Matriisit kuvaavat 3 alkion permutaatioita   
 Kahden permutaatiomatriisin matriisitulo on myös permutaatiomatriisi. ( Englanniksi matriisitulosta ).  
  
Nämä ovat kuuden matriisin asemat:  
  
(Ne ovat myös permutaatiomatriiseja.)
**Permutaatiomatriisi** on matematiikan matriisiteoriassa eliöllinen yksikkömatriisi, jolla on täsmälleen yksi johtava alkio 1 jokaisella rivillä ja sarakkeessa ja kaikkialla muualla 0. Jokainen sellainen matriisi esittää tiettyä permutaatiota, jossa on m alkiota ja kerrottaessa toisella matriisilla, se voi tuottaa uuden matriisin, jolla on toisen matriisin rivit ja sarakkeet.

Määritelmä
----------

Annettu "m":n alkion permutaatio π ,

{\displaystyle \pi :\lbrace 1,\ldots ,m\rbrace \to \lbrace 1,\ldots ,m\rbrace }
annettu kahden rivin muodossa

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\cdots &m\\\pi (1)&\pi (2)&\cdots &\pi (m)\end{pmatrix}},}
sen permutaatiomatriisi on *m × m* matriisi *P*π, jonka johtavat alkiot ovate kaikkialla 0, paitsi rivillä *i*, johtava alkio π(*i*) on 1. Voidaan kirjoittaa

{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (m)}\end{bmatrix}},}
jossa {\displaystyle \mathbf {e} \_{j}} merkitsee rivivektorin pituutta "m", jolla on 1 *j*s asemassa ja 0 kaikkialla muualla.

Ominaisuudet
------------

Annetut kaiksi permutaatiota π ja σ, joilla on "m" alkiota ja vastaavat permutaatiomatriisit 

```
*P*π ja *P*σ   

```

{\displaystyle P\_{\sigma }P\_{\pi }=P\_{\pi \,\circ \,\sigma }}
Tämä jollain tapaa epätoivottu sääntö on seurausta permutaatioiden kertolaskun määritelmästä (bijektioiden rakenne) ja matriiseista ja valinnasta käyttää vektoreita {\displaystyle \mathbf {e} \_{\pi (i)}} permutaatiomatriisien riveinä; jos käytetään sarakkeita niin yllä olevasta tulosta tulee 
{\displaystyle P\_{\sigma \,\circ \,\pi }}, joke on yhtäsuuri alkuperäisessä järjestyksessä olevien permutaatioiden kanssa.

Koska permutaatiomatriisit ovat ortogonaalisia matriiseja
(ts. {\displaystyle P\_{\pi }P\_{\pi }^{T}=I}), käänteismatriisit ovat olemassa ja voidaan kirjoittaa

{\displaystyle P\_{\pi }^{-1}=P\_{\pi ^{-1}}=P\_{\pi }^{T}.}
Kertomalla {\displaystyle P\_{\pi }} kertaa sarakevektorilla (englanniksi column vector) **g** voidaan permutoidan vektorin rivit:

{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (n)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\_{1}\\g\_{2}\\\vdots \\g\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g\_{\pi (1)}\\g\_{\pi (2)}\\\vdots \\g\_{\pi (n)}\end{bmatrix}}.}
Käyttämällä {\displaystyle P\_{\sigma }} sen jälkeen kun {\displaystyle P\_{\pi }} on käytetty, saadaan sama tulos kuin käyttämällä suoraan {\displaystyle P\_{\pi \circ \sigma }}

yhtäpitävästi yllä olevan kertolaskusäännön kanssa:
merkitään
{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {g} =\mathbf {g} '}, toisin sanoen 

{\displaystyle g'\_{i}=g\_{\pi (i)}\,}
kaikilla *i*, siten 

{\displaystyle P\_{\sigma }(P\_{\pi }(\mathbf {g} ))=P\_{\sigma }(\mathbf {g} ')={\begin{bmatrix}g'\_{\sigma (1)}\\g'\_{\sigma (2)}\\\vdots \\g'\_{\sigma (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g\_{\pi (\sigma (1))}\\g\_{\pi (\sigma (2))}\\\vdots \\g\_{\pi (\sigma (n))}\end{bmatrix}}.}
Kertomalla rivivektoria (englanniksi row vector) **h** kertaa {\displaystyle P\_{\pi }}

permutoi vektorin sarakkeet käänteis {\displaystyle P\_{\pi }}:

{\displaystyle \mathbf {h} P\_{\pi }={\begin{bmatrix}h\_{1}\;h\_{2}\;\dots \;h\_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{\pi (n)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}h\_{\pi ^{-1}(1)}\;h\_{\pi ^{-1}(2)}\;\dots \;h\_{\pi ^{-1}(n)}\end{bmatrix}}}
Jälleen voidaan tarkistaa, että {\displaystyle (\mathbf {h} P\_{\sigma })P\_{\pi }=\mathbf {h} P\_{\pi \circ \sigma }}.

Esimerkkejä
-----------

### Rivien ja sarakkeiden permutaatiot

Kun permutaatiomatriisia "P" kerrotaan matriisilla "M" vasemmalta "PM" permutoi "M":n rivit (sarakevektorin alkioilla), kun "P" kerrotaan "M":llä oikealta "MP" permutoi "M":n sarakkeet (rivivektorin alkiot):

|  |  |
| --- | --- |
| *P* \* (1,2,3,4)T = (4,1,3,2)T | (1,2,3,4) \* *P* = (2,4,3,1) |

Rivien ja sarakkeiden permutaatiot ovat esimerkkejä peilauksesta (katso alla) ja syklisistä permutaatioista (engl. cyclic permutation matrix).

| reflections |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| (1,2,3,4) \* *P*T = (4,1,3,2) | *P*T \* (1,2,3,4)T = (2,4,3,1)T |

Nämä matriisien järjestelyt ovat peilauksia yllä olevista. 

Tämä on seurausta säännöstä {\displaystyle \left(\mathbf {AB} \right)^{\mathrm {T} }=\mathbf {B} ^{\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }\,}      (Compare: Transpose) |

### Rivien permutaatio

PErmutaatiomatriisi *P*π vastaa permutaatiota :{\displaystyle \pi ={\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\1&4&2&5&3\end{pmatrix}},} joten

{\displaystyle P\_{\pi }={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\mathbf {e} \_{\pi (3)}\\\mathbf {e} \_{\pi (4)}\\\mathbf {e} \_{\pi (5)}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{1}\\\mathbf {e} \_{4}\\\mathbf {e} \_{2}\\\mathbf {e} \_{5}\\\mathbf {e} \_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0\\0&0&0&1&0\\0&1&0&0&0\\0&0&0&0&1\\0&0&1&0&0\end{bmatrix}}.}
  

Annetulle vektorille **g**,

{\displaystyle P\_{\pi }\mathbf {g} ={\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{\pi (1)}\\\mathbf {e} \_{\pi (2)}\\\mathbf {e} \_{\pi (3)}\\\mathbf {e} \_{\pi (4)}\\\mathbf {e} \_{\pi (5)}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}g\_{1}\\g\_{2}\\g\_{3}\\g\_{4}\\g\_{5}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}g\_{1}\\g\_{4}\\g\_{2}\\g\_{5}\\g\_{3}\end{bmatrix}}.}

Selitys
-------

Permutaatiomatriisi on aina muotoa

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} \_{a\_{1}}\\\mathbf {e} \_{a\_{2}}\\\vdots \\\mathbf {e} \_{a\_{j}}\\\end{bmatrix}}}
jossa **e***a**i* esittää *i*:ttä basis alkeisvektoria (kuten riviä) **R**:lle '*j*, missä

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&\ldots &j\\a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{j}\end{bmatrix}}}
on permutaatio muoto permutaatiomatriisista.

Suorittamalla matriisikertolaskun, erityisesti muodostamalla pistetulo ensimmäisen matriisin jokaisen rivin toisen matriisin jokaisen sarakkeen kanssa. Tässä esimerkissä muodostetaan pistetulo jokaisen tämän matriisin rivin ja halutun vektorin alkioiden välille. Joka on esimerkiksi **v**= (*g*0,...*g*5)T, 

**e***a**i*·**v**=*g**a**i*
Siten permutaatiomatriisin tulo vektorin **v** kanssa (yllä), 
muodostaa vektorin muotoa (*g**a*1, *g**a*2, ... *g**a**j*), ja tämä on siten **v**:n permutaatio kun sanotaan, että permutaatio on muotoa

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2&\ldots &j\\a\_{1}&a\_{2}&\ldots &a\_{j}\end{pmatrix}}.}
Siten permutaatiomatriisit itse asiassa permutoivat vektorin alkioiden järjestyksessä kerrottaessa permutaatiomatriisit niillä.

Lähteet
-------

* Brualdi, Richard A. (2006). *Combinatorial matrix classes*, Encyclopedia of Mathematics and Its Applications **108**. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-86565-4.

### Viitteet

1. ↑  Brualdi (2006) p.2
2. ↑  Brualdi (2006) p.19