**Konservatiivinen kenttä** on vektorikenttä **F**, jolle pätee

{\displaystyle \oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0}
missä:

* \Gamma on suljettu polku, jota pitkin integroidaan

Jos **F**(**x**) on voimakenttä, tarkoittaa yllä oleva tulos, että tehty työ on nolla. Toisin sanoen työ riippuu vain polun alku- ja loppupisteistä, ei itse polusta.  Esimerkki konservatiivisesta voimakentästä on painovoima.

Konservatiivinen kenttä ja skalaarikentän gradientti
----------------------------------------------------

Konservatiiviselle vektorikentälle voidaan kirjoittaa {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi } jollekin skalaarikentälle \phi. Mikäli **F**(**x**) on voimakenttä, on \phi potentiaalienergia (miinusmerkki on konventio; potentiaalienergia käsitetään sopimuksenmukaisesti negatiiviseksi). Lasketaan tehty työ, kun liikutaan polun \Gamma läpi alkaen paikkavektorista **x**0 ja päättyen paikkavektoriin **x**1. Oletetaan, että \Gamma voidaan parametrisoida {\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {x} \left(t\right)} parametrille {\displaystyle t\_{0}\leq t\leq t\_{1}}. Täten

| {\displaystyle \int \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} } | {\displaystyle =\,\!} | {\displaystyle -\int \_{\Gamma }\nabla \phi \cdot d\mathbf {x} } |
| --- | --- | --- |
|  | {\displaystyle =\,\!} | {\displaystyle -\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\nabla \phi \cdot {\frac {d\mathbf {x} }{dt}}dt=-\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}\left({\frac {\partial \phi }{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial y}}{\frac {\partial y}{\partial t}}+{\frac {\partial \phi }{\partial z}}{\frac {\partial z}{\partial t}}\right)dt} |
|  | {\displaystyle =\,\!} | {\displaystyle -\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(x(t),y(t),z(t)\right)dt=-\int \_{t\_{0}}^{t\_{1}}{\frac {d}{dt}}\phi \left(\mathbf {x} (t)\right)dt} |
|  | {\displaystyle =\,\!} | {\displaystyle \phi \left(\mathbf {x} (t\_{0})\right)-\phi \left(\mathbf {x} (t\_{1})\right)=\phi \left(\mathbf {x} \_{0}\right)-\phi \left(\mathbf {x} \_{1}\right)} |
|

eli integraali riippuu vain alku- ja loppupisteistä.

* Yleisesti jos {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi }, silloin {\displaystyle \oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma }.

* Vastaavasti jos {\displaystyle \oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0\ \forall \ \Gamma }, silloin {\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla \phi } jollekin \phi. Huomaa, että tämä ehto on paljon vahvempi, koska ei riitä, että *jollekin* \Gamma {\displaystyle \oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =0}.

Konservatiivinen kenttä ja eksaktit differentiaalit
---------------------------------------------------

Koska osoitettiin juuri, että konservatiiviselle vektorikentälle {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi }, täten jos **F** on eksakti, eli {\displaystyle \mathbf {F} =P(x,y)\mathbf {i} +Q(x,y)\mathbf {j} }, voidaan kirjoittaa {\displaystyle \mathbf {F} \cdot d\mathbf {x} =P(x,y)dx+Q(x,y)dy=d\phi }. Toisin sanoen vektorikenttä **F** on konservatiivinen, jos {\displaystyle P(x,y)dx+Q(x,y)dy} on eksakti.

Konservatiivinen kenttä ja roottori
-----------------------------------

Konservatiiviselle vektorikentälle **F** pätee {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =0}. Tämä on seurausta, koska konservatiivinen kenttä voidaan kirjoittaa skalaarikentän mukaan {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {x} )=-\nabla \phi } (kts. yllä):

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\{\frac {\partial }{\partial x}}&{\frac {\partial }{\partial y}}&{\frac {\partial }{\partial z}}\\{\frac {\partial \phi }{\partial x}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{vmatrix}}={\begin{bmatrix}{\frac {\partial }{\partial y}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial y}}\\-{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}+{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\\{\frac {\partial }{\partial x}}{\frac {\partial \phi }{\partial z}}-{\frac {\partial }{\partial z}}{\frac {\partial \phi }{\partial x}}\end{bmatrix}}=\mathbf {0} }
koska {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial a}}{\frac {\partial }{\partial b}}} ja {\displaystyle {\frac {\partial }{\partial a}}{\frac {\partial \phi }{\partial b}}={\frac {\partial \phi }{\partial b}}{\frac {\partial }{\partial a}}}.

Tästä tuloksesta päästään takaisin yllä oleviin tuloksiin Stokesin lauseen avulla. Koska {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} }, on {\displaystyle \oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot d\mathbf {l} =0} minkä tahansa polun \Gamma ympäri, joka rajaa pinnan S, jolle Stokesin lauseen mukaisesti {\displaystyle \int \_{S}\left(\nabla \times \mathbf {F} \right)\cdot \mathbf {dS} =0=\oint \_{\Gamma }\mathbf {F} \cdot \mathbf {dl} }. Täten **F** on konservatiivinen. (Pinnan S yksityiskohdilla ei ole erityisemmin väliä, koska {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =\mathbf {0} }.)

Lähteet
-------

1. ↑  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 994 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.