O atractor de Lorenz xorde no estudo do oscilador de Lorenz, un sistame dinámico.
Un **sistema dinámico** é un sistema cun estado que evoluciona co tempo. Os sistemas físicos en situación non estacionaria son exemplos de sistemas dinámicos, pero tamén existen modelos económicos, matemáticos e doutros tipos que son sistemas abstractos que son, ademais, sistemas dinámicos. O comportamento en devandito estado pódese caracterizar determinando os límites do sistema, os elementos e as súas relacións; desta forma pódense elaborar modelos que buscan representar a estrutura do mesmo sistema.

Ao definir os límites do sistema faise, en primeiro lugar, unha selección daqueles compoñentes que contribúan a xerar os modos de comportamento, e logo determínase o espazo onde levará a cabo o estudo, omitindo toda clase de aspectos irrelevantes.

Historia
--------

Adoita considerarse a Henri Poincaré como o fundador dos sistemas dinámicos. Poincaré publicou dous monografías clásicas, "New Methods of Celestial Mechanics" (1892–1899) e "Lectures on Celestial Mechanics" (1905–1910). Nelas, aplicou con éxito os resultados das súas investigacións ao problema do movemento de tres corpos e estudou detalladamente o comportamento das solucións (frecuencia, estabilidade, asíntotas etc). Estes artigos incluían o teorema da recorrencia de Poincaré, que afirma que certos sistemas, despois dun tempo suficientemente longo mais finito, volverá a un estado moi próximo ao inicial.

Aleksandr Lyapunov desenvolveu moitos métodos importantes de aproximacións. Os seus métodos, que desenvolveu en 1899, fixeron posible definir a estabilidade de conxuntos de ecuacións diferenciais ordinarias. Creou a teoría moderna da estabilidade dun sistema dinámico.

En 1913, George David Birkhoff probou o último teorema xeométrico de Poincaré, caso especial do problema dos tres corpos, resultado que o fixo célebre. En 1927 publicou *Dynamical Systems* e en 1931 descubriu o que se coñece como teorema ergódico, que resolveu, polo menos en principio, un problema fundamental de mecánica estatística. O teorema ergódico tamén ten repercusións na dinámica.

Stephen Smale tamén fixo avances significativos. A súa primeira contribución foi a *ferradura de Smale* que deu pulo a investigación dos sistemas dinámicos. Oleksandr Mykolaiovych Sharkovsky desenvolveu o teorema de Sharkovsky sobre os períodos dos sistemas dinámicos discretos en 1964. Unha das implicacións do teorema é que se un sistema dinámico discreto na recta real ten un punto periódico de período 3, entón debe ter puntos periódicos de calquera outro período.

Elementos para ter en conta
---------------------------

En canto á elaboración dos modelos, os elementos e as súas relacións, débese ter en conta:

1. Un sistema está formado por un conxunto de elementos en interacción.
2. O comportamento do sistema pódese mostrar a través de diagramas causais.
3. Hai varios tipos de variables: variables exóxenas (son aquelas que afectan o sistema sen que este as provoque) e as variables endóxenas (afectan o sistema pero este si as provoca).

Exemplo de sistema dinámico
---------------------------

Un exemplo dun sistema dinámico pódese ver nunha especie de peces que se reproduce de tal forma que este ano a cantidade de peixes é {\displaystyle X\_{k}}, o ano próximo será {\displaystyle X\_{k+1}}. Desta maneira pódese pór nomes ás cantidades de peixes que haberá cada ano, así: ano inicial {\displaystyle X\_{0}}, ano primeiro {\displaystyle X\_{1}},........... ...... ano *k* {\displaystyle X\_{k}}.

Como se pode observar: {\displaystyle x\_{k+1}=f(x\_{k})\,\!}, cúmprese para calquera ano *k*; o cal significa que a cantidade de peixes pode determinarse se se coñece a cantidade do ano anterior. Por conseguinte esta ecuación representa un sistema dinámico.

Tipos de sistemas dinámicos
---------------------------

Os sistemas dinámicos divídense en sistemas *discretos* no tempo e *continuos* no tempo. Un sistema dinámico chámase *discreto* se o tempo se mide en pequenos intres; estes son modelados como relacións recursivas, tal como a ecuación loxística:

> 
> 
>   
> 
> {\displaystyle x\_{t+1}=ax\_{t}(1-x\_{t})\,\!}
> 
> 
> 

onde *t* denota os pasos discretos do tempo e *x* é a variable que cambia con este. Un sistema dinámico discreto determinista xeral pode modelarse mediante unha ecuación abstracta do tipo:

Se o tempo se mide en forma continua, o sistema dinámico *continuo* resultante exprésase como unha ecuación diferencial ordinaria; por exemplo:

{\displaystyle {\frac {dx}{dt}}=ax(1-x)}
onde *x* é a variable que cambia co tempo *t*. A variable *x* é normalmente un número real, aínda que tamén pode ser un vector en **R***k*.

Sistemas lineares e non lineares
--------------------------------

Distínguese entre *sistemas dinámicos lineares* e *sistemas dinámicos non lineares*. Nos sistemas lineares, o segundo membro da ecuación é unha expresión que depende en forma linear de *x*, tal como:

Se se coñecen dúas solucións para un sistema linear, a suma delas é tamén unha solución; isto coñécese como *principio de superposición.* En xeral, as solucións provenientes dun espazo vectorial permiten o uso da álxebra linear e simplifican significativamente a análise. Para sistemas lineares continuos, o método da transformada de Laplace tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica; así mesmo que para os sistemas lineares discretos, o método da transformada Z tamén pode empregarse para transformar a ecuación diferencial nunha ecuación alxébrica.

Os sistemas non lineares son moito máis difíciles de analizar e a miúdo exhiben un fenómeno coñecido como caos, con comportamentos totalmente impredicibles.

Notas
-----

1. ↑  Holmes, Philip. "Poincaré, celestial mechanics, dynamical-systems theory and "chaos"." *Physics Reports* 193.3 (1990): 137-163.
2. ↑  *Dynamical Systems*

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Sistema dinámico***  |

### Bibliografía

* Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden (1978). *Foundations of mechanics*. Benjamin–Cummings. ISBN 0-8053-0102-X.
* *Encyclopaedia of Mathematical Sciences* (ISSN 0938-0396) has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.
* Christian Bonatti; Lorenzo J. Díaz; Marcelo Viana (2005). *Dynamics Beyond Uniform Hyperbolicity: A Global Geometric and Probabilistic Perspective*. Springer. ISBN 3-540-22066-6.
* Stephen Smale (1967). "Differentiable dynamical systems". *Bulletin of the American Mathematical Society* **73** (6): 747–817. doi:10.1090/S0002-9904-1967-11798-1.
* V. I. Arnold (1982). *Mathematical methods of classical mechanics*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96890-3.
* Jacob Palis and Welington de Melo (1982). *Geometric theory of dynamical systems: an introduction*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90668-1.
* David Ruelle (1989). *Elements of Differentiable Dynamics and Bifurcation Theory*. Academic Press. ISBN 0-12-601710-7.
* Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, *eds.* (1991). *Ergodic theory, symbolic dynamics and hyperbolic spaces*. Oxford University Press. ISBN 0-19-853390-X.
* Ralph H. Abraham and Christopher D. Shaw (1992). *Dynamics—the geometry of behavior, 2nd edition*. Addison-Wesley. ISBN 0-201-56716-4.

### Outros artigos

* Sistema non linear
* Cibernética
* Teoría de sistemas
* Retroalimentación
* Serie temporal
* Plan de negocio
* Sistema de control

### Ligazóns externas

* Teoría y ejercicios prácticos de Dinámica de Sistemas
* Boletín de Dinámica de Sistemas
* Revista de Dinámica de Sistemas

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q638328
* BNCF: 21431
* JSTOR: dynamical-systems
* MAG: 178685544
* NDL: 00576625

 |