Triángulo de Pascal ou de Tartaglia.
O triángulo de Pascal, tamén coñecido como triángulo de Tartaglia, é un triángulo de números enteiros, infinito e simétrico.

Fundamentos
-----------

Constrúese do seguinte xeito: Empézase polo « 1 » do cume. Dunha liña á seguinte convense escribir os números cun desfasamento de media casa. Así, as casas (que non se debuxan) terán cada unha dúas casas xusto encima, na liña anterior. O valor que se escribe nunha casa é a suma dos valores das dúas casas enriba dela. O valor cero non se escribe. Por exemplo, na última liña debuxada, o cuarto valor é 84 = 28 + 56, suma do terceiro e cuarto valor da liña anterior. Obsérvase, e non é difícil demostralo, que a capa exterior está formada de *uns*, a segunda capa dos naturais en orde crecente, que os números non fan máis que subir dunha liña á seguinte e que existe un eixo de simetría vertical que pasa polo vértice.

Con todo, o interese deste triángulo non radica nestas propiedades, senón no vínculo que ten co álxebra elemental. En efecto, as cifras *1; 2; 1* e *1; 3; 3; 1* recordan as identidades:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\quad } |    y      | {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\quad } |

pois son os coeficientes dos seus monomios. Este parecido non é casual e xeneralízase a calquera potencia do binomio *a + b*.

Relación entre o triángulo de Pascal e o binomio de Newton
----------------------------------------------------------

A fórmula que dá o desenvolvemento de **{\displaystyle (a+b)^{n}}** segundo as potencias crecentes de *a* (e decrecientes de *b*) chámase **binomio de** Newton. Nesta expresión, o único que se descoñece son os coeficientes dos monomios **{\displaystyle a^{k}b^{n-k}}**.

**Teorema**  

Os coeficientes da forma desenvolvida de (a + b)n son dados   
pola liña número *n+1* do triángulo de Pascal (a que empeza por *1* e *n*).

**Proba**

Xa está visto que é certo para n=2 e n=3. Tamén o é para n=0.  

Para establecer o resultado para calquera valor de n ∈ ℕ, o máis natural é proceder por indución.
Supondo que é certo para un valor de *n*, hai que deducir que o é tamén para **n+1**. No canto de facelo no caso xeral (sería pouco claro) miremos que sucede ao pasar da liña n = 3 á liña n = 4.

Como o mostra a figura, o desenvolvemento de (a + b)4 consiste en dúas copias do desenvolvemento de (a + b)³. Están desfasadas (unha corresponde a *a⋅(a + b)³* e a outra a *b⋅(a + b)³*) e cando se suman, un mesmo coeficiente aparece nunha posición dada e outra vez a un paso á dereita.  

Se se considera só os coeficientes, inscritos en sendas casas, obtemos a suma seguinte:

e obviamente non fai falta escribir dúas veces as mesmas cifras: a suma consiste en engadir a un coeficiente o coeficiente inmediatamente á súa dereita (o 1 co 3, o 3 co segundo 3 etc) e isto é xustamente o que se fai no triángulo de Pascal. Noutras palabras, o triángulo simula a multiplicación de (a + b), dunha liña á seguinte.

Coeficientes do binomio de Newton
---------------------------------

Inscríbese o triángulo de Pascal nunha táboa para poder nomear a cada coeficiente do mesmo. O número na liña *n* e a columna *p* denótase:
  


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle n \choose k} | ou máis raramente | {\displaystyle C\_{n}^{k}} |

("C" por "combinación") (por exemplo en calculadoras de peto, como a TI-86 e familia), e dise "n sobre k", "combinación de n en k" moito máis curto que "coeficiente binomial n, k". As casas baleiras corresponden a valores nulos. Por definición mesma, temos, (para todo *n* natural):

|  |
| --- |
| {\displaystyle (a+b)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}a^{n-k}b^{k}} |

para calquera valor de *a* e *b*. De feito, é unha igualdade de polinomios en ℤ[a, b]. Sen perder en xeneralidade, resulta ás veces máis práctica a *"definición"* :

|  |
| --- |
| {\displaystyle (X+1)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}X^{k}} |

vista como unha igualdade de polinomios en ℤ[X]. Desta fórmula dedúcense dúas consecuencias:

|  |  |
| --- | --- |
| Tomando X = 1 obtense: | {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} |

A suma dos coeficientes dunha mesma liña vale 2n. En efecto: 1 = 20, 1 + 1 =2= 2¹, 1 + 2 + 1 =4= 2², 1 + 3 + 3 + 1 =8= 2³, 1 + 4 + 6 + 4 + 1 =16= 24 ... · Con X = -1 obtense, (n > 0): 

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}(-1)^{k}=0} |  : a suma alterna dos números dunha mesma liña vale 0. |

En efecto: 1 - 1 = 0, 1 - 2 + 1 = 0, 1 - 3 + 3 - 1 = 0, 1 - 4 + 6 - 4 + 1 = 0, 1 - 5 + 10 - 10 + 5 - 1 = 0 ... As propiedades que observamos no triángulo pódense agora escribir con todo rigor:

|  |
| --- |
|. |

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose 0}={n \choose n}=1} | (costados esquerdos e dereitos do triángulo). |

|  |
| --- |
|. |

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose 1}={n \choose {n-1}}=n} | (*"segunda capa"*). |

|  |
| --- |
|. |

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose {n-p}}={n \choose p}} | (simetría respecto ao eixo vertical do triángulo). |

|  |
| --- |
|. |

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose p}=0} | cando **p > n** (corresponde á zona fose do triángulo). |

E claro, a regra de construción do triángulo dá a relación fundamental dos coeficientes binomiais:

|  |
| --- |
|. |

{\displaystyle {n \choose p}+{n \choose {p+1}}={{n+1} \choose {p+1}}}

Interpretación en combinatoria
------------------------------

Os coeficientes binomiais son a base mesma da combinatoria. Vexamos por que:
Tomemos de novo un binomio, por exemplo {\displaystyle (a+b)^{3}}, e desarollémoslo, pero dun xeito distinto do parágrafo anterior:

{\displaystyle (a+b)^{3}=(a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)}
logo quitemos #o\\\ #paréntese\\, pero sen cambiar a orde nos produtos, é dicir sen aplicar a conmutatividade:  

{\displaystyle (a+b)\cdot (a+b)\cdot (a+b)=(aa+ab+ba+bb)\cdot (a+b)}
{\displaystyle =aaa+aab+aba+abb+baa+bab+bba+bbb\quad }
E agrupemos os termos que conteñen o mesmo número de a, (e de b):

{\displaystyle =aaa+(aab+aba+baa)+(abb+bab+bba)+bbb\quad }
A primeira paréntese contén todas as palabras constituídas dun *b* e dous *a*. Neste caso, é fácil ver que hai exactamente tres. No caso xeral, para contar as palabras, hai que aplicar a conmutatividade, pois as palabras que conteñen o mesmo número da e b darán o mesmo termo:

{\displaystyle =1\cdot a^{3}+3\cdot a^{2}b+3\cdot ab^{2}+1\cdot b^{3}}

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| O primeiro factor 3, que é | {\displaystyle {3 \choose 1}} | conta as tres palabras mencionadas (aab, aba e baa). |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| O segundo factor 3, que é | {\displaystyle {3 \choose 2}} | conta as palabras feitas de dúas *b* e un *a* (abb, bab e bba). |

Obviamente, só hai unha palabra de tres letras constituídas de *a* soamente, e isto corresponde ao monomio **1·a³**, con 1 = {\displaystyle {3 \choose 0}} ( «0 » por *ningunha b*).

No canto de falar de palabras formadas con *a* e *b*, é equivalente imaxinar unha fileira de *n* caixóns inicialmente baleiros, e *p* bólas intercambiables que se teñen que repartir, en cada caixón non cabendo máis dunha. Trátase en todos casos de repartir *p* obxectos entre *n* sitios posibles, ou de escoller un grupo de *p* obxectos/sitios entre *n* obxectos/sitios. De aí a apelación *p entre n*.

Todo o anterior leva ao **teorema**:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Hai exactamente | {\displaystyle {n \choose p}} | xeitos de escoller un conxunto de *p* elementos entre *n* elementos. |

En matemática formal, prefírese falar de conxuntos: 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Existen | {\displaystyle {n \choose p}} | subconjuntos de cardinal p nun conxunto de cardinal n. |

Este punto de vista permite achar a fórmula para os coeficientes binomiais. En efecto, para elixir o « primeiro » elemento, hai *n* posibilidades, logo para escoller o segundo quedan *n-1* posibilidades e así sucesivamente ata o elemento número *p*, que ten *n-p+1*. A orde no que se elixiu estes *p* elementos non importa, podíase obter o mesmo subconjunto de *p* elementos noutra orde. Hai p! permutacións posibles destes *p* elementos, é dicir p! xeitos de obter o mesmo conxunto.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Xa que logo hai | {\displaystyle {\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...(n-p+1)}{p!}}} | subconjuntos posibles. |

En conclusión:

{\displaystyle {n \choose p}={\frac {n\cdot (n-1)\cdot (n-2)...(n-p+1)}{p\cdot (p-1)\cdot (p-2)...2\cdot 1}}={\frac {n!}{p!\cdot (n-p)!}}}


|  |  |
| --- | --- |
| Verifiquémoslo nun exemplo: | {\displaystyle {5 \choose 2}={\frac {5!}{2!3!}}={\frac {5\times 4\times 3\times 2}{2\times 3\times 2}}=10} |

No triángulo, o valor na quinta liña e segunda columna é 10. Para rematar, listemos as palabras de cinco letras formadas de 2 *a* e 5-2 = 3 *b* (na orde alfabética, ou na orde crecente considerando que *a* é a cifra *0* e *b* a cifra *1*):  

aabbb, ababb, abbab, abbba, baabb, babab, babba, bbaab, bbaba, bbbaa.

A fórmula permite verificar todas as propiedades do parágrafo anterior, con todo pódese prescindir dos cálculos na maioría dos casos, con tal de manipular os conceptos idóneos.

Un subconjunto A de E define unha *partición* de E en dous partes E = A B ∪ , coa ∩ B = {}= ∅ (conxunto baleiro). Aquí {\displaystyle B={\overline {A}}} é o complementario da en E.

Dá o mesmo escoller os *p* elementos da que os *n-p* elementos de math \overline{A}.  


|  |  |
| --- | --- |
| Isto xustifica, sen cálculo, a simetría | {\displaystyle {n \choose {n-p}}={n \choose p}}. |

|  |  |
| --- | --- |
| Se > p n, non hai subconjuntos de E con *p* elementos, porque E contén só *n*, logo | {\displaystyle {n \choose p}=0} |

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Tamén son evidentes as igualdades | {\displaystyle {n \choose 1}=n} | e | {\displaystyle {n \choose 0}=1} | porque, no primeiro caso, |

hai tantos xeitos de escoller subconjunto de tamaño 1 que de elementos de E, e no segundo caso, só existe un conxunto con cero elemento: o conxunto baleiro.

A regra fundamental tamén ten explicación gráfica:

Proba: escóllese un elemento *e* calquera de *E*, que contén n+1 elementos: E = E' ∪ {e}. Logo considéranse os subconjuntos *A* de *E* de cardeal p+1. Son de dous tipos: ou conteñen e, ou non.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Se *e* ∈ *A*, entón falta elixir *p* elementos de E' para completar *A*. Hai | {\displaystyle {n \choose p}} | posibilidades. |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Se *e* ∉ A, entón falta elixir *p+1* elementos de E' para definir *A*. Hai | {\displaystyle {n \choose {p+1}}} | posibilidades. |

Sumando os dous casos, obtense todos as partes de p+1 elementos de E, constituído de n+1 elementos.

|  |  |
| --- | --- |
| Hai xa que logo | {\displaystyle {{n+1} \choose {p+1}}={n \choose {p+1}}+{n \choose p}} |

Un exemplo:

Aquí vai unha propiedade aritmética, sen interpretación xeométrica: cando **n é primo**, os coeficientes binomiais na liña *n* son divisibles por *n*, excepto os dous *bordos* da mesma (que valen 1).
Escrito formalmente:

|  |  |
| --- | --- |
| **Teorema** : | {\displaystyle \forall p\in [1;n-1],n/{n \choose p}} |

Na figura, os exemplos están en verde, e os contraejemplos (cando n non é primo e p divide n) en amarelo.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| **Proba**: na fracción | {\displaystyle {\frac {n!}{p!(n-p)!}}} | o factor primo |

*n* aparece unha vez no numerador e xamais no denominador.
(O denominador é un produto de números entre 1 e n-1). Xa que logo a fracción é divisible por n.

Xeneralización
--------------

No canto de considerar as potencias de **a + b**, pódese mirar as do trinomio **a + b + c**.   

**(a + b + c)n** é unha suma de monomios da forma *λp, q, r*
·a sup<>p·bq·cr*, con* p*,* q *e* r *positivos,* p + q + r = n*, e λp, q, r un natural que se tería que chamar* coeficiente trinomial*.*

Os cálculos son similares aos do coeficiente binomial, e dan a expresión seguinte:

{\displaystyle \lambda \_{p,q,r}={\frac {n!}{p!q!r!}}}   

Corresponde ao número de partición en tres dun conxunto de *n* elementos, en subconjuntos de *p*, *q* e *r* elementos. Un exemplo:

Estes coeficientes pódense achar na analogía tridimensional do triángulo de Pascal: Poderíase chamar a *pirámide de Pascal*, é tamén infinita, con seccións triangulares, e o valor en cada casa é a suma dos valores das tres casas encima dela.  

Debuxouse as primeiras seccións a partir do cume.  

Obsérvase unha invariance por rotación de 120 graos ao redor dun eixo vertical que pasa polo vértice.  

O triángulo de Pascal aparece nas tres caras da pirámide.

Está claro que todo isto pódese xeneralizar a calquera dimensión finita, pero sen a posibilidade de facer debuxos explicativos.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q177051
* BNCF: 40274
* EBID: ID
* JSTOR: pascals-triangle
* MAG: 93925899

 |