**Vietan kaavat** antavat matematiikassa yhteyden polynomin kertoimien ja sen juurten summien ja tulojen välille. Kaavat ovat saaneet nimensä ranskalaisen matemaatikon François Vièten (1540–1603) mukaan. Kaavoja käytetään erityisesti algebrassa. Suomalaisessa lukiomatematiikassa niitä on aiemmin sovellettu toisen asteen yhtälöihin, jolloin voidaan määrittää juurten summa ja tulo yhtälöä ratkaisematta, tai käänteisesti konstruoida yhtälö, jonka juurten summa tai tulo on haluttu luku.

Kaavat
------

Polynomilla, jonka asteluku on *n*

{\displaystyle p(X)=a\_{n}X^{n}+a\_{n-1}X^{n-1}+\cdots +a\_{1}X+a\_{0}\,}
(jossa kertoimet ovat reaali- tai kompleksilukuja ja *a**n* ≠ 0) on algebran peruslauseen mukaan *n* kompleksista juurta *x*1, *x*2, ... *x**n*(jotka eivät välttämättä ole erillisiä). Vietan kaavat antavat yhteyden polynomin kertoimien { *a**k* } ja sen juurien { *x**i* } summien ja tulojen välille seuraavasti:

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{n-1}+x\_{n}=-{\tfrac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}\\(x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+\cdots +x\_{1}x\_{n})+(x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+\cdots +x\_{2}x\_{n})+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}={\frac {a\_{n-2}}{a\_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a\_{0}}{a\_{n}}}.\end{cases}}}

Esimerkki
---------

Sovelletaan Vietan kaavoja toisen ja kolmannen asteen polynomeille:

toisen asteen polynomille {\displaystyle p(X)=aX^{2}+bX+c}, jonka juuret {\displaystyle x\_{1},x\_{2}} toteuttavat yhtälön {\displaystyle p(X)=0} pätee

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}={\frac {c}{a}}.}

  

Kolmannen asteen polynomille {\displaystyle p(X)=aX^{3}+bX^{2}+cX+d}, jonka juuret {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} toteuttavat yhtälön {\displaystyle p(X)=0} pätee

{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}=-{\frac {b}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+x\_{2}x\_{3}={\frac {c}{a}},\quad x\_{1}x\_{2}x\_{3}=-{\frac {d}{a}}.}

Todistus
--------

Polynomi p(X) voidaan juuriensa {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} avulla kirjoittaa seuraavasti

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{i}X^{i}=a\_{n}\prod \_{i=1}^{n}(X-x\_{i})=a\_{n}\left[X^{n}-\left(\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}\right)X^{n-1}+\cdots +(-1)^{n}(x\_{1}x\_{2}\cdots {x\_{n}})\right]}
Koska kaksi polynomia ovat samat täsmälleen silloin, kun niiden kaikki kertoimet ovat yhtä suuret, on oltava

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}+\dots +x\_{n-1}+x\_{n}=-{\tfrac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}\\(x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+\cdots +x\_{1}x\_{n})+(x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+\cdots +x\_{2}x\_{n})+\cdots +x\_{n-1}x\_{n}={\frac {a\_{n-2}}{a\_{n}}}\\{}\quad \vdots \\x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n}=(-1)^{n}{\tfrac {a\_{0}}{a\_{n}}}.\end{cases}}}

Lähteet
-------

* H. Gray Funkhouser: A short account of the history of symmetric functions of roots of equations.  *American Mathematical Monthly*, 1930.  Mathematical Association of America.

* Ernest Vinberg: *A course in algebra*. American Mathematical Society, Providence, R.I, 2003.

* Dušan Djukić: *The IMO compendium: a collection of problems suggested for the International Mathematical Olympiads, 1959–2004*. Springer, New York, NY, 2006.

1. ↑  Vaisala, K: *Algebran oppi- ja esimerkkikirja II, pitempi kurssi*. Helsinki: WSOY, 1946.