Na matemática, a **álxebra multilinear** é unha área de estudo que xeneraliza os métodos da álxebra linear. Os obxectos de estudo son os produtos tensoriais de espazos vectoriais e as transformacións multilineares entre os espazos.

Notación
--------

A álxebra multilinear fai un uso intensivo da notación multiíndice. Unha notación dese tipo representa as combinacións lineares por un conxunto de dous ou máis índices repetidos.

* No caso elemental (tensores de *rango un contravariantes*) tense, empregando a convención da suma de Einstein: {\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e\_{s}\,}. O que indica que o obxecto X, é a combinación linear:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \sum \_{s=1}^{n}X^{s}e\_{s}=X^{1}e\_{1}+X^{2}e\_{2}+\cdots +X^{n}e\_{n}}
> 
> 
> 

sobre os *vectores básicos* {\displaystyle \scriptstyle e\_{s}\,}, e os {\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,} chamados *compoñentes* de X. Aquí n é a dimensión alxébrica do espazo ao que pertence X. Por convención chámaselles 1-contra-tensores.
* En **rango uno** tamén están os 1-co tensores, é dicir aplicacións lineares dende o espazo escollido ata o campo dos escalares. Escríbense como combinación linear dos funcionais lineares {\displaystyle e^{s}}, transformacións lineares {\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} } que satisfán: {\displaystyle \scriptstyle e^{s}(e\_{\sigma })={\delta ^{s}}\_{\sigma }}, onde se está empregando o delta de Kronecker. Deste xeito, calquera covector {\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} } se escribe como {\displaystyle \scriptstyle f=f\_{s}e^{s}\,}, notación que se abrevia como {\displaystyle \scriptstyle f=f\_{1}e^{1}+\cdots +f\_{n}e^{n}\,}.
* Tensores de **rango dous**:
	+ Un tensor de **rango dous contravariante** é {\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e\_{s}\otimes e\_{t}}.
	+ Un tensor de **rango dous covariante** é {\displaystyle \scriptstyle C=C\_{st}e^{s}\otimes e^{t}}.
	+ E un tensor de rango dous mixto é {\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}\_{t}e\_{s}\otimes e^{t}}. Isto indica unha combinación linear *biindexada*.

Por exemplo,

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle B=B^{11}e\_{1}\otimes e\_{1}+B^{12}e\_{1}\otimes e\_{2}+B^{21}e\_{2}\otimes e\_{1}+B^{22}e\_{2}\otimes e\_{2}}
> 
> 
> 

se a dimensión do espazo é dous.
* Xeneralizando o anterior escríbese {\displaystyle \scriptstyle {A^{i\_{1}i\_{2}...i\_{p}}}\_{j\_{1}j\_{2}...j\_{q}}} para representar *os compoñentes* dun *tensor mixto* A, que é p-contravariante e q-covariante. Pero

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={A^{i\_{1}i\_{2}...i\_{p}}}\_{j\_{1}j\_{2}...j\_{q}}e\_{i\_{1}}\otimes \cdots \otimes e\_{i\_{p}}\otimes e^{j\_{1}}\otimes \cdots \otimes e^{j\_{q}}}
> 
> 
> 

representa unha combinación linear multiindexada.
Todo o anterior só foi considerando que o espazo vectorial é de dimensión finita igual a *n*.

Produto tensorial
-----------------

Tendo dous espazos vectoriais *V*, *W*, con bases respectivas {\displaystyle \{b\_{1},...b\_{n}\}}, {\displaystyle \{c\_{1},...c\_{m}\}} defínese o seu produto tensorial

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle V\otimes W:=\langle \{b\_{i}\otimes c\_{j}\}\rangle }
> 
> 
> 

é dicir o espazo vectorial xerado polos novos símbolos 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \{b\_{1}\otimes c\_{1},b\_{1}\otimes c\_{2},...b\_{n}\otimes c\_{m-1},b\_{n}\otimes c\_{m}\}}
> 
> 
> 

Polo tanto se un obxecto *X* que pertence a {\displaystyle \scriptstyle V\otimes W} pode representarse como unha combinación linear

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle X=X^{11}b\_{1}\otimes c\_{1}+X^{12}b\_{1}\otimes c\_{2}+\cdots +X^{ij}b\_{i}\otimes c\_{j}+\cdots +X^{nm}b\_{n}\otimes c\_{m}}
> 
> 
> 

e que se abrevia como

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle X=X^{st}b\_{s}\otimes c\_{t}}
> 
> 
> 

os índices repetidos *s* ou *t*, indican, cada un, a suma.

Esta definición é absolutamente abstracta, pero dende o punto de vista alxébrico non hai ningún problema en explorar todas as posibilidades do produto tensorial. Xorde unha gran cantidade de espazos simplemente ao considerar un espazo vectorial *V* e o seu dual {\displaystyle V^{\*}}, obténdose os espazos:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}
> 
> 
> 

{\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{\*}={\rm {Hom}}(V)}

{\displaystyle \scriptstyle V^{\*}=\Lambda ^{1}(V)\,}

{\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}

{\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}

Todos eles de uso cotián en xeometría diferencial, xeometría alxébrica, relatividade e outros campos.

Tensores e formas
-----------------

Sexa V xerado polos {\displaystyle b\_{i}}. Simbolizando con 
{\displaystyle \beta ^{\mu }} a base do dual {\displaystyle \scriptstyle V^{\*}} calquera elemento de {\displaystyle \scriptstyle V^{\*}\otimes V^{\*}} escríbese da forma
{\displaystyle \scriptstyle B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}. Esta mesma expresión pode ser vista como unha función bilinear

{\displaystyle \scriptstyle V\times V{\stackrel {B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}\mathbb {R} }
{\displaystyle \scriptstyle (b\_{i},b\_{j})\mapsto B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b\_{i},b\_{j})=B\_{ij}}
sabiendo que 
{\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b\_{i},b\_{j})={\delta ^{\mu }}\_{i}{\delta ^{\nu }}\_{j}} - kronecker.

Outro de rango dous é {\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{\*}}. Os elementos de aquí vense como combinacións lineares biindexadas {\displaystyle \scriptstyle {B^{\mu }}\_{\nu }b\_{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Robert M. Wald, *General Relativity*, Chicago University Press, ISBN 0-226-87033-2.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1197190
* MAG: 60321788

 |

---

|  |  |
| --- | --- |
|  |  *Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.* *Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.* |

---