Mollweiden projektion mukainen maailmankartta
Mollweiden projektio ja muotojen vääristymistä siinä kuvaavat Tissot’n indikaattorit.
**Mollweiden projektio** on lieriöprojektioista muokattu karttaprojektio, jota käytetään yleisesti maailmankartoissa ja myös tähti­kartoissa. Se tunnetaan myös nimillä *Babinet’n projektio*, *homalo­grafinen projektio* ja *elliptinen projektio*. Kuten sen täsmällisempi nimi *Mollweiden oikea­pintainen projektio* osoittaa, tämän projektion mukaisissa kartoissa eri alueiden pinta-alojen suhteet ovat oikeat, mutta kulmat ja alueiden muodot vääristyvät suuresti varsinkin kartan reunoilla. Mollweiden projektiota käytetään varsinkin sellaisissa kartoissa, joissa pinta-alojen oikeellisuutta pidetään tärkeämpänä kuin alueiden muotojen, esimerkiksi kartoissa, jotka kuvaavat jonkin asian jakautumista maapallon eri alueille.

Projektion julkaisi ensimmäisenä matemaatikko ja tähti­tieteilijä Karl Brandan Mollweide (1774-1825) Leipzigissa vuonna 1805. Yleisemmin tunnetuksi sen teki Jacques Babinet vuonna 1857, jolloin hän antoi sille nimen *homalo­grafinen projektio*. Tällä nimellä sitä käytettiin 1800-luvulla yleisesti tähtikartoissa.

Mollweiden projektion mukainen kartta ilmakehän freonipitoisuudesta merenpinnan tasolla Global Ocean Data Analysis Projectin mittaamana.

Matemaattinen määritelmä
------------------------

Mollweiden projektiossa maanpinnan kohta, jonka leveysaste on \phi ja pituusaste eroaa sovitusta keski­meridiaanista kulman \lambda  verran, kuvataan taso­pinnan pisteeseen (x,y), jonka koordinaatit ovat:

{\displaystyle x={\frac {2{\sqrt {2}}}{\pi }}\lambda \cos \left(\theta \right),}
{\displaystyle y={\sqrt {2}}\sin \left(\theta \right),\,}
missä apukulma {\displaystyle \theta \,} määritellään yhtälöllä

{\displaystyle 2\theta +\sin(2\theta )=\pi \sin(\phi )\qquad (1)}
Yhtälö (1) voidaan ratkaista Newtonin menetelmällä, jolloin lauseke suppenee nopeasti muualla paitsi napojen läheisyydessä:

{\displaystyle \theta \_{0}=\phi ,\,}
{\displaystyle \theta \_{n+1}=\theta \_{n}-{\frac {(2\theta \_{n}+\sin(2\theta \_{n})-\pi \sin(\phi ))}{2+2\cos(2\theta \_{n})}}.\,}
Jos φ = ±π/2, on myös θ = ±π/2. Tässä tapauksessa Newtonin menetelmän mukaista iteraatiota ei voida suorittaa, sillä se saattaa johtaa nollalla jakoon.

Ominaisuudet
------------

Mollweiden projektio on pseudo­sylindrinen projektio, jossa päiväntasaaja on vaakasuora viiva. Se on kohtisuorassa tiettyä, kartan keskikohdan kautta kulkevaa pituuspiiriä vastaan, jonka pituus on puolet päiväntasaajan pituudesta. Leveys­piirien väli­matkat kartalla pienenevät napoja kohti mentäessä, kun taas pituus­piirit leikkaavat päivän­tasaajan tasaisin välein. Pituus­piirit 90 astetta keskipituuspiirin itä- ja länsipuolella muodostavat täydellisen ympyrän, ja koko maapalloa esittää ellipsin muotoinen alue, jonka pituus on kaksi kertaa niin suuri kuin leveys. Pinta-alojen suhde ellipsin sekä minkä tahansa kahden leveys­piirin välillä on sama kuin vastaavien pinta-alojen suhde maapallolla, mutta alueiden muodot vääristyvät varsinkin kartan reunojen läheisyydessä, joskaan eivät niin paljon kuin sinusoidaalisessa projektiossa.

Muotojen vääristymistä voidaan vähentää käyttämällä projektion *lohkottua* muunnosta. *Sinusoidaalisessa lohkotussa* Mollweiden projektiossa ei ole yhtä keski­pituus­piiriä vaan useita keskipituuspiirin tavoin käsiteltyjä pituus­piirin puolikkaita, jotka kohtaavat päivän­tasaajan suorassa kulmassa, vuorotellen kummaltakin puolelta. Täten maan pinta jakautuu lohkoihin. Sitä vastoin *yhdensuuntaisesti lohkotussa* Mollweiden projektiossa käytetään useita erillisiä keski­pituus­piirejä, jolloin maan pinta jakautuu useampaan ellipsiin, jotka sivuavat toisiaan päivän­tasaajalla. Harvemmin projektiota käytetään vino­asentoisena siten, että muotojen vääristymät keskittyvät valtameriin, jolloin manteret pysyvät paremmin oikean muotoisina.

Mollweiden projektion pohjalta on kehitetty useita muita kartta­projektioita kuten Gooden homolosini­projektio, van der Grintenin projektio ja Boggsin eumorfinen projektio.

Lähteet
-------

1. ↑  *Flattening the Earth: Two Thousand Years of Map Projections*, John P. Snyder, 1993, pp. 112–113, ISBN 0-226-76747-7.
2. ↑  *Map Projections – A Working Manual* (Arkistoitu – Internet Archive), USGS Professional Paper 1395, John P. Snyder, 1987, s. 249–252

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Mollweiden projektio**.
* Java-appletti, jolla voidaan tutkia pinta-alan, etäisyyksien ja kulmien vääristymistä Mollweiden projektiossa (Arkistoitu – Internet Archive)
* Mollweide Projection Mathworldissa