∇
Nabla-symboli

Harppu, josta nabla on saanut nimensä
**Nabla** on differentiaalilaskennassa käytetty, kärjellään seisovan tasakylkisen kolmion muotoinen symboli \nabla (∇). Sillä voidaan merkitä skalaarifunktion (esim. lämpötila) ja vektorifunktion (esim. sähkökenttä, jolla on **suunta)** gradienttia sekä vektorifunktion divergenssiä tai roottoria.

Nimi nabla johtuu erään harppua muistuttavan soittimen kreikankielisestä nimestä, joka on lainattu hepreasta. Symboli muistuttaa muodoltaan tätä soitinta.

Merkitykset
-----------

Kolmiulotteisessa karteesisessa koordinaatiossa {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}}, jonka koordinaatit ovat (*x*, *y*, *z*), nabla määritellään osittaisderivaattojen avulla seuraavasti:

{\displaystyle \nabla ={\partial \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial \over \partial z}\mathbf {k} ,}
missä {\displaystyle \scriptstyle \{\mathbf {i} ,\mathbf {j} ,\mathbf {k} \}} ovat x-, y- ja z-akselien suuntaiset yksikkövektorit. Määritelmä voidaan kuitenkin yleistää kuinka moniulotteiseen euklidiseen avaruuteen tahansa.

Vaikka {\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial x}}, {\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial y}} ja {\displaystyle \scriptstyle {\partial \over \partial z}} ovat funktion osittaisderivaattoja tarkoittavia operaattoreja, niitä voidaan määritelmissä muodollisesti käsitellä ikään kuin ne olisivat kertoimina esiintyviä lukuja ja samoin nablaa ikään kuin se olisi vektori.

### Gradientti

*Pääartikkeli: Gradientti*
Kun nablasymboli esiintyy avaruudessa {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}} määritellyn funktion edessä, se tarkoittaa funktion gradienttia, joka määritellään seuraavasti:

{\displaystyle {\mbox{grad}}\,f=\nabla f={\partial f \over \partial x}\mathbf {i} +{\partial f \over \partial y}\mathbf {j} +{\partial f \over \partial z}\mathbf {k} }.
Funktion *f* gradientti on vektorifunktio, joka osoittaa siihen suuntaan, jossa *f* kasvaa nopeimmin eli sen derivaatta tähän suuntaan saa maksimiarvonsa, ja sen suuruus on tämän funktion muuttumisnopeus kyseisessä suunnassa. Havainnollisena esimerkkinä voidaan ajatella funktiota *f*, joka tarkoittaa maaston korkeutta maan päällä pisteessä, jonka koordinaatit ovat (*x*,*y*). Tämän funktion gradientti osoittaa tällöin, missä suunnassa mäki on jyrkin ja kuinka suuri on sen kaltevuuskulman tangentti.

### Divergenssi

*Pääartikkeli: Divergenssi*
Vektoriarvoisen funktion eli vektorikentän divergenssi voidaan muodollisesti määritellä nablan ja itse funktion pistetulona. Jos funktio on 

{\displaystyle {\vec {v}}=v\_{x}\mathbf {i} +v\_{y}\mathbf {j} +v\_{z}\mathbf {k} },

sen divergenssi on:

{\displaystyle {\mbox{div}}\,{\vec {v}}=\nabla \cdot {\vec {v}}={\partial v\_{x} \over \partial x}+{\partial v\_{y} \over \partial y}+{\partial v\_{z} \over \partial z}}.
Divergenssi on siis skalaarifunktio, samoin kuin vektorien pistetulokin on skalaari. Divergenssi ilmoittaa käytännössä, kuinka voimakkaasti vektorifunktio kasvaa tai vähenee vektorin suuntaan mentäessä.

### Roottori

*Pääartikkeli: Roottori (matematiikka)*
Avaruudessa {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} ^{3}} määritellyn vektoriarvoisen funktion roottori voidaan muodollisesti määritellä nablan ja funktion ristitulona. Funktion

{\displaystyle {\vec {v}}(x,y,z)=v\_{x}\mathbf {i} +v\_{y}\mathbf {j} +v\_{z}\mathbf {k} }

roottori on siis:

{\displaystyle {\mbox{curl}}\;{\vec {v}}=\nabla \times {\vec {v}}=\left({\partial v\_{z} \over \partial y}-{\partial v\_{y} \over \partial z}\right)\mathbf {i} +\left({\partial v\_{x} \over \partial z}-{\partial v\_{z} \over \partial x}\right)\mathbf {j} +\left({\partial v\_{y} \over \partial x}-{\partial v\_{x} \over \partial y}\right)\mathbf {k} }.
Funktion roottori on siis toinen vektoriarvoinen funktio. Se osoittaa, mihin suuntaan ja kuinka voimakkaasti alkuperäinen funktio on pyörteinen.

Määritelmä voidaan esittää lyhemmin kolmirivistä determinanttia muistuttavassa muodossa:

{\displaystyle \nabla \times {\vec {v}}=\left|{\begin{matrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\[2pt]{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\[2pt]v\_{x}&v\_{y}&v\_{z}\end{matrix}}\right|}
Fysiikassa sekä divergenssi- että roottorioperaattorit esiintyvät muun muassa Maxwellin yhtälöissä.

### Laplacen operaattori

*Pääartikkeli: Laplacen operaattori*
Laplacen operaattori on skalaariarvoinen operaattori, jota voidaan soveltaa sekä skalaari- että vektoriarvoisiin funktioihin. Se määritellään seuraavasti:

{\displaystyle \Delta ={\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2} \over \partial z^{2}}}.
Sekin voidaan esittää myös nablan avulla: 

{\displaystyle \Delta =\nabla \cdot \nabla =\nabla ^{2}}.
Laplacen operaattori esiintyy matemaattisessa fysiikassa monissa yhteyksissä kuten Laplacen yhtälössä, yleisessä aaltoyhtälössä ja Schrödingerin yhtälössä.

Laskusääntöjä
-------------

Olkoon {\textstyle f,g:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} } skalaarifunktioita sekä {\textstyle {\vec {A}},{\vec {B}}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}} vektorikenttiä siten, että jokainen niistä ovat derivoituvia ja niiden osittaisderivaatat ovat jatkuvia. Tällöin seuraavat nablan laskusäännöt ovat voimassa:

1. {\displaystyle \nabla (fg)=f\nabla g+g\nabla f}
2. {\displaystyle \nabla \cdot \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\cdot {\vec {A}}+f\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)}
3. {\displaystyle \nabla \times \left(f{\vec {A}}\right)=(\nabla f)\times {\vec {A}}+f\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)}
4. {\displaystyle \nabla \cdot \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \times {\vec {A}}\right)\cdot {\vec {B}}-{\vec {A}}\cdot \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)}
5. {\displaystyle \nabla \times \left({\vec {A}}\times {\vec {B}}\right)=\left(\nabla \cdot {\vec {B}}\right){\vec {A}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}-\left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right){\vec {B}}-\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}}
6. {\displaystyle \nabla \left({\vec {A}}\cdot {\vec {B}}\right)={\vec {A}}\times \left(\nabla \times {\vec {B}}\right)+{\vec {B}}\times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)+\left({\vec {A}}\cdot \nabla \right){\vec {B}}+\left({\vec {B}}\cdot \nabla \right){\vec {A}}}

Lisäksi, mikäli {\textstyle f}:n ja {\textstyle {\vec {A}}}:n toisen kertaluvun osittaisderivaatat ovat jatkuvia, pätevät myös seuraavat säännöt:

1. 
2. {\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=0} (Roottorin divergenssi on aina nolla.)
3. {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla f\right)={\vec {0}}} (Gradientin roottori on aina nollavektori.)
4. {\displaystyle \nabla \times \left(\nabla \times {\vec {A}}\right)=\nabla \left(\nabla \cdot {\vec {A}}\right)-\nabla ^{2}{\vec {A}}}

Tietotekniikka
--------------

Unicodessa nablan koodi­arvo on U+2207. HTML:ssä se voidaan merkitä muodossa `&nabla;` ja matemaattisten kaavojen kirjoittamiseen käytetyssä LaTeX-merkintäjärjestelmässä `\nabla`.

Lähteet
-------

1. ↑  The words of mathematics: An etymological dictionary Google Books. Viitattu 23.12.2011.
2. 1 2 3  Olli Lehto: *Differentiaali- ja integraalilaskenta II*, s. 24-25. Limes ry, 1978.
3. ↑  Lehto, s. 99
4. 1 2  Lehto, s. 69
5. 1 2  Adams, Robert A. & Essex, Christopher: *Calculus: a complete course*, s. 915. Pearson, 2014. ISBN 978-0-321-78107-9. (englanniksi)

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).