KdV-yhtälöä numeerisesti mallinnettuna. Kuvassa nähdään kahden aallon törmäys ja siinä tapahtuva vaihesiirtymä. X-akselina on aika ja y-akselina paikka. Värillä ilmaistaan aallon korkeutta.
**Korteweg-de Vries -yhtälö** (tai lyhyemmin **KdV-yhtälö**) on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö, jolla kuvataan matalassa vedessä eteneviä aaltoja. KdV-yhtälön merkitys solitoniteoriassa on suuri, sillä sen ratkaisuna saadaan malliesimerkki solitoniaallosta. Yhtälö on saanut nimensä sitä tutkineiden Diederik Kortewegin ja Gustav de Vries'n mukaan .

Määritelmä
----------

KdV-yhtälö on epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle φ kahdessa ulottuvuudessa, paikassa *x* ja ajassa *t*: 

\partial \_{t}\phi +\partial \_{x}^{3}\phi +6\,\phi \,\partial \_{x}\phi =0,\,
jossa ∂*x* merkitsee osittaisderivaattaa *x*:n ja ∂*t* *t*:n suhteen.

Solitoniratkaisut
-----------------

Osa yhtälön merkittävyyttä johtuu siitä, että sille on mahdollista löytää analyyttinen ratkaisu. Tämä voidaan ratkaista muun muassa olettamalla solitoniaallon etenevän nopeudella *v* ja sen huipun sijaitsevan ajanhetkellä *t* = 0 kohdassa *x*. Otetaan käyttöön uusi muuttuja *z* = *x* − *vt* ja funktio *f*(*z*) = φ(*x*, *t*). Nyt saadaan yhtälöksi tavallinen differentiaaliyhtälö

\,\!f'''+6ff'-vf'=0,
joka voidaan integroida *z*:n suhteen ja saadaan

\,\!f''+3f^{2}-vf+C=0.
Tässä muuttuja *C* on integroimisvakio. Halutaan kuitenkin ratkaisun *f*(*z*):n arvon olevan nolla kaukana aallon huipusta. Toisin sanoen siis *f*(*z*) lähestyy 0 kun *z*→±∞. Tästä seuraa, että vakio *C* = 0. Yhtälö täytyy kertoa vielä *f'*:lla ja integroida uudestaan ennen kuin ratkaisu saadaan ulos.

Ratkaisuksi näin saadaan

\phi (x,t)={\frac {1}{2}}\,v\,{\frac {1}{\cosh ^{2}\left[{{\sqrt {v}} \over 2}(x-vt-x\_{0})\right]}},
jossa *x*0 merkitsee aallon huipun paikkaa ajanhetkellä *t* = 0. Yhtälö mallintaa oikealle liikkuvaa solitonia.

Säilyvät suureet
----------------

KdV-yhtälölle saadaan ratkaistua äärettömän monta säilyvää suuretta. Ne voidaan laskea kaavalla

I\_{n}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}P\_{{2n}}(\phi ,\partial \_{x}\phi ,\partial \_{{xx}}^{2}\phi ,\ldots ){\textrm {d}}x,\quad \forall n\geq 0,
jossa *P*i lasketaan kaavalla

P\_{0}=\phi 
P\_{{n+1}}=-\partial \_{x}P\_{{n}}+\sum \_{{k=0}}^{{n-1}}P\_{{k}}P\_{{k-n-1}},\quad \forall n\geq 1.
Tästä saadaan muun muassa suureet:

* liikemäärä I\_{0}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\phi (x,t){\textrm {d}}x
* energia I\_{1}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}\phi (x,t)^{2}{\textrm {d}}x
* I\_{2}=\int \_{{-\infty }}^{{\infty }}2\phi (x,t)^{3}-(\partial \_{x}\phi (x,t))^{2}{\textrm {d}}x

Historia
--------

KdV-yhtälön ja solitonien historia alkaa 1834, kun John Scott Russell havaitsi kapeassa tasasyvässä kanavassa aallon etenevän muuttamatta muotoaan ja hajoamatta. Ilmiötä tutkivat Lord Rayleigh ja Joseph Boussinesq 1870-luvulla  ja lopulta Korteweg and De Vries vuonna 1895. Tästä seuraava merkittävä tulos saatiin 1965 kun Zabusky ja Kruskal mallinsivat KdV-yhtälöä numeerisesti  ja huomasivat useamman aallon törmäyksissä aaltojen säilyttävän muotonsa ja nopeutensa. Tämän jälkeen on löydetty analyyttisiä ratkaisuja useampaa kuin yhtä aaltoa mallintamaan.

Lähteet
-------

1. ↑  Korteweg, D. J. de Vries, F.: On the Change of Form of Long Waves Advancing in a Rectangular Canal, and on a New Type of Long Stationary Waves.  *Philosophical Magazine*, 1895, nro 39, s. 422--443.
2. ↑  Miura, Robert M. Gardner, Clifford S. Kruskal, Martin D.: Korteweg-de Vries equation and generalizations. II. Existence of conservation laws and constants of motion.  *J. Mathematical Phys.*, 1968, nro 9, s. 1204--1209.
3. ↑  Boussinesq, J: *Essai sur la theorie des eaux courantes*, s. 1–680. Memoires presentes par divers savants ` l’Acad. des Sci. Inst. Nat. France, XXIII. {{{Julkaisija}}}, 1877.
4. ↑  Zabusky, N. J. Kruskal, M. D.: Interaction of "Solitons" in a Collisionless Plasma and the Recurrence of Initial States.  *Phys. Rev. Lett.*, 1965, nro 15, s. 240–243. 10.1103/PhysRevLett.15.240. Artikkelin verkkoversio.