Lukuteoriassa **alkulukulause** antaa alkulukujen jakauman asympoottisen arvion. Karkeasti ottaen alkulukulauseen mukaan satunnaisesti valittu positiivinen kokonaisluku *N* on todennäköisyydellä 1 / ln *N* alkuluku, missä ln *N* on *N*:n luonnollinen logaritmi. *N*:n kasvaessa alkuluvut käyvät yhä harvemmiksi. Esimerkiksi kun *N* = 10 000, keskimäärin joka yhdeksäs luku on alkuluku, kun taas arvolla *N* = 1 000 000 000 suunnilleen joka 21. luku on alkuluku. Alkulukulause antaa arvion tälle harvenemisnopeudelle.

Väite
-----

Funktioiden π(*x*) (punainen), *x* / ln *x* (vihreä) ja Li(*x*) (sininen) kuvaajat.
Olkoon π(*x*) lukua *x* + 1 pienempien alkulukujen lukumäärä. Tällöin alkulukulauseen mukaan osamäärän π(*x*) ln(*x*) / *x* raja-arvo on 1, kun *x* kasvaa rajatta. Käyttäen Landaun symbolia tulos voidaan ilmoittaa muodossa

{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.}
Tämä *ei* tarkoita sitä, että näiden funktioiden erotus lähenee nollaa. 

Lauseen otaksui Adrien-Marie Legendre vuonna 1796, ja sen todistivat Jacques Hadamard ja Charles-Jean de la Vallée-Poussin toisistaan riippumatta vuonna 1896. Molempien todistus perustuu funktioteoriaan. Tarkemmin sanottuna he osoittivat, että Riemannin zeeta-funktiolla {\displaystyle \zeta (s)} ei ole nollakohtia, kun {\displaystyle Re(s)=1}.

π(x) logaritmisten integraalien avulla
--------------------------------------

Carl Friedrich Gauss otaksui alkulukulausetta tarkemman asymptoottisen arvion. Määritellään logaritminen integraali Li(*x*) asettamalla

{\displaystyle {\mbox{Li}}(x)=\int \_{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,{\mbox{d}}t={\mbox{li}}(x)-{\mbox{li}}(2).}
Tästä huomataan, että alkulukujen "tiheyden" lähellä *t*:tä tulisi olla 1 / ln *t*. Funktion yhteys logaritmiin nähdään asymptoottisesta kehitelmästä

{\displaystyle {\mbox{Li}}(x)\sim {\frac {x}{\ln x}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}={\frac {x}{\ln x}}+{\frac {x}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {2x}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }
Siten alkulukulause voidaan kirjoittaa myös muodossa π(*x*) ~ Li(*x*). Tämän etuna on se, että arvion virhetermiä voidaan pienentää. Hadamard ja de la Vallée Poussin todistivat, että 

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\mathrm {e} ^{-a{\sqrt {\ln x}}}\right)\quad {\mbox{ja }}x\to \infty }
jollain positiivisella vakiolla *a*, missä *O*(…) on iso O-notaatio. Arviota on parannettu muotoon

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left(x\,\exp \left(-{\frac {A(\ln x)^{3/5}}{(\ln \ln x)^{1/5}}}\right)\right).}
Yhteys Riemannin zeetafunktion ja π(*x*):n välillä on niin vahva, että Riemannin hypoteesi parantaisi virhetermin arviota. Helge von Koch osoitti vuonna 1901, että Riemannin hypoteesi on tosi jos ja vain jos alkulukulause voidaan kirjoittaa muodossa

{\displaystyle \pi (x)={\rm {Li}}(x)+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right).}
Vakiota ison O:n sisällä pystyi arvioimaan Lowell Schoenfeld. Riemannin hypoteesista seuraisi 

{\displaystyle |\pi (x)-{\rm {Li}}(x)|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln x}{8\pi }}}
kaikilla *x* ≥ 2657. Hän osoitti myös samantapaisen arvion Tšebyševin funktiolle ψ:

{\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}x}{8\pi }}}
kaikilla *x* ≥ 73,2.

Logaritminen integraali Li(*x*) on suurempi kuin π(*x*) kaikilla riittävän pienillä luvuilla *x*. Kuitenkin vuonna 1914 J. E. Littlewood todisti, että lausekkeiden suuruusjärjestys vaihtuu riittävän suurella luvulla. Ensimmäisen kerran tämä tapahtuu, kun *x* on suuruusluokkaa 10316.

Katso myös
----------

* Skewesin luku