**Ehdollinen todennäköisyys** on todennäköisyyslaskennassa peruskäsite, jossa tarkastellaan kahta saman satunnaisilmiön tapahtumia. Jos tapahtumat riippuvat toistaan, muuttuvat molemmat todennäköisyydet, kun molemmat tapahtumat tapahtuvat. Jos tapahtumat ovat riippumattomat, antaa tapahtuman ehdollinen todennäköisyys saman arvon kuin tapahtuman todennäköisyys.

Ehdollinen todennäköisyys voidaan perustella tilastollisella päättelyllä. Tarkastellaan koulun välitunnilla oppilaita, jotka ovat tyttöjä ja poikia. Laskettaessa saksankielen aloittajien suhteellista osuutta, jotka ovat tyttöjä, tarkoitetaan *saksan aloittaja ehdolla, että oppilas on tyttö*. Silloin pojat karsitaan pois ja lasketaan saksan aloittajat tyttöjen parista. Osoittajaan kirjataan niiden lukumäärä, jotka lukevat saksaa ja ovat tyttöjä (*saksa ja tyttö*). Nimittäjään kirjataan tyttöjen lukumäärä. Lauseessa ilmaistu *ehdolla* merkitään pystyviivalla *saksa | tyttö*. Todennäköisyys lasketaan vastaavasti

{\displaystyle P({\text{saksa}}|{\text{tyttö}})={\frac {P({\text{tyttö ja saksa}})}{P({\text{tyttö}})}}.}

Ehdollisen todennäköisyyden määritelmä
--------------------------------------

Kun molemmat tapahtumat A ja B tapahtuvat, lasketaan todennäköisyys sille, että molemat tapahtuvat, käyttämällä todennäköisyyksien kertolaskusääntöä. Mikäli tapahtumat ovat riippumattomia, lasketaan todennäköisyys 

{\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)P(B)}
ja jos tapahtumat riippuvat toistaan, lasketaan se kahdella vaihtoehtoisella tavalla

{\displaystyle P(A{\text{ ja }}B)=P(A\cap B)=P(A)\cdot P(B|A)=P(A|B)\cdot P(B).}
Kahden ensimmäisen lausekkeen avulla voidaan määritellä ehdollinen todennäköisyys 

{\displaystyle P(B|A)={\frac {P(A\cap B)}{P(A)}}.} 
Ensimmäisestä ja kolmannesta lausekkeesta voidaan johtaa ehdollinen todennäköisyys vaihtoehtoisella tavalla

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A\cap B)}{P(B)}}.} 
Mikäli ei tunneta {\displaystyle P(A\cap B),} voidaan se määritellä

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(A)\cdot P(B|A)}{P(B)}}.} 
Edelliset määritelmät menettävät merkityksensä, mikäli jompikumpi {\displaystyle P(A)} tai {\displaystyle P(B)} on nolla.

### Monta tapahtumaa

Kun tarkastellaan kolmea tapahtumaa, jotka riippuvat toisistaan, voidaan laskea todennäköisyys sille, että kaikki tapahtuvat

{\displaystyle P(A\cap B\cap C)=P(A)\cdot P(B|A)\cdot P(C|A\cap B),}
mikäli molemmat ehdolliset todennäköisyydet ovat olemassa. Useammassa tapahtumassa ehdollisia todennäköisyyksiä tulee huomioida enemmän. Jos tapahtumat ovat {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{n}}, saadaan

{\displaystyle P(A\_{1}\cap A\_{2}\cap ...\cap A\_{n})=P(A\_{1})\cdot P(A\_{2}|A\_{1})\cdot \cdot \cdot P(A\_{n}|A\_{1}\cap ...\cap A\_{n-1}).}

Katso myös
----------

* Bayesin teoreema
* Bayesilainen tilastotiede

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4  Alatupa, Sami et al.: *Pitkä Sigma 6*, s. 119−128. (lukion pitkän matematiikan oppikirja). Helsinki: Otava, 2010. ISBN 978-951-31-5343-4.
2. 1 2  Kivelä, Simo K.: Ehdollinen todennäköisyys, M niin kuin matematiikka, 10.8.2000
3. ↑  Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I(luentomoniste), Turun Yliopisto, 2012
4. 1 2 3 4  Weisstein, Eric W.: Conditional Probability (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. 1 2  Emet, Stefan: Johdatus todennäköisyyslaskentaan ja tilastotieteeseen (Arkistoitu – Internet Archive), Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Turun Yliopisto, 2014