A **teoría lineal invariante no tempo**, comunmente coñecida como **teoría do sistema LTI**, investiga a resposta dun sistema lineal e invariante no tempo a un sinal de entrada arbitrario. As traxectorias destes sistemas mídense e rastrexan comunmente a medida que avanzan no tempo (por exemplo, unha forma de onda acústica), pero en aplicacións como o procesamento de imaxes e a teoría de campo, os sistemas LTI tamén teñen traxectorias en dimensións espaciais. Por tanto, estes sistemas tamén se chaman linealmente invariantes na translación para dar á teoría o alcance máis xeral. No caso de sistemas xenéricos de tempo discreto (é dicir, mostreados), linealmente invariante no desprazamento é o termo correspondente. Un bo exemplo dos sistemas LTI son os circuítos eléctricos que poden estar formados por resistencias, condensadores e inductores. Utilizouse en matemáticas aplicadas e ten aplicacións directas en espectroscopia RMN, sismoloxía, circuítos, procesamento de sinais, teoría de control e outras áreas técnicas.

Propiedades
-----------

As propiedades definitorias de calquera sistema LTI son a linearidade e a invariancia no tempo.

* A *linearidade* significa que a relación entre a entrada e a saída do sistema é unha Aplicación linear: Se a entrada {\displaystyle x\_{1}(t)\,} produce a resposta {\displaystyle y\_{1}(t)\,}, e a entrada {\displaystyle x\_{2}(t)\,} produce a resposta {\displaystyle y\_{2}(t)\,}, entón a entrada *escalada* e *sumada* {\displaystyle a\_{1}x\_{1}(t)+a\_{2}x\_{2}(t)\,} produce a resposta escalada e sumada {\displaystyle a\_{1}y\_{1}(t)+a\_{2}y\_{2}(t)\,} onde a\_1 e a\_{2} son escalares reais. Dedúcese que isto pode estenderse a un número arbitrario de termos, e así para os números reais {\displaystyle c\_{1},c\_{2},\ldots ,c\_{k}}:

A entrada   {\displaystyle \sum \_{k}c\_{k}\,x\_{k}(t)}   produce a saída   {\displaystyle \sum \_{k}c\_{k}\,y\_{k}(t).\,}
En particular,
A entrada   {\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }c\_{\omega }\,x\_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega }   produce a saída   {\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }c\_{\omega }\,y\_{\omega }(t)\,\operatorname {d} \omega \,}
onde {\displaystyle c\_{\omega }} e {\displaystyle x\_{\omega }} son escalares e entradas que varían nun continuo indexado por {\displaystyle \omega }. Por tanto, se unha función de entrada pode representarse mediante un continuo de funcións de entrada, combinadas "linealmente", como se mostra, entón a función de saída correspondente pode representarse mediante o continuo correspondente de funcións de saída, escaladas e sumadas da mesma maneira.
* A *invariancia de tempo* significa que se aplicamos unha entrada ao sistema agora ou T segundos a partir de agora, a saída será idéntica, excepto por un atraso de T segundos. É dicir, se a saída debida á entrada {\displaystyle x(t)} é {\displaystyle y(t)}, entón a saída debida á entrada {\displaystyle x(t-T)} é {\displaystyle y(t-T)}. Por tanto, o sistema é invariante no tempo porque a saída non depende do tempo particular en que se aplica a entrada.

Notas
-----

1. ↑  Hespanha 2009, p. 78.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1808960
* GND: 4213494-8
* LCCN: sh85077184
* MAG: 87698059

 |