**Tilavuusintegraali** eli **avaruusintegraali** on kolmiulotteisessa avaruudessa {\mathbb {R}}^{3} tai jossakin sen alueessa määritellyn funktion integraali. Se määritellään vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.

Määritelmä
----------

Avaruusintegraali määritellään ensin sellaiselle suorakulmaiselle särmiölle, jonka särmät ovat koordinaattiakselien suuntaisia. Tällainen särmiö voidaan esittää kolmen välin karteesisena tulona {\displaystyle A=[a\_{1},b\_{1}]\times [a\_{2},b\_{2}]\times [a\_{3},b\_{3}]} Jos funktio *f* on määritelty tässä särmiössä, sen avaruusintegraali on
{\displaystyle \int \_{A}f\ =\int \_{a\_{1}}^{b\_{1}}\int \_{a\_{2}}^{b\_{2}}\int \_{a\_{3}}^{b\_{3}}f(x,y,z)dxdydz}

Jos {\displaystyle D\subset \mathbb {R} ^{3}} on mielivaltainen rajoitettu joukko ja *f* siinä määritelty rajoitettu funktio, sen avaruusintegraali tämän joukon yli määritellään seuraavasti:

Valitaan suorakulmainen särmiö {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } siten, että *D* sisältyy *A*:hen eli {\displaystyle D\subset A}.
Muodostetaan koko avaruudessa määritelty funktio *f**D* siten, että

1. {\displaystyle f(x,y,z)=f(x,y,z)}, kun {\displaystyle (x,y,z)\in D}, ja
2. {\displaystyle f(x,y,z)=0}, kun {\displaystyle (x,y,z)\notin D}

Nyt määritellään, että

{\displaystyle \int \_{D}f=\int \_{D}f\_{D}}.
Helposti voidaan osoittaa, että määritelmä on riippumaton suorakulmaisen särmiön *A* valinnasta, kunhan *D* kokonaan sisältyy siihen.

Jos alue *D* ei ole rajoitettu, voidaan määritellä:

{\displaystyle \int \_{D}f=\lim \_{t\to \infty }\int \_{D\cap R\_{t}}f}, kun {\displaystyle R\_{t}=\{(x,y,z)||x|\leq t,|y|\leq t,|z|\leq t\}},
mikäli tämä raja-arvo on olemassa. Funktion tilavuusintegraali tällaisen alueen yli voi olla myös ääretön.

Tilavuusmitta
-------------

Joukon *D* karakteristinen funktio määritellään funktiona χD, jonka arvo on

1. {\displaystyle \chi \_{D}(x,y,z)=1}, kun {\displaystyle (x,y,z)\in A}, ja
2. {\displaystyle \chi \_{D}(x,y,z)=0}, kun {\displaystyle (x,y,z)\notin A},

Rajoitetun joukon *D* tilavuusmitta määritellään sen karakteristisen funktion {\displaystyle chi\_{D}} tilavuusintegraalina kyseisen joukon yli:

{\displaystyle V=\int \_{D}\chi \_{D}}, 

mikäli karakteristinen funktio on integroituva.

Koska &chiD saa arvon 0 kaikkialla alueen *D* ulkopuolella, voidaan alue *D*, jonka yli funktio χD korvata millä tahansa laajemmalla alueella *A*, johon *D* sisältyy (eli {\displaystyle D\subset A}), toisin sanoen tilavuusmitan lauseke voidaan esittää myös muodossa:

{\displaystyle V=\int A\chi \_{D}}.

Toisaalta koska karakteristinen funktio saa alueen *D* jokaisessa pisteessä vakioarvon 1, voidaan tilavuusintegraalin määrittää myös integroimalla vakiofunktio 1 alueen *D* yli:

{\displaystyle V=\int \_{D}1}

Tilavuusintegraali pallo- ja sylinterikoordinaatistossa
-------------------------------------------------------

*Katso myös: Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)*
Suorakulmaisten koordinaattien ohella voidaan pisteen sijainti avaruudessa ilmoittaa myös pallo- tai sylinterikoordinaateissa. Avaruusintegraalin arvo näitä koordinaatteja käytettäessä saadaan lasketuksi Jacobin determinantin avulla.

Olkoot {\displaystyle D,D'\subset \mathbb {R} ^{n}} avoimia, {\displaystyle {\overline {D}}} ja {\displaystyle {\overline {D'}}} kompakteja, {\displaystyle \partial D} ja {\displaystyle \partial D'} nollajoukkoja sekä \omega bijektiivinen {\displaystyle C^{1}}-kuvaus, {\displaystyle \omega :D\rightarrow D'}. Jos {\displaystyle f:{\overline {D'}}\rightarrow \mathbb {R} } on jatkuva, niin

{\displaystyle \int \_{D'}f\,dx\_{1}\ldots \,dx\_{n}=\int \_{D}f(\omega )|\tau (\omega )|\,dx\_{1}\ldots \,dx\_{n}}, 

missä {\displaystyle \tau (\omega )} on kuvauksen \omega jacobiaani eli Jacobin determinantti

{\displaystyle \tau (\omega )=det\omega '={\begin{vmatrix}\partial \_{1}\omega \_{1}&\cdots &\partial \_{n}\omega \_{1}\\\vdots &\ddots &\vdots \\\partial \_{1}\omega \_{n}&\cdots &\partial \_{n}\omega \_{n}\end{vmatrix}}},

ja {\displaystyle \omega \_{1},\ldots ,\omega \_{n}} ovat \omega:n koordinaattifunktiot.

Kuvaukselle {\displaystyle \omega :\left(0,R\right)\times \left[0,2\pi \right]\times \left[0,\pi \right)\rightarrow B({\overline {0}},R)}, {\displaystyle \omega (r,\rho ,\theta )=(\omega \_{1},\omega \_{2},\omega \_{3})}, missä

{\displaystyle {\begin{cases}\omega \_{1}=r\sin \theta \cos \rho \\\omega \_{2}=r\sin \theta \sin \rho \\\omega \_{3}=r\cos \theta \end{cases}}}

saadaan Jacobin determinantiksi {\displaystyle |\tau (\omega )|=r^{2}\sin \theta }, kun sijoitetaan pallokoordinaattien osittaisderivaatat Jacobin determinantin kaavaan. Tästä saadaan funktion *f* avaruusintegraalille lauseke:

{\displaystyle \iiint \limits \_{D}f(r,\rho ,\theta )r^{2}\sin \theta \,dr\,d\rho \,d\theta }

Sylinterikoordinaatistossa vastaavanlaisella periaatteella saadaan koordinaateista

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}=r\cos \rho \\x\_{2}=r\sin \rho \\x\_{3}=x\_{3}\end{cases}}}

Jacobin determinantiksi {\displaystyle |\tau (x)|=r} ja tästä funktion *f* avaruusintegraalille lauseke

{\displaystyle \iiint \limits \_{D}f(r,\rho ,z)r\,dr\,d\rho \,dz.}

Esimerkki
---------

Lasketaan {\mathbb {R}}^{3}:n R-säteisen pallon tilavuus integraalilla 
{\displaystyle \int \_{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx\_{1}\,dx\_{2}\,dx\_{3}} pallokoordinaatteihin sijoituksella: 

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{{\overline {B}}(0,R)}1\,dx\_{1}\,dx\_{2}\,dx\_{3}&=\int \_{0}^{R}\int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{2\pi }1\cdot r^{2}\sin \theta \,d\rho \,d\theta \,dr\\&=\int \_{0}^{R}\int \_{0}^{\pi }2\pi r^{2}\sin \theta \,d\theta \,dr\\&=\int \_{0}^{R}4\pi r^{2}\,dr\\&={\frac {4}{3}}\pi R^{3}.\end{aligned}}}

Katso myös
----------

* Pintaintegraali

Lähteet
-------

1. ↑  Juhani Pitkäranta: *Calculus Fennicus: TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013)*. Avoimet oppimateriaalit ry. 2015. ISBN 978-952-7010-6. Teoksen verkkoversio.
2. 1 2 3 4 5  Olli Lehto: "Pintaintegraalin määritelmä, Avaruusintegraalit", *Differentiaali- ja integraalilaskenta II*, s. 74–76, 106–107. (Avaruusintegraalin integraalia ei kirjassa ole esitetty eksplisiittisesti, mutta sivulla 106 sanotaan, että avaruusintegraali määritellään kolmiulotteisessa avaruudessa aivan vastaavalla tavalla kuin pintaintegraali tasossa.). Offset Oy, 1978.
3. ↑  Olli Martio: *Vektorianalyysi*, s. 130. (2. korjattu painos). Limes ry. ISBN 951-745-205-5.