Joukon S alkio e on **neutraalialkio** eli **identiteetti** jonkin joukossa määritellyn binäärioperaation {\displaystyle \*} suhteen, jos laskutoimituksien tulokset ovat {\displaystyle e\*a=a} tai {\displaystyle a\*e=a}.  Alkiolla e ei näytä olevan vaikutusta tulokseen eli sen vaikutus on neutraali.  Kirjain e tulee saksankielisestä sanasta *Einheit*.

Esimerkiksi kertolaskun neutraalialkio reaalilukujen joukossa on luku 1, sillä mikä tahansa reaaliluku a kerrottuna yhdellä on luku a itse eli {\displaystyle 1\cdot a=a.} Tämän vuoksi neutraalialkiota kutsutaan myös kertolaskun **yksikköalkioksi** eli **ykkösalkioksi**. Reaalilukujen yhteenlaskun neutraalialkio on luku 0, koska nollan lisääminen lukuun a on luku a eli {\displaystyle 0+a=a.} Tällöin neutraalialkiota kutsutaan myös yhteenlaskun **nolla-alkioksi**.

Formaalinen määritelmä ja nimityksiä
------------------------------------

Olkoon operaatio {\displaystyle \*} joukossa S määritelty binäärioperaatio, jota on tapana merkitä parina {\displaystyle (S,\*)}. Neutraalialkiosta voidaan käyttää seuraavia nimityksiä. Joukon S alkio e on *vasemmanpuoleinen neutraalialkio*, jos {\displaystyle e\*a=a} kaikilla joukkoon kuuluvilla alkioilla a. Samoin, jos {\displaystyle a\*e=a} kaikilla joukkoon S kuuluvilla alkioilla a, on e *oikeanpuoleinen neutraalialkio*. 

Jos {\displaystyle (S,\*)} on monoidi, on neutraalialkio sekä *vasemman- että oikeanpuoleinen* ja sitä kutsutaan *molemmanpuoleiseksi neutraalialkioksi* tai yksinkertaisesti pelkäksi *neutraalialkioksi*. Tällöin on voimassa {\displaystyle a\*e=e\*a=a.}

Esimerkkejä
-----------

Neutraalialkioita voi olla useitakin ellei peräti äärettömän monta. Jos vallan erikoinen laskutoimitus {\displaystyle \star } määritellään seuraavasti: {\displaystyle \star :\mathbb {R} \times \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ,} kun {\displaystyle a\star b=a\ {\mbox{kun}}\ a,b\in \mathbb {R} .} Tällöin mikä tahansa reaaliluku, esimerkiksi luku 2, on oikeanpuoleinen neutraalialkio, koska määritelmän mukaan {\displaystyle a\star 2=a.} Sen sijaan vasenmmanpuoleista neutraalialkiota ei ole. Määrittelemällä {\displaystyle a\star b=b} on tilanne päinvastainen. 

Joskus neutraalialkioita ei ole olemassa. Jos lukujoukko koostuu luonnollisista luvuista {\displaystyle \{2,3,4,5,...\}}, ei ole olemassa neutraalialkiota tavallisella kertolaskulla (koska luku 1 puuttuu). Samoin käy parille {\displaystyle (\mathbb {Z} ,\heartsuit )}, kun laskutoimitus määritellään {\displaystyle a\heartsuit b=1+a\cdot b.}

Jos laskutoimituksella on sekä vasemmanpuoleinen- että oikeanpuoleinen neutraalialkio, on sen oltava sama alkio. Helppoja esimerkkejä on reaalilukujen nolla-alkio yhteenlaskun tapauksessa ({\displaystyle a+0=0+a=a}) ja ykkösalkio kertolaskun tapauksessa ({\displaystyle a\*1=1\*a=a}).  Keksimällä esimerkiksi sellainen laskutoimitus, jossa reaaliluvuilla lasketaan {\displaystyle a\circledcirc b} siten, että {\displaystyle a\circledcirc b=a+b-1.} Luku yksi on tämän laskutoimituksen vasemman- ja oikeanpuoleinen neutraalialkio, sillä {\displaystyle a\circledcirc 1=a+1-1=a} ja {\displaystyle 1\circledcirc b=1+b-1=b.} 

### Muita esimerkkejä

| joukko | binäärioperaattori | neutraalialkio |
| --- | --- | --- |
| reaaliluvut | yhteenlasku ( + ) | 0 |
| reaaliluvut | kertolasku ( · ) | 1 |
| vektorit | yhteenlasku ( + ) | nollavektori |
| *n* x *n* neliömatriisi | yhteenlasku ( + ) | nollamatriisi |
| *n* x *n* neliömatriisi | kertolasku ( · ) | yksikkömatriisi |
| kaikki funktiot joukosta *M* itseensä | yhdistetty funktio ( o ) | identiteettifunktio |
| merkkijonot | yhdistäminen | tyhjä merkkijono |
| vain kaksi alkiota {*e*, *f*} | \* määritelty niin että *e* \* *e* = *f* \* *e* = *e* ja  *f* \* *f* = *e* \* *f* = *f* | *e* ja *f* ovat molemmat vasemmanpuoleisia neutraalialkioita, mutta ei ole olemassa oikean- tai molemmanpuoleista neutraalialkiota. |

Kuten viimeinen esimerkki näyttää, on mahdollista että (*S*,×):lla on useampi kuin yksi vasemmanpuoleinen identiteetti. Samoin voi olla olemassa useita oikeanpuoleisia identiteettejä. Mutta jos joukossa on olemassa sekä oikeanpuoleinen ja vasemmanpuoleinen identiteetti, ne ovat yhteneviä ja onkin oikeastaan olemassa vain yksi molemmanpuoleinen identiteetti. Tämän todistamiseksi merkitään vasenta identiteettiä *v*:llä ja oikeaa *o*:lla. Tällöin *v* = *v* × *o* = *o*. Tästä seuraa myös, ettei ryhmällä voi olla useampia kuin yksi molemmanpuoleinen identiteetti.

Neutraalialkio ja käänteisalkio
-------------------------------

Luvun a käänteisalkio b ovat lukuja, jotka muodostavat laskutoimituksessa neutraalialkion e eli {\displaystyle a\*b=e}. Jos parilla {\displaystyle (S,\*)} on vain yksi neutraalialkio, on jokaisella muulla luvulla yksikäsitteinen käänteisalkio.

Katso myös
----------

* Käänteisalkio
* Magma, Monoidi ja Ryhmä

Lähteet
-------

1. ↑  Häsä, Jokke & Rämö, Johanna: *Johdatus abstraktiin algebraan*, s. 35–36. Helsinki: Gaudeamus, 2015. ISBN 978-952-495-361-0.
2. 1 2 3 4  Häsä, Jokke: Algebra II (pdf) (Luku 0: Kertausta (luentomoniste))  2010. Helsinki:  Helsingin yliopisto.  Arkistoitu 5.1.2012.
3. ↑  Weisstein, Eric W.: Identity Element (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Monoid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. 1 2 3 4 5  Dr. Marcel B. Finan: MATH 4033: Elementary Modern Algebra (pdf) (Luku 3. Binary operations (luento)) Arkansas:  Arkansas Tech University.  (englanniksi)
6. ↑  Turunen, Esko: MAT–41150 Algebra 1(s)[vanhentunut linkki]
7. 1 2  Barile, Margherita: Additive Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
8. 1 2   Barile, Margherita: Multiplicative Identity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* PlanetMath: Grupoid[vanhentunut linkki]
* Dr. Claire Wladis: The Identity Property
* Ray Mayer’s notes: Binary operations on sets (Arkistoitu – Internet Archive)