**Kroneckerin delta** ({\displaystyle \delta \_{ij}}) on Leopold Kroneckerin mukaan nimetty matemaattinen kahden muuttujan, yleensä kokonaislukumuuttujan funktio, jonka arvo on 1, jos molemmat muuttujat ovat yhtä suuria, muutoin 0. Niinpä esimerkiksi {\displaystyle \delta \_{12}=0}, mutta {\displaystyle \delta \_{33}=1}. Kroneckerin delta käsitetään yleensä pikemminkin lyhennysmerkinnäksi kuin varsinaiseksi funktioksi.

Kroneckerin delta ilmaistaan tavanomaisesti yhtälöllä

{\displaystyle \delta \_{ij}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jos }}i=j\\0,&{\mbox{jos }}i\neq j\end{matrix}}\right.}
Toisinaan käytetään myös yhden muuttujan Kroneckerin deltaa, {\displaystyle \delta \_{i}}: 

{\displaystyle \delta \_{i}=\left\{{\begin{matrix}1,&{\mbox{jos }}i=0\\0,&{\mbox{jos }}i\neq 0\end{matrix}}\right.}
Kroneckerin deltaa käytetään monilla matematiikan aloilla, etenkin lineaarialgebrassa sekä myös signaalinkäsittelyssä.

Kroneckerin deltan ominaisuuksia
--------------------------------

Matemaattisia sarjoja käsiteltäessä Kroneckerin deltalla on se huomattava ominaisuus, että jos *j* on mielivaltainen kokonaisluku, pätee mille tahansa lukusarjalle {\displaystyle a\_{i}}:

{\displaystyle \sum \_{i=-\infty }^{\infty }a\_{i}\delta \_{ij}=a\_{j}}.
Jos kokonaislukujen joukko käsitetään mitta-avaruudeksi, jossa alkioiden lukumäärä ilmaisee osajoukon mitan, tämä yhtälö on analoginen Diracin deltafunktion kanssa, jolle määritelmän mukaan pätee:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }\delta (x-y)f(x)dx=f(y),}
Diracin deltafunktio onkin saanut nimensä tämän analogian perusteella. 

### Kroneckerin delta lineaarialgebrassa

Lineaarialgebrassa yksikkömatriisi on matriisi, jonka päälävistäjällä kaikki luvut ovat ykkösiä, muualla nollia:

{\displaystyle I\_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ I\_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ I\_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ I\_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
Näin ollen matriisin *i*:nnellä rivillä *j*:nnessä sarakkeessa oleva alkio {\displaystyle I\_{ij}} on 1, jos *i* = *j*, muutoin 0, toisin sanoen se on aina sama kuin Kroneckerin delta {\displaystyle \delta \_{ij}}. Tämä matriisi voidaankin kirjoittaa lyhyesti muotoon
{\displaystyle (\delta \_{ij})\_{i,j=1}^{n}\,},

missä *n* on matriisin sarakkeiden ja samalla rivien lukumäärä.

Matriiseja käytetään ilmaisemaan lineaarikuvausten. Tämä Kroneckerin delta-matriisi vastaa tällöin identtistä kuvausta.

### Integraaliesityksiä

Funktioteoreettisessa residylaskennassa on muutamia tärkeitä integraaleja, joiden arvo voidaan aina ilmaista Kroneckerin deltan avulla. Tällainen on erityisesti seuraava:

{\displaystyle \delta \_{x,n}={\frac {1}{2\pi i}}\oint z^{x-n-1}dz,}
missä integrointi on suoritettu vastapäivään kompleksitason origon ympäri. Tämä voidaan yhtäpitävästi esittää myös seuraavasti:

{\displaystyle \delta \_{x,n}={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }e^{i(x-n)\varphi }d\varphi ,}
mikä vastaa kompleksitason kiertoa origon ympäri.

Määritelmän laajennus
---------------------

Samaan tapaan voidaan määritellä myös useamman lukuparin ({\displaystyle i\_{n},j\_{n}}) Kroneckerin delta seuraavasti:

{\displaystyle \delta \_{i\_{1}i\_{2}\dots i\_{n}}^{j\_{1}j\_{2}\dots j\_{n}}=\prod \_{k=1}^{n}\delta \_{i\_{k}j\_{k}}.}
Tämä on 1, jos vain jos jokaisessa lukuparissa ({\displaystyle i\_{n},j\_{n}} on *in = jn, muutoin 0.*

Digitaalinen signaalinkäsittely
-------------------------------

Kroneckerin deltaa käytetään myös digitaalisessa signaalinkäsittelyssä, jossa se käsitetään kokonaislukujen joukossa {\displaystyle \mathbb {Z} } määritellyksi funktioksi
{\displaystyle \delta [n]={\begin{cases}1,&n=0\\0,&n\neq 0.\end{cases}}}

Kroneckerin deltasta käytetään signaalinkäsittelyssä myös nimitystä *impulssi* tai *yksikköimpulssi*.

Signaalinkäsittelyssä käytetään joko Kroneckerin deltaa tai Diracin deltafunktiota riippuen siitä, onko signaali jatkuva vai diskreetti. Niinpä merkintää {\displaystyle \delta (t)\,} käytetään jatkuvien signaalien yhteydessä, kun taas argumentteja *i*, *j*, *k*, *l*, *m* ja *n* käytetään diskreeteille impulsseille. Toinen yleinen käytäntö on merkitä diskreettiä jonoja hakasuluilla:  {\displaystyle \delta [n]\,}.

Lähteet
-------

1. ↑  Griffths, David J.: "2.2", *Introduction to Quantum Mechanics, 2. painos*. Pearson, 2005. ISBN 0-13-191175-9. (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* Wolfram MathWorld: Kronecker Delta (englanniksi)
* Drew Rollins: Kronecker Delta, The University of California, Berkeley, August 27, 2006 (pdf) (englanniksi)