تابع گرین
**تابع گرین** به انگلیسی ( Green's function ) مفهومی است که اولین بار در دهه ۱۸۳۰ توسط جرج گرین ریاضی دان انگلیسی مطرح شد. به طور کلی تابع گرین هسته انتگرال است که برای حل معادلات دیفرانسیل از جمله معادلات دیفرانسیل معمولی با شرایط اولیه یا مرزی و هم چنین مسائل دشوارتر مانند معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی غیرهمگن با شرایط مرزی مورد استفاده قرار میگیرد.
  

به طور دقیق فرض کنید عملگر دیفرانسیلی خطیL=L(x) که روی مجموعه ای از توزیع ها روی {\displaystyle D\subseteq {R^{n}}} عمل میکند داده شده است.یک تابع گرین در نقطه s ∈ Dمتناظر با عملگر L ، هر جواب معادله زیر است:  

{\displaystyle LG(x,s)=\delta (x-s)}

  

که {\displaystyle \delta } تابع دلتای دیراک است.در واقع G تابعی است که با اثر کردن عملگر دیفرانسیلی L روی آن تابع دلتای دیراک حاصل می شود.
با ضرب طرفین این رابطه در f(s) و انتگرال گیری خواهیم داشت:

{\displaystyle \int LG(x,s)f(s)ds=\int \delta (x-s)f(s)ds}

با استفاده از خواص تابع دلتای دیراک میدانیم عبارت سمت راست رابطه فوق برابر f(x) است، از طرفی چون عملگر L خطی است و فقط روی x اثر میکند عبارت سمت چپ رابطه فوق را میتوانیم به صورت زیر بنویسیم:

{\displaystyle L=(\int G(x,s)f(s)ds)}

این روند برای حل معادلات دیفرانسیل زیر که u=u(x) بسیار مفید است:

{\displaystyle Lu(x)=f(x)}
⇒
{\displaystyle Lu(x)=L(\int G(x,s)f(s)dx)}

{\displaystyle u(x)=\int G(x,s)f(s)ds}

خواص تابع گرین در بعد یک
------------------------

* شرط پیوستگی

تابع گرین مسئله اشتورم- لیوویل هموار پیوسته است یعنی: 

{\displaystyle [G(x,s)]\_{x=s^{-}}^{x=s^{+}}=0}
⇒
{\displaystyle G(x,s^{-})=G(x,s^{+})}

* شرط پرش:

{\displaystyle [{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dx} }}G(x,s)]\_{x=s^{-}}^{x=s^{+}}={\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {p(s)} }}}

به کمک این خواص میتوان تابع گرین مربوط به یک مسئله اشتورم- لیوویل هموار را مشخص کرد.

تابع گرین دو بعدی و سه بعدی
---------------------------

اگر در بعد دو و سه دامنه مورد نظر ناحیه D باشد آنگاه شرایط مرزی روی مرز D یعنی {\displaystyle \partial D}تعریف میشود.  

فرض میکنیم D کراندار باشد:

مشابه قسمت یک بعدی میتوانیم تابع گرین دو بعدی را نیز به صورت زیر تعریف کنیم:

{\displaystyle {\nabla }^{2}G(x,s)=\delta (x-s)}

با شرایط مرزی 

{\displaystyle aG(x,s)+bn.{\nabla }\_{x}G(x,s)=0}

که {\displaystyle \nabla } تابع گرادیان است.

برای تعیین تابع گرین ، گرادیان را حول نقاطی بررسی میکنیم که به s نزدیک اند:

{\displaystyle x=s+r}

{\displaystyle r={\begin{cases}r(cos\theta ,sin\theta ),&in2D,\\r(cos\theta sin\varphi ,sin\theta sin\varphi ,cos\varphi ),&in3D.\end{cases}}}

که {\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }
و {\displaystyle 0\leq \varphi \leq \pi }
  

{\displaystyle S\_{\beta }} رادایره ای به شعاع {\displaystyle \beta } در نظر میگیریم:

{\displaystyle S\_{\beta }=}{{\displaystyle {x:|x-s|=r\leq \beta }}}

{\displaystyle {x:|x-s|=r\leq \beta }}

{\displaystyle {\nabla }^{2}G(x,s)=\delta (x,s)}

{\displaystyle \int \_{S\_{\beta }}{\nabla }^{2}G(x,s)dx=\int \_{S\_{\beta }}\delta (x,s)dx}

طبق خاصیت تابع دلتای دیراک عبارت سمت راست رابطه فوق برابر یک است،از طرفی با توجه به قضیه دیورژانس خواهیم داشت :

{\displaystyle \int \_{\partial S\_{\beta }}\delta (x,s).ndl=1}
⇒
{\displaystyle \int \_{\partial S\_{\beta }}{\frac {\mathrm {\partial G} }{\mathrm {\partial n} }}(x,s)dl=1}

که {\displaystyle n=e\_{r}} بردار یکه در راستای شعاع و {\displaystyle dl=rd\theta } است .لذا داریم :

{\displaystyle \lim \_{\epsilon \to 0}\int \_{0}^{2\pi }{{\frac {\mathrm {\partial G} }{\mathrm {\partial r} }}r|\_{r=\epsilon }d\theta =1}}

با محاسبه انتگرال فوق تابع گرین بدست خواهد آمد که به فرم زیر است :

{\displaystyle G(x,s)={\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {2\pi } }}ln|x-s|}

با تکرار همین روند برای حالت سه بعدی داریم : {\displaystyle n=e\_{r}} , {\displaystyle ds=r^{2}sin(\varphi )d\theta } :

{\displaystyle \lim \_{\epsilon \to 0}\int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{2\pi }{{\frac {\mathrm {\partial G} }{\mathrm {\partial r} }}r^{2}|\_{r=\epsilon }sin\varphi d\theta d\varphi =1}}

با محاسبه عبارت فوق تابع گرین سه بعدی در ناحیه بی کران به فرم زیر خواهد شد :

{\displaystyle G(x,s)={\frac {\mathrm {-1} }{\mathrm {4\pi |x-s|} }}}

روش تعیین پاسخ صریح برای تابع گرین
----------------------------------

1.تعیین دو جواب مستقل خطی از معادله همگن به نام {\displaystyle u\_{R}(x),u\_{L}(x)} به طوری که {\displaystyle u\_{L}(x)} در شرط مرزی مربوط به نقطه a و
{\displaystyle u\_{R}(x)} هم در شرط مرزی همگن مربوط به نقطه b صدق کند.
  

2.تابع گرین را به فرم زیر بنویسید ;

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}c\_{L}(s)u\_{L}(x),&a\leq x\leq s,\\c\_{R}(s)u\_{R}(x),&s\leq x\leq L.\end{cases}}}

3.شرط پیوستگی

G(x,s)را در x=s اعمال کنید;

{\displaystyle c\_{L}(s)u\_{L}(s)=c\_{R}(s)u\_{R}(s)}

4.شرط پرش {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {dx} }}G(x,s)}

را در x=s اعمال کنید;

{\displaystyle c\_{R}(s){\frac {\mathrm {du\_{R}} }{\mathrm {dx} }}(s)-c\_{L}(s){\frac {\mathrm {du\_{L}} }{\mathrm {dx} }}(s)={\frac {\mathrm {1} }{\mathrm {p(s)} }}}

5.با حل روابط در مرحله 3و 4 مقادیر {\displaystyle c\_{L}(s),c\_{R}(s)} بدست خواهند آمد که به صورت زیر اند;

{\displaystyle c\_{L}(s)={\frac {\mathrm {u\_{R}(s)} }{\mathrm {p(s)W(s)} }}} , {\displaystyle c\_{R}(s)={\frac {\mathrm {u\_{L}(s)} }{\mathrm {p(s)W(s)} }}}

که W(s) رونسکین جواب های معادله همگن در نقطه s است.

مثال
----

معادله مستقل از زمان گرما را در نظر بگیرید.

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}u(x)} }{\mathrm {d} x^{2}}}=f(x)}

با شرایط مرزی {\displaystyle u(0)=u(L)=0}.ما جواب این مسئله را میتوانیم به فرم زیر بنویسیم:

{\displaystyle \int \_{0}^{L}f(s)G(x,s)ds}

که تابع گرین در رابطه زیر صدق میکند:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d^{2}G(x,s)} }{\mathrm {d} x^{2}}}=\delta (x-s)}

با شرایط مرزی {\displaystyle G(0,s)=0=G(L,s)}. حال با توجه به تعریف تابع دلتای دیراک در {\displaystyle x=s} داریم:

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}a+bx,&x<s,\\c+dx,&s<x.\end{cases}}}

با اعمال شرایط مرزی مسئله خواهییم داشت {\displaystyle a=c=0} و تابع گرین به فرم زیر خواهد شد:

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}bx,&x<s,\\d(x-L),&s<x.\end{cases}}}

با توجه به خاصیت پیوستگی تابع G در نقطه {\displaystyle x=s} داریم:

{\displaystyle bs=d(s-L)}

همچنین با شرط پرش روی مشتق در نقطه ی {\displaystyle x=s} داریم: {\displaystyle d-b=1}  

با حل دستگاه مقادیر b,d بدست خواهند آمد;{\displaystyle b={\frac {\mathrm {(s-L)} }{\mathrm {L} }}} و {\displaystyle d={\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {L} }}}
  

با جایگذاری مقادیر {\displaystyle b}و {\displaystyle d} در معادله داریم :

{\displaystyle G(x,s)={\begin{cases}{\frac {\mathrm {x} }{\mathrm {L} }}(s-L),&0\leq x\leq s,\\{\frac {\mathrm {s} }{\mathrm {L} }}(x-L),&s\leq x\leq L.\end{cases}}}

منابع
-----

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Green's function». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۴ دسامبر ۲۰۱۹.

| * ن
* ب
* و
توابع ریاضی |
| --- |
| مفاهیم | تابع یک به یک، تابع پوشا، تابع زوج و فرد، تابع تحلیلی، تابع برداری، تابع پیوسته، تابع دیفرانسیل‌پذیر، تابع یکنوا | *x* ↦ *f*(*x*) |
| توابع متعارف | تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع مثلثاتی، تابع نمایی (تابع هذلولوی)، قدر مطلق، لگاریتم |
| توابع مثلثاتی | سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، توابع وارون مثلثاتی، فهرست انتگرال توابع مثلثاتی، مشتق توابع مثلثاتی |
| توابع خاص | تابع بسل، تابع لژاندر، تابع پله‌ای، تابع گاما، تابع خطا، تابع چبیشف، تابع گرین، دلتای دیراک، تابع زتای ریمان، تابع هیون، تابع گاوسی، تابع دیریکله |

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* اسرائیل
* ژاپن
* جمهوری چک

 |