O **Círculo de Mohr** (estritamente sería a circunferencia de Mohr) é unha técnica usada en enxeñaría e xeofísica para representar graficamente un tensor simétrico (de 2x2 ou de 3x3) e calcular con el momentos de inercia, deformacións e tensións, adaptando os mesmos ás características dunha circunferencia (radio, centro etc). Tamén é posible co círculo o cálculo do esforzo cortante máximo absoluto e a deformación máxima absoluta.

Este método foi desenvolvido por 1882 polo enxeñeiro civil alemán Christian Otto Mohr (1835-1918).

Circunferencia de Mohr para esforzos
------------------------------------

### Caso bidimensional

Círculo de Mohr para esforzos.
En dúas dimensións, o Círculo de Mohr permite determinar a tensión máxima e mínima, a partir das medicións da tensión normal e tanxencial sobre dous ángulos que forman 90º:

> 
> {\displaystyle {\begin{cases}{\text{medida 1}}&(\sigma \_{x},\tau )\\{\text{medida 2}}&(\sigma \_{y},-\tau )\end{cases}}}
> 
> 
> 

*NOTA: O eixe vertical encóntrase invertido, polo que os esforzos positivos sinálanse abaixo e os esforzos negativos localízanse na parte superior*.
Usando eixes rectangulares, onde o eixe horizontal representa a tensión normal {\displaystyle \left(\sigma \right)} e o eixe vertical representa a tensión cortante ou tanxencial {\displaystyle \left(\tau \right)} para cada un dos planos anteriores. Os valores da circunferencia fidan representados do seguinte xeito:

* Centro do círculo de Mohr:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle C:=(\sigma \ \_{\text{med}},0)=\left({\frac {\sigma \ \_{x}+\sigma \ \_{y}}{2}},0\right)}
> 
> 
> 

* Radio da circunferencia de Mohr:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle r:={\sqrt {\left({\frac {\sigma \ \_{x}-\sigma \ \_{y}}{2}}\right)^{2}+\tau \ \_{xy}^{2}}}}
> 
> 
> 

As tensións máxima e mínima veñen dadas en termos desas magnitudes simplemente por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \sigma \_{\text{max}}=\sigma \_{\text{med}}+r\qquad \sigma \_{\text{min}}=\sigma \_{\text{med}}-r}
> 
> 
> 

Estes valores pódense obter tamén calculando os valores propios do tensor tensión que neste caso ven dado por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {T} \vert \_{x,y}={\begin{bmatrix}\sigma \_{x}&\tau \\\tau &\sigma \_{y}\end{bmatrix}}}
> 
> 
> 

### Caso tridimensional

O caso do estado tensional dun punto P dun sólido tridimensional é máis complicado xa que matematicamente represéntase por unha matriz de 3x3 para a que existen 3 valores propios, non necesariamente diferentes.

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {T} \vert \_{x,y,z}={\begin{bmatrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}&\tau \_{xz}\\\tau \_{yx}&\sigma \_{y}&\tau \_{yz}\\\tau \_{xz}&\tau \_{yz}&\sigma \_{z}\end{bmatrix}}}
> 
> 
> 

No caso xeral, as tensións normal (σ) e tanxencial (τ), medidas sobre calquera plano que pase polo punto P, representadas no diagrama (σ,τ) caen sempre dentro dunha rexión delimitada por 3 círculos. Isto é máis complexo que o caso bidimensional, onde o estado tensional caía sempre sobre unha única circunferencia. Cada unha das 3 circunferencias que delimitan a rexión de posibles pares (σ,τ) coñécese co nome de circunferencia de Mohr.

Círculo de Mohr con momentos de inercia
---------------------------------------

Para sólidos planos ou case-planos, pode aplicarse a mesma técnica da circunferencia de Mohr que se usou para tensións en dúas dimensións. Ao calcular o momento de inercia arredor dun eixe que se encontra inclinado, a circunferencia de Mohr pode ser utilizado para obter este valor. Tamén é posible obter os momentos de inercia principais. Neste caso as fórmulas de cálculo do momento de inercia medio e o radio de la circunferencia de Mohr para momentos de inercia son análogas ás de cálculo de esforzos:

* Centro da circunferencia:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle C:=(I\_{\text{med}},0)=\left({\frac {I\_{x}+I\_{y}}{2}},0\right)}
> 
> 
> 

* Radio da circunferencia:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle r:={\sqrt {\left({\frac {I\_{x}-I\_{y}}{2}}\right)^{2}+I\_{xy}^{2}}}}
> 
> 
>

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* "Círculo de Mohr para esfuerzos" [Círculo de Mohr para esforzos] (en castelán). Arquivado dende o orixinal o 29 de novembro de 2012. Consultado o 25 de xaneiro de 2010.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q360655
* GEC: 0043066
* MAG: 68880726

 |