**Lebesguen–Stieltjesin integraali** on integraali, jonka tunnistaa merkintätavasta

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x),
missä f ja g ovat funktioita. Sitä voidaan pitää yleistyksenä sekä Lebesguen integraalista että Riemannin–Stieltjesin integraalista. Lebesgue-Stieltjes-integraalilla on sovelluksia esimerkiksi todennäköisyyslaskennassa, erityisesti stokastisten prosessien alalla.

Lebesgue-Stieltjes-integraalin muodollinen määrittely
-----------------------------------------------------

Integraalina Lebesgue-Stieltjes-integraali on määriteltävissä tietyn numeroituvasti additiivisen positiivisen mitan suhteen. Tässä määritellään kyseinen mitta.

Olkoon a,b\in {\mathbb {R}}, a<b, funktio g:[a,b]\rightarrow {\mathbb {R}} kasvava ja oikealta jatkuva sekä raja-arvo

g(t-)=\lim \_{{s\rightarrow t-}}g(s)=\lim \_{{s\uparrow t}}g(s)
kaikissa pisteissä t\in [a,b] olemassa. 

Olkoon [\alpha ,\beta ]\subset [a,b]. Määritellään joukkofunktio m\_{g} kaavalla m\_{g}((\alpha ,\beta ])=g(\beta )-g(\alpha ). Tällöin m\_{g} on laajennettavissa numeroituvasti additiiviseksi positiiviseksi mitaksi, joka on määritelty kaikilla välin [a,b] Borel-joukoilla. Samaistetaan jatkossa tämä mitta joukkofunktion m\_{g} kanssa.

Mitallisen funktion f:[a,b]\rightarrow {\mathbb {R}} Lebesgue-Stieltjes-integraali on sen integraali mitalla m\_{g}, eli yli määrittelyjoukkonsa se on mittaintegraalina

\int \_{{[a,b]}}f\,dm\_{g}.
Sille käytetään kuitenkin merkintää

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x).
Funktiota f kutsutaan *integrandiksi* ja funktiota g *integraattoriksi*.

Lebesgue-Stieltjes-integraali laajennetaan vielä määritellyiksi integraattoreille, jotka ovat rajoitetusti heilahtelevia. Jos g on rajoitetusti heilahteleva, on sille olemassa hajotelma g=g\_{1}-g\_{2}, missä g\_{1} ja g\_{2} ovat kasvavia funktioita [a,b]\rightarrow {\mathbb {R}}. Tällöin määritellään

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int \_{a}^{b}f(x)\,dg\_{1}(x)-\int \_{a}^{b}f(x)\,dg\_{2}(x).

Lebesgue-Stieltjes-integraalille erityisiä ominaisuuksia
--------------------------------------------------------

Lebesgue-Stieltjes-integraali on integraalin perusominaisuuksien mukaan automaattisesti lineaarikuvaus integrandinsa suhteen, mutta se on sitä myös integraattorinsa suhteen, toisin sanoen bilineaarinen:

\int \_{a}^{b}f(x)\,d(\alpha \_{1}g\_{1}(x)+\alpha \_{2}g\_{2}(x))=\alpha \_{1}\int \_{a}^{b}f(x)\,dg\_{1}(x)+\alpha \_{2}\int \_{a}^{b}f(x)\,dg\_{2}(x).
Lebesgue-Stieltjes-integraalia voidaan pitää yleistyksenä Riemannin integraalista. Jos integraattori on identiteettifunktio, niin integraali supistuu funktion f Riemannin integraaliksi yli välin [a,b]:

\int \_{a}^{b}f(x)\,d(Id(x))=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx
olettaen, että f on Riemann-integroituva.

Jos g on derivoituva sekä f ja g' ovat Riemann-integroituvia, niin Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvon voi laskea Riemannin integraalina. Tällöin nimittäin pätee kaava

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int \_{a}^{b}f(x)g'(x)\,dx.
Jos funktiolla g on epäjatkuvuuskohta pisteessä c\in [a,b] ja se on muualla derivoituva sekä muut edelliset oletukset pätevät, niin

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int \_{a}^{c}f(x)g'(x)\,dx+\int \_{c}^{b}f(x)g'(x)\,dx+f(c)\left(\lim \_{{x\rightarrow c+}}g(x)-\lim \_{{x\rightarrow c-}}g(x)\right).
Yleisemmässä tapauksessa Lebesgue-Stieltjes-integraalin arvot voi laskea numeerisesti. Jos f on vasemmalta jatkuva, rajoitetusti heilahteleva ja rajoitettu, niin

\int \_{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\lim \_{{n\rightarrow \infty }}\sum \_{{i=1}}^{n}f(x\_{i}^{n})(g(x\_{{i+1}}^{n})-g(x\_{i}^{n})),
missä a=x\_{1}^{n}<x\_{2}^{n}<\ldots <x\_{n}^{n}=b on tihentyvä jono välin [a,b] jakoja, eli
\max\{x\_{{i+1}}^{n}-x\_{i}^{n}\,|\,i=1,\ldots ,n-1\}\rightarrow 0, kun n\rightarrow \infty .

Katso myös
----------

* Odotusarvo

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 266. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).

Aiheesta muualla
----------------

* MathWorld. Lebesgue-Stieltjes Integral