Yhtenevyys on esimerkki ekvi­valenssi­relaatiosta. Vasemmanpuoleiset kaksi kolmiota ovat yhteneviä, kun taas kolmas ja neljäs kolmio eivät ole yhteneviä minkään muun tässä kuvatun kolmion kanssa. Näin ollen kaksi ensimmäistä kolmiota kuuluvat samaan ekvi­valenssi­luokkaan, kun taas kolmas ja neljäs kolmio muodostavat kumpikin oman ekvi­valenssi­luokkansa.
**Ekvivalenssiluokka** on jonkin ekvivalenssirelaation määrittelemä annetun joukon osajoukko, johon kuuluvat ne alkiot, jotka kyseisessä relaatiossa ovat ekvi­valentteja jonkin annetun alkion kanssa. Tällöin samaan ekvi­valenssi­luokkaan kuuluvat alkiot katsotaan tietyssä mielessä samankaltaisiksi. Ekvi­valenssi­luokka on siis joukko {\displaystyle [a]=\{x\in A|xRa\}}, missä R on joukon A ekvivalenssi­relaatio ja {\displaystyle a\in A}.

Ekvi­valenssi­relaation määritelmästä seuraa, että ekvi­valenssi­luokat muodostavat joukon osituksen. Ekvi­valenssi­luokkien joukkoa sanotaan joukon A *tekijä­joukoksi* relaation *R* suhteen, ja sitä merkitään *A* / *R*.

Kun joukolla *A* on jokin struktuuri ja ekvi­valenssi­relaatio liittyy jollakin tavalla tähän struktuuriin, tekijä­joukkoon periytyy usein samankaltainen struktuuri. Esimerkkejä tästä ovat tekijäryhmät ja tekijä­renkaat abstraktissa algebrassa sekä tekijäavaruudet topologiassa.

Merkintä ja muodollinen määritelmä
----------------------------------

Ekvi­valenssi­relaatio on binäärirelaatio *~*, jolla on seuraavat kolme ominaisuutta:

* Jokainen joukon *X* alkio *a* on relaatiossa itsensä kanssa eli {\displaystyle a\sim a} (refleksiivisyys)
* Jos {\displaystyle a\sim b}, niin {\displaystyle b\sim a} (symmetrisyys)
* Jos {\displaystyle a\sim b} ja {\displaystyle b\sim c}, niin {\displaystyle a\sim c} (transitiivisuus)

Sille ekvi­valenssi­luokalle, johon alkio *a* kuuluu, käytetään merkintää {\displaystyle [a]}, ja se määritellään niiden alkioiden joukkona, jotka ovat relaatiossa *~* alkion *a* kanssa eli *ekvi­valentteja* alkion *a* kanssa:

{\displaystyle [a]=\{x\in X\mid a\sim x\}}
Jos ekvi­valenssi­relaatiolle käytetään merkintää *R*, voidaan sille ekvi­valenssi­luokalle, johon *a* kuuluu, käyttää myös merkintää {\displaystyle a\_{R}}. Sitä sanotaan myös *a*:n *R*-ekvi­valenssi­luokaksi.

Kaikkien *X*:n ekvi­valenssi­luokkien joukolle ekvi­valenssi­relaation *R* suhteen käytetään merkintää {\displaystyle X/R}, ja sitä sanotaan *X*:n tekijäjoukoksi *R*:n suhteen. Siitä voidaan käyttää myös nimitystä *X* **modulo** *R*. Surjektiota {\displaystyle x\mapsto [x]} joukosta *X* joukolle *X*/*R*, joka kuvaa jokaisen alkion ekvi­valenssi­luokalleen, sanotaan *kanoniseksi surjektioksi* tai *kanoniseksi projektioksi*.

Kun jokaisesta ekvi­valenssi­luokasta valitaan yksi alkio, tämä määrittelee injektion, jota sanotaan *sektioksi*. Jos tälle sektiolle käytetään merkintää *s*, saadaan {\displaystyle [s(c)]=[c]} jokaiselle ekvi­valenssi­luokalle *c*. Alkiota *s*(*c*) sanotaan *c*:n **edustajaksi**. Valitsemalla sektio sopivasti voidaan mikä tahansa alkio valita ekvi­valenssi­luokan edustajaksi.

Toisinaan jotakin sektiota voidaan pitää "luonnollisempana" kuin muita. Sellaisissa tapauksissa ekvi­valenssi­luokkien edustajia sanotaan *kanonisiksi edustajiksi*. Esimerkiksi modulaarinen aritmetiikka perustuu kokonaislukujen joukossa määriteltyyn ekvi­valenssi­relaatioon, jossa {\displaystyle a~b}, jos {\displaystyle a-b} on jaollinen annetulla kokonais­luvulla *n*, jota sanotaan *modulukseksi*. Jokaiseen ekvi­valenssi­luokkaan kuuluu vain yksi ei-nega­tiivinen kokonais­luku, joka on pienempi kuin *n*, ja nämä ovat luokkien kanoniset edustajat. Luokka ja sen kanoninen edustaja voidaan tietyssä mielessä samastaa, minkä vuoksi merkintää *a* mod *n* voidaankin käyttää sekä luokasta että sen kanonisesta edustajasta (joka on samalla jakojäännös, kun *a* jaetaan *n*:llä).

Esimerkkejä
-----------

* Olkoon *X* on kaikkien autojen joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "on saman värinen kuin". Tällöin yhden ekvi­valenssi­luokan muodostavat kaikki vihreät autot. Tekijäjoukko *X*/*~* voidaan luonnollisesti samastaa kaikkien niiden värien joukon kanssa, joita autoilla on, ja sen kardinaliteetti on autojen eri värien lukumäärä.
* Olkoon *X* kaikkien suomenkielisten etunimien joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "alkaa samalla kirjaimella kuin". Tällöin ekvi­valenssi­luokat ovat [Aatami]={Aatami, Anna, Antti, Aino,...} [Belle]={Belle, Bettiina,...} ja niin edelleen aina aakkosten loppuun asti. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on yhtä monta kuin kirjaimia aakkosissa.
* Olkoon *X* on tason kaikkien suorakulmioiden joukko ja *~* ekvi­valenssi­relaatio "on pinta-alaltaan yhtä suuri kuin". Tällöin jokaista positiivista reaalilukua *A* vastaa ekvi­valenssi­luokka, johon kuuluvat kaikki suora­kulmiot, joiden pinta-ala joissakin annetuissa yksiköissä on *A*.
* Olkoon *X* kokonaislukujen joukko {\mathbb {Z}} ja *~* ja siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: *x* ~*y*, jos ja vain jos *x* - *y* on parillinen luku. Tällöin ekvi­valenssi­luokkia on kaksi: toiseen kuuluvat kaikki parilliset ja toiseen kaikki parittomat kokonaisluvut. Tässä relaatiossa luvut 7, 9 ja 1 ovat kaikki tekijäjoukon {\displaystyle \mathbb {Z} /~} saman alkion edustajia.
* Olkoon *X* jonkin (vähintään viikon pituisen) aikavälin kaikkien päivien joukko ja *~* siinä määritelty ekvi­valensirelaatio: *x* ~ *y*, jos ja vain jos päivästä *x* päivään *y* tai päivästä *y* päivään *x* kuluvien (tai kuluneiden) vuoro­kausien lukumäärä on jaollinen 7:llä. Tämä on yhtä­pitävää sen kanssa, että päivät *x* ja *y* ovat samana viikonpäivänä, ja joukkoon *X*\*~* alkiot eli ekvivalenssi­luokat ovat seitsemän viikonpäivää.
* Olkoon *X* kokonais­lukujen sellaisten järjestettyjen parien (*a*, *b*) joukko, joissa *b* ei ole nolla, ja *~* siinä määritelty ekvi­valenssi­relaatio: (*a*,*b*) ~ (*c*,*d*), jos ja vain jos *ad* = *bc*. Tällöin kutakin ekvi­valenssi­luokkaa (*a*,*b*) vastaa murtoluku *a*/*b*, ja tätä ekvi­valenssi­relaatiota voidaankin käyttää rationaalilukujen muodollisena määritelmänä samastamalla rationaaliluvut tällaisten ekvi­valenssi­luokkien kanssa. Samalla tavalla voidaan mistä tahansa kokonaisalueesta muodostaa sitä vastaavien "murtolukujen" kunta.
* Olkoon *X* eulidisen tason kaikkien suorien joukko ja määritellään relaatio *~* niin, että *L* ~ *M*, jos ja vain jos suorat *L* ja *M* ovat yhden­suuntaisia tai jos *L* ja *M* ovat sama suora. Tällöin relaatio on ekvi­valenssi­relaatio, ja kaikkien suorien joukko, jotka ovat yhden­suuntaisia *L*:n kanssa, on ekvi­valenssi­luokka. Jokaista tällaista ekvi­valenssi­luokkaa vastaa tietyn suuruinen kulma, jonka siihen kuuluvat suorat muodostavat esimerkiksi x-akselin suuntaisten suorien kanssa. Samalla jokainen tällainen ekvi­valenssi­luokka määrittelee yhden ideaalisen, äärettömän kaukaisen pisteen.

Ominaisuuksia
-------------

Jokainen alkio x \in X kuuluu johonkin ekvi­valenssi­luokkaan [*x*]. Elleivät ekvi­valenssi­luokat [*x*] ja [*y*] ole samoja, ne ovat pistevieraita eli niillä ei ole yhtään yhteistä alkiota (niiden leikkaus on tyhjä joukko). Näin ollen kaikkien ekvi­valenssi­luokkien joukko muodostaa joukon *X* osituksen: jokainen *X*:n alkio kuuluu yhteen ja vain yhteen ekvi­valenssi­luokkaan. Kääntäen jokaista *X*:n ositusta vastaa ekvi­valenssi­relaatio, jossa *x* ~ *y*, jos ja vain jos *x* ja *y* kuuluvat samaan osituksessa määriteltyyn osajoukkoon.

ekvi­valenssi­relaation ominaisuuksista seuraa, että

{\displaystyle x\sim y}, jos ja vain jos [*x*] = [*y*].
* {\displaystyle x\sim y}
* {\displaystyle [x]=[y]}
* {\displaystyle [x]\cap [y]\neq \emptyset }.

Graafinen esitys
----------------

Jokainen binäärirelaatio voidaan esittää suunnatulla graafilla, symmetriset relaatiot myös suuntaamattomilla graafeilla. Jos *~* on joukon *X* ekvi­valenssi­relaatio, graafin kärjet voidaan asettaa vastaamaan joukon *X* alkioita niin, että *s* ja *t* yhdistetään toisiinsa kaarella, jos ja vain jos *s* ~ *t*. Tässä esityksessä ekvi­valenssi­luokkia niiden graafin solmujen joukot, jotka on yhdistetty keskenään kaarella.

Invariantit
-----------

Olkoon *~* on *X*:n ekvi­valenssi­relaatio ja *P* jokin sellainen joukon *X* alkioiden ominaisuus, että jos *x* ~ *y* ja alkiolla *x* on ominaisuus *P*, myös alkiolla *y* on ominaisuus P. Tällöin ominaisuutta *P* sanotaan relaation *~* invariantiksi tai että ominaisuus *P* on hyvin määritelty relaation ~ suhteen.

Usein esiintyvän esimerkin tästä muodostaa tapaus, jossa *f* on kuvaus joukosta *X* joukkoon *Y*. Jos *f(*x*1) =* f*(*x*2* aina, kun *x*1 ~ *x*2, kuvausta *f* sanotaan relaation ~ morfismiksi taikka *luokkainvariantiksi* tai lyhyemmin *invariantiksi* relaation ~ suhteen.

Samalle asialle käytetään myös ilmaisua, että "*f* on *yhteensopiva* relaation ~ kanssa.

Jokainen funktio *f* ; *X* → *Y* määrittelee samalla myös lähtöjoukossa *X*:n erään ekvi­valenssi­relaation, jossa *x*1 ~ *x*2, jos ja vain jos *f*(*x*1 = *f*(*x*2). ekvi­valenssi­luokan *x* muodostavat kaikki ne *X*:n alkiot, jotka kuvautuvat *f*(*x*):lle, toisin sanoen luokka [*x*] on joukon {*f*(x*)} alkukuva. Tätä ekvi­valenssi­relaatiota sanotaan kuvauksen* f *kerneliksi.*

Yleisemmin kuvaus voi kuvata lähtöjoukon *X* ekvi­valentit alkiot (ekvi­valenssi­relaation *~**x* suhteen) maalijoukon *Y* ekvi­valenteille alkioille (ekvi­valenssi­relaation *~**y* suhteen). Tällaista kuvausta sanotaan morfismiksi *X*:stä *Y*:hyn.

Tekijäavaruus
-------------

Topologiassa tekijäavaruus on topologinen avaruus, jonka muodostavat jotakin ekvi­valenssi­relaatiota vastaavat ekvi­valenssi­luokat ja jolle topologia muodostetaan käyttämällä alkuperäisen avaruuden topologiaa.

Abstraktissa albebrassa algebrallisen struktuurin kongruenssirelaatiot tekevät mahdolliseksi määritellä vastaavat laskutoimitukset myös ekvi­valenssi­luokille, jolloin saadaan tekijäalgebra. Lineaarialgebrassa tekijä­avaruus on tekijä­joukosta muodostettu vektoriavaruus, jossa tekijähomomorfismi on lineaarikuvaus. Abstraktissa algebrassa termiä tekijä­avaruus käytetäänkin laajentuneessa merkitykessä myös tekijäryhmästä, tekijärenkaasta tai muusta tekijäalgebrasta.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Equivalence class

Lähteet
-------

1. ↑  Weisstein, Eric W.: "Equivalence Class." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 27.10.2014.
2. ↑  Väisälä, Jussi: "Tekijätopologia", *Topologia II*, s. 28–29. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
3. 1 2 3  Devlin, Keith: *Sets, Functions, and Logic: An Introduction to Abstract Mathematics (3. painos)*, s. 122–123. Chapman & Hall/CRS Press, 2004. ISBN 978-1-54588-449-1.
4. ↑  Wolf, Robert S.: *Proof, Logic anc Conjecture: A Mathematician's Toolbox*, s. 178. Freeman, 1998. ISBN 978-0-7167-3050-7.
5. ↑  Avelsgaard, Carol: *Foundations for Advanced Mathematics*, s. 127. Scott Foresman, 1989. ISBN 0-673-38152-8.
6. ↑  Maddox, Randall B.: *Mathematical Thinking and Writing*, s. 77–78. Harcourt/ Academic Press, 2002. ISBN 0-12-464976-9. |
7. ↑  Maddox, Randall B.: *Mathematical Thinking and Writing*, s. 74. Harcourt/ Academic Press, 2002. ISBN 0-12-464976-9. |
8. ↑  Avelsgaard, Carol: *Foundations for Advanced Mathematics*, s. 74. Scott Foresman, 1989. ISBN 0-673-38152-8.

Kirjallisuutta
--------------

* Sundstrom: *Mathematical Reasoning: Writing and Proof*. Prentice-Hall, 2003.
* Smith, Eggen, St.Andre: *A Transition to Advanced Mathematics (6th Ed.)*. Thomson (Brooks/Cole), 2006.
* Schumacher: *Chapter Zero: Fundamental Notions of Abstract Mathematics*. Addison-Wesley, 1996. ISBN 0-201-82653-4.
* O'Leary: *The Structure of Proof: With Logic and Set Theory*. Prentice-Hall, 2003.
* Lay: *Analysis with an introduction to proof*. Prentice Hall, 2001.
* Gilbert, Vanstone: *An Introduction to Mathematical Thinking*. Pearson Prentice-Hall, 2005.
* Fletcher, Patty: *Foundations of Higher Mathematics*. PWS-Kent.
* Iglewicz, Stoyle: *An Introduction to Mathematical Reasoning*. MacMillan.
* D'Angelo, West: *Mathematical Thinking: Problem Solving and Proofs*. Prentice Hall, 2000.
* Cupillari: *The Nuts and Bolts of Proofs*. Wadsworth.
* Bond: *Introduction to Abstract Mathematics*. Brooks/Cole.
* Barnier, Feldman: *Introduction to Advanced Mathematics*. Prentice Hall, 2000.
* Ash: *A Primer of Abstract Mathematics*. MAA.
* Merikoski, Jorma & Virtanen, Ari & Koivisto, Pertti: *Diskreetti matematiikka I*. Tampere: Tampereen yliopisto, 2001 (1993). ISBN 951-44-3604-0.