نابجایی‌های ضروری هندسی
-----------------------

نابجایی‌های ضروری هندسی، نابجایی‌هایی هستند که برای خمش پلاستیک در یک ماده کریستالی مورد نیاز هستند. آنها زمانی که تغییر شکل پلاستیک یک ماده با شیب کرنش پلاستیک داخلی همراه باشد، به وجود می آیند. آنها بر خلاف نابجایی های ذخیره شده احتمالی، با احتمال مثبت و منفی برابر ، که هنگام جریان پلاستیک از فرآیندهای تکثیر نابجایی همچون منبع فرانک-رید به وجود می آیند.

نابجایی در مواد بلوری
---------------------

### نابجایی ذخیره شده احتمالی

در اثر پیشرفت کرنش چگالی نابجایی افزایش می یابد اما تحرک نابجایی ها کاهش می یابد. نابجایی ها توسط راه های مختلفی انباشته می شوند. بسیاری از نابجایی ها در اثر تکثیر نابجایی به وجود می آیند که به صورت تصادفی به هم میرسند. به این نابجایی ها، نابجایی احتمالی با چگالی ρs گویند. آنها نابجایی هایی ناشی از فرایند به دام انداختن تصادفی هنگام تغییر شکل پلاستیک هستند.

### نابجایی‌های ضروری هندسی

علاوه بر نابجایی های احتمالی، نابجایی های ضروری هندسی در اثر گرادیان کرنشی ناشی از محدودیت های هندسی در شبکه بلور انباشته میشود. در این حالت، تغییر شکل پلاستیک با گرادیان کرنش پلاستیک درونی همراه است. تئوری نابجایی‌های ضروری هندسی توسط "Nye" در سال 1953 ارائه شده بود. از آنجایی که نابجایی‌های ضروری هندسی همراه با نابجایی احتمالی  رخ میدهند، چگالی کل جمع دو چگالی نابجایی است. ( ρs+ρgکه  ρgچگالی نابجایی‌های ضروری هندسی است.)

مفهوم
-----

### بلور منفرد

از خمش پلاستیک بلور منفرد می توان برای نشان دادن مفهوم نابجایی‌های ضروری هندسی استفاده کرد که صفحه های لغزش و جهت بلور، موازی جهت خمش است. بلور ایده آل(بدون تغییر شکل) به طول l و ضخامت t داریم. هنگامی که میله بلوری به انحنا r خم شده است، گرادیان کرنشی به وجود می آید که کرنش کششی در نیمه بالایی میله رخ میدهد و طول سطح بالایی را از l به l+dl افزایش میدهد. dl در اینجا عددی مثبت است و اندازه آن tΘ/2 است. به طور مشابه، طول سطح درونی بلور به دلیل کرنش فشاری ناشی از خمش از l به l-dl کاهش یافته است. پس گرادیان کرنش، تفاوت کرنش بین سطح بیرونی و درونی بلور تقسیم بر فاصله گرادیان است.

شکل برای توضیح تشکیل نابجایی های هندسی ضروری در یک بلور
{\displaystyle strain\ gradient=2{\frac {dl/l}{t}}=2{\frac {t\theta /2l}{t}}={\frac {\theta }{l}}}. از آنجا که {\displaystyle l=r\theta } ، {\displaystyle strain\ gradient={\frac {1}{r}}} .

بردار برگر در نابجایی
طول سطح تقسیم بر فاصله بین اتمی برابر تعداد صفحات بلور روی این سطح است. فاصله بین اتمی b برابر با اندازه بردار برگرز b است. پس تعداد صفحات بلور روی سطح بیرونی برابر (l+dl)/b و روی صفحه درونی برابر (l-dl)/b است. پس، مفهوم نابجایی‌های ضروری هندسی معرفی میکند که همان نابجایی لبه ای های هم جهت، تفاوت تعداد صفحه های اتمی بین دو سطح را جبران میکند. چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی ρg برابر با تفاوت طول تقسیم بر مساحت سطح بلور.

{\displaystyle \rho \_{g}={\frac {(l+dl)/b-(l-dl)/b}{lt}}=2{\frac {dl}{ltb}}={\frac {1}{rb}}={\frac {strain\ gradient}{b}}} .

به طور دقیق تر، جهت صفحه لغزش با توجه به خمش هنگام محاسبه چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی باید مورد توجه قرار گیرد. در حالت خاص که بردار عمود بر صفحه لغزش موازی محور خمش است و جهت لغزش عمود بر این محور است، هنگام خمش نابجایی لغزشی عادی به جای نابجایی‌های ضروری هندسی رخ دهد.

{\displaystyle \rho \_{g}=\alpha {\frac {strain\ gradient}{b}}} .

### ماده پلی کریستالی

بین ریز دانه های مجاور ماده پلی کریستالی، نابجایی‌های ضروری هندسی می توانند با تطبیق دادن گرادیان کرنش هر بلور، سازگاری نابجایی را تامین کنند. از نظر تجربی، میتوان فهمید که چنین ناحیه های نابجایی به دلیل عدم وجود خلا و ناحیه هم پوشانی کریستالیت های موجود در ماده پلی کریستالی وجود دارند. در چنین سیستمی، چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی را میتوان با در نظر گرفتن میانگین اندازه دانه تخمین زد. هم پوشانی بین دو دانه مجاور متانسب با ε ̅d است که ε ̅ میانگین کرنش و d قطر دانه است.  نابجایی dl متناسب با ε ̅ ضرب در طول گیج است که به عنوان d در پلی کریستال است. این تقسیم بر بردار برگر،b، تعداد نابجایی ها را میدهد، و اگر تقسیم بر مساحت({\displaystyle \cong d^{2}}) شود، چگالی را میدهد.

{\displaystyle \rho \_{g}\cong {\frac {\overline {\varepsilon }}{bd}}}

با روابط هندسی فرمول را میتوان به فرم زیر اصلاح کرد.

{\displaystyle \rho \_{g}={\frac {\overline {\varepsilon }}{4bd}}}

تانسور Nye
----------

Nye  تانسور نای را برای محاسبه چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی  ارئه کرد.

برای نابجایی سه بعدی در یک بلور، با در نظر گرفتن ناحیه ای که در آن اثر نابجایی میانگین گرفته شده است(بلور به اندازه کافی بزرگ است). این نابجایی را میتوان با بردار برگر بدست آورد. اگر حلقه برگر در سطح یکه عمود بر بردار یکه {\displaystyle l\_{j}} دارای بردار برگر {\displaystyle B\_{i}} است که ثابت {\displaystyle \alpha \_{ij}} تانسور نای وابسته به بردار یکه {\displaystyle l\_{j}} و بردار برگر {\displaystyle B\_{i}} است.

{\displaystyle B\_{i}=\alpha \_{ij}l\_{j}} ({\displaystyle i,j=1,2,3})

تانسورمرتبه دوم نشان دهنده حالت نابجایی ناحیه ی خاص است.

در نظر بگیرید {\displaystyle B\_{i}=b\_{i}(nr\_{j}l\_{j})}، که r بردار یکه موازی نابجایی است و b بردار برگر است، n تعداد نابجایی های عبور مساحت یکه عمود بر بردار r است. پس،{\displaystyle \alpha \_{ij}=nb\_{i}r\_{j}} است. {\displaystyle \alpha \_{ij}} کل، جمع تمام {\displaystyle nb\_{i}r\_{j}} است. فرض کنید که تانسور مرتبه دوم {\displaystyle k\_{ij}} برای توصیف انحنای شبکه است و {\displaystyle d\phi \_{i}=k\_{ij}dx\_{j}}که {\displaystyle d\phi \_{i}} دوران کوچک شبکه حول سه محور است و {\displaystyle dx\_{j}} بردار نابجایی است. می توان اثبات کرد که {\displaystyle k\_{ij}=\alpha \_{ji}-{\tfrac {1}{2}}\delta \_{ij}\alpha \_{kk}}   و {\displaystyle \delta \_{ij}=1} برای i=j برابر یک و برای i≠j برابر صفر است.

از معادله تعادل نتیجه میگیریم که {\displaystyle {\frac {\partial \alpha \_{ij}}{\partial x\_{j}}}=0}. از آنجایی که {\displaystyle k\_{ij}={\frac {\partial \phi {i}}{\partial x\_{j}}}}، نتیجه میگیریم {\displaystyle {\frac {\partial k\_{ij}}{\partial x\_{k}}}={\partial ^{2} \over \partial x\_{j}\partial x\_{k}}\phi \_{i}={\frac {\partial k\_{ik}}{\partial x\_{j}}}}.

با جایگذاری α به جای k، خواهیم داشت{\displaystyle {\frac {\partial \alpha \_{ji}}{\partial x\_{k}}}-{\frac {\partial \alpha \_{ki}}{\partial x\_{j}}}={\frac {1}{2}}(\delta \_{ij}{\frac {\partial \alpha \_{ll}}{\partial x\_{k}}}-\delta \_{ik}{\frac {\partial \alpha \_{ll}}{\partial x\_{j}}})}.

به دلیل عدم وجود جواب در معادله برای j=k و عدم تقارن برای j و k، فقط نه معادله مستقل از بیست و هفت معادله ممکن جایگشت i،j و k باقی می ماند.تانسور نای αij را میتوان از این نه معادله به دست آورد.

از این رو پتانسیل نابجایی را میتوان به صورت {\displaystyle W={\tfrac {1}{2}}\alpha \_{ij}k\_{ij}} نوشت که {\displaystyle {\frac {\partial W}{\partial k\_{ij}}}={\frac {1}{2}}\alpha \_{ij}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial \alpha \_{kl}}{\partial k\_{ij}}}k\_{kl}={\frac {1}{2}}\alpha \_{ij}+{\frac {1}{2}}k\_{ji}-{\frac {1}{2}}\delta \_{ij}k\_{kk}=\alpha \_{ij}}است.

اندازه گیری
-----------

آزمون کشش تک محوری به صورت گسترده اجرا شده تا رابطه تنش-کرنش و خواص مکانیکی نمونه ها به دست آید. اما جای نقص مرتبط به عدم یکپارچگی تغییر شکل پلاستیک در نابجایی‌های ضروری هندسی است و تست ماکروسکوپی عادی به تنهایی برای به دست آوردن تاثیر چنین نقوصی کافی نیست. علاوه بر این، نابجایی‌های ضروری هندسی در مقیاس میکرونی اند، در حالی که تست خمش معمولی در مقیاس میلیمتری است که توانایی تشخیص دادن این نقوص را ندارد.

تنها بعد از اختراع روش های فضایی و زاویه ای برای اندازه گیری اعوجاج شبکه با پراش الکترونی پس افکنده توسط آدامز و همکاران در سال 1997، آزمایش های تجربی نابجایی‌های ضروری هندسی ممکن شد.  برای مثال سان و همکاران در سال 2000 بر روی الگوی انحنای شبکه در نزدیکی سطح مشترک بایکریستال آلومینیئم تغییر شکل یافته با استفاده از میکروسکوپ تصویربرداری جهت گیری مبتنی بر پراش تحقیق کردند. پس مشاهده نابجایی‌های ضروری هندسی با استفاده از داده های انحنا کشف شد.

اما به دلیل محدودیت های آزمایش تجربی، اندازه گیری چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی برای حالت کلی تغییر شکل سخت بود تا زمانی که روش حد پایین تری توسط کیسار و همکاران در سال 2010 معرفی شد.  آنها روی فرورفتگی گوه ای با زاویه 90 درجه در یک بلور نیکل مطالعه کردند(بعدا دالبرگ و همکاران روی زاویه های 60 و 120 درجه مطالعه کردند). با مقایسه کردن جهت شبکه بلور در حالت بعد از تغییر شکل با نمونه همگن تغییر شکل نیافته، آنها توانستند چرخش درون صفحه شبکه را به دست آورند و آن را از چرخش برون صفحه شبکه مرتبه ای بزرگ تر یافتند. بنابراین فرض کرنش صفحه را نشان میدهد.

تانسور چگالی نابجایی نای به دلیل تغییر شکل دو بعدی تنها دو عضو غیر صفر دارد و آن ها  را می توان با اندازه گیری چرخش شبکه به دست آورد. از آنجایی که رابطه خطی بین دو مولفه تانسور نای و چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی معمولا نامعین است، چگالی نابجایی‌های ضروری هندسی به این رابطه کوتاه میشود. این راه حل حد پایین نشان دهنده حداقل چگالی نابجایی ضروری هندسی در بلور تغییر شکل یافته مطابق با اندازه هندسه شبکه است.

کاربرد
------

به دلیل اینکه ρg علاوه بر چگالی نابجایی احتمالی ρs، افزایش چگالی نابجایی به دلیل سازگاری با پلی کریستال ها باعث اثر اندازه دانه هنگام افزایش کرنش سختی میشود. این به معنی آن است که پلی کریستال هایی با اندازه دانه ریزتر زودتر تمایل به سخت شدن دارند.

نابجایی‌های ضروری هندسی میتوانند باعث استحکام بخشی شوند، که دو نوع مکانیزم برای حالت های متفاوت دارد. اولین مکانیزم سخت شدن ایزوتروپیک ماکروسکوپیک را از طریق برهمکنش نابجایی موضعی فراهم می کند، مثلا jog formation که نابجایی‌های ضروری هندسی موجود توسط یک نابجایی متحرک بریده میشود. دومین مکانیزم سخت شدن سینماتیکی از طریق انباشته شدن تنش های برگشتی دوربرد است.

نابجایی ضروری هندسی می تواند انرژی خود را با چیدن نابجایی ها روی هم کاهش دهند(به فرمول هلو-کوهلر برای تنش‌های نابجایی-نابجایی مراجعه کنید) و باعث تشکیل مرز دانه کم زاویه شوند. این حرکت معمولا نیازمند صعود نابجایی به صفحه های لغزش متفاوت است، پس فرایند بازپخت در دما بالا معمولا ضروری است. نتیجه یک قوس است که از خم شدن پیوسته به خمیدگی گسسته با پیچ خوردگی در مرز دانه کم زاویه تبدیل می شود.

مراجع
-----

1. 1 2  "ناکاملی بلوری". *ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد*. 2022-02-12.
2. 1 2 3 4  "تغییر شکل (مهندسی)". *ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد*. 2022-07-09.
3. ↑  "نابجایی". *ویکی‌پدیا، دانشنامهٔ آزاد*. 2020-04-25.
4. 1 2 3  «برخی از روابط نابجایی در بلورها».
5. ↑  «نابجایی ضروری هندسی و پلاسیسیته برحسب اندازه».
6. ↑  «تصویربرداری میکروسکوپی جهت و کاربرد ها در آینده».
7. ↑  «انحنای فصل مشترک شبکه آلومینیم تغییر شکل یافته».
8. ↑  «آزمایش حد پایین نابجایی ضروری هندسی».
9. ↑  «اندازه گیری چگالی نابجایی ضروری هندسی با اعوجاج در زوایای مختلف».
10. ↑  «تاثیر نابجایی های ضروری هندسی در استحکام بخشی مواد».