Kultainen neljäkäs
**Kultainen neljäkäs** on geometriassa neljäkäs, jonka lävistäjien suhde on {\displaystyle {\frac {p}{q}}=\varphi \!}, missä {\displaystyle \varphi \!={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.618} on kultainen suhde.

Mittasuhteet
------------

Kultaisen neljäkkään kulmat ovat 

{\displaystyle 2\arctan {\frac {1}{\varphi }}=\arctan {2}\approx 63.43495} astetta
{\displaystyle 2\arctan \varphi =\arctan {1}+\arctan {3}\approx 116.56505} astetta, mikä on sama kuin säännöllisen dodekaedrin diedrikulma.
Jos kultaisen neljäkkään lyhemmän sivun pituus on *a*, sen pidempi sivu on *b* = \phi *a*, ja kuvion jokaisen sivun pituus on q*, kuvion jokaisen sivun pituus on* 

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}c&=&{\tfrac {1}{2}}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\\&=&{\tfrac {a}{2}}{\sqrt {1+\varphi ^{2}}}\\&=&{\tfrac {a}{4}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\\&\approx &0.95106a\end{array}}}
Tällaisen neljäkkään pinta-ala on 

{\displaystyle A=\varphi \ a^{2}/2\approx 0.80902a^{2}}
Jos taas neljäkkään sivujen pituus *c* tunnetaan, sen lävistäjien pituudet ovat 

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}a&=&4a{\frac {1}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.05146\end{array}}} ja
{\displaystyle {\begin{array}{rcl}b&=&2a{\frac {1+{\sqrt {5}}}{\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}}\\&\approx &1.70130a\end{array}}},
ja tällaisen neljäkkään pinta-ala on 

{\displaystyle A={\frac {2c^{2}}{\sqrt {5}}}}
Jos kultaisen neljäkkään sivujen keskipisteet yhdistetään janoilla, saadaan kultainen suorakulmio, joka siis on kultaisen neljäkkään duaali.

Monitahokkaat
-------------

Muutamilla huomattavilla monitahokkailla on sivuina kultaisia neljäkkäitä.
Sellaisia ovat kaksi kultaista romboedria, joista kummallakin on kuusi tahkoa, 12-tahkoinen Bilinskin dodekaedri, 20-tahkoinen rombinen ikosaedri, 30-tahkoinen rombinen triakontaedri sekä ei-kupera 60-tahkoinen rombinen heksekontaedri. Näistä viisi ensimmäistä ovat ainoat kuperat monitahokkaat, joiden tahkot ovat kultaisia neljäkkäitä. Sen sijaan erilaisia ei-kuperia monitahokkaita, joiden kaikki tahkot ovat tämän muotoisia, on äärettömän monta

* Teräväkulmainen kultainen romboedriTeräväkulmainen kultainen romboedri
* Tylppäkulmainen kultainen romboedriTylppäkulmainen kultainen romboedri
* Bilinskin dodekaedriBilinskin dodekaedri
* Rombinen ikosaedriRombinen ikosaedri
* Rombinen triakontaedriRombinen triakontaedri
* Rombinen heksekontaedriRombinen heksekontaedri

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Golden rhombus

Lähteet
-------

* M. Livio: *The Golden Ratio: The Story of Phi, the World's Most Astonishing Number*, s. 206. New York: Broadway Books, 2002.

### Viitteet

1. ↑  Golden Rhombus *Wolfram MathWorld*. Eric W. Weisstein. Viitattu 18.9.2019.
2. ↑  Golden Rhombohedron *Wolfram MathWorld*. Erik W. Weisstein. Viitattu 18.9.2019.
3. ↑  Golden Isozonohedron *Wolfram MathWorld*. Erik W. Weisstein. Viitattu 18.9.2019.
4. ↑  Branko Grünbaum: The Bilinski dodecahedron and assorted parallelohedra, zonohedra, monohedra, isozonohedra, and otherhedra.  *The Mathematical Intelligencer*, 2010, nro 4, s. 5–15. doi:10.1007/s00283-010-9138-7. Artikkelin verkkoversio.