A integral dobre como o volume baixo unha superficie. A rexión rectangular baixo a figura é o dominio de integración, mentres que a superficie é a gráfica da función de dúas variables da integral.
Unha **integral múltiple** é un tipo de integral definida aplicada a funcións de máis dunha variable real, por exemplo, {\displaystyle f(x,y)} ou {\displaystyle f(x,y,z)}. As integrais dunha función en dúas variables nunha rexión en R2 chámanse integrais dobres e as integrais de funcións de tres variables sobre unha rexión de R3 chámanse integrais triplas.

Introdución
-----------

Da mesma maneira en que a integral dunha función positiva {\displaystyle f(x)} dunha variable definida nun intervalo pode interpretarse como a área entre a gráfica da función e o eixe X nese intervalo, a dobre integral dunha función positiva {\displaystyle f(x,y)} de dúas variables, definida nunha rexión do plano XY, pódese interpretar como o volume entre a superficie definida pola función e o plano XY nese intervalo. Ao realizar unha integral tripla dunha función {\displaystyle f(x,y,z)} definida nunha rexión do espazo XYZ, o resultado é un hipervolume; con todo, é bo notar que se {\displaystyle f(x,y,z)=1} o resultado pódese interpretar como o volume da rexión de integración. Para integrais de ordes superiores, o resultado xeométrico corresponde a hipervolumes de dimensións cada vez superiores.

A maneira máis usual de representar unha integral múltiple é aniñando signos de integración na orde inversa á orde de execución (o de máis á esquerda é o último en ser calculado), seguido da función e os diferenciais en orde de execución. O dominio de integración represéntase sobre cada signo de integral, ou a miúdo abréviase por unha letra no signo de integral de máis á dereita:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \iint \ldots \int \_{\mathbf {D} }\;f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\;\mathbf {d} x\_{1}\mathbf {d} x\_{2}\!\ldots \mathbf {d} x\_{n}}
> 
> 
> 

É importante salientar que non é posible calcular a función primitiva ou antiderivada dunha función de máis dunha variable polo que as integrais múltiples *indefinidas* non existen.

Definición
----------

Unha forma sinxela de definir as integrais múliples é mediante a súa representación xeométrica como a magnitude do espazo entre o obxecto definido pola ecuación {\displaystyle x\_{n+1}=f(x\_{1},...x\_{n})} e unha rexión T no espazo definido polos eixes das variables independentes da función f (se T é unha rexión pechada e limitada e f está definida nesta). Por exemplo, se n=2, o volume situado entre a superficie definida por {\displaystyle x\_{3}=f(x\_{1},x\_{2})} e unha rexión T no plano {\displaystyle X\_{1}X\_{2}} é igual a algunha integral dobre, se é que, como se mencionou, f está definida en T.

T pode dividirse nunha partición interior {\displaystyle \Delta } formada por m subrexións rectangulares sen solapamento que estean completamente contidas en T. A norma {\displaystyle ||\Delta ||} desta partición está dada pola diagonal máis longa nas m subrexións.

Se se toma un punto {\displaystyle (x\_{1i},x\_{2i},...x\_{ni})} que estea contido dentro da subrexión con dimensións {\displaystyle \Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}...\Delta x\_{ni}} para cada unha das m subrexións da partición, pódese construír un espazo cunha magnitude aproximada á do espazo entre o obxecto definido por {\displaystyle x\_{n+1}=f(x\_{1},...x\_{n})} e a subrexión *i*. Este espazo terá unha magnitude de:

{\displaystyle f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta A\_{i}=f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}}
Entón pódese aproximar a magnitude do espazo enteiro situado entre o obxecto definido pola ecuación {\displaystyle x\_{n+1}=f(x\_{1},...x\_{n})} e a rexión T mediante a suma de Riemann das magnitudes dos m espazos correspondentes a cada unha das subrexións:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}}
Esta aproximación mellora a medida que o número m de subrexións se fai maior. Isto suxire que se podería obter a magnitude exacta tomando o límite. Ao aumentar o número de subrexións diminuirá a norma da partición:

{\displaystyle \lim \_{m\to \infty }\sum \_{i=1}^{m}f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}=\lim \_{\|\Delta \|\to 0}\sum \_{i=1}^{m}f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}}
O significado rigoroso deste último límite é que o límite é igual a *L* se e só se para todo {\displaystyle \varepsilon >0} existe un {\displaystyle \delta >0} tal que

{\displaystyle \left|L-\sum \_{i=1}^{m}f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}\right\vert <\varepsilon }
para toda partición {\displaystyle \Delta } da rexión T(que satisfaga {\displaystyle ||\Delta ||<\delta }), e para todas as eleccións posibles de {\displaystyle (x\_{1i},x\_{2i},...x\_{ni})} na *i*-ésima subrexión. Isto conduce á definición formal dunha integral múltiple:

Se f está definida nunha rexión pechada e limitada T do definido polos eixes das variables independentes de f, a integral de f sobre T está dada por:
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{T}\,f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\ldots \,dx\_{n}=\lim \_{\|\Delta \|\to 0}\sum \_{i=1}^{m}f(x\_{1i},x\_{2i},\ldots ,x\_{ni})\Delta x\_{1i}\Delta x\_{2i}\ldots \Delta x\_{ni}}
sempre que o límite exista. Se o límite existe dise que f é integrable con respecto a T.

Propiedades
-----------

As integrais múltiples comparten moitas das propiedades das integrais simples. Se *f* e *g* son funcións continuas nunha rexión pecha**d**a e limitada **D** nun espazo **Rn** e *c* unha constante con respecto a todas as variables involucradas entón pódese demostrar que:

1. 

{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\;cf(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\;dx\_{1}dx\_{2}\ldots dx\_{n}=c\iint \ldots \int \_{\mathbf {D} }\;f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\;dx\_{1}dx\_{2}\ldots dx\_{n}}
2.

{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,[f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\pm g(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})]dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}=}
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}\pm \iint \ldots \int \_{D}\,g(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}}
3.

Se {\displaystyle \quad f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\geq 0}, entón:
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}\geq 0}
4.

Se {\displaystyle \quad f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})\geq g(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})}, entón:
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}\geq \iint \ldots \int \_{D}\,g(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}}
5.

Sexa D a unión entre dúas rexións, D1 e D2, que non solapan entre si, entón:
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}=}
{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D\_{1}}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}+\iint \ldots \int \_{D\_{2}}\,f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})dx\_{1}\,dx\_{2}\ldots \,dx\_{n}}

Integrais múltiples e integrais iteradas
----------------------------------------

As integrais múltiples están estreitamente relacionadas coas integrais iteradas, as cales son necesarias para resolver as integrais múltiples. A diferenza entre integrais múltiples e iteradas consiste en que unha se refire ao concepto matemático de integral (aplicado a varias variables) e a outra ao procedemento polo cal se resolve a integral múltiple. Se a expresión

{\displaystyle \int \_{a}^{b}\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx}
se refire a unha integral iterada, a parte externa

{\displaystyle \int \_{a}^{b}\cdots \,dx}
é a integral con respecto a *x* da función de *x*:

{\displaystyle g(x)=\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy.}
Unha integral dobre, en cambio está definida con respecto a unha área no plano XY. A integral dobre existe se e só se as dúas integrais iteradas existen e son iguais. É dicir, se a integral dobre existe, entón é igual á integral iterada, sen importar se a orde de integración é **dydx** ou **dxdy**, e polo xeral realízase calculando unha soa destas. Con todo, ás veces as dúas integrais iteradas existen sen ser iguais e neste caso non existe a integral dobre, xa que se ten:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy\,dx\neq \int \_{c}^{d}\int \_{a}^{b}f(x,y)\,dx\,dy.}
Dunha maneira máis formal, o teorema de Fubini afirma que

{\displaystyle \int \_{A\times B}|f(x,y)|\,d(x,y)<\infty ,}
Isto é, se a integral é absolutamente converxente, entón a integral dobre é igual á integral iterada.

{\displaystyle \int \_{A\times B}f(x,y)\,d(x,y)=\int \_{A}\left(\int \_{B}f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int \_{B}\left(\int \_{A}f(x,y)\,dx\right)\,dy.}
Isto ocorre, cando f é unha función limitada e tanto A como B son rexións limitadas tamén. Isto enténdese facilmente pensando que se a función ou a rexión do dominio non están limitadas, a integral múltiple non pode existir.

A notación

{\displaystyle \int \_{[a,b]\times [c,d]}f(x,y)\,dx\,dy}
pódese empregar se se desexa ser enfático ao referirse a unha integral dobre e non a unha iterada.

Métodos de integración
----------------------

### Funcións constantes

No caso das funcións constantes, o resultado é trivial: simplemente multiplícase o valor da función constante *c* pola medida do dominio de integración. Se *c* = 1, e é integrada a través dunha rexión de R2 isto dá a área da rexión, mentres que se é unha rexión de R3 dá o volume da rexión e así sucesivamente.

Por exemplo:

{\displaystyle D=\{(x,y)|\ 2\leq x\leq 4\ ;\ 3\leq y\leq 6\}} y {\displaystyle f(x,y)=c\,\!}
Integrando *f* sobre *D*:
{\displaystyle \int \_{3}^{6}\int \_{2}^{4}\ c\ dx\,dy=c\cdot {\mbox{area}}(D)=c\cdot (3\cdot 2)=c\cdot 6.}
### Uso de simetrías

No caso dun dominio no que exista simetría polo menos respecto dun dos eixos, e onde a función para integrar conteña polo menos unha función impar con respecto a esa variable, a integral vólvese nula (xa que a suma de cantidades iguais con signo oposto é cero). Por exemplo

Dada {\displaystyle f(x,y)=2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5} e que {\displaystyle T=x^{2}+y^{2}\leq 1} é o dominio de integración do disco de raio 1 centrado na orixe.
Usando a propiedade linear das integrais, a integral descomponse en tres partes:
{\displaystyle \iint \_{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint \_{T}2\ \sin(x)\ dx\,dy-\iint \_{T}3\ y^{3}\ dx\ dy+\iint \_{T}5\ dx\ dy}
Xa que tanto 2 sen(*x*) como 3*y*3 son funcións impares, e existe simetría tanto con respecto ao eixe X como con respecto ao eixe Y, as primeiras dúas integrais fanse nulas, de tal xeito que a integral orixinal é igual unicamente á terceira.
{\displaystyle \iint \_{T}(2\ \sin(x)-3\ y^{3}+5)\ dx\,dy=\iint \_{T}5\ dx\,dy=5\pi }

### Cambio de variables

En moitas ocasións, é útil para reducir a complexidade da integral cambiar unha variable por outra que resulte máis cómoda; con todo isto esixe o cambio da rexión de integración, ademais de engadir un factor de corrección ao diferencial coñecido como determinante jacobiano (en valor absoluto ou módulo). O cambio dunha variable por outra é nun sentido xeométrico, unha transformación dende un espazo até outro, e é esta transformación a que esixe estes axustes.

Se se emprega unha transformación que siga a relación:

{\displaystyle f(y\_{1},\ldots ,y\_{n})\rightarrow f(x\_{1}(y\_{1},y\_{2},\ldots ,y\_{n}),\ldots ,x\_{n}(y\_{1},y\_{2},\ldots ,y\_{n}))}
Entón pódese utilizar o jacobiano da transformación para simplificar a integral

{\displaystyle J={\frac {D(y\_{1},\ldots ,y\_{n})}{D(x\_{1},\ldots ,x\_{n})}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial y\_{1}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y\_{1}}{\partial x\_{n}}}\\\vdots &\ddots &\vdots \\{\frac {\partial y\_{n}}{\partial x\_{1}}}&\cdots &{\frac {\partial y\_{n}}{\partial x\_{n}}}\end{vmatrix}}}
Integrando a función transformada no dominio de integración correspondente ás variables *x*, *y* multiplicando polo valor absoluto do determinante jacobiano e pola serie de diferenciais, obtense unha integral múltiple que é igual á integral orixinal, se é que esta existe.

{\displaystyle \iint \ldots \int \_{D}\,f(y\_{1},\ldots ,y\_{n})dy\_{1}\ldots \,dy\_{n}=\iint \ldots \int \_{T}\,f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})|J|dx\_{1}\ldots \,dx\_{n}}
A continuación danse algúns exemplos destas transformacións.

#### Coordenadas polares

Transformación de coordenadas rectangulares a polares. Pódese notar que a área da rexión polar é distinta da área da rexión rectangular, o que justifica a necesidade do jacobiano. Tamén se pode demostrar que se se considera {\displaystyle \rho =(\rho \_{1}+\rho \_{2})/2} (o raio medio), a área da rexión polar é efectivamente {\displaystyle \rho \Delta \rho \Delta \theta }.
Nun espazo R2, un dominio de integración que teña unha *simetría circular* é moitas veces susceptible de ser transformado de coordenadas rectangulares a polares, o que significa que cada punto P (x, y) do dominio dunha integral dobre tomará o seu valor correspondente en coordenadas polares mediante a seguinte transformación:

{\displaystyle f(x,y)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta )}
Por exemplo:

Se a función é {\displaystyle f(x,y)=x+y\,\!}
aplicando a transformación obtense a función facilmente integrable con respecto a \phi e a \rho 
{\displaystyle f(\rho ,\phi )=\rho \cos \phi +\rho \sin \phi =\rho \ (\cos \phi +\sin \phi ).}
Pódense obter funcións mesmo máis simples:

Se a función é {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}\,\!}
Tense:
{\displaystyle f(\rho ,\theta )=\rho ^{2}(\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta )=\rho ^{2}\,\!}
se se aplica a identidade trigonométrica pitagórica de senos e cosenos.

O determinante jacobiano da transformación é:

{\displaystyle {\frac {\partial (x,y)}{\partial (\rho ,\theta )}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &-\rho \sin \theta \\\sin \theta &\rho \cos \theta \end{vmatrix}}=\rho }
que se obtén inserindo as derivadas parciais de *x* = ρ cos(θ), e = ρ sen(θ) na primeira columna con respecto a ρ e na segunda con respecto a θ.

Polo tanto, unha vez transformada a función, e multiplicada polo seu determinante jacobiano, esta é igual á integral orixinal:

{\displaystyle \iint \_{D}f(x,y)\ dx\,dy=\iint \_{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta )\rho \,d\rho \,d\theta .}
#### Coordenadas esféricas

Gráfica das coordenadas esféricas.
Cando existe simetría esférica nun dominio en R3, é posible empregar unha transformación en coordenadas esféricas para simplificar unha integral tripla. A función é transformada pola relación:

 {\displaystyle f(x,y,z)\longrightarrow f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\,\!} 
O determinante jacobiano da transformación é:

{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,\phi )}}={\begin{vmatrix}{\frac {\partial (x)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (x)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (y)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (y)}{\partial (\phi )}}\\{\frac {\partial (z)}{\partial (\rho )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\theta )}}&{\frac {\partial (z)}{\partial (\phi )}}\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}\cos \theta \sin \phi &-\rho \sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \cos \phi \\\sin \theta \sin \phi &\rho \cos \theta \sin \phi &\rho \sin \theta \cos \phi \\\cos \phi &0&-\rho \sin \phi \end{vmatrix}}=-\rho ^{2}\sin \phi }
Tomando o valor absoluto do determinante obtense o factor que se debe engadir á integral.

Por tanto os diferenciais *dx dy dz* transfórmanse en ρ2 sen(φ) *d*ρ *d*θ *d*φ.

Finalmente obtense a fórmula de integración:

{\displaystyle \iiint \_{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint \_{T}f(\rho \cos \theta \sin \phi ,\rho \sin \theta \sin \phi ,\rho \cos \phi )\rho ^{2}\sin \phi \,d\rho \,d\theta \,d\phi .}
#### Coordenadas cilíndricas

Gráfica das coordenadas cilíndricas (Móstrase o ángulo θ como φ).
O uso de coordenadas cilíndricas para transformar unha integral tripla, é conveniente especialmente cando o dominio de integración presenta simetría ao redor do eixe Z. A función transfórmase mediante a relación:

{\displaystyle f(x,y,z)\rightarrow f(\rho \ \cos \theta ,\rho \ \sin \theta ,z)} 
O determinate jacobiano da transformación é:

{\displaystyle {\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (\rho ,\theta ,z)}}={\begin{vmatrix}\cos \theta &\sin \theta &0\\-\rho \sin \theta &\rho \cos \theta &0\\0&0&1\end{vmatrix}}=\rho }
Polo tanto, pódese derivar a fórmula de integración

{\displaystyle \iiint \_{D}f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz=\iiint \_{T}f(\rho \cos \theta ,\rho \sin \theta ,z)\rho \,d\rho \,d\theta \,dz.}

Notas
-----

1. ↑  Stewart, James (2008). *Calculus: Early Transcendentals* (6th ed.). Brooks Cole Cengage Learning. ISBN 978-0-495-01166-8.
2. ↑  Larson; Edwards (2014). *Multivariable Calculus* (10th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-1-285-08575-3.
3. ↑  Jones, Frank (2001). *Lebesgue Integration on Euclidean Space*. Jones and Bartlett. pp. 527–529.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Larson, Roland E.; Hosteler, Robert P.; Edwards, Bruce H. "Integración Múltiple". *Cálculo Volumen 2* (en castelán). Cidade de México: McGrawHill. ISBN 970-10-2756-6.

### Outros artigos

* Integral
* Teorema de Green
* Teorema de Stokes
* Teorema da diverxencia
* Teorema de Fubini
* Integral de Riemann

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q844937
* BNCF: 19573
* BNE: XX552555
* BRE: 2108038
* EBID: ID
* MAG: 54865166
* NKC: ph385192
* PSH: 7477

 |