En matemática e en particular na análise, unha **ecuación diferencial ordinaria** (ou **EDO**) é unha ecuación que envolve as derivadas dunha función descoñecida dunha variable. Un exemplo simple dunha ecuación diferencial ordinaria é

{\displaystyle f'=f,\,}
onde f é unha función descoñecida, e f' a súa derivada.

Definición
----------

Se*x*a *y* unha función de x e que

{\displaystyle y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)}}
denote as súas derivadas

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}},\ {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}},\ \dots ,\ {\frac {d^{n}y}{dx^{n}}}}.
Unha **ecuación diferencial ordinaria** (EDO) é unha ecuación que envolve

{\displaystyle x,\ y,\ y',\ y'',\ \dots }.
A orde dunha ecuación{\displaystyle } diferencial é a **orde** n da maior derivada na ecuación.

Unha **solución** dunha EDO é unha función y(x) cuxas derivadas satisfán a ecuación. Non está garantido que tal función exista, e no caso de que exista, normalmente non é única.

Sobre a **linearidade** dunha ecuación diferencial ordinaria de orde n pode ser vista como unha función

{\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}, e dise que a ecuación diferencial é linear se F for linear en {\displaystyle y,y'(x),\ \dots ,\ y^{(n)}(x)}.
No que se refire aos coeficientes, unha ecuación diferencial pode ter coeficientes constantes ou funcións da variable independente.

Cando unha ecuación diferencial de orde n ten a forma

{\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n)})=0}
denomínase ecuación diferencial implícita, mentres que a forma

{\displaystyle F(x,y',y'',\ \dots ,\ y^{(n-1)})=y^{(n)}}
denomínase ecuación diferencial explícita.

Unha ecuación diferencial é autónoma se non depende explicitamente de *x*, e homoxénea se todos os termos da ecuación diferencial dependen exclusivamente de x.

Exemplos prácticos
------------------

As ecuacións diferenciais empréganse frecuentemente para describir procesos nos que a mudanza dunha medida ou dimensión é causada polo propio proceso.

Historicamente, as primeiras ecuacións diferenciais foron as relativas á aceleración igual ou desigual, que Galileo Galilei puido medir, aínda que con métodos xeométricos.

Isaac Newton e Gottfried Leibniz introduciron o cálculo diferencial e, este último, as ecuacións diferenciais como as coñecemos hoxe.

Por exemplo na Física, a lei da vida media prevé que o número de átomos que se decompón por unidade de tempo nunha masa de átomos inestables dependen do total N dos átomos existentes (aquí é necesario considerar que, por ser N un número moi grande, pode tomarse a súa variación *continua* e *determinista*; no caso de N ser un número pequeno débese considerar a súa variación *discreta* e *estocástica*, e o método máis adecuado é outro).

Deste xeito, a diminución do número de átomos é proporcional ao total de átomos:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}N(t)=c\;N(t).}
Polo cálculo da función {\displaystyle N(t)\!} nesta ecuación diferencial, tórnase posible determinar o número total de átomos a cada momento no tempo.

Un outro exemplo simple é o oscilador inalterado harmónico coa ecuación diferencial

{\displaystyle m\;a=m\;{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} t^{2}}}x(t)=-k\;x(t).}
A función procurada aquí é a función {\displaystyle x(t)}, cuxa segunda derivada en relación ao tempo procede das leis do movemento.

Ecuacións diferenciais específicas
----------------------------------

### Ecuacións diferenciais lineares

Unha EDO é linear cando os termos que envolven a función que se precisa determinar aparecen só de forma linear, ou sexa, pódese escribir a EDO como

{\displaystyle f\_{n}(x)y^{(n)}(x)+f\_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x)+\ldots +f\_{1}(x)y'(x)+f\_{0}(x)y(x)=q(x)\,}
Esta ecuación é de grao n cando a función fn(x) non é identicamente nula.

Solución dunha ecuación diferencial ordinaria
---------------------------------------------

Unha solución para unha ecuación diferencial é unha función que satisfai a identidade da ecuación. A solución máis xeral posible que admite unha ecuación diferencial denomínase solución xeral mentres que outra solución chámase solución particular.

**Exemplo**: {\displaystyle y'+y=0}

Solución particular: {\displaystyle y(x)=e^{-x}}

Solución xeral: {\displaystyle y(x)=Ce^{-x}} (C constante)

As solucións clasifícanse en:

* *Solución xeral* - presenta *n* constantes independentes entre si (*n*=orde da EDO). Esas constantes, segundo a conveniencia, podem ser escritas {\displaystyle C,2C,C^{2},\ln {C},...}
* *Solución particular* - obtida da xeral, mediante condicións dadas (chamadas condicións iniciais ou condicións de contorno).

Métodos para resolución de EDO
------------------------------

A habilidade en encontrar solucións exactas en xeral depende da habilidade en recoñecer certos tipos de ecuacións diferenciais e da aplicación dun método específico. Noutras palabras, o que funciona para un tipo de ecuacións diferenciais non necesariamente se aplica a outro tipo.

Notas
-----

1. ↑  *Ecuacións Diferenciais Elementais e Problemas de Valores de Contorno* oitava ed.
2. ↑  "«Ecuacións Diferenciais Ordinarias»" (PDF). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 03 de setembro de 2013. Consultado o 26 de agosto de 2016.
3. ↑  «Ecuacións Diferenciais».
4. ↑  «Ecuacións Diferenciais de Variabades Separabades».

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Ecuación diferencial
* Sistemas dinámicos

### Ligazóns externas

* CEFET/RJ materia de E.D.O.[*Ligazón morta*]
* EDO

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q465274
* BNCF: 45336
* EBID: ID
* JSTOR: ordinary-differential-equations
* MAG: 51544822
* NDL: 00574993
* NKC: ph123625
* PSH: 7578

 |