Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmän kaksi ensimmäistä vaihetta.
**Gramin–Schmidtin ortogonalisoimismenetelmä** on menetelmä, jolla voidaan tehdä äärellinen jono sisätuloavaruuden V lineaarisesti riippumattomia vektoreita ortogonaalisiksi eli keskenään kohtisuoriksi siten että ortogonaalinen jono virittää V:n saman aliavaruuden kuin alkuperäinen jono. Toisin sanoen ortogonaalinen jono on saman aliavaruuden kanta kuin alkuperäinen jono. Ortogonaalisesta jonosta saadaan normittamalla ortonormaali.

Menetelmä on nimetty tanskalaisen Jørgen Pedersen Gramin ja saksalaisen Erhard Schmidtin mukaan.

Gramin–Schmidtin menetelmä
--------------------------

Olkoon ( **w**1, ... **w**n ) vapaa, ääreellinen jono sisätuloavaruudessa V, n ≥ 1. Halutaan muodostaa ortonormaali jono ( **u**1, ... **u**n ), jolle pätee span( **w**1, ... **w**n ) = span( **u**1, ... **u**n ) kaikilla k {\displaystyle \in } { 1, ... n } eli jonot ( **w**1, ... **w**n ) ja ( **u**1, ... **u**n ) virittävät V:n saman aliavaruuden. Toimitaan seuraavasti:

Valitaan {\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{1}={\boldsymbol {w}}\_{1}}.

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{2}={\boldsymbol {w}}\_{2}-proj\_{V\_{1}}({\boldsymbol {w}}\_{2})={\boldsymbol {w}}\_{2}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}\_{2},{\boldsymbol {v}}\_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}\_{1},} missä V1 on vektorin **v**1 virittämä aliavaruus ja projV1(**w**2) on vektorin **w**2 kohtisuora projektio aliavaruudelle V1. Merkintä {\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle } tarkoittaa vektoreiden **a** ja **b** sisätuloa; {\displaystyle \langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {b}}\rangle \in \mathbf {R} }. Merkintä {\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert } tarkoittaa vektorin **a** normia; {\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert ^{2}=\langle {\boldsymbol {a}},{\boldsymbol {a}}\rangle .} Lisäksi huomataan, että sisätulon määritelmästä seuraa {\displaystyle \Vert {\boldsymbol {a}}\Vert \geq 0} ja erityisesti pätee {\displaystyle \Vert {\boldsymbol {v}}\_{1}\Vert =\Vert {\boldsymbol {w}}\_{1}\Vert >0}, koska muutoin **w**1 = **0**, mikä ei ole mahdollista, koska jono ( **w**1, ... **w**n ) on vapaa.

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{3}={\boldsymbol {w}}\_{3}-proj\_{V\_{2}}({\boldsymbol {w}}\_{3})={\boldsymbol {w}}\_{3}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}\_{3},{\boldsymbol {v}}\_{1}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{1}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}\_{1}-{\dfrac {\langle {\boldsymbol {w}}\_{3},{\boldsymbol {v}}\_{2}\rangle }{{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{2}\Vert }^{2}}}\;{\boldsymbol {v}}\_{2},} missä V2 on vektoreiden **v**1 ja **v**2 virittämä aliavaruus ja projV2(**w**3) on vektorin **w**3 kohtisuora projektio aliavaruudelle V2.

{\displaystyle \vdots }

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{k}={\boldsymbol {w}}\_{k}-\sum \_{j=1}^{k-1}proj\_{V\_{k-1}}({\boldsymbol {w}}\_{k}),} missä Vk-1 on vektoreiden **v**1, **v**2, ... **v**k-1 virittämä aliavaruus ja projVk-1(**w**k) on vektorin **w**k kohtisuora projektio aliavaruudelle Vk-1.

Näin muodostettu jono ( **v**1, ... **v**n ) on ortogonaalinen. Ortonormaali jono ( **u**1, ... **u**n ) saadaan normittamalla jono ( **v**1, ... **v**n ):

{\displaystyle ({\boldsymbol {u}}\_{1},...{\boldsymbol {u}}\_{n})=\displaystyle {\biggl (}{\dfrac {{\boldsymbol {v}}\_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{1}\Vert }},...{\dfrac {{\boldsymbol {v}}\_{n}}{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{n}\Vert }}{\biggr )}.}

Esimerkki
---------

Sisätuloavaruuden **R**3 (sisätulona pistetulo) eräs kanta on jono ( **w**1, **w**2, **w**3 ), missä **w**1 = [1 0 1]T, **w**2 = [0 1 2]T ja **w**3 = [1 -1 2]T. Sovelletaan jonoon Gramin–Schmidtin menetelmää eli ortonormalisoidaan jono.

Valitaan

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{1}={\boldsymbol {w}}\_{1}=[1\quad 0\quad 1]^{T},}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{2}={\boldsymbol {w}}\_{2}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}\_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{1}}{{\boldsymbol {v}}\_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{1}}}{\boldsymbol {v}}\_{1}=[0\quad 1\quad 2]^{T}-[1\quad 0\quad 1]^{T}=[-1\quad 1\quad 1]^{T},}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{3}={\boldsymbol {w}}\_{3}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}\_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{1}}{{\boldsymbol {v}}\_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{1}}}{\boldsymbol {v}}\_{1}-{\dfrac {{\boldsymbol {w}}\_{3}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{2}}{{\boldsymbol {v}}\_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{2}}}{\boldsymbol {v}}\_{2}=[1\quad -1\quad 2]^{T}-{\dfrac {3}{2}}[1\quad 0\quad 1]^{T}={\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}.}

Tarkistetaan: Vektorit ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan, mikäli niiden välinen pistetulo on nolla:

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{2}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot [-1\quad 1\quad 1]^{T}=1\*(-1)+0\*1+1\*1=0,}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{1}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{3}=[1\quad 0\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=1\*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+0\*(-1)+1\*{\dfrac {1}{2}}=0,}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}\_{2}\cdot {\boldsymbol {v}}\_{3}=[-1\quad 1\quad 1]^{T}\cdot {\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\dfrac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}=(-1)\*{\biggl (}-{\dfrac {1}{2}}{\biggr )}+1\*(-1)+1\*{\dfrac {1}{2}}=0.}

Normitetaan vielä:

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{1}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}\_{1}}{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{1}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {2}}}\;[1\quad 0\quad 1]^{T},}

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{2}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}\_{2}}{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{2}\Vert }}={\dfrac {1}{\sqrt {3}}}\;[-1\quad 1\quad 1]^{T}} ja

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{3}={\dfrac {{\boldsymbol {v}}\_{3}}{\Vert {\boldsymbol {v}}\_{3}\Vert }}={\sqrt {\dfrac {2}{3}}}\;{\biggl [}-{\dfrac {1}{2}}\quad -1\quad {\frac {1}{2}}{\biggr ]}^{T}}.

Nyt jono (**u**1, **u**2, **u**3 ) on ortonormaali jono ja span(**u**1, **u**2, **u**3 ) = span(**w**1, **w**2, **w**3 ).

Lähteet
-------

* Honkasalo Hannu 2003: *Lineaarialgebra I*. Helsingin yliopisto. Matematiikan laitos.
* Pesonen Martti E. 2011: *Lineaarialgebra*. Itä-Suomen yliopisto. [vanhentunut linkki]

Aiheesta muualla
----------------

* (Arkistoitu – Internet Archive)