چندین تصویر توزیع دریکله وقتی که *K*=3 برای بردارهای مختلف پارامتر *α* است. به‌صورت ساعتگرد از بالا چپ: *α*=(6, 2, 2), (3, 7, 5), (6, 2, 6), (2, 3, 4).
**توزیع دیریکله** در نظریه احتمال و آمار یک توزیع پیوسته است. این توزیع به‌طور کلی حالت گسترش یافته توزیع بتا برای توابع چندمتغیره است. معمولاً از توزیع دیریکله به عنوان توزیع پیشین در مدل سازی بیزی استفاده می‌شود؛ چرا که توزیع دیریکله مزدوج پیشین (conjugate prior) برای توزیع چندجمله ای و توزیع دسته ای (categorical) است. تعمیم این توزیع فرایند دیریکله است.

تعریف ریاضی
-----------

تابع چگالی احتمال آن به صورت زیر است:

{\displaystyle f(x\_{1},\dots ,x\_{K-1};\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{K})={\frac {1}{\mathrm {B} (\alpha )}}\prod \_{i=1}^{K}x\_{i}^{\alpha \_{i}-1}}
به ازای همهٔ *x*1, ... *x**K*–1> 0 بطوریکه *x*1 + ... + *x**K*–1 < 1, و *x**K* = 1 – *x*1 – ... – *x**K*–1. چگالی در خارج از این ناحیه صفر است. 
ثابت نرمالیزاسیون به صورت زیر تعریف می‌شود: 

{\displaystyle \mathrm {B} (\alpha )={\frac {\prod \_{i=1}^{K}\Gamma (\alpha \_{i})}{\Gamma {\bigl (}\sum \_{i=1}^{K}\alpha \_{i}{\bigr )}}},\qquad \alpha =(\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{K}).}
### حالت های خاص

یک حالت خاص زمانی است که تمامی مقادیر {\displaystyle {\boldsymbol {\alpha }}} مقدار یکسانی داشته باشند، که در اینصورت آن را توزیع دیریکلهٔ متقارن می نامیم. در این حالت توزیع ساده می‌شود به:

{\displaystyle f(x\_{1},\dots ,x\_{K-1};\alpha )={\frac {\Gamma (\alpha K)}{\Gamma (\alpha )^{K}}}\prod \_{i=1}^{K}x\_{i}^{\alpha -1}.}
زمانی که {\displaystyle \alpha =1} توزیع معادل با توزیع یکنواخت روی یک تکیه‌گاه (ریاضی) سیمپلکس {\displaystyle K-1} بعدی.

ویژگی ها
--------

### گشتاورها

فرض کنیم متغیرهای تصادفی {\displaystyle X=(X\_{1},\ldots ,X\_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha )} و  :{\displaystyle X\_{K}=1-X\_{1}-\cdots -X\_{K-1}.} را در اختیار داریم. تعریف می‌کنیم {\displaystyle \textstyle \alpha \_{0}=\sum \_{i=1}^{K}\alpha \_{i}}. بنابرین 

{\displaystyle \mathrm {E} [X\_{i}]={\frac {\alpha \_{i}}{\alpha \_{0}}},}
{\displaystyle \mathrm {Var} [X\_{i}]={\frac {\alpha \_{i}(\alpha \_{0}-\alpha \_{i})}{\alpha \_{0}^{2}(\alpha \_{0}+1)}}.}
علاوه بر این اگر if {\displaystyle i\neq j}

{\displaystyle \mathrm {Cov} [X\_{i},X\_{j}]={\frac {-\alpha \_{i}\alpha \_{j}}{\alpha \_{0}^{2}(\alpha \_{0}+1)}}.}
### مد

مد توزیع برداری مانند (*x*1, ... *x*K) است که در آن: 

{\displaystyle x\_{i}={\frac {\alpha \_{i}-1}{\alpha \_{0}-K}},\quad \alpha \_{i}>1.}

توزیع حاشیه ای
--------------

توزیع‌های حاشیه ای توزیع دیریکله، توزیع بتا هستند.

### مزدوج برای توزیع چندجمله ای/دسته ای

این به این معنی است که اگر در مدلسازی مجموعه ای از داده ها از توزیع چندجمله ای/دسته ای استفاده کنیم و توزیع پیشین را دیریکله قرار دهیم، توزیع پسین الزاماً یک توزیع دیریکله خواهد بود. به زبان ریاضی یعنی

{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}{\boldsymbol {\alpha }}&=&(\alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{K})&=&{\text{concentration hyperparameter}}\\\mathbf {p} \mid {\boldsymbol {\alpha }}&=&(p\_{1},\ldots ,p\_{K})&\sim &\operatorname {Dir} (K,{\boldsymbol {\alpha }})\\\mathbb {X} \mid \mathbf {p} &=&(\mathbf {x} \_{1},\ldots ,\mathbf {x} \_{N})&\sim &\operatorname {Cat} (K,\mathbf {p} )\end{array}}}
بنابرین روابط مقابل برقرار هستند:

{\displaystyle {\begin{array}{lclcl}\mathbf {c} &=&(c\_{1},\ldots ,c\_{K})&=&{\text{number of occurrences of category }}i\\\mathbf {p} \mid \mathbb {X} ,{\boldsymbol {\alpha }}&\sim &\operatorname {Dir} (K,\mathbf {c} +{\boldsymbol {\alpha }})&=&\operatorname {Dir} (K,c\_{1}+\alpha \_{1},\ldots ,c\_{K}+\alpha \_{K})\end{array}}}
### ارتباط با توزیع دیریکله-چندجمله ای

### آنتروپی

می دانیم

{\displaystyle \operatorname {E} [\log(X\_{i})]=\psi (\alpha \_{i})-\psi (\alpha \_{0})}

```
و
```

{\displaystyle \operatorname {Cov} [\log(X\_{i}),\log(X\_{j})]=\psi '(\alpha \_{i})\delta \_{ij}-\psi '(\alpha \_{0})}
که در آن \psi  تابع تابع دایگاما و {\displaystyle \psi '} تابع ترایگاما، {\displaystyle \delta \_{ij}} دلتای کرونکر است.

{\displaystyle H(X)=\log \mathrm {B} (\alpha )+(\alpha \_{0}-K)\psi (\alpha \_{0})-\sum \_{j=1}^{K}(\alpha \_{j}-1)\psi (\alpha \_{j})}
### ادغام پارامترها

اگر {\displaystyle X=(X\_{1},\ldots ,X\_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{K})} اگر متغیرهای تصادفی i-ام و j-م را با هم ادغام کنیم دیریکلهٔ حاصل برابر است با:

{\displaystyle X'=(X\_{1},\ldots ,X\_{i}+X\_{j},\ldots ,X\_{K})\sim \operatorname {Dir} (\alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{i}+\alpha \_{j},\ldots ,\alpha \_{K}).}

منابع
-----

1. ↑  Eq. (49.9) on page 488 of Kotz, Balakrishnan & Johnson (2000). Continuous Multivariate Distributions. Volume 1: Models and Applications. New York: Wiley.
2. ↑  BalakrishV. B. (۲۰۰۵). «"Chapter ۲۷٫ Dirichlet Distribution"». *A Primer on Statistical Distributions*. Hoboken, NJ: John Wiley & Sons, Inc. ص. ۲۷۴. شابک ۹۷۸-۰-۴۷۱-۴۲۷۹۸-۸.

1. 

| * ن
* ب
* و
توزیع‌های احتمالات |
| --- |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره متناهی |
| --- |
|  بنفورد **·**  برنولی **·**  دوجمله‌ای  **·**  رسته‌‌ای **·**  فوق‌هندسی **·**  رادماکر **·**  یکنواخت گسسته **·**  زیف **·**  زیف−مندالبروت  |

 |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  بولتزمن **·**  Conway-Maxwell-Poisson **·**  compound Poisson **·**  discrete phase-type **·**  Gauss-Kuzmin **·**  هندسی **·**  لگاریتمی **·**  دوجمله‌ای منفی **·**  برخال سهموی **·**  پواسون **·**  اسکلام **·**  Yule-Simon **·**  zeta  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره محدود |
| --- |
|  بتا **·**  Kumaraswamy **·**  raised cosine **·**  مثلثی **·**  U-quadratic **·**  یکنواخت پیوسته **·**  توزیع نیم دایره  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نیمه‌متناهی |
| --- |
|  بتا پریم **·**  توزیع بر **·**  کی‌دو **·**  Coxian **·**  ارلانگ **·**  نمایی **·**  اِف **·**  آمار فرمی-دیراک **·**  توزیع نرمال پوشیده **·**  توزیع فریشه **·**  گاما **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته **·**  توزیع نیم لجستیک **·**  توزیع نیم نرمال **·**  توزیع تی مربع هاتلینگ **·**  hyper-exponential **·**  hypoexponential **·**  inverse chi-square (scale inverse chi-square) **·**  inverse Gaussian **·**  توزیع گامای وارونه **·**  توزیع لوی **·**  لُگ نرمال **·**  log-logistic **·**  ماکسول-بولتزمان **·**  توزیع ماکسول-بولتزمن **·**  Nakagami **·**  توزیع خی دو نامرکزی **·** پارتو **·**   phase-type **·**  ریلی **·**  relativistic Breit–Wigner **·**  Rice **·**  توزیع وایبول **·**  توزیع گمپرتز **·**  truncated normal **·**  type-2 Gumbel **·**  وایبول **·**  Wilks' lambda  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  کوشی **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی تعمیم‌یافته **·**  توزیع زد فیشر **·**  فیشر‐تیپت **·**  هایپربولیک عمومی **·**  hyperbolic secant **·**  Landau **·**  لاپلاس **·**  توزیع لوی **·**  logistic **·**  نرمال **·**  normal-gamma **·**  normal inverse Gaussian **·**  skew normal **·**  تی-استودنت **·**  توزیع گامبل **·**  Variance-Gamma **·**  Voigt  |

 |
| 

| چندمتغیره |
| --- |
|  *گسسته:* Ewens **·**  چندجمله‌ای **·**  توزیع دیریکله—چندجمله‌ای*پیوسته:* توزیع دریکله **·**  توزیع دریکله عمومی **·**  multivariate normal **·**  multivariate Student*Matrix-valued:* توزیع ویشارت وارون **·**  matrix normal **·**  توزیع ویشارت  |

 |
| 

| جهت‌دار، تک‌مقدار و تکین |
| --- |
|  *Directional:* Kent  **·**  von Mises **·**  von Mises–Fisher  *Degenerate:* discrete degenerate **·**  تابع دلتای دیراک  *تکین:* Cantor  |

 |
| 

| خانواده‌ها |
| --- |
|  نمایی **·**  natural exponential **·**  location-scale **·**  maximum entropy **·**  Pearson **·**  Tweedie  |

 |

| * ن
* ب
* و
دیریکله |
| --- |
| 
* توزیع دیریکله
* Dirichlet character
* فرایند دیریکله
* توزیع دیریکله—چندجمله‌ای
* Dirichlet series
* قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی
* ضرب دیریکله
* Dirichlet problem
* انتگرال دیریکله

 |