Teräväkulmaisen kolmion keskijanat leikkaavat painopisteessä.
**Kolmion painopiste** tarkoittaa geometriassa kolmion keskijanojen leikkauspistettä. Painopisteen nimitys tulee siitä, että se on samalla myös kolmion muotoisen homogeenisen levyn fysikaalinen painopiste. Painopiste on eräs kolmion merkillisistä pisteistä ja se on luetteloitu *Kimberlingin pisteiden luetteloon* tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{2}.}  On vielä huomattava, että {\displaystyle \scriptstyle X\_{2}} on kolmiolevyn painopiste ja se eroaa Spiekerin painopisteestä {\displaystyle \scriptstyle X\_{10}}, joka on kolmiokehikon painopiste.

Sijainti kolmiossa
------------------

Keskijanat kulkevat aina kolmion sisällä. Sen vuoksi niiden leikkauspiste on myös aina kolmion sisällä ja ne jakavatkin kaikki toisensa suhteessa 1 : 2. Siksi kolmion painopiste on aina melko keskellä kolmiota.

Tasakylkisessä kolmiossa painopiste sijaitsee aina kylkien välisellä halkaisijalla ja tasasivuisessa kolmiossa aivan kolmion keskipisteessä.

### Karteesiset koordinaatit

Jos kolmion kärkien koordinaatit ovat {\displaystyle \scriptstyle A=(x\_{A},y\_{A})}, {\displaystyle \scriptstyle B=(x\_{B},y\_{B})} ja {\displaystyle \scriptstyle C=(x\_{C},y\_{C})}, on painopisteen koordinaatit

{\displaystyle G=\left({\tfrac {1}{3}}(x\_{A}+x\_{B}+x\_{C}),\;\;{\tfrac {1}{3}}(y\_{A}+y\_{B}+y\_{C})\right).}
### Trilineaariset koordinaatit

Painopisteen trilineaariset koordinaatit ovat (eri muodoissaan)

{\displaystyle {\frac {1}{a}}\ :\ {\frac {1}{b}}\ :\ {\frac {1}{c}}=bc\ :\ ac\ :\ ab=\csc \alpha \ :\ \csc \beta \ :\ \csc \gamma }.
### Barysentriset koordinaatit

Painopisteen barysentriset koordinaatit ovat {\displaystyle 1\ :\ 1:\ 1}.

Teoreemoja
----------

Kun kolmion keskijanojen kantapisteet yhdistetään, saadaan keskinen kolmio, jonka painopiste on sama kuin alkuperäiselläkin kolmiolla. Piirtämällä keskiselle kolmion sisään keskinen kolmio, ja jatkamalla keskisten kolmioiden rekursiivista piirtämistä, jää painopiste pienenevien kolmioiden sarjan sisälle.

Etäisyydet kolmion kärjistä painopisteeseen ***G*** toteuttavat yhtälön {\displaystyle \scriptstyle AG^{2}+BG^{2}+CG^{2}={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})} 
Kolmio pysyy fysikaalisesti tasapainossa minkä tahansa janan suhteen, joka kulkee painopisteen kautta.

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde ***R***) keskipiste ***O*** ja painopiste ***G*** toteuttavat yhtälön {\displaystyle \scriptstyle OG^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}

Lähteet
-------

* Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
* Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) *users.utu.fi*.  2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
* Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste)  2006. Jyväskylän:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

### Viitteet

1. 1 2  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *X(2), Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
2. ↑  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *X(10), Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
3. ↑  Weisstein, Eric W.: Triangle Median (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
5. ↑  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.14
6. ↑  Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
7. 1 2 3  Weisstein, Eric W.: Triangle Centroid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)