Matematiikassa Jensenin epäyhtälöllä, nimetty tanskalaisen matemaatikko Johan Jensenin mukaan, voidaan arvioida konveksin funktion integraaleja.

Äärellinen muoto
----------------

Reaaliselle jatkuvalle konveksille funktiolle φ ja positiivisille painokertoimille *ai* on voimassa

{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum a\_{i}x\_{i}}{\sum a\_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum a\_{i}\varphi (x\_{i})}{\sum a\_{i}}}}
Epäyhtälö on käännettävä jos φ on konkaavi.

Jos *ai*=1, on 

{\displaystyle \varphi \left({\frac {\sum x\_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \varphi (x\_{i})}{n}}}
Funktio log(*x*) on konkaavi, joten sijoittamalla φ(*x*) = log(*x*) saadaan aritmeettis-geometrinen epäyhtälö:

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x\_{1}x\_{2}\cdots x\_{n}}}.}

Yleinen väittämä
----------------

Epäyhtälö voidaan kirjoittaa myös yleisemmässä muodossa mittateorian avulla. Se voidaan ilmaista myös todennäköisyysteorian avulla. Nämä väittämät ovat yhtäpitäviä.

### Mittateoreettinen muotoilu

Olkoon (Ω,A,μ) mitta-avaruus siten, että μ(Ω) = 1. Jos *g* on reaaliarvoinen μ-integroituva ja jos φ on konveksi joukossa *g*, on voimassa

{\displaystyle \varphi \left(\int \_{\Omega }g\,d\mu \right)\leq \int \_{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .}
### Todennäköisyysteoreettinen muotoilu

Todennäköisyysteorian terminologialla μ on todennäköisyysmitta. Funktio *g* korvataan reaaliarvoisella satunnaismuuttujalla *X*. Tällöin jokainen integraali Ω:ssa todennäköisyysmitan μ suhteen voidaan tulkita odotusarvoksi. Tällöin, jos φ on konveksi funktio, on 

{\displaystyle \varphi \left(\mathbb {E} \{X\}\right)\leq \mathbb {E} \{\varphi (X)\}.\,}

Todistus
--------

Olkoon *g* μ-integroituva funktio mitta-avaruudessa Ω ja olkoon *φ* konveksi funktio *g*:n määrittelyjoukossa. Määritellään φ:n oikeanpuoleinen derivaatta *x*:ssä asettamalla

{\displaystyle \varphi ^{\prime }(x):=\lim \_{t\to 0^{-}}{\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x)}{t}}}
Koska φ on konveksi, oikean puolen osamäärä on vähenevä kun *t* lähestyy nollaa oikealta. Osamäärä on myös alhaalta rajoitettu: sitä rajoittavat termit muotoa

{\displaystyle {\frac {\varphi (x+t)-\varphi (x)}{t}},}
missä *t* < 0. Siten raja-arvo on aina olemassa.

Asetetaan nyt seuraavat merkinnät:

{\displaystyle x\_{0}:=\int \_{\Omega }g\,d\mu ,}
{\displaystyle a:=\varphi ^{\prime }(x\_{0}),}
{\displaystyle b:=\varphi (x\_{0})-x\_{0}\varphi ^{\prime }(x\_{0}).}
Tällöin kaikilla *x* on voimassa {\displaystyle ax+b\leq \varphi (x)}. Tämä nähdään siitä, että jos *x*>*x*0 ja *t* = *x* − *x*0 > 0, on voimassa

{\displaystyle \varphi ^{\prime }(x\_{0})\leq {\frac {\varphi (x\_{0}+t)-\varphi (x\_{0})}{t}}.}
Siten

{\displaystyle \varphi ^{\prime }(x\_{0})(x-x\_{0})+\varphi (x\_{0})\leq \varphi (x)}
kuten vaadittiin. Tapaus *x* < *x*0 todistetaan vastaavasti, kuten myös tapaus {\displaystyle ax\_{0}+b=\varphi (x\_{0})}.

φ(*x*0) voidaan siten kirjoittaa muodossa

{\displaystyle ax\_{0}+b=a\left(\int \_{\Omega }g\,d\mu \right)+b.}
Mutta koska μ(Ω) = 1, on kaikilla reaaliluvuilla *k* voimassa

{\displaystyle \int \_{\Omega }k\,d\mu =k.}
Erityisesti

{\displaystyle a\left(\int \_{\Omega }g\,d\mu \right)+b=\int \_{\Omega }(ag+b)\,d\mu \leq \int \_{\Omega }\varphi \circ g\,d\mu .}
Q.E.D.

Lähteet
-------

* Walter Rudin, Real and Complex Analysis
* David Chandler, Introduction to Modern Statistical Mechanics

Aiheesta muualla
----------------

* Jensenin epäyhtälö MathWorldissä
* Jensenin epäyhtälö on Kööpenhaminan yliopiston matematiikan laitoksen logossa.