**Poissonin jakauma** (tai **Poisson-jakauma**) on toden­näköisyys­laskennassa ja tilastotieteessä diskreetin satunnais­muuttujan todennäköisyysjakauma, joka ilmaisee todennäköisyydet tapahtumien lukumäärälle kiinteällä aikavälillä, kun tapahtumien todennäköisyys on ajassa vakio ja riippumaton edellisestä tapahtumasta. Poissonin jakauman tuottavaa stokastista prosessia kutsutaan Poisson-prosessiksi. 

Jakauma on peräisin ranskalaiselta matemaattisen fysiikan tutkijalta Siméon Denis Poissonilta (1781-1840). Tutkiessaan todennäköisyyslaskennassa toistokoetta hän päätyi jakaumaansa antamalla toistojen määrän kasvaa rajatta ja kytkemällä tarkasteltavan tapauksen todennäköisyyden yksittäisessä toistossa toistojen määrään siten, että määrän ja todennäköisyyden tulo pysyivät koko ajan vakiona. Jakaumaa nimitetään usein myös Poissonin suurten lukujen laiksi.

Poissonin jakauma on diskreetti, ja sen arvojoukko on luonnollisten lukujen joukko. Jos satunnaismuuttuja X on *Poisson-jakautunut*, merkitään

X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda ).
Parametri \lambda >0 on Poisson-prosessin intensiteetti. Pistetodennäköisyysfunktio on

\operatorname {P} (X=i)={\frac {\lambda ^{i}}{i!}}e^{-\lambda }.
Kertymäfunktiota ei voi yleisessä tapauksessa esittää suljetussa muodossa. Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname {E} (X)=\lambda  ja \operatorname {Var} (X)=\lambda .
Jos X\_{1}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda \_{1}) ja X\_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda \_{2}) sekä X\_{1} ja X\_{2} ovat riippumattomia, niin X\_{1}+X\_{2}\sim \operatorname {Poisson} (\lambda \_{1}+\lambda \_{2}).

Poissonin jakauman yhteydet binomijakaumaan ja negatiiviseen binomijakaumaan:

jos np\_{n}\rightarrow \lambda  kun n\rightarrow \infty , niin 
\operatorname {Bin} (n,p\_{n})\rightarrow \operatorname {Poisson} (\lambda ) jakaumaltaan.
jos n(1-p\_{n})\rightarrow \lambda  kun n\rightarrow \infty , niin 
\operatorname {Negbin} (n,p\_{n})\rightarrow \operatorname {Poisson} (\lambda ) jakaumaltaan. 
**Painotettu Poissonin jakauma** on Poissonin jakauma, jonka parametri on satunnaismuuttuja. Parametrin voi tulkita esimerkiksi kuvaavan sään vaihteluita, jos Poisson-jakautunut satunnaismuuttuja kuvaa päivässä tapahtuvia liikennevahinkoja.

Oletetaan, että satunnaismuuttuja k toteuttaa ehdot {\displaystyle k>0} ja \operatorname {E} (k)=1 ja X\sim \operatorname {Poisson} (\lambda k). Satunnaismuuttujaa k kutsutaan tällöin *struktuurimuuttujaksi*. Odotusarvo ja varianssi ovat

\operatorname {E} (X)=\lambda  ja \operatorname {Var} (X)=\lambda +\lambda ^{2}\operatorname {Var} (k).

Katso myös
----------

* Kertoma

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Poissonin jakauma**.
* Mathworld: Poisson Distribution

Todennäköisyysjakaumat

|  |  |
| --- | --- |
| Diskreettejä jakaumia | 
* Bernoullin jakauma
* Binomijakauma
* Geometrinen jakauma
* Hypergeometrinen jakauma
* Negatiivinen binomijakauma
* Poissonin jakauma

 |
| Jatkuvia jakaumia | 
* Beta-jakauma
* Cauchy-jakauma
* Eksponenttijakauma
* F-jakauma
* Gamma-jakauma
* Khii toiseen -jakauma
* Log-normaalijakauma
* Normaalijakauma
* Pareto-jakauma
* Studentin t-jakauma
* Tasajakauma
* Weibull-jakauma

 |
| Moniulotteisia jakaumia | 
* Dirichlet-jakauma
* Moniulotteinen Studentin t-jakauma
* Multinomijakauma
* Multinormaalijakauma

 |