**Tapahtumien riippuvuus**  on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, jossa saman satunnaisilmiön perusjoukossa \Omega kahden tapahtuman todennäköisyydet riippuvat toisistaan. Näiden todennäköisyydet tulee määrittää käyttäen ehdollista todennäköisyyttä. Mikäli tapahtumien todennäköisyydeksi tulee sama tulos kuin ilman ehdollista todennäköisyyttä, ovat tapahtumat riippumattomia. Riippumattomuutta voidaan merkitä käyttämällä merkkiä {\displaystyle \perp .}

Riippuvuus
----------

Riippuvien tapahtumien todennäköisyyksiin käytetään ehdollista todennäköisyyden käsitettä. Riippuvuuden määrä on usein tuntematon, joten se huomioidaan laskemalla erikseen riippuvien tapahtumien todennäköisyydet, jolloin yhteisestä todennäköisyydestä tulee

{\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A|B)\cdot P(B).} (*riippuvien tapahtumien kertolaskusääntö*)
Kaksi jälkimmäistä laskutapaa voidaan käyttää toistensa vaihtoehtoina.

### Usean riippuvan tapahtuman todennäköisyys

Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea yhteinen todennäköisyys

{\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B),}
mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{n}}, saadaan

{\displaystyle P(A\_{1}\cap A\_{2}\cap ...\cap A\_{n})=P(A\_{1})\cdot P(A\_{2}|A\_{1})\cdot \cdot \cdot P(A\_{n}|A\_{1}\cap ...\cap A\_{n-1}).}

Riippumattomuus
---------------

### Määritelmä: kaksi riippumatonta tapahtumaa

Kaksi tapahtumaa A ja B ovat riippumattomia eli {\displaystyle A\perp B}, jos ja vain jos ne toteuttavat todennäköisyyden kertolaskusäännön

{\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B).}  (*riippumattomien tapahtumien kertolaskusääntö*)
Riippumattomassa tapauksessa ehdolliset todennäköisyydet ovat samat kuin yksittäiset todennäköisyydet (vertaa riippuvat tapaukset) eli 

{\displaystyle P(A|B)=P(A)}
ja

{\displaystyle P(B|A)=P(B).}
### Vastatapahtumien riippumattomuus

Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin silloin ovat myös {\displaystyle {\bar {A}}\perp B}, {\displaystyle A\perp {\bar {B}}} sekä {\displaystyle {\bar {A}}\perp {\bar {B}}} riippumattomia, missä viivalla merkityt ovat tapahtumien vastatapahtumat.

### Kolmen tapahtuman riippumattomuus

Tapahtumat A, B ja C voivat olla pareittain riippumattomat. Tämä ei tee kaikkia kolmea tapahtumaa keskenään riippumattomiksi, vaan myös kolmen tapauksen todennäköisyyksien tulo on oltava tapahtumista riippumaton. Kolmen tapahtuman riippumattomuuteen vaaditaankin neljä ehtoa: 

{\displaystyle A\perp B\Leftrightarrow P(A\cap B)=P(A)P(B)}
{\displaystyle A\perp C\Leftrightarrow P(A\cap C)=P(A)P(C)}
{\displaystyle B\perp C\Leftrightarrow P(B\cap C)=P(B)P(C)}
{\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)}
Riipumattomuus toteutuu vastavasti useammalle tapahtumalle.

### Usean riippumattoman tapahtuman todennäköisyys

Kolmen riippumattoman tapahtuman yhteinen todennäköisyys on 

{\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B)\cdot P(C),}
ja usean riippumattomien tapahtumien {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{n}} yhteinen todennäköisyys on

{\displaystyle P(A\_{1}\cap A\_{2}\cap ...\cap A\_{n})=P(A\_{1})\cdot P(A\_{2})\cdot \cdot \cdot P(A\_{n}).}

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
2. 1 2 3 4  Alatupa, Sami et al.: *Pitkä Sigma 6*, s. 119−128. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
3. 1 2 3  Kivelä, Simo K.: Tapahtumien riippumattomuus, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
4. 1 2  Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen, Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014
5. ↑  George, Glyn: Testing for the independence of three events, s. 85−86, The Mathimatical Gazette