En Mecánica, o **momento de inercia** mide a distribución da masa dun corpo en torno dun eixo de rotación. Un momento de inercia elevado significa que é preciso aplicar unha forza elevada para que o corpo pare de xirar. Contribúe máis ao xiro a porción de masa que está afastada do eixo de xiro. Un eixo xirante fino e longo, coa mesma masa dun disco que xira en relación ao seu centro, terá un momento de inercia menor que este. A unidade de medida, no SI, é quilogramo metro ao cadrado (kg•m²).

* Momento de inercia dunha masa respecto dun eixo:

{\displaystyle I\_{eixo}=\int r^{2}\,dm\,\!}
* Momento de inercia polar (respecto dun punto):

{\displaystyle I\_{0}=\int r^{2}\,dm\,\!}
* Momento de inercia planario (respecto dun plano):

{\displaystyle I\_{plano}=\int r^{2}\,dm\,\!}

Cálculo
-------

Por definición, o momento de inercia {\displaystyle I\,\!} dunha partícula de masa {\displaystyle m\,\!} e que xira en torno dun eixo, a unha distancia {\displaystyle r\,\!} del, é

{\displaystyle I=mr^{2}}
Se un corpo é constituído de n masas puntuais (partículas), o seu momento de inercia total é igual á suma dos momentos de inercia de cada masa elemental:

{\displaystyle I=\sum \_{k=1}^{n}m\_{i}r\_{i}^{2}}
onde {\displaystyle m\_{i}} é a masa de cada partícula, e {\displaystyle r\_{i}} é a súa distancia ao eixo de rotación.

Para un corpo ríxido, podemos transformar esa sumatoria nunha integral, integrando para todo o volume {\displaystyle V\,\!} do corpo o produto da masa {\displaystyle m\,\!} en cada punto polo cadrado da distancia {\displaystyle r\,\!} até o eixo de rotación:

{\displaystyle I=\int \_{V}r^{2}\,dm\,\!}
Hai varios valores coñecidos para o momento de inercia de certos tipos de corpos ríxidos. Algúns exemplos (asumindo distribución uniforme de masa):

* Para un cilindro macizo de masa M e raio da base R, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
{\displaystyle I={\frac {1}{2}}MR^{2}}
* Para unha esfera maciza de masa M e raio R, en torno de seu centro:
{\displaystyle I={\frac {2}{5}}MR^{2}}
* Para un anel cilíndrico de masa M e raio R, en torno dun eixo paralelo á xeratriz e pasando polo seu centro:
{\displaystyle I=MR^{2}}

Teoremas fundamentais
---------------------

O momento de inercia respecto a un polo é a suma dos tres momentos de inercia planario respecto a tres planos perpendiculares entre si e que se cortan en dito polo (punto):

{\displaystyle dI\_{O}=dI\_{XOY}+dI\_{YOZ}+dI\_{ZOX}}
O momento de inercia axial é a suma dos momentos de inercia respecto a dous planos perpendiculares que se cortan en dito eixo:

{\displaystyle dI\_{OX}=dI\_{ZOX}+dI\_{XOY}}
{\displaystyle dI\_{OY}=dI\_{XOY}+dI\_{YOZ}}
{\displaystyle dI\_{OZ}=dI\_{YOZ}+dI\_{ZOX}}
A suma dos momentos de inercia planarios respecto a tres planos perpendiculares entre si é a semisuma dos momentos de inercia axiais, respecto a tres eixos perpendiculares obtidos en ditos planos:

{\displaystyle dI\_{O}=(dI\_{XO}+dI\_{YO}+dI\_{ZO})/2}
### Teorema de Steiner ou teorema dos eixes paralelos

O teorema de Steiner (denominado así en honor a Jakob Steiner) establece que o momento de inercia con respecto a calquera eixo paralelo a un eixo que pasa polo centro de masa, é igual ao momento de inercia con respecto ao eixo que pasa polo centro de masa máis o produto da masa polo cadrado da distancia entre os dous eixos:  

  

{\displaystyle I\_{eixo}=I\_{eixo}^{(CM)}+Mh^{2}\,}
  

onde: *Ieixo* é o momento de inercia respecto ao eixe que non pasa polo centro de masa;
*I*(*CM*)*eixe* é o momento de inercia para un eixo paralelo ao anterior que pasa polo centro de masa; *M* é a masa total; e *h* a Distancia entre os dous eixos paralelos considerados.

A demostración deste teorema resulta inmediata se se considera a descomposición de coordenadas relativa ao centro de masas *C* {\displaystyle {\bar {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \_{C}+\mathbf {h} } inmediata:  

  

{\displaystyle I\_{eixo}=\int \_{V}{\bar {\mathbf {r} }}\cdot {\bar {\mathbf {r} }}\quad dm=\int \_{V}(\mathbf {r} \_{C}\cdot \mathbf {r} \_{C}+2\mathbf {r} \_{C}\cdot \mathbf {h} +\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} )\quad dm=\int \_{V}\mathbf {r} \_{G}\cdot \mathbf {r} \_{C}\quad dm+\int \_{V}2\mathbf {r} \_{C}\cdot \mathbf {h} \quad dm+\int \_{V}\mathbf {h} \cdot \mathbf {h} \quad dm}
{\displaystyle I\_{eixo}=I\_{eixo}^{(CM)}+\underbrace {2\mathbf {h} \cdot \int \_{V}\mathbf {r} \_{C}dm} \_{=0}+Mh^{2}}
  

onde o segundo termo é nulo posto que a distancia vectorial media de masa en torno ao centro de masas é nula, pola propia definición de centro de masa.

O centro de gravidade e o centro de masa poden non ser coincidentes, dado que o centro de masa só depende da xeometría do corpo, en cambio, o centro de gravidade depende do campo gravitacional no que se acha o corpo.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Momento de inercia de área
* Produto de inercia
* Cantidade de movemento angular
* Movemento circular uniforme
* Impulso

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q165618
* AAT: 300072684
* BRE: 2225659
* EBID: ID
* GND: 4127020-4
* LCCN: sh85086657
* MAG: 10238366

 |