**ضرب هادامار** (انگلیسی: Hadamard product) یا **ضرب درایه‌ای** ریاضیات، عمل دوتایی است که دو ماتریس با ابعاد یکسان را گرفته و ماتریس دیگری تولید می‌کند که هر درایهٔ *{\displaystyle ij}* آن حاصلضرب درایه‌های *{\displaystyle ij}* آن دو ماتریس است. این ضرب را نباید با حاصلضرب رایجتر ماتریسها اشتباه گرفت. این ضرب به افتخار ریاضیدان فرانسوی ژاک آدامار، یا ریاضیدان آلمانی ایسای شور نامگذاری شده‌است.

ضرب هادامار.

تعریف
-----

برای دو ماتریس A و B که دارای ابعاد {\displaystyle m\times n} هستند، ضرب هادامار آنها که با {\displaystyle A\circ B} و یا {\displaystyle A\odot B} نمایش داده می‌شود ماتریسی با همان ابعاد (یعنی {\displaystyle m\times n}) است که مقادیر آن به نحو پایین محاسبه می‌شوند:

{\displaystyle (A\circ B)\_{ij}=(A\odot B)\_{ij}=(A)\_{ij}(B)\_{ij}.}

برای ماتریسهایی که ابعاد متفاوت دارند این ضرب تعریف نشده‌است.

مثال
----

برای دو ماتریس A و B پایین که ابعاد {\displaystyle 3\times 3} دارند ضرب هادامار آنها برابر است با:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b\_{11}&b\_{12}&b\_{13}\\b\_{21}&b\_{22}&b\_{23}\\b\_{31}&b\_{32}&b\_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{11}\,b\_{11}&a\_{12}\,b\_{12}&a\_{13}\,b\_{13}\\a\_{21}\,b\_{21}&a\_{22}\,b\_{22}&a\_{23}\,b\_{23}\\a\_{31}\,b\_{31}&a\_{32}\,b\_{32}&a\_{33}\,b\_{33}\end{bmatrix}}.}

ویژگی‌ها
--------

* اگر A و B ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند رتبه ضرب هادامار از ضرب رتبه‌های دو ماتریس بیشتر نیست:

{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\leq \operatorname {rank} (\mathbf {A} )\operatorname {rank} (\mathbf {B} )}

* اگر A و B و C ماتریسهایی با ابعاد یکسان باشند و k یک عدد حقیقی باشید آنگاه:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} ,\\&\left(k\mathbf {A} \right)\circ \mathbf {B} =\mathbf {A} \circ \left(k\mathbf {B} \right)=k\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} \right),\\&\mathbf {A} \circ \mathbf {0} =\mathbf {0} \circ \mathbf {A} =\mathbf {0} .\end{aligned}}}

* برای بردارهای x و y و ماتریسهای قطری آنها {\displaystyle D\_{x}} و {\displaystyle D\_{y}} روابط پایین برقرار است:

{\displaystyle \mathbf {x} ^{\*}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\mathbf {y} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {D} \_{\mathbf {x} }^{\*}\mathbf {A} \mathbf {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right),}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{i}(A\circ B)\_{ij}&=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)\_{jj}\\&=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)\_{ii}.\end{aligned}}}

{\displaystyle \left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{\*}\right)\circ \mathbf {A} =\mathbf {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {A} \mathbf {D} \_{\mathbf {x} }^{\*}}

* برای مقادیر ویژه ماتریسهای A و B رابطه پایین برقرار است، در اینجا {\displaystyle \lambda \_{i}(A)} i -امین مقدار ویژه ماتریس A است:

{\displaystyle \prod \_{i=k}^{n}\lambda \_{i}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\geq \prod \_{i=k}^{n}\lambda \_{i}(\mathbf {A} \mathbf {B} ),\quad k=1,\ldots ,n,}

منابع
-----

1. ↑  "Comprehensive List of Algebra Symbols". *Math Vault* (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
2. ↑  Million, Elizabeth (April 12, 2007). "The Hadamard Product" (PDF). *buzzard.ups.edu*. Retrieved September 6, 2020.`{{cite web}}`: نگهداری CS1: url-status (link)
3. ↑  "Comprehensive List of Algebra Symbols". *Math Vault* (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
4. ↑  "Hadamard product - Machine Learning Glossary". *machinelearning.wtf*.
5. ↑  "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". *Mathematics Stack Exchange*.
6. ↑  "Element-wise (or pointwise) operations notation?". *Mathematics Stack Exchange*.
7. ↑  Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). *Matrix analysis*. Cambridge University Press.
8. ↑  Hiai, Fumio; Lin, Minghua (February 2017). "On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product". *Linear Algebra and Its Applications*. **515**: 313–320. doi:10.1016/j.laa.2016.11.017.