**Juurifunktio** on muuttujan x\! matemaattinen funktio, joka on potenssifunktion erikoistapaus. Se voidaan esittää yleistettynä 

{\displaystyle f\colon x\mapsto ax^{\frac {1}{n}}\qquad a\in \mathbb {R} ,n\in \mathbb {Z} }
missä {\displaystyle x^{\frac {1}{n}}} on potenssi ja yksikkömurtoluku {\displaystyle {\tfrac {1}{n}}\!} sen eksponentti. Eksponentissa luku n kutsutaan myös juuren asteeksi. Yleensä juurifunktiot rajoitetaan asteisiin n = 2, 3, 4, ... vaikka myös aste n = 1 sopisi ominaisuuksiensa puolesta juurifunktioksi. Ylempi merkintä tarkoittaa samaa asiaa kuin Suomen koulumatematiikassa käytetty merkintä

{\displaystyle f(x)=ax^{\frac {1}{n}}=a{\sqrt[{n}]{x}}\qquad a\in \mathbb {R} }

Juurifunktion ominaisuuksia
---------------------------

Juurifunktion määrittelyjoukkona voi joskus olla kaikki reaaliluvut, mutta yleensä vaaditaan ei-negatiivisuutta eli {\displaystyle x\geq 0} laskettavuuden parantamiseksi. Jos juuren aste n on parillinen, on määrittelyjoukko rajoitettu {\displaystyle x\geq 0}, mutta parittomalla asteella käyvät kaikki reaaliluvut. Tästä seuraa kuitenkin eräs yllättävä ongelma kompleksiluvuilla. Esimerkiksi negatiivisten lukujen kuutiojuuren arvon määrityksenä voisi käyttää potenssilaskennan päättelyä, jolla {\displaystyle (-2)^{3}=-8\Leftrightarrow {\sqrt[{3}]{-8}}=-2.} On kuitenkin olemassa kolme kompleksilukua, joiden kolmas potenssi on {\displaystyle -8:} {\displaystyle \{-2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}\}}. Jos juurilausekkeen arvoksi kelpuutetaan myös kompleksiluvut, valitaan näistä oletusarvoisesti se, jonka napakulman itseisarvo on pienin ja jos kahden kompleksiluvun napakulmien itseisarvot ovat samat, valitaan näistä positiivinen vaihtoehto. Lukujen {\displaystyle -2,1+i{\sqrt {3}},1-i{\sqrt {3}}} napakulmat ovat {\displaystyle \pi ,{\frac {\pi }{3}},-{\frac {\pi }{3}}} vastaavasti ja siksi lausekkeen {\displaystyle {\sqrt[{3}]{-8}}} arvoksi valitaan {\displaystyle 1+i{\sqrt {3}}}.

|  |  |
| --- | --- |
| Juurifunktiot, joilla on pariton aste. | Juurifunktiot, joilla on parillinen aste. |

### Parillisuus ja parittomuus

Juurifunktioille, joiden aste on parillinen luku, ei ole mielekästä määrittää parillisuutta ja parittomuutta, koska jo määrittelyjoukko käsittää vain positiiviset reaaliluvut. Sen sijaan parittomilla juurifunktioilla {\displaystyle {\sqrt {x}},} {\displaystyle {\sqrt[{3}]{x}},} {\displaystyle {\sqrt[{5}]{x}},\dots } määrittelyjoukkona on kaikki reaaliluvut. Parittomat juurifunktiot ovat parittomia funktioita.

### Monotonisuus

Kaikki juurifunktiot ovat aidosti monotonisia ja vieläpä aidosti kasvavia funktioita.

### Käänteisfunktiot

Juurifunktioiden käänteisfunktiot ovat potenssifunktioita, joiden eksponentit ovat luonnollisia lukuja {\displaystyle n\in \mathbb {N} :n=2,3,4,...}. Neliöjuurifunktion {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}},\ x\geq 0} käänteisfunktio {\displaystyle f^{-1}(x)} on toisen asteen potenssifunktio eli kvadraattinen funktio {\displaystyle f^{-1}(x)=x^{2},\ x\geq 0.} Kuutiojuurifunktion {\displaystyle f(x)={\sqrt[{3}]{x}},\ x\in \mathbb {R} } käänteisfunktio on {\displaystyle f^{-1}(x)=x^{3},\ x\in \mathbb {R} .}

Yleistäen voidaan todeta, että käänteisfunktiot ovat parillisilla asteilla {\displaystyle 2n}

{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n}]{x}},\ x\geq 0\rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n},\ x\geq 0}
ja parittomilla asteilla {\displaystyle 2n+1}

{\displaystyle f(x)={\sqrt[{2n+1}]{x}},\ x\in \mathbb {R} \rightarrow f^{-1}(x)=x^{2n+1},\ x\in \mathbb {R} .}

Derivointi ja integrointi
-------------------------

Yleinen potenssien derivaatta, kun {\displaystyle r\in \mathbb {R} } lasketaan

{\displaystyle Dx^{r}=rx^{r-1}.} 
Kun juurifunktion aste on n, tulee derivaataksi

{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}=Dx^{\tfrac {1}{n}}={\frac {1}{n}}x^{{\tfrac {1}{n}}-1}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{{\sqrt[{n}]{x}}^{n-1}}}} 
tai vaihtoehtoisesti

{\displaystyle D{\sqrt[{n}]{x}}={\frac {1}{n}}x^{-{\tfrac {n-1}{n}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{\tfrac {n-1}{n}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {1}{x^{1-{\tfrac {1}{n}}}}}={\frac {1}{n}}{\frac {\sqrt[{n}]{x}}{x}}.} 
Neliöjuuren derivaatta on siten

{\displaystyle D{\sqrt {x}}={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}} 
ja kuutiojuuren derivaatta

{\displaystyle D{\sqrt[{3}]{x}}={\frac {1}{3{\sqrt[{3}]{x}}^{2}}}={\frac {\sqrt[{3}]{x}}{3x}}} 
ja neljäsjuuren derivaatta

{\displaystyle D{\sqrt[{4}]{x}}={\frac {1}{4{\sqrt[{4}]{x}}^{3}}}={\frac {\sqrt[{4}]{x}}{4x}}.} 
n-asteisen juurifunktion yleinen integraalifunktio saadaan

{\displaystyle \int x^{r}dx={\frac {1}{r+1}}x^{r+1}+C\!} 
eli 

{\displaystyle \int x^{\tfrac {1}{n}}\ dx={\frac {1}{1+{\tfrac {1}{n}}}}x^{1+{\tfrac {1}{n}}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x^{\tfrac {n+1}{n}}+C\!={\frac {n}{n+1}}x{\sqrt[{n}]{x}}+C} 
Silloin neliöjuuren integraali on 

{\displaystyle \int {\sqrt {x}}\ dx={\frac {2}{3}}x^{\tfrac {3}{2}}+C={\frac {2}{3}}x{\sqrt {x}}+C.} 
ja kuutiojuuren integraali

{\displaystyle \int {\sqrt[{3}]{x}}\ dx={\frac {3}{4}}x^{\tfrac {4}{3}}+C={\frac {3}{4}}x{\sqrt[{3}]{x}}+C}

Kompleksiluvut
--------------

Juurifunktioiden määrittelyjoukko voidaan laajentaa koskemaan kompleksilukuja {\displaystyle z\in \mathbb {C} }. De Moivre'n teoreemassa, jossa kompleksiluvun z reaalilukuinen potenssi p esitetään polaarisessa muodossa

{\displaystyle z^{p}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{p}=r^{p}(\cos p\theta +i\sin p\theta ),} 
voidaan vaihtaa potenssi yksikkömurtoluvuksi {\displaystyle p={\tfrac {1}{n}}}

{\displaystyle z^{\tfrac {1}{n}}=[r(\cos \theta +i\sin \theta )]^{\tfrac {1}{n}}=r^{\tfrac {1}{n}}(\cos {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}+i\sin {\tfrac {\theta +2k\pi }{n}}),}
kun {\displaystyle k=0,1,2,...n-1.} 

### Neliöjuuri

Neliöjuurelle {\displaystyle {\sqrt {z}}} saadaan kaksi arvoa, kun {\displaystyle k=0} ja {\displaystyle 1.}

Ensimmäinen juuri on arvoltaan {\displaystyle r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 0\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}})}

ja toinen {\displaystyle r^{\tfrac {1}{2}}(\cos {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\cdot 1\cdot \pi }{2}})={\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})}

eli {\displaystyle {\sqrt {z}}=\{{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta }{2}}),{\sqrt {r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{2}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{2}})\}}

### Esimerkki neliöjuurella

Jos lasketaan kompleksiluvun {\displaystyle z=1+i{\sqrt {3}}} neliöjuuri, muutetaan se ensin polaarimuotoon. Modulus on {\displaystyle r={\sqrt {1^{2}+{\sqrt {3}}^{2}}}=2} ja napakulma {\displaystyle \tan \theta ={\tfrac {\sqrt {3}}{1}}={\sqrt {3}}} eli {\displaystyle \theta =60^{\circ }.} Siten {\displaystyle z=1+i{\sqrt {3}}=2(\cos 60^{\circ }+i\sin 60^{\circ })=2({\tfrac {1}{2}}+i{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}).} Neliöjuureksi saadaan sitten kaksi arvoa 

{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {1+i{\sqrt {3}}}}=\{{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }}{2}}),{\sqrt {2}}(\cos {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}}+i\sin {\tfrac {60^{\circ }+360^{\circ }}{2}})\}}
{\displaystyle =\{{\sqrt {2}}(\cos 30^{\circ }+i\sin 30^{\circ }),{\sqrt {2}}(\cos 210^{\circ }+i\sin 210^{\circ })\}=\{{\sqrt {2}}({\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}i),{\sqrt {2}}(-{\tfrac {\sqrt {3}}{2}}-{\tfrac {1}{2}}i)\}=\{{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}+{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}i,-{\tfrac {\sqrt {3}}{\sqrt {2}}}-{\tfrac {1}{\sqrt {2}}}i\}}
### Kuutiojuuri

Kuutiojuuri antaa kolme arvoa, kun {\displaystyle k=0,1,2.}

{\displaystyle {\sqrt[{3}]{z}}=\{{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{3}}),{\sqrt[{3}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{3}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{3}})\}}
### Neljäsjuuri

Neljäs antaa neljä arvoa, kun {\displaystyle k=0,1,2,3.}
{\displaystyle {\sqrt[{4}]{z}}=\{{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +2\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +4\pi }{4}}),{\sqrt[{4}]{r}}(\cos {\tfrac {\theta +6\pi }{4}}+i\sin {\tfrac {\theta +6\pi }{4}})\}}

Katso myös
----------

* Alkeisfunktio
* Imaginaariluku
* Juuri (laskutoimitus)
* Neliöjuuri
* Kuutiojuuri

Lähteet
-------

* Weisstein, Eric W.: Cube Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)

### Viitteet

1. ↑  Kivelä, Simo K.: Lukiotason matematiikan tietosanakirja (html) (Juurifunktion määritelmän laajennus)  2001. Helsinki:  Teknillinen korkeakoulu.
2. ↑  Jyväskylän Yliopisto: Juurifunktio
3. 1 2  Weisstein, Eric W.: Square Root (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Weisstein, Eric W.: Power (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. 1 2  Spiegel, Murray R.: *Mathematical Handbook of Formulas and Tables*. New York: McGraw-Hill Book Company, 1968. (englanniksi)

Kirjallisuutta
--------------

* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi II: Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Aiheesta muualla
----------------

* Etälukio: Juurifunktio (Arkistoitu – Internet Archive)
* Jyväskylän Yliopisto: Potenssi- ja juurifunktiot sekä rationaalipotenssit