**Mellinin muunnos** on matematiikassa integraalimuunnos joka voidaan tulkita multiplikatiivisena versiona kaksipuoleisesta Laplacen muunnoksesta. Tämä integraalimuunnos liittyy läheisesti Dirichlet'n sarjoihin ja muunnosta käytetään paljon lukuteoriassa ja asymptoottisissa kehitelmissä. Mellinin muunnos liittyy läheisesti Laplacen- ja Fourier'n muunnoksiin sekä gammafunktioon.

Funktion *f* Mellinin muunnos on

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \_{0}^{\infty }x^{s}f(x){\frac {dx}{x}},}
mikäli integraali on olemassa. Sen käänteismuunnos on

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)ds.}
Merkintätavasta seuraa, että tämä on viivaintegraali pystysuoraan kompleksitasossa. Ehdon käänteismuunnoksen olemassaololle antaa Mellinin inversiolause.

Muunnos on nimetty suomalaisen matemaatikon Robert Hjalmar Mellinin (1854–1933) mukaan.

Suhde muihin muunnoksiin
------------------------

Kaksipuolinen Laplacen muunnos voidaan määritellä Mellinin muunnoksen avulla:

{\displaystyle \left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s)}
ja toisaalta Mellinin muunnos voidaan määritellä kaksipuolisen Laplacen muunnoksen avulla asettamalla

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)}
Mellinin muunnos voidaan ajatella integroimalla *x**s*:n ydintä {\displaystyle {\frac {dx}{x}}} multiplikatiivisen Haarin mitan suhteen, joka on invariantti dilaation {\displaystyle x\mapsto ax} suhteen, jolloin
{\displaystyle {\frac {d(ax)}{ax}}={\frac {dx}{x}}}. Tämä kaksipuolinen Laplacen muunnos integroidaan additiivisen Haarin mitan dx suhteen, joka on translaatioinvariantti, joten {\displaystyle d(x+a)=dx}.

Fourier'n muunnos voidaan myös määritellä Mellinin muunnoksen avulla ja päinvastoin: määrittelemällä kaksipuolinen Laplacen munnos kuten yllä saadaan

{\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(is),}
jolloin

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(-is)}
Mellinin muunnos yhdistää Newtonin sarjan ja binomimuunnoksen toisiinsa yhdessä Poissonin generoivan funktion kanssa. Tämä tunnetaan nimellä Poissonin–Mellinin–Newtonin sykli.

Cahenin-Mellinin integraali
---------------------------

Kun {\displaystyle c>0}, {\displaystyle \Re (y)>0} ja {\displaystyle y^{-s}} on valittu päähaarasta, on 

{\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds}
Missä {\displaystyle \Gamma (s)} on gammafunktio. Tämä integraali tunnetaan nimellä Cahenin–Mellinin integraali.

Lähteet
-------

* Paris, R. B. ja Kaminsky, D. *Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals*, Cambridge University Press, 2001.
* A. D. Polyanin ja A. V. Manzhirov, *Handbook of Integral Equations*, CRC Press, Boca Raton, 1998. ISBN 0-8493-2876-4
* Taulukko integraalimuunnoksista EqWorldissä: The World of Mathematical Equations.

### Viitteet

1. ↑  G.H. Hardy ja J.E. Littlewood, "Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes", *Acta Mathematica*, **41**(1916) pp. 119–196.

Kirjallisuutta
--------------

* Väisälä, Kalle: *Matematiikka V: Laplace-muunnos*. Espoo: Otakustantamo, 1980 (1965). ISBN 951-671-020-4.