Construción xeométrica para achar as medias aritmética, xeométrica, harmónica e cuadrática de dous números *a* e *b*.
Comparación da media aritmética, a mediana e a moda de dúas distribucións log-normal con diferente asimetría.
En matemáticas e estatística unha **media** é unha medida de tendencia central. Existen distintos tipos de medias, tales como a media xeométrica, a media ponderada e a media harmónica aínda que na linguaxe común, o termo refírese xeralmente á media aritmética.

Exemplos de medias
------------------

Existen numerosos exemplos de medias {\displaystyle \scriptstyle {\bar {x}}=m\_{i}(x\_{1},\dots ,x\_{n})}. Unha das poucas propiedades compartidas por todas as medias é que calquera media está comprendida entre o valor máximo e o valor mínimo do conxunto de variables:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \min\{x\_{1},x\_{2},\dots x\_{n}\}\leq {\bar {x}}\leq \max\{x\_{1},x\_{2},\dots x\_{n}\}}
> 
> 
> 

Ademais debe cumprirse que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {x}}=x\_{1},\quad {\mbox{si}}\ x\_{1}=x\_{2}=\dots =x\_{n}}
> 
> 
> 

### Media aritmética

A media aritmética é unha media estándar que a miúdo se denomina simplemente "media".

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}}}
> 
> 
> 

A media confúndese ás veces coa mediana ou a moda. A media aritmética é a media dun conxunto de valores, ou a súa distribución; con todo, para as distribucións con nesgo, a media non é necesariamente o mesmo valor que a mediana ou que a moda. A media, moda e mediana son parámetros característicos dunha distribución de probabilidade. É ás veces unha forma de medir o nesgo dunha distribución tal e como se pode facer nas distribucións exponencial e de Poisson.

Por exemplo, a media aritmética de 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é {\displaystyle {\tfrac {34+27+45+55+22+34}{6}}\ ={\tfrac {217}{6}}\approx 36,167}

#### Media aritmética ponderada

Ás veces pode ser útil outorgar pesos ou valores aos datos dependendo da súa relevancia para determinado estudo. Neses casos pódese utilizar unha media ponderada. Se 
{\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}} é un conxunto de datos ou media muestral e {\displaystyle w\_{1},w\_{2},...w\_{n}} son números reais positivos, chamados "pesos" ou factores de ponderación, defínese a media ponderada relativa a eses pesos como:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {X}}\_{w}={\frac {X\_{1}\cdot w\_{1}+X\_{2}\cdot w\_{2}+...+X\_{n}\cdot w\_{n}}{w\_{1}+w\_{2}+...+w\_{n}}}={\frac {\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}\cdot w\_{i}}{\sum \_{i=1}^{n}w\_{i}}}}
> 
> 
> 

A media é invariante fronte a transformacións lineares, cambio de orixe e escala, das variables, é dicir se *X* é unha variable aleatoria e Y é outra variable aleatoria que depende linearmente de *X*, é dicir, *Y = a·X + b* (onde *a* representa a magnitude do cambio de escala e *b* a do cambio de orixe) tense que:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {Y}}=a{\bar {X}}+b}
> 
> 
> 

### Media xeométrica

A media xeométrica é unha media moi útil en conxuntos de números que son interpretados en orde do seu produto, non da súa suma (tal e como ocorre coa media aritmética). Por exemplo, as velocidades de crecemento.

{\displaystyle {\bar {x}}=\left(\prod \_{i=1}^{n}{x\_{i}}\right)^{1/n}}
Por exemplo, a media xeométrica da serie de números 34, 27, 45, 55, 22 e 34 (seis valores) é {\displaystyle (34\cdot 27\cdot 45\cdot 55\cdot 22\cdot 34)^{1/6}=1699493400^{1/6}\approx 34,545}

### Media harmónica

A media harmónica é unha media moi útil en conxuntos de números que se definen en relación con algunha unidade, por exemplo a velocidade (distancia por unidade de tempo).

{\displaystyle {\bar {x}}=n\cdot \left(\sum \_{i=1}^{n}{\frac {1}{x\_{i}}}\right)^{-1}}
Por exemplo, a media harmónica dos números: 34, 27, 45, 55, 22, e 34 é {\displaystyle {\frac {6}{{\frac {1}{34}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{55}}+{\frac {1}{22}}+{\frac {1}{34}}}}\approx 33,018}

### Xeneralizacións da media

Existen diversas xeneralizacións das medias anteriores.

#### Media xeneralizada

As medias xeneralizadas, tamén coñecidas como medias de Hölder, son unha abstracción das medias cuadráticas, aritméticas, xeométricas e harmónicas. Defínense e agrúpanse a través da seguinte expresión:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {x}}(m)=\left({\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}^{m}}\right)^{1/m}}
> 
> 
> 

Escollendo un valor apropiado do parámetro *m*, tense:

* {\displaystyle m\rightarrow \infty } - máximo,
* {\displaystyle m=2\,} - media cuadrática,
* {\displaystyle m=1\,} - media aritmética,
* {\displaystyle m\rightarrow 0} - media xeométrica,
* {\displaystyle m=-1\,} - media harmónica,
* {\displaystyle m\rightarrow -\infty } - mínimo.

#### Media-f xeneralizada

Esta media pode xeneralizarse para unha función monótona como a media-f xeneralizada:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {x}}=f^{-1}\left({{\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}{f(x\_{i})}}\right)}
> 
> 
> 

onde {\displaystyle f:I\to I} é unha función inxectiva e {\displaystyle I\subset \mathbb {R} } un intervalo. Escollendo formas particulares para f obtéñense algunhas das medias máis coñecidas:

* {\displaystyle f(x)=x\,} - media aritmética, {\displaystyle I=\mathbb {R} }
* {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} - media harmónica, {\displaystyle I=(0,\infty )}
* {\displaystyle f(x)=x^{m}\,} - media xeneralizada, {\displaystyle I=(0,\infty )}
* {\displaystyle f(x)=\ln x\,} - media xeométrica, {\displaystyle I=(0,\infty )}.

#### Media dunha función

Para unha función continua f sobre un intervalo [a,b], pódese calcular o valor medio da función f sobre [a,b] como: 

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle {\bar {f}}={\frac {1}{b-a}}\int \_{a}^{b}f(t)dt}
> 
> 
> 

De feito a definición anterior cúmprese tamén para unha función limitada aínda que non sexa continua, coa condición de que sexa medible.

Media estatística
-----------------

A **media estatística** emprégase en estatística para dous conceptos diferentes aínda que numericamente similares:

* A **media da mostra**, que é un estatístico que se calcula a partir da media aritmética dun conxunto de valores dunha variable aleatoria.
* A **media da poboación**, valor esperado ou esperanza matemática dunha variable aleatoria.

Na práctica dada unha mostra estatística suficientemente grande o valor da media muestral da mesma é numericamente moi próximo á esperanza matemática da variable aleatoria medida nesa mostra. O devandito valor esperado, só é calculable se se coñece con toda exactitude a distribución de probabilidade, cousa que raramente sucede na realidade, e por esa razón, a efectos prácticos a chamada media refírese normalmente á media da mostra.

### Media da mostra

A media da mostra é unha variable aleatoria, xa que depende da mostra, aínda que é unha variable aleatoria en xeral cunha varianza menor que as variables orixinarias empregadas no seu cálculo. Se a mostra é grande e está ben escollida, pode tratarse a media da mostra como un valor numérico que aproxima con precisión a media poboacional, que caracteriza unha propiedade obxectiva da poboación. Defínese como segue: se se ten unha mostra estatística de valores {\displaystyle (X\_{1},X\_{2},...X\_{n})} de valores para unha variable aleatoria X con distribución de probabilidade *F(x, θ)* [onde *θ* é un conxunto de parámetros da distribución] defínese a media da mostra *n*-ésima como:

> 
> {\displaystyle {\bar {X}}\_{n}=T(X\_{1},X\_{2},...X\_{n})={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}={\frac {X\_{1}+X\_{2}+...+X\_{n}}{n}}}
> 
> 
> 

### Media da poboación

A media da poboación tecnicamente non é unha media senón un parámetro fixo que coincide coa esperanza matemática dunha variable aleatoria. O nome "media da poboación" emprégase para indicar que valor numérico dunha media muestral é numericamente próximo ao parámetro media da poboación, para unha mostra adecuada e suficientemente grande.

Notas
-----

1. ↑  Definicións no *Dicionario da Real Academia Galega* e no Portal das Palabras para *medio*. 12ª acepción

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Media cuadrática
* Media aritmética xeométrica
* Media heroniana
* Media (matemáticas)

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q2796622
* AAT: 300055654
* BRE: 4161306
* EBID: ID
* GND: 4130070-1
* LCCN: sh85010516

 |