Animación que demostra a terna pitagórica máis pequeno, 32 + 42 = 52 .
Unha **terna pitagórica** consta de tres números enteiros positivos *a*, *b* e *c*, de tal forma que *a*2 + *b*2 = *c*2. Tal terna escríbese habitualmente (*a*, *b*, *c*), un exemplo coñecido é (3, 4, 5). Se (*a*, *b*, *c*) é unha terna pitagórica, entón tamén o é (*ka*, *kb*, *kc*) para calquera número enteiro positivo *k*. Un triángulo cuxos lados son unha terna pitagórica é un triángulo rectángulo e chámase **triángulo pitagórico**.

Unha **terna pitagórico primitiva** é aquela na que *a*, *b* e *c* son coprimos (é dicir, non teñen un divisor común maior que 1). Por exemplo, (3, 4, 5) é un triplo pitagórico primitivo mentres que (6, 8, 10) non o é. 

Procurar solucións enteiras da ecuación *a*2 + *b*2 = *c*2 é unha ecuación diofantiana. Así, as ternas pitagóricas están entre as solucións máis antigas coñecidas dunha ecuación diofántiana non linear.

Exemplos
--------

Hai 16 ternas pitagóricas primitivas de números por debaixo de 100:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

Xerando unha terna
------------------

 Unha gráfica de ternas xerada pola fórmula de Euclides traza parte do cono *z*2 = *x*2 + *y*2. Unha constante *m* ou *n* traza parte dunha parábola no cono.
**A fórmula de Euclides** é unha fórmula fundamental para xerar triplas pitagóricas dado un par arbitrario de números enteiros *m* e *n* con *m* > *n* > 0. A fórmula indica que os números enteiros

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}
forman unha terna pitagórica. Por exemplo, dado

{\displaystyle m=9,\ \,n=2}
xera a terna primitiva (36,77,85):

{\displaystyle b=9^{2}-2^{2}=77,\ \,a=2\times 9\times 2=36,\ \,c=9^{2}+2^{2}=85.}
A terna xerada pola fórmula de Euclides é primitiva se e só se *m* e *n* son coprimos e exactamente un deles é par.

Malia xerar todas as ternas primitivas, a fórmula de Euclides non produce todas as ternas; por exemplo, (9, 12, 15) non se pode xerar usando os números enteiros *m* e *n*. Pódense conseguir todas incluíndo un parámetro:

{\displaystyle a=k\cdot (m^{2}-n^{2}),\ \,b=k\cdot (2mn),\ \,c=k\cdot (m^{2}+n^{2})}
Escoller *m* e *n* entre certas secuencias enteiras dá resultados interesantes. Por exemplo, se *m* e *n* son números de Pell consecutivos, *a* e *b* diferirán en 1. 

{\displaystyle x={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}\quad y={\frac {2t}{1+t^{2}}}.}
{\displaystyle P=\left({\frac {2\left({\frac {m}{n}}\right)}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}},{\frac {\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}-1}{\left({\frac {m}{n}}\right)^{2}+1}}\right)=\left({\frac {2mn}{m^{2}+n^{2}}},{\frac {m^{2}-n^{2}}{m^{2}+n^{2}}}\right).}

Propiedades elementais das ternas pitagóricas primitivos
--------------------------------------------------------

As propiedades dunha terna pitagórica primitiva (*a*, *b*, *c*) con *a* < *b* < *c* (sen especificar cal de *a* ou *b* é par e cal é impar) inclúen:

* {\displaystyle {\tfrac {(c-a)(c-b)}{2}}} is always a perfect square. As it is only a necessary condition but not a sufficient one, it can be used in checking if a given triple of numbers is *not* a Pythagorean triple. For example, the triples {6, 12, 18}Modelo:Null and {1, 8, 9}Modelo:Null each pass the test that (*c* − *a*)(*c* − *b*)/2 is a perfect square, but neither is a Pythagorean triple.
* When a triple of numbers *a*, *b* and *c* forms a primitive Pythagorean triple, then (*c* minus the even leg) and one-half of (*c* minus the odd leg) are both perfect squares; however this is not a sufficient condition, as the numbers {1, 8, 9}Modelo:Null pass the perfect squares test but are not a Pythagorean triple since 12 + 82 ≠ 92.
* At most one of *a*, *b*, *c* is a square.
* The area of a Pythagorean triangle cannot be the square:p. 17 or twice the square:p. 21 of an integer.
* Exactly one of *a*, *b* is divisible by 2 (is even), and the hypotenuse *c* is always odd.
* Exactly one of *a*, *b* is divisible by 3, but never *c*.:23–25
* Exactly one of *a*, *b* is divisible by 4, but never *c* (because *c* is never even).
* Exactly one of *a*, *b*, *c* is divisible by 5.
* The largest number that always divides *abc* is 60.
* Any odd number of the form 2*m*+1, where *m* is an integer and *m*>1, can be the odd leg of a primitive Pythagorean triple. See almost-isosceles primitive Pythagorean triples section below. However, only even numbers divisible by 4 can be the even leg of a primitive Pythagorean triple. This is because Euclid's formula for the even leg given above is 2*mn* and one of *m* or *n* must be even.
* The hypotenuse *c* (which is always odd) is the sum of two squares. This requires all of its prime factors to be primes of the form <span about="#mwt355" class="texhtml "data-cx="[{&quot;adapted&quot;:true,&quot;partial&quot;:false,&quot;targetExists&quot;:true,&quot;mandatoryTargetParams&quot;:[],&quot;optionalTargetParams&quot;:[]}]" data-mw="{&quot;parts&quot;:[{&quot;template&quot;:{&quot;target&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;Math&quot;,&quot;href&quot;:&quot;./Modelo:Math&quot;},&quot;params&quot;:{&quot;1&quot;:{&quot;wt&quot;:&quot;4''n'' + 1&quot;}},&quot;i&quot;:0}}]}" data-ve-no-generated-contents="true" id="mwAdU" typeof="mw:Transclusion">4<i>n</i> + 1</span>. Therefore, c is of the form 4*n* + 1. A sequence of possible hypotenuse numbers for a primitive Pythagorean triple can be found at (secuencia [[OEIS:{{{id}}}|{{{id}}}]] na OEIS).
* The area (*K* = *ab*/2) is a congruent number divisible by 6.
* In every Pythagorean triangle, the radius of the incircle and the radii of the three excircles are positive integers. Specifically, for a primitive triple the radius of the incircle is *r* = *n*(*m* − *n*), and the radii of the excircles opposite the sides *m*2 − *n2*, *2mn*, and the hypotenuse *m*2 + *n*2 are respectively *m*(*m* − *n*), *n*(*m* + *n*), and *m*(*m* + *n*).
* As for any right triangle, the converse of Thales' theorem says that the diameter of the circumcircle equals the hypotenuse; hence for primitive triples the circumdiameter is *m*2 + *n*2, and the circumradius is half of this and thus is rational but non-integer (since *m* and *n* have opposite parity).
* When the area of a Pythagorean triangle is multiplied by the curvatures of its incircle and 3 excircles, the result is four positive integers *w* > *x* > *y* > *z*, respectively. Integers −*w*, *x*, *y*, *z* satisfy Descartes's Circle Equation. Equivalently, the radius of the outer Soddy circle of any right triangle is equal to its semiperimeter. The outer Soddy center is located at *D*, where *ACBD* is a rectangle, *ACB* the right triangle and *AB* its hypotenuse.:p. 6
* Only two sides of a primitive Pythagorean triple can be simultaneously prime because by Euclid's formula for generating a primitive Pythagorean triple, one of the legs must be composite and even. However, only one side can be an integer of perfect power {\displaystyle p\geq 2} because if two sides were integers of perfect powers with equal exponent {\displaystyle p} it would contradict the fact that there are no integer solutions to the Diophantine equation {\displaystyle x^{2p}\pm y^{2p}=z^{2}}, with {\displaystyle x}, {\displaystyle y} and {\displaystyle z} being pairwise coprime.
* There are no Pythagorean triangles in which the hypotenuse and one leg are the legs of another Pythagorean triangle; this is one of the equivalent forms of Fermat's right triangle theorem.:p. 14
* Each primitive Pythagorean triangle has a ratio of area, *K*, to squared semiperimeter, *s*, that is unique to itself and is given by

{\displaystyle P'=\left({\frac {m}{n}},0\right).}

Xeometría da fórmula de Euclides
--------------------------------

### Puntos racionais na circunferencia unitaria

 3,4,5 mapea no punto x,y (4/5,3/5) na círcunferencia unitaria
A fórmula de Euclides para unha terna pitagórica

pódese entender en termos da xeometría dos puntos racionais na círcunferencia unitaria (Trautman 1998).

Isto fai que cada punto racional do eixo *x* pasa a un punto racional da circunferencia unitaria. Ao contrario, que cada punto racional da circunferencia unitaria procede de tal punto do eixo *x*. Supoña que *P*(*x*, *y*) é un punto da circunferencia unitaria con *x* e *y* números racionais. Entón o punto *P*′ obtido por proxección estereográfica sobre o eixo *x* ten coordenadas

A circunferencia unitaria tamén se pode definir mediante unha ecuación paramétrica

A fórmula de Euclides para as ternas pitagóricas e a relación inversa *t* = *y* / (*x* + 1) significan que, agás (−1, 0), un punto (*x*, *y*) da circunferencia é racional se e só se o valor correspondente de *t* é un número racional. Teña en conta que *t* = *y* / (*x* + 1) = *b* / (*a* + *c*) = *n* / *m* tamén é a tanxente do ángulo metade oposto ao lado do triángulo de lonxitude b.

### Aproximación estereográfica

 Proxección estereográfica da circunferencia unitaria sobre o eixo *x*. Dado un punto *P* na circunferencia unitaria, traza unha recta dende *P* ata o punto *N* = (0, 1) (*polo norte*). O punto *P*′ onde a recta corta co eixo *x* é a proxección estereográfica de *P*. Inversamente, comezando cun punto *P*′ no eixo *x*, e trazando unha liña de *P*′ a *N*, a proxección estereográfica inversa é o punto *P* onde a recta corta a circunferencia unitaria.
Hai unha correspondencia entre os puntos da circunferencia unitaria con coordenadas racionais e as ternas pitagóricas primitivas. Neste punto, as fórmulas de Euclides pódense derivar mediante métodos de trigonometría ou de forma equivalente usando a proxección estereográfica.

Para o enfoque estereográfico, supoña que *P*′ é un punto no eixo *x* con coordenadas racionais

Daquela, pódese demostrar mediante álxebra básica que o punto *P* ten coordenadas

{\displaystyle \left({\frac {x}{1-y}},0\right)}
que é racional.

En termos de xeometría alxébrica, a variedade alxébrica de puntos racionais na circunferencia unitaria é biracional á liña afín sobre os números racionais. A circunferencia unitaria chámase así unha curva racional, e é este feito o que permite unha parametrización explícita dos puntos (número racional) sobre ela por medio de funcións racionais.

Espinors e o grupo modular
--------------------------

As ternas pitagóricas tamén se poden codificar nunha matriz cadrada da forma

{\displaystyle X={\begin{bmatrix}c+b&a\\a&c-b\end{bmatrix}}.}
Unha matriz desta forma é simétrica con determinante

{\displaystyle \det X=c^{2}-a^{2}-b^{2}\,}
que é cero precisamente cando (*a*,*b*,*c*) é unha terna pitagórica. Se *X* corresponde a unha terna pitagórica, entón como matriz debe ter rango 1.

Dado que *X* é simétrico, dun resultado en álxebra linealr dedúcese que hai un vector columna *ξ* = [*m* *n*]T tal que o produto externo

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle X=2{\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}[m\ n]=2\xi \xi ^{T}\,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

cúmprese. Dado que ξ e -ξ producen a mesma terna pitagórica, o vector ξ pódese considerar un espinor (para o grupo de Lorentz SO(1, 2)). En termos abstractos, a fórmula de Euclides significa que cada terna pitagórica primitiva pode escribirse como o produto exterior consigo mesmo dun espinor con entradas enteiras, como en (1).

O grupo modular Γ é o conxunto de matrices 2×2 con coeficientes enteiros

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}\alpha &\beta \\\gamma &\delta \end{bmatrix}}}
con determinante igual a un: *αδ* − *βγ* = 1. O grupo modular actúa sobre a colección de todos os espinors enteiros. Ademais, o grupo é transitivo na colección de espinors enteiros con entradas coprimas. Pois se [*m* *n*]T ten coeficientes coprimos, entón

{\displaystyle {\begin{bmatrix}m&-v\\n&u\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}m\\n\end{bmatrix}}}
onde se seleccionan *u* e *v* (mediante o algoritmo de Euclides) para que cumpran *mu* + *nv* = 1.

Ao actuar sobre o espinor ξ en (1), a acción de Γ pasa a ser unha acción sobre as ternas pitagóricas, sempre que se permitan ternas con compoñentes posiblemente negativas. Así, se *A* é unha matriz en Γ, entón

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle 2(A\xi )(A\xi )^{T}=AXA^{T}\,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

dá lugar a unha acción sobre a matriz *X* en (1). 

Alternativamente, podemos restrinxir a acción a aqueles valores de *m* e *n* para os que *m* é impar e *n* é par. Sexa o subgrupo Γ(2) de Γ o kernel do homomorfismo de grupo

{\displaystyle \Gamma =\mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} )\to \mathrm {SL} (2,\mathbf {Z} \_{2})}
onde SL(2,**Z**2) é o grupo linear especial sobre o corpo finito **Z**2 de enteiros módulo 2. Entón Γ(2) é o grupo de transformacións unimodulares que conservan a paridade de cada entrada. Así, se a primeira entrada de ξ é impar e a segunda é par, entón o mesmo ocorre con *A*ξ para todo *A* ∈ Γ(2). De feito, baixo a acción (2), o grupo Γ(2) actúa transitivamente sobre a colección das ternas pitagóricas primitivas (Alperin 2005).

Así temos que o grupo Γ(2) é o grupo libre cuxos xeradores son as matrices

{\displaystyle U={\begin{bmatrix}1&2\\0&1\end{bmatrix}},\qquad L={\begin{bmatrix}1&0\\2&1\end{bmatrix}}.}
En consecuencia, cada terna pitagórica primitiva pode obterse dun xeito único como produto das copias das matrices *U* e *L*.

Relación cos enteiros gaussianos
--------------------------------

1. ↑  Long (1972)
2. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
3. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador..
4. ↑  For the nonexistence of solutions where *a* and *b* are both square, originally proved by Fermat, see Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador..
5. 1 2 3  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
6. ↑  Sierpiński 2003, p. 4–6
7. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
8. 1 2 3  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
9. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
10. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador..
11. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
12. 1 2  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.
13. ↑  Modelo desbotado. Use un dos modelos de citas no lugar deste marcador.