{\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}The binomial coefficient {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} appears as the kth entry in the nth row of Pascal's triangle (where the top is the 0th row {\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}). Each entry is the sum of the two above it.En álxebra elemental, o **teorema binomial** (ou **expansión binomial**) describe a expansión alxébrica das potencias dun binomio. Segundo o teorema, é posible expandir o polinomio (*x* + *y*)*n* nunha suma que implique termos da forma *ax**b**y**c*, onde os expoñentes b e c son enteiros non negativos con *b* + *c* = *n* e o coeficiente a de cada termo é un número enteiro positivo específico que depende de n e b. Por exemplo, para *n* = 4,


(
x
+
y

)

4

=

x

4

+
4

x

3

y
+
6

x

2

y

2

+
4
x

y

3

+

y

4

.

{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}

{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}O coeficiente a no termo de *ax**b**y**c* coñécese como coeficiente binomial {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} ou {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (os dous teñen o mesmo valor). Estes coeficientes para variar n e b pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal. Estes números tamén aparecen en combinatoria, onde {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} dá o número de combinacións diferentes (é dicir, subconxuntos) de b elementos que se poden escoller entre un conxunto de n elementos, e daí podemos ler "n en b".

Teorema
-------

Segundo o teorema, a expansión de calquera potencia enteira non negativa n do binomio *x* + *y* é unha suma da forma


(
x
+
y

)

n

=

(

n
0

)

x

n

y

0

+

(

n
1

)

x

n
−
1

y

1

+

(

n
2

)

x

n
−
2

y

2

+
⋯
+

(

n

n
−
1

)

x

1

y

n
−
1

+

(

n
n

)

x

0

y

n

,

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}onde cada un {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} é un número enteiro positivo coñecido como coeficiente binomial, definido como



(

n
k

)

=

n
!

k
!

(
n
−
k
)
!

=

n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)

k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
2
⋅
1

.

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}Usando o sumatorio, pódese escribir de forma máis concisa como


(
x
+
y

)

n

=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

n
−
k

y

k

=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

k

y

n
−
k

.

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}Para o binomio con resta temos alternancia no signo de cada termo:



(
x
−
y

)

n

=

∑

k
=
0

n

(
−
1

)

k


(

n
k

)

x

n
−
k

y

k

.

{\displaystyle (x-y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}

{\displaystyle (x-y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}

  

Unha variante simple da fórmula binomial obtense substituíndo 1 por y, de xeito que só implica unha única variábel:



(
1
+
x

)

n


=

(

n
0

)

x

0

+

(

n
1

)

x

1

+

(

n
2

)

x

2

+
⋯
+

(

n

n
−
1

)

x

n
−
1

+

(

n
n

)

x

n



=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

x

k

.


)



{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose {n-1}}x^{n-1}+{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}

Exemplos
--------

Aquí vemos os primeiros casos do teorema binomial:



(
x
+
y

)

0


=
1
,

(
x
+
y

)

1


=
x
+
y
,

(
x
+
y

)

2


=

x

2

+
2
x
y
+

y

2

,

(
x
+
y

)

3


=

x

3

+
3

x

2

y
+
3
x

y

2

+

y

3

,

(
x
+
y

)

4


=

x

4

+
4

x

3

y
+
6

x

2

y

2

+
4
x

y

3

+

y

4

,

(
x
+
y

)

5


=

x

5

+
5

x

4

y
+
10

x

3

y

2

+
10

x

2

y

3

+
5
x

y

4

+

y

5

,

(
x
+
y

)

6


=

x

6

+
6

x

5

y
+
15

x

4

y

2

+
20

x

3

y

3

+
15

x

2

y

4

+
6
x

y

5

+

y

6

,

(
x
+
y

)

7


=

x

7

+
7

x

6

y
+
21

x

5

y

2

+
35

x

4

y

3

+
35

x

3

y

4

+
21

x

2

y

5

+
7
x

y

6

+

y

7

,

(
x
+
y

)

8


=

x

8

+
8

x

7

y
+
28

x

6

y

2

+
56

x

5

y

3

+
70

x

4

y

4

+
56

x

3

y

5

+
28

x

2

y

6

+
8
x

y

7

+

y

8

.



{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7},\\[8pt](x+y)^{8}&=x^{8}+8x^{7}y+28x^{6}y^{2}+56x^{5}y^{3}+70x^{4}y^{4}+56x^{3}y^{5}+28x^{2}y^{6}+8xy^{7}+y^{8}.\end{aligned}}}
* os expoñentes de x nos termos son *n*, *n* − 1, ... 2, 1, 0 *n*, *n* − 1, ... 2, 1, 0 (o último termo contén implicitamente *x*0 = 1 );
* os expoñentes de y nos termos son 0, 1, 2, ... *n* − 1, *n* 0, 1, 2, ... *n* − 1, *n* (o primeiro termo contén implicitamente *y*0 = 1 );
* os coeficientes forman a n ésima fila do triángulo de Pascal;
* hai *n* + 1 termos, e os seus coeficientes suman 2*n* .

Coeficientes binomiais
----------------------

*Artigo principal**:* Coeficiente binomial.
Os coeficientes que aparecen na expansión binomial chámanse **coeficientes binomiais**. Estes adoitan escribirse {\displaystyle {\tbinom {n}{k}},} e pódese ler como "n en k", combinacións de n elementos tomados en grupos de k elementos.

O coeficiente de *x**n*−*k**y**k* vén dado pola fórmula



(

n
k

)

=

n
!

k
!

(
n
−
k
)
!

,

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}O coeficiente binomial {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} pódese interpretar como o número de formas de escoller k elementos dun conxunto de n elementos.

Xeneralizacións
---------------

### Teorema binomial xeneralizado de Newton

### Regra xeral de Leibniz

A regra xeral de Leibniz dá a derivada n-ésima dun produto de dúas funcións nunha forma similar á do teorema do binomio: 


(
f
g

)

(
n
)

(
x
)
=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

f

(
n
−
k
)

(
x
)

g

(
k
)

(
x
)
.

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}Aquí, o superíndice (*n*) indica a derivada n-ésima dunha función, {\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}.

Aplicacións
-----------

### Identidades de ángulos múltiples

Para os números complexos o teorema binomial pódese combinar coa fórmula de Moivre para obter fórmulas de ángulos múltiples para o seno e o coseno. Segundo a fórmula de De Moivre,


cos
⁡

(

n
x

)

+
i
sin
⁡

(

n
x

)

=

(

cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x

)

n

.

{\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}

{\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}e nesa expresión podemos usar o teorema do binomio, por exemplo


(

cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x

)

2

=

cos

2

⁡
x
+
2
i
cos
⁡
x
sin
⁡
x
−

sin

2

⁡
x
=
(

cos

2

⁡
x
−

sin

2

⁡
x
)
+
i
(
2
cos
⁡
x
sin
⁡
x
)
,

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}Mais a fórmula de De Moivre identifica o lado esquerdo con {\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}, así


cos
⁡
(
2
x
)
=

cos

2

⁡
x
−

sin

2

⁡
x

and

sin
⁡
(
2
x
)
=
2
cos
⁡
x
sin
⁡
x
,

{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}

{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}que son as identidades habituais de ángulo duplo. Do mesmo xeito, xa que


(

cos
⁡
x
+
i
sin
⁡
x

)

3

=

cos

3

⁡
x
+
3
i

cos

2

⁡
x
sin
⁡
x
−
3
cos
⁡
x

sin

2

⁡
x
−
i

sin

3

⁡
x
,

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}

{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}A fórmula de De Moivre resulta


cos
⁡
(
3
x
)
=

cos

3

⁡
x
−
3
cos
⁡
x

sin

2

⁡
x

and

sin
⁡
(
3
x
)
=
3

cos

2

⁡
x
sin
⁡
x
−

sin

3

⁡
x
.

{\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}

{\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}En xeral,


cos
⁡
(
n
x
)
=

∑

k

 even

(
−
1

)

k

/

2


(

n
k

)

cos

n
−
k

⁡
x

sin

k

⁡
x

{\displaystyle \cos(nx)=\sum \_{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}

{\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}e


sin
⁡
(
n
x
)
=

∑

k

 odd

(
−
1

)

(
k
−
1
)

/

2


(

n
k

)

cos

n
−
k

⁡
x

sin

k

⁡
x
.

{\displaystyle \sin(nx)=\sum \_{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}

{\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}Tamén hai fórmulas similares usando os polinomios de Chebyshev.

### Serie para *e*

O número e adoita definirse pola fórmula


e
=

lim

n
→
∞

(

1
+

1
n

)

n

.

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

{\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}Aplicando o teorema binomial a esta expresión obtense a serie infinita usual para e:


(

1
+

1
n

)

n

=
1
+

(

n
1

)


1
n

+

(

n
2

)


1

n

2

+

(

n
3

)


1

n

3

+
⋯
+

(

n
n

)


1

n

n

.

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}O k-ésimo termo desta suma é



(

n
k

)


1

n

k

=

1

k
!

⋅

n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
k
+
1
)

n

k



{\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}

{\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}Cando *n* → ∞, a expresión racional da dereita achégase a 1, e polo tanto



lim

n
→
∞


(

n
k

)


1

n

k

=

1

k
!

.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}Isto indica que e pódese escribir como unha serie:


e
=

∑

k
=
0

∞

1

k
!

=

1

0
!

+

1

1
!

+

1

2
!

+

1

3
!

+
⋯
.

{\displaystyle e=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}

{\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}
### Probabilidade

O teorema binomial está intimamente relacionado coa función de masa de probabilidade da distribución binomial negativa. A probabilidade dunha colección (contábel) de ensaios Bernoulli independentes {\displaystyle \{X\_{t}\}\_{t\in S}} con probabilidade de éxito {\displaystyle p\in [0,1]} nos que non aconteza ningún sería

{\displaystyle P\left(\bigcap \_{t\in S}X\_{t}^{C}\right)=(1-p)^{|S|}=\sum \_{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}
Un límite superior para esta cantidade é {\displaystyle e^{-p|S|}.}

En álxebra abstracta
--------------------

O teorema binomial é válido de xeito máis xeral para dous elementos *x* e *y* nun anel, ou mesmo nun semianel, sempre que *xy* = *yx*. Por exemplo, vale para dúas matrices *n* × *n*, sempre que esas matrices conmuten; isto é útil para calcular as potencias dunha matriz. 

1. ↑ . 2000. pp. 318–319. ISBN 9780387950006 .  Falta o `|title=` (Axuda)
2. ↑ . p. 71. ISBN 978-1351215800.  Falta o `|title=` (Axuda)
3. ↑   (en inglés). p. 320. ISBN 9780471200611. doi:10.1002/0471200611.ch5.  Falta o `|title=` (Axuda)
4. ↑  Artin, *Algebra*, 2nd edition, Pearson, 2018, equation (4.7.11).