En Matemática, e en particular na Análise funcional, a **transformada de Laplace** dunha función *f*(*t*) definida para todo número real *t* ≥ 0 é a función *F*(*s*), definida por:

{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int \_{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
As propiedades desta transformada tórnanna útil para a análise de sistemas dinámicos lineares. A vantaxe máis interesante desta transformada é que a integración e a derivación tórnanse multiplicacións e divisións, da mesma maneira que o logaritmo transforma a multiplicación en adición. Ela permite levar a resolución de ecuacións diferenciais á resolución de ecuacións polinomiais, que son moito máis simples de resolver.

A transformada de Laplace ten o seu nome en homenaxe ao matemático francés Pierre Simon Laplace.

Notación en Enxeñaría/Física
----------------------------

Un abuso ás veces conveniente de notación, que acontece principalmente entre enxeñeiros e físicos, espreme iso da forma seguinte:

{\displaystyle F(s)={\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}=\int \_{0^{-}}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
Cando se fala de transformada de Laplace, reférese xeralmente á versión unilateral. Existe tamén a transformada de Laplace *bilateral*, que se define como segue:

{\displaystyle F\_{B}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f\right\}(s)=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.}
A transformada de Laplace *F*(*s*) existe tipicamente para todos os números reais *s* > *a*, onde *a* é unha constante que depende do comportamento de crecemento de *f*(*t*).

A transformada de Laplace tamén pode utilizarse na resolución de ecuacións diferenciais, e é extensamente utilizada en enxeñaría eléctrica.

Un aspecto interesante da transformada de Laplace é que os matemáticos, ata hoxe, non coñecen o seu dominio. En outras palabras, non existe ningún conxunto de regras co cal se pode verificar se a transformada de Laplace pode ou non se aplicar a unha función.

Propiedades
-----------

### Linearidade

{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{af(t)+bg(t)\right\}=a{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}+b{\mathcal {L}}\left\{g(t)\right\}}
### Derivada

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f'\}=s{\mathcal {L}}\{f\}-f(0)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f''\}=s^{2}{\mathcal {L}}\{f\}-sf(0)-f'(0)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f^{(n)}\right\}=s^{n}{\mathcal {L}}\{f\}-s^{n-1}f(0)-\cdots -f^{(n-1)}(0)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\{tf(t)\}=-F'(s)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{{\frac {f(t)}{t}}\right\}=\int \_{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma }
### Integral

{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{\int \_{0}^{t}f(\tau )d\tau \right\}={1 \over s}{\mathcal {L}}\{f\}}
### Composición

{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{e^{at}f(t)\right\}=F(s-a)} Amortización
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{F(s-a)\right\}=e^{at}f(t)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(ta)\right\}=e^{as}F(s)} Atraso
{\displaystyle {\mathcal {L}}\left\{f(t-a)u(t-a)\right\}=e^{as}F(s)}
{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\left\{e^{as}F(s)\right\}=f(t-a)u(t-a)}
Nota: {\displaystyle u(t)} é a función de etapa de Heaviside.

### Valor Final

{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }f(t)=\lim \_{s\to 0}sF(s)}
### Convolución

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\otimes g\}={\mathcal {L}}\{f\}{\mathcal {L}}\{g\}}
### Transformada de Laplace dunha función de período *p*

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}={1 \over 1-e^{-ps}}\int \_{0}^{p}e^{-st}f(t)\,dt}

Algunhas transformadas usuais
-----------------------------

### Potencia *n*

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,t^{n}\}={\frac {n!}{s^{n+1}}}}
### Exponencial

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,e^{-at}\}={\frac {1}{s+a}}}
### Seno

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\sin(bt)\}={\frac {b}{s^{2}+b^{2}}}}
### Coseno

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\cos(bt)\}={\frac {s}{s^{2}+b^{2}}}}
### Seno hiperbólico

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\sinh(bt)\}={\frac {b}{s^{2}-b^{2}}}}
### Coseno hiperbólico

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\cosh(bt)\}={\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}}

|  |
| --- |
| Demostracción |
| {\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\cosh(bt)\}={\frac {1}{2}}{\mathcal {L}}\{\,e^{bt}+e^{-bt}\}={\frac {1}{2}}({\mathcal {L}}\{\,e^{bt}\}+{\mathcal {L}}\{\,e^{-bt}\})={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{s-b}}+{\frac {1}{s+b}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {s+b+s-b}{s^{2}-b^{2}}}\right)={\frac {1}{2}}\left({\frac {2s}{s^{2}-b^{2}}}\right)={\frac {s}{s^{2}-b^{2}}}} |

### Logaritmo natural

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\ln(t)\}=-{\frac {\ln(s)+\gamma }{s}}}
### Raíz *n*

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,{\sqrt[{n}]{t}}\}=s^{-{\frac {n+1}{n}}}\cdot \Gamma \left(1+{\frac {1}{n}}\right)}
### Función de Besel do primeiro tipo

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,X\_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {1+s^{2}}}}}
### Función de Besel modificada do primeiro tipo

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,I\_{n}(t)\}={\frac {\left(s+{\sqrt {-1+s^{2}}}\right)^{-n}}{\sqrt {-1+s^{2}}}}}
### Función erro

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\,\operatorname {erf} (t)\}={e^{s^{2}/4}\operatorname {erfc} \left(s/2\right) \over s}}

Outras transformadas comúns
---------------------------

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| Transformada de Laplace | Función no dominio Tempo | {\displaystyle 1} | {\displaystyle \delta (t)}, impulso unitario |
| {\displaystyle {\frac {1}{s}}} | {\displaystyle u(t)}, paso unitario |
| {\displaystyle {\frac {n!}{(s+a)^{n+1}}}} | {\displaystyle {e^{-at}t^{n}}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{(s+a)^{n}}}} | {\displaystyle {\frac {t^{n-1}}{(n-1)!}}e^{-at}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{s(s+a)}}} | {\displaystyle 1-e^{-at}} |
| {\displaystyle {\frac {1}{(s+a)(s+b)}}} | {\displaystyle {\frac {1}{ba}}\left(e^{-at}-e^{-bt}\right)} |
| {\displaystyle {\frac {s+c}{(s+a)^{2}+b^{2}}}} | {\displaystyle e^{-at}\left(\cos {(bt)}+\left({\frac {ca}{b}}\right)\sin {(bt)}\right)} |
| {\displaystyle {\frac {\sin \varphi s+a\cos \varphi }{s^{2}+a^{2}}}} | {\displaystyle \sin {(at+\varphi )}} |

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q199691
* BNCF: 35184
* BNF: 119531733
* EBID: ID
* JSTOR: laplace-transformation
* LCCN: sh85074666
* MAG: 97937538
* NDL: 00567362
* PSH: 7572

 |