**Kiinalainen jäännöslause** on matematiikassa lukuteoriaan, tarkemmin sanottuna kongruensseihin liittyvä tulos.

Teoreema
--------

Teoreeman julkaisi ensimmäisen kerran kiinalainen matemaatikko Sun Tzu kolmannella vuosisadalla. Vuonna 1247 toinen kiinalainen matemaatikko Qin Jiushao käsitteli teoreemaa kirjassaan. Myös intialainen 600-luvun matemaatikko Brahmagupta tunsi lauseen versioita ja lause on esitetty myös Fibonaccin kirjassa Liber Abaci (1202). 

Olkoot *n*1, *n*2, …, *n**k* positiivisia kokonaislukuja jotka ovat pareittain keskenään jaottomia. Silloin mille tahansa kokonaisluvuille *a*1,*a*2, …, *a**k*, on olemassa kokonaisluku *x* joka ratkaisee kongruenssiyhtälöryhmän

{\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv a\_{1}{\pmod {n\_{1}}}\\x&\equiv a\_{2}{\pmod {n\_{2}}}\\&\vdots \\x&\equiv a\_{k}{\pmod {n\_{k}}}\end{aligned}}}
Lisäksi kaikki ratkaisut *x* ovat kongruentteja modulo *N*, missä *N* = *n*1*n*2…*n**k*.

  

Näin ollen {\displaystyle x\equiv y{\pmod {n\_{i}}}}, kaikille {\displaystyle 1\leq i\leq k}, jos ja vain jos {\displaystyle x\equiv y{\pmod {N}}}.

  

Joissain tapauksissa kongruenssiyhtälöryhmät voidaan ratkaista vaikka *ni*:t eivät olisi pareittain keskenään jaottomia.
Ratkaisu *x* on olemassa jos ja vain jos:

{\displaystyle a\_{i}\equiv a\_{j}{\pmod {{pyj}(n\_{i},n\_{j})}}\qquad {\mbox{kaikilla }}i{\mbox{ ja }}j.\,\!}
Kaikki ratkaisut *x* ovat siten kongruentteja modulo pienin yhteinen jaettava (pyj) *ni*.

  

Teoreema voidaan esittää myös modernimmassa algebrallisessa muodossa seuraavasti:

Kokonaislukujen modulo {\displaystyle n} rengas {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } ,jossa {\displaystyle n} voidaan kirjoittaa alkulukujen tulona seuraavasti {\displaystyle n=p\_{1}^{r\_{1}}p\_{2}^{r\_{2}}\cdots p\_{k}^{r\_{k}}}. 

Kun p\_i:t ovat eri alkulukuja, niin rengas {\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} } on luonnollisesti isomorfinen tulorenkaan {\displaystyle \mathbb {Z} /p\_{1}^{r\_{1}}\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} /p\_{2}^{r\_{2}}\mathbb {Z} \times \cdots \times \mathbb {Z} /p\_{k}^{r\_{k}}\mathbb {Z} } kanssa.

Todistus
--------

Tässä esitettävä todistus on muotoiltu Kenneth H. Rosen kirjan Elementary Number Theory and Its Applications (1993) perusteella.

Jaetaan todistus kahteen osaan. Konstruoidaan ensin ratkaisu ja todistetaan sitten ratkaisun yksikäsitteisyys.

Konstruoidaan ensin ratkaisu:

Merkitään {\displaystyle N\_{k}=N/n\_{k}=n\_{1}n\_{2}...n\_{k-1}n\_{k+1}...n\_{r}}. Koska luvut {\displaystyle n\_{1},n\_{2},...n\_{r}} ovat pareittain suhteellisia alkulukuja, niin {\displaystyle syt(N\_{k},n\_{k})=1}. Näin ollen luvulla {\displaystyle N\_{k}} on käänteisluku modulo {\displaystyle n\_{k}}. Merkitään tätä käänteislukua symbolilla {\displaystyle b\_{k}}, jolloin {\displaystyle N\_{k}b\_{k}\equiv 1{\pmod {n\_{k}}}}.

Nyt voimme muodostaa summan

{\displaystyle x=a\_{1}N\_{1}b\_{1}+a\_{2}N\_{2}b\_{2}+...+a\_{r}N\_{r}b\_{r}}.

Osoitetaan nyt, että kokonaisluku x on kongruenssiryhmän ratkaisu. Tehdään tämä osoittamalla, että {\displaystyle x\equiv a\_{k}{\pmod {n\_{k}}}} kaikilla {\displaystyle k=1,2,...r}.
Koska {\displaystyle n\_{j}\mid N\_{k}}, kun {\displaystyle j\neq k}, niin {\displaystyle N\_{j}\equiv 0{\pmod {n\_{k}}}}, kun {\displaystyle j\neq k}. Näin ollen, {\displaystyle x\equiv a\_{k}N\_{k}b\_{k}\equiv a\_{k}{\pmod {n\_{k}}}}. Koska {\displaystyle N\_{k}b\_{k}\equiv 1{\pmod {n\_{k}}}}, niin {\displaystyle x\equiv a\_{k}{\pmod {n\_{k}}}}. Siis x on kongruenssiryhmän ratkaisu.

Todistetaan, että ratkaisu on yksikäsitteinen modulo N. Olkoot {\displaystyle x\_{0}} ja x\_{{1}} kaksi kongruenssiryhmän ratkaisua. Silloin jokaista lukua {\displaystyle k=1,2,...r} kohti on {\displaystyle x\_{0}\equiv x\_{1}\equiv a\_{k}{\pmod {n\_{k}}}}, joten jokaista lukua {\displaystyle k=1,2,...r} kohti {\displaystyle n\_{k}\mid (x\_{0}-x\_{1})}. Näin ollen {\displaystyle N\mid (x\_{0}-x\_{1})} eli {\displaystyle x\_{0}\equiv x\_{1}{\pmod {N}}}.

Ratkaisukaava
-------------

Kun n\_{i}:t ovat pareittain suhteellisia alkulukuja voidaan kongruenssiyhtälöryhmä ratkaista seuraavan kaavan avulla:

{\displaystyle x=a\_{1}b\_{1}{\frac {N}{n\_{1}}}+\ldots +a\_{k}b\_{k}{\frac {N}{n\_{k}}}{\pmod {N}}},

missä kertoimet {\displaystyle b\_{i}} saadaan ratkaistua yhtälöstä

{\displaystyle b\_{i}{\frac {N}{n\_{i}}}\equiv 1{\pmod {n\_{i}}}}.

Laskuesimerkki
--------------

Alkuperäinen Sun Tsun ongelma kuuluu seuraavasti. Kuinka monta sotilasta on Han Xingin armeijassa? Jos sotilaat marssivat kolmen riveissä, kaksi sotilasta jää yli. Jos he marssivat viiden riveissä, kolme jää yli, ja jos he marssivat seitsemän riveissä, kaksi jää yli?

Ongelma voidaan ilmaista kongruenssiyhtälöryhmänä:

{\displaystyle {\begin{aligned}x&\equiv 2{\pmod {3}}\\x&\equiv 3{\pmod {5}}\\x&\equiv 2{\pmod {7}}\end{aligned}}}
Luvut 3, 5 ja 7 ovat pareittain jaottomia keskenään, joten voimme soveltaa kiinalaista jäännöslausetta. Nyt {\displaystyle N=3\cdot 5\cdot 7=105}. Ratkaistaan ensin kertoimet {\displaystyle b\_{i}}:

{\displaystyle b\_{1}{\frac {105}{3}}\equiv 1{\pmod {3}}\qquad b\_{2}{\frac {105}{5}}\equiv 1{\pmod {5}}\qquad b\_{3}{\frac {105}{7}}\equiv 1{\pmod {7}}}

Kokeilemalla ratkeaa {\displaystyle b\_{1}=2}, {\displaystyle b\_{2}=1}, {\displaystyle b\_{3}=1}. Sotilaiden määräksi saadaan:

{\displaystyle x=2\cdot 2{\frac {105}{3}}+3\cdot 1{\frac {105}{5}}+2\cdot 1{\frac {105}{7}}=233{\pmod {105}}.}

Sotilaiden määrä voi siis olla 23, 128, 233, 338, ...

Lähteet
-------

* Rosen, Kenneth H.: *Elementary Number Theory and Its Applications*, s. 107–109. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1984. ISBN 0-201-06561-4. (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* Kiinalainen jäännöslause ja sen sovelluksia
* Kiinalainen jäännöslause MathWorldissa (englanniksi)
*