Funktion y = 1/x kuvaaja arvoille, jolloin x ei ole 0. Kuvaaja on hyperbeli. Sen jokaisen pisteen (x,y) koordinaatit x ja y ovat toistensa käänteislukuja.
**Käänteislukufunktion** arvot muodostetaan ottamalla annetun luvun käänteisluku. Koska nollan käänteislukua ei ole olemassa, saadaan reaalilukufunktion muodolliseksi määritelmäksi

f\colon x\mapsto {\frac {1}{x}}\qquad x\neq 0\qquad x\in \mathbb{R} .
Kuvaus voidaan suorittaa kaikilla reaaliluvuilla paitsi nollalla. Koulumatematiikassa sama ilmaistaan useimmiten

f(x)={\frac {1}{x}}\qquad x\in \mathbb{R} \smallsetminus \{0\}.
Määrittelyjoukko on siis kaikki reaaliluvut paitsi nolla. Funktio voidaan määritellä myös muilla lukualueilla ja niistä tarkemmin myöhemmin.

Käänteislukufunktio on erikoistapaus potenssifunktioista, jossa (kun a=1 ja r=-1)

f(x)=ax^{r}=1x^{{-1}}=x^{{-1}}={\frac {1}{x}}.

Käänteislukufunktion arvon määrittäminen
----------------------------------------

### Kokonais- ja rationaaliluku

Kokonaisluvun käänteisluku on yksikkömurtoluku. Se on rationaali- eli murtoluvun käänteisluvun erikoistapaus. Kokonaisluvun a ja murtoluvun {\tfrac {m}{n}} käänteisluku lasketaan käyttäen kokonais- ja murtolukujen jakolaskun ominaisuuksia hyväksi:

f(a)=1\div a={\frac {1}{a}}
ja 

f({\tfrac {m}{n}})={\frac {1}{{\tfrac {m}{n}}}}=1\div {\tfrac {m}{n}}=1\cdot {\tfrac {n}{m}}={\tfrac {n}{m}}
### Reaaliluku

Yleisesti ottaen reaaliluvun käänteisluvun laskeminen ei ole helppo tehtävä. Se voidaan aina merkitä lausekeella {\tfrac {1}{a}}, mutta sen numeerisen arvon laskemieen esimerkiksi laskimessa tarvitaan iteroiva algoritmi.

*Pääartikkeli: Käänteisluku#Reaaliluvut*
### Kompleksiluku

Kompleksiluvun z=a+bi käänteisluvun laskemiseen käytetään kompleksilukujen z\_{1} ja z\_{2} jakolaskun ominaisuuksia:

{z\_{1} \over z\_{2}}={z\_{1}{\bar {z\_{2}}} \over \ z\_{2}{\bar {z\_{2}}}}={z\_{1}{\bar {z\_{2}}} \over |z\_{2}|^{2}}
Kun z\_{1}=1 ja z\_{2}=z saadaan

f(z)={1 \over z}={1\cdot {\bar {z}} \over \ z\cdot {\bar {z}}}={{\bar {z}} \over |z|^{2}},
missä {\bar {z}}=a-bi on luvun z liittoluku eli konjugaattiluku. Tulos voidaan ilmaista myös kompleksiluvun reaali- ja imaginaariosan avulla:

f(z)={1 \over z}={{\bar {z}} \over |z|^{2}}={{a-bi} \over {a^{2}+b^{2}}}={{a \over {a^{2}+b^{2}}}-{b \over {a^{2}+b^{2}}}i}. 
Jos reaali- ja imaginaariosat ovat reaalilukuja, käänteisluvun numeerinen arvo lasketaan reaalilukujen tapaan.

Yleisiä ominaisuuksia
---------------------

### Monotonisuus ja nollakohdat

Derivaattafunktion merkistä voi päätellä, että käänteislukufunktio on monotoninen ja vieläpä aidosti vähenevä välillä, joka mahtuu määrittelyjoukoonsa. 
Funktiolla f(x)={\tfrac {1}{x}} ei ole nollakohtia.

### Symmetrisyys ja parittomuus

Käänteislukufunktiolla on potenssiesityksessä pariton eksponentti

f(x)={\tfrac {1}{x}}=x^{{-1}},
joten se kuuluu parittomiin funktioihin. Parittomalle funktiolla vastaluvut antavat tulokseksi vastaluvut

f(-a)=-f(a).
Kuvaajat ovatkin origosymmetrisiä eli funktion kuvaajan jokaiselle pisteelle löytyy yhtä kaukana origon takana toinen funktion kuvaajan vastinpiste.

### Derivaatta ja integraali

Reaalifunktion derivaattafunktio on

D{\frac {1}{x}}=Dx^{{-1}}=-1x^{{-2}}=-{\frac {1}{x^{2}}},\quad x\neq 0
ja integraalifunktio

\int {{\frac {1}{x}}}\;dx=\ln {|x|}+C,
kun x\neq 0 ja C\in \mathbb{R} .

### Raja-arvot

Reaalifunktion arvot pienenevät, kun arvot kasvavat. Funktion raja-arvot ovat 

\lim \_{{x\to \infty }}{{\frac {1}{x}}}=0{\mbox{ ja }}\lim \_{{x\to -\infty }}{{\frac {1}{x}}}=0.
Funktion epäoleelliset toispuoliset raja-arvot, kun lähestytään nollaa oikealta, on

\lim \_{{x\to 0+}}{{\frac {1}{x}}}=\infty 
ja kun lähestytään nollaa vasemmalta on

\lim \_{{x\to 0-}}{{\frac {1}{x}}}=-\infty .

Katso myös
----------

* Kääntäen verrannollisuus
* Hyperbeli

Lähteet ja viitteet
-------------------

1. ↑  Weisstein, Eric W.: Division by Zero (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. ↑  Singleton, Robert P. and Weisstein, Eric W.: Reciprocal (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)