| Sistema numérico en matemáticas |
| --- |
| 
Conxuntos numéricosℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ⊂ ℂ |
| 
**Naturais ({\mathbb {N}})**

|  |
| --- |
| 
Números de Fermat, de Sophie Germain e de Mersenne |

**Enteiros ({\mathbb {Z}})**

|  |
| --- |
| 
Primos ({\mathbb {P}}) / Compostos
Pares / Impares
Abundantes / Defectivos
Números perfectos, amigos e sociábeis |

**Racionais ({\mathbb {Q}})**

|  |
| --- |
| 
Fraccións |

**Reais ({\mathbb {R}})**

|  |
| --- |
| 
Positivos ({\displaystyle \mathbb {R} \_{>0}}) / Negativos ({\displaystyle \mathbb {R} \_{<0}})
Irracionais ({\displaystyle \mathbb {I} })
Alxébricos / Transcendentes ({\mathrm {Tr}}) |

**Números complexos ({\mathbb {C}})**

|  |
| --- |
| 
Números imaxinarios |

 |
| 
Números destacables |
| 
-1
0
1
Φ ≈ 1,6180339887...
*e* ≈ 2,7182818284
π ≈ 3,1415926535
i = {\displaystyle {\sqrt {-1}}}
Constantes matemáticas |
| 
Outras extensións dos números complexos |
| 
Bicomplexos
Hipercomplexos
Cuaternións ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} })
Octonións ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} })
Sedenións ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} })
Superreais
Hiperreais
Surreais |
| 
Infinito |
| 
Infinito (∞)
Números infinitos
Números transfinitos
Números alef {{\displaystyle \aleph \_{0},\aleph \_{1},\cdots }} |
| 
Especiais |
| 
Nominais
Ordinais (1o,2o...)
Cardinais |
| 
Outros importantes |
| 
Secuencias de enteiros
Lista de números
Números grandes |
| Sistemas de numeración |
| 
* Numeración en base constante

|  |
| --- |
| 
Sistema binario (2)
Sistema octal (8)
Sistema decimal (10)
Sistema hexadecimal (16) |

* Numeración arábiga
* Numeración babilónica
* Numeración chinesa
* Numeración xaponesa
* Numeración maia
* Numeración romana

 |
| * v
* c
* e
 |

Os **números irracionais** son aqueles elementos da recta real que non son expresables mediante fraccións usando as operacións internas deste conxunto. É dicir, un número irracional non pode expresarse da forma *a*/*b* sendo *a* e *b* enteiros.

Os números irracionais caracterízanse por posuír infinitas cifras decimais que non seguen ningún patrón repetitivo. Os máis célebres números irracionais son identificados mediante símbolos. Algúns destes son:

* π (pi): relación entre o perímetro dunha circunferencia e o seu diámetro.
* e: :{\displaystyle e=\lim \_{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}}
* \Phi  (Número áureo):{\displaystyle ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}}

Demostración
------------

Un exemplo destes números irracionais é a raíz cadrada de 2. Para comprobalo podemos partir inicialmente de que a raíz cadrada de 2 si pode ser un número racional.

{\displaystyle {\sqrt {2}}={\frac {m}{n}}}
Iso significaría que *m* e *n* non teñen factores comúns, porque se non, poderiamos simplificar esa fracción ata atopar un factor común. Se elevamos os dous termos da ecuación ao cadrado temos

{\displaystyle 2={\frac {m^{2}}{n^{2}}}}
Aquí podemos deducir que *m* é un número par, porque dado que {\displaystyle n^{2}\times 2=m^{2}} , *m* sempre será par ao proceder dun produto de 2.

Polo tanto, se *m* é par podemos expresalo como m=2k. E se elevamos isto ao cadrado temos que

{\displaystyle m^{2}=4k^{2}}
Ou o que é o mesmo

{\displaystyle 2n^{2}=4k^{2}\rightarrow n^{2}=2k^{2}}
Co que chegamos á conclusión de que *n* tamén é par. Pero iso non é posible, porque levaría a que *m* e *n* tivesen un factor común, e iso descartámolo ao comezo. Esta reductio ad absurdum é a que nos indica que as nosas premisas eran erróneas e que {\sqrt {2}} non pode ser racional.

Números transcendentes
----------------------

De especial relevancia son os chamados números transcendentes, que non poden ser solución de ningunha ecuación alxébrica. Por exemplo, o número áureo é unha das raíces da ecuación {\displaystyle x^{2}-x-1=0}, polo que non é un número transcendente. Pola contra, pi e *e* si son transcendentes.

Os números irracionais non son numerables ou contables, é dicir que entre dous irracionais calquera existen infinitos números irracionais. Por extensión os números reais tampouco son contables xa que inclúen o conxunto dos irracionais.

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Número.
* Matemáticas.
* Xerardo de Cremona.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q607728
* BNCF: 6842
* BRE: 2021607
* EBID: ID
* GEC: 0153755
* GND: 4162426-9
* JSTOR: irrational-numbers
* LCCN: sh85093213
* MAG: 94931360
* NKC: ph812800

 |