O **cálculo multivariábel** (ou cálculo en varias variábeis) é máis a extensión do cálculo infinitesimal a funcións escalares e vectoriais de varias variábeis.

Campo escalar con dúas variábeis

Cálculo diferencial en campos escalares e vectoriais
----------------------------------------------------

### Funcións de Rn en Rm. Campos escalares e vectoriales

Formularanse as definicións para campos vectoriais, que tamén son válidas para campos escalares. Sexa

{\displaystyle \mathbf {f} :V\longrightarrow W}
un campo vectorial que fai corresponder a todo punto *P* definido biunivocamente polo seu vector posición un vector {\displaystyle \mathbf {f} {\big (}\mathbf {OP} {\big )}} onde o punto **O** é a orixe de coordenadas.

{\displaystyle V\subseteq \mathbb {R} ^{n},W\subseteq \mathbb {R} ^{m},} con {\displaystyle n>1} e {\displaystyle m\geqslant 1}. Cando {\displaystyle m=1} tense un campo escalar. Para {\displaystyle m>1} tense un campo vectorial. Utilizarase a norma euclidiana para achar a magnitude dos vectores.
### Límites e continuidade

Sexan {\displaystyle \mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}} e {\displaystyle \mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{m}}. Escríbese:

{\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} },
ou ben,
{\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {x} )\rightarrow \mathbf {b} } cando {\displaystyle \mathbf {x} \rightarrow \mathbf {a} }
para expresar o seguinte:
{\displaystyle \lim \_{{\big \|}\mathbf {x-a} {\big \|}\to 0}{\big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}-\mathbf {b} {\big \|}=0}
onde {\displaystyle {\big \|}\mathbf {x} {\big \|}} é a norma euclidiana de {\displaystyle \mathbf {x} }.
Expresándoo en función das compoñentes de {\displaystyle \mathbf {x} ={\big (}x\_{1},\ldots ,x\_{n}{\big )},\mathbf {a} ={\big (}a\_{1},\ldots ,a\_{n}{\big )},}

{\displaystyle \lim \_{{\big (}x\_{1},\ldots ,x\_{n}{\big )}\to {\big (}a\_{1},\ldots ,a\_{n}{\big )}}\mathbf {f} {\big (}x\_{1},\ldots ,x\_{n}{\big )}=\mathbf {b} }
ou, de forma equivalente,

{\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} }

> 
> 
> Dise que unha función {\displaystyle \mathbf {f} } é *continua* en {\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {a} {\big )}}
> 
> 

> 
> 
> Teorema: {\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} ,\lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {c} \Rightarrow }
> a) {\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big [}\mathbf {f} +\mathbf {g} {\big ]}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} +\mathbf {c} }
> b) {\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }\lambda \mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}=\lambda \mathbf {b} \quad \forall \lambda \in \mathbb {R} }
> c) {\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\big (}\mathbf {f} \cdot \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} }
> (produto escalar de {\displaystyle \mathbf {b} } con {\displaystyle \mathbf {c} }).
> d) {\displaystyle \lim \_{\mathbf {x} \to \mathbf {a} }{\Big \|}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big \|}={\big \|}\mathbf {b} {\big \|}}
> 
> 

> 
> 
> Teorema: Sexan {\displaystyle \mathbf {f} } e \mathbf{g} dúas funcións tales que a función composta {\displaystyle \mathbf {f} \circ \mathbf {g} } está definida en {\displaystyle \mathbf {a} }, sendo
> {\displaystyle {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} {\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}}
> \mathbf{g} é continua en {\displaystyle \mathbf {a} } e {\displaystyle \mathbf {f} } é continua en {\displaystyle \mathbf {g} {\big (}\mathbf {a} {\big )}\Rightarrow {\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}} é continua en {\displaystyle \mathbf {a} }.
> 
> 

### Derivadas direccionais

#### Derivada dun campo escalar respecto dun vector

Sexa {\displaystyle f:S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} }. Sexa {\displaystyle \mathbf {x} } un vector con orixe na orixe de coordenadas e con extremo {\displaystyle \in S,} e {\displaystyle \mathbf {y} } un vector arbitrario de {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Defínese a derivada de f en {\displaystyle \mathbf {x} } respecto a {\displaystyle \mathbf {y} } como

{\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim \_{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-f{\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}
#### Derivadas parciais

{\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x\_{k}}}=\lim \_{h\to 0}{\cfrac {f{\big (}x\_{1},\ldots ,x\_{k}+h,\ldots ,x\_{n}{\big )}-f{\big (}x\_{1},\ldots ,x\_{k},\ldots ,x\_{n}{\big )}}{h}}}

Se se deriva a expresión anterior respecto dunha segunda variábel, {\displaystyle x\_{j}}, tense {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{j}\partial x\_{k}}}}. Na práctica, calcularase {\displaystyle {\cfrac {\partial f}{\partial x\_{k}}}} derivando respecto a {\displaystyle x\_{k}} e supondo {\displaystyle x\_{j},\quad \forall j\neq k} constante.

### A diferencial

#### Definición de campo escalar diferenciábel

Dise que f é diferenciábel en {\displaystyle \mathbf {a} \Leftrightarrow }

{\displaystyle \exists f\_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} {\Big |}\lim \_{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to \mathbf {0} }f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}=f{\big (}\mathbf {a} {\big )}+f\_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}.
{\displaystyle f\_{L}} ten que ser unha aplicación linear, que se define como a diferencial de *f* en **a**.
A anterior ecuación é a {\displaystyle } fórmula de Taylor de primeira orde para {\displaystyle f{\big (}\mathbf {a} +\mathbf {v} {\big )}}.

#### Teorema de unicidade da diferencial

f é diferenciábel en {\displaystyle \mathbf {x} } con diferencial {\displaystyle f\_{L}{\big (}\mathbf {y} {\big )}\Rightarrow }

a) {\displaystyle \exists f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}\quad \forall \mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}
b) {\displaystyle f'{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\sum \_{k=1}^{n}y\_{k}{\cfrac {\partial f}{\partial x\_{k}}}}
#### Regra da cadea

Sexa {\displaystyle f:S\subset \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} } un campo escalar e {\displaystyle \mathbf {x} :J\in \mathbb {R} \longrightarrow S}. Defínese a función composta {\displaystyle g=f\circ \mathbf {x} } como {\displaystyle g(t)=f{\Big [}\mathbf {x} {\big (}t{\big )}{\Big ]}}, entón {\displaystyle \quad g'{\big (}t{\big )}=\sum \_{k=1}^{n}{\cfrac {\partial f}{\partial x\_{k}}}\cdot {\cfrac {dx\_{k}}{dt}}}

#### Diferencial dun campo vectorial

Sexa {\displaystyle \mathbf {f} :S\subseteq \mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}} un campo vectorial. Sexa {\displaystyle \mathbf {x} \in S} e {\displaystyle \mathbf {y} } un vector calquera. Defínese a derivada

{\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}=\lim \_{h\to 0}{\cfrac {\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +h\mathbf {y} {\big )}-\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}{h}}}}}
Expresando {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}} en función das súas compoñentes, tense {\displaystyle \mathbf {f'} {\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}={\Big [}f'\_{1}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )},\ldots ,f'\_{m}{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {y} {\big )}{\Big ]}}

Dise que {\displaystyle \mathbf {f} } é diferenciábel {\displaystyle \Leftrightarrow \exists \mathbf {f} \_{L}:\mathbb {R} ^{n}\longrightarrow \mathbb {R} ^{m}}, aplicación linear que verifica:

{\displaystyle \lim \_{{\big \|}\mathbf {v} {\big \|}\to 0}\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} +\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} {\big (}\mathbf {x} {\big )}+\mathbf {f} \_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}}.}}
Esta é a fórmula de Taylor de primeira orde para {\displaystyle \mathbf {f} .\quad \mathbf {f} \_{L}{\big (}\mathbf {v} {\big )}=\mathbf {f} '{\big (}\mathbf {x} ;\mathbf {v} {\big )}}.
A matriz de {\displaystyle \mathbf {f} '} é a súa matriz jacobiana.

#### Diferenciabilidade implica continuidade

Se un campo vectorial {\displaystyle \mathbf {f} } é *diferenciábel* en {\displaystyle \mathbf {x} \Rightarrow } é *continuo* en {\displaystyle \mathbf {x} }.
Dedúcese facilmente da fórmula de Taylor de primeira orde xa vista.

#### Regra da cadea para diferenciais de campos vectoriais

Sexa {\displaystyle \mathbf {h} {\big (}\mathbf {x} {\big )}={\big (}\mathbf {f} \circ \mathbf {g} {\big )}{\big (}\mathbf {x} {\big )}} un campo vectorial definido e diferenciábel en {\displaystyle \mathbf {x} }. A súa diferencial {\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}} é

{\displaystyle \mathbf {h} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}=\mathbf {f} '{\Big [}\mathbf {g} {\big (}\mathbf {x} {\big )}{\Big ]}\circ \mathbf {g} '{\big (}\mathbf {x} {\big )}}}}
### Condición suficiente para a igualdade das derivadas parciais mixtas

{\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}={\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{j}\partial x\_{i}}}\quad \forall i\neq j\Leftrightarrow } ambas as derivadas parciais existen e son continuas en {\displaystyle \mathbf {x} }.

Aplicacións do cálculo diferencial
----------------------------------

### Cálculo de máximos, mínimos e puntos de sela para campos escalares

Función cun punto de sela
Defínense os seguintes conceptos:

* Un campo escalar ten un **máximo** en {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe unha n-bola {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
* Un campo escalar ten un **mínimo** en {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {a} \Leftrightarrow } existe unha n-bola {\displaystyle B{\big (}\mathbf {a} {\big )}{\Big |}\forall \mathbf {x} \in B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}
* Un campo escalar ten un punto de sela {\displaystyle \Leftrightarrow } {\displaystyle \forall B{\big (}\mathbf {a} {\big )}\quad \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\leqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}\land \exists \mathbf {x} {\big |}f{\big (}\mathbf {x} {\big )}\geqslant f{\big (}\mathbf {a} {\big )}}

Para saber se é un dos casos anteriores:

1. Obtense {\displaystyle \mathbf {x} {\Big |}{\cfrac {\partial f}{\partial x\_{k}}}=0\qquad \forall k{\Big |}1\leqslant k\leqslant n}
2. Obtense a matriz hessiana de *f*. Sexa esta {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}}.
	1. {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é definida positiva {\displaystyle \Rightarrow f} ten un *mínimo relativo* en {\displaystyle \mathbf {x} }.
	2. {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é **definida negativa** {\displaystyle \Rightarrow f} ten un *máximo relativo* en {\displaystyle \mathbf {x} }.
	3. {\displaystyle \mathbf {F} {\big (}\mathbf {x} {\big )}} é **indefinida** {\displaystyle \Rightarrow f} ten un *punto de sela* en {\displaystyle \mathbf {x} }.

No anterior supúxose que {\displaystyle {\cfrac {\partial ^{2}f}{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}} é continua {\displaystyle \forall i,j{\big |}1\leqslant i\leqslant n,1\leqslant j\leqslant n}

Notas
-----

1. ↑  Richard Courant; Fritz John (14 December 1999). *Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2*. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-66570-0.

Véxase tamén
------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | Wikimedia Commons ten máis contidos multimedia na categoría:  ***Cálculo multivariábel Modificar a ligazón no Wikidata*** |

### Bibliografía

* Apostol, Tom M. *Calculus*, volume 2, editorial Reverté, S. a. ISBN 84-291-5003-X
* Spivak, Michael (1965). *Calculus on Manifolds* (PDF). Nova York: W. A. Benjamin, Inc. ISBN 9780805390216.

### Ligazóns externas

* UC Berkeley video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2009, Professor Edward Frenkel
* MIT video lectures on Multivariable Calculus, Fall 2007
* *Multivariable Calculus*: A free online textbook by George Cain and James Herod
* *Multivariable Calculus Online*: A free online textbook by Jeff Knisley
* *Multivariable Calculus – A Very Quick Review* Arquivado 24 de marzo de 2012 en Wayback Machine. Prof Blair Perot, University of Massachusetts Amherst

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q2035437
* MAG: 117312493

 |