12 esinettä voidaan asettaa kolmeen yhtä suureen pinoon, joten luku 12 ei ole alkuluku. 11 esineellä tämä ei ole mahdollista millään pinojen määrällä, joten luku 11 on alkuluku.
**Alkuluku** on lukua 1 suurempi luonnollinen luku, joka ei ole jaollinen muilla positiivisilla kokonaisluvuilla kuin yhdellä ja itsellään. Alkulukujen joukkoa merkitään kirjaimella **P**. Pienimmät kymmenen alkulukua ovat 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 ja 29. Alkulukuja on ääretön määrä. Lukua 1 suurempaa kokonaislukua, joka ei ole alkuluku, sanotaan yhdistetyksi luvuksi. Lukua 1 ei lueta alkuluvuksi, vaikka se onkin jaoton luku, jotta alkulukuja koskevien matemaattisten lauseiden muotoilu olisi yksinkertaisempaa.

Alkulukujen laskemiseksi on olemassa useita algoritmeja. Yksi yksinkertaisimmista algoritmeista on Eratostheneen seula, joskin se on työläs ja hidas suurten alkulukujen etsimiseen.

Kaksi lukua ovat alkulukuja toistensa suhteen eli keskenään jaottomia, jos niillä ei ole ykköstä suurempia yhteisiä tekijöitä.

Historiaa
---------

1600-luvulla elänyt ranskalainen matemaatikko Pierre de Fermat tarkasteli ensimmäisiä lukuja epänegatiivisten kokonaislukujen *n* (0, 1, 2, 3, …) funktiossa

{\displaystyle 2^{2^{n}}+1}
ja päätteli virheellisesti, että kaikki näin saadut luvut eli Fermat’n luvut (3, 5, 17, 257, 65537, …) olisivat alkulukuja.

Luonnolliset luvut tulona
-------------------------

Jokainen luonnollinen luku paitsi {\displaystyle 1} voidaan jakaa alkulukutekijöihin eli kirjoittaa alkulukujen tulona. Voidaan osoittaa, että tämä tekijöihin jako on yksikäsitteinen lukuun ottamatta tekijöiden järjestystä (aritmetiikan peruslause). Voidaan esimerkiksi kirjoittaa

{\displaystyle 23\,244=2^{2}\cdot 3\cdot 13\cdot 149}.
Tekijöihinjakoa, jossa alkulukutekijät ovat suuruusjärjestyksessä, kutsutaan kanoniseksi alkulukuhajotelmaksi.

Ominaisuuksia
-------------

* Jos p on alkuluku, niin {\displaystyle (p-1)!\equiv -1{\pmod {p}}} (Wilsonin lause).
* Mikäli {\displaystyle a} ja {\displaystyle d} ovat keskenään jaottomia, niin on olemassa äärettömän monta alkulukua muotoa {\displaystyle a+nd}, missä {\displaystyle n} on luonnollinen luku.
* Mikäli {\displaystyle p} on alkuluku ja {\displaystyle a} on kokonaisluku, niin {\displaystyle a^{p}-a} on jaollinen luvulla {\displaystyle p} (Fermat’n pieni lause).
* Jokaiselle alkuluvulle {\displaystyle p>2} on olemassa luonnollinen luku {\displaystyle n} siten että {\displaystyle p=4n\pm 1}.
* Jokaiselle alkuluvulle {\displaystyle p>3} on olemassa luonnollinen luku {\displaystyle n} siten että {\displaystyle p=6n\pm 1}.
* Ainoa parillinen alkuluku on 2 (seuraa alkuluvun määritelmästä).

### Määrän äärettömyys

Eukleides antoi vanhimman tunnetun todistuksen alkulukujen määrän äärettömyydelle. Todistus on lyhyesti seuraava:

Ota äärellinen joukko perättäisiä alkulukuja. Kerro ne kaikki keskenään ja lisää yksi. Tulos ei ole jaollinen valitun joukon alkuluvuilla, koska jakojäännökseksi jää tällöin yksi. Niinpä sen täytyy olla joko uusi alkuluku tai jaollinen alkuluvulla, joka ei kuulunut valittuun joukkoon.
### Tiheys

Alkuluvuille on olemassa laskufunktio. Merkintä {\displaystyle \pi (n)} tarkoittaa lukua *n* pienempien alkulukujen määrää. Alkulukujen tiheys on laskeva.
Ohessa {\displaystyle \pi (n)} laskettuna joillekin *n*:n arvoille kasvavan suuruusluokan mukaan.

| *n* | {\displaystyle \pi (n)} |
| --- | --- |
| {\displaystyle 10} | 4 |
| {\displaystyle 10^{2}} | 25 |
| {\displaystyle 10^{3}} | 168 |
| {\displaystyle 10^{4}} | 1 229 |
| {\displaystyle 10^{5}} | 9 592 |
| {\displaystyle 10^{6}} | 78 498 |
| {\displaystyle 10^{7}} | 664 579 |
| {\displaystyle 10^{8}} | 5 761 455 |
| {\displaystyle 10^{9}} | 50 847 534 |

Alkulukulause antaa asymptoottisen arvion {\displaystyle \pi (n)}-funktion käyttäytymiselle. Sen nojalla

{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
Tämä merkintä ei tarkoita sitä, että näiden funktioiden arvojen erotus lähestyy nollaa, kun *x* lähestyy ääretöntä, vaan sitä, että niiden arvojen osamäärä lähestyy yhtä, kun *x* lähestyy ääretöntä. Arvion antama virhe voi siis olla suurikin, mutta suhteutettuna *x*:ään se on tarpeeksi pieni, jotta arvio on hyödyllinen.

Alkulukuteoreeman esitti ensimmäisen kerran Gauss konjektuurina 1800-luvulla. Sen todistivat toisistaan riippumatta Hadamard ja de la Vallée Poussin vuonna 1896.

### Eräs alkulukukaava

Seuraava funktio tuottaa luonnollisen luvun {\displaystyle n} eri arvoilla kaikki alkuluvut ja vain ne: 

{\displaystyle f(n)=2+(2(n!){\bmod {(}}n+1))}.
Tämän lausekkeen arvo on {\displaystyle n+1}, jos tämä on alkuluku, muussa tapauksessa 2. Luvun {\displaystyle n} arvoilla 1 – 12 lauseke saa arvot 2, 3, 2, 5, 2, 7, 2, 2, 2, 11, 2 ja 13. 

Kaavan hyöty on kuitenkin lähinnä teoreettinen, koska kertoman laskeminen on erittäin työlästä tietokoneillekin.
Esimerkiksi alkulukua {\displaystyle f(23)} varten täytyy laskea luvun {\displaystyle 22} kertoma, joka on {\displaystyle 1\,124\,000\,727\,777\,607\,680\,000}.

Ohjelman pseudokoodi:

```
define factorial(*n*):
  if *n* == 0 or *n* == 1:
      return 1
  else:
      return *n* * factorial(*n* - 1)

*k* = read_integer()
 
for *n* in 1 to *k*:
  *c* = factorial(*n*)
  *prime* = 2 + (2 * *c* mod (*n* + 1))

  if *prime* not in *seen\_primes*:
      *seen\_primes*.insert(*prime*)
      print *prime*
```

Suurimmat tunnetut alkuluvut
----------------------------

Kaavio suurimman tunnetun alkuluvun numeroiden lukumäärän kasvusta logaritmisella asteikoilla

| Sija | Alkuluku | Numeroita | Löydetty | Muuta |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 1. | {\displaystyle 2^{82\,589\,933}-1} | 24 862 048 | 7. joulukuuta 2018 | 51. tunnettu Mersennen alkuluku. |
| 2. | {\displaystyle 2^{77\,232\,917}-1} | 23 249 425 | 26. joulukuuta 2017 | 50. tunnettu Mersennen alkuluku. |
| 3. | {\displaystyle 2^{74\,207\,281}-1} | 22 338 618 | 7. tammikuuta 2016 | 49. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi GIMPS-projektissa mukana ollut tietokone. |
| 4. | {\displaystyle 2^{57\,885\,161}-1} | 17 425 170 | 25. tammikuuta 2013 | 48. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi Central Missourin yliopiston professori Curtis Cooperin tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin. |
| 5. | {\displaystyle 2^{43\,112\,609}-1} | 12 978 189 | 23. elokuuta 2008 | 45. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi University of California, Los Angelesin matematiikan osaston tietokone, joka osallistui GIMPS-projektiin. |
| 6. | {\displaystyle 2^{42\ 643\ 801}-1} | 12 837 064 | 12. kesäkuuta 2009 | 47. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi Odd Magnar Strindmo, joka osallistui GIMPS-projektiin. |
| 7. | {\displaystyle 2^{37\ 156\ 667}-1} | 11 185 272 | 6. syyskuuta 2008 | 46. tunnettu Mersennen alkuluku. Alkuluvun löysi Hans-Michael Elvenich Saksan Langenfeldistä, joka osallistui GIMPS-projektiin. Tämä oli ensimmäinen epäjärjestyksessä löytynyt Mersennen alkuluku sitten vuoden 1988. |

Suurin tunnettu alkuluku, joka *ei ole* Mersennen alkuluku, on {\displaystyle 10\ 223\times 2^{31\ 172\ 165}+1}. Tässä luvussa on 9 383 761 numeroa. Se löydettiin Seventeen or Bust -projektin avulla 31. lokakuuta 2016.

Avoimia kysymyksiä
------------------

*Katso myös: Landaun ongelmat*
Matematiikassa on monia alkulukuja koskevia avoimia kysymyksiä, joista varmastikin tunnetuin on Riemannin hypoteesi. Alla on lueteltu muita tunnettuja avoimia kysymyksiä.

* Voidaanko jokainen lukua 2 suurempi parillinen luku esittää kahden alkuluvun summana? (Goldbachin konjektuuri)
* Onko Fibonaccin lukujonossa ääretön määrä alkulukuja (Fibonaccin alkuluvut)?
* Onko olemassa äärettömän monta sellaista alkulukua, joiden etäisyys lähimmästä alkuluvusta on 2, toisin sanoen, onko alkulukupareja äärettömän monta?

Katso myös
----------

* Jaksollinen funktio, Esimerkki 3.
* Yhdistetty luku

Lähteet
-------

1. ↑  Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: *Johdatus abstraktiin algebraan*, s. 84–86. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
2. ↑  The First 10,000 Primes The University of Tennessee at Martin.  (englanniksi)
3. ↑  Gleick, James: *Kiire. Miksi aika tahtoo loppua?*. (Alkuteos: Faster. The Acceleration of Just About Everything, 1999.) Suomentanut Arto Schroderus. Helsinki: Tammi, 2001. ISBN 951-31-1993-9.
4. ↑  Xavier Gourdon and Pascal Sebah: A table of values of pi(x) *numbers.computation.free.fr*. Viitattu 11.8.2023.
5. ↑  http://www.mersenne.org
6. ↑  Miina Rautiainen: Uusi maailman suurin alkuluku löytyi ja vielä yllättävän nopeasti – laskutoimitukseen kului tietokoneelta 6 päivää *Tekniikka ja talous*.  5.1.2018. Viitattu 6.1.2018.
7. ↑  Saarinen, Juhani: Maailman suurin tunnettu alkuluku löytyi, mutta se on hyödytön – katso koko 22 338 618- numeroinen luku *HS.fi*.  20.1.2016. Viitattu 23.1.2016.
8. ↑

Kirjallisuutta
--------------

* Derbyshire, John: *Alkulukujen lumoissa*. Terra Cognita, 2006. ISBN 952-5202-75-5.

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Alkuluku**.
* Seventeen or Bust -projekti, jonka tarkoituksena on löytää suuria alkulukuja ja määrittää pienin Sierpinskin luku.
* GIMPS-projekti, jonka tarkoituksena on etsiä suuria Mersennen alkulukuja
* Topics in Multiplicative Number Theory (väitös).