Yonedan lemman isomorfismin määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
**Kategoriateoria** on  matematiikan osa-alue, joka tutkii matemaattisia rakenteita keskittymällä objektien välisiin suhteisiin ja yhteyksiin. Kategoriateorian peruskäsite on  kategoria, jonka voidaan ajatella olevan tietty matemaattinen konteksti, jossa käsillä olevan matemaattisen teorian diskurssi tapahtuu. Kategorioita tavataan lähes kaikilla matematiikan osa-alueilla, joten kategoriateoreettisia käsitteitä ja tuloksia voidaan käyttää matemaattisten teorioiden jäsentelyyn ja tutkimiseen. Kategorioita voidaan kuitenkin tutkia myös itsenäisinä olioina, ilman suoraa yhteyttä muihin matematiikan osa-alueisiin.

Kategoriateorian keskiössä ovat niin sanotut *universaaliominaisuudet*: oliot määritellään suhteessa *kaikkiin* tietyn kontekstin (eli kategorian) olioiden suhteen. Tällä tavoin määritellyt oliot eivät siis ole olemassa itsenäisesti, vaan oleellisella tavalla riippuvat ja sisältävät informaatiota siitä kontekstista tai teoriasta, johon kuuluvat. Tärkeä kategoriateoreettinen tulos on  Yonedan lemma, joka karkeasti ottaen sanoo, että kaikki kategorian objektit määräytyvät yksikäsitteisesti universaaliominaisuuksiensa kautta.

Kategoriateoria syntyi  puhtaan matematiikan osa-alueena  homologisen algebran tarpeisiin, minkä jälkeen sitä on sovellettu ja kehitetty matematiikan sisällä muun muassa  algebrallisen topologian,  algebran ja  matemaattisen logiikan yhteydessä. Tämän lisäksi kategoriateoriaa on sovellettu matematiikan ulkopuolella muun muassa  tietojenkäsittelytieteessä,  fysiikassa,  teoreettisessa biologiassa,  systeemiteoriassa ja  kieliteknologiassa.

Historia ja motivaatio
----------------------

Saunders Mac Lane ja Samuel Eilenberg määrittelivät funktorit ja luonnolliset isomorfismit  ryhmäteorian kontekstissa artikkelissaan vuodelta 1942. Heidän tarkoituksensa oli homologisessa algebrassa usein esiintyneiden "luonnollisten isomorfismien" systematisointi ja täsmällinen määrittely. Näiden määrittelemistä varten tarvittiin funktorin määritelmä, mikä puolestaan johti heidät esittelemään esimerkkejä luonnollisista muunnoksista muilta matematiikan osa-alueilta heidän seuraavassa artikkelissaan vuodelta 1945. Tässä artikkelissa myös määriteltiin kategoria ensimmäisen kerran.

Kategoriat
----------

*Pääartikkeli: Kategoria (matematiikka)*
Kategoria on kategoriateorian perusyksikkö, joka koostuu *objekteista* sekä näiden välisistä *morfismeista*. Morfismit voidaan ajatella prosesseina, joilla on lähtöpiste tietyssä oliossa (morfismin *lähtöobjekti*) sekä päätepiste jossakin toisessa oliossa (morfismin *maaliobjekti*). Morfismien ja objektien  määritelmä on kuitenkin täysin formaali eikä edellytä tällaista intuitiota. Kategorian mille tahansa objektille on olemassa *identiteettimorfismi*, ja mitkä tahansa kaksi peräkkäistä morfismia voidaan yhdistää *yhdisteeksi*. Lisäksi pätevät  identiteettilaki ja  liitäntälaki: minkä tahansa morfismin yhdiste identiteettimorfismin kanssa on sama kuin kyseinen morfismi, ja yhdisteen järjestyksellä ei ole väliä (katso kategorian täsmällinen  määritelmä).

Yleisiä periaatteita
--------------------

### Kommutatiiviset kaaviot

 Esimerkki kommutatiivisesta kaaviosta. Kommutatiivisuus tarkoittaa tässä tapauksessa, että {\displaystyle hf=kg}.
Kategoriateorian tunnusomaisin  merkintä ja samalla tärkeä  todistustekniikka on *kommutatiivinen kaavio*. Tässä kontekstissa kaavioita (kommutatiivisia tai ei) käytetään yleensä epämuodollisesti, mutta mikä tahansa kaavio voitaisiin periaatteessa esittää muodollisesti  kaavion määritelmän avulla.

*Kaavio* koostuu objekteista, joita merkitään pistein tai kirjaimin, esimerkiksi {\displaystyle A,B,C} ja D, ja näiden välisistä morfismeista, joita merkitään nuolin, esimerkiksi {\displaystyle f:A\rightarrow B,g:A\rightarrow C,h:B\rightarrow D} ja {\displaystyle k:C\rightarrow D}. Kaavio on *kommutatiivinen*, jos kaikki kaavion morfismit kaavion minkä tahansa kahden objektin välillä (mukaan lukien yhdisteet) ovat yhtä suuria. Toisin sanoen kommutatiivisessa kaaviossa ei ole väliä, mitä "reittiä" (eli morfismien yhdisteitä) yhdestä objektista päädytään toiseen. Yllä olevassa esimerkissä kommutatiivisuus tarkoittaisi, että {\displaystyle hf=kg}.

### Universaaliominaisuudet ja yksikäsitteisyys isomorfismia vaille

Koska kategoriateoria keskittyy objektien (ja morfismien) keskinäisiin suhteisiin, tietty objekti tai morfismi määritellään yleensä suhteessa muihin kategorian objekteihin tai morfismeihin. Tällöin puhutaan objektin tai morfismin *universaaliominaisuudesta*. Universaaliominaisuuden kautta määriteltyä objektia tai morfismia kutsutaan vastaavasti *universaaliobjektiksi* tai *universaalimorfismiksi*.

Esimerkiksi  alkuobjekti määritellään universaaliominaisuuden kautta: objekti A on alkuobjekti mikäli *mille tahansa objektille* B on olemassa täsmälleen yksi morfismi {\displaystyle A\rightarrow B}.

Objekteille (ja morfismeille), jotka on määritelty universaaliominaisuuden kautta, on tyypillistä yksikäsitteisyys, mikäli isomorfisten objektien katsotaan olevan "yhtä suuria" tai "samoja". Täsmällisesti, määritellään objektien *yksikäsitteisyys isomorfismia vaille* ominaisuuden {\displaystyle {\mathfrak {P}}} suhteen seuraavasti: mikäli sekä objektilla A että objektilla B on ominaisuus {\displaystyle {\mathfrak {P}}}, niin on olemassa  isomorfismi A:sta B:hen (eli siis myös isomorfismi B:stä A:hen). Tätä tiukempi käsite on *yksikäsitteisyys yksikäsitteistä isomorfismia vaille*, joka määritellään muuten samalla tavalla kuin yksikäsitteisyys isomorfismia vaille, mutta objektien välinen isomorfismi on lisäksi yksikäsitteinen.

Esimerkiksi  alkuobjekti, mikäli se on olemassa, on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

### Vastakkainen kategoria ja duaalisuus

Olkoon {\displaystyle {\mathcal {C}}} kategoria. Tällöin sen *vastakkainen kategoria* {\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}} määritellään siten että {\displaystyle Obj({\mathcal {C}}^{op})=Obj({\mathcal {C}})}, ja jokaiselle objektiparille {\displaystyle A,B\in Obj({\mathcal {C}})} olkoon {\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}(A,B)={\mathcal {C}}(B,A)}. Selvästi {\displaystyle ({\mathcal {C}}^{op})^{op}={\mathcal {C}}}.

Tärkeä kategoriateoreettinen käsite on *duaalisuus*: mitä tahansa lausetta tai käsitettä, joka pätee tai on määritelty jossakin kategoriassa, vastaa lause tai käsite vastakkaisessa kategoriassa, jota kutsutaan *duaalilauseeksi* tai *-käsitteeksi*. Esimerkiksi yllä mainituista käsitteistä alku- ja loppuobjekti sekä mono- ja epimorfismi ovat toistensa duaalikäsitteitä. Täsmällisesti, erään kategorian objekti on alkuobjekti jos ja vain jos se on loppuobjekti vastakkaisessa kategoriassa, ja morfismi on monomorfismi jos ja vain jos se on epimorfismi vastakkaisessa kategoriassa.

Tietyn käsitteen duaalikäsitteen nimi muodostetaan usein, muttei kuitenkaan aina, lisäämällä kyseisen käsitteen nimen eteen *ko*-etuliite.

Funktorit
---------

Myös kategoriat muodostavat kategorian, jonka morfismeina ovat funktorit.

Olkoot {\displaystyle {\mathcal {C}}} ja {\displaystyle {\mathcal {D}}} kategorioita. *Funktori* {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} kategoriasta {\displaystyle {\mathcal {C}}} kategoriaan {\displaystyle {\mathcal {D}}} koostuu seuraavista kuvauksista:

* jokaiselle objektille {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}}, objekti {\displaystyle F(A)\in {\mathcal {D}}}, ja
* jokaiselle {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n morfismille {\displaystyle f:A\rightarrow B} kategorian {\displaystyle {\mathcal {D}}} morfismi {\displaystyle F(f):F(A)\rightarrow F(B)},

jotka lisäksi toteuttavat seuraavat ehdot:

* *identiteetin säilytys*: jokaiselle objektille {\displaystyle A\in {\mathcal {C}}} pätee {\displaystyle F(id\_{A})=id\_{F(A)}}, ja
* *yhdisteen säilytys*: jokaiselle {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n morfismiparille {\displaystyle f:A\rightarrow B} ja {\displaystyle g:B\rightarrow C} pätee {\displaystyle F(g\circ f)=F(g)\circ F(f)}.

### Erityisiä funktoreita

Olkoon {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} funktori. Määritellään jokaiselle objektiparille {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}} kuvaus {\displaystyle F\_{A,B}:{\mathcal {C}}(A,B)\rightarrow {\mathcal {D}}(FA,FB)} siten että {\displaystyle f\mapsto F(f)}. Funktori F on

* *täysi* mikäli jokaiselle objektiparille {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}, kuvaus {\displaystyle F\_{A,B}} on surjektio,
* *uskollinen* mikäli jokaiselle objektiparille {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}}, kuvaus {\displaystyle F\_{A,B}} on injektio,
* *täysin uskollinen* mikäli se on sekä täysi että uskollinen,
* *oleellisesti surjektio objekteille* mikäli jokaiselle objektille {\displaystyle X\in {\mathcal {D}}} on olemassa objekti {\displaystyle Y\in {\mathcal {C}}} siten että {\displaystyle F(Y)} ja X ovat isomorfisia.

### Esimerkkejä

* Mille tahansa (ei tyhjille) kategorioille {\displaystyle {\mathcal {C}}} ja {\displaystyle {\mathcal {D}}} sekä objektille {\displaystyle B\in {\mathcal {D}}} voidaan määritellä *vakiofunktori* {\displaystyle \Delta \_{B}:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}}, jonka arvo kaikilla {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n objekteilla on B ja kaikilla {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n morfismeilla {\displaystyle id\_{B}}.

Luonnolliset muunnokset
-----------------------

Kahden kategorian väliset funktorit voidaan niin ikään järjestää kategoriaksi. Morfismeiksi tarvitaan tällöin luonnolliset muunnokset. Itse asiassa Eilenbergin ja Mac Lanen alkuperäinen motivaatio oli algebrallisessa topologiassa käytettyjen "luonnollisten" kuvausten täsmällinen määritelmä, jota varten he määrittelivät sekä kategoriat että funktorit.

Olkoot {\displaystyle F,G:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}} funktoreita. *Luonnollinen muunnos* {\displaystyle \eta :F\rightarrow G} koostuu {\displaystyle {\mathcal {D}}}:n morfismista {\displaystyle \eta \_{X}:F(X)\rightarrow G(X)} jokaiselle {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n objektille X, siten että jokaiselle {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} pätee {\displaystyle G(f)\circ \eta \_{X}=\eta \_{Y}\circ F(f)}. Toisin sanottuna jokaiselle morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} kaavio

Luonnollisen muunnoksen määrittelevä kommutatiivinen kaavio.Luonnollisen muunnoksen määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
on kommutatiivinen.

Luonnollisesta muunnoksesta käytetään myös suomenkielistä nimeä *luonnollinen transformaatio* (*engl. natural transformation*).

Yksittäistä morfismia {\displaystyle \eta \_{X}:F(X)\rightarrow G(X)}, joka on osa luonnollista muunnosta, kutsutaan \eta:n *komponentiksi*, tai täsmällisemmin *X-komponentiksi*.

Luonnollista muunnosta, jonka jokainen komponentti on isomorfismi, kutsutaan *luonnolliseksi isomorfismiksi*. Luonnolliset isomorfismit ovat isomorfismeja kategoriassa, jonka muodostavat kahden kategorian väliset funktorit sekä näiden väliset luonnolliset muunnokset.

Kategorioiden ekvivalenssi
--------------------------

Koska (pienet) kategoriat ja funktorit muodostavat (suuren) kategorian, isomorfismin määritelmä pätee myös funktoreille. Kategorioiden isomorfisuus yhtenevyyden mittana on kuitenkin useissa tilanteissa liian tiukka, sillä se sivuuttaa sen faktan, että kategorioiden kategoriassa jokainen objekti omaa kategorian rakenteen. "Oikeampi", tai ainakin käytännällisempi, yhtenevyyden mitta onkin kategorioiden ekvivalenssi, joka muistuttaa muodoltaan  topologisten avaruuksien homotopiaekvivalenssia.

Olkoot {\displaystyle {\mathcal {C}}} ja {\displaystyle {\mathcal {D}}} kategorioita. Tällöin *kategorioiden C ja {\displaystyle {\mathcal {D}}} ekvivalenssi* koostuu seuraavista:

* funktori {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {D}}},
* funktori {\displaystyle G:{\mathcal {D}}\rightarrow {\mathcal {C}}},
* luonnollinen isomorfismi {\displaystyle \eta :id\_{\mathcal {C}}\rightarrow GF},
* luonnollinen isomorfismi {\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow id\_{\mathcal {D}}}.

Rajat ja korajat
----------------

 Kaavion {\displaystyle F(\mathbf {I} )} rajaa ja korajaa havainnollistava piirros.
### Kaaviot ja kartiot

Olkoon {\displaystyle \mathbf {I} } pieni kategoria. Tällöin funktoria {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}} kutsutaan *{\displaystyle \mathbf {I} }:n muotoiseksi kaavioksi kategoriassa {\displaystyle {\mathcal {C}}}*. Kategoriaa {\displaystyle \mathbf {I} } kutsutaan kaavion *indeksikategoriaksi*.

Kaavion {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}} *kartio* on luonnollinen muunnos {\displaystyle \psi :\Delta \_{N}\rightarrow F}. Objektia N kutsutaan kartion *kärjeksi* ja luonnollisen muunnoksen komponentteja {\displaystyle \psi \_{X}:C\rightarrow F(X)} kartion *särmiksi*. Yksityiskohtaisesti kartio koostuu siis objektista {\displaystyle N\in {\mathcal {C}}} ja kokoelmasta morfismeja {\displaystyle \psi \_{X}:N\rightarrow F(X)} jokaiseen objektin {\displaystyle X\in \mathbf {I} } kuvaan, siten että jokaiselle {\displaystyle \mathbf {I} }:n morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} kaavio

Kartion määrittelevä kommutatiivinen kaavio.Kartion määrittelevä kommutatiivinen kaavio.
on kommutatiivinen.

Merkitään {\displaystyle (N,\psi )} kartiota, jonka kärki on N ja luonnollinen muunnos \psi. Määritellään *kartiomorfismi* kartiosta {\displaystyle (N,\psi )} kartioon {\displaystyle (M,\mu )} morfismina {\displaystyle h:N\rightarrow M} siten että {\displaystyle \mu \circ \Delta \_{h}=\psi }, jossa {\displaystyle \Delta \_{h}:\Delta \_{N}\rightarrow \Delta \_{M}} on vakio luonnollinen muunnos, jonka jokainen komponentti on h. Yksityiskohtaisesti ehto, jonka h:n pitää toteuttaa ollakseen kartiomorfismi {\displaystyle (N,\psi )\rightarrow (M,\mu )} on: jokaiselle objektille {\displaystyle X\in \mathbf {I} } pätee {\displaystyle \mu \_{X}\circ h=\psi \_{X}}. Jokaisen kaavion F kartiot ja kartiomorfismit muodostavat kategorian, jota merkitään {\displaystyle Cone(F)} ja jota kutsutaan *kaavion F kartiokategoriaksi*.

### Rajat

Raja voidaan määritellä hyvin lyhyesti kartiokategorian avulla: kaavion {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}} *raja* on kategorian {\displaystyle Cone(F)} loppuobjekti. Huomataan, että kaikilla kaavioilla ei välttämättä ole rajaa, sillä kartiokategoriassa ei välttämättä ole loppuobjektia. Tästä määritelmästä seuraa, että raja on yksikäsitteistä isomorfismia vaille yksikäsitteinen.

Koska yllä annettu rajan määritelmä on hyvin tiivis, rajan käsitteen merkitys ei välttämättä avaudu siitä. Näin ollen annetaan seuraavaksi yksityiskohtaisempi, mutta yhtäpitävä määritelmä. Olkoon {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {C}}} kaavio. Tällöin F:n raja koostuu objektista {\displaystyle L\in {\mathcal {C}}} sekä kokoelmasta morfismeja {\displaystyle \phi \_{X}:L\rightarrow F(X)} jokaiselle objektille {\displaystyle X\in \mathbf {I} } siten että {\displaystyle (L,\phi )} muodostavat kartion (eli jokaiselle {\displaystyle \mathbf {I} }:n morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} alla olevan kaavion sisempi kolmio on kommutatiivinen), ja kartio {\displaystyle (L,\phi )} on lisäksi universaali tämän ominaisuuden suhteen: mikäli N on {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n objekti ja {\displaystyle \psi \_{X}:N\rightarrow F(X)} on morfismi jokaiselle objektille {\displaystyle X\in \mathbf {I} } siten että {\displaystyle (N,\psi )} on kartio (eli jokaiselle {\displaystyle \mathbf {I} }:n morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} alla olevan kaavion ulompi kolmio on kommutatiivinen), niin tällöin on olemassa yksikäsitteinen morfismi {\displaystyle u:N\rightarrow L} siten että jokaiselle objektille {\displaystyle X\in \mathbf {I} } pätee {\displaystyle \phi \_{X}\circ u=\psi \_{X}}, eli toisin sanottuna kaavio

Rajan määrittelevä universaalimorfismi.Rajan määrittelevä universaalimorfismi.
on kommutatiivinen.

### Kokartiot ja korajat

Kaavion {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}} *kokartio* on kaavion {\displaystyle F^{op}:\mathbf {I} ^{op}\rightarrow {\mathcal {N}}^{op}} kartio, eli luonnollinen muunnos {\displaystyle \psi :F\rightarrow \Delta \_{N}}. Samoin kuin kartiolle, objektia {\displaystyle N\in {\mathcal {C}}} kutsutaan kokartion *kärjeksi* ja komponentteja {\displaystyle \psi \_{X}:F(X)\rightarrow N} *särmiksi*, ja kokartiota merkitään {\displaystyle (N,\psi )}. *Kokartiomorfismi* kokartiosta {\displaystyle (N,\psi )} kokartioon {\displaystyle (M,\mu )} on morfismi {\displaystyle h:N\rightarrow M} siten että {\displaystyle \mu =\Delta \_{h}\circ \psi }. Merkitään kaavion F kokartioiden ja kokartiomorfismien kategoriaa {\displaystyle Cocone(F)}. Tällöin kaavion F *koraja* on kategorian {\displaystyle Cocone(F)} alkuobjekti, mikäli se on olemassa.

Yksityiskohtaisesti, kaavion {\displaystyle F:\mathbf {I} \rightarrow {\mathcal {N}}} koraja on kokartio {\displaystyle (L,\phi )} siten että mille tahansa kokartiolle {\displaystyle (N,\psi )} on olemassa yksikäsitteinen morfismi {\displaystyle u:L\rightarrow N}, joka jokaiselle {\displaystyle \mathbf {I} }:n morfismille {\displaystyle f:X\rightarrow Y} tekee kaaviosta

Korajan määrittelevä universaalimorfismi.Korajan määrittelevä universaalimorfismi.
kommutatiivisen.

### Esimerkkejä

Esimerkkejä rajoista:

* loppuobjekti on tyhjän kaavion raja,
	+ joukkojen ja funktioiden kategoriassa loppuobjekti (eli tyhjän kaavion raja) on täsmälleen yhden alkion sisältävä joukko,
	+ osittain järjestetyssä joukossa loppuobjekti on suurin alkio;
* binäärinen tulo on sellaisen diskreetin kaavion raja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
	+ joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen tulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon karteesinen tulo,
	+ osittain järjestetyssä joukossa binäärinen tulo on kahden alkion infimum.

Esimerkkejä korajoista:

* alkuobjekti on tyhjän kaavion koraja,
	+ joukkojen ja funktioiden kategoriassa alkuobjekti (eli tyhjän kaavion koraja) on tyhjä joukko,
	+ osittain järjestetyssä joukossa alkuobjekti on pienin alkio;
* binäärinen kotulo on sellaisen diskreetin kaavion koraja, jossa on täsmälleen kaksi objektia,
	+ joukkojen ja funktioiden kategoriassa binäärinen kotulo on (vailla yksikäsitteistä isomorfismia) kahden joukon erillinen yhdiste,
	+ osittain järjestetyssä joukossa binäärinen kotulo on kahden alkion supremum.

### Täydellisyys ja kotäydellisyys

Kategorian {\displaystyle {\mathcal {C}}} sanotaan omaavan {\displaystyle \mathbf {I} }:n muotoiset (ko)rajat mikäli millä tahansa {\displaystyle \mathbf {I} }:n muotoisella kaaviolla on (ko)raja {\displaystyle {\mathcal {C}}}:ssä. Kategoria on *(ko)täydellinen* mikäli se omaa {\displaystyle \mathbf {I} }:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle indeksikategorialle {\displaystyle \mathbf {I} }. Kategoria on *äärellisesti (ko)täydellinen* mikäli se omaa {\displaystyle \mathbf {I} }:n muotoiset (ko)rajat jokaiselle äärelliselle indeksikategorialle {\displaystyle \mathbf {I} }.

Hom-funktorit ja Yonedan lemma
------------------------------

### Esilyhteet

Kategorian {\displaystyle {\mathcal {C}}} *esilyhde* on funktori {\displaystyle {\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} }. Esilyhteet ja niiden väliset luonnolliset muunnokset muodostavat kategorian, jota merkitään {\displaystyle \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]}. Mikäli {\displaystyle {\mathcal {C}}} on jonkin  topologisen avaruuden  avointen joukkojen osittaisjärjestys, niin tämä esilyhteen määritelmä vastaa  algebrallisen topologian joukkojen  esilyhteen määritelmää.

### Hom-funktorit

Olkoon {\displaystyle {\mathcal {C}}} lokaalisti pieni kategoria ja olkoon {\displaystyle A\in Obj({\mathcal {C}})}. Määritellään esilyhde {\displaystyle \mathbf {y} \_{A}:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} } seuraavasti: jos X ja Y ovat {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n objekteja ja {\displaystyle f:X\rightarrow Y} morfismi, niin

{\displaystyle \mathbf {y} \_{A}(X):={\mathcal {C}}(X,A)} ja {\displaystyle \mathbf {y} \_{A}(f):=-\circ f},
jossa {\displaystyle -\circ f:C(Y,A)\rightarrow C(X,A)} on funktio {\displaystyle g\mapsto gf}.

Esilyhdettä {\displaystyle \mathbf {y} \_{A}} kutsutaan A:n (kontravariantiksi) *hom-funktoriksi*.

### Yonedan upotus

Sillä hom-funktori {\displaystyle \mathbf {y} \_{A}} on määritelty mille tahansa lokaalisti pienen kategorian {\displaystyle {\mathcal {C}}} objektille A, tämä määrittää kuvauksen

{\displaystyle Obj({\mathcal {C}})\rightarrow Obj\left(\left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]\right)}.
Laajennetaan kyseinen kuvaus funktoriksi

{\displaystyle \mathbf {y} :{\mathcal {C}}\rightarrow \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]}
määrittelemällä jokaiselle morfismille {\displaystyle h:A\rightarrow B} luonnollinen muunnos {\displaystyle \mathbf {y} (h):=h\circ -:\mathbf {y} \_{A}\rightarrow \mathbf {y} \_{B}}, jonka X-komponentti on funktio {\displaystyle h\circ -:{\mathcal {C}}(X,A)\rightarrow {\mathcal {C}}(X,B)}, joka kuvaa {\displaystyle g\mapsto hg}.

Funktoria {\mathbf y} kutsutaan {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n *Yonedan upotukseksi*. Termin  upotus käyttö on perusteltua, sillä yksi Yonedan lemman (ks. alla) seurauksista on Yonedan upotuksen täysi uskollisuus. Näin ollen mikä tahansa lokaalisti pieni kategoria voidaan upottaa sen esilyhteiden kategoriaan; toisin sanottuna on olemassa esilyhteiden kategorian alakategoria, joka on isomorfinen sen kanssa.

### Yonedan lemma

Hom-funktoreiden erityistä asemaa esilyhteiden kategoriassa kuvastaa Yonedan lemma.

**Lause**. Olkoon {\displaystyle {\mathcal {C}}} lokaalisti pieni kategoria. Tällöin on olemassa isomorfismi

{\displaystyle \left[{\mathcal {C}}^{op},\mathbf {Set} \right]\left(\mathbf {y} \_{A},F\right)\simeq F(A)},
joka on luonnollinen sekä objektin {\displaystyle A\in Obj({\mathcal {C}})} että esilyhteen {\displaystyle F:{\mathcal {C}}^{op}\rightarrow \mathbf {Set} } suhteen.

**Korollaari**. Yonedan upotus on täysi ja uskollinen.

**Korollaari**. Olkoon {\displaystyle {\mathcal {C}}} lokaalisti pieni kategoria. Tällöin kaikille objekteille {\displaystyle A,B\in {\mathcal {C}}} pätee:

{\displaystyle A\simeq B} jos ja vain jos {\displaystyle \mathbf {y} \_{A}\simeq \mathbf {y} \_{B}}.

Liittofunktorit
---------------

### Määritelmä morfismijoukkojen isomorfismin kautta

Olkoot {\displaystyle {\mathcal {C}}} ja {\displaystyle {\mathcal {D}}} lokaalisti pieniä kategorioita, ja {\displaystyle F:{\mathcal {C}}\leftrightarrows {\mathcal {D}}:G} vastakkaisiin suuntiin osoittavien funktoreiden pari. Tällöin sanotaan, että F on funktorin G *vasen liittofunktori* (ja vastaavasti G on F:n *oikea liittofunktori*) mikäli on olemassa luonnollinen isomorfismi {\displaystyle {\mathcal {D}}(F(C),D)\simeq {\mathcal {C}}(C,G(D))}. Isomorfismin luonnollisuus voidaan ilmaista eksplisiittisemmin seuraavasti. Merkitään sekä isomorfismia että sen käänteismorfismia viivalla, eli:

{\displaystyle \left(F(C)\xrightarrow {f} D\right)\mapsto \left(C\xrightarrow {\overline {f}} G(D)\right)} ja {\displaystyle \left(C\xrightarrow {h} G(D)\right)\mapsto \left(F(C)\xrightarrow {\overline {h}} D\right)} siten että {\displaystyle {\overline {\overline {f}}}=f} ja {\displaystyle {\overline {\overline {h}}}=h}.
Tällöin luonnollisuusehto on yhtäpitävä seuraavan ehdon kanssa: kaikille {\displaystyle {\mathcal {C}}}:n morfismeille {\displaystyle C'\xrightarrow {g} C\xrightarrow {h} G(D)} sekä {\displaystyle {\mathcal {D}}}:n morfismeille {\displaystyle F(C)\xrightarrow {f} D\xrightarrow {k} D'} pätee

{\displaystyle {\overline {h\circ g}}={\overline {h}}\circ Fg} ja {\displaystyle {\overline {k\circ f}}=Gk\circ {\overline {f}}}.
Yllä määriteltyä tilannetta merkitään {\displaystyle F\dashv G}.

### Määritelmä yksikön ja koyksikön kautta

Oletetaan, että on olemassa luonnollinen muunnos {\displaystyle \eta :id\_{\mathcal {C}}\rightarrow GF} sekä luonnollinen muunnos {\displaystyle \varepsilon :FG\rightarrow id\_{\mathcal {D}}}. Tällöin {\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )} on *liitto* mikäli molemmat kaaviot

Liittofunktoreiden yksikön ja koyksikön määrittelevät kommutatiiviset kaaviot.Liittofunktoreiden yksikön ja koyksikön määrittelevät kommutatiiviset kaaviot.
kommutoivat.

**Lause**. {\displaystyle (F,G,\eta ,\varepsilon )} on liitto jos ja vain jos F on G:n vasen liittofunktori. Tällöin liitto määrää morfismijoukkojen isomorfismin yksikäsitteisesti, ja käänteisesti, morfismijoukkojen isomorfismi määrää yksikön ja koyksikön yksikäsitteisesti.

### Esimerkkejä

* Unohdusfunktorilla {\displaystyle U:\mathbf {Top} \rightarrow \mathbf {Set} } on sekä vasen että oikea liittofunktorit: {\displaystyle D\dashv U\dashv I}, jossa vasen liittofunktori määrittelee jokaiselle joukolle  diskreetin topologian, ja oikea liittofunktori  indiskreetin topologian.
* Unohdusfunktorilla {\displaystyle U:\mathbf {Grp} \rightarrow \mathbf {Set} } on vasen liittofunktori, joka määrittelee jokaiselle joukolle sen virittämän  vapaan ryhmän.
* Jos P ja Q ovat  osittain järjestettyjä joukkoja ja {\displaystyle F:P\leftrightarrows Q:G} funktoreita (eli järjestyksen säilyttäviä funktioita), niin {\displaystyle F\dashv G} jos ja vain jos kaikille alkioille {\displaystyle p\in P} ja {\displaystyle q\in Q} pätee:

{\displaystyle F(p)\leq q} jos ja vain jos {\displaystyle p\leq G(q)}.
Osittaisjärjestyksen morfismien liitto tunnetaan nimellä *Galois'n vastaavuus* (tai *yhteys*).
* Funktorit, jotka muodostavat kategorioiden ekvivalenssin, ovat aina liittofunktoreita.

Sovelluksia
-----------

Matematiikan ulkopuolella kategoriateoriaa on hyödynnetty eniten teoreettisen tietojenkäsittelytieteen alalla. Esimerkiksi Haskell-ohjelmointikielen voidaan ajatella melkein muodostavan kategorian. Laajemmin ottaen, tarpeeksi abstraktilla tasolla mikä tahansa funktionaalinen ohjelmointikieli voidaan ajatella kategoriana.

Sovellukset pyrkivät usein teorioiden yhdenmukaistamiseen, yksinkertaistamiseen sekä oleellisimpien aspektien esille tuomiseen. Tavoitteena saattaa olla myös informaation, tiedon ja käytänteiden siirron helpottaminen eri alojen välillä. Esimerkiksi samoja matemaattisia rakenteita hyödyntäviä kategoriateoreettisia malleja on kehitetty sekä  kvanttilaskennan että  luonnollisen kielen käsittelyn tarpeisiin.

Monissa sovelluksissa lähtökohtana on *monoidaalinen kategoria*, eli kategoria {\displaystyle {\mathcal {C}}}, jolle on olemassa funktori {\displaystyle \otimes :{\mathcal {C}}\times {\mathcal {C}}\rightarrow {\mathcal {C}}}, joka toteuttaa tietyt ehdot. Siinä missä tavallinen kategoria sallii prosessien (morfismien) peräkkäisen yhdistämisen, monoidaalinen kategoria sallii tämän lisäksi prosessien yhdistämisen suuremmaksi kokonaisuudeksi, siten että prosesseilla voi olla vaihteleva määrä syöttöjä (lähtöobjekteja) ja tulosteita (*engl. output*) (maalibjekteja). Esimerkiksi  kvanttiteoriasta sekä kemiallisia reaktioita mallintavista  Petri-verkoista on kehitetty matemaattisia malleja, jotka hyödyntävät monoidaalisia kategorioita.

Biologi  Robert Rosen on ehdottanut, että kategoriateorian metodit soveltuvat  relaatiobiologian tarpeisiin. Osittain Rosenin ajatuksiin perustuen, kategoriateoriaan nojaavaa mallia on ehdotettu biologisten organismien hierarkkisen järjestyksen hahmottamiseen.

Lähteet
-------

* Alakoskela, Riina. *Epäarkhimediset valuaatiot ja Monskyn lause.* Pro gradu -tutkielma. Helsingin yliopisto. Matematiikan ja tilastotieteen laitos. Joulukuu 2020. Viitattu 20.8.2021.
* Barr, Michael & Wells, Charles. Category Theory for Computing Science. Viitattu 20.8.2021. (englanniksi)
* Bradley, Tai-Danae. What is Applied Category Theory? Viitattu 20.8.2021. (englanniksi)
* Coecke, Bob & Sadrzadeh, Mehrnoosh & Clark, Stephen. Mathematical Foundations for a Compositional Distributional Model of Meaning. (englanniksi)
* Ehresmann, Andrée & Vanbremeersch, Jean-Paul. *Memory Evolutive Systems; Hierarchy, Emergence, Cognition.* Elsevier Science. 2007. ISBN 9780444522443. (englanniksi)
* Fong, Brendan & Spivak, David. Seven Sketches in Compositionality: An Invitation to Applied Category Theory. Viitattu 20.8.2021. (englanniksi)
* Heunen, Chris & Vicary, Jamie. *Categories for Quantum Theory. An Introduction.* Oxford graduate texts in mathematics 28. Oxford University Press. 2019. ISBN 978-0-19-873961-6. (englanniksi)
* Landry, Elaine & Marquis, Jean-Pierre. *Categories in Context: Historical, Foundational, and Philosophical.* Philosophia Mathematica. Volume 13. Issue 1. February 2005. Pages 1-43. (englanniksi)
* Leinster, Tom. *Basic Category Theory.* Cambridge studies in advanced mathematics 143. Cambridge University Press. 2014. ISBN 978-1-107-04424-1. Verkkoversio. (englanniksi)
* Niskanen, Markus. *Liittofunktorit.* Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Luonnontieteiden tiedekunta. Matematiikka. Marraskuu 2017. Viitattu 20.8.2021.
* Puuska, Ville. *Yleiset persistenssimodulit ja lomitusmetriikat.* Pro gradu -tutkielma. Tampereen yliopisto. Informaatiotieteiden yksikkö. Matematiikka. Joulukuu 2016. Viitattu 20.8.2021.
* Riehl, Emily. *Category Theory in Context.* Dover Publications. 2016. ISBN 978-0-486-80903-8. Verkkoversio. (englanniksi)
* Rosen, Robert. *The Representation of Biological Systems from the Standpoint of the Theory of Categories.* Bulletin of Mathematical Biophysics 20 (4): 317-341. 1958. DOI 10.1007/bf02477890. (englanniksi)
* Tuomi, Ilkka. *Robert Rosenin ennakoivat systeemit ja tieteiden seuraava vallankumous*[vanhentunut linkki] Futura 36 (2017) : 3, s. 93-102.

  

### Viitteet

1. 1 2  Leinster, *Introduction*
2. 1 2  Riehl, *Preface*
3. ↑  Landry & Marquis
4. ↑  Niskanen, s. 20-21
5. ↑  Niskanen, s. 46
6. ↑  Niskanen, s. 18
7. ↑  Niskanen, s. 18-19
8. ↑  Leinster, s. 17
9. 1 2  Leinster, s. 25
10. 1 2 3 4  Niskanen, s. 41
11. ↑  Leinster, s. 34
12. 1 2 3 4 5 6  Niskanen, s. 10
13. ↑  Niskanen, s. 30
14. ↑  Niskanen, s. 31
15. ↑  Niskanen, s. 43
16. 1 2  Niskanen, s. 11
17. ↑  Niskanen, s. 14-15
18. ↑  Niskanen, s. 12
19. 1 2 3 4  Niskanen, s. 16
20. 1 2  Leinster, s. 111
21. ↑  Niskanen, s. 51-52
22. ↑  Niskanen, s. 49
23. 1 2  Niskanen, s. 15
24. ↑  Leinster, s. 93
25. ↑  Leinster, s. 88
26. 1 2  Niskanen, s. 39
27. ↑  Leinster, s. 90
28. ↑  Leinster, s. 94
29. ↑  Leinster, s. 104
30. ↑  Leinster, s. 41-42
31. ↑  Leinster, s. 53
32. ↑  Niskanen, s. 76
33. ↑  Leinster, s. 44
34. 1 2  Niskanen, s. 63
35. ↑  Niskanen, s. 75
36. ↑  Barr & Wells, *Preface*
37. ↑  Haskell, nLab
38. ↑  Barr & Wells, 2.2
39. 1 2  Fong & Spivak, *Preface*
40. 1 2  Bradley
41. ↑  Coecke, Sadrzadeh & Clark
42. ↑  Puuska, s. 41
43. ↑  Heunen & Vicary
44. ↑  Rosen
45. ↑  Tuomi
46. ↑  Ehresmann & Vanbremeersch