En matemáticas, unha **álxebra sobre un corpo** (moitas veces chamada simplemente **álxebra**) é un espazo vectorial equipado cun produto bilinear. Así, unha álxebra é unha estrutura alxébrica que consiste nun conxunto xunto con operacións de multiplicación e suma e multiplicación escalar por elementos dun corpo e que satisfai os axiomas implicados por "espazo vectorial" e "bilinear". 

A operación de multiplicación nunha álxebra pode ser asociativa ou non, o que leva ás nocións de álxebras asociativas e álxebras non asociativas. Dado un número enteiro *n*, o anel de matrices cadradas reais de orde *n* é un exemplo de álxebra asociativa sobre o campo dos números reais baixo a suma matricial e a multiplicación matricial xa que a multiplicación matricial é asociativa. O espazo euclidiano tridimensional coa multiplicación dada polo produto vectorial é un exemplo de álxebra non asociativa sobre o campo dos números reais xa que o produto vectorial non é asociativo, senón que satisfai a identidade de Jacobi.

Unha álxebra é **unitaria** se ten un elemento de identidade con respecto á multiplicación. O anel de matrices cadradas reais de orde *n* forma unha álxebra unitaria xa que a matriz de identidade de orde *n* é o elemento de identidade con respecto á multiplicación matricial. É un exemplo de álxebra asociativa unitaria, un anel (unitario) que tamén é un espazo vectorial.

Substituír o campo de escalares por un anel conmutativo leva á noción máis xeral dunha álxebra sobre un anel. As álxebras non deben confundirse con espazos vectoriais equipados cunha forma bilinear, como os espazos prehilbertianos, xa que, para tal espazo, o resultado dun produto non está no espazo, senón no corpo dos coeficientes.

Definición e motivación
-----------------------

| Álxebra | espazo vectorial | operador bilinear | asociatividade | conmutividade |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| números complexos | {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} | produto de números complexos {\displaystyle \left(a+ib\right)\cdot \left(c+id\right)} | Si | Si |
| produto vectorial de vectores 3D | {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} | produto vectorial {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}} | Non | Non (é anticomutativo) |
| cuaternións | {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} | Produto Hamilton {\displaystyle (a+{\vec {v}})(b+{\vec {w}})} | Si | Non |
| polinomios | {\displaystyle \mathbb {R} [X]} | multiplicación polinómica | Si | Si |
| matrices cadradas | {\displaystyle \mathbb {R} ^{n\times n}} | multiplicación matricial | Si | Non |

### Definición

Sexa K un corpo, e sexa A un espazo vectorial sobre K equipado cunha operación binaria adicional de *A* × *A* a A, denotado por · (é dicir, se x e y son dous elementos calquera de A, entón *x* · *y* é un elemento de A que se chama *produto* de x e y ). Entón A é unha *álxebra* sobre K se as seguintes identidades valen para todos os elementos *x*, *y*, *z* en A e todos os elementos (a miúdo chamados escalares) a e b en K:

* Distributividade pola dereita : (*x* + *y*) · *z* = *x* · *z* + *y* · *z*
* Distributividade pola esquerda: *z* · (*x* + *y*) = *z* · *x* + *z* · *y*
* Compatibilidade con escalares: (*ax*) · (*by*) = (*ab*) (*x* · *y*) .

Estes tres axiomas son outra forma de dicir que a operación binaria é bilinear. Unha álxebra sobre K ás veces tamén se chama *K-álxebra*, e K chámase *corpo base* de A. A operación binaria adoita denominarse *multiplicación* en A. 

Cando unha operación binaria nun espazo vectorial é conmutativa, a distributividade esquerda e a distributividade dereita son equivalentes.

Conceptos básicos
-----------------

### Homomorfismos da álxebra

Dadas *as K*-álxebras *A* e *B*, un homomorfismo *da K*-álxebra é un mapa *K*-linear *f* : *A* → *B* tal que *f* (**xy**) = *f* (**x**) *f* (**y**) para todo **x**, **y** en *A*. O espazo de todos os homomorfismos *da K*-álxebra entre *A* e *B* escríbese frecuentemente como

{\displaystyle \mathbf {Hom} \_{K{\text{-alx}}}(A,B).}
Un isomorfismo *da K*-álxebra é un homomorfismo bixectivo *da K*-álxebra. Para todos os efectos prácticos, as álxebras isomórficas difiren só pola notación.

### Subálxebras e ideais

Unha *subálxebra* dunha álxebra sobre un corpo *K* é un subespazo linear que ten a propiedade de que o produto de dous dos seus elementos está de novo no subespazo. Noutras palabras, unha subálxebra dunha álxebra é un subconxunto de elementos non baleiro que está pechado baixo a suma, a multiplicación e a multiplicación escalar. En símbolos, dicimos que un subconxunto *L* dunha *K*-álxebra *A* é unha subálxebra se para cada *x*, *y* en *L* e *c* en *K*, temos que *x* · *y*, *x* + *y* e *cx* están todos en *L*.

Dicimos que un subconxunto *L* dunha *K*-álxebra *A* é un ideal pola esquerda se para cada *x* e *y* en *L*, *z* en *A* e *c* en *K*, temos os tres enunciados seguintes.

1. *x* + *y* está en *L* (*L* é pechado baixo a adición),
2. *cx* está en *L* (*L* é pechado baixo a multiplicación escalar),
3. *z* · *x* está en *L* (*L* é pechado baixo a multiplicación pola esquerda por elementos arbitrarios).

Se substituímos (3) por *x* · *z* está en *L*, daquela estaríamos definindo un *ideal pola dereita*. Un *ideal polos dous lados* é un subconxunto que é á vez ideal pola esquerda e pola dereita. Para un idela polos dous lados podemos dicir simplemente ideal. 

Esta definición é diferente da definición dun ideal dun anel, xa que aquí esiximos a condición (2). Por suposto, se a álxebra é unitaria, daquela a condición (3) implica a condición (2).

### Extensión de escalares

Se temos unha extensión do corpo *F*/*K*, é dicir, un corpo *F* maior que contén *K*, daquela hai unha forma natural de construír unha álxebra sobre *F* a partir de calquera álxebra sobre *K.* É a mesma construción que se usa para facer un espazo vectorial sobre un corpo máis grande, esta construción é, o produto tensor {\displaystyle V\_{F}:=V\otimes \_{K}F}. Así se *A* é unha álxebra sobre *K*, entón {\displaystyle A\_{F}} é unha álxebra sobre *F*.

Tipos de álxebras e exemplos
----------------------------

As álxebras sobre corpos teñen moitos tipos diferentes. Estes tipos especifícanse insistindo nalgúns axiomas máis, como a conmutatividade ou a asociatividade da operación de multiplicación, que non son necesarios na definición ampla dunha álxebra. As teorías correspondentes aos distintos tipos de álxebras adoitan ser moi diferentes.

### Álxebra unitaria

Unha álxebra é *unitaria* se ten unha unidade ou elemento de identidade *I* con *Ix* = *x* = *xI* para todo *x* da álxebra.

### Álxebra cero

Unha álxebra chámase **álxebra cero** se *uv* = 0 para todo *u*, *v* da álxebra,  non debe confundirse coa álxebra dun elemento. É inherentemente non unitaria (agás no caso dun só elemento), asociativa e conmutativa.

Pódese definir unha **álxebra cero unitaria** tomando a suma directa de módulos dun corpo (ou máis xeralmente un anel) *K* e un espazo K-vectorial (ou módulo) *V*, e definindo o produto de cada par de elementos de *V* para ser cero. Isto é, se *λ*, *μ* ∈ *K* e *u*, *v* ∈ *V*, entón (*λ* + *u*) (*μ* + *v*) = *λμ* + (*λv* + *μu*). Se *e*1, ... *e**d* é unha base de *V*, a álxebra cero unitaria é o cociente do anel polinómico *K*[*E*1, ... *E**n*] polo ideal xerado por*E**i**E**j* para cada par (*i*, *j*).

Un exemplo de álxebra cero unitaria é a álxebra de números duais, a **R**-álxebra cero unitaria construída a partir dun espazo vectorial real unidimensional.

Estas álxebras cero unitarias poden ser máis útiles en xeral, xa que permiten traducir calquera propiedade xeral das álxebras a propiedades de espazos vectoriais ou módulos.

### Álxebra asociativa

Como exemplos de álxebras asociativas podemos ter

* a álxebra de todas as matrices {\displaystyle n\times n} sobre un corpo (ou anel conmutativo) *K*. Aquí a multiplicación é a multiplicación matricial ordinaria.
* álxebras de grupo, onde un grupo serve como base do espazo vectorial e a multiplicación de álxebras estende a multiplicación do grupo.
* a álxebra conmutativa *K* [*x*] de todos os polinomios sobre *K* (ver anel polinómico).
* álxebras de funcións, como a **R**-álxebra de todas as funcións continuas con valores reais definidas no intervalo [0,1], ou a **C**-álxebra de todas as funcións holomorfas definidas nalgún conxunto aberto fixo no plano complexo. Estas son tamén conmutativas.
* as álxebras de incidencia constrúense sobre certos conxuntos parcialmente ordenados.
* álxebras de operadores lineais, por exemplo nun espazo de Hilbert. Aquí a multiplicación de álxebra vén dada pola composición dos operadores. Estas álxebras tamén implican unha topoloxía; moitas delas están definidos nun espazo de Banach subxacente, o que as converte en álxebras de Banach. Se tamén se dá unha involución, obtemos B\*-álxebras e C\*-álxebras. Estas estúdanse na análise funcional.

### Álxebra non asociativa

Unha *álxebra non asociativa*  (ou *álxebra distributiva*) sobre un corpo *K* é un *K*-espazo vectorial *A* equipado cun *K*-mapa bilinear {\displaystyle A\times A\rightarrow A}. O uso de "non asociativa" aquí pretende transmitir que a asociatividade non se asume, pero non significa que estea prohibida, é dicir, significa "non necesariamente asociativa".

Algúns exemplos son:

* Espazo euclidiano **R**3 coa multiplicación dada polo produto vectorial
* Octonións
* Álxebras de Lie
* Álxebras de Jordan
* Álxebras alternativas
* Álxebras flexibles
* Álxebras de potencia asociativa

Álxebras e aneis
----------------

A definición dunha *K*-álxebra asociativa con unidade tamén se dá frecuentemente dun xeito alternativo. Neste caso, unha álxebra sobre un corpo *K* é un anel *A* xunto cun homomorfismo de anel

{\displaystyle \eta \colon K\to Z(A),}
onde *Z* (*A*) é o centro de *A*. Dado que *η* é un homomorfismo de anel, daquela hai que ter que *A* é o anel cero ou que *η* é inxectivo. Esta definición é equivalente á anterior, con multiplicación escalar

{\displaystyle K\times A\to A}
dada por

{\displaystyle (k,a)\mapsto \eta (k)a.}
Dadas dúas destas *K*-álxebras unitarias asociativas *A* e *B*, un homomorfismo *de K*-álxebra unitaria *f* : *A* → *B* é un homomorfismo de anel que conmuta coa multiplicación escalar definida por *η*, que se pode escribir como

{\displaystyle f(ka)=kf(a)}
para todo {\displaystyle k\in K} e {\displaystyle a\in A}. Noutras palabras, o seguinte diagrama conmuta:

{\displaystyle {\begin{matrix}&&K&&\\&\eta \_{A}\swarrow &\,&\eta \_{B}\searrow &\\A&&{\begin{matrix}f\\\longrightarrow \end{matrix}}&&B\end{matrix}}}

Coeficientes da estrutura
-------------------------

Para álxebras sobre un corpo, a multiplicación bilinear de *A* × *A* en *A* está completamente determinada pola multiplicación dos elementos da base de *A*. Pola contra, unha vez que se elixiu unha base para *A*, os produtos dos elementos da base pódense establecer arbitrariamente, e despois estenderse dun xeito único a un operador bilinear en *A*, é dicir, a multiplicación resultante satisfai as leis da álxebra.

Así, dado o corpo *K*, calquera álxebra de dimensións finitas pódese especificar ata o isomorfismo dando a súa dimensión (digamos *n*), e especificando *n*3 *coeficientes da estrutura* *c**i*,*j*,*k*, que son escalares. Estes coeficientes da estrutura determinan a multiplicación en *A* mediante a seguinte regra:

{\displaystyle \mathbf {e} \_{i}\mathbf {e} \_{j}=\sum \_{k=1}^{n}c\_{i,j,k}\mathbf {e} \_{k}}
onde **e**1 ,... , **e***n* forman unha base de *A*.

Teña en conta, porén, que varios conxuntos diferentes de coeficientes da estrutura poden dar lugar a álxebras isomórficas.

En física matemática, os coeficientes da estrutura son xeralmente escritos con superíndices e subíndices, para distinguir as súas propiedades de transformación baixo transformacións de coordenadas. En concreto, os subíndices son índices covariantes e transfórmanse mediante pullbacks (ou imaxes recíprocas), mentres que os superíndices son contravariantes, transformándose baixo pushforwards (ou imaxe directa). Así, os coeficientes da estrutura adoitan escribirse *c**i*,*j**k*, e a súa regra definitoria escríbese usando a notación de Einstein como

**e***i* **e***j* = *c**i*,*j**k* **e***k*.
Se aplicas isto a vectores escritos en notación de índice, pasa a ser

(**xy**)*k* = *c**i*,*j**k**x**i**y* *j*.
Se *K* é só un anel conmutativo e non un corpo, daquela o mesmo proceso funciona se *A* é un módulo libre sobre *K*. Se non o é, daquela a multiplicación aínda está completamente determinada pola súa acción sobre un conxunto que abrangue *A*; porén, as constantes da estrutura non se poden especificar arbitrariamente neste caso, e coñecer só as constantes da estrutura non especifica a álxebra ata o isomorfismo.

Xeneralización: álxebra sobre un anel
-------------------------------------

Nalgunhas áreas das matemáticas, como a álxebra conmutativa, é común considerar o concepto máis xeral de **álxebra sobre un anel**, onde un anel conmutativo *R* substitúe o corpo *K.* A única parte da definición que muda é que se asume que *A* é un *R*-modulo (en lugar dun espazo vectorial *K*).

### Álxebras asociativas sobre aneis

Un anel *A* é sempre unha álxebra asociativa sobre o seu centro, e sobre os enteiros. Un exemplo clásico de álxebra sobre o seu centro é a álxebra de bicuaternión hiperbólica, que é isomorfa a {\displaystyle \mathbb {H} \times \mathbb {H} }, o produto directo de dúas álxebras de cuaternións. O centro dese anel é {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} }, e polo tanto ten a estrutura dunha álxebra sobre o seu centro, que non é un corpo. Teña en conta que a álxebra de bicuaternión dividido tamén é unha {\displaystyle \mathbb {R} }-álxebra de 8 dimensións.

Véxase tamén
------------

* 
* Álxebra de Clifford
* Álxebra diferencial
* Álxebra libre
* Álxebra xeométrica
* 
* Álxebra de operadores
* Lema de Zariski

Notas
-----

1. ↑  See also Hazewinkel, Gubareni & Kirichenko 2004, p. [*Álxebra sobre un corpo* en Google Books. 3] Proposition 1.1.1
2. ↑  Prolla, João B. (2011) [1977]. "Lemma 4.10". *Approximation of Vector Valued Functions*. Elsevier. p. 65. ISBN 978-0-08-087136-3.
3. ↑  Schafer, Richard D. (1996). *An Introduction to Nonassociative Algebras*. ISBN 0-486-68813-5.

Bibliografía
------------

* Hazewinkel, Michiel; Gubareni, Nadiya; Kirichenko, Vladimir V. (2004). *Algebras, rings and modules* **1**. Springer. ISBN 1-4020-2690-0.