**قضیهٔ پاریک** (به انگلیسی: Parikh's Theorem) یکی از قضایای علوم کامپیوتر نظری است که در سال ۱۹۶۱ توسط روهیت پاریک(Rohit Parikh) اثبات شده‌است و در سال ۱۹۶۶ اثبات ساده تری برای آن ارائه شده‌است.[3] اثبات می‌کند که یک زبان مستقل از متن روی یک الفبای تک حرفی باید منظم باشد. از قضیهٔ پاریک می‌توان در اثبات مستقل از متن بودن یا نبودن یک زبان استفاده کرد. علاوه بر این از این قضیه برای اثبات این که یک زبان حاوی رشته‌ای با تعداد برابری از دو پایانه داده شده هست یا خیر.[1] این قضیه بیان می‌کند که اگر توالی نشانه‌ها در نظر گرفته نشود آنگاه زبان‌های مستقل از متن از نظر مجموعه‌های منظم و نشان دادن وجود یک زبان مستقل از متن ذاتاً مبهم غیر متمایزاند.

تعاریف مهم
----------

اگر {\displaystyle \Sigma =\{a\_{1},a\_{2},...\}} مجموعهٔ یک الفبا باشد، بردار پاریک یک کلمه به صورت یک تابع در قالب {\displaystyle p:\Sigma ^{\*}\longrightarrow \mathbb {N} ^{k}} خواهد بود به‌طوری‌که {\displaystyle p(w)=(|w\_{a\_{1}}|,|w\_{a\_{2}}|,...|w\_{a\_{k}}|)} و {\displaystyle |w\_{a\_{i}}|} نشان دهندهٔ تعداد حرف a\_{i} در کلمهٔ w است.
می‌گوییم زیرمجموعه‌ای از {\displaystyle \mathbb {N} ^{k}} خطی است اگر به ازای بردارهای {\displaystyle u\_{0},...u\_{m}} این زیر مجموعه به صورت {\displaystyle u\_{0}+\left\langle u\_{1},...u\_{m}\right\rangle =\{u\_{0}+t\_{1}u\_{1}+...+t\_{m}u\_{m}|t\_{1},...t\_{m}\in \mathbb {N} \}} باشد.
می‌گوییم یک زیرمجموعه از {\displaystyle \mathbb {N} ^{k}} شبه‌خطی است اگر اجتماعی از چند زیرمجموعهٔ خطی باشد.
فرض کنید L یک زبان مستقل از متن و {\displaystyle P(L)}مجموعهٔ بردارهای پاریک کلمات در Lباشد که {\displaystyle P(L)=\{p(w)|w\in L\}}. آنگاه {\displaystyle P(L)} یک مجموعهٔ شبه خطی است.
می‌گوییم دو زبان جابه‌جایی‌پذیرند اگر دارای مجموعهٔ بردارهای پاریک برابر باشند. اگر S یک مجموعه ی شبه‌خطی باشد، زبان شامل کلماتی که بردارهای پاریک آن‌ها در S است با بعضی از زبان‌های منطم جابه‌جایی‌پذیرند. در نتیجه هر زبان مستقل از متنی با بعضی از زبان‌های منظم جابه‌جایی‌پذیرند.

اهمیت آن
--------

در قضیهٔ پاریک اثبات می‌شود که بعضی از زبان‌های مستقل از متن فقط میتوانند گرامرهای مبهم داشته باشند که به این زبان ها، زبان‌های ذاتاً مبهم گفته می‌شود. به عبارتی دیگر بعضی از گرامرهای مستقل از متن را نمی‌توان به گرامر مستقل از متن غیر مبهمی تبدیل کرد.

نگاشت پاریک
-----------

فرض کنید {\displaystyle \Sigma =\{a\_{1},a\_{2},...\}} الفبای یک زبان باشد که {\displaystyle n\in \mathbb {N} ^{+}} و ترتیب {\displaystyle a\_{1},a\_{2},...} دلخواه ولی ثابت است. برای {\displaystyle w\in \Sigma ^{\*}} تصویر پاریک معادل است با:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Psi (w)=(m\_{1},...m\_{n})\end{aligned}}}
که هر {\displaystyle m\_{i}} تعداد a\_{i}‌ها در w hsj.
نگاشت پاریک روی یک زبان به صورت مقابل تعریف می‌شود:
برای یک زبان دلخواه مانند L که {\displaystyle L\in \Sigma ^{\*}} قرار دهید {\displaystyle \Psi (L)=\{\Psi (w)|w\in L\}}
مثال: (نگاشت پاریک کلمات یک گرامر مستقل از متن)
گرامر مستقل از متن {\displaystyle G=(N,\Sigma ,R,S)} را با قواعد زیر در نظر بگیرید:

{\displaystyle {\begin{aligned}S\longrightarrow ASB|BSA|ab\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}A\longrightarrow a\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}B\longrightarrow b\end{aligned}}}
این بدین معناست که زبان تولید شده توسط G دارای رشته‌هایی است که a و b‌ها میتوانند در آن به صورت درهم آمیخته ظاهر شوند. اما از آنجایی که از تعریف زبان پیداست تعداد آن‌ها در رشته برابر خواهد بود. علاوه بر این همیشه از هر حرف حداقل یکی وجود دارد.
حال اگر a\_{1} و {\displaystyle a\_{2}} را با توجه به تعریف بالا به ترتیب a و b بگیریم و رشته‌های {\displaystyle w\_{1}=aaaabbbb\in L(G)} و {\displaystyle w\_{2}=babababa\in L(G)} فرض کنیم. هر دو این رشته‌ها دارای نگاشت پاریک یکسان هستند؛ {\displaystyle \Psi (w\_{i})=(4,4)} که داریم {\displaystyle 1\leq i\leq 2}

اثبات
-----

این قضیه با استقرا روی یک مجموعه از درخت‌های اشتقاق و با استفاده از نگاشت‌های پاریک به دست آمده از مجموعه ی درخت‌های اشتقاق پایانه‌ها و امکان بزرگ کردن آن‌ها در طول اشتقاق اثبات می‌شود.

منابع
-----


* Kozen, Dexter (1997), *Automata and Computability*, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-78105-6.
* Parikh, Rohit (1966), *"On Context-Free Languages"*, Umeå Universitet
* Håkan Lindqvist. *Parikh's Theorem*, New York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-78105-6
* Language Generating Devices, *Language Generating Devices*, Quartly Progress Report, Research Laboratory of Electronics, MIT.


| * ن
* ب
* و
علم منطق |
| --- |
| تاریخ | 
* + عمومی
* چینی
* یونانی
* هندی
* اسلامی

 |
| مقالات اصلی | 
* + خرد
* منطق فلسفی
* فلسفه منطق
* منطق ریاضی
* فرامنطق
* زبَر-منطق
* منطق در علوم رایانه

 |
| مفاهیم منطق | 
* 

|  |  |
| --- | --- |
| استدلالی | 
* + قیاسی
* استقرائی
* معکوس

 |
| محتواگرا | 
* + گزاره
* استنتاج
* برهان
* اعتبارمندی
* قانع‌کنندگی
* منطق ترم
* تفکر نقادانه
* مغالطه
* قیاس
* نظریهٔ برهان‌آوری

 |
| ریاضی | 
* + عبارت
* عبارت خوش‌ساخت
* مجموعه
* عنصر
* رده
* اصل موضوع
* قضیه
* برهان
* تعبیرات
* سازگاری
* درستی
* کاملیت
* تصمیم‌پذیری
* انجام‌پذیری
* استقلال
* زبان صوری
* دستگاه صوری
* دستگاه قیاسی
* نظریهٔ مجموعه
* نظریهٔ برهان
* نظریهٔ مدل
* نظریهٔ بازگشتی
* نظریهٔ انواع
* نحو
* معناشناسی
* دنباله معنایی
* دنباله نحوی

 |
| گزاره‌ای | 
* + توابع بولی
* حساب مسندات تکین
* حساب گزاره‌ای
* ادات منطقی
* جدول ارزش

 |
| محمولات | 
* + منطق دسته یکم
* سورها
* منطق دسته دوم

 |
| موجهات | 
* + تکلیفی
* شناختی
* زمانمند
* اعتقادی

 |
| غیرکلاسیک‌های دیگر | 
* محاسبه‌پذیری
* فازی
* خطی
* ربط
* نایک‌نوا

 |

 |
| مجادله‌ها | 
* + ناهماهنگی‌پذیری
* دودُرُستی
* منطق شهودگرایانه
* متناقض‌نماها
* خلاف‌آمدها
* تجربی بودن منطق

 |
| افراد اصلی | 
* ابن النفیس
* ابن تیمیه
* ابن حزم
* ابن رشد
* ابن سینا
* ارسطو
* برتراند راسل
* اسکولم
* بول
* پئانو
* پاتنم
* پانینی
* پولس ایرانی
* پیرس
* تارسکی
* تورینگ
* چرچ
* دارماکیرتی
* دیگناگه
* شهاب‌الدین یحیی سهروردی
* غزالی
* فارابی
* فخر رازی
* فرگِه
* کارناپ
* کانادا
* کانتور
* کریپکه
* کِنْدی
* کواین
* گنتزن
* گوتاما
* گودل
* لطفی زاده
* موتزی
* ناگارجونه
* هیلبرت
* وایت‌هد

 |
| فهرست‌ها | 
* + منطق‌دانان
* قواعد استنتاج
* متناقض‌نماها
* سفسطه‌ها
* عمومی
* جدول نمادها

 |
| 
* رده
* نوشتارهای ناتمام
* نوشتارهای ناتمام منطق ریاضی

 |