Un polígono regular de sete ladosUn polígono regular de sete lados
En xeometría, denomínase **polígono regular** a un polígono con lados e ángulos interiores iguais entre si. Os polígonos regulares de tres e catro lados chámanse triángulo equilátero e cadrado, respectivamente. Para polígonos de máis lados, engádese o termo *regular* (pentágono regular, hexágono regular, octógono regular etc). Só algúns polígonos regulares poden ser construídos con regra e compás.

Elementos dun polígono regular
------------------------------

* Lado, **L**: é cada un dos segmentos que forman o polígono.
* Vértice, **V**: o punto de unión de dous lados consecutivos.
* Centro, **C**: o punto central equidistante de todos os vértices.
* Raio, **r**: o segmento que une o centro do polígono cun dos seus vértices.
* Apotema, **a**: segmento perpendicular a un lado, ata o centro do polígono.
* Diagonal, **d**: segmento que une dous vértices non contiguos.
* Perímetro, **P**: é a suma da medida da súa contorna.
* Semiperímetro, **SP**: é a semisuma do perímetro.
* Saxita, **S**: parte do raio comprendida entre o punto medio do lado e o arco de circunferencia. A suma do apotema: **a** máis a saxita: **S**, é igual ao raio: **r**.

Propiedades dun polígono regular
--------------------------------

* os polígonos regulares son equiláteros, posto que todos os seus lados son da mesma medida.
* os polígonos regulares son *equiangulares*, posto que todos os seus ángulos interiores teñen a mesma medida.
* os polígonos regulares pódense inscribir nunha circunferencia.

Ángulos dun polígono regular
----------------------------

Ángulos dun polígono regular.
* Todos os ángulos centrais dun polígono regular son congruentes e a súa medida **α** pode obterse a partir do número de lados **n** do polígono como segue:

{\displaystyle \alpha ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;} en graos sexaxesimais
{\displaystyle \alpha ={\frac {2\pi }{n}}\;} en radiáns
* O ángulo interior, {\displaystyle \beta \,}, dun polígono regular mide:

{\displaystyle \beta =180^{\circ }\cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;} en graos sexaxesimais
{\displaystyle \beta =\pi \cdot {\frac {(n-2)}{n}}\;} en radiáns
* A suma dos ángulos interiores, {\displaystyle \sum \beta \;}, dun polígono regular é de:

{\displaystyle \sum \beta =180^{\circ }\cdot {(n-2)}\;} en graos sexaxesimais
{\displaystyle \sum \beta =\pi \cdot {(n-2)}\;} en radiáns
* O ángulo exterior, {\displaystyle \gamma \;}, dun polígono regular é de:

{\displaystyle \gamma =180^{\circ }-\beta ={\frac {360^{\circ }}{n}}\;} en graos sexaxesimais
{\displaystyle \gamma =\pi -\beta ={\frac {2\pi }{n}}\;} en radiáns
* A suma dos ángulos exteriores, {\displaystyle \sum \gamma \,}, dun polígono regular é:

{\displaystyle \sum \gamma =360^{\circ }\;} en graos sexaxesimais
{\displaystyle \sum \gamma =2\pi \;} en radiáns

Galería de polígonos regulares
------------------------------

* Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)Triángulo equilátero (Triángulo regular) (3)
* Cadrado (cuadrilátero regular) (4)Cadrado (cuadrilátero regular) (4)
* Pentágono regular (5)Pentágono regular (5)
* Hexágono regular (6)Hexágono regular (6)
* Heptágono regular (7)Heptágono regular (7)
* Octógono regular (8)Octógono regular (8)
* Eneágono regular (9)Eneágono regular (9)
* Decágono regular (10)Decágono regular (10)
* hendecágono regular (11)hendecágono regular (11)
* Dodecágono regular (12)Dodecágono regular (12)
* Tridecágono regular (13)Tridecágono regular (13)
* Tetradecágono regular (14)Tetradecágono regular (14)

**Observación**: A medida que aumenta o número de lados dun polígono regular, aseméllase máis a unha circunferencia.

Área dun polígono regular
-------------------------

Existen diversas fórmulas para calcular a área dun polígono regular, dependendo dos elementos coñecidos.

### En función do perímetro e o apotema

A área dun polígono regular, coñecendo o perímetro e o apotema é:

{\displaystyle A={\frac {P\cdot a}{2}}}

> 
> 
> 
> * Partindo do triángulo que ten por base un lado **L**, do polígono e altura o seu apotema **a**, a área deste triángulo, é:
> 
> 
> {\displaystyle A\_{t}={\frac {L\cdot a}{2}}\;}
> * Un polígono de **n** lados, ten **n** destes triángulos, polo tanto a área do polígono será:
> 
> 
> {\displaystyle A\_{p}={\frac {L\cdot a}{2}}\cdot n\;}
> * Sabendo que a lonxitude dun lado **L**, polo número **n** de lados, é o perímetro **P**, tense:
> 
> 
> {\displaystyle A\_{p}={\frac {P\cdot a}{2}}\;}
> 
> 

### En función do número de lados e o apotema

Sabendo que:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}}
Ademais {\displaystyle \delta ={\frac {\pi }{n}}\ }, xa que é a metade dun ángulo central (considerado en radiáns).

Observando a imaxe, é posible deducir que:

{\displaystyle L=2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
Substituíndo o lado:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {\left(2\cdot a\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)\right)\cdot n\cdot a}{2}}}
Finalmente:

{\displaystyle A\_{p}=a^{2}\cdot n\cdot \tan \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
Con esta fórmula pódese determinar a área co número de lados e o apotema, sen necesidade de recorrer ao perímetro.

### En función do número de lados e o raio

Un polígono queda perfectamente definido polo seu número de lados **n**, e o raio **r**, polo tanto pódese determinar cal é a súa área; á vista da figura, tense que:

{\displaystyle L=2r\sin({\delta })\;}
{\displaystyle a=r\cos({\delta })\;}
onde o ángulo central é:

{\displaystyle \alpha =2\delta ={\frac {2\pi }{n}}\;}
sabendo que a área dun polígono é:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {L\cdot n\cdot a}{2}}\;}
e substituíndo o valor do lado e o apotema calculados antes, tense:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {2r\sin({\delta })\cdot n\cdot r\cos({\delta })}{2}}\;}
ordenando:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {nr^{2}\cdot 2\sin({\delta })\cos({\delta })}{2}}\;}
sabendo que:

{\displaystyle 2\sin({\delta })\cos({\delta })=\sin({2\delta })\;}
resulta:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\alpha })}{2}}\;}
ou o que é o mesmo:

{\displaystyle A\_{p}={\frac {nr^{2}\sin({\frac {2\pi }{n}})}{2}}\;}
Con esta expresión pódese calcular a área do polígono, coñecendo só o número de lados e o seu raio, o que resulta útil en moitos casos.

### En función da lonxitude e o número de lados

Se se quere expresar a área en función do lado, pódese calculalo da seguinte maneira:

{\displaystyle A\_{p}=n\cdot {\frac {L\cdot a}{2}}}
Sexa {\displaystyle \varphi } o ángulo formado polo Lado "**L**" e o raio "**r**":

{\displaystyle \varphi ={\frac {\pi -\alpha }{2}}\ ={\frac {\pi -{\frac {2\pi }{n}}}{2}}\ ={\frac {\pi }{2}}\;{\frac {(n-2)}{n}}}
O valor do apotema en función do lado será, pola definición da tanxente:

{\displaystyle \tan \varphi ={\frac {a}{\frac {L}{2}}}={\frac {2a}{L}}}
Despexando o apotema tense:

{\displaystyle a={\frac {L\cdot \tan \varphi }{2}}}
Substituíndo o apotema polo seu valor:

{\displaystyle \left.{\begin{array}{l}A\_{p}=n\cdot {\cfrac {L\cdot a}{2}}\\\\a={\cfrac {L\cdot \tan \varphi }{2}}\\\\\varphi ={\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\end{array}}\right\}\longrightarrow \quad A\_{p}=n\cdot {\cfrac {L^{2}}{4}}\cdot \tan \left({\cfrac {\pi }{2}}\;{\cfrac {(n-2)}{n}}\right)}
Pódese ver no debuxo que {\displaystyle tan(\delta )={\frac {1}{tan(\varphi )}}} e a fórmula pode escribirse tamén como 
{\displaystyle A\_{p}={\frac {n\cdot L^{2}}{4\cdot \tan \left({\frac {180^{o}}{n}}\right)}}}.

Co que coñecendo o número de lados do polígono regular e a lonxitude do lado pódese calcular a súa superficie.

Diagonais dun polígono regular
------------------------------

### Número de diagonais

Para determinar o número de diagonais **Nd**, dun polígono de **n** vértices realízase o seguinte razoamento:

* Dun vértice calquera partirán (n – 3) diagonais, onde n é o número de vértices, dado que non hai ningún diagonal que o unha consigo mesmo nin con ningún dos dous vértices contiguos.
* Isto é válido para os n vértices do polígono.
* Unha diagonal une dous vértices, polo que aplicando o razoamento anterior teríanse o dobre de diagonais das existentes.

Segundo o razoamento tense que:

{\displaystyle N\_{d}={\frac {n(n-3)}{2}}}
### Lonxitude da diagonal máis pequena

A diagonal máis pequena dun polígono regular é a que une dous vértices alternos. Para determinar a súa lonxitude, pártese do ángulo central e do raio, o raio que pasa polo vértice intermedio, corta a diagonal no punto **A**; este raio e a diagonal son perpendiculares en **A**.

O triángulo **VAC** é rectángulo en **A**, polo tanto:

{\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {\frac {d}{2}}{r}}}
que resulta: 

{\displaystyle \sin({\alpha })={\frac {d}{2r}}}
de onde se deduce que:

{\displaystyle d=2r\sin({\alpha })\,}
Sabendo o valor do ángulo central:

{\displaystyle d=2r\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)}
A diagonal máis pequena dun polígono regular, só depende do raio e do número de lados, sendo maior canto maior sexa o raio e diminuíndo de lonxitude cando aumenta o número de lados do polígono.

### Lonxitude das diagonais

En xeral a lonxitude das diagonais dun polígono regular vén dada pola relación de recorrencia

{\displaystyle d\_{k}^{2}=L^{2}+d\_{k-1}^{2}+2\cdot L\cdot d\_{k-1}\cdot \cos {\left({\frac {k+1}{n}}\pi \right)}}
{\displaystyle L=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)}
{\displaystyle d\_{1}=4\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cdot \cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {2\cdot \pi }{n}}\right)}
{\displaystyle d\_{2}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\pi }{n}}\right){\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}}
{\displaystyle d\_{3}^{2}=4\cdot r^{2}\cdot \sin ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)\left(2+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)+2{\sqrt {1+4\cos ^{2}\left({\frac {\pi }{n}}\right)+4\cos \left({\frac {\pi }{n}}\right)\cos \left({\frac {3\cdot \pi }{n}}\right)}}\cos \left({\frac {4\cdot \pi }{n}}\right)\right)}
{\displaystyle ...}
{\displaystyle d\_{k}=r\cdot {\sqrt {2\left(1-\cos \left({\frac {2\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)\right)}}}
{\displaystyle d\_{k}=2\cdot r\cdot \sin \left({\frac {\left(k+1\right)\pi }{n}}\right)}

Notas
-----

1. ↑  RegularPolygon en MathWorld

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Echegaray, José (2001). *Xeometría: ángulos, polígonos e circunferencias* (en castelán) (1 ed.). Editorial Bruño. p. 32. ISBN 978-84-216-4219-1.
* Equipo: Rosalía de Castro (2000). *Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo* (en castelán) (1 ed.). Editorial Acueducto, S.L. p. 32. ISBN 978-84-95523-32-7.
* *Xeometría, polígonos, circunferencia e círculo, Educación Primaria* (en español) (1 ed.). Editorial Escudo, S.L. 1997. p. 32. ISBN 978-84-89833-36-4.

### Ligazóns externas

* Polígono regular Arquivado 11 de xuño de 2017 en Wayback Machine.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q714886
* EBID: ID
* MAG: 112680207

 |