Un **conxunto conexo** é un subconxunto {\displaystyle C\subseteq X} dun espazo topolóxico {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} é a colección de conxuntos abertos do espazo topolóxico) que non pode ser descrito como unión disxunta de dous conxuntos abertos non baleiros da topoloxía.

Intuitivamente, un conxunto conexo é aquel formado por unha soa 'peza', que non se pode 'dividir'. Cando un conxunto non sexa conexo, dise que é **disconexo.**

Formalmente, {\displaystyle C\subseteq X} é un conxunto conexo se e só se:
{\displaystyle A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B\cap C=\emptyset ,C\subseteq A\cup B} implica {\displaystyle C\subseteq A\vee C\subseteq B}

Cómpre notar que se {\displaystyle C=X}, entón terase que X é conexo se e só se {\displaystyle A,B\in {\mathcal {T}},A\cap B=\emptyset ,A\cup B=X} implica {\displaystyle A=X\vee B=X}. Neste caso, {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} chámase espazo topolóxico conexo.

Baixo estas definicións, tense que {\displaystyle C\subseteq X} é conexo se e só se é un espazo topolóxico conexo para a topoloxía traza.

Exemplos
--------

O espazo **A** é conexo.  
O espazo **B** non o é.
### Conxuntos conexos

* As esferas {\displaystyle S^{n},n\geq 1,} son conexas.
* Un punto {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} é conexo.
* Un nó é un conxunto conexo en {\displaystyle S^{3}\,}
* Un toro é un conxunto conexo en {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}
* En {\mathbb {R}}, un intervalo pechado pola dereita ou pola esquerda é un conxunto conexo; de igual modo un punto da recta.
* O complementario dun punto en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},n\geq 2,} é conexo.

Subconxunto conexo na recta
---------------------------

Sexa {\mathbb {R}} provisto da topoloxía usual {\displaystyle T\_{u}}, ademais {\displaystyle J} un intervalo de {\displaystyle \mathbb {R} ,M} e {\displaystyle N} subconxuntos abertos de {\mathbb {R}} tales que {\displaystyle J} é parte da unión de M e {\displaystyle N,\,\,J\cap M\cap N=\emptyset }. Entón {\displaystyle J\cap M=\emptyset \,\,\vee J\cap N=\emptyset }. Neste caso {\displaystyle J} é un subconxunto conexo da recta real.

* Un subconxunto {\displaystyle H} da recta é un subconxunto conexo da recta real cando, e só cando, é un intervalo. De calquera intervalo abonda retirar un punto, o que queda xa non é conexo, tampouco o é o conxunto {\displaystyle K=\{{\frac {1}{n}},{\textbf {para}}\,n\,{\textbf {entero}}\,{\textbf {positivo}}\}}

### Conxuntos non conexos

* O complementario dun punto en {\mathbb {R}}
* O conxunto formado pola unión de dúas esferas disxuntas en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
* Un enlace de {\displaystyle n\,} compoñentes (nós), {\displaystyle n\geq 2}

Propiedades dos conxuntos conexos
---------------------------------

Cúmprese que se {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} é un espazo topolóxico conexo, calquera espazo homeomorfo a el tamén o será. Esta propiedade dá unha caracterización moi útil dos conxuntos conexos: {\displaystyle C\subseteq X} é un conxunto conexo se e só se para toda función {\displaystyle f\colon C\to \{0,1\}\ } continua se cumpre que f é unha función constante, onde se dota a {\displaystyle \{0,1\}} da topoloxía discreta.

Outra propiedade interesante dos conxuntos conexos é que se {\displaystyle ({X\_{i},{\mathcal {T}}\_{i}})\_{i\in I}} é unha familia de espazos topóloxicos conexos (con I un conxunto de índices de calquera cardinalidade), entón {\displaystyle (\prod \_{i\in I}X\_{i},{\mathcal {T}})} tamén é conexo, onde {\displaystyle {\mathcal {T}}} é a topoloxía produto.

Por último, se X non é conexo, é dicir, se existen abertos {\displaystyle U,V}, disxuntos non baleiros tales que a súa unión é X, é fácil ver que cada aberto será o complemento do outro, logo serán complementos dun aberto e, polo tanto, serán pechados. É dicir, serán conxuntos *clopen*. Por isto, outra maneira de caracterizar a conexidade é dicir, X será conexo se e só se os únicos *clopen* son X e o baleiro (onde ambos os conxuntos son sempre *clopen*).

Conexidade por camiños
----------------------

Dise que un conxunto X é **conexo por camiños** ou **conexo por arcos** se dados {\displaystyle x\_{1},x\_{2}\in X} existe un camiño continuo {\displaystyle \alpha :[0,1]\rightarrow X} tal que {\displaystyle \alpha (0)=x\_{1}} e {\displaystyle \alpha (1)=x\_{2}}.

Peite do topólogo
A conexidade por camiños implica conexidade, pero o recíproco non é certo en xeral. Un contraexemplo moi típico é o chamado peite do topólogo, {\displaystyle X=A\cup B}, onde {\displaystyle A=\{(0,1)\}} e {\displaystyle B=((0,1]\times \{0\})\cup \left(\left\{{\frac {1}{n}}:n\in \mathbb {N} \right\}\times [0,1]\right)}. X é conexo, pero non conexo por camiños.

Ser conexo por camiños non é unha propiedade hereditaria (isto é, se un conxunto é conexo por camiños, calquera subconxunto deste non é necesariamente conexo por camiños). Con todo, ser conexo por camiños é unha propiedade topolóxica (é dicir, a imaxe mediante unha aplicación continua dun conxunto conexo por camiños é conexa por camiños).

Compoñentes conexas
-------------------

Dado un espazo topolóxico {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})\,} chámase compoñente conexa a cada un dos conxuntos maximais conexos. É dicir un subconxunto {\displaystyle Y\subset X\,} é un compoñente conexo se se cumpren estas dúas condicións:

1. {\displaystyle Y\subset X\,} é conexo.
2. Calquera conxunto {\displaystyle Z\,} que contén propiamente {\displaystyle Y\,} non é conexo.

Cúmprese que os compoñentes conexos de X forman unha partición de X. Se X é conexo, tense que X é a súa única compoñente conexa.

Notas
-----

1. ↑  Mansfiel: *Topology*

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Munkres, James R. (2000). *Topology, Second Edition*. Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
* Muscat, J; Buhagiar, D (2006). "Connective Spaces" (PDF). *Mem. Fac. Sci. Eng. Shimane Univ. Series B: Math. Sc.* **39**: 1–13. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 04 de marzo de 2016. Consultado o 31 de maio de 2017. .

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1491995
* GND: 4151264-9
* MAG: 24977911

 |

| * v
* c
* e
Topoloxía |
| --- |
| Campos | 
* Xeral
* Alxébrica
* Combinatoria
* Continuum
* Diferencial
* Homoloxía (cohomoloxía)
* Xeométrica

 |  |
| Conceptos | 
* Conxunto aberto/Conxunto pechado
* Continuidade
* Espazo
	+ compacto
	+ conexo
	+ conexo por camiños
	+ Hausdorff
	+ métrico
	+ uniforme
* Homotopía (grupo de homotopía)
* Grupo fundamental
* Complexo simplicial
* CW-complexo
* Sucesión exacta
* Álxebra homolóxica
* K-teoría
* Variedade topolóxica

 |