**Verrannollisuus** on matematiikassa ja luonnontieteissä kahden suureen välinen erityinen riippuvuus, jossa kussakin tilanteessa suureiden saamien arvojen suhde pysyy vakiona. Matemaattisesti tämä voidaan ilmaista yhtälöllä. Olkoon suureet *A* ja *B* verrannolliset, jolloin niiden arvojen suhde on aina *k*. Silloin voidaan kirjoittaa 

{\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k.}
Tällöin sanotaan, että *"suure A on verrannollinen suureeseen B"* ja se voidaan lyhentää joko {\displaystyle A\sim B} tai {\displaystyle A\propto B}.

Edellinen yhtälö voidaan kirjoittaa myös tulomuodossa

{\displaystyle A=kB.}
Jos suureet *A* ja *B* ovat samanlaatuiset eli niillä on samat mittayksiköt, on kerroin *k* luku ja sitä kutsutaan suhdeluvuksi. On kuitenkin varsin yleistä, että suureet *A* ja *B* ovat erilaatuiset, jolloin kerroin *k* on itsekin suure ja sillä on mittayksikkö. Tällöin suuretta *k* kutsutaan myös verrannollisuuskertoimeksi.

Verrannolliset suureet, verrannollisuuskerroin ja verranto
----------------------------------------------------------

Kahden samanlaatuisen (samat mittayksiköt) suureen A ja B suhde merkitään 

{\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k.}
Suhde esittää kahta eri tilannetta, jossa verrataan samaa laautua olevia suureita keskenään. Tällainen tilanne on esimerkiksi kahden pinta-alan välinen suhde

{\displaystyle 3m^{2}:6m^{2}=1:2}
ja kerroin k = 1 : 2 = 0,5 on tällöin paljas luku, koska mittayksiköt supistuvat pois.

Kahden erilaatuisen (eri mittayksiköt) suureiden A ja B suhde merkitään samalla tavalla

{\displaystyle A:B={\frac {A}{B}}=k,}
missä kerroin *k* on mittayksiköllinen suure. Esimerkiksi talon yhden {\displaystyle A=3m^{2}} suuruisen seinän maalaamiseen kuluu {\displaystyle B=0,25l} maalia. Verrannollisuuskertoimeksi saadaan

{\displaystyle {\frac {A}{B}}={\frac {3m^{2}}{0,25l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k.}
Saman talon toista seinää toisena päivänä maalatessa suureet C ja D ovat erilaiset. Nyt merkitään

{\displaystyle {\frac {C}{D}}={\frac {6m^{2}}{0,50l}}=12{\tfrac {m^{2}}{l}}=k,}
missä *k* on edelleen sama, koska maalin kulutus on säilynyt samana. Suhdeluvut ovat samat, joten suureet A ja B sekä C ja D ovat verrannolliset ja tämä merkitään suuren mitatuilla arvoilla

{\displaystyle 3m^{2}\sim 0,25l} ja {\displaystyle 6m^{2}\sim 0,5l}
tai suureiden muuttujilla

{\displaystyle A\sim B} ja {\displaystyle C\sim D}
tai suureiden nimillä

{\displaystyle {\mbox{pinta-ala}}\sim {\mbox{maalin määrä}}.}
Matemaattisesti nämä kaksi suhdetta (maalaustilannetta) voidaan kirjoittaa verrantoyhtälöksi, koska verrannollisuuskertoimet täsmäävät 

{\displaystyle {\frac {A}{B}}=k\land {\frac {C}{D}}=k\Rightarrow {\frac {A}{B}}={\frac {C}{D}}.}

Suoraan verrannollisuus
-----------------------

Suoraan verrannollisuus on toinen nimitys suureiden A ja B verrannollisuudelle, jotka ovat suoraan sellaisinaan toisilleen verrannollisia. Tämä merkitään edelliseen tapaan {\displaystyle A\sim B} ja verrannollisuuskertoimen sisältävä yhtälö kirjoitetaan {\displaystyle A=kB.} 

Toisilleen suoraan verrannolliset suureet ovat esimerkiksi omenien paino *m* ja niiden hinta *h.* Silloin verrannollisuuskerroin *k* on esimerkiksi {\displaystyle k=2,15{\tfrac {E}{kg}}} eli *kilohinta* ja ostoksen hinta laksetaan yhtälöstä {\displaystyle h=km}.

Kääntäen verrannollisuus
------------------------

Suureet A ja B ovat kääntäen verrannollisia, jos suureen A käänteisarvo (käänteisluku) on verrannollinen suureeseen B, tai päin vastoin. Tämä merkitään joko {\displaystyle {\frac {1}{A}}\sim B} tai {\displaystyle A\sim {\frac {1}{B}}} (potenssina {\displaystyle A\sim B^{-1}}), ja yhtälö kirjoitetaan joko {\displaystyle A=k{\frac {1}{B}}} (potenssina {\displaystyle A=kB^{-1}}) tai {\displaystyle AB=k.}

Toisilleen kääntäen verrannollisia suureita ovat esimerkiksi samaan automatkaan liittyvät keskinopeus *v* ja ajoaika *t*. Silloin nopeuden kasvaessa aika lyhyenee ja päinvastoin. Tämä kirjoitetaan {\displaystyle v\sim t^{-1}}. Verrannollisuuskerroin *k* on silloin {\displaystyle k=100km} (kilometriä) eli kuljettava matka, kun {\displaystyle v={\tfrac {k}{t}}}.

Neliöön ja kuutioon verrannollisuus
-----------------------------------

*Neliöön verrannolliset* suureet voidaan merkitä {\displaystyle A\sim B^{2}}, jolloin suureet A ja B eivät ole suoraan verrannolliset mutta suureet *A* ja *B²* ovat sitä. Näistä muodostettu yhtälö on (suureen positiiviset arvot)

{\displaystyle A=kB^{2}}
joka voidaan muuntaa

{\displaystyle {\sqrt {A}}={\sqrt {kB^{2}}}} eli {\displaystyle {\sqrt {A}}=bB,}
missä *b² = k*. *Neliöön verrannollisuus* on (lähes) sama kuin *neliöjuureen verrannollisuus* {\displaystyle {\sqrt {A}}\sim B.}

Esimerkiksi paikaltaan lähtevän ja tasaisesti kiidyttävän junan liike-energia *E* on neliöön verrannollinen junan loppunopeuteen *v*. Verrannollisuuskerroin *k* on junan massan puolikas, kuten yhtälöstä {\displaystyle E={\tfrac {1}{2}}mv^{2}=kv^{2}} huomataan.

*Kuutioon verrannolliset* suureet voidaan merkitä {\displaystyle A\sim B^{3}}, jolloin suureet *A* ja *B³* ovat suoraan verrannolliset. Näistä muodostettu yhtälö 

{\displaystyle A=kB^{3}}
voidaan muuntaa

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{A}}=bB}
missä *b³ = k*. *Kuutioon verrannollisuus* on sama kuin *kuutiojuureen verrannollisuus* {\displaystyle {\sqrt[{3}]{A}}\sim B.}

Esimerkiksi kalastajatroolarin moottorin tehontarve *P* on kuutioon verrannollinen veneen saavuttamaan huippunopeuteen *v*. Verrannollisuuskerroin *k* on esimerkiksi {\displaystyle k=270{\tfrac {kg}{m}}}, kun riippuvuus kirjoitetaan yhtälönä {\displaystyle P=kv^{3}}.

Potenssiin verrannollisuus
--------------------------

Yleisesti ilmaistuna suureet A ja B ovat *potenssiin verrannolliset*, kun {\displaystyle A^{n}\sim B^{m}} eli {\displaystyle A^{\tfrac {n}{m}}\sim B} eli {\displaystyle A\sim B^{\tfrac {m}{n}}}.

Esimerkiksi ympyräradalla Aurinkoa kiertävä planeetta noudattaa Keplerin III lakia. Sen mukaan kiertoajan *T* neliö on verrannollinen ratasäteen *R* kuutioon eli {\displaystyle T^{2}\sim R^{3}}. Silloin Maan kiertoradan yhtälössä verrannollisuuskerroin *k* on {\displaystyle k=1{\tfrac {a^{2}}{AU^{3}}}} ja {\displaystyle T^{2}=kR^{3}}.

Katso myös
----------

* Korrelaatio ja lineaarinen regressioanalyysi ovat myös luonnontieteellisisiä mallinnusvälineitä.
* Verranto

Lähteet
-------

1. 1 2 3  Väisälä, Kalle: *Geometria*, s. 49–53. Porvoo: Wsoy, 1959. Teoksen verkkoversio (pdf).
2. 1 2 3  Weisstein, Eric W.: Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
3. 1 2  Weisstein, Eric W.: Ratio (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Directly Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Inversely Proportional (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)