Kombinatorisessa matematiikassa joukon alkioiden **kombinaatio** on joukon osajoukko. *k*-kombinaatio on joukon *S* osajoukko, jossa on *k* kappaletta jäseniä. Jäsenten listausjärjestyksellä ei ole merkitystä kombinaatioissa: kaikki joukot, jotka voidaan muodostaa vaihtamalla jäsenten järjestystä, esittävät samaa kombinaatiota. Sen sijaan variaatiossa jäsenten järjestyksellä on merkitystä eli eri järjestys on eri variaatio.

*k*-kombinaatioiden määrä on sama kuin binomikerroin "*n* yli
*k*:n", joka kirjoitetaan yleensä

{n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}},
missä 

*k* = kombinaation jäsenten lukumäärä,
*n* = pääjoukon *S* jäsenten lukumäärä.
Myös kirjoitusasu C(n, k) on tavallinen sen käyttökelpoisuuden vuoksi tekstirivillä.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Oheisessa taulukossa on eräitä kombinaation C(n, k) arvoja.  Erityisesti C(n, 0) = 1, C(n, 1) = n ja C(n, n) = 1.
Voidaan myös kirjoittaa differenssiyhtälö
C(n, k) = C(n – 1, k) + C(n – 1, k – 1)
eli taulukkoarvo saadaan kahden aikaisemmin lasketun  summana.
Edelleen havaitaan, että sarakkeella n olevien lukujen  summa on
\sum \_{k=0}^{n}C(n,k)=2^{n} | 

|  |  |
| --- | --- |
| k   | luku (kelt.) on kahden muun (sin.) summa |
| 6   |  |  |  |  |  |  | 1 |  |
| 5   |  |  |  |  |  | 1 | 6 |
| 4   |  |  |  |  | 1 | 5 | 15 |
| 3   |  |  |  | 1 | 4 | 10 | 20 |
| 2   |  |  | 1 | 3 | 6 | 10 | 15 |
| 1   |  | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|   0   | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 | 1 |
|  |   0 |   1 |   2 |   3 |   4 |   5 |   6 | n |
|  | 1 | 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 | 2^{n} |

 |

Kombinaatio voidaan esittää myös lukumäärän laskemista kuvaavilla summalausekkeilla:

{\binom {n}{1}}=\sum \_{i=1}^{n}1,
{\binom {n}{2}}=\sum \_{i=1}^{n-1}\sum \_{j=i+1}^{n}1,
{\binom {n}{3}}=\sum \_{i=1}^{n-2}\sum \_{j=i+1}^{n-1}\sum \_{k=j+1}^{n}1, jne.

Esimerkkejä
-----------

### Esimerkki 1.

Luettelo eri tapauksista, kun viidestä valitaan kolme ihmistä (lukua).
C(5, 3) kertoo, kuinka monta erilaista kolmen hengen ryhmää voidaan muodostaa viiden henkilön joukosta. Lasketaan se:

{\displaystyle {5 \choose 3}={\frac {5!}{3!(5-3)!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3\cdot 2!}{3!\cdot 2!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{3!}}={\frac {5\cdot 4\cdot 3}{6}}=5\cdot 2=10.}

### Esimerkki 2.

Lasketaan todennäköisyys sille, että saadaan lotossa tasan *k* numeroa oikein (0\leq k\leq 7):

Lasketaan ensiksi kaikkien niiden lottorivien määrä, joissa on tasan k numeroa oikein. Tämä saadaan laskemalla kaikki 7:n oikean numeron *k*-kombinaatiot, joka siis kertoo, kuinka monella tavalla 7:stä numerosta voidaan valita *k* numeroa (muista, että *k* on korkeintaan 7):

{7 \choose k}
Nyt väärät numerot voivat olla mitä vain, vaikka selvästikin niiden muodostamat osajoukot vaikuttavat lopullisten rivien määrään. Ongelma ratkaistaankin kertomalla yllä oleva luku kaikkien 32 arpomatta jääneiden numeroiden (7-k) kombinaatiolla, eli kaikilla mahdollisilla väärin menneiden numeroiden kombinaatioilla:

{7 \choose k}{32 \choose 7-k}
siis kertoo, kuinka monta erilaista lottoriviä voidaan muodostaa, joissa on täsmälleen *k* numeroa oikein ja 7-*k* väärin.

Kysytty todennäköisyys tapahtumalle saadaan, kun saatu luku jaetaan kaikkien mahdollisten lottorivien lukumäärällä 
{39 \choose 7}:

{7 \choose k}{32 \choose 7-k}:{39 \choose 7}
Siten esimerkiksi todennäköisyys saada lotossa viisi oikein on 

{7 \choose 5}{32 \choose 7-5}:{39 \choose 7}={7 \choose 5}{32 \choose 2}:{39 \choose 7}=21\cdot 496:15380937=10416:15380937\approx 1:1477\approx 0{,}0006772

Katso myös
----------

* Permutaatio

Lähteet
-------

1. 1 2 3  Grimaldi, Ralph P.: *Discrete and Combinatorial Mathematics: an Applied Introduction*, s. 16. 4. painos. Addison Wesley, 1999. ISBN 0-201-19912-2. (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Kombinaatio** Wikimedia Commonsissa