**Eulerin–Mascheronin vakio** on matemaattinen vakio, jota käytetään pääosin lukuteoriassa. Se määritellään harmonisen sarjan ja luonnollisen logaritmin erotuksen raja-arvona:

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\rightarrow \infty }\left[\left(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)-\ln n\right]=\int \_{1}^{\infty }\left({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x}\right)\,dx}
Sitä merkitään yleensä pienellä kreikkalaisella kirjaimella γ (gamma), ja sen likiarvo 20 desimaalin tarkkuudella on 0,57721566490153286061. Ei tiedetä, onko γ rationaali- vai irrationaaliluku. Vakiota kutsutaan myös joskus Eulerin vakioksi, mutta sitä ei pidä sekoittaa *e*:n, joka tunnetaan paremmin Neperin lukuna, kanssa.

Eulerin–Mascheronin vakio esiintyy muun muassa gammafunktion tulokaavassa, luonnollisen logaritmin Laplacen muunnoksessa, Eulerin φ-funktion epäyhtälössä ja osana Meisselin–Mertensin vakiota.

Historiaa
---------

Eulerin–Mascheronin vakion määritteli ensimmäisenä sveitsiläinen matemaatikko Leonhard Euler paperissaan *De Progressionibus harmonicis observationes* vuonna 1735. Euler käytti vakiolle merkintöjä *C* ja *O* ja laski sen arvon viiden desimaalin tarkkuudella. Vuonna 1781 hän oli laskenut vakion 15 desimaalin tarkkuudella.

Vuonna 1790 italialainen matemaatikko Lorenzo Mascheroni esitti vakiolle merkinnän *A* ja esitti sen arvon 31 desimaalin tarkkuudella, tosin desimaalit 20:nnestä eteenpäin osoittautuivat virheellisiksi. Mascheroni ei koskaan käyttänyt merkintää γ. Vakiolla on yhteys gammafunktioon.*selvennä*

Joulukuussa 2006 opiskelija Alexander J. Yee laski Eulerin–Mascheronin vakion 116 580 040 desimaalin tarkkuudella.

Integraaleja
------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=-\int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx=-4\int \_{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}x\ln x}\,dx\\&=-\int \_{0}^{1}\ln \ln \left({\frac {1}{x}}\right)dx\\&=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {1}{e^{x}-1}}-{\frac {1}{xe^{x}}}\right)dx=\int \_{0}^{1}\left({\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{1-x}}\right)dx\\&=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {1}{1+x^{k}}}-e^{-x}\right){\frac {dx}{x}},\quad k>0\\&=\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {1}{kx+1}}-e^{-kx}\right){\frac {\mathrm {d} x}{x}},\quad k>0\\&=\int \_{0}^{\infty }{\frac {\ln(1+x)}{\ln ^{2}x+\pi ^{2}}}\cdot {\frac {dx}{x^{2}}}\\&={\frac {1}{2}}+2\int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin(\arctan x)}{(e^{2\pi x}-1){\sqrt {1+x^{2}}}}}\mathrm {d} x=\int \_{0}^{1}H\_{x}dx=-\int \_{0}^{\infty }\left({\frac {\ln x}{e^{x}}}\right)dx\end{aligned}}.}
Hieman monimutkaisempia integraaleja:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\tfrac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}.}
Kaksoisintegraali gammalle on

{\displaystyle \gamma =\int \_{0}^{1}\int \_{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).}
Vertaa

{\displaystyle \ln \left({\frac {4}{\pi }}\right)=\int \_{0}^{1}\int \_{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}\left({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}\right).}
Catalan löysi integraalin

{\displaystyle \gamma =\int \_{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum \_{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx.}

Äärettömiä sarjoja
------------------

Euler todisti kaavan

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{k}}-\ln \left(1+{\frac {1}{k}}\right)\right].}
Toinen kaava on

{\displaystyle \gamma =1-\sum \_{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log \_{2}k\rfloor }{k+1}}.}
Vacca on todistanut kaavat

{\displaystyle {\gamma =\sum \_{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\left\lfloor \log \_{2}k\right\rfloor }{k}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+2\left({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}}\right)+3\left({\frac {1}{8}}-{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{11}}+\dots -{\frac {1}{15}}\right)+\dots }}
{\displaystyle {\gamma +\zeta (2)=\sum \_{k=2}^{\infty }\left({\frac {1}{\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}-{\frac {1}{k}}\right)=\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2}}+{\frac {2}{3}}+{\frac {1}{2^{2}}}\sum \_{k=1}^{2\times 2}{\frac {k}{k+2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}\sum \_{k=1}^{3\times 2}{\frac {k}{k+3^{2}}}+\dots }.}
Toinen kaava on

{\displaystyle \gamma =\ln \pi -4\ln \Gamma ({\tfrac {3}{4}})+{\frac {4}{\pi }}\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k+1}{\frac {\ln(2k+1)}{2k+1}}.}

Äärettömiä tuloja
-----------------

{\displaystyle {\frac {e^{1+\gamma /2}}{\sqrt {2\,\pi }}}=\prod \_{n=1}^{\infty }e^{-1+1/(2\,n)}\,\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
{\displaystyle {\frac {e^{3+2\gamma }}{2\,\pi }}=\prod \_{n=1}^{\infty }e^{-2+2/n}\,\left(1+{\frac {2}{n}}\right)^{n}.}
{\displaystyle e^{\gamma }=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/4}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/5}\cdots .}

Lähteet
-------

1. ↑   (Arkistoitu – Internet Archive)