**Eukleideen algoritmi** on Eukleideen mukaan nimetty menetelmä, jonka avulla voidaan selvittää kahden kokonaisluvun suurin yhteinen tekijä (syt). Algoritmi perustuu jakoyhtälön perättäiseen käyttöön.

Eukleideen algoritmi etenee seuraavasti:

* Ensin kirjoitetaan jakoyhtälö luvuilla a ja b
* Seuraavaksi kirjoitetaan jakoyhtälö luvulle b ja edellisen jakoyhtälön jakojäännökselle
* Aiempi jakojäännös jaetaan uudella jakojäännöksellä
* Toistetaan niin usein, että jakojäännökseksi saadaan nolla.
* Lukujen a ja b suurin yhteinen tekijä on viimeisin nollasta eroava jakojäännös

Algoritmi
---------

Alla kaksi esimerkkiä. 

  

1.

Olkoon a =48 ja b=18

a:b=2 kokonaislukua ja jakojäännös = 12 (48:18 on 2 kokonaista ja 12 on jakojäännös)

b:12=1 kokonaisluku ja jakojäännös = 6

12:6=2 ja jakojäännös on 0.

Suurin yhteinen tekijä luvuilla 48 ja 18 on siis tuo viimeinen jakojäännös, jolla jaoimme eli 6.

  

2.

Olkoot luvut a ja b kokonaislukuja ja b erisuuri kuin nolla. Käyttämällä toistuvasti jakoyhtälöä saadaan:

{\displaystyle a=q\_{0}b+r\_{0},\ 0<r\_{0}<|b|}
{\displaystyle b=q\_{1}r\_{0}+r\_{1},\ 0<r\_{1}<|r\_{0}|}
{\displaystyle r\_{0}=q\_{2}r\_{1}+r\_{2},\ 0<r\_{2}<|r\_{1}|}
{\displaystyle r\_{1}=q\_{3}r\_{2}+r\_{3},\ 0<r\_{3}<|r\_{2}|}
{\displaystyle r\_{2}=q\_{4}r\_{3}+r\_{4},\ 0<r\_{4}<|r\_{3}|}
{\displaystyle r\_{3}=q\_{5}r\_{4}+r\_{5},\ 0<r\_{5}<|r\_{4}|}
...

{\displaystyle r\_{n-2}=q\_{n}r\_{n-1}+r\_{n},\ 0<r\_{n}<|r\_{n-1}|}
{\displaystyle r\_{n-1}=q\_{n+1}r\_{n}+0\ }.
Algoritmi päättyy, koska luvut r0, r1, ...rn muodostavat aidosti vähenevän jonon positiivisia kokonaislukuja.

Viimeinen jakojäännös rn jakaa (tasan) luvut a ja b:

Alimmasta yhtälöstä rn jakaa luvun rn-1.  

Koska {\displaystyle r\_{n-2}=q\_{n}r\_{n-1}+r\_{n}}, niin rn jakaa luvun rn-2  

Näin jatkamalla saadaan lopulta, että rn jakaa b:n ja a:n.

Jos luvuilla a ja b on yhteinen tekijä c, ts. sanoen a ja b ovat tasan jaollisia luvulla c, c jakaa luvun r0, r1, ... yllä olevien yhtälöiden nojalla. Näin siis c jakaa luvun rn, joka on siten yhteisistä tekijöistä suurin.

Esimerkkejä
-----------

Määritetään lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä eli syt(112, 408).

Määritetään lukujen suurin yhteinen tekijä Eukleideen algoritmin avulla:

{\displaystyle 408=112\cdot \,3+72}
{\displaystyle 112=72\cdot \,1+40}
{\displaystyle 72=40\cdot \,1+32}
{\displaystyle 40=32\cdot \,1+8}
{\displaystyle 32=8\cdot \,4+0}
Lukujen 112 ja 408 suurin yhteinen tekijä on siis kahdeksan eli syt(112, 408)=8.

### Suoritus peräkkäisten jakokulmien avulla

Edellä johdettu laskutoimitus voidaan kynällä ja paperilla laskettaessa suorittaa myös peräkkäisten jakokulmien avulla seuraavaan muotoon:

```
                 408|112
                -336|  3
            112| 72
            -72|   1
         72| 40
        -40|  1
     40| 32
    -32|  1 
 32| 8
-32|  4
  0
```

Ensimmäisessä jakolaskussa on suurempi alkuperäisistä luvuista jaettavana, pienempi jakajana. Kussakin jakokulmassa on ylävasemmalla jaettava ja yläoikealla jakaja. Osamäärän kokonaisosa merkitään alaoikealle, kun taas alavasemmalla suoritetaan vähennyslasku, josta saadaan jakojäännös. Kun jakolasku on suoritettu, jaetaan edellisen jakolaskun jakaja saadulla jakojäännöksellä, mikä suoritetaan merkitsemällä se jakojäännöksen vasemmalle puolelle ja suorittamalla jakolasku tavalliseen tapaan. Näin jatketaan, kunnes jakojäännös on nolla, jolloin viimeinen sitä edeltänyt jakaja (tässä esimerkissä 8) on alkuperäisten lukujen suurin yhteinen tekijä. 

### Kiinalaisten käyttämä algoritmi

Kiinalaiset suorittivat saman algoritmin helmitaulussa seuraavasti:

Vähennä toistuvasti pienempi luku suuremmasta. Kun luvut ovat keskenään yhtä suuret, algoritmi päättyy ja kyseinen luku on suurin yhteinen tekijä.

Esimerkki etsitään syt(15,25).

25 = 1 \* 15 + 10.  

15 = 1 \* 10 + 5.  

10 = 2 \* 5 + 0.

eli syt(15,25) = 5.

"Kiinalaisittain":

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 25 | 10 | 10 | 5 |
| 15 | 15 | 5 | 5 |

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 92. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Kaleva, Osmo: *Numeerinen analyysi*. Opintomoniste 163. Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5.
* Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: *Johdatus abstraktiin algebraan*. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Eukleideen algoritmi**.
* Eukleideen algoritmi, online sovellus