Produto vectorial.Produto vectorial.
En matemática, o **produto vectorial** é unha operación binaria sobre vectores nun espazo vectorial. Pode ser denominado tamén como **produto externo** ou **produto cruz**. O seu resultado difire do produto escalar por ser tamén un vector, ao contrario dun escalar. O seu principal uso baséase no feito de que o resultado dun produto vectorial é sempre perpendicular a ambos os vectores orixinais, así como que o módulo do vector resultante do produto é a área do paralelogramo que conformarían os vectores do produto.

Definición
----------

A notación do produto vectorial entre dous vectores **a** e **b** é **a** × **b** (en manuscritos, algúns matemáticos escriben **a** ∧ **b** para evitar a confusión coa *x*).
Podemos definilo como:

{\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {n} \left|\mathbf {a} \right|\left|\mathbf {b} \right|sen\theta }
onde θ é a medida do ángulo entre **a** e **b** (0° ≤ θ ≤ 180°) no plano definido polos dous vectores, e **n** é o vector unitario perpendicular a tanto **a** canto **b**.

O problema con esta definición é que existen *dous* vectores unitarios que son perpendiculares a **a** e **b** simultaneamente: se **n** é perpendicular, entón **−n** tamén o é.

O resultado correcto depende da **orientación** do espazo vectorial, i.e. da **quiralidade** do sistema de coordenadas (**i**, **j**, **k**). O produto vectorial **a** × **b** é definido de tal forma que (**a**, **b**, **a** × **b**) se torna *destro* se (**i**, **j**, **k**) é "a dereitas" ou *zurdo* se (**i**, **j**, **k**) é "a esquerdas".

Unha forma fácil de calcular a dirección do vector resultante é a "regra da man dereita". Se un sistema de coordenadas é destro, basta apuntar o indicador na dirección do primeiro operando e o dedo medio na dirección do segundo operando. Desta forma, o vector resultante é dado pola dirección do polgar.

Sexan dous vectores {\displaystyle \mathbf {a} } e {\displaystyle \mathbf {b} } no espazo vectorial {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. O produto vectorial entre {\displaystyle \mathbf {a} \,} e {\displaystyle \mathbf {b} \,} dá como resultado un novo vector, {\displaystyle \mathbf {c} \,}. Para definir este novo vector é necesario especificar o seu módulo e dirección:

* O **módulo** de {\displaystyle \mathbf {c} \,} está dado por

{\displaystyle c=a\,b\,\sin \theta }
onde *θ* é o ángulo determinado polos vectores **a** e **b**.

* A **dirección** do vector **c**, que é ortogonal a **a** e ortogonal a **b**, está dada pola regra da man dereita.

### Produto vectorial de dous vectores

Sexan {\displaystyle \mathbf {u} =u\_{x}\mathbf {i} +u\_{y}\mathbf {j} +u\_{z}\mathbf {k} } e {\displaystyle \mathbf {v} =v\_{x}\mathbf {i} +v\_{y}\mathbf {j} +v\_{z}\mathbf {k} } dous vectores concorrentes de {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, o espazo afín tridimensional segundo a base anterior.

Defínese o produto {\displaystyle \times :\mathbb {R} ^{3}\times \mathbb {R} ^{3}\longrightarrow \mathbb {R} ^{3}}, e escríbese {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} }, como o vector:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}u\_{y}&u\_{z}\\v\_{y}&v\_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u\_{x}&u\_{z}\\v\_{x}&v\_{z}\\\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u\_{x}&u\_{y}\\v\_{x}&v\_{y}\\\end{vmatrix}}\mathbf {k} }
> 
> 
> 

No que

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&c\\b&d\\\end{vmatrix}}=a\cdot d-b\cdot c}, é o determinante de orde 2.
Ou usando unha notación máis compacta, mediante o desenvolvemento pola primeira fila dun determinante simbólico de orde 3 (simbólico xa que os termos da primeira fila non son escalares):

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\u\_{x}&u\_{y}&u\_{z}\\v\_{x}&v\_{y}&v\_{z}\\\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}u\_{y}&u\_{z}\\v\_{y}&v\_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {i} -{\begin{vmatrix}u\_{x}&u\_{z}\\v\_{x}&v\_{z}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {j} +{\begin{vmatrix}u\_{x}&u\_{y}\\v\_{x}&v\_{y}\\\end{vmatrix}}\cdot \mathbf {k} }
> 
> 
> 

Que dá orixe á chamada regra da man dereita ou regra do sacarrollas: xirando o primeiro vector cara ao segundo polo ángulo máis pequeno, a dirección de {\displaystyle \mathbf {u} \times \mathbf {v} } é o dun sacarrollas que xire na mesma dirección.

### Exemplo

O produto vectorial dos vectores {\displaystyle \mathbf {a} =(2,0,1)} e {\displaystyle \mathbf {b} =(1,-1,3)} calcúlase do seguinte xeito: 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\2&0&1\\1&-1&3\\\end{vmatrix}}}
> 
> 
> 

Expandindo o determinante:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} =\mathbf {i} {\begin{vmatrix}0&1\\-1&3\\\end{vmatrix}}-\mathbf {j} {\begin{vmatrix}2&1\\1&3\\\end{vmatrix}}+\mathbf {k} {\begin{vmatrix}2&0\\1&-1\\\end{vmatrix}}=\mathbf {i} -5\mathbf {j} -2\mathbf {k} }
> 
> 
> 

Pode verificarse facilmente que {\displaystyle \mathbf {a} \times \mathbf {b} } é ortogonal aos vectores {\displaystyle \mathbf {a} } e {\displaystyle \mathbf {b} } efectuando o produto escalar e verificando que este é nulo (condición de perpendicularidade de vectores).

Véxase tamén
------------

* Produto escalar
* Álxebra linear

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q178192
* EBID: ID
* JSTOR: cross-products-of-vectors
* MAG: 82927061

 |