Tapahtuma A ja sen vastatapahtuma CA.
**Tapahtuma** (engl. *event*) eli joskus vain **tapaus**  on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, joka tarkoittaa sellaista satunnaisilmiön alkeistapauksien joukkoa, jolle voidaan määrittää todennäköisyys. Satunnaisilmiön kaikki alkeistapaukset muodostavat joukon, jota kutsutaan perusjoukoksi tai otosavaruudeksi. Tapahtuma on siten aina perusjoukon osajoukko.

Esimerkiksi kortinnostossa 52 pelikortin korttipakassa jokainen nostettu kortti on alkeistapaus. Alkeistapauksella tarkoitetaan satunnaisilmiön (kortin nosto pakasta) tulosta, joka on yksikäsitteisenä olemassa (jokainen kortti on eriarvoinen). Korttipakka on siis arvontaväline, jolla arvotaan tuloksia (alkeistapauksia). Kaikki 52 korttia muodostavat perusjoukon. Jotkut alkeistapaukset (kortit) muodostavat joukon, joka voi sisältää vain hertta-kortit. Toinen joukko muodostuu vain kuvakorteista. Näitä joukkoja, jotka ovat perusjoukon osajoukkoja, kutsutaan todennäköisyyslaskennassa *tapahtumiksi*.

Jos perusjoukko on ylinumeroituva, yleensä sen kaikille osajoukoille ei voida määrittää toden­näköisyyttä, koska ne eivät kaikki ole mitallisia. Tällaisissa tapauksissa tapahtumiksi sanotaan vain sellaisia perus­joukon osa­joukkoja, joille toden­näköisyys voidaan määrittää. Tällaiset joukot muodostavat perus­joukon sigma-algebran.

Esimerkkejä tapahtumista
------------------------

### Diskreetit tapaukset

Noppapeleissä arpakuution kaikki alkeistapaukset ovat perusjoukoksi kirjoitettuina (silmäluvut numeroina) {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}.} Pelin tiimellyksessä voi tulla tilanne, jossa pelin voittamiseksi tarvitaan vähintään nelonen. Silloin voittoon oikeuttavat alkeistapaukset muodostavat *tapahtuman* {\displaystyle A=\{4,5,6\}.} Tapahtuma A on perusjoukon osajoukko eli joukko-opin merkinnöillä {\displaystyle A\subset \Omega .} 

### Jatkuvat tapaukset

Tikanheitossa tikan osumakohta voidaan ilmaista xy-koordinaatistossa koordinaattiparilla (x,y). Jos koordinaatiston origo sijaitsee tikkataulun napakympissä, voidaan osumakohdat tulkita alkeistapauksiksi. Kaikkien alkeistapauksien perusjoukko \Omega sisältää koko xy-koordinaattitason kaikki pisteet eli {\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{2}.} Tikkatalun osumat, jotka sijaitsevat viiden senttimetrin päässä napakympistä muodostavat tapahtuman A, joka voidaan määritellä {\displaystyle A=\{(x,y)|{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}<5\}.}

Tapahtumien joukot
------------------

Todennäköisyyslaskennan ajatukset on matematiikassa puettu joukko-opin käsitteisiin. Tapahtumat ja perusjoukko muodostuvat alkeistapauksista. Joukko-opin triviaali merkintä tälle olisi {\displaystyle A:=\{\omega \in A\}.} Koska perusjoukossa ovat kaikki alkeistapaukset ja tapahtumissa on usein vähemmän alkeistapauksia, ovat tapahtumat perusjoukon osajoukkoja. Tämä merkitään yksinkertaisesti {\displaystyle A\subset \Omega .} 

Jos tapahtuma on määritelty siten, ettei sitä toteuta mikään alkeistapaus, on tapahtuma tyhjä joukko eli {\displaystyle A:=\emptyset .} Toinen erikoinen tilanne syntyy siitä, että tapahtuman toteuttaa yksittäinen alkeistapaus. Tällöin tapahtuma on kyseinen alkeistapaus yksinään. Mikäli kaikki alkeistapaukset toteuttavat tapahtuman, on tapahtuma satunnaisilmiön perusjoukko eli {\displaystyle A:=\Omega .}

### Vastatapahtuma

Koska tapahtuman A osajoukko jakaa perusjoukon alkeistapaukset niihin, jotka kuuluvat tapahtumaan, ja niihin, jotka eivät kuulu tapahtumaan. Todennäköisyyslaskennassa puhutaankin vastatapahtumasta. Nämä joukot ovat toisilleen komplementit joukot. Joukon Akomplementtijoukko {\displaystyle A^{c}} määritellään {\displaystyle A^{c}:=\{\omega \in \Omega ;\omega \notin A\}.} Jos tapahtuma on tyhjä joukko, on sen vastatapahtuma perusjoukko, ja päinvastoin: {\displaystyle \Omega ^{c}=\emptyset } ja vastaavasti {\displaystyle \emptyset ^{c}=\Omega .} Edellisessä esimerkissä diskreettisessä tilanteessa tapahtuma "vähintään nelonen" vastatapahtuma olisi "korkeintaan kolmonen" eli {\displaystyle \{1,2,3\}.} Tapahtuma ja vastatapahtuma muodostavatkin yhdessä perusjoukon: {\displaystyle \{1,2,3\}\cup \{4,5,6\}=\{1,2,3,4,5,6\}.} 

### Kaikki tapahtumat: potenssijoukko

Perusjoukosta muodostettavien osajoukkojen eli tapahtumien kokonaismäärä voi kohota suureksi. Esimerkiksi kolikonheitossa perusjoukko on pieni: {\displaystyle \Omega =\{kruuna,klaava\}=\{kr,kl\}.} Selvästikin tyhjä joukko sekä kruuna että klaava muodostavat kolme erilaista osajoukkoa. Myös perusjoukko on itsensä osajoukko, joten kaikkien osajoukkojen joukko on tällöin: {\displaystyle \{\emptyset ,\{kr\},\{kl\},\{kr,kl\}\}.}Joukossa on alkioina {\displaystyle 2^{2}} osajoukkoa. Joukkoa, jossa on kaikki mahdolliset perusjoukosta muodostettavat tapahtumat, kutsutaan joukko-opissa potenssijoukoksi {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega ).} Nopanheitossa, missä {\displaystyle \Omega =\{1,2,3,4,5,6\}}, on potenssijoukko {\displaystyle {\mathcal {P}}(\Omega )=\{\emptyset ,\{1\},\{2\},\{3\},\{4\},\{5\},\{6\},\{1,2\},\{1,3\},\{1,4\},...\{1,2,3\},...\{1,2,3,4,5,6\}\}.} Niistä muodostuu yhteensä {\displaystyle 2^{6}} osajoukkoa. Korttipakan 52 pelikortista voidaan muodostaa erikokoisia tapahtumia {\displaystyle 2^{52}} kappaletta.

Joukko-opin merkinnöin {\displaystyle A\in {\mathcal {P}}(\Omega )\Leftrightarrow A\subset \Omega } eli tapahtuma on potenssijoukon alkio jos ja vain jos se on tapahtuma.

Todennäköisyys
--------------

### Tapahtumaan liitettävä todennäköisyys

Tapahtuma A tapahtuu, kun satunnaisilmiön tuottama tulos on sellainen alkeistapaus \omega, joka kuuluu tapahtumaan eli {\displaystyle \omega \in A}. On järkevää olettaa, että mitä enemmän tapahtumaan A kuuluu erilaisia alkeistapauksia \omega, sitä suurempi olisi tapahtuman todennäköisyys {\displaystyle P(A)}. Tästä seuraa pari järkevää reunaehtoa. Tyhjän tapahtuman, missä mikään alkeistapaus ei toteuta sitä, todennäköisyys on oltava nolla. Todennäköisyys nolla tarkoittaa, ettei tapahtumaa satu koskaan. Jos tapahtuma sisältää kaikki alkeistapaukset eli on perusjoukko, tulisi se toteutua jokaisella kerralla eli aina. Sen todennäköisyys olisi siten yksi. Matemaattisilla merkinnöillä nämä tapahtumat voidaan kirjoittaa {\displaystyle P(\emptyset )=0} ja {\displaystyle P(\Omega )=1.} Todennäköisyyden arvo tulee siten pysyä arvoissa {\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1.} 

### Symmetrian periaate

Klassisessa todennäköisyyslaskennassa kukin alkeistapaus toteutuu yhtä yleisesti, jolloin alkeistapauksen todennäköisyys on perusjoukon koon n mukaan 1/n. Tapahtuman A todennäköisyys {\displaystyle P(A)} saadaan vertaamalla tapahtumien sisältämien alkeistapauksien lukumäärää {\displaystyle |A|} perusjoukon kokoon {\displaystyle |\Omega |}:

{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}.}

Katso myös
----------

* Satunnaisilmiö
* Alkeistapaus
* Satunnaismuuttuja
* Perusjoukko
* Todennäköisyys
* Todennäköisyysfunktio
* Todennäköisyysjakauma

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive)(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
2. 1 2  Jyväskylän yliopisto: VI.2. Äärellinen todennäköisyyskenttä, 2008
3. 1 2 3  Saarnisaari, Harri (Arkistoitu – Internet Archive): Todennäköisyys (Arkistoitu – Internet Archive) (luentomateriaalia), 2003
4. 1 2  Weisstein, Eric W.: Event (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Etälukio: Todennäköisyyden käsite (Arkistoitu – Internet Archive)
6. 1 2 3  Kivelä, Simo K.: Todennäköisyyslaskennan peruskäsitteet, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
7. 1 2  Koskenoja, Mika: Sattuman matematiikkaa I - klassinen todennäköisyys, matematiikkalehti Solmu, 2002
8. ↑  Weisstein, Eric W.: Outcome (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
9. 1 2 3 4 5  Sottinen, Tommi: Todennäköisyysteoria, syksy 2006 (10 op, 5 ov) (Arkistoitu – Internet Archive) (luentomoniste), s. 4−13, Helsingin Yliopisto, 2006
10. ↑  Alatupa, Sami et al.: *Pitkä Sigma 6*, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.