**Kroneckerin tulo** on tulo, joka voidaan määrittää kahdelle tai useammalle matriisille. Tuloa merkitään \otimes -symbolilla. Kroneckerin tulo määritellään seuraavasti: Olkoot {\displaystyle A=a\_{ij}m\times n}- ja {\displaystyle B=b\_{ij}p\times q}-matriisi. Tällöin saadaan matriisi, jonka koko on {\displaystyle mp\times nq}.

{\displaystyle \mathbf {A} \otimes \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}a\_{11}\mathbf {B} &\cdots &a\_{1n}\mathbf {B} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}\mathbf {B} &\cdots &a\_{mn}\mathbf {B} \end{bmatrix}},}
eli alkioittain tarkasteltuna:

{\displaystyle {\mathbf {A} \otimes \mathbf {B} }={\begin{bmatrix}a\_{11}b\_{11}&a\_{11}b\_{12}&\cdots &a\_{11}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{11}&a\_{1n}b\_{12}&\cdots &a\_{1n}b\_{1q}\\a\_{11}b\_{21}&a\_{11}b\_{22}&\cdots &a\_{11}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{21}&a\_{1n}b\_{22}&\cdots &a\_{1n}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{11}b\_{p1}&a\_{11}b\_{p2}&\cdots &a\_{11}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{1n}b\_{p1}&a\_{1n}b\_{p2}&\cdots &a\_{1n}b\_{pq}\\\vdots &\vdots &&\vdots &\ddots &&\vdots &\vdots &&\vdots \\\vdots &\vdots &&\vdots &&\ddots &\vdots &\vdots &&\vdots \\a\_{m1}b\_{11}&a\_{m1}b\_{12}&\cdots &a\_{m1}b\_{1q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{11}&a\_{mn}b\_{12}&\cdots &a\_{mn}b\_{1q}\\a\_{m1}b\_{21}&a\_{m1}b\_{22}&\cdots &a\_{m1}b\_{2q}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{21}&a\_{mn}b\_{22}&\cdots &a\_{mn}b\_{2q}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &&&\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}b\_{p1}&a\_{m1}b\_{p2}&\cdots &a\_{m1}b\_{pq}&\cdots &\cdots &a\_{mn}b\_{p1}&a\_{mn}b\_{p2}&\cdots &a\_{mn}b\_{pq}\end{bmatrix}}.}
Kroneckerin tulo matriisin ja vakion välillä palautuu normaaliksi matriisin kertomiseksi vakiolla eli {\displaystyle k\otimes A=A\otimes k=kA}, missä k on skalaari. Samoin Kroneckerin tulo matriisin ja nollamatriisin välillä on nolla. Laskettaessa saadaan Kroneckerin tuloa yksikkömatriisin ja matriisin välille, jonka diagonaalilla on matriisi A eli {\displaystyle I\otimes A=diag(A,\dots ,A)}. Vastaavasti matriisin ja yksikkömatriisin välinen Kroneckerin tulo on {\displaystyle A\otimes I={\begin{bmatrix}a\_{11}\mathbf {I} &\cdots &a\_{1n}\mathbf {I} \\\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}\mathbf {I} &\cdots &a\_{mn}\mathbf {I} \end{bmatrix}}}. Diagonaalimatriisin {\displaystyle D=\{d\_{i}\}}, jonka koko on m ja matriisin A Kroneckerin tulo on {\displaystyle D\otimes A=diag(d\_{1}A,d\_{2}A,\dots ,d\_{m}A)}

Esimerkki:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}\otimes {\begin{bmatrix}0&5\\6&7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1\cdot 0&1\cdot 5&2\cdot 0&2\cdot 5\\1\cdot 6&1\cdot 7&2\cdot 6&2\cdot 7\\3\cdot 0&3\cdot 5&4\cdot 0&4\cdot 5\\3\cdot 6&3\cdot 7&4\cdot 6&4\cdot 7\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&5&0&10\\6&7&12&14\\0&15&0&20\\18&21&24&28\end{bmatrix}}.}

Laskusääntöjä
-------------

Olkoot A ja B {\displaystyle m\times n}-kokoisia matriiseja, C ja D {\displaystyle p\times q}-kokoisia matriiseja sekä k vakio. Tällöin pätevät seuraavat laskusäännöt:

{\displaystyle (kA)\otimes B=A\otimes (kB)=k(A\otimes B)}
{\displaystyle (A+B)\otimes C=A\otimes C+B\otimes C}
{\displaystyle C\otimes (A+B)=C\otimes A+C\otimes B}
{\displaystyle (A+B)\otimes (C+D)=(A\otimes C)+(A\otimes D)+(B\otimes C)+(B\otimes D)}

Lähteet
-------

1. 1 2 3  Harville, David, A.: *Matrix Algebra From a Statistician's Perspective*, s. 333–335. Springer, 1997.