As **series de Eisenstein**, que reciben o nome do matemático alemán Gotthold Eisenstein,  son formas modulares particulares con expansións de series infinitas que se poden escribir directamente. Definidas orixinalmente para o grupo modular, as series de Eisenstein pódense xeneralizar na teoría das formas automorfas.

Series de Eisenstein para o grupo modular
-----------------------------------------

 A parte real de *G*6 en función de q no disco unitario. Os números negativos están en negro.
*G*6
Sexa τ un número complexo con parte imaxinaria estritamente positiva. Definamos a **serie holomorfa de Eisenstein** *G*2*k*(*τ*) de peso 2*k*, onde *k* ≥ 2 é un número enteiro, pola seguinte serie: 

{\displaystyle G\_{2k}(\tau )=\sum \_{(m,n)\in \mathbb {Z} ^{2}\setminus \{(0,0)\}}{\frac {1}{(m+n\tau )^{2k}}}.}
Esta serie converxe absolutamente a unha función holomorfa de τ no semiplano superior e a súa expansión de Fourier indicada a continuación mostra que se estende a unha función holomorfa en *τ* = *i*∞. É un feito notable que a serie Eisenstein é unha forma modular. De feito, a propiedade clave é a súa covarianza SL(2, **{\displaystyle \mathbb {Z} }**). Explicitamente se *a*, *b*, *c*, *d* ∈ **{\displaystyle \mathbb {Z} }** e *ad* − *bc* = 1 entón

{\displaystyle G\_{2k}\left({\frac {a\tau +b}{c\tau +d}}\right)=(c\tau +d)^{2k}G\_{2k}(\tau )}

  

Nótese que *k* ≥ 2 é necesario para que a serie converxa absolutamente, mentres que *k* debe ser par, se non, a suma desaparece porque os termos (-*m*, -*n*) e (*m*, *n*) anúlanse. Para *k* = 2 a serie converxe mais non é unha forma modular.

Relación con invariantes modulares
----------------------------------

As invariantes modulares *g*2 e *g*3 dunha curva elíptica veñen dados polas dúas primeiras series de Eisenstein: 

{\displaystyle {\begin{aligned}g\_{2}&=60G\_{4}\\g\_{3}&=140G\_{6}.\end{aligned}}}
Existen expresións de estas dúas funcións en termos das funcións theta.

Relación de recorrencia
-----------------------

Calquera forma modular holomorfa para o grupo modular  pódese escribir como un polinomio en *G*4 e *G*6. En concreto, a orde superior *G*2*k* pódese escribir en termos de *G*4 e *G*6 mediante unha relación de recorrencia. Sexa *dk* = (2*k* + 3)*k*! *G*2*k* + 4, polo que, por exemplo, *d*0 = 3*G*4 e *d*1 = 5*G*6. Daquela o dk satisfai a relación

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}d\_{k}d\_{n-k}={\frac {2n+9}{3n+6}}d\_{n+2}}
para todo *n* ≥ 0. Onde (*n*  
*k*) é o coeficiente binomial.

Os *d**k* tamén aparecen na expansión en serie para as funcións elípticas de Weierstrass:

{\displaystyle {\begin{aligned}\wp (z)&={\frac {1}{z^{2}}}+z^{2}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {d\_{k}z^{2k}}{k!}}\\&={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \_{k=1}^{\infty }(2k+1)G\_{2k+2}z^{2k}.\end{aligned}}}

Series de Fourier
-----------------

Definimos *q* = *e*2π*iτ*, (algúns libros máis antigos definen que q como o nome *q* = *e*π*iτ*, mais agora *q* = *e*2π*iτ* é o estándar.) Daquela a serie de Fourier da serie de Eisenstein  é

{\displaystyle G\_{2k}(\tau )=2\zeta (2k)\left(1+c\_{2k}\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{2k-1}(n)q^{n}\right)}
onde os coeficientes *c*2*k* están dados por

{\displaystyle {\begin{aligned}c\_{2k}&={\frac {(2\pi i)^{2k}}{(2k-1)!\zeta (2k)}}\\[4pt]&={\frac {-4k}{B\_{2k}}}={\frac {2}{\zeta (1-2k)}}.\end{aligned}}}
Onde *B**n* son os números de Bernoulli, *ζ*(*z*) é a función zeta de Riemann e *σ**p*(*n*) é a función suma dos divisores. En particular temos

{\displaystyle {\begin{aligned}G\_{4}(\tau )&={\frac {\pi ^{4}}{45}}\left(1+240\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{3}(n)q^{n}\right)\\[4pt]G\_{6}(\tau )&={\frac {2\pi ^{6}}{945}}\left(1-504\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{5}(n)q^{n}\right).\end{aligned}}}
A suma sobre q pódese representar como unha serie de Lambert e teríamos

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma \_{a}(n)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
para complexos arbitrarios |*q*| < 1 e a. Cando se traballa coa *q*-expansión da serie de Eisenstein, adoita introducirse esta notación alternativa:

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{2k}(\tau )&={\frac {G\_{2k}(\tau )}{2\zeta (2k)}}\\&=1+{\frac {2}{\zeta (1-2k)}}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{2k-1}q^{n}}{1-q^{n}}}\\&=1-{\frac {4k}{B\_{2k}}}\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{2k-1}(n)q^{n}\\&=1-{\frac {4k}{B\_{2k}}}\sum \_{d,n\geq 1}n^{2k-1}q^{nd}.\end{aligned}}}

Identidades coa serie de Eisenstein
-----------------------------------

### Como funcións theta

Fonte: 

Dado *q* = *e*2π*iτ*, temos

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{4}(\tau )&=1+240\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E\_{6}(\tau )&=1-504\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}\\E\_{8}(\tau )&=1+480\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{7}q^{n}}{1-q^{n}}}\end{aligned}}}
e definimos as funcións theta de Jacobi, que normalmente usan a función nome *q* = *e*π*iτ*,

{\displaystyle {\begin{aligned}a&=\theta \_{2}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta \_{10}(0;\tau )\\b&=\theta \_{3}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta \_{00}(0;\tau )\\c&=\theta \_{4}\left(0;e^{\pi i\tau }\right)=\vartheta \_{01}(0;\tau )\end{aligned}}}
onde *θm* e *ϑij* representan notacións alternativas. Entón temos as relacións simétricas,

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{4}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)\\[4pt]E\_{6}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\frac {\left(a^{8}+b^{8}+c^{8}\right)^{3}-54(abc)^{8}}{2}}}\\[4pt]E\_{8}(\tau )&={\tfrac {1}{2}}\left(a^{16}+b^{16}+c^{16}\right)=a^{8}b^{8}+a^{8}c^{8}+b^{8}c^{8}\end{aligned}}}
Unha transformación alxébrica básica implica inmediatamente

{\displaystyle E\_{4}^{3}-E\_{6}^{2}={\tfrac {27}{4}}(abc)^{8}}
unha expresión relacionada co discriminante modular,

{\displaystyle \Delta =g\_{2}^{3}-27g\_{3}^{2}=(2\pi )^{12}\left({\tfrac {1}{2}}abc\right)^{8}}
### Produtos das series de Eisenstein

As series de Eisenstein forman os exemplos máis explícitos de formas modulares para o grupo modular completo SL(2, **{\displaystyle \mathbb {Z} }**). Dado que o espazo das formas modulares de peso 2*k* ten dimensión 1 para 2*k* = 4, 6, 8, 10, 14, os diferentes produtos das series de Eisenstein que teñen eses pesos teñen que ser iguais a un múltiplo escalar. De feito, obtemos as identidades: 

{\displaystyle E\_{4}^{2}=E\_{8},\quad E\_{4}E\_{6}=E\_{10},\quad E\_{4}E\_{10}=E\_{14},\quad E\_{6}E\_{8}=E\_{14}.}
Usando as *q*-expansións da serie de Eisenstein indicadas anteriormente, poden ser reformuladas como identidades que implican as sumas de potencias dos divisores:

{\displaystyle \left(1+240\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{3}(n)q^{n}\right)^{2}=1+480\sum \_{n=1}^{\infty }\sigma \_{7}(n)q^{n},}
polo tanto

{\displaystyle \sigma \_{7}(n)=\sigma \_{3}(n)+120\sum \_{m=1}^{n-1}\sigma \_{3}(m)\sigma \_{3}(n-m),}
e do mesmo xeito para os demais. A función theta dunha retícula unimodular par de oito dimensións Γ é unha forma modular de peso 4 para o grupo modular completo, que dá as seguintes identidades:

{\displaystyle \theta \_{\Gamma }(\tau )=1+\sum \_{n=1}^{\infty }r\_{\Gamma }(2n)q^{n}=E\_{4}(\tau ),\qquad r\_{\Gamma }(n)=240\sigma \_{3}(n)}
para o número *r*Γ(*n*) de vectores de lonxitude cadrada 2*n* na retícula raíz do tipo *E*8.

Usando a relación de recorrencia anterior, todos os *E*2*k* superiores poden expresarse como polinomios en *E*4 e *E*6. Por exemplo:

{\displaystyle {\begin{aligned}E\_{8}&=E\_{4}^{2}\\E\_{10}&=E\_{4}\cdot E\_{6}\\691\cdot E\_{12}&=441\cdot E\_{4}^{3}+250\cdot E\_{6}^{2}\\E\_{14}&=E\_{4}^{2}\cdot E\_{6}\\3617\cdot E\_{16}&=1617\cdot E\_{4}^{4}+2000\cdot E\_{4}\cdot E\_{6}^{2}\\43867\cdot E\_{18}&=38367\cdot E\_{4}^{3}\cdot E\_{6}+5500\cdot E\_{6}^{3}\\174611\cdot E\_{20}&=53361\cdot E\_{4}^{5}+121250\cdot E\_{4}^{2}\cdot E\_{6}^{2}\\77683\cdot E\_{22}&=57183\cdot E\_{4}^{4}\cdot E\_{6}+20500\cdot E\_{4}\cdot E\_{6}^{3}\\236364091\cdot E\_{24}&=49679091\cdot E\_{4}^{6}+176400000\cdot E\_{4}^{3}\cdot E\_{6}^{2}+10285000\cdot E\_{6}^{4}\end{aligned}}}
Moitas relacións entre produtos da serie de Eisenstein pódense escribir dun xeito elegante usando determinantes de Hankel, por exemplo, a identidade de Garvan

{\displaystyle \left({\frac {\Delta }{(2\pi )^{12}}}\right)^{2}=-{\frac {691}{1728^{2}\cdot 250}}\det {\begin{vmatrix}E\_{4}&E\_{6}&E\_{8}\\E\_{6}&E\_{8}&E\_{10}\\E\_{8}&E\_{10}&E\_{12}\end{vmatrix}}}
onde

{\displaystyle \Delta =(2\pi )^{12}{\frac {E\_{4}^{3}-E\_{6}^{2}}{1728}}}
é o discriminante modular.

### Identidades de Ramanujan

Srinivasa Ramanujan deu varias identidades interesantes entre as primeiras series de Eisenstein usando a diferenciación.  Sexan

{\displaystyle {\begin{aligned}L(q)&=1-24\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {nq^{n}}{1-q^{n}}}&&=E\_{2}(\tau )\\M(q)&=1+240\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{3}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E\_{4}(\tau )\\N(q)&=1-504\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{5}q^{n}}{1-q^{n}}}&&=E\_{6}(\tau ),\end{aligned}}}
daquela

{\displaystyle {\begin{aligned}q{\frac {dL}{dq}}&={\frac {L^{2}-M}{12}}\\q{\frac {dM}{dq}}&={\frac {LM-N}{3}}\\q{\frac {dN}{dq}}&={\frac {LN-M^{2}}{2}}.\end{aligned}}}
Estas identidades, como as identidades entre as series, producen identidades de convolución aritméticas que implican a función suma de divisores. Seguindo a Ramanujan, para poñer estas identidades na forma máis simple é necesario estender o dominio de *σ**p*(*n*) para incluír o cero, configurando

{\displaystyle {\begin{aligned}\sigma \_{p}(0)={\tfrac {1}{2}}\zeta (-p)\quad \Longrightarrow \quad \sigma (0)&=-{\tfrac {1}{24}}\\\sigma \_{3}(0)&={\tfrac {1}{240}}\\\sigma \_{5}(0)&=-{\tfrac {1}{504}}.\end{aligned}}}
Logo, por exemplo

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}\sigma (k)\sigma (n-k)={\tfrac {5}{12}}\sigma \_{3}(n)-{\tfrac {1}{2}}n\sigma (n).}

Xeneralizacións
---------------

As formas automorfas xeneralizan a idea de formas modulares para os grupos de Lie xenéricos; e as series de Eisenstein xeneralízanse dun xeito similar.

Definindo *OK* como o anel de números enteiros dun campo numérico alxébrico totalmente real K, defínese entón o grupo modular de Hilbert–Blumenthal como PSL(2,*OK*). Podemos entón asociar unha serie de Eisenstein a cada cúspide do grupo modular Hilbert–Blumenthal.

Notas
-----

1. ↑  ""Gotthold Eisenstein - Biography"". *Maths History* (en inglés).
2. ↑  ""PARA-EISENSTEIN SERIES FOR THE MODULAR GROUP GL(2, 𝔽q[T])"" **15**: 1463–1475. ISSN 1027-5487. doi:10.11650/twjm/1500406358.
3. ↑  "Eisenstein Series in String Theory" **17**: 1215–1224. ISSN 0264-9381. arXiv:hep-th/9910115. doi:10.1088/0264-9381/17/5/330.
4. ↑  Mertens, Michael H.; Rolen, Larry (2015). *Lacunary recurrences for Eisenstein series*. *Research in Number Theory* **1**. ISSN 2363-9555. arXiv:1504.00356. doi:10.1007/s40993-015-0010-x.
5. ↑  Karel, Martin L. (1974). *Fourier Coefficients of Certain Eisenstein Series*. *Annals of Mathematics* **99**. pp. 176–202. ISSN 0003-486X. JSTOR 1971017. doi:10.2307/1971017.
6. ↑  "How to prove this series identity involving Eisenstein series?". *Mathematics Stack Exchange* (en inglés). Consultado o 2023-09-05.
7. ↑  Dickson, Martin; Neururer, Michael (2018). *Products of Eisenstein series and Fourier expansions of modular forms at cusps*. *Journal of Number Theory* **188**. pp. 137–164. arXiv:1603.00774. doi:10.1016/j.jnt.2017.12.013.
8. ↑  Bhuvan, E. N.; Vasuki, K. R. (2019-06-24). *On a Ramanujan's Eisenstein series identity of level fifteen*. *Proceedings - Mathematical Sciences* (en inglés) **129**. p. 57. ISSN 0973-7685. doi:10.1007/s12044-019-0498-4.

Véxase tamén
------------

### Bibliografía

* Akhiezer, Naum Illyich (1970). *Elements of the Theory of Elliptic Functions* (en Russian). Moscow.  Translated into English as *Elements of the Theory of Elliptic Functions*. AMS Translations of Mathematical Monographs **79**. Providence, RI: American Mathematical Society. 1990. ISBN 0-8218-4532-2.
* Apostol, Tom M. (1990). *Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory* (2nd ed.). New York, NY: Springer. ISBN 0-387-97127-0.
* Chan, Heng Huat; Ong, Yau Lin (1999). *On Eisenstein Series* (PDF). *Proc. Amer. Math. Soc.* **127**. pp. 1735–1744. doi:10.1090/S0002-9939-99-04832-7.
* Iwaniec, Henryk (2002). *Spectral Methods of Automorphic Forms*. Graduate Studies in Mathematics **53** (2nd ed.). Providence, RI: American Mathematical Society. ch. 3. ISBN 0-8218-3160-7.
* Serre, Jean-Pierre (1973). *A Course in Arithmetic*. Graduate Texts in Mathematics **7** (transl. ed.). New York & Heidelberg: Springer-Verlag. ISBN 9780387900407.

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q1313257
* MAG: 133835828

 |