En teoría de números, Aleksandr Yakovlevich Khinchin demostrou que para case todos os números reais *x*, os coeficientes *a**i* da fracción continua de *x* teñen unha media xeométrica finita que é independente do valor de *x* e que se coñece como **constante de Khinchin**.

{\displaystyle x=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}\;}
case sempre é certo que

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left(a\_{1}a\_{2}...a\_{n}\right)^{1/n}=K\_{0}}
onde {\displaystyle K\_{0}} é a constante de Khinchin

{\displaystyle K\_{0}=\prod \_{r=1}^{\infty }{\left(1+{1 \over r(r+2)}\right)}^{\log \_{2}r}\approx 2.6854520010\dots } (secuencia A002210 na OEIS)
(onde {\displaystyle \prod } denota o produto en todos os termos da secuencia).

Entre os números cuxas expansións de fraccións continuas aparentemente teñen esta propiedade (baseada na evidencia numérica) están π, a constante de Euler-Mascheroni γ, a constante de Apéry ζ(3) e a propia constante de Khinchin. Non obstante, isto non está probado.

Entre os números *x* cuxas expansións de fraccións continuas se sabe que *non* teñen esta propiedade están os números racionais, as raíces das ecuacións de segundo grao (incluíndo a razón áurea Φ e as raíces cadradas de números enteiros) e a base do logaritmo natural *e*. Isto é consecuente con que estes números teñen ou fracción continua finita ou fracción continua períodica (ou cuase-períodida no caso de *e*).

Khinchin ás veces escríbese Khintchine (a transliteración francesa do ruso Хинчин) na literatura matemática máis antiga.

Esbozo da proba
---------------

A proba aquí presentada foi presentada por Czesław Ryll-Nardzewski  e é moito máis sinxela que a proba orixinal de Khinchin que non utilizaba a teoría ergódica .

Dado que o primeiro coeficiente *a*0 da fracción continua de *x* non xoga ningún papel no teorema de Khinchin e dado que os números racionais teñen a medida de Lebesgue cero, redúcese ao estudo dos números irracionais no intervalo {\displaystyle I=[0,1]\setminus \mathbb {Q} }. Estes números están en bixección con fraccións continuas infinitas da forma [0; *a*1 , *a*2 , ...], que simplemente escribimos [*a*1, *a*2, ...], onde *a*1, *a*2, ... son enteiros positivos. Definamos unha transformación *T* : *I* → *I* por

{\displaystyle T([a\_{1},a\_{2},\dots ])=[a\_{2},a\_{3},\dots ].\,}
A transformación *T* chámase operador de Gauss–Kuzmin–Wirsing. Para cada subconxunto de Borel *E* de *I*, tamén definimos a medida de Gauss-Kuzmin de *E*

{\displaystyle \mu (E)={\frac {1}{\log 2}}\int \_{E}{\frac {dx}{1+x}}.}
Entón *μ* é unha medida de probabilidade na σ-álxebra dos subconxuntos de Borel de *I*. A medida *μ* é equivalente á medida de Lebesgue en *I*, mais ten a propiedade adicional de que a transformación *T* conserva a medida *μ*. Ademais, pódese demostrar que *T* é unha transformación ergódica do espazo medible *dotado* coa medida de probabilidade *μ* (esta é a parte difícil da demostración). O teorema ergódico di entón que para calquera función *f* integrable *μ* en *I*, o valor medio de {\displaystyle f\left(T^{k}x\right)} é o mesmo para case todos os {\displaystyle x}:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum \_{k=0}^{n-1}(f\circ T^{k})(x)=\int \_{I}fd\mu \quad {\text{para }}\mu {\text{-case todos }}x\in I.}
Aplicando isto á función definida por *f* ([*a*1, *a*2, ...]) = log(*a*1), obtemos que

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}\log(a\_{k})=\int \_{I}f\,d\mu =\sum \_{r=1}^{\infty }\log(r){\frac {\log {\bigl (}1+{\frac {1}{r(r+2)}}{\bigr )}}{\log 2}}}
para case todos [*a*1, *a*2, ...] en *I* cando *n* → {\displaystyle \infty }.

Tomando a exponencial a ambos os dous lados, obtemos á esquerda a media xeométrica dos *n* primeiros coeficientes da fracción continua e á dereita a constante de Khinchin.

Expresións en serie
-------------------

A constante de Khinchin pódese expresar como unha serie zeta racional na forma 

{\displaystyle \log K\_{0}={\frac {1}{\log 2}}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\sum \_{k=1}^{2n-1}{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}

Media de Hölder
---------------

A constante de Khinchin pódese ver como a primeira dunha serie de medias de Hölder dos termos das fraccións continuas. Dada unha serie arbitraria {*a**n*}, a media de Hölder de orde *p* da serie vén dada por

{\displaystyle K\_{p}=\lim \_{n\to \infty }\left[{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{p}\right]^{1/p}.}
Cando os {*a**n*} son os termos da expansión da fracción continua, as constantes veñen dadas por

{\displaystyle K\_{p}=\left[\sum \_{k=1}^{\infty }-k^{p}\log \_{2}\left(1-{\frac {1}{(k+1)^{2}}}\right)\right]^{1/p}.}
Isto obtense tomando a *p*-ésima media en conxunto coa distribución de Gauss–Kuzmin. Isto é finito cando {\displaystyle p<1} .

A media aritmética diverxe: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}=K\_{1}=+\infty }, e así os coeficientes medran arbitrariamente: {\displaystyle \limsup \_{n}a\_{n}=+\infty } .

O valor de *K* 0 obtense no límite de *p* → 0.

A media harmónica ( *p* = − 1) é

{\displaystyle K\_{-1}=1.74540566240\dots } (secuencia A087491 na OEIS).

Problemas abertos
-----------------

* Pénsase que π, a constante γ de Euler-Mascheroni e a propia constante de Khinchin, baseada en evidencias numéricas,   están entre os números cuxa media xeométrica dos coeficientes *a**i* na súa expansión como fracción continua tende á constante de Khinchin. No entanto, ningún destes límites foi establecido con rigor.
* Non se sabe se a constante de Khinchin é un número racional, alxébrico irracional ou transcendental.

Notas
-----

1. ↑  Ryll-Nardzewski, Czesław (1951). *On the ergodic theorems II (Ergodic theory of continued fractions)*. *Studia Mathematica* **12**. pp. 74–79. doi:10.4064/sm-12-1-74-79.
2. ↑  Bailey, Borwein & Crandall, 1997. In that paper, a slightly non-standard definition is used for the Hurwitz zeta function.
3. ↑  "Pi Continued Fraction". *mathworld.wolfram.com* (en inglés).
4. ↑  "Euler-Mascheroni Constant Continued Fraction". *mathworld.wolfram.com* (en inglés).

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Teorema de Lochs
* A constante de Lévy
* Lista de constantes matemáticas

  


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q2718188
* MAG: 172670533

 |