در ریاضیات، مطالعه و **نظریهٔ عملگرها** (Operator theory) بخشی مرکزی و عمده را در آنالیز تابعی به خود اختصاص می‌دهد. عملگرهای خطی (linear operators) بخش زیادی از نظریه عملگرها را به خود اختصاص می‌دهد. نظریه عملگرهای خطی به دو بخش اصلی تقسیم می‌شود. قسمت اول صرفاً بر اساس خواص جبری عملگرهای خطی بیان می‌شود و قسمت دوم بر اساس خواص عملگری آن‌ها بیان می‌شود.

کاربردها
--------

عمده‌ترین کاربردهای عملگرهارا باید در فیزیک، مکانیک و به ویژه مکانیک کوانتومی سراغ گرفت.

مثال‌ها
-------

### مشتق‌گیری

عمل مشتق‌گیری از توابع پیوسته و مشتق‌پذیر ریاضی را می‌توان از جملهٔ ساده‌ترین نمونه‌های مورد بررسی و بحث در این مقاله به حساب آورد:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(x)=g(x)\!}

در این مورد عمل‌گر {\displaystyle {\frac {d}{dx}}\!} بر روی تابع {\displaystyle f(x)\!} عمل نموده و تابع {\displaystyle g(x)\!} را نتیجه داده است.

ابردوری‌ها
----------

ویژگی ابردوری بودن، اولین بار در سال۱۹۲۹ دریکی از کارهای بیرهوف مشاهده شده‌است، وی به وجود تابع تام که انتقال‌هایش در فضای توابع تحلیلی چگال است پی برد. سپس دانشمندان آنالیز تابعی با تبعیت از روش مک لین (G. R. Maclane) به توسعه شاخه‌ای از ریاضیات پرداختند، که اینک بنام نظریه عملگرها خوانده می‌شود. کارل کیتایی (C. Kitai)، در سال۱۹۸۲، نشان داد که اگر عملگری ابردوری باشد، آنگاه هر مؤلفه از طیف آن، دایره یکه را قطع می‌کند. (هر زیرمجموعهٔ همبند ماکسیمال را یک مؤلفه می‌گویند). در سال ۱۹۸۷، شاپیرو (H. Shapiro) و گتنر (R. M. Gethner)، کار رولوایس را روی فضای برگمن توسعه داده و انتقال‌های پسرو روی این نوع فضاها را بررسی کردند. در سال ۱۹۹۱، شاپیرو و گودفروی (G. Godefroy)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال به عقب راروی فضاهای هاردی بررسی کردند. در سال ۱۹۹۵، سالاس (H. Salas)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال وزن‌دار را بررسی کرد و محک مخصوصی را برای این عملگرها ارائه داد. در سال ۱۹۹۹، بوردن (P. Bourdon)، ابردوری بودن عملگرهای انتقال پسرو را روی فضاهای برگمن (Bergman) بررسی کرد. سپس پریس درسال۲۰۰۱، نشان داد که عملگرهای ابردوری چندگانه لزوماً ابردوری هستند. پروفسور ارلیکس (Orlicz)، شرط اولیه وجود یک عملگر ابردوری، بریک فضای موضعا محدب را، جدایی‌پذیری و نامتناهی‌البعد بودن فضا بیان نموده است. شمیم انصاری (S. I. .Ansari)، بونت و پریس نیز، شرایط وجود عملگرهای ابردوری بر فضاهای برداری توپولوژیکی را مورد مطالعه قرار داده‌اند، سالاس در مقاله‌ای نشان داده است که بریک فضای هیلبرت (Hilbert) جدایی پذیر نامتناهی‌ البعد، می‌توان عملگر ابردوری با الحاق ابردوری ارائه داد.

تعریف عملگر ابردوری
-------------------

فرض کنید T یک عملگر خطی روی فضای باناخ X باشد. مدار x از X را با Orb(T,x) نمایش داده و به صورت زیر تعریف می‌کنیم
Orb(T,x) ={x,T(x),T2(x),... ,Tn(x)}
عملگر T را یک عملگر ابردوری روی X می‌نامند هرگاه بردار x از X موجود باشد بطوریکه مدار x تحت T در X چگال باشد. یعنی
Cl Orb(T,x)= X
در این حالت x را یک بردار ابردوری برای T روی X نامیده و عملگر T را یک عملگر ابردوری می‌نامیم.

نکته ۱: اگر عملگر ابردوری T روی X موجود باشد آنگاه X یک فضای جدایی پذیر است.

نکته ۲: اگر T یک عملگر ابردوری روی فضای X باشد، آنگاه بعد فضای X نامتناهی است.

نکته ۳: هیچ عملگر ابردوری روی فضای با بعد متناهی وجود ندارد.

نکته ۴: عملگر مشتق روی فضای توابع تحلیلی یک عملگر ابردوری است.

جستارهای وابسته
---------------

* عمل جابجایی

منابع
-----

* نظریه عملگرها(انگلیسی)

* Riesz, F. and Sz. -Nagy, B. : *Functional Analysis*, Dover Publications, 1990. ISBN 0-486-66289-6

پیوند به بیرون
--------------

* جبر عملگرها(انگلیسی)

| * ن
* ب
* و
ریاضیات صنعتی و کاربردی |
| --- |
| ریاضیات محاسباتی | 
* الگوریتمs
	+ الگوریتم
	+ تحلیل الگوریتم‌ها
* نظریه اتوماتا
* نظریه کدگذاری
* منطق در علوم کامپیوتر
* رمزنگاری
* نظریه اطلاعات

 |
| ریاضیات گسسته | 
* جبر رایانه‌ای
* نظریه اعداد رایانشی
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* هندسه گسسته

 |
| آنالیز ریاضی | 
* نظریه تقریب
* Clifford analysis
	+ Clifford algebra
* معادله دیفرانسیل
	+ Complex differential equations
	+ معادله دیفرانسیل معمولی
	+ معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی
	+ معادله دیفرانسیل تصادفی
* هندسه دیفرانسیل
	+ Differential forms
	+ Gauge theory
	+ Geometric analysis
* سامانه پویا
	+ نظریه آشوب
	+ نظریه کنترل
* آنالیز تابعی
	+ Operator algebra
	+ نظریه عمل‌گرها
* آنالیز هارمونیک
	+ آنالیز فوریه
* Multilinear algebra
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ تانسور
	+ حساب برداری
* حساب چندمتغیره
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ حساب تانسوری
	+ حساب برداری
* آنالیز عددی
	+ جبر خطی عددی
	+ حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
	+ Numerical methods for partial differential equations
	+ Validated numerics
* حساب تغییرات

 |
| نظریه احتمالات | 
* توزیع احتمالs (متغیر تصادفیs)
* فرایند تصادفیes / حسابان تصادفی
* Path integral
* Stochastic variational calculus

 |
| ریاضی فیزیک | 
* مکانیک تحلیلی
	+ مکانیک لاگرانژی
	+ مکانیک همیلتونی
* میدان (فیزیک)
	+ نظریه میدان کلاسیک
	+ Conformal
	+ Effective
	+ نظریه پیمانه‌ای
	+ نظریه میدان‌های کوانتومی
	+ Statistical
* نظریه پتانسیل
* نظریه ریسمان
	+ Topological

|  |  |
| --- | --- |
| ساختارهای جبری | 
* Algebra of physical space
* فرمول‌بندی انتگرال مسیر
* Quantum group
* گروه بازبهنجارش
* Representation theory
* Spacetime algebra

 |

 |
| نظریه‌های تصمیم | 
* نظریه بازی
* تحقیق در عملیات
* بهینه‌سازی
* نظریه انتخاب اجتماعی
* آمار
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی

 |
| کاربردهای دیگر | 
* زیست‌شناسی ریاضیاتی و نظری
* شیمی ریاضیاتی
* روانشناسی ریاضی
* Sociology
* "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"

 |
| مرتبط | 
* ریاضیات

 |
| سازمان‌ها | 
* Society for Industrial and Applied Mathematics
	+ Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
* Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
* International Council for Industrial and Applied Mathematics

 |
| 
* 
* درگاه:ریاضیات / outline / فهرست مفاهیم ریاضی

 |