Toroide xerado por un cadrado.
En xeometría o **toroide** é a superficie de revolución xerada por un polígono ou unha curva plana pechada simple que vira ao redor dunha recta exterior coplanar (o eixo de rotación) coa que non se intercepta. A súa forma correspóndese coa superficie dos obxectos que, na fala cotiá, se denominan *argolas*, *aneis*, *aros*, *rosquillas*, *donas* ou *donuts*. A palabra toroide tamén se usa para referirse a un poliedro toroidal, a superficie de revolución xerada por un polígono que vira ao redor dun eixo.

Toro, xerado por un círculo.
Toro, modelo en 3 dimensións.
Cando a curva pechada é unha circunferencia, a superficie denomínase toro. En linguaxe cotiá denomínase *anel* ao corpo cuxa superficie exterior é un *toro*, o que ilustra a diferenza entre unha superficie e o volume encerrado por ela.

Volume
------

O volume encerrado por un toroide é:

{\displaystyle V=2\pi RA\,}
onde *R* é a distancia do eixo de rotación ao isobaricentro da figura plana xeratriz e *A* é a área limitada por devandita figura.

Diversas ecuacións do toroide
-----------------------------

Nun sistema de coordenadas cartesianas de centro **O**, eixos horizontais ***x*** e ***y*** e eixo vertical ***z***, a superficie do toro pódese xerar do modo seguinte. Constrúese sobre o plano ***xz*** unha circunferencia de raio ***r*** con centro no punto ***C*** que está sobre o eixo ***x*** e a distancia ***R*** de ***O***. A superficie do toro xérase cando se fai virar esta circunferencia ao redor do eixo ***z***.

### Ecuacións paramétricas

As coordenadas dun punto calquera do toro obtéñense mediante as seguintes expresións, onde interveñen os parámetros: ***α*** é a latitude do punto respecto do plano ***xz***, e ***β*** o ángulo de rotación da circunferencia xeratriz ao redor do eixo **z** ou lonxitude. Tense entón que

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{l}x=(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\z=r\sin \ \alpha \end{array}}\right.}
A calquera par ordenado de valores dos ángulos ***α*** e ***β*** correspóndelle un punto do toro de coordenadas: **x**, **y**, **z**.

### Ecuación cartesiana

Partindo das ecuacións:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x=(R+r\cos \ \alpha )\cos \ \beta \\y=(R+r\cos \ \alpha )\sin \ \beta \\\sin ^{2}\beta +\cos ^{2}\beta =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}}
pódese eliminar o ángulo ***β***. A partir das seguintes ecuacións, pódese tamén eliminar ***α***:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}x^{2}+y^{2}=(R+r\cos \ \alpha )^{2}\\z=r\sin \ \alpha \\\sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1\end{array}}\right\}\quad \longrightarrow \quad x^{2}+y^{2}=\left(R+{\sqrt {r^{2}-z^{2}}}\right)^{2}}
### Ecuación cartesiana

A ecuación en coordenadas cartesianas dun toro cuxo eixo de xiro é o eixo ***z***, **R** a distancia do centro do círculo ao eixo e **r** o raio do círculo, é:

{\displaystyle \left(R-{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\right)^{2}+z^{2}=r^{2}}
racionalizando

{\displaystyle \left(x^{2}+y^{2}+z^{2}+R^{2}-r^{2}\right)^{2}-4R^{2}(x^{2}+y^{2})=0} 
onde a expresión da dereita é a ecuación que deben satisfacer as coordenadas ***x***, ***y***, ***z*** de calquera punto do toro.

Notas
-----

1. ↑  Santaló e outros autores: "Geometría analítica"

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Toro (xeometría)
* Xeometría

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q3241394
* MAG: 15001198
* PSH: 3379

 |