Pisteen *P* isogonaalinen konjugaatti *P\*.*
**Isogonaalinen konjugaatti** {\displaystyle \scriptstyle X^{-1}} on tason piste kolmiossa olevalle pisteelle {\displaystyle \scriptstyle X}, joka voidaan muodostaa peilaamalla kolmion kolmion kulmanjakajat kulmissa olevien kulmanpuolittajien suhteen. Silloin peilatut janat leikkaavat toisensa **isogonaalisessa pisteessä** {\displaystyle \scriptstyle X^{-1}}. Peilattuja janoja voidaan kutsua isogonaalisiksi janoiksi. Pisteelle on käytössä myös merkinnät {\displaystyle \scriptstyle X^{\*}} ja {\displaystyle \scriptstyle X'}.

Sijainti kolmiossa
------------------

### Trilineaariset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden trilineaariset koordinaatit ovat toistensa käänteislukuja. Jos merkitään pisteen koordinaatit 

{\displaystyle P=x:y:z},
ovat tämän isogonaalisen konjugaatin koordinaatit 

{\displaystyle P^{-1}=x^{-1}:y^{-1}:z^{-1}}.
Tästä on merkinnän negatiivinen yläindeksi peräisin. Toisaalta myös 

{\displaystyle (P^{-1})^{-1}=(x^{-1})^{-1}:(y^{-1})^{-1}:(z^{-1})^{-1}=x:y:z=P},
jolloin trilineaaristen koordinaattien perusteella voidaan ajatella pisteiden {\displaystyle \scriptstyle P} ja {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}} olevan ***toistensa isogonaalisia pisteitä***.

### Barysentriset koordinaatit

Isogonaalisten pisteiden barysentriset koordinaatit saadaan vastaavasti, kun on

{\displaystyle P=x:y:z}
ja isogonaaliset koordinaatit ovat 

{\displaystyle P^{-1}=a^{2}yz:b^{2}xz:c^{2}xy},
missä {\displaystyle a,\,b\,ja\,c} ovat kolmion sivujen pituuksia.

Esimerkkejä
-----------

Seuraavat esimerkit *merkillisistä pisteistä* ovat toistensa *isogonaalisia konjugaatteeja*:

* kolmion sisään piirretyn ympyrän keskipiste ({\displaystyle \scriptstyle I=X\_{1}}) itsensä kanssa ({\displaystyle \scriptstyle X\_{1}})
* kolmion ympäri piiretyn ympyrän keskipiste ({\displaystyle \scriptstyle O=X\_{3}}) ja ortokeskus ({\displaystyle \scriptstyle H=X\_{4}})
* symmediaaninen piste ({\displaystyle \scriptstyle K=X\_{6}}) ja kolmion painopiste ({\displaystyle \scriptstyle G=X\_{2}})
* Gergonnen piste ({\displaystyle \scriptstyle Ge=X\_{7}}) ja piste {\displaystyle \scriptstyle X\_{55}}
* ensimmäinen Napoleonin piste ({\displaystyle \scriptstyle N\_{1}=X\_{17}}) ja piste {\displaystyle \scriptstyle X\_{61}}
* toinen Napoleonin piste ({\displaystyle \scriptstyle N\_{2}=X\_{18}}) ja piste {\displaystyle \scriptstyle X\_{62}}
* Nagelin piste ({\displaystyle \scriptstyle Na=X\_{8}}) ja piste {\displaystyle \scriptstyle X\_{56}}
* ensimmäinen Fermat'n piste ({\displaystyle \scriptstyle F\_{1}=X\_{13}}) ja ensimmäinen isodynaaminen piste ({\displaystyle \scriptstyle X\_{15}})

Todistus
--------

Todistetaan isogonaalisen konjugaatin {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}} olemassaolo jokaiselle kolmion sisäpisteelle {\displaystyle \scriptstyle P}, joka on kolmen kulmanjakajan **AA'**, **BB'** ja **CC'** leikkauspisteessä. Isogonaaliset janat merkitään **AA"**, **BB"** ja **CC"**. Lausekkeet seuraavat oheisen kuvan merkintöjä, jossa suunnattujen janojen positiivinen suunta on vastapäivään eli **A → B → C → A**. Koska {\displaystyle \scriptstyle P} on janojen leikkauspiste, seuraa Cevan lauseesta 

{\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1.}
### Janat sinilausekkeiksi

Sinilauseen avulla voidaan kolmiosta {\displaystyle \scriptstyle \triangle AC\,'C} kirjoittaa *Cevan lauseen* ensimmäisen osamäärän osoittaja (janat positiivisesti suunnattuina)

{\displaystyle {\frac {AC'}{\sin \measuredangle ACC'}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC'A}}\Leftrightarrow AC'={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}}
ja kolmiosta {\displaystyle \scriptstyle \triangle C\,'BC} ensimmäisen osamäärän nimittäjä

{\displaystyle {\frac {C'B}{\sin \measuredangle C'CB}}={\frac {BC}{\sin \measuredangle BC'C}}\Leftrightarrow C'B={\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}.}
Koska kulmat {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CC'A} ja {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BC'C} ovat vieruskulmia (supplementtikulmat), joiden sinit ovat aina identtiset eli {\displaystyle \scriptstyle \sin \measuredangle CC'A=\sin \measuredangle BC'C}, saadaan *Cevan lauseen* ensimmäisestä osamäärästä

{\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle CC'A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle BC'C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{\cancel {\sin \measuredangle CC'A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C'CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC'C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC'}{BC\sin \measuredangle C'CB}}.}
Vastaavalla tavalla sievennetään kaksi muutakin *Cevan lauseen* osamäärää 

{\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA'}{CA\sin \measuredangle A'AC}}}
ja

{\displaystyle {\frac {CB'}{B'A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB'}{AB\sin \measuredangle B'BA}}}
ja sijoitetaan tulokset *Cevan lauseeseen* ja supistetaan

{\displaystyle {\frac {AC'}{C'B}}\cdot {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}=1\Leftrightarrow {\frac {{\cancel {CA}}\sin \measuredangle ACC'}{{\cancel {BC}}\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {{\cancel {AB}}\sin \measuredangle BAA'}{{\cancel {CA}}\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {{\cancel {BC}}\sin \measuredangle CBB'}{{\cancel {AB}}\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow }
eli 

{\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1.}
### Sinilausekkeet isogonaalisiksi janoiksi

Jotta janat **AA"**, **BB"** ja **CC"** leikkaisivat *isogonaalisessa pisteessä* {\displaystyle \scriptstyle P^{-1}}, tulisi *Cevan lauseen* ehdot toteutua

{\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.}
Muodostetaan aluksi ensimmäisen osamäärän osoittaja ja nimittäjä, jotka sievennetään edelliseen tapaan. *Sinilauseesta* seuraa 

{\displaystyle {\frac {AC''}{\sin \measuredangle ACC''}}={\frac {CA}{\sin \measuredangle CC''A}}\Leftrightarrow AC''={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}}
ja

{\displaystyle C''B={\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}.}
Nyt voidaan ensimmäinen osamäärä muodostaa ja supistaa

{\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle CC''A}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\sin \measuredangle BC''C}}}={\frac {\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{\cancel {\sin \measuredangle CC''A}}}{\frac {BC\sin \measuredangle C''CB}{\cancel {\sin \measuredangle BC''C}}}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}.}
Lauseke muodostuu analogisesti samanmuotoiseksi kuin alussakin. Isogonisilla janoilla on samansuuruisia kulmia, kuten esimerkiksi {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle ACC'=\measuredangle C''CB} ja {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle C'CB=\measuredangle ACC'',} jolloin

{\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}={\frac {CA\sin \measuredangle ACC''}{BC\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle ACC''}{\sin \measuredangle C''CB}}\Leftrightarrow {\frac {AC''\cdot BC}{C''B\cdot CA}}={\frac {\sin \measuredangle C'CB}{\sin \measuredangle ACC'}}.}
Kun tätä verrataan *Cevan lauseen*  yhtälöön (1), huomataan samat kulmat sen ensimmäisessä osamäärässä. Kannattaa siis muodostaa muutkin osamäärät, vaihtaa kulmat ({\displaystyle \scriptstyle \measuredangle BAA'=\measuredangle A''AC} ja {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle A'AC=\measuredangle BAA''} sekä {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle CBB'=\measuredangle B''BA} ja {\displaystyle \scriptstyle \measuredangle B'BA=\measuredangle CBB''} ) ja sijoittaa yhtälöön janoja esittävät lausekkeet, jolloin tulos saadaan supistamalla. Muut osamäärät ja kulmanvaihdot saadaan analogisesti:

{\displaystyle {\frac {BA''}{A''C}}={\frac {AB\sin \measuredangle BAA''}{AC\sin \measuredangle A''AC}}\Leftrightarrow {\frac {BA''\cdot CA}{A''C\cdot AB}}={\frac {\sin \measuredangle A'AC}{\sin \measuredangle BAA'}}.}
ja

{\displaystyle {\frac {CB''}{B''A}}={\frac {BC\sin \measuredangle CBB''}{AB\sin \measuredangle B''BA}}\Leftrightarrow {\frac {CB''\cdot AB}{B''A\cdot BC}}={\frac {\sin \measuredangle B'BA}{\sin \measuredangle CBB'}}.}
### Sijoitus Cevan yhtälöön

{\displaystyle {\frac {\sin \measuredangle ACC'}{\sin \measuredangle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle BAA'}{\sin \measuredangle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \measuredangle CBB'}{\sin \measuredangle B'BA}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B\cdot CA}{AC''\cdot BC}}\cdot {\frac {A''C\cdot AB}{BA''\cdot CA}}\cdot {\frac {B''A\cdot BC}{CB''\cdot AB}}=1\Leftrightarrow }
{\displaystyle {\frac {C''B\cdot {\cancel {CA}}}{AC''\cdot {\cancel {BC}}}}\cdot {\frac {A''C\cdot {\cancel {AB}}}{BA''\cdot {\cancel {CA}}}}\cdot {\frac {B''A\cdot {\cancel {BC}}}{CB''\cdot {\cancel {AB}}}}=1\Leftrightarrow {\frac {C''B}{AC''}}\cdot {\frac {A''C}{BA''}}\cdot {\frac {B''A}{CB''}}=1}
Tämän käänteisluku on vaadittu *Cevan lauseen* ehto kollineaarisuudelle ja isogonaalisen konjugaatin olemassaololle:

{\displaystyle {\frac {AC''}{C''B}}\cdot {\frac {BA''}{A''C}}\cdot {\frac {CB''}{B''A}}=1.}

Lähteet
-------

* Wells, David: *The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry*. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

### Viitteet

1. ↑  Barrow, D. F.: A Theorem about Isogonal Conjugates..  *The American Mathematical Monthly*, 1913, 20. vsk, nro 8, s. 251–253.  Mathematical Association of America. ISSN 00029890. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 15.5.2013.  (englanniksi)
2. ↑  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
3. ↑  Weisstein, Eric W.: Cevian (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Cevian Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Isogonal Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. ↑  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
7. 1 2  Weisstein, Eric W.: Isogonal Conjugate (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
8. ↑  Dean, Keith & van Lamoen, Floor: Geometric Construction of Reciprocal Conjugations.  *Forum Geometricorum*, 2001, 1. vsk, s. 115–120. Florida, USA:  Florida Atlantic University. ISSN 1534-1178. Artikkelin verkkoversio (pdf). Viitattu 15.5.2013.  (englanniksi)
9. ↑  Cherowitzo, Bill: Kurssi m3210 – Advanced Euclidean Geometry (Arkistoitu – Internet Archive)

Aiheesta muualla
----------------

* 
* Ballew, Pat: Isogons and Isogonic Symmetry (Arkistoitu – Internet Archive)
* Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 16, University of Kentucky
* 
* 
*