Diagrammissa on jatkuvan satunnaismuuttujan kuvaaja, johon on väritetty näkyviin tapahtuman "todennäköisyysmassat". Väritetyn alueen määrätty integraalit eli kuvaajan pinta-alat ovat suhteessa tapahtuman todennäköisyyteen.
**Kertymäfunktio**  eli **jakaumafunktio**  (engl. *cumulative distribution function*, **cdf**) on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä reaaliarvoisen satunnaismuuttujan todennäköisyyden jakautumista kuvaava funktio. Kertymäfunktion F(x) arvot ovat todennäköisyyksiä tapahtumissa, jossa satunnaismuuttuja X saa reuna-arvon x tai sitä pienempiä arvoja eli {\displaystyle \scriptstyle F(x)=P(X\leq x)}. Jatkuvan satunnaismuuttujan tapauksessa kertymäfunktio määritellään tiheysfunktion määrätyn integraalin avulla ja diskreetillä satunnaismuuttujalla pistetodennäköisyyksien summana. Kertymäfunktio on aina oikealta jatkuva, vaikka tiheysfunktio tai pistetodennäköisyysfunktio olisi epäjatkuva.

Määritelmä
----------

Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään

{\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum \_{k\leq x}p(k),} 
missä {\displaystyle p(k)} on pistetodennäköisyysfunktion arvo ylärajaa x pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio määritellään määrättynä integraalina ylärajan x suhteen

{\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\int \_{-\infty }^{x}f(t)dt,} 
missä f(x) on satunnaismuuttujan tiheysfunktio. Tiheysfunktiota havainnollistetaan ajattelemalla sen arvoja "todennäköisyysmassan" korkeutena, missä suuri arvo merkitsee yleistä satunnaismuuttujan arvoa. Kertymäfunktion tapauksessa voidaan edelleen ajatella, että sen arvo tarkoittaisi "todennäköisyysmassan" kokonaismäärää {\displaystyle F(a)} kohdassa a ja sitä pienemmillä satunnaismuuttujan arvoilla.

Jos tiheysfunktio on jatkuva, saadaan se myös derivoimalla kertymäfunktio muuttujan suhteen

{\displaystyle F'(x)=f(x).}

Merkintöjä
----------

Jos halutaan korostaa kertymäfunktion satunnaismuuttujaa, merkitään satunnaismuuttuja usein alaindeksiksi F\_{X}(x) ja {\displaystyle F\_{Y}(x).} Toisinaan merkitään kertymäfunktio kreikkalaisella aakkosella {\displaystyle \Phi (x)} (lue: "fii"), jos tiheysfunktio on ollut {\displaystyle \phi (x)} (pieni kirjain).

Esimerkkejä
-----------

Ylin kuvaaja esittää diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktiota, keskimmäinen jatkuvan satunnaismuuttujan ja alin sellaisen satunnaismuuttujan, jolla on kumpaakin piirrettä.
### Diskreetti satunnaismuuttuja

Diskreetin satunnaismuuttujan pistetodennäköisyysfunktiolla saa 10 nollasta eroavaa arvoa

{\displaystyle P(X=x\_{i})=p(x\_{i})=f(x\_{i}),}
kun {\displaystyle i=1,...10,} jotka ovat yhtä suuret eli {\displaystyle p(x\_{i})={\tfrac {1}{10}}.} Kertymäfunktio saadaan arvoa *x* pienempien kohtien todennäköisyyksien summasta eli

{\displaystyle F(x)=P(X\leq x)=\sum \_{x\_{i}\leq x}p\_{i}=p\_{1}+p\_{2}+...+p\_{k}.} 
Tämän porrasfunktion arvot ovat oikealta jatkuvia ja sen kuvaaja on esitetty alla.

### Jatkuva satunnaismuuttuja

Tasaisen jakauman tiheysfunktio välillä [a,b] on 

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\0,&{\mbox{jos }}x\notin [a,b]\end{cases}}} 
ja sen kertymäfunktioksi saadaan

{\displaystyle F(x)=\int \_{-\infty }^{x}f(t)dt={\begin{cases}0,&{\mbox{jos }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}},&{\mbox{jos }}x\in [a,b]\\1,&{\mbox{jos }}x>b.\end{cases}}} 
Sen kuvaaja on alla.

* Diskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoaDiskreetti jakauma, jossa 10 yhtä todennäköistä arvoa
* Binomijakauman kertymäfunktioBinomijakauman kertymäfunktio
* Beta-jakaumia eri parametreillaBeta-jakaumia eri parametreilla
* Burrin jakaumia eri parametreilläBurrin jakaumia eri parametreillä
* Cauchyn jakaumia eri parametreilläCauchyn jakaumia eri parametreillä
* Khi-jakaumiaKhi-jakaumia
* χ²-jakaumiaχ²-jakaumia
* Eksponenttijakaumia kolmella parametrilläEksponenttijakaumia kolmella parametrillä
* Frechet-jakaumia eri parametreilläFrechet-jakaumia eri parametreillä
* Gammajakaumia eri parametreilläGammajakaumia eri parametreillä
* Maxwell-Boltzmannin jakaumia eri parametreilläMaxwell-Boltzmannin jakaumia eri parametreillä
* Normaalijakaumia kuudella parametriparillaNormaalijakaumia kuudella parametriparilla
* Pareto-jakamia eriparametreilläPareto-jakamia eriparametreillä
* Rayleigh-jakaumia eri parametreilläRayleigh-jakaumia eri parametreillä
* Tasainen jakaumaTasainen jakauma

Ominaisuuksia
-------------

### Funktiona

Kertymäfunktio on kuvaus reaaliluvuilta välille [0,1], eli

{\displaystyle F(x):\mathbb {R} \rightarrow [0,1].} 
Jatkuvan satunnaismuuttujan kertymäfunktio on jatkuva funktio. Diskreetin satunnaismuuttujan kertymäfunktio on oikealta jatkuva porrasfunktio. Jatkuvuudesta seuraa ominaisuus

{\displaystyle P(X<a)=\lim \_{x\to a}F(x)=\lim \_{x\to a}P(X<x)=P(X\leq a)=F(a).}
Tämä ominaisuus voidaan kirjoittaa havainnollisemmin

{\displaystyle P(X\leq a)=P(X<a{\mbox{ tai }}X=a)=P(X<a)+P(X=a)=P(X<a).} 
Jatkuvan satunnaismuuttujan pistetodennäköisyys eli arvo yksittäisessä pisteessä on siten nolla eli

{\displaystyle P(X=a)=0.}
Koska kertymäfunktion arvot ovat tapahtumien todennäköisyyksiä, saa se vain arvoja väliltä

{\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1.} 
Kertymäfunktio on lisäksi monotoninen funktio, joka on ei-vähenevä eli 

{\displaystyle F(x\_{1})\leq F(x\_{2})} kun on x\_{1}<x\_{2}. 
Tämän vuoksi kertymäfunktio kasvaa lopulta täyteen arvoonsa, kun ylärajaa kasvatetaan riittävästi

{\displaystyle \lim \_{a\to +\infty }F(a)=\lim \_{a\to +\infty }\int \_{-\infty }^{a}f(x)\,dx=1.} 
Kertymäfunktio alkaa nollasta jostakin arvosta *a* lähtien. Jos satunnaismuuttuja arvoalue on äärettömän laaja, voidaan tämä ilmaista

{\displaystyle \lim \_{a\to -\infty }F(a)=\lim \_{a\to -\infty }\int \_{-\infty }^{a}f(x)\,dx=0.} 
### Todennäköisyyksinä

Edellä esitelty määritelmä on eräs tapa ilmaista tapahtuma, jossa todennäköisyys lasketaan käyttämällä satunnaismuuttujan ylärajana x eli

{\displaystyle P(X\leq x)=F(x).}
Voidaan osoittaa, että sillä voidaan laskea kaikki sellaiset todennäköisyydet, jossa tapahtumat ovat välejä. Esimerkiksi, koska mielivaltaiselle satunnaismuuttujan arvolle a pätee

{\displaystyle P(X<a)+P(a\leq X)=1,} 
voidaan *vastatapahtuman todennäköisyys* laskea

{\displaystyle P(a\leq X)=1-P(X<a)=1-P(X\leq a)=1-F(a).} 
Toisaalta, koska mielivaltaisille satunnaismuuttujan arvoille a ja b pätee

{\displaystyle P(X<a)+P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b),} 
voidaan *välin [a,b] todennäköisyys* laskea

{\displaystyle P(a\leq X\leq b)=P(X\leq b)-P(X<a)=P(X\leq b)-P(X\leq a)=F(b)-F(a).} 
Jos kertymäfunktio olisi määritelty toisella tavalla, olisi siihenkin voitu johtaa kaikkien muidenkin välien todennäköisyydet.

* P
          (
          X
          <
          x
          )
          +
          P
          (
          x
          ≤
          X
          )
          =
          1
          ,
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle P(X<x)+P(x\leq X)=1,}
  
 kohdassa x{\displaystyle \scriptstyle P(X<x)+P(x\leq X)=1,} kohdassa *x*
* P
          (
          a
          ≤
          X
          )
          =
          1
          −
          F
          (
          a
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle P(a\leq X)=1-F(a)}{\displaystyle \scriptstyle P(a\leq X)=1-F(a)}
* P
          (
          
            x
            
              1
            
          
          ≤
          X
          ≤
          
            x
            
              2
            
          
          )
          =
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle P(x_{1}\leq X\leq x_{2})=}
  
 
  
    
      
        
          F
          (
          
            x
            
              2
            
          
          )
          −
          F
          (
          
            x
            
              1
            
          
          )
        
      
    
    {\displaystyle \scriptstyle F(x_{2})-F(x_{1})}{\displaystyle \scriptstyle P(x\_{1}\leq X\leq x\_{2})=} {\displaystyle \scriptstyle F(x\_{2})-F(x\_{1})}

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Kivelä, Simo K.: Kertymäfunktio, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
2. 1 2 3 4  Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
3. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12  Melin, Ilkka: Kertymäfunktio, Todennäköisyyslaskennan kurssimateriaali, Aalto-yliopisto, 2007
4. 1 2 3 4 5  Alatupa, Sami et al.: *Pitkä Sigma 3*, s. 154−164. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
5. ↑  Alatupa, Sami et al.: *Pitkä Sigma 3*, s. 43−60. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
6. ↑  Mathworld: Uniform Distribution