Alkeisalgebrassa **binomilause** kuvaa binomin potenssin algebrallisen kehittämisen. Lauseen mukaan on mahdollista kehittää (x + y)n summaksi, jossa termit ovat muotoa axbyc, siten että eksponentit b ja c ovat ei-negatiivisia kokonaislukuja ja b + c = n. Lisäksi jokaisen termin kerroin a on tietty positiivinen kokonaisluku, joka riippuu n:stä ja b:stä. Kun eksponentti on 0, on *x* tai *y* jätetty pois kehitelmästä. Esimerkiksi:

Pascalin kolmion viisi ensimmäistä riviä. 
Kolmiossa alapuolella oleva luku on kahden sen yläpuolella olevan luvun summa.
{\displaystyle (x+y)^{1}=x+y}
{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}
{\displaystyle (x+y)^{3}=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}}
{\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}}
{\displaystyle (x+y)^{5}=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5}}
Kerroin a termissä xbyc tunnetaan binomikertoimena {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} tai {\displaystyle {\tbinom {n}{c}}} (näillä kahdella on sama arvo). Nämä kertoimet voidaan laskea kaavasta

{\displaystyle {n \choose b}={\frac {n!}{b!\cdot (n-b)!}}}
missä *b!* tarkoittaa luvun *b* kertomaa.

Binomikertoimet voidaan myös järjestää Pascalin kolmioksi. Samat luvut esiintyvät myös kombinatoriikassa, jossa {\displaystyle {\tbinom {n}{b}}} osoittaa, kuinka monta b-alkioista osajoukkoa *n* alkion joukolla on.

Historiaa
---------

Binomikaava ja kolmion muotoon järjestetyt binomikertoimet liitetään usein vain Blaise Pascaliin, joka kuvaili ne 1600-luvulla, mutta jo monet häntä edeltävät matemaatikot tiesivät ne. 300-luvulla eaa. kreikkalainen matemaatikko Eukleides Aleksandrialainen mainitsi erikoistapauksen binomilauseesta (a+b) eksponentille 2 kuten myös 200-luvun eaa. intialainen matemaatikko Pingala korkeammille kertaluvuille. Tuttu binomilause ja niin kutsuttu Pascalin kolmio olivat tunnettuja 900-luvulla intialaiselle matemaatikolle Halayudhalle ja persialaiselle matemaatikolle Al-Karajille, ja 1200-luvun kiinalaiselle matemaatikolle Yang Huille, jotka kaikki saivat samoja tuloksia.
Al-Karaji antoi myös matemaattisen todistuksen sekä binomilauseesta että Pascalin kolmiosta käyttäen matemaattista induktiota.

Lauseen väite
-------------

Lauseen mukaan on mahdollista kehittää mikä tahansa potenssi (*x* + *y*):n summaksi, joka on muotoa

{\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n-1}x^{1}y^{n-1}+{n \choose n}x^{0}y^{n},}
missä jokainen {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} on tietty positiivinen kokonaisluku, joka tunnetaan binomikertoimena. Tämä kaava liittyy myös **binomikaavaan** tai **binomikuvaukseen**. Käytettäessä summamerkintää se voidaan kirjoittaa

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}
Viimeinen lauseke seuraa edellisestä ja on symmetrinen *x* :n ja *y* :n ensimmäisen lausekkeen kanssa, ja verrattaessa kertoimiin huomataan, että binomikertoimien jono kaavassa on myös symmetrinen.

Esimerkkejä
-----------

Pascalin kolmio
Tavallisin esimerkki binomilauseesta on *x* + *y*:n neliö:

{\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}.\!}
Binomikertoimet 1, 2, 1 tässä lausekkeessa vastaavat Pascalin kolmion kolmatta riviä. Korkeampien potenssien kertoimet *x* + *y*:lle vastaavat kolmion seuraavia rivejä :

{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\\[8pt](x+y)^{5}&=x^{5}+5x^{4}y+10x^{3}y^{2}+10x^{2}y^{3}+5xy^{4}+y^{5},\\[8pt](x+y)^{6}&=x^{6}+6x^{5}y+15x^{4}y^{2}+20x^{3}y^{3}+15x^{2}y^{4}+6xy^{5}+y^{6},\\[8pt](x+y)^{7}&=x^{7}+7x^{6}y+21x^{5}y^{2}+35x^{4}y^{3}+35x^{3}y^{4}+21x^{2}y^{5}+7xy^{6}+y^{7}.\end{aligned}}}
Huomaa, että 

1. x:n potenssi alenee, kunnes se on 0 (ei yhtään x:ä), alkaen arvosta n ( n potenssissa {\displaystyle (x+y)^{n}.)}
2. y:n potenssi kasvaa 0:sta (ei yhtään y:tä), kunnes se on n (myös n potenssissa{\displaystyle (x+y)^{n}.)}
3. Pascalin kolmion n:s rivi on sama kuin auki kerrotun binomin kertoimet. (Huomaa, että kärki on rivi 0.)

Todistuksia
-----------

### Kombinatorinen todistus

#### Esimerkki

*xy*2n kerroin

{\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}.\end{aligned}}\,}
on {\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3} koska on kolme kolmen kirjaimen pituista *x*,*y* jonoa, joissa on tarkalleen kaksi *y'*tä, nimittäin,

{\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}
vastaten kolmea kaksialkioista osajoukkoa joukosta { 1, 2, 3 }, nimittäin,

{\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}
missä jokaisessa osajoukossa eritellään *y*n paikka vastaavassa jonossa.

#### Yleinen tapaus

Kun kehitetään auki (*x* + *y*)*n* niin se tuottaa 2*n* tulojen summaa, jotka ovat muotoa *e*1*e*2 ... *e**n* missä jokainen *e**i* on *x* tai  *y*. Kun järjestellään termejä uudelleen, niin huomataan, että jokainen tulo on muotoa *x**n*−*k**y**k* *k*: n arvoilla 0:sta *n*:ään. Kun k tunnetaan, saadaan seuraavista kaikista lauseista sama arvo:

* alkioiden lukumäärä *x**n* − *k**y**k* :n alkioiden kehitelmässä
* *n*-alkioisten jonojen lukumäärä *x*:ää ja *y*:tä, joissa *y* on tarkalleen *k* kertaa
* *k*-alkioisten osajoukkojan lukumäärä joukosta { 1, 2, ... *n*}
* {\displaystyle {n \choose k}}

Tämä todistaa binomilauseen.

Binomisarja
-----------

Jos eksponentti *n* ei ole positiivinen kokonaisluku eikä nolla, ei lauseketta {\displaystyle (1+x)^{n}} voida kehittää polynomiksi. **Yleistetyn binomilauseen** mukaan sille on kuitenkin olemassa sarjakehitelmä:

{\displaystyle {\begin{aligned}(1+x)^{\alpha }&=\sum \_{k=0}^{\infty }\;{\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}x^{k}=1+\alpha x+{\frac {\alpha (\alpha -1)}{2!}}x^{2}+\cdots ,\end{aligned}}},
missä yleensä pätee kuitenkin vain, |x|<1 (ja eräissä tapauksissa silloinkin, kun {\displaystyle |x|=1}), jolloin sarja suppenee. Tässä kertoimille {\displaystyle {\frac {\alpha (\alpha -1)(\alpha -2)\cdots (\alpha -k+1)}{k!}}} käytetään myös merkintää {\displaystyle \alpha \choose k}. Tätä sarjaa sanotaan binomisarjaksi.

Erikoistapauksessa, kun *n* on positiivinen kokonaisluku, sarjan kertoimet *n*+1:nnestä lähtien ovat kaikki nollia, jolloin tuloksena saadaan algebran binomilause.

Lähteet
-------

* Binomial Theorem by Stephen Wolfram, and "Binomial Theorem (Step-by-Step)" by Bruce Colletti and Jeff Bryant, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
* Binomial Theorem Introduction (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Binomilause** Wikimedia Commonsissa