Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Log-normal**| Función de densidadeGráfico da Lognormal PDFμ=0 |
| Función de distribuciónGrafico da Lognormal CDFμ=0 |
| **Parámetros** | {\displaystyle s\geq 0}{\displaystyle -\infty \leq \mu \leq \infty } |
| **Soporte** | {\displaystyle x\in [0;+\infty )\!} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {e^{-[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma }}]^{2}/2]}}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\mathrm {Erf} \left[{\frac {\ln(x)-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right]} |
| **Media** | {\displaystyle e^{\mu +\sigma ^{2}/2}} |
| **Mediana** | {\displaystyle e^{\mu }} |
| **Moda** | {\displaystyle e^{\mu -\sigma ^{2}}} |
| **Varianza** | {\displaystyle (e^{\sigma ^{2}}\!\!-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}} |
| **Asimetría** | {\displaystyle e^{-\mu -\sigma ^{2}/2}(e^{\sigma ^{2}}\!\!+2){\sqrt {e^{\sigma ^{2}}\!\!-1}}} |
| **Curtose** | {\displaystyle e^{4\sigma ^{2}}\!\!+2e^{3\sigma ^{2}}\!\!+3e^{2\sigma ^{2}}\!\!-6} |
| **Entropía** | {\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\ln(2\pi \sigma ^{2})} |
| **F. xeradora de momentos** | (ver no texto os momentos) |
| **Func. caract.** |  |

En probabilidade e estatística, a **distribución log-normal** é a distribución de probabilidade de calquera variable aleatoria con seu logaritmo normalmente distribuído (a base da función logarítmica non é importante xa que se log*a* *X* está distribuída normalmente se e só se log*b* *X* está distribuída normalmente). Se *X* é unha variable aleatoria cunha distribución normal, entón exp(*X*) ten unha distribución log-normal.

"Log-normal" tamén se escribe "log normal" ou "lognormal".

Unha variable pode ser modelada como log-normal se pode ser considerada como o produto multiplicativo de moitos pequenos factores independentes. Un exemplo típico é o retorno a longo prazo dunha inversión nunha acción: pódese considerar como o produto dos retornos diarios.

A distribución log-normal ten a función densidade de probabilidade

{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-(\ln x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}}
para {\displaystyle x>0}, onde {\displaystyle \mu } e {\displaystyle \sigma } son a media e o desvío estándar do logaritmo da variable. O valor esperado é

{\displaystyle \mathrm {E} (X)=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
e a varianza é

{\displaystyle \mathrm {var} (X)=(e^{\sigma ^{2}}-1)e^{2\mu +\sigma ^{2}}}.

Relación coa media e o desvío estándar xeométrico
-------------------------------------------------

A distribución log-normal, a media xeométrica, e o desvío estándar xeométrico están relacionadas. Neste caso, a media xeométrica é igual a {\displaystyle \exp(\mu )} e o desvío estándar xeométrico é igual a{\displaystyle \exp(\sigma )}.

Se unha mostra de datos determinase que provén dunha poboación distribuída seguindo unha log-normal, a media xeométrica e o desvío estándar xeométrico pódense utilizar para estimar os intervalos de confianza tal como a media aritmética e o desvío estándar se usan para estimar os intervalos de confianza para un dato distribuído normalmente.

| Límite do intervalo de confianza | espazo log | xeométrica |
| --- | --- | --- |
| 3σ límite inferior | {\displaystyle \mu -3\sigma } | {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }/\sigma \_{\mathrm {geo} }^{3}} |
| 2σ límite inferior | {\displaystyle \mu -2\sigma } | {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }/\sigma \_{\mathrm {geo} }^{2}} |
| 1σ límite inferior | {\displaystyle \mu -\sigma } | {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }/\sigma \_{\mathrm {geo} }} |
| 1σ límite superior | {\displaystyle \mu +\sigma } | {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }\sigma \_{\mathrm {geo} }} |
| 2σ límite superior | {\displaystyle \mu +2\sigma } | {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }\sigma \_{\mathrm {geo} }^{2}} |
| 3σ límite superior | {\displaystyle \mu +3\sigma } | **Fallou a conversión do código (SVG (MathML pódese activar mediante un complemento do navegador): Resposta non válida ("Math extension cannot connect to Restbase.") desde o servidor "http://localhost:6011/gl.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mu\_\mathrm{geo} \sigma\_\mathrm{geo}^3}**
 |

Onde a media xeométrica {\displaystyle \mu \_{\mathrm {geo} }=\exp(\mu )} e o desvío estándar xeométrico {\displaystyle \sigma \_{\mathrm {geo} }=\exp(\sigma )}

Momentos
--------

Os primeiros momentos son:

{\displaystyle \mu \_{1}=e^{\mu +\sigma ^{2}/2}}
{\displaystyle \mu \_{2}=e^{2\mu +4\sigma ^{2}/2}}
{\displaystyle \mu \_{3}=e^{3\mu +9\sigma ^{2}/2}}
{\displaystyle \mu \_{4}=e^{4\mu +16\sigma ^{2}/2}}
ou de forma xeral:

{\displaystyle \mu \_{k}=e^{k\mu +k^{2}\sigma ^{2}/2}.}

Estimación de parámetros Maximum likelihood
-------------------------------------------

Para determina-los estimadores que máis aproximan os parámetros μ e σ da distribución log-normal, podemos utilizar o mesmo procedemento que para a distribución normal. Para non repetilo, obsérvese que

{\displaystyle f\_{L}(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{x}}\,f\_{N}(\ln x;\mu ,\sigma )}
onde por {\displaystyle f\_{L}(\cdot )} denotamos a función de densidade de probabilidade da distribución log-normal, e por {\displaystyle f\_{N}(\cdot )}— a da distribución normal. Polo tanto, utilizando os memos índices para denotar as distribucións, podemos escribir que

{\displaystyle {\begin{matrix}\ell \_{L}(x\_{1},x\_{2},...x\_{n};\mu ,\sigma )&=&-\sum \_{k}\ln x\_{k}+\ell \_{N}(\ln x\_{1},\ln x\_{2},...\ln x\_{n};\mu ,\sigma )=\\\ &=&\operatorname {const} (\mu ,\sigma )+\ell \_{N}(\ln x\_{1},\ln x\_{2},...\ln x\_{n};\mu ,\sigma ).\end{matrix}}}
Xa que o primeiro termo é constante respecto a μ e σ, ambas funcións logarítmicas, {\displaystyle \ell \_{L}} e {\displaystyle \ell \_{N}}, obteñen o seu máximo co mesmo μ e σ. Polo tanto, utilizando as fórmulas para os estimadores dos parámetros da distribución normal, e a inigualdade de arriba, deducimos que para a distribución log-normal cúmprese

{\displaystyle {\widehat {\mu }}={\frac {\sum \_{k}\ln x\_{k}}{n}},\ {\widehat {\sigma }}^{2}={\frac {\sum \_{k}{\left(\ln x\_{k}-{\widehat {\mu }}\right)^{2}}}{n}}.}

Distribución relacionadas
-------------------------

* {\displaystyle Y\sim N(\mu ,\sigma ^{2})} é unha distribución normal se {\displaystyle Y=\ln(X)} e {\displaystyle X\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma ^{2})}.
* Se {\displaystyle X\_{m}\sim \operatorname {Log-N} (\mu ,\sigma \_{m}^{2}),\ m={\overline {1...N}}} son variables independentes log-normalmente distribuídas co mesmo parámetro μ e permitindo que varie σ, e {\displaystyle Y=\prod \_{m=1}^{N}X\_{m}}, entón *Y* é unha variable distribuída log-normalmente como: {\displaystyle Y\sim \operatorname {Log-N} \left(\mu ,\sum \_{m}\sigma \_{m}^{2}\right)}.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Media xeométrica
* Desvío estándar xeométrico
* Función error

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q826116
* BRE: 2177529
* GND: 4221613-8
* LCCN: sh85078134
* MAG: 151620405

 |