**جبر خطی** شاخه‌ای از ریاضیات است که به بررسی و مطالعهٔ ماتریسها، بردارها، فضاهای برداری (فضاهای خطی)، تبدیلات خطی، و دستگاه‌های معادلات خطی می‌پردازد.

کاربردها
--------

چند اوربیتال اتم هیدروژن اول؛ مقطع نشان دادن چگالی احتمال رنگی برای n = 1،2،3 و l = "s"،"p"،"d"؛ توجه داشته باشید: m = 0 تصویر اولین اوربیتال های اتم هیدروژن (تابع های ویژه انرژی) را نشان می دهد. اینها مقطعهایی از چگالی احتمال هستند که رنگی هستند (سیاه = چگالی صفر، سفید = بالاترین چگالی). عدد کوانتومی تکانه زاویه ای l در هر ستون با استفاده از کد حرف طیف سنجی معمول ("s" به معنی l = 0 نشان داده می شود. "p": l = 1؛ "d": l = 2). عدد کوانتومی اصلی n (= 1،2،3,...) در سمت راست هر ردیف مشخص شده است. برای همه تصاویر عدد کوانتومی مغناطیسی m روی 0 تنظیم شده است و صفحه مقطعی صفحه x-z است (z محور عمودی است). چگالی احتمال در فضای سه بعدی با چرخش یکی نشان داده شده در اینجا در اطراف محور z به دست می اورد. توجه داشته باشید شباهت قابل توجه این تصویر به نمودار از حالت های عادی جابجایی غشای فیلم صابون نوسان بر روی یک دیسک محدود شده توسط یک قاب سیم. به عنوان مثال، ارتعاشات و Waves، A.P. French، M.I.T. Introductory Physics Series، 1971، ISBN 0393099369، page 186، Fig. 6-13. همچنین حالت های ارتعاش طبیعی یک غشای دایره ای را ببینید.
جبر خطی و کارایی‌های فراوان آن در ریاضیات و محاسبات گسسته طیف گسترده و وسیعی را شامل می‌گردد. علاوه بر کاربردهای آن در زمینه‌هایی از خود ریاضیات همانند جبر مجرد، آنالیز تابعی، هندسه تحلیلی، و آنالیز عددی، جبر خطی استفاده‌های وسیعی نیز در فیزیک، مهندسی، علوم طبیعی، و علوم اجتماعی پیدا کرده‌است.

از کاربردهای جبر خطی می‌توان به اکتشاف نفت، برنامه‌ریزی خطی، مدارهای الکترونیکی، هوش مصنوعی، یادگیری ماشینی، پردازش سیگنال، مکاترونیک، رمزنگاری و ژنتیک اشاره کرد.

مقدمه
-----

آغاز نمودن مبحثی با اهمیت و همه‌جاگیری جبر خطی یکی از دشوارترین کارهاست، چرا که، با جهت‌گیری‌ها، تعبیرات، تعمیمات، و آینده‌بینی‌های زیادی روبرو می‌شویم. شاید یکی از انتخاب‌های مناسب این گونه باشد:

ماتریس و بردار زیر را در نظر می‌گیریم:

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}},v={\begin{bmatrix}2\\1\\\end{bmatrix}}}

با ضرب ماتریس و بردار داریم:

{\displaystyle Mv={\begin{bmatrix}1&2\\2&1\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}2\\1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}4\\5\\\end{bmatrix}}=w}

نتیجهٔ فوق را می‌توان در ترازهای معنائی گوناگونی مورد دقت و بررسی قرار داد. برخی از ملاحظات این گونه است:

ماتریس {\displaystyle M} به عنوان عملگری بر روی بردار {\displaystyle v} عمل نموده و آن را به بردار {\displaystyle w} تبدیل کرده‌است. {\displaystyle M} می‌تواند ثابت انگاشته شده و دستگاهی ساده را نمایندگی کند، که در آن صورت، بردار {\displaystyle v} اطلاعات یا داده‌هایی را می‌نمایاند که به نوعی به سیستم داده شده‌است.

سیستم {\displaystyle M} درست مثل پردازش‌گری اطلاعات را به دانش تبدیل می‌کند. شاید یکی از روشن‌ترین مثال‌های کوتاه برای مفهوم فرایند تبدیل اطلاعات به دانش همین باشد.

ویژه‌مقدار
----------

مقالهٔ اصلی: ویژه‌مقدار

ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار از جملهٔ پرکاربردترین و جوهریترین مؤلفه‌های ماتریس‌ها و عمل‌گرهای خطی می‌باشد. مفهوم و عملکرد این اشیاء ریاضی را باید از جنس تلخیص، فشرده‌سازی اطلاعات، و ساده و آسان حل کردن مسائل خطی دشوار نیست

.

فضاهای برداری
-------------

مقالهٔ اصلی: فضاهای برداری

از آن‌جا که بسیاری از کمیت‌های فیزیکی مثل نیرو، سرعت و شتاب هم اندازه (بزرگی) دارند و هم راستا، آن‌ها را کمیتی برداری در نظر می‌گیرند.

جبر خطی عددی
------------

مقالهٔ اصلی: جبر خطی عددی

جستارهای وابسته
---------------

* جبر خطی عددی
* مقدار ویژه

منابع
-----

1. ↑  *Linear Algebra and Its Applications*. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.

* Tucker, A. 1988 *: A Unified Introduction to Linear Algebra: Models, Methods and Theory ,* Macmillan Pub Co. ISBN 0-02-421580-5
* Friedberg, S. H. , Insel, A. J. , and Spence, L. E. 2003 *: Linear Algebra,* Pearson Education Inc. ISBN 0-13-008451-4


|  |  |
| --- | --- |
|  | در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ جبر خطی موجود است. |

| * ن
* ب
* و
ریاضیات (شاخه‌های ریاضیات) |
| --- |
| بنیان‌ها | 
* نظریه دسته‌ها
* نظریه اطلاعات
* منطق ریاضی
* فلسفه ریاضیات
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه نوع‌ها

 |
| جبر | 
* مجرد
* جبر جابجایی
* مقدماتی
* نظریه گروه‌ها
* خطی
* چندخطی
* جبر جهانی
* جبر همولوژی

 |
| آنالیز | 
* حسابان
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* معادله دیفرانسیل
* آنالیز تابعی
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)

 |
| گسسته | 
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* نظریه ترتیب
* نظریه بازی‌ها

 |
| هندسه | 
* جبری
* تحلیلی
* دیفرانسیل
* گسسته
* اقلیدسی
* متناهی

 |
| نظریه اعداد | 
* حساب
* نظریه جبری اعداد
* نظریه تحلیلی اعداد
* هندسه دیوفانتینی

 |
| توپولوژی | 
* توپولوژی عمومی
* جبری
* دیفرانسیل
* هندسی
* نظریه هموتوپی

 |
| کاربردی | 
* نظریه کنترل
* ریاضیات مهندسی
* زیست‌شناسی ریاضی و نظری
* شیمی ریاضی
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی
* ریاضی فیزیک
* روانشناسی ریاضی
* جامعه‌شناسی ریاضی
* آمار ریاضی
* تحقیق در عملیات
* احتمالات
* آمار

 |
| محاسباتی | 
* علوم رایانه
* نظریه محاسبات
* نظریه پیچیدگی محاسباتی
* آنالیز عددی
* بهینه‌سازی
* جبر رایانه‌ای

 |
| سایر | 
* تاریخ ریاضیات
* سرگرمی‌های ریاضی
* ریاضیات و هنر
* آموزش ریاضی

 |
| 
* **رده**
* **درگاه**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |

| * ن
* ب
* و
بعد |
| --- |
| فضاهای بعدی | 
* فضای برداری
* فضای اقلیدسی
* فضای آفین
* فضای تصویری
* مدول آزاد
* منیفلد
* واریته جبری
* فضازمان

 | Animated tesseract |
| سایر ابعاد | 
* بعد کرول
* پوشش لبگ
* استقرایی
* هاسدورف
* مینکوسکی
* بعد فراکتالی
* درجه آزادی

 |
| چندبرها و اشکال | 
* ابرصفحه
* ابر رویه
* ابرمکعب
* ابر کره
* ابرمکعب‌مستطیل
* Demihypercube
* ارتوپلکس
* سیمپلکس

 |
| ابعاد بر پایه شماره | 
* صفر
* یک
* دو
* سه
* چهار
* پنج
* شش
* هفت
* هشت
* نه
* چند بعدی
* ابعاد منفی

 |
| **مقالهٔ اصلی این رده،** بعد **است.** |

| * ن
* ب
* و
جبر خطی |
| --- |
| مفاهیم عمومی | 
* اسکالر (ریاضی)
* بردار
* فضای برداری
* ضرب نرده‌ای
* تصویر (بردار)
* اسپن و مولد
* نگاشت خطی
* Linear projection
* استقلال خطی
* ترکیب خطی
* پایه (جبر خطی)
* Column space
* Row space
* تعامد (جبر خطی)
* هسته(فضای پوچ)
* ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار
* Outer product
* فضای ضرب داخلی
* ضرب داخلی
* ترانهاده
* الگوریتم گرام اشمیت
* دستگاه معادلات خطی

 | Three dimensional Euclidean space |
| جبر برداری | 
* ضرب خارجی
* Triple product
* Seven-dimensional cross product

 |
| جبر چندخطی | 
* Geometric algebra
* Exterior algebra
* Bivector
* Multivector

 |
| ماتریس | 
* Block
* Decomposition
* ماتریس وارون
* کهاد
* ضرب ماتریس
* رتبه (جبر خطی)
* تبدیل
* قاعده کرامر
* حذف گاوسی

 |
| ساختارهای جبر مجرد | 
* Dual
* Direct sum
* Function space
* خارج‌قسمت
* زیرفضا
* ضرب تنسوری

 |
| جبر خطی عددی | 
* ممیز شناور
* متلب
* Numerical stability
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* ماتریس خلوت
* Comparison of linear algebra libraries
* Comparison of numerical analysis software

 |
| 
* رده:جبر خطی
* Outline
* Portal
* Wikibook
* Wikiversity

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |