Funktion epäoleellinen raja-arvo on kuvaajassa olemassa, kun *x* lähestyy plus äärettöntä, koska funktio mahtuu lopulta epsilon-putkeen.
**Funktion epäoleellinen raja-arvo** on matematiikassa analyysin ja differentiaali- ja integraalilaskennan peruskäsitteitä. Erotukseksi funktion raja-arvon yläkäsitteestä, *funktion epäoleellisella raja-arvoilla* tarkoitetaan jatkuvien funktioiden raja-arvolaskentaa, missä tutkitaan funktion käyttäytymistä kaukana origosta. Usein sanotaan, että *"tutkitaan funktion käyttäytymistä äärettömässä tai miinus äärettömässä"*. Jos epäoleellinen raja-arvo on olemassa, sanotaan että funktio *suppenee* (muutoin *hajaantuu*).

Johdanto
--------

### Rationaalilausekkeen epäoleelliset raja-arvot

Funktion {\displaystyle {1 \over x}} kuvaaja on hyperbeli, jonka käyrä ulottuu kuvaajan ulkopuolelle. Funktion määrittelyalue katkeaa kohdassa x = 0, mikä sijaitsee origossa.
Potenssifunktiot, joiden asteluku on pariton, käyttäytyvät äärettömässä ja miinus äärettömässä samalla tavalla.
Yksinkertaisin rationaalifunktio on 

{\displaystyle f(x)={1 \over x},}
joka määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla paitsi nollassa (ykköstä ei voi jakaa nollalla). Koordinaatistossa näkyy vain osa funktion kuvaajasta, koska sen käyrä katoaa kuviosta sen ylä- ja alapuolelle sekä molemmille sivuille. Epäoleellisella raja-arvolla voidaan selvittää, minne käyrä muualla piirtyy. Tähän tarvitaan neljä epäolellista raja-arvoa.

Origon oikealla puolella funktio saa positiivisia arvoja. Kuvaajan käyrän mukaan funktio on vähenevä, koska kun muuttujan arvot kasvavat, eli kun liikutaan x-akselilla oikealle, pienenevät funktion arvot. Ne eivät kuitenkaan muutu negatiivisiksi, vaan pysyvät positiivisina lähestyen nollaa. Nolla-arvoa ei kuitenkaan saavuteta tietyssä pisteessä, mutta valitsemalla yhä suurempia ja suurempia muuttujan *x* arvoja päästään niin lähelle nollaa kuin vain halutaan. Tässä mielessä voidaan sanoa, että kun muuttujaa *x* kasvatetaan yli kaikkien rajojen, *suppenee* funktion arvot raja-arvoksi nolla. Tämä on eräs tapa kuvailla epäolellinen raja-arvo. Silloin voidaan sanoa, että *äärettömässä funktio suppenee tai tulee nollaksi*. Vastaavalla tavalla voidaan todeta, että myös vasemmalla puolella lukusuoraa voidaan käydä samanlainen prosessi. Silloin funktion negatiiviset arvot lähestyvät epäoleellisesti nollaa, kun muuttuja *x* pienenee alle kaikkien rajojen. Silloin voidaan sanoa, että *miinus äärettömässä funktiosta tulee nolla*.

Epäoleellisiksi tarkasteluksi voidaan joskus katsoa myös raja-arvoa määrittelyalueen puuttuvassa pisteessä. Edellisen funktiota ei voi laskea nollassa, koska se aiheuttaisi nollalla jakamisen. Kun raja-arvoa lasketaan lähestymällä nollaa oikealta eli positiivisilla arvoilla, kasvaa funktion arvot yli kaikkien rajojen eli raja-arvo hajaantuu plus äärettömäksi. Vastaavasti, kun nollaa lähestytään negatiiviselta puolelta, hajaantuu raja-arvo miinus äärettömäksi.

Yksinkertainen polynomi on potenssifunktio

{\displaystyle f(x)=x^{5},}
joka on määritelty kaikilla reaalilukuarvoilla, ja sen kuvaajasta näkyy koordinaatistossa vain osa. Osoittautuu, että mitä suuremmilla muuttujan *x* arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä suuremmaksi funktion arvot kasvavat. Samoin, mitä pienemmillä muuttujan arvoilla funktion arvoja lasketaan, sitä pienemmiksi ne tulevat. Kummassakin tapauksessa funktion arvot *hajaantuvat*. Ensin mainitussa tilanteessa sanotaan myös, että *funktion arvo on ääretön, kun muuttuja x on ääretön* taikka *äärettömässä funktio tulee äärettömäksi*. Toisessa tilanteessa *funktio on miinus ääretön, kun x on miinus ääretön* taikka *miinus äärettömässä funktiosta tulee miinus ääretön*.

### Suppeneminen ja hajaantuminen

Funktion epäoleellisella raja-arvolla tarkoitetaan funktion arvojen tutkimista, kun muuttujan arvo joko kasvaa tai vähenee rajatta. Tällöin sanotaan, että muuttuja on *plus ääretön* tai *miinus ääretön*. Kyseessä ei ole enää funktion käyttäytymisestä yhden pisteen lähiympäristössä, vaan sitä käytetään tutkittaessa funktion käyttäytymistä origosta katsottuna "kaukaisilla" arvoilla ja hyvin pitkillä väleillä. Tarkastelutapa poikkeaa siten tavallisesta funktion raja-arvosta.

Kun muuttujan arvo kasvaa rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=L.}
Funktion lauseke lasketaan tällöin yhä suuremmilla ja suuremmilla arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy plus ääretöntä"*). Kun muuttuja vähenee rajatta ja funktion arvot suppenevat, se merkitään

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)=L.}
Funktion lauseke lasketaan yhä pienemmillä (negatiivisilla) arvoilla (voidaan sanoa *"kun x lähestyy miinus ääretöntä"*). Tällöin sanotaan, että *"funktiolla on positiivisessa / negatiivisessa äärettömyydessä raja-arvo L"*.

Kun funktion arvot lähestyvät edellä kerrotulla tavalla lukua *L*, voidaan kuvaajaan piirtää vaakasuora {\displaystyle y=L}. Tätä suoraa kutsutaan funktion kuvaajan asymptootiksi.

Jos funktion arvot hajaantuvat eikä raja-arvoa ole olemassa, se merkitään esimerkiksi

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=+\infty ,}
jos tulos kasvaa rajatta ja 

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=-\infty ,}
jos tulos vähenee rajatta.

Funktion arvot hajaantuvat, jos funktion arvot eivät ole rajoitettuja. Jos vähenevä funktio ei ole rajoitettu alhaalta, tulee funktion epäoleelliseksi raja-arvoksi miinus ääretön. Ellei kasvava funktio ole rajoitettu ylhäältä, tulee funktion raja-arvoksi ääretön.

Hajaantuvan funktion kulkua voi "ohjata" vino asymptoottisuora tai -käyrä. Asymptootin selvittäminen mallintaa funktion kuvaajan kulkua selvemmin.

Määritelmä
----------

Funktion epäoleellinen raja-arvo, josta tässä otetaan esimerkkinä

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)=L,}
määritellään eksaktisti **epsilon-M-tekniikalla**

{\displaystyle |f(x)-L|<\epsilon {\text{, kun }}x>M\_{\epsilon },}
eli funktion arvo {\displaystyle f(x)} on {\displaystyle \epsilon }:n etäisyydellä raja-arvosta *L*, kun muuttuja *x* on ylittänyt rajan {\displaystyle M\_{\epsilon }}. Intuitiivisesta voidaan ajatella, että funktion arvot osuvat riittävän lähelle raja-arvoa *L*, kunhan muuttuja *x* kasvatetaan tarpeeksi suureksi.

### Esimerkki suppenemisesta ja hajaantumisesta

Funktion {\displaystyle f(x)={1 \over x}} epäoleellinen suppeneminen kohti arvoa nolla voidaan osoittaa seuraavasti. Kun {\displaystyle x\geq 1}, on aina {\displaystyle {1 \over x}<x}. Valittiinpa luku {\displaystyle \epsilon >0} kuinka pieneksi tahansa, löytyy lopulta aina sellainen muuttujan *x* raja {\displaystyle x\geq M>1}, että

{\displaystyle |{1 \over x}-0|={1 \over |x|}\leq {1 \over M}<\epsilon ,}
missä {\displaystyle M>{1 \over \epsilon }}. Näin ollen funktio {\displaystyle f(x)={1 \over x}} suppenee nollaksi, kun *x* kasvaa rajatta.

Funktion {\displaystyle f(x)=x^{5}} epäoleellinen hajaantuminen äärettömyydessä voidaan osoittaa seuraavasti. Kun {\displaystyle x\geq 1}, on aina {\displaystyle x^{5}\geq x}, joten valittiinpa luku {\displaystyle M>1} miten suureksi tahansa, on {\displaystyle x^{5}>M} heti, kun {\displaystyle x>M}. Siten funktio {\displaystyle f(x)=x^{5}} hajaantuu äärettömäksi, kun muuttuja *x* kasvaa yli kaikkien rajojen.

Esimerkkejä alkeisfunktioista
-----------------------------

| Alkeisfunktio {\displaystyle f(x)} | Esimerkkejä | {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }f(x)} | {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }f(x)} |
| --- | --- | --- | --- |
| potenssifunktio {\displaystyle x^{n}}, missä n on pariton | {\displaystyle x,\,x^{3},\,x^{5},\dots } | {\displaystyle -\infty } | {\displaystyle +\infty } |
| potenssifunktio {\displaystyle x^{n}}, missä n on parillinen | {\displaystyle x^{2},\,x^{4},\,x^{6},\dots } | {\displaystyle +\infty } | {\displaystyle +\infty } |
| juurifunktio {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}, missä n on pariton | {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}},\,{\sqrt[{5}]{x}},\dots } | {\displaystyle -\infty } | {\displaystyle +\infty } |
| juurifunktio {\displaystyle {\sqrt[{n}]{x}}}, missä n on parillinen | {\displaystyle {\sqrt {x}},\,{\sqrt[{4}]{x}},\dots } | {\displaystyle {\text{ei määritelty}}} | {\displaystyle +\infty } |
| eksponenttifunktio {\displaystyle a^{x}}, missä {\displaystyle a>1} | {\displaystyle 2^{x},\,e^{x},\,10^{x},\dots } | {\displaystyle 0} | {\displaystyle +\infty } |
| eksponenttifunktio {\displaystyle a^{x}}, missä {\displaystyle a=1} | {\displaystyle 1^{x}} | {\displaystyle 1} | {\displaystyle 1} |
| eksponenttifunktio {\displaystyle a^{x}}, missä {\displaystyle 0<a<1} | {\displaystyle 0,5^{x},\,2^{-x},\dots } | {\displaystyle +\infty } | {\displaystyle 0} |
| logaritmifunktio {\displaystyle \log \_{b}x}, missä {\displaystyle b>1} | {\displaystyle \log \_{2}x,\,\ln x,\,\lg x,\dots } | {\displaystyle {\text{ei määritelty}}} | {\displaystyle +\infty } |

Epäoleelliseen raja-arvoon liittyviä sääntöjä
---------------------------------------------

### Esimerkki

Esimerkiksi polynomin {\displaystyle f(x)=x^{3}+x^{2}+x+1} käyttäytyminen äärettömyyksissä voidaan päätellä yksittäisten potenssien käyttäytymisestä. Kun lasketaan 

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }(x^{3}+x^{2}+x+1)}
ja huomioidaan, että {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }x^{3}=+\infty }, {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }x^{2}=+\infty }, {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }x=+\infty } ja {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }1=1},
saadaan

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }(x^{3}+x^{2}+x+1)=\infty +\infty +\infty +1=3\cdot \infty +1=\infty +1=\infty .}
Polynomi hajaantuu siten kohti {\displaystyle +\infty }.

### Äärettömän laskusääntöjä epäoleellisessa raja-arvossa

Seuraavat merkinnät tarkoittavat raja-arvojen tuloksia. Jos funktion arvot hajaantuvat kohti plus ääretöntä, merkitään sen tulosta {\displaystyle \infty }, jos ne hajaantuvat kohti miinus ääretöntä, niin se merkitään {\displaystyle -\infty }. Mikäli funktio suppenee kohti reaalilukua, merkitään se positiivisena {\displaystyle p} ja negatiivisena {\displaystyle n}. Tilanteissa, jossa raja-arvon merkillä ei ole väliä, se merkitään {\displaystyle a}. Aluksi on lueteltu tapauksia, jossa lopputulos voidaan päätellä.

| Yhteen- ja vähennyslaskut | Kertolaskut | Jakolaskut | Potenssit |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \infty +\infty =\infty } | {\displaystyle \infty \cdot \infty =\infty } | {\displaystyle {a \over \infty }=0} | {\displaystyle \infty ^{\infty }=\infty } |
| {\displaystyle -\infty +(-\infty )=-\infty } | {\displaystyle \infty \cdot (-\infty )=(-\infty )\cdot \infty =-\infty } | {\displaystyle {a \over -\infty }=0} | {\displaystyle \infty ^{-\infty }=0} |
| {\displaystyle a+\infty =\infty +a=\infty } | {\displaystyle -\infty \cdot (-\infty )=\infty } |  | {\displaystyle a^{\infty }=\infty }, kun {\displaystyle a>1} |
| {\displaystyle -\infty +a=a-\infty =-\infty } | {\displaystyle \infty \cdot p=p\cdot \infty =\infty } |  | {\displaystyle a^{\infty }=0}, kun {\displaystyle 0<a<1} |
|  | {\displaystyle \infty \cdot n=n\cdot \infty =-\infty } |  | {\displaystyle a^{-\infty }=0}, kun {\displaystyle a>1} |
|  | {\displaystyle -\infty \cdot p=p\cdot (-\infty )=-\infty } |  | {\displaystyle a^{-\infty }=\infty }, kun {\displaystyle 0<a<1} |
|  | {\displaystyle -\infty \cdot n=n\cdot (-\infty )=\infty } |  | {\displaystyle \infty ^{p}=\infty } |
|  |  |  | {\displaystyle \infty ^{n}=0} |

Seuraavien laskutoimitusten tulosta ei pystytä suoralta kädeltä määrittämään:

{\displaystyle \infty -\infty ,\,{\pm \infty \over \pm \infty },\,0\cdot (\pm \infty ),\,(\pm \infty )^{0},\,0^{\pm \infty },\,1^{\pm \infty }\,ja\,(-\infty )^{\pm \infty }.}

Katso myös
----------

* Funktion asymptootit
* Epäoleellinen integraali

Lähteet
-------

1. 1 2  Stover, Christopher.: Limit (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
2. 1 2 3 4  Alatupa, Sami & Hassinen, Sanna & Hemmo, Katariina & Leikas, Mika: *Pitkä Sigma 7*, s. 180–187. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Sanoma Pro, 2014. ISBN 978-952-63-0307-9.
3. ↑  Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: *Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi*, s. 42–46. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.
4. ↑  Weisstein, Eric W.: Infinity (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. 1 2  Weisstein, Eric W.: Indeterminate (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. 1 2 3 4  Hurri-Syrjänen, Ritva: Differentiaali- ja integraalilaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive), (luentomoniste, s. 36–38), Helsingin yliopisto, 1999
7. 1 2  Kontkanen, Pekka & Lehtonen, Jukka & Luosto, Kerkko: *Pyramidi 13 – Differentiaali- ja integraalilaskennan jatkokurssi*, s. 31–32. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Tammi. ISBN 978-951-26-5407-9.

Aiheesta muualla
----------------

* Jyväskylän yliopisto: Epäoleellinen raja-arvo, katsottu 4.10.2014
* Internetix: Raja-arvo käsitteen laajennus, Epäoleelliset raja-arvot, katsottu 4.10.2014