Un toro, un dos obxectos máis frecuentemente estudados en topoloxía alxébrica
A **topoloxía alxébrica** é unha rama da topoloxía na que se usan as ferramentas da álxebra abstracta para estudar os espazos topolóxicos. O obxectivo básico é atopar invariantes alxébricas que clasifican os espazos topolóxicos até o homeomorfismo, aínda que normalmente moitos se clasifican até a equivalencia homotópica.

O método dos invariantes alxébricos
-----------------------------------

O obxectivo da topoloxía alxébrica é clasificar os espazos topolóxicos. Un nome antigo para esta materia era o de **topoloxía combinatoria**, que puña a énfase en como un espazo dado *X* podía construírse a partir de espazos máis pequenos. O método básico que se aplica agora en topoloxía alxébrica é o de investigar os espazos por medio dos invariantes alxébricos: por exemplo aplicándoos, relacionándoos cos grupos, que teñen bastante estrutura utilizable, e de maneira que se respecte a relación de homeomorfismo de espazos.

As dúas formas principais como se fai isto son a través dos grupos fundamentais, ou máis en xeral a teoría de homotopía, e por medio dos grupos de homoloxía e de cohomoloxía. Os grupos fundamentais fornecen información básica sobre a estrutura dun espazo topolóxico; pero son a miúdo non abelianos e poden ser difíciles de empregar. O grupo fundamental dun complexo simplicial (finito) ten unha presentación finita.

Os grupos de homoloxía e cohomoloxía, por outra banda, son abelianos, e en moitos casos importantes son finitamente xerados. Os grupos abelianos finitamente xerados poden clasificarse completamente e son particularmente fáciles de usar.

Resultados en homoloxía
-----------------------

Varios resultados útiles séguense inmediatamente de traballar con grupos abelianos finitamente xerados. O rango libre do grupo de *n*-homoloxía dun complexo simplicial é igual ao *n*-número de Betti, así que se poden empregar os grupos de homoloxía dun complexo simplicial para calcular a súa característica de Euler-Poincaré. Se un grupo de *n*-homoloxía dun complexo simplicial ten torsión, entón o complexo é non orientable. Así que a homoloxía "codifica" gran parte da información topolóxica dun espazo topolóxico dado.

Máis aló da homoloxía simplicial, podemos usar a estrutura diferencial das variedades por medio da cohomoloxía de De Rham, ou a de Cech ou coa cohomoloxía de feixes para investigar a resolubilidade das ecuacións diferenciais definidas na variedade en cuestión. De Rham demostrou que todos estes tipos de aproximación están interrelacionados e que os números de Betti que se derivan da homoloxía simplicial eran os mesmos números de Betti que aqueles que se derivan da cohomoloxía de De Rham.

Aplicacións
-----------

Entre as aplicacións clásicas da topoloxía alxébrica atópanse:

* O teorema do punto fixo de Brouwer: toda aplicación continua *f* dun disco pechado en si mesmo admite polo menos un punto fixo.
* A *n*-esfera admite un campo vectorial unitario continuo, que non se anula nunca, se e só se *n* é impar; para *n* = 2, este resultado tamén se coñece como teorema da bóla peluda.
* O teorema de Borsuk–Ulam.

Posicionamento na teoría das categorías
---------------------------------------

En xeral, todas as construcións da topoloxía alxébrica son funtoriais: as nocións de categoría, funtor e transformación natural orixináronse aquí. Os grupos fundamentais, de homoloxía e cohomoloxía non son só invariantes do espazo topolóxico subxacente, no sentido de que dous espazos topolóxicos son homeomorfos se teñen asociados os mesmos grupos; unha aplicación continua de espazos induce un homomorfismo entre os grupos asociados, e estes homomorfismos poden ser usados para probar a non-existencia (ou, máis profundamente, a existencia) de aplicacións.

Problemas da topoloxía alxébrica
--------------------------------

O problema xeométrico, aberto por preto dun século, e máis famoso da topoloxía alxébrica é a conxectura de Poincaré, resolto polo ruso Grigori Perelman en 2002. O campo da teoría de homotopía contén moitos misterios, en particular a maneira correcta de describir os grupos de homotopía das esferas.

Ferramentas importantes
-----------------------

As ferramentas importantes (como teoremas fundamentais) para o cálculo de invariantes desta teoría son:

* Teorema de Seifert-van Kampen
* Sucesión de Mayer-Vietoris
* Fórmula de Künneth

Notas
-----

1. ↑  Munkres, James R. *Topología* ISBN 978-84-205-3180-9

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Ivorra Castillo, Carlos. *Topología algebraica con aplicaciones a la geometría diferencial* (PDF) (en castelán). Arquivado dende o orixinal (PDF) o 03 de agosto de 2016. Consultado o 22 de marzo de 2017.

### Outros artigos

* Homeomorfismo
* Topoloxía xeométrica
* Teoría xeométrica de grupos

### Ligazóns externas

* *Algebraic Topology*, de Allen Hatcher *(en inglés)*

| * v
* c
* e
Topoloxía |
| --- |
| Campos | 
* Xeral
* Alxébrica
* Combinatoria
* Continuum
* Diferencial
* Homoloxía (cohomoloxía)
* Xeométrica

 |  |
| Conceptos | 
* Conxunto aberto/Conxunto pechado
* Continuidade
* Espazo
	+ compacto
	+ conexo
	+ conexo por camiños
	+ Hausdorff
	+ métrico
	+ uniforme
* Homotopía (grupo de homotopía)
* Grupo fundamental
* Complexo simplicial
* CW-complexo
* Sucesión exacta
* Álxebra homolóxica
* K-teoría
* Variedade topolóxica

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q212803
* BNCF: 45392
* BRE: 1810037
* EBID: ID
* GND: 4120861-4
* JSTOR: algebraic-topology
* LCCN: sh85003438
* MAG: 145054310
* NDL: 00561227
* NKC: ph118345
* PSH: 7395

 |