Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Pareto**| Función de densidade Funcións de densidade de probabilidade para diferentes *α*  con *x*m = 1. o eje horizontal é o parámetro *x*. Como *α* → ∞ a distribución se aproxima δ(*x* − *x*m) onde δ é a delta de Dirac. |
| Función de distribuciónFuncións de densidade de probabilidade para diferentes *α*  con *x*m = 1. o eje horizontal é o parámetro *x*. |
| **Parámetros** | {\displaystyle x\_{\mathrm {m} }>0\,} escala (real){\displaystyle \alpha >0\,} forma (real) |
| **Soporte** | {\displaystyle x\in [x\_{\mathrm {m} };+\infty )\!} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {\alpha \,x\_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}{\text{ for }}x>x\_{m}\!} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle 1-\left({\frac {x\_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }\!} |
| **Media** | {\displaystyle {\frac {\alpha \,x\_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}{\text{ for }}\alpha >1\,} |
| **Mediana** | {\displaystyle x\_{\mathrm {m} }{\sqrt[{\alpha }]{2}}} |
| **Moda** | {\displaystyle x\_{\mathrm {m} }\,} |
| **Varianza** | {\displaystyle {\frac {x\_{\mathrm {m} }^{2}\alpha }{(\alpha -1)^{2}(\alpha -2)}}{\text{ for }}\alpha >2\,} |
| **Asimetría** | {\displaystyle {\frac {2(1+\alpha )}{\alpha -3}}\,{\sqrt {\frac {\alpha -2}{\alpha }}}{\text{ for }}\alpha >3\,} |
| **Curtose** | {\displaystyle {\frac {6(\alpha ^{3}+\alpha ^{2}-6\alpha -2)}{\alpha (\alpha -3)(\alpha -4)}}{\text{ for }}\alpha >4\,} |
| **Entropía** | {\displaystyle \ln \left({\frac {\alpha }{x\_{\mathrm {m} }}}\right)-{\frac {1}{\alpha }}-1\!} |
| **F. xeradora de momentos** | {\displaystyle \alpha (-x\_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x\_{\mathrm {m} }t){\text{ for }}t<0\,} |
| **Func. caract.** | {\displaystyle \alpha (-ix\_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-ix\_{\mathrm {m} }t)\,} |

En estatística a **distribución Pareto**, formulada polo sociólogo Vilfredo Pareto, é unha distribución de probabilidade continua con dous parámetros, que ten aplicación en disciplinas como a socioloxía, a xeofísica e a economía. Nalgunhas disciplinas refírense ás veces como a lei de Bradford. O equivalente discreto da distribución Pareto é a distribución zeta (a lei de Zipf).

Probabilidade acumulada
-----------------------

Se *X* pertence ao dominio da variable da distribución de Pareto, entón a probabilidade de que *X* sexa maior que un número *x* vén dada por:

{\displaystyle Pr(X>x)={\begin{cases}\left({\frac {x\_{\mathrm {m} }}{x}}\right)^{\alpha }&{\text{si }}x\geq x\_{\mathrm {m} },\\1&{\text{si }}x<x\_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}
onde *x*m é o valor mínimo posible (positivo) de *X*, e *α* é un parámetro. A familia das distribucións de Pareto parametrízanse con dúas cantidades, *x*m e *α*. Cando esta distribución se emprega nun modelo sobre a distribución de riqueza, o parámetro *α* é coñecido como índice de Pareto.

Función de densidade
--------------------

A partir da probabilidade acumulada, pode deducirse mediante unha derivada que a función de densidade de probabilidade é:

{\displaystyle f\_{X}(x)={\begin{cases}\alpha \,{\dfrac {x\_{\mathrm {m} }^{\alpha }}{x^{\alpha +1}}}&{\text{si }}x>x\_{\mathrm {m} },\\[12pt]0&{\text{si }}x<x\_{\mathrm {m} }.\end{cases}}}

Propiedades
-----------

* A media ou valor esperado dunha variable aleatoria *X*, que segue unha distribución de Pareto con parámetro *α* > 1 é

{\displaystyle E(X)={\frac {\alpha x\_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\,}

(se *α* ≤ 1, o valor esperado non existe).
* A varianza é

{\displaystyle \mathrm {var} (X)=\left({\frac {x\_{\mathrm {m} }}{\alpha -1}}\right)^{2}{\frac {\alpha }{\alpha -2}}.}

(Si *α* ≤ 2, a varianza non existe).
* Os momentos son

{\displaystyle \mu \_{n}'={\frac {\alpha x\_{\mathrm {m} }^{n}}{\alpha -n}},\,}

pero o *n*-ésimo momento existe só para *n* < *α*.
* A función xeradora de momentos só está definida para valores non positivos de *t* ≤ 0 segundo:

{\displaystyle M\left(t,\alpha ,x\_{\mathrm {m} }\right)=E(e^{tX})=\alpha (-x\_{\mathrm {m} }t)^{\alpha }\Gamma (-\alpha ,-x\_{\mathrm {m} }t){\text{ and }}M\left(0,\alpha ,x\_{\mathrm {m} }\right)=1.\,}
### Caso dexenerado

A función da delta de Dirac é un caso límite da densidade de Pareto:

{\displaystyle \lim \_{\alpha \rightarrow \infty }f(x;\alpha ,x\_{\mathrm {m} })=\delta (x-x\_{\mathrm {m} }).\,}

Distribución simétrica
----------------------

Pode definirse unha Distribución de Pareto simétrica segundo:

{\displaystyle f(x;\alpha ,x\_{\mathrm {m} })={\begin{cases}(\alpha x\_{\mathrm {m} }^{\alpha }/2)|x|^{-\alpha -1}&{\text{si }}|x|>x\_{\mathrm {m} }\\0&{\text{resto}}.\end{cases}}}

Distribución xeneralizada de Pareto
-----------------------------------


**Pareto xeneralizado**| Función de densidade{{{pdf\_image}}} |
| Función de distribución{{{cdf\_image}}} |
| **Parámetros** | {\displaystyle \mu \in (-\infty ,\infty )\,} localización (real)
{\displaystyle \sigma \in (0,\infty )\,} escala (real)
{\displaystyle \xi \in (-\infty ,\infty )\,} forma (real) |
| **Soporte** | {\displaystyle x\geqslant \mu \,\;(\xi \geqslant 0)}
{\displaystyle \mu \leqslant x\leqslant \mu -\sigma /\xi \,\;(\xi <0)} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {\frac {1}{\sigma }}(1+\xi z)^{-(1/\xi +1)}}
onde {\displaystyle z={\frac {x-\mu }{\sigma }}} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle 1-(1+\xi z)^{-1/\xi }\,} |
| **Media** | {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma }{1-\xi }}\,\;(\xi <1)} |
| **Mediana** | {\displaystyle \mu +{\frac {\sigma (2^{\xi }-1)}{\xi }}} |
| **Moda** | {{{moda}}} |
| **Varianza** | {\displaystyle {\frac {\sigma ^{2}}{(1-\xi )^{2}(1-2\xi )}}\,\;(\xi <1/2)} |
| **Asimetría** | {{{asimetría}}} |
| **Curtose** | {{{curtose}}} |
| **Entropía** | {{{entropía}}} |
| **F. xeradora de momentos** | {{{mgf}}} |
| **Func. caract.** | {{{char}}} |

A familia de **distribucións xeneralizadas de Pareto (GPD)** teñen tres parámetros {\displaystyle \mu ,\sigma \,} e {\displaystyle \xi \,}.

A función de probabilidade acumulada é

{\displaystyle F\_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\begin{cases}1-\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{-1/\xi }&{\text{si }}\xi \neq 0,\\1-\exp \left(-{\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)&{\text{si }}\xi =0.\end{cases}}}
Para {\displaystyle x\geqslant \mu }, con {\displaystyle \xi \geqslant 0\,}, e {\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi } con {\displaystyle \xi <0\,}, onde {\displaystyle \mu \in \mathbb {R} } é o parámetro *localización*, {\displaystyle \sigma >0\,} é o parámetro *escala* e {\displaystyle \xi \in \mathbb {R} } é o parámetro *forma*. Algunhas referencias toman o parámetro *forma* como {\displaystyle \kappa =-\xi \,}.

A función de densidade de probabilidade es:

{\displaystyle f\_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {1}{\sigma }}\left(1+{\frac {\xi (x-\mu )}{\sigma }}\right)^{\left(-{\frac {1}{\xi }}-1\right)}.}
ou

{\displaystyle f\_{(\xi ,\mu ,\sigma )}(x)={\frac {\sigma ^{\frac {1}{\xi }}}{\left(\sigma +\xi (x-\mu )\right)^{{\frac {1}{\xi }}+1}}}.}
de novo, para {\displaystyle x\geqslant \mu }, e {\displaystyle x\leqslant \mu -\sigma /\xi } se {\displaystyle \xi <0\,}

Notas
-----

1. ↑  Guerriero, V. (2012). "Power Law Distribution: Method of Multi-scale Inferential Statistics". *Journal of Modern Mathematics Frontier*.
2. ↑  Grabchak, M.; Samorodnitsky, D. "Do Financial Returns Have Finite or Infinite Variance? A Paradox and an Explanation" (PDF). pp. 7–8.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Barry C. Arnold (1983). *Pareto Distributions*, International Co-operative Publishing House, Burtonsville, Maryland. ISBN 0-899974-012-1.
* Christian Kleiber e Samuel Kotz (2003). *Statistical Size Distributions in Economics and Actuarial Sciences*, Nova York:Wilei. xi+332 pp. ISBN 0-471-15064-9.
* Lorenz, M. O. (1905). "Methods of measuring the concentration of wealth". Publications of the American Statistical Association. 9: 209–219.

### Ligazóns externas

* Calculadora - Distribución de Pareto

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q837683
* GND: 4632300-4
* MAG: 190373308

 |