Un conxunto {\displaystyle P} de números reais (círculos ocos e cheos), un subconxunto {\displaystyle S} de {\displaystyle P} (círculos cheos), e o ínfimo de {\displaystyle S.} Teña en conta que para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
 Un conxunto {\displaystyle A} de números reais (círculos azuis), un conxunto de límites superiores de {\displaystyle A} (rombo vermello e círculos), e o máis pequeno de eses límites superiores, é dicir, o supremo de {\displaystyle A} (diamante vermello).
En matemáticas, o **ínfimo** (abreviado **inf**) dun subconxunto {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P} é o maior elemento en {\displaystyle P} que é menor ou igual a cada elemento de {\displaystyle S,} se tal elemento existe.  Se o ínfimo de {\displaystyle S} existe, é único, e se *b* é un límite inferior de {\displaystyle S}, entón *b* é menor ou igual ao ínfimo de {\displaystyle S}. En consecuencia, o termo *límite inferior máximo* (abreviado como GLB en inglés) tamén se usa habitualmente.  O **supremo** (abreviado **sup**) dun subconxunto {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P} é o menor elemento {\displaystyle P} que é maior ou igual a cada elemento de {\displaystyle S,} se tal elemento existe.  Se o supremo de {\displaystyle S} existe, é único, e se *b* é un límite superior de {\displaystyle S}, entón o supremo de {\displaystyle S} é menor ou igual a *b*. O supremo tamén se refire como o *límite superior mínimo* (ou LUB en inglés). 

Os conceptos de ínfimo e supremo están relacionados con mínimo e máximo, mais son máis útiles na análise porque caracterizan mellor os conxuntos especiais que poden non ter mínimo ou máximo. Por exemplo, o conxunto de números reais positivos {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} (sen incluír {\displaystyle 0}) non ten un mínimo, porque calquera elemento dado de {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} podería simplemente dividirse á metade, resultando un número menor que aínda está en {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}.} Non obstante, hai exactamente un ínfimo dos números reais positivos relativos aos números reais: {\displaystyle 0,} que é menor que todos os números reais positivos e maior que calquera outro número real que se poida usar como cota inferior.

Definición formal
-----------------

Un límite inferior {\displaystyle a} de {\displaystyle S} chámase ínfimo (ou *límite inferior máximo*) de {\displaystyle S} se

* {\displaystyle a\leq x} para todo {\displaystyle x\in S.}

* para todos os límites inferiores {\displaystyle y} de {\displaystyle S} en {\displaystyle P}, {\displaystyle y\leq a} ({\displaystyle a} é maior que calquera outro límite inferior).

Do mesmo xeito, un límite superior dun subconxunto {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle (P,\leq )} é un elemento {\displaystyle b} de {\displaystyle P} tal que

* {\displaystyle b\geq x} para todo {\displaystyle x\in S.}

* para todos os límites superiores {\displaystyle z} de {\displaystyle S} en {\displaystyle P}, {\displaystyle z\geq b} ({\displaystyle b} é menor que calquera outro límite superior).

Existencia e unicidade
----------------------

Ínfimo e supremo non necesariamente existen. A existencia dun ínfimo dun subconxunto {\displaystyle S} de {\displaystyle P} pode fallar se {\displaystyle S} non ten límite inferior, ou se o conxunto de límites inferiores non contén un elemento maior. (Un exemplo diso é o subconxunto {\displaystyle \{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\}} de {\displaystyle \mathbb {Q} }, que ten límites superiores, como 1.5, mais non ten límites superiores en {\displaystyle \mathbb {Q} }.)

Se o supremo dun subconxunto {\displaystyle S} existe, é único. Así mesmo, se o infimum existe, é único.

Relación cos elementos máximos e mínimos
----------------------------------------

O ínfimo dun subconxunto {\displaystyle S} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P,} supoñendo que exista, non necesariamente pertence a {\displaystyle S.} Se o fai, é un elemento mínimo ou mínimo de {\displaystyle S.} Do mesmo xeito, se o supremo de {\displaystyle S} pertence a {\displaystyle S,} é un elemento máximo de {\displaystyle S.}

Por exemplo, considere o conxunto de números reais negativos (excluíndo o cero). Este conxunto non ten elemento maior, xa que para cada elemento do conxunto, hai outro elemento máis grande. Por exemplo, para calquera número real negativo {\displaystyle x,} hai outro número real negativo {\displaystyle {\tfrac {x}{2}},} que é maior. Por outra banda, todo número real maior ou igual a cero é certamente un límite superior neste conxunto. Polo tanto, {\displaystyle 0} é o límite superior mínimo dos reais negativos, polo que o supremo é 0. Este conxunto ten un supremo pero non un maior elemento.

No entanto, a definición de elementos máximais e mínimais é máis xeral. En particular, un conxunto pode ter moitos elementos máximais e mínimais, mentres que ínfimo e supremo son únicos.

Mentres que os máximos e mínimos deben ser membros do subconxunto que se está a considerar, o ínfimo e o supremo dun subconxunto non teñen por que ser membros dese subconxunto.


f
(
sup
S
)
=
f

(

lim

n
→
∞

s

n

)

=

lim

n
→
∞

f

(

s

n

)

,

{\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim \_{n\to \infty }s\_{n}\right)=\lim \_{n\to \infty }f\left(s\_{n}\right),}

{\displaystyle f(\sup S)=f\left(\lim _{n\to \infty }s_{n}\right)=\lim _{n\to \infty }f\left(s_{n}\right),}que (por exemplo) garante  que {\displaystyle f(\sup S)} é un punto adherente do conxunto {\displaystyle f(S)\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\{f(s):s\in S\}.} Se ademais do asumido, a función continua {\displaystyle f} é tamén unha función crecente ou non decrecente, entón incluso é posible concluír que {\displaystyle \sup f(S)=f(\sup S).} Isto pódese aplicar, por exemplo, para concluír que sempre que {\displaystyle g} é unha función de valor real (ou complexa ) con dominio {\displaystyle \Omega \neq \varnothing } cuxa norma sup {\displaystyle \|g\|\_{\infty }\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\sup \_{x\in \Omega }|g(x)|} é finita, entón para cada número real non negativo {\displaystyle q,}

O produto dun número real {\displaystyle r} e un conxunto {\displaystyle B} dos números reais é o conxunto

Ínfimo e supremo dos números reais
----------------------------------

Que o conxunto dos números reais sexa completo iimplica (e é equivalente a) que calquera subconxunto non baleiro limitado {\displaystyle S} dos números reais ten un ínfimo e un supremo. Se {\displaystyle S} non está limitado por baixo, adoita escribirse formalmente {\displaystyle \inf \_{}S=-\infty .} Se {\displaystyle S} está baleiro, escríbese {\displaystyle \inf \_{}S=+\infty .}

### Propiedades

Se {\displaystyle A} é calquera conxunto de números reais entón {\displaystyle A\neq \varnothing } se e só se {\displaystyle \sup A\geq \inf A,} e doutro xeito {\displaystyle -\infty =\sup \varnothing <\inf \varnothing =\infty .} 

Se {\displaystyle A\subseteq B} son conxuntos de números reais entón {\displaystyle \inf A\geq \inf B} (a non ser que {\displaystyle A=\varnothing \neq B} ) e {\displaystyle \sup A\leq \sup B.}

**Identificando o ínfimo e o supremo**

Se o ínfimo de {\displaystyle A} existe (é dicir, {\displaystyle \inf A} é un número real) e se {\displaystyle p} é calquera número real entón {\displaystyle p=\inf A} se e só se {\displaystyle p} é un límite inferior e para cada {\displaystyle \epsilon >0} hai un {\displaystyle a\_{\epsilon }\in A} con {\displaystyle a\_{\epsilon }<p+\epsilon .} Do mesmo xeito, se {\displaystyle \sup A} é un número real e se {\displaystyle p} é calquera número real entón {\displaystyle p=\sup A} se e só se {\displaystyle p} é un límite superior e se para cada {\displaystyle \epsilon >0} hai un {\displaystyle a\_{\epsilon }\in A} con {\displaystyle a\_{\epsilon }>p-\epsilon .}

**Relación cos límites de secuencias**

Se {\displaystyle S\neq \varnothing } é calquera conxunto non baleiro de números reais, entón sempre existe unha secuencia non decrecente {\displaystyle s\_{1}\leq s\_{2}\leq \cdots } en {\displaystyle S} tal que {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }s\_{n}=\sup S.} Do mesmo xeito, existirá unha secuencia non crecente (posiblemente diferente). {\displaystyle s\_{1}\geq s\_{2}\geq \cdots } en {\displaystyle S} tal que {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }s\_{n}=\inf S.}

Expresar o ínfimo e o supremo como límite dunha secuencia deste tipo permite aplicar teoremas de varias ramas das matemáticas. Considere por exemplo o feito ben coñecido en topoloxía que se {\displaystyle f} é unha función continua e {\displaystyle s\_{1},s\_{2},\ldots } é unha secuencia de puntos do seu dominio que converxe a un punto {\displaystyle p,} entón {\displaystyle f\left(s\_{1}\right),f\left(s\_{2}\right),\ldots } converxe necesariamente a {\displaystyle f(p).} Implica que se {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }s\_{n}=\sup S} é un número real (onde todos {\displaystyle s\_{1},s\_{2},\ldots } están en {\displaystyle S} ) e se {\displaystyle f} é unha función continua cuxo dominio contén {\displaystyle S} e {\displaystyle \sup S,} entón


‖
g

‖

∞

q

 

=

def



 

(

sup

x
∈
Ω

|

g
(
x
)

|

)

q

=

sup

x
∈
Ω

(

|

g
(
x
)

|

q

)

{\displaystyle \|g\|\_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup \_{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup \_{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}

{\displaystyle \|g\|_{\infty }^{q}~{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}~\left(\sup _{x\in \Omega }|g(x)|\right)^{q}=\sup _{x\in \Omega }\left(|g(x)|^{q}\right)}posto que o mapa {\displaystyle f:[0,\infty )\to \mathbb {R} } definido por {\displaystyle f(x)=x^{q}} é unha función continua non decrecente cuxo dominio {\displaystyle [0,\infty )} sempre contén {\displaystyle S:=\{|g(x)|:x\in \Omega \}} e {\displaystyle \sup S\,{\stackrel {\scriptscriptstyle {\text{def}}}{=}}\,\|g\|\_{\infty }.}


A
+
B
 
:=
 
{
a
+
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}

{\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}

{\displaystyle A+B~:=~\{a+b:a\in A,b\in B\}}Aínda que esta discusión centrouse en {\displaystyle \sup ,} pódese chegar a conclusións semellantes con {\displaystyle \inf } cos cambios adecuados (como esixir que {\displaystyle f} ser non crecente en lugar de non diminuír). Outras normas definidas en termos de {\displaystyle \sup } ou {\displaystyle \inf } inclúen as normas de espazos febles {\displaystyle L^{p,w}}(para {\displaystyle 1\leq p<\infty } ), a norma no espazo de Lebesgue {\displaystyle L^{\infty }(\Omega ,\mu ),} e normas de operador. As secuencias monótonas en {\displaystyle S} que converxen a {\displaystyle \sup S} (ou a {\displaystyle \inf S}) tamén se pode usar para axudar a probar moitas das fórmulas que se indican a continuación, xa que a suma e a multiplicación de números reais son operacións continuas.

### Operacións aritméticas sobre conxuntos

As seguintes fórmulas dependen dunha notación que xeneraliza convenientemente as operacións aritméticas sobre conxuntos. En todo o que segue, {\displaystyle A,B\subseteq \mathbb {R} } son conxuntos de números reais.

**Suma de conxuntos**

A suma de Minkowski de dous conxuntos {\displaystyle A} e {\displaystyle B} dos números reais é o conxunto


inf
(
A
+
B
)
=
(
inf
A
)
+
(
inf
B
)

{\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}

{\displaystyle \inf(A+B)=(\inf A)+(\inf B)}composto por todas as posibles sumas aritméticas de pares de números, un de cada conxunto. O ínfimo e o supremo da suma de Minkowski satisfai


sup
(
A
+
B
)
=
(
sup
A
)
+
(
sup
B
)
.

{\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}

{\displaystyle \sup(A+B)=(\sup A)+(\sup B).}A multiplicación de dous conxuntos {\displaystyle A} e {\displaystyle B} dos números reais defínese de forma similar á súa suma de Minkowski:


A
⋅
B
 
:=
 
{
a
⋅
b
:
a
∈
A
,
b
∈
B
}
.

{\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}

{\displaystyle A\cdot B~:=~\{a\cdot b:a\in A,b\in B\}.}**Produto de conxuntos**


r
B
 
:=
 
{
r
⋅
b
:
b
∈
B
}
.

{\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}

{\displaystyle rB~:=~\{r\cdot b:b\in B\}.}Se {\displaystyle A} e {\displaystyle B} son conxuntos non baleiros de números reais positivos daquela {\displaystyle \inf(A\cdot B)=(\inf A)\cdot (\inf B)} e do mesmo xeito para o supremo {\displaystyle \sup(A\cdot B)=(\sup A)\cdot (\sup B).} 
**Produto escalar dun conxunto**


inf
(
r
⋅
A
)
=
r
(
inf
A
)

 and 

sup
(
r
⋅
A
)
=
r
(
sup
A
)
,

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\inf A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\sup A),}Se {\displaystyle r\geq 0} daquela


inf
(
r
⋅
A
)
=
r
(
sup
A
)

 and 

sup
(
r
⋅
A
)
=
r
(
inf
A
)
.

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}

{\displaystyle \inf(r\cdot A)=r(\sup A)\quad {\text{ and }}\quad \sup(r\cdot A)=r(\inf A).}mentres que se {\displaystyle r\leq 0} entón


inf
(
−
A
)
=
−
sup
A

 and 

sup
(
−
A
)
=
−
inf
A
.

{\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}

{\displaystyle \inf(-A)=-\sup A\quad {\text{ and }}\quad \sup(-A)=-\inf A.}


1
S

 
:=

{

1
s

:
s
∈
S

}

.

{\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}

{\displaystyle {\frac {1}{S}}~:=\;\left\{{\tfrac {1}{s}}:s\in S\right\}.}**Inverso multiplicativo dun conxunto**

Para calquera conxunto {\displaystyle S} que non contén {\displaystyle 0,} sexa


1

sup

S

 
=
 

inf


1
S

{\displaystyle {\frac {1}{\sup \_{}S}}~=~\inf \_{}{\frac {1}{S}}}

{\displaystyle {\frac {1}{\sup _{}S}}~=~\inf _{}{\frac {1}{S}}}Se {\displaystyle S\subseteq (0,\infty )} non está baleiro entón


x
≤
y

 en 

P

op

 se e só se 

x
≥
y

 en 

P
,

{\displaystyle x\leq y{\text{ en }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ se e só se }}\quad x\geq y{\text{ en }}P,}

{\displaystyle x\leq y{\text{ en }}P^{\operatorname {op} }\quad {\text{ se e só se }}\quad x\geq y{\text{ en }}P,}onde esta ecuación tamén vale cando {\displaystyle \sup \_{}S=\infty } se usamos a definición {\displaystyle {\frac {1}{\infty }}:=0}.  Esta igualdade pódese escribir alternativamente como {\displaystyle {\frac {1}{\displaystyle \sup \_{s\in S}s}}=\inf \_{s\in S}{\tfrac {1}{s}}.} Alén diso, {\displaystyle \inf \_{}S=0} se e só se {\displaystyle \sup \_{}{\tfrac {1}{S}}=\infty ,} onde se  {\displaystyle \inf \_{}S>0,} entón {\displaystyle {\tfrac {1}{\inf \_{}S}}=\sup \_{}{\tfrac {1}{S}}.}

Dualidade
---------

Se se denota por {\displaystyle P^{\operatorname {op} }} o conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P} coa relación de orde oposta; é dicir, para todo {\displaystyle x{\text{ e }}y,} declaramos:


sup
{
f
(
t
)
+
g
(
t
)
:
t
∈
A
}
 
≤
 
sup
{
f
(
t
)
:
t
∈
A
}
+
sup
{
g
(
t
)
:
t
∈
A
}

{\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}

{\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}entón o ínfimo dun subconxunto {\displaystyle S} en {\displaystyle P} é igual ao supremo de {\displaystyle S} en {\displaystyle P^{\operatorname {op} }} e viceversa.

Para os subconxuntos dos números reais, cúmprese outro tipo de dualidade: {\displaystyle \inf S=-\sup(-S),} onde {\displaystyle -S:=\{-s~:~s\in S\}.}

Exemplos
--------

### Ínfimo

* O ínfimo do conxunto dos números {\displaystyle \{2,3,4\}} é {\displaystyle 2.} O número {\displaystyle 1} é un límite inferior, mais non o límite inferior maior e, polo tanto, non é o ínfimo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o ínfimo e o mínimo son iguais.
* Máis xeralmente, se un conxunto ten un elemento máis pequeno, entón o elemento máis pequeno é o ínfimo para o conxunto. Neste caso, tamén se denomina mínimo do conxunto.
* {\displaystyle \inf\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=0.}
* {\displaystyle \inf \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{3}>2\right\}={\sqrt[{3}]{2}}.}
* {\displaystyle \inf \left\{(-1)^{n}+{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=-1.}
* Se {\displaystyle \left(x\_{n}\right)\_{n=1}^{\infty }} é unha secuencia decrecente con límite {\displaystyle x,} entón {\displaystyle \inf x\_{n}=x.}

### Supremo

* O supremo do conxunto de números {\displaystyle \{1,2,3\}} é {\displaystyle 3.} O número {\displaystyle 4} é un límite superior, mais non é o límite superior mínimo e, polo tanto, non é o supremo. Para conxuntos finitos totalmente ordenados, o supremo e o máximo son iguais.
* {\displaystyle \sup\{x\in \mathbb {R} :0<x<1\}=\sup\{x\in \mathbb {R} :0\leq x\leq 1\}=1.}
* {\displaystyle \sup \left\{(-1)^{n}-{\tfrac {1}{n}}:n=1,2,3,\ldots \right\}=1.}
* {\displaystyle \sup\{a+b:a\in A,b\in B\}=\sup A+\sup B.}
* {\displaystyle \sup \left\{x\in \mathbb {Q} :x^{2}<2\right\}={\sqrt {2}}.}

No último exemplo, o supremo dun conxunto de racionais é irracional, o que significa que os racionais son incompletos.

Unha propiedade básica do supremo é


sup
{
f
(
t
)
+
g
(
t
)
:
t
∈
A
}
 
≤
 
sup
{
f
(
t
)
:
t
∈
A
}
+
sup
{
g
(
t
)
:
t
∈
A
}

{\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}

{\displaystyle \sup\{f(t)+g(t):t\in A\}~\leq ~\sup\{f(t):t\in A\}+\sup\{g(t):t\in A\}}
para calquera funcionais {\displaystyle f} e {\displaystyle g.}

O supremo dun subconxunto {\displaystyle S} de {\displaystyle (\mathbb {N} ,\mid \,)} onde {\displaystyle \,\mid \,} denota "divide", é o mínimo común múltiplo dos elementos de {\displaystyle S.}

Véxase tamén
------------

* Elementos maximal e minimal
* Límite superior e límite inferior
* Elemento maiorante e minorante

Notas
-----

1. 1 2 3 4  *Principles of mathematical analysis*. 1976. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
2. ↑  Rockafellar & Wets 2009.
3. ↑  "Mathematical Analysis I". pp. 39–42.

1. ↑   Dado que {\displaystyle f\left(s\_{1}\right),f\left(s\_{2}\right),\ldots } é unha secuencia en {\displaystyle f(S)} que converxe a {\displaystyle f(\sup S),} isto garante que {\displaystyle f(\sup S)} pertence ao pechamento de {\displaystyle f(S).}
2. 1 2  A definición {\displaystyle {\tfrac {1}{\infty }}:=0} úsase normalmente nos números reais estendidos; de feito, con esta definición a igualdade {\displaystyle {\tfrac {1}{\sup \_{}S}}=\inf \_{}{\tfrac {1}{S}}} tamén se cumpre para calquera subconxunto non baleiro {\displaystyle S\subseteq (0,\infty ].} Porén, a notación {\displaystyle {\tfrac {1}{0}}} fica sen definir, e por tanto a igualdade {\displaystyle {\tfrac {1}{\inf \_{}S}}=\sup \_{}{\tfrac {1}{S}}} só se dá para cando {\displaystyle \inf \_{}S>0.}

Véxase tamén
------------

* Elementos maximal e minimal
* Límite superior e límite inferior
* Elemento maiorante e minorante

### Ligazóns externas

* , Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Breitenbach, Jerome R.; Weisstein, Eric W. "Ínfimo e supremo". *MathWorld*.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q17502105
* BRE: 2015635
* MAG: 95611797

 |