**Tasajakauma** eli **tasainen jakauma**  on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jossa jokainen perusjoukon eli määrittelyjoukon arvo esiintyy yhtä todennäköisesti. Tasajakaumaa merkitään usein 

{\displaystyle X\sim \operatorname {Tas} (a,b)}  {\displaystyle \sim \operatorname {Unif} (a,b)} {\displaystyle \sim \operatorname {U} (a,b),} 
missä ensimmäistä näistä käytetään vain suomenkielisessä tekstissä. Parametrit a ja b rajaavat perusjoukon suljetun välin eli rajaavat ne luvut, joita satunnaismuuttuja satunnaisesti antaa. Tasajakaumalla on sellainen ainutlaatuinen ominaisuus, että tapahtuman {\displaystyle P(c\leq X\leq d)} (missä on a < c < d < b) todennäköisyys riippuu vain välien [a,b] ja [c,d] pituuksien suhteista. Usein sanotaan myös, että satunnaismuuttuja saa arvoja *satunnaisesti* väliltä [a,b].

Tasajakaumaa käytetään useimmiten sellaisten tapahtumien mallintamiseen, jossa yksidimensioisen muuttujan (aika, paikka, väli ja niin edelleen) arvot voidaan ajatella esiintyvän yhtä yleisesti. Suomalaisessa lukio-opetuksessa geometristä todennäköisyyttä hyödyntävät tehtävät ovat tasan jakaantuneita. Tietokoneen satunnaislukugeneraattoria (proceduurin nimi {\displaystyle \scriptstyle {rnd}}) simuloidaan {\displaystyle \scriptstyle \operatorname {Tas} (0,1)-}jakautuneen satunnaismuuttujan arvoja. Satunnaislukugeneraattorin luvuilla simuloidaan sitten muitakin tasajakaumia, kun lausekkeeksi kirjoitetaan {\displaystyle \scriptstyle (b-a)\cdot {rnd}+a}.

Todennäköisyysjakauma
---------------------

Jakauman parametrit a,b\in {\mathbb {R}} toteuttavat ehdon a<b, jolloin jakauman perusjoukko on suljettu väli [a,b].

Tiheysfunktio saa perusjoukossa vakioarvot 

{\displaystyle f\_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\0&{\text{kun }}x\notin [a,b]\end{cases}},} 
ja muualla arvon nolla.

Kertymäfunktio on

{\displaystyle F\_{X}(x)=P(X\leq x)={\begin{cases}0&{\text{kun }}x<a\\{\frac {x-a}{b-a}}&{\text{kun }}x\in [a,b]\\1&{\text{kun }}x>b\end{cases}}}

Tunnusluvut ja momentit
-----------------------

### Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{tx}f\_{X}(x)\,\mathrm {d} x=\int \_{a}^{b}e^{tx}{\frac {1}{b-a}}\mathrm {d} x}
{\displaystyle ={\frac {1}{t(b-a)}}\int \_{a}^{b}te^{tx}\mathrm {d} x={\frac {e^{bt}-e^{at}}{t(b-a)}}\,.}
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Momenttifunktio ei ole määritelty origossa, mutta sen määrittelyalue laajennetaan sinnekin asettamalla {\displaystyle M(0)=1.} Momentit joudutaan määrittämään raja-arvoina.

Ensimmäiset origomomentit ovat

{\displaystyle \mu =E(X)=\lim \_{t\to 0}M'(t)={\tfrac {1}{2}}(a+b)}
{\displaystyle \mu \_{2}=E(X^{2})={\tfrac {1}{3}}(a^{2}+ab+b^{2})}
{\displaystyle \mu \_{3}=E(X^{3})={\tfrac {1}{4}}(a+b)(a^{2}+b^{2})}
{\displaystyle \mu \_{4}=E(X^{4})={\tfrac {1}{5}}(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})}
ja niiden yleinen termi on

{\displaystyle \mu \_{n}=E(X^{n})={\frac {b^{n+1}-a^{n+1}}{(n+1)(b-a)}}.} 
Keskusmomenttien yleinen muoto on

{\displaystyle \mu '\_{n}=E((X-\mu )^{n})={\frac {(a-b)^{n}+(b-a)^{n}}{2^{n+1}(n+1)}}.} 
### Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan *ensimmäisestä origomomentista*

{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {1}{2}}(a+b).} 
Sen varianssi on taas suoraan *toinen keskusmomentti*

{\displaystyle \mu '\_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {1}{12}}(b-a)^{2}.} 
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

{\displaystyle g\_{1}={\frac {\mu '\_{3}}{{\mu '}\_{2}^{3/2}}}={\frac {0}{{\mu '}\_{2}^{3/2}}}=0.} 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

{\displaystyle \gamma \_{2}={\frac {{\mu '}\_{4}}{{\mu '}\_{2}^{2}}}-3=-{\frac {5}{6}}.} 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Muut jakaumat
-------------

Beta-jakauma {\displaystyle \beta (1,1)} vastaa tasaista jakaumaa.

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5 6  Ruskeapää, Heikki: Todennäköisyyslaskenta I (Arkistoitu – Internet Archive)(luentomoniste), s.62, Turun Yliopisto, 2012
2. 1 2 3 4  Liski, Erkki: Luku 5 Jatkuvat jakaumat, s.160−185, luennosta Matemaattinen tilastotiede, Tampereen yliopisto, 2005
3. ↑  Grinstead, C.M. & Snell, J. Laurie: Chapter 5: Important Distributions and Densities (Arkistoitu – Internet Archive), s. 205, oppikirjasta Introduction to Probability (Arkistoitu – Internet Archive)
4. 1 2 3 4 5 6 7  Weisstein, Eric W.: Uniform Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. 1 2 3  Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s.14, Oulun yliopisto, 2002
7. ↑  Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Tasajakauma**.
Todennäköisyysjakaumat

|  |  |
| --- | --- |
| Diskreettejä jakaumia | 
* Bernoullin jakauma
* Binomijakauma
* Geometrinen jakauma
* Hypergeometrinen jakauma
* Negatiivinen binomijakauma
* Poissonin jakauma

 |
| Jatkuvia jakaumia | 
* Beta-jakauma
* Cauchy-jakauma
* Eksponenttijakauma
* F-jakauma
* Gamma-jakauma
* Khii toiseen -jakauma
* Log-normaalijakauma
* Normaalijakauma
* Pareto-jakauma
* Studentin t-jakauma
* Tasajakauma
* Weibull-jakauma

 |
| Moniulotteisia jakaumia | 
* Dirichlet-jakauma
* Moniulotteinen Studentin t-jakauma
* Multinomijakauma
* Multinormaalijakauma

 |