تابع بیضوی
در آنالیز ترکیبی، **تابع بیضوی**، یک تابع مرومورفیک است که در دو مسیر تناوبی است. در یک تابع متناوب، تابع فقط در یک تناوب تعریف می‌شود (این تناوب پیوسته تکرار می‌شود)، اما تابع بیضوی در یک متوازی‌الأضلاع پایه تعریف می‌شود، که این متوازی‌الأضلاع به صورت شبکه‌ای تکرار می‌شود. چون یک تابع متناوب دوقلو نمی‌تواند هام دیس (دارای دو انتهای متقارن) باشد، بر اساس قضیهٔ لیویل باید ثابت باشد. یک تابع بیضوی باید حداقل دو قطب در متوازی‌الأضلاع پایه داشته باشد.

تاریخچه
-------

تابع بیضوی اولین بار توسط نیلس هنریک آبل به عنوان معکوس انتگرال بیضوی مطرح شد و توسط ژاکوبی گسترش یافت. از این تابع در مطالعات مربوط به محاسبهٔ طول قوس بیضی استفاده شده و به همین اساس نامگذاری شده است. توابع بیضوی ژاکوبی کاربردهای فراوانی در فیزیک یافت و خودش هم در اثبات بعضی مسائل در نظریه اعداد مقدماتی از آن استفاده کرد. کارل وایرشتراس مطالعات کامل تری راجع به این تابع انجام داد و تابع بیضوی ساده‌ای پیدا کرد که دیگر توابع را پوشش می‌داد.

تعریف
-----

یک تابع بیضوی تابعی f است که روی \mathbb{C} تابع مرومورفیک است و برای آن دو عدد مختلط غیر صفر {\displaystyle \omega \_{1}} و {\displaystyle \omega \_{2}} که {\displaystyle {\frac {\omega \_{1}}{\omega \_{2}}}\notin \mathbb {R} } (به عبارت دیگر، این دو عدد غیر موازی اند) است وجود دارد، به طوری که {\displaystyle f(z)=f(z+\omega \_{1})} و {\displaystyle f(z)=f(z+\omega \_{2})} برای هر {\displaystyle z\in \mathbb {C} }.

«شبکهٔ تناوب ها» با {\displaystyle \Lambda =\left\{m\omega \_{1}+n\omega \_{2}\mid m,n\in \mathbb {Z} \right\}} نمایش داده می‌شود، در نتیجه {\displaystyle f(z)=f(z+\omega )} برای هر {\displaystyle \omega \in \Lambda }.
دو دسته تابع بیضوی کانونی داریم:ژاکوبی و وایرشتراس. گرچه تابع بیضوی ژاکوبی قدیمی تر و مستقیماً مرتبط با کاربردهاست ولی نویسندگان جدید نظریهٔ مقدماتی را با تابع وایرشتراس دنبال می‌کنند چون ساده‌تر است.
اگر یک سلول را متوازی‌الأضلاع پایه‌ای که در آن تابع چند مقداری (چندگانه) نباشد، تعریف کنیم، خواص زیر را خواهیم داشت:
̈# تعداد قطب‌ها در هر سلول محدود است.

1. تعداد ریشه‌ها در ر سلول محدود است.
2. مجموع باقیمانده‌ها در هر سلول صفر است.
3. قضیه لیویل برای تابع بیضوی: تابع بیضوی که در یک سلول قطب نداشته باشد، ثابت است.
4. تعداد صفرهای {\displaystyle f(z)-c} (درجه) برابر تعداد قطب‌های {\displaystyle f(z)} است.
5. ساده‌ترین تابع بیضوی درجه ۲ است. چون یک تابع درجه اول که قطب تحویل ناپذیر و باقیمانده غیر صفر داشته باشد، غیرممکن است.
6. تابع بیضوی که یک قطب درجه دو با باقیمانده صفر دارد را تابع بیضوی وایرشتراس گویند.

تابع بیضوی با دوقطب ساده با باقیمانده و را تابع بیضوی ژاکوبی گویند.

1. مجموع ریشه‌ها با مجموع قطب‌ها برابر است.
2. بین هر دو تابع بیضوی با دوره تناوب یکسان یک رابطه جبری برقرار است.تابع بیضوی

تابع بیضوی وایرشتراس
--------------------

تابع بیضوی وایرشتراس {\displaystyle \wp \left(z\right)} به راحتی با انتخاب {\displaystyle \Lambda } بر اساس تعریف قابل ساختن است:

{\displaystyle \wp \left(z\right)={\frac {1}{z^{2}}}+\sum \_{\omega \in \Lambda \smallsetminus \left\{0\right\}}\left({\frac {1}{\left(z-\omega \right)^{2}}}-{\frac {1}{\omega ^{2}}}\right)}
این تابع با تبدیل {\displaystyle z\mapsto z+\omega } و برای هر {\displaystyle \omega \in \Lambda } ثابت است و فقط دو قطب در {\displaystyle z=0} و {\displaystyle z=\omega } دارد.

منابع
-----



| * ن
* ب
* و
موضوعات مرتبط با منحنی‌های جبری |
| --- |
| منحنی گویا | 
* Five points determine a conic
* Projective line
* Rational normal curve
* کره ریمان
* Twisted cubic

 |
| خم‌های بیضوی | 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه تحلیلی | 
* تابع بیضوی
* انتگرال بیضوی
* Fundamental pair of periods
* Modular form

 |
| نظریه حسابی | 
* Counting points on elliptic curves
* Division polynomials
* Hasse's theorem on elliptic curves
* Mazur's torsion theorem
* Modular elliptic curve
* Modularity theorem
* Mordell–Weil theorem
* Nagell–Lutz theorem
* Supersingular elliptic curve
* Schoof's algorithm
* Schoof–Elkies–Atkin algorithm

 |
| کاربردها | 
* رمزنگاری منحنی بیضوی
* Elliptic curve primality

 |

 |
| گوناهای بالاتر | 
* De Franchis theorem
* قضیه فالتینگز
* Hurwitz's automorphisms theorem
* Hurwitz surface
* Hyperelliptic curve

 |
| منحنی مسطح | 
* قضیه AF+BG
* Bézout's theorem
* Bitangent
* Cayley–Bacharach theorem
* مقطع مخروطی
* Cramer's paradox
* Cubic plane curve
* Fermat curve
* فرمول گونا-درجه
* مسئله شانزدهم هیلبرت
* Nagata's conjecture on curves
* Plücker formula
* منحنی چارکی
* Real plane curve

 |
| رویه‌های ریمانی | 
* Belyi's theorem
* Bring's curve
* Bolza surface
* رویه ریمانی
* Dessin d'enfant
* Differential of the first kind
* Klein quartic
* Riemann's existence theorem
* Riemann–Roch theorem
* فضای تایشمولر
* Torelli theorem

 |
| سازه‌ها | 
* Dual curve
* Polar curve
* Smooth completion

 |
| ساختار محنی‌ها | 

|  |  |
| --- | --- |
| مقسوم‌علیه‌هایروی منحنی‌ها | 
* Abel–Jacobi map
* Brill–Noether theory
* Clifford's theorem on special divisors
* Gonality of an algebraic curve
* Jacobian variety
* Riemann–Roch theorem
* Weierstrass point
* Weil reciprocity law

 |
| ماژولی‌ها | 
* ELSV formula
* Gromov–Witten invariant
* Hodge bundle
* Moduli of algebraic curves
* Stable curve

 |
| ریخت‌ها | 
* Hasse–Witt matrix
* Riemann–Hurwitz formula
* Prym variety
* Weber's theorem

 |
| تکینگی‌ها | 
* Acnode
* Crunode
* Cusp
* Delta invariant
* Tacnode

 |
| کلاف‌های برداری | 
* Birkhoff–Grothendieck theorem
* Stable vector bundle
* Vector bundles on algebraic curves

 |

 |