Función gamma no eixe real.
Valor absoluto da función gamma no plano complexo.
En matemáticas, a **función gamma** (denotada como {\displaystyle \scriptstyle \Gamma (z)\,\!}, onde {\displaystyle \scriptstyle \Gamma } é a escritura en maiúscula da letra gamma do alfabeto grego) é unha aplicación que estende o concepto de factorial aos números complexos. A notación foi proposta por Adrien-Marie Legendre. Se a parte real do número complexo z é positiva, entón a integral

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt}
> 
> 
> 

converxe absolutamente; esta integral pode ser estendida a todo o plano complexo, agás aos enteiros negativos e ao cero. Se *n* é un enteiro positivo, entón

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\,}
> 
> 
> 

o que amosa a relación desta función co factorial. De feito, a función gamma estende o concepto de factorial a calquera valor complexo de *z*. A función gamma aparece en varias funcións de distribución de probabilidade, polo que é bastante empregada tanto en probabilidade e estatística como en combinatoria.

Definición clásica
------------------

A función gamma no plano complexo.
Se a parte real do número complexo *z* é positiva (Re(*z*) > 0), entón a integral

{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z-1}e^{-t}\,dt\,\!}
converxe absolutamente. Empregando a integración por partes, obtense a seguinte propiedade:

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\,\Gamma (z)}
Esta ecuación funcional xeneraliza a relación {\displaystyle n!=n(n-1)!} do factorial. Pódese avaliar {\displaystyle \Gamma (1)} analiticamente:

{\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t}dt=\lim \_{k\rightarrow \infty }\left.-e^{-t}\right|\_{0}^{k}=-0-(-1)=1.}
Combinando estes dous resultados dedúcese que o factorial é un caso particular da función gamma:

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\,\Gamma (n)=\cdots =n!\,\Gamma (1)=n!\,}
para os enteiros non negativos *n*.

A función gamma é unha función meromorfa de {\displaystyle z\in \mathbb {C} } con polos simples en {\displaystyle z=-n\,\,(n=0,\,1,\,2,\,3,\,\dots )} e residuos {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma (z),-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}. Estas propiedades poden ser empregadas para estender {\displaystyle \Gamma (z)} dende a súa definición inicial a todo o plano complexo (exceptuando os puntos nos que é singular) por continuación analítica.

Definicións alternativas
------------------------

As seguintes definicións da función gamma mediante produtos infinitos, debidas a Euler e Weierstrass respectivamente, son vixentes en todo o plano complexo *z*, agás para valores enteiros negativos: 

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z}}{z\,(z+1)\cdots (z+n)}}={\frac {1}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}}
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n}}
onde \gamma  é a constante de Euler-Mascheroni.

É sinxelo comprobar que a definición de Euler satisfai a ecuación funcional, dada arriba, como segue: sexa {\displaystyle z\neq 0,\,-1,\,-2,\,-3,\,\dots }

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n!\;n^{z+1}}{(z+1)\;(z+2)\cdots (z+1+n)}}\\&=\lim \_{n\to \infty }\left(z\;{\frac {n!\;n^{z}}{z\;(z+1)\;(z+2)\cdots (z+n)}}\;{\frac {n}{(z+1+n)}}\right)\\&=z\;\Gamma (z)\;\lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{(z+1+n)}}\\&=z\;\Gamma (z).\\\end{aligned}}}
Tamén se pode a seguinte representación integral:

{\displaystyle \Gamma (z+1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-t^{1/z}}\,dt.\,\!}

Obtención da ecuación funcional empregando integración por partes
-----------------------------------------------------------------

Atopar {\displaystyle \Gamma (1)} é sinxelo:

{\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{1-1}dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}dx=-e^{-\infty }-(-e^{0})=0-(-1)=1}

Obtense logo unha fórmula para {\displaystyle \Gamma (n+1)} como unha función de {\displaystyle \Gamma (n)}:

{\displaystyle \Gamma (n+1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n+1-1}dx=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx}

Empregando integración por partes para resolver a integral

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n}dx=\left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]\_{0}^{\infty }+n\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}

No límite inferior obtense directamente {\displaystyle {\frac {-0^{n}}{e^{0}}}={\frac {0}{1}}=0}. 

No infinito, empregando a regra de L'Hôpital:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}=\lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {-n!\cdot 1}{e^{x}}}=0}.

Polo que se anula o primeiro termo, {\displaystyle \left[{\frac {-x^{n}}{e^{x}}}\right]\_{0}^{\infty }}, o que nos dá o seguinte resultado:

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{n-1}dx}

A parte dereita da ecuación é exactamente {\displaystyle n\Gamma (n)}, co que se obtén unha relación de recorrencia:

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)}.
Aplicando a fórmula a uns poucos valores:

{\displaystyle \Gamma (2)=\Gamma (1+1)=1\Gamma (1)=1!=1\,}
{\displaystyle \Gamma (3)=\Gamma (2+1)=2\Gamma (2)=2\cdot 1!=2!=2\,}
{\displaystyle \Gamma (4)=\Gamma (3+1)=3\Gamma (3)=3\cdot 2!=3!=6\,}
{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n)=n\cdot (n-1)!=n!}

Propiedades
-----------

Da representación integral obtense:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \lim \_{z\to 0^{+}}\Gamma (z)=\lim \_{z\to 0^{+}}{\frac {\Gamma (z+1)}{z}}=\infty }.
> 
> 
> 

Outras ecuacións funcionais importantes da función gamma son a fórmula de reflexión de Euler

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma (1-z)\;\Gamma (z)={\pi \over \sin {(\pi z)}}\,\!}
> 
> 
> 

e a fórmula de duplicación

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}
> 
> 
> 

A fórmula de duplicación é un caso especial do teorema de multiplicación

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{m}}\right)\;\Gamma \left(z+{\frac {2}{m}}\right)\cdots \Gamma \left(z+{\frac {m-1}{m}}\right)=(2\pi )^{(m-1)/2}\;m^{1/2-mz}\;\Gamma (mz).\,\!}
> 
> 
> 

Unha propiedade básica e moi útil da función gamma , que se pode obter a partir da definición mediante produtos infinitos de Euler é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\,\!}
> 
> 
> 

Varios límites útiles para aproximacións asintóticas:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\quad \lim \_{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n-\alpha )\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n-\beta )\Gamma (n+\beta )}}=1;\qquad \alpha ,\beta \in \mathbb {R} }
> 
> 
> 

O valor máis coñecido da función gamma con argumento non enteiro é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},\,\!}
> 
> 
> 

que se pode obter facendo {\displaystyle z=1/2} na fórmula de reflexión ou na fórmula de duplicación, empregando a relación da función gamma coa función beta dada máis abaixo con {\displaystyle x=e=1/2} ou facendo a substitución {\displaystyle u={\sqrt {t}}} na definición integral da función gamma, co que se obtén unha integral Gaussiana. En xeral, para valores impares de *n* tense:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma \left({\frac {n}{2}}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,{\frac {n!!}{2^{(n+1)/2}}}}    (*n* impar)
> 
> 
> 

onde *n*!! denota o dobre factorial. As derivadas da función gamma veñen dadas pola función poligamma. Por exemplo:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi \_{0}(z).\,\!}
> 
> 
> 

A partir da representación integral da función gamma, obtense que a súa derivada *n*-ésima é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {d^{n} \over (dx)^{n}}\,\Gamma (x)=\int \_{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}\ln ^{n}t\,dt.}
> 
> 
> 

A función gamma ten un polo de orde 1 en {\displaystyle z=-n} para todo número enteiro non negativo. O residuo en cada polo é:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.\,\!}
> 
> 
> 

O teorema de Bohr-Mollerup di que, entre todas as funcións que xeneralizan o factorial dos números naturais aos reais, só a función gamma é logaritmo convexa (o log-convexa), é dicir, o logaritmo natural da función gamma é unha función convexa.

O desenvolvemento en Serie de Laurent de {\displaystyle \Gamma (z)} para valores 0 < *z* < 1 é:

> 
> {\displaystyle \Gamma (z)\approx {\frac {1}{z}}-\gamma +\left[{\frac {\gamma ^{2}}{2!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\right]z+\left[{\frac {\gamma ^{3}}{3!}}+{\frac {\zeta (2)}{2}}\gamma +{\frac {\zeta (3)}{3}}\right]z^{2}+\dots }
> 
> 
> 

Onde {\displaystyle \zeta (n)} é a función zeta de Riemann.

Función pi
----------

Gauss introduciu unha notación alternativa da función gamma denominada **función pi**, que en termos da función gamma é:

{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\;\Gamma (z),\,\!}
Así, a relación desta función pi co factorial é bastante máis natural que no caso da función gamma:

{\displaystyle \Pi (n)=n!.\!}
A fórmula da reflexión toma a seguinte forma:

{\displaystyle \Pi (z)\;\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}\,\!}
Onde sinc é a función sinc normalizada, o teorema da multiplicación escríbese así:

{\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=\left({\frac {(2\pi )^{m}}{2\pi m}}\right)^{1/2}\,m^{-z}\,\Pi (z).\,\!}
Ás veces atópase a seguinte definición

{\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}},\,\!}
onde {\displaystyle \pi (z)} é unha función enteira, definida para todo número complexo, pois non ten polos. A razón diso é que a función gamma e, polo tanto, a función pi, non teñen ceros.

Relación con outras funcións
----------------------------

* Na representación integral da función gamma, tanto o límite superior como o inferior da integración están fixados. A función gamma incompleta superior {\displaystyle \gamma (a,x)} e inferior {\displaystyle \Gamma (a,x)} obtéñense modificando os límites de integración superior ou inferior respectivamente.

{\displaystyle \Gamma (a,x)=\int \_{x}^{\infty }t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}
{\displaystyle \gamma (a,x)=\int \_{0}^{x}t^{a-1}\,e^{-t}\,dt.\,\!}
* A función gamma está relacionada coa función beta pola seguinte fórmula

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\;\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.\,\!}
* A derivada logarítmica da función gamma é a función digamma {\displaystyle \psi ^{(0)}(z)}. As derivadas de maior orde son as funcións poligamma {\displaystyle \psi ^{(n)}(z)}.

{\displaystyle \psi (x)=\psi ^{0}(x)={\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}}
{\displaystyle \psi ^{(n)}(x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n}\psi (x)=\left({\frac {d}{dx}}\right)^{n+1}\log \Gamma (x)}
* O análogo da función gamma sobre un corpo finito ou un anel finito son as sumas gaussianas, un tipo de suma exponencial.
* A función gamma inversa é a inversa da función gamma, que é unha función enteira.
* A función gamma aparece na definición integral da función zeta de Riemann {\displaystyle \zeta (z)}:

{\displaystyle \zeta (z)={\frac {1}{\Gamma (z)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {u^{z-1}}{e^{u}-1}}\;\mathrm {d} u\,\!.}
Fórmula válida só se {\displaystyle \operatorname {Re} (z)>1}. Tamén aparece na ecuación funcional de {\displaystyle \zeta (z)}:

{\displaystyle \pi ^{-z/2}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}

Valores da función gamma
------------------------

{\displaystyle {\begin{array}{lll}\Gamma (-3/2)&={\frac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx 2,363\\\Gamma (-1/2)&=-2{\sqrt {\pi }}&\approx -3,545\\\Gamma (1/2)&={\sqrt {\pi }}&\approx 1,772\\\Gamma (1)&=0!&=1\\\Gamma (3/2)&={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx 0,886\\\Gamma (2)&=1!&=1\\\Gamma (5/2)&={\frac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx 1,329\\\Gamma (3)&=2!&=2\\\Gamma (7/2)&={\frac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx 3,323\\\Gamma (4)&=3!&=6\\\end{array}}}

Aproximacións
-------------

A función gamma pode calcularse numericamente con precisión arbitraria empregando a fórmula de Stirling, a aproximación de Lanczos ou a aproximación de Spouge.

Para argumentos que sexan múltiplos enteiros de 1/24, a función gamma pode ser avaliada rapidamente empregando iteracións de medias aritmético-xeométricas.

Debido a que tanto a función gamma como o factorial crecen moi rapidamente para argumentos moderadamente grandes, moitos programas de computación inclúen funcións que devolven o logaritmo da función gamma. Este crece máis lentamente, e en cálculos combinatorios é moi útil, pois pásase de multiplicar e dividir grandes valores a sumar ou restar os seus logaritmos.

Aplicacións da función gamma
----------------------------

### Cálculo fraccionario

A n-ésima derivada de {\displaystyle ax^{b}} (onde n é un número natural) pode verse do seguinte xeito: 

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)=\left(b-n+1\right)\cdots \left(b-2\right)\left(b-1\right)bax^{b-n}={\frac {b!}{\left(b-n\right)!}}ax^{b-n}}

como {\displaystyle n!=\Gamma (n+1)} entón {\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(ax^{b}\right)={\frac {\Gamma \left(b+1\right)}{\Gamma \left(b-n+1\right)}}ax^{b-n}} onde n pode ser calquera número no que gamma estea definido ou se poida definir mediante límites.

Deste xeito pode calcularse por exemplo, a 1/2 derivada de x, de {\displaystyle x^{2}} e inclusive dunha constante {\displaystyle c=cx^{0}}:

{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x\right)={\frac {2{\sqrt {x}}}{\sqrt {\pi }}}}

{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(x^{2}\right)={\frac {8{\sqrt {x^{3}}}}{3{\sqrt {\pi }}}}}

{\displaystyle {\frac {d^{\frac {1}{2}}}{dx^{\frac {1}{2}}}}\left(c\right)={\frac {c}{{\sqrt {\pi }}{\sqrt {x}}}}}

Notas
-----

1. ↑  George Allen, and Unwin, Ltd. *The Universal Encyclopedia of Mathematics*. United States of America, New American Library, Simon and Schuster, Inc. 1964. (Forward by James R. Newman)

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Función gamma Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Bibliografía

* Artin, Emil (2006). Rosen, Michael, ed. "Exposition by Emil Artin: a selection". *History of Mathematics* (Providence, Rhode Island: American Mathematical Society) (30).
* Davis, Philip J. (1959). "Leonhard Euler's Integral: A Historical Profile of the gamma Function". *Am. Math. Monthly* (66): 849–869.
* Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1997). "Fast multiprecision avaliation of series of rational numbers". *Technical Report* (Darmstadt University of Technology) (TI-7/97). Arquivado dende o orixinal o 30 de xuño de 2006. Consultado o 17 de agosto de 2016.
* Havil, Julian (2003). *gamma, Exploring Euler's Constant*. ISBN 0-691-09983-9.
* Sebah, Pascal; Gourdon, Xavier. "Introduction to the gamma Function".
* Abramowitz, Milton; Stegun, Irene A. eds. (1972). *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*. Nova York: Dover.
* Arfken, G.; Weber, H. (2000). "10". *Mathematical Methods for Physicists*. Harcourt/Academic Press.
* Hochstadt, Harry (1986). "3". *The Functions of Mathematical Physics*. Nueva York: Dover.
* Press, W.H.; Flannery, B.P.; Teukolsky, S.A.; Vetterling, W.T. (1988). "Section 6.1". *Numerical Recipes in C*. Cambridge: Cambridge University Press.
* Murray R. Spiegel: *Transformadas de Laplace*, Edicións Schaumm.
* Makárenko, Krasnov e Kiselev: *Funcións de variable compleja, Cálculo operacional, Teoría de la estabilidad*, editorial Mir.

### Outros artigos

* Función beta
* Función digamma
* Función gamma elíptica
* Distribución gamma

### Ligazóns externas

* Exemplos de problemas que involucran a Función gamma en Exampleproblems.com *(en inglés)*
* Cephes - Libraría de funcións especiais matemáticas de C e C++ *(en inglés)*
* Fast Factorial Functions - Varios algoritmos.
* Approximation Formulas - Aproximacións.
* Avaliador da función gamma de Wolfram con precisión arbitraria[*Ligazón morta*].
* Volume of n-Spheres and the gamma Function en MathPages *(en inglés)*
* Ferramenta para obter gráficas de funcións que conteñen a función gamma.
* Calculadora Función gamma

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q190573
* EBID: ID
* GND: 4289118-8
* JSTOR: gamma-function
* MAG: 82240120
* NDL: 00562231
* PSH: 7533

 |