*Tämä artikkeli kertoo matematiikan juurioperaatiosta. Muita merkityksiä on täsmennyssivulla.*
 Rhindin papyruksessa vuodelta 1650 eaa. käytettiin juurilaskentaa kolmiomatematiikan apuna.
Matematiikassa *n.* **juuri** luvusta *x* tarkoittaa lukua, jonka *n.* potenssi on x. Luvun *x* n. juuri merkitään muodossa 

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}},

missä *n* on luonnollinen luku. Edellä mainitussa juuressa luku *x* on *juurrettava*. 

On muistettava tehdä ero juurioperaattorin käyttöön laskutoimituksena ja lukuna. Lukuna juurioperaation merkintätavan on sovittu tarkoittavan aina vain positiivista arvoa, esimerkiksi {\displaystyle \scriptstyle ^{4}{\sqrt {58}}} on positiivinen irrationaaliluku.

Reaalilukujen juurifunktio
--------------------------

*Pääartikkeli: Juurifunktio*
Nollan juuri on nolla kaikilla luvun *n* arvoilla.

Pariton juuri voidaan määritellä kaikille reaaliluvuille siten, että saadaan tasan yksi ratkaisu, eli juuren otto on bijektiivinen funktio.

Jos otetaan parillinen juuri positiivisesta reaaliluvusta, saadaan kaksi mahdollista tulosta: negatiivinen ja positiivinen. Esimerkiksi 4. juuri luvusta 81 voi saada vastaukseksi 3 tai −3, eli {\displaystyle \scriptstyle ^{4}{\sqrt {81}}~=~3~\lor ~-3.}

### Perusominaisuudet

Kun juuri *n* on luonnollinen luku, pätevät seuraavat laskutoimitukset:

{\displaystyle {\sqrt[{n}]{ab}}={\sqrt[{n}]{a}}\cdot {\sqrt[{n}]{b}},}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{\frac {a}{b}}}={\frac {\sqrt[{n}]{a}}{\sqrt[{n}]{b}}}~~~~(b\neq 0),}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{a^{m}}}=\left({\sqrt[{n}]{a}}\right)^{m}=a^{\frac {m}{n}},}
missä *a* ja *b* ovat positiivisia reaalilukuja.

Kompleksilukujen juurifunktio
-----------------------------

Kompleksilukujen joukossa yhtälöllä

{\displaystyle z^{n}=q}

on aina *n* kappaletta ratkaisuja, kun *q* on mielivaltainen kompleksiluku (≠0). Kun *q* on 1, sanotaan näitä ratkaisuja *n*.nsiksi yksikköjuuriksi, ja ne muodostavat kompleksitason yksikköympyrän sisään säännöllisen *n*-kulmion, jossa yhtenä kärkipisteenä on 1.

Pelkästään edellä olevan yhtälön perusteella ei kompleksiluvun juurta siis voida määritellä yksikäsitteisesti funktioksi. Näin voidaan kuitenkin tehdä poistamalla kompleksitasosta seuraavanlainen joukko *S*:

* S on homeomorfinen avoimen puolisuoran kanssa
	+ S on siis rajoittamaton ja risteämätön viiva, jolla on avoin pää
* origo ei kuulu S:ään, mutta on sen kasautumispiste
	+ Myös äärettömyys on tavallaan kasautumispiste. Viiva siis yhdistää origon ja äärettömyyden.
* Esimerkki yksinkertaisesta valinnasta S:ksi on puolisuora {\displaystyle \scriptstyle \{z\in \mathbb {C} \ |\ \mathrm {Im} z=0,\mathrm {Re} z<0\}}

Potenssin käänteisfunktio voidaan määritellä alueessa {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} -S} *n*:llä eri tavalla. Bijektio voidaan saada aikaan kompleksitason alueesta, joka sisältää n:nnen osan pisteistä, koko kompleksitasoon, mutta kuvauksesta ei tule jatkuvaa.

Katso myös
----------

* Alkeisfunktio
* Juurifunktio
* Imaginaariluku
* Neliöjuuri
* Kuutiojuuri

Lähteet
-------

* Soo Tan: *Applied Mathematics for the Managerial, Life, and Social Sciences*. Cengage Learning, 2012. ISBN 9781133108948. (englanniksi)

### Viitteet

1. ↑  Ron Larson: *Elementary Algebra*, s. 501. Cengage Learning, 2009. ISBN 9780547102276. (englanniksi)
2. ↑  Soo Tan, s. 38
3. ↑  Soo Tan, s. 37
4. 1 2  Soo Tan, s. 40