Matematiikassa **Riemannin zeeta-funktio** on kompleksitason kuvaus, joka liittyy alkulukujen jakaumaan ja on siksi mielenkiintoinen mm. lukuteorian kannalta.

Määritelmä
----------

Riemannin zeeta-funktio \zeta(s) on määritelty kompleksiluvuille s, joiden reaaliosa > 1, summaksi

\zeta(s) = \sum\_{n=1}^\infty \frac{1}{n^s}.
Alueessa \{s \in \mathbb{C}: \mathrm{Re~} s > 1\} tämä sarja suppenee ja zeeta-funktio on analyyttinen. Bernhard Riemann keksi, että zeeta-funktiota voidaan analyyttisesti jatkaa meromorfiseksi funktioksi, joka on määritelty koko kompleksitasossa lukuun ottamatta pistettä 1. Tämä funktio on kyseessä Riemannin hypoteesissa.

Integraaleja
------------

Jos {\displaystyle s\in \mathbb {C} \setminus \{1\}} pätevät kaavat

\zeta(s) = \frac{2^{s-1}}{s-1}-2^s\int\limits\_0^{\infty}\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{\pi\,t}+1)}\,\mathrm{d}t
ja

\zeta(s)= \frac{1}{s-1} + \frac12+2\int\limits\_0^\infty\frac{\sin(s\arctan t)}{(1+t^2)^\frac{s}{2}\ (\mathrm{e}^{2\,\pi\,t}-1)}\,\mathrm{d}t.
Jos  0<Re(s)<1\! on

 \int\_0^\infty x^{s-1} \frac{\gamma x+\log\Gamma(1+x)}{x^2} \, dx= \frac{\pi}{\sin(\pi s)}\frac{\zeta(2-s)}{2-s} \!.
Integraali zeetafunktion derivaatalle on

 {\zeta'(s) = 2^{s-1}\left(\frac{\log 2}{s-1} -\frac{1}{(s-1)^2} + \int \limits\_0^\infty \frac{2 \arctan t \cdot \cos(s \arctan t) + \log \frac{4}{1 + t^2} \cdot \sin(
 s \arctan t)}{(1 + t^2)^{\frac{s}{2}} \cdot (e^{\pi t} + 1)} \mathrm{d}t\right) }
joka pätee kaikille kompleksiluvuille paitsi kun *s*=1.

Kaavoja jotka sisältävät zeetafunktion
--------------------------------------

\sum\_{k=2}^\infty \zeta(k) x^{k-1}=-\psi\_0(1-x)-\gamma
missä *ψ*0 on digammafunktio.

\sum\_{n=2}^\infty (\zeta(n) -1) = 1
\sum\_{n=1}^\infty (\zeta(2n) -1) = \frac{3}{4}
\sum\_{n=1}^\infty (\zeta(2n+1) -1) = \frac{1}{4}
\sum\_{n=2}^\infty (-1)^n(\zeta(n) -1) = \frac{1}{2}

\sum\_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{2^{2n}} = \frac16

\sum\_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{4^{2n}} = \frac{13}{30}-\frac{\pi}{8}

\sum\_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{8^{2n}} = \frac{61}{126}-\frac{\pi}{16}(\sqrt2+1)

\sum\_{n=1}^{\infty}(\zeta(4n)-1) = \frac78-\frac{\pi}{4}\left(\frac{e^{2\pi}+1}{e^{2\pi}-1}\right)

\log 2=\sum\_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n)-1}{n}

\log \pi=\sum\_{n=2}^{\infty}\frac{(2(\tfrac32)^n-3)(\zeta(n)-1)}{n}.

Sarjoja Eulerin vakiolle:

\sum\_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n} = \gamma
\sum\_{n=2}^\infty \frac{\zeta(n) - 1}{n} = 1 - \gamma
\sum\_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)-1}{n} = \ln2 + \gamma - 1
 \sum\_{n=2}^\infty (-1)^n \frac{\zeta(n)}{n2^{n-1}} = \gamma - \log \frac{4}{\pi} 
\sum\_{n=1}^{\infty}\frac{\zeta(2n+1)-1}{(2n+1)\ 2^{2n}} = 1+\log \frac{2}{3}-\gamma.
Sarja Catalanin vakiolle:

 \frac{1}{16}\sum\_{n=1}^\infty (n+1)\ \frac{3^n-1}{4^n}\ \zeta(n+2) = G .
\sum\_{n=1}^\infty (-1)^{n} t^{2n} \left[\zeta(2n)-1\right] =
\frac{t^2}{1+t^2} + \frac{1-\pi t}{2} - \frac {\pi t}{e^{2\pi t} -1} 
\sum\_{k=0}^\infty \frac {\zeta(k+n+2)-1}{2^k} 
{{n+k+1} \choose {n+1}}=\left(2^{n+2}-1\right)\zeta(n+2)-1
\sum\_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)
\sum\_{k=0}^\infty {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 1
\sum\_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+1} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= 2^{-(\nu+1)} 
\sum\_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k+2} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \nu \left[\zeta(\nu+1)-1\right] - 2^{-\nu}
\sum\_{k=0}^\infty (-1)^k {k+\nu+1 \choose k} \left[\zeta(k+\nu+2)-1\right] 
= \zeta(\nu+2)-1 - 2^{-(\nu+2)}

Katso myös
----------

* Zeta-funktio

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 341–342. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.