دیریکله ریاضیدان آلمانی که عمل ضرب دیریکله را تعریف نمود.
در نظریه اعداد، **ضرب دیریکله** یا **پیچش دیریکله** توابع حسابی، یک عمل دوتایی بین توابع حسابی است که از اهمیت زیادی برخوردار است. این نوع عمل اولین بار توسط دیریکله ریاضیدان آلمانی تعریف شده است.

تعریف
-----

اگر f و g دو تابع حسابی باشند، در این صورت حاصل ضرب دیریکله f و g را با f\*g نشان می‌دهیم و برای هر عدد طبیعی n به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

{\displaystyle (f\*g)(n)=\sum \_{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)}
که در آن مجموع روی مقسوم علیه‌های n است. چنین مجموع‌هایی در سراسر نظریه اعداد بویژه نظریه تحلیلی اعداد رخ می‌دهند و لذا از اهمیت خاصی دارند.

خواص جبری ضرب دیریکله
---------------------

قضیهحاصل ضرب دیریکله توابع حسابی جابجایی است. یعنی اگر f,g توابعی حسابی باشند، f\*g=g\*f
برهانبرای هر عدد طبیعی n داریم:
{\displaystyle (f\*g)(n)=\sum \_{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum \_{d|n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=(g\*f)(n)}
توجه داشته باشید که دو مجموع فوق فقط در ترتیب عوامل شرکت کننده در جمع تفادت دارند.￭

قضیهحاصل ضرب دیریکله توابع حسابی شرکت پذیر است. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند،
f\*(g\*h)=(f\*g)\*h

برهانابتدا توجه می‌کنیم که برای هر عدد طبیعی n می‌توان نوشت:
{\displaystyle (f\*g)(n)=\sum \_{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum \_{ab=n}f(a)g(b)}
حال برای هر n داریم:

{\displaystyle ((f\*g)\*h)(n)=\sum \_{ab=n}(f\*g)(a)h(b)=\sum \_{ab=n}\left(\sum \_{cd=a}f(c)g(d)\right)g(b)}
پس:

{\displaystyle ((f\*g)\*h)(n)=\sum \_{adb=n}f(c)g(d)h(b)}
از طرفی داریم:

{\displaystyle (f\*(g\*h))(n)=\sum \_{ab=n}f(a)(g\*h)(b)}
پس:

{\displaystyle (f\*(g\*h))(n)=\sum \_{ab=n}f(a)\left(\sum \_{cd=b}g(c)h(d)\right)=\sum \_{acd=n}f(a)g(c)h(d)}
پس حکم ثابت می‌شود.￭

قضیهتابع همانی {\displaystyle I(n)=\left[{\frac {1}{n}}\right]} عضو خنثی نسبت به ضرب دیریکله توابع حسابی است.
برهانبرای هر تابع حسابی f و عدد طبیعی n، داریم:
{\displaystyle (f\*I)(n)=\sum \_{d|n}f(d)\left[{\frac {d}{n}}\right]=f(n)}
توجه داشته باشید که جملات مجموع فوق برای هر d<n صفر بوده و برای d=n برابر (f(n می‌باشد. حال چون ضرب دیریکله جابجایی است پس f\*I=I\*f=f و لذا حکم ثابت می‌شود.￭

قضیهضرب دیریکله روی جمع توابع حسابی پخش پذیر است. یعنی اگر f,g،h توابعی حسابی باشند آنگاه:
f\*(h+g)=f\*g+f\*h

برهانبرای هر عدد n داریم:
{\displaystyle (f\*(g+h))(n)=\sum \_{d|n}f(d)(g+h)\left({\frac {n}{d}}\right)}
پس:

{\displaystyle (f\*(g+h))(n)=\sum \_{d|n}f(d)g\left({\frac {n}{d}}\right)+\sum \_{d|n}f(d)h\left({\frac {n}{d}}\right)=(f\*g)(n)+(f\*h)(n)}

ولذا حکم برقرار است.￭

قضیهحاصل ضرب دیریکله دو تابع ضربی، تابعی ضربی است.
برهانفرض می‌کنیم f,g دو تابع ضربی باشند و h=f\*g. در این صورت اگر n,m اعداد طبیعی و متباین(نسبت به هم اول) باشند داریم:
{\displaystyle h(mn)=\sum \_{d|mn}f(d)g\left({\frac {mn}{d}}\right)}
خواننده می‌تواند تحقیق کند که اگر m,n اعداد صحیح و متباین باشند و d|mn اعداد صحیح و یکتایی چون d1,d2 وجود دارند به طوری که d=d1d2 و d1|m و d2|n. با بکارگیری این قضیه برای هر d|mn اعداد a,b وجود دارند که d=ab و a|m و b|n پس عبارت فوق به صورت زیر قابل تبدیل است:

{\displaystyle h(mn)=\sum \_{a|m \atop b|n}f(ab)g\left({\frac {mn}{ab}}\right)}
چون 1=(n,m) پس 1=(a,b) و نیز 1=(m/a,n/b) و چون f,g توابعی ضربی اند:

{\displaystyle h(mn)=\sum \_{a|m \atop b|n}f(a)g\left({\frac {m}{a}}\right)f(b)g\left({\frac {n}{b}}\right)}
پس:

{\displaystyle h(mn)=\sum \_{a|m}f(a)g\left({\frac {m}{a}}\right)\sum \_{b|n}f(b)g\left({\frac {n}{b}}\right)}
{\displaystyle \quad \ =(f\*g)(m)(f\*g)(n)=h(m)h(n)}
بنابراین h ضربی است و حکم ثابت می‌شود.￭

### معکوس دیریکله

نکته جالب توجه این است که رده‌ای از توابع حسابی نسبت به ضرب دیریکله دارای معکوس هستند. اگر f تابعی حسابی باشد، تابع حسابی g را معکوس دیریکله f می‌گوییم هرگاه f\*g=g\*f=I. قضیه زیر بیان می‌کند که یک تابع حسابی در چه صورت دارای معکوس دیریکله است.

قضیهاگر f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1 در این صورت تابع حسابی یکتایی چون f−1 وجود دارد که معکوس دیریکله f نام دارد و داریم f\*f−1=f−1\*f=I که I تابع همانی است. همچنین f−1 از دستور زیر برای هر n قابل محاسبه است:
{\displaystyle f^{-1}(1)={\frac {1}{f(1)}}}
{\displaystyle \forall n>1:f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum \_{d|n \atop d<n}f\left({\frac {n}{d}}\right)f^{-1}(d)}
برهانفرض می‌کنیم f تابعی حسابی باشد که 0≠(f(1. نشان می‌دهیم معادله f\*f−1=I برای هر عدد طبیعی جواب یکتا دارد. این کار را به استقرا روی n انجام می‌دهیم. اگر n=1 در این صورت:
{\displaystyle (f\*f^{-1})(1)=f(1)f^{-1}(1)=1=I(1)}
پس جواب معادله {\displaystyle f^{-1}={\frac {1}{f(1)}}} است و یکتا است. حال فرض می‌کنیم حکم برای هر عدد طبیعی کوچک‌تر از n درست باشد. نشان می‌دهیم حکم برای n نیز درست است. معادله

{\displaystyle (f\*f^{-1})(n)=I(n)=0}
را حل می‌کنیم(چون n>1 عبارت برابر صفر است). داریم:

{\displaystyle (f\*f^{-1})(n)=f(1)f^{-1}(n)+\sum \_{d|n \atop d<n}f(n/d)f^{-1}(d)=0}
پس:

{\displaystyle f^{-1}(n)={\frac {-1}{f(1)}}\sum \_{d|n \atop d<n}f(n/d)f^{-1}(d)}
و بنابر فرض استقرا جوابی یکتا حاصل می‌شود و برهان کامل می‌شود.￭

### معکوس دبریکله تابع کاملاً ضربی

اگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، معکوس دیریکله آن به سادگی قابل محاسبه است. ابتدا دقت می‌کنیم که هر تابع ضربی و بخصوص تابع کاملاً ضربی دارای این خاصیت است که 1=(f(1 پس معکوس دیریکله در هر حال وجود دارد.

قضیهاگر f تابعی کاملاً ضربی باشد، f−1=f.μ که در آن μ تابع موبیوس است.
برهانفرض کنیم f تابعی کاملاً ضربی باشد. در این صورت با فرض g=f.μ داریم:
{\displaystyle (g\*f)(n)=\sum \_{d|n}g(d)f\left({\frac {n}{d}}\right)=\sum \_{d|n}f(d)\mu (d)f\left({\frac {n}{d}}\right) \atop =\sum \_{d|n}f(n)\mu (d)=f(n)\sum \_{d|n}\mu (d)=f(n)I(n)=I(n)}
پس {\displaystyle f^{-1}(n)=f(n)\mu (n)} و لذا حکم ثابت می‌شود.￭

* توجه داشته باشید که عکس قضیه فوق نیز برقرار است که ما در اینجا به آن نمی‌پردازیم.

چند نتیجه مهم
-------------

فرض می‌کنیم:

{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{f:\mathbb {N} \to \mathbb {C} |f(1)\neq 0\}}

با بررسی خواص و مطالبی که تا کنون در مورد ضرب دیریکله توابع حسابی بیان کردیم می‌توان گفت مجموعه F (مجموعه همه توابع حسابی که در یک مخالف صفر هستند):

1. به همرا عمل ضرب دیریکله تشکیل یک گروه آبلی را می‌دهد.
2. به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک میدان می‌دهد. بعلاوه مجموعه همه توابع حسابی در حالت کلی به همراه جمع توابع و ضرب دیریکله تشکیل یک حلقه جابجایی یکدار را تشکیل می‌دهد که عناصر یکه در آن توابعی هستند که در نقطه یک صفر نشو باشند.

پیچش‌های تعمیم یافته
--------------------

بدلیل اهمیت نوع مجموع‌هایی که در ضرب دیریکله دو تابع حسابی ظاهر می‌شود این مجموع را بین یک تابع حسابی و یک تابع مختلط یا حقیقی تعمیم می‌دهند.

از این پس، فرض کنید F تابع حقیقی یا مختلط با دامنه اعداد حقیقی مثبت باشد که برای هر {\displaystyle 0<x<1}، داشته باشیم 0=(F(x. حال اگر α تابعی حسابی باشد، عمل \circ  را به بین F و α به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

{\displaystyle (\alpha \circ F)(x)=\sum \_{n\leq x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}
که {\displaystyle \alpha \circ F} را می‌توان تابعی چون (G(x در نظر گرفت.

توجه داشته باشید که اگر برای هر عدد غیر صحیح x داشته باشیم 0=(F(x در این صورت با تحدید دامنه F به مجموعه اعداد صحیح F تابعی حسابی خواهد بود و عمل ° در آن همان عمل ضرب دیریکله \* خواهد بود. از این رو عمل ° تعمیمی بر ضرب دیریکله \* است.

به آسانی می‌توان تحقیق کرد که تابع همانی I معکوس چپ پیچش تعمیم یافته است. یعنی برای هر تابع F داریم I°F=F.

قضیهفرض کنید ° عمل پیچش تعمیم یافته باشد و \* ضرب دیریکله باشد و α,β دو تابع حسابی باشند در این صورت:
{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)=(\alpha \*\beta )\circ F}
برهانبرای هر x>0 داریم:
{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum \_{n\leq x}\alpha (n)(\beta \circ F)(x/n)}
{\displaystyle =\sum \_{n\leq x}\alpha (n)\sum \_{m\leq {\frac {x}{n}}}\beta (m)F\left({\frac {x}{nm}}\right)}
حال چون mn≤x و mn عددی صحیح است پس به ازای عدد صحیح d داریم mn=d پس n|d و d≤x بعلاوه این نشان می‌دهد عدد صحیح m وجود دارد که mn=d≤x. پس:

{\displaystyle \alpha \circ (\beta \circ F)(x)=\sum \_{d\leq x}\left(\sum \_{n|d}\alpha (n)\beta (n/d)F(x/d)\right)}
{\displaystyle =\sum \_{d\leq x}(\alpha \*\beta )(d)F(x/d)=((\alpha \*\beta )\circ F)(x)}
و برهان حکم کامل می‌شود.￭

### انعکاس تعمیم یافته

اگر α تابعی حسابی با معکوس دیریکله 1-α باشد و x>0، در این صورت اگر:

{\displaystyle G(x)=\sum \_{n\leq x}\alpha (n)F\left({\frac {x}{n}}\right)}
آنگاه

{\displaystyle F(x)=\sum \_{n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}
برهانبرای اثبات از خواص جبری پیچش تعمیم یافته استفاده می‌کنیم. بنابه فرض داریم {\displaystyle G=\alpha \circ F} پس:
{\displaystyle \alpha ^{-1}\circ G=\alpha ^{-1}\circ (\alpha \circ F)=(\alpha ^{-1}\*\alpha )\circ F=F}
پس: {\displaystyle F(x)=\sum \_{n\leq x}\alpha ^{-1}(n)G\left({\frac {x}{n}}\right)}

و برهان کامل است.￭

### فرمول انعکاس موبیوس

معادله ی {\displaystyle f(n)=\sum \limits \_{d\left|n\right.}{g(d)}}
معادله ی {\displaystyle g(n)=\sum \limits \_{d\left|n\right.}{f(d)\mu ({\frac {n}{d}}})}
را که فرمول انعکاس موبیوس نام دارد ایجاب می کند. برعکس فرمول انعکاس موبیوس معادله ی اول را ایجاب می کند.

جستارهای وابسته
---------------

* تابع حسابی
* تابع ضربی
* فرمول انعکاس موبیوس
* تابع فی اویلر
* تابع موبیوس

منابع
-----

* ویلیام دبلیو. آدامز، لری جوئل گولدشتین (۱۳۸۴)، *آشنایی با نظریه اعداد*، ترجمهٔ دکتر آدینه محمد نارنجانی، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۷۰-۶
* تام آپوستل (۱۳۷۶)، *نظریه تحلیلی اعداد (۱)*، ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده-علی‌اکبر رحیم‌زاده، تهران: نشر منصوری، شابک ۹۶۴-۶۱۶۶-۰۶-۷
* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Dirichlet convolution». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷.

| * ن
* ب
* و
دیریکله |
| --- |
| 
* توزیع دیریکله
* Dirichlet character
* فرایند دیریکله
* توزیع دیریکله—چندجمله‌ای
* Dirichlet series
* قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی
* ضرب دیریکله
* Dirichlet problem
* انتگرال دیریکله

 |