**Heronin kolmio** on sellainen kolmio, jonka sivujen pituudet ja pinta-ala ovat rationaalilukuja. Myös korkeudet on tällöin rationaalisia. Heronin kolmioita etsittäessä voidaan käyttää Heronin kaavaa. Heronin kaava on nimetty Heron Aleksandrialaisen mukaan, kuten myös Heronin kolmio.

Esimerkkejä
-----------

Mikä tahansa kolmio, jonka sivunpituudet on Pythagoraan kolmikko, on Heronin kolmio.

Kolmio, jonka sivunpituudet *c*, *e* ja *b* + *d*, sekä korkeus *a*.
Kolmio jolla ei ole suorakulmaa ja jonka sivujen pituudet on 5, 5, ja 6 ja pinta ala on 12. Tämä kolmio saadaan konstruoitua, kun otetaan kaksi suorakulmaista kolmiota, joiden sivujen pituudet ovat 3, 4 ja 5. Nämä kolmiot asetetaan siten, että 4:n pituiset sivut ovat vastakkain. Luvut 3, 4 ja 5 muodostavat tunnetusti Pythagoraan kolmikon. 

Tämä esimerkki voidaan laajentaa yleiseksi tapaukseksi. Eli oletetaan olevan olemassa Pythagoraan kolmikko(*a*, *b*, *c*) ja valitaan, että *c* on pisin sivu. Tarvitaan myös toinen Pythagoraan kolmikko (*a*, *d*, *e*), missä *e* voidaan valita pisimmäksi sivuksi. Nämä kolmiot yhdistetään siten, että sivut *a*. Näin saadaan kolmio, jonka sivujen pituudet ovat *c*, *e*, and *b* + *d*. Tällöin kolmion pinta-ala on siis

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a} .

Lause
-----

On olemassa Heronin kolmio siten, että se voidaan jakaa kahdeksi suorakulmaiseksi kolmioksi, joiden sivujenpituudet muodostavat rationaalilukuiset Pythagoraan kolmikot.

**Lauseen todistus**

Käytetään todistuksessa apuna aiemmin esitettyä esimerkin yleistystä: Olkoon Heronin kolmion sivujen pituudet *c*, *e*, *b* + *d* ja pinta-ala *A* määritelmän mukaan rationaalilukuja. Oletetaan myös, että sivu jonka pituus on *b* + *d* is on pisin. Jotta saadaan osoitettua, että (*a*, *b*, *c*) and (*a*, *d*, *e*) ovat Pythagoraan kolmikoita täytyy todistaa, että luvut *a*, *b*, ja *d* ovat rationaalisia.

Osoitetaan ensin, että luku "a" on rationaalinen. Koska kolmion pinta-ala on

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}(b+d)a,}
niin

{\displaystyle a={\frac {2A}{b+d}}.}
Oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia, siis myös *a* on rationaaliluku. Osoitetaan sitten, että luvut *b* ja *d* ovat rationaalisia.
Pythagoraan lauseen mukaan suorakulmaisille kolmioille pätee, että

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}\,}
ja

{\displaystyle a^{2}+d^{2}=e^{2}.\,}
Joista saamme, että

{\displaystyle b^{2}-d^{2}=c^{2}-e^{2}\,}
ja

{\displaystyle b-d={\frac {c^{2}-e^{2}}{b+d}}.\,}
Taas oikean puolen luvut ovat oletuksen nojalla rationaalisia ja siten myös *b* − *d* täytyy olla rationaalinen. Oletuksen mukaan *b* + *d* on rationaalinen, joten täytyy olla, että *b* ja *d* ovat rationaalisia.

Täsmällinen kaava Heronin kolmioille
------------------------------------

Kaavan kaikille Heronin kolmioille kehitti Euler. Tässä on Brahmagubtan ja Carmichaelin esittämä versio:

{\displaystyle a=n(m^{2}+k^{2})\,}
{\displaystyle b=m(n^{2}+k^{2})\,}
{\displaystyle c=(m+n)(mn-k^{2})\,}
{\displaystyle s=mn(m+n)\,}
{\displaystyle A=mnk(m+n)(mn-k^{2})\,}
Missä *s* on puolikas piiri ja *A* on pinta-ala. Pätee myös, että

{\displaystyle syt(m,n,k)=1}
{\displaystyle mn>k^{2}\geq m^{2}n/(2m+n)}
{\displaystyle m\geq n\geq 1}.

Taulukko
--------

Tässä taulukossa on listattu pienimmät sellaiset Heronin kolmiot, joiden sivujen pituuksien suurin yhteinen tekijä on 1.

| Pinta-ala | Ympärysmita | Pituus b+d | Pituus e | Pituus c |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 6 | 12 | 5 | 4 | 3 |
| 12 | 16 | 6 | 5 | 5 |
| 12 | 18 | 8 | 5 | 5 |
| 24 | 32 | 15 | 13 | 4 |
| 30 | 30 | 13 | 12 | 5 |
| 36 | 36 | 17 | 10 | 9 |
| 36 | 54 | 26 | 25 | 3 |
| 42 | 42 | 20 | 15 | 7 |
| 60 | 36 | 13 | 13 | 10 |
| 60 | 40 | 17 | 15 | 8 |
| 60 | 50 | 24 | 13 | 13 |
| 60 | 60 | 29 | 25 | 6 |
| 66 | 44 | 20 | 13 | 11 |
| 72 | 64 | 30 | 29 | 5 |
| 84 | 42 | 15 | 14 | 13 |
| 84 | 48 | 21 | 17 | 10 |
| 84 | 56 | 25 | 24 | 7 |
| 84 | 72 | 35 | 29 | 8 |
| 90 | 54 | 25 | 17 | 12 |
| 90 | 108 | 53 | 51 | 4 |
| 114 | 76 | 37 | 20 | 19 |
| 120 | 50 | 17 | 17 | 16 |
| 120 | 64 | 30 | 17 | 17 |
| 120 | 80 | 39 | 25 | 16 |
| 126 | 54 | 21 | 20 | 13 |
| 126 | 84 | 41 | 28 | 15 |
| 126 | 108 | 52 | 51 | 5 |
| 132 | 66 | 30 | 25 | 11 |
| 156 | 78 | 37 | 26 | 15 |
| 156 | 104 | 51 | 40 | 13 |
| 168 | 64 | 25 | 25 | 14 |
| 168 | 84 | 39 | 35 | 10 |
| 168 | 98 | 48 | 25 | 25 |
| 180 | 80 | 37 | 30 | 13 |
| 180 | 90 | 41 | 40 | 9 |
| 198 | 132 | 65 | 55 | 12 |
| 204 | 68 | 26 | 25 | 17 |
| 210 | 70 | 29 | 21 | 20 |
| 210 | 70 | 28 | 25 | 17 |
| 210 | 84 | 39 | 28 | 17 |
| 210 | 84 | 37 | 35 | 12 |
| 210 | 140 | 68 | 65 | 7 |
| 210 | 300 | 149 | 148 | 3 |
| 216 | 162 | 80 | 73 | 9 |
| 234 | 108 | 52 | 41 | 15 |
| 240 | 90 | 40 | 37 | 13 |
| 252 | 84 | 35 | 34 | 15 |
| 252 | 98 | 45 | 40 | 13 |
| 252 | 144 | 70 | 65 | 9 |
| 264 | 96 | 44 | 37 | 15 |
| 264 | 132 | 65 | 34 | 33 |
| 270 | 108 | 52 | 29 | 27 |
| 288 | 162 | 80 | 65 | 17 |
| 300 | 150 | 74 | 51 | 25 |
| 300 | 250 | 123 | 122 | 5 |
| 306 | 108 | 51 | 37 | 20 |
| 330 | 100 | 44 | 39 | 17 |
| 330 | 110 | 52 | 33 | 25 |
| 330 | 132 | 61 | 60 | 11 |
| 330 | 220 | 109 | 100 | 11 |
| 336 | 98 | 41 | 40 | 17 |
| 336 | 112 | 53 | 35 | 24 |
| 336 | 128 | 61 | 52 | 15 |
| 336 | 392 | 195 | 193 | 4 |
| 360 | 90 | 36 | 29 | 25 |
| 360 | 100 | 41 | 41 | 18 |
| 360 | 162 | 80 | 41 | 41 |
| 390 | 156 | 75 | 68 | 13 |
| 396 | 176 | 87 | 55 | 34 |
| 396 | 198 | 97 | 90 | 11 |
| 396 | 242 | 120 | 109 | 13 |

Aiheesta muualla
----------------

* Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian[vanhentunut linkki]
* Wm. Fitch Cheney, Jr. Heronian Triangles Am. Math. Montly 36 (1) (1929) 22-28.
* S. sh. Kozhegel'dinov On fundamental Heronian triangles Math. Notes 55 (2) (1994) 151-156.