در نظریه اعداد، **قضیه اعداد اول (به انگلیسی: Prime Number Theorem) (PNT)** توزیع مجانبی اعداد اول بین اعداد صحیح مثبت را توصیف می‌کند. این قضیه ایده شهودی کم شدن چگالی اعداد اول در اعداد صحیح بزرگ را به‌صورت صوری و دقیق‌تر بیان می‌کند. قضیه اعداد اول به‌صورت مستقل و جداگانه توسط ژاک آدامار و چارلز پوسین در ۱۸۹۶ با استفاده از ایده‌های معرفی‌شده از سوی برنارد ریمان (به‌خصوص تابع زتای ریمان) اثبات شد. 

اولین توزیع این‌چنینی که پیدا شد {\displaystyle \pi (N)\sim {\frac {N}{log(N)}}} بود که در آن {\displaystyle \pi (N)} تابع شمارنده تعداد اعداد اول و {\displaystyle \mathrm {log(N)} } لگاریتم طبیعی عدد {\displaystyle \mathrm {N} } است. بدین‌معنی که با بزرگ شدن {\displaystyle \mathrm {N} } به‌میزان کافی، احتمال این که یک عدد صحیح تصادفی کوچک‌تر مساوی {\displaystyle \mathrm {N} } اول باشد بسیار به {\displaystyle {\frac {1}{log(N)}}} نزدیک است. بنابراین، احتمال اول بودن یک عدد صحیح با حداکثر {\displaystyle \mathrm {2n} } رقم (برای {\displaystyle \mathrm {n} }های به اندازه کافی بزرگ) حدوداً نصف عدد صحیح تصادفی با حداکثر {\displaystyle \mathrm {n} }رقم است. به‌عنوان مثال، در میان اعداد صحیح مثبت با حداکثر ۱۰۰۰ رقم، حدود یک عدد از هر ۲۳۰۰ تا اول است ({\displaystyle log(10^{1000})\approx 2302.6})، درحالی‌که در میان اعداد صحیح با حداکثر ۲۰۰۰ رقم، حدود یکی از هر ۴۶۰۰ تا اول هستند ({\displaystyle log(10^{2000})\approx 4605.2}). به بیان دیگر، میانگین شکاف بین اعداد اول پشت سر هم در میان {\displaystyle \mathrm {N} }عدد صحیح (از یک تا {\displaystyle \mathrm {N} }) حدود {\displaystyle \mathrm {log(N)} } است.

قضیه
----

اگر{\displaystyle \pi (x)} تعداد اعداد اول کمتر از {\displaystyle x} باشد

آن‌گاه

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}

بررسی قضیه
----------

| *x* | *{\displaystyle \pi (x)}* | *{\displaystyle {\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}}* | *{\displaystyle {\frac {x}{\pi (x)}}}* |
| --- | --- | --- | --- |
| ۱۰ | ۴ | ۰٫۹۲۱ | ۲٫۵۰۰ |
| 102 | ۲۵ | ۱٫۱۵۱ | ۴٫۰۰۰ |
| 103 | ۱۶۸ | ۱٫۱۶۱ | ۵٫۹۵۲ |
| 104 | ۱٬۲۲۹ | ۱٫۱۳۲ | ۸٫۱۳۷ |
| 105 | ۹٬۵۹۲ | ۱٫۱۰۴ | ۱۰٫۴۲۵ |
| 106 | ۷۸٬۴۹۸ | ۱٫۰۸۴ | ۱۲٫۷۴۰ |
| 107 | ۶۶۴٬۵۷۹ | ۱٫۰۷۱ | ۱۵٫۰۴۷ |
| 108 | ۵٬۷۶۱٬۴۵۵ | ۱٫۰۶۱ | ۱۷٫۳۵۷ |
| 109 | ۵۰٬۸۴۷٬۵۳۴ | ۱٫۰۵۴ | ۱۹٫۶۶۷ |
| 1010 | ۴۵۵٬۰۵۲٬۵۱۱ | ۱٫۰۴۸ | ۲۱٫۹۷۵ |
| OEIS | A006880 | A057835 |  |

تعمیم قضیه
----------

با استفاده از قضیه اعداد اول می‌توان اثبات کرد که:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}

که در آن تابع p(x) ، تابع مولد اعداد اول باشد یعنی:
x امین عدد اول {\displaystyle p(x)=}

اثبات تعمیم قضیه
----------------

می‌دانیم:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/ln(x)}}=1}

{\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}

می‌دانیم توابع p(x) و {\displaystyle \pi (x)} معکوس هم هستند. یعنی:

{\displaystyle p^{-1}\left(\,x\,\right)=\pi (x)}

در نتیجه می‌توان با حل معادله {\displaystyle \pi (x)=x} تابع p(x) را یافت.

می‌دانیم {\displaystyle \pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}.\!}

پس با حل معادله {\displaystyle {\frac {x}{\ln x}}=x} می‌توان هم‌ارزی برای p(x) یافت.

به روش تکرار ساده معادله را حل می‌کنیم.

{\displaystyle {\frac {x\_{1}}{\ln x}}=x\_{2}}

{\displaystyle {x\_{1}}=x\_{2}\ln(x)}

{\displaystyle p(x)=x\ln(x)}

اما باید توجه داشت چون به‌جای {\displaystyle \pi (x)} از تابع هم‌ارز آن استفاده شده پس:

{\displaystyle p(x)\sim \ x\ln(x)}

در نتیجه:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {p(x)}{x\ln(x)}}=1}

منابع
-----

1. ↑  Hoffman, Paul (1998). *The Man Who Loved Only Numbers*. New York: Hyperion Books. p. 227. ISBN 978-0-7868-8406-3. MR 1666054.

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Prime Number Theorem». در دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی.