Representación gráfica de \mathbb {R} ^{3}.
O **espazo euclidiano** é un espazo xeométrico no que se satisfán os axiomas de Euclides da xeometría. A recta real, o plano euclidiano e o espazo tridimensional da xeometría euclidiana son casos especiais de espazos euclidiano de dimensións 1, 2 e 3 respectivamente. O concepto abstracto de espazo euclídeo xeneraliza esas construcións a máis dimensións. Un espazo euclidiano é un espazo vectorial completo dotado dun produto interno (o cal o converte ademais nun espazo normado, un espazo métrico e unha variedade riemanniana ao mesmo tempo).

O termo **euclidiano** emprégase para distinguir estes espazos dos espazos "curvos" das xeometrías non euclidianas e do espazo da teoría da relatividade de Einstein. Para destacar o fe{\displaystyle }ito d{\displaystyle }e que un espazo euclidiano pode posuír *n* dimensións, adóitase falar de "espazo euclidiano *n*-dimensional" (denotado {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {E} ^{n},E^{n}}, ou mesmo {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{n}}).

Introdución
-----------

Un espazo euclidiano de dimensión finita é un espazo vectorial normado sobre os números reais de dimensión finita, no que a norma é a asociada ao produto escalar ordinario. Para cada número enteiro non negativo n, o espazo euclidiano n-dimensional represéntase polo símbolo {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} e é o conxunto de todas as tuplas ordenadas

> 
> {\displaystyle (x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})}
> 
> 
> 

onde cada {\displaystyle x\_{i}} é un número real, xunto coa función distancia entre dous puntos (*x*1, ... *x**n*) e (*y*1, ... *y**n*) definida pola fórmula:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}}}}
> 
> 
> 

Esta función distancia é unha xeneralización do teorema de Pitágoras e denomínase distancia euclidiana. O feito de que se definise unha distancia permite definir outros conceptos métricos como o de medida de Lebesgue (que permite á súa vez definir a lonxitude dunha curva (1-volume), as nocións de área (2-volume), volume (3-volume) e cando o espazo ten dimensión superior a 3 n-volume (para *n* > 3).

Ademais poden definirse ángulos, ao poder falar de proxectar unha lonxitude recta sobre a dirección doutra lonxitude recta non paralela, polo que o ángulo entre dúas rectas *r*1 e *r*2 con vectores unitarios tanxentes {\displaystyle \mathbf {n} \_{1}} e {\displaystyle \mathbf {n} \_{2}} se pode definir como:

> 
> {\displaystyle \theta =\arccos \left(\mathbf {n} \_{1}\cdot \mathbf {n} \_{2}\right)}
> 
> 
>

Estruturas sobre o espazo euclidiano
------------------------------------

Os espazos euclidianos e as súas propiedades serviron de base para xerar gran cantidade de conceptos matemáticos relacionados coa xeometría analítica, a topoloxía, a álxebra e o cálculo. Aínda que o espazo euclidiano adoita ser introducido, por razóns didácticas, como espazo vectorial, en realidade sobre el pódense definir moitas máis estruturas. O espazo euclídeo é ademais dun espazo vectorial un caso de:

* Un espazo de Hilbert de dimensión finita, co produto escalar ordinario.
* Un espazo de Banach de dimensión finita, coa norma inducida polo produto escalar interior.
* Un espazo métrico completo, coa distancia inducida pola norma anterior.
* Un espazo topolóxico, inducido pola métrica euclídea.
* Un grupo de Lie, coa operación de adición.
* Unha álxebra de Lie co produto vectorial.

### O espazo euclidiano como espazo métrico

Por definición, *E**n* é un espazo métrico, e é polo tanto tamén un espazo topolóxico; é o exemplo prototípico dunha n-variedade, e é de feito unha *n*-variedade diferenciable. Para *n* ≠ 4, calqu*e*ra *n*-variedade diferenciable que sexa homeomorfa a *E**n* é tamén difeomorfa a ela. O feito sorprendente é que isto non é certo tamén para *n* = 4, o que foi probado por Simon Donaldson no ano 1982; os contraexemplos chámanse 4-espazos exóticos (ou falsos).

### O espazo euclidiano como espazo topolóxico

Pódese dicir moito sobre a topoloxía de *E**n*. Un resultado importante, a invariancia do dominio de Brouwer, é o de que calquera subconxunto de *E**n* que sexa homeomorfo a un subconxunto aberto de *E**n* é en si mesmo aberto. Como consecuencia inmediata disto tense que E m non é homeomorfo a *E**n* se *m* ≠ *n*, un resultado intuitivamente "obvio" que con todo non é doado de demostrar.

### O espazo euclidiano como espazo vectorial

O n-espazo euclidiano pódese considerar tamén como un espazo vectorial n-dimensional real, de feito un espazo de Hilbert, de maneira natural. O produto escalar, de **x** = (*x*1,...*x**n*) e y = (*y*1,...*y**n*) está dado por:

> 
> {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}=x\_{1}y\_{1}+x\_{2}y\_{2}+\cdots +x\_{n}y\_{n}}
> 
> 
>

Espazo euclidiano de dimensión infinita
---------------------------------------

Os espazos euclidianos considerados usualmente ten unha dimensión topolóxica finita. Iso fai que sexan localmente compactos. Con todo, é posíbel concibir estruturas de dimensión infinita que teñan propiedades análogas aos espazos euclidianos, polo que a extensión á dimensión infinita da noción de espazo euclidiano é posíbel cunhas poucas precaucións. En primeiro lugar pódese considerar o conxunto {\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }} definido como:

> 
> {\displaystyle \mathbb {R} ^{\omega }=\{(x\_{1},x\_{2},\dots )|\forall i:x\_{i}\in \mathbb {R} \}}
> 
> 
> 

É dicir este conxunto é o produto cartesiano dun número infinito numerable de copias de \mathbb{R}. Con todo o conxunto de todas esas tuplas infinitas non ten a estrutura de espazo euclidiano porque non se pode dotar dunha norma euclidiana axeitada. Por exemplo as tuplas:

> 
> {\displaystyle \mathbf {x} =(1,1,1,\dots ),{\text{ ó }}\mathbf {y} =(1,2,3,4,\dots )}
> 
> 
> 

non representan vectores cunha suma de compoñentes ao cadrado que sexa un número real finito. Por esta razón considérase o subconxunto:

> 
> {\displaystyle E\_{\infty }=\{(x\_{1},x\_{2},\dots )|\forall i:x\_{i}\in \mathbb {R} ,\ \lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=1}^{N}|x\_{n}|^{2}<\infty \}\varsubsetneq \mathbb {R} ^{\omega }}
> 
> 
> 

Este espazo vectorial {\displaystyle E\_{\infty }} comparte a maior parte dos espazos euclidianos finitodimensionales e polo tanto pode considerarse un espazo euclidiano infinitodimensional; a principal propiedade é que o espazo euclidiano infinitodimensional a diferenza das súas versións finitodimensionais non é un espazo localmente compacto.

Notas
-----

1. ↑  *Infinite-Dimensional Euclidean Spaces.*

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Xeometría euclidiana
* Xeometría analítica
* Medida de Lebesgue

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q17295
* BNCF: 27865
* BNF: 122864798
* EBID: ID
* GEC: 0025475
* GND: 4309127-1
* JSTOR: euclidean-space
* MAG: 186450821
* NDL: 00562065
* NKC: ph120032

 |