**Asymptootti** on suora tai käyrä *A*, jota toinen käyrä *B* lähestyy äärettömyydessä. Kun *B*:tä kuljetaan eteenpäin rajatta, etäisyys *A*:n ja *B*:n välillä kutistuu kohti nollaa. On myös mahdollista, että käyrä leikkaa asymptoottiaan, jopa äärettömän monta kertaa.

Käyrä voi leikata asymptoottiaan jopa äärettömän monta kertaa.
1/x:n kuvaaja. x- ja y-akselit ovat tämän hyperbelin asymptootteja.
Funktion *f*(*x*)=*x* + 1/*x* kuvaaja, y-akseli (x = 0) ja suora *y* = *x* ovat molemmat *f*:n asymptootteja.

Asymptootit ja funktion kuvaaja
-------------------------------

Asymptootit määritellään raja-arvon avulla:

Olkoon *f* funktio. Tällöin suora *y*=*a* on *f*:n **vaakasuora asymptootti**, jos

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=a\,{\mbox{ tai }}\lim \_{x\to -\infty }f(x)=a.}
Intuitiivisesti tämä tarkoittaa sitä, että itseisarvoltaan suurilla *x*:n arvoilla *f*(*x*) on suunnilleen yhtä suuri kuin *a* ja approksimaatio tarkentuu, kun *x* kasvaa tai pienenee. Siten äärettömyydessä (tai miinus äärettömyydessä) käyrä lähestyy suoraa.

Huomaa, että jos

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)=a\,{\mbox{ ja }}\lim \_{x\to -\infty }f(x)=b,}
on funktion *f* kuvaajalla kaksi vaakasuoraa asymptoottia: *y*=*a* ja *y*=*b*. Esimerkiksi arkustangentti käyttäytyy tällä tavoin.

Funktion kuvaajalla voi olla kaksi vaakasuoraa asymptoottia.
Suora *x*=*a* on funktion *f* **pystysuora asymptootti**, jos jompikumpi seuraavista ehdoista on voimassa:

1. {\displaystyle \lim \_{x\to a^{-}}f(x)=\pm \infty }
2. {\displaystyle \lim \_{x\to a^{+}}f(x)=\pm \infty }

Intuitiivisesti jos *x*=*a* on *f*:n asymptootti, voidaan ajatella, että kun *x* lähestyy *a*:ta jommaltakummalta puolelta, *f*(*x*) kasvaa tai vähenee rajatta.

Esimerkki asymptootista löytyy funktion *f*(*x*)=1/*x* kuvaajasta, jonka asymptootteina ovat koordinaattiakselit *x* = 0 ja *y* = 0.

Huomaa, että *f*(*x*):n ei tarvitse olla määritelty *a*:ssa. Funktion arvolla pisteessä *x*=*a* ei ole asymptootin käyttäytymiseen vaikutusta. Tarkastellaan esimerkiksi funktiota

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1/x&x>0\\5&x\leq 0\end{cases}}.}
Kun {\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}f(x)=\infty }, *f*(*x*):llä on pystysuora asymptootti 0:ssa, vaikka {\displaystyle f(0)=5}.

Funktion asymptoottien ei tarvitse olla *x*- tai *y*-akselin suuntaisia. Esimerkiksi funktion
*f*(*x*)=*x* +1/*x*
asymptootteina ovat *y*-akseli ja suora *y* = *x*.

Jos *y* = *m* *x* + *b* on mikä tahansa ei-pystysuora suora, on funktiolla *f*(*x*) tämä suora asymptoottina, jos ja vain jos

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }f(x)-(mx+b)=0\,{\mbox{ tai }}\lim \_{x\to -\infty }f(x)-(mx+b)=0.}

Toisia merkityksiä
------------------

Funktio *f*(*x*) sanotaan lähestyvän asymptoottisesti funktiota *g*(*x*), kun *x* → ∞. Tällä voidaan tarkoittaa seuraavia asioita:

1. *f*(*x*) − *g*(*x*) → 0.
2. *f*(*x*) / *g*(*x*) → 1.
3. *f*(*x*) / *g*(*x*) → a ≠ 0.
4. *f*(*x*) / *g*(*x*) on rajoitettu eikä lähesty nollaa.

Lähteet
-------

1. ↑  Weisstein, Eric W.: *CRC Concise Encylopedia of Mathematics*, s. 136–137. , 2003.

Kirjallisuutta
--------------

* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.