حالت یکم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O درون مثلث قطع کرده‌اند.
حالت دوم قضیهٔ سوا، سه خط یکدیگر را در نقطهٔ O بیرون از مثلث قطع کرده‌اند.
**قضیهٔ سوا**، قضیه‌ای در هندسهٔ دوبعدی است؛ به این ترتیب که اگر مثلث دلخواه *ABC* را در نظر بگیریم و نقاط *F و E،D* را به ترتیب روی اضلاع *AB و CA،BC* انتخاب کنیم، خط‌های  *CF و BE و AD* یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند اگر و فقط اگر:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}

در حالی که *AF* فاصلهٔ مستقیم بین دو نقطهٔ *A* و *F* است. (فاصله در یک جهت روی یک خط مثبت و در جهت مخالف منفی در نظر گرفته می‌شود)

شکل دیگر قضیهٔ سوا به این شکل است: که می‌گوییم سه خط  *CF و BE و AD* یکدیگر را در یک نقطه قطع می‌کنند، اگر و فقط اگر:

{\displaystyle {\frac {\sin \angle BAD}{\sin \angle CAD}}\times {\frac {\sin \angle ACF}{\sin \angle BCF}}\times {\frac {\sin \angle CBE}{\sin \angle ABE}}=1.}

این قضیه توسط جووانی سوا (*Giovanni Ceva*) در اثرش به نام *De lineis rectis*، که در سال ۱۶۷۸ نوشت، اثبات شده بود اما پیش از او یوسف بن احمد مؤتمن بن هود، پادشاه ساراگوسا در قرن یازدهم، آن را اثبات کرده بود.

مثلث DEF را *مثلث سوایی* O و خط‌های  *CF و BE و AD* را *سوایی‌های* O می‌نامند.

اثبات قضیه
----------

فرض کنید: AD و {\displaystyle BE} و {\displaystyle CF} در نقطه‌ای مانند O یکدیگر را قطع می‌کنند. چون مثلث‌های {\displaystyle \triangle BOD} و {\displaystyle \triangle COD} ارتفاع یکسان دارند، خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {|\triangle BOD|}{|\triangle COD|}}={\frac {BD}{DC}}}

به دلیل مشابه:

{\displaystyle {\frac {|\triangle BAD|}{|\triangle CAD|}}={\frac {BD}{DC}}}

در ادامهٔ مطلب بالا خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {BD}{DC}}={\frac {|\triangle BAD|-|\triangle BOD|}{|\triangle CAD|-|\triangle COD|}}={\frac {|\triangle ABO|}{|\triangle CAO|}}}

همچنین

{\displaystyle {\frac {CE}{EA}}={\frac {|\triangle BCO|}{|\triangle ABO|}}}

و

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}={\frac {|\triangle CAO|}{|\triangle BCO|}}}

با ضرب این سه عبارت در یکدیگر خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {AF}{FB}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1}

برای اثبات عکس قضیه، فرض کنید نقاط D و E و F به گونه‌ای اند که رابطهٔ بالا را برقرار می‌کنند؛ حال فرض کنید که AD و {\displaystyle BE} در نقطه O با یکدیگر برخورد می‌کنند ولی امتداد {\displaystyle CO} ضلع AB را در نقطهٔ دیگری به نام {\displaystyle F'} قطع می‌کند. با توجه به اثباتی که در بالا کردیم باید داشته باشیم:

{\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}\cdot {\frac {BD}{DC}}\cdot {\frac {CE}{EA}}=1.}

با مقایسهٔ دو رابطه خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {AF'}{F'B}}={\frac {AF}{FB}}.}

یک یکم (۱/۱) را به دو طرف تساوی اضافه می‌کنیم، می‌شود: {\displaystyle AF'+F'B=AF+FB=AB} (حالت یکم) یا با کم کردن یک از آن می‌شود: {\displaystyle F'B-AF'=FB-AF=AB} (حالت دوم)، خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {AB}{F'B}}={\frac {AB}{FB}}.}

بنابراین {\displaystyle F'B=FB} در نتیجه F و {\displaystyle F'} بر روی هم قرار دارند، پس AD و {\displaystyle BE} و {\displaystyle CF=CF'} در نقطهٔ O یکدیگر را قطع می‌کنند؛ هر دو سوی قضیه اثبات شد.

برای شکل مثلثی این قضیه، یک رویکرد این است که نگاه کنیم که سه سوایی متقاطع در نقطهٔ O، مثلث {\displaystyle \triangle ABC} را به سه مثلث کوچکتر {\displaystyle \triangle AOB} و {\displaystyle \triangle BOC} و {\displaystyle \triangle COA} تقسیم می‌کنند. با استفاده از قانون سینوس‌ها برای هر مثلث خواهیم داشت:

{\displaystyle {\frac {\sin \angle OAB}{\sin \angle OBA}}={\frac {OB}{OA}}{\text{ ;}}{\frac {\sin \angle OBC}{\sin \angle OCB}}={\frac {OC}{OB}}{\text{ ;}}{\frac {\sin \angle OCA}{\sin \angle OAC}}={\frac {OA}{OC}}.}

اگر سه رابطه را در یکدیگر ضرب کنیم می‌بینیم که سمت راست آن برابر با ۱ و سمت چپ آن برابر با عبارت داده شده در قضیه خواهد شد.

حالت کلی
--------

جستارهای وابسته
---------------

* میانهٔ مثلث
* قضیهٔ منلائوس

منابع
-----

* ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون
--------------

* Menelaus and Ceva
* Derivations and applications of Ceva's Theorem
* Trigonometric Form of Ceva's Theorem
* Glossary of Encyclopedia of Triangle Centers
* Conics Associated with a Cevian Nest, by Clark Kimberling
* *Ceva's Theorem* از Jay Warendorff, Wolfram Demonstrations Project.
* Weisstein, Eric W. "Ceva's Theorem". *MathWorld*.