در ریاضیات، بخصوص در نظریه گروه‌ها، **مرکزساز** (همچنین به آن **جابجاگر** هم می گویند) یک زیر مجموعه S از گروهی چون G، مجموعه تمام عناصر G است که با هر کدام از عناصر S جابجا می شود، و **نرمال‌ساز** یک مجموعه چون S عناصری اند که در شرط ضعیف تری صدق می کنند. مرکزساز و نرمال‌ساز S زیرگروه‌هایی از G اند و می توانند در فهم ساختار G کمک کنند. 

این تعاریف به مونوئیدها و نیم‌گروه‌ها نیز قابل اعمال اند. 

در نظریه حلقه‌ها، **مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه** بر اساس عملگر (ضربی) نیم‌گروه حلقه تعریف می شود. مرکزساز یک زیرمجموعه از یک حلقه R زیر حلقه ای از R است. این مقاله همچنین با مرکزسازها و نرمال‌سازهای جبر لی نیز نیز سروکار خواهد داشت.

ایده‌آل‌ساز در یک نیم‌گروه یا حلقه سازه دیگری است که از جهاتی شبیه مرکزساز و نرمال‌ساز می باشد.

تعاریف
------

### گروه و نیم‌گروه

**مرکزساز** یک زیرمجموعه S از یک گروه (یا نیم‌گروه) G به این صورت تعریف شده است:

{\displaystyle \mathrm {C} \_{G}(S)=\{g\in G\mid gs=sg{\text{ for all }}s\in S\}.}
مواقعی که هیچ ابهامی در مورد گروه مورد نظر در مسئله وجود نداشته باشد، حرف G در نماد مرکزساز به کل حذف می شود. زمانی که {\displaystyle S={a}} یک تک عضوی باشد، آنگاه {\displaystyle C\_{G}({a})} را می توان به صورت {\displaystyle C\_{G}(a)} خلاصه کرد. نماد دیگری که برای مرکزساز کمتر رایج است {\displaystyle Z(a)} بوده که برای نماد مرکز گروه هم به کار می رود. کسی که از نماد اخیر برای مرکزساز استفاده می کند باید مراقب باشد تا مرکز گروه G یعنی {\displaystyle Z(G)} را با *مرکزساز* عضو g در G که به صورت {\displaystyle Z(g)} ممکن است نوشته شود خلط نکرده و بینشان تمایز قائل شود. 

**نرمال‌ساز** S در گروه (یا نیم‌گروه) G به این صورت تعریف می شود:

{\displaystyle \mathrm {N} \_{G}(S)=\{g\in G\mid gS=Sg\}.}
تعاریف این دو مشابه اند اما یکی نیستند. اگر g مرکزساز S و s در S باشد، آنگاه ممکن است {\displaystyle gs=sg} باشد اما اگر g در نرمال‌ساز قرار داشته باشد آنگاه برای یک t در S داریم {\displaystyle gs=tg} که در آن t قویاً با s متفاوتست. یعنی عناصر مرکزساز S باید به صورت نقطه ای با S جابجا شوند، اما عناصر نرمال‌ساز S الزاماً تنها با S به عنوان یک مجموعه جابجا می شوند. همان قرارداد در مورد حذف نماد G و حذف آکولاد برای مجموعه تک عضوی در مرکزساز، برای نرمال‌ساز هم صدق می کند. نرمال‌ساز را نباید با بستار نرمال اشتباه گرفت.

یادداشت‌ها
----------

1. ↑  Kevin O'Meara; John Clark; Charles Vinsonhaler (2011). *Advanced Topics in Linear Algebra: Weaving Matrix Problems Through the Weyr Form*. Oxford University Press. p. 65. ISBN 978-0-19-979373-0.
2. ↑  Karl Heinrich Hofmann; Sidney A. Morris (2007). *The Lie Theory of Connected Pro-Lie Groups: A Structure Theory for Pro-Lie Algebras, Pro-Lie Groups, and Connected Locally Compact Groups*. European Mathematical Society. p. 30. ISBN 978-3-03719-032-6.
3. ↑  Jacobson (2009), p. 41

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Centralizer and Normalizer». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۳۰ اوت ۲۰۱۹.

منابع
-----

* Isaacs, I. Martin (2009), *Algebra: a graduate course*, Graduate Studies in Mathematics, vol. 100 (reprint of the 1994 original ed.), Providence, RI: American Mathematical Society, doi:10.1090/gsm/100, ISBN 978-0-8218-4799-2, MR 2472787
* Jacobson, Nathan (2009), *Basic Algebra*, vol. 1 (2 ed.), Dover Publications, ISBN 978-0-486-47189-1
* Jacobson, Nathan (1979), *Lie Algebras* (republication of the 1962 original ed.), Dover Publications, ISBN 0-486-63832-4, MR 0559927