Jatkuvien funktioiden väliarvolause. Huomaa, että kuvassa *c* ei ole sup *S*, vaan kuvaa yleistä tapausta (jollakin *c* pätee *f*(*c*) = *u*).
**Jatkuvien funktioiden väliarvolause** on tärkeä lause analyysissa. **Bolzanon lause** on sen erikoistapaus. 

Lause kuuluu seuraavasti: olkoon {\displaystyle f\colon [a,b]\to \mathbb {R} } jatkuva funktio suljetulta väliltä [a,b] reaalilukujen joukolle \mathbb{R}. Olkoon u reaaliluku, joka toteuttaa ehdon {\displaystyle f(a)<u<f(b)} tai {\displaystyle f(a)>u>f(b)}. Tällöin jollekin välin [a,b] pisteelle c pätee {\displaystyle f(c)=u}.

Jatkuvien funktioiden väliarvolause on intuitiivisesti itsestäänselvyys: jos esimerkiksi *f* on jatkuva funktio välillä [1, 2] ja sen arvot välin päätepisteissä ovat *f*(1) = 3 ja *f*(2) = 5, on *f*:n arvo 4 jossakin pisteiden 1 ja 2 välissä. Lauseen idea on yksinkertaisesti se, että jatkuva funktio voidaan piirtää nostamatta kynää paperista: jotta funktio voisi olla jatkuva, sen tulee yhdistää katkeamatta suorat *y* = 3 ja *y* = 5, jolloin sen on leikattava ainakin kerran suora *y* = 4. 

Lause esitetään usein myös seuraavasti: jos jatkuvan funktion arvot suljetun välin päätepisteissä ovat erimerkkiset, on funktiolla tällä välillä ainakin yksi nollakohta. Tämä vastaa tapausta *u* = 0, ja sitä kutsutaan usein Bolzanon lauseeksi. Lause on nimetty matemaatikko Bernard Bolzanon mukaan. Toisaalta Bolzanon lauseella voidaan todistaa jatkuvien funktioiden väliarvolause tutkimalla funktiota
{\displaystyle g(x)=f(x)-u}, jolloin {\displaystyle g(a)=f(a)-u<0} ja {\displaystyle g(b)=f(b)-u>0}. Tällöin Bolzanon lauseen nojalla on olemassa {\displaystyle c\in [a,b]}, jolla {\displaystyle g(c)=0\iff f(c)-u=0\iff f(c)=u}.

Todistus
--------

Todistetaan ensimmäinen tapaus *f* (*a*) < *u* < *f* (*b*). Tapauksen *f* (*b*) < *u* < *f* (*a*) todistus on samankaltainen tai voidaan palauttaa edelliseen tarkastelemalla funktiota *g* (*x*) = -*f*(*x*).

Olkoon *S* niiden välin [a, b] pisteiden joukko, joissa funktion arvo *f*(*x*) on pienempi tai yhtä suuri kuin *u* eli *S* = {*x* \in  [a, b] : *f*(*x*) ≤ *u*}. Tällöin *S* on epätyhjä (koska *a* kuuluu siihen, *f*(*a*) < *u*) ja ylhäältä rajoitettu ylärajan ollessa *b*. Reaalilukujen täydellisyysaksiooman nojalla joukolla *S* on olemassa supremum eli pienin yläraja *c* = sup *S*. Väite: *f* (*c*) = *u*.

Oletetaan ensin, että *f*(*c*) > *u*. Silloin *f*(*c*) - *u* > 0. Koska funktio *f* on jatkuva eli \lim \_{{x\to \ c}}f(x)=f(c), on funktion raja-arvon määritelmän perusteella olemassa δ > 0 siten että
| *f*(*x*) - *f*(*c*) | < *f*(*c*) - *u* aina kun | *x* - *c* | < δ. Mutta silloin voidaan ratkaista -( *f*(*c* ) - *u*) < *f*(*x*) - *f*(*c*) < *f*(*c*) - *u* eli *f*(*x*) > *f*(*c*) - ( *f*(*c*) - *u* ) = *u* aina kun | *x* - *c* | < δ, siis *f* (*x*) > *u* kaikille *x* \in  ( *c* - δ, *c* + δ). Siten *c* - δ on joukon *S* yläraja, joka on pienempi kuin *c*, ristiriita (*c* ei nyt voi olla joukon *S* pienin yläraja).

Oletetaan seuraavaksi, että *f*(*c*) < *u*. Nyt *u* - *f*(*c*) > 0 ja jatkuvuuden nojalla on olemassa δ > 0 siten, että 
| *f*(*x*) - *f*(*c*) | < *u* - *f*(*c*) aina kun | *x* - *c* | < δ. Silloin -(*u* - *f*(*c*)) < *f*(*x*) - *f*(*c*) < *u* - *f*(*c*) eli *f*(*x*) < *f*(*c*) + (*u* - *f* (*c*)) = *u* kaikille *x* \in  ( *c* - δ, *c* + δ). Siten on olemassa *x* > *c*, jolle *f*(*x*) < *u*, taas ristiriita *c*:n määritelmän kanssa (*c* ei nyt voikaan olla joukon *S* yläraja).

Koska ei voi olla *f*(*c*) < *u* eikä *f*(*c*) > *u*, tulee olla *f*(*c*) = *u*. □

Lähteet
-------

1. ↑  Adams, Robert A.: "1.4", *Calculus: A Complete Course*, s. 82. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.
2. ↑  Adams, Robert A.: "Appendix III:Continuous Functions", *Calculus: A Complete Course*, s. A-25. Pearson: Adisson Wesley, 6. painos.

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla
----------------

* Intermediate value Theorem – Bolzano Theorem