**Sigma-algebra** (myös **σ-algebra**) on mittateoriassa olennainen joukkoperhe, joka on tietyn perusjoukon osajoukkojen rakennelma. Esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa sigma-algebra tulkitaan havaitsijalle eroteltavissa olevien satunnaiskokeen lopputulosten joukkona.

Sigma-algebran määritelmä
-------------------------

Olkoon \Omega mielivaltainen epätyhjä joukko. Sigma-algebra *perusjoukolla* \Omega on sen osajoukkojen joukkoperhe {\displaystyle {\mathcal {F}}}, joka toteuttaa ehdot:

1. {\displaystyle \varnothing \in {\mathcal {F}}}
2. jos {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}}, niin A:n komplementtijoukko {\displaystyle A^{c}\in {\mathcal {F}}}
3. jos {\displaystyle A\_{k}\in {\mathcal {F}}} kaikilla {\displaystyle k\in K}, missä K on numeroituva joukko, niin {\displaystyle \bigcup \_{k\in K}A\_{k}\in {\mathcal {F}}}.

Sigma-algebran ominaisuuksia
----------------------------

Sigma-algebran {\displaystyle {\mathcal {F}}} ominaisuuksia:

* perusjoukko kuuluu sigma-algebraansa, eli {\displaystyle \Omega \in {\mathcal {F}}}
* Sigma-algebran joukkojen väliset yleisimmät joukko-operaatiot tuottamat joukot kuuluvat kyseiseen sigma-algebraan. Jos {\displaystyle A\in {\mathcal {F}}} ja {\displaystyle B\in {\mathcal {F}}}, niin esimerkiksi {\displaystyle A\cup B\in {\mathcal {F}}}, {\displaystyle A\cap B\in {\mathcal {F}}} ja {\displaystyle A\setminus B\in {\mathcal {F}}}
* jos {\displaystyle A\_{k}\in {\mathcal {F}}} kaikilla {\displaystyle k\in K}, missä K on numeroituva, niin {\displaystyle \bigcap \_{k\in K}A\_{k}\in {\mathcal {F}}}
* sigma-algebrojen välinen mielivaltainen leikkaus on sigma-algebra

Sigma-algebraan liittyviä käsitteitä
------------------------------------

**Triviaali sigma-algebra** on joukko {\displaystyle \{\varnothing ,\Omega \}}. Se on suppein sigma-algebra.

Sigma-algebran {\displaystyle {\mathcal {F}}} **ali-sigma-algebra** on joukkoperhe 
{\displaystyle {\mathcal {A}}\subset {\mathcal {F}}}, joka on sigma-algebra samalla perusjoukolla. Esimerkiksi triviaali sigma-algebra on minkä tahansa samalla perusjoukolla määritellyn sigma-algebran alisigma-algebra.

Olkoon \mathcal{B} mielivaltainen joukkoperhe joukon \Omega osajoukkoja. **Joukkoperheen \mathcal{B} virittämä sigma-algebra**, jota merkitään {\displaystyle \sigma ({\mathcal {B}})}, on suppein sigma-algebra, jolla {\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \sigma ({\mathcal {B}})}.

Olkoon f kuvaus {\displaystyle \Omega \rightarrow \mathbb {R} }. **Kuvauksen f virittämä sigma-algebra**, jota merkitään {\displaystyle \sigma (f)}, on suppein sigma-algebra, jonka suhteen f on mitallinen. {\displaystyle \sigma (f\_{1},f\_{2})} on suppein sigma-algebra, jonka suhteen f\_{1} ja {\displaystyle f\_{2}} ovat mitallisia.

Olkoon {\displaystyle {\mathcal {F}}} sigma-algebra ja {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}} sen alisigma-algebra jokaisella {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Jos {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{n}\subset {\mathcal {F}}\_{n+1}} jokaisella {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, niin {\displaystyle ({\mathcal {F}}\_{n})\_{n\in \mathbb {N} }} on **historia** tai **informaatiovirta**, joka on siis kasvava jono sigma-algebroja.

Tärkeimpiä sigma-algebroja
--------------------------

Erityisesti reaalilukujen Borel-joukot muodostavat mittateoriassa tärkeän sigma-algebran. Samoin Lebesgue-mitalliset joukot.

Kirjallisuutta
--------------

* Jalava, Väinö: *Moderni analyysi I*. 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.

Aiheesta muualla
----------------

* MathWorld. Sigma-Algebra