En matemáticas, o concepto de **elemento inverso** xeneraliza os conceptos de oposto ( −*x* ) e recíproco ( 1/*x* ) dos números.

Dada unha operación denotada aquí ∗, e un elemento neutro (ou identidade) denotado e, se *x* ∗ *y* = *e*, dise que x é un **inverso pola esquerda** de y, e que y é un **inverso pola dereita** de x. (Un elemento neutro é un elemento tal que *x* \* *e* = *x* e *e* \* *y* = *y* para todos x e y para os que se definen os lados esquerdos.  )

Cando a operación ∗ é asociativa, se un elemento x ten un inverso pola esquerda e pola dereita, entón estes dous inversos son iguais e únicos; chámanse *elemento inverso* ou simplemente *inverso*. Moitas veces engádese un adxectivo para especificar a operación, como en inverso aditivo (elemento simétrico ou oposto), inverso multiplicativo e inverso funcional. 

Os inversos úsanse habitualmente en grupos — onde cada elemento é invertible, e os aneis — onde os elementos invertibles tamén se chaman unidades (o que fai un bocadiño confuso en relación aos propios elementos 1). Tamén se usan habitualmente para operacións que non están definidas para todos os operandos posibles, como matrices inversas e funcións inversas. Isto xeneralizouse á teoría de categorías, onde, por definición, un isomorfismo é un morfismo invertible.

Propiedades básicas
-------------------

Nesta sección, X é un conxunto no que se define unha operación parcial (posiblemente total), que se denota con {\displaystyle \*.}

Unha operación parcial é asociativa se

{\displaystyle x\*(y\*z)=(x\*y)\*z}
para cada *x*, *y*, *z* en X.

Exemplos de operacións asociativas non totais son a multiplicación de matrices de tamaño arbitrario e a composición de funcións .

### Elementos identidade ou neutros

Sexa {\displaystyle \*} unha operación asociativa posiblemente parcial nun conxunto X .

Un *elemento neutro*, ou *identidade* é un elemento e tal que

{\displaystyle x\*e=x\quad {\text{and}}\quad e\*y=y}
para cada x e y.

De aquí segue que unha operación total ten como máximo un elemento de identidade.

Por exemplo, no caso da multiplicación de matrices, hai unha matriz identidade *n*×*n* para cada número enteiro positivo n, e dúas matrices identidade de tamaño diferente non se poden multiplicar xuntas.

### Inversos pola esquerda e pola dereita

Se {\displaystyle x\*y=e,} onde e é un elemento neutro, dise que x é un *inverso pola esquerda* de y e y é un *inverso pola dereita* de x.

Os inversos pola esquerda e pola dereita non sempre existen, aínda que a operación sexa total e asociativa. Por exemplo, a suma é unha operación asociativa total sobre enteiros non negativos, que ten 0 como identidade aditiva (ou neutro da suma) e 0 sería o único elemento con aditiva inversa, porque o resto serían enteiros negativos. Esta falta de inversos é a principal motivación para estender os números naturais aos enteiros.

### Inversos

Un elemento é *invertible* baixo unha operación se ten un inverso pola esquerda e outro pola dereita.

No caso común onde a operación é asociativa, o inverso esquerdo e dereito dun elemento coinciden e son únicos.

Se a operación é a suma, a inversa ou a inversa aditiva dun elemento x denótase por {\displaystyle -x.} No caso da multiplicación, a inversa de x denótase por {\displaystyle x^{-1}}ou {\textstyle {\frac {1}{x}}.}

Un homomorfismo invertible chámase isomorfismo.

En grupos
---------

Un grupo é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade, e para o que cada elemento ten un inverso.

En monoides
-----------

Un monoide é un conxunto cunha operación asociativa que ten un elemento identidade .

En aneis
--------

Un anel é unha estrutura alxébrica con dúas operacións, *suma* e *multiplicación*, que son como se chaman as operacións habituais sobre números.

Baixo a suma, un anel é un grupo abeliano, o que significa que a suma é conmutativa e asociativa; ten unha identidade, chamada identidade aditiva, eescrita como 0; e todo elemento x ten un inverso, chamado inverso aditivo e escrito −*x*. Debido á conmutividade, os conceptos de inverso esquerdo e dereito carecen de sentido xa que non se diferencian dos inversos.

Baixo a multiplicación, un anel é un monoide; isto significa que a multiplicación é asociativa e ten unha identidade chamada identidade multiplicativa que escribimos 1. Un *elemento invertible* para a multiplicación chámase unidade. O inverso ou multiplicativo inverso (para evitar confusións cos inversos aditivos) dunha unidade x denótanse {\displaystyle x^{-1}} ou, cando a multiplicación é conmutativa, {\textstyle {\frac {1}{x}}.}

A identidade aditiva 0 nunca é unha unidade, agás cando o anel é o anel cero, que ten 0 como elemento único.

Se 0 é o único elemento non invertíbel (único non unidade), o anel é un corpo se a multiplicación é conmutativa, ou un anel de división (corpo non conmutativo) en caso contrario.

Matrices
--------

A multiplicación de matrices defínese comunmente para matrices sobre un corpo, e esténdese directamente a matrices sobre aneis, rngs e semianeis. Non obstante, *nesta sección só se consideran matrices sobre un anel conmutativo*, debido ao uso do concepto de rango e determinante.

Se A é unha matriz *m*×*n* (é dicir, unha matriz con m filas e n columnas), e B é unha matriz *p*×*q*, o produto AB está definido no caso que *n* = *p*, e só neste caso. Unha matriz identidade, é dicir, un elemento de identidade para a multiplicación de matrices é unha matriz cadrada (o mesmo número para filas e columnas) cuxas entradas da diagonal principal son todas iguais a 1 e todas as demais entradas son 0.

Unha matriz invertible é un elemento invertible baixo a multiplicación de matrices. Unha matriz sobre un anel conmutativo R é invertible se e só se o seu determinante é unha unidade en R (é dicir, é invertible en R). Neste caso, a súa matriz inversa pódese calcular coa regra de Cramer .

Se R é un corpo, o determinante é invertible se e só se non é cero. Como o caso dos corpos é o máis común, vese moitas veces que as matrices invertibles son as matrices cun determinante distinto de cero, mais isto é incorrecto sobre os aneis.

Funcións, homomorfismos e morfismos
-----------------------------------

A composición é unha operación parcial que xeneraliza os homomorfismos de estruturas alxébricas e os morfismos de categorías en operacións que tamén se denominan *composición* e comparten moitas propiedades coa composición de funcións.

En todos os casos, a composición é asociativa .

Se {\displaystyle f\colon X\to Y} e {\displaystyle g\colon Y'\to Z,} a composición {\displaystyle g\circ f} defínese se e só se {\displaystyle Y'=Y} ou, nos casos de función e homomorfismo, {\displaystyle Y\subset Y'.} Nos casos de función e homomorfismo, isto significa que o codominio de {\displaystyle f} é igual ou está incluído no dominio de g. No caso do morfismo, isto significa que o codominio de {\displaystyle f} é igual ao dominio de g.

Hai unha *identidade* {\displaystyle \operatorname {id} \_{X}\colon X\to X} para cada obxecto X (conxunto, estrutura alxébrica ou obxecto ), que tamén se denomina función identidade no caso da función.

Unha función é invertible se e só se é unha bixección. Un homomorfismo ou morfismo invertible chámase isomorfismo. Un homomorfismo de estruturas alxébricas é un isomorfismo se e só se é unha bixección. A inversa dunha bijección chámase función inversa. Nos outros casos, fálase de *isomorfismos inversos*.

Unha función ten unha inversa pola esquerda ou pola dereita se e só é inxectiva ou surxectiva, respectivamente.

Véxase tamén
------------

* Anel de división
* Unidade (teoría de aneis)

Notas
-----

1. ↑  A definición usual de elemento neutro xeneralízase para incluír a función identidade como elemento neutro na composición de funcións, e matriz identidade como elemento neutro damultiplicación de matrices.

Bibliografía
------------

* M. Kilp, U. Knauer, A.V. Mikhalev, *Monoids, Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs*, De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7, p. 15 (def in unital magma) and p. 33 (def in semigroup)
* Howie, John M. (1995). *Fundamentals of Semigroup Theory*. Clarendon Press. ISBN 0-19-851194-9.  contains all of the semigroup material herein except \*-regular semigroups.
* Drazin, M.P. *Regular semigroups with involution*, Proc. Symp. on Regular Semigroups (DeKalb, 1979), 29–46
* Miyuki Yamada, *P-systems in regular semigroups*, Semigroup Forum, 24(1), December 1982, pp. 173–187
* Nordahl, T.E. and H.E. Scheiblich, Regular \* Semigroups, Semigroup Forum, 16(1978), 369–377.