Compoñentes do tensor tensión nun punto P dun sólido deformable.
En mecánica de medios continuos, o **tensor tensión** ou **tensor de tensións** é o tensor que dá conta da distribución de tensións e esforzos internos no medio continuo.

Tipos de tensor tensión
-----------------------

### Tensor tensión de Cauchy

Representación gráfica das compoñentes do tensor tensión nunha base ortogonal.
O teorema de Cauchy sobre as tensións dun corpo, establece que dada unha distribución de tensións internas sobre a xeometría dun medio continuo deformado, que satisfaga as condicións do principio de Cauchy, existe un campo tensorial *T* simétrico definido sobre a xeometría deformada coas seguintes propiedades:

1.. {\displaystyle t(\mathbf {x} ,n)=[T\_{C}(\mathbf {x} )](n),}
2.. {\displaystyle \nabla \cdot T\_{C}(\mathbf {x} )+f(\mathbf {x} )=0,}
3.. {\displaystyle T\_{C}(\mathbf {x} )=T\_{C}^{T}(\mathbf {x} )}

A terceira propiedade significa que este tensor virá dado sobre as coordenadas especificadas por unha matriz simétrica. Cabe sinalar que nun problema mecánico a priori é difícil coñecer o tensor tensión de Cauchy xa que este está definido sobre a xeometría do corpo unha vez deformado, e esta non é coñecida de antemán. Polo tanto previamente é necesario encontrar a forma deformada para coñecer exactamente o tensor de Cauchy. Mais, cando as deformacións son pequenas, en enxeñaría e aplicacións prácticas emprégase este tensor aínda que definido sobre as coordenadas do corpo sen deformar (o cal non conduce a erros de cálculo excesivo se todas as deformacións máximas son inferiores a 0,01).

Fixado un sistema de referencia ortogonal, o tensor tensión de Cauchy vén dado por unha matriz simétrica coas compoñentes:  

  

{\displaystyle [T\_{C}]\_{xyz}={\begin{bmatrix}\sigma \_{11}&\sigma \_{12}&\sigma \_{13}\\\sigma \_{21}&\sigma \_{22}&\sigma \_{23}\\\sigma \_{31}&\sigma \_{32}&\sigma \_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma \_{xx}&\sigma \_{xy}&\sigma \_{xz}\\\sigma \_{yx}&\sigma \_{yy}&\sigma \_{yz}\\\sigma \_{zx}&\sigma \_{zy}&\sigma \_{zz}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sigma \_{x}&\tau \_{xy}&\tau \_{xz}\\\tau \_{yx}&\sigma \_{y}&\tau \_{yz}\\\tau \_{zx}&\tau \_{zy}&\sigma \_{z}\end{bmatrix}}}
  

A segunda forma é a forma común de chamar aos compoñentes do tensor tensión na enxeñaría.

### Primeiro tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Os tensores de Piola-Kirchhoff *TR* introdúcense para evitar a dificultade de ter que traballar cun tensor definido sobre a xeometría xa deformada (que normalmente non é coñecida previamente). A relación entre ambos tensores vén dada por:

> 
> {\displaystyle T\_{R}(\mathbf {x} )=det(\nabla F)T\_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T}}
> 
> 
> 

Onde *F* é o tensor gradiente de deformación. Este tensor non obstante ten o problema de que non é simétrico (ver segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff).

### Segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff

Este tensor introdúcese para lograr un tensor definido sobre a xeometría previa á deformación e que ademais sexa simétrico, a diferenza do primeiro tensor de Piola-Kirchhoff que non ten por que ser simétrico. O segundo tensor tensión de Piola-Kirchhoff vén dado por:

> 
> {\displaystyle \Sigma \_{R}(\mathbf {x} )=\det(\nabla F)((\nabla F)^{-1})T\_{C}(\mathbf {x} )(\nabla F)^{-T},}
> 
> 
>

Notas
-----

Véxase tamén
------------

### Outros artigos

* Mecánica de medios continuos
* Elasticidade (mecánica)
* Teorema de Rivlin-Ericksen
* Tensor deformación

### Bibliografía

* R. J. Atkin & N. Fox: *An Introduction to the Theory of Elasticity*, ed. Dover, ISBN 0-486-44241-1, 1980.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q13409892
* EBID: ID
* GND: 4316422-5
* MAG: 171338203

 |