Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).

Un **vector**  en física e mais no cálculo vectorial é un concepto caracterizado por un valor, é dicir, un escalar (magnitude numérica), e por un sentido (que pode ser definido nun espazo 3-dimensional, ou en xeral p-dimensional). Os vectores utilízanse para describir magnitudes vectoriais tales como velocidades, aceleracións ou forzas, nas cales é importante considerar non só o valor senón tamén a dirección e máis o sentido.

Aínda que frecuentemente se describa a un vector por un número de "compoñentes", cada un deles dependente do sistema de coordenadas particular que se use, as propiedades dun vector non dependen do sistema de coordenadas usado para o describir.

Un exemplo común dun vector é a forza. Ten un valor e unha orientación en tres dimensións (a diferenza de moitas dimensións espaciais, que teñen dúas), e a suma múltipla das forzas de acordo coa lei do paralelogramo.

En matemáticas, un **vector** é un elemento dunha estrutura alxébrica chamada espazo vectorial, que esencialmente é un conxunto de elementos cun conxunto de axiomas que debe satisfacer cada un deles.

Matematicamente un vector pode ser tamén un conxunto de elementos ordenados entre si mais, a diferenza dun conxunto normal como o dos números naturais, neste caso o conxunto está ordenado.

Represéntase por un segmento orientado para denotar o seu sentido (o da frecha), a súa magnitude (a lonxitude da frecha) e mais o punto de onde parte. Para este tipo de vectores (xeralmente bi ou tridimensionais) defínense **módulo**, **dirección** e **sentido**.

Notación
--------

Compoñentes dun vector nun sistema tridimensional.
Os eixos do sistema de coordenadas descríbense xeralmente empregando as letras x, y e z, xeramente o eixo z representa o perpendicular ao plano. Os vectores pódense representar con letras, cunha frecha enriba ({\displaystyle {\vec {a}}}), ou simplemente en letra grosa ({\displaystyle \mathbf {a} }). As coordenadas ou compoñentes dun vector nun sistema de referencia poden escribirse entre parénteses e separadas con comas:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{1},a\_{2},a\_{3},...a\_{n})}.
> 
> 
> 

No espazo vectorial de tres dimensións empréganse tres compoñentes:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{x},a\_{y},a\_{z})}.
> 
> 
> 

Outro xeito típico de anotar un vector nas tres dimensións é definilo como a combinación dos vectores unitarios cartesianos i, j e k:

> 
> {\displaystyle {\vec {a}}=a\_{x}\,{\vec {i}}+a\_{y}\,{\vec {j}}+a\_{z}\,{\vec {k}}}
> 
> 
>

Propiedades
-----------

Un vector ten as seguintes propiedades:

- **Punto de aplicación**, é a orixe do vector.

- **Módulo**, expresa o valor numérico da magnitude vectorial. Represéntase pola lonxitude do segmento, sempre en valor absoluto. Por exemplo, se se quere expresar que o módulo de {\displaystyle {\vec {a}}} vale 5 unidades, faise así: {\displaystyle |{\vec {a}}|=5u}. Expresado con fórmulas, dado un vector {\displaystyle {\vec {a}}} de coordenadas {\displaystyle (a\_{x},a\_{y},a\_{z})} o seu módulo é {\displaystyle |{\vec {a}}|={\sqrt {a\_{x}^{2}+a\_{y}^{2}+a\_{z}^{2}}}}.

- **Dirección**, que é a da recta soporte, que se expresa matematicamente cunha ecuación de recta, que se lle chama *liña de acción*.

- **Sentido**, distinguíndose dous sentidos sobre a recta de aplicación do vector, graficamente, a punta da frechiña.

### Clasificación dos vectores

Segundo o seu punto de aplicación:
- **Vector fixo**, que ten un punto de aplicación definitorio, do que non se despraza.

- **Vectores deslizantes**, o seu punto de aplicación pode estar en calquera punto dunha recta soporte definida.

- **Vector libre**, non ten relevancia o seu punto de aplicación.

Outros vectores significantes:
- **Vector unitario**, un vector cuxo módulo é unha unidade, que se calcula:
{\displaystyle {\vec {u\_{a}}}={\frac {(a\_{x},a\_{y},a\_{z})}{|{\vec {a}}|}}}. Os vectores unitarios correspondentes a (1,0,0), (0,1,0) e (0,0,1) denomínanse {\displaystyle {\hat {\imath }}}, {\displaystyle {\hat {\jmath }}} e {\displaystyle {\hat {k}}}, sendo {\displaystyle {\hat {\imath }}} o vector unitario do eixe do x, {\displaystyle {\hat {\jmath }}} o vector unitario do eixo y, e {\displaystyle {\hat {k}}} o do z.

- **Vector oposto** a outro é o que ten o mesmo punto de aplicación, módulo e dirección mais sentido contrario. Así o vector oposto a {\displaystyle {\vec {a}}} é {\displaystyle -{\vec {a}}}.

- **Vectores equipolentes**, vectores con igual módulo e sentido, e rectas soporte paralelas e, entón, tamén distintos puntos de aplicación.

- **Vectores paralelos**, que teñen coordenadas proporcionais entre si (equipolentes con distinto módulo, por exemplo).

- **Vectores concorrentes**, cando teñen o mesmo punto de aplicación, no caso de vectores fixos, ou cando simplemente teñen un punto en común (punto de concorrencia).

- **Vectores coplanares**, todos os vectores están contidos no mesmo plano.

- **Vectores colineares**, que comparten unha mesma recta de acción

Suma e resta de vectores
------------------------

Suma de vectores
Resta de vectores
### Método gráfico

A suma e resta de vectores ten en conta, ademais da magnitude escalar ou módulo, o sentido das magnitudes intervenientes. Nas figuras achegadas nesta páxina esquematízase o método gráfico para buscar o resultado.

#### Método do paralelogramo

Consiste en pór graficamente os dous vectores de xeito que as respectivas orixes coincidan nun punto, completando o resto do paralelogramo por paralelas. O resultado da suma é a diagonal de dito paralelogramo.

#### Método do triángulo

Consiste en poñer graficamente un vector a continuación doutro, facendo coincidir o extremo inicial dun vector co extremo final do outro vector. O vector suma resultante forma un triángulo canda estes dous vectores, que corresponde ao lado oposto ao vértice dos vectores colocados correctamente, ou dito doutro xeito, vai dende a orixe dun vector até a fin do outro (**a** e **b** respectivamente no debuxo adxacente)

### Método analítico

* A suma

Con dous vectores de coordenadas,

{\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{x},a\_{y},a\_{z})}
{\displaystyle {\vec {b}}=(b\_{x},b\_{y},b\_{z})}
o resultado da suma é:

{\displaystyle {\vec {a}}+{\vec {b}}=[(a\_{x}+b\_{x}),(a\_{y}+b\_{y}),(a\_{z}+b\_{z})]}
* A resta

Para restar dous vectores libres {\displaystyle {\vec {a}}} e {\displaystyle {\vec {b}}} súmase {\displaystyle {\vec {a}}} co oposto de {\displaystyle {\vec {b}}}:

{\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}={\vec {a}}+(-{\vec {b}})}
O resultado da resta é:

{\displaystyle {\vec {a}}-{\vec {b}}=[(a\_{x}-b\_{x}),(a\_{y}-b\_{y}),(a\_{z}-b\_{z})]}
#### Módulo resultante

Dados dous vectores {\displaystyle {\vec {a}}} e {\displaystyle {\vec {b}}}, de módulos coñecidos e que forman o ángulo \theta  entre si, pódese obter o módulo {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|} coa seguinte fórmula:

{\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}\right|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}|\left|{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}

##### Dedución da expresión

Sexan dous vectores {\displaystyle {\vec {a}}} e {\displaystyle {\vec {b}}} que forman un ángulo \theta  entre
si:

Imaxe de vectores colocadosImaxe de vectores colocados
A fórmula para calcular {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|} dedúcese observando os triángulos rectángulos que se forman, OCB e ACB, e aplicando o Teorema de Pitágoras. No triángulo OCB:

{\displaystyle OB^{2}=OC^{2}+CB^{2}}

{\displaystyle OB=|{\vec {a}}+{\vec {b}}|}

{\displaystyle OC=\left|{\vec {a}}\left|+AC\right.\right.}

Resultando:

{\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+AC\right)^{2}+CB^{2}}

No triángulo ACB :

{\displaystyle {\frac {AC}{|{\vec {b}}|}}=\cos \theta }

{\displaystyle AC=|{\vec {b}}|\cos \theta }

{\displaystyle {\frac {CB}{|{\vec {b}}|}}=sen\theta }

{\displaystyle CB=|{\vec {b}}|sen\theta }

Substituíndo isto na igualdade de antes resulta:

{\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=\left(|{\vec {a}}|+|{\vec {b}}|\cos \theta \right)^{2}+\left(\left|{\vec {b}}|sen\theta \right)^{2}\right.}

{\displaystyle \left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\cos ^{2}\theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}sen^{2}\theta }

{\displaystyle \left.\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}\left(\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta \right)}

{\displaystyle \left.\cos ^{2}\theta +sen^{2}\theta =1\rightarrow \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|^{2}=|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}

{\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta +\left|{\vec {b}}\right|^{2}}}}

{\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|={\sqrt {\left.|{\vec {a}}|^{2}+\left|{\vec {b}}\right|^{2}+2|{\vec {a}}||{\vec {b}}\right|\cos \theta }}}

##### Obtención da Dirección

Para obter os ángulos {\displaystyle \alpha ,\beta } directores no anterior exemplo temos que coñecer o ángulo \theta  e ter calculado {\displaystyle \left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|} .

Podemos usar esta fórmula:

{\displaystyle {\frac {|{\vec {b}}|}{sen\alpha }}={\frac {|{\vec {a}}|}{sen\beta }}={\frac {\left|{\vec {a}}+{\vec {b}}\right|}{sen\theta }}}

Coa fórmula obteremos os seos, despois para achar o ángulo a partir do seo temos que ter en conta que:

{\displaystyle \alpha +\beta =\theta }

Produto dun vector por un escalar
---------------------------------

Produto por un escalar
O produto dun vector cun escalar é outro vector que conserva a dirección orixinal, o seu módulo é o produto do escalar polo módulo do vector e o sentido é o mesmo ou oposto segundo o escalar sexa positivo ou negativo respectivamente.

Graficamente sería poñer, sobre a mesma recta da dirección, o módulo tantas veces como marque o escalar, e de ser negativo, viralo sentido do vector (mire o debuxo).

Analiticamente, un número {\displaystyle n\,} e un vector {\vec a}, o produto {\displaystyle n\,{\vec {a}}} realízase multiplicando cada unha das compoñentes do vector polo escalar. Dado o vector de tres compoñente

{\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{x},a\_{y},a\_{z})}
o seu produto polo escalar é

{\displaystyle n\,\mathbf {a} =(na\_{x},na\_{y},na\_{z})}
é dicir, multiplícase por {\displaystyle n\,} cada unha das compoñentes do vector.

Ángulo entre dous vectores
--------------------------

Dados os vectores {\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{x},a\_{y},a\_{z})} e {\displaystyle {\vec {b}}=(b\_{x},b\_{y},b\_{z})}, o ángulo {\displaystyle \theta } calcúlase polo seu coseno:

{\displaystyle cos\theta ={\frac {a\_{x}b\_{x}+a\_{y}b\_{y}+a\_{z}b\_{z}}{|{\vec {a}}||{\vec {b}}|}}}
Isto deriva do produto escalar.

Produto escalar
---------------

* 

*Artigo principal**:* Produto escalar.
**A** • **B** = |**A**| |**B**| cos(θ).   
|**A**| cos(θ) é a proxección escalar de **A** sobre **B**.

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }
> 
> 
>

Produto vectorial
-----------------

*Artigo principal**:* Produto vectorial.

> 
> {\displaystyle |\mathbf {A} \times \mathbf {B} |=|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\sin \theta =A\,B\,\sin \theta }
> 
> 
>

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Escalar
* Espazo vectorial
* Cálculo vectorial

### Ligazóns externas

* Xoga con vectores
* Suma e resta de vectores *(en castelán)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q44528
* BNCF: 8106
* EBID: ID
* GND: 4202708-1
* MAG: 118965365

 |