**Ulkomitta** on mittateoriassa esiintyvä funktio, jonka avulla halutaan luoda mittoja.

Määritelmä
----------

Olkoon X joukko. Kuvaus {\displaystyle \mu ^{\*}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]} on **ulkomitta** jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat kolme ehtoa:

1. Tyhjälle joukolle pätee {\displaystyle \mu ^{\*}(\emptyset )=0}
2. Jos {\displaystyle A\subset B\subset X}, niin {\displaystyle \mu ^{\*}(A)\leq \mu ^{\*}(B)}
3. Jos {\displaystyle A\_{i}\subset X} kaikilla {\displaystyle i\in \mathbb {N} }, niin {\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{i})}.

Ehtoa (2) kutsutaan yleensä *monotonisuudeksi* tai *kasvavuudeksi* ja ehtoa (3) *subadditiivisuudeksi*.

Joukon mitallisuus
------------------

Jos {\displaystyle \mu ^{\*}\,} on ulkomitta X:ssä, niin joukkoa A \subset X kutsutaan {\displaystyle \mu ^{\*}\,}*-mitalliseksi* jos ja vain jos kaikilla {\displaystyle E\subset X} pätee 

{\displaystyle {\mu }^{\*}(E)={\mu }^{\*}(E\cap A)+{\mu }^{\*}(E\cap \complement A)}.
Tätä ehtoa kutsutaan kirjallisuudessa usein *Carathéodoryn ehdoksi*.

Mitallisuus säilyy komplementoinnissa ja numeroituvissa yhdisteissä. Lisäksi tyhjä joukko on riippumatta ulkomitasta aina mitallinen. Näin ollen itse asiassa mielivaltaisen ulkomitan suhteen mitalliset joukot muodostavat sigma-algebran. Tälle perheelle käytetään joissain lähteissä merkintää 

{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{{\mu }^{\*}}(X)=\lbrace A\subset X\mid A{\mbox{ on }}{\mu }^{\*}{\mbox{-mitallinen}}\rbrace ,}  missä *X* ilmaisee perusjoukon ja {\displaystyle \mu ^{\*}\,} joukossa annetun ulkomitan.

Ulkomitan ominaisuuksia
-----------------------

Jos {\displaystyle B\_{1}\subset B\_{2}\subset ...} ovat {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisia joukkoja, niin 

{\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }B\_{i}\right)=\lim \_{n\rightarrow \infty }\mu ^{\*}(B\_{n})}.

Jos {\displaystyle C\_{1}\supset C\_{2}\supset ...} ovat {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisia joukkoja ja {\displaystyle \mu ^{\*}(C\_{1})<\infty }, niin 

{\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcap \_{i=1}^{\infty }C\_{i}\right)=\lim \_{n\rightarrow \infty }\mu ^{\*}(C\_{n})}.

Jos joukot A\_i, {\displaystyle i\in \mathbb {N} }, ovat {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisia ja erillisiä, niin 

{\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{i\in \mathbb {N} }A\_{i}\right)=\sum \_{i\in \mathbb {N} }\mu ^{\*}(A\_{i})}.
Viimeisimmästä ominaisuudesta seuraa

Carathéodoryn lause
-------------------

**Carathéodoryn lause** lause sanoo, että jos {\displaystyle \mu ^{\*}:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ]} on ulkomitta, niin sen rajoittuma {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisiin joukkoihin eli funktio {\displaystyle \mu ^{\*}|{\mathcal {M}}\_{\mu ^{\*}}(X)} on mitta X:ssä.

Erityisiä ulkomittoja
---------------------

* Ulkomittaa sanotaan *täydelliseksi* jos ja vain jos jokaisen nollamittaisen joukon osajoukko on mitallinen tämän ulkomitan suhteen. Voidaan osoittaa, että jokainen ulkomitta voidaan täydellistää täydelliseksi ulkomitaksi.

* Ulkomitta {\displaystyle \mu ^{\*}\,} on *säännöllinen* jos ja vain jos jokaisella A \subset X on olemassa {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallinen joukko B s.e. {\displaystyle A\subset B} ja {\displaystyle \mu ^{\*}(A)=\mu ^{\*}(B)\,}. Jos vielä {\displaystyle \mu ^{\*}(X)<\infty }, niin voidaan osoittaa, että säännöllisellä ulkomitalla edellä mainittu mitallisuuskriteeri suppenee muotoon: joukko A \subset X on {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallinen jos ja vain jos {\displaystyle \mu ^{\*}(A)+\mu ^{\*}(\complement A)=\mu ^{\*}(X)}.

* Jos {\displaystyle (X,d)\,} on metrinen avaruus, niin joukon X ulkomittaa {\displaystyle \mu ^{\*}\,} sanotaan *metriseksi* jos ja vain jos ehdosta {\displaystyle d(A,B)>0\,} seuraa ominaisuus {\displaystyle \mu ^{\*}(A\cup B)=\mu ^{\*}(A)+\mu ^{\*}(B)} kaikilla {\displaystyle A,B\subset X\,}. Metriset mitat karakterisoivat Borel-ulkomitat. Voidaan osoittaa, että ulkomitta on metrinen jos ja vain jos se on Borel.

Tärkeimpiä esimerkkejä säännöllisistä metrisistä ulkomitoista ovat mm. Hausdorffin mitan ja Lebesguen mitan konstruktioissa esiintyvät ulkomitat.

Funktion mitallisuus
--------------------

Jos {\displaystyle \mu ^{\*}\,} on ulkomitta joukossa X ja {\displaystyle A\subset X\,}, niin funktio {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}} on *{\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallinen* jos ja vain jos avointen joukkojen alkukuvat kuvauksessa *f* ovat {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisia. Toisin sanoen joukot {\displaystyle f^{-1}(G)\,}, {\displaystyle f^{-1}(\{-\infty \})\,} ja {\displaystyle f^{-1}(\{+\infty \})\,} ovat {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallisia kaikilla avoimilla joukoilla {\displaystyle G\subset \mathbb {R} }. 

Funktion mitallisuus voidaan myös karakterisoida seuraavasti: funktio f on {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallinen jos ja vain jos joukko 

{\displaystyle \lbrace x\in A:f(x)>c\rbrace } on {\displaystyle \mu ^{\*}\,}-mitallinen kaikilla {\displaystyle c\in \mathbb {R} }.

Katso myös
----------

* Borel-joukko
* Carathéodoryn konstruktio
* Hausdorffin mitta
* Lebesguen mitta

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5   Jalava, Väinö: *Moderni analyysi I*, s. 44–48. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1976. ISBN 951-720-223-7.
2. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.