در ریاضیات و به خصوص هندسهٔ دیفرانسیل، یک **ژئودزیک** تعمیمی از مفهوم خط مستقیم به روی خمینه‌ها است. در حضور یک اتصال افاین، به صورت منحنی‌هایی تعریف می‌شوند که بردار مماس آن‌ها در صورت ترانهاده شدن، موازی باقی بمانند. اگر این اتصال، اتصال لوی-چیویتا ایجاد شده توسط متریک ریمان باشد٬ آن‌گاه ژئودزیک‌ها (به صورت محلی) کوتاه‌ترین مسیر بین نقاط در فضا هستند.

واژهٔ ژئودزیک از ژئودزی، دانش اندازه‌گیری اندازه و شکل زمین برگرفته شده‌است. در ابتدا منظور از یک ژئودزیک، کوتاه‌ترین مسیر بین دو نقطه روی سطح زمین، یعنی قسمتی از یک دایرهٔ عظمیه بود. اما بعدها این واژه تعمیم داده شد تا اندازه‌گیری‌ها در فضاهای ریاضیاتی عمومی‌تری را نیز شامل شود. برای مثال در نظریهٔ گراف می‌توان از ژئودزیک بین دو رأس از یک گراف صحبت کرد.

هندسه متریک
-----------

در هندسه متریک یک ژئودزیک خمی است که که در همه‌جا به صورت محلی یک کمینه کنندهٔ فاصله است.به‌طور دقیق‌تر یک خم γ: *I* → *M* از بازهٔ *I* روی اعداد حقیقی به فضای متریک *M* یک ژئودزیک است اگر یک ثابت *v* ≥ 0 یافت شود به‌طوری‌که برای هر *t* ∈ *I* یک همسایگی *J* از *t* در *I* وجود دارد به‌طوری‌که برای هر *t*1, *t*2 ∈ *J* داشته باشیم:

{\displaystyle d(\gamma (t\_{1}),\gamma (t\_{2}))=v|t\_{1}-t\_{2}|.\,}

این رابطه ٬ ژئودزیک را به خمینه‌های ریمانی تعمیم می‌دهد. اما در هندسه متریک معمولاً *v* = 1 است و بنابراین:

{\displaystyle d(\gamma (t\_{1}),\gamma (t\_{2}))=|t\_{1}-t\_{2}|.\,}

اگر این تساوی آخر برای همهٔ *t*1 , *t*2 ∈*I*برقرار باشد ژئودزیک را یک ژئودزیک کمینه‌کننده یا **کوتاه‌ترین مسیر** می‌نامند.

هندسه ریمانی
------------

در یک خمینه ریمانی *M' با تنسور متریک* g *٬ طول یک هم پیوسته مشتق‌پذیر γ : [*a*,*b*] →*M *چنین تعریف می‌شود:*

{\displaystyle L(\gamma )=\int \_{a}^{b}{\sqrt {g\_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))}}\,dt.}

فاصله (*d*(*p*, *q* بین دو نقطه *p* و *q* در *M* به صورت اینفیمم طول روی همهٔ خم‌های پیوستهٔ ٬ به صورت تکه‌ای مشتق‌پدیر γ : [*a*,*b*] → *M* به‌طوری‌که γ(*a*) = *p* و γ(*b*) = *q*. با این تعریف از فاصله٬ ژئودزیک‌ها در یک خمینهٔ ریمانی٬ مسیرهای (به صورت محلی) کمینه کنندهٔ فاصله هستند.( به معنای آورده شده در بالا)

خم‌های کمینه کنندهٔ *L* در یک مجموعه باز *M* را می‌توان با روش‌های حساب وردش‌ها یافت. معمولاً تابعی انرژی یا کار زیر را تعریف می‌کنند:

{\displaystyle E(\gamma )={\frac {1}{2}}\int g\_{\gamma (t)}({\dot {\gamma }}(t),{\dot {\gamma }}(t))\,dt.}

حال کافیست که تابعی *E* را کمینه کنیم.براساس نابرابری کوشی-شوارتز :

{\displaystyle L(\gamma )^{2}\leq 2(b-a)E(\gamma )}

که شرط تساوی *تنها و تنها* در صورت ثابت بودن |dγ/dt| رخ می‌دهد.

حال معادلات حرکت اویلر-لاگرانژ برای تابعی *E* در مختصات محلی چنین می‌شوند:

{\displaystyle {\frac {d^{2}x^{\lambda }}{dt^{2}}}+\Gamma \_{\mu \nu }^{\lambda }{\frac {dx^{\mu }}{dt}}{\frac {dx^{\nu }}{dt}}=0,}

که در آن {\displaystyle \Gamma \_{\mu \nu }^{\lambda }} نمادهای کریستوفل هستند. این معادله٬معادله ژئودزیک است.

پیوند به بیرون
--------------

* Caltech Tutorial on Relativity توضیحی ساده و جالب از ژئوذزیک‌ها به همراه پویانمایی
* Geodesics Revisited آشنایی با ژئودزیک‌ها به همراه کاربردها در هندسه٬مکانیک و اپتیک

منابع
-----

Differential Geometryبایگانی‌شده در ۵ ژوئیه ۲۰۰۷ توسط Wayback Machine

| * ن
* ب
* و
تانسورها |
| --- |
| *واژه نامه تانسورها* |
| قلمرو | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دستگاه مختصات
* جبر چندخطی
* هندسه اقلیدسی
* جبر تانسوری
* dyadic algebra
* هندسه دیفرانسیل
* حساب خارجی
* حساب تانسوری

 |
| * فیزیک
* مهندسی
 | 
* مکانیک پیوسته
* الکترومغناطیس
* پدیده انتقال
* نسبیت عام
* بینایی رایانه

 |

 |
| نمادگذاری | 
* نمادگذاری اندیسی
* نمادگذاری چند-اندیسی
* نمادگذاری اینشتین
* حساب ریچی
* نمادگذاری تصویری پنروز
* نمادگذاری وویت
* نمادگذاری اندیسی مجرد
* فرمالیسم چهارتایی
* نمادگذاری ون در واردن

 |
| تعاریفتانسورها | 
* تانسور (تعریف ذاتی)
* میدان تانسوری
* چگالی تانسوری
* تانسور در مختصات خمیده خطی
* تانسور مخلوط
* تانسور پادمتقارن
* تانسور متقارن
* عملگر تانسور
* کلاف تانسوری
* تانسور دو-نقطه‌ای

 |
| عمل | 
* ضرب تانسوری
* ضرب خارجی
* انقباض تانسوری
* ترانهاده
* بالا و پایین بردن اندیس‌ها
* عملگر ستاره هاج
* مشتق هموردا
* مشتق خارجی
* مشتق هموردای خارجی
* مشتق لی

 |
| تجریدهایمرتبط | 
* بعد
* پایه
* بردار, فضای برداری
* چندبردار
* مؤلفه‌های همورد و پادورد بردار
* تبدیل خطی
* ماتریس
* اسپینور
* فرمالیسم کارتان (فیزیک)
* فرم دیفرانسیل
* فرم خارجی
* فرم الصاقی
* ژئودزیک
* منیفلد
* کلاف برداری
* الصاق لوی-چیویتا
* الصاق آفین

 |
| تانسورهای مهم | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دلتای کرونکر
* نماد لوی-چیویتا
* تانسور متریک
* تانسور غیر متریک
* نمادهای کریستوفل
* خمیدگی ریچی
* تانسور خمیدگی ریمانی
* تانسور ویل
* تانسور تابدار

 |
| فیزیک | 
* گشتاور لختی
* تانسور گشتاور دورانی
* تانسور اسپین
* تانسور تنش کوشی
* تانسور تنش-انرژی
* تانسور الکترومغناطیسی
* تانسور قدرت میدان گلوئون
* تانسور اینشتاین
* تانسور متریک (نسبیت عام)

 |

 |
| ریاضیدانان | 
* لئونارد اویلر
* کارل فردریش گاوس
* آگوستین-لویی کوشی
* هرمان گراسمان
* گئورگیو ریچی-کورباسترو
* تولیو لوی-چیویتا
* جان آرنولدوس شوتن
* برنهارت ریمان
* الوین برونو کریستوفل
* وولدمار وویگت
* الی کارتان
* هرمان ویل
* آلبرت اینشتاین

 |

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* آلمان
* اسرائیل
* ایالات متحده آمریکا

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد هندسه دیفرانسیل است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |