Catro exemplos e dous anti-exemplos de topoloxías no conxunto de tres puntos {1,2,3}.   

O exemplo inferior esquerdo non é unha topoloxía, pois a unión {2} e {3}, igual a {2,3}, non é parte da colección.  

O exemplo inferior dereito tampouco é unha topoloxía porque a intersección de {1,2} e {2,3}, igual a {2}, non é parte da colección.
Un **espazo topolóxico** é unha estrutura matemática que permite a definición formal de conceptos como converxencia, conectividade e continuidade. A rama das matemáticas que estuda os espazos topolóxicos é a topoloxía.

Definición
----------

Un espazo topolóxico é un conxunto E de elementos, que xunto con T, unha colección de subconxuntos de E, chamados *abertos de E*, satisfán as seguintes propiedades:

1. O conxunto baleiro e *E* están en *T*.

{\displaystyle \quad \varnothing \in T,E\in T}
2. A intersección de calquera colección finita de conxuntos de *T* está tamén en *T*.

{\displaystyle \quad (O\_{1}\in T,O\_{2}\in T)\Rightarrow (O\_{1}\cap O\_{2}\in T)}
3. A unión de toda colección de conxuntos de *T* está tamén en *T*.

{\displaystyle \quad (\forall i\in I,O\_{i}\in T)\Rightarrow (\cup \_{i\in I}O\_{i}\in T)}
Esta condición tamén pode escribir:
{\displaystyle \quad \forall S\subset T,\cup \_{O\in S}O\in T}
Os conxuntos en T son os conxuntos abertos, e os seus complementos en E, son chamados conxuntos cerrados.

A colección T é chamada topoloxía en E. Os elementos de E acostúmase chamarlles puntos, aínda que poden ser calquera obxecto matemático. Un espazo topolóxico no cal os puntos son funcións denomínase espazo funcional.

Ao conxunto E denomínase substrato do espazo topolóxico.

Un **espazo topolóxico** é un par {\displaystyle (E,\tau )\,\!} onde {\displaystyle E\,\!} é un conxunto e {\displaystyle \tau \,\!} é unha topoloxía en {\displaystyle E\,\!}.

Exemplos
--------

* **Topoloxía trivial** ou **indiscreta**: é a formada por {\displaystyle \varnothing } e {\displaystyle \quad E}.
* **Topoloxía discreta**: é a formada polo conxunto das partes de {\displaystyle \quad E}.
* **Topoloxía dos complementos finitos**: é a formada por {\displaystyle \varnothing } e os conxuntos de {\displaystyle \quad E}, cuxos complementarios son finitos.
* **Topoloxía dos complementos numerables**: é a formada por {\displaystyle \varnothing } e os conxuntos de {\displaystyle \quad E}, cuxos complementarios son numerables.
* **R**, conxunto dos reais, e T, o conxunto dos intervalos abertos no sentido usual, e das reunións de intervalos abertos.
* **Recta de Sorgenfrey**, a recta real, xunto coa topoloxía do límite inferior.

Topoloxía usual
---------------

Dise que {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}está dotado coa topoloxía usual {\displaystyle \tau \_{u}} se {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau \_{u})} é o espazo topolóxico xerado polas bólas abertas en {\displaystyle (\mathbb {R} ^{n},\tau )}, é dicir, pola unión de subconxuntos da forma {\displaystyle B(c,r)=\{(x\_{1},\dots ,x\_{n}):\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-c\_{i})^{2}<r^{2}\}}, onde {\displaystyle c=(c\_{1},\dots ,c\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} e r é un real positivo. Ademais, esta topoloxía coincide coa topoloxía métrica inducida en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} pola distancia usual d dada por {\displaystyle d(x,y)={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}}}}, sendo {\displaystyle x=(x\_{1},\dots ,x\_{n})} e {\displaystyle y=(y\_{1},\dots ,y\_{n})} elementos de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}.

  


| * v
* c
* e
Topoloxía |
| --- |
| Campos | 
* Xeral
* Alxébrica
* Combinatoria
* Continuum
* Diferencial
* Homoloxía (cohomoloxía)
* Xeométrica

 |  |
| Conceptos | 
* Conxunto aberto/Conxunto pechado
* Continuidade
* Espazo
	+ compacto
	+ conexo
	+ conexo por camiños
	+ Hausdorff
	+ métrico
	+ uniforme
* Homotopía (grupo de homotopía)
* Grupo fundamental
* Complexo simplicial
* CW-complexo
* Sucesión exacta
* Álxebra homolóxica
* K-teoría
* Variedade topolóxica

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q179899
* BNCF: 21614
* BNF: 13162791j
* BRE: 4197499
* EBID: ID
* GEC: 0229985
* GND: 4137586-5
* JSTOR: topological-spaces
* LCCN: sh85136087
* MAG: 81332173
* NDL: 00564270
* PSH: 7377

 |