|  |
| --- |
| Osa artikkelisarjaa**Geometria** |
|  |
| **Tasogeometria**
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
**Avaruusgeometria**
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
**Euklidinen geometria**
Paralleeliaksiooma
**Epäeuklidinen geometria**
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
**Analyyttinen geometria** |

**Elliptinen geometria** on esimerkki geometriasta, jossa Eukleideen paralleelipostulaatti ei päde. Sen sijaan oletetaan, samoin kuin pallogeometriassa, että yhdensuuntaisia suoria ei ole, vaan mitkä tahansa kaksi suoraa leikkaavat toisensa. Kuitenkin toisin kuin pallogeometriassa, jossa "suorat" (pallopinnan isoympyrät) leikkaavat toisensa kahdessa pisteessä, elliptisessä geometriassa niiden yleensä oletetaan leikkaavan toisensa vain yhdessä pisteessä. Tämän vuoksi tässä artikkelissa käsiteltyä elliptistä geometriaa sanotaan toisinaan *yksinkertaiseksi elliptiseksi geometriaksi*, pallogeometriaa sen sijaan *kaksinkertaiseksi elliptiseksi geometriaksi*.

Elliptisen geometrian kehittäminen 1800-luvulla johti muidenkin epäeuklidisten geometrioiden, muun muassa hyperbolisen geometrian kehittymiseen.

Elliptinen geometria eroaa monessa suhteessa klassisesta euklidisesta tasogeometriasta. esimerkiksi kolmion sisäkulmien summa on aina suurempi kuin 180°.

Määritelmiä
-----------

Elliptisessä geometriassa kaksi annettuun suoraan nähden kohtisuorassa olevaa eli tämän suoran normaalia leikkaavat aina toisensa. Itse asiassa kaikki annetun suoran normaalit toisella puolella leikkaavat toisensa samassa pisteessä, jota sanotaan tämän suoran *absoluuttiseksi navaksi*. Myös toisella puolella alkuperäistä suoraa nämä normaalit leikkaavat toisensa. Mutta toisin kuin pallogeometriassa, nämä navat suoran kummallakin puolella ovat sama piste. Näin on, koska elliptisessä geometriassa ei ole antipodaalisia pisteitä. Tämä saadaan aikaan jäljempänä selitetyn hyperpallomallin avulla siten, että pallopinnalla toistensa antipodissa olevat pisteet ajatellaan samastetuksi keskenään, toisin sanoen niitä vastaa elliptisessä geometriassa sama piste. Näin menetellään, jotta elliptisessä geometriassakin pätisi klassisen geometrian aksiooma, jonka mukaan minkä tahansa kahden pisteen kautta kulkee yksi ja vain yksi suora.

Jokaista pistettä vastaa *absoluuttinen polaarisuora*, jonka absoluuttinen napa se on. Jokainen tämän polaarisuoran piste muodostaa *absoluuttisen konjugaattiparin* tämän navan kanssa. Tällaista pisteparia sanotaan *ortogonaaliseksi*, ja niiden väinen etäisyys on *kvadrantti*.

Kahden pisteen väilinen etäisyys on suoraan verranollinen niiden absoluuttisten polaarisuorien väliseen kulmaan.

H. S. M. Coxeterin mukaan nimitys "elliptinen" on jossakin määrin harhaanjohtava. Elliptisellä geometrialla ei ole suoranaisesti mitään tekemistä ellipsi-nimisen käyrän kanssa, ainoastaan eräänlainen kaukaa haetulta vaikuttava analogia. Kartioleikkauksista ellipsi ja hyperbeli eroavat toisistaan siinä, että edellisellä ei ole asymptootteja, kun taas hyperbelillä niitä on kaksi. Samaan tapaan epäeuklidista tasoa sanotaan hyperboliseksi, jos sen suoriin kuuluu kaksi äärettömän kaukaista pistettä, ja elliptiseksi, jos tällaisia pisteitä ei ole.

Kaksiulotteinen elliptinen geometria
------------------------------------

### Elliptinen taso

Elliptinen taso on sama kuin projektiivinen taso varustettuna tietyllä tavalla määritellyllä metriikalla. Kepler ja Desargues määrittelivät projektiivisen tason asettamalla gnomonisen projektion avulla jokaista tason σ pistettä vastaamaan tietyn pisteen tasoa sivuavalla puolipallolla. Kun O on puolipallon keskus, jokaista tason σ pistettä P vastaa suora *OP*, joka leikkaa puolipallon, ja jokainen suora *L* ⊂ σ määrittelee tason *OL*, joka leikkaa puolipallon kahtia jotakin isoympyrää pitkin. Puolipalloa rajoittaa O:n kautta kulkeva σ:n kanssa yhdensuuntainen taso. Mikään normaali tason σ suora ei vastaa tätä tasoa, mutta ajatellaan, että tasoon lisätään äärettömän kaukainen suora ja asetetaan se vastaamaan mainittua tasoa. Kun jokaista suoraa tässä σ:n laajennuksessa vastaa O:n kautta kulkeva taso ja minkä tahansa kahden sellaisen tason leikkaus on jokin O:n kautta kulkeva suora, voidaan päätellä, että mitkä tahansa kaksi tämän laajennuksen suoraa leikkaavat. Näin ollen tämä laajennus toteuttaa projektiivisen geometrian aksiooman, jonka mukaan kaikki tason suorat leikkaavat toisensa.

Elliptiselle tasolle asetetaan metriikka määrittelemällä, että tason σ kahden pisteen *P* ja *Q* välinen *elliptinen etäisyys* on kulma *POQ*, yleensä radiaaneina mitattuna. Arthur Cayley pani elliptisen geometrian tutkimuksen alulle kirjoittaessaan tutkielman "On the definition of distance". Tätä geometrian abstrahointia jatkoivat myöhemmin Felix Klein ja Bernhard Riemann, mikä johti epäeuklidiseen ja Riemannin geometriaan.

### Elliptinen ja euklidinen geometria

Elliptinen, euklidinen ja hyperbolinen geometria tasossa toisiinsa verrattuina
Euklidessa geometriassa kuviota voidaan skaalata eli sen kokoa voidaan muuttaa mielivaltaisesti suuremmaksi tai pienemmäksi, jolloin saatu kuvio on yhdenmuotoinen alkuperäisen kanssa, toisin sanoen sillä on sen kanssa yhtä suuret kulmat ja vastaavien pisteiden välisten etäisyyksien suhteet ovat samat. Elliptisessä geometriassa on toisin. Mallintamalla elliptistä tasoa pallopinnalla voidaan todeta esimerkiksi, että minkä tahansa kahden pisteen välinen etäisyys on pienempi kuin puolet pallon ympärysmitasta (koska toistensa antipodissa olevat pisteet on samastettu). Janaa ei sen vuoksi voida suurentaa kuinka paljon tahansa. Elliptisessä avaruudessa asuva geometrikko voisi periaatteessa avaruuden ominaisuuksia mittaamalla määrittää mitta-asteikon, joka olisi itse avaruuden ominaisuus. Paljon pienemmillä etäisyyksillä avaruus olisi kuitenkin likipitäen "tasainen" eli sen geometria olisi likipitäen euklidinen, ja kuvioita voidaan skaalata suuremmiksi tai pienemmiksi niin, että ne pysyvät likipitäen yhdenmuotoisina alkuperäisten kanssa.

Suuri osa euklidisen geometrian tuloksista pätee sellaisenaan myös elliptisessä geometriassa. Esimerkiksi siinäkin pätevät Eukleideen ensimmäinen ja neljäs postulaatti: kahden pisteen kautta kulkee aina yksi ja vain yksi suora, ja kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuret. Sen sijaan kolmas postulaatti, jonka mukaan on aina mahdollista piirtää ympyrä, kun keskipiste ja ympyrän säde on annettu, ei päde, mikäli oletetaan että ympyrän säde voi olla mikä tahansa positiivinen reaaliluku. Sen sijaan sekin pätee, jos edellytetään, että säteen on oltava yhtä suuri kuin jonkin annetun janan pituus. Näin ollen kaikki Eukleideen geometrian tulokset, jotka seuraavat näistä kolmesta postulaatista, pätevät myös elliptisessä geometriassa, esimerkiksi *Elementa*-teoksen I kirjan 1. lause: jos jana on annettu, voidaan konstruoida tasasivuinen kolmio, jonka kantana tämä jana on.

Sekä elliptisessä että euklidisessa geometriassa avaruus on jatkuva, homogeeninen ja isotrooppinen eikä sillä ole reunoja. Isotropian takaa neljäs postulaatti, jonka mukaan kaikki suorat kulmat ovat yhtä suuria. Esimerkkinä homogeenisuudesta voidaan mainita, että Eukleideen lauseen I.1 mukainen tasasivuinen kolmio voidaan muodostaa mihin paikkaan tahansa, ei ainoastaan jollakin erityisellä tavalla määrättyyn paikkaan. Reunojen puuttuminen seuraa toisesta postulaatista, jonka mukaan janaa voidaan aina jatkaa.

Yksi huomattava ero elliptisen ja euklidisen geometrian välillä on sen sijaan se, että elliptisessä geometriassa kolmion sisäkulmien summa on suurempi kuin 180 astetta. Käyttämällä pallopintaa mallina voidaan esimerkiksi muodostaa kolmio, jonka kärjet ovat pisteissä, joissa avaruuden kolme positiivista karteesista koordinaattiakselia leikkaavat pallon pinnan, jolloin kolmion kaikki kulmat ovat 90 astetta ja niiden summa näin ollen 270 astetta. Tarpeeksi pienillä kolmiolla kulmien summan ja 180 asteen erotus voidaan kuitenkin saada mielivaltaisen pieniksi.

Myöskään Pythagoraan lause ei päde elliptisessä geometriassa. Esimerkiksi edellä mainitussa kolmiossa, jonka kaikki kulmat ovat suoria, kaikki sivut ovat yhtä pitkiä eivätkä ne näin ollen toteuta yhtälöä a^{2}+b^{2}=c^{2}. Pythagoraan tulos saadaan kuitenkin raja-arvona pienillä suorakulmaisilla kolmiolla niiden sivujen pituuksien lähestyessä nollaa.

Ympyrän kehän ja sen pinta-alan suhde on pienempi kuin euklidisessa geometriassa. Yleensäkään kuvioiden pinta-ala ja kappaleiden tilavuus eivät ole suoraan verrannollisia niiden osien välisten etäisyyksien toiseen tai kolmanteen potenssiin.

Kolmiulotteinen elliptinen avaruus
----------------------------------

*Huomautus: Tässä osiossa termi "elliptinen avaruus" viittaa nimenomaan kolmiulotteiseen elliptiseen geometriaan, toisin kuin edellisessä osiossa, joka käsittelee kaksiulotteista elliptisistä geometriaa. Tämän avaruuden ominaisuuksien selventämiseen käytetään kvaternioita.*

Elliptinen avaruus voidaan konstruoida samaan tapaan kuin kolmiulotteinen vektoriavaruus: ekvivalenssiluokkien avulla. Tähän käytetään pallopinnan isoympyröiden suunnattuja kaaria. Vektorilaskennassa suunnatut janat ovat ekvivalentteja, ekvipollentteja, jos ne ovat yhdensuuntaiset, yhtä pitkät ja samansuuntaiset, ja nämä ekvivalenssiluokat muodostavat vektoriavaruuden. Samaan tapaan isoympyröiden suunnatut kaaret ovat ekvipollentit, jos ne ovat yhtä pitkät, samoin päin suunnatut ja sijaitsevat samalla isoympyrällä. Nämä ekvivalenssiluokat muodostavatkin elliptisen avaruuden.

Elliptisen avaruuden rakennetta voidaan tutkia William Rowan Hamiltonin vektorialgebran avulla. Hän luonnehti pallopinnan alueeksi, jonka muodostavat miinus yhden neliöjuuret. Tällöin Eulerin kaavalle analoginen yhtälö {\displaystyle \exp(\theta r)=\cos \theta +r\sin \theta } (missä *r* on pallopinnalla) esittää siinä tasossa olevaa isoympyrää, johon sisältyvät pisteet 1 ja *r*. Vastakkaisia pisteitä *r* ja -*r* vastaavat vastakkaissuuntaiset ympyrät. Pisteiden θ ja φ välinen kaari on ekvipollentti jonkin pisteiden 0 ja φ – θ välisen kaaren kanssa. Elliptisessä avaruudessa kaaren pituus on pienempi kuin π, joten kaaret voidaan parametroida θ:n avulla, joka on joko välillä [0, π) tai välillä (–π/2, π/2].

Jos {\displaystyle z=\exp(\theta r)} ja {\displaystyle z^{\*}=\exp(-\theta r)}, on {\displaystyle zz^{\*}=1.} Tällöin sanotaan, että *z*:n *moduuli* eli *normi* on 1 (Hamilton nimitti sitä *z*:n *tensoriksi*. Mutta koska *r*:n arvot muodostavat pallopinnan 3-avaruudessa, muodostavat exp(θ r):n arvot 4-avaruudessa olevan pallopinnan {\displaystyle S^{3}}, jota sanotaan 3-pallopinnaksi, koska se on kolmiulotteinen. Hamilton antoi näin muodostetamalleen algebralle nimen kvaterniot, ja niistä tuli pian hyödyllinen ja arvostettu matematiikan työkalu. Sen neliulotteinen avaruus voidaan muodostaa napakoordinaateilla {\displaystyle t\exp(\theta r),} missä *t*:n arvoina ovat positiiviset reaaliluvut.

Kun maapallon pintaa tai taivaanpalloa tutkitaan trigonometrisesti, kolmioiden sivut ovat pallon isoympyröitä. Kvaternioiden ensimmäinen menestyksellinen sovellus oli pallotrigonometrian palauttaminen algebraan. Hamilton nimitti versoreiksi kvaternioita, joiden normi on 1.

Kun piste *r* on annettu, versorit

{\displaystyle e^{ar},\quad 0\leq a<\pi }
muodostavat *elliptisen suoran*. Pisteiden {\displaystyle e^{ar}} ja 1 välinen etäisyys on a. Jokaiselle versorille u tämä etäisyys on se θ, jolla {\displaystyle cos\theta =(u+u\*)/2}, sillä tästä kaavasta saadaan minkä tahansa kvaternion skalaariosa.

*Elliptistä liikettä* esittää kvaternioiden välinen kuvaus

{\displaystyle q\mapsto uqv,}, missä *u* ja *v* ovat vakioversoreita. Pisteiden väliset etäisyydet ovat samat kuin niiden kuvapisteiden välinen etäisyys elliptisessä liikkeessä. Siinä tapauksessa, että *u* ja *v* ovat toistensa kvaterniokonjugaatteja, tämä liike on avaruuden rotaatio, ja niiden vektoriosa muodostaa rotaatioakselin. Tapauksessa *u* = 1 elliptistä liikettä sanotaan oikeanpuoleiseksi Cliffordin siirrokseksi eli *parataksiaksi*. Tapauksessa *v* = 1 on kyseessä vasemmanpuoleinen Cliffordin siirros.
Versorin *u* läpi kulkevat *elliptiset suorat* voivat olla muotoa

{\displaystyle \lbrace ue^{ar}:0\leq a<\pi \rbrace } tai {\displaystyle \lbrace e^{ar}u:0\leq a<\pi \rbrace }, missä *r* on vakio.
Ne ovat *u*:n oikean- ja vasemmanpuoleiset Cliffordin siirrot pitkin pisteen 1 kautta kulkevaa elliptistä suoraa. *Elliptinen avaruus* saadaan {\displaystyle S^{3}}:sta samastamalla toistensa antipodissa olevat pisteet.

Elliptiseen avaruuteen liittyy erityiset sruktuurit, joita sanotaan Cliffordin yhdensuuntaisiksi ja Cliffordin pinnoiksi.

Elliptisen avaruuden versoripisteet voidaan kuvata Cayleyn muunnoksella avaruuteen {\mathbb {R}}^{3}, jolloin avaruudelle saadaan vaihtoehtoinen esitysmuoto.

Korkeampiulotteiset avaruudet
-----------------------------

### Hyperpallomalli

Hyperpallomalli on pallomallin yleistys korkeampiin ulottuvuuksiin. Tässä mallissa *n*-ulotteisen elliptisen avaruuden pisteet ovat yksikkövektoreiden x ja -x muodostamia pareja avaruudessa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}, toisin sanoen vastakkaisten pisteiden pareja *n* + 1-ulotteisen avaruuden yksikköpallolla eli *n*-ulotteisella hyperpallolla. Tässä mallissa suoria vastaavat isoympyrät, toisin sanoen hyperpallon ja origon kautta kulkevan *n*-ulotteisen hypertason leikkausviivoja.

### Projektiivinen elliptinen geometria

Elliptisen geometrian projektiivisessa mallissa *n*-ulotteisen reaalisen projektiivisen avaruuden pisteitä käytetään mallin pisteinä. Näin saadaan mallinnetuksi abstrakti elliptinen geometria, joka tunnetaan myös projektiivisena geometriana.

*n*-ulotteisen projektiivisen avaruuden pisteet voidaan samastaa *n* + 1-ulotteisen avaruuden origon kautta kulkevien suorien kanssa, ja ne voidaan esittää, joskaan ei yksikäsitteisesti, nollasta poikkeavina vektoreina avaruudessa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}}, kun sovitaan, että vektorit u ja {\displaystyle \lambda u} vastaavat aina sama pistettä, olipa \lambda  mikä nollasta poikkeava reaaliluku tahansa. Kahden pisteen välinen etäisyys tässä avaruudessa on

{\displaystyle d(u,v)=\arccos \left({\frac {|u\cdot v|}{\|u\|\ \|v\|}}\right);}
toisin sanoen kahden pisteen välinen etäisyys on niitä avaruudessa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-1}} vastaava kulma. Jos vektorit *u* ja *v* korvataan toisilla, jotka saadaan kertomalla nämä skalaarisilla vakioilla \lambda  ja \mu , tämä kulma pysyy ennallaan, ja näin ollen projektiivisen avaruuden pisteiden välinen etäisyys tällä tavoin on hyvin määritelty.

Eräs projektiivisen geometrian huomattava ominaisuus on, että jos ulottuvuuksien lukumäärä *n* on parillinen, kuten tason tapauksessa, geometria on ei-orientoituva. Täten siinä ei ole eroa myötä- ja vastapäivään suoritettujen rotaatioiden välillä, sillä ne samastetaan keskenään.

### Stereografinen malli

Sama avaruus, joka saadaan hyperpallomallin avulla, saadaan mallinnetuksi myös stereografisella projektiolla. Käytetään merkintää {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} avaruudelle {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\cup {\infty }}, toisin sanoen *n*-ulotteiselle avaruudelle, johon on lisätty yksi äärettömyydessä oleva piste. Tässä avaruudessa {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}} voidaan määritellä metriikka, *kordaalinen* eli jänteisiin perustuva metriikka seuraavasti:

{\displaystyle \delta (u,v)={\frac {2\|u-v\|}{\sqrt {(1+\|u\|^{2})(1+\|v\|^{2})}}}}
missä *u* ja *v* ovat mitkä tahansa \mathbb{R}^n:n vektoria ja \|\cdot \| tavallinen euklidinen normi. Määritellään lisäksi

{\displaystyle \delta (u,\infty )=\delta (\infty ,u)={\frac {2}{\sqrt {1+\|u\|^{2}}}}.}
Tuloksena {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}:stä saadaan metrinen avaruus, joka esittää pisteiden välistä etäisyyttä niitä hyperpallomallissa vastaavien pisteiden välistä jännettä pitkin, jolle se voidaan kuvata bijektiivisesti stereografisella projektiolla. Jos sen sijaan käytetään metriikkaa

{\displaystyle d(u,v)=2\arcsin \left({\frac {\delta (u,v)}{2}}\right)},
saadaan täysin pallogeometrian mukainen malli.
Elliptinen geometria saadaan tästä samastamalla pisteet *u* ja -*u* ja määrittelemällä, että tämän pisteen etäisyys *v* on pienempi *v*:n etäisyyksistä näistä kahdesta pisteestä.

Ristiriidattomuus
-----------------

Koska elliptinen geometria voidaan mallintaa esimerkiksi euklidisen avaruuden pallomaisella aliavaruudella, tästä seuraa, että jos euklidinen geometria itsessään on ristiriidaton, samoin on elliptisen geometrian laita. Tästä seuraa, että paralleelipostulaattia ei ole mahdollista todistaa Eukleideen geometrian neljän muun postulaatin avulla.

Tarski on todistanut, että euklidinen alkeisgeometria on täydellinen teoria eli on olemassa algoritmi, jonka avulla mistä tahansa väitteestä voidaan osoittaa, onko se tosi vai epätosi. (Tämä ei ole vastoin Gödelin epätäydellisyyslausetta, sillä euklidinen geometria ei sisällä niin suurta määrää Peanon aritmetiikaa, että lausetta voitaisiin soveltaa siihen. Tästä seuraa, että myös elliptinen alkeisgeometria on sisäisesti ristiriidaton ja täydellinen teoria.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Elliptic geometry

Lähteet
-------

* Alan F. Beardon: *The Geometry of Discrete Groups*. Springer-Verlag, 1983. Teoksen verkkoversio. \* H. S. M. Coxeter: "Luvut 5–7: Elliptic geometry on 1, 2, & 3 dimensions", *Non-Euclidean Geometry*. Uudelleen julkaissut Matematical Association of America vuonna 1998. University of Toronto Press, 1942. ISBN 0-88385-522-4. </ref>
* H. S. M. Coxeter: "§6.9 The Elliptic Plane", *Introduction to Geometry*, s. 92–95. John Wiley & Sons, 1969.
* Elliptic Geometry *Encyclopedia of Mathematics*.
* John Stillwell (toim.); Felix Klein: "On the so-called noneuclidean geometry", *Sources of Hyperbolic Geometry*. Alkutekstin kirjoittanut Felix Klein 1871, julkaissut Mathematishce Annalen n:o 4 sivuilla 573–625, kääntänyt ja johdannon kirjoittanut John Stillwell 1996. American Mathematical Society, 1996. ISBN 0-8218-0529-0.
* On isotropic congruences of lines in elliptic three-space *dmg.tuwien.ac.at*.  Arkistoitu 25.4.2012. Viitattu 8.12.2021.
* Eduard Study: Foundations and goals of analytical kinematics. (Kääntänyt D. H. Delphenich) *Sitzber. d. Berl. math. Ges.*, 1913, nro 13, s. 36–60. Artikkelin verkkoversio.
* Alfred North Whitehead: "Book VI Chapter 2: Elliptic Geometry", *Universal Algebra*, s. 371–398. {{{Julkaisija}}}, 1898. Teoksen verkkoversio.  (Arkistoitu – Internet Archive)

### Viitteet

1. ↑  Duncan Somerville: "Elliptic geometry", *The Elements of Non-Euclidean Geometry*, s. 89. George Bell & Sons, 1914.
2. ↑  Duncan Somerville: "Elliptic geometry", *The Elements of Non-Euclidean Geometry*, s. 101. George Bell & Sons, 1914.
3. ↑  H. S. M. Coxeter: "§6.9. The Elliptic Plane", *Introduction to Geometry*, s. 92–95. John Wiley & Sons, 1969.
4. ↑  H. S. M. Coxeter: *Introduction to Geometry*, s. 92. {{{Julkaisija}}}, 1965.
5. ↑  Arthur Cayley: A sixth memoir upon quantics: On the definition of distance.  *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*, 1859, nro 149, s. 82–90. doi:10.1098/rstl.1859.0004. ISSN 0080-4614. Artikkelin verkkoversio.
6. ↑  Rafael Artzy: "Chapter 3–8 Quaternions and Elliptic Three-space", *Linear Geometry*, s. 186–194. Addison-Wesley, 1965.
7. ↑  W. R. Hamilton: On quaternions or a new system of imaginaries in algebra.  *Philosophical Magazine*, 1844–1850. Artikkelin verkkoversio.
8. ↑  Georges Lemaître: Quaternions et espace elliptique.  *Pontificia Academia Scientiarum, Acta*, 1948, nro 12, s. 57–78. ISSN 0370-2138.
9. ↑  Alfred Tarski: A Decision Method for Elementary Algebra and Geometry.  *Univ. of California Press*, 1951.
10. ↑  *Gödel's Theorem: An Incomplete Guide to its Use and Abuse*, s. 25–26. AK Peters, 2005.