|  |
| --- |
| بخشی از مجموعه مباحث درباره آمار |
| نظریهٔ احتمالات |
|  |
| اصول احتمال |
| فضای احتمالی \* فضای نمونه \* پیشامد ابتدایی \* پیشامد \* اندازه احتمالاتی |
| پیشامد مکمل \* توزیع احتمال توأم \* توزیع حاشیه‌ای \* احتمال شرطی |
| متغیرهای تصادفی مستقل \* استقلال شرطی \* قانون احتمال کامل \* قانون اعداد بزرگ \* قضیه بیز \* نابرابری بول |
| نمودار ون \* نمودار درختی |
| * ن
* ب
* و
 |

**توزیع احتمال توأم** یا **توزیع احتمال مشترک** (به انگلیسی: Joint probability distribution) در بحث احتمالات مطرح می‌شود که در آن پدیدهٔ مورد نظر با مجموعه‌ای از متغیّرهای تصادفی که با آن در ارتباط هستند تفسیر و تغییرات این متغیرها در ارتباط با یکدیگر و به صورت توأم (مشترک) بررسی می‌شود. در بسیاری موارد علاقه‌مند هستیم که دو یا چند متغیر تصادفی را همزمان مطالعه کنیم. در این ارتباط برای هر دو متغیر تصادفی {\displaystyle \ x} و {\displaystyle \ y} تابع توزیع تجمعی را به صورت زیر تعریف می‌کنیم

{\displaystyle \ F\_{X,Y}(a,b)=p\{X<=a,y<=b\},,-\infty <a,b<\infty }

تابع توزیع تجمعی {\displaystyle \ x} را می‌توان از تابع توزیع تجمعی مشترک به صورت زیر بدست آورد

{\displaystyle \ F\_{x}(a)=p\{X<=a,y<=\infty \}=F(a,\infty ),,-\infty <a,b<\infty }

به این ترتیب می‌توان بدست آورد

{\displaystyle \ p\{X>a,Y>b\}=1-F\_{X}(a)-F\_{Y}(b)+F(a,b)}

خواص مربوط به توزیع مشترک
-------------------------

۱. در حالت توزیع پیوسته داریم

{\displaystyle \ p\{X\leq y\leq b\}=\int \_{-\infty }^{a}\int \_{-\infty }^{b}f(x,y)dxdy}

۲. با مشتق‌گیری جزئی درمی‌یابیم

{\displaystyle \ f(a,b)={\tfrac {d^{2}}{dadb}}F(a,b)}

۳.{\displaystyle \ f\_{X}(x)=\int \_{-\infty }^{\infty }}

۴. {\displaystyle \ p\{a<X<a+da,b<y<=b+db\}=\int \_{b}^{b+db}\int \_{a}^{a+da}f(x,y)dxdy~f(a,b)dadb}

استقلال متغیرهای تصادفی
-----------------------

متغیرهای تصادفی {\displaystyle \ X}و{\displaystyle \ Y} را مستقل می‌گویند اگر برای هر دو مجموعه از اعداد حقیقی {\displaystyle \ A}و{\displaystyle \ B} داشته باشیم

{\displaystyle \ p\{X\in A,y\in B\}=p\{X\in A\}p\{y\in B\}}

این تعریف را می‌توان بر اساس تابع توزیع تجمعی مشترک هم بیان کرد

{\displaystyle \ F(a,b)=F\_{X}(a)F\_{Y}(b)}

تعمیم این رابطه به حالت پیوسته به شکل زیر است

{\displaystyle \ f(y,x)=f\_{X}(x)f\_{Y}(y)}

به عبارت دیگر {\displaystyle \ X}، {\displaystyle \ Y} مستقل خواهند بود اگر با دانستن یکی از آنها تغییری در توزیع دیگری حاصل نشود.

مجموع متغیرهای تصادفی
---------------------

معمولاً محاسبهٔ توزیع {\displaystyle \ X+Y} دارای اهمیت خاصی است. رابطه تابع تجمعی به شکل زیر است

{\displaystyle \ F\_{X+Y}(a)=p\{X+Y<=a\}=\int \_{-\infty }^{\infty }\int \_{-\infty }^{a-Y}f\_{X}(x)f\_{Y}(y)dxdy}

یعنی تابع توزیع تجمعی از پیچش توزیعهای {\displaystyle \ Y}و{\displaystyle \ X} به دست می آید.
اگر از رابطه بالا مشتق بگیریم تابع چگالی بدست می آید

{\displaystyle \ f\_{X+Y}(a)=\int \_{-\infty }^{\infty }f\_{X}(a-y)f\_{Y}(y)dy}

خاصیت مهم
---------

اگر {\displaystyle \ X\_{i}}‌ها متغیرهای تصادفی مستقل نرمال با پارامترهای {\displaystyle \ (u\_{i},\sigma ^{2})} باشند آنگاه {\displaystyle \ \sum \_{i=1}^{N}x\_{i}} دارای توزیع نرمال با پارامترهای {\displaystyle \ \sum \_{i=1}^{N}u\_{i}} و {\displaystyle \ \sum \_{i=1}^{N}\sigma \_{i}^{2}} است.

توزیع‌های شرطی
--------------

برای محاسبه توزیع شرطی در حالت **گسسته** به شکل زیر عمل می‌کنیم:

{\displaystyle \ p\_{X|Y}(x|y)=p\{X=x|Y=y\}={\tfrac {p\{X=x,Y=y\}}{p\{Y=y\}}}}

همچنین برای محاسبه توزیع‌های شرطی در حالت پیوسته می‌توان به شکل زیر عمل کرد

{\displaystyle \ f\_{X|Y}(x|y)={\tfrac {f(x,y)}{f\_{Y}(y)}}}

و برای محاسبه تابع توزیع تجمعی

{\displaystyle \ F\_{X|Y}(a|y)=p\{X<=a|Y=y\}=\int \_{-\infty }^{a}f\_{X|Y}(x|y)dx}

جستارهای وابسته
---------------

* متغیر تصادفی
* تابع چگالی احتمال
* احتمال شرطی

منابع
-----

1. ↑  «*توزیع توأم*» [*آمار*] هم‌ارزِ «*joint distribution*» مترادفِ: «*توزیع چندمتغیره*» هم‌ارزِ واژهٔ بیگانه‌ای دیگر (multivariate distribution)؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر یازدهم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۴۵-۳ (ذیل سرواژهٔ *توزیع توأم*)

* مبانی احتمال، شلدون راس، ترجمه دکتر احمد پارسیان و دکتر علی همدانی، ویرایش ششم

| * ن
* ب
* و
توزیع‌های احتمالات |
| --- |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره متناهی |
| --- |
|  بنفورد **·**  برنولی **·**  دوجمله‌ای  **·**  رسته‌‌ای **·**  فوق‌هندسی **·**  رادماکر **·**  یکنواخت گسسته **·**  زیف **·**  زیف−مندالبروت  |

 |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  بولتزمن **·**  Conway-Maxwell-Poisson **·**  compound Poisson **·**  discrete phase-type **·**  Gauss-Kuzmin **·**  هندسی **·**  لگاریتمی **·**  دوجمله‌ای منفی **·**  برخال سهموی **·**  پواسون **·**  اسکلام **·**  Yule-Simon **·**  zeta  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره محدود |
| --- |
|  بتا **·**  Kumaraswamy **·**  raised cosine **·**  مثلثی **·**  U-quadratic **·**  یکنواخت پیوسته **·**  توزیع نیم دایره  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نیمه‌متناهی |
| --- |
|  بتا پریم **·**  توزیع بر **·**  کی‌دو **·**  Coxian **·**  ارلانگ **·**  نمایی **·**  اِف **·**  آمار فرمی-دیراک **·**  توزیع نرمال پوشیده **·**  توزیع فریشه **·**  گاما **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته **·**  توزیع نیم لجستیک **·**  توزیع نیم نرمال **·**  توزیع تی مربع هاتلینگ **·**  hyper-exponential **·**  hypoexponential **·**  inverse chi-square (scale inverse chi-square) **·**  inverse Gaussian **·**  توزیع گامای وارونه **·**  توزیع لوی **·**  لُگ نرمال **·**  log-logistic **·**  ماکسول-بولتزمان **·**  توزیع ماکسول-بولتزمن **·**  Nakagami **·**  توزیع خی دو نامرکزی **·** پارتو **·**   phase-type **·**  ریلی **·**  relativistic Breit–Wigner **·**  Rice **·**  توزیع وایبول **·**  توزیع گمپرتز **·**  truncated normal **·**  type-2 Gumbel **·**  وایبول **·**  Wilks' lambda  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  کوشی **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی تعمیم‌یافته **·**  توزیع زد فیشر **·**  فیشر‐تیپت **·**  هایپربولیک عمومی **·**  hyperbolic secant **·**  Landau **·**  لاپلاس **·**  توزیع لوی **·**  logistic **·**  نرمال **·**  normal-gamma **·**  normal inverse Gaussian **·**  skew normal **·**  تی-استودنت **·**  توزیع گامبل **·**  Variance-Gamma **·**  Voigt  |

 |
| 

| چندمتغیره |
| --- |
|  *گسسته:* Ewens **·**  چندجمله‌ای **·**  توزیع دیریکله—چندجمله‌ای*پیوسته:* توزیع دریکله **·**  توزیع دریکله عمومی **·**  multivariate normal **·**  multivariate Student*Matrix-valued:* توزیع ویشارت وارون **·**  matrix normal **·**  توزیع ویشارت  |

 |
| 

| جهت‌دار، تک‌مقدار و تکین |
| --- |
|  *Directional:* Kent  **·**  von Mises **·**  von Mises–Fisher  *Degenerate:* discrete degenerate **·**  تابع دلتای دیراک  *تکین:* Cantor  |

 |
| 

| خانواده‌ها |
| --- |
|  نمایی **·**  natural exponential **·**  location-scale **·**  maximum entropy **·**  Pearson **·**  Tweedie  |

 |