**Osittaisintegrointi** on matematiikassa menetelmä, jolla useissa tapauksissa voidaan integroida kahden tai useamman funktion tulona muodostettu funktio yhden funktion derivaatan ja toisen integraalifunktion eli anti­derivaatan avulla. Sen avulla voidaan usein muuntaa funktioiden tulon integraali muotoon, jossa se on helpommin määritettävissä. Osittais­integrointi­sääntö seuraa suoraan funktioiden tulon derivoimis­säännöstä.
sovelluksena integraalilaskentaan.

Jos {\displaystyle u=u(x)} ja {\displaystyle du=u'(x)\,dx}, kun taas {\displaystyle v=v(x)} ja {\displaystyle dv=v'(x)dx}, osoittaisintegrointisäännön mukaan on

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}\_{a}^{b}-\int \_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int \_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}
Tämä voidaan lyhemmin ilmaista muodossa

{\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}
Osittais­integroinnin avulla voidaan useissa tapauksissa määrittää sekä annetun funktion integraalifunktio että sen Riemannin integraali jonkin annetun välin yli. Säännöstä on myös yleisempiä muotoiluja, joiden avulla voidaan määrittää myös Riemann-Stieltjes- ja Lebesgue-Stieltjes-integraaleja. Säännön analoginen vastine sarjoille tunnetaan osittais­summauksena.

Osittais­integroinnin keksi Brook Taylor, joka julkaisi säännön ensimmäisen kerran vuonna 1715.

Lause
-----

### Kahden funktion tulo

Osittais­integroinnin perustana oleva lause voidaan todistaa seuraavasti. Kun *u*(*x*) ja *v*(*x*) ovat jatkuvasti differenti­oituvia funktioita, tulon derivoimis­säännön mukaan on:

{\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\ =\ v(x)u'(x)+u(x)v'(x).}
Kun yhtälön molemmat puolet integroidaan *x*:n suhteen:

{\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}
ja kun otetaan huomioon, että rajoiltaan määrittämätön integrointi on derivoinnin käänteis­toimitus, saadaan:

{\displaystyle u(x)v(x)\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}
missä integroimisvakiota ei ole kirjoitettu näkyviin. Tästä saadaan seuraava *osittais­integroinnin* kaava:

{\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}
mikä differentiaalien avulla voidaan kirjoittaa myös muotoon {\displaystyle \ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad }

{\displaystyle \int u(x)\,dv\ =\ u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}
Tämän on ymmärrettävä sellaisten funktioiden yhtä­suuruudeksi, joista kumpaankin on lisätty määrittämätön vakio. Laskemalla kummallekin puolelle kahden arvon, *x* = *a* ja *x* = *b*, erotus ja soveltamalla analyysin peruslausetta saadaan määrättyä integraalia koskeva versio:

> {\displaystyle \int \_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int \_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.}
> 
> 

Alkuperäinen integraali ∫ *uv*′ *dx* sisältää derivaatan *v*′. Lauseen soveltamiseksi on löydettävä *v*':n integraalifunktio (antiderivaatta ja laskettava tuloksena saatu integraali ∫ *vu*′ *dx*.

### Pätevyys vähemmän sileille funktiolle

Osittais­integrointi ei välttämättä edellytä, että funktiot *u* ja *v* ovat jatkuvasti differoituvia. Riittää, että *u* on absoluuttisesti jatkuva ja *v*:llä merkitty funktio Lebesgue-integroituva, ei välttämättä edes jatkuva. (Jos *v*:llä on epä­jatkuvuus­kohta, sen integraalifunktio *v* ei voi kyseisessä pisteessä olla derivoituva.)

Jos integroimisväli ei ole kompakti, *u*:n ei tarvitse välttämättä olla absoluuttisesti jatkuva eikä *v*:n Lebesgue-integroituva kyseisellä välillä. Tämän osoittavat seuraavat esimerkit, joissa *u* ja *v* ovat jatkuvia ja jatkuvasti differentioituvia. Esimerkiksi jos 

{\displaystyle u(x)=\exp(x)/x^{2},\,v'(x)=\exp(-x)}
*u* ei ole absoluuttisesti jatkuva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}\_{1}^{\infty }-\int \_{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}
mikäli {\displaystyle \left[u(x)v(x)\right]\_{1}^{\infty }}:n katsotaan tarkoittavan lausekkeen {\displaystyle u(L)v(L)-u(1)v(1)} raja-arvoa, kun {\displaystyle L\to \infty } ja kunhan molemmat oikealla puolella olevat termit ovat äärellisiä. Tämä pätee vain, jos valitaan {\displaystyle v(x)=-\exp(-x).} Samoin jos

{\displaystyle u(x)=\exp(-x),\,v'(x)=x^{-1}\sin(x)}
*v*′ ei ole Lebesgue-integroituva välillä [1, ∞), mutta siitä huolimatta

{\displaystyle \int \_{1}^{\infty }u(x)v'(x)\,dx={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}\_{1}^{\infty }-\int \_{1}^{\infty }u'(x)v(x)\,dx}
samoilla edellytyksillä.

Vastaavia esimerkkejä, joissa *u* ja *v* eivt ole jatkuvasti differentoituvia, voidaan myös helposti muodostaa.

Lisäksi jos funktio {\displaystyle f(x)} on rajoitettu välillä {\displaystyle [a,b],} ja {\displaystyle \varphi (x)} differentioituva välillä {\displaystyle [a,b],}, on 

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\varphi '(x)\,dx=-\int \_{-\infty }^{\infty }{\widetilde {\varphi }}(x)\,d({\widetilde {\chi }}\_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x)),}
missä {\displaystyle d(\chi \_{[a,b]}(x){\widetilde {f}}(x))} tarkoittaa etumerkillä varustettua mittaa, joka vastaa rajoitetusti vaihtelevaa funktiota {\displaystyle \chi \_{[a,b]}(x)f(x)}, ja funktiot {\displaystyle {\widetilde {f}},{\widetilde {\varphi }}} ovat {\displaystyle f,\varphi }

n laajennuksia koko {\displaystyle \mathbb {R} ,}:ään, joista edellinen on rajoitetusti vaihteleva ja jälkimmäinen differentioituva.
### Useamman funktion tulo

Kolmen funktion, *u*(*x*), *v*(*x*), *w*(*x*), tulolle saadaan vastaava tulos:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}uv\,dw\ =\ {\Big [}uvw{\Big ]}\_{a}^{b}-\int \_{a}^{b}uw\,dv-\int \_{a}^{b}vw\,du.}
Yleisemin *n* funktion tulolle pätee:

{\displaystyle \left(\prod \_{i=1}^{n}u\_{i}(x)\right)'\ =\ \sum \_{j=1}^{n}u\_{j}'(x)\prod \_{i\neq j}^{n}u\_{i}(x),}
mistä saadaan

{\displaystyle \left[\prod \_{i=1}^{n}u\_{i}(x)\right]\_{a}^{b}\ =\ \sum \_{j=1}^{n}\int \_{a}^{b}u\_{j}'(x)\prod \_{i\neq j}^{n}u\_{i}(x).}

Havainnollistus
---------------

Osittais­integronnin graafinen tulkinta. Kuvioon merkitty käyrä on parametroitu muuttujalla t.
Tarkastellaan parametrimuodossa esitettyä käyrä (*x*, *y*) = (*f*(*t*), *g*(*t*)). Edellyttäen, että käyrä on lokaalisti injektio ja integroituva voidaan määritellä:

{\displaystyle x(y)=f(g^{-1}(y))}
{\displaystyle y(x)=g(f^{-1}(x))}
Oheisessa kaaviossa sinisellä merkityn alueen pinta-ala on

{\displaystyle A\_{1}=\int \_{y\_{1}}^{y\_{2}}x(y)\,dy}
ja punaisella merkityn

{\displaystyle A\_{2}=\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}y(x)\,dx}
Näiden summa *A*1 + *A*2 on yhtä kuin suuremman ja pienemmän suorakulmion pinta-alojen erotus, {\displaystyle x\_{2}y\_{2}-x\_{1}y\_{1}}, toisin sanoen:

{\displaystyle \overbrace {\int \_{y\_{1}}^{y\_{2}}x(y)\,dy} ^{A\_{1}}+\overbrace {\int \_{x\_{1}}^{x\_{2}}y(x)\,dx} ^{A\_{2}}\ =\ {\biggl .}x\cdot y(x){\biggl |}\_{x\_{1}}^{x\_{2}}\ =\ {\biggl .}y\cdot x(y){\biggl |}\_{y\_{1}}^{y\_{2}}.}
Eli parametrin *t* avulla sanottuna:

{\displaystyle \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}x(t)\,dy(t)+\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}y(t)\,dx(t)\ =\ {\biggl .}x(t)y(t){\biggl |}\_{t\_{1}}^{t\_{2}}}
Käyttämällä määräämättömiä integraaleja tämä voidaan kirjoittaa muotoon

{\displaystyle \int x\,dy+\int y\,dx\ =\ xy}
tai siirtämällä termejä yhtälön toiselle puolelle edelleen muotoon

{\displaystyle \int x\,dy\ =\ xy-\int y\,dx}
Osoittaisintegrointi voidaan siis käsittää keinoksi, jolla sinisen alueen pinta-ala voidaan laskea suorakulmioiden ja punaisen alueen pinta-alojen avulla.

Tämä havainnollistus selittää myös sen, että osittais­integroinnilla voidaan usein määrittää käänteisfunktion *f*−1(*x*) integraali, kun funktion *f*(*x*) integraali tunnetaan. Itse asiassa funktiot *x*(*y*) ja *y*(*x*) ovat toistensa käänteis­funktioita, ja integraali ∫ *x* *dy* voidaan laskea kuten edellä, jos integraali ∫ *y* *dx* tunnetaan. Erityisesti tämä selittää osittais­integroinnin käytön logaritmifunktion ja arkusfunktioiden integroimiseksi. Jos {\displaystyle f} on differentioituva injektiivinen funktio jollakin välillä, osittais­integroinnilla voidaankin johtaa kaava funktion {\displaystyle f^{-1}} integraalille {\displaystyle f}:n integraalin avulla.

Sovelluksia
-----------

### Integraalifunktion löytäminen

Annetun funktion integraalifunktion määrittämiseksi osittais­integrointi on pikemminkin heuristinen kuin puhtaasti mekaaninen menetelmä. Kun integroitava funktio on annettu, on etsittävä kaksi sellaista funktiota, *u*(*x*) ja *v*(*x*), joiden tulo annettu funktio on, että osittais­integroinnin kaavassa jäljellä jäävä integroitava funktio on helpommin integroitavissa kuin alkuperäinen funktio. Aina sellaisia funktioita ei kuitenkaan ole helppo löytää. Jos sellaiset on löydettävissä, voidaan käyttää seuraavaa kaavaa:

{\displaystyle \int uv\ dx=u\int v\ dx-\int \left(u'\int v\ dx\right)\ dx.}
Yhtälön oikealla puolella *u* on differentioitu ja *v* integroitu; niinpä on joko valittava funktio *u* niin, että se yksin­kertaistuu differentoitaessa, tai funktio *v* niin, että se yksin­kertaistuu integroitaessa. Yksin­kertaisena esimerkkinä voidaan käyttää funktiota 

{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}
Koska ln(*x*):n derivaatta on {\displaystyle {\frac {1}{x}}}, funktioksi *u* valitaan ln(*x*), ja koska {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}:n integraalifunktio on {\displaystyle -{\frac {1}{x}}}, differentiaaliksi *dv* valitaan {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}}. Näin saadaan:

{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}
Funktion {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}}}} integraalifunktio saadaan potenssin integrointi­säännön avulla ja se on {\displaystyle -{\frac {1}{x}}}

Vaihtoehtoisesti *u* ja *v* voidaan valita siten, että tulo *u*′ (∫*v* *dx*) yksinkertaistuu termien kumoutuessa. Esimerkiksi jos on laskettava integraali

{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.},
voidaan valita *u*(*x*) = ln(|sin(*x*)|) ja *v*(*x*) = sec2x. Silloin *u*:n differentiaaliksi saadaan ketjusäännön avulla 1/ tan *x*, ja *v*:n integraalifunktio on tan *x*, joten kaavasta saadaan:

{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}
Integroitava yksinkertaistuu vakioksi 1, joten sen integraalifunktio on *x*. Yksinkertaistavan kombinaation löytäminen edellyttää usein kokeiluja.

Joskus osittais­integrointi on käyttökelpoinen menetelmä, vaikka integraalille {\displaystyle \int u'(x)v(x)\,dx,} ei voitaisikaan esittää yksinkertaista lauseketta. Esimerkiksi numeerisessa analyysissä tulo {\displaystyle u(x)v(x)} sellaisenaan on usein riittävän hyvä likiarvo integraalille {\displaystyle \int u(x)v'(v)\,dx}, mikäli integraali {\displaystyle \int u'(x)v(x)\,dx,} on siihen verrattuna itseisarvoltaan niin pieni, että se voidaan jättää huomioon ottamatta.

#### Polynomit ja trigonometriset funktiot

Integraalin

{\displaystyle I=\int x\cos(x)\ dx\ ,}
laskemiseksi valitaan

{\displaystyle u=x\ \Rightarrow \ du=dx}
{\displaystyle dv=\cos(x)\ dx\ \Rightarrow \ v=\int \cos(x)\ dx=\sin(x)}
jolloin:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int x\cos(x)\ dx&=\int u\ dv\\&=u\cdot v-\int v\,du\\&=x\sin(x)-\int \sin(x)\ dx\\&=x\sin(x)+\cos(x)+C,\end{aligned}}}
missä *C* on integroimisvakio.

Kun integroitavassa funktiossa esiintyy *x*:n korkeampia potensseja, kuten lausekkeissa

{\displaystyle \int x^{n}e^{x}\ dx,\ \int x^{n}\sin(x)\ dx,\ \int x^{n}\cos(x)\ dx\ ,}
integraali voidaan laskea suorittamalla osittais­integrointi useampaan kertaan, jolloin joka kerta *x*:n eksponentti pienenee yhdellä.

#### Eksponentti- ja trigonometriset funktiot

Usein käytetty esimerkki integraalista, joka voidaan laskea osittais­integroinnilla, on

{\displaystyle I=\int e^{x}\cos(x)\ dx.}
Tässä osittais­integrointia sovelletaan kahdesti. Ensin valitaan

{\displaystyle u=\cos(x)\ \Rightarrow \ du=-\sin(x)\ dx}
{\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}}
jolloin integraali saadaan muotoon:

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+\int e^{x}\sin(x)\ dx.}
Jäljellä olevan integraalin laskemiseksi käytetään jälleen osittais­integrointia valitsemalla

{\displaystyle u=\sin(x)\ \Rightarrow \ du=\cos(x)\ dx}
{\displaystyle dv=e^{x}\ dx\ \Rightarrow \ v=\int e^{x}\ dx=e^{x}.}
Saadaan:

{\displaystyle \int e^{x}\sin(x)\ dx=e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}
Yhdistämällä nämä saadaan:

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}\cos(x)+e^{x}\sin(x)-\int e^{x}\cos(x)\ dx.}
Sama integraali esiintyy tämän yhtälön molemmilla puolilla. Integraali voidaan yksinkertaisesti lisätä molemmille puolille, jolloin saadaan

{\displaystyle 2\int e^{x}\cos(x)\ dx=e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C,}
ja siitä edelleen

{\displaystyle \int e^{x}\cos(x)\ dx={\frac {1}{2}}e^{x}{\bigl [}\sin(x)+\cos(x){\bigr ]}+C'}
missä *C* (ja *C*′ = *C*/2) on jälleen integroimisvakio.

Vastaavalla menettelyllä voidaan määrittää sekantin kuution integraali.

#### Funktiot kerrottuna yhdellä

Kaksi muuta hyvin tunnettua esimerkkiä ovat tapauksia, joissa osittais­integrointia sovelletaan funktioon ilmaistuna itsensä ja vakion 1 tulona. Tämä on mahdollista, jos funktion derivaatta tunnetaan ja jos myös tämän derivaatan ja *x*:n tulon integraali tunnetaan.

Ensimmäinen esimerkki on ∫ ln(*x*) d*x*. Kirjoitetaan tämä muotoon:

{\displaystyle I=\int \ln(x)\cdot 1\ dx\ .}
Valitaan:

{\displaystyle u=\ln(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{x}}}
{\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}
jolloin saadaan:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \ln(x)\ dx&=x\ln(x)-\int {\frac {x}{x}}\ dx\\&=x\ln(x)-\int 1\ dx\\&=x\ln(x)-x+C\end{aligned}}}
missä *C* on integroimisvakio.

Toinen esimerkki on arkustangentti, arctan(*x*):

{\displaystyle I=\int \arctan(x)\ dx.}
Kirjoitetaan tämä muotoon

{\displaystyle \int \arctan(x)\cdot 1\ dx.}
Nyt valitaan:

{\displaystyle u=\arctan(x)\ \Rightarrow \ du={\frac {dx}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle dv=dx\ \Rightarrow \ v=x}
jolloin käyttämällä sekä sijoitus­menetelmää että luonnollisen logaritmin integraaliehtoa saadaan:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \arctan(x)\ dx&=x\arctan(x)-\int {\frac {x}{1+x^{2}}}\ dx\\[8pt]&=x\arctan(x)-{\frac {\ln(1+x^{2})}{2}}+C\end{aligned}}}.

  

#### LIATE-sääntö

Sille, miten osittais­integroinnissa käytettävät funktiot *u* ja *v* on valittava, on esitetty nyrkkisääntö, jonka mukaan *u* on se funktio, joka on ensimmäisenä seuraavassa luettelossa:

**L** – logaritmifunktiot: {\displaystyle \ln(x),\ \log \_{b}(x),} jne.
**I** – arkusfunktiot (engl. *inverse trigonometric function*): {\displaystyle \arctan(x),\ \operatorname {arcsec}(x),} jne.
**A** – algebralliset funktiot: {\displaystyle x^{2},\ 3x^{50},} jne.
**T** – trigonometriset funktiot: {\displaystyle \sin(x),\ \tan(x),} jne.
**E** – eksponenttifunktiot: {\displaystyle e^{x},\ 19^{x},} jne.
Differentiaali *dv* muodostetaan funktiosta *v*, joka on jäljempänä listalla: niiden integraalifunktiot on helpommin muodostettavissa kuin edellä olevien funktioiden. Säännöstä käytetään joskus myös nimeä "DETAIL", missä *D* viittaa differentiaaliin *dv*.

LIATE-säännön havainnollistamiseksi tarkastellaan integraalia

{\displaystyle \int x\cdot \cos(x)\,dx.}
LIATE-säännön mukaisesti valitaan *u* = *x*, ja *dv* = cos(*x*) *dx*, mistä saadaan *du* = *dx*, ja *v* = sin(*x*), jolloin integraali saa muodon

{\displaystyle x\cdot \sin(x)-\int 1\sin(x)\,dx,}
joka on yhtä kuin

{\displaystyle x\cdot \sin(x)+\cos(x)+C.}
Yleensä yritetään valita *u* ja *dv* siten, että *du* on yksinkertaisempi kuin *u* ja *dv* on helppo integroida. Jos sen sijaan *u*ksi valittaisiin cos(*x*) ja *dv*:ksi *x dx*, saataisiin integraali

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{2}}\cos(x)+\int {\frac {x^{2}}{2}}\sin(x)\,dx,}
ja jos tähän edelleen sovelletaan toistuvasti osittais­integrointia, joudutaan selvästikin päättymättömään rekursioon eikä integraalia saada määritetyksi.

Vaikka LIATE on hyvä yleissääntö, siitä on poikkeuksia. Yleinen vaihtoehto on käyttää sen sijasta "ILATE"-sääntöä. Toisinaan polynomitermit on myös hajotettava ei-triviaaleilla tavoilla. Esimerkiksi integraalin 

{\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx,}
määrittämiseksi valitaan

{\displaystyle u=x^{2},\quad dv=x\cdot e^{x^{2}}\,dx,}
niin että 

{\displaystyle du=2x\,dx,\quad v={\frac {e^{x^{2}}}{2}}.}.
Saadaan

{\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx=\int (x^{2})\left(xe^{x^{2}}\right)\,dx=\int u\,dv=uv-\int v\,du={\frac {x^{2}e^{x^{2}}}{2}}-\int xe^{x^{2}}\,dx.}
Tämä johtaa lopulta tulokseen

{\displaystyle \int x^{3}e^{x^{2}}\,dx={\frac {e^{x^{2}}(x^{2}-1)}{2}}+C.}
### Osittaisintegroinnin avulla todistettuja tuloksia

Osittais­integrointi­sääntöä voidaan käyttää matemaattisessa analyysissä myös monien lauseiden todistamiseen.

#### Wallisin tulo

John Wallis esitti {\displaystyle \pi }:n arvon laskemiseksi päättymättömän tulon:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\pi }{2}}&=\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}=\prod \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {2n}{2n-1}}\cdot {\frac {2n}{2n+1}}\right)\\[6pt]&={\Big (}{\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}{\Big )}\cdot {\Big (}{\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}{\Big )}\cdot \;\cdots \end{aligned}}}.
Osittais­integroinnin avulla voidaan todistaa, että tämän tulon raja-arvo on {\displaystyle \pi }.

#### Gammafunktio ja kertoma

Gammafunktio on esimerkki erikoisfunktiosta, joka on määritelty {\displaystyle z>0}:n epäoleellisen integraalin avulla. Osittais­integroinnilla voidaan osoittaa, että se on samalla kertoman yleistys:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z)&=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}x^{z-1}dx\\[6pt]&=-\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}\,d\left(e^{-x}\right)\\[6pt]&=-{\Biggl [}e^{-x}x^{z-1}{\Biggl ]}\_{0}^{\infty }+\int \_{0}^{\infty }e^{-x}d\left(x^{z-1}\right)\\[6pt]&=0+\int \_{0}^{\infty }\left(z-1\right)x^{z-2}e^{-x}dx\\[6pt]&=(z-1)\Gamma (z-1).\end{aligned}}}
Koska

{\displaystyle \Gamma (1)=\int \_{0}^{\infty }e^{-x}\,dx=1,}
kun {\displaystyle z} on luonnollinen luku, toisin sanoen {\displaystyle z=n\in \mathbb {N} }, käyttämällä tätä kaavaa toistuvasti saadaan kertoma: {\displaystyle \Gamma (n+1)=n!}

### Käyttö harmonisessa analyysissä

Osittais­integrointia käytetään usein harmonisessa analyysissä, varsinkin Fourier-analyysissä osoittamaan, että Riemannin–Lebesguen lemman mukaisesti nopeasti värähtelevät integraalit, joissa on tarpeeksi tasainen integrandi, pienenevät nopeasti nollaan. Tavallisin esimerkki tästä on osoittaa, että funktion Fourier-muunnoksen pieneneminen riippuu funktion sileydestä jäljempänä selitetyllä tavalla.

#### Derivaatan Fourier-muunnos

Jos *f* on *k* kertaa jatkuvasti differentioituva funktio ja sen kaikki derivaatat *k*:nteen saakka lähestyvät nollaa *x*:n kasvaessa rajatta, sen Fourier-muunnos toteuttaa yhtälön

{\displaystyle ({\mathcal {F}}f^{(k)})(\xi )=(2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi ),}
missä *f*(*k*) on funktion *f* *k*:s derivaatta. Tämä voidaan todistaa toteamalla, että 

{\displaystyle {\frac {d}{dy}}e^{-2\pi iy\xi }=-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi },}
joten soveltamalla osittais­integrointia Fourier-muunnoksen derivaattaan saadaan

{\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {F}}f')(\xi )&=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f'(y)\,dy\\&=\left[e^{-2\pi iy\xi }f(y)\right]\_{-\infty }^{\infty }-\int \_{-\infty }^{\infty }(-2\pi i\xi e^{-2\pi iy\xi })f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-2\pi iy\xi }f(y)\,dy\\[5pt]&=2\pi i\xi {\mathcal {F}}f(\xi ).\end{aligned}}}
Toistamalla tämä induktiivisesti saadaan tulos mille tahansa *k*:n arvolle. Samaan tapaan voidaan löytää funktion derivaatan Laplace-muunnos.

#### Fourier-muunnoksen suppeneminen

Edellä saatu tulos liittyy Fourier-muunnoksen suppenemiseen, sillä siitä seuraa, että jos *f* ja *f*(*k*) ovat integroituvia, niin

{\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq {\frac {I(f)}{1+\vert 2\pi \xi \vert ^{k}}},{\text{ where }}I(f)=\int \_{-\infty }^{\infty }{\Bigl (}\vert f(y)\vert +\vert f^{(k)}(y)\vert {\Bigr )}\,dy.}
Toisin sanoen jos *f* toteuttaa nämä ehdot, sen Fourier-muunnos lähestyy nollaa *ξ*:n kasvaessa rajatta vähintään yhtä nopeasti kuin 1/|*ξ*|*k*. Erityisesti jos *k* ≥ 2, Fourier-muunnos on integroituva. 

Tämän todistamiseen käytetään seuraavaa epäyhtälöä, joka seuraa suoraan Fourier-muunnoksen määritelmästä:

{\displaystyle \vert {\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int \_{-\infty }^{\infty }\vert f(y)\vert \,dy.}
Soveltamalla samaa ideaa tämän osion alussa olevaan yhtälöön saadaan:

{\displaystyle \vert (2\pi i\xi )^{k}{\mathcal {F}}f(\xi )\vert \leq \int \_{-\infty }^{\infty }\vert f^{(k)}(y)\vert \,dy.}
Yhdistämällä nämä kaksi epäyhtälöä ja jakamalla 1 + |2Malline:Pi*ξ**k*| saadaan tulos todistetuksi.

### Käyttö operaattoriteoriassa

Operaattoriteoriassa osittais­integrointia käytetään muun muassa sen osoittamiseen, että −∆, missä ∆ on Laplacen operaattori, on positiivinen operaattori *L**p*-avaruudessa *L*2. Jos *f* on sileä ja kompaktisti kannatettu, saadaan osittais­integroinnilla

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle -\Delta f,f\rangle \_{L^{2}}&=-\int \_{-\infty }^{\infty }f''(x){\overline {f(x)}}\,dx\\[5pt]&=-\left[f'(x){\overline {f(x)}}\right]\_{-\infty }^{\infty }+\int \_{-\infty }^{\infty }f'(x){\overline {f'(x)}}\,dx\\[5pt]&=\int \_{-\infty }^{\infty }\vert f'(x)\vert ^{2}\,dx\geq 0.\end{aligned}}}
### Muita sovelluksia

Osittais­integroinnilla voidaan myös määrittää reunaehdot Sturmin-Liouvillen teoriassa. Lisäksi sen avulla voidaan johtaa Eulerin-Lagrangen yhtälö variaatio­laskennassa.

Toistuva osittaisintegrointi
----------------------------

Osittais­integroinnin kaavassa esiintyvän {\displaystyle v}:n toisen derivaatan tarkastelu integraalisissa LHS:n yli viittaa siihen, että integrointi RHS:n yli voidaan suorittaa toistuvasti:

{\displaystyle \int uv''\,dx=uv'-\int u'v'\,dx=uv'-\left(u'v-\int u''v\,dx\right).}
Tämän toistuvan osittais­integroinnin käsitteen laajennus *n*:nnen asteen derivaattoihin johtaa tulokseen

{\displaystyle {\begin{aligned}\int u^{(0)}v^{(n)}\,dx&=u^{(0)}v^{(n-1)}-u^{(1)}v^{(n-2)}+u^{(2)}v^{(n-3)}-\cdots +(-1)^{n-1}u^{(n-1)}v^{(0)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\\[5pt]&=\sum \_{k=0}^{n-1}(-1)^{k}u^{(k)}v^{(n-1-k)}+(-1)^{n}\int u^{(n)}v^{(0)}\,dx.\end{aligned}}}
Tämä on usein käyttökelpoista, kun {\displaystyle v^{(n)}}:n peräkkäiset integraalit on helposti saatavissa, esimerkiksi kun kyseessä on eksponenttifunktio, sini tai kosini, kuten Laplacen tai Fourier'n muunnoksessa ja kun {\displaystyle u}:n *n*:s derivaatta häviää, esimerkiksi kun kyseessä on {\displaystyle (n-1)}:nnen asteen polynomifunktio. Jälkimmäinen ehto rajoittaa sitä, kuinka moneen kertaan osoittaisintegrointi voidaan toistaa, sillä RHS-integraali häviää. 

Toistaessa tätä osittais­integrointia ilmenee yhteys integraalien 

{\displaystyle \int u^{(0)}v^{(n)}\,dx\quad } and {\displaystyle \quad \int u^{(\ell )}v^{(n-\ell )}\,dx\quad } ja
{\displaystyle \quad \int u^{(m)}v^{(n-m)}\,dx\quad {\text{ for }}1\leq m,\ell \leq n}
välillä. Tämä voidaan tulkita mielivaltaiseksi derivaattojen vaihdokseksi funktioiden {\displaystyle v} ja {\displaystyle u} välillä integrandissa, ja se on myös osoittautunut käyttökelpoiseksi.

### Taulukoitu osittaisintegrointi

Edellä olevan kaavan oleellinen sisältö voidaan ilmaista taulukon muodossa, ja menetelmää sanotaankin "taulukoiduksi (tabulaariseksi) integroinniksi". Se esiintyy myös elokuvassa *Älä anna periksi* (engl. *Stand and Deliver*).

Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

{\displaystyle \int x^{3}\cos x\,dx\quad }
ja valitaan {\displaystyle \quad u^{(0)}=x^{3},\quad v^{(n)}=\cos x.}

Listan alussa sarakkeessa **A** on funktio {\displaystyle u^{(0)}=x^{3}} ja sen eriasteiset derivaatat, 
{\displaystyle u^{(i)}} kunnes ne tulevat nollaksi. Sarakkeeseen **B** taas merkitään funktio {\displaystyle v^{(n)}=\cos x} ja sen peräkkäiset integraalifunktiot {\displaystyle v^{(n-i)}}, kunnes sarakkeessa **B** on yhtä monta riviä kuin **A**:ssakin. Saadaan seuraava taulukko:

| # *i* | Etumerkki | A: derivaatat *u*(*i*) | B: integraalit *v*(*n*−*i*) |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | + | {\displaystyle x^{3}} | {\displaystyle \cos x} |
| 1 | − | {\displaystyle 3x^{2}} | {\displaystyle \sin x} |
| 2 | + | {\displaystyle 6x} | {\displaystyle -\cos x} |
| 3 | − | {\displaystyle 6} | {\displaystyle -\sin x} |
| 4 | + | {\displaystyle 0} | {\displaystyle \cos x} |

Taulukon *i*:nnellä rivillä sarakkeissa **A** ja **B** olevien lausekkeiden tulo yhdessä vastaavan etumerkin kanssa antaa ne integraalit, jotka saadaan toistettaessa osittais­integrointi *i* kertaa. Kun *i* = 0, saadaan alkuperäinen integraali. Täydellinen tulos saadaan, kun *i*:s integraali lasketaan yhteen kaikkien niiden tulojen kanssa, jotka saadaan kertomalla ylempänä sarakkeella **A** *j*:nnellä rivillä ja sarakkeella **B** *j+1*:nnellä rivillä ((0 ≤ *j* < *i*) olevat lausekkeet keskenään (siis esimerkiksi sarakkeen **A** ensimmäisen rivin lauseke kerrotaan sarakkeen **B** toisen lausekkeen kanssa, sarakkeen **A** toisen rivin lauseke sarakkeen **B** kolmannen rivin lausekkeen kanssa jne.) ja varustamalla kukin niistä *j*:nnen rivin etumerkillä. Tämä prosessi lopetetaan luonnollisesti, kun tulo, joka antaa integraalin, on nolla (tässä esimerkissä neljännellä rivillä). Lopputulos vuorottelevine etumerkkeineen on seuraava:

{\displaystyle \underbrace {(+1)(x^{3})(\sin x)} \_{j=0}+\underbrace {(-1)(3x^{2})(-\cos x)} \_{j=1}+\underbrace {(+1)(6x)(-\sin x)} \_{j=2}+\underbrace {(-1)(6)(\cos x)} \_{j=3}+\underbrace {\int (+1)(0)(\cos x)\,dx} \_{i=4:\;\to \;C}.}
Tästä saadaan:

{\displaystyle \underbrace {\int x^{3}\cos x\,dx} \_{\text{step 0}}=x^{3}\sin x+3x^{2}\cos x-6x\sin x-6\cos x+C.}
Toistettu osittais­integrointi osoittuu käyttökelpoiseksi myös, kun differentioitaessa funktiota {\displaystyle u^{(i)}} ja integroitaessa funktiota ja integroitaessa funktiota {\displaystyle v^{(n-i)}} niiden tuloksi saadaan alkuperäisen integrandin monikerta. Tässä tapauksessa toisto voidaan myös lopettaa tällä indeksin arvolla *i*. Näin voi tapahtua varsinkin, kun kyseessä on eksponentti- tai trigonometriset funktiot. Tarkastellaan esimerkiksi integraalia

{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx.}

| # *i* | Etumerkki | A: derivaatat *u*(*i*) | B: integraalit *v*(*n*−*i*) |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | + | {\displaystyle e^{x}} | {\displaystyle \cos x} |
| 1 | − | {\displaystyle e^{x}} | {\displaystyle \sin x} |
| 2 | + | {\displaystyle e^{x}} | {\displaystyle -\cos x} |

Tässä tapauksessa sarakkeilla **A** ja **B** olevien termien tulot varustettuina indeksin arvoa {\displaystyle i=2} vastaavalla etumerkillä antaa tulokseksi alkuperäisen integrandin vastaluvun (vertaa rivejä *i*=0 ja *i*=2).

{\displaystyle \underbrace {\int e^{x}\cos x\,dx} \_{\text{step 0}}=\underbrace {(+1)(e^{x})(\sin x)} \_{j=0}+\underbrace {(-1)(e^{x})(-\cos x)} \_{j=1}+\underbrace {\int (+1)(e^{x})(-\cos x)\,dx} \_{i=2}.}
Kun otetaan huomioon, että RHS:n integraalilla on oma integroimisvakionsa {\displaystyle C'} ja siirtämällä abstrakti integraali yhtälön toiselle puolelle saadaan

{\displaystyle 2\int e^{x}\cos x\,dx=e^{x}\sin x+e^{x}\cos x+C',}
ja lopulta:

{\displaystyle \int e^{x}\cos x\,dx={\frac {1}{2}}\left(e^{x}(\sin x+\cos x)\right)+C,}
missä *C* = *C*′/2.

Korkeammat ulottuvuudet
-----------------------

Osittais­integrointi voidaan yleistää myös useamman muuttujan funktioihin soveltamalla analyysin peruslauseen sopivaa versiota sopivaan tulosääntöön. Monen muuttujan integraali­laskennassa on useita mahdollisia keinoja ilmaista funktio kahden funktion tulona, josta toinen on skalaariarvoinen funktio *u* ja toinen vektoriarvoinen funktio (vektorikenttä) *V*.

Vektorianalyysissa divergenssin tulosäännön mukaan on:

{\displaystyle \nabla \cdot (u\mathbf {V} )\ =\ u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \ +\ \nabla u\cdot \mathbf {V} .}
Olkoon {\displaystyle \Omega } jokin {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}:n avoin rajoitettu osajoukko, jolla on paloittain sileä reuna {\displaystyle \Omega }. Integoimalla {\displaystyle \Omega }:n yli standardin tilavuuskaavan {\displaystyle d\Omega } suhteen ja soveltamalla divergenssiteoreemaa saadaan:

{\displaystyle \int \_{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma \ =\ \int \_{\Omega }\nabla \cdot (u\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int \_{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ +\ \int \_{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}
missä {\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}} on reunalla ulospäin osoittava kohtisuora yksikkövektori integroituna standardin Riemannin tilavuuden {\displaystyle d\Gamma } suhteen. Uudelleenjärjestelemällä saadaan:

{\displaystyle \int \_{\Omega }u\,\nabla \cdot \mathbf {V} \,d\Omega \ =\ \int \_{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int \_{\Omega }\nabla u\cdot \mathbf {V} \,d\Omega ,}

eli toisin sanoen

> {\displaystyle \int \_{\Omega }u\,\operatorname {div} (\mathbf {V} )\,d\Omega \ =\ \int \_{\Gamma }u\mathbf {V} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int \_{\Omega }\operatorname {grad} (u)\cdot \mathbf {V} \,d\Omega .}
> 
> 

Lauseen säännöllisyysvaatimuksia voidaan lieventää. Esimerkiksi riittää, että reuna {\displaystyle \Gamma =\partial \Omega } on Lipschitz-jatkuva ja funktiot *u* ja *v* kuuluvat Sobolevin avaruuteen *H*1(Ω).

### Greenin ensimmäinen identiteetti

Tarkastellaan jatkuvia vektorikenttiä {\displaystyle \mathbf {U} =u\_{1}\mathbf {e} \_{1}+\cdots +u\_{n}\mathbf {e} \_{n}} ja {\displaystyle v\mathbf {e} \_{1},\ldots ,v\mathbf {e} \_{n}}, missä {\displaystyle \mathbf {e} \_{i}} on {\displaystyle i=1,\ldots ,n}:n *i*:s standardi kantavektori. Sovelletaan osittais­integrointia jokaiseen lausekkeeseen, joka saadaan kertomalla vektorikenttä {\displaystyle v\mathbf {e} \_{i}} jollakin kertoimista {\displaystyle u\_{i}}:

{\displaystyle \int \_{\Omega }u\_{i}{\frac {\partial v}{\partial x\_{i}}}\,d\Omega \ =\ \int \_{\Gamma }u\_{i}v\,\mathbf {e} \_{i}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int \_{\Omega }{\frac {\partial u\_{i}}{\partial x\_{i}}}v\,d\Omega .}
Laskemalla nämä yhteen saadaan uusi osittais­integrointi­kaava:

{\displaystyle \int \_{\Omega }\mathbf {U} \cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int \_{\Gamma }v\mathbf {U} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int \_{\Omega }v\,\nabla \cdot \mathbf {U} \,d\Omega .}
Tapaus {\displaystyle \mathbf {U} =\nabla u}, missä {\displaystyle u\in C^{2}({\bar {\Omega }})}, tunnetaan ensimmäisenä Greenin identiteettinä:

{\displaystyle \int \_{\Omega }\nabla u\cdot \nabla v\,d\Omega \ =\ \int \_{\Gamma }v\,\nabla u\cdot {\hat {\mathbf {n} }}\,d\Gamma -\int \_{\Omega }v\,\nabla ^{2}u\,d\Omega .}

Katso myös
----------

* Sijoitusmenetelmä (integraalilaskenta)

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Lauri Myrberg: "osittais­integrointi", *Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 1*, s. 240–245. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.
2. ↑  Brook Taylor History.MCS.St-Andrews.ac.uk. Viitattu 21.11.2020.
3. ↑  Brook Taylor *Stetson-edu*.  Arkistoitu 3.1.2018. Viitattu 21.11.2020.
4. 1 2  Integration by parts *Encyclopedia of Mathematics*. Viitattu 21.11.2020.
5. ↑  Herbert E. Kasube: A Technique for Integration by Parts.  *The American Mathematical Monthly*, 1983, 90. vsk, nro 3, s. 210–211. doi:10.2307/2975556.
6. ↑  G. B. Thomas, R. L. Finney: *Calculus and Analytic Geometry*. 7. painos. Reading, Massachusetts: Addison-Wesley, 1988. ISBN 0-201-17069-8.
7. ↑  David Horowitz: Tabular Integration by Parts.  *The College Mathematics Journal*, 1990, 21. vsk, nro 4, s. 307–311. doi:10.2307/2686368.
8. ↑  The Calculus of Several Variables *math.nagoya-u.ac.jp*.  29.9.2011. Viitattu 21.11.2020.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Integration by parts