**Darboux’n kehys** on pintojen differentiaaligeometriassa kolmen vektorin joukko eli kehys. Se on nimetty ranskalaisen matemaatikon Jean Gaston Darboux’n mukaan.

Darboux’n kehys pinnalla sijaitsevalle käyrälle
-----------------------------------------------

Olkoon *S* suunnistuva pinta kolmiulotteisessa euklidisessa avaruudessa **E**3. Darboux’n kehys pinnalla *S* voidaan määritellä kaikille pinnan *S*. Tämän jälkeen on mielekästä tarkastella pääsuuntien suuntaisia käyriä.

### Määritelmä

Jokaiseen suunnistuvan pinnan pisteeseen voidaan liittää yksikäsitteinen yksikkövektori **u** (suunnistuvan pinnan määritelmä). Jos γ kaarenpituuden suhteen parametrisoitu käyrä pinnalla *S*, **Darboux’n kehys** käyrälle γ pisteessä γ(*s*) määritellään asettamalla

{\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}    (*yksikkötangentti*)
{\displaystyle \mathbf {u} (s)=\mathbf {u} (\gamma (s)),}    (*yksikkönormaali*)
{\displaystyle \mathbf {t} (s)=\mathbf {u} (s)\times \mathbf {T} (s),}    (*tangenttinormaali*)
Kolmikko **T**,**u**,**t** on ortonormaali kanta, joten se on luonteva kehys käyrän γ näkökulmasta.

### Geodeettinen ja normaalikaarevuus sekä suhteellinen torsio

Huomaa, että käyrälle määritelty Darboux’n kehys ei vielä anna luonnollista liikkuvaa kehystä pinnalla, koska se riippuu tangenttivektorin valinnasta. Saadaksemme luonnollisen kehyksen pinnalle, vertaamme käyrän γ Darboux’n kehystä sen Frenet–Serret kehykseen. Olkoon

{\displaystyle \mathbf {T} (s)=\gamma '(s),}    (*yksikkötangentti*, kuten edellä)
{\displaystyle \mathbf {N} (s)={\frac {\mathbf {T} '(s)}{\|\mathbf {T} '(s)\|}},}    (*Frenet-normaalivektori*)
{\displaystyle \mathbf {B} (s)=\mathbf {T} (s)\times \mathbf {N} (s),}    (*Frenet-binormaalivektori*).
Koska tangenttivektorit ovat kehyksissä samat, on olemassa yksikäsitteinen kulma α siten, että tasojen **N** ja **B** kiertäminen tuottaa parit **t** ja **u**:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&\cos \alpha &\sin \alpha \\0&-\sin \alpha &\cos \alpha \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {N} \\\mathbf {B} \end{bmatrix}}.}
Derivoimalla ja käyttämällä Frenet–Serret-kaavoja saadaan

{\displaystyle d{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&\kappa \cos \alpha \,ds&-\kappa \sin \alpha \,ds\\-\kappa \cos \alpha \,ds&0&\tau \,ds+d\alpha \\\kappa \sin \alpha \,ds&-\tau \,ds-d\alpha &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}
{\displaystyle ={\begin{bmatrix}0&\kappa \_{g}\,ds&\kappa \_{n}\,ds\\-\kappa \_{g}\,ds&0&\tau \_{r}\,ds\\-\kappa \_{n}\,ds&-\tau \_{r}\,ds&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {T} \\\mathbf {t} \\\mathbf {u} \end{bmatrix}}}
missä:

* κ*g* on käyrän **geodeettinen kaarevuus**,
* κ*n* on käyrän **normaalikaarevuus** ja
* τ*r* on käyrän **suhteellinen torsio** (ts. **geodeettinen torsio**).

Lähteet
-------

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Darboux frame 

* Cartan, Élie (1937). *La théorie des groupes finis et continus et la géométrie différentielle traitées par la méthode du repère mobile*. Gauthier-Villars.
* Cartan, É (Appendices by Hermann, R.) (1983). *Geometry of Riemannian spaces*. Math Sci Press, Massachusetts.
* Darboux, Gaston (1887,1889,1896). *Leçons sur la théorie génerale des surfaces: Volume I, Volume II, Volume III, Volume IV*. Gauthier-Villars.
* Guggenheimer, Heinrich (1977). "Chapter 10. Surfaces", *Differential Geometry*. Dover. ISBN 0-486-63433-7.
* Spivak, Michael (1999). *A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 3)*. Publish or Perish. ISBN 0-914098-72-1.
* Spivak, Michael (1999). *A Comprehensive introduction to differential geometry (Volume 4)*. Publish or Perish. ISBN 0-914098-73-X.