**Metrinen avaruus** on matematiikassa joukko, jossa on määritelty pisteiden välinen etäisyys. Metriset avaruudet ovat tärkeitä esimerkkejä topologisista avaruuksista. Topologiset avaruudet, joissa voidaan määritellä metriikka, ovat metristyviä avaruuksia.

Määritelmä
----------

Metrinen avaruus on pari {\displaystyle (X,d)}, missä X on joukko ja {\displaystyle d:X\times X\to \mathbb {R} } kuvaus (ns. metriikka eli etäisyysfunktio), joka kaikilla joukon X alkioilla x, y ja z toteuttaa ehdot

1. {\displaystyle d(x,z)\leq d(x,y)+d(y,z)} (kolmioepäyhtälö),
2. {\displaystyle d(x,y)=d(y,x)\,\!},
3. {\displaystyle d(x,x)=0}, ja
4. {\displaystyle d(x,y)=0\,\!\implies x=y}.

Ehdoista seuraa {\displaystyle d(x,y)\geq 0}, sillä {\displaystyle 0=d(x,x)\leq } (1) {\displaystyle d(x,y)+d(y,x)=} (2) {\displaystyle d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)}. 

Kun d toteuttaa ehdot 1–3, se on pseudometriikka. Täten jokainen metriikka on myös pseudometriikka. 

Metristä avaruutta {\displaystyle (X,d)} kutsutaan usein vain metriseksi avaruudeksi X, jos käytössä oleva metriikka d on asiayhteydestä selvä. Metrisen avaruuden X alkioita kutsutaan yleensä pisteiksi, ja lukua {\displaystyle d(x,y)} pisteiden x ja y väliseksi etäisyydeksi.

Esimerkkejä
-----------

* Mielivaltaisessa epätyhjässä joukossa X voidaan määritellä ns. diskreetti metriikka (myös {0, 1}-metriikka) määrittelemällä {\displaystyle d(x,y)=0} jos {\displaystyle x=y} ja {\displaystyle d(x,y)=1} muutoin.
* Reaalilukujen joukossa pisteiden erotuksen itseisarvo määrittelee (ns. tavallisen reaalisen) metriikan {\displaystyle d(x,y)=|x-y|}.
* Jokaisessa joukossa \mathbb{R}^n tärkein metriikka on euklidinen metriikka, jossa pisteiden {\displaystyle P=(p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{n})\,} ja {\displaystyle Q=(q\_{1},q\_{2},\dots ,q\_{n})\,} välinen etäisyys on

{\displaystyle {\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}}}}   

Tasossa ja kolmiulotteisessa avaruudessa tämä vastaa tavanomaista euklidisen geometrian mukaista pisteiden välistä etäisyyttä.

* Normiavaruus on aina myös metrinen avaruus. Nimittäin jos (X,|| \cdot ||) on normiavaruus, niin funktio {\displaystyle d:X\times X\rightarrow \mathbb {R} ,d(x,y)=||x-y||} määrää metriikan joukkoon X.
* Pallopinnalla voidaan määrittää metriikka siten, että kahden pisteen välinen etäisyys mitataan niiden kautta kulkevaa isoympyrää pitkin.

Määritelmiä
-----------

### Kuulat ja pallot

Olkoon {\displaystyle (X,d)} metrinen avaruus, x \in X ja {\displaystyle r\in \mathbb {R} \_{+}=\{y\in \mathbb {R} :y>0\}}. Tällöin joukkoa

{\displaystyle B(x,r)=\{y\in X:d(y,x)<r\}}
kutsutaan avaruuden X x-keskiseksi r-säteiseksi **avoimeksi kuulaksi**. Toisin sanoen, {\displaystyle B(x,r)} on niiden pisteiden {\displaystyle y\in X} joukko, joiden etäisyys pisteestä x on aidosti pienempi kuin r. Joukkoa {\displaystyle B(x,r)} kutsutaan myös pisteen x **kuulaympäristöksi**.

Vastaavasti määritellään joukot

{\displaystyle {\overline {B}}(x,r)=\{y\in X:d(y,x)\leq r\}}
ja

{\displaystyle S(x,r)=\{y\in X:d(y,x)=r\},}
joista edellistä kutsutaan **suljetuksi kuulaksi** ja jälkimmäistä **palloksi**.

On syytä korostaa, että kuulat ja pallot riippuvat avaruuden X metriikasta d, ja tarvittaessa esimerkiksi avointa kuulaa voidaan merkitä {\displaystyle B\_{d}(x,r)}. 

### Avoin ja suljettu joukko

Avaruuden {\displaystyle (X,d)} osajoukko {\displaystyle U\subseteq X} on **avoin**, jos jokaisella pisteellä {\displaystyle x\in U} on kuulaympäristö {\displaystyle B(x,r)} siten, että {\displaystyle B(x,r)\subseteq U}. Metrisen avaruuden avointen joukkojen kokoelma muodostaa erään X:n topologian, ns. **tavallisen topologian** {\displaystyle {\mathcal {T}}\_{d}}; siten jokainen metrinen avaruus on luonnollisella tavalla topologinen avaruus. Itse asiassa kutsumme topologisen avaruuden {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} topologiaa {\mathcal {T}} **metristyväksi** jos ja vain jos on olemassa jokin X:n metriikka d siten, että {\displaystyle {\mathcal {T}}={\mathcal {T}}\_{d}}.

Joukko {\displaystyle F\subseteq X} on **suljettu**, jos sen komplementti {\displaystyle \complement F} on avoin. Joukko {\displaystyle A\subseteq X} voi olla yhtä aikaa avoin ja suljettu, mutta se ei välttämättä ole kumpaakaan.

### Rajoitettu joukko

Metrisen avaruuden {\displaystyle (X,d)} osajoukkoa {\displaystyle A\subseteq X} sanotaan **rajoitetuksi**, jos on olemassa sellainen säde {\displaystyle r\in \mathbb {R} \_{+}}, että {\displaystyle d(x,y)<r} kaikilla {\displaystyle x,y\in A}. Pienintä tällaista sädettä (pienin yläraja) sanotaan joukon **halkaisija**ksi eli läpimitaksi.

### Pisteen etäisyys joukosta

Metrisen avaruuden pisteen x \in X etäisyys joukosta {\displaystyle A\subseteq X} on lyhin etäisyys pisteestä x johonkin joukon A pisteeseen, toisin sanoen

{\displaystyle d(x,A)=\inf\{d(x,y):y\in A\}}.

Katso myös
----------

* Avaruus
* Ultrametrinen avaruus

Lähteet
-------

* Väisälä, Jussi: *Topologia I, 5. korjattu painos*. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.

#### Viitteet

1. ↑  Royden, H.L.: "7 Metric Spaces", *Real Analysis*, s. 139. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
2. 1 2 3 4  Väisälä, Jussi: *Topologia II*, s. 35–36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
3. ↑  Royden, H.L.: "7.2 Open and Closed Sets", *Real Analysis*, s. 141–142. New York: Macmillan Publishing Company, 1988. ISBN 0-02-404151-3. (englanniksi)
4. ↑  Väisälä 2012, 24

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Metrinen avaruus** Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta
--------------

* Jalava, Väinö: *Moderni analyysi I*. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
* Kaleva, Osmo: *Reaalianalyysi*. opintomoniste 141. Tampere: TTKK, 1992. ISBN 951-721-600-9.