**قضیۀ ویلسون** (به انگلیسی: Wilson's theorem) قضیه‌ای در نظریۀ اعداد است که توسط ریاضی‌دان انگلیسی جان ویلسون مطرح شده‌است. این قضیه بیان می‌کند که به ازای هر عدد اول مانند {\displaystyle \;p}داریم: {\displaystyle (p-1)!{\overset {p}{\equiv }}-1}.

تعمیم قضیۀ ویلسون
-----------------

۱\_تعمیم گاوس: کارل فریدریش گاوس ریاضی‌دان آلمانی در سال ۱۸۰۰ میلادی ثابت کرده که برای هر عدد طبیعی {\displaystyle m>2}، عدد اول p

{\displaystyle \prod \_{k=1 \atop \gcd(k,m)=1}^{m}\!\!k\ \equiv {\begin{cases}-1{\pmod {m}}&{\text{if }}m=4,\;p^{\alpha },\;2p^{\alpha }\\\;\;\,1{\pmod {m}}&{\text{otherwise}}\end{cases}}}

در اینجا \alpha  عددی صحیح و مثبت است.

مثال
----

{\displaystyle (3-1)!=1\times 2\ =2\equiv -1{\pmod {3}}}

{\displaystyle (5-1)!=1\times 2\times 3\times 4=24\equiv -1{\pmod {5}}}

{\displaystyle (7-1)!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6=720\equiv -1{\pmod {7}}}

{\displaystyle (11-1)!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10=3628800\equiv -1{\pmod {11}}}

{\displaystyle (13-1)!=1\times 2\times 3\times 4\times 5\times 6\times 7\times 8\times 9\times 10\times 11\times 12=479001600\equiv -1{\pmod {13}}}

اثبات
-----

### برهان اول

چون {\displaystyle \;p} اول است، پس به ازای هر عدد {\displaystyle \;a}که {\displaystyle \;1\;<a\;<p-1}، عدد منحصر به فرد {\displaystyle \;b}وجود دارد که {\displaystyle a\times b\equiv 1{\pmod {p}}} و در ضمن {\displaystyle a\not =b} و {\displaystyle \;1\;<b\;<p-1}. پس می‌توان اعداد {\displaystyle \;2,3,...p-2} را به زوج‌هایی افراز کرد که حاصل‌ضرب دو عدد هر زوج (جفت) به پیمانۀ {\displaystyle \;p}برابر با {\displaystyle \;1}شود. پس 

{\displaystyle \;(p-1)!\equiv 1\times \underbrace {2\times 3...\times (p-2)} \times (p-1)\equiv 1\times \underbrace {1\times 1...\times 1} \times (p-1)\equiv -1{\pmod {p}}}

کاربردها
--------

### تعیین اول بودن عدد

در عمل این الگوریتم برای تعیین اول بودن عدد ناکارآمد است؛ زیرا محاسبه {\displaystyle (n-1)!{\bmod {b}}} برای n-های بزرگ، پیچیدگی محاسباتی دارد و الگوریتم‌های سریع‌تری (مثل آزمون تقسیم) برای این کار وجود دارد.

با اعمال قضیۀ ویلسون بر تمام اعداد اول فرد {\displaystyle p=2m+1} و مرتب کردن اعداد رابطۀ {\displaystyle 1\cdot 2\cdots (p-1)\ \equiv \ -1\ {\pmod {p}}}، به رابطۀ زیر می‌رسیم.

{\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}
و:

{\displaystyle 1\cdot (p-1)\cdot 2\cdot (p-2)\cdots m\cdot (p-m)\ \equiv \ 1\cdot (-1)\cdot 2\cdot (-2)\cdots m\cdot (-m)\ \equiv \ -1{\pmod {p}}}

در نتیجه:

{\displaystyle \prod \_{j=1}^{m}\ j^{2}\ \equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}

یا:

{\displaystyle (m!)^{2}\equiv (-1)^{m+1}{\pmod {p}}}

و با استفاده از این رابطۀ آخری می‌توان ثابت کرد که {\displaystyle (-1)} برای هر عدد اول فیثاغورسی (به عبارتی اعداد اولی که {\displaystyle p{\overset {4}{\equiv }}1} باشند) باقی‌ماندۀ درجۀ دو quadratic residue به پیمانۀ p است (یعنی{\displaystyle p^{2}{\overset {n}{\equiv }}-1}). فرض کنید {\displaystyle p=4k+1} است. m را برابر {\displaystyle 2k} می‌گیریم، سپس با با توجه به رابطۀ ذکر شده نتیجه می‌گیریم که {\displaystyle (m!)^{2}} به پیمانۀ p هم‌نهشت با 1- است.

منابع
-----

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Wilson's theorem». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |