Os coeficientes binomiais pódense ordenar para formar o triángulo de Pascal, no que cada entrada é a suma das dúas inmediatamente anteriores.
Os **coeficientes binomiais** ou **números combinatorios** son os enteiros positivos que aparecen como coeficientes no teorema binomial. Normalmente, un coeficiente binomial está representado por un par de números enteiros *n* ≥ *k* ≥ 0 e escríbese {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}.} Correspóndese co coeficiente do termo *x**k* na expansión polinómica da potencia binomial (1 + *x*)*n*; este coeficiente pódese calcular mediante a fórmula 

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}
Imos ver un exemplo, a cuarta potencia de 1 + *x* é

{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{4}&={\tbinom {4}{0}}x^{0}+{\tbinom {4}{1}}x^{1}+{\tbinom {4}{2}}x^{2}+{\tbinom {4}{3}}x^{3}+{\tbinom {4}{4}}x^{4}\\&=1+4x+6x^{2}+4x^{3}+x^{4},\end{aligned}}}
e calculamos o coeficiente binomial {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}={\tfrac {4\times 3}{2\times 1}}={\tfrac {4!}{2!2!}}=6} é o coeficiente do termo *x*2.

Se ordenamos os números {\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},\ldots ,{\tbinom {n}{n}}} en filas sucesivas para *n* = 0, 1, 2, ... daquela temos unha matriz triangular chamada triángulo de Pascal, que satisfai a relación de recorrencia

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}.}
En moitas áreas das matemáticas aparecen os coeficientes binomiais, e teñen especial incidencia na combinatoria. O símbolo {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} adoita lerse como "n sobre k". Hai {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} formas de escoller un subconxunto (desordenado) de k elementos dun conxunto fixo de n elementos. Por exemplo, hai {\displaystyle {\tbinom {4}{2}}=6} formas de escoller 2 elementos entre 1, 2, 3, 4, é dicir, 1, 2, 1, 3, 1, 4, 2, 3, 2, 4 e 3, 4 .

Agora podemos xeneralizar para que {\displaystyle {\tbinom {z}{k}}} poida usarse para calquera número complexo z e enteiro *k* ≥ 0, e moitas das súas propiedades seguen a manterse nesta forma máis xeral.

As notacións alternativas máis frecuentes son *C*(*n*, *k*), *C**n*  
*k*, e *C**n*,*k*, en todas elas o C significa *combinacións*.

Definición e interpretacións
----------------------------

Para os números naturais *n* e *k*, o coeficiente binomial {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} pódese definir como o coeficiente do monomio *X**k* na expansión de (1 + *X*)*n*. O mesmo coeficiente tamén ocorre (se *k* ≤ *n* ) na fórmula binomial

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}x^{k}y^{n-k}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(∗)** |

(válida para calquera elemento *x*, *y* dun anel conmutativo), o que explica o nome de "coeficiente binomial".

Tamén aparece na combinatoria, onde dá o número de subconxuntos de k elementos (ou k-combinacións) dun conxunto de n elementos.

Cálculo do valor dos coeficientes binomiais
-------------------------------------------

### Fórmula recursiva



(

n
k

)

=

(

n
−
1

k
−
1

)

+

(

n
−
1

k

)


{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}para todos os números enteiros {\displaystyle n,k} tal que {\displaystyle 1\leq k<n,}

con valores límite



(

n
0

)

=

(

n
n

)

=
1

{\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}

{\displaystyle {\binom {n}{0}}={\binom {n}{n}}=1}para todos os números enteiros *n* ≥ 0 .

### Fórmula multiplicativa



(

n
k

)

=

n

k
\_

k
!

=

n
(
n
−
1
)
(
n
−
2
)
⋯
(
n
−
(
k
−
1
)
)

k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1

=

∏

i
=
1

k


n
+
1
−
i

i

,

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod \_{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-(k-1))}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}=\prod _{i=1}^{k}{\frac {n+1-i}{i}},}onde o numerador da primeira fracción {\displaystyle n^{\underline {k}}} exprésase como o símbolo de Pochhammer do factorial descendente. 

### Fórmula factorial



(

n
k

)

=

n
!

k
!

(
n
−
k
)
!


for 

 
0
≤
k
≤
n
,

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,}onde *n*! denota o factorial de n. A fórmula presenta unha simetría 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}\quad {\text{for }}\ 0\leq k\leq n,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

### Xeneralización e conexión coa serie binomial

A fórmula multiplicativa permítenos ampliar a definición dos coeficientes binomiais substituíndo *n* por un número arbitrario *α* (negativo, real, complexo) ou mesmo un elemento de calquera anel conmutativo no que todos os enteiros positivos sexan invertibles:



(

α
k

)

=

α

k
\_

k
!

=

α
(
α
−
1
)
(
α
−
2
)
⋯
(
α
−
k
+
1
)

k
(
k
−
1
)
(
k
−
2
)
⋯
1


for 

k
∈

N

 and arbitrary 

α
.

{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}

{\displaystyle {\binom {\alpha }{k}}={\frac {\alpha ^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 1}}\quad {\text{for }}k\in \mathbb {N} {\text{ and arbitrary }}\alpha .}Aproveitamos esta definición para ter unha xeneralización da fórmula binomial (cunha das variables posta a 1), o que xustifica aínda chamar ao {\displaystyle {\tbinom {\alpha }{k}}} coeficientes binomiais:

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle (1+X)^{\alpha }=\sum \_{k=0}^{\infty }{\alpha \choose k}X^{k}.} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

Esta fórmula é válida para todos os números complexos *α* e *X* con | *X* | < 1.

Triángulo de Pascal
-------------------

A regra de Pascal é unha importante relación de recorrencia

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose k}+{n \choose k+1}={n+1 \choose k+1},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(3)** |

que se pode utilizar para demostrar por indución matemática que {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} é un número natural para todos os enteiros *n* ≥ 0 e todos os enteiros *k*, un feito que non é inmediatamente obvio a partir da fórmula (1).

A regra de Pascal dá lugar ao triángulo de Pascal:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0: |  |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |  |
| 1: |  |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |  |
| 2: |  |  |  |  |  |  | 1 |  | 2 |  | 1 |  |  |  |  |  |  |
| 3: |  |  |  |  |  | 1 |  | 3 |  | 3 |  | 1 |  |  |  |  |  |
| 4: |  |  |  |  | 1 |  | 4 |  | 6 |  | 4 |  | 1 |  |  |  |  |
| 5: |  |  |  | 1 |  | 5 |  | 10 |  | 10 |  | 5 |  | 1 |  |  |  |
| 6: |  |  | 1 |  | 6 |  | 15 |  | 20 |  | 15 |  | 6 |  | 1 |  |  |
| 7: |  | 1  |  | 7  |  | 21 |  | 35 |  | 35 |  | 21 |  | 7  |  | 1  |  |
| 8: | 1  |  | 8  |  | 28 |  | 56 |  | 70 |  | 56 |  | 28 |  | 8  |  | 1  |

O número de fila n contén os números {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} para *k* = 0, …, *n*. Constrúese colocando primeiro 1 nas posicións máis externas e despois enchendo cada posición interna coa suma dos dous números directamente enriba.

Combinatoria e estatística
--------------------------

Os coeficientes binomiais son de importancia en combinatoria, porque proporcionan fórmulas feitas para certos problemas frecuentes de contaxe:

* Hai {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} formas de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* elementos. Consulte Combinación.
* Hai {\displaystyle {\tbinom {n+k-1}{k}}} formas de escoller *k* elementos dun conxunto de *n* elementos se se permiten as repeticións. Consulte Multiconxunto.
* Hai {\displaystyle {\tbinom {n+k}{k}}} cadeas que conteñen *k* uns e *n* ceros.
* Hai {\displaystyle {\tbinom {n+1}{k}}} cadeas formadas por *k* uns e *n* ceros de xeito que non hai dous uns adxacentes.
* Os números de Catalan son {\displaystyle {\tfrac {1}{n+1}}{\tbinom {2n}{n}}.}
* A distribución binomial en estatística é {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}.}

Coeficientes binomiais como polinomios
--------------------------------------

Dado calquera enteiro non negativo *k*, a expresión {\textstyle {\binom {t}{k}}} pódese simplificar e definir como un polinomio dividido por *k*!:

{\displaystyle {\binom {t}{k}}={\frac {t^{\underline {k}}}{k!}}={\frac {t(t-1)(t-2)\cdots (t-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}};}
isto presenta un polinomio en *t* con coeficientes racionais.

Os seus coeficientes poden expresarse en termos dos números de Stirling:

{\displaystyle {\binom {t}{k}}=\sum \_{i=0}^{k}s(k,i){\frac {t^{i}}{k!}}.}

Identidades que implican coeficientes binomiais
-----------------------------------------------

Se *k* é un número enteiro positivo e *n* é arbitrario, entón

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(5)** |

{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n-2k}{n}}{\binom {n}{k}}.}
{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={\frac {n-k}{n}}{\binom {n}{k}}.}
{\displaystyle {\binom {n}{h}}{\binom {n-h}{k}}={\binom {n}{k}}{\binom {n-k}{h}}={\binom {n}{h+k}}{\binom {h+k}{h}}.}
Para *n constnte*, temos a seguinte recorrencia:

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}.}
{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}={\frac {n-k+1}{k}}{\binom {n}{k-1}}={\frac {n}{n-k}}{\binom {n-1}{k}}={\frac {n}{k}}{\binom {n-1}{k-1}}={\frac {n}{n-2k}}{\Bigg (}{\binom {n-1}{k}}-{\binom {n-1}{k-1}}{\Bigg )}={\binom {n-1}{k}}+{\binom {n-1}{k-1}}.}
### Sumas dos coeficientes binomiais

A fórmula

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}=2^{n}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(∗∗)** |

expresa que os elementos da fila n-ésima do triángulo de Pascal sempre suman 2 elevados á potencia n-ésima. 

  

As fórmulas

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k{\binom {n}{k}}=n2^{n-1}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(6)** |

e

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{2}{\binom {n}{k}}=(n+n^{2})2^{n-2}}.
Estas dúas fórmulas séguense do teorema do binomio despois de diferenciar con respecto a x (dúas veces para este último) e despois de substituír *x* = *y* = 1 .

A identidade de Chu-Vandermonde, que se cumpre para calquera valores complexos *m* e *n* e calquera número enteiro non negativo *k*, é

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{j=0}^{k}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n}{k}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(7)** |

No caso especial *n* = 2*m*, *k* = *m*, usando (1), a expansión (7) fica como

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{j=0}^{m}{\binom {m}{j}}^{2}={\binom {2m}{m}},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(8)** |

onde o termo do lado dereito é un coeficiente binomial central.

Imos ver outra forma da identidade de Chu-Vandermonde que se aplica a calquera número enteiro *j*, *k* e *n* que satisfaga 0 ≤ *j* ≤ *k* ≤ *n*, é

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{m=0}^{n}{\binom {m}{j}}{\binom {n-m}{k-j}}={\binom {n+1}{k+1}}.} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(9)** |

Cando *j* = *k*, a ecuación (9) dá 

{\displaystyle \sum \_{m=k}^{n}{\binom {m}{k}}={\binom {n+1}{k+1}}}
Sexa *F* (*n*) o *n*-ésimo número de Fibonacci, entón

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n-k}{k}}=F(n+1).}
#### Sumas de multiseccións

Para os enteiros *s* e *t* tales que {\displaystyle 0\leq t<s,} as series de multisección (con termos igualmente espaciados) dás a seguinte identidade para a suma dos coeficientes binomiais:

{\displaystyle {\binom {n}{t}}+{\binom {n}{t+s}}+{\binom {n}{t+2s}}+\ldots ={\frac {1}{s}}\sum \_{j=0}^{s-1}\left(2\cos {\frac {\pi j}{s}}\right)^{n}\cos {\frac {\pi (n-2t)j}{s}}.}
Para s pequenos, estas series teñen formas particularmente feitucas; por exemplo, 

{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{3}}+{\binom {n}{6}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {n\pi }{3}}\right)}
{\displaystyle {\binom {n}{1}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{7}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-2)\pi }{3}}\right)}
{\displaystyle {\binom {n}{2}}+{\binom {n}{5}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{3}}\left(2^{n}+2\cos {\frac {(n-4)\pi }{3}}\right)}
{\displaystyle {\binom {n}{0}}+{\binom {n}{4}}+{\binom {n}{8}}+\cdots ={\frac {1}{2}}\left(2^{n-1}+2^{\frac {n}{2}}\cos {\frac {n\pi }{4}}\right)}
#### Sumas parciais

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{k}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=(-1)^{k}{\binom {n-1}{k}},}
co caso especial 

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}=0}
para *n* > 0. Este último resultado é tamén un caso especial do resultado da teoría das diferenzas finitas que para calquera polinomio *P*(*x*) de grao menor que *n*, 

{\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(j)=0.}

Cando *P*(*x*) é de grao menor ou igual a *n*,

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{j=0}^{n}(-1)^{j}{\binom {n}{j}}P(n-j)=n!a\_{n}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(10)** |

onde {\displaystyle a\_{n}} é o coeficiente de grao *n* en *P* (*x*).

### Identidade de Dixon

A identidade de Dixon é

{\displaystyle \sum \_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{2a \choose k+a}^{3}={\frac {(3a)!}{(a!)^{3}}}}
ou, máis xeralmente,

{\displaystyle \sum \_{k=-a}^{a}(-1)^{k}{a+b \choose a+k}{b+c \choose b+k}{c+a \choose c+k}={\frac {(a+b+c)!}{a!\,b!\,c!}}\,,}
onde *a*, *b* e *c* son enteiros non negativos.

### Identidades continuas

Existen certas integrais trigonométricas que teñen valores expresables en termos de coeficientes binomiais, para calquera {\displaystyle m,n\in \mathbb {N} ,}

{\displaystyle \int \_{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\cos ^{n}(x)\ dx={\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}}}
{\displaystyle \int \_{-\pi }^{\pi }\sin((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n+1)/2}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ odd}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
{\displaystyle \int \_{-\pi }^{\pi }\cos((2m-n)x)\sin ^{n}(x)\ dx={\begin{cases}(-1)^{m+(n/2)}{\frac {\pi }{2^{n-1}}}{\binom {n}{m}},&n{\text{ even}}\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}}
Estas integrais pódense demostrar usando a fórmula de Euler para converter funcións trigonométricas en exponenciais complexas, expandindo usando o teorema binomial e integrando termo por termo.

### Congruencias

Se *n* é primo, entón



(

n
−
1

k

)

≡
(
−
1

)

k

mod

n

{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}

{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}\equiv (-1)^{k}\mod n}por cada *k* con {\displaystyle 0\leq k\leq n-1.}

De xeito máis xeral, isto segue sendo certo se *n* é calquera número e *k* é tal que todos os números entre 1 e *k* son coprimos con *n*.

Daquela temos

{\displaystyle {\binom {n-1}{k}}={(n-1)(n-2)\cdots (n-k) \over 1\cdot 2\cdots k}=\prod \_{i=1}^{k}{n-i \over i}\equiv \prod \_{i=1}^{k}{-i \over i}=(-1)^{k}\mod n.}

Funcións xeradoras
------------------

### Funcións xeradoras ordinarias

Se temos un n fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia {\displaystyle {\tbinom {n}{0}},{\tbinom {n}{1}},{\tbinom {n}{2}},\ldots } é

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{n \choose k}x^{k}=(1+x)^{n}.}
Agora, se facemos que k sexa fixo, a función xeradora ordinaria da secuencia {\displaystyle {\tbinom {0}{k}},{\tbinom {1}{k}},{\tbinom {2}{k}},\ldots ,} é

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }{n \choose k}y^{n}={\frac {y^{k}}{(1-y)^{k+1}}}.}
A función xeradora bivariada dos coeficientes binomiais é

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n}={\frac {1}{1-y-xy}}.}
### Función xeradora exponencial

Para dúas variables, unha función xeradora exponencial simétrica dos coeficientes binomiais é:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\sum \_{k=0}^{\infty }{n+k \choose k}{\frac {x^{k}y^{n}}{(n+k)!}}=e^{x+y}.}

Propiedades de divisibilidade
-----------------------------

En 1852, Kummer demostrou (Teorema de Kummer) que se *m* e *n* son enteiros non negativos e *p* é un número primo, entón a maior potencia de *p* que divide {\displaystyle {\tbinom {m+n}{m}}} é igual *a p**c*, onde *c* é o número de carrexos cando *m* e *n* se suman na base *p*. 

Os coeficientes binomiais teñen propiedades de divisibilidade relacionadas cos mínimos múltiplos comúns (lcm) de números enteiros consecutivos. Por exemplo: 

{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}} divide {\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n}}} .
{\displaystyle {\binom {n+k}{k}}} é múltiplo de {\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n,n+1,\ldots ,n+k)}{n\cdot \operatorname {lcm} ({\binom {k}{0}},{\binom {k}{1}},\ldots ,{\binom {k}{k}})}}} .
un dato máis en relación á divisibilidade: un número enteiro *n* ≥ 2 é primo se e só se todos os coeficientes binomiais intermedios

{\displaystyle {\binom {n}{1}},{\binom {n}{2}},\ldots ,{\binom {n}{n-1}}}
son divisibles por *n* .

Límites e fórmulas asintóticas
------------------------------

Os seguintes límites para {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} cúmprense para todos os valores de *n* e *k* tal que 1 ≤ *k* ≤ *n*:



n

k

k

k

≤

(

n
k

)

≤

n

k

k
!

<

(

n
⋅
e

k

)

k

.

{\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}

{\displaystyle {\frac {n^{k}}{k^{k}}}\leq {n \choose k}\leq {\frac {n^{k}}{k!}}<\left({\frac {n\cdot e}{k}}\right)^{k}.}Das propiedades de divisibilidade podemos inferir que



lcm
⁡
(
n
−
k
,
…
,
n
)

(
n
−
k
)
⋅
lcm
⁡

(

(

k
0

)

,
…
,

(

k
k

)

)

≤

(

n
k

)

≤

lcm
⁡
(
n
−
k
,
…
,
n
)

n
−
k

,

{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}},}

{\displaystyle {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{(n-k)\cdot \operatorname {lcm} \left({\binom {k}{0}},\ldots ,{\binom {k}{k}}\right)}}\leq {\binom {n}{k}}\leq {\frac {\operatorname {lcm} (n-k,\ldots ,n)}{n-k}},}
### Tanto *n* como *k* grandes

A aproximación de Stirling dá a seguinte aproximación, válida cando {\displaystyle n-k,k} tenden ao infinito:



(

n
k

)

∼

n

2
π
k
(
n
−
k
)

⋅

n

n

k

k

(
n
−
k

)

n
−
k


{\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}

{\displaystyle {n \choose k}\sim {\sqrt {n \over 2\pi k(n-k)}}\cdot {n^{n} \over k^{k}(n-k)^{n-k}}}En particular, cando {\displaystyle n} é suficientemente grande, temos



(

2
n

n

)

∼

2

2
n

n
π


{\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}

{\displaystyle {2n \choose n}\sim {\frac {2^{2n}}{\sqrt {n\pi }}}}e {\displaystyle {\sqrt {n}}{2n \choose n}\geq 2^{2n-1}}

Se *n* é grande e *k* é linear en *n*, existen varias estimacións asintóticas precisas para o coeficiente binomial {\textstyle {\binom {n}{k}}}. Por exemplo, se {\displaystyle |n/2-k|=o(n^{2/3})} entón



(

n
k

)

∼

(

n

n
2

)

e

−

d

2

/

(
2
n
)

∼

2

n


1
2

n
π

e

−

d

2

/

(
2
n
)

{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim {\binom {n}{\frac {n}{2}}}e^{-d^{2}/(2n)}\sim {\frac {2^{n}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}n\pi }}}e^{-d^{2}/(2n)}}onde *d* = *n* − 2*k*.

### n moito maior que k

Se n é grande e k é *o*(*n*) (é dicir, se *k*/*n* → 0), entón



(

n
k

)

∼

(

n
e

k

)

k

⋅
(
2
π
k

)

−
1

/

2

⋅
exp
⁡

(

−

k

2

2
n

(
1
+
o
(
1
)
)

)

{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}

{\displaystyle {\binom {n}{k}}\sim \left({\frac {ne}{k}}\right)^{k}\cdot (2\pi k)^{-1/2}\cdot \exp \left(-{\frac {k^{2}}{2n}}(1+o(1))\right)}onde de novo o é a notación o pequena. 

### Coeficientes binomiais xeneralizados

Obtemos unha nova expresión para os coeficientes binomiais usando a fórmula do produto infinito para a función gamma


(
−
1

)

k


(

z
k

)

=

(

−
z
+
k
−
1

k

)

=

1

Γ
(
−
z
)


1

(
k
+
1

)

z
+
1



∏

j
=
k
+
1



(

1
+

1
j

)

−
z
−
1

1
−

z
+
1

j


{\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod \_{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}

{\displaystyle (-1)^{k}{z \choose k}={-z+k-1 \choose k}={\frac {1}{\Gamma (-z)}}{\frac {1}{(k+1)^{z+1}}}\prod _{j=k+1}{\frac {\left(1+{\frac {1}{j}}\right)^{-z-1}}{1-{\frac {z+1}{j}}}}}que produce as fórmulas asintóticas



(

z
k

)

≈

(
−
1

)

k

Γ
(
−
z
)

k

z
+
1


and


(

z
+
k

k

)

=

k

z

Γ
(
z
+
1
)

(

1
+

z
(
z
+
1
)

2
k

+

O

(

k

−
2

)

)

{\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}

{\displaystyle {z \choose k}\approx {\frac {(-1)^{k}}{\Gamma (-z)k^{z+1}}}\qquad {\text{and}}\qquad {z+k \choose k}={\frac {k^{z}}{\Gamma (z+1)}}\left(1+{\frac {z(z+1)}{2k}}+{\mathcal {O}}\left(k^{-2}\right)\right)}cando {\displaystyle k\to \infty } .

Xeneralizacións
---------------

### Xeneralización a multinomial

*Artigo principal**:* Multinomial theorem.
Os coeficientes binomiais pódense xeneralizarse a **coeficientes multinomiais** definidos como o número:

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{r}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{r}!}}}
onde

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{r}k\_{i}=n.}
Lembrando o que representan os coeficientes binomiais de (*x* + *y*)*n*, vemos que os coeficientes multinomiais representan os coeficientes do polinomio

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{r})^{n}.}
O caso *r* = 2 dá os coeficientes binomiais:

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2}}={n \choose k\_{1},n-k\_{1}}={n \choose k\_{1}}={n \choose k\_{2}}.}
A interpretación combinatoria dos coeficientes multinomiais é que a distribución de *n* elementos distinguibles sobre *r* recipientes (distinguibles), onde cada un contén exactamente *ki* elementos, onde *i* é o índice do recipiente.

### Serie de Taylor

Usando os números de Stirling do primeiro tipo, temos que a expansión en serie arredor de calquera punto escollido arbitrariamente {\displaystyle z\_{0}} é

{\displaystyle {\begin{aligned}{z \choose k}={\frac {1}{k!}}\sum \_{i=0}^{k}z^{i}s\_{k,i}&=\sum \_{i=0}^{k}(z-z\_{0})^{i}\sum \_{j=i}^{k}{z\_{0} \choose j-i}{\frac {s\_{k+i-j,i}}{(k+i-j)!}}\\&=\sum \_{i=0}^{k}(z-z\_{0})^{i}\sum \_{j=i}^{k}z\_{0}^{j-i}{j \choose i}{\frac {s\_{k,j}}{k!}}.\end{aligned}}}
### Coeficiente binomial con *n* = 1/2

Podemos estender a definición dos coeficientes binomiais ao caso en que {\displaystyle n} é real e {\displaystyle k} é enteiro.

En particular, a seguinte identidade cúmprese para calquera número enteiro non negativo {\displaystyle k}:

{\displaystyle {{1/2} \choose {k}}={{2k} \choose {k}}{\frac {(-1)^{k+1}}{2^{2k}(2k-1)}}.}
Isto vese cando se expande {\displaystyle {\sqrt {1+x}}} nunha serie de potencias utilizando a serie binomial de Newton:

{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum \_{k\geq 0}{\binom {1/2}{k}}x^{k}.}

1. ↑ . 1902 .  Falta o `|title=` (Axuda)
2. ↑  Gradshteyn & Ryzhik (2014).
3. ↑   **80**. 1996: 579–582. JSTOR 3618534. arXiv:math/0406086. doi:10.2307/3618534.  Falta o `|title=` (Axuda)
4. ↑   **125**. 2007: 393–411. arXiv:0803.0290. doi:10.1016/j.jnt.2006.10.017.  Falta o `|title=` (Axuda)
5. ↑ . Student mathematical library **71**. p. 66. ISBN 978-1-4704-0904-3. OCLC 865574788.  Falta o `|title=` (Axuda)
6. ↑ . Student mathematical library **71**. p. 59. ISBN 978-1-4704-0904-3. OCLC 865574788.  Falta o `|title=` (Axuda)