**Ortogonaaliset polynomit** ovat ääretön joukko polynomeja {\displaystyle P\_{0}(x),P\_{1}(x),P\_{2}(x)\ldots ,P\_{n}(x),\ldots \,}, joista n:s polynomi on aina n:ttä astetta. Ortogonaalipolynomit ovat nimensä mukaisesti ortogonaalisia, eli kahden polynomin sisätulo

{\displaystyle \langle P\_{n},P\_{m}\rangle =\int \_{a}^{b}P\_{n}(x)P\_{m}(x)W(x)dx}
on nolla, aina kun n\neq m. Tässä esiintyvä funktio {\displaystyle W(x)} on sisätulon painofunktio, joka voi olla myös ykkönen. Tämän ominaisuuden vuoksi tietty ortogonaalipolynomien joukko muodostaa polynomiavaruuden kannan samaan tapaan kuin vaikkapa koordinaatiston kantavektorit muodostavat vektoriavaruuden kannan. Integrointirajojen a ja b väliin jäävää aluetta kutsutaan polynomiperheen *ortogonaalisuusväliksi*. Rajoista jompikumpi tai molemmat voivat olla äärettömiä. Kanta-ominaisuutensa vuoksi ortogonaalipolynomeilla on runsaasti käytännön sovelluksia. Niiden avulla voidaan esimerkiksi kirjoittaa sarjakehitelmiä muille funktioille.

Ominaisuuksia
-------------

### Generoiva funktio

Ortogonaalisia polynomeja esiintyy sellaisen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälön ratkaisuna, joka on muotoa 

{\displaystyle Q(x)y''+L(x)y'+\lambda y=0\,},
kunhan polynomi {\displaystyle Q(x)} on korkeintaan toista astetta ja polynomi L(x) lineaarinen. Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan löytää funktio, joka tunnetaan **Rodriguesin kaavana**. Rodriguesin kaavan yleinen muoto on

{\displaystyle P\_{n}={\frac {1}{W(x)e\_{n}}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}(W(x)[Q(x)]^{n})},
missä painofunktio 

{\displaystyle W(x)={\frac {e^{\int (L(x)/Q(x))dx}}{Q(x)}}}
ja {\displaystyle e\_{n}} polynomijoukosta riippuva kerroin. Monissa todistuksissa on kätevää käyttää varsinaista **generoivaa funktiota**. Funktio {\displaystyle G(x,t)} on generoiva funktio, jos polynomijoukolle on voimassa

{\displaystyle G(x,t)=\sum \_{n}P\_{n}(x)t^{n}\,}
Tällä voidaan todistaa esimerkiksi rekursiokaavoja.

### Rekursiokaava

Jokaiselle ortogonaalisten polynomien joukolle voidaan myös löytää rekursiivinen kaava, jolla pystytään laskemaan joukon seuraava polynomi, kun kaksi edellistä polynomia tunnetaan. Yleinen rekursiokaava on muotoa

{\displaystyle P\_{n+1}=(a\_{n}x+b\_{n})P\_{n}-c\_{n}P\_{n-1}\,}
### Juurten reaalisuus ja erisuuruus

Voidaan osoittaa, että jokaisen ortogonaalipolynomin kaikki nollakohdat ovat erisuuria, reaalisia ja että ne kaikki sijaitsevat kyseisen polynomijoukon ortogonaalisuusvälillä. Voidaan myös osoittaa, että jonon n:nnen polynomin kaikki nollakohdat sijaitsevat {\displaystyle (n+1)}:nnen polynomin nollakohtien välissä.

Tunnettuja ortogonaalisia polynomeja
------------------------------------

Ortogonaalisia polynomeja syntyy mm. eräiden differentiaaliyhtälöiden ratkaisuna yhtälön sarjaratkaisun katketessa polynomiksi. Tunnettuja ortogonaalipolynomiparvia ovat

* Legendren polynomit
* Laguerren polynomit
* Hermiten polynomit
* Tšebyševin polynomit
* Jacobin polynomit

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Auktoriteettitunnisteet Muokkaa Wikidatassa |
| --- |
|  |
| Kansainväliset | 
* FAST

 |
|  |
| Kansalliset | 
* Espanja
* Ranska
* BnF data
* Saksa
* Israel
* Yhdysvallat
* Tšekki

 |
|  |
| Muut | 
* IdRef

 |

 |