**نظریه تجدید،** شاخه‌ای از نظریه احتمال است که فرایندهای پواسون را به زمان‌های نگهداری اختیاری عمومیت می‌دهد. کاربردهایی شامل محاسبه زمان انتظار برای میمونی که به صورت تصادفی به صفحه کلید ضربه می‌زند تا کلمه مک بت را تایپ کند و به محاسبه مزایای دراز مدت از سیاست‌های تضمینی مختلف بپردازد.

مقدمه
-----

فرایند تجدید، تعمیم یافتهٔ فرایند پواسون است. فرایند پواسون ذاتاً یک فرایند پیوسته مارکوف می‌باشد که توزیع مستقل یکسان از زمان‌های نگهداری شده از هر عدد صحیح i با توزیع نمایی قبل از رسیدن به عدد صحیح بعدی {\displaystyle i+1} با احتمال یک است.
در رویه غیررسمی ممکن است نظریه تجدید را به همین صورت تعریف کنیم به جز اینکه زمان‌های نگهداری شده از توزیع عمومی تری گرفته شده‌اند. (توجه داشته باشید که مشخصات توزیع‌های مستقل ویکسان(متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان)از زمان‌های نگهداری شده حفظ می‌شوند.)

تعریف ریاضی
-----------

تحول نمونه‌ای از یک فرآیند تجدید با *زمان انتظار* *Si* و زمان پرش *Jn*.
فرض کنید {\displaystyle S\_{1},S\_{2},S\_{3},S\_{4},S\_{5},\ldots } دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی مستقل وتوزیع شده یکسان باشد مثل:{\displaystyle 0<\mathbb {E} [S\_{i}]<\infty .}
فرض می‌کنیم متغیر تصادفی {\displaystyle S\_{i}} به عنوان iامین زمان ثبت شده باشد که برای هر ۰<"n" به صورت زیر تعریف می‌کنیم؛

{\displaystyle J\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}S\_{i},}
هر{\displaystyle J\_{n}}مربوط به nامین پرش زمانی است وبازه{\displaystyle [J\_{n},J\_{n+1}]} به عنوان بازهٔ تجدید شناخته می‌شود
پس متغیر تصادفی {\displaystyle (X\_{t})\_{t\geq 0}} به صورت زیر داده می‌شود.
{\displaystyle X\_{t}=\sum \_{n=1}^{\infty }\mathbb {I} \_{\{J\_{n}\leq t\}}=\sup \left\{\,n:J\_{n}\leq t\,\right\}}
به‌طوری‌که {\displaystyle \mathbb {I} } تابع شاخص مطرح است بیان‌کننده تعداد پرش است که در زمان t رخ داده است و به عنوان فرایند تجدید خوانده می‌شود.

شرح و تفسیر
-----------

ممکن است شخصی فکر کند زمان‌های نگهداری شده {\displaystyle \{S\_{i}:i\geq 1\}} به عنوان زمان طی شده قبل از یک خرابی ماشین را در iمین بار، در زمان آخرین خرابی باشد. به این فرض توجه کنید که ممکن است ماشین فوراً درست شده باشدوما کلاک را فوراً ریست می‌کنیم).
در این تفسیر زمان‌های پرش{\displaystyle \{J\_{n}:n\geq 1\}}، زمان‌های موفقیت را ثبت می‌کنند که در کد یک از آن‌ها ماشین خراب شده و فرایند تجدید {\displaystyle X\_{t}}، تعداد زمانهایی که تا این جا در زمان داده شده t باید تعمیر شده باشد را ثبت می‌کند.
اگر چه این مطلب برای فهم فرایند تجدید با وجود شکل مختصر خود، مؤثر است چون ممکن است برای مدل کردن تعداد زیادی از موقعیت‌های عملی وابسته استفاده شود ارتباط خیلی نزدیکی با عملکرد ماشین نداشته باشد.

فرایندهای تجدید-پاداش
---------------------

Sample
evolution of a renewal-reward process with *holding times*
*Si*، jump times *Jn*
and rewards *Wi*
فرض کنید {\displaystyle W\_{1},W\_{2},\ldots } دنباله‌ای از متغیرهای تصادفی (پاداش)،IID باشد که در رابطه
{\displaystyle \mathbb {E} |W\_{i}|<\infty .\,} صدق کند. سپس به متغیر تصادفی {\displaystyle Y\_{t}=\sum \_{i=1}^{X\_{t}}W\_{i}}، فرایند تجدید-پاداش گفته می‌شود. توجه کنید که بر خلاف {\displaystyle S\_{i}}، هر{\displaystyle W\_{i}} ممکن است مقدار منفی را همانند مقادیر مثبت بگیرد. متغیر تصادفی {\displaystyle Y\_{t}}، به دو دنباله وابسته است: زمان‌های نگهداری شده {\displaystyle S\_{1},S\_{2},\ldots } وپاداشهای{\displaystyle W\_{1},W\_{2},\ldots }، نیازی نیست که این دو دنباله مستقل از هم باشند. اصولاً{\displaystyle W\_{i}} تابعی از{\displaystyle S\_{i}}است.

### تفسیر

در فهم تفسیر بالا از زمان‌های نگهداری شده، به عنوان زمان بین خرابی‌های متوالی یک ماشین، پاداش های{\displaystyle W\_{1},W\_{2},\ldots } (که در این مورد به عنوان منفی بودن اتفاق افتاده است) به عنوان هزینه تعمیر متوالی و به عنوان نتایج خرابی‌های متوالی می‌باشد، بیان می‌شود.
یک مقایسه جایگزین این است که، یک غاز جادویی داشته باشیم که بر روی تخم‌ها در بازه‌های توزیع شده مثل{\displaystyle S\_{i}} (زمان‌های نگهداری شده) می‌خوابد، بعضی وقت‌ها بر روی تخم‌های طلایی با وزنهای تصادفی می‌خوابد و گاهی اوقات بر روی تخمهای سمی می‌خوابد (باوزن‌های تصادفی) که نیازمند درد معرض دید بودن (هزینه بربودن) می‌باشد. پاداشهای {\displaystyle W\_{i}}، سودها یا ضررهای مالی ناشی از تخمهای متوالی می‌باشد و {\displaystyle Y\_{t}}، مجموع مالی از پاداش‌ها در زمان t را ثبت می‌کند.

مشخصات فرایندهای تجدید و فرایندهای پاداش–تجدید
----------------------------------------------

تابع تجدید را به این صورت تعریف می‌کنیم؛ {\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [X\_{t}].\,}

### قضیه اولیه تجدید

تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:
{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }{\frac {1}{t}}m(t)=1/\mathbb {E} [S\_{1}].}

#### برهان

در زیر شما متوجه می‌شوید که قانون قوی تعداد زیاد برای فرایندهای تجدید به ما می‌گویند که
{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }{\frac {X\_{t}}{t}}={\frac {1}{\mathbb {E} [S\_{1}]}}.} برای اثبات قضیه اولیه تجدید، سخت است که نشان دهیم {\displaystyle \left\{{\frac {X\_{t}}{t}};t\geq 0\right\}} به یک شکل قابل انتگرال‌گیری هستند.
برای انجام این، تعدادی از فرایندهای کوتاه شدهٔ تجدید را در نظر بگیرید که زمان‌های نگهداری شده بوسیله
{\displaystyle {\overline {S\_{n}}}=a\mathbb {I} \{S\_{n}>a\}}تعریف می‌شود که a نقطه‌ای است که
{\displaystyle 0<F(a)=p<1}که برای هر فرایند تجدید تا معین، وجود دارد {\displaystyle {\overline {X\_{t}}}} یک حد بالایی روی {\displaystyle X\_{t}} است و تجدیدهای آن فقط در شبکه {\displaystyle \{na;n\in \mathbb {N} \}} اتفاق می‌افتد. علاوه بر این، تعداد تجدیدها در هر زمان تصاعد هندسی با پارامتر p است، بنابراین داریم:
{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {X\_{t}}}&\leq \sum \_{i=1}^{[at]}\mathrm {Geometric} (p)\\\mathbb {E} \left[\,{\overline {X\_{t}}}\,\right]^{2}&\leq C\_{1}t+C\_{2}t^{2}\\P\left({\frac {X\_{t}}{t}}>x\right)&\leq {\frac {E\left[X\_{t}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {E\left[{\overline {X\_{t}}}^{2}\right]}{t^{2}x^{2}}}\leq {\frac {C}{x^{2}}}.\end{aligned}}}

### قضیه پایه‌ای تجدید برای فرایندهای تجدید-پاداش

تابع پاداش را به صورت زیر تعریف کرده‌ایم: {\displaystyle g(t)=\mathbb {E} [Y\_{t}].\,}
تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:
{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }{\frac {1}{t}}g(t)={\frac {\mathbb {E} [W\_{1}]}{\mathbb {E} [S\_{1}]}}.}

### معادله تجدید

تابع تجدید در رابطه زیر صدق می‌کند:{\displaystyle m(t)=F\_{S}(t)+\int \_{0}^{t}m(t-s)f\_{S}(s)\,ds}
به‌طوری‌که {\displaystyle F\_{S}} تابع توزیع عمومی {\displaystyle S\_{1}} است و {\displaystyle f\_{S}} تابع چگالی احتمال متناظر است.

#### برهان معادله تجدید

ممکن است مجدداً انتظار اولین زمان نگهداری شده را بازگو کنیم:
{\displaystyle m(t)=\mathbb {E} [X\_{t}]=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\_{t}\mid S\_{1})].\,}
ولی به وسیلهٔ مشخصه مارکوف داریم:
{\displaystyle \mathbb {E} (X\_{t}\mid S\_{1}=s)=\mathbb {I} \_{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X\_{t-s}]\right).\,}
بنابراین
{\displaystyle {\begin{aligned}m(t)&{}=\mathbb {E} [X\_{t}]\\[12pt]&{}=\mathbb {E} [\mathbb {E} (X\_{t}\mid S\_{1})]\\[12pt]&{}=\int \_{0}^{\infty }\mathbb {E} (X\_{t}\mid S\_{1}=s)f\_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int \_{0}^{\infty }\mathbb {I} \_{\{t\geq s\}}\left(1+\mathbb {E} [X\_{t-s}]\right)f\_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=\int \_{0}^{t}\left(1+m(t-s)\right)f\_{S}(s)\,ds\\[12pt]&{}=F\_{S}(t)+\int \_{0}^{t}m(t-s)f\_{S}(s)\,ds,\end{aligned}}}

### مشخصه‌های مجانبی

مشخصه‌های مجانبی {\displaystyle (X\_{t})\_{t\geq 0}} و {\displaystyle (Y\_{t})\_{t\geq 0}}
در رابطه زیر صدق می‌کند:
(قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید){\displaystyle \lim \_{t\to \infty }{\frac {1}{t}}X\_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S\_{1}}}}
{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }{\frac {1}{t}}Y\_{t}={\frac {1}{\mathbb {E} S\_{1}}}\mathbb {E} W\_{1}}
(قانون قوی تعداد فراوان برای فرایندهای تجدید)

#### برهان

ابتدا در نظر بگیرید {\displaystyle (X\_{t})\_{t\geq 0}}، با تعریفی که ما داریم:
{\displaystyle J\_{X\_{t}}\leq t\leq J\_{X\_{t}+1}}
برای همه {\displaystyle t\geq 0} داریم
{\displaystyle {\frac {J\_{X\_{t}}}{X\_{t}}}\leq {\frac {t}{X\_{t}}}\leq {\frac {J\_{X\_{t}+1}}{X\_{t}}}}
و همچنین چون {\displaystyle 0<\mathbb {E} S\_{i}<\infty }، داریم:
{\displaystyle X\_{t}\to \infty }

### بررسی قیاس ضد و نقیض

ویژگی عجیب فرایندهای تجدید این است که ما در بعضی از زمان‌های از قبل مشخص شده *t* صبر می‌کنیم و سپس مشاهده می‌کنیم که بازه تجدید شامل *t* چه اندازه است، ما باید انتظار داشته باشیم که بزرگتر از سایز بازه میانگین باشد.
قیاس ضد و نقیض به صورت ریاضی این‌گونه بیان می‌شود: برای هر t>0، بازه تجدید شامل *t*، به صورت اتفاقی بزرگتر از بازه تجدید اولیه است؛ که برای همه x*>0* و همه t*>0*:
{\displaystyle \mathbb {P} (S\_{X\_{t}+1}>x)\geq \mathbb {P} (S\_{1}>x)=1-F\_{S}(x)}
که *F**S* تابع توزیع عمومی IID از زمان‌های نگهداری شده *Si* است.

### اصل برهم نهی

روی هم قرار دادن فرایندهای تجدید مستقل، عموماً یک فرایند تجدید نیست، تابع توزیع عمومی از رخدادهای داخلی زمان در فرایند برهم نهی به وسیله فرمول زیر داده می‌شود:
{\displaystyle >R(t)=\sum \_{k=1}^{K}{\frac {\alpha \_{K}}{\sum \_{k=1}^{K}\alpha \_{K}}}R\_{k}(t)\prod \_{j=1,j\neq k}^{K}\alpha \_{j}\int \_{t}^{\infty }R\_{j}(u){\text{d}}u}
به‌طوری کهR وCDF رخدادهای داخلی زمان هستند و نرخ ورودی فرایندها Kاست.

منابع
-----

* 

Cox, David (1970). *Renewal Theory*. London: Methuen & Co. p. 142. ISBN 0-412-20570-X.

* Doob, J. L. (1948). "Renewal Theory From the Point of View of the Theory of Probability" (PDF). *Transactions of the American Mathematical Society*. **63** (3): 422–438. JSTOR 1990567. `{{cite journal}}`: line feed character in `|title=` at position 45 (help)
* Smith, Walter L. (1958). "Renewal Theory and Its Ramifications". *Journal of the Royal Statistical Society, Series B (Methodological)*. **20** (2): 243–302. JSTOR 2983891. `{{cite journal}}`: line feed character in `|journal=` at position 55 (help)

| * ن
* ب
* و
فرایندهای تصادفی |
| --- |
| فرایند تصادفی | 
* فرایند برنولی
* فرایند شاخه‌ای
* فرایند رستوران چینی
* فرایند گالتون-واتسون
* متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان
* زنجیره مارکوف
* فرایند مورن
* ولگشت
	+ Loop-erased
	+ ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)

 |
| Continuous time | 
* Bessel process
* Birth–death process
* فرایند وینر
	+ Bridge
	+ Excursion
	+ Fractional
	+ Geometric
	+ Meander
* فرایند کوشی
* Contact process
* گام-تصادفی زمان-پیوسته
* Cox process
* Diffusion process
* Empirical process
* فرایند فلر
* فرایند فلمینگ-ویوت
* Gamma process
* Hunt process
* Interacting particle systems
* Itô diffusion
* فرایند ایتو
* Jump diffusion
* Jump process
* فرایند لوی
* Local time
* Markov additive process
* McKean–Vlasov process
* فرایند اورنستین-یولنبک
* فرایند پواسون
	+ Compound
	+ فرایند پواسون
	+ فرایند پواسون
* تحول شرام و لونر
* Semimartingale
* Sigma-martingale
* Stable process
* Superprocess
* Telegraph process
* Variance gamma process
* فرایند وینر
* Wiener sausage

 |
| Both | 
* فرایند شاخه‌ای
* Galves–Löcherbach model
* فرایند گاوسی
* مدل پنهان مارکف
* زنجیره مارکوف
* مارتینگیل
	+ Differences
	+ Local
	+ مارتینگیل
	+ مارتینگیل
* Random dynamical system
* Regenerative process
* نظریه تجدید
* Stochastic chains with memory of variable length
* نویز سفید

 |
| Fields and other | 
* فرایند دیریکله
* Gaussian random field
* Gibbs measure
* شبکه هاپفیلد
* مدل آیزینگ
	+ Potts model
	+ شبکه بولی
* میدان تصادفی مارکفی
* نظریه تراوش
* فرایند پیتمن-یور
* فرایند نقطه ای
	+ Cox
	+ فرایند پواسون
* میدان تصادفی
* گراف تصادفی

 |
| سری زمانی | 
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه
* مدل خودهمبسته
* مدل خودهمبسته میانگین متحرک
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* مدل میانگین متحرک

 |
| Financial models | 
* مدل بلک-درمن-توی
* Black–Karasinski
* مدل بلک-شولز
* مدل چن
* Constant elasticity of variance (CEV)
* مدل کاکس-اینگرسول-راس
* Garman–Kohlhagen
* Heath–Jarrow–Morton (HJM)
* Heston
* Ho–Lee
* Hull–White
* LIBOR market
* Rendleman–Bartter
* SABR volatility
* مدل واسیچک
* Wilkie

 |
| بیمسنجی | 
* Bühlmann
* Cramér–Lundberg
* Risk process
* Sparre–Anderson

 |
| نظریه صفs | 
* Bulk
* Fluid
* Generalized queueing network
* M/G/1
* صف M/M/1
* M/M/c

 |
| Properties | 
* تابع Càdlàg
* Continuous
* Continuous paths
* ارگادیسیتی
* متغیرهای تصادفی تعویض پذیر
* Feller-continuous
* فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف
* خاصیت مارکف
* Mixing
* Piecewise deterministic
* Predictable
* Progressively measurable
* Self-similar
* فرایند مانا
* Time-reversible

 |
| Limit theorems | 
* قضیه حد مرکزی
* Donsker's theorem
* Doob's martingale convergence theorems
* نظریه ارگودیک
* Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
* Large deviation principle
* قانون اعداد بزرگ
* قانون لگاریتم‌های تکراری
* Maximal ergodic theorem
* Sanov's theorem

 |
| Inequalities | 
* Burkholder–Davis–Gundy
* Doob's martingale
* Kunita–Watanabe

 |
| Tools | 
* Cameron–Martin formula
* همگرایی متغیرهای تصادفی
* Doléans-Dade exponential
* Doob decomposition theorem
* Doob–Meyer decomposition theorem
* Doob's optional stopping theorem
* Dynkin's formula
* Feynman–Kac formula
* Filtration
* Girsanov theorem
* Infinitesimal generator
* Itô integral
* Itô's lemma
* Kolmogorov continuity theorem
* Kolmogorov extension theorem
* Lévy–Prokhorov metric
* Malliavin calculus
* Martingale representation theorem
* Optional stopping theorem
* Prokhorov's theorem
* Quadratic variation
* Reflection principle
* Skorokhod integral
* Skorokhod's representation theorem
* تابع Càdlàg
* Snell envelope
* معادله دیفرانسیل تصادفی
	+ Tanaka
* زمان توقف
* Stratonovich integral
* Uniform integrability
* Usual hypotheses
* Wiener space
	+ Classical
	+ Abstract

 |
| Disciplines | 
* بیمسنجی
* اقتصادسنجی
* نظریه ارگودیک
* نظریه مقدار حدی
* قضیه انحرافات بزرگ
* مالیه ریاضیاتی
* آمار ریاضی
* نظریه احتمالات
* نظریه صف
* نظریه تجدید
* Ruin theory
* آمار
* حسابان تصادفی
* سری زمانی
* یادگیری ماشین

 |
| 
* List of topics
* 

 |