*Tämä artikkeli kertoo kartioleikkauksesta, muut merkitykset sivulla Ellipsi (täsmennyssivu).*
Ellipsi

|  |
| --- |
| Osa artikkelisarjaa**Geometria** |
|  |
| **Tasogeometria**
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
**Avaruusgeometria**
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
**Euklidinen geometria**
Paralleeliaksiooma
**Epäeuklidinen geometria**
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
**Analyyttinen geometria** |

**Ellipsi** (suomalaisittain yleensä **soikio** tai joskus myös **ovaali**) on suljettu toisen asteen käyrä. Ellipsi on myös yksi kartioleikkauksista, niiden tason pisteiden joukko, joiden etäisyyksien summa kahdesta annetusta pisteestä on vakio.

Matemaattinen määritelmä tehdään seuraavasti. Olkoot *F1* ja *F2* kaksi tason kiinteätä pistettä. Ellipsi on käyrä, jolle kuuluu jokainen tason piste *X*, jonka *F1*:stä ja *F2*:sta mitattujen etäisyyksien summalla X*F1 + XF2* on vakioarvo. 
Ellipsin soikeus määräytyy siitä, kuinka paljon on *XF1 + XF2* suurempi kuin pisteiden *F1* ja *F2* välinen etäisyys.

Pisteitä *F1* ja *F2* sanotaan ellipsin polttopisteiksi. Suoria, joiden suhteen ellipsi on symmetrinen, sanotaan ellipsin *akseleiksi*. Suoraa *AB* kutsutaan ellipsin *isoakseliksi*. Jana *a* on isoakselin puolikas. Suoraa *CD* kutsutaan ellipsin *pikkuakseliksi*. Jana *b* on pikkuakselin puolikas.

Pinta-ala
---------

Ellipsin pinta-ala A saadaan kaavasta

{\displaystyle A=\pi \cdot ab,} missä *a* ja *b* ovat ellipsin puoliakseleita.
Kaavasta voidaan huomata, että erityistapauksessa, jossa puoliakselit ovat yhtä pitkiä, kuvio on ympyrä ja pinta-alan lausekkeeksi tulee *π·r²*.

Ellipsin kehän pituutta p ei voi alkeisfunktioiden avulla lausua suljetussa muodossa. Tarkka kaava on

{\displaystyle p=4\ a\int \_{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-\epsilon ^{2}\sin ^{2}{t}}}\;dt,}

jossa \epsilon  on ellipsin eksentrisyys. Se sisältää toisen lajin elliptisen integraalin.

Ellipsin yhtälö
---------------

Kun ellipsin keskipiste on pisteessä *(x0,y0)*, on sen yhtälö muotoa

{\displaystyle {\frac {(x-x\_{0})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y\_{0})^{2}}{b^{2}}}=1\!} , jossa a,b\in\mathbb{R}.
Ellipsin yhtälö parametrimuodossa:

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}x=x\_{0}+a\cos {t}\\y=y\_{0}+b\sin {t}\end{matrix}}\right.} , jossa {\displaystyle a,b,t,x\_{0},y\_{0}\in \mathbb {R} }.
Ellipsin yhtälö voidaan myös esittää muodossa

{\displaystyle Ax^{2}+Bxy+Cy^{2}+Dx+Ey+F=0\!} , jossa {\displaystyle A,B,C,D,E,F\in \mathbb {R} }.
Kaavoissa *a* on *x*-akselin suuntaisen puoliakselin pituus ja *b* *y*-akselin suuntaisen puoliakselin pituus.

Jos *a = b = r*, kyseessä on ympyrä, jonka säde on *r*.

Katso myös
----------

* Ellipsoidi

Lähteet
-------

1. 1 2  *ellipsi.* *Kielitoimiston sanakirja*. Helsinki: Kotimaisten kielten keskus, 2022.

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Ellipsi** Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Algebra ja geometria*. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.