Na teoría de grupos, unha rama das matemáticas, un **grupo de torsión** ou un **grupo periódico** é un grupo no que cada elemento ten orde finita. O **expoñente** de tal grupo, se existe, é o mínimo común múltiplo das ordes dos elementos.

Por exemplo, do teorema de Lagrange despréndese que todo grupo finito é periódico e ten un expoñente que divide a súa orde.

Exemplos con infinitos elementos
--------------------------------

Exemplos de grupos periódicos infinitos inclúen o grupo aditivo do anel de polinomios sobre un corpo finito e o grupo cociente dos racionais polos enteiros, así como os seus sumandos directos, os grupos de Prüfer. Outro exemplo é a suma directa de todos os grupos diédricos. Ningún destes exemplos ten un conxunto xerador finito. Golod construíu exemplos explícitos de infinitos grupos periódicos xerados de xeito finito, baseándose nun traballo conxunto con Shafarevich (ver *teorema de Golod-Shafarevich*), e por Aleshin e Grigorchuk utilizando autómatas. Estes grupos teñen expoñente infinito; exemplos con expoñente finito dan por exemplo os grupos de Tarski construídos por Olshanskii.

O problema de Burnside
----------------------

*Artigo principal**:* Problema de Burnside.
O problema de Burnside é unha cuestión clásica que trata sobre a relación entre grupos periódicos e grupos finitos, cando só se consideran grupos finitamente xerados: Especificar un expoñente forza a finitude? A existencia de grupos periódicos infinitos e finitamente xerados como no parágrafo anterior mostra que a resposta é "non" para un expoñente arbitrario. Aínda que se sabe moito máis sobre cal son os expoñentes que poden ocorrer para infinitos grupos finitamente xerados, aínda hai algúns para os que o problema está aberto.

Para algunhas clases de grupos, por exemplo os grupos lineais, a resposta ao problema de Burnside restrinxido á clase é positiva.

Lóxica matemática
-----------------

Unha propiedade interesante dos grupos periódicos é que a definición non se pode formalizar en termos de lóxica de primeira orde. Isto é porque facelo requiriría un axioma da forma

{\displaystyle \forall x,{\big (}(x=e)\lor (x\circ x=e)\lor ((x\circ x)\circ x=e)\lor \cdots {\big )},}
que contén unha disxunción infinita e, polo tanto, é inadmisible: a lóxica de primeira orde permite cuantificadores sobre un tipo e non pode captar propiedades ou subconxuntos dese tipo.

Nocións relacionadas
--------------------

O subgrupo de torsión dun grupo abeliano *A* é o subgrupo de *A* que consta de todos os elementos que teñen orde finita. Un grupo abeliano de torsión é un grupo abeliano no que cada elemento ten orde finita. Un grupo abeliano libre-de-torsión é un grupo abeliano no que o elemento identidade é o único elemento con orde finita.

Notas
-----

1. ↑  E. S. Golod, *On nil-algebras and finitely approximable p-groups*, Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. **28** (1964) 273–276.
2. ↑   S. V. Aleshin, *Finite automata and the Burnside problem for periodic groups*, (Russian) Mat. Zametki **11** (1972), 319–328.
3. ↑  R. I. Grigorchuk, *On Burnside's problem on periodic groups*, Functional Anal. Appl. **14** (1980), no. 1, 41–43.
4. ↑  A. Yu. Olshanskii, An infinite group with subgroups of prime orders, Math. USSR Izv. 16 (1981), 279–289; translation of Izvestia Akad. Nauk SSSR Ser. Matem. 44 (1980), 309–321

Véxase tamén
------------

* Torsión (algebra)
* Teorema de Jordan–Schur

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1551033
* MAG: 138384264

 |