Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Bernoulli**| Función de masa de probabilidade |
| Función de distribución |
| **Parámetros** | {\displaystyle 0<p<1,p\in \mathbb {R} } |
| **Soporte** | {\displaystyle k=\{0,1\}\,} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\begin{matrix}q=(1-p)&{\mbox{para }}k=0\\p~~&{\mbox{para }}k=1\end{matrix}}} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{para }}k<0\\q&{\mbox{para }}0\leq k<1\\1&{\mbox{para }}k\geq 1\end{matrix}}} |
| **Media** | {\displaystyle p\,} |
| **Mediana** |  |
| **Moda** | {\displaystyle {\begin{matrix}0&{\mbox{si }}q>p\\0e1&{\mbox{si }}q=p\\1&{\mbox{si }}q<p\end{matrix}}} |
| **Varianza** | {\displaystyle pq\,} |
| **Asimetría** | {\displaystyle {\frac {q-p}{\sqrt {pq}}}} |
| **Curtose** | {\displaystyle {\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}} |
| **Entropía** | {\displaystyle -q\ln(q)-p\ln(p)\,} |
| **F. xeradora de momentos** | {\displaystyle q+pe^{t}\,} |
| **Func. caract.** | {\displaystyle q+pe^{it}\,} |

En teoría da probabilidade e estatística, a **distribución de Bernoulli** é unha distribución de probabilidade discreta, que toma valor 1 para a probabilidade de éxito (p) e valor 0 para a probabilidade de fracaso ({\displaystyle q=1-p}). Recibe o nome polo matemático e científico suízo Jakob Bernoulli.

Se X é unha variable aleatoria que mide o "número de éxitos", e se realiza **un único experimento** con **dous posibles resultados** (éxito ou fracaso), dise que a variable aleatoria {\displaystyle X\,} se distribúe como unha Bernoulli de parámetro {\displaystyle p\,}.

{\displaystyle X\sim Be(p)\,}

A súa función de probabilidade vén definida por:

{\displaystyle f(x)=p^{x}(1-p)^{1-x}\,\qquad {\text{ con }}\,x=\{0,1\}\,}

A fórmula é:

{\displaystyle f\left(x;p\right)=\left\{{\begin{matrix}p&{\mbox{si }}x=1,\\q&{\mbox{si }}x=0,\\0&{\mbox{en calquera outro caso}}\end{matrix}}\right.}
Un experimento ao que se aplica a distribución de Bernoulli coñécese como ensaio de Bernoulli, e a serie deses experimentos como ensaios repetidos.

Por exemplo, no experimento "Lanzar unha moeda", a variable aleatoria X que mide "número de cruces que saen nun lanzamento" seguirá unha distribución de Bernoulli ({\displaystyle X\sim Be(0,5)})

Propiedades características
---------------------------

Jakob Bernoulli.
* Esperanza matemática:

{\displaystyle E\left[X\right]=p=u}
* Varianza:

{\displaystyle var\left[X\right]=p\left(1-p\right)=pq}
* Función xeratriz de momentos:

{\displaystyle \left(q+pe^{t}\right)}
* Función característica:

{\displaystyle \left(q+pe^{it}\right)}
* Moda:

0 se q > p (hai máis fracasos que éxitos)
1 se q < p (hai máis éxitos que fracasos)
0 e 1 se q = p (os dous valores, pois hai igual número de fracasos que de éxitos)
* Asimetría:

{\displaystyle \gamma \_{1}={\frac {q-p}{\sqrt {qp}}}}
* Curtose:

{\displaystyle \gamma \_{2}={\frac {6p^{2}-6p+1}{p(1-p)}}}
A curtose tende a infinito para valores de p próximos a 0 ou a 1, pero para {\displaystyle p={\frac {1}{2}}} a distribución de Bernoulli ten un valor de curtose menor que o de calquera outra distribución, igual a -2.

* Caracterización por a binomial:

{\displaystyle X\sim Be(p)\Longleftrightarrow X\sim B(1,p)\,} ; onde {\displaystyle B(1,p)\,} é unha distribución binomial.

Distribucións relacionadas
--------------------------

* Se {\displaystyle X\_{1},X\_{2},X\_{3},\dots ,X\_{n}} son {\displaystyle n} variables aleatorias identicamente distribuídas coa distribución de Bernoulli coa mesma probabilidade de éxito p en todas, entón a variable aleatoria {\displaystyle X=X\_{1}+X\_{2}+\dots +X\_{n}} presenta unha distribución binomial de probabilidade.

{\displaystyle X\sim B(n,p)}

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Distribución binomial
* Distribución xeométrica, a distribución de probabilidade do número de ensaios de Bernoulli necesarios para obter un éxito.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q391371
* EBID: ID
* GEC: 0009539
* MAG: 27956954

 |