En matemáticas, o **mínimo común múltiplo** (abreviado **m.c.m.**) ou **mínimo múltiplo común** de dous ou máis números naturais é o menor número natural que é múltiplo común de todos eles (ou o ínfimo do conxunto dos múltiplos comúns). Este concepto estivo ligado historicamente cos números naturais, pero pódese empregar para enteiros negativos ou enteiros gaussianos.

Cálculo do mínimo múltiplo común
--------------------------------

Partindo de dous ou máis números e por descomposición en factores primos, expresados como produto de factores primos, o seu mínimo múltiplo común será o resultado de multiplicar todos os factores comúns e non comúns elevados á maior potencia, por exemplo o mcm de 72 e 50 será:


|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}72&2\\36&2\\18&2\\9&3\\3&3\\1&\end{array}}} |
| {\displaystyle 72=2^{3}\cdot 3^{2}\,} |

 | 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}50&2\\25&5\\5&5\\1&\end{array}}} |
| {\displaystyle 50=2\cdot 5^{2}\,} |

 |

Tomando os factores comúns e non comúns co seu maior expoñente, tense que:

{\displaystyle \operatorname {mcm} (72,50)=2^{3}\cdot 3^{2}\cdot 5^{2}=1800}
Coñecendo o máximo divisor común de dous números, pódese calcular o mínimo múltiplo común deles, que será o produto de ambos os dous dividido entre o seu máximo común divisor.

{\displaystyle \operatorname {mcm} (a,b)={\frac {a\cdot b}{\operatorname {mcd} (a,b)}}}

Propiedades básicas
-------------------

1. Se a é un enteiro, entón [*a*, *a*] = *a*
2. Se *a* e *b* son enteiros, [*a*, *b*] = *b* se só se *b* é múltiplo de *a*.
3. (*a*, *b*) = [*a*, *b*] se son iguais ou opostos.
4. [*a*, *b*] = [*ab*] se e só se (*a*, *b*)= 1
5. [*a*/*d*, *b*/*d*] = [*m*/*a*, *m*/*b*] onde *m* = mcm e *d* = mcd.
6. [*ma*, *b*]= *m*[*a*, *b*] se ([*a*, *b*]/*a*, *m*) = 1
7. [*a*, *b*, *c*]= ''a'', ''b'', ''b'', ''c''
8. [*a*, *b*, *c*]|*ab'*, onde *abc* ≠ 0
9. [*a*, *b*, *c*] = *ab'* (*a*, *b*, *c*)/(*a*, *b*)(*b*, *c*)(*c*, *d*)

Outras propiedades son:

* Se se divide o produto de dous números polo seu máximo divisor común devandito cociente é o mínimo múltiplo común.
* O mínimo múltiplo común de dous números, onde o menor divide a maior, será o maior. É lóxico xa que un múltiplo de ambos inferior ao maior sería imposible xa que non sería múltiplo do maior.
* O mínimo múltiplo común de dous números primos é o total da súa multiplicación. Isto é lóxico xa que o seu máximo divisor común é 1.
* O mínimo múltiplo común de dous números compostos será igual ao cociente entre o seu produto e o m.c.d deles. É evidente segundo a propiedade 1.
* O máximo divisor común de varios números é un divisor do mínimo múltiplo común de tales números.
* Sexa *m*ℤ o conxunto dos múltiplos do enteiro *m* e *n*ℤ o do enteiro *n*. Entón o conxunto *n*ℤ∩*m*ℤ está formado polos múltiplos comúns de *m* e *n*; noutra notación é o conxunto [*m*, *n*]ℤ.

Aplicacións do mínimo múltiplo común
------------------------------------

### Suma de fraccións

O mcm pódese empregar para sumar ou restar fraccións de distinto denominador, tomando o mcm dos denominadores das fraccións, e converténdoas en fraccións equivalentes que poidan ser sumadas. Por exemplo:

{\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}}
Para poder efectuar a suma, primeiro débese buscar o mínimo múltiplo común dos denominadores (6 e 33)


|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}6&2\\3&3\\1&\end{array}}} |
|  |
| {\displaystyle 6=2\cdot 3\,} |

 | 

|  |
| --- |
| {\displaystyle {\begin{array}{r|l}33&3\\11&11\\1&\end{array}}} |
|  |
| {\displaystyle 33=3\cdot 11\,} |

 |

daquela o mínimo común múltiplo de 6 e 33 é:

{\displaystyle \operatorname {mcm} (6,33)=2\cdot 3\cdot 11=66}
que corresponde ao número 66; ambas as fraccións terán como denominador 66; agora só hai que achar a cada fracción a súa fracción equivalente, con denominador 66 e será posible a suma:

{\displaystyle {\cfrac {1}{6}}+{\frac {4}{33}}\quad =\quad {\cfrac {1}{6}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{6}}{\cfrac {66}{6}}}\;+\;{\cfrac {4}{33}}\cdot {\cfrac {\cfrac {66}{33}}{\cfrac {66}{33}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{6\cdot {\cfrac {66}{6}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{33\cdot {\cfrac {66}{33}}}}\quad =\quad {\cfrac {1\cdot {\cfrac {66}{6}}}{{\cancel {6}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {6}}}}}\;+\;{\cfrac {4\cdot {\cfrac {66}{33}}}{{\cancel {33}}\cdot {\cfrac {66}{\cancel {33}}}}}\quad =}
operando as fraccións, pódese realizar a suma:

{\displaystyle {\cfrac {1\cdot 11}{66}}+{\frac {4\cdot 2}{66}}\quad =\quad {\cfrac {11}{66}}+{\frac {8}{66}}\quad =\quad {\cfrac {19}{66}}}
### Expresións alxébricas

O m.c.m. para dúas expresións alxébricas, corresponde á expresión alxébricas de menor coeficiente numérico e de menor grao que é divisible exactamente por cada unha das expresións dadas. Esta teoría é de suma importancia para as fraccións e ecuacións.

Desta form{\displaystyle } o m.c.m. dos monomios {\displaystyle \ 4a} e {\displaystyle \ 6a^{2}} é {\displaystyle \ 12a^{2}} igualmente para {\displaystyle \ 2x^{2},\ 6x^{3}} e {\displaystyle \ 9x^{4}} é {\displaystyle \ 18x^{4}}.

Algoritmo de cálculo
--------------------

Para máis de dous números, un algoritmo para calcular o mínimo múltiplo común é:

1. Descompor cada un dos números nun produto de potencias de factores primos. Por exemplo, a descomposición factorial de 324 é 22·34.
2. De entre todos as potencias de factores primos, escoller todos os existentes, e dentro dos comúns a todos os números, os de maior potencia.
3. Multiplicar todos os factores escolleitos.

Por exemplo, calculando o mcm(324,16,7,5). A descomposición de 324 é 22·34.; a descomposición de 16 é: 24; a descomposición de 7 é 7 e a descomposición de 5 é 5.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}324=&2^{2}&3^{4}&&\\16=&2^{4}&&\\5=&&&5&\\7=&&&&7\end{bmatrix}}}
Polo tanto, obtense o mcm 24·34·7·5 = 45360.

Xeneralización do concepto de m.c.m. e m.c.d.
---------------------------------------------

O concepto de m.c.m. e de m.c.d. pódese estender ás fraccións ou números racionais positivos. Estritamente falando calquera número racional divide outro racional e non existe un racional maior ou menor que todos. No entanto, a extensión aquí descrita ten interese nalgúns problemas e está relacionada coa teoría de aneis, ideais, identidade de Bézout, teorema de Krull etc.

Sexan dúas fraccións {\displaystyle {\frac {a}{b}}} e {\displaystyle {\frac {c}{d}}} irreducibles

{\displaystyle a=\prod \_{i}p\_{i}^{e\_{i}(a)},b=\prod \_{i}p\_{i}^{e\_{i}(b)},c=\prod \_{i}p\_{i}^{e\_{i}(c)},d=\prod \_{i}p\_{i}^{e\_{i}(d)}} 
a descomposición en factores primos de {\displaystyle a,b,c,d}. Entón

{\displaystyle {\frac {\prod \_{i}p\_{i}^{\max(e\_{i}(a),e\_{i}(c))}}{\prod \_{i}p\_{i}^{\min(e\_{i}(b),e\_{i}(d))}}}}
é unha fracción que é múltiplo común de {\displaystyle {\frac {a}{b}}} e {\displaystyle {\frac {c}{d}}} e é o mínimo polas propiedades do m.c.m. e m.c.d. de dous enteiros non negativos xa que {\displaystyle {\prod \_{i}p\_{i}^{\max(e\_{i}(a),e\_{i}(c))}}} e o m.c.m. dos numeradores e {\displaystyle {\prod \_{i}p\_{i}^{\min(e\_{i}(b),e\_{i}(d))}}} é o m.c.d. dos denominadores de xeito que se pode concluír que

{\displaystyle \operatorname {mcm} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcm} (a,c)}{\operatorname {mcd} (b,d)}}.}
Analogamente ou tendo en conta que o produto de dous números é igual ao do seu m.c.m. polo seu m.c.d. obtense:

{\displaystyle \operatorname {mcd} \left({\frac {a}{b}},{\frac {c}{d}}\right)={\frac {\operatorname {mcd} (a,c)}{\operatorname {mcm} (b,d)}}.}
As fórmulas anteriores son válidas para unha cantidade finita de fraccións. Ademais o cociente do mcm entre cada fracción é un enteiro e o conxunto dos cocientes forman un sistema de primos entre si. De igual maneira, o cociente de cada fracción entre o mcd é enteiro, os cocientes son primos entre si.

De maneira máis xeral, o concepto de m.c.m. ten sentido en calquera dominio enteiro.

Notas
-----

1. ↑  Pérez Vázquez, Libia; Precedo Estraviz, Patricia; Seoane Bouzas, Nuria (2006). *Profesionaliza a túa lingua matemática*. Univesidade da Coruña. ISBN 84-9749-226-9.
2. ↑  Masa Vázquez, Xosé M.; Fortes López, Belén (1995). Servicio de Normalización Lingüística da Universidade de Santiago de Compostela, ed. *Vocabulario de Matemáticas*. Santiago de Compostela. ISBN 84-8121-369-1.
3. ↑  Rectificación y reconfrontación con "Aritmética" de Universidad de Ciencias y Humanidades del Perú
4. ↑  Varios autores: Aritmética, Editorial UCH, Lima (2013)
5. ↑  Nestes temas de divisibilidade cómpre falar de divisor, factor ou submúltiplo, mais non de inclusión.
6. ↑  Kostrikin: Introducción al álgebra, Editorial Mir, Moscova (1974)
7. ↑  Baldor, Aurelio. "XII". *Álgebra* (en castelán). Cultural. ISBN 9684392117.
8. ↑  Mathematics Stack Exchange
9. ↑  Galdos; Aritmética 1m ISBN 9972-891-14-3]
10. ↑  Birkhoff- Mc Lane. Álgebra Moderna

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001). *Prime Numbers: A Computational Perspective*. Nova York: Springer. ISBN 0-387-94777-9.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). *An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition)*. Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
* Landau, Edmund (1966). *Elementary Number Theory*. Nova York: Chelsea.
* Long, Calvin T. (1972). *Elementary Introduction to Number Theory* (2nd ed.). Lexington: D. C. Heath and Company. LCCN 77-171950.
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970). *Elements of Number Theory*. Englewood Cliffs: Prentice Hall. LCCN 77-81766.

### Outros artigos

* Máximo común divisor
* Número primo
* Mínimo común denominador

### Ligazóns externas

* Calculador do MCM Online
* Calculador do MCM Online (2)
* Quiz do MCM
* Cálculo do MCM e do MCD

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q102761
* BNCF: 36929
* BRE: 2245165
* EBID: ID
* MAG: 102607178
* Treccani: minimo-comune-multiplo

 |