Virhefunktion kuvaaja
**Virhefunktio** on eräs useimmin vastaantulevista erikoisfunktioista.*kenen mukaan?* Siihen törmää helposti monissa käytännön tilanteissa, varmimmin todennäköisyyslaskennassa ja statistisessa mekaniikassa. Virhefunktio liittyy läheisesti normitetun normaalijakauman kertymäfunktioon. Itse virhefunktion lisäksi usein tulee vastaan myös **virhefunktion komplementti**.

Virhefunktio määritellään integraalina, mutta tarkka esitysmuoto vaihtelee hieman eri lähteissä. Tavallisin*lähde?* määritelmä on

{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\int \_{0}^{x}e^{-t^{2}}\,\mathrm {d} t}

Virhefunktion ominaisuuksia
---------------------------

Virhefunktio on pariton funktio

{\displaystyle \operatorname {erf} (-x)=-\operatorname {erf} (x)\,}
ja jos funktion argumentti on kompleksiluku, kompleksikonjugaatille on voimassa

{\displaystyle \operatorname {erf} (z^{\*})=(\operatorname {erf} (z))^{\*}\,}.
Virhefunktiota ei ole mahdollista lausua alkeisfunktioiden avulla, mutta sitä vastaava Taylorin sarja on

{\displaystyle \operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)n!}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}\left(x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{10}}-{\frac {x^{7}}{42}}+{\frac {x^{9}}{216}}-\ \cdots \right)}
Sille voidaan esittää myös approksimaatio asymptoottisen sarjan avulla. Virhefunktion ensimmäinen derivaatta seuraa välittömästi määritelmästä

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erf} (x)={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja korkeammat derivaatat voi laskea kaavalla

{\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\operatorname {erf} (x)=(-1)^{n-1}{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}H\_{n-1}(x)e^{-x^{2}}},
missä {\displaystyle H\_{k}(x)} on k:s Hermiten polynomi. Virhefunktiolla on myös integraali

{\displaystyle \int \operatorname {erf} (x)dx=x\;\operatorname {erf} (x)+{\frac {e^{x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}
**Virhefunktion käänteisfunktio** voidaan esittää sarjakehitelmänä

{\displaystyle \operatorname {erf} ^{-1}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {c\_{n}}{2n+1}}\left({\frac {\sqrt {\pi }}{2}}x\right)^{2n+1}},
missä

{\displaystyle c\_{n}=\sum \_{m=0}^{n-1}{\frac {c\_{m}c\_{n-1-m}}{(m+1)(2m+1)}},\;c\_{0}=1}

Virhefunktio ja normaalijakauma
-------------------------------

Virhefunktion ja normitetun normaalijakauman kertymäfunktion {\displaystyle \Phi (x)} välillä on yhteys:

{\displaystyle erf(x)=2\Phi (x)-1},
{\displaystyle \Phi (x)={\frac {\operatorname {erf} (x)+1}{2}}}.
Molempien funktioiden raja-arvo, kun x kasvaa rajatta, on 1, mutta

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\Phi (x)=0},
kun taas

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }\operatorname {erf} (x)=-1}
Muuttujan arvolla x=0 saa virhefunktio arvon 0 mutta normaalijakauman kertymäfunktio arvon 1/2.

Virhefunktion komplementti
--------------------------

Virhefunktion komplementin kuvaaja.
Virhefunktion komplementti määritellään

{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=1-\operatorname {erf} (x)\,}
tai yhtäpitävästi integraalina

{\displaystyle \operatorname {erfc} (x)=\int \_{x}^{\infty }e^{t^{2}}\,\mathrm {d} t}.
ja se toteuttaa differentiaaliyhtälön

{\displaystyle {\frac {d^{2}y}{dx^{2}}}+2x{\frac {dy}{dx}}-2y=0}.
Virhefunktion komplementin derivointikaava muistuttaa virhefunktion vastaavaa

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\operatorname {erfc} (x)=-{\frac {2}{\sqrt {\pi }}}e^{-x^{2}}}
ja integraalikin muistuttaa virhefunktion integraalia

{\displaystyle \int \operatorname {erfc} (x)dx=x\;\operatorname {erfc} (x)-{\frac {e^{-x^{2}}}{\sqrt {\pi }}}}

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Virhefunktio**.
* Virhefunktio Mathworldissa (englanniksi)
* Virhefunktion komplementti Mathworldissa (englanniksi)