**روش‌های پنالتی** کلاس خاصی از الگوریتم‌ها هستند که برای حل مسائل بهینه‌سازی (ریاضیات) مقید به کار می‌روند.

روش پنالتی یک مسئله بهینه‌سازی محدود را با مجموعه‌ای از مسائل بدون قید جایگزین می‌کند. مسائل بدون قید با افزودن یک شرط به تابع هدفی به وجود می‌آیند که متشکل از یک *پارامتر پنالتی* و میزانی از نقض قید و محدودیت‌ها هستند. زمانی که محدوده‌ها نقض شوند، میزان نقض مخالف صفر و زمانی که محدوده‌ها نقض نشوند، برابر با صفر می‌باشد.

استفاده از پارامترهای پنالتی منفی در سال ۱۹۹۹ در مدل‌سازی محدوده‌های سامانه‌های سازه‌ای، به منظور محاسبه بسامدهای طبیعی با استفاده از روش ریلی-ریتز (Rayleigh-Ritz) معرفی شد. برای چنین مسایلی، نشانه خطای ناشی از نقض شرایط محدودیت، به نشانه ضریب پنالتی بستگی دارد. از این رو، اثبات شده‌است که خطای ناشی از نقض محدودیت با استفاده از روش پنالتی، قابل تعریف و کنترل با استفاده از ترکیبی از پارامترهای پنالتی مثبت و منفی است.

نمونه
-----

فرض می‌کنیم که مسئله مقید زیر را می‌خواهیم حل کنیم:

{\displaystyle \min f(\mathbf {x} )}
{\displaystyle c\_{i}(\mathbf {x} )\geq 0~\forall i\in I.}

این مسئله می‌تواند به عنوان مجموعه‌ای از مسئله‌های مقید کمینه سازی حل شوند:

{\displaystyle \min \Phi \_{k}(\mathbf {x} )=f(\mathbf {x} )+\sigma \_{k}~\sum \_{i\in I}~g(c\_{i}(\mathbf {x} ))}

که در آن

{\displaystyle g(c\_{i}(\mathbf {x} ))=\min(0,~c\_{i}(\mathbf {x} ))^{2}.}

در معادله بالا {\displaystyle g(c\_{i}(\mathbf {x} ))} یک *تابع پنالتی* است که در آن {\displaystyle \sigma \_{k}} ضریب‌های پنالتی هستند. در هر تکرار *k* از متد، *ضریب پنالتی* {\displaystyle \sigma \_{k}} را افزایش می‌دهیم (مثلاً با ضریب ۱۰)، مسئله بدون قید را حل می‌کنیم و جواب را به عنوان حدس اولیه برای تکرار بعدی به کار می‌بریم. راه حل‌های مسائل بدون قید بعدی سرانجام به راه حل مسئله مقید اصلی می‌انجامد.

منابع
-----


Ilanko. S. , Asymptotic modelling theorems for the static analysis of linear elastic structures, Royal Society Proceedings A (Mathematical, Physical and Engineering Sciences) v 461, No. 2063, 2005: 3525–3542

Ilanko. S. , Introducing the Use of Positive and Negative Inertial Functions in asymptotic modeling, Royal Society Proceedings A (Mathematical, Physical and Engineering Sciences) v461, No.2060, 2005: 2524–2562

Ilanko, S. and Dickinson, S.M. , Asymptotic modelling of rigid boundaries and connections in the Rayleigh–Ritz Method. Journal of Sound and Vibration, v219, 1999:370–378.

Courant, R. Variational methods for the solution of problems of equilibrium and vibrations. Bull. Amer. Math. Soc. , 49, 1–23, 1943.


| * ن
* ب
* و
بهینه‌سازی: تئوری، روش‌ها، و ابتکارها |
| --- |
| 

| برنامه‌سازی نامقید غیرخطی: روش‌ها با استفاده از |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| … تابع‌ها | 
* Golden section search
* Interpolation methods
* Line search
* روش نلدر - مید
* Successive parabolic interpolation

 |
| … و گرادیان‌ها | 

|  |  |
| --- | --- |
| Convergence | 
* Trust region
* Wolfe conditions

 |
| Quasi–Newton | 
* روش بی‌اف‌جی‌اس and L-BFGS
* DFP
* Symmetric rank-one (SR1)

 |
| Other methods | 
* Gauss–Newton
* Gradient
* الگوریتم لونبرگ-مارکارد
* Conjugate gradient

 |

 |
| … و هشین‌ها | 
* Newton's method

 |

 |

 | The graph of a strictly concave quadratic function is shown in blue, with its unique maximum shown as a red dot. Below the graph appears the contours of the function: The level sets are nested ellipses.Optimization computes maxima and minima. |
| 

| برنامه‌سازی مقید غیرخطی |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| کلی | 
* Barrier methods
* روش پنالتی

 |
| مشتق‌پذیر | 
* Augmented Lagrangian methods
* Sequential quadratic programming
* Successive linear programming

 |

 |

 |
| 

| بهینه‌سازی محدب |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| بهینه‌سازی محدب | 
* Cutting-plane method
* Reduced gradient (Frank–Wolfe)
* Subgradient method

 |
| برنامه‌ریزی خطی ودرجه دو | 

|  |  |
| --- | --- |
| برنامه‌ریزی خطی | 
* Ellipsoid algorithm of Khachiyan
* الگوریتم کارمارکار

 |
| Basis-الگوریتم حریصانه | 
* الگوریتم غیر مرکب
* Revised simplex algorithm
* Criss-cross algorithm
* Principal pivoting algorithm of Lemke

 |

 |

 |

 |
| 

| بهینه‌سازی ترکیبیاتی |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| الگو‌ها | 
* الگوریتم تقریبی
* برنامه‌ریزی پویا
* الگوریتم حریصانه
* بهینه‌سازی خطی عدد صحیح
	+ شاخه و حد یا شاخه و برش

 |
| الگوریتم‌هایگراف | 

|  |  |
| --- | --- |
| درخت پوشای کمینه | 
* الگوریتم بلمن–فورد
* الگوریتم بروکا
* الگوریتم دیکسترا
* الگوریتم فلوید-وارشال
* الگوریتم جانسون
* الگوریتم کراسکال

 |

 |
| شبکه شاره | 
* الگوریتم دینیک
* الگوریتم ادموندز کارپ
* الگوریتم فورد–فالکرسون
* الگوریتم ارسال-برچسب

 |

 |

 |
| 

| الگوریتم‌های فراابتکاری |
| --- |
| 
* الگوریتم تکاملی
* الگوریتم تپه‌نوردی
* الگوریتم جستجوی محلی (بهینه‌سازی)
* الگوریتم تبرید شبیه‌سازی شده
* الگوریتم جستجوی ممنوعه

 |

 |
| 
* **رده‌ها**
	+ روش‌ها
	+ ابتکارها
* **نرم‌افزارها**

 |