**Pintaintegraalilla** tarkoitetaan funktion integroimista yli pinnan. Se on määritelty vain {\mathbb {R}}^{3}:n pinnoille.

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} yhtenäinen ja {\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} eräs {\mathbb {R}}^{3}:n derivoituva pinta. Olkoon {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}} joukko siten, että pinnan \omega kuvaaja {\displaystyle \omega (D)\subset A}. Olkoon nyt funktio {\displaystyle f:A\rightarrow \mathbb {R} } sellainen, että funktio {\displaystyle h:D\rightarrow \mathbb {R} },

{\displaystyle h(x,y)=f(\omega (x,y))||\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)||},

on integroituva yli joukon D. (huomaa, että koska \omega on {\mathbb {R}}^{3}:n pinta, niin sen osittaisderivaattojen kaavat ovat {\mathbb {R}}^{3}:n vektoreita ja siis ristitulo voidaan määritellä niille). Nyt funktion f **pintaintegraali** yli pinnan \omega on luku

{\displaystyle \int \limits \_{\omega }f=\iint \limits \_{D}f(\omega (x,y))||\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}.

Sovelluksia
-----------

Jos valitsemme nyt funktioksi {\displaystyle f=1}, niin pintaintegraali antaa pinnan \omega kuvaajan **pinta-alan**. Saamme siis pinnan \omega kuvaajan pinta-alaksi kaavan

{\displaystyle A(\omega )=\iint \limits \_{D}||\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}.

Esimerkiksi voimme laskea kolmiulotteisen r-säteisen pallon kuoren pinta-alan tällä kaavalla. Määritellään pinta {\displaystyle \omega :{\bar {B}}(0,r)\rightarrow \mathbb {R} ^{3}},

{\displaystyle \omega (x,y)=(x,y,{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}.

Huomataan, että pinnan \omega kuvaaja on r-säteisen origokeskisen pallon ylempi kupu. Näin ollen koko pallon kuoren pinta-ala saadaan pinnan \omega kaksinkertaisesta pinta-alasta. Lasketaan nyt pinnan osittaisderivaatat:

{\displaystyle \partial \_{1}\omega (x,y)=(\partial \_{1}x,\partial \_{1}y,\partial \_{1}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(1,0,-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}

{\displaystyle \partial \_{2}\omega (x,y)=(\partial \_{2}x,\partial \_{2}y,\partial \_{2}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})=(0,1,-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})}

Näiden vektoreiden ristituloksi saadaan vektori:

{\displaystyle \partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)={\begin{vmatrix}(1,0,0)&(0,1,0)&(0,0,1)\\1&0&-x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\\0&1&-y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}\end{vmatrix}}}

{\displaystyle =(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)}

ja edelleen sen normiksi

{\displaystyle ||\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)||=||(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}},1)||}

{\displaystyle ={\sqrt {(x/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+(y/{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}})^{2}+1^{2}}}={\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}}.

Näin ollen

{\displaystyle {\mbox{Pallon kuoren pinta-ala}}=2A(\omega )=2\iint \limits \_{{\bar {B}}(0,r)}||\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y)||\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}

{\displaystyle =2\iint \limits \_{{\bar {B}}(0,r)}{\frac {r}{\sqrt {r^{2}-x^{2}-y^{2}}}}\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y=4\pi r^{2}}.

(lopun integroinneissa käytetään apuna tasa-arvokäyrien teoriaa).

Vuopintaintegraali
------------------

*Pääartikkeli: Vuo*
Määrittelemme lisäksi toisenlaisen integraalin, jota kutsutaan kirjallisuudessa vuopintaintegraaliksi tai usein vain lyhyesti **vuo**ksi. Olkoon pinta \omega ja joukko {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}} kuten edellä määriteltiin. Olkoon nyt funktio {\displaystyle F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} sellainen, että funktio {\displaystyle H:D\rightarrow \mathbb {R} },

{\displaystyle H(x,y)=F(\omega (x,y))\cdot (\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y))},

on integroituva yli joukon D. Nyt funktion F **vuopintaintegraali** eli **vuo** läpi pinnan \omega on luku

{\displaystyle \int \limits \_{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iint \limits \_{D}F(\omega (x,y))\cdot (\partial \_{1}\omega (x,y)\times \partial \_{2}\omega (x,y))\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y}.

Vuopintaintegraaliin liittyy tärkeä ns. **divergenssilause**, jonka mukaan jos {\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{3}} on avoin niin, että sen sulkeuma on kompakti, {\displaystyle E\subset A}, missä {\displaystyle A\subset \mathbb {R} ^{3}} on avoin ja {\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} on {\mathbb {R}}^{3}:n derivoituva pinta siten, että sen kuvaaja on joukon E reuna {\displaystyle \partial E}, niin derivoituvan funktion {\displaystyle F:A\rightarrow \mathbb {R} ^{3}} vuo

{\displaystyle \int \limits \_{\omega }F\cdot {\mbox{d}}{\bar {A}}=\iiint \limits \_{D}\nabla \cdot F\,{\mbox{d}}x\,{\mbox{d}}y\,{\mbox{d}}z}.

Lähteet
-------

1. ↑  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 951 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.