A **estatística de Bose-Einstein** é un tipo de mecánica estatística aplicable á determinación das propiedades estatísticas de grandes conxuntos de partículas indistinguibles capaces de coexistir no mesmo estado cuántico (bosóns) en equilibrio térmico. A baixas temperaturas, os bosóns tenden a ter un comportamento cuántico similar que pode chegar a ser idéntico a temperaturas próximas ao cero absoluto nun estado da materia coñecido como condensado de Bose-Einstein, producido por primeira vez en laboratorio no ano 1995. O condensador Bose-Einstein funciona a temperaturas próximas do cero absoluto, -273,16 °C (0 Kelvin).

A estatística de Bose-Einstein foi introducida para estudar as propiedades estatísticas dos fotóns en 1920 polo físico hindú Satyendra Nath Bose e xeneralizada para átomos e outros bosóns por Albert Einstein en 1924. Este tipo de estatística está intimamente relacionada coa estatística de Maxwell-Boltzmann (derivada inicialmente para gases) e as estadísticas de Fermi-Dirac (aplicables a partículas denominadas fermións sobre as que rexe o principio de exclusión de Pauli que impide que dous fermións compartan o mesmo estado cuántico).

A estatística de Bose-Einstein redúcese á estatística de Maxwell-Boltzmann para enerxías suficientemente elevadas.

Formulación matemática
----------------------

O número de partículas nun estado de enerxía *i* é:

> 
> 
>   
> 
> 
> 
> 
> > 
> > {\displaystyle n\_{i}\left(\varepsilon \_{i}{\text{, }}T\right)={\frac {g\_{i}}{e^{{\left(\varepsilon \_{i}-\mu \right)}/{k\_{B}T}\;}-1}}}
> > 
> > 
> > 
> 
> 
> 

onde:

{\displaystyle n\_{i}\,} é o número de partículas nun estado *i*.
{\displaystyle g\_{i}\,} é a dexeneración cuántica do estado *i* ou número de funcións de onda diferentes que posúen dita enerxía.
{\displaystyle \epsilon \_{i}\,} é a enerxía do estado *i*.
{\displaystyle \mu \,} é o potencial químico.
{\displaystyle k\_{B}\,} é a constante de Boltzmann.
{\displaystyle T\,} é a temperatura.
A estatística de Bose-Einstein redúcese á estadística de Maxwell-Boltzmann para enerxías: {\displaystyle (\epsilon \_{i}-\mu )>>kT}

Derivación
----------

Dado que os sistemas bosónicos son sistemas de partículas indistinguibles, os estados cuxa única diferenza é a permutación de estados de dúas partículas son idénticos. Deste xeito, un estado do sistema estará univocamente definido polo número de partículas que se encontren nun determinado estado enerxético. Denotarase por {\displaystyle \epsilon \_{r}} o estado enerxético r-ésimo, por {\displaystyle n\_{r}} o número de partículas no estado r-ésimo e R cada unha das posibles combinacións de números de ocupación. A función de partición resulta:

{\displaystyle {\mathcal {Z}}=\sum \_{l}e^{-\beta (E\_{l}-\mu n\_{l})}=\sum \_{R}e^{-\beta \sum \_{r}(\epsilon \_{r}n\_{r}-\mu n\_{r})}=\sum \_{R}\prod \_{r}e^{-\beta (\epsilon \_{r}n\_{r}-\mu n\_{r})}}
A anterior expresión contén todas as combinacións posibles de {\displaystyle n\_{r}} entre 0 e {\displaystyle \infty } (posto que nun sistema bosónico o número de partículas por estado cuántico non está limitado) de forma que pode ser reescrita do seguinte xeito:

{\displaystyle {\mathcal {Z}}=\prod \_{r}\sum \_{n\_{r}=0}^{\infty }e^{-\beta (\epsilon \_{r}n\_{r}-\mu n\_{r})}=\prod \_{r}{\frac {1}{1-e^{-\beta (\epsilon \_{r}-\mu )}}}}
Aplicando que:

{\displaystyle \Phi =k\_{B}Tln{\mathcal {Z}}\quad y\quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N}
Tense que:

{\displaystyle \Phi =k\_{B}Tln{\mathcal {Z}}=-k\_{B}T\sum \_{r}ln(1-e^{-\beta (\epsilon \_{r}-\mu )})\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial \Phi }{\partial \mu }}=-N=-\sum \_{r}n\_{r}=-\sum \_{r}{\frac {e^{-\beta (\epsilon \_{r}-\mu )}}{1-e^{-\beta (\epsilon \_{r}-\mu )}}}}
De modo que:

{\displaystyle n\_{r}={\frac {1}{e^{\beta (\epsilon \_{r}-\mu )}-1}}}
Debido a que poden existir diferentes estados cuánticos cunha mesma enerxía, o número de partículas cunha determinada enerxía virá dado por:

{\displaystyle n\_{\epsilon }={\frac {g\_{\epsilon }}{e^{\beta (\epsilon -\mu )}-1}}}
sendo {\displaystyle g\_{E}} a dexeneración de tal enerxía.

Na anterior expresión obsérvase que o potencial químico será menor que todas as enerxías, do contrario o número medio de partículas nun estado podería ser negativo.

Aplicacións
-----------

* A distribución de enerxía da radiación do corpo negro dedúcese da aplicación da estatística de Bose-Einstein aos fotóns que compoñen a radiación electromagnética.
* A capacidade calorífica dos sólidos tanto a altas como a baixas temperaturas pode ser deducida a partir da estatística de Bose-Einstein aplicada aos fonóns, cuasipartículas que dan conta das excitacións da rede cristalina. En particular a lei de Dulong-Petit pode ser deducida da estatística de Bose-Einstein.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q191076
* BNCF: 24854
* BRE: 1869559
* EBID: ID
* GND: 4146391-2
* JSTOR: bose-einstein-statistics
* MAG: 62605544
* PSH: 3195

 |