**Täydellinen neliö** on matematiikan termi, jolla voidaan tarkoittaa

* neliölukua eli kokonaislukua, joka on jonkin toisen kokonaisluvun neliö, esimerkiksi 0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49...
* algebran lauseketta, joka voidaan jakaa osiin jonkin toisen lausekkeen neliönä, esimerkiksi *a*2 ± 2*ab* + *b*2 = (*a* ± *b*)2.

Neliöiden erotusten käyttäminen kertolaskuissa
----------------------------------------------

Kaikki kokonaislukujen kertolaskut voidaan tehdä kahden neliön erotuksilla.

Esimerkkejä:

* {\displaystyle 10\cdot 10=(10-0)\cdot (10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}
* {\displaystyle 9\cdot 11=(10-1)\cdot (10+1)=10^{2}-1^{2}=100-1=99}
* {\displaystyle 8\cdot 12=(10-2)\cdot (10+2)=10^{2}-2^{2}=100-4=96}
* {\displaystyle 7\cdot 13=(10-3)\cdot (10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}

Yleisesti pätee siis, että kahden kokonaisluvun tulo on yhtä suuri kuin niiden kahdella jaetun summan neliö vähennettynä niiden kahdella jaetun erotuksen neliöllä.

* {\displaystyle A\cdot B=[(A+B)/2]^{2}-[(A-B)/2]^{2}}

Geometrinen konstruktio on alla olevassa animaatiossa:

Nelikulmio on *A* kertaa *B*. Suuremman neliön sivu on (*A* + *B*) / 2, ja pienemmän harmaan sivun pituus on |*A* − *B*| / 2.

Tätä relaatiota käyttäen voi kertoa kaksi toisiaan melko lähellä olevia kokonaislukuja nopeasti, kun muistaa suhteellisen pieniä neliöitä.

Jos kerrot parittomalla luvulla, voit silti välttää "puolikkaat" yhtä numeroa pienentämällä ja lisäämällä yhden.

* {\displaystyle A\cdot B=A\cdot (B-1)+A}

Esimerkki:

* {\displaystyle 27\cdot 34=[27\cdot 33]+27=[30^{2}-3^{2}]+27=900-9+27=918}

Täydellisen neliön viimeinen numero 10-kantajärjestelmässä
----------------------------------------------------------

Kymmenjärjestelmässä minkä tahansa täydellisen neliön viimeinen numero on joko 0, 1, 4, 5, 6 tai 9. Jos tiedetään luvun olevan täydellinen neliö, voidaan määrittää sen neliöjuuren viimeinen numero.

* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 0, neliöjuuren viimeinen numero on 0.
* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 1, neliöjuuren viimeinen numero on 1 tai 9.
* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 4, neliöjuuren viimeinen numero on 2 tai 8.
* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 5, neliöjuuren viimeinen numero on 5.
* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 6, neliöjuuren viimeinen numero on 4 tai 6.
* Jos täydellisen luvun viimeinen numero on 9, neliöjuuren viimeinen numero on 3 tai 7.

Vähintään 100 mutta alle 10 000 olevien täydellisten neliöiden neliöjuuren määrittäminen
----------------------------------------------------------------------------------------

Oleta, että sinulle on annettu täydellinen neliö, joka on suurempi tai yhtä suuri kuin 100 mutta vähemmän kuin 10 000. Kaikilla näillä täydellisillä neliöillä on kaksinumeroiset neliöjuuret. On olemassa yksinkertainen tapa määrittää neliöjuuri yhdellä tai kahdella arvauksella.

Ensin erota luvut pareiksi oikealta alkaen liikkuen vasemmalle.
Esimerkiksi: 1600 tulee 46|24

Toiseksi etsimme neliöjuuren ensimmäisen numeron. Jos vasemmanpuoleisin pari on täydellinen neliö, etsi sen neliöjuuri. Jos vasemmanpuoleisin pari ei ole täydellinen neliö, etsi suurin vasemmanpuoleisinta paria pienempi täydellinen neliö. Tämä neliöjuuri on neliöjuuren vasemmaisin numero.
Esimerkiksi: 46|24 vasemmaisin pari on 46, joka ei ole täydellinen neliö. Suurin 46:ta pienempi täydellinen neliö 36 ja sen neliöjuuri on 6.

Kolmanneksi kuten aiemmin mainittiin: jos tiedämme täydellisen neliön viimeisen numeron kymmenkannassa, tiedämme myös sen neliöjuuren viimeisen numeron kahdella arvauksella. Täten tiedämme, että 4624:n neliöjuuren viimeinen numero on joko 2 tai 8.

Neljänneksi voimme arvata neliöjuuren yhdistämällä vaiheet kaksi ja kolme. 4624:n neliöjuuri on joko 62 tai 68, joista 68 on oikea.

Aiheesta muualla
----------------

* Listat täydellisistä neliöstä (englanniksi)
* JavaScript-koodi kymmennumeroisten eri numeroista koostuvien täydellisten neliöiden määrittämiseksi (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)