Redes neuronais informadas fisicamente para resolver as ecuacións de Navier-Stokes
As **redes neuronais informadas fisicamente** ou "*Physics-informed neural networks*" (**PINNs**) en inglés son un tipo de redes neuronais que actúan como aproximadores universais de funcións integrando o coñecemento de leis física descritas por ecuacións en derivadadas parciais (EDPs). Unha das súas principais vantaxes é o feito de non requerir unha gran cantidade de datos para o seu entrenamento, problema especialmente acuciante nalgúns sistemas de enxeñaría ou nalgúns modelos biolóxicos. O coñecemento previo de leis físicas xerais actúa no entrenamento das redes neuronais como forma de regularización limitando o espazo de solucións admisíbeis. Deste xeito, integrar esta información previa na rede neuronal complementa a información que se pode extraer directamente do conxunto de datos dispoñibeis,facilitando así que o algoritmo aprenda unha mellor aproximación da verdadeira función e cunha mellor xeralización a partir dunha cantidade baixa de datos de entrenamento.

Modelaxe e computación
----------------------

Unha ecuación en derivas parciais xeral pode ser:

{\displaystyle u\_{t}+N[u;\lambda ]=0,\quad x\in \Omega ,\quad t\in [0,T]}

onde {\displaystyle u(t,x)} denota a solución, {\displaystyle N[\cdot ;\lambda ]} é un operador non-linear parametrizado por {\displaystyle \lambda }, e {\displaystyle \Omega } é un subconxunto de {\displaystyle \mathbb {R} ^{D}}. Esta forma xeral de describir as ecuacións resume unha gama ancha de problemas na física matemática, como as leis de conservación, os procesos de difusión, os sistemas de advección-difusión, e ecuacións cinéticas. Dados datos con ruído dun sistema dinámico xenérico descrito pola ecuación anterior, as PINNs poden ser deseñadas para solucionar dúas clases de problemas:

* resolución a partir de datos
* descubrimento a partir de datos

de ecuacións en derivadas parciais.

### Resolución a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais

A resolución a partir de datos das EDPs calcula o estado escondido do sistema,{\displaystyle u(t,x)}, dadas as condicións de fronteira, {\displaystyle z}, e/ou os parámetros fixados do modelo, {\displaystyle \lambda }. O problema a resolver é:

{\displaystyle u\_{t}+N[u]=0,\quad x\in \Omega ,\quad t\in [0,T]}.

Definindo o residuo {\displaystyle f(t,x)} como

{\displaystyle f:=u\_{t}+N[u]=0},

e aproximando {\displaystyle u(t,x)} por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Entón, os parámetros de {\displaystyle u(t,x)} e {\displaystyle f(t,x)} poden ser aprendidos para minimizar a seguinte función de perda:

{\displaystyle L\_{tot}=L\_{u}+L\_{f}},

onde {\displaystyle L\_{u}=\Vert u-z\Vert \_{\Gamma }} é o erro entre a aproximación de {\displaystyle u(t,x)} feita pola PINN e o conxunto de condicións de fronteira e datos no conxunto de puntos {\displaystyle \Gamma } onde as condicións de fronteira están definidas, e {\displaystyle L\_{f}=\Vert f\Vert \_{\Gamma }} é o erro cadrático medio da función de residuos. Esta segunda compoñente estimula á rede neuronal a aprender a información estrutural expresada pola ecuación en derivadas parciais durante o proceso de entrenamento.

Este método foi empregado para desenvolver modelos aproximados eficientes computacionalmente con aplicacións no prognóstico de procesos físicos, modelando a predición de control, a modelase multi-física e de escala múltiple, e en simulacións.

### Descubrimento a partir de datos de ecuacións en derivadas parciais

Dadas medidas con ruído e/ou incompletas, {\displaystyle z}, do estado do sistema, o *descubrimento a partir de datos de EDPs* consiste en calcular o estado descoñecido {\displaystyle u(t,x)} e aprender os parámetros {\displaystyle \lambda } do modelo que mellor describen os datos observados e que pode ser descrito da seguinte maneira:

{\displaystyle u\_{t}+N[u;\lambda ]=0,\quad x\in \Omega ,\quad t\in [0,T]},

e definindo {\displaystyle f(t,x)} como

{\displaystyle f:=u\_{t}+N[u;\lambda ]=0}.

e aproximando {\displaystyle u(t,x)} por unha rede neuronal profunda. Esta rede pode ser obtida utilizando diferenciación automática. Os parámetros {\displaystyle \lambda } e o estado descoñecido {\displaystyle u(t,x)} poden ser aprendidos minimando a función de perda seguinte:

{\displaystyle L\_{tot}=L\_{u}+L\_{f}},

onde {\displaystyle L\_{u}=\Vert u-z\Vert \_{\Gamma }} é o erro entre a aproximación de {\displaystyle u(t,x)} feita pola PINN nos datos contidos no conxunto {\displaystyle \Gamma } de condicións de fronteira e {\displaystyle L\_{f}=\Vert f\Vert \_{\Gamma }} é o erro cadrático medio da función de residuos

Esta estratexia permite obter os modelos dinámicos descritos pocas EDPs non-lineais cun custo computacional reducido, podendo atopar aplicación en prognóstico preditivo, control, e asimilación de datos.

Ligazóns externas
-----------------

* PINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente en Python
* XPINN – repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente e estendidas en Python
* PIPN [1]– repositorio para implementar redes neuronais informadas fisicamente de tipo PointNet en Python

1. ↑   (en inglés) **378**: 686–707. Bibcode:2019JCoPh.378..686R. ISSN 0021-9991. OSTI 1595805. doi:10.1016/j.jcp.2018.10.045. Consultado o free.  Falta o `|title=` (Axuda)
2. ↑   **404**: 115771. Bibcode:2023CMAME.404k5771F. doi:10.1016/j.cma.2022.115771.  Falta o `|title=` (Axuda)
3. ↑   (en inglés) **367**: 1026–1030. Bibcode:2020Sci...367.1026R. ISSN 0036-8075. PMC 7219083. PMID 32001523. doi:10.1126/science.aaw4741 .  Falta o `|title=` (Axuda)