Lineaarialgebrassa annetun neliömatriisin **liittomatriisi** eli **adjungoitu matriisi** (engl. *adjugate of a matrix*) on matriisi, joka muodostetaan korvaamalla alku­peräisen matriisin alkiot niiden ali­determi­nanteilla, vaihtamalla niistä joka toinen vasta­luvukseen ja ottamalla näin saadusta matriisista transpoosi.

Liitto­matriisista käytetään myös nimitystä *adjungoitu matriisi* (engl. *Adjoint of a matrix*), joskin samalla termillä voidaan tarkoittaa myös matriisin konju­gaattista trans­poosia.

Määritelmä
----------

Matriisin *A* liitto­matriisi on sen kofaktorimatriisin *C* transpoosi:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{\mathsf {T}}}.
Yksityiskohtaisemmin: olkoon *R* kommutatiivinen rengas ja **A** *n*×*n* -matriisi, jonka alkiot kuuluvat *R*:ään.

Muodostetaan ensin jokaista matriisin alkiota [aij] kohti alideterminantti, toisin sanoen sen matriisin determinantti, joka saadaan, kun alkuperäisestä matriisista *A* poistetaan *i*:s rivi ja *j*:s sarake. Matrisiissa *A* olevat luvut korvataan saatujen determinanttien arvoilla. Tämän jälkeen ne saadun matriisin alkiot, joita vastaavien rivin ja sarakkeen järjestys­numeroiden summa on pariton, korvataan vasta­luvuillaan. Täten saadaan alku­peräisen matriisin *A* kofaktori­matriisi. **A**:n liittomatriisi eli adjungoitu matriisi on sen kofaktori­­matriisin trans­poosi, ja sille käytetään merkintää adj(A).

Liittomatriisin määritelmästä seuraa, että matriisin **A** ja sen liittomatriisin matriisitulo on diagonaalinen matriisi, jonka diagonaalilla esiintyy joka rivillä alku­peräisen matriisin determinantin arvo det(**A**). Kun liitto­matriisin adj(**A**) kaikki alkiot jaetaan tämän determinantin arvolla, saadaan alku­peräisen matriisin **A** käänteismatriisi.

Esimerkkejä
-----------

### 2 × 2 -matriisin liittomatriisi

2 × 2 -matriisin

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}{a}&{b}\\{c}&{d}\end{pmatrix}}}
liittomatriisi on 

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}}.
Voidaan helposti todeta, että det(adj(**A**)) = det(**A**) ja adj(adj(**A**)) = **A**.

### 3 × 3 -matriisin liittomatriisi

Käsitellään {\displaystyle 3\times 3} -matriisia

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}}
Muodostetaan ensin alideterminantit:
  

{\displaystyle \left|A\_{11}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{12}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{13}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|}
  

{\displaystyle \left|A\_{21}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{22}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{23}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|}
  

{\displaystyle \left|A\_{31}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{32}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{matrix}}\right|}, 
{\displaystyle \left|A\_{33}\right|=\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{matrix}}\right|}
  

Sijoitetaan nämä matriisiin ja korvataan niistä joka toinen vastaluvullaan, jolloin saadaan A:n kofaktorimatriisi:

  

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
Kun tämä transponoidaan, saadaan alkuperäisen matriisin *A* liittomatriisiksi:

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}}
missä

{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a\_{im}&a\_{in}\\\,\,a\_{jm}&a\_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}a\_{im}&a\_{in}\\\,\,a\_{jm}&a\_{jn}\end{matrix}}\right)}.
Kaksirivisen determinantin arvo lasketaan seuraavasti:
{\displaystyle \left|{\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}}\right|=ad-bc}

Ominaisuuksia
-------------

Liittomatriisilla on seuraavat ominaisuudet:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {I} )=\mathbf {I} ,}
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {AB} )=\mathrm {adj} (\mathbf {B} )\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ),}
{\displaystyle \mathrm {adj} (c\mathbf {A} )=c^{n-1}\mathrm {adj} (\mathbf {A} )}
kaikille *n*×*n*-matriiseille **A** ja **B**. Toisella rivillä oleva yhtälö seuraa yhtälöistä adj(**B**)adj(**A**) = 
det(**B**)**B**-1 det(**A**)**A**-1 = det(**AB**)(**AB**)-1. 
Korvaamalla toisella rivillä **B** matriisilla **A**m - 1 ja suorittamalla tämä rekursiivisesti saadaan kaikille kokonaisluville *m*:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{m})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{m}.}
Liittomatriisin transpoosi on sama kuin transpoosin liittomatriisi:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} ^{\mathsf {T}})=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )^{\mathsf {T}}.}
Lisäksi,

{\displaystyle \det {\big (}\mathrm {adj} (\mathbf {A} ){\big )}=\det(\mathbf {A} )^{n-1},}
{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathrm {adj} (\mathbf {A} ))=\det(\mathbf {A} )^{n-2}\mathbf {A} }
ja jos det(**A**) = 1, on det(adj(**A**)) = det(**A**) ja adj(adj(**A**)) = **A**. 

### Käänteismatriisi

Laplacen kaavasta *n*×*n* -matriisin **A** determinantille seuraa:

{\displaystyle \mathbf {A} \,\mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathrm {adj} (\mathbf {A} )\,\mathbf {A} =\det(\mathbf {A} )\,\mathbf {I} \_{n}\qquad (\*)}
missä {\displaystyle \mathbf {I} \_{n}} on *n*×*n* -yksikkömatriisi. 

Tästä kaavasta seuraa yksi matriisilaskennan tärkeimmistä tuloksista: Kommutatiivisen renkaan *R* matriisi on kääntyvä, jos ja vain jos determinantilla det(**A**) on käänteisalkio renkaassa *R*. Jos matriisin alkiot ovat esimerkiksi reaali- tai kompleksilukuja, neliömatriisilla on käänteismatriisi, jos ja vain jos sen determinantti ei ole nolla.

Sillä jos **A** on kääntyvä matriisi, on

{\displaystyle 1=\det(\mathbf {I} \_{n})=\det(\mathbf {A} \mathbf {A} ^{-1})=\det(\mathbf {A} )\det(\mathbf {A} ^{-1}),}
ja yllä oleva yhtälö (\*) osoittaa, että

{\displaystyle \mathbf {A} ^{-1}=\det(\mathbf {A} )^{-1}\,\mathrm {adj} (\mathbf {A} ).}
### Karakteristinen polynomi

Jos *p*(*t*) = det(**A** − *t* **I**) on **A**:n karakteristinen polynomi ja määritellään lisäksi polynomi
*q*(*t*) = (*p*(0) − *p*(*t*))/*t*, saadaan:

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=q(\mathbf {A} )=-(p\_{1}\mathbf {I} +p\_{2}\mathbf {A} +p\_{3}\mathbf {A} ^{2}+\cdots +p\_{n}\mathbf {A} ^{n-1}),}
missä luvut {\displaystyle p\_{j}} ovat *p*(*t*):n kertoimet,

{\displaystyle p(t)=p\_{0}+p\_{1}t+p\_{2}t^{2}+\cdots +p\_{n}t^{n}.}
### Jacobin kaava

Liitto­matriisi esiintyy myös Jacobin kaavassa determinantin derivaatalle:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}\det(A)=\operatorname {tr} \left(\operatorname {adj} (A){\frac {\mathrm {d} A}{\mathrm {d} \alpha }}\right).}
Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Adjugate matrix

Lähteet
-------

* Gilbert Strang: "Section 4.4: Applications of determinants", *Linear Algebra and its Applications*, s. 231–232. Harcourt Brace Jovanovich, 1988. ISBN 0-15-551005-3.

### Viitteet

1. 1 2  Daniel N. Lapedes: *Dictionary of Physics and Mathematics*, s. 18–19. McGraw & Hill, 1980. ISBN 0-07-045480-9.
2. 1 2 3 4  Esko Valtanen: "Matriisilaskenta", *Matematiikan ja fysiikan käsikirja*, s. 124–125. Jyväskylä: Genesis-Kirjat Oy, 2007. ISBN 978-952-9767-28-2.

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Matriisilasku ja lineaarialgebra*. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).  Arkistoitu 7.7.2019. Viitattu 26.6.2023.