**Nelinopeus** on fysiikassa, varsinkin suhteellisuusteoriassa nelivektori eli neli­ulotteisen aika-avaruuden vektori, joka vastaa kolmi­ulotteisessa avaruudessa määriteltyä nopeutta.

Suhteellisuusteoriassa neliulotteisen aika-avaruuden pisteitä, tai pisteitä tietyllä hetkellä, nimitetään tapahtumiksi. Jokaista kohdetta esittää siihen liittyvä käyrä aika-avaruudessa, kohteen maailmanviiva, joka voidaan parametrisoida kohteen itseis­ajalla. Nelinopeus on kohteen neli­sijainnin muutosnopeus tällä käyrällä itseis­ajan suhteen. Kappaleen *nopeus* sitä vastoin on sen sijainnin muutos­nopeus kolmi­ulotteisessa avaruudessa sellaisena kuin sen havaitsee inertiaalijärjestelmässä oleva havaitsija oman aikansa suhteen.

Nelinopeus on näin ollen kohteen maailman­viivan normalisoitu ajan­luontoinen tulevaisuuteen osoittava tangenttivektori, ja se on kovariantti vektori. Vaikka se on vektori, kahden neli­nopeuden summa ei yleensä ole minkään kohteen mahdollinen neli­nopeus, minkä vuoksi mahdolliset neli­nopeudet eivät muodosta vektori­avaruutta.

Minkä tahansa kohteen nelinopeuden itseisarvo on aina valon­nopeuden (*c*) suuruinen. Koordinaatiston suhteen levossa olevan kohteen neli­nopeus on aika­koordinaatin suuntainen.

Nopeus
------

Kohteen rata kolmiulotteisessa avaruudessa inertiaalisessa vertailu­järjestelmässä voidaan esittää kolmen koordinaatti­funktion avulla:

{\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}} ajan t funktiona:

{\displaystyle {\vec {x}}=x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\end{bmatrix}},}
missä luvut {\displaystyle x^{i}(t)} tarkoittavat sijainnin kolmea avaruudellista koordinaattia hetkellä *t*.

Nopeuden {\displaystyle {\vec {u}}} (käyrän tangentin) komponentit missä tahansa maailman­viivan pisteessä ovat

{\displaystyle {\vec {u}}={\begin{bmatrix}u^{1}\\u^{2}\\u^{3}\end{bmatrix}}={d{\vec {x}} \over dt}={dx^{i} \over dt}={\begin{bmatrix}{\tfrac {dx^{1}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{2}}{dt}}\\{\tfrac {dx^{3}}{dt}}\end{bmatrix}}.}

Suhteellisuusteoria
-------------------

Einsteinin suhteellisuusteorian mukaan tietyn vertailu­järjestelmän suhteen liikkuvan kohteen radan määrittelee neljä koordinaatti­funktiota {\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}, missä {\displaystyle x^{0}} merkitsee aika­koordinaattia kerrottuna valon­nopeudella, ja jokainen funktio riippuu yhdestä parametrista \tau , jota sanotaan kohteen itseis­ajaksi.

{\displaystyle \mathbf {x} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
### Aikadilaatio

Aikadilaatiosta tiedetään, että 

{\displaystyle t=\gamma \tau \,}
missä \gamma on Lorentzin tekijä, joka määritellään seuraavasti:

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}
ja *u* on nopeusvektorin euklidinen normi {\displaystyle {\vec {u}}}:

{\displaystyle u=||\ {\vec {u}}\ ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}.
### Nelinopeuden määritelmä

Nelinopeus on maailman­viivan tangentin suuntainen neli­vektori. Nelinopeus missä tahansa maailman­viivan pisteessä {\displaystyle \mathbf {x} (\tau )} määritellään seuraavasti:

{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {d\mathbf {x} }{d\tau }}}
missä {\mathbf {x}} on nelivektorilla ilmaistu maailmanviivan pisteen sijainti aika-avaruudessa ja \tau  itseisaika.

Nelinopeutta ei voida määritellä valon­nopeudella liikkuville kohteille kuten fotoneille eikä myöskään valoa nopeammin liikkuville takyoneille, mikäli sellaisia on olemassa, sillä niiden maailman­viivan tangentti olisi paikan­luontoinen.

### Nelinopeuden komponentit

Aika *t* ja koordinaattina ilmaistu aika {\displaystyle x^{0}} vastaavat toisiaan yhtälön

{\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}
mukaisella tavalla. Jos tästä otetaan derivaatta kohteen itseis­ajan {\displaystyle \tau \,}, suhteen, saadaan nopeuden komponentti {\displaystyle U^{\mu }\,} tapauksessa μ = 0:

{\displaystyle U^{0}={\frac {dx^{0}}{d\tau }}=c\gamma }.
Käyttämällä ketjusääntöä komponenteille {\displaystyle \mu =i=}1, 2, 3, saadaan:

{\displaystyle U^{i}={\frac {dx^{i}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}{\frac {dx^{0}}{d\tau }}={\frac {dx^{i}}{dx^{0}}}c\gamma ={\frac {dx^{i}}{d(ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {dx^{i}}{dt}}c\gamma =\gamma {\frac {dx^{i}}{dt}}=\gamma u^{i}}
missä on käytetty yhteyttä

{\displaystyle u^{i}={dx^{i} \over dt}.}
Täten nelinopeudelle {\displaystyle \mathbf {U} } saadaan:

{\displaystyle \mathbf {U} =\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)}
Tiettyyn sileän aika-avaruuden alueeseen liittyvien mittakeppien ja synkronoitujen kellojen termein voidaan sanoa, että neli­nopeuden kolme paikan­luontoista komponenttia määrittelevät kohteen itseis­nopeuden {\displaystyle \gamma {\vec {u}}=d{\vec {x}}/d\tau }, toisin sanoen sen, kuinka nopeasti kohteen sijainti muuttuu vertailu­järjestelmän suhteen, kun aika mitataan itseisaikana sellaisen kellon avulla, joka kulkee kohteen mukana.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Four-velocity

Lähteet
-------

* Albert Einstein: *Relativity: The Special and General Theory*. New York: Alkuperäinen: Henry Holt, 1920; Uusintapainos: Prometheus Books, 1995, 1920.
* *Introduction to Special Relativity (2nd)*. Oxford: Oxford University Press, 1991. ISBN 0-19-853952-5.