En matemáticas, unha **orde total** ou **orde linear** é unha orde parcial na que dous elementos calquera son comparables. É dicir, unha orde total é unha relación binaria {\displaystyle \leq } nalgún conxunto {\displaystyle X}, que satisfaga o seguinte para todos os {\displaystyle a,b} e {\displaystyle c} en {\displaystyle X}:

1. {\displaystyle a\leq a} (reflexiva).
2. Se {\displaystyle a\leq b} e {\displaystyle b\leq c} entón {\displaystyle a\leq c} (transitiva).
3. Se {\displaystyle a\leq b} e {\displaystyle b\leq a} entón {\displaystyle a=b} (antisimétrica).
4. {\displaystyle a\leq b} ou {\displaystyle b\leq a} (fortemente conectado, antes chamado total).

A orde total ás veces tamén se chama **simple**, **connex**, ou **orde completa**.

Un conxunto equipado cunha orde total é un **conxunto totalmente ordenado**;  tamén se usan os termos **conxunto ordenado simple**,  **conxunto ordenado lineaemente**,   e **loset**. O termo ***cadea*** defínese ás veces como un sinónimo de *conxunto totalmente ordenado*,  mais refírese xeneralmente a subconxuntos totalmente ordenados dun conxunto parcialmente ordenado.

A extensión dunha orde parcial dada a unha orde total chámase extensión linear desa orde parcial.

Orde total estrita e non estrita
--------------------------------

Unha **orde total estrita** nun conxunto {\displaystyle X} é unha orde parcial estrita {\displaystyle X} no que calquera dous elementos distintos son comparables. É dicir, unha orde total estrita é unha relación binaria {\displaystyle <} nalgún conxunto {\displaystyle X}, que satisfaga o seguinte para todos os {\displaystyle a,b} e {\displaystyle c} en {\displaystyle X}:

1. Non {\displaystyle a<a} (irreflexiva).
2. Se {\displaystyle a<b} entón non {\displaystyle b<a} (asimétrica).
3. Se {\displaystyle a<b} e {\displaystyle b<c} entón {\displaystyle a<c} (transitiva).
4. Se {\displaystyle a\neq b}, entón {\displaystyle a<b} ou {\displaystyle b<a} (conectada).

Por cada orde total (non estrita) {\displaystyle \leq } existe unha relación asociada {\displaystyle <}, chamada *orde total estrita* asociada a {\displaystyle \leq } que se pode definir de dúas formas equivalentes:

* {\displaystyle a<b} se {\displaystyle a\leq b} e {\displaystyle a\neq b} (redución reflexiva).
* {\displaystyle a<b} se non {\displaystyle b\leq a} (é dicir, {\displaystyle <} é o complemento da inversa de {\displaystyle \leq } ).

No outro sentido, o pechamento reflexivo dunha orde total estrita {\displaystyle <} é unha orde total (non estrita).

Exemplos
--------

* Calquera subconxunto dun conxunto *X* totalmente ordenado está totalmente ordenado para a restrición da orde en *X*.
* A única orde no conxunto baleiro, ∅, é unha orde total.
* Calquera conxunto de números cardinais ou números ordinais (de feito son ben-ordes).
* Se *X* é calquera conxunto e *f* unha función inxectiva de *X* a un conxunto totalmente ordenado, entón *f* induce unha orde total en *X* establecendo *x*1 ≤ *x*2 se e só se *f*(*x*1) ≤ *f*(*x*2) .
* A orde lexicográfica sobre o produto cartesiano dunha familia de conxuntos totalmente ordenados, indexados por un conxunto ben-ordenado, é en si mesma unha orde total.
* O conxunto de números reais ordenados polas relacións habituais "menor ou igual a" (≤) ou "maior ou igual a" (≥) está totalmente ordenado. Polo tanto, cada subconxunto dos números reais está totalmente ordenado, como os números naturais, os enteiros e os números racionais. Pódese demostrar que cada un destes é o "exemplo inicial" único (ata un isomorfismo de orde) dun conxunto totalmente ordenado cunha determinada propiedade (aquí, unha orde total *A* é *inicial* para unha propiedade, se, sempre que *B* ten a propiedade, hai un isomorfismo de orde de *A* a un subconxunto de *B*):
	+ Os nú[  ]meros naturais forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante.
	+ Os enteiros forman un conxunto inicial totalmente ordenado non baleiro sen elemento maiorante nin minorante.
	+ Os números racionais forman un conxunto inicial totalmente ordenado que é denso nos números reais. Ademais, a redución reflexiva < é unha orde densa sobre os números racionais.
	+ Os números reais forman un conxunto inicial totalmente ordenado ilimitado que está conectado na topoloxía de orde (definida a continuación).
* Os corpos ordenados están totalmente ordenados por definición. Inclúen os números racionais e os números reais. Cada corpo ordenado contén un subcampo ordenado isomorfo aos números racionais. Calquera corpo ordenado *completo de Dedekind* é isomorfo aos números reais.
* As letras do alfabeto ordenadas pola orde estándar do dicionario, por exemplo, *A* < *B* < *C* etc. é unha orde total estrita.

Cadeas
------

O termo **cadea** ás veces defínese como sinónimo dun conxunto totalmente ordenado, mais xeralmente úsase para referirse a un subconxunto dun conxunto parcialmente ordenado que está totalmente ordenado para a orde inducida.   Normalmente, o conxunto parcialmente ordenado é un conxunto de subconxuntos dun conxunto dado que se ordena por inclusión, e o termo úsase para indicar as propiedades do conxunto das cadeas. Este elevado número de niveis aniñados de conxuntos explica a utilidade do termo.

Un exemplo común do uso de *cadea* para referirse a subconxuntos totalmente ordenados é o lema de Zorn que afirma que, se cada cadea dun conxunto parcialmente ordenado X ten un elemento maiorante en X, entón X contén polo menos un elemento maximal.

Nalgúns contextos, as cadeas que se consideran son de orde isomórfica aos números naturais coa súa orde habitual ou a súa orde oposta. Neste caso, unha cadea pódese identificar cunha secuencia monótona, e chámase **cadea ascendente** ou **descendente**, dependendo de se a secuencia é crecente ou decrecente. 

Un conxunto parcialmente ordenado ten a condición de cadea descendente se cada cadea descendente finalmente se estabiliza (acolá de certo índice, todos os membros da secuencia son iguais). Por exemplo, unha orde está ben-fundada se ten a condición de cadea descendente. Do mesmo xeito, a condición de cadea ascendente significa que cada cadea ascendente eventualmente se estabiliza. Por exemplo, un anel Noetheriano é un anel cuxos ideais satisfán a condición de cadea ascendente.

Noutros contextos, só se consideran cadeas que son conxuntos finitos. Neste caso, fálase dunha *cadea finita*, moitas veces acurtada como *cadea*. Neste caso, a **lonxitude** dunha cadea é o número de desigualdades (ou inclusións de conxunto) entre elementos consecutivos da cadea; é dicir, o número menos un dos elementos da cadea.  Así, un conxunto unitario é unha cadea de lonxitude cero e un par ordenado é unha cadea de lonxitude un. A dimensión dun espazo adoita definirse ou caracterizarse como a lonxitude máxima de cadeas de subespazos. Por exemplo, a dimensión dun espazo vectorial é a lonxitude máxima das cadeas de subespazos lineais, e a dimensión de Krull dun anel conmutativo é a lonxitude máxima das cadeas dos ideais primos.

Outros conceptos
----------------

### Teoría de retículas

Pódese definir un conxunto totalmente ordenado como un tipo particular de retícula, aquela na que temos

{\displaystyle \{a\vee b,a\wedge b\}=\{a,b\}} para todos os *a*, *b*.
Escribimos entón *a* ≤ *b* se e só se {\displaystyle a=a\wedge b}. Polo tanto, un conxunto totalmente ordenado é unha retícula distributiva.

### Orde total finita

Unha orde total nun conxunto con *k* elementos induce unha bixección cos primeiros *k* números naturais. Polo tanto, é común indexar unha orde total finita ou unha ben-orde tipo de orde ω cos números naturais de xeito que respecte a ordenación (a comezaz por cero ou por un).

### Teoría de categorías

Os conxuntos totalmente ordenados forman unha subcategoría completa da categoría de conxuntos parcialmente ordenados, sendo os morfismos mapas que respectan as ordes, é dicir, mapas *f* tal que se *a* ≤ *b* entón *f*(*a*) ≤ *f*(*b*).

Un mapa bixectivo entre dous conxuntos totalmente ordenados que respecta as dúas ordes é un isomorfismo nesta categoría.

### Topoloxía da orde

Para calquera conxunto X totalmente ordenado podemos definir os *intervalos abertos*

* (*a*, *b*) = *x* ,
* (−∞, *b*) = *x* ,
* (*a*, ∞) = *x* ,
* (−∞, ∞) = *X*.

Podemos usar estes intervalos abertos para definir unha topoloxía en calquera conxunto ordenado, a topoloxía de orde.

Cando se usa máis dunha orde nun conxunto fálase da topoloxía da orde inducida por unha orde particular. Por exemplo, se **N** son os números naturais, < é menor e > maior do que poderiamos referirnos á topoloxía de orde en **N** inducida por < e á topoloxía de orde en **N** inducida por > (neste caso son idénticas mais poden en xeral non selo).

A topoloxía da orde inducida por unha orde total pode mostrarse que é hereditariamente normal.

### Completitude

Un conxunto totalmente ordenado dise que é **completo** se cada subconxunto non baleiro que teña un elemento maiorante ten un supremo. Por exemplo, o conxunto de números reais **R** é completo pero o conxunto de números racionais **Q** non. Noutras palabras, os distintos conceptos de integridade (que non deben confundirse con "total") non se trasladan ás restricións. Por exemplo, sobre os números reais unha propiedade da relación ≤ é que todo subconxunto non baleiro *S* de **R** cun elemento maiorante en **R** ten un supremo en **R**. Non obstante, para os números racionais este supremo non é necesariamente racional, polo que a mesma propiedade non se aplica á restrición da relación ≤ cos números racionais.

Un conxunto totalmente ordenado (coa súa topoloxía da orde) que é unha retícula completa é compacto. Exemplos son os intervalos pechados de números reais, por exemplo, o intervalo unidade [0,1], e o sistema de números reais estendido. Tamén hai homeomorfismos que conservan a orde entre estes exemplos.

### Sumas de ordes

Para dúas ordes totais disxuntas calquera {\displaystyle (A\_{1},\leq \_{1})} e {\displaystyle (A\_{2},\leq \_{2})}, hai unha orde natural {\displaystyle \leq \_{+}} no conxunto{\displaystyle A\_{1}\cup A\_{2}}, que se chama suma das dúas ordes ou ás veces só {\displaystyle A\_{1}+A\_{2}}:

Para {\displaystyle x,y\in A\_{1}\cup A\_{2}}, {\displaystyle x\leq \_{+}y} cúmprese se e só se cumpre un dos seguintes:
1. {\displaystyle x,y\in A\_{1}} e {\displaystyle x\leq \_{1}y}
2. {\displaystyle x,y\in A\_{2}} e {\displaystyle x\leq \_{2}y}
3. {\displaystyle x\in A\_{1}} e {\displaystyle y\in A\_{2}}

Intuitivamente, isto significa que os elementos do segundo conxunto superpóñense aos elementos do primeiro conxunto.

De xeito máis xeral, se {\displaystyle (I,\leq )} é un conxunto de índices totalmente ordenado, e para cada {\displaystyle i\in I} a estrutura {\displaystyle (A\_{i},\leq \_{i})} é unha orde linear, onde os conxuntos {\displaystyle A\_{i}} son disxuntas por parellas, entón a orde total natural {\displaystyle \bigcup \_{i}A\_{i}} está definida por

Para {\displaystyle x,y\in \bigcup \_{i\in I}A\_{i}}, {\displaystyle x\leq y} cúmprese se:
1. Ou hai algún {\displaystyle i\in I} con {\displaystyle x\leq \_{i}y}
2. ou hai algúns {\displaystyle i<j} en {\displaystyle I} con {\displaystyle x\in A\_{i}}, {\displaystyle y\in A\_{j}}

### Decidibilidade

A teoría de ordes totais de primeira orde é decidible, é dicir, hai un algoritmo para decidir que declaracións de primeira orde se cumpren para toda orde total. Usando a interpretabilidade en S2S, a teoría monádica de segunda orde das ordes totais numerables tamén é decidible.

Orde sobre o produto cartesiano de conxuntos totalmente ordenados
-----------------------------------------------------------------

En orde crecente de forza, tres das posibles ordes do produto cartesiano de dous conxuntos totalmente ordenados son:

* Orde lexicográfica: ( *a*, *b* ) ≤ ( *c*, *d* ) se e só se *a* < *c* ou (*a* = *c* e *b* ≤ *d*). Esta é unha orde total.
* (*a*, *b*) ≤ ( *c*, *d* ) se e só se *a* ≤ *c* e *b* ≤ *d* (orde do produto). Esta é unha orde parcial.
* (*a*, *b*) ≤ ( *c*, *d* ) se e só se (*a* < *c* e *b* < *d*) ou (*a* = *c* e *b* = *d*) (o pechamento reflexivo do produto directo das correspondentes ordes totais estritas). Esta é tamén unha orde parcial.

As tres poden definirse de xeito similar para o produto cartesiano de máis de dous conxuntos.

Aplicadas ao espazo vectorial **R***n*, cada un delas convérteno nun espazo vectorial ordenado.

Unha función real de *n* variables reais definidas nun subconxunto de **R***n* define unha orde débil estrita e unha preorde total correspondente nese subconxunto.

Estruturas relacionadas
-----------------------

 

| Relacións binarias transitivas * v
* c
* e
 |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Simétrica | Antisimétrica | Conectada | Ben-fundada | Ten joins | Ten meets | Reflexiva | Irreflexiva | Asimétrica |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Relación de equivalencia | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Preorde (Quasiorde) | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Orde parcial | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Preorde total | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Orde total | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Pre-ben-ordenada | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Ben-quasi-ordenada | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Ben-ordenada | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Retícula | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Semiretícula superior (join) | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Semiretícula inferior (meet) | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** |
| Orde estrita parcial | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** |
| Orde estrita feble | Non **Non** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** |
| Orde estrita total | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Non **Non** | Si **Si** | Si **Si** |
|  | Simétrica | Antisimétrica | Conecteda | Ben-fundada | Ten joins | Ten meets | Reflexiva | Irreflexiva | Asimétrica |
|  Definicións, para todo {\displaystyle a,b} e {\displaystyle S\neq \varnothing :} | {\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ e }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ ou }}&bRa\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{existe}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{existe}}\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{existe}}\end{aligned}}} | {\displaystyle aRa} | {\displaystyle {\text{non }}aRa} | {\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{non }}bRa\end{aligned}}} |

 |
| Si **Si** indica que a columna da propiedade é sempre verdadeira no termo da fila (na esquerda de todo), mentres que Non **Non** indica que a propiedade non está garantida en xeral (pode cumprirse ou non). Por exemplo, toda relación de equivalencia é simétrica, mais non necesariamente antisimétrica, está indicada por Si **Si** na columna "Simétrica" e Non **Non** na columna "Antisimétrica". 
Todas as definicións requiren tacitamente que a relación homoxénea {\displaystyle R} sexa transitiva: para todo {\displaystyle a,b,c,} se {\displaystyle aRb} e {\displaystyle bRc} entón {\displaystyle aRc.} 
Algunha definición dalgún termo pode requerir propiedades adicionais non recollidas na táboa. |

  

Unha relación binaria que é antisimétrica, transitiva e reflexiva (mais non necesariamente total) é unha orde parcial.

Un grupo cunha orde total compatible é un grupo totalmente ordenado.

Notas
-----

1. 1 2  Birkhoff 1967, p. 2.
2. 1 2  Schmidt & Ströhlein 1993, p. 32.
3. ↑  Fuchs 1963, p. 2.
4. 1 2 3  Davey & Priestley 1990, p. 3.
5. ↑  Strohmeier, Alfred; Genillard, Christian; Weber, Mats (1990-08-01). *Ordering of characters and strings*. *ACM SIGAda Ada Letters* (en inglés). p. 84. doi:10.1145/101120.101136.
6. ↑  Ganapathy, Jayanthi (1992). *Maximal Elements and Upper Bounds in Posets*. *Pi Mu Epsilon Journal* **9**. pp. 462–464. ISSN 0031-952X. JSTOR 24340068.
7. ↑  This definition resembles that of an initial object of a category, but is weaker.
8. ↑  Halmos 1968.
9. ↑  Roland Fraïssé (Dec 2000). *Theory of Relations*. Studies in Logic and the Foundations of Mathematics **145** (1st ed.). Elsevier. ISBN 978-0-444-50542-2.  p. 35
10. ↑  Brian A. Davey and Hilary Ann Priestley (1990). *Introduction to Lattices and Order*. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36766-2. LCCN 89009753.  p. 100
11. ↑  Davey and Priestly 1990, Def.2.24, p. 37
12. ↑  Weyer, Mark (2002). "Decidability of S1S and S2S". *Automata, Logics, and Infinite Games*. Lecture Notes in Computer Science **2500**. Springer. pp. 207–230. ISBN 978-3-540-00388-5. doi:10.1007/3-540-36387-4\_12.

Véxaxe tamén
------------

### Bibliografía

* Birkhoff, Garrett (1967). *Lattice Theory*. Colloquium Publications **25**. Providence: Am. Math. Soc.
* Davey, Brian A.; Priestley, Hilary Ann (1990). *Introduction to Lattices and Order*. Cambridge Mathematical Textbooks. Cambridge University Press. ISBN 0-521-36766-2. LCCN 89009753.
* Fuchs, L (1963). *Partially Ordered Algebraic Systems*. Pergamon Press.
* George Grätzer (1971). *Lattice theory: first concepts and distributive lattices.* W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
* Halmos, Paul R. (1968). *Naive Set Theory*. Princeton: Nostrand.
* John G. Hocking and Gail S. Young (1961). *Topology.* Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
* Rosenstein, Joseph G. (1982). *Linear orderings*. New York: Academic Press.
* Schmidt, Gunther; Ströhlein, Thomas (1993). *Relations and Graphs: Discrete Mathematics for Computer Scientists*. Berlin: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-77970-1.

### Outros artigos

* Teoría da orde
* Problema de Suslin
* Ben-ordenado

### Ligazóns externas

* *Totally ordered set*. SpringerEOM. Total\_order&oldid=35332.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q369377
* MAG: 144901957

 |