**Poincarén otaksuma** eli **Poincarén konjektuuri** on puhtaasti matemaattinen otaksuma, joka käsittelee ominaisuuksia, jotka erottavat kolmiulotteiset pallopinnat muista kolmiulotteisista monistoista. Kolmiulotteinen pallopinta tarkoittaa neliulotteisen pallon kolmiulotteista pintaa. Otaksuman mukaan tiettyjä kolmiulotteisen pallopinnan ominaisuuksia omaava monisto on aina käytännössä sama asia kuin kyseinen pallopinta. Konjektuuri on nimetty Henri Poincarén mukaan, joka muotoili väitteen vuonna 1904.

Poincarén konjektuuri oli yksi Clay-instituutin Millennium-ongelmista, joiden ratkaisijalle on luvassa miljoona dollaria. Se on ainoa Millennium-ongelma, joka on tähän mennessä ratkaistu. Todistuksen konjektuurin paikkansapitävyydestä teki vuonna 2002 Grigori Perelman, joka kuitenkin kieltäytyi palkinnosta.

Tarkka väite
------------

Otaksuman tavallinen muotoilu on seuraava:

"Jokainen kompakti yhdesti yhtenäinen 3-monisto on homeomorfinen 3-pallon kanssa."

Monisto on topologinen avaruus, "n-ulotteinen kappale", joka paikallisesti näyttää kaikkilalla Euklidiselta avaruudelta, eli "litteältä" avaruudelta. Esimerkiksi maapallon pinta näyttää pienellä matkalla litteältä tasolta, vaikka se ei sitä oikeasti ole. Sen sijaan, jos kahden pallon pinnat liimattaisiin yhteen, ei muodostuvan kappaleen pinta ole enää monisto, sillä liimauskohta ei läheltäkään katsottuna näytä litteältä tasolta, vaan siitä lähtee useita tasoja eri suuntiin.

Yhdesti yhtenäisyys tarkoittaa epämuodollisesti sitä, että monistossa ei ole reikiä. Homeomorfisuus taas tarkoittaa karkeasti sitä, että kaksi kappaletta voidaan muokata toisikseen venyttämällä ja kutistamalla tekemättä kappaleisiin reikiä ja liimaamatta osia yhteen.

Poincarén otaksuman väite siis tarkoittaa yksinkertaistetusti sitä, että mikä tahansa kolmiulotteinen reiätön pinta, joka täyttää moniston ehdot, on vain jollakin tavalla venytetty versio neliulotteisen pallon kolmiulotteisesta pinnasta.

Poincarén otaksuma eri ulottuvuuksissa
--------------------------------------

Jos kaksiulotteisessa kompaktissa kappaleessa jokainen silmukka voidaan vetää esteettä yhteen pisteeseen, silloin kappaleen pinta on topologisesti homeomorfinen pallopinta. Konjektuuri otaksuu saman olevan totta *kaikkien* 3- ja useampiulottuvuuksisten kappaleiden kanssa.
Sama kysymys voidaan kysyä missä tahansa muussakin kuin kolmessa ulottuvuudessa. Merkitään ulottuvuuksien määrää kirjaimella n. 

Tapaukset n=1 ja n=2 on tunnettu jo pitkään.

Tapaukset n>4 todistettiin 1960-luvulla. Työssä olivat mukana muun muassa Stephen Smale, John Stallings ja E. C. Zeeman.

Tapauksen n=4 todisti Michael Freedman vuonna 1982 ja hän sai todistuksestaan vuoden 1986 Fieldsin mitalin.

Tämän jälkeen ainut ulottuvuus, jossa teoreeman todenperäisyyttä ei tunnettu, oli n=3, jonka Perelman todisti vuonna 2002.

Millennium-ongelma ja sen ratkaisu
----------------------------------

Poincarén otaksuma kuuluu Clay-instituutin niin sanottuihin Millennium-ongelmiin eli miljoonan dollarin ongelmiin. Instituutti nimittäin lupasi ensimmäisestä oikeasta todistuksesta tai vastaesimerkistä miljoona Yhdysvaltain dollaria. Vuosina 2002 ja 2003 venäläinen Grigori Perelman julkaisi tieteellisten tutkimusten ennakkojulkaisupalvelussa Arxivissa kolme julkaisua, joissa hän hahmotteli Poincarén otaksuman ja myös yleisemmän Thurstonin geometrisointiotaksuman ratkaisun. Ratkaisu perustui pohjatyölle, jota oli tehnyt yhdysvaltalainen Richard S. Hamilton. Seuraavien vuosien aikana matemaatikot tutkivat Perelmanin työtä ja päätyivät lopulta siihen tulokseen, että todistus oli paikkansapitävä. Perelman sai aiheeseen liittyvästä työstään Fieldsin mitalin vuonna 2006, josta hän kuitenkin kieltäytyi. Vuonna 2010 Clay-instituutti julisti Perelmanin ratkaisseen ongelman ja palkitsi hänet Millennium-palkinnolla, josta Perelman kuitenkin myös kieltäytyi.

Lähteet
-------

1. ↑  Poincaré conjecture | mathematics | Britannica *www.britannica.com*. Viitattu 15.1.2022. (englanniksi)
2. 1 2 3  Condé Nast: The Poincaré Clash *The New Yorker*.  28.8.2006. Viitattu 15.1.2022. (englanniksi)
3. ↑  Matematiikasta 1900-luvulla PDF
4. ↑  Kivelä, Simo: Poincarén konjektuuri *simokivela.blogspot.com*.  1.2.2013. Viitattu 15.1.2022.
5. ↑  Fields Medals and Nevanlinna Prize 1986 International Mathematical Union. Viitattu 15.1.2022.
6. ↑  [ Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture a
Awarded to Dr. Grigoriy Perelman]  18.3.2010. Clay-instituutti.  Arkistoitu 31.3.2010. Viitattu 15.1.2022.

Kirjallisuutta
--------------

* O'Shea, Donal: *Poincarén konjektuuri: Maailmankaikkeuden muotoa etsimässä*. (The Poincaré conjecture: In search of the shape of the universe, 2007.). Suomentanut Juha Pietiläinen. Helsinki: Terra Cognita, 2012. ISBN 978-952-5697-28-5.
* Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: *Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II*, s. 836–844. "Poincaré", "Matemaattinen fysiikka ja muita sovelluksia", "Topologia", "Muut tutkimukset ja perintö". Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.

Clay-instituutin seitsemän Millennium-ongelmaa

* P=NP
* Hodgen otaksuma
* Poincarén otaksuma (ratkaistu)
* Riemannin hypoteesi

* Yangin–Millsin olemassaolo
* Navierin–Stokesin yhtälöt
* Birchin ja Swinnerton-Dyerin konjektuuri