**Black–Scholes-malli**, **Black–Scholes–Merton-malli** tai **BSM-malli** on rahoituksessa käytettävä optioiden hinnoittelumalli, jonka ovat kehittäneet tutkijat Fischer Black ja Myron Scholes vuonna 1973 ilmestyneessä tieteellisessä artikkelissaan: *The Pricing of Options and Corporate Liabilities*. Black–Scholes-malli tarjoaa ratkaisun *eurooppalaisen* osakkeen osto-option hinnan määrittelemiselle. Blackin ja Scholesin mukaan option arvo riippuu useasta eri tekijästä: *kohde-etuuden arvosta*, *lunastushinnasta*, *riskittömästä korkokannasta*, *erääntymisajasta* sekä kohde-etuuden *tuoton volatiliteetista*.

Historiallinen tausta
---------------------

Tieteellinen perusta optioiden hinnoittelumallin syntymiselle juontaa juurensa 1960- ja 1970-lukujen taitteeseen. Tuohon aikaan professorit Fischer Black ja Myron Scholes alkoivat kehittämään matemaattista yhtälöä eurooppalaisen option arvon määrittämiseksi ja myöhemmin Robert Merton kehitti ja laajensi mallia. Rahoituksen akateeminen yhteisö on pitänyt Blackin ja Scholesin sekä Mertonin kehittämää optioiden hinnoittelumallia "tieteellisenä läpimurtona", ja sillä on ollut "merkittävä vaikutus" siihen, miten kaupankäynnin kohteena olevia optiosopimuksia vielä nykypäivänäkin hinnoitellaan rahoitusmarkkinoilla. Scholes ja Merton palkittiinkin optioiden hinnoitteluteorian parissa tehdystä työstä taloustieteiden Nobel-palkinnolla vuonna 1997. BSM-mallin seurauksena laajamittainen optiokaupankäynti johdannaispörsseissä oli mahdollista.

Mallin lähtöoletukset
---------------------

Ennen *eurooppalaisen* osto-option matemaattisen hinnoittelumallin tasapainoyhtälön johtamista Black ja Scholes tarkastelivat "ideaaleja olosuhteita" teoreettisen mallinsa tueksi ja tekivät muutamia yksinkertaistavia oletuksia rahoitusmarkkinoista ja option kohde-etuudesta.

1. Optio on tyyliltään *eurooppalainen*, mikä tarkoittaa sitä, ettei option lunastaminen ennen sopimuksen voimassaoloajan erääntymistä eli *maturiteettia* ole mahdollista.
2. Optiosopimuksen kohde-etuutena oleva osake ei maksa osinkoja tai muita preemioita option voimassaoloaikana.
3. Osakkeen hintakehitys noudattaa ennalta-arvaamatonta satunnaiskulkua, tarkemmin ilmaistuna Wienerin prosessin omaista geometrista Brownin liikettä. Käytännössä tämä tarkoittaa sitä, että optiosopimuksen hinnoittelemisen yhteydessä täyttyvät Eugene Faman määrittelemän markkinoiden tehokkuuden *heikot ehdot*. Lisäksi osakkeen hinnanmuutokset ovat riippumattomia ja ne noudattavat symmetristä normaalijakaumaa, eikä äkillisiä ja voimakkaita kurssiheilahteluja ole.
4. Osakkeiden tuottojen volatiliteetti säilyy muuttumattomana vakiona jopa yli ajan.
5. Riskittömän korkokannan taso on tunnettu kaikkien sijoittajien keskuudessa ja se säilyy vakiona option voimassaoloajan ajan. Lisäksi lainan ottamisen ja antamisen määrää ei ole rajoitettu millään tavalla.
6. Arvopapereiden kaupankäynti on alati jatkuvaa, lyhyeksi myynti on mahdollista, eikä markkinoilla ole transaktiokustannuksia eikä veroja.
7. Rahoitusmarkkinoilla ei ole olemassa riskittömiä arbitraasimahdollisuuksia.

Teoreettinen viitekehys
-----------------------

Näillä taustaoletuksilla Black ja Scholes johtivat eurooppalaisten optioiden hinnoittelumallinsa matemaattisen yhtälön:

{\displaystyle C\_{0}=S\_{0}N(d\_{1})-Xe^{-rT}N(d\_{2})}

missä

{\displaystyle C\_{0}} = osto-option nykyinen arvo

S\_{0} = option kohde-etuuden eli osakkeen nykyinen hinta

{\displaystyle N(d)} = normaalijakauman kertymäfunktion arvo

X = option toteutus- tai lunastushinta (engl. *strike price* tai exercise price)

e = luonnollisen logaritmin kantaluku eli Neperin luku

r = riskitön korkokanta muunnettuna jatkuvalla korkolaskulla vuotuiseksi

T = option voimassaoloaika vuosina ennen sopimuksen erääntymistä eli maturiteettia

{\displaystyle \sigma } = kohde-etuuden tuoton volatiliteetti

Lisäksi komponentit {\displaystyle N(d\_{1})} ja {\displaystyle N(d\_{2})} ovat

{\displaystyle d\_{1}={\frac {ln({\frac {S\_{0}}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}}}

{\displaystyle d\_{2}={\frac {ln({\frac {S\_{0}}{X}})+(r+{\frac {\sigma ^{2}}{2}})T}{\sigma {\sqrt {T}}}}-\sigma {\sqrt {T}}}

eli lyhyemmin ilmaistuna

{\displaystyle d\_{2}=d\_{1}-\sigma {\sqrt {T}}}

Oheisella kaavalla voidaan laskea eurooppalaisen osto-option teoreettinen arvo viiden tekijän funktiona. Intuitiivisesti tarkasteltuna osto-option hinta {\displaystyle C\_{0}} on yhtä suuri kuin kohde-etuutena olevan osakkeen nykyinen hinta S\_{0}, josta vähennetään option lunastushinnan nykyisyyteen diskontattu arvo {\displaystyle X^{-rT}}.

Eurooppalaisten ja amerikkalaisten optiosopimusten teoreettiseen arvoon vaikuttavat tekijät

| Muuttuja | Eurooppalainen optio | Amerikkalainen optio |
| --- | --- | --- |
|  | osto-optio (*call*) | myyntioptio (*put*) | osto-optio (*Call*) | myyntioptio (*Put*) |
| Kohde-etuuden nykyisen hinnan kasvu, S\_{0} | + | {\displaystyle -} | + | {\displaystyle -} |
| Toteutushinnan kasvu, X | {\displaystyle -} | + | {\displaystyle -} | + |
| Voimassaoloajan eli *maturiteetin* piteneminen, T | {\displaystyle ?} | {\displaystyle ?} | + | + |
| Volatiliteetin kasvu, {\displaystyle \sigma } | + | + | + | + |
| Riskittömän korkotason nousu, r | + | {\displaystyle -} | + | {\displaystyle -} |
| Kohde-etuutena olevan osakkeen osingonjako, D | {\displaystyle -} | + | {\displaystyle -} | + |

Muuttujien arvon kasvaminen vaikuttaa joko option arvoa alentavasti (miinusmerkki, {\displaystyle -}), option arvoa kasvattamalla (yhteenlaskumerkki, +) tai vaikutus option arvoon on tuntematon tai arvaamaton (kysymysmerkki, {\displaystyle ?}). Esimerkiksi markkinakorkojen nouseminen kasvattaa väistämättä myös Blackin ja Scholesin hinnoittelumallin diskonttauskorkoa, mikä taas puolestaan johtaa option toteutushinnan nykyarvon laskemiseen kasvattaen osto-option arvoa ja heikentäen myyntioption arvoa. Kohde-etuuden hinnanvaihtelun eli volatiliteetin kasvu sen sijaan lisää sekä osto- että myyntioption teoreettista arvoa, oli kyseessä sitten eurooppalainen tai amerikkalainen optiosopimus.

Katso myös
----------

* Markkinoiden tehokkuus
* Capital Asset Pricing -malli
* Portfolioteoria
* Johdannainen
* Optio

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Fischer Black, Myron Scholes: The Pricing of Options and Corporate Liabilities.  *Journal of Political Economy*, 1973, nro 3, s. 637–654. doi:10.1086/260062. ISSN 0022-3808. Artikkelin verkkoversio.
2. 1 2 3  Juha-Pekka Kallunki, Minna Martikainen & Jaakko Niemelä: *Ammattimainen sijoittaminen*, s. 192–198. Talentum Media Oy, 2007. ISBN 978-952-14-1090-1.
3. ↑  Fischer Black, Myron Scholes: The Valuation of Option Contracts and a Test of Market Efficiency.  *The Journal of Finance*, 1972, nro 2, s. 399–417. doi:10.2307/2978484. Artikkelin verkkoversio.
4. ↑  Robert C. Merton: Theory of Rational Option Pricing.  *The Bell Journal of Economics and Management Science*, 1973, nro 1, s. 141–183. doi:10.2307/3003143. Artikkelin verkkoversio.
5. 1 2 3  John C. Hull: *Options, Futures, and other Derivatives (8.painos)*, s. 299–329. Pearson Education Limited, 2009. ISBN 978-0-273-75907-2.
6. 1 2 3 4  Jussi Nikkinen, Timo Rothovius & Petri Sahlström: *Arvopaperisijoittaminen*, s. 207–211. WSOY, 2008. ISBN 951-0-26627-2.
7. ↑  Eugene F. Fama: Efficient Capital Markets: A Review of Theory and Empirical Work.  *The Journal of Finance*, 1970, nro 2, s. 383–417. doi:10.2307/2325486. Artikkelin verkkoversio.