تابع توزیع تجمعی برای توزیع نرمال .
تابع چگالی احتمال برای چند توزیع نرمال، نمودار قرمز رنگ مربوط به توزیع نرمال استاندارد است ..**تابع توزیع تجمعی** (به انگلیسی: Cumulative distribution function) یا **تابع توزیع انباشتی** تابعی غیر صفر و هم نوای صعودی است که برد آن بازه [۰٫۱] بوده و احتمال آنکه متغیر تصادفی X دارای مقداری کوچک‌تر از x باشد را نشان می‌دهد، یعنی {\displaystyle x\to F\_{X}(x)=\operatorname {P} (X\leq x)}

از این تعریف می‌توان نتیجه گرفت که:

{\displaystyle P(a<X\leq b)=F\_{X}(b)-F\_{X}(a)}

تابع توزیع تجمعی را می‌توان به صورت زیر بر اساس تابع چگالی احتمال نیز تعریف کرد

{\displaystyle F(x)=\int \_{-\infty }^{x}f(t)\,dt.}

در مورد متغیرهای تصادفی با مقادیر گسسته این تعریف به صورت زیر است:

{\displaystyle \Pr(X=x)=F(x\_{0})-F(x\_{0}-),}

که در اینجا {\displaystyle F(x\_{0}-)} به معنی حد چپ تابع {\displaystyle F\_{X}(x)} است وقتی که {\displaystyle x} به {\displaystyle x\_{0}} میل می‌کند

خواص تابع توزیع تجمعی
---------------------

* تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته به این شکل تعریف می‌شود:



F

X

(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=

∑

t
≤
x

P
(
t
)

{\displaystyle F\_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum \_{t\leq x}P(t)}

{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\sum _{t\leq x}P(t)}

* نمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسستهنمودار تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی گسسته

* تعریف تابع توزیع تجمعی برای متغیر تصادفی پیوسته به این شکل می‌شود :



F

X

(
x
)
=
P
(
X
≤
x
)
=

∫

t
≤
x

f
(
t
)
d
t

{\displaystyle F\_{X}(x)=P(X\leq x)=\int \_{t\leq x}f(t)dt}

{\displaystyle F_{X}(x)=P(X\leq x)=\int _{t\leq x}f(t)dt}

* تمام توابع توزیع تجمعی صعودی (ولی نه لزوماً اکیدا صعودی) و از راست پیوسته هستند.
* {\displaystyle 0\leq F\_{X}(x)\leq 1}
* {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }F(x)=0}
* {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }F(x)=1}
* اگر {\displaystyle x\_{1}\leq x\_{2}} باشد، آنگاه :


F

X

(

x

1

)
≤

F

X

(

x

2

)

{\displaystyle F\_{X}(x\_{1})\leq F\_{X}(x\_{2})}

{\displaystyle F_{X}(x_{1})\leq F_{X}(x_{2})}
* {\displaystyle P(X>x)=1-F\_{X}(x)}
* {\displaystyle P(x\_{1}<x\leq x\_{2})=F\_{X}(x\_{2})-F\_{X}(x\_{1})}
* اگر M میانه داده‌ها باشد داریم :



F

X

(
M
)
=

∫

−
∞

M

f
(
x
)
d
x
=

1
2

{\displaystyle F\_{X}(M)=\int \_{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}}

{\displaystyle F_{X}(M)=\int _{-\infty }^{M}f(x)dx={\frac {1}{2}}}

و این همان تعریف میانه است که نیمی از داده‌ها مقداری کمتر از M دارند.

مثال
----

فرض کنید X یک متغیر تصادفی پیوسته‌است که تابع چگالی احتمال آن به این شکل تعریف شده باشد:


f
(
x
)
=

{

0

x
≤
−
1


x
+
1

−
1
<
x
≤
0


1
−
x

0
<
x
<
1


0

x
≥
1



{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}}

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\x+1&-1<x\leq 0\\\\1-x&0<x<1\\\\0&x\geq 1\end{cases}}}

نمودار چگالی احتمال این متغیر تصادفی به شکل زیر خواهد بود:

* نمودار تابع چگالی احتمال این مثالنمودار تابع چگالی احتمال این مثال

با انتگرال‌گیری از تابع چگالی احتمال در هر بازه تابع توزیع تجمعی آن را به دست می‌آوریم و خواهیم داشت:


F
(
x
)
=

{

0

x
≤
−
1



1
2

(
x
+
1

)

2

−
1
<
x
≤
0


1
−

(
1
−
x

)

2

2

0
<
x
<
1


1

x
≥
0



{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}}

{\displaystyle F(x)={\begin{cases}0&x\leq -1\\\\{\frac {1}{2}}(x+1)^{2}&-1<x\leq 0\\\\1-{\frac {(1-x)^{2}}{2}}&0<x<1\\\\1&x\geq 0\end{cases}}}

* نمودار تابع توزیع تجمعی این مثالنمودار تابع توزیع تجمعی این مثال

تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع
-------------------------------

در این قسمت تابع توزیع تجمعی چند توزیع معروف و نمودار توزیع تجمعی آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

### توزیع طبیعی استاندارد

تابع چگالی احتمال توزیع طبیعی استاندارد برای ℝ {\displaystyle x\in } به شکل زیر تعریف می‌شود :


f
(
x
)
=

1

2
π

e

−

x

2

2


{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}}

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫

1

2
π

e

−

x

2

2

=

1
2

(

1
+

e
r
f



x
−
μ

σ

2



)

{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}

{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{\frac {-x^{2}}{2}}={\frac {1}{2}}\left(1+{\mathrm {erf} }\,{\frac {x-\mu }{\sigma {\sqrt {2}}}}\right)\!}

#### نمودار

* نمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استانداردنمودار تابع توزیع تجمعی برای توزیع طبیعی استاندارد

### توزیع پواسون

تابع جرم احتمال توزیع پواسون برای {1,2,3,...} {\displaystyle k\in } و {\displaystyle \lambda \in (0,\infty )} به شکل زیر تعریف می‌شود:


P
(
x
)
=



e

−
λ

λ

k

k
!



{\displaystyle P(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}}

{\displaystyle P(x)={\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}}

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F
(
x
)
=
∑
P
(
x
)
=
∑



e

−
λ

λ

k

k
!



=


Γ
(
k
+
1
,
λ
)

k
!



{\displaystyle F(x)=\sum P(x)=\sum {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}}

{\displaystyle F(x)=\sum P(x)=\sum {\displaystyle {\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\!}={\displaystyle {\frac {\Gamma (k+1,\lambda )}{k!}}\!}}

#### نمودار

* نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسوننمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه پواسون

### توزیع نمایی

تابع چگالی احتمال توزیع نمایی برای {\displaystyle x\geq 0} به شکل زیر تعریف می‌شود :


f
(
x
)
=
λ

e

−
λ
x

{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}

{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}

و تابع توزیع تجمعی آن برابر است با:


F
(
x
)
=
∫
f
(
x
)
d
x
=
∫
λ

e

−
λ
x

=
1
−

e

−
λ
x

{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}}

{\displaystyle F(x)=\int f(x)dx=\int \lambda e^{-\lambda x}=1-e^{-\lambda x}}

#### نمودار

* نمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع  دلخواه نمایینمودار تابع توزیع تجمعی برای چند توزیع دلخواه نمایی

تابع توزیع تجمعی برای توابع توام
--------------------------------

تابع توزیع تجمعی برایتوزیع احتمال توأم به این صورت تعریف می‌شود:



F

X

1

,

X

2

,
.
.
.
,

X

n

(

x

1

,

x

2

,
.
.
.
.
,

x

n

)
=
P
(

X

1

≤

x

1

,

X

2

≤

x

2

,
.
.
.
,

X

n

≤

x

n

)

{\displaystyle F\_{X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}(x\_{1},x\_{2},....x\_{n})=P(X\_{1}\leq x\_{1},X\_{2}\leq x\_{2},...X\_{n}\leq x\_{n})}

{\displaystyle F_{X_{1},X_{2},...X_{n}}(x_{1},x_{2},....x_{n})=P(X_{1}\leq x_{1},X_{2}\leq x_{2},...X_{n}\leq x_{n})}

توزیع توام
با این تعریف تابع توزیع تجمعی برای تابع دو متغیره {\displaystyle f\_{XY}(x,y)} به این شکل خواهد بود:



F

X
Y

(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)

{\displaystyle F\_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}

{\displaystyle F_{XY}(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}

ویژگی‌های این تابع همانند حالت یک متغیره خواهد بود. برخی از این ویژگی‌ها عبارتند از:

* {\displaystyle 0\leq F\_{X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}(x\_{1},x\_{2},....x\_{n})\leq 1}
* {\displaystyle \lim \_{x\_{1},x\_{2},...x\_{n}\to -\infty }F\_{X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}(x\_{1},x\_{2},....x\_{n})=0}
* {\displaystyle \lim \_{x\_{1},x\_{2},...x\_{n}\to \infty }F\_{X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}(x\_{1},x\_{2},....x\_{n})=1}
* {\displaystyle P(x\_{1}<x\leq x\_{2},y\_{1}<y\leq y\_{2})=F\_{XY}(x\_{2},y\_{2})-F\_{XY}(x\_{1},y\_{2})-F\_{XY}(x\_{2},y\_{1})+F\_{XY}(x\_{1},y\_{1})}

منابع
-----

1. 1 2 3
2. ↑  Probability and Statistics in Engineering And Management Science, William W. Hines, Douglas C. Montgomery, Third Edition, John Wiley and Sons, 1990, ISBN 0-471-60090-3.
3. ↑  Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition
4. ↑  «نسخه آرشیو شده» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۳۱ اکتبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
5. ↑  «نسخه آرشیو شده». بایگانی‌شده از اصلی در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸. دریافت‌شده در ۲۸ دسامبر ۲۰۱۸.
6. ↑

| * ن
* ب
* و
نظریه توزیع‌های احتمال |
| --- |
| 
* تابع جرم احتمال (pmf)
* تابع چگالی احتمال (pdf)
* تابع توزیع تجمعی (cdf)
* تابع چندک

 |  |
| 
* گشتاور خام
* central moment
* مقدار انتظاری
* واریانس
* انحراف معیار
* چولگی
* کشیدگی
* ال-گشتاور

 |
| 
* تابع مولد گشتاور (mgf)
* characteristic function
* تابع مولد احتمال (pgf)
* انباشتک
* combinant

 |