مساحت ناحیهٔ آبی رنگ به ثابت اولر-ماسکرونی همگرا است.
**ثابت اویلر-ماسکرونی** (با نام **ثابت** **اویلر** نیز شناخته می‌شود) یک ثابت ریاضی است که در آنالیز و نظریه اعداد بررسی می‌شود، این ثابت معمولاً با حرف یونانی گامای کوچک(γ) نشان داده می‌شود.

این ثابت به صورت حد تفاضل بین سری هارمونیک و لگاریتم طبیعی تعریف می‌شود:

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim \_{n\to \infty }\left(-\ln n+\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}\right)\\[5px]&=\int \_{1}^{\infty }\left(-{\frac {1}{x}}+{\frac {1}{\lfloor x\rfloor }}\right)\,dx.\end{aligned}}}
در اینجا، {\displaystyle \lfloor x\rfloor } تابع جزء صحیح را نشان می‌دهد.

مقدار عددی ثابت اویلر-ماسکرونی، تا ۵۰ رقم اعشار برابر است با:

۰٫۵۷۷۲۱۵۶۶۴۹۰۱۵۳۲۸۶۰۶۰۶۵۱۲۰۹۰۰۸۲۴۰۲۴۳۱۰۴۲۱۵۹۳۳۵۹۳۹۹۲… (دنباله A001620 در OEIS)

تاریخچه
-------

لئونارد اویلر، ریاضیدان سوئیسی در مقاله ای با عنوان *De Progressionibus harmonicis observationes* (نمایهٔ Eneström 43) در سال ۱۷۳۴ اولین بار از این ثابت استفاده کرد. اویلر از علامت *C* و *O* برای این ثابت استفاده کرد. در سال ۱۷۹۰ ریاضیدان ایتالیایی، لورنزو ماسکرونی از نمادهای *A* و *a* برای آن استفاده کرد. علامت γ در هیچ‌یک از نوشته‌های اویلر و ماسکرونی دیده نمی‌شود و شاید بعداً به دلیل ارتباط آن با تابع گاما انتخاب شده باشد (Lagarias 2013). مثلاً، ریاضیدان آلمانی کارل آنتون برسشنایدر از علامت γ در سال ۱۸۳۵ استفاده کرد(Bretschneider 1837) و آگوستوس دمورگان از این علامت در یک کتاب درسی استفاده کرده‌است. (De Morgan & 1836–1842)

ویژگی‌ها
--------

تابه حال جبری یا متعالی بودن عدد γ مشخص نشده‌است. در واقع، حتی گنگ بودن یا نبودن γ نیز معلوم نیست. پاپانیکولائو در سال ۱۹۹۷ با استفاده از تجزیه و تحلیل کسر مسلسل، نشان داد که اگر γ گنگ باشد، مخرج کسر غیرقابل قسم آن باید بیشتر از عدد 10244663 باشد.

### ارتباط با تابع گاما

γ به تابع دایگاما Ψ، و مشتق تابع گاما Γ مربوط است، مقدار هر دو تابع در نقطهٔ یک برابر است پس:

{\displaystyle -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1).}
که این برابر با حد زیر است:

{\displaystyle {\begin{aligned}-\gamma &=\lim \_{z\to 0}\left(\Gamma (z)-{\frac {1}{z}}\right)\\&=\lim \_{z\to 0}\left(\Psi (z)+{\frac {1}{z}}\right).\end{aligned}}}
نتایج حدی بیشتر (Krämer 2005):

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Gamma (1+z)}}-{\frac {1}{\Gamma (1-z)}}\right)&=2\gamma \\\lim \_{z\to 0}{\frac {1}{z}}\left({\frac {1}{\Psi (1-z)}}-{\frac {1}{\Psi (1+z)}}\right)&={\frac {\pi ^{2}}{3\gamma ^{2}}}.\end{aligned}}}
حد مربوط به تابع بتا است (که بر حسب توابع گاما بیان شده‌است)

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &=\lim \_{n\to \infty }\left({\frac {\Gamma \left({\frac {1}{n}}\right)\Gamma (n+1)\,n^{1+{\frac {1}{n}}}}{\Gamma \left(2+n+{\frac {1}{n}}\right)}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}\right)\\&=\lim \limits \_{m\to \infty }\sum \_{k=1}^{m}{m \choose k}{\frac {(-1)^{k}}{k}}\ln {\big (}\Gamma (k+1){\big )}.\end{aligned}}}
### کسر مسلسل

بسط کسر مسلسل γ به شکل روبه رو است [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, …] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, ...] OEIS: A002852، که الگوی *آشکاری* ندارد. ۴۷۵٬۰۰۶ مورد از اعداد الگوی بالا پیدا شده‌اند، و تعدادشان بی‌نهایت است اگر و تنها اگر γ گنگ باشد.

 abm(*x*) = *γ*−*x*

منابع
-----

1. 1 2  Haible, Bruno; Papanikolaou, Thomas (1998). Buhler, Joe P. (ed.). "Fast multiprecision evaluation of series of rational numbers". *Algorithmic Number Theory*. Lecture Notes in Computer Science (به انگلیسی). Springer Berlin Heidelberg. **1423**: 338–350. doi:10.1007/bfb0054873. ISBN 978-3-540-69113-6.

* Borwein, Jonathan M.; David M. Bradley; Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function" (PDF). *Journal of Computational and Applied Mathematics*. **121** (1–2): 11. Bibcode:2000JCoAM.121..247B. doi:10.1016/s0377-0427(00)00336-8. Archived from the original (PDF) on 25 September 2006. Retrieved 6 September 2020. γ به عنوان مبالغی از توابع zeta ریمان استخراج می‌کند.
* Gerst, I. (1969). "Some series for Euler's constant". *Amer. Math. Monthly*. **76** (3): 237–275. doi:10.2307/2316370. JSTOR 2316370.
* Glaisher, James Whitbread Lee (1872). "On the history of Euler's constant". *Messenger of Mathematics*. **1**: 25–30. JFM 03.0130.01.
* Gourdon, Xavier; Seba, P. (2002). "Collection of formulas for Euler's constant, γ".
* Gourdon , Xavier و Sebah , P. (2004) "ثابت اولر: γ ".
* Karatsuba, E. A. (1991). "Fast evaluation of transcendental functions". *Probl. Inf. Transm*. **27**: 339–360.
* Karatsuba, E.A. (2000). "On the computation of the Euler constant γ". *Journal of Numerical Algorithms*. **24** (1–2): 83–97. doi:10.1023/A:1019137125281.
* Knuth, Donald (1997). *The Art of Computer Programming, Vol. 1* (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.  Knuth, Donald (1997). *The Art of Computer Programming, Vol. 1* (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.  Knuth, Donald (1997). *The Art of Computer Programming, Vol. 1* (3rd ed.). Addison-Wesley. ISBN 0-201-89683-4.
* Lerch, M. (1897). "Expressions nouvelles de la constante d'Euler". *Sitzungsberichte der Königlich Böhmischen Gesellschaft der Wissenschaften*. **42**: 5.
* Mascheroni, Lorenzo (1790), *Adnotationes ad calculum integralem Euleri, in quibus nonnulla problemata ab Eulero proposita resolvuntur*, Galeati, Ticini
* Lehmer, D. H. (1975). "Euler constants for arithmetical progressions" (PDF). *Acta Arith*. **27**: 125–142. doi:10.4064/aa-27-1-125-142.
* Vacca, G. (1926). "Nuova serie per la costante di Eulero, C = 0,577...". Rendiconti, Accademia Nazionale dei Lincei, Roma, Classe di Scienze Fisiche". *Matematiche e Naturali*. **6** (3): 19–20.

پیوند به بیرون
--------------

* "Euler constant", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]
* Weisstein, Eric W. "Euler–Mascheroni constant". *MathWorld*.
* Jonathan Sondow. بایگانی‌شده در ۱۰ دسامبر ۲۰۰۷ توسط Wayback Machine
* Fast Algorithms and the FEE Method, E.A. Karatsuba (2005)
* Further formulae which make use of the constant: Gourdon and Sebah (2004).