*Tämä artikkeli käsittelee tilastotieteen käsitettä. Sanan muita merkityksiä on täsmennyssivulla Momentti.*
**Momentti** on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan jakaumasta määritelty tunnusluku, joka luonnehtii jakaumaa erityisellä tavalla. Yleisimmät momentit sisältyvät *origomomentteihin*, *keskusmomentteihin* ja *tekijämomentteihin*. Kuhunkin ryhmään sisältyy numeroituvasti ääretön määrä erilaisia momentteja.

Momentti eli origomomentti
--------------------------

Tavallinen momentti eli origomomentti määritellään diskreetin satunnaismuuttujan X tapauksessa

{\displaystyle E(X^{r})=\sum \_{x\in \Omega }x^{r}p(x).} 
Kun satunnaismuuttujalla on perusjoukossaan vain äärellinen määrä arvoja, voidaan momentti aina laskea. Mikäli perusjoukossa on numeroituvasti ääretön määrä arvoja, saadaan summa laskettua, mikäli se suppenee itseisesti.

Jatkuvan satunnaismuuttujan Y tapauksessa momentti lasketaan

{\displaystyle E(Y^{r})=\int \_{-\infty }^{\infty }y^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,} 
mikäli epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Origomomentti voidaan merkitä myös {\displaystyle E(X^{r})=\langle x^{r}\rangle .} 

Kullekin eksponentin r positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä momentti {\displaystyle E(X^{r})}. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään {\displaystyle (r\in \{1,2,...\},\;\mu \_{i}}:t ovat vaihtoehtoisia merkintöjä)

{\displaystyle r=1:\;\mu =E(X^{1})=E(X)=\int \_{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan odotusarvoksi.
{\displaystyle r=2:\;\mu \_{2}=E(X^{2})=\int \_{-\infty }^{\infty }x^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *toiseksi momentiksi*.
{\displaystyle r=3:\;\mu \_{3}=E(X^{3})=\int \_{-\infty }^{\infty }x^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *kolmanneksi momentiksi*.
{\displaystyle r=n:\;\mu \_{n}=E(X^{n})=\int \_{-\infty }^{\infty }x^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *n:nneksi momentiksi*.
Vastaavasti voidaan määritellä momentit diskreetin satunnaismuuttujan tapauksessa. Eräs tapa tuottaa jakauman kaikki momentit on käyttää momenttifunktiota. Se määritellään diskreetissä tapauksessa

{\displaystyle E(e^{tX})=\sum \_{x\in \Omega }e^{tx}p(x)}
ja jatkuvassa tapauksessa

{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{tx}f(x)\,\mathrm {d} x}
{\displaystyle =1+t\mu \_{1}+{\tfrac {1}{2!}}t^{2}\mu \_{2}+{\tfrac {1}{3!}}t^{3}\mu \_{3}+...\,,}
missä {\displaystyle \mu \_{1},} {\displaystyle \mu \_{2},} {\displaystyle \mu \_{3},}...{\displaystyle \mu \_{n},},.. ovat origomomentteja. Siitä voidaan laskea n:n momentin arvo derivoimalla momenttifunktio *n* kertaa ja sijoittamalla siihen {\displaystyle t=0.}

Keskusmomentti
--------------

*Keskusmomentilla*, *keskimomentilla* eli *keskeisellä momentilla* tarkoitetaan satunnaismuuttujan ja odotusarvon {\displaystyle \mu =E(X)} erotuksen momenttia. Se määritellään diskreetin satunnaismuuttujan X tapauksessa

{\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\sum \_{x\in \Omega }(x-\mu )^{r}p(x).}
Jatkuvan satunnaismuuttujan Y tapauksessa keskusmomentti lasketaan

{\displaystyle E((Y-\mu )^{r})=\int \_{-\infty }^{\infty }(y-\mu )^{r}f(y)\,\mathrm {d} y,} 
mikäli summa suppenee itseisesti tai epäoleellinen integraali on itseisenä olemassa. Keskusmomentti voidaan merkitä myös {\displaystyle E((X-\mu )^{r})=\langle (x-\mu )^{r}\rangle .} 

Kullekin eksponentin r positiiviselle kokonaislukuarvolle voidaan määritellä keskusmomentti {\displaystyle E((X-\mu )^{r})}. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa ne määritellään {\displaystyle (r\in [1,\infty ))}

{\displaystyle r=1:\;E(X-\mu )=\int \_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )f(x)\,\mathrm {d} x=0.}
{\displaystyle r=2:\;E((X-\mu )^{2})=\int \_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{2}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan varianssiksi.
{\displaystyle r=3:\;E((X-\mu )^{3})=\int \_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{3}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *kolmanneksi keskusmomentiksi* eli vinoudeksi.
{\displaystyle r=4:\;E((X-\mu )^{4})=\int \_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{4}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *neljänneksi keskusmomentiksi* eli huipukkuudeksi.
{\displaystyle r=n:\;E((X-\mu )^{n})=\int \_{-\infty }^{\infty }(x-\mu )^{n}f(x)\,\mathrm {d} x,} jota kutsutaan *n:nneksi keskusmomentiksi*.

Tekijämomentti
--------------

*Tekijämomentit*, joita saadaan esimerkiksi todennäköisyyksiä generoivista funktioista, määritellään seuraavasti

{\displaystyle E(X^{(r)})=E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1)),} 
ja tarkemmin diskreetissä tapauksessa

{\displaystyle E(X(X-1)(X-2)...(X-r+1))=\sum \_{x\in \Omega }(x(x-1)(x-2)...(x-r+1))p(x).} 
ja jatkuvassa tapauksessa

{\displaystyle E(Y(Y-1)(Y-2)...(Y-r+1))=\int \_{-\infty }^{\infty }(y(y-1)(y-2)...(y-r+1))f(y)\,\mathrm {d} y.}
Kolme ensimmäistä tekijämomenttia ovat

{\displaystyle E(X^{(1)})=E(X)=\mu ,} (odotusarvo)
{\displaystyle E(X^{(2)})=E(X(X-1))=E(X^{2}-X)=E(X^{2})-E(X)=Var(X)=\sigma ^{2},} (varianssi)
{\displaystyle E(X^{(3)})=E(X(X-1)(X-2))=E(X^{3}-3X^{2}+2X).}

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s.151−160, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
2. 1 2 3 4 5  Weisstein, Eric W.: Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
3. ↑  Gamarnik, David & Tsitsiklis, John: Moment generating functions, luentomoniste "6.436J Fundamentals of Probability", Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare, s. 1−8, 2008
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Moment-Generating Function (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. 1 2 3  Weisstein, Eric W.: Central Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. 1 2 3  Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s.77−80, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
7. 1 2  Weisstein, Eric W.: Factorial Moment (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)