نمودار هسه (به انگلیسی: Hesse Diagram) بخشی از شبکه ایده‌آل‌های اعداد صحیح {\displaystyle \mathbb {Z} }. گره‌های بنفش نشانگر ایده‌آل‌های اولند. گره‌های بنفش و سبز نشانگر *ایده‌آل‌های نیم-اول* (به انگلیسی: semi-Prime Ideals)، و گره‌های بنفش و آبی نشانگر ایده‌آل‌های اولیه (به انگلیسی: Primary Ideals).
در نظریه حلقه‌ها، **ایده‌آل‌های نیم-اول** (به انگلیسی: Semiprime Ideals) و **حلقه‌های نیم-اول** (به انگلیسی: Semiprime Rings) تعمیم ایده‌آل‌های اول اند. در جبر جابجایی، به ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل‌های رادیکال هم می‌گویند.

به عنوان مثال، در حلقه اعداد صحیح، ایده‌آل‌های نیم-اول، ایده‌آل صفر و تمام ایده‌آل‌هایی به شکل {\displaystyle n\mathbb {Z} } اند که در آن n یک عدد صحیح مربع-آزاد است. بنابر این، {\displaystyle 30\mathbb {Z} } یک ایده‌آل نیم-اول از اعداد صحیح است (چون {\displaystyle 30=2\times 3\times 5} و در تجزیه آن هیچ عامل اول تکراری مشاهده نمی‌شود)، اما {\displaystyle 12\mathbb {Z} } نیم-اول نیست (چون {\displaystyle 12=2^{2}\times 3}، و تجزیه آن دارای عامل اول تکراری است).

دسته حلقه‌های نیم-اول شامل حلقه‌های نیم-ابتدایی، حلقه‌های اول و حلقه‌های تحویل یافته‌است.

بسیاری از تعاریف و گزاره‌های این مقاله در (Lam 1999) و (Lam 2001) ظاهر شده‌اند.

تعاریف
------

برای یک حلقه جابجایی چون R، ایده‌آل محضی چون A را یک **ایده‌آل نیم-اول** گویند اگر A در هرکدام از دو تعریف معادل زیر صدق کند:

* اگر از x در R و برای عدد صحیح مثبتی چون k از {\displaystyle x^{k}} در A نتیجه شود که x هم در A باشد.
* اگر y در R باشد اما در A نباشد، آنگاه تمام توان‌های صحیح مثبت y هم در A نباشند.

شرط دوم می گوید که متمم یک ایده‌آل نیم-اول "تحت توان گیری بسته است". این شرط مشابه خاصیت ایده‌آل های اول است که متممشان تحت ضرب بسته است. 

همچون ایده‌آل های اول، خاصیت اخیر برای ایده‌آل های نیم-اول با کمک ایده‌آل ها به حلقه های ناجابجایی تعمیم پیدا می کند. شرایط زیر برای ایده‌آل نیم-اول A در یک حلقه R با هم معادلند:

* برای هر ایده‌آل {\displaystyle J} از R، اگر برای هر عدد طبیعی k داشته باشیم {\displaystyle J^{k}\subseteq A} آنگاه {\displaystyle J\subseteq A}.
* برای هر ایده‌آل *راست* چون {\displaystyle J} از R، اگر برای هر عدد طبیعی k داشته باشیم {\displaystyle J^{k}\subseteq A} آنگاه {\displaystyle J\subseteq A}.
* برای هر ایده‌آل *چپ* چون {\displaystyle J} از R، اگر برای هر عدد طبیعی k داشته باشیم {\displaystyle J^{k}\subseteq A} آنگاه {\displaystyle J\subseteq A}.
* برای هر x در R، اگر {\displaystyle xRx\subseteq A}، آنگاه x در A خواهد بود.

در اینجا دوباره، حالتی مشابه با حالت ناجابجایی برای m-دستگاه ایده‌آل های اول داریم. یک زیرمجموعه ناتهی S از یک حلقه R را n-دستگاه (به انگلیسی: n-system) گویند اگر برای هر s در S، وجود داشته باشد یک r در R چنان که {\displaystyle srs} در S باشد. با این نمادگذاری ها، تعریف معادل دیگری را می توان به تعاریف فوق اضافه کرد:

* {\displaystyle R\setminus A} یک n-دستگاه است.

حلقه R را **حلقه نیم-اول** گوییم اگر ایده‌آل صفر آن یک ایده‌آل نیم-اول باشد. در حالت جابجایی، این معادل است با این که R یک حلقه تحویل یافته باشد، چون R هیچ عضو پوچتوان ناصفری ندارد. در حالت ناجابجایی، این حلقه هیچ ایده‌آل راست پوچتوان ناصفری ندارد.بنابر این، در حالی که یک حلقه کاهش یافته همیشه نیم-اول است، عکس آن صحیح نیست.

پانویس
------

1. ↑  حلقه کامل از ماتریس های دو در دوروی یک میدان نیم-اول با عناصر پوچتوان ناصفر است.

منابع
-----

* Lam, Tsit-Yuen (1999), *Lectures on modules and rings*, Graduate Texts in Mathematics No. 189, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98428-5, MR 1653294
* Lam, T. Y. (2001), *A first course in noncommutative rings*, Graduate Texts in Mathematics, vol. 131 (2 ed.), New York: Springer-Verlag, pp. xx+385, ISBN 978-0-387-95183-6, MR 1838439

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Semiprime Ring». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.