**Neliöluku** on positiivinen kokonaisluku, jonka osoittamasta määrästä pisteitä voidaan muodostaa neliön muotoinen kuvio.

Neliöluvut voidaan määrittää lausekkeella {\displaystyle n^{2}}, jossa *n* on positiivinen kokonaisluku. Esimerkiksi 9 on neliöluku, koska {\displaystyle 3^{2}=9.} Kaksi­kymmentä ensimmäistä neliölukua ovat 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169, 196, 225, 256, 289, 324, 361 ja 400.

Kuvassa näkyvä punainen lisäys on kreikkalaisittain nimeltään gnomon ja sitä vastaa neliöluvussa {\displaystyle N\_{n}} pariton luku {\displaystyle 2n-1.}

Neliöluvut ovat kolmiolukujen jälkeen yksinkertaisin ryhmä monikulmiolukuja, jotka ovat pisteillä muodostettujen säännöllisten monikulmioiden lukuja. Monikulmioluvut ovat osa kuviolukujen ryhmää.

Määritelmä
----------

Neliöluvut {\displaystyle N\_{n}} saadaan aritmeettisena summana, jossa lasketaan n peräkkäistä paritonta lukua yhteen:

{\displaystyle N\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1)=1+3+5+7+\dotsb +(2n-1)=n^{2}.} 
Tämä voidaan tulkita summaksi, jossa ensimmäisenä lukuna on pienin neliöluku {\displaystyle N\_{1}=1} ja sitten siihen lisätään gnomoneita {\displaystyle g\_{n}=2n+1}

{\displaystyle N\_{n}=N\_{1}+g\_{1}+g\_{2}+\dots +g\_{n-1}.}
Neliölukujoukon komplementti eli ei-neliölukujen joukko voidaan muodostaa lausekeen {\displaystyle a\_{n}=n+\left\lfloor {\frac {1}{2}}+{\sqrt {n}}\right\rfloor } avulla, missä käytetään lattiafunktioita. Lausekkeesta saadaan luvut 2, 3, 5, 6, 7, 8, 10, 11, ... , joista puuttuvat neliöluvut.

Yhteyksiä matematiikkaan
------------------------

### Neliölukujen ominaisuuksia

Seuraavan neliöluvun voi muodostaa rekursiivisesti edellisen neliöluvun avulla seuraavasti.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |
| {\displaystyle 0+\color {blue}1\color {black}=1} | {\displaystyle 1+\color {blue}3\color {black}=4} | {\displaystyle 4+\color {blue}5\color {black}=9} | {\displaystyle 9+\color {blue}7\color {black}=16} |

Rekursiivisesti ilmaistuna seuraava neliöluku on {\displaystyle N\_{n+1}=N\_{n}+(2n-1)=n^{2}+(2n-1)=n^{2}+n+1=(n+1)^{2}.}

### Kytkentä muihin kuviolukuihin

Neliöluvut voidaan aina esittää kahden kolmioluvun avulla

{\displaystyle N\_{n}=T\_{n}+T\_{n-1}={\frac {1}{2}}n(n+1)+{\frac {1}{2}}(n-1)n=n^{2}}
### Yhteyksiä muuhun matematiikkaan

Jos luku n parillinen luku, niin luvut {\displaystyle n-1} ja n+1 ovat *peräkkäiset* parittomat luvut. Vastaavasti, jos n on pariton luku, niin luvut ovat *peräkkäiset* parilliset luvut. Peräkkäisten parillisten (parittomien) lukujen tulo yhdellä lisättynä on neliöluku eli

{\displaystyle N\_{n}=(n-1)(n+1)+1=(n^{2}-1)+1=n^{2}.} 
Jokainen luonnollinen luku voidaan esittää korkeintan neljän neliöluvun summana. Tällaisia tapauksia ovat esimerkiksi {\displaystyle 3=1^{2}+1^{2}+1^{2},} {\displaystyle 4=2^{2},} {\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}} ja {\displaystyle 7=2^{2}+1^{2}+1^{2}+1^{2}.} Samoin jokainen luku voidaan esittää korkeintaan kolmen etumerkillisen neliöluvun summana eli esimerkiksi {\displaystyle 3=2^{2}-1^{2},} {\displaystyle 5=2^{2}+1^{2}} ja {\displaystyle 7=3^{2}-1^{2}-1^{2}.}

Neljän *parittoman* luvun neliöiden summa voidaan lausua myös neljän *parillisen* luvun neliöitten summana.

Alkuluku p, joka voidaan lausua muodossa {\displaystyle p=4n+1}, voidaan esittää kahden luvunneliön summana. Esimerkiksi luku 29 on tällainen luku, koska {\displaystyle 29=4\cdot 7+1=2^{2}+5^{2}.}

Historiaa
---------

Muun muassa pythagoralaiset 500 eaa. tutkivat lukujen ominaisuuksia ja niihin liittyvää mystiikkaa. Kolmioluvut, neliöluvut ja muut monikulmioluvut olivat keskeinen osa lukujen oppirakennelmaa.  Euroopassa Pierre de Fermat tutki muiden töidensä oheella myös pythagoralaisten matematiikkaa. Hänen todistusmenetelmänsä selittivät monia kuviolukujen ominaisuuksia ja kasvanut kiinnostus lukuihin kiteytyi lukuteoriassa, joka voidaan katsoa syntyneen tästä harrastuksesta. 

Fermat esitti kirjeenvaihdossaan teoreeman, että *jokainen luonnollinen luku voidaan esittää n:n n-kulmioluvun summana*. Teoreeman todisti yleisellä tasolla ensimmäisenä Augustin-Louis Cauchy.

Katso myös
----------

* OEIS - kokonaislukujen jonoja: On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
* Solmu-lehti: Tehtäviä kolmio ja neliöluvuista
* Pythagoraan kolmikko

Lähteet
-------

* Boyer, Carl B. & Merzbach, Uta C.: *Tieteiden kuningatar – Matematiikan historia, osat I–II*. Suomentanut Kimmo Pietiläinen. Helsinki: Art House, 1994. ISBN 951-884-150-0, ISBN 951-884-158-6.

### Viitteet

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Weisstein, Eric W.: Square Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. ↑  OEIS: Trangular number
3. ↑  Weisstein, Eric W.: Polygonal Number (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. ↑  Boyer, s. 499
5. ↑  Boyer, s. 93–95
6. ↑  Boyer, s. 498–501
7. ↑  Boyer, s. 726

Kuvioluvut

|  |  |
| --- | --- |
| Monikulmioluvut | 
* kolmioluvut
* neliöluvut
* viisikulmioluvut
* kuusikulmioluvut
* seitsenkulmioluvut
* kahdeksankulmioluvut
* yhdeksänkulmioluvut
* kymmenkulmioluvut
* yksitoistakulmioluvut
* kaksitoistakulmioluvut

 |
| Muita tasokuviolukuja: | 
* keskitetyt neliöluvut
* keskitetyt kuusikulmioluvut
* tähtiluvut

 |
| Pyramidiluvut | 
* tetraedriluvut
* neliöpyramidiluvut
* viisikulmiopyramidiluvut
* kuusikulmiopyramidiluvut
* seitsenkulmiopyramidiluvut

 |
| Muut monitahokasluvut | 
* kuutioluvut
* oktaedriluvut
* Haűyn oktaedriluvut

 |
| Monikulmiolukuja koskevia tuloksia | 
* Fermat’n monikulmiolause
* Pollockin tetraedrilukuotaksuma
* Pollockin oktaedrilukuotaksuma
* Lagrangen neljän neliön lause

 |