A **ecuación de Helmholtz**, chamada así por Hermann von Helmholtz, vén dada por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})\phi =0}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle \scriptstyle \nabla ^{2}} é o laplaciano, {\displaystyle \scriptstyle k} é un número real positivo e {\displaystyle \scriptstyle \phi } un campo escalar.

A ecuación aparece en varios contextos da física onde {\displaystyle \scriptstyle k} se interpreta como o número de onda. A ecuación aparece no electromagnetismo, na teoría do potencial de Yukawa e como caso particular da ecuación de Klein-Gordon para un campo estacionario.

Ecuación en electromagnetismo
-----------------------------

Vamos amosar como se deduce a ecuación de Helmholtz a partir das ecuacións de Maxwell. Para medios non condutores libres de fontes caracterizados por {\displaystyle \scriptstyle \epsilon } e {\displaystyle \scriptstyle \mu (\sigma =0)}, as ecuacións de Maxwell redúcense a:

> 
> (1)
> 
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial {\vec {H}}}{\partial t}}}
> 
> 
> 

> 
> (2)
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {H}}=\epsilon {\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}}}
> 
> 
> 

> 
> (3)
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}}=0}
> 
> 
> 

> 
> (4)
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\cdot {\vec {H}}=0}
> 
> 
> 

As ecuacións anteriores (1), (2), (3) e (4) son ecuacións diferenciais de primeiro grao para os campos {\vec {E}} e {\displaystyle {\vec {H}}}. Podemos combinalas para producir unha ecuación de segundo grao contendo unicamente {\vec {E}} ou {\displaystyle {\vec {H}}}. Usamos as ecuacións (1) e (2) e operando obtense:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-\mu {\frac {\partial ({\vec {\nabla }}\times {\vec {H}})}{\partial t}}=-\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
> 
> 
> 

Mais sabemos que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}={\vec {\nabla }}({\vec {\nabla }}\cdot {\vec {E}})-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}
> 
> 
> 

e usando a ecuación (3) temos que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla }}\times {\vec {\nabla }}\times {\vec {E}}=-{\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}}
> 
> 
> 

Polo tanto, substituíndo os termos temos finalmente que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}=\mu \cdot \epsilon {\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}}
> 
> 
> 

A velocidade de fase vén dada por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle v\_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}}
> 
> 
> 

o que significa que: {\displaystyle v\_{\mathrm {p} }={\frac {1}{\sqrt {\mu \epsilon }}}}

e polo tanto, substituíndo, temos:

{\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E}}-{\frac {1}{v\_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {E}}}{\partial t^{2}}}=0}

Analogamente podemos sacar a ecuación para {\displaystyle {\vec {H}}}:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H}}-{\frac {1}{v\_{\mathrm {p} }^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\vec {H}}}{\partial t^{2}}}=0}
> 
> 
> 

Como podemos apreciar, as dúas ecuacións anteriores son **as ecuacións de onda vectoriais homoxéneas**. Descompoñendo estas dúas ecuacións obtidas en coordenadas cartesianas podemos descompoñelo en tres ecuacións de ondas escalares, homoxéneas e unidimensionais. Cada compoñente do campo eléctrico e magnético debe satisfacer unha ecuación cuxa solución representa unha onda.
Se se supón que o campo ten dependencia harmónica co tempo da forma {\displaystyle {\vec {\psi }}={\mbox{Re}}({\vec {\psi \_{0}}}e^{-i\omega t})}, onde {\displaystyle \psi } pode ser tanto {\vec {E}} como {\displaystyle {\vec {H}}}, chégase á conclusión:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E\_{\mathrm {s} }}}+{\frac {\omega ^{2}}{v\_{\mathrm {p} }^{2}}}{\vec {E\_{\mathrm {s} }}}=0}
> 
> 
> 

ou

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {E\_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {E\_{\mathrm {s} }}}=0}
> 
> 
> 

Analogamente encontramos a seguinte ecuación para o campo electromagnético:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {\nabla ^{2}}}{\vec {H\_{\mathrm {s} }}}+k^{2}{\vec {H\_{\mathrm {s} }}}=0}
> 
> 
>

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* David K. Cheng "Fundamentos de Electromagnetismo para ingeniería"
* Pozar D.M. "Microwave engineering"

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q860615
* BNF: 122894221
* GND: 4159528-2
* LCCN: sh85060070
* MAG: 18591234

 |