7-terälehtinen ruusu (*k* = 7)
8-terälehtinen ruusu (*k*=4).
Yhtälön 
{\displaystyle r=\cos k\theta } määrittämiä ruusukäyriä vakion *k*=*n*/*d* eri arvoilla
**Ruusukäyrä** eli **Grandin ruusu** (engl. *Rose* tai *Rhodonea*) on matematiikassa käyrä, jota voidaan pitää sinifunktion kuvaajana napakoordinaatistossa.

Yleiskuvaus
-----------

Jokainen ruusukäyrä on yhdenmuotoinen sellaisen käyrän kanssa, jonka yhtälö napakoordinaateissa on muotoa

{\displaystyle \!\,r=a\cos(k\theta )}
tai vaihtoehtoisesti

{\displaystyle \!\,r=a\sin(k\theta )}.

  

Karteesisessa koordinaatistossa käyrä voidaan edellisessä tapauksessa esittää yhtälöparilla :{\displaystyle \!\,x=a\cos(k\theta )\cos(\theta )}

{\displaystyle \!\,y=a\cos(k\theta )\sin(\theta )}.
Nimi ruusukäyrä johtuu siitä, että käyrä tyypillisesti muistuttaa muodoltaan ruusun teriötä. 
Jos *k* on kokonaisluku, tällä käyrän kuvaamalla ruusulla on

* 2*k* terälehteä, jos *k* on parillinen, ja
* *k* terälehteä, jos *k* on pariton.

Vakio *a* osoittaa terälehtien pituuden.

Kun *k* on parillinen, koko käyrä tulee piirretyksi tasan kerran, kun kulma θ kasvaa 0:sta 2π:hin. Kun *k* on pariton, tämä tapahtuu jo välillä 0:sta π:hin. Yleisemmin sama tapahtuu millä tahansa välillä, jonka pituus on 2π, kun *k* on parillinen, tai π, jos *k* on pariton.

Jos *k* on puoliluku (esimerkiksi 1/2, 3/2 tai 5/2), käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 4*k* terälehteä. Esimerkiksi: n=7, d=2, *k*= n/d =3,5, kun θ kasvaa 0:sta 4π:hin.

Jos *k* voidaan esittää muodossa *n*±1/6, missä *n* on nollasta poikkeava kokonaisluku, käyrä muistuttaa ruusua, jolla on 12*k* terälehteä.

Jos *k* voidaan esittää muodossa *n*/3, missä *n* on kokonaisluku, joka ei ole jaollinen kolmella, käyrä muistuttaa muodoltaan ruusua, jolla on *n* terälehteä, jos *n* on pariton, ja 2*n* terälehteä, jos *n* on parillinen.

Jos *k* on rationaaliluku, käyrä on suljettu, ja sillä on äärellinen pituus. Ellei *k* ole kokonaisluku, terälehdet saattavat olla osittain päällekkäin. Jos *k* on irrationaaliluku, käyrä ei ole suljettu, ja sen pituus on ääretön. Tässä tapauksessa käyrä on lisäksi tiheä, toisin sanoen se sivuuttaa yksikkökiekon jokaisen pisteen mielivaltaisen läheltä.

Koska

{\displaystyle \sin(k\theta )=\cos \left(k\theta -{\frac {\pi }{2}}\right)=\cos \left(k\left(\theta -{\frac {\pi }{2k}}\right)\right)}
kaikilla \theta, käyrät, joiden yhtälöt napakoordinaateissa ovat

{\displaystyle \,r=\sin(k\theta )} and {\displaystyle \,r=\cos(k\theta )}
ovat yhtenevät ja voidaan kuvata toisilleen π/2*k* radiaanin rotaatiolla.

Ruusukäyrille antoi nimen italialainen matemaatikko Guido Grandi vuosien 1723 ja 1728 välillä.

Eräs ruusukäyrän erikoistapaus on neliapilan muotoinen käyrä, jolla *k* = 2. Sillä on karteesisissa koordinaateissa myös yhtälö

{\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}}

Pinta-ala
---------

Ruusukäyrän

{\displaystyle r=a\cos(k\theta )\,},
sisään jäävän alueen eli terälehtien yhteenlaskettu pinta-ala on

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \_{0}^{2\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\pi +{\frac {\sin(4k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{2}}}
jos *k* on parillinen, ja 

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\int \_{0}^{\pi }(a\cos(k\theta ))^{2}\,d\theta ={\frac {a^{2}}{2}}\left({\frac {\pi }{2}}+{\frac {\sin(2k\pi )}{4k}}\right)={\frac {\pi a^{2}}{4}}}
jos *k* on pariton positiivinen kokonaisluku.

Sama pätee ruusukäyrille, joiden yhtälö napakoordinaateissa on 

{\displaystyle r=a\sin(k\theta )\,}
sillä tämän yhtälön kuvaaja saadaan kosinin avulla määritellystä ruusukäyrästä yksinkertaisella rotaatiolla.

Muodon riippuvuus parametrista *k*
----------------------------------

Ruusukäyrän napakoordinaateissa esitetyssä yhtälössä esiintyy vakiotekijä *k*. Kun *k* on kokonaisluku, käyrä muodostaa muodoltaan kukkaa. Sillä on *k* terälehteä, jos *k* on pariton, ja 2*k* terälehteä, jos *k* on parillinen. Sen sijaan millään vakion *k* arvolla ei saada aikaan sellaista kukkaa, jossa terälehtien lukumäärä on parillinen mutta ei neljällä jaollinen (esimerkiksi 2, 6, 10 tai 14).

Kun *d* on alkuluku, on *n*/*d* supistumaton murtoluku. Kun ruusukäyrän yhtälössä oleva *k* on tällainen murtoluku, käyrän terälehden ovat osittain päällekkäin. Niiden terälehtien lukumäärä, joiden kanssa kukin niistä on osittain päällekkäin, on yhtä suuri kuin järjestysluku, joka ilmoittaa, kuinka mones alkuluku *d* on alkulukujen jonossa, kun luku 1 lasketaan mukaan (esimerkiksi kun *d* on 2, tämä luku on 2, ja vastaavasti alkulukuja 3, 5 ja 7 vastaavat lukumäärät 3, 4 ja 5).

Kun *k* on muotoa *k* = 1/*d*, missä *d* on parillinen, käyrä muodostaa sarjan sisäkkäisiä silmukoita, ja keskellä on kaksi pienintä silmukkaa, jotka sivuavat toisiaa origossa. Käyrä on symmetrinen *x*-akselin suhteen. Jos taas *d* on pariton, käyrä muodostaa *d* div 2 sisäkkäistä silmukkaa, joista pienin sivuaa origoa joko vasemmalla (kun *d* on muotoa *d* = 4*n* − 1) tai oikealla ((kun *d* on muotoa *d* = 4*n* + 1).0

Jos *d* ei ole alkuluku eikä *n* ole 1, käyrän muodostaa sarja toisensa leikkaavia silmukoita.

Jos *k* on irrationaaliluku, ruusukäyrällä on äärettömän monta terälehteä, ja se on tiheä yksikkökiekossa.

* Esimerkkejä hammasrattailla muodostettavista ruusukäyristä eri suhdeluvuilla
* n=1, d=1, k=1*n*=1, *d*=1, *k*=1
* n=1, d=3, k≈0.333*n*=1, *d*=3, *k*≈0.333
* n=3, d=1, k=3*n*=3, *d*=1, *k*=3
* n=4, d=5, k=0.8*n*=4, *d*=5, *k*=0.8

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Rose (mathematics)

Lähteet
-------

* Rose *Wolfram MathWorld*. Viitattu 8.9.2017.

### Viitteet

1. 1 2 3  Napakoordinaatisto (Lähde suomenkieliselle nimelle) *Maria Ionline*. Viitattu 8.9.2017. [vanhentunut linkki]
2. 1 2  David Bergamini: "Käyrien ja lukujen onnistunut liitto", *Lukujen maailma*, s. 84. Suomentanut Pertti Jotuni. Sanoma Osakeyhtiö, 1972.
3. ↑  H. Martyn Cundy, A. P. Rollett: *Mathematical Models, 2nd ed.*, s. 73. Oxford University Press, 1961.
4. 1 2 3  Rhodonea Curves *MathTutor*. Viitattu 8.9.2017.
5. ↑  Rhodonea Curves *Famous Curves Index*. Viitattu 8.9.2017.

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Ruusukäyrä** Wikimedia Commonsissa