| Media metálica (proporcións metálicas) |  |
| --- | --- |
| N | Proporción | Valor | Nome |
| **0** | 0 + √4/2 | 1 |  |
| **1** | 1 + √5/2 | 1.618033989 | Ouro |
| **2** | 2 + √8/2 | 2.414213562 | Prata |
| **3** | 3 + √13/2 | 3.302775638 | Bronce |
| **4** | 4 + √20/2 | 4.236067978 |  |
| **5** | 5 + √29/2 | 5.192582404 |  |
| **6** | 6 + √40/2 | 6.162277660 |  |
| **7** | 7 + √53/2 | 7.140054945 |  |
| **8** | 8 + √68/2 | 8.123105626 |  |
| **9** | 9 + √85/2 | 9.109772229 |  |
| **10** | 10+ √104/2 | 10.099019513 |  |
|   ⋮ |
| **n** | *n* + √*n*2+4/2 |

 
As **medias metálicas** (ou **ratios** ou **constantes**) dos sucesivos números naturais son as fraccións continuas con coeficientes constantes:

{\displaystyle n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+{\cfrac {1}{n+\ddots \,}}}}}}}}=[n;n,n,n,n,\dots ]={\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}.}

A proporción áurea (1.618...) é a media metálica situada entre 1 e 2, mentres que a proporción de prata (2.414...) é a media metálica situada entre 2 e 3. O termo "proporción de bronce" (3.303...), e outros nomes de metais (como cobre ou níquel), empréganse ocasionalmente para denominar as medias metálicas posteriores.   Os valores das dez primeiras medias metálicas móstranse na táboa da dereita.   Observe que cada media metálica é unha raíz da ecuación cadrática simple: {\displaystyle x^{2}-nx=1}, onde {\displaystyle n} é calquera número natural positivo.

A proporción áurea está conectada co pentágono (primeira diagonal/lado), a proporción de prata está conectada co octógono (segunda diagonal/lado). A proporción áurea está conectada aos números de Fibonacci, a proporción de prata está conectada aos números de Pell, e a proporción de bronce está conectada a (secuencia A006190 na OEIS).

Así para cada {\displaystyle n} temos as recorrencias lineais de segunda orde: {\displaystyle a\_{i}=na\_{i-1}+a\_{i-2},{\text{ con }}a\_{0}=0,a\_{1}=1.}

Fibonacci (ouro): 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13 ...

Pell (prata): 0, 1, 2, 5, 12, 29, 70 ...

(secuencia A006190 na OEIS) (bronce): 0, 1, 3, 10, 33, 109 ...

Propiedades
-----------

Estas propiedades só son válidas para números enteiros. Para os non enteiros as propiedades son lixeiramente diferentes.

Chamamos {\displaystyle S\_{n}} á media metálica relacionada coa constante n.

Sendo {\displaystyle {\dfrac {p\_{i}}{q\_{i}}}} os converxentes da fracción continua {\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]} temos que

{\displaystyle {S\_{n}}=\lim \_{i\to \infty }{\dfrac {p\_{i}}{q\_{i}}}}
A recorrencia asociada a cada {\displaystyle S\_{n}} son os denominadores {\displaystyle q\_{i}} (ou os numeradores {\displaystyle p\_{i}} excluído o cero) dos converxentes da fracción continua {\displaystyle [n;n,n,n,n,\dots ]}.

Sendo {\displaystyle a\_{i}=na\_{i-1}+a\_{i-2},{\text{ con }}a\_{0}=0,a\_{1}=1.} a recorrencia asociada a {\displaystyle S\_{n}} temos que

{\displaystyle {S\_{n}}=\lim \_{i\to \infty }{\dfrac {a\_{i}}{a\_{i-1}}}}
Unha relación para a inversa da media metálica {\displaystyle S\_{n}}

{\displaystyle {\frac {1}{S\_{n}}}=S\_{n}-n}
por tanto os inversos das medias metálicas son a parte decimal do número correspondente.

Se descompomos {\displaystyle S\_{n}} en para enteira a e parte fraccional b, temos:

{\displaystyle S\_{n}=a+b}, e resulta
{\displaystyle S\_{n}^{2}=a^{2}+nb+1.}
As medias metálicas de *n* en forma de integral,

{\displaystyle S\_{n}=\int \_{0}^{n}{\left({\dfrac {x}{2{\sqrt {x^{2}+4}}}}+{\dfrac {n+2}{2n}}\right)}\,dx.}
En relación a funcións hiperbólicas,

{\displaystyle {\frac {n+{\sqrt {n^{2}+4}}}{2}}=e^{\operatorname {arsinh(n/2)} }}

Expresións trigonométricas
--------------------------

| Expresión trigonométrica |
| --- |
| N | Fórmula | Polígono regular asociado |
| 1 | {\displaystyle 2\cos {\frac {\pi }{5}}} | pentágono |
| 2 | {\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}} | octógono |
| 3 | {\displaystyle 8\cos {\frac {\pi }{13}}\cos {\frac {3\pi }{13}}\cos {\frac {4\pi }{13}}} | tridecágono |
| 4 | {\displaystyle 8\cos ^{3}{\frac {\pi }{5}}} |

Construción xeométrica
----------------------

A media metálica {\displaystyle S\_{n}} para calquera número enteiro dado {\displaystyle n} pódese construír xeométricamente do seguinte xeito. Defínese un triángulo rectángulo con lados {\displaystyle A} e {\displaystyle B} tendo lonxitudes {\displaystyle 1} e {\displaystyle n/2}, respectivamente. A media metálica {\displaystyle S\_{n}} é simplemente a suma da lonxitude de {\displaystyle B} e a hipotenusa {\displaystyle H}. 

Para {\displaystyle n=1} ,

Triangle with "embedded" golden ratio N = 1
{\displaystyle H={\sqrt {(n/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {5/4}}=1.1180339...}

e logo

{\displaystyle S\_{1}=B+H=1/2+1.1180339...=1.6180339...=} φ.

Con {\displaystyle n=2} dá a proporción de prata.

Triangle with "embedded" silver ratio N = 2
{\displaystyle H={\sqrt {(2/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {2}}=1.4142135...}

{\displaystyle S\_{2}=B+H=2/2+1.4142135...=2.4142135...}

A proporción de bronce con {\displaystyle n=3},

Triangle with "embedded" bronze ratio N = 3
{\displaystyle H={\sqrt {(3/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {13/4}}=1.8027756...}

{\displaystyle S\_{3}=B+H=3/2+1.8027756...=3.3027756...}

Os argumentos non enteiros ás veces producen triángulos cunha media que é un número enteiro. Un exemplo con {\displaystyle n=1.5}, temos

Triangle with "embedded" with the number 2 N = 1,5
{\displaystyle H={\sqrt {(1.5/2)^{2}+1^{2}}}={\sqrt {1.5625}}=1.25}

{\displaystyle S\_{1.5}=B+H=1.5/2+1.25=2}

que é simplemente unha versión reducida do triángulo pitagórico 3–4–5.

Notas
-----

1. ↑  Vera W. de Spinadel (1999). The Family of Metallic Means, *Vismath* 1(3) from Mathematical Institute of Serbian Academy of Sciences and Arts.
2. ↑  ". "The Metallic Means and Design".": 141–157.
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Table of Silver means". *MathWorld*.
4. ↑  "An Introduction to Continued Fractions: The Silver Means", *maths.surrey.ac.uk*.
5. ↑  ""Polygons & Metallic Means"" **20**. 2021: 32–33.

1. ↑  (secuencia A001622 na OEIS) Expansión decimal da proporción áurea
2. ↑  (secuencia A014176 na OEIS), Expansión decimal da proporción de prata, 1+sqrt(2).
3. ↑  (secuencia A098316 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [3, 3, ...]; = (3 + sqrt(13))/2.
4. ↑  (secuencia A098317 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [4, 4, ...] = 2 + sqrt(5).
5. ↑  (secuencia A098318 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [5, 5, ...] = (5 + sqrt(29))/2.
6. ↑  (secuencia A176398 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [6, 6, ...] = 3+sqrt(10).
7. ↑  (secuencia A176439 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [7, 7, ...] = (7+sqrt(53))/2.
8. ↑  (secuencia A176458 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [8, 8, ...] = 4+sqrt(17).
9. ↑  (secuencia A176522 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [9, 9, ...] = (9+sqrt(85))/2.
10. ↑  (secuencia A176537 na OEIS), Expansión decimal da fracción continua [10, 10, ...] = (10+sqrt(104)/2.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Stakhov, Alekseĭ Petrovich (2009). *The Mathematics of Harmony: From Euclides to Contemporary Mathematics and Computer Science*, p. 228, 231.World Scientific.ISBN 9789812775832.

### Ligazóns externas

* Cristina-Elena Hrețcanu and Mircea Crasmareanu (2013). "Metallic Structures on Riemannian Manifolds", *Revista de la Unión Matemática Argentina*.
* Rakočević, Miloje M. "Further Generalization of Golden Mean in Relation to Euler's 'Divine' Equation", *Arxiv.org*.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q11634820
* MAG: 2780908563

 |