در فیزیک و شیمی کوانتومی، به‌طور خاص تئوری تابعی چگالی، **معادله کوهن-شم (کان-شم)** معادله شرودینگر تک الکترونی (واضح تر، معادله شبه شرودینگر) از یک سیستم فرضی (" **سیستم کوهن شم** ") از ذرات غیر برهمکنشی (معمولا الکترونی) است که همان چگالی الکترونی سیستم برهم کنشی را به دست می‌دهد. معادله کان-شم با استفاده از یک پتانسبل مؤثر موضعی فرضی خارجی تغریف می‌شود که در آن ذرات غیر برهم کنشی دارای حرکت هستند و این پتانسیل با *vs*(**r**) یا *v*eff(**r** نشان داده می‌شود و به عنوان **پتانسیل کوهن-شم** شناخته می‌شود. از آنجا که ذرات موجود در سیستم کان-شم فرمینون‌های نابرهم‌کنشی هستند، تابع موج کان-شم یک دترمینان اسلیتر از حل مجموعه ای از اربیتالهاست که در کمینه انرزی خود قرار دارند.

{\displaystyle \left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+v\_{\text{eff}}(\mathbf {r} )\right)\varphi \_{i}(\mathbf {r} )=\varepsilon \_{i}\varphi \_{i}(\mathbf {r} ).}
این معادله ویژه مقداری مقدمه نمایش **معادلات کوهن-شم** است. در اینجا *εi* انرژی اربیتال کان-شم مداری *φi* است و چگالی برای یک سیستم N ذره‌ای عبارت است از

{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=\sum \_{i}^{N}|\varphi \_{i}(\mathbf {r} )|^{2}.}
معادلات کان-شم به نام‌های والتر کوهن و لو جئو شم (沈 呂 九) نامگذاری شده‌اند که این ایده را در سال ۱۹۶۵در دانشگاه کالیفرنیا سن دیگو کردند.

پتانسیل کوهن-شم
---------------

در نظریه تابعی چگالی کوهن-شم، کل انرژی یک سیستم به عنوان تابعی از چگالی بار بیان شده‌است

{\displaystyle E[\rho ]=T\_{s}[\rho ]+\int d\mathbf {r} \,v\_{\text{ext}}(\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} )+E\_{\text{H}}[\rho ]+E\_{\text{xc}}[\rho ],}
که در آن *T s* را **انرژی جنبشی** **کوهن-شم** است، که در با بیان اوربیتال کوهن-شم به شکل زیر بیان می‌شد

{\displaystyle T\_{s}[\rho ]=\sum \_{i=1}^{N}\int d\mathbf {r} \,\phi \_{i}^{\*}(\mathbf {r} )\left(-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\right)\phi \_{i}(\mathbf {r} ),}
*که در آن v* ext پتانسیل خارجی است که بر روی سیستم برهمکنشی (حداقل برای یک سیستم مولکولی، برهمکنش الکترون و هسته) عمل می‌کند، *EH* انرژی هارتری (یا کولمب) است.

{\displaystyle E\_{\text{H}}={\frac {e^{2}}{2}}\int d\mathbf {r} \int d\mathbf {r} '\,{\frac {\rho (\mathbf {r} )\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}},}
و *E*xc انرژی تبادلی-همبستگی است. معادلات کوهن-شم بر مبنای تغییران انرژی کل با توجه بع یک مجموعه اربیتال‌ها بیان می‌شود که مقید به آن اربیتالهاست تا پتانسیل کوهن-شم به شکل زیر حاصل شود

{\displaystyle v\_{\text{eff}}(\mathbf {r} )=v\_{\text{ext}}(\mathbf {r} )+e^{2}\int {\frac {\rho (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d\mathbf {r} '+{\frac {\delta E\_{\text{xc}}[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} )}},}
که در آن

{\displaystyle v\_{\text{xc}}(\mathbf {r} )\equiv {\frac {\delta E\_{\text{xc}}[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} )}}}
پتانسیل تبادلی-همبستگی است. این اصطلاح و بیان انرژی مربوطه، تنها عبارت ناشناخته‌ها در رهیافت کوهن-شم در نظریه تابعی چگالی است. تقریبی که در آن اربیتال‌ها تغییر نمی‌کنند تئوری تابعی هریس است.

به‌طور کلی انرژی مداری کوهن شم *εi* معنای فیزیکی کمی دارد (به قضیه کوپمانز مراجعه کنید). مجموع انرژی‌های اربیتالی مربوط به انرژی کل به شکل زیر است

{\displaystyle E=\sum \_{i}^{N}\varepsilon \_{i}-E\_{\text{H}}[\rho ]+E\_{\text{xc}}[\rho ]-\int {\frac {\delta E\_{\text{xc}}[\rho ]}{\delta \rho (\mathbf {r} )}}\rho (\mathbf {r} )\,d\mathbf {r} .}
از آنجا که انرژی اربیتالی تحت قیود کلی حالت لایه باز نایکتا هستند، این معادله فقط در مورد انتخابهای خاص اربیتال‌های انرژی صادق است (به قضیه کوپمانز مراجعه کنید).

منابع
-----

1. ↑  Kohn, Walter; Sham, Lu Jeu (1965). "Self-Consistent Equations Including Exchange and Correlation Effects". *Physical Review*. **140** (4A): A1133–A1138. Bibcode:1965PhRv..140.1133K. doi:10.1103/PhysRev.140.A1133.
2. ↑  Parr, Robert G.; Yang, Weitao (1994). *Density-Functional Theory of Atoms and Molecules*. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-509276-9. OCLC 476006840. OL 7387548M.
3. ↑  Tomas Arias (2004). "Kohn–Sham Equations". *P480 notes*. Cornell University.