O **teorema de Hasse-Minkowski** é un resultado fundamental na teoría de números que afirma que dúas formas cuadráticas sobre un corpo numérico son equivalentes se e só se son equivalentes *localmente en todos os  lugares*, é dicir, equivalentes en cada completamento do corpo (que pode ser real, complexo ou p-ádico). Un resultado relacionado é que unha forma cuadrática sobre un corpo numérico representa a cero de forma non trivial se e só se isto vale para tódolos completamentos do corpo. O teorema foi demostrado no caso do corpo dos números racionais por Hermann Minkowski e xeneralizado aos corpos numéricos por Helmut Hasse. A mesma afirmación é aínda máis xeral para todos os campos globais .

Importancia
-----------

A importancia do teorema de Hasse-Minkowski reside no novo paradigma que representa para responder a preguntas aritméticas: para determinar se unha ecuación dun determinado tipo ten unha solución en números racionais, é suficiente probar se ten solucións sobre corpos completos de números reais e *p*-ádicos, onde se aplican consideracións analíticas, como o método de Newton e o seu análogo *p*-ádico, o lema de Hensel. Isto está encapsulado na idea dun principio local-global, que é unha das técnicas fundamentais da xeometría aritmética.

Aplicación na clasificación de formas cuadráticas
-------------------------------------------------

O teorema de Hasse-Minkowski reduce o problema de clasificar formas cuadráticas sobre un campo numérico *K* até a equivalencia, a resolver as mesmas cuestións dun modo moito máis simple sobre corpos locais. As invariantes básicas dunha forma cuadrática non singular son a súa **dimensión**, que é un número enteiro positivo, e o seu **discriminante** módulo os cadrados en **K**, que é un elemento do grupo multiplicativo **K** \* / **K** \*2. Alén diso, para cada lugar *v* de *K*, hai unha invariante procedente do completamento de **K** v. Dependendo da elección de *v*, este completamento poden ser os números reais **R**, os números complexos **C**, ou un campo de números p-ádicos, cada un deles ten diferentes tipos de invariantes:

* *Caso de* **R.** Pola lei de inercia de Sylvester, a sinatura (ou, alternativamente, o índice negativo de inercia) é unha invariante completa.
* *Caso de* **C.** Todas as formas cuadráticas non singulares da mesma dimensión son equivalentes.
* *Caso de* **Q** *p* *e as súas extensións alxébricas*. As formas da mesma dimensión clasifícanse até a equivalencia pola súa invariante de Hasse .

Estas invariantes deben satisfacer algunhas condicións de compatibilidade: unha relación de paridade (o signo do discriminante debe coincidir co índice negativo de inercia) e unha fórmula do produto (unha relación local-global). Pola contra, para cada conxunto de invariantes que satisfan estas relacións, hai unha forma cuadrática sobre **K** con estas invariantes.

Bibliografía
------------

* Kitaoka, Yoshiyuki (1993). *Arithmetic of quadratic forms*. Cambridge Tracts in Mathematics **106**. Cambridge University Press. ISBN 0-521-40475-4. Zbl 0785.11021.
* Serre, Jean-Pierre (1973). *A Course in Arithmetic*. Graduate Texts in Mathematics **7**. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90040-3. Zbl 0256.12001.