Kuva 1. Tässä Mona Lisaa esittävässä kuvassa kuvaa on muutettu siten, että sen pystysuoraan keskustasta osoittava vektori ei muutu. (Huomaa, että kulmat ovat muuttuneet oikeanpuoleisessa kuvassa.) Sininen vektori, rinnasta olkapäähän, on muuttanut suuntaa, mutta punainen, rinnasta leukaan on pysynyt samana. Punainen vektori on siten muunnoksen **ominaisvektori**, mutta sininen ei ole. Koska punaisen vektorin pituus ei ole muuttunut, sen ominaisarvo on yksi. Kaikki saman *y*-koordinaatin omaavat pystysuorat vektorit ovat myös ominaisvektoreita. Ne muodostavat kyseisen ominaisvektorin **ominaisavaruuden**.
**Ominaisarvo**, **ominaisvektori** ja **ominaisavaruus** ovat alun perin lineaarialgebran piirissä kehitettyjä toisiinsa verrattavia käsitteitä. Olkoon *A* annettu vektoriavaruuden *V* lineaarikuvaus. *A*:n *ominaisvektori* on vektori *v*, jonka suunta ei muutu kuvauksessa *A*. Kerrointa, jolla kuvavektori kutistuu tai kasvaa tässä kuvauksessa, sanotaan vektorin *ominaisarvoksi*. Usein kuvaus voidaan luonnehtia kokonaan ominaisarvojensa ja ominaisvektoreidensa avulla. *Ominaisavaruus* on joukko ominaisvektoreita joilla on sama ominaisarvo.

Matriisin ominaisarvojen summaa kutsutaan matriisin *jäljeksi* (trace). Ominaisarvojen tulo vastaa matriisin *determinanttia*.

Nämä käsitteet ovat merkittävässä roolissa useilla puhtaan ja sovelletun matematiikan osa-alueilla, kuten lineaarialgebrassa, funktionaalianalyysissä ja jopa useissa epälineaarisissa tilanteissa.

Määritelmät
-----------

Avaruuden muunnokset, kuten translaatio, rotaatio, peilaus ja homotetia, tai näiden yhdisteet, voidaan havainnollistaa graafisesti näyttämällä miten ne muuntavat vektoreita. Vektorit voidaan havainnollistaa koordinaatistossa nuolin, jotka osoittavat yhdestä pisteestä toiseen.

* Muunnoksen **ominaisvektorit** ovat vektoreita, joiden suunta ei muutu muunnoksessa.
* Ominaisvektorin **ominaisarvo** on muunnoksen skaalauskerroin, eli kuvavektorin pituus jaettuna alkuperäisen vektorin pituudella.
* **Ominaisavaruus** sisältää kaikki ne ominaisvektorit, joilla on sama ominaisarvo.
* Ominaisvektorin **geometrinen kertaluku** on vastaavan ominaisavaruuden dimensio.
* Muunnoksen **spektri** on sen ominaisarvojen muodostama joukko.

Esimerkiksi kolmiulotteisen avaruuden rotaatio on vektori, joka sijaitsee sillä rotaatioakselilla, minkä suhteen rotaatio suoritetaan. Vastaava ominaisarvo on yksi ja vastaava ominaisavaruus sisältää kaikki vektorit jotka ovat yhdensuuntaisia tämän akselin kanssa. Tässä yksiulotteisessa avaruudessa avaruuden geometrinen kertaluku on yksi. Vastaavasti spektri koostuu vain yhdestä reaaliluvusta.

Esimerkkejä
-----------

Kun Maa pyörähtää akselinsa ympäri, muuttuu myös Maan keskipisteestä alkavan vektorin suunta, mikäli vektori ei osoita samaan suuntaan kuin pyörähdysakseli tai ole nollavektori. Tarkastellaan Maan pyörähtämistä tunnin välein. Nyt huomataan, että ainoastaan Maan napoihin osoittavat vektorit pysyvät koko ajan paikoillaan, joten vain ne ovat muunnoksen ominaisvektorit. Lisäksi vektorin pituus pysyy koko ajan muuttumattomana, joten sen ainoa ominaisarvo on 1.

Toinen fysikaalinen esimerkki saadaan kun janan yksi piste kiinnitetään ja jana venytetään pituudeltaan kaksinkertaiseksi. Tämän muunnoksen ominaisarvo on 2. Jokainen vektori kiinnitetystä pisteestä janan mielivaltaiseen pisteeseen on ominaisvektori ja ominaisavaruus on näiden vektorien muodostama joukko.

Kuva 2. Narun seisova aalto voidaan ajatella esimerkkinä ominaisvektorista. Eri aikoina seisova aalto on skaalautunut, mutta sen muoto ei ole muuttunut. Tässä narun ominaisarvot riippuvat ajasta.

Ominaisarvoyhtälö
-----------------

Ominaisarvoyhtälö on matriisin ominaisarvoista muodostettu polynomiyhtälö. Sen ratkaisuna saadaan matriisin ominaisvektorit, jotka ovat käyttökelpoisia monissa sovelluksissa.

Olkoon **v***λ* {\mathcal {T}}:n ominaisvektori ja *λ* sitä vastaava ominaisarvo. Tällöin ominaisarvoyhtälö on määritelmän mukaan

{\mathcal {T}}({\mathbf {v}}\_{\lambda })=\lambda \,{\mathbf {v}}\_{\lambda },
missä {\mathcal {T}}({\mathbf {v}}\_{\lambda }) on vektori, joka saadaan kun muunnosta {\mathcal {T}} sovelletaan vektoriin **v***λ*.

Olkoon {\mathcal {T}} lineaarikuvaus. Tarkastellaan tämän vektoriavaruuden kantaa. Tällöin {\mathcal {T}} ja **v***λ* voidaan esittää matriisien avulla tämän kannan suhteen. Matriisiesityksen mukaan on tällöin voimassa

T\,v\_{\lambda }=\lambda \,v\_{\lambda },
missä kertolaskuna on matriisien kertolasku. Tämä on yhtäpitävää *n* lineaarisen yhtälön kanssa, missä *n* on kannan vektoreiden lukumäärä. Tässä yhtälössä sekä ominaisarvo *λ*, että *v*:n *n* komponenttia ovat tuntemattomia.

### Ominaisfunktio

Toisinaan on kuitenkin mahdotonta kirjoittaa ominaisarvoyhtälö matriisimuotoon. Tämä tilanne on esimerkiksi silloin, kun vektoriavaruus on ääretönulotteinen. Muunnoksesta {\mathcal {T}} ja avaruudesta, mihin muunnosta sovelletaan, riippuen voidaan ominaisarvoyhtälö esittää differentiaaliyhtälönä. Jos {\mathcal {T}} on differentiaalioperaattori, kutsutaan ominaisvektoreita yleensä differentiaalioperaattorin *ominaisfunktioiksi*. Esimerkiksi derivointi on lineaarinen muunnos, joten sen avulla voidaan muodostaa differentiaalioperaattori.

Tarkastellaan derivointia ajan t suhteen. Nyt sen ominaisfunktiot toteuttavat ominaisyhtälön

{dN/dt}=\lambda N,
missä *λ* on funktion ominaisarvo. Tällainen ajan funktio on vakio jos *λ=0*, kasvava jos *λ* on positiivinen ja vähenevä jos *λ* on negatiivinen. Esimerkiksi kanien ideaalipopulaatiomalleissa jäniskanta lisääntyy sitä voimakkaammin, mitä enemmän jäniksiä on, joten tässä tapauksessa parametri *λ* on positiivinen.

Ominaisarvoyhtälön ratkaisu on *N=eλt*, eli funktio on differentiaalioperaattorin *d/dt* ominaisfunktio ominaisarvonaan *λ*. Jos *λ* on negatiivinen, ratkaisua kutsutaan eksponentiaalisesti väheneväksi, muutoin eksponentiaalisesti kasvavaksi. *λ*:n arvo voi olla mikä tahansa kompleksiluku. Operaattorin *d/dt* spektri on siten koko kompleksitaso. Tässä esimerkissä vektoriavaruus, missä operaattori *d/dt* toimii, on derivoituvien yksimuuttujisten funktioiden avaruus. Tämän avaruuden dimensio on ääretön, sillä ei ole mahdollista ilmaista kaikkia derivoituvia funktioita äärellisen monen kannan funktion lineaarisena yhdisteenä. Kuitenkin annettua ominaisarvoa *λ* vastaa yksiulotteinen ominaisavaruus. Se on kaikkien funktioiden *N=N0eλt*, missä *N0* on mielivaltainen vakio, muodostama joukko. Alkuarvo saadaan sijoittamalla yhtälöön *t=0*.

Spektrilause
------------

**Spektrilauseessa** kuvastuu ominaisarvojen ja -vektoreiden käyttökelpoisuus karakterisoida lineaarinen muunnos yksikäsitteisesti. Yksinkertaisimmassa muodossaan spektrilause sanoo, että tietyillä ehdoilla vektorin lineaarinen muunnos voidaan esittää lineaarikombinaationa ominaisvektoreista, joiden kertoimet saadaan kertomalla vektorin ominaisarvot skalaarilla ja ottamalla tästä tuloksesta pistetulo sen vektorin kanssa, johon lineaarista muunnosta sovelletaan. Matemaattisesti tämä voidaan kirjoittaa muodossa

{\mathcal {T}}({\mathbf {v}})=\lambda \_{1}({\mathbf {v}}\_{1}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v}}\_{1}+\lambda \_{2}({\mathbf {v}}\_{2}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v}}\_{2}+\dots ,
missä {\mathbf {v}}\_{1},{\mathbf {v}}\_{2},\dots  ja \lambda \_{1},\lambda \_{2},\dots  tarkoittavat {\mathcal {T}}:n ominaisvektoreita ja -arvoja. Yksinkertaisimmat tapaukset, jossa lause on voimassa, on tapaus missä lineaarinen muunnos on annettu reaaliluvun ja symmetrisen matriisin avulla tai kompleksiluvun ja hermiittisen matriisin avulla.

Jos määritellään muunnoksen *n*:s potenssi suorittamalla muunnosta *n* kertaa peräkkäin, saadaan määriteltyä muunnoksen polynomit. Yleisempi versio lauseesta on, että jokainen {\mathcal {T}}:n polynomi on muotoa

P({\mathcal {T}})({\mathbf {v}})=P(\lambda \_{1})({\mathbf {v}}\_{1}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v}}\_{1}+P(\lambda \_{2})({\mathbf {v}}\_{2}\cdot {\mathbf {v}}){\mathbf {v}}\_{2}+\dots 
Lause voidaan yleistää myös muille funktioille kuin polynomeille, kuten esimerkiksi analyyttisille funktioille ja Borelin funktioille.

Matriisin ominaisarvojen ja -vektoreiden laskeminen
---------------------------------------------------

Oletetaan, että haluamme laskea annetun matriisin ominaisarvot. Nämä voidaan laskea karakteristisen polynomin avulla jos matriisi on pieni. Suurilla matriiseilla polynomin juurten tarkkojen arvojen laskenta on usein mahdotonta, jolloin on käytettävä numeerisia menetelmiä. Tämä siksi, että ominaisarvoyhtälö on tällöin korkeampaa kuin neljättä astetta ja Abelin-Ruffinin lauseen mukaan tällaiselle polynomiyhtälölle ei ole olemassa yleistä ratkaisukaavaa.

### Symbolinen laskenta

Ominaisarvojen selvittäminen
**Karakteristinen polynomi** on tärkeä työkalu neliömatriisin ominaisarvojen selvittämisessä. *λ* on annetun neliömatriisin *A* ominaisarvo vain jos lineaarisella yhtälöryhmällä (*A* – *λI*) *v* = 0 (*I* on yksikkömatriisi) on nollavektorista poikkeava ratkaisu *v*, jota kutsutaan *A*:n ominaisvektoriksi. Koska yhtälöllä on olemassa nollasta eroava ratkaisu *v* vain jos matriisin determinantti on nolla, saadaan ominaisarvot yhtälöstä

\det(A-\lambda I)=0\!\ .
Yhtälö *p*(*λ*) = det(*A* – *λI*) on polynomiaalinen *λ*:n suhteen, sillä determinantit ovat määritelmän mukaan summia tuloista.
Tämä on *A*:n karakteristinen polynomi; matriisin ominaisarvot ovat sen karakteristisen polynomin nollakohtia.

Matriisin *A* kaikki ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö p\_{A}(\lambda )=0. Jos *A* on *n*×*n*-matriisi, on p\_{A} *n*:ttä astetta ja *A*:lla voi olla siten korkeintaan *n* ominaisarvoa.
Toisaalta, algebran peruslauseen mukaan tällä yhtälöllä on täsmälleen *n* juurta, kun juurien kertaluvut otetaan huomioon. Kaikilla paritonasteisilla reaalipolynomeilla on reaalijuuri, joten *n*×*n*-matriiseilla on aina vähintään yksi ominaisvektori kun *n* on pariton. Funktioteorian perusteista seuraa myös, että reaalimatriisin epäreaaliset ominaisarvot esiintyvät toistensa konjugaattipareina.

Ominaisvektoreiden muodostaminen
Kun ominaisarvot λ tiedetään, ominaisvektorit saadaan ratkaisemalla yhtälö

(A-\lambda I)v=0\!\ .
Esimerkki neliömatriisista, jolla ei ole reaalisia ominaisarvoja, on 90 asteen kierto myötäpäivään:

{\begin{bmatrix}0&1\\-1&0\end{bmatrix}},
jonka karakteristinen polynomi on \lambda ^{2}+1. Tämän polynomin nollakohdat ovat toistensa kompleksikonjugaatit *i* ja -*i*. Siten reaalisia ominaisvektoreita ei ole.

### Numeerinen laskenta

Käytännössä suurten matriisien ominaisarvoja ei lasketa karakteristisen polynomin avulla. Polynomin laskeminen itsessään on työlästä ja polynomin juuren tarkkaa arvoa ei ole aina mahdollista selvittää. Juurten approksimointiin on kehitetty tehokkaita numeerisia algoritmeja, mutta pienetkin numeeriset virheet voivat kasaantua, jolloin matriisin oikeat ominaisvektorit voivat olla todellisuudessa hyvinkin erilaisia numeerisiin tuloksiin verrattuna. Siten ominaisarvoja lasketaankin käytännössä iteratiivisillä menetelmillä. Yksinkertaisin menetelmä on ns. potenssimenetelmä: valitaan satunnaisesti vektori *v* ja lasketaan yksikkövektorit

{\frac {Av}{||Av||}}, {\frac {A^{2}v}{||A^{2}v||}}, {\frac {A^{3}v}{||A^{3}v||}}, ...
Tämä jono suppenee lähes aina kohti itseisarvoltaan suurinta ominaisarvoa vastaavaa ominaisvektoria. Tämä algoritmi on helppo toteuttaa, mutta ei ole aina käytännöllinen. Kuitenkin suositut numeeriset lineaarialgebran algoritmit, kuten QR-algoritmi, perustuu tähän.

### Algebrallinen kertaluku

Matriisin *A* ominaisarvon λ **algebrallinen kertaluku** on λ:n kertaluku *A*:n karakteristisen polynomin nollakohtana. Tosin sanoen jos λ on eräs polynomin juuri, sen kertaluku on karakteristisen polynomin tekijöihinjaossa esiintyvän termien (*x* − *λ*) lukumäärä. *n*×*n*-matriisilla on *n* ominaisarvoa algebrallinen kertaluku huomioon ottaen, koska *n*×*n*-matriisien karakteristinen polynomi on *n*:ttä astetta. Ominaisarvoa kutsutaan **yksinkertaiseksi** jos sen algebrallinen kertaluku on 1.

Matriisilaskennan oppikirjoissa saattaa törmätä seuraavanlaiseen lauseeseen:

"Matriisin *A* ominaisarvot ovat 4, 4, 3, 3, 3, 2, 2, 1."
Tämä tarkoittaa sitä, että ominaisarvon 4 algebrallinen kertaluku on 2, ominaisarvon 3 kertaluku on 3, kahden kertaluku on kaksi ja yhden yksi. Tämäntyyppinen kirjoitusasu on käytössä, sillä algebrallinen kertaluku on oleellinen käsite monissa matriisilaskennan tulosten todistuksissa.

Algebrallinen kertaluku voidaan myös ajatella dimensiona. Se voidaan ajatella *yleistettynä ominaisavaruutena*, joka on matriisin (λI − *A*)k nolla-avaruus kaikilla riittävän suurilla k. Se on siis *yleistettyjen ominaisvektoreiden* avaruus, missä yleistetty ominaisvektori on mikä tahansa vektori, joka kuvautuu nollaksi jos vektori kerrotaan matriisilla λI − *A* riittävän monta kertaa. Ominaisvektori on yleistetty ominaisvektori, joten jokainen ominaisavaruus sisältyy vastaavaan yleistettyyn ominaisvektoriin. Tämän ominaisuuden perusteella voidaan todistaa, että ominaisarvon geometrinen kertaluku on aina korkeintaan yhtä suuri kuin algebrallinen kertaluku. Tätä ei tule sekoittaa yleistettyyn ominaisarvo-ongelmaan.

Esimerkki: Olkoon

A={\begin{bmatrix}1&1\\0&1\end{bmatrix}}.
*A*:lla on vain yksi ominaisarvo, nimittäin λ = 1. *A*:n karakteristinen polynomi on (\lambda -1)^{2}, joten ominaisarvon algebrallinen kertaluku on 2. Toisaalta vastaava ominaisavaruus on pelkästään yksikkövektorin {\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}} virittämä, joten geometriseksi kertaluvuksi saadaan 1.

#### Hajotuslause

Hajotuslause on erikoistapaus spektrilauseesta tietyille matriiseille. Tämä lause esitetään usein koordinaatistomuunnosten avulla. Jos *U* on kääntyvä matriisi, se voidaan tulkita koordinaatiston muunnoksena. Tässä uudessa koordinaatistossa vektoria {\mathbf {v}} merkitään v'. Nämä vektorit saadaan soveltamalla koordinaatiston muunnosta vektoriin *v*, v'=Uv. Tästä koordinaatistosta päästään takaisin alkuperäiseen koordinaatistoon muunnoksen v=U^{{-1}}v' avulla. Soveltamalla muunnoksia v'=Uv, w'=Uw ja U^{{-1}}U=I identiteettiin Av=w, saadaan A'v'=w', missä A'=UAU^{{-1}}. Tämä on *A*:n esitys uudessa kannassa. *U*:n sarakkeista voidaan tällöin lukea uudet kantavektorit. Hajotuslauseesta seuraa, että jos *U*:sta voidaan valita *n* lineaarisesti riippumatonta *A*:n ominaisvektoria, niin tällöin matriisi A'=UAU^{{-1}} on diagonaalinen eli lävistäjämatriisi ja sen lävistäjäalkiot ovat *A*:n ominaisarvot. Tällöin *A*:ta sanotaan diagonalisoituvaksi matriisiksi. Esimerkki ei-diagonalisoituvasta matriisista on kohdassa algebrallinen kertaluku esiintyvä matriisi *A*.

On olemassa useita hajotuslauseen yleistyksiä, joita voidaan käyttää, jos matriisi ei ole diagonalisoituva. Eri hajotelmat toimivat eri tapauksissa.

* Singulaariarvohajotelmassa A=U\Sigma V^{\*}, missä \Sigma on lävistäjämatriisi, mutta *U* ei ole välttämättä yhtä suuri kuin *V*.
* Jordanin normaalimuodossa A=U\Lambda U^{{-1}}, missä \Lambda ei ole lävistäjämatriisi, mutta on sellaisessa yksinkertaisessa muodossa, jossa sen nollasta poikkeavat alkiot ovat lävistäjällä ja yksi nollasta poikkeava alkio lävistäjän yläpuolella.
* Jokainen matriisi *A* voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa *A* = *S* + *N*, missä *S* on diagonalisoituva, *N* on nilpotentti (eli *Nq*=0 jollakin *q*>0) ja *S* kommutoi *N*:n kanssa, (*SN=NS*).
* Jokainen kääntyvä matriisi *A* voidaan esittää yksikäsitteisesti muodossa *A* = *SJ*, missä *S* on diagonalisoituva ja *J* on unipotentti (eli *J*:n karakteristinen polynomi on muotoa (*λ*-1)n jollakin kokonaisluvulla *n*), ja *S* kommutoi *J*:n kanssa.

#### Muita lauseita

Spektri on invariantti yhtenevyysmuunnosten suhteen: matriiseilla *A* ja *P*−1*AP* on samat ominaisarvot kaikilla matriiseilla *A* ja kaikilla kääntyvillä matriiseilla *P*. Spektri on niin ikään invariantti transpoosin suhteen: matriiseilla *A* ja *A*T on samat ominaisarvot.

Matriisi on kääntyvä jos ja vain jos sillä ei ole ominaisarvonaan nollaa.

Matriisi on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisarvojen algebralliset ja geometriset kertaluvut vastaavat toisiaan. Erityisesti *n*×*n*-matriisi, jolla on *n* eri ominaisarvoa, on diagonalisoituva.

Vektoriavaruus, missä matriisi toimii, on aina suora summa yleistetyistä ominaisavaruuksista (eli on näiden avaruuksien virittämä), jotka ovat lineaarisesti riippumattomat. Tämä pätee kaikille tavallisille ominaisavaruuksille vain jos ne yhtyvät yleistetyssä ominaisavaruudessa, toisin sanoen vain jos matriisi on diagonalisoituva.

Spektristä voidaan saada lisätietoa jos matriisi on erityistä muotoa

* Hermiittisen matriisin (*A* = *A*\*) ominaisarvot ovat reaaliset. Edelleen positiivisesti definiitin matriisin (*v*\**Av* > 0 kaikilla vektoreilla *v*) ominaisarvot ovat positiivisia.
* Vinohermiittisen matriisin (*A* = −*A*\*) ominaisarvot ovat puhtaasti imaginaarisia.
* Unitaarisen matriisin (*A*−1 = *A*\*) ominaisarvojen itseisarvo on yksi.
* Kolmiomatriisin ominaisarvot ovat matriisin diagonaalilla olevat alkiot. Tämä pätee erityisesti diagonaalisille matriisille.

Yleisesti matriisin jälki, toisin sanoen päädiagonaalin alkioiden summa, on yhtä suuri kuin matriisin ominaisarvojen summa ja matriisin determinantti on matriisin ominaisarvojen tulo. Tulossa on otettava huomioon ominaisarvojen kertaluvut.

Olkoon *A* *m*×*n* matriisi, jolle *m* ≤ *n* ja B *n*×*m* matriisi. Tällöin *BA*:n ominaisarvot ovat samat kuin *AB*:n. Muut *n* − *m* ominaisarvoa ovat nollia.

### Konjugaattinen ominaisvektori

**Konjugaattinen ominaisvektori** on vektori, jonka arvo muunnoksen jälkeen on skalaari kertaa vektorin konjugaatti. Tässä skalaaria kutsutaan lineaarikuvauksen **konjugaattiseksi ominaisarvoksi**. Konjugaattiset ominaisvektorit ja -arvot antavat oleellisesti saman tiedon kuin tavalliset ominaisvektorit ja -arvot, mutta ne esiintyvät toisissa koordinaatiston muunnoksissa kuin tavalliset ominaisvektorit ja -arvot. Vastaava konjugaattinen ominaisarvoyhtälö on

Av=\lambda v^{\*}.\,
Esimerkiksi koherentissa sähkömagneettisessa hajaantumisteoriassa lineaarinen muunnos *A* esittää hajaantunutta säteilyä, ja ominaisvektorit esittää sähkömagneettisen aallon polaarisaatiotiloja. Myös esimerkiksi optiikassa koordinaatisto on valittu siten, että syntyvä ominaisarvoyhtälö on tavallista muotoa, kun taas tutkat muodostavat tietokoneelle ominaisarvoyhtälöitä, jotka ovat konjugaattista muotoa.

### Yleistetty ominaisarvoyhtälö

**Yleistetty ominaisarvoyhtälö** on muotoa

Av=\lambda Bv\quad \quad ,
missä *A* ja *B* ovat matriiseja. Yleistetyt ominaisarvot saadaan ratkaisemalla yhtälö

\det(A-\lambda B)=0,\,
missä \lambda  on reaali- tai kompleksiluku.
Jos *B* on kääntyvä, voidaan alkuperäinen yhtälö kirjoittaa muodossa

B^{{-1}}Av=\lambda v,\quad \quad 
joten yleistetty ominaisarvoyhtälö pelkistyy tavalliseksi ominaisarvoyhtälöksi. Useimmiten kuitenkin matriisin kääntäminen aiheuttaa numeerista virhettä, joten ylempää yleistettyä ominaisarvoyhtälöä on suositeltavaa käyttää sovelluksissa.

Jos *A* ja *B* ovat symmetrisiä reaalikertoimisia matriiseja, on *A*:n ja *B*:n ominaisarvot reaaliset. Tätä ei kuitenkaan havaita helposti jälkimmäisestä muodosta, sillä matriisi B^{{-1}}A ei ole välttämättä symmetrinen vaikka *A* ja *B* olisivat.

### Alkiot renkaasta

Tapauksesta, missä neliömatriisin *A* alkiot ovat jonkun renkaan alkioita, kutsutaan λa **oikeaksi ominaisarvoksi** jos on olemassa nollasta poikkeava sarakevektori *x* siten, että *Ax*=λ*x*, tai **vasemmaksi ominaisarvoksi** jos on olemassa nollasta poikkeava rivivektori *y*, jolle *yA*=*y*λ.

Jos rengas on kommutatiivinen, vasemmat ja oikeat ominaisarvot yhtyvät, joten voidaan puhua pelkästään ominaisvektorista. Aina näin ei kuitenkaan ole, esimerkiksi jos kerroinrenkaana on kvaternioiden muodostama rengas.

Ääretönulotteiset avaruudet
---------------------------

Jos vektoriavaruus on ääretönulotteinen, voi olla hyödyllistä määritellä käsite **spektriarvo**. Spektriarvot ovat joukko skalaareita λ jolle Greenin operaattori \left({\mathcal {T}}-\lambda \right)^{{-1}} ei ole määritelty.

Jos *λ* on {\mathcal {T}}:n ominaisarvo, on *λ* myös {\mathcal {T}}:n spektriarvo. Käänteinen ei päde, kaikki spektriarvot eivät ole ominaisarvoja. On jopa olemassa operaattoreita Hilbertin ja Banachin avaruuksissa, joilla ei ole ainuttakaan ominaisvektoria. Tämä voidaan nähdä seuraavasta esimerkistä. Hilbertin avaruuden \ell ^{2}({\mathbf {Z}}) (avaruus, jonka muodostavat kaikki skalaarijonot \dots a\_{{-1}},a\_{0},a\_{1},a\_{2},\dots  joille \dots |a\_{{-1}}|^{2}+|a\_{0}|^{2}+|a\_{1}|^{2}+|a\_{2}|^{2}+\dots  suppenee) bilateraalisella siirrolla ei ole ominaisarvoja, mutta on spektriarvoja.

Funktionaalianalyysissä käsite *spektrin operaattori* määritellään joukoksi annetun spektrin spektriarvoja. Tätä käsitettä käytetään paljon sirontateoriassa.

Ääretönulotteisissa avaruuksissa operaattorin spektri voi olla *diskreetti* tai *jatkuva*. Edellinen tapaus esiintyy, jos spektri on numeroituva joukko skalaareita, jälkimmäinen kun joukko on ylinumeroituva. Eksponentiaalinen kasvu tai hajoaminen tuottaa jatkuvan spektrin, kun taas esimerkiksi värähtelevä jousi diskreetin. Vetyatomin malleissa taas esiintyy molempia. Vetyatomin perustila vastaa diskreettiä spektriä, kun taas vedyn ionisoitumista kuvaava malli tuottaa jatkuvan spektrin.

Sovelluksia
-----------

Schrödingerin yhtälö
Kuva 3. Aaltofunktio, joka liittyy vetyatomin elektronin perustilaan voidaan nähdä vetyatomin Hamiltonin matriisin ominaisarvona samoin kuin kulmamomenttioperaattorina. Ne liittyvät ominaisarvoihin, jotka kuvaavat atomin energiatiloja (alaspäin mennessä energia kasvaa, *n*=1,2,3,...) ja kulmamomentteihin (tilat pienimmästä alkaen: *s*, *p*, *d*,...). Tässä kuvioon on piirretty aaltofunktio itseisarvon neliö. Kirkkaammat alueet vastaavat suurempaa todennäköisyyttä elektronin löytymiselle annetusta alueesta. Kunkin kuvan keskellä on atomin ydin, protoni.
Esimerkki ominaisarvoyhtälöstä, missä muunnos {\mathcal {T}} esitetään differentiaalioperaatioiden avulla, on ajasta riippumaton kvanttimekaniikan Schrödingerin yhtälö

H\Psi \_{E}=E\Psi \_{E},
missä *H*, Hamiltonin operaattori, on toisen kertaluvun differentiaalioperaattori ja \Psi \_{E}, aaltofunktio, on yksi funktion ominaisfunktioista, jota vastaava ominaisarvo *E*" vastaa tilan energiaa.

Toisaalta tapaus, missä etsitään vain perustilan ratkaisua Schrödingerin yhtälölle, esiintyy usein kvanttikemiassa. Etsimme suuretta \Psi \_{E} neliöllisesti integroituvien funktioiden avaruudesta. Koska tämä avaruus on Hilbertin avaruus, jossa on hyvin määritelty skalaaritulo, voidaan muodostama niin sanottu perusjoukko, jossa \Psi \_{E} ja *H* voidaan esittää yksiulotteisena vektorina ja matriisina. Tällöin Schrödingerin yhtälö voidaan esittää matriisimuodossa.

Diracin bra-ket-merkintätapaa käytetään paljon tässä yhteydessä korostamaan eroa vektorin tai tilan |\Psi \_{E}\rangle  ja sen esityksen välillä. Tällöin Schrödingerin yhtälö kirjoitetaan muotoon
H|\Psi \_{E}\rangle =E|\Psi \_{E}\rangle , ja suuretta |\Psi \_{E}\rangle  kutsutaan *H*:n **ominaistilaksi** (toisinaan käytetään myös merkintää {\hat {H}}), joka nähdään muunnoksena pikemminkin kuin erityisenä differentiaalioperaattoreiden esityksenä. Yllä olevassa yhtälössä H|\Psi \_{E}\rangle  ymmärretään vektorina, joka saadaan soveltamalla muunnosta *H* vektoriin |\Psi \_{E}\rangle .

Molekulaariset radat
Kvanttimekaniikassa, erityisesti atomi- ja molekyylifysiikassa, Hartree-Fock teoria atomisista ja molekulaarisista radoista voidaan määrittää Fock-operaattori ominaisvektorina. Vastaavat ominaisvektorit esittävät Koopmanin teorian ionisoitumispotentiaaleja. Tässä yhteydessä termiä ominaisvektori käytetään tavanomaista laajemmassa mielessä, koska Fockin operaattori riippuu eksplisiittisesti orbitaaleista ja niiden ominaisarvoista. Jos tätä halutaan korostaa, voidaan puhua *implisiittisestä ominaisarvoyhtälöstä*. Tällaiset ominaisarvoyhtälöt ratkaistaan usein iteroimalla, tässä tapauksessa käytetty menetelmä on nimeltään itsekonsistentti kenttä -menetelmä. Kvanttikemiassa Hartree-Fock -yhtälöt esitetään usein ei-ortogonaalisena perusjoukkona. Tämä erityinen yleistetty ominaisarvoyhtälö on nimeltään Roothaanin yhtälö.

Ominaisnaamat
Kuvankäsittelyssä jonkun henkilön naamaa käsitellessä naama voidaan ajatella joukkona vektoreita, joiden komponentit kuvaavat kunkin pikselin kirkkautta. Tämän vektoriavaruuden dimensio on pikseleiden lukumäärä. Normalisoitujen kuvien muodostamaa kovarianssimatriisia kutsutaan ominaisnaamaksi. Näistä yhdistellä eri naamojen tunnuspiirteitä, jolloin esimerkiksi ominaisnaaman kuvan pakkaus on tehokasta. Menetelmää käytetään ihmisten tunnistamisessa.

Inertiatensori
Mekaniikassa jäykän kappaleen pääakseleiden muodostaman inertiatensorin ominaisvektoreista voidaan lukea kappaleen inertiamomentit. Inertiatensori mahdollistaa kappaleen koordinaattien laskemisen, kun kappale pyörii painopisteensä ympäri.

Kuormitustensori
Kiinteän kappaleen mekaniikassa kuormitustensori on symmetrinen, joten se voidaan hajottaa diagonaalitensoriksi, jonka ominaisarvot voidaan lukea diagonaalilta ja jonka ominaisvektorit muodostavat tensorin kannan. Diagonaalisuuden perusteella tensorin kaikki komponentit ovat pääkomponentteja.

Verkon ominaisarvot
Verkkoteoriassa verkon ominaisarvot määritellään verkon vieruslistamatriisin *A* ominaisarvoiksi, tai nykyään yhä useammin verkon Laplacen matriisin I-T^{{-1/2}}AT^{{-1/2}}, missä *T* on diagonaalimatriisi, joka sisältää verkon särmien asteet, ominaisarvoiksi. Verkon pääominaisarvoa käytetään arvioimaan kuinka yhtenäinen verkko on. Menetelmää käyttää esimerkiksi Googlen PageRank-algoritmi arvioimaan hakusanojen ja www-sivujen asiasisällön vastaavuutta.

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 291–292. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
2. 1 2  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) (s. 844–845)  2015. Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 (painettu), ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf). Viitattu 17.7.2020.

Kirjallisuutta
--------------

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
* Roger A. Horn ja Charles R. Johnson, *Matrix Analysis*, Cambridge University Press (1985). ISBN 0-521-30586-1 (hardback), ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
* John B. Fraleigh ja Raymond A. Beauregard, *Linear Algebra* (3rd edition), Addison-Wesley Publishing Company (1995). ISBN 0-201-83999-7 (international edition).
* Claude Cohen-Tannoudji, *Quantum Mechanics*, Wiley (1977). ISBN 0-471-16432-1. (Chapter II. The mathematical tools of quantum mechanics.)
* Kivelä, Simo K.: *Matriisilasku ja lineaarialgebra*. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf)  2015. Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 (painettu), ISBN 978-952-7010-13-6 (pdf).