As posibles manipulacións do cubo de Rubik forman un grupo.
En álxebra abstracta, un **grupo** é unha estrutura alxébrica que consta dun conxunto cunha operación que combina calquera par dos seus elementos para formar un terceiro elemento. Para que se poida cualificar como un grupo o conxunto e a operación deben satisfacer os axiomas de grupo: ter a propiedade asociativa, elemento neutro e elemento inverso.

A teoría de grupos estuda os grupos en si.

Historia
--------

O concepto de grupo xurdiu do estudo das ecuacións polinómicas comezado por Évariste Galois durante a década de 1830. Despois de contribucións desde outros campos como a teoría dos números e a xeometría, a noción xeneralizouse e estableceuse fortemente en torno a 1870.

A definición formal de grupo (G, \*) foi formulada por Ferdinand Georg Frobenius en 1887, advertindo que os teoremas que demostraba dependían unicamente dos axiomas propostos e non tiña que acudir ao grupo das permutacións que empregaban os seus antecesores Cauchy, Jordan e Sylow.

Unha teoría especialmente rica foi desenvolvida para grupos finitos, culminada co teorema de clasificación de grupos simples, completado en 1983. Así mesmo, desde mediados da década de 1980 a teoría de grupos xeométricos, que estuda os grupos de xeración finita como obxectos xeométricos, converteuse nunha área particularmente activa na teoría dos grupos.

Definición
----------

Un grupo é un conxunto, *G*, cunha operación binaria «•» que compón dous elementos calquera *a* e *b* de *G* para formar outro elemento denotado como *a • b* o *ab*. Para poder cualificar como un grupo a (*G, •*), deben satisfacer catro propiedades:

**Operación interna**

Para todo *a*, *b* de *G*, o resultado da operación *a • b* tamén pertence a *G*.
{\displaystyle \forall a,b\in G\quad :\quad a\cdot b\in G}
**Asociatividade**

Para todos os *a*, *b* e *c* de *G*, cúmprese que *(a • b) • c = a • (b • c)*.
**Elemento neutro**

Existe un elemento *e* de *G*, tal que para todos os elementos *a* de *G* se cumpre que *e • a = a • e = a*. O elemento neutro dun grupo *G* escríbese en ocasións como 1 ou 1G, notación herdada da identidade multiplicativa.
{\displaystyle \exists e\,\,\forall a\in G\quad :\quad a\cdot e=e\cdot a=a}
**Elemento inverso**

Para todo *a* de *G*, existe un elemento *b* de *G* tal que *a • b = b • a = e*.
{\displaystyle \forall a\in G\,\,\exists a^{-1}\,:\,{a\cdot a^{-1}=a^{-1}\cdot a}=e}
A orde na que se realiza a operación do grupo pode ser significativa, é dicir, o resultado de operar o elemento *a* co elemento *b* non é necesariamente igual que o resultado de *b* con *a*; a expresión 

*a • b = b • a*
pode non ser certa. Os grupos nos que si se cumpre chámanse grupos abelianos, en honor a Niels Henrik Abel.

Exemplos
--------

* O conxunto dos números enteiros Z coa suma teñen estrutura de grupo abeliano, xa que:

1. Para calquera par de enteiros *a* e *b*, a suma *a + b* tamén é enteiro.
2. Para todos os enteiros *a*, *b* e *c*, *(a + b) + c = a + (b + c)*.
3. Para calquera enteiro *a*, *0 + a = a + 0 = a*.
4. Para cada enteiro *a*, existe un enteiro *b* tal que *a + b = b + a = 0*. O enteiro *b* denomínase elemento inverso de *a* e denótase como *-a*.

* As simetrías (rotacións e reflexións) dun cadrado forma un grupo chamado diédrico, que se expresa como D4.
* O produto define unha estrutura de grupo conmutativo nos números racionais non nulos Q\*.
* As matrices cadradas de n columnas con elementos reais e determinante distinto de cero forman un grupo co produto de matrices.
* O grupo de movementos no espazo ou grupo de isometría do espazo euclidiano.
* O grupo de Galileo está formado polas transformacións do espazo e o tempo que conservan os sistemas de referencia inercais.

Notas
-----

1. ↑  *Introducción a la Teoría de Grupos* ( 2009) Zaldívar, Felipe ISBN 978-968-36-3591-4 e outros; páx. 17
2. ↑  (Herstein 1975, p. §2, p. 27)
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Identity Element"; extraído de MathWorld.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Artin, Michael (1991). *Algebra*. Prentice Hall. ISBN 978-0-89871-510-1. , Chapter 2 contains an undergraduate-level exposition of the notions covered in this article.
* Devlin, Keith (2000). *The Language of Mathematics: Making the Invisible Visible*. Owl Books. ISBN 978-0-8050-7254-9. , Chapter 5 provides a layman-accessible explanation of groups.
* Hall, G. G. (1967). *Applied group theory*. American Elsevier Publishing Co. Inc. New York. MR 0219593. , an elementary introduction.
* Herstein, Israel Nathan (1996). *Abstract algebra* (3rd ed.). Upper Saddle River, NJ: Prentice Hall Inc. ISBN 978-0-13-374562-7. MR 1375019. .
* Herstein, Israel Nathan (1975). *Topics in algebra* (2nd ed.). Lexington, Mass.: Xerox College Publishing. MR 0356988. .
* Lang, Serge (2005). *Undergraduate Algebra* (3rd ed.). Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-22025-3. .
* Ledermann, Walter (1953). *Introduction to the theory of finite groups*. Oliver and Boyd, Edinburgh and London. MR 0054593. .
* Ledermann, Walter (1973). *Introduction to group theory*. New York: Barnes and Noble. OCLC 795613. .
* Robinson, Derek John Scott (1996). *A course in the theory of groups*. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94461-6. .

### Outros artigos

* Clasificación dos grupos simples finitos

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q83478
* BNCF: 5497
* EBID: ID
* GND: 4022379-6
* MAG: 93063749
* Treccani: gruppo

 |