Nas matemáticas, a **factorial** dun número natural *n* é o produto de todos os enteiros positivos menores ou iguais a *n*. Iso é escrito como *n!* e lido como "factorial de *n* ". A notación *n!* foi introducida por Christian Kramp en 1808.

Definición
----------

A función factorial é definida como o produto

> {\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-2)\cdot (n-1)\cdot n,}
> 
> 

que se pode escribir como

> {\displaystyle n!=\prod \_{k=1}^{n}k\qquad {\mbox{para todo }}n\geq 0.}
> 
> 

Por exemplo,

5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120
A secuencia das factoriais (secuencia A000142 na OEIS) para *n* = 0, 1, 2,... comeza con:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800,...
### Factorial de cero

A factorial de 0, {\displaystyle 0!}, é 1. Hai diversas razóns que xustifican esta definición:

* Para *n* = 0, a definición de *n*! como produto precisa do produto de ningún número, é a convención estendida di que o produto de ningún factor é igual a identidade na multiplicación, 1.
* Estende a relación de recorrencia (*n* + 1)! = (*n*+1)·*n*! a *n* = 0..

### Factorial de non enteiros

A definición de factorial tamén se pode definir para valores non enteiros a través da función gamma, detallado máis abaixo:

{\displaystyle z!=\Gamma (z+1)=\int \_{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,dt}

Aplicacións
-----------

Aínda que a función factorial ten os seus inicios na combinatoria, as súas aplicacións esténdense por moitas áreas da matemática.

* Existen *n*! camiños diferentes de arranxar *n* obxectos distintos nunha secuencia, chamados permutacións.
* A miúdo aparece en contexto de contar cousas onde a orde non é importante. Por exemplo, no caso de contar o número de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* é dado polo coeficiente binomial

{\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}.}
* Os factoriais tamén aparecen en cálculo. Por exemplo, na serie de Taylor, que expresa a función *f*(*x*) como unha serie de serie de potencias en *x*. A razón principal é que o *n* derivativo de *x**n* é *n*!.
* Os factoriais tamén son usados extensamente na teoría da probabilidade.
* Os factoriais tamén son frecuentemente utilizados como exemplos simplificados de recursividade, en ciencias da computación, porque satisfán as seguintes relacións recursivas: (se *n* ≥ 1):

*n*! = *n* (*n* − 1)!

Como calcular factoriais
------------------------

O valor numérico de *n*! pode ser calculado por multiplicación repetida se *n* non for grande de máis. É iso o que as calculadoras fan. O maior factorial que a maioría das calculadoras aguantan é 69!, porque 70! > 10100.

Cando *n* é grande de máis , *n*! pode ser calculado cunha boa precisión usando a fórmula de Stirling:

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Esa é unha versión simplificada que pode ser probada usando matemática básica de ensino secundario; a ferramenta esencial é a indución matemática. Ela é presentada aquí na forma dun exercicio:

{\displaystyle \left({n \over 3}\right)^{n}<n!<\left({n \over 2}\right)^{n}\ {\mbox{if}}\ n\geq 6.\,}

Logaritmo de factorial
----------------------

O logaritmo dun factorial pode ser usado para calcular o número de díxitos que a base dun factorial irá ocupar. log *n*! pode ser facilmente calculado da seguinte maneira:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\log k}}
Nótese que esa función, demostrada graficamente, é case linear para valores baixos; mais o factor {\displaystyle {\log n!} \over n} crece de maneira arbitraria, aínda que vagarosa. Por exemplo, este é o gráfico os seus primeiros 20 mil valores:

Unha boa aproximación para log n! é facer o logaritmo da aproximación de Stirling.

Factorial para valores non enteiros
-----------------------------------

### A función gamma

*Artigo principal**:* Función gamma.
A función gamma Γ(*z*) é definida para todos os números complexos *z* excepto os enteiros non positivos (*z* = 0, −1, −2, −3, ...). Ela relaciónase cos factoriais polo feito de que satisfai un relacionamento recursivo similar a aquel da función factorial:

{\displaystyle n!=n(n-1)!}
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}
Xunto coa definición Γ(1) = 1 iso xera a ecuación

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n!\qquad {\mbox{para todo }}n\in \mathbb {N} ,n\geq 1.}
Por causa desa relación, a función gamma é frecuentemente tida como unha xeneralización da función factorial para o dominio dos números complexos. Iso é xustificado polas seguintes racións:

* Significado compartido: A definición canónica da función factorial é o relacionamento recursivo mencionado, compartido por ambos.
* Unicidade: A función gamma é a única función que satisfai o relacionamento recursivo mencionado para o dominio dos números complexos e é holomórfica e cuxa restrición ao eixo positivo real é convexa no log. Ou sexa, é a única función que podería ser unha xeneralización da función factorial.
* Contexto: A función gamma é xeralmente usada nun contexto similar ao dos factoriais (mais, é claro, onde un dominio máis xeral for de interese).

Funcións semellantes á factorial
--------------------------------

### Multifactoriais

Unha notación relacionada común é o uso de múltiplos puntos de exclamación para simboliar un **multifactorial**, o produto de enteiros en pasos de (*n*!!), tres (*n*!!!), ou máis.

*n*!! denota o **factorial duplo** de *n* e é definido recursivamente por

{\displaystyle n!!=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \quad \ &&{\mbox{if }}n=0{\mbox{ or }}n=1;\\n(n-2)!!&&{\mbox{if }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{matrix}}\right.}
Por exemplo, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384 e 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945. A secuencia de factoriais duplos para *n* = 0, 1, 2,... é :1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...

Algunhas identidades que envolven factoriais duplos son:

{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}
{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}
{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}{(2n-1)!! \over 2^{n}}}
Débese ser coidadoso para non interpretar *n*!! como a factorial de *n*!, que debería ser escrito (*n*!)! e é un número moito maior (para *n*>2).

A factorial dupla é a variante máis comumente usada, mais pódese definir a factorial tripla do mesmo modo (*n*!!!) e así por diante. En xeral, a *k*-ésima factorial, notado por *n*!(*k*), é definido recursivamente como

{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{if }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{if }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
### Hiperfactoriais

Ocasionalmente o **hiperfactorial** de *n* é considerado. É escrito como *H*(*n*) e definido por

{\displaystyle H(n)=\prod \_{k=1}^{n}k^{k}=1^{1}\cdot 2^{2}\cdot 3^{3}\cdots (n-1)^{n-1}\cdot n^{n}}
Para *n* = 1, 2, 3, 4,... os valores de *H*(*n*) son 1, 4, 108, 27648,...

A función hiperfactorial é similar á factorial, mais produce números maiores. A taxa de crecemento desa función, con todo, non é moito maior que un factorial regular.

### Superfactoriais

Neil Sloane e Simon Plouffe definiron o **superfactorial** en 1995 como o produto dos primeiros *n* factoriais. Así, o superfactorial de 4 é 

sf(4)=1!\*2!\*3!\*4!=288.
No xeral,

{\displaystyle \mathrm {sf} (n)=\prod \_{k=1}^{n}k!=\prod \_{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
A secuencia de superfactoriais comeza (de *n*=0) como:

1, 1, 2, 12, 288, 34560, 24883200, ... (secuencia A000178 na OEIS)
Esa idea pode ser facilmente estendida para **superduperfactorial** como o produto dos primeiros *n* superfactoriais (iniciando con n=0), así

1, 1, 2, 24, 6912, 238878720, 5944066965504000, ... (secuencia A055462 na OEIS)
e aí en diante, recursivamente para todos os **factoriais múltiplos**, onde o *m*-factorial de *n* é o produtod dos primeiros *n* *(m-1)*-factorials, i.e.

{\displaystyle \mathrm {mf} (n,m)=\mathrm {mf} (n-1,m)\mathrm {mf} (n,m-1)=\prod \_{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k}}
onde {\displaystyle \mathrm {mf} (n,0)=n} para {\displaystyle n>0} e {\displaystyle \mathrm {mf} (0,m)=1}.

### Superfactoriais (definición alternativa)

Clifford Pickover, no seu libro *Keys to Infinity*, de 1995, definiu o **superfactorial** de *n*, escrito como *n*$ (o $ debería, na verdade, ser un sinal de factorial ! cun S sobreposto) como

{\displaystyle n\$=n^{(4)}n}
onde a notación (4) denota o operador hyper4, ou usando a notación de frecha de Knuth,

{\displaystyle n\$=(n!)\uparrow \uparrow (n!)}
Esa secuencia de superfactoriais comeza:

{\displaystyle 1\$=1}
{\displaystyle 2\$=2^{2}=4}
{\displaystyle 3\$=6\uparrow \uparrow 6=6^{6^{6^{6^{6^{6}}}}}}
### Factoración prima de factoriais

A potencia de *p* que ocorre na factoración prima de *n!* é

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\lfloor n/p^{i}\rfloor }

Notas
-----

1. ↑  Higgins, Peter (2008). *Number Story: From Counting to Cryptography*. Nova York: Copernicus. p. 12. ISBN 978-1-84800-000-1. , mais di Krempe.
2. ↑  Ronald L. Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik (1988) *Concrete Mathematics*, Addison-Wesley, Reading MA. ISBN 0-201-14236-8, p. 111
3. ↑  Cheng, Eugenia (2017-03-09). *Beyond Infinity: An expedition to the outer limits of the mathematical universe* (en inglés). Profile Books. ISBN 9781782830818.
4. ↑  Conway, John H.; Guy, Richard (1998-03-16). *The Book of Numbers* (en inglés). Springer Science & Business Media. ISBN 9780387979939.
5. ↑  Knuth, Donald E. (1997-07-04). *The Art of Computer Programming: Volume 1: Fundamental Algorithms* (en inglés). Addison-Wesley Professional. ISBN 9780321635747.
6. ↑  "18.01 Single Variable Calculus, Lecture 37: Taylor Series". *MIT OpenCourseWare*. Fall 2006. Consultado o 2017-05-03.
7. ↑  Kardar, Mehran (2007-06-25). "Chapter 2: Probability". *Statistical Physics of Particles* (en English). Cambridge University Press. ISBN 9780521873420.
8. ↑  Dan Romik, *Stirling’s Approximation for n!: The Ultimate Short Proof?*, The American Mathematical Monthly, Vol. 107, No. 6 (Jun. – Jul. 2000), 556–557.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Factorial Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Bibliografía

* Hadamard, M. J. (1894). *Sur L’Expression Du Produit 1·2·3· · · · ·(n−1) Par Une Fonction Entière* (PDF) (en francés). *OEuvres de Jacques Hadamard*, Centre National de la Recherche Scientifiques, Paris, 1968.
* Ramanujan, Srinivasa (1988). *The lost notebook and other unpublished papers*. Springer Berlin. p. 339. ISBN 3-540-18726-X.

### Ligazóns externas

* Táboa de 2! - 256! (exacta)
* Factorial n!
* O dicionario dos números grandes
* Algoritmo factorial - Pascal

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q120976
* BRE: 4705409
* EBID: ID
* GEC: 0182881
* GND: 4153607-1
* JSTOR: factorials
* MAG: 183763347
* Treccani: fattoriale

 |