Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Distribución de Cauchy-Lorentz**| Función de densidade |
| Función de distribución |
| **Parámetros** | {\displaystyle x\_{0}\!} (real){\displaystyle \gamma >0\!} escala (real) |
| **Soporte** | {\displaystyle x\in (-\infty ;+\infty )\!} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {1}{\pi \gamma \,\left[1+\left({\frac {x-x\_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\!} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle {\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x\_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}} |
| **Media** | Non definida |
| **Mediana** | x\_{0} |
| **Moda** | x\_{0} |
| **Varianza** | Non definida |
| **Asimetría** | Non definida |
| **Curtose** | Non definida |
| **Entropía** | {\displaystyle \ln(4\,\pi \,\gamma )\!} |
| **F. xeradora de momentos** | Non definida |
| **Func. caract.** | {\displaystyle \exp(x\_{0}\,i\,t-\gamma \,|t|)\!} |

A **distribución de Cauchy**, coñecida tamén como **distribución Cauchy-Lorentz** en honor a Augustin Cauchy e Hendrik Lorentz, é unha distribución de probabilidade continua. No campo da Física coñécese como **distribución de Lorentz**, **función Lorentziana** ou distribución de **Breit-Wigner**. A súa importancia na física vén dada por ser a solución da ecuación diferencial que describe a resonancia forzada. En espectroscopia describe a forma das liñas espectrais que son ampliadas por diversos mecanismos, en particular, o mecanismo de alargamento por colisión.

Características
---------------

* A función de densidade dunha distribución de Cauchy é:

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x;x\_{0},\gamma )&={\frac {1}{\pi \gamma \left[1+\left({\frac {x-x\_{0}}{\gamma }}\right)^{2}\right]}}\\[0.5em]&={1 \over \pi }\left[{\gamma \over (x-x\_{0})^{2}+\gamma ^{2}}\right]\end{aligned}}},
onde *x*0 é o parámetro que especifica a localización do pico da distribución, e *γ* é o parámetro de escala que especifica a largura media ao máximo medio (half-width at half-maximum, HWHM).

O caso especial no que *x*0 = 0 e *γ* = 1 denomínase distribución estándar de Cauchy, que ten a función de densidade de probabilidade:

{\displaystyle f(x;0,1)={\frac {1}{\pi (1+x^{2})}}.\!}.
* En xeral a distribución de Cauchy non ten esperanza matemática nin varianza.
* A función de distribución é {\displaystyle F(x;x\_{0},\gamma )={\frac {1}{\pi }}\arctan \left({\frac {x-x\_{0}}{\gamma }}\right)+{\frac {1}{2}}} e a función inversa de distribución é {\displaystyle F^{-1}(p;x\_{0},\gamma )=x\_{0}+\gamma \,\tan \left[\pi \,\left(p-{\tfrac {1}{2}}\right)\right].}
* A función característica da distribución Cauchy está ben definida:

{\displaystyle \phi \_{x}(t;x\_{0},\gamma )=\mathrm {E} (e^{i\,X\,t})=\exp(i\,x\_{0}\,t-\gamma \,|t|).\!}

Propiedades
-----------

A distribución de Cauchy é un exemplo dunha distribución que non ten momentos definidos. A súa moda e a súa mediana están ben definidas e son ambas iguais a x0.

Cando *U* e *V* son dúas variables aleatorias independendentes e normalmente distribuídas con media igual a 0 e varianza igual a 1, entón a razón *U*/*V* segue a distribución estándar de Cauchy.

Se *X*1, …, *X**n* son variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas, cada unha cunha distribución de Cauchy, entón a media da mostra ({\displaystyle {\frac {X\_{1}+...+X\_{n}}{n}}}) ten a mesma distribución Cauchy estándar (a media da mostra, que non está afectada polos valores extremos, pode ser empregada como medida da tendencia central). Para comprobar que isto é certo calcúlase a función característica da media da mostra:

{\displaystyle \phi \_{\overline {X}}(t)=\mathrm {E} \left(e^{i\,{\overline {X}}\,t}\right)\,\!}
onde \overline {X} é a media da mostra. Este exemplo serve para demostrar que a hipótese da varianza finita no teorema central do límite non pode ser eliminada, ao igual que a hipótese da esperanza finita na lei dos grandes números. É tamén un exemplo dunha versión máis xeneralizada do teorema central do límite que é característica de todas as distribucións asimétricas alpha-estables de Lévy, das que a distribución de Cauchy é un caso especial.

A distribución de Cauchy é unha función de distribución infinitamente divisible. É tamén unha distribución estritamente estable.

A distribución de Cauchy coincide coa distribución t de Student cun grao de liberdade.

Se U e V son dúas variables aleatorias uniformes entre -1 e 1 e {\displaystyle U^{2}+V^{2}<1}, entón o cociente {\displaystyle U/V} segue a distribución de Cauchy.

Notas
-----

1. ↑  "Ensanchamiento por colisión". Arquivado dende o orixinal o 17 de decembro de 2007. Consultado o 14 de maio de 2016.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* GNU Scientific Library - Reference Manual
* Calculadora da distribución de Cauchy

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q726441
* BRE: 2104904
* EBID: ID
* MAG: 49344536

 |