Pyöreän, tasomaisen levyn pinta-alavektori {\textstyle \mathbf {S} }
**Pinta-alavektori** tai **suunnattu pinta-ala** on rajoitetulle tasopinnalle määriteltävä vektorisuure, jonka suunta on pintaa vastaan kohtisuorassa ja jonka suuruus on pinnan pinta-ala. Jos tasopinnan pinta-ala on {\textstyle A} ja sillä on yksikkönormaali (pintaa vastaan kohtisuora yksikkövektori) {\textstyle \mathbf {\hat {n}} }, niin sen pinta-alavektori on

{\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} }.

Suunnistuvan pinnan pinta-alavektori
------------------------------------

### Suunnistuvan pinnan yksikkönormaalit

Pinta-alavektori voidaan määritellä myös muille kuin tasomaisille pinnoille. Jos pinta {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}} on sileä, sille voidaan määrittää jokaisessa pisteessä kaksi yksikkönormaalia, {\textstyle \mathbf {\hat {n}} \_{1}} ja {\textstyle \mathbf {\hat {n}} \_{2}}, jotka ovat toistensa vastavektorit ({\textstyle \mathbf {\hat {n}} \_{1}=-\mathbf {\hat {n}} \_{2}}). Pinta on **suunnistettu**, kun yksikkönormaaliksi valitaan toinen näistä vektorikentistä {\textstyle \mathbf {\hat {n}} \_{1}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}} tai {\textstyle \mathbf {\hat {n}} \_{2}:{\mathcal {S}}\to \mathbb {R} ^{3}}. Tällöin pinnalle kiinnittyy myös positiivinen kiertosuunta: jos pinnan reunakäyrää pitkin kulkemalla pinta on koko ajan vasemmalla puolella, on kyseinen puoli pinnan positiivinen puoli.

Jos {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}}on avoin joukko ja pinnalla {\textstyle {\mathcal {S}}} on parametriesitys {\textstyle {\mathcal {S}}=\mathbf {r} (U)} jokaisessa pisteessä {\textstyle \mathbf {x} =\mathbf {r} (\mathbf {u} )\in {\mathcal {S}}}, niin pinnan yksikkönormaalit ovat

{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \_{1,2}(\mathbf {x} )=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x\_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x\_{2}}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x\_{1}}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (\mathbf {u} )}{\partial x\_{2}}}\right\Vert }}}.

Mikäli pinta {\textstyle {\mathcal {S}}} voidaan esittää funktion {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z} kuvaajan avulla, ovat yksikkönormaalit

{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \_{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}}.

Etumerkki {\textstyle +} vastaa suunnistetun pinnan positiivisen puolen yksikkönormaalia.

Myös paloittain sileät rajoitetut pinnat voidaan suunnistaa edellä esitettyjen yksikkönormaalien avulla. Tällöin pinnan {\textstyle {\mathcal {S}}} pitää olla muotoa

{\displaystyle {\mathcal {S}}=\left(\bigcup \_{k=1}^{m}{\mathcal {S}}\_{k}\right)\cup {\mathcal {S}}\_{0}},

missä joukot {\displaystyle {\mathcal {S}}\_{k}} ovat keskenään pistevieraita ja {\textstyle {\mathcal {S}}\_{0}} sisältyy äärellisen monen sileän Jordanin käyrän yhdisteeseen. Pinta {\textstyle {\mathcal {S}}} on tällöin suunnistuva, jos jokaisen osan {\textstyle {\mathcal {S}}\_{1},\dots ,{\mathcal {S}}\_{m}} reuna on paloittain sileä umpinainen Jordanin käyrä. Tällöin pinta {\textstyle {\mathcal {S}}} on suunnistettu, jos osat {\textstyle {\mathcal {S}}\_{1},\dots ,{\mathcal {S}}\_{m}} suunnistetaan siten, että kahden eri osan positiiviset kiertosuunnat ovat vastakkaiset niiden yhteisellä reunakäyrällä.

Möbiuksen nauha on hyvä esimerkki pinnasta, joka ei ole suunnistuva, koska sillä on vain yksi puoli.

### Pintaelementtivektori

Yksikköpallo on paloittain sileä pinta, joka koostuu pallon ylä- ja alapuolikkaista {\textstyle {\mathcal {S}}\_{1}} ja {\textstyle {\mathcal {S}}\_{2}} sekä puolikkaita yhdistävästä ympyrärenkaasta {\textstyle {\mathcal {S}}\_{0}}. Pallopinta voidaan suunnistaa valitsemalla yksikkönormaalin suunta kummallakin puolikkaalla esimerkiksi pinnan ulkopuolelle. Huomaa tällöin pintaelementtivektorin suunta.
Jos {\displaystyle U\subset \mathbb {R} ^{2}} on avoin joukko ja {\displaystyle {\mathcal {S}}\subset \mathbb {R} ^{3}} on suunnistuva pinta, joka voidaan esittää parametrien {\textstyle u} ja {\textstyle v} avulla {\textstyle \mathbf {r} :U\to \mathbb {R} ^{3},~\mathbf {r} (u,v)}, niin pinnalle {\textstyle {\mathcal {S}}} voidaan määritellä jokaisessa sen pisteessä differentiaalinen **pintaelementtivektori**

{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\mathbf {\hat {n}} \,\mathrm {d} S=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right)\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v},
missä {\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} \_{1}} tai {\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {\hat {n}} \_{2}} riippuen pinnan suunnistuksessa tehdystä valinnasta. {\textstyle \mathrm {d} S=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial v}}\right|\,\mathrm {d} u\,\mathrm {d} v} on pinnan differentiaalinen pinta-ala-alkio.

Mikäli pinta {\textstyle {\mathcal {S}}} voidaan esittää implisiittisesti funktion {\textstyle G(x,y,z)=0} kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\pm {\frac {\nabla G(x,y,z)}{G\_{3}(x,y,z)}}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y},

missä {\textstyle G\_{3}} on vektorin {\textstyle \nabla G} {\textstyle z}-komponentti. Ts. {\textstyle G\_{3}(x,y,z)=\nabla G(x,y,z)\cdot \mathbf {k} }. Etumerkki {\textstyle \pm } valitaan siten, että pinnan {\textstyle {\mathcal {S}}} suunnistus on haluttu. Esimerkiksi jos {\textstyle G\_{3}>0} ja pinnan positiivisen puolen halutaan olevan positiivisen {\textstyle z}-akselin suuntaan, valitaan etumerkki {\textstyle +}.

Mikäli pinta {\textstyle {\mathcal {S}}} voidaan esittää funktion {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=z} kuvaajana, voidaan pintaelementtivektori kirjoittaa

{\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {S} =\pm \left(-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y},

missä etumerkki {\textstyle \pm } valitaan kuten edellä.

Esimerkkejä
-----------

### Suorakulmion muotoisen tasopinnan pinta-alavektori

{\textstyle xy}-tasossa makaavan suorakulmion pinta-alavektori {\textstyle \mathbf {S} }Suorakulmio makaa {\textstyle xy}-tasossa siten, että sitä rajoittavat suorat {\textstyle x=0}, {\textstyle x=a}, {\textstyle y=0} ja {\textstyle y=b} ({\displaystyle a,b>0}). Suorakulmio on taso, jota kuvaa funktio {\displaystyle f:[0,a]\times [0,b]\to \mathbb {R} ,~f(x,y)=0}. Näin ollen sen yksikkönormaalit ovat

{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \_{1,2}(x,y)=\pm {\frac {-\mathbf {i} {\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)-\mathbf {j} {\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)+\mathbf {k} }{\sqrt {1+\left({\frac {\partial f}{\partial x}}(x,y)\right)^{2}+\left({\frac {\partial f}{\partial y}}(x,y)\right)^{2}}}}=\pm \mathbf {k} }.

Jos valitaan pinnan positiiviseksi puoleksi positiivisen {\textstyle z}-akselin puoli, on suunnistetun pinnan yksikkönormaali {\textstyle \mathbf {\hat {n}} =\mathbf {k} }. Pinta-alavektori on tällöin

{\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =ab\,\mathbf {k} }.

### Pinta-alavektori ristitulon avulla

Vektorien {\textstyle \mathbf {a} } ja {\textstyle \mathbf {b} } virittämän suunnikkaan pinta-alavektori on niiden ristitulovektori
Tarkastellaan {\textstyle \mathbb {R} ^{3}}:n vektoreita {\displaystyle \mathbf {a} } ja {\displaystyle \mathbf {b} }. Mikäli nämä vektorit ovat lineaarisesti riippumattomia (eli ei-yhdensuuntaisia), ne virittävät suunnikkaan, jonka sivujen pituudet ovat {\displaystyle \|\mathbf {a} \|} ja {\displaystyle \|\mathbf {b} \|}. Vektorien välillä on mitattavissa kulma {\displaystyle \theta \in \,]0,\pi [}. Suunnikkas on pinta, jolla on parametriesitys {\displaystyle \mathbf {r} (u,v)=u\mathbf {a} +v\mathbf {b} }, missä {\displaystyle 0\leq u\leq 1} ja {\displaystyle 0\leq v\leq 1}. Suunnikkaan yksikkönormaalit ovat tällöin

{\displaystyle \mathbf {\hat {n}} \_{1,2}(u,v)=\pm {\frac {{\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}}{\left\Vert {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial u}}\times {\frac {\partial \mathbf {r} (u,v)}{\partial v}}\right\Vert }}=\pm {\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}}.

Vektorien {\displaystyle \mathbf {a} } ja {\displaystyle \mathbf {b} } virittämän suunnikkaan pinta-ala on

{\displaystyle A=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta }.

Positiivisen puolen valinnasta riippuen suunnikkaan pinta-alavektori on tällöin

{\displaystyle \mathbf {S} =A\,\mathbf {\hat {n}} =\pm \|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta \,{\frac {\mathbf {a} \times \mathbf {b} }{\|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|}}}.

Toisaalta ristitulon määritelmän mukaan {\displaystyle \|\mathbf {a} \times \mathbf {b} \|=\|\mathbf {a} \|\|\mathbf {b} \|\sin \theta }, joten

{\displaystyle \mathbf {S} =\pm \mathbf {a} \times \mathbf {b} }.

Suunnistus määrää lopulta yksikkönormaalin suunnan, mutta valitsemalla ristitulovektorin suunta positiiviseksi puoleksi saadaan

{\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {a} \times \mathbf {b} }.

### Pallopinnan pintaelementtivektori

{\textstyle R}-säteisen, origokeskisen pallon pintaa kuvaa karteesisissa koordinaateissa yhtälö {\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=R^{2}}. Muodostetaan pallopinta {\textstyle {\mathcal {S}}} siten, että se koostuu kahdesta puolikkaasta, avoimesta puolipallon pinnasta {\textstyle {\mathcal {S}}\_{1}} (yläpuoli, jossa {\textstyle z>0}) ja {\textstyle {\mathcal {S}}\_{2}}(alapuoli, jossa {\textstyle z<0}) sekä näitä yhdistävästä {\textstyle R}-säteisestä ympyrärenkaasta {\textstyle {\mathcal {S}}\_{0}}. Tällöin {\textstyle {\mathcal {S}}={\mathcal {S}}\_{1}\cup {\mathcal {S}}\_{2}\cup {\mathcal {S}}\_{0}} ja se on paloittain sileänä pintana suunnistuva. Kiinnitetään pinnan positiivinen puoli pallon ulkopuolelle.

Geometrian kannalta on hyödyllistä parametrisoida pinta käyttäen pallokoordinaattikuvausta

{\displaystyle {\begin{cases}x=R\cos \phi \cos \theta \\y=R\sin \phi \cos \theta \\z=R\sin \theta ,\end{cases}}}

missä {\displaystyle \phi \in \left]0,2\pi \right[} ja {\displaystyle \theta \in \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}.

Pinnan {\displaystyle {\mathcal {S}}} parametriesitys on

{\displaystyle \mathbf {r} (\phi ,\theta )=R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +R\sin \theta \,\mathbf {k} }.

Pintaelementtivektori on tällöin

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=\pm \left({\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \phi }}\times {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left((-R\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +R\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {j} )\times (-R\cos \phi \sin \theta \,\mathbf {i} -R\sin \phi \sin \theta \,\mathbf {j} +R\cos \theta \,\mathbf {k} )\right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(R^{2}\cos \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {i} +R^{2}\sin \phi \cos ^{2}\theta \,\mathbf {j} +R^{2}\sin \theta \cos \theta \,\mathbf {k} \right)\,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=\pm \left(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \right)R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \end{aligned}}}

Koska {\displaystyle \Vert \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} \Vert =1}, niin vektori {\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} } kelpaa yksikkönormaaliksi. Valitsemalla positiivinen etumerkki saadaan pinnan ulkopuolelle osoittava yksikkönormaali. Merkitään {\displaystyle \cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} =\mathbf {\hat {e}} }. Siis pallopinnan {\textstyle {\mathcal {S}}} pintaelementtivektori jokaisessa pinnan pisteessä on

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {d} \mathbf {S} &=(\cos \phi \cos \theta \,\mathbf {i} +\sin \phi \cos \theta \,\mathbf {j} +\sin \theta \,\mathbf {k} )R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \\&=R^{2}\cos \theta \,\mathrm {d} \phi \,\mathrm {d} \theta \,\mathbf {\hat {e}} .\end{aligned}}}

Katso myös
----------

* Pinta (geometria)
* Pinta-ala
* Pintaintegraali
* Suunnattu derivaatta

Lähteet
-------

1. ↑  Hänninen, Jari J.: ELEC-A4130 Sähkö ja magnetismi (5 op): Luentokalvot 2 (PDF)  2.3.2016. Aalto-yliopisto. Viitattu 14.6.2019.
2. ↑  Knight, Randall D.: *Physics for Scientists and Engineers, A Strategic Approach with Modern Physics*, s. 885. 3. painos. Pearson, 2014. ISBN 978-1-292-02078-5. (englanniksi)
3. 1 2 3  Purmonen, Veikko T.: *Integraalilaskentaa*, s. 109. 2. uudistettu painos. Jyväskylä: Jyväskylän yliopisto, 1998. ISBN 951-39-0162-9.
4. 1 2  Knight, s. 898−899
5. 1 2 3 4 5 6 7  Knight, s. 901−902
6. ↑  Purmonen, s. 111
7. ↑  Purmonen, s. 47