**Vektorikimppu** on matemaattinen konstruktio, jossa jonkin avaruuden, nk. pohja-avaruuden, pisteisiin liitetään vektoriavaruus. Näiden vektoriavaruuksien oletetaan liittyvän yhteen "jatkuvasti", ts. tarvitaan topologian käsitteistö. 

Helpoin esimerkki vektorikimpusta on niin sanottu triviaali vektorikimppu. Olkoon {\displaystyle X} topologinen avaruus ja {\displaystyle n} mielivaltainen kokonaisluku. Tällöin voi jokaiseen {\displaystyle X}:n pisteeseen liittää "sama" vektoriavaruus {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}. Toisin sanoen saadaan aikaan avaruus {\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{n}}. Yleisessä vektorikimpussa tosin vektoriavaruus voi kaareutua. Tästä esimerkkinä on Möbiuksen nauha, jossa pohja-avaruus on yksikköympyrä {\displaystyle S^{1}}, ja vektoriavaruus on reaalilukujen joukko {\displaystyle \mathbb {R} }, joka "käännetään ympäri".

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle X,E} topologisia avaruuksia, ja olkoon {\displaystyle \pi :E\to X} jatkuva kuvaus. Tällöin pari {\displaystyle (E,\pi )} on **topologinen vektorikimppu**, jos nämä toteuttavat seuraavat ominaisuudet .

* Lokaali triviaalisuus: On olemassa avoin peite {\displaystyle \{U\_{i}\}}, joille {\displaystyle \pi ^{-1}(U\_{i})\simeq U\_{i}\times \mathbb {R} ^{n}} ja {\displaystyle \pi ^{-1}(x)=\mathbb {R} ^{n}} kaikille {\displaystyle x\in X}. Eli on olemassa homeomorfismi {\displaystyle \phi \_{i}:\pi ^{-1}(U\_{i})\to U\_{i}\times \mathbb {R} ^{n}}.

* Yhteensopivuus: Translaatiokuvaukset {\displaystyle \psi \_{ij}=\phi \_{i}\circ \phi \_{j}^{-1}:(U\_{j}\cap U\_{i})\times \mathbb {R} ^{n}\to (U\_{j}\cap U\_{i})\mathbb {R} ^{n}} ovat homeomorfismeja ja lineaarisia {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} koordinaatissa. Eli translaatiokuvaukset ovat säiekuvauksia (*bundle map*).

Avaruus {\displaystyle X} on pohja-avaruus, ja {\displaystyle E} on nk. totaaliavaruus. Kuvaus {\displaystyle \pi } on projektio, ja on esimerkki **topologisesta submersiosta**. Kokonaisluku {\displaystyle n} on vektorikimpun ulottuvuus.

Samalla lailla voidaan määritellä sileät vektorikimput, jos pohja- ja totaaliavaruus oletetaan sileiksi monistoiksi. Tällöin oletetaan, että kuvaukset yllä ovat kaikki sileitä. Yleisimmin geometriassa tarkastellaan juuri vektorikimppuja monistoilla.

Säiekuvaukset
-------------

Olkoot {\displaystyle (E,\pi \_{E}),(F,\pi \_{F})} topologisia vektorikimppuja, joiden pohja-avaruudet ovat {\displaystyle X,Y}ja ulottuvuudet {\displaystyle n,m}, vastaavasti. Sanomme, että jatkuva kuvaus {\displaystyle f:E\to F} on säiekuvaus, jos seuraavat kaksi ominaisuutta pätevät:

* Kommutointi: On olemassa kuvaus {\displaystyle g:X\to Y}, jolle {\displaystyle g\circ \pi \_{E}=\pi \_{F}\circ f}.

* Kuvaus on lineaarinen. Tässä kaikilla, {\displaystyle x\in X}, pätee, että {\displaystyle f:\pi \_{E}^{-1}(x)\simeq \mathbb {R} ^{n}\to \pi \_{F}^{-1}(g(x))\simeq \mathbb {R} ^{m}}.

Jos kyseessä on sileä vektorikimppu, niin samalla lailla määrittelemme sileät säiekuvaukset. Jos kuvaus {\displaystyle f} on homeomorfismi, tai diffeomorfismi, niin sen käänteiskuvaus on myös säiekuvaus ja tällöin vektorikimput ovat isomorfisia.

Sektiot
-------

Sektiot yleistävät vektorikenttiä. Vektorikentät liittävät moniston pisteisiin sen tangenttiavaruuden vektorin, joka euklidisen avaruuden {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} tapauksessa voidaan samaistaa avaruuden {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} kanssa. Yleisesti ottaen sektio {\displaystyle \sigma :X\to E} on jatkuva kuvaus, joka liittää jokaiseen pisteeseen {\displaystyle x\in X} vektorin, joka kuuluu joukkoon {\displaystyle \pi ^{-1}(x)}, eli 

{\displaystyle \pi \circ \sigma ={\text{Id}},}

missä {\displaystyle {\text{Id}}} on identiteettikuvaus. Edelleen voimme määritellä sileät sektiot. Esimerkkinä olkoot *nolla-sektio*, jossa {\displaystyle \sigma (x)=0\in \mathbb {R} ^{n}\simeq \pi ^{-1}(x)\subset E}.

Lähteet
-------

1. ↑  John W. Milnor ja James D. Stasheff: *Characteristic Classes*. Princeton University Press, 1974.