Paolo Ruffini
En matemáticas, a **regra de Ruffini** facilita o cálculo rápido da división de calquera polinomio entre un binomio da forma {\displaystyle (x-r)\ }. Descrita por Paolo Ruffini en 1809, é un caso especial de *división sintética* (unha división de polinomios en que o divisor é un factor linear). O algoritmo de Horner para a división de polinomios emprega a regra de Ruffini. A regra de Ruffini permite ademais localizar as raíces dun polinomio e factorizalo en binomios da forma {\displaystyle (x-r)\ } (sendo r un número enteiro) se é coherente.

Historia
--------

O método de Ruffini-Horner para a procura dun valor aproximado da raíz dun polinomio foi publicado con algúns anos de diferenza por Paolo Ruffini (1804-1807-1813) e por William George Horner (1819-1845, postumamente); seica Horner non tiña coñecementos dos traballos de Ruffini.

O método de Ruffini-Horner é dificilmente explotable se o polinomio posúe dúas raíces moi próximas. Ruffini non considera este problema, mais Horner propuxo un procedemento especial para estes casos. O método de Horner foi empregado polos matemáticos De Morgan e J.R. Young.

En tanto que técnica de *cambio de variable*, historicamente atópanse algoritmos semellantes, por exemplo na China, para a extracción da raíz *n-ésima* ou na obra de Al Samaw'al (século XII). O matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi (século XII) foi un dos primeiros en aplicalo ao caso xeral dunha ecuación de terceiro grao.

Algoritmo
---------

A regra de Ruffini establece un método para a división do polinomio

> 
> {\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a\_{1}x+a\_{0}}
> 
> 
> 

entre o binomio

> 
> {\displaystyle Q(x)=x-r\,\!}
> 
> 
> 

para obter o cociente

> 
> {\displaystyle R(x)=b\_{n-1}x^{n-1}+b\_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b\_{1}x+b\_{0}}
> 
> 
> 

e o resto:

> 
> {\displaystyle s.\!}
> 
> 
> 

* 1. Trázanse dúas liñas como eixes e escríbense os coeficientes de *P*(*x*), ordenados e sen omitir termos nulos. Escríbese a raíz *r* do lado esquerdo e o primeiro coeficiente na ringleira inferior (*a**n*):

> 
> {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&{}&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&a\_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b\_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}
> 
> 
> 

* 2. Multiplícase (*a**n*) por *r* e escríbese debaixo de an-1:

> 
> {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&{}&b\_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a\_{n}&{}&{}&{}&{}\\{}&=b\_{n-1}&{}&{}&{}&{}\\\end{array}}}
> 
> 
> 

* 3. Súmanse os dous valores obtidos na mesma columna:

> 
> {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&{}&b\_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\\hline {}&a\_{n}&a\_{n-1}+b\_{n-1}\,r&{}&{}&{}\\{}&=b\_{n-1}&=b\_{n-2}&{}&{}&{}\\\end{array}}}
> 
> 
> 

* 4. Repítese o proceso:

> 
> {\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}{}&a\_{n}&a\_{n-1}&\dots &a\_{1}&a\_{0}\\r&{}&b\_{n-1}\,r&\dots &b\_{1}\,r&b\_{0}\,r\\\hline {}&a\_{n}&a\_{n-1}+b\_{n-1}\,r&\dots &a\_{1}+b\_{1}\,r&a\_{0}+b\_{0}\,r\\{}&=b\_{n-1}&=b\_{n-2}&\dots &=b\_{0}&=s\\\end{array}}}
> 
> 
> 

Os valores *b* son os coeficientes do polinomio resultante {\displaystyle R(x)\!} de grao un menos que o grao de {\displaystyle P(x)\!}. O valor final obtido, {\displaystyle s}, é o resto, que como amosa o teorema do resto, é igual a {\displaystyle P(r)\!}.

Usos da regra
-------------

### Atopar raíces

*Véxase tamén**:* Teorema das raíces racionais.Se {\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+...+a\_{1}x+a\_{0}} é un polinomio con coeficientes enteiros e con *a*0 e *a**n* distintos de cero, entón polo teorema das raíces racionais, todas as raíces racionais reais serán da forma *p*/*q*, onde *p* é un enteiro divisor de *a*0 e *q* é un enteiro divisor de *a**n*. Así por exemplo, se o polinomio é

{\displaystyle P(x)=x^{3}+2x^{2}-x-2=0\,\!,}
entón as posibles raíces racionais son todos os enteiros divisores de *a*0 (−2):

{\displaystyle {\text{Posibles raíces:}}\left\{+1,-1,+2,-2\right\}.}
Isto resulta útil para poder factorizar un polinomio (en caso de ser factorizable) de coeficientes enteiros, empregando os divisores do termo independente.

Exemplos
--------

### Exemplo 1

División de {\displaystyle P(x)=2x^{3}+3x^{2}-4\,\!} entre {\displaystyle Q(x)=x+1.\,\!} empregando a regra de Ruffini.

1. Escríbese {\displaystyle Q(x)=x+1=x-(-1)\,\!} e o primeiro coeficiente (2) na primeira ringleira:

{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}
2. Multiplícase pola raíz *r*=(-1):

{\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{}&{}&{}\\\end{array}}}
3. Sumase a columna:

{\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{}&{}\\\hline {}&2&{1}&{}&{}\\\end{array}}}
4. O procedemento repítese ata obter o resto:

{\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&2&3&0&-4\\-1&{}&{-2}&{-1}&{1}\\\hline {}&2&{1}&{-1}&{-3}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}
Se o polinomio orixinal = divisor×cociente+resto, entón

{\displaystyle P(x)=Q(x)R(x)+s\,\!}, onde
{\displaystyle R(x)=2x^{2}+x-1\,\!} e {\displaystyle s=-3.\,\!}
### Exemplo 2

Cando o resto é igual a 0; permite factorizar, como no seguinte exemplo:

{\displaystyle F(x)=x^{3}+x^{2}-x-1}
Tomando

{\displaystyle G(x)=x+1}
Emprégase o método, e queda:

{\displaystyle {\begin{array}{c|rrrr}{}&1&1&-1&-1\\-1&{}&{-1}&{0}&{1}\\\hline {}&1&{0}&{-1}&{0}\\{}&\mathrm {Coef.} &{}&{}&\mathrm {Resto} \end{array}}}
Entón *F*(*x*) factoriza como {\displaystyle (x^{2}-1)(x+1)}

Notas
-----

1. ↑  Synthetic Division *(en inglés)*
2. ↑  Tamén se coñece como *método de Horner* ou *algoritmo de Ruffini-Horner*.
3. ↑  Florian Cajori, Horner's method of approximation anticipated by Ruffini, American Mathematical Society, 21 de novembro de 1910.
4. ↑  *Jiuzhang Suanshu* ("Os nove capítulos da arte matemática"), ChemlaShuchun, cap. 4
5. ↑  Hélène Bellosta, À propos de l'histoire des sciences arabes Arquivado 16 de novembro de 2006 en Wayback Machine. Gazette des mathématiciens, n°82, outubro de 1999.
6. ↑  J. L. Berggren (1990). "Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat", *Journal of the American Oriental Society* **110** (2), p. 304-309.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Regra de Ruffini Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Outros artigos

* Operacións con polinomios
* Algoritmo de Horner
* Paolo Ruffini

### Ligazóns externas

* Stapel, Elizabeth. "Synthetic Division: The Process". *Purplemath* (en inglés). Consultado o 30 de novembro de 2011.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q2704282
* GEC: 0057289
* MAG: 4526134

 |