Lambertin oikeapintaisen tasoprojektion mukainen maailmankartta. Keskipisteenä on päiväntasaajan ja nollameridiaanin leikkauspiste, 0° N 0° E. Sen vastakkainen piste eli antipodi on is 0° N 180° E, lähellä Kiribatia Tyynellämerellä. Tätä antipodipistettä esittää kartan reunaympyrä kokonaisuudessaan, ja sitä lähellä oleva osa valtamerta kuvautuu joka puolelle lähelle kartan reunaa.
**Lambertin oikeapintainen tasoprojektio** on eräs kuvaus pallopinnalta tason kiekolle eli ympyräviivan sisä­puolelle jäävälle alueelle. Siinä jokainen pallo­pinnan alue kuvautuu tasoalueelle, jonka pinta-ala on yhtä suuri kuin alku­peräisen alueen, mutta kulmien suuruudet muuttuvat. Kuvaus on nimetty sveitsiläisen matemaatikko Johann Heinrich Lambertin mukaan, joka esitti sen vuonna 1772.

Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota käytetään kartografiassa karttaprojektiona. Esimerkiksi Yhdys­valloissa National Atlas of the United States käytti sitä Map Maker -sovelluksessa, ja Euroopan ympäristövirasto suosittelee sen käyttöä tilastollista aineistoa kuvaavissa Euroopan kartoissa. Sitä käytetään myös tieteellisissä yhteyksissä kuten geologiassa suorien suuntien kuvaamiseen kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Tähän tarkoitukseen käytetään apuna erityisellä ruudukolla varustettua paperia, joka tunnetaan nimellä Schmidtin verkko.

Matemaattinen määritelmä
------------------------

Pallopinta ja sitä pisteessä *S* sivuava taso. Jokainen pallopinnan piste, S:n antipodipistettä lukuun ottamatta, kuvautuu tasolle siihen pisteeseen, jossa kyseisen pisteen kautta kulkeva ympyrä, jonka keskipiste on *S*, leikkaa tason.
Lambertin oikeapintainen tasoprojektio määritellään ajattelemalla, että taso sivuaa pallopintaa jossakin pisteessä *S*. Olkoon *P* mielivaltainen tason piste, ei kuitenkaan *S*:n antipodipiste. Olkoon *d* pisteiden *S* ja *P* välinen suora etäisyys kolmiulotteisessa avaruudessa (*ei* siis pallopintaa pitkin mitattuna). Tällöin piste *P* kuvautuu tasolle pisteeseen *P*′, jonka etäisyys sivuamis­pisteestä *S* on *d*.

Täsmällisemmin sanottuna on olemassa yksi­käsitteinen ympyrä *S*, joka kulkee pisteen *P* kautta ja on kohti­suorassa tasoa vastaan. Se leikkaa tason kahdessa pisteessä, ja merkitään *P*′:llä sitä niistä, joka on lähempänä *P*:tä. Piste *P* kuvautuu siihen. *S*:n antipodi­pisteellä ei ole yksi­käsitteistä kuvaus­pistettä, koska sitä tällä tavoin vastaava ympyrä ei ole yksi­käsitteinen. Piste *S* itse kuvautuu itselleen; sitä vastaavan "ympyrän" säde on nolla.

### Koordinaatit

Jos sivuamispiste *S* sijaitsee leveyspiirillä {\displaystyle \phi \_{1}} ja pituuspiirillä \lambda \_{0}, maan pinnan piste, jonka maan­tieteellinen leveys on \phi ja pituus \lambda , kuvautuu tasolle pisteeseen, jonka karteesiset koordinaatit (*x*, *y*) ovat:

{\displaystyle x=k'\cos {\phi }\sin {(\lambda -\lambda \_{0})}}
{\displaystyle y=k'\cos {\phi \_{1}}\sin {\phi }-\sin {\phi \_{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda \_{0})}}
missä tekijä *k'* on

{\displaystyle k'={\sqrt {\frac {2}{1+\sin {\phi \_{1}}\sin {\phi }+cos{\phi \_{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda \_{0})}}}}}.
Tekijä *k'* on verrannollinen kartan paikalliseen mitta­kaavaan kussakin pisteessä kyseisen pisteen ja sivuamispisteen kautta kulkevaa suoraa vastaan kohtisuorassa suunnassa.

#### Erikoistapauksia

Jos sivuamispiste *S* on pohjoisnavalla (φ1 = 90°), on {\displaystyle \sin {\phi \_{1}}=1} ja {\displaystyle \cos {\phi \_{1}}=0}. Tällöin *k*:n lauseke yksinkertaistuu muotoon

{\displaystyle k'={\sqrt {\frac {2}{1+sin{\phi }}}}}
ja koordinaattien lausekkeet muotoon

{\displaystyle x=k'\cos {\phi }sin{(\lambda -\lambda \_{0})}}
{\displaystyle y=-k'\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda \_{0})}}
Leveyspiiri \phi kuvautuu tällöin ympyräksi, jonka keskipiste on kartan pohjois­navalla ja jonka säde on

{\displaystyle \cos {\phi }{\sqrt {\frac {2}{1+\sin {\phi }}}}}.
Jos taas sivuamispiste *S* on päiväntasaajalla (φ1 = 0°), on {\displaystyle \sin {\phi \_{1}}=0} ja {\displaystyle \cos {\phi \_{1}}=1} Tällöin *k'*:n lauseke yksin­kertaistuu muotoon

{\displaystyle k'={\sqrt {\frac {2}{cos{\phi \_{1}}\cos {\phi }\cos {(\lambda -\lambda \_{0}=}}}}}
ja koordinaattien lausekkeet muotoon

{\displaystyle x=k'\cos ]]{\phi })\sin {(\lambda -\lambda \_{0})}}
{\displaystyle y=k'\cos {\phi \_{1}}\sin {\phi }}

Ominaisuuksia
-------------

Seuraavassa oletetaan, että vaakasuora taso sivuaa origo­keskeistä yksikköpalloa pisteessä (0, 0, -1). Tällöin Lambertin oikeapintainen taso­projektio matemaattisena kuvauksena on määritelty muissa yksikkö­pallon pinnan pisteissä paitsi pisteessä (0, 0, 1). Muut pallo­pinnan pisteet se kuvaa origo­keskeiselle avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Pallon päivän­tasaajan eli ne pisteet, joissa *z* = 0 se kuvaa origo­keskeiselle ympyrälle, jonka säde on {\displaystyle {\sqrt {2}}}. Päivän­tasaaja­tason ala­puolella olevat pisteet, joissa *z* < 0, kuvautuvat tämän ympyrän sisä­puolelle, ylä­puolella olevat sen ulko­puolelle.

Projektio on bijektio pallopinnalta, josta on poistettu piste (0,0,1) avoimelle kiekolle, jonka säde on 2. Se on myös diffeomorfismi, toisin sanoen äärettömän monta kertaa differentioituva molemmissa suunnissa. Siinä kuvajoukon pinta-ala on aina yhtä suuri kuin lähtöjoukon, mikä voidaan osoittaa laskemalla pinta-alkion ala pallolla, kun sitä parametrisoi projektion käänteiskuvaus. Karteesisissa koordinaateissa se on

{\displaystyle dA=dX\;dY.}
Tämä merkitsee, että pallo­pinnalla olevan alueen pinta-alan määrittämiseksi riittää mitata sitä tason kiekolla vastaavan alueen pinta-ala.

Toisaalta projektiossa eivät pallo­pinnan käyrien väliset kulmat säily. Missään kuvauksessa joltakin pallon alueelta jollekin tason alueelle eivät säilykään sekä pinta-alat että kulmat. (Jos molemmat säilyisivät, kyseessä olisi lokaali isometria, jossa Gaussin kaarevuus säilyisi, mikä ei kuitenkaan ole mahdollista, koska pallo­pinnalla ja tasolla on eri suuri kaarevuus.) Se seikka, että taso­kuviot eivät voi täydellisesti vastata pallo­pinnan alueita, onkin kartografian perustava ongelma.

Tästä seuraa, että pallopinnan alueet saattavat kuvautua tasolle suuresti vääristyneinä. Lambertin oikea­pintaisessa taso­projektiossa tämä vääristymä on erityisen suuri kaukana projektion sivuamis­pisteestä. Yleensä tätä projektiota käytetäänkin vain enintään pallonpuoliskon laajuista aluetta esittävissä kartoissa. Koko maapallo voidaan kuitenkin kuvata kahdella erillisellä Lambertin oikeapintaisen taso­projektion mukaisella kartalla, joiden sivuamis­pisteet ovat toistensa antipodissa.

Sovelluksia
-----------

Lambertin tasoprojektio tarkoitettiin alun perin oikea­pintaiseksi karttaprojektioksi. Nykyisin sitä käytetään muillakin aloilla kuten geologiassa suuntia kuvaavan aineiston kuvaamiseen seuraavasti.

Jokaista suuntaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaa jokin origon kautta kulkeva suora. Kaikkien sellaisten suorien joukko on itsessään avaruus, jota matematiikassa sanotaan reaaliseksi projek­tiiviseksi tasoksi. Jokainen origon kautta kulkeva suora leikkaa yksikkö­kiekon kahdessa pisteessä, joista toinen on alemmalla pallonpuoliskolla {\displaystyle z\leq 0}. Poikkeuksena ovat vaaka­suorat viivat, joiden leikkaus­pisteet sijaitsevat kahdessa vastakkaisessa pisteessä ekvaattorilla, {\displaystyle z=0}. Molemmat toistensa antipodissa olevat pisteet vastaavat samaa suoraa. Täten suunnat kolmi­ulotteisessa avaruudessa vastaavat lähes täysin alemman pallon­puoliskon pisteitä. Tämä pallon­puolisko voidaan sitten Lambertin oikea­pintaisella projektiolla kuvata kiekolle, jonka säde on {\displaystyle {\sqrt {2}}}.

Niinpä Lambertin oikea­pintaisella projektiolla voidaan jokaista suuntaa vastaamaan asettaa tason piste. Projektion oikea­pintaisuuden vuoksi suuntien muodostamassa avaruudessa eli reaalisella projek­tiivi­sella tasolla määritellyt funktiot voidaan integroida integroimalla funktio vastaavan tasoalueen yli. Tämä on käyttö­kelpoista eri suuntia koskevan aineiston käsittelyssä.

Eivät ainoastaan suorat, vaan myös origon kautta kulkevat tasot voidaan kuvata Lambertin oikea­kulmaisella projektiolla. Tason ja pallonpuoliskon leikkaus on ympyrän­kaari, jota sanotaan tason *uraksi*, ja se kuvautuu yksikkö­kiekkoon käyräksi, joka yleensä ei ole ympyrän­kaari. Voidaan kuvata tätä käyrää, tai vaihto­ehtoisesti taso voidaan korvata sen kohti­suorasti leikkaavalla suoralla, jota sanotaan sen *navaksi* ja kuvata tason sijasta tätä käyrää. Jos useita tasoja on kuvattava yhdessä, on yksinkertaisempaa käsitellä napoja urien sijasta.

Rakennegeologian tutkijat käyttävät Lambertin oikea­pintaista taso­projektiota kuvaamaan muun muassa mineraalien kide­rakenteen eri­suuntaisia akseleita ja pintoja, lineaatioita ja foliaatioita eri kivilajeissa. Tässä yhteydessä projektiota kutsutaan *oikea­pintaiseksi hemi­sfääriseksi projektioksi*. Erikseen on olemassa myös oikea­kulmainen hemis­fäärinen projektio, jonka määrittelee stereografinen projektio.

Edellä on oletettu, että suunnat kuvataan alemmalle pallon­puoliskolle, {\displaystyle z\leq 0}, mutta yhtä hyvin ne voidaan kuvata myös ylemmälle pallon­puoliskolle {\displaystyle z\geq 0}, kuten toisinaan tehdäänkin. Itse asiassa mitä tahansa pallopinnan puoliskoa voitaisiin käyttää esittämään origon kautta kulkevia suoria kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Lambert azimuthal equal-area projection

Lähteet
-------

* Manfredo P. Do Carmo: *Differential geometry of curves and surfaces*. Englewood Cliffs, New Jersey: Prentice Hall, 1976. ISBN 0-13-212589-7.
* Bruce E. Hobbs, Winthrop D. Means, Paul F. Means: *An outline of structural geology*. New York: {{{Julkaisija}}}, 1976. 0-471-40156-0.
* Michael Spivak: *A comprehensive introduction to differential geometry*. Houston, Texas: Publish or Perish, 1999. ISBN 0-914098-70-5.

### Viitteet

1. ↑  Lambert Azimuthal Equal Area Karen Mulchahy, City University of New York. Viitattu 30.12.2014.
2. ↑  Map Projections: From Spherical Earth to Flat Map  29.4.2008. United Sates department of the Interior.  Arkistoitu 7.5.2009. Viitattu 30.12.2014.
3. ↑  Short Proceedings of the 1st European Workshop on Reference Grids  27.-29.10.2003. Euroopan ympäristövirasto. Viitattu 30.12.2014.
4. ↑  John G. Ramsay: *Folding and fracturing of rocks*. New York: McGraw-Hill, 1967.
5. 1 2 3 4  Graham D. Borradaile: *Statistics of Earth science data*. Berliini: Springer-Verlag, 2003. ISBN 3-540-43603-0.
6. ↑  Lambert Azimuthal Equal-Area Projection MathWorld. Viitattu 30.12.2014.
7. ↑  John P. Snyder: "Lambert Azimutal Equal-area Projection", *Map Projections - A Working Manual*, s. 185. Washington D. C.: United States Government Print Office, 1987. Teoksen verkkoversio.  (Arkistoitu – Internet Archive)