پاسخ *کسینوس بالارفته* (raised cosine) در حوزۀ زمان، با معیار ISI نایکویست مطابقت دارد. قله‌های پشت‌ِهم کسینوس بالارفته، ISI صفر را میان سمبل‌های فرستاده‌شده در لحظه‌های نمونه‌برداری نشان می‌دهد. در t=0، پالس میانی، دارای بیشترین مقدار، و مجموع پالس‌های‌ کناری، صفر است.
در مخابرات، **معیار تداخل میان‌نمادی نایکویست** (Nyquist Intersymbol Interference, ISI) شرایطی را توصیف می‌کند که وقتی ازسوی یک کانال مخابراتی (شامل پاسخ‌ فیلترهای فرستنده و گیرنده) برآورده شوند، تداخل میان‌نمادی (ISI) روی نمی‌دهد. این معیار، روشی برای طراحی توابع محدودباند (band-limited) برای غلبه بر تداخل میان‌نمادی پیش می‌نهد.

هنگامی‌که سمبل‌های پشت‌ِهم، روی یک کانال از راه یک مدولاسیون خطی (مانند ASK ، QAM) منتقل می‌شوند، پاسخ ضربه کانال (یا معادل آن، پاسخ فرکانسی کانال) باعث می‌شود که سمبل‌های ارسال‌شده، در حوزه زمان پخش شوند. این باعث تداخل میان‌نمادی می‌شود زیرا سمبل‌های ارسال‌شدۀ پیشین، بر سمبل دریافت‌شدۀ کنونی اثر می‌گذارند و بنابراین آستانه تحمل نویز در سیستم را کاهش می‌دهد. قضیه نایکویست، این وضعیت در حوزه زمان را به یک وضعیت در دامنه فرکانس معادل، مرتبط می‌کند.

معیار نایکویست ارتباط نزدیکی با قضیه نمونه‌برداری نایکویست-شانون دارد، تنها از دیدگاهی دیگر.

معیار نایکویست
--------------

اگر پاسخ ضربه کانال را با {\displaystyle h(t)} نشان دهیم، شرط یک پاسخ بدون ISI را می‌توان چنین بیان کرد:

{\displaystyle h(nT\_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}
برای همه اعداد صحیح n ، و {\displaystyle T\_{s}}، دورۀ سمبل است. قضیه نایکویست می‌گوید که این معادل است با:

{\displaystyle {\frac {1}{T\_{s}}}\sum \_{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T\_{s}}}\right)=1\quad {\text{for all frequencies }}f} ،
که {\displaystyle H(f)} تبدیل فوریۀ {\displaystyle h(t)} است. این معیار ISI نایکویست است.

این معیار را می‌توان شهودی چنین درک کرد: ک مقدار ثابت باید به نسخه‌های شیفت‌ِفرکانسی‌یافتۀ {\displaystyle H(f)} افزوده شود. این شرط وقتی برقرار می‌شود که {\displaystyle H(f)}، تقارن یکنواخت دارد، پهنای باند کمتر یا مساوی {\displaystyle 2/T\_{s}} دارد، و باند تک‌جانبی آن در فرکانس قطع {\displaystyle \pm 1/2T\_{s}}، تقارن فرد دارد .

در عمل، این معیار در فرستنده، در مرحلۀ فیلترکردن سمبل‌های باندِ پایه و با درنظرگرفتن دنبالۀ سمبل‌ها به‌عنوان پالس‌های وزن‌دار (تابع دلتای دیراک ) اعمال می‌شود. هنگامی‌که فیلتر باند پایه، معیار نایکویست را برمی‌آورد، می‌توان سمبل‌ها را بدون ISI از کانالی که پاسخ فرکانسی‌اش در یک باند فرکانسی محدود، تخت است، منتقل کرد. نمونه‌هایی از این فیلتر باند پایه، فیلتر *کسینوس بالارفته* (raised cosine)، یا فیلتر پایین‌گذر ایده‌آل هستند.

به‌دست‌آوردن معیار
------------------

برای به‌دست‌آوردن این معیار، سیگنال دریافت‌شده را بر حسب سمبل ارسالی و پاسخ کانال بیان می‌کنیم. اگر *h(t)* پاسخ ضربه کانال باشد، *x[n]* سمبل‌هایی با دورۀ {\displaystyle T\_{s}} هستند که باید ارسال شوند. سیگنال دریافت‌شده *y(t)* - که برای سادگی، نویز در آن نادیده گرفته شده‌است - چنین خواهد بود:

{\displaystyle y(t)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h(t-nT\_{s})} .
با نمونه‌برداری از این سیگنال در بازه‌های *Ts*، می‌توان *y(t) را* به‌‌عنوان یک معادلۀ زمان‌گسسته بیان کرد:

{\displaystyle y[k]=y(kT\_{s})=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }x[n]\cdot h[k-n]} .
*h[0]* را می‌توان چنین جداگانه نوشت:

{\displaystyle y[k]=x[k]\cdot h[0]+\sum \_{n\neq k}x[n]\cdot h[k-n]} ،
و از این‌جا می‌توان نتیجه گرفت که اگر *h[n]*

{\displaystyle h[n]={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}} ،
را بَرآوَرَد، تنها یک سمبل فرستاده‌شده، در لحظه‌های نمونه‌برداری، روی *y[k]* اثر می‌گذارد، بنابراین ISI از میان برداشته شده‌است. این شرطِ حوزۀ زمان برای یک کانال بدون ISI است. اکنون معادلِ حوزۀ فرکانس آن را پیدا می‌کنیم. با بیان این شرط در حوزۀ زمان‌پیوسته شروع می‌کنیم:

{\displaystyle h(nT\_{s})={\begin{cases}1;&n=0\\0;&n\neq 0\end{cases}}}
برای همه اعداد صحیح n. *h(t) را* در مجموعی از تابع‌های دلتای دیراک {\displaystyle \delta (t)} در بازه‌های *Ts* ضرب می‌کنیم. این معادل نمونه‌برداری از پاسخ زمان‌گسسته بخش قبلی است، اما با یک بیان زمان‌پیوسته. سمت راست شرط را می‌توان با یک تابع دلتای دیراک در مبدأ بیان کرد:

{\displaystyle h(t)\cdot \sum \_{k=-\infty }^{+\infty }\delta (t-kT\_{s})=\delta (t)}
با تبدیل فوریۀ دو سوی این رابطه، به دست می آید:

{\displaystyle H\left(f\right)\*{\frac {1}{T\_{s}}}\sum \_{k=-\infty }^{+\infty }\delta \left(f-{\frac {k}{T\_{s}}}\right)=1}
و

{\displaystyle {\frac {1}{T\_{s}}}\sum \_{k=-\infty }^{+\infty }H\left(f-{\frac {k}{T\_{s}}}\right)=1} .
این معیار ISI نایکویست است و اگر پاسخ فرکانسی یک کانال آن را برآوَرَد، دیگر هیچ ISI میان نمونه‌های سیگنال دریافت‌شده نخواهد بود.

همچنین ببینید
-------------

* نرخ نایکویست
* شکل‌دهی پالس
* فیلتر جذر کسینوس بالارفته
* هری نایکویست

منابع
-----

* *جان پروکیس* ، "مخابرا*ت دیجیتال، ویرایش سوم* "، *مک گراو-هیل، 1995* .
* *بهزاد رضوی* شابک 0-07-113814-5*وی* ، "*RF Microelectronics* "، *Prentice-Hall, Inc. 1998* .شابک ‎۰−۱۳−۸۸۷۵۷۱−۵شابک 0-13-887571-5