**Todennäköisyydet generoiva funktio** (lyhennetään joskus *tgf*) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä satunnaismuuttujan todennäköisyysjakaumasta määritelty funktio, jonka avulla voidaan laskea jakauman todennäköisyyksiä ja tekijämomentteja.[1]

Todennäköisyydet generoiva funktio voidaan määritellä sekä diskreeteille- että jatkuville satunnaismuuttujille. Se on kuitenkin käytännöllisempi diskreeteille satunnaismuuttujille, jonka tuloksia esitellään tässä.

Määritelmä
----------

Todennäköisyydet generoiva funktio on odotusarvo

{\displaystyle G(t)=E(t^{X}).} [2]
### Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetille satunnaismuuttujalle generoiva funktio on potenssisarja

{\displaystyle G(t)=\sum \_{i=0}^{\infty }f(x\_{i})t^{x\_{i}},}
jonka eri asteisten potenssien kertoimet ovat pistetodennäköisyysfunktion arvoja eri satunnaismuuttujan X arvoille x\_i. Muuttuja t on usein reaaliluku, mutta se voi olla myös kompleksiluku, sillä kaikki tarvittavat matemaattiset ominaisuudet periytyvät myös sille. Laittamalla muuttujan t arvoksi nolla, voidaan funktion derivaatoista poimia esille todennäköisyydet ja arvolla yksi, laskea niistä erilaisia summia.

Potenssisarja suppenee yleisesti reaaliluvuilla vain, jos {\displaystyle -1<t<1}. Siten arvo {\displaystyle t=0} on sallittu arvo. Sen sijaan arvo {\displaystyle t=1} ei välttämättä käy, sillä sarja ei silloin suppene yleisessä tapauksessa. Potenssisarjalla saattaa kuitenkin olla olemassa sarjan raja-arvo, kun ykköstä lähestytään vasemmalta päin. Jos näin on, niin raja-arvoa voidaan ilmaista miinus-merkillä

{\displaystyle \lim \_{t\to 1-}G(t)=G(1-).}
Todennäköisyyslaskennassa alueen voi laajentaa {\displaystyle -1\leq t\leq 1}, sillä summassa olevien todennäköisyyksien summa on aina yksi. Monissa teksteissä {\displaystyle G(1-)} merkitään siksi {\displaystyle G(1)}. Merkintää sovelletaan tässä myös derivaatoille.

### Jatkuva satunnaismuuttuja

Jatkuvalle satunnaismuuttujalle generoiva funktio määritetään

{\displaystyle G(t)=\int \_{-\infty }^{+\infty }t^{x}f\_{X}(x)\,dx.} [3]

Ominaisuuksia
-------------

### Funktion arvo: G(0)

Yleisessä tapauksessa, missä {\displaystyle X=\{x\_{0},x\_{1},x\_{2},\dots \}}, saadaan

{\displaystyle G(0)=\sum \_{i=0}^{\infty }f(x\_{i})\cdot 0^{x\_{i}}=0.} [4]
Erityistapauksessa, jossa {\displaystyle Y=\{i|i=0,1,2,3\dots \}=\{0,1,2,3,\dots \}} ja niiden todennäköisyydet vastaavasti {\displaystyle f(x\_{i})=f\_{i}=p\_{i}=P(X=i)}, tulee generoivasta funktiosta

{\displaystyle G(t)=\sum \_{i=0}^{\infty }p\_{i}\cdot t^{y\_{i}}=p\_{0}t^{0}+p\_{1}t^{1}+p\_{2}t^{2}+\dots ,} [2]
josta saadaan

{\displaystyle G(0)=\sum \_{i=0}^{\infty }p\_{i}\cdot 0^{y\_{i}}=p\_{0},} [4]
kunhan {\displaystyle \lim \_{t\to 0}p\_{0}\cdot t^{y\_{0}}=\lim \_{t\to 0}p\_{0}\cdot t^{0}=p\_{0}.} [4]

### Funktion arvo: G(1-)

Yleisessä tapauksessa, missä {\displaystyle X=\{x\_{0},x\_{1},x\_{2},\dots \}}, saadaan

{\displaystyle G(1-)=\lim \_{t\to 1-}G(t)=\lim \_{t\to 1-}\left(\sum \_{i=0}^{\infty }f(x\_{i})\cdot t^{x\_{i}}\right)=\sum \_{i=0}^{\infty }f(x\_{i})\cdot 1^{x\_{i}}=\sum \_{i=0}^{\infty }f(x\_{i})=1,}
sillä satunnaismuuttujan kaikkien arvojen todennäköisyyksien summa on aina yksi.[4]

### Riippumattomat satunnaismuuttujat

Jos muodostetaan uusi satunnaismuuttuja Y kahdesta riippumattomasta satunnaismuuttujasta X\_{1} ja X\_{2} merkitsemällä {\displaystyle Y=X\_{1}+X\_{2}}, voidaan uusi generoiva funktio muodostaa vanhojen avulla

{\displaystyle G\_{Y}(t)=G\_{X\_{1}}(t)G\_{X\_{2}}(t).} [2]
### Momentit generoiva funktio

Satunnaismuuttujan momentit generoiva funktio on odotusarvo

{\displaystyle M(t)=E[e^{tX}].} [2]
Momenttifunktio voidaan kirjoittaa todennäköisyydet generoivan funktion avulla

{\displaystyle M(t)=G(e^{t}).} [2]

Tekijämomentit
--------------

Sarjan derivointi suoritetaan jokaiselle sarjan termille yksittäin seuraavasti: [4]

{\displaystyle G(t)=E(t^{X})=\sum \_{i=1}^{\infty }f(x\_{i})t^{x\_{i}}}
{\displaystyle G'(t)=D\left(\sum \_{i=1}^{\infty }f(x\_{i})t^{x\_{i}}\right)=x\_{1}f(x\_{1})t^{x\_{1}-1}+x\_{2}f(x\_{2})t^{x\_{2}-1}+x\_{3}f(x\_{3})t^{x\_{3}-1}+\dots }
{\displaystyle G''(t)=D^{2}\left(\sum \_{i=1}^{\infty }f(x\_{i})t^{x\_{i}}\right)=x\_{1}(x\_{1}-1)f(x\_{1})t^{x\_{1}-2}+x\_{2}(x\_{2}-1)f(x\_{2})t^{x\_{2}-2}+x\_{3}(x\_{3}-1)f(x\_{3})t^{x\_{3}-2}+\dots }
Ensimmäisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

{\displaystyle G'(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}f(x\_{i})t^{x\_{i}-1}}
ja sen arvo ykkösessä antaa

{\displaystyle G'(1-)=\lim \_{t\to 1-}G(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}f(x\_{i})1^{x\_{i}-1}=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}f(x\_{i})=E[X]} [2]
eli tuloksena on satunnaismuuttujan odotusarvo. Toisen derivoinnin tulokset voidaan kirjoittaa

{\displaystyle G''(t)=G^{(2)}(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}(x\_{i}-1)f(x\_{i})t^{x\_{i}-2}}
ja sen arvo ykkösessä on

{\displaystyle G''(1-)=\lim \_{t\to 1-}G^{(2)}(t)=\lim \_{t\to 1-}\left(\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}(x\_{i}-1)f(x\_{i})t^{x\_{i}-2}\right)}
{\displaystyle =\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}(x\_{i}-1)f(x\_{i})1^{x\_{i}-2}=\sum \_{i=1}^{\infty }x\_{i}(x\_{i}-1)f(x\_{i})=E[X(X-1)]}
eli satunnaismuuttujan toinen tekijämomentti. Odotusarvo voidaan tulkita siten ensimmäiseksi tekijämomentiksi.
Yleisesti, kun on otettu r:s derivaatta, saadaan 

{\displaystyle G^{(r)}(1)=E[X^{(r)}]=E[X(X-1)(X-2)\dots (X-r+1)]} [4][2]
eli r:s tekijämomentti.

Todennäköisyysarvot
-------------------

Erityistapauksessa, jossa {\displaystyle Y=\{0,1,2,3,\dots \}} ja niiden todennäköisyydet vastaavasti {\displaystyle f(x\_{i})=p\_{i}=P(Y=i)}, saadaan derivaatoista määritetty pistetodennäköisyydet p\_i. Generoiva funktio on nyt

{\displaystyle G(t)=\sum \_{i=0}^{\infty }p\_{i}\cdot t^{y\_{i}}=p\_{0}t^{0}+p\_{1}t^{1}+p\_{2}t^{2}+\dots } [2]
ja sen ensimmäinen derivaatta on

{\displaystyle G'(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }y\_{i}p\_{i}t^{y\_{i}-1}=0\cdot p\_{0}t^{-1}+1\cdot p\_{1}t^{0}+2p\_{2}t^{1}+3p\_{3}t^{2}\dots =p\_{1}t^{0}+2p\_{2}t^{1}+3p\_{3}t^{2}+\dots .}
Sijoittamalla siihen {\displaystyle t=0} saadaan

{\displaystyle G'(0)=p\_{1}0^{0}+2p\_{2}0^{1}+3p\_{3}0^{2}+\dots =p\_{1},}
kun tilanteessa "0^{0}" huomataan {\displaystyle \lim \_{t\to 0}t^{0}=1.} Toinen derivaatta antaa

{\displaystyle G''(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }y\_{i}({y\_{i}-1})p\_{i}t^{y\_{i}-2}=1\cdot 0\cdot p\_{1}t^{-1}+2\cdot 1p\_{2}t^{0}+3\cdot 2p\_{3}t^{1}+4\cdot 3p\_{4}t^{3}+\dots =2p\_{2}t^{0}+6p\_{3}t^{1}+12p\_{4}t^{2}+\dots }
ja sijoittamalla taas {\displaystyle t=0} saadaan

{\displaystyle G''(0)=2p\_{2}0^{0}+6p\_{3}0^{1}+12p\_{4}0^{2}+\dots =2p\_{2}.}
Pienellä päättelyllä saadaan todennäköisyydet laskettua

{\displaystyle p\_{k}={\frac {G^{(k)}(0)}{k!}}.} [2]
Tästä lausekkeesta voidaan ymmärtää funktion nimi: *todennäköisyydet generoiva funktio*.

Esimerkki: noppa
----------------

Noppapeleissä käytetään arpakuutiota, jolla arvotaan kuusi lukua 1−6 ja jonka eri lukujen todennäköisyydet ovat yhtä todennäköisiä (eli noppa antaa luvun i todennäköisyydellä {\displaystyle P(X=i)={\tfrac {1}{6}}}. Muodostetaan todennäköisyydet generoiva funktio

{\displaystyle G(t)=\sum \_{i=1}^{\infty }f(x\_{i})t^{x\_{i}}=P(X=1)t^{1}+P(X=2)t^{2}+P(X=3)t^{3}+P(X=4)t^{4}+\dots ,}
jolla on ominaisuus

{\displaystyle G(1)={\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{1}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{2}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{3}+{\tfrac {1}{6}}\cdot 1^{4}+\dots ={\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+{\tfrac {1}{6}}+0+0+\dots =1}
eli todennäköisyyksien summa on yksi.[5]

Koska todennäköisyydet ovat samat ja muualla nolla, on sarja itse asiassa summa:

{\displaystyle G(t)={\tfrac {1}{6}}t^{1}+{\tfrac {1}{6}}t^{2}+{\tfrac {1}{6}}t^{3}+{\tfrac {1}{6}}t^{4}+{\tfrac {1}{6}}t^{5}+{\tfrac {1}{6}}t^{6}}
{\displaystyle ={\tfrac {1}{6}}\left(t^{1}+t^{2}+t^{3}+t^{4}+t^{5}+t^{6}\right).}
### Tekijämomentit ja varianssi

Derivaatta kohdassa yksi on

{\displaystyle G'(t)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)t^{1}+3P(X=3)t^{2}+4P(X=4)t^{3}+\dots } [5]
ja

{\displaystyle G'(1)=1\cdot P(X=1)+2P(X=2)+3P(X=3)+4P(X=4)+\dots }
{\displaystyle =1\cdot {\tfrac {1}{6}}+2\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot {\tfrac {1}{6}}+5\cdot {\tfrac {1}{6}}+6\cdot {\tfrac {1}{6}}+0+0+\dots ={\tfrac {7}{2}}=E[X].} [5] (odotusarvo)
Toinen derivaatta kohdassa yksi on

{\displaystyle G''(t)=2\cdot 1P(X=2)t^{0}+3\cdot 2P(X=3)t^{1}+4\cdot 3P(X=4)t^{2}+\dots } [5]
ja

{\displaystyle G''(1)=2\cdot 1\cdot {\tfrac {1}{6}}+3\cdot 2\cdot {\tfrac {1}{6}}+4\cdot 3\cdot {\tfrac {1}{6}}+\dots ={\tfrac {35}{3}}=E[X(X-1)].} [5] (ensimmäinen tekijämomentti)
Huomaa, miten saadaan varianssi näistä kahdesta tuloksesta

{\displaystyle G''(1)+G'(1)-(G'(1))^{2}={\tfrac {35}{3}}+{\tfrac {7}{2}}-\left({\tfrac {7}{2}}\right)^{2}={\tfrac {35}{12}}=Var(X).} [4][5]

Lähteet
-------

1. ↑  Liski, Erkki: Luku 3 Satunnaismuuttujat, ehdollistaminen ja riippumattomuus, s.91−92, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Matematika Intézet: Ch4: Generating functions, Budapesti, Unkari
3. ↑  Esquível, Manuel L.: Probability Generating Functions for Discrete Real Valued Random Variables, 2011, Universidade Nova de Lisboa, Portugali
4. 1 2 3 4 5 6 7  Gribakin, Gleb: Ch 3.: Probability Generating Functions, s.39−41, kurssin Probability and Distribution Theory luentomoniste, 2002, Queen’s University, Belfast, Irlanti
5. 1 2 3 4 5 6  King, Frank:Ch 6: Probability Generating Functions, kurssin Probability luentomoniste, 2007-08, University of Cambridge, Englanti

Aiheesta muualla
----------------

* Cut the Knot's: Probability generating functions