در آمار، **مدل‌های خطا در متغیرها** یا **مدل‌های خطای اندازه‌گیری**، مدل‌های رگرسیونی هستند که خطاهای اندازه‌گیری را در متغیرهای مستقل می‌توانند محاسبه کنند. در مقابل، مدل‌های رگرسیون معیار فرض می‌کنند که آن رگرسیورها دقیقاً اندازه‌گیری شده‌اند یا بدون خطا مشاهده شده‌اند. به این ترتیب، این مدل‌ها تنها خطاهای موجود در متغیرهای وابسته یا پاسخ‌ها را در نظر می‌گیرند.[]

در مواردی که برخی از رگرسیون‌ها با خطا اندازه‌گیری شده‌اند، تخمین بر پایه فرض استاندارد منجر به تخمین‌های متناقض می‌شود، به این معنی که تخمین پارامترها حتی در نمونه‌های بسیار بزرگ به مقادیر واقعی تمایل ندارند. برای رگرسیون خطی ساده، این اثر یک ضریب دست کم برآورد است، که به عنوان *سوگیری تضعیف* شناخته می‌شود. در مدل‌های غیر خطی، جهت بایاس احتمالاً پیچیده‌تر است.

**مثال انگیزشی**
----------------

یک مدل رگرسیون خطی ساده را در نظر بگیرید:

{\displaystyle y\_{t}=\alpha +\beta x\_{t}^{\*}+\varepsilon \_{t}\,,\quad t=1,\ldots ,T,}

جایی که {\displaystyle x\_{t}^{\*}} نشان دهنده واپسگرای *واقعی* اما مشاهده نشده‌است. به جای این مقدار را با یک خطا مشاهده می‌کنیم:

{\displaystyle x\_{t}=x\_{t}^{\*}+\eta \_{t}\,}

جایی که خطای اندازه‌گیری {\displaystyle \eta \_{t}} مستقل از مقدار واقعی فرض می‌شود {\displaystyle x\_{t}^{\*}} .

اگر {\displaystyle y\_{t}} به سادگی بر روی {\displaystyle x\_{t}} پسرفت کند، سپس برآورد کننده ضریب شیب برابر است با:

{\displaystyle {\hat {\beta }}\_{x}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum \_{t=1}^{T}(x\_{t}-{\bar {x}})(y\_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum \_{t=1}^{T}(x\_{t}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

که به عنوان حجم نمونه همگرا می‌شود T بدون محدودیت افزایش پیدا می‌کند:

{\displaystyle {\hat {\beta }}\_{x}\xrightarrow {p} {\frac {\operatorname {Cov} [\,x\_{t},y\_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x\_{t}\,]}}={\frac {\beta \sigma \_{x^{\*}}^{2}}{\sigma \_{x^{\*}}^{2}+\sigma \_{\eta }^{2}}}={\frac {\beta }{1+\sigma \_{\eta }^{2}/\sigma \_{x^{\*}}^{2}}}\,.}

این در تضاد با اثر «واقعی» است \beta  ، با استفاده از {\displaystyle x\_{t}^{\*}} ,:

{\displaystyle {\hat {\beta }}={\frac {{\tfrac {1}{T}}\sum \_{t=1}^{T}(x\_{t}^{\*}-{\bar {x}})(y\_{t}-{\bar {y}})}{{\tfrac {1}{T}}\sum \_{t=1}^{T}(x\_{t}^{\*}-{\bar {x}})^{2}}}\,,}

واریانس‌ها غیر منفی هستند، به طوری که در حد برآورد شده‌است {\displaystyle {\hat {\beta }}\_{x}} کوچکتر از {\displaystyle {\hat {\beta }}} ، اثری که آماردانان آن را *تضعیف* یا رقیق شدن رگرسیون می‌نامند. بنابراین برآوردگر حداقل مربعات ساده {\displaystyle {\hat {\beta }}\_{x}} یک برآوردگر ناسازگار برای \beta . با این حال، {\displaystyle {\hat {\beta }}\_{x}} تخمین‌گر ثابت پارامتر مورد نیاز برای بهترین پیش‌بینی‌کننده خطی است y با توجه به مشاهده شده {\displaystyle x\_{t}} : در برخی از برنامه‌ها ممکن است این چیزی باشد که مورد نیاز است، نه برآورد ضریب رگرسیون «واقعی» \beta  ، اگرچه فرض می‌شود که واریانس خطاها در تخمین و پیش‌بینی یکسان است. این به‌طور مستقیم از نتیجه ای که بلافاصله در بالا نقل شد و این واقعیت که ضریب رگرسیون مربوط به {\displaystyle y\_{t}} به واقعی مشاهده شده‌است {\displaystyle x\_{t}} s، در یک رگرسیون خطی ساده، توسط فرمول زیر داده می‌شود:

{\displaystyle \beta \_{x}={\frac {\operatorname {Cov} [\,x\_{t},y\_{t}\,]}{\operatorname {Var} [\,x\_{t}\,]}}.}

این ضریب است، به جای \beta  ، که برای ساختن یک پیش‌بینی کننده مورد نیاز است y بر اساس مشاهده شده x که در معرض نویز است. 

می توان استدلال کرد که تقریباً تمام مجموعه داده های موجود حاوی خطاهایی با ماهیت و بزرگی متفاوت هستند، به طوری که سوگیری تضعیف بسیار مکرر است (اگرچه در رگرسیون چند متغیره جهت سوگیری مبهم است  ). جری هاسمن این را *قانون آهنین اقتصاد سنجی* می داند: "میزان تخمین معمولاً کمتر از حد انتظار است." 

### **مشخصات**

---

معمولاً مدل‌های خطای اندازه‌گیری با استفاده از رویکرد متغیرهای پنهان توصیف می‌شوند. اگر y متغیر پاسخ است و x مقادیر مشاهده شده از رگرسیون ها، پس فرض می شود که برخی از متغیرهای پنهان وجود دارد {\displaystyle y^{\*}} و {\displaystyle x^{\*}} که از رابطه عملکردی "واقعی" مدل پیروی می کنند {\displaystyle g(\cdot )} ، و به نوعی که کمیت های مشاهده شده مشاهدات پر سر و صدا آنها باشد:

{\displaystyle {\begin{cases}y^{\*}=g(x^{\*}\!,w\,|\,\theta ),\\y=y^{\*}+\varepsilon ,\\x=x^{\*}+\eta ,\end{cases}}}

جایی که \theta  پارامتر مدل است و w آن دسته از رگرسیون هایی هستند که فرض می شود بدون خطا هستند (به عنوان مثال زمانی که رگرسیون خطی حاوی یک برس است، رگرسیونی که با ثابت مطابقت دارد قطعاً "خطای اندازه گیری" ندارد). بسته به مشخصات، این رگرسیون های بدون خطا ممکن است به طور سوا بررسی شوند یا نشوند. در مورد دوم به سادگی فرض می شود که ورودی های متناظر در ماتریس واریانس از \eta  'ها صفر هستند.

متغیرها y ، x ، w همه *مشاهده می شوند* ، به این معنی که آمارگیر دارای مجموعه ای از داده ها است n واحدهای آماری {\displaystyle \left\{y\_{i},x\_{i},w\_{i}\right\}\_{i=1,\dots ,n}} که فرآیند تولید داده شرح داده شده در بالا را دنبال می کنند. متغیرهای پنهان {\displaystyle x^{\*}} ، {\displaystyle y^{\*}} ، \varepsilon ، و \eta  با این حال رعایت نمی شوند.

این مشخصات تمام مدل‌های خطا در متغیرهای موجود را در بر نمی‌گیرد. به عنوان مثال در برخی از آنها عملکرد {\displaystyle g(\cdot )} ممکن است ناپارامتریک یا نیمه پارامتریک باشد. سایر رویکردها رابطه بین {\displaystyle y^{\*}} و {\displaystyle x^{\*}} به عنوان توزیعی به جای عملکردی، یعنی آنها این را فرض می کنند {\displaystyle y^{\*}} مشروط بر {\displaystyle x^{\*}} از توزیع خاصی (معمولاً پارامتریک) پیروی می کند.

منابع
-----

1. ↑  Griliches, Zvi; Ringstad, Vidar (1970). "Errors-in-the-variables bias in nonlinear contexts". *Econometrica*. **38** (2): 368–370. doi:10.2307/1913020. JSTOR 1913020.
2. ↑  Chesher, Andrew (1991). "The effect of measurement error". *Biometrika*. **78** (3): 451–462. doi:10.1093/biomet/78.3.451. JSTOR 2337015.
3. ↑  Carroll, Raymond J.; Ruppert, David; Stefanski, Leonard A.; Crainiceanu, Ciprian (2006). *Measurement Error in Nonlinear Models: A Modern Perspective* (Second ed.). ISBN 978-1-58488-633-4.
4. ↑  Greene, William H. (2003). *Econometric Analysis* (5th ed.). New Jersey: Prentice Hall. Chapter 5.6.1. ISBN 978-0-13-066189-0.
5. ↑   `{{cite book}}`: Empty citation (help)
6. ↑  Hausman, Jerry A. (2001). "Mismeasured variables in econometric analysis: problems from the right and problems from the left". *Journal of Economic Perspectives*. **15** (4): 57–67 [p. 58]. doi:10.1257/jep.15.4.57. JSTOR 2696516.

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |