|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

در ریاضیات **انتگرال منحنی الخط** (**انتگرال روی مسیر** نیز نامیده می‌شود و یکی از شاخه‌های آن محاسبه کار و شار است) انتگرالی است که یک تابع در طول یک منحنی انتگرال‌گیری می‌شود. خط‌ها و مسیرهای متفاوتی بکار می‌رود. اگر خط (منحنی) بسته باشد آن را انتگرال مسیری گویند.

تابعی که باید از آن انتگرال گرفته شود، ممکن است در یک میدان اسکالر یا یک میدان برداری باشد. مقدار انتگرال خطی برابر جمع مقادیر میدان روی تمام نقاط منحنی است و به وسیلهٔ مقدار توابع اسکالر روی منحنی محاسبه می‌شود (معمولاً طول کمان برای میدان‌های برداری، حاصل‌ضرب بردارهای متفاوت درون میدان است). مقدار دیفرانسیل‌گیری در انتگرال خطی ساده‌تر از انتگرال تعریف شده روی فاصله است. فرمول‌های ساده‌ای در فیزیک برای مثال {\displaystyle W={\vec {F}}\cdot {\vec {d}}}) که در شرایط انتگرال خطی دارای پیوستگی طبیعی‌اند (برای مثال{\displaystyle W=\int \_{C}{\vec {F}}\cdot d{\vec {s}}})). این انتگرال کاری را که روی حرکت شی در میدان گرانشی انجام می‌دهد، بدست می‌آورد.

تعریف
-----

برای بعضی از میدان‌های اسکالر *f*: **R'n *{\displaystyle \to }*** *R* انتگرال خطی روی منحنی C با پارامتریزه شدن r(t) که:{\displaystyle \int \_{C}f\,ds=\int \_{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}

معنی می‌شود که
f:میدان اسکالر انتگرال‌پذیر

C: ناحیه‌ای که انتگرال رویش گرفته می‌شود

**r**(*t*): [a, b] {\displaystyle \to } *C* :که پارامتریزه شده روی C اند و (r(bو (r(a مقدار روی Cاند.
ds روش راه‌گشای ارائه شده‌است به‌طوری‌که برابر طول کمان مقدماتی است؛ زیرا آن‌ها تنهاوابسته به محیط کمان‌اند، انتگرال خط میدان‌های اسکالر، وابسته به پارامتریزه شدن(r(tاند. برای یک میدان برداری **F**: **R***n* {\displaystyle \to } **R***n*، انتگرال خطی روی منحنی C، با پرامتریزه کردن (r(t که تعریف می‌شود.

{\displaystyle \int \_{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \_{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}
انتگرال خطی میدان‌ها برداری به پارامتریزه شدن (r(t وابسته‌اند و مقدار اصلی آن‌ها وابسته به جهت آنهاست. به ویژه اگر جهت انتگرال عوض شود، مقدار متمایزی به ما می‌دهد.

راه استقلال
-----------

اگر یک میدان برداری F باشد که برابر گرادیان میدان اسکالر G باشد.

{\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}
پس یک مشتق از ترکیب G و (r(t هست که

{\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
که مقداری برای انتگرال خطی از میدان F روی (r(t است. با دنباله‌روی از این روش، یک مسیر روی C به ما می‌دهد که

{\displaystyle \int \_{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \_{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int \_{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}
در لغت، انتگرال F روی C فقط وابسته به مقادیر نقاط (r(a و (r(b است. بدین گونه مستقل از راه‌ها و جهت‌های متفاوت است؛ بنابراین یک میدان برداری که از گرادیان یک میدان اسکالر بدست آمده‌است، راه استقلال می‌نامند.

کاربردها
--------

انتگرال خطی کاربرد زیادی در فیزیک دارد، برای مثال کار روی حرکت ذرات در میدان نیرو توسط (روی) منحنی C نمایش داده می‌شود به‌طوری‌که جهت میدان F برابر انتگرال F روی C است.

رابطهٔ انتگرال خطی با آنالیز اعداد مختلط
----------------------------------------

چشم‌انداز اعداد مختلط به‌طور دو بعدی، انتگرال خطی در میدان برداری مرتبط است با قسمت حقیقی از انتگرال خطی با درهم آمیختن یک تابع مختلط با یک متغیر مختلط.
بنابر معادله کشی ریمان، حلقهی میدان برداری مطابق است با درهم آمیختن تابع هولومورفیک که برابر صفر است. این رابطه و تئوری (قضیه استوکس)، هر دو نمونه‌ای از انتگرال خطی‌اند که به صفر می‌رسند.

آنالیز مختلط
------------

انتگرال خطی یک روش بنیادی در آنالیز مختلط است. فرض U یک زیرمجموعه بازی است در C, \gamma  : [*a*, *b*] {\displaystyle \to } *U* یک مسیر است و *f*: *U* {\displaystyle \to } **C** یک تابع باشد که انتگرال خطی:{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\,dz}. بازه [a,b] را به صورت زیر افراز می‌کنیم.

*a* = *t*0 <*t*1 <... <*t**n* = *b*

که با توجه به بالا می‌شود

{\displaystyle \sum \_{1\leq k\leq n}f(\gamma (t\_{k}))(\gamma (t\_{k})-\gamma (t\_{k-1})).}
انتگرال بالا برابر حد مجموع بالاست که طول زیرمجموعه‌ها به سمت صفر میل می‌کند. اگر یک منحنی متغیر باشد، انتگرال خطی می‌تواند محاسبه کند، به‌طوری‌که انتگرال تابع با مقادیر حقیقی باشد.

{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\,dz=\int \_{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.}
وقتی\gamma  یک منحنی بسته باشد مقدار اولیه و مقدار آخری با هم روی می‌دهد که آن را با

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz}
نشان می‌دهند که معمولاً برای انتگرال خطی f روی\gamma  بسته نمایش داده می‌شود.
بهترین حکم در مورد انتگرال خطی (جهتی)، قضیهی انتگرال کشی و فرمول انتگرال کشی است؛ زیرا با استفاده از قضیه مانده می‌توان روش انتگرال خطی (جهتی) در صفحه مختلط برای پیدا کردن انتگرال و مقدار حقیقی تابع از یک متغیر حقیقی پیدا کرد.

### مثال

با توجه به تابع *f*(*z*)=1/*z* و منحنی C حول صفر با شعاع ۱ که با *e*i*t*، پارامتریزه می‌شود که *t* در {\displaystyle [0,2\pi ]}. داریم:

{\displaystyle {\begin{aligned}\oint \_{L}f(z)\,dz&=\int \_{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int \_{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt\\&=i\int \_{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i.\end{aligned}}}
که می‌توان این مثال را از طریق انتگرال کشی بازبینی نمود.

مکانیک کوانتومی
---------------

مقالهٔ اصلی: فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم
راه انتگرال‌گیری در مکانیک کوانتومی، در واقع ارجاع داده می‌شود به روش انتگرال‌گیری از این طریق، اما توابع انتگرالی که انتگرال آن‌ها در فضاست نه میدان دوبعدی، اگرچه (اما) روش انتگرال‌گیری از این طریق دارای اهمیت بسیار زیادی در ریاضیات مکانیک کوانتومی دارد. برای مثال، انتگرال خطی مختلط اغلب در ارزیابی احتمال انباشتگی در قضیهی پراکندگی کوانتوم کاربرد دارد.

جستارهای وابسته
---------------

* قضیه دیورژانس
* قضیه گرادیان
* قضیه گرین
* روش‌های انتگرال‌گیری روی مسیر
* قضیه استوکس
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی

منابع
-----

1. ↑  Kwong-Tin Tang (30 November 2006). *Mathematical Methods for Engineers and Scientists 2: Vector Analysis, Ordinary Differential Equations and Laplace Transforms*. Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-540-30268-1.
2. ↑  "List of Calculus and Analysis Symbols". *Math Vault* (به انگلیسی). 2020-05-11. Retrieved 2020-09-18.

پیوند به بیرون
--------------

* "Integral over trajectories", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]
* *Path integral* در PlanetMath.

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |