طبق **قضیه دی فینیتی** اگر دنباله‌ای بینهایت از متغیرهای تصادفی دودوییِ تعویض پذیر باشد آنگاه احتمال مشترک هر زیردنباله از دنباله اصلی مخلوطی از متغیرهای تصادفی برنولیِ مستقل با توزیع یکسان (IID) خواهد بود.

تعریف ریاضی
-----------

اگر {\displaystyle X\_{1},X\_{2},X\_{3},\cdots } دنباله‌ای بینهایت و تعویض پذیر از متغیرهای تصادفی دودویی باشد آنگاه یک توزیع پیشین منحصر به فرد که در معادله پایین آنرا {\displaystyle \pi (\cdot )} می‌نامیم وجود خواهد داشت که احتمال مشترک هر زیردنباله، مخلوطی از متغیرهای تصادفی برنولیِ مستقل با توزیع یکسان (IID) با توزیع پیشین {\displaystyle \pi (\cdot )} خواهد بود:

{\displaystyle {\begin{aligned}p(X\_{1}=x\_{1},X\_{2}=x\_{2},...X\_{n}=x\_{n})&=\int \prod \_{i=1}^{n}p(x\_{i}|\theta )\,\pi \left(\theta \right)d\left(\theta \right)\\&=\int \left(\prod \_{i=1}^{n}\theta ^{x\_{i}}\times (1-\theta )^{1-x\_{i}}\right)\,\pi \left(\theta \right)d\left(\theta \right)\\&=\int \left(\theta ^{\left({\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-{\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\right)\,\pi \left(\theta \right)d\left(\theta \right).\end{aligned}}}

در معادله خط پیشین {\displaystyle p(x\_{i}|\theta )} دارای توزیع برنولی است.

مثال
----

گلدان پلیا یک نمونه کلاسیک تعویض پذیری است. فرض کنید ما یک گلدان داریم که حاوی \gamma  توپ سفید و \alpha  توپ سیاه است. هر بار یک توپ را کاملاً به صورت تصادفی از گلدان برمی‌داریم رنگ آن را را ثبت کرده و توپ را به همراه یک توپ دیگر به همان رنگ به گلدان برمی‌گردانیم. هر بار که یک توپ جدید از گلدان برمی‌داریم یک متغیر تصادفی به اسم X\_{i} برای رنگ توپ تعریف می‌کنیم. {\displaystyle X\_{i}=1} اگر رنگ توپ سیاه باشد و در غیر اینصورت {\displaystyle X\_{i}=0}. هر چه تعداد متغیرهای تصادفی قبل از X\_{i} که یک هستند بیشتر باشد، احتمال اینکه X\_{i} نیز یک شود بیشتر خواهد شد، چه که توپ‌های سیاه بیشتری به گلدان اضافه شده‌اند. از این رو این متغیرها نسبت به هم مستقل نیستند، اما همان‌طور که در پایین نشان خواهیم داد این متغیرها تعویض‌پذیرند.

فرض کنیم که n بار از گلدان توپ برداریم، و از این n دفعه k بار توپ سیاه و {\displaystyle n-k} بار توپ سفید دیده باشیم. بار اول تعداد توپ‌های گلدان {\displaystyle \gamma +\alpha } است، بار دوم این تعداد {\displaystyle \gamma +\alpha +1} خواهد بود الی آخر. پس در دفعه i ام، تعداد توپ‌های ما {\displaystyle \gamma +\alpha +i-1} خواهد بود. حال فرض کنیم که تمام توپ‌های سیاه را قبل از توپ‌های سفید دیده باشیم، احتمال این رویداد عبارت پایین می‌شود:

{\displaystyle {\frac {\alpha }{\gamma +\alpha }}\times {\frac {\alpha +1}{\gamma +\alpha +1}}\times \cdots \times {\frac {\alpha +k-1}{\gamma +\alpha +k-1}}\times {\frac {\gamma }{\gamma +\alpha +k}}\times {\frac {\gamma +1}{\gamma +\alpha +k+1}}\cdots {\frac {\gamma +n-k-1}{\gamma +\alpha +n-1}}}

حال باید ثابت کنیم که اگر ترتیب توپ‌های سیاه و سفید به صورت دلخواه عوض شوند تغییری در احتمال نهائی پیش نخواهد آمد. همان‌طور که در خط بالا می‌بینیم مخرج کسرها با تغییر ترتیب توپ‌ها تغییر نخواهد کرد، همیشه در دور iام مخرج کسر ما {\displaystyle \gamma +\alpha +i-1} خواهد بود، زیرا در این دور این تعداد توپ در گلدان است. اگر jامین توپ سیاه را در دور t ببینم احتمال {\displaystyle X\_{t}=1} با {\displaystyle {\frac {\alpha +j-1}{\gamma +\alpha +t-1}}} برابر خواهد بود، یعنی صورت احتمال با {\displaystyle \alpha +j-1} برابر خواهد شد. با استدلالی مشابه می‌توان صورت احتمال برای توپ‌های سفید را هم محاسبه کرد. ازین رو احتمال نهائی با عبارت پایین برابر خواهد شد (حاصلضرب مخرج‌ها در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سیاه در حاصلضرب صورتها برای توپ‌های سفید):

{\displaystyle {\begin{aligned}p(X\_{1}=x\_{1},X\_{2}=x\_{2},...X\_{n}=x\_{n})&={\frac {\prod \_{i=1}^{k}\left(\alpha +i-1\right)\times \prod \_{i=1}^{n-k}\left(\gamma +i-1\right)}{\prod \_{i=1}^{n}\left(\gamma +\alpha +i-1\right)}}\\&={\frac {\left(\alpha +k-1\right)!\times \left(\gamma +n-k-1\right)!\times \left(\alpha +\gamma -1\right)!}{\left(\alpha -1\right)!\times \left(\gamma -1\right)!\left(\alpha +\gamma +n-1\right)!}}\end{aligned}}}
این احتمال به ترتیب دیدن توپ‌های سیاه و سفید مربوط نمی‌شود و فقط به تعدا کل توپ‌های سفید و تعداد کل توپ‌های سیاه بستگی دارد.

طبق قضیه دی فینیتی برای این دنباله باید یک توزیع پیشین منحصر به فرد وجود داشته باشد که احتمال مشترک آنرا مخلوطی از احتمالات برنولی کند. می‌توان نشان داد که این توزیع پیشین، توزیع بتا با پارامترهای {\displaystyle \beta \left(\cdot ;\,\gamma ,\,\alpha \right)} است. در قضیه دی فینیتی اگر {\displaystyle \pi (\cdot )} را با {\displaystyle \beta \left(\cdot ;\,\gamma ,\,\alpha \right)} جایگزین کنیم به معادله قبلی می‌رسیم:

{\displaystyle {\begin{aligned}p(X\_{1}=x\_{1},X\_{2}=x\_{2},...X\_{n}=x\_{n})&=\int \theta ^{\left({\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-{\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\,\beta \left(\theta ;\alpha ,\,\gamma \right)d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-{\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}\theta ^{\gamma -1}(1-\theta )^{\alpha -1}d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\gamma -1+\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n+\alpha -1-{\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}\right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}d\left(\theta \right)\\&=\int \theta ^{\left({\gamma +k-1}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-k-1+\alpha \right)}\,{\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}d\left(\theta \right)\\&={\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}\int \theta ^{\left({\gamma +k-1}\right)}\times \left(1-\theta \right)^{\left(n-k+\alpha -1\right)}\,d\left(\theta \right)\\&={\dfrac {(\alpha +\gamma -1)!}{(\alpha -1)!\,(\gamma -1)!}}{\dfrac {\Gamma (\alpha +n-k)\Gamma (\gamma +k)}{\Gamma (\alpha +\gamma +n)}}\\&={\dfrac {\left(\alpha +k-1\right)!\times \left(\gamma +n-k-1\right)!\times \left(\alpha +\gamma -1\right)!}{\left(\alpha -1\right)!\times \left(\gamma -1\right)!\left(\alpha +\gamma +n-1\right)!}}\end{aligned}}}

در این معادله {\displaystyle k=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}.

منابع
-----

1. 1 2  Szekely, G.  J.; Kerns, J.  G. (2006). "De Finetti's theorem for abstract finite exchangeable sequences". *Journal of Theoretical Probability*. **19** (3): 589–608. doi:10.1007/s10959-006-0028-z.
2. ↑  Diaconis, P.; Freedman, D. (1980). "Finite exchangeable sequences". *Annals of Probability*. **8** (4): 745–764. doi:10.1214/aop/1176994663. MR 0577313. Zbl 0434.60034.
3. 1 2 3  Hoppe, Fred M (1984). "Polya-like urns and the Ewens' sampling formula". *Journal of Mathematical Biology* (به انگلیسی). **20** (1): 91–94. doi:10.1007/bf00275863. ISSN 0303-6812.[*پیوند مرده*]

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |