Unha **operación binaria** defínese como aquela operación matemática que precisa dun operador e de dous operandos (argumentos) para que se poida calcular un valor.

Dados tres conxuntos **A**, **B** e **C**, unha operación binaria é unha aplicación que asigna a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B** un só valor **c** de **C**, que podemos representar:

{\displaystyle f:\;A\times B\to C}
Representando a operación polo signo {\displaystyle \circledcirc } podemos expresar a operación:

{\displaystyle a\circledcirc b=c\;,\quad \circledcirc (a,b)=c\;,\quad (a,b){\xrightarrow {\circledcirc }}c}
Por exemplo, o operador de suma «+» de números naturais é un operador binario, porque require dous argumentos:

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}+:\;N\times N&\to &N\\(a,b)&\to &c=a+b\end{array}}}
e temos que:

{\displaystyle 2+3=5\;,\quad +(2,3)=5\;,\quad (2,3){\xrightarrow {+}}5}
O número de argumentos dunha función denomínase aridade.

Clase de operación binaria
--------------------------

Segundo os conxuntos **A**, **B** e **C** podemos diferenciar dous tipos de operacións, as internas nas que **A** = **B** = **C**, e as externas que son tódalas demais.

### Operación interna

Se a cada par de valores (**a**, **b**) de {\displaystyle A^{2}} a operación lle corresponde un valor **c** de A:

{\displaystyle f:\;A\times A\to A}
dise que esta operación é interna, e así, por exemplo, dado o conxunto de vectores de tres dimensións {\displaystyle V^{3}}, e a suma de vectores, temos:

{\displaystyle +:\;V^{3}\times V^{3}\to V^{3}}
que a suma de dous vectores de {\displaystyle V^{3}} é outro vector de {\displaystyle V^{3}}. Por exemplo, dados os vectores:

{\displaystyle \mathbf {a} =a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} }
{\displaystyle \mathbf {b} =b\_{x}\mathbf {i} +b\_{y}\mathbf {j} +b\_{z}\mathbf {k} }
a súa suma é:

{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} +\mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} )+(b\_{x}\mathbf {i} +b\_{y}\mathbf {j} +b\_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =(a\_{x}+b\_{x})\mathbf {i} +(a\_{y}+b\_{y})\mathbf {j} +(a\_{z}+b\_{z})\mathbf {k} }
### Operación externa

Se a operación non é interna, entón é externa, podéndose presentar os seguintes casos:

* Se a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B**, asígnaselle un valor **c** de **A**,

{\displaystyle f:\;A\times B\to A}
a esta operación tamén se lle denomina **lei de composición externa**. Un exemplo sinxelo desta operación é o produto dun vector por un escalar:

{\displaystyle \cdot :\;V^{3}\times R\to V^{3}}
así, dado o vector:

{\displaystyle \mathbf {a} =a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} }
o resultado de multiplicalo por un escalar **b**, será:

{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} )\cdot b\;,\quad \mathbf {c} =(a\_{x}\cdot b)\mathbf {i} +(a\_{y}\cdot b)\mathbf {j} +(a\_{z}\cdot b)\mathbf {k} }
* Se a operación é da forma:

{\displaystyle f:\;A\times A\to B}
na que a cada par de valores **a**, **b** de **A** se lle asigna un **c** de **B**, esta operación non se denomina lei de composición. Como exemplo podemos poñer o produto escalar de dous vectores, que da como resultado un número real:

{\displaystyle \circ :\;V^{3}\times V^{3}\to R}
así pois, dados os vectores:

{\displaystyle \mathbf {a} =a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} }
{\displaystyle \mathbf {b} =b\_{x}\mathbf {i} +b\_{y}\mathbf {j} +b\_{z}\mathbf {k} }
o seu produto escalar será:

{\displaystyle \mathbf {c} =\mathbf {a} \circ \mathbf {b} \;,\quad \mathbf {c} =(a\_{x}\mathbf {i} +a\_{y}\mathbf {j} +a\_{z}\mathbf {k} )\circ (b\_{x}\mathbf {i} +b\_{y}\mathbf {j} +b\_{z}\mathbf {k} )\;,\quad \mathbf {c} =a\_{x}\cdot b\_{x}+a\_{y}\cdot b\_{y}+a\_{z}\cdot b\_{z}}
* Se a operación lle asigna a cada par de valores **a** de **A** e **b** de **B** un **c** de **C**, sendo **A**, **B** e **C** conxuntos distintos:

{\displaystyle f:\;A\times B\to C}
é o caso máis xeral, e tampouco se denomina lei de composición. Podemos ver o exemplo da división dun número enteiro entre un número natural para dar como resultado un número racional

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}/:\;Z\times N&\to &Q\\(a,b)&\to &c=a/b\end{array}}}

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Operador
* Operación unaria
* Operador ternario
* Conmutatividade
* Asociatividade
* Elemento neutro
* Elemento simétrico
* Distributividade

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q164307
* EBID: ID
* MAG: 185529760

 |