قضایای اصلی رفاه دو قضیه‌ای هستند که رابطهٔ بین تعادل اقتصادی و بهینگی پرتو را تبیین می‌کنند. قضیهٔ اول رفاه اثبات می‌کند که هر تعادل والراسی یک تخصیص بهینهٔ پرتوست. قضیهٔ دوم رفاه بیان می‌دارد که هر تخصیص بهینهٔ پرتو با بازتوزیع مواهب اولیه از طریق مکانیزم بازار قابل دست‌یابی‌ست.
به دلیل رابطهٔ تنگاتنگ اقتصاد رفاه با نظریه‌های انتخاب اجتماعی برخی نظریهٔ امکان‌ناپذیری ارو را به عنوان قضیهٔ سوم رفاه در نظر می‌گیرند. این قضیه بیان می‌دارد که با رای‌گیری عمومی نمی‌توان سیستم ترجیحات ترتیبی جامعه را بین سه گزینه یا بیشتر تعیین کرد به‌طوری‌که ترجیحات سازگار و عقلایی باشند.

قضیهٔ اول رفاه
--------------

این قضیه نخستین بار توسط لرنر در مقالهٔ سال ۱۹۳۴ خود و سپس در کتابش در سال ۱۹۴۴ با نام «کنترل منابع اقتصادی» مطرح شد. بعدها اثبات‌های مشابهی در اسکار لانژ (۱۹۲) و کنت ارو (۱۹۵۱) ارائه شد ولی اثبات لرنر بیشتر مورد قبول عام یافت.
قضیهٔ اول رفاه بیان می‌دارد که اگر فرض ضعیف اشباع ناپذیری موضعی ترجیحات برقرار باشد هر تعادل قیمتی همراه با انتقالات یا به‌طور خاص هر تعادل والراسی یک تخصیص بهینهٔ پرتوست. شرط اشباع ناپذیری موضعی ترجیحات تنها شرط لازم برای رسیدن به این نتیجه است. این قضیه بیان رسمی‌ای از مفهوم دست نامرئی بازار آدام اسمیت است.
دو نکته در اینجا قابل ذکراند. اولاً، با وجود اینکه به نظر می‌رسد این قضیه فقط نیاز به یک فرض ضعیف دارد با این حال دو فرض قوی در آن مستتر است: یکی اینکه بازارها کامل اند و اطلاعات متقارن است و دیگر این‌که آحاد اقتصادی قیمت پذیرند. (حتی اگر این دوفرض هم برقرار باشند باز هم قضیهٔ اول رفاه در مدل‌های نسل‌های همپوش نقض می‌شود) ثانیاً، این قضیه در مورد مطلوبیت تعادل از دیدگاه بازتوزیعی صحبت نمی‌کند.

قضیه دوم رفاه
-------------

این قضیه در واقع معکوس قضیهٔ اول است. لانژ و تیلور (۱۹۳۸) و لرنر (۱۹۴۴) سعی کردند معکوس قضیهٔ اول را بیان کنند با این حال اثبات رسمی قضیهٔ دوم رفاه در مقالهٔ ارو (۱۹۵۱) انجام شد.
.
این قضیه بیان می‌دارد که اگر تمام توابع تولید محدب باشند و تمام روابط ترجیحات محدب و اشباع ناپذیر موضعی باشند آنگاه هر تعادل بهینهٔ پرتو از طریق سازوکار بازار قابل دستیابی‌است اگر در موهبات اولیه بازتوزیع انجام شود. این بازتوزیع باید به صورت اخذ مالیات یک‌جا از یک عده و دادن سوبسید یکجا به عده‌ای دیگر باشد.
این قضیه جایگاه و اهمیت سیاست را در اقتصاد پررنگ می‌کند در واقع سیاست‌مدار تصمیم می‌گیرد که از بین تمام تخصیص‌های بهینهٔ پرتو کدام مطلوبیت بیشتری دارد مثلاً می‌تواند تصمیم بگیرد که برابری کامل از نظر او بهینه است یا نابرابری بالا؛ سپس توزیع اولیهٔ ثروت را طوری تغییر دهد که سازوکار اقتصادی بازار به آن دست یابد.

اثبات ریاضی
-----------

### قضیه اول رفاه

بیان رسمی قضیه بدین شرح است:

*آگر ترجیحات اشباع‌ناپذیر موضعی باشند، و اگر(x\*,y\*,p)یک تعادل قیمتی بازاری باشد، آنگاه تخصیص (\*x\*,y) بهینهٔ پرتو است. به‌طور خاص هر تخصیص تعادلی والراسی بهینهٔ پرتو است.*
اثبات: فرض کنید {\displaystyle (x^{\*},y^{\*},p)} یک تعادل قیمتی والراسی باشد وبردار ثروت مربوط به آن {\displaystyle (w\_{1},...w\_{I})} باشد از آنجایی که {\displaystyle \Sigma \_{i}w\_{i}=p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}^{\*}} حداکثرسازی مطلوبیت بیان برای در تعادل قیمتی بیان می‌دارد:

{\displaystyle ifx\_{i}\succ x\_{i}^{\*}}آنگاه {\displaystyle p\cdot x\_{i}>w\_{i}}

یعنی هر مقداری از x که مصرف‌کنندهٔ i آن را به {\displaystyle x\_{i}^{\*}} ترجیح دهدغیرقابل خرید است. اشباع ناپذیری موضعی مشخص می‌کند که:

{\displaystyle ifx\_{i}\succeq x\_{i}^{\*}} آنگاه {\displaystyle p\cdot x\_{i}\geq w\_{i}}

یعنی هرچیزی که حداقل به خوبی {\displaystyle x\_{i}^{\*}} باشد حداکثر روی قید بودجهٔ فرد قرار دارد.

حال فرض کنید تخصیص {\displaystyle (x,y)} به لحاظ بهینگی پرتو بر تخصیص {\displaystyle (x^{\*},y^{\*})} قالب باشد. یعنی
{\displaystyle x\_{i}\succeq x\_{i}^{\*}} برای همهٔ iها و {\displaystyle x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}} بعضی از iها. در نتیجه
{\displaystyle p\cdot x\_{i}\geq w\_{i}} برای تمام iها و{\displaystyle p\cdot x\_{i}<w\_{i}}
برای بعضی iها؛ بنابراین

{\displaystyle \Sigma \_{i}p\cdot x\_{i}>\Sigma \_{i}w\_{i}=p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}^{\*}}
به علاوه از آنجا که {\displaystyle y\_{j}^{\*}} حداکثرکنندهٔ سود بنگاه j ام در بردار قیمت p است داریم:

{\displaystyle p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}^{\*}\geq p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}}

در نتیجه

{\displaystyle \Sigma \_{i}p\cdot x\_{i}>p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}}

اما در این صورت (x,y) قابل دست‌رسی نیست. در حقیقت {\displaystyle \Sigma \_{i}x\_{i}={\bar {w}}+\Sigma \_{j}y\_{j}} یعنی
{\displaystyle \Sigma \_{i}p\cdot x\_{i}=p\cdot {\bar {w}}+\Sigma \_{j}p\cdot y\_{j}}
که در تناقض با عبارت قبلی‌ست. در نتیجه تخصیص تعادلی {\displaystyle (x^{\*},y^{\*})} بهینهٔ پرتوست.

### قضیهٔ دوم رفاه

در اقتصادی با مشخصات {\displaystyle (\{X\_{i},\succeq \_{i}\},Y\_{j},{\bar {w}})} تخصیص {\displaystyle (x^{\*},y^{\*})} و بردار قیمت
{\displaystyle p=(p\_{1},...p\_{L})\neq 0} یک شبه تعادل قیمتی بازاری را می‌سازد اگر توزیع ثروت {\displaystyle (w\_{1},...w\_{I})} به صورت
{\displaystyle \Sigma \_{i}w\_{i}=p\cdot {\bar {w}}+p\cdot \Sigma p\cdot y\_{j}^{\*}} وجود داشته باشد به‌طوری که:

(i)برای تمام j‌ها {\displaystyle y\_{j}^{\*}} سود را در {\displaystyle Y\_{j}} حداکثر می‌کند یعنی

{\displaystyle p\cdot y\_{j}\leq p\cdot y\_{j}^{\*}} برای تمام {\displaystyle y\_{j}\in Y\_{j}}

(ii) برای هر i اگر {\displaystyle x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}} آنگاه {\displaystyle p\cdot x\_{i}\geq w\_{i}}

(iii)
{\displaystyle \Sigma \_{i}x\_{i}^{\*}={\bar {w}}+\Sigma \_{j}y\_{j}^{\*}}

بیان رسمی قضیه بدین شرح است:

*اقتصادی با مشخصات {\displaystyle (\{X\_{i},\succeq \_{i}\},Y\_{j},{\bar {w}})}را در نظر بگیرید و فرض کنید {\displaystyle Y\_{j}} محدب است و رابطهٔ ترجیحات {\displaystyle \succeq \_{i}} محدب و به‌طور موضعی اشباع ناپذیر باشد آنگاه برای هرتخصیص بهینهٔ پرتو {\displaystyle (x^{\*},y^{\*})} بردار قیمت{\displaystyle p=(p\_{1},...p\_{L})\neq 0} وجود داردبه‌طوری‌که {\displaystyle (x^{\*},y^{\*},p)} یک شبه تعادل قیمتی بازاری‌ست.* 

برای هر i تابع {\displaystyle V\_{i}} را به عنوان تابع تمام {\displaystyle x\_{i}}‌هایی که بر {\displaystyle x\_{i}^{\*}} ترجیح دارد تعریف می کنیم:
{\displaystyle V\_{i}=\{x\_{i}\in X\_{i};x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}\}\subset \mathbb {R} ^{L}} سپس تعریف می‌کنیم:

{\displaystyle V=\Sigma V\_{i}=\{\Sigma x\_{i}\in \mathbb {R} ^{L};x\_{1}\in V\_{1},...x\_{I}\in V\_{I}\}}

{\displaystyle Y=\Sigma \_{j}Y\_{j}=\{\Sigma y\_{j}\in \mathbb {R} ^{L};y\_{1}\in Y\_{1},...y\_{J}\in Y\_{J}\}}

در نتیجه V مجموع تمام مصارفی‌ست که بین I نفر تقسیم می‌شود که هر کدام توسط مصرف‌کننده اش به {\displaystyle x\_{i}^{\*}} ترجیح دارد. تابع Y تابع کل تولیدات توابع تولید است.

گام ۱. تمام توابع {\displaystyle V\_{i}^{\*}} محدب‌اند.فرض کنید {\displaystyle x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}} و 
{\displaystyle x\_{i}'\succ x\_{i}^{\*}} به ازای یک 
{\displaystyle 0\leq \alpha \leq 1}
می خواهیم ثابت کنیم 
{\displaystyle \alpha x\_{i}+(1-\alpha )x\_{i}'\succeq x\_{i}^{\*}}. از آنجایی که تابع ترجیحات کامل است بدون کاستن از کلیت می‌توان فرض کرد{\displaystyle x\_{i}'\succeq x\_{i}^{\*}} در نتیجه به دلیل محدب بودن ترجیحات داریم:
{\displaystyle \alpha x\_{i}+(1-\alpha )x\_{i}'\succeq x\_{i}} که با فرض تراگذری داریم
{\displaystyle \alpha x\_{i}+(1-\alpha )x\_{i}'\succ x\_{i}^{\*}}.

گام۲. مجموعه‌های V و {\displaystyle Y+\{{\bar {w}}\}} محدب‌اند. جمع هر دو تابع محدب محدب است.

گام۳. {\displaystyle V\cap Y+\{{\bar {w}}\}=\varnothing }
این نتیجه‌ای از بهینگی پرتو در
{\displaystyle (x^{\*},y^{\*})} است. اگر برداری هم در V و هم در {\displaystyle Y+\{{\bar {w}}\}} باشد بدین معنی‌ست که با تکنولوژی و مواهب موجود می‌توان بردار تولیدی به دست آورد که به تمام مصرف کنندگان مقدار مصرفی‌ای برسد که آن را بر {\displaystyle x\_{i}^{\*}} ترجیح می دهند.

گام۴. بردار قیمت 
{\displaystyle p=(p\_{1},..p\_{L})\neq 0} و r وجود دارد به‌طوری‌که {\displaystyle p\cdot z\geq r} به ازای هر
{\displaystyle z\in V} و {\displaystyle p\cdot z\leq r} به ازای هر {\displaystyle z\in Y+\{{\bar {w}}\}}
این مورد به راحتی توسط قضیهٔ ابر صفحهٔ جداکننده قابل اثبات است.

گام۵.اگربرای هرi
{\displaystyle x\_{i}\succeq x\_{i}^{\*}} 
آنگاه
{\displaystyle p\cdot (\Sigma \_{i}x\_{i})\geq r}.فرض کنید برای هرi
{\displaystyle x\_{i}\succeq x\_{i}^{\*}} با فرض اشباع ناپذیری موضعی برای هر مصرف‌کنندهٔ i مرز مصرف 
{\displaystyle {\hat {x\_{i}}}}
به اندازهٔ کافی نزدیک به {\displaystyle x\_{i}} وجود دارد به‌طوری‌که {\displaystyle {\hat {x\_{i}}}\succeq x\_{i}} وبنابراین {\displaystyle {\hat {x\_{i}}}\in V\_{i}}.در نتیجه {\displaystyle \Sigma {\hat {x\_{i}}}\in V} و 
{\displaystyle p\cdot (\Sigma {\hat {x\_{i}}})\geq r} با گرفتن حد {\displaystyle {\hat {x\_{i}}}\rightarrow x\_{i}} نتیجه می‌دهد
{\displaystyle p\cdot (\Sigma \_{i}x\_{i})\geq r}.

گام ۶.{\displaystyle p\cdot (\Sigma x\_{i}^{\*})=p{\dot {(}}{\bar {w}}+\Sigma \_{j}y\_{j}^{\*})=r}
از گام ۵ داریم 
{\displaystyle p\cdot (\Sigma \_{i}x\_{i}^{\*})\geq r} به علاوه از آنجا که 
{\displaystyle \Sigma \_{i}x\_{i}^{\*}={\bar {w}}\Sigma \_{j}y\_{j}^{\*}\in Y+\{{\bar {w}}\}}
در نتیجه
{\displaystyle p\cdot (\Sigma \_{i}x\_{i}^{\*})\leq r}
بنابراین {\displaystyle p\cdot (\Sigma \_{i}x\_{i}^{\*})=r} و چون 
{\displaystyle \Sigma \_{i}x\_{i}^{\*}={\bar {w}}\Sigma \_{j}y\_{j}^{\*}} داریم {\displaystyle p{\dot {(}}{\bar {w}}+\Sigma \_{j}y\_{j}^{\*})=r}

گام۷. برای هر j داریم {\displaystyle p\cdot y\_{j}\leq p\cdot y\_{j}^{\*}}
به ازای هر {\displaystyle y\_{j}\in Y\_{j}}. برای هر بنگاه j داریم 
{\displaystyle y\_{j}+\Sigma \_{j\neq h}y\_{h}^{\*}\in Y}
در نتیجه
{\displaystyle p\cdot ({\bar {w}}+y\_{j}+\Sigma \_{h\neq j}y\_{h}^{\*})\leq r=p\cdot ({\bar {w}}+y\_{j}+\Sigma \_{h\neq j}y\_{h}^{\*})}
در نتیجه{\displaystyle p\cdot y\_{j}\leq p\cdot y\_{j}^{\*}}

گام۸. به ازای هر i اگر {\displaystyle x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}} آنگاه {\displaystyle p\cdot x\_{i}\geq p\cdot x\_{i}^{\*}}. فرض کنید داریم{\displaystyle x\_{i}\succ x\_{i}^{\*}} از گام ۵ و ۶ نتیجه می گیریم:

{\displaystyle p\cdot (x\_{i}+\Sigma \_{k\neq i}x\_{k}^{\*})\geq r=p\cdot (x\_{i}^{\*}+\Sigma \_{k\neq i}x\_{k}^{\*})(}
در نتیجه {\displaystyle p\cdot x\_{i}\geq p\cdot x\_{i}^{\*}}

گام ۹. سطح ثروت {\displaystyle w\_{i}=p\cdot x\_{i}^{\*}} به ازای هر {\displaystyle i=1,...I} بردار
{\displaystyle (x^{\*},y^{\*},p)} را به عنوان یک شبه تعادل قیمتی بازاری پشتیبانی می‌کند.

منابع
-----

1. 1 2  Arronson, Thomas; Lofregan, Karl Gustav, *Welfare Theory History and Modern Results*
2. 1 2 3 4  Mas-Colell, Andreu; Whinston, Michael D.; Green, Jerry R. (1995), "Chapter 16: Equilibrium and its Basic Welfare Properties", *Microeconomic Theory*, Oxford University Press, ISBN 0-19-510268-1