**نمادگذاری نمایه انتزاعی** (به انگلیسی: abstract index notation) یک نمادگذاری ریاضی برای تنسورها و اسپینورها ست که برای نشان دادن نوع آنها، به جای مؤلفه هایشان در یک مبنای خاص از نمایه(اندیس) استفاده می‌کند. این نمایه‌ها تنها جانگهدار هستند و به هیچ مبنای ثابتی ارتباط ندارند و غیر عددی هستند. به همین دلیل نباید با حساب دیفرانسیل ریچی اشتباه شود.
این نمادگذاری توسط راجر پنروز معرفی شد تا ضمن استفاده از جنبه‌های صوری قرارداد جمع زنی اینشتین برای جبران دشواری توصیف فشرده سازی و دیفرانسیل گیری هموردا در نمادگذاریهای انتزاعی مدرن تنسور، بتوان هموردایی صریح عبارتهای درگیر را حفظ نمود.

فرض کنید *V* یک فضای بردار و *V*\* دوگان آن باشد. برای مثال یک تنسور هموردای مرتبه دو {\displaystyle \scriptstyle h\in V^{\*}\otimes V^{\*}} را در نظر بگیرید. پس می‌توان *h* را با یک شکل دوخطی روی *V* تعیین نمود. به عبارت دیگر *h* تابعی از دو آرگومان در *V* است که می‌توان آن را به صورت یک جفت شکاف نمایش داد:

{\displaystyle h=h(-,-).\,}
نمادگذاری نمایه انتزاعی تنها عبارت از برچسب زدن شکافها با حروف لاتین می‌باشد که به جز برچسب شکافها هیچ مفهوم و اهمیت دیگری ندارند(یعنی غیرعددی هستند):

{\displaystyle h=h\_{ab}.\,}
یک فشرده سازی بین دو تنسور با تکرار برچسب یک نمایه(اندیس) نمایش داده می‌شود، به گونه ای که یک برچسب پادوردا(نمایه بالایی متناظر با یک تنسور در *V*) و یکی هموردا(نمایه بالایی متناظر با یک تنسور در *V*\*) می‌باشد. پس به عنوان مثال : {\displaystyle {t\_{ab}}^{b}} اثر یک تنسور *t* = *t*abc روی دو شکاف آخرش است. این روش نمایش فشرده سازی تنسورها بوسیله نمایه‌های تکراری از لحاظ صوری شبیه به قرارداد جمع زنی اینشتین است، اما از آنجا که نمایه‌ها غیرعددی هستند دلالت بر جمع زنی ندارد: بلکه متناظر با عملیات اثر مستقل از مبنا بین فاکتورهای تنسور نوع *V* و نوع *V*\* می‌باشد .

نمایه های انتزاعی و فضاهای تنسور
--------------------------------

یک تنسور عمومی همگن، عنصری از ضرب تنسوری کپی‌های V و *V*\* است، مانند :

{\displaystyle V\otimes V^{\*}\otimes V^{\*}\otimes V\otimes V^{\*}.}
هر فاکتور را در این ضرب تنسوری با یک حرف لاتین به صورت نمایه بالایی برای هر فاکتور هموردای V و نمایه پایین برای هر فاکتور پادوردای *V*\* برچسب می زنیم، به این ترتیب حاصلضرب را می‌توان به صورت زیر نوشت :

{\displaystyle V^{a}V\_{b}V\_{c}V^{d}V\_{e}\,}
و یا به سادگی:

{\displaystyle {{{V^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{e}.}
نکته مهم این است که این دو عبارت آخر دقیقا همان شیء عبارت اول را مشخص می‌کنند. تنسورهای این نوع را می‌توان با همان نمادگذاری نمایش داد، مثلا :

{\displaystyle {{{h^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{e}\in {{{V^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{e}=V\otimes V^{\*}\otimes V^{\*}\otimes V\otimes V^{\*}.}

فشرده سازی
----------

به‌طور عمومی هرگاه یک فاکتور هموردا و یک فاکتور پادوردا در حاصلضرب تنسوری فضاها موجود باشند، یک نگاشت فشرده سازی(یا اثر) متناظر وجود خواهد داشت. مثلا :

{\displaystyle \mathrm {Tr} \_{12}:V\otimes V^{\*}\otimes V^{\*}\otimes V\otimes V^{\*}\to V^{\*}\otimes V\otimes V^{\*}}
اثر بر دو فضای اول حاصلضرب تنسوری است و

{\displaystyle \mathrm {Tr} \_{15}:V\otimes V^{\*}\otimes V^{\*}\otimes V\otimes V^{\*}\to V^{\*}\otimes V^{\*}\otimes V}
اثر بر فضاهای اول و آخر است.

این عملیات‌های اثر در تنسورها با تکرار نمایه نشان داده می‌شوند. بنابراین نگاشت اثر اول از رابطه زیر به دست می آید :

{\displaystyle \mathrm {Tr} \_{12}:{{{h^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{e}\mapsto {{{h^{a}}\_{ac}}^{d}}\_{e}}
و دومی از این رابطه :

{\displaystyle \mathrm {Tr} \_{15}:{{{h^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{e}\mapsto {{{h^{a}}\_{bc}}^{d}}\_{a}.}

منابع
-----

* راجر پنروز, *The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe*, 2004, has a chapter explaining it.
* راجر پنروز and ولفگانگ ریدلر, *Spinors and space-time*, volume I, *two-spinor calculus and relativistic fields*.

| * ن
* ب
* و
تانسورها |
| --- |
| *واژه نامه تانسورها* |
| قلمرو | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دستگاه مختصات
* جبر چندخطی
* هندسه اقلیدسی
* جبر تانسوری
* dyadic algebra
* هندسه دیفرانسیل
* حساب خارجی
* حساب تانسوری

 |
| * فیزیک
* مهندسی
 | 
* مکانیک پیوسته
* الکترومغناطیس
* پدیده انتقال
* نسبیت عام
* بینایی رایانه

 |

 |
| نمادگذاری | 
* نمادگذاری اندیسی
* نمادگذاری چند-اندیسی
* نمادگذاری اینشتین
* حساب ریچی
* نمادگذاری تصویری پنروز
* نمادگذاری وویت
* نمادگذاری اندیسی مجرد
* فرمالیسم چهارتایی
* نمادگذاری ون در واردن

 |
| تعاریفتانسورها | 
* تانسور (تعریف ذاتی)
* میدان تانسوری
* چگالی تانسوری
* تانسور در مختصات خمیده خطی
* تانسور مخلوط
* تانسور پادمتقارن
* تانسور متقارن
* عملگر تانسور
* کلاف تانسوری
* تانسور دو-نقطه‌ای

 |
| عمل | 
* ضرب تانسوری
* ضرب خارجی
* انقباض تانسوری
* ترانهاده
* بالا و پایین بردن اندیس‌ها
* عملگر ستاره هاج
* مشتق هموردا
* مشتق خارجی
* مشتق هموردای خارجی
* مشتق لی

 |
| تجریدهایمرتبط | 
* بعد
* پایه
* بردار, فضای برداری
* چندبردار
* مؤلفه‌های همورد و پادورد بردار
* تبدیل خطی
* ماتریس
* اسپینور
* فرمالیسم کارتان (فیزیک)
* فرم دیفرانسیل
* فرم خارجی
* فرم الصاقی
* ژئودزیک
* منیفلد
* کلاف برداری
* الصاق لوی-چیویتا
* الصاق آفین

 |
| تانسورهای مهم | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دلتای کرونکر
* نماد لوی-چیویتا
* تانسور متریک
* تانسور غیر متریک
* نمادهای کریستوفل
* خمیدگی ریچی
* تانسور خمیدگی ریمانی
* تانسور ویل
* تانسور تابدار

 |
| فیزیک | 
* گشتاور لختی
* تانسور گشتاور دورانی
* تانسور اسپین
* تانسور تنش کوشی
* تانسور تنش-انرژی
* تانسور الکترومغناطیسی
* تانسور قدرت میدان گلوئون
* تانسور اینشتاین
* تانسور متریک (نسبیت عام)

 |

 |
| ریاضیدانان | 
* لئونارد اویلر
* کارل فردریش گاوس
* آگوستین-لویی کوشی
* هرمان گراسمان
* گئورگیو ریچی-کورباسترو
* تولیو لوی-چیویتا
* جان آرنولدوس شوتن
* برنهارت ریمان
* الوین برونو کریستوفل
* وولدمار وویگت
* الی کارتان
* هرمان ویل
* آلبرت اینشتاین

 |