نمونه هایی از ابربیضی با {\displaystyle a=1,\ b=0.75}
**ابربیضی** که به یاد گابریل لامه با نام **منحنی لامه** نیز شناخته می‌شود، منحنی بسته‌ای مشابه بیضی است که جنبه‌های هندسی آن شامل نیم‌قطر بزرگ، نیم‌قطر کوچک و تقارن حول آنها را حفظ می‌کند، ولی شکل کلی متفاوتی دارد.

در دستگاه مختصات دکارتی، مجموعه نقاط روی منحنی معادلهٔ زیر را ارضا می‌کنند:

{\displaystyle \left|{\frac {x}{a}}\right|^{n}\!+\left|{\frac {y}{b}}\right|^{n}\!=1,}

که در آن *n* و *a* و *b* اعدادی مثبت هستند و خط‌های عمودی پیرامون یک عدد، قدر مطلق آن را نشان می‌دهند.

موارد ویژه
----------

این فرمول به تعریف منحنی بسته‌ای می‌پردازد که در مستطیلی به ابعاد *2a* و *2b* محاط است. پارامترهای *a* و *b* را نیم‌قطرهای منحنی می‌نامند.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle 0<n<1} | ابربیضی شبیه ستارهٔ چهارپر با اضلاع مقعر است.
در حالت خاص *n* = ۱/۲، هر یک از چهار کمان بخشی از سهمی است. | ابربیضی با *n* = 1⁄2, *a* = *b* = 1 |
| {\displaystyle n=1} | منحنی متوازی‌الأضلاعی با رأس‌های (‎±*a*, 0) و (‎0, ±*b*) است. |  |
| {\displaystyle 1<n<2} | منحنی شبیه متوازی‌الأضلاعی با همان رئوس ولی با اضلاع محدب است. با نزدیک شدن به نقاط انتهایی، انحنا افزایش می یابد و حد ندارد. | ابربیضی با *n* = 3⁄2, *a* = *b* = 1 |
| {\displaystyle n=2} | منحنی به صورت بیضی معمولی است (در حالت خاص اگر *a* = *b* باشد تبدیل به دایره می‌شود). |  |
| n>2 | منحنی شکلی شبیه مستطیل با لبه‌های گرد پیدا می‌کند. در نقاط (‎±*a*, 0) و (‎0, ±*b*) انحنا برابر صفر است. | ابربیضی با *n* = 4, *a* = *b* = 1 |

ویژگی‌های ریاضی
---------------

اگر *n* عدد گویای مثبتی به شکل *p*/*q* باشد، هر ربع ابربیضی منحنی جبری از مرتبهٔ *pq* است. در حالت خاص ‎*a*=*b*=۱ و n زوج، منحنی فرما از درجهٔ n خواهد بود. اگر صورت کسر زوج نباشد، منحنی از اجزای منحنی جبری مشابهی در راستاهای مختلف تشکیل می‌شود.

می توان منحنی را با معادلات پارامتری زیر (که پارامتر *t* تفسیر هندسی ندارد) توصیف کرد:

{\displaystyle \left.{\begin{aligned}x\left(t\right)&=\pm a\cos ^{\frac {2}{n}}t\\y\left(t\right)&=\pm b\sin ^{\frac {2}{n}}t\end{aligned}}\right\}\qquad 0\leq t\leq {\frac {\pi }{2}}}

به ازای هر مقدار *t* چهار نقطه روی منحنی مشخص می‌شود. معادل آن می‌توان برای t در بازهٔ {\displaystyle 0\leq t<2\pi } تعریف کرد:

{\displaystyle {\begin{aligned}x\left(t\right)&={|\cos t|}^{\frac {2}{n}}\cdot a\operatorname {sgn}(\cos t)\\y\left(t\right)&={|\sin t|}^{\frac {2}{n}}\cdot b\operatorname {sgn}(\sin t)\end{aligned}}}

که در آن تابع علامت به صورت زیر تعریف می‌شود:

{\displaystyle \operatorname {sgn}(w)={\begin{cases}-1,&w<0\\0,&w=0\\+1,&w>0.\end{cases}}}

می توان مساحت ابربیضی را برحسب تابع گاما بیان کرد:

{\displaystyle \mathrm {Area} =4ab{\frac {\left(\Gamma \left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)\right)^{2}}{\Gamma \left(1+{\tfrac {2}{n}}\right)}}.}

جستارهای وابسته
---------------

* مثلث رولو

منابع
-----

1. ↑  For a derivation of the algebraic equation in the case where *n* = 2/3, see p. 3 of .

پیوند به بیرون
--------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ ابربیضی موجود است. |

* Sokolov, D.D. (2001) [1994], "Lamé curve", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press
* "Lamé Curve" at MathCurve.
* Weisstein, Eric W. "Superellipse". *MathWorld*.
* O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Lame Curves", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews
* "Super Ellipse" on 2dcurves.com
* Superellipse Calculator & Template Generator
* C code for fitting superellipses