Un triángulo con lados *a*, *b*, *c e ángulos opostos* {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }
En xeometría, **a fórmula de Herón** dá a área dun triángulo en función das tres lonxitudes dos lados {\displaystyle a,} {\displaystyle b,} {\displaystyle c.} Sexa {\displaystyle s} o semiperímetro do triángulo, {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c),} a área {\displaystyle A} é 

{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.}
Leva o nome do enxeñeiro Herón de Alexandría do século I quen a demostrou na súa obra *Metrica*, aínda que probablemente se coñecía séculos antes.

Exemplo
-------

Sexa {\displaystyle \triangle ABC} o triángulo con lados {\displaystyle a=4,}{\displaystyle b=13,} e {\displaystyle c=15.} O semiperímetro deste triángulo é {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)={}}{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}(4+13+15)=16}, a área será logo

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}

Expresións alternativas
-----------------------

A fórmula de Herón tamén se pode escribir en termos só das lonxitudes, sen usar o semiperímetro,

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}.\\[6mu]A&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.\end{aligned}}}
A mesma relación pódese expresar usando o determinante de Cayley-Menger, 

{\displaystyle -16A^{2}={\begin{vmatrix}0&a^{2}&b^{2}&1\\a^{2}&0&c^{2}&1\\b^{2}&c^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{vmatrix}}.}

Probas
------

### Proba trigonométrica mediante a lei dos cosenos

En primeiro lugar mostramos unha proba moderna, bastante diferente da proporcionada por Herón.  Sexan {\displaystyle a,} {\displaystyle b,} {\displaystyle c} os lados do triángulo e {\displaystyle \alpha ,} {\displaystyle \beta ,} {\displaystyle \gamma } os ángulos opostos a eses lados (figura inicial). Aplicando a lei dos cosenos obtemos

{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
A partir deste coseno obtemos o seno,

{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
A altura do triángulo con base {\displaystyle a} mide {\displaystyle b\sin \gamma }, e segue

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\tfrac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altura}})\\[6mu]&={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma \\[6mu]&={\frac {ab}{4ab}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2a^{2}c^{2}+2b^{2}c^{2}}}\\[6mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[6mu]&={\sqrt {\left({\frac {a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {-a+b+c}{2}}\right)\left({\frac {a-b+c}{2}}\right)\left({\frac {a+b-c}{2}}\right)}}\\[6mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
### Proba alxébrica mediante o teorema de Pitágoras

Triángulo coa altura h que corta a base c en *d* + (*c* − *d*)
A seguinte proba é moi semellante á dada por Raifaizen.  Polo teorema de Pitágoras temos {\displaystyle b^{2}=h^{2}+d^{2}} e {\displaystyle a^{2}=h^{2}+(c-d)^{2}} segundo a figura de enriba. Restando temos, {\displaystyle a^{2}-b^{2}=c^{2}-2cd.} Esta ecuación permítenos expresar {\displaystyle d} en función dos lados do triángulo:

{\displaystyle d={\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}.}
Para a altura do triángulo temos {\displaystyle h^{2}=b^{2}-d^{2}.} Se substituímos {\displaystyle d} coa fórmula dada anteriormente e aplicando a diferenza de cadrados obtemos

{\displaystyle {\begin{aligned}h^{2}&=b^{2}-\left({\frac {-a^{2}+b^{2}+c^{2}}{2c}}\right)^{2}\\&={\frac {(2bc-a^{2}+b^{2}+c^{2})(2bc+a^{2}-b^{2}-c^{2})}{4c^{2}}}\\&={\frac {{\big (}(b+c)^{2}-a^{2}{\big )}{\big (}a^{2}-(b-c)^{2}{\big )}}{4c^{2}}}\\&={\frac {(b+c-a)(b+c+a)(a+b-c)(a-b+c)}{4c^{2}}}\\&={\frac {2(s-a)\cdot 2s\cdot 2(s-c)\cdot 2(s-b)}{4c^{2}}}\\&={\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}.\end{aligned}}}
E por último:

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {ch}{2}}\\&={\sqrt {{\frac {c^{2}}{4}}\cdot {\frac {4s(s-a)(s-b)(s-c)}{c^{2}}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
### Proba trigonométrica mediante a lei das cotanxentes

 Significado xeométrico de *s* − *a*, *s* − *b* e *s* − *c*. Vexa a lei das cotanxentes para coñecer o razoamento detrás disto.
Se {\displaystyle r} é o raio do círculo inscrito do triángulo, entón o triángulo pódese dividir en tres triángulos de igual altitude {\displaystyle r} e bases {\displaystyle a,} {\displaystyle b,} e {\displaystyle c.} A súa área combinada é

{\displaystyle A={\tfrac {1}{2}}ar+{\tfrac {1}{2}}br+{\tfrac {1}{2}}cr=rs,}
onde {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} é o semiperímetro.

O triángulo pódese dividir alternativamente en seis triángulos (en pares congruentes) de altura {\displaystyle r} e bases {\displaystyle s-a,} {\displaystyle s-b,} e {\displaystyle s-c} de área combinada (ver lei das cotanxentes)

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=r(s-a)+r(s-b)+r(s-c)\\[2mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}+{\frac {s-b}{r}}+{\frac {s-c}{r}}\right)\\[2mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}+\cot {\frac {\beta }{2}}+\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left(\cot {\frac {\alpha }{2}}\cot {\frac {\beta }{2}}\cot {\frac {\gamma }{2}}\right)\\[3mu]&=r^{2}\left({\frac {s-a}{r}}\cdot {\frac {s-b}{r}}\cdot {\frac {s-c}{r}}\right)\\[3mu]&={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{r}}.\end{aligned}}}
O paso medio anterior é {\textstyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}+\cot {\tfrac {\beta }{2}}+\cot {\tfrac {\gamma }{2}}={}}{\displaystyle \cot {\tfrac {\alpha }{2}}\cot {\tfrac {\beta }{2}}\cot {\tfrac {\gamma }{2}},} a <a href="./Identidades\_trigonométricas" rel="mw:WikiLink" data-linkid="undefined" data-cx="{&amp;quot;userAdded&amp;quot;:true,&amp;quot;adapted&amp;quot;:true}">identidade cotanxente tripla</a>, que aplica porque a suma dos semiángulos é {\textstyle {\tfrac {\alpha }{2}}+{\tfrac {\beta }{2}}+{\tfrac {\gamma }{2}}={\tfrac {\pi }{2}}.}

Combinando as dúas, conseguimos

{\displaystyle A^{2}=s(s-a)(s-b)(s-c).}

Estabilidade numérica
---------------------

A fórmula de Herón, como se indica anteriormente, é numericamente inestable para triángulos cun ángulo moi pequeno cando se usa a aritmética de coma flotante. Unha alternativa estable consiste en organizar as lonxitudes dos lados de xeito que {\displaystyle a\geq b\geq c} e calcular  

{\displaystyle A={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {{\big (}a+(b+c){\big )}{\big (}c-(a-b){\big )}{\big (}c+(a-b){\big )}{\big (}a+(b-c){\big )}}}.}
Respectando os corchetes na avaliación.

Fórmulas semellantes da área do triángulo
-----------------------------------------

En función das medianas , {\displaystyle m\_{a},} {\displaystyle m\_{b},} {\displaystyle m\_{c}} e a súa semisuma, {\displaystyle \sigma ={\tfrac {1}{2}}(m\_{a}+m\_{b}+m\_{c}),} daquela 

{\displaystyle A={\frac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m\_{a})(\sigma -m\_{b})(\sigma -m\_{c})}}.}
En función das alturas, {\displaystyle h\_{a}}, {\displaystyle h\_{b}}, {\displaystyle h\_{c}} e a semisuma dos seus recíprocos {\displaystyle H={\tfrac {1}{2}}{\bigl (}h\_{a}^{-1}+h\_{b}^{-1}+h\_{c}^{-1}{\bigr )},} daquela

{\displaystyle A^{-1}=4{\sqrt {H{\bigl (}H-h\_{a}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h\_{b}^{-1}{\bigr )}{\bigl (}H-h\_{c}^{-1}{\bigr )}}}.}
En función dos ángulos {\displaystyle \alpha ,} {\displaystyle \beta ,} {\displaystyle \gamma } e a semisuma dos seus senos {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}(\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma ),} daquela 

{\displaystyle {\begin{aligned}A&=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{2}}D^{2}\sin \alpha \,\sin \beta \,\sin \gamma ,\end{aligned}}}
onde {\displaystyle D} é o diámetro do círculo circunscrito, {\displaystyle D=a/{\sin \alpha }=b/{\sin \beta }=c/{\sin \gamma }.} Esta última fórmula coincide coa fórmula estándar de Herón cando o círculo circunscrito ten un diámetro unitario.

Xeneralizacións
---------------

 Cuadrilátero cíclico
A fórmula de Herón é un caso especial da fórmula de Brahmagupta para a área dun cuadrilátero cíclico. A fórmula de Herón e a fórmula de Brahmagupta son casos especiais da fórmula de Bretschneider para a área dun cuadrilátero. A fórmula de Herón pódese obter a partir da fórmula de Brahmagupta ou da fórmula de Bretschneider poñendo un dos lados do cuadrilátero a cero.

A fórmula de Brahmagupta para a área {\displaystyle K} dun cuadrilátero cíclico cuxos lados teñen lonxitudes {\displaystyle a,} {\displaystyle b,} {\displaystyle c,} {\displaystyle d} sería

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
onde {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d)} é o semiperímetro.

Outra xeneralización da fórmula de Herón para pentágonos e hexágonos inscritos nun círculo foi descuberta por David P. Robbins. 

### Fórmula tipo Herón para o volume dun tetraedro

Se {\displaystyle U,} {\displaystyle V,} {\displaystyle W,} {\displaystyle u,} {\displaystyle v,} {\displaystyle w} son lonxitudes de arestas do tetraedro (os tres primeiros forman un triángulo; {\displaystyle u} oposto a {\displaystyle U} e igual para o resto), daquela 

{\displaystyle {\text{volume}}={\frac {\sqrt {\,(-a+b+c+d)\,(a-b+c+d)\,(a+b-c+d)\,(a+b+c-d)}}{192\,u\,v\,w}}}
onde

{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {xYZ}}\\b&={\sqrt {yZX}}\\c&={\sqrt {zXY}}\\d&={\sqrt {xyz}}\\X&=(w-U+v)\,(U+v+w)\\x&=(U-v+w)\,(v-w+U)\\Y&=(u-V+w)\,(V+w+u)\\y&=(V-w+u)\,(w-u+V)\\Z&=(v-W+u)\,(W+u+v)\\z&=(W-u+v)\,(u-v+W).\end{aligned}}}
### Fórmulas de Herón en xeometrías non euclidianas

Tamén hai fórmulas para a área dun triángulo en función da lonxitude dos seus lados para os triángulos da esfera ou do plano hiperbólico.  Para un triángulo na esfera con lonxitudes de lados {\displaystyle a,} {\displaystyle b,} e {\displaystyle c}, semiperímetro {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)} e área {\displaystyle S}, temos

triángulo na esfera:

{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tan {\frac {s}{2}}\tan {\frac {s-a}{2}}\tan {\frac {s-b}{2}}\tan {\frac {s-c}{2}}}
triángulo no plano hiperbólico:

{\displaystyle \tan ^{2}{\frac {S}{4}}=\tanh {\frac {s}{2}}\tanh {\frac {s-a}{2}}\tanh {\frac {s-b}{2}}\tanh {\frac {s-c}{2}}.}

Véxase tamén
------------

Bibliografía
------------

Ligazóns externas
-----------------

1. ↑   **107**. 2000: 402–415. JSTOR 2695295. MR 1763392. doi:10.1080/00029890.2000.12005213 .  Falta o `|title=` (Axuda)
2. ↑   **11**. 1991: 579–593. doi:10.1016/S0747-7171(08)80120-4.  Falta o `|title=` (Axuda); `|data-acceso=` require `|url=` (Axuda)
3. ↑ . 1981. pp. 7–8. Consultado o registration.  Falta o `|title=` (Axuda)
4. ↑   **44** (1). 1971: 27–28. doi:10.1080/0025570X.1971.11976093.  Falta o `|title=` (Axuda)
5. ↑ . Prentice-Hall Series in Automatic Computation. ISBN 0-13-322495-3.  Falta o `|title=` (Axuda)
6. ↑   (PDF) .  Falta o `|title=` (Axuda)
7. ↑  Benyi, Arpad, "A Heron-type formula for the triangle," *Mathematical Gazette* 87, July 2003, 324–326.
8. ↑  Mitchell, Douglas W. "A Heron-type formula for the reciprocal area of a triangle," *Mathematical Gazette* 89, November 2005, 494.
9. ↑   **93**. 2009: 108–109. doi:10.1017/S002555720018430X.  Falta o `|title=` (Axuda)
10. ↑   (PDF) **116** (3): 228–237. doi:10.1080/00029890.2009.11920932 .  Falta o `|title=` (Axuda)
11. ↑  D. P. Robbins, "Areas of Polygons Inscribed in a Circle", Discr. Comput. Geom. 12, 223-236, 1994.
12. ↑  W. Kahan, "What has the Volume of a Tetrahedron to do with Computer Programming Languages?",, pp. 16–17.
13. ↑  Gamkrelidze (ed.). Encycl. Math. Sci. **29**. p. 66. ISBN 1-56085-072-8.  Falta o `|title=` (Axuda)