Eksponentiaalinen hajoaminen. Kuvaajasta nähdään, että hajoaminen on sitä nopeampaa, mitä suurempi on hajoamisvakio. Kuvaajaan on piirretty eksponentiaalinen hajoaminen hajoamisvakion arvoilla 25, 5, 1, 1/5, ja 1/25 *x*:n arvoilla nollasta viiteen.
Suure pienenee tai vähenee **eksponentiaalisesti**, jos sen hetkellinen arvo *N* pienenee kullakin ajanhetkellä *t* nopeudella, joka on suoraan verrannollinen senhetkiseen arvoon. Positiivista verrannollisuuskerrointa *λ* kutsutaan tällöin hajoamisvakioksi. Tällöin hajoaminen toteuttaa **hajoamislaiksi** kutsutun differentiaaliyhtälön:

{\displaystyle {\frac {dN}{dt}}=-\lambda N.}
Yhtälöä kutsutaan hajoamislaiksi muun muassa siksi, että sillä on yhteys radio­aktiiviseen hajoamiseen ja kemiallisiin hajoamisreaktioihin.

Differentiaaliyhtälön ratkaisu
------------------------------

Differentiaaliyhtälö voidaan ratkaista muokkaamalla se ensin muotoon

{\displaystyle {\frac {dN}{N}}=-\lambda dt}
ja integroimalla yhtälön molemmat puolet. Integrointirajat vasemmalla puolella ovat *N0* eli *N*:n arvo hetkellä *t=0* ja *Nt* eli arvo hetkellä *t*. Vastaavasti oikealla puolella integrointi tehdään välillä 0 ... t. 

{\displaystyle \int \_{N\_{0}}^{N\_{t}}{\frac {dN}{N}}=-\lambda \int \_{0}^{t}dt}
{\displaystyle ln{\frac {N\_{t}}{N\_{0}}}=-\lambda t}
josta saadaan lopulta ratkaistua *Nt*:

{\displaystyle N\_{t}=N\_{0}\cdot e^{-\lambda t}}
Edellä olevaa yhtälöä kutsutaan **hajoamislain integraalimuodoksi**.

Hajoamisnopeutta kuvaavat aikasuureet
-------------------------------------

Puoliintumisaika ja keskimääräinen elinaika.
### Puoliintumisaika

Intuitiivisesti ymmärrettävä suure hajoamisen nopeudelle on **puoliintumisaika**. Puoliintumisaika on se aika, jossa suure *N* pienenee puoleen alkuperäisestä arvostaan. Puoliintumisaika *T* voidaan helposti johtaa hajoamislain integraalimuodosta asettamalla {\displaystyle N\_{t}={\frac {N\_{0}}{2}}}, eli ajanhetkellä *t=T* on *N*:n alkuperäinen arvo laskenut puoleen alkuperäisestä. Tällöin saadaan puoliintumisajan arvoksi 

{\displaystyle T={\frac {\ln 2}{\lambda }}}
Hajoamislaki saa tämän kaavan avulla helpon muodon (sijoittamalla {\displaystyle \lambda =\ln 2/T} hajoamislain integraalimuotoon):

{\displaystyle N\_{t}=N\_{0}\cdot e^{-{\frac {\ln 2}{T}}t}=N\_{0}\cdot 2^{-{\frac {t}{T}}}}
Tästä yhtälöstä nähdään, että ensimmäisen puoliintumisajan lopussa ({\displaystyle t=T}) suure on pienentynyt puoleen alkuperäisestä arvostaan, kahden puoliintumisajan kuluttua ({\displaystyle t=2T}) neljäsosaan jne.

### Keskimääräinen elinaika

Toinen, matemaattisesti yksinkertaisempi mutta intuitiivisesti vaikeammin ymmärrettävä hajoamisnopeutta kuvaava suure on keskimääräinen elinaika {\displaystyle \tau }. Keskimääräinen elinaika on se aika, jossa suure pienenee *1/e*:een osaan alkuperäisestä. Vastaavalla tavalla kuin puoliintumisajan yhteydessä, saadaan keskimääräisen elinajan lausekkeeksi:

{\displaystyle \tau ={\frac {1}{\lambda }}}
Esimerkiksi radioaktiivisessa hajoamisessa keskimääräinen elinaika kuvaa keskimääräistä aikaa, jonka ydin ehtii olla alun perin *N0* ydintä sisältäneessä joukossa ennen hajoamistaan. Toisenlainen johto keskimääräiselle elinajalle on esitetty englanninkielisessä artikkelissa.

Esimerkiksi polonium-210:n keskimääräinen elinaika on 200 vuorokautta, mutta puoliintumisaika vain 138 vuorokautta.

### Useita rinnakkaisia hajoamisia

Jos hajoaminen tapahtuu useamman rinnakkaisen prosessin kautta ja kullakin on oma keskimääräinen elinaikansa, ollaan yleensä kiinnostuneita vain kokonaisuudessaan hajoamisen keskimääräisestä elinajasta. Kokonaishajoamisnopeudelle voidaan kirjoittaa yhtälö:

{\displaystyle -{\frac {dN\_{t}}{dt}}=N\lambda \_{1}+N\lambda \_{2}=(\lambda \_{1}+\lambda \_{2})N\,}
Ratkaisu saadaan, kun kirjoitetaan hajoamisvakioiden summa uutena hajoamisvakiona eli asettamalla {\displaystyle \lambda \_{1}+\lambda \_{2}=\lambda \_{c}}. Tällöin {\displaystyle {\frac {dN\_{t}}{dt}}=-\lambda \_{c}N}

Nyt saadaan yhtälö

{\displaystyle {\frac {1}{\tau \_{c}}}={\frac {1}{\tau \_{1}}}+{\frac {1}{\tau \_{2}}}\,}, josta ratkaisemalla saadaan
{\displaystyle \tau \_{c}={\frac {\tau \_{1}\cdot \tau \_{2}}{\tau \_{1}+\tau \_{2}}}}
Tämä voidaan yleistää koskemaan *n* kappaletta prosesseja muodossa

{\displaystyle {\frac {1}{\tau \_{c}}}=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {1}{\tau \_{i}}}}
### Esimerkkejä

* Radioaktiivisessa hajoamisessa hajoavan aineen ytimien lukumäärä pienenee eksponentiaalisesti. Esimerkiksi luonnon pitkäikäisin uraani-isotooppi uraani-238 hajoaa 4,5 miljardin vuoden puoliintumisajalla. Radioaktiivisessa hajoamisessa on kysymyksessä peräkkäin tapahtuvista 1. kertaluvun reaktioista.

* Kinetiikan alkeisreaktioissa lähtöaineiden konsentraatiot noudattavat eksponentiaalista hajoamista.

Katso myös
----------

* Alkeisreaktio
* Eksponenttifunktio
* Eksponentiaalinen kasvu

Aiheesta muualla
----------------

* A stochastic simulation of exponential decay
* Tutorial on time constants (Arkistoitu – Internet Archive)