در ریاضی، **آزمون دالامبر** یا **آزمون نسبت**، آزمونی (یا معیاری) است برای بررسی همگرایی سری‌ها:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}}

که عبارات این سری‌ها همگی، عددهایی ناصفر و حقیقی یا مختلط اند. این آزمون برای اولین بار از سوی ژان لروند دالامبر معرفی شد به همین دلیل برخی آن را با نام **آزمون نسبت دالامبر** می‌شناسند. در این آزمون از حد زیر استفاده می‌شود:

{\displaystyle L=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|}                                                  **(رابطهٔ ۱)**

اگر حد وجود داشته باشد، آزمون به این ترتیب نتیجه‌گیری می‌کند که:

* اگر ۱> *L* باشد، سری همگرای مطلق است.
* اگر ۱ <*L* باشد، سری واگرا است.
* اگر ۱ = *L* باشد یا حد موجود نباشد، آزمون بی نتیجه‌است. (ممکن است سری همگرا یا واگرا باشد.)

در حالتی که حد موجود نیست، می‌توان با استفاده از نتیجهٔ حد بالاتری آن استفاده کرد، در نظر بگیرید که:

{\displaystyle L=\lim \sup \left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|}

آنگاه آزمون دالامبر به صورت زیر بیان می‌شود:

* اگر ۱> *L* باشد، سری همگرای مطلق است و
* اگر نامساوی {\displaystyle \left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|>1} همواره برقرار باشد مگر در تعداد زیاد ولی قابل شمارشی از *n*ها برقرار نباشد، سری واگرا است.

در غیر این دو حالت آزمون بی نتیجه‌است. توجه داشته باشید که با توجه به معیارهای همگرایی یک سری، اگر واگرایی آن بر ما روشن شد، آنگاه مقدار مطلق سری برای *n*های بسیار بزرگ افزایش می‌یابد، پس {\displaystyle \lim a\_{n}\neq 0} است که این خود نشانهٔ واگرایی است. نسخهٔ ضعیف تر معیار واگرایی را می‌توان با استفاده از حد پایین‌تری نشان داد:

* اگر {\displaystyle \ell =\lim \inf \left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|>1,} آنگاه سری واگرا است.

اگر *ℓ* ≤ ۱ ≤ *L* آزمون بی نتیجه‌است.

اگر در رابطهٔ **(۱)** حد وجود داشته باشد، مقدار آن برابر با حد بالاتری و پایین‌تری خواهد بود، پس می‌توان گفت: نسخهٔ اصلی آزمون دالامبر به عنوان حالت خاصی از معیارهای بعدی است.

چند نمونه
---------

### همگرا

سری زیر را در نظر بگیرید:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n}{e^{n}}}}

به کمک آزمون دالامبر همگرایی سری را بررسی می‌کنیم:

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|&=\lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {n+1}{e^{n+1}}}{\frac {n}{e^{n}}}}\right|\\&={\frac {1}{e}}<1.\end{aligned}}}

چون {\displaystyle {\tfrac {1}{e}}} از ۱ کوچکتر است پس سری همگرا است.

### واگرا

سری زیر را در نظر بگیرید:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {e^{n}}{n}}.}

بررسی همگرایی سری به کمک آزمون دالامبر:

{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|&=\lim \_{n\to \infty }\left|{\frac {\frac {e^{n+1}}{n+1}}{\frac {e^{n}}{n}}}\right|\\&=e>1.\end{aligned}}}

چون e بزرگتر از ۱ است پس سری واگرا است.

### بی‌نتیجه

اگر داشته باشیم:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=1}

بدست آوردن همگرایی یا واگرایی سری به کمک آزمون دالامبر ناممکن است.
برای نمونه سری زیر را در نظر بگیرید:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }1}

این سری واگرا است در حالی که

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {1}{1}}\right|=1}.

حال سری دیگری را در نظر بگیرید:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}

این سری همگرای مطلق است ولی

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {1}{(n+1)^{2}}}{\frac {1}{n^{2}}}}\right|=1.}

و در نهایت:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {1}{n}}}

که به صورت مشروط همگرا است ولی:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {\frac {(-1)^{n+1}}{(n+1)}}{\frac {(-1)^{n}}{n}}}\right|=1.}

اثبات
-----

فرض کنید {\displaystyle L=\lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|<1} می‌توان ثابت کرد که سری، همگرای مطلق است اگر نشان دهیم که مقدار جمله‌های آن کم کم از مقدار جمله‌های سری هندسی با r <۱ کوچکتر می‌شوند. برای این کار در نظر بگیرید که {\displaystyle r={\frac {L+1}{2}}} است. آنگاه r قطعاً میان ۱ و L قرار دارد و برای nهای به اندازهٔ کافی بزرگ (بگویید nهای بزرگتر از N) داریم {\displaystyle |a\_{n+1}|<r|a\_{n}|} آنگاه برای تمامی n> N و k> ۰ داریم {\displaystyle |a\_{n+k}|<r^{k}|a\_{n}|} و:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }|a\_{i}|=\sum \_{i=1}^{N}|a\_{i}|+\sum \_{i=N+1}^{\infty }|a\_{i}|=P\_{N}+\sum \_{i=1}^{\infty }|a\_{N+i}|<P\_{N}+\sum \_{i=1}^{\infty }r^{i}|a\_{N+1}|=P\_{N}+|a\_{N+1}|\sum \_{i=1}^{\infty }r^{i}=P\_{N}+|a\_{N+1}|{\frac {r}{1-r}}<\infty }

که در آن {\displaystyle P\_{N}} مجموع N جملهٔ نخست {\displaystyle \left|a\_{n}\right|} است. پس سری همگرای مطلق است.

از سوی دیگر اگر L> ۱ باشد، آنگاه برای nهای به اندازهٔ کافی بزرگ داریم: {\displaystyle |a\_{n+1}|>|a\_{n}|} بنابراین حد جمع‌وند ناصفر است و سری واگرا است.

L = ۱
-----

### آزمون رابه

همان گونه که در نمونه‌ها نشان داده شد، اگر L = ۱ باشد آزمون دالامبر بی نتیجه‌است. آزمون رابه که از سوی جوزف لودویگ رابه معرفی شد، ادامه‌ای از آزمون دالامبر است. این آزمون می‌گوید که اگر:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|=1}

ولی همزمان:

{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }\,n\left(\,\left|{\frac {a\_{n+1}}{a\_{n}}}\right|-1\right)<1}

آنگاه می‌توان گفت که این سری همگرای مطلق است. طبق نظر آگوستوس دو مورگان، آزمون نسبت دالامبر نخستین و آزمون رابه دومین آزمون از زنجیرهٔ نظریه‌های مربوط به همگرایی سری‌ها هستند.

### آزمون‌های بعدی زنجیره

طبق زنجیرهٔ مورگان، آزمون‌های برتراند و گاوس در پلّه‌های بعدی قرار می‌گیرند. هریک از این آزمون‌ها مجانب‌هایی کمی متفاوت با دیگری را بررسی می‌کند. **آزمون برتراند** می‌گوید، اگر:

{\displaystyle \left|{\frac {a\_{n}}{a\_{n+1}}}\right|=1+{\frac {1}{n}}+{\frac {\rho \_{n}}{n\ln n}}}

آنگاه سری همگرا است اگر، حد پایینی ρ*n* بزرگتر از ۱ باشد و واگرا است اگر حد بالایی ρ*n* کوچکتر از ۱ باشد.
**آزمون گاوس** می‌گوید، اگر:

{\displaystyle \left|{\frac {a\_{n}}{a\_{n+1}}}\right|=1+{\frac {h}{n}}+{\frac {C\_{n}}{n^{r}}}}

درحالی که *r*> ۱ است و *C**n* کراندار است، آنگاه سری همگرا است اگر *h*> ۱ باشد و واگرا است اگر *h* ≤ ۱ باشد.

هر دوی این آزمون‌ها حالت ویژه‌ای از **آزمون کومر** در بحث همگرایی سری‌هایی مانند Σ*a**n* هستند. ζ*n* را به عنوان یک دنبالهٔ معین از اعداد ثابت مثبت در نظر بگیرید. همچنین در نظر بگیرید که:

{\displaystyle \rho =\lim \_{n\to \infty }\left(\zeta \_{n}{\frac {a\_{n}}{a\_{n+1}}}-\zeta \_{n+1}\right).}

اگر *ρ*> ۰ باشد آنگاه سری همگرا است. اگر *ρ* <۰ و Σ۱/*ζ**n* واگرا باشد آنگاه سری نیز واگرا است. در غیر این صورت آزمون بی‌نتیجه‌است.

جستارهای وابسته
---------------

* آزمون کُشی
* آزمون گاوس

یادداشت
-------

1. ↑  (Rudin 1976، §3.34)
2. ↑  (Apostol 1974، §8.14)

منابع
-----

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ratio test». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۹ اکتبر ۲۰۱۱.

* d'Alembert, J. (1768), *Opuscules*, vol. V, pp. 171–183.
* Apostol, Tom M. (1974), *Mathematical analysis* (2nd ed.), Addison-Wesley, ISBN 978-0-201-00288-1: §۸٫۱۴.
* Knopp, Konrad (1956), *Infinite Sequences and Series*, New York: Dover publications, Inc. ISBN 0-486-60153-6: §۳٫۳, ۵٫۴.
* Rudin, Walter (1976), *Principles of Mathematical Analysis* (3rd ed.), New York: McGraw-Hill, Inc. ISBN 0-07-054235-X: §۳٫۳۴.
* Weisstein, Eric W. "Bertrand's Test". *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Gauss's Test". *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Kummer's Test". *MathWorld*.
* Watson, G. N.; Whittaker, E. T. (1963), *A Course in Modern Analysis* (4th ed.), Cambridge University Press, ISBN 0-521-58807-3: §۲٫۳۶, ۲٫۳۷.


| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |