در ریاضیات دو قضیه با نام «قضیه نگاشت باز» (به انگلیسی: Open mapping theorem) وجود دارد.

آنالیز تابعی
------------

در آنالیز تابعی، قضیهٔ نگاشت باز که همچنین با نام قضیهٔ شوائر–باناخ شناخته شده‌است یک نتیجهٔ اصلی است که بیان می‌کند: اگر *A*: *X* → *Y* عملگر خطی پیوسته پوشا در فضای باناخ *X* و *Y* باشد، آنگاه *A* یک نگاشت باز است (اگر *U* یک مجموعه باز در *X* باشد، آنگاه *A*(*U*) یک مجموعه بازدر *Y* است).

برای اثبات از قضیهٔ رسته‌ای بئر استفاده می‌شود.

قضیه نگاشت باز دو نتیجه مهم دارد:

* اگر *A*: *X* → *Y* یک عملگر خطی پیوسته دوسو در فضای باناخ *X* و *Y* باشد، آنگاه عملگر وارون *A*-۱: *Y* → *X* یک عملگر خطی پیوسته دوسو است.
* اگر *A*: *X* → *Y* یک عملگر خطی در فضای باناخ *X* و *Y* باشد و اگر برای هر دنباله (*x**n*) در *X* با *x**n* → ۰ و *Ax**n* → *y* تابعیت می‌کند که *y* = ۰، آنگاه *A* پیوسته‌است (قضیه نمودار بسته).

آنالیز مختلط
------------

در آنالیز مختلط **قضیه نگاشت باز** بیان می‌کند که اگر *U* یک مجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط *C* باشد و *f*: *U* → **C** یک تابع هولومورفیک غیر ثابت باشد، آنگاه *f* یک نگاشت باز است (زیر مجموعه‌های باز *U* را به زیرمجموعه‌های باز *C* می‌نگارد).

قضیه برای مثال اشاره به این مطلب می‌کند که یک تابع هولومورفیک غیر ثابت نمی‌تواند یک قرص باز را *به توی* بخشی از یک خط بنگارد.

### برهان

ابتدا فرض کنید f یک تابع غیر ثابت هولومورفیک و *U* یک زیرمجموعه باز همبند در صفحهٔ مختلط است. اگر هر نقطه در {\displaystyle f(U)} یک نقطهٔ داخلی {\displaystyle f(U)} باشد آنگاه {\displaystyle f(U)} باز است؛ بنابراین اگر هر نقطه در {\displaystyle f(U)} که محتوی یک دیسک است، شامل {\displaystyle f(U)} باشد آنگاه {\displaystyle f(U)} باز است.

اطراف هر نقطه در U، یک گوی مناسب در U وجود دارد. یک {\displaystyle z\_{0}} دلخواه در U و نقطهٔ تصویر آن {\displaystyle w\_{0}=f(z\_{0})} را در نظر بگیرید. اگر {\displaystyle f(z\_{0})-w\_{0}=0} آنگاه {\displaystyle z\_{0}} یک ریشه تابع {\displaystyle f(z)-w\_{0}} است. تابع {\displaystyle f(z)-w\_{0}} ممکن است ریشه دیگری در فاصله {\displaystyle d\_{1}} از {\displaystyle z\_{0}} داشته باشد. فاصله از {\displaystyle z\_{0}} تا یک نقطه که در *U* نیست نوشته می‌شود {\displaystyle d\_{2}}. هر گوی B با شعاع کمتر از مینیمم {\displaystyle d\_{1}} و {\displaystyle d\_{2}} داخل *U* خواهد بود و حداقل یکی وجود دارد زیرا {\displaystyle d\_{1},d\_{2}>0}.

گوی {\displaystyle B\_{2}} را اطراف {\displaystyle w\_{0}} با شعاع e و عناصر w در نظر می‌گیریم. از قضیه روشه یا آرگومان اصلی توابع {\displaystyle f(z)-w\_{0}} و {\displaystyle f(z)-w} برای هر w با فاصله e از f({\displaystyle z\_{0}})، دارای تعداد یکسانی ریشه هستند. فرض کنید z\_1 ریشه یا یکی از ریشه‌های {\displaystyle f(z)-w} باشد؛ بنابراین، برای هر w در {\displaystyle B\_{2}}، یک z\_1 در B وجود دارد که {\displaystyle f(z\_{1})=w}، تصویر {\displaystyle B\_{2}} یک زیر مجموعه از تصویر B است که یک زیر مجموعه {\displaystyle f(U)} است.
پس w یک نقطه درونی {\displaystyle f(U)} بای هر w دلخواه، و قضیه ثابت شده‌است.

منابع
-----

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Open mapping theorem (functional analysis)». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۱۴.

| * ن
* ب
* و
آنالیز تابعی (موضوعات – واژه‌نامه) |
| --- |
| فضاها | 

|  |
| --- |
| 
* باناخ
* بزوف
* فرشه
* هیلبرت
* هولدر
* هسته‌ای
* اورلیکز
* شوارتز
* سوبولف
* فضای برداری توپولوژیکی

 |
| خواص | 
* بشکه‌ای
* کامل
* دوگان (جبری/توپولوژیکی)
* موضعاً محدب
* انعکاسی
* جداپذیر

 |

 |
| قضایا | 
* هان-باناخ
* نمودار بسته
* اصل کرانداری یکنواخت
* نقطه-ثابت کاکوتانی
* کرین-میلمن
* مین-مکس
* گلفاند-نایمارک
* باناخ-الوگلو

 |
| عملگرها | 
* الحاقی
* کراندار
* فشرده
* هیلبرت-اشمیت
* نرمال
* هسته‌ای
* کلاس تریس
* بی‌کران
* یکانی

 |
| جبرها | 
* جبر باناخ
* \*C-جبر
* طیف یک \*C-جبر
* جبر عملگری
* جبر گروهی یک گروه موضعاً فشرده
* جبر فون نویمان

 |
| مسائل باز | 
* مسئله زیرفضای ناوردا
* حدس ماهلر

 |
| کاربردها | 
* فضای هاردی
* نظریه طیفی معادلات دیفرانسیل معمولی
* هسته گرما
* قضیه اندیس
* حساب تغییرات
* حساب تابعی
* عملگر اننتگرال
* چندجمله‌ای جونز
* نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی
* هندسه ناجابجایی
* حدس ریمان

 |
| موضوعات پیشرفته | 
* خاصیت تخمین
* مجموعه متعادل
* توپولوژی ضعیف
* فاصله باناخ-مازور
* نظریه تومیتا-تیکسکی

 |


| * ن
* ب
* و
فضاهای برداری توپولوژیکی (TVS ها) |
| --- |
| مفاهیم پایه‌ای | 
* فضای باناخ
* عملگر خطی پیوسته
* تابعک‌ها
* فضای هیلبرت
* نگاشت‌های خطی
* فضای موضعاً محدب
* همریختی
* فضای برداری توپولوژیکی
* فضای برداری

 |
| نتایج اصلی | 
* قضیه گراف بسته
* قضیه ریس
* قضیه هان-باناخ (جداسازی ابرصفحه
* هان-باناخ برداری-مقدار)
* قضیه نگاشت باز (معکوس کراندار)
* اصل کرانداری یکنواخت

 |
| نگاشت‌ها | 
* تقریباً باز
* دوخطی (فرم دوخطی
* عملگر) و فرم‌های یک‌ونیم-خطی
* بسته
* عملگر فشرده
* پیوسته و ناپیوسته نگاشت‌های خطی
* چگال تعریف‌شده
* همریختی
* تابعک‌ها
* نرم (ریاضیات)
* عملگر
* نیم-نرم
* زیرخطی
* ترانهاده

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* مطلقاً محدب/قرص
* جاذب/شعاعی
* فضای آفین
* متعادل/مدور
* قرص‌های باناخ
* نقاط مقید
* کراندار
* زیرفضای متمم‌دار
* محدب
* مخروط محدب (زیرمجموعه)
* مخروط خطی (زیرمجموعه)
* نقطه سرحد
* پیش-فشرده/کاملاً کراندار
* شعاعی
* محدب شعاعی/ستاره-شکل
* متقارن

 |
| عملیات مجموعه‌ها | 
* پوسته آفین
* (نسبی) درون جبری (هسته)
* پوش محدب
* پیمایش خطی
* جمع مینکوسکی
* قطبی
* (شبه) درون سبی

 |
| انواع TVSها | 
* اسپلوند
* B-کامل/پتاک
* فضای باناخ
* (شمارا) بشکه‌ای
* (فرا-) بورنولوژیکال
* براونر
* کامل
* DF-فضا
* متمایز
* F-فضا
* فرشه (فرشه رام)
* گروتندیک
* فضای هیلبرت
* فروبشکه‌ای
* فضای درونیابی
* LB-فضا
* LF-فضا
* فضای موضعاً محدب
* مکی
* (شبه)متری
* مونتل
* شبه-بشکه‌ای
* شبه-کامل
* شبه-نرم‌دار
* (چندجمله‌ای
* نیم-) بازتابی
* ریس
* شوارتز
* نیم-کامل
* اسمیت
* کلیشه‌ای
* (B-محدب
* قویاً
* یکنواخت محدب
* (شبه-) فرابشکه‌ای
* یکنواخت هموار
* شبکه‌ای
* با خاصیت تقریب

 |