Teorema do seno.En trigonometría, o **teorema do seno** é unha relación de proporcionalidade entre as lonxitudes dos lados dun triángulo e os senos dos ángulos respectivamente opostos.

Se nun triángulo *ABC*, as medidas dos lados opostos aos ángulos *A*, *B* e *C* son respectivamente *a*, *b*, *c*, entón;

> 
> {\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}}
> 
> 
>

Demostración
------------

A pesar de ser dos teoremas trigonométricos máis usados e de ter unha demostración particularmente simple, é pouco común que se presente.

O teorema dos senos establece que *a/sin(A)* é constante.
Dado o triángulo *ABC*, denotamos por *O* o seu circuncentro e debuxamos a súa circunferencia circunscrita. Prolongando o segmento *BO* até cortar a circunferencia, obtense un diámetro *BP*.

Agora, o triángulo *PBC* é recto, posto que *BP* é un diámetro, e ademais os ángulos *A* e *P* son iguais, porque ambos son ángulos inscritos que abren o segmento *BC* (Véxase definición de arco capaz). Por definición da función trigonométrica seno, tense

> 
> {\displaystyle \operatorname {sen} \,A=\operatorname {sen} \,P={\frac {BC}{BP}}={\frac {a}{2R}}}
> 
> 
> 

onde *R* é o radio da circunferencia. Despexando *2R* obtemos:

> 
> {\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}=2R}
> 
> 
> 

Repetindo o procedemento cun diámetro que pase por *A* e outro que pase por *C*, chégase a que as tres fraccións teñen o mesmo valor *2R* e polo tanto son iguais.

A conclusión que se obtén acostuma chamarse teorema dos senos xeneralizado e establece que para un triángulo *ABC* onde *a, b, c* son os lados opostos aos ángulos *A, B, C* respectivamente, se *R* denota o radio da circunferencia circunscrita, entón:

> 
> {\displaystyle {\frac {a}{\operatorname {sen} \,A}}={\frac {b}{\operatorname {sen} \,B}}={\frac {c}{\operatorname {sen} \,C}}=2R}
> 
> 
> 

Pode enunciarse o teorema dunha forma alternativa:

**Nun triángulo, o cociente entre cada lado e o seno do seu ángulo oposto é constante e igual ao diámetro da circunferencia circunscrita.**

Aplicación
----------

O teorema do seno é utilizado para resolver problemas nos que se coñecen dous ángulos do triángulo e un lado oposto a un deles.
Tamén se usa cando coñecemos dous lados do triángulo e un ángulo oposto a un deles.

Relación coa área do triángulo
------------------------------

Dúas fórmulas para calcular a área dun triángulo
Para un triángulo *ABC*, a área calcúlase como *ah/2* onde *h* é a medida da altura sobre a base *a*. Novamente, por definición de seno, tense sen *C* = *h/b* ou o que é o mesmo *h* = *b* sen *C*, de modo que se cumpre:

{\displaystyle Area={\frac {a\;h}{2}}={\frac {a\;b\,\;\operatorname {sen} \,C}{2}}}.
Mais, o teorema dos senos implica que *c* = 2*R* sen *C*, polo que ao substituír na expresión anterior obtense un novo teorema:
{\displaystyle Area={\frac {a\;h}{2}}={\frac {a\;b\,\;\operatorname {sen} \,C}{2}}={\frac {a\;b\;c}{4\;R}}}

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Trigonometría
	+ Triangulación
	+ Trigonometría esférica
	+ Función trigonométrica
* Xeometría do triángulo
	+ Teorema do coseno
	+ Teorema de Pitágoras

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q170181
* EBID: ID
* MAG: 154966278

 |