En álxebra, o **teorema do resto** ou **pequeno teorema de Bézout** é un resultado que provén da división euclidiana de polinomios, que expón que o resto da división dun polinomio {\displaystyle f(x)} polo polinomio linear {\displaystyle x-r} é igual a {\displaystyle f(r)}. Deste xeito, pódese enunciar un resultado aínda máis en particular, {\displaystyle x-r} é un divisor de {\displaystyle f(x)} se e só se {\displaystyle f(r)=0}, unha propiedade coñecida coma o teorema do factor.

Proba
-----

Malia que é un resultado moi sinxelo, existen diferentes formas de probar a súa veracidade, entre as cales se atopan as seguintes.

### Proba 1

O teorema do resto é deducido desde o teorema da división euclidiana, o cal, dados dous polinomios f(x) (o *dividendo*) e g(x) (o *divisor*), afirma a existencia e a unicidade dun *cociente* q(x) e un *resto* R(x) tal que:

> {\displaystyle f(x)=q(x)g(x)+R(x)\ {\text{ e }}\ R(x)=0\ {\text{ ou }}\ \operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (g)}
> 
> 

Escollendo o divisor como {\displaystyle g(x)=x-r}, o resto é {\displaystyle R=0} ou o seu grao é cero, mais en ámbolos dous casos, {\displaystyle R} é unha constante independente de *{\displaystyle x}*; isto é

{\displaystyle f(x)=q(x)(x-r)+R\,.}
Avaliando {\displaystyle x=r} nesta fórmula, obtense:

{\displaystyle f(r)=R\,.}
### Proba 2

Unha proba lixeiramente diferente, que pode semellar máis elemental, comeza coa observación de que {\displaystyle f(x)-f(r)}é unha combinación linear dos termos da forma {\displaystyle x-r} porque {\displaystyle x^{k}-r^{k}=(x-r)(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})}. Deste xeito, se {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0}} tense que:

> {\displaystyle f(x)-f(r)=a\_{n}(x^{n}-r^{n})+a\_{n-1}(x^{n-1}-r^{n-1})+\ldots +a\_{1}(x-r)=\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}(x^{k}-r^{k})}
> 
> 

Tódolos termos da dereita teñen factor común {\displaystyle (x-r)}, así que usando a propiedade distributiva:

> {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)-f(r)&=(x-r)\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})\\f(x)&=(x-r)\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}(x^{k-1}+x^{k-2}r+\dots +xr^{k-2}+r^{k-1})+f(r)\end{aligned}}}
> 
> 

E substituíndo {\displaystyle x=r}, obtense {\displaystyle f(r)=R\,.}

### Proba 3

Esta proba baséase na idea de substituír a variábel {\displaystyle x} no polinomio inicial

> {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}x^{k}}
> 
> 

o binomio {\displaystyle (x-r)+r}, observando que {\displaystyle f(x)=f((x-r)+r)}. Entón, tense que 

> {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=f((x-r)+r)=a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}((x-r)+r)^{k}=\\&=a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\left(\sum \_{i=0}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)=a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\left(r^{k}+\sum \_{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&=a\_{0}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}r^{k}+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\left(\sum \_{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)=f(r)+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\left(\sum \_{i=1}^{k}(x-r)^{i}r^{k-i}\right)\\&=f(r)+\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}(x-r)\left(\sum \_{i=1}^{k}(x-r)^{i-1}r^{k-i}\right)=f(r)+(x-r)\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}\left(\sum \_{j=0}^{k}(x-r)^{j}r^{k-j+1}\right)\\&=f(r)+(x-r)q(x)\end{aligned}}}
> 
> 

onde o que se fixo foi aplicar a expansión do binomio de Newton, observando que tódolos termos da expansión malia un son divisíbeis por {\displaystyle (x-r)}, que é o termo da forma {\displaystyle r^{k}}. Ao xuntar todos estes termos, tense o resto ao dividir por {\displaystyle (x-r)}, e ao os sumar, tense que o resto é {\displaystyle f(r)}.

Exemplos
--------

### Exemplo 1

Sexa o polinomio {\displaystyle f(x)=x^{3}-12x^{2}-42}. División polinómica de {\displaystyle f(x)} por {\displaystyle (x-3)} ten como resultado o cociente {\displaystyle x^{2}-9x-27} e o resto {\displaystyle -123}.

Por outro lado, {\displaystyle f(3)=(3)^{3}-12(3)^{2}-42=-123}, coincidindo co resto antes calculado.

### Exemplo 2

Pódese observar que o teorema do resto é satisfeito para polinomios arbitrarios de segundo grado {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} usando manipulacións alxébricas semellantes ás da terceira proba, pero no caso particular de {\displaystyle n}, podendo ser así máis doada de entender.

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {f(x)}{x-r}}&={\frac {a{x^{2}}+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {a{x^{2}}-arx+arx+bx+c}{x-r}}\\&={\frac {ax(x-r)+(b+ar)x+c}{x-r}}\\&=ax+{\frac {(b+ar)(x-r)+c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {c+r(b+ar)}{x-r}}\\&=ax+b+ar+{\frac {a{r^{2}}+br+c}{x-r}}\end{aligned}}}
Multiplicando ámbolos dous lados por (*x* − *r*) resulta en

{\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c=(ax+b+ar)(x-r)+{a{r^{2}}+br+c}}
Xa que {\displaystyle R=ar^{2}+br+c} é o resto, demostrouse que {\displaystyle f(r)=R}.

Aplicacións
-----------

Ademais da aplicación directa de calcular o resto da división entre o polinomio linear e un polinomio {\displaystyle f(x)}, o teorema do resto ten outras aplicacións.

### Teorema do factor

Unha consecuencia directa do teorema do resto provén da seguinte observación: tense un polinomio {\displaystyle f(x)} e divídese polo polinomio linear {\displaystyle (x-r)} e o resto é {\displaystyle 0}, entón {\displaystyle f(r)=0}. Ademais, se {\displaystyle f(r)=0}, entón a división de {\displaystyle f(x)} por {\displaystyle (x-r)} ten o resto nulo. Este resultado é coñecido polo nome é o **teorema do factor**, que enuncia resumidamente que un polinomio {\displaystyle f(x)} ten como factor {\displaystyle (x-r)} se e só se {\displaystyle f(r)=0}, é dicir {\displaystyle r} é unha raíz.

Dous problemas nos que se emprega a miúdo este teorema son os de factorizar un polinomio e atopar as raíces dunha ecuación polinomial, que como unha consecuencia directa do teorema tense que ámbolos dous problemas son esencialmente equivalentes. Ademais, o teorema do factor tamén se usa para eliminar raíces coñecidas dun polinomio, deixando o resto de raíces sen cambios e producindo así un polinomio de grao inferior cuxas raíces poden ser máis doadas de atopar, facilitando a factorización do polinomio. Os pasos a seguir neste método son os seguintes:

1. "Adiviñar" unha raíz {\displaystyle a} do polinomio {\displaystyle f(x)}. En xeral, isto pode chegar a ser moi difícil, mais en certos casos pódense descubrir certas raíces. Por exemplo, se o polinomio só ten coeficientes enteiros, o resultado do teorema das raíces racionais sería de axuda.
2. Usar o teorema do factor para concluír que {\displaystyle (x-a)} é un factor de {\displaystyle f(x)}.
3. Calcular o polinomio {\displaystyle g(x)=f(x)/(x-a)}, por exemplo, usando a regra de Ruffini.
4. Concluír que calquera raíz {\displaystyle x\neq a} de {\displaystyle f(x)=0} é raíz de {\displaystyle g(x)=0}. Xa que o grao polinomial de {\displaystyle g} é un menor que o de {\displaystyle f}, suponse que é máis sinxelo atopar o resto de raíces de {\displaystyle g}.

##### Exemplo de atopar de raíces

Atopar os factores de

{\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2.}
Pódese actuar por proba e erro (ou co teorema das raíces racionais) para atopar o primeiro valor *x* que fai que a expresión sexa igual a cero. Para saber se {\displaystyle (x-1)} é un factor, substitúese {\displaystyle x=1} no polinomio anterior:

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{3}+7x^{2}+8x+2=&(1)^{3}+7(1)^{2}+8(1)+2\\=&1+7+8+2\\=&18\\\end{aligned}}}
Isto é igual a 18 e non é {\displaystyle 0} e, polo tanto {\displaystyle x-1} non é un factor. Así, téntase ver se {\displaystyle x+1} é factor e para iso, substitúese {\displaystyle x=-1} no polinomio anterior:

{\displaystyle (-1)^{3}+7(-1)^{2}+8(-1)+2}

Isto é {\displaystyle 0}. Por tanto {\displaystyle x-(-1)}, é dicir {\displaystyle x+1}, é un factor, e {\displaystyle -1} é unha raíz de {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}.

As seguintes dúas raíces pódense atopar dividindo alxebricamente {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2} por {\displaystyle (x+1)}, para obter unha cadrática:

{\displaystyle {x^{3}+7x^{2}+8x+2 \over x+1}=x^{2}+6x+2,}
e, por tanto, {\displaystyle (x+1)} e {\displaystyle x^{2}+6x+2} son factores de {\displaystyle x^{3}+7x^{2}+8x+2}. Destes, o factor cadrático pode ser aínda factorizado resolvendo unha ecuación de segundo grado, que terá as raíces {\displaystyle -3\pm {\sqrt {7}}.} Así, os tres factores irredutíbeis do polinomio orixinal son {\displaystyle x+1,} {\displaystyle x-(-3+{\sqrt {7}}),} e {\displaystyle x-(-3-{\sqrt {7}}).}

### Cálculo de valores dun polinomio

O teorema do resto adóitase empregar para avaliar {\displaystyle f(r)} calculando o resto {\displaystyle R}. Malia que a división longa de polinomios é máis difícil que avaliar a función, a división sintética é computacionalmente máis doada. A aplicación da división sintética, neste caso usando a regra de Ruffini, e o teorema do resto para avaliar un polinomio é equivalente á aplicación do algoritmo de Horner.

É salientábel que o algoritmo de Horner só precisa *n* sumas e *n* produtos cando o grao do polinomio é *n*, sendo este o número mínimo de operacións de cada tipo que se precisa para avaliar un polinomio. Deste xeito, en canto ao número de operacións, o algoritmo de Horner, e polo tanto o algoritmo equivalente de usar a regra de Ruffini e o teorema do resto, é óptimo. As minimalidades de cada unha das operacións foi demostrada por separado: o número de sumas foi probado por Alexander Ostrowski en 1954, e o número de produtos por Victor Pan en 1966.

Notas
-----

1. ↑  Rudnicki 2004.
2. ↑  Sullivan 1996.
3. ↑  Sehgal & Gupta.
4. ↑  Bansal.
5. 1 2  Ostrowski 1954.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Bansal, R. K. Laxmi Publications, ed. *Comprehensive Mathematics IX*. p. 142. ISBN 81-7008-629-9.
* Larson, Ron (2014). *College Algebra*. Cengage Learning.
* Larson, Ron (2011). *Precalculus with Limits*. Cengage Learning.
* Rudnicki, Piotr (2004). "Little Bezout Theorem (Factor Theorem)" (PDF). *Formalized Mathematics* **12** (1).
* Sehgal, V K; Gupta, Sonal. Dorling Kindersley (India), ed. *Longman ICSE Mathematics Class 10*. p. 381. ISBN 978-81-317-2816-1. .
* Sullivan, Michael (1996). Prentice Hall, ed. *Algebra and Trigonometry*. ISBN 0-13-370149-2.
* Pan, Y. Ja (1966). "On means of calculating values of polynomials". *Russian Math. Surveys* **21**: 105–136. doi:10.1070/rm1966v021n01abeh004147.
* Ostrowski, Alexander M. (1954). "On two problems in abstract algebra connected with Horner's rule". *Studies in Mathematics and Mechanics presented to Richard von Mises*. Academic Press. pp. 40–48. ISBN 978-1-4832-3272-0.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1071948
* BNCF: 64534
* EBID: ID
* MAG: 93546452

 |