نمودار نشان دهنده ۱۰۰ عدد تصادفی با یک تابع مثلثاتی «پنهان» و خودهمبستگی (correlogram) از سری‌های پایین.
**خودهمبستگی** (به انگلیسی: autocorrelation)، همبستگیِ متقابلِ سیگنال (داده‌ها) با خودش است. به‌طور غیررسمی، خودهمبستگی، همسانیِ (شباهت) سیگنال (داده‌ها) با نسخهٔ شیفت‌یافتهٔ خود است.

خودهمبستگی، ابزاری ریاضی برای یافتن الگوهای تکراری (مانند حضور یک سیگنال متناوب در نویز)، یا شناسایی یک فرکانس مشخص در سیگنالی دارای فرکانس‌های هارمونیک است. از خودهمبستگی، اغلب در پردازش سیگنال برای تحلیل توابع یا داده‌ها از جمله تحلیل حوزه زمان سیگنال‌ها استفاده می‌شود.

آمار
----

در آمار، خودهمبستگی یک فرایند تصادفی، همبستگیِ مقادیر فرایند در زمان‌های مختلف را به عنوان تابعی دو-متغیّره (زمان و شیفت زمانی)، یا تابعی تک‌متغیّره (شیفت زمانی) توصیف می‌کند. اگر X فرایندی تکرارپذیر باشد و i نقطه‌ای از زمان بعد از آغاز فرایند (i عددی صحیح برای فرایند زمان‌گسسته یا عددی حقیقی برای فرایند زمان‌پیوسته) است؛ بنابراین Xi مقدار (یا تحقق) فرایند در زمان i است.

فرض کنیم فرایند، با میانگین μi و واریانس σ۲i برای همه زمان‌های i تعریف شده‌است. خودهمبستگی فرایند در دو زمان s و t عبارت است از:

{\displaystyle R(s,t)={\frac {\operatorname {E} [(X\_{t}-\mu \_{t})(X\_{s}-\mu \_{s})]}{\sigma \_{t}\sigma \_{s}}}\,,}

که E عملگر امید ریاضی است. این بیان برای همه فرایندها یا سری‌های زمانی، خوش‌تعریف نیست، چون ممکن است واریانس برابر صفر (برای یک فرایند ثابت) یا بینهایت باشد. اگر تابع R خوش‌تعریف باشد، مقدار آن باید در محدوده [۱٬۱-] قرار گیرد، که ۱ نشان دهنده همبستگی کامل و ۱- نشان دهنده ضدهمبستگی کامل است.
اگر Xt یک فرایند ایستا (به انگلیسی: Stationary) باشد، میانگین μ و واریانس σ۲ مستقل از زمان هستند و خودهمبستگی فقط به تفاضل t و s بستگی دارد نه به مقدار مطلق آن‌ها. این موضوع بیان می‌کند که خودهمبستگی یک فرایند ایستا می‌تواند به عنوان تابعی از تأخیر (شیفت) زمانی بیان شود، و همچنین باید یک تابع زوج از τ = *s* − *t* باشد.

{\displaystyle R(\tau )={\frac {\operatorname {E} [(X\_{t}-\mu )(X\_{t+\tau }-\mu )]}{\sigma ^{2}}}\,,}

و با توجه به زوج بودن این تابع، می‌توانیم بگوییم:

{\displaystyle R(\tau )=R(-\tau ).\,}

این عمل مشترک در برخی رشته‌ها به غیر از آمار و تحلیل سری‌های زمانی، برای نرمال کردن به وسیله σ۲ و استفاده از «خودهمبستگی» مترادف با «اتو کوواریانس» است. به هر حال، نرمال کردن به دو دلیل اهمیت دارد: به علت تفسیر خودهمبستگی به عنوان یک همبستگی که مقدار بدون مقیاس «قدرت وابستگی آماری» را فراهم می‌کند و چون نرمال کردن روی خصوصیات آماری خودهمبستگی‌های برآورد شده مؤثر است.

پردازش سیگنال
-------------

در پردازش سیگنال، تعریف بالا اغلب بدون نرمال کردن استفاده می‌شود؛ یعنی بدون کسر میانگین و تقسیم بر واریانس. وقتی تابع خودهمبستگی به وسیله میانگین و واریانس نرمال شده‌است، گاهی اوقات به ضریب خودهمبستگی مربوط می‌شود.

برای سیگنال معین (به انگلیسی: deterministic) f(t)، خودهمبستگی پیوسته {\displaystyle R\_{ff}(\tau )} غالباً به صورت انتگرال همبستگی متقابل f(t) با نسخه تأخیریافته خودش به مقدار \tau  تعریف می‌شود:

{\displaystyle R\_{ff}(\tau )=(f(t)\*{\overline {f}}(-t))(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,{\rm {d}}t=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f}}(t-\tau )\,{\rm {d}}t}
که {\displaystyle {\overline {f}}} مزدوج مختلط و {\displaystyle \*}عمل کانوُلوشن است. برای یک تابع حقیقی،{\displaystyle {\overline {f}}=f}.

خودهمبستگی گسسته R با تأخیر j برای یک سیگنال گسسته x\_{n} به صورت زیر است:

{\displaystyle R\_{xx}(j)=\sum \_{n}x\_{n}\,{\overline {x}}\_{n-j}.}
تعریف‌های بالا برای سیگنال‌هایی کاربرد دارند که دو بار انتگرال پذیرند یا دو بار جمع پذیرند.

برای فرایندهای ایستا، خودهمبستگی بر اساس مقادیر مورد انتظار تعریف می‌شوند:

{\displaystyle R\_{ff}(\tau )=\operatorname {E} \left[f(t){\overline {f}}(t-\tau )\right]}
{\displaystyle R\_{xx}(j)=\operatorname {E} \left[x\_{n}\,{\overline {x}}\_{n-j}\right].}
برای فرایندهایی که ایستا نیستند این روابط، توابعی از t و n نیز خواهند بود.
برای فرایندهایی که ارگودیک نیز هستند، امید می‌تواند توسط حد یک میانگین زمانی جایگزین شود. خودهمبستگی یک فرایند ارگودیک گاهی به صورت زیر تعریف می‌شود:

{\displaystyle R\_{ff}(\tau )=\lim \_{T\rightarrow \infty }{\frac {1}{T}}\int \_{0}^{T}f(t+\tau ){\overline {f}}(t)\,{\rm {d}}t}
{\displaystyle R\_{xx}(j)=\lim \_{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum \_{n=0}^{N-1}x\_{n}\,{\overline {x}}\_{n-j}.}
این تعاریف، برای فرایندهای متناوب، نتایج تک پارامتری خوش‌تعریف معقولی می‌دهند، حتی وقتی فرایند ارگودیک ایستا نیست.

سیگنالهایی که همیشه می‌توانند به وسیله تحلیل یک تابع خودهمبستگی کوتاه مدت اجرا شوند (برای یک فرایند وابسته، به تبدیل فوریه کوتاه مدت نگاه کنید)
خودهمبستگی چند بعدی به‌طور مشابه تعریف شده‌است. برای مثال، در سه بعد، خودهمبستگی یک سیگنال گسسته دو بار جمع پذیر عبارت است از:

{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum \_{n,q,r}x\_{n,q,r}\,x\_{n-j,q-k,r-\ell }.}
وقتی مقدارهای میانگین از سیگنال‌ها کسر می‌شوند قبل از محاسبه یک تابع خودهمبستگی، تابع نتیجه معمولاً یک تابع کوواریانس نامیده می‌شود.

خصوصیات
-------

در ادامه، تنها خصوصیات خودهمبستگی‌های تک بعدی شرح داده می‌شود، چون بیشتر خصوصیات به آسانی از یک مورد تک بعدی به موارد چند بعدی قابل تبدیل است.

* ویژگی اساسی خودهمبستگی، تقارن است، {\displaystyle R(i)=R(-i)}، که اثبات آن از تعریف به سادگی به دست می‌آید. در موارد پیوسته، خودهمبستگی یک تابع زوج است.

{\displaystyle R\_{f}(-\tau )=R\_{f}(\tau )\,}
وقتی f یک تابع حقیقی و خودهمبستگی یک تابع هرمیتی است.
{\displaystyle R\_{f}(-\tau )=R\_{f}^{\*}(\tau )\,}
وقتی f یک تابع مختلط است.
* تابع خودهمبستگی پیوسته در مبدأ به قله خود می‌رسد، که در آن یک مقدار حقیقی را می‌دهد. برای مثال برای هر تأخیر \tau ، {\displaystyle |R\_{f}(\tau )|\leq R\_{f}(0)}. این، یک نتیجه نامساوی کوشی-شوارتز است. همین نتیجه در مورد گسسته نیز بدست می‌آید.
* خودهمبستگی یک تابع متناوب، متناوب است با همان دوره تناوب.
* خودهمبستگی مجموع دو تابع کاملاً غیر همبسته (همبستگی متقابل برای همه \tau ها صفر است)، برابر مجموع خودهمبستگی‌های هر تابع به‌طور جداگانه است.
* چون خودهمبستگی نوع خاصی از همبستگی متقابل است، همه خصوصیات همبستگی متقابل را حفظ می‌کند.
* خودهمبستگی یک سیگنال نویز سفید با پیوستگی زمانی، یک پیک شدید خواهد داشت (بوسیله یک تابع دلتای دیراک نشان داده شده) در {\displaystyle \tau =0} و برای همه \tau های دیگر مطلقاً صفر خواهد بود.
* قضیه کینچین-وینر، تابع خودهمبستگی را به چگالی طیفی توان به وسیله تبدیل فوریه مرتبط می‌سازد:

{\displaystyle R(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }S(f)e^{j2\pi f\tau }\,{\rm {d}}f}
{\displaystyle S(f)=\int \_{-\infty }^{\infty }R(\tau )e^{-j2\pi f\tau }\,{\rm {d}}\tau .}
* برای توابع با مقدار حقیقی، تابع خودهمبستگی متقارن یک تبدیل متقارن حقیقی دارد؛ بنابراین قضیه وینر-کینچین می‌تواند تنها بر حسب کسینوس حقیقی دوباره بیان شود:

{\displaystyle R(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }S(f)\cos(2\pi f\tau )\,{\rm {d}}f}
{\displaystyle S(f)=\int \_{-\infty }^{\infty }R(\tau )\cos(2\pi f\tau )\,{\rm {d}}\tau .}

محاسبه کارایی
-------------

برای داده‌های زمان‌گسسته لازم است خودهمبستگی با کارایی بالا محاسبه کنیم. هنگامی‌که الگوریتم brute force مرتبه n^2 است، چندین الگوریتم کارا وجود دارد که می‌تواند خودهمبستگی را در مرتبه {\displaystyle n\,\log(n)} محاسبه کند. برای مثال، قضیه وینر-کیچین، محاسبه خودهمبستگی از داده‌های خام {\displaystyle X(t)} با دو تبدیل سریع فوریه (FFT)را ممکن می‌سازد.

{\displaystyle S(f)=F\_{R}(f){F\_{R}}^{\*}(f)}
{\displaystyle R(\tau )={\text{IFFT}}(S(f))}
که IFFT، معکوس FFT را نشان می‌دهد، \* نشان دهنده مزدوج مختلط است.
یک همبستگی چندگانه \tau  می‌تواند با استفاده از محاسبه جستجوی فراگیر (به انگلیسی: brute-force) برای مقدارهای پایین \tau  اجرا شود، و سپس به‌طور تدریجی استخراج داده‌های {\displaystyle X(t)} با یک چگالی لگاریتمی برای محاسبه مقدارهای بزرگتر، با همان کارایی {\displaystyle n\,\log(n)} اما با حافظه مورد نیاز کمتر.

برآورد
------

برای یک فرایند گسسته به طول n که به صورت {\displaystyle \{X\_{1},\,X\_{2},\,\ldots ,\,X\_{n}\}} با میانگین و واریانس معلوم، تخمین خودهمبستگی به صورت زیر بدست می‌آید:

{\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum \_{t=1}^{n-k}(X\_{t}-\mu )(X\_{t+k}-\mu )}
برای هر عدد صحیح مثبت {\displaystyle k<n}. وقتی میانگین صحیح \mu  و واریانس \sigma  معلومند، این برآورد، بدون تورش است. اگر میانگین و واریانس فرایند نامعلوم باشند چند احتمال وجود دارد:

* اگر \mu  و \sigma  به وسیله فرمول استاندارد برای میانگین نمونه و واریانس نمونه جایگزین شده باشد، این برآورد تورش دار است.
* یک برآورد بر اساس دوره نگار (به انگلیسی: periodogram)، {\displaystyle n-k} در فرمول بالا را با n جایگزین می‌کند. این برآورد همیشه تورش دار است، به هر حال معمولاً میانگین مربعات خطای کمتری دارد
* احتمال دیگر از رفتار دو بخش از داده‌های {\displaystyle \{X\_{1},\,X\_{2},\,\ldots ,\,X\_{n-k}\}} و {\displaystyle \{X\_{k+1},\,X\_{2},\,\ldots ,\,X\_{n}\}} به‌طور جداگانه و محاسبه میانگین‌های نمونه و/یا واریانس‌های نمونه برای استفاده در تعریف برآورد، مشتق می‌شود.

مزیت این برآوردها این است که مجموعه خودهمبستگی‌های برآوردشده، به عنوان تابعی از k، به صورت تابعی است که دارای خودهمبستگی معتبر است به این معنی که می‌توان فرایند تئوریکی تعریف کرد که دقیقاً همان خودهمبستگی را داشته باشد. برآوردهای دیگر می‌توانند از این مسئله رنج ببرند که اگر برای محاسبه واریانس یک ترکیب خطی از Xها استفاده شوند، واریانس محاسبه شده ممکن است منفی بدست آید.

تحلیل رگرسیون
-------------

در تحلیل رگرسیون داده‌های سری زمانی، خودهمبستگی خطاها، یک مشکل است. خودهمبستگی خطاهایی که غیرقابل مشاهده اند، می‌تواند به‌طور کلی بخاطر تولید خودهمبستگی درمانده‌های قابل مشاهده نمایان شود. (خطاها در اقتصادسنجی، «عناصر خطا» نامیده می‌شوند)
خودهمبستگی، فرض حداقل مربعات معمولی (OLS) که عناصر خطا ناهمبسته‌اند را نقض می‌کند. زمانی که برآورد ضرایب OLS بدون تورش است، خطاهای استاندارد وقتی خودهمبستگی خطاها در lagهای پایین مثبت است، کمتر از مقدار واقعی تخمین زده می‌شود (و t-مقدار بیشتر از مقدار واقعی). آزمون مرسوم برای وجود خودهمبستگی مرتبه اول، آماره دوربین-واتسون است، یا اگر متغیرهای توضیح دهنده شامل متغیر وابسته لنگی باشد، آزمون انعطاف‌پذیرتر برای پوشش خودهمبستگی مراتب بالاتر و برای اینکه آیا رگرسورهای شامل متغیر وابسته لنگی قابل اجراست یا نه، تست براش-گادفری است. این شامل یک رگرسیون کمکی است، در جایی که مانده‌های (به انگلیسی: residual) به دست آمده از برآورد مدل مورد علاقه روی (الف) رگرسور اصلی و (ب) k باقی‌مانده لنگی، رگرس شده‌اند، که k مرتبه آزمون می‌باشد. ساده‌ترین تفسیر آماره آزمون از این رگرسیون کمکی، *TR*۲ است که T اندازه نمونه و *R*۲ ضریب تعیین هستند. تحت فرضیه صفر (عدم وجود خودهمبستگی) این آماره به‌طور مجانبی، توزیع \chi ^{2} با k درجه آزادی دارد.
پاسخ به خودهمبستگی غیر صفر شامل حداقل مربعات تعمیم یافته و تخمین زن Newey-West HAC (واریانس ناهمسانی و خودهمبستگی سازگار) می‌باشد.

کاربردها
--------

بعضی از کاربردهای خودهمبستگی به شرح زیر است:

* اندازه‌گیری طیف نوری و اندازه‌گیری پالس‌های نوری خیلی کوتاه مدت تولید شده به وسیله لیزرها است. هردو با استفاده از خودهمبستگی نوری انجام می‌شوند.
* برای اندازه‌گیری توزیع اندازه ذرات میسل (به انگلیسی: micelles) یا ذرات بسیار ریز معلق در مایع. یک لیزر به مخلوط می‌تابانند که با حرکت ذرات در ارتباط است.
* در پردازش سیگنال، خودهمبستگی می‌تواند در رویدادهای تکرار شونده مانند ضربان موسیقی (برای مثال، برای تعیین گام) یا فرکانس پولسار باشد، اگرچه نمی‌تواند موقعیت را در زمان ضربه بگوید. همچنین می‌تواند برای برآورد گام تن موسیقی استفاده شود.
* در اپتیک، خودهمبستگی نرمال شده و همبستگی متقابل، درجه انسجام یک فیلد الکترومغناطیس را می‌دهد.
* در ضبط موسیقی، خودهمبستگی به عنوان یک الگوریتم تعیین گام قبل از پردازش صوتی، به عنوان یک اثر اعوجاج، یا برای حذف اشتباهات و خطاهای نامطلوب به کار می‌رود.
* خودهمبستگی در فضا نسبت به زمان، از طریق تابع پترسون، به وسیله انکسار پرتوی ایکس برای کمک به بهبود «اطلاعات فاز فوریه» روی موقعیت‌های غیرقابل دسترس اتم تنها از طریق پراش به کار می‌رود.
* در آمار، خودهمبستگی فضایی بین موقعیت‌های نمونه به برآورد مقدار میانگین عدم قطعیت وقتی نمونه‌گیری از یک جامعه نا متجانس باشد، کمک می‌کند.
* در داده‌های پانل، خودهمبستگی فضایی به همبستگی یک متغیر با خودش در تمام فضا اشاره دارد.

پیوست به بیرون
--------------

* Weisstein, Eric W. "Autocorrelation". *MathWorld*.
* Autocorrelation articles in Comp.DSP (DSP usenet group).
* GPU accelerated calculation of autocorrelation function.

منابع
-----

1. ↑  «*خودهمبستگی*» [*آمار، ریاضی*] هم‌ارزِ «*autocorrelation*»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر چهارم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۶۴-۷۵۳۱-۵۹-۱ (ذیل سرواژهٔ *خودهمبستگی*)
2. 1 2  Patrick F. Dunn, ISBN 0-07-282538-3
3. ↑  Box, G. E. P. , G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel
4. ↑  M.B. Priestley
5. ↑  Percival,Donald B. ,Andrew T. 0-521-43541-2 pp190--195
6. ↑  Christopher F. Baum
7. ↑  Tyrangiel, Josh

* Patrick F. Dunn, *Measurement and Data Analysis for Engineering and Science,* New York: McGraw–Hill, 2005 ISBN 0-07-282538-3
* Box, G. E. P. ، G. M. Jenkins, and G. C. Reinsel. Time Series Analysis: Forecasting and Control. 3rd ed. Upper Saddle River, NJ: Prentice-Hall، ۱۹۹۴
* Spectral analysis and time series, M.B. Priestley (London, New York: Academic Press، ۱۹۸۲)
* Percival, Donald B. ; Andrew T. Walden (1993). Spectral Analysis for Physical Applications: Multitaper and Conventional Univariate Techniques. Cambridge University Press. ISBN 0-521-43541-2.
* Christopher F. Baum (2006). An Introduction to Modern Econometrics Using Stata. Stata Press. ISBN 1-59718-013-0. .
* Tyrangiel, Josh (2009-02-05). "Auto-Tune: Why Pop Music Sounds Perfect". Time Magazine.  بایگانی‌شده در ۲۰۱۲-۱۰-۲۳ توسط Wayback Machine.

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |

|}