Kolmion keskisen kolmion (oranssi) sisällä on sisään piirretty ympyrä (Spiekerin ympyrä), jonka keskipiste on Spiekerin piste (punaiset). Referenssikolmion sisään piirretty ympyrä on sininen.
**Spiekerin piste** on geometriassa eräs kolmion merkillinen piste. Se määriteltiin kolmion piirin viivojen eli kolmion muotoisen rautalankakehikon painopisteeksi. Kuvioissa pisteen tunnuksena on usein **Sp** ja se on luetteloitu *Kimberlingin merkillisten pisteiden luettelossa* tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{10}}.

kkk

Vaihtoehtoisia määritelmiä
--------------------------

Spiekerin piste voidaan löytää seuraavilla geometrisilla menetelmillä.

Spiekerin piste sijaitsee kolmion keskisen kolmion  kulmanpuolittajien leikkauspisteessä. Tämä on sama piste, joka saadaan sijoittamalla keskiseen kolmioon ympyrä, joka sivuaa keskisen kolmion kolmea sivua (katso kuva artikkelin alussa). Ympyrää kutsutaan Spiekerin ympyräksi.

Janaa, joka alkaa kolmion sivun keskipisteestä ja jakaa kolmion piirin kahteen yhtäpitkään osaan, kutsutaan engl. *cleavers*. Tällaisella janalla sijaitsee kolmion piirin painopiste, ja kolmen tällaisen janan leikkauspiste on Spiekerin piste.

Sijainti kolmiossa
------------------

Spiekerin pisteen trilineaariset koordinaatit ovat

{\displaystyle bc(b+c):ca(c+a):ab(a+b)} 
ja barysentriset koordinaatit ovat

{\displaystyle (b+c):(c+a):(a+b).}

Ominaisuuksia
-------------

* Pisteen **Sp** isogonaalinen konjugaatti on {\displaystyle \scriptstyle X\_{58}}.
* Piste **Sp** on kollineaarinen kulmanpuolittajien leikkauspisteen **I** ({\displaystyle \scriptstyle X\_{1}}), painopisteen **G** ({\displaystyle \scriptstyle X\_{2}}) ja Nagelin pisteen **N** ({\displaystyle \scriptstyle X\_{8}}) kanssa. Pisteiden keskinäiset etäisyydet ovat **ISp = NSp**, **IG = 2·GSp** ja **NG = 2·IG**. Tätä kutsutaan Nagelin janaksi.

Spiekerin ympyrä
----------------

**Spiekerin ympyrä** (joskus myös engl. *Eperson-Spieker circle* ) sijaitsee kolmion keskisessä kolmiossa. Se sivuaa keskistä kolmiota kolmelta sivulta. Koska keskinen kolmio on yhdenmuotoinen referenssikolmionsa kanssa, mutta sen mitat ovat puolet pienempiä, on Spiekerin ympyrän säde puolet pienempi kuin referenssikolmion sisäympyrän säde. Yllä olevan kuvan merkinnöillä 

{\displaystyle r={\tfrac {1}{2}}R.}

Historia
--------

Piste **Sp** on nimetty 1800-luvulla toimineen saksalaisen matemaatikon Theodor Spiekerin kunniaksi.

Lähteet
-------

### Viitteet

1. 1 2  Honsberger, Ross (1995). *Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry*. Mathematical Association of America, 3–4.
2. ↑  Spieker center *faculty.evansville.edu*. Viitattu 5 May 2012.
3. 1 2 3 4  Kimberling, Clark: Spiekerin piste X10
4. ↑  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.5.2013.
5. ↑  Weisstein, Eric W.: Medial Triangle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
6. ↑  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.5.2013.
7. ↑  Weisstein, Eric W.: Spieker Center (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
8. 1 2  Weisstein, Eric W.: Spieker Circle (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
9. ↑  Weisstein, Eric W.: Cleaver (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
10. ↑  Weisstein, Eric W.: Cleavance Center (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
11. ↑  Weisstein, Eric W.: Nagel Line (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
12. ↑  Bellew, Seamus: The Eperson-Spieker Circle, 1997, ss. 444–447, The Mathematical Gazette
13. ↑  Spieker, Theodor (1888). *Lehrbuch der ebenen Geometrie*.

Aiheesta muualla
----------------

* de Villiers, Michael: A generalisation of the Spieker circle and Nagel line, Pythagoras 63, 2006 tai sama (Arkistoitu – Internet Archive)
* Fritsch, Rudolf: Tetraeder und Kugeln (Arkistoitu – Internet Archive), 2000