No cálculo vectorial, o **gradiente** {\displaystyle \nabla f} dun campo escalar f é un campo vectorial. O vector gradiente de f dun punto xenérico **x** do dominio de f, {\displaystyle \nabla f}(**x**), indica a dirección na cal o campo f varía máis rapidamente e o seu módulo representa o ritmo de variación de f na dirección de dito vector gradiente. O gradiente represéntase co operador diferencial nabla {\displaystyle \nabla } seguido da función (non confundir o gradiente coa diverxencia, pois esta última denótase cun punto de produto escalar entre o operador nabla e o campo). Tamén pode representarse mediante {\displaystyle {\vec {\nabla }}f}, ou usando a notación {\displaystyle \operatorname {grad} (f)}. A xeneralización do concepto de gradiente a campos f vectoriais é o concepto de matriz xacobiana.

Se se toma como campo escalar un ao que se lle asigna a cada punto do espazo unha presión P (campo escalar de 3 variables), entón o vector gradiente nun punto xenérico do espazo indica a dirección na cal a presión muda máis rapidamente. Outro exemplo é o de considerar un mapa con liñas de nivel como campo escalar ao que lle asigna a cada parella de coordenadas latitude/lonxitude un escalar altitude (campo escalar de 2 variables). Neste caso o vector gradiente nun punto xenérico indica a dirección de máxima inclinación da superficie. Nótese que o vector gradiente será perpendicular ás liñas de contorno (liñas "equiescalares") do mapa.

Definición
----------

O gradiente defínese como o campo vectorial cunhas funcións coordenadas que son as derivadas parciais do campo escalar, isto é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}f(\mathbf {r} )=\left({\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x\_{1}}},\dots ,{\frac {\partial f(\mathbf {r} )}{\partial x\_{n}}}\right)}
> 
> 
> 

Esta definición baséase en que o gradiente permite calcular facilmente as derivadas direccionais. Definindo en primeiro lugar a derivada direccional segundo un vector:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}\equiv \lim \_{\epsilon \to 0}{\frac {\phi (\mathbf {r} -\epsilon {\hat {\mathbf {n} }})-\phi (\mathbf {r} )}{\epsilon }}}
> 
> 
> 

Unha forma equivalente de definir o gradiente é como o único vector que, multiplicado polo vector unitario, dá a derivada direccional do campo escalar:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial \phi }{\partial \mathbf {n} }}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\nabla }}\phi }
> 
> 
> 

Coa definición anterior, o gradiente está caracterizado de forma unívoca. O gradiente exprésase alternativamente mediante o uso do operador nabla, é dicir:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\rm {grad}}\ \phi =\nabla \phi }
> 
> 
>

Interpretación do gradiente
---------------------------

De forma xeométrica o gradiente é un vector normal a unha superficie ou curva do espazo que se está a estudar, nun punto calquera, chámese (x,y), (x,y,z), (tempo, temperatura) etcétera. Algúns exemplos son:

* Consideramos unha habitación na cal a temperatura defínese a través dun campo escalar, de tal maneira que en calquera punto {\displaystyle (x,y,z)\,\!}, a temperatura é {\displaystyle \phi (x,y,z)\,\!}. Asumiremos que a temperatura non varia con respecto ao tempo. Sendo isto así, para cada punto da habitación, o gradiente nese punto daranos a dirección na cal a temperatura aumenta máis. A magnitude do gradiente diranos a rapidez coa que se eleva a temperatura nesa dirección.
* Consideramos unha montaña na cal a altura nun punto (x,y) se define como H(x, y). O gradiente de *H* nese punto atópase orientado na dirección cara á que hai un maior grao de inclinación. A magnitude do gradiente diranos o empinada que se encontra a pendente.

Propiedades
-----------

* É ortogonal ás superficies equiescalares, definidas por {\displaystyle \phi \,\!} =cte.
* Apunta no sentido en que a derivada direccional é máxima.
* O seu módulo é igual a esta derivada direccional máxima.
* Anúlase nos puntos estacionarios (máximos, mínimos e puntos cadeira).
* O campo formado polo gradiente en cada punto é sempre irrotacional, isto é,

{\displaystyle \nabla \times (\nabla \phi )\equiv {\vec {0}}}

Expresión en diferentes sistemas de coordenadas
-----------------------------------------------

A partir da súa definición pode calcularse a súa expresión en diferentes sistemas de coordenadas. En coordenadas cartesianas, a súa expresión é simplemente

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\hat {x}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\hat {y}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}
> 
> 
> 

Nun sistema de coordenadas ortogonais, o gradiente require os factores de escala, mediante a expresión

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {1}{h\_{1}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q\_{1}}}{\hat {q}}\_{1}+{\frac {1}{h\_{2}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q\_{2}}}{\hat {q}}\_{2}+{\frac {1}{h\_{3}}}{\frac {\partial \phi }{\partial q\_{3}}}{\hat {q}}\_{3}}
> 
> 
> 

Para coordenadas cilíndricas ({\displaystyle h\_{\rho }=h\_{z}=1}, {\displaystyle h\_{\varphi }=\rho }) resulta

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial \rho }}{\hat {\rho }}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\hat {z}}}
> 
> 
> 

e para coordenadas esféricas ({\displaystyle h\_{r}=1}, {\displaystyle h\_{\theta }=r}, {\displaystyle h\_{\varphi }=r{\rm {sen}}\theta })

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla \phi ={\frac {\partial \phi }{\partial r}}{\hat {r}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial \phi }{\partial \theta }}{\hat {\theta }}+{\frac {1}{r\,{\rm {sen}}\,\theta }}{\frac {\partial \phi }{\partial \varphi }}{\hat {\varphi }}}
> 
> 
> 

Nun sistema de coordenadas curvilíneo xeral o gradiente ten a forma:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla \phi =g^{ij}{\frac {\partial \phi }{\partial x^{i}}}{\hat {e}}\_{j}}
> 
> 
> 

onde na expresión anterior se usou o convenio de sumación de Einstein.

Gradiente dun campo vectorial
-----------------------------

Nun espazo euclídeo tridimensional, o concepto de gradiente tamén pode estenderse ao caso dun campo vectorial, sendo o gradiente de {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {F} } un tensor que dá o diferencial do campo ao realizar un desprazamento:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {d\mathbf {F} }{d\mathbf {r} }}(\mathbf {v} ):=\lim \_{\mathbf {v} \to 0}{\frac {\mathbf {F} (\mathbf {r} +\mathbf {v} )-\mathbf {F} (\mathbf {r} )}{\|\mathbf {v} \|}}=(\nabla \mathbf {F} )\cdot \mathbf {v} }
> 
> 
> 

Fixada unha base vectorial, este tensor poderá ser representado por unha matriz 3x3, que en coordenadas cartesianas está formada polas tres derivadas parciais das tres compoñentes do campo vectorial. O gradiente de deformación estará ben definido só se o límite anterior existe para todo \scriptstyle {\mathbf {v}} e é unha función continua de dito vector.

Tecnicamente o gradiente de deformación non é outra cousa que a aplicación linear da que a matriz xacobiana é a súa expresión explícita en coordenadas.

Exemplo
-------

Dada a función {\displaystyle f(x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin(z)}, o seu vector gradiente é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \nabla f={\begin{pmatrix}{\frac {\partial f}{\partial x}},{\frac {\partial f}{\partial y}},{\frac {\partial f}{\partial z}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{2},{6y},{-\cos(z)}\end{pmatrix}}.}
> 
> 
>

Aplicacións
-----------

### Aproximación linear dunha función

O gradiente dunha función f definida de **R***n* → **R** caracteriza a mellor aproximación linear da función nun punto particular x\_{0} en **R***n*.
Exprésase así:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle g(x)=f(x\_{0})+(\nabla \_{x}f(x\_{0}))^{T}(x-x\_{0})}
> onde {\displaystyle \nabla \_{x}f(x\_{0})} é o gradiente fixado en x\_{0}
> 
> 
> 

### Aplicacións en física

A interpretación física do gradiente é a comentada: mide a rapidez de variación dunha magnitude física ao desprazarse unha certa distancia. Un gradiente alto significa que dun punto a outro próximo, a magnitude pode presentar variacións importantes (aquí enténdese por gradiente alto un cun módulo elevado). Un gradiente dunha magnitude pequeno ou nulo implica que dita magnitude apenas varía dun punto a outro.

O gradiente dunha magnitude física posúe innumerables aplicacións en física, especialmente en electromagnetismo e mecánica de fluídos. En particular, existen moitos campos vectoriais que poden escribirse como o gradiente dun potencial escalar.

* Un deles é o campo electrostático, que deriva do potencial eléctrico:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {E} =-{\boldsymbol {\nabla }}\phi }
> 
> 
> 

* Todo campo que poida escribirse como o gradiente dun campo escalar, denomínase potencial, conservativo ou irrotacional. Así, unha forza conservativa deriva da enerxía potencial como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {F} =-{\boldsymbol {\nabla }}V}
> 
> 
> 

* Os gradientes tamén aparecen nos procesos de difusión que verifican a lei de Fick ou a lei de Fourier para a temperatura. Así, por exemplo, o fluxo de calor nun material é directamente proporcional ao gradiente de temperaturas

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {q} =-k{\boldsymbol {\nabla }}T}
> 
> 
> 

sendo {\displaystyle \scriptstyle k} a condutividade térmica.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q173582
* EBID: ID

 |