**Nelivektori** on suhteellisuusteoriassa neljästä komponentista koostuva vektori, joka on määritelty neli­ulotteisessa aika-avaruudessa. Se on matemaattinen työkalu, jolla kuvastetaan aika-avaruuden relativistisia ilmiöitä. Minkowskin avaruudessa. Se eroaa tavallisesta euklidisesta vektorista siinä, että neli­vektorit muuntuvat koordinaatistosta toiseen siirryttäessä Lorentzin muunnoksen mukaisesti. 

Aika-avaruudessa sijaitsevaa tapahtumaa voidaan kuvata nelivektorilla, jossa on kolme paikka­koordinaattia ja yksi ajan koordinaatti. Nelivektorin komponenteilla on mahdollista kuvata myös energiaa ja liikemäärää.

Tässä artikkelissa neli­vektoreita käsitellään erityisen suhteellisuus­teorian mukaisesti. Vaikka neli­vektoreita käytetään myös yleisessä suhteellisuus­teoriassa, jotkin tässä artikkelissa mainitut tulokset eivät siinä enää sellaisenaan päde.

Tässä artikkelissa käytetään seuraavia merkintöjä: lihavoidut pienet kirjaimet merkitsevät kolmiulotteisia vektoreita, hatulla varustetut kirjaimet kolmiulotteisen avaruuden yksikkö­vektoreita, lihavoidut isot kirjaimet merkitsevät neli­vektoreita, poikkeuksena neli­gradientti. Lisäksi käytetään tensorien indeksi­notaatiota.

Nelivektorien algebra
---------------------

### Reaaliarvoisen kannan nelivektorit

Nelivektori *A* on vektori, jolla on yksi "ajan­luontoinen" ja kolme "paikan­luontoista" komponenttia. Sellaisille on käytössä useita samaa tarkoittavia merkintätapoja:

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\mathbf{e}\_0 + A^1 \mathbf{e}\_1 + A^2 \mathbf{e}\_2 + A^3 \mathbf{e}\_3 \\
& = A^0\mathbf{e}\_0 + A^i \mathbf{e}\_i \\
& = A^\alpha\mathbf{e}\_\alpha\\
\end{align}
Yläindeksit tarkoittavat kontravariantteja komponentteja. Tavanomainen käytäntö on, että latinalaisilla kirjaimilla indeksoidaan ainoastaan paikanluontoiset komponentit, *i* = 1, 2, 3, kun taas kreikkalaisia kirjaimia käytetään indeksoitaessa komponentit Einsteinin summaussäännön mukaisesti, kun myös ajan­luontoinen komponentti on mukana: *a* = 0, 1, 2, 3, missä 0 vastaa ajan­luontoista komponenttia. Jako ajan- ja paikan­luontoisiin komponentteihin on hyödyllinen määriteltäessä nelivektorien ja muiden tensori­suureiden välisiä riippuvuuksia kuten laskettaessa Lorentz-invariantteja sisätuloina, mistä jäljempänä esitetään esimerkkejä. 

Erityisessä suhteellisuus­teoriassa paikan­luontoinen kantana **e**1, **e**2, **e**3 ja komponentteina *A*1, *A*2, *A*3 käytetään usein karteesista kantaa ja komponentteja:

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A\_t, \, A\_x, \, A\_y, \, A\_z) \\
& = A\_t \mathbf{e}\_t + A\_x \mathbf{e}\_x + A\_y \mathbf{e}\_y + A\_z \mathbf{e}\_z \\
\end{align}
vaikka luonnollisesti muitakin kantoja ja koordinaatteja voidaan käyttää, esimerkiksi pallokoordinaatistoa

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A\_t, \, A\_r, \, A\_\theta, \, A\_\phi) \\
& = A\_t \mathbf{e}\_t + A\_r \mathbf{e}\_r + A\_\theta \mathbf{e}\_\theta + A\_\phi \mathbf{e}\_\phi \\
\end{align},
sylinterikoordinaatistoa, 

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A\_t, \, A\_r, \, A\_\theta, \, A\_z) \\
& = A\_t \mathbf{e}\_t + A\_r \mathbf{e}\_r + A\_\theta \mathbf{e}\_\theta + A\_z \mathbf{e}\_z \\
\end{align}
tai mitä tahansa ortogonaalisia tai jopa käyrä­viivaista koordinaatistoa]]. On huomattava, että tässä ala­indekseinä käytetyt tunnukset eivät ole indeksejä, jotka saavat lukuarvoja. Yleisessä suhteellisuus­teoriassa on käytettävä paikallista käyrä­viivaista koordinaatistoa. Geometrisesti neli­vektoreitakin voidaan kuvata nuolilla, mutta aika-avaruudessa, ei pelkästään avaruudessa. Suhteellisuus­teoriassa nuolet piiretään aika-avaruus-diagrammiin eli Minkowskin diagrammiin. Jäljempänä neli­vektoreita sanotaan usein lyhyesti vektoreiksi.

On myös tavallista esittää kannan muodostavat yksikkövektorit muodossa 

  

 \mathbf{e}\_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}\_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}\_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}\_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} 
niin, että 

 \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} 
Indeksit on tapana kirjoittaa alaindekseinä kovarianttien ja yländekseinä kontravarianttien nelivektorien tapauksessa. Kovariantti neli­vektori voidaan näin ilmaista muodossa \scriptstyle x\_{\mu}=(x\_1,~x\_2,~x\_3,~x\_4)=(ct,-x,-y,-z). Kovariantti neli­vektori \scriptstyle x\_{\mu} saadaan, kun kerrotaan kontra­variantti neli­vektori \scriptstyle x^{\nu} metrisellä tensorilla \scriptstyle g\_{\mu\nu}=g^{\mu\nu}:

g\_{\mu\nu} x^{\nu}= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} ct \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} ct \\ -x \\ -y \\ -z \end{bmatrix}=x\_{\mu}.
Eri merkintätavoilla kovariantit komponentit ovat:

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A\_0, \, A\_1, \, A\_2, \, A\_3) \\
& = A\_0\mathbf{e}^0 + A\_1 \mathbf{e}^1 + A\_2 \mathbf{e}^2 + A\_3 \mathbf{e}^3 \\
& = A\_0\mathbf{e}^0 + A\_i \mathbf{e}^i \\
& = A\_\alpha\mathbf{e}^\alpha\\
\end{align}
missä alaindeksit osoittavat kyseessä olevan kovariantti vektori. Usein metriikka on diagonaalinen, kuten 
orto­gonaalisten mutta ei yleisten käyrä­viivaisten koordinaattien tapauksessa.

Kanta voidaan esittää rivivektoreina:

 \mathbf{e}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} 
niin että:

 \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A\_0 & A\_1 & A\_2 & A\_3 \end{pmatrix} 
Perusteena näille merkintätavoille on se, että sisätulo on skalaari.

### Lorentzin muunnos

Jos oletetaan kaksi inertiaalista tai pyörivää vertailujärjestelmää, neli­vektori voidaan määritellä suureeksi, joka muuntuu Lorentz-muunnosmatriisin \Lambda mukaisesti:

\mathbf{A}'=\boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}\,\!
Indeksimerkintöjä käytettäessä kontravariantit komponentit muuntuvat seuraavasti:

{A'}^\mu = \Lambda^\mu {}\_\nu A^\nu
ja kovariantit komponentit seuraavasti:

\quad {A'}\_\mu = \Lambda\_\mu {}^\nu A\_\nu
missä matriisilla \Lambda on komponentit *Λµ?* rivillä *µ* ja sarakkeella *ν,*, ja sen käänteismatriisin **Λ**-1 komponentit ovat *Λµν,* rivillä *µ* ja sarakkeella *ν,*. 

Esimerkiksi tapahtuman neli­paikka S muunnetaan Lorentz-muunnoksella toiseen inertiaali­koordinaatistoon seuraavasti: \mathfrak{s}' = \mathfrak{L}\mathfrak{s}, tässä \mathfrak{L} on 4x4-matriisi

\mathfrak{L}=\begin{bmatrix} \gamma & 0 & 0 & i\gamma\beta \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -i\gamma\beta & 0 & 0 & \gamma \end{bmatrix}. 

Aika-avaruus­intervalli saa neli­vektoreilla muodon \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = x^2 + y^2 + z^2 - c^2 t^2. Aika-komponentin imaginaarisella kertoimella on siis suuri merkitys. Huomataan että aika-avaruusintervalli säilyy Lorentz-muunnoksessa, siis \mathfrak{s}^T \mathfrak{s} = \mathfrak{s'}^T \mathfrak{s'}.

Kaikki neli­vektorit muuntuvat samalla tavalla, ja tämä voidaan yleistää neli­ulotteisille relati­visti­sille tensoreille.

#### Puhtaat kierrot mielivaltaisen akselin ympäri

Jos oletetaan kaksi kiinteän kulman θ toisistaan erottamaa, yksikkö­vektorien määrittelemää vertailu­järjestelmää

\hat{\mathbf{n}} = (\hat{n}\_1,\hat{n}\_2,\hat{n}\_3)\,,
matriisin Λ komponentit ovat:

\Lambda\_{00} = 1 
 \Lambda\_{0i} = \Lambda\_{i0} = 0 
\Lambda\_{ij} = (\delta\_{ij} - \hat{n}\_i \hat{n}\_j) \cos\theta - \varepsilon\_{ijk} \hat{n}\_k \sin\theta + \hat{n}\_i \hat{n}\_j 
missä *dij* on Kroneckerin delta ja *eijk* on kolmiulotteinen Levin-Civitan symboli. Neli­vektorin paikan­luontoiset komponentit kiertyvät, kun taas ajan­luontoinen komponentti pysyy muuttumattomana.

Jos rotaatio tapahtuu vain *z*-akselin ympäri, Lorentzin matriisin paikan­luontoinen osa yksin­kertaistuu rotaatiomatriisiksi *z*-akselin ympäri:

\begin{pmatrix}
{A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & \cos\theta &-\sin\theta & 0 \\
0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix}\ .

#### Tasaiset liikkeet mielivaltaiseen suuntaan

Tavanomainen koordinaatiston muunnos:Lorentzin siirtymä *x*-akselin suunnassa.
Kun kaksi vertailu­järjestelmää liikkuu toistensa suhteen tasaisella nopeudella **v** (tässä tarkoitetaan tavan­omaista nopeutta kolmi­ulotteisessa avaruudessa, ei jäljempänä määriteltävää neli­nopeutta), on kätevää käyttää suhteellisen nopeuden yksikkönä valon­nopeutta *c* seuraavasti:

 \boldsymbol{\beta} = (\beta\_1,\,\beta\_2,\,\beta\_3) = \frac{1}{c}(v\_1,\,v\_2,\,v\_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,. 
Täten kun rotaatiota ei ole eli molempien vertailu­järjestelmien koordinaatti­akselit ovat saman­suuntaiset, matriisin **Λ** komponentit ovat:

 \begin{align} \Lambda\_{00} & = \gamma, \\
\Lambda\_{0i} & = \Lambda\_{i0} = - \gamma \beta\_{i}, \\
\Lambda\_{ij} & = \Lambda\_{ji} = ( \gamma - 1 )\dfrac{\beta\_{i}\beta\_{j}}{\beta^{2}} + \delta\_{ij}= ( \gamma - 1 )\dfrac{v\_i v\_j}{v^2} + \delta\_{ij}, \\
\end{align}
\,\!
missä \gamma on Lorentzin tekijä

 \gamma = \frac{1}{\sqrt{1- \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,
ja *δij* on Kroneckerin delta. Toisin kuin pelkän rotaation tapauksessa, tasaisessa suora­viivaisessa liikkeessä matriisin paikan- ja ajan­luontoiset komponentit kytkeytyvät toisiinsa.

Kun liike tapahtuu ainoastaan *x*-akselin suuntaan, matriisi yksin­kertaistuu muotoon

\begin{pmatrix}
A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\
-\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\
0 & 0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3
\end{pmatrix} 

missä käytetään rapiditeettia \phi , joka voidaan ilmaista hyper­bolisten funktioiden avulla:

\gamma = \cosh \varphi

Tämä Lorentzin matriisi osoittaa, että etenemis­liike voidaan käsittää hyper­boliseksi rotaatioksi neliulotteisessa aika-avaruudessa, jolloin se on analoginen ympyräliikkeelle kolmi­ulotteisessa avaruudessa.

### Ominaisuudet

#### Lineaarisuus

Nelivektoreilla on samat lineaarisuus­ominaisuudet kuin euklidisilla vektoreilla kolmessa ulottuvuudessa. Niitä voidaan laskea yhteen tavalliseen tapaan:

\mathbf{A}+\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3) 
ja ne voidaan kertoa skalaarilla λ komponenteittain:

\lambda\mathbf{A} = \lambda(A^0, A^1, A^2,A^3) = (\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3) 
Samoin vähennyslasku on nelivektoreillakin yhteenlaskun käänteistoimitus, joka määritellään komponenteittain:

\mathbf{A}+(-1)\mathbf{B} = (A^0, A^1, A^2,A^3) + (-1)(B^0, B^1, B^2,B^3) = (A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3) 
#### Sisätulo

*Katso myös: Intervalli (fysiikka)*
Kahden nelivektorin **A** ja **B** sisätulo eli skalaaritulo määritellään Einsteinin notaatiota käyttäen seuraavasti:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta\_{\mu \nu} B^{\nu} 
missä \eta on Minkowskin metriikka. Tässä yhteydessä sisätuloa sanotaan myös Minkowskin sisä­tuloksi. Asian havain­nollis­tamiseksi on kätevää kirjoittaa määritelmä uudestaan matriisimuodossa seuraavasti:

\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta\_{00} & \eta\_{01} & \eta\_{02} & \eta\_{03} \\ \eta\_{10} & \eta\_{11} & \eta\_{12} & \eta\_{13} \\ \eta\_{20} & \eta\_{21} & \eta\_{22} & \eta\_{23} \\ \eta\_{30} & \eta\_{31} & \eta\_{32} & \eta\_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} 
missä tapauksessa ημν tarkoittaa rivillä *µ* ja sarakkeessa *ν* olevaa lukua Minkowskin metriikkaa esittävässä neliömatriisissa. Minkowskin metriikka ei ole euklidinen metriikka, koska siinä kahden aika-avaruuden eri pisteenkin (tapahtuman) välinen intervalli voi olla nolla. Sisätulo voidaan kirjoittaa monella muullakin tavalla, koska metrinen tensori muuttaa **A**:n ja **B**:n kovariantit komponentit kontra­varianteiksi tai päinvastoin. Näille komponenteille pätee:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A\_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B\_{\mu} 
tai matriisimuodossa:

\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A\_0 & A\_1 & A\_2 & A\_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B\_0 & B\_1 & B\_2 & B\_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} 
kun taas **A**:n ja **B**:n kovarianteille komponenteille pätee:

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A\_{\mu} \eta^{\mu \nu} B\_{\nu} 
tai matriisi­muodossa samaan tapaan kuin edellä.

Nelivektorin **A** sisätuloa itsensä kanssa sanotaan vektorin normiksi, ja se merkitään ja määritellään seuraavasti:

 \|\mathbf{A}\|^2 = \mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta\_{\mu\nu} A^\nu 
Intuitiivisesti sen voidaan käsittää merkitsevän neli­vektorin pituuden tai suuruuden neliötä. Neli­vektorin pituus, jota sanotaan myös sen magnitudiksi, ei kuitenkaan välttämättä ole positiivinen, toisin kuin kolmi­ulotteisten vektorien euklidisessa avaruudessa.

Seuraavassa esitetään kaksi tavallisinta valintaa metriseksi tensoriksi standardi­kannassa, joka vastaa oleellisesti
karteesisia koordinaatteja. Jos käytetään orto­gonaalisia koordinaatteja, tarvitaan skaalatekijöitä metriikan paikan­luontoisen osan diagonaalisessa suunnassa, kun taas yleisissä käyrä­viivaisissa koordinaateissa metriikan koko paikan­luontoisen osan komponentit riippuisivat käytetystä käyräviivaisesta kannasta.

##### Standardikanta, etumerkit (+---)

Etumerkkikäytännössä (+---) summaus indeksien yli johtaa tulokseen 

\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 
tai matriisimuodossa:

\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} 
Erityisessä suhteellisuusteoriassa on yleinen käytäntö ottaa lauseke

 \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = C
yhteen vertailu­järjestelmään, missä *C* on tämän vertailu­järjestelmän sisätulon arvo ja

 \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3 {B'}^3 = C' 
toisessa vertailu­järjestelmässä, missä *C*′ on sisä­tulon arvo tässä järjestelmässä. Koska sisä­tulo on invariantti, näiden on oltava yhtä suuret:

 \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' 
toisin sanoen:

 C = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3{B'}^3 
Koska fysikaaliset suureet suhteellisuus­teoriassa ovat yleensä neli­vektoreita, tämä yhtälö on muistuttaa säilymis­lakeja, mutta se ei esitä minkään suureen säilymistä. Minkowskin sisätulon ensi­sijainen merkitys on siinä, että mille tahansa kahdelle nelivektorille sen arvo on invariantti eli sama kaikissa vertailu­järjestelmissä ja kaikille havaitsijoille; koordinaatiston vaihdos ei johda sisätulon arvon muutokseen. Nelivektorin komponentit sitä vastoin muuttuvat siirryttäessä koordinaatistosta toiseen; **A** ja **A′** liittyvät toisiinsa Lorentzin muunnoksen osoittamalla tavalla, ja samoin **B** and **B′**. Tämäntapaista lauseketta kuitenkin käytetään suhteellisuus­teoreettisissa laskuissa säilymis­lakien tavoin, koska komponenttien suuruudet voidaan määrittää suorittamatta ekspli­siitti­sesti Lorentzin muunnosta. Erityisen esimerkin tästä muodostavat energia ja liikemäärä, jotka yhdistyvät samaksi neli­vektoriksi, neliliikemääräksi.

Näillä merkkisäännöillä vektorin **A** normi on:

 \|\mathbf{A}\|^2 = (A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2 
Niinpä (+---) -merkki­sääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||**A**|| < 0, ajan­luontoinen, jos ||**A**|| > 0 ja nolla­vektori, jos ||**A**|| = 0.

##### Standardikanta, etumerkit (-+++)

Jotkut kirjoittajat määrittelevät \eta:n päin­vastaisin etumerkein, missä tapauksessa saadaan etumerkki­käytäntö (-+++). Tässä tapauksessa summaus johtaa tulokseen:

\mathbf{A \cdot B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 
matriisimuodossa:

\mathbf{A \cdot B} = \left( \begin{matrix}A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{matrix} \right) 
\left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right)
\left( \begin{matrix}B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{matrix} \right) 
On huomattava, että tässä tapauksessa yhdessä vertailujärjestelmässä pätee:

 \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -C 
toisessa sen sijaan:

 \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3 = -C'
joten:

 -C = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3{B'}^3
ja näin ollen *C* saadaan edellisen kanssa yhtä­pitävästi *A*.n ja *B*:n avulla. Kumpikin käytäntö toimii yhtä hyvin. Nämä kaksi eri tavalla määriteltyä Minkowskin metriikkaa eroavat toisistaan vain neli­vektorin kovarianttien ja kontra­varianttien komponenttien etu­merkkien osalta, toisin sanoen etu­merkit riippuvat siitä, kumpaa käytäntöä noudatetaan.

Tämän etumerkki­käytännön mukaisesti normin neliö on:

 \|\mathbf{A}\|^2 = - (A^0)^2 + (A^1)^2 + (A^2)^2 + (A^3)^2 
Niinpä (-+++) -merkkisääntöjä käytettäessä neli­vektori on paikan­luontoinen, jos ||**A**|| > 0, ajan­luontoinen, jos ||**A**|| > 0 ja nollavektori, jos ||**A**|| = 0.

##### Duaalivektorit

Sisätulo esitetään usein ensimmäisen vektorin duaalivektorin ja jälkimmäisen vektorin tulona:

\mathbf{A \cdot B} = A^\*(\mathbf{B}) = A{\_\nu}B^{\nu}. 
Tässä *Aν*:t ovat **A**:n duaalivektorin *A*\* komponentit duaali­kannassa, ja niitä sanotaan **A**:n *kovarianteiksi koordinaateiksi*, kun taas alkuperäisiä komponentteja *Aν* sanotaan sen *kontra­varianteiksi koordinaateiksi*.

Nelivektorien derivaatat ja differentiaalit
-------------------------------------------

Erityisessä (mutta ei yleisessä) suhteellisuus­teoriassa neli­vektorin derivaatta invariantin skalaarin λ suhteen on sekin neli­vektori. Usein on myös kätevää käyttää neli­vektorin differentiaalia *d*A ja jakaa se skalaarin λ differentiaalilla *dλ*:

\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda} 
missä kontravariantit komponentit ovat:

 d\mathbf{A} = (dA^0, dA^1, dA^2, dA^3) 
ja kovariantit koordinaatit:

 d\mathbf{A} = (dA\_0, dA\_1, dA\_2, dA\_3) 
Relativistisessa mekaniikassa neli­vektorin differentiaali jaetaan usein itseis­ajan differtiaalilla.

Perustavia nelivektoreita
-------------------------

### Nelipaikka

Minkowskin avaruuden pisteillä, joita sanotaan myös "tapahtumiksi", on paikallinen ja ajallinen sijainti, ja sen ilmaisee nelipaikkavektori eli nelipaikka, joka annetussa vertailujärjestelmässä voidaan ilmaista neljän koordinaatin avulla:

 \mathbf{X}= \left(ct, \mathbf{r}\right) 
Tässä **r** on pisteen paikkavektori kolmi­ulotteisessa avaruudessa. Jos **r** on aika­koordinaatin *t* funktio samassa vertailujärjestelmässä, toisin sanoen **r** = **r**(*t*), tämä vastaa tapahtumien sarjaa ajan *t* muuttuessa. Määritelmä *X*0 = *ct* merkitsee sitä, että kaikki koordinaatit voidaan ilmoittaa samoilla, mittayksiköillä, pituuden yksiköillä. Nämä koordinaatit ovat tapahtuman *paikka­neli­vektorin* komponentit. *Siirtymä­neli­vektori* määritellään kahta tapahtumaa yhdistävänä "nuolena":

 \Delta \mathbf{X} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) 
Nelipaikkavektorin sisätulo itsensä kanssa on

\|\mathbf{X}\|^2 = X^\mu X\_\mu=(c\tau)^2 = s^2 \,,
mikä *määrittelee* Minkowskin aika-avaruudessa intervallin *s* ja itseis­ajan *t*, jotka ovat invariantteja. Neli­paikka­vektorin differentiaalin sisä­tulo itsensä kanssa on:

\|d\mathbf{X}\|^2 = dX^\mu dX\_\mu=c^2d\tau^2=ds^2 \,,
mikä määrittelee differentiaalisen viivaelementin d*s* ja differentiaalisen itseis­ajan d*t*, mutta tämä normi on myös:

\|d\mathbf{X}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,,
niin että:

 (c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.
Fysikaalisia ilmiötä tarkasteltaessa päädytään luonnollisesti differentiaaliyhtälöihin. Funktioiden paikka- ja 
aika­derivaattoja tarkasteltaessa ei kuitenkaan ole selvää, minkä vertailu­järjestelmän suhteen ne on otettu. On sovittu, että aika­derivaatat otetaan itseisajan *t* suhteen. Koska itseisaika on invariantti, tämä takaa, että jokaisen neli­vektorin derivaatta itseisajan suhteen on myös neli­vektori. On tärkeä löytää yhteys tämän itseis­aika­derivaatan ja toisen aika­derivaatan, yleensä jonkin inertiaali­järjestelmän koordinaatti­ajan suhteen otetun derivaatan välillä. Tämä yhteys saadaan ottamalla edellä selitetty differentiaalinen invariantti aika-avaruus-intervalli ja jakamalla sitten suureella *cdt*2, jolloin saadaan:

 \left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,,
missä **u** = *d*r/*dt* on kohteen nopeus mitattuna samassa järjestelmässä kuin koordinaatit *x*, *y*, *z* ja koordinaattiaika *t*, ja 

 \gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1- \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}
on Lorentzin tekijä. Tästä saadaan käyttökelpoinen yhteys koordinaatti­ajan ja itseis­ajan suhteen otettujen differentiaalien välille:

 dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.
Tämä yhteys voidaan todeta myös siitä, miten aika muuntuu Lorentzin muunnoksessa. Suhteellisuus­teoriassa tärkeitä nelivektoreita voidaan saada jakamalla tällä differentiaalilla.

### Neligradientti

Koska osittais­derivaatat ovat lineaarisia operaattoreita, voidaan neligradientti muodostaa osittaiserivaatasta \partial/\partial t, ja avaruudellisesta gradientista \nabla. Käytettäessä standardikantaa indeksi- ja lyhennysmerkintöineen neligradientin kontravariantit komponentit ovat:

 \begin{align} 
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x\_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x\_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x\_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x\_3} \right) \\
& = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\
& = \mathbf{e}\_0\partial^0 - \mathbf{e}\_1\partial^1 - \mathbf{e}\_2\partial^2 - \mathbf{e}\_3\partial^3 \\
& = \mathbf{e}\_0\partial^0 - \mathbf{e}\_i\partial^i \\
& = \mathbf{e}\_\alpha \partial^\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, - \nabla \right) \\
& = \mathbf{e}\_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\
\end{align}
On otettava huomioon, että kantavektorit on asetettu komponenttien, jotta tämä ei sekaantuisi kantavektorien derivaattoihin tai yksinkertaisesti sen osoittamiseksi, että osittaisderivaatta on tämän nelivektorin komponentti. Kovariantit komponentit ovat:

 \begin{align}
\boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\
& = (\partial\_0, \, \partial\_1, \, \partial\_2, \, \partial\_3) \\
& = \mathbf{e}^0\partial\_0 + \mathbf{e}^1\partial\_1 + \mathbf{e}^2\partial\_2 + \mathbf{e}^3\partial\_3 \\
& = \mathbf{e}^0\partial\_0 + \mathbf{e}^i\partial\_i \\
& = \mathbf{e}^\alpha \partial\_\alpha \\
& = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} , \, \nabla \right) \\
& = \mathbf{e}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\
\end{align}
Koska tämä on operaattori, sillä ei ole "pituutta", mutta jos lasketaan muodollisesti tämän operaattorin sisätulo itsensä kanssa, saadaan toinen operaattori:

\partial^\mu \partial\_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 
jota sanotaan D'Alembertin operaattoriksi.

Nelivektoreita fysiikan eri aloilla
-----------------------------------

Kuten jäljempänä mainitut esimerkit osoittavat, monet sellaiset suureet, joita ei-relativistisessa fysiikassa pidetään skalaareina, osoittautuvat suhteellisuusteoriassa jonkin nelivektorisuureen ajanluontoiseksi komponentiksi. Saman nelivektorin paikanluontoiset komponentit vastaavat ei-relativistisessa fysiikassa jotakin vektorisuuretta.

### Kinematiikka

#### Nelinopeus

Hiukkasen nelinopeus määritellään seuraavasti:

\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}= \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u} \right),
Geometrisesti **U** on hiukkasen maailmanviivan tangenttivektori. Nelipaikan differentiaalin avulla voidaan laskea nelinopeuden magnitudi:

 \|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U\_\mu = \frac{dX^\mu }{d\tau} \frac{dX\_\mu }{d\tau}= \frac{dX^\mu dX\_\mu }{d\tau^2} = c^2 \,,
Todetaan, että kaikkien hiukkasten ja kappaleiden nelinopeuden magnitudi on aina valonnopeus *c*:

 \| \mathbf{U} \|^2 = c^2 \,
Normi voidaan esittää myös muodossa:

 \|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,
josta saadaan edelleen:

 c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,
mikä yksinkertaistuu Lorentzin tekijän määritelmäksi. 

#### Nelikiihtyvyys

Kappaleen nelikiihtyvyys määritellään seuraavasti:

\mathbf{A} =\frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).
missä **a** = *d*u/*dt* kolmiulotteinen kiihtyvyys. Koska **U**:n pituus on vakio, nelikiihtyvyys on (pseudo)-ortogonaalinen nelinopeuden kanssa, toisin sanoen nelinopeuden ja nelikiihtyvyyden Minkowskin sisätulo on nolla:

 \mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U\_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U\_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} (U^\mu U\_\mu) = 0 \,
kaikille maailmanviivoille. Geometrisesti nelikiihtyvyys merkitsee maailmanviivan kaarevuusvektoria Minkowskin avaruudessa.

### Dynamiikka

#### Neliliikemäärä

Massalliselle kappaleelle, jonka lepomassa tai invariantti massa on *m'*, neliliikemäärä määritellään:

\mathbf{P} = m \mathbf{U} = m\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = (E/c, \mathbf{p}) 
missä liikkuvan kappaleen kokonaisenergia on:

E = \gamma(\mathbf{u}) mc^2 
ja sen relativistinen kokonaisliikemäärä on:

\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m \mathbf{u} 
Laskemalla neliliikemäärän sisätulo itsensä kanssa saadaan:

 \|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P\_\mu = m^2 U^\mu U\_\mu = m^2 c^2
ja myös:

 \|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} 
mistä saadaan kappaleen energian ja liikemäärän välinen yhteys:

E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + (mc^2)^2 \,.
Tämä tulos on käyttökelpoinen relati­visti­sessa meka­niikassa ja oleellisen tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa sekä relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa, joita kaikkia sovelletaan hiukkas­fysiikassa.

#### Nelivoima

Hiukkaseen vaikuttava nelivoima määritellään vastaavalla tavalla kuin voima on Newtonin toisen lain mukaisesti määritelty liikemäärän aika­derivaattana:

 \mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt},\frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})(P/c,\mathbf{f}) 
missä *P* on se teho, jolla kappaleen liikkeeseen vaikutetaan, ja **f** kappaleeseen vaikuttava (kolmi­ulotteinen) voima. Kappaleeseen, jonka lepomassa *m* on vakio, vaikuttava nelivoima voidaan yhtä­pitävästi määritellä myös seuraavasti:

 \mathbf{F} = m \mathbf{A} = m\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right) 
Neli­voimalle ja neli­nopeudelle voidaan sen perusteella, mitä edellä todettiin neli­kiihtyvyydestä, johtaa tulos: 

 \mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U\_\mu = m A^\mu U\_\mu = 0
### Termodynamiikka

#### Nelilämpövuo

Nelilämpövuo on vektorikenttä, joka on oleellisesti saman­kaltainen kuin kolmi­ulotteinen lämpövuo **q** väli­aineen paikallisessa vertailujärjestelmässä:

\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = - k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) 
missä *T* on absoluuttinen lämpötila ja *k* lämmönjohtavuus.

#### Nelibaryonilukuvuo

Baryonien vuo on:

\mathbf{S}= n\mathbf{U}
missä *n* on baryonien lukumääräinen tiheys baryonien paikallisessa lepo­koordinaatistossa (positiivinen baryoneille, negatiivinen anti­baryoneille), ja
*U* on baryonien muodostaman aineen nelinopeus.

#### Nelientropia

Entropiaa vastaava nelivektori, *nelientropia*, määritellään:

\mathbf{s}= s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}
missä *s* on entropia baryonia kohti ja *T* absoluuttinen lämpötila aineen paikallisessa lepo­koordinaatistossa.

### Sähkömagnetismi

Seuraavassa on joitakin esimerkkejä sähkömagnetismiin liittyvistä neli­vektoreista.

#### Nelivirta

Sähkövirtaa kuvaava nelivektori, *nelivirta*, määritellään seuraavasti:

 \mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) 
missä **j** on virrantiheys ja ρ varaustiheys.

#### Nelipotentiaali

Sähkömagneettinen nelipotentiaali määritellään:

 \mathbf{A} = \left( \phi /c, \mathbf{a} \right) 
missä **a** on vektoripotentiaali ja ϕ skalaaripotentiaali. Nelipotentiaali ei ole yksi­käsitteisesti määritelty, koska se riippuu siitä, minkä kohdan potentiaali on valittu nolla­kohdaksi.

### Aaltoliike

#### Nelitaajuus

Tasoaaltoa voidaan kuvata neli­taajuudella, joka määritellään seuraavasti:

\mathbf{N} = \nu\left(1 , \hat{\mathbf{n}} \right)
missä *ν* on aallon taajuus ja \hat{\mathbf{n}} aallon etenemis­suuntaan osoittava yksikkövektori. Saadaan:

 \|\mathbf{N}\| = N^\mu N\_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0 
joten nelitaajuuden magnitudi on aina nolla.

#### Neliaaltovektori

Aalto­liikettä tarkas­tel­ta­essa käytetään usein aikaan *t* ja pituuteen *r* kääntäen verrannollisia suureita,
kulma­taajuutta *ω* ja aaltovektoria *k*. Suhteellisuus­teoriassa nämä voidaan yhdistää neli­vektoriksi, *neliaaltovektoriksi*:

\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \mathbf{k} \right) \,. 
Likipitäen monokromaattisen valon muodostamaa aaltopakettia kuvaa yhtälö:

\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu(1,\hat{\mathbf{n}}) = \frac{\omega}{c}\left( 1 , \hat{\mathbf{n}} \right) \,. 
Aineaaltoja koskevat de Broglien relaatiot voidaan yhdistää yhdeksi yhtälöksi:

\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K}\,.
missä *h* on Planckin vakio jaettuna 2π:llä. Tämän normin neliö on:

\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K\_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}\,,
ja yhdistämällä tämä sekä de Broglien relaatio

 \| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 \,,
saadaan energian ja liikemäärän yhteyttä vastaava relaatio aine­aalloille:

\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{mc}{\hbar}\right)^2 \,.
Voidaan todeta, että massattomilla hiukkasilla (*m* = 0) tästä saadaan:

\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,
tai ||**k**|| = *ω*/*c*. Tämä on yhteen­sopiva edellisen kanssa. Niinpä fotonien kolmi­liike­määrä on *ω*/*c* aaltojen etenemis­suunnassa, jonka määrittelee yksikkö­vektori \hat{\mathbf{n}}.

### Kvanttiteoria

Kvantti­mekaniikassa toden­näköisyyden neli­virta on analoginen sähkö­magneettiselle neli­virralle:

\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j}) 
missä *ρ* on aikakomponenttia vastaava toden­näköisyyden tiheysfunktio ja vektori '*j* on *toden­näköisyys­virta*. Epärelativistisessa kvantti­mekaniikassa tämä virta on aina hyvin määritelty, koska tiheyden ja virran lausekkeet ovat positiivisia ja ne voidaan tulkita toden­näköisyyksinä. Rela­ti­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ­ja kvanttikenttäteoriassa ei aina ole mahdollista määritellä virtaa, varsinkaan kun vuorovaikutukset otetaan huomioon.

Jos energia korvataan energiaoperaattorilla ja liikemäärä neliliikemäärän liikemääräoperaattorilla, saadaan
relati­visti­sissa aalto­yhtälöissä käytetty neliliikemääräoperaattori.

Muita muotoiluja
----------------

### Nelivektorit fysikaalisen avaruuden algebrassa

Nelivektori *A* voidaan määritellä myös käyttämällä Paulin matriiseja kantana, jolle voidaan käyttää monia yhtäpitäviä merkin­tätapoja:

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = (A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3) \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}\_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}\_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}\_2 + A^3 \boldsymbol{\sigma}\_3 \\
& = A^0\boldsymbol{\sigma}\_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}\_i \\
& = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}\_\alpha\\
\end{align}
tai eksplisiittisesti:

 \begin{align} 
\mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} + A^1 \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} + A^2 \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + A^3 \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\
& = \begin{pmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{pmatrix}
\end{align}.
Tässä muotoilussa neli­vektoria ei esitä reaali­arvoinen rivi- tai sarake­vektori vaan hermiittinen matriisi, siis sellainen, jonka transpoosin kompleksikonjugaatti on sama kuin alkuperäinen matriisi. Matriisin determinantti on neli­vektorin modulus ja näin ollen invariantti:

 \begin{align} 
|\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix} A^0 + A^3 & A^1 -i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 - A^3 \end{vmatrix} \\
& = (A^0 + A^3)(A^0 - A^3) - (A^1 -i A^2)(A^1 + i A^2) \\
& = (A^0)^2 - (A^1)^2 - (A^2)^2 - (A^3)^2
\end{align}
Tätä ideaa Paulin matriisien käyttämisestä kanta­vektoreina sovelletaan fysikaalisen avaruuden algebrassa, ja se on esimerkki Cliffordin algebrasta.

### Nelivektorit aika-avaruuden algebrassa

Aika-avaruuden algebra on toinen esimerkki Cliffordin algebrasta. Siinä myös gamma-matriisit voivat muodostaa kannan. Niitä sanotaan myös Diracin matriiseiksi, koska ne esiintyvät Diracin yhtälössä. Gamma-matriisit voidaan muodostaa usealla eri tavalla.

Feynmanin slash-notaatio on eräs lyhyt merkitätapa nelivektorille **A** gammamatriisien avulla:

\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A\_\alpha \gamma^\alpha = A\_0 \gamma^0 + A\_1 \gamma^1 + A\_2 \gamma^2 + A\_3 \gamma^3 
Gammamatriisien avulla lyhyesti kirjoitettu neliliikemäärä on tärkeä relati­visti­sessa kvantti­mekaniikassa ja relati­visti­sessa kvantti­kenttä­teoriassa. Diracin yhtälössä ja muissa
rela­tivisti­sissa aalto­yhtälöissä esiintyy muotoa

\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P\_\alpha \gamma^\alpha = P\_0 \gamma^0 + P\_1 \gamma^1 + P\_2 \gamma^2 + P\_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 + p\_x \gamma^1 + p\_y \gamma^2 + p\_z \gamma^3 
olevia termehä, joissa energia­komponentti *E* ja liike­määrä­komponentit (*px*,*py*, *pz*) korvataan niitä vastaavilla operaattoreilla.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Four-vector

Lähteet
-------

1. ↑  Øyvind Grøn & Sigbjorn Hervik: *Einstein's General Theory of Relativity: With Modern Applications in Cosmology*, s. 52. Springer, 2007. ISBN 9780387691992. (englanniksi)
2. ↑  Joseph Gallant: *Doing Physics with Scientific Notebook: A Problem Solving Approach*, s. 387. John Wiley & Sons, 2012. ISBN 9781119941569. (englanniksi)
3. ↑  Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (BSA), 2006, ISBN 0-07-145545-0
4. ↑  Alexander Voitkiv ja Joachim Ulrich: *Relativistic collisions of structured atomic particles*, s. 53. Springer, 2008. ISBN 9783540784203. (englanniksi)
5. ↑  T. Morii, C. S. Lim ja S. N. Mukherjee: *The physics of the standard model and beyond*, s. 249. World Scientific, 2004. ISBN 9789810245719. (englanniksi)
6. ↑  C. B. Parker: *McGraw Hill Encyclopaedia of Physics, 2. painos*, s. 1333. McGraw Hill, 1994. ISBN 0-07-051400-3.
7. ↑  Gravitation, J.B. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISAN 0-7167-0344-0
8. ↑  Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, B.G. Smith, Wiley, 2009, ISAN 978-0-470-01460-8
9. ↑  Relativity DeMystified, D. McMahon, Mc Graw Hill (ASB), 2006, ISAN 0-07-145545-0
10. ↑  Jean-Bernard Zuber & Claude Itzykson, *Quantum Field Theory*, s. 5 , ISBN 0-07-032071-3
11. ↑  Charles W. Misner, Kip S. Thorne & John A. Wheeler,*Gravitation*, s. 51, ISBN 0-7167-0344-0
12. ↑  George Sterman, *An Introduction to Quantum Field Theory*, pg 4 , ISBN 0-521-31132-2
13. ↑  Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
14. ↑  Relativistic heat conduction.  *Int. J. Heat Mass Trans.*, 2005, 48. vsk, nro 12. doi:10.1016/j.ijheatmasstransfer.2005.02.003.
15. ↑  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: *Gravitation*, s. 558–559. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
16. ↑  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: *Gravitation*, s. 567. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
17. ↑  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: *Gravitation*, s. 558. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.
18. ↑  Vladimir G. Ivancevic, Tijana T. Ivancevic (2008) *Quantum leap: from Dirac and Feynman, across the universe, to human body and mind*. World Scientific Publishing Company, ISBN 978-981-281-927-7, p. 41
19. ↑  J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne: *Gravitation*, s. 1142–1143. W.H. Freeman & Co, 1973. ISBN 0-7167-0344-0.