نمودار شماتیک تغییرات تنش تسلیم با تغییر اندازه دانه. خط سبز رفتار هال-پچ را نشان می‌دهد.
**اثر هال-پچ** (به انگلیسی: Hall-Petch effect) یا **رفتار هال-پچ** که **استحکام‌بخشی مرزدانه‌ای** نیز نامیده می‌شود، به پدیدهٔ افزایش تنش تسلیم مواد با کاهش اندازه دانهٔ آن‌ها گفته می‌شود. این رابطه بر اساس مشاهداتی تعریف شده است که نشان میدهد مرز دانه ها مانع حرکت نابجایی ها میشوند و همچنین تعداد نابجایی های درون یک دانه در به وجود آمدن تنش تاثیر گذارند. بنابراین با تغییر اندازه دانه میتوان بر تجمع نابجایی های درون دانه و در نتیجه استحکام تسلیم تاثیر گذاشت. عملیات حرارتی بعد از تغییر شکل پلاستیک و یا تغییر نرخ انجماد از راه ها موثر بر تغییر اندازه دانه میباشد.

رابطهٔ بین این پارامترها اولین بار توسط هال پیشنهاد شده و سپس توسط پچ گسترش یافت. این رابطه به‌طور معمول به صورت زیر بیان می‌شود:

{\displaystyle \sigma \_{y}=\sigma \_{0}+kD^{-1/2}}

که در آن {\displaystyle \sigma \_{y}}، تنش تسلیم {\displaystyle \sigma \_{0}} تنش تسلیم ماده چندبلوری با اندازه دانهٔ بی‌نهایت (تک‌بلور فرضی با جهت تصادفی)، k پارامتر قفل‌شدن یا پارامتر پچ (ثابت ماده) و D قطر متوسط دانه‌ها است.

این پدیده به انباشت نابجایی در مرزدانه‌ها یا چگالی بالاتر نابجایی‌ها در مواد دانه‌ریز نسبت داده‌شده‌است.

تئوری
-----

برمواد، مرز دانه ها مانند سنجاق عمل میکنند و مانع حرکت بیشتر نابجایی ها میشوند. از آنجایی که جهت شکل گیری هر دانه با دانه دیگر فرق دارد لذا نابجایی ها برای عبور از دانه های مجاور نیازمند انرژی بیشتری برای تغییر جهت هستند. همچنین مرز دانه ها نسبت به درون دانه ها دارای بی نظمی بیشتری هستند که این موضوع نیز باعث جلوگیری از حرکت نابجایی ها در صفحات لغزش میشود. ایجاد مانع بر حرکت نابجایی ها در واقع مانع تغییر شکل پلاستیک و در نتیجه افزایش استحکام تسلیم ماده خواهد شد.

هنگامی که ماده تحت تنش قرار میگیرد، نابجایی های قبلی و همچنین نابجایی های که در اثر منبع فرانک-رید بوجود آمدند در بافت کریستالی حرکت میکنند تا زمانی که به مرز دانه برسند. تفاوت در جهت گیری دانه ها منجر به ایجاد نیروی دافعه و در خلاف جهت حرکت نابجایی ها میگردد. وقتی نابجایی های بیشتری به سمت مرز دانه حرکت میکنند، تجمع نابجایی ها اتفاق میافتد که باعث ایجاد یک سد برای عبور نابجایی ها از مرز دانه میشود. کاهش اندازه دانه ها باعث کاهش مقدار تجمع نابجایی ها در مرز دانه میشود که این باعث افزایش تنش مورد نیاز برای حرکت نابجایی ها برای عبور از مرزها میگردد. هر چه تنش بیشتری برای حرکت نابجایی ها نیاز باشد استحکام تسلیم نیز بیشتر خواهد بود. بنابراین یک رابطه معکوس میان اندازه دانه و استحکام تسلیم وجود دارد، همانند آنچه در رابطه هال-پچ میبینیم. با این حال وقتی جهت دو دانه با یکدیگر تفاوت بالایی داشته باشد، نابجایی ها لزوما از مرز دانه ها عبور نمیکنند ولی یک منبع نابجایی در دانه مجاور ایجاد میکنند. این تئوری بیان میکند که هر چه مرز دانه ها بیشتر باشد موانع سر راه حرکت نابجایی ها بیشتر خواهد بود و در نتیجه باعث افزایش استحکام ماده میشود. 

البته باید در نظر گرفت که محدودیتی نیز برای این رابطه وجود دارد و با کوچک کردن اندازه و افزایش مرز دانه ها استحکام مواد تا بی نهایت افزایش نمیابد. اندازه دانه ها در این رابطه از 100 میکرومتر تا 1 میکرومتر مجاز است. اگر اندازه از این حد نیز کمتر شود، آنگاه اندازه دانه و اندازه نابجایی با هم برابر خواند بود. مثلا در اندازه دانه 10 نانومتر تنها یک یا دو نابجایی میتواند وجود داشته باشد (به نمودار بالا نگاه کنید). در این مقیاس بسیار کوچک، از تجمع نابجایی ها منع میشود و در عوض نابجایی ها میتوانند به درون دیگر دانه ها نفوذ کنند. در نتیجه شاهد کاهش استحکام تسلیم در ماده خواهیم بود.

جهت درک بهتر مکانیزم اثر هال-پچ باید کنش و واکنش میان نابجایی ها به درستی درک شود. نابجایی ها در اطراف خود ناحیه تنشی ایجاد میکنند که با رابطه زیر بیان میشود: 

{\displaystyle \sigma \varpropto {\frac {Gb}{r}}}

که G مدول برشی ماده، b بردار برگرز و r فاصله از نابجایی میباشد. اگر نابجایی ها در به طور یکنواخت نسبت به یکدیگر پخش شده باشند، ناحیه تنشی ناشی از آنها یکدیگر را دفع میکند که به حرکت نابجایی ها درون و در میان دانه ها کمک میکند. لذا هرچه مقدار نابجایی ها بیشتر باشد نواحی تنشی بیشتری در نزدیکی مرز دانه ها حس میشود. 

{\displaystyle \tau \_{felt}=\tau \_{applied}+n\_{dislocation}\tau \_{dislocation}}

این تصویر مفهوم تجمع نابجایی ها و تاثیر آن در افزایش استحکام مواد را نشان میدهد. ماده ای که دانه های بزرگتری دارد قابلیت تجمع نابجایی بیشتری است که نیروی بیشتری برای حرکت دارد لذا نیازمند اعمال نیرویی کمتر برای جابجایی آنها میان دانه خواهیم بود و برعکس. پس مواد با اندازه دانه کوچکتر تنش تسلیم بالاتری دارند.
### تقویت استحکام با دانه های فرعی

دانه های فرعی نوعی از دانه ها هستند که دارای زاویه کم و اندکی جهت گیری متفاوت از دیگر دانه یا دانه های مجاور میباشند. تحقیقاتی در این زمینه صورت گرفت که نشان میدهد دانه های فرعی نیز بر استحکام مواد تاثیرگذارند. دانه های فرعی با توجه به فرآیندهای تولیدی که روی مواد صورت میگیرد میتوانند بوجود آیند. برای مثال در مواد آهنی، هنگامی که در معرض آسیاب گلوله ای طولانی مدت (بیش از 100 ساعت) قرار میگیرند، دانه های فرعی با اندازه 60 تا 90 نانومتر شکل میگیرند. هر چه چگالی دانه های فرعی بیشتر باشد، به دلیل وجود مرزهای بیشتر، استحکام تسلیم مواد نیز بیشتر خواهد شد، مشابه آنچه در رابطه هال-پچ بیان شد.

رابطه هال-پچ
------------

رابطه ای معکوس میان تفاوت استحکام و توانی از اندازه دانه وجود دارد:

{\displaystyle \Delta \tau \varpropto {\frac {k}{d^{x}}}}

که k ضریب استحکام، d اندازه دانه و k و x هر دو از مشخصات ماده میباشند. با فرض یک ماده پلی کریستالی، هر چه اندازه دانه کوچک تر باشد، تنش دافعه ای حس شده توسط نابجایی مرز دانه ای کمتر و تنش مورد نیاز برای حرکت دادن نابجایی درون ماده بیشتر خواهد بود. 

ثوابت رابطه هال-پچ| ماده | σ0 [MPa] | *k* [MPa m1/2] |
| --- | --- | --- |
| مس | 25 | 0.12 |
| تیتانیوم | 80 | 0.40 |
| فولاد کم کربن | 70 | 0.74 |
| Ni3Al | 300 | 1.70 |

  

رابطه میان تنش تسلیم و اندازه دانه به صورت ریاضی در قرمول زیر نشان داده شده است:

{\displaystyle \sigma \_{y}=\sigma \_{0}+{\tfrac {k\_{y}}{\sqrt {d}}}}

که σy تنش تسلیم، σ0 ثابت ماده و تنش شروع برای حرکت نابجایی ها، ky ثابت استحکام بخشی و d متوسط قطر دانه است. نکته ای که باید در نظر گرفت این است که رابطه هال-پچ یک رابطه بدست آمده تجربی است که با نتایج تحقیقات و آزمایش ها همخوانی دارد و این ایده که میزان تجمع به اندازه نیمی از قطر دانه منجر به تنش بحرانی شود در ریزساختار مواد مشاهده نشده است.

### تاریخچه

در دهه 1950 میلادی دو سری مقاله پیشگامانه و در عین حال مستقل از یکدیگر، درباره ارتباط میان مرز دانه و استحکام نوشته شد.

در سال 1951 میلادی، هال، در حالی که در دانشگاه شفیلد مشغول به کار بود، سه مقاله در جلد 64 ام مجموعه مقالات انجمن فیزیک منتشر کرد. هال در مقاله سومش نشان داد طول باند برشی یا طول ترک متناسب با اندازه دانه است، پس میتوان رابطه ای میان این دو برقرار کرد. هال بر روی تسلیم فولاد کم کربن متمرکز بود.

### رابطه هال-پچ معکوس

رابطه هال-پچ پیش بینی میکند که استحکام تسلیم با افزایش اندازه دانه کاهش میابد. رابطه هال-پچ برای اندازه دانه هایی از 1 میلیمتر تا 1 میکرومتر مناسب است. در نتیجه باور بر این بود که هر چقدر هم اندازه دانه کاهش یابد منجر با افزایش استحکام خواهد شد. با این حال، آزمایش ها بر روی بسیاری از مواد نانوکریستالی نشان داد هنگامی که اندازه دانه ها از حدی (مقدار بحرانی عموما 10 نانومتر است) کوچک تر شود استحکام تسلیم ثابت میماند یا اینکه کاهش میابد. این پدیده به عنوان رابطه هال-پچ معکوس شناخته میشود.

ریز سازی دانه ها
----------------

ریزسازی دانه ها مجموعه ای از تکنیک ها در علم متالورژی که با افزودن عناصر جوانه زا به استحکام بخشی به کمک مرز دانه ها میانجامد. روش ها و تکنیک ها با توجه به جنس مواد متغیر است.

یکی از روش های کنترل اندازه دانه در آلیاژهای آلومینیوم استفاده از عناصر جوانه ساز است مانند آلیاژ Al-5%Ti. دانه ها به صورت ناهمگن شروع به جوانه زنی خواهند کرد و عناصر آلومینیوم در دمای پایین تر از انجماد شروع به جوانه زنی بر روی سطوح این عناصر خواهند کرد. جوانه ها به صورت دندریت هایی شروع به رشد در راستای شعاعی خواهند کرد. جهت محدود کردن رشد دانه ها میتوان عناصر حل شونده ای را به آلیاژ افزود که در نهایت باعث کاهش اندازه دانه میشود. آلیاژ Al-Ti-B یکی از معروف ترین آلیاژهای ریزساز های دانه است. همچنین Al3Sc نیز به عنوان ریزسازهای جدید معرفی شده اند.

یکی از تکنیک های رایج ریزسازی دانه ها اضافه کردن موادی است که در دمایی بالاتر از دمای ذوب فلز پس زمینه جامد میشوند. این عمل منجر به ایجاد بذر بلور میشود و باعث الگوبرداری مذاب برای انجماد خواهد شد.

عناصر رایج جوانه زنی برای آلیاژهای ریخته گری| فلز | عنصر جوانه زنی |
| --- | --- |
| چدن | گرافیت، FeSi، SiCa |
| آلیاژهای منیزیم | زیرکونیم، کربن |
| آلیاژهای مس | آهن، کبالت، زیرکونیم |
| آلیاژهای آلومینیوم-سیلیکون | فسفر، تیتانیوم، بور، اسکاندیوم |
| آلیاژهای سرب | آرسنیک، تلوریم |
| آلیاژهای روی | تیتانیوم |
| آلیاژهای تیتانیوم | ترکیبات بین فلزی آلومینیوم-تیتانیوم |

منابع
-----

1. ↑  *W.D. Callister. Fundamentals of Materials Science and Engineering, 2nd ed. Wiley & Sons. pp. 252*.
2. ↑  E. O. Hall, *The Deformation and Ageing of Mild Steel: III Discussion of Results*, Proceedings of the Physical Society. Section B, Vol. 64 (1951), pp. 747-753 doi:10.1088/0370-1301/64/9/303
3. ↑  N. J. Petch, *The Cleavage Strength of Polycrystals* , Journal of the Iron and Steel Institute, 174 (1953), pp. 25-28
4. ↑  Keith Bowman, *Mechanical Behavior Of Materials*, John Wiley & Sons, 2004, p. 169 ISBN 0-471-24198-9
5. ↑  J. C. M. Li, Y. T. Chou, *The role of dislocations in the flow stress grain size relationships*, Metallurgical and Materials Transactions B, Vol. 1 (1970), pp. 1145-1159 doi:10.1007/BF02900225
6. ↑  Chokshi, A. H.; Rosen, A.; Karch, J.; Gleiter, H. (1989-10-01). "On the validity of the hall-petch relationship in nanocrystalline materials". *Scripta Metallurgica* (به انگلیسی). **23** (10): 1679–1683. doi:10.1016/0036-9748(89)90342-6. ISSN 0036-9748.
7. ↑  "Answers - The Most Trusted Place for Answering Life's Questions". *Answers* (به انگلیسی). Retrieved 2021-02-12.
8. ↑  Lesuer, D. R.; Syn, C. K.; Sherby, O. D. (2007-08-15). "Nano-subgrain strengthening in ball-milled iron". *Materials Science and Engineering: A*. TMS 2006, Mukherjee Symposium (به انگلیسی). **463** (1): 54–60. doi:10.1016/j.msea.2006.07.161. ISSN 0921-5093.
9. ↑  "Grain boundary strengthening". *Wikipedia* (به انگلیسی). 2021-02-05.
10. ↑  "Grain boundary strengthening". *Wikipedia* (به انگلیسی). 2021-02-05.
11. ↑  Conrad, Hans; Narayan, Jagdish (2000-05-31). "On the grain size softening in nanocrystalline materials". *Scripta Materialia* (به انگلیسی). **42** (11): 1025–1030. doi:10.1016/S1359-6462(00)00320-1. ISSN 1359-6462.
12. ↑  Kashyap, K. T.; Chandrashekar, T. (2001-08-01). "Effects and mechanisms of grain refinement in aluminium alloys". *Bulletin of Materials Science* (به انگلیسی). **24** (4): 345–353. doi:10.1007/BF02708630. ISSN 0973-7669.
13. ↑  Fan, Z.; Wang, Y.; Zhang, Y.; Qin, T.; Zhou, X. R.; Thompson, G. E.; Pennycook, T.; Hashimoto, T. (2015-02-01). "Grain refining mechanism in the Al/Al–Ti–B system". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **84**: 292–304. doi:10.1016/j.actamat.2014.10.055. ISSN 1359-6454.
14. ↑  *Stefanescu, Doru, Science and Engineering of Casting Solidification, Second Edition، 2009*.

منابعی برای مطالعه بیشتر
------------------------

* Z. C. Cordero, B. E. Knight, C. A. Schuh, *Six decades of the Hall–Petch effect – a survey of grain-size strengthening studies on pure metals*, International Materials Reviews, Vol. 61 (2016), pp. 495-512 doi:10.1080/09506608.2016.1191808