O concepto de **conxunto** na Matemática é intuitivo e poderiamos definilo como unha colección de varios obxectos ou elementos, sen importar a súa orde e feita con calquera criterio. Un conxunto está ben definido se é sabido se un determinado elemento pertence ou non ao conxunto.

Os conxuntos represéntanse cunha letra maiúscula.

Dous conxuntos *A* e *B* son **iguais** cando posúen precisamente os mesmos elementos, isto é, se cada elemento de *A* é un elemento de *B* e cada elemento de *B* é un elemento de *A*.

Notación
--------

Normalmente, úsanse letras maíusculas para representar os conxuntos e letras minúsculas para representar os elementos dun conxunto dado. Se ~A é un conxunto e ~a, b, c, d, e todos os seus elementos, é frecuente escribir:

 ~A= \{a, b, c, d, e\}  (1)
para definir tal conxunto ~A. A notación empregada en (1) para definir o conxunto  ~A  chámase *notación por extensión*.

Para representar que un elemento ~x pertence a un conxunto ~A, escríbese x\in A (léase ben ~x no ~A, ben ~x pertence ao ~A). A negación de x\in A escríbese x\notin A (léase ~x non pertence ao ~A).

Se todos os elementos ~x dun conxunto ~A satisfan algunha propiedade —que pode representarse como unha proposición p\left( x\right) coa indeterminada ~x—, usamos a *notación por comprensión*, e pode definirse:

~A= \{x:p\left(x\right)\} 
**A** é o conxunto de elementos **x**, que cumpren **p(x)**, onde o símbolo **:** lese "cúmprese que", e pode ser substituído por unha barra \mid "tal que".
Por exemplo, o conxunto ~A= \{1, 2, 3, 4\} pode definirse por:

~A= \{n: 1\leq n\leq 4, n\in\mathbb{N}\} .
O símbolo {\mathbb {N}} representa o conxunto dos números naturais.

### Subconxuntos e superconxuntos

Un conxunto ~A dise *subconxunto* doutro ~B, se todos os elementos do ~A son tamén elementos do ~B; matematicamente:

x\in A\qquad\Rightarrow\qquad x\in B ,
sexa cal for o elemento ~x. Así, escríbese A\subseteq B.

Deberá ser sinalado que, por definición, non se exclúe a posibilidade de se A\subseteq B , cumprirse A = B. Se o ~B ten ao menos un elemento que non pertenza ao conxunto ~A, mais se todos os elementos do ~A son elementos do ~B, entón dicimos que ~A é un subconxunto propio do ~B, o que se representa como A\subset B.

Se o ~A é un subconxunto do ~B, dicimos tamén que o ~B é un *superconxunto* do ~A, o que se escribe B\supseteq A. Logo

B\supseteq A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subseteq B,

e tamén:
B\supset A\qquad\Leftrightarrow\qquad A\subset B,

significando B\supset A que o ~B é *superconxunto propio* do ~A.

Polo principio de indentidade, é sempre certo x\in A\quad\Rightarrow\quad x\in A , para todos os elementos ~x, polo que todo conxunto é subconxunto (e tamén superconxunto) de si mesmo.

Vemos que \subseteq é unha relación de orde sobre un conxunto ~S de conxuntos, pois

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  A\subseteq A |  |  |  \subseteq é *reflexiva*. |
|  A\subseteq B\wedge B\subseteq A  |  \qquad\Rightarrow\qquad  |  A=B \,  | \subseteq é *antisimétrica* |
|  A\subseteq B\wedge B\subseteq C  |  \qquad\Rightarrow\qquad  |  A\subseteq C  |  \subseteq é *transitiva* |

### Conxunto baleiro

O **conxunto baleiro** ou **conxunto vacío** é un conxunto que non posúe elementos. Represéntase por \{\} ou  \empty 

Todo conxunto posúe como subconxunto o **conxunto baleiro**. Podemos mostrar isto supondo que se o conxunto baleiro non pertence ao conxunto en cuestión, entón o conxunto baleiro debe posuír un elemento ao menos que non pertenza a este conxunto. Como o conxunto baleiro non posúe elementos, isto non é posíbel. Como todos os conxuntos baleiros son iguais uns aos outros, é permisíbel falar dun único conxunto sen elementos.

Operacións cos conxuntos
------------------------

Sexan ~A e ~B dous conxuntos.

### Unión

A \cup B
Os elementos que pertencen ao ~A ou ao ~B ou a ambos os dous ~A e ~B, forman outro conxunto, chamado **unión** de ~A e ~B, escrito A\cup B. Matematicamente:

A\cup B= \{x:x\in A\quad\vee\quad x\in B\} .
### Intersección

A \cap B
Os elementos comúns de ~A e mais de ~B forman un conxunto denominado **intersección** de ~A e ~B, representado por A\cap B :

A\cap B= \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\in B\}.
Se dous conxuntos ~A e ~B son tales que A\cap B =\emptyset, entón ~A e ~B dinse conxuntos *disxuntos*.

### Diferenza

A \setminus B
Os elementos dun conxunto ~A que non se atopan noutro conxunto ~B, forman outro conxunto chamado *diferenza de* ~A e ~B, representado por, A \setminus B:

A \setminus B = \{x:x\in A\quad\wedge\quad x\notin B\}.

Álxebra de conxuntos
--------------------

Sexan *A*, *B*, e *C* conxuntos calquera, logo:

* A ∩ A = A
* A ∪ A = A
* A - A = Ø
* A ∩ B = B ∩ A
* A ∪ B = B ∪ A
* (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C)
* (A ∪ B) ∪ C = A ∪ (B ∪ C)
* C - (A ∩ B) = (C - A) ∪ (C - B)
* C - (A ∪ B) = (C - A) ∩ (C - B)
* C - (B - A) = (A ∩ C) ∪ (C - B)
* (B - A) ∩ C = (B ∩ C) - A = B ∩ (C - A)
* (B - A) ∪ C = (B ∪ C) - (A - C)
* A ⊆ B ↔ A ∩ B = A
* A ⊆ B ↔ A ∪ B = B
* A ⊆ B ↔ A - B = Ø
* A ∩ B = Ø ↔ B - A = B
* A ∩ B ⊆ A ⊆ A ∪ B
* A ∩ Ø = Ø
* A ∪ Ø = A
* Ø - A = Ø
* A - Ø = A

Sexa **U** un conxunto tal que *A*, *B*, e *C* son subconxuntos do **U** (utilízase a notación A' := U - A). Entón:

* A'' = A
* B - A = A' ∩ B
* (B - A)' = A ∪ B'
* A ⊆ B ↔ B' ⊆ A'
* A ∩ **U** = A
* A ∪ **U** = **U**
* **U** - A = A'
* A - **U** = Ø

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q36161
* BNCF: 5501
* EBID: ID
* GND: 4038613-2
* PSH: 7132

 |