Como facer un nó de trevo (vídeo)
O **nó trevo**, **nó de trevo** ou **nó trifolio** é o exemplo máis sinxelo dun nó non trivial. Pódese obter unindo os dous extremos, dando como resultado un lazo anoado. Do mesmo xeito que o nó simple, o nó trevo é fundamental para o estudo da teoría matemática de nós, onde ten diversas aplicacións en topoloxía e xeometría.

O nó chámase así polo seu parecido coas follas do trevo.

Descrición
----------

O **nó de trevo** pódese definir coas seguintes ecuacións paramétricas:

· {\displaystyle x=\sin t+2\sin 2t}
{\displaystyle \qquad y=\cos t-2\cos 2t}
{\displaystyle \qquad z=-\sin 3t}
Calquera deformación continua da curva anterior tamén é considerada un nó de trevo. En concreto, calquera curva isotópica nun nodo de trevo tamén se considera un nodo de trevo. Ademais, a imaxe especular (ou espellada) dun nó de trevo tamén se considera un trevo. En topoloxía e teoría de nós, o trevo normalmente defínese usando un diagrama de nós en lugar dunha ecuación paramétrica explícita.

Na xeometria alxébrica, o trevo tamén pode ser obtido como a intersección en **C**2 da esfera tridimensional unitaria *S*3 coa curva plana complexa de ceros do polinomio complexo *z*2 + *w*3 (unha parábola semicúbica).

Se un extremo dunha cinta ou faixa se xira tres veces e despois se pega ao outro, o bordo do papel forma un nó de folla de trevo.

Simetría
--------

O **nó de trevo** é quiral, no sentido de que se pode distinguir da súa propia imaxe especular. As dúas variantes resultantes coñécense como **trevo zurdo** e **trevo destro.** Non é posíbel deformar continuamente un trevo zurdo nun trevo destro, ou viceversa. (É dicir, os dous trevos non son isotópicos). Aínda que o nó trevo é quiral, tamén é invertíbel, o que significa que non hai distinción entre un trevo orientado no sentido antihorario e un trevo orientado no sentido horario. É dicir, a quiralidade dun trevo depende só da forma en que se producen os cruces, non da orientación da curva.

 O nó da man convértese nun nó de trevo xuntando os extremos.

Non trivialidade
----------------

O **nó de trevo** non é trivial, o que significa que non é posible "desatar" un nó de trevo en tres dimensións sen cortalo. Desde un punto de vista matemático, isto significa que un nó trevo non é isotópico a un círculo, que é o nó trivial. En particular, non hai unha secuencia de movementos de Reidemeister que desata un trevo.

Probar isto require construír un nodo invariante que distinga o trevo do nodo trivial. O invariante máis sinxelo que fai isto é a propiedade de ser tricolorizábel ou non: o trevo é tricolorizábel, pero o nó trivial non. Ademais, practicamente todos os invariantes de nós polinómicos distinguen o trevo dun nodo trivial, como a maioría dos invariantes de nodos relevantes.

Clasificación
-------------

Na teoría dos nós, o **nó de trevo** é o primeiro nó non trivial, e é o único nó con tres cruces. É un nodo primo, e aparece como 3\_1 en notación de Alexander-Briggs. A notación de Dowker para o trevo é 4 6 2, e a notación de Conway para o trevo é [3].

O trevo pódese describir como o nó toral (2,3). Tamén é o nó que se obtén ao pechar a trenza σ13.

O trevo é un nó alternado. Non obstante, non é un nó de corte, o que significa que non restrinxe un disco bidimensional suave á bola de catro dimensións; unha forma de probalo é notar que a súa sinatura non é cero. Outra proba é que o teu polinomio de Alexander non cumpre a condición de Fox-Milnor.

O trevo é un nó fibrado, o que significa que o seu complemento {\displaystyle S^{3}} é un feixe de fibras no círculo {\displaystyle S^{1}}. No modelo trevo como o conxunto de pares {\displaystyle (z,w)} de números complexos tales que {\displaystyle |z|^{2}+|w|^{2}=1} e {\displaystyle z^{2}+w^{3}=0}, este paquete de fibras ten o mapa de Milnor {\displaystyle \phi (z,w)=(z^{2}+w^{3})/|z^{2}+w^{3}|} como a súa fibración, e un toro cun burato como superficie da fibra.

invariantes
-----------

O polinomio de Alexander do nó de trevo éː

{\displaystyle \Delta (t)=t-1+t^{-1},\,}
e o polinomio de Conway éː

{\displaystyle \nabla (z)=z^{2}+1.} 
O polinomio de Jones é ː

{\displaystyle V(q)=q^{-1}+q^{-3}-q^{-4},\,}
e o polinomio de Kauffman do trevo éː

{\displaystyle L(a,z)=za^{5}+z^{2}a^{4}-a^{4}+za^{3}+z^{2}a^{2}-2a^{2}.\,}
O grupo do nó do trevo vén dado pola presentación

{\displaystyle \langle x,y\mid x^{2}=y^{3}\rangle \,}
ou, equivalentemente,

{\displaystyle \langle x,y\mid xyx=yxy\rangle .\,}
Este grupo é isomorfo ao grupo de trenzas de tres cordas.

Na relixión e na cultura
------------------------

*Artigo principal**:* Shamrock.Como o nó non trivial máis sinxelo, o nó trevo é un motivo común en iconografía e artes visuais. Por exemplo, a forma común do símbolo triquetra é un trevo, como algunhas versións do Valknut. Tamén é un símbolo usado empregado por San Patricio como metáfora da Trindade, debido a que xa era unha planta e un número (o tres) significativo para os nativos da illa. 

### Galería de fotos

* Superficie dun nó de trevo
* Superficie non orientábel dun nó de trevo
* Forma dun nó de trevo sen simetría visual tridimensional
* O nó de trevo é un nó tricolorizábel
* Visualización tridimensional dunha curva isotópica ao nó de trevo
* 
* 
* Superficie ilustrando o bordo do nó trifolio, parte do acervo da *Matemateca IME-USP*

Notas
-----

1. ↑  "Trefoil Knot". Consultado o 30-09-2014.
2. ↑  Shaw, George Russell (MCMXXXIII). *Knots: Useful & Ornamental*, p.11. ISBN 978-0-517-46000-9.
3. ↑  "3 1 - Knot Atlas" (en inglés). Consultado o 2017-02-06.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Nó de trevo***  |

### Outros artigos

* Nó
* Teoría de nós
* Triquetra, símbolo orixinario da tradición celta e doutras tradicións que se relaciona co nó de trevo
* Cruz carolinxia
* Trevo
* Shamrock

### Ligazóns externas

* Wolframalpha: nó (2,3)-toro

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q168620
* MAG: 19794929

 |