**Euklidinen avaruus** on *n*-ulotteinen reaalikertoiminen vektoriavaruus, jolle pätevät euklidisen geometrian aksioomat. Euklidista avaruudelle käytetään merkintöjä \mathbb{R}^n tai {\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}.

Tunnetuin euklidinen avaruus on {\displaystyle \mathbb {R} ^{1}} eli reaaliluvut. Lisäksi matematiikassa tulevat usein vastaan euklidinen taso \mathbb{R}^2 ja kolmiulotteinen avaruus {\mathbb {R}}^{3}. 

Nykyisen käsityksen mukaan maailmankaikkeus ei ole euklidinen avaruus, sillä suhteellisuusteorian mukaisesti avaruuden rakenne taipuu suurten massojen vaikutuksesta. Suhteellisen pienillä nopeuksilla tilannetta voi hyvin kuvata euklidisen avaruuden rakenteilla.

Johdanto
--------

|  |  |
| --- | --- |
| Vektorien yhteenlasku | Vektorin kertominen skalaarilla |

Esimerkiksi vektoriavaruuden {\mathbb {R}}^{3} alkioita eli vektoreita ovat reaalilukukolmikot (x,y,z). Kahden tällaisen summa lasketaan koordinaateittain:

{\displaystyle (1,2,3)+(20,30,40)=(21,32,43)}.
Skalaarilla eli reaaliluvulla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaatti kerrotaan annetulla reaaliluvulla, esimerkiksi

{\displaystyle 7\cdot (1,2,3)=(7,14,21)}.
Tämä siis tuottaa skalaarista ja vektorista vektorin.

Skalaaritulossa eli pistetulossa sen sijaan lasketaan kahdesta vektorista skalaari, 

{\displaystyle (a,b,c)\cdot (x,y,z)=ax+by+cz}.
Tämän skalaaritulon avulla voidaan määrittää avaruuteen {\mathbb {R}}^{3} normi eli pituusmitta: 

{\displaystyle \|(a,b,c)\|={\sqrt {(a,b,c)\cdot (a,b,c)}}={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}.
Tämä vastaa Pythagoraan lausetta. Kahden vektorin {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{3}} etäisyys määritellään niiden erotuksen normiksi:

{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|}.
Vastaavat säännöt pätevät kaikissa vektoriavaruuksissa \mathbb{R}^n.

Määritelmiä
-----------

Euklidinen avaruus määritellään topologisesti tuloavaruutena, eli \mathbb {R} :n karteesisena tulona itsensä kanssa *n* kertaa. Tuloavaruuden pisteet ovat järjestettyjä *n*-jonoja, eli niissä on *n* kappaletta alkioita. Esimerkiksi

{\displaystyle \mathbf {x} =(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n}).}
Sen voi määritellä myös lineaarialgebran tapaan vektoriavaruutena, jolloin avaruuden kannan muodostavat *n* kappaletta kohtisuorasti toisiaan vastaan olevaa yksikkövektoria:

{\displaystyle \mathbf {e} \_{1}=(1,0,0,\ldots ,0),}
{\displaystyle \mathbf {e} \_{2}=(0,1,0,\ldots ,0),}
{\displaystyle \vdots }
{\displaystyle \mathbf {e} \_{n}=(0,0,0,\ldots ,1).}
\mathbb{R}^n:n mielivaltainen vektori merkitään

{\displaystyle \mathbf {x} =(x\_{1},x\_{2},...x\_{n}),}
missä reaaliluvut x\_i ovat vektorin koordinaatit. Vektori voidaan esittää myös yksikkövektoreiden avulla summana:

{\displaystyle \mathbf {x} =\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}\mathbf {e} \_{i}.}
Lukua 0 vastaa nollavektori

{\displaystyle \mathbf {0} =\underbrace {(0,0,\ldots ,0)} \_{n\ {\rm {kpl}}}.}
Kahden {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}:n vektorin summa on määritelty laskemalla vektorit koordinaateittain yhteen:

{\displaystyle \mathbf {x} +\mathbf {y} =\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}+y\_{i})\mathbf {e} \_{i}.}
Vakiolla kerrottaessa jokainen vektorin koordinaateista kerrotaan erikseen:

{\displaystyle a\mathbf {x} =\sum \_{i=1}^{n}(ax\_{i})\mathbf {e} \_{i}.}

Laskusääntöjä
-------------

Vektorin pituuden ja vektoreiden välisen kulman laskemiseksi tarvitsee määritellä pistetulo. \mathbb{R}^n:n vektoreille {\mathbf x} ja {\mathbf y} se on

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}.}
Vektorin pituus eli euklidinen normi on neliöjuuri sen sisätulosta itsensä kanssa:

{\displaystyle \|\mathbf {x} \|={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i})^{2}}}.}
Euklidinen metriikka määrittää kahden pisteen etäisyyden euklidisessa avaruudessa. Sitä kutsutaan myös etäisyysfunktioksi, ja se on oikeastaan yksi pythagoraan lauseen muoto. Pisteille x ja y se on

{\displaystyle d(\mathbf {x} ,\mathbf {y} )=\|\mathbf {x} -\mathbf {y} \|={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-y\_{i})^{2}}}}
Kulma vektoreiden {\mathbf x} ja {\mathbf y} välillä lasketaan pistetulon ja normin avulla:

{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\dfrac {\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} }{\|\mathbf {x} \|\|\mathbf {y} \|}}\right).}

Katso myös
----------

* Eukleides

Lähteet
-------

* Väisälä, Jussi: *Topologia I*. Helsinki: Limes ry, 2002. ISBN 951-745-192-X.
* Martio, Olli: *Vektorianalyysi*. Helsinki: Limes ry, 2004. ISBN 951-745-205-5.
* Mendelson, Bert: *Introduction to Topology*. Dover Publications, 1990. (englanniksi)

### Viitteet

1. ↑  Kiyosi Ito: *Encyclopedic Dictionary of Mathematics*, s. 554. MIT Press, 1996. ISBN 9780262590204. (englanniksi)

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Algebra ja geometria*. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.
* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi I – Vektorialgebra ja analyyttinen geometria*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-067-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).