Na xeometría diferencial, o **teorema do índice de Atiyah-Singer** afirma que para un operador diferencial elíptico sobre unha variedade compacta, o índice analítico (relacionado coa dimensión do espazo de solucións) é igual ao índice topolóxico (definida en termos dalgúns datos topolóxicos). Inclúe moitos outros importantes teoremas (como o teorema de Riemann-Roch) como casos especiais, e ten aplicacións en física teórica.

Foi probado por Michael Atiyah e Isadore Singer en 1963.

Historia
--------

O problema do índice para operadores diferenciais elípticos foi proposto por Israel Gelfand en 1960. Notou a invarianza por homotopía do índice e buscou unha fórmula para el mediante invariante topolóxicos. Algúns dos exemplo que o motivaron foron o teorema de Riemann–Roch, a súa xeneralización (teorema de Hirzebruch–Riemann–Roch e o teorema da sinatura de Hirzebruch. Hirzebruch e Borel probaran a integralidade do xénero Â dunha variedade, e Atiyah suxerira que esta integralidade podía explicarse se fose o índice do operador de Dirac, que fora redescuberto por Atiyah e Singer en 1961.

O teorema de Atiyah–Singer foi anunciado en 1963. A demostración esbozada no seu anuncio nunca foi publicada por eles, aínda que aparece no libro (Palais 1965). Tamén se recolleu no "Séminaire Cartan-Schwartz 1963/64" que tivo lugar en París simultaneamente co seminario liderado por Palais en Princeton. O último relatorio en París fíxoo Aityah sobre variedades con fronteira. A súa primeira proba publicada substituíu a teoría do cobordo coa K-teoría.

Notas
-----

1. ↑  (Cartan-Schwartz 1965)
2. ↑  (Atiyah & Singer 1968a)

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1963). *The Index of Elliptic Operators on Compact Manifolds*. *Bull. Amer. Math. Soc.* **69**. pp. 422–433. doi:10.1090/S0002-9904-1963-10957-X.
* Atiyah, Michael F.; Singer, Isadore M. (1968a). *The Index of Elliptic Operators I*. *Annals of Mathematics* **87**. pp. 484–530. JSTOR 1970715. doi:10.2307/1970715.
* Cartan-Schwartz (1965). *Séminaire Henri Cartan. Théoreme d’Atiyah-Singer sur l’indice d’un opérateur différentiel elliptique. 16 annee: 1963/64 dirigee par Henri Cartan et Laurent Schwartz. Fasc. 1; Fasc. 2.* (en francés). Ecole Normale Superieure, Secretariat mathematique, París. Zbl 0149.41102.
* Palais, Richard S. (1965). *Seminar on the Atiyah–Singer Index Theorem*. Annals of Mathematics Studies **57**. S.l.: Princeton Univ Press. ISBN 0-691-08031-3.

### Ligazóns externas

* Rafe Mazzeo: *The Atiyah–Singer Index Theorem: What it is and why you should care*. Presentación en pdf *(en inglés)*.
* Raussen, Martin; Skau, Christian (2005). "Interview with Michael Atiyah and Isadore Singer" (pdf). *Notices of AMS*. pp. 223–231.
* A. J. Wassermann, Lecture notes on the Atiyah–Singer Index Theorem

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q755991
* MAG: 197617374

 |



---

|  |  |
| --- | --- |
| Este artigo tan só é un bosquexo |  *Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.* *Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.* |

---