**Mittaintegraali** on matemaattisessa analyysissa eräs integraali. Mittaintegraalin tavoitteena on luoda mitta-avaruuteen eräänlainen lineaarinen kuvaus, joka liittää jokaiseen mitalliseen funktioon jonkin luvun väliltä {\displaystyle [0,\infty ]}. Tämä integraalityyppi on alun perin matemaatikko Henri Lebesguen kehittämä. Tunnettu **Lebesguen integraali** on mittaintegraali, jonka mittana on Lebesguen mitta.

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} mitta-avaruus. Integraali määritellään yksinkertaisten kuvausten kautta.

Kuvaus {\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} } on *yksinkertainen*, jos

{\displaystyle f=\sum \_{i=1}^{k}a\_{i}1\_{A\_{i}}},
missä {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{k}\geq 0}; {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{k}\in {\mathcal {A}}} ja joukot {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{k}} ovat perusjoukon X ositus ja {\displaystyle 1\_{A\_{i}}} on indikaattorifunktio.

Yksinkertaisen funktion f *integraali* on

{\displaystyle I(f,\mu )=\sum \_{i=1}^{k}a\_{i}\mu (A\_{i})}.
Olkoon {\displaystyle f:X\rightarrow [0,\infty ]} kuvaus, joka on \mu -mitallinen. Kuvauksen f **integraali** on

{\displaystyle \int \_{X}f(x)\,d\mu (x)=\int \_{X}f\,d\mu =\sup\{I(g,\mu )\,|\,g\ {\textrm {on}}\ {\textrm {yksinkertainen}}\ {\textrm {kuvaus}}\ X\rightarrow \mathbb {R} \ {\textrm {ja}}\ g\leq f\}}.
Tätä esitysmuotoa kutsutaan **mittaintegraaliksi**. Yleensä mitta \mu  on yhteydestä selvä, jolloin sitä ei merkitä näkyviin, vaan käytetään lyhyempää tapaa

{\displaystyle \int \_{X}f}.
Kuvauksen f *integraali yli joukon {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}* on

{\displaystyle \int \_{E}f=\int \_{X}f\cdot 1\_{E}}.
Kuvaus {\displaystyle f:X\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}} on **integroituva**, jos pätee ehto

{\displaystyle \int \_{X}|f|<\infty }.
f on *integroituva yli joukon {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}*, jos pätee

{\displaystyle \int \_{E}|f|<\infty }.
f on **kvasi-integroituva**, jos se ei ole integroituva, mutta pätee

{\displaystyle \int \_{X}\max\{f,0\}<\infty } tai {\displaystyle \int \_{X}\max\{-f,0\}<\infty }.

Perusominaisuuksia
------------------

Oletetaan, joukko {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}}, f ja g ovat {\displaystyle {\mathcal {A}}}-mitallisia kuvauksia {\displaystyle E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}} ja integroituvia yli joukon E.

* pätee kolmioepäyhtälö {\displaystyle \left|\int \_{E}f\right|\leq \int \_{E}|f|}
* summa {\displaystyle f+h} on integroituva yli joukon E ja {\displaystyle \int \_{E}(f+g)=\int \_{E}f+\int \_{E}g}
* jos {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }, niin {\displaystyle \lambda f} on integroituva yli joukon E ja {\displaystyle \int \_{E}\lambda f=\lambda \int \_{E}f}
* jos {\displaystyle f\leq g}, niin {\displaystyle \int \_{E}f\leq \int \_{E}g}
* jos {\displaystyle \mu (E)=0}, niin {\displaystyle \int \_{E}f=0}
* jos f=g melkein kaikkialla joukossa E, niin {\displaystyle \int \_{E}f=\int \_{E}g}

Viimeinen ominaisuus voidaan tulkita niin, että funktion arvot nollajoukolla eivät vaikuta sen integraalin arvoon.

Jos lisäksi {\displaystyle G\in {\mathcal {A}}}, E ja G ovat erillisiä sekä h on \mu -mitallisia kuvaus {\displaystyle E\cup G\rightarrow \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}} ja integroituva yli joukon {\displaystyle E\cup G}, niin

{\displaystyle \int \_{E\cup G}h=\int \_{E}h+\int \_{G}h}.

Integroituvien funktioiden avaruudet Lp ja L∞
---------------------------------------------

Olkoon {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} mitta-avaruus, \mu  täydellinen mitta ja luku {\displaystyle 1\leq p<\infty }. Merkitään eksponentilla p integroituvien funktioiden joukkoa symbolilla

{\displaystyle L^{p}=L^{p}(X)=L^{p}(\mu )=L^{p}(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{f:X\rightarrow \mathbb {R} \,|\,f\ {\textrm {on}}\ {\textrm {mitallinen}}\ {\textrm {ja}}\ \int \_{X}|f|^{p}\,d\mu <\infty \}}.
Äärellisen oleellisen supremumin funktioiden joukkoa merkitään symbolilla

{\displaystyle L^{\infty }=L^{\infty }(X)=L^{\infty }(\mu )=L^{\infty }(X,{\mathcal {A}},\mu )=\{f:X\rightarrow \mathbb {R} \,|\,f\ {\textrm {on}}\ {\textrm {mitallinen}}\ {\textrm {ja}}\ \operatorname {ess} \,\sup |f|<\infty \}}.
f on siis integroituva jos ja vain jos {\displaystyle f\in L^{1}}. Sanotaan, että f on *neliöintegroituva*, jos {\displaystyle f\in L^{2}}.

Ominaisuuksia:

* L^p on Banach-avaruus kaikilla {\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
* jos \mu  on äärellinen mitta ja {\displaystyle 1\leq q\leq p\leq \infty }, niin {\displaystyle L^{p}(\mu )\subset L^{q}(\mu )}

Epäyhtälöitä integraalille
--------------------------

### Hölderin epäyhtälö

Jos {\displaystyle p>1} ja {\displaystyle q>1} siten, että

{\displaystyle {\frac {1}{p}}+{\frac {1}{q}}=1},
sekä {\displaystyle f\in L^{p}} ja {\displaystyle g\in L^{q}}, niin **Hölderin epäyhtälö** on

{\displaystyle \int \_{X}fg\,d\mu \leq \left(\int \_{X}|f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}\left(\int \_{X}|f|^{q}\,d\mu \right)^{\frac {1}{q}}}.
Jos {\displaystyle p=1} ja {\displaystyle q=\infty }, niin epäyhtälö pätee muodossa

{\displaystyle \int \_{X}fg\,d\mu \leq \left(\int \_{X}|f|\,d\mu \right)\operatorname {ess} \sup |g|}.
Lukuja p ja q kutsutaan toistensa **Hölderin konjugaateiksi** tai **konjugoiduiksi eksponenteiksi**.

### Minkowskin epäyhtälö

Jos {\displaystyle f,g\in L^{p}}, niin
{\displaystyle ||f+g||\_{p}\leq ||f||\_{p}+||g||\_{p}}. Minkowskin epäyhtälö voidaan yleistää useammalle kuin kahdelle L^p-funktiolle matemaattisen induktion avulla tai huomaamalla että avaruus L^p on vakaa yhteenlaskun suhteen.

Fatoun lemma
------------

Olkoon joukko {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}} ja {\displaystyle (f\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }} jono {\displaystyle {\mathcal {A}}}-mitallisia kuvauksia {\displaystyle E\rightarrow [0,\infty ]}. Tällöin

{\displaystyle \int \_{E}\liminf \_{i\rightarrow \infty }f\_{i}\leq \liminf \_{i\rightarrow \infty }\int \_{E}f\_{i}}
ja

{\displaystyle \int \_{E}\limsup \_{i\rightarrow \infty }f\_{i}\geq \limsup \_{i\rightarrow \infty }\int \_{E}f\_{i}}.

Konvergenssilauseet
-------------------

Olkoon joukko {\displaystyle E\in {\mathcal {A}}} ja {\displaystyle (f\_{i})\_{i\in \mathbb {N} }} jono \mu -mitallisia kuvauksia {\displaystyle E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} siten, että jonon raja-arvo

{\displaystyle \lim \_{i\rightarrow \infty }f\_{i}}
on olemassa. Konvergenssilauseiksi kutsutaan ehtoja, joista seuraa, että

{\displaystyle \int \_{E}\lim \_{i\rightarrow \infty }f\_{i}=\lim \_{i\rightarrow \infty }\int \_{E}f\_{i}}.
Toisin sanoen raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

### Monotonisen konvergenssin lause

Jos pätee {\displaystyle 0\leq f\_{1}\leq f\_{2}\leq \ldots }, niin raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

### Dominoidun konvergenssin lause

Jos on olemassa integroituva kuvaus {\displaystyle g:E\rightarrow \mathbb {R} \cup \{-\infty ,\infty \}} siten, että {\displaystyle |f\_{j}|\leq g} kaikilla {\displaystyle j\in \mathbb {N} } melkein kaikkialla joukolla E, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Kutsutaan myös Lebesguen dominoidun konvergenssin lauseeksi.

### Rajoitetun konvergenssin lause

Jos {\displaystyle \mu (E)<\infty } ja {\displaystyle |f\_{i}|<\infty } kaikilla {\displaystyle i\in \mathbb {N} }, niin jonon raja-arvo on integroituva ja raja-arvon ja integraalin järjestys voidaan vaihtaa.

Integraalimitta
---------------

Jokaiseen mitta-avaruuden {\displaystyle (X,{\mathcal {A}},\mu )} mitalliseen kuvaukseen {\displaystyle f:X\rightarrow [0,\infty ]} voidaan liittää mittaintegraali {\displaystyle \int \_{A}f\,d\mu } yli jokaisen joukon {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}. Voidaan osoittaa, että tämä kuvaus 

{\displaystyle A\mapsto \int \_{A}f\,d\mu ,} {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} on itse asiassa mitta *X*:ssä. Tämä ns. **integraalimitta** on joskus hyödyllinen sovelluksissa, sillä siihen voidaan soveltaa kaikkia mitan ominaisuuksia.

Daniellin integraali
--------------------

Mittaintegraalille on olemassa myös vaihtoehtoinen määrittelytapa ns. *Daniellin integraali*, jossa integraali ensin määritellään niin yksinkertaisille funktioille ettei mittateoriaa tarvitse lainkaan ja sitten rajankäynnillä laajennetaan integraalin määritelmä yleisille funktioille. Mitta-avaruuteen määritelty Daniellin integraali johtaa samoihin tuloksiin kuin edellä määritelty mittaintegraali. Kuitenkin tietyissä yleistyksissä Daniellin integraalilla näyttää olevan etuja (kts. esimerkiksi *Integral, measure and derivative: a unified approach. G.E.Shilov/B.L.Gurevich – Prentice-Hall 1966*).

Katso myös
----------

* Viivaintegraali
* Pintaintegraali

Usein esiintyviä integraaleja:

* Lebesgue–Stieltjes-integraali
* Riemannin integraali
* Riemann–Stieltjes-integraali
* Epäoleellinen integraali
* Bochner-integraali

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Jalava, Väinö: *Moderni analyysi I*. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.