Matematiikassa **Jacobin polynomit** ovat luokka ortogonaalisia polynomeja. Ne saadaan hypergeometrisista sarjoista, missä sarjasta otetaan mukaan vain äärellisen monta termiä:

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(\alpha +1)\_{n}}{n!}}\,\_{2}F\_{1}\left(-n,1+\alpha +\beta +n;\alpha +1;{\frac {1-z}{2}}\right),}
missä {\displaystyle (\alpha +1)\_{n}} on Pochhammerin symboli), (Abramowitz & Stegun p561.) ja siten sillä on olemassa eksplisiittinen lauseke

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)}{n!\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}\sum \_{m=0}^{n}{n \choose m}{\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+m+1)}{\Gamma (\alpha +m+1)}}\left({\frac {z-1}{2}}\right)^{m},}
missä

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n}.}
Tässä kokonaisluvulle n\, on voimassa

{\displaystyle {z \choose n}={\frac {\Gamma (z+1)}{\Gamma (n+1)\Gamma (z-n+1)}},}
ja {\displaystyle \Gamma (z)\,} on Gammafunktio, jolle
{\displaystyle 1/\Gamma (n+1)=0\,} kaikilla {\displaystyle n=-1,-2,\dots \,}. Siten

{\displaystyle {z \choose n}=0\quad {\hbox{for}}\quad n<0.}
Polynomit toteuttavat ortogonaalisuusehdon

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P\_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx={\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta \_{nm},}
kun {\displaystyle \alpha >-1} ja {\displaystyle \beta >-1}. 

Polynomeilla on symmetrisyysehto

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-z)=(-1)^{n}P\_{n}^{(\beta ,\alpha )}(z),} ja siten
{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(-1)=(-1)^{n}{n+\beta \choose n}.}
Reaaliluvuilla x Jacobin polynomi voidaan kirjoittaa muodossa

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=\sum \_{s}{n+\alpha \choose s}{n+\beta \choose n-s}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s},}
missä {\displaystyle s\geq 0\,} ja {\displaystyle n-s\geq 0\,}.
Jos neljä suuretta
n, {\displaystyle n+\alpha }, {\displaystyle n+\beta }, and
{\displaystyle n+\alpha +\beta } ovat epänegatiivisia kokonaislukuja, voidaan Jacobin polynomi kirjoittaa muodossa 

{\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)=(n+\alpha )!(n+\beta )!\sum \_{s}\left[s!(n+\alpha -s)!(\beta +s)!(n-s)!\right]^{-1}\left({\frac {x-1}{2}}\right)^{n-s}\left({\frac {x+1}{2}}\right)^{s}.}
Summa voidaan laajentaa kaikille kokonaislukuarvoille, joilla kertomien argumentit ovat epänegatiivisia.

Tämä mahdollistaa Wignerin D-matriisin esittämisen Jacobin polynomiel avulla {\displaystyle d\_{m'm}^{j}(\phi )\;} 
({\displaystyle 0\leq \phi \leq 4\pi }) 
viite: L. C. Biedenharn and J. D. Louck, *Angular Momentum in Quantum Physics*, Addison-Wesley, Reading, (1981)

{\displaystyle d\_{m'm}^{j}(\phi )=\left[{\frac {(j+m)!(j-m)!}{(j+m')!(j-m')!}}\right]^{1/2}\left(\sin {\frac {\phi }{2}}\right)^{m-m'}\left(\cos {\frac {\phi }{2}}\right)^{m+m'}P\_{j-m}^{(m-m',m+m')}(\cos \phi ).}

Derivaatat
----------

Jacobin polynomien *k*:nnes derivaatta johtaa esitykseen

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{k}}{\mathrm {d} z^{k}}}P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {\Gamma (\alpha +\beta +n+1+k)}{2^{k}\Gamma (\alpha +\beta +n+1)}}P\_{n-k}^{(\alpha +k,\beta +k)}(z).}

Differentiaaliyhtälö
--------------------

Jacobi polynomiat {\displaystyle P\_{n}^{(\alpha ,\beta )}} ovat ratkaisuna yhtälölle

{\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0.\,}