در بهینه‌سازی ریاضی، **شرایط کاروش–کون–تاکر** (KKT) شرایط لازم مرتبه اول برای یک راه حل در مسئله بهینه‌سازی محدب غیرخطی می‌باشند. هنگامی که مسئله اولیه محدب باشند شرایط KKT برای نقاط بهینه مسئله اولیه و مسئله دوگان صادق هستند، یا به عبارت دیگر فاصله دوگانی صفر می‌باشد. شرایط KKT نقش مهمی در بهینه‌سازی بازی می‌کند. موارد بسیار کمی هست که بتوان شرایط KKT را به صورت تحلیلی حل کرد. در بیشتر موارد باید از الگوریتم‌های بهینه‌سازی استفاده کرد.

مسئله بهینه‌سازی غیرخطی
-----------------------

مسئله بهینه‌سازی غیرخطی به شکل زیر را در نظر بگیرید:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {minimize} \quad &f(x)\\\mathrm {subject\ to} \quad &g\_{i}(x)\leq 0;\quad i\in \left\{1,\dots ,m\right\}\\&h\_{j}(x)=0;\quad j\in \left\{1,\dots ,\ell \right\}\end{aligned}}}mtfc

شرایط KKT و دوگانی مؤکد
-----------------------

شرایط KKT در حقیقت شرایط لازم برای برقراری دوگانی مؤکد در مسائل دوگان هست. در مسائل محدب شرایط KKT شرایط لازم و کافی برای دوگانی مؤکد هست.

شرایط KKT در مسئله بهینه‌سازی محدب
----------------------------------

KKT در مسائل بهینه‌سازی محدب دارای چهار شرط زیر است:

۱-مسئله اولیه شدنی باشد

{\displaystyle g\_{i}(x^{\*})\leq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}
{\displaystyle h\_{j}(x^{\*})=0,{\text{ for }}j=1,\ldots ,\ell \,\!}
۲-مسئله دوگان شدنی باشد

{\displaystyle \mu \_{i}\geq 0,{\text{ for }}i=1,\ldots ,m}
۳-شرط Complementary slackness برقرار باشد

{\displaystyle \mu \_{i}g\_{i}(x^{\*})=0,{\text{ for }}\;i=1,\ldots ,m.}
۴-شرط ایستا برقرار باشد

{\displaystyle -\nabla f(x^{\*})=\sum \_{i=1}^{m}\mu \_{i}\nabla g\_{i}(x^{\*})+\sum \_{j=1}^{\ell }\lambda \_{j}\nabla h\_{j}(x^{\*}),}
یک x,λ,μ در چهار رابطه فوق به دست می‌آید، که این مقادیر پاسخ‌های بهینه مسئله اولیه و دوگان هستند.

پانویس
------

1. ↑  Boyd, Stephen, and Lieven Vandenberghe (۲۰۰۴). *Convex optimization*. Cambridge university press.نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (رده)
2. ↑  Edwin Kah Pin Chong,An Introduction to Optimization,September 23, 2011

| * ن
* ب
* و
بهینه‌سازی: تئوری، روش‌ها، و ابتکارها |
| --- |
| 

| برنامه‌سازی نامقید غیرخطی: روش‌ها با استفاده از |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| … تابع‌ها | 
* Golden section search
* Interpolation methods
* Line search
* روش نلدر - مید
* Successive parabolic interpolation

 |
| … و گرادیان‌ها | 

|  |  |
| --- | --- |
| Convergence | 
* Trust region
* Wolfe conditions

 |
| Quasi–Newton | 
* روش بی‌اف‌جی‌اس and L-BFGS
* DFP
* Symmetric rank-one (SR1)

 |
| Other methods | 
* Gauss–Newton
* Gradient
* الگوریتم لونبرگ-مارکارد
* Conjugate gradient

 |

 |
| … و هشین‌ها | 
* Newton's method

 |

 |

 | The graph of a strictly concave quadratic function is shown in blue, with its unique maximum shown as a red dot. Below the graph appears the contours of the function: The level sets are nested ellipses.Optimization computes maxima and minima. |
| 

| برنامه‌سازی مقید غیرخطی |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| کلی | 
* Barrier methods
* روش پنالتی

 |
| مشتق‌پذیر | 
* Augmented Lagrangian methods
* Sequential quadratic programming
* Successive linear programming

 |

 |

 |
| 

| بهینه‌سازی محدب |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| بهینه‌سازی محدب | 
* Cutting-plane method
* Reduced gradient (Frank–Wolfe)
* Subgradient method

 |
| برنامه‌ریزی خطی ودرجه دو | 

|  |  |
| --- | --- |
| برنامه‌ریزی خطی | 
* Ellipsoid algorithm of Khachiyan
* الگوریتم کارمارکار

 |
| Basis-الگوریتم حریصانه | 
* الگوریتم غیر مرکب
* Revised simplex algorithm
* Criss-cross algorithm
* Principal pivoting algorithm of Lemke

 |

 |

 |

 |
| 

| بهینه‌سازی ترکیبیاتی |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| الگو‌ها | 
* الگوریتم تقریبی
* برنامه‌ریزی پویا
* الگوریتم حریصانه
* بهینه‌سازی خطی عدد صحیح
	+ شاخه و حد یا شاخه و برش

 |
| الگوریتم‌هایگراف | 

|  |  |
| --- | --- |
| درخت پوشای کمینه | 
* الگوریتم بلمن–فورد
* الگوریتم بروکا
* الگوریتم دیکسترا
* الگوریتم فلوید-وارشال
* الگوریتم جانسون
* الگوریتم کراسکال

 |

 |
| شبکه شاره | 
* الگوریتم دینیک
* الگوریتم ادموندز کارپ
* الگوریتم فورد–فالکرسون
* الگوریتم ارسال-برچسب

 |

 |

 |
| 

| الگوریتم‌های فراابتکاری |
| --- |
| 
* الگوریتم تکاملی
* الگوریتم تپه‌نوردی
* الگوریتم جستجوی محلی (بهینه‌سازی)
* الگوریتم تبرید شبیه‌سازی شده
* الگوریتم جستجوی ممنوعه

 |

 |
| 
* **رده‌ها**
	+ روش‌ها
	+ ابتکارها
* **نرم‌افزارها**

 |