{\displaystyle f} é unha función do dominio {\displaystyle X} no codominio {\displaystyle Y.} O óvalo amarelo por dentro de {\displaystyle Y} é a imaxe de {\displaystyle f.}

Definición
----------

A palabra "imaxe" úsase de tres formas relacionadas. Nestas definicións, {\displaystyle f:X\to Y} é unha función do conxunto {\displaystyle X} no conxunto {\displaystyle Y.}

### Imaxe dun elemento

Se {\displaystyle x} é membro de {\displaystyle X,} entón a imaxe de {\displaystyle x} baixo {\displaystyle f,} denotado como {\displaystyle f(x),} é o valor de {\displaystyle f} cando se aplica a {\displaystyle x.} {\displaystyle f(x)} coñécese alternativamente como a saída de {\displaystyle f} para o argumento {\displaystyle x.}

Dado {\displaystyle y,} a función {\displaystyle f} dise que *toma o valor* y se existe algún {\displaystyle x} no dominio da función tal que {\displaystyle f(x)=y.}

### Imaxe dun subconxunto

Sexa {\displaystyle f:X\to Y} unha función. A image baixo {\displaystyle f} dun subconxunto {\displaystyle A} de {\displaystyle X} é o conxunto de tódolos {\displaystyle f(a)} para {\displaystyle a\in A.} Desígnase por {\displaystyle f[A],} ou por {\displaystyle f(A),} cando non hai risco de confusión. Esta definición pódese escribir como 


f
[
A
]
=
{
f
(
a
)
:
a
∈
A
}
.

{\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}

{\displaystyle f[A]=\{f(a):a\in A\}.}
### Imaxe dunha función

A *imaxe* dunha función é a imaxe de todo o seu dominio, tamén coñecida como o rango da función. Este último uso debería evitarse porque a palabra "rango" tamén se usa habitualmente para significar o codominio de {\displaystyle f.}

### Xeneralización a relacións binarias

Se {\displaystyle R} é unha relación binaria arbitraria en {\displaystyle X\times Y,} entón o conxunto {\displaystyle \{y\in Y:xRy} para algún {\displaystyle x\in X\}} chámase imaxe ou rango de {\displaystyle R.} Dualmente, o conxunto {\displaystyle \{x\in X:xRy} para algún {\displaystyle y\in Y\}} chámase dominio de {\displaystyle R.}

Preimaxe ou imaxe inversa
-------------------------

Sexa {\displaystyle f} unha función de {\displaystyle X} en {\displaystyle Y.} A **preimaxe** ou **imaxe inversa** dun conxunto {\displaystyle B\subseteq Y} baixo {\displaystyle f,} denotado como {\displaystyle f^{-1}[B],} é o subconxunto de {\displaystyle X} definido por



f

−
1

[
B
]
=
{
x
∈
X

:

f
(
x
)
∈
B
}
.

{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}

{\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X\,:\,f(x)\in B\}.}Por exemplo, para a función {\displaystyle f(x)=x^{2},} a preimaxe de {\displaystyle \{4\}} sería {\displaystyle \{-2,2\}.} Se non hai risco de confusión, {\displaystyle f^{-1}[B]} pode denotarse por {\displaystyle f^{-1}(B)}. A notación {\displaystyle f^{-1}} non se debe confundir coa de función inversa, aínda que coincide coa habitual das bixeccións en que a imaxe inversa de {\displaystyle B} baixo {\displaystyle f} é a imaxe de {\displaystyle B} baixo {\displaystyle f^{-1}.}

Exemplos
--------

* {\displaystyle f:\{1,2,3\}\to \{a,b,c,d\}} definido por {\displaystyle \left\{{\begin{matrix}1\mapsto a,\\2\mapsto a,\\3\mapsto c.\end{matrix}}\right.}

A *imaxe* do conxunto {\displaystyle \{2,3\}} baixo {\displaystyle f} é {\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}.} A *imaxe* da función {\displaystyle f} é {\displaystyle \{a,c\}.} A *preimaxe* de {\displaystyle a} é {\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}.} A *preimaxe* de {\displaystyle \{a,b\}} é tamén {\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}.} A *preimaxe* de {\displaystyle \{b,d\}} baixo {\displaystyle f} é o conxunto baleiro {\displaystyle \{\ \}=\emptyset .}

* {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} } definido por {\displaystyle f(x)=x^{2}.}

A *imaxe* of {\displaystyle \{-2,3\}} baixo {\displaystyle f} é {\displaystyle f(\{-2,3\})=\{4,9\},} e a *imaxe* de {\displaystyle f} é {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} (o conxunto de todos os números reais positivos e cero). A *preimaxe* de {\displaystyle \{4,9\}} baixo {\displaystyle f} é {\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}.} A *preimaxe* do conxunto {\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}} baixo {\displaystyle f} é o conxunto baleiro, porque os números negativos non teñen raíz cadrada nos reais.

* {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} } definido por {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}.}

As fibras {\displaystyle f^{-1}(\{a\})} son circunferencias concéntricas aorredor da orixe, a propia orixe e o conxunto baleiro, dependdendo do valor de a, se{\displaystyle a>0,\ a=0,{\text{ or }}\ a<0} (respectively). (No caso de {\displaystyle a\geq 0,} daquela a *fibra* {\displaystyle f^{-1}(\{a\})}é o conxunto de todos os {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} que satisfán a ecuación {\displaystyle x^{2}+y^{2}=a,} isto é, as circunferencias centradas na orixe con raio {\displaystyle {\sqrt {a}}.})

* Se {\displaystyle M} é unha variedade e {\displaystyle \pi :TM\to M} e a proxección canónica desde fibrado tanxente {\displaystyle TM} en {\displaystyle M,} entón as *fibras* de {\displaystyle \pi } son os espazos tanxentes {\displaystyle T\_{x}(M){\text{ para }}x\in M.} isto é tamén un exemplo de fibrado tanxente.
* Un grupo cociente é unha *imaxe homomorfa*.

Notas
-----

1. ↑  "5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets". *Mathematics LibreTexts* (en inglés). 2019-11-05. Consultado o 2020-08-28.
2. ↑  Paul R. Halmos (1968). *Naive Set Theory*. Princeton: Nostrand.  Sect.8
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Image". *mathworld.wolfram.com* (en inglés). Consultado o 2020-08-28.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Artin, Michael (1991). *Algebra*. Prentice Hall. ISBN 81-203-0871-9.
* Blyth, T.S. (2005). *Lattices and Ordered Algebraic Structures*. Springer. ISBN 1-85233-905-5. .

* Halmos, Paul R. (1960). *Naive set theory*. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. ISBN 9780442030643. Zbl 0087.04403.
* Kelley, John L. (1985). *General Topology*. Graduate Texts in Mathematics **27** (2 ed.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q860623
* MAG: 115961682

 |