Hyperbolisten funktioiden kuvaajat
**Hyperboliset funktiot** ovat eksponenttifunktion avulla määriteltyjä matemaattisia funktioita, jotka useilta ominaisuuksiltaan muistuttavat trigonometrisia funktioita.

Määritelmät
-----------

**Hyperbolinen sini** määritellään eksponenttifunktion avulla seuraavasti:

\sinh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}-e^{{-x}}\right)
**Hyperbolinen kosini**, joka tunnetaan myös ketjukäyränä, on vastaavasti:

\cosh x={\frac {1}{2}}\left(e^{x}+e^{{-x}}\right)
Näiden suhde on **hyperbolinen tangentti**

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\left(e^{x}-e^{{-x}}\right)}{\left(e^{x}+e^{{-x}}\right)}}
Hyperbolinen kotangentti, sekantti ja kosekantti määritellään näiden avulla samalla tavalla kuin trigonometriset vastineensa:

\coth t={\frac {1}{\tanh t}}={\frac {\cosh t}{\sinh t}}
\operatorname {sech}\,t={\frac {1}{\cosh t}}
\operatorname {csch}\,t={\frac {1}{\sinh t}}

Muunnoskaavoja
--------------

Hyperbolisten funktioiden muunnoskaavat muistuttavat vastaavien trigonometristen funktioiden muunnoskaavoja:

\sinh \left(-x\right)=-\sinh x
\cosh \left(-x\right)=\cosh x, koska \cosh x on parillinen funktio.
\cosh ^{2}(x)-\sinh ^{2}(x)=1\,
Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot ovat areafunktioita.

Hyperboliset funktiot ja yksikköhyperbeli
-----------------------------------------

Samaan tapaan kuin yksikköympyrän (x2 + y2 = 1) pisteillä (x, y) on trigonometrisiin funktioihin perustuva parametriesitys:

x=\cos t
y=\sin t,
voidaan yksikköhyperbelin (x2 - y2 = 1) pisteiden koordinaatit esittää muodossa 

x=\cosh t
y=\sinh t.
Tästä johtuukin nimitys hyperboliset funktiot.

Toisin kuin trigonometriset funktiot, hyperboliset funktiot eivät kuitenkaan ole reaalilukualueessa jaksollisia.

Derivaatat
----------

Hyperbolinen sini ja kosini ovat toistensa derivaattoja:

{\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,
{\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,
Hyperbolisen tangentin derivaatta on

{\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,

Funktiot kompleksialueessa
--------------------------

Sekä trigonometriset että hyperboliset funktiot voidaan määritellä myös kompleksiluvuille. Koska Eulerin kaavojen mukaan eksponenttifunktio määritellään kompleksiluvuille trigonometristen funktioiden avulla seuraavasti:

e^{{ix}}=\cos x+i\;\sin x
e^{{-ix}}=\cos x-i\;\sin x
saadaan tästä hyperbolisille funktioille lausekkeet:

\cosh ix={\frac {e^{{ix}}+e^{{-ix}}}{2}}=\cos x
\sinh ix={\frac {e^{{ix}}-e^{{-ix}}}{2}}=i\sin x
\tanh ix=i\tan x\,
\cosh x=\cos ix\,
\sinh x=-i\sin ix\,
\tanh x=-i\tan ix\,

  

Täten kompleksialueessa trigonometriset ja hyperboliset funktiot liittyvät läheisesti toisiinsa. Kompleksialueessa myös hyperboliset funktiot ovat jaksollisia: hyperbolisen sinin ja kosinin jakso on 2\pi i, hyperbolisen tangentin \pi i.

Katso myös
----------

* Alkeisfunktiot

Lähteet
-------

1. ↑  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 412–414 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta
--------------

* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
* Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: *Complex Variables*. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Hyperbolinen funktio**.
* GonioLab (Arkistoitu – Internet Archive): Havainnollistamaittu trigometria