En matemáticas, chámase **serie de Fourier**, a aquela da forma:

{\displaystyle y(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }\left[a\_{n}\cos(nx)+b\_{n}\operatorname {sen} (nx)\right],} onde {\displaystyle a\_{n}} e {\displaystyle b\_{n}} denomínanse **coeficientes de Fourier** da serie de Fourier da función y(x).
Fourier foi o primeiro que estudou tales series sistematicamente, aplicándoas á solución da ecuación da calor e publicando os seus resultados iniciais en 1807 e 1811. Esta área de investigación chámase algunhas veces Análise harmónica.

Converxencia a unha función periódica
-------------------------------------

Se f(x) é unha función periódica de período 2π e {\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos nxdx}, e {\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\operatorname {sen} nxdx} daquela a serie converxe a f(x).

Forma exponencial
-----------------

Pola identidade de Euler({\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\operatorname {sen} (x)}), e operando adecuadamente, se

{\displaystyle C\_{n}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\,e^{-inx}\,dx.}
a serie de Fourier pódese expresar coma a suma de dúas series:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }C\_{-n}\,e^{-inx}+\sum \_{n=0}^{\infty }C\_{n}\,e^{inx}.}
En forma máis compacta:

{\displaystyle \sum \_{n=-\infty }^{\infty }C\_{n}\,e^{inx}}

Aplicacións
-----------

### Solución de ecuacións diferenciais

A ecuación a resolver

### Enxeñaría

É común substituír a variábel *x* por ωt, resultando as compoñentes:

{\displaystyle C\_{n}={\frac {1}{T}}\int \_{-{\frac {T}{2}}}^{\frac {T}{2}}f(t)\,e^{-in\omega \,t}\,dt.}
Polo tanto:

{\displaystyle f(t)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }C\_{n}\,e^{in\omega \,t}}

Algunhas consecuencias positivas das propiedades de homomorfismo de exp
-----------------------------------------------------------------------

Debido a que as "funcións base" *e**ikx* son homomorfismos da liña real (máis concretamente, do "grupo do círculo") temos certas identidades útiles:

1. Se {\displaystyle g(x)=f(x-y)} daquela {\displaystyle {\hat {g}}(k)=e^{-iky}{\hat {f}}(k)}
2. A transformada de Fourier é un morfismo: {\displaystyle (f\*g){\hat {}}(k)={\hat {f}}(k){\hat {g}}(k)}—isto é, a transformada de Fourier dunha convolución é o produto das transformadas de Fourier.

Formulación xeral
-----------------

As útiles propiedades das series de Fourier son debidas principalmente á ortogonalidade e á propiedade de homomorfismo das funcións *e**i n x*.

Outras sucesións de funcións ortogonais teñen propiedades similares, aínda que algunhas identidades útiles, concernendo por exemplo ás convolucións, non seguirán cumpríndose se se perde a "propiedade de homomorfismo".

Algúns exemplos son as secuencias de funcións de Bessel e os polinomios ortogonais. Tales sucesións obtéñense normalmente como solucións dunha ecuación diferencial; unha gran clase de tales sucesións útiles son solucións dos chamados problemas de Sturm-Liouville.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Transformada de Fourier.
* Análise harmónica.
* Fenómeno de Gibbs.

---

|  |  |
| --- | --- |
| Este artigo tan só é un bosquexo |  *Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.* *Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.* |

---


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q179467
* BNCF: 35891
* BNE: XX540313
* BNF: 11979488t
* BRE: 4726403
* EBID: ID
* JSTOR: sine-series
* LCCN: sh85051090
* MAG: 207864730
* NDL: 00562088
* NKC: ph158534
* PSH: 7557

 |