**Heisenbergin kuva** on kvanttimekaniikan formalismin yksi muoto. Siinä systeemin tilaa kuvaavat *tilavektorit* eli aaltofunktiot ovat aikariippumattomia, ja observaabeleita kuvaavat lineaarioperaattorit riippuvat ajasta.

Käyttö
------

Merkitään suljetun systeemin tilaa merkinnällä {\displaystyle |\psi \rangle } ja observaabelia {\displaystyle O} kuvaavaa operaattoria merkinnällä {\displaystyle {\hat {O}}\_{H}(t)}. Alaindeksi H viittaa siis Heisenbergin kuvaan. Jälkimmäinen siis kuvaa tilan {\displaystyle |\psi \rangle } joksikin toiseksi (tai erityisesti identiteettioperaattorin tapauksessa samaksi) saman funktioavaruuden tilaksi {\displaystyle |\psi '\rangle }. Toisin sanoen

{\displaystyle {\hat {O}}\_{H}(t)|\psi \rangle =|\psi '\rangle .}

Koska operaattori riippuu ajasta, myös se funktio johon kuvaus tapahtui riippuu ajanhetkestä {\displaystyle t}. Itse funktiot ovat kuitenkin määritelmän mukaan aikariippumattomia.

Merkitään tilan {\displaystyle |\psi \rangle } konjugaattitilaa merkinnällä {\displaystyle \langle \psi |}. Tällöin systeemin ollessa puhtaassa tilassa {\displaystyle |\psi \rangle } observaabelin {\displaystyle O} odotusarvo {\displaystyle \langle O\rangle } saadaan sisätulosta

{\displaystyle \langle \psi |{\hat {O}}\_{H}(t)|\psi \rangle =\langle \psi |\psi '\rangle ,}

missä {\displaystyle \langle \psi |\psi '\rangle } on {\displaystyle \langle \psi |} ja {\displaystyle |\psi '\rangle } sisätulo.

Operaattori {\displaystyle {\hat {O}}\_{H}} toteuttaa *Heisenbergin liikeyhtälön*

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {O}}\_{H}(t)=(i\hbar )^{-1}[{\hat {O}}\_{H},H]+\left({\frac {\partial {\hat {O}}\_{H}}{\partial t}}\right)\_{ulk.},}

missä {\displaystyle \hbar } on Diracin vakio, {\displaystyle H} on systeemin Hamiltonin operaattori ja {\displaystyle [{\hat {O}}\_{H},H]} on operaattorin {\displaystyle {\hat {O}}} ja Hamiltonin operaattorin kommutaattori. Yhtälön viimeinen termi ottaa huomioon observaabelin määritelmän mahdollisen eksplisiittisen aikariippuvuuden.

Muunnos Schrödingerin kuvan ja Heisenbergin kuvan välillä
---------------------------------------------------------

Heisenbergin kuva on yhtäpitävä Schrödingerin kuvan kanssa. Tämän voi todistaa seuraavasti. Schrödingerin kuvassa aaltofunktiot riippuvat ajasta Schrödingerin yhtälön mukaan. Tämä voidaan aina ratkaista formaalisti muotoon

{\displaystyle |\psi (t)\rangle \_{S}=e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle .}

Tässä alaindeksi S viittaa Schrödingerin kuvaan. Observaabelin {\displaystyle O} odotusarvolle pätee tällöin tilassa {\displaystyle \psi (t)}

{\displaystyle \langle O\rangle =\langle \psi (t)|\_{S}{\hat {O}}|\psi (t)\rangle \_{S}=\langle \psi (0)|e^{iHt/\hbar }{\hat {O}}e^{-iHt/\hbar }|\psi (0)\rangle \equiv \langle \psi (0)|{\hat {O}}\_{H}(t)|\psi (0)\rangle .}

Nyt siis

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\hat {O}}\_{H}(t)={\frac {i}{\hbar }}H{\hat {O}}\_{H}(t)-{\frac {i}{\hbar }}{\hat {O}}\_{H}(t)H+\left({\frac {\partial {\hat {O}}\_{H}(t)}{\partial t}}\right)\_{ulk.}=(i\hbar )^{-1}[{\hat {O}}\_{H}(t),H]+\left({\frac {\partial {\hat {O}}\_{H}}{\partial t}}\right)\_{ulk.}.}

Vastaava todistus voidaan tehdä sekoitetulle tilalle käyttäen tiheysmatriisia. Heisenbergin kuvassa tiheysmatriisi on siis aikariippumaton.

Katso myös
----------

* Schrödingerin kuva
* Diracin kuva
* bra-ket-merkintätapa