En matemática, na álxebra linear, o **produto escalar**, chamado tamén **produto** **interno**, **interior** ou **punto**, é unha función binaria definida entre dous vectores que fornece un número real como resultado. 
O produto vectorial, que é outra operación posíbel para vectores, fornece, por outro lado, un novo vector.

Alén de para o espazo euclidiano de dúas e tres dimensión, o produto escalar pode definirse tamén nos espazos euclidianos de dimensión maior a tres, e en xeral nos espazos vectoriais reais e complexos. Os espazos vectoriais dotados de produto escalar reciben o nome de espazos prehilbertianos.

Definición
----------

Produto escalar de dous vectores
Dados dous vectores {\displaystyle {\vec {A}}} e {\displaystyle {\vec {B}}}. o produto escalar pode ser calculado como:

{\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=|A||B|\ cos\theta }
Onde \theta  é o ángulo formado polos vectores {\displaystyle {\vec {A}}} e {\displaystyle {\vec {B}}}, e {\displaystyle |A|} e {\displaystyle |B|} son as súas lonxitudes. Da figura podemos ver que o produto {\displaystyle |A|\ cos\theta } representa a proxección do vector {\displaystyle {\vec {A}}} na dirección do vector {\displaystyle {\vec {B}}}. Se {\displaystyle {\vec {A}}} fose unha forza, o produto escalar indicaría entón canta da forza {\displaystyle {\vec {A}}} se estaría a aplicar na dirección de {\displaystyle {\vec {B}}}.

Se o ángulo entre os vectores fose 90º ({\displaystyle {\vec {A}}} e {\displaystyle {\vec {B}}} perpendiculares entre si), o produto escalar sería cero, pois cos 90º = 0.

Note que non fai falla mencionar ningún Sistema de coordenadas para obter o valor do produto escalar. A fórmula de riba é válida independentemente do sistema de coordenadas.

Nun sistema de coordenadas cartesiano, onde se escriben os vectores en termos de compoñentes como:

{\displaystyle {\vec {A}}=(A\_{x},A\_{y},A\_{z})}
{\displaystyle {\vec {B}}=(B\_{x},B\_{y},B\_{z})}
O produto escalar pode escribirse como:

{\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {B}}=A\_{x}B\_{x}+A\_{y}B\_{y}+A\_{z}B\_{z}}
Note que a interpretación do produto escalar como a proxección dun vector na dirección doutro, neste caso, está lonxe de ser obvia. Porén a expresión de riba fornécenos unha forma de obter a lonxitude dun vector calquera en termos das súas compoñentes:

{\displaystyle |A|={\sqrt {{\vec {A}}\cdot {\vec {A}}}}={\sqrt {A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}}}}
A expresión xeral inicial soamente contén unha definición da **lonxitude dun vector como a raíz cadrada do seu produto escalar**, mais non fornece medios de calculalo:

{\displaystyle {\vec {A}}\cdot {\vec {A}}=|A||A|\ cos0^{o}=|A|^{2}}
### Definición xeral

O produto escalar de dous vectores nun espazo vectorial é unha forma bilinear, hermítica e definida positiva, polo que se pode considerar unha forma cuadrática definida positiva.

Un produto escalar pódese expresar como unha aplicación {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle :V\times V\longrightarrow \mathbb {K} } onde *V* é un espazo vectorial e {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo sobre o que está definido *V*. {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } debe satisfacer as seguintes condicións:

1. Linearidade pola esquerda: {\displaystyle \langle ax+by,z\rangle =a\langle x,z\rangle +b\langle y,z\rangle }, e linearidade conxugada pola dereita: {\displaystyle \langle x,ay+bz\rangle ={\overline {a}}\langle x,e\rangle +{\overline {b}}\langle x,z\rangle }
2. Hermiticidade: {\displaystyle \langle x,y\rangle ={\overline {\langle y,x\rangle }}},
3. Definida positiva: {\displaystyle \langle x,x\rangle \geq 0\,}, y {\displaystyle \langle x,x\rangle =0\,} se e só se *x* = 0,

onde {\displaystyle x,y,z\in V} son vectores de *V*, {\displaystyle a,b\in \mathbb {K} } representan escalares do corpo {\displaystyle \mathbb {K} } e {\displaystyle {\overline {c}}} é o conxugado do complexo *c*.

Se o corpo ten parte imaxinaria nula (v.g. {\mathbb {R}}), a propiedade de ser sesquilinear convértese en ser bilinear e o ser hermítica convértese en ser simétrica.

Tamén adoita representarse por {\displaystyle (\cdot |\cdot )} ou por {\displaystyle \bullet }.

Un espazo vectorial sobre o corpo {\mathbb {R}} ou {\mathbb {C}} dotado dun produto escalar denomínase espazo prehilbert ou espazo prehilbertiano. Se ademais é completo, dise que é un espazo de Hilbert, e se a dimensión é finita, dirase que é un espazo euclídeo.

Todo produto escalar induce unha norma sobre o espazo no que está definido, da seguinte maneira:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \|x\|:={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}.
> 
> 
> 

### Definición xeométrica do produto escalar nun espazo euclídeo real

**A** • **B** = |**A**| |**B**| cos(θ).   
|**A**| cos(θ) é a proxección escalar de **A** en **B**.
O produto escalar de dous vectores nun espazo euclídeo defínese como o produto dos seus módulos polo coseno do ángulo \theta  que forman.

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|\mathbf {A} ||\mathbf {B} |\cos \theta =A\,B\,\cos \theta }
> 
> 
> 

Nos espazos euclídeos, a notación usual de produto escalar é  {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} }

Esta definición de carácter xeométrico é independente do sistema de coordenadas elixido e polo tanto da base do espazo vectorial escollida.

#### Proxección dun vector sobre outro

Posto que **|A| cos θ** representa o módulo da proxección do vector **A** sobre a dirección do vector **B**, isto é |A| cos θ = proy AB, será 

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =|B|\left({\text{proy}}A\_{B}\right)}
> 
> 
> 

de modo que o produto escalar de dois vectores tamén pode definirse como o produto do módulo dun deles pola proxección do outro sobre el.

#### Ángulos entre dous vectores

A expresión xeométrica do produto escalar permite calcular o coseno do ángulo existente entre os vectores:

> 
> {\displaystyle \cos \theta ={\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} \over |A|\,|B|}\,}
> 
> 
> 

#### Vectores ortogonais

Dous vectores son ortogonais ou perpendiculares cando forman ángulo recto entre si. 
Se o produto escalar de dous vectores é cero, ambos vectores son ortogonais.

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\qquad \Rightarrow \qquad \mathbf {A} \bot \mathbf {B} }
> 
> 
> 

xa que o {\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=0}.

#### Vectores paralelos ou nunha mesma dirección

Dous vectores son paralelos ou levan a mesma dirección se o ángulo que forman é de 0 radiáns (0 graos) ou de π radiáns (180 graos).

Cando dous vectores forman un ángulo cero, o valor do coseno é a unidade, polo tanto o produto dos módulos vale o mesmo que o produto escalar.

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =A\,B\,\cos \theta \leftrightarrow |\cos \theta |=1\leftrightarrow A||B\Rightarrow |\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} |=|A|\,|B|}
> 
> 
> 

### Observación

Unha importante variante do produto escalar estándar utilízase no espazo-tempo de Minkowski, é dicir, {\displaystyle \mathbb {R} ^{4}} dotado do produto escalar:

{\displaystyle \langle x,y\rangle =x\_{1}y\_{1}+x\_{2}y\_{2}+x\_{3}y\_{3}+x\_{4}y\_{4}\,}.

Propiedades do produto escalar
------------------------------

1. Conmutativa:

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\mathbf {B} \cdot \mathbf {A} }
> 
> 
> 

2. Distributiva respecto á suma vectorial:

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} +\mathbf {A} \cdot \mathbf {C} }
> 
> 
> 

3. Asociativa respecto ao produto por un escalar *m*:

> 
> {\displaystyle m(\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )=(m\mathbf {A} )\cdot \mathbf {B} =\mathbf {A} \cdot (m\mathbf {B} )}
> 
> 
> 

4. Obsérvese que en xeral

> 
> {\displaystyle (\mathbf {A} \cdot \mathbf {B} )\mathbf {C} \neq \mathbf {A} (\mathbf {B} \cdot \mathbf {C} )\,}
> 
> 
> 

5. Se os vectores son ortogonais, o seu produto escalar é nulo (cos 90º = 0), e viceversa

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =0\,}
> 
> 
> 

Nótese que o produto escalar de dous vectores pode ser nulo sen que o sexan os dous correspondentes vectores.

Expresión analítica do produto escalar
--------------------------------------

Se os vectores **A** e **B** se expresan en función das súas compoñentes cartesianas rectangulares, tomando a base canónica en  {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  formada polos vectores unitarios {i , j , k} temos:

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {i} +A\_{y}\mathbf {j} +A\_{z}\mathbf {k} \,}
> 
> 
> 

> 
> {\displaystyle \mathbf {B} =B\_{x}\mathbf {i} +B\_{y}\mathbf {j} +B\_{z}\mathbf {k} \,}
> 
> 
> 

O produto escalar realízase como un produto matricial da seguinte forma:

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}A\_{x}&A\_{y}&A\_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B\_{x}\\B\_{y}\\B\_{z}\\\end{bmatrix}}=A\_{x}B\_{x}+A\_{y}B\_{y}+A\_{z}B\_{z}\,}
> 
> 
> 

### Exemplo

Un produto escalar é unha operación alxébrica que obedece á seguinte regra:

Sexan os vectores **u** e mais **v**,de tres dimensións,con compoñentes: u(a1, a2, a3) e v(b1, b2, b3). O produto escalar de u por v (u escalar v) é o número real:

uv = a1b1 + a2b2 + a3b3.

Norma ou Módulo dun vector
--------------------------

Defínese como a lonxitude do segmento orientado (vector) no espazo métrico considerado.

Calcúlase a través do produto interno do vector consigo mesmo. 

> 
> {\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} \quad \rightarrow \quad |A|={\sqrt {\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} }}}
> 
> 
> 

Efectuado o produto escalar, temos:

> 
> {\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} =(A\_{1},A\_{2},...A\_{n})^{2}=A\_{1}^{2}+A\_{2}^{2}+...+A\_{n}^{2}=\sum A\_{i}^{2}}
> 
> 
> 

de modo que

> 
> {\displaystyle |A|={\sqrt {\sum A\_{i}^{2}}}={\sqrt {A\_{1}^{2}+A\_{2}^{2}+...+A\_{n}^{2}}}}
> 
> 
> 

Por compoñentes, tomando a base canónica en  {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}  formada polos vectores unitarios {i, j, k}

> 
> {\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {i} +A\_{y}\mathbf {j} +A\_{z}\mathbf {k} \,}
> 
> 
> 

> 
> {\displaystyle |A|^{2}=\mathbf {A} \cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}A\_{x}&A\_{y}&A\_{z}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}A\_{x}\\A\_{y}\\A\_{z}\\\end{bmatrix}}=A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}\,}
> 
> 
> 

de modo que

> 
> {\displaystyle |A|={\sqrt {A\_{x}^{2}+A\_{y}^{2}+A\_{z}^{2}}}\,}
> 
> 
>

Produtos interiores definidos en espazos vectoriais usuais
----------------------------------------------------------

* No espazo vectorial  {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}  adóitase definir o produto interior (chamado, neste caso en concreto, *produto punto*) por:

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a\_{1},a\_{2},a\_{3},...a\_{n})\cdot (b\_{1},b\_{2},b\_{3},...b\_{n})=a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+...a\_{n}b\_{n}=\sum a\_{i}\cdot b\_{i}}
* No espazo vectorial  {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}  adóitase definir o produto interior por:

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =(a\_{1},a\_{2},a\_{3},...a\_{n})\cdot (b\_{1},b\_{2},b\_{3},...b\_{n})=a\_{1}{\overline {b\_{1}}}+a\_{2}{\overline {b\_{2}}}+...a\_{n}\cdot {\overline {b\_{n}}}=\sum a\_{i}\cdot {\overline {b\_{i}}}}
Sendo {\displaystyle {\overline {b\_{n}}}} o número complexo conxugado de {\displaystyle \mathbf {b\_{n}} }

* No espazo vectorial das matrices de *m* x *n* , con elementos reais

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{T}\cdot B)}
onde tr(A) é a traza da matriz B e {\displaystyle A^{T}} é a matriz trasposta de A.

* No espazo vectorial das matrices de *m* x *n* , con elementos complexos

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {B} =\operatorname {tr} (A^{\*}\cdot B)}
onde tr(A) é a traza da matriz B e {\displaystyle A^{\*}} é a matriz trasposta conxugada de A.

* No espazo vectorial das funcións continuas sobre o intervalo C[a, b], acoutado por a e b:

{\displaystyle \mathbf {f} \cdot \mathbf {g} =\int \_{a}^{b}f(x){\overline {g(x)}}\mathrm {d} x}
* No espazo vectorial dos polinomios de grao menor ou igual a *n*:

Dado {\displaystyle \textstyle [x\_{1},x\_{2},x\_{3},...x\_{n},x\_{n+1}]\subseteq \mathbb {R} } tal que {\displaystyle \textstyle x\_{1}<x\_{2}<x\_{3}<...<x\_{n}<x\_{n}+1\,} :

{\displaystyle \mathbf {p} \cdot \mathbf {q} =p(x\_{1})q(x\_{1})+p(x\_{2})q(x\_{2})+...+p(x\_{n})q(x\_{n})+p(x\_{n}+1)q(x\_{n}+1)=\sum p(x\_{i})\cdot q(x\_{i})}

Xeneralizacións
---------------

### Formas cuadráticas

Dada unha forma bilinear simétrica {\displaystyle \scriptstyle B(\cdot ,\cdot )} definida sobre un espazo vectorial {\displaystyle \scriptstyle V=\mathbb {R} ^{n}} pode definirse un produto escalar diferente do produto escalar euclídeo mediante a fórmula:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\_{B}={\begin{bmatrix}u\_{1}&\dots &u\_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B\_{11}&\dots &B\_{1n}\\\dots &\dots &\dots \\B\_{n1}&\dots &B\_{nn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v\_{1}\\\dots \\v\_{n}\end{bmatrix}}=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}B\_{ij}u\_{i}v\_{j}}
> 
> 
> 

Onde:

{\displaystyle B\_{ij}:=B(\mathbf {e} \_{i},\mathbf {e} \_{j})}
{\displaystyle \{\mathbf {e} \_{1},\dots ,\mathbf {e} \_{n}\}} é unha base do espazo vectorial {\displaystyle \scriptstyle V}
Pode comprobarse que a operación anterior {\displaystyle \scriptstyle (\cdot ,\cdot )\_{B}:V\times V\to \mathbb {R} } satisfai todas as propiedades que debe satisfacer un produto escalar.

### Tensores métricos

Pódense definir e manexar espazos non-euclídeos ou máis exactamente variedades de Riemann, é dicir, espazos non-planos cun tensor de curvatura diferente de cero, nos que tamén podemos definir lonxitudes, ángulos e volumes. Nestes espazos máis xerais adóptase o concepto de xeodésica en lugar do de segmento para definir as distancias máis curtas entre puntos e, tamén, se modifica lixeiramente a definición operativa do produto escalar habitual introducindo un tensor métrico {\displaystyle \scriptstyle g:{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\times T{\mathcal {M}}\to \mathbb {R} }, tal que a restrición do tensor a un punto da variedade de Riemann é unha forma bilinear {\displaystyle \scriptstyle g\_{x}(\cdot ,\cdot )=g(x;\cdot ,\cdot )}.

Así, dados dous vectores campos vectoriais {\displaystyle \mathbf {u} } e {\mathbf {v}} do espazo tanxente á variedade de Riemann defínese o seu produto interno ou escalar como:

> 
> {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =g\_{x}(\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=\sum \_{i}\sum \_{j}g\_{ij}(x)u\_{i}u\_{j}}
> 
> 
> 

A lonxitude dunha curva rectificable C entre dous puntos A e B pódese definir a partir do seu vector tanxente {\displaystyle \scriptstyle \mathbf {T} } do seguinte xeito:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle L\_{C}=\int \_{s\_{a}}^{s\_{b}}{\sqrt {g(\mathbf {x} ,\mathbf {T} ,\mathbf {T} )}}\ ds=\int \_{s\_{a}}^{s\_{b}}{\sqrt {g\_{ij}{\frac {dx^{i}}{ds}}{\frac {dx^{i}}{ds}}}}\ ds}
> 
> 
>

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Ortega, Manuel R. (1989-2006). Monytex, ed. *Lecciones de Física (4 volúmenes)*. ISBN 84-404-4290-4, ISBN 84-398-9218-7, ISBN 84-398-9219-5, ISBN 84-604-4445-7.
* Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). John Wiley & Sons, ed. *Physics*. New York. ISBN 0-471-32057-9.
* Serway, Raymond A.; Jewett, John W. (2004). Brooks/Cole, ed. *Physics for Scientists and Engineers* (6ª ed.). ISBN 0-534-40842-7.
* Tipler, Paul A. (2000). Barcelona: Ed. Reverté, ed. *Física para la ciencia y la tecnología (2 volúmenes)*. ISBN 84-291-4382-3.
* Navarro Camacho, Jorge y otros (julio 2007). MAD, ed. *Cuerpo de Profesores de Enseñanza Secundaria ; Matemáticas (Volumen III)*. ISBN 84-665-7931-1.
* Marsden, J.E.;Tromba, A.J. (2004). Pearson educación, S.A. ed. *Cálculo vectorial* (5ª ed.). ISBN 84-7829-069-9.
* Reinhardt, Fritz;Soeder,Heinrich; Traducido por Vázquez Suárez,Juan Luis;Rodríguez Artalejo, Mario (Alianza universidad) (1984). Deutscher Taschenbuch Verlag GmbH&Co. KG.München (Deutschland), ed. *Atlas de matemáticas 1.Fundamentos,álgebra y geometría (2 tomos)*. ISBN 84-206-6203-8, ISBN 84-206-6998-9.

### Ligazóns externas

* Produto escalar de vectores con Excel *(en castelán)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q181365
* BRE: 3667522
* MAG: 32900221

 |