**Topologinen aliavaruus** on topologinen avaruuden osajoukko varustettuna alkuperäisen avaruuden topologian indusoimalla topologialla. Aliavaruuden topologiaa sanotaan myös *indusoiduksi topologiaksi* eli *relatiivitopologiaksi*.

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle (X,\tau )} topologinen avaruus ja *S* jokin *X*:n osajoukko. Olkoon {\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X} inkluusio, toisin sanoen sellainen kuvaus, että {\displaystyle \iota (x)=x} kaikilla {\displaystyle x\in S}. Tällöin {\displaystyle \iota }:n indusoima topologia joukossa *S* on {\displaystyle \{V\cap S\;|\;V\in \tau \}}, toisin sanoen tässä topologiassa avoimia joukkoja ovat *X*:n avointen joukkojen ja *S*:n leikkaukset. Tätä inkluusion indusoimaa topologiaa sanotaan *S*:n **relatiivitopologiaksi** jonka *S* **perii** *X*:stä, ja joukkoa *S* tällä relatiivitopologialla varustettuna *X*:n aliavaruudeksi.

Vaihtoehtoisesti osajoukon {\displaystyle S\subset X} relatiivitopologia voidaan määritellä karkeimmaksi topologiaksi, jolla inkluusiokuvaus {\displaystyle \iota :S\hookrightarrow X} on jatkuva.

Yleisemmin voidaan olettaa, että {\displaystyle \iota } on mikä tahansa kuvaus joukosta S topologiseen avaruuteen X. Tällöin *S* :n indusoitu topologia määritellään karkeimpana topologiana, jossa {\displaystyle \iota } on jatkuva. Avoimia joukkoja tässä topologiassa ovat kaikki muotoa {\displaystyle \iota ^{-1}(U)} olevat joukot, joissa U on X:n avoin osajoukko. Tällöin, mikäli kuvaus {\displaystyle \iota } on injektio, S on homeomorfinen X:ssä olevan kuvajoukkonsa kanssa, kun tämä joukko on varustettu indusoidulla topologialla. Tällaista kuvausta {\displaystyle \iota } sanotaan topologiseksi upotukseksi.

S:n aliavaruutta sanotaan **avoimeksi aliavaruudeksi**, jos injektio {\displaystyle \iota } on avoin kuvaus, toisin sanoen jos jokaisen S:n avoimen joukon kuva tässä kuvauksessa on X:n avoin joukko. Vastaavasti sitä sanotaan **suljetuksi aliavaruudeksi**, jos {\displaystyle \iota } on suljettu kuvaus.

Huomautuksia merkinnöistä
-------------------------

Merkinnöissä ei joukon ja topologisen avaruuden välillä aina tehdä selvää eroa, mikä saattaa aiheuttaa sekaannusta, kun määritelmiin ensimmäisen kerran tutustutaan. NIinpä jos S on X:n osajoukko ja {\displaystyle (X,\tau )} topologinen avaruus, saatetaan merkintöjä S ja X käyttää sekä joukoista S ja X käsitettyinä X:n osajoukoiksi, että myös avaruuksista {\displaystyle (S,\tau \_{S})} ja {\displaystyle (X,\tau \_{X})} topologisina avaruuksina edellä kuvatulla tavalla. Niinpä jos esimerkiksi sanotaan, että "S on X:n avoin aliavaruus", tarkoitetaan itse asiassa, että {\displaystyle (S,\tau \_{S})} on {\displaystyle (X,\tau \_{X})}:n avoin aliavaruus, toisin sanoen

(i) {\displaystyle S\in \tau }, eli *S* on avoin joukko topologisessa avaruudessa {\displaystyle X,\tau }, ja
(ii) S on varustettu relatiivitopologialla.

Esimerkkejä
-----------

Seuraavassa \mathbb {R}  tarkoittaa reaalilukujen joukkoa tavanomaisella topologiallaan.

* Luonnollisten lukujen joukon \mathbb{N} relatiivitopologia on diskreetti topologia.
* Rationaalilukujen joukon \mathbb{Q} relatiivitopologia ei ole diskreetti topologia; esimerkiksi pelkän nollan käsittävä joukko {0} ei ole avoin joukko \mathbb{Q}:ssa. Jos *a* ja *b* ovat rationaalilukuja, avoin väli (*a*, *b*) ja \mathbb{Q}:n leikkaus on myös rationaalilukujen topologiassa avoin ja [*a*, *b*] suljettu joukko, mutta jos *a* ja *b* ovat irrationaalilukuja, niiden rationaalilukujen joukko, jotka ovat *a*:n ja *b*:n välissä, on tässä topologiassa sekä avoin että suljettu joukko.
* Suljettu väli [0,1] on \mathbb {R} :n aliavaruutena sekä avoin että suljettu, mutta \mathbb {R} :n osajoukkona se on vain suljettu.
* \mathbb {R} :n aliavaruutena joukko [0, 1] ∪ [2, 3] muodostuu kahdesta *avoimesta* osajoukosta (jotka samalla ovat myös suljettuja), ja sen vuoksi se on epäyhtenäinen avaruus.
* Käsitellään puoliavointa väliä *S* = [0, 1) \mathbb {R} :n aliavaruutena. Tällöin [0, 1/2) on avoin aliavaruudessa *S*, mutta ei avaruudessa \mathbb {R}. Samoin [½, 1) on suljettu *S*:ssä, mutta ei \mathbb {R} :ssä. Itsensä osajoukkona *S* on sekä avoin että suljettu, mutta ei \mathbb {R} :n osajoukkona.

Ominaisuuksia
-------------

Relatiivitopologialla on seuraava tyypillinen ominaisuus. Olkoon Y avaruuden X aliavaruus ja olkoon {\displaystyle i:Y\to X} inkluusiokuvaus. Silloin jokaiselle topologiselle avaruudelle kuvaus {\displaystyle Z}: {\displaystyle f:Z\to Y} on jatkuva, jos ja vain jos yhdistetty kuvaus {\displaystyle i\circ f} on jatkuva. 

Relatiivitopologian karakteristinen ominaisuusRelatiivitopologian karakteristinen ominaisuus
Tämä ominaisuus on *karakteristinen* siinä mielessä, että sitä voitaisiin käyttää vaihtoehtoisena määritelmänä relatiivitopologialle Y:ssa.

Relatiivitopologialla on myös seuraavat ominaisuudet. Seuraavassa oletetaan, että S on X:n aliavaruus.

* Jos {\displaystyle f:X\to Y} on jatkuva, sen rajoittuma S:ään on jatkuva.
* Jos {\displaystyle f:X\to Y} on jatkuva, myös {\displaystyle f:X\to f(X)} on jatkuva.
* Suljettuja joukkoja avaruudessa S ovat X:n suljettujen joukkojen ja S:n leikkaukset, ja vain ne.
* Jos A on S:n aliavaruus, S on myös X:n aliavaruus ja sellaisena sillä on sama topologia. Toisin sanoen A perii S:stä saman topologian kuin X:stäkin.
* Olkoon S avaruuden X avoin aliavaruus (jolloin {\displaystyle S\in \tau }). Silloin S:n osajoukko on avoin S:ssä, jos ja vain jos se on avoin X:ssä.
* Olkoon S avaruuden X suljettu aliavaruus (jolloin {\displaystyle X\setminus S\in \tau }). Silloin S:n osajoukko on suljettu S:ssä, jos ja vain jos se on suljettu X:ssä.
* Jos B on X:n topologian kanta, niin {\displaystyle B\_{S}=\{U\cap S:U\in B\}} on S:n topologian kanta
* Metrisen avaruuden osajoukon indusoitu topologia, joka saadaan rajoittamalla metriikka tähän osajoukkoon, on sama kuin saman osajoukon relatiivitopologia aliavaruutena.

Topologisten ominaisuuksien säilyminen
--------------------------------------

Jos siitä, että topologisella avaruudella on jokin topologinen ominaisuus, seuraa, että sama ominaisuus on myös sen kaikilla aliavaruuksilla, ominaisuutta sanotaan *perinnölliseksi*. Jos ominaisuus on vain suljetuilla osajoukoilla, sitä sanotaan '*heikosti perinnölliseksi*.

* Täydellisesti metristyvän avaruuden jokainen avoin ja suljettu aliavaruus on täydellisesti metristyvä.
* Bairen avaruuden jokainen avoin aliavaruus on Bairen avaruus.
* Kompaktin avaruuden jokainen suljettu aliavaruus on kompakti.
* Että avaruus on Hausdorffin avaruus, on perinnöllinen ominaisuus.
* Avaruuden normaalius on heikosti perinnöllinen ominaisuus.
* Että metrinen avaruus on totaalisesti rajoitettu, on perinnöllinen ominaisuus.
* Että avaruus on täysin epäyhtenäinen, on perinnöllinen ominaisuus.
* Että avaruus on N1-avaruus eli että sen jokaisella pisteellä on numeroituva ympäristökanta, on perinnöllinen kanta.
* Että avaruus on N2-avaruus eli että sillä on numeroituva kanta, on perinnöllinen ominaisuus.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Subset topology

Katso myös
----------

* Tekijätopologia
* Tulotopologia

Lähteet
-------

* Nicolas Bourbaki: *Elements of Mathematics: General Topology*. Addison-Wesley, 1966.
* Lynn Arthur Steen, J. Arthur Seebach Jr.: *Counterexamples in Topology*. Springer-Verlag, 1978. ISBN 978-0-486-68735-3.
* Stephen Willard: *General Topology*. Dover Publications, 2004. ISBN 0-486-43479-6.

### Viitteet

1. ↑  Jussi Väisälä: "Indusointi ja relatiivitopologia", *Topologia II*, s. 16. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
2. ↑  Jussi Väisälä: "Indusointi ja relatiivitopologia", *Topologia II*, s. 18. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
3. ↑  Jussi Väisälä: "Metriset ja metristyvät avaruudet", *Topologia II*, s. 36. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
4. ↑  Jussi Väisälä: "Erotteluaksioomat", *Topologia II*, s. 45. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
5. ↑  Jussi Väisälä: "Erotteluaksioomat", *Topologia II*, s. 47. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
6. 1 2  Jussi Väisälä: "Numeroituvuusaksioomat", *Topologia II*, s. 48. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.