A cuadratura círculo: As áreas deste cadrado e este círculo son iguais. En 1882, demostrouse que esta figura non se podía construír nun número finito de pasos con regra e compás. 
A **cuadratura do círculo** é un problema xeométrico proposto polos matemáticos da Grecia clásica. Consiste en facer a construción con regra e compás dun cadrado coa mesma área que un círculo dado usando só un número finito de pasos. 

En 1882 demostrouse que o problema era irresoluble, como consecuencia do teorema de Lindemann-Weierstrass que demostra que pi (π) é un número transcendente, no canto de ser un número alxébrico. É dicir, pi (π) non é a raíz de ningún polinomio con coeficientes racionais. Unhas décadas antes de 1882 demostrouse que se π é un número transcendente, sería imposible a construción con regra e compás. Non foi ata este ano que se demostrou que π transcendente. Polo tanto, non se poden facer construcións xeométricas exactas da cuadratura do círculo. Por outra banda, é posible deseñar unha boa aproximación nun número finito de pasos, como consecuencia de que hai números racionais tan preto de π como queiramos. 

Dun xeito máis abstracto este problema tamén se pode entender do seguinte xeito. Dados certos axiomas da xeometría euclidiana respecto da existencia de liñas e círculos, determinan estes axiomas a existencia deste cadrado? 

 Algunhas aproximacións parciais deron durante moito tempo falsas esperanzas sobre a resolubilidade do problema. Neste debuxo a área da figura sombreada é igual á área do triángulo ABC (atopada por Hipócrates de Quíos ). 
O termo *cuadratura* do círculo ás veces úsase para referirse á aproximación por métodos numéricos da área dun círculo.

Historia
--------

 Oronce Finé, *Quadratura* circuli, 1544 
 JP de Faurè, *Dissertation, découverte, et demonstrations de la quadrature mathematique du cercle*, 1747 
Os matemáticos babilonios xa coñecían diferentes métodos para aproximar a área dun círculo cun cadrado. O papiro exipcio Rhind de 1800 a.C. establece a área dun círculo como (64/81)   *d* 2, onde *d* é o diámetro do círculo, e π é aproximadamente 256/81, un número que aparece no antigo papiro matemático de Moscova e usa aproximacións por volume (é dicir, hekat). Os matemáticos indios tamén atoparon un método aproximado, aínda que menos preciso, documentado no *Sulba Sutra*. Arquímedes demostrou que o valor de π está entre 3 + 1/7 (aproximadamente 3.1429) e 3 + 10/71 (aproximadamente 3.1408). 

Anaxágoras foi o primeiro grego en asociarse co problema, que traballou na prisión. Hipócrates de Quios cuadrou algunhas lúas, esperando que isto o levase a unha solución. Antifonte, o sofista, considera que inscribir polígonos regulares dentro dun círculo e duplicar o número de pezas encherá a área do círculo e, dado que un polígono pode ser cadrado, significa que o círculo pode ser cadrado. Con todo houbo escépticos; por exemplo, Eudemo (escritor dunha obra de astronomía) postulou que as magnitudes non se poden dividir indefinidamente, polo que a área do círculo nunca se alcanzará. O problema é mencionado incluso na obra de teatro de Aristofanes *As aves*. 

Crese que Oenopides foi o primeiro grego en esixir unha solución usando só unha regra e un compás. James Gregory intentou demostrar a súa imposibilidade na *Vera Circuli et Hyperbolae Quadratura* (a verdadeira cuadratura do círculo e a hipérbola) en 1667. Aínda que a súa proba é incorrecta, foi o primeiro documento que intentou resolver o problema empregando as propiedades alxébricas de π. Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou rigorosamente a súa imposibilidade.

Imposibilidade
--------------

Unha extensión cuadrática dun conxunto *A* de números son os números que se poden obter coas operacións da extracción de raíces cadradas dos números de *A* e as operacións de suma, resta, multiplicación e división aplicadas a pares de números que, ou son de *A*, ou raíces cadradas de números de *A.*

O conxunto de números que se poden construír con regra e compás (os números construíbles ) son os números que se poden obter como un número finito de extensións cuadráticas dos racionais. 

Unha xeneralización do conxunto de números construíbles son os números definidos por radicais, a definición é a mesma que antes, pero non só se permiten raíces cadradas senón que son raíces de calquera índice racional (de feito coas raíces con índices de números primos chegaría). 

O conxunto de números construíbles é un subconxunto propio de números definidos por radicais, é dicir, hai números definidos por radicais que non son construíbles, como {\displaystyle {\sqrt {3}}}, pero todos os números construíbles están definidos por radicais. 

Os números reais que son raíces de polinomios con coeficientes racionais chámanse números alxébricos. O teorema de Abel-Ruffini demostra que hai números alxébricos que non están definidos por radicais, pero todos os números definidos por radicais son alxébricos. 

Os números que non son alxébricos chámanse transcendentes. 

A solución do problema de cuadrar o círculo con regra e compás require a construción do número {\displaystyle {\sqrt {\pi }}}, e a imposibilidade desta construción dedúcese do feito de que π é un número transcendente ( non alxébrico e, polo tanto, non construíble ). Se o problema de cuadrar o círculo se resolvese usando só regra e compás chegariamos a un valor alxébrico de π, un absurdo. Johann Heinrich Lambert conxectura en 1768 que π é transcendente no mesmo documento que demostrou a súa irracionalidade. Non foi ata 1882 cando Ferdinand von Lindemann demostrou a súa transcendencia (como corolario do teorema de Lindemann-Weierstrass ). 

É posible construír un cadrado cunha área *arbitrariamente próxima* á dun círculo dado. Se se usa un número racional como aproximación a π, é posible obter o cadrado do círculo en función dos valores escollidos. No entanto, isto só é unha aproximación e non cumpre as limitacións das antigas normas para resolver o problema. Varios matemáticos demostraron procedementos factibles baseados nunha variedade de enfoques. 

Ao flexibilizar as normas permitindo un número infinito de operacións con regra e compás ou realizando operacións en determinados espazos non euclidianos, tamén é posible cuadrar o círculo. Por exemplo, aínda que o círculo non pode ser cadrado no espazo euclídiano, é posible facelo no espazo Gauss-Bolyai-Lobachevsky (espazo da xeometría hiperbólica). 

Nótese que a transcendencia de π implica tanto a incapacidade de "redondear" exactamente o cadrado como a imposibilidade de cuadrar exactamente o círculo.

Construcións aproximadas
------------------------

Aínda que a cuadratura do círculo é un problema imposible empregando só regra e compás, poden realizarse aproximacións á cuadratura mediante aproximacións a π. Só fai falta un mínimo de coñecemento da xeometría elemental para converter calquera aproximación racional de π nunha construción con regra e compás. A pesar disto, as construcións realizadas deste xeito adoitan ser moi longas en comparación coa precisión que se pode conseguir. 

Frei Martín Sarmiento achou dúas cuadraturas moi aproximadas. Para comprobarmos a súa precisión basta indicar que unha delas era equivalente a dar o número π con 6 cifras decimais exactas e a outra con 10. 

Despois de que se demostrou a irresolubilidade do problema, algúns matemáticos aplicaron o seu enxeño para atopar aproximacións *elegantes* á cuadratura do círculo. 

Entre as construcións aproximadas modernas, Ernest William Hobson en 1913 (ver o seu libro  ). Esta foi unha construción moi precisa que está baseada na construción do valor aproximado de 3.14164079 ... que ten unha precisión de 4 decimais. 

O matemático indio Srinivasa Ramanujan en 1913, CD Olds en 1963, Martin Gardner en 1966 e Benjamin Bold en 1982 deron construcións xeométricas de 

{\displaystyle {\tfrac {355}{113}}=3.1415929203539823008\dots }
que coincide en 6 decimais con π. 

 Construción aproximada de Kochański 
 Construción aproximada de Kochański 
Srinivasa Ramanujan en 1914 atopou unha construción de regra e compás que equivalía a tomar a seguinte aproximación de π 

{\displaystyle \left(9^{2}+{\frac {19^{2}}{22}}\right)^{1/4}={\sqrt[{4}]{\frac {2143}{22}}}=3.1415926525826461252\dots }
dando a notable aproximación de 8 díxitos decimais correctos de π. 

En 1991, Robert Dixon presentou construcións para 

{\displaystyle {\frac {6}{5}}(1+\varphi )} e {\displaystyle {\sqrt {{40 \over 3}-2{\sqrt {3}}\ }}}
(Aproximación de Kochański), pero estas foron boas aproximacións ata o cuarto decimal de π.

O cuadratura ou integración
---------------------------

O problema de atopar a área baixo unha curva, coñecida como integración no cálculo ou cuadratura de análise numérica, coñécese como *cuadratura* antes da invención do cálculo. Antes de que apareza o cálculo infinitesimal, suponse que unha cuadratura debe facerse mediante construcións xeométricas, é dicir, con regra e compás. Por exemplo, Newton escribiulle a Oldenberg en 1676 "Creo que ao señor Leibniz non lle gustará o teorema ao comezo da miña páxina páxina 4 para *cuadrar xeométricamente liñas curvas* ". (énfase engadido)  Despois de que Newton e Leibniz inventasen o cálculo, aínda se fai referencia aos problemas de integración como cuadratura ou rectificación dunha curva.

A cuadratura do círculo como metáfora
-------------------------------------

A imposibilidade de resolver a cuadratura do círculo empregouse metaforicamente para describir a esperanza de resolver un problema que é ou semella imposible.

Ver tamén
---------

* Os outros dous problemas xeométricos clásicos foron a duplicación do cubo e a "trisección do ángulo ", descritos no artigo construcións con regra e compás. Ao contrario de **cadrar o círculo**, estes dous problemas pódense resolver empregando métodos de construción máis potentes como o origami, como se describe no artigo *Matemáticas de* Origami.
* Para atopar problemas relacionados máis modernos, visite o problema de cadrar o círculo de Tarski.
* A Indiana Pine Act, en 1897, intentou nunha lexislatura estatal de Indiana fortalecer a procura dunha solución ao problema por decreto.

Notas
-----

1. ↑  O'Connor, John J. and Robertson, Edmund F. (2000). *The Indian Sulbasutras* Arquivado 07 de abril de 2016 en Wayback Machine. MacTutor History of Mathematics archive, St Andrews University
2. ↑  Heath, Sir Thomas (1981). *History of Greek Mathematics* (en inglés). Mineola, NY: Courier Dover Publications. ISBN 978-0486240732.
3. ↑  Hobson, Ernest William (1913). *Squaring the Circle: A History of the Problem*, Cambridge University Press. Reprinted by Merchant Books in 2007.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Cuadratura do círculo Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Ligazóns externas

* *Cadrando o círculo* ao cortar o nó
* *O círculo cadrado* en MathWorld, inclúe información sobre procedementos baseados en varias aproximacións de π
* Cadrar o círculo en converxencia
* A cuadratura do círculo e as lunes de Hipócrates en converxencia
* *Como desenrolar un círculo* Pi preciso ata 8 decimais, empregando recta e compás.
* *Cadrado do círculo e outras imposibilidades* Arquivado 14 de maio de 2008 en Wayback Machine. conferencia de Robin Wilson, no colexio Gresham, o 16 de xaneiro de 2008 (dispoñible para a súa descarga en ficheiro de texto, son ou vídeo).
* *Cuadratura 1 de Frei Martín Sarmiento*, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico
* *Cuadratura 2 de Frei Martín Sarmiento*, Paulo Porta. Xeometría e debuxo técnico

| * v
* c
* e
Matemáticos da Grecia antiga |
| --- |
| Matemáticos | 
* Ameristos
* Anaxágoras
* Antemio
* Antípater
* Arquitas
* Aristeo de Crotona
* Aristarco
* **Apolonio**
* **Arquímedes**
* Ascletarión
* Ateneo
* Autólico
* Bión
* Boecio
* Boeto
* Brisón
* Calipo de Cízico
* Carpo
* Crisipo de Soli
* Cleómedes
* Conón
* Ctesibio
* Demócrito
* Dicearco
* Diocles
* **Diofanto**
* Dinostrato
* Dionisodoro
* Domnino
* Dositeo de Colonos
* Eratóstenes
* Esporo
* Eudemo
* **Euclides**
* **Eudoxo**
* Eutocio
* Filipo de Medma
* Filolao
* Filón
* **Herón**
* Hermótimo de Colofón
* Herón de Bizancio
* **Hiparco**
* Hipaso
* **Hipatia**
* Hipias de Elis
* Hipias (xeómetra)
* **Hipócrates**
* Hipsicles
* Isidoro de Mileto
* Leoncio Mecánico
* León
* Marino
* Menecmo
* **Menelao**
* Metón
* Metrodoro
* Nicón
* **Nicómaco**
* Nicomedes
* Nicoteles
* Oenopidas
* **Pappos**
* Perseo
* Polieno de Làmpsaco
* Porfirio
* Posidonio
* Proclo
* **Ptolemeo**
* **Pitágoras**
* Sereno
* Simplicio
* Sosíxenes
* **Tales**
* Teeteto
* Theano
* Teodoro
* Teodosio de Bitinia
* Teodosio de Trípoli
* Teón de Alexandría
* Teón de Esmirna
* Timáridas
* Ulpiano de Gaza
* **Xémino**
* Xenócrates
* Zenón de Elea
* Zenón de Sidón
* Zenodoro

 |
| Tratados | 
* *Almaxesto*
* Palimpsesto de Arquímedes
* *Arithmetica*
* *Cónicas* (Apolonio)
* *Elementos* (Euclides)
* *Sobre as medidas e as distancias* (Aristarco)
* *Sobre as medidas e as distancias* (Hiparco)
* *Sobre a esfera que se move* (Autólico)
* *O contador de area*

 |
| Problemas | 
* Problema de Apollonio
* Cuadratura do círculo
* Duplicación do cubo
* Trisección do ángulo

 |
| Centros | 
* Cirene
* Biblioteca de Alexandría
* Academia platónica

 |
| Influencias de... | 
* Matemática babilónica
* Matemática exipcia

 |
| Influencias a... | 
* Matemática india
* Matemáticas no islam medieval

 |
| Cronoloxía dos matemáticos da Grecia antiga |


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q193394
* BNCF: 38080
* BNF: 120433809
* EBID: ID
* GEC: 0204792
* LCCN: sh85026063
* MAG: 26969936
* Theatricalia: 3f8

 |