**Eksakti differentiaali** tarkoittaa yleistä differentiaalimuotoa {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}, jolle löytyy jokin funktio *f* siten että:

{\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}.
Toisin sanoen {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!} on siis eksakti, mikäli ja vain mikäli {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}.

Differentiaali {\displaystyle dg=L(x)dx\,\!} on aina eksakti. 

  


---

  

Tämä on seurausta, koska differentiaalille *df* on voimassa

{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x}}dx+{\frac {\partial f}{\partial y}}dy}
on {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=P(x,y)} ja {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial y}}=Q(x,y)\,\!}.

Koska {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x}}\left({\frac {\partial f}{\partial y}}\right)={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)}, on oltava {\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial y}}={\frac {\partial Q}{\partial x}}}.

Tämä on sekä välttämätön että riittävä ehto eksaktille differentiaalille. Tämän voi osoittaa määrittelemällä mahdollinen funktio *f* integraalina ja sitten todistamalla, että sen määritelmä on yksiselitteinen.

Eksaktit differentiaalit ja differentiaaliyhtälöt
-------------------------------------------------

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {P(x,y)}{Q(x,y)}}} voidaan kirjoittaa muodossa {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0\,\!}. Jos {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!} on eksakti, eli on funktio *f*, jolle {\displaystyle df=P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!}, on tällöin {\displaystyle df=0\,\!} ja ratkaisu siten {\displaystyle f(x,y)=\lambda \,\!}, missä {\displaystyle \lambda \,\!} on vakio.

Integrointitekijät
------------------

Funktiota {\displaystyle \mu (x,y)\,\!} kutsutaan integrointitekijäksi, mikäli se tekee epäeksaktista differentiaalimuodosta {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy\,\!} eksaktin, eli

{\displaystyle \mu (x,y)P(x,y)dx+\mu (x,y)Q(x,y)dy\,\!}
on eksakti. Tällöin on oltava

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y}}\left(\mu P\right)={\frac {\partial }{\partial x}}\left(\mu Q\right)\,\!}
josta

{\displaystyle \mu \left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right)+P{\frac {\partial \mu }{\partial y}}-Q{\frac {\partial \mu }{\partial x}}=0\,\!}
Tämä on yleensä erittäin vaikea ratkaista. Erikoistapauksessa {\displaystyle \mu \equiv \mu (x)\,\!} saamme

{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dx}}=\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{Q}}\,\!}
joka on koherentti, mikäli oikea puoli on pelkästään *x*:n funktio. Samoin integrointitekijälle {\displaystyle \mu (y)\,\!}

{\displaystyle {\frac {1}{\mu }}{\frac {d\mu }{dy}}=-\left({\frac {\partial P}{\partial y}}-{\frac {\partial Q}{\partial x}}\right){\frac {1}{P}}\,\!}
jos oikea puoli on vain *y*:n funktio.

Katso myös
----------

* Maxwellin relaatiot

Lähteet
-------

1. ↑  Weisstein, Eric W.: "Exact Differential" From MathWorld – A Wolfram Web Resource *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).