En probabilidade e estatística, a **correlación** indica a forza e a dirección dunha relación linear e proporcionalidade entre dúas variables estatísticas. Considérase que dúas variables cuantitativas están correlacionadas cando os valores dunha delas varían sistematicamente con respecto aos valores homónimos da outra: se se teñen dúas variables (A e B) existe correlación se ao aumentaren os valores de A tamén aumentan (ou diminúen) os de B. A correlación entre dúas variables non implica, por ela mesma, ningunha relación de causalidade (*cum hoc ergo propter hoc*).

Forza, sentido e forma da correlación
-------------------------------------

A relación entre dúas variables cuantitativas queda representada mediante a liña de mellor axuste, trazada a partir da nube de puntos. Os principais compoñentes elementais dunha liña de axuste e polo tanto dunha correlación, son a forza, o sentido e a forma: 

* a **forza** extrema segundo o caso, mide o grao no que a liña representa a nube de puntos: se a nube é estreita e alongada represéntase por unha liña recta, o que indica que a relación é *forte*; se a nube de puntos ten unha tendencia elíptica o circular, a relación é *débil*.
* o **sentido** mide a variación dos valores de B con respecto a A: se ao creceren os valores de A fano os de B, a relación é directa (pendente positiva); se ao creceren os valores de A diminúen os de B, a relación é inversa (pendente negativa).
* a **forma** establece o tipo de liña que define o mellor axuste: a liña recta, a curva monotónica ou a curva non monotónica

Coeficientes de correlación
---------------------------

Existen diversos coeficientes que miden o grao de correlación, adaptados á natureza dos datos. O máis coñecido é o coeficiente de correlación de Pearson (introducido en realidade por Francis Galton), que se obtén dividindo a covarianza de dúas variables entre o produto dos seus desvíos estándar. Outros coeficientes son:

* Coeficiente de correlación de Spearman
* Correlación canónica
* Coeficiente de correlación Intraclase
* Correlación de Kendall
* Correlación de Jaspen

### Interpretación xeométrica

Dados os valores da mostra de dúas variables aleatorias {\displaystyle X(x\_{1},\ldots ,x\_{n})} e {\displaystyle Y(y\_{1},\ldots ,y\_{n})}, que poden ser consideradas como vectores nun espazo de *n* dimensións, poden construírse os "vectores centrados" como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle X(x\_{1}-{\bar {x}},\ldots ,x\_{n}-{\bar {x}})} e {\displaystyle Y(y\_{1}-{\bar {y}},\ldots ,y\_{n}-{\bar {y}})}. 
> 
> 
> 

O coseno do ángulo alfa entre estes vectores vén dada pola fórmula seguinte:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle r=\cos(\alpha )={\dfrac {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\bar {x}})\cdot (y\_{i}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}(y\_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}
> 
> 
> 

pois {\displaystyle \cos(\alpha )} é o coeficiente de correlación da mostra de Pearson. O coeficiente de correlación é o coseno entre ambos vectores centrados:

* se *r* = 1, o ángulo {\displaystyle \alpha =0}°, ambos os vectores son colineares (paralelos).
* se *r* = 0, o ángulo {\displaystyle \alpha =90}°, ambos os vectores son ortogonais.
* se *r* =-1, o ángulo {\displaystyle \alpha =180}°, ambos os vectores son colineares de dirección oposta.

Máis xeralmente: {\displaystyle \alpha =\arccos(r)}.

Por suposto, dende o punto vista xeométrico, non se fala de *correlación linear*: o coeficiente de correlación ten sempre un sentido, calquera que sexa o seu valor entre -1 e 1. Informa de modo preciso, non tanto sobre o grao de dependencia entre as variables, senón sobre a súa distancia angular na hiperesfera en *n* dimensións.

A iconografía das correlacións é un método de análise multidimensional que está baseado nesta idea. A correlación linear dáse cando nunha nube de puntos se atopan ou se distribúen arredor dunha recta.

A fórmula de correlación para dúas series distintas con certo desfase "k", está dada pola fórmula:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle r\_{k}={\dfrac {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N-k}(x\_{i}-{\bar {x}})\cdot (y\_{i+k}-{\bar {y}})}{{\sqrt {\displaystyle \sum \_{i=1}^{N-k}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}}}\cdot {\sqrt {\displaystyle \sum \_{i=k+1}^{N}(y\_{i}-{\bar {y}})^{2}}}}}}
> 
> 
> 

### Distribución do coeficiente de correlación

O coeficiente de correlación dunha mostra é unha variable aleatoria, o que significa que se repetimos un experimento ou consideramos diferentes mostras se obterán valores diferentes e polo tanto o coeficiente de correlación da mostra calculado a partir delas terá valores lixeiramente diferentes. Para mostras grandes a variación nese coeficiente será menor que para mostras pequenas. R. A. Fisher foi o primeiro en determinar a distribución de probabilidade para o coeficiente de correlación.

Se as dúas variables aleatorias que se trata de relacionar proceden dunha distribución gaussiana bivariante entón o coeficiente de correlación *r* segue unha distribución de probabilidade dada por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(n-2\right)\,\mathbf {\Gamma } \left(n-1\right)\left(1-\rho ^{2}\right)^{\frac {n-1}{2}}\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{{\sqrt {2\pi }}\,\mathbf {\Gamma } \left(n-{\frac {1}{2}}\right)\left(1-\rho r\right)^{n-{\frac {3}{2}}}}}\,\mathbf {\_{2}F\_{1}} \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {2n-1}{2}};{\frac {\rho r+1}{2}}\right)}
> 
> 
> 

onde:

{\displaystyle \mathbf {\Gamma } } é a distribución gamma
{\displaystyle \,\mathbf {\_{2}F\_{1}} (a,b;c;z)} é a función gaussiana hiperxeométrica.
O valor esperado do coeficiente de correlación da mostra *r* es:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}+\cdots }
> 
> 
> 

polo tanto, *r* é un estimador nesgado de {\displaystyle \,\rho }. Pode obterse un estimador aproximado non nesgado resolvendo a ecuación:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {r}}=\mathbb {E} \left(r\right)=\rho -{\frac {\rho \left(1-\rho ^{2}\right)}{2\left(n-1\right)}}} para {\displaystyle \,\rho }
> 
> 
> 

Aínda que a solución:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\rho }=r\left[1+{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}
> 
> 
> 

é subóptima. Pode obterse un estimador nesgado con mínima varianza para grandes valores de *n*, con nesgo de orde {\displaystyle {\frac {1}{n-1}}} buscando o máximo da expresión:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \log {f\left(r\right)}}, i.e. {\displaystyle {\hat {\rho }}=r\left[1-{\frac {1-r^{2}}{2\left(n-1\right)}}\right]}
> 
> 
> 

No caso especial de que {\displaystyle \,\rho =0}, a distribución orixinal pode ser reescrita como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f\left(r\right)={\frac {\left(1-r^{2}\right)^{\frac {n-4}{2}}}{\mathbf {B} \left({\frac {1}{2}},{\frac {n-2}{2}}\right)}}}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle \mathbf {B} } é a función beta.

Notas
-----

1. ↑  Kenney, J. F. And Keeping, E. S. *Mathematics of Statistics*, Pt. 2, 2nd ed. Princeton, NJ: Van Nostrand, 1951.
2. ↑  Correlation Coefficient - Bivariate Normal Distribution

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* Diccionario Estadístico - Divestatística *(en castelán)*
* Simulación da correlación entre dúas variables discretas con R (linguaxe de programación)

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q186290
* AAT: 300055651
* BNCF: 15575
* BNF: 11978503n
* BRE: 2099858
* EBID: ID
* GND: 4165343-9
* JSTOR: correlations
* LCCN: sh85033032
* MAG: 98691003

 |