Un rectángulo dourado cun lado maior ***a*** e cun lado menor ***b***. Cando se abate o rectángulo pequeno sobre o cadrado de lado ***a***, xérase un rectángulo dourado similar co seu lado maior ***a + b*** e co seu lado máis curto a. Esta operación ilustra a relación matemática:{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.} 
O **rectángulo dourado** (denominado tamén **rectángulo áureo** ou **rectángulo de ouro**) é un rectángulo que posúe unha proporcionalidade entre os seus lados igual á razón áurea. Ao dividir a base deste rectángulo pola súa altura, obtense o número áureo 1.618. Ao subtraer a imaxe dun cadrado igual ao do seu lado menor, o rectángulo resultante é igualmente un rectángulo dourado. A partir deste rectángulo pódese obter a espiral dourada, que é unha espiral logarítmica.

Construción
-----------

Un método para construír un rectángulo dourado. O cadrado está punteado en vermello. As dimensións resultantes son a razón áurea.
Proceso de construción do rectángulo de ouro con medidas.
Na matemática clásica constrúese mediante regra e compás seguindo os pasos:

1. Constrúese un cadrado de lado unidade {\displaystyle ABCD}
2. Trázase unha liña desde a metade do lado do cadrado (G) até un dos vértices do lado oposto, dando un segmento {\displaystyle GC}
3. Empregando esta liña {\displaystyle GC} como raio, colócase a punta do compás na metade do cadrado e abátese até cortar en E.
4. Complétase o rectángulo {\displaystyle AEDF} así como o rectángulo {\displaystyle BCEF}.

Desenvolvementos
----------------

De acordo co divulgador científico Mario Greco, desde a publicación do libro de Bruno Miere titulado *Divina Proportione* en 1509, é cando a razón dourada aparece descrita nos tratados de arte e de arquitectura, facendo que moitos artistas e arquitectos a empregasen a súa cantidade no deseño por consideralo esteticamente agradable.

### Alxébrica

Se a lonxitude do lado maior se denomina x, tense por definición:

{\displaystyle {\frac {x}{1}}={\frac {1}{x-1}}}
Isto leva a resolver a ecuación de segundo grao:

{\displaystyle x^{2}-x-1=0}
Na que unha das dúas raíces é a proporción dourada.

### O rectángulo de Euclides

Trátase dunha das demostracións máis coñecidas desde a antigüidade.

Euclides obtén o rectángulo áureo {\displaystyle AEFD} a partir do cadrado {\displaystyle ABCD}. O rectángulo {\displaystyle BEFC} é así mesmo áureo.
O rectángulo cuxos vértices se definen polos puntos {\displaystyle AEFD} defínese como áureo debido a que o seu lado maior {\displaystyle AE} e o seu lado curto {\displaystyle AD} presentan a proporción do número áureo. O matemático grego Euclides, na súa obra *Os elementos*, obtén a súa construción. Sendo o triángulo {\displaystyle GBC} pitagórico, tense que {\displaystyle GC} (a hipotenusa) ten como valor:

GC={\sqrt {5}}
Con centro en G, prolongando até a recta {\displaystyle AE}, obtense por intersección o punto E, e por tanto:

GE=GC={\sqrt {5}}
con todo iso pódese ver que resulta evidente que os lados:

AE=AG+GE=1+{\sqrt {5}}
de onde:

{\frac {AE}{AD}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi 
Por outra banda, os rectángulos {\displaystyle AEFD} e {\displaystyle BEFC} son semellantes, de modo que este último é así mesmo un rectángulo áureo.

Na arquitectura
---------------

O *rectángulo áureo* foi cualificado polos gregos clásicos como unha das figuras xeométricas máis belamente estruturadas. Por un longo lapso de séculos, os arquitectos utilizaron este cuadrilátero para templos, rañaceos e edificacións de diversa índole, desde o Partenón de Atenas (s. V a.C.), cuxa fachada dianteira se inscribe nun rectángulo áureo até a sede das Nacións Unidas.

Galería
-------

* A espiral dourada
* O icosaedro posúeo nas súas caras interiores
* Suma de rectángulos
* Rectángulo áureo mediante Fibonacci
* Sede das Nacións Unidas: a fachada do edificio é formada por rectángulos dourados.
* O Partenon hoxe e como tería sido na súa época.

O rectángulo dourado na industria
---------------------------------

* A norma DIN 476 é a que define a medida do DIN A4 e outros tamaños de papel. O DIN A4 e os seus derivados A3, A2... **non** manteñen as proporcións do rectángulo dourado, senón que manteñen a relación {\displaystyle {\sqrt {2}}=1.4142}, casualmente a proporción que usaba Policleto para o seu canon.

Investigacións psicolóxicas
---------------------------

Gustav Theodor Fechner
As pescudas e debates sobre o tema naceron no s. XIX cos experimentos de Fechner, que tentou confirmar a superioridade estética do rectángulo dourado a través de investigacións dirixidas a demostrar a súa preferencia polos humanos.

A enquisa realizouse segundo tres metodoloxías complementarias.

* De elección (*Wahl*): solicitude aos suxeitos para escolleren os rectángulos que preferían.
* De produción (*Herstellung*): os suxeitos debuxan o rectángulo que consideran máis agradábel.
* De uso (*Verwendung*): medindo obxectos de uso cotián para verificar a presenza da proporción áurea.

Nos resultados publicados en 1879 só a primeira enquisa deu un resultado positivo, segundo as súas conviccións, cunha preferencia do 35% polo rectángulo dourado. Porén, de inmediato xurdiron críticas ao método do experimento. Fechner amosara a 347 persoas unha disposición de 10 rectángulos de igual área coa relación entre os lados en orde crecente (de 1:1 a 1:2,5), na que o rectángulo dourado ocupaba a 7ª posición, preguntando cal era máis agradábel. As críticas xurdiron en tres ordes de observación: 

1. Ter desatendido a influencia da orientación vertical ou horizontal na elección das persoas.
2. A influencia da posición mediana. Os suxeitos puideron estar orientados a indicar o rectángulo dourado xa que representaba a figura coas proporcións medias entre os presentados.
3. Os suxeitos non foron escollidos ao azar e sobre todo eran conscientes das crenzas do científico, o que supón todos os posibles problemas para os que hoxe se adopta o procedemento de dobre cego.

Os experimentos, aínda que só un deu o resultado esperado, abriron unha liña de investigacións nas que a preferencia pola sección dourada resultou cada vez máis unha quimera, até que finalmente tivo unha conclusión negativa na última década do século XX.

Notas
-----

1. ↑  Livio, Mario (2002). Editorial Ariel, ed. *La proporción áurea* (Primera (Español) ed.). Barcelona.
2. ↑  Pacioli, Luca. *De divina proportione*, Luca Paganinem de Paganinus de Brescia (Antonio Capella) 1509, Venecia.
3. ↑  Livio, Mario (2002). *The Golden Ratio: The Story of Phi, The World's Most Astonishing Number*. Nueva York: Broadway Books. ISBN 0-7679-0815-5.
4. ↑  Van Mersbergen, Audrey M. *Rhetorical Prototypes in Architecture: Measuring the Acropolis with a Philosophical Polemic*, *Communication Quarterly*, Vol. 46, 1998 ("a 'Golden Rectangle' has a ratio of the length of its sides equal to 1:1.61803+. The Parthenon is of these dimensions.")
5. ↑  Clemens y coautores: «Geometría /con aplicaciones y solución de problemas» ISBN 0-201-64407-X

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Rectángulo dourado*** |

### Outros artigos

* Número áureo

### Ligazóns externas

* The Golden Mean and the Physics of Aesthetics
* Golden rectangle demonstration With interactive animation
* From golden rectangle to golden quadrilaterals Explores some different possible golden quadrilaterals

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1059366
* EBID: ID
* MAG: 45027786

 |