در هندسه اقلیدسی، **فرمول براهْماگوپتا** دستوری برای یافتن مساحت هر چهار ضلعی محاطی با دانستن طول اضلاع یک چهارضلعی دلخواه است.

فرمول
-----

فرض کنیم مساحت چهارضلعی *K* باشد و طول اضلاع آن *a*, *b*, *c*, *d* باشد. در این صورت فرمول براهماگوپتا بدین قرار است:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}}
که در آن *s* برابر نصف محیط است:

{\displaystyle s={\frac {a+b+c+d}{2}}.}
این فرمول تعمیمی از فرمول هرون است. مثلث را می‌توان چهار ضلعی ای در نظر گرفت که طول یکی از اضلاع آن صفر است. از این منظر، با نزدیک کردن *d* به صفر، چهار ضلعی محاطی به یک مثلث محاطی تبدیل می‌شود (همه مثلث‌ها محاطی هستند)، و فرمول برهماگوپتا به فرمول هرون تبدیل می‌شود.

اگر نخواهیم از نصف محیط در فرمول براهماگوپتا استفاده کنیم فرمول بدین صورت خواهد بود:

{\displaystyle K={\frac {1}{4}}{\sqrt {(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}}.}
هم‌ارز دیگر آن این است:

{\displaystyle K={\frac {\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2})^{2}+8abcd-2(a^{4}+b^{4}+c^{4}+d^{4})}}{4}}\cdot }

اثبات
-----

 نمودار مرجع
### اثبات مثلثاتی

مساحت چهار ضلعی محاطی *K* برابر با حاصل جمع مساحت مثلث‌های △*ADB* و △*BDC* است:

{\displaystyle ={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin C.}
اما از آنجایی که *ABCD* یک چهار ضلعی محاطی است پس، ∠*DAB* = ۱۸۰° − ∠*DCB*.

از این رو sin *A* = sin *C*

پس:

{\displaystyle K={\frac {1}{2}}pq\sin A+{\frac {1}{2}}rs\sin A}
{\displaystyle K^{2}={\frac {1}{4}}(pq+rs)^{2}\sin ^{2}A}
{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}(1-\cos ^{2}A)}
برای پیدا کردن ضلع مشترک *DB* در △*ADB* و △*BDC* از قانون کسینوس‌ها استفاده می‌کنیم:

{\displaystyle p^{2}+q^{2}-2pq\cos A=r^{2}+s^{2}-2rs\cos C.}
با توجه بهcos *C* = −cos *A* (از آنجایی که زوایای *A* و *C* مکمل هستند) داریم:

{\displaystyle 2(pq+rs)\cos A=p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}.}
رابطهٔ بالا را در معادله ای که ابتدا به دست آوردیم جایگذاری می‌کنیم:

{\displaystyle 4K^{2}=(pq+rs)^{2}-{\frac {1}{4}}(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}}
{\displaystyle 16K^{2}=4(pq+rs)^{2}-(p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2})^{2}.}
سمت راست به فرم *a*2 − *b*2 = (*a* − *b*)(*a* + *b*) است پس توان نوشت:

{\displaystyle [2(pq+rs)-p^{2}-q^{2}+r^{2}+s^{2}][2(pq+rs)+p^{2}+q^{2}-r^{2}-s^{2}]}
که با ساده کردن عبارت در براکت‌ها، می‌دهد:

{\displaystyle =[(r+s)^{2}-(p-q)^{2}][(p+q)^{2}-(r-s)^{2}]}
{\displaystyle =(q+r+s-p)(p+r+s-q)(p+q+s-r)(p+q+r-s).}
نیم قطر(*S* = *p* + *q* + *r* + *s*/2) را در فرمول وارد می‌کنیم:

{\displaystyle 16K^{2}=16(S-p)(S-q)(S-r)(S-s).}
از دو طرف جذر می‌گیریم:

{\displaystyle K={\sqrt {(S-p)(S-q)(S-r)(S-s)}}.}
### اثبات غیر مثلثاتی

اثبات جایگزین و غیر مثلثاتی نیز وجود دارد که از دو کاربرد فرمول هرون در مثلث‌های مشابه استفاده می‌کند.

استفاده در چهارضلعی‌های غیر محاطی
---------------------------------

در مورد چهارگوشه‌های غیر محاطی، فرمول برهماگوپتا قابل تعمیم است ولی باید اندازهٔ دو زاویه مقابل چهار ضلعی را در نظر بگیریم:

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-abcd\cos ^{2}\theta }}}
گه در آن *θ* برابر میانگین دو زاویهٔ مقابل است. (توجه کنید که انتخاب هر کدام از جفت زاویه‌های مقابل تأثیری در نتیجه ندارد: اگر دو زاویه مقابل دیگر گرفته شود، میانگین آنها برابر با ۱۸۰° − *θ* می‌شود و از آنجایی که cos(180° − *θ*) = −cos *θ*، cos2(180° − *θ*) = cos2 *θ*. نتیجه فرقی نمی‌کند) این فرمول تعمیم یافته با نام فرمول Bretschneider نیز شناخته می‌شود.

{\displaystyle abcd\cos ^{2}\theta =abcd\cos ^{2}\left(90^{\circ }\right)=abcd\cdot 0=0,}
یک فرمول مرتبط، که Coolidge آن را اثبات کرده‌است و با آن می‌توان مساحت تمام چهار ضلعی‌های محدب را حساب کرد. این فرمول است

{\displaystyle K={\sqrt {(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)-\textstyle {1 \over 4}(ac+bd+pq)(ac+bd-pq)}}}
که در آن *p* و *q* طول قطرهای چهار ضلعی است. در یک چهارگوش محاطی، بر اساس قضیه بطلمیوس *pq* = *ac* + *bd*، و با این جایگذاری فرمول Coolidge به فرمول براهما گوپتا تقلیل میابد.

قضایای مرتبط
------------

* فرمول هرون برای مساحت مثلث حالت خاصی است که وقتی *d* = ۰ باشد حاصل می‌شود.
* رابطه بین فرم اصلی و تعمیم یافتهٔ فرمول برهماگوپتا شبیه به نحوه تعمیم قضیه فیثاغورس به قانون کسینوس‌ها.
* فرمول‌های حالت بسته برای محاسبهٔ چند ضلعی‌های محاطی وجود دارند که به‌طور فزاینده ای پیچیده هستند.

منابع
-----

1. ↑  Hess, Albrecht, "A highway from Heron to Brahmagupta", *Forum Geometricorum* 12 (2012), 191–192.
2. ↑  J. L. Coolidge, "A Historically Interesting Formula for the Area of a Quadrilateral", *American Mathematical Monthly*, **46** (1939) pp. 345-347.
3. ↑  Maley, F. Miller; Robbins, David P.; Roskies, Julie (2005). "On the areas of cyclic and semicyclic polygons". *Advances in Applied Mathematics*. **34** (4): 669–689. arXiv:math/0407300. doi:10.1016/j.aam.2004.09.008.

پیوند به بیرون
--------------

* فرمول براهماگوپتا at ProofWiki
* Weisstein, Eric W. "فرمول براهماگوپتا". *MathWorld*.

* فرمول براهماگوپتا at ProofWiki
* Weisstein, Eric W. "Brahmagupta's Formula". *MathWorld*.

*This article incorporates material from proof of Brahmagupta's formula on PlanetMath, which is licensed under the Creative Commons Attribution/Share-Alike License.*