**مجموعه چندضلعی‌های منتظم ستاره‌ای**| 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| {۵/۲} | {۷/۲} | {۷/۳} | {۸/۳} |
| {۹/۲} | {۹/۴} | {۱۰/۳} | ... |

 |
| نماد اشلفلی{\displaystyle 2<2q<p}gcd(p,q)=۱ | {p/q} |
| رأس‌ها و اضلاع | p |
| چگالی | q |
| گروه تقارن | دوسطحی (Dp) |
| چندضلعی همزاد | خودهمزاد |
| اندازه زاویه داخلی(درجه) | {\displaystyle {\frac {180(p-2q)}{p}}} |

یک **چندضلعی ستاره‌ای** منظم، یک چندضلعی منتظم غیرمحدب است. در ریاضیات، تنها چندضلعی‌های ستاره‌ای *منتظم* مورد مطالعه قرار گرفته‌اند و چندضلعی‌های ستاره‌ای عمومی (غیرمنتظم)، به‌صورت رسمی تعریف نشده‌اند.

در هندسه، یک چندضلعی ستاره‌ای منتظم، چندضلعی است که اضلاع آن یکدیگر را قطع می‌کنند، اندازه اضلاع و زوایای داخلی آن برابر بوده و با اتصال یک رأس یک چندضلعی p-وجهی منتظم ساده به یک رأس غیرمجاور و ادامه‌دادن این روند تا رسیدن دوباره به همان رأس ایجاد می‌شود. 
در یک چندضلعی ستاره‌ای، هر ضلع آن تنها دو ضلع دیگر را قطع می‌کند.
برای اعداد صحیح *p* و *q*، این چندضلعی می‌تواند با اتصال هر نقطهٔ qام از p نقطه که به فاصله یکسان بر روی یک دایره قرار گرفته‌اند، ایجاد شود. نماد چنین چندضلعی {*p*/*q*} بوده که معادل {*p*/*p-q*} است. چندضلعی‌های ستاره‌ای منتظم زمانی ایجاد خواهند شد که *p* و *q* متباین باشند.

|  |
| --- |
|  |

محیط و مساحت
------------

مساحت هر ستارۀ n پر منتظم، برابر با مجموع مساحت چندضلعی مولد آن و مساحت مثلث های اطراف آن است. به عنوان مثال، ستارۀ منتظم پنج پر زیر را در نظر بگیرید. مساحت ستاره در این حالت برابر است با:

five-pointed regular star area
{\displaystyle A\_{star}=A\_{polygon}+n\times (A\_{triangle})={nb^{2} \over 4tan(\pi /n)}+{na^{2} \over 2}sin(\gamma )}

برای تبدیل طول ضلع چندضلعی به طول ضلع مثلث (پر ستاره) می توانیم از قانون کسینوس ها استفاده کنیم:

{\displaystyle b^{2}=a^{2}+a^{2}-2a^{2}cos\gamma =2a^{2}(1-cos\gamma )}

با جایگذاری این عبارت در فرمول مساحت ستاره، خواهیم داشت:

{\displaystyle A\_{star}={na^{2}(1-cos\gamma ) \over 2tan(\pi /n)}+{na^{2}sin\gamma \over 2}={na^{2} \over 2}({1-cos\gamma \over tan(\pi /n)}+sin\gamma )}

با محاسبات جمع زوایای داخلی مثلث و زوایای داخلی چندضلعی می دانیم:

{\displaystyle \gamma =\pi -{4\pi \over n}}

فلذا مقادیر سینوس و کسینوس گاما را می توان به شکل زیر ساده سازی کرد:

{\displaystyle sin\gamma =sin(\pi -{4\pi \over n})=sin({4\pi \over n})}

{\displaystyle cos\gamma =cos(\pi -{4\pi \over n})=-cos({4\pi \over n})}

اگر این مقادیر را در فرمول مساحت ستاره قرار دهیم:

{\displaystyle A\_{star}={na^{2} \over 2}[{1+cos(4\pi /n) \over tan(\pi /n)}+sin(4\pi /n)]}

با گرفتن مخرج مشترک و ساده سازی عبارت داخل کروشه به فرمول زیر خواهیم رسید:

{\displaystyle A\_{star}={na^{2} \over 2}[{cos(\pi /n)+cos(3\pi /n) \over sin(\pi /n)}]}

صورت کسر را می توانیم باز هم ساده تر کنیم تا به فرمول زیر برسیم:

{\displaystyle A\_{star}={na^{2} \over 2}[{2cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]={na^{2}cos(2\pi /n) \over tan(\pi /n)}]}

این فرمول، فرمول محاسبۀ مساحت ستارۀ منتظم است که در آن a طول ضلع هر پر ستاره و n تعداد پرهای ستاره است.

۱۶تحت حفاظت پنتاگون ویرجینیا واشنگتن ایالات متحده امریکا دونالدترامپ== پانویس ==

1. ↑  Kappraff, Jay (2002). *Beyond measure: a guided tour through nature, myth, and number*. World Scientific. p. 258. ISBN 978-981-02-4702-7.
2. ↑  Coxeter, Harold Scott Macdonald (1973). *Regular polytopes*. Courier Dover Publications. ISBN 978-0-486-61480-9.
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Star Polygon". *MathWorld*.
4. ↑  «بررسی هندسی شکل ستاره منتظم». *رشد برهان ریاضی*. **۲۷** (۱۰۶): ۱۰–۱۲. دی ۱۳۹۶.

  


| * ن
* ب
* و
چندضلعی‌ها (فهرست) |
| --- |
| مثلث‌ها | 
* مثلث‌های حاده و منفرجه
* مثلث متساوی‌الاضلاع
* Ideal
* مثلث متساوی‌الساقین
* مثلث کپلر
* مثلث‌های حاده و منفرجه
* مثلث قائم‌الزاویه

 |
| چهارضلعی‌ها | 
* پادمتوازی‌الاضلاع
* Bicentric
* چهارضلعی
* چهارضلعی محاطی
* Equidiagonal
* Ex-tangential
* Harmonic
* ذوزنقه متساوی‌الساقین
* کایت
* Orthodiagonal
* متوازی‌الاضلاع
* مستطیل
* Right kite
* ذوزنقه
* لوزی
* مربع
* Tangential
* Tangential trapezoid
* ذوزنقه

 |
| بر پایه تعداد ضلع | 

|  |  |
| --- | --- |
| ۱–۱۰ ضلعی | 
* تک‌ضلعی
* دوضلعی
* مثلث
* چهارضلعی
* پنج‌ضلعی
* شش‌ضلعی
* هفت‌ضلعی
* هشت‌ضلعی
* نه‌ضلعی
* ده‌ضلعی

 |
| ۱۱–۲۰ ضلعی | 
* یازده‌ضلعی
* دوازده‌ضلعی
* سیزده‌ضلعی
* چهارده‌ضلعی
* پانزده‌ضلعی
* شانزده‌ضلعی
* هفده‌ضلعی
* هجده‌ضلعی
* بیست‌ضلعی

 |
| >۲۰ ضلعی | 
* Icositrigon (23)
* Icositetragon (24)
* سی‌ضلعی
* 257-gon
* هزارضلعی
* Myriagon (10,000)
* 65537-gon
* میلیون‌ضلعی
* بی‌نهایت‌ضلعی

 |

 |
| چندضلعی‌های ستاره‌ای | 
* ستاره پنج‌پر
* ستاره شش‌پر
* ستاره هفت‌پر
* ستاره هشت‌پر
* ستاره نه‌پر
* ستاره ده‌پر
* ستاره یازده‌پر
* ستاره دوازده‌پر

 |
| طبقه‌بندی‌ها | 
* چندضلعی مقعر
* چندضلعی محدب
* دایره محیطی
* Equiangular
* چندضلعی متساوی‌الاضلاع
* Infinite skew
* Isogonal
* Isotoxal
* Magic
* Pseudotriangle
* چندضلعی منتظم
* Reinhardt
* چندضلعی ساده
* Skew
* Star-shaped
* Tangential

 |