Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Pirámide.
Pirámide cuadrangular.
Unha **pirámide** é un poliedro, que está formado por un polígono (chamado *base*) e triángulos que teñen a súa base en cada lado poligonal; todos os triángulos teñen un vértice común chamado *vértice* da pirámide. Os triángulos chámanse caras laterais. O lado común a dúas caras laterais chámase *aresta*, do mesmo modo que calquera lado da base. O número total das arestas é duplo do número de lados da base. Estritamente, o poliedro ten {\displaystyle n+1} vértices onde {\displaystyle n} é o número de vértices da base.

Definición
----------

Chámase **pirámide** a un corpo xeométrico que é a unión de todos os segmentos que unen todos os puntos dun polígono S cun punto P exterior ao plano do polígono.

Considérase que o polígono é unha parte do plano e é un conxunto bidimensional.

A pirámide ten sido descrita por moitos matemáticas desde tempos antigos. Euclides definiuna nos seus Elementos como unha figura sólida construída desde un plano a un punto

### Elementos

* *Base* é o polígono do que os puntos son os extremos dos segmentos que se unen co punto exterior.
* *Vértice da pirámide* é o punto exterior ao plano da base.
* *Aresta lateral* é o segmento que une cada vértice do polígono co vértice da figura do espazo.
* *Altura* é o segmento perpendicular do vértice da pirámide ao plano da base. Tamén o é a súa medida.
* Cada lado da base co vértice da pirámide ao unilos polos seus extremos determina unha rexión triangular, chamada *cara lateral*
* *Apotema* é un segmento perpendicular que vai do vértice da pirámide a un lado da base.

Tipos de pirámides
------------------

Pirámide oblicua. Os vértices están marcados en laranxa e as arestas en vermello. A liña amarilla é unha diagonal da base.
Unha **pirámide recta** é un tipo de pirámide na que a proxección ortogonal do ápice sobre a base coincide co seu centroide.

Unha **pirámide oblicua** é unha pirámide que non é recta. Se a base dunha pirámide oblicua non é un polígono regular, é posible que todas as súas caras laterais sexan triángulos isósceles.

Unha **pirámide regular** é unha pirámide recta que ten como base un polígono regular. Neste tipo de pirámides cada cara lateral é un triángulo isóscele igual aos demais e a súa altura é o apotema da pirámide. Unha pirámide cunha base regular con *n* lados ten *n* + 1 vértices, *n* + 1 caras e 2*n* lados. Así, hai pirámides cadradas, pentagonais, etc.

Unha **pirámide convexa** ten como base un polígono convexo.

Unha **pirámide cóncava** ten como base un polígono cóncavo.

Existen tres tipos de pirámides con caras que son triángulos equiláteros, con bases de 3, 4 e 5 lados respectivamente. Un tetraedro regular é unha pirámide na que todas as súas caras son triángulos equiláteros.

Área
----

**Área dun polígono regular**

Partición de polígonos regulares en triángulos isósceles.
A liña vermella é un apotema deste octógono.
A área dun polígono regular pode calcularse en función da lonxitude de cada lado e o seu número de lados. Un polígono regular de *n* lados pode dividirse en *n* triángulos isósceles (equiláteros no caso do hexágono regular) con bases os lados do polígono regular. A altura de cada un destes triángulos é un apotema do polígono regular e divide cada un dos triángulos isósceles en dous triángulos rectángulos, dividindo así o polígono en *2n* triángulos rectángulos.

A área do polígono regular (*Ab*) é igual á suma das áreas dos triángulos rectángulos (*At*):

> 
> {\displaystyle A\_{b}=2\ n\cdot A\_{t}=2\ n\ {\frac {{\frac {l}{2}}\ a}{2}}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a}
> 
> 
> 

Onde *a* é o apotema do polígono regular. Para calcular a lonxitude do apotema aplícase a trigonometría. Calcúlase entón o apotema *a*, onde *α* é o ángulo do vértice do triángulo rectángulo que coincide co centro do polígono regular:

> 
> {\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {\frac {l}{2}}{a}}}
> 
> 
> 

> 
> {\displaystyle \tan(\alpha )={\frac {l}{2\cdot a}}}
> 
> 
> 

> 
> {\displaystyle a={\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}}
> 
> 
> 

Substituíndo o valor do apotema *a* na área do polígono regular (*Ab*) temos:

> 
> {\displaystyle A\_{b}={\frac {n}{2}}\ l\cdot a={\frac {n}{2}}\ l\cdot {\frac {l}{2\cdot \tan(\alpha )}}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot(\alpha )}
> 
> 
> 

O valor do ángulo *α* resulta de dividir o (*2π*) polo número de triángulos rectángulos (*2n*), entón {\displaystyle \alpha =2\pi /2n=\pi /n}.

> 
> (1)
> {\displaystyle A\_{b}={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
> 
> 
> 

### Área lateral dunha pirámide

A área lateral dunha pirámide é a suma das áreas das caras laterais.

Nunha pirámide regular, as caras laterais son triángulos isósceles. A área de cada cara é o semiproduto da súa base (que é igual ao lado da base da pirámide *l* ) pola súa altura (que é o apotema da pirámide *ap* ). A área lateral dunha pirámide regular resulta de multiplicar a área dunha das súas caras laterais polo número de caras laterais.

> 
> (2)
> {\displaystyle A\_{l}=n\cdot {\frac {l\cdot a\_{p}}{2}}={\frac {p\cdot a\_{p}}{2}}}
> 
> 
> 

Onde *ap* é o apotema da pirámide e *p* é o perímetro da base.

Teorema de Pitágoras:  

Altura da pirámide: *h* = *a*.  

Apotema da base: *ab* = *b*.  

Apotema da pirámide: *ap* = *c*.
O apotema da pirámide (*ap*) pode calcularse a partir do apotema da base (*ab*) e da altura da pirámide (*h*) aplicando o teorema de Pitágoras.

> 
> {\displaystyle a\_{p}^{2}=a\_{b}^{2}+h^{2}}
> 
> 
> 

### Área total dunha pirámide

A área total da pirámide é a suma da área da base e a área lateral.

> 
> (3)
> {\displaystyle A=A\_{b}+A\_{l}\,}
> 
> 
> 

No caso dunha pirámide regular, substituíndo a área da base (1) e a área lateral (2) na ecuación (3), obtense:

> 
> {\displaystyle A={\frac {n}{4}}\ l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)+{\frac {p\cdot a\_{p}}{2}}}
> 
> 
>

Volume
------

O volume dunha pirámide pode obterse mediante cálculo diferencial. A área dun plano de corte transversal é directamente proporcional á área da base (*Ab*) e ao cadrado da distancia do plano de corte respecto do vértice da pirámide. Esta distancia (*d*) é a diferenza entre a altura da pirámide (*h*) e altura do plano de corte (*z*).

> 
> {\displaystyle d=h-z\,}
> 
> 
> 

Polo tanto, a área dun plano de corte transversal situado a unha altura *z* por riba da base é

> 
> {\displaystyle A\left(z\right)=A\_{b}\ {\frac {d^{2}}{h^{2}}}=A\_{b}\ {\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}}
> 
> 
> 

O volume dunha pirámide pode calcularse coñecendo a área da súa base e a súa altura, independentemente da forma da base e da posición do ápice nun plano paralelo á base.

> 
> {\displaystyle V=\int \_{0}^{h}A\left(z\right)\ dz=A\_{b}\int \_{0}^{h}{\frac {(h-z)^{2}}{h^{2}}}\ dz=-A\_{b}{\frac {(h-z)^{3}}{3h^{2}}}{\bigg |}\_{0}^{h}}
> 
> 
> 

> 
> (4)
> {\displaystyle V={\frac {\ A\_{b}\ h}{3}}}
> 
> 
> 

Esta fórmula tamén é válida para o cono, xa que non depende da forma da base, senón da súa área.

### Volume dunha pirámide regular

O volume dunha pirámide que ten de base un polígono regular pode calcularse a partir do lado do polígono regular que define a súa base e a altura da pirámide. Substituíndo a área da base *Ab* (1) na ecuación do volume da pirámide (4) obtense:

> 
> {\displaystyle V={\frac {1}{3}}\cdot {\frac {n}{4}}\cdot l^{2}\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \ h}
> 
> 
> 

> 
> {\displaystyle V={\frac {n}{12}}\cdot l^{2}\cdot h\cdot \cot \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
> 
> 
> 

Como un polígono regular pode inscribirse, pode empregarse o raio r da circunferencia circunscrita, o ángulo α interior do polígono, a altura h e o número n de lados, e calcular, con estes datos, o volume segundo a seguinte fórmula:

{\displaystyle V={\frac {n}{6}}hr^{2}sen2\alpha }

Centroide, centro de masas e centro de gravidade
------------------------------------------------

O centroide ou baricentro dun tetraedro regular está situado na súa *altura*. O punto onde se cortan as catro posibles *alturas*, atópase a unha distancia da base igual a {\displaystyle {\frac {1}{4}}\cdot h}

Coincide co centro de masas dun tetraedro regular de densidade uniforme. Tamén coincide co centro de gravidade dun tetraedro regular de densidade uniforme e campo gravitacional uniforme.

O centro de gravidade dunha pirámide de densidade e campo uniforme está situado a unha distancia da base igual a un cuarto da súa altura.

Pirámide homotética de volume a metade
--------------------------------------

Dada unha pirámide recta de altura **h**, a pirámide homotética que ten como volume a metade terá unha altura **h'**:

{\displaystyle h'=h\cdot {\sqrt[{3}]{1/2}}}
Demostración
O plano paralelo á base, situado a esa distancia da cúspide, cortará a pirámide en dúas partes de igual volume. Buscamos a razón da homotecia: o coeficiente polo que temos que multiplicar os lados da base e a altura, para obter as dimensións da pirámide homotética con volume a metade do total.

Se o volume total da pirámide é:
{\displaystyle V={\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}
A pirámide que ten como volume a metade, terá:
{\displaystyle V'={\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}}
sendo **x** a razón da homotecia, o coeficiente de proporcionalidade.
Como 
{\displaystyle V'={\frac {1}{2}}\cdot V}
deducimos 
{\displaystyle {\frac {xa\cdot xb\cdot xh}{3}}={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {a\cdot b\cdot h}{3}}}
simplificando
{\displaystyle x^{3}\cdot a\cdot b\cdot h={\frac {1}{2}}\cdot a\cdot b\cdot h}
{\displaystyle x^{3}={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle x={\sqrt[{3}]{1/2}}}
a razón da homotecia é 0,79370053 aproximadamente.

Xeralización
------------

A hiperpirámide é a xeralización dunha pirámide nun espazo n-dimensional. No caso da pirámide, todos os vértices da base, un polígono nun plano, se conectan a un punto exterior, chamado vértice. A altura da pirámide é a distancia do vértice ao plano. Esta construción xeralízase a n dimensións. A base é un (*n* − 1)-politopo nun hiperplano (*n* − 1)--dimensional. Un punto chamado ápice está situado fóra do hiperplano e está conectado a todos os vértices do politopo; a distancia do ápice ao hiperplano chámase altura.

Notas
-----

1. ↑  Londoño- Bedoya. Álgebra y/o geometría 4.ISBN 84-8276-412-8
2. ↑  Jimmy García e outros. *Resumen teórico Matemáticas e Ciencias*. Fondo editorial Rodó Lima (2014)
3. ↑  Vázquez, Manuel; López, Eloisa (1995), *Mecánica para ingenieros*, Editorial Noela, Madrid, ISBN 84-88012-03-9.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Pirámide Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Outros artigos

* Pirámide (construción)
* Tronco de pirámide
* Tetraedro
* Eudoxo de Cnidos
* Bipirámide (unión de dúas pirámides polas súas bases)

### Ligazóns externas

* MathWorld