Lineaarialgebrassa matriisin **transpoosi** on matriisi, joka saadaan kun alkuperäisen matriisin rivit muutetaan sarakkeiksi ja päinvastoin. Neliömatriisin transpoosi saadaan peilaamalla alkiot päälävistäjän suhteen. Matriisin ***A*** transpoosia merkitään ***A***tr, t***A***, ***A***′ tai ***A***T.

Muodollisesti *m*×*n*-matriisin ***A*** transpoosi on *n*×*m*-matriisi ***A***T, jolle
***A***T[*i*, *j*] = ***A***[*j*, *i*] kaikilla 1 ≤ *i* ≤ *n* ja 1 ≤ *j* ≤ *m*.

Esimerkiksi

\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 \\
2 & 4 \end{bmatrix}\quad\quad \mbox{ja}\quad\quad 
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
3 & 4 \\
5 & 6 \end{bmatrix}^{\mathrm{T}} \!\! \;\!
= \,
\begin{bmatrix}
1 & 3 & 5\\
2 & 4 & 6 \end{bmatrix} \;

Ominaisuuksia
-------------

Kaikille *m*×*n*-matriiseille ***A*** ja ***B*** ja kaikille skalaareille *c* pätee (***A + B***)T = ***A***T + ***B***T ja (*c* ***A***)T = *c* (***A***T). Tämän perusteella transpoosi on lineaarikuvaus *m*×*n*-matriisien joukosta *n*×*m*-matriisien joukkoon.

Transpoosi on itsensä käänteiskuvaus eli (***A***T)T = ***A***.

Jos ***A*** on *m*×*n*-matriisi ja ***B*** on *n*×*k*-matriisi, on (***AB***)T = (***B***T)(***A***T). Huomaa, että tulon tekijöiden järjestys vaihtuu. Tästä voidaan päätellä, että neliömatriisi ***A*** on kääntyvä vain, jos ***A***T on kääntyvä. Tällöin on (***A***−1)T = (***A***T)−1.

Kahden (pysty)vektorin ***a*** ja ***b*** pistetulo voidaan laskea matriisitulona

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\cdot {\boldsymbol {b}}={\boldsymbol {a}}^{\mathrm {T} }{\boldsymbol {b}}\,}
missä oikealla puolella oleva tulo on tavallinen matriisien kertolasku.

Jos ***A*** on mielivaltainen reaalikertoiminen *m*×*n*-matriisi, on ***A***T***A*** positiivisesti semidefiniitti matriisi.

Jos ***A*** on *n*×*n*-matriisi jossain kunnassa, on ***A*** similaarinen transpoosinsa ***A***T kanssa.

Lisää määritelmiä
-----------------

Jos neliömatriisi ***A*** on itsensä transpoosi, ***A***:ta sanotaan symmetriseksi. Siis ***A*** on symmetrinen vain, jos

{\displaystyle {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{\mathrm {T} }}
Ortogonaalinen matriisi on matriisi ***A***, jolle ***A***-1=***A***T.

Jos neliömatriisille ***A*** pätee ***A***T=-***A***, sanotaan ***A***:ta vinosymmetriseksi.

Kompleksikertomisen matriisin ***A*** konjugaattinen transpoosi ***A***\* saadaan kun ***A*** transponoidaan ja sen jälkeen jokaisesta alkiosta otetaan kompleksikonjugaatti.

Lineaarikuvausten transpoosi
----------------------------

Jos *f*: V→W on vektoriavaruuksien välinen lineaarinen operaattori duaaliavaruuksinaan W\* ja V\*, on *f*:n transpoosi määritelmän mukaan lineaarikuvaus t*f* : W\*→V\*, jolle

 {}^t f (\phi ) = \phi \circ f \,   kaikilla \ \phi \in W\*.
Jos matriisi ***A*** on kahden kannan välinen lineaarikuvaus, on matriisi ***A***T kahden duaaliavaruuden kannan välinen lineaarikuvaus.

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 391. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).