*Tämä artikkeli käsittelee Eulerin kaavaa kompleksianalyysissa, muut merkitykset sivulla Euler.*
**Eulerin lause** tai **Eulerin kaava** (nimetty Leonhard Eulerin mukaan) on kompleksianalyysiin liittyvä matemaattinen kaava, joka ilmaisee kompleksilukujen toisaalta eksponenttifunktioon ja toisaalta trigonometriaan perustuvan esityksen välisen yhteyden.

Eulerin lause sanoo, että kompleksiluvulle *e**iφ* pätee yhtälö {\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi ,\,}

missä \scriptstyle i on imaginaariyksikkö ja φ on vaihekulma radiaaneina. Luku *z1 =* *e**iφ* on kompleksitason yksikköympyrällä sijaitseva kompleksiluku ja sen itseisarvo on yksi. Sen vaihekulma eli kulma suhteessa positiiviseen reaaliakseliin on φ. Muita kuin itseisarvoltaan ykkösen suuruisia kompleksilukuja kuvataan kertoimen *r* avulla: *z2* = *reiφ.* Kulmaan perustuvalla kompleksiluvun esittämisellä on yhteys esitystapaan {\displaystyle z=x+yi}: 

{\displaystyle z=re^{i\phi }=r(\cos {\phi }+i\sin {\phi })=r\cos {\phi }+(r\sin {\phi })i=x+yi,}

missä *r = |z|, x = r cos φ* ja *y = r sin φ.*

Historia
--------

Eulerin lauseen todisti ensimmäisen kerran Roger Cotes vuonna 1714, mutta vasta Leonhard Eulerin lausetta koskeva työ vuonna 1748 toi sen lopullisesti matemaatikkojen tietoisuuteen. Kompleksilukujen esittämistä tasossa ei kuitenkaan 1700-luvulla vielä tunnettu, joten kumpikaan miehistä ei huomannut lauseen geometrista tulkintaa.

Huomioitavaa
------------

### Geometrinen tulkinta

Kompleksilukua eiφ kuvaava piste sijaitsee kompleksitason yksikköympyrällä origosta alkavan nuolen kärjessä.
Eulerin lause voidaan tulkita siten, että funktio *e**iφ* piirtää yksikköympyrän kompleksitasolle, kun *φ* kulkee vähintään 2π:n mittaisen reaalilukujoukon läpi. Tässä *φ* on kulma, jonka kompleksitason pisteeseen origosta piirretty viiva muodostaa positiivisen reaaliakselin kanssa. Kulmaa mitataan tässä yhteydessä radiaaneina. Eulerin lause pätee ainoastaan, mikäli funktiot *sin φ* ja *cos φ* on määritelty radiaaneille eikä asteille.

Eulerin lause muodostaa vahvan yhteyden analyysin sekä trigonometrian välille. Lausetta käytetään hyväksi kompleksilukujen napakoordinaattiesityksessä, ja se antaa mahdollisuuden logaritmifunktion määrittelyyn kompleksiluvuille.

Eksponenttifunktion laskukaavoista

e^{a + b} = e^a \cdot e^{b}
ja

(e^a)^b = e^{a b} \,
voidaan johtaa Eulerin lauseen avulla useita trigonometristen funktioiden lainalaisuuksia. Trigonometriset funktiot voidaan jopa määritellä kompleksilukujen eksponenttifunktion laajennuksina (vertaa hyperbolisten funktioiden kaavat):

\cos x = {e^{ix} + e^{-ix} \over 2}
\sin x = {e^{ix} - e^{-ix} \over 2i}
### Eulerin identiteetti

Sijoittamalla 

x=\mathbf{\pi}
saa Eulerin lause kuuluisan Eulerin identiteetiksi kutsutun muodon

e^{i \pi} + 1 = 0 \,\!,
jota on kutsuttu matematiikan kauneimmaksi kaavaksi. Se sitoo toisiinsa useat nykymatematiikan tärkeät luvut: Neperin luvun, piin, imaginaariyksikön ja perusluvut 1 ja 0. Siinä esiintyvät myös matematiikan kolme tärkeää laskutoimitusta: yhteenlasku, kertolasku ja potenssiin korottaminen.

Todistus Taylorin sarjan avulla
-------------------------------

Funktiot *e**x*, cos(*x*) ja sin(*x*) (olettaen, että *x* on reaalinen) voidaan Taylorin sarjan avulla kirjoittaa:

 e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots 
 \cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots

 \sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots

Kompleksisille *z* määritellään vastaavat funktiot Taylorin sarjan avulla korvaten *x*:t muuttujalla *iz*. Havaitaan, että

e^{iz} = 1 + iz + \frac{(iz)^2}{2!} + \frac{(iz)^3}{3!} + \frac{(iz)^4}{4!} + \frac{(iz)^5}{5!} + \frac{(iz)^6}{6!} + \frac{(iz)^7}{7!} + \frac{(iz)^8}{8!} + \cdots
= 1 + iz - \frac{z^2}{2!} - \frac{iz^3}{3!} + \frac{z^4}{4!} + \frac{iz^5}{5!} - \frac{z^6}{6!} - \frac{iz^7}{7!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots
= \left( 1 - \frac{z^2}{2!} + \frac{z^4}{4!} - \frac{z^6}{6!} + \frac{z^8}{8!} + \cdots \right) + i\left( z - \frac{z^3}{3!} + \frac{z^5}{5!} - \frac{z^7}{7!} + \cdots \right) 
= \cos (z) + i\sin (z) \,

Lähteet
-------

1. ↑  Courant, Richard & John, Fritz: "7.7", *Introduction to Calculus and Analysis 1*. Springer, 1989. ISBN 3-540-65058-X.

Aiheesta muualla
----------------

* Kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Eulerin lause (funktioteoria)** Wikimedia Commonsissa

Kirjallisuutta
--------------

* Rikkonen, Harri: *Matematiikan pitkä peruskurssi II – Reaalimuuttujan funktioiden differentiaalilasku*. Helsinki: Otakustantamo, 1969. ISBN 951-671-022-0.
* Pitkäranta, Juhani: Calculus Fennicus – TKK:n 1. lukuvuoden laaja matematiikka (2000–2013) (pdf) Helsinki:  Avoimet oppimateriaalit ry. ISBN 978-952-7010-12-9 ISBN 978-952-7010-6 (pdf).
* Spiegel, Murray R.; Lipschutz, Seymour; Schiller, John J.; Spellman, Dennis: *Complex Variables*. Shaum's Outline Series. McGraw-Hill Book Company, 2009 (1964). ISBN 978-0-07-161569-9, ISBN 978-0-07-161570-9 (eBook).