Unha ilustración representando o límite superior e o límite inferior. A sucesión *x**n* está denotada nunha liña de puntos azul. As dúas curvas vermellas aproxímanse ao límite superior e límite inferior de *x**n*, que se amosan como liñas a trazos vermellas, continuas á dereita.
O límite superior é o máis grande dos dous, e o límite inferior o máis pequeno. Os límites superior e inferior só coinciden cando a secuencia é converxente (*i.e.*, cando o límite é común).
En matemática defínese **límite superior** e **límite inferior** dunha sucesión (*x**n*) como o maior e menor límite converxente das subsucesións de (*x**n*). Analogamente a este, o límite superior e límite inferior para funcións reais defínese do mesmo xeito. O límite superior e o límite inferior son un substituto parcial para o límite, se é que este non existe.

Definición formal
-----------------

Formalmente o límite inferior dunha sucesión {\displaystyle (x\_{n})} defínese como

{\displaystyle \sup \_{n\geq 0}\,\inf \_{k\geq n}x\_{k}=\sup\{\inf\{x\_{k}:k\geq n\}:n\geq 0\}}
ou tamén como

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left(\inf \_{k\geq n}x\_{k}\right)}
e denótase como {\displaystyle \liminf \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}} ou como {\displaystyle \varliminf \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}}. Analogamente defínese {\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}=\varlimsup \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}=\inf \_{n\geq 0}\,\sup \_{k\geq n}x\_{k}=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left(\sup \_{k\geq n}x\_{k}\right)}.

Estas definicións son útiles nun conxunto parcialmente ordenado nun sentido cuantitativo, e proporcionan que o supremo e o ínfimo existan. Nunha rede reticular completa sempre existen estes valores, polo que nese caso, cada sucesión ten un límite inferior e límite superior asociado.

Se existe o límite inferior e o límite superior dunha sucesión {\displaystyle (x\_{n})}, entón cúmprese que {\displaystyle \liminf \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}\leq \limsup \_{n\rightarrow \infty }x\_{n}\;.}

Propiedades
-----------

Sexan {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\,} e {\displaystyle \{b\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }\,} sucesións de números reais, entón cúmprense as seguintes afirmacións:

* {\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }a\_{n}\leq \limsup \_{n\to \infty }a\_{n}\,}
* {\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }-a\_{n}=-\limsup \_{n\to \infty }a\_{n}\,}
* {\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }\left(a\_{n}+b\_{n}\right)\leq \limsup \_{n\to \infty }a\_{n}+\limsup \_{n\to \infty }b\_{n}\,}
* {\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }\left(a\_{n}+b\_{n}\right)\geq \liminf \_{n\to \infty }a\_{n}+\liminf \_{n\to \infty }b\_{n}\,}

Límites superior e inferior dunha sucesión de conxuntos
-------------------------------------------------------

Nalgunhas situacións, sobre todo na teoría da medida, é conveniente definir os conceptos de límite superior e inferior para unha secuencia de conxuntos.

Se {\displaystyle E\_{n}\,} é unha sucesión de conxuntos, entón defínese:

* O **límite superior** é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a unha infinidade de conxuntos {\displaystyle E\_{n}\,}.
* O **límite inferior** é o conxunto formado por todos os elementos que pertencen a cada un dos {\displaystyle E\_{n}\,} excepto por un número finito deles.

Dito dun xeito formal:

* {\displaystyle \limsup \_{n\to \infty }E\_{n}={\overline {\lim \_{n\to \infty }}}E\_{n}=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{k=n}^{\infty }E\_{k}\,}
* {\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }E\_{n}={\underline {\lim \_{n\to \infty }}}E\_{n}=\bigcup \_{n=1}^{\infty }\bigcap \_{k=n}^{\infty }E\_{k}\,}

Cúmprese sempre que {\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }E\_{n}\subseteq \limsup \_{n\to \infty }E\_{n}\,}. Cando estes conxuntos coinciden, dicimos que o límite existe:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }E\_{n}=\liminf \_{n\to \infty }E\_{n}=\limsup \_{n\to \infty }E\_{n}\,}

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Heinz Bauer: *Maß- und Integrationstheorie*. 2. Editorial De Gruyter, Berlin 1992, ISBN 3-11-013626-0 (Edición normal), ISBN 3-11-013625-2 (edición de bolsillo), p. 93 (en *Sucesiones de conjuntos*).

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1076611
* MAG: 139916071

 |

---

|  |  |
| --- | --- |
| Este artigo tan só é un bosquexo |  *Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.* *Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.* |

---