Na rama da matemática denominada análise matemática, o **teorema da función inversa** proporciona as condicións suficientes para que unha aplicación sexa invertíbel localmente no contorno dun punto p en termos da súa derivada no punto. O teorema pódese enunciar para aplicacións en **R**n ou xeneralizar a variedades diferenciábeis ou espazos de Banach.

O teorema estabelece que se o campo vectorial está definido entre dous conxuntos da mesma dimensión topolóxica, o campo ten as súas primeiras derivadas continuas e a xacobina nun punto do dominio é invertíbel, entón o campo tamén é invertible localmente. Máis aínda, o xacobino da inversa no punto imaxe é igual á inversa do xacobino no punto.

{\displaystyle (F^{-1}(p))'=(F'(p))^{-1}\,}

Enunciado
---------

A versión en {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} do teorema é a seguinte:

Sexa {\displaystyle f:A\subseteq \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} unha función **C1**. Supoñendo que para {\displaystyle a\in A}, a diferencial {\displaystyle Df(a)\,} é invertible e que {\displaystyle f(a)=b\,}, entón existen abertos {\displaystyle U,V\subset \mathbb {R} ^{n}} de modo que {\displaystyle a\in U}, {\displaystyle b\in V} e {\displaystyle f:U\rightarrow V} é unha función bixectiva, polo que a inversa {\displaystyle f^{-1}:V\rightarrow U} de {\displaystyle f\,} é **C1** e polo tanto {\displaystyle Df^{-1}(b)=[Df(a)]^{-1}\,}.

Exemplo
-------

Considerando a función **F** de **R**2 en **R**2 definida por

{\displaystyle \mathbf {F} (x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}\\{e^{x}\sin y}\\\end{bmatrix}}}
O seu xacobino é

{\displaystyle J\_{F}(x,y)={\begin{bmatrix}{e^{x}\cos y}&{-e^{x}\sin y}\\{e^{x}\sin y}&{e^{x}\cos y}\\\end{bmatrix}}}
e o seu determinante

{\displaystyle \det J\_{F}(x,y)=e^{2x}\cos ^{2}y+e^{2x}\sin ^{2}y=e^{2x}.\,\!}
Coma o determinante e2x é non nulo en todo punto, aplicando o teorema, para cada punto *p* de **R**2, existe unha contorna de *p* na que *F* é invertible.

Variedades diferenzables
------------------------

Neste contexto, o teorema afirma que dada unha aplicación *F* : *M* → *N* entre dúas variedades diferenzables, se aa diferencial de *F*,

(d*F*)*p* : T*p**M* → T*F*(*p*)*N*
é un isomorfismo linear (é dicir, isomorfismo entre espazos vectoriais) nun punto *p* de *M*, entón existe unha contorna aberta *U* de *p* tal que

*F*|*U* : *U* → *F*(*U*)
é un difeomorfismo.

Expresado doutra maneira, se a diferencial de *F* é un isomorfismo en tódolos puntos *p* de *M*, entón a aplicación *F* é un difeomorfismo local.

Inversa global
--------------

O teorema da función inversa só garante localmente a existencia dunha función inversa. Os requirimentos para a existencia dunha inversa global son algo máis complexos e non están garantidos polo cumprimento das condicións do teorema da función inversa.

Dada unha función diferenciable:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle f:\Omega \subset \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m},\quad m\geq n,\quad f\in C^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{m})}
> 
> 
> 

Pode demostrarse que existe unha constante {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )} se cumpre:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle \max \_{x\in {\bar {\Omega }}}\|Du\_{f}(x)\|=\sup \_{x\in \Omega }\|Du\_{f}(x)\|<c(\Omega )\leq 1}
> 
> 
> 

De maneira que a función *f* admite inversa global, onde *uf* é o vector de desprazamento asociado á función definido como a resta vectorial entre a imaxe dun punto e a súa posición inicial:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle u\_{f}(x)=f(x)-x\in \mathbb {R} ^{n}}
> 
> 
> 

Pode demostrarse que {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )=1} se o dominio {\displaystyle \scriptstyle \Omega } é convexo, mentres que un dominio non convexo require {\displaystyle \scriptstyle c(\Omega )<1}.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Bombal, Marin & Vera: *Problemas de Análisis matemático: Cálculo Diferencial*, 1988, ed. AC, ISBN 84-7288-101-6. *(en castelán)*

### Outros artigos

* Teorema da función implícita

### Ligazóns externas

* Alejandro Jofré, Patricio Felmer, Paul Bosch, Matías Bulnes, Arturo Prat, Luis Rademacher, José Zamora, y Mauricio Vargas. "*Cálculo en Varias Variables - Apunte Completo*" (2010) *(en castelán)*

  


|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q931001
* MAG: 43987214

 |