En matemáticas, unha **progresión aritmética** é unha sucesión de números que cumpre que a diferenza entre dous termos consecutivos é constante. Por exemplo, a sucesión 5, 7, 9, 11, 13, 15.. . é unha progresión aritmética con diferenza 2.

Se o termo inicial dunha progresión aritmética é a\_1 e a diferenza é *d*, entón o termo *n*-ésimo da sucesión ({\displaystyle a\_{n}}) vén dado por:

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d},
e en xeral

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d}.
O comportamento dunha progresión aritmética depende da diferenza *d*:

* Se é positiva os termos crecerán ata máis infinito.
* Se é negativa, os termos irán cara ao menos infinito.

Suma
----



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
| 14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
| 

---

 |
| 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |

Cálculo da suma 2 + 5 + 8 + 11 + 14. Cando a sucesión se escribe ao revés e se suma termo a termo, a sucesión resultante ten un único valor repetido, igual á suma do primeiro e o último número (2 + 14 = 16). Así, 16 × 5 = 80 é o dobre da suma.


A suma dos membros dunha progresión aritmética chámase **serie aritmética**. Por exemplo, considera a suma:

{\displaystyle 2+5+8+11+14}
Esta suma pode atoparse rapidamente tomando o número de termos que se queren sumar (no exemplo, 5), multiplicándoos pola suma do primeiro e do último número da progresión (aquí 2 + 14 = 16) e dividindo entre 2:

{\displaystyle {\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}}
No caso superior dá a ecuación:

{\displaystyle 2+5+8+11+14={\frac {5(2+14)}{2}}={\frac {5\times 16}{2}}=40.}
Esta fórmula funciona para calquera números reais a\_1 e {\displaystyle a\_{n}}. Por exemplo:

{\displaystyle \left(-{\frac {3}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{2}}\right)+{\frac {1}{2}}={\frac {3\left(-{\frac {3}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)}{2}}=-{\frac {3}{2}}.}
### Derivation

Proba animada da fórmula que dá a suma dos primeiros enteiros 1+2+...+n.
Para derivar a fórmula superior, comeza por expresar a serie aritmética de dúas formas diferentes:

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}.}
Engadindo en ambos os membros as dúas ecuacións desaparecen todos os termos con *d*:

{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n}).}
Dividindo ambos os membros entre 2 aparece a ecuación:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}(a\_{1}+a\_{n}).}
Unha forma alternativa aparece volvendo substituír: {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d}:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}[2a\_{1}+(n-1)d].}
Ademais, o valor medio da serie pode calcularse como: {\displaystyle S\_{n}/n}:

{\displaystyle {\overline {n}}={\frac {a\_{1}+a\_{n}}{2}}.}
No ano 499 o matemático e astrónomo indio Aryabhata publicou este método no *Aryabhatiya* (sección 2.18).

Produto
-------

O produto dos termos dunha progresión aritmética finita que comeza con *a*1, ten diferenza *d*, e *n* elementos está determinado pola expresión

{\displaystyle a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}=d{\frac {a\_{1}}{d}}d\left({\frac {a\_{1}}{d}}+1\right)d\left({\frac {a\_{1}}{d}}+2\right)\cdots d\left({\frac {a\_{1}}{d}}+n-1\right)=d^{n}{\left({\frac {a\_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a\_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a\_{1}/d\right)}},}
onde {\displaystyle x^{\overline {n}}} denota o factorial crecente e {\displaystyle \Gamma } a función gamma. Porén, a fórmula non é válida se {\displaystyle a\_{1}/d}é un enteiro negativo ou cero.

Isto é unha xeneralización do feito de que o produto da progresión {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} vén dado polo factorial {\displaystyle n!} e que o produto

{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}
para enteiros positivos m e n vén dado por

{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}
No exemplo superior, o produto dos 50 primeiros termos da progresión aritmética dada por *a**n* = 3 + (*n*-1)(5) é

{\displaystyle P\_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}.}

Desviación típica
-----------------

A desviación típica dalgunha parte das progresións aritméticas pode calcularse mediante: 

{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
onde {\displaystyle n} é o número de termos da progresión e {\displaystyle d} a diferenza entre os termos.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer-Verlag. pp. 259–260. ISBN 0-387-95419-8.

### Outros artigos

* Progresión xeométrica

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q170008
* AAT: 300133038
* BNCF: 38077
* JSTOR: arithmetic-progressions
* LCCN: sh85120238
* MAG: 130498168

 |