En matemática, particularmente en álxebra linear, unha **combinación linear** é unha expresión matemática que consiste na suma entre pares de elementos de determinados conxuntos multiplicados entre si.

En particular, a combinación linear dun sistema de vectores trátase dun vector da forma

> 
> {\displaystyle v=k\_{1}v\_{1}+k\_{2}v\_{2}+...+k\_{n}v\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}v\_{i}}
> 
> 
> 

cos {\displaystyle k\_{i}} elementos dun corpo. A definición dá lugar a outras definicións e ferramentas importantes, como son os conceptos de independencia linear e base dun espazo vectorial.

Definición
----------

Dados dous conxuntos calquera *A* e *B*, defínese como **combinación linear** toda expresión da forma

> 
> {\displaystyle \sum \_{\begin{smallmatrix}\alpha \in A\\b\in B\end{smallmatrix}}\alpha b.}
> 
> 
> 

Resulta de especial interese a definición de combinación linear de vectores con respecto a un conxunto de escalares.

### Espazos vectoriais

Dado un espazo vectorial *V* sobre un corpo {\displaystyle \mathbb {K} } e un conxunto {\displaystyle \ A=\{v\_{1},v\_{2},v\_{3},...v\_{n}\}} de vectores en *V*, é dicir, {\displaystyle A\subset V}, dise que un vector {\displaystyle v\in V} é **combinación linear** de *A* se {\displaystyle \exists k\_{1},\dots ,k\_{n}\in \mathbb {K} :v=\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}v\_{i}}.

En termos informais, dise que v é combinación linear de vectores de A se se poden expresar como unha suma de produtos por escalar dunha cantidade finita de elementos de A. Neste caso, tamén se di que v depende linearmente dos vectores de A.

Exemplos
--------

Combinación linear de dous vectores no espazo.
1. A terna ordenada (20, 12, 37) é unha combinación linear de (1, 3, 5) e (6, 2, 9):

{\displaystyle {\begin{pmatrix}20\\12\\37\end{pmatrix}}=2{\begin{pmatrix}1\\3\\5\end{pmatrix}}+3{\begin{pmatrix}6\\2\\9\end{pmatrix}}.}

1. En xeral, dado un vector *v* nun espazo vectorial, todo múltiplo seu {\displaystyle \lambda v} é combinación linear. Para o caso particular {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{2}}, os seus múltiplos son vectores no plano coa mesma dirección, é dicir, paralelos.
2. Dado {\displaystyle v\in \mathbb {R} ^{3}}, dicir que *v* é combinación linear doutros dous vectores {\displaystyle v\_{1},v\_{2}} non paralelos equivale a afirmar que o tres vectores son coplanarios, é dicir, que se atopan nun mesmo plano.
3. Na ecuación {\displaystyle 2x+3y-2z=0} dise que {\displaystyle z} é combinación linear de x e de y porque se pode escribir {\displaystyle z=x+{\frac {3}{2}}y} sen máis que despexar {\displaystyle z}. Do mesmo xeito, despexando oportunamente cada unha destas variables poderíase expresar como combinación linear das outras dúas.

Espazo xerado
-------------

Dado un conxunto de vectores *A* do espazo vectorial *V*, finito ou infinito, chámase **espazo xerado**, denotado como {\displaystyle {\mbox{gen}}(A)}, ao conxunto:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\mbox{gen}}(A)=\left\{v\in V|\exists a\_{1},\dots a\_{n}\in \mathbb {K} ,\exists v\_{1},\dots v\_{n}\in A:v=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}v\_{i}\right\}}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle \mathbb {K} } é o corpo sobre o cal está definido *V*. En termos informais, o espazo xerado a partir de *A* é o conxunto de todas as combinacións lineares que poden formarse cos vectores de *A*.

Notas
-----

1. ↑  De Burgos, Juan (2006). *Álgebra lineal y geometría cartesiana* (3.ª ed.). McGraw-Hill. p. 26. ISBN 9788448149000.
2. ↑  Poole, David (2011). *Álgebra lineal* (en castelán) (3.ª ed.). Cengage Learning. p. 96. ISBN 9786074816082.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Independencia linear
* Base (álxebra)
* Sistema de coordenadas cartesianas
* Produto escalar
* Produto vectorial
* Produto mixto
* Produto tensorial

### Ligazóns externas

* Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q27628
* GEC: 0169888
* MAG: 9260844

 |