Representación gráfica da función densidade de distribución de Maxwell-Boltzmann.
En física, a **estatística de Maxwell-Boltzmann** é unha función estatística desenvolvida para modelar o comportamento de sistemas físicos rexidos pola mecánica clásica. Esta función estatística clásica, formulada orixinalmente polos físicos J.C. Maxwell e L. Boltzmann, rexe a distribución dun conxunto de partículas en función dos posibles valores de enerxía dos estados que estas poden ocupar. Para cada sistema termodinámico, a distribución de Maxwell-Boltzmann non é outra cousa que a aplicación do colectivo canónico da mecánica estatística, baixo o suposto non-cuántico de que os números de ocupación de cada estado dispoñible son pequenos comparados co número máximo de ocupación.

Esta función é unha densidade de probabilidade cuxa expresión é:

> 
> {\displaystyle f(\epsilon \_{i})=A(N;T)e^{-\epsilon \_{i}/kT}}
> 
> 
> 

Ou de forma máis xeneralizada, pode expresarse como:

{\displaystyle {\frac {N\_{i}}{N}}={\frac {g\_{i}}{e^{(\epsilon \_{i}-\mu )/kT}}}={\frac {g\_{i}e^{-\epsilon \_{i}/kT}}{Z}}}

Onde:

* {\displaystyle A(N;T)}: é unha función dependente de {\displaystyle N}, o número de partículas no sistema e de T, a temperatura do sistema en Kelvin.
* {\displaystyle N\_{i}} é o número de partículas no estado *i*.
* {\displaystyle \epsilon \_{i}} é a enerxía do estado *i*-ésimo.
* {\displaystyle g\_{i}} é a dexeneración do nivel de enerxía *i*, é dicir, o número de estados (excluíndo o estado de partícula libre) con enerxía {\displaystyle \epsilon \_{i}}.
* \mu  é o potencial químico.
* k é a constante de Boltzmann.
* {\displaystyle N} é o número total de partículas:

{\displaystyle N=\sum \_{i}N\_{i}\,}
* Z é a función partición:

{\displaystyle Z=\sum \_{i}g\_{i}e^{-\epsilon \_{i}/kT}}
* e é o número de Euler.

A distribución de Maxwell-Boltzmann aplicouse especialmente á teoría cinética de gases, e outros sistemas físicos, ademais de en econofísica para predicir la distribución da renda. En realidade a distribución de Maxwell-Boltzmann é aplicable a calquera sistema formado por *N* "partículas" ou "individuos" que intercambian estacionariamente entre si unha certa magnitude *M* e cada un deles ten unha cantidade *mi* da magnitude *M* e ao longo do tempo se cumpre que *M* := *m*1+*m*2+...+ *mN*.

Límites de aplicación
---------------------

Para un sistema de partículas cuánticas, a hipótese de que {\displaystyle N\_{i}} sexa substancialmente menor que {\displaystyle g\_{i}} para os estados diferentes do fundamental en xeral non se cumprirá e é necesario acudir á estatística de Bose-Einstein se as partículas son bosónicas ou á estatística de Fermi-Dirac si as partículas son fermiónicas.

As estatísticas de Fermi–Dirac (+) e Bose–Einstein (−) poden ser expresadas como:

> 
> {\displaystyle N\_{i}={\frac {g\_{i}}{e^{(\epsilon \_{i}-\mu )/kT}\pm 1}}}
> 
> 
> 

Asumindo que o valor mínimo de {\displaystyle \epsilon \_{i}} é bastante pequeno, pódese verificar que a condición na cal a distribución de Maxwell-Boltzmann é válida é cando se cumpre que:

> 
> {\displaystyle e^{-\mu /kT}\gg 1}
> 
> 
> 

Para un gas ideal, podemos calcular os potenciais químicos utilizando o desenvolvemento da ecuación Sackur–Tetrode para demostrar que :

> 
> {\displaystyle \mu =\left({\frac {\partial E}{\partial N}}\right)\_{S,V}=-kT\ln \left({\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\right)}
> 
> 
> 

onde E é a enerxía interna total, {\displaystyle S} é a entropía, V é o volume, e \Lambda  é a lonxitude de onda térmica de De Broglie. A condición de aplicación para a distribución Maxwell-Boltzmann nun gas ideal resulta:

> 
> {\displaystyle {\frac {V}{N\Lambda ^{3}}}\gg 1.}
> 
> 
>

Notas
-----

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Distribución de probabilidade
* Estatística de Fermi-Dirac
* Estatística de Bose-Einstein

### Bibliografía

* Selva, Rodolfo N. (abril de 1997). "Capítulo IV". En La Llave Ediciones S.R.L. *Dispositivos Electrónicos* (1ra edición ed.). Buenos Aires. pp. 84 a 99. ISBN 950-795-009-5.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1206235
* GEC: 0041539
* MAG: 69657162

 |