Matematiikassa **Lp-avaruudet** ovat funktioavaruuksia, jotka ovat p-normilla varustettujen äärellisulotteisten vektoriavaruuksien luonnollisia yleistyksiä. 

Lp-avaruuksia kutsutaan myös **Lebesgue-avaruuksiksi** Henri Lebesguen mukaan , joskin Bourbakin mukaan ne esitteli ensimmäisenä Riesz. 

Lp-avaruudet ovat tärkeitä Banach-avaruuksia funktionaalianalyysissä ja siten tärkeitä topologisia vektoriavaruuksia. Niillä on sovelluksia fysiikassa, tilastotieteessä, taloustieteessä, tekniikassa ja muilla aloilla.

Motivaatio
----------

Eri *p*-normien yksikköympyröiden kuvaajia (eli pisteet, joihin origista piirretyn vektorin *p*-normi on *1').*
Yksikköympyrä (superellipsi) *p* = 3/2 -normilla
Tässä osiossa määritellään reaaliset äärellisulotteiset Lp-avaruudet eli Lp-normit
reaaliselle vektoriavaruudelle **R***n*. Kahden vektorin summa avaruudessa **R***n* määritellään

\ (x\_1, x\_2, \dots, x\_n) + (y\_1, y\_2, \dots, y\_n) = (x\_1+y\_1, x\_2+y\_2, \dots, x\_n+y\_n),
ja skalaarilla (eli reaaliluvulla) \lambda  kertominen

\ \lambda(x\_1, x\_2, \dots, x\_n)=(\lambda x\_1, \lambda x\_2, \dots, \lambda x\_n).
Vektorin *x* = (*x*1, *x*2, …, *x**n*) pituus määritellään yleensä Euklidisella normilla

\ \|x\|\_2=\left(x\_1^2+x\_2^2+\cdots+x\_n^2\right)^{1/2},
mutta on monia erilaisia tapoja määritellä vektorin *x* pituus. Jos *p* on reaaliluku, *p* ≥ 1, niin vektorin *x* *L**p*-normi määritellään

\ \|x\|\_p=\left(|x\_1|^p+|x\_2|^p+\cdots+|x\_n|^p\right)^{1/p}.
Näin ollen *L*2 on tavallinen Euklidinen normi ja etäisyys *L*1 on koordinaattien erojen summa).

Tämä on tapana laajentaa arvolle *p* = ∞ määrittelemällä

\ \|x\|\_\infty=\max \left\{|x\_1|, |x\_2|, \ldots, |x\_n|\right\},
mikä on sama kuin raja-arvo *L**p*-normista, kun *p* lähestyy ääretöntä.

Voidaan todistaa, että kaikilla arvoilla *p* ≥ 1 tämä määritelmä toteuttaa kaikki "pituusmitan" eli normin määritelmän ehdot.

Millä tahansa arvolla *p* ≥ 1 avaruus **R***n* varustettuna *L**p*-normilla (eli *p*-normilla) on Banach-avaruus. 

### Kun 0 < *p* < 1

Astroidi eli yksikköympyrä *p* = 2/3 -metriikassa
Avaruudessa **R***n*, kun *n* > 1, kaava

\ \|x\|\_p=\left(|x\_1|^p+|x\_2|^p+\cdots+|x\_n|^p\right)^{1/p}
ei toteuta kolmioepäyhtälöä, joten se ei ole normi. Silti funktio

d\_p(x,y) = \sum\_{i=1}^n |x\_i-y\_i|^p
määrittelee metriikan eli etäisyysmitan. Metrisesta avaruudesta (**R***n*, *d**p*) käytetään merkintää ℓ*n**p*. Tämä metriikka määrittelee saman topologian kuin tavallinenkin topologia; kyseinen avaruus on lokaalisti konveksi topologinen vektoriavaruus, vaikka sen yksikköpallo onkin konkaavi.

*ℓ**p*-avaruudet
----------------

*Pääartikkeli: jonoavaruudet*
Tämä *p*-normi voidaan yleistää jonoille eli vektoreille, joilla on äärettömän monta koordinaattia (komponenttia). Näin syntyvästä avaruudesta käytetään nimitystä *ℓ**p*. Tämän erikoistapauksia ovat:

* *ℓ*1, niiden absoluuttisesti summautuvien jonojen avaruus eli niiden jonojen, joiden muodostama sarja on absoluuttisesti konvergoiva,
* *ℓ*2, **neliösummautuvien** jonojen avaruus, tärkeä Hilbert-avaruus, ja
* *ℓ*∞, rajoitettujen jonojen avaruus.

Tämä *p*-normi määritellään

\ \|x\|\_p=\left(|x\_1|^p+|x\_2|^p+\cdots+|x\_n|^p+|x\_{n+1}|^p+\cdots\right)^{1/p}.
Jos normi on ääretön, *x* ei kuulu avaruuteen *ℓ**p*.

Vastaavasti ∞-normi määritellään

\ \|x\|\_\infty=\sup(|x\_1|, |x\_2|, \dots, |x\_n|,|x\_{n+1}|, \dots).
Voidaan todistaa, että

\ \|x\|\_\infty=\lim\_{p\to\infty}\|x\|\_p,
jos oikea puoli on äärellinen tai vasen puoli on ääretön.
Kaikki nämä ℓ*p*-avaruudet ovat Banach-avaruuksia. 

Alla esitetään kaikkien yleisin tapaus, jossa vektorit *x* ovatkin funktioita *f* ja niillä voi olla miten paljon "koordinaatteja" tahansa, jopa ylinumeroituva määrä. Tällöin normin määritelmässä tietenkin korvataan summa integraalilla. Onhan summa vain Lebesguen integraalin erikoistapaus.

*Lp*-avaruudet
--------------

Olkoon 1 ≤ *p* < ∞ ja olkoon (*S*, *Σ*, *μ*) mitta-avaruus. 
\mathcal{L}^p(S, \mu)-avaruus (ei normiavaruus ja eri asia kuin *Lp*-avaruus)
on kaikkien niiden mitallisten funktioiden **S**\rightarrow**C** (tai **S**\rightarrow**R**) joukko, joiden itseisarvon *p*:nnen potenssin integraali on äärellinen eli

\|f\|\_p := \left({\int\_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu}\right)^{1/p}<\infty. 
Tämä avaruus on vektoriavaruus operaatioilla

(f+g)(x)=f(x)+g(x) \ \ \ \text{ja} \ \ \ (\lambda f)(x) = \lambda f(x) \,
kaikilla skalaareilla *λ*.

Minkowskin epäyhtälö sanoo, että kolmioepäyhtälö pätee normille || . ||*p*. Niinpä tämä avaruus \mathcal{L}^p(S, \mu) on seminormiavaruus. Siitä saadaan Banach-avaruus {L}^p(S, \mu) samaistamalla toisiinsa ne funktiot, joiden erotuksen seminormi on nolla eli jotka eroavat toisistaan vain nollamitallisessa joukossa. Siis {L}^p(S, \mu) on 

L^p(S, \mu) := \mathcal{L}^p(S, \mu) / N,
missä

N := \mathrm{ker}(\|\cdot\|\_p) = \{f : f = 0 \ \mu\text{- melkein kaikkialla} \}.
Avaruus *L*∞(*S*, *μ*) määritellään vastaavasti essential supremum -normilla

\|f\|\_\infty := \inf \{ C\ge 0 : |f(x)| \le C \mbox{ melkein kaikilla } x\}.
Jälleen

\|f\|\_\infty=\lim\_{p\to\infty}\|f\|\_p,
jos *f* ∈ *L*∞(*S*, *μ*) ∩ *L**q*(*S*, *μ*) jollain *q* < ∞.

Arvoilla 1 ≤ *p* ≤ ∞ avaruus *L**p*(*S*, *μ*) on Banach-avaruus. *Rieszin-Fischerin lause* sanoo, että se on täydellinen.

Usein avaruuden nimi lyhennetään *L**p*(*μ*) tai *L**p*. 

Kaikki yllä esitetty pätee myös yleisille Bochner-avaruuksille eli sellaisten funktioiden *L**p*-avaruuksille, joiden arvot eivät ole reaali- tai kompleksilukuja vaan jonkin tietyn Banach-avaruuden alkioita. Eräille muunarvoisillekin funktioille osa yllä esitetystä on yleistetty.

### Erikoistapauksia

Kuten ℓ2-avaruus, myös avaruus *L*2 on luokkansa ainoa Hilbert-avaruus (ja ainoa, jonka normi on yhteensopiva jonkin sisätulon kanssa). Kompleksiarvoisille funktioille *L*2-sisätulo määritellään

 \langle f, g \rangle = \int\_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x).
Kompleksitapauksessa *L*∞ on kommutatiivinen C\*-algebra. 

ℓ*p*-avaruudet (1 ≤ *p* ≤ ∞) ovat erikoistapaus *Lp*-avaruuksista, jossa joukko *S* on positiivisten kokonaislukujen joukko **N** ja mitta *μ* on lukumäärämitta. Yleisemminkin mille tahansa joukolle *S* avaruutta *Lp* lukumäärämitalla merkitään ℓ*p*(*S*).

Mikä tahansa Hilbert-avaruus on lineaarisesti isomorfinen avaruuden ℓ2(*V*) kanssa, missä *V* on mainitun Hilbert-avaruuden Hilbert-kanta tai mikä tahansa sen kanssa yhtä mahtava joukko.

Lähteet
-------

* Adams, Robert A. & Fournier, John F. (2003). *Sobolev Spaces*, 2nd, Academic Press. ISBN 978-0120441433.
* Bourbaki, Nicolas (1987). *Topological vector spaces*, Elements of mathematics. Springer-Verlag. ISBN 978-3540136279.
* DiBenedetto, Emmanuele (2002). *Real analysis*. Birkhäuser. ISBN 3-7643-4231-5.
* (1958) *Linear operators, volume I*. Wiley-Interscience.
* Duren, P. (1970). *Theory of Hp-Spaces*. Academic Press.
* Grafakos, Loukas (2004). *Classical and Modern Fourier Analysis*. Pearson Education, Inc. 253–257. ISBN 0-13-035399-X.
* (1965) *Real and abstract analysis*. Springer-Verlag.
* (1984) *An F-space sampler*, London Mathematical Society Lecture Note Series, 89. Cambridge University Press, xii+240. ISBN 0-521-27585-7.
* Riesz, Frigyes (1910). "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" **69**: 449–497.
* (1991) *Functional Analysis*. McGraw-Hill Science/Engineering/Math. ISBN 978-0-07-054236-5.
* Walter Rudin (1987). *Real and complex analysis*, 3rd, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-054234-1.
* Titchmarsh, EC (1976). *The theory of functions*. Oxford University Press. ISBN 9780198533498.
* Aapo Rantalainen: Avaruuden L1(Rn) differentioivien kantojen ominaisuuksista (PDF) (Pro gradu)  2006. Helsingin yliopisto, Matematiikan laitos.  Arkistoitu 11.11.2013.

### Viitteet

1. ↑  Dunford & Schwartz, 1958, III.3
2. ↑  Bourbaki 1987
3. ↑  Riesz 1910