Napoleonin lauseessa kuvan tasasivuisten kolmioiden keskipisteet yhdistettiin kolmioksi, joka väitteen mukaan oli tasasivuinen kolmio. Edelleen, kun keskipisteet yhdistetään tasasivuisten kolmioiden sivujen vastaisiin kärkiin, leikkaavat janat toisensa Napoleonin pisteessä (K).
**Napoleonin pisteet** liittyvät geometriassa kolmioihin ja siellä erityisesti Napoleonin lauseena tunnettuun konstruktioon. Siinä kolmion sivuille piirretään tasasivuiset kolmiot siten, että niiden sivut yhtyvät alkuperäisen kolmion kanssa ja kolmioiden vapaat kärjet osoittavat ulospäin kolmiosta. Kun kolmion kärjet yhdistetään janoilla vastaisen sivun tasasivuisen kolmion keskipisteeseen eli painopisteeseen, leikkaavat janat **ensimmäisessä Napoleonin pisteessä**. Piirroksissa tätä merkillistä pistettä merkitään usein kirjaimella **N**, ja se on luetteloitu *Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa* tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{17}}.

Ensimmäinen Napoleonin piste
----------------------------

Ensimmäisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

{\displaystyle \csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta -{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma -{\tfrac {1}{3}}\pi )} 
ja barysentriset koordinaatit ovat

{\displaystyle a\csc(\alpha +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta +{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma +{\tfrac {1}{6}}\pi ).} 
* Kulma C on 150°, jolloin Napoleonin piste asettuu kärjen C päälle.Kulma C on 150°, jolloin Napoleonin piste asettuu kärjen C päälle.
* Kulma C on yli 150° ja Napoleonin piste jää kolmion ulkopuolelle. Se sijaitsee silloin yleensä tasasivuisten kolmioiden välissä.Kulma C on yli 150° ja Napoleonin piste jää kolmion ulkopuolelle. Se sijaitsee silloin yleensä tasasivuisten kolmioiden välissä.
* Kun kulma C on yli 150° ja kolmion sivu CB on muita selvästi lyhyempi, jää Napoleonin piste tasasivuisen kolmion CBA sisälle.Kun kulma C on yli 150° ja kolmion sivu CB on muita selvästi lyhyempi, jää Napoleonin piste tasasivuisen kolmion CBA *sisälle.*

Toinen Napoleonin piste
-----------------------

**Toinen Napoleonin piste**  liittyy *Napoleonin lauseen* konstruktion muunnelmaan, jossa tasasivuisten kolmioiden vapaat kärjet on käännetty kolmiossa sisällepäin. Kun kolmion kärjet yhdistetään vastaisten sivujen tasasivuisten kolmioiden keskipisteisiin janalla, leikkaavat ne *toisessa Napoleonin pisteessä*. *Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa* sitä merkitään tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{18}}.

Toisen Napoleonin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat 

{\displaystyle \csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )=\sec(\alpha +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\,\sec(\beta +{\tfrac {1}{3}}\pi )\,:\sec(\gamma +{\tfrac {1}{3}}\pi )} 
ja barysentriset koordinaatit ovat

{\displaystyle a\csc(\alpha -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:\,b\csc(\beta -{\tfrac {1}{6}}\pi )\,:c\csc(\gamma -{\tfrac {1}{6}}\pi )} 
* Toinen Napoleonin piste jää usein kolmion ulkopuolelle.Toinen Napoleonin piste jää usein kolmion ulkopuolelle.
* Kunkolmion suurin kulma pienenee, sijaitsee toinen Napoleonin piste kolmion sisäpuolella.Kunkolmion suurin kulma pienenee, sijaitsee toinen Napoleonin piste kolmion sisäpuolella.
* Kun kolmio on tasasivuinen kolmio, sijaitsee toinen Napoleonin piste painopisteessä, missä sijaitsevat myös tasasivuisten kolmioiden painopisteetkin.Kun kolmio on tasasivuinen kolmio, sijaitsee toinen Napoleonin piste painopisteessä, missä sijaitsevat myös tasasivuisten kolmioiden painopisteetkin.

Historia
--------

Kuten myös epäillään Napoleonin lauseen kohdalla, on esitetty lukuisia väitteitä, ettei Napoleon Bonaparte olisi keksinyt *Napoleonin pisteitä*. Silti on jäänyt hämärän peittoon, kuka sen todellisuudessa olisi keksinyt.

Katso myös
----------

* Napoleonin lauseen konstruktioon liittyvät myös Fermat'n pisteet, jotka ovat *kolmion merkillisiä pisteitä*.

Lähteet
-------

* Wells, David: *The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry*. Englanti: Penguin Group, 1991. ISBN 0-14-011813-6. (englanniksi)

### Viitteet

1. 1 2 3 4 5  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
2. ↑  Weisstein, Eric W.: Napoleon Points (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
3. ↑  Weisstein, Eric W.: First Napoleon Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
4. 1 2  Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, 1991, s.75
5. 1 2 3 4 5 6  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
6. 1 2  Wells, David: The Penquin Dictionary of Curious and Interesting Geometry, 1991, s.156
7. ↑  Weisstein, Eric W.: Second Napoleon Point (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)

Aiheesta muualla
----------------

* PlanetMath: Triangle center
* MathPages: Napoleon's Theorem
* Ballew, Pat: Napoleon's Thm and the Napoleon Points (Arkistoitu – Internet Archive)
* Royster, David C.: MA 341 – Topics in Geometry Lecture 17, University of Kentucky