Unha **fracción irredutible** é unha fracción en que tanto o numerador como o denominador son números enteiros que non teñen divisores comúns fóra do 1 (e do -1 se se consideran os números negativos). Noutras palabras, unha fracción a⁄b é irredutible se e só se *a* e *b* son coprimos, é dicir, se *a* e *b* teñen como máximo común divisor o 1. En matemáticas avanzadas, fracción irredutible pode referirse a fracción alxébricas en que o numerador e o denominador son polinomios coprimos Todos os números racionais positivos poden representarse mediante unha fracción irredutible de xeito único.

En ocasións pode ser útil unha fracción equivalente: se *a*, *b* son enteiros, entón a fracción *a*⁄*b* é irredutible se e só se non hai outra fracción *c*⁄*d* equivalente tal que |*c*| < |*a*| ou |*d*| < |*b*|, onde |*a*| significa o valor absoluto de *a*. (Dúas fraccións *a*⁄*b* e *c*⁄*d* son equivalente se e só se *ad* = *bc*.)

Por exemplo, 1⁄4, 5⁄6, e −101⁄100 son fraccións irredutibles. Por outra banda, 2⁄4 non é irredutible xa que é equivalente a 1⁄2, e o numerador de 1⁄2 é menor que o numerador de 2⁄4.

Unha fracción pode ser simplificada dividindo o numerador e o denominador entre un factor común. Pode ser obtida a fracción irredutible se se dividen ambos os termos entre o máximo común divisor. Para achar o máximo común divisor, pódense usar o algoritmo de Euclides ou a factorización en primos, mais o primeiro algoritmo adoita ser preferible ao non precisar factorizar números grandes para calculalo.

Exemplos
--------

{\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {12}{9}}={\frac {4}{3}}\,.}
No primeiro paso dividíronse ambos os números entre 10, factor común de 120 e 90. No segundo paso, dividíronse entre 3. A solución final, 4/3, é unha fracción irredutible porque o único factor común de 4 e 3 é 1.

A fracción orixinal pode simplificarse nun só paso empregando o máximo común divisor de 90 e 120, que é 30 (i.e. mcd(90,120)=30):

{\displaystyle {\frac {120}{90}}={\frac {4}{3}}\,.}

Unicidade
---------

Todo número racional ten unha representación única como fracción irredutible con denominador positivo (non obstante, {\displaystyle {\tfrac {2}{3}}={\tfrac {-2}{-3}}} aínda que ambas son irredutibles). A unicidade é consecuencia do descomposición única en factores primos dos enteiros, xa que {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}={\tfrac {c}{d}}} implica que *ad* = *bc* e polo tanto ambos membros da igualdade deben compartir a mesma factorización, e entón {\displaystyle a} e {\displaystyle b} non comparten factores primos, e o conxunto de factores primos de {\displaystyle a} (coa súa multiplicidade) é un subconxunto dos de {\displaystyle c} e viceversa, así que {\displaystyle a=c} e {\displaystyle b=d}.

Aplicacións
-----------

O feito de que calquera número racional ten unha representación única como fracción irredutible emprégase en varias probas da irracionalidade da raíz de 2 e doutros números irracionais. Por exemplo, unha proba indica que se a raíz cadrada de 2 puidese representarse como razón de enteiros, entón tería en particular unha representación simplificada {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} onde *a* e *b* son os menores posibles; pero xa que {\displaystyle {\tfrac {a}{b}}} é igual á raíz cadrada de 2, entón {\displaystyle {\tfrac {2b-a}{a-b}}}. Dado que a primeira é a fracción irredutible, existe unha contradición, que procede da inexistencia de razón de dous enteiros.

Xeneralización
--------------

A noción de fracción irredutible xeneralízase no corpo de fraccións de calquera dominio de factorización única: calquera elemento deste corpo pode ser descrito como unha fracción na que o denominador e numerador son coprimos, dividíndose ambos polo seu máximo común divisor.

A fracción irredutible dun elemento dado é única agás a multiplicación do denominador e numerador polo mesmo elemento invertible. No caso dos números racionais, isto significa que calquera número ten dúas fraccións irredutíbeis, relacionadas por un cambio de signo do numerador e do denominador. Para evitar a ambigüidade, esta pódese eliminar fixando o denominador como positivo. No caso das funcións racionais, a ambigüidade elúdese se o denominador é sempre un polinomio mónico, é dicir, que o coeficiente do termo de maior grado é 1.

Notas
-----

1. ↑  "Fraction". *Encyclopedia of Mathematics*. Consultado o 20 de marzo de 2019.
2. ↑  Laudal, Olav Arnfinn; Piene, Ragni (2004). *The Legacy of Niels Henrik Abel: The Abel Bicentennial, Oslo, June 3-8, 2002*. Springer. p. 155.
3. 1 2  Scott, William (1844). Longman, Brown, Green, and Longmans, ed. *Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College*. College text books, Sandhurst. Royal Military College **1**. p. 75. .
4. ↑  Scott (1844), p. 74.
5. ↑  Sally, Judith D.; Sally, Paul J. Jr. (2012). "9.1. Reducing a fraction to lowest terms". En American Mathematical Society. *Integers, Fractions, and Arithmetic: A Guide for Teachers*. MSRI mathematical circles library **10**. pp. 131–134. ISBN 9780821887981. .
6. ↑  Scott, William (1844). Longman, Brown, Green, and Longmans, ed. *Elements of Arithmetic and Algebra: For the Use of the Royal Military College*. College text books, Sandhurst. Royal Military College **1**. p. 75. .
7. ↑  Garrett, Paul B. (2007). CRC Press, ed. *Abstract Algebra*. p. 183. ISBN 9781584886907. .
8. ↑  Grillet, Pierre Antoine (2007). Springer, ed. *Abstract Algebra*. Graduate Texts in Mathematics **242**. Lemma 9.2, p. 183. ISBN 9780387715681. .

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Número racional

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q263865
* GEC: 0184729
* MAG: 153828546

 |