**Valinta-aksiooma** on matemaattisen joukko-opin aksiooma, jonka mukaan jokaiseen epätyhjien joukkojen kokoelmaan (S\_{i})\_{{i\in I}} voidaan liittää uusi joukko (x\_{i})\_{{i\in I}} siten, että kukin sen alkioista x\_i kuuluu vastaavaan joukkoon \in S\_{i}. Toisin sanoen voidaan muodostaa kuvaus, *valintakuvaus*, joka valitsee jokaisesta joukosta yhden alkion. Kaikissa tapauksissa, jos joukkoja S\_{i} on äärettömän monta, ei kuitenkaan voida muodostaa sääntöä, jonka mukaisesti alkiot kustakin joukosta valitaan, mutta valinta-aksiooma olettaa ainoastaan, että tällainen valintakuvaus on olemassa, vaikka sitä ei voitaisi konstruoida.

Valinta-aksioomaa käytti ensimmäisenä eksplisiittisesti Ernst Zermelo vuonna 1904. Hänen esittämässään muodossa aksiooma kuuluu näin: 

> »Jokaista keskenään erillisten epätyhjien joukkojen joukkoa x kohti on olemassa joukko y joka sisältää täsmälleen yhden alkion jokaisesta x:n alkiosta» 
> 
> 

Valinta-aksiooma voidaan ilmaista myös niin, että kun joukoista S\_{i} yksikään ei ole tyhjä, myöskään niiden karteesinen tulo ei ole tyhjä joukko.

Aksiomaattisessa joukko-opissa käytetään useimmiten aksioomina Zermelon-Fraenkelin aksioomia (ZF). Kun niihin lisätään valinta-aksiooma, saadusta aksioomakokoelmasta käytetään lyhennettä ZFC. Kurt Gödel todisti vuonna 1939, että valinta-aksiooma voidaankin ristiriidattomasti yhdistää Zermelon-Fraenkelin aksioomiin. Vuonna 1963 Paul Cohen toisaalta todisti, että sitä ei voida todistaa ZF-aksioomien avulla eli se on niistä riippumaton.

Yhtäpitäviä tuloksia
--------------------

Valinta-aksiooman avulla voidaan todistaa muun muassa seuraavat, sen kanssa yhtäpitävät tulokset, joita voidaan pitää myös valinta-aksiooman vaihtoehtoisina muotoiluina:

* Zornin lemma: Jos H on järjestetty joukko ja sen jokaisella ketjulla on H:ssa pienin yläraja, niin H:lla on maksimaalinen alkio.
* Hyvinjärjestyslause: jokainen joukko voidaan järjestää niin, että sen jokaisella osajoukolla on "pienin" tai ensimmäinen alkio.
* Trikotomia: joukkoja voidaan aina vertailla mahtavuusjärjestyksessä, eli mille tahansa joukoille *A* ja *B* on aina joko {\mbox{card}}(A)<{\mbox{card}}(B), {\mbox{card}}(A)={\mbox{card}}(B) tai {\mbox{card}}(A)>{\mbox{card}}(B)
* Jokainen ääretön joukko *A* on yhtä mahtava karteesisen tulon *A x A* kanssa.

Käyttö
------

Matematiikan eri aloilla on runsaasti lauseita, jotka voidaan todistaa ainoastaan valinta-aksiooman avulla. Tällaisia ovat esimerkiksi seuraavat:

* Jokaisella vektoriavaruudella on kanta
* Jokaisella kunnalla on algebrallinen sulkeuma
* Reaalilukujen joukossa \mathbb {R}  sekä jokaisessa joukossa \mathbb{R}^n on sellaisia osajoukkoja, jotka eivät ole Lebesgue-mitallisia
* Boolen algebrojen ultrafiltteriteoreema
* Stonesin esityslause Boolen algebroille
* Tihonovin lause topologiassa: Kompaktien avaruuksien karteesinen tulo on kompakti.
* Hahn-Banachin teoreema funktionaalianalyysissa

Lähteet
-------

* *Otavan suuri Ensyklopedia, 3. osa (Hasek-juuri)*, s. 2401, art. Joukko-oppi. Otava, 1978. ISBN 951-1-02232-6.
* Väisälä, Jussi: *Topologia II*, s. 73–77. Limes ry, 1981. ISBN 951-745-082-6.
* Lipschutz, Seymour: *Set Theory and Related Topics*, s. 179–180. McGraw-Hill, 1964. ISBN 0-07-037986-6.