En matemáticas, unha **función continua** é aquela para a que, intuitivamente, para puntos próximos do dominio prodúcense pequenas variacións nos valores da función; aínda que en rigor, nun espazo métrico significa o contrario, que pequenas variacións da **función** implican que deben estar próximos os puntos. Se a función non é continua, dise que é **descontinua**. Unha función continua de \mathbb{R}  en \mathbb{R}  é aquela cunha gráfica que pode debuxarse sen levantar o lapis do papel (máis formalmente a súa gráfica é un conxunto conexo).

A continuidade de funcións é un dos conceptos principais da análise matemática e da topoloxía.

Historia
--------

Unha primeira forma da definición (ε, δ) de continuidade foi dada por Bernard Bolzano en 1817. Augustin-Louis Cauchy definiu a continuidade de {\displaystyle y=f(x)} como segue: un incremento infinitamente pequeno {\displaystyle \alpha } da variable independente *x* sempre produce un cambio infinitamente pequeno {\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)} da variable dependente *y*. Cauchy definiu cantitades infinitamente pequenas en termos de cantidades variables, e a súa definición de continuidade é paralela á definición infinitesimal empregada na actualidade. A definición e a distinción entre continuidade nun punto e continuidade uniforme foi dada por primeira vez por Bolzano na década de 1830 mais a súa obra non foi publicada ata cen anos despois. Como Bolzano, Karl Weierstrass negou a continuidade dunha función nun punto *c* a menos que estivese definida a ambos os lados de *c*, mais Édouard Goursat permitía que unha función estivese definida só nun lado de *c*, e Camille Jordan incluso se a función estaba definida só no punto *c*. Todas estas definicións non equivalentes de continuidade nun punto aínda se empregan.

Eduard Heine achegou a primeira definición de continuidade uniforme en 1872, pero baseou estas ideas en traballos de Peter Gustav Lejeune Dirichlet de 1854.

Funcións reais dunha variable real
----------------------------------

Informalmente falando, unha función *f* definida sobre un intervalo **I** é continua se a curva que a representa, é dicir o conxunto dos puntos (*x*, *f*(*x*)), con *x* en **I**, está constituída por un trazo continuo, é dicir un trazo que non está roto, nin ten "ocos" nin "saltos", como na figura da dereita.

O intervalo **I** de *x* é o dominio de definición de *f*, definido como o conxunto dos valores de *x* para os cales existe *f*(*x*).

O intervalo **J** de *y* é o rango (tamén coñecido como imaxe) de *f*, o conxunto dos valores de *y*, tomados como *y* = *f*(*x*). Escríbese **J** = *f*(**I**). Notar que en xeral, non é igual que o codominio (só é igual se a función é sobrexectiva.)

O maior elemento de **J** chámase o máximo absoluto de *f* en **I**, e o menor valor de **J** é o seu mínimo absoluto no dominio **I**.

### Continuidade dunha función nun punto

Unha función *f* é continua nun punto *x*0 no dominio da función se: 

{\displaystyle \forall \varepsilon >0\quad \exists \delta >0\;}
tal que para toda *x* no dominio da función:

{\displaystyle |x-x\_{0}|<\delta \quad \Rightarrow \quad |f(x)-f(x\_{0})|<\varepsilon }
Isto pódese escribir en termos de límites da seguinte maneira:
Se *x*0 é punto de acumulación do dominio da función entón é continua en *x*0 se e só se {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=f(x\_{0})}. Cando *x*0 non é de acumulación do dominio, a función é continua nese punto.

No caso das aplicacións de {\displaystyle \mathbb {R} } en {\displaystyle \mathbb {R} }, e dunha maneira máis rigorosa dise que unha función *f* é continua nun punto *x*1 se existe *f*(*x*1), se existe o límite de *f*(*x*) cando *x* tende a *x*1 pola dereita, se existe o límite de {\displaystyle } (x) cando x tende a *x*1 pola esquerda, e ademais ambos coinciden con *f*(*x*1).

{\displaystyle {\color {Blue}(7)}\;f(x\_{1})=L\_{(x\_{1})}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(5)}\;L\_{(x\_{1})}=L\_{(x\_{1})}^{+}=L\_{(x\_{1})}^{-}\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(3)}\;\exists \;L\_{(x\_{1})}^{+}\land \exists \;L\_{(x\_{1})}^{-}\;\left\{{\begin{array}{l}{\color {Blue}(1)}\;\exists \;L\_{(x\_{1})}^{+}={\displaystyle \lim \_{x\to {x\_{1}}^{+}}f(x)}\\\\{\color {Blue}(2)}\;\exists \;L\_{(x\_{1})}^{-}={\displaystyle \lim \_{x\to {x\_{1}}^{-}}f(x)}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(4)}\;L\_{(x\_{1})}^{+}=L\_{(x\_{1})}^{-}\end{array}}\right.\\{\color {Blue}(6)}\;\exists f(x\_{1})\end{array}}\right.}
Así pois, unha función *f* continua no punto *x*1 implica o seguinte:
1. Existe o límite pola dereita:

{\displaystyle \exists \lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} }
2. Existe o límite pola esquerda:

{\displaystyle \exists \lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} }
3. A función ten límite pola dereita e pola esquerda do punto *x*1

{\displaystyle \exists \lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)\in \mathbb {R} \quad \land \quad \exists \lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)\in \mathbb {R} }
4. O límite pola dereita e o límite pola esquerda coinciden:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)=\lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)}
5. Se existen o límite pola dereita e pola esquerda e os seus valores coinciden, a función ten límite neste punto:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}}f(x)=\lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)=\lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)}
6. Existe *f*(*x*1):

{\displaystyle \exists f(x\_{1})}
7. O límite e o valor da función coinciden:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}}f(x)=f(x\_{1})}
A función é continua nese punto. Unha función é continua nun intervalo se é continua en todos os seus puntos.

Se *f*(*x*1)= *y*1, a continuidade en *x*1 exprésase así:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}}f(x)=y\_{1}}
Parafraseando, cando **x** se aproxima a *x*1, *f*(*x*) aproxímase a *y*1. Por definición dos límites, isto significa que para todo intervalo aberto **J**, centrado en *y*1, existe un intervalo aberto **I**, centrado en *x*1, tal que {\displaystyle f(I)\in J}.

Se *f* ten un salto no punto, o teorema non se cumpre. En efecto, non todo intervalo **I** ao redor de *x*1 ten a súa imaxe nun intervalo **J** centrado en *y*1, cun raio inferior ao salto de *f*; non importa o pequeno que este intervalo sexa, hai valores de *x* do intervalo **I** ao redor de *x*1 que ten a súa imaxe nun intervalo **K** centrado en *y*2, sendo *y*1 e *y*2 valores distintos, isto é: *x* ten imaxes que saen de **J**.

A vantaxe desta definición é que se xeneraliza a calquera espazo topolóxico.

### Continuidade lateral

Unha función *f* é **continua pola esquerda** no punto {\displaystyle x=x\_{1}} se o límite lateral pola esquerda e o valor da función no punto son iguais. É dicir: 

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)=f(x\_{1})}
como na figura.

Unha función *f* é **continua pola dereita** no punto {\displaystyle x=x\_{1}} se o seu límite lateral pola dereita e o valor da función no punto son iguais. É dicir: 

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)=f(x\_{1})}
Unha función *f* é **continua nun punto** se é **continua pola esquerda** e é **continua pola dereita.** Isto é:

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{1}^{-}}f(x)=\lim \_{x\to x\_{1}^{+}}f(x)=f(x\_{1})}
### Continuidade dunha función nun intervalo aberto: (*a*, *b*)

Un valor *c* pertence a un intervalo aberto **I**, de extremo esquerdo *a* e extremo dereito *b*, representado **I**= (*a*, *b*) se:

{\displaystyle a<c<b\;}
Unha función *f* é continua nun intervalo aberto **I**= (*a*, *b*), se e só se a función é continua en todos os puntos do intervalo, é dicir:

{\displaystyle \forall c\in I=(a,b):\quad \lim \_{x\to c}f(x)=f(c)}
### Continuidade dunha función nun intervalo pechado: [*a*, *b*]

Un valor *c* pertence a un intervalo pechado **I**, de extremo esquerdo *a* e extremo dereito *b*, representado **I**= [*a*, *b*] se:

{\displaystyle a\leq c\leq b\;}
Unha función *f* é continua nun intervalo pechado [*a*, *b*] se a función é continua no intervalo aberto (*a*, *b*) e é continua pola dereita da e continua pola esquerda de *b*:

{\displaystyle \forall c\in I=[a,b]:\quad \lim \_{x\to c}f(x)=f(c)\quad \land \quad \lim \_{x\to a^{+}}f(x)=f(a)\quad \land \quad \lim \_{x\to b^{-}}f(x)=f(b)}

Algunhas funcións continuas importantes
---------------------------------------

Funcións seno e coseno.
As funcións polinómicas, trigonométricas: seno e coseno, as exponenciais e as logarítmicas son continuas nos seus respectivos dominios de definición.

A parábola, como función polinómica, é un exemplo de función continua ao longo de todo o dominio real.

Na gráfica vese a función seno que é periódica, limitada e continua en todo o domino real. Dado o seu carácter periódico, con ver un só dos ciclos é suficiente para comprobar a continuidade, porque o resto dos ciclos son exactamente iguais.

### Funcións definidas por intervalos

As funcións definidas para distintos intervalos de *x* poden ser descontinuas nos puntos de cambio de intervalo, por exemplo:

* A función parte enteira de *x*, *E*(*x*), onde *E*(*x*) é o maior número enteiro inferior ou igual a *x*, tal que:

E(*x*) ≤ *x* < E(*x*) + 1.
A súa gráfica é unha sucesión de segmentos horizontais a distintas alturas. Esta función non é continua nos enteiros, pois os límites á esquerda e á dereita difiren dun, pero é continua nos segmentos abertos (*n*, *n*+1) onde é constante.

* Outra función definida por intervalo é a función signo.

### Función racional

As funcións racionais son continuas nun intervalo axeitado. Un exemplo disto é a función inverso de *x*:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}}
Esta función é unha hipérbola composta por dous tramos. *x* < 0 e **x** > 0. Como se ve, efectivamente é continua en todo o dominio {\displaystyle \left(-\infty ,0\right)\cup \left(0,+\infty \right)} porque non está definida en *x*= 0. Se se estende o dominio da función a ℝ (dándolle un valor arbitrario a *f*(0)) a función será descontinua.)

Teoremas sobre funcións continuas
---------------------------------

Estes son algúns dos teoremas máis importantes sobre funcións continuas.

1. Teorema de Weierstrass: Se *f* é continua en {\displaystyle [a,b]} entón presenta máximos e mínimos absolutos.
2. Teorema de Bolzano: Se *f* é continua en {\displaystyle [a,b]} e {\displaystyle f(a)f(b)<0}, entón {\displaystyle \exists c\in (a,b)} tal que {\displaystyle f(c)=0}.
3. Teorema do valor intermedio: Se *f* é continua en {\displaystyle [a,b]} e {\displaystyle f(a)<k<f(b)} entón {\displaystyle \exists c\in (a,b)} tal que {\displaystyle f(c)=k}.

Anotación: Se *f* é unha función sobre un conxunto compacto entón, a función ten un máximo ou un mínimo. Sobre un conxunto aberto tense o seguinte contraexemplo: a función {\displaystyle f(x)=1/x} é continua sobre (0,1) pero non é limitada.

### Derivabilidade e continuidade

As funcións derivables son continuas. Se unha función é derivable en *x*=*a* entón é continua en *x*=*a*. De modo que a continuidade é unha condición necesaria para a derivabilidade. É dicir, o conxunto das funcións derivables é parte das funcións continuas.

Cómpre notar que o recíproco non é válido; é dicir que nada se pode afirmar sobre a derivabilidade dunha función continua. Un exemplo claro desta situación é a función valor absoluto *f*(*x*)= |*x*| que aínda que é continua en todo o seu dominio non é derivable en *x*=0. Mesmo hai funcións continuas en todo ℝ pero non derivables en ningún punto (as funcións do movemento browniano verifican isto con probabilidade 1).

#### Clase de continuidade

Unha función {\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} }, dise que: 

* é de clase {\displaystyle C^{0}(\Omega )\,} cando é continua en todo o dominio \Omega
* é de clase {\displaystyle C^{k}(\Omega )\,} se está definida en todo o dominio \Omega  xunto coas súas derivadas até orde {\displaystyle k\geq 1} e todas elas son continuas.
* é de clase {\displaystyle C^{\infty }(\Omega )\,} se ten derivadas continuas de calquera orde. As funcións deste tipo non son nercesariamente analíticas.
* é de clase {\displaystyle C^{-1}(\Omega )\,} se é a derivada no sentido das distribucións dunha función de clase {\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}.
* Unha función xeneralizada dise de clase {\displaystyle C^{-k}(\Omega )\,} se é a derivada k-ésima no sentido das distribucións dunha función de clase {\displaystyle C^{0}(\Omega )\,}.

Calquera función polinómica dunha variable é unha función de clase {\displaystyle C^{\infty }(\mathbb {R} )}. A función xeneralizada denominada delta de Dirac é unha función de clase {\displaystyle C^{-2}(\mathbb {R} )\,} xa que é a derivada segunda da función rampla que é continua, e a derivada primeira da función en esqueira de Heaviside que é de clase {\displaystyle C^{-1}}

Pódense dar exemplos que mostran que hai funcións de clase {\displaystyle C^{k}(\Omega )\,} que non son de clase {\displaystyle C^{k+1}(\Omega )\,}. Os exemplos clásicos son {\displaystyle f\_{k}(x)=x^{k}\operatorname {sen}(1/x)}.

Funcións continuas en espazos topolóxicos
-----------------------------------------

Sexan {\displaystyle (X,T\_{X})} e {\displaystyle (Y,T\_{Y})} dous espazos topolóxicos. Unha aplicación {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} dise que é continua se {\displaystyle f^{-1}(G)} é un aberto de {\displaystyle X}, calquera que sexa o aberto {\displaystyle G} de {\displaystyle Y}. Esta é a continudade vista globalmente, a que segue é a continuidade nun punto do dominio.

Esta definición redúcese á definición ordinaria de continuidade dunha función {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} se sobre \mathbb{R} ^{n} e \mathbb{R} ^{m} se considera a topoloxía inducida pola distancia euclidiana.

Coa mesma notación anterior, se {\displaystyle x\in X}, dise que {\displaystyle f} é continua en {\displaystyle x} cando se obtén que {\displaystyle f^{-1}(V)} é unha veciñanza de {\displaystyle x}, calquera que sexa a veciñanza {\displaystyle V} de {\displaystyle f(x)}.

É inmediato entón comprobar que f é continua se e só se é continua en {\displaystyle x\in X}, calquera que sexa este, é dicir, cando sexa continua en cada un dos puntos do seu dominio.

Funcións continuas sobre os números ordinais
--------------------------------------------

O termo función continua na parte da teoría de conxuntos que se refire aos números ordinais ten un sentido diferente ao referido ás funcións sobre espazos topolóxicos. Concretamente unha función *F* definida sobre a clase dos números ordinais {\displaystyle \mathrm {On} } é continua se para cada ordinal límite γ se cumpre a seguinte propiedade:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle F(\gamma )=\bigcup \{F(\sigma )|\ \sigma <\gamma ,\ \sigma \in \mathrm {On} \}}
> 
> 
>

Notas
-----

1. ↑  Bolzano, Bernard (1817). *Rein analytischer Beweis des Lehrsatzes dass zwischen je zwey Werthen, die ein entgegengesetztes Resultat gewaehren, wenigstens eine reele Wurzel der Gleichung liege*. Prague: Haase.
2. ↑  Dugac, Pierre (1973). *Eléments d'Analyse de Karl Weierstrass*. *Archive for History of Exact Sciences* **10**. pp. 41–176. doi:10.1007/bf00343406.
3. ↑  Goursat, E. (1904). *A course in mathematical analysis*. Boston: Ginn. p. 2.
4. ↑  Jordan, M.C. (1893). *Cours d'analyse de l'École polytechnique* **1** (2nd ed.). Paris: Gauthier-Villars. p. 46.
5. ↑  Harper, J.F. (2016). *Defining continuity of real functions of real variables*. *BSHM Bulletin: Journal of the British Society for the History of Mathematics*. pp. 1–16. doi:10.1080/17498430.2015.1116053.
6. ↑  Rusnock, P.; Kerr-Lawson, A. (2005). *Bolzano and uniform continuity*. *Historia Mathematica* **32**. pp. 303–311. doi:10.1016/j.hm.2004.11.003.
7. ↑  Lang, Serge (1997). *Undergraduate analysis*. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Berlín, Nova York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94841-6. , section II.4
8. ↑  Speck, Jared (2014). "Continuity and Discontinuity" (PDF). *MIT Math*. p. 3. Arquivado dende o orixinal (PDF) o 06-10-2016. Consultado o 2-9-2016.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Función continua*** |

### Bibliografía

* Serge Lang (1990): *Introdución al análisis Matemático* , Wilmington Delaware.
* James R. Munkres (2002): *Topología*, Madrid.

### Outros artigos

* Clasificación de descontinuidades
* Lista de funcións matemáticas
* Derivación
* Continuo
* Continuidade uniforme

### Ligazóns externas

* Visual Calculus by Lawrence S. Husch, University of Tennessee (2001).

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q170058
* BNCF: 53874
* BNF: 12123565q
* EBID: ID
* GEC: 0153274
* LCCN: sh85052334
* MAG: 184825909
* PSH: 7382

 |