Todennäköisyysteoriassa tapahtuman *A* todennäköisyys {\displaystyle P(A)} määritellään yleensä siten, että todennäköisyys *P* toteuttaa **Kolmogorovin aksioomat**, jotka ovat saaneet nimensä venäläisen matemaatikon Andrei Kolmogorovin mukaan.

Olkoon kolmikko (Ω, *F*, *P*) mitta-avaruus. (Ω, *F*, *P*) on todennäköisyysavaruus, jos perusjoukko Ω on epätyhjä joukko, kokoelma *F* perusjoukon osajoukkoja on sigma-algebra ja todennäköisyys {\displaystyle P:F\rightarrow \mathbb {R} } on mitta ja toteuttaa seuraavat todennäköisyyden aksioomat.

Ensimmäinen aksiooma
--------------------

Tapahtuman todennäköisyys on positiivinen reaaliluku, tai nolla:

{\displaystyle P(A)\in \mathbb {R} \land P(A)\geq 0\qquad \forall A\in F}
missä F on tapahtumien joukko ja A jokin tapahtuma joukossa F.

Toinen aksiooma
---------------

Koko perusjoukon todennäköisyys on yksi:

{\displaystyle P(\Omega )=1}.

Kolmas aksiooma
---------------

Tätä ehtoa kutsutaan usein *täysadditiivisuudeksi* tai {\displaystyle \sigma }*-additiivisuudeksi*:

Jos tapahtumat {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{n}} ovat pistevieraita (ts. erillisiä), niin niiden yhdisteen todennäköisyys on niiden todennäköisyyksien summa:
{\displaystyle P(A\_{1}\cup A\_{2}\cup \cdots )=\sum \_{i=1}^{\infty }P(A\_{i}).}.

Seurauksia
----------

Aksioomista voidaan johtaa kaikki muut todennäköisyyden laskusäännöt, joista seuraavassa muutamia esimerkkejä.

### Monotonisuus

{\displaystyle P(A)\leq P(B)\quad \forall A,B\in F,\quad A\subseteq B.}
### Tyhjän joukon todennäköisyys

{\displaystyle P(\emptyset )=0.}
### Todennäköisyys on normeerattu mitta

{\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1\qquad \forall A\in F.}

Todistukset
-----------

### Monotonisuus ja tyhjän joukon todennäköisyys

Määritellään {\displaystyle E\_{1}=A} ja {\displaystyle E\_{2}=B\backslash A},
missä {\displaystyle \quad A\subseteq B{\text{ ja }}E\_{i}=\emptyset } kaikilla {\displaystyle i\geq 3}. On helposti nähtävissä, että joukot {\displaystyle E\_{i}}
ovat pistevieraita ja {\displaystyle E\_{1}\cup E\_{2}\cup \ldots =B}. Siten kolmannesta aksioomasta saamme

{\displaystyle P(A)+P(B\backslash A)+\sum \_{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=P(B).}
Yhtälön vasen puoli muodostuu epänegatiivisista luvuista, joiden summa on {\displaystyle P(B)}, joka on äärellinen. Tästä seuraa suoraan monotonisuus {\displaystyle P(A)\leq P(B)}. Tyhjän joukon todennäköisyys {\displaystyle P(\emptyset )=0} voidaan todistaa asettamalla lisäksi vastaväite: jos {\displaystyle P(\emptyset )=a} niin yhtälön vasen puoli saa vähintään arvon

{\displaystyle \sum \_{i=3}^{\infty }P(E\_{i})=\sum \_{i=3}^{\infty }P(\emptyset )=\sum \_{i=3}^{\infty }a={\begin{cases}0&{\text{jos }}a=0,\\\infty &{\text{jos }}a>0.\end{cases}}}
Jos a>0, saadaan ristiriita, sillä tällöin yhtälön vasen puoli olisi ääretön, eikä {\displaystyle P(B)}, joka on äärellinen. Siis a=0 ja {\displaystyle P(\emptyset )=0}.

### Todennäköisyys on normeerattu mitta

Ensimmäisen aksiooman nojalla

{\displaystyle P(A)\geq 0} ja {\displaystyle P(A^{c})=1-P(A)\geq 0}, mikä sisältää väitteen.

Kirjallisuutta
--------------

* Pekka Tuominen: *Todennäköisyyslaskenta I*. Limes ry (2007).
* Kolmogorov: *Foundations of the Theory of Probability*, (1933).