Na Matemática, dados dous conxuntos *X* e *Y*, o **produto cartesiano** (ou *produto directo*) dos dous conxuntos (escrito como *X* × *Y*) é o conxunto de todos os pares ordenados cuxo primeiro elemento pertence a *X* e o segundo, a *Y*.

{\displaystyle X\times Y=\{(x,y)\mid x\in X\;\wedge \;y\in Y\}.}
O produto cartesiano recibe o seu nome de René Descartes, cuxa formulación da xeometría analítica deu orixe a este concepto.

Por exemplo, se o conxunto X é o dos trece elementos da baralla inglesa

{\displaystyle X=\{\mathrm {A} ,\mathrm {K} ,\mathrm {Q} ,\mathrm {J} ,10,9,8,7,6,5,4,3,2\}}
e o Y é o dos catro paus: 

*Y* = {♠, ♥, ♦, ♣}
entón o produto cartesiano deses dous conxuntos será o conxunto coas 52 cartas da baralla:

*X* × *Y* = {(A, ♠), (K, ♠), ... (2, ♠), (A, ♥), ... (3, ♣), (2, ♣) }.
Outro exemplo é o plano bidimensional **R** × **R**, onde **R** é o conxunto de números reais e os pares ordenados teñen a forma de (*x*,*y*), onde *x* e *y* son números reais (vexa o sistema de coordenadas cartesiano ). Subconxuntos do produto cartesiano son chamados relacións binarias, e as funcións, un dos conceptos máis importantes da matemática, son definidas como tipos especiais de relacións.

Cardinal
--------

O cardinal do produto cartesiano de dous conxuntos é o produto dos cardinais dos conxuntos individuais:

{\displaystyle |X\times Y|=|X|\cdot |Y|}

Xeneralización
--------------

O produto cartesiano pode ser xeneralizado para máis de dous conxuntos:

*X*1 × ... × *Xn* = { (*x*1,... ,*xn*) | *x*1 pertence a *X*1 e ... e *xn* pertence a *Xn* }
ou intuitivamente (*X*1 × ... × *Xn-1*) × *Xn*.

Un exemplo é o seguinte. Sexa o conxunto L con tres elementos: 

{1, 2, 3}
o conxunto M con dous elementos: 

{a,b},
e o conxunto N con 2 elementos: 

{$, %},
o produto cartesiano L × M × N é: 

{(1 ,a, $), (1 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (2 ,a ,$), (2 ,a ,%), (3 ,a ,$), (3 ,a ,%), (1 ,b, $), (1 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (2 ,b ,$), (2 ,b ,%), (3 ,b ,$), (3 ,b ,%) }
Outro exemplo diso é o espazo euclidiano de tres dimensións {\displaystyle \mathbb {R} \times \mathbb {R} \times \mathbb {R} }.

Notación potencial
------------------

Para expresar o produto cartesiano dun conxunto por si mesmo está permitida a notación potencial:

{\displaystyle {\begin{matrix}&\underbrace {X\times X\times \cdots \times X} &=X^{n}\\&n\mathrm {veces} \end{matrix}}}

Así, o mencionado espazo euclidiano tridimensional pódese representar como {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}.

Produto infinito
----------------

A observación de que a estrutura do produto cartesiano {\displaystyle X^{n}\,} ten unha estrutura semellante ao conxunto das funcións de dominio {1, 2, ... n} e imaxe *X* suxire que o produto cartesiano pode ser xeneralizado para infinitas parcelas, como un conxunto de funcións.

Sexa {\displaystyle \Lambda \,} un conxunto (non-baleiro), chamado conxunto de índices. Sexa {\displaystyle X\_{\lambda }\,} un conxunto definido para cada índice {\displaystyle \lambda \in \Lambda \,} (poden ser iguais ou non). Entón o **produto** destes conxuntos é definido por: 

* {\displaystyle \prod \_{\lambda \in \Lambda }X\_{\lambda }=\{f:\Lambda \rightarrow \bigcup \_{\lambda \in \Lambda }X\_{\lambda }\,\ f(a)\in X\_{a}\}\,}

### Exemplo

Sexa {\displaystyle \Lambda =\mathbb {N^{\star }} \,}, ou sexa, estamos indexando polos números naturais (sen o cero). Sexa {\displaystyle X\_{i}=\{1,2,\ldots ,i\}\,}. Entón {\displaystyle \prod X\_{i}\,} é o conxunto das secuencias de números naturais en que o primeiro termo é 1, o segundo termo é 1 ou 2, o terceiro termo é 1, 2 ou 3 etc.

Proxección canónica
-------------------

As funcións máis importantes que teñen como dominio un **produto cartesiano** son as proxeccións canónicas.

No caso finito, a *i-ésima* proxeción canónica é a función que retorna a *i-ésima* coordenada.

Ou sexa:

* {\displaystyle \pi \_{i}(x\_{1},\ldots ,x\_{i},\ldots ,x\_{n})=x\_{i}\,}

No caso infinito, como cada elemento de {\displaystyle \Pi \_{\lambda }X\_{\lambda }\,} é unha función, temos que:

* {\displaystyle \pi \_{\lambda }(f)=f(\lambda )\,}

### Exemplos

* En {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\,}, as dúas proxecións canónicas son:

{\displaystyle \pi \_{1}(x,y)=x\,}
{\displaystyle \pi \_{2}(x,y)=y\,}
* No conxunto das secuencias de números reais, que pode ser visto como o produto {\displaystyle \Pi \_{i\in \mathbb {N^{\star }} }\mathbb {R} \,}, a *i-ésima* proxeción canónica é a función que retorna o *i-ésimo* elemento. Por exemplo:

{\displaystyle \pi \_{10}(2,4,8,16,\ldots )=1024\,}

Produtos de Estruturas Matemáticas
----------------------------------

Varias estruturas matemáticas son mantidas, dunha forma natural (canónica) ao se pasar para os produtos cartesianos. Por exemplo: 

* o produto cartesiano de grupos é un grupo.
* o produto cartesiano de espazos vectoriais sobre o mesmo corpo é un espazo vectorial.
* o produto cartesiano de topoloxías é unha topoloxía, a topoloxía produto.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q173740
* EBID: ID
* MAG: 65236422

 |