Kolmion muodostaneiden suorien väliin piirretään ympyrät siten, että ne sivuavat niitä kolmesta kohtaa. Kolmion sivujen sivuamiskohdat otetaan kantapisteiksi kolmelle ceviaanille, joiden leikkauspisteessä Nagelin piste on.**Nagelin piste** on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu *Kimberlingin pisteiden luetteloon* tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{8}}. Kolmion sivut jatketaan suorilla ja suorien väliin piirretään niin suuret ympyrät, että ne sivuavat kukin kaikkia suoria kerran. Tällaisia ympyröitä on neljä, kun mukaan lasketaan kolmion sisään piirretty ympyrä. Muut, kolmion ulkoiset ympyrät, sivuavat kolmiota pisteissä, jotka otetaan ceviaanien kantapisteiksi. Ceviaanien yhteinen leikkauspiste on nimeltään *Nagelin piste*. Piste on nimetty Christian Heinrich von Nagelin (1803–1882) mukaan.

Toinen määritelmä Nagelin pisteelle ei hyödynnä ympyröitä. Mitataan kärjestä A paikka vastaisella sivulla, joka on puolimatkassa kolmion ympäri, eli mitataan kolmion puolipiirin päätepisteen paikka, jota kutsutaan kantapisteeksi. Kustakin kärjestä merkitään muut kantapisteet samalla tavalla. Kärkien ja kantapisteiden väliset janat leikkaavat toisensa Nagelin pisteessä. Tämäkin menetelmä on todistettu alla.

Sijainti kolmiossa
------------------

Nagelin piste sijaitsee aina kolmion sisällä. Tämän näkee siitä, että ceviaani kulkee kolmion kärjen ja kolmion sivun sivuamispisteen välillä. Kaikkien tällaisten janojen leikkauspiste jää siksi kolmion sisään.

Tasasivuisen kolmion sivusuorat asettuvat symmetrisesti sivuavien ympyröiden ympärille, jolloin sivun tangenttipiste jää keskelle kolmion sivulle. Koska ceviaani on tällöin keskijana, leikkaavat ne toisensa painopisteessä.

Tasakylkisen kolmion kylkien sivuamispisteet asettuvat symmetrian vuoksi samalle korkeudelle. Kun kannan sivuamispiste tulee keskelle kantaa, jää Nagelin piste kolmion symmertiajakajalle eli korkeusjanalle.

### Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 

{\displaystyle {\frac {-a+b+c}{a}}:{\frac {a-b+c}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}=\csc ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\,:\,\csc ^{2}{\frac {\beta }{2}}\,:\,\csc ^{2}{\frac {\gamma }{2}}}.
### Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 

{\displaystyle (-a+b+c):(a-b+c):(a+b-c)=(s-a):(s-b):(s-c)=\cot {\frac {\alpha }{2}}\,:\,\cot {\frac {\beta }{2}}\,:\,\cot {\frac {\gamma }{2}},} 
* 
* 
*

Todistus
--------

Nagelin piste on aina olemassa. Tekstin todistelu seuraa kuvan merkintöjä.
Todistetaan, että kolmion {\displaystyle \scriptstyle \triangle ABC} mainitut ceviaanit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä. Tekstissä seurataan viereisen kuvan merkintöjä. Kolmion sivujen jatkeet, eli sivusuorat, ovat ympyrän tangentteja, jossa esimerkiksi sivun {\displaystyle \scriptstyle AC} tangenttipiste on {\displaystyle \scriptstyle A\_{v}} ja sivun {\displaystyle \scriptstyle AB} tangenttipiste on {\displaystyle \scriptstyle A\_{o}}. Nyt janojen {\displaystyle \scriptstyle AA\_{v}} ja {\displaystyle \scriptstyle AA\_{o}} pituudet ovat samat, koska ne ovat saman pisteen kautta kulkevat yhteisen ympyrän tangentteja. Merkitsemällä janan pituutta pystyviivoilla, saadaan {\displaystyle \scriptstyle |AA\_{v}|=|AA\_{o}|}.

Merkitään kärjen \scriptstyle A vastaisen sivun {\displaystyle \scriptstyle BC} tangenttipistettä {\displaystyle \scriptstyle A'} ja tarkastellaan janojen pituuksia ensin kärken \scriptstyle A kannalta. Kärjen \scriptstyle A vasemman sivulla kärjessä {\displaystyle \scriptstyle C} risteää kaksi sivusuoraa, jotka voidaan myös tulkita yhteisen ympyrän tangenteiksi. Silloin on {\displaystyle \scriptstyle |CAv|=|CA'|} (1). Vastaava tilanne on pisteessä \scriptstyle B, jossa {\displaystyle \scriptstyle |BAo|=|BA'|} (2). Kun jana {\displaystyle \scriptstyle AA\_{v}} kirjoitetaan pisteen {\displaystyle \scriptstyle C} avulla murtoviivana {\displaystyle \scriptstyle ACA\_{v}} ja {\displaystyle \scriptstyle AA\_{o}} vastaavasti {\displaystyle \scriptstyle ABA\_{o}}, voidaan edellisestä ((1) ja (2)) johtuen kirjoittaa {\displaystyle \scriptstyle |AAv|=|ACAv|=|ACA'|} ja {\displaystyle \scriptstyle |AAo|=|ABAo|=|ABA'|}.

Edellinen havainto tulkitaan seuraavasti. Kärjestä \scriptstyle A on vastaiselle sivulle pisteeseen {\displaystyle \scriptstyle A'} yhtä pitkä matka kuljettiinpa kärjen \scriptstyle B tai {\displaystyle \scriptstyle C} kautta. Matka on puolet kolmion piiriin pituudesta. Samanlainen tarkastelu tuottaa vastaavan tuloksen kärkien \scriptstyle B ja {\displaystyle \scriptstyle C} osalta, jolloin pisteet {\displaystyle \scriptstyle B'} ja {\displaystyle \scriptstyle C'} ovat puolen piirin matkan päässä vastinkärjistään. Tämän vuoksi voidaan merkitä yhtäpitkiksi janat {\displaystyle \scriptstyle AA\_{v},\,AA\_{o},\,BB\_{v},\,BB\_{o},\,CC\_{v}} ja {\displaystyle \scriptstyle CC\_{o}}.

Edelleen, kun esimerkiksi suoran {\displaystyle \scriptstyle AB} janat {\displaystyle \scriptstyle AA\_{o}} eli {\displaystyle \scriptstyle ABA\_{o}} ja {\displaystyle \scriptstyle BB\_{v}} eli {\displaystyle \scriptstyle BAB\_{v}} sisältävät yhteisen osan {\displaystyle \scriptstyle AB}, ovat myös päät {\displaystyle \scriptstyle BA\_{o}} ja {\displaystyle \scriptstyle AB\_{v}} yhtäpitkät. Soveltamalla ideaa kaikille sivuille, voidaan kirjoittaa 

* {\displaystyle \scriptstyle |AB\_{v}|=|AB'|=|BA\_{o}|=|BA'|}, koska {\displaystyle \scriptstyle |ABAo|=|BABv|}, ja
* {\displaystyle \scriptstyle |CA\_{v}|=|CA'|=|AC\_{o}|=|AC'|}, koska {\displaystyle \scriptstyle |CACo|=|ACAv|} , ja vielä
* {\displaystyle \scriptstyle |BC\_{v}|=|BC'|=|CB\_{o}|=|CB'|}, koska {\displaystyle \scriptstyle |BCBo|=|CBCv|}.

Cevan lausetta mukaellen

{\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {AC'}{\cancel {CB'}}}\cdot {\frac {BA'}{AC'}}\cdot {\frac {\cancel {CB'}}{BA'}}={\frac {\cancel {AC'}}{1}}\cdot {\frac {\cancel {BA'}}{\cancel {AC'}}}\cdot {\frac {1}{\cancel {BA'}}}={\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}\cdot {\frac {1}{1}}=1.}
Cevan lauseen mukaan janat {\displaystyle \scriptstyle AA'}, {\displaystyle \scriptstyle BB'} ja {\displaystyle \scriptstyle CC'} ovat konkurrentit.

Lähteet
-------

### Viitteet

1. 1 2 3  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
2. 1 2  Matematiikkakilpailut.fi: Nimekästä geometriaa (Arkistoitu – Internet Archive), Matematiikan olympialaisten valmennusmateriaalia
3. ↑  Kimberling, Clark: Nagel Point
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Barycentric Coordinates (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* Ballew, Pat: Nagel Points and Nagel Line (Arkistoitu – Internet Archive)
* Kimberling, Clark: Christian Heinrich von Nagel (1803–1882) geometer, educator