در جبر، **فرمولِ لایبنیتس**، دترمینانِ یک ماتریس مربعی {\displaystyle A=(a\_{ij})\_{i,j=1,\dots ,n}} را نشان می‌دهد. فرمول به افتخارِ گوتفرید لایبنیتس ریاضی‌دانِ آلمانی نام‌گذاری شده‌است و عبارت است از:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}a\_{i,\sigma (i)}}
برایِ یک ماتریسِ *n*×*n* که sgn تابع علامتِ مخصوصِ جایگشت‌ها در گروه جایگشت‌هایِ *S**n* است که مقدارِ +۱ یا -۱ را به ترتیب برایِ جایگشت‌های زوج یا جایگشت‌هایِ فرد برمی‌گرداند.

یک شیوه‌ی رایج دیگر از نشان‌گذاری آن، استفاده از نماد لوی-چیویتا است که با قرارداد جمع‌زنی اینشتین به رابطه‌ی زیر تبدیل می‌شود:

{\displaystyle \det(A)=\epsilon ^{i\_{1}\cdots i\_{n}}{A}\_{1i\_{1}}\cdots {A}\_{ni\_{n}},}
که در بین فیزیک‌دانان کاربرد بیشتری دارد.

اثبات
-----

**قضیه**
تنها یک تابع چون

{\displaystyle F:{\mathfrak {M}}\_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K} }
وجود دارد که پادمتقارن است، نسبت به ستون‌ها خطی است و مقدار آن به ازایِ ماتریس همانی برابر است با ۱:
{\displaystyle F(I)=1}.

**یکتایی:** فرض می‌کنیم که F چنین تابعی باشد و قرار می‌دهیم {\displaystyle A=(a\_{i}^{j})\_{i=1,\dots ,n}^{j=1,\dots ,n}} که یک ماتریسِ {\displaystyle n\times n} است. {\displaystyle A^{j}} را به عنوانِ jام از ماتریسِ A می‌خوانیم به عنوان مثال {\displaystyle A^{j}=(a\_{i}^{j})\_{i=1,\dots ,n}}. بنابراین داریم: {\displaystyle A=\left(A^{1},\dots ,A^{n}\right).}

هم‌چنین قرارداد می‌کنیم که {\displaystyle E^{k}} ستونِ kام از ماتریسِ یکه را نشان دهد.

حال می‌توانیم هر یک از ستون‌هایِ {\displaystyle A^{j}}را بر حسب {\displaystyle E^{k}} نمایش دهیم:

{\displaystyle A^{j}=\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{j}E^{k}}.
از آن‌جا که F خطی است داریم:

{\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=F\left(\sum \_{k\_{1}=1}^{n}a\_{k\_{1}}^{1}E^{k\_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum \_{k\_{1}=1}^{n}a\_{k\_{1}}^{1}F\left(E^{k\_{1}},A^{2},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum \_{k\_{1}=1}^{n}a\_{k\_{1}}^{1}\sum \_{k\_{2}=1}^{n}a\_{k\_{2}}^{2}F\left(E^{k\_{1}},E^{k\_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\sum \_{k\_{1},k\_{2}=1}^{n}\left(\prod \_{i=1}^{2}a\_{k\_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k\_{1}},E^{k\_{2}},A^{3},\dots ,A^{n}\right)\\&=\cdots \\&=\sum \_{k\_{1},\dots ,k\_{n}=1}^{n}\left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{k\_{i}}^{i}\right)F\left(E^{k\_{1}},\dots ,E^{k\_{n}}\right).\end{aligned}}}
از پادمتقارن بودن ماتریس نتیجه می‌گیریم که اگر {\displaystyle k\_{1}=k\_{2}} آن‌گاه:

{\displaystyle {\begin{aligned}\\F\left(\dots ,E^{k\_{1}},\dots ,E^{k\_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k\_{2}},\dots ,E^{k\_{1}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k\_{1}},\dots ,E^{k\_{2}},\dots \right)&=-F\left(\dots ,E^{k\_{1}},\dots ,E^{k\_{2}},\dots \right)\\F\left(\dots ,E^{k\_{1}},\dots ,E^{k\_{2}},\dots \right)&=0\end{aligned}}}
As the above sum takes into account all the possible choices of ordered n-tuples {\displaystyle \left(k\_{1},\dots ,k\_{n}\right)}، and because {\displaystyle k\_{i\_{1}}=k\_{i\_{2}}} implies that F is zero, the sum can be reduced from all tuples to جایگشت as

{\displaystyle \sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)F(E^{\sigma (1)},\dots ,E^{\sigma (n)}).}
Because F is alternating, the columns E can be swapped until it becomes the identity. The sign function \operatorname{sgn}(\sigma ) is defined to count the number of swaps necessary and account for the resulting sign change. One finally gets:

{\displaystyle {\begin{aligned}F(A)&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod \_{i=1}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)F(I)\\&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\end{aligned}}}
as {\displaystyle F(I)} is required to be equal to 1.

Therefore no function besides the function defined by the Leibniz Formula is a multilinear alternating function with {\displaystyle F\left(I\right)=1}.

**Existence:** We now show that F, where F is the function defined by the Leibniz formula, has these three properties.

Multilinear:

{\displaystyle {\begin{aligned}F(A^{0},\dots ,cA^{j},\dots )&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )ca\_{\sigma (j)}^{j}\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\\&=c\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )a\_{\sigma (j)}^{j}\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\\&=cF(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\F(A^{0},\dots ,b+A^{j},\dots )&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(b\_{j}+a\_{\sigma (j)}^{j}\right)\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\left(b\_{j}\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(a\_{\sigma (j)}^{j}\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)\right)\\&=\left(\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )b\_{j}\prod \_{i=1,i\neq j}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)+\left(\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)\\&=F(A^{0},\dots ,b,\dots )+F(A^{0},\dots ,A^{j},\dots )\\\\\end{aligned}}}
Alternating:

{\displaystyle {\begin{aligned}F(\dots ,A^{j\_{1}},\dots ,A^{j\_{2}},\dots )&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\left(\prod \_{i=1,i\neq j\_{1},i\neq j\_{2}}^{n}a\_{\sigma (i)}^{i}\right)a\_{\sigma (j\_{1})}^{j\_{1}}a\_{\sigma (j\_{2})}^{j\_{2}}\\\end{aligned}}}
Now let \omega  be the tuple equal to \sigma  with the {\displaystyle j\_{1}} and {\displaystyle j\_{2}} indices switched. It follows from the definition of {\displaystyle \operatorname {sgn} } that {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )=-sgn(\omega )}.

{\displaystyle {\begin{aligned}\\F(\dots ,A^{j\_{1}},\dots ,A^{j\_{2}},\dots )&=\sum \_{\omega \in {\mathfrak {S}}\_{n}}-\operatorname {sgn}(\omega )\left(\prod \_{i=1,i\neq j\_{1},i\neq j\_{2}}^{n}a\_{\omega (i)}^{i}\right)a\_{\omega (j\_{1})}^{j\_{1}}a\_{\omega (j\_{2})}^{j\_{2}}\\&=-F(\dots ,A^{j\_{2}},\dots ,A^{j\_{1}},\dots )\\\\\end{aligned}}}
Finally، {\displaystyle F(I)=1}:

{\displaystyle {\begin{aligned}\\F(I)&=\sum \_{\sigma \in {\mathfrak {S}}\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}I\_{\sigma (i)}^{i}\\&=\sum \_{\sigma =(1,2,\dots ,n)}\prod \_{i=1}^{n}I\_{i}^{i}\\&=1\end{aligned}}}
Thus the only functions which are multilinear alternating with {\displaystyle F(I)=1} are restricted to the function defined by the Leibniz formula, and it in fact also has these three properties. Hence the determinant can be defined as the only function

{\displaystyle \det :{\mathfrak {M}}\_{n}(\mathbb {K} )\longrightarrow \mathbb {K} }
with these three properties.

منابع
-----

* "Determinant", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]
* Lloyd N. Trefethen and David Bau، *Numerical Linear Algebra* (SIAM، 1997).