En matemáticas, un conxunto é **contábel** ou **numerábel** se é finito ou se pode facer unha correspondencia un a un co conxunto de números naturais.De forma equivalente, un conxunto é *contábel* se existe unha función inxectiva a partir dos números naturais; isto significa que cada elemento do conxunto pode estar asociado a un número natural único, ou que os elementos do conxunto poden ser contados un a un, aínda que o reconto pode nunca rematar debido a un número infinito de elementos.

Asumindo o axioma de escolla contábel, un conxunto é *contábel* se a súa cardinalidade (o número de elementos do conxunto) non é maior que a dos números naturais. Un conxunto numerábel que non é finito dise que é **numerabelmente infinito** ou **contabelmente infinito** .

O concepto atribúese a Georg Cantor, quen demostrou a existencia de conxuntos incontábeis, é dicir, conxuntos que non son contábeis; por exemplo o conxunto dos números reais.

Definición
----------

Un conxunto {\displaystyle S} é *contábel* se:

* A súa cardinalidade {\displaystyle |S|} é menor ou igual a {\displaystyle \aleph \_{0}} (aleph-cero, a cardinalidade do conxunto de números naturais {\displaystyle \mathbb {N} }.
* Existe unha función inxectiva de {\displaystyle S} a {\displaystyle \mathbb {N} }.
* {\displaystyle S} é baleiro ou existe unha función sobrexectiva de {\displaystyle \mathbb {N} } a {\displaystyle S}.
* Existe un mapeo bixectivo entre {\displaystyle S} e un subconxunto de {\displaystyle \mathbb {N} }.
* {\displaystyle S} é finito ( {\displaystyle |S|<\aleph \_{0}} ) ou contabelmente infinito.

Todas estas definicións son equivalentes.

Un conxunto {\displaystyle S} é *contabelmente infinito* se:

* A súa cardinalidade {\displaystyle |S|} é exactamente {\displaystyle \aleph \_{0}}.
* Hai un mapeo inxectivo e sobrexectivo (e polo tanto bixectivo) entre {\displaystyle S} e {\displaystyle \mathbb {N} }.
* {\displaystyle S} ten unha correspondencia un a un con {\displaystyle \mathbb {N} }.
* Os elementos de {\displaystyle S} pódense ordenar nunha secuencia infinita {\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2},\ldots }, onde {\displaystyle a\_{i}} é distinto de {\displaystyle a\_{j}} para {\displaystyle i\neq j} e cada elemento de {\displaystyle S} é listado.

Un conxunto é *incontábel* se non é contábel, é dicir, a súa cardinalidade é maior que {\displaystyle \aleph \_{0}}.

Introdución
-----------

 Mapa bixectivo de enteiros a números pares
Algúns conxuntos son *infinitos*; estes conxuntos teñen máis de {\displaystyle n} elementos onde {\displaystyle n} é calquera número enteiro que se poida especificar. Por exemplo, o conxunto de números naturais, que serían {\displaystyle \{0,1,2,3,4,5,\dots \}}, ten infinitos elementos, e non podemos usar ningún número natural para dar o seu tamaño. Por exemplo, hai infinitos enteiros impares, infinitos enteiros pares e tamén infinitos enteiros en xeral. Podemos considerar que todos estes conxuntos teñen o mesmo "tamaño" porque podemos organizar as cousas de forma que, para cada número enteiro, haxa un número dese conxunto distinto, por exemplo para os pares podemos estabelecer unha función bixectiva:


…

−

2

→

−

4
,

−

1

→

−

2
,

0

→

0
,

1

→

2
,

2

→

4

⋯

{\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }

{\displaystyle \ldots \,-\!2\!\rightarrow \!-\!4,\,-\!1\!\rightarrow \!-\!2,\,0\!\rightarrow \!0,\,1\!\rightarrow \!2,\,2\!\rightarrow \!4\,\cdots }ou, máis xenralmente, {\displaystyle n\rightarrow 2n} (ver imaxe). Esta noción matemática de "tamaño", cardinalidade, é que dous conxuntos son do mesmo tamaño se e só se hai unha bixección entre eles. Chamamos *infinitos a todos os conxuntos que están en correspondencia un a un cos números enteiros* e dicimos que teñen cardinalidade {\displaystyle \aleph \_{0}}.

Georg Cantor demostrou que non todos os conxuntos infinitos son contábeis. Por exemplo, os números reais non se poden poñer en correspondencia un a un cos números naturais (números enteiros non negativos). O conxunto de números reais ten unha cardinalidade maior que o conxunto de números naturais e dise que é incontábel.

Visión xeral formal
-------------------

Por definición, un conxunto {\displaystyle S} é *contábel* se existe unha bixección entre {\displaystyle S} e un subconxunto dos números naturais {\displaystyle \mathbb {N} =\{0,1,2,\dots \}}. 

No caso dos conxuntos infinitos, un conxunto {\displaystyle S} é contabelmente infinito se hai unha bixección entre {\displaystyle S} e todo {\displaystyle \mathbb {N} }. Como exemplos, considere o conxunto {\displaystyle A=\{1,2,3,\dots \}}, o conxunto de enteiros positivos, temos a bixección {\displaystyle n\leftrightarrow n+1} e para o conxunto {\displaystyle B=\{0,2,4,6,\dots \}}, os enteiros pares, temos a bixección {\displaystyle n\leftrightarrow 2n}.

**Teorema:**  Todo subconxunto dun conxunto contábel é contábel. 
O conxunto de todos os pares ordenados de números naturais, o produto cartesiano de dous conxuntos de números naturais, {\displaystyle \mathbb {N} \times \mathbb {N} } é contabelmente infinito, como se pode ver seguindo un camiño como o da imaxe:

 A función de emparellamento de Cantor asigna un número natural a cada par de números naturais
O mapeo resultante sería do seguinte xeito:


0
↔
(
0
,
0
)
,
1
↔
(
1
,
0
)
,
2
↔
(
0
,
1
)
,
3
↔
(
2
,
0
)
,
4
↔
(
1
,
1
)
,
5
↔
(
0
,
2
)
,
6
↔
(
3
,
0
)
,
…

{\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }

{\displaystyle 0\leftrightarrow (0,0),1\leftrightarrow (1,0),2\leftrightarrow (0,1),3\leftrightarrow (2,0),4\leftrightarrow (1,1),5\leftrightarrow (0,2),6\leftrightarrow (3,0),\ldots }
**Teorema:** O produto cartesiano de finitamente moitos conxuntos contábeis é contábel.
O conxunto de todos os números enteiros {\displaystyle \mathbb {Z} } e o conxunto de todos os números racionais {\displaystyle \mathbb {Q} } intuitivamente poden parecer moito máis grandes que {\displaystyle \mathbb {N} }. Mais desde o punto de vista da cardinalidade isto non é así, se un par é tratado como o numerador e o denominador dunha fracción ({\displaystyle a/b} onde {\displaystyle a} e {\displaystyle b\neq 0} son enteiros), entón para cada fracción positiva, podemos chegar a un número natural distinto que lle corresponda.

**Teorema:**  {\displaystyle \mathbb {Z} } (conxunto de todos os enteiros) e {\displaystyle \mathbb {Q} } (conxunto de todos os números racionais) son contábeis.
De xeito semellante, o conxunto de números alxébricos é contábel. 

**Teorema:** Calquera unión finita de conxuntos countábeis é contábel.
 **Teorema:** (asumindo o axioma de escolla contábel) A unión de contabelmente moitos conxuntos contábeis forma un conxunto contábel.
 Enumeración dun número contábel de conxuntos contábeis
Necesitamos o axioma de escolla contábel para indexar *todos* os conxuntos {\displaystyle {\textbf {a}},{\textbf {b}},{\textbf {c}},{\textbf {d}},\dots } simultaneamente.

**Teorema:** O conxunto de todas as secuencias de números naturais é contábel.
**Teorema:** O conxunto de todos os subconxuntos finitos dos números naturais é contábel.
**Teorema:**  Sexan os conxuntos {\displaystyle S} e {\displaystyle T}.
Se a función {\displaystyle f:S\to T} é inxectiva e {\displaystyle T} é contábel, daquela {\displaystyle S} é contábel.
Se a función {\displaystyle g:S\to T} é sobrexectiva e {\displaystyle S} é contábel, daquela {\displaystyle T} é contábel.
Isto segue das definicións de conxunto contábel como funcións inxectivas/sobrexectivas.
**O teorema de Cantor** afirma que se {\displaystyle A} é un conxunto e {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} é o seu conxunto de partes, é dicir, o conxunto de todos os subconxuntos de {\displaystyle A}, entón non hai función sobrexectiva de {\displaystyle A} a {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}. Unha demostración dáse no artigo Teorema de Cantor. Como consecuencia inmediata disto e do teorema básico anterior temos:
 **Proposición:** O conxunto {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} non é contábel; isto é, e incontábel.

O conxunto dos números reais é incontábel,  e tamén o é o conxunto de todas as secuencias infinitas de números naturais.

Orde total
----------

Os conxuntos contábeis pódense ordenar totalmente de varias maneiras, por exemplo:

* Ben-ordenado (ver tamén número ordinal):
	+ A orde habitual dos números naturais (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
	+ Os enteiros na orde (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
* Outros (*non* ben-ordenados):
	+ A orde habitual dos números enteiros (... −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
	+ A orde habitual dos números racionais (Non se pode escribir explicitamente como unha lista ordenada!)

Nos dous exemplos de ordes, calquera subconxunto ten un *elemento menor*; e en ambos os dous exemplos de non ben-ordenados, *algúns* subconxuntos non teñen un *elemento menor*. Esta é a definición clave que determina se unha orde total tamén é unha orde *ben-ordenada*.

Notas
-----

1. 1 2 3  Yaqub, Aladdin M. (24 October 2014). *An Introduction to Metalogic* (en inglés). Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.
2. ↑  Singh, Tej Bahadur (17 May 2019). *Introduction to Topology* (en inglés). Springer. p. 422. ISBN 978-981-13-6954-4.
3. 1 2  Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2 January 2018). *An Illustrative Introduction to Modern Analysis* (en inglés). CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.
4. ↑  Halmos 1960
5. ↑  Lang 1993
6. ↑  Kamke 1950
7. ↑  Dlab, Vlastimil; Williams, Kenneth S. (9 June 2020). *Invitation To Algebra: A Resource Compendium For Teachers, Advanced Undergraduate Students And Graduate Students In Mathematics* (en inglés). World Scientific. p. 8. ISBN 978-981-12-1999-3.
8. ↑  Tao 2016, p. 182
9. ↑  Halmos 1960, p. 91
10. ↑  Halmos 1960, p. 92
11. ↑  Kamke 1950
12. ↑  Avelsgaard 1990, p. 180
13. ↑  Fletcher & Patty 1988, p. 187
14. ↑  Hrbacek, Karel; Jech, Thomas (22 June 1999). *Introduction to Set Theory, Third Edition, Revised and Expanded* (en inglés). CRC Press. p. 141. ISBN 978-0-8247-7915-3.

1. ↑  posto que hai unha bixección obvia entre {\displaystyle \mathbb {N} } e {\displaystyle \mathbb {N} ^{\*}=\{1,2,3,\dots \}}, non hai diferenza se consideramos o 0 como número natural ou non. Este artigo segue a convención de que o 0 é un número natural.
2. ↑  **Proba:** os enteiros {\displaystyle \mathbb {Z} } son contábeis porque a función {\displaystyle f:\mathbb {Z} \to \mathbb {N} } dada por {\displaystyle f(n)=2^{n}} se {\displaystyle n} é non-negativo e {\displaystyle f(n)=3^{-n}} se {\displaystyle n} e negativo, é unha función inxectiva. Os números racionais {\displaystyle \mathbb {Q} } son contábeis porque a función {\displaystyle g:\mathbb {Z} \times \mathbb {N} \to \mathbb {Q} } dada por {\displaystyle g(m,n)=m/(n+1)} é sobrexectiva desde o conxunto contábel {\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {N} } ata os números racionais {\displaystyle \mathbb {Q} }.
3. ↑  Vexa en:Cantor's first uncountability proof, e tamén en:Finite intersection property#Applications para unha proba topolóxica.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Apostol, Tom M. (June 1969). *Multi-Variable Calculus and Linear Algebra with Applications*. Calculus **2** (2nd ed.). New York: John Wiley + Sons. ISBN 978-0-471-00007-5.
* Avelsgaard, Carol (1990). *Foundations for Advanced Mathematics*. Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-38152-8.
* Cantor, Georg (1878). *Ein Beitrag zur Mannigfaltigkeitslehre*. *Journal für die Reine und Angewandte Mathematik* **1878**. pp. 242–248. doi:10.1515/crelle-1878-18788413.
* Ferreirós, José (2007). *Labyrinth of Thought: A History of Set Theory and Its Role in Mathematical Thought* (2nd revised ed.). Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8349-7.
* Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988). *Foundations of Higher Mathematics*. Boston: PWS-KENT Publishing Company. ISBN 0-87150-164-3.
* Halmos, Paul R. (1960). *Naive Set Theory*. D. Van Nostrand Company, Inc.  Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
* Kamke, Erich (1950). *Theory of Sets*. Dover series in mathematics and physics. New York: Dover. ISBN 978-0486601410.
* Lang, Serge (1993). *Real and Functional Analysis*. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-94001-4.
* Rudin, Walter (1976). *Principles of Mathematical Analysis*. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-054235-X.
* Tao, Terence (2016). "Infinite sets". *Analysis I*. Texts and Readings in Mathematics (en inglés) **37** (Third ed.). Singapore: Springer. pp. 181–210. ISBN 978-981-10-1789-6. doi:10.1007/978-981-10-1789-6\_8.

### Outros artigos

* Número Aleph
* Paradoxo de Hilbert do Gran Hotel
* Conxunto incontábel