نمودار هس از زیرمجموعه‌های یک مجموعه سه عضوینمودار هس از زیرمجموعه‌های یک مجموعه سه عضوی:  
کاردینال مجموعه {\displaystyle {x,y,z}}، سه است در حالی که در مجموعه توانی آن 8 عضو وجود دارد ({\displaystyle 3<2^{3}=8})، در اینجا ترتیب براساس رابطه زیرمجموعگی می باشد.
در نظریه مجموعه‌های مقدماتی، **قضیه کانتور** نتیجه بنیادینی است که بیان می دارد: برای هر مجموعه A، مجموعه تمام زیر مجموعه های A (به آن مجموعه توانی A گفته می شود و با {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)} نمایش داده می شود) به طور اکید کاردینالی بزرگتر از خود A دارد. برای مجموعه های متناهی می توان با شمردن تعداد زیر مجموعه ها، درستی قضیه کانتور را مشاهده کرد. با در نظر گرفتن تهی به عنوان یک زیر مجموعه، کل زیرمجموعه های یک مجموعه n عضوی برابر 2^n خواهد بود، بنابر این اگر {\displaystyle {\rm {card}}(A)=n}، آنگاه {\displaystyle {\rm {card}}({\mathcal {P}}(A))=2^{n}}، و قضیه برقرار است چون برای تمام اعداد صحیح نامنفی داریم {\displaystyle 2^{n}>n}.

کشف مهم کانتور این بود که گزاره اخیر برای هر مجموعه ای درست است، یعنی علاوه بر مجموعه های متناهی برای مجموعه های نامتناهی، چه شمارا یا ناشمارا نیز درست است. به طور خاص، یکی از پیامدهای مهم قضیه کانتور این است که اعداد طبیعی که یک مجموعه شمارا با کاردینال {\displaystyle \aleph \_{0}={\rm {card}}(\mathbb {N} )} است، برابر یک مجموعه ناشمارا می باشد که کاردینال آن با اعداد حقیقی برابر بوده و این کاردینال از کاردینال اعداد طبیعی بزرگتر است و به آن کاردینال پیوستار گویند: {\displaystyle {\rm {card}}(\mathbb {R} )={\rm {card}}({\mathcal {P}}(\mathbb {N} ))}. رابطه بین این کاردینال ها را به این صورت نمایش می دهند: {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph \_{0}}>\aleph \_{0}}.

این قضیه به افتخار ریاضیدان آلمانی گئورگ کانتور نامگذاری کردند، او اولین کسی بود که این قضیه را در انتهای قرن نوزدهم میلادی بیان و اثبات کرد. قضیه کانتور پیامدهای فوری و مهمی در فلسفه ریاضیات داشت. به عنوان مثال، با تکرار عمل ساخت مجموعه توانی از یک مجموعه نامتناهی و اعمال قضیه کانتور، به سلسله مراتب نامتناهی از کاردینال‌های نامتناهی می رسیم که هر کدام از قبلی به طور اکید بزرگتر است. در نهایت، این قضیه دلالت بر این دارد که هیچ کاردینالی که از همه کاردینال‌ها بزرگتر باشد وجود ندارد (به زبان دیگر "بزرگترین بی نهایت وجود ندارد").

اثبات
-----

f یک تابع از A به مجموعه توانی A است. برای برقراری نظریه کانتور باید اثبات شود که f الزاماً پوشا نیست. برای انجام این امر، کافی است یک عنصر مجموعه توانی از A که یک زیرمجموعه از A است ارائه کرده و اثبات کنیم که در برد f وجود ندارد. چنین زیرمجموعه‌ای می‌تواند به صورت زیر ساخته شود.

{\displaystyle B=\{x\in A\,|\,x\not \in f(x)\}.}
این بدین معناست که بنا بر تعریف، برای هر x عضو x، A عضو B است اگر و و فقط اگر x عضو f نباشد. پس به ازای تمام xها مجموعه‌های B و(f(x فرق می‌کنند. هیچ x ای یافت نمی‌شود که f(x)=B به عبارت دیگر B در برد f نیست.
به خاطر اینکه x دو بار در عبارت بالا حضور پیدا کرده،((x عضو f(x) این یک عبارت قطری است

زمانی که X نامتناهی شماراست
---------------------------

برای یافتن تصوری از اثبات، آن را برای مورد خاص زمانی که X یک نامتناهی قابل شمارش است امتحان می‌کنیم. بدون از دست دادن کلیت، X را مساوی مجموعه اعداد طبیعی میگیریم.
فرض کنید {\mathbb {N}} با مجموعه توانی خود {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} هم ارز باشد. اجازه دهید ببینیم {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} به چه صورت است:

{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )=\{\varnothing ,\{1,2\},\{1,2,3\},\{4\},\{1,5\},\{3,4,6\},\{2,4,6,\dots \},\dots \}.}
{\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} شامل بینهایت زیرمجموعه از {\mathbb {N}} است. برای مثال مجموعه تمام اعداد زوج، همچنین مجموعه تهی.
حال که درکی از شمایل عناصر عضو {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} داریم، تصمیم میگیریم که تک تک عناصر {\mathbb {N}} را با عناصری از {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} نظیر کنیم و به این ترتیب نشان دهیم که این دو مجموعه هم ارز هستند. به عیارت دیگر هر عنصر از {\mathbb {N}} را با یک عنصر از مجموعه نامتناهی {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} جفت می‌کنیم به‌طوری که هیچ عنصری از هیچ‌کدام از دو مجموعه جفت ناشده باقی نماند. چنین جفت کردنی که توضیح داده شد، به صورت زیر خواهد بود:

{\displaystyle \mathbb {N} {\begin{Bmatrix}1&\longleftrightarrow &\{4,5\}\\2&\longleftrightarrow &\{1,2,3\}\\3&\longleftrightarrow &\{4,5,6\}\\4&\longleftrightarrow &\{1,3,5\}\\\vdots &\vdots &\vdots \end{Bmatrix}}{\mathcal {P}}(\mathbb {N} ).}
با چنین تناظری برخی اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌هایی جفت می‌شوند که همان عدد را شامل می‌شوند. برای مثال در نمونه‌ای که ذکر شد، ۲ با مجموعه {\displaystyle \{1,2,3\}} جفت شده‌است، که ۲ را به عنوان یک عضو در بر دارد. این اعداد را خودخواه مینامیم. سایر اعداد طبیعی با زیرمجموعه‌هایی جفت می‌شوند که شامل آن عدد نیستند. این اعداد را غیر خودپسند مینامیم. برای مثال در مثال بالا ۳ و ۴ غیر خودخواه هستند.

با بهره‌گیری از این ایده، یک مجموعه خاص از اعداد طبیعی میسازیم. این مجموعه تناقضی که به دنبال آن هستیم را فراهم میسازد. D را مجموعه تمام اعداد غیر خودخواه طبیعی در نظر میگیریم. طبق تعریف مجموعه توانی {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} شامل تمام محموعه‌های اعداد طبیعی هست و طبق این، مجموعه D را هم شامل می‌شود. در نتیجه D باید با یک عدد طبیعی جفت شده باشد(آن را d در نظر میگیریم.) در هر صورت این یک مشکل به بار می‌آورد. اگر d خودخواه باشد، آنگاه d نمی‌تواند عضوی از D باشد چرا که D جوری طراحی شده بود که تنها شامل اعداد غیر خودخواه باشد. اما در این صورت d غیر خودخواه خواهد بود. چون عضوی از D نیست. از سوی دیگر اگر d غیر خودخواه باشد، آنگاه d باید در D موجود باشد(دوباره طبق تعریف D).

این یک تناقض است. چون یک عدد طبیعی نمی‌تواند در آن واحد در مجموعه D موجود باشد و در آن موجود نباشد. در نتیجه هیچ عدد طبیعی یافت نمی‌شود که با d جفت شود پس ما به تناقض با فرض اولیه خود مبنی بر این که می‌تواند یه تناظر یک به یک بین {\mathbb {N}} و {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} برقرار کرد رسیدیم. به وسیله این اثبات، به کمک برهان خلف اثبات کردیم که کاردینال {\mathbb {N}} و {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} نمی‌تواند مساوی باشد. همچنین می‌دانیم که کاردینال {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} نمی‌تواند از کاردینال {\mathbb {N}} کمتر باشد چرا که {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} تمام مجموعه‌های تک عضوی را شامل می‌شود یعنی {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} یک کپی از {\mathbb {N}} در خود دارد. در نتیجه تنها امکانی که باقی می‌ماند این است که کاردینال {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} از کاردینال {\mathbb {N}} اکیداً بزرگتر باشد. این، قضیه کانتور را اثبات می‌کند.

توجه کنید که مجموعه D شاید تهی باشد. این بدان معناست که هر عدد طبیعی x به یک زیر مجموعه اعداد طبیعی که x را شامل می‌شود نظیر می‌شود. سپس هر عدد به یک مجموعه غیر تهی نظیر می‌شود و هیچ عددی به تهی نظیر نمی‌شود. اما تهی عضوی از {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} است، پس عملیات نظیر سازی، همچنان {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} را پوشش نخواهد داد.

ارجاعات
-------

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Cantor's Theorem». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۱۳ نوامبر ۲۰۱۹.

منابع
-----

* Halmos, Paul, *Naive Set Theory*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag , New York, 1974. شابک ‎۰−۳۸۷−۹۰۰۹۲−۶ (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. شابک ‎۹۷۸−۱−۶۱۴۲۷−۱۳۱−۴ (Paperback edition).
* Jech, Thomas (2002), *Set Theory*, Springer Monographs in Mathematics (3rd millennium ed.), Springer, ISBN 3-540-44085-2


| * ن
* ب
* و
علم منطق |
| --- |
| تاریخ | 
* + عمومی
* چینی
* یونانی
* هندی
* اسلامی

 |
| مقالات اصلی | 
* + خرد
* منطق فلسفی
* فلسفه منطق
* منطق ریاضی
* فرامنطق
* زبَر-منطق
* منطق در علوم رایانه

 |
| مفاهیم منطق | 
* 

|  |  |
| --- | --- |
| استدلالی | 
* + قیاسی
* استقرائی
* معکوس

 |
| محتواگرا | 
* + گزاره
* استنتاج
* برهان
* اعتبارمندی
* قانع‌کنندگی
* منطق ترم
* تفکر نقادانه
* مغالطه
* قیاس
* نظریهٔ برهان‌آوری

 |
| ریاضی | 
* + عبارت
* عبارت خوش‌ساخت
* مجموعه
* عنصر
* رده
* اصل موضوع
* قضیه
* برهان
* تعبیرات
* سازگاری
* درستی
* کاملیت
* تصمیم‌پذیری
* انجام‌پذیری
* استقلال
* زبان صوری
* دستگاه صوری
* دستگاه قیاسی
* نظریهٔ مجموعه
* نظریهٔ برهان
* نظریهٔ مدل
* نظریهٔ بازگشتی
* نظریهٔ انواع
* نحو
* معناشناسی
* دنباله معنایی
* دنباله نحوی

 |
| گزاره‌ای | 
* + توابع بولی
* حساب مسندات تکین
* حساب گزاره‌ای
* ادات منطقی
* جدول ارزش

 |
| محمولات | 
* + منطق دسته یکم
* سورها
* منطق دسته دوم

 |
| موجهات | 
* + تکلیفی
* شناختی
* زمانمند
* اعتقادی

 |
| غیرکلاسیک‌های دیگر | 
* محاسبه‌پذیری
* فازی
* خطی
* ربط
* نایک‌نوا

 |

 |
| مجادله‌ها | 
* + ناهماهنگی‌پذیری
* دودُرُستی
* منطق شهودگرایانه
* متناقض‌نماها
* خلاف‌آمدها
* تجربی بودن منطق

 |
| افراد اصلی | 
* ابن النفیس
* ابن تیمیه
* ابن حزم
* ابن رشد
* ابن سینا
* ارسطو
* برتراند راسل
* اسکولم
* بول
* پئانو
* پاتنم
* پانینی
* پولس ایرانی
* پیرس
* تارسکی
* تورینگ
* چرچ
* دارماکیرتی
* دیگناگه
* شهاب‌الدین یحیی سهروردی
* غزالی
* فارابی
* فخر رازی
* فرگِه
* کارناپ
* کانادا
* کانتور
* کریپکه
* کِنْدی
* کواین
* گنتزن
* گوتاما
* گودل
* لطفی زاده
* موتزی
* ناگارجونه
* هیلبرت
* وایت‌هد

 |
| فهرست‌ها | 
* + منطق‌دانان
* قواعد استنتاج
* متناقض‌نماها
* سفسطه‌ها
* عمومی
* جدول نمادها

 |
| 
* رده
* نوشتارهای ناتمام
* نوشتارهای ناتمام منطق ریاضی

 |

| * ن
* ب
* و
نظریه مجموعه‌ها |
| --- |
| نمای‌کلی | 
* مجموعه

 | Venn diagram of set intersection |
| اصول موضوع | 
* Adjunction
* اصل موضوع انتخاب
	+ اصل انتخاب شمارا
	+ dependent
	+ جهانی
* Constructibility (V=L)|
* Determinacy
* اصل موضوع گسترش
* اصل موضوع بی‌نهایت
* Limitation of size
* اصل موضوع زوج‌سازی
* اصل موضوع مجموعه توانی
* Regularity
* اصل موضوع اجتماع
* Martin's axiom
* Axiom schema
	+ اصول موضوع جایگزینی
	+ اصل موضوع تصریح

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* ضرب دکارتی
* متمم (a.k.a set difference)
* قوانین دمورگان
* اجتماع مجزا
* اشتراک
* مجموعه توانی
* تفاضل متقارن
* اجتماع

 |
| * مفاهیم
* روش‌ها
 | 
* کاردینالیتی
* عدد اصلی (بزرگ)
* کلاس
* جهان ساختی
* فرضیه پیوستار
* استدلال قطری کانتور
* عنصر
	+ زوج مرتب
	+ نوع تاپل
* Family
* Forcing
* تناظر دوسویه
* عدد ترتیبی
* Set-builder notation
* استقرای ترامتناهی
* نمودار ون

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* Amorphous
* مجموعه شمارا
* مجموعه تهی
* مجموعه متناهی (hereditarily)
* مجموعه‌های فازی
* مجموعه نامتناهی (Dedekind-infinite)
* مجموعه بازگشتی
* مجموعه تک‌عضوی
* زیرمجموعه
* مجموعه متعدی
* مجموعه ناشمارا
* مجموعه جهانی

 |
| نظریه‌ها | 
* نظریه مجموعه جایگزین
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه طبیعی مجموعه‌ها
* قضیه کانتور

* Zermelo
	+ General
* *مبادی ریاضیات*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel 
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * تناقضات
* مسئله‌ها
 | 
* پارادوکس راسل
* Suslin's problem
* پارادوکس بورالی-فورتی

 |
| نظریه‌پردازان مجموعه | 
* آبراهام فرنکل
* برتراند راسل
* ارنست تسرملو
* گئورگ کانتور
* جان فون نویمان
* کورت گودل
* پل برنایز
* پل کوهن
* ریچارد ددکیند
* Thomas Jech
* تورالف اسکولم
* ویلارد کواین

 |

| * ن
* ب
* و
* فرامنطق
* فراریاضیات
 |
| --- |
| 
* قضیه کانتور
* *Entscheidungsproblem*
* تز چرچ-تورینگ
* سازگاری (منطق ریاضی)
* روش مؤثر
* بنیان‌های ریاضیات
	+ در مورد هندسه
* قضیه تمامیت گودل
* قضایای ناتمامیت گودل
* استواری
* تمامیت (منطق)
* تصمیم‌پذیری (منطق)
* تفسیر
* قضیه لوونهایم-اسکولم
* فراقضیه
* ارضاء پذیری
* استقلال
* تمایز نوع و نمونه
* Use–mention distinction

 |