O ángulo inscrito *θ* é a metade do ángulo central 2θ que subtende o mesmo arco no círculo. Así, os ángulos *θ* non mudan cando o seu vértice se move pola circunferencia.
En xeometría, un **ángulo inscrito** é o ángulo formado no interior dun círculo cando dúas rectas secantes (ou, no caso límite, cando unha recta secante e unha recta tanxente á circunferencia) intersecta na circunferencia. Tamén pódese definir como o ángulo subtendido nun punto da circunferencia por dous puntos dados da circunferencia. Ao fixar estes puntos, todos os ángulos da mesma amplitude que subtenden a corda definida polos puntos están nun mesmo arco de circunferencia, que é o **arco capaz**.

Outra definición equivalente é a de que un ángulo inscrito está definido por dúas cordas que cordas do círculo que comparten un extremo.

O **teorema do ángulo inscrito** relaciona a amplitude dun ángulo inscrito á do ángulo central subtendido polo mesmo arco.

Teorema
-------

### Enunciado

Para dous puntos fixos *A* e *B*, o conxunto de puntos *M* do plano para os cales o ángulo *AMB* é igual a *α* é o arco dunha circunferencia. A amplitude de ∠ *AOB*, *o*nde O é o centro do círculo, é 2α.
O *teorema do ángulo inscrito* expón que un ángulo *θ* inscrito nunha circunferencia ten a metade de amplitude que o ángulo central 2θ que é subtendido polo mesmo arco. Polo tanto, os ángulo non mudan cando o seu vértice é movido a diferentes posicións na circunferencia.

### Proba

#### Ángulos inscritos onde unha corda é un diámetro

Caso: Un corda é un diámetro
Sexa *O* o centro da circunferencia, ao xeito do debuxo. Escollemos d*o*us puntos na circunferencia, que serán V e *A*. Estendemos a recta *V*O de xeito que intersecta a circunferencia no punto *B*, que é diametralmente oposto ao punto *V*. Debuxamos un ángulo cuxo vértice é o punto V e cuxos costados pasan polos puntos *A* e *B*.

Debuxamos a recta *OA*. O ángulo *BOA* é un ángulo central e chamarémolo θ. As rectas *OV* e *OA* son dous raios do círculo, así que logo teñen a mesma lonxitude. Por tanto, o triángulo *VOA* é isóscele, de aí que o ángulo *BVA* (o ángulo inscrito) e o ángulo *VAO* son iguais; denotaremos ámbolos ángulos como *ψ*.

Os ángulos *BOA* e *AOV* son suplementarios, xa que suman 180° porque a recta *VB* que atravesa O é unha liña recta. Daquela, o ángulo *AOV* mide 180° − *θ*.

É un resultado coñecido que os tres ángulos dun triángulo suman 180°, e os tres ángulos do triángulo *VOA* son:

180° − *θ*
*ψ*
*ψ*.
Daquela,

{\displaystyle 2\psi +180^{\circ }-\theta =180^{\circ }.}
Restando 180° a ámbolos dous lados,

{\displaystyle 2\psi =\theta ,}
onde *θ* é o ángulo central subtendido polo arco AB e *ψ* é o ángulo inscrito subtendido polo arco *AB*.

#### Ángulos inscritos co centro do círculo no seu interior

Caso: Centro no interior do ángulo
Dado unha circunferencia cuxo centro é o punto O, escollemos tres puntos V, C, e D da circunferencia. Trazamos as rectas *VC* e *VD*, formando o ángulo inscrito *DVC*. Logo trazamos a recta *VO* estendéndoa pasando polo punto *O* e intersectando o circunferencia no punto *E*. O ángulo *DVC* está subtendido polo arco *DC* da circunferencia.

Supoñemos que este arco inclúe o punto *E* dentro del. O punto *E* é diam*e*tralmente oposto ao punto V. Os ángulos *DVE* e *EVC* son tamén ángulos inscritos, mais estes ángulos teñen un costado que pasa polo centro do círculo, polo que podémoslle aplicar o teorema anterior.

Daquela,

{\displaystyle \angle DVC=\angle DVE+\angle EVC.}
logo sexan

{\displaystyle \psi \_{0}=\angle DVC,}
{\displaystyle \psi \_{1}=\angle DVE,}
{\displaystyle \psi \_{2}=\angle EVC,}
conque

{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{1}+\psi \_{2}.\qquad \qquad (1)}
Debuxamos as rectas *OC* e OD. O ángulo *DOC* é un ángulo central, mais tamén os ángulos *DOE* e *EOC*, e

{\displaystyle \angle DOC=\angle DOE+\angle EOC.}
Sexa

{\displaystyle \theta \_{0}=\angle DOC,}
{\displaystyle \theta \_{1}=\angle DOE,}
{\displaystyle \theta \_{2}=\angle EOC,}
De modo que

{\displaystyle \theta \_{0}=\theta \_{1}+\theta \_{2}.\qquad \qquad (2)}
Temos que {\displaystyle \theta \_{1}=2\psi \_{1}}e {\displaystyle \theta \_{1}=2\psi \_{1}}, que ámbolos dous combinados coa ecuación (2), obtemos

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{1}+2\psi \_{2}}
Daquela, pola ecuación (1),

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{0}.}
#### Ángulos inscritos co centro do círculo no seu exterior

Caso: Centro entro exterior ao ángulo
O caso anterior pode ser estendido para cubrir o caso onde a amplitude do ángulo inscrito é a *diferenza* entre dous ángulos inscritos, como se verá na primeira parte desta proba.

Dado unha circunferencia con centro no punto O, escollemos tres puntos *V*, *C*, e *D* da circunferencia. Trazamos as rectas *VC* e *VD*, definindo o ángulo inscrito *DVC*. Despois estendemos a recta *VO* a fin de que atravese o punto *O* e intersectando a circunferencia no punto *E*. Así, o arco *DC* subtende o ángulo *DVC*.

Supoñemos que este arco non inclúe o punto *E* nel. Sabemos que o punto *E* é diam*e*tralmente oposto a *V*. Os ángulos *EVD* e *EVC* son ángulos inscritos, mais ámbolos dous teñen un costado que pasa polo centro *O*, polo que se lles pode aplicar o teorema anterior

Daquela,

{\displaystyle \angle DVC=\angle EVC-\angle EVD}
entón sexan

{\displaystyle \psi \_{0}=\angle DVC,}
{\displaystyle \psi \_{1}=\angle EVD,}
{\displaystyle \psi \_{2}=\angle EVC,}
deste xeito

{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{2}-\psi \_{1}.\qquad \qquad (3)}

Trazamos as rectas *OC* e OD e formamos o ángulo *DOC*, que é un ángulo central, como tamén o son *EOD* e *EOC*, e

> {\displaystyle \angle DOC=\angle EOC-\angle EOD}
> 
> 

Sexa

{\displaystyle \theta \_{0}=\angle DOC,}
{\displaystyle \theta \_{1}=\angle EOD,}
{\displaystyle \theta \_{2}=\angle EOC,}
entón

{\displaystyle \theta \_{0}=\theta \_{2}-\theta \_{1}.\qquad \qquad (4)}
Temos que {\displaystyle \theta \_{1}=2\psi \_{1}}e {\displaystyle \theta \_{2}=2\psi \_{2}}, que combinas ámbolos dous resultados coa ecuación (2) obtemos

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{2}-2\psi \_{1}}
Por tanto, pola ecuación (3),

{\displaystyle \theta \_{0}=2\psi \_{0}.}
### Corolarios

Por un argumento similar, o ángulo entre unha corda e a recta tanxente a unha dos puntos de intersección é igual a metade do ángulo central subtendido pola corda.

Dous resultados directos do teorema sería:

* Dous ángulos inscritos que subtenden o mesmo arco teñen a mesma amplitude.
* Dous ángulos inscritos que subtenden arcos complementarios (que xuntos forman a circunferencia toda) son suplementarios.

Aplicacións
-----------

O teorema do ángulo inscrito é utilizado en moitas probas de xeometría euclidiana no plano. Un caso especial é o do teorema de Tales, que expón que o ángulo subtendido polo diámetro é sempre un ángulo recto, 90º.

Outra consecuencia é que os ángulos de oposto de cuadrilátero cíclico suman 180° e ao revés, calquera cuadrilátero para o cal isto é certo é inscribíbel nunha circunferencia.

Outro exemplo, o teorema do ángulo inscrito é parte da base de varios teoremas relacionados coa potencia dun punto respecto á circunferencia. Entre eles, permite demostrar que cando dúas cordas intersectan dentro da circunferencia, os produtos das lonxitudes das súas partes son iguais.

Par de arcos capaces
--------------------

Par de arcos capaces de 60º.
Debido para dous puntos fixos *A* e *B*, o conxunto de puntos *M* do plano para os cales o ángulo *AMB* é igual a *α* é o arco dunha circunferencia, é razoábel pensar definir o *lugar xeométrico* dos puntos que enxergan un segmento *AB* nun determinado ángulo *α*, que se chama **par de arcos capaces**, por estar formado por dos arcos, que son simétricos polo segmento *AB*.

Pódese observar que os puntos *A* e *B* non comparten das propiedades do lugar xeométrico. Por exemplo, a circunferencia ten como unha das súas características ser un par de arcos capaces dos puntos que enxergan o seu diámetro *AB* a 90º, exceptuando-se os puntos *A* e *B* do propio diámetro.

### Proceso de construción

#### Arcos menores do que 90º

Os pasos para a construción do par de arcos capaces dun ángulo *α* e un segmento *AB* son os seguintes:

1. Deseñar un ángulo *α* (*α=*60º na figura), tal que *B* sexa o vértice e *AB* un dos segmentos que o forma.
2. No lado oposto, trazar o ángulo complementario, é dicir, 90º-*α* (neste caso, o de 30º).
3. Determinar o punto *O* mediante a intersección da mediatriz de *AB* co costado do ángulo de 90º-*α*. Este é o centro dun dos arcos capaces de *α*°.
4. A fin de achar o outro arco, este pode ser obtido por simetría en relación ao segmento *AB*.

#### Arcos maiores do que 90º

O arco de circunferencia desprezado na construción do arco capaz de *α*, o cal completaría a circunferencia, é o arco capaz do ángulo de 180º-*α*, ou sexa, na figura sería o 120º.

Notas
-----

1. ↑  Moise et al. 1990, p. 233.
2. ↑  Ogilvy et al. 1990, p. 7.
3. ↑  Gellert et al. 1975, p. 250.
4. ↑  Ogilvy et al. 1990, p. 23.
5. ↑  Marmo & Marmo 1994, p. 101.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Gellert; Küstner; Hellwich; Kästner (1975). *The VNR Concise Encyclopedia of Mathematics*. Springer US. ISBN 978-1-4684-8239-3.
* Moise, Edwin (1990). *Elementary Geometry from an Advanced Standpoint*. Addison Wesley. ISBN 9780201508673.
* Ogilvy, C. Stanley (1990). *Excursions in geometry*. Dover Publications. ISBN 0-486-26530-7.
* Marmo, Carlos; Marmo, Nicolau (1994). *Desenho geométrico*. ISBN 85-262-1868-9.
* Putnoki, José Carlos (1993). *Elementos Geometria E Desenho Geometrico* **1**. ISBN 978-8526214675.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q915985
* BRE: 2333259
* MAG: 102712870

 |