**وردایی** یا **واریانس** (به انگلیسی: Variance) در نظریه احتمالات و آمار، نوعی سنجش پراکندگی است.

مقدار وردایی با میانگین‌گیری از مربع فاصله مقدار محتمل یا مشاهده شده با مقدار مورد انتظار محاسبه می‌شود. در مقایسه با میانگین می‌توان گفت که میانگین مکان توزیع را نشان می‌دهد، در حالی که وردایی مقیاسی است که نشان می‌دهد که داده‌ها حول میانگین چگونه پخش شده‌اند. وردایی کمتر بدین معنا است که انتظار می‌رود که اگر نمونه‌ای از توزیع مزبور انتخاب شود مقدار آن به میانگین نزدیک باشد. یکای وردایی مربع یکای کمیت اولیه می‌باشد. ریشه دوم وردایی که انحراف معیار نامیده می‌شود دارای واحدی یکسان با متغیر اولیه است.

**واریانس** یا **وردایی** عددی است که نشان می‌دهد چگونه یک سری داده حول مقدار میانگین پخش می‌شوند. برای تعریف وردایی اگر فرض کنیم که متغیر تکی X دارای توزیع p(x) است و متوسط توزیع جمعیت آن را با \mu  نشان دهیم آنگاه وردایی این جمعیت به صورت زیر تعیین می‌شود:

Var(X)=\sigma ^{{2}}\equiv \left\langle (X-\mu )^{{2}}\right\rangle 

حال اگر یک توزیع مجزا داشته باشیم که هر مجموعه داده در آن، دارای احتمال p(x) باشد، وردایی به صورت زیر محاسبه می‌شود:

\sigma ^{{2}}=\sum \_{{i=1}}^{{N}}p(x\_{{i}})(x\_{{i}}-\mu )^{{2}}

اما در بیشتر موارد توزیع حاکم بر داده‌ها مشخص نیست در این حالت وردایی را به صورت زیر تخمین می‌زنیم:

S\_{{N}}^{{2}}\equiv {\frac {1}{N}}\sum \_{{i=1}}^{{N}}(x\_{{i}}-\overline {x})^{{2}}

در این رابطه \overline {x} میانگین (امید ریاضی) داده‌هاست که خود از رابطهٔ زیر حساب می‌شود:

\overline {x}={\frac {1}{N}}\sum \_{{i=1}}^{N}x\_{i}={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{N}}{N}}

البته باید توجه داشت که تخمین فوق یک تخمین دقیق و بدون خطا برای وردایی نیست لذا برای از بین بردن این خطا در تخمین از وردایی تصحیح شده‌استفاده می‌کنیم که به صورت زیر تعریف می‌گردد

S\_{{N-1}}^{{2}}\equiv {\frac {1}{N-1}}\sum \_{{i=1}}^{{N}}(x\_{{i}}-\overline {x})^{{2}}

تعریف
-----

اگر \mu =\operatorname {E}(X)، امید ریاضی (میانگین) متغیر کاتوره‌ای X باشد، آنگاه وردایی X برابر خواهد بود با:

{\begin{aligned}\operatorname {Var}(X)&=\operatorname {E}[(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E}[X^{2}-2\mu X+\mu ^{2}]\\&=\operatorname {E}[X^{2}]-2\mu \,\operatorname {E}[X]+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E}[X^{2}]-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E}[X^{2}]-\mu ^{2}\\&=\operatorname {E}[X^{2}]-(\operatorname {E}[X])^{2}.\end{aligned}}
برای به خاطر سپردن راحت‌تر این فرمول گفته‌می‌شود وردایی برابر است با «میانگین مجذور، منهای مجذور میانگین». وردایی متغیر کاتوره‌ای *X* را معمولاً با Var(*X*)‎ یا \scriptstyle \sigma \_{X}^{2} یا به صورت ساده‌تر σ2 (تلفظ می‌شود سیگما-دو) نمایش می‌دهند.

### حالت گسسته

اگر Xیک متغیر کاتوره‌ای با تابع جرم احتمال به این شکل باشد {\displaystyle x\_{1}\mapsto p\_{1},x\_{2}\mapsto p\_{2},\ldots ,x\_{n}\mapsto p\_{n}} آنگاه وردایی آن به این شکل محاسبه می‌شود.

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}\cdot (x\_{i}-\mu )^{2},}

عبارت پیشین با معادله پایین معادل است:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}^{2}\right)-\mu ^{2},}

در اینجا {\displaystyle \mu } امید ریاضی X است.

{\displaystyle \mu =\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}.}

وردایی nمقدار که از لحاظ احتمال با یکدیگر برابرند با عبارت پایین برابر خواهد بود:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-\mu )^{2},}

در اینجا \mu  میانگین nداده‌است:

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}.}

البته وردایی این n داده را بدون در نظرگرفتن میانگین آن‌ها هم می‌شود به شکل پایین محاسبه کرد:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {1}{2}}(x\_{i}-x\_{j})^{2}={\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{i}\sum \_{j>i}(x\_{i}-x\_{j})^{2}.}

### حالت پیوسته

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int (x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int xf(x)\,dx+\int \mu ^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int x^{2}\,dF(x)-2\mu \int x\,dF(x)+\mu ^{2}\int \,dF(x)\\[4pt]&=\int x^{2}\,dF(x)-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int x^{2}\,dF(x)-\mu ^{2},\end{aligned}}}

در اینجا میانگین یا \mu  به این شکل محاسبه می‌شود:

\mu =\int x\,f(x)\,dx\,,

خواص
----

وردایی همیشه نامنفی است:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\geq 0.}  

وردایی متغیر کاتوره‌ای ثابت همیشه صفر است به این معنی که:

{\displaystyle P(X=a)=1\iff \operatorname {Var} (X)=0.}  

اگر به متغیر کاتوره‌ای مقداری ثابت اضافه شود در وردایی متغیر کاتوره‌ای جدید تغییری ایجاد نمی‌شود:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X+a)=\operatorname {Var} (X).}  

اگر متغیر کاتوره‌ای در مقداری ثابت ضرب شود، وردایی متغیر کاتوره‌ای جدید در مربع مقدار ثابت قبلی ضرب می‌شود:

{\displaystyle \operatorname {Var} (aX)=a^{2}\operatorname {Var} (X).}  

وردایی ترکیب خطی دو متغیر کاتوره‌ای به این شکل محاسبه می‌شود:

\operatorname {Var}(aX+bY)=a^{2}\operatorname {Var}(X)+b^{2}\operatorname {Var}(Y)+2ab\,\operatorname {Cov}(X,Y),
{\displaystyle \operatorname {Var} (aX-bY)=a^{2}\operatorname {Var} (X)+b^{2}\operatorname {Var} (Y)-2ab\,\operatorname {Cov} (X,Y),}  

به صورت کلی جمع N متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه می‌شود:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}\right)=\sum \_{i,j=1}^{N}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})=\sum \_{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X\_{i})+\sum \_{i\neq j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j}).}  

وردایی ترکیب خطی N متغیر کاتوره‌ای به شکل پایین محاسبه میشود:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}X\_{i}\right)&=\sum \_{i,j=1}^{N}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})\\&=\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}^{2}\operatorname {Var} (X\_{i})+\sum \_{i\not =j}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})\\&=\sum \_{i=1}^{N}a\_{i}^{2}\operatorname {Var} (X\_{i})+2\sum \_{1\leq i<j\leq N}a\_{i}a\_{j}\operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j}).\end{aligned}}}  

اگر کوواریانس این متغیرهای کاتوره‌ای نسبت به هم صفر باشد یعنی {\displaystyle \operatorname {Cov} (X\_{i},X\_{j})=0\ ,\ \forall \ (i\neq j),} آنگاه:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{N}\operatorname {Var} (X\_{i}).}

مثال
----

### تاس

اگر یک تاس داشته باشیم که احتمال آمدن هر عدد {\displaystyle {\frac {1}{6}}} باشد، آنگاه امید ریاضی تاس با {\displaystyle {\frac {(1+2+3+4+5+6)}{6}}} برابر خواهد بود و واریانس تاس می‌شود:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum \_{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}

به صورت کلی‌تر اگر یک متغیر گسسته کاتوره‌ای داشته باشیم که n مقدار بگیرد و احتمال هر کدام از این مقادیر {\displaystyle {\frac {1}{n}}} باشد، واریانس متغیر کاتوره‌ای ما برابر خواهد بود با:   

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}i^{2}-\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}i\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {(n+1)(2n+1)}{6}}-\left({\frac {n+1}{2}}\right)^{2}\\[4pt]&={\frac {n^{2}-1}{12}}.\end{aligned}}}

### توزیع نرمال

توزیع نرمال با تابع چگالی احتمال {\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}} و پارامترهای {\displaystyle \mu } و \sigma  به شکل زیر محاسبه می‌شود: 

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx-\mu ^{2}=\sigma ^{2}}

### توزیع نمایی

توزیع نمایی با تابع چگالی احتمال {\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}} و پارامتر \lambda به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه {\displaystyle \mu =\lambda ^{-1}}:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \_{0}^{\infty }x^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx-\mu ^{2}=\lambda ^{-2}}

### توزیع پواسون

توزیع پواسون با تابع چگالی احتمال {\displaystyle {\displaystyle p(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }}} و پارامتر \lambda به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه {\displaystyle \mu =\lambda }:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(\sum \_{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }\right)-\mu ^{2}=\lambda }

### توزیع دوجمله‌ای

توزیع دوجمله‌ای با تابع چگالی احتمال {\displaystyle p(k)={n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}} و پارامتر n و p به شکل زیر محاسبه می‌شود، در این محاسبه {\displaystyle \mu =np}:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\left(\sum \_{k=0}^{n}k^{2}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}\right)-\mu ^{2}=np(1-p)}

واژه‌شناسی
----------

فرهنگستان زبان فارسی، **وردیدن** از ریشه باستانی ورت (ورتیدن)، را بجای فعل to vary برگزیده است و از این فعل مشتقات **وردایی** (variance)،**وردش** (variation)، **وردا** (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariance)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.

تخمین واریانس یک تابع
---------------------

برای تخمین واریانس یک تابع از بسط تیلور آن به صورت پایین استفاده می‌کنند:

\operatorname {Var}\left[f(X)\right]\approx \left(f'(\operatorname {E}\left[X\right])\right)^{2}\operatorname {Var}\left[X\right]

جستارهای وابسته
---------------

* انحراف معیار
* امید ریاضی
* کوواریانس
* چولگی
* کشیدگی (کورتزیس)

منابع
-----

page ۱۱۷٬۴۳ introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross

1. ↑  «*وردایی، واریانس*» [*آمار، ریاضی*] هم‌ارزِ «*variance*»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر ششم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ *وردایی*)
2. ↑  Yuli Zhang, Huaiyu Wu, Lei Cheng (June 2012). *Some new deformation formulas about variance and covariance*. Proceedings of 4th International Conference on Modelling, Identification and Control(ICMIC2012). pp. 987–992.`{{cite conference}}`: نگهداری یادکرد:استفاده از پارامتر نویسندگان (link)

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Variance». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۲ فوریه ۲۰۰۸.

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* آلمان
* ژاپن

 |

| * ن
* ب
* و
نظریه توزیع‌های احتمال |
| --- |
| 
* تابع جرم احتمال (pmf)
* تابع چگالی احتمال (pdf)
* تابع توزیع تجمعی (cdf)
* تابع چندک

 |  |
| 
* گشتاور خام
* central moment
* مقدار انتظاری
* واریانس
* انحراف معیار
* چولگی
* کشیدگی
* ال-گشتاور

 |
| 
* تابع مولد گشتاور (mgf)
* characteristic function
* تابع مولد احتمال (pgf)
* انباشتک
* combinant

 |