| Säännöllisten suorien bipyramidien joukko |
| --- |
| Kuusikulmainen bipyramidi |
| Coxeterin diagrammi |  |
| Schläflin symboli | { } + {*n*} |
| Tahkoja | 2*n* kolmiota |
| Särmiä | 3*n* |
| Kärkiä | 2 + *n* |
| Sivukonfiguraatio | V4.4.*n* |
| Symmetriaryhmä | Diedrinen kolmiulotteinen symmetria D*n*h, [*n*,2], (\**n*22), kertalukua 4*n* |
| Rotaatioryhmä | D*n*, [*n*,2]+, (*n*22), kertalukua 2*n* |
| Duaalikappale | *n*-kulmainen särmiö |
| Ominaisuudet | kupera, tahkotransitiivinen |
| Verkko | n-kulmainen bipyramidi­verkko, tässä esimerkki­tapauksessa viisi­kulmainen bipyramidi |

Juomapilleistä ja kuminauhasta tehty bipyramidi. Siihen on lisätty ylimääräinen akselin suuntainen pilli, jota ei ole yksinkertaisissa monitahokkaissa.
*n*-kulmainen **bipyramidi**, **dipyramidi** eli **kaksoispyramidi** on monitahokas, joka saadaan yhdistämällä *n*-kulmainen pyramidi ja sen peilikuva pohjat vastakkain. *selvennä* *n*-kulmaisella bipyramidilla on 2*n* kolmion muotoista tahkoa, 3*n* särmää ja 2 + *n* kärkeä.

Se *n*-kulmio, johon bipyramidin nimessä viitataan, ei ole mikään sen sivutahkoista vaan alkuperäisten pyramidien pohja, joka bipyramidia muodostettaessa jää sen sisään yhdistäen molemmat pyramidit toisiinsa ja on samalla bipyramidin symmetriataso.

Särmiöiden duaalikappaleet ovat bipyramideja.

Bipyramidin muodostavien pyramidien huippuja sanotaan bipyramidin apekseiksi.

Suorat, vinot ja koverat bipyramidit
------------------------------------

**Suoralla bipyramidilla** on kaksi kärkipistettä suoraan pohjan keskipisteen ylä- ja alapuolella. Bipyramideja, jotka eivät ole suoria, sanotaan **vinoiksi bipyramideiksi**. **Säännöllisen bipyramidin** pohja on säännöllinen monikulmio, ja usein edellytetään lisäksi, että se on myös suora bipyramidi. Suora bipyramidi voidaan esittää muodossa { } + P sisäiselle monikulmiolle *P* ja säännöllinen *n*-bipyramidi muodossa { } + {*n*}.

**Kovera bipyramidi** on bipyramidi, jonka pohjana oleva monikulmio on kovera.

Kovera bipyramidi
Säännöllinen bipyramidi on *tahkotransitiivinen*, jos se on jonkin uniformisen särmiön duaalikappale. Sellaisen sivutahkot ovat yleensä tasakylkisiä kolmiota.

Bipyramidin projektio pallopinnalla on kuvio, jonka muodostavat, jos pallo ajatellaan karttapalloksi, tasavälein *n* navalta navalle johtavaa pituuspiiriä sekä päiväntasaaja.

Bipyramidin tahkot projisoituina pallokolmioiksi esittävät perusalueita diedrisessä symmetriassa D*n*h. Itse asiassa *n*-kulmaista bipyramidia voidaan pitää vastaavan *n*-kulmaisen diedrin kleetooppina.

Tilavuus
--------

Bipyramidin tilavuus on {\displaystyle V={\frac {2}{3}}Bh}, missä *B* on pohjan pinta-ala ja *h* korkeus mitattuna pohjasta apeksiin. Tämä pitää paikkansa, sijaitsipa apeksi missä tahansa, kunhan *h* on mitattu kohtisuorasti siihen tasoon nähden, jolla pohja on.

Jos bipyramidin pohja on säännöllinen *n*-sivuinen monikulmio, jonka sivu on *s*, ja bipyramidin korkeus on *h*, sen tilavuus on

{\displaystyle V={\frac {n}{6}}hs^{2}\cot {\frac {\pi }{n}}.}

Tasasivuisten kolmioiden muodostamat bipyramidit
------------------------------------------------

On vain kolmenlaisia bipyramideja, joiden kaikki särmät ovat yhtä pitkät ja tahkot näin ollen tasasivuisia kolmiota. Tällaiset bipyramidit ovat deltaedrejä. Sellaisia ovat:

* triangulaarinen bipyramidi, jonka pohja on myös tasasivuinen kolmio,
* tetragonaalinen bipyramidi eli säännöllinen oktaedri, jonka pohja on neliö, ja
* pentagonaalinen dipyramidi, jonka pohja on säännöllinen viisikulmio.

Tetragonaalinen bipyramidi, jonka kaikki särmät ovat yhtä pitkät, on sama kuin säännöllinen oktaedri, joka on samalla yksi Platonin kappaleista. Triangulaarinen ja pentagonaalinen bipyramidi taas kuuluvat Johnsonin kappaleisiin (J12 ja J13).

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|  |  |  |
| Triangulaarinen bipyramidi | Tetragonaalinen bipyramidi(oktaedri) | Pentagonaalinen bipyramidi |

Kalideskooppinen symmetria
--------------------------

Jos bipyramidin pohja on monikulmio ja apeksit yhdistävä jana leikkaa pohjan sen keskipisteessä, *n*-kulmaisen bipyramidin symmetria on diedrinen symmetria D*n*h kertalukua 4*n*, paitsi säännöllisen oktaedrin tapauksessa, jolla on laajempi oktaedrinen symmetriaryhmä Oh kertalukua 48, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D4h. Tällaisen bipyramidin rotaatioryhmä on D*n* kertalukua 2*n*, paitsi säännöllisellä oktaedrilla, jolla on laajempi symmetriaryhmä O, kertalukua 24, jolla on aliryhminään kolme versiota ryhmästä D4.

Pallopinnan 2*n*-bipyramidin kaksikulmaiset sivut esittävät kolmiulotteisen avaruuden diedrisen symmetrian perusalueita:D*n*h, [*n*,2], (\**n*22), kertalukua 4*n*. Seuraavissa kuvissa nämä on jaettu kahtia niin, että toistensa peilikuvina olevat alueet ovat eri värisiä.

| D1h | D2h | D3h | D4h | D5h | D6h | ... |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |

Suorat säännölliset bipyramidit
-------------------------------

Bipyramidien perhe| Monitahokas |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Coxeter | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png | Tiedosto:Cdel 2x.png |
| Laatoitus |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| Konfiguraatio | V2.4.4 | V3.4.4 | V4.4.4 | V5.4.4 | V6.4.4 | V7.4.4 | V8.4.4 | V9.4.4 | V10.4.4 |

Asymmetriset suorat bipyramidit
-------------------------------

**Asymmetrinen suora bipyramidi** kostuu kahdesta pyramidista, joilla on yhteinen pohja mutta eri korkeus. Nämä pyramidit saattavat olla pohjan samalla puolellakin, jolloin bipyramidia sanotaan *invertoiduksi*. Säännöllisen *n*-kulmaisen asymmetrisen suoran pyramidin symmetriaryhmä on C*n*v, kertalukua 2*n*. Asymmetrisen pyramidin duaalikappale on katkaistu kartio.

Kuusikulmainen asymmetrinen ja inveroitu bipyramidi| Asymmetrinen | Invertoitu |
| --- | --- |
|  |  |

Skalenoedri
-----------

**Skalenoedri** on topologisesti 2*n*-sivuisen bipyramidin kaltainen, mutta sen sivutahkoina olevat kolmiot eivät ole tasakylkisiä.

Skalenoedreja on kahta tyyppiä. Ensimmäisesä tyypissä 2*n* kärjestä puolet on keskipisteen kautta kulkevan tason toisella puolella (yläpuolella), puolet toisella (alapuolella). Toisessa tyypissä kaikki nämä kärjet ovat samalla tasolla, mutta vuorotellen eri etäisyyksillä keskipisteestä.

Ensinmainitulla on rotaatioakselit särmien puolivälissä sivuillaan, kärkien kautta kulkevat symmetriatasot ja *n*-kertainen pyörähdyssymmetria akselinsa suhteen, jolloin sen symmetriaryhmä on D*n*d, [2+,2*n*], (2\**n*), kertalukua 2*n*. Kristallografiassa esiintyy 8- ja 12-sivuisia skalenoedreja. Kaikki nämä muodot ovat isoedrejä.

Toisen tyypin skalenoedrilla on symmetriaryhmä D*n*, [2,*n*], (\**nn*2), kertalukua 2*n*. Se on *rombinen bipyramidi*.

Pienimmällä skalenoedrilla on 8 tahkoa, ja se on topologisesti säännöllisen oktaedrin kaltainen. Sen kärkipisteet voidaan esittää muodossa (0,0,±1), (±1,0,*z*), (0,±1,−*z*), missä *z* on jokin 0:n ja 1:n välillä oleva vakio. Jos tämä vakio on *z* = 0, kyseessä on säännöllinen oktaedri. Jos taas vakio on *1*, tuloksena saadaan disfenoidi, jonka samassa tasossa olevat tahkot yhtyvät. Jos *z* > 1, kappale ei ole kupera. 

  


4-skalenoedrin geometriset muunnelmat| *z* = 0.1 | *z* = 0.25 | *z* = 0.5 | *z* = 0.95 | *z* = 1.5 |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |

Tähtibipyramidit
----------------

On olemassa myös itsensä leikkaavia bipyramideja, joiden keskuskuviona on tähtimonikulmio. Sellaisten tahkot ovat kolmioita, jotka yhdistävät yhdistävät kunkin monikulmion sivut näihin kahteen pisteeseen. Bipyramidin {p/q} Coxeterin diagrammi on .

| 5/2 | 7/2 | 7/3 | 8/3 | 9/2 | 9/4 | 10/3 | 11/2 | 11/3 | 11/4 | 11/5 | 12/5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |

Isoedrisiä tähtimäisiä bipyramideja, joilla on parillinen määrä sivuja, voidaan tehdä myös käyttämällä pohjana "sik-sak-monikulmioita", joiden kaikki sivut eivät ole samassa tasossa, samoin kuin isotoksista tähtimonikulmiota, joiden sakarat ovat eri pituiset mutta joiden kaikki sivut sakaran kärjestä toisen sakaran kärkeen mitattuina ovat yhtä pitkät, tai myös monikulmioita, joilla on nämä molemmat ominaisuudet, esimerkiksi seuraavissa esimerkeissä, joissa pohjamonikulmion Schläflin symboli on {8/3}:

| Säännöllinen | Sik-sak, säännöllinen | Isotoksinen | Sik-sak, isotoksinen |
| --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |

Korkeammat ulottuvuudet
-----------------------

### Bipyramidit 4-polytooppien soluina

Monitahokkaiden vastineita neljässä tai useammassa ulottuvuudessa ovat polytoopit. Kun mikä tahansa kupera 4-polytooppi suoritetaan, näin saadun polytoopin duaali on solutransitiivinen 4-polytooppi, jonka solut ovat kolmiulotteisia bipyramideja. Seuraavassa käytetään bipyramidin apeksikärjelle merkintää A ja ekvaattorilla olevalle kärjelle merkintää E. esimerkissä bipyramidin apeksikärki on A ja ekvaattorikärki E. Oletetaan lisäksi, että ekvaattorilla kahden vierekkäisen kärjen välinen etäisyys on EE = 1, apeksin ja ekvaattorin välisen särmän pituus AE ja apeksien välinen etäisyys AA. Käytetään 4-polytoopin sellaisten kärkien lukumäärälle, jossa *N*A bipyramidia kohtaavat toisensa, merkintää *V*A, ja sellaisten kärkien lukumäärälle, joissa *N*E bipyramidin tyyppiä E olevat kärjet kohtaavat, merkintää *V*E. Jokaisella tyypin AE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää *N*AE. Vastaavasti jokaisella tyypin EE särmällä kohtaa toisensa yhtä monta bipyramidia; käytetään tälle lukumäärälle merkintää *N*EE. Olkoon *C*EE särmää EE vastaavan diedrikulman kosini. Koska solujen on mahduttava särmän ympärille, on:

{\displaystyle N\_{AA}cos^{-1}(C\_{AA})=2\pi } ja
* **Jäsentäminen epäonnistui (MathML, sekä SVG tai PNG varalla (suositeltu nykyaikaisille selaimille ja helppokäyttötyökaluille): Invalid response ("Math extension cannot connect to Restbase.") from server "http://localhost:6011/fi.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle N\_{{AE}} cos^{-1}(C\_{AE}) = 2\pi}**
.

| 4-polytooppien ominaisuuksia | Bipyramidien ominaisuuksia |
| --- | --- |
| Minkä duaali | Coxeterindiagrammi | Solut | *V*A | *V*E | *N*A | *N*E | *N*AE | *N*EE | Solu | Coxeterindiagrammi | AA | AE\*\* | *C*AE | *C*EE |
| Suoristettu 5-solu |  | 10 | 5 | 5 | 4 | 6 | 3 | 3 | Kolmikulmainen bipyramidi |  | {\displaystyle {\frac {2}{3}}} | 0.667 | {\displaystyle -{\frac {1}{7}}} | {\displaystyle -{\frac {1}{7}}} |
| Suoritettu tesserakti |  | 32 | 16 | 8 | 4 | 12 | 3 | 4 | Kolmikulmainen bipyramidi |  | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{3}}} | 0.624 | {\displaystyle -{\frac {2}{5}}} | {\displaystyle -{\frac {1}{5}}} |
| Suoristettu 24-solu |  | 96 | 24 | 24 | 8 | 12 | 4 | 3 | Kolmikulmainen bipyramidi |  | {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {2}}}{3}}} | 0.745 | {\displaystyle {\frac {1}{11}}} | {\displaystyle -{\frac {5}{11}}} |
| Suoristettu 120-solu |  | 1200 | 600 | 120 | 4 | 30 | 3 | 5 | Kolmikulmainen pyramidi |  | {\displaystyle {\frac {{\sqrt {5}}-1}{3}}} | 0.613 | {\displaystyle -{\frac {10+9{\sqrt {5}}}{61}}} | {\displaystyle {\frac {12{\sqrt {5}}-7}{61}}} |
| Suoristettu 16-solu |  | 24\* | 8 | 16 | 6 | 6 | 3 | 3 | Neliöpohjainen bipyramidi |  | {\sqrt {2}} | 1 | -{\frac {1}{3}} | -{\frac {1}{3}} |
| Suoristettu kuutiollinen hunajakenno |  | ∞ | ∞ | ∞ | 6 | 12 | 3 | 4 | Neliöpohjainen bipyramidi (oktaedri) |  | 1 | 0.866 | {\displaystyle -{\frac {1}{2}}} | 0 |
| Suoristettu 600-solu |  | 720 | 120 | 600 | 12 | 6 | 3 | 3 | Viisikulmainen bipyramidi |  | {\displaystyle {\frac {5+3{\sqrt {5}}}{5}}} | 1.447 | {\displaystyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}} | {\displaystyle -{\frac {11+4{\sqrt {5}}}{41}}} |

\* Suoristettu 16-solu on sama kuin säännöllinen 24-solu, ja sen kaikki särmät ovat yhtenevät   oktaedrit ovat säännöllisiä bipyramideja.
\*\* Ilmoitettu lukuarvona, koska tarkan arvon ilmaisevat kaavat ovat jokseenkin monimutkaisia.
### Useampiulotteiset bipyramidit

Yleisesti *bipyramidia* voidaan pitää *n*-polytooppina, joka konstruoidaan lähtemällä hypertasolla olevasta *n* − 1)-polytoopista sekä kahdesta hypertason ulkopuolella sen eri puolilla olevasta pisteestä, jotka ovat kohtisuorasti mitattuina samalla etäisyydellä hypertasosta. Jos (*n* − 1)-polytooppi on säännöllinen polytooppi, kaikki muodostuvan bipyramidin rajoina olevat (*n* − 1)-solut ovat yhteneviä. Esimerkkinä voidaan mainita 16-solu, joka on oktaedrinen bipyramidi, ja yleisemmin *n*-ortopleksi, joka on (*n* − 1)-ortopleksinen bypyramidi.

Kaksiulotteinen bipyramidi on neljäkäs tai erikoistapauksessa neliö.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Bipyramid

Lähteet
-------

* Anthony Pugh: "Chapter 4: Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms", *Polyhedra: A visual approach*. Berkeley: University of California Press, 1976. ISBN 0-520-03056-7.

### Viitteet

1. ↑  N. W. Johnson: "Chapter 11: *Finite symmetry groups*, 11.3 Pyramids, Prisms, and Antiprisms, Figure 11.3c", *Geometries and Transformations*. {{{Julkaisija}}}, 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.
2. ↑  Deltaedrit *matematiikkalehtisolmu.fi*. Viitattu 8.2.2019.
3. 1 2 3 4  Dipyramid *Wolfam MathWorld*. Eric Weisstein. Viitattu 8.2.2019.
4. 1 2  Pyramids, Dipyramids and Trapezohedra *georgehart.com*. Viitattu 8.2.2019.
5. ↑  The 48 Special Crystal Forms: Scalenohedra and Trapezohedra *uwgb.edu*.  Arkistoitu 18.9.2013. Viitattu 8.2.2019.
6. ↑  Crystal Form, Zones, Crystal Habit *Tulane.edu*. Viitattu 8.2.2019.