**Elliptiset integraalit** on ovat joukko erikoisfunktioita, jotka tulivat alun perin vastaan laskettaessa ellipsiviivan pituutta. Yleinen elliptinen integraali on muotoa

{\displaystyle E(\phi )=\int \_{a}^{\phi }R(t,{\sqrt {P(t)}})dt},
missä R on rationaalifunktio ja P polynomi, joka on muuttujan t suhteen kolmatta tai neljättä astetta, ja jonka kaikki juuret ovat erisuuria. Integraalin alaraja a on vakio, tavallisesti nolla. Integraalin yläraja voi olla myös kiinnitetty, jolloin elliptisen integraalin sanotaan olevan täydellinen. Elliptisiä integraaleja ei voida lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta niiden arvoja on taulukoitu.

Elliptiset integraalit voidaan kirjoittaa useammalla yhtäpitävällä tavalla. Tässä käytetyistä muodoista ensimmäinen on tavallisin tapa, ns. Legendren muoto. Sitä seuraa yllä olevaa yleistä määritelmää vastaava polynomimuoto. Elliptisten integraalien käänteisfunktioita ovat trigonometrisiä funktioita muistuttavat Jacobin elliptiset funktiot.

Ensimmäisen lajin elliptinen integraali
---------------------------------------

Kuvaajat kahdesta tapauksesta: {\displaystyle K(k)=F({\tfrac {\pi }{2}},k)}   
ja   
{\displaystyle E(k)=E({\tfrac {\pi }{2}},k)}.
Epätäydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on muotoa

{\displaystyle K(k,\phi )=\int \_{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int \_{0}^{\sin \phi }{\frac {dx}{\sqrt {(1-x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}
Tässä esiintyvän muuttujan \phi sanotaan olevan elliptisen integraalin **amplitudi** ja merkitään

{\displaystyle \phi =\mathrm {amp} (F)\,}.
Vakiokerroin k on puolestaan **elliptinen moduuli** ja se saa arvoja avoimelta väliltä {\displaystyle 0<k<1}. Täydellinen ensimmäisen lajin elliptinen integraali on 

{\displaystyle K(k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}

Toisen lajin elliptinen integraali
----------------------------------

Epätäydellinen toisen lajin elliptinen integraali on

{\displaystyle E(k,\phi )=\int \_{0}^{\phi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta =\int \_{0}^{\sin \phi }{\frac {\sqrt {1-k^{2}x^{2}}}{\sqrt {1-x^{2}}}}dx}
ja vastaavasti täydellinen muoto on 

{\displaystyle E(k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}d\theta }
Toisen lajin integraali saadaan tuloksena, jos ellipsin reunaviivan pituutta yritetään laskea.

Kolmannen lajin elliptinen integraali
-------------------------------------

Epätäydellinen kolmannen lajin elliptinen integraali on

{\displaystyle \Pi (k,n,\phi )=\int \_{0}^{\phi }{\frac {d\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}=\int \_{0}^{\sin \phi }{\frac {dx}{(1+nx^{2}){\sqrt {(1+x^{2})(1-k^{2}x^{2})}}}}}
ja täydellinen 

{\displaystyle \Pi (k,n)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {d\theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}}
Tässä integraalissa esiintyvä vakio n on **elliptinen karakteristika**.

Legendren relaatio
------------------

Täydellisiä ensimmäisen ja toisen lajin elliptisiä integraaleja {\displaystyle K(k)} ja {\displaystyle E(k)} yhdistää nk. **Legendren relaatio**

{\displaystyle E(a)K(b)+E(b)K(a)-K(a)K(b)={\frac {\pi }{2}}}.

Aiheesta muualla
----------------

* Mathworld: Ensimmäisen lajin elliptinen integraali (englanniksi)
* Mathworld: Toisen lajin elliptinen integraali (englanniksi)
* Mathworld: Kolmannen lajin elliptinen integraali (englanniksi)