**بردارهای خود برگشتی** یکی از مدل‌های اقتصادسنجی است که برای کنترل کردن همبستگی‌های بینابینی در میان چند سری زمانی استفاده می‌شود و در واقع تعمیمی از مدل‌های خودرگرسیونی است. تمامی متغیرها در مدل برداهای خود برگشتی به صورت نظام مند توسط متغیرهای دوران گذشته خود و دیگر عناصر مدل در یک معادله تعریف می‌شوند. بر این اساس Christopher Sims، از مدل بردارهای خودبرگشتی به عنوان روشی فارغ از تئوری دفاع می‌کنند. .

تعریف
-----

یک مدل بردارهای خودبرگشتی به دنبال توضیح رویهٔ تکاملی یک مجموعه k متغیره (که به آن‌ها متغیرهای درون زا گفته می‌شود) در دورهٔ آماری یکسان و با استفاده از تابع خطی تنها از مقادیر قبلی شان می‌باشد. متغیرها در یک بردار *k* × ۱ بعدی به نام *yt* جمع می‌شوند که عنصر ith آن *yi،t* است، عنصر مشاهده شده در دورهٔ t از متغیر *yi*. 
یک مدل کاهشی از مرتبهٔ p بردارهای خودبرگشتی که با {\displaystyle VAR(p)} نمایش داده می‌شود به شکل زیر است،

```
 :{\displaystyle y\_{t}=c+A\_{1}y\_{t-1}+A\_{2}y\_{t-2}+\cdots +A\_{p}y\_{t-p}+e\_{t},}
```

جاییکه c یک بردار  × ۱ از مقادیر ثابت، *Ai* یک ماتریس *k* × *k*، و e*t* یک بردار  × ۱ از عناصر خطا می‌باشد که در خصوصیات زیر صدق می‌کنند، 

1. {\displaystyle \mathrm {E} (e\_{t})=0\,}
2. {\displaystyle \mathrm {E} (e\_{t}e\_{t}')=\Omega \,}
3. {\displaystyle \mathrm {E} (e\_{t}e\_{t-k}')=0\,}

مشاهدهٔ l دوره قبل *y**t*−l l امین تاخیر y می‌شود. در نتیجه به مدل بردارهای خودبرگشتی مرتبهٔ p مدل بردارهای خودبرگشتی با p تاخیر نیز گفته می‌شود.

مرتبهٔ تجمیع متغیرها
--------------------

باید دقت کرد که تمامی متیرها باید مرتبهٔ تجمیع یکسانی داشته باشند. در این صورت ما موارد پایین را خواهیم داشت:

* همهٔ متغیرها {\displaystyle I(0)} هستند(یعنی مانا هستند).
* همهٔ متغیرها {\displaystyle I(d)} هستند (نامانا) با {\displaystyle d>0}.
	+ متغیرها هم تجمیعی هستند.: عنصر تصحیح خطا باید در مدل وارد شود. مدل تبدیل به مدل تصحیح خطای برداری می‌شود (VECM) که در واقع نوعی مدل بردارهای خودبرگشتی مقید است.
	+ متغیرها هم تجمیعی نیستند: ابتدا لازم است تا از متغیرها d مرحله تفاضل گیری شود تا به مدل بردارهای خودبرگشتی تفاضلی برسیم.

نمایش ماتریسی
-------------

مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ p را می‌توان به‌طور خلاصه با ماتریس‌ها به شکل زیر نمایش داد:

{\displaystyle Y=BZ+U\,}

مثال
----

یک مدل بردارهای خودبرگشتی از مرتبهٔ ۱ را می‌توان به فرم ماتریسی زیر نوشت: 

{\displaystyle {\begin{bmatrix}y\_{1,t}\\y\_{2,t}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\_{1}\\c\_{2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A\_{1,1}&A\_{1,2}\\A\_{2,1}&A\_{2,2}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y\_{1,t-1}\\y\_{2,t-1}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\_{1,t}\\e\_{2,t}\end{bmatrix}},}
و یا معادلا به صورت دستگاه دو معادلهٔ زیر:

{\displaystyle y\_{1,t}=c\_{1}+A\_{1,1}y\_{1,t-1}+A\_{1,2}y\_{2,t-1}+e\_{1,t}\,}
{\displaystyle y\_{2,t}=c\_{2}+A\_{2,1}y\_{1,t-1}+A\_{2,2}y\_{2,t-1}+e\_{2,t}.\,}
باید دقت کرد که برای هر متغیر مدل یک معادله وجود دارد. همچنین سطح یک متغیر در دورهٔ t به تاخیرهای خود و دیگر متغیرهای مدل مرتبط است.

نوشتن {\displaystyle VAR(p)} به فرم {\displaystyle VAR(1)}
----------------------------------------------------------

یک مدل داده‌های خودبرگشتی از مرتبهٔ p همیشه می‌تواند با دوباره جایگذاری متغیر وابسته به مرتبهٔ ۱ تبدیل شود. 
برای مثال، مدل {\displaystyle VAR(2)}

{\displaystyle y\_{t}=c+A\_{1}y\_{t-1}+A\_{2}y\_{t-2}+e\_{t}}
را می‌توان به فرم زیر از {\displaystyle VAR(1)} نوشت.

{\displaystyle {\begin{bmatrix}y\_{t}\\y\_{t-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c\\0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}A\_{1}&A\_{2}\\I&0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}y\_{t-1}\\y\_{t-2}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}e\_{t}\\0\end{bmatrix}},}
جایی که I ماتریس واحد است.
مدل{\displaystyle VAR(1)} بدست آمده برای تحلیل راحت‌تر است.

منابع و مراجع
-------------

1. ↑  Christopher A. Sims, 1980, "Macroeconomics and Reality", Econometrica 48

* Walter Enders, *Applied Econometric Time Series*, 2nd Edition, John Wiley & Sons 2003, ISBN 0-471-23065-0
* James D. Hamilton. *Time Series Analysis*. Princeton University Press. 1995.
* Helmut Lütkepohl. *New Introduction to Multiple Time Series Analysis*. Springer. 2005.
* Zellner (1962) An Efficient Method of Estimating Seemingly Unrelated Regressions and Tests for Aggregation Bias. *Journal of the American Statistical Association*, Vol. 57, No. 298 (Jun. 1962), pp. 348–368.
* Hacker, R. S. and Hatemi-J, A. (2008). "Optimal lag-length choice in stable and unstable VAR models under situations of homoscedasticity and ARCH," Journal of Applied Statistics, vol. 35(6), pages 601-615.
* Hatemi-J A. (2004). "Multivariate tests for autocorrelation in the stable and unstable VAR models," Economic Modelling, Vol. 21(4), Pages 661-683.
* Hatemi-J A. & R. S. Hacker, (2009). "Can the LR test be helpful in choosing the optimal lag order in the VAR model when information criteria suggest different lag orders?," Applied Economics, vol. 41(9), pages 1121-1125.