|  |
| --- |
| Osa artikkelisarjaa**Geometria** |
|  |
| **Tasogeometria**
Piste
Suora
Käyrä
Taso
Pinta
Pinta-ala
Pituus
Kulma
Trigonometria
Ympyrä
Ellipsi
Monikulmio
Kolmio
Nelikulmio
Suorakulmio
Neliö
Suunnikas
Neljäkäs
Puolisuunnikas
**Avaruusgeometria**
Tilavuus
Avaruuskappale
Pallo
Kartio
Lieriö
Särmiö
Suuntaissärmiö
Suorakulmainen särmiö
Säännöllinen monitahokas
Platonin kappale
Tetraedri
Heksaedri eli kuutio
Oktaedri
Dodekaedri
Ikosaedri
Keplerin–Poinsot'n kappale
**Euklidinen geometria**
Paralleeliaksiooma
**Epäeuklidinen geometria**
Hyperbolinen geometria
Elliptinen geometria
**Analyyttinen geometria** |

**Pallo** on täysin symmetrinen geometrinen muoto. Geometrisesti se on niiden pisteiden joukko, joiden etäisyys kolmiulotteisen avaruuden pisteestä on vakio. Siten pallo on ympyrän kolmiulotteinen yleistys.

Geometria
---------

**Pallo** on geometriassa kaikkien niiden 3-ulotteisen avaruuden pisteiden joukko, joiden etäisyys annetusta pisteestä on tietty vakio. Tätä vakiota kutsutaan pallon *säteeksi*.

Origokeskisen pallon, jonka säde on r\,, yhtälö suorakulmaisessa eli karteesisessa koordinaatistossa on

{\displaystyle x^{2}+y^{2}+z^{2}=r^{2}}.
Pallo voi tarkoittaa myös pallopinnan rajoittamaa kappaletta, josta nykyään käytetään myös nimitystä *kuula*.

Tason ja pallon leikkauskuvio on ympyrä ja erikoistapauksessa piste. Tason kulkiessa pallon keskipisteen kautta muodostuu isoympyrä. Muita leikkausympyröitä, joiden säde on pallon sädettä lyhyempi, nimitetään *pikkuympyröiksi*. Lyhin reitti kahden pallon pinnalla olevan pisteen kautta kulkee pitkin ko. pisteiden kautta kulkevaa isoympyrää.

Pallon pinta-ala A\, saadaan kaavasta 

{\displaystyle \displaystyle A=4\pi r^{2}}, missä r on pallon säde.
Pallon tilavuus V\, saadaan kaavasta 

{\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}.
Jos pallon tilavuus tunnetaan, pallon säde r\, saadaan kaavasta

{\displaystyle r={\sqrt[{3}]{\frac {3V}{4\pi }}}}.
Jos pallon halkaisija d ja ympärysmitta p tunnetaan, saadaan
sen pinta-ala (ilman lukua \pi) kaavasta:

{\displaystyle A=pd}
ja tilavuus kaavasta

{\displaystyle V={\frac {pd^{2}}{6}}}.
**Pallo on kaikista suljetuista pinnoista se, joka tiettyyn pinta-alaan nähden sulkee sisäänsä suurimman mahdollisen tilavuuden.**

Jos A on suljetun pinnan pinta-ala ja V sen sisäänsä sulkema tilavuus, niin:

{\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}\geq 36\pi }.
Yhtäsuuruus pätee silloin ja vain silloin, kun em. suljettu pinta on pallon muotoinen. Pallolle:

A=4\pi r^{2} ja
{\displaystyle V={\frac {4\pi r^{3}}{3}}}, joten
{\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(4\pi r^{2})^{3}}{({\frac {4\pi r^{3}}{3}})^{2}}}={\frac {4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{\frac {4^{2}\pi ^{2}r^{6}}{3^{2}}}}={\frac {3^{2}\cdot 4^{3}\pi ^{3}r^{6}}{4^{2}\pi ^{2}r^{6}}}=3^{2}\cdot 4\pi =36\pi }.
Vertailun vuoksi esimerkiksi kuutio, jonka särmän pituus on a:

{\displaystyle A=6a^{2}} ja
{\displaystyle V=a^{3}}, joten
{\displaystyle {\frac {A^{3}}{V^{2}}}={\frac {(6a^{2})^{3}}{(a^{3})^{2}}}={\frac {6^{3}a^{6}}{a^{6}}}=6^{3}=6^{2}\cdot 6=36\cdot 6>36\pi }.

Topologia
---------

Suljettu **pallo** (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko  

{\displaystyle {\bar {B}}(a;r)={\bar {B}}^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||\leq r\}}, 
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} ja {\displaystyle r>0\,\!}.

Avoin **pallo** (x-keskinen ja r-säteinen) on joukko  

{\displaystyle B(x;r)=B^{n}(x;r):=\{y\in \mathbb {R} ^{n}:||x-y||<r\}}, 
{\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}} ja {\displaystyle r>0\,\!}.

Lähteet
-------

1. ↑  Markku Ekonen, Sanna Hassinen, Katariina Hemmo, Timo Taskinen,: *Lukion lyhyt matematiikka, Sigma 2 Geometria*, s. 120. Helsinki: Sanoma Pro, 2012. Suomi
2. ↑  Jukka Kangasaho, Jukka Mäkinen, Juha Oikkonen, Johannes Paasonen & Maija Salmela: *Geometria. Pitkä matematiikka*. s. 138. Porvoo: WSOY, 2001. Kuudes, uudistettu painos. ISBN 951-0-24558-5.

Kirjallisuutta
--------------

* Kivelä, Simo K.: *Algebra ja geometria*. Espoo: Otatieto, 1989. ISBN 951-672-103-6.

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Pallo (geometria)**.
* Opetus TV: Pallo
* Pallon tilavuuslaskuri