**Möbius-kuvaukset** ovat muotoa 

{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}

  

olevia kuvauksia, missä *a*, *b*, *c* ja *d* ovat mielivaltaisia kompleksilukuja. Möbius-kuvaukset on määritelty laajennetulta kompleksitasolta itselleen. Bilineaarinen kuvaus on erikoistapaus Möbius-kuvauksesta. Möbius-kuvaukset ovat saaneet nimensä saksalaisen matemaatikon ja tähtitieteilijän August Ferdinand Möbiuksen mukaan.

Määritelmä
----------

Möbius-kuvaukset ovat muotoa 

{\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}
olevia kuvauksia, missä *a*, *b*, *c* ja *d* ovat kompleksilukuja, jotka toteuttavat ehdon *ad* − *bc* ≠ 0. Möbius-kuvaukset on määritelty konformaaleina kaikkialla paitsi kun {\displaystyle z=-d/c}, jolloin on määritelty, että {\displaystyle f(z)=\infty }. 
Ne ovat konformisia bijektioita {\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}}→{\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }},}
missä {\displaystyle {\overline {\mathbb {C} }}} tarkoittaa laajennettua kompleksitasoa {\displaystyle \mathbb {C} \cup \{\infty \}} eli kompleksitasoa, johon on lisätty äärettömyyspiste. Laajennettua kompleksitasoa kutsutaan myös Riemannin palloksi.

Ominaisuuksia
-------------

Möbius-kuvaukset voidaan esittää yhdistettynä kuvauksena siirrosta, venytyksestä ja kierrosta sekä inversiosta, missä operaatio "siirto" on muotoa   
{\displaystyle w=z+a}, operaatio "venytys ja kierto" on muotoa {\displaystyle w=az} ja operaatio "inversio" on muotoa {\displaystyle w=1/z.}
Möbius-kuvaukset kuvaavat suorat ja ympyrät joko suoriksi tai ympyröiksi siten, että operaatio "inversio" saattaa muuttaa suoran ympyräksi tai päinvastoin. 
Konformikuvauksina Möbius-kuvaukset säilyttävät kulmat.

Kaksoissuhde
------------

Möbius-kuvaukset säilyttävät pisteiden välisen kaksoissuhteen:  

Olkoot *a1*, *a2*, *a3* ja *a4* kompleksilukuja, joille *aj* ≠ *ak* kun *j* ≠ *k*. Tällöin näiden kaksoissuhde on luku

{\displaystyle [a\_{1},a\_{2},a\_{3},a\_{4}]={\frac {(a\_{1}-a\_{2})(a\_{3}-a\_{4})}{(a\_{1}-a\_{3})(a\_{2}-a\_{4})}}.}
Jos jokin *ai* = ∞ on kaksoissuhde määriteltäva raja-arvona, kun *ai* → ∞.   

Möbius-kuvaukset säilyttävät kaksoissuhteen, eli siis Möbius-kuvauksessa *w* = *f(z)*   

[*w*, *w1*, *w2*, *w3*] = [*z*, *z1*, *z2*, *z3*].

Möbiuskuvaukset muodostavat ryhmän, niin sanotun Möbius-ryhmän, kuvausten yhdistämisen suhteen.

Esimerkki
---------

Seuraavassa esimerkissä käytetään hyväksi Möbius-kuvausten ominaisuutta säilyttää pisteiden välinen kaksoissuhde:  

Etsitään Möbius-kuvaus, joka vie origokeskisen yksikkökiekon *D(0, 1)* ylemmälle puolitasolle. Käytetään kaksoissuhdetta. Kiinnitetään yksikkökiekon reunapisteet *z1* = *1*, *z2* = *i*, *z3* = *-1* ja ylemmän puolitason reunapisteet *w1* = *-1*, *w2* = *0*, *w3* = *1*. Pisteiden kiinnityksessä on huomioitu niiden järjestys alueisiin nähden, eli kuljettaessa pisteestä *z1* pisteen *z2* kautta pisteeseen *z3* jää yksikkökiekko vasemmalle puolelle ja kuljettaessa pisteestä *w1* pisteen *w2* kautta pisteeseen *w3* jää ylempi puolitaso vasemmalle puolelle. Sopiva kuvaus saadaan ratkaisemalla *w* yhtälöstä

{\displaystyle {\frac {(w-w\_{1})(w\_{2}-w\_{3})}{(w-w\_{2})(w\_{1}-w\_{3})}}={\frac {(z-z\_{1})(z\_{2}-z\_{3})}{(z-z\_{2})(z\_{1}-z\_{3})}}}
missä *w1*, *w2*, *w3*, *z1*, *z2* ja *z3* ovat edellä kiinnitetyt pisteet. Saamme

{\displaystyle {\frac {(w+1)(0-1)}{(w-0)(-1-1)}}={\frac {(z-1)(i+1)}{(z-i)(1+1)}}} ⇔ {\displaystyle {\frac {w+1}{2w}}={\frac {(z-1)(i+1)}{2(z-i)}}} ⇔
{\displaystyle (w+1)(z-i)=w(z-1)(i+1)} ⇔
{\displaystyle wz-iw+z-i=zwi+zw-iw-w} ⇔ {\displaystyle z-i=w(iz-1)} ⇔
{\displaystyle w={\frac {z-i}{iz-1}}}

Katso myös
----------

* Funktioteoria
* Laajennettu kompleksitaso

Kirjallisuutta
--------------

* R. Hurri-Syrjänen: Funktioteoria 1 (Luentomuistiinpanot)
* L. Myrberg:Funktioteoria 1 ja 2, osa 1 Limes ry 1971
* Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: *Complex Variables*. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).