**Rencontre-ongelma** eli **yhteensattumisongelma** on todennäköisyys sille, että kun joukon A alkiot kuvataan joukon B alkioiksi ja joukon B alkiot sekoitetaan satunnaiseen järjestykseen, niin kuvauksessa kaikki joukon A alkiot saavat sekoituksessa jonkun uuden joukon B alkion. Todennäköisyyden arvo riippuu alkioiden lukumäärästä, mutta se on asymptoottisesti vakio {\displaystyle {\tfrac {1}{\mathrm {e} }}=0{,}368}.

Käytännön esimerkkinä tästä ovat pikkujoulun lahjapaketit, missä juhlavieraat tuovat lahjasäkkiin lahjapaketin ja ne jaetaan takaisin lahjan tuoneiden kesken umpimähkään. Penconte-ongelmassa päätellään todennäköisyys sille, että "kukaan ei saa omaa lahjaansa takaisin".

Ongelman ratkaisu
-----------------

Ratkaisu on johdettavissa käyttäen apuna joukko-opin ja todennäköisyyslaskennan kaavoja.

Olkoon lahjapaketin tuojien lukumäärä {\displaystyle n\in \mathbb {N} }. Sovitaan, että tapahtuma A\_i sattuu, jos vieras i saa takaisin oman lahjansa. Kysytty todennäköisyys on siis

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap \_{i=1}^{n}A\_{i}^{\mathrm {c} }\right)}.
De Morganin lakien mukaan pätee yhtälö

{\displaystyle \bigcap \_{i=1}^{n}A\_{i}^{\mathrm {c} }=\left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)^{\mathrm {c} }}.
Tämän ja komplementin todennäköisyyden kaavalla saadaan yhtälö

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap \_{i=1}^{n}A\_{i}^{\mathrm {c} }\right)=\mathbb {P} \left[\left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)^{\mathrm {c} }\right]=1-\mathbb {P} \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)}.
Todennäköisyyslaskennan yleinen yhteenlaskukaava on

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)=\sum \_{k=1}^{n}\left[(-1)^{k-1}\sum \_{i\_{1}<\ldots <i\_{k}}\mathbb {P} \left(\bigcap \_{j=1}^{k}A\_{i\_{j}}\right)\right]}.
Näin ollen riittää laskea tapahtumien {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}} kaikkien kombinaatioiden leikkausten todennäköisyydet. Koska lahjojen oletetaan jakautuvan symmetrisin todennäköisyyksin, on

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap \_{j=1}^{k}A\_{i\_{j}}\right)=\mathbb {P} \left(\bigcap \_{j=1}^{k}A\_{j}\right)}
kaikilla indeksikombinaatioilla {\displaystyle \{i\_{1},\ldots ,i\_{k}\}\subset \{1,\ldots ,n\}}. Yhteenlaskukaava supistuu tällöin binomikertoimen avulla merkittynä muotoon

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)=\sum \_{k=1}^{n}\left[(-1)^{k-1}{n \choose k}\mathbb {P} \left(\bigcap \_{j=1}^{k}A\_{j}\right)\right]}.
Todennäköisyys, että k ensimmäistä vierasta saavat takaisin omat lahjansa, on

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap \_{j=1}^{k}A\_{j}\right)={\frac {1\cdot (n-k)!}{n!}}={\frac {(n-k)!}{n!}}}.
Kun tämä sijoitetaan yhteenlaskukaavaan, saadaan vastaus

{\displaystyle \mathbb {P} \left(\bigcap \_{i=1}^{n}A\_{i}^{\mathrm {c} }\right)=1-\sum \_{k=1}^{n}\left((-1)^{k-1}{n \choose k}{\frac {(n-k)!}{n!}}\right)=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}}.
Tämän kaavan avulla pystytään kysytty todennäköisyys laskemaan helposti eri lukumäärän n arvoille. Kun n lähestyy ääretöntä, suppenee todennäköisyys eksponenttifunktion määritelmän mukaan kohti Neperin luvun käänteislukua {\displaystyle \mathrm {e} ^{-1}\approx 0{,}367\,879}. Summalausekkeen luonteesta johtuen suppeneminen on hyvin nopeaa, ja likiarvo {\displaystyle 0{,}368} pätee aina, kun lahjan tuovia vieraita on vähintään kuusi.

|  |  |
| --- | --- |
| n | **todennäköisyys** |
| 2 | {\displaystyle {\frac {1}{2}}=0{,}5} |
| 3 | {\displaystyle {\frac {1}{3}}\approx 0{,}333} |
| 4 | {\displaystyle {\frac {3}{8}}=0{,}375} |
| 5 | {\displaystyle {\frac {11}{30}}\approx 0{,}367} |
| {\displaystyle 6} | {\displaystyle {\frac {53}{144}}\approx 0{,}368} |
| 7 | {\displaystyle {\frac {103}{280}}\approx 0{,}367\,857} |
| {\displaystyle 8} | {\displaystyle {\frac {2\,119}{5\,760}}\approx 0{,}367\,882} |
| 9 | {\displaystyle {\frac {16\,687}{45\,360}}\approx 0{,}367\,879} |