**Käänteisalkion** käsite liittyy abstraktiin algebraan, jossa kahden joukkoon S kuuluvan alkion {\displaystyle a,b\in S} binäärioperaation laskutulos {\displaystyle a\*b} on joukon S neutraalialkio e eli {\displaystyle a\*b=e.} 
Tällöin sanotaan, että a ja b ovat *toistensa* käänteisalkioita. Käänteisalkion nimitys tulee reaalilukujen kertolaskusta, jossa neutraalialkio on luku 1 ja jokaisella luvulla {\displaystyle a\in \mathbb {R} \smallsetminus 0} on olemassa yksi käänteisluku {\displaystyle b={\tfrac {1}{a}}\in \mathbb {R} }, jolle {\displaystyle a\cdot b=a\cdot {\tfrac {1}{a}}=1.}

Formaali määritelmä, nimitykset ja merkinnät
--------------------------------------------

Alkiolla b on *vasemmanpuoleinen käänteisalkio* a, jos {\displaystyle a\*b=e,} ja *oikeanpuoleinen käänteisalkio*, jos {\displaystyle b\*a=e.} Mikäli alkiolla on samanaikaisesti sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen käänteisalkio, sanotaan vain, että sillä on olemassa käänteisalkio. Jos alkiolla on olemassa käänteisalkio sanotaan, että alkio on *kääntyvä*.

Jos laskutoimitusta pidetään luonteeltaan multiplikatiivisena, merkitään alkion x käänteisalkiota x^{{-1}}. Jos se taas on additiivinen, se merkitään kuten vastaluvutkin yhteenlaskussa eli -x.

Esimerkkejä
-----------

Kokonaislukujen joukossa pari {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\*)} sisältää vain muutaman käänteisalkion eli käänteisluvun, kun laskutoimitus {\displaystyle \*} on kertolasku. Selvästikään luvulla 2 ei ole käänteislukua olemassa, koska sen pitäisi olla {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\notin \mathbb {Z} }. Ainoat luvut, jolla on olemassa käänteisluvut, ovat -1 ja 1. Näiden käänteisluvut ovat luvut itse.

Jos määritetään erikoinen laskutoimitus {\displaystyle a\star b=a+b-1} kokonaislukujen joukossa. Jos valitaan ensin kokonaisluku s, voidaan laskea sille käänteisalkio ehdosta {\displaystyle a+b-1=1}. Sillä on oikeanpuoleinen käänteisluku {\displaystyle -s=2-s}, koska {\displaystyle a\star b=s\star (-s)=s+(2-s)-1=1}. Sama voidaan osoittaa vasemmanpuoleisesti.

Funktioiden joukossa {\displaystyle {\mathcal {F}}(X)}, missä X on funktioiden määrittely- ja arvojoukko, identtinen kuvaus {\displaystyle id(x)=x} on yhdisteen \circ  neutraalialkio. Silloin voidaan määritelmän mukaan kirjoittaa {\displaystyle id\circ f=f=f\circ id.} Jos {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(X)} on bijektio, on {\displaystyle f^{-1}\in {\mathcal {F}}(X)} funktion f käänteiskuvaus laskutoimituksen \circ  suhteen ja {\displaystyle f\circ f^{-1}=id=f^{-1}\circ f}. Muilla joukon {\displaystyle f\in {\mathcal {F}}(X)} alkioilla, jotka eivät ole bijektioita, ei ole käänteiskuvausta.

Käänteisalkiot algebrassa
-------------------------

Lukujoukko ja laskutoimitus muodostavat parin, joka voi olla monoidi. Monoidilla ei tarvitse olla käänteisalkioita, vaikka sillä on neutraalialkio. Sen sijaan ryhmällä on käänteisalkiot, sillä se saadaan monoidista vaatimalla jokaiselle alkiolle yksikäsitteinen käänteisalkio. Kun ryhmälle tehdään laajennus toisella laskutoimituksella, tulee vähintään additiivisella laskutoimituksella olla käänteisalkiot. Tätä algebraa kutsutaan renkaaksi. Jos sekä additiivisella- että multiplikatiivisella laskutoimituksella on molemmilla olemassa käänteisalkiot, kutsutaan sitä kunnaksi.

Aiheesta muualla
----------------

* Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets (Arkistoitu – Internet Archive)

Lähteet
-------

1. ↑  Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: *Johdatus abstraktiin algebraan*, s. 47. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
2. 1 2 3  Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas:  Arkansas Tech University.  (englanniksi)
3. 1 2 3  Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)[vanhentunut linkki]
4. ↑  Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste))  2010. Helsinki:  Helsingin yliopisto.  Arkistoitu 5.1.2012.
5. ↑  Barile, Margherita: Additive Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. ↑  Barile, Margherita: Multiplicative Inverse (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
7. ↑  Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
8. ↑  Rowland, Todd & Weisstein, Eric W.: Group (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
9. ↑  Weisstein, Eric W.: Ring (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
10. ↑  Weisstein, Eric W.: Field (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
11. ↑  Barile, Margherita: Invertible Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)