Simpsonin sääntö voidaan johtaa approksimoimalla integroitavaa funktiota 

*f* (*x*) (sinisellä) toisen asteen polynomilla *P* (*x*) (punaisella), missä funktiot *f* ja *g* yhtyvät välin [a,b] 

pisteissä *x=a*, *x=b* ja *x=m=(a+b)/2*
**Simpsonin sääntö** on numeerinen menetelmä, jolla voidaan approksimoida määrättyä integraalia, kun integroitavan funktion integraalifunktiota ei tunneta tai haluta käyttää. Jos väli [a,b] jaetaan kahteen yhtä pitkään osaväliin, niin tällöin pätee likimääräisesti:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}.
Usein merkitään osavälien pituutta kirjaimella *h = (b-a)/2*, jolloin yllä oleva kaava voidaan kirjoittaa muodossa:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right]}.
Simpsonin sääntö on nimetty englantilaisen matemaatikon Thomas Simpsonin (1710–1761) mukaan.

Johtaminen
----------

Simpsonin sääntö voidaan johtaa useammalla eri tavalla, joilla kaikilla saadaan luonnollisesti sama tulos. Tässä artikkelissa paneudutaan kuitenkin vain yhteen tapaan. Muista tavoista kiinnostunut lukija voi katsoa lisätietoa viitteistä. 

### Interpolointi toisen asteen polynomifunktiolla

Lähtökohtana on korvata funktio *f* toisen asteen polynomifunktiolla g(x)=px2+qx+r, joka saa samat arvot kuin funktio *f* välin [a,b] päätepisteissä ja keskipisteessä. Lasketaan nämä arvot, sillä niitä tarvitaan lopuksi:

{\displaystyle f(a)=g(a)=pa^{2}+qa+r,f({\frac {a+b}{2}})=g({\frac {a+b}{2}})=p({\frac {a+b}{2}})^{2}+q{\frac {a+b}{2}}+r,f(b)=g(b)=pb^{2}+qb+r}
Tällöin integraali voidaan kirjoittaa polynomin *g* avulla muodossa:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx \int \_{a}^{b}g(x)\,dx=\int \_{a}^{b}(px^{2}+qx+r)\,dx=({\frac {1}{3}}px^{3}+{\frac {1}{2}}qx^{2}+rx)|\_{a}^{b}={\frac {1}{3}}p(b^{3}-a^{3})+{\frac {1}{2}}q(b^{2}-a^{2})+r(b-a)}
Hyödyntämällä kaavoja 

{\displaystyle a^{3}-b^{3}=\left(a-b\right)(a^{2}+ab+b^{2})}
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a-b\right)(a+b)}
saadaan edelleen

{\displaystyle ={\frac {1}{3}}p(b-a)(a^{2}+ab+b^{2})+{\frac {1}{2}}q(b-a)(a+b)+r(b-a)={\frac {b-a}{3}}\left(p(a^{2}+ab+b^{2})+{\frac {3}{2}}q(a+b)+3r\right)}
{\displaystyle ={\frac {b-a}{6}}\left(p(2a^{2}+2ab+2b^{2})+6q{\frac {a+b}{2}}+6r\right)={\frac {b-a}{6}}\left(p(a+b)^{2}+pa^{2}+pb^{2}+6q{\frac {a+b}{2}}+6r\right)}
{\displaystyle ={\frac {b-a}{6}}\left(4p({\frac {a+b}{2}})^{2}+4q{\frac {a+b}{2}}+4r+pa^{2}+pb^{2}+2q{\frac {a+b}{2}}+2r\right)}
{\displaystyle ={\frac {b-a}{6}}\left(pa^{2}+qa+r+4\left(p({\frac {a+b}{2}})^{2}+q{\frac {a+b}{2}}+r\right)+pb^{2}+qb+r\right)}
{\displaystyle ={\frac {b-a}{6}}\left[f(a)+4f\left({\frac {a+b}{2}}\right)+f(b)\right].}
Edellinen lasku on hieman helpompi laskea loppuun jos tehdään aluksi muuttujan vaihto:

{\displaystyle s={\frac {x-a}{h}}}
jolloin
**{\displaystyle dx=hds}**
ja integraali tulee muotoon

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx h\int \_{0}^{2}g(s)\,ds}

Simpsonin säännön virhe
-----------------------

Jaettaessa väli [a,b] kahteen yhtä suureen osaan eli n=2 jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/2 saadaan Simpsonin säännön virheeksi 

{\displaystyle E\_{2}=-{\frac {(b-a)^{5}}{2880}}f^{(4)}(\xi )}
missä **{\displaystyle \xi }**on jokin piste väliltä (a,b) ja **{\displaystyle f^{(4)}(\xi )}**on funktion f neljäs derivaatta kyseisessä pisteessä.

*Simpsonin sääntö antaa tarkan vastauksen kaikille polynomeille, joiden asteluku on pienempi tai yhtä suuri kuin kolme, koska virhetermi sisältää funktion neljännen derivaatan, mikä on tietysti = 0 kun funktio f on korkeintaan kolmatta astetta.*

Yleistetty Simpsonin sääntö
---------------------------

Koska Simpsonin säännön virhe on suoraan verrannollinen laskettavan integroimisvälin pituuteen, saadaan virhe mahdollisimman pieneksi kun välin pituutta pienennetään. Käytännössä tämä tehdään jakamalla väli [a,b] useaan pienempään osaväliin [xi,xi+h], joihin jokaiseen käytetään Simpsonin sääntöä. Jos väli [a,b] jaetaan yhtä pitkiin väleihin, joita on N=2n kappaletta, (välejä tulee olla parillinen määrä, sillä Simpsonin sääntöä sovelletaan aina kahteen osaväliin) tulee jokaisen osavälin pituudeksi h=(b-a)/N. Tällöin saadaan yleistetty Simpsonin sääntö:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {h}{3}}{\bigg [}f(x\_{0})+4f(x\_{1})+2f(x\_{2})+4f(x\_{3})+2f(x\_{4})+\cdots +2f(x\_{2n-2})+4f(x\_{2n-1})+f(x\_{2n}){\bigg ]}.}

Yleistetyn Simpsonin säännön virhe
----------------------------------

Jaettaessa väli [a,b] yhtä suuriin osaväleihin, joita on N=2n kappaletta, jolloin osavälien pituus on h=(b-a)/N, saadaan yleistetyn Simpsonin säännön virheeksi:

{\displaystyle E\_{n}=-{\frac {(b-a)^{5}}{180N^{4}}}f^{(4)}(\xi )}
missä {\displaystyle \xi }on jokin välin (a,b) piste

Simpsonin 3/8-sääntö
--------------------

Jos funktiota *f* ei approksimoidakaan toisen asteen polynomifunktiolla *g* (kahdella osavälillä) vaan kolmannen asteen polynomifunktiolla (kolmella osavälillä), jolta vaaditaan, että *g* saa samat arvot kuin funktio *f* osavälien päätepisteissä, saadaan likimääräiseksi arvioksi:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx\approx {\frac {3h}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right]={\frac {b-a}{8}}\left[f(a)+3f\left({\frac {2a+b}{3}}\right)+3f\left({\frac {a+2b}{3}}\right)+f(b)\right].}

Simpsonin 3/8-säännön virhe
---------------------------

{\displaystyle E\_{n}=-{\frac {(b-a)^{5}}{6480}}f^{(4)}(\xi ),}
missä {\displaystyle \xi }on jokin välin (a,b) piste

Lähteet
-------

* Daniels, Richard W. (1978). *An Introduction to Numerical Methods and Optimization Techniques*, 1st, Elsevier North-Holland. ISBN 0-444-00263-4.
* Davis, Philip J. & Rabinowitz, Philip (1975). *Methods of Numerical Integration*, 1st, Academic Press. ISBN 0-12-206350-3.
* Milne, William Edmund. (1949). *Numerical Calculus*, 1st, Princeton University Press.

Viitteet
--------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 349. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
* Kaleva, Osmo: *Numeerinen analyysi*. Opintomoniste 163. Tampere: TTKK, 1993. ISBN 951-721-941-5.