Espiral áurea construída a partir da evolución dun rectángulo dourado.
As espirais áureas son autosimilares. A forma repítese indefinidamente cando se amplía. (Fractais)
A **espiral dourada** (denominada tamén **espiral áurea**) é unha espiral logarítmica asociada ás propiedades xeométricas do rectángulo dourado. A razón de crecemento é Φ, é dicir a razón dourada ou número áureo. Aparece esta espiral representada en diversas figuras da natureza (plantas, galaxias espirais), así como na arte.

Desenvolvemento matemático
--------------------------

A ecuación polar que describe a espiral dourada é a mesma que calquera outra espiral logarítmica, pero co factor de crecemento (b) igual Φ, isto é:

{\displaystyle r=ae^{b\theta }\,}
ou, da mesma forma 

{\displaystyle \theta ={\frac {1}{b}}\ln(r/a),}
Sendo **e** a base do logaritmo natural, a é unha constante real positiva e b é tal que cando o ángulo θ é un ángulo recto:

{\displaystyle e^{b\theta \_{\mathrm {recto} }}\,=\phi }
Por tanto, b atópase determinado por

{\displaystyle b={\ln {\phi } \over \theta \_{\mathrm {recto} }}.}
O valor numérico de b depende de se o ángulo θ é medido en graos ou radiáns; como b pode tomar valores positivos ou negativos segundo o signo de θ o máis sinxelo é indicar o seu valor absoluto:

Unha espiral de Fibonacci aproxímase á espiral dourada cando se inscribe en cadrados cuxos lados responden á sucesión de Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34...
{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over 90}=0.0053468\,} para θ en graos
{\displaystyle |b|={\ln {\phi } \over \pi /2}=0.306349\,}para θ en radiáns
Unha fórmula alternativa para a espiral dourada obtense en:

{\displaystyle r=ac^{\theta }\,}
onde a constante c está determinada por:

{\displaystyle c=e^{b}\,}
para a espiral dourada os valores de c son:

{\displaystyle c=\phi ^{\frac {1}{90}}\doteq 1.0053611}
se θ se mide en graos sexaxesimais, e

{\displaystyle c=\phi ^{\frac {2}{\pi }}\doteq 1.358456.}
se θ se mide en radiáns.

Espirais douradas verdadeiras e aproximadas: a espiral verde está formada por cuartos de circunferencias inscritas en cadrados; a espiral vermella é unha espiral dourada, un tipo particular de espiral logarítmica. Ao solaparse as dúas espirais, obtense a espiral amarela

Aproximacións á espiral dourada
-------------------------------

Existen aproximacións á espiral dourada, que non son iguais. Este tipo de espirais, a miúdo confúndense coa espiral dourada. Un exemplo é a espiral de Fibonacci que resulta ser unha aproximación á espiral dourada.

Galería
-------

* Mediante convolución de rectas
* Cuncha dun *Nautilus*
* Espiral no triángulo e a súa serie de Fibonacci
* A moeda de ouro máis pequena do mundo

Notas
-----

1. ↑  Steven L. Griffing, (2007), *The Golden Section: An Ancient Egyptian and Grecian Proportion*, Elsevier, New York, pág. 121-124
2. ↑  Priya Hemenway (2005). *Divine Proportion: θ Phi in Art, Nature, and Science*. Sterling Publishing Co. pp. 127–129. ISBN 1402735227.
3. ↑  Klaus Mainzer (1996). *Symmetries of Nature: A Handbook for Philosophy of Nature and Science*. Walter de Gruyter. pp. 45, 199–200. ISBN 3110129906.
4. ↑  Charles B. Madden (1999). *Fractals in Music: introductory mathematics for musical analysis*. High Art Press. pp. 14–16. ISBN 0967172764.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Espiral dourada*** |

### Outros artigos

* Número áureo

### Ligazóns externas

* Método de construción a partir dun cadrado
* Vídeo que apoia o uso da espiral áurea nas artes *(en castelán)*
* Vídeo que critica a espiral áurea como un mito no deseño gráfico *(en castelán)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q775226
* MAG: 9046895

 |