Joseph-Louis Lagrange
**Joseph-Louis Lagrange** (ital. *Giuseppe Lodovico de Lagrangia*, 25. tammikuuta 1736 Torino – 10. huhtikuuta 1813 Pariisi) oli italialais-ranskalainen matemaatikko ja tähtitieteilijä, joka eli osan elämästään Ranskassa ja Preussissa.

Elämä
-----

### Lapsuus ja nuoruus

Lagrangen isoisä oli ranskalainen ratsuväen kapteeni, joka oli asettunut Sardinian kuningaskuntaan ja nainut maineikkaan Conti-suvun tyttären. Avioliitosta syntyi Lagrangen isä, josta tuli puolestaan Sardinian sotarahaston hoitaja; tämä avioitui Marie-Thérèse Grosin, erään varakkaan cambianolaisen lääkärin ainoan tyttären kanssa, joka synnytti parille kaikkiaan 11 lasta. Nuori Joseph-Louis jäi ainoana henkiin sisarparvestaan. Lagrangen perhe oli alkujaan vauras, ja heillä oli avioliiton kautta myös Grosin suvun varoja käytössään, mutta isä-Lagrangen taipumukset keinotteluun nielivät lopulta hänen lapsensa perinnön käytännössä kokonaan. Lagrange piti jälkikäteen tätä onnettomuutta onnellisimpana hetkenään elämässään, sillä hän epäili, että jos hän olisi saanut suuren perinnön, hän ei olisi välttämättä koskaan kokeillut onneaan matematiikan parissa.

Lagrange oli teini-ikäisenä kiinnostunut klassisesta kirjallisuudesta, eivätkä Eukleideen ja Arkhimedeen työt geometrian parissa vaikuttaneet juurikaan hänen kiinnostukseen matematiikkaa kohtaan. Vasta myöhemmin sattuman oikusta Lagrange törmäsi Edmund Halleyn tutkielmaan, jossa kirjoittaja ylisti differentiaali- ja integraalilaskennan ylivertaisuutta verrattuna kreikkalaisten geometrian töihin. Tämän jälkeen Lagrange lumoutui lähes välittömästi matematiikasta ja oppi ilmiömäisen nopeasti hallitsemaan oman aikansa tunnetun matemaattisen analyysin pelkällä itsenäisellä opiskelulla; lopulta hänet nimitettiin matematiikan professoriksi Torinon Kuninkaalliseen tykistökouluun, jossa Lagrange opetti itseään vanhempia oppilaita.

Professorina Lagrange keräsi ympärilleen lahjakkaiden oppilaiden piirin, joka toimi myöhemmin kehittyneen Torinon tiedeakatemian perustana. Akatemia aloitti tuloksien julkaisun 1759 Lagrangen ollessa vasta 23-vuotias; yleisesti on ajateltu, että Lagrange kirjoitti suuren osan akateemisista teksteistä, vaikka ne julkaistiinkin hänen oppilaidensa nimillä. Lagrange itse kirjoitti varmasti tutkimuksen variaatio­laskennasta ja loi samalla pohjan omalle työlleen kiinteiden kappaleiden mekaniikan ja hydromekaniikan synteesistä. Lagrangen työ oli mekaniikan tutkimuksessa yhtä vallankumouksellinen kuin Isaac Newtonin painovoimateoria taivaankappaleiden tutkimuksessa. Mekaniikan lisäksi Lagrange otti toisen jättiharppauksen eteenpäin sovellettuaan differentiaalilaskentaa todennäköisyyslaskentaan, ja hän uudisti myös radikaalisti Newtonin äänioppia käsiteltyään ääntä kimmoisten kappaleiden mekaniikkaan eikä Newtonin tapaan hydromekaniikkaan kuuluvana ongelmana. Äänioppia koskevat tutkimukset auttoivat Lagrangea ratkaisemaan tiedemiehiä vuosikausia piinanneen värähtelevän kielen ongelman. Täten 23-vuotias torinolainen oli noussut salamannopeasti aikansa suurimpien matemaatikkojen joukkoon Leonhard Eulerin ja Bernoullin suvun jäsenten rinnalle.

### Kansainvälinen ura

Nuoren ja lupaavan Lagrangen saavutukset eivät jääneet huomaamatta myöskään Eulerilta. Lagrange itse oli jo 19-vuotiaana lähettänyt Eulerille näytteeksi töitään, joiden arvon konkarimatemaatikko näki heti, ja hän alkoi kannustaa nuorta professoria jatkamaan. 23-vuotiaana Lagrange kertoi Eulerille löytämästään ratkaisusta isoperimetristen epäyhtälöiden ongelmaan ennen kuin oli virallisesti julkaissut tuloksensa. Euler oli vaikuttunut, sillä hän oli itse paininut vastaavien ongelmien kanssa vuosikausia, mutta suostui kuitenkin vapaaehtoisesti pitämään Lagrangen tulokset salassa ja antamaan tälle kaiken kunnian ratkaisun löytämisestä. Kaiken lisäksi Euler järjesti Lagrangelle paikan Berliinin akatemiassa saman vuoden lokakuussa; kyseessä oli poikkeuksellinen kunnianosoitus niin nuorelle henkilölle kuin Lagrange.

Euler ja eräs Lagrangen läheinen ystävä, Jean le Rond d'Alembert, yrittivät ensimmäisten menestysaskeleiden ottamisen jälkeen monen vuoden ajan houkutella Lagrangea Preussin hovimatemaatikoksi. Tämän tarjouksen hän kuitenkin torjui useamman vuoden ajan. Uraansa Lagrange vei eteenpäin laajentamalla kiinnostuksen kohdettaan fysiikkaan, jonka jälkeen hän työskenteli erityisesti kolmen kappaleen ongelman parissa. Lagrange kehitteli ongelmaan ratkaisun, joka takasi hänelle Ranskan tiedeakatemian suuren palkinnon 1764, hänen ollessaan 28-vuotias. Hän voitti aiheeseen liittyvän kilpailun kaksi vuotta myöhemmin kehitettyään Jupiterin ja sen kuiden muodostamaan kuuden kappaleen ongelman ratkaisuyrityksen käyttäen likiarvomenetelmää.

Lopulta 1766 Euler muutti Berliinistä Pietariin, ja Lagrange suostui ottamaan häneltä vapaaksi jääneen työpaikan. Preussin kuningas Fredrik II Suuri, omien sanojensa mukaan "Euroopan suurin kuningas", toivotti "Euroopan suurimman matemaatikon" tervetulleeksi hoviinsa saman vuoden marraskuun 6. päivänä. Nuori matemaatikko nimitettiin Berliinin akatemian matemaattis-luonnontieteellisen osaston johtajaksi, ja hän toimitti tätä virkaa seuraavan 20 vuoden ajan. Lagrange saattoi keskittyä julkaisemaan tutkimuksia, eikä hänen tarvinnut luennoida. Osastolla työskennelleet saksalaiset suhtautuivat nihkeästi uuteen ulkomaalaistaustaiseen esimieheensä, mutta Lagrange välttyi kuitenkin suuremmilta ongelmilta konflikteja välttelevän ja vaikenemista hyveenä pitävän luonteensa ansiosta. Tämä oli vastakohta Eulerille, joka oli ajautunut jatkuviin uskonnollisiin ja filosofisiin kiistoihin, vaikka ei kriitikoiden - Lagrange mukaan lukien - mukaan ollut ymmärtänyt aiheista yhtään mitään. Kuningas Fredrik oli myös tyytyväinen pystyttyään korvaamaan Eulerin Lagrangella. Hallitsija oli pitänyt Euleria aivan liian hurskaana ja hovitavoiltaan karkeana, ja hän käytti parhaimmillaan tuntikausia ystävällismielisen keskusteluun uuden suojattinsa kanssa. Kuningas itse kuvaili runoilevan ivailevasti kaihin takia toisen silmänsä näkökyvyn menettäneen Eulerin korvaamista nuoremmalla Lagrangella:

> »"Teidän vaivannäköänne ja suosituksianne saan kiittää siitä, että olen saanut akatemiaani toisesta silmästään sokean matemaatikon tilalle kaksisilmäisen matemaatikon. Se tulee ilahduttamaan varsinkin anatomista jaostoa."» 
> 
> 

Pian Berliinin muuttamisen jälkeen Lagrange avioitui erään nuoren sukulaisnaisensa, Vittorian, kanssa. Naimisiinmenosta on olemassa kahdenlaista tarinaa. Ensimmäisen version mukaan Lagrange oli asunut tytön ja hänen vanhempiensa kanssa samassa talossa ja tarkkaillut ohimennen kiinnostuneena tytön ostosmatkoja. Säästäväisen luonteentaipumuksen omannut Lagrange oli pahastunut havaitessaan Vittorian olevan herkkä tuhlaamaan ja osti tämän jälkeen tälle kerran tämän tarvitsemat silkki­hansikkaat; tämä johti lopulta siihen, että Lagrangen oli pakko naida Vittoria. Toisen version mukaan, josta Lagrange kertoi kirjeessään d'Alembertille, joka oli kysellyt miksei hän ollut kertonut aiemmissa viesteissään menneensä naimisiin, hän oli kertonut pestanneensa Vittorian vaimokseen lähinnä olosuhteiden pakosta eikä pitänyt avioliittoa tarpeeksi merkittävänä uutisena jaksaakseen vaivata sillä läheistä ystäväänsä.

Fredrik II:n keskustelujen innoittamana Lagrange alkoi ensi kertaa todella asettaa rajoja työnteolleen ja kehittää säännöllisiä elämäntapoja. Jo 26-vuotiaana Lagrangen ruoansulatusjärjestelmä oli vaurioitunut pahasti ylityön, liikarasituksen ja huonojen elämäntapojen vuoksi - d'Alembertin mukaan Lagrange oli valvonut yön toisensa jälkeen kahvin ja teen voimin voidakseen jatkaa tutkimuksiaan. Työnsä lomassa Lagrange alkoi siirtyä vähitellen taivaan­mekaniikasta Pierre de Fermat'n töitä kohtaan. Lagrange onnistui todistamaan joitakin Fermat'n lauseita sekä myös Wilsonin lauseen vuonna 1773.

1770-luvun loppua kohden Lagrange alkoi vähitellen kyynistyä entistä enemmän työtään kohden. Tuskastelut lukuteorian parissa jatkuivat, eikä Lagrangea auttanut myöskään se, että hän oli koko ikänsä ajatellut matematiikkaa enemmän huvituksena kuin varsinaisena kunnianhimon kohteena; hän oli aina antanut enemmän arvoa muiden matemaattisille saavutuksille kuin omilleen. 45-vuotiaana sairasteluista kärsinyt Lagrange kirjoitti avoimesti d'Alembertille uhkaavansa menettää työ­motivaationsa kokonaan:

> »"Alan tuntea, kuinka haluttomuuteni vähitellen lisääntyy enkä tiedä, tulenko harrastamaan matematiikkaa vielä kymmenen vuoden kuluttua. Minusta näyttää myös, että kaivos on jo liian syvä ja ellei uusia suonia löydetä, se on hylättävä."» 
> 
> 

d'Alembert onnistui kuitenkin omassa vastauskirjeessään vakuuttamaan Lagrangen matemaattisen työn tärkeydestä tämän elämänlaadun kannalta. d'Alembert kuoli pian tämän kirjeen lähettämisen jälkeen lokakuussa 1783. Samana vuonna Lagrange koki toisen takaiskun hänen vaimonsa kuoltua pitkän sairauden uuvuttamana, parin elettyä kohtalaisen onnellisessa avioliitossa lähes parin vuosikymmenen ajan. Lagrange uhrasi työntekonsa ja yöunensa hoitaakseen Vittoriaa, ja masentui syvästi tämän kuoltua. Lagrange näki tämän jälkeen, ettei hänen elämässään ollut jäljellä muuta kuin matematiikka, ja hän yritti etsiä sen parista lohtua suruajan jälkeen.

### Ranskan kansallissankariksi

Muotokuva Lagragesta vanhemmalla iällä
Fredrik II Suuri kuoli 1786, ja tämän jälkeen yleinen ilmapiiri Berliinissä alkoi muuttua kansallismielisempään ja luonnontieteitä karsastavaan suuntaan. Lagrange ei tuntenut enää oloaan kotoisaksi ja jätti eroanomuksensa pian kuninkaan kuoleman jälkeen. Lagrange hyväksyi eron myöntämiseen kuuluvat ehdot, joiden mukaan hän lähettäisi jatkuvasti määrävuosien ajan omia tutkimuksiaan akatemian julkaistavaksi. Tämän jälkeen eronnut hovimatemaatikko otti ilomielin vastaan Ranskan kuninkaan Ludvig XVI:n tarjouksen liittyä Ranskan akatemian jäseneksi ja jatkaa matemaattista työtään siellä. Lagrangelle annettiin asuinhuone Louvresta, jossa hän asui Ranskan vallankumouksen alkamiseen saakka. Marie-Antoinette, Lagrangea 19 vuotta nuorempi kuningatar, teki uudesta hovimatemaatikosta erikoissuosikkinsa, ja yritti tarjota tälle ymmärrystä sekä muuta piristettä helpottaakseen tämän raskasmielisyyttä.

51-vuotiaana Lagrange tunsi olevansa ihan lopussa jatkuvan ylirasituksen johdosta. Ystävänsä Antoine Lavoisier'n järjestämissä tiedekokouksissa Lagrange saattoi kaihoisasti ja välinpitämättömästi vain tuijottaa ulos ikkunasta selin vieraisiin, jotka läsnäolollaan osoittivat kunnioitusta ihailemaansa suuruutta kohtaan. Pariisilaiset itse pitivät Lagrangea muuten ystävällisenä ja miellyttävänä keskustelutoverina, mutta ihmettelivät, miksi hän ei ikinä itse aloittanut keskustelua. Lagrangen palo matematiikkaa kohtaan oli hiipunut, eikä häneen tehnyt juurikaan vaikutusta muiden aloittamat merkittävät tutkimustyöt; hän näki matematiikan jopa rappeutuvana ja aikansa eläneenä tieteenalana, joka tulisi syrjäytymään luonnontieteiden tieltä tulevaisuuden merkittävimpien tutkimuskohteiden joukossa. Lagrange yritti itse saada uutta nostetta elämälleen etsimällä uusia kiinnostuksen kohteita filosofiasta (erityisesti metafysiikasta), inhimillisen ajattelun kehityksestä, kielen teoriasta sekä lääke- ja kasvitieteestä. Hän onnistui hankkimaan näiltä aloilta sen verran laajan yleissivistyksen, että pystyi tekemään vaikutuksen niihin, jotka olivat aiemmin pitäneet häntä pelkkänä matemaatikkona.

Ranskan suuren vallankumouksen puhkeaminen vei Lagrangelta pois apaattisuuden ja herätti hänessä vielä kerran uuden kiinnostuksen matematiikkaan. Maasta pakenevat aristokraatit ja tiedemiehet yrittivät kaikin tavoin saada Lagrangen lähtemään heidän mukanaan, mutta tämä halusi jäädä Pariisiin ja nähdä mihin suuntaan kehitys lähtisi etenemään. Robespierren hirmuhallinnon syntyminen tuli Lagrangelle järkytyksenä ja yllätyksenä, ja hän katui tämän jälkeen päätöstään olla lähtemättä. Lagrange ei kuitenkaan pelännyt oman henkensä puolesta, koska puoliksi ulkomaalaisena hän oli tavallaan turvatussa asemassa, ja lisäksi hänen arvonantonsa omalle elämälleen ei ollut muutenkaan sillä hetkellä korkea. Lagrange pysytteli yleisesti ottaen puolueettomana kaiken sekasorron keskellä, tuntien sympatiaa kansan kärsimyksiä kohtaan ja samalla kyynisyyttä ja vastenmielisyyttä jakobiinihallinnon suuruudenhulluja suunnitelmia kohtaan. Lavoisierin mestausta Lagrange kritisoi poikkeuksellisen suorasanaisesti:"

> »"Pään katkaiseminen kesti heiltä vain hetken, mutta Ranskalta saattaa kestää vuosisata samanlaisen luomiseen.» 
> 
> 

Vallankumoukselliset kohtelivat Lagrangea tämän esittämästä kritiikistä huolimatta poikkeuksellisen hienovaraisesti. Hänelle myönnettiin valtion"eläke" yhdessä vaiheessa hurjien vuosien keskellä, vaikkakin hurjan seteli-inflaation vuoksi tämän tuen arvo pieneni olemattomaksi. Lagrangen tukemiseksi hänelle myönnettiin paikka ensin keksintö- ja sitten rahapajakomiteassa, ja lopulta hänet nimitettiin vastaperustetun École normale supérieuren ensimmäiseksi matematiikan professoriksi 1795. Uusi koulu suljettiin kuitenkin kaksi vuotta myöhemmin ja tilalle perustettiin École Polytechnique, johon Lagrange laati opetussuunnitelman ja sai nimityksen professoriksi. Lagrange pääsi ensimmäistä kertaa elämässään pitämään luentoja, ja opetettavana hänellä oli vähäiset matematiikan alkeet omannut oppilasjoukko. Uudesta haasteesta huolimatta Lagrange onnistui mukautumaan uuteen tehtäväänsä ja kehittämään toverillisen suhteen oppilaisiinsa. Lagrange aloitti opettamisen lukuteoriasta ja algebrasta, edeten matemaattiseen analyysiin ja vähitellen hän eteni niin korkealle tasolle, että loi käytännössä uutta matematiikkaa oppilaidensa silmien edessä; selkeyttääkseen vaikeita äärettömän pienen ja suuren käsitteitä, Lagrange joutui puoliksi pakolla kehittämään differentiaali- ja integraalilaskentaa eteenpäin. Uudet teoriat julkaistiin teoksissa *Analyyttisten funktioiden teoria* (1797) ja *Luentoja differentiaali- ja integraalilaskennasta* (1801). Teokset loivat pohjan myöhempien matemaatikkojen työlle differentiaalilaskujen kehittämiseksi loogisempaan suuntaan.

Vallankumouksen aikana Lagrange otettiin mukaan osaksi ryhmää, jonka tehtäväksi tuli uuden metrijärjestelmän luominen. Lagrangen ansioksi voi laskea sen, että hänen argumentointinsa ansiosta luku 10 tuli uuden järjestelmän kantaluvuksi eikä sitä ennen ehdotettu luku 12. Luvun 12 mielettömyyttä metrijärjestelmän kantalukuna Lagrange argumentoi ivallisesti sillä, että luku 11:kin olisi ollut sitä parempi, koska se on alkuluku ja siten jokaisella metrin kokonaisosalla olisi ollut aina sama nimittäjä. Alkuperäisen ehdotuksen haitat ymmärrettyään komitea taipui lopulta Lagrangen kannalle.

Lagrange meni 1792 uudelleen naimisiin, tällä kertaa ystävänsä astronomi Pierre Charles le Lemonnierin tyttären Renée-Françoise-Adélaïde le Monnierin kanssa, joka oli aviomiestään yli 30 vuotta nuorempi. Renée oli järkyttynyt Lagrangen masentuneisuudesta ja elämäntahdosta niin paljon, että pyysi mennä avioon tämän kanssa. Lagrange suostui empimisen jälkeen, ja vastoin yleisiä odotuksia avioliitosta tuli onnistunut ja hänen vaimonsa osoitti vuosienkin jälkeen kiintymystä mieheensä. Lagrange itsekin kiintyi uuteen puolisoonsa niin paljon, ettei halunnut päästää tätä lopulta mitenkään liian kauaksi itsestään; Renéen käyminen pelkällä ostosreissulla herätti Lagrangen epätoivon tunteita.

Lagrange oli joka tapauksessa noussut vallankumouksen keskellä poikkeuksellisen kunnioitetuksi hahmoksi. Hän oli säilynyt vahingoittumattomana läpi hurjien vuosien, vaikka oli ollut ennen vallankumousta kuninkaan suojeluksessa eikä koskaan selväsanaisesti osoittanut tukea uudelle tasavallalle. Kun Ranskan joukot miehittivät Pohjois-Italian, erikoislähettiläänä toiminut Talleyrand määrättiin tekemään kunnioitusta osoittava vierailu Lagrangen isälle, joka oli vielä elossa ja asui kotiseudullaan. Napoleon I keskusteli sotaretkiensä välissä Lagrangen kanssa filosofisista kysymyksistä ja matematiikan asemasta yhteiskunnassa, ja osoitti vilpitöntä kunnioitusta tätä kohtaan.

### Viimeiset vuodet

1800-luvun alkaessa Lagrange oli jo iäkäs, mutta se ei estänyt häntä vielä jatkamasta matemaattista tuotantoaan, jonka pariin hän oli palannut taas täydellä teholla pitkään kestäneen depressiokautensa jälkeen. Lagrangen viimeiseksi varsinaiseksi tieteelliseksi työksi tuli hänen 1788 julkaistun opus magnuminsa, kirjan *Mécanique analytique* tarkistaminen ja laajentaminen toista painosta varten. Lopulta loputtoman työskentelyn rajat tulivat Lagrangellekin vastaan; hän alkoi saada pyörtymiskohtauksia usein noustessaan aamulla sängystä, ja Renée löysi miehensä monesti makaamassa tajuttomana lattialla, kerran pahasti päänsä pöydän reunaan lyöneenä.

Lagrange joutui pakosti vähentämään työntekoaan terveydentilansa heikentymisen vuoksi, mutta hän pystyi muuten elämään levollisin mielin viimeiset vuotensa eikä hän kärsinyt kuolemanpelosta. Kaksi päivää ennen Lagrangen kuolemaa hänen ystävänsä tulivat katsomaan vuoteessa makaavaa matemaatikkosuuruutta, joka kärsi muistihäiriöistä ja odotti suorastaan ilolla kuolemaa, vaikka hänen olonsa oli väliaikaisesti parantunut siitä mitä se oli ollut huonoimmillaan. Vähän ystäviensä hyvästien jälkeen Lagrange sai pyörtymiskohtauksen, josta hän ei enää toipunut. Hän kuoli huhtikuussa 1813 77-vuotiaana.

Luonne
------

Lagrangea on kuvailtu luonteeltaan ujoksi, hiljaiseksi ja kaikenlaisia konflikteja vältteleväksi. Verrattuna oppi-isäänsä Euleriin, joka osallistui jatkuvasti filosofisiin väittelyihin, Lagrange tunsi väittelyitä kohtaan vastenmielisyyttä, ellei kyseessä ollut oman vakaumuksen puolustus loukkausta vastaan. Lagrange oli kuitenkin erittäin suorapuheinen läheisille ystävilleen käymässä kirjeenvaihdossa, eikä tarvittaessa peitellyt aiheelliseksi katsomaansa kritiikkiä.

Lagrange oli kasvatettu lapsena katolilaiseksi, mutta hän muistutti varttuneempana uskonnolliselta käsitykseltään agnostikkoa.

Lähteet
-------

1. ↑  Joseph-Louis Lagrange
2. ↑  
Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: *Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osa II*, s. 684–688. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-158-6.
3. ↑  Michael H. Hart: *Ihmiskunnan 100 suurinta, Maailmanhistorian sata merkittävintä henkilöä tärkeysjärjestyksessä*, s. 151–155. Suomentanut Risto Mäenpää. Artefakti Oy, 1979. ISBN 951-99229-1-1.

Aiheesta muualla
----------------

* Bell, Eric Temple: *Matematiikan miehiä* (1939), Victor Gollancz Ltd, suom. Helka ja Klaus Vala, pain. WSOY, Porvoossa 1963

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Joseph-Louis Lagrange** Wikimedia Commonsissa


|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Auktoriteettitunnisteet Muokkaa Wikidatassa |
| --- |
|  |
| Kansainväliset | 
* FAST
* ISNI
* VIAF

 |
|  |
| Kansalliset | 
* Norja
	+ 2
* Chile
* Espanja
	+ 2
	+ 3
* Ranska
* BnF data
* Katalonia
* Saksa
* Italia
* Israel
* Belgia
* Yhdysvallat
* Ruotsi
* Japani
* Tšekki
* Australia
* Kreikka
* Alankomaat
* Puola
* Portugali
* Vatikaani
	+ 2
	+ 3

 |
|  |
| Tieteilijät | 
* CiNii
* MathSciNet
* Mathematics Genealogy Project
* zbMATH

 |
|  |
| Henkilöt | 
* Dizionario Biografico degli Italiani
* Deutsche Biographie
* Trove
	+ 2

 |
|  |
| Muut | 
* SNAC
* IdRef

 |

 |