در ریاضیات، **قضیه AF+BG** قضیه ای است در هندسه جبری که شرایطی را بیان می‌کند که در صورت برقراری آن‌ها معادله یک خم جبری بر حسب معادله دو خم دیگر قابل توصیف است. این قضیه به افتخار ریاضیدان آلمانی ماکس نوتر که آن را نخستین بار ثابت نمود، نامگذاری شده‌است.

صورت قضیه
---------

در {\displaystyle \mathbb {P} ^{2}} با دستگاه مختصات همگن {\displaystyle X=[X\_{0},X\_{1},X\_{2}]} ، فرض کنید دو چندجمله ای همگن {\displaystyle F(X)} و {\displaystyle G(X)} به ترتیب از درجه‌های m و n باشند که دو خم صفحه ای C و D را تعریف می‌کنند. فرض کنید این دو خم هیج مؤلفه مشترکی ندارند. آنگاه اگر {\displaystyle H(X)} یک چندجمله ای همگن از درجه
{\displaystyle d=m+k=n+l} با {\displaystyle k,l\geq 0} باشد، چه وقت چندجمله‌ای‌های A و
B وجود دارند که : {\displaystyle H=AF+BG}؟

قضیه نوتر شرط مورد نظر را چنین به دست می‌دهد:

**قضیه (ماکس نوتر)**: فرض کنید {\displaystyle P\in C\cap D} و {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{P}} حلقه موضعی توده تابع‌های هولومورف در همسایگی P باشند. اگر فرض کنیم که P در دستگاه مختصات آفین {\displaystyle (x,y)=[1,x,y]} باشد و قرار دهیم {\displaystyle f(x)=F(1,x,y)} و {\displaystyle g(x)=G(1,x,y)} آنگاه {\displaystyle I\_{P}=(f(x),g(x))} یک ایده‌آل از حلقه {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{P}} است و {\displaystyle H=AF+BG} اگر و تنها اگر {\displaystyle H\in I\_{P}\subseteq {\mathcal {O}}\_{P}} برای هر {\displaystyle P\in C\cap D}.

تعبیر هندسی
-----------

قضیه نوتر در واقع شرایطی را بیان می‌کند که تحت آنها، معادله خم H که از نقاط اشتراک خم C و D می‌گذرد، به صورت ترکیبی از معادلات این دو خم قابل بیان است. واضح است که اگر معادله {\displaystyle H=AF+BG} برقرار باشد آنگاه این خم از همه نقاط اشتراک C و D می‌گذرد نکته قابل توجه در قضیه نوتر این است که می‌گوید عکس این مطلب نیز درست است و اگر خمی در شرایط قضیه صدق کند و از نقاط اشتراک دو خم بگذرد، معادله آن به صورت {\displaystyle AF+BG} خواهد بود.

رابطه با قضیه بزو
-----------------

قضیه نوتر را در واقع می‌توان هم ارز قضیه بزو در نظریه اعداد دانست. قضیه بزو می‌گوید که عدد صحیح h به صورت ترکیب خطی با ضرایب صحیح از دو عدد a و b قابل بیان است اگر و تنها اگر h مضربی از ب.م. م a و b باشد. اگر ایده‌آل تولید شده به وسیلهٔ ب.م. م a و b را با (a,b) نشان دهیم، آنگاه این قضیه می‌گوید که {\displaystyle h=ra+sb\Leftrightarrow h\in (a,b)}. قضیه نوتر هم می‌گوید: {\displaystyle H=AF+BG\Leftrightarrow H\in I\_{P}=(F,G)\_{P}} برای هر {\displaystyle P\in C\cap D}.

منابع
-----

* P. Griffiths and J. Harris, Principles of algebraic geometry, Wiley 1978, 1994

| * ن
* ب
* و
موضوعات مرتبط با منحنی‌های جبری |
| --- |
| منحنی گویا | 
* Five points determine a conic
* Projective line
* Rational normal curve
* کره ریمان
* Twisted cubic

 |
| خم‌های بیضوی | 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه تحلیلی | 
* تابع بیضوی
* انتگرال بیضوی
* Fundamental pair of periods
* Modular form

 |
| نظریه حسابی | 
* Counting points on elliptic curves
* Division polynomials
* Hasse's theorem on elliptic curves
* Mazur's torsion theorem
* Modular elliptic curve
* Modularity theorem
* Mordell–Weil theorem
* Nagell–Lutz theorem
* Supersingular elliptic curve
* Schoof's algorithm
* Schoof–Elkies–Atkin algorithm

 |
| کاربردها | 
* رمزنگاری منحنی بیضوی
* Elliptic curve primality

 |

 |
| گوناهای بالاتر | 
* De Franchis theorem
* قضیه فالتینگز
* Hurwitz's automorphisms theorem
* Hurwitz surface
* Hyperelliptic curve

 |
| منحنی مسطح | 
* قضیه AF+BG
* Bézout's theorem
* Bitangent
* Cayley–Bacharach theorem
* مقطع مخروطی
* Cramer's paradox
* Cubic plane curve
* Fermat curve
* فرمول گونا-درجه
* مسئله شانزدهم هیلبرت
* Nagata's conjecture on curves
* Plücker formula
* منحنی چارکی
* Real plane curve

 |
| رویه‌های ریمانی | 
* Belyi's theorem
* Bring's curve
* Bolza surface
* رویه ریمانی
* Dessin d'enfant
* Differential of the first kind
* Klein quartic
* Riemann's existence theorem
* Riemann–Roch theorem
* فضای تایشمولر
* Torelli theorem

 |
| سازه‌ها | 
* Dual curve
* Polar curve
* Smooth completion

 |
| ساختار محنی‌ها | 

|  |  |
| --- | --- |
| مقسوم‌علیه‌هایروی منحنی‌ها | 
* Abel–Jacobi map
* Brill–Noether theory
* Clifford's theorem on special divisors
* Gonality of an algebraic curve
* Jacobian variety
* Riemann–Roch theorem
* Weierstrass point
* Weil reciprocity law

 |
| ماژولی‌ها | 
* ELSV formula
* Gromov–Witten invariant
* Hodge bundle
* Moduli of algebraic curves
* Stable curve

 |
| ریخت‌ها | 
* Hasse–Witt matrix
* Riemann–Hurwitz formula
* Prym variety
* Weber's theorem

 |
| تکینگی‌ها | 
* Acnode
* Crunode
* Cusp
* Delta invariant
* Tacnode

 |
| کلاف‌های برداری | 
* Birkhoff–Grothendieck theorem
* Stable vector bundle
* Vector bundles on algebraic curves

 |

 |