O **teorema do coseno** é unha xeneralización do teorema de Pitágoras para triángulos non rectángulos que se utiliza, normalmente, en trigonometría.

O teorema relaciona un lado dun triángulo cos outros dous e co coseno do ángulo formado por estes dous lados:

Dado un triángulo ABC, sendo α, β, γ, os ángulos, e *a*, *b*, *c*, os lados respectivamente opostos a estes ángulos, entón:

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos(\gamma )}
> 
> 
> 

Na maioría dos idiomas, este teorema é coñecido co nome de teorema ou lei dos cosenos, denominación non obstante relativamente tardía. En francés leva o nome do matemático persa Ghiyath al-Kashi que unificou os resultados dos seus predecesores.

Fig. 1 - Notación máis habitual dun triángulo.

Historia
--------

*Os Elementos* de Euclides, que data do século III a. C. contén xa unha aproximación xeométrica da xeneralización do teorema de Pitágoras: as proposicións 12 e 13 do libro II, tratan separadamente o caso dun triángulo obtusángulo e o dun triángulo acutángulo.
A formulación da época é arcaica xa que a ausencia de funcións trigonométricas e da álxebra obrigou a razoar en termos de diferenzas de áreas. Por iso, a proposición 12 utiliza estes termos:

> 
> 
> «Nos triángulos obtusángulos, o cadrado do lado oposto ao ángulo obtuso é maior que os cadrados dos lados que comprenden o ángulo obtuso en dúas veces o rectángulo comprendido por un lado dos do ángulo obtuso sobre o que cae a perpendicular e a recta exterior cortada pola perpendicular, até o ángulo obtuso.»
> Euclides, *Elementos*.
> 

Sendo *ABC* o triángulo, co ángulo obtuso en *C*, e *BH* a altura respecto do vértice *B* (cf. Fig. 2 contigua), a notación moderna permite formular o enunciado así:

Fig. 2 - Triángulo *ABC* con altura *BH*.

> 
> {\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2\ CA\ CH}
> 
> 
> 

Faltaba esperar a trigonometría árabe-musulmá da Idade Media para ver o teorema evolucionar: o astrónomo e matemático al-Battani xeneralizou o resultado de Euclides na xeometría esférica a principios do século X, o que permitiu efectuar os cálculos da distancia angular entre o Sol e a Terra. Foi durante o mesmo período cando se estableceron as primeiras táboas trigonométricas, para as funcións seno e coseno. Iso permitiulle a Ghiyath al-Kashi, matemático da escola de Samarcanda, de poñer o teorema baixo unha forma utilizable para a triangulación durante o século XV. A propiedade foi popularizada en occidente por François Viète quen, ao parecer, redescubriuno independentemente.

Foi a finais do século XVII cando a notación alxébrica moderna, canda a notación moderna das funcións trigonométricas introducida por Euler no seu libro *Introductio in analysin infinitorum*, permitiron escribir o teorema baixo a súa forma actual, estendéndose o nome de teorema (ou lei) do coseno.

O teorema e as súas aplicacións
-------------------------------

O teorema do coseno é tamén coñecido polo nome de **teorema de Pitágoras xeneralizado**, xa que o teorema de Pitágoras é un caso particular: cando o ángulo {\displaystyle \gamma \,} é recto ou, dito doutro xeito, cando {\displaystyle \cos \gamma =0\,}, o teorema do coseno redúcese a:

> 
> {\displaystyle \,c^{2}=a^{2}+b^{2}}
> 
> 
> 

que é precisamente a formulación do teorema de Pitágoras.

Fig. 3 - Utilización do teorema do coseno: ángulo ou lado descoñecido.
O teorema emprégase en triangulación (ver Fig. 3) para resolver un triángulo, e saber determinar

* o terceiro lado dun triángulo cando coñecemos un ángulo e os lados adxacentes:

> 
> {\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}}.
> 
> 
> 

* os ángulos dun triángulo cando coñecemos os tres lados:

> 
> {\displaystyle \gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}.
> 
> 
> 

Estas fórmulas son difíciles de aplicar no caso de medicións de triángulos moi agudos utilizando métodos simples, é dicir, cando o lado *c* é moi pequeno respecto os lados *a* e *b* —ou o seu equivalente, cando o ángulo *γ* é moi pequeno.

Existe un corolario do teorema do coseno para o caso de dous triángulos semellantes ABC e A'B'C'

> 
> {\displaystyle \,cc'=aa'+bb'-(ab'+a'b)\cos \gamma }.
> 
> 
>

Demostracións
-------------

### Por repartición de áreas

Fig. 4a - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é agudo.Un certo número das demostracións do teorema fan intervir un cálculo de áreas. Convén en efecto remarcar que 

* *a²*, *b²*, c² *son as áreas dos cadrados de lados respectivos* a*,* b*,* c*.*
* *ab* cos(γ) é a área dun paralelogramo de lados *a* e *b* que forman un ángulo de 90°-γ.

Dado que cos(γ) cambia de signo dependendo de se γ é maior ou menor a 90°, faise necesario dividir a proba en 2 casos

A figura 4a (contigua) divide un heptágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo agudo. A división é a seguinte:

* En verde, as áreas *a²*, *b²* á esquerda, e a área , *c²* á dereita.
* En vermello, o triángulo *ABC* en ambos diagramas e en amarelo triángulos congruentes ao *ABC*.
* En azul, paralelogramos de lados *a* e *b* con ángulo *90*°-γ.

Igualando as áreas e cancelando as figuras iguais obtense que {\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\,\cos \gamma }, equivalente ao Teorema do coseno.

Fig. 4b - Demostración do teorema do coseno por repartición de áreas, cando o ángulo é obtuso.
A figura 4b (contigua) divide un hexágono de dúas maneiras diferentes para demostrar o teorema do coseno no caso dun ángulo obtuso. A figura mostra

* En verde *a²*, *b²* á esquerda e *c²* á dereita.
* En azul -*2ab* cos(γ), recordando que ao ser cos(γ) negativo, a expresión completa é positiva.
* En vermello, dúas veces o triángulo *ABC* para ambos lados da figura.

Igualando áreas e cancelando as zonas vermellas dá {\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}, como queríamos demostrar.

### Polo teorema de Pitágoras

Notemos que o Teorema de Cosenos é equivalente ao Teorema de Pitágoras cando o ángulo \gamma  é recto. Polo tanto só é necesario considerar os casos cando *c* é adxacente a dous ángulos agudos e cando *c* é adxacente a un ángulo agudo e un obtuso.

**Primeiro caso:** *c* é adxacente a dous ángulos agudos. 

Caso 1: *c* é adxacente a dous ángulos agudos
Consideremos a figura adxunta. Polo teorema de Pitágoras, a lonxitude *c* é calculada así:

> 
> (left)
> {\displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}\,}
> 
> 
> 

Pero, a lonxitude *h* tamén se calcula así: 

> 
> (left)
> {\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b-u)^{2}\,}
> 
> 
> 

Sumando ambas ecuacións e logo simplificando obtemos:

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}+2bu\,}
> 
> 
> 

Pola definición de coseno, tense:

> 
> {\displaystyle cos\gamma \,={\frac {b-u}{a}}}
> 
> 
> 

e polo tanto:

> 
> {\displaystyle u=b-a\,\cos \gamma \,}
> 
> 
> 

Substituímos o valor de u na ecuación para {\displaystyle c^{2}}, concluíndo que:

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma }
> 
> 
> 

co que conclúe a proba do primeiro caso.

**Segundo caso:** *c* é adxacente a un ángulo obtuso. 

Caso 2: *c* é adxacente a un ángulo obtuso
Consideremos a figura adxunta. O teorema de Pitágoras establece novamente {\displaystyle c^{2}=h^{2}+u^{2}} pero neste caso {\displaystyle h^{2}=a^{2}-(b+u)^{2}}. Combinando ambas ecuacións obtemos {\displaystyle c^{2}=u^{2}+a^{2}-b^{2}-2bu-u^{2}} e deste xeito:

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}-b^{2}-2bu\,}.
> 
> 
> 

Da definición de coseno, tense {\displaystyle cos\gamma \,={\frac {b+u}{a}}} e polo tanto:

> 
> {\displaystyle u=a\,\cos \gamma -b\,}.
> 
> 
> 

Substituímos na expresión para *c²* e simplificamos *c² = a²-b² -2b*(*a* cos(γ)-*b*), concluíndo novamente

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\,\cos \gamma \,}.
> 
> 
> 

Isto conclúe a demostración.

É importante notar, que se se considera a *u* como un segmento dirixido, entón só hai un caso e as dúas demostracións convértense na mesma.

### Pola potencia dun punto con respecto a un círculo

Fig. 6 - Demostración do teorema do coseno utilizando a potencia dun punto con respecto a un círculo.
Consideremos un círculo con centro en *B* e radio *BC*, como na figura 6. Se *AC* é tanxente ao círculo, novamente tense o Teorema de Pitágoras. Cando *AC* non é tanxente, existe outro punto *K* de corte co círculo. A potencia do punto A con respecto a dito círculo é

> 
> {\displaystyle AP\cdot AL=AC\cdot AK=AC(AC+CK)}.
> 
> 
> 

Por outro lado, *AL = c+a* e *AP = c-a* de modo que

> 
> {\displaystyle AP\cdot AL=(c+a)(c-a)=c^{2}-a^{2}}.
> 
> 
> 

Ademais, *CK= -2a cos(γ)* polo que

> 
> {\displaystyle AC(AC+CK)=b(b-2a\,cos(\gamma ))}.
> 
> 
> 

Igualando as expresións obtidas chégase finalmente a:

> 
> {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2a\;b\,\cos(\gamma )}
> 
> 
> 

Contrariamente ás precedentes, para esta demostración, non é necesario recorrer a un estudo por caso pois as relacións alxébricas son as mesmas para o caso do ángulo agudo.

### Polo cálculo vectorial

Utilizando o cálculo vectorial, máis precisamente o produto escalar, é posible encontrar o teorema do coseno nalgunhas liñas:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle c^{2}\,} | {\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {AB} }}\lVert ^{2}} |
|  | {\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}-{\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}} |
|  | {\displaystyle =\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\lVert ^{2}-2\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CB} }}\cdot {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}+\lVert {\overrightarrow {\mathrm {CA} }}\lVert ^{2}} |
|  | {\displaystyle =\mathrm {CB} ^{2}-2\cdot \left|\mathrm {CB} \right|\cdot \left|\mathrm {CA} \right|\cos {\widehat {\mathrm {ACB} }}+\mathrm {CA} ^{2}} |
|  | {\displaystyle =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma \,} |

Xeneralización en xeometrías non euclidianas
--------------------------------------------

Fig. 7 - Triángulo esférico: dimensións reducidas *a*, *b* e *c* ; ángulos α, β e γ.
Para unha superficie non euclidiana de curvatura *K*, sinalamos con *R* o radio de curvatura. Este verifica

{\displaystyle \,R=1/{\sqrt {|K|}}}.
Definimos entón as dimensións reducidas do triángulo:

{\displaystyle \,a=BC/R},
{\displaystyle \,b=AC/R},
{\displaystyle \,c=AB/R}.
No caso dun triángulo esférico, *a*, *b* e *c* corresponden á medida angular dos segmentos de circunferencia maximal [BC], [AC] e [AB] (ver Fig. 7).

### Xeometría esférica

*Artigo principal**:* Xeometría esférica.
Cando o radio de curvatura é moi grande comparado coas dimensións do triángulo, é dicir cando

{\displaystyle \,a<\!\!<1},
esta expresión simplifícase para dar a versión euclidiana do teorema do coseno. Para facelo, :{\displaystyle \,\cos a=1-a^{2}/2+O(a^{3})} etc.

Existe unha identidade similar que relaciona os tres ángulos:

{\displaystyle \cos \gamma =-\cos \alpha \,\cos \beta +\sin \alpha \,\sin \beta \,\cos c}

### Xeometría hiperbólica

*Artigo principal**:* Xeometría hiperbólica.
Nun triángulo hiperbólico ABC, o teorema do coseno escríbese

{\displaystyle \cosh c=\cosh a\,\cosh b-\sinh a\,\sinh b\,\cos \gamma }.
Cando o radio de curvatura se volve moi grande fronte ás dimensións do triángulo, encontramos o teorema do coseno euclidiano a partir dos desenvolvementos limitados

{\displaystyle \,\sinh a=a+O(a^{3})} etc.
{\displaystyle \,\cosh a=1+a^{2}/2+O(a^{3})} etc.

Xeneralización no espazo euclidiano
-----------------------------------

Fig. 8 - Tetraedro: vértices, caras e ángulos.
Consideremos un tetraedro A1A2A3A4 do espazo euclidiano, sendo:

{\displaystyle \,\mathrm {S} \_{k}} a cara oposta ao vértice {\displaystyle \mathrm {A} \_{k}\ };
{\displaystyle \,s\_{k}} a superficie de {\displaystyle \mathrm {S} \_{k}\ };
{\displaystyle \,\Delta \_{k}} o plano que contén a cara {\displaystyle \mathrm {S} \_{k}\ };
{\displaystyle \,\theta \_{ij}} o ángulo diedral {\displaystyle {\widehat {(\Delta \_{i},\Delta \_{j})}}}.
(A figura 8, contigua, presenta a notación dos vértices, caras e ángulos do tetraedro).

Entón, as superficies e ángulos verifican:

{\displaystyle \,s\_{4}^{2}=s\_{1}^{2}+s\_{2}^{2}+s\_{3}^{2}-2s\_{1}s\_{2}\cos \theta \_{12}\,}
{\displaystyle -2s\_{1}s\_{3}\cos \theta \_{13}-2s\_{2}s\_{3}\cos \theta \_{23}\,}.

Notas
-----

1. ↑  Kennedy, E S ; Debarnot, M.- T (1979). "Al-Kashi's Impractical Method of Determining the Solar Altitude". *Journal for the History of Arabic Science Aleppo* **3** (2). páx. 219-227. Arquivado dende o orixinal o 23 de xaneiro de 2009. Consultado o 21 de abril de 2012.
2. ↑  
Heath, Sir Thomas (1921). Londres, Inglaterra: Oxford University Press, ed. *A history of Greek Mathematics vol. 1*. OCLC 2014918.
3. ↑  "Proposición 12 del libro II de Los Elementos de Euclides". Arquivado dende o orixinal o 03 de abril de 2012. Consultado o 21 de abril de 2012.
4. ↑  "Esquema del desarrollo histórico de la matemática" (PDF). Universidade Nacional do Nordeste. pp. páx. 6. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 27 de marzo de 2013. Consultado o 21 de abril de 2012.
5. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. Universidade de Saint Andrews, ed. "Biografía de Abu Abdallah Mohammad ibn Jabir Al-Battani". *MacTutor History of Mathematics archive* (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 19 de xuño de 2012. Consultado o 21 de abril de 2012.
6. ↑  "La trigonometria àrab, Al-Battani, Abu’l-Wafa, Ibn Yunus, Nasir al-Tusi" (en catalán). Arquivado dende o orixinal (html) o 05 de xullo de 2008. Consultado o 21 de abril de 2012.
7. ↑  "Al-Kashi, Gamshid ibn Messaoud" (en francés). Consultado o 21 de abril de 2012.
8. ↑  Viète, François (1579). Lutetia Mettayer, ed. *Canon mathematicus seu ad triangula*. OCLC 165919384.
9. ↑  Boyer, Carl B.; Uta C. Merzbach (1968). New York: Estados Unidos: John Wiley & Sons, ed. *A History of Mathematics*. pp. 439–445. ISBN 0-471-54397-7.
10. ↑  Na xeometría esférica o concepto de liña recta é substituído polo de xeodésica, que é a distancia máis curta entre dous puntos dados da mesma e esta é sempre unha liña que debe pertencer a unha circunferencia máxima (*tamén chamada **maximal***). As circunferencias máximas son as liñas de intersección entre a superficie esférica e calquera plano que pase polo centro da mesma, con estas restricións pódese falar tamén de triángulos de lados xeodésicos. Os triángulos esféricos non cumpren con que a suma dos seus ángulos internos sexa 180°, mais a ***desigualdade triangular*** segue vixente na xeometría esférica.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* *Los Elementos*, tomo II, Euclides. *(en castelán)*
* *Law of cosines*, en Math World *(en inglés)*
* Éfimov, N. (1981). Moscova : Éditions Mir, ed. *Géométrie Supérieure*. OCLC 11732242.
* Lions, Jacques Louis (1980). París : Didier, ed. *Petite Encyclopédie des Mathématiques*. OCLC 23703843.

### Outros artigos

* Trigonometría
	+ Triangulación
	+ Trigonometría esférica
	+ Función trigonométrica
* Xeometría do triángulo
	+ Teorema de Pitágoras
	+ Teorema do seno
* Matemáticos
	+ Euclides
	+ al-Battani
	+ Ghiyath al-Kashi
	+ François Viète

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q164321
* BNCF: 21832
* EBID: ID
* MAG: 46002644

 |