**Tekijäavaruus** lineaarialgebrassa on suppeampi vektoriavaruus, joka saadaan "kutistamalla" jossakin vektoriavaruudessa *V* jokin sen aliavaruus *N* nollaksi. Vektoriavaruuden *V* tekijäavaruus aliavaruuden *N* suhteen eli *modulo N* merkitään *V*/*N*.

Muodollinen määritelmä
----------------------

Muodollisesti tekijäavaruus konstruoidaan seuraavasti.

Olkoon *V* vektoriavaruus, jonka kerroinkunta on *K*, ja olkoon *N* jokin *V*:n aliavaruus]. Määritellään *V*:ssä ekvivalenssirelaatio ~ siten, että *x* ~ *y*, jos ja vain jos *x* − *y* ∈ *N*. Toisin sanoen alkiot *x* ja *y* ovat ekvivalentteja, jos toinen niistä voidaan saada lisäämällä toiseen jokin *N*:n alkio. Tästä määritelmästä voidaan päätellä, että jokainen *N*:n alkio on ekvivalentti nollavektorin kanssa; täsmällisemmin sanottuna kaikki *N*:ään kuuluvat vektorit kuvautuvat nollavektorin ekvivalenssiluokkaan.

Sille ekvivalenssiluokalle, johon alkio *x* kuuluu, käytetään usein merkintää

[*x*] = *x* + *N*
sillä sen määrittää joukko

[*x*] = {*x* + *n* : *n* ∈ *N*}.
Tekijäavaruus *V*/*N* eli *V*/~ (*V* modulo *N*) määritellään tällöin kaikkien ekvivalenssirelaation ~ avaruudessa *V* määrittelemien ekvivalenssiluokkien joukoksi. Näiden ekvivalenssiluokkien eli tekijäavaruuden alkioiden yhteenlasku ja skalaarilla kertominen määritellään tällöin seuraavasti:\* 

* α[*x*] = [α*x*] for all α ∈ *K*, and
* [*x*] + [*y*] = [*x*+*y*].

Helposti voidaan osoittaa, että nämä laskutoimitukset ovat hyvin määriteltyjä, toisin sanoen ne eivät riipu siitä, mikä alkio valitaan edustamaan ekvivalenssiluokkaa. Näillä laskutoimituksilla varustettuna tekijäavaruus *V*/*N* on *K*:n vektoriavaruus, jossa *N* on nollaluokka, [0].

Kuvausta, joka liittää alkioon *v* ∈ *V* sitä vastaavan ekvivalenssiluokan [*v*] sanotaan **ekvivalenssikuvaukseksi**.

Esimerkkejä
-----------

Olkoon {\displaystyle X=\mathbb {R} ^{2}} tavanomainen karteesinen taso ja olkoon *Y* origon kautta kulkeva suora *X*:ssä. Silloin tekijäavaruus *X*/*Y* voidaan samastaa tasossa *X* olevien *Y*:n suuntaisten suorien muodostaman avaruuden kanssa. Toisin sanoen joukon *X*/*Y* alkioita ovat *Y*:n suuntaiset suorat tasossa *X*. Tämä tarjoaa tavan visualisoida tekijäavaruuksia geometrisesti.

Toinen esimerkki on avaruuden \mathbb{R}^n tekijäavaruus sen aliavaruuden suhteen, jonka muodostavat *m* ensimmäistä standardia kantavektoria. Avaruuteen \mathbb{R}^n kuuluvat kaikki järjestetyt *n* reaaliluvun jonot (*x*1,…,*x**n*). Mainitun aliavaruuden, joka voidaan samastaa {\displaystyle \mathbb {R} ^{m}}:n kanssa, muodostavat sellaiset *n* reaaliluvun järjestetyt jonot, joissa viimeiset *n*−*m* lukua ovat nollia: Kaksi \mathbb {R} :n vektoria kuuluvat tämän kongruenssiluokkaan *modulo* tämä aliavaruus, jos ja vain jos niiden viimeiset *n*−*m* koordinaattia ovat samat. Tekijäavaruus {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}/\mathbb {R} ^{m}} on ilmeisellä tavalla isomorfinen avaruuden {\displaystyle \mathbb {R} ^{n-m}} kanssa.

Yleensäkin jos *V* on aliavaruuksien *U* ja *W* (sisäinen) suora summa eli 

{\displaystyle V=U\oplus W}
niin tekijäavaruus *V*/*U* on isomorfinen *W*:n kanssa.

Funktioavaruuksien tärkeitä tekijäavaruuksia ovat Lp-avaruudet.

Ominaisuuksia
-------------

Avaruudesta *V* tekijäavaruuteen *V*/*U* on olemassa luonnollinen epimorfismi, joka saadaan kuvaamalla jokainen {\displaystyle x\in V} sitä vastaavalle ekvivalenssiluokalle [*x*]. Tämän epimorfismin ydin on aliavaruus *U*. 

Jos *U* on *V*:n aliavaruus, tekijäavaruuden *V*/*U* dimensiota sanotaan *U*:n kodimensioksi *V*:ss'. Koska *V*:n kanta voidaan muodostaa *U*:n kannasta *A* ja *V*/*U*:n kannasta *B* lisäämällä *A*:han jokaisen *B*:n alkion edustaja, *V*:n dimensio on avaruuksien *U* ja *V*/*U* dimensioiden summa. Jos *V* on äärellisulotteinen, *U*:n kodimensio *V*:ss' on *V*n ja *U*:n dimensioiden erotus:

{\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}
Olkoon *T* : *V* → *W* lineaarikuvaus. *T*:n *ydin* (kernel), jolle käytetään merkintää ker(*T*) on niiden alkioiden *x* ∈ *V* joukko, joilla *Tx* = 0. Ydin on *V*:n aliavaruus. Lineaarialgebran ensimmäisen isomorfialauseen mukaan tekijäavaruus *V*/ker(*T*) on isomorginen *V*:n kuva-avaruuden kanssa, joka on *W*:n aliavaruus. Äärellisulotteisten avaruuksien tapauksessa tästä seuraa myös, että *V*:n dimensio on sama kuin *T*:n ytimen kuva-avaruuden dimensioiden summa:

{\displaystyle \dim(\mathrm {Ker} (T))+\dim(\mathrm {Im} (T))=\dim(V)}
Tekijäavaruutta *W*/im(*T*) sanotaan lineaarikuvauksen *T* : *V* → *W* *kokerneliksi*.

Banachin avaruuden tekijäavaruus aliavaruuden suhteen
-----------------------------------------------------

Jos *X* on Banachin avaruus ja *M* sen suljettu osajoukko, myös tekijäavaruus *X*/*M* on Banachin avaruus. Tekijäavaruudelle saadaan valmiiksi myös vektoriavaruuden rakenne edellä selitetyllä menettelyllä. Avaruudessa *X*/*M* määritellään *normi* seuraavasti:

{\displaystyle \|[x]\|\_{X/M}=\inf \_{m\in M}\|x-m\|\_{X}.}
Tekijäavaruus *X*/*M* on täydellinen normin suhteen, joten se on Banachin avaruus. 

### Esimerkkejä

Olkoon *C*[0,1] välillä [0,1] määriteltyjen jatkuvien reaaliarvoisten funktioiden muodostama Banach-avaruus, jolla on supremumnormi. Muodostetaan sille aliavaruus *M*, johon kuuluvat ne funktiot *f* ∈ *C*[0,1], joilla *f*(0) = 0. Tällöin ekvivalenssiluokan, johon annettu funktio *g* kuuluu, määrittää funktion arvo 0:ssa, ja tekijäavaruus *C*[0,1] / *M* on isomorfinen \mathbb {R} :n kanssa.

Jos *X* on Hilbertin avaruus, tekijäavaruus *X*/*M* on isomorfinen *M*:n ortogonaalisen komplementin kanssa.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Quotient space (linear algebra)

Lähteet
-------

* Paul Halmos: *Finite dimensional vector spaces*. Lause 22.1.. Springer, 1974. ISBN 978-0-387-90093-3.

### Viitteet

1. ↑  Quotient Vector Space *Wolfram MathWorld*. Viitattu 9.3.2018.
2. ↑  Paul Halmos: *Finite dimensional vector spaces*. §21-22.. Springer, 1974. ISBN 978-0-387-90093-3.
3. ↑  Paul Halmos: *Finite dimensional vector spaces*. Lause 22.1.. Springer, 1974. ISBN 978-0-387-90093-3.
4. ↑  Paul Halmos: *Finite dimensional vector spaces*. Theorem 22.1. Springer, 1974. ISBN 978-0-387-90093-3.