O **teorema do límite central** ou **teorema central do límite** indica que, en condicións moi xerais, se *S**n* é a suma de *n* variables aleatorias independentes e de varianza non nula pero finita, entón a función de distribución de *S**n* «aproxímase ben» a unha distribución normal (tamén chamada *distribución gaussiana*, *curva de Gauss* ou *campá de Gauss*). Así pois, o teorema asegura que isto ocorre cando a suma destas variables aleatorias independentes é o suficientemente grande.

Definición
----------

Sexa {\displaystyle {\mathcal {N}}(\mu ,\sigma ^{2})} a función de densidade da distribución normal definida como

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f\_{\mu ,\sigma ^{2}}(x)={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}
> 
> 
> 

cunha media *µ* e unha varianza *σ*2. O caso no que a súa función de densidade sexa {\displaystyle {\mathcal {N}}(0,1)}, a distribución coñécese como normal estándar.

Defínese *S**n* como a suma de *n* variables aleatorias, independentes, identicamente distribuídas, e con media *µ* e varianza *σ*2 finitas (*σ*2≠0):

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle S\_{n}=X\_{1}+\cdots +X\_{n}\,}
> 
> 
> 

de maneira que, a media de *S**n* é *n*•*µ* e a varianza *n*•*σ*2, dado que son variables aleatorias independentes. Con tal de facer máis fácil a comprensión do teorema e o seu posterior uso, faise unha estandarización de *S**n* como

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle Z\_{n}\ =\ {\frac {S\_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}}
> 
> 
> 

para que a media da nova variable sexa igual a 0 e o desvío estándar sexa igual a 1. Así, as variables *Z**n* converxerán en distribución á distribución normal estándar *N*(0,1), cando *n* tende a infinito. Como consecuencia, se Φ(*z*) é a función de distribución de N(0,1), para cada número real *z*:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\operatorname {P} (Z\_{n}\leq z)=\Phi (z)\,}
> 
> 
> 

onde *P( )* indica probabilidade e *lim* refírese ao límite matemático.

### Enunciado formal

De maneira formal, normalizada e compacta o enunciado do teorema é:

> 
> 
> **Teorema do límite central**: Sexa {\displaystyle {X\_{1}}}, {\displaystyle {X\_{2}}}, ... {\displaystyle {X\_{n}}} un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas con media **μ** e varianza {\displaystyle 0<\sigma ^{2}<\infty }. Sexa
> 
> > 
> > 
> >   
> > 
> > {\displaystyle S\_{n}=X\_{1}+\cdots +X\_{n}\,}
> > 
> > 
> > 
> 
> 
> Entón
> 
> 
> {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\Pr \left({\frac {S\_{n}-n\mu }{\sigma {\sqrt {n}}}}\leq z\right)=\Phi (z)\,}.
> 
> 

É moi común atopalo coa variable estandarizada *Z**n* en función da media da mostra {\displaystyle {\overline {X}}\_{n}},

{\displaystyle {\frac {{\overline {X}}\_{n}-\mu }{\sigma /{\sqrt {n}}}},}
posto que son equivalentes, así como atopalo en versións non normalizadas como pode ser:

> 
> 
> **Teorema (do límite central)**: Sexa {\displaystyle {X\_{1}}}, {\displaystyle {X\_{2}}}, ... {\displaystyle {X\_{n}}} un conxunto de variables aleatorias, independentes e identicamente distribuídas dunha distribución con media **μ** e varianza **σ2≠0**. Entón, se **n** é suficientemente grande, a variable aleatoria
> 
> {\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}}
> 
> ten aproximadamente unha distribución normal con {\displaystyle \mu \_{\bar {X}}=\mu } e {\displaystyle \sigma \_{\bar {X}}^{2}={\frac {\sigma ^{2}}{n}}}.
> 
> 

É importante sinalar que este teorema non informa nada acerca da distribución de {\displaystyle {X\_{i}}}, agás a existencia de media e varianza.

Propiedades
-----------

* O teorema central do límite garante unha distribución normal cando n é suficientemente grande.
* Existen diferentes versións do teorema, en función das condicións empregadas para asegurar a converxencia. Unha das máis simples establece que é suficiente que as variables que se suman sexan independentes, identicamente distribuídas, con valor esperado e varianza finitas.
* Este teorema, pertencente á teoría da probabilidade, atopa aplicacións en moitos campos relacionados, tales como a inferencia estatística ou a teoría de renovación.

Varianza nula ou infinita
-------------------------

No caso de *n* variables aleatorias *Xi* independentes e identicamente distribuídas, cada unha delas con varianza nula ou infinita, a distribución das variables:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle S\_{n}={\frac {X\_{1}+\dots +X\_{n}}{n}}}
> 
> 
> 

non converxen en distribución cara a unha normal. A continuación preséntanse os dous casos por separado.

### Varianza infinita

Considérese o caso de variables que seguen unha distribución de Cauchy:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle F\_{X\_{i}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan x}
> 
> 
> 

Neste caso pode demostrarse que a distribución asintótica de *Sn* vén dada por outra distribución de Cauchy, con menor varianza:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle F\_{S\_{n}}(x)={\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {x}{n}}}
> 
> 
> 

Para outras distribucións de varianza infinita non é fácil dar unha expresión pechada para a súa distribución de probabilidade aínda que a súa función característica si ten unha forma sinxela, dada polo teorema de Lévy-Khintchine:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \varphi \_{S\_{n}}(t)=\exp \left[ist-c|t|^{\alpha }\left(1+i\gamma \ {\frac {t}{|t|}}u(t,\alpha )\right)\right]}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle c\geq 0,-1\geq \gamma \geq 1,0<\alpha \geq 2} y:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle u(t,\alpha )={\begin{cases}\tan {\cfrac {\pi \alpha }{2}}&\alpha \neq 1\\{\cfrac {2}{\pi }}\ln |t|&\alpha =1\end{cases}}}
> 
> 
> 

As condicións anteriores equivalen a que unha distribución de probabilidade sexa unha distribución estable.

### Varianza nula

Este caso corresponde trivialmente a unha función dexenerada tipo delta de Dirac cunha función de distribución que vén dada por:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle F\_{X\_{i}}(x)=\int \_{-\infty }^{x}\delta (s-x\_{0})\ ds={\begin{cases}0&x<x\_{0}\\1&x\geq x\_{0}\end{cases}}}
> 
> 
> 

Neste caso resulta que a variable {\displaystyle S\_{n}} trivialmente ten a mesma distribución que cada unha das variables independentes.

Notas
-----

1. 1 2  Filmus, Yuval (xaneiro a febreiro de 2010). "Two Proofs of the Central Limit Theorem" (PDF) (en inglés): 1–3. Consultado o 13 de decembro de 2010.
2. ↑  Grinstead, Charles M.; Snell, J. Laurie (1997). "9. Central Limit Theorem" (PDF). *Introduction to Probability* (PDF) (en inglés) (2 ed.). AMS Bookstore. pp. 325–360. ISBN 0821807498. Consultado o 15 de abril de 2009.
3. ↑  Stanton, Charles. "Central limit theorem" (en inglés). Arquivado dende o orixinal o 02 de xuño de 2010. Consultado o 13 de decembro de 2010.
4. 1 2  Wasserman, Larry (2004). "5. Converxence of Random Variables". *All of Statistics* (en inglés). Springer. p. 77. ISBN 0-387-40272-1.
5. ↑  P. Ibarrola, L. Pardo e V. Quesada: *Teoría da Probabilidade*, p. 521-522

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Teorema central do límite***  |

### Outros artigos

* Lei dos grandes números
* Distribución normal
* Teorema de De Moivre-Laplace

### Ligazóns externas

* Blaiotta, Jimena; Delieutraz, Pablo (30 de xullo de 2004). "Teorema central del límite" (PDF) (en castelán). Consultado o 15 de decembro de 2010.
* Behar Gutiérrez, Roberto; Grima Cintas, Pere (2004). *55 respuestas a dudas típicas de Estadística* (en castelán). Madrid: Edicións Díaz de Santos, S.A. pp. 187–189. ISBN 84-7978-643-4.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q190391
* BNF: 122653738
* BRE: 4674957
* EBID: ID
* FAST: 850721
* GEC: 0190638
* GND: 4067618-3
* JSTOR: central-limit-theorem
* LCCN: sh85021905
* MAG: 166785042

 |