**Osamäärätesti** tai **suhdetesti** on tapa tutkia reaali- tai kompleksitermisten sarjojen {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}} suppenemista. Testin julkaisi Jean le Rond d'Alembert ja se tunnetaankin joskus nimellä **d'Alembertin osamäärätesti**. Testiä varten lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo indeksin *n* lähestyessä ääretöntä ja merkitään saatua raja-arvoa kirjaimella *L*. Matemaattisesti ilmaistuna

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=L.} 
Saatua raja-arvoa tulkitaan seuraavasti:

* jos {\displaystyle L<1\!}, niin sarja suppenee.
* jos {\displaystyle L>1\!}, niin sarja hajaantuu.
* jos {\displaystyle L=1\!}, niin sarjan suppenemisesta ei voida sanoa mitään osamäärätestin perusteella.

Esimerkkejä
-----------

### Suppeneva

Tutkitaan sarjan

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}
suppenemista. Lasketaan sarjan kahden peräkkäisen termin itseisarvon raja-arvo

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{e^{n+1}}}\cdot {\frac {e^{n}}{n}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n+1}{n}}\cdot {\frac {e^{n}}{e^{n}\cdot e}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|(1+{\frac {1}{n}})\cdot {\frac {1}{e}}\right|=1\cdot {\frac {1}{e}}={\frac {1}{e}}<1.}
Koska raja-arvo {\displaystyle L={\frac {1}{e}}} on pienempi kuin 1, niin sarja suppenee.

### Hajaantuva

Tutkitaan sarjan

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}}
suppenemista. Osamäärätestin mukaisesti lasketaan

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {e^{n+1}}{n+1}}\cdot {\frac {n}{e^{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {n}{n+1}}\cdot {\frac {e^{n}\cdot e}{e^{n}}}\right|=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|(1-{\frac {1}{n+1}})\cdot e\right|=1\cdot e=\!\,e>1.}
Koska {\displaystyle L=e\approx 2{,}718\dots } on suurempi kuin 1, niin sarja hajaantuu.

### Testi ei kerro suppenemisesta

Jos sarjan raja-arvo *L* on tasan 1 eli

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=1,}
niin osamäärätestillä ei voida selvittää sen suppenemista. 

Esimerkiksi sarja

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }1}
hajaantuu, mutta

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1.}
Sarja

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}
puolestaan suppenee itseisesti, mutta

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}
Sarja

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}
suppenee ehdollisesti, mutta

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}

Katso myös
----------

* Vertailuperiaate
* Juuritesti
* Integraalitesti

Lähteet
-------

1. ↑  Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013), s. 120 (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf). Viitattu 8.7.2019.

Kirjallisuutta
--------------

* Knopp, Konrad, "Infinite Sequences and Series", Dover publications, Inc. New York, 1956. (§ 3.3, 5.4) ISBN 0-486-60153-6
* Whittaker, E. T. and Watson, G. N. *A Course in Modern Analysis*, fourth edition, Cambridge University Press, 1963. (§ 2.36, 2.37) ISBN 0-521-58807-3