**Beta-jakauma** eli **{\displaystyle \beta -}jakauma** on todennäköisyyslaskennassa ja tilastotieteessä jatkuvan satunnaismuuttujan todennäköisyysjakauma, jota käytetään bayesilaisessa todennäköisyyslaskennassa. Koska Beta-jakaumaa voi parametrisoida monella eri tavalla, sitä voidaan kutsua jakaumaperheeksi. Sen avulla voidaan esittää lähes kaikki äärelliselle välille konsentroituneet jakaumat.

Jos satunnaismuuttuja X on Beta-jakautunut parametreillä \alpha  ja \beta , merkitään se yleensä

{\displaystyle X\sim Beta(\alpha ,\beta )} {\displaystyle \sim Be(\alpha ,\beta )} {\displaystyle \sim \beta \_{\alpha ,\beta }.}

Todennäköisyysjakauma
---------------------

Satunnaismuuttujalla X, joka on Beta-jakautunut ja jolla perusjoukko on {\displaystyle \Omega =}[0,1], on kaksi positiivista parametria \alpha  ja \beta. Niiden avulla Beta-jakauman tiheysfunktio määritellään

{\displaystyle f\_{X}(x)={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1},} 
missä niin sanottu *beta-funktio* on

{\displaystyle B(\alpha ,\beta )=\int \_{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}dt={\frac {\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta )}},} 
jossa {\displaystyle \Gamma (t)} taas on gammafunktio. Beta-funktion tarkoituksena on "normalisoida" beta-jakauma niin, että sen tiheysfunktion määrätty integraali koko reaalialueen yli on tasan yksi.

Toisinaan joskus parametrien arvoista vähennetään yksi ({\displaystyle \scriptstyle \alpha '=\alpha -1} ja {\displaystyle \scriptstyle \beta '=\beta -1}), jotta tiheysfunktion ja momenttifunktion kaavat yksinkertaistuisivat hieman.

Beta-jakauman tiheysfunktiolla on seuraavanlaisia ominaisuuksia:

* {\displaystyle f\_{X}(x)>0} kaikilla {\displaystyle x\in [0,1]}
* Jos {\displaystyle \alpha >1} ja {\displaystyle \beta =1}, niin f\_{X}(x) on aidosti kasvava ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä {\displaystyle x=1.}
* Jos {\displaystyle \alpha =1} ja {\displaystyle \beta >1}, niin f\_{X}(x) on aidosti vähenevä ja sen maksimikohta on välin päätepisteessä {\displaystyle x=0.}
* Jos {\displaystyle \alpha >1} ja {\displaystyle \beta >1}, niin f\_{X}(x) on yksihuippuinen ja sen maksimikohta on välin sisäpisteessä {\displaystyle x={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}
* Jos {\displaystyle \alpha <1} ja {\displaystyle \beta <1}, niin f\_{X}(x) on U:n muotoinen ja sillä on lokaalit maksimikohdat on välin päätepisteissä x=0 ja {\displaystyle x=1.}
* f\_{X}(x) on symmetrinen, jos {\displaystyle \alpha =\beta .}

Beta-jakauman kertymäfunktion lauseketta ei ole mahdollista kirjoittaa eksplisiittiseen muotoon, koska sen tiheysfunktion integraalifunktiota ei voi kirjoittaa lausekkeeksi alkeisfunktioiden avulla. Ne onkin tapana esittää vain numeerisessa muodossa aivan kuten toimitaan normaalijakaumassakin.

Tunnusluvut ja momentit
-----------------------

### Momenttifunktio

Momenttifunktio eli momentit generoiva funktio saadaan määritelmästä

{\displaystyle M(t)=E(e^{tX})={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int \_{0}^{1}e^{tx}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx.}
Sen avulla voidaan määritellä origomomentit ja keskusmomentit. Origomomenttien yleinen muoto on

{\displaystyle \mu \_{n}=E(X^{n})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +n)}{\Gamma (\alpha +\beta +n)\Gamma (\alpha )}},} 
ja koska gammafunktiolla on {\displaystyle \Gamma (\alpha +1)=\alpha \Gamma (\alpha )}, siitä saadaan ensimmäiset momentit

{\displaystyle E(X)=E(X^{1})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +1)}{\Gamma (\alpha +\beta +1)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}
ja

{\displaystyle E(X^{2})={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +2)}{\Gamma (\alpha +\beta +2)\Gamma (\alpha )}}={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )(\alpha +1)\alpha \Gamma (\alpha )}{(\alpha +\beta +1)(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )\Gamma (\alpha )}}={\frac {\alpha (\alpha +1)}{(\alpha +\beta )(\alpha +\beta +1)}}.}
Keskusmomenttien yleinen muoto on

{\displaystyle \mu '\_{n}=E((X-\mu )^{n})=\left(-{\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}\right)^{n}\cdot {}\_{2}F\_{1}\left(\alpha ,-n;\alpha +\beta ;{\frac {\alpha +\beta }{\alpha }}\right),}
missä {\displaystyle {}\_{2}\!F\_{1}} on hypergeometrinen funktio.

Ensimmäinen origomomentti voidaan laskea myös suoraan

{\displaystyle \mu =E(X)=\int \_{0}^{1}xf\_{X}(x)\,dx=\int \_{0}^{1}x{\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}\,dx}
{\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}\int \_{0}^{1}x^{\alpha }(1-x)^{\beta -1}\,dx={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}B(\alpha +1,\beta )}
{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +1)\Gamma (\beta )}{\Gamma (\alpha +\beta +1)}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha \Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}{(\alpha +\beta )\Gamma (\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.} 
### Tunnuslukuja

Jakauman odotusarvo saadaan *ensimmäisestä origomomentista*

{\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}.} 
Sen varianssi on taas suoraan *toinen keskusmomentti*

{\displaystyle \mu '\_{2}=\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}={\frac {\alpha \beta }{(\alpha +\beta )^{2}(\alpha +\beta +1)}}.} 
Jakauman tiheysfunktion vinous määritetään kahden keskumomentin avulla

{\displaystyle g\_{1}={\frac {\mu '\_{3}}{{\mu '}\_{2}^{3/2}}}={\frac {2(\beta -\alpha ){\sqrt {\alpha +\beta +1}}}{(\alpha +\beta +2){\sqrt {\alpha \beta }}}}.} 
Vinous on nolla, mikä näkyy tasajakauman tiheysfunktion kuvaajasta, joka on täysin symmetrinen.

Jakauman huipukkuus määritetään kahden keskusmomentin avulla

{\displaystyle \gamma \_{2}={\frac {{\mu '}\_{4}}{{\mu '}\_{2}^{2}}}-3={\frac {6[\alpha ^{3}+\alpha ^{2}(1-2\beta )+\beta ^{2}(\beta +1)-2\alpha \beta (\beta +2)]}{\alpha \beta (\alpha +\beta +2)(\alpha +\beta +3)}}.} 
Negativinen huipukkuus näkyy tiheysfunktion kuvaajassa siten, että kuvaaja on "tasa- ja litteäpäinen" eikä terävää kärkeä esiinny ollenkaan.

Jakauman moodi sijaitsee välin [0,1] sisäpisteessä, kun {\displaystyle \alpha >1} ja {\displaystyle \beta >1}

{\displaystyle Mo={\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}.}
Jos {\displaystyle \alpha <1} tai {\displaystyle \beta <1} voi moodi sijaita välin päätepisteessä. Kun {\displaystyle \alpha =\beta =1} on jakauma tasajakauma ja kaikki pisteet ovat moodi.

Esimerkkejä
-----------

Tarkastellaan toistokoetta, jonka yksittäisen kolikonheiton arvoksi voi tulla vain "kruuna" tai "klaava" todennäköisyyksillä p ja {\displaystyle 1-p}. Heittojen kokonaismäärän ollessa {\displaystyle n=100}, noudattaa saatujen kruunujen yhteismäärät X binomijakaumaa {\displaystyle X\sim Bin(100,p)}. Jos halutaan selvittää "kruunan" todennäköisyyttä p, kun saadaan {\displaystyle k=60} "kruunaa", on se Beta-jakautunut {\displaystyle p\sim Beta(61,41)}.

Edellinen ongelma on perinteisesti ratkaistu käyttäen normaalijakaumaa, mutta Beta-jakauma antaa silloin oikean tuloksen, kun se määritellään

{\displaystyle p\sim Beta(k+1,n-k+1).}
Normaalijakauma antaa harhaisen tuloksen, mikäli toistojen lukumäärä n on pieni ja suhde {\displaystyle k/n} on lähellä arvoa 0 tai 1.

Beta-jakaumaa tulisi käyttää normaalijakauman sijasta approksimoitaessa binomijakaumaa epäsymmetrisissä tiheysjakauman tilanteissa. Esimerkiksi epäsymmetrisessä ja kahta arvoa antavassa satunnaistapauhtumassa kannattaa käyttää diskreetin binomijakauman approksimoimiseksi jatkuvaa Beetta-jakaumaa. Yleensä binomijakaumaa approksimoidaan normaalijakaumalla, mutta se ei toimi kunnolla, kun toista arvoa esiintyy tuntuvasti enemmän kuin toista.

Beta-jakaumaa voidaan käyttää arvioitaessa tasajakaumien {\displaystyle U\_{i}\sim U(0,1)} arvoja. Arvotaan *n* satunnaismuuttujalle {\displaystyle U\_{i}} arvot {\displaystyle U\_{1},} {\displaystyle U\_{2}} {\displaystyle ,...} {\displaystyle U\_{n}}. Arvot lajitellaan suuruusjärjestykseen, jolloin arvo merkitään uudella tavalla {\displaystyle U\_{(i)},} kun se on järjestyksessä *i*:nnes. (eli {\displaystyle U\_{(1)}} < {\displaystyle U\_{(2)}} < ... < {\displaystyle U\_{(n)}}). Silloin arvo {\displaystyle U\_{(k)}\sim Beta(k,n+1-k)} kun {\displaystyle k=1,2,...n}.

Muut jakaumat
-------------

Beta-jakaumasta saadaan tasajakauma, mikäli parametrit ovat molemmat yksi

{\displaystyle X\sim Beta(1,1)\sim U(0,1).}

Lähteet
-------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8  Mellin, Ilkka: Todennäköisyysjakaumat, s. 407−410, luentomonisteesta Todennäköisyyslaskenta, Aalto-yliopisto, 2006
2. 1 2 3  Rahiala, Markku: Satunnaismallien teoria (Arkistoitu – Internet Archive), s. 21−22, Oulun yliopisto, 2002
3. 1 2 3 4 5  Johnson, Paul & Beverlin, Matt: Beta Distribution, 2013
4. 1 2 3 4 5 6 7  Weisstein, Eric W.: Beta Distribution (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Skewness (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. ↑  Weisstein, Eric W.: Kurtosis (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
7. 1 2 3  Stich, Slater: Use the Beta Distribution
8. ↑  Laurent, Stéphane: The Beta distribution also appears as an order statistic...

Aiheesta muualla
----------------

CommonsCommons
Wikimedia Commonsissa on kuvia tai muita tiedostoja aiheesta **Beta-jakauma**.
* 
* 
* 
* (Arkistoitu – Internet Archive)

Todennäköisyysjakaumat

|  |  |
| --- | --- |
| Diskreettejä jakaumia | 
* Bernoullin jakauma
* Binomijakauma
* Geometrinen jakauma
* Hypergeometrinen jakauma
* Negatiivinen binomijakauma
* Poissonin jakauma

 |
| Jatkuvia jakaumia | 
* Beta-jakauma
* Cauchy-jakauma
* Eksponenttijakauma
* F-jakauma
* Gamma-jakauma
* Khii toiseen -jakauma
* Log-normaalijakauma
* Normaalijakauma
* Pareto-jakauma
* Studentin t-jakauma
* Tasajakauma
* Weibull-jakauma

 |
| Moniulotteisia jakaumia | 
* Dirichlet-jakauma
* Moniulotteinen Studentin t-jakauma
* Multinomijakauma
* Multinormaalijakauma

 |