|  |
| --- |
| Osa artikkelisarjaa**Geometria** |
|  |
| **Tasogeometria**
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
**Avaruusgeometria**
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
**Euklidinen geometria**
Paralleeliaksiooma
**Epäeuklidinen geometria**
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
**Analyyttinen geometria** |

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} topologinen avaruus. Tällöin joukon X **pinta** on mikä tahansa jatkuva kuvaus {\displaystyle \omega :D\rightarrow X}, missä joukko {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{2}} on yhtenäinen.

Kuvauksen \omega kuvajoukkoa {\displaystyle \omega (D)} kutsutaan pinnan \omega **kuvaajaksi**. Usein tosin pinnan kuvaajaa kutsutaan lyhyesti vain pinnaksi.

\mathbb{R}^n:n pinnat
---------------------

Euklidisen avaruuden \mathbb{R}^n pintoja kutsutaan yleensä **parametrisoiduiksi pinnoiksi**. Nimitys juontuu siitä, että voimme aina kirjoittaa pinnan {\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} kaavan jatkuvien funktioiden {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2},...\omega \_{n}:D\rightarrow \mathbb {R} } avulla siten, että pisteessä {\displaystyle (x,y)\in \mathbb {R} ^{2}} pinnan \omega kaava 

{\displaystyle \omega (x,y)=(\omega \_{1}(x,y),\omega \_{2}(x,y),...\omega \_{n}(x,y))}.

Funktioita {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2},...\omega \_{n}} kutsutaan pinnan \omega **koordinaattifunktioiksi**.

Oletetaan, että {\displaystyle \omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}} on pinta ja että sen koordinaattifunktioiden {\displaystyle \omega \_{1},\omega \_{2},...\omega \_{n}} osittaisderivaatat ovat olemassa ja jatkuvia (ts. ne koordinaattifunktiot ovat jatkuvasti derivoituvia). Määrittelemme, että pinnan \omega **osittaisderivaatat** pisteessä {\displaystyle (x,y)\in D} ovat funktiot {\displaystyle \partial \_{1}\omega ,\partial \_{2}\omega :D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}},

{\displaystyle \partial \_{1}\omega (x,y)=(\partial \_{1}\omega \_{1}(x,y),\partial \_{1}\omega \_{2}(x,y),...\partial \_{1}\omega \_{n}(x,y))}

{\displaystyle \partial \_{2}\omega (x,y)=(\partial \_{2}\omega \_{1}(x,y),\partial \_{2}\omega \_{2}(x,y),...\partial \_{2}\omega \_{n}(x,y))}.

Näiden osittaisderivaattojen avulla voimme määritellä pinnan \omega derivaatan. Pinnan \omega **derivaattafunktio** on funktio {\displaystyle \omega ':D\rightarrow \lbrace M:M{\mbox{ on }}n\times 2-{\mbox{matriisi}}\rbrace },

{\displaystyle \omega '(x,y)={\begin{bmatrix}\partial \_{1}\omega \_{1}(x,y)&\partial \_{2}\omega \_{1}(x,y)\\\partial \_{1}\omega \_{2}(x,y)&\partial \_{2}\omega \_{2}(x,y)\\\vdots &\vdots \\\partial \_{1}\omega \_{n}(x,y)&\partial \_{2}\omega \_{n}(x,y)\end{bmatrix}}}.
Derivaattafunktion kaavaa {\displaystyle \omega '(x,y)} kutsumme lyhyesti **derivaataksi** pisteessä (x,y). Lisäksi sanomme, että pinta on **derivoituva** jos sillä on olemassa derivaattafunktio (eli derivaatta jokaisessa D:n pisteessä).

Pinnan derivaatan hyöty näkyy esimerkiksi siinä, että jos {\displaystyle (x\_{0},y\_{0})\in D}, niin lineaarinen funktio {\displaystyle T:D\rightarrow \mathbb {R} ^{n}},

{\displaystyle T(x,y)=\omega (x\_{0},y\_{0})+\omega '(x\_{0},y\_{0})(x-x\_{0},y-y\_{0})},

on likimääräisesti sama kuin itse pinta \omega pisteen (x\_{0},y\_{0}) läheisyydessä. Funktiota T kutsutaan pinnan \omega **tangenttitasoksi** pisteessä (x\_{0},y\_{0}).

{\mathbb {R}}^{3}:n pintojen tärkeä sovellus on ns. pintaintegraali.

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 312–313. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.