Pisteryhmät kolmessa ulottuvuudessa| Involutionaalinen symmetriaCs, (\*)[ ] =  | Syklinen symmetriaCnv, (\*nn)[n] =  | Diedrinen symmetriaDnh, (\*n22)[n,2] =  |
| Polyedrinen ryhmä, [n,3], (\*n32) |
| Tetraedrinen symmetriaTd, (\*332)[3,3] =  | Oktaedrinen symmetriaOh, (\*432)[4,3] =  | Ikosaedrinen symmetriaIh, (\*532)[5,3] =  |

Ikosaedrisen symmetrian perusalueet
Tavallinen pyöristetyn ja typistetyn ikosaedrin muotoinen jalkapallo, jolla on täysi ikosaedrinen symmetria.

**Ikosaedrinen symmetria** on sellaisen kolmiulotteisen kappaleen symmetria, joka säännöllisen ikosaedrin tavoin voidaan kuvata itselleen isometrisesti 120 tavalla, joista 60 on orientaation säilyttäviä. Ikosaedrin ohella myös dodekaedrilla on dodekaedrinen symmetria, sillä se on ikosaedrin duaalikappale.

Ikosaedrisesti symmetrisen kappaleen orientaation säilyttävien symmetriaoperaatioiden ryhmä on *A*5, sama kuin viiden alkion alternoiva ryhmä, ja sen täysi symmetriaryhmä, johon kuuluvat myös peilaukset, on tämän alternoivan ryhmän ja syklisen ryhmän Z2 tulo A5 × Z2. Jälkimmäinen ryhmä tunnetaan myös Coxeterin ryhmänä H3, ja sitä esittävät Coxeterin merkintä [5,3] ja Coxeterin diagrammi .

Pisteryhmänä
------------

prismaattisten ja antiprismaattisten symmetrioiden kahta ääretöntä sarjaa lukuun ottamatta *täydellä* eli *akiraalisella* ikosaedrisella symmetrialla on kaikista diskreeteistä pistesymmetrioista ja samalla kaikista pallopinnan diskreeteista symmetrioista suurin symmetriaryhmä ja *rotationaalisella* eli *kiraalisella* ikosaedrisella symmetrialla toiseksi suurin.

Ikosaedrinen symmetria *ei* ole yhdistettävissä siirtosymmetriaan. Näin ollen ei myöskään ole olemassa sellaista kidejärjestelmää, jonka yksikkökopeilla olisi ikosaedrinen symmetria.

| Schoenflies | Coxeter | Orb. | Abstrakti struktuuri | Kertaluku |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|
| *I* | [5,3]+ |  | 532 | A5 | 60 |
| *Ih* | [5,3] |  | \*532 | A5×2 | 120 |

Näiden ryhmien presentaatiot ovat:

{\displaystyle I:\langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle \ }
{\displaystyle I\_{h}:\langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle .\ }
Nämä vastaavat rotationaalista ja täyttä ikosaedristä ryhmää, jotka ovat (2, 3, 5) -kolmioryhmät.

Ensimmäisen presentaation esitti William Rowan Hamilton ikosiaanilaskentaa koskevassa tutkielmassaan vuonna 1856.

Ryhmä voidaan kuitenkin presentoida myös muilla tavoin, esimerkiksi alternoivana ryhmänä (*I*:lle).

### Visualisointeja

| Schoenflies(Orb.) | Coxeter | Alkioita | Peilidiarammit |
| --- | --- | --- | --- |
| Ortogonaalinen | Stereografinen projektio |
| Ih(\*532) | [5,3] | Peili-viivojas:15 |  |  |  |  |
| I(532) | [5,3]+ | Pyörähdys-pisteitä:125203302 |  |  |  |  |

Ryhmän rakenne
--------------

|  |  |
| --- | --- |
|  |  |
| Viiden oktaedrin pallomaisen yhdistelmän särmät esittävät 15 heijastustasoa, jotka on tässä merkitty väritetyillä isoilla ympyröillä. Jokainen oktaedri voi esittää kolmea toisiinsa nähden kohtisuoraa heijatustasoa, jotka kulkevat niiden särmien kautta. |
|  |  |
| Pyritoedrinen symmetria on ikosaedrisen symmetrian aliryhmä, jonka indeksi on 5. Sillä on kolme tässä vihreällä merkittyä heijastussuoraa ja 8 punaista kertaluvun 3 pyörähdyspistettä. Indeksin 5 aliryhmänä sillä on 5 muuta pyritoedrisen symmetrian suuntaa. |

**Ikosaedrisen rotaatioryhmän** ***I*** kertaluku on 60. Ryhmä *I* on isomorfinen alternoivan ryhmän *A*5 eli viiden alkion parillisten permutaatioiden ryhmän kanssa. Tämä isomorfismi voidaan toteuttaa suorittamalla *I*:hin kuuluvat kuvaukset eri kohteille, erityisesti dodekaedrin ympäri piirretyille viiden kuution yhdistelmälle, viiden oktaedrin yhdistelmälle tai jommallekummalle kahdesta viiden tetraedrin yhdistelmästä (jotka ovat enantiomorfisia ja ympäröivät dodekaedria).

Ryhmä *I* sisältää 5 versiota ryhmästä *T*h, 20 versiota ryhmästä *D*3 (10 akselia, joista kutakin vastaa 2 versiota) sekä 6 versiota ryhmästä *D5*.

'*Täyden ikosaedrisen ryhmän* ***Ih*** kertaluku on 120. Se sisältää *I*:n normaalina aliryhmänä, jonka indeksi on 2. Ryhmä *Ih* in isomorfinen ryhmän *I* × *Z*2 eli *A*5 × *Z*2 kanssa. Kun *Z*2 kirjoitetaan multiplikatiivisesti, sen alkiot ovat 1 ja -1, joista edellinen vastaa identtistä kuvausta, jälkimmäinen peilausta (inversiota) keskipisteen suhteen.

*Ih* toimii viiden kuution tai viiden oktaedrin yhdistelmissä, mutta alkio -1 toimii identtisen kuvauksen tavoin, koska kuutiolla ja oktaedrilla on symmetriakeskus. Se toimii myös kymmenen tetraedrin yhdistelmässä: *I* toimii kahdella kiraalisella puoliskolla ja -1 vaihtaa nämä puoliskot keskenään. On kuitenkin huomattava, että se ei vaikuta samoin kuin S5, sillä nämä ryhmät eivät ole isomorfisia, kuten jäljempänä tarkemmin selitetään.

Ryhmä Ih sisältää aliryhminään 10 versiota ryhmästä *D*3d *ja kuusi versiota ryhmästä* D*5d (antiprismojen kaltaiset symmetriat)*

*I* on myös isomorfinen PSL2(5):n kanssa, mutta *Ih* ei ole isomorfinen SL2(5):n kanssa.

### Muita saman kertaluvun ryhmiä

Seuraavilla ryhmillä on kaikilla kertaluku 120, mutta ne eivät ole isomorfisia:

* *S*5, 5 alkion symmetrinen ryhmä
* *Ih*, täysi ikosaedrinen ryhmä (tämän artikkelin aihe, käytetään myös merkintää *H*3)
* 2*I*, binäärinen ikosaedrinen ryhmä

Ne vastaavat seuraavia lyhyitä täsmällisiä sarjoja (joista jälkimmäinen ei jakaudu) ja tuloa

{\displaystyle 1\to A\_{5}\to S\_{5}\to Z\_{2}\to 1}
{\displaystyle I\_{h}=A\_{5}\times Z\_{2}}
{\displaystyle 1\to Z\_{2}\to 2I\to A\_{5}\to 1}
Sanallisesti ilmaistuna,

* {\displaystyle A\_{5}} on {\displaystyle S\_{5}}:n aliryhmä
* {\displaystyle A\_{5}} on suoran summan {\displaystyle I\_{h}} *tekijä*
* {\displaystyle A\_{5}} on {\displaystyle 2I}:n tekijäryhmä.

On huomattava, että ryhmällä {\displaystyle A\_{5}} on poikkeuksellinen palautumaton kolmiulotteinen lineraarinen esitysmuoto, ikosaedrinen rotaatioryhmä, mutta ryhmällä {\displaystyle S\_{5}} ei ole palautumatonta kolmiulotteista esitysmuotoa, mikä vastaa sitä seikkaa, ettei täysi ikosaedrinen ryhmä ole sama kuin symmetrinen ryhmä.

Nämä liittyvät lineaarisiin ryhmiin myös viiden alkion äärellisen kunnan kautta, joka osoittaa aliryhmät ja peiteryhmät suoraan; yksikään näistä ei ole täysi ikosaedrinen ryhmä.

* {\displaystyle A\_{5}\cong \operatorname {PSL} (2,5),} projektiivinen erikoinen lineaarinen ryhmä
* {\displaystyle S\_{5}\cong \operatorname {PGL} (2,5),} projektiivinen yleinen lineaarinen ryhmä
* {\displaystyle 2I\cong \operatorname {SL} (2,5),} erikoinen lineaarinen ryhmä

### Konjugaattiluokat

konjugaattiluokat| *I* | *Ih* |
| --- | --- |
| * identtinen kuvaus
* 12 kpl 72°:n rotaatioita, kertalukua 5
* 12 kpl 144°:n rotaatioita, kertalukua 5
* 20 kpl 120°:n rotaatioita, kertalukua 3
* 15 kpl 180°:n rotaatioita, kertalukua 2
 | * peilaus pisteen suhteen (inversio)
* 12 kpl 108°:n rotoreflektioita (108°:n rotaation ja tason suhteen tehdyn peilauksen yhdistettyjä kuvauksia), kertalukua 10
* 12 kpl 36°:n rotorefektioita, kertalukua 10
* 20 kpl 60°:n rotoreflektioita, kertalukua 6
* 15 kpl peilauksia tasojen suhteen, kertalukua 2
 |

### Täyden ikosaedrisen symmetrian aliryhmät

Aliryhmärelaatiot
Kiraaliset aliryhmärelaatiot

| Schoenfiles | Coxeter | Orb. | H-M | Rakenne | Sykl. | Kertaluku | Indeksi |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Ih | [5,3] |  | \*532 | 532/m | A5×Z2 |  | 120 | 1 |
| D2h | [2,2] |  | \*222 | mmm | Dih2×Dih1=Dih13 |  | 8 | 15 |
| C5v | [5] |  | \*55 | 5m | Dih5 |  | 10 | 12 |
| C3v | [3] |  | \*33 | 3m | Dih3=S3 |  | 6 | 20 |
| C2v | [2] |  | \*22 | 2mm | Dih2=Dih12 |  | 4 | 30 |
| Cs | [ ] |  | \* | 2 or m | Dih1 |  | 2 | 60 |
| Th | [3+,4] |  | 3\*2 | m3 | A4×Z2 |  | 24 | 5 |
| D5d | [2+,10] |  | 2\*5 | 10m2 | Dih10=Z2×Dih5 |  | 20 | 6 |
| D3d | [2+,6] |  | 2\*3 | 3m | Dih6=Z2×Dih3 |  | 12 | 10 |
| D1d = C2h | [2+,2] |  | 2\* | 2/m | Dih2=Z2×Dih1 |  | 4 | 30 |
| S10 | [2+,10+] |  | 5× | 5 | Z10=Z2×Z5 |  | 10 | 12 |
| S6 | [2+,6+] |  | 3× | 3 | Z6=Z2×Z3 |  | 6 | 20 |
| S2 | [2+,2+] |  | × | 1 | Z2 |  | 2 | 60 |
| I | [5,3]+ |  | 532 | 532 | A5 |  | 60 | 2 |
| T | [3,3]+ |  | 332 | 332 | A4 |  | 12 | 10 |
| D5 | [2,5]+ |  | 522 | 522 | Dih5 |  | 10 | 12 |
| D3 | [2,3]+ |  | 322 | 322 | Dih3=S3 |  | 6 | 20 |
| D2 | [2,2]+ |  | 222 | 222 | Dih2=Z22 |  | 4 | 30 |
| C5 | [5]+ |  | 55 | 5 | Z5 |  | 5 | 24 |
| C3 | [3]+ |  | 33 | 3 | Z3=A3 |  | 3 | 40 |
| C2 | [2]+ |  | 22 | 2 | Z2 |  | 2 | 60 |
| C1 | [ ]+ |  | 11 | 1 | Z1 |  | 1 | 120 |

Kaikki nämä aliryhmien luokat ovat konjugaattisia ja voidaan tulkita geometrisesti.

On huomattava, että jokaisella kärjellä, särmällä, tahkolla ja monitahokkaalla on samat stabilisaattorit kuin vastakkaisella kärjellä, särmällä, tahkolla tai monitahokkaalla. Toisin sanoen symmetriakuvaus, joka kuvaa kappaleen jonkin kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen, kuvaa myös sille vastakkaisen kärjen, särmän, tahkon tai monitahokkaan itselleen.

#### Kärkien stabilisaattorit

Kärjen stabilisaattorit ovat symmetriakuvauksia, joissa annettu kärki kuvautuu itselleen. Ne voidaan tulkita myös generoimansa akselin stabilisaattoreiksi.

* kunkin kärjen stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat syklisen ryhmän *C*3.
* kunkin kärjen stabilisaattorit *I**h*:ssa muodostavat diedriryhmän' *D*3.
* kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat syklisen ryhmän *D*3
* kunkin vastakkaisten kärkien parin stabilisaattorit *I**h*:ssa muodostavat ryhmän {\displaystyle D\_{3}\times \pm 1}.

#### Särmien stabilisaattorit

Vastakkaisten särmien muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman suorakulmion stabilisaattoreiksi.

* Kunkin särmän stabilisaattorit *I*:ssa muodostavat syklisen ryhmän *Z*2.
* Kunkin särmän stabilisaattorit *Ih*:ssa muodostavat Kleinin neliryhmän {\displaystyle Z\_{2}\times Z\_{2}}
* Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat Kleinin neliryhmän {\displaystyle Z\_{2}\times Z\_{2}}
* Kunkin vastakkaisten särmien parin stabilisaattorit *Ih*:ssa muodostavat ryhmän {\displaystyle Z\_{2}\times Z\_{2}\times Z\_{2}}; tällaisia pareja on viisi ja ne voidaan muodostaa peilauksilla kolmen kohtisuoran akselin suhteen.

#### Tahkojen stabilisaattorit

Vastakkaisten tahkojen muodostaman parin stabilisaattorit voidaan tulkita niiden generoiman antiprisman stabilisaattoreiksi.

* Kunkin tahkon stabilisaattorit *I*:ssa muodostavat syklisen ryhmän *C*5.
* Kunkin tahkon stabilisaattorit *Ih*:ssa muodostavat diedriryhmän *D*5.
* Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat diedriryhmän *D*5.
* Kunkin vastakkaisten tahkon parin stabilisaattorit *Ih*:ssa muodostavat ryhmän {\displaystyle D\_{5}\times \pm 1}.

#### Monitahokkaiden stabilisaattorit

Näistä jokaiselle on viisi konjugaattista kopiota, ja konjugaatiotoimitus muodostaa kuvauksen, itse asiassa isomorfismin {\displaystyle I{\stackrel {\sim }{\to }}A\_{5}<S\_{5}}.

* Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn tetraedrin stabilisaattorit *I'h*:ssa muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit *I*:ssä muodostavat *T*:n kopion.
* Kappaleen sisään piirretyn kuution tai oktaedrin taikka kahden vastakkaisen tetraedrin muodostaman parin stabilisaattorit *Ih*:ssä muodostavat *Th*:n kopion.

Perusalueet
-----------

Ikosaedrisen rotaatioryhmän ja täyden ikosaedrisen ryhmän perusalueet näkyvät seuraavassa kaaviossa:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Ikosaedrinen rotaatioryhmä*I* | Täysi ikosaedrinen ryhmä*I*h | Disdyakis-triakontaedri, jonka tahkot ovat symmetrian perusalueita. |

Disdyakis-triakontaedrin jokainen tahko on ikosaedrisen symmetrian perusalue. Muut kappaleet, joilla on sama symmetria, voidaan muodostaa siitä muuntamalla tahkoja eri tavoin, esimerkiksi tasoittamalla sopivasti valitut tahkojen ryhmät siten, että samaan ryhmään kuuluvat tahkot yhdistyvät yhdeksi tahkoksi, vaihtamalla jokainen tahko useamman tahkon yhdistelmään tai kaarevaan pintaan.

Monitahokkaat, joilla on ikosaedrinen symmetria
-----------------------------------------------

### Kiraaliset monitahokkaat

| Luokka | Merkinnät | Kuva |
| --- | --- | --- |
| Arkhimedeen kappale | sr{5,3} |  |
| Catalanin kappale | V3.3.3.3.5 |  |

### Täysi ikosaedrinen symmetria

| Platonin kappaleet | Keplerin–Poinsot'n kappaleet | Arkhimedeen kappaleet |
| --- | --- | --- |
| {5,3} | {5/2,5} | {5/2,3}
{5,3}]] | t{3,5} | r{3,5} | rr{3,5} | tr{3,5} |
| Platonin kappaleet | Keplerin–Poinsot'n kappaleet | Arkhimedeen kappaleet |
| {3,5} =  | {5,5/2} =  | {3,5/2} =  | V3.10.10 | V5.6.6 | V3.5.3.5 | V3.4.5.4 | V4.6.10 |

Muita ikosaedrisesti symmetrisiä kohteita
-----------------------------------------

*Circogonia icosahedra*, eräs radiolaariAdenoviruksen kapsidiDodekaboraatti-ioni [B12H12]2−
Ikosaedrisesti symmetrisiä ovat myös:

* Barthin pinnat
* monien virusten rakenne ja niiden kapsidit
* kemiassa dodekaboraatti-ioni ([B12H12]2−) ja dodekaedraanimolekyyli (C20H20).

### Nestekiteet ja kvasikiteet

Hagen Kleinert ja K. Maki tutkivat vuonna 1981 yksityiskohtaisesti nestekiteiden rakennetta ja totesivat, että niissä esiintyy ikosaedrista symmetriaa Kolme vuotta myöhemmin Dan Shechtman osoitti kokeellisesti, että eräät alumiinin seokset muodostavat kvasikiteitä, joissa esiintyy myös ikosaedrista symmetriaa. Tästä havainnostaan hän sai Nobelin palkinnon vuonna 2011.

Muita samantapaisia geometrioita
--------------------------------

Ikosaedrisen symmetria on symmetriaryhmä on isomorfinen projektiivisen erityisen lineaarisen ryhmän PSL (2,5) kanssa, joka on myös modulaarisella käyrällä X(5). Yleisemminkin PSL(2,*p*) on modulaarisen käyrän X(*p*) symmetriaryhmä. Modulaarinen käyrä X(5) on geometrisesti dodekaedri, johon on lisätty kärki sen jokaisen tahkon keskipisteeseen, mikä kuvastaa sen symmetriaryhmää.

Tätä geometriaa ja siihen liittyvää symmetriaryhmää tutki Felix Klein vuonna 1888 Belyin pinnan monodromiaryhminä. Belyin punta on Riemannin pinta, joka voidaan kuvata holomorfisesti Riemannin pallolle niin, että sehaarautuu vain pisteissä 0, 1 ja &infinity; (Belyun funktio). Kärjet vastaavat äärettömyydessä olevia pisteitä, kun taas kärjet ja särmien keskipisteet vastaavat pisteitä 0 ja 1. Kuvauksen aste on 5, eli se peittää pallon viisi kertaa.

Klein päätyi teoriaansa yrittäessään selittää geometrisesti, miksi ikosaedrisen symmetrian symmetriaryhmä on isomorfinen viidennen asteen yhtälön Galois'n ryhmän A5 kanssa.

Jatkaessaan tutkimuksiaan Klein löysi kertalukujen 7 ja 11 symmetrioita sekä niihin liittyviä Riemannin pallon 7. ja 11. asteen peitteitä Hän muodosti myös neljännen asteen pinnan, jonka geometria voidaan laatoittaa 24 seitsenkulmiolla, joista jokaisen keskipisteessä on kärki.

Vastaavia geometrioita esiintyy myös PSL(2,*n*):ssä sekä yleisemmin muiden modulaaristen käyrien ryhmissä.

On myös löydetty yhteyksiä ryhmien PSL(2,5) (kertalukua 60), PSL(2,7) (kertalukua 168) ja PSL(2,11) (kertalukua 660) välillä. Nämäkin ryhmät voidaan tulkita geometrisesti: PSL(2,5) on ikosaedrin, (genus 0), PSL(2,7) Kleinin neljännen asteen pinnan (genus 3) ja PSL(2,11) buckyball-pinnan (genus 70) symmetriaryhmä. Nämä ryhmät muodostavat Vladimir Arnoldin tarkoittamassa mielessä kolmikon, jonka jäsenten välillä on monia yhteyksiä.

Käännös suomeksiKäännös suomeksi Tämä artikkeli tai sen osa on käännetty tai siihen on haettu tietoja muunkielisen Wikipedian artikkelista.   
Alkuperäinen artikkeli: en:Icosahedral symmetry

Katso myös
----------

* Tetraedrinen symmetria
* Oktaedrinen symmetria

Lähteet
-------

* Peter R. Cromwell, *Polyhedra* (1997), s. 296
* John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass: *The Symmetries of Things*. {{{Julkaisija}}}, 2008. ISBN 978-1-56881-220-5.
* F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss (toim): *Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter*. Wiley-Interscience Publication, 1995. 978-0-471-01003-6. Teoksen verkkoversio.
* Norman Johnson: "11.5: Finite symmetry groups, Spherical Coxeter groups", *Geometries and Transformations*. , 2018. ISBN 978-1-107-10340-5.

### Viitteet

1. 1 2 3  Icosahedral Group *Wolfram MathWorld*. Erik Weisstein. Viitattu 10.9.2019.
2. ↑  William Rowan Hamilton: Memorandum respecting a new System of Roots of Unity.  *Philosophical Magazine*, 1856, nro 12. Artikkelin verkkoversio.
3. ↑  H. Kleinert, K. Maki: Lattice Textures in Cholesteric Liquid Crystals.  *Fortschritte der Physik*, 1981, nro 5, s. 219–259. doi:10.1002/prop.19810290503. Artikkelin verkkoversio.
4. ↑  Felix Klein: *Lectures on the Icosahedron and the Solution of Equations of the Fifth Degree*. englanniksi kääntänyt George Gavin Morrice. Trübner & Co, 1888. ISBN 0486-49528-0.
5. ↑  Gábor Tóth: "Section 1.6, Additional topic: Klein's Thery of the Icosahedron", *Finite Möbius groups, minimal immersions of spheres, and moduli*, s. 66. Springer, 2002. Teoksen verkkoversio.
6. ↑  Felix Klein: Ueber die Transformation siebenter Ordnung der elliptischen Functionen (On the order-seven transformation of elliptic functions).  *Mathematische Annalen*, 1878, nro 3, s. 428–471. doi:10.1007/BF01677143. Artikkelin verkkoversio.
7. ↑  Felix Klein: Ueber die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen (On the eleventh order transformation of elliptic functions).  *Mathematische Annalen*, 1879, nro 3–4, s. 533–555. doi:10.1007/BF02086276. Artikkelin verkkoversio.