**Banachin tulitikkuongelma** on klassisen todennäköisyyslaskennan tehtävä, joka on kunnianosoitus Stefan Banachille.[1] Matemaatikko Hugo Steinhaus kertoi, että ongelman inspiraation lähteenä oli ollut Banachin tupakointi, ja koska nimestä tuli kirjallisuudessa niin suosittu, hän päätti olla muuttamatta ongelman nimeä.

Kuvitellaan tilanne, jossa matemaatikko kantaa aina yhtä tulitikkurasiaa oikeassa taskussaan ja yhtä tulitikkurasiaa vasemmassa taskussaan. Kun hän tarvitsee tulitikun, hän valitsee toisen taskuista sattumanvaraisesti, käyttää yhden tulitikun ja laittaa rasian taskuun katsomatta, kuinka monta tulitikkua rasiaa jäi. Tarkastellaan tilannetta, jossa matemaatikko huomaa ensimmäisen kerran, että toinen rasioista on tyhjä. Oletetaan, että alun perin molemmissa rasioissa on täsmälleen N tulitikkua. Mikä on todennäköisyys, että toisessa rasiassa on täsmälleen k tikkua ({\displaystyle k=0,1,\ldots ,N}) silloin, kun matemaatikko havaitsee toisen rasian olevan tyhjä?

Ratkaisu
--------

Olkoon vasemman taskun valinta "onnistuminen" ja oikean taskun valinta "epäonnistuminen". Huomataan, että vasemman taskun rasia on tyhjä hetkellä, kun oikean taskun rasiassa on täsmälleen *k* tikkua jos ja vain jos täsmälleen *N*−*k* epäonnistumista tapahtuu ennen onnistumista *N*+1. Taskun valinnan todennäköisyys on *p* = 1/2, joten saamme negatiivisella binomijakaumalla todennäköisyydeksi

{\displaystyle P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k+1}}.
Sama todennäköisyys pätee myös sille, että oikean taskun ollessa tyhjä vasemmassa on *k* tikkua. Täytyy siis laskea tapaukset yhteen, joten vaadittu todennäköisyys on

{\displaystyle 2P[X=N-k]={\binom {2N-k}{N}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{2N-k}}.

Taulukko
--------

Numeerisia arvoja, kun alkuperäinen tulitikkumäärä on {\displaystyle N=50}, nähdään seuraavasta taulukosta. {\displaystyle p\_{k}} on todennäköisyys sille, että rasiassa on k tikkua. {\displaystyle \Sigma p\_{k}=p\_{0}+...+p\_{k}} on todennäköisyyksien summa.


| k | {\displaystyle p\_{k}} | {\displaystyle \Sigma p\_{k}} |  | k | {\displaystyle p\_{k}} | {\displaystyle \Sigma p\_{k}} |  | k | {\displaystyle p\_{k}} | {\displaystyle \Sigma p\_{k}} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0,079 589 | 0,079 589 |  | **17** | 0,015 447 | 0,952 469 |  | **34** | 0,000 012 | 0,999 981 |
| 1 | 0,079 589 | 0,159 178 |  | **18** | 0,012 283 | 0,964 752 |  | **35** | 0,000 006 | 0,999 987 |
| 2 | 0,078 785 | 0,237 963 |  | **19** | 0,009 587 | 0,974 338 |  | **36** | 0,000 003 | 0,999 999 |
| 3 | 0,077 177 | 0,315 140 |  | **20** | 0,007 338 | 0,981 676 |  | **37** | 0,000 001 | 0,999 999 |
| 4 | 0,074 790 | 0,389 931 |  | **21** | 0,005 504 | 0,987 180 |  | **38** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 5 | 0,071 674 | 0,461 605 |  | **22** | 0,004 041 | 0,991 220 |  | **39** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 6 | 0,067 902 | 0,529 506 |  | **23** | 0,002 901 | 0,944 121 |  | **40** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 7 | 0,063 568 | 0,593 073 |  | **24** | 0,002 034 | 0,996 155 |  | **41** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 8 | 0,058 671 | 0,651 855 |  | **25** | 0,001 392 | 0,997 547 |  | **42** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 9 | 0,053 671 | 0,705 527 |  | **26** | 0,000 928 | 0,998 475 |  | **43** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 10 | 0,048 363 | 0,753 890 |  | **27** | 0,000 602 | 0,999 077 |  | **44** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 11 | 0,042 989 | 0,796 879 |  | **28** | 0,000 379 | 0,999 456 |  | **45** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 12 | 0,037 676 | 0,834 555 |  | **29** | 0,000 232 | 0,999 688 |  | **46** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 13 | 0,032 538 | 0,867 094 |  | **30** | 0,000 137 | 0,999 825 |  | **47** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 14 | 0,027 676 | 0,894 770 |  | **31** | 0,000 078 | 0,999 903 |  | **48** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 15 | 0,023 171 | 0,917 941 |  | **32** | 0,000 043 | 0,999 946 |  | **49** | <0,000001 | 0,999 999 |
| 16 | 0,019 081 | 0,937 022 |  | **33** | 0,000 023 | 0,999 969 |  | **50** | <0,000001 | 1,0 |

Katso myös
----------

* Stefan Banach
* Banachin avaruus
* Banachin kiintopistelause
* Banachin–Tarskin paradoksi

Lähteet
-------

1. ↑   Feller, William, An Introduction to Probability Theory And Its Applications, Luku VI, Kohta 8, Wiley, 1968

Aiheesta muualla
----------------

* Java-sovellus