Lineaarialgebrassa *n×n*-neliömatriisia *A* sanotaan **diagonalisoituvaksi** jos se on similaarinen jonkin diagonaalimatriisin *D* kanssa, eli on olemassa kääntyvä matriisi *P* siten, että 

{\displaystyle D=P^{-1}AP\,}.
Vastaavasti jos *V* on äärellisulotteinen vektoriavaruus, lineaarioperaattoria *T : V → V* sanotaan diagonalisoituvaksi, jos on olemassa *V*:n kanta, missä *T* on diagonaalimatriisi. Diagonalisoituvat matriisit ja -kuvaukset ovat käyttökelpoisia, sillä niitä on helppo käsitellä: niiden ominaisarvot ja ominaisvektorit on helppo laskea ja diagonalisen matriisin potenssi saadaan korottamalla lävistäjäalkiot annettuun potenssiin.
**Diagonalisointi** on prosessi, jossa diagonaalimatriisi tai -lineaarikuvaus etsitään.

Perusominaisuudet
-----------------

Diagonalisoituvien matriisien ja -lineaarikuvausten päätulos on seuraava.

1. *n×n* matriisi *A*, jonka alkiot ovat kunnasta *F*, on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on yhtä suuri kuin *n*. Tämä lause on yhtäpitävä sen kanssa, että on olemassa *F**n*:n kanta, joka koostuu *A*:n ominaisvektoreista. Jos tällainen kanta löydetään, voidaan muodostaa matriisi *P*, jonka sarakkeina nämä vektorit ovat, ja *P*-1*AP* on diagonaalimatriisi. Tämän matriisin lävistäjäalkiot ovat *A*:n ominaisarvot.

1. Lineaarikuvaus *T : V → V* on diagonalisoituva jos ja vain jos sen ominaisavaruuksien dimensioiden summa on dim*(V)*, joka puolestaan tapahtuu silloin ja vain silloin, kun on olemassa *V*:n kanta, joka sisältää *T*:n ominaisvektorit. Tällöin *T* on diagonalisoituva ja sen lävistäjäalkiot ovat *T*:n ominaisvektorit

Vaihtoehtoisesti voidaan sanoa, että matriisi tai lineaarikuvaus on diagonalisoituva kunnassa *F* jos ja vain jos sen minimaalipolynomi on tulo *F*:n erillisistä lineaarisista tekijöistä. Seuraava riittävä, mutta ei välttämätön ehto on usein hyödyllinen:

* Kunnan *F* *n×n*-matriisi *A* on diagonalisoituva jos sillä on *n* erillistä ominaisarvoa *F*:ssä, eli sen karakteristisella polynomilla on *n* erillistä nollakohtaa *F*:ssä

Nyrkkisääntönä, melkein kaikki kompleksikertoimiset matriisit ovat diagonalisoituvia. Tarkemmin sanottuna kompleksiset *n×n* matriisit, jotka eivät ole diagonalisoituvia, muodostavat nollajoukon Lebesguen mitan suhteen. Voidaan myös sanoa, että diagonalisoituvat matriisit muodostavat tiheän osajoukon Zariski-topologian suhteen. Tämän avaruuden komplementti sijaitsee siinä joukossa, missä diskriminantin karakteristinen polynomi häviää. Tämä avaruus on hyperpinta. 

Sama ei päde \mathbb {R} :ssä: kun *n* kasvaa, todennäköisyys, että satunnaisesti valittu reaalimatriisi on diagonalisoituva pienenee!

Diagonalisoituvuuden erikoistapauksia
-------------------------------------

Matriisin diagonalisoituvuudelle on olemassa muutamia erityistapauksia diagonalisoivan matriisin erityisluonteen mukaan. Nämä erikoistapaukset koskettavat vain pientä osaa matriiseista ja viittaavat yleensä alkuperäisen matriisin omaavan joitakin erityisominaisuuksia.

### Ortogonaalinen diagonalisoituvuus

Matriisi A on **ortogonaalisesti diagonalisoituva**, jos on olemassa sellainen ortogonaalimatriisi Q, että

{\displaystyle D=Q^{T}AQ\,},
missä {\displaystyle Q^{T}} on Q:n transpoosi.

### Unitaarinen diagonalisoituvuus

Matriisi A on **unitaarisesti diagonalisoituva**, mikäli on olemassa sellainen unitaarimatriisi U, että 

{\displaystyle D=U^{\*}AU\,},
missä {\displaystyle U^{\*}} on U:n adjungaatti.

Katso myös
----------

* Similaarisuus
* Kolmiomatriisi

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan (toim.): *Matematiikan käsikirja*, s. 65. Kustannusosakeyhtiö Tammi ja Suomen Teknologiatieto Oy, 1991.

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Matriisilasku ja lineaarialgebra*. Helsinki: Otatieto, 1984. ISBN 951-671-368-8.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).