**آهنگ شکست** یا **آهنگ خرابی** (به انگلیسی: Failure rate) میزانی برای سنجیدن شکست یک سیستم یا مؤلفهٔ مهندسی است،که اغلب بوسیلهٔ حرف یونانی λ (لاندا) نشان داده می‌شود.

آهنگ شکست یک سیستم معمولاً به زمان چرخه حیات آن سیستم بستگی دارد. به عنوان مثال آهنگ شکست یک اتومبیل در پنجمین سال کارکرد آن ممکن است بسیار بیشتر از آهنگ شکست آن در سال اول کارکرد آن باشد.

درعمل میانگین زمان بین شکست اغلب به جای آهنگ شکست به کار می‌رود. این عمل در صورتی صحیح و قابل استفاده است که آهنگ شکست ثابت باشد.

تابع آهنگ شکست
--------------

تابع آهنگ شکست برای توزیع نمایی
تعداد کل شکست‌ها (خرابی ها) برای یک جمعیت، تقسیم بر مجموع مدت زمان صرف شده توسط این جمعیت، در طول یک بازه اندازه‌گیری خاص تحت شرایط معین.

همچنین آهنگ شکست {\displaystyle \lambda (t)} را می‌توان احتمال رخ دادن خرابی در یک بازهٔ زمانی مشخص، که قبل از زمان t بدون خرابی بوده‌است، دانست.

آهنگ شکست در اصل یک احتمال نیست، زیرا مقدار آن می‌تواند از یک فراتر رود، پس بیان کردن آن به درصد اشتباه خواهد بود، بخصوص اگر آهنگ شکست ما متغیر باشد.

به همین دلیل **تابع آهنگ شکست** به صورت زیر تعریف می‌شود

فرض می کنیم متغیر تصادفی X غیر منفی است که طول عمر قطعه ( یا سیستم ) را با تابع چگالی {\displaystyle f\_{X}(t)} و تابع توزیع تجمعی {\displaystyle F\_{X}(t)} نشان می‌دهد. آنگاه تابع آهنگ شکست {\displaystyle \lambda \_{X}(t)} ، احتمال پیشامد آن که قطعه یا سیستم تا زمان t خراب نشده باشد و در بازهٔ زمانی {\displaystyle (t,t+dt)} خراب شود را نشان می‌دهد

{\displaystyle \lambda \_{X}(t)\,dt={\text{P}}\left\{X\in (t,t+dt)|X>t\right\}={\frac {{\text{P}}\{X\in (t,t+dt)\cap X>t\}}{{\text{P}}\{X>t\}}}={\frac {{\text{P}}\{X\in (t,t+dt)\}}{{\text{P}}\{X>t\}}}={\frac {f\_{X}(t)dt}{1-F\_{X}(t)}}}

در نتیجه تابع آهنگ شکست تعریف می‌شود

{\displaystyle \lambda \_{X}(t)\triangleq {\frac {f\_{X}(t)}{1-F\_{X}(t)}}}

بسیاری از توابع احتمال را می‌توان برای مدل کردن آهنگ شکست به کار برد. رایج‌ترین این توابع، تابع توزیع نمایی است :

{\displaystyle \lambda \_{X}(t)={\frac {f\_{X}(t)}{1-F\_{X}(t)}}={\frac {\lambda e^{-\lambda t}}{e^{-\lambda t}}}=\lambda }

باید توجه داشت که با در اختیار داشتن تابع آهنگ شکست می‌توان تابع چگالی احتمال و توزیع تجمعی را محاسبه کرد

{\displaystyle F\_{X}(x)=1-e^{-\int \_{0}^{x}\lambda \_{X}(t)\,dt}}

{\displaystyle f\_{X}(x)={\frac {dF\_{X}(x)}{dx}}}

مثال
----

فرض کنیم آهنگ مرگ و میر افراد سیگاری در هر زمان دو برابر آهنگ مرگ و میر افراد غیر سیگاری است. اگر یک شخص سیگاری و یک شخص غیر سیگاری a سال عمر کرده باشند، احتمال اینکه فرد غیر سیگاری b سال عمر کنند چند برابر آن است که فرد سیگاری b سال عمر کنند ؟

فرض کنیم {\displaystyle L\_{k}^{s}} پیشامد آن باشد که فرد سیگاری {\displaystyle k} سال عمر کند و {\displaystyle L\_{k}^{ns}} پیشامد آن باشد که فرد غیر سیگاری {\displaystyle k} سال عمر کند

{\displaystyle {\text{P}}(L\_{b}^{s}|L\_{a}^{s})={\frac {{\text{P}}(L\_{b}^{s}\cap L\_{a}^{s})}{{\text{P}}(L\_{a}^{s})}}={\frac {{\text{P}}(L\_{b}^{s})}{{\text{P}}(L\_{a}^{s})}}={\frac {1-F\_{X,s}(b)}{1-F\_{X,s}(a)}}=e^{-\int \_{a}^{b}\lambda \_{X,s}(t)\,dt}}

که {\displaystyle F\_{X,s}(x)} تابع چگالی توزیع جمعی طول عمر فرد سیگار و {\displaystyle \lambda \_{X,s}(t)} تابع آهنگ مرگ و میر فرد سیگاری است. به‌طور مشابه

{\displaystyle {\text{P}}(L\_{b}^{ns}|L\_{a}^{ns})=e^{-\int \_{a}^{b}\lambda \_{X,ns}(t)\,dt}}
که {\displaystyle \lambda \_{X,ns}(t)} تابع آهنگ مرگ و میر فرد غیر سیگاری است. می دانیم که

{\displaystyle \lambda \_{X,s}(t)=2\lambda \_{X,ns}(t)}

در نتیجه

{\displaystyle P(L\_{b}^{ns}|L\_{a}^{ns})=e^{-\int \_{a}^{b}\lambda \_{X,ns}(t)\,dt}=e^{-\int \_{a}^{b}{\frac {1}{2}}\lambda \_{X,s}(t)\,dt}=\left(e^{-\int \_{a}^{b}\lambda \_{X,s}(t)\,dt}\right)^{\frac {1}{2}}=\left({\text{P}}(L\_{b}^{s}|L\_{a}^{s})\right)^{\frac {1}{2}}}

پس می‌توان نتیجه گرفت احتمال مردن برای فرد سیگاری **توان دوم** احتمال مردن برای فرد غیر سیگاری است .

منابع
-----

1. ↑  S. Ross, A First Course In Probability, 8th Edition, Pearson, 2009

* 
* A. Papulis, Probability and Statistics, Prentice Hall, 1990

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |