کران بالا و پایین پیش‌بینی شده به وسیلهٔ قانون مخلوط‌ها برای مدول الاستیک یک ماده کامپوزیتی. مدول الاستیک حقیقی بین دو منحنی واقع می‌شود.
در علم مواد، **قانون عمومی مخلوط‌ها**، به میانگین وزنی گفته می‌شود که برای پیش‌بینی ویژگی‌های مختلف مواد کامپوزیتی ساخته شده از الیاف پیوسته و تک‌جهت استفاده می‌شود. این قانون به صورت تئوری، برای ویژگی‌هایی مثل مدول الاستیک، دانسیته جرمی، استحکام کششی نهایی، رسانندگی گرمایی و رسانندگی الکتریکی، یک کران بالا و یک کران پایین را تعیین می‌کند. برای تعیین این مقادیر به‌طور کلی دو مدل وجود دارد: یکی برای بارگذاری محوری (مدل Voigt), و دیگری برای بارگذاری عرضی (مدل Reuss).

برای یک ویژگی ماده مثل {\textstyle E} (که اغلب مدول الاستیک است)، قانون مخلوط‌ها بیان می‌کند که اندازهٔ کلی ویژگی در جهت موازی با الیاف، می‌تواند حداکثر برابر مقدار زیر باشد:

{\displaystyle E\_{c}=fE\_{f}+\left(1-f\right)E\_{m}}

که در آن

* {\displaystyle f={\frac {V\_{f}}{V\_{f}+V\_{m}}}} کسر حجمی الیاف است
* {\displaystyle E\_{f}} ویژگی مادهٔ الیاف است
* {\displaystyle E\_{m}} ویژگی مادهٔ ماتریس است

در مورد مدول الاستیک، این رابطه به عنوان **کران بالای مدول** شناخته می‌شود و متناظر بارگذاری موازی با الیاف است. **عکس قانون مخلوط‌ها** بیان می‌کند که در جهت عمود بر الیاف، مدول الاستیک کامپوزیت می‌تواند حداقل برابر با مقدار زیر باشد:

{\displaystyle E\_{c}=\left({\frac {f}{E\_{f}}}+{\frac {1-f}{E\_{m}}}\right)^{-1}}

اگر ویژگی مورد مطالعه مدول الاستیک باشد، این مقدار **کران پایین مدول** نامیده می‌شود و مربوط به بارگذاری عرضی است.

محاسبات برای مدول الاستیک
-------------------------

### کران بالای مدول

ماده کامپوزیتی را فرض کنید که تحت تنش تک‌محوری {\displaystyle \sigma \_{\infty }}است. اگر ماده بدون تغییر بماند، کرنش الیاف ({\displaystyle \epsilon \_{f}}) باید برابر کرنش ماتریس ({\displaystyle \epsilon \_{m}}) باشد. قانون هوک برای تنش تک‌محوری عبارتست از: 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\frac {\sigma \_{f}}{E\_{f}}}=\epsilon \_{f}=\epsilon \_{m}={\frac {\sigma \_{m}}{E\_{m}}}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

 که در آن، {\displaystyle \sigma \_{f}} ، {\displaystyle E\_{f}} ، {\displaystyle \sigma \_{m}} و {\displaystyle E\_{m}} به ترتیب نشان دهندهٔ تنش و مدول الاستیک الیاف و ماتریس هستند. با توجه به این‌که تنش نیرو بر واحد سطح است، تعادل نیرو نتیجه زیر را بیان می‌کند: 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sigma \_{\infty }=f\sigma \_{f}+\left(1-f\right)\sigma \_{m}} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

 که در آن، f کسر حجمی الیاف در کامپوزیت (و {\displaystyle 1-f} کسر حجمی ماتریس) است.

اگر فرض کنیم که مادهٔ کامپوزیتی رفتار یک مادهٔ الاستیک خطی را داشته باشد، به این معنی که مطابق قانون هوک {\displaystyle \sigma \_{\infty }=E\_{c}\epsilon \_{c}} باشد (برای مدول الاستیک {\displaystyle E\_{c}} و تنش {\displaystyle \epsilon \_{c}} برخی کامپوزیت‌ها)، آنگاه معادلات **1** و **2** می‌تواند به شکل زیر ترکیب شود:

{\displaystyle E\_{c}\epsilon \_{c}=fE\_{f}\epsilon \_{f}+\left(1-f\right)E\_{m}\epsilon \_{m}}

نهایتاً، از آن‌جا که {\displaystyle \epsilon \_{c}=\epsilon \_{f}=\epsilon \_{m}} ، مدول الاستیک کلی کامپوزیت می‌تواند به روش زیر بیان شود:

{\displaystyle E\_{c}=fE\_{f}+\left(1-f\right)E\_{m}}
### کران پایین مدول

چنانچه ماده کامپوزیتی به صورت عمود بر الیاف بارگذاری شده و فرض کنیم که {\displaystyle \sigma \_{\infty }=\sigma \_{f}=\sigma \_{m}}باشد، کرنش کلی در کامپوزیت بین مواد به گونه‌ای توزیع می‌شود که:

{\displaystyle \epsilon \_{c}=f\epsilon \_{f}+\left(1-f\right)\epsilon \_{m}}
آنگاه مدول کلی در ماده عبارتست از:

{\displaystyle E\_{c}={\frac {\sigma \_{\infty }}{\epsilon \_{c}}}={\frac {\sigma \_{f}}{f\epsilon \_{f}+\left(1-f\right)\epsilon \_{m}}}=\left({\frac {f}{E\_{f}}}+{\frac {1-f}{E\_{m}}}\right)^{-1}}
از آنجا که {\textstyle \sigma \_{f}=E\epsilon \_{f}} ، {\textstyle \sigma \_{m}=E\epsilon \_{m}}.

سایر ویژگی‌ها
-------------

محاسبات مشابه، قانون مخلوط‌ها را برای دیگر ویژگی‌ها به شرح زیر ارائه می‌کند:

* دانسیته جرمی

{\displaystyle \left({\frac {f}{\rho \_{f}}}+{\frac {1-f}{\rho \_{m}}}\right)^{-1}\leq \rho \_{c}\leq f\rho \_{f}+\left(1-f\right)\rho \_{m}}
* استحکام کششی نهایی

{\displaystyle \left({\frac {f}{\sigma \_{UTS,f}}}+{\frac {1-f}{\sigma \_{UTS,m}}}\right)^{-1}\leq \sigma \_{UTS,c}\leq f\sigma \_{UTS,f}+\left(1-f\right)\sigma \_{UTS,m}}
* رسانندگی حرارتی

{\displaystyle \left({\frac {f}{k\_{f}}}+{\frac {1-f}{k\_{m}}}\right)^{-1}\leq k\_{c}\leq fk\_{f}+\left(1-f\right)k\_{m}}
* رسانندگی الکتریکی

{\displaystyle \left({\frac {f}{\sigma \_{f}}}+{\frac {1-f}{\sigma \_{m}}}\right)^{-1}\leq \sigma \_{c}\leq f\sigma \_{f}+\left(1-f\right)\sigma \_{m}}

منابع
-----

1. 1 2  Alger, Mark. S. M. (1997). *Polymer Science Dictionary* (2nd ed.). Springer Publishing. ISBN 0-412-60870-7.
2. 1 2 3 4  "Stiffness of long fibre composites". University of Cambridge. Retrieved 1 January 2013.
3. 1 2  Askeland, Donald R.; Fulay, Pradeep P.; Wright, Wendelin J. (2010-06-21). *The Science and Engineering of Materials* (6th ed.). Cengage Learning. ISBN 978-0-495-29602-7.
4. ↑  Voigt, W. (1889). "Ueber die Beziehung zwischen den beiden Elasticitätsconstanten isotroper Körper". *Annalen der Physik*. **274**: 573–587. Bibcode:1889AnP...274..573V. doi:10.1002/andp.18892741206.
5. ↑  Reuss, A. (1929). "Berechnung der Fließgrenze von Mischkristallen auf Grund der Plastizitätsbedingung für Einkristalle". *Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik*. **9**: 49–58. doi:10.1002/zamm.19290090104.
6. 1 2  "Derivation of the rule of mixtures and inverse rule of mixtures". University of Cambridge. Retrieved 1 January 2013.

پیوند به بیرون
--------------

* قانون ماشین حساب مخلوط