Figura en vértice 3.3.3.3.3
Un **icosaedro** é un poliedro de vinte caras, convexo ou cóncavo. Se as vinte caras do icosaedro son triángulos equiláteros e congruentes, iguais entre si, o icosaedro é convexo e denomínase *regular*, sendo entón un dos chamados sólidos platónicos. O poliedro conxugado do icosaedro é o dodecaedro.

O vocábulo icosaedro procede do grego *eikosaedron*, de εἴκοσι *éikosi* "vinte" e ἕδρα *hedra* "asento, cara".

Cálculo de dimensións fundamentais
----------------------------------

### Raio externo

Se *a* é a lonxitude dunha aresta dun icosaedro regular, o raio dunha esfera circunscrita (unha que toca o icosaedro en todos os seus vértices) é
{\displaystyle r\_{u}={\frac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\approx 0.9510565163\cdot a}

### Raio interno

O raio dunha esfera inscrita (tanxente ás caras do icosaedro) é
{\displaystyle r\_{i}={\frac {a}{12}}{\sqrt {3}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\approx 0.7557613141\cdot a}

### Ángulo

O ángulo que forman os vectores que van do centro a dous vértices adxacentes é constante e vale:
{\displaystyle angulo=2\cdot \arcsin \left({\frac {1}{2\cdot 0.9510565163}}\right)\approx 1.10714872\ rad}

### Volume, área e desenvolvemento

Animación dun dos desenvolvementos do Icosaedro.
Dado un Icosaedro regular de aresta ***a***, pódese calcular o seu volume ***V*** mediante a seguinte fórmula:

| {\displaystyle V={\frac {5}{12}}\left(3+{\sqrt {5}}\right)\cdot a^{3}} |
| --- |
| *(Aproximadamente 2,18•a³)* |

e a área total das súas caras ***A*** (que é 20 veces a área dunha delas, ***Ac***), mediante:

| {\displaystyle A=20\cdot A\_{c}=20\cdot {\frac {\sqrt {3}}{4}}\cdot a^{2}=5{\sqrt {3}}\cdot a^{2}} |
| --- |
| *(Aproximadamente 8,66•a²)* |

*Desenvolvemento do icosaedro*:
Desenvolvemento do icosaedro.

Coordenadas cartesianas e estrutura
-----------------------------------

Os 12 pentágonos internos que constitúen o icosaedro determinan as caras do dodecaedro grande.
As seguintes coordenadas cartesianas definen os vértices dun icosaedro centrado na orixe:

(0, ±1, ±φ)
(±1, ±φ, 0)
(±φ, 0, ±1)
Onde φ = (1+√5)/2 é a razón áurea. Cómpre salientar que os vértices dun icosaedro forman grupos de tres rectángulos áureos ortogonais entre si. O icosaedro contén no seu interior 15 rectángulos áureos: cada rectángulo contén dúas arestas opostas. Isto débese a que dous lados do rectángulo son a aresta do icosaedro e os outros dous son as diagonais de dous pentágonos regulares paralelos xirados 180 graos. A diagonal do pentágono regular está en proporción áurea co lado do pentágono, que neste caso é a aresta do icosaedro.

O icosaedro, a pesar de estar formado por 20 triángulos equiláteros, pode considerarse como 
a unión de 12 pentágonos regulares internos. A intersección dos pentágonos entre eles orixina as 30 arestas que conforman o icosaedro. Os 12 pentágonos regulares mencionados determinan as caras do gran dodecaedro, un dos sólidos de Kepler-Poinsot.

Proporcións áureas no icosaedro
-------------------------------

No icosaedro pódese atopar varias veces o número áureo. Na imaxe da esquerda pódense apreciar algunhas proporcións áureas presentes no icosaedro:

CD/AB = φ; EG/FG = φ
AD/GD = φ; KH/IK = φ
GD/AG = φ; BN/MN = φ
CL/CI = φ; AH/GN = φ
MN/BM = φ; BM/BF = φ
FG/EF = φ; BF/FM = φ
IK/HI = φ; GD/MD = φ
CI/LI = φ; MD/GM = φ
BC/CG = φ; CG/GB = φ

Notas
-----

1. ↑  Definicións no *Dicionario da Real Academia Galega* e no Portal das Palabras para *icosaedro*.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q188758
* EBID: ID
* GEC: 0273676
* GND: 4161254-1
* LCCN: sh85064098
* MAG: 145194963

 |