Keskinormaalit leikkaavat toisensa yhteisessä pisteessä.
**Kolmion keskinormaalien leikkauspiste** on geometriassa piste, joka syntyy jokaisen sivun keskinormaalin kohdatessa toisensa. Leikkauspiste on eräs kolmion merkillisestä pisteistä ja se on luetteloitu *Kimberlingin pisteiden luetteloon* tunnuksella {\displaystyle \scriptstyle X\_{3}}. Pisteen nimeksi on valittu monissa kielissä melko samantapainen termi, joka kirjoitetaan englanniksi *circumcenter*. Se viittaa kolmion ympärille piirrettyyn ympyrään, jonka keskipiste yhtyy leikkauspisteeseen.

Sijainti kolmiossa
------------------

Keskinormaalit ovat kohtisuorassa kolmion sivuihin nähden. Kahden sivun välinen tylppä kulma voi kääntää kahden sivun keskinormaalit lähes yhdensuuntaisiksi, jolloin niiden leikkauspiste jää kauaksi. Leikkauspiste voi siksi sijaita tietysti kolmion sisällä, mutta myös kaukana kolmion ulkopuolella.

* Teräväkulmaisessa kolmiossa leikkauspiste jää kolmion sisälle.Teräväkulmaisessa kolmiossa leikkauspiste jää kolmion sisälle.
* Suorakulmaisessa kolmiossa leikkauspiste osuu hypotenuusalle.Suorakulmaisessa kolmiossa leikkauspiste osuu hypotenuusalle.
* Tylppäkulmaisella kolmiolla leikkauspiste on kolmion ulkopuolella.Tylppäkulmaisella kolmiolla leikkauspiste on kolmion ulkopuolella.

Kolmion ympäri piirretty ympyrän leikkauspiste sijaitsee samassa kohtaa keskinormaalien (punaiset suorat) leikkauspisteen ***H*** kanssa. Säteet on merkitty sinisellä.
Sivun keskinormaali on suora, jonka pisteet sijaitsevat yhtä kaukana molemmista sivun päätepisteistä. Kun näin on laita kaikille kolmion keskinormaaleille, ovat keskinormaalien leikkauspisteen etäisyydet kaikkiin kolmion kärkiin yhtä pitkät. Jos kolmion kärkien kautta piirtää ympyrän, tulee sen säteeksi leikkauspisteen etäisyys kolmion kärkiin.

Kun kolmion sivujen pituudet merkitään {\displaystyle a,\,b\ ja\ c} on säteen R pituus

{\displaystyle R={\frac {abc}{\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(c+a-b)(a+b-c)}}}.} 
Kun kolmiosta tunnetaan kärkiä {\displaystyle A,\,B\ ja\ C} vastaavat kulmat {\displaystyle \alpha \,\,\beta \ ja\ \gamma }, saadaan Sinilauseesta

{\displaystyle R={\frac {a}{2\sin \alpha }}={\frac {b}{2\sin \beta }}={\frac {c}{2\sin \gamma }}.} 
### Karteesit koordinaatit

Kolmion kolme kärkeä merkitään {\displaystyle A(x\_{a},y\_{a})}, {\displaystyle B(x\_{b},y\_{b})}, ja {\displaystyle C(x\_{c},y\_{c})}. Leikkauspisteen {\displaystyle O(x\_{o},y\_{o})} koordinaatit ovat silloin

{\displaystyle x\_{o}=((x\_{a}^{2}+y\_{a}^{2})(y\_{b}-y\_{c})+(x\_{b}^{2}+y\_{b}^{2})(y\_{c}-y\_{a})+(x\_{c}^{2}+y\_{c}^{2})(y\_{a}-y\_{b}))/D,}
{\displaystyle y\_{o}=((x\_{a}^{2}+y\_{a}^{2})(x\_{c}-x\_{b})+(x\_{b}^{2}+y\_{b}^{2})(x\_{a}-x\_{c})+(x\_{c}^{2}+y\_{c}^{2})(x\_{b}-x\_{a}))/D,}
missä 

{\displaystyle D=2(x\_{a}(y\_{b}-y\_{c})+x\_{b}(y\_{c}-y\_{a})+x\_{c}(y\_{a}-y\_{b})).\,}
### Trilineaariset koordinaatit

Pisteen trilineaariset koordinaatit ovat :{\displaystyle \cos \alpha \,:\,\cos \beta \,:\,\cos \gamma =a(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c(b^{2}+a^{2}-c^{2})}.

### Barysentriset koordinaatit

Pisteen barysentriset koordinaatit ovat 

{\displaystyle \sin 2\alpha \,:\,\sin 2\beta \,:\,\sin 2\gamma =a^{2}(b^{2}+c^{2}-a^{2})\,:\,b^{2}(c^{2}+a^{2}-b^{2})\,:\,c^{2}(b^{2}+a^{2}-c^{2})}.

Muuta
-----

### Eulerin suora

Jos varhain huomattiin, että keskinormaalin leikkauspiste ({\displaystyle \scriptstyle X\_{3}}) on kollineaarinen kolmion painopisteen ({\displaystyle \scriptstyle X\_{2}}), ortokeskuksen ({\displaystyle \scriptstyle X\_{4}}) ja yhdeksän pisteen ympyrän keskipisteen ({\displaystyle \scriptstyle X\_{5}}) kanssa. Näiden kautta kulkevaa suoraa kutsutaan Eulerin suoraksi.

### Etäisyyksiä

Painopiste ***G*** ja ortokeskus ***O*** sijaitsevat kolmion muodosta riippumatta Eulerin suoralla tasavälein niin, että ***HG = 2•GO***.

Kolmiota ympäröivän ympyrän (säde ***R***) keskipiste eli kolmion keskinormaalien leikkauspiste ***O*** ja painopiste ***G*** toteuttavat yhtälön {\displaystyle \scriptstyle GO^{2}=R^{2}-{\tfrac {1}{9}}(a^{2}+b^{2}+c^{2})}

Lähteet
-------

* Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit (pdf) (tutkielma)  2012. Jyväskylä:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
* Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi (pdf) (luentomoniste) *users.utu.fi*.  2012. Turun yliopisto. Viitattu 20.4.2013.
* Kurittu Lassi: Geometria (pdf) (luentomoniste)  2006. Jyväskylän:  Jyväskylän Yliopisto. Viitattu 20.4.2013.

### Viitteet

1. ↑  Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.98
2. ↑  Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.19
3. 1 2 3  Koivulahti, Perttu: Trilineaariset koordinaatit, 2012, s.9
4. 1 2  Harju, Tero: Geometrian lyhyt kurssi, 2012, s.25
5. 1 2 3  Kimberling, Clark: Encyclopedia (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
6. 1 2  Weisstein, Eric W.: Circumcenter (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
7. 1 2  Math Open Reference: Circumcircle of a triangle
8. ↑  Math Open Reference: Law of Sines
9. ↑  Weisstein, Eric W.: Barycentric Coordinates (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)
10. ↑  Kimberling, Clark: Euler line (html) *Tekijän kotisivut*.  2013. Evansville:  Evansvillen Yliopisto. Viitattu 20.4.2013. (englanniksi)
11. ↑  Kurittu, Lassi: Geometria, 2006, s.118
12. ↑  Weisstein, Eric W.: Triangle Centroid (Math World – A Wolfram Web Resource) Wolfram Research.  (englanniksi)