**Begriffsschrift: eine der arithmetischen nachgebildete Formelsprache des reinen Denkens** ("Käsitekirjoitus: aritmetiikan mukaan rakennettu puhtaan ajattelun formaalinen kieli") on Gottlob Fregen vuonna 1879 julkaisema lyhyt logiikan alan teos. *Begriffsschrift*, joka käännetään yleensä "käsitekirjoitukseksi", on kirjassa esitetyn formaalin logiikan järjestelmän nimi.

*Begriffsschriftin* voi hyvin katsoa olleen logiikan alan merkittävin teos sen jälkeen kun Aristoteles perusti alan. Fregen motivaatio kehittää oma formaalinen lähestymistapansa logiikkaan muistutti Gottfried Leibnizin motivaatiota kehittää omaa *calculus ratiocinatoriaan*. Frege hyödynsi loogista kalkyyliään tutkiessaan matematiikan perustaa seuranneen neljännesvuosisadan aikana.

Sisältö
-------

### Merkintätapa

Fregen käyttämä propositiokalkyylin merkintätapa:  
a) konditionaali  
b) negaatio  
c) konjunktio  
d) disjunktio
Fregen käyttämä predikaattikalkyylin merkintätapa:  
a) universaalikvanttori  
b) eksistenssikvanttori
Fregen järjestelmä vastaa nykyaikaista toisen kertaluvun logiikkaa, ja se esitteli kvantifioidut muuttujat ja kvanttorit logiikkaan ensimmäisen kerran. Fregen käyttämä merkintätapa poikkesi kuitenkin nykyisestä huomattavasti: hän käytti hyvin idiosynkraattista kaksiulotteista merkintätapaa, jossa konnektiivit ja kvanttorit on piirretty kaavoja yhdistävillä viivoilla, kun nykyään ne merkitään puolestaan sellaisilla symboleilla kuin ¬, ∧, ∨, ∃ ja ∀. Esimerkiksi implikaatio "B implikoi A:n" eli {\displaystyle B\rightarrow A} merkittiin Fregen merkintätavalla .

Ensimmäisessä luvussa Frege määritteli perusajatukset ja merkintätavat, kuten väittämä, universaalikvanttori, konditionaali, negaatio ja "merkki sisällön identiteettisyydelle" eli ekvivalenssi {\displaystyle \equiv }.

Esimerkiksi konditionaalin Frege määritteli seuraavasti (luku I, §5):

"Viitatkoon A ja B tunnettuun sisältöön, tällöin neljä mahdollisuutta ovat:

|  |  |
| --- | --- |
| (1) | A on väitetty, B on väitetty; |
| (2) | A on väitetty, B on kielletty; |
| (3) | A on kielletty, B on väitetty; |
| (4) | A on kielletty, B on kielletty. |

Merkitköön

|  |
| --- |
| 

```
├────┬── A
     │
     └── B
```
 |

sitä, ettei kolmas näistä vaihtoehdoista vallitse, mutta yksi kolmesta muusta vallitsee. Joten jos negatoimme :n, silloin kolmas vaihtoehdoista on pätevä, eli kiellämme A:n ja väitämme B."
### Kalkyyli

Toisessa luvussa Frege määritteli yhdeksän väittämistään, väittämät 1, 2, 8, 28, 31, 41, 52, 54 ja 58, aksioomiksi, sanomalla niiden — sellaisina kuin ne on tarkoitettu ymmärrettäviksi — ilmaisevan totuuksia. Nykyaikaisella merkintätavalla ilmaistuna hänen aksioomansa olivat:

1. {\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)}
2. {\displaystyle \vdash \ \ \left[\ A\rightarrow \left(B\rightarrow C\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ \left(A\rightarrow B\right)\rightarrow \left(A\rightarrow C\right)\ \right]}
3. {\displaystyle \vdash \ \ \left[\ D\rightarrow \left(B\rightarrow A\right)\ \right]\ \rightarrow \ \left[\ B\rightarrow \left(D\rightarrow A\right)\ \right]}
4. {\displaystyle \vdash \ \ \left(B\rightarrow A\right)\ \rightarrow \ \left(\lnot A\rightarrow \lnot B\right)}
5. {\displaystyle \vdash \ \ \lnot \lnot A\rightarrow A}
6. {\displaystyle \vdash \ \ A\rightarrow \lnot \lnot A}
7. {\displaystyle \vdash \ \ \left(c=d\right)\rightarrow \left(f(c)=f(d)\right)}
8. {\displaystyle \vdash \ \ c=c}
9. {\displaystyle \vdash \ \ \left(\ \forall a:f(a)\ \right)\ \rightarrow \ f(c)}

Aksioomat (1)-(3) määrittävät implikaation. (4)-(6) määrittävät negaation. (7) ja (8) määrittävät identiteetin; (7) on Leibnizin laki; (8) sanoo, että identiteetti on refleksiivinen. (9) määrittää universaalikvanttorin. Kaikki muut väittämät todistettiin dedusoimalla näistä aksioomista.

*Begriffschrifft* käytti kolmea päättelysääntöä. Kaksi niistä, modus ponens ja yleistyssääntö, ovat eksplisiittisiä, kun taas korvaussääntöä ei ole määritelty eksplisiittisesti. Modus ponensin avulla voidaan johtaa {\displaystyle \vdash B} lauseista {\displaystyle \vdash A\to B} ja {\displaystyle \vdash A}. Yleistyssäännön avulla voidaan johtaa {\displaystyle \vdash P\rightarrow \forall x:A(x)} lauseesta {\displaystyle \vdash P\to A(x)}, jos muuttuja 'x' ei esiinny 'P':ssä. Korvaussääntö on paljon monimutkaisempi, ja Frege käyttää sitä tavoilla, joiden pätevyys ei ole ilmiselvää.

Kolmas luku käsittelee sarjateoriaa. Sen tulokset ovat selvästi tarkoitettuja käytettäväksi Fregen myöhemmässä aritmetiikan perusteiden tutkimustyössä.

Vaikutus
--------

*Begriffsschriftissä* esitetty toisen kertaluvun logiikan muotoilu oli ensimmäinen muotoilu mistään logiikasta, joka pystyi käsittelemään merkityksellistä osaa matematiikasta tai inhimillisestä kielestä. Kaikki myöhempi työ formaalin logiikan alalla on enemmän tai vähemmän velkaa teokselle.

Pieni jäänne Fregen merkintätavasta on säilynyt todistuksissa käytetyssä symbolissa {\displaystyle \vdash }, joka on johdettu Fregen symboleista "Inhaltsstrich" ── ja "Urteilsstrich" │. Frege käytti niitä teoksessaan yhdistetyssä muodossa ├─ esittämään, että väittämä on tautologisesti tosi. Hän käytti merkintää "Definitionsdoppelstrich" │├─ esittämään, että väittämä on määritelmä.

Ludwig Wittgenstein kunnioitti Fregeä teoksessaan *Tractatus logico-philosophicus* käyttämällä termiä *Begriffsschrift* synonyyminä loogiselle formalismille.

Kirjallisuus
------------

* Boolos, George: Reading the *Begriffsschrift*, *Mind* 94: s. 331–44, 1985. (englanniksi)
* Grattan-Guinness, Ivor: *In Search of Mathematical Roots*. Princeton University Press, 2000. (englanniksi)
* Vilkko, Risto: The reception of Frege’s *Begriffsschrift*. *Historia Mathematica* 25(4): s. 412–22, 1998. (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Begriffsschrift**.
* Gottlob Frege: *Begriffsschrift – a formalised Language of pure Thought modelled upon the Language of Arithmetic*. (englanniksi)
* Stanford Encyclopedia of Philosophy: Frege’s Logic. (englanniksi)
* Concept Script: Frege. (englanniksi)