En teoría de conxuntos e álxebra a noción de **relación de equivalencia** sobre un conxunto, permite establecer unha relación entre os elementos do conxunto que comparten certa característica ou propiedade. Isto permite agrupar devanditos elementos en **clases de equivalencia**, é dicir, «paquetes» de elementos similares. Isto posibilita a construción de novos conxuntos engadindo todos os elementos dunha mesma clase como un só elemento que os representará e que define a noción de conxunto cociente.

Definición
----------

Sexa K un conxunto dado non baleiro e {\displaystyle {\mathcal {R}}} unha relación binaria definida sobre K. Dise que {\displaystyle {\mathcal {R}}} é unha relación de equivalencia se cumpre as seguintes propiedades:

* Reflexividade: Todo elemento de K está relacionado consigo mesmo. É dicir,

{\displaystyle \forall x\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}x}.
* Simetría: Se un elemento de K está relacionado con outro, entón esoutro elemento tamén se relaciona co primeiro. É dicir,

{\displaystyle \forall x,y\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\;\Rightarrow \;y{\mathcal {R}}x}.
* Transitividade: Se un elemento de K está relacionado con outro, e esoutro á súa vez relaciónase cun terceiro, entón o primeiro estará relacionado tamén con este último. É dicir,

{\displaystyle \forall x,y,z\in K\;:\quad x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\quad \Rightarrow \quad x{\mathcal {R}}z}.
**Notación:**

En aritmética modular a relación de equivalencia entre dous elementos x e y denótase **x ≡ y** (mod **R**) que se le "**x** é equivalente a **y** módulo **R**".
Unha relación de equivalencia {\displaystyle \sim } sobre un corpo K pode denotarse co par {\displaystyle (K,\sim )\,}.
### Clase de equivalencia ou Relación de equivalencia

En lóxica de clases e análise matemática, a relación de equivalencia {\displaystyle {\mathcal {R}}} define subconxuntos disxuntos en K chamados clases de equivalencia:

Dado un elemento {\displaystyle a\in K}, o conxunto dado por todos os elementos relacionados con a definen a clase 

{\displaystyle [a]=\{b\in K\,|\,b{\mathcal {R}}a\}}, que se chama a clase de equivalencia asociada ao elemento a.

O elemento a chámase representante da clase.

Chámase orde ao número de clases que xera unha relación de equivalencia; se é finito, dise que a relación é de orde finito.

O concepto de clase de equivalencia ten importancia en ciencia; dado un conxunto de obxectos ou entidades abstractas (potencialmente infinitas), poden establecerse relacións de equivalencia sobre a base dalgún criterio, as clases resultantes son os "tipos" nos que se pode clasificar toda a gama de obxectos.

### Conxunto cociente

Ao conxunto de todas as clases de equivalencia denomínase conxunto cociente e adóitase denotalo como 

{\displaystyle K/{\mathcal {R}}} o {\displaystyle K/\sim }
### Partición

Unha relación de equivalencia sobre un conxunto induce unha partición do mesmo, é dicir, un conxunto no que se definiu unha relación de equivalencia pode ser dividido en varios subconxuntos de elementos equivalentes entre si e tales que a reunión deses subconxuntos coincide co conxunto enteiro. O seguinte teorema expresa en termos máis formais esa mesma idea:

**Proposición**: Unha relación de equivalencia no conxunto non baleiro K determina unha partición deste, e toda partición de K determina unha relación de equivalencia neste.
A partición ten como elementos as clases de equivalencia. Estas son disxuntas dúas a dúas e a unión delas é igual ao conxunto K.

* para calquera par {\displaystyle a\_{i},a\_{j}} non relacionados tense: {\displaystyle [a\_{i}]\cap [a\_{j}]=\emptyset };
* a unión de todos integra o total: {\displaystyle \bigcup \_{s}[a\_{s}]=K}

Exemplos
--------

* Sexa N= {0,1,2, 3...}. Defínese unha relación de equivalencia en N×N, como segue: {\displaystyle (a;b)\sim (c;d)} se e só se {\displaystyle a+d=b+c}. Esta é unha relación de equivalencia en N×N e cada clase de equivalencia é un número enteiro. {\displaystyle [(2;0)]={(x;y)/2+y=0+x}} a {\displaystyle (2;0)} chámase representante canónico e denótase, simplificadamente, 2.
* A igualdade matemática.
* A relación de congruencia módulo M no conxunto dos números enteiros (i.e. {\displaystyle M\in \mathbb {Z} }), onde se define: {\displaystyle a\sim b} se e só se {\displaystyle a-b\,} é múltiplo de M.

Esta relación é de equivalencia porque:
* É reflexiva: {\displaystyle a-a=0}, que é múltiplo de M.
* É simétrica: se {\displaystyle a-b} é múltiplo de M, entón {\displaystyle b-a=-(a-b)} tamén é múltiplo de M.
* É transitiva: sexan k e l números enteiros tales que {\displaystyle a-b=Mk} e {\displaystyle b-c=Ml}. Entón, {\displaystyle a-c=(a-b)+(b-c)=Mk+Ml=M(k+l)} e polo tanto un múltiplo de M.

* Sexa *H* un subgrupo dun grupo de *G*. Definindo para elementos do grupo {\displaystyle a\sim b} se e só se {\displaystyle ab^{-1}\in H}, teremos a relación de equivalencia camada congruencia módulo *H*.
* Definindo, para elementos do grupo, {\displaystyle a\sim b} se e só se existe *g* en *G* tal que {\displaystyle gag^{-1}=b}, chámase relación de conxugación e as súas clases de equivalencia reciben o nome de **clase de conxugación**.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* James R.Munkres, *Topología*, (2002), Prentice Hall.

### Outros artigos

* Teoría da orde
* Topoloxía cociente
* Espazo vectorial cociente
* Equivalencia lóxica

### Ligazóns externas

* Weisstein, Eric W. Relación de equivalencia.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q130998
* EBID: ID
* GND: 4141500-0
* JSTOR: equivalence-relation
* LCCN: sh85044563
* MAG: 156103551

 |