{\displaystyle a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a\_{n}}}}}}}}}}Unha fracción continua regular finita, onde {\displaystyle a\_{0}} é un enteiro, e os {\displaystyle a\_{i},i>0} son enteiros positivos.En matemáticas, unha **fracción continua** é unha expresión obtida mediante un proceso iterativo de representar un número como a suma da súa parte enteira e o recíproco doutro número, e escribir este outro número como a suma da súa parte enteira e outra recíproca, e así continuadamente.  Todos os números enteiros da secuencia, agás o primeiro, deben ser positivos. Os enteiros {\displaystyle a\_{i}} chámanse coeficientes ou termos da fracción continua. 

En xeral, asúmese que o numerador de todas as fraccións é 1. Nese caso chámase fracción continua **simple** ou **regular**, ou dicimos que está en **forma canónica.** Se se usan valores ou funcións arbitrarias en lugar dun ou máis dos numeradores a expresión resultante é unha **fracción continua xeneralizada**.

As fraccións continuas teñen unha serie de propiedades notables relacionadas co algoritmo de Euclides para números racionais ou reais. Todo número racional {\displaystyle p}/{\displaystyle q} ten dúas expresións estreitamente relacionadas como fracción continua finita, cuxos coeficientes ai poden determinarse aplicando o algoritmo de Euclides a {\displaystyle (p,q)}. O valor numérico dunha fracción continua infinita é irracional. Esta forma de expresar números reais (racionais e irracionais) chámase *expansión en fracción continua*.

O termo *fracción continua* tamén pode referirse a representacións de funcións racionais, xurdidas na súa teoría analítica. Para este uso do termo, pode consultar os conceptos aproximación de Padé e funcións racionais de Chebyshev.

Motivación e notación
---------------------

Considere, por exemplo,o número racional 415/93, que é aproximadamente 4.4624. Como primeira aproximación, comezamos por 4, que é a parte enteira de 415/93 = 4 + 43/93. Agora da parte fraccional calculamos o recíproco 93/43, aproximadamente 2.1628. Usamos a parte enteira, 2, e obtemos unha segunda aproximación 4 + 1/2 = 4.5. Agora imos repetindo o proceso coas partes fraccionais que van aparecendo, 93/43 = 2 + 7/43. Collemos o recíproco da parte fraccional 43/7 aproximadamente 6.1429. Usamos 6 para formar unha nova approximación de 93/43 = 4 + 1/2 + 1/6 = 4 + 6/13. E continuamos con 43/7 = 6 + 1/7. Aquí chegamos ao final do proceso pois, 1/7, é unha fracción unitaria, así logo conseguimos unha expresión exacta, algo enrevesada mais útil en certos casos, de fraccións continuas, 4 + 1/2 + 1/6 + 1/7 = 415/93.

E pode representarse de forma abreviada 415/93 = [4; 2, 6, 7].

Se o número inicial é racional, entón este proceso é coincidente co algoritmo de Euclides aplicado ao numerador e denominador do número. En particular, debe terminar e producir unha representación finita de fracción continua do número. Se o número inicial é irracional, o proceso continúa indefinidamente. Exemplos de representacións en fracción continua de números irracionais son:

* √19 = [4;2,1,3,1,2,8,2,1,3,1,2,8,...] (secuencia A010124 na OEIS). Coeficientes repetidos con período 6.
* *e* = [2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,...] (secuencia A003417 na OEIS). Tamén con un patrón que agrega 2 cada tres termos.
* π = [3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,...] (secuencia A001203 na OEIS). Non se deu atopado patrón.
* {\displaystyle \varphi }  = [1;1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,...] (secuencia A000012 na OEIS). A razón aurea, sería o número irracional máis distanciado dun número racional.
* γ = [0;1,1,2,1,2,1,4,3,13,5,1,...] (secuencia A002852 na OEIS). A constante de Euler–Mascheroni, que se pensa que é irracional e tampouco non ten un patrón recoñecible.

As fraccións continuas teñen varias propiedades desexables:

* A representación en fracción continua para un número real é finita se e só se é un número racional. Pola contra, a representación decimal dun número racional pode ser infinita. Cada número racional ten unha representación de fracción continua simple esencialmente única. Cada racional pode representarse exactamente de dúas maneiras, xa que {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},...a\_{n-1},a\_{n}]} = {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},...a\_{n-1},a\_{n-1},1]}. Normalmente escóllese a primeira, máis curta, como representación canónica. A representación da fracción continua regular dun número irracional é única. Os números reais cuxa fracción continua se repite son precisamente os irracionais cuadráticos. Por exemplo, a fracción continua que se repite [1;2,2,2,...] é a raíz cadrada de 2. As raíces cadradas de todos os números enteiros (positivos) que non son cadrados perfectos son irracionais cadráticos e, por tanto, fraccións continuas periódicas únicas. As aproximacións sucesivas xeradas ao atopar a representación da fracción continua dun número, é dicir, ao truncar a representación en fracción continua, son en certo sentido (descrito máis adiante) as "mellores posibles" e se chaman converxentes.

Cálculo de expansións en fracción continua
------------------------------------------

Hai varias maneiras de calcular a fracción continua correspondente a un número real, imos ver con dous exemplos a que usa o algoritmo de Euclides e a que usa os inversos.

Algoritmo de Euclides para {\displaystyle {\dfrac {73}{20}}}, a fracción continua son os cocientes,

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 73 | 20 | 3 | 13 |
| 20 | 13 | 1 | 7 |
| 13 | 7 | 1 | 6 |
| 7 | 6 | 1 | 1 |
| 6 | 1 | 6 | 0 |

{\displaystyle {\dfrac {73}{20}}=[3,1,1,1,6]}.

Usando os inversos para {\displaystyle e=2.7182818284\ldots }

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| coeficiente {\displaystyle a\_{n}=\lfloor x\_{n-1}\rfloor } | resta {\displaystyle r\_{n}=x\_{n-1}-a\_{n}} | inverso {\displaystyle x\_{n}={\frac {1}{r\_{n}}}} |
|  |  | {\displaystyle x\_{-1}=2.7182818} |
| 2 | 0.7182818 | 1.3922111 |
| 1 | 0.3922111 | 2.5496467 |
| 2 | 0.5496467 | 1.8193502 |
| 1 | 0.8193502 | 1.2204792 |
| 1 | 0.2204792 | 4.5355734 |
| 4 | 0.5355734 | 1.8671574 |
| 1 | ... | ... |

{\displaystyle e=[2,1,2,1,1,4,1,\ldots ]}.

Notacións
---------

Os enteiros {\displaystyle a\_{0}}, {\displaystyle a\_{1}} etc. chámanse *coeficientes* ou *termos* da fracción continua.  Como a representación

{\displaystyle x=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+{\cfrac {1}{a\_{4}}}}}}}}}}
ocupa moito espazo temos outras representacións, como por exemplo

{\displaystyle x=a\_{0}+{1 \over a\_{1}+}\,{1 \over a\_{2}+}\,{1 \over a\_{3}+}\,{1 \over a\_{4}}}
Por exemplo,

{\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}={\frac {a\_{n}p\_{n-1}+p\_{n-2}}{a\_{n}q\_{n-1}+q\_{n-2}}},}
Con {\displaystyle p\_{-1}=1,p\_{0}=a\_{0}eq\_{-1}=0,p\_{0}=1}.

{\displaystyle x=a\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a\_{i}}},}
Ou nos casos de numerador sempre 1 temos unha notación moi cómoda como unha lista

{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}].}
Carl Friedrich Gauss utilizou unha notación que lembra a notación de suma, {\displaystyle x=a\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {4}{\mathrm {K} }}}~{\frac {1}{a\_{i}}},}

{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}].}
{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}].}
{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]} e {\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]} .

Se

{\displaystyle x=\left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{k-1},a\_{k},a\_{k+1}\dots \right]}
{\displaystyle x=\left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{k-1},b\_{k},b\_{k+1}\dots \right]}

Recíprocos
----------

Conseguimos o recíproco simplemente agregando un cero pola esquerda

{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}]} e {\displaystyle {\frac {1}{x}}=[0;a\_{0},a\_{1},\ldots ,a\_{n}]}.

Por exemplo, os converxentes para [0;1,5,2,2] son

{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4]} e {\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4]} .

Fraccións continuas infinitas e converxentes
--------------------------------------------

Unha expansión en fracción continua infinita para un número irracional é útil porque os sucesivos truncamentos iniciais proporcionan aproximacións racionais ao número. Estes números racionais {\displaystyle {\frac {p\_{i}}{q\_{i}}}} chámanse **converxentes** da fracción continua.   Os converxentes pares son máis pequenos que o número orixinal, mentres que os impares son maiores.

{\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}-{\frac {p\_{n-1}}{q\_{n-1}}}={\frac {\ p\_{n}\ q\_{n-1}-q\_{n}\ p\_{n-1}\ }{\ q\_{n}\ q\_{n-1}\ }}={\frac {(-1)^{n+1}}{\ q\_{n}\ q\_{n-1}\ }}~.}
Cada converxente pódese expresar explicitamente en termos da fracción continua como a razón de certos polinomios multivariados chamados *continuantes*.

Para a fracción continua {\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}]}, os converxentes veñen dados pola fórmula recorrente

{\displaystyle p\_{i}=a\_{i}p\_{i-1}+p\_{i-2}{\text{ con }}p\_{-1}=1,p\_{0}=a\_{0}}.

{\displaystyle q\_{i}=a\_{i}q\_{i-1}+q\_{i-2}{\text{ con }}q\_{-1}=0,p\_{0}=1}.

Por exemplo, os converxentes para a constante de Euler–Mascheroni, (secuencia A002852 na OEIS), {\displaystyle \gamma =[0,1,1,2,1,2,1,4,3,13,\ldots ]=0.577215664901532\ldots }, 

Converxentes| ai |  | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 4 | 3 | 13 | {\displaystyle \ldots } |
| pi | 1 | 0 | 1 | 1 | 3 | 4 | 11 | 15 | 71 | 228 | 3035 | {\displaystyle \ldots } |
| qi | 0 | 1 | 1 | 2 | 5 | 7 | 19 | 26 | 123 | 395 | 5258 | {\displaystyle \ldots } |

e comprobamos que o noveno converxente {\displaystyle {\frac {3035}{5258}}=0,57721567\ldots }

Os converxentes mostran a súa verdadeira utilidade na aproximación dos números irracionais. Máis adiante podemos velo nas expansións de {\displaystyle \pi }.

### Propiedades alxébricas

Un espazo de Baire é un espazo topolóxico sobre secuencias infinitas de números naturais. A fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo do espazo de Baire ao espazo dos números reais irracionais (coa topoloxía subespacial herdada da topoloxía habitual dos reais). A fracción continua infinita tamén proporciona un mapa entre os irracionais cadráticos e os racionais diádicos, e doutros irracionais ao conxunto de cadeas infinitas de números binarios (é dicir, o conxunto de Cantor); este mapa chámase función de signo de interrogación de Minkowski. O mapeo ten propiedades fractais autosimilares interesantes; estas veñen dadas polo grupo modular, que é o subgrupo de transformacións de Möbius que teñen valores enteiros na transformada. En liñas xerais, os converxentes da fracción continua pódense considerar transformacións de Möbius que actúan no semiplano superior (hiperbólico); isto é o que leva á autosimetría fractal.

A distribución de probabilidade límite dos coeficientes na expansión continua de fraccións dunha variable aleatoria uniformemente distribuída en (0, 1) é a distribución de Gauss-Kuzmin. 

A media aritmética dunha fracción continua dun número irracional é unha constante, Constante de Khinchin.

### Algúns teoremas útiles

> **Teorema 1.** Para todo número real positivo {\displaystyle \ x\ }
> 
> 
> {\displaystyle \left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{n-1},x\ \right]={\frac {x\ p\_{n-1}+p\_{n-2}}{\ x\ q\_{n-1}+q\_{n-2}\ }},\quad \left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{n-1}+x\ \right]={\frac {p\_{n-1}+xp\_{n-2}}{\ q\_{n-1}+xq\_{n-2}\ }}}
> 

> **Teorema 2.** Os converxentes de {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},\ldots \ ]} veñen dados polos sucesivos truncamentos da fracción continua 
> 
> 
> {\displaystyle \left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{n}\ \right]={\frac {p\_{n}}{\ q\_{n}\ }}},
> ou en forma de matriz, 
> {\displaystyle {\begin{bmatrix}p\_{n}&p\_{n-1}\\q\_{n}&q\_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a\_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}
> 
> 
> 

> **Teorema 3.** Se o {\displaystyle \ n}-ésimo converxente da fracción continua é {\displaystyle \ {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}\ ,} daquela
> 
> 
> {\displaystyle q\_{n}\ p\_{n-1}-q\_{n-1}\ p\_{n}=(-1)^{n}\ ,}
> ou equivalentemente
> 
> 
> {\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}-{\frac {p\_{n-1}}{q\_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n+1}}{q\_{n-1}q\_{n}}}~.}
> 

**Corolario 1:** Cada converxente está nos seus termos máis baixos.

**Corolario 2:** a diferenza entre converxentes sucesivos é unha fracción cuxo numerador é a unidade.

**Corolario 3:** a fracción continua pode expresarse como unha serie alterna:

{\displaystyle a\_{0}+\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{q\_{n}q\_{n+1}}}~.}
**Corolario 4:** A matriz
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p\_{n}&p\_{n-1}\\q\_{n}&q\_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{0}&1\\1&0\end{bmatrix}}\cdots {\begin{bmatrix}a\_{n}&1\\1&0\end{bmatrix}}}

  

ten determinante {\displaystyle (-1)^{n+1}}, e, polo tanto, pertence ao grupo de matrices unimodulares de {\displaystyle \ 2\times 2\ }, {\displaystyle \ \mathrm {GL} (2,\mathbb {Z} ).}

**Corolario 5:** A matriz
{\displaystyle {\begin{bmatrix}p\_{n}&p\_{n-2}\\q\_{n}&q\_{n-2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p\_{n}&p\_{n-1}\\q\_{n}&q\_{n-1}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}a\_{n}&0\\1&1\end{bmatrix}}} ten determinante {\displaystyle (-1)^{n}a\_{n}}, ou equivalentemente,



p

n

q

n

−

p

n
−
2

q

n
−
2

=

(
−
1

)

n


q

n
−
2

q

n



a

n

{\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}-{\frac {p\_{n-2}}{q\_{n-2}}}={\frac {(-1)^{n}}{q\_{n-2}q\_{n}}}a\_{n}}

{\displaystyle {\frac {p_{n}}{q_{n}}}-{\frac {p_{n-2}}{q_{n-2}}}={\frac {(-1)^{n}}{q_{n-2}q_{n}}}a_{n}}
o que significa que os termos impares diminúen monótonamente, mentres que os termos pares aumentan monótonamente.

**Corolario 6:** A secuencia de denominadores {\displaystyle q\_{0},q\_{1},q\_{2},\dots } satisfai a relación de recorrencia {\displaystyle q\_{-1}=0,q\_{0}=1,q\_{n}=q\_{n-1}a\_{n}+q\_{n-2}}, e medra polo menos tan rápido como a secuencia de Fibonacci, que medra como {\displaystyle O(\varphi ^{n})} onde {\displaystyle \varphi =1.618\dots } é a proporción áurea.

> **Teorema 4.** Cada converxente está máis próximo do seguinte converxente que calquera converxente precedente.
> 
> 

> **Teorema 5.**
> 
> 
> {\displaystyle {\frac {1}{\ q\_{n}\ (q\_{n+1}+q\_{n})\ }}<\left|\ x-{\frac {p\_{n}}{\ q\_{n}\ }}\ \right|<{\frac {1}{\ q\_{n}\ q\_{n+1}\ }}~.}
> 

**Corolario 1:** un converxente está máis preto do límite da fracción continua que calquera fracción cuxo denominador sexa menor que o do converxente.

**Corolario 2:** un converxente obtido terminando a fracción continua xusto antes dun coeficiente grande é unha aproximación moi preto ao límite da fracción continua.

> **Teorema 6:** Considere o conxunto de todos os intervalos abertos con puntos finais {\displaystyle [0;a\_{1},\dots ,a\_{n}],[0;a\_{1},\dots ,a\_{n}+1]}. Denotámolo como {\displaystyle {\mathcal {C}}}. Calquera subconxunto aberto de {\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} } é unha unión disxunta de conxuntos de {\displaystyle {\mathcal {C}}}.
> 
> 

**Corolario 1:** a fracción continua infinita proporciona un homeomorfismo desde o espazo de Baire ata {\displaystyle [0,1]\setminus \mathbb {Q} }.

Semiconverxentes
----------------

Se 
{\displaystyle {\frac {p\_{n-1}}{q\_{n-1}}},{\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}} son converxentes consecutivos

daquela calquera fracción da forma
{\displaystyle {\frac {p\_{n-1}+mp\_{n}}{q\_{n-1}+mq\_{n}}},} onde {\displaystyle m} é un número enteiro tal que {\displaystyle 0\leq m\leq a\_{n+1}}, chámanse *semiconverxentes*, *converxentes secundarios* ou *fraccións intermedias*. 

### Mellor racional dentro dun intervalo

Un racional que cae dentro do intervalo (x, y), para 0 < x < y, pode atoparse coas fraccións continuas de x e y. Se ambos os dous son irracionais e

*x* = [*a*0; *a*1, *a*2, ... *a**k* − 1, *a**k*, *a**k* + 1, ...]
*y* = [*a*0; *a*1, *a*2, ... *a**k* − 1, *b**k*, *b**k* + 1, ...]
onde x e y teñen expansións idénticas até *a**k*−1,entón un racional que cae dentro do intervalo (x, y) vén dado pola fracción continua finita,
{\displaystyle z(x,y)=\left[\ a\_{0};\ a\_{1},\ \dots ,a\_{k-1},min(a\_{k},b\_{k})+1\right]}.

Este racional será mellor no sentido de que ningún outro racional en (x, y) terá un numerador ou un denominador menor.

Se x é racional, terá *dúas* representacións de fracción continua que son *finitas*, *x*1 e *x*2, e do mesmo xeito un racional y terá dúas representacións, *y*1 e *y*2. Os coeficientes máis aló do último en calquera destas representacións deberían interpretarse como +∞; e o mellor racional será un de entre *z*(*x*1, *y*1), *z*(*x*1, *y*2), *z*(*x*2, *y*1) ou *z*(*x*2, *y*2) .

Por exemplo, a representación decimal 3.1416 pódese redondear a partir de calquera número do intervalo [3.14155, 3.14165). As expansións de 3.14155 e 3.14165 son

3.14155 = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 1, 1] = [3; 7, 15, 2, 7, 1, 4, 2]
3.14165 = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 3, 1] = [3; 7, 16, 1, 3, 4, 2, 4]
e o mellor racional entre estes dous é
355/113, corresponde ao número decimal aproximado a 3.1416, que é o mellor no sentido de que ningún outro número racional que se redondea a 3.1416 terá un numerador ou un denominador menor.

### Teorema de Legendre sobre as fraccións continuas

No seu *Essai sur la théorie des nombres* (1798), Adrien-Marie Legendre deriva unha condición necesaria e suficiente para que un número racional sexa un converxente da fracción continua dun número real dado.  Unha consecuencia deste criterio, a miúdo chamado **teorema de Legendre** dentro do estudo das fraccións continuas, é a seguinte: 

**Teorema**. Se {\displaystyle \alpha } é un número real e p, q son enteiros positivos tales que {\displaystyle \left|\alpha -{\frac {p}{q}}\right|<{\frac {1}{2q^{2}}}}, entón {\displaystyle {\frac {p}{q}}} é un converxente da fracción continua de {\displaystyle \alpha }.

Comparación
-----------

Considere *x* = [*a*0; *a*1, ...] e *y* = [*b*0; *b*1, ...]. Se k é o índice máis pequeno para o cal *a**k* é desigual a *b**k*, entón *x* < *y* se (−1)*k*(*a**k* − *b**k*) < 0 e *y* < *x* en caso contrario.

Se non existe tal k, pero unha expansión é máis curta que a outra, digamos *x* = [*a*0; *a*1, ... *a**n*] e *y* = [*b*0; *b*1, ... *b**n*, *b**n* + 1, ...] con *a**i* = *b**i* para 0 ≤ *i* ≤ *n*, entón *x* < *y* se n é par e *y* < *x* se n é impar.

Expansión en fracción continua de {\displaystyle \pi } e os seus converxentes
-----------------------------------------------------------------------------

Para calcular os converxentes de π podemos establecer *a*0 = ⌊{\displaystyle \pi }⌋ = 3, definir *u*1 = 1/{\displaystyle \pi } − 3 ≈ 7.0625

[3;7,15,1,292,1,1,...] (secuencia A001203 na OEIS) .
O cuarto converxente de {\displaystyle \pi } é [3;7,15,1] =355/113 ... , ás veces chamado Milü, que está bastante preto do verdadeiro valor de {\displaystyle \pi }.

Fracción continua xeneralizada
------------------------------

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

{\displaystyle x=b\_{0}+{\cfrac {a\_{1}}{b\_{1}+{\cfrac {a\_{2}}{b\_{2}+{\cfrac {a\_{3}}{b\_{3}+{\cfrac {a\_{4}}{b\_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}
onde *a**n* (*n* > 0) son os numeradores parciais, os *b**n* os denominadores parciais e o termo principal *b*0 chámase parte *enteira* da fracción continua.

Para ilustrar o uso de fraccións continuas xeneralizadas, considere o seguinte exemplo. A secuencia de denominadores parciais da fracción continua simple de π non mostra ningún patrón obvio:

{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,\ldots ]}

  

No entanto, varias fraccións continuas xeneralizadas para π teñen unha estrutura perfectamente regular, como:

{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+{\cfrac {7^{2}}{2+{\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}=3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}}
{\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{1/2+{\cfrac {1}{1/3+{\cfrac {1}{1/4+\ddots }}}}}}}}=2+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1\cdot 2}{1+{\cfrac {2\cdot 3}{1+{\cfrac {3\cdot 4}{1+\ddots }}}}}}}}}
{\displaystyle \displaystyle \pi =2+{\cfrac {4}{3+{\cfrac {1\cdot 3}{4+{\cfrac {3\cdot 5}{4+{\cfrac {5\cdot 7}{4+\ddots }}}}}}}}}
Os dous primeiros son casos especiais da función arctanxente con π = 4 arctan(1) e o terceiro pódese derivar usando o produto de Wallis.  

{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1^{3}+2^{3}}{6\cdot 1^{2}+1^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}}{6\cdot 2^{2}+2^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}}{6\cdot 3^{2}+3^{2}{\cfrac {1^{3}+2^{3}+3^{3}+4^{3}+5^{3}+6^{3}+7^{3}+8^{3}}{6\cdot 4^{2}+\ddots }}}}}}}}}}}
A fracción continuada de {\displaystyle \pi } arriba usa a serie Nilakantha e unha idea de Leonhard Euler.

Outras expansións de fraccións continuas
----------------------------------------

### Fraccións continuas periódicas

Os números con expansión periódica de fraccións continuas son precisamente as solucións irracionais de ecuacións cadráticas con coeficientes racionais. Os exemplos máis sinxelos son a razón áurea φ = [1;1,1,1,1,1,...] e √2 = [1;2,2,2,2,...], mentres que √14 = [3;1,2,1,6,1,2,1,6...] e √42 = [6;2,12,2,12,2,12...]. Todas as raíces cadradas irracionais de números enteiros teñen unha forma especial para o período; unha cadea simétrica, como a cadea baleira (para √2) ou (1,2,1) (para √14 ), seguida do dobre do enteiro principal.

### Propiedade da proporción áurea φ

Debido a que a expansión en fracción continua para φ = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}non usa ningún número enteiro maior que 1, φ é o números máis distante a un número racional. O teorema de Hurwitz  afirma que calquera número irracional k pode ser aproximado por infinitos racionais*m*/*n* con

{\displaystyle \left|k-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}
Tamén se pode demostrar que cada número real da forma *a* + *b*φ/*c* + *d*φ, onde a, b, c e d son números enteiros tales que *a* *d* − *b* *c* = ±1, comparte esta propiedade coa proporción áurea φ; e que todos os demais números reais poden aproximarse mellor.

### Patróns regulares en fraccións continuas

Aínda que non hai un patrón discernible na expansión de fracción continua simple de π, hai un para *e*, a base do logaritmo natural :

{\displaystyle e=e^{1}=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,1,1,\dots ],}
que é un caso especial desta expresión xeral para o número enteiro positivo n:

{\displaystyle e^{1/n}=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,1,1,\dots ]\,\!.}
Outras fraccións continuadas deste tipo son

{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]}
onde n é un número enteiro positivo. 

Tamén, con n enteiro temos:

{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,1,9n-2,1,\dots ]\,\!,}
cun caso especial para *n* = 1 :

{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15,1,17,1,19,1,\dots ]\,\!.}
Se *I**n*(*x*) é a función de Bessel modificada, ou hiperbólica, do primeiro tipo, podemos definir unha función sobre os racionais *p*/*q* por

{\displaystyle S(p/q)={\frac {I\_{p/q}(2/q)}{I\_{1+p/q}(2/q)}},}
que se define para todos os números racionais, con p e q nos termos máis baixos. Daquela, para todos os racionais non negativos, temos

{\displaystyle S(p/q)=[p+q;p+2q,p+3q,p+4q,\dots ],}
en particular temos

{\displaystyle S(0)=S(0/1)=[1;2,3,4,5,6,7,\dots ].}
Moitas das fórmulas pódense probar usando a fracción continua de Gauss.

### Comportamento dos coeficientes

A maioría dos números irracionais non teñen ningún comportamento periódico ou regular na súa expansión continua de fraccións. Non obstante, para case todos os números do intervalo unitario, teñen o mesmo comportamento límite.

A media aritmética diverxe: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}=+\infty }, e así os coeficientes medran arbitrariamente: {\displaystyle \limsup \_{n}a\_{n}=+\infty }. En particular, isto implica que case todos os números son ben aproximables, no sentido de que



lim inf

n
→
∞

|

x
−

p

n

q

n


|

q

n

2

=
0

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }\left|x-{\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}\right|q\_{n}^{2}=0}

{\displaystyle \liminf _{n\to \infty }\left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|q_{n}^{2}=0}Khinchin demostrou que a media xeométrica de *a**i* tende a unha constante (coñecida como constante de Khinchin ):



lim

n
→
∞

(

a

1

a

2

.
.
.

a

n

)

1

/

n

=

K

0

=
2.6854520010
…

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left(a\_{1}a\_{2}...a\_{n}\right)^{1/n}=K\_{0}=2.6854520010\dots }

{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(a_{1}a_{2}...a_{n}\right)^{1/n}=K_{0}=2.6854520010\dots }Paul Lévy demostrou que a raíz n-ésima do denominador do n-ésimo converxente converxe á constante de Lévy.



lim

n
→
∞

q

n

1

/

n

=

e

π

2

/

(
12
ln
⁡
2
)

=
3.2758
…

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }q\_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }

{\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }q_{n}^{1/n}=e^{\pi ^{2}/(12\ln 2)}=3.2758\ldots }O teorema de Lochs afirma que os converxentes converxen exponencialmente a razón de



lim

n
→
∞

1
n

ln
⁡

|

x
−

p

n

q

n


|

=
−

π

2

6
ln
⁡
2


{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\ln \left|x-{\frac {p_{n}}{q_{n}}}\right|=-{\frac {\pi ^{2}}{6\ln 2}}}

Aplicacións
-----------

### Raíces cadradas

As fraccións continuas xeneralizadas utilízanse nun método para calcular raíces cadradas.

A identidade

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\frac {x-1}{1+{\sqrt {x}}}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

leva por recursividade á fracción continua xeneralizada para calquera raíz cadrada: 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\sqrt {x}}=1+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\cfrac {x-1}{2+{\ddots }}}}}}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

### Ecuación de Pell

As fraccións continuas xogan un papel esencial na solución da ecuación de Pell. Por exemplo, para os enteiros positivos p e q, e n non cadrado, é certo que se *p*2 − *nq*2 = ±1, entón p/q é un converxente da fracción continua regular para √n. O recíproco vale se o período da fracción continua regular para √n é 1 e, en xeral, o período describe que converxentes dan solución á ecuación de Pell.

### Sistemas dinámicos

As fraccións continuas tamén xogan un papel no estudo dos sistemas dinámicos, onde vinculan as fraccións de Farey que se ven no conxunto de Mandelbrot coa función de signo de interrogación de Minkowski e o grupo modular Gamma.

O operador de desprazamento cara atrás para fraccións continuas é o mapa *h*(*x*) = 1/x − ⌊1/x⌋ chamado **mapa de Gauss**, que corta os díxitos dunha expansión en fracción continua: *h*([0; *a*1, *a*2, *a*3, ...]) = [0; *a*2, *a*3, ...]. O operador de transferencia deste mapa chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. A distribución dos díxitos en fraccións continuas vén dada polo vector propio cero deste operador, e chámase distribución de Gauss–Kuzmin.

### Valores propios e vectores propios

O algoritmo de Lanczos usa unha expansión en fracción continua para aproximar de forma iterativa os eigenvalues e os eigenvectors cando temos unha matriz dispersa grande. 

### Aplicacións de rede

Tamén se utilizaron fraccións continuas para modelar problemas de optimización para a virtualización de redes sen fíos para atopar unha ruta entre unha fonte e un destino.

Exemplos de números racionais e irracionais
-------------------------------------------

| Number | *r* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|
| 123 | *ar* | 123 |
| *ra* | 123 |
|
| 12.3 | *ar* | 12 | 3 | 3 |
| *ra* | 12 | 37/3 | 123/10 |
|
| 1.23 | *ar* | 1 | 4 | 2 | 1 | 7 |
| *ra* | 1 | 5/4 | 11/9 | 16/13 | 123/100 |
|
| 0.123 | *ar* | 0 | 8 | 7 | 1 | 2 | 5 |
| *ra* | 0 | 1/8 | 7/57 | 8/65 | 23/187 | 123/1 000 |
|
| *Φ* = {\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} | *ar* | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| *ra* | 1 | 2 | 3/2 | 5/3 | 8/5 | 13/8 | 21/13 | 34/21 | 55/34 | 89/55 | 144/89 |
|
| -*Φ* = {\displaystyle -{\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}} | *ar* | -2 | 2 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| *ra* | -2 | -3/2 | -5/3 | -8/5 | -13/8 | -21/13 | -34/21 | -55/34 | -89/55 | -144/89 | -233/144 |
|
| {\displaystyle {\sqrt {2}}} | *ar* | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| *ra* | 1 | 3/2 | 7/5 | 17/12 | 41/29 | 99/70 | 239/169 | 577/408 | 1 393/985 | 3 363/2 378 | 8 119/5 741 |
|
| {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}} | *ar* | 0 | 1 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 | 2 |
| *ra* | 0 | 1 | 2/3 | 5/7 | 12/17 | 29/41 | 70/99 | 169/239 | 408/577 | 985/1 393 | 2 378/3 363 |
|
| {\displaystyle {\sqrt {3}}} | *ar* | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 |
| *ra* | 1 | 2 | 5/3 | 7/4 | 19/11 | 26/15 | 71/41 | 97/56 | 265/153 | 362/209 | 989/571 |
|
| {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {3}}}} | *ar* | 0 | 1 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 | 2 | 1 |
| *ra* | 0 | 1 | 1/2 | 3/5 | 4/7 | 11/19 | 15/26 | 41/71 | 56/97 | 153/265 | 209/362 |
|
| {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} | *ar* | 0 | 1 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 | 2 | 6 |
| *ra* | 0 | 1 | 6/7 | 13/15 | 84/97 | 181/209 | 1 170/1 351 | 2 521/2 911 | 16 296/18 817 | 35 113/40 545 | 226 974/262 087 |
|
| {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} | *ar* | 1 | 3 | 1 | 5 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 8 | 1 |
| *ra* | 1 | 4/3 | 5/4 | 29/23 | 34/27 | 63/50 | 286/227 | 349/277 | 635/504 | 5 429/4 309 | 6 064/4 813 |
|
| *e* | *ar* | 2 | 1 | 2 | 1 | 1 | 4 | 1 | 1 | 6 | 1 | 1 |
| *ra* | 2 | 3 | 8/3 | 11/4 | 19/7 | 87/32 | 106/39 | 193/71 | 1 264/465 | 1 457/536 | 2 721/1 001 |
|
| *π* | *ar* | 3 | 7 | 15 | 1 | 292 | 1 | 1 | 1 | 2 | 1 | 3 |
| *ra* | 3 | 22/7 | 333/106 | 355/113 | 103 993/33 102 | 104 348/33 215 | 208 341/66 317 | 312 689/99 532 | 833 719/265 381 | 1 146 408/364 913 | 4 272 943/1 360 120 |
| Number | *r* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

**ra** : é o converxente correspndente a *ar*

Historia
--------

* 300 a. C. *Os Elementos de Euclides* contén un algoritmo para o máximo común divisor, cuxa versión moderna xera unha fracción continua como a secuencia de cocientes de aplicar o algoritmo de Euclides.
* 499 O *Aryabhatiya* contén a solución de ecuacións indeterminadas utilizando fraccións continuas
* 1572 Rafael Bombelli, *L'Algebra Opera* - método para a extracción de raíces cadradas que está relacionado con fraccións continuas
* 1613 Pietro Cataldi, *Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri* - primeira notación para fraccións continuas
* 1695 John Wallis, *Opera Mathematica* - introdución do termo "fracción continua"
* 1737 Leonhard Euler, *De fractionibus continuis dissertatio* – Proporcionou o primeiro relato completo das propiedades das fraccións continuas e incluíu a primeira proba de que o número e é irracional.
* 1748 Euler, *Introdución á análise infinita*. Vol. I, Capítulo 18: demostrou a equivalencia dunha determinada forma de fracción continua e dunha serie infinita xeneralizada, demostrou que todo número racional pode escribirse como unha fracción continua finita e demostrou que a fracción continua dun número irracional é infinita.
* 1761 Johann Lambert – deu a primeira proba da irracionalidade de π usando unha fracción continua para tan(x) .
* 1768 Joseph-Louis Lagrange : proporcionou a solución xeral da ecuación de Pell usando fraccións continuas similares ás de Bombelli.
* 1770 Lagrange – demostrou que os irracionais cadráticos expanden en fraccións continuas periódicas.
* 1813 Carl Friedrich Gauss, *Werke*, vol. 3, pp. 134–138: obtivo unha fracción continua de valores complexos moi xeral mediante unha identidade que implica a función hiperxeométrica
* 1892 Henri Padé define Padé aproximante
* 1972 Bill Gosper - Primeiros algoritmos exactos para a aritmética de fraccións continuas.

Notas
-----

1. ↑  Encyclopaedia Britannica 2013.
2. 1 2  Pettofrezzo & Byrkit 1970, p. 150.
3. ↑  Long 1972, p. 177.
4. ↑  Pettofrezzo & Byrkit 1970.
5. ↑  *Essai sur la théorie des nombres* (en francés). pp. 27–29.
6. ↑  "teorema de Legendre" **6**: 81–94. JSTOR 26273940. doi:10.5802/jtnb.106.
7. ↑  Bunder & Tonien 2017.
8. ↑  Scheinerman, Pickett & Coleman 2008.
9. ↑  Foster 2015.
10. ↑  Hardy & Wright 2008.
11. ↑  Thurston 2012.
12. ↑  Martin 2004, p. 557.
13. ↑  Afifi, Auroux & Karl 2018.
14. ↑  Sandifer 2006.
15. ↑  Euler 1748.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Afifi, Haitham; Auroux, Sébastien; Karl, Holger (April 2018). "MARVELO: Wireless virtual network embedding for overlay graphs with loops". *2018 IEEE Wireless Communications and Networking Conference (WCNC)*. IEEE. pp. 1–6. ISBN 978-1-5386-1734-2. arXiv:1712.06676. doi:10.1109/WCNC.2018.8377194.
* Bunder, Martin W.; Tonien, Joseph (2017). "Closed form expressions for two harmonic continued fractions". *The Mathematical Gazette* **101** (552). pp. 439–448. doi:10.1017/mag.2017.125.
* Chen, Chen-Fan; Shieh, Leang-San (1969). "Continued fraction inversion by Routh's Algorithm". *IEEE Trans. Circuit Theory* **16** (2). pp. 197–202. doi:10.1109/TCT.1969.1082925.
* Collins, Darren C. (2001). "Continued Fractions" (PDF). *MIT Undergraduate Journal of Mathematics*. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2001-11-20.
* Cuyt, A.; Brevik Petersen, V.; Verdonk, B.; Waadeland, H.; Jones, W. B. (2008). *Handbook of Continued fractions for Special functions*. Springer Verlag. ISBN 978-1-4020-6948-2.

* Encyclopædia Britannica (2013). "Continued fraction – mathematics". Consultado o 26 April 2022.
* Euler, Leonhard (1748). "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". The Euler Archive. Consultado o 26 April 2022.
* Foster, Tony (22 June 2015). "Theorem of the Day: Theorem no. 203" (PDF). Robin Whitty. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2013-12-11. Consultado o 26 April 2022.
* Gragg, William B. (1974). "Matrix interpretations and applications of the continued fraction algorithm". *Rocky Mountain J. Math.* **4** (2). p. 213. doi:10.1216/RMJ-1974-4-2-213.
* Hardy, Godfrey H.; Wright, Edward M. (1979). *An Introduction to the Theory of Numbers* (6 ed.). Oxford University Press. ISBN 9780199219865.
* Heilermann, J. B. H. (1846). "Ueber die Verwandlung von Reihen in Kettenbrüche". *Journal für die reine und angewandte Mathematik* **33**. pp. 174–188.
* Jones, William B.; Thron, W. J. (1980). *Continued Fractions: Analytic Theory and Applications. Encyclopedia of Mathematics and its Applications.* **11**. Reading. Massachusetts: Addison-Wesley Publishing Company. ISBN 0-201-13510-8.
* Khinchin, A. Ya. (1964) [Originally published in Russian, 1935]. *Continued Fractions*. University of Chicago Press. ISBN 0-486-69630-8.
* Khrushchev, Sergey. *Orthogonal Polynomials and Continued Fractions*.
* Long, Calvin T. (December 1972). *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. ISBN 9780669627039.
* Magnus, Arne (1962). "Continued fractions associated with the Padé Table". *Math. Z.* **78**. pp. 361–374. doi:10.1007/BF01195180.
* Martin, Richard M. (December 2004). *Electronic Structure: Basic Theory and Practical Methods*. Cambridge University Press. ISBN 9780511805769. doi:10.1017/CBO9780511805769.
* Niven, Ivan; Zuckerman, Herbert S.; Montgomery, Hugh L. (1991). *An introduction to the theory of numbers* (Fifth ed.). New York: Wiley. ISBN 0-471-62546-9.
* Perron, Oskar (1950). *Die Lehre von den Kettenbrüchen*. New York, NY: Chelsea Publishing Company.
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (December 1970). *Elements of Number Theory*. Englewood Cliffs: Prentice Hall. ISBN 9780132683005.
* Rieger, Georg Johann (1982). "A new approach to the real numbers (motivated by continued fractions)" (PDF). *Abhandlungen der Braunschweigischen Wissenschaftlichen Gesellschaft* **33**. pp. 205–217. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2020-12-10.
* Rockett, Andrew M.; Szüsz, Peter (1992). *Continued Fractions*. World Scientific Press. ISBN 981-02-1047-7.
* Sandifer, C. Edward (2006). "Chapter 32: Who proved *e* is irrational?". *How Euler Did It* (PDF). Mathematical Association of America. pp. 185–190. ISBN 978-0-88385-563-8. LCCN 2007927658. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 2014-03-19.
* Scheinerman, Ed; Pickett, Thomas J.; Coleman, Ann (2008). "Another Continued Fraction for π". *The American Mathematical Monthly* **115** (10). pp. 930–933. JSTOR 27642639. doi:10.1080/00029890.2008.11920610.
* Shoemake, Ken (1995). "I.4: Rational Approximation". En Paeth, Alan W. *Graphics Gems V (IBM Version)*. San Diego, California: Academic Press. pp. 25–31. ISBN 0-12-543455-3.
* Siebeck, H. (1846). "Ueber periodische Kettenbrüche". *Journal für die reine und angewandte Mathematik* **33**. pp. 68–70.
* Thill, M. (2008). "A more precise rounding algorithm for rational numbers". *Computing* **82** (2–3). pp. 189–198. doi:10.1007/s00607-008-0006-7.
* Thurston, Ben (2012). "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root". The Ben Paul Thurston Blog. Consultado o 26 April 2022.
* Wall, Hubert Stanley (1948). *Analytic Theory of Continued Fractions*. D. Van Nostrand Company, Inc. ISBN 0-8284-0207-8.
* Weisstein, Eric Wolfgang (2022). MathWorld, ed. "Periodic Continued Fraction". Consultado o 26 April 2022.

### Outros artigos

* Fracción exipcia

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q206816
* BRE: 2261733
* EBID: ID
* GEC: 0184725
* LCCN: sh85051149
* MAG: 20080352
* NDL: 00569391
* NKC: ph441076

 |