Triakis-tetraedri, pentagonaalinen ikositetraedri ja disdyakis-triakontaedri. Näistä ensimmäistä voidaan luonnehtia pienimpänä ja viimeistä suurimpana Catalanin kappaleista.
Ylemmässä kuvassa näkyvät Catalanin kappaleet (tummat), joiden päälle on sijoitettu niiden duaalikappaleet (vaaleat). Catalanin kappaleiden näkyvät osat ovat säännöllisiä pyramideja.
Rombidodekaedri ja sen tahko­konfiguraatio. Merkintä V3.4.3.4 tarkoittaa, että kappaleen jokainen tahko rajoittuu neljään kärkeen, joista joka toisessa kohtaa kolme, joka toisessa taas neljä tahkoa.
**Catalanin kappaleet** eli **Arkhimedeen duaalit** ovat avaruusgeometriassa Arkhimedeen kappaleiden duaalikappaleita. Samoin kuin Arkhimedeen kappaleita, on myös Catalanin kappaleita olemassa 13 erilaista. Ne ovat saaneet nimensä belgialaisen matemaatikko Eugène Catalanin mukaan, joka ensimmäisenä kuvaili ne vuonna 1862.

Yhteisiä ominaisuuksia
----------------------

Kaikki Catalanin kappaleet ovat kuperia. Ne ovat tahko­transitiivisia, mutta eivät kärki­transitiivisia, toisin sanoen ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa kappaleen tahkoista voidaan kuvata mille tahansa toiselle, mutta mitä tahansa niiden kärjistä ei voida kuvata mille tahansa toiselle. Tämä aiheutuu siitä, että niiden duaali­kappaleet, Arkhimedeen kappaleet, ovat kärki­transitiivisia mutta eivät tahko­transitiivisia. Toisin kuin sekä Platonin että Arkhimedeen kappaleilla, Catalanin kappaleiden tahkot *eivät* ole sännöllisiä moni­kulmioita. Niiden kärkikuviot, jotka saadaan leikkaamalla jostakin kärjestä pala pois, ovat kuitenkin säännöllisiä moni­kulmioita, ja niistä jokaisen kaikki diedrikulmat ovat yhtä suuria. Tahko­transi­tiivi­suu­tensa vuoksi Catalanin kappaleet ovat isoedrejä.

Kaksi Catalanin kappaleista, rombidodekaedri ja rombinen triakontaedri, on lisäksi särmä­transitiivisia eli ne voidaan kuvata yhtenevyys­kuvauksella itselleen siten, että mikä tahansa niiden särmistä kuvautuu mille tahansa toiselle. Nämä ovat kvasi­säännöllisten Arkhimedeen kappaleiden duaali­kappaleet.

Samoin kuin prismoja ja antiprismoja ei yleensä pidetä Arkhimedeen kappaleina, ei myöskään niiden duaali­kappaleita, bipyramideja ja trapetso­edreja yleensä pidetä Catalanin kappaleina, vaikka nekin ovat tahko­transitiivisia.

Kaksi Catalanin kappaleita on kiraalisia eli ne eivät ole identtisiä peilikuvansa kanssa: pentagonaalinen ikositetraedri ja pentagonaalinen heksekontaedri. Ne ovat kiraalisten Arkhimedeen kappaleiden, pullistetun kuution ja pullistetun dodekaedrin duaali­kappaleet. Niillä on kaksi muotoa, *enantiomorfia*, jotka ovat toistensa peilikuvia samaan tapaan kuin ihmisen oikea ja vasen käsi. Jos enantomorfeja, bipyramideja ja trapetsoedreja ei oteta huomioon, erilaisia Catalanin kappaleita on kaikkiaan 13.

Arkhimedeen ja vastaavat Catalanin kappaleet
--------------------------------------------

| *n* | Arkhimedeen kappale | Catalanin kappale |
| --- | --- | --- |
| 1 | typistetty tetraedri | triakis-tetraedri |
| 2 | typistetty kuutio | triakis-oktaedi |
| 3 | typistetty kuboktaedri | disdyakis-dodekaedri |
| 4 | typistetty oktaedri | tetrakis-heksaedri |
| 5 | typistetty dodekaedri | triakis-ikosaedri |
| 6 | typistetty ikosidodekaedri | disdyakis-triakontaedri |
| 7 | typistetty ikosaedri | pentakis-dodekaedri |
| 8 | kuboktaedri | rombidodekaedri |
| 9 | ikosidodekaedri | rombinen triakontaedri |
| 10 | rombikuboktaedri | deltoidaalinen ikositetraedri |
| 11 | rombikosidodekaedri | deltoidaalinen heksekontaedri |
| 12 | pullistettu kuutio | pentagonaalinen ikositetraedri |
| 13 | pullistettu dodekaedri | pentagonaalinen heksekontaedri |

Symmetria
---------

Duaalikappaleidensa eli Arkhimedeen kappaleiden tavoin Catalanin kappaleet voidaan jakaa symmetriaominaisuuksiensa perusteella kolmeen ryhmään: tetraedrisiin, oktaedrisiin ja ikosaedrisiin. Kutakin symmetrialuokkaa vastaa kuusi muotoa, paitsi tetraedrisessa ryhmässä, joka on itsessään symmetrinen siten, että erilaisia muotoja on vain kolme ja niistäkin kaksi on samoja, joilla on myös oktaedrinen symmetria.

Tetraedrinen symmetria| Arkhimedeen monitahokkaat |  |  |  |  |  |  |
| Catalanin kappaleet |  |  |  |  |  |  |

Oktaedrinen symmetria| Arkhimedeen monitahokkaat |  |  |  |  |  |  |
| Catalanin kappaleet |  |  |  |  |  |  |

Ikosaedrinen symmetria| Arkhimedeen monitahokkaat |  |  |  |  |  |  |
| Catalanin kappaleet |  |  |  |  |  |  |

Eri kappaleiden ominaisuuksia
-----------------------------

Alla olevassa taulukossa tahkon kuvan alla oleva merkintä osoittaa, minkälaisia monikulmioita kappaleen kunkin kärjen ympärillä olevat tahkot ovat. Esimerkiksi merkintä V3.6.6 tarkoittaa, että jokaisessa kärjessä kohtaa toisensa kolme tahkoa, joista yksi on kolmio, molemmat muut kuusikulmioita.

| Catalanin kappale(Duaalinen Arkhimedeen kappale)Conwayn merkintä | Kuva | Särmienmuodostamaverkko | Tahkon muoto | Tahkoja | Särmiä | Kärkiä | Symmetria­ryhmä |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| triakis-tetraedri(typistetty tetraedri)"kT" |  |  | Tasakylkinen kolmioV3.6.6 | 12 | 18 | 8 | Td |
| rombidodekaedri(kuboktaedri)"jC" |  |   | NeljäkäsV3.4.3.4 | 12 | 24 | 14 | Oh |
| triakis-oktaedri(typistetty kuutio)"kO" |  |  | Tasakylkinen kolmioV3.8.8 | 24 | 36 | 14 | Oh |
| tetrakis-heksaedri(typistetty oktaedri)"kC" | Tetrakis hexahedronTetrakis hexahedron |  | Tasakylkinen kolmioV4.6.6 | 24 | 36 | 14 | Oh |
| deltoidinen ikositetraedri(rombikuboktaedri)"oC" |  |  | leijaV3.4.4.4 | 24 | 48 | 26 | Oh |
| disdyakis-dodekaedri(typistetty kuboktaedri)"mC" |  |  | kolmioV4.6.8 | 48 | 72 | 26 | Oh |
| pentagonaalinen ikositetraedri(pullistettu kuutio)"gC" |  |  | PentagonV3.3.3.3.4 | 24 | 60 | 38 | O |
| rombinen trikontaedri(ikosidodekaedri)"jD" |  |  | NeljäkäsV3.5.3.5 | 30 | 60 | 32 | Ih |
| triakis-ikosaedri(typistetty dodekaedri)"kI" |  |  | Tasakylkinen kolmioV3.10.10 | 60 | 90 | 32 | Ih |
| pentakis-dodekaedri(typistetty ikosaedri)"kD" |  |  | Tasakylkinen kolmioV5.6.6 | 60 | 90 | 32 | Ih |
| deltoidaalinen heksekontaedri(rombikosidodekaedri)"oD" |  |  | leijaV3.4.5.4 | 60 | 120 | 62 | Ih |
| disdyakis-triakontaedri(typistetty ikosidodekaedri)"mD" |  |  | kolmioV4.6.10 | 120 | 180 | 62 | Ih |
| pentagonaalinen heksekontaedri(pullistettu dodekaedri)"gD" |  |  | ViisikulmioV3.3.3.3.5 | 60 | 150 | 92 | I |

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Catalan solid

Lähteet
-------

* Eugène Catalan: Mémoire sur la Théorie des Polyèdres.  *J. l'École Polytechnique (Paris)*, 1865, nro 41, s. 1–71.
* Magnus Wenniner: *Dual Models*. Cambridge University Press, 1983. ISBN 978-0-521-54325-5.
* Robert Williams: *The Geometrical Foundation of Natural Structure: A Source Book of Design*. Dover Publications, Inc. 1979. ISBN 0-486-23729-X.
* Anthony Pugh: "Duals of the Archimedean polyhedra, prisma and antiprisms", *Polyhedra: A visual approach*. University of California Press. ISBN 0-520-03056-7.

### Viitteet

1. ↑  Archimedean Dual *Wolfram MathWorld*. Viitattu 4.8.2018.
2. 1 2  Catalan Solid *Wolfram MathWorld*. Viitattu 4.8.2018.
3. ↑  Virtual Polyhedra: Archimedean Duals *georgehart.com*. Viitattu 4.8.2018.
4. ↑  Isohedron *mathworld.wolfram.com*. Viitattu 4.8.2018.
5. ↑  Pentagonal Icositetrahedron *Wolfram MathWorld*. Viitattu 4.8.2018.
6. ↑  Pentagonal Hexecontahedron *Wolfram MathWorld*. Viitattu 4.8.2018. [vanhentunut linkki]