O **raio de Einstein** é o raio dun anel de Einstein, e é unha característica xeral do ángulo dunha lente gravitacional, as distancias típicas entre as imaxes producidas polas lentes gravitacionais son da orde do raio de Einstein.

Cálculo
-------

Xeometría de lente gravitacional
Para o cálculo do raio de Einstein, imos supor que toda a masa {\displaystyle M} da galaxia {\displaystyle L} concéntrase no centro da galaxia.

Para un punto de masa a deformación pode ser calculada e é unha das probas clásicas da relatividade xeral. Para ángulos pequenos {\displaystyle \alpha } a deformación total para un punto de masa {\displaystyle M} é (ver métrica de Schwarzschild )

{\displaystyle \alpha ={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{b}}}
onde
{\displaystyle b} é o parámetro de impacto (a distancia de maior aproximación da luz emitida ao centro de masas da lente)
{\displaystyle G} é a constante gravitacional,
{\displaystyle c} é a velocidade da luz .

Tendo en conta que, para ángulos pequenos e co ángulo expresado en radiáns, o punto de maior aproximación *b* dende un ángulo {\displaystyle \theta } para a lente {\displaystyle L} sobre unha distancia {\displaystyle d\_{L}} dada por {\displaystyle b=\theta d\_{L}}, podemos reformular o ángulo de flexión {\displaystyle \alpha } como

{\displaystyle \alpha (\theta )={\frac {4G}{c^{2}}}{\frac {M}{\theta }}{\frac {1}{d\_{L}}}} (eq. 1)
Se colocarmos {\displaystyle \theta \_{S}} como o ángulo en que se podería ver a fonte sen a lente (que xeralmente non é observable) e {\displaystyle \theta } como o ángulo observado da imaxe da fonte con respecto á lente, entón pódese ver a partir da xeometría das lentes (con distancias no mesmo plano da fonte), que medir a distancia vertical do ángulo {\displaystyle \theta } a unha distancia {\displaystyle d\_{S}} é o mesmo que a suma das dúas distancias verticais {\displaystyle \theta \_{S}\;d\_{S}} máis {\displaystyle \alpha \;d\_{LS}}. Isto dá como ecuación obxectivo,

{\displaystyle \theta \;d\_{S}=\theta \_{S}\;d\_{S}+\alpha \;d\_{LS}},
que se pode reformular para dar

{\displaystyle \alpha (\theta )={\frac {d\_{S}}{d\_{LS}}}(\theta -\theta \_{S})} (eq. 2)
Por definición (Eq 1) igual a (Eq 2), e reformulando, obtense

{\displaystyle \theta -\theta \_{S}={\frac {4G}{c^{2}}}\;{\frac {M}{\theta }}\;{\frac {d\_{LS}}{d\_{S}d\_{L}}}}
Para unha fonte directamente detrás do obxectivo, {\displaystyle \theta \_{S}=0} , a ecuación da lente a un punto de masa dá un valor característico para {\displaystyle \theta } que se denomina distancia de Einstein, denotada {\displaystyle \theta \_{E}}. Poñendo {\displaystyle \theta \_{S}=0} e resolvendo a {\displaystyle \theta } resulta

{\displaystyle \theta \_{E}=\left({\frac {4GM}{c^{2}}}\;{\frac {d\_{LS}}{d\_{L}d\_{S}}}\right)^{1/2}}
O raio de Einstein para un punto de masa proporciona unha escala lineal conveniente para facer lentes variables adimensionais. En termos de raios de Einstein, a ecuación da lente a un punto de masa convértese en

{\displaystyle \theta =\theta \_{S}+{\frac {\theta \_{E}^{2}}{\theta }}}
Substituíndo as constantes resulta

{\displaystyle \theta \_{E}=\left({\frac {M}{10^{11.09}M\_{\bigodot }}}\right)^{1/2}\left({\frac {d\_{L}d\_{S}/d\_{LS}}{Gpc}}\right)^{-1/2}arcsec}
Nesta última forma, a masa é expresada en masas solares é {\displaystyle M\_{\bigodot }} e as distancias en Giga parsec (GPC). O raio de Einstein máis destacado é unha lente normalmente a medio camiño entre a fonte e o observador.

Para un cúmulo estelar denso de masa {\displaystyle M\_{c}\approx 10^{15}M\_{\bigodot }} a unha distancia de 1 Gigaparsec (1 GPC), este raio pode ser tan grande como 100 segundos de arco (chamado macrolente). Para un evento de microlente gravitacional (con masas da orde {\displaystyle \sim 1M\_{\bigodot }}), buscado a distancias galácticas (digamos {\displaystyle d\sim 3kpc} ), o raio de Einstein típico sería da orde mili-segundos de arco. En consecuencia, en imaxes separadas os eventos de microlente son imposibles de observar coas técnicas actuais.

O argumento anterior pode estenderse para as lentes que teñen unha masa distribuída, en vez de concentrada nun punto de masa, usando unha expresión distinta para a curva do ángulo {\displaystyle \alpha }. As posicións {\displaystyle \theta \_{I}(\theta \_{S})} das imaxes poden ser calculadas. Para pequenas deflexions este mapeado "un a un" (foto a foto) está composto por distorsións das posicións observadas que son invertíveis. Isto chámase lente gravitacional débil. Para grandes deformacións pódese ter varias imaxes e un "mapa" non-inversível: iso chámase lente gravitacional forte. Teña en conta que, para que unha masa distribuída poida producir un anel de Einstein, debe ter simetria axial.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q5349805
* MAG: 2777069829

 |