**Kannanvaihto** tarkoittaa lineaarialgebrassa siirtymistä vektoriavaruuden kannasta toiseen. Kannanvaihto muuttaa vektorien koordinaatteja ja lineaarikuvausten matriiseja. Kannanvaihdon hyödyllisyys tulee esille silloin, kun laskutoimitukset yksinkertaistuvat kannasta toiseen siirryttäessä.

Kannanvaihtomatriisi
--------------------

Kannanvaihtomatriisi on yksikäsitteinen ja säännöllinen neliömatriisi, joka muuttaa vektorien koordinaatit vanhan kannan suhteen ilmaistuista koordinaateista uuden kannan mukaisiksi.

### Kannanvaihtomatriisin määritelmä

Olkoot S=(\vec u\_{1},...\vec u\_{n}) ja T=(\vec v\_{1},...\vec v\_{n}) vektoriavaruuden V kaksi kantaa. Kannanvaihtomatriisi kannasta S kantaan T on nxn-matriisi, jonka sarakkeina on kannan S vektoreiden koordinaattivektorit kannan T suhteen ja josta käytetään merkintää M(T←S). Kaikille vektoriavaruuden V vektoreille \vec x pätee [\vec x]\_{T}=M(T←S)[\vec x]\_{S}, missä [\vec x]\_{T} on vektorin \vec x koordinaattivektorin kannan T suhteen ja [\vec x]\_{S} vektorin \vec x koordinaattivektorin kannan S suhteen.

### Menetelmä kannanvaihtomatriisin määrittämiseksi

Kannanvaihtomatriisin M(T←S) saa määritettyä muuntamalla matriisin [M(E←T)|M(E←S)] redusoituun porrasmuotoon [In|A], missä E=(\vec e\_{1},...\vec e\_{n}) on vektoriavaruuden luonnollinen kanta. Tällöin A=M(T←S).

Esimerkkejä
-----------

### Esimerkki 1

Olkoon E=(\vec e\_{1},\vec e\_{2},\vec e\_{3}) vektoriavaruuden R3 luonnollinen kanta ja olkoon S=(\vec u\_{1},\vec u\_{2},\vec u\_{3}) vektoriavaruuden R3 toinen kanta, jossa  \vec u\_{1}=\begin{bmatrix} 1 \ 2 \ 4\end{bmatrix}^{T},  \vec u\_{2}=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \ 1\end{bmatrix}^{T} ja  \vec u\_{3}=\begin{bmatrix} 1 \ 3 \ 3\end{bmatrix}^{T}. Tässä tapauksessa kannanvaihtomatriisi M(E←S) on helppo muodostaa, koska kannan S vektorien koordinaattivektorit kannan E suhteen ovat suoraan kannan S vektorit. Sama pätee aina luonnolliseen kantaan siirtyessä. Nyt siis

M(E←S)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3 \\ 4 & 1 & 3 \end{bmatrix}.
### Esimerkki 2

Olkoot S=(\vec u\_{1},\vec u\_{2}) ja T=(\vec v\_{1},\vec v\_{2}) vektoriavaruuden R2 kantoja, joille \vec u\_{1}=\begin{bmatrix} 2 \ 1 \end{bmatrix}^T, \vec u\_{2}=\begin{bmatrix} 0 \ 1 \end{bmatrix}^T, \vec v\_{1}=\begin{bmatrix} 1 \ -1 \end{bmatrix}^T ja \vec v\_{2}=\begin{bmatrix} 2 \ 3 \end{bmatrix}^T. Olkoon lisäksi \vec a=\begin{bmatrix} 1 \ 5 \end{bmatrix}^T. Määritetään kannanvaihtomatriisi M(T←S) muuntamalla matriisi \begin{bmatrix} 1 & 2 & | & 2 & 0 \\ -1 & 3 & | & 1 & 1 \end{bmatrix}
redusoituun porrasmuotoon \begin{bmatrix} 1 & 0 & | & 4/5 & -2/5 \\ 0 & 1 & | & 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}. Tällöin M(T←S)=\begin{bmatrix} 4/5 & -2/5 \\ 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}. Vektorin \vec a  koordinaattivektoriksi kannan S suhteen saadaan laskemalla [\vec a ]\_{S}=\begin{bmatrix} 1/2 \ 9/2 \end{bmatrix}^T. Lasketaan vektorin \vec a  koordinaattivektori kannan T suhteen kannanvaihtomatriisin M(T←S) avulla. Saadaan

[\vec a]\_{T}=M(T←S)[\vec a]\_{S}=\begin{bmatrix} 4/5 & -2/5 \\ 3/5 & 1/5 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1/2 \\ 9/2 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} -7/5 \\ 6/5 \end{bmatrix}.

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 180–182. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Bernard Kolman ja David R. Hill: Elementary Linear Algebra with Applications, Ninth Edition, Pearson Education, 2008.
* David Poole: Linear Algebra - A Modern Introduction, Second Edition, Brooks/Cole, 2006.