As **funcións computábeis** son o obxecto básico de estudo da teoría da computabilidade e son, especificamente, as funcións que poden ser calculadas por unha máquina de Turing.

A computabilidade dunha función é unha noción informal. Un xeito de describila é dicir que unha función é computábel se os seus valores se poden obter por un método efectivo. Máis rigorosamente, unha función {\displaystyle f:\mathbb {N} ^{k}\rightarrow \mathbb {N} } é computábel se e só se existe un procedemento que, dada calquera *k*-tupla {\displaystyle \mathbf {x} } de números naturais, producirá o valor {\displaystyle f(\mathbf {x} )}.

Introdución
-----------

As funcións computábeis son unha formalización da noción intuitiva de algoritmo e segundo a tese de Church-Turing son exactamente as funcións que poden ser calculadas cunha máquina de cálculo. A noción da computabilidade dunha función pode ser relativizada a un conxunto arbitrario de números naturais *A*, ou equivalentemente a unha función arbitraria *f* dos naturais nos naturais, por medio de máquinas de Turing estendidas cun oráculo por *A* ou *f*. Tales funcións poden ser chamadas *A*-computábeis ou *f*-computábeis respectivamente. Antes da definición precisa dunha función computable os matemáticos empregaban o vocábulo informal *efectivamente computábel*.

As funcións computábeis son usadas para discutir sobre computabilidade sen referirse a ningún modelo de computación concreto, como o da máquina de Turing ou o da máquina de rexistros. Os axiomas de Blum poden ser usados para definir unha teoría de complexidade computacional abstracta sobre o conxunto de funcións computábeis.

Segundo a tese de Church-Turing, a clase de funcións computábeis é equivalente á clase de funcións definidas por funcións recursivas, cálculo lambda, ou algoritmos de Markov .

Alternativamente pódense definir como os algoritmos que poden ser calculados por unha máquina de Turing, unha máquina de Post, ou unha máquina de rexistros.

En teoría da complexidade computacional, o problema de determinar a complexidade dunha función computábel coñécese como un problema de funcións.

Definicións
-----------

Unha función parcial

{\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {N} \to \mathbb {N} }
chámase parcialmente computábel se o algoritmo de f é un conxunto recursivamente numerábel. O conxunto de funcións parcialmente computábeis cun parámetro escríbese normalmente {\displaystyle \mathbf {P} ^{(1)}} ou {\displaystyle \mathbf {P} } se o número de parámetros pode deducirse do contexto.

Unha función total

{\displaystyle f:\mathbb {N} \to \mathbb {N} }
chámase computábel se o algoritmo de f é un conxunto recursivo. O conxunto de funcións totalmente computables cun parámetro normalmente escríbese
{\displaystyle \mathbf {R} ^{(1)}} ou {\displaystyle \mathbf {R} }.

Unha función computable f chámase predicado computable se é unha función con valor booleano, é dicir:

{\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {N} \to \{0,1\}}

Comentarios
-----------

Ás veces, por razóns de claridade, escríbese unha función computable como

{\displaystyle g:D\_{k}\subseteq \mathbb {N} ^{k}\to \mathbb {N} }
Pódese facilmente codificar *g* nunha nova función 

{\displaystyle f:D\subseteq \mathbb {N} \to \mathbb {N} }
usando unha función de pares.

Exemplos
--------

* Función constante *f* : **N***k*→ **N**, *f*(*n*1,...*n**k*) := *n*
* Adición *f* : **N**2→ **N**, *f*(*n*1,*n**2*) := *n*1 + *n*2
* Máximo común divisor
* Identidade de Bézout, unha ecuación diofantiana linear.

Propiedades
-----------

* O conxunto das funcións computábeis é numerábel.
* Se f e {\displaystyle g} son funcións computábeis entón {\displaystyle f+g}, {\displaystyle f\cdot g} e {\displaystyle f\circ g} son funcións computábeis.
* As funcións computábeis son definíbeis aritméticamente.
* Unha función con valor booleano f é un predicado computábel se e só se a linguaxe {\displaystyle \{x\in \Sigma ^{\*}:f(x)=1\}} é recursiva.

Notas
-----

1. ↑  Enderton, Herbert (2002). *A Mathematical Introduction to Logic* (en inglés) (2ª ed.). USA: Elsevier. p. 209. ISBN 0-12-238452-0.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Cutland, Nigel. *Computability*. Cambridge University Press, 1980.
* Enderton, H.B. Elements of recursion theory. *Handbook of Mathematical Logic* (North-Holland 1977) pp. 527–566.
* Rogers, H. *Theory of recursive functions and effective computation* (McGraw–Hill 1967).
* Turing, A. (1936), On Computable Numbers, With an Application to the Entscheidungsproblem. *Proceedings of the London Mathematical Society*, Serie 2, Volume 42 (1936). Reimpreso en M. Davis (ed.), *The Undecidable*, Raven Press, Hewlett, NY, 1965.

### Outros artigos

* Algoritmo

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1148456
* EBID: ID
* GEC: 0268266
* MAG: 54271186

 |