Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Vector (homónimos).
En álxebra linear e física, un **vector unitario** ou **versor** é un vector de módulo un. Pode chamarse tamén **vector normalizado**.

Notación
--------

Un vector unitario denótase frecuentemente cun acento circunflexo sobre o seu nome, como {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} } (lese "r vector" ou "vector r"). A notación mediante o uso dunha breve ({\displaystyle \mathbf {\breve {r}} \,}) tamén é común, especialmente en manuscritos. A tendencia actual é representar o vector na dirección do vector {\displaystyle \mathbf {r} \,} na forma {\displaystyle \mathbf {u} \_{\text{r}}\,}.

Definición
----------

Definido o concepto de vector unitario no inicio do artigo e tendo presentado as notacións habituais na sección anterior, neste apartado dáse unha definición simbólica de vector unitario.

Sexa o vector **v** ∈ ℝn. Dise que **v** é un **vector unitario** e indícase mediante {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} } se e só se o módulo de **v** é igual a 1.
Ou en forma máis compacta:

{\displaystyle \mathbf {v} \in \mathbb {R} ^{n}\Rightarrow \mathbf {v} \equiv \mathbf {\hat {v}} \Leftrightarrow |\mathbf {v} |=1}

Versor asociado a un vector
---------------------------

Con frecuencia resulta conveniente dispoñer dun vector unitario que teña a mesma dirección que un vector dado {\displaystyle \mathbf {v} \,}. A tal vector denomínase *versor asociado ao vector* {\displaystyle \mathbf {v} \,} e pódese representar ben sexa por {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,} ou por {\displaystyle \mathbf {u} \_{v}\,} e indica unha dirección no espazo.

A operación que permite calcular {\displaystyle {\hat {\mathbf {v} }}\,} é a división do vector entre o seu módulo.

> 
> {\displaystyle \mathbf {\hat {v}} ={\frac {\vec {\mathbf {v} }}{|\mathbf {v} |}}}
> 
> 
> 

O proceso de obter un versor asociado a un vector denomínase **normalización do vector**, razón pola cal é común referirse a un vector unitario como *vector normalizado*.

O método para transformar unha base ortogonal (obtida, por exemplo mediante o método de ortogonalización de Gram-Schmidt) nunha base ortonormal (é dicir, unha base na que todos os vectores son versores) consiste simplemente en normalizar todos os vectores da base utilizando a ecuación anterior.

Produto escalar de dous vectores
--------------------------------

No espazo euclídeo, o produto escalar de dous vectores unitarios é simplemente o coseno do ángulo entre eles. Isto é consecuencia da definición do produto escalar e do feito de que o módulo de ambos vectores é a unidade:

{\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =|\mathbf {\hat {u}} ||\mathbf {\hat {v}} |\cos \theta }
Pero como:

{\displaystyle |\mathbf {\hat {u}} |=|\mathbf {\hat {v}} |=1}
Entón:

{\displaystyle \mathbf {\hat {u}} \cdot \mathbf {\hat {v}} =\cos \theta }
onde *θ* é o ángulo entre ambos vectores.

### Proxección escalar

Do anterior, resulta que o produto dun vector por un vector (ou vector unitario) é a proxección escalar do vector sobre a dirección determinada polo versor.

{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} ||\mathbf {\hat {n}} |\cos \theta }
Como o módulo do vector {\displaystyle \mathbf {\hat {n}} } é a unidade, a ecuación anterior transfórmase en:

{\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbf {\hat {n}} =|\mathbf {F} |\cos \theta }
de onde é evidente o afirmado ao comezo deste apartado.

Este resultado é moi frecuente en física, onde é necesario operar, por exemplo, coas compoñentes ortogonais a unha superficie.

Vectores cartesianos
--------------------

Os versores asociados coas direccións dos eixes coordenados cartesianos {\displaystyle x,\,y,\,z\,} desígnanse por {\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \,}, respectivamente.

Os versores cartesianos permiten expresar analiticamente os vectores por medio das súas compoñentes cartesianas.

Exemplo: a expresión analítica do vector {\displaystyle {\mathbf {v} =(1,-2,3)\,}} é

> 
> {\displaystyle {\mathbf {v} =\mathbf {i} -2\mathbf {j} +3\mathbf {k} }}
> 
> 
> 

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q36255
* MAG: 84316537

 |