Diagrama empregado no lema da serpe, resultado básico da álxebra homolóxica.
A **álxebra homológica** é un campo das matemáticas que estuda a homoloxía nun marco alxébrico xeral. É unha disciplina relativamente nova, cuxos orixes poden remontarse ás investigacións en topoloxía combinatoria (un precursor da topoloxía alxébrica) e en álxebra abstracta (teoría de módulos) de fins do século XIX, lideradas por Henri Poincaré e David Hilbert.

O desenvolvemento da álxebra homolóxica está estreitamente relacionado coa emerxencia da teoría das categorías.

Unha noción importante na álxebra homolóxica é a de secuencia exacta, que pode ser empregada para o cálculo. Unha ferramenta clásica deste campo é o funtor derivado.

Historia
--------

A álxebra homolóxica comezou a ser estudada na súa forma máis básica no século XIX como unha rama da topoloxía, mais non foi até a década de 1940 cando se converteu nunha área independente relacionada co estudo de obxectos como os funtores ext e tor, entre outros.

Complexos de cadeas e homoloxía
-------------------------------

Os complexos de cadeas son o concepto central da álxebra homolóxica. É unha secuencia {\displaystyle (C\_{\bullet },d\_{\bullet })} de grupos abelianos e homomorfismos de grupos, coa propiedade de que a composición de dúas aplicaciónss consecutivas é cero:

{\displaystyle C\_{\bullet }:\cdots \longrightarrow C\_{n+1}{\stackrel {d\_{n+1}}{\longrightarrow }}C\_{n}{\stackrel {d\_{n}}{\longrightarrow }}C\_{n-1}{\stackrel {d\_{n-1}}{\longrightarrow }}\cdots ,\quad d\_{n}\circ d\_{n+1}=0.}
Os elementos de *C**n* chámanse *n*-cadeas e os homomorfismos *d**n* chámanse diferenciais. Os grupos de cadeas *C**n* poden dotarse doutras estruturas; poden ser, por exemplo, espazos vectoriais ou módulos sobre un anel *R*. Se existir esta estrutura extra os diferenciais deben conservala, é dicir deben de ser aplicacións lineares ou homomorfismos de *R*-módulos.

Notas
-----

1. ↑  History of Homological Algebra, by Chuck Weibel, pp.797-836 in the book The History of Topology, ed. I.M. James, Elsevier, 1999

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Henri Cartan, Samuel Eilenberg, *Homological algebra.* Co apéndice de David A. Buchsbaum. Reimpreso do orixinal de 1956. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1999. xvi+390 pp. ISBN 0-691-04991-2
* Alexander Grothendieck, *Sur quelques points d'algèbre homologique.* Tôhoku Math. J. (2) 9, 1957, 119–221
* Saunders Mac Lane, *Homology.* Reimpreso da edición de 1975. Classics in Mathematics. Springer-Verlag, Berlín, 1995. x+422 pp. ISBN 3-540-58662-8
* Peter Hilton; Stammbach, U. *A course in homological algebra.* Segunda edición. Graduate Texts in Mathematics, 4. Springer-Verlag, Nova York, 1997. xii+364 pp. ISBN 0-387-94823-6
* Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, *Methods of homological algebra.* Traducido ao inglés da edición en ruso de 1988. Segunda edición. Springer Monographs in Mathematics. Springer-Verlag, Berlin, 2003. xx+372 pp. ISBN 3-540-43583-2
* Gelfand, Sergei I.; Yuri Manin, *Homological algebra.* Springer-Verlag, Berlin, 1999. iv+222 pp. ISBN 3-540-65378-3
* Weibel, Charles A. (1994), *An introduction to homological algebra*, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 38, Cambridge University Press, MR1269324, ISBN 978-0-521-55987-4, OCLC 36131259.

### Outros artigos

* Álxebra
* K-teoría (teoría K)
* Henri Poincaré
* David\_Hilbert
* Henri\_Cartan
* Samuel Eilenberg
* Armand Borel
* Alain Connes
* Alexander Grothendieck
* Charles Weibel

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q579978
* BNCF: 57082
* BNF: 119792439
* BRE: 2368995
* GEC: 0267696
* GND: 4160598-6
* LCCN: sh85003432
* MAG: 18364862
* NDL: 00563392
* NKC: ph273320
* PSH: 7373

 |