*Tämä artikkeli käsittelee reaali- ja kokonaislukuja koskevaa Arkhimedeen lausetta. Geometriassa Arkhimedeen lause tarkoittaa katkaistun jänteen lausetta.*
Reaaliluvun B ja kokonaisluvun A suuruudet on ilmaistu janan pituuksilla. Kokonaisluvun A moninkerrat ovat myös kokonaislukuja, joten latomalla peräkkäin lukujen A janoja saadaan lopulta niin pitkä kokonaisluvun nA jana, että se on pitempi jana (luku) kuin reaaliluvun B jana eli lukuina ilmaistuna nA > B.
Reaalilukuja koskevan **Arkhimedeen lauseen** mukaan jokaista reaalilukua *r* kohtaan löydetään positiivinen kokonaisluku *k* siten, että

{\displaystyle k>r}.

Todistus
--------

Todistetaan ensin, että ylhäältä rajoitetulla kokonaislukujen joukolla on olemassa maksimi. Merkitään tätä joukkoa symbolilla E ja jotain sen ylärajaa symbolilla B, ja määritellään {\displaystyle E=:\{m\in \mathbb {N} \mid m\leq B\}}. Koska joukko E on ylhäältä rajoitettu, on sillä olemassa täydellisyysaksiooman nojalla pienin yläraja eli supremum, {\displaystyle G=:\sup {E}}. Supremumin määritelmän mukaan on olemassa joukon E alkio h siten että {\displaystyle G-1/2<h}. Tällöin h on joukon E maksimi. Mikäli h ei olisi maksimi, niin olisi olemassa kokonaisluku {\displaystyle i\in E} siten, että {\displaystyle G<h+1\leq i}. Tämä on ristiriita, koska {\displaystyle j\leq G} kaikilla {\displaystyle j\in E}. Täten siis h on joukon E maksimi. 

Mikäli {\displaystyle r\leq 0}, niin 1 on (triviaalisti) haluttu luku k. Oletetaan siis, että {\displaystyle r>0}. Olkoon nyt joukko {\displaystyle S=:\{l\in \mathbb {N} \mid l\leq r\}}, jolloin S on ylhäältä rajoitettu. Edellä todistetun lauseen nojalla joukolla S on maksimi. Merkitään {\displaystyle W=:maxS} ja valitaan {\displaystyle k=:W+1}. Nyt k ei voi kuulua S:ään, joten {\displaystyle k>r}. 

Arkhimedeen lauseen korollaari: jokaista positiivista reaalilukua z kohtaan on olemassa luonnollinen luku n siten, että {\displaystyle z>1/n}.

#### Todistus

Olkoon {\displaystyle z>0} reaaliluku. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku n siten, että {\displaystyle n>1/z}, mikä on yhtäpitävää epäyhtälön {\displaystyle z>1/n} kanssa.

Seurauslauseita
---------------

Kahden erisuuren reaaliluvun {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } välissä on aina rationaaliluku r ja irrationaaliluku i ja molempia vieläpä äärettömän monta eli {\displaystyle a<i<r<b}. 

#### Todistus

Merkitään {\displaystyle x=:b-a}. Arkhimedeen lauseen nojalla on olemassa luonnollinen luku n siten, että {\displaystyle x>{\frac {1}{n}}>0}. Joukolla {\displaystyle E=:\{k\in \mathbb {Z} \mid k\geq nb\}} on olemassa minimiarvo. Merkitään {\displaystyle p=\min {E}}. Nyt {\displaystyle p-1} ei kuulu joukkoon E ja pätee {\displaystyle p-1<nb}, joka on yhtäpitävää epäyhtälön {\displaystyle {\frac {p-1}{n}}<b} kanssa. Pätee myös {\displaystyle {\frac {p}{n}}\geq b\implies {\frac {p}{n}}-x\geq b-x=a}, joten {\displaystyle {\frac {p}{n}}-{\frac {1}{n}}>{\frac {p}{n}}-x\geq a}. Täten {\displaystyle b>{\frac {p-1}{n}}>a} ja {\displaystyle r=:{\frac {p-1}{n}}} on etsitty rationaaliluku. 

Osoitetaan, että tällaisia rationaalilukuja on olemassa äärettömän monta. Todistetaan induktiolla, että löydetään halutunlaisia lukuja mikä tahansa lukumäärä {\displaystyle m\in \mathbb {N} }. 

Alkuaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku {\displaystyle r\_{1}\in \mathbb {Q} } siten, että {\displaystyle b>r\_{1}>a}. 

Induktio-oletus: lukuja, jotka täyttävät ehdon {\displaystyle b>r>a}, jossa {\displaystyle r\in \mathbb {Q} }, on olemassa {\displaystyle m-1} määrä. Tosin sanoen pätee {\displaystyle b>r\_{m-1}>r\_{m-2}\ \ldots \ r\_{1}>a}.

Induktioaskel: edellä todistetun lauseen nojalla on olemassa luku {\displaystyle r\_{m}\in \mathbb {Q} } siten, että {\displaystyle b>r\_{m}>r\_{m-1}>a}. 

Täten haluttuja lukuja löydetään m määrä valittiinpa tämä luku miten suureksi tahansa, sillä nyt pätee {\displaystyle b>r\_{m}>r\_{m-1}>r\_{m-1}>r\_{m-2}\ \ldots \ >r\_{1}>a}.

Etsitään seuraavaksi lukujen a ja b välistä irrationaaliluku: 

Tämä voidaan tehdä monella tavalla. Esimerkiksi edellä todistetun lauseen nojalla löydetään rationaaliluvut {\displaystyle r\_{a}\in \mathbb {Q} } ja {\displaystyle r\_{b}\in \mathbb {Q} } siten, että {\displaystyle b>r\_{b}>r\_{a}>a}. Merkitään {\displaystyle s=:r\_{b}-r\_{a}} eli {\displaystyle s\in \mathbb {Q} }. Nyt ilmiselvästi pätee {\displaystyle b>r\_{b}>r\_{a}+{\frac {s}{\sqrt {2}}}>r\_{a}>a} ja {\displaystyle r\_{a}+{\frac {s}{\sqrt {2}}}} on irrationaaliluku. Yllä olevan kaltaisella induktiolla osoitetaan, että halutunlaisia irrationaalilukuja on olemassa ääretön määrä.

Katso myös
----------

* Täydellisyysaksiooma
* Yläraja