A masa co resorte forman un oscilador harmónico.
Dise que un sistema calquera, mecánico, eléctrico, pneumático etc. é un **oscilador harmónico** se cando se deixa libre, fóra da súa posición de equilibrio, volve cara á posición de equilibrio facendo oscilaciones sinusoidais, ou sinusoidais amortecidas ó redor desa posición de equilibrio final.

Características
---------------

O exemplo típico é o dunha masa colgada a un resorte. Cando se afasta a masa da súa posición de repouso, o resorte exerce sobre a masa unha forza que é proporcional ó desequilibrio (distancia á posición de repouso, elongación) e que está dirixida cara á posición de equilibrio. Se se solta a masa, a forza do resorte acelera a masa cara á posición de equilibrio. A medida que a masa se achega á posición de equilibrio e aumenta a súa velocidade, a enerxía potencial elástica do resorte transfórmase en enerxía cinética da masa. Cando a masa chega á súa posición de equilibrio, a forza será cero, pero como a masa está en movemento, continuará e pasará do outro lado. A forza invértese e comeza a frear a masa. A enerxía cinética da masa vai transformándose agora en enerxía potencial do resorte. Iso dura ata que a masa para. O proceso recomeza en dirección oposta.

Se toda a enerxía cinética se transformara en enerxía potencial e viceversa, a oscilación seguiría eternamente coa mesma amplitude. Na realidade, sempre hai unha parte da enerxía que se transforma noutra forma, debido á viscosidade do aire ou porque o resorte non é perfectamente elástico. A amplitude diminúe máis ou menos lentamente. Comezaremos por tratar o caso ideal, no cal non hai perdas.

### Oscilador harmónico sen perdas

Sexa {\displaystyle \scriptstyle {m}} a masa e{\displaystyle \scriptstyle {y}} a distancia entre a posición da masa e a posición de equilibrio. Supoñemos que a forza do resorte é estritamente proporcional ó desequilibrio: {\displaystyle \scriptstyle {F=-ky}}. {\displaystyle \scriptstyle {F}} é a forza e {\displaystyle \scriptstyle {k}} a constante elástica do resorte. O signo negativo indica que cando {\displaystyle \scriptstyle {y}} é positiva, a forza é dirixida cara ás {\displaystyle \scriptstyle {y}} negativas.

A segunda lei de Newton di:

{\displaystyle F=ma=m{dv \over dt}=m{d^{2}y \over dt^{2}}}
substituíndo a forza temos:

{\displaystyle m{d^{2}y \over dt^{2}}=-ky}
A solución desta ecuación diferencial é inmediata: as únicas funcións reais (non complexas) coa segunda derivada sendo a mesma función co signo invertido son **seno** e **coseno**. As dúas funcións corresponden ó mesmo movemento. Escollemos arbitrariamente "coseno". A solución escríbese:

 A curva de riba dá a posición do oscilador en función do tempo. A do medio dá a velocidade. Abaixo están as curvas das enerxías. En azul está a enerxía cinética {\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}mv^{2}}} e en vermello a enerxía potencial do resorte {\displaystyle \scriptstyle {{1 \over 2}ky^{2}}}
{\displaystyle y=A\cos(\omega t+\phi )\,}
* {\displaystyle \scriptstyle {A}} é a amplitude, que depende das condicións iniciais.
* {\displaystyle \scriptstyle {\omega =2\pi f}} é a pulsación e {\displaystyle \scriptstyle {f}} a frecuencia.
* {\displaystyle \scriptstyle {t}} é o tempo.
* {\displaystyle \scriptstyle {\phi }} é a fase inicial (para {\displaystyle \scriptstyle {t=0}}).

É doado comprobar que o valor de {\displaystyle \scriptstyle {\omega }} é:

{\displaystyle \omega ={\sqrt {k \over m}}}
O período de oscilación é:

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {m \over k}}}

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q190070
* BNCF: 21909
* EBID: ID
* GND: 4159128-8
* JSTOR: harmonic-oscillators
* LCCN: sh85058945
* MAG: 40934718
* NKC: ph114653

 |