*Tämä artikkeli käsittelee ordinaalia matemaattisena käsitteenä. Järjestys- eli ordinaalilukusanoista kerrotaan artikkelissa numeraali.*
Ordinaalien esitystapa ωω:aan saakka. Jokainen spiraalin kierros vastaa ω:n seuraavaa potenssia
**Ordinaali** eli **ordinaaliluku** on joukko-opissa käytetty luonnollisen luvun käsitteen yleistys, jolla kuvataan tapoja sijoittaa johonkin kokoelmaan kuuluvat kohteet peräkkäiseen järjestykseen, yksi toisensa jälkeen. Jokainen äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa järjestykseen yksinkertaisesti laskemalla ne: tällöin jokainen kohde saa järjestys­luvukseen jonkin kokonaisluvun. Käytännössä ordinaaliluvut voidaan ajatella vaikkapa numerolapuiksi, joiden avulla kohteet voidaan asettaa määrättyyn järjestykseen. 

Äärellisten kokoelmien tapauksessa ordinaali­luvut vastaavat täysin luonnollisia lukuja eli positiivisia kokonaislukuja. Sen sijaan äärettömille kokoelmille on olemassa useampiakin "järjestyksen" käsitteitä. Sitä niistä, joka lähinnä voidaan katsoa yleistykseksi äärellisen joukon järjestyksestä "yksi toisensa jälkeen", sanotaan hyvin­järjestykseksi. Hyvin­järjestyksen voidaan ajatella merkitsevän sitä, että kohteet merkitään nimi- tai numerolapuilla "yksi toisensa jälkeen", mutta sallitaan, että jotkin nimilaput tulevat vasta äärettömän monen edeltäjän jälkeen. Esimerkiksi luonnollisten lukujen joukon {0,1,2,...} jälkeen voidaan jonon loppuun lisätä symboli ω, joka on pienin ääretön ordinaali. Näin joukko {0,1,2,...ω) jatkuu ylös äärettömään. Jotkin ordinaalit ovat jonkin edeltäjänsä välitön seuraaja, *seuraajaordinaali'*, kuten on laita luonnollisten lukujen {1,2,...}, mutta toiset ordinaalit kuten ω eivät ole minkään toisen ordinaalin välittömiä seuraajia, ja sellaisia sanotaan *rajaordinaaleiksi*.

Ordinaalit on erotettava kardinaali­luvuista, joiden avulla voidaan ilmoittaa, kuinka monta kohdetta jossakin kokoelmassa on. Äärellisten lukujen tapauksessa kardinaali- ja ordinaali­luvut vastaavat kääntäen yksi­käsitteisesti toisiaan; esimerkiksi ordinaali­luvusta voidaan siirtyä vastaavaan kardinaali­lukuun laskemalla nimilaput. Sitä vastoin kaksi tai useampikin eri ääretöntä ordinaalia voi vastata samaa kardinaalia (katso Hilbertin hotelli). Muiden lukujen tapaan ordinaalejakin voidaan laskea yhteen, kertoa tai korottaa potenssiin, mutta äärettömien ordinaalien tapauksessa yhteen- ja kertolasku eivät ole kommutatiivisia.

Ordinaalit otti käyttöön Georg Cantor vuonna 1883 käsitelläkseen äärettömiä jonoja ja luokitellakseen johdetut joukot, jotka hän oli vuonna 1872 ottanut käyttöön tutkiessaan trigono­metristen sarjojen yksi­käsitteisyyttä.

Ordinaalit luonnollisten lukujen laajennuksena
----------------------------------------------

Luonnollisia lukuja, joihin tässä yhteydessä luetaan myös nolla, voidaan käyttää kahteen tarkoitukseen: niillä voidaan ilmaista joukon suuruus, tai niillä voidaan ilmaista kohteen *sijainti*, kun ne on asetettu peräkkäis­järjestykseen. Tavan­omaisessa kielessä luonnollisia lukuja vastaavat edellisessä tapauksessa kardinaali- eli perus­lukusanat (yksi, kaksi, kolme jne.), jälkimmäisessä tapauksessa ordinaali- eli järjestys­lukusanat (ensimmäinen, toinen, kolmas jne.) Matematiikassa näillä ei kuitenkaan äärellisten lukujen tapauksessa ole oleellista eroa, sillä jokaista äärellistä kardinaali­lukua vastaa yksi äärellinen ordinaali­luku ja päinvastoin. Näin ollen kaikki tavat, joilla tietty äärellinen määrä kohteita voidaan asettaa peräkkäiseen järjestykseen, ovat keskenään isomorfisia. Äärettömien joukkojen tapauksessa asia on kuitenkin toisin; joukon "suuruutta" ja alkion paikkaa jonossa on kuvattava eri käsittein, joista ensinmainittu johtaa äärettömiin kardinaalilukuihin, jälkimmäinen ordinaaleihin. Näin on tehtävä, koska äärettömänkin joukon "suuruus", mahtavuus eli kardinaliteetti, on yksi­käsitteisesti määritettävissä, mutta on useita keskenään ei-isomorfisia tapoja hyvin­järjestää sen alkiot, kuten jälkempänä tarkemmin kuvataan.

Kardinaaliluvun käsite liittyy joukkoon, jolla ei tarvitse olettaa olevan mitään erityistä matemaattista struktuuria. Sen sijaan ordinaalit liittyvät niin läheisesti niin sanottuihin hyvin­järjestettyihin joukkoihin, että joidenkuiden matemaatikkojen mielestä ordinaalin ja hyvin­järjestyksen käsitteillä ei tarvitse tehdä mitään eroa. Hyvin­järjestetty joukko on täydellisesti järjestetty joukko, eli joukko, jonka kahdesta eri alkiosta jompikumpi on aina pienempi kuin toinen, ja jossa lisäksi ei ole ääretöntä *laskevaa* sarjaa (joskin äärettömiä nousevia sarjoja voi olla); yhtä­pitävästi voidaan sanoa että sen jokaisella ei-tyhjällä osa­joukolla on pienin alkio. Ordinaaleilla voidaan merkitä minkä tahansa hyvin­järjestetyn joukon alkioita (pienin niistä saa tunnukseksi luvun 0, toiseksi pienin luvun 1, seuraava luvun 2 ja niin edelleen), ja niillä voidaan mitata joukon "pituus", joksi saadaan pienin ordinaali, jolla ei ole merkitty mitään joukon alkiota. Tätä "pituutta" sanotaan joukon *järjestys­tyypiksi*.

Jokaisen ordinaalin määrittelee sitä edeltävien ordinaalien joukko; itse asiassa ordinaalit määritellään nykyisin useimmiten "samastamalla" kukin ordinaali sitä edeltävien ordinaalien joukon kanssa. Esimerkiksi ordinaali 42 on sitä pienempien ordinaalien joukon järjestys­tyyppi; tähän joukkoon kuuluvat ordinaalit 0:sta eli pienimmästä ordinaalista ordinaaliin 41 saakka, joka on 42:n välitön edeltäjä, ja se voidaan samastaa joukon {0,1,2,...41} kanssa. Kääntäen jokainen ordinaalien joukko (*S*), joka on *alaspäin suljettu* (eli jolle pätee, että jos jokin ordinaali α kuuluu joukkoon S ja jos toinen ordinaali β < α, niin myös β kuuluu joukkoon *S*), on itse ordinaali tai voidaan samastaa jonkin ordinaalin kanssa.

On myös äärettömiä ordinaaleja. Pienin ääretön ordinaali on **ω**, joka on luonnollisten lukujen (äärellisten ordinaalien) järjestystyyppi. Se voidaan edellä mainitulla samastaa luonnollisten lukujen *joukon* kanssa, sillä luonnollisten joukko on hyvin järjestetty, kuten jokainen ordinaalien joukko, ja koska se on alaspäin suljettu, se voidaan samastaa siihen liittyvän ordinaalin kanssa, mikä on täsmälleen se tapa, jolla ω on määritelty.

Ordinaalin ω² esitys tikkujen jonolla Jokainen tikku vastaa jotakin muotoa ω·*m*+*n* olevaa ordinaalia, missä *m* ja *n* ovat luonnollisia lukuja.
Ehkä selvempi intuitiivinen käsitys ordinaaleista saadaan tutkimalla joitakin ensimmäisiä niistä. Kuten edellä todettiin, ne alkavat luonnollisista luvuista 0, 1, 2, 3, 4, 5, … *Kaikkien* luonnollisten lukujen jälkeen tulee ensimmäinen ääretön ordinaali ω, sen jälkeen ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen. (Miten äärettömien ordinaalien yhteen­lasku määritellään, kerrotaan jäljempänä osiossa ordinaalien lasku­toimitukset ; tässä vaiheessa on syytä ajatella ω+1, ω+2, ω+3 ja niin edelleen vain ordinaalien nimiksi.) Kaikkien tällaisten jälkeen tulee ω·2 (eli ω+ω), ω·2+1, ω·2+2 ja niin edelleen, kaikkien tällaisten jälkeen ω·3 ja vastaavalla tavalla myöhemmin ω·4. Kaikkien tällä tavoin muodostettujen ordinaalien joukolla (ω·*m*+*n*, missä *m* ja *n* ovat luonnollisia lukuja) täytyy itselläänkin olla siihen liittyvä ordinaali, ja se on ω2. Edelleen saadaan vastaavalla tavalla ω3, ω4 ja niin edelleen, sekä lopulta ωω, ωω² ja paljon myöhemmin vihdoin ε0, joka voidaan esittää raja-arvona muodossa 

{\displaystyle \epsilon \_{0}=\omega ^{\omega ^{\omega ^{\omega ^{...}}}}}
Kaikki nämä ovat vielä suhteellisen pieniä, numeroituvien joukkojen ordinaalilukuja. Tätä voidaan jatkaa äärettömän kauas; itse asiassa "äärettömän kauas" onkin juuri se, mihin ordinaalit soveltuvat: joka kerta kun ordinaaleja lueteltaessa sanotaan "ja niin edelleen", tämä sanonta määrittelee suuremman ordinaalin. Pienin ylinumeroituva ordinaali on kaikkien numeroituvien ordinaalien joukko, jolle käytetään merkintää ω1.

Määritelmiä
-----------

### Hyvinjärjestetyt joukot

Hyvin­järjestetyssä joukossa jokaisella ei-tyhjällä osajoukolla on pienin alkio. Valinta-aksiooman mukaan tämä on yhtäpitävää sen kanssa, että joukko on täydellisesti järjestetty ja että siinä ei ole ääretöntä laskevaa jonoa, mikä on ehkä helpommin hahmotettavissa. hyvin­järjestyksen käytännössä tärkein merkitys on siinä, että se mahdollistaa transfinittisen induktion: jos siitä, että jokin ominaisuus on jonkin alkion kaikilla edeltäjillä, seuraa, että se on myös kyseisellä alkiolla, silloin tämä ominaisuus on koko joukon kaikilla alkioilla, edellyttäen, että joukko on hyvin­järjestetty. Tällä on merkitystä myös tieto­tekniikassa: jos jokin laskenta­menetelmä voidaan hyvin­järjestää siten, että jokaista askelta seuraa "alempi" askel, laskenta ei jatku loppumattomiin.

Kahta hyvin­järjestettyä joukkoa *A* ja *B* sanotaan *järjestys­isomorfisiksi*, jos jokaista joukon *A* alkiota vastaamaan voidaan asettaa jokin joukon *B* alkio siten, että jos joukon *A* alkio *x* on pienempi kuin joukon *A'*  alkio *y*, on myös alkiota *x* vastaava alkio joukossa *B* pienempi kuin alkiota *y* vastaava alkio joukossa *B* ja päinvastoin. Tällaista eri joukkojen alkioiden vastaavuutta sanotaan järjestysisomorfismiksi. Järjestys­isomorfiset joukot ovat järjestyksen kannalta saman­laisia, ja niistä voidaankin sanoa, että niiden alkiot on vain "nimetty eri tavoin.". Joukkojen järjestys­isomorfisuus on selvästikin ekvivalenssirelaatio. Mikäli kahden hyvin­järjestetyn joukon välillä on järjestys­isomorfismi, sellaisia on vain yksi: tämä seikka osaltaan oikeuttaakin pitämään näitä joukkoja oleellisesti samoina ja etsiä isomorfismi­tyypille (luokalle) "kanonista" edustajaa. Ordinaalit ovatkin juuri sellaisia isomorfismi­tyyppien "kanonisia" edustajia, ja niitä voidaankin käyttää jokaisen hyvin­järjestetyn joukon merkitsemis­tapoina.

Muodollisesti jos osittainen järjestys < on määritelty joukossa *S* ja osittainen järjestys <' joukossa *S'* , osittain järjestetyt joukot (*S*,<) ja (*S'* ,<') ovat järjestys­isomorfismia, jos niiden välillä on olemassa bijektio *f*, joka säilyttää järjestyksen eli *f*(*a*) < *f*(*b*), jos ja vain jos *a* < *b*. Jokainen *hyvin­järjestetty* joukko (*S*,<) on järjestys­isomorfinen niiden ordinaalien joukon kanssa, jotka ovat pienempi kuin se ordinaaliluku, joka ilmaisee joukon (*S*,<) järjestystyypin. 

Alkujaan ordinaalit käsitettiin hyvin­järjestettyjen joukkojen isomorfia­luokiksi, toisin sanoen järjestys­isomorfisuutta merkitsevän ekvivalenssirelaatioon liittyviksi ekvivalenssi­luokiksi. Tähän liittyy kuitenkin se tekninen ongelma, että tämä ekvivalenssi­luokka on liian laaja, jotta sitä voitaisiin käsitellä joukkona joukko-opin tavan­omaisessa Zermelon–Frankelin aksioomiin perustuvassa muotoilussa. Tämä vaikeus on kuitenkin voitettavissa. Ordinaaleja voidaan sanoa joukkojen *järjestys­tyypeiksi*.

### Ordinaalin määritelmä ekvivalenssiluokkana

Ordinaaliluvun alku­peräisessä määritelmässä, joka löytyy esimerkiksi teoksesta *Principia Mathematica*, hyvin­järjestetyn joukon järjestys­tyyppi määritellään kaikkien niiden hyvin­järjestysten joukkona, jotka ovat tämän kanssa järjestys­isomorfisia; toisin sanoen ordinaaliluvut ovat hyvin­järjestettyjen joukkojen muodostamia ekvivalenssi­luokkia. Tämä määritelmä joudutaan kuitenkin hylkäämään Zermelon–Fraenkelin esittämässä ja sitä muistuttavissa joukko-opin aksiomatisoinneissa, koska nämä ekvivalenssi­luokat ovat liian laajoja ollakseen joukkoja. Määritelmää kuitenkin voidaan kuitenkin yhä käyttää tyyppiteoriassa sekä Quinen aksiomaattisessa joukko-opissa (New Foundation) ja sitä muistuttavissa muotoiluissa (joissa se myös tarjoaa sangen yllättävän vaihtoehtoisen ratkaisun suurinta ordinaalia koskevalle Buralin–Fortin paradoksille).

### Von Neumannin ordinaalien määritelmä

Sen sijaan että ordinaalit määriteltäisiin hyvin­järjestettyjen joukkojen *ekvivalenssi­luokkina*, ne määritellään nykyisin yleisimmin tiettyinä hyvin­järjestettyinä joukkoina, jotka (kanonisesti) edustavat kutakin luokkaa. Niinpä jokainen ordinaaliluku on hyvin­järjestetty joukko, ja jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen yhden ja vain yhden ordinaaliluvun kanssa.

Standardi, John von Neumannin esittämä määritelmä kuuluu: *jokainen ordinaali on kaikkien sitä pienempien ordinaalien hyvin­järjestetty joukko*. Matemaattisin merkinnöin, λ = [0,λ). Muodollisesti:

Joukko 'S *on ordinaali, jos ja vain jos* S *on aidosti hyvin­järjestetty joukon jäsenyyden suhteen ja jokainen* S*:n alkio on myös* S*:n osajoukko.*
Myös luonnolliset luvut ovat tämän määritelmän muokaan ordinaaleja. Esimerkiksi luku 2 kuuluu joukkoon 4 = {0,1,2,3) ja 2 on joukko {0,1), joten se on myös joukon {0,1,2,3} osajoukko.

Transfiniittisella induktiolla voidaan osoittaa, että jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestysisomorfinen täsmälleen yhden tällaisen ordinaalin kanssa, toisin sanoen niiden välillä on järjestyksen säilyttävä bijektiivinen kuvaus.

Jokaisen ordinaalin kaikki alkiotkin ovat ordinaaleja. Jos *S* ja *T* ovat kaksi ordinaalia, *S* on *T*:n alkio, jos ja vain jos *S* on *T*:n aito osajoukko. Lisäksi jos ne ovat kaksi eri ordinaalia, aina joko *S* on *T*:n alkio tai *T* *S*:n alkio. Lisäksi jokainen ordinaalien joukko on hyvin­järjestetty. Tämä yleistää sen tosiasian, että jokainen luonnollisten lukujen joukon osajoukko on hyvin­järjestetty.

Tästä seuraa, että jokainen ordinaali *S* on joukko, jonka alkiona ovat kaikki *S*:ää pienemmät ordinaalit ja vain ne. Esimerkiksi jokaisella ordinaalien joukolla on pienin yläraja eli supremum, joka on se ordinaali, joka saadaan muodostamalla joukon kaikkien ordinaalien unioni. Unioniaksiooman nojalla tämä unioni on olemassa riippumatta siitä, kuinka suuri joukko on kyseessä.

Kaikkien ordinaalien luokka ei ole joukko. Jos se olisi joukko, voitaisiin osoittaa, että se on ordinaali ja näin ollen itsensä jäsen, mikä kuitenkin on ristiriidassa sen kanssa, että jäsenyys on *aidosti* järjestetty. Tämä on Buralin–Fortin paradoksi. Kaikkien ordinaalien luokalle käytetään vaihdellen merkintöjä "Ord", "ON" tai "∞".

Ordinaali on äärellinen, jos ja vain jos sen käänteinen järjestys on myös hyvin­järjestetty, ja näin on asian laita, jos ja vain jos sen jokaisella osajoukolla on suurin alkio.

### Vaihtoehtoisia määritelmiä

Nykyisin on esitetty muitakin muotoiluja ordinaalin määritelmäksi. Esimerkiksi jos oletetaan säännöllisyysaksiooma, seuraavat ehdot joukolle *x* ovat yhtäpitävät:

* *x* on ordinaali
* *x* on transitiivinen joukko ja joukkoon kuuluminen on trikotominen *x*:llä,
* *x* on osajoukkorelaatiolla täydellisesti järjestetty transitiivinen joukko
* *x* on transitiivisten joukkojen transitiivinen joukko.

Näitä määritelmiä ei voida käyttää ei-hyvinperustetuissa joukko-opeissa. Joukkoteorioissa, joissa on urelementteja, on lisäksi varmistettava, ettei määritelmä salli urelementtien esiintymistä ordinaaleissa.

Transfiniittinen jono
---------------------

Jos α on rajaordinaali ja *X* joukko, kuvausta α:sta *X*:ään voidaan sanoa myös α:lla indeksoiduksi *X*:n alkioiden jonoksi. Tämä käsite, *transfiniittinen jono* eli *ordinaali-indeksoitu jono* on jonon käsitteen yleistys. Tavallinen jono vastaa tapausta, jossa α = ω.

Transfiniittinen induktio
-------------------------

Transfiniittsen induktion periaate pätee jokaisessa hyvin­järjestetyssä joukossa, mutta se liittyy ennen kaikkea ordinaaleihin. Sen mukaan

Jos siitä, että jokin ominaisuus pätee kaikkien niiden ordinaalien joukossa, jotka ovat pienempiä kuin annettu ordinaali α, seuraa, että tämä ominaisuus on myös ordinaalilla α, tämä ominaisuus on kaikilla ordinaaleilla.
Tosin sanoen, jos lause *P*(α) on tosi aina, kun *P*(β) on tosi kaikilla β<α, silloin *P*(α) on tosi *kaikilla* ordinaaleilla *all* α. Tai käytännöllisemmin: sen todistamiseksi, että ominaisuus *P* on kaikilla ordinaaleilla α, riittää, että sen jo tiedetään olevan kaikilla β<α.

### Transfiniittinen rekursio

Transfinittisella induktiolla voidaan, paitsi todistaa teoreemoja, myös määritellä käsitteitä. Sellaista määritelmää sanotaan tavallisesti transinittiseksi rekursioksi. Todistus, että näin saatu käsite on hyvin määritelty, perustuu trans­finiittiseen induktioon. Olkoon jokin *F* ordinaaleille määriteltävä luokkafunktio. Ideana on, että määriteltäessä *F*(α) mille tahansa ordinaalille α voidaan jo olettaa, että *F*(β) on jo määritelty kaikille ordinaaleille β < α, ja täten *F*(α):lle voidaan esittää lauseke funktion arvojen *F*(β) avulla. Tästä seuraa trans­finiittisellä induktiolla, että on yksi ja vain yksi funktio, joka toteuttaa rekursio­kaavan kaikilla ordinaaleilla α:aan saakka ja se mukaan luettuna.

Esimerkkinä voidaan tarkastella funktiota *F*, joka määritellään siten, että *F*(α) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon {*F*(β) }, toisin sanoen joukko, johon kuuluvat kaikki arvot *F*(β), kun β < α. Määritelmässä oletetaan, että *F*(β):n tekee tunnetuksi juuri tämä prosessi *F*:n määrittelemiseksi vaiheittain. Tämä saattaa vaikuttaa kehämääritelmältä, mutta juuri tämän transfiniittinen rekursio sallii. Itse asiassa *F*(0) on sekin hyvin määritelty, koska ei ole sellaista ordinaalia, että β < 0, ja joukko {*F*(β) } on tyhjä. Näin ollen *F*(0) on 0, kaikkein pienin ordinaali. Nyt kun *F*(0) on tunnettu, voidaan todeta, että *F*(1) on pienin ordinaali, joka ei kuulu joukkoon {*F*(0)} = {0}, ja niin edelleen. Tämä esimerkki tosin on melko triviaali, sillä juuri trans­finiittisen induktion avulla osoittautuu, että *F*(α) = α kaikilla ordinaaleilla α.

### Seuraaja ja rajaordinaali

Jokaisella ordinaalilla nollaa lukuun ottamatta on pienin alkio, nolla. Sillä voi olla myös suurin alkio, mutta ei välttämättä ole. Esimerkiksi ordinaalin 42 suurin alkion 41 ja ordinaalin ω+6 suurin alkio ω+5. Toisaalta ω:lla ei ole suurinta alkiota, sillä ei ole suurinta luonnollista lukua. Jos ordinaalin suurin alkio on α, se on α:ta seuraava alkio, ja sitä sanotaan *seuraajaordinaaliksi* ja merkintään α+1. Kun ordinaalit määritellään von Neumannin mukaisesti, α:n seuraaja on {\displaystyle \alpha \cup \{\alpha \}}, sillä sen alkioita ovat α:n alkiot sekä α itse.

Ordinaalia, joka ei ole nolla ja joka *ei* ole seuraajaordinaali, sanotaan *rajaordinaaliksi*. Nimitys perustuu siihen, että rajaordinaali todella on topologisessa mielessä, järjestystopologian kannalta, kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo.

Kun {\displaystyle \langle \alpha \_{\iota }|\iota <\gamma \rangle } on ordinaali-indeksoitu jono, jonka indeksoi raja-arvo γ ja jono on *nouseva*, toisin sanoen {\displaystyle \alpha \_{\iota }<\alpha \_{\rho }\!} whenever {\displaystyle \iota <\rho ,\!}, sen raja-arvo määritellään joukon {\displaystyle \{\alpha \_{\iota }|\iota <\gamma \},\!} pienimpänä ylärajana, toisin sanoen pienimpänä ordinaalilla, joka on suurempi kuin mikään sen jonoista. Sellainen on aina olemassa. Tässä mielessä raja­ordinaali on itsensä indeksoima kaikkien sitä pienempien ordinaalien raja-arvo. Toisin sanoen se on sitä pienempien ordinaalien joukon supremum.

Toinen tapa määritellä rajaordinaali on sanoa, että α on rajaordinaali, jos ja vain jos

on olemassa α:aa pienempi ordinaali, ja aina kun ζ on α:ta pienempi ordinaali, on olemassa sellainen ordinaali ξ, että ζ < ξ < α.
Niinpä esimerkiksi jonossa 

0, 1, 2, ... , ω, ω+1
ω on rajaordinaali, koska jokaista sitä pienempää ordinaalia, tässä tapauksessa siis jokaista luonnollista lukua kohti on olemassa toinen ordinaali, joka on sitä suurempi mutta yhä pienempi kuin ω.

Näin ollen rajaordinaali on joko nolla, jonkin (vain yhden) toisen ordinaalin seuraaja tai rajaordinaali. Tämä erottelu on tärkeä, koska monet transfiniittisen induktion avulla muotoillut määritelmät perustuvat siihen. Usein kun funktio *F* määritellään transfiniittisella induktiolla kaikille ordinaaleille, määriellään ensin *F*(0) ja *F*(α+1) olettaen, että *F*(α) on tunnettu, minkä jälkeen rajaordinaaleille δ määritellään *F*(δ) niin, että se on *F*(β):n raja-arvo kaikilla β<δ (joko edellä esitetyn ordinaalien raja-arvon mielessä tai jollakin toisella raja-arvo­käsitteellä, jos *F*:n arvot eivät ole ordinaaleja). Tällaisissa määritelmissä mielen­kiintoisin vaihe on funktion määritteleminen seuraajalle, ei raja­ordinaaleille. Sellaisia funktioita, varsinkin jos *F* ei ole pienenevä ja sen arvot ovat ordinaaleja, sanotaan jatkuviksi. Ordinaalien yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus ovat jatkuvia toisen argumenttinsa funktioina.

### Ordinaaliluokkien indeksointi

Jokainen hyvin­järjestetty joukko on järjestys­isomorfinen yhden ja vain yhden ordinaalin \alpha  kanssa. Toisin sanoen sen alkiot voidaan indeksoida niillä ordinaaleilla, jotka ovat pienempiä kuin \alpha. Tämä koskee erityisesti myös jokaista ordinaalien joukkoa: mikä tahansa ordinaalien joukko voidaan indeksoida ordinaaleilla, jotka ovat pienempiä kuin jokin \alpha. Hieman muunnetussa muodossa sama pätee myös ordinaalien *luokille* toisin sanoen sellaisille kokoelmille ordinaaleja, jotka ovat tietyssä mielessä liian laajoja ollakseen joukkoja: jokainen ordinaalien luokka voidaan indeksoida ordinaaleilla (ja jos luokka on rajoittamaton kaikkien ordinaalien luokassa, tällä tavoin muodostuu luokkabijektio kaikkien ordinaalien luokan kanssa.) Niinpä voidaan puhua luokan \gamma:nnestä alkiosta (kun sovitaan, että pienin niistä on 0:s, seuraava 1:nen jne). Muodollisesti se määritellään trans­finiittisella induktiolla: luokan \gamma:s alkio määritellään pienimmäksi alkioksi, joka on suurempi kuin \beta :s alkio kaikilla {\displaystyle \beta <\gamma } (tämä luonnollisesti edellyttää, että asia on jo määritelty kaikilla arvoilla {\displaystyle \beta <\gamma }).

Tätä voitaisiin soveltaa esimerkiksi rajaordinaalien luokkaan: \gamma:s ordinaali, joka on joko rajaorbitaali tai nolla, on {\displaystyle \omega \cdot \gamma }. Samaan tapaan voidaan käsitellä *additiivisesti jakautumattomia ordinaaleja* eli sellaisia nollasta poikkeavia ordinaaleja, jotka eivät ole kahden itseään aidosti pienemmän ordinaalien summia: \gamma:nnen additiivisesti jakautumattoman ordinaalin indeksi on {\displaystyle \omega ^{\gamma }}. Ordinaali­luokkien indeksointi­tekniikka on usein hyödyllinen käsiteltäessä kiinteitä pisteitä: esimerkiksi \gamma:nnelle ordinaalille \alpha , jolle {\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }, käytetään merkintää {\displaystyle \varepsilon \_{\gamma }}. Näitä sanotaan *epsilonluvuiksi*.

### Suljetut rajoittamattomat joukot ja luokat

Ordinaalien luokkaa C sanotaan **rajoittamattomaksi** eli **kofinaaliseksi**, jos jokaista ordinaalia \alpha  kohti on olemassa sellainen *C*:hen kuuluva ordinaali \beta , että {\displaystyle \alpha <\beta }. Tällöin luokan on oltava aito luokka, sillä se ei voi olla joukko. Luokkaa sanotaan **suljetuksi**, jos luokkaan kuuluvien ordinaalien jonon raja-arvo on luokka itse, tai yhtäpitävästi, jos indeksoiva luokkafunktio F on jatkuva siinä mielessä, että kun \delta  on rajaordinaali, {\displaystyle F(\delta )} eli luokan \delta :s ordinaali on funktion arvojen {\displaystyle F(\gamma )(} raja-arvo, kun {\displaystyle \gamma <\delta }. Tämä merkitsee myös samaa kuin että luokka on topologisessa mielessä suljettu, kun topologana käytetään järjestystopologiaa. Jotta vältettäisiin puhumasta topologiasta aitojen luokkien tapauksessa, asia voidaan yhtäpitävästi ilmaista myös niin, että luokan ja minkä tahansa ordinaalin leikkaus on suljettu tämän ordinaalin järjestys­topologiassa.

Erityisen tärkeitä ovat ne ordinaalien luokkia, jotka ovat sekä suljettuja että rajoittamattomia ja joita toisinaan sanotaan *klubeisi*. Esimerkiksi kaikkien raja­ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, sillä jokaista ordinaalia kohti on aina olemassa sitä suurempi raja­ordinaali ja raja­ordinaalien raja-arvo on aina rajaordinaali. Myös addiitiivisesti jakautumattomien ordinaalien luokka on suljettu ja rajoittamaton, samoin {\displaystyle \varepsilon \_{c}dot} -ordinaalien luokka ja kaikkien kardinaalien luokka, sitä vastoin kofinaalisten kardinaalien joukko on rajoittamaton, mutta ei suljettu, kun taas jokainen äärellinen ordinaalien joukko on suljettu mutta ei rajoitettu.

Luokka on *stationaarinen*, jos sen leikkaus minkä tahansa suljetun rajoittamattoman luokan kanssa on ei-tyhjä. Kaikki luokat, jotka sisältävät osaluokkanaan jonkin suljetun rajoitetun luokan, ovat stationaarisia ja kaikki stationaariset luokat ovat rajoittamattomia, mutta on myös stationaarisia luokkia, jotka eivät ole suljettuja tai joilla ei ole suljettua rajoittamatonta osaluokkaa; sellainen on esimerkiksi kaikkien sellaisten raja­ordinaalien luokka, joilla on numeroituva kofinaalisuus. Koska kahden suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on suljettu ja rajoittamaton, statio­naarisen luokan ja suljetun rajoittamattoman luokan leikkaus on stationaarinen. Kahden statio­naarisen luokan leikkaus voi kuitenkin olla myös tyhjä; näin on laita esimerkiksi, kun muodostetaan leikkaus kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ω, sekä kaikkien niiden ordinaalien luokasta, joiden kofinaalisuus on ylinumeroituva.

Sen sijaan että nämä määritelmät muotoiltaisiin ordinaalien (aidoille) luokille, ne voidaan muotoilla myös niiden ordinaalien luokille, jotka ovat pienempiä kuin jokin annettu ordinaali \alpha. Rajaordinaalin \alpha  osajoukkoa sanotaan rajoitta­matto­maksi (eli kofinaaliseksi) joukossa \alpha , jos jokainen \alpha :aa pienempi ordinaali on pienempi kuin jokin kyseisen joukon ordinaali. Yleisemmin minkä tahansa ordinaalin \alpha  osajoukkoja voidaan sanoa kofinaaliseksi \alpha :ssa, jos jokainen ordinaali, joa on pienempi kuin \alpha , on pienempi *tai yhtä suuri kuin* jokin tähän joukkoon kuuluva ordinaali. Osajoukkoa sanotaan suljetuksi \alpha :ssa , jos se on suljettu \alpha :n järjestys­topologiassa, toisin sanoen jos joukkoon kuuluvien ordinaalien raja-arvo joko sisältyy tähän joukkoon tai on \alpha  itse.

Ordinaalien laskutoimitukset
----------------------------

Ordinaaleilla on kolme yleistä laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korotus. Jokainen niistä voidaan määritellä oleellisesti kahdella tavalla: joko konstruoimalla eksplisiittisesti määritelty hyvin­järjestetty joukko, joka esittää tätä laskutoimitusta, tai transfinittisella rekursiolla. 

Neumannin ordinaalin määritelmään pohjautuen laskutoimitukset voidaan määritellä seuraavasti:

Yhteenlasku
α + 0 = α
α + (β+1) = (α + β) + 1
{\displaystyle \alpha +\beta =\cup \_{\gamma <\beta }(\alpha +\beta )}, kun β on rajaordinaali
Kertolasku
α · 0 = 0
α · (β+1) = α &middot β + α
{\displaystyle \alpha \cdot \beta =\cup \_{\gamma <\beta }(\alpha \cdot \gamma )}, kun β on rajaordinaali
Potenssiin korotus
α0 = 1
0β = 0, kun β on rajaordinaali ja > 0
αβ+1 = αβ · α
{\displaystyle \alpha ^{\beta }=\cup \_{gamma<\beta }\alpha ^{\gamma }}, jos α > 0 ja β on rajaordinaali.
Jokainen ordinaali voidaan esittää yksikäsitteisesti määritellyllä tavalla *Cantorin normaalimuodossa*. Siinä jokainen ordinaali esitetään ω:n ordinaalisten potenssien äärellisenä summana. Sitä ei kuitenkaan voida käyttää ordinaalien yleisen mmerkintätavan perustana, sillä esimerkiksi ε0 olisi määriteltävä itsensä avulla: ε0 = ωε0

Nämä eivät kuitenkaan noudata kaikkia luonnollisilla ja myös reaaliluvuilla päteviä laskulakeja. Niinpä seuraavat säännöt eivät päde ordinaalien laskutoimituksille:

Yhteenlaskun vaihdantalaki: α + β ei yleensä ole yhtä kuin β + α
Kertolaskun vaihdantalaki: α · β ei yleensä ole yhtä kuin β · α
Oikeanpuoleinen osittelulaki: esimerkiksi (ω+1) · 2 ei ole yhtä suuri kuin ω · 2 + 2
Tulon potenssisääntö: (ω·2)2 ei ole yhtä suuri kuin ω2 · 4.
Ordinaaleille voidaan määritellä myös niin sanotut "luonnolliset" aritmeettiset operaatiot. Nämä ovat vaihdannaisia, mutta eivät jatkuvia.

Nimbereiksi tulkittuina ordinaaleilla voidaan suorittaa myös nimberien aritmeettisia laskutoimituksia.

Ordinaalit ja kardinaalit
-------------------------

### Kardinaalien initiaaliset ordinaalit

Jokaiseen ordinaaliin liittyy tietty kardinaaliluku, sen kardinaliteetti. Jos kahden ordinaalin välillä on bijektio (esimerkiksi ω=1+ω ja ω+1>ω), niihin liittyy sama kardinaali. Jokaisella hyvin­järjestetyllä ordinaalilla, jolla on järjestys­tyyppinään jokin ordinaali, on sama kardinaliteetti kuin tällä ordinaalilla. Pienintä annettuun kardinaaliin liittyvää ordinaalia sanotaan tämän kardinaalin *initiaaliseksi ordinaaliksi*. Jokainen äärellinen ordinaali eli luonnollinen luku on initiaalinen, eikä millään muulla ordinaalilla ole samaa kardinaliteettia. Mutta useimmat äärettömät ordinaalit eivät ole initaalisia, sillä moniin äärettömiin ordinaalehin liittyy sama kardinaliteetti. Valinta-aksiooma on yhtäpitävä sen kanssa, että jokainen joukko voidaan hyvin­järjestää, toisin sanoen jokaisella kardinaalilla on initiaalinen ordinaali. Teorioissa, joihin sisältyy valinta-aksiooma, jokaisen joukon kardinaaliluvulla on initiaalinen ordinaali. Kardinaalit voidaankin käsittää ordinaalien erikois­tapauksiksi samastamalla ne initiaalisten ordinaaliensa kanssa, sillä jokainen joukko on yhtä mahtava jonkin (Neumannin mukaan määritellyn) orbitaalin kanssa. Täten ordinaali on kardinaali, jos ja vain jos se ei ole yhtä mahtava minkään itseään pienemmän ordinaalin kanssa.

Yleensä α:nnelle äärettömälle ordinaalille käytetään merkintää {\displaystyle \omega \_{\alpha }}. Sen kardinaliteettia merkitään {\displaystyle \aleph \_{\alpha }}. Esimerkiksi ω0:n eli ω:n kardinaliteetti on \aleph \_{0}, joka on myös ω2:n ja ε0:n kardinaliteetti, sillä nämäkin ovat numeroituvia ordinaaleja. Niinpä jos valinta-aksiooma hyväksytään, ω voidaan samastaa \aleph \_{0}, paitsi että merkintää \aleph \_{0} käytetään, kun on kysymys kardinaaleista ja merkintää ω, kun on kysymys ordinaaleista. (Eri merkintöjä käytetään, koska esimerkiksi {\displaystyle \aleph \_{0}^{2}} = \aleph \_{0} kardinaalina, mutta {\displaystyle \omega ^{2}>\omega } ordinaalina). Samoin {\displaystyle \omega \_{1}} on pienin ylinumeroituva ordinaali (sen osoittamiseksi, että sellainen on olemassa, voidaan tarkastella luonnollisten lukujen hyvinjärjestysten ekvivalenssiluokkia: jokainen sellainen määrittelee numeroituvan ordinaalin, ja {\displaystyle \omega \_{1}} on tämän joukon järjestystyyppi), {\displaystyle \omega \_{2}} on pienin ordinaali, jonka kardinaliteetti on suurempi kuin \aleph \_{1} ja niin edelleen, ja {\displaystyle \omega \_{o}mega} on ordinaalien {\displaystyle \omega \_{n}} raja-arvo, kun arvot *n* ovat luonnollisia lukuja (jokainen kardinaalien raja-arvo on kardinaali, ja niin ollen tämä raja-arvo on itse asiassa ensimmäinen kardinaali, joka on suurempi kuin {\displaystyle \omega \_{n}}).

Cantor käytti kardinaliteettia ordinaalien luokitteluun. Hän nimitti luonnollisia lukuja **ensimmäiseksi lukuluokaksi**, ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on \aleph \_{0} eli numeroituvasti äärettömiä ordinaaleja **toiseksi lukuluokaksi** ja yleensä ordinaaleja, joiden kardinaliteetti on cardinality {\displaystyle \aleph \_{n-2}}, ***n*:nneksi lukuluokaksi**.

### Kofinaalisuus

Ordinaalin \alpha  kofinaalisuus on pienin ordinaali \delta , joka on jonkin \alpha  *kofinaalisen* osajoukon järjestystyyppi. Joissakin teoksissa kofinaalisuuden käsite määritellään tai sitä käytetään vain rajaordinaaleille. Ordinaalien joukon tai minkä tahansa muun hyvinjärjestetyn joukon kofinaalisuus on tämän joukon järjestystyypin kofinaalisuus.

Niinpä jokaiselle rajaordinaalille \alpha  on olemassa \delta -indeksoitu aidosti kasvava jono, jonka raja-arvo on \alpha. Esimerkiksi ω²:n kofinaalisuus on ω, koska jonon ω·*m* raja-arvo, missä *m*:n arvoina ovat kaikki luonnolliset luvut, on ω, ja yleensäkin jokaisen numeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus on ω. Myös ylinumeroituvan rajaordinaalin kofinaalisuus voi olla ω, esimerkiksi ordinaalilla {\displaystyle \omega \_{\omega }}, mutta sellaisella voi olla myös ylinumeroituva kofinaalisuus. 

Ordinaalin 0 kofinaalisuus on 0, Jokaisen seuraajaordinaalin kofinaalisuus on 1. Jokaisen rajaordinaalin kofinaalisuus on vähintään \omega.

Ordinaalia, jonka kofinaalisuus on yhtä suuri kuin ordinaali itse, sanotaan *säännölliseksi*, ja kaikki sellaiset ovat initiaalisia ordinaaleja. Säännölisten ordinaalien raja-arvo on initiaalisten ordinaalien raja-arvo ja sellaisena aian initiaalinen, joskaan ei välttämättä eikä yleenä säännöllinen. Jos valinta-aksiooma hyväksytään, siitä seuraa, että {\displaystyle \omega \_{\alpha +1}} kaikilla α, ja edelleen että ordinaalit 0, 1, \omega, {\displaystyle \omega \_{1}} ja {\displaystyle \omega \_{2}} ovat säännöllisiä, kun taas, 2, 3, {\displaystyle \omega \_{\omega }} ja ωω·2 ovat esimerkkejä initiaalisista orbitaaleista, jotka eivät ole säännöllisiä.

Jokaisen ordinaalin *α* kofinaalisuus on säännöllinen ordinaali, toisin sanoen *α*:n kofinaalisuuden kofinaalisuus on sama kuin *α*:n kofinaalisuus. Toisin sanoen kofinaalisuusoperaatio on idempotentti.

Joitakin "suuria" numeroituvia ordinaaleja
------------------------------------------

Esimerkkinä "hyvin suuresta" äärettömästä, mutta vielä numeroituvasta ordinaalista voidaan mainita ε0. Se on pienin ordinaali, joka toteuttaa yhtälön {\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }, ja samalla jonon 0, 1, \omega, {\displaystyle \omega ^{\omega }}, {\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega }}} jne. raja-arvo. Monet ordinaalit voidaan määritellä samaan tapaan jonkin ordinaalifunktion kiintopisteinä. Niinpä {\displaystyle \iota }:tta sellaista ordinaalia, jolle pätee {\displaystyle \omega ^{\alpha }=\alpha }, merkitään {\displaystyle \varepsilon \_{\iota }}, ja samaan tapaan voitaisiin yrittää löytää {\displaystyle \iota }:s sellainen ordinaali, jolle {\displaystyle \varepsilon \_{\alpha }=\alpha } ja niin edelleen. Tätä voitaisiin yrittää järjestelmällisesti, mutta miten tahasa ordinaalit määritellään ja konstruoidaankin, aina on olemassa ordinaali, joka on juuri kaikkien tällä tavoin konstruoitujen ordinaalien yläpuolella Ehkä tärkein ordinaali, joka tähän tapaan rajoittaa konstruointijärjestelmää, on Churchin–Kleenen ordinaali {\displaystyle \omega \_{1}^{\mathrm {CK} }} (joka on numeroituva siitä huolimatta, että sen nimessä esiintyy {\displaystyle \omega \_{1}}). Se on pienin ordinaali, jota tietyssä mielessä ei mitenkään voi esittää laskettavissa olevana funktiona. Myös {\displaystyle \omega \_{1}^{\mathrm {CK} }}:n alapuolella voidaan kuitenkin määritellä huomattavan laajoja ordinaaleja, jotka mittaavat eräiden formaalisten systeemien "todistus­teoreettista vahvuutta"; niinpä esimerkiksi {\displaystyle \varepsilon \_{0}} mittaa Peanon aksioomeihin perustuvan aritmetiikan vahvutta. Voidaan myös määritellä ordinaaleja, jotka ovat suurempia kuin Churchin–Kleenen ordinaali ja joilla niilläkin on merkitystä useilla logiikan aloilla.

Topologia ja ordinaalit
-----------------------

Jokainen ordinaaliluku voidaan muodostaa topologiseksi avaruudeksi varustamalla se järjestystopologialla. Tämä topologia on diskreetti, jos ja vain jos ordinaali on numeroituva kardinaali, toisin sanoen enintään ω. Joukon ω + 1 osajoukko on avoin järjestystopologiassa, jos ja vain jos se joko on kofiniittinen (eli sen komplementti on äärellinen joukko) tai ω ei sisälly siihen alkiona.

Ordinaalien alaspäin suljetut joukot
------------------------------------

Järjestetyn joukon *A* osajoukko *B* on *alaspäin suljettu*, jos kaikki *A*:n alkiot, jotka ovat pienempiä kuin jokin *B*:n alkio, ovat myös *B*:n alkioita. Jos jokin ordinaalien joukko on alaspäin rajoitettu, se on itse ordinaali, pienin kyseiseen joukkoon kuulumaton ordinaali.

Esimerkkejä:

* Ordinaalia 3 pienempien ordinaalien joukko on 3 = {0, 1, 2], pienin ordinaali, joka ei ole pienempi kuin 3.
* Äärellisten ordinaalien joukko on ääretön, ja pienin ääretön ordinaali on ω.
* Numeroituvien ordinaalien joukko on ylinumeroituva, ja pienin ylinumeroituva ordinaali on ω1.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Ordinal number

Lähteet
-------

* Beitrage zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre. II.  *Mathematische Annalen*, 1897, nro 49, s. 207–246. Artikkelin verkkoversio. [vanhentunut linkki]
* "Cantor's Ordinal Numbers", *The Book of Numbers*, s. 266–267, 274. New York: Springer-Verlag, 1996.
* Hamilton, A. G.: "Ch. 6, Ordinal and cardinal numbers", *Numbers, Sets, and Axioms : the Apparatus of Mathematics*. Cambridge University Press, 1982. ISBN 0-521-24509-5.
* Hazewinkel, Michiel (toim.): "Ordinal number", *Encyclopedia of Mathematics*. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. Teoksen verkkoversio.
* Kanamori, Akihiro (kirj.) & Irvine, Andrew & Woods, Joh H. (toim): "Set Theory from Cantor to Cohen", *The Handbook of the Philosophy of Science, vol. 4*. Cambridge University Press.
* Sierpiński, W.: *Cardinal and Ordinal Numbers (2. ed)*. Varsova: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1965.
* Suppes, Patrick: *Axiomatic Set Theory*. D.Van Nostrand Company Inc. 1960. ISBN 0-486-61630-4.
* Zur Einführung der trasfiniten Zahlen.  *Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum*, 1923, 1. vsk, s. 199–208. Artikkelin verkkoversio.  (Arkistoitu – Internet Archive)
* von Neumann, John & van Heijenoort, Jean (toim.): "On the introduction of transfinite numbers", *From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931*, s. 346–354. Harvard University Press, 2002 (3. painos; alun perin 1923). ISBN 0-674-32449-8. Teoksen verkkoversio.
* Devlin, Keith: *The Joy of Sets, Fundamentals of Contemporary Set Theory, 2nd ed*. ,U.S.A.: Springer-Verlag, Inc. 1992. ISBN 0-387-94094-4. (englanniksi)
* Hella, Lauri: Joukko-oppi (pdf) (luentomoniste) *sis.uta.fi*.  2011. Tampereen yliopisto. Viitattu 06.01.2014.

### Viitteet

1. 1 2 3 4 5 6  Niiniluoto, Ilkka: "Joukko-oppi", *Otavan suuri ensyklopedia, 3. osa (Hasek–Juuri)*, s. 2399–2400. Otava, 1977. ISBN 951-1-04350-1.
2. ↑  Levy, A.: *Basic Set Theory*. Springer-Verlag, 1979 (uusintapainos 2002). ISBN 0-486-42079-5.
3. ↑  Jech, Thomas: *Set Theory*. Springer Monographs in Mathematics, 2003.
4. ↑  Hallett, Michael: Towards a theory of mathematical research programmes. I.  *The British Journal for the Philosophy of Science*, 1979, 30. vsk. doi:10.1093/bjps/30.1.1.
5. ↑  Rucker, Rudy: "Transfiniittisen luvut, Omegasta epsilon-nollaan", *Mieli ja äärettömyys: äärettömyyden tiedettä ja filosofiaa*, s. 92. Suomentanut Markus Hotakainen. ArtHouse, 1998.
6. ↑  Lipschutz, Seynour: "Well-ordered sets, Ordinal numbers", *Theory and Problems of Set Theory and Related Topics*, s. 169. New York: Scrum Publishing Co, 1964.
7. 1 2  von Neumann, Johann: Zur Einführung der transfiniten Zahlen.  *Acta litterarum ac scientiarum Ragiae Universitatis Hungaricae Francisco-Josephinae, Sectio scientiarum mathematicarum*, 1923, 1. vsk, s. 199–208. Artikkelin verkkoversio.  (Arkistoitu – Internet Archive)
8. ↑  Levy, A.: *Basic Set Theory*, s. 62. Tämän teoksen mukaan Zermelo olisi esittänyt ajatuksen julkaisematta jääneessä tutkielmassa vuonna 1916 sekä von Neumann usemmassa yhteydessä 1920-luvulla.. Springer-Verlag, 1979 (uusintapainos 2002). ISBN 0-486-42079-5.
9. ↑  Dauben, Joseph Warren: "5. luku, The Mathematics of Cantor's Grundlagen", *Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite*, s. 97. Princeton University Press, 1990. ISBN 0-691-02447-2. Teoksen verkkoversio.

Aiheesta muualla
----------------

* Ordinal Number *Wolfram MathWorld*.

MathWorld | urlname=OrdinalNumber| title=Ordinal Number}}

* Ordinals and Cardinals with Axiom ZF9 *apronus.com*.
* Ordinal calculator and research tool *mtnmath.com*.  Arkistoitu 6.2.2015. Viitattu 21.4.2016.
* Ordinals (pdf) Don Monk.  Arkistoitu 27.5.2015. Viitattu 21.4.2016.