Vektorikentän {\textstyle \mathbf {F} } sirkulaatio suljetun käyrän {\textstyle {\mathcal {C}}} ympäri on {\displaystyle \Gamma =\oint \_{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\oint \_{\mathcal {C}}\Vert \mathbf {F} \Vert \cos \theta \,\mathrm {d} r}.
Vektorikentän viivaintegraali suljetun käyrän yli on sen **kierto** eli **sirkulaatio** (engl. *circulation*) tuon käyrän ympäri. Sirkulaatiota merkitään Γ:lla (iso kreikkalainen gamma-kirjain). Jos {\textstyle \mathbf {F} } on jatkuva vektorikenttä ja {\textstyle {\mathcal {C}}} on suljettu käyrä, jonka parametrisaatio on {\textstyle \mathbf {r} :[a,b]\to \mathbb {R} ^{n}}, niin {\textstyle \mathbf {F} }:n sirkulaatio {\textstyle {\mathcal {C}}}:n ympäri on integraali

{\displaystyle \Gamma =\oint \_{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} }
Integraalimerkissä oleva rengas painottaa sitä, että käyrä {\textstyle {\mathcal {C}}} on suljettu.

Stokesin lauseen mukaan vektorikentän kierto käyrän *C* ympäri vastaa vektorikentän roottorin integraalia minkä tahansa käyrän rajaaman pinnan *S* yli:

{\displaystyle \oint \_{\mathcal {C}}\mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\int \_{\mathcal {S}}\nabla \times \mathbf {F} \cdot \mathrm {d} \mathbf {a} },
missä *d***a** on pinta-ala-alkio, joka on pintaa vastaan kohtisuora, ja jonka etumerkki määräytyy oikean käden säännön mukaisesti käyrän kiertosuunnan perusteella.

Sirkulaatio virtausmekaniikassa
-------------------------------

Virtausmekaniikassa vektorikenttä {\textstyle \mathbf {F} =\mathbf {v} (x,y,z)=v\_{x}(x,y,z)\,\mathbf {i} +v\_{y}(x,y,z)\,\mathbf {j} +v\_{z}(x,y,z)\,\mathbf {k} } on nesteen tai kaasun nopeus. Tällöin nopeuskentän sirkulaatio suljetun käyrän ympäri kertoo käyrän sisäpuolelle jäävien pyörteiden voimakkuudesta. Vapaan vorteksin, jonka voimakkuus on {\textstyle K}, tapauksessa nopeuskentän sirkulaatio vorteksin ympäri on

{\displaystyle \Gamma =2\pi K}.

Stokesin lausetta käyttämällä nähdään, että pyörteettömän virtauksen ({\displaystyle \nabla \times \mathbf {v} =0}) sirkulaatio minkä tahansa suljetun käyrän ympäri on nolla: Merkitään käyrän {\textstyle {\mathcal {C}}} rajaamaa pintaa {\textstyle {\mathcal {S}}}:llä, jolloin Stokesin lauseen mukaan

{\displaystyle \Gamma =\oint \_{\mathcal {C}}\mathbf {v} \cdot \mathrm {d} \mathbf {r} =\iint \_{\mathcal {S}}\left(\nabla \times \mathbf {v} \right)\cdot \mathrm {d} \mathbf {S} =0}.

### Kutta–Žukovski-teoreema

Lentokoneen siipeen kohdistuva nostovoima lasketaan Kutta–Žukovski-teoreeman mukaan käyttäen ilmavirran nopeuden sirkulaatiota siipiprofiilin reunakäyrän ympäri.
*Pääartikkeli: Kutta–Žukovski-teoreema*
Virtaukseen asetettuun lieriöön kohdistuvan nostovoiman suuruus {\textstyle L} riippuu virtauksen nopeuskentän sirkulaatiosta lieriön poikkipinnan reunakäyrän ympäri:

{\displaystyle {\frac {L}{b}}=-\rho U\_{\infty }\Gamma },

missä

{\textstyle b} on lieriön pituus (virtauksen sisällä oleva osa),
{\textstyle \rho } on ympäröivän fluidin tiheys ja
{\textstyle U\_{\infty }} on vapaan virtauksen vauhti kaukana lieriöstä.
Miinusmerkki yhtälössä johtuu siitä, että nostovoiman suunta on 90° virtauksen suunnasta sirkulaation kiertosuuntaa vastaan.

Lähteet
-------

1. ↑  Väisälä, Kalle: *Vektorianalyysi*, s. 62. WSOY, 1968.
2. ↑  Adams, Robert A. & Essex, Christopher: *Calculus, A Complete Course*, s. 880. 8. painos. Toronto: Pearson, 2014. ISBN 978-0-32-178107-9. (englanniksi)
3. 1 2  White, Frank M.: *Fluid Mechanics*, s. 550−555. 7th Edition in SI Units. Singapore: McGraw-Hill, 2011. ISBN 978-007-131121-2. (englanniksi)
4. 1 2  White, s. 561