Tangentiaalisen nelikulmion sivuamispisteet ovat tangentteja ja ne ovat kohtisuorassa säteitä eli korkeusjanoja vastaan.
Tangentiaalisen nelikulmion tangenttien välissä kulmanpuolittaja osuu ympyrän keskipisteeseen.
**Tangentiaalinen nelikulmio** eli **ympyrän ympäri piirretty nelikulmio** on geometriassa nelikulmio, jonka jokainen sivu sivuaa sisään piirrettyä ympyrää. Ympyrää voidaan kutsua nelikulmion sisäympyräksi ja sivuja ympyrän tangenteiksi tai tangenttijanoiksi.

Nimitys tangentiaalinen nelikulmio on suora käännös sanoista engl. *tangential quadrilateral*.

Ominaisuuksia
-------------

* Jos merkitään puolipiiriä eli nelikulmion piirin puolikasta {\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c+d),} missä neljä lukua ovat sivujen pituuksia, voidaan tangentiaaliselle nelikulmiolle kirjoittaa {\displaystyle s=a+c=b+d,} eli vastakkaisten sivujen yhteispituus on puolet piiristä. Tämä pätee laajemminkin. Suora, joka kulkee sisäympyrän keskipisteen kautta jakaa piirin, ja myös pinta-alan, kahteen yhtäsuureen osaan.
* Sisäympyrän keskipiste sijaitsee yhtä kaukana nelikulmion sivuista. Kulmanpuolittajat leikkaavat kaikki toisensa sisäympyrän keskipisteessä.
* Viereisten kulmien puolikkaiden tangenttien tulo on aina 1, joten esimerkiksi {\displaystyle \tan {\frac {\alpha }{2}}\cdot \tan {\frac {\gamma }{2}}=1} ja {\displaystyle \tan {\frac {\beta }{2}}\cdot \tan {\frac {\delta }{2}}=1.}
* Lävistäjien eri puolille syntyviin kolmioihin piirretyt sisäympyrät ovat tangentiaalisia myös toisilleen.
* Tällaisen nelikulmion pinta-ala on {\displaystyle A=rs,}  missä r on sisäympyrän säde.
* Sisäympyrän säde voidaan johtaa alan, piirinpuolikkaan ja Bretschneiderin lauseen avulla

{\displaystyle r={\frac {\sqrt {4p^{2}q^{2}-(a^{2}-b^{2}+c^{2}-d^{2})^{2}}}{2(a+b+c+d)}}={\frac {\sqrt {p^{2}q^{2}-(a-b)^{2}(a+b-s)^{2}}}{2s}}} 
{\displaystyle ={\sqrt {\frac {bcd+acd+abd+abc}{a+b+c+d}}}} 
missä p ja q ovat nelikulmion lävistäjiä.

Erikoistapauksia
----------------

### Neliö

Neliö ja sen ympyrät, erilaisia mittoja ja kulmia
Neliö on säännöllinen nelikulmio, joten sen sivut ovat saman pituiset ja sen kulmat ovat yhtä suuret (suorat kulmat 90°). Ympyrä sivuaa neliön kulmaa sivun keskikohdasta ja siksi myös sisäympyrän säde **r** on puolet sivun pituudesta. Tätä etäisyyttä kutsutaan myös **apoteemaksi** kuten muissakin säännöllisissä monikulmioissa. Sisäympyrän keskipisteestä piirretyt säteet puolittavat neliön kulman. Neliön lävistäjä on samalla neliöä ympäröivän ympyrän halkaisija, jolloin ulkoympyrän säde **R** on puolet lävistäjästä. Kun sivun pituus on **a**, saadaan

{\displaystyle r={\frac {1}{2}}a}  sekä {\displaystyle R={\frac {\sqrt {2}}{2}}a.}
### Neljäkäs

Tangentiaalinen neljäkäs, mittoja ja kulmia
Neljäkäs on tasasivuinen nelikulmainen suunnikas, jonka kulmat eivät ole neliön tapaan suorat. Vastakkaiset kulmat ovat aina samansuuruiset ja vierekkäiset kulmat α ja β ovat toistensa komplementtikulmat eli {\displaystyle \beta =90^{\circ }-\alpha }. Laskuissa tullaan käyttämään näiden kulmien puolikkaita, joten {\displaystyle \alpha =2\gamma } eli {\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }.

Jos päätetään aluksi kulma {\displaystyle \gamma ={\tfrac {1}{2}}\alpha }, voidaan muut parametrit löaske seuraavasti. Neljäkkään sisäympyrä sivuaa sen kaikkia sivuja samalla tavalla niin, että sivuamispisteet osittavat ne kahdeksi eripituiseksi tangenttijanaksi. Sivun AB tangenttijanat ovat AJ = tA ja JB = tB, jotka yhdessä muodostavat neljäkkään sivun

{\displaystyle a=t\_{A}+t\_{B}}.
Tangenttijanojen pituudet saadaan laskettua suorakulmaisista kolmioista

{\displaystyle t\_{A}=r\cot \gamma } (kolmiosta {\displaystyle \Delta AJO}) 
ja 

{\displaystyle t\_{B}=r\tan \gamma } (kolmiosta {\displaystyle \Delta OJB}).
Tangenttijanojen pituudet voidaan määrittä, kun säde tunnetaan. Se saadaan sivun pituudesta

{\displaystyle a=t\_{A}+t\_{B}=r\cot \gamma +r\tan \gamma =r(\cot \gamma +\tan \gamma )} eli
{\displaystyle r={\frac {a}{\cot \gamma +\tan \gamma }}}.
Toisaalta, jos päätetään aluksi tangenttijanojen pituudet, voidaan niiden avulla laskea muut parametrit. Neljäkkään **sisäympyrän generoivan polynomin** kertoimet ovat 

{\displaystyle S\_{1}^{4}=t\_{A}+t\_{B}+t\_{C}+t\_{D}=2t\_{A}+2t\_{B}=2(t\_{A}+t\_{B})},
koska tA = tC ja tB = tD, ja vielä

{\displaystyle S\_{3}^{4}=t\_{A}t\_{B}t\_{C}+t\_{B}t\_{C}t\_{D}+t\_{C}t\_{D}t\_{A}+t\_{D}t\_{A}t\_{B}=2(t\_{A}^{2}t\_{B}+t\_{A}t\_{B}^{2})=2t\_{A}t\_{B}(t\_{A}+t\_{B})}.
Neljäkkään sisäympyrän säde riippuu sisäkulman suuruudesta. Suurimmillaan se on kun sisäkulma on suora.
Polynomi saa muodon

{\displaystyle S\_{1}^{4}r^{2}-S\_{3}^{4}=0}  eli
{\displaystyle 2(t\_{A}+t\_{B})r^{2}-2t\_{A}t\_{B}(t\_{A}+t\_{B})=0}
jonka positiivinen juuri on

{\displaystyle r={\sqrt {\frac {2t\_{A}t\_{B}{\cancel {(t\_{A}+t\_{B})}}}{2{\cancel {(t\_{A}+t\_{B})}}}}}={\sqrt {t\_{A}t\_{B}}}}.
Viimeisestä lausekkeesta voidaan laskea myös neliön sisäympyrän säde, kun {\displaystyle t\_{A}=t\_{B}={\tfrac {1}{2}}a}.

Katso myös
----------

* Syklinen nelikulmio, jossa ympyrä on piirretty nelikulmion ulkopuolelle.
* Bisentrinen nelikulmio, joka on samalla syklinen- ja tangentiaalinen nelikulmio.
* Säännöllinen monikulmio, jossa ympyrät ovat merkittävässä roolissa.

Lähteet
-------

* Radić, Mirko: Some relations and properties concerning tangential polygons.  *Mathematical Communications*, 1999, nro 4, s. 197–206. Osijek, Kroatia:  University of Osijek. ISSN 1331-0623. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 5.10.2013.  (englanniksi)

### Viitteet

1. 1 2 3 4 5  Weisstein, Eric W.: Tangential Quadrilateral (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. 1 2 3 4  Hajja, Mowaffaq: A Condition for a Circumscriptible Quadrilateral to be Cyclic.  *Forum Geometricorum*, 2008, nro 8, s. 103–106. ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 23.9.2013.  (englanniksi)
3. 1 2 3  Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan: *Mathematical Olympiad Treasures*, s. 64–68. kappale 2.7 *Quadrilaterals with an inscribed circle*. Springer, 2004. Teoksen verkkoversio (Google-book) (viitattu 23.9.2013).
4. ↑  Seppänen, Raimo et al.: *MAOL*, s. 31. (lukion taulukkokirja, keltainen). Helsinki: Otava, 2005. ISBN 978-951-1-20607-1.
5. ↑  Radić, Mirko: Some relations and properties... s. 198, alku
6. 1 2  Radić, Mirko: Some relations and properties... s. 198, kaava (3)
7. ↑  Radić, Mirko: Some relations and properties... s. 200
8. ↑  Radić, Mirko: Some relations and properties... s. 201, todistus