Na análise complexa, unha rama das matemáticas, unha **fracción continua xeneralizada** é unha xeneralización das fraccións continuas regulares, na que os numeradores parciais e os denominadores parciais poden asumir valores complexos arbitrarios.

Unha fracción continua xeneralizada é unha expresión da forma

{\displaystyle x=b\_{0}+{\cfrac {a\_{1}}{b\_{1}+{\cfrac {a\_{2}}{b\_{2}+{\cfrac {a\_{3}}{b\_{3}+{\cfrac {a\_{4}}{b\_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}
onde *a**n* (*n* > 0) son os numeradores parciais, os *b**n* os denominadores parciais e o termo principal *b*0 chámase parte *enteira* da fracción continua.

Os sucesivos **converxentes** da fracción continua fórmanse aplicando as **fórmulas de recorrencia** :

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{n}&=b\_{n}A\_{n-1}+a\_{n}A\_{n-2},\\B\_{n}&=b\_{n}B\_{n-1}+a\_{n}B\_{n-2}\qquad {\text{for }}n\geq 1\end{aligned}}}
con valores iniciais

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{-1}&=1,&A\_{0}&=b\_{0},\\B\_{-1}&=0,&B\_{0}&=1.\end{aligned}}}
onde *A**n* é o *numerador* e *B**n* o *denominador*, chamados continuantes,   do *n*-ésimo converxente.

Historia
--------

Bombelli (1579) ideou unha técnica para aproximar as raíces das ecuacións cadráticas con fraccións continuas a mediados do século XVI. Só 24 anos despois, en 1613, Pietro Cataldi introduciu a primeira notación formal para a fracción continua xeneralizada.  Cataldi representou unha fracción continua como

{\displaystyle {a\_{0}\cdot }\,\&\,{\frac {n\_{1}}{d\_{1}\cdot }}\,\&\,{\frac {n\_{2}}{d\_{2}\cdot }}\,\&\,{\frac {n\_{3}}{d\_{3}}}}
cos puntos que indican onde vai a seguinte fracción e cada & representando un signo máis moderno.

A finais do século XVII John Wallis introduciu o termo "fracción continua" na literatura matemática.  Recentemente entraran en escena novas técnicas de análise matemática (o cálculo de Newton e Leibniz), e unha xeración de contemporáneos de Wallis puxeron en uso a novo termo.

En 1748 Euler publicou un teorema que mostra que un tipo particular de fracción continua é equivalente a unha determinada serie infinita moi xeral.  A fórmula da fracción continua de Euler aínda é a base de moitas probas modernas de converxencia de fraccións continuas.

En 1761, Johann Heinrich Lambert deu a primeira proba de que π é irracional, usando a seguinte fracción continua para tan *x*: 

{\displaystyle \tan(x)={\cfrac {x}{1+{\cfrac {-x^{2}}{3+{\cfrac {-x^{2}}{5+{\cfrac {-x^{2}}{7+{}\ddots }}}}}}}}}
As fraccións continuas tamén se poden aplicar a problemas de teoría de números, e son especialmente útiles no estudo das ecuacións diofántianas. A finais do século XVIII Lagrange utilizou as fraccións continuas para construír a solución xeral da ecuación de Pell, respondendo así a unha pregunta que fascinaba aos matemáticos durante máis de mil anos.  O descubrimento de Lagrange implica que a expansión de fracción continua regular da raíz cadrada de todo número enteiro non cadrado é periódica e que, se o período é de lonxitude *p* > 1, contén unha cadea palindrómica de lonxitude *p* − 1.

En 1813 Gauss derivou a partir de funcións hiperxeométricas de valores complexos o que agora se chama fraccións continuas de Gauss.  Pódense usar para expresar moitas funcións elementais e algunhas funcións máis avanzadas (como as funcións de Bessel), como fraccións continuas que converxen rapidamente en case todas partes do plano complexo.

Notación
--------

A expresión de fracción continua longa que aparece na introdución é fácil de interpretar para un lector non familiar coas fraccións continuas. Máis hai notacións máis curtas: 

{\displaystyle x=b\_{0}+{\frac {a\_{1}}{b\_{1}}}{{} \atop +}{\frac {a\_{2}}{b\_{2}}}{{} \atop +}{\frac {a\_{3}}{b\_{3}}}{{} \atop +\cdots }}
Carl Friedrich Gauss elaborou esta notación:

{\displaystyle x=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}.\,}
Aquí a "K" significa *Kettenbruch*, a palabra alemá para "fracción continua".

Algunhas consideracións elementais
----------------------------------

### Numeradores e denominadores parciais

Se un dos numeradores parciais *a**n* + 1 é cero, a fracción continua infinita

{\displaystyle b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}\,}
é realmente só unha fracción continua finita con *n* termos fraccionarios e, polo tanto, unha función racional de *a*1 a *a**n* e *b*0 a *b**n* + 1. 

### Fórmula do determinante

Cando o *n*-ésimo converxente dunha fracción continua

{\displaystyle x\_{n}=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {n}{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}\,}

exprésase como unha fracción simple *x**n* = *A**n*/*B**n* podemos usar a fórmula do determinante

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle A\_{n-1}B\_{n}-A\_{n}B\_{n-1}=\left(-1\right)^{n}a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}=\prod \_{i=1}^{n}(-a\_{i})} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

para relacionar os numeradores e denominadores de converxentes sucesivos *x**n* e *x**n* − 1 entre sí. A proba disto pódese ver facilmente por indución.

### Transformación de equivalencia

Se {*c**i*} = {*c*1, *c*2, *c*3, ...} é calquera sucesión infinita de números complexos distintos de cero podemos demostrar, por indución, que

{\displaystyle b\_{0}+{\cfrac {a\_{1}}{b\_{1}+{\cfrac {a\_{2}}{b\_{2}+{\cfrac {a\_{3}}{b\_{3}+{\cfrac {a\_{4}}{b\_{4}+\ddots \,}}}}}}}}=b\_{0}+{\cfrac {c\_{1}a\_{1}}{c\_{1}b\_{1}+{\cfrac {c\_{1}c\_{2}a\_{2}}{c\_{2}b\_{2}+{\cfrac {c\_{2}c\_{3}a\_{3}}{c\_{3}b\_{3}+{\cfrac {c\_{3}c\_{4}a\_{4}}{c\_{4}b\_{4}+\ddots \,}}}}}}}}}
A transformación de equivalencia é perfectamente xeral, pero dous casos particulares merecen unha mención especial. En primeiro lugar, se ningún dos *a**i* é cero pódese escoller unha secuencia {*c**i*} para que cada numerador parcial sexa 1:

{\displaystyle b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {1}{c\_{i}b\_{i}}}\,}
onde *c*1 = 1/*a*1, *c*2 = *a*1/*a*2, *c*3 = *a*2/*a*1*a*3, e en xeral *c**n* + 1 = 1/*a**n* + 1*c**n*.

En segundo lugar, se ningún dos denominadores parciais *b**i* é cero, podemos usar un procedemento similar para escoller outra secuencia {*d**i*} para que cada denominador parcial sexa un 1:

{\displaystyle b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {d\_{i}a\_{i}}{1}}\,}
onde *d*1 = 1/*b*1 e tamén *d**n* + 1 = 1/*b**n**b**n* + 1.

Estes dous casos especiais da transformación de equivalencia son de enorme utilidade cando se analiza o problema xeral de converxencia.

### Nocións de converxencia

A fracción continua

{\displaystyle x=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}\,}
converxe se a secuencia de converxentes {*x**n*} tende a un límite finito. Esta noción de converxencia é moi natural. É útil introducir a noción de converxencia xeral dunha fracción continua. En liñas xerais, isto consiste en substituír a parte da fracción posterior a n , {\displaystyle \operatorname {K} \_{i=n}^{\infty }{\tfrac {a\_{i}}{b\_{i}}}} por *w**n*, en lugar de por 0, para calcular os converxentes. Os converxentes así obtidos chámanse *converxentes modificados*. Dicimos que a fracción continua *converxe xeneralmente* se existe unha secuencia {\displaystyle \{w\_{n}^{\*}\}} tal que a secuencia de converxentes modificados converxe para todos os {\displaystyle \{w\_{n}\}} suficientemente distinto de {\displaystyle \{w\_{n}^{\*}\}}. A secuencia {\displaystyle \{w\_{n}^{\*}\}} chámase entón unha *secuencia excepcional* para a fracción continua. Vexa o capítulo 2 de Lorentzen & Waadeland (1992) para unha definición rigorosa.

Tamén existe unha noción de converxencia absoluta para fraccións continuas, baseada na noción de converxencia absoluta dunha serie: dise que unha fracción continua é *absolutamente converxente* cando a serie

{\displaystyle f=\sum \_{n}\left(f\_{n}-f\_{n-1}\right),}
onde {\displaystyle f\_{n}=\operatorname {K} \_{i=1}^{n}{\tfrac {a\_{i}}{b\_{i}}}} son os converxentes da fracción continua, converxe absolutamente.  O teorema de Śleszyński–Pringsheim proporciona unha condición suficiente para a converxencia absoluta.

Finalmente, unha fracción continua dunha ou máis variables complexas é *uniformemente converxente* nunha veciñanza aberta Ω cando os seus converxentes converxen uniformemente en Ω; é dicir, cando para cada *ε* > 0 existe *M* tal que para todo *n* > *M*, para todos {\displaystyle z\in \Omega } ,

{\displaystyle |f(z)-f\_{n}(z)|<\varepsilon .}
### Condicións para a irracionalidade

Se *a*1, *a*2,... e *b*1, *b*2,... son enteiros positivos con *ak* ≤ *bk* para todos os *k* suficientemente grandes, daquela

{\displaystyle x=b\_{0}+{\underset {i=1}{\overset {\infty }{\operatorname {K} }}}{\frac {a\_{i}}{b\_{i}}}\,}
converxe a un límite irracional. 

### Fórmulas fundamentais de recorrencia

Os numeradores e denominadores parciais dos converxentes sucesivos da fracción están relacionados mediante as *fórmulas fundamentais de recorrencia* :

{\displaystyle {\begin{aligned}A\_{-1}&=1&B\_{-1}&=0\\A\_{0}&=b\_{0}&B\_{0}&=1\\A\_{n+1}&=b\_{n+1}A\_{n}+a\_{n+1}A\_{n-1}&B\_{n+1}&=b\_{n+1}B\_{n}+a\_{n+1}B\_{n-1}\,\end{aligned}}}
Os converxentes sucesivos da fracción continua son logo

{\displaystyle x\_{n}={\frac {A\_{n}}{B\_{n}}}.\,}
Estas relacións de recorrencia débense a John Wallis (1616–1703) e Leonhard Euler (1707–1783).  Estas relacións de recorrencia son simplemente unha notación diferente para as relacións obtidas por Pietro Antonio Cataldi (1548-1626).

Fórmula de fracción continua de Euler
-------------------------------------

Euler demostrou a seguinte identidade: 

{\displaystyle a\_{0}+a\_{0}a\_{1}+a\_{0}a\_{1}a\_{2}+\cdots +a\_{0}a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}={\frac {a\_{0}}{1-}}{\frac {a\_{1}}{1+a\_{1}-}}{\frac {a\_{2}}{1+a\_{2}-}}\cdots {\frac {a\_{n}}{1+a\_{n}}}.\,}
Disto pódense derivar moitos outros resultados, como

{\displaystyle {\frac {1}{u\_{1}}}+{\frac {1}{u\_{2}}}+{\frac {1}{u\_{3}}}+\cdots +{\frac {1}{u\_{n}}}={\frac {1}{u\_{1}-}}{\frac {u\_{1}^{2}}{u\_{1}+u\_{2}-}}{\frac {u\_{2}^{2}}{u\_{2}+u\_{3}-}}\cdots {\frac {u\_{n-1}^{2}}{u\_{n-1}+u\_{n}}},\,}
e

{\displaystyle {\frac {1}{a\_{0}}}+{\frac {x}{a\_{0}a\_{1}}}+{\frac {x^{2}}{a\_{0}a\_{1}a\_{2}}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{a\_{0}a\_{1}a\_{2}\ldots a\_{n}}}={\frac {1}{a\_{0}-}}{\frac {a\_{0}x}{a\_{1}+x-}}{\frac {a\_{1}x}{a\_{2}+x-}}\cdots {\frac {a\_{n-1}x}{a\_{n}+x}}.\,}

Exemplos
--------

### Funcións e números transcendentais

Aquí temos dúas fraccións continuas que se poden construír mediante a identidade de Euler.

{\displaystyle e^{x}={\frac {x^{0}}{0!}}+{\frac {x^{1}}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots =1+{\cfrac {x}{1-{\cfrac {1x}{2+x-{\cfrac {2x}{3+x-{\cfrac {3x}{4+x-\ddots }}}}}}}}}
{\displaystyle \log(1+x)={\frac {x^{1}}{1}}-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\cdots ={\cfrac {x}{1-0x+{\cfrac {1^{2}x}{2-1x+{\cfrac {2^{2}x}{3-2x+{\cfrac {3^{2}x}{4-3x+\ddots }}}}}}}}}
Aquí temos fraccións continuas xeneralizadas adicionais:

{\displaystyle \arctan {\cfrac {x}{y}}={\cfrac {xy}{1y^{2}+{\cfrac {(1xy)^{2}}{3y^{2}-1x^{2}+{\cfrac {(3xy)^{2}}{5y^{2}-3x^{2}+{\cfrac {(5xy)^{2}}{7y^{2}-5x^{2}+\ddots }}}}}}}}={\cfrac {x}{1y+{\cfrac {(1x)^{2}}{3y+{\cfrac {(2x)^{2}}{5y+{\cfrac {(3x)^{2}}{7y+\ddots }}}}}}}}}
{\displaystyle e^{\frac {x}{y}}=1+{\cfrac {2x}{2y-x+{\cfrac {x^{2}}{6y+{\cfrac {x^{2}}{10y+{\cfrac {x^{2}}{14y+{\cfrac {x^{2}}{18y+\ddots }}}}}}}}}}\quad \Rightarrow \quad e^{2}=7+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{11+\ddots }}}}}}}}}
{\displaystyle \log \left(1+{\frac {x}{y}}\right)={\cfrac {x}{y+{\cfrac {1x}{2+{\cfrac {1x}{3y+{\cfrac {2x}{2+{\cfrac {2x}{5y+{\cfrac {3x}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2x}{2y+x-{\cfrac {(1x)^{2}}{3(2y+x)-{\cfrac {(2x)^{2}}{5(2y+x)-{\cfrac {(3x)^{2}}{7(2y+x)-\ddots }}}}}}}}}
Esta último baséase nun algoritmo derivado por Aleksei Nikolaevich Khovansky na década de 1970. 

Exemplo: o logaritmo neperiano de 2 (= [0; 1, 2, 3, 1, 5, 2/3, 7, 1/2, 9, 2/5,... 2*k* − 1, 2/*k*,...]

{\displaystyle \log 2=\log(1+1)={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {3}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}={\cfrac {2}{3-{\cfrac {1^{2}}{9-{\cfrac {2^{2}}{15-{\cfrac {3^{2}}{21-\ddots }}}}}}}}}
#### {\displaystyle \pi }

Fórmula de Leibniz para {\displaystyle \pi }:

{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{2+{\cfrac {3^{2}}{2+{\cfrac {5^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {4(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+-\cdots }
converxe demasiado lentamente, requirindo aproximadamente 3 × 10*n* termos para conseguir *n* cifras decimais correctas. A serie derivada por Nilakantha Somayaji:

{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+\ddots }}}}}}=3-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n(n+1)(2n+1)}}=3+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}-{\frac {1}{2\cdot 3\cdot 5}}+{\frac {1}{3\cdot 4\cdot 7}}-+\cdots }
aínda converxe bastante lentamente. Por outra banda:

{\displaystyle \pi ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+\ddots }}}}}}}}=4-1+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{34}}+{\frac {16}{3145}}-{\frac {4}{4551}}+{\frac {1}{6601}}-{\frac {1}{38341}}+-\cdots }
converxe *linearmente* a {\displaystyle \pi }, engadindo polo menos tres díxitos de precisión por catro termos.

### Raíces dos números positivos

A raíz *n*-ésima de calquera número positivo *z**m* pódese expresar reformulando *z* = *x**n* + *y*, dando como resultado

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}={\sqrt[{n}]{\left(x^{n}+y\right)^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {my}{nx^{n-m}+{\cfrac {(n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(n+m)y}{3nx^{n-m}+{\cfrac {(2n-m)y}{2x^{m}+{\cfrac {(2n+m)y}{5nx^{n-m}+{\cfrac {(3n-m)y}{2x^{m}+\ddots }}}}}}}}}}}}}
que se pode simplificar, dobrando cada par de fraccións nunha fracción, a

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z^{m}}}=x^{m}+{\cfrac {2x^{m}\cdot my}{n(2x^{n}+y)-my-{\cfrac {(1^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{3n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(2^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{5n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(3^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{7n(2x^{n}+y)-{\cfrac {(4^{2}n^{2}-m^{2})y^{2}}{9n(2x^{n}+y)-\ddots }}}}}}}}}}.}
A raíz cadrada de *z* é un caso especial con *m* = 1 e *n* = 2:

{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {3y}{6x+{\cfrac {3y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {1\cdot 3y^{2}}{6(2x^{2}+y)-{\cfrac {3\cdot 5y^{2}}{10(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}}
que se pode simplificar observando que 5/10 = 3/6 = 1/2:

{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {x^{2}+y}}=x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+{\cfrac {y}{2x+\ddots }}}}}}}}=x+{\cfrac {2x\cdot y}{2(2x^{2}+y)-y-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-{\cfrac {y^{2}}{2(2x^{2}+y)-\ddots }}}}}}.}
A raíz cadrada tamén se pode expresar mediante unha fracción continua periódica, pero a forma anterior converxe máis rapidamente cos apropiados *x* e *y*.

#### Exemplo 1

A raíz cúbica de dous (2 1/3 ou 3 3√2 ≈ 1,259921...) pódese calcular de dúas formas:

En primeiro lugar, a "notación estándar" de *x* = 1, *y* = 1 e 2*z* − *y* = 3:

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}=1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {2}{2+{\cfrac {4}{9+{\cfrac {5}{2+{\cfrac {7}{15+{\cfrac {8}{2+{\cfrac {10}{21+{\cfrac {11}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {2\cdot 1}{9-1-{\cfrac {2\cdot 4}{27-{\cfrac {5\cdot 7}{45-{\cfrac {8\cdot 10}{63-{\cfrac {11\cdot 13}{81-\ddots }}}}}}}}}}.}
En segundo lugar, unha converxencia rápida con *x* = 5, *y* = 3 e 2*z* − *y* = 253:

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {0.5}{50+{\cfrac {2}{5+{\cfrac {4}{150+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {7}{250+{\cfrac {8}{5+{\cfrac {10}{350+{\cfrac {11}{5+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}={\cfrac {5}{4}}+{\cfrac {2.5\cdot 1}{253-1-{\cfrac {2\cdot 4}{759-{\cfrac {5\cdot 7}{1265-{\cfrac {8\cdot 10}{1771-\ddots }}}}}}}}.}

Véxase tamén
------------

* Fracción continua de Gauss
* Táboa de Padé
* Resolver ecuacións de segundo grao con fraccións continuas
* Problema de converxencia
* Composicións infinitas de funcións analíticas
* Algoritmo de Lentz

bibliografía
------------

* Angell, David (2010). "A family of continued fractions" (PDF). *Journal of Number Theory* **130** (4) (Elsevier). pp. 904–911. doi:10.1016/j.jnt.2009.12.003.

* Angell, David (2021). *Irrationality and Transcendence in Number Theory*. Chapman and Hall/CRC. ISBN 9780367628376.

* Beckmann, Petr (1971). *A History of Pi*. St. Martin's Press, Inc. pp. 131–133, 140–143. ISBN 0-88029-418-3.

* Bombelli, Rafael (1579). *L'algebra*.

* Borwein, Jonathan Michael; Crandall, Richard E.; Fee, Greg (2004). "On the Ramanujan AGM Fraction, I: The Real-Parameter Case". *Experimental Mathematics* **13** (3). pp. 275–285. doi:10.1080/10586458.2004.10504540.

* Cataldi, Pietro Antonio (1613). *Trattato del modo brevissimo di trovar la radice quadra delli numeri* [*A treatise on a quick way to find square roots of numbers*].

* Chrystal, George (1999). *Algebra, an Elementary Text-book for the Higher Classes of Secondary Schools and for Colleges: Pt. 1*. American Mathematical Society. p. 500. ISBN 0-8218-1649-7.

* Cusick, Thomas W.; Flahive, Mary E. (1989). *The Markoff and Lagrange Spectra*. American Mathematical Society. pp. 89. ISBN 0-8218-1531-8.

* Euclid (2008). "Elements". Clay Mathematics Institute.  Parámetro descoñecido `|orig-date=` ignorado (Axuda)

* Euler, Leonhard (1748). "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". The Euler Archive. Consultado o 2 May 2022.

* Gauss, Carl Friedrich (1813). *Disquisitiones generales circa seriem infinitam*.

* Havil, Julian (2012). *The Irrationals: A Story of the Numbers You Can't Count On*. Princeton University Press. pp. 280. ISBN 978-0691143422. JSTOR j.ctt7smdw.

* Jones, William B.; Thron, W.J. (1980). *Continued fractions. Analytic theory and applications*. Encyclopedia of Mathematics and its Applications **11**. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN 0-201-13510-8. Zbl 0445.30003.  (Covers both analytic theory and history.)

* Lorentzen, Lisa; Waadeland, Haakon (1992). *Continued Fractions with Applications*. Reading, MA: North Holland. ISBN 978-0-444-89265-2.  (Covers primarily analytic theory and some arithmetic theory.)

* Perron, Oskar (1977a). *Die Lehre von den Kettenbrüchen*. Band I: Elementare Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020219.

* Perron, Oskar (1977b). *Die Lehre von den Kettenbrüchen*. Band II: Analytisch-funktionentheoretische Kettenbrüche (3 ed.). Vieweg + Teubner Verlag. ISBN 9783519020226.

* Porubský, Štefan (2008). "Basic definitions for continued fractions". *Interactive Information Portal for Algorithmic Mathematics*. Prague, Czech Republic: Institute of Computer Science of the Czech Academy of Sciences. Consultado o 2 May 2022.

* Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007). "Section 5.2. Evaluation of Continued Fractions". *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (3rd ed.). New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

* Sardina, Manny (2007). "General Method for Extracting Roots using (Folded) Continued Fractions" (PDF). Surrey (UK).

* Szekeres, George (1970). "Multidimensional continued fractions". *Ann. Univ. Sci. Budapest. Eötvös Sect. Math.* **13**. pp. 113–140.

* Von Koch, Helge (1895). "Sur un théorème de Stieltjes et sur les fonctions définies par des fractions continues". *Bulletin de la Société Mathématique de France* **23**. pp. 33–40. JFM 26.0233.01. doi:10.24033/bsmf.508.

* Wall, Hubert Stanley (1967). *Analytic Theory of Continued Fractions* (Reprint ed.). Chelsea Pub Co. ISBN 0-8284-0207-8.  (This reprint of the D. Van Nostrand edition of 1948 covers both history and analytic theory.)

* Wallis, John (1699). *Opera mathematica* [*Mathematical Works*].

Notas
-----

1. ↑  Cusick & Flahive 1989.
2. ↑  Chrystal 1999.
3. ↑  Cataldi 1613.
4. ↑  Wallis 1699.
5. 1 2  Euler 1748.
6. ↑  Havil 2012.
7. ↑  Brahmagupta (598–670) was the first mathematician to make a systematic study of Pell's equation.
8. ↑  Gauss 1813.
9. ↑  Lorentzen & Waadeland 1992.
10. ↑  Angell 2021.
11. ↑  Porubský 2008.
12. ↑  An alternative way to calculate log(x)

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* The first twenty pages of Steven R. Finch, *Mathematical Constants*, Cambridge University Press, 2003, ISBN 0-521-81805-2, contains generalized continued fractions for √2 and the golden mean.
* (secuencia A133593 na OEIS) "Exact" continued fraction for Pi}}

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q4115724
* MAG: 96745639

 |