En matemática, e en particular en topoloxía alxébrica, a **característica de Euler** ou **característica de Euler-Poincaré** é un invariante topolóxico, un número definido que serve para ampliar unha clase de espazos topolóxicos. Denótase xeralmente por {\displaystyle \chi } (a letra grega khi).

Característica de Euler en poliedros
------------------------------------

A característica de Euler dun politopo de tres dimensións (poliedro) pode calcularse empregando a fórmula seguinte:

{\displaystyle \chi =C-A+V\,\!}
onde *C*, *A* e *V* son os números de caras, de arestas e de vértices respectivamente. En particular, para calquera poliedro homeomorfo a unha esfera tense

{\displaystyle \chi =C-A+V=2\,\!}
Por exemplo, para un cubo tense 6 - 12 + 8 = 2 e para un tetraedro tense 4 - 6 + 4 = 2. A fórmula anterior tamén se chama **fórmula de Euler**, que se pode demostrar por indución matemática.

Outros exemplos poden atoparse na seguinte táboa

| Nome | Imaxe | Vértices*V* | Arestas*A* | Caras*C* | Característica de Euler:*V* − *A* + *C* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Tetraedro |  | 4 | 6 | 4 | **2** |
| Cubo |  | 8 | 12 | 6 | **2** |
| Octaedro |  | 6 | 12 | 8 | **2** |
| Dodecaedro |  | 20 | 30 | 12 | **2** |
| Icosaedro |  | 12 | 30 | 20 | **2** |

Un poliedro que non sexa homeomorfo a unha esfera, como o poliedro toroidal da figura, que ten 48 caras, 22 vértices e 70 arestas obtense 22 - 70 + 48 = 0.

Poliedro toroidal de 48 caras
Táboa coas característica de Euler doutros poliedros 

| Nome | Imaxe | Vértices*V* | Arestas*A* | Caras*C* | Característica de Euler :*V* − *A* + *C* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Tetrahemihexaedro |  | 6 | 12 | 7 | **1** |
| Octahemioctaedro |  | 12 | 24 | 12 | **0** |
| Cubohemioctaedro |  | 12 | 24 | 10 | **−2** |
| Grande icosaedro |  | 12 | 30 | 20 | **2** |

Xeneralización ás superficies
-----------------------------

Esfera triangulada a partir dun icosaedro.
Unha superficie compacta como a esfera, o toro, o bitoro, un disco con bordo etc. xorde de deformar de forma continua un poliedro. Por exemplo, se se deforma un icosaedro ata obter unha esfera as arestas transfórmanse en curvas sobre a esfera, as caras son "triángulos" e os vértices puntos sobre as mesmas. Así, a esfera quedará "triangulada". Para definir a característica dunha superficie empréganse estas triangulacións realizando a fórmula análoga χ(*S*) = Triángulos - Lados + Vértices. En realidade as triangulacións non deben facerse necesariamente con triángulos, senón con calquera polígono, tendo en conta que dous polígonos só compartan unha aresta como máximo, e que, se comparten un lado, só compartan os dous vértices dese lado. Así a xeneralización da característica de Euler para unha superficie cerrada S é

{\displaystyle \chi (S)={\mbox{Polígonos - Lados + Puntos}}\,\!}
A característica de Euler de superficies orientadas pechadas relaciónase co seu xénero *g*, que é un número que describe a cantidade de «asas» que ten a superficie. A relación vén dada por:

{\displaystyle \chi (S)=2-2g\,\!}
Por exemplo: o toro ten unha asa e polo tanto {\displaystyle \chi =2-2g=2-2=0}.

Definición xeral e propiedades
------------------------------

Para un CW-complexo finito e en particular para un complexo simplicial finito, a característica de Euler pode definirse como a suma alternada

{\displaystyle \chi =k\_{0}-k\_{1}+k\_{2}-\cdots ,}
onde *k**i* denota o número de células de dimensión *i*.

Entón, pode definirse a característica de Euler dunha variedade como a característica de Euler dun complexo simplicial homeomorfo a el. Por exemplo, o círculo e o toro teñen característica de Euler 0 e as bólas sólidas teñen característica de Euler 1.

A característica de Euler é independente da triangulación. A fórmula pode tamén empregarse para as descomposicións en polígonos arbitrarios.

Para as variedades pechadas, a característica de Euler coincide co **número de Euler**, é dicir, a clase de Euler do seu fibrado tanxente avaliado na clase fundamental da variedade.

Para as variedades de Riemann pechadas, a característica de Euler pode atoparse tamén integrando a curvatura. Un análogo discreto do teorema de Gauss-Bonnet é o teorema de Descartes que indica que o "defecto total" dun poliedro, medido en círculos completos, é a característica de Euler do poliedro.

Máis xeralmente aínda, para calquera espazo topolóxico, podemos definir o *n*-ésimo número de Betti *b**n* como o rango do *n*-ésimo grupo de homoloxía. A característica de Euler pode definirse entón como a suma alternada

{\displaystyle \chi =b\_{0}-b\_{1}+b\_{2}-b\_{3}+\,\cdots .}
Esta definición ten sentido se os números de Betti son todos finitos e cero máis aló dun determinado índice *n*0.

Dous espazos topolóxicos que son equivalentes homotópicos teñen grupos isomorfos de homoloxía e polo tanto a mesma característica de Euler.

Desta definición e a dualidade de Poincaré, séguese que a característica de Euler de calquera variedade pechada de dimensión impar é cero.

Se *M* e *N* son espazos topolóxicos, entón a característica de Euler do seu produto *M* × *N* é

{\displaystyle \chi (M\times N)=\chi (M)\cdot \chi (N)}.

Conxunto parcialmente ordenado
------------------------------

O concepto de característica de Euler dun conxunto parcialmente ordenado finito limitado é outra xeneralización, importante en combinatoria. Un conxunto parcialmente ordenado é limitado se ten elementos mínimos e máximos, que podemos chamar 0 e 1. A característica de Euler dese conxunto é μ(0,1), onde μ é a función de Möbius na álxebra de incidencia do conxunto.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Teorema de poliedros de Euler
* Xénero

### Ligazóns externas

* Característica de Euler en Encyclopaedia of Mathematics *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q852973
* EBID: ID
* MAG: 196433757

 |