Diagrama de Hasse do conxunto *P* de divisores de 60, parcialmente ordenado pola relación "*x* dividir *y*". O subconxunto en vermello {\displaystyle S} = {1,2,3,4} ten dous elementos maximais, a saber, 3 e 4, e un elemento minimal, a saber, 1, que tamén é o seu elemento menor.
En matemáticas, especialmente na teoría da orde, un **elemento maximal** dun subconxunto {\displaystyle S} dalgúns conxuntos preordenados é un elemento de {\displaystyle S} que non é menor que calquera outro elemento en {\displaystyle S}. Un **elemento minimal** dun subconxunto {\displaystyle S} de algún conxunto preordenado está definido dualmente como un elemento de {\displaystyle S} que non é maior que calquera outro elemento en {\displaystyle S}.

As nocións de elementos maximal e minimal son máis febles que as de elemento maior e menor que tamén se coñecen, respectivamente, como máximo e mínimo. O máximo dun subconxunto {\displaystyle S} dun conxunto preordenado é un elemento de {\displaystyle S} que é maior ou igual a calquera outro elemento de {\displaystyle S,} e o mínimo de {\displaystyle S} volve a definirse de forma dual. No caso particular dun conxunto parcialmente ordenado, mentres que pode haber como moito un máximo e como moito un mínimo pode haber varios elementos maximais ou minimais.   Nos conxuntos totalmente ordenados, coinciden as nocións de elemento maximal e máximo, e de elemento minimal e mínimo.

Como exemplo, na colección


S
:=

{

{
d
,
o
}
,
{
d
,
o
,
g
}
,
{
g
,
o
,
a
,
d
}
,
{
o
,
a
,
f
}

}

{\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}

{\displaystyle S:=\left\{\{d,o\},\{d,o,g\},\{g,o,a,d\},\{o,a,f\}\right\}}ordenado por Inclusión, o elemento {*d*, *o*} é mínimal xa que non contén conxuntos na colección, o elemento {*g*, *o*, *a*, *d* } é maximal xa que non hai conxuntos na colección que o conteñan, o elemento {*d*, *o*, *g*} non é ningún non é nin minimal nin maximal e o elemento {*o*, *a*, *f* } pola contra ten as dúas propiedades é minimal e maximal. En contraste, non existe nin un máximo nin un mínimo para {\displaystyle S.}

O lema de Zorn afirma que todo conxunto parcialmente ordenado para o cal cada subconxunto totalmente ordenado ten un elemento maiorante contén polo menos un elemento maximal. Este lema é equivalente ao teorema da boa orde (ou de Zermelo) e ao axioma de escolla  e implica resultados importantes noutras áreas matemáticas como o teorema de Hahn-Banach, o teorema de Kirszbraun, o teorema de Tychonoff, a existencia dunha base de Hamel para cada espazo vectorial e a existencia dun pechamento alxébrico para todo corpo.

Definición
----------

Sexa {\displaystyle (P,\leq )} un conxunto preordenado e sexa {\displaystyle S\subseteq P.}

Un elemento maximal de S en relación a ≤ é un elemento {\displaystyle m\in S} tal que

se {\displaystyle s\in S} satisfai {\displaystyle m\leq s,} entón necesariamente {\displaystyle s\leq m.}
Do mesmo xeito, un elemento minimal de S en relación a ≤ é un elemento {\displaystyle m\in S} tal que 

se {\displaystyle s\in S} satisface {\displaystyle s\leq m,} entón necesariamente {\displaystyle m\leq s.}
De forma equivalente, {\displaystyle m\in S} é un elemento minimal de {\displaystyle S} en relación a {\displaystyle \,\leq \,} se e só se {\displaystyle m} é un elemento máximo de {\displaystyle S} en relación a {\displaystyle \,\geq ,\,} onde por definición, {\displaystyle q\geq p} se e só se {\displaystyle p\leq q} (para todos os {\displaystyle p,q\in P} ).

Se o subconxunto {\displaystyle S} non se especifica entón debe supoñerse que {\displaystyle S:=P.}

Se o conxunto preordenado {\displaystyle (P,\leq )} tamén é un conxunto parcialmente ordenado (ou, de xeito máis xeral, se a restrición {\displaystyle (S,\leq )} é un conxunto parcialmente ordenado) entón {\displaystyle m\in S} é un elemento maximal de {\displaystyle S} se e só se {\displaystyle S} non contén ningún elemento estritamente maior que {\displaystyle m;} explicitamente, isto significa que non existe ningún elemento {\displaystyle s\in S} tal que {\displaystyle m\leq s} e {\displaystyle m\neq s.} A caracterización de elementos minimais obtense mediante o uso de {\displaystyle \,\geq \,} en lugar de {\displaystyle \,\leq .}

Existencia e unicidade
----------------------

 Un valado 
consta só de elementos minimais e maximais (Exemplo 3).
**Existencia**: non ten por que existir un elemento maximal (nin minimal por dualidade).

* **Exemplo 1:** Sexa {\displaystyle S=[1,\infty )\subseteq \mathbb {R} } onde {\displaystyle \mathbb {R} } denota os números reais. Para tódolos {\displaystyle m\in S,}{\displaystyle s=m+1\in S} mais {\displaystyle m<s} (é dicir, {\displaystyle m\leq s} mais non {\displaystyle m=s}).
* **Exemplo 2:**Sexa {\displaystyle S=\{s\in \mathbb {Q} ~:~1\leq s^{2}\leq 2\},} onde {\displaystyle \mathbb {Q} } denota os números racionais e onde {\displaystyle {\sqrt {2}}} é irracional.

**Unicidade**: en xeral {\displaystyle \,\leq \,} é só unha orde parcial en {\displaystyle S.} Se {\displaystyle m} é un elemento maximal e {\displaystyle s\in S,} entón pode ser posible que nin {\displaystyle s\leq m} nin {\displaystyle m\leq s.} Isto deixa aberta a posibilidade de que existan máis dun elemento maximal (ou minimal por dualidade).

* **Exemplo 3:** No valado {\displaystyle a\_{1}<b\_{1}>a\_{2}<b\_{2}>a\_{3}<b\_{3}>\ldots ,} todos os {\displaystyle a\_{i}} son minimais e todos os {\displaystyle b\_{i}} son maximais, como se mostra na imaxe.
* **Exemplo 4:** Sexa *A* un conxunto con polo menos dous elementos e sexa {\displaystyle S=\{\{a\}~:~a\in A\}} o subconxunto do conxunto das partes {\displaystyle \wp (A)} composto por subconxuntos unitarios, parcialmente ordenados por {\displaystyle \,\subseteq .} Este sería un poset discreto onde non hai dous elementos comparables e, polo tanto, todos os elementos {\displaystyle \{a\}\in S} son maximais (e neste caso tamén minimais); a maiores, para calquera distintos {\displaystyle a,b\in A,} nin {\displaystyle \{a\}\subseteq \{b\}} nin{\displaystyle \{b\}\subseteq \{a\}.}

Elementos maiores
-----------------

Para un conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle (P,\leq ),} o núcleo irreflexivo de {\displaystyle \,\leq \,} denotase como {\displaystyle \,<\,} e defínese por {\displaystyle x<y} se {\displaystyle x\leq y} e {\displaystyle x\neq y.} Para membros arbitrarios {\displaystyle x,y\in P,} aplícase exactamente un dos seguintes casos:

1. {\displaystyle x<y};
2. {\displaystyle x=y};
3. {\displaystyle y<x};
4. {\displaystyle x} e {\displaystyle y} son incomparables.

Dado un subconxunto {\displaystyle S\subseteq P} e algúns {\displaystyle x\in S,}

* se o caso 1 nunca aplica a ningún {\displaystyle y\in S,} entón {\displaystyle x} é un elemento maximal de {\displaystyle S,}
* se os casos 1 e 4 nunca aplican a ningún {\displaystyle y\in S,} entón chamamos a {\displaystyle x} elemento maior de {\displaystyle S.}

Así, a definición de elemento maior é máis forte que a de elemento maximal.

Se {\displaystyle P} satisfai a condición de cadea ascendente, un subconxunto {\displaystyle S} de {\displaystyle P} ten un elemento maior se, e só se, ten un elemento maximal. 

Se as nocións de elemento maximal e elemento maior coinciden en cada subconxunto de dous elementos {\displaystyle S} de {\displaystyle P} entón {\displaystyle \,\leq \,} é unha orde total en {\displaystyle P.}

Conxuntos dirixidos
-------------------

Nun conxunto dirixido, cada par de elementos (particularmente pares de elementos incomparables) ten un elemento maiorante común dentro do conxunto. Se un conxunto dirixido ten un elemento maximal, tamén é o seu maior elemento,  e, polo tanto, o seu único elemento maximal. Para un conxunto dirixido sen elementos maximais ou maiores, consulte os exemplos 1 e 2 anteriores.

Temos conclusións semellantes para elementos mínimos.

Atópase máis información introdutoria na teoría da orde. .

Propiedades
-----------

* Cada subconxunto finito non baleiro {\displaystyle S} ten elementos maximais e minimais. Un subconxunto infinito pode non ter ningún deles, por exemplo, os enteiros {\displaystyle \mathbb {Z} } coa orde habitual.
* O conxunto de elementos maximais dun subconxunto {\displaystyle S} é sempre unha anticadea, é dicir, non hai dous elementos maximais diferentes de {\displaystyle S} que sexan comparables. O mesmo aplícase aos elementos minimais.

Exemplos
--------

* Na eficiencia de Pareto, un **óptimo de Pareto** é un elemento maximal en relación á orde parcial da mellora de Pareto, e o conxunto de elementos maximais chámase **fronteira de Pareto.**
* Na teoría da decisión, unha **regra de decisión admisible** é un elemento maximal en relación á orde parcial da *regra de decisión dominante.*
* Na teoría moderna de carteiras, o conxunto de elementos maximais en relación á orde do produto sobre risco e rendibilidade chámase **fronteira eficiente.**
* Na teoría de conxuntos, un conxunto é finito se e só se toda familia de subconxuntos non baleira ten un elemento minimal cando se ordena pola relación de inclusión.
* En álxebra abstracta, o concepto de máximo común divisor é necesario xeneralizalo ao concepto de máximos comúns divisores cando temos sistemas numéricos nos que os divisores comúns dun conxunto de elementos poden ter máis dun elemento maximal.
* En xeometría computacional, os máximos dun conxunto de puntos son maximais en relación á orde parcial por dominación de coordenada.

Nocións relacionadas
--------------------

Un subconxunto {\displaystyle Q} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P} dise que é cofinal se para cada {\displaystyle x\in P} hai algún {\displaystyle y\in Q} tal que {\displaystyle x\leq y.} Todo subconxunto cofinal dun conxunto parcialmente ordenado con elementos maximais debe conter todos os elementos maximais.

Un subconxunto {\displaystyle L} dun conxunto parcialmente ordenado {\displaystyle P} dise que é un conxunto inferior de {\displaystyle P} se está pechado embaixo: se {\displaystyle y\in L} e {\displaystyle x\leq y} entón {\displaystyle x\in L.} Cada conxunto inferior {\displaystyle L} dun conxunto ordenado finito {\displaystyle P} é igual ao conxunto inferior máis pequeno que contén todos os elementos maximais de {\displaystyle L.}

Notas
-----

1. ↑  Richmond, Bettina; Richmond, Thomas (2009). *A Discrete Transition to Advanced Mathematics*. American Mathematical Society. p. 181. ISBN 978-0-8218-4789-3. .
2. ↑  Scott, William Raymond (1987). *Group Theory*. Dover. p. 22. ISBN 978-0-486-65377-8.
3. ↑  Jech, Thomas (2008) [originally published in 1973]. *The Axiom of Choice*. Dover Publications. ISBN 978-0-486-46624-8.

1. ↑  Se {\displaystyle a,b\in P} son incomparables, daquela {\displaystyle S=\{a,b\}} tería dous elementos maximal, mais ningún elemento maior, contradicindo a coincidencia. {\displaystyle \blacksquare }
2. ↑  Sexa {\displaystyle m\in D} maximal. Sexa un {\displaystyle x\in D} arbitrario. Daquela o elemento maiorante común {\displaystyle u} de {\displaystyle m} e {\displaystyle x} satisfai {\displaystyle u\geq m}, así {\displaystyle u=m} por maximalidade. Posto que {\displaystyle x\leq u} cúmprese por definición de {\displaystyle u}, temos que {\displaystyle x\leq m}. De aquí que {\displaystyle m} é o elemento maior. {\displaystyle \blacksquare }

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Elemento maior e menor
* Ínfimo e supremo
* Elemento maiorante e minorante

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1475294
* MAG: 196773441

 |

Bibliografía
------------