**Riemannin–Stieltjesin integraali** on eräs Riemannin integraalin yleistys. Se on saanut nimensä Thomas Joannes Stieltjesin ja Bernhard Riemannin mukaan. Riemannin–Stieltjesin integraali voidaan määritellä joko summien tai ylä- ja alarajojen avulla. Tässä artikkelissa integraali on määritelty ylä- ja alarajojen avulla.

Riemannin–Stieltjesin integraali on muotoa   

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)dg(x)},   

missä funktiota *f* kutsutaan integrandiksi ja funktiota *g* integraattoriksi.   

Integraali voi myös olla muotoa   

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)d\alpha }.

Määritelmä
----------

Olkoon *α* kasvava funktio välillä *[a,b]*. Välin *[a,b]* osituksella *P* tarkoitetaan pistejoukkoa {\displaystyle x\_{0},x\_{1},\cdots ,x\_{n}} , missä  

a= {\displaystyle x\_{0}} ≤ {\displaystyle x\_{1}} ≤ {\displaystyle \cdots } ≤ {\displaystyle x\_{n}} = b.  

Merkitään   

{\displaystyle \Delta } x\_i = {\displaystyle x\_{i}-x\_{i-1}}, missä (i = 1, {\displaystyle \cdots } , n).

Oletetaan, että *f* on rajoitettu reaalifunktio välillä *[a,b]*. Jokaisella osituksella *P* välillä *[a,b]* asetetaan   

{\displaystyle M\_{i}} = sup f(x) ({\displaystyle x\_{i-1}} ≤ x ≤ {\displaystyle x\_{i}})

{\displaystyle m\_{i}} = inf f(x) ({\displaystyle x\_{i-1}} ≤ x ≤ x\_i).

Jokaiselle ositukselle *P* välillä *[a,b]* voidaan merkitä   

{\displaystyle \Delta } α = α(x\_i) - α({\displaystyle x\_{i-1}}).

On selvää, että \Delta  α ≥ 0. Jokaiselle reaalifunktiolle *f*, joka on rajoitettu välillä *[a,b]*, asetaan   

  

U (P, f, α) = {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}} {\displaystyle M\_{i}} \Delta  {\displaystyle \alpha \_{i}},   

L (P, f, α) = {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}} {\displaystyle m\_{i}} \Delta  {\displaystyle \alpha \_{i}}.   

Jos   

{\displaystyle infU(P,f,\alpha )=supL(P,f,\alpha )} ,   

missä supremum ja infimum otetaan kaikkien ositusten yli, niin yhteistä arvoa merkitään   

{\displaystyle \int \_{a}^{b}fd\alpha }   

tai
{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)d\alpha (x)}.
Tätä kutsutaan funktion *f* Riemannin–Stieltjesin integraaliksi tai yksinkertaisemmin Stieltjesin integraaliksi \alpha :n suhteen yli välin *[a,b]*.

Riemannin–Stieltjesin integraalin yhteys Riemannin integraaliin
---------------------------------------------------------------

Merkitsemällä {\displaystyle \alpha (x)=x} nähdään, että Riemannin integraali on erikoistapaus Riemannin–Stieltjesin integraalista:   

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)d\alpha =\int \_{a}^{b}f(x)dx}.

Yleisissä tapauksissa \alpha :n ei tarvitse olla jatkuva.

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuuksia
-----------------------------------------------

Riemannin–Stieltjesin integraalin ominaisuudet muistuttavat pitkälti Riemannin integraalin ominaisuuksia.   

Seuraavassa esitellään muuttujan vaihto sekä integraalin lineaariominaisuudet.   

### Muuttujan vaihto

Olkoon funktio {\displaystyle f\in R} välillä *[a,b]* ja *g* aidosti monotoninen ja jatkuva funktio, joka on määritelty välillä *S=[a,b]*. Oletetaan, että *a = g(c)* ja *b = g(d)* sekä funktiot *h* ja {\displaystyle \beta } ovat yhdistettyjä funktioita, jotka on määritelty seuraavasti 

{\displaystyle h(x)=f[g(x)],\beta =\alpha [g(x)]},

jos {\displaystyle x\in S}.   

Silloin funktio {\displaystyle h\in R} välillä *S* ja   

{\displaystyle \int \_{a}^{b}fd\alpha =\int \_{c}^{d}hd\beta }.   

### Lineaariominaisuudet

Jos {\displaystyle f\in R(\alpha )} ja {\displaystyle g\in R(\alpha )} välillä *[a,b]*, niin 

{\displaystyle c\_{1}f+c\_{2}g\in R(\alpha )} välillä *[a,b]* ja

{\displaystyle \int \_{a}^{b}(c\_{1}f+c\_{2}f)d\alpha =c\_{1}\int \_{a}^{b}fd\alpha +c\_{2}\int \_{a}^{b}gd\alpha }.

Katso myös
----------

* Lebesgue–Stieltjes-integraali

Lähteet
-------

* Rudin W. Principles of Mathematical Analysis, 3rd edition, 1953 *lähde tarkemmin?*
* Laitinen T. Riemann-Stieltjes-integraali, Pro gradu -työ, 2006 *lähde tarkemmin?*

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.