Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Derivada (homónimos).En matemáticas, unha **derivada parcial** dunha función de diversas variables, é a súa derivada respecto a unha desas variables mantendo as outras como constantes. As derivadas parciais son útiles no cálculo vectorial e na xeometría diferencial.

A derivada parcial dunha función *f* respecto á variable *x* represéntase con calquera das seguintes notacións equivalentes:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=\partial \_{x}f=f'\_{x}}
> 
> 
> 

Onde {\displaystyle \scriptstyle \partial } é a letra 'd' redondeada, coñecida como o 'd de Jacobi'.

Cando unha magnitude A é función de diversas variables (x,y,{\displaystyle z},{\displaystyle ...}), é dicir:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=f\left(x,y,z,...\right)}
> 
> 
> 

Ao realizar esta derivada obtemos a expresión que nos permite obter a pendente da recta tanxente a dita función A nun punto dado. Esta recta é paralela ao plano formado polo eixe da incógnita respecto á cal se fixo a derivada e o eixe z.

Analiticamente o gradiente dunha función é a máxima pendente de dita función na dirección que se elixa. Visto desde a álxebra linear, a dirección do gradiente indícanos cara a onde hai maior variación na función.

Introdución
-----------

Supoñamos que {\displaystyle \scriptstyle f} é unha función de máis dunha variable, é dicir, unha función real de variable vectorial. Para o caso,

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+xy+y^{2}\,}
> 
> 
> 

Un gráfico de *z* = *x*2 + *xy* + *y*2. Queremos encontrar a derivada parcial en (1, 1, 3) que deixa *y* constante; a correspondente liña tanxente é paralela ao eixe *x*.
É difícil describir a derivada de tal función, xa que existe un número infinito de liñas tanxentes en cada punto da súa superficie. A derivación parcial é o acto de elixir unha desas liñas e encontrar a súa pendente. Xeralmente, as liñas que máis interesan son aquelas que son paralelas ao eixe *x*, e aquelas que son paralelas ao eixe *y*.

Este é un corte do gráfico á dereita de *y* = 1.Unha boa maneira de encontrar os valores para esas liñas paralelas é a de tratar as outras variables como constantes mentres se deixa a variar só unha. Por exemplo, para encontrar a liña tanxente da función de arriba en (1, 1, 3) que é paralela o eixe *x*, tratamos a variable *y* como constante. O gráfico da función e o plano y = 1 móstranse á dereita. Á esquerda, vemos como se ve a función, no plano *y* = 1. Encontrando a liña tanxente neste gráfico, descubrimos que a pendente da liña tanxente de *ƒ* en (1, 1, 3) que é paralela ao eixe x é tres. Que escribimos:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial z}{\partial x}}=3}
> 
> 
> 

no punto (1, 1, 3),

ou como "a derivada parcial de *z* con respecto a *x* en (1, 1, 3) é 3."

Exemplos
--------

O volume dun cono depende da altura (h) e o radio (r)
* Considera o volume *V* dun cono, este depende da altura *h* do cono e o seu radio *r* de acordo coa fórmula

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle V(r,h)={\frac {r^{2}h\pi }{3}}}
> 
> 
> 

As derivadas parciais de *V* respecto a *r* e *h* son:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}(r,h)={\frac {2rh\pi }{3}},\qquad {\frac {\partial V}{\partial h}}(r,h)={\frac {r^{2}\pi }{3}}}
> 
> 
> 

* Outro exemplo, dada a función {\displaystyle F:\mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} } tal que:

{\displaystyle F(x,y)=3x^{3}y+2x^{2}y^{2}-7y\,}
a derivada parcial de F respecto de x é:

{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}(x,y)=9x^{2}y+4xy^{2}}
mentres que con respecto de y é:

{\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial y}}(x,y)=3x^{3}+2x^{2}2y-7=3x^{3}+4x^{2}y-7}

Definición formal
-----------------

Como as derivadas nunha variable, as derivadas parciais están definidas como o límite. Onde *U* é un subconxunto aberto de **R***n* e *f* : *U* → **R** unha función. Definimos derivada parcial de *f* no punto ***a*** = (*a*1,... *a**n*) ∈ *U* con respecto á *i*-ésima variable *x**i* como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}f(\mathbf {a} )=\lim \_{h\rightarrow 0}{f(a\_{1},\dots ,a\_{i-1},a\_{i}+h,a\_{i+1},\dots ,a\_{n})-f(a\_{1},\dots ,a\_{n}) \over h}}
> 
> 
> 

Ou visto respecto á derivada direccional:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x\_{i}}}f({\vec {x}}\_{0})=D\_{\vec {v}}f\left({\vec {x}}\_{0}\right)={\underset {t\rightarrow 0}{\lim }}{\frac {f\left({\overrightarrow {x\_{0}}}+t{\vec {v}}\right)-f\left({\vec {x}}\_{0}\right)}{t}}}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle {\vec {v}}} é o vector unitario do eixe respecto ao que se deriva ({\displaystyle {x\_{i}}}).

Se todas as derivadas parciais existen no punto *a*, a función non necesariamente é continua nese punto. Mais, se todas as derivadas parciais existen **arredor** de *a* e son continuas, entón a función non só é continua senón ademais diferenciable onda *a*. Neste caso, *f* é unha función C1.

Notación
--------

Para o seguinte exemplo, *f* será unha función de *x* e *y*.

* Derivadas parciais de primeira orde:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'\_{x}=\partial \_{x}f}
> 
> 
> 

Derivadas parciais (dobres) de segunda orde:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''\_{xx}=\partial \_{xx}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}=f''\_{yy}=\partial \_{yy}f,}
> 
> 
> 

Derivadas cruzadas de segunda orde:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\partial y}}=f''\_{yx}=\partial \_{xy}f,\qquad {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\partial x}}=f''\_{xy}=\partial \_{yx}f,}
> 
> 
> 

### Termodinámica

En termodinámica e outras áreas da física emprégase a seguinte notación:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)\_{Z}}
> 
> 
> 

Que significa que {\displaystyle \exists f\_{XZ}(\cdot ):\ Y=f\_{XZ}(X,Z)\,} e entón:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)\_{Z}:={\frac {\partial f\_{XZ}(X,Z)}{\partial X}}}
> 
> 
> 

Esta notación úsase pois frecuentemente unha magnitude pode expresarse como función de diferentes variables polo que en xeral:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)\_{Z\_{1}}\neq \left({\frac {\partial Y}{\partial X}}\right)\_{Z\_{2}}}
> 
> 
> 

Xa que a forma precisa das funcións {\displaystyle f\_{XZ\_{1}}(\cdot ,\cdot )} e {\displaystyle f\_{XZ\_{2}}(\cdot ,\cdot )} é diferente, é dicir, trátanse de funcións diferentes.

Derivadas parciais de orde superior
-----------------------------------

Á súa vez, a derivada parcial {\displaystyle \partial \_{x\_{i}}f} pode verse como outra función definida en *U* e derivarse parcialmente. Se todas as súas derivadas parciais existen e son continuas, chamamos a *f* unha función C2; neste caso, as derivadas parciais poden ser intercambiadas polo teorema de Clairaut tamén coñecido como teorema de Schwartz.

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\,\partial x\_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{j}\,\partial x\_{i}}}.}
> 
> 
> 

En **R***2*, se se cumpre o xa dito, asegúrase que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x\,\partial y}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}=f\_{xy}=f\_{yx}}
> 
> 
>

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Derivada
* Derivada total
* Derivada de Lie
* Derivada covariante
* Xacobiano

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q186475
* EBID: ID
* GND: 4454857-6
* JSTOR: partial-derivatives
* MAG: 53846429
* PSH: 7474

 |