A **proporcionalidade** é unha relación entre magnitudes. É un dos escasos conceptos matemáticos amplamente difundidos entre a poboación debido a que é en boa medida unha noción intuitiva e de uso moi común.

A **proporcionalidade directa** é un caso particular das variacións lineais.

O factor constante de proporcionalidade pode utilizarse para expresar as relacións entre as magnitudes.

Símbolo
-------

O símbolo matemático '∝' utilízase para indicar que dous valores son proporcionais. Por exemplo, A ∝ B.

En Unicode este é o símbolo: U+221D.

Exemplos
--------

### Primeiro exemplo

A receita dunha torta de vainilla indica que para catro persoas necesítanse 200 g de fariña, 150 g de manteiga, catro ovos e 120 g de azucre vainillado. Como adaptar a receita para cinco persoas? Segundo varios estudos, a maioría da xente calcularía as cantidades para unha persoa (dividindo entre catro) e logo as multiplicaría polo número real de persoas, cinco; outras só lle sumarían o que a unha persoa lle corresponde. Unha minoría non sente a necesidade de pasar polas cantidades unitarias (é dicir, por persoa) e multiplicaría os números da receita por 5/4 = 1,25 (o que equivale a engadir cinco ovos, 250 g de fariña, 187,5 g de manteiga e 150 g de azucre), e a torta terá o mesmo sabor que a outra, se o cociñeiro afeccionado é tan bo como o *chef* que escribiu a receita.

Dise que a cantidade de cada ingrediente é **proporcional** ao número de persoas, e se representa esta situación mediante unha táboa de proporcionalidade: coeficiente **k** non nulo ({\displaystyle 5 \over 4} no exemplo) tal que 

{\displaystyle y\_{1}=k\cdot x\_{1},y\_{2}=k\cdot x\_{2}\quad ...\quad y\_{n}=k\cdot x\_{n}\ }
Variábeis proporcionais relacionadas por unha función lineal.Variábeis proporcionais relacionadas por unha función lineal.
Se consideramos {\displaystyle x\_{1},x\_{2}...x\_{n}\ } e {\displaystyle y\_{1},y\_{2}...y\_{n}\ } como valores de variábeis {\displaystyle x\ } e {\displaystyle y\ }, entón dise que estas variábeis son proporcionais; a igualdade **y = k·x** significa que *y* é unha función lineal de *x*.

A representación gráfica desta función é unha recta que pasa pola orixe do sistema de coordenadas. Unha variación (incremento ou decremento) de *x* dá lugar a unha variación proporcional de *y* (e reciprocamente, posto que k≠0: e = 1/k · x): 

{\displaystyle \Delta y=k\cdot \Delta x\ }
Son as funcións máis sinxelas que existen e as primeiras que se estudan na clase de matemáticas, con alumnos de trece anos aproximadamente.

A relación "Ser proporcional a" é 

* reflexiva (toda variábel es proporcional a si mesma, co coeficiente 1)
* simétrica (cando *y* é proporcional a *x* entón *x* o é a *y*, co coeficiente inverso) e
* transitiva (se *x* é proporcional a *y*, e *y* a *z*, entón *x* o é con *z*, multiplicando os coeficientes)

polo que se trata dunha relación de equivalencia. En particular dúas variábeis proporcionais a unha terceira serán proporcionais entre si).

A táboa do primeiro exemplo pódese descompoñer en tres de formato dous por dous:

Tres táboas de proporcionalidade 2x2.Tres táboas de proporcionalidade 2x2.
por tanto as propiedades da proporcionalidade ilústranse preferentemente con táboas de catro cuadrículas.

Tres maneiras de ver a proporcionalidade.Tres maneiras de ver a proporcionalidade.
Unha **proporción** está formada polos números a, b, c e d, se a razón entre *a* e *b* é a mesma que entre *c* e *d*.

Unha proporción está formada por dúas razóns iguais:
a : b = c : d

Onde *a, b, c* e *d* son distintos de cero e lese *a é a b como c é a d* .

Proporción múltipla:

Unha serie de razóns está formada por tres ou máis razóns iguais:
a : b = c : d = e : f

E pode expresarse como unha proporción múltipla:
a : c : e = b : d : f

Na proporción hai catro termos; *a* e *d* denomínase **extremos**; *c* e *b chámanse **medios**.*

En toda proporción *o produto dos extremos é igual ao produto dos medios*.

Para establecer que unha táboa é proporcional, pódese: 

1. verificar que a segunda columna é múltiplo da primeira, (primeira táboa: para pasar do primeiro cadro ao segundo, hai que multiplicar por {\displaystyle b \over a}; na segunda liña tense que multiplicar por {\displaystyle d \over c}, logo estas fraccións deben ser iguais para obter columnas proporcionais)
2. verificar que a segunda liña es múltiplo da primeira (segunda táboa, cun razoamento parecido) ou
3. verificar a igualdade dos produtos cruzados: **a·d = b·c**. (terceira táboa: as igualdades anteriores equivalen a a·d = b·c, cando non hai valores nulos, que por certo non teñen un grande interese neste contexto).

### Segundo exemplo

Dous albaneis constrúen un muro de doce metros de superficie en tres horas; que superficie construirán cinco albaneis en catro horas?

Hai dous parámetros que inflúen na superficie construída: o número de albaneis e o tempo de traballo. Non hai que resistir a tentación de aplicar dúas veces a proporcionalidade pero, iso si, explicitando as hipóteses subxacentes.

Afirmar que o traballo realizado é proporcional ao número de albaneis equivale a dicir que todos os obreiros teñen a mesma eficacia no traballo (son intercambiábeis); e afirmar que a superficie á proporcional ao tempo de traballo supón que o rendemento non cambia co tempo: os albaneis non se cansan.

Proporcionalidade múltipla.Proporcionalidade múltipla.
Admitindo estas dúas hipóteses, pódese contestar á pregunta pasando por unha etapa intermedia: que superficie construirían dous albaneis en catro horas?

O parámetro "número de albaneis" ten un valor fixo, logo aplicamos a proporcionalidade co tempo (subtáboa vermella). A superficie construída será multiplicada por {\displaystyle 4 \over 3}.
Logo, fixando o parámetro tempo en catro horas, e variando o número de obreiros de 2 a 5, a superficie se multiplicará por {\displaystyle 5 \over 2} (a subtáboa azul é proporcional).  


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| O resultado final é | {\displaystyle 12\times {\frac {4}{3}}\times {\frac {5}{2}}=40} | metros cadrados. |

A proporcionalidade múltipla resólvese así, multiplicando polos coeficientes correspondentes a cada factor:

Caso xeral da proporcionalidade múltipla.Caso xeral da proporcionalidade múltipla.
### Terceiro exemplo

Dous autos percorren exactamente o mesmo camiño. O primeiro tardou dúas horas e media en chegar ao destino, rodando a unha velocidade media de 70 km/h. O segundo roda a 100 km/h. Canto tempo tardará en chegar?

Canto maior sexa a velocidade, menor tempo durará a viaxe. Se multiplicamos por dous a velocidade, a duración da viaxe se dividirá por dous. Aquí, claramente o tempo do percorrido non é proporcional á velocidade senón xustamente o contrario: é **inversamente proporcional**, é dicir, proporcional á inversa da velocidade. Isto permite responder á pregunta:

Exemplo de proporcionalidade inversa.Exemplo de proporcionalidade inversa.

cambiando unha multiplicación por unha división (primeira táboa) ou aplicando a proporcionalidade coa inversa da velocidade (segunda táboa). O tempo será {\displaystyle 2,5\times {\frac {7}{10}}=1,75}, é dicir, unha hora e 45 minutos.

Máis xeralmente, se unha variábel *y* é inversamente proporcional a outra variábel *x*, pódese aplicar a proporcionalidade con {\displaystyle 1 \over x}, ou máis ben utilizar a seguinte equivalencia:

Método para a proporcionalidade inversa.Método para a proporcionalidade inversa.
É dicir, que o produto dos valores correspondentes (aquí na mesma liña) é constante. No exemplo: 70 × 2,5 = 100 × 1, 75 = 175 km, que é a lonxitude do percorrido.

Táboa de variación proporcional
-------------------------------

Unha **táboa de variación proporcional** é aquela que segue unha secuencia utilizando de base o prezo dalgún obxecto ou outra cousa que poida aumentar ou diminuír certo número ou obxecto de forma proporcional.

Exemplo:
**nº de bólas** /  **prezo**
2 bólas / 50 céntimos
4 bólas / 1 euro
6 bólas / 1,50 euros
Magnitudes directamente proporcionais
-------------------------------------

Dúas magnitudes son **directamente proporcionais** cando ao multiplicar ou dividir unha delas por un número, a outra queda multiplicada ou dividida respectivamente polo mesmo número.

Exemplo:
Un automóbil consome 10 litros de gasolina por cada 120 km de percorrido. Cantos quilómetros percorre con 30 litros?
Observamos que as magnitudes son directas. Se a razón ou cociente entre elas é un valor constante. Cos datos da táboa, achamos a razón.
Elaboramos unha táboa de proporcionalidade:
Gasolina 10 1 10 20 40
(litros)
Percorrido 120 12 240 480
(quilómetros)
Con 20 litros de gasolina, o coche percorre 240 quilómetros: cantos máis quilómetros se percorran, máis litros de gasolina se consumirán. O número de quilómetros percorridos é directamente proporcional (D.P.) ao número de litros de gasolina, sempre que as demais condicións se manteñan constantes, isto é, que non se modificaran as condicións climáticas ou xeográficas que modificaran o consumo. Polo tanto, con 30 litros de gasolina o coche percorrerá 360 quilómetros.
Aplicación en xeometría
-----------------------

O concepto de proporcionalidade é equivalente ao de semellanza cando se comparan dous triángulos semellantes. De feito, as propiedades da proporcionalidade (reflexividade, simetría e transitividade) son as mesmas que as da semellanza.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Eudoxo de Cnido.
* Número áureo.
* Triángulo.

### Ligazóns externas

* Wolfram MathWorld *(en inglés)*.