A **autocorrelación** é unha operación matemática consistente na correlación dunha función con ela mesma. Existen varias definicións dependendo do campo de estudo que se considere, tipicamente o procesamento de sinais por unha banda e a estatística por outra.

Definicións
-----------

Imos ver a continuación as dúas definicións que se adoitan atopar, a da estatística, para variabeis discretas e as empregadas en procesamento de sinais para variabeis continuas e discretas.

### Estatística

Por unha banda en estatística, a **autocorrelación** é unha medida que informa de canto o valor dunha realización dunha variábel aleatoria é capaz de influenciar os seus veciños. Por exemplo, o canto a existencia de valor máis alto condiciona valores tamén altos dos seus veciños.

Supóndose unha variábel aleatoria *X**t* discreta estacionaria, dependente do tempo, con media μ, a súa autocorelación {\displaystyle R(k)} ven definida como:

{\displaystyle R(k)={\frac {E[(X\_{t}-\mu )(X\_{t+k}-\mu )]}{\sigma ^{2}}}}
onde E[ ] é o valor medio, ou valor agardado da expresión, k é o movemento no tempo e \sigma  é a variancia da variábel {\displaystyle X\_{t}}.

Segundo a definición da estatística, o valor da autocorrelación está entre 1 (correlación perfeita) e -1, o que significa anti-correlación perfeita. O valor 0 significa total ausencia de correlación.

### Procesamento de sinais

En procesamento de sinais a autocorrelación continua dun sinal f(t), *R**f*(τ), defínese como a correlación continua de f(t) con ela mesma mais desprazada por un valor *τ*

{\displaystyle R\_{f}(\tau )=f^{\*}(-\tau )\circ f(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t+\tau )f^{\*}(t)\,dt=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t)f^{\*}(t-\tau )\,dt}
onde *f\** represente a complexa conxugada e o cículo representa a convolución. 
Para unha función real, *f\** = *f*.

A autocorrelación discreta *R* a un valor de desprazamento *j* para o sinal *xn* é

{\displaystyle R(j)=\sum \_{n}(x\_{n}-m)(x\_{n-j}-m)\,}
onde  *m* é o valor medio (valor agardado) de *xn*. Para sinais centrados no cero (de valor medio nulo) a definición fica en:

{\displaystyle R(j)=\sum \_{n}x\_{n}x\_{n-j}.\,}
A autocorrelación multidimensional defínese de xeito semellante. Así, a autocorrelación en tres dimensións, defínese:

{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum \_{n,q,r}(x\_{n,q,r}-m)(x\_{n-j,q-k,r-\ell }-m).}

Propiedades
-----------

A autocorrelación dunha dada variábel defínese pola distancia, ou atraso con que se desexa medila. Cando esa distancia é cero, tense o valor máximo 1, pois trátase da variábel correlacionada con ela mesma. Outros valores deben calcularse caso a caso.

Caso se retire da fórmula enriba a variancia \sigma  tense a chamada autocovariancia, que descreve o canto a variábel {\displaystyle X\_{t}} varía en conxunto coa súa instancia con atraso k.

Aplicacións
-----------

O concepto de autocorrelación ten aplicación a moitas áreas, que van da análise dos sinais á óptica, pasando pola economía e pola xeofísica.

Un chamativo exemplo é o autocorrelador, un instrumento óptico de precisión capaz de caracterizar pulsos ópticos de femtosegundos.

### Véxase tamén

* Autocorrelación óptica
* Correlación
* Autocorrelador

Compárese co termo autocorrelador da física óptica

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q786970
* JSTOR: autocorrelation
* MAG: 4033963

 |