**Leibnizin kolmio** eli **Leibnizin harmoninen kolmio** on lukukolmio, jossa on rationaalilukuja. Siinä ylimpänä on luku 1, ja jokainen ylemmällä rivillä oleva luku on kahden alemmalla rivillä olevan peräkkäisen luvun summa. Esimerkiksi lukujen 1/30 ja 1/60 yläpuolella on luku 1/20, koska 1/30 + 1/60 = 2/60 + 1/60 = 3/60 = 1/20.

Kolmion alkupään luvut
----------------------

Kolmion kahdeksan ensimmäistä riviä ovat:

{\displaystyle {\begin{array}{cccccccccccccccccc}&&&&&&&&&1&&&&&&&&\\&&&&&&&&{\frac {1}{2}}&&{\frac {1}{2}}&&&&&&&\\&&&&&&&{\frac {1}{3}}&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{3}}&&&&&&\\&&&&&&{\frac {1}{4}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{12}}&&{\frac {1}{4}}&&&&&\\&&&&&{\frac {1}{5}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{20}}&&{\frac {1}{5}}&&&&\\&&&&{\frac {1}{6}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{60}}&&{\frac {1}{30}}&&{\frac {1}{6}}&&&\\&&&{\frac {1}{7}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{140}}&&{\frac {1}{105}}&&{\frac {1}{42}}&&{\frac {1}{7}}&&\\&&{\frac {1}{8}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{280}}&&{\frac {1}{168}}&&{\frac {1}{56}}&&{\frac {1}{8}}&\\&&&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\vdots &&&&\\\end{array}}}

Lukujen laskusääntö
-------------------

Kolmion *n*:nnen rivin kummassakin päässä on luku 

{\displaystyle a\_{n,1}={1 \choose n}}, 

ja *n*:nnen rivin *k*:s luku on 

{\displaystyle a\_{n,k}=\left({\frac {1}{n{\binom {n-1}{k-1}}}}\right)}

eli

{\displaystyle a\_{n,k}={\frac {1}{{\binom {n}{k}}k}}}.

missä luvut {\binom {n}{k}} ovat binomikertoimia:

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}.

Leibnizin kolmion *n*:nnen rivin *c*:nnelle luvulle käytetään merkintää {\displaystyle L(n,r)}, missä {\displaystyle 1\geq r\geq n}. Näin ollen on siis {\displaystyle L(n,1)={\frac {1}{n}}} ja {\displaystyle L(r,c)=L(r-1,c-1)-L(r,c-1}.

Yhteys Pascalin kolmioon
------------------------

Leibnizin harmonisella kolmiolla on selvä yhteys Pascalin kolmioon. Pascalin kolmion jokainen luku, rivien päässä olevia ykkösiä lukuun ottamatta, on kahden *edellisellä* rivillä olevan peräkkäisen luvun summa, kun taas Leibnizin kolmiossa jokainen luku on kahden *seuraavalla* rivillä olevan luvun summa. Esimerkiksi viidennellä rivillä olevan luvun 1/30 alla seuraavalla rivillä ovat luvut 1/60 ja 1/60, joiden summa on 1/30.

Leibnizin kolmion luvut voidaan myös laskea Pascalin kolmion lukujen avulla. Kunkin rivin *k*:s luku saadaan sen ensimmäisestä luvusta jakamalla se vastaavassa kohdassa Pascalin kolmiossa olevalla luvulla. Esimerkiksi Pascalin kolmion viidennellä rivillä ovat luvut 1, 4, 6, 4 ja 1. Leibnizin kolmion viidennen rivin alussa on luku 1/5, ja kun se jaetaan luvuilla 4, 6, 4 ja 1, saadaan rivin muut luvut 1/20, 1/30, 1/20 ja 1/5.

Ominaisuuksia
-------------

Jos lasketaan yhteen Leibnizin kolmion *n*:nnellä rivillä olevien murtolukujen nimittäjät, summaksi saadaan {\displaystyle n2^{n-1}}. Esimerkiksi kolmannella rivillä ovat nimittäjät 3, 6 ja 3, joiden summa on 12 = 3 · 22. 

Kolmion jokainen luku voidaan laskea myös integraalilla
{\displaystyle L(r,c)=\int \_{0}^{1}\!x^{c-1}(1-x)^{r-c}\,dx\,.}

Leibnizin kolmion rivi voidaan laske niin että kerrotaan rivin ensimmäisen luvun nimittäjällä vähennettynä yhdellä ja tämän jälkeen kertoja pienenee aina yhdellä ja jakaja kasvaa yhdellä. Esimerkiksi rivillä 5 kertoja on ensin 4 jolloin tulee 1/20 sen jälkeen kertoja on kolme ja jakaja kaksi jolloin tulee 1/30.

Lähteet
-------

* Leibniz harmonic triangle *Geeks for Geeks*.  3.8.2018. Viitattu 1.11.2020. (englanniksi)

### Viitteet

1. ↑  Leibniz Harmonic Triangle *Wolfram MathWorld*. Viitattu 27.3.2020.
2. ↑  Wells, David: *The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers*, s. 98. London: Penquin books, 1997. ISBN 978-0-14-026149-3.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Leibniz harmonic triangle