *f* minúsculo empregado para a función de densidade e a función de masa de probabilidade.

A función de distribución pode ser facilmente obtida a partir da función de probabilidade respectiva. No caso dunha variable aleatoria discreta:

{\displaystyle F(x)=\sum \_{x\_{i}\leq x}^{}f(x\_{i})}

Para unha variable aleatoria continua:

{\displaystyle F(x)=\int \_{-\infty }^{x}f(x\_{i})\,dx}

Na definición, o signo "menor ou igual", '≤' podería ser substituído por "menor" '<'. Isto produciría unha función diferente, mais calquera das funcións pode ser deducida facilmente a partir da outra. Tamén se podería substituír por un sinal "maior" '>' e deducir as propiedades desta nova función. Porén, cómpre axustar a definición ao sinal pretendido.

Exemplos
--------

Como exemplo, se a variable *X* é distribuída uniformemente no intervalo [0, 1] a función de distribución vén dada por:

*F*(*x*) = 0, se *x* < 0;
*F*(*x*) = *x*, se 0 ≤ *x* ≤ 1;
*F*(*x*) = 1, se *x* > 1.
Se *X* toma só os valores 0 e 1, con igual probabilidade, é dicir, se *X* segue a distribución de Bernoulli con p = 1/2, entón a función de distribución vén dada por:

*F*(*x*) = 0, se *x* < 0;
*F*(*x*) = 1/2, se 0 ≤ *x* < 1;
*F*(*x*) = 1, se *x* ≥ 1.

Propiedades
-----------

Se *X* é unha variable aleatoria discreta, entón toma os valores *x*1, *x*2, ... con probabilidade *p*1, *p*2 etc. a función de distribución de *X* é descontinua nos puntos *x**i* e constante entre eles.

Se a función de distribución *F* de *X* é continua, entón *X* é unha variable aleatoria continua; se alén diso *F* é absolutamente continua, entón existe unha función integral de Lebesgue *f*(*x*) tal que

{\displaystyle F(b)-F(a)=\operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx}
para todos os números reais *a* e *b*. A primeira das dúas igualdades non sería xeral se a distribución non fose continua. A continuidade da distribución implica que P(*X* = *a*) = P(*X* = *b*) = 0, de modo que a diferenza entre "<" e "≤" deixa de ser importante neste contexto. A función *f* é igual á derivada de *F* (en case todos os puntos), e chámase función de densidade de probabilidade da distribución de *X*.

Para calquera función de distribución F, tense:

* {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}
* F é non decrecente (crecente ou constante): {\displaystyle x\_{1}<x\_{2}\Rightarrow F(x\_{1})\leq F(x\_{2})}
* {\displaystyle F(-\infty )=\lim \_{x\to -\infty }F(x)=0}
* {\displaystyle F(+\infty )=\lim \_{x\to +\infty }F(x)=1}
* F é continua pola dereita: {\displaystyle F(a^{+})=\lim \_{x\to a^{+}}F(x)=F(a)}
* {\displaystyle \operatorname {P} (x=a)=F(a)-F(a^{-})}
* {\displaystyle \operatorname {P} (a<x\leq b)=F(b)-F(a)}, con {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }, e {\displaystyle a<b}

As seguintes propiedades permiten ligar os diferentes tipos de desigualdades, e que se aplican as funcións de distribución de variables aleatorias discretas:

* {\displaystyle \operatorname {P} (X<b)=F(b^{-})}
* {\displaystyle \operatorname {P} (X>a)=1-F(a)}
* {\displaystyle \operatorname {P} (X\geq a)=1-F(a^{-})}
* {\displaystyle \operatorname {P} (a<X<b)=F(b^{-})-F(a)}
* {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X<b)=F(b^{-})-F(a^{-})}
* {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=F(b)-F(a^{-})}

No caso das variables aleatorias continuas, cúmprense as seguintes propiedades:

* F é continua en todos os puntos (no caso das v. a. discretas era só continua pola dereita)
* {\displaystyle \operatorname {P} (x=a)=\int \_{a}^{a}f(x)\,dx=0}
* {\displaystyle \operatorname {P} (a\leq X\leq b)=\operatorname {P} (a\leq X<b)=\operatorname {P} (a<X\leq b)=\operatorname {P} (a<X<b)=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

O test de Kolmogorov-Smirnov baséase en funcións de distribución acumulada e pode empregarse para ver se dúas distribucións empíricas son diferentes ou se unha distribución empírica é diferente dunha distribución ideal. Relacionado con este está o test de Kuiper, que é útil se o dominio da distribución é cíclico como por exemplo nos días da semana. Por exemplo podemos usar o test de Kuiper para ver se o número de tornados varía durante o ano ou se as vendas dun produto varían día a día ou por día do mes.

Notas
-----

1. ↑  Distribution and Quantile Functions na Universidade de Alabama en Huntsville

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Concepto de variable aleatoria e de función de distribución Arquivado 03 de marzo de 2016 en Wayback Machine.
* Portal ActionArquivado 30 de abril de 2017 en Wayback Machine.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q386228
* GEC: 0227259
* JSTOR: cumulative-distribution-functions
* MAG: 103784038

 |