En teoría de números o **teorema do número primo** é un enunciado que describe a distribución asintótica dos números primos. Este teorema achega unha descrición xeral de como están distribuídos os números primos no conxunto dos números naturais. Isto formaliza a idea intuitiva de que os primos son menos comúns canto máis grandes son. É un dos teoremas máis importantes da historia das matemáticas, non só pola súa beleza senón pola súa influencia no desenvolvemento posterior da investigación dos números primos.

Expresión do teorema
--------------------

Gráfico comparativo de π(*x*) (vermello), *x* / ln *x* (verde) e Li(*x*) (azul).
Sexa {\displaystyle \pi (x)\,} a función contador de números primos, que denota a cantidade de primos que non exceden a x\,. O teorema establece que:

> 
> 
> {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln(x)}}}, onde *{\displaystyle \ln(x)}* é o logaritmo natural de x.
> 
> 

Esta expresión non implica que a diferenza das dúas partes da mesma para valores de x moi grandes sexa cero; só implica que o cociente destas para valores de x\, moi grandes é case igual a 1.

Unha mellor aproximación que a anterior vén dada pola integral logarítmica desprazada:

> 
> 
> {\displaystyle \pi (x)\approx \operatorname {Li} (x)} , onde *{\displaystyle \operatorname {Li} (x)}* é a integral logarítmica desprazada de x.
> 
>

Historia
--------

En 1792 ou 1793, estando aínda no Collegium Carolinum, e sempre segundo o propio Gauss («ins Jahr 1792 oder 1793»), este anotou no seu caderno de notas:

«Números primos menores que *a* (= ∞) *a*/l*a*» que na linguaxe moderna quere dicir que π(*a*) para valores cada vez maiores se achega ao cociente *a*/ln*a*) e considérase como "a primeira conxectura do teorema dos números primos". Ademais a función π(*x*) que indica a cantidade de números primos que non superan *x* foi definida por Gauss.
O teorema dos números primos tamén foi conxecturado por Adrien-Marie Legendre en 1798, indicando que π(*x*) parecía ter a forma *a*/(*A* ln(*a*) + *B*), onde *A* e *B* son constantes non especificadas. Na segunda edición do seu libro de teoría de números (1808) fixo unha conxectura máis precisa, indicando que *A* = 1 e *B* = −1.08366. a conxectura foi posteriormente refinada por Gauss coa expresión que se asocia máis frecuentemente ao teorema. Prestaron contribucións significativas sobre esta proposición Legendre, Gauss, Dirichlet, Chebyshev e Riemann.

A demostración formal do teorema fixérona de forma independente tanto Jacques Hadamard como Charles-Jean da Vallée Poussin no ano 1896. Ambas as demostracións baseábanse no resultado de que a función zeta de Riemann {\displaystyle \zeta (z)\,} non ten ceros da forma *1 + it* con *t > 0*. En realidade a demostración fíxose sobre unha expresión algo máis estrita do que se indica na definición anterior do teorema, sendo a expresión demostrada por Hadamard e Poussin a seguinte:

{\displaystyle \pi (x)\approx {\mbox{Li}}(x)}

onde

{\displaystyle {\mbox{Li}}(x)=\int \_{2}^{x}{\frac {dy}{\ln(y)}}}.

Dende 1896 a expresión asociada ao teorema dos números primos foi mellorada sucesivamente, sendo a mellor aproximación actual a dada por:

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right)}
  

onde {\displaystyle O(f(x))\,} defínese como a función asintótica a f(x)\, e {\displaystyle A\,} é unha constante indeterminada.

Para valores de x\, pequenos demostrárase que {\displaystyle \pi (x)<{\mbox{Li}}(x)\,}, o que levou a conxecturar a varios matemáticos da época de Gauss que {\displaystyle {\mbox{Li}}(x)\,} era unha cota superior estrita de {\displaystyle \pi (x)\,} (isto é que a ecuación {\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,} non ten solucións reais). Non obstante, en 1912 J. E. Littlewood demostrou que esa cota é cruzada para valores de x\, suficientemente grandes. O primeiro deles coñécese como primeiro número de Skewes, e sábese que é inferior a {\displaystyle \scriptstyle 10^{317}\,}, aínda que se pensa que pode ser inferior incluso a {\displaystyle \scriptstyle 10^{176}\,}. En 1914 Littlewood ampliou a súa demostración coa inclusión de múltiples solucións á ecuación {\displaystyle \pi (x)-{\mbox{Li}}(x)=0\,}. Moitos destes valores e descubrimentos están asociados á validez da hipótese de Riemann.

Relación coa hipótese de Riemann
--------------------------------

Dada a conexión que hai entre a función zeta de Riemann ζ(*s*) e π(*x*), a hipótese de Riemann é moi importante na teoría de números, e por suposto, no teorema dos números primos.

Se a hipótese de Riemann se cumpre, entón o termo erro que aparece no teorema dos números primos pode limitarse do mellor xeito posible. Concretamente, Helge von Koch demostrou en 1901 que

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).}
se e só se a hipótese de Riemann se cumpre.

Unha variante refinada do resultado de Koch, dada por Lowel Schoenfeld en 1976, afirma que a hipótese de Riemann é equivalente ao resultado:

{\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {Li} (x)|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln(x),\qquad {\text{para todo }}x\geq 2657.}

Aproximacións para o n-ésimo número primo
-----------------------------------------

Como consecuencia do teorema dos números primos, obtense unha expresión asintótica para o n-ésimo número primo, denotado por *p**n*:

{\displaystyle p\_{n}\approx n\ln n.}
Unha aproximación mellor é:

{\displaystyle p\_{n}=n\ln n+n\ln \ln n+{\frac {n}{\ln n}}{\big (}\ln \ln n-\ln n-2{\big )}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).}

Teorema dos números primos para progresións aritméticas
-------------------------------------------------------

Sexa {\displaystyle \pi \_{n,a}(x)} a función que denota o número de primos nunha progresión aritmética *a*, *a* + *n*, *a* + 2*n*, *a* + 3*n*, … menor que *x*. Dirichlet e Legendre conxecturaron, e Vallée-Poussin demostrou, que, se *a* e *n* son coprimos, entón

{\displaystyle \pi \_{n,a}(x)\sim {\frac {1}{\varphi (n)}}\mathrm {Li} (x),}
onde φ(•) é a función φ de Euler. Noutras palabras, os números primos distribúense uniformemente entre os residuos de clases [*a*] módulo *n* con mcd(*a*, *n*) = 1. Isto pode demostrarse empregando métodos similares utilizados por Newman na súa demostración do teorema dos números primos.

O teorema de Siegel–Walfisz dá unha boa estimación da distribución dos números primos nos residuos de clases.

Notas
-----

1. ↑  Gracián, Enrique: «Los números primos. Un largo camino al infinito» ISBN 978-84-473-6625-5, pág 77
2. ↑  Niven e Zuckerman: *Introducción a la teoría de números* ISBN 968-18-0669-7, pp.23 e 24
3. ↑  Savitt, David. «The Mathematics of Gauss.» Universidade Cornell. Consultado o 13 de xuño de 2015 *(en inglés)*
4. ↑  Gauss, C. F. *Werke*, Bd 2, 1st ed, 444-447. Göttingen 1863.
5. 1 2  Said Sidki: Introdução à teoria dos números, impa 1975
6. ↑  Cipolla, Michele (1902). "La determinazione assintotica dell'nimo numero primo". *Matematiche Napoli* **3**: 132–166.
7. ↑  Soprounov, Ivan (1998). "A short proof of the Prime Number Theorem for arithmetic progressions" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 09 de novembro de 2016. Consultado o 20 de abril de 2017.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* Prime Number Theorem
* Goldfeld, Dorian. "The elementary proof of the prime number theorem:An historical perspective" (PDF) (en inglés). Consultado o 10 de febreiro de 2011.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q386292
* EBID: ID
* MAG: 40758505

 |