Para a unidade de superficie véxase: Área (unidade de superficie).
**Área** é a extensión ou superficie comprendida dentro dunha figura (de dúas dimensións), expresada en unidades de medida denominadas superficiais. Para superficies planas o concepto é intuitivo. Calquera superficie plana de lados rectos pode triangularse e pódese calcular a súa área como suma de triángulos.

Con todo, para calcular a área de superficies curvas requírese introducir métodos de xeometría diferencial.

Para poder definir a área dunha superficie en xeral, que é un concepto métrico, tense que definir un tensor métrico sobre a superficie en cuestión: cando a superficie está dentro dun espazo euclídeo, a superficie herda unha estrutura métrica natural inducida pola métrica euclídea.

Historia
--------

Os exipcios desenvolveron a xeometría pola necesidade que tiveron de medir as terras á beira do río Nilo.
A idea de que a área é a medida que proporciona o tamaño da rexión encerrada nunha figura xeométrica provén da antigüidade. No Antigo Exipto, tras a crecida anual do río Nilo inundando os campos, xorde a necesidade de calcular a área de cada parcela agrícola para restablecer os seus límites; para liquidar iso, os exipcios inventaron a xeometría, segundo Heródoto. Heródoto *Historias*, Libro II.

O modo de calcular a área dun polígono como a suma das áreas dos triángulos, é un método que foi proposto por primeira vez polo sabio grego Antifón cara ao ano 430 a. C. Achar a área dunha figura curva entraña máis dificultade. O método de esgotamento consiste en inscribir e circunscribir polígonos na figura xeométrica, aumentar o número de lados de devanditos polígonos e achar a área buscada. Con este sistema, que se coñece como método de exhaución de Eudoxo, conseguiu achar a fórmula para calcular a área dun círculo. Devandito sistema foi empregado tempo despois por Arquimedes para resolver outros problemas similares: o problema da área así como o cálculo aproximado do número π.

Área de figuras planas
----------------------

### Área dun triángulo

A área dun triángulo calcúlase mediante a seguinte fórmula:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={\frac {l\cdot h}{2}}}
> 
> 
> 

onde *l* é calquera dos lados e *h* é a altura correspondente a ese lado.

Se o triángulo é rectángulo, a altura coincide cun dos catetos, e a fórmula quedaría da seguinte forma: 

{\displaystyle A={\frac {a\cdot b}{2}}}
onde **a** e **b** son os catetos.

Se o que coñecemos é a lonxitude dos seus lados aplicamos a fórmula de Herón.

{\displaystyle S={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
onde a, b , c son os valores das lonxitudes dos seus lados 
*s* = ½ (*a* + *b* + *c*) é o **semiperímetro** do triángulo.

Se o triángulo é equilátero, de lado *a*, a súa área está dada por

{\displaystyle A={\frac {{\sqrt {3}}\cdot a^{2}}{4}}}

Áreas
### Área dun cuadrilátero

Trapezoide.
* O trapezoide ou cuadrilátero totalmente irregular que ten os seus catro ángulos diferentes e lados de lonxitudes desiguais. Neste caso a área pódese obter mediante triangulación sendo:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={\frac {a\cdot d\cdot \sin \alpha +b\cdot c\cdot \sin \gamma }{2}}}
> 
> 
> 

Sendo:
{\displaystyle \alpha \,} o ángulo comprendido entre os lados {\displaystyle a\,} e {\displaystyle d\,}.
{\displaystyle \gamma \,} o ángulo comprendido entre os lados {\displaystyle b\,} e {\displaystyle c\,}.
* O rectángulo é un paralelogramo cuxos ángulos son todos de 90º; a área sería a multiplicación de dúas dos seus lados contiguos *a* e *b*:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=a\cdot b\,}
> 
> 
> 

* O rombo, cuxos 4 lados son iguais, ten a súa área dada polo semiproduto das súas dúas diagonais:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={\frac {AC\cdot BD}{2}}}
> 
> 
> 

* O cadrado é o polígono regular de catro lados, é á vez un rectángulo e un rombo, polo que a súa área pode ser calculada da mesma maneira que a destes dous. En particular, dado que os seus lados son iguais, úsase a fórmula:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=a\cdot a\,=a^{2}}
> 
> 
> 

* Os paralelogramos en xeral teñen a súa área dada polo produto un dos seus lados e a súa altura respectiva:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=b\cdot h\,}
> 
> 
> 

* O trapecio (que ten dous lados paralelos entre si e dous lados non paralelos) cuxa área vén dada pola media aritmética dos seus lados paralelos multiplicado pola distancia entre eles (altura):

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A={\frac {a+b}{2}}\cdot h}
> 
> 
> 

### Área do círculo e a elipse

A área dun círculo, ou a delimitada por unha circunferencia, calcúlase mediante a seguinte expresión matemática:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=\pi \cdot r^{2}\,}
> 
> 
> 

A área delimitada entre a gráfica de dúas curvas pode calcularse mediante a diferenza entre as integrais de ambas as funcións.
A área delimitada por unha elipse é similar e obtense como produto do semieixe maior polo semieixe menor multiplicados por π:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A=\pi \cdot a\cdot b}
> 
> 
> 

### Área delimitada entre dúas funcións

Unha forma para achar a área delimitada entre dúas funcións, é utilizando o cálculo integral:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A(a,b)=\int \_{a}^{b}|f(x)-g(x)|dx}
> 
> 
> 

O resultado desta integral é a área comprendida entre as curvas: {\displaystyle f(x)\,} e {\displaystyle g(x)[<f(x)]\,} no intervalo {\displaystyle [a,b]\,}.

Exemplo
Se se quere achar a área delimitada entre o eixo x e a función f(x) = 4 - x^2 no intervalo [-2;2], utilízase a ecuación anterior, neste caso: g(x)=0 entón avaliando a integral, obtense:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A(-2,2)=\int \_{-2}^{2}|4-x^{2}-0|dx=2\int \_{0}^{2}4-x^{2}dx=2\left[8-\left({\frac {2^{3}-0}{3}}\right)\right]={\frac {32}{3}}}
> 
> 
> 

Polo que se conclúe que a área delimitada é {\displaystyle {\frac {32}{3}}}..

O volume encerrado entre dúas funcións tamén pode ser reducido ao cálculo dunha integral, similar.

Área de superficies curvas
--------------------------

Dous exemplos de conos.
A área dunha superficie curva é máis complexo e en xeral supón realizar algún tipo de idealización ou límite para medilo.

* Cando a superficie é desenvolvíbel, como sucede coa área lateral dun cilindro ou dun cono a área da superficie pode calcularse a partir da área desenvolvida que sempre é unha figura plana. Unha condición matemática necesaria para que unha superficie sexa desenvolvíbel é que a súa curvatura gaussiana sexa nula.
* Cando a superficie non é desenvolvíbel, o cálculo da superficie ou a fórmula analítica para atopar devandito valor é máis traballoso. Un exemplo de superficie non desenvolvíbel é a esfera xa que a súa curvatura gaussiana coincide co inverso do seu radio ao cadrado, e por tanto non é cero. Con todo a esfera é unha superficie de revolución.

### Superficie de revolución

Unha superficie de revolución xerada por un tramo da curva *y*=2+cos *x* rotada arredor do eixo *x*.
Cando unha superficie curva pode ser xerada facendo virar unha curva plana ao redor dun eixo directriz, a superficie resultante chámase superficie de revolución e a súa área pode ser calculada facilmente a partir da lonxitude da curva xeratriz que ao virar conforma a superficie. Se *y*=*f*(*x*) é a ecuación que define un tramo de curva, ao virar esta curva ao redor do eixo X xérase unha superficie de revolución cuxa área lateral vale:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A\_{r}(a,b)=2\pi \int \_{a}^{b}f(x){\sqrt {1+\left({\frac {df(x)}{dx}}\right)^{2}}}\ dx}
> 
> 
> 

### Cálculo xeral de áreas

Mediante a xeometría diferencial de superficies ou máis xeralmente a xeometría riemanniana pode calcularse a área de calquera superficie curva finita. Se a superficie vén dada pola función explícita *z* = *f*(*x, y*) entón, dada unha rexión Ω contida nunha superficie a súa área resultar ser:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A(\Omega )=\iint \_{\Omega }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)^{2}}}dxdy}
> 
> 
> 

De maneira un pouco máis xeral se coñecemos a ecuación paramétrica da superficie en función de dúas coordenadas calquera *o* e *v* entón a área anterior pode escribirse como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle A(\Omega )=\iint \_{\Omega }{\sqrt {EG-F^{2}}}\ dudv}
> 
> 
> 

Onde *E*, *F* e *G* son as compoñentes do tensor métrico ou primeira forma fundamental da superficie nas coordenadas paramétricas *u* e *v*.

Unidades de medida de superficies
---------------------------------

*Artigo principal**:* Unidade de superficie.
### Sistema métrico (SI)

**Múltiplos:**

* Quilómetro cadrado: 106 metros cadrados
* Hectárea: 104 metros cadrados
* Área: 10² metros cadrados

**Unidade básica:**

* metro cadrado: Unidade derivada do SI

**Submúltiplos:**

* centímetro cadrado: 10−4 metros cadrados
* barn: 10−28 metros cadrados

### Sistema inglés de medidas

* polgada cadrada
* pé cadrado
* iarda cadrada
* acre
* milla cadrada
* legua cadrada

Notas
-----

1. ↑  Spiegel y Abellanas, 1992, p.9

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Área Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Bibliografía

Spiegel, Murray R.; Abellanas, Lorenzo. McGraw-Hill, ed. *Fórmulas y tablas de matemática aplicada*. Aravaca (Madrid). ISBN 84-7615-197-7. 

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q11500
* BNCF: 39330
* BNF: 12172891w
* GND: 4193807-0
* LCCN: sh85006984

 |