**Tasainen jatkuvuus** on matemaattisen analyysin käsite. Karkeasti ilmaistuna tasainen jatkuvuus tarkoittaa sitä, että pientä muutosta *x*:ssä vastaa pieni muutos funktion arvossa *f*(*x*), ja tämän muutoksen suuruus riippuu vain *x*:n muutoksen suuruudesta, mutta ei itse pisteestä *x*.

Funktion jatkuvuus on paikallinen ominaisuus: funktio *f* on jatkuva (tai epäjatkuva) tietyssä pisteessä. Jos funktion sanotaan olevan jatkuva jollakin välillä, sen tarkoitetaan olevan jatkuva jokaisessa välin pisteessä. Sitä vastoin tasainen jatkuvuus on funktion globaali ominaisuus: se on määritelty joukossa, ei pisteessä. Funktio voi olla jatkuva jokaisessa välin pisteessä olematta kuitenkaan tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Määritelmä
----------

Olkoon D **R**:n osajoukko, {\displaystyle D\subseteq \mathbb {R} }.

Kuvaus {\displaystyle f:D\rightarrow \mathbb {R} } on tasaisesti jatkuva jos ja vain jos

{\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x\_{1},x\_{2}\in D:\,|x\_{1}-x\_{2}|<\delta \Rightarrow |f(x\_{1})-f(x\_{2})|<\varepsilon }.
Tärkeää on, että toisin kuin tavallisen jatkuvuuden määrittelyssä δ riippuu ainoastaan ε:sta.

Yleistys metrisiin avaruuksiin
------------------------------

Määritelmä yleistyy metrisiin avaruuksiin seuraavasti:

Olkoot (X, dx) ja (Y, dy) metrisiä avaruuksia. Kuvaus {\displaystyle f:X\rightarrow Y} on tasaisesti jatkuva, jos kaikille reaaliluvuille ε > 0 on olemassa luku δ > 0 siten, että kaikkien joukon X pisteiden *x*1 ja *x*2, joiden välinen etäisyys on pienempi kuin δ, kuvapisteiden etäisyys toisistaan on pienempi kuin ε, toisin sanoen

{\displaystyle \forall \varepsilon >0~\exists \delta >0~\forall x\_{1},x\_{2}\in X:d\_{x}(x\_{1},x\_{2})<\delta \Rightarrow d\_{y}(f(x\_{1}),f(x\_{2}))<\varepsilon }

Ominaisuuksia
-------------

Jokainen tasaisesti jatkuva funktio on jatkuva, mutta käänteisesti väite ei päde. Esimerkiksi funktio *f*(*x*) = 1/*x*, jonka lähtöjoukko on positiivisten reaalilukujen joukko, on jatkuva mutta ei tasaisesti jatkuva, sillä kun *x* lähestyy nollaa, muutokset arvossa *f*(*x*) kasvavat rajatta.

#### Todistus

Olkoon {\displaystyle y>0}. Tällöin {\displaystyle \left|y-{\frac {y}{2}}\right|={\frac {y}{2}}\to 0}, kun {\displaystyle y\to 0} ja
{\displaystyle \left|{\frac {1}{y}}-{\frac {1}{\left({\frac {y}{2}}\right)}}\right|=\left|{\frac {1}{y}}-{\frac {2}{y}}\right|=}
{\displaystyle {\frac {1}{y}}\to \infty }, kun {\displaystyle y\to 0}. Täten valittiinpa \delta >0 miten pieneksi
tahansa, niin silti löydetään luvut {\displaystyle y>0} ja {\displaystyle {\frac {y}{2}}>0}, joilla {\displaystyle \left|y-{\frac {y}{2}}\right|<\delta } ja joilla {\displaystyle \left|{\frac {1}{y}}-{\frac {1}{\left({\frac {y}{2}}\right)}}\right|} saadaan mielivaltaisen
suureksi. Siispä {\displaystyle f(x)={\frac {1}{x}}} ei ole tasaisesti jatkuva. {\displaystyle \square }

Kuitenkin jos funktio on jatkuva jokaisessa kompaktin välin pisteessä, se on tasaisesti jatkuva tällä välillä.

Lähteet
-------

1. ↑  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 387–388 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.