As **funcións hiperbólicas** son unhas funcións con definicións baseadas na función exponencial, ligada mediante operacións racionais e son análogas ás funcións trigonométricas. Estas son:

Curvas das funcións hiperbólicas
sinh, cosh e tanh
Curvas das funcións hiperbólicas
csch, sech e coth
O seno hiperbólico

{\displaystyle \sinh(x)={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}

O coseno hiperbólico

{\displaystyle \cosh(x)={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}

A tanxente hiperbólica

{\displaystyle \tanh(x)={\frac {\sinh(x)}{\cosh(x)}}}

e outras derivadas:

{\displaystyle \coth(x)={\frac {\cosh(x)}{\sinh(x)}}}
(*cotanxente hiperbólica*)
{\displaystyle {\mbox{sech}}(x)={\frac {1}{\cosh(x)}}}
(*secante hiperbólica*)
{\displaystyle {\mbox{csch}}(x)={\frac {1}{\sinh(x)}}}
(*cosecante hiperbólica*)

Relación entre funcións hiperbólicas e funcións circulares
----------------------------------------------------------

As funcións trigonométricas {\displaystyle sen(t)} e {\displaystyle cos(t)} poden ser as coordenadas cartesianas {\displaystyle (x,e)} dun punto P sobre a circunferencia unitaria centrada na orixe, onde *t* é o ángulo, medido en radiáns, comprendido entre o semieixe positivo X, e o segmento OP, segundo as seguintes igualdades:

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cos t\\y(t)=\sin t\end{matrix}}\right.}
Tamén pode interpretarse o parámetro *t* como a lonxitude do arco de circunferencia unitaria comprendido entre o punto (1,0) e o punto P, ou como o dobre da área do sector circular determinado polo semieixe positivo X, o segmento OP e a circunferencia unitaria.

Animación da representación do seno hiperbólico.
De modo análogo, pódense definir as funcións hiperbólicas, como as coordenadas cartesianas {\displaystyle (x,e)} dun punto P da hipérbole equilátera, centrada na orixe, cuxa ecuación é

{\displaystyle \ x^{2}-y^{2}=1}
onde *t* é o dobre da área da rexión comprendida entre o semieixe positivo *X*, e o segmento OP e a hipérbole, segundo as seguintes igualdades:

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x(t)=\cosh t\\y(t)=\sinh t\end{matrix}}\right.}
Con todo, tamén pode demostrarse que é válida a seguinte descrición da hipérbole:

{\displaystyle \ x(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}}
{\displaystyle \ y(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}}
dado que

{\displaystyle \ \left({\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}\right)^{2}-\left({\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}\right)^{2}=1}
De modo que o coseno hiperbólico e o seno hiperbólico admiten unha representación en termos de funcións exponenciais de variable real:

{\displaystyle \ \cosh(t)={\frac {e^{t}+e^{-t}}{2}}}
{\displaystyle \ \sinh(t)={\frac {e^{t}-e^{-t}}{2}}}

Relacións
---------

### Ecuación fundamental

{\displaystyle \cosh ^{2}(x)-\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)=1\,}
### Duplicación do argumento

Téñense as seguintes fórmulas moi semellantes ás súas correspondentes trigonométricas

{\displaystyle \cosh(x+y)=\cosh(x)\cosh(y)+\sinh(x)\sinh(y)}
o que leva á seguinte relación:

{\displaystyle \cosh(2x)=\cosh ^{2}(x)+\,\mathrm {sinh} ^{2}(x)}
e por outra banda

{\displaystyle \mathrm {sinh} (x+y)=\mathrm {sinh} (x)\cosh(y)+\mathrm {sinh} (y)\cosh(x)}
que leva a:

{\displaystyle \mathrm {sinh} (2x)=2\,\mathrm {sinh} (x)\cosh(x)}
tense estoutra relación

{\displaystyle \tanh(x+y)={\frac {\tanh(x)+\tanh(y)}{1+\tanh(x)\tanh(y)}}}
que permite ter

{\displaystyle \tanh(2x)={\frac {2\tanh x}{1+\tanh ^{2}x}}}
### Derivación e integración

{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\cosh(x))=\,\mathrm {sinh} \,(x)}
{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\,\mathrm {sinh} \,(x))=\cosh(x)}
{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\,\tanh(x))=\mathrm {sech} ^{2}(x)}
{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {coth} (x))=-\mathrm {csch} ^{2}(x)}
{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {sech} (x))=-\mathrm {sech} (x)\tanh(x)}
{\displaystyle {\frac {d\ }{dx}}(\mathrm {csch} (x))=-\mathrm {csch} (x)\mathrm {coth} (x)}
Ademais a integración ao ser a operación inversa da derivación é trivial neste caso.

A derivada de {\displaystyle sinh(x)} está dada por {\displaystyle cosh(x)} e a derivada de {\displaystyle cosh(x)} é {\displaystyle sinh(x)}. O gráfico da función {\displaystyle cosh(x)} denomínase catenaria.

Inversas das funcións hiperbólicas e derivadas
----------------------------------------------

As funcións recíprocas das funcións hiperbólicas e as súas derivadas son:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{arg sinh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sinh}}(x))&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}\\{\mbox{arg cosh}}(x)&=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg cosh(x)}})&={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}};x>1\\{\mbox{arg tanh}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg tanh(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|<1\\{\mbox{arg coth}}(x)&={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg coth(x)}})&={\frac {1}{1-x^{2}}};\left|x\right|>1\\{\mbox{arg sech}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}\right);0<x\leq 1&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg sech(x)}})&={\frac {-1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}};0<x<1\\{\mbox{arg csch}}(x)&=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right);x\neq 0&{\frac {d}{dx}}({\mbox{arg csch(x)}})&={\frac {-1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}};x\neq 0\end{aligned}}}

Series de Taylor
----------------

As series de Taylor das funcións inversas das funcións hiperbólicas veñen dadas por:

{\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}
{\displaystyle {\mbox{arg sinh}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
{\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots )=}
{\displaystyle {\mbox{arg cosh}}(x)=\ln 2x-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},x>1}
{\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =}
{\displaystyle {\mbox{arg tanh}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\left|x\right|<1}
{\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)={\mbox{arg sinh}}(x^{-1})=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}
{\displaystyle {\mbox{arg csch}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}
{\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)={\mbox{arg cosh}}(x^{-1})=\ln 2-(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots )=}
{\displaystyle {\mbox{arg sech}}(x)=\ln 2-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{(2n)}},0<x\leq 1}
{\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)={\mbox{arg tanh}}(x^{-1})=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots =}
{\displaystyle {\mbox{arg coth}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\left|x\right|>1}

Relación coa función exponencial
--------------------------------

Da relación do coseno e o seno hiperbólico pódense derivar as seguintes relacións:

{\displaystyle e^{x}=\cosh x+\sinh x\!}
e

{\displaystyle e^{-x}=\cosh x-\sinh x.\!}
Estas expresións son análogas ás que están en termos de senos e cosenos, baseadas na fórmula de Euler, como suma de exponenciais complexas.

Notas
-----

1. ↑  Cálculo de Granville
2. ↑  *Manual de Matemáticas para Ingenieros y estudiantes*. Mir.
3. ↑  *Cálculo con Geometría Analítica*. Prenttice-Hall Hispanoamericana S.A. ISBN 0-13-111807-2.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Función hiperbólica***  |

### Outros artigos

* Trigonometría
* Funcións trigonométricas
* Logaritmo neperiano
* Número e
* Hipérbole

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q204034
* BNCF: 33605
* BNF: 11979371t
* EBID: ID
* GEC: 0153337
* JSTOR: hyperbolic-functions
* LCCN: sh85052338
* MAG: 92047909
* NDL: 00571407
* PSH: 7616

 |