Matematiikassa **sarja** on äärettömän lukujonon termien yhteenlasku.  Sarjateoria on tärkeä analyysin osa-alue, ja se kehittyi differentiaali- ja integraalilaskennan rinnalla 1600-luvun lopulta lähtien.

Sarjan summa
------------

Sarjan summa määritellään sarjan äärellisten osasummien muodostaman lukujonon raja-arvona. Mikäli summa on olemassa, sarja on suppeneva.

**Esimerkki**
Voidaan päätellä, että {\displaystyle 0{,}3+0{,}03+0{,}003+...=0{,}333...={\frac {1}{3}}.}
Tämän sarjan osasummien jonolla
{\displaystyle (0{,}3;0{,}3+0{,}03;0{,}3+0{,}03+0{,}003;...)=(0{,}3;0{,}33;0{,}333;...)\!}
on raja-arvo {\displaystyle {\frac {1}{3}}.}
**Esimerkki**
Otetaan esimerkiksi yhden metrin pituinen lanka. Puolitetaan se ja näin saaduista
identtisistä palasista puolitetaan taas toinen. Prosessia jatketaan äärettömiin.
Näin on todettu, että
{\displaystyle 1={1 \over 2}+{1 \over 4}+{1 \over 8}+{1 \over 16}+...}
Sarjan {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}=a\_{1}+a\_{2}+...+a\_{n}+...} osasummia ovat  

{\displaystyle S\_{1}=a\_{1}}  

{\displaystyle S\_{2}=a\_{1}+a\_{2}}  

{\displaystyle S\_{3}=a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}}  

{\displaystyle ...}  

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}+...+a\_{n}}  

{\displaystyle ...}

Jos osasummien jonolle on olemassa raja-arvo, sarjan summa on  

{\displaystyle S=\sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}=\lim \_{n\to \infty }S\_{n}=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}.}

* Jos raja-arvo on olemassa eli jos sarjan summa voidaan määrittää, sarja suppenee.
* Jos raja-arvoa ei ole eikä sarjan summaa voida määrittää, sarja hajaantuu.

Aritmeettinen ja geometrinen sarja
----------------------------------

Sarja {\displaystyle \sum \_{}^{}x\_{n}} on aritmeettinen, jos lukujono {\displaystyle x\_{n}} on muotoa {\displaystyle (x\_{1}+(n-1)d)} eli jos kahden peräkkäisen termin erotus on vakio {\displaystyle d}.

Sarja {\displaystyle \sum \_{}^{}x\_{n}} on geometrinen, jos lukujono {\displaystyle x\_{n}} on muotoa {\displaystyle (x\_{1}q^{n-1})} eli jos kahden peräkkäisen termin suhde on vakio {\displaystyle q}.

Kaavoja ja sääntöjä
-------------------

1. Sarja {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} hajaantuu, jos
	* {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }a\_{k}\neq 0} tai
	* {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }a\_{k}} ei ole olemassa.
2. *Vuorotteleva sarja* {\displaystyle (-1)^{n}\sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} eli sarja, jonka joka toinen termi on positiivinen, joka toinen negatiivinen, suppenee jos ja vain jos
	* {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }a\_{k}=0}
3. *Aliharmoninen sarja* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},0<p<1} hajaantuu.
4. *Harmoninen sarja* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} hajaantuu.
5. *Yliharmoninen sarja* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{p}}},p>1} suppenee.
6. *Geometrinen sarja* {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{1}q^{k-1}} suppenee, kun {\displaystyle |q|<1} tai {\displaystyle a\_{1}=0}.
	* Tällöin {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{1}q^{k-1}={\frac {a\_{1}}{1-q}}.}

Esimerkkejä
-----------

Määritetään sarjan {\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {9}{2^{k}}}} summa.

Osasumma {\displaystyle S\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {9}{2^{k}}}=9\sum \_{k=0}^{n}\left({\frac {1}{2}}\right)^{k}}  

Summa on geometrinen summa; {\displaystyle a\_{1}=1,q={\frac {1}{2}}}, termejä {\displaystyle n+1}.  

{\displaystyle S\_{n}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}}.  

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }S\_{n}=\lim \_{n\to \infty }9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{n+1}}{1-{\frac {1}{2}}}}=9\cdot {\frac {1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{\infty }}{\frac {1}{2}}}=9\cdot {\frac {1}{\frac {1}{2}}}=18}

Sarjakehitelmä
--------------

Monista funktioista voidaan muodostaa sarjamuotoinen esitystapa, sarjakehitelmä, jonka avulla funktion arvoja voidaan approksimoida käytännön laskentatehtävissä. Tällöin sarjakehitelmästä otetaan vain tietty määrä alkioita mukaan. Tällaisia sarjoja ovat esimerkiksi Taylorin ja Fourier'n sarja.

Lähteet
-------

1. ↑  Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*, s. 346–347. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.

Kirjallisuutta
--------------

* Thompson, Jan & Martinsson, Thomas: *Matematiikan käsikirja*. Helsinki: Tammi, 1994. ISBN 951-31-0471-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).