**Polynomin aste** on matematiikassa käytetty termi, jolla jaotellaan erilaisia polynomeja niiden ominaisuuksien mukaan. Polynomin, joka muodostuu yhdestä tai useammasta monomista, perusominaisuudet määrätyvät korkeampiasteisen monomin mukaan.

Esimerkki
---------

Monomin aste on potenssimerkinnässä olevan eksponentin arvo. Esimerkiksi potenssin

{\displaystyle 3x^{5}}
aste on viisi. Kun polynomissa on useita monomeita, tulee polynomin asteeksi korkein monomin aste. Esimerkiksi polynomi p(x)

{\displaystyle p(x)=3x^{6}+2x^{5}-2x^{2}+x-4}
muodostuu viidestä monomista eli termistä. Niiden asteet ovat vasemmalta lukien 6, 5, 2, 1 ja 0. Koska asteluku 6 on korkein aste, tulee se polynomin asteluvuksi. Tällöin sanotaan, että *polynomi p(x) on kuudetta astetta*, ja se voidaan merkitä myös 

{\displaystyle \deg(3x^{6}+2x^{5}-2x^{2}+x-4)=6},
missä *deg* merkitsee englanniksi *degree*.

Nimityksiä
----------

Polynomifunktiosta, jonka asteluku on n, käytetään nimitystä

* n = 0: Vakiofunktio
* n = 1: Lineaarinen funktio eli ensimmäisen asteen polynomi
* n = 2: Kvadraattinen funktio eli toisen asteen polynomi
* n = 3: Kuutiollinen funktio eli kolmannen asteen polynomi
* n = 4: neljännen asteen polynomi
* n = n: n. asteen polynomi

Asteen määräytyminen
--------------------

Seuraavassa esitellään muutama yleinen tapaus polynomilaskennassa. Niissä polynomi ei saa olla *nollafunktio*, sillä kun ei ole astetta.
Kahden polynomin P(x) ja Q(x) yhteen- ja vähennyslaskussa tuloksen P(x)±Q(x) aste on suurempi aste:

{\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))},
{\displaystyle \deg(P-Q)\leq \max(\deg(P),\deg(Q))}.
Esimerkiksi summan {\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1} aste on 3, koska 3 ≤ max(3, 2). Samoin erotuksen {\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x} aste on 2, koska 2 ≤ max(3, 3).

Vakiolla kertominen ei vaikuta astelukuun:

{\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}.
Esimerkiksi {\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4} aste on 2, joka on myös alkuperäisen polynomin {\displaystyle x^{2}+3x-2} aste.

Polynomien P(x) ja Q(x) tulon P(x)Q(x) aste on asteiden summa

{\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}
ja osamäärässä P(x)/Q(x) asteiden erotus

{\displaystyle \deg \left({\frac {P}{Q}}\right)=\deg(P)-\deg(Q)}.
Esimerkiksi tulon {\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x} aste on 3 + 2 = 5.

Polynomien P(x) ja Q(x) yhdistetyn funktion aste on asteiden tulo

{\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q)}.
Esimerkiksi, jos {\displaystyle P(x)=(x^{3}+x)}, {\displaystyle Q(x)=(x^{2}+1)}, niin {\displaystyle (P\circ Q)(x)=P(x)\circ (x^{2}+1)=(x^{2}+1)^{3}+(x^{2}+1)=x^{6}+3x^{4}+4x^{2}+2}, jonka aste on 6. Alkuperäisten polynomien asteiden tulo {\displaystyle 2\cdot 3=6}

Asteen määrittäminen funktion arvoista
--------------------------------------

Polynomin P(x) aste voidaan laskea raja-arvona 

{\displaystyle \deg P=\lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |P(x)|}{\log x}}.}
Yleistäen voidaan määrittää muidenkin funktioiden aste edellisellä raja-arvolla. Esimerkiksi:

* Käänteislukufunktion {\displaystyle \ 1/x} aste −1.
* Neliöjuurifunktionn {\displaystyle {\sqrt {x}}} aste on 1/2.
* Logaritmifunktion {\displaystyle \ \log x} aste on 0.
* Eksponenttifunktion {\displaystyle \ \exp x} aste on ∞.

Yleisen funktion f(x) aste voidaan määrittää toisenkin raja-arvon avulla:

{\displaystyle \deg f=\lim \_{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}.

Lähteet
-------

* Wolfram Mathworld: Polynomial order
* Ranto, Sanna: Polynomin aste