Optimaalinen neljän pisteen Golombin viivain.
**Golombin viivain** on sellainen joukko kokonaislukuja, ymmärrettynä pisteiksi lukusuoralla, että samaa kahden pisteen välistä etäisyyttä ei esiinny eri pistepareissa. Esimerkiksi {0, 1, 3} on Golombin viivain, koska sen pisteiden välillä on etäisyydet 1, 2 ja 3, jotka ovat kaikki erisuuria. Sen sijaan {0,1,2} ei ole Golombin viivain, koska etäisyys 1 esiintyy kaksi kertaa, sekä pisteiden 0 ja 1 välillä että pisteiden 1 ja 2 välillä. Ne on nimetty Solomon Golombin mukaan, joskaan Golomb ei ollut ensimmäinen, joka tutki niitä. Golombin viivaimilla on sovellutuksia muun muassa radioteleskooppien antennien sijoittelussa, radiokanavien valinnassa, röntgenkristallografiassa ja koodausteoriassa.

Golombin viivainta voidaan siirtää ja peilata lukusuoralla etäisyyksien muuttumatta, joten esimerkiksi viivain {10,11,13} on olennaisesti sama kuin {0,1,3}. Niinpä tavallisesti tarkastellaan vain viivaimia, jotka ovat *kanonisessa muodossa*: pienin luku on nolla, ja viivaimista, jotka ovat toistensa peilikuvia, valitaan leksikaalisesti pienempi. Kanoninen Golombin viivain, jossa on *n* pistettä, on *optimaalinen*, jos sen *pituus* eli päätepisteiden välinen etäisyys on mahdollisimman pieni *n*-pisteisten viivaimien joukossa. Esimerkiksi {0,1,3} on optimaalinen kolmen pisteen viivain, mutta {0,1,10} ei.

Historia
--------

Simon Sidon, Paul Erdős ja Pál Turán tutkivat 1930-luvulla Sidonin joukkoja eli lukujoukkoja, joissa kaikkien parien *summat* ovat erisuuret. Sophie Piccard puolestaan tutki 1930-luvulla lukujoukon alkioiden *erotusten* muodostamia joukkoja, ja esitti 1939 muun muassa väittämän, että jos kahdella Golombin viivaimella (joita ei silloin vielä kutsuttu sillä nimellä) on samat erotusjoukot, niin joukot ovat siirtoa ja peilausta vaille samat. Väite osoittautui vääräksi, kun Gary Bloom vuonna 1977 löysi kaksi erilaista 6 pisteen viivainta, joiden erotusjoukot ovat samat, nimittäin {0,1,4,10,12,17} ja {0,1,8,11,13,17}. Kaikille suuremmille viivaimille Piccardin väittämä kuitenkin pätee, minkä Ahmad Bekir ja Solomon Golomb osoittivat 2007.

Sidonin joukot ja Golombin viivaimet ovat sama asia eri muodossa, ja niiden välinen yhteys on varsin yksinkertainen. Jos nimittäin joukko ei ole Golombin viivain, niin siinä on sellaiset neljä alkiota {\displaystyle a,b,c,d}, että {\displaystyle a-b=c-d}. Silloin myös {\displaystyle a+d=b+c}, eli joukko ei ole myöskään Sidonin joukko. Myös käänteinen on helppo osoittaa. Yhteyttä Sidonin joukkojen ja Golombin viivaimien välillä ei kuitenkaan alkuun huomattu, koska näitä ongelmia tutkivat eri tutkijat.

Edellisistä riippumatta Wallace C. Babcock tutki 1950-luvulla radiokanavien valintaongelmaa, joka johti Golombin viivaimiin. Hän löysi optimaaliset viivaimet enintään 8 pisteelle. Optimaalinen 8 pisteen viivain on {0, 1, 4, 9, 15, 22, 32, 34}. 1960-luvulla Solomon Golomb tutki viivaimia systemaattisesti. Hän käytti niistä nimeä *minimum spanning rulers*, mutta vuonna 1972 Martin Gardner nimesi ne Golombin viivaimiksi (engl. *Golomb’s rulers*) *Scientific Americanin* kolumnissaan.

Optimaalisten viivainten etsintä
--------------------------------

Viime aikoina optimaalisia viivaimia on etsitty massiivisesti hajautetulla laskennalla distributed.net-projektissa. Optimaalinen 27 pisteen viivain selvitettiin projektissa, joka kesti viitisen vuotta ja valmistui vuonna 2014. Sen jälkeen vuosina 2014–2022 selvitettiin optimaalinen 28 pisteen viivain. Sen pituus on 585, ja itse viivain on

{0, 3, 15, 41, 66, 95, 97, 106, 142, 152, 220, 221, 225, 242, 295, 330, 338, 354, 382, 388, 402, 415, 486, 504, 523, 546, 553, 585}.
Tunnetut optimaalisten viivainten pituudet on lueteltu OEIS-tietokannassa.

Suuret viivaimet
----------------

Erdősin ja Turánin vuonna 1941 esittämällä konstruktiolla voidaan helposti muodostaa suuriakin Golombin viivaimia, vaikkakaan ei optimaalisia. Jos n on alkuluku, niin joukko

{\displaystyle \{2nk+(k^{2}{\bmod {n}})\;:\;k=0,1,\ldots ,n-1\}}
on Golombin viivain, jossa on n pistettä. Sen pituus on hiukan vähemmän kuin {\displaystyle 2n^{2}}. Lyhyempiäkin konstruktioita tunnetaan: Imre Ruzsan konstruktiossa *n* pisteen viivaimen pituus on vain hiukan enemmän kuin *n*2. Erdősin vuonna 1934 esittämän konjektuurin mukaan kaikilla *n* on olemassa *n* pisteen Golombin viivaimia, joiden pituus on *vähemmän* kuin *n*2. Konjektuuria ei ole todistettu, mutta Apostolos Dimitromanolakis on vuonna 2002 laskennallisesti varmistanut sen 65 000 pisteen viivaimiin asti.

Lähteet
-------

1. 1 2  Golomb Ruler *MathWorld*. Viitattu 23.10.2020. (englanniksi)
2. 1 2  Golomb, Solomon W.: Golomb’s Reminiscences (Sivut 235-245) *Mathematical Properties of Sequences and Other Combinatorial Structures*.  2003. Boston:  Springer. Viitattu 23.10.2020. (englanniksi)
3. 1 2  Pegg, Ed Jr.: Rulers, Arrays, and Gracefulness *Math Games*.  15.11.2004. Viitattu 23.10.2020. (englanniksi)
4. ↑  Alperin, Roger C. & Drobot, Vladimir: Golomb Rulers.  *Mathematics Magazine*, 2011, 84. vsk, s. 48–55.  (englanniksi)
5. 1 2 3 4  Dimitromanolakis, Apostolos: Analysis of the Golomb Ruler and the Sidon Set Problems, and Determination of Large, Near-Optimal Golomb Rulers (Diplomityö)  2002. Technical University of Crete. Viitattu 24.10.2020. (englanniksi)
6. ↑  Bekir, Ahmad & Golomb, Solomon W.: There are no further counterexamples to S. Piccard’s theorem.  *IEEE Transactions on Information Theory*, 2007, 53. vsk, nro 8, s. 2864–2867.  (englanniksi)
7. ↑  Babcock, Wallace C.: Intermodulation interference in radio systems frequency of occurrence and control by channel selection.  *The Bell System Technical Journal*, 1953, 32. vsk, nro 1, s. 63–73. Artikkelin verkkoversio.  (englanniksi)
8. ↑  Mathematical Games: The graceful graphs of Solomon Golomb, or how to number a graph parsimoniously.  *Scientific American*, 1972, 226. vsk, nro 3, s. 108–113.  (englanniksi)
9. ↑  Reed, Mike: The OGR-27 project has been completed  25.2.2014. distributed.net. Viitattu 23.10.2020. (englanniksi)
10. ↑  Completion of OGR-28 project  23.11.2022. distributed.net. Viitattu 23.11.2022. (englanniksi)
11. ↑  A003022 OEIS-tietokannassa: Length of shortest (or optimal) Golomb ruler with n marks. (englanniksi)