**Relativistinen dispersiorelaatio** on yhtälö, joka antaa yhteyden massallisen hiukkasen relativistisen liike-energian, massan ja liikemäärän välille. Se voidaan kirjoittaa muotoon

{\displaystyle E^{2}=(pc)^{2}+(mc^{2})^{2}} (1),

missä *E* on hiukkasen kokonaisenergia, {\displaystyle m} on sen massa (eli lepomassa), *p* on liikemäärä ja *c* on valonnopeus. Niiden kappaleiden osalta, joilla ei ole liikemäärää, yhtälö yksinkertaistuu massa-energiayhtälöksi {\displaystyle E=mc^{2}}, jossa kokonaisenergia on yhtä suuri kuin lepoenergia.

Diracin merimalli, jota käytettiin ennustamaan antimaterian olemassaolo, liittyy läheisesti energian ja liikemäärän väliseen yhteyteen.

Yhteys kaavaan {\displaystyle E=mc^{2}}
---------------------------------------

Energian ja liikemäärän yhteys liittyy läheisesti massan ja energian väliseen tunnettuun yhteyteen (E=mc²) molemmissa tulkinnoissaan: {\displaystyle E=mc^{2}} verannollistaa kokonaisenergian E, relativistiseen massaan m, kun taas {\displaystyle E\_{0}=m\_{0}c^{2}} verrannollistaa lepoenergian {\displaystyle E\_{0}} lepomassaan {\displaystyle m\_{0}}.

Toisin kuin kumpikaan näistä yhtälöistä, energia-liikemäärän yhtälö (1) verrannollistaa kokonaisenergian lepomassaan {\displaystyle m\_{0}}. Kaikki kolme yhtälöä pitävät paikkansa samanaikaisesti.

Erikoistapaukset
----------------

1. Jos kappale on massaton hiukkanen ( {\displaystyle m\_{0}} = 0 ), niin kaava (1) pienenee arvoon E = pc. Fotoneille tämä suhde löydettiin 1800-luvun klassisessa sähkömagnetismissa, säteilyn liikemäärän (aiheuttaen säteilypaineen) ja säteilyenergian välillä .
2. Jos kappaleen nopeus v on paljon pienempi kuin c niin (1) supistuu {\displaystyle E={\frac {1}{2}}m\_{0}v^{2}+m\_{0}c^{2}}; joten kappaleen koko energia on yksinkertaisesti sen klassinen kineettisen energian ja sen lepoenergian summa.
3. Jos kappale on levossa ( v = 0 ). On {\displaystyle E=E\_{0}} ja {\displaystyle m=m\_{0}}; energian ja liikemäärän yhteys sekä molemmat (edellä mainitut) massan ja energian yhteyden muodot muuttuvat samoiksi.

Yleistetympi suhdemuoto yhtälöstä (1) pätee yleiseen suhteellisuusteoriaan .

Lepomassa on muuttumaton kaikille inertiaalikoordinaatistoille, ei vain inertiaalikehyksissä tasaisessa avaruudessa, vaan myös kiihdytetyissä kehyksissä, jotka kulkevat kaarevan aika-avaruuden läpi (katso alla). Hiukkasen E ja sen relativistinen liikemäärä **p** ovat kuitenkin kehyksestä riippuvaisia; kahden kehyksen välinen suhteellinen liike saa näissä kehyksissä olevat havaitsijat mittaamaan hiukkasen energian ja liikemäärän eri arvoina; yksi kehys mittaa E ja **p**, kun taas toinen kehys mittaa E ′ ja p ′, missä E ′ ≠ E ja p ′ ≠ p, ellei tarkkailijoiden välillä ole suhteellista liikettä, jolloin kukin tarkkailija mittaa saman energian ja momentin. Vaikka meillä on edelleen, tasaisessa avaruudessa:

{\displaystyle {E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m\_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}
Suuruudet E, **p**, E ', **p ′** ovat kaikki yhteydessä toisiinsa Lorentz-muunnoksilla. Suhteen avulla voidaan sivuuttaa Lorentz-muunnokset, kun määritetään vain energian ja momenttien suuruudet tasaamalla eri kehysten suhteet. Jälleen tasaisella avaruudella tämä tarkoittaa:

{\displaystyle {E}^{2}-\left(pc\right)^{2}={E'}^{2}-\left(p'c\right)^{2}=\left(m\_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}
Koska {\displaystyle m\_{0}} ei muutu kehyksestä kehykseen, energian ja liikemäärän suhdetta käytetään relativistisessa mekaniikassa ja hiukkasfysiikan laskelmissa, koska energia ja liikemäärä annetaan hiukkasen lepokehyksessä (eli E ′ ja **p ′** tarkkailijana, joka liikkuu hiukkasen kanssa päätyisi olevan) ja mitattu laboratorion kehyksessä (ns. E ja **p** kuten hiukkasten fyysikot laboratoriossa määrittelevät, eivätkä ne liiku hiukkasten mukana).

Relativistisessa kvanttimekaniikassa se on perusta relativististen aaltoyhtälöiden rakentamiselle, koska jos hiukkasia kuvaava relativistinen aaltoyhtälö on yhdenmukainen tämän yhtälön kanssa - se on yhdenmukainen relativistisen mekaniikan kanssa ja on Lorentzin invariantti. Relativistisessa kvanttikenttäteoriassa sitä voidaan soveltaa kaikkiin hiukkasiin ja kenttiin.

Yhtälön alkuperä ja johtaminen
------------------------------

Energian ja liikemäärän välisen yhteyden esitti ensimmäisenä Paul Dirac vuonna 1928 muodossa {\displaystyle E={\sqrt {c^{2}p^{2}+(m\_{0}c^{2})^{2}}}+V}, jossa V on potentiaalienergian määrä.

Yhtälö voidaan johtaa monin tavoin, joista kaksi yksinkertaisinta ovat:

1. Massiivisen hiukkasen relativistisesta dynamiikasta
2. Arvioimalla järjestelmän neliliikemäärän normi. Tätä menetelmää sovelletaan sekä massiivisiin että massattomiin hiukkasiin, ja se voidaan laajentaa monihiukkasjärjestelmiin suhteellisen pienellä vaivalla.

### Heuristinen lähestymistapa massiivisille hiukkasille

Massiiviselle esineelle, joka liikkuu kolmella nopeudella u = ( u x, u y, u z ) suuruudella | u | = u laboratorion kehyksessä:

{\displaystyle E=\gamma \_{(\mathbf {u} )}m\_{0}c^{2}}
on laboratorion kehyksessä olevan liikkuvan kohteen kokonaisenergia,

{\displaystyle \mathbf {p} =\gamma \_{(\mathbf {u} )}m\_{0}\mathbf {u} }
on laboratorion kehyksessä olevan kohteen kolmiulotteinen relativistinen momentti suuruudella | p | = s. Relativistinen energia E ja liikemäärä p sisältävät Lorentz-tekijän, jonka määrittelee:

{\displaystyle \gamma \_{(\mathbf {u} )}={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}}
Jotkut kirjoittajat käyttävät relativistista massaa, jonka määrittelee:

{\displaystyle m=\gamma \_{(\mathbf {u} )}m\_{0}}
vaikka lepomassalla {\displaystyle m\_{0}} on perustavanlaatuisempi merkitys, ja sitä käytetään tässä artikkelissa ensisijaisesti relativistisen massan *m* yli.

Kolmiliikemäärän neliö antaa:

{\displaystyle p^{2}=\mathbf {p} \cdot \mathbf {p} ={\frac {m\_{0}^{2}\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}={\frac {m\_{0}^{2}u^{2}}{1-\left({\frac {u}{c}}\right)^{2}}}}
ratkaisemalla sitten {\displaystyle u^{2}} ja korvaamalla osaksi Lorentz tekijän saa sen vaihtoehtoisen muodon suhteen kolmiliikemäärän ja massan, pikemminkin kuin kolminopeuden:

{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}}}}
Lisätään tämä Lorentz-tekijän muoto energiayhtälöön:

{\displaystyle E=m\_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}}}}
Uudelleen järjestelyn jälkeen saamme kaavan (1). Lorentz-tekijän eliminointi eliminoi myös hiukkasen implisiittisen nopeusriippuvuuden kohdassa sekä kaikki päätelmät massiivisen hiukkasen "relativistisesta massasta". Tämä lähestymistapa ei ole yleinen, koska massattomia hiukkasia ei oteta huomioon. Naiivisti asettamalla {\displaystyle m\_{0}=0} tarkoitettaisiin, että E = 0 ja **p = 0** eikä energian ja liikemäärän yhteyttä voida johtaa, mikä ei ole oikein.

### Nelimomentin normi

Kohteen energia ja liikemäärä mitattuna kahdessa inertiaalikehyksessä energia-liikemäärätilassa - keltainen kehys mittaa E ja p kun taas sininen kehys E′ ja p′. Vihreä nuoli on kohteen nelipisteinen P, jonka pituus on verrannollinen sen lepomassaan m 0. Vihreä kehys on kohteen keskipiste kehykselle, jonka energia on yhtä suuri kuin loput energia. Hyperbolat osoittavat, että Lorentz-muunnos kehyksestä toiseen on hyperbolinen kierto, ja ϕ ja *ϕ* + *η* ovat vastaavasti sinisten ja vihreiden kehysten nopeudet .
#### Erityinen suhteellisuusteoria

Minkowskin avaruudessa energia (jaettuna c:llä ) ja liikemäärä ovat Minkowski -nelivektorin kaksi komponenttia, nimittäin nelimomenttinen;

{\displaystyle \mathbf {P} =\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right)\,,}
(nämä ovat sopivia komponentteja).

Tämän vektorin Minkowskin sisäinen ⟨, ⟩ antaa itselleen tämän vektorin normin neliön, se on verrannollinen kappaleen lepomassan m neliöön:

{\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m\_{0}c\right)^{2}\,,}
Lorentzin muuttumaton määrä ja siten riippumaton viitekehyksestä. Käyttämällä Minkowskin metristä η metrisellä allekirjoituksella (− + + +) sisempi tuote on

{\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=-\left(m\_{0}c\right)^{2}\,,}
ja

{\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =P^{\alpha }\eta \_{\alpha \beta }P^{\beta }={\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}&p\_{x}&p\_{y}&p\_{z}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}{\frac {E}{c}}\\p\_{x}\\p\_{y}\\p\_{z}\end{pmatrix}}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}\,,}
niin

{\displaystyle -\left(m\_{0}c\right)^{2}=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}
#### Yleinen suhteellisuusteoria

Yleisessä suhteellisuusteoriassa neliliikemäärä on nelivektori, joka on määritelty paikallisessa koordinaattikehyksessä, vaikka määritelmän mukaan sisäinen tulo on samanlainen kuin erityisrelatiivisuuden,

{\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=\left(m\_{0}c\right)^{2}\,,}
jossa Minkowskin metriikka η korvataan metrisellä tensorikentällä g :

{\displaystyle \left\langle \mathbf {P} ,\mathbf {P} \right\rangle =|\mathbf {P} |^{2}=P^{\alpha }g\_{\alpha \beta }P^{\beta }\,,}
ratkaistu Einstein-kenttäyhtälöistä. Sitten:

{\displaystyle P^{\alpha }g\_{\alpha \beta }P^{\beta }=\left(m\_{0}c\right)^{2}\,.}
Indeksien yhteenlaskujen suorittaminen, jota seuraa keräämällä "aikamaiset", "avaruusaikaiset" ja "avaruuden kaltaiset" termit, antaa:

{\displaystyle \underbrace {g\_{00}{\left(P^{0}\right)}^{2}} \_{\text{time-like}}+2\underbrace {g\_{0i}P^{0}P^{i}} \_{\text{spacetime-like}}+\underbrace {g\_{ij}P^{i}P^{j}} \_{\text{space-like}}=\left(m\_{0}c\right)^{2}\,.}
missä kerroin 2 syntyy, koska metriikka on symmetrinen tensori, ja käytetään latinalaisen indeksin i, j käytäntöä i ottaa avaruuden kaltaiset arvot 1, 2, 3. Koska metriikan jokaisella komponentilla on tilaa ja aikaa koskeva riippuvuus yleensä; tämä on huomattavasti monimutkaisempi kuin alussa mainittu kaava, katso lisätietoja metrisestä tensorista (yleinen suhteellisuusteoria) .

Energian, massan ja vauhdin yksiköt
-----------------------------------

Luonnollisissa yksiköissä, joissa c = 1, energian ja liikemäärän yhtälö pienenee arvoon

{\displaystyle E^{2}=p^{2}+m\_{0}^{2}\,.}
Hiukkasfysiikassa energia annetaan tyypillisesti elektronivolttiyksiköinä (eV), liikemäärä yksikkönä eV · c −1 ja massa yksikkönä eV · c −2. Sähkömagnetismissa ja relativistisen muuttumattomuuden vuoksi on hyödyllistä, että sähkökenttä E ja magneettikenttä B ovat samassa yksikössä ( Gauss ) käyttäen yksiköiden cgs (Gauss) -järjestelmää, jossa energia annetaan erg- yksikköinä, massa grammoina (g) ja liikemäärä grammoina g · cm · s −1 .

Energia voidaan teoriassa ilmaista myös grammoina, vaikka käytännössä se vaatii suuren määrän energiaa vastaamaan tämän alueen massaa. Esimerkiksi ensimmäinen atomipommi vapautti noin yhden gramman lämpöä, ja suurimmat vetypommit ovat tuottaneet vähintään kilon lämpöä. vetypommien energiat annetaan yleensä kymmeninä kilotonneina ja megatonneina viitaten energiaan, joka vapautuu räjäyttämällä kyseinen määrä trinitrotolueenia (TNT).

Erikoistapaukset
----------------

### Momentin keskikehys (yksi hiukkanen)

Rungon lepokehyksessä vauhti on nolla, joten yhtälö yksinkertaistuu

{\displaystyle E\_{0}=m\_{0}c^{2}\,,}
missä {\displaystyle m\_{0}} on kappaleen lepomassa.

### Massattomat hiukkaset

Jos kohde on massaton, kuten fotonin tapauksessa, yhtälö pienenee arvoon

{\displaystyle E=pc\,.}
Tämä on hyödyllinen supistus. Se voidaan kirjoittaa toisella tavalla de Broglie -suhteiden avulla :

{\displaystyle E={\frac {hc}{\lambda }}=\hbar ck\,.}
jos aallonpituus λ tai aallonumero k annetaan.

### Vastaavuuden periaate

Massallisten hiukkasten suhteen kirjoittaminen uudelleen:

{\displaystyle E=m\_{0}c^{2}{\sqrt {1+\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}}}\,,}
ja laajenee potenssisarjan jonka binomisen lause (tai Taylorin sarja ):

{\displaystyle E=m\_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{4}+\cdots \right]\,,}
siinä raja-arvossa, että u ≪ c, meillä on γ ( u ) ≈ 1, joten liikemäärällä on klassinen muoto p ≈ m 0 u, sitten ensimmäiseen järjestykseen ( p / m 0 c ) 2</br> (ts. säilytä termi ( p / m 0 c ) 2 n</br> n = 1 ja laiminlyödä kaikki ehdot n ≥ 2) olemme

{\displaystyle E\approx m\_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {m\_{0}u}{m\_{0}c}}\right)^{2}\right]\,,}
jossa toinen termi on klassinen kineettinen energia, ja ensimmäinen on hiukkasen lepomassa. Tämä likiarvo ei päde massattomiin hiukkasiin, koska laajentuminen vaati momentin jakamista massalla. Klassisessa mekaniikassa ei muuten ole massattomia hiukkasia.

{\displaystyle E\approx m\_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m\_{0}u^{2}\,,}
missä {\displaystyle M\_{0}} on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;

Monihiukkasjärjestelmät
-----------------------

### Neljän momentin lisääminen

Kun on paljon hiukkasia, joilla on relativistinen momentti p n ja energia En, missä n = 1, 2, ... (hiukkasten kokonaismäärään saakka) yksinkertaisesti merkitsee hiukkaset tietyssä kehyksessä mitattuna, neljä tämän kehyksen momentti voidaan lisätä;

{\displaystyle \sum \_{n}\mathbf {P} \_{n}=\sum \_{n}\left({\frac {E\_{n}}{c}},\mathbf {p} \_{n}\right)=\left(\sum \_{n}{\frac {E\_{n}}{c}},\sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}\right)\,,}
ja ota sitten normi; saadaan suhde monille hiukkasjärjestelmille:

{\displaystyle \left|\left(\sum \_{n}\mathbf {P} \_{n}\right)\right|^{2}=\left(\sum \_{n}{\frac {E\_{n}}{c}}\right)^{2}-\left(\sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}\right)^{2}=\left(M\_{0}c\right)^{2}\,,}
missä M 0 on koko järjestelmän muuttumaton massa eikä ole yhtä suuri kuin hiukkasten lepomassojen summa, elleivät kaikki hiukkaset ole levossa (ks. massa erityissuhteellisuusteollisuudessa ). Korvaaminen ja uudelleenjärjestäminen antaa ( 1 ): n yleistämisen;Malline:NumBlk{\displaystyle (\sum \_{n}E\_{n})^{2}=(\sum \_{n}p\_{n}c)^{2}+(M\_{0}c^{2})^{2}}

Yhtälön energiat ja momentit ovat kaikki kehyksestä riippuvaisia, kun taas {\displaystyle M\_{0}}{\displaystyle M\_{0}} on kehyksestä riippumaton.

### Momentin keskikehys

Momentin keskikehyksessä (COM-kehys) meillä on määritelmän mukaan:

{\displaystyle \sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}={\boldsymbol {0}}\,,}
( 2 ): n mukaan implisiittinen massa on myös momentin (COM) massa-energian keskipiste, lukuun ottamatta {\displaystyle c^{2}} -kerrointa:

{\displaystyle \left(\sum \_{n}E\_{n}\right)^{2}=\left(M\_{0}c^{2}\right)^{2}\Rightarrow \sum \_{n}E\_{\mathrm {COM} \,n}=E\_{\mathrm {COM} }=M\_{0}c^{2}\,,}
ja tämä pätee *kaikkiin* kehyksiin, koska M 0 on kehyksistä riippumaton. {\displaystyle E\_{COMn}} -energiat ovat COM-kehyksessä, *eivät* laboratorion kehyksessä.

### Lepomassat ja muuttumaton massa

Joko hiukkasten energiat tai momentit, mitattuna jossakin kehyksessä, voidaan eliminoida käyttämällä kunkin hiukkasen energiamomenttisuhdetta:

{\displaystyle E\_{n}^{2}-\left(\mathbf {p} \_{n}c\right)^{2}=\left(m\_{n}c^{2}\right)^{2}\,,}
sallien {\displaystyle M\_{0}} : n ilmaisemisen energioina ja lepomassaina tai momentina ja lepomassaina. Tiettyyn kehykseen summien neliöt voidaan kirjoittaa uudelleen neliöiden (ja tuotteiden) summina:

{\displaystyle \left(\sum \_{n}E\_{n}\right)^{2}=\left(\sum \_{n}E\_{n}\right)\left(\sum \_{k}E\_{k}\right)=\sum \_{n,k}E\_{n}E\_{k}=2\sum \_{n<k}E\_{n}E\_{k}+\sum \_{n}E\_{n}^{2}\,,}
{\displaystyle \left(\sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}\right)^{2}=\left(\sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}\right)\cdot \left(\sum \_{k}\mathbf {p} \_{k}\right)=\sum \_{n,k}\mathbf {p} \_{n}\cdot \mathbf {p} \_{k}=2\sum \_{n<k}\mathbf {p} \_{n}\cdot \mathbf {p} \_{k}+\sum \_{n}\mathbf {p} \_{n}^{2}\,,}
joten summat korvaamalla voimme esittää niiden lepomassat mn ( 2 ):

{\displaystyle \sum \_{n}\left(m\_{n}c^{2}\right)^{2}+2\sum \_{n<k}\left(E\_{n}E\_{k}-c^{2}\mathbf {p} \_{n}\cdot \mathbf {p} \_{k}\right)=\left(M\_{0}c^{2}\right)^{2}\,.}
Energiat voidaan poistaa seuraavasti:

{\displaystyle E\_{n}={\sqrt {\left(\mathbf {p} \_{n}c\right)^{2}+\left(m\_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad E\_{k}={\sqrt {\left(\mathbf {p} \_{k}c\right)^{2}+\left(m\_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}
samoin momentti voidaan eliminoida:

{\displaystyle \mathbf {p} \_{n}\cdot \mathbf {p} \_{k}=\left|\mathbf {p} \_{n}\right|\left|\mathbf {p} \_{k}\right|\cos \theta \_{nk}\,,\quad |\mathbf {p} \_{n}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E\_{n}^{2}-\left(m\_{n}c^{2}\right)^{2}}}\,,\quad |\mathbf {p} \_{k}|={\frac {1}{c}}{\sqrt {E\_{k}^{2}-\left(m\_{k}c^{2}\right)^{2}}}\,,}
missä {\displaystyle \theta \_{nk}} on momenttivektorien {\displaystyle p\_{n}} ja {\displaystyle p\_{k}} välinen kulma.

Uudelleenjärjestettynä:

{\displaystyle \left(M\_{0}c^{2}\right)^{2}-\sum \_{n}\left(m\_{n}c^{2}\right)^{2}=2\sum \_{n<k}\left(E\_{n}E\_{k}-c^{2}\mathbf {p} \_{n}\cdot \mathbf {p} \_{k}\right)\,.}
Koska järjestelmän muuttumaton massa ja kunkin hiukkasen lepomassat ovat kehyksestä riippumattomia, myös oikeanpuolinen on invariantti (vaikka kaikki energiat ja momentit mitataan tietyssä kehyksessä).

Aineen aaltoja
--------------

Käyttämällä de Broglie-suhteita energiaan ja liikemäärään aineen aaltoihin ,

{\displaystyle E=\hbar \omega \,,\quad \mathbf {p} =\hbar \mathbf {k} \,,}
missä ω on kulmataajuus ja k on aallonvektori suuruudella | k | = k, yhtä suuri kuin aaltoluku, energian ja liikemäärän suhde voidaan ilmaista aaltomäärinä:

{\displaystyle \left(\hbar \omega \right)^{2}=\left(c\hbar k\right)^{2}+\left(m\_{0}c^{2}\right)^{2}\,,}
ja siistiminen jakamalla {\displaystyle (\hbar c^{2})} :lla koko yhtälö

{\displaystyle \left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}=k^{2}+\left({\frac {m\_{0}c}{\hbar }}\right)^{2}\,.}

  

Tämä voidaan johtaa myös neliaaltovektorin suuruudesta

{\displaystyle \mathbf {K} =\left({\frac {\omega }{c}},\mathbf {k} \right)\,,}
samalla tavalla kuin yllä oleva neljän momentti.

Koska pienennetty Planckin vakio ħ ja valon nopeus c molemmat näkyvät ja sekoittavat tämän yhtälön, luonnolliset yksiköt ovat erityisen hyödyllisiä. Normalisoimalla ne siten, että ħ = c = 1, meillä on:

{\displaystyle \omega ^{2}=k^{2}+m\_{0}^{2}\,.}

Takyoni ja eksoottiset aineet
-----------------------------

Bradyonin nopeus suhteellisen energian ja liikemäärän suhteen kanssa

{\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}+m\_{0}^{2}c^{4}\,.}
ei voi koskaan ylittää arvoa c. Päinvastoin, se on aina suurempi kuin c tachyonille, jonka energian ja liikemäärän yhtälö on 

{\displaystyle E^{2}=p^{2}c^{2}-m\_{0}^{2}c^{4}\,.}
Sitä vastoin hypoteettisella eksoottisella aineella on negatiivinen massa ja energian ja liikemäärän yhtälö on

{\displaystyle E^{2}=-p^{2}c^{2}+m\_{0}^{2}c^{4}\,.}