En matemáticas e estatística, a **función de densidade** (en inglés, *probability density function*: *pdf*) serve para representar a distribución de probabilidade en termos de integrais. Unha función de densidade de probabilidade é sempre non-neativa e a súa integral dende −∞ ata +∞ é igual a 1. Se unha distribución de probabilidade ten densidade *f*(*x*), entón, intuitivamente o intervalo infinitesimal [*x*, *x* + d*x*] ten probabilidade *f*(*x*) d*x*. A función de densidade de probabilidade pode verse como unha versión "suavizada" dun histograma: se alguén mide empiricamente valores dunha variable aleatoria continua repetidamente e produce un histograma coas frecuencias relativas dos rangos de saída, entón este histograma dará lugar á densidade de probabilidade da variable aleatoria (asumindo que sobre a variable se escollen mostras suficientemente a miúdo e os rangos de saída son suficientemente pequenos).

Formalmente, unha distribución de probabilidade ten densidade *f*(*x*) se *f*(*x*) é unha función non-negativa Lebesgue-integrable **R** → **R** de xeito que a probabilidade do intervalo [*a*, *b*] vén dada por

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx}
para calquera dous números *a* e *b*. Isto implica que a integral total de *f* debe ser 1. Á inversa, calquera función non-negativa integrable por Lebesgue con integral total 1 é a densidade de probabilidade dunha distribución de probabilidade definida axeitadamente.

Explicación simplificada
------------------------

A función de densidade de probabilidade é calquera función *f*(*x*) que describe a densidade de probabilidade en termos da variable de entrada *x* do seguinte xeito: 

* *f*(*x*) é maior ou igual a cero para tódolos valores de *x*
* A área total baixo a gráfica é 1:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\,f(x)\,dx=1}
A probabilidade actual pode ser calculada mediante a integral da función *f*(*x*) no intervalo de integración da variable de entrada *x*.

Por exemplo: a variable *x* no intervalo 4.3 < *x* < 7.8 tería a probabilidade

{\displaystyle \Pr(4.3<x<7.8)=\int \_{4.3}^{7.8}f(x)\,dx.}

Máis detalles
-------------

Por exemplo, a distribución uniforme continua no intervalo [0,1] ten densidade de probabilidade *f*(*x*) = 1 para 0 ≤ *x* ≤ 1 e cero no resto. A distribución normal estándar ten densidade de probabilidade

{\displaystyle f(x)={e^{-{x^{2}/2}} \over {\sqrt {2\pi }}}.}
Dada unha variable aleatoria *X*, se a súa distribución admite a función de densidade de probabilidade *f*(*x*), entón o valor esperado de *X* (se existe) pode ser calculado como

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int \_{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}
Non todas as distribucións de probabilidade teñen función de densidade: as distribucións de variables aleatorias discretas non teñen, tampouco a distribución de Cantor aínda que non ten compoñente discreta e non asigna probabilidade positiva a ningún punto individual.

Unha distribución ten función de densidade se e só se a súa función de distribución de probabilidade *F*(*x*) é absolutamente continua. Nese caso, *F* é diferenciable en todo o rango, e a súa derivada pode ser usada como densidade de probabilidade:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}
Se a distribución de probabilidade admite unha densidade, entón a probabilidade de cada conxunto dun só punto {*a*} é cero.

É un erro común pensar que *f*(*a*) é a probabilidade de {*a*}; de feito, *f*(*a*) será a miúdo maior que 1. Pódese considerar por exemplo unha variable aleatoria con distribución uniforme entre 0 e 1/2.

Dúas densidades de probabilidade *f* e *g* representan a mesma distribución de probabilidade se e só se se diferencian nun conxunto de medidas cero de Legesgue.

No campo da física estatística, unha reformulación non formal da relación entre a derivada da función de distribución de probabilidade e a función de densidade de probabilidade é usada como a definición da función de densidade de probabilidade. Esta definición alternativa é a seguinte:

Se *dt* é un número infinitamente pequeno, a probabilidade de que X estea incluído no intervalo [*t*, *t* + *dt*] é igual a {\displaystyle f(t)\,dt}, ou:

{\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt~}

Relación entre distribucións continuas e discretas
--------------------------------------------------

A definición da función de densidade de probabilidade fai posible describir a variable asociada cunha distribución continua usando un conxunto de variables binarias discretas asociadas cos intervalos [a;b] (por exemplo, unha variable con valor *1* se *X* está en [a;b], e *0* se non).

É posible tamén representar certas variables aleatorias discretas usando unha densidade de probabilidade mediante a función delta de Dirac. Por exemplo, consideremos unha variable aleatoria discreta binaria que toma como valores -1 e 1, con probabilidade 1/2 cada un; a densidade de probabilidade asociada con esta variable é:

{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1))}.
Máis xeralmente, se unha variable discreta pode tomar *n* valores diferentes entre os números reais, entón a función de densidade de probabilidade asociada é: 

{\displaystyle f(t)={\frac {1}{n}}\Sigma \_{i=1}^{n}P\_{i}\,\delta (t-x\_{i})}, onde {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} son os valores discretos posibles da variable e {\displaystyle P\_{1},\ldots ,P\_{n}} son as probabilidades asociadas con cada un destes valores.
Esta expresión permite determinar características estatísticas de dita variable discreta (como a súa media, varianza e curtose), mediante as fórmulas dadas para unha distribución continua.

Na física, esta descrición é tamén útil para caracterizar matematicamente a configuración inicial dun movemento Browniano.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q207522
* MAG: 197055811

 |