Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Teorema de Weierstrass.
Na análise real, o **teorema de Bolzano–Weierstrass** é un importante teorema que caracteriza os conxuntos secuencialmente compactos.

Enunciado
---------

Na análise real, o teorema de Bolzano-Weierstrass é un resultado fundamental referente á converxencia nun espazo euclidiano dimensionalmente finito **R***n*. O teorema establece que cada sucesión limitada en **R***n* ten unha subsucesión converxente. Unha formulación equivalente é que un subconxunto de **R***n* é secuencialmente compacto se e só se é pechado e limitado.

Demostración
------------

En primeiro lugar, aplicando o método de indución matemática, demostraremos o teorema cando n = 1, nese caso faremos uso da orde de **R**. De feito dá o seguinte resultado.

**Lema**: Cada sucesión { xn } en **R** ten unha subsucesión monótona.

**Demostración**: nomeando un número enteiro positivo n un "pico da secuencia", se m> n implica *x**n* > *x**m* ,  é dicir, se *xn* é maior que todos os termos seguintes da sucesión. Supoñamos primeiro que a sucesión ten infinitos picos, *n*1 < *n*2 < *n*3 < … < *nj* < … Entón a subsucesión {\displaystyle \{x\_{n\_{j}}\}}correspondente aos picos é monotonamente decrecente, co que a lema queda probado.{\displaystyle \{x\_{n\_{j}}\}}. Así que supoñendo agora que só hai un número finito de picos, sexa N o último pico e *n*1 = *N* + 1. Entón *n*1 non é un pico, xa que *n*1 > *N*, o que implica a existencia dun *n*2 > *n*1 con  {\displaystyle x\_{n\_{2}}\geq x\_{n\_{1}}.}  Unha vez máis, *n*2 > *N* non é un pico, por tanto hai n3 >*n*2 con {\displaystyle x\_{n\_{2}}\geq x\_{n\_{1}}.}  Repetir este proceso conduce a unha subsucesión infinita non decrecente, {\displaystyle x\_{n\_{1}}\leq x\_{n\_{2}}\leq x\_{n\_{3}}\leq \ldots }

Ago**r**a supoñendos que temos unha sucesión limitada en **R**, polo Lema existe unha subsucesión monótona, necesariamente limitada. Pero séguese do teorema de converxencia monótona que esta subsucesión debe converxer, co que remata a proba

Por último, o caso xeral pode ser facilmente reducido ao caso de n = 1 como segue: dada unha secuencia limitada en **R***n*, a sucesión das primeiras coordenadas é unha sucesión real limitada, por tanto ten unha subsucesión converxente. A continuación, pode extraerse unha subsubsucesión converxente das segundas coordenadas, e así sucesivamente, ata que ao final pasamos da sucesión orixinal n subsucesións - que vén sendo unha subsucesión da sucesión orixinal - na que cada coordenada converxe , por tanto, a propia subsucesión é converxente.

Compacidade secuencial en espazos euclidianos
---------------------------------------------

Supoñamos que *A* é un subconxunto de **R***n* co*a* propied*a*de de que toda sucesión en *A* ten unha subsucesión converxente a un elemento de *A*. Entón, *A* debe ser limitado, pois pola contra existen caso contrario existiría unha sucesión *xm* en *A* con   || *x**m* || ≥ *m* para todos os *m*, e logo cada subsucesión é ilimitada e polo tanto non converxente. Por outra b*a*nd*a* *A* debe ser pechado, xa que para cada punto na fronteira de *A* pódese construír unha sucesión en *A* converxente a x. Así, os subcoxjuntos *A*, de **R***n*, p*a*ra que os que cada sucesión en A ten unha subsucesión converxente a un elemento de A –  é dicir, os subconxuntos secuencialmente compacto na topoloxía do subespazo –  son precisamente os conxuntos pechados e limitados.
Esta forma do teorema fai especialmente clara a analoxía co Teorema de Heine-Borel, que afirma que un subconxunto de **R***n* é compacto se e só se é pechado e limitado. De feito, a topoloxía xeral dinos que un espazo é compacto metrizable se e só se é secuencialmente compacto, de modo que o teorema de Bolzano-Weierstrass e o de Heine-Borel son esencialmente o mesmo resultado.

Historia
--------

O teorema de Bolzano-Weierstrass leva o nome de matemáticos Bernard Bolzano e Karl Weierstrass. En realidade, foi demostrado por primeira vez por Bolzano en 1817 como un lema na demostración do teorema de valor intermedio. Uns cincuenta anos máis tarde, o resultado foi identificado como significativo por dereito propio, e demostrado unha vez máis por Weierstrass. Desde entón converteuse nun teorema fundamental da análise.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Teorema de Heine-Borel

### Bibliografía

* Fitzpatrick, Patrick M. (2006) Advanced Calculus (2nd ed.). Belmont, CA: Thompson Brooks/Cole. ISBN 0-534-37603-7.
* Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), «Bolzano-Weierstrass theorem», Encyclopaedia of Mathematics (en inglés), Springer, ISBN 978-1556080104
* Weisstein, Eric W. «Bolzano-Weierstrass Theorem». En Weisstein, Eric W, ed. MathWorld (en inglés). Wolfram Research.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q468391
* EBID: ID
* GEC: 0010999
* MAG: 43686947

 |