Para outras páxinas con títulos homónimos véxase: Distribución.

**Binomial**| Función de densidade |
| Función de distribución |
| **Parámetros** | {\displaystyle n\geq 0} número de ensaios (enteiro){\displaystyle 0\leq p\leq 1} probabilidade de éxito (real) |
| **Soporte** | {\displaystyle k\in \{0,\dots ,n\}\!} |
| **Función de densidade** | {\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\!} |
| **Función de distribución** | {\displaystyle I\_{1-p}(n-\lfloor k\rfloor ,1+\lfloor k\rfloor )\!} |
| **Media** | {\displaystyle np\!} |
| **Mediana** | Un de {\displaystyle \{\lfloor np\rfloor ,\lceil np\rceil \}} |
| **Moda** | {\displaystyle \lfloor (n+1)\,p\rfloor \!} |
| **Varianza** | {\displaystyle np(1-p)\!} |
| **Asimetría** | {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {np(1-p)}}}\!} |
| **Curtose** | {\displaystyle {\frac {1-6p(1-p)}{np(1-p)}}\!} |
| **Entropía** | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\ln \left(2\pi nep(1-p)\right)+O\left({\frac {1}{n}}\right)} |
| **F. xeradora de momentos** | {\displaystyle (1-p+pe^{t})^{n}\!} |
| **Func. caract.** | {\displaystyle (1-p+pe^{it})^{n}\!} |

A **distribución binomial** é unha distribución de probabilidade discreta que conta o número de éxitos nunha secuencia de *n* ensaios de Bernoulli independentes entre si, cunha probabilidade fixa *p* de que ocorra un éxito no ensaio.

Un experimento de Bernoulli caracterízase por ser dicotómico, é dicir, só ten dous posibles resultados. Un destes resultados denomínase éxito e ten unha probabilidade de que suceda *p* e o outro denomínase fracaso, cunha probabilidade *q* = 1 - *p*. Na distribución binomial o experimento repítese *n* veces, de forma independente, e trátase de calcular a probabilidade dun número determinado de éxitos. Para *n* = 1, a binomial convértese nunha distribución de Bernoulli.

Para representar que unha variable aleatoria *X* segue unha distribución binomial de parámetros *n* e *p*, escríbese:

{\displaystyle X\sim B(n,p)\,}
A distribución binomial é a base do test binomial de significación estatística.

Experimento binomial
--------------------

Existen moitas situación nas que se presenta unha experiencia binomial. Cada un dos experimentos é independente dos demais (é dicir, a probabilidade do resultado dun experimento non depende do resultado do resto). O resultado de cada experimento só admite dúas categorías ("éxito" e "fracaso") e as probabilidades deben de ser constantes en todos os experimentos (exprésanse como *p* e *q* ou *p* e 1-*p*).

Desígnase por *X* a variable que mide o número de éxitos que produciron nos *n* experimentos. Cando se dan estas circunstancias, dise que a variable *X* segue unha distribución de probabilidade binomial, e exprésase *B(n,p)*.

Exemplos de experimentos que se poden modelizar con esta distribución son:

* Lánzase un dado dez veces e cóntase o número *X* de treses obtidos. Entón *X* ~ *B*(10, 1/6).
* Lánzase unha moeda dúas veces e cóntase o número *X* de caras obtidas. Entón *X* ~ *B*(2, 1/2)

Características analíticas
--------------------------

A súa función de probabilidad é

{\displaystyle \!f(x)={n \choose x}p^{x}(1-p)^{n-x}\,\!}
onde {\displaystyle x=\{0,1,2,\dots ,n\},}

sendo {\displaystyle \!{n \choose x}={\frac {n!}{x!(n-x)!}}\,\!} as combinacións de {\displaystyle n\,\!} en {\displaystyle x\,\!} ({\displaystyle n\,\!} elementos tomados de {\displaystyle x\,\!} en {\displaystyle x\,\!})

### Exemplo

Se se lanza un dado (con 6 caras) 51 veces e queremos coñecer a probabilidade de que o número 3 saia vinte veces temos que X ~ B(51, 1/6) e a probabilidade sería P(X=20):

{\displaystyle \!P(X=20)={51 \choose 20}(1/6)^{20}(1-1/6)^{51-20}\,\!}

Propiedades
-----------

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=np\,}
{\displaystyle \mathbb {V} {\text{ar}}[X]=np(1-p)\,}

Relación con outras variables aleatorias
----------------------------------------

Se n tende a infinito e p é tal que o produto entre ambos os parámetros tende a {\displaystyle \lambda \,\!}, entón a distribución da variable aleatoria binomial tende a unha distribución de Poisson de parámetro \lambda .

Cando p =0.5 e *n* é moi grande (habitualmente esíxese que {\displaystyle n\geq 30}) a distribución binomial pode aproximarse mediante a distribución normal.

Propiedades reprodutivas
------------------------

Dadas *n* variables binomiales independentes de parámetros *ni* (*i* = 1,... *n*) e p, a súa suma é tamén unha variable binomial, de parámetros *n1*+... + *nn*, e p, é dicir,

{\displaystyle Y=\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}\sim B(\sum \_{i=1}^{n}n\_{i},p)\,}

Notas
-----

1. ↑  Hamza, K. (1995). The smallest uniform upper bound on the distance between the mean and the median of the binomial and Poisson distributions. Statist. Probab. Lett. 23 21–25.

Véxase tamén
------------

### Ligazóns externas

* Calculadora (distribución binomial)
* Cálculo da probabilidade dunha distribución binomial con linguaxe de programación R

|  |  |
| --- | --- |
| Control de autoridades | 
* Wd: Q185547
* BRE: 1866439
* EBID: ID
* JSTOR: binomial-distributions
* MAG: 41054675

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Identificadores | 
* MeSH: D016010
* MeSH: E05.318.740.994.250

 |