در ریاضیات، در مطالعه سیستم‌های دینامیکی، **قضیه هارتمن-گروبمن** یا **قضیه خطی‌سازی** یک قضیه دربارهٔ رفتار موضعی سامانه‌های دینامیکی در همسایگی یک نقطه تعادل هذلولی‌وار است. این قضیه ادعا می‌کند که خطی‌سازی - ساده‌سازی طبیعی سیستم - در پیش‌بینی الگوهای کیفی رفتار مؤثر است. این قضیه نام خود را مدیون فیلیپ هارتمن و دیوید ام گروبمن می‌باشد.

قضیه اصلی
---------

سیستمی را در نظر بگیرید که در زمان با حالت {\displaystyle u(t)\in \mathbb {R} ^{n}} در حال تحول است، به طوری که معادله دیفرانسیل {\displaystyle du/dt=f(u)} را برای برخی از نگاشت‌های هموار {\displaystyle f:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{n}} ارضا می‌کند. فرض کنید نگاشت حالت تعادلی هذلولی‌وار {\displaystyle u^{\*}\in \mathbb {R} ^{n}} دارد: به این معنا که، {\displaystyle f(u^{\*})=0} و ماتریس ژاکوبی {\displaystyle A=[\partial f\_{i}/\partial x\_{j}]} از f در حالت {\displaystyle u^{\*}} هیچ مقدارویژه‌ای با قسمت حقیقی برابر با صفر ندارد. سپس همسایگی N از تعادل {\displaystyle u^{\*}} و یک همسان‌ریختی {\displaystyle h:N\to \mathbb {R} ^{n}} وجود دارد، به طوری که {\displaystyle h(u^{\*})=0} و همچنین شار {\displaystyle du/dt=f(u)} در همسایگی N از طریق نگاشت پیوسته {\displaystyle U=h(u)} با شار خطی‌سازی آن {\displaystyle dU/dt=AU}، مزدوج توپولوژیکی است.

حتی برای نگاشت‌های بی‌نهایت مشتق‌پذیر f ، همسان‌ریختی h لازم نیست که هموار باشد، و نه حتی به صورت محلی لیپ‌شیتس. با این حال، به نظر می‌رسد پیوسته هولدر است، و یک توان وابسته به ثابت هذلولی‌وار A .

قضیه هارتمن - گروبمن به فضاهای نامتناهی باناخ، سیستم‌های ناخودگرد (به انگلیسی: non-autonomous) {\displaystyle du/dt=f(u,t)} (به‌طور بالقوه تصادفی) تعمیم یافته‌است، و بدین‌ترتیب تفاوت‌های توپولوژیکی که در حالت‌های مربوط به مقادیر ویژه صفر و نزدیک به صفر ایجاد می‌گردند نیز قابل تشخیص خواهند بود.

مثال
----

سیستم دو بعدی را با متغیرهای در حال تحول {\displaystyle u=(y,z)} در نظر بگیرید. با توجه به جفت معادلات دیفرانسیل تزویج‌شده (به انگلیسی: coupled) است

{\displaystyle {\frac {dy}{dt}}=-3y+yz\quad } و {\displaystyle \quad {\frac {dz}{dt}}=z+y^{2}}

با محاسبه مستقیم می‌توان دریافت که تنها تعادل این سیستم در مبدأ، یعنی {\displaystyle u^{\*}=0} قرار دارد. تبدیل مختصات، {\displaystyle u=h^{-1}(U)} که {\displaystyle U=(Y,Z)}، به این صورت است:

{\displaystyle {\begin{aligned}y&\approx Y+YZ+{\dfrac {1}{42}}Y^{3}+{\dfrac {1}{2}}YZ^{2}\\[5pt]z&\approx Z-{\dfrac {1}{7}}Y^{2}-{\dfrac {1}{3}}Y^{2}Z\end{aligned}}}

نگاشت فوق، نگاشتی بین مختصات اصلی {\displaystyle u=(y,z)} و مختصات جدید {\displaystyle U=(Y,Z)} است که دست کم در نزدیکی نقطه تعادل واقع در مبدأ هموار می‌باشد. در مختصات جدید سیستم دینامیکی به حالت خطی‌شدگی خود تبدیل می‌گردد:

{\displaystyle {\frac {dY}{dt}}=-3Y\quad } و {\displaystyle \quad {\frac {dZ}{dt}}=Z}

یعنی یک نسخه اعوجاج یافته از حالت خطی‌شده، دینامیک اصلی را در یک همسایگی متناهی تولید می‌نماید.

جستارهای وابسته
---------------

* قضیه منیفلد پایدار

منابع
-----

1. ↑  Grobman, D. M. (1959). "О гомеоморфизме систем дифференциальных уравнений" [Homeomorphisms of systems of differential equations]. *Doklady Akademii Nauk SSSR*. **128**: 880–881.
2. ↑  Hartman, Philip (August 1960). "A lemma in the theory of structural stability of differential equations". *Proc. A.M.S*. **11** (4): 610–620. doi:10.2307/2034720. JSTOR 2034720.
3. ↑  Hartman, Philip (1960). "On local homeomorphisms of Euclidean spaces". *Bol. Soc. Math. Mexicana*. **5**: 220–241.
4. ↑  Chicone, C. (2006). *Ordinary Differential Equations with Applications*. Texts in Applied Mathematics. Vol. 34 (2nd ed.). Springer. ISBN 978-0-387-30769-5.
5. ↑  Belitskii, Genrich; Rayskin, Victoria (2011). "On the Grobman–Hartman theorem in α-Hölder class for Banach spaces" (PDF). `{{cite journal}}`: Cite journal requires `|journal=` (help)
6. ↑  Aulbach, B.; Wanner, T. (1996). "Integral manifolds for Caratheodory type differential equations in Banach spaces". In Aulbach, B.; Colonius, F. (eds.). *Six Lectures on Dynamical Systems*. Singapore: World Scientific. pp. 45–119. ISBN 978-981-02-2548-3.
7. ↑  Aulbach, B.; Wanner, T. (1999). "Invariant Foliations for Carathéodory Type Differential Equations in Banach Spaces". In Lakshmikantham, V.; Martynyuk, A. A. (eds.). *Advances in Stability Theory at the End of the 20th Century*. Gordon & Breach. CiteSeerX 10.1.1.45.5229. ISBN 978-0-415-26962-9.
8. ↑  Aulbach, B.; Wanner, T. (2000). "The Hartman–Grobman theorem for Caratheodory-type differential equations in Banach spaces". *Non-linear Analysis*. **40** (1–8): 91–104. doi:10.1016/S0362-546X(00)85006-3.
9. ↑  Roberts, A. J. (2008). "Normal form transforms separate slow and fast modes in stochastic dynamical systems". *Physica A*. **387** (1): 12–38. arXiv:math/0701623. Bibcode:2008PhyA..387...12R. doi:10.1016/j.physa.2007.08.023.

مطالعه بیشتر
------------

* Irwin, Michael C. (2001). "Linearization". *Smooth Dynamical Systems*. World Scientific. pp. 109–142. ISBN 981-02-4599-8.
* Perko, Lawrence (2001). *Differential Equations and Dynamical Systems* (Third ed.). New York: Springer. pp. 119–127. ISBN 0-387-95116-4.
* Robinson, Clark (1995). *Dynamical Systems: Stability, Symbolic Dynamics, and Chaos*. Boca Raton: CRC Press. pp. 156–165. ISBN 0-8493-8493-1.

پیوند به بیرون
--------------

* Coayla-Teran, E.; Mohammed, S.; Ruffino, P. (February 2007). "Hartman–Grobman Theorems along Hyperbolic Stationary Trajectories" (PDF). *Discrete and Continuous Dynamical Systems*. **17** (2): 281–292. doi:10.3934/dcds.2007.17.281. Archived from the original (PDF) on 2007-07-24. Retrieved 2007-03-09.
* Teschl, Gerald (2012). *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* "The Most Addictive Theorem in Applied Mathematics". *Scientific American*.