*Tämä artikkeli käsittelee matemaattista termiä. Väli voi myös tarkoittaa välilyöntiä.*
Matematiikassa **väli** on (osittain tai täysin) järjestetyn joukon osajoukko, jonka alkiot sijaitsevat jonkin kahden kiinteän rajan välillä.

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle (X,\leq )} järjestetty joukko ja {\displaystyle a,b\in X}, missä {\displaystyle a<b\,}. Tällöin pisteiden *a* ja *b* välinen

* **suljettu väli** on joukko

{\displaystyle [a,b]=\{x\in X:a\leq x\leq b\},}

* **avoin väli** on joukko

{\displaystyle (a,b)=\{x\in X:a<x<b\},}

* **oikealta puoliavoin väli** on joukko

{\displaystyle [a,b)=\{x\in X:a\leq x<b\},}

* **vasemmalta puoliavoin väli** on joukko

{\displaystyle (a,b]=\{x\in X:a<x\leq b\},}

missä merkinnällä {\displaystyle <\,} tarkoitetaan järjestyksen \leq antamaa relaatiota: alkioilla {\displaystyle a,b\in X} pätee {\displaystyle a<b\,} jos ja vain jos {\displaystyle a\leq b} ja {\displaystyle a\neq b} .

Yleisesti joukko {\displaystyle \Delta \subset X} on **väli** jos se voidaan kirjoittaa jollain edellä olevalla tavalla.

Päätepisteiden kuulumattomuus voidaan ilmaista myös väärinpäin kirjoitetuilla hakasulkeilla, esimerkiksi avoin väli on tällöin 
{\displaystyle ]a,b[\ =\{x\in X:a<x<b\}}

Sovelluksia
-----------

Tunnettu esimerkki järjestetystä joukosta, jossa välien käyttö on osoittautunut erittäin hyödylliseksi on (laajennettu) reaaliakseli {\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}=\mathbb {R} \cup \{-\infty \}\cup \{+\infty \}} varustettuna tavallisella lukujen ja äärettömyyksien suurutta mittaavalla järjestyksellä. Tässä avaruudessa nimittäin voidaan välien helposti konstruoida topologioita avaruuteen \mathbb{R}  ja niille voidaan määritellä päätepisteiden etäisyyden avulla helposti geometrinen mitta. Täällä siis välit koostuvat niistä reaaliluvuista, jotka ovat jonkin kahden kiinteän luvun (tai +/-äärettömän) välissä. 

Esimerkiksi väli avoin väli {\displaystyle (0,1)\subset \mathbb {R} } koostuu janasta nollasta yhteen, jossa päätepisteitä ei oteta mukaan ja vastaavasti [0,1] samasta janasta, johon lisätään päätepisteet.

Joukossa \mathbb{R}  avoimet välit muodostavat kannan euklidiselle topologialle ja puoliavoimet välit muodostavat kannan niin sanotulle puoliavoimelle topologialle.

Tulovälit
---------

Vaikka välin käsite on vahvasti sidoksissa joukon järjestykseen, välien käsite voidaan myös yleistää järjestettyjen joukkojen tuloavaruuksille. Tuloavaruuksiin ei voi yleisesti periyttää järjestystä tulon jäsenistä, kuten jo esimerkiksi tason \mathbb{R} ^{2} käy. 

Olkoon {\displaystyle (X\_{j},\leq \_{j})} osittain tai täysin järjestettyjä joukkoja, missä {\displaystyle j\in J} ja *J* jokin epätyhjä joukko. Tällöin joukko {\displaystyle A\subset \prod \_{j\in J}X\_{j}} on **tuloväli**, jos on olemassa välit {\displaystyle \Delta \_{j}\subset X\_{j}} siten, että

{\displaystyle A=\prod \_{j\in J}\Delta \_{j}.}
Esimerkiksi avaruudessa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} tulovälit (kutsutaan tässä tapauksessa myös *n-välit*) ovat *n*:n reaaliakselin välin tuloja eli eräänlaisia useampiulotteisia laatikoita (avaruudessa \mathbb{R} ^{2} tulovälit ovat suorakaiteita ja avaruudessa \mathbb{R} ^{3} tulovälit ovat särmiöitä).

Avaruudessa {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} avoimien välien tuloina saadut tulovälit muodostavat avaruuden normitopologialle kannan.

Lähteet
-------

1. ↑  Reaaliluvut – Lukusuora *Tampereen teknillisen yliopiston sivusto*.  Arkistoitu 2.10.2006. Viitattu 12.8.2011.