|  |
| --- |
| بخشی از مجموعه مباحث دربارهٔ آمار |
| تحلیل رگرسیون |
| 
مدل‌ها |
| * رگرسیون خطی
* رگرسیون خطی ساده
* رگرسیون چندجمله‌ای
* رگرسیون چندمتغیره
 |
| * مدل خطی تعمیم‌یافته
* انتخاب گسسته
* رگرسیون لجستیک
* لوجیت چندجمله‌ای
* لوجیت آمیخته
* مدل پروبیت
* پروبیت چندجمله‌ای
* لوجیت مرتب
* پروبیت مرتب
* رگرسیون پواسون
 |
| * مدل سلسله‌مراتبی
* مدل اثرات ثابت
* مدل اثرهای تصادفی
* مدل آمیخته
 |
| * رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه‌پارامتری
* رگرسیون باثبات
* رگرسیون چندک
* رگرسیون ایزوتونیک
* رگرسیون مولفه اصلی
* رگرسیون کمترین زاویه
* رگرسیون موضعی
* رگرسیون مقطع
 |
| * مدل خطا در متغیرها
 |
| 
برآورد |
| * کمترین مربعات
* کمترین مربعات خطی
* کمترین مربعات غیرخطی
 |
| * حداقل مربعات معمولی
* کمترین مربعات وزن‌دار
* روش تعمیم‌یافته کمترین مربعات
 |
| * رگرسیون پاره‌ای کمتری مربعات
* مجموع کمترین مربعات
* کمترین مربعات نامنفی
* تنظیم تیخونوف
* کمترین مربعات منظم
 |
| * کمترین انحرافات مطلق
* کمترین مربعات بازوزن‌داده مکرر
* رگرسیون خطی بیزی
* رگرسیون چندمتغیره خطی بیزی
 |
| 
پیش‌زمینه |
| * اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* پاسخ میانگین و پیش‌بینی‌شده
* خطاها و باقی‌مانده‌ها در آمار
* نیکویی برازش
* باقی‌مانده استودنت‌شده
* قضیه گوس-مارکف
 |
| * نشان درگاه درگاه آمار
 |
| * ن
* ب
* و
 |

در علم اقتصاد، مدل‌های **انتخاب گسسته** یا **مدل‌های انتخاب کیفی**، انتخاب‌های بین دو یا چند گزینه گسسته، مانند ورود یا عدم ورود به بازار کار، یا انتخاب بین شیوه‌های حمل و نقل را توصیف، توضیح و پیش‌بینی می‌کنند. چنین انتخاب هایی با مدل های مصرف استاندارد که در آن مقدار هر کالای مصرفی، یک متغیر پیوسته فرض می شود، در تضاد است. در حالت پیوسته، روش‌های محاسبه (به عنوان مثال شرایط مرتبه اول) می‌تواند برای تعیین مقدار بهینه انتخاب شده استفاده شود و تقاضا می‌تواند به صورت تجربی با استفاده از تحلیل رگرسیون مدل‌سازی شود. 

از سوی دیگر، تحلیل گسسته، انتخاب موقعیت‌هایی را بررسی می‌کند که در آن نتایج بالقوه، گسسته هستند، به طوری که انتخاب بهینه با شرایط مرتبه اول استاندارد مشخص نمی‌شود. بنابراین، به جای بررسی «چقدر» در مسائل مربوط به متغیرهای انتخاب پیوسته، انتخاب گسسته، انتخاب «کدام» را بررسی می‌کند. 

با این حال، تجزیه و تحلیل انتخاب گسسته همچنین می تواند برای بررسی کمیت انتخابی مورد استفاده قرار گیرد، زمانی که فقط باید تعداد متمایز کمی، از بین آنها انتخاب شود؛ مانند تعداد وسایل نقلیه ای که یک خانواده انتخاب می کند  و تعداد دقیقه خدمات مخابراتی که مشتری تصمیم به خریدن آن می گیرد. 

تکنیک هایی مانند رگرسیون لجستیک و رگرسیون پروبیت را می توان برای تحلیل تجربی انتخاب گسسته استفاده کرد.

مدل‌های انتخاب گسسته به‌طور نظری یا تجربی، انتخاب‌های انجام‌شده توسط افراد را در میان مجموعه‌ای از گزینه‌های متناهی، مدل‌سازی می‌کنند. این مدل‌ها برای بررسی، به‌عنوان مثال، انتخاب خودرو برای خرید،   انتخاب دانشگاه،  نوع حمل‌ونقل (ماشین، اتوبوس، ریل) برای رفتن به محل کار  در میان کاربردهای متعدد دیگر استفاده شده‌اند. 

مدل‌های انتخاب گسسته نیز برای بررسی انتخاب‌های سازمان‌ها استفاده می‌شوند. در بحث زیر، واحد تصمیم‌گیری یک شخص فرض می‌شود، اگرچه مفاهیم به‌طور کلی‌تر قابل استفاده هستند. دانیل مک فادن در سال 2000 جایزه نوبل را برای کار پیشگام خود در توسعه پایه های نظری برای انتخاب گسسته دریافت کرد.

از نظر آماری، مدل‌های انتخاب گسسته، انتخاب انجام شده توسط هر فرد را به ویژگی‌های شخص و ویژگی‌های گزینه‌های موجود برای فرد مرتبط می‌کند. به عنوان مثال، انتخاب خودرویی که فرد خریداری می کند، از نظر آماری با درآمد و سن فرد و همچنین با قیمت، مصرف سوخت اندازه و سایر ویژگی های هر خودروی موجود مرتبط است. مدل ها احتمال انتخاب یک جایگزین خاص را تخمین می زنند. این مدل‌ها اغلب برای پیش‌بینی چگونگی تغییر انتخاب‌های افراد تحت تغییرات جمعیت‌شناسی و/یا ویژگی‌های گزینه‌ها استفاده می‌شوند.

مدل‌های انتخاب گسسته احتمال انتخاب یک گزینه را از میان مجموعه‌ای از گزینه‌ها مشخص می‌کنند. توصیف احتمالی رفتار انتخاب گسسته، برای انعکاس رفتار فردی که ذاتاً احتمالی تلقی می شود، استفاده نمی شود. بلکه این فقدان اطلاعات است که ما را به توصیف انتخاب به شیوه ای احتمالی سوق می دهد. در عمل، ما نمی‌توانیم همه عوامل مؤثر بر تصمیم‌های انتخاب فردی را بدانیم، زیرا عوامل تعیین‌کننده آن‌ها تا حدی مشاهده می‌شوند یا به طور ناقص اندازه‌گیری می‌شوند. بنابراین، مدل‌های انتخاب گسسته به فرضیات و مشخصات تصادفی تکیه می‌کنند تا عوامل مشاهده‌نشده مرتبط با موارد ذیل را را در نظر بگیرند:

الف) گزینه‌های انتخاب

ب) تنوع سلیقه در افراد (ناهمگونی بین فردی) و در طول زمان (دینامیک انتخاب درون فردی)

ج) مجموعه‌های انتخاب ناهمگن 

فرمول‌های مختلف، به صورت خلاصه شده و در گروه‌هایی از مدل‌ها، طبقه‌بندی شده‌اند.

ویژگی های مشترک مدل های انتخاب گسسته
------------------------------------

مدل‌های انتخاب گسسته اشکال مختلفی دارند، از جمله: باینری لاجیت، باینری پروبیت، لاجیت چندجمله‌ای، لاجیت شرطی، پروبیت چندجمله‌ای، لاجیت تودرتو، مدل‌های ارزش عالی تعمیم‌یافته، لاجیت مختلط، و لاجیت انفجاری. همه این مدل ها دارای ویژگی های مشترک هستند که در زیر توضیح داده شده است.

### مجموعه انتخاب

مجموعه انتخاب، مجموعه ای از گزینه هایی است که در اختیار فرد قرار می گیرد. برای یک مدل انتخاب گسسته، مجموعه انتخاب باید سه شرط را برآورده کند:

1. مجموعه گزینه ها باید در مجموع جامع باشد، به این معنی که مجموعه، شامل همه گزینه های ممکن است. این شرط دلالت بر این دارد که فرد لزوماً یک گزینه را از مجموعه انتخاب می کند.
2. گزینه ها باید متقابلاً منحصر به فرد (دو به دو ناسازگار) باشند، به این معنی که انتخاب یک گزینه به معنای عدم انتخاب گزینه های دیگر است. این شرط دلالت بر این دارد که فرد تنها یک گزینه را از مجموعه انتخاب می کند.
3. مجموعه باید شامل تعداد متناهی گزینه باشد. این شرط سوم، تحلیل انتخاب گسسته را از اشکال تحلیل رگرسیون متمایز می کند که در آن متغیر وابسته می تواند (از لحاظ نظری) تعداد نامتناهی از مقادیر را بگیرد.

به عنوان مثال، مجموعه انتخاب برای شخصی که تصمیم می گیرد از کدام نوع حمل و نقل به محل کار خود استفاده کند، شامل رانندگی به تنهایی، سوار شدن خودروهای سر راهی، سوار شدن با اتوبوس و غیره است. مجموعه انتخاب می تواند پیچیده تر باشد اگر یک شخص از گزینه های ترکیبی برای یک سفر استفاده کند، مانند این که با خودرو به ایستگاه قطار رانندگی کند و سپس با سوار شدن بر قطار به محل کار برود. در این مورد، مجموعه انتخابی می تواند شامل هر ترکیب ممکن از حالت ها باشد. هم چنین انتخاب را می توان به عنوان انتخاب حالت "اصلی"، با مجموعه ای از ماشین، اتوبوس، راه آهن، و موارد دیگر (مانند پیاده روی، دوچرخه، و غیره) تعریف کرد. توجه داشته باشید که گزینه "دیگر" به منظور جامع کردن مجموعه انتخاب گنجانده شده است.

افراد مختلف بسته به شرایط خود ممکن است مجموعه انتخاب های متفاوتی داشته باشند. به عنوان مثال، خودروی سایون تا سال 2009 در کانادا فروخته نمی شد، بنابراین خریداران خودروهای جدید در کانادا با انتخاب های متفاوتی نسبت به مشتریان آمریکایی مواجه شدند. چنین ملاحظاتی در فرمول بندی مدل های انتخاب گسسته در نظر گرفته می شود.

### تعریف احتمالات انتخاب

یک مدل انتخاب گسسته، احتمال انتخاب یک گزینه خاص را مشخص می‌کند، با این احتمال که به عنوان تابعی از متغیرهای مشاهده‌شده که به گزینه‌ها و شخص مربوط می‌شوند، بیان می‌شود. 

در شکل کلی آن، احتمال اینکه شخص *n* گزینه *i* را انتخاب کند به صورت زیر بیان می شود:

{\displaystyle P\_{ni}\equiv \Pr({\text{Person }}n{\text{ chooses alternative }}i)=G(x\_{ni},\;x\_{nj,j\neq i},\;s\_{n},\;\beta ),}
که در آن:

{\displaystyle x\_{ni}} بردار ویژگی های گزینه *i* است که شخص *n* با آن مواجه است،
{\displaystyle x\_{nj,j\neq i}} بردار ویژگی های گزینه های دیگر (به غیر از *i* ) است که شخص *n* با آن روبرو است،
{\displaystyle s\_{n}} بردار ویژگی های شخص *n* است و
{\displaystyle \beta } مجموعه ای از پارامترهایی است که تأثیر متغیرها بر احتمالات را نشان می دهد که به صورت آماری برآورد می شوند.
در مثال بالا، از ویژگی‌های حالت‌ها (*xni*)، مانند زمان و هزینه سفر، و ویژگی‌های مصرف‌کننده (*sn*)، مانند درآمد سالانه، سن و جنسیت، می‌توان برای محاسبه انتخاب استفاده کرد. 

ویژگی‌های گزینه‌ها می‌تواند در افراد مختلف متفاوت باشد. به عنوان مثال، هزینه و زمان سفر به محل کار با ماشین، اتوبوس و راه آهن برای هر فرد بسته به محل خانه و محل کار آن فرد متفاوت است.

**ویژگی ها:**

* *P ni* بین 0 و 1 است
* {\displaystyle \forall n:\;\sum \_{j=1}^{J}P\_{nj}=1,} که در آن *J* تعداد کل گزینه ها است.
* (بخشی از افرادی مورد انتظار که *i* را انتخاب می کنند) {\displaystyle ={1 \over N}{\sum \_{n=1}^{N}P\_{ni}},} که در آن N تعداد کل افرادی است که انتخاب می کنند.

مدل‌های مختلف (یعنی مدل‌هایی که از تابع G متفاوت استفاده می‌کنند) ویژگی‌های متفاوتی دارند.

منابع
-----

1. ↑  Train, K. (1986). *Qualitative Choice Analysis: Theory, Econometrics, and an Application to Automobile Demand*. MIT Press. ISBN 9780262200554. Chapter 8.
2. ↑  Train, K.; McFadden, D.; Ben-Akiva, M. (1987). "The Demand for Local Telephone Service: A Fully Discrete Model of Residential Call Patterns and Service Choice". *RAND Journal of Economics*. **18** (1): 109–123. doi:10.2307/2555538. JSTOR 2555538.
3. ↑   `{{cite book}}`: Empty citation (help) Chapter 8.
4. ↑  Train, K.; Winston, C. (2007). "Vehicle Choice Behavior and the Declining Market Share of US Automakers". *International Economic Review*. **48** (4): 1469–1496. doi:10.1111/j.1468-2354.2007.00471.x.
5. ↑  Fuller, W. C.; Manski, C.; Wise, D. (1982). "New Evidence on the Economic Determinants of Post-secondary Schooling Choices". *Journal of Human Resources*. **17** (4): 477–498. doi:10.2307/145612. JSTOR 145612.
6. ↑  Train, K. (1978). "A Validation Test of a Disaggregate Mode Choice Model" (PDF). *Transportation Research*. **12** (3): 167–174. doi:10.1016/0041-1647(78)90120-x. Archived from the original (PDF) on 2010-06-22. Retrieved 2009-02-16.
7. ↑  Baltas, George; Doyle, Peter (2001). "Random utility models in marketing research: a survey". *Journal of Business Research*. **51** (2): 115–125. doi:10.1016/S0148-2963(99)00058-2.