O **límite dunha función** é un concepto fundamental do cálculo diferencial matemático, un caso de límite aplicado ás funcións.

Informalmente, o feito de que unha función *f* teña un límite *L* nun punto *c* significa que o valor de *f* pode ser tan próximo a *L* como se desexe, tomando puntos suficientemente próximos a *c*, independentemente do que ocorra en *c*.

Historia
--------

Aínda que implícita no desenvolvemento do cálculo dos séculos XVII e XVIII, a notación moderna do límite dunha función remóntase a Bolzano quen, en 1817, introduciu as bases da técnica épsilon-delta. Mais o seu traballo non foi coñecido mentres estivo vivo. Cauchy expuxo límites no seu *Cours d'analyse* (1821) e parece ter expresado a esencia da idea, pero non dunha maneira sistemática. A primeira presentación rigorosa da técnica feita pública foi dada por Weierstrass nos 1850 e 1860 e desde entón converteuse no método estándar para traballar con límites.

A notación de escritura usando a abreviatura **lim** coa frecha debaixo é debida a Hardy, que a usou no seu libro *A Course of Pure Mathematics* en 1908.

Definición formal
-----------------

### Funcións dunha variable real

Visualización dos parámetros utilizados na definición de límite.
Se a función f ten límite {\displaystyle L} en c podemos dicir de maneira informal que a función f tende cara ao límite {\displaystyle L} próximo a c se se pode facer que {\displaystyle f(x)} sexa tan próximo como queiramos de {\displaystyle L} dándolle valores a x para que sexa o suficientemente parecido a c mais sendo x distinto de c.

Os conceptos *próximo* ou *parecido* son matematicamente pouco precisos. Por esta razón, dáse unha definición formal de límite que precisa estes conceptos que di:

O límite dunha función f(*x*), cando *x* tende a *c* é *L* se e só se para todo {\displaystyle \varepsilon >0\;} existe un {\displaystyle \delta >0\;} tal que para todo número real *x* no dominio da función {\displaystyle 0<|x-c|<\delta \Rightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }.
Isto, escrito en notación formal:

{\displaystyle {\begin{array}{l}{\underset {x\to c}{\lim }}\,\,f(x)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \delta >0/\forall x\in \operatorname {Dom} (f),0<|x-c|<\delta \longrightarrow |f(x)-L|<\epsilon \end{array}}}
Esta notación dinos que se o límite existe, entón pódese estar tan preto del como queiramos. Se non se logra estar o suficientemente preto, entón a elección do *δ* non era a axeitada. A definición asegura que se o límite existe, entón é posible encontrar tal *δ*.

Non obstante, hai casos como por exemplo a función de Dirichlet {\displaystyle D:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } definida como:

> 
> {\displaystyle D(x)={\begin{cases}c&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {racional} \\d&\mathrm {para\ } x\ \mathrm {irracional} \\\end{cases}}}
> 
> 
> 

onde non existe un número *c* para o cal exista {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)\quad }. Polo tanto, para demostrar a anterior afirmación é necesario facer uso do feito de que cada intervalo contén tanto números racionais como irracionais.

#### Límites laterais

O límite cando: x → x0+ ≠ x → x0-. Polo tanto, o límite cando x → x0 non existe.
*x* pode aproximarse a *c* tomando valores máis grandes que este (dereita):

{\displaystyle \lim \_{x\to c^{+}}f(x)=L^{+}}
ou tomando valores máis pequenos (esquerda):

{\displaystyle \lim \_{x\to c^{-}}f(x)=L^{-}}
Se os dous límites anteriores son iguais:

{\displaystyle \lim \_{x\to c^{-}}f(x)=\lim \_{x\to c^{+}}f(x)=L}
entón **L** pódese referir como o límite de *f*(*x*) en *c*. Dito doutro xeito, se estes non son iguais a *L*, entón o límite, como tal, non existe.

### Funcións en espazos métricos

Existe outra maneira de definir o límite que ten que ver cos conceptos de bólas e veciñanzas:

Supóñase *f* : (*M*, d*M*) → (*N*, d*N*) unha función entre dous espazos métricos, *p* é un punto límite de *M* e *L*∈*N*. Dicimos que "o límite de *f* en *c* é *L*" e escribimos

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L}
se e só se para todo *ε* > 0 existe un *δ* > 0 tal que para toda *x*∈*M* en 0 < d*M*(*x*, *c*) < *δ*, temos d*N*(*f*(*x*), *L*) < *ε*.

En termos de desigualdades, temos que o límite da función f(*x*) en *x* = *c* é *L* se se cumpre que para todo *ε* > 0 existe un *δ*(*ε*) > 0 tal que, para todo *x*:

{\displaystyle 0<\left|x-c\right|<\delta } , entón {\displaystyle \left|f\left(x\right)-L\right|<\epsilon }

Da desigualdade 0 < |*x* - *c*| < *δ* obtense o seguinte:

1. *x* pertence á veciñanza (*c* - *δ*, *c*) U (*c*, *c* + *δ*).
2. *x* non é igual a *c*, pois 0 < |*x* - *c*| implica que *x* é distinto de *c*.
3. A solución de |f(*x*) - *L*| < *ε* pertence ao intervalo (*L* - *ε*, *L* + *ε*).

Isto proporciona a clave de comprensión do concepto de límite, pois mentres que o valor de *x* está na veciñanza horizontal arredor do punto *c* e oca en *c* con radio delta e centro *c*, aínda cando nese punto *c* non estea definida, o valor de *y* está no intervalo vertical con centro en f(*c*) e radio épsilon.

Unicidade do límite
-------------------

Se o límite dunha función existe, entón este é único.
Este teorema é válido en espazos topolóxicos Hausdorff.

Supoñamos que {\displaystyle \textstyle \lim \_{x\rightarrow c}f(x)=L}, vexamos que non pode ser que {\displaystyle L'\neq L} tamén verifique a definición. Para isto tomamos unha veciñanza E de L e unha veciñanza E' de L' que non se interseccionen. Por definición de límite {\displaystyle f(x)\in E} para todo *x* nalgunha veciñanza oca de *c*, polo que non pode estar en E', evitando que o límite sexa L'.

Propiedades dos límites
-----------------------

### Propiedades xerais

Se *k* é un escalar:

| Límite de | Expresión |
| --- | --- |
| Unha constante | {\displaystyle \lim \_{x\to c}k=\,k\,} |
| A función identidade | {\displaystyle \lim \_{x\to c}x=\,c\,} |
| O produto dunha función e unha constante | {\displaystyle \lim \_{x\to c}kf(x)=\,k\lim \_{x\to c}f(x)\,} |
| Unha suma | {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x)+g(x))=\,\lim \_{x\to c}f(x)+\lim \_{x\to c}g(x)\,} |
| Unha resta | {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x)-g(x))=\,\lim \_{x\to c}f(x)-\lim \_{x\to c}g(x)\,} |
| Un produto | {\displaystyle \lim \_{x\to c}(f(x)g(x))=\,\lim \_{x\to c}f(x)\cdot \lim \_{x\to c}g(x)\,} |
| Un cociente | {\displaystyle \lim \_{x\to c}{{f(x)} \over {g(x)}}=\,{{\lim \_{x\to c}{f(x)}} \over {\lim \_{x\to c}{g(x)}}}\,\ {\mbox{si }}\lim \_{x\to c}g(x)\neq 0,} |
| Unha potencia | {\displaystyle {\lim \_{x\to c}f(x)^{g(x)}}=\,{\lim \_{x\to c}f(x)^{\lim \_{x\to c}g(x)}}\,\ {\mbox{si }}f(x)>0} |
| Un logaritmo | {\displaystyle {\lim \_{x\to c}\log f(x)}=\,\log {\lim \_{x\to c}f(x)}} |
| O número e | {\displaystyle {\lim \_{x\to 0}\left(1+x\right)^{1 \over x}}=\,{\lim \_{x\to \infty }\left(1+{1 \over x}\right)^{x}}=\,e} |
| Función f(x) acoutada e g(x) infinitesimal | {\displaystyle {\lim \_{x\to c}\left(f(x)\cdot g(x)\right)}=\,0}. |

### Indeterminacións

Hai varios tipos de indeterminacións, entre elas as seguintes (considere {\displaystyle \infty \,\!} como o límite que tende a infinito e {\displaystyle 0\,\!} o límite cando tende a 0; e non o número 0):

| Operación | Indeterminación |
| --- | --- |
| Subtracción | {\displaystyle \infty -\infty } |
| Multiplicación | {\displaystyle \infty \cdot 0} |
| División | {\displaystyle {\cfrac {\infty }{\infty }},{\cfrac {0}{0}}} |
| Elevación a potencia | {\displaystyle 1^{\infty },\infty ^{0},0^{0}} |

Exemplo.
0/0 é unha indeterminación, é dicir, non é posible, a priori, saber cal é o valor dun límite que tende a cero sobre outro que tamén tende a cero xa que o resultado non é sempre o mesmo. Por exemplo:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t^{2}}}=\infty } | {\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t}{t}}=1} | {\displaystyle \lim \_{t\rightarrow 0}{\frac {t^{2}}{t}}=0} |

### Regra de l'Hôpital

*Artigo principal**:* Regra de l'Hôpital.
Esta regra fai uso da derivada e ten un uso condicional. Esta só pode usarse directamente en límites «equivalentes» a 0/0 ou a ±∞/±∞.
Outras indeterminacións requiren algunha manipulación alxébrica, polo xeral, establecer que o límite é igual a *y*, tomar o logaritmo natural en ambos membros, e entón aplicar a regra de l'Hôpital.

* {\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}}

Por exemplo:
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(2x)}{\sin(3x)}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {2\cos(2x)}{3\cos(3x)}}={\frac {2\cdot 1}{3\cdot 1}}={\frac {2}{3}}.}

### Límites trigonométricos

1. {\displaystyle {\lim \_{x\to \infty }x\;\sin \left({\frac {2\pi }{x}}\right)\cos \left({\frac {2\pi }{x}}\right)}=\,2\pi }
2. {\displaystyle {\lim \_{x\to 0}{{\sin x} \over x}}={\lim \_{x\to 0}{x \over \sin x}}=\,1\,}
3. {\displaystyle {\lim \_{x\to 0}{\tan x \over x}}={\lim \_{x\to 0}{x \over \tan x}}=\,1\,}
4. {\displaystyle {\lim \_{x\to 0}{\sin x \over \tan x}}\,={\lim \_{x\to 0}{\tan x \over \sin x}}=\,1}
5. {\displaystyle {\lim \_{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}}=\,1/2\,}

#### Demostracións

Nalgunhas demostracións, por exemplo, o segundo destes límites trigonométricos, utiliza a inecuación sin(*x*) < x < tan(*x*) no intervalo (0,π/2), que relaciona *x* coas funcións seno e tanxente. Logo dividimos por sin(*x*), obtendo:

{\displaystyle 1<{\frac {x}{\sin x}}<{\frac {1}{\cos x}}}
Invertendo os termos da inecuación e cambiando os signos de desigualdade:

{\displaystyle \cos x<{\frac {\sin x}{x}}<1}
Calculando o límite cando *x* tende a 0:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\cos x<\lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<\lim \_{x\to 0}1}
O que é igual a:

{\displaystyle 1<\lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}<1}
Aplicando o teorema do sandwich, o límite necesariamente vale 1:

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1}
O terceiro dos límites demóstrase utilizando as propiedades dos límites e o valor obtido no límite anterior. É dicir:

{\displaystyle {\lim \_{x\to 0}\left({\frac {\tan x}{x}}\right)}={\lim \_{x\to 0}\left({\frac {\sin x}{x}}\right)}\cdot \lim \_{x\to 0}{\frac {1}{\cos x}}=1\cdot 1=1}

Notas
-----

1. ↑  MacTutor History of Bolzano
2. 1 2  "Jeff Miller's history of math website.". Arquivado dende o orixinal o 05 de decembro de 1998. Consultado o 25 de abril de 2012.
3. ↑  MacTutor History of Weierstrass.
4. ↑  Kolmogorov, Andrei (1978). "Espacios métricos y topológicos". En Mir. *Elementos de la teoría de funciones y del análisis funcional* (3 ed.).

Véxase tamén
------------

* Límite matemático
* Límite superior e límite inferior
* Topoloxía de rede, unha xeneralización do concepto de límite.

### Ligazóns externas

* Límites e continuidade de funcións *(en castelán)*
* Límite en MathWorld *(en inglés)*

  


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q33540
* JSTOR: limits-of-functions
* MAG: 19448537
* PSH: 7436

 |