Yhteenlaskumerkki
**Yhteenlasku** on yksi aritmeettisista peruslaskutoimituksista ja se on ensimmäinen koululaisille opetettavista. Yhteenlaskuoperaatio yhdistää ainakin kaksi lukua, jotka ovat yhteenlaskettavat toiseksi luvuksi, summaksi. Esimerkiksi 1 + 2 = 3 (luetaan yksi plus kaksi on kolme ), jossa luku 1 on yhteenlaskettava, johon lisätään luku 2, eli yhteenlaskettava ja näin saadaan summa, eli luku 3. Yhteenlaskun käänteislaskutoimitus on vähennyslasku.

Yhteenlaskun tulosta kutsutaan summaksi.

Formaali määritelmä luonnollisilla luvuilla
-------------------------------------------

Yhteenlaskuoperaatio + luonnollisilla luvuilla *ℕ* on kuvaus + : ℕ × ℕ → ℕ, +(a, b) = c, jossa a, b, c ∈ ℕ. Tavallisesti merkitään a + b = c.

Ominaisuuksia
-------------

1. On olemassa yksikäsitteinen (luonnollinen luku) c = a + b, eli +(a,b) = c.
2. Yhteenlaskun liitäntälaki: (a + b) + c = a + (b + c), eli +((a+b),c) = +(a,(b+c))
3. Yhteenlaskun vaihdantalaki: a + b = b + a, eli +(a,b) = +(b,a)

Nämä voidaan todistaa Peanon aksioomien avulla.

Voidaan myös osoittaa, että esimerkiksi ((a + b) + c) + d = a + b + c + d. Toisin sanoen yhteenlasku voidaan suorittaa useammallekin kuin kahdelle luvulle.

Esimerkkejä
-----------

Vaikka yhteenlasku määritellään formaalisti luonnollisille luvuille, se on usein määritelty vastaavasti myös muissa lukujärjestelmissä. Esimerkiksi vektoreita voidaan laskea yhteen. 

1. Esimerkiksi kokonaisluvuille -3, -1 ja 2 pätee:  
2 + (-1) = (-1) + 2 = 1, ((-3) + (-1)) + 2 = (-3) + ((-1) + 2) = -2
2. Rationaaliluvuille m/n ja p/q yhteenlasku määritellään:  
{\frac {m}{n}}+{\frac {p}{q}}={\frac {mq+pn}{nq}}
3. Vektorien yhteenlasku määritellään seuraavasti:

Olkoot {x}={\begin{pmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{pmatrix}} ja {y}={\begin{pmatrix}y\_{1}\\y\_{2}\\\vdots \\y\_{n}\end{pmatrix}} vektoreita, esimerkiksi reaaliavaruudessa **R**n.  

Määritellään, että {x}+{y}={\begin{pmatrix}x\_{1}+y\_{1}\\x\_{2}+y\_{2}\\\vdots \\x\_{n}+y\_{n}\end{pmatrix}}.  

Toisin sanoen lasketaan vektorien vastaavilla kohdilla olevat arvot yhteen.

Yhteenlasku allekkain
---------------------

Yhteenlasku voidaan suorittaa paperilla ns. allekkainlaskuna.

Allekkainlaskussa luvut kirjoitetaan allekkain niin, että vastaavilla paikoilla olevat desimaalit ovat allekkain. Sitten lasketaan yhteen oikealta aloittaen vastaavat luvut.

Esimerkki:

```
  12                  jossa on 0 sataa, 1 kymmentä ja 2 ykköstä
+321                  jossa on 3 sataa, 2 kymmentä ja 1 ykköstä
 333                  jossa on 3 = 2 + 1 ykköstä, 3 = 1 + 2 kymmentä ja 3 = 0 + 3 sataa
```

Kymmenjärjestelmässä luvun desimaalit ovat numerot nollasta yhdeksään, 0,1,...9. Laskettaessa numeroita yhteen saadaan joskus summaksi yli kymmenen. Tällöin ylimenevä kymmenen on siirrettävä "muistiin" ja lisättävä seuraavana vasemmalla olevaan desimaalien summaan.

Esimerkki:

```
 7656
+5555
```

Aloitetaan laskeminen oikealta: 6 + 5 = 11 > 10. Nyt merkitään 6 + 5 = 1, muistiin: 1.

```
   1
 7656
+5555
    1
```

Jatketaan: 1 + 5 + 5 = 11 = 1, muistiin: 1.

```
  11
 7656
+5555
   11
```

Ja

```
1111
 7656
+5555
13211
```

Vastaavasti voidaan laskea allekkain myös useampia lukuja:

Esimerkki:

```
11222
 34512
 12451
 12455
 31245
 12455
+12467
115585
```

Lähteet
-------

1. ↑  *summa.* *Kielitoimiston sanakirja*. Helsinki: Kotimaisten kielten keskus, 2022.

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Yhteenlasku** Wikimedia Commonsissa