Signum-funktion kuvaaja  on selvästi pariton funktio.
**Signum-funktio** eli *etumerkkifunktio* on matematiikassa erikoisfunktio, joka saa arvoksi vain lukuja –1, 0 ja 1. Muita arvoja se ei saa. Funktion nimi tulee latinan sanasta *signum*, joka tarkoittaa merkkiä. Lausekkeissa funktion nimenä käytetään kolmikirjaimista lyhennettä **sgn**, jolloin lauseke voidaan merkitä esimerkiksi

f(x)=\sgn(-7)+ \sgn(x^2-4). 
Funktio onkin määritelty tietokoneiden ohjelmointikieliä varten, jotta laskelmissa voidaan määrittää lausekkeen tuloksen merkki ja käyttää sitä tietoa hyväksi.

Funktion saamat arvot tulevat argumentin merkin mukaan seuraavasti. Jos argumentti on negatiivinen, saa signum arvokseen –1, jos argumentti on nolla, saa signum arvokseen 0 ja jos argumentti on positiivinen, tulee signumin arvoksi +1. Plus-merkki ja miinus-merkki tulkitaan signum-funktiossa luvuiksi +1 ja –1. Tämä voidaan esittää reaaliluvuilla paloittaisena esityksenä 

 \sgn x = \left\{ \begin{matrix} 
-1, & \text{kun} & x < 0 \\
0, & \text{kun} & x = 0 \\
1, & \text{kun} & x > 0. \end{matrix} \right.

Funktion ominaisuuksia
----------------------

### Vaihtoehtoisia määritystapoja

Kun x \neq 0, se voidaan laskea myös muodossa

\sgn x = \frac{x}{|x|}, 
missä |x| tarkoittaa x:n itseisarvoa. Se voidaan ilmaista myös erään yksiportaisen askelfunktion Heavisiden funktion H(x) avulla:

\sgn x = 2H(x)-1. 
### Parittomuus

Signum-funktio on pariton funktio, sillä positiiviselle luvulle a>0 pätee 
\sgn(-a)= -1 = -(+1) = -\sgn a,
koska \sgn a=+1.

### Muita ominaisuuksia

Signumin avulla voidaan laskea itseisarvo |x|=x\sgn x. Toisaalta voidaan kirjoittaa myös x = |x|\sgn x.

Reaalilukujen kertolaskun merkkisääntö voidaan ilmaista \sgn (x\cdot y)= \sgn x \cdot \sgn y. Vastaava pätee osamäärällekin.

Signum voidaan yhdistää itsensä kanssa yhdistetyksi funktioksi, mutta se ei muuta sen arvoa: \sgn (\sgn x) = \sgn x.

### Jatkuvuus realiluvuilla

Signum on jatkuva funktio kaikkialla paitsi origossa, missä vasemmanpuoleinen raja-arvo on  \textstyle\lim\_{x\to 0 \atop x<0} \sgn x = -1 \ne \sgn 0 ja oikeanpuoleinen raja-arvo \textstyle \lim\_{x\to 0 \atop x>0} \sgn (x) = 1 \ne \sgn(0).

### Kompleksiluvut

Signumin määrittäminen kompleksiluvuille voidaan tehdä eri tavoin. Jos luku z = x+yi\ (\ne 0) on kompleksiluku, määritetään sen merkki

\sgn z = \frac{z}{|z|},
missä itseisarvo |z| = \sqrt{x^2 + y^2}, ja muuten \sgn(0+0i)=0. Sama asia voidaan kirjoittaa myös 

\sgn z = \frac{z}{|z|} = e^{i\theta},
missä \theta = \arg(z). Kun signum reaaliluvulla tarkoittaa yleensä arvoa *±1*, on signum kompleksiluvuilla yleensä lukua, joka sijaitsee kompleksitason origokeskeisellä yksikköympyrällä eli \{z\in\mathbb{C} \mid |z|=1\}. 
Kun kompleksiluku esitetään muodossa z = x+yi, tulee kaava muotoon 

\sgn (x+yi) = \frac{x+yi}{\sqrt{x^2 + y^2}}. 
Kaikille kompleksiluvuille z ja niiden kompleksikonjugaateille \overline{z} on voimassa z\sgn \overline{z}=|z|.

Kompleksilukujen signum-funktiolle on osoitettavissa seuraavia ominaisuuksia:

* \sgn(z\_1\cdot z\_2)=\sgn z\_1 \cdot \sgn z\_2  (tulon merkkisääntö)
* \sgn(\lambda\cdot z)=\sgn z positiiviselle reaaliluvulle \lambda
* \sgn(\lambda\cdot z)=-\sgn z negatiiviselle reaaliluvulle \lambda
* \sgn (-z) = -\sgn z (pariton funktio kompleksiluvuille)
* \operatorname{sgn}(|z|) = |\operatorname{sgn}(z)|
* \sgn (\bar z) = \overline{\sgn z} kompleksilukujen konjugaateille
* \sgn \left(\frac{1} {z}\right) = \frac {1} {\sgn z} = \overline{\sgn z},  kun z\ne0.

Derivaatta ja integraali
------------------------

Signum-funktiolla on derivaatta (joka on nolla) kaikkialla muualla paitsi origossa, joka on epäjatkuvuuskohta. Distibuutioteoriassa voidaan kuitenkin kirjoittaa

D\sgn(x) = 2\delta(x),
missä \delta(x) on Diracin deltafunktio.
Signumin yleinen integraali on

\int \sgn(t)\, dt = |x| + C.

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5 6 7  Weisstein, Eric W.: Sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. ↑  Weisstein, Eric W.: Plus sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
3. ↑  Weisstein, Eric W.: Minus sign (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Positive (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Negative (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. 1 2 3 4  PlanetMath: Signum function (Arkistoitu – Internet Archive) (englanniksi)
7. ↑  Wolfram Research: Sign (englanniksi)

Kirjallisuutta
--------------

* Oppenheim, Alan V.; Willsky Alan S.; with Nawab, Syed Hamid: *Signals and Systems*, s. 1–957. Prentice-Hall Signal Processing Series, 1997 (1983). ISBN 0-13-651175-9.

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Signum-funktio**.
* Mathematik: Die Signumfunktion (saksaksi)
* LipsWork: Signum function(englanniksi)