Tres exemplos de coordenadas asignadas a tres puntos diferentes (verde, vermello e azul), as súas proxeccións ortogonales sobre os eixes constitúen as súas coordenadas cartesianas e a orixe de coordenadas (0,0) en maxenta.
As **coordenadas cartesianas** ou **coordenadas rectangulares** (plano cartesiano) son un tipo de coordenadas ortogonais usadas en espazos euclidianos, para a representación gráfica dunha función, en xeometría analítica , ou do movemento ou posición en física, caracterizadas porque emprega como referencia eixes ortogonais entre si que se cortan nun punto orixe. As coordenadas cartesianas defínense así como a distancia á orixe das proxeccións ortogonais dun punto dado sobre cada un dos eixes. A denominación de 'cartesiano' introduciuse en honra de René Descartes, quen o utilizou de maneira formal por primeira vez.

Se o sistema en si é un sistema bidimensional, denomínase **plano cartesiano**. O punto de corte das rectas faise coincidir co punto cero das rectas e coñécese como orixe do sistema. Ao eixe horizontal ou das abscisas asígnaselle os números enteiros dos xes ("x"); e ao eixe vertical ou das ordenadas asígnanselle os números enteiros dos is gregos ("y").

Círculo.
Ao cortárense as dúas rectas, dividen o plano en catro rexións, que se coñecen co nome de cuadrantes:

* Primeiro cuadrante "I": Rexión superior dereita
* Segundo cuadrante "II": Rexión superior esquerda
* Terceiro cuadrante "III": Rexión inferior esquerda
* Cuarto cuadrante "IV": Rexión inferior dereita

O plano cartesiano emprégase para asignar unha localización a calquera punto no plano. Na gráfica indícase o punto +2 nas abscisas e +3 nas ordenadas. O conxunto (2, 3) denomínase "par ordenado" e do mesmo xeito pódense situar outros puntos.

As coordenadas cartesianas empréganse por exemplo para definir un **sistema cartesiano** ou sistema de referencia xa sexa respecto a un só eixe (liña recta), respecto de dous eixes (un plano) ou respecto de tres eixes (no espazo), perpendiculares entre si (plano e espazo), que se cortan nun punto chamado *orixe de coordenadas*. No plano, as coordenadas cartesianas denomínanse **abscisa** e **ordenada** A abscisa é a coordenada horizontal e represéntase habitualmente pola letra **x**, mentres que a ordenada é a coordenada vertical e represéntase polo **y**.

Historia
--------

Gráfica de dúas hipérboles e as súas asíntotas.
Denomínanse "coordenadas cartesianas" en honra a René Descartes (1596-1650), o célebre filósofo e matemático francés que quixo fundamentar o seu pensamento filosófico no método de tomar un «punto de partida» evidente sobre o que edificaría todo o coñecemento.

Como creador da xeometría analítica, Descartes tamén comezou tomando un «punto de partida» nesta disciplina, o sistema de referencia cartesiano, para poder representar a xeometría plana, que usa só dúas rectas perpendiculares entre si que se cortan nun punto denominado «orixe de coordenadas».

Recta euclidiana
----------------

Un punto calquera dunha recta pode asociarse e representarse cun número real, positivo se está situado á dereita dun punto **O**, e negativo se está á esquerda. O devandito punto chámase orixe de coordenadas O (letra **O**) e asóciase ao valor 0 (cero).

Corresponde á dimensión un, que se representa co eixe X, no que se define unha orixe de coordenadas, simbolizado coa letra O (**O** de *orixe*) e un vector unitario na dirección positiva das x: {\mathbf {i}}.

Este sistema de coordenadas é un espazo vectorial de dimensión un, e pódenselle aplicar todas as operacións correspondentes a espazos vectoriales. Tamén se lle chama recta real.

Sistema de coordenadas na recta.
Un punto:

{\displaystyle A=({x\_{A}})\,}
tamén se pode representar:

{\displaystyle {\vec {OA}}=x\_{A}\,\mathbf {i} }
A distancia entre dous puntos **A** e **B** é:

{\displaystyle d\_{AB}=|x\_{A}-x\_{B}|\,}

Plano euclidiano
----------------

Cun sistema de referencia conformado por dúas rectas perpendiculares que se cortan na orixe, cada punto do plano pode "nomearse" mediante dous números: (x, y), que son as coordenadas do punto, chamadas *abscisa* e ordenada, respectivamente, que son as distancias ortogonais do devandito punto respecto dos eixes cartesianos.

Sistema de coordenadas cartesianas.
A ecuación do eixe x é {\displaystyle y=0}, e a do eixe y é {\displaystyle x=0}, rectas que se cortan na orixe {\displaystyle O}, que ten coordenadas {\displaystyle (0,0)}.

Denomínanse tamén *eixe das abscisas* ao eixe x, e *eixe das ordenadas* ao eixe y. Os eixes dividen o espazo en catro cuadrantes I, II, III e IV, nos que os signos das coordenadas alternan de positivo a negativo (por exemplo, as dúas coordenadas do punto A serán positivas, mentres que as do punto B serán ambas as dúas negativas).

As coordenadas dun punto calquera virán dadas polas proxeccións do segmento entre a orixe e o punto sobre cada un dos eixes.

Sobre cada un dos eixes defínense vectores unitarios (**i** e **j**) como aqueles paralelos aos eixes e de módulo (lonxitude) a unidade. En forma vectorial, a posición do punto **A** defínese respecto da orixe coas compoñentes do vector OA.

{\displaystyle {\overline {OA}}=x\_{A}\,\mathbf {i} +y\_{A}\,\mathbf {j} }
A posición do punto **A** será:

{\displaystyle A=(x\_{A},\,y\_{A})}
Cómpre salientar que a lista de coordenadas pode expresar tanto a posición dun punto como as compoñentes dun vector en notación matricial.

A distancia entre dous puntos calquera virá dada pola expresión:

{\displaystyle d\_{\overline {AB}}={\sqrt {(x\_{B}-x\_{A})^{2}+(y\_{B}-y\_{A})^{2}}}\,}
Aplicación do teorema de Pitágoras ao triángulo rectángulo ABC.

Un vector calquera **AB** definirase restando, coordenada a coordenada, as do punto de orixe das do punto de destino:

{\displaystyle {\overline {AB}}=(x\_{B}-x\_{A})\,\mathbf {i} +(y\_{B}-y\_{A})\,\mathbf {j} }
Evidentemente, o módulo do vector AB será a distancia dAB entre os puntos A e B antes calculada.

Espazo euclidiano
-----------------

De ter un sistema de referencia formado por tres rectas perpendiculares entre si (X, Y, Z), que se cortan na orixe (0, 0, 0), cada punto do espazo pode *nomearse* mediante tres números: (x, y, z), denominados *coordenadas do punto*, que son as distancias ortogonales aos tres planos principais: os que conteñen as parellas de eixes YZ, XZ e YX, respectivamente.

Coordenadas cartesianas espaciais.
Os planos de referencia XY (z = 0); XZ (y = 0); e YZ (x = 0) dividen o espazo en oito cuadrantes nos que, como no caso anterior, os signos das coordenadas poden ser positivos ou negativos.

A xeneralización das relacións anteriores ao caso espacial é inmediata considerando que agora é necesaria unha terceira coordenada (z) para definir a posición do punto.

{\displaystyle {\overline {OA}}=x\_{A}\,\mathbf {i} +y\_{A}\,\mathbf {j} +z\_{A}\,\mathbf {k} }
As coordenadas do punto **A** serán:

{\displaystyle A=(x\_{A},\,y\_{A},\,z\_{A})}
e o **B**:

{\displaystyle B=(x\_{B},\,y\_{B},\,z\_{B})}
A distancia entre os puntos **A** e **B** será:

{\displaystyle d\_{\overline {AB}}={\sqrt {(x\_{B}-x\_{A})^{2}+(y\_{B}-y\_{A})^{2}+(z\_{B}-z\_{A})^{2}}}\,}
O segmento **AB** será:

{\displaystyle {\overline {AB}}=(x\_{B}-x\_{A})\,\mathbf {i} +(y\_{B}-y\_{A})\,\mathbf {j} +(z\_{B}-z\_{A})\,\mathbf {k} }

Cambio do sistema de coordenadas
--------------------------------

Tanto no caso plano como no caso espacial poden considerarse tres transformacións elementais: translación da orixe, rotación ao redor dun eixe e cambio de escala.

### Translación da orixe

Translación da orixe en coordenadas cartesianas.
Supondo un sistema de coordenadas inicial **S1** con orixe en **O** e eixes x e y

{\displaystyle S1=\{O;\;x,y\}}
e as coordenadas dun punto **A** dado, sexan no sistema **S1**:

{\displaystyle A=(x\_{A},\;y\_{A})}
dado un segundo sistema de referencia **S2**

{\displaystyle S2=\{O^{\prime };\;x^{\prime },y^{\prime }\}}
Sendo os centros de coordenadas dos sistemas **0** e **0´**, puntos distintos, e os eixes **x**, **x´**; e **y**, **y´** paralelos dous a dous, e as coordenadas de **O´**, respecto de **S1**:

{\displaystyle O^{\prime }=(x\_{O^{\prime }},\;y\_{O^{\prime }})}
Chámase translación da orixe a calcular as coordenadas de **A** en **S2**, segundo os datos anteriores, que se chamarán:

{\displaystyle A^{\prime }=(x\_{A}^{\prime },\;y\_{A}^{\prime })}
Dados os puntos **O**, **O´** e **A**, tense a suma de vectores:

{\displaystyle {\overline {OA}}={\overline {OO^{\prime }}}+{\overline {O^{\prime }A}}}
despexando

{\displaystyle {\overline {O^{\prime }A}}={\overline {OA}}-{\overline {OO^{\prime }}}}
O que é o mesmo que:

{\displaystyle (x\_{A}^{\prime },\;y\_{A}^{\prime })=(x\_{A},\;y\_{A})-(x\_{O^{\prime }},\;y\_{O^{\prime }})}
Separando os vectores por coordenadas:

{\displaystyle x\_{A}^{\prime }=x\_{A}-x\_{O^{\prime }}}
{\displaystyle y\_{A}^{\prime }=y\_{A}-y\_{O^{\prime }}}
e ampliándoo a tres dimensións:

{\displaystyle z\_{A}^{\prime }=z\_{A}-z\_{O^{\prime }}}
### Rotación ao redor da orixe

Rotación ao redor da orixe en coordenadas cartesianas.
Dado un sistema de coordenadas no plano **S1** con orixe en **O** e eixes x e y:

{\displaystyle S\_{1}=\{O;\;x,y\}}
e unha base ortonormal deste sistema:

{\displaystyle B\_{1}=\{\mathbf {i} ,\mathbf {j} \}}
Un punto **A** do plano representarase neste sistema segundo as súas coordenadas:

{\displaystyle \mathbf {A} =x\_{A}\,\mathbf {i} +y\_{A}\,\mathbf {j} }
Para un segundo sistema S2 de referencia xirado un ángulo {\displaystyle \alpha \,}, respecto ao primeiro:{\displaystyle }

{\displaystyle S\_{2}=\{O;\;x^{\prime },y^{\prime }\}}
e cunha base ortonormal:

{\displaystyle \mathbf {B} \_{2}=\{\mathbf {i^{\prime }} ,\mathbf {j^{\prime }} \}}
Ao cálculo das coordenadas do punto **A**, respecto deste segundo sistema de referencia, xirado respecto ao primeiro, chámase *rotación ao redor da orixe*, sendo a súa representación:

{\displaystyle {\mathbf {A} ^{\prime }}=x\_{A}^{\prime }\,\mathbf {i^{\prime }} +y\_{A}^{\prime }\,\mathbf {j^{\prime }} }
Hai que ter en conta que o punto {\displaystyle \mathbf {A} \,} e {\displaystyle \mathbf {A} ^{\prime }\,} son o mesmo punto, {\displaystyle \mathbf {A} \equiv \mathbf {A} ^{\prime }}; emprégase unha denominación ou outra para indicar o sistema de referencia empregado. O valor das coordenadas respecto dun ou doutro sistema, si son diferentes, e é o que se pretende calcular.

A representación de B1 en B2 é:

{\displaystyle \mathbf {i} =\cos {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} -\sin {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} }
{\displaystyle \mathbf {j} =\sin {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} +\cos {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} }
Dado que o punto A en B1 é:

{\displaystyle \mathbf {A} =x\_{A}\,\mathbf {i} +y\_{A}\,\mathbf {j} }
coa transformación anterior tense:

{\displaystyle \mathbf {A} =x\_{A}\,(\cos {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} -\sin {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} )+y\_{A}\,(\sin {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} +\cos {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} )}
E, quitando as parénteses:

{\displaystyle \mathbf {A} =x\_{A}\,\cos {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} -x\_{A}\,\sin {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} +y\_{A}\,\sin {\alpha }\,\mathbf {i^{\prime }} +y\_{A}\,\cos {\alpha }\,\mathbf {j^{\prime }} }
reordenando:

{\displaystyle \mathbf {A} =(x\_{A}\,\cos {\alpha }+y\_{A}\,\sin {\alpha })\,\mathbf {i^{\prime }} +(-x\_{A}\,\sin {\alpha }+y\_{A}\,\cos {\alpha })\,\mathbf {j^{\prime }} }
Como:

{\displaystyle \mathbf {A} \equiv A^{\prime }};
Tense que:

{\displaystyle \mathbf {A^{\prime }} =(x\_{A}\,\cos {\alpha }+y\_{A}\,\sin {\alpha })\,\mathbf {i^{\prime }} +(-x\_{A}\,\sin {\alpha }+y\_{A}\,\cos {\alpha })\,\mathbf {j^{\prime }} }
Como se sabía:

{\displaystyle \mathbf {A^{\prime }} =x\_{A}^{\prime }\,\mathbf {i^{\prime }} +y\_{A}^{\prime }\,\mathbf {j^{\prime }} }
Por identificación de termos:

{\displaystyle x\_{A}^{\prime }=\;x\_{A}\,\cos {\alpha }+y\_{A}\,\sin {\alpha }}
{\displaystyle y\_{A}^{\prime }=-x\_{A}\,\sin {\alpha }+y\_{A}\,\cos {\alpha }}
Que son as coordenadas de A en B2, en función das coordenadas da en B1 e de {\displaystyle {\alpha }\,}.

### Cambio de escala

Sexa un punto con coordenadas (x,y) no plano. Se se cambiase a escala de ambos os eixes nun factor *λ*, as coordenadas do devandito punto no novo sistema de coordenadas pasarán a ser:

{\displaystyle (x',y')=(\lambda x,\lambda y)\,}
O factor de escala *λ* non ten que ser necesariamente o mesmo para ambos os eixes.

Cálculo matricial
-----------------

Se [T] é a **matriz** **de transformación** e con filas que son igualmente as compoñentes dos vectores unitarios **i'** e **j'** respecto dos orixinais **i** e **j**, ou se se prefire, con columnas que son as compoñentes dos vectores unitarios orixinais no sistema de referencia rotado.

Nota: *As magnitudes vectoriales están en grosa*.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Weisstein, Eric W. «Sistema de coordenadas». En Weisstein, Eric W. *MathWorld* (en inglés). Wolfram Research.
* Weisstein, Eric W. «Coordenadas cartesianas». En Weisstein, Eric W. *MathWorld* (en inglés). Wolfram Research.

### Outros artigos

* Base
* Base canónica
* Base ortogonal
* Base ortonormal
* Coordenadas polares
* Espazo vectorial

### Ligazóns externas

* Coordenadas cartesianas, explicación interactiva
* Proxecto didáctico para introdución ao plano cartesiano en linguaxe de programación Logo.
* "Cartesian Coordinate System".
* "Cartesian Coordinate System".

| * v
* c
* e
Sistemas de Coordenadas |
| --- |
| Coordenadas Unidimensionais | Recta real |  |
| Coordenadas Bidimensionais | Coordenadas cartesianas • Coordenadas polares • Coordenadas elípticas • Coordenadas parabólicas |
| Coordenadas Tridimensionais | Coordenadas cartesianas • Coordenadas cilíndricas • Coordenadas esféricas • Coordenadas cilíndricas elípticas • Coordenadas cilíndricas hiperbólicas • Coordenadas cilíndricas parabólicas• Coordenadas toroidais |


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q62912
* AAT: 300055622
* BNCF: 61799
* EBID: ID
* GND: 4370913-8
* JSTOR: cartesian-planes
* MAG: 16038011
* PSH: 2932

 |