O **produto de Kronecker**, denotado con ({\displaystyle \otimes }) é unha operación entre dúas matrices dun tamaño arbitrario que da como resultado unha matriz bloque. É un caso especial do produto tensorial. O produto de Kronecker non debe ser confundido co produto de matrices común, que é unha operación totalmente diferente.

Definición
----------

Se *A* é unha matriz de dimensións *m*\times*n* e *B* é unha matriz de dimensións *p*\times*q*, entón o produto de Kronecker *A* {\displaystyle \otimes } *B* é a matriz bloque *mp*\times*nq*

{\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a\_{11}B&\cdots &a\_{1n}B\\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}B&\cdots &a\_{mn}B\end{pmatrix}}}
Máis explicitamente,

{\displaystyle A\otimes B={\begin{pmatrix}a\_{11}b\_{11}&a\_{11}b\_{12}&\cdots &a\_{11}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{11}&a\_{1n}b\_{12}&\cdots &a\_{1n}b\_{1q}\\a\_{11}b\_{21}&a\_{11}b\_{22}&\cdots &a\_{11}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{21}&a\_{1n}b\_{22}&\cdots &a\_{1n}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{11}b\_{p1}&a\_{11}b\_{p2}&\cdots &a\_{11}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{p1}&a\_{1n}b\_{p2}&\cdots &a\_{1n}b\_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a\_{m1}b\_{11}&a\_{m1}b\_{12}&\cdots &a\_{m1}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{11}&a\_{mn}b\_{12}&\cdots &a\_{mn}b\_{1q}\\a\_{m1}b\_{21}&a\_{m1}b\_{22}&\cdots &a\_{m1}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{21}&a\_{mn}b\_{22}&\cdots &a\_{mn}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}b\_{p1}&a\_{m1}b\_{p2}&\cdots &a\_{m1}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{p1}&a\_{mn}b\_{p2}&\cdots &a\_{mn}b\_{pq}\end{pmatrix}}}
### Exemplos

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&2\\1&0&0\\1&2&2\end{pmatrix}}\otimes {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&3\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&0\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\\1\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}&2\cdot {\begin{pmatrix}0&5\\5&0\\1&1\end{pmatrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&5&0&15&0&10\\5&0&15&0&10&0\\1&1&3&3&2&2\\0&5&0&0&0&0\\5&0&0&0&0&0\\1&1&0&0&0&0\\0&5&0&10&0&10\\5&0&10&0&10&0\\1&1&2&2&2&2\end{pmatrix}}}

Propiedades
-----------

### Bilinearidade e asociatividade

O produto de Kronecker é un caso especial do produto tensorial, e polo tanto, é bilinear e asociativo:

{\displaystyle A\otimes (B+C)=A\otimes B+A\otimes C} se *B* e *C* teñen as mesmas dimensións,
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C} se *A* e *B* teñen as mesmas dimensións,
{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B),}
{\displaystyle (A\otimes B)\otimes C=A\otimes (B\otimes C),}
onde *A*, *B* e *C* son matrices e onde *k* é un escalar.

O produto de Kronecker non é commutativo: En xeral, *A*{\displaystyle \otimes }*B* e *B*{\displaystyle \otimes }*A* son matrices diferentes. Porén, *A*{\displaystyle \otimes }*B* e *B*{\displaystyle \otimes }*A* son intercambios equivalentes, o que quere dicir que hai matrices de permutación *P* e *Q* tales que {\displaystyle A\otimes B=P\,(B\otimes A)\,Q.}

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1238125
* JSTOR: kronecker-product
* MAG: 46030957

 |