در آمار و اقتصادسنجی و به ویژه در تحلیل سری‌های زمانی، یک **میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه**(ARIMA) یک مدل گسترده‌تر از میانگین متحرک خودهمبسته(ARMA) است. این مدل‌ها در سریهای زمانی برای فهم بهتر مدل یا پیش‌بینی آینده به کار می‌روند. این مدل‌ها در جایی که داده‌ها ایستا -stationary) باشند به کار می‌روند. در این حالت با یک بار تفاضل گیری(متناظر با جز "یکپارچه"(integrated non-stationary بودن داده‌ها از بین می‌رود و امکان برآورد یک ARMA در داده‌های جدید به وجود می‌آید.

این مدل در اکثر موارد به صورت (ARIMA(*p*،*d*،*q* نشان داده می‌شود که در آن *p* و *d* و *q* اعداد حقیقی غیرمنفی هستند که درجه خودهمبستگی، یکپارچگی و میانگین متحرک را معلوم می‌کنند. مدل‌های ARIMA بخش مهمی از رویکرد باکس-جنکینز به مدل‌های سری زمانی را می‌سازند. در صورتی که یکی از جزءها برابر با صفر باشند معمولاً به صورت *AR*، *I* یا MA *نوشته می‌شود. برای مثال یک* (I(۱ *همان مدل* (ARIMA(۰٬۱٬۰ *است یا (۱)MA همان (ARIMA(۰٬۰٬۱ است.*

تعریف
-----

به ازای یک سری زمانی {\displaystyle X\_{t}}داده شده که در آن tیک عدد صحیح شاخص و {\displaystyle X\_{t}}اعداد حقیقی هستند، در اینصورت ARMA(*p*، *q*) به صورت زیر است:

{\displaystyle \left(1-\sum \_{i=1}^{p}\alpha \_{i}L^{i}\right)X\_{t}=\left(1+\sum \_{i=1}^{q}\theta \_{i}L^{i}\right)\varepsilon \_{t}\,}
که در آن Lاپراتور تاخیر و {\displaystyle \alpha \_{i}}پارامترهای بخش خودگردان مدل هستند و\theta \_{i} پارامترهای بخش میانگین متحرک هستند و {\displaystyle \varepsilon \_{t}}بخش خطای مدل. ترم‌های خطا {\displaystyle \varepsilon \_{t}} به‌طور کلی فرض می‌شوند متغیرهای تصادفی با توزیع مستقل و یکسان هستند. متغیرهای تصادفی از توزیع‌های نرمال با میانگین صفر برداشته می‌شوند.
فرض کنید که چندجمله‌ای {\displaystyle \left(1-\sum \_{i=1}^{p}\alpha \_{i}L^{i}\right)} یک ریشه واحد از درجه "d" دارد. در اینصورت می‌توان نوشت:

{\displaystyle \left(1-\sum \_{i=1}^{p}\alpha \_{i}L^{i}\right)=\left(1+\sum \_{i=1}^{p-d}\phi \_{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}.}
یک مدل ARIMA(*p*،*d*،*q*) فاکتورهای این چندجمله‌ای را به صورت زیر بیان می‌کنند: 

{\displaystyle \left(1-\sum \_{i=1}^{p}\phi \_{i}L^{i}\right)\left(1-L\right)^{d}X\_{t}=\left(1+\sum \_{i=1}^{q}\theta \_{i}L^{i}\right)\varepsilon \_{t}\,}
و بنابراین می‌تواند به صورت یک نمونه خاص ARMA("p+d"،"q") که دارای بخش خودگردانی با ریشه‌های واحد است دیده شود.به همین دلیل هر ARIMA با "d" >۰ به‌طور کلی stationary نیست.

دیگر مدل‌های خاص
----------------

مشخصه فاکتورگیری بخش چندجمله‌ای خودگردان به صورت بالا، می‌تواند به موارد دیگر نیز تعمیم داده شود. اولاً وجود چندجمله‌ای برای بخش میانگسن متحرک و ثانیاً برای شمول دیگر فرم‌های مدل.برای مثال، داشتن فاکتور{\displaystyle \left(1-L^{s}\right)} در مدل یک روش برای ایجاد non-stationarity فصلی دوره "s" در مدل است.مثال بعدی فاکتور 
{\displaystyle \left(1-{\sqrt {3}}L+L^{2}\right)} است که شامل یک non-stationary فصلی دوره ۱۲ است.اثر فاکتور نوع اول این است که اجازه می‌دهد تا مقدار عرض از مبدأ هر فصل به‌طور مجزا تغییر کند درصورتی‌که در نوع دوم این مقدار برای همه فصل‌ها با هم تغییر می‌کند. 
شناسایی و تعیین درجه هربخش ARIMA مرحله مهمی در مدلسازی است زیرا می‌تواند سبب کاهش تعداد متغیرهای مورد برآورد در مدل شود.

پیش‌بینی با مدل‌های ARIMA
-------------------------

مدل هایARIMA برای داده‌های با فرایندهایnon-stationary که روندهایی کاملاً قابل تشخیص دارند به کار می‌روند:

* یک روند ثابت (با میانگین صفر) مدل شده به صورت {\displaystyle d=0}
* یک روند خطی (برای مثال رفتار رشد خطی) مدل شده به صورت{\displaystyle d=1}
* یک روند مربعی (برای مثال رفتار رشد مرتبه دوم) مدل شده به صورت {\displaystyle d=2}

در این موارد مدل ARIMA را می‌توان به صورت ترکیبی از دو مدل دید. اولیnon-stationary است:

{\displaystyle Y\_{t}=\left(1-L\right)^{d}X\_{t}}
در حالیکه دومی wide-stationary است:

{\displaystyle \left(1-\sum \_{i=1}^{p}\phi \_{i}L^{i}\right)Y\_{t}=\left(1+\sum \_{i=1}^{q}\theta \_{i}L^{i}\right)\varepsilon \_{t}\,.}
در این حالت تکنیک‌های استاندارد پیش‌بینی می‌تواند برای فرموله کردن فرایند {\displaystyle Y\_{t}} به کار رود و سپس با داشتن تعداد کافی مشاهدات اولیه به پیش‌بینی {\displaystyle X\_{t}} پرداخت.

مثال‌ها
-------

بعضی از مثال‌های معروف به سادگی به دست می‌آیند.برای مثال ARIMA(۰،۱،۰) به صورت زیر نشان داده می‌شود که یک قدم تصادفی است:
{\displaystyle X\_{t}=X\_{t-1}+\varepsilon \_{t}}
تعدادی از نمونه‌های ARIMA به گستردگی به کار می‌روند.برای مثال اگر سری زمانی‌های چندتایی به کار روند {\displaystyle X\_{t}} را می‌توان به صورت برداری دید و استفاده از یک VARIMA مناسب به نظر می‌رسد. گاهی موارد به وجود یک اثر فصلی در مدل ظنین می‌شویم. برای مثال مدل حجم ترافیک روزانه راه‌ها را در نظر بگیرید.به سادگی مشاهده می‌شود که تعطیلات آخر هفته داده‌های متفاوتی از دیگر ایام هفته نشان می‌دهد.در این موارد به نظر درست تر می‌آید که به جای استفاده از مدلARIMA با درجه AR یا MA بزرگتر از مدل SARIMA (ARIMA فصلی) استفاده شود.اگر فکر می‌کنیم سری زمانی ممکن است وابستگی بلند مدت از خود نشان دهد در اینصورت پارامترd می‌تواند با مقادیر غیر صحیح جایگزین شود که در اینصورت به مدل ARIMA نسبی(FARIMA یا ARFIMA) گفته می‌شود.

جستارهای وابسته
---------------

* خودهمبستگی
* ARMA
* خودهمبستگی جزئی

منابع
-----

* Mills، Terence C. (۱۹۹۰) *Time Series Techniques for Economists.*

Cambridge University Press

* Percival، Donald B. and Andrew T. Walden. (۱۹۹۳) *Spectral Analysis*

for Physical Applications. *Cambridge University Press.*

لینک‌های دیگر
-------------

* The US Census Bureau uses ARIMA for "seasonally adjusted" data (programs، docs، and papers here)

| * ن
* ب
* و
فرایندهای تصادفی |
| --- |
| فرایند تصادفی | 
* فرایند برنولی
* فرایند شاخه‌ای
* فرایند رستوران چینی
* فرایند گالتون-واتسون
* متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان
* زنجیره مارکوف
* فرایند مورن
* ولگشت
	+ Loop-erased
	+ ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)

 |
| Continuous time | 
* Bessel process
* Birth–death process
* فرایند وینر
	+ Bridge
	+ Excursion
	+ Fractional
	+ Geometric
	+ Meander
* فرایند کوشی
* Contact process
* گام-تصادفی زمان-پیوسته
* Cox process
* Diffusion process
* Empirical process
* فرایند فلر
* فرایند فلمینگ-ویوت
* Gamma process
* Hunt process
* Interacting particle systems
* Itô diffusion
* فرایند ایتو
* Jump diffusion
* Jump process
* فرایند لوی
* Local time
* Markov additive process
* McKean–Vlasov process
* فرایند اورنستین-یولنبک
* فرایند پواسون
	+ Compound
	+ فرایند پواسون
	+ فرایند پواسون
* تحول شرام و لونر
* Semimartingale
* Sigma-martingale
* Stable process
* Superprocess
* Telegraph process
* Variance gamma process
* فرایند وینر
* Wiener sausage

 |
| Both | 
* فرایند شاخه‌ای
* Galves–Löcherbach model
* فرایند گاوسی
* مدل پنهان مارکف
* زنجیره مارکوف
* مارتینگیل
	+ Differences
	+ Local
	+ مارتینگیل
	+ مارتینگیل
* Random dynamical system
* Regenerative process
* نظریه تجدید
* Stochastic chains with memory of variable length
* نویز سفید

 |
| Fields and other | 
* فرایند دیریکله
* Gaussian random field
* Gibbs measure
* شبکه هاپفیلد
* مدل آیزینگ
	+ Potts model
	+ شبکه بولی
* میدان تصادفی مارکفی
* نظریه تراوش
* فرایند پیتمن-یور
* فرایند نقطه ای
	+ Cox
	+ فرایند پواسون
* میدان تصادفی
* گراف تصادفی

 |
| سری زمانی | 
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه
* مدل خودهمبسته
* مدل خودهمبسته میانگین متحرک
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* مدل میانگین متحرک

 |
| Financial models | 
* مدل بلک-درمن-توی
* Black–Karasinski
* مدل بلک-شولز
* مدل چن
* Constant elasticity of variance (CEV)
* مدل کاکس-اینگرسول-راس
* Garman–Kohlhagen
* Heath–Jarrow–Morton (HJM)
* Heston
* Ho–Lee
* Hull–White
* LIBOR market
* Rendleman–Bartter
* SABR volatility
* مدل واسیچک
* Wilkie

 |
| بیمسنجی | 
* Bühlmann
* Cramér–Lundberg
* Risk process
* Sparre–Anderson

 |
| نظریه صفs | 
* Bulk
* Fluid
* Generalized queueing network
* M/G/1
* صف M/M/1
* M/M/c

 |
| Properties | 
* تابع Càdlàg
* Continuous
* Continuous paths
* ارگادیسیتی
* متغیرهای تصادفی تعویض پذیر
* Feller-continuous
* فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف
* خاصیت مارکف
* Mixing
* Piecewise deterministic
* Predictable
* Progressively measurable
* Self-similar
* فرایند مانا
* Time-reversible

 |
| Limit theorems | 
* قضیه حد مرکزی
* Donsker's theorem
* Doob's martingale convergence theorems
* نظریه ارگودیک
* Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
* Large deviation principle
* قانون اعداد بزرگ
* قانون لگاریتم‌های تکراری
* Maximal ergodic theorem
* Sanov's theorem

 |
| Inequalities | 
* Burkholder–Davis–Gundy
* Doob's martingale
* Kunita–Watanabe

 |
| Tools | 
* Cameron–Martin formula
* همگرایی متغیرهای تصادفی
* Doléans-Dade exponential
* Doob decomposition theorem
* Doob–Meyer decomposition theorem
* Doob's optional stopping theorem
* Dynkin's formula
* Feynman–Kac formula
* Filtration
* Girsanov theorem
* Infinitesimal generator
* Itô integral
* Itô's lemma
* Kolmogorov continuity theorem
* Kolmogorov extension theorem
* Lévy–Prokhorov metric
* Malliavin calculus
* Martingale representation theorem
* Optional stopping theorem
* Prokhorov's theorem
* Quadratic variation
* Reflection principle
* Skorokhod integral
* Skorokhod's representation theorem
* تابع Càdlàg
* Snell envelope
* معادله دیفرانسیل تصادفی
	+ Tanaka
* زمان توقف
* Stratonovich integral
* Uniform integrability
* Usual hypotheses
* Wiener space
	+ Classical
	+ Abstract

 |
| Disciplines | 
* بیمسنجی
* اقتصادسنجی
* نظریه ارگودیک
* نظریه مقدار حدی
* قضیه انحرافات بزرگ
* مالیه ریاضیاتی
* آمار ریاضی
* نظریه احتمالات
* نظریه صف
* نظریه تجدید
* Ruin theory
* آمار
* حسابان تصادفی
* سری زمانی
* یادگیری ماشین

 |
| 
* List of topics
* 

 |