Vauhtipyörissä on suuri hitausmomentti, mikä tasaa koneen epätasaista käyntiä.
**Hitausmomentti** eli **inertiamomentti** (tunnus *J* tai *I*) vastaa pyörivässä liikkeessä etenemisliikkeen massaa. Hitausmomentin SI-järjestelmän mukainen yksikkö on kg·m² (kilogramma kertaa metri toiseen). Mitä suurempi kappaleen hitausmomentti on, sitä suurempi momentti vaaditaan, jotta kappale saadaan kiihtymään halutulla kulmakiihtyvyydellä.

Hitausmomentilla (tarkemmin tasopinnan hitausmomentilla) tarkoitetaan joskus lujuusopissa myös jäyhyyttä.

Matemaattinen määritelmä
------------------------

Etäisyydellä *r* pyörimisakselista oleva pistemäisen massan *m* hitausmomentti on

{\displaystyle J=mr^{2}.}
Useista pienistä massoista koostuvassa systeemissä hitausmomentti on kaikkien yksittäisten massojen aiheuttamien hitausmomenttien summa:

{\displaystyle J=\sum \_{i}m\_{i}r\_{i}^{2}.}
Jatkuva massajakauma koostuu äärettömästä määrästä pistemäisiä massoja. Kappaleen kokonaishitausmomentti saadaan integroimalla kaikki massat kolmiulotteisen avaruuden yli:

{\displaystyle J=\int r^{2}\,dm,}
missä {\displaystyle \scriptstyle dm} on tiheysjakauma tilan yli. Koska {\displaystyle \scriptstyle m=\rho V}, saadaan

{\displaystyle dm=\rho \,dV.}

Erilaisten kappaleiden hitausmomentteja
---------------------------------------

* Massattoman varren päässä oleva pieni kappale: *J = mr²*, jossa *r* on kohtisuora etäisyys pyörimisakselista ja *m* kappaleen massa
* Tanko, joka toimii heilurina pyörimisakselin ollessa tangon toisessa päässä, hitausmomentti *J = 1/3 · ml²*, jossa *l* on tangon pituus
* Tangon, jonka pyörimisakseli on keskipisteessä, hitausmomentti *J = 1/12 · ml²*
* Ympyrälevyn ja umpinaisen sylinterin hitausmomentti *J = 1/2 · mr²*
* Ympyrärenkaan ja ohutseinäisen sylinterin hitausmomentti *J = mr²*
* Umpinaisen pallon hitausmomentti *J = 2/5 · mr²*
* Ohutseinäisen pallon hitausmomentti *J = 2/3 · mr²*

Hitausmomenttitensori
---------------------

Tarkastellaan jäykkää kappaletta, joka koostuu {\textstyle n}:stä kappaleesta, joiden massat ovat {\textstyle m\_{\alpha }}, missä {\textstyle \alpha =1,2,3,\dotsc ,n}. Oletetaan, että kappale pyörii hetkellisesti kulmanopeudella {\textstyle {\vec {\omega }}} jonkin kappaleeseen kiinnitetyn pisteen suhteen. Jos tämä kiinnitetty piste liikkuu suoraviivaisesti nopeudella {\textstyle {\vec {v}}} ulkoisen tarkastelijan koordinaatistossa, on minkä tahansa massapisteen nopeus

{\displaystyle {\vec {v}}\_{\alpha }={\vec {v}}+{\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\_{\alpha }}, 

missä {\textstyle {\vec {r}}\_{\alpha }} kyseisen pisteen paikkavektori kappaleen omassa koordinaatistossa. Kappaleen kineettinen energia on tällöin

{\displaystyle K=K\_{\text{trans}}+K\_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }v^{2}+{\frac {1}{2}}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }({\vec {\omega }}\times {\vec {r}}\_{\alpha })^{2}}. 

Koska ristitulon pituuden neliö voidaan kirjoittaa

{\displaystyle \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)^{2}=\left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)\cdot \left({\vec {a}}\times {\vec {b}}\right)=a^{2}b^{2}-\left({\vec {a}}\cdot {\vec {b}}\right)^{2}},

on rotaatioenergia on tällöin

{\displaystyle K\_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }\left(\omega ^{2}r\_{\alpha }^{2}-\left({\vec {\omega }}\cdot {\vec {r}}\_{\alpha }\right)^{2}\right)}. 

Jaetaan kulmanopeus- ja paikkavektorit komponentteihinsa {\textstyle {\vec {\omega }}=(\omega \_{1},\omega \_{2},\omega \_{3})^{\mathbf {T} }} ja {\textstyle {\vec {r}}\_{\alpha }=(x\_{\alpha ,1},x\_{\alpha ,2},x\_{\alpha ,3})^{\mathbf {T} }}. Nyt rotaatioenergia kirjoitetaan muodossa

{\displaystyle K\_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }\left(\left(\sum \_{i}\omega \_{i}^{2}\right)\left(\sum \_{k}x\_{\alpha ,k}^{2}\right)-\left(\sum \_{i}\omega \_{i}x\_{\alpha ,i}\right)\left(\sum \_{j}\omega \_{j}x\_{\alpha ,j}\right)\right)}. 

Kroneckerin deltan avulla vektorien komponenteille pätee {\textstyle \omega \_{i}=\sum \_{j}\omega \_{j}\delta \_{ij}}, joten: 

{\displaystyle {\begin{aligned}K\_{\text{rot}}&={\frac {1}{2}}\sum \_{\alpha }\sum \_{i,j}m\_{\alpha }\left(\omega \_{i}\omega \_{j}\delta \_{ij}\left(\sum \_{k}x\_{\alpha ,k}^{2}\right)-\omega \_{i}\omega \_{j}x\_{\alpha ,i}x\_{\alpha ,j}\right)\\&={\frac {1}{2}}\sum \_{i,j}\omega \_{i}\omega \_{j}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }\left(\delta \_{ij}\sum \_{k}x\_{\alpha ,k}^{2}-x\_{\alpha ,i}x\_{\alpha ,j}\right)\end{aligned}}}

Määritellään {\textstyle \alpha }-summan {\textstyle ij}:s termi suureeksi {\textstyle J\_{ij}}, ts. 

{\displaystyle J\_{ij}=\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }\left(\delta \_{ij}\sum \_{k}x\_{\alpha ,k}^{2}-x\_{\alpha ,i}x\_{\alpha ,j}\right)}. 

Tällöin rotaatioenergia voidaan kirjoittaa tutumpaan muotoon: 

{\displaystyle K\_{\text{rot}}={\frac {1}{2}}\sum \_{i,j}J\_{ij}\omega \_{i}\omega \_{j}={\frac {1}{2}}J\omega ^{2}}, 

missä {\textstyle J} on kappaleen hitausmomentti (skalaari). Termejä {\textstyle J\_{ij}} on yhdeksän kappaletta ja ne voidaan sijoittaa {\textstyle 3\times 3}-matriisin alkioiksi: 

{\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(x\_{\alpha ,2}^{2}+x\_{\alpha ,3}^{2})&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,1}x\_{\alpha ,2}&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,1}x\_{\alpha ,3}\\-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,2}x\_{\alpha ,1}&\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(x\_{\alpha ,1}^{2}+x\_{\alpha ,3}^{2})&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,2}x\_{\alpha ,3}\\-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,3}x\_{\alpha ,1}&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha ,3}x\_{\alpha ,2}&\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(x\_{\alpha ,1}^{2}+x\_{\alpha ,2}^{2})\end{matrix}}\right\}}

Matriisia {\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}} kutsutaan **hitausmomenttitensoriksi** ja se on luonteeltaan tensori. Matriisin lävistäjäalkiot {\textstyle J\_{11}}, {\textstyle J\_{22}} ja {\textstyle J\_{33}} ovat kappaleen **hitausmomentit {\textstyle x\_{1}}-, {\textstyle x\_{2}}- ja {\textstyle x\_{3}}-akselien suhteen**. Jos käytetään koordinaattien {\textstyle (x\_{\alpha ,1},x\_{\alpha ,2},x\_{\alpha ,3})} sijaan karteesisia koordinaatteja {\textstyle (x\_{\alpha },y\_{\alpha },z\_{\alpha })} ja merkitsemällä {\textstyle r\_{\alpha }^{2}=x\_{\alpha }^{2}+y\_{\alpha }^{2}+z\_{\alpha }^{2}}, tensori {\textstyle \left\{\mathbf {J} \right\}} voidaan kirjoittaa helppokäyttöisempään muotoon: 

{\displaystyle \{\mathbf {J} \}=\left\{{\begin{matrix}\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(r\_{\alpha }^{2}-x\_{\alpha }^{2})&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha }y\_{\alpha }&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }x\_{\alpha }z\_{\alpha }\\-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }y\_{\alpha }x\_{\alpha }&\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(r\_{\alpha }^{2}-y\_{\alpha }^{2})&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }y\_{\alpha }z\_{\alpha }\\-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }z\_{\alpha }x\_{\alpha }&-\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }z\_{\alpha }y\_{\alpha }&\sum \_{\alpha }m\_{\alpha }(r\_{\alpha }^{2}-z\_{\alpha }^{2})\end{matrix}}\right\}}

Hitausmomenttitensori on symmetrinen, ts. {\textstyle J\_{ij}=J\_{ji}}. Hitausmomenttitensorille pätevät samat matriisien yhteenlaskusäännöt, joten mielivaltaisen muotoisen kappaleen hitausmomenttitensori voidaan rakentaa summaamalla sen eri osien hitausmomenttitensorit. Edelleen, jos kappaleen massajakauma on jatkuva siten, että sen tiheys on {\textstyle \rho =\rho ({\vec {r}})}, niin 

{\displaystyle J\_{ij}=\iiint \_{V}\rho ({\vec {r}})\left(\delta \_{ij}\sum \_{k}x\_{k}^{2}-x\_{i}x\_{j}\right)\,\mathrm {d} V}, 

missä {\textstyle \mathrm {d} V=\mathrm {d} x\_{1}\,\mathrm {d} x\_{2}\,\mathrm {d} x\_{3}} on paikkavektorin {\textstyle {\vec {r}}} osoittamassa pisteessä oleva differentiaalinen tilavuusalkio ja {\textstyle V} on kappaleen tilavuus.

Katso myös
----------

* Liikemäärä
* Pyörimismäärä
* Steinerin sääntö

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5 6  Thornton, Stephen T. & Marion, Jerry B.: *Classical Dynamics of Particles and Systems, 5. painos*, s. 415–418. Brooks/Cole, Cengage Learning, 2008. ISBN 978-0-495-55610-7. (englanniksi)