در تعریف این توابع، منحنی سمت راست هذلولی متساوی‌الساقین را در نظر می‌گیریم که در این صورت داریم: x = cosh a و y = sinh a و در یک رابطه کلی خواهیم داشت:{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1}
**توابع هُذلولوی**، **هُذلولی**، **توابع هیپربولیک** یا **توابع هایپربولیک** (به فرانسوی: hyperbolique)، از توابع پرکاربرد در ریاضیات می‌باشند که روابط حاکم بر آنها شبیه مثلثات است، با این تفاوت که خطوط مثلثاتی با توجه به دایره‌ای که شعاع آن واحد می‌باشد تعریف می‌شوند، ولی توابع هذلولوی (هذلولی) با توجه به هذلولی متساوی‌الساقین تعریف می‌گردند. از تابع‌های پایه‌ای آن sinh (خوانده می‌شود: سینوس هذلولوی یا هایپربولیک) و cosh (کسینوس هذلولوی) هستند که دیگر توابع را مانند tanh (تانژانت هذلولوی) می‌سازند. این توابع در انتگرالها، معادلات دیفرانسیل خطی و همچنین معادله لاپلاس بسیار ظاهر می‌شوند. همانند توابع مثلثاتی که دارای معکوس‌اند، این توابع نیز دارای معکوس‌اند و با پیش‌وندهای arc نمایش داده می‌شوند. مانند: arcsinh

توابع هایپربولیک برای توصیف حرکت موج در اجسام کشسان، شکل خطوط انتقال نیروی برق، توزیع دما در پره‌های فلزی که لوله‌های داغ را سرد می‌کنند، خم‌های تعقیب و هندسهٔ نظریهٔ نسبیت عام به کار می‌روند.

تعاریف
------

توابع هایپربولیک از این قراراند:

sinh, cosh و tanh
csch, sech and coth
{\displaystyle \sinh x={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}
{\displaystyle \cosh x={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}
{\displaystyle \tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}-e^{-x}}{e^{x}+e^{-x}}}={\frac {e^{2x}-1}{e^{2x}+1}}}
{\displaystyle \coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}{\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}}={\frac {e^{x}+e^{-x}}{e^{x}-e^{-x}}}={\frac {e^{2x}+1}{e^{2x}-1}}}
{\displaystyle \operatorname {sech} x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{-x}}}}
{\displaystyle \operatorname {csch} x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{-x}}}}
رابطهٔ توابع هایپربولیک با توابع مثلثلتی چنین است:

{\displaystyle \sinh x=-{\rm {i}}\sin {\rm {i}}x\!}
{\displaystyle \cosh x=\cos {\rm {i}}x\!}
{\displaystyle \tanh x=-{\rm {i}}\tan {\rm {i}}x\!}
{\displaystyle \coth x={\rm {i}}\cot {\rm {i}}x\!}
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=\sec {{\rm {i}}x}\!}
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\rm {i}}\,\csc \,{\rm {i}}x\!}
که در آن *i* یکهٔ موهومی با تعریف *i*۲ = −۱ است.

روابط مفید
----------

{\displaystyle coshx} و {\displaystyle sechx} توابعی زوج و بقیه فرد هستند:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh(-x)&=-\sinh x\\\cosh(-x)&=\cosh x\\\tanh(-x)&=-\tanh x\\\coth(-x)&=-\coth x\\\operatorname {sech} (-x)&=\operatorname {sech} x\\\operatorname {csch} (-x)&=-\operatorname {csch} x\end{aligned}}}
همچنین داریم:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} x&=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcsch} x&=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}\\\operatorname {arcoth} x&=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}\end{aligned}}}
متناظر با روابط مثلثاتی داریم:

{\textstyle {\begin{aligned}\cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\\\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sech} ^{2}x&=1-\tanh ^{2}x\\\operatorname {csch} ^{2}x&=\coth ^{2}x-1\\\end{aligned}}}
مجموع دو عبارت:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(x+y)&=\sinh x\sinh y+\cosh x\cosh y\\\sinh(x+y)&=\cosh x\sinh y+\sinh x\cosh y\end{aligned}}}
مشخصاً

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh(2x)&=\sinh ^{2}{x}+\cosh ^{2}{x}=2\sinh ^{2}x+1=2\cosh ^{2}x-1\\\sinh(2x)&=2\sinh x\cosh x\end{aligned}}}
مجموع و تفاضل {\displaystyle coshx} و {\displaystyle sinhx}

{\displaystyle {\begin{aligned}\cosh x+\sinh x&=e^{x}\\\cosh x-\sinh x&=e^{-x}\end{aligned}}}

معکوس توابع
-----------

{\displaystyle arcsinhx=\sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
{\displaystyle arccoshx=\cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
{\displaystyle arctanhx=\tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}

مشتق‌ها
-------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh x=\cosh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh x=\sinh x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh x=1-\tanh ^{2}x=\operatorname {sech} ^{2}x=1/\cosh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth x=1-\coth ^{2}x=-\operatorname {csch} ^{2}x=-1/\sinh ^{2}x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {csch} \,x=-\coth x\ \operatorname {csch} \,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ \operatorname {sech} \,x=-\tanh x\ \operatorname {sech} \,x\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsinh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}+1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcosh} \,x={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {artanh} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcsch} \,x=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arsech} \,x=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\,\operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{1-x^{2}}}}

انتگرال‌های استاندارد
---------------------

برای فهرست کاملی از این انتگرالها، فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک را ببینید.

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \sinh(ax)\,dx&=a^{-1}\cosh(ax)+C\\\int \cosh(ax)\,dx&=a^{-1}\sinh(ax)+C\\\int \tanh(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\cosh(ax))+C\\\int \coth(ax)\,dx&=a^{-1}\ln(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {sech} (ax)\,dx&=a^{-1}\arctan(\sinh(ax))+C\\\int \operatorname {csch} (ax)\,dx&=a^{-1}\ln \left(\tanh \left({\frac {ax}{2}}\right)\right)+C\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}&=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}&=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}\\\int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}&=a^{-1}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C\\\int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}&=-a^{-1}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C\end{aligned}}}

پیوند به بیرون
--------------

* معکوس توابع هیپربولیک

منابع
-----

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Hyperbolic function». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۹ شهریور ۱۳۹۰.

|  |  |
| --- | --- |
|  | در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ تابع هذلولوی موجود است. |

| * ن
* ب
* و
توابع ریاضی |
| --- |
| مفاهیم | تابع یک به یک، تابع پوشا، تابع زوج و فرد، تابع تحلیلی، تابع برداری، تابع پیوسته، تابع دیفرانسیل‌پذیر، تابع یکنوا | *x* ↦ *f*(*x*) |
| توابع متعارف | تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع مثلثاتی، تابع نمایی (تابع هذلولوی)، قدر مطلق، لگاریتم |
| توابع مثلثاتی | سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، توابع وارون مثلثاتی، فهرست انتگرال توابع مثلثاتی، مشتق توابع مثلثاتی |
| توابع خاص | تابع بسل، تابع لژاندر، تابع پله‌ای، تابع گاما، تابع خطا، تابع چبیشف، تابع گرین، دلتای دیراک، تابع زتای ریمان، تابع هیون، تابع گاوسی، تابع دیریکله |

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* فرانسه (داده‌ها)
* اسرائیل
* ایالات متحده آمریکا
* ژاپن
* جمهوری چک

 |