|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

**انتگرال سطحی (Surface integral )** در ریاضیات، یک انتگرال معین است که بر روی یک سطح گرفته می‌شود. این انتگرال، می‌تواند به‌عنوان نظیر دوگانه انتگرال خطی در نظر گرفته شود. با داشتن یک سطح، انتگرال‌گیری می‌تواند بر روی میدان‌های نرده‌ای (توابعی که مقدار آنها یک کمیت نرده‌ای است) یا برداری آن (توابعی که مقدار آنها یک بردار اقلیدسی است) انجام گیرد.

انتگرال‌گیری بر روی سطوح، در فیزیک و به‌ویژه در نظریهٔ کلاسیک الکترومغناطیس کاربرد دارد.

انتگرال سطحی میدان‌های نرده‌ای
------------------------------

تعریف انتگرال سطحی بر تقسیم‌کردن سطح به المان‌های سطحی کوچک استوار است.
نمایشی از یک المان سطحی تکی. این المان‌ها در یک فرایند حدی، بی‌اندازه کوچک می‌شوندThese تا بتوانند سطح مورد نظر را تقریب بزنند.
برای یافتن یک فرمول صریح برای انتگرال سطحی، باید سطح مورد نظر، *S*، بر حسب یک دستگاه مختصات خمیده بر روی آن بیان شود (مانند دستگاه مختصات جغرافیایی روی یک کره). اگر چنین بیانی به‌صورت {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)} فرض شود که {\displaystyle (s,t)} در یک ناحیه *T* بر روی صفحه تغییر می‌کنند، آنگاه انتگرال روی سطح به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

{\displaystyle \int \_{S}f\,dS=\iint \_{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}

که عبارت داخل خطوط عمودی در سمت راست معادلهٔ بالا، اندازه بردار حاصل‌ضرب خارجی مشتق‌های پاره‌ای {\displaystyle \mathbf {x} (s,t)} بوده و المان سطح نامیده می‌شود.

برای مثال، برای محاسبهٔ مساحت رویهٔ یک تابع نرده‌ای مانند {\displaystyle z=f\,(x,y)}، می‌توان روابط زیر را نوشت:

{\displaystyle A=\int \_{S}\,dS=\iint \_{T}\left\|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right\|dx\,dy}

که {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}. بنابراین، {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f\_{x}(x,y))} و {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f\_{y}(x,y))}.
در نتیجه با جایگذاری این مقادیر:

{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \_{T}\left\|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint \_{T}\left\|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right\|dx\,dy\\&{}=\iint \_{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}

با توجه به استفاده از ضرب خارجی، فرمول‌های بالا فقط برای سطوح واقع در فضای سه‌بعدی معتبرند.

انتگرال سطحی میدان‌های برداری
-----------------------------

یک میدان برداری بر روی یک سطح
اگر {\mathbf {v}} یک میدان برداری بر روی S باشد، یعنی به‌ازای هر {\mathbf {x}} در S، {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )} یک بردار باشد، انتگرال سطحی این میدان برداری، برداری خواهد بود که هر مؤلفهٔ آن، انتگرال سطحی مؤلفهٔ متناظر آن میدان بر طبق تعریف انتگرال سطحی میدان‌های نرده‌ای است.

انتگرال مؤلفهٔ عمودی هر میدان برداری، یک کمیت نرده‌ای است. اگر یک سیال از سطح S بگذرد به‌گونه‌ای که {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )} سرعت سیال را در {\mathbf {x}} نشان دهد، شار گذرنده از سطح S برابر با انتگرال سطحی {\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} )} بر روی S است. اگر میدان برداری، مماس بر S باشد، شار گذرنده صفر است، زیرا سیال فقط موازی سطح S در جریان بوده و به داخل یا بیرون آن نمی‌رود. ولی اگر {\mathbf {v}} تنها در راستای سطح S نبوده و علاوه بر مؤلفهٔ مماسی، مؤلفهٔ عمودی هم داشته باشد، سپس تنها مؤلفهٔ عمودی باعث ایجاد شار خواهد شد. بنابراین برای یافتن شار گذرنده از سطح، باید اندازه تصویر بردار {\mathbf {v}} بر روی بردار عمود بر سطح یا به عبارت دیگر، ضرب داخلی {\mathbf {v}} در بردار عمود بر سطح در هر نقطه (که حاصل آن یک میدان نرده‌ای خواهد بود)، محاسبه شده و انتگرال‌گیری شود:

{\displaystyle \int \_{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int \_{S}{\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} }\,dS=\iint \_{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt}

قضیه‌های مرتبط با انتگرال سطحی
------------------------------

با استفاده از هندسه دیفرانسیل و حساب برداری، نتایج مفید متنوعی برای انتگرال‌های سطحی بدست می‌آیند، از جمله قضیه دیورژانس و قضیه استوکس.

جستارهای وابسته
---------------

* قضیه دیورژانس
* قضیه استوکس
* انتگرال خطی
* انتگرال حجمی

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |