**Itseisaika** (**ominaisaika**, engl. *proper time*, tunnus {\displaystyle \tau }) on suhteellisuusteorian keskeisiä käsitteitä, jolla voidaan ilmaista kahden aika-avaruuden tapahtuman välinen aika havaitsijasta riippumatta. Aikadilataatiosta seuraa, että toistensa suhteen liikkuvat havaitsijat määrittelevät toisilleen poikkeavan ajan kulun (koordinaatistoaika t) riippuen inertiaalikoordinaatistojen välisestä suhteellisesta nopeudesta. 

Ajatellaan havaitsijaa, joka liikkuu aika-avaruudessa maailmanviivaa pitkin. Havaitsijan maailmanviivalta valitaan kaksi tapahtumaa, joiden välinen aika mitataan havaitsijan mukana liikkuvalla kellolla. Tällä mukana liikkuvalla kellolla mitattu tapahtumien välinen aika on *itseisaika*. Määritelmästä seuraa, että itseisaika on havaitsijariippumaton Lorentz-invariantti skalaari. Itseisaika voidaan määritellä vain massallisille hiukkasille, joiden liikerataa kuvaa ajanluonteinen maailmanviiva. 

Koordinaatistot, jotka eivät kuvaa koko aika-avaruutta, voivat johtaa paradoksaalisiin tilanteisiin yleisessä suhteellisuusteoriassa. Tyypilliset mustan aukon ulkopuolista avaruutta kuvaavat koordinaatistot eivät kata mustan aukon sisällä olevaa aika-avaruuden osaa. Mustaan aukkoon putoava kappale kulkee äärellisen matkan, mutta matkaan kuluu *ääretön koordinaatistoaika*, kun aika määritellään ulkopuolisessa koordinaatistossa. Kappaleeseen kiinnitetyllä kellolla mitattuna matkaan kuluu kuitenkin *äärellinen* *itseisaika*.

Matemaattinen muotoilu
----------------------

Oletetaan, että inertiaalikoordinaatistossa K havaitsija havaitsee kellon, joka liikkuu jollain suhteellisella nopeudella {\displaystyle \mathbf {v} } maailmanviivaansa pitkin. Kullakin infinitesimaalilla aikavälillä kello on tasaisessa liiketilassa. Näin kelloon voidaan kiinnittää hetkellinen inertiaalikoordinaatisto K'.

Seuraavassa havaitsija on lepokoordinaatisto K ja liikkuva kello koordinaatisto K'.

Kun K mittaa omalla kellollaan infinitesimaalin ajan {\displaystyle dt}, on kello K' kulkenut (koordinaatistossa K määriteltynä) matkan {\displaystyle {\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}}.

Koordinaatistossa K' kello on hetkellisesti levossa, jolloin {\displaystyle dx'=dy'=dz'=0}. Aika-avaruuden intervalli {\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}} on Lorentz-invariantti skalaari eli sama kaikille havaitsijoille. Tästä seuraa, että 

{\displaystyle ds^{2}=c^{2}dt^{2}-dx^{2}-dy^{2}-dz^{2}=c^{2}dt'^{2}}, josta saadaan

{\displaystyle dt'={\sqrt {1-{\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{c^{2}dt^{2}}}}}.}

Liikkuvan kellon nopeuden {\displaystyle \mathbf {v} } neliö on

{\displaystyle v^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{dt^{2}}}.}

Koordinaatiston K' aika {\displaystyle dt'} voidaan lausua koordinaatiston K suureilla

{\displaystyle dt'={\frac {ds}{c}}=dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}

Koordinaatisto K mitattaa liikkuvan koordinaatiston K' kahden tapahtuman väliseksi ajaksi {\displaystyle \Delta t=t\_{2}-t\_{1}}. Vastaava aika K':ssa on {\displaystyle \Delta \tau '=t'\_{2}-t'\_{1}}. Koordinaatiston K suureilla tuo aika lasketaan integroimalla edellinen lauseke

{\displaystyle \Delta \tau '=t'\_{2}-t'\_{1}=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}dt{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}.}

Liikkuvan kellon K' mittaamaa aikaa {\displaystyle \Delta \tau '} kutsutaan *itseisajaksi*, joka on aina pienempi kuin lepokoordinaatiston K kellolla mitattu itseisaika. Tämä ilmaistaan usein sanallisesti "liikkuva kello käy hitaammin kuin paikallaan oleva".

Itseisaika on kaikille havaitsijoille sama Lorentz-invariantti skalaari, koska sen määrittelyyn käytetään aika-avaruuden intervallia (c=1) 

{\displaystyle d\tau ={\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}=dt{\sqrt {1-v^{2}}}.}

Lepokoordinaatistossa itseisaika on sama kuin koordinaatistoaika, koska kellon kulkema avaruudellinen matka {\displaystyle dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}=0}, jolloin {\displaystyle d\tau =dt}.

Itseisaika vastaa euklidisessa geometriassa käyrän kaaripituutta, joka saadaan integroimalla differentiaalia {\displaystyle ds={\sqrt {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}}.} Minkowskin avaruudessa maailmanviivan pituus saadaan integroimalla differentiaalia {\displaystyle d\tau }. 

Olkoon {\displaystyle E\_{1}} ja {\displaystyle E\_{2}} kaksi aika-avaruuden tapahtumaa, jotka ovat K:n määrittelemällä parametrisoidulla maailmanviivalla {\displaystyle X(\lambda )=(t(\lambda ),x(\lambda ),y(\lambda ),z(\lambda ))} siten, että {\displaystyle X(\lambda \_{1})=E\_{1}} ja {\displaystyle X(\lambda \_{2})=E\_{2}}. Liikkuva kello K' seuraa tätä K:ssa määriteltyä maailmanviivaa. Itseisaika, jonka K' mittaa tapahtumien välille, lasketaan koordinaatistossa K integraalina

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int \_{E\_{1}}^{E\_{2}}d\tau \\&=\int \_{\lambda \_{1}}^{\lambda \_{2}}{\sqrt {dt^{2}-(dx^{2}+dy^{2}+dz^{2})}}\\&=\int \_{\lambda \_{1}}^{\lambda \_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dt}{d\lambda }}\right)^{2}-\left(\left({\frac {dx}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{d\lambda }}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{d\lambda }}\right)^{2}\right)}}d\lambda \\&=\int \_{\lambda \_{1}}^{\lambda \_{2}}|X'(\lambda )|d\lambda .\end{aligned}}}

  
Maailmanviiva voidaan parametrisoida lepokoordinaatiston K itseisajalla {\displaystyle \tau } (sama kuin koordinaatistoaika {\displaystyle t}), jolloin maailmanviivan {\displaystyle X(t)} pituus on

{\displaystyle {\begin{aligned}\Delta \tau &=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\sqrt {1-\left(\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}\right)}}dt\\&=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\sqrt {1-v(t)^{2}}}dt\\&=\int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\frac {dt}{\gamma (t)}}dt,\end{aligned}}}

missä {\displaystyle \gamma (t)} on Lorentz-kerroin ja {\displaystyle v(t)} liikkuvan kellon nopeus. Havaitsijan itseisajalla parametrisoidun maailmanviivan tangenttivektorin pituus on aina {\displaystyle ||X'(\tau )||=1}. Valonluonteista maailmanviivaa seuraavien massattomien hiukkasten itseisaika ei ole määritelty. Tämä ilmaistaan joskus sanallisesti "valo ei koe aikaa".

Lähteet
-------

1. 1 2  Zwiebach, Barton: *A first course in string theory*. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 263294922. ISBN 9780521880329, 0521880327.
2. 1 2  Callahan, James J.: *The Geometry of Spacetime : an Introduction to Special and General Relativity*. New York, NY: Springer New York, 2000. 851777508. ISBN 9781475767360, 1475767366.
3. 1 2 3  Schutz, Bernard F.: *A first course in general relativity*. Cambridge: Cambridge University Press, 2009. 244767823. ISBN 9780521887052, 0521887054, 1107696690, 9781107696693.
4. ↑  Landau, L. D.: *The classical theory of fields*. Oxford: Butterworth Heinemann, 2000. 47029975. ISBN 0750627689, 9780750627689.