**Funktion raja-arvo** on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion raja-arvoilla* tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun muuttujan arvon lähiympäristössä. Jos raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*) kyseisessä kohdassa. Funktion raja-arvoa tarvitaan esimerkiksi funktion jatkuvuuden toteamiseksi, funktion derivaatan laskemisessa ja monissa analyysin ja differentiaalilaskennan tarkasteluissa. Funktion raja-arvo eroaa lukujonon raja-arvosta siinä, että funktion raja-arvossa seurataan funktion arvoja, kun muuttujan arvot lähestyvät tutkittavaa kohtaa lukujonon raja-arvon tapaan. Raja-arvoteoria kehitettiin nykymuotoonsa 1800-luvulla.

Merkintätapoja
--------------

Raja-arvo on latinaksi *limes*, mistä juontuu eräs sen matemaattisista merkinnöistä

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L,}
joka luetaan *"funktion f arvolla x raja-arvo on luku L, kun x lähestyy lukua p"*.

Sen toinen merkintätapa on

{\displaystyle f(x)\to L{\text{, kun }}x\to p,}
joka luetaan edelliseen tapaan.

Määritelmiä
-----------

### Intuitiivinen määritelmä

Funktion raja-arvoa ei ole olemassa kohdassa x0, koska oikeanpuoleinen raja-arvo on suurempi luku kuin vasemmanpuoleinen raja-arvo. Jotta raja-arvo olisi olemassa, tulisivat toispuoliset raja-arvot olla samat.
Intuitiivinen määritelmä ei ole riittävän eksakti matematiikan käyttöön, mutta sen avulla voi helpommin ymmärtää funktion raja-arvon käsitettä. Jos funktion arvoa *f(p)* ei voi, taikka saa laskea tietyllä luvulla *p*, voi funktion arvon likiarvoja laskea käyttämällä muita (luvun *p* viereisiä) lukuja *x*. Mitä pienempi on lukujen *p* ja *x* välinen ero (erotus), sitä paremmin funktion arvo *f(x)* vastaisi kuviteltua funktion arvoa *f(p)* (jos sen arvon voisi/saisi laskea). Tämän huomaa siitäkin, että mitä vähemmän luvut *x* poikkeavat luvusta *p*, sitä vähemmän funktion arvot poikkeavat toisistaan. Voidaan ajatella, että funktion arvot olisivat likiarvoja raja-arvolle *L*, ja että likiarvot tarkentuisivat lukujen *x* arvojen lähestyessä luvun *p* arvoa.

Toinen intuitiivinen tapa on keksiä lukujono {\displaystyle (x\_{i})}, joka lähestyisi lukua *p* lukujonon raja-arvon mielessä. Tämän lukujonon arvoilla {\displaystyle x\_{i}} laskettaisiin funktion arvoja, jolloin saataisiin funktioiden arvojen lukujono {\displaystyle f(x\_{i})}. Funktion arvojen lukujono lähestyisi raja-arvoa L lukujonon raja-arvon mielessä.

### Määritelmä toispuolisten raja-arvojen avulla

Kun raja-arvojen määrittäminen on helppoa, ja näin onkin koulumatematiikassa, voidaan raja-arvon olemassaolo todeta toispuoleisten raja-arvojen avulla (katso jäljempänä). Kun

{\displaystyle \lim \_{x\to p+}f(x)=\lim \_{x\to p-}f(x)=L,}
missä *L* on äärellinen luku, ensimmäinen raja-arvo on *oikeanpuoleinen raja-arvo* ja toinen *vasemmanpuoleinen raja-arvo*, on raja-arvo olemassa ja sen arvo on *L* eli

{\displaystyle \lim \_{x\to p}f(x)=L.} 
#### Raja-arvon numeerinen määrittäminen



| {\displaystyle x} | {\displaystyle f(x)={\frac {\sin(x)}{x}}} |
| --- | --- |
| 1 | 0,841471 |
| 0.1 | 0,998334 |
| 0.01 | 0,999983 |
| 0.001 | 0,999999 |
| 0 | ei määritelty (0/0), mutta {\displaystyle \to 1} |
| -0.001 | 0,999999 |
| -0.01 | 0,999983 |
| -0.1 | 0,998334 |
| -1 | 0,841471 |

Taulukossa on laskemia funktion {\displaystyle f(x)={\sin {x} \over x}} arvoista, kun muuttuja lähestyy ensin nollaa oikealta (yläpuolella) ja sitten vasemmalta (alapuolella). Likiarvoista voidaan todeta, että todennäköinen raja-arvo on luku 1,joka jää kummankin lukujonon väliin.


Raja-arvon likiarvon voi löytää kokeilemalla. Esimerkiksi funktio {\displaystyle f(x)={\sin {x} \over x}} on määritelty kaikkialla muualla reaalilukualueella paitsi nollassa ({\displaystyle \mathbb {R} \diagdown \{0\}.}) Jos aloitetaan laskemalla lukujonoon funktion arvoja {\displaystyle f(1),f(0,1),f(0,01),f(0,001),\dots } niin, että {\displaystyle x\to 0.} Huomataan, että tulokset muodostavat kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 (vertaa viereinen taulukko). Tämä vastaa toispuoleista raja-arvoa, kun nollaa lähestytään oikealta eli

{\displaystyle \lim \_{x\to 0+}f(x)=1.}
Kun funktion arvoja lasketaan luvuilla, jotka saadaan, kun nollaa lähestytään vasemmalta puolelta, saadaan {\displaystyle f(-1),f(-0,1),f(-0,01),f(-0,001),\dots }. Nämä muodostavat myös kasvavan lukujonon, joka lähestyy lukua 1 eli

{\displaystyle \lim \_{x\to 0-}f(x)=1.}.
Koska kummankin lukujonon raja-arvo vaikuttaa olevan yksi, voidaan sitä pitää perusteltuna ehdokkaana. Lopullisen varmuuden siitä saadaan vasta epsilon-delta-tekniikalla (katso seuraava luku). Vertaa myös sinin sarjakehitelmästä saatavaan tulokseen.

### Eksakti määritelmä

Raja-arvon eksakti määritelmä.
Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä **epsilon-delta-tekniikka**. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä lukujen epsilon ({\displaystyle \epsilon }) ja delta ({\displaystyle \delta }) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion {\displaystyle f} realilukuarvoinen määrittelyjoukko on {\displaystyle A} niin, että {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku *p*, eli {\displaystyle [a,b]\diagdown \{p\}} (luku *p* voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo *L* kohdassa *p*, jos kaikilla luvuilla {\displaystyle \epsilon >0} on aina olemassa luku {\displaystyle \delta >0} siten, että 

{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .} 
Siis, valittiinpa positiivinen luku {\displaystyle \epsilon } kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku {\displaystyle \delta } siten, että kaikilla korkeintaan {\displaystyle \delta }:n etäisyydellä olevilla luvuilla {\displaystyle x} ovat funktion {\displaystyle f(x)} arvot korkeintaan {\displaystyle \epsilon }:n etäisyydellä raja-arvosta *L*. Toistamalla {\displaystyle \epsilon }:n pienentämisen, tulisi myös {\displaystyle \delta } pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun {\displaystyle \delta }:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun {\displaystyle \epsilon }.

#### Esimerkki epsilon-delta-tekniikasta

Funktiolla {\displaystyle f(x)=x^{2}} on toki olemassa arvo luvulla {\displaystyle x=3}, joka on {\displaystyle f(3)=3^{2}=9}. Eksaktilla määritelmällä voidaan nyt osoittaa, että luku 9 on funktion raja-arvo *L*, kun luvut *x* lähestyvät lukua *p = 3*. Siis osoitetaan, että (lähde:)

{\displaystyle \lim \_{x\to 3}f(x)=\lim \_{x\to 3}x^{2}=9.}
Valitaan ensin funktion arvon ja raja-arvon *L = 9* erotuksen suuruuden ylärajaksi {\displaystyle \epsilon } siten, että

{\displaystyle |f(x)-L|=|x^{2}-9|<\epsilon ,}
missä {\displaystyle \epsilon >0}. Tutkitaan sitten, kuinka läheltä arvoa *p = 3* tulee *x* valita, että ollaan korkeintaan {\displaystyle \epsilon }:in etäisyydellä raja-arvosta. Erään muistikaavan avulla saadaan tästä

{\displaystyle |x^{2}-9|=|x-3||x+3|,}
ja kun *x* on riittävän lähellä arvoa *p = 3*, on 

{\displaystyle |x-3|<1}
ja

{\displaystyle |x+3|=|x-3+3+3|\leq |x-3|+2|3|\leq 1+2|3|=7.}
Nyt huomataan että {\displaystyle \epsilon } ja {\displaystyle \delta } riippuvat toisitaan. Siis

{\displaystyle |x^{2}-9|\leq |x-3|\cdot 7<\epsilon ,}
kunhan

{\displaystyle 0<|x-3|<{\epsilon \over 7},}
jolloin valitaan {\displaystyle \delta =min\{{\epsilon \over 7},1\}}.

Viimeisestä valinnasta huomataan, että kun {\displaystyle \epsilon }:ia pienennetään, pienenee myös {\displaystyle \delta }. Erityisesti, valitsemalla *x* luvun 3 läheltä, saadaan se funktiolle arvoa 9 läheltä olevan likiarvon, ja tätä likiarvoa voidaan parantaa rajattomasti valitsemalla *x* riittävän läheltä lukua 3. Tätä kutsutaan suppenemiseksi ja suppenemisen tulosta raja-arvoksi.

### Toispuolinen raja-arvo

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen *x* ja *p* erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, *x* lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

Oikeanpuoleinen raja-arvo määritellään niin, että koska luvut *x* ovat lukua *p* suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua *p* oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo {\displaystyle x-p}. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

{\displaystyle \lim \_{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .}
Raja-arvon *L* yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä. Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa lukua *p* lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut *x* ovat aina lukua *p* pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

{\displaystyle \lim \_{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .}

### Epäoleellinen raja-arvo

Funktion epäoleellinen raja-arvo on kuvaajassa olemassa, kun *x* lähestyy plus ääretöntä, koska funktio mahtuu lopulta epsilon-putkeen.
Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Kyse ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan epäoleellista raja-arvoa käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta, merkitään se

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=L,}
jolloin funktion lauseke lasketaan yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy plus ääretöntä"*). Kun muuttuja vähenee rajatta, merkitään se

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=L,}
jolloin lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy miinus ääretöntä"*). Jos raja-arvo tällöin suppenee, merkitään sen arvoa *L* luvulla. Tällöin sanotaan, että *"funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L"*. Jos raja-arvo hajaantuu, merkitään raja-arvon tulos

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,}
jos tulos kasvaa rajatta ja 

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=-\infty ,}
jos tulos vähenee rajatta.

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=L,}
määritellään eksaktisti epsilon-tekniikalla

{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}x>M\_{\epsilon },}
eli funktion arvo {\displaystyle f(x)} on {\displaystyle \epsilon }:n etäisyydellä raja-arvosta *L*, kun muuttuja *x* on ylittänyt rajan {\displaystyle M\_{\epsilon }}. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa *L*, kunhan muuttuja *x* kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

Raja-arvon määritelmä funktioteoriassa
--------------------------------------

Funktioteoriassa käsitellään funktioita, joiden muuttujat ovat kompleksilukuja (muodossa {\displaystyle z=x+iy}) ja joiden arvoksikin saadaan kompleksilukuja. Koska kahden kompleksiluvun suuruusjärjestys ei ole määritelty samalla tavalla kuin reaaliluvuilla, käytetään niiden vertailuun itseisarvon sijaan toista metriikkaa ja jota kutsutaan kompleksiluvun moduuliksi. Luvun *z* moduuli lasketaan {\displaystyle |z|=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.} Moduuli merkitään samoilla pystyviivoilla kuin itseisarvo, jolloin kahden kompleksiluvun välinen ero (etäisyys kompleksitasolla) merkitään luonnollisella tavalla {\displaystyle |a-b|.}

Jos merkitään kompleksilukujen muuttujia {\displaystyle z=x+iy}, ja tietyssä alueessa *G* (sisältää luvun {\displaystyle z\_{0}}) määriteltyä kompleksifunktiota {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}, pystytään joskus määrittämään funktion {\displaystyle f(z)} raja-arvo

{\displaystyle \lim \_{z\to z\_{0}}f(z).}
Kompleksilukujen luonteeseen kuuluu, että alue *G* voi olla pisteen {\displaystyle z\_{0}} ympäröimä epämääräinen kaksiulotteinen alue, mutta yleensä pitäydytään ympyrän muotoiseen alueeseen. Luku *z* voi lähestyä alueen sisällä olevaa lukua {\displaystyle z\_{0}} mistä suunnasta hyvänsä. Siksi etäisyys lukuun {\displaystyle z\_{0}} määritelläänkin kompleksilukujen erotuksen modulina

{\displaystyle |z-z\_{0}|=|(x+iy)-(x\_{0}+iy\_{0})|=|(x-x\_{0})+i(y-y\_{0})|={\sqrt {(x-x\_{0})^{2}+(y-y\_{0})^{2}}}}
Tällä itseisarvon laajennuksella voidaan funktioteoriassa esittää funktion raja-arvo vastaavilla merkinnöillä kuin reaalilukufunktioiden raja-arvot. Kun muistetaan kompleksilukujen moduulin laskutapa, saadaan raja-arvon eksakti määritelmä seuraavasti. Funktiolla on raja-arvona kompleksiluku *L* kohdassa {\displaystyle z\_{0}}, jos kaikilla luvuilla {\displaystyle \epsilon >0} on aina olemassa luku {\displaystyle \delta >0} siten, että 

{\displaystyle |f(z)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|z-z\_{0}|<\delta .}

Käyttö differentiaali- ja integraalilaskennassa
-----------------------------------------------

### Funktion jatkuvuuden toteaminen

Raja-arvolla on keskeinen osa funktion jatkuvuuden toteamisessa. Funktio on jatkuva pisteessä *p*, mikäli sen toispuoleiset raja-arvot vasemmalta ja oikealta ovat keskenään samat kuin funktion {\displaystyle f(p)} arvo:

{\displaystyle \lim \_{x\to p+}f(x)=\lim \_{x\to p-}f(x)=f(p).}
Funktio on jatkuva välinsä päätepisteessä, mikäli toispuoleinen raja-arvo on sama kuin funktion arvo päätepisteessä. Funktio on jatkauva välissä, mikäli se on jatkuva kaikissa välin pisteissä, ja koko määrittelyjoukossa, mikäli se on jatkuva jokaisessa määrittelyjoukon pisteessä.

### Derivaatan määritelmä

Derivaatta määritellään erotusosamäärän raja-arvona tutkittavassa pisteessä {\displaystyle x\_{0}}. Se voidaan merkitä raja-arvolausekkeena 

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{x\to x\_{0}}{\frac {f(x)-f(x\_{0})}{x-x\_{0}}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}

Raja-arvojen laskusääntöjä
--------------------------

Jos funktioilla {\displaystyle f(x)} ja {\displaystyle g(x)} on olemassa raja-arvot ({\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}g(x)=G\neq 0}), niin silloin on voimassa seuraavat säännöt:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}k={\text{, kun }}\,k\in \mathbb {R} \,}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}kf(x)=k\lim \_{x\to c}f(x)=k\cdot F}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}(f(x)+g(x))=\lim \limits \_{x\to p}f(x)+\lim \limits \_{x\to p}g(x)=F+G}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}(f(x)-g(x))=\lim \limits \_{x\to p}f(x)-\lim \limits \_{x\to p}g(x)=F-G}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits \_{x\to p}f(x)\cdot \lim \limits \_{x\to p}g(x)=F\cdot G}
{\displaystyle \lim \limits \_{x\to p}(f(x)/g(x))={\lim \limits \_{x\to p}f(x)/\lim \limits \_{x\to p}g(x)}=F/G}
Näillä säännöillä voi määrittää lausekkeiden raja-arvon, kunhan funktioiden raja-arvot tunnetaan ensin.

Yhdistetyillä funktioilla 

{\displaystyle \lim \_{y\to p}f(y)=L{\text{ ja }}\lim \_{x\to a}g(x)=p{\text{ }}\Rightarrow \lim \_{x\to a}f(g(x))=L}

Historia
--------

Differentiaali- ja integraalilaskenta kehittyi asteittain nykyisekseen 1600-luvulta alkaen. Raja-arvon modernin tulkinnan esitti vuonna 1817 Bernard Bolzano, joka esitteli tuolloin epsilon-delta-tekniikan jatkuvien funktioiden toteamiseksi. Tätä voidaan pitää reaaliarvoisten funktioiden riittävän tarkkana raja-arvon määritelmänä. Augustin Louis Cauchy käsittely julkaisussaan *"Cours d'analyse"* (vuonna 1821) raja-arvoja ja antoi siinä modernin määritelmän raja-arvolle. Vasta Karl Weierstrass esitti raja-arvojen epsilon-delta-tekniikan siinä muodossa kuin se nykyään tunnetaan. Myös limes-merkintä on hänen ehdotuksensa. Bolzanon työ jäi melko tuntemattomaksi ja Cauchy esitti raja-arvon määritelmänsä lähinnä verbaalisena selostuksena. Siksi Weierstrassin merintätavat korostuvat raja-arvon keksimisen historiassa. Silti, G. H. Hardyn käyttämä tapa sijoittaa nuoli lim-sanan alle on nykyään yleisin merkintätapa.

Katso myös
----------

* Lukujonon raja-arvo

Lähteet
-------

* Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: *Pitkä Sigma 7*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
* Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko & Liira, Riitta & Ronkainen, Anja: *Pyramidi 7 – Derivaatta*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5401-7.
* Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: *Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
* Kangasaho, Jukka & Mäkinen, Jukka & Oikkonen, Juha & Paasonen, Johannes & Salmela, Maija & Tahvanainen, Jorma: *Pitkä matematiikka 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Wsoy. ISBN 978-951-0-29168-9.
* Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

### Viitteet

1. ↑  Stover, Christopher.: Limit (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. 1 2 3 4 5 6  Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 32–38
3. 1 2 3  Burton, David M.: *The History of Mathematics: An introduction*, s. 558–559. New York: McGraw–Hill, 1997. ISBN 0-07-009465-9. (englanniksi)
4. 1 2 3  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 38–47
5. 1 2  Kangasaho, Jukka & al.: Pitkä matematiikka 13, s. 16–28
6. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 17–30
7. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 64–68
8. ↑  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 48–58
9. ↑  Barile, Margherita: Epsilon-Delta Definition (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
10. ↑  Barile, Margherita: Epsilon-Delta Proof (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
11. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 59–63
12. ↑  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 180–187
13. ↑  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 59–68
14. ↑  Weisstein, Eric W.: Continuous Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
15. ↑  Weisstein, Eric W.: Continuous (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
16. ↑  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 69–82
17. ↑  Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 46–51
18. ↑  Felscher, Walter: Bolzano, Cauchy, Epsilon, Delta.  *American Mathematical Monthly*, 2000, 107. vsk, nro 9, s. 844–862.  Mathematical Association of America. doi:10.2307/2695743.   (englanniksi)
19. ↑  Grabiner, Judith V.: Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus.  *American Mathematical Monthly*, 1983, 90. vsk, nro 3, s. 185–194.  Mathematical Association of America. doi:10.2307/2975545.   (englanniksi)
20. ↑  Miller, Jeff: Earliest Uses of Symbols of Calculus *jeff560.tripod.com*.  2004. Viitattu 26.9.2014.
21. ↑  Lehtinen, Matti: (Arkistoitu – Internet Archive) Luku 11 ( Analyysi täsmällistyy 1800-luvulla), (luento: [http://cc.oulu.fi/~matlehti/historia/ Matematiikan historia[vanhentunut linkki]), Oulun yliopisto, 2014

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Funktion raja-arvo**.
* Encyclopedia of Math: Limit,