Rectángulo 24×60 recuberto con dez baldosas cadradas de 12×12, onde 12 é o mcd de 24 e 60. En xeral, un rectángulo *a*×*b* pode recubrirse con baldosas cadradas de lado *c* só se *c* é un divisor común de *a* e *b*.
En matemáticas, o **máximo común divisor** (**MCD** ou **mdc**) ou **máximo divisor común** de dous ou máis números enteiros é o maior número enteiro que os divide sen deixar resto.

Definicións
-----------

Se *a* e *b* son números enteiros distintos de cero e se o número *c* é tal que *c*|*a* e á súa vez *c*|*b*, este número *c* denomínase *divisor común* dos números *a* e *b*. Cómpre observar que dous números enteiros calquera teñen divisores comúns; cando os únicos divisores comúns dos números *a* e *b* son 1 e -1, eses números chámanse primos entre si.

Un número enteiro *d* chámase máximo común divisor dos números *a* e *b* cando:

1. *d* é divisor común dos números *a* e *b* e
2. *d* é divisible por calquera outro divisor común dos números *a* e *b*.

**Exemplo**:

12 é o mcd de 36 e 60. Pois 12|36 e 12|60; á súa vez 12 é divisible por 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12 e -12 que son divisores comúns de 36 e 60.

Cálculo do máximo divisor común
-------------------------------

O tres métodos máis utilizados para o cálculo do máximo divisor común de dous números son:

### Por descomposición en factores primos

O máximo común divisor de dous números pode calcularse determinando a descomposición en factores primos dos dous números e tomando os factores comúns elevados á menor potencia, o produto dos cales será o mcd.

**Exemplo**: para calcular o máximo común divisor de 48 e de 60 obtense da súa factorización en factores primos.


|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}48&2\\24&2\\12&2\\6&2\\3&3\\1&\end{array}}} |
| {\displaystyle 48=2^{4}\cdot 3\,} |

 | 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}60&2\\30&2\\15&3\\5&5\\1&\end{array}}} |
| {\displaystyle 60=2^{2}\cdot 3\cdot 5\,} |

 |

O mcd son os factores comúns co seu menor expoñente, isto é:

{\displaystyle \operatorname {mcd} (48;60)=2^{2}\cdot 3=12}
Na práctica, este método só é operativo para números pequenos levando en xeral demasiado tempo calcular a descomposición en factores primos de dous números calquera.

### Algoritmo de Euclides

Un método máis eficiente é o algoritmo de Euclides, que emprega o algoritmo da división xunto co feito de que o mcd de dous números tamén divide o resto obtido de dividir o maior entre o máis pequeno.

**Exemplo 1**:
Se se divide 60 entre 48 dando un cociente de 1 e un resto de 12, o MCD será polo tanto divisor de 12. Despois divídese 48 entre 12 dando un resto de 0, o que significa que 12 é o mcd. Formalmente pode describirse como:

{\displaystyle \operatorname {mcd} (a,0)=a}
{\displaystyle \operatorname {mcd} (a,b)=\operatorname {mcd} (b,a\,\mathrm {mod} \,b).}
**Exemplo 2**:
O MCD de 42 e 56 é 14. En efecto:

{\displaystyle \operatorname {mcd} (42,56)=14\,}
operando:

{\displaystyle {\frac {42}{14}}=3\;,\quad {\frac {56}{14}}=4}
### Co mínimo múltiplo común

O máximo divisor común tamén pode ser calculado empregando o mínimo común múltiplo. Se *a* e *b* son distintos de cero, entón o máximo divisor común de *a* e *b* obtense mediante a seguinte fórmula, que involucra o mínimo múltiplo común de *a* e *b*:

{\displaystyle \operatorname {mcd} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {MCM} (a,b)}}}
### MCD de tres ou máis números

O máximo común divisor de tres ou máis números pódese definir recursivamente empregando o método:
{\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b,c)=\operatorname {mcd} (a,\operatorname {mcd} (b,c))}.

Propiedades
-----------

1. Se {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (a,b)=d} entón {\displaystyle \ \operatorname {mcd} \left({\frac {a}{d}},{\frac {b}{d}}\right)=1} 
2. Se {\displaystyle \ m} é un enteiro, {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (ma,mb)=|m|\cdot \operatorname {mcd} (a,b)} 
3. Se {\displaystyle \ p} é un número primo, entón {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (p,m)=p} o bien {\displaystyle \ \operatorname {mcd} (m,p)=1} 
4. Se {\displaystyle d=\operatorname {mcd} (m,n),\ m=d'm'',\ n=d'n'',\ \operatorname {mcd} (m'',n'')=1}, entón {\displaystyle \ d=d'} 
5. Se {\displaystyle \ d'} é un divisor común de {\displaystyle \ m} e {\displaystyle \ n}, entón {\displaystyle d'\mid \operatorname {mcd} (m,n)}
6. Se {\displaystyle \ m=nq+r}, entón {\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=\operatorname {mcd} (n,r)}
7. Se {\displaystyle \ m=p\_{1}^{\alpha \_{1}}\cdots p\_{k}^{\alpha \_{k}}\;\,\mathrm {y} \;\,n=p\_{1}^{\beta \_{1}}\cdots p\_{k}^{\beta \_{k}},\;\,\alpha \_{i},\beta \_{i}\geq 0,\;\,i=1,...k}, entón {\displaystyle \operatorname {mcd} (m,n)=p\_{1}^{\operatorname {min} (\alpha \_{1},\beta \_{1})}\cdots p\_{k}^{\operatorname {min} (\alpha \_{k},\beta \_{k})}} Esta última propiedade indica que o máximo divisor común de dous números é o produto dos seus factores primos comúns elevados ao menor expoñente.

Xeometricamente, o máximo divisor común de *a* e *b* é o número de puntos de coordenadas enteiras que hai no segmento que une os puntos (0, 0) e (*a*, *b*), excluíndo o (0, 0).

### Proposicións

1. Para calquera par de números enteiros *a*≠0, *b*≠0, existe un único mcd *d* ≥ 1.
2. O mcd. dos números *a* e *b* pode ser representado en forma de combinación linear destes números. Isto é (*a*, *b*) = *ax* + *by*
3. Se dous números enteiros son primos entre si, i.e. o seu mcd = 1 ou noutra notación (*a*, *b*) = 1, entón cómpre a representación *ma* + *nb* = 1 onde *m* e *n* son números enteiros (identidade de Bézout).
4. Se *a*|*bc* e (*a*, *b*) = 1, será *a*|*c*. Noutras palabras, se un número *a* divide un produto doutros dous números e é coprimo cun deles, entón divide necesariamente o outro número ou factor.
5. Cando un número *a* é coprimo cos números *m* e *n*, tamén o é co produto *mn*.
6. (*a*, *b*) é divisor de (*a*, *bc*)
7. *t*(*a*, *b*) = (*ta*, *tb*) para todo *t* enteiro
8. Se (*m*, *b*)= 1 entón (*am*, *b*)= (*a*, *b*)
9. Se (*m*, *b*)= 1, (*am*, *n*) = 1 entón (*am*, *bn*) = (*a*, *b*)
10. Para todo *x*, (*a*, *b*)= (*b*, *a*) = (*a*, -*b*) = (*a*, *b* + *ax*)
11. Por definición, (0, 0) = 0; deste xeito o mcd defínese en todo ℤ×ℤ.
12. (*a*, *b*) = *b* se e só se *b*|*a*, (ou sexa se *a* é múltiplo de *b*).
13. Se (*a*, *b*)= *D*, entón (*an*, *bn*) = *Dn*
14. *mZ* + *nZ* = (*m*, *n*)*Z*. Sumar senllos múltiplos de dous enteiros é o mesmo que considerar os múltiplos do seu máximo común divisor.
15. {\displaystyle (a^{2},ab,b^{2})=(a,b)^{2}}

### MCD como operación interna

* O mcd pódese estruturar como unha operación en ℤ; deste xeito a calquera par de enteiros, ou sexa a un elemento de ℤ×ℤ asígnalle un único elemento de ℤ.
* Para calquera par de enteiros (*a*, *b*) existe un enteiro non negativo d que é o seu máximo común divisor. Isto é *a*\**b* = (*a*, *b*) = *d*.
* O mcd goza da propiedade asociativa, como da propiedade conmutativa.
* O mcd posúe un elemento identidade, o cero, de modo tal que (*a*, 0)= (0, *a*)= *a*
* O mcd ten un comportamento dual que o mínimo común múltiplo, e aos enteiros non negativos *a* e *b* lígaos a ecuación *ab* = (*a*, *b*)[*a*, *b*]
* Propiedade do 1: (*a*, 1) = 1 para calquera enteiro *a*, pois o 1 é divisor de todos os enteiros, ou ben xera os elementos de ℤ.

Aplicacións
-----------

O mcd emprégase para simplificar fraccións. Por exemplo, para simplificar a fracción {\displaystyle \scriptstyle {\frac {48}{60}}} calcúlase primeiro o mcd(60, 48) = 12, dividíndose o numerador e o denominador da fracción inicial por 12 para obter a fracción simplificada {\displaystyle \scriptstyle {\frac {4}{5}}}.

O mcd tamén se emprega para calcular o mínimo común múltiplo de dous números. En efecto, o produto dos dous números é igual ao produto do seu máximo divisor común polo seu mínimo común múltiplo. Así, para calcular o mínimo común múltiplo de 48 e de 60, calcúlase primeiro o seu mcd, 12, sendo o seu mínimo común múltiplo {\displaystyle \scriptstyle {\frac {48\cdot 60}{12}}=240}.

O mcd e o algoritmo de Euclides empréganse na resolución de ecuacións diofánticas lineares con dúas incógnitas e para desenvolver un número racional en fraccións continuas.

Notas
-----

1. ↑  Pérez Vázquez, Libia; Precedo Estraviz, Patricia; Seoane Bouzas, Nuria (2006). *Profesionaliza a túa lingua matemática*. Univesidade da Coruña. ISBN 84-9749-226-9.
2. ↑  Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. *Vocabulario de Matemáticas*. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.
3. ↑  Belski e Kaluzhin, *División inexacta* (1997). Editorial Científica, Lima; páx.10
4. ↑  Ibídem, páx. 10
5. ↑  Vinogradov: Fundamentos de la teoría de números, editorial Mir.
6. ↑  Castellet, Álgebra lineal y geometría, tema I.
7. ↑  Ibídem, páx. 11
8. ↑  Ibídem, páx. 13
9. ↑  Vorobiov: *Números de Fibonacci*, Editorial Mir, Moscova (1974)
10. ↑  Enzo Gentile, Aritmética elemental, ediciones OEA
11. ↑  Gentile: Aritmética elemental OEA
12. ↑  Niven e Zuckerman: Teoría de los números
13. ↑  Gentile: Aritmética elemental
14. ↑  Santillana: "Aritmética razonada", Lima
15. ↑  Kostrikin: Introducción al álgebra, Editorial Mir, Moscú (1974)
16. ↑  Pódese comprobar tendo en conta que (*a*/*d*, *b*/*d*)= 1, *d*=MCD
17. ↑  Cotlar-Sadosky: Introducción al álgebra. Eudeba, BS.
18. ↑  Gentile: Ibídem
19. ↑  Ibídem páx. 17 y 20
20. ↑  Gentile: Aritmética elemental OEA (1987)

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Andrews, George E. (1994) [1971]. *Number Theory*. Dover. ISBN 9780486682525.
* Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest e Clifford Stein. *Introduction to Algorithms*, Second Edition. MIT Press and McGraw-Hill, 2001. ISBN 0-262-03293-7. Section 31.2: Greatest common divisor, pp. 856–862.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). *An Introduction to the Theory of Numbers* (Fifth ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
* Donald Knuth. *The Art of Computer Programming*, Volume 2: *Seminumerical Algorithms*, Third Edition. Addison-Wesley, 1997. ISBN 0-201-89684-2. Section 4.5.2: The Greatest Common Divisor, pp. 333–356.
* Long, Calvin T. (1972). *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77171950.
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). *Elements of Number Theory*. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 71081766.
* Saunders MacLane e Garrett Birkhoff. *A Survey of Modern Algebra*, Fourth Edition. MacMillan Publishing Co. 1977. ISBN 0-02-310070-2. 1–7: "The Euclidean Algorithm."

### Ligazóns externas

* Weisstein, Eric W. «Greatest Common Divisor».
* Método para calcular o máximo divisor e o mínimo múltiplo comúns á vez Arquivado 01 de xuño de 2017 en Wayback Machine.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q131752
* BNCF: 34805
* EBID: ID
* MAG: 125257309
* Treccani: massimo-comun-divisore

 |