Suorakulmainen ruudukko (ylempänä) ja sen kuva konformikuvauksessa *f* (alempana). Kuvasta näkyy, että *f* kuvaa toisensa kohti­suorasti leikkaavat suorat käyrille, jotka nekin leikkaavat toisensa kohti­suorasti.
**Konformikuvaus** on matemaattinen kuvaus, jossa kulmat säilyvät ennallaan. 
Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformi­kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukko ovat kompleksitason alueita.

Määritelmä ja perusominaisuuksia
--------------------------------

Jatkuvaa kuvausta f sanotaan **konformiseksi** eli **konformi­kuvaukseksi** annetussa pisteessä z\_{0}, jos ja vain jos se toteuttaa seuraavat ehdot:

1. Kun {\displaystyle z\rightarrow z\_{0}} jotakin pisteeseen z\_{0} johtavaa sädettä pitkin, suhteella {\displaystyle {\frac {|f(z)-f(z\_{0})|}{|z-z\_{0}|}}} on äärellinen nollasta poikkeava raja-arvo, joka on riippumaton valitun säteen suunnasta.
2. Jokaisella pisteestä z\_{0} lähtevän säteen kuvalla on tangentti pisteessä {\displaystyle f(z\_{0})}, ja näiden tangenttien välinen kulma on aina yhtä suuri kuin säteiden välinen kulma pisteessä z\_{0}.

Kuvausta f sanotaan **konformi­kuvaukseksi alueessa** U, jos se on konforminen alueen jokaisessa pisteessä. Jos alue U voidaan kuvata konformisesti ja bijektiivisesti alueelle V, sanotaan, että alueet U ja V ovat *konformiekvivalentit*.

Usein konformikuvaukselta edellytetään lisäksi, että se säilyttää myös orientaation. Tällaista kuvausta sanotaan toisinaan myös *suoraan konformi­seksi*. Taso­alueiden tapauksessa tämä merkitsee, etteivät kulmat pysy ainoastaan itseis­arvoltaan yhtä suurina, vaan myöskään kulman oikea ja vasen kylki eivät vaihdu keskenään. Kuvaus, joka on konforminen, mutta kääntää orientaation, on *kääntäen konforminen*.

Konformikuvauksissa infinitesimaalisen pienet alueet pysyvät muodoltaan, mutta eivät välttämättä kooltaan ennallaan. Sitä vastoin tarpeeksi suuret alueet saattavat muuttua muodoltaan paljonkin.

Yleisimmin matematiikassa käsitellään konformi­kuvauksia, joiden lähtö- ja maalijoukko ovat kompleksitason alueita.

Kuvauksen konformisuus voidaan karakterisoida koordinaatiston muunnokseen liittyvän Jacobin matriisin avulla. Jos muunnoksen Jacobin determinantti on kaikkialla jokin rotaatiomatriisi kerrottuna jollakin skalaarilla, muunnos on konforminen.

Konformi­kuvauksen käsite voidaan yleistää, paitsi taso­alueiden, myös korkeampi­ulotteisten euklidisten avaruuksien ja yleisemminkin Riemannin monistojen ja Riemannin semimonistojen alueiden välisiin kuvauksiin.

Kompleksianalyysi
-----------------

Erityisen suuri merkitys konformikuvauksilla on kompleksianalyysissä. Jos u on kompleksitason \mathbb{C} avoin osajoukko, funktio : {\displaystyle f:U\rightarrow \mathbb {C} } on suoraan konforminen, jos ja vain jos se on holo­morfinen eli analyyttinen ja sen derivaatta on nollasta poikkeava kaikissa alueen *U* pisteissä. Jos *f* on antiholomorfinen eli jonkin holomorfisen funktion kompleksikonjugaatti, se säilyttää kulmat mutta kääntää niiden orientaation. 

Riemannin kuvauslause on yksi kompleksianalyysin syvällisistä tuloksista. Se osoittaa, että jokainen ei-tyhjä yhdesti yhtenäinen kompleksi­tason \scriptstyle\mathbb{C} avoin osajoukko voidaan kuvata bijektiivisellä konformi­kuvauksella \mathbb{C}:n avoimelle yksikkö­kiekolle.

Laajennettu kompleksitaso on konformisti ekvivalentti pallopinnan kanssa. Laajennetun tason bijektiivinen konformi­kuvaus itselleen on suora konformikuvaus, jos ja vain jos se on Möbius-kuvaus. Laajennetussa tasossakin myös Möbius-kuvausten kompleksi­konjugaatit säilyttävät kulmien suuruuden ennallaan, mutta kääntävät niiden orientaation.

Esimerkkinä laajennetun tason kuvauksesta, joka on kääntäen konforminen, voidaan mainita kompleksi­konjugaatin käänteis­arvo eli funktio

{\displaystyle f(z)={\frac {1}{\bar {z}}}}.
Se vastaa Riemannin pallon peilausta yksikkö­kiekon määräämän tason kanssa tai kompleksitason peilaamista yksikköympyrän kehän yli. Tämä funktio säilyttää jokaisen kompleksiluvun *r eiθ* argumentin *θ* ennallaan mutta muuttaa sen itseisarvon *r* käänteisluvukseen.

Riemannin geometria
-------------------

Riemannin geometriassa kahta sileän moniston M Riemannin metriikkaa {\displaystyle g} ja {\displaystyle h} sanotaan *konformiekvi­valenteiksi*, jos {\displaystyle g=uh} jollakin positiivisella funktiolla {\displaystyle u}, joka on määritelty monistossa {\displaystyle M}. Funktiota u sanotaan *konformiseksi tekijäksi*.

Kahden Riemanin moniston välistä diffeomorfismia sanotaan konformi­kuvaukseksi, jos metriikka, jonka sen käänteiskuvaus indusoi lähtö­avaruuteen, on konformisti ekvivalentti alku­peräisen kanssa. Esimerkiksi pallopinnan stereografinen projektio laajennetulle tasolle, johon on lisätty äärettömyys­piste, on konformi­kuvaus.

Sileällä monistolla voidaan myös määrätä *konforminen rakenne* konformisti ekvi­valenttien Riemannin metriikkojen luokkana.

Korkeampiulotteiset euklidiset avaruudet
----------------------------------------

Joseph Liouvillen todistama Liouvillen lause osoittaa, että korkeampiulotteisten avaruuksien ja niiden alueiden välillä on vähemmän erityyppisiä konformikuvauksia.

Jokainen kolmi- tai useampien euklidisen avaruuden alueen konformi­kuvaus voidaan muodostaa yhdistettynä kuvauksena kolmesta kuvauksesta, joista yksi on homotetia, toinen isometria eli yhtenevyys­kuvaus ja kolmas niin sanottu *erityinen konforminen muunnos* (engl. *special conformal transformation*) eli peilauksen ja pallopinnan suhteen suoritetun inversion yhdistetty kuvaus. Täten useampi­ulotteisten avaruuksien konformi­kuvaukset muodostavat paljon suppeamman ryhmän kuin tasossa, jossa Riemannin kuvauslause tarjoaa mahdollisen muodostaa laajan ryhmän konformi­kuvauksia.

Sovelluksia
-----------

### Fysiikassa ja tekniikassa

Jos funktio fon harmoninen eli toteuttaa Laplacen yhtälön {\displaystyle \nabla ^{2}f=0} jossakin tasoalueessa, ja jos alue se kuvataan konformi­kuvauksella g jollekin toiselle tasoalueelle, yhdistetty funktio {\displaystyle f\circ g^{-1}} on myös harmoninen. Tämän vuoksi jokainen funktio, joka on määritelty jonkin potentiaalin avulla, voidaan muuntaa konformi­kuvauksella, minkä jälkeen sillä edelleen on potentiaali. Fysiikassa potentiaalin avulla on muodostettu esimerkiksi sähkömagneettisen kentän ja gravitaatiokentän yhtälöt sekä virtaus­dynamiikassa potentiaalivirta, nesteen tai kaasun virtauksen likimääräinen kuvailu olettamalla, että tiheys on vakio, viskositeetti nolla ja virtaus pyörteetöntä. Esimerkkinä konformi­kuvauksen sovelluksesta virtaus­dynamiikassa voidaan mainita aerodynamiikassa usein käytettävä Žukovskin muunnos eli Joukowskyn muunnos {\displaystyle z\mapsto z+{1 \over z}}.

Konformikuvauksilla on suuri merkitys ratkaistaessa sellaisia fysiikan ja insinööri­tieteiden probleemoja, jotka voidaan esittää kompleksimuuttujien funktioina mutta joilla on epä­mukavia geo­metrisia ominaisuuksia. Valitsemalla sopiva muunnos voidaan epä­mukava geometria muuntaa helpommin käsiteltäväksi. Esimerkiksi voi olla tarpeen laskea piste­varauksen aiheuttaman sähkökentän voimakkuus, {\displaystyle E(z)}, kun varaus sijaitsee lähellä paikkaa, jossa kaksi johtavaa tasoa kohtaavat toisensa ja nämä ovat tietyssä kulmassa keskenään. Tehtävä on sellaisenaan sangen vaikea ratkaista suljetussa muodossa. Yksinkertaisella konformi­kuvauksella epä­mukava kulma voidaan kuitenkin kuvata toiselle, joka on tasan \pi radiaania (180 astetta), jolloin tuloksena on vain yksi taso. Tilanteessa, jossa varaus on lähellä yhtä johtavaa tasoa, sähkö­kentän voimakkuus on helppo laskea. Kun ratkaisu on saatu tällä tilanteessa, {\displaystyle E(w)}, joka sitten kuvataan takaisin alkuperäisen tehtävän mukaiseen tilanteeseen ottamalla huomioon, että {\displaystyle w} saatiin z:n funktiona, E:stä ja {\displaystyle w}:stä yhdistettynä kuvauksena {\displaystyle E(w(z))}. Tämä sovellus ei ole ristiriidassa sen kanssa, että konformi­kuvauksissa kulmien suuruus säilyy, sillä näin on laita vain kuvattavan alueen sisällä, ei sen reunalla.

Ebenezer Cunningham tunnisti vuonna 1980 ja Harry Bateman vuonna 1910 laajan ryhmän konformi­kuvauksia Maxwellin yhtälöiden eri ratkaisujen välille, palloaaltojen muunnokset. Opiskellessaan Cambridgen yliopistossa he olivat tutustuneet peili­varaus­metodeihin ja niihin liittyviin, pallopintoja ja inversioita käyttäviin menetelmiin. Andrew Warwick totesi vuonna 2003 teoksessaan *Masters of Theory*:

> »Jokainen neliulotteinen ratkaisu voitaisiin invertoida neli­ulotteisen hyperpallon suhteen, jonka pseudo­säde on K, ja jolloin myös saadaan uusi ratkaisu.» 
> 
> 

Warwick korostaa tätä "uutta suhteellisuus­teoreemaa" Cambridgen vastauksena Einsteinille ja se perustuu inversioiden käyttöön, jota käsitellään esimerkiksi James Hopwood Jeansin laatimassa oppi­kirjassa *Mathematical Theory of Electricity and Magnetism*.

Yleisessä suhteellisuus­teoriassa konformi­kuvaukset ovat yksin­kertaisin ja sen vuoksi yleisin kausaalisten muunnosten tyyppi. Fysikaalisesti ne esittävät erilaisia maailman­kaikkeuksia, joissa samat tapahtumat ja vuoro­vaikutukset ovat yhä (kausaalisesti) mahdollisia, mutta joissa on oletettava jokin lisä­voima saamaan aikaan nämä tapahtumat. Toisin sanoen liike­radat voivat pysyvät samoina vain, jos liike ei ole geodeettista, koska metriikka on erilainen. On usein yritetty laatia malleja, joita voitaisiin laajentaa singulari­teetinkin ohi ja joilla voitaisiin kuvailla maailman­kaikkeutta jopa ennen alkuräjähdystä.

### Karttaprojektiot

Muutamat yleisesti käytetyt olevat karttaprojektiot ovat *oikea­kulmaisia*, eli niissä kahden suunnan välinen suunta kartalla on kaikkialla yhtä suuri kuin maastossakin. Tällaiset projektiot ovat konformi­kuvauksia pallo­pinnalta jollekin taso­alueelle. Aiemmin mainitun, myös kartta­projektiona käytetyn stereo­grafisen projektion ohella oikea­kulmaisia ovat erityisesti
Mercatorin projektio ja sen muunnelma, Gaussin–Krügerin projektio ja Lambertin projektio.

Vaihtoehtoiset kulmat
---------------------

Nimitys konformikuvaus johtuu siitä, että sellaisessa kohteiden muodot säilyvät ainakin infinitesimaalisissa mitta­suhteissa. Sana on muodostettu latinan prefiksistä *com* (yhdessä, kanssa, lähellä) ja substantiivista *forma* (muoto, ulkonäkö). Käsite sisältää yleensä oletuksen, että säilyvä muoto mitataan tavan­omaisella euklidisella kulmalla, jonka yksikkönä voidaan käyttää esimerkiksi asteina tai radiaaneina. Taso­kuvauksiin liittyy kuitenkin kaksi muutakin kulma­suuretta, hyperbolinen kulma ja kulmakerroin, joka on analoginen duaalilukujen välisten kulmien kanssa.

Olkoon {\displaystyle \scriptstyle f:U\rightarrow \mathbb {V} } pintojen välinen kuvaus, joka voidaan para­metrisoida luku­pareilla {\displaystyle \scriptstyle (x,y)\,} ja {\displaystyle \scriptstyle (u,v)\,}. Tällöin \scriptstyle f:n Jacobin matriisin muodostavat \scriptstyle u:n ja \scriptstyle v:n neljä osittaisderivaattaa \scriptstyle x:n ja \scriptstyle y:n suhteen.

Jos Jacobin matriisin *g* determinantti ei ole nolla, kuvaus f on "konforminen yleistetyssä mielessä" näistä kulma­suureista yhden suhteen riippuen Jacobin matriisin *g* ilmaisemasta reaali­matriisista.

Itse asiassa jokainen tällainen matriisi *g* kuuluu erityiseen *tasomaiseen* kommutatiiviseen ali­renkaaseen, ja *g*:n napa­koordinaatit määräytyvät kahden parametrin mukaan, joista toinen kuvaa etäisyyttä, toinen kulmaa tai suuntaa. Edellinen, säteittäinen parametri vastaa jotakin yhdenmuotoisuuskuvausta, ja sille voidaan kuvausten konformisuutta tutkittaessa valita arvo 1. Jälkimmäinen, *g*:n kulma­parametri, voi olla kolmea tyyppiä, transvektiivinen, hyperbolinen tai euklidinen:

* Jos alirengas on isomorfinen duaalilukujen tasojen kanssa, *g* on *trans­vektiivinen kuvaus* (engl. *shear mapping*, *transvection*), jossa duaalikulmat säilyvät.
* Jos alirengas on isomorfinen hyperbolisten lukujen tason kanssa, *g* on *hyperbolinen kuvaus* (engl. *squeeze mapping*, *hyperbolic mapping*), jossa hyperboliset kulmat säilyvät.
* Jos alirengas on isomorfinen tavallisen kompleksitason kanssa, *g* on rotaatio, jossa euklidinen kulma säilyy.

Käsitellessään analyyttisä bireaalisten muuttujien funktioita U. Bencivenga ja G. Fox ovat kirjoittaneet konformikuvauksista, joissa hyper­boliset kulmat säilyvät. Myös duaalilukujen ja hyper­bolisten lukujen tasoissa voidaan määritellä Möbius-kuvauksia vastaavat muunnokset, jotka ovat näiden tasojen konformi­kuvauksia edellä mainitussa yleistetyssä mielessä.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Conformal map

Lähteet
-------

* Lars V. Ahlfors: *Conformal invariants: topics in geometric function theory*. New York: McGraw–Hill Book Co. 1973.
* Hubert Chanson: *Applied Hydrodynamics: An Introduction to Ideal and Real Fluid Flows*. Leiden: CRC Press, Taylor & Francis Group, 2009. ISBN 978-0-415-49271-3. Teoksen verkkoversio.
* Michiel Hazewinkel: "Conformal Mapping", *Encyclopedia of Mathematics*. Springer, 2001. ISBN 978-1-55608-010-4.
* Walter Rudin: *Real and complex analysis, 3. painos*. New York: McGraw–Hill Book Co. 1987. ISBN 978-0-07-054234-1.
* Ruel V. Churchill: *Complex Variables and Applications*. New York: McGraw–Hill Book Co. 1974. ISBN 0-07-010855-2.
* Conformal Mapping MathWorld. Viitattu 19.11.2014.
* Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: *Complex Variables*. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).

### Viitteet

1. ↑  Lepistö, Timo: *Funktioteoria*, s. 37. Tampere: Tampereen teknillinen korkeakoulu, 1983.
2. ↑  Olli Lehto: "Analyyttinen funktio", *Funktioteoria I–II*, s. 15–16. Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951745-077-X.
3. ↑  Olli Lehto: "Analyyttinen funktio", *Funktioteoria I–II*, s. 130. Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951745-077-X.
4. ↑  Andrew Warwick: *Masters of Theory*, s. 404–424. The University of Chicago Press, 2003.
5. ↑  James Hopwood Jeans: *Mathematical Theory of Electricity and Magnetism*. Cambridge University Press, 1925 (uusi painos 2009). ISBN 978-1-108-00561-6.
6. ↑  Martin Vermeer ja Antti Rasila: *Maailman kartta – johdatus matemaattiseen geodesiaan*, s. 25–34. Ursa, 2014. ISBN 978-952-5985-19-1.
7. ↑  conformal – definition and meaning Wordnik.com. Viitattu 19.11.2014.
8. ↑  English etymology of conformal myEtymology.com. Viitattu 19.11.2014.
9. ↑  conformal – Memidex dictionary/thesaurus Memidex.com. Viitattu 19.11.2014.

Kirjallisuutta
--------------

* Olli Lehto: *Funktioteoria I–II*. Limes ry, 1985 (1980). ISBN 951745-077-X.
* Väisälä, Kalle: *Matematiikka IV*. 141, 10. painos. Espoo: Otakustantamo, 1986 (1965). ISBN 951-671-087-5.

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Konformikuvaus**.
* Monien konformikuvausten interaktiivisia visualisointeja (Arkistoitu – Internet Archive)
* Wolfram Demonstrations Project: Conformal Maps (Michael Trott)
* Jürgen Richter-Gebertin Cinderella-ohjelmistolla laatima Java-applet[vanhentunut linkki]
* Christian Mercatin laatima Java-applet kuvien muuntamiseksi[vanhentunut linkki]
* Conformal Mapping images of current flow Virtauksista konformikuvauksilla saatuja kuvia] eri geometrioissa magneettikenttien läsnä ollessa ja ilman niitä, laatinut Gerhard Brunthaler
* Conformal Transformation: from Circle to Square.