**توزیع بتا**، توزیع احتمال پیوسته‌ای است که بر بازه [۱و۰] تعریف می‌گردد و به توزیع گاما مرتبط می‌باشد.توزیع بتا دارای دو پارامتر آزاد است که این دو پارامتر شامل \alpha  و \beta  می‌شوند.تابع چگالی احتمال این توزیع در زیر آورده‌شده ‌است.

{\displaystyle f(x)={\frac {x^{\alpha -1}(1+x)^{-\alpha -\beta }}{B(\alpha ,\beta )}}}

کاربردها
--------

### آماره ترتیبی

توزیع‌ بتا نقش مهمی در تئوری آماره ترتیبی دارد.نتیجه بدین‌گونه است که توزیع kمین کوچک‌ترین مقدار از یک فضای نمونه nتایی از یک توزیع یکنواخت پیوسته معادل با یک توزیع بتا می‌باشد.نتیجه به صورت زیر خلاصه می‌گردد.

{\displaystyle U(k)\sim Beta(k,n+1-k)}

### آنالیز موجکی

موجک یک نوسان موج‌مانند با دامنه‌ای است که از صفر شروع می‌گردد، افزایش می‌یابد و سپس به صفر تقلیل می‌یابد.به‌طور معمول موجک‌ها را می‌توان به عنوان نوسان مختصری که به سرعت در حال فروپاشی هستند تجسم کرد.موجک‌ها می‌توانند برای استخراج اطلاعات از انواع مختلف داده استفاده گردند.از جمله این داده‌ها می‌توان به سیگنال‌ها و تصاویر صوتی اشاره نمود.به این ترتیب، موجک‌ها با این هدف ساخته می‌شوند تا ویژگی‌های خاصی داشته باشند که آن‌ها را قادر به پردازش سیگنال سازد.نکته‌ای که موجک‌ها را برجسته می‌سازد این است که آن‌ها هم در زمان و هم در فرکانس موضعی می‌باشند در حالی که تبدیل استاندارد فوریه تنها در فرکانس موضعی است.بنابراین، تبدیل استاندارد فوریه فقط برای فرایندهای ثابت قابل استفاده است در حالی که موجک‌ها برای فرآیندهای غیرثابت نیز قابل استفاده می‌باشند.موجک‌ها را می‌توان بر اساس توزیع‌ بتا ساخت.موجک ساخته‌شده توسط توزیع‌ بتا را می‌توان به عنوان یک طیف نرم از موج‌های هار مشاهده کرد که شکل آن با دو پارامتر α و β مشخص می‌گردد.

### آنالیز بیزی

یکی از مهم‌ترین کاربردهای توزیع بتا استفاده از آن در آنالیز آماری بیزی توزیع دوجمله‌ای است.درواقع توزیع بتا به عنوان یک مدل برای احتمال موفقیت یک توزیع دوجمله‌ای استفاده می‌گردد،به این صورت که توزیع‌ بتا به عنوان یک توزیع پیشین یا پسین برای آنالیز مورد استفاده قرار می‌گیرد.

مشخصات
------

### تابع چگالی احتمال(PDF)

{\displaystyle f(x;\alpha ,\beta )={\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{\int \_{0}^{3}u^{\alpha -1}(1-u)^{\beta -1}du}}}

{\displaystyle ={\frac {\Gamma (\alpha +\beta )}{\Gamma (\alpha )\Gamma (\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}

{\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}

### تابع توزیع تجمعی احتمال(CDF)

{\displaystyle F(x;\alpha ,\beta )={\frac {B(x;\alpha ,\beta )}{B(\alpha ,\beta )}}=I\_{x}(\alpha ,\beta )}

ویژگی‌ها
--------

### مد

{\displaystyle {\frac {\alpha -1}{\alpha +\beta -2}}}

### میانه

{\displaystyle median\approx {\frac {\alpha -{\frac {1}{3}}}{\alpha +\beta -{\frac {2}{3}}}}\ for\ \alpha ,\beta \geq 1}

### میانگین

{\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]=\int \_{0}^{1}xf(x;\alpha ,\beta )\,dx}

{\displaystyle =\int \_{0}^{1}x{\frac {x^{\alpha -1}(1-x)^{\beta -1}}{B(\alpha ,\beta }}dx}

{\displaystyle ={\frac {\alpha }{\alpha +\beta }}}

{\displaystyle ={\frac {1}{1+{\frac {\beta }{\alpha }}}}}

توزیع‌های مرتبط
---------------

### توزیع بتا‌پریم

اگر X از توزیع بتا پیروی نماید آنگاه با استفاده از تبدیل (T = X/(1-X به توزیعی با چگالی‌احتمال زیر دست می‌یابیم.

{\displaystyle P\_{T}(y)=1/B(\alpha ,\beta )({\frac {t}{t+1}})^{\alpha -1}({\frac {t}{t+1}})^{\beta -1}}

{\displaystyle ={\frac {1}{B(\alpha ,\beta )}}{\frac {t^{\alpha -1}}{({1+t})^{\alpha +\beta }}}for(t>0)}

این توزیع یک فرم استاندارد از توزیع پیرسون نوع ۶ که گاهی اوقات به نام توزیع بتاپریم شناخته می‌شود می‌باشد.

### توزیع یکنواخت

اگر {\displaystyle X\thicksim Beta(\alpha ,\beta )}با این فرض که \alpha , \beta  مقادیر صحیح مثبتی هستند که جمع این دو برابر با مقدار ثابت s می‌باشد({\displaystyle \alpha +\beta =s(\geq 2)}).با این فرض \alpha مقادیر 1 تا s-1 را می‌تواند به خود اختصاص دهد. تابع چگالی احتمال X با فرض‌های ذکر از رابطه زیر به دست می‌آید.

{\displaystyle P\_{X}(x,s)={\frac {(s-1)\sum \_{p-1=0}^{s-2}C\_{p-1}x^{p-1}({1-x})^{s-2-(p-1)}}{(s-1)}}=1;(0<x<1)}

این توزیع شرطی از توزیع یکنواخت پیوسته پیروی می‌نماید.اگر شروط ذکرشده در بالا برقرار باشند.

منابع
-----

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Beta Distribution". *mathworld.wolfram.com* (به انگلیسی). Retrieved 2018-12-27.
2. ↑  «probability - Applications of Beta Distribution». *Mathematics Stack Exchange*. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۱۲-۲۷.

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Beta distribution». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۹ می ۲۰۱۱.
* 

| * ن
* ب
* و
توزیع‌های احتمالات |
| --- |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره متناهی |
| --- |
|  بنفورد **·**  برنولی **·**  دوجمله‌ای  **·**  رسته‌‌ای **·**  فوق‌هندسی **·**  رادماکر **·**  یکنواخت گسسته **·**  زیف **·**  زیف−مندالبروت  |

 |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  بولتزمن **·**  Conway-Maxwell-Poisson **·**  compound Poisson **·**  discrete phase-type **·**  Gauss-Kuzmin **·**  هندسی **·**  لگاریتمی **·**  دوجمله‌ای منفی **·**  برخال سهموی **·**  پواسون **·**  اسکلام **·**  Yule-Simon **·**  zeta  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره محدود |
| --- |
|  بتا **·**  Kumaraswamy **·**  raised cosine **·**  مثلثی **·**  U-quadratic **·**  یکنواخت پیوسته **·**  توزیع نیم دایره  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نیمه‌متناهی |
| --- |
|  بتا پریم **·**  توزیع بر **·**  کی‌دو **·**  Coxian **·**  ارلانگ **·**  نمایی **·**  اِف **·**  آمار فرمی-دیراک **·**  توزیع نرمال پوشیده **·**  توزیع فریشه **·**  گاما **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته **·**  توزیع نیم لجستیک **·**  توزیع نیم نرمال **·**  توزیع تی مربع هاتلینگ **·**  hyper-exponential **·**  hypoexponential **·**  inverse chi-square (scale inverse chi-square) **·**  inverse Gaussian **·**  توزیع گامای وارونه **·**  توزیع لوی **·**  لُگ نرمال **·**  log-logistic **·**  ماکسول-بولتزمان **·**  توزیع ماکسول-بولتزمن **·**  Nakagami **·**  توزیع خی دو نامرکزی **·** پارتو **·**   phase-type **·**  ریلی **·**  relativistic Breit–Wigner **·**  Rice **·**  توزیع وایبول **·**  توزیع گمپرتز **·**  truncated normal **·**  type-2 Gumbel **·**  وایبول **·**  Wilks' lambda  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  کوشی **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی تعمیم‌یافته **·**  توزیع زد فیشر **·**  فیشر‐تیپت **·**  هایپربولیک عمومی **·**  hyperbolic secant **·**  Landau **·**  لاپلاس **·**  توزیع لوی **·**  logistic **·**  نرمال **·**  normal-gamma **·**  normal inverse Gaussian **·**  skew normal **·**  تی-استودنت **·**  توزیع گامبل **·**  Variance-Gamma **·**  Voigt  |

 |
| 

| چندمتغیره |
| --- |
|  *گسسته:* Ewens **·**  چندجمله‌ای **·**  توزیع دیریکله—چندجمله‌ای*پیوسته:* توزیع دریکله **·**  توزیع دریکله عمومی **·**  multivariate normal **·**  multivariate Student*Matrix-valued:* توزیع ویشارت وارون **·**  matrix normal **·**  توزیع ویشارت  |

 |
| 

| جهت‌دار، تک‌مقدار و تکین |
| --- |
|  *Directional:* Kent  **·**  von Mises **·**  von Mises–Fisher  *Degenerate:* discrete degenerate **·**  تابع دلتای دیراک  *تکین:* Cantor  |

 |
| 

| خانواده‌ها |
| --- |
|  نمایی **·**  natural exponential **·**  location-scale **·**  maximum entropy **·**  Pearson **·**  Tweedie  |

 |