Hyperbolinen sektoriHyperbolinen sektori
**Hyperbolinen sektori** on karteesisen tason {\displaystyle {(x,y)}} alue, jota rajoittavat origosta pisteisiin (*a*, 1/*a*) ja ''*b*, 1/*b*) piirretyt janat sekä hyperbeli *xy* = 1 tai muu sen kanssa yhdenmuotoinen hyperbeli, jonka asymptootit leikkaavat toisensa kohtisuorasti origossa (esimerkiksi yksikköhyperbeli {\displaystyle x^{2}-y^{2}=1}. Hyperbolisen sanotaan olevan *perusasemassaan*, kun sitä rajoittavat hyperbeli *xy*=1 ja kun *a*=1 ja *b* > 1.

Hyperbolisiin sektoreihin perustuvat hyperboliset funktiot.

Pinta-ala
---------

Hyperbolisen sektorin pinta-ala säilyy tason "puristavassa" kuvauksessa (*x*,*y*) → (*ax*, *y*/a*), jossa suorakulmioiden pituudet vaakasuorassa kasvaa samassa suhteessa kuin sen leveys pystysuunnassa pienenee.*
Perusasemassa olevan hyperbolisen sektorin pinta-ala on *b*:n luonnollinen logaritmi ln *b*.

Tämä voidaan todistaa integroimalla funktio 1/*x* välin [1, *b*] yli, lisäämällä integraaliin kolmion {(0,0), (1,0, (1,1)} pinta-ala ja vähentämällä kolmion {(0,0, (*b*,0), *b*,1/*b*)} pinta-ala.

Perusasemassa oleva hyperbolinen sektori vastaa origoon asetettua hyperbolista kulmaa, jonka suuruus määritellään vastaavan hyperbolisen sektorin pinta-alana.

Hyperbolinen kolmio
-------------------

Hyperbolista kulmaa *u* suorakulmaisessa hyperbelissä *y*=1/*x* vastaava hyperbolinen kolmio (keltainen, suoran *y*=*x* yläpuolella oleva osa) ja hyperbolinen sektori (punainen). Tämän suorakulmaisen kolmion kateetit ovat {\sqrt {2}} kertaa kulman hyperbolinen kosini ja sini.
Perusasemassa olevaa hyperboliseen sektoriin liittyy *hyperbolinen kolmio*. Se on suorakulmainen kolmio, jonka yksi kärki on origossa, toinen kateetti suoralla *y* = *x* ja kolmas kärki hyperbelillä 

{\displaystyle xy=1,\,}
jolloin sen hypotenuusa on orgiosta hyperbelillä olevaan pisteeseen (*x*,*y*) johtava jana. Tämän kolmion kanta eli suoralla *y*=*x* olevan kateetin pituus on 

{\displaystyle {\sqrt {2}}\cosh u,\,}
ja sen korkeus

{\displaystyle {\sqrt {2}}\sinh u,\,}
missä *u* on kolmioon liittyvä hyperbolinen kulma.

Trigonometristen ja hyperbolisten funktioiden välistä analogiaa käsitteli Augustus De Morgan teoksessaan *Trigonometry and Double Algebra* vuodelta 1849. William Burnside käytti hyperbolisia kolmioita projisoidessaan hyperbelillä *xy* olevan pisteen päädiagonaalille artikkelissaan "Note on the addition theorem for hyperbolic functions".

Hyperbolinen logaritmi
----------------------

Eulerin käyttämä yksikköpinta-ala, kun *b* = *e*.
*Pääartikkeli: Luonnollinen logaritmi*
Tunnetusti funktiolla f(*x*) = *x**p* on algebrallinen integraalifunktio

{\displaystyle \int x^{n}\,dx={\tfrac {1}{n+1}}\,x^{n+1}+C\qquad n\neq -1.},
paitsi tapauksessa *p* = -1, joka vastaa hyperbelin rajoittaman alueen neliöimistä. Paraabelin rajoittaman alueen pinta-alan osasi määrittää jo Arkhimedes 200-luvulla eKr. tutkielmassaan *Paraabelin neliöimisestä* (kreik. Τετραγωνισμὸς παραβολῆς), mutta hyperbelin rajoittamien alueiden pinta-alan onnistui määrittämään vasta Gregoire de Saint-Vincent vuonna 1647 keksittyään uuden funktion, luonnollisen logaritmin, jota hän nimitti *hyperboliseksi logaritmiksi*, koska siihen päädyttiin määritettäessä hyperbelin alle jäävän alueen pinta-ala.

Ennen kuin Leonhard Euler vuonna 1748 julkaisi tutkielmansa *Johdatus äärettömän analyysiin* (lat. *Introductio in analysim infinitorum*), luonnollinen logaritmi tunnettiin lähinnä vain hyperbolisen sektorin pinta-alaan liittyvänä funktiona. Euler muutti tilanteen ottamalla käyttöön sen tyyppiset transkendenttiset funktiot kuin 10x. Euler määritteli Neperin luvun *e* siksi *b*:n arvoksi, jolla x-akselin, suorien *y*=1 ja *y*=*b* sekä hyperberlin *y*=1/*x* välisen alueen pinta-ala on 1. Tämän jälkeen luonnollinen logaritmi voitiin tunnistaa transkendenttisen funktion *e**x* käänteisfunktioksi.

Yhteys hyperboliseen geometriaan
--------------------------------

Kun Felix Klein vuonna 1928 kirjoitti epäeuklidista geometriaa käsittelevän teoksensa, hän muodosti aiheelle perustan viittamaalla projektiiviseen geometriaan. Muodostaakseen suoralle hyperbolisen mitan hän huomautti, että hyperbolisen sektorin pinta-ala tarjosi sille havainnollisen mallin.

Hyperbolisia sektoreita voidaan piirtää myös liittyen hyperbeliin {\displaystyle y={\sqrt {1+x^{2}}}}. Näiden hyperbolisten sektoreiden pinta-alojen avulla on eräissä geometrian oppikirjoissa määritelty *hyperbolinen etäisyys*.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Hyperbolic sector

Lähteet
-------

* Mellen W. Haskell: On the introduction of the notion of hyperbolic functions.  *Bulletin of the American Mathematical Society*, 1895, 1. vsk, nro 6, s. 155–159. Artikkelin verkkoversio.

### Viitteet

1. ↑  V. G. Ashkinuse, Isaak Yaglom: *Ideas and Methods of Affine and Projective Geomerty*, s. 151. Moskova: Neuvostoliiton opetusministeriö, 1962.
2. ↑  Augustus De Morgan: "Chapter VI: On the Connection of Common and Hyperbolic trigonometry", *Trigonometry and Double Algebra*, s. 66-70. {{{Julkaisija}}}, 1849. Teoksen verkkoversio.
3. ↑  William Burnside: Note on the addition theorem for hyperbolic functions. (Diagrammi sivulla 146) *Messenger of Mathematics*, 1890, nro 20, s. 145–148.
4. ↑  Arkhimedes: *Quadrature of the Parabola*. Englanniksi kääntänyt T. L. Heath. Cambridge University Press, 1897. Teoksen verkkoversio.
5. ↑  The History of Logarithms *users.humboldt.edu*.  Arkistoitu 14.12.2018. Viitattu 22.2.2022.
6. ↑  Leonhard Euler: "Caput VI: De quantitatibus exponentialibus ac Logarithmis", *Introduction in analysim infinitorum*, s. 69-85. Lausanne: Marcus Michael Mousquet / Socies, 1748. Teoksen verkkoversio.
7. ↑  Felix Klein: *Vorlesungen über Nicht-Euklidische Geometrie*, s. 173. kuva 113. Berliini: Julius Springer, 1928.
8. ↑  Jürgen Richter-Gebert: *Perspectives on Projective Geometry*, s. 385. Springer, 2011. ISBN 9783642172854.