**Funktion toispuoleinen raja-arvo** on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä, jossa käsitellään jatkuvien yhden muuttujan funktioiden raja-arvolaskentaa. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion toispuoleisella raja-arvoilla* tutkitaan funktion käyttäytymistä annetun luvun lähiympäristössä sen *toisella puolella* eli lukusuoralla, joko luvun vasemmalla- tai oikealla puolella, pelkästään. Jos toispuoleinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*) toispuoleisesti kyseisessä kohdassa. Useamman muuttujan funktioilla toispuoleisen raja-arvon sijasta käytetään sen laajennusta, suunnattua raja-arvoa, missä lähestymissuunnat voidaan valita suuntavektorin vastakkaisista suunnista.

Johdanto
--------

Toispuoleista raja-arvoa voidaan käyttää funktion määrittelyalueen reunapisteessä, missä lähestymistä voi toteuttaa vain alueen sisäpuolelta. Yhden muuttujan funktion suljettu tai avoin määrittelyväli on tällainen esimerkki. Toispuoleisia raja-arvoja voidaan käyttää myös paloittain määriteltyjen funktioiden palojen määrittelyvälien reunoilla tai rajapisteessä.

Funktioiden jatkuvuustarkastelussa funktion arvoa verrataan sen vasemman- ja oikeanpuoleisen raja-arvoihin. Funktio on jatkuva, jos molemmat toispuoleiset raja-arvot ovat keskenään samat ja yhtäsuuret kuin funktion arvo sen kasautumispisteessä. Myös funktion derivoituvuuden tutkiminen voidaan suorittaa kahdella toispuoleisella raja-arvolla, missä haetaan erotusosamäärän arvoja eri suunnissa.

Usean muuttujan funktioiden sekä suunnattujen derivaattojen tutkiminen annetussa vektorisuunnassa {\displaystyle \mathbf {u} } tapahtuu toispuoleisten raja-arvojen avulla.

Määritelmä
----------

Karl Weierstrassin esittämä määritelmä tunnetaan nimellä **epsilon-delta-tekniikka**. Siinä raja-arvon olemassaolo todistetaan etsimällä luvuille epsilon ({\displaystyle \epsilon }) ja delta ({\displaystyle \delta }) välille riippuvuus, josta voidaan näyttää suppenemisen tapahtuvan varmasti. Menetelmä on pääpiirteissään seuraava.

Funktion {\displaystyle f} realilukuarvoinen määrittelyjoukko on {\displaystyle A} niin, että {\displaystyle f:A\to \mathbb {R} } on reaaliarvoisen funktion kuvaus. Määrittelyjoukossa on väli, josta puuttuu sisältä luku *p*, eli {\displaystyle [a,b]\diagdown \{p\}} (luku *p* voi sisältyä väliin, mutta se ei ole välttämätöntä). Funktiolla on raja-arvo *L* kohdassa *p*, jos kaikilla luvuilla {\displaystyle \epsilon >0} on aina olemassa luku {\displaystyle \delta >0} siten, että 

{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<|x-p|<\delta .} 
Siis, valittiinpa positiivinen luku {\displaystyle \epsilon } kuinka pieneksi hyvänsä, niin aina löytyy positiivinen luku {\displaystyle \delta } siten, että kaikilla korkeintaan {\displaystyle \delta }:n etäisyydellä olevilla luvuilla {\displaystyle x} ovat funktion {\displaystyle f(x)} arvot korkeintaan {\displaystyle \epsilon }:n etäisyydellä raja-arvosta *L*. Toistamalla {\displaystyle \epsilon }:n pienentämisen, tulisi myös {\displaystyle \delta } pienentyä vastaavasti. Tämän voi todeta, kun {\displaystyle \delta }:n arvolle saa laskemalla määritettyä korreloivan riippuvuuden lukuun {\displaystyle \epsilon }.

Funktion toispuoleinen raja-arvo eroaa funktion raja-arvosta siinä, että epsilon-delta-tekniikassa deltan arvo ei riippu enää erotuksen itseisarvosta, vaan ainoastaan erotuksesta. Koska delta on aina positiivinen luku, tulee lukujen *x* ja *p* erotus kirjoittaa niin, että erotus säilyttää positiivisuutensa. Lukusuoralta katsottuna, *x* lähestyy lukua p vain toiselta puolelta. Toispuolista raja-arvoa tarvitaan sellaisissa tilanteissa, joissa raja-arvoa ei voi laskea annetun pisteen molemmilta puolilta. Tällaisia pisteitä esiintyy esimerkiksi määrittelyjoukon reunoissa tai suljettujen välien reunoissa.

**Oikeanpuoleinen raja-arvo** määritellään niin, että koska luvut *x* ovat lukua *p* suurempia eli lukusuoralla lähestytään lukua *p* oikealta puolelta, lasketaan deltan arvo {\displaystyle x-p}. Silloin epsilon-delta-tekniikassa toteutetaan ehtoja

{\displaystyle \lim \_{x\to p+}f(x)=L^{+}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<x-p<\delta .}
Raja-arvon *L* yläkulmaan merkittyä plus-merkkiä ei aina käytetä.

**Vasemmanpuoleisessa raja-arvossa** lukua *p* lähestytään lukusuoralla vasemmalta päin, koska luvut *x* ovat aina lukua *p* pienempiä. Epsilon-delta-tekniikassa suppeneminen toteuttaa ehdot

{\displaystyle \lim \_{x\to p-}f(x)=L^{-}\Leftrightarrow |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}0<p-x<\delta .}

Esimerkkejä käytöstä
--------------------

### Raja-arvo välin reunapisteessä

Kun funktion raja-arvoa tarkastellaan suljetun välin tai -alueen reunapisteissä, tarvitaan toispuoleista raja-arvoa. Välin sisäpisteissä voidaan lähestyä tarkastelupistettä kummaltakin puolelta, mutta reunapisteissä lähestyminen on mahdollista vain eräistä suunnista. Avoimen välin tai -alueen raja-arvot reunassa ovat samasta syystä ongelmallisia.

### Raja-arvon olemassaolo

Välin tai alueen sisäpisteiden raja-arvo tulisi määritelmän mukaan olla aina sama lähestyttiimpä tarkastelupistettä mistä suunnasta hyvänsä. Raja-arvo on siten olemassa vain, kun kaikki mahdolliset toispuoleiset raja-arvot ovat olemassa ja samat.

### Jatkuvuus

Funktion jatkuvuus tarkastelupisteessä on määritelty niin, että funktion arvo on sama kuin välin molemmat toispuoleiset raja-arvot tai alueen kaikki toispuoleiset raja-arvot.

### Toispuoleiset derivaatat

Funktion toispuoleiset derivaatat määritellään funktion erotusosamäärän toispuoleisilla raja-arvoilla. Jotta funktion derivaatta olisi olemassa, tulee kaikki toispuoleiset raja-arvot olla samoja.

Lähteet
-------

* Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: *Pitkä Sigma 7*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
* Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: *Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi*. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
* Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste), Helsingin yliopisto, 1999

### Viitteet

1. ↑  Burton, David M.: *The History of Mathematics: An introduction*, s. 558–559. New York: McGraw–Hill, 1997. ISBN 0-07-009465-9. (englanniksi)
2. 1 2 3  Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (luentomoniste), 1999, s. 32–38
3. ↑  Barile, Margherita: Epsilon-Delta Definition (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. 1 2  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 38–47
5. 1 2 3  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 59–63
6. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 64–68
7. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 72–86
8. ↑  Kontkanen, Pekka & al.: Pyramidi 13, s. 124–131
9. ↑  Alatupa, Sami & al.: Pitkä Sigma 7, s. 188–191