*Tämä artikkeli käsittelee matematiikan osa-aluetta. Katso täsmennyssivu muille merkityksille.*
Kahvikupin muunnos torukseksi
**Topologia** on matematiikan alue, joka käsittelee topologisiksi avaruuksiksi kutsuttuja piste­joukkoja ja niiden sellaisia ominaisuuksia, jotka säilyvät homeo­morfis­meissa, toisin sanoen sellaisissa jatkuvissa bijektiivi­sissä kuvauksissa, joiden käänteis­kuvaukset ovat myös jatkuvia. 

Tyypillisiä topologisia ominaisuuksia ovat kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo sekä alueen yhtenäisyys, samoin alueessa mahdollisesti olevien "reikien" lukumäärä. Sen sijaan monet tärkeät geo­metriset käsitteet kuten etäisyydet ja kulmat eivät ole topologisia käsitteitä, sillä ne eivät yleensä säily homeo­morfis­meissa.

Geometrisessa topologiassa kaksi oliota ovat samat eli homeo­morfiset, jos ne voidaan muuttaa toisikseen "jatkuvalla muunnoksella"

Avoimet joukot ja topologia
---------------------------

On osoittautunut, että kaikki topologiset käsitteet voidaan määritellä avoimen joukon käsitteen avulla. Tämän vuoksi tämä käsite on nykyisin otettu topologian perus­käsitteeksi. Teknisenä terminä topo­logialla tarkoitetaan sellaista kokoelmaa {\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)} jonkin perus­joukon osajoukkoja, joka täyttää seuraavat ehdot:

* Koko perusjoukko ja tyhjä joukko kuuluvat siihen,
* Se sisältää joukkojensa mielivaltaiset yhdisteet, ja
* Se sisältää joukkojensa äärelliset leikkaukset.

Tällöin kyseisen kokoelman {\displaystyle {\mathcal {T}}\subset {\mathcal {P}}(X)} alkioita {\displaystyle U\in {\mathcal {T}}} sanotaan (perusjoukon) avoimiksi joukoiksi ja perusjoukon ja sen topologian muodostamaa paria {\displaystyle (X,{\mathcal {T}})} topologiseksi avaruudeksi.

Diskreettitopologia ja minitopologia
------------------------------------

Ensimmäisestä ehdosta nähdään, että avaruuden X topologiaan kuuluvat ainakin alkiot {\displaystyle \emptyset } ja X. Edelleen näiden joukkojen kokoelma toteuttaa myös kaksi muuta topologian ehtoa, jolloin kyseistä topologiaa kutsutaan minitopologiaksi tai indiskreetiksi topologiaksi. Myös X:n potenssijoukko {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} on eräs X:n topologia, diskreetti topologia. Siten X:n indiskreettitopologia on aina X:n diskreetin topologian osajoukko.

Saman avaruuden topologiat
--------------------------

Yleisesti jos T\_1 ja T\_2 ovat joukon X kaksi topologiaa ja {\displaystyle T\_{1}\subset T\_{2}}, sanotaan että T\_1 on karkeampi eli heikompi kuin T\_2. Vastaavasti topologia T\_2 on hienompi eli vahvempi kuin T\_1. Jos on annettu kaksi saman avaruuden topologiaa joista kumpikaan ei ole toisen osajoukko, ei näiden kahden topologian karkeutta voida vertailla keskenään.

Metrisen avaruuden topologia
----------------------------

Jokainen metrinen avaruus eli joukko, jossa kahden pisteen välille on määritelty etäisyys, metriikka, on samalla topo­loginen avaruus. Tällöin avoimia joukkoja eli perusjoukon topo­logiaan kuuluvia joukkoja ovat ne, joissa joukon jokaisella pisteellä on ympäristö, joka kokonaan kuuluu kyseiseen joukkoon, toisin sanoen jokaista joukon pistettä *x* kohti voidaan valita sellainen posi­tiivinen luku \epsilon , että jos *d (x, y) < \epsilon , niin y kuuluu myös kyseiseen joukkoon. Tällaisten avointen joukkojen muodostamaa topo­logiaa sanotaan kyseisen metriikan määräämäksi topo­logiaksi.*

Samassa joukossa voidaan kuitenkin määritellä useita täysin eri metriikkoja, jotka määräävät saman topo­logian. Metriikka sinänsä ei olekaan avaruuden topo­loginen ominaisuus. Toisaalta on olemassa topo­logisia avaruuksia, joiden topologiaa ei voida määrätä minkään metriikan avulla; tällaiset avaruudet eivät ole metristyviä.

### Esimerkkejä

Reaalilukujen joukossa \mathbb {R}  nimitetään *tavan­­omaiseksi topo­logiaksi* metriikan

d(x, y) = | y - x |
määräämää topo­logiaa. Tässä metriikassa siis lukujen tai niitä vastaavien lukusuoran pisteiden etäisyys on yksin­kertaisesti niiden erotuksen itseisarvo. Tällöin avoimia joukkoja ovat muun muassa kaikki avoimet välit sekä joukot, jotka saadaan tällaisten yhdisteinä. Vastaavasti jokaisessa euklidisessa avaruudessa \mathbb{R}^n tavanomaiseksi topo­logiaksi nimitetään luonnollisen metriikan

{\displaystyle d((x\_{1},x\_{2},...x\_{n}),(y\_{1},y\_{2},...y\_{n}))={\sqrt {(y\_{1}-x\_{1})^{2}+(y\_{2}-x\_{2})^{2}+...+(y\_{n}-x\_{n})^{2}}}}
määräämää topologiaa. 

Näissä tapauksissa kaikki avointen joukkojen avulla määri­teltävät topo­logiset käsitteet kuten kuvauksen jatkuvuus ja raja-arvo osoittautuvat yhtä­pitäväksi sen kanssa, miten vastaavat käsitteet voidaan määritellä lukujen erotuksen tai avaruuden pisteiden etäisyyden avulla.

Historia
--------

Topologian alaan kuuluvia käsitteitä käytettiin differentiaali- ja integraali­laskennassa jo 1600-luvulla. Seuraavalla vuosi­sadalla muun muassa Leonhard Euler käsitteli eräissä artikke­leissaan topo­logian alaan kuuluvia kysymyksiä. 

Järjestelmällisesti topo­logiaa alettiin kuitenkin kehittää vasta 1800-luvun lopulla. Avoimen joukon käsitteen otti euklidisissa avaruuksissa käyttöön Georg Cantor 1880-luvulla.  Metrisen avaruuden käsitteen määritteli Fréchet vuonna 1906.  Topologisen avaruuden käsitteen määritteli peri­aatteessa ensimmäisenä Hausdorff vuonna 1914, joskin hänen antamaansa määritelmään sisältyi eräs lisäehto, jonka täyttäviä avaruuksia sanotaan nykyään Hausdorff-avaruuksiksi.  Yleisemmän topo­logisen avaruuden käsitteen, jossa tämä lisä­ehto ei välttämättä ole voimassa, määritteli Kazimierz Kuratowski vuonna 1922.

Käsitteitä
----------

* Avaruus
* Kompaktius
* Yhtenäisyys
* Polkuyhtenäisyys
* Jatkuva kuvaus
* Avoin joukko
* Suljettu joukko
* Homeomorfismi
* Lineaarikuvaus
* Piste
* Täydellisyys
* Algebrallinen topologia
* Yleinen topologia

Eräitä topologian alaan kuuluvia erityiskysymyksiä
--------------------------------------------------

* Möbiuksen nauha
* Königsbergin siltaongelma

Lähteet
-------

* Väisälä, Jussi: *Topologia I, 5. korjattu painos*. Helsinki: Limes ry, 2012. ISBN 978-951-745-216-8.
* Väisälä, Jussi: *Topologia II*. Limes ry, 1999. ISBN 951-745-185-7.
* Suominen, Kalevi & Vala, Klaus: *Topologia*. Gaudeamus, 1965. ISBN 951-662-050-7.
* Jalava, Väinö: *Moderni analyysi I*. Opintomoniste 15. Tampere: TTKK, 1976. ISBN 951-720-223-7.
* Lipschutz, Seymour: *General Topology*. Schaum's outlines. McGraw-Hill, 1977. ISBN 0-07-037988-2.
* Bergamini, David: *Lukujen maailma*. Suomentanut Pertti Jotuni. Sanoma Osakeyhtiö, 1972.
* Hart, Michael H.: *Ihmiskunnan 100 suurinta, Maailmanhistorian sata merkittävintä henkilöä tärkeysjärjestyksessä*. Suomentanut Risto Mäenpää. Artefakti, 1979. ISBN 951-99229-1-1.

### Viitteet

1. 1 2 3 4  Suominen & Vala: *Topologia*, Johdanto, s. 1–2
2. ↑  Väisälä 2012, 32
3. ↑  Hart, s. 386
4. ↑  Bergamini, s. 188

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Topologia (matematiikka)** Wikimedia Commonsissa