*Tämä artikkeli kertoo matemaattisesta käsitteestä. Matriisi on myös kirjakkeen valmistamiseen käytetty muotti.*
Matriisi
**Matriisi** on matematiikassa suorakulmainen riveihin ja sarakkeisiin jaettu taulukko, jonka alkiot ovat lukuja (usein reaali- tai kompleksilukuja) tai lausekkeita. Matriiseja käytetään yleisesti kaksiulotteisen tiedon havainnollistamiseen sekä lineaaristen yhtälöryhmien käsittelyyn ja ratkaisemiseen.

Määritelmä
----------

Matriisi koostuu vaakasuorista riveistä ja pystysuorista sarakkeista siten, että kullakin rivillä ja kullakin sarakkeella on yhtä monta alkiota. Matriisia, jossa on *m* kappaletta rivejä ja *n* kappaletta sarakkeita kutsutaan *tyypin {\displaystyle m\times n} matriisiksi* ja sitä merkitään seuraavalla tavalla:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}}}
Rivillä *i* ja sarakkeessa *j* olevaa matriisin alkiota merkitään {\displaystyle a\_{ij}} tai {\displaystyle A\_{ij}}. Lävistäjäalkio on alkio, jolla *i=j*.

Tavallisia matriiseja
---------------------

*Yksikkömatriisi* {\displaystyle {\boldsymbol {I}}} on mielivaltaisen kokoinen neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat ykkösiä, ja muut alkiot ovat nollia. {\displaystyle n\times n} yksikkömatriisia merkitään tavallisesti symbolilla {\displaystyle {\boldsymbol {I}}\_{n\times n}}. Tällöin pätee {\displaystyle {\boldsymbol {I}}\_{ij}=1}, kun {\displaystyle i=j}, ja muuten {\displaystyle {\boldsymbol {I}}\_{ij}=0}.

{\displaystyle {\boldsymbol {I}}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&\ddots &&0\\\vdots &&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
*Nollamatriisi* {\displaystyle \mathbf {O} } on mielivaltaisen kokoinen matriisi, jonka kaikki alkiot ovat nollia.

*Neliömatriisilla* on yhtä monta riviä ja saraketta.

*Lävistäjämatriisi* (engl. *diagonal matrix*) on neliömatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat mielivaltaiset, mutta muut alkiot ovat nollia. Matriisille {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{n\times n}} pätee että {\displaystyle A\_{ij}=0} kun {\displaystyle i\neq j}:

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}a\_{1}&0&\cdots &0\\0&a\_{2}&\,&0\\\vdots &\,&\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &a\_{n}\\\end{bmatrix}}=\operatorname {diag} (a\_{1},a\_{2},...a\_{n})}
1x1-matriisia kutsutaan skalaariksi.

Matriisia, jossa on *m* vaakariviä ja yksi sarake, kutsutaan pystyvektoriksi tai lyhyemmin vektoriksi. Jos matriisissa on yksi vaakarivi ja *n* saraketta, kyseessä on vaakavektori.

Transpoosi ja symmetrisyys
--------------------------

Matriisin ***A*** **transpoosi** (merk. ***A***T) saadaan, kun matriisin sarakkeet vaihdetaan riveiksi tai vastaavasti rivit vaihdetaan sarakkeiksi. Esimerkiksi:

jos {\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\end{bmatrix}}}, niin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\operatorname {T} }={\begin{bmatrix}1&4\\2&5\\3&6\end{bmatrix}}}.
Matriisi on **symmetrinen** jos se on sama kuin transpoosinsa, eli {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{\operatorname {T} }={\boldsymbol {A}}}.

Matriisien laskutoimitukset perusavaruuksissa
---------------------------------------------

### Skalaarilla kertominen

Matriisi {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(a\_{ij})} kerrotaan skalaarilla {\displaystyle c} siten, että jokainen {\displaystyle {\boldsymbol {A}}}:n alkio kerrotaan skalaarilla c:

{\displaystyle c{\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}c=(ca\_{ij})\,\!}
### Yhteenlasku

Yhteenlaskussa matriisien vastinalkiot lasketaan yhteen. Matriisien tulee olla saman muotoisia, jotta yhteenlasku on mahdollista.

Matriisien {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{m\times n}} ja {\displaystyle {\boldsymbol {B}}\_{m\times n}} summa on 
{\displaystyle ({\boldsymbol {A}}+{\boldsymbol {B}})\_{m\times n}={\begin{bmatrix}a\_{11}+b\_{11}&\cdots &a\_{1n}+b\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}+b\_{m1}&\cdots &a\_{mn}+b\_{mn}\end{bmatrix}}}

### Kertolasku

Matriisien kertolasku.
Matriisien kertolaskussa tulomatriisi muodostuu ensimmäisen matriisin vaakariveistä ja toisen matriisin sarakkeista muodostettujen vektoreiden pistetuloista. Olkoon matriisi ***A*** kokoa {\displaystyle m\times p} ja ***B*** kokoa {\displaystyle p\times n}. Tällöin matriisien ***A*** ja ***B*** tulo ***AB*** on kokoa {\displaystyle m\times n}. Nyt matriisitulo on

{\displaystyle {\boldsymbol {AB}}={\begin{bmatrix}\mathbf {a} \_{1}\cdot \mathbf {b} \_{1}&\cdots &\mathbf {a} \_{1}\cdot \mathbf {b} \_{n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\mathbf {a} \_{m}\cdot \mathbf {b} \_{1}&\cdots &\mathbf {a} \_{m}\cdot \mathbf {b} \_{n}\end{bmatrix}}},

missä kukin {\displaystyle \mathbf {a} \_{i}} on matriisin ***A*** *i*:nnestä vaakarivistä muodostettu vektori, ja {\displaystyle \mathbf {b} \_{j}} on matriisin ***B*** *j*:nnestä sarakkeesta muodostettu vektori. On tärkeää huomata, että matriisin ***A*** sarakkeiden määrän täytyy olla sama kuin matriisin ***B*** vaakarivien määrä. Muussa tapauksessa laskutoimitus ei ole määritelty.

#### Esimerkki

{\displaystyle \left({\begin{array}{ccc}3&-1\\5&2\\\end{array}}\right)\left({\begin{array}{ccc}1&4&-3\\0&-2&6\\\end{array}}\right)}
{\displaystyle =\left({\begin{array}{ccc}3\cdot 1+(-1)\cdot 0&3\cdot 4+(-1)\cdot (-2)&3\cdot (-3)+(-1)\cdot 6\\5\cdot 1+2\cdot 0&5\cdot 4+2\cdot (-2)&5\cdot (-3)+2\cdot 6\\\end{array}}\right)}
{\displaystyle =\left({\begin{array}{ccc}3&14&-15\\5&16&-3\\\end{array}}\right).}

### Tärkeimmät laskusäännöt

Seuraavat laskusäännöt pätevät kaikille matriiseille {\displaystyle A}, {\displaystyle B} ja {\displaystyle C}, mikäli kyseinen laskutoimitus on määritelty:

* {\displaystyle {\boldsymbol {A+O=A}}}
* {\displaystyle {\boldsymbol {AO=OA=O}}}, missä {\displaystyle (\forall [{\boldsymbol {O}}]\_{ij}=0)}
* {\displaystyle {\boldsymbol {A+B=B+A}}}
* {\displaystyle ({\boldsymbol {A+B)+C=A+(B+C)}}}
* {\displaystyle c({\boldsymbol {A+B}})=c{\boldsymbol {A}}+c{\boldsymbol {B}}}
* {\displaystyle 1{\boldsymbol {A=A}}}
* {\displaystyle {\boldsymbol {A(BC)=(AB)C}}}
* {\displaystyle c({\boldsymbol {AB}})=(c{\boldsymbol {A}}){\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {A}}(c{\boldsymbol {B}})}
* {\displaystyle {\boldsymbol {A(B+C)=AB+AC}}}
* {\displaystyle {\boldsymbol {(A+B)C=AC+BC}}}
* {\displaystyle {\boldsymbol {IA=AI=A}}}
* {\displaystyle {\boldsymbol {(AB)^{\operatorname {T} }=B^{\operatorname {T} }A^{\operatorname {T} }}}}

Lisäksi tulon määritelmän perusteella eräs tärkeä laskusääntö on: {\displaystyle {\boldsymbol {AB=(B^{\operatorname {T} }A^{\operatorname {T} })^{\operatorname {T} }}}}

On huomattava, että *yleisesti* {\displaystyle {\boldsymbol {AB\neq BA}}}, so. matriisitulo ei noudata vaihdantalakia.

Determinantti
-------------

*Pääartikkeli: determinantti*
Jokaisella neliömatriisilla on determinantti. Neliömatriisin {\displaystyle A} determinantti merkitään:

{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}={\begin{vmatrix}A\end{vmatrix}}={\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}}
Matriisin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} alimatriisi {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{ij}} saadaan poistamalla matriisista {\displaystyle i}:s vaakarivi ja {\displaystyle j}:s pystyrivi. Saadun matriisin determinanttia {\displaystyle \displaystyle \det {\boldsymbol {A}}\_{ij}} sanotaan alkion {\displaystyle a\_{ij}} **alideterminantiksi**.

Determinantti merkitsee matriisin määrittämän monikulmion pinta-alaa tai kappaleen tilavuutta. Fysiikassa matriisin determinantti merkitsee momenttia*selvennä*.

### Määritelmä

Determinantin määritelmä voidaan esittää permutaatioiden avulla:

Matriisin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=[a\_{ij}]\_{n\times n}} determinantti on

{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum \_{j\_{1},j\_{2},j\_{3},...j\_{n}}^{}\sigma \left(j\_{1},j\_{2},j\_{3},\ldots ,j\_{n}\right)\cdot a\_{1j\_{1}}\cdot a\_{2j\_{2}}\cdot a\_{3j\_{3}}\cdot \ldots \cdot a\_{nj\_{n}}}
,jossa {\displaystyle (j\_{1},j\_{2},j\_{3},\dots ,j\_{n})} on eräs {\displaystyle \{1,\dots ,n\}}:n permutaatio ja summa kulkee kaikkien näiden permutaatioiden ylitse ja 

{\displaystyle \sigma \left(j\_{1},j\_{2},j\_{3},...j\_{n}\right)={\begin{cases}1,&{\mbox{jos }}{j\_{1},j\_{2},j\_{3},...j\_{n}}{\mbox{ on parillinen}}\\-1,&{\mbox{jos }}{j\_{1},j\_{2},j\_{3},...j\_{n}}{\mbox{ on pariton}}\end{cases}}}
Permutaation parillisuus tarkoittaa sitä voiko sen saada parillisella määrällä vaihtoja permutaatiosta {1,2,3,...*n*}. esimerkiksi {1,3,2} on pariton, koska se saadaan yhdellä vaihdolla permutaatiosta {1,2,3}, nimittäin vaihtamalla 2:n ja 3:n.

Tämä määritelmä on varsin kehittynyt ja sopii erityisesti determinanttien lukuisten laskusääntöjen osoitukseen. Se ei kuitenkaan sovellu determinantin varsinaiseen laskemiseen, mutta esimerkiksi {\displaystyle 2\times 2} determinantin laskukaavan sillä saa hyvin:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=\sigma (1,2)\cdot a\cdot d+\sigma (2,1)\cdot b\cdot c=a\cdot d-b\cdot c}
### Laskusääntöjä

* {\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A^{\operatorname {T} }}}\right)=\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}

* {\displaystyle \det({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {B}})=\det({\boldsymbol {A}})\cdot \det({\boldsymbol {B}})}, jossa ***A*** ja ***B*** ovat molemmat *n* {\displaystyle \times } *n* -matriiseja.

* Jos ***A***:n jokin rivi (tai sarake) on nolla, 1. kohdan nojalla

{\displaystyle \det({\boldsymbol {A}})=0}
* Jos ***A***:n rivit (tai sarakkeet) ovat lineaarisesti riippuvia,

{\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}\right)=0}
* Jos matriisi ***A***1 saadaan matriisista ***A*** kertomalla jokin rivi vakiolla *c*,

{\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}\_{1}\right)=c\cdot \det \left({\boldsymbol {A}}\right)}
* Jos matriisi *A* on yläkolmio-, alakolmio- tai diagonaalimatriisi, determinantti on kyseisen matriisin diagonaalialkioiden tulo.

* Jos matriisi ***A***1 saadaan matriisista ***A*** vaihtamalla kaksi riviä keskenään,

{\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}\_{1}\right)=-\det \left({\boldsymbol {A}}\right)}
### Determinantin laskeminen

Edellisten tulosten perusteella voidaan perustella matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti kaavalla:

{\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=\sum \_{k=1}^{n}\left(-1\right)^{i+k}\cdot a\_{ik}\cdot A\_{ij}\,,\quad A\in \mathbb {R} ^{n\times n}}
,jossa ***A****ij* on determinantti matriisista, joka saadaan, kun poistetaan ***A***:sta *i*:s rivi ja *j*:s sarake. Sama operaatio voidaan tehdä mille tahansa sarakkeelle, kuten alla esimerkissä näytetään.

Esimerkki:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{vmatrix}1&5&7\\6&0&1\\3&2&0\end{vmatrix}}&=1\cdot {\begin{vmatrix}0&1\\2&0\end{vmatrix}}-5\cdot {\begin{vmatrix}6&1\\3&0\end{vmatrix}}+7\cdot {\begin{vmatrix}6&0\\3&2\end{vmatrix}}\\&=1\cdot \left(0\cdot 0-2\cdot 1\right)-5\cdot \left(6\cdot 0-1\cdot 3\right)+7\cdot \left(6\cdot 2-0\cdot 3\right)=97\end{aligned}}}
Determinantin määrittäminen näin on varsin tehotonta, koska jo {\displaystyle 25\times 25} matriisin determinantin laskeminen rekursiivisesti vie tietokoneelta 25! laskutoimitusta. Koska jokainen matriisi voidaan saattaa yläkolmiomuotoon tietyillä elementaarisilla rivioperaatioilla, saadaan determinantiksi silloin:

{\displaystyle \det \left({\boldsymbol {A}}\right)=c\cdot d\_{11}\cdot d\_{22}\cdot d\_{33}\cdot \ldots \cdot d\_{nn}}
,jossa vakio *c* määräytyy tehtyjen rivioperaatioiden mukaan ja {\displaystyle d\_{ii}} ovat *A*:sta saadun yläkolmiomatriisin diagonaalialkio. Rivioperaatioiden vaikutus *c*:hen näkyy alla:

1. Kun vaihdetaan kahta riviä aikaisempi vakiokertoja: {\displaystyle c=-1c\_{0}}.
2. Kun lisätään toinen rivi kerrottuna vakiolla: {\displaystyle c=c\_{0}}.
3. Kun kerrotaan rivi vakiolla *k*: {\displaystyle c=kc\_{0}}.

*Kohta kolme on epäolennainen, koska matriisien rivejä ei tarvitse kertoa.*

Sarrus’n sääntö on eräs tapa 3×3-matriisin determinantin laskemiseksi.

### Alkion komplementti

määritellään alkion {\displaystyle a\_{ij}\,\!} **komplementti** eli **kofaktori**

{\displaystyle C\_{ij}=(-1)^{i+j}\det A\_{ij}\,\!}.
Matriisin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}=(a\_{ij})\,\!} **adjungoitu matriisi** saadaan, kun alkiot korvataan niiden komplementilla ja saatu matriisi lopuksi transponoidaan. Merkitään 

{\displaystyle \operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}={\begin{bmatrix}C\_{11}&\cdots &C\_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\C\_{n1}&\cdots &C\_{nn}\end{bmatrix}}^{\operatorname {T} }}.
### Determinantin käyttäminen

Neliömatriisia {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} sanotaan **singulaariseksi**, jos {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}=0\,\!}. Jos {\displaystyle \det {\boldsymbol {A}}\neq 0}, matriisi on **ei-singulaarinen** (=säännöllinen).

Ei-singulaariselle matriisille {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} pätee

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}\left({\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\right)=I} ja {\displaystyle \left({\frac {1}{\det {\boldsymbol {A}}}}\operatorname {adj} {\boldsymbol {A}}\right){\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {I}}}.
Tulosta käytetään määrittelemään matriisin **käänteismatriisi**.

Matriisit ja lineaarikuvaukset
------------------------------

Jokaista äärellis­ulotteista lineaarikuvausta {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} vastaa tietty {\displaystyle m\times n} kokoinen matriisi. Matriisin sarakkeiden lukumäärä on lähtö­avaruuden vektorien ulottuvuus ja rivien lukumäärä vastaavasti kuvaus­avaruuden vektorien ulottuvuus. Matriisin kukin sarake osoittaa sen kuvaus­avaruuden vektorin, joksi jokin lähtö­avaruuden kanta­vektoreista kuvautuu. Muut vektorit kuvataan kuvaus­avaruuteen kertomalla se kaikkien matriisin rivien kanssa sisätulolla.

Jos lähtö- ja kuvausavaruuden ulottuvuus on sama, matriisi on neliömatriisi. Jos lineaari­kuvauksen matriisi on kääntyvä neliömatriisi, lineaarikuvaukselle on olemassa käänteisfunktio. Käänteiskuvaus on matriisin käänteismatriisi.

Lineaariset yhtälöryhmät
------------------------

Matriisit ovat yleinen tapa kuvata lineaarisia yhtälöryhmiä. Lineaarinen yhtälöryhmä, jossa on {\displaystyle m} ehtoa ja {\displaystyle n} tuntematonta muuttujaa, on muotoa:

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+&\cdots +a\_{1n}x\_{n}=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+&\cdots +a\_{2n}x\_{n}=b\_{2}\\&\ \ \vdots \\a\_{m1}x\_{1}+a\_{m2}x\_{2}+&\cdots +a\_{mn}x\_{n}=b\_{m}\end{aligned}}}

Sama voidaan esittää matriisilla {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{m\times n}} ja {\displaystyle n}-pituisilla vektoreilla {\displaystyle {\boldsymbol {x}}} ja {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} lyhyesti muodossa {\displaystyle A{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}}:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{bmatrix}}}

Aukikirjoitettuna tämä yhtälö vastaa alkuperäistä yhtälöryhmää.

Matriisin singulaarisuus ja säännöllisyys
-----------------------------------------

Neliömatriisi {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{n\times n}} on *säännöllinen* eli *kääntyvä* mikäli on olemassa matriisi {\displaystyle {\boldsymbol {B}}\_{n\times n}} siten että {\displaystyle {\boldsymbol {AB=I}}\_{n\times n}} ja {\displaystyle {\boldsymbol {BA=I}}\_{n\times n}}. Muussa tapauksessa matriisi {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} on *singulaarinen*. Matriisia {\displaystyle {\boldsymbol {B}}} kutsutaan matriisin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} käänteismatriisiksi, ja sitä merkitään symbolilla {\displaystyle {\boldsymbol {A}}^{-1}}. Säännölliset {\displaystyle n\times n}-matriisit yhdessä skalaarilla kertomisen kanssa muodostavat yhteen- ja kertolaskun suhteen renkaan, jota merkitään {\displaystyle GL\_{n}}. Neliömatriisi voidaan kääntää esimerkiksi Gaussin algoritmilla.

Oletetaan että lineaarisessa yhtälöryhmässä {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{n\times n}{\boldsymbol {x}}={\boldsymbol {b}}} on {\displaystyle n} ehtoa ja tuntematonta muuttujaa, eli siis {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} on {\displaystyle n\times n} neliömatriisi. Matriisin {\displaystyle {\boldsymbol {A}}\_{n\times n}} säännöllisyys tai singulaarisuus kertoo oleellisia asioita yhtälöryhmän mahdollisista ratkaisuista. Mikäli {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} on säännöllinen, on yhtälöryhmällä täsmälleen 1 vastaus, olipa vektori {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} mikä hyvänsä. Mikäli {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} on singulaarinen, on yhtälöryhmällä joko äärettömän monta ratkaisua tai ei yhtään, riippuen vektorin {\displaystyle {\boldsymbol {b}}} arvosta.

Hyödyllinen tulos neliömatriiseille on, että matriisi {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} on säännöllinen, jos ja vain jos {\displaystyle {\boldsymbol {Ax=0}}\Leftrightarrow {\boldsymbol {x=0}}}.

Historia
--------

Englanninkielisen sanan *Matrix* tässä merkityksessä otti tiettävästi käyttöön matemaatikko James Joseph Sylvester vuonna 1850: 

> »For this purpose we must commence, not with a square, but with an oblong arrangement of terms consisting, suppose, of *m* lines and *n* columns. This will not in itself represent a determinant, but is, as it were, a Matrix out of which we may form various systems of determinants ...» 
> 
> 

Sana (lat. *matrix* ’kohtu’ < *mater* ’äiti’ ) viittaa siihen, että matriisista voi muodostaa erilaisia determinantteja "kuin saman vanhemman kohdusta" ("as from the womb of a common parent").

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Weisstein, Eric W: "Matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
2. ↑  Weisstein, Eric W: "Identity matrix." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
3. ↑  Weisstein, Eric W.: "Matrix Addition." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
4. ↑  Weisstein, Eric W.: "Matrix Multiplication." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
5. ↑  Weisstein, Eric W.: "Determinant." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
6. ↑  Stover, Christopher ja Weisstein, Eric W.: "Matrix Inverse." From MathWorld--A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 23.10.2014.
7. ↑  Additions to the articles in the September number of this journal, "On a new class of theorems," and on Pascal’s theorem.  *The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science*, 1850, 37. vsk, s. 363–370.  Taylor & Francis. Artikkelin verkkoversio. Viitattu 20.1.2018.
8. ↑  Merriam-Webster dictionary (Hakusana *matrix*) *merriam-webster.com*. Viitattu 20.1.2018.
9. ↑  *The Collected Mathematical Papers of James Joseph Sylvester: 1837–1853*, s. 247. Paper 37. American Mathematical Society, 2005. Teoksen verkkoversio (viitattu 20.1.2018).

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Algebra ja geometria*. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
* Kivelä, Simo K.: *Matriisilasku ja lineaarialgebra*. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Matriisi**.
* Matriisien kertolasku eli matriisitulo