در ریاضیات، ا**عمال سطری مقدماتی** ۳ عمل ساده روی یک ماتریس است که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

یک ماتریس مقدماتی مثل E ماتریسی است که ضرب چپ آن در یک ماتریس ({\displaystyle EA}) همان کاری را روی آن انجام دهد که یک عمل سطری مقدماتی انجام می‌دهد. می‌توان نتیجه گرفت که ضرب راست {\displaystyle AE} یک عمل ستونی مقدماتی مشابه روی A انجام می‌دهد. ماتریس مقدماتی با اعمال تنها یک عمل سطری مقدماتی روی ماتریس همانی به دست می‌آید.

اگر با اعمال چند عمل سطری مقدماتی بتوان از یک ماتریس A به ماتریس B رسید آن دو ماتریس را هم‌ارز سطری می‌نامیم و با نماد هم‌ارزی {\displaystyle A\sim B} نمایش می‌دهیم. اعمال سطری مقدماتی در حذف گاوسی و موارد مشابه کاربرد دارد.

اعمال سطری مقدماتی
------------------

### مبادله

مقالهٔ اصلی: ماتریس جایگشت
این عمل تمام درایه‌های دو سطر ماتریس را (نظیر به نظیر) با یکدیگر جابه‌جا می‌کند. این عملیات را می‌توان با نماد {\displaystyle R\_{i}\leftrightarrow R\_{j}} نشان داد.

مثال: با جابه‌جا کردن سطر ۲ و ۳ در ماتریس {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}} ماتریس {\displaystyle T\_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\7&8&9\\4&5&6\end{bmatrix}}} به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل {\displaystyle T\_{i,j}={\begin{bmatrix}1&&&&&&&&\\&\ddots &&&&&&&\\&&1&&&&&\\&&&0&&1&&\\&&&&\ddots &&&\\&&&1&&0&&\\&&&&&&1&&\\&&&&&&&\ddots &\\&&&&&&&&1\end{bmatrix}}} با جابه‌جا کردن سطر {\displaystyle i,j} در I به دست می‌آید.

* {\displaystyle T\_{i,j}^{-1}=T\_{i,j}}
* دترمینان {\displaystyle |T\_{i,j}|=-1} است. در نتیجه {\displaystyle |T\_{i,j}A|=|AT\_{i,j}|=-|A|}. یعنی با جابه‌جا کردن سطرها یا ستون‌‌های یک ماتریس دترمینان آن منفی می‌شود.

### ضرب اسکالر

با این عمل می‌توان درایه‌های یک سطر ماتریس را در یک ثابت اسکالر ناصفر ضرب کرد. این عملیات را می‌توان با نماد {\displaystyle R\_{i}\leftarrow kR\_{i}} نشان داد.

مثال: با ضرب ۳ در سطر دوم ماتریس {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}} ماتریس {\displaystyle D\_{2,3}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\12&15&18\\7&8&9\end{bmatrix}}} به دست می‌آید.

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل {\displaystyle D\_{i,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&c&&&\\&&&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} با ضرب c در سطر i-ام I به دست می‌آید.

* {\displaystyle D\_{i,c}^{-1}=D\_{i,{1 \over c}}}
* این ماتریس و وارونش قطری است.
* دترمینان {\displaystyle |D\_{i,c}|=c} است. در نتیجه {\displaystyle |D\_{i,c}A|=|AD\_{i,c}|=c|A|}. یعنی با ضرب c در یک سطر یا ستون یک ماتریس دترمینان آن نیز در c ضرب می‌شود.

### جمع

در این عمل مضربی از یک سطر را به یک سطر دیگر اضافه می‌کنیم. این عملیات را می‌توان با نماد {\displaystyle R\_{i}\leftarrow R\_{i}+kR\_{j}} نشان داد.

مثال: ۲-برابر سطر یکم ماتریس {\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{bmatrix}}} را به سطر دوم آن اضافه می‌کنیم: {\displaystyle L\_{2,1,-2}A={\begin{bmatrix}1&2&3\\2&1&0\\7&8&9\end{bmatrix}}}

ماتریس مقدماتی متناظر با این عمل {\displaystyle L\_{i,j,c}={\begin{bmatrix}1&&&&&&\\&\ddots &&&&&\\&&1&&&&\\&&&\ddots &&&\\&&c&&1&&\\&&&&&\ddots &\\&&&&&&1\end{bmatrix}}} با اضافه کردن c-برابر در سطر j-ام به سطر i-ام I به دست می‌آید.

* {\displaystyle L\_{i,j,c}^{-1}=-L\_{i,j,c}}
* این ماتریس و وارونش مثلثی هستند.
* دترمینان {\displaystyle |L\_{i,j,c}|=1} است. در نتیجه {\displaystyle |L\_{i,j,c}A|=|AL\_{i,j,c}|=|A|}. یعنی با اضافه کردن مضارب سطری به سطر دیگر یا ستونی به ستون دیگر در یک ماتریس دترمینان آن ثابت می‌ماند.

جستارهای وابسته
---------------

* ماتریس هم‌ارز سطری

منابع
-----

1. 1 2 3 4 5  *Linear Algebra and Its Applications*. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.

* کنت هافمن (۱۳۸۵)، *جبر خطی*، ترجمهٔ جمشید فرشیدی، مرکز نشر دانشگاهی، ص. ۱۱، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۳۰-X

| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |