A **notación posicional** é un modo de escritura numérica no cal cada díxito posúe un valor diferente que depende da súa posición relativa. Queda definida pola **base**, que é o número de díxitos necesarios para escribir calquera número.

O modo que utilizamos habitualmente é o sistema decimal (base 10), necesitándose dez díxitos diferentes, cuxo valor en orde crecente é: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Para os números escritos en sistemas de bases menores úsanse os díxitos de menor valor; para os escritos con bases maiores utilízanse letras para díxitos maiores que 9 (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, ...)

Historia
--------

Antigas culturas, como as de Mesopotamia, o Antigo Exipto, a Antiga Grecia ou a Antiga Roma, non utilizaban a notación posicional, o que facía sumamente complexo o cálculo, e dificultaba o desenvolvemento da álxebra.

A primeira numeración de posición está documentada a comenzos do século II a.C. e foi utilizada polos eruditos de Babilonia. Posteriormente, a finais do século I a.C. empregárona os matemáticos chineses. Os sacerdotes astrónomos da civilización maia utilizárona entre os séculos IV e IX da nosa era: un sistema vixesimal cun díxito de valor cero, aínda que con algunhas peculiaridades que o privaron de posibilidade operatoria.

Foron os árabes os que impulsaron a gran innovación da notación posicional, aínda que utilizando a notación numérica hindú: un sistema decimal cun díxito de valor nulo: o cero. Leonardo de Pisa (coñecido como *Fibonacci*), introduciu en Occidente o sistema, no século XI.

Por cuestións técnicas, en informática optouse por un sistema numérico en base dous, utilizándose só dous díxitos: 0 e 1, pero empregando a notación posicional, pola súa gran simplicidade operativa.

Características
---------------

Utilizando a **notación posicional**, o mesmo díxito 5 toma diferente valor nos números 5, 50 e 500. Isto é unha consecuencia da descomposición de números en múltiplos de factores bn, onde *b* é a base e *n* calquera número enteiro.

De forma máis intuitiva, descompóñense en unidades de distintas ordes, de tal forma que *b* unidades de calquera orde equivalen a unha dunha orde inmediatamente superior. A orde que serve de guía é a unidade, propiamente dicha (b0)

Por convenio, os díxitos nesta notación escríbense de esquerda a dereita (incluso en idiomas que normalmente escriben de dereita a esquerda), empezando polas ordes superiores e acabando na unidade como tal, marcando a carencia de unidades cun 0 (cero). Así, en sistema decimal:

{\displaystyle 505=5\cdot 10^{2}+0\cdot 10^{1}+5\cdot 10^{0}}
Se existen ordes menores que a unidade, escríbese unha coma (,) ou ('), ou un punto en determinados idiomas (.) para separalos das unidades, e se continúa escribindo de maior a menor, acabando coas unidades de menor orde.

{\displaystyle 542,1=5\cdot 10^{2}+4\cdot 10^{1}+2\cdot 10^{0}+1\cdot 10^{-1}}
Os números negativos márcanse cun signo menos (-) diante:

{\displaystyle -542,1=-5\cdot 10^{2}-4\cdot 10^{1}-2\cdot 10^{0}-1\cdot 10^{-1}}
Se é necesario especificar a base, escríbese como subíndice entre parénteses (loxicamente, en base decimal):

{\displaystyle 10\_{(5)}=5\_{(10)}}
Os números periódicos (que posúen un grupo de cifras que se repite) teñen infinitas ordes cada vez máis pequenas cuxos múltiplos seguen un patrón. Este grupo de cifras (chamado **período**) pódese escribir unha vez e marcar cun arco na parte superior, ou indicando con puntos suspensivos que o número continúa:

{\displaystyle 5,0{\widehat {3}}=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+\sum \_{-2\geqslant i>-\infty }3\cdot 10^{i}...}
de forma menos rigorosa:

{\displaystyle 5,0333...=5\cdot 10^{0}+0\cdot 10^{-1}+3\cdot 10^{-2}+3\cdot 10^{-3}+3\cdot 10^{-4}...}
Na práctica se sole usar esta última solución o directamente redondear o truncar el número.

Algoritmos para cambio de base
------------------------------

Estes algoritmos baséanse na descomposición en factores de bn arriba mencionada. Por comodidade, todos os cálculos fanse en base decimal, pero os cálculos funcionarían igual en calquera outra base.

### De base foránea a base decimal

Simplemente multiplíquese cada díxito pola potencia dependente, e despois evalúese o resultado como nunha conta normal, en base decimal.

{\displaystyle {\mbox{5B2,E}}\_{(16)}=[5\cdot 16^{2}+11\cdot 16^{1}+2\cdot 16^{0}+14\cdot 16^{-1}]\_{(10)}=[1280+176+2+0,875]\_{(10)}=1458,875\_{(10)}}
(recórdese que B(16) = 11(10); E(16) = 14(10))

### De base decimal a base foránea

Divídase o número pola súa base até que xa non sesa posíbel. Lendo o primeiro cociente e os restos en orde inversa, pódese ler o número na base foránea.

{\displaystyle {\begin{matrix}1458&|\!{\underline {\ 16}}&\ \\\quad \;\;{\color {Red}2}&91&|\!{\underline {\ 16}}\\\;&{\color {Red}11}&\;\ {\color {Red}5}\end{matrix}}}
{\displaystyle 5,\ 11,\ 2\rightarrow {\mbox{5B2}}\_{(16)}}
Para decimais, son necesarios algoritmos máis complexos.

Vantaxes da notación posicional
-------------------------------

Mediante a notación posicional decimal pódese escribir calquera valor numérico con só dez díxitos diferentes (tantos como indica a base), por moi grande ou pequeno que sexa, aínda que é imprescindíbel un díxito de valor *nulo*, o cero, para poder operar facilmente.

Notas
-----

1. ↑  Ifrah, Geoges (1998): *Historia universal de las cifras*. Espasa Calpe S. A. ISBN 84-239-9730-8, páxs. 740 e 781

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1747853
* BRE: 3150942
* EBID: ID
* MAG: 160059671

 |