|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

**حساب چندمتغیره** تعمیمی از حساب دیفرانسیل و انتگرال یک متغیره به حساب بیش از یک متغیر (مشتق‌گیری و انتگرال‌گیری از توابع شامل چند متغیر) است.

عملیات متداول
-------------

### حد و پیوستگی

مطالعهٔ حد و پیوستگی در حساب چند متغیره، نتایجی بدست می‌دهد که با حس شهودی و آنچه در توابع تک‌متغیره مشاهده می‌شود، متفاوت است. به‌عنوان مثال، تابع {\displaystyle f(x,y)={\frac {x^{2}y}{x^{4}+y^{2}}}} در راستای هر خط راست گذرنده از مبدأ به صفر میل می‌کند، در حالی که اگر نزدیک‌شدن به مبدأ بر روی سهمی *y* = *x*2 انجام گیرد، این تابع حد ۰٫۵ خواهد داشت. چون نزدیک‌شدن به مبدأ بر روی مسیرهای مختلف، به نتایج متفاوتی منجر می‌شود، حد این تابع در مبدأ وجود ندارد.

پیوستگی یک تابع چندمتغیره نسبت به هر یک از مؤلفه‌هایش، پیوستگی آن را ثابت نمی‌کند. برای مثال، در مورد تابع دو متغیره {\displaystyle f(x,y)} پیوستگی f در راستای x با y ثابت و پیوستگی f در راستای y با x ثابت، پیوستگی f را ثابت نمی‌کند. مثلاً برای تابع f با ضابطهٔ زیر:

{\displaystyle f(x,y)={\begin{cases}{\frac {y}{x}}-y&{\text{if }}1\geq x>y\geq 0\\{\frac {x}{y}}-x&{\text{if }}1\geq y>x\geq 0\\1-x&{\text{if }}x=y>0\\0&{\text{else}}.\end{cases}}}

اگر {\displaystyle f\_{y}(x)} تابع تک‌متغیره‌ای نسبت به x و با مقدار برابر با {\displaystyle f(x,y)} به ازای y ثابت و {\displaystyle f\_{x}(y)} یک تابع تک‌متغیره نسبت به y و با مقدار برابر با {\displaystyle f(x,y)} به ازای x ثابت باشد، همهٔ تابع‌های fy و fx حول صفر پیوسته هستند. ولی با در نظر گرفتن {\displaystyle f(1/n,1/n)} (برای مقادیر طبیعی n)، {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f(1/n,1/n)=1} و با توجه به اینکه {\displaystyle f(0,0)=0}، تابع f حول مبدأ مختصات، پیوسته نیست.
همچنین توجه شود که r در مختصات قطبی و حد گیری صفر است.

### مشتق‌گیری پاره‌ای

مقالهٔ اصلی: مشتق پاره‌ای
**مشتق‌گیری پاره‌ای**، مفهوم مشتق را به ابعاد بالاتر (چند متغیره) گسترش می‌دهد. مشتق پاره‌ای یک تابع چندمتغیره، مشتق آن تابع نسبت به یک متغیر است در حالی که سایر متغیرها ثابت باشند.

مشتق‌های پاره‌ای می‌توانند به روش‌های مختلف با یکدیگر ترکیب شده و عبارات پیچیده‌تری را بسازند. در حساب برداری، عملگر دل (\nabla ) برای تعریف گرادیان، دیورژانس و کرل بر حسب مشتق‌های پاره‌ای مورد استفاده قرار می‌گیرد. یک ماتریس از مشتق‌های پاره‌ای، که با نام ماتریس ژاکوبی شناخته می‌شود، می‌تواند برای نشان‌دادن مشتق‌های یک تابع بین دو فضا با ابعاد دلخواه مورد استفاده قرار گیرد.

معادلات دیفرانسیل شامل مشتق‌های پاره‌ای، معادلات دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای یا به‌اختصار PDE نامیده می‌شوند. حل این معادلات معمولاً نسبت به معادلات دیفرانسیل معمولی (که تنها شامل مشتق‌های نسبت به یک متغیر هستند) دشوارتر است.

### انتگرال‌گیری چندگانه

مقالهٔ اصلی: انتگرال چندگانه
**انتگرال چندگانه**، مفهوم انتگرال‌گیری را به توابع چندمتغیره تعمیم می‌دهد. انتگرال‌های دوگانه و سه‌گانه می‌توانند برای محاسبهٔ مساحت و حجم محدوده‌هایی در صفحه و فضا مورد استفاده قرار گیرند. قضیه فوبینی تضمین می‌کند که انتگرال‌های چندگانه می‌توانند به‌صورت انتگرال‌های پی‌درپی محاسبه شوند.

انتگرال‌های روی سطوح و انتگرال‌های خطی، برای انتگرال‌گیری بر روی خمینه‌هایی مانند سطوح و خم‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرند.

### قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال در حالت چندمتغیره

در حساب تک‌متغیره، قضیه اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال یک ارتباط بین مشتق و انتگرال برقرار می‌کند. این ارتباط در حساب چندمتغیره، با استفاده از قضایای انتگرال حساب برداری، یعنی قضایای زیر، برقرار می‌شود:

* قضیه گرادیان
* قضیه استوکس
* قضیه دیورژانس
* قضیه گرین

در مطالعات پیشرفته‌تر حساب چندمتغیره، مشاهده می‌شود که این چهار قضیه، همه حالات خاصی از *قضیه استوکس تعمیم‌یافته* هستند که برای انتگرال‌گیری از فرم‌های دیفرانسیلی بر روی خمینه‌ها مورد استفاده قرار می‌گیرد.

کاربردها
--------

تکنیک‌های حساب چندمتغیره در مطالعه بسیاری از مسائل به‌کار می‌روند:

|  |  | دامنه/برد | تکنیک قابل استفاده |
| --- | --- | --- | --- |
| خم‌ها |  | {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{n}} | طول منحنی‌ها، انتگرال خطی و انحنا. |
| سطوح |  | {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n-1}\to \mathbb {R} ^{n}} | مساحت سطوح، انتگرال‌های سطحی، شار گذرنده از سطوح و انحنا. |
| میدان‌های نرده‌ای |  | {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} } | بیشینه و کمینه، ضرایب لاگرانژ و مشتق‌های جهت‌دار |
| میدان‌های برداری |  | {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{m}\to \mathbb {R} ^{n}} | عملیات حساب برداری مانند گرادیان، دیورژانس و کرل. |

حساب چندمتغیره می‌تواند برای تحلیل سیستم‌های معین که چند درجه آزادی دارند به‌کار رود. معمولاً توابعی با متغیرهای مستقل متناظر با درجات آزادی این سامانه‌ها برای مدل‌کردن آنها مورد استفاده قرار می‌گیرد و حساب چندمتغیره ابزار لازم برای توصیف دینامیک این سیستم‌ها را فراهم می‌کند.

حساب چندمتغیره در بسیاری از زمینه‌های علوم طبیعی و اجتماعی و مهندسی برای شبیه‌سازی و مطالعه سیستم‌های چندبعدی که رفتار معین دارند، به‌کار می‌رود. سیستم‌های نامعین یا تصادفی با استفاده از بخش دیگری از ریاضیات یعنی حساب تصادفی مورد مطالعه قرار می‌گیرند. همچنین تحلیلگران بازار، غالباً از حساب چندمتغیره برای پیش‌بینی روند تغییرات سهام استفاده می‌کنند.

پیوند به بیرون
--------------

* *Multivariable Calculus*: کتاب درسی رایگان و برخط حساب چندمتغیره
* *Multivariable Calculus Online*: یک کتاب درسی رایگان و برخط حساب چندمتغیره

| * ن
* ب
* و
ریاضیات صنعتی و کاربردی |
| --- |
| ریاضیات محاسباتی | 
* الگوریتمs
	+ الگوریتم
	+ تحلیل الگوریتم‌ها
* نظریه اتوماتا
* نظریه کدگذاری
* منطق در علوم کامپیوتر
* رمزنگاری
* نظریه اطلاعات

 |
| ریاضیات گسسته | 
* جبر رایانه‌ای
* نظریه اعداد رایانشی
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* هندسه گسسته

 |
| آنالیز ریاضی | 
* نظریه تقریب
* Clifford analysis
	+ Clifford algebra
* معادله دیفرانسیل
	+ Complex differential equations
	+ معادله دیفرانسیل معمولی
	+ معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی
	+ معادله دیفرانسیل تصادفی
* هندسه دیفرانسیل
	+ Differential forms
	+ Gauge theory
	+ Geometric analysis
* سامانه پویا
	+ نظریه آشوب
	+ نظریه کنترل
* آنالیز تابعی
	+ Operator algebra
	+ نظریه عمل‌گرها
* آنالیز هارمونیک
	+ آنالیز فوریه
* Multilinear algebra
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ تانسور
	+ حساب برداری
* حساب چندمتغیره
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ حساب تانسوری
	+ حساب برداری
* آنالیز عددی
	+ جبر خطی عددی
	+ حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
	+ Numerical methods for partial differential equations
	+ Validated numerics
* حساب تغییرات

 |
| نظریه احتمالات | 
* توزیع احتمالs (متغیر تصادفیs)
* فرایند تصادفیes / حسابان تصادفی
* Path integral
* Stochastic variational calculus

 |
| ریاضی فیزیک | 
* مکانیک تحلیلی
	+ مکانیک لاگرانژی
	+ مکانیک همیلتونی
* میدان (فیزیک)
	+ نظریه میدان کلاسیک
	+ Conformal
	+ Effective
	+ نظریه پیمانه‌ای
	+ نظریه میدان‌های کوانتومی
	+ Statistical
* نظریه پتانسیل
* نظریه ریسمان
	+ Topological

|  |  |
| --- | --- |
| ساختارهای جبری | 
* Algebra of physical space
* فرمول‌بندی انتگرال مسیر
* Quantum group
* گروه بازبهنجارش
* Representation theory
* Spacetime algebra

 |

 |
| نظریه‌های تصمیم | 
* نظریه بازی
* تحقیق در عملیات
* بهینه‌سازی
* نظریه انتخاب اجتماعی
* آمار
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی

 |
| کاربردهای دیگر | 
* زیست‌شناسی ریاضیاتی و نظری
* شیمی ریاضیاتی
* روانشناسی ریاضی
* Sociology
* "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"

 |
| مرتبط | 
* ریاضیات

 |
| سازمان‌ها | 
* Society for Industrial and Applied Mathematics
	+ Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
* Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
* International Council for Industrial and Applied Mathematics

 |
| 
* 
* درگاه:ریاضیات / outline / فهرست مفاهیم ریاضی

 |