با عدد گنگ اشتباه نشود.
نماد مجموعه اعداد گویا
ا**عداد گویا** ({\displaystyle \mathbb {Q} }) زیرمجموعهٔ اعداد حقیقی ({\displaystyle \mathbb {R} }) هستند. از سوی دیگر؛ آن‌ها اعداد غیرصحیح ({\displaystyle \mathbb {Z} }) را زیر مجموعهٔ خود دارند، که آن‌هم به‌نوبهٔ خود اعداد طبیعی ({\displaystyle \mathbb {N} }) را زیر مجموعهٔ خود دارد.
**عدد گویا** یا **عدد کسری** (به انگلیسی: Rational number) در علم ریاضیات، عددی است که می‌تواند به صورت کسر {\displaystyle {\tfrac {p}{q}}} (یا {\displaystyle p/q}) از دو عدد صحیح {\displaystyle p} و {\displaystyle q} ( به طوری که {\displaystyle p} صورت کسر و {\displaystyle q} مخرج کسر باشد.) بیان شود. به عبارت دیگر، اعداد گویا کسرهایی هستند که از تقسیم عدد صحیح بر عدد صحیح دیگر (به جز صفر) پدید آمده باشد. از آن‌جایی که {\displaystyle q} می‌تواند برابر با عدد یک باشد؛ پس تمامی اعداد صحیح، طبیعی و حسابی، عدد گویا نیز هستند.

نماد ریاضی اعداد گویا
---------------------

مجموعه اعداد گویا معمولاً با حرف {\displaystyle \mathbb {Q} } نمایش داده می‌شوند که به انتخابِ جوزپه پئانو از ابتدای کلمهٔ ایتالیاییِ quoziente، به‌معنای خارج‌قسمت، اخذ شده‌است.

تعریف
-----

به‌طور کلی می‌توان مجموعه اعداد گویا را بدین صورت تعریف کرد: اگر ما یک عدد طبیعی داشته باشیم و آن را (مثلا {\displaystyle {x}}) بر دیگری (مثلا {\displaystyle {y}}) تقسیم کنیم؛ به طوری که (یا به شرطی که) هم {\displaystyle {x}} (صورت) و هم {\displaystyle {y}} (مخرج) عضو مجموعه اعداد صحیح ({\displaystyle \mathbb {Z} }) باشند؛ و {\displaystyle {y}} (مخرج) برابر با صفر **نباشد**؛ آنگاه نسبت {\displaystyle {x}} به {\displaystyle {y}} (کسر مورد نظر) عددی گویا خواهد بود. 
{\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {x}{y}}\mid x,y\in \mathbb {Z} ,y\neq 0\}}

نکات مهم
--------

* اجتماع مجموعه اعداد گویا {\displaystyle \mathbb {Q} } و اعداد گنگ {\displaystyle \mathbb {Q} ^{c}} (یعنی متمم اعداد گویا) برابر با مجموعه اعداد حقیقی است؛ و همچنین اشتراک این دو مجموعه برابر با {\displaystyle \emptyset } (تهی) می‌‌باشد :

{\displaystyle \mathbb {Q} \cup \mathbb {Q} ^{c}=\mathbb {R} }  
{\displaystyle \mathbb {Q} \cap \mathbb {Q} ^{c}=\emptyset }

* تمامی اعداد حقیقی که گویا نباشند؛ گنگ هستند.

  

* نسبت {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}} با اینکه یک کسر است؛ اما یکی از شروط اعداد گویا این است که صورت و مخرج، عددی صحیح باشند؛ در صورتی که صورت یا مخرج، عددی رادیکالی باشد و جذر آن کامل نباشد؛ حاصل رادیکال عددی گنگ خواهد بود. پس این کسر، یک عدد گنگ است. اما نسبت {\displaystyle {\frac {\sqrt {4}}{2}}} یک عدد گویا می‌باشد؛ زیرا حاصل صورت این کسر جذر کامل می‌باشد.

  

* اعداد صحیح، طبیعی و حسابی ، زیر مجموعه‌ای از اعداد گویا هستند. زیرا مخرج تمامی آنها برابر با یک است. (به عبارت ساده‌تر همانطور که می‌دانیم مخرج ۱ هیچ تاثیری در ماهیت عدد ندارد؛ یعنی اگر ما یک عدد دلخواه مانند {\displaystyle {x}} را داشته باشیم و به مخرج آن ۱ بدهیم؛ کسر با صورت {\displaystyle {x}} و مخرج ۱، هیچ تفاوتی با خود عدد {\displaystyle {x}} نخواهد داشت. که به صورت ریاضی {\displaystyle {\frac {x}{1}}={x}} می‌شود.) بنابراین می‌توانیم با دادن عدد یک به مخرج هر یک از آنها کسری داشته باشیم که تمامی شرایط یک عدد گویا را دارد؛

  

* اعداد اعشاری را می‌توان جزو اعداد گویا به حساب آورد؛ زیرا هر عدد اعشاری را می‌توان به صورت کسری نوشت که مخرج آن یکی از توان‌های مثبت ۱۰ و صورت آن یک عدد صحیح باشد. برای نمایش آنان روی محور می‌توان آنان را به کسر تبدیل نمود :

{\displaystyle {\frac {x}{10^{n}}}\in \mathbb {Q} } {\displaystyle \Rightarrow } {\displaystyle x\in \mathbb {Z} } , {\displaystyle n\in \mathbb {N} }

  

* بین دو عدد گویا بی‌نهایت عدد گویا وجود دارد. اعداد گویا از منفی بی‌نهایت تا مثبت بی‌نهایت ادامه دارند.

  

* بین دو عدد گنگ بی شمار عدد گنگ وجود دارد.

مقایسه
------

برای مقایسه اعداد گویای مثبت، پس از هم مخرج کردن، صورت‌هایشان مورد مقایسه قرار می‌گیرد؛ صورت هر کدام که بزرگتر بود، آن عدد بزرگتر است. برای هم مخرج کردن، صورت و مخرج هر یک از اعداد گویا در مخرج دیگری ضرب می‌شود.

* **نکته**: بین دو عدد گویای مثبت که صورتشان برابر است، عددی که مخرجش کوچکتر باشد، از عدد دیگر بزرگتر است.

برای مقایسه دو عدد گویای {\displaystyle {\frac {a}{b}}} و {\displaystyle {\frac {c}{d}}} به‌صورت زیر مخرج‌ها یکی می‌شوند:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {a\times d}{b\times d}},{\frac {c}{d}}={\frac {c\times b}{d\times b}}}

سپس صورت دو کسر به‌دست‌آمده مورد مقایسه قرار می‌گیرند: {\displaystyle a\times d\;?\;c\times b}

### مثال

دو عدد {\displaystyle {\frac {5}{11}}} و {\displaystyle {\frac {3}{7}}} به‌صورت زیر مقایسه می‌شوند:

{\displaystyle {\frac {3}{7}}={\frac {3\times 11}{7\times 11}}={\frac {33}{77}}\;,\;{\frac {5}{11}}={\frac {5\times 7}{11\times 7}}={\frac {35}{77}}\Rightarrow 33<35\Rightarrow {\frac {3}{7}}<{\frac {5}{11}}}

اعمال اصلی ریاضی
----------------

### جمع و تفریق

برای جمع و تفریق اعداد گویا ابتدا مخرج کسرها یکسان شده، سپس صورت‌ها با هم جمع یا تفریق می‌شوند:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\pm {\frac {c}{d}}={\frac {ad\pm bc}{bd}}}

#### مثال

{\displaystyle {\frac {4}{3}}+{\frac {2}{5}}={\frac {20+6}{15}}={\frac {26}{15}}}

{\displaystyle {\frac {5}{6}}-{\frac {5}{4}}={\frac {20-30}{24}}={\frac {-10}{24}}}

### ضرب

برای ضرب اعداد گویا، صورت‌ها را در هم و مخرج‌ها نیز در هم ضرب می‌شوند.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}

#### مثال

{\displaystyle {\frac {2}{5}}\cdot {\frac {14}{35}}={\frac {2\times 14}{5\times 35}}={\frac {28}{175}}}
### تقسیم

برای تقسیم دو عدد گویا، عدد اول را در معکوس عدد دوم ضرب می‌شود.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}.{\frac {d}{c}}={\frac {ad}{bc}}}

#### مثال

### توزیع پذیری منفی و قرینه کسر

برای توزیع پذیری علامت منفی پشت پرانتز به کسر داخل پرانتز، کافی است؛ که پرانتز را حذف کنیم؛ و صورت **یا** مخرج کسر را قرینه نماییم.

{\displaystyle {\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}}}

### مثال

{\displaystyle {\displaystyle -\left({\frac {7}{12}}\right)={\frac {-7}{12}}={\frac {7}{-12}}}}

### توان منفی کسر

اگر کسری را به توان عددی منفی برسانیم؛ برای اینکه بتوانیم توانی مثبت داشته باشیم؛ فقط کافی است که، کسر مذکور را معکوس نموده و خود توان را قرینه نماییم.

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)^{-n}=({\frac {y}{x}})^{n}}}

### مثال

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {3}{5}}\right)^{-2}=({\frac {5}{3}})^{2}}}

### توزیع پذیری توان نسبت به صورت و مخرج در کسر

اگر ما کسری داشته داشته باشیم و **کل کسر** را به توان عددی طبیعی برسانیم؛ برای توزیع پذیری توان به صورت جداگانه نسبت به صورت و مخرج، فقط کافی است؛ که به طور جداگانه هم صورت و هم مخرج کسر را به توان همان عدد برسانیم.

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {a}{b}}\right)^{n}={\frac {a^{n}}{b^{n}}}}}

### مثال

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {10}{17}}\right)^{3}={\frac {10^{3}}{17^{3}}}}}

### توان صفر

اگر عدد یا کسری **به غیر از صفر** به توان صفر برسد؛ آنگاه حاصل برابر با ۱ خواهد شد.( 0 ≠ {\displaystyle {x}} ) 

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {x}{y}}\right)^{0}=1}}

### مثال

{\displaystyle {\displaystyle \left({\frac {13}{-5}}\right)^{0}=1}}

جستارهای وابسته
---------------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

طبقه‌بندی اعداد| مختلط {\displaystyle :\;\mathbb {C} } | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| حقیقی {\displaystyle :\;\mathbb {R} } | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| گویا {\displaystyle :\;\mathbb {Q} } | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| صحیح {\displaystyle :\;\mathbb {Z} } | 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| حسابی  | 

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| طبیعی {\displaystyle :\;\mathbb {N} } | 

|  |
| --- |
| یک: 1 |
| اعداد اول |
| اعداد مرکب |

 |

 |
| صفر: 0 |

 |

 |
| اعداد صحیح منفی |

 |

 |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| کسری | 

|  |
| --- |
| مختوم |
| متناوب | 

|  |
| --- |
| ساده |
| مرکب |

 |

 |

 |

 |

 |
| 

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| گنگ | 

|  |
| --- |
| اعداد گنگ جبری |
| ترافرازنده |

 |

 |

 |

 |
| موهومی |

 |

 |

 |

منابع
-----

1. ↑  Rosen, Kenneth. *Discrete Mathematics and its Applications* (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
2. ↑  Rosen, Kenneth (2007). *Discrete Mathematics and its Applications* (6th ed.). New York, NY: McGraw-Hill. pp. 105, 158–160. ISBN 978-0-07-288008-3.
3. ↑  Rouse, Margaret. "Mathematical Symbols". Retrieved 1 April 2015.
4. ↑  chap.sch.ir صفحهٔ ۸.

Wikipedia contributors, "Rational number," Wikipedia, The Free Encyclopedia, 

| * ن
* ب
* و
نظریه اعداد |
| --- |
| میدان‌ها | 
* نظریه جبری اعداد
* نظریه تحلیلی اعداد
* نظریه هندسی اعداد
* نظریه اعداد رایانشی
* نظریه اعداد ترافرازنده
* هندسه سیاله‌ای
* ترکیبیات حسابی
* هندسه حسابی
* توپولوژی حسابی
* دینامیک حسابی

 |  |
| مفاهیم کلیدی | 
* عدد
* عدد طبیعی
* عدد اول
* عدد گویا
* عدد گنگ
* عدد جبری
* اعداد ترافرازنده
* عدد پی-ادیک
* حساب
* هم‌نهشتی
* تابع حسابی

 |
| مفاهیم پیشرفته | 
* فرم درجه دوم
* فرم ماژولار
* تابع ال
* معادله سیاله
* تخمین سیاله‌ای
* کسر مسلسل

 |
| 
* 
* فهرست موضوعات
* فهرست موضوعات سرگرمی

 |

| * ن
* ب
* و
دستگاه اعداد |
| --- |
| مجموعه‌های شمارا | 
* اعداد طبیعی({\displaystyle \mathbb {N} })
* اعداد صحیح({\displaystyle \mathbb {Z} })
* اعداد گویا({\displaystyle \mathbb {Q} })
* اعداد ترسیم پذیر
* اعداد جبری({\displaystyle \mathbb {A} })
* دوره (نظریه اعداد)
* Computable number
* Definable real number
* Arithmetical numbers
* Gaussian integer

 |
| جبرهای ترکیبی | 
* جبر تقسیم: اعداد حقیقی({\displaystyle \mathbb {R} })
* اعداد مختلط({\displaystyle \mathbb {C} })
* چهارگان‌ها({\displaystyle \mathbb {H} })
* هشتگان‌ها({\displaystyle \mathbb {O} })

 |
| انواعدوقسمتی | 
* over {\displaystyle \mathbb {R} }:
* Split-complex number
* Split-quaternion
* Split-octonion روی {\displaystyle \mathbb {C} }:
* Bicomplex number
* Biquaternion
* Bioctonion

 |
| اعداد ابرمختلط دیگر | 
* Dual number
* Dual quaternion
* Dual-complex number
* Hyperbolic quaternion
* شانزدهگان‌ها ({\displaystyle \mathbb {S} })
* Split-biquaternion
* Multicomplex number
* Geometric algebra
	+ Algebra of physical space
	+ Spacetime algebra

 |
| انواع دیگر | 
* اعداد اصلی
* اعداد گنگ
* اعداد فازی
* اعداد ابرحقیقی
* Levi-Civita field
* Surreal numbers
* اعداد ترافرازنده
* اعداد ترتیبی
* عدد پی-ادیک (*p*-adic solenoids)
* Supernatural numbers
* Superreal numbers

 |
| 
* عدد
* List

 |

| * ن
* ب
* و
اعداد جبری |
| --- |
| 
* عدد صحیح جبری
* گره‌های چبیشف
* عدد ترسیم‌پذیر
* ثابت کانوی
* میدان چرخشی
* عدد صحیح آیزنشتاین
* عدد صحیح گاوسی
* نسبت طلایی
* عدد پرون
* عدد پیسوت–ویجایاراقاوان
* عدد گنگ درجه دو
* عدد گویا
* ریشه واحد
* عدد سالم
* نسبت طلایی ({\displaystyle \delta \_{S}})
* {\displaystyle {\sqrt {2}}}
* {\displaystyle {\sqrt {3}}}
* {\displaystyle {\sqrt {5}}}
* تضعیف مکعب
* ریشه دوازدهم دو

 | ℚ |

| * ن
* ب
* و
اعداد حقیقی |
| --- |
| 
* ۰٫۹۹۹…
* تفاضل مطلق
* مجموعه کانتور
* اصل کانتور-ددکیند
* تمامیت اعداد حقیقی
* ساخت
* تصمیم پذیری نظریات مرتبه-اول
* خط اعداد حقیقی توسعه یافته
* عدد گرگوری
* عدد گنگ
* عدد نرمال
* عدد گویا
* سری‌های زتای گویا
* فضای مختصات حقیقی
* خط حقیقی
* اصول موضوعه سازی تارسکی
* مجموعه ویتالی

 |  |