تابع *artanh*.
وارون تابع‌های هذلولوی را **تابع وارون هذلولوی** یا **تابع وارون هیپربولیک** می‌گویند. که برابر انگلیسی آن **area hyperbolic functions** به معنی *تابع سطح هذلولوی* است. همان گونه که تابع‌های وارون مثلثاتی طول خم بر روی یک دایرهٔ یکه (دایره‌ای به شعاع ۱) *x*۲ + *y*۲ = ۱ را بدست می‌آورند، *توابع وارون هذلولوی* نیز، سطح ناحیهٔ محدود به یک قطاع هذلولی یکه یا *x*۲ - *y*۲ = ۱ را بدست می‌آورند به همین دلیل نام دیگر این تابع‌ها «تابع سطح هذلولوی» است.

برای نشان دادن این نوع تابع‌ها به طور خلاصه از نام‌هایی مانند arcsinh و arccosh استفاده می‌کنند در حالی که این نام‌ها کاملاً بی‌ربطند و نادرست استفاده می‌شوند؛ چون عبارت *arc* خلاصه شدهٔ نام *arcus* است در حالی که خلاصه شدهٔ واژهٔ *area* به معنی سطح، *ar* می‌باشد.. در علوم رایانه برای کوتاه کردن نام تابع‌های وارون هذلولی آن‌ها را با نام‌هایی مانند *asinh* نمایش می‌دهند. همچنین از مفهوم‌هایی مانند {\displaystyle \operatorname {sinh} ^{-1}(x)} و {\displaystyle \operatorname {cosh} ^{-1}(x)} نیز استفاده می‌شود، البته باید توجه داشت که ۱- به معنی وارون تابع است و نه توان آن. در نتیجه دو نمایش {\displaystyle \operatorname {cosh} ^{-1}(x)} و {\displaystyle \operatorname {cosh} (x)^{-1}} دو مفهوم کاملاً متفاوت را می‌رسانند.

مقدار وارون تابع‌های هذلولوی را زاویه‌های هذلولوی یا زاویه‌های هیپربولیک می‌نامند.

بیان لگاریتمی
-------------

بیان لگاریتمی این نوع تابع‌ها در صفحهٔ مختلط عبارت است از:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z^{2}+1}}\,),\\[2.5ex]\operatorname {arcosh} \,z&=\ln(z+{\sqrt {z+1}}{\sqrt {z-1}}\,),\\[1.5ex]\operatorname {artanh} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {1+z}{1-z}},\\\operatorname {arcoth} \,z&={\tfrac {1}{2}}\ln {\frac {z+1}{z-1}}.\\\operatorname {arcsch} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z^{2}}}+1}}\,\right),\\\operatorname {arsech} \,z&=\ln \left({\frac {1}{z}}+{\sqrt {{\frac {1}{z}}+1}}\,{\sqrt {{\frac {1}{z}}-1}}\,\right).\end{aligned}}}

رادیکال‌ها در بالا نشانهٔ ریشهٔ دوم اند و تابع لگاریتم، لگاریتم مختلط است. در بازهٔ اعداد حقیقی مانند z = x که مقدارهای حقیقی باز می‌گرداند، می‌توان از برخی ساده‌سازی‌ها مانند {\displaystyle {\sqrt {x+1}}{\sqrt {x-1}}={\sqrt {x^{2}-1}}} استفاده کرد که البته استفاده از این ساده‌سازی در حالت کلی درست نیست.

**تابع‌های وارون هذلولوی در صفحهٔ مختلط**|  |  |  |  |  |  |
| {\displaystyle \operatorname {arsinh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {arcosh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {artanh} (z)} | {\displaystyle \operatorname {arcoth} (z)} | {\displaystyle \operatorname {arsech} (z)} | {\displaystyle \operatorname {arcsch} (z)} |

گسترش سری‌ها
------------

برخی سری‌های گسترش یافته را می‌توان برابر با تابع‌های زیر دانست:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \,x&=x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcosh} \,x&=\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln 2x-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {artanh} \,x&=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} {\frac {1}{x}}&=\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)\\&=\ln {\frac {2}{x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1\end{aligned}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} {\frac {1}{x}}&=x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1\end{aligned}}}

گسترش سری نامتناهی arsinh *x* که در بی‌نهایت همگرا می‌شود، عبارت است از:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}

مشتق‌ها
-------

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsinh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcosh} \,x&{}={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {artanh} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcoth} \,x&{}={\frac {1}{1-x^{2}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}\\\end{aligned}}}

برای *x*های حقیقی نیز داریم:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}\operatorname {arsech} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\\{\frac {d}{dx}}\operatorname {arcsch} \,x&{}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0\end{aligned}}}

برای نمونه: فرض کنید θ = arsinh *x* باشد، آنگاه مشتق آن عبارت است از:

{\displaystyle {\frac {d\,\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی
--------------------------------------

ترکیب تابع‌های هذلولوی و وارون هذلولوی یا هیپربولیک و وارون هیپربولیک، به ترتیب زیر خواهد بود:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\operatorname {sinh} (\operatorname {arcosh} \,x)={\sqrt {x^{2}-1}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\\&\operatorname {\sinh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\sqrt {1+x^{2}}}\\&\operatorname {\cosh } (\operatorname {artanh} \,x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\quad {\text{for}}\quad -1<x<1\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arsinh} \,x)={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}\\&\operatorname {\tanh } (\operatorname {arcosh} \,x)={\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{x}}\quad {\text{for}}\quad |x|>1\end{aligned}}}

چند رابطهٔ دیگر
---------------

دیگر رابطه‌های مفید مربوط به این بحث عبارتند از:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \;u\pm \operatorname {arsinh} \;v=\operatorname {arsinh} \left(u{\sqrt {1+v^{2}}}\pm v{\sqrt {1+u^{2}}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \;u\pm \operatorname {arcosh} \;v=\operatorname {arcosh} \left(uv\pm {\sqrt {(u^{2}-1)(v^{2}-1)}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {artanh} \;u\pm \operatorname {artanh} \;v=\operatorname {artanh} \left({\frac {u\pm v}{1\pm uv}}\right)}
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {arsinh} \;u+\operatorname {arcosh} \;v&=\operatorname {arsinh} \left(uv+{\sqrt {(1+u^{2})(v^{2}-1)}}\right)\\&=\operatorname {arcosh} \left(v{\sqrt {1+u^{2}}}+u{\sqrt {v^{2}-1}}\right)\end{aligned}}}

یادداشت و منبع
--------------

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Inverse hyperbolic function». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۶ سپتامبر ۲۰۱۱.

1. ↑  As stated by Jan Gullberg, *Mathematics: From the Birth of Numbers* (New York: W. W. Norton & Company, ۱۹۹۷), ISBN 039304002X, p. ۵۳۹:

> Another form of notation, arcsinh *x*, arccosh *x*, *etc.*, is a practice to be condemned as these functions have nothing whatever to do with **arc**, but with **ar**ea, as is demonstrated by their full Latin names,
> 
> arsinh     *area sinus hyperbolicus*  
> 
> arcosh     *area cosinus hyperbolicus, etc.*
2. ↑  As stated by Eberhard Zeidler, Wolfgang Hackbusch and Hans Rudolf Schwarz, translated by Bruce Hunt, *Oxford Users' Guide to Mathematics* (Oxford: انتشارات دانشگاه آکسفورد, ۲۰۰۴), ISBN 0198507631, Section ۰٫۲.۱۳: «The inverse hyperbolic functions», p. ۶۸: «The Latin names for the inverse hyperbolic functions are area sinus hyperbolicus, area cosinus hyperbolicus, area tangens hyperbolicus and area cotangens hyperbolicus (of *x*). ...» This aforesaid reference uses the notations arsinh, arcosh, artanh, and arcoth for the respective inverse hyperbolic functions.
3. ↑  As stated by Ilja N. Bronshtein, Konstantin A. Semendyayev, Gerhard Musiol and Heiner Muehlig, *Handbook of Mathematics* (Berlin: Springer-Verlag, ۵th ed. ۲۰۰۷), ISBN 3540721215, doi:۱۰٫۱۰۰۷/۹۷۸-۳-۵۴۰-۷۲۱۲۲-۲, Section ۲٫۱۰: «Area Functions», p. ۹۱:

> The *area functions* are the inverse functions of the hyperbolic functions, i.e. the *inverse hyperbolic functions*. The functions sinh *x*, tanh *x*, and coth *x* are strictly monotone, so they have unique inverses without any restriction; the function cosh *x* has two monotonic intervals so we can consider two inverse functions. The name *area* refers to the fact that the geometric definition of the functions is the area of certain hyperbolic sectors ...

جستارهای وابسته
---------------

* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی

پیوند به بیرون
--------------

* تابع‌های وارون هذلولوی در دانشنامهٔ MathWorld
* تابع‌های وارون هذلولوی در بخش ریاضی یکی از کالج‌های لندن.