Dúas rectas paralelas.
Planos paralelos.
En xeometría, o **paralelismo** é unha relación que se establece entre calquera variedade linear de dimensión maior ou igual que 1 (rectas, planos, hiperplanos…). No plano cartesiano dúas rectas son paralelas se teñen a mesma pendente ou son perpendiculares a un dos eixes, por exemplo a función constante.

En xeometría afín, expresando unha variedade linear como *V = p + E*, con *p* punto e *E* espazo vectorial, dise que *A = a + F* é paralela a *B = b + G* se e só se *F* está contido en *G* ou *G* está contido en *F*, onde *A* e *B* son subvariedades lineares da mesma variedade linear *V* e *F* e *G* son subespazos vectoriales do mesmo espazo vectorial *E*. No plano (afín) (*V* = {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}), tradúcese do seguinte xeito: dúas rectas son paralelas se teñen un mesmo vector director.

Nun espazo afín tridimensional, unha recta e un plano poden ser paralelos, e a coincidencia de variedades lineares é un caso particular de paralelismo. Así, dúas rectas, contidas nun plano, son paralelas se son a mesma recta (rectas coincidentes) ou, polo contrario, non comparten ningún punto.

De xeito análogo, no espazo, dous planos son paralelos se son o mesmo plano ou se non comparten ningunha recta.

Rectas paralelas
----------------

Construción dunha liña paralela por un punto dado, empregando só regra e compás
Dúas rectas son paralelas se os seus vectores directores son paralelos, é dicir, se son linearmente dependentes.

Tamén se denominan así aqueles pares de liñas que nunca se unen ou cruzan.

### Axioma de unicidadee

O axioma que distingue a xeometría euclidiana doutras xeometrías é o seguinte: 

Nun plano, por un punto exterior a unha recta pasa unha e só unha paralela a esa recta.
### Propiedades

Dado o conxunto **P** de rectas no plano, podemos definir a relación binaria: {\displaystyle \parallel } que representamos do seguinte modo:

{\displaystyle a\parallel b\quad ,\quad \parallel (a,b)\quad ,\quad (a,b)\in \parallel }
Sendo **a**, **b**, **c** rectas no plano **P**, cúmprese:

* Reflexiva: Toda recta é paralela a ela mesma:

{\displaystyle \forall a\in P:\quad a\parallel a}
* Simétrica: se unha recta é paralela a outra, aquela é paralela á primeira:

{\displaystyle \forall a,b\in P:\quad a\parallel b\longrightarrow \quad b\parallel a}
Estas dúas propiedades dedúcense da intersección de conxuntos e non dependen do axioma de unicidade.

* Transitiva: se unha recta é paralela a outra, e esta á súa vez é paralela a unha terceira, a primeira é paralela á terceira:

{\displaystyle \forall a,b,c\in P:\quad {\Big (}\;a\parallel b\;\land \;b\parallel c\;{\Big )}\longrightarrow \quad a\parallel c}
Polo tanto a relación de paralelismo entre rectas do plano é unha relación de equivalencia. Estas mesmas propiedades pódense comprobar no conxunto de planos paralelos no espazo.

### Teoremas

* Nun plano, dúas rectas perpendiculares a unha terceira son paralelas entre elas.
* Nun plano, se unha recta corta outra recta, entón corta todas as paralelas desta.

As demostracións destes dous teoremas e da terceira propiedade empregan o axioma de unicidade.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Perpendicularidade
* Quinto postulado de Euclides
* Ángulos entre paralelas
* Rectas paralelas cortadas por unha secante

### Bibliografía

* Coxeter, H. S. M. (1961): *Introduction to Geometry*. Nova York: Wiley.
* Dieste, R. (1956): *Nuevo tratado del paralelismo*. Buenos Aires: Ed. Atlántida.
* Norden, A. P. (1958): *Elementare Einführung in die Lobatschewskische Geometrie*. Berlín: Deutscher Verlag der Wissenschaften.
* Santaló, L. (1961): *Geometrías no euclidianas*. Buenos Aires: EUDEBA.

### Ligazóns externas

* Paralelismo en MathWorld *(en inglés)*

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q53875
* AAT: 300263335
* BRE: 2707021
* JSTOR: parallel-planes
* MAG: 88740403

 |