En teoría de números, un número enteiro *q* chámase **residuo cadrático** módulo *n* se é congruente cun cadrado perfecto módulo *n*; é dicir, se existe un número enteiro *x* tal que:

{\displaystyle x^{2}\equiv q{\pmod {n}}.}
En caso contrario, *q* sería **non residuo cadrático** módulo *n* .

Historia, convencións e feitos elementais
-----------------------------------------

Fermat, Euler, Lagrange, Legendre e outros teóricos dos números dos séculos XVII e XVIII xa estableceron teoremas  e formaron conxecturas  sobre residuos cadráticos, mais o primeiro tratamento sistemático é o § IV das *Disquisitiones Arithmeticae* de Gauss (1801). O artigo 95 introduce a terminoloxía «residuo cadrático» e «non residuo cadrático», e establece que se o contexto o deixa claro, poderá abandonarse o adxectivo «cadrático».

Pódese obter unha lista dos residuos cadráticos módulo *n* simplemente calculando o cadrado dos números 0, 1,... , *n* − 1. Debido a que *a*2 ≡ (*n* − *a*)2 (mod *n* ), a lista de cadrados módulo *n* é simétrica arredor de *n* /2. Isto pódese ver na táboa de abaixo.

### Módulo un número primo

  

Módulo un número primo impar *p* hai (*p* + 1)/2 residuos (incluíndo 0) e (*p* - 1)/2 non residuos, segundo o criterio de Euler.

É habitual traballar sen considerar o 0.

Seguindo esta convención, o inverso multiplicativo dun residuo é un residuo e o inverso dun non residuo é un non residuo. 

Sen o 0, módulo un número primo impar hai un número igual de residuos e non residuos. 

Se *p* ≡ 1 (mod 4) o negativo dun residuo módulo *p* é un residuo e o negativo dun non residuo é un non residuo.

O primeiro suplemento  á lei da reciprocidade cuadrática é que se *p* ≡ 1 (mod 4) entón −1 é un residuo cuadrático módulo *p*, e se *p* ≡ 3 (mod 4) entón −1 é un non residuo módulo *p*. Isto implica o seguinte:

Se *p* ≡ 3 (mod 4) o negativo dun residuo módulo *p* é un non residuo e o negativo dun non residuo é un residuo.

### Módulos de potencias de primos

Todos os cadrados dos impares son ≡ 1 (mod 8) e, polo tanto, tamén ≡ 1 (mod 4). Se a é un número impar e m = 2n, n > 2, daquela a é un residuo módulo m se e só se a ≡ 1 (mod 8). 

> Por exemplo, mod (32=25) os cadrados dos impares son
> 
> 
> 12 ≡ 152 ≡ 1
> 32 ≡ 132 ≡ 9
> 52 ≡ 112 ≡ 25
> 72 ≡ 92 ≡ 49 ≡ 17
> e os cadrados dos pares son
> 
> 
> 02 ≡ 82 ≡ 162 ≡ 0
> 22 ≡ 62 ≡ 102 ≡ 14 2 ≡ 4
> 42 ≡ 122 ≡ 16.
> 

 Polo tanto, un número distinto de cero é un residuo mod 2n, n > 2, se e só se é da forma 4*k* (8 *n* + 1).

Un número a coprimo a un primo impar p é un residuo módulo calquera potencia de p se e só se é un residuo módulo p. 

Cando o módulo é p*n*, temos que p*k*a

é un residuo módulo p*n* se *k* ≥ *n*
é un non residuo módulo p*n* se *k* < *n* é impar
é un residuo módulo p*n* se *k* < *n* é par e a é un residuo
é un non residuo módulo p*n* se *k* < *n* é par e a é un non residuo. 
Teña en conta que as regras son diferentes para potencias de dous e potencias de primos impares.

Módulo unha potencia dun primo impar n = p*k*, os produtos de residuos e non residuos relativamente primos para p obedecen as mesmas regras que o visto para mod p; p é un non residuo e, en xeral, todos os residuos e non residuos obedecen ás mesmas regras, excepto que os produtos serán cero se a potencia de p no produto ≥ *n* .

### Módulo números compostos que non son unha potencia dun primo

Neste caso temos dous feitos básicos:

Se *a* é un residuo módulo *n*, entón *a* é un residuo módulo {\displaystyle p^{k}} para *toda* potencia de primo que divida a *n*.
Se *a* é un non residuo módulo *n*, entón *a* é un non residuo módulo *p* *k* para *polo menos unha* potencia de primo que divida a *n*.
Modulo un número composto hai tres posibilidades:

O produto de dous residuos é un residuo. 

O produto dun residuo e un non residuo pode ser un residuo, un non residuo ou cero. 

O produto de dous non residuos pode ser un residuo, un non residuo ou cero.

Exemplos:

> A partir da táboa de módulo 6: **1**, 2, **3**, **4**, 5 (residuos en **grosa**).
> 
>  O produto do residuo 3 e do non residuo 5 é o residuo 3, mentres que o produto do residuo 4 e do non residuo 2 é o non residuo 2.
> 
> 

.

> A partir da táboa do módulo 15: **1**, 2, 3, **4**, 5, **6**, 7, 8, **9**, **10**, 11, 12, 13, 14 (residuos en **grosa**).
> 
>  O produto dos non residuos 2 e 8 é o residuo 1, mentres que o produto dos non-residuos 2 e 7 é o non residuo 14.
> 
> 

Por esta razón algúns autores  engaden á definición de que un residuo cadrático *a* non só debe ser un cadrado senón que tamén debe ser coprimo co módulo *n*.

Notacións
---------

Gauss  utilizou R e N para indicar residuos e non residuos, respectivamente;

por exemplo, 2 R 7 e 5 N 7, ou 1 R 8 e 3 N 8 .
Aínda que esta notación é compacta e conveniente para algúns propósitos,   unha notación máis útil é o símbolo de Legendre, tamén chamado carácter cadrático, que se define para todos os números enteiros a e números primos impares positivos p como

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,0&{\text{se }}p{\text{ divide }}a\\+1&{\text{se }}a\operatorname {R} p{\text{ e }}p{\text{ non divide }}a\\-1&{\text{se }}a\operatorname {N} p{\text{ e }}p{\text{ non divide }}a\end{cases}}}
Hai dúas razóns polas que os números ≡ 0 (mod p) trátanse especialmente. Como vimos, facilita a formulación de moitas fórmulas e teoremas. A outra razón (relacionada con esta) é que o carácter cadrático é un homomorfismo entre o grupo multiplicativo de números enteiros distintos de cero módulo p e os números complexos baixo multiplicación. Definindo {\displaystyle ({\tfrac {np}{p}})=0} podemos estender o seu dominio ao semigrupo multiplicativo de todos os números enteiros. 

Unha vantaxe desta notación sobre a de Gauss é que o símbolo de Legendre é unha función que se pode usar nas fórmulas.  Tamén se pode xeneralizar facilmente a residuos dunha potencia maior. 

Co tempo os símbolos de Legendre foron xeneralizándose:

Símbolo de Jacobi: sexa *a* un número enteiro e *n* un número natural impar, con factorización {\displaystyle n=p\_{1}^{e\_{1}}\cdots p\_{k}^{e\_{k}},} o **símbolo de Jacobi** sería:

{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\prod \_{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p\_{i}}}\right)^{e\_{i}}}
sendo {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p\_{i}}}\right)} o símbolo de Legendre. Cando *n* é un número primo impar, os símbolo de Jacobi e de Legendre coinciden.

Símbolo de Kronecker: sexa {\displaystyle n} un enteiro distinto de 0, con factorización {\displaystyle n=u\cdot p\_{1}^{e\_{1}}\cdots p\_{k}^{e\_{k}},} onde {\displaystyle u=\pm 1}. Sexa {\displaystyle a} un enteiro, o **símbolo de Kronecker** sería:

{\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right):=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod \_{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p\_{i}}}\right)^{e\_{i}}.}
E nos tres casos con cadansúa lei de reciprocidade cadrática.

Distribución dos residuos cadráticos
------------------------------------

Existen certas regularidades na distribución dos residuos cadráticos.

A primeira destas regularidades provén do traballo de Peter Gustav Lejeune Dirichlet (na década de 1830) sobre a fórmula analítica para o número de clase das formas cadráticas binarias.  Sexa *q* un número primo, *s* unha variable complexa e definimos unha función L de Dirichlet como

{\displaystyle L(s)=\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{q}}\right)n^{-s}.}
Dirichlet demostrou que se *q* ≡ 3 (mod 4), daquela

{\displaystyle L(1)=-{\frac {\pi }{\sqrt {q}}}\sum \_{n=1}^{q-1}{\frac {n}{q}}\left({\frac {n}{q}}\right)>0.}
Polo tanto, neste caso, a suma dos residuos cadráticos menos a suma dos non residuos no rango 1, 2, ... , *q* − 1 é un número negativo.

Por exemplo, módulo 11,

**1**, 2, **3**, **4**, **5**, 6, 7, 8, **9**, 10 (residuos en **grosa**)
1 + 4 + 9 + 5 + 3 = 22, 2 + 6 + 7 + 8 + 10 = 33, e a diferenza é − 11.
Dirichlet tamén demostrou que para o primo *q* ≡ 3 (mod 4),

{\displaystyle L(1)={\frac {\pi }{\left(2-\left({\frac {2}{q}}\right)\right)\!{\sqrt {q}}}}\sum \_{n=1}^{\frac {q-1}{2}}\left({\frac {n}{q}}\right)>0.}
Isto implica que hai máis residuos cuadráticos que non residuos entre os números 1, 2,... , ( *q* − 1)/2. 

Por exemplo, no módulo 11 hai catro residuos inferiores a 6 (é dicir, 1, 3, 4 e 5), pero só un non residuo (o 2).

Todas as demostracións coñecidas destes dous teoremas dependen da análise; ninguén publicou nunca unha proba simple ou directa de ningunha das dúas afirmacións. 

### Lei da reciprocidade cuadrática

Se *p* e *q* son primos impares, entón:

( (*p* é un residuo cuadrático mod *q*) se e só se (*q* é un residuo cuadrático mod *p* ) ) se e só se (polo menos un de *p* e *q* é congruente con 1 mod 4).

É dicir:

{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}\cdot {\frac {q-1}{2}}}}
onde {\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)} é o símbolo de Legendre .

Así, para os números *a* e os primos impares *p* que non dividen *a*, temos:

| *a* | *a* é un residuo cuadrático mod *p* se e só se | *a* | *a* é un residuo cuadrático mod *p* se e só se |
| --- | --- | --- | --- |
| 1 | (todo *p* primo) | −1 | *p* ≡ 1 (mod 4) |
| 2 | *p* ≡ 1, 7 (mod 8) | −2 | *p* ≡ 1, 3 (mod 8) |
| 3 | *p* ≡ 1, 11 (mod 12) | −3 | *p* ≡ 1 (mod 3) |
| 4 | (todo *p* primo) | −4 | *p* ≡ 1 (mod 4) |
| 5 | *p* ≡ 1, 4 (mod 5) | −5 | *p* ≡ 1, 3, 7, 9 (mod 20) |
| 6 | *p* ≡ 1, 5, 19, 23 (mod 24) | −6 | *p* ≡ 1, 5, 7, 11 (mod 24) |
| 7 | *p* ≡ 1, 3, 9, 19, 25, 27 (mod 28) | −7 | *p* ≡ 1, 2, 4 (mod 7) |
| 8 | *p* ≡ 1, 7 (mod 8) | −8 | *p* ≡ 1, 3 (mod 8) |
| 9 | (todo *p* primo) | −9 | *p* ≡ 1 (mod 4) |
| 10 | *p* ≡ 1, 3, 9, 13, 27, 31, 37, 39 (mod 40) | −10 | *p* ≡ 1, 7, 9, 11, 13, 19, 23, 37 (mod 40) |
| 11 | *p* ≡ 1, 5, 7, 9, 19, 25, 35, 37, 39, 43 (mod 44) | −11 | *p* ≡ 1, 3, 4, 5, 9 (mod 11) |
| 12 | *p* ≡ 1, 11 (mod 12) | −12 | *p* ≡ 1 (mod 3) |

Atopar raíces cadradas módulo n
-------------------------------

Aquí aparece unha diferenza importante entre os módulos primos e compostos. Módulo un primo *p*, un residuo cadrático *a* ten cero raíces se *a* N *p*, unha se *a* ≡ 0 (mod *p*) ou dúas se *a* R *p* e mcd(*a, p*) = 1.

En xeral, se escribimos un módulo composto *n* na súa factorización en primos {\displaystyle p\_{i}}, e hai {\displaystyle n\_{1}} raíces módulo {\displaystyle p\_{1}}, {\displaystyle n\_{2}} módulo {\displaystyle p\_{2}}, {\displaystyle n\_{3}} módulo {\displaystyle p\_{3}},... , haberá o produto {\displaystyle n\_{1}} {\displaystyle n\_{2}} {\displaystyle n\_{3}}... raíces módulo *n*.

A forma teórica de combinar solucións módulo potencias primas para facer solucións módulo *n* chámase teorema chinés do resto. 

Por exemplo:

Solucionar x2 ≡ 6 (mod 15).
x2 ≡ 6 (mod 3) ten unha solución = 0; e por outra parte x2 ≡ 6 (mod 5) ten dúas = 1 e 4.
e hai dúas solucións módulo 15, que son 6 e 9 (calculadas co teorema chinés do resto).
Solucionar x2 ≡ 4 (mod 15).
x2 ≡ 4 (mod 3) ten dúas solucións = 1 e 2; e por outra parte x2 ≡ 4 (mod 5) ten outras dúas = 2 e 3.
e hai catro solucións módulo 15, é dicir, 2, 7, 8 e 13 (calculadas co teorema chinés do resto).
Solucionar x2 ≡ 7 (mod 15).
x2 ≡ 7 (mod 3) ten dúas solucións, 1 e 2; e despois temos x2 ≡ 7 (mod 5) non ten solucións.
e por tanto non hai solucións módulo 15.

  

### Módulo de potencia de primo

Primeiro de todo, se o módulo *n* é primo, o símbolo de Legendre {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} pódese calcular rapidamente usando unha variante do algoritmo de Euclides  ou o criterio de Euler. Se é −1 non hai solución. En segundo lugar, asumindo que {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=1}, se *n* ≡ 3 (mod 4), Lagrange descubriu que as solucións están dadas por

{\displaystyle x\equiv \pm \;a^{(n+1)/4}{\pmod {n}},}
e Legendre atopou unha solución similar  se *n* ≡ 5 (mod 8):

{\displaystyle x\equiv {\begin{cases}\pm a^{(n+3)/8}{\pmod {n}}&{\text{ se }}a{\text{ é un residuo cuártico modulo }}n\\\pm a^{(n+3)/8}2^{(n-1)/4}{\pmod {n}}&{\text{ se }}a{\text{ é un non residuo cuártico modulo }}n\end{cases}}}
Para un primo de tipo *n* ≡ 1 (mod 8), porén, non hai unha fórmula coñecida. Tonelli  (en 1891) e Cipolla  atoparon algoritmos eficientes que funcionan para tódolos módulos primos. Ambos algoritmos requiren atopar un non residuo módulo *n*, e non hai un algoritmo determinista eficiente coñecido para facelo. Mais como a metade dos números entre 1 e *n* son non residuos, escollemos números *x* ao azar e calculando o símbolo de Legendre {\displaystyle \left({\frac {x}{n}}\right)} ata que se atope un non residuo rapidamente. Unha pequena variante deste algoritmo é o algoritmo de Tonelli–Shanks .

Se o módulo *n* é unha potencia de primo *n* = *p* *e*, pódese atopar unha solución módulo *p* e "elevarse" a unha solución módulo *n* usando o lema de Hensel ou un algoritmo de Gauss. 

### Módulo composto

Se o módulo *n* foi factorizado en potencias primas, a solución foi discutida anteriormente.

Se *n* non é congruente con 2 módulo 4 e o símbolo de Kronecker {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=-1} daquela non hai solución. Se *n* é congruente con 2 módulo 4 e {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)=-1}, daquela tampouco non hai solución. Se *n* non é congruente con 2 módulo 4 e {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=1}, ou *n* é congruente con 2 módulo 4 e {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)=1}, pode haber ou non.

Se non se coñece a factorización completa de *n*, e {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=1} e *n* non é congruente con 2 módulo 4, ou *n* é congruente con 2 módulo 4 e {\displaystyle \left({\tfrac {a}{n/2}}\right)=1}, sábese que o problema é equivalente á factorización de *n* (é dicir, unha solución eficiente a calquera dos problemas podería usarse para resolver o outro de forma eficiente).

O artigo congruencia de cadrados analiza como atopar dous números x e y onde *x*2 ≡ *y*2 (mod *n*) e *x* ≠ ±*y* é suficiente para factorizar *n* de forma eficiente. 

Determinar se *a* é un residuo cuadrático ou non residuo módulo *n* pódese facer de forma eficiente para *n* primo calculando o símbolo de Legendre. Non obstante, para o composto *n*, isto forma o problema dos residuos cuadrático, asumíndose que é bastante difícil.

En xeral, para determinar se *a* é un residuo cuadrático módulo un *n composto*, pódese usar o seguinte teorema: 

Sexa *n* > 1 e gcd(*a*,*n*) = 1. Entón *x*2 ≡ *a* (mod *n*) ten solución se e só se:

* O símbolo Legendre {\displaystyle \left({\tfrac {a}{p}}\right)=1} para todos os divisores primos impares *p* de *n* .
* *a* ≡ 1 (mod 4) se *n* é divisible por 4 mais non por 8; ou *a* ≡ 1 (mod 8) se *n* é divisible por 8.

Aplicacións dos residuos cadráticos
-----------------------------------

### Acústica

Os difusores de son baseáronse nos conceptos de raíces módulo n e residuos cadráticos. 

### Teoría de grafos

Os grafos de Paley son grafos densos e non dirixidos, un por cada primo *p* ≡ 1 (mod 4), que forman unha familia infinita de grafos de conferencia, que dan lugar a unha familia infinita de matrices de conferencia simétricas.

### Criptografía

O feito de que atopar unha raíz cadrada dun número módulo un composto *n* moi grande é equivalente á factorización (o cal considérase un problema difícil), utilizouse para construír esquemas criptográficos como o sistema criptográfico Rabin e a transferencia incosciente. O problema dos residuos cuadráticos é a base do sistema criptográfico Goldwasser-Micali .

### Test de primalidade

O criterio de Euler é unha fórmula para calcular o símbolo de Legendre (*a*|*p*) onde *p* é primo. Se *p* é composto, a fórmula pode calcular correctamente (*a*|*p*) ou non. A proba de primalidade de Solovay-Strassen para determinar se un determinado número *n* é primo ou composto elixe un *a* aleatorio e calcula (*a*|*n*) usando unha modificación do algoritmo de Euclides,  e tamén usando o criterio de Euler.  Se os resultados discrepan, *n* é composto; se coinciden, *n* pode ser composto ou primo. Para un composto *n* polo menos a metade dos valores de *a* no intervalo 2, 3,... , *n* − 1 devolverá "*n* é composto"; para un primo *n* non devolve ningún. Se despois de usar moitos valores diferentes de *a*, *n* non se demostrou composto, denomínase "primo probable".

O test de primalidade de Miller-Rabin baséase nos mesmos principios. Hai unha versión determinista do mesmo, pero a proba de que funciona depende da hipótese xeneralizada de Riemann; a saída desta proba é "*n* é definitivamente composto" ou "*n* é primo ou a GRH é falsa".

Táboa de residuos cadráticos
----------------------------

A seguinte táboa (secuencia A096008 na OEIS) enumera os residuos cadráticos mod 1 a 75 (un número rubio significa que non é coprimo con *n* ). (Para os residuos cadráticos coprimos con *n*, ver OEIS : A096103, e para os residuos cadráticos distintos de cero, ver (secuencia A046071 na OEIS).)

| *n* | residuos cadráticos mod *n* | *n* | residuos cadráticoss mod *n* | *n* | residuos cadráticos mod *n* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 0 | 26 | 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 14, 16, 17, 22, 23, 25 | 51 | 0, 1, 4, 9, 13, 15, 16, 18, 19, 21, 25, 30, 33, 34, 36, 42, 43, 49 |
| 2 | 0, 1 | 27 | 0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 19, 22, 25 | 52 | 0, 1, 4, 9, 12, 13, 16, 17, 25, 29, 36, 40, 48, 49 |
| 3 | 0, 1 | 28 | 0, 1, 4, 8, 9, 16, 21, 25 | 53 | 0, 1, 4, 6, 7, 9, 10, 11, 13, 15, 16, 17, 24, 25, 28, 29, 36, 37, 38, 40, 42, 43, 44, 46, 47, 49, 52 |
| 4 | 0, 1 | 29 | 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28 | 54 | 0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16, 19, 22, 25, 27, 28, 31, 34, 36, 37, 40, 43, 46, 49, 52 |
| 5 | 0, 1, 4 | 30 | 0, 1, 4, 6, 9, 10, 15, 16, 19, 21, 24, 25 | 55 | 0, 1, 4, 5, 9, 11, 14, 15, 16, 20, 25, 26, 31, 34, 36, 44, 45, 49 |
| 6 | 0, 1, 3, 4 | 31 | 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28 | 56 | 0, 1, 4, 8, 9, 16, 25, 28, 32, 36, 44, 49 |
| 7 | 0, 1, 2, 4 | 32 | 0, 1, 4, 9, 16, 17, 25 | 57 | 0, 1, 4, 6, 7, 9, 16, 19, 24, 25, 28, 30, 36, 39, 42, 43, 45, 49, 54, 55 |
| 8 | 0, 1, 4 | 33 | 0, 1, 3, 4, 9, 12, 15, 16, 22, 25, 27, 31 | 58 | 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 13, 16, 20, 22, 23, 24, 25, 28, 29, 30, 33, 34, 35, 36, 38, 42, 45, 49, 51, 52, 53, 54, 57 |
| 9 | 0, 1, 4, 7 | 34 | 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16, 17, 18, 19, 21, 25, 26, 30, 32, 33 | 59 | 0, 1, 3, 4, 5, 7, 9, 12, 15, 16, 17, 19, 20, 21, 22, 25, 26, 27, 28, 29, 35, 36, 41, 45, 46, 48, 49, 51, 53, 57 |
| 10 | 0, 1, 4, 5, 6, 9 | 35 | 0, 1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30 | 60 | 0, 1, 4, 9, 16, 21, 24, 25, 36, 40, 45, 49 |
| 11 | 0, 1, 3, 4, 5, 9 | 36 | 0, 1, 4, 9, 13, 16, 25, 28 | 61 | 0, 1, 3, 4, 5, 9, 12, 13, 14, 15, 16, 19, 20, 22, 25, 27, 34, 36, 39, 41, 42, 45, 46, 47, 48, 49, 52, 56, 57, 58, 60 |
| 12 | 0, 1, 4, 9 | 37 | 0, 1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 36 | 62 | 0, 1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 10, 14, 16, 18, 19, 20, 25, 28, 31, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 40, 41, 45, 47, 49, 50, 51, 56, 59 |
| 13 | 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12 | 38 | 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17, 19, 20, 23, 24, 25, 26, 28, 30, 35, 36 | 63 | 0, 1, 4, 7, 9, 16, 18, 22, 25, 28, 36, 37, 43, 46, 49, 58 |
| 14 | 0, 1, 2, 4, 7, 8, 9, 11 | 39 | 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12, 13, 16, 22, 25, 27, 30, 36 | 64 | 0, 1, 4, 9, 16, 17, 25, 33, 36, 41, 49, 57 |
| 15 | 0, 1, 4, 6, 9, 10 | 40 | 0, 1, 4, 9, 16, 20, 24, 25, 36 | 65 | 0, 1, 4, 9, 10, 14, 16, 25, 26, 29, 30, 35, 36, 39, 40, 49, 51, 55, 56, 61, 64 |
| 16 | 0, 1, 4, 9 | 41 | 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 18, 20, 21, 23, 25, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 40 | 66 | 0, 1, 3, 4, 9, 12, 15, 16, 22, 25, 27, 31, 33, 34, 36, 37, 42, 45, 48, 49, 55, 58, 60, 64 |
| 17 | 0, 1, 2, 4, 8, 9, 13, 15, 16 | 42 | 0, 1, 4, 7, 9, 15, 16, 18, 21, 22, 25, 28, 30, 36, 37, 39 | 67 | 0, 1, 4, 6, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19, 21, 22, 23, 24, 25, 26, 29, 33, 35, 36, 37, 39, 40, 47, 49, 54, 55, 56, 59, 60, 62, 64, 65 |
| 18 | 0, 1, 4, 7, 9, 10, 13, 16 | 43 | 0, 1, 4, 6, 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17, 21, 23, 24, 25, 31, 35, 36, 38, 40, 41 | 68 | 0, 1, 4, 8, 9, 13, 16, 17, 21, 25, 32, 33, 36, 49, 52, 53, 60, 64 |
| 19 | 0, 1, 4, 5, 6, 7, 9, 11, 16, 17 | 44 | 0, 1, 4, 5, 9, 12, 16, 20, 25, 33, 36, 37 | 69 | 0, 1, 3, 4, 6, 9, 12, 13, 16, 18, 24, 25, 27, 31, 36, 39, 46, 48, 49, 52, 54, 55, 58, 64 |
| 20 | 0, 1, 4, 5, 9, 16 | 45 | 0, 1, 4, 9, 10, 16, 19, 25, 31, 34, 36, 40 | 70 | 0, 1, 4, 9, 11, 14, 15, 16, 21, 25, 29, 30, 35, 36, 39, 44, 46, 49, 50, 51, 56, 60, 64, 65 |
| 21 | 0, 1, 4, 7, 9, 15, 16, 18 | 46 | 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18, 23, 24, 25, 26, 27, 29, 31, 32, 35, 36, 39, 41 | 71 | 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 19, 20, 24, 25, 27, 29, 30, 32, 36, 37, 38, 40, 43, 45, 48, 49, 50, 54, 57, 58, 60, 64 |
| 22 | 0, 1, 3, 4, 5, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 20 | 47 | 0, 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 9, 12, 14, 16, 17, 18, 21, 24, 25, 27, 28, 32, 34, 36, 37, 42 | 72 | 0, 1, 4, 9, 16, 25, 28, 36, 40, 49, 52, 64 |
| 23 | 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 13, 16, 18 | 48 | 0, 1, 4, 9, 16, 25, 33, 36 | 73 | 0, 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 16, 18, 19, 23, 24, 25, 27, 32, 35, 36, 37, 38, 41, 46, 48, 49, 50, 54, 55, 57, 61, 64, 65, 67, 69, 70, 71, 72 |
| 24 | 0, 1, 4, 9, 12, 16 | 49 | 0, 1, 2, 4, 8, 9, 11, 15, 16, 18, 22, 23, 25, 29, 30, 32, 36, 37, 39, 43, 44, 46 | 74 | 0, 1, 3, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 16, 21, 25, 26, 27, 28, 30, 33, 34, 36, 37, 38, 40, 41, 44, 46, 47, 48, 49, 53, 58, 62, 63, 64, 65, 67, 70, 71, 73 |
| 25 | 0, 1, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24 | 50 | 0, 1, 4, 6, 9, 11, 14, 16, 19, 21, 24, 25, 26, 29, 31, 34, 36, 39, 41, 44, 46, 49 | 75 | 0, 1, 4, 6, 9, 16, 19, 21, 24, 25, 31, 34, 36, 39, 46, 49, 51, 54, 61, 64, 66, 69 |

Residuos cadráticos (véxase tamén (secuencia A048152 na OEIS), (secuencia A343720 na OEIS))| *x* | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 | 16 | 17 | 18 | 19 | 20 | 21 | 22 | 23 | 24 | 25 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *x*2 | 1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 | 196 | 225 | 256 | 289 | 324 | 361 | 400 | 441 | 484 | 529 | 576 | 625 |
| mod 1 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 |
| mod 2 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| mod 3 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 1 |
| mod 4 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 0 | 1 |
| mod 5 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 4 | 1 | 0 |
| mod 6 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 3 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 7 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 2 | 2 |
| mod 8 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 9 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 0 | 7 | 7 | 0 | 4 |
| mod 10 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 | 6 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 6 | 5 |
| mod 11 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 5 | 3 | 3 | 5 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| mod 12 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 13 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 3 | 12 | 10 | 10 | 12 | 3 | 9 | 4 | 1 |
| mod 14 | 1 | 4 | 9 | 2 | 11 | 8 | 7 | 8 | 11 | 2 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 2 | 11 | 8 | 7 | 8 | 11 | 2 | 9 |
| mod 15 | 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 | 1 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 1 | 10 | 6 | 4 | 4 | 6 | 10 |
| mod 16 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 0 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 17 | 1 | 4 | 9 | 16 | 8 | 2 | 15 | 13 | 13 | 15 | 2 | 8 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 8 | 2 | 15 | 13 |
| mod 18 | 1 | 4 | 9 | 16 | 7 | 0 | 13 | 10 | 9 | 10 | 13 | 0 | 7 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 7 | 0 | 13 |
| mod 19 | 1 | 4 | 9 | 16 | 6 | 17 | 11 | 7 | 5 | 5 | 7 | 11 | 17 | 6 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 6 | 17 |
| mod 20 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 5 |
| mod 21 | 1 | 4 | 9 | 16 | 4 | 15 | 7 | 1 | 18 | 16 | 16 | 18 | 1 | 7 | 15 | 4 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 |
| mod 22 | 1 | 4 | 9 | 16 | 3 | 14 | 5 | 20 | 15 | 12 | 11 | 12 | 15 | 20 | 5 | 14 | 3 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 |
| mod 23 | 1 | 4 | 9 | 16 | 2 | 13 | 3 | 18 | 12 | 8 | 6 | 6 | 8 | 12 | 18 | 3 | 13 | 2 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 |
| mod 24 | 1 | 4 | 9 | 16 | 1 | 12 | 1 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 | 4 | 9 | 16 | 1 | 12 | 1 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 | 1 |
| mod 25 | 1 | 4 | 9 | 16 | 0 | 11 | 24 | 14 | 6 | 0 | 21 | 19 | 19 | 21 | 0 | 6 | 14 | 24 | 11 | 0 | 16 | 9 | 4 | 1 | 0 |

Notas
-----

1. ↑  Lemmemeyer, Ch. 1
2. ↑  Lemmermeyer, pp 6–8, p. 16 ff
3. ↑  Gauss, DA, art. 98
4. ↑  Gauss, DA, art. 96
5. ↑  Gauss, DA, art 111
6. ↑  Gauss, DA, art. 103
7. 1 2  Gauss, DA, art. 101
8. ↑  Gauss, DA, art. 102
9. ↑  e.g. Ireland & Rosen 1990, p. 50
10. ↑  Gauss, DA, art. 131
11. ↑  e.g. Hardy and Wright use it
12. ↑  Gauss, DA, art 230 ff.
13. ↑  This extension of the domain is necessary for defining *L* functions.
14. ↑  Véxase Legendre symbol#Properties of the Legendre symbol para exemplos
15. ↑  Lemmermeyer, pp 111–end
16. ↑  Davenport 2000, p. 8–9, 43–51. These are classical results.
17. ↑  Davenport 2000, p. 9
18. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 104 ff; it requires O(log2 *m*) steps where *m* is the number of primes dividing *n*.
19. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 113; computing {\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)} requires O(log *a* log *n*) steps
20. ↑  Lemmermeyer, p. 29
21. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 156 ff; the algorithm requires O(log4*n*) steps.
22. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 156 ff; o algoritmo require O(log3 *n*) pasos e non é determinístico.
23. ↑  Crandall & Pomerance, ex. 6.5 & 6.6, p.273
24. ↑ . 2007. p. 195.  Falta o `|title=` (Axuda)
25. ↑   (PDF) .  Falta o `|title=` (Axuda)
26. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 113
27. ↑  Bach & Shallit 1996, p. 109–110; Euler's criterion requires O(log3 *n*) steps

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Gauss, Carl Friedrich (1986). *Disquisitiones Arithemeticae*. Traducido por Clarke, Arthur A. (Second corrected ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-96254-9.
* Gauss, Carl Friedrich (1965). *Untersuchungen über hohere Arithmetik* [*Disquisitiones Arithemeticae & other papers on number theory*]. Traducido por Maser, H. (second ed.). New York: Chelsea. ISBN 0-8284-0191-8.
* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996). *Efficient Algorithms*. Algorithmic Number Theory **I**. Cambridge: The MIT Press. ISBN 0-262-02405-5.
* Crandall, Richard; Pomerance, Carl (2001). *Prime Numbers: A Computational Perspective*. New York: Springer. ISBN 0-387-94777-9.
* Davenport, Harold (2000). *Multiplicative Number Theory* (third ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-95097-4.
* Garey, Michael R.; Johnson, David S. (1979). *Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness*. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1045-5.  A7.1: AN1, pg.249.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1980). *An Introduction to the Theory of Numbers* (fifth ed.). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-853171-5.
* Ireland, Kenneth; Rosen, Michael (1990). *A Classical Introduction to Modern Number Theory* (second ed.). New York: Springer. ISBN 0-387-97329-X.
* Lemmermeyer, Franz (2000). *Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein*. Berlin: Springer. ISBN 3-540-66957-4.
* Manders, Kenneth L.; Adleman, Leonard (1978). NP*-Complete Decision Problems for Binary Quadratics*. *Journal of Computer and System Sciences* **16**. pp. 168–184. doi:10.1016/0022-0000(78)90044-2.

### Outros artigos

* Criterio de Euler
* Lema de Gauss
* Lema de Zolotarev
* Suma de caracteres
* Lei da reciprocidade cadrática
* Símbolo de Jacobi
* Símbolo de Kronecker
* Carácter de Dirichlet

### Ligazóns externas

* Weisstein, Eric W. "Quadratic Residue". *MathWorld*.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q878259
* GND: 4704539-5
* MAG: 12817185

 |