**Vuorotteleva sarja** tarkoittaa matematiikassa sellaista sarjaa, jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia. Täsmällisemmin määriteltynä vuorotteleva sarja on muotoa

{\displaystyle S=\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}\,a\_{k}=a\_{1}-a\_{2}+a\_{3}-a\_{4}+\ldots }

oleva sarja, missä {\displaystyle \,a\_{k}>0\,\,} jokaisella {\displaystyle \,k=1,2,\ldots }

Vuorotteleva sarja suppenee, jos sen osasummien 

{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}a\_{k}=a\_{1}-a\_{2}+\ldots +a\_{n}}

muodostama jono {\displaystyle (S\_{n})\_{n=0}^{\infty }} suppenee.

Leibnizin kriteerio
-------------------

 **Leibnizin kriteerio**, toiselta nimeltään  **Leibnizin testi vuorotteleville sarjoille**, antaa riittävän ehdon vuorottelevan sarjan suppenemiselle. Sen ehdot ovat yksinkertaiset eikä niiden tarkasteleminen vaadi osasummien laskemista.

**Lause:** Sarja

{\displaystyle S=u\_{1}-u\_{2}+u\_{3}-\ldots +u\_{2n-1}-u\_{2n}+\ldots ,}

jonka termit ovat vuorotellen positiivisia ja negatiivisia, on varmasti suppeneva jos termien itseisarvot lakkaamatta pienenevät ja niiden raja-arvona on 0, siis

{\displaystyle u\_{0}>u\_{1}>u\_{2}>\ldots >u\_{n}>\ldots >0,\;{\text{ja }}\;\lim \_{k\to \infty }a\_{k}=0.}

**Todistus:** Oletetaan, että positiiviterminen jono {\displaystyle (u\_{k})} suppenee monotonisesti kohti lukua 0. Jos yhdistämme sarjan {\displaystyle S} termit kaksittain

{\displaystyle S=(u\_{1}-u\_{2})+(u\_{3}-u\_{4})+\ldots +(u\_{2k-1}-u\_{2k}\ldots ),}

niin kaikki suluissa olevat summat ovat positiivisia ja saamme osasummille epäyhtälöketjun

{\displaystyle S\_{2}<S\_{4}<S\_{6}\ldots <S\_{2n}<\ldots .}

Jos taasen yhdistämme sarjan termit toisella tavalla, saamme 

{\displaystyle S=u\_{1}-(u\_{2}-u\_{3})-(u\_{4}-u\_{5})-\ldots .}

Jälleen suluissa olevat summat ovat positiivisia ja päädymme tulokseen

{\displaystyle S\_{1}>S\_{3}>S\_{5}>\ldots >S\_{2n-1}>\ldots .}

Yhtälöstä

{\displaystyle S\_{2n}-S\_{2n-1}=-u\_{2n}}
seuraa edelleen, että 

{\displaystyle S\_{2n-1}>S\_{2n},}

oli summausindeksi {\displaystyle n} mikä hyvänsä. 
Lopulta, koska oletimme ehdon {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }u\_{n}=0} olevan voimassa, saamme

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S\_{2n}-S\_{2n-1}=0.}

Näin ollen meillä on kasvava lukujono ja vähenevä lukujono, joista toinen on aina toista suurempi ja joiden yleisten termien raja-arvon erotus lähenee lukua 0, joten lukujonot suppenevat kohti yhteistä raja-arvoa {\displaystyle S}.  Alun oletuksilla siis osasummien muodostama lukujono {\displaystyle S\_{n}} suppenee ja

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S\_{n}=S.}

Sarjan summan arvioiminen
-------------------------

Vuorottelevan sarjan summaa {\displaystyle S} voidaan arvioida laskemalla sarjan osasummia {\displaystyle S\_{n}}. Jos sarjan termit ovat monotonisesti väheneviä, voidaan virhetermin suuruutta arvioida ensimmäisestä summasta poisjätetystä termistä, sillä

{\displaystyle S-S\_{n}=\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u\_{k}-\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u\_{k}=\sum \_{k=n+1}^{\infty }(-1)^{k-1}u\_{k}=u\_{n+1}-(u\_{n+2}-u\_{n+3})-(u\_{n+4}-u\_{n+5})-\ldots \leq u\_{n+1}}

ja näin saadaan virhetermille arvio

{\displaystyle |R\_{n}|=|S-S\_{n}|=|\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k-1}u\_{k}-\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k-1}u\_{k}|\leq |u\_{n+1}|}

Itseisesti suppeneva sarja
--------------------------

Sarja {\displaystyle \sum u\_{k}} on **itseisesti suppeneva**, jos sarja {\displaystyle \sum |u\_{k}|} suppenee.

**Lause:** Itseisesti suppeneva sarja suppenee myös tavallisessa mielessä.

**Todistus:**
Oletetaan, että sarja {\displaystyle \sum u\_{k}} suppenee itseisesti. Tällöin sarjat {\displaystyle \sum |u\_{k}|} ja {\displaystyle \sum 2|u\_{k}|} suppenevat. 

Koska epäyhtälöt

{\displaystyle 0\leq u\_{k}+|u\_{k}|\leq 2|u\_{k}|}
ovat aina voimassa, niin majoranttiperiaatteen mukaan myös sarja {\displaystyle \sum u\_{k}+|u\_{k}|} suppenee. 

Näin ollen {\displaystyle \sum a\_{k}} suppenee kahden suppenevan sarjan erotuksena, sillä 

{\displaystyle \sum a\_{k}=\sum (a\_{k}+|a\_{k}|)-\sum |a\_{k}|.}

Itseisesti suppenevan sarjan termit voidaan järjestään uudelleen, jolloin sarja pysyy suppenevana ja summa muuttumattomana.

Ehdollinen suppeneminen
-----------------------

Sarja **suppenee ehdollisesti**, jos se suppenee, mutta ei suppene itseisesti. Esimerkiksi sarja

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}}

suppenee Leibnizin kriteerion perusteella, mutta ei suppene itseisesti, sillä harmoninen sarja {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} hajaantuu.

Ehdollisesti suppenevan sarjan termien järjestystä ei voi muuttaa, minkä näkee seuraavasta esimerkistä.

{\displaystyle \ln(2)=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{k}}=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\ldots .}

Järjestetään termit uudelleen seuraavasti:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \left(1-{\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{4}}+\left({\frac {1}{3}}-{\frac {1}{6}}\right)-{\frac {1}{8}}+\left({\frac {1}{5}}-{\frac {1}{10}}\right)-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{10}}-{\frac {1}{12}}+\cdots \\[8pt]&={\frac {1}{2}}\left(1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{6}}+\cdots \right)={\frac {1}{2}}\ln(2),\end{aligned}}}

jolloin päädyttäisiin tulokseen 

{\displaystyle \ln(2)={\frac {1}{2}}\ln(2),}
mikä luonnollisestikaan ei pidä paikkaansa.

Katso myös
----------

* Sarja (matematiikka)
* Harmoninen sarja

Lähteet
-------

1. ↑  Lindelöf, Ernst (1967). *Johdatus korkeampaan analyysiin*. Porvoo: Werner Söderström osakeyhtiö, 200.
2. ↑  Myrberg, Lauri (1975). *Differentiaali- ja integraalilaskenta, osa 2*. Tampere: Tampereen Kirjapaino-Oy Tamprint, 46. ISBN 951-26-0994-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.