Rotación dunha curva. A superficie formada é unha superficie de revolución
Revolución de poliedros (Matemateca Ime-Usp)
En matemáticas, enxeñería e na industria, un **sólido de revolución** é unha figura sólida que obtida pola rotación dun plano de curva arredor dunha recta (o eixo), que se atopa no mesmo plano.

Supondo que a curva non cruce o eixo, o volume do sólido será igual á lonxitude do círculo descrito polo centroide da figura, multiplicada pola área da figura (segundo o teorema do centroide de Papo-Guldino).

Un **disco** **representativo** é un elemento de volume tridimensional dun sólido de revolución. O elemento créase facendo xirar un segmento de liña (de lonxitude w ) arredor dalgún eixe (situado a r unidades de distancia), de xeito que se pecha un volume cilíndrico de π*r*2*w* unidades.

Un volume con forma de toro obtense pola rotación dun círculo.

Achar o volume
--------------

Dous métodos comúns para atopar o volume dun sólido de revolución son: o método de disco e o método de integración de capas. Para aplicar estes métodos, é máis doado debuxar a gráfica en cuestión; identificar a zona que se xira arredor do eixo de revolución; determinar o volume dun disco en forma de rebanda dun sólido, con espesor δx, ou unha capa cilíndrica de ancho δx ; e despois atopar o límite da suma destes volumes cando δx se achega a 0, un valor que pode ser encontrado escollendo unha integral adecuada.

### Método de disco

 Disco de integración no eixo y
O método do disco utilízase cando a porción que foi debuxada é *perpendicular ao* eixe de revolución; é dicir, cando a integración é *paralela ao* eixe de revolución.

O volume do sólido formado pola rotación da área entre as curvas de *f*(*x*) e *g*(*x*) e as liñas de *x* = *a* e *x* = *b* arredor do eixo x vén dado por

{\displaystyle V=\pi \int \_{a}^{b}\left|f(x)^{2}-g(x)^{2}\right|\,dx\,.}
Se *g*(*x*) = 0 (por exemplo, xirando unha área entre a curva e o eixo x), redúcese a:

{\displaystyle V=\pi \int \_{a}^{b}f(x)^{2}\,dx\,.}
O método pódese visualizar considerando un rectángulo horizontal delgado entre *y* e *f*(*y*) na parte superior e *g*(*y*) na parte inferior, e tendo no eixe *y* a forma dun anel (ou disco no caso de que *g*(*y*) = 0 ), con raio externo *f*(*y*) e raio interior *g*(*y*). A área dun anel é π(*R*2 − *r*2), onde R é o raio exterior no (neste caso, *f*(*y*) ) e r é o raio interno (neste caso, *g*(*y*) ). O volume de cada disco infinitesimal é polo tanto π*f*(*y*)2 *dy*. O límite de Riemann é a suma dos volumes do disco entre a e b que se fan integral (1).

### Método do cilindro

 A integración de capas
O método da capa cilíndrica utilízase cando a porción que foi debuxada é *paralela ao* eixo de revolución; é dicir, cando a integración é *perpendicular ao eixo de revolución*.

O volume do sólido formado ao xirar a área comprendida entre as curvas de *f*(*x*) e *g*(*x*) e as liñas de *x* = *a* e *x* = *b* arredor do eixe y vén dado por:

{\displaystyle V=2\pi \int \_{a}^{b}x|f(x)-g(x)|\,dx\,.}
Se *g*(*x*) = 0 e g xirando unha área entre a curva e o eixo *y*, redúcese a:

{\displaystyle V=2\pi \int \_{a}^{b}x|f(x)|\,dx\,.}
 Sólidos en repouso
 Sólidos rotativos formando Sólidos de revolución
O método pódese visualizar considerando un rectángulo vertical delgado en x con altura *f*(*x*) − *g*(*x*), e tendo no eixe *y*, a forma dunha capa cilíndrica. A superficie lateral dun cilindro é 2π*rh*, onde r é o raio (neste caso x) e h é a altura (neste caso *f*(*x*) − *g*(*x*)). Sumando todas as áreas de superficie ao longo do intervalo dáse o volume total.

Forma paramétrica
-----------------

 Matemáticas e arte: estudo dun vaso como sólido de revolución por Paolo Uccello; século XV
Cando unha curva se define pola súa forma paramétrica (*x*(*t*),*y*(*t*)) nalgún intervalo [*a*,*b*], os volumes dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo x ou do eixo *y* veñen dados por: 

{\displaystyle V\_{x}=\int \_{a}^{b}\pi y^{2}\,{\frac {dx}{dt}}\,dt\,,}
{\displaystyle V\_{y}=\int \_{a}^{b}\pi x^{2}\,{\frac {dy}{dt}}\,dt\,.}
Nas mesmas circunstancias, as áreas superficiais dos sólidos xerados ao xirar a curva ao redor do eixo *x* ou do eixo y veñen dadas por 

{\displaystyle A\_{x}=\int \_{a}^{b}2\pi y\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,,}
{\displaystyle A\_{y}=\int \_{a}^{b}2\pi x\,{\sqrt {\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}}}\,dt\,.}

Notas
-----

1. ↑  Sharma, A. K. (2005). *Application Of Integral Calculus*. p. 168. ISBN 81-7141-967-4.
2. ↑  *Application Of Integral Calculus*. ISBN 81-7141-967-4.
3. ↑  *Engineering Mathematics*. ISBN 0-07-014615-2.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Sólido de revolución Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Outros artigos

* Matemáticas e arte
* Superficie de revolución
* Teoremas de Pappus-Guldinus
* Sólidos platónicos

### Ligazons externas

* "Volumes of Solids of Revolution". 12 de Abril de 2011. Arquivado dende o orixinal o 2012-03-19. Consultado o 2017-02-01.
* *Calculus*. Schaum's Outlines. 2008. pp. 244–248. ISBN 978-0-07-150861-2.  (*online copy* en Google Books.)
* Weisstein, Eric W. «Solid of Revolution» (en inglés). *MathWorld*