Nas matemáticas, o **límite** é un concepto que describe a *tendencia* dunha sucesión ou unha función, cando os parámetros desa sucesión ou función se acercan a determinado valor. No cálculo (especialmente en análise real e matemática) este concepto utilízase para definir a converxencia, continuidade, derivación, integración etc.

Límite dunha función
--------------------

Parámetros utilizados na definición de límite.

*Artigo principal**:* Límite dunha función.
### Definición

Informalmente, dise que **o límite da función f(*x*) é *L* cando *x* tende a *p***, e escríbese:

{\displaystyle \lim \_{x\to p}\,\,f(x)=L}
se se pode encontrar para cada ocasión un *x* suficientemente próximo de *p* tal que o valor de f(*x*) sexa tan próximo a L como se desexe. Formalmente, utilizando termos lóxico-matemáticos:

{\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to p}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0:\\\forall x(0<|x-p|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon )\end{array}}}
Esta definición denomínase frecuentemente **definición épsilon-delta** de límite, e lese como segue:

> 
> 
> "para cada real *ε* maior que cero existe un real *δ* maior que cero tal que, para todo *x*, se a distancia entre *x* e *p* (*x* non é igual a *p*) é menor que *δ*, entón a distancia entre a imaxe de *x* e *L* é menor que *ε* unidades".
> 
>

Límites dunha función de dúas ou máis variables
-----------------------------------------------

Nas funcións de dúas ou máis variables a definición de límite é a mesma que en todas as funcións numéricas, mais nestas non sempre é fácil de calcular e moitas veces é mesmo difícil afirmar que exista ou non un límite.
Unha función de dúas variables sería:

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle \ (x,y)\longmapsto f(x,y)=z}
A función de dúas variables ten *dous graos de liberdade* (nas funcións dunha variable só existe verdadeiramente un *grao de liberdade* que é a recta real, onde os valores poden ir cara a dereita, no sentido de maiores números reais, ou cara a esquerda, no sentido de menores números reais) por consecuencia é difícil achar o límite.

Ora, para que exista un valor de límite, é necesario que o *independa* do camiño tomado para que o(s) valor(es) da(s) variable(s) independentes sexan alcanzados. Iso pasa no caso unidimensional, cando os dous límites laterais coinciden. No caso contrario, o límite non existe.

De forma parecida, cando se ten unha función bidimensional como:

{\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }
{\displaystyle \ (x,y)\longmapsto f(x,y)=xy}
o límite pode comprobarse a través de varios camiños. Supoñamos que queremos verificar o límite L desta función cando tende a (0,0):

{\displaystyle \lim \_{(x,y)\to (0,0)}f(x,y)=L}

---

Podemos aproximarnos ao valor (0,0) a través de varias posibilidades:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}f(x,0)=L}

Neste caso, o límite L é cero

{\displaystyle \lim \_{y\to 0}f(0,y)=L}

Neste caso, o límite L é tamén cero

---

Poderíase ficar enumerando todas as posibilidades, mais sería ocioso. No caso desta función, o límite neste punto é sempre cero.

Límite dunha sucesión
---------------------

{\displaystyle a\_{n}={\begin{cases}16&{\mbox{se }}n=0\\{\cfrac {a\_{n-1}}{2}}&{\mbox{se }}n>0\end{cases}}}

*Artigo principal**:* Límite dunha sucesión.
A definición do límite matemático no caso dunha sucesión é moi semellante á definición do límite dunha función cando x tende a \infty. Dicimos que a sucesión {\displaystyle a\_{n}} **tende até o seu límite a**, ou que **converxe** ou **é converxente** (a a), o que denotamos como:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=a}
se podemos achar un número {\displaystyle N} tal que todos os termos da sucesión a a cando n crece sen cota. Formalmente:

{\displaystyle a\_{n}\to a\Leftrightarrow } {\displaystyle \forall \epsilon >0,\exists N>0:\forall n\geq N,|a\_{n}-a|<\epsilon }

Propiedades dos límites
-----------------------

Os límites cumpren as seguintes propiedades xerais, que son usadas moitas veces para simplificar o cálculo dos mesmos.

* {\displaystyle \lim \_{x\to a}x=\,a\,}
* Límite por escalar.

{\displaystyle \lim \_{x\to a}kf(x)=\,k\lim \_{x\to a}f(x)\,} onde *k* é un multiplicador escalar.
* Límite dunha suma.

{\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)+g(x))=\,\lim \_{x\to a}f(x)+\lim \_{x\to a}g(x)\,}
* Límite dunha resta.

{\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)-g(x))=\,\lim \_{x\to a}f(x)-\lim \_{x\to a}g(x)\,}
* Límite dunha multiplicación.

{\displaystyle \lim \_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\,\lim \_{x\to a}f(x)\cdot \lim \_{x\to a}g(x)\,}
* Límite dunha división.

{\displaystyle {\underset {x\to a}{\lim }}\;{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {{\underset {x\to a}{\lim }}\;f(x)}{{\underset {x\to a}{\lim }}\;g(x)}}\quad \mathrm {si} \ \lim \_{x\to a}g(x)\neq 0}
### Indeterminacións

Hai límites que calculándoos directamente se obtén algunha das seguintes expresións:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \infty -\infty ,\;{\frac {\infty }{\infty }},\;\infty \cdot 0,\;{\frac {0}{0}},\;\infty ^{0},\;1^{\infty },0^{0}\,}
> 
> 
> 

Denomínanse indeterminacións a estas expresións, xa que non teñen solución coñecible. Nalgúns casos, simplificando as expresións iniciais ou obtendo expresións equivalentes ás iniciais pódese resolver a indeterminación e calcular o límite. Outros casos requiren do uso doutras ferramentas como poden ser desigualdades ou a regra de l'Hopital.

Un exemplo de indeterminación do tipo {\displaystyle \textstyle {\frac {0}{0}}} é o que se dá nestes tres casos:

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {1}{t}}=\infty }

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim \_{t\rightarrow 0}1=1}

{\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}={\frac {0}{0}}\quad {\xrightarrow[{\mathrm {simplificando} }]{}}\quad \lim \_{t\rightarrow 0}{t}=0}

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Regra de l'Hôpital

### Ligazóns externas

* Límites de funcións. Introdución *(en castelán)*
* Introdución do cálculo de límites (vídeo) *(en castelán)*
* Mathwords: Limit *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q177239
* BNCF: 19410
* BRE: 3174415
* EBID: ID
* GND: 4316404-3
* MAG: 151201525
* NDL: 00567231
* Treccani: limite

 |