Matematiikassa renkaan R alkiota x kutsutaan **nilpotentiksi**, jos on olemassa joku positiivinen kokonaisluku n siten, että *x**n* = 0.

Amerikkalainen matemaatikko Benjamin Peirce otti termin käyttöön algebran alkiosta, jokin katoaa kun se korotetaan tiettyyn potenssiin.*selvennä*

Esimerkkejä
-----------

* Tätä määritelmää voidaan soveltaa tietynlaisille neliömatriiseille. Matriisi

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&1\\0&0&0\end{pmatrix}}}
on nilpotentti, koska *A*3 = 0. Katso lisää: nilpotentti matriisi.
* Tekijärenkaassa **Z**/9**Z** 3 ekvivalenssiluokka on nilpotentti, koska 32 on kongruentti 0 modulo 9.
* Oletetaan, että ei-vaihdannaisessa renkaassa on kaksi alkiota a, b, jotka toteuttavat *ab* = 0. Tällöin alkio *c* = *ba* on nilpotentti (jos ei nolla), kun *c*2 = (*ba*)2 = *b*(*ab*)*a* = 0. Esimerkki tällaisista matriiseista:

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}0&1\\0&1\end{pmatrix}},\;\;B={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}.}
Tässä *AB* = 0, *BA* = *B*.
* Kokvaternioiden rengas sisältää nilpotenttikartion

Ominaisuudet
------------

Yhdelläkään nilpotentilla alkiolla ei voi olla käänteisalkiota (paitsi triviaali rengas {0}, joka on ainoastaan yksi alkio 0=1). Kaikki nollasta eroavat nilpotentti alkiot ovat nollajakajia.

n x n matriisi A, jossa kunnan alkiot on nilpontetti, jos ja vain jos sen karakteristinen polynomi on *t**n*.

Jos x on nilpotentti, niin silloin 1 - x on olemassa käänteisalkio, koska *x**n* = 0 edellyttää, että

{\displaystyle (1-x)(1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1})=1-x^{n}=1}
Yleisemmin, summa käänteisalkiosta ja nilpotenttialkioista on renkaan ykkösalkio, kun ne kommutoivat.

Vaihdannainen rengas
--------------------

Vaihdannaisen renkaan R nilpotentit alkiot muodostavat ideaalin {\displaystyle {\mathfrak {N}}}; tämä seuraa binomilauseesta. Tätä ideaali {\displaystyle {\mathfrak {N}}} kutsutaan renkaan nilradikaaliksi. Jokainen vaihdannaisen renkaan nilpotenttialkio x kuluu jokaiseen renkaan alkuideaaliin {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, koska {\displaystyle x^{n}=0\in {\mathfrak {p}}}. Joten {\displaystyle {\mathfrak {N}}} sisältyy kaikkien alkuideaalien leikkaukseen.

Jos x ei ole nilpotentti, voimme lokalisoida x:t potenssien mukaan: x: {\displaystyle S=\{1,x,x^{2},...\}} saadaan nollasta poikkeava rengas {\displaystyle S^{-1}R}. Lokaalisessa renkaassa alkualkioita vastaa täsmälleen ne {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, jotka toteuttaa {\displaystyle {\mathfrak {p}}\cap S=\emptyset }. Koska jokaisella vaihdannaisella ei-triviaalilla renkaalla on maksimaalinen alkuideaali, niin jos x ei ole nilpotentti niin x ei kuulu {\displaystyle {\mathfrak {p}}}, jollakin R:n alkuideaalilla {\displaystyle {\mathfrak {p}}}. Siksi {\displaystyle {\mathfrak {N}}} on täsmälleen kaikkien alkuideaalien leikkaus.

Lähteet
-------

1. ↑  Polcino & Sehgal (2002), s. 127.
2. ↑  Matsumura, Hideyuki (1970). "Chapter 1: Elementary Results", *Commutative Algebra*. W. A. Benjamin, 6. ISBN 978-0-805-37025-6.
3. ↑   (February 21, 1994) "Chapter 1: Rings and Ideals", *Introduction to Commutative Algebra*. Westview Press, 5. ISBN 978-0-201-40751-8.

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Matriisilasku ja lineaarialgebra*. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Nilpotent