Käyrän pyörähtäessä syntyvä pyörähdys­kappale ja sitä rajoittava pyörähdys­pinta
Monet astiat, esimerkiksi tavallinen puna­viini­lasi, ovat muodoltaan pyörähdys­kappaleita.
**Pyörähdys­kappale** on kolmi­ulotteinen kappale, jonka voidaan ajatella syntyvän jonkin käyrän rajoittaman tasoalueen pyörähtäessä avaruudessa jonkin kiinteän suoran, akselin ympäri.

Yksinkertaisimpia pyörähdys­kappaleita ovat lieriö ja kartio. Lieriö syntyy kahden suoran välisen alueen pyörähtäessä toisen suoran ympäri, kartio taas janan pyörähtäessä sen toisen pääte­pisteen kautta kulkevan suoran ympäri. Ympyrän pyörähtäessä halkaisijansa ympäri syntyy pyörähdyskappaleena pallo. Jos ympyrä pyörähtää kokonaan sen ulko­puolella olevan suoran ympäri, saadaan renkaan tai munkkirinkelin muotoinen, toruspinnan rajoittama kappale. Ellipsin pyörähtäessä isoakselinsa ympäri syntyy pyörähdysellipsoidi.

Käytännössä pyörähdys­kappaleita ovat muodoltaan monet astiat sekä yleensä sorvin avulla valmistetut esineet.

Pyörähdyskappaleet ovat symmetrisiä kaikkien akselin ympäri tehtyjen rotaatioiden suhteen. Niiden poikki­leikkaus akselia vastaan kohti­suorilla tasoilla on ympyrä.

Pyörähdyskappaleen rajapinta on pyörähdyspinta.

Tilavuus
--------

Mikäli pyörähtävää aluetta rajoittava käyrä voidaan esittää jonkin funktion kuvaajana, voidaan pyörähdys­kappaleen tilavuus määrittää integraalilaskennan avulla. Oletetaan, että *f* on välillä [a,b] jatkuva positiivinen funktio ja että pyörähtävää aluetta A rajoittavat käyrä *y = f(x)* sekä suorat *y=0*, *x=a* ja *y=b*. Tällöin alueen A pyörähtäessä x-akselin ympäri syntyy pyörähdys­kappale, johon kuuluvat pisteet (x,y,z) toteuttavat epäyhtälöt

{\displaystyle a<x<b}
{\displaystyle x^{2}+y^{2}<f(x)^{2}}
Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

{\displaystyle \pi \int \_{a}^{b}\!f(x)^{2}\,dx\,}.
### Korkeammissa ulottuvuuksissa

Jos käyrä *y=f(x)* pyörähtää x-akselin ympäri *(n+1)*-ulotteisessa avaruudessa, on *x*-akseli kohtisuoraan *n*-ulotteista avaruutta vastaan, jolloin jokainen käyrän piste rajaa *n*-ulotteisen pallon tilavuuden. Tämän pyörähdyskappaleen tilavuus on

{\displaystyle {\tfrac {\pi ^{\tfrac {n}{2}}}{\Gamma ({\tfrac {n}{2}}+1)}}\int \_{a}^{b}f(x)^{n}dx}
Missä \Gamma on gammafunktio.

Pyörähtääkseen on kappaleen kunkin pisteen rajattava pallopinta. Tämän pallopinnan ulottuvuudet määräävät ne koordinaattiakselit, jotka ovat kohtisuorassa pyörähdyksen akselia vastaan. Esimerkiksi kun käyrä y=f(x) pyörähtää {\displaystyle x,y,z}-avaruudessa x-akselin ympäri, rajaa jokainen sen piste {\displaystyle y,z}-tason suuntaisen ympyrän. Tästä seuraa, että n-ulotteisessa avaruudessa pyörähdyksen akselin ei välttämättä ole oltava suora, vaan se voi olla enintään {\displaystyle (n-2)}-ulotteinen. Esimerkiksi {\displaystyle x,y,z,w}-avaruudessa {\displaystyle x,y}-tason ympäri pyörähtävän kappaleen pisteet rajaavat kukin ympyrän {\displaystyle z,w}-tasossa.

Lähteet
-------

1. ↑  Ynge Lehtosaari, Jarkko Leino: *Matematiikka 11*, s. 199. Kirjayhtymä, 1974. ISBN 951-26-0078-1.
2. ↑  Lauri Myrberg: *Differentiaali- ja integraalilaskenta 1*, s. 280-281. Kirjayhtymä, 1977. ISBN 951-26-0936-3.

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Pyörähdyskappale** Wikimedia Commonsissa