En matemáticas, a **conxectura da p-curvatura de Grothendieck-Katz** é un principio local-global para ecuacións diferenciais ordinarias lineais, relacionado coa teoría diferencial de Galois e, nun sentido laxo, análogo ao resultado do teorema da densidade de Chebotarev considerado como o caso polinómico. É unha conxectura de Alexander Grothendieck de finais da década de 1960, e aparentemente non publicada por el de ningunha forma.

O caso xeral segue sen resolverse, mália os últimos avances; está relacionado con investigacións xeométricas que implican foliacións alxébricas.

Formulación
-----------

No máis sinxelo enunciado posible a conxectura pódese enunciar esencialmente para un sistema vectorial escrito como

{\displaystyle dv/dz=A(z)v}
para un vector *v* de tamaño *n* e unha matriz *A de dimensión* *n*×*n* de funcións alxébricas con coeficientes de numéricos alxébricos. A cuestión é dar un criterio para decidir cando hai un *conxunto completo* de solucións de funcións alxébricas, isto é, unha matriz fundamental (é dicir, *n* solucións vectoriais colocadas nunha matriz de bloques). Por exemplo, unha pregunta clásica perguntaba pola ecuación hiperxeométrica: cando ten un par de solucións alxébricas, en función dos seus parámetros? A resposta coñécese clásicamente como a lista de Schwarz. En termos de monodromía, a cuestión é identificar os casos de grupo monodrómico finito.

Ao reformular a cuestión e pasar a un sistema maior, o caso esencial é para as funcións racionais en *A* e os coeficientes de números racionais. Entón unha condición necesaria é que para case todos os números primos *p*, o sistema definido por redución módulo *p* tamén debería ter un conxunto completo de solucións alxébricas, sobre o campo finito de *p* elementos.

A conxectura de Grothendieck é que estas condicións necesarias, para case todos *os p*, deberían ser suficientes. A conexión coa *p*-curvatura é que a condición mod *p* indicada é o mesma que dicir que a *p*-curvatura, formada por unha operación de recorrencia en *A*,  é cero; polo que outra forma de dicilo é que *a p* -curvatura de 0 para case todos *os p* implica solucións alxébricas suficientes da ecuación orixinal.

Formulación de Katz para o grupo de Galois
------------------------------------------

Nicholas Katz aplicou técnicas de categoría tannakiana para demostrar que esta conxectura é esencialmente o mesmo que dicir que o grupo diferencial de Galois *G* (ou, en rigor, a álxebra de Lie **g** do grupo alxébrico *G*, que neste caso é o pechamento de Zariski do grupo monodrómico) pódese determinar mediante información mod *p*, para unha determinada clase ampla de ecuacións diferenciais.

Progreso
--------

Benson Farb e Mark Kisin demostraron unha ampla clase de casos;  estas ecuacións están nunha variedade *X* localmente simétrica suxeita a algunhas condicións teóricas de grupos. Este traballo baséase nos resultados anteriores de Katz para as ecuacións de Picard-Fuchs (no sentido contemporáneo da conexión Gauss-Manin), tal como amplificaba André na dirección de Tannaki. Tamén aplica unha versión de superrixidez particular dos grupos aritméticos. Outros avances foron feitos mediante métodos aritméticos.

Historia
--------

Nicholas Katz relacionou algúns casos coa teoría da deformación en 1972, nun artigo onde se publicou a conxectura.  Desde entón publicáronse reformulacións. Existen propostas de q-análogo para ecuacións diferenciais. 

Grothendieck expuxo aconxectura en discusión pública na primavera de 1969, mais non escribiu nada sobre o tema. A idea veu a través da área da cohomoloxía cristalina, naquel momento desenvolvida polo seu alumno Pierre Berthelot. Dalgunha maneira desexando equiparar a noción de "nilpotencia" na teoría das conexións, coa técnica de estrutura de potencia dividida (ou PD-estrutura) que se converteu en estándar na teoría cristalina. Grothendieck produciu a conxectura como un subproduto.

Notas
-----

1. ↑  Daniel Bertrand, Bourbaki Seminar 750, 1991-2, section 5.
2. ↑  ""A conjecture in the arithmetic theory of differential equations"" (PDF) **110**. 1982: 203–239. doi:10.24033/bsmf.1960. Consultado o free.
3. ↑  ". "Rigidity, Locally Symmetric Varieties, and the Grothendieck–Katz Conjecture"" (PDF) **2009**. 2009: 4159–4167. doi:10.1093/imrn/rnp082.
4. ↑  Chambert-Loir, Antoine (2002). "Théorèmes d'algébrisation en géométrie diophantienne". arXiv:math/0103192.
5. ↑  "Algebraic solutions of differential equations (p-curvature and the Hodge filtration)" **18**. 1972: 1–118. Bibcode:1972InMat..18....1K. doi:10.1007/BF01389714.
6. ↑  "Arithmetic theory of q -difference equations"" **150**. 2002: 517–578. Bibcode:2002InMat.150..517D. arXiv:math/0104178. doi:10.1007/s00222-002-0241-z.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Nicholas M. Katz, *Rigid Local Systems*, capítulo 9.

* Jean-Benoît Bost, *Algebraic leaves of algebraic foliations over number fields*, Publications Mathématiques de L'IHÉS, Volume 93, Number 1, September 2001
* Yves André, *Sur la conjecture des p-courbures de Grothendieck–Katz et un problème de Dwork*, in *Geometric Aspects of Dwork Theory* (2004), editors Alan Adolphson, Francesco Baldassarri, Pierre Berthelot, Nicholas Katz, François Loeser
* Anand Pillay (2006), *Differential algebra and generalizations of Grothendieck's conjecture on the arithmetic of linear differential equations*