En matemáticas, unha **serie** é a suma dos termos dunha sucesión. Represéntase unha serie con termos {\displaystyle a\_{n}} como

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}a\_{n}}

onde N é o índice final da serie. As *series infinitas* van desde 1 ata {\displaystyle \infty }.

As series poden *converxer* ou *diverxer*. En cálculo, unha serie diverxe se converxe a infinito. Para os matemáticos, unha serie diverxe se non converxe a nada.

Algúns tipos de series
----------------------

* Unha *serie xeométrica* é unha serie onde cada sucesivo termo está producido multiplicando o termo previo por unha constante. Exemplo:

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over 2^{n}}.}
En xeral, as series xeométricas
{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }z^{n}}
converxen se e soamente se |*z*| < 1.
* Unha *serie harmónica* é do tipo

{\displaystyle 1+{1 \over 2}+{1 \over 3}+{1 \over 4}+{1 \over 5}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over n}.}
* Unha *serie alternada* é unha serie onde os termos alternan o signo. Exemplo:

{\displaystyle 1-{1 \over 2}+{1 \over 3}-{1 \over 4}+{1 \over 5}-\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{1 \over n}.}

Criterios de converxencia
-------------------------

Clasificar unha serie é determinar se converxe a un número real ou se diverxe ({\displaystyle \pm \infty } ou oscilante). Para isto existen distintos criterios que, aplicados á serie en cuestión, mostrarán de que tipo é (converxente ou diverxente).

Se unha serie {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} é converxente, entón {\displaystyle \lim \_{k\rightarrow \infty }a\_{k}=0}.
O recíproco non é certo. Por iso, o contra recíproco é:

Se {\displaystyle \lim \_{k\rightarrow \infty }a\_{k}\neq 0} entón {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} é diverxente
### Criterio de D'Alembert

Sexa unha serie {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}}, tal que {\displaystyle a\_{k}>0} (termos non negativos).

Se existe 

{\displaystyle \lim \_{k\rightarrow \infty }{\frac {a\_{k+1}}{a\_{k}}}=l}
con {\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}, o Criterio de D'Alembert establece que:

* se l < 1, a serie converxe.
* se l > 1, a serie diverxe.
* se l = 1, non é posible dicir nada sobre o comportamento da serie.

Neste caso, é necesario probar outro criterio, coma o criterio de Raabe.

### Criterio de Cauchy (raíz enésima)

Sexa unha serie {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}}, tal que {\displaystyle a\_{k}>0} (termos non negativos). E supoñamos que existe

{\displaystyle \lim \_{k\rightarrow \infty }{\sqrt[{k}]{a\_{k}}}=l}, sendo {\displaystyle l\,\varepsilon \,[0,+\infty ]}
Entón, se l < 1, a serie é converxente. 
En cambio se l > 1 entón a serie é diverxente. 
Ó igual que o criterio de D'Alembert, se l=1, non podemos concluír nada a priori, debemos ver o criterio de Raabe, para ver se podemos concluír algo.

### Criterio de Raabe

Normalmente utilizase despois de comprobrar os criterios de D'Alembert e da raíz. Nalgunhas series, pode ocorrer que o límite que nos de {\displaystyle a\_{k}}, sexa distinto usando os dous criterios. Cando isto ocorre, recorremos ó criterio de Raabe. Tamén debemos recorrer a el cando o límite de {\displaystyle a\_{k}} que nos produce é igual a 1 (mediante os criterio de D'Alembert e da raíz).

Sexa unha serie {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}}, tal que {\displaystyle a\_{k}>0} (termos non negativos). E supoñamos que existe

{\displaystyle \lim \_{k\rightarrow \infty }k\left(1-{\frac {a\_{k+1}}{a\_{k}}}\right)}, sendo {\displaystyle l\,\varepsilon \,(-\infty ,+\infty )}
Polo tanto, se l > 1, entón a serie é converxente
e se l < 1, a serie é diverxente

Ter coidado aquí, pois as conclusións son ó contrario que nos criterios de D'Alembert e da raíz.

Tipos de converxencia
---------------------

### Converxencia absoluta

Unha serie {\displaystyle a\_{n}} converxe **absolutamente** se

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\left\|{a\_{n}}\right\|}

As series utilízanse moito na análise complexa e a análise funcional, onde é relevante se unha serie converxe.

---

|  |  |
| --- | --- |
| Este artigo tan só é un bosquexo |  *Este artigo sobre matemáticas é, polo de agora, só un bosquexo. Traballa nel para axudar a contribuír a que a Galipedia mellore e medre.* *Existen igualmente outros artigos relacionados con este tema nos que tamén podes contribuír.* |

---


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q170198
* AAT: 300055669
* BNCF: 22079
* BNE: XX526931
* BNF: 11933261z
* BRE: 3524552
* FAST: 1113168
* GND: 4049197-3
* JSTOR: mathematical-series
* LCCN: sh85120237
* MAG: 121152540
* NDL: 00567344
* NKC: ph128240
* PSH: 7421

 |