**Carathéodoryn konstruktio** on tapa luoda metrisiin avaruuksiin Borel-mittoja eräänlaisten **esimittojen** avulla. Menetelmän kehitti kreikkalainen matemaatikko Constantin Carathéodory vuonna 1914.

Määritelmä
----------

Olkoon {\displaystyle (X,d)} metrinen avaruus. Olkoon {\displaystyle {\mathcal {F}}} kokoelma X:n osajoukkoja ja kuvaus {\displaystyle \zeta :{\mathcal {F}}\rightarrow [0,\infty ]} (ns. *esimitta*). Näiltä oletetaan seuraavat kaksi ehtoa:

(1) Jokaiselle \delta >0 on olemassa joukot {\displaystyle E\_{i}\in {\mathcal {F}}}, {\displaystyle i\in I}, I on numeroituva siten, että 

{\displaystyle X=\bigcup \_{i\in I}E\_{i}} ja {\displaystyle d(E\_{i})\leq \delta }.
(2) Jokaiselle \delta >0 on olemassa joukko {\displaystyle E\in {\mathcal {F}}} siten, että 

{\displaystyle \zeta (E)\leq \delta } ja {\displaystyle d(E)\leq \delta }.
Olkoon nyt \delta >0 kiinteä. Määritellään, että joukon A \subset X *\delta -peite* on mikä tahansa numeroituva osakokoelma {\displaystyle {\mathcal {E}}\subset {\mathcal {F}}}, jolla on seuraavat ominaisuudet:

- kokoelma \mathcal{E} on joukon A peite, eli pätee {\displaystyle A\subset \cup {\mathcal {E}}},

- läpimitta {\displaystyle d(E)\leq \delta } jokaisella {\displaystyle E\in {\mathcal {E}}}. 

Määritellään nyt funktio {\displaystyle \psi \_{\delta }:{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],}

{\displaystyle \psi \_{\delta }(A)=\inf\{\sum \_{E\in {\mathcal {E}}}\zeta (E):{\mathcal {E}}{\mbox{ on }}A{\mbox{:n }}\delta {\mbox{-peite}}\}}.
Edellä annettu ehto (1) takaa \delta -peitteen olemassaolon myös joukolle X, joten kuvaus {\displaystyle \psi \_{\delta }} on hyvinmääritelty funktio. Voidaan osoittaa, että funktio {\displaystyle \psi \_{\delta }} on ulkomitta X:ssä. Nimittäin edellä annettu ehto (2) takaa sen, että {\displaystyle \psi \_{\delta }(\emptyset )=0} ja muiden ehtojen todistaminen käy konstruktion vuoksi hyvin samalla tavalla kuin Lebesguen ulkomitan osoittaminen ulkomitaksi.

Huomataan, että jos {\displaystyle 0<\delta \_{1}\leq \delta \_{2}}, niin {\displaystyle \psi \_{\delta \_{2}}(A)\leq \psi \_{\delta \_{1}}(A)} kaikilla A \subset X. Toisin sanoen kuvaus {\displaystyle \delta \mapsto \psi \_{\delta }(A)} on kasvava \delta :aa pienennettäessä. Näin ollen kaikilla A \subset X on olemassa raja-arvo {\displaystyle \lim \_{\delta \rightarrow 0}\psi \_{\delta }(A)}. Määrittelemmekin nyt siis funktion {\displaystyle \psi :{\mathcal {P}}(X)\rightarrow [0,\infty ],}

{\displaystyle \psi (A)=\lim \_{\delta \rightarrow 0}\psi \_{\delta }(A)}.
Koska funktiot {\displaystyle \psi \_{\delta }} ovat ulkomittoja X:ssä, niin voidaan helposti osoittaa, että funktio \psi on ulkomitta X:ssä. Mittateoriassa osoitetaan, että funktio \psi rajoitettuna \psi-mitallisiin joukkoihin on Borel-mitta. Lisäksi jos kaikki joukkokokoelman {\displaystyle {\mathcal {F}}} jäsenet ovat Borel-joukkoja, niin voidaan osoittaa, että \psi on itse asiassa Borel-säännöllinen.

Sovelluksia
-----------

Carathéodoryn konstruktio tuottaa esimerkiksi Hausdorffin ulkomitan. Jos valitsemme määritelmässä joukkoperheeksi {\displaystyle {\mathcal {F}}} kaikkien X:n osajoukkojen muodostaman kokoelman {\displaystyle {\mathcal {P}}(X)} ja asetamme funktion \zeta  kaavaksi {\displaystyle \zeta (E)=d(E)^{s}}, {\displaystyle 0\leq s<\infty }, niin saatu funktio {\displaystyle \psi \_{\delta }={\mathcal {H}}\_{\delta }^{s}} ja siis {\displaystyle \psi ={\mathcal {H}}^{s}}.

Lisäksi voimme saada Carathéodoryn konstruktiolla ns. integraaligeometriset mitat avaruuteen \mathbb{R}^n. Olkoon m luonnollinen luku, jolla {\displaystyle 0<m<n}. Asetetaan kokoelmaksi {\displaystyle {\mathcal {F}}} \mathbb{R}^n:n Borelin perhe {\displaystyle \operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}}. Määritellään parametrille {\displaystyle t\in [1,\infty ]} esimitta {\displaystyle \zeta \_{t}^{m}:\operatorname {Bor} \,\mathbb {R} ^{n}\rightarrow [0,\infty ]},

{\displaystyle \zeta \_{t}^{m}(E)={\left(\int \_{G(n,m)}{\mathcal {H}}^{m}{(P\_{V}E)}^{t}\,{\mbox{d}}\gamma \_{n,m}V\right)}^{1/t}\,{\mbox{ jos }}1\leq t<\infty }
ja

{\displaystyle \zeta \_{\infty }^{m}(E)={\mbox{ess sup}}\{{\mathcal {H}}^{m}(P\_{V}E):V\in G(n,m)\}},
missä 

{\displaystyle G(n,m)=\{V\subset \mathbb {R} ^{n}:V{\mbox{ on lineaarinen aliavaruus, }}{\mbox{dim}}\,V=m\}} (ns. Grassmannin avaruus)
ja jokaiselle {\displaystyle V\in G(n,m)} kuvaus {\displaystyle P\_{V}} on ortogonaalinen projektio aliavaruudelle V. Annetuissa integraaleissa integroidaan yli Grassmannin avaruuden {\displaystyle G(n,m)} varustettuna rotaatioinvariantilla mitalla {\displaystyle \gamma \_{n,m}}.

Näillä esimitoilla {\displaystyle \zeta \_{t}^{m}} saatuja Borelin mittoja \psi, joita merkitään symboleilla {\displaystyle {\mathcal {I}}\_{t}^{m}}, kutsutaan (m-ulotteisiksi) *integraaligeometrisiksi mitoiksi* parametrilla t.