در نظریهٔ احتمال، **تئوری انحرافات بزرگ** (به انگلیسی: Large Deviations Theory) مربوط است به بررسی رفتار حدی دنباله‌ای از
توزیع‌های آماری، در طی مشاهدهٔ داده‌های جدید. برخی از ایده‌های اساسی تئوری را می‌توان به لاپلاس یا کرامر نسبت داد. اگرچه این تئوری به شیوه‌ای که امروزه می‌شناسیم توسط وارادهان در سال ۱۹۶۶ معرفی شد. این تئوری، مفهوم همگرایی اندازهٔ توزیع‌های احتمالی را پایه‌ریزی می‌کند. اگر بخواهیم این تئوری را کمی غیررسمی‌تر توصیف کنیم، این قضیه درگیر است با بررسی رفتار حدی توزیع‌های آماری، بخصوص رفتار دنباله‌ای (به انگلیسی: Tail behavior)، در شرایطی که داده‌های جدید مشاهده می‌شود.

مثال‌های مقدماتی
----------------

### یک مثال مقدماتی

مثالی را در نظر بگیرید که در آن یک سکه متقارن(احتمال رو و پشت برابر) را به دفعات پرتاب می‌کنیم. اجازه دهید که نتیجهٔ پرتاب i-امین سکه را با {\displaystyle X\_{i}} نشان دهیم. در شرایط که ما رخداد سر را با ۱ و رخداد پشت را با ۰ نشان می‌دهیم. حال فرض کنیم {\displaystyle M\_{N}} میانگین بعد از پرتاپ N امین سکه را نشان دهد.

{\displaystyle M\_{N}={\frac {1}{N}}\sum \_{i=1}^{N}X\_{i}}
می دانیم که مقدار {\displaystyle M\_{N}} بین ۰ و ۱ قرار دارد. از قضیهٔ اعداد بزرگ (و همچنین از روی تجربه) می دانیم که هر چقدر که مقدار N بزرگتر شود، توزیع {\displaystyle M\_{N}} به {\displaystyle 0.5=\operatorname {E} [X\_{1}]} (یا مقدار انتظاری در پرتاپ یک سکه) نزدیک تر خواهد شد.
همچنین بر اساس قضیهٔ حد مرکزی می دانیم که {\displaystyle M\_{N}} دارای توزیع نرمال حول {\displaystyle 0.5} به ازای مقادیر بزرگ N است. قضیهٔ حد مرکزی نسبت به قضیهٔ اعداد بزرگ اطلاعات بسیاری را می‌تواند در مورد رفتار {\displaystyle M\_{N}} ارائه دهد. مثلاً به آسانی می‌توانیم توزیع دنباله‌ای {\displaystyle M\_{N}} یا {\displaystyle P(M\_{N}>x)} (احتمال اینکه متغیر تصادفی {\displaystyle M\_{N}} بزرگنر از مقدار ثابت {\displaystyle x} باشد، به ازای مقدار ثابتی از N.) هرچند که که این تقریب قضیه حد مرکزی به ازای مقدار {\displaystyle x} خیلی دور از {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{1}]} چندان دقیق نیست. در واقع قضیهٔ حد مرکزی هرچند که در مورد نحوهٔ همگرایی توزیع دنباله‌ای وقتی {\displaystyle N\to \infty } چیزی بیان نمی‌کند، اما اطلاعاتی در مورد نحوهٔ توزیع داده‌ها در نزدیکی نقطهٔ حدی در اختیار می گدارد.
بگذارید کمی دقیق تر در این مورد صحبت کنیم. به ازای مقدار داده شدهٔ {\displaystyle 0.5<x<1} بگذارید احتمال دنباله‌ای {\displaystyle P(M\_{N}>x)} را محاسبه کنیم. تعریف می‌کنیم:

{\displaystyle I(x)=x\,{\text{ln}}x+(1-x)\,{\text{ln}}(1-x)+{\text{ln}}2}
توجه کنید که تابع {\displaystyle I(x)}، یک تابع محدب است که شبیه به آنترپی برنولی است. سپس با استفاده از نابرابری چرنوف داریم {\displaystyle P(M\_{N}>x)<\exp(-NI(x))}. این کران یک کران تنگ است؛ به این مفهوم که {\displaystyle I(x)} را نمی توان چیزی بزرگتر جایگزین کرد که به ازای تمام مقادیر مثبت N نامساوی مذکور برقرار باشد. (هر چند که کران نمایی را می‌توان با اضافه کردن یک ضریب از مرتبهٔ {\displaystyle 1/{\sqrt {N}}} همچنان کاهش داد. این نتیجه از اعمال تقریب استرلینگ به ضرایب دو جمله‌ای که در توزیع برنولی بدست آورد.) بنابرین نتایج زیر را بدست می‌آوریم:

{\displaystyle P(M\_{N}>x)\approx \exp(-NI(x)).}
احتمال {\displaystyle P(M\_{N}>x)} به صورت احتمالی کاهش می‌یابد، هرچه N به سمت بی‌نهایت میل می‌کند، با نرخی که تابع {\displaystyle x} است. این فرمول احتمال دنباله‌ای میانگین نمونه‌ای داده‌های i.i.d. را تقریب می‌زند و همگرایی آن‌ها را هرچه تعداد آن‌ها افزایش می‌یابد را بدست می‌دهد.

انحرافات بزرگ برای مجموع متغیرهای مستقل
---------------------------------------

در مثال فوق فرض کردیم که انداختن سکه در دفعات پی در پی مستقل از همدیگر هستند. در واقع احتمال پشت/رو آمدن در هر دفعه مستقل از نتیجهٔ آزمایش قبل است. فرض کنید {\displaystyle X,X\_{1},X\_{2},...} متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان (i.i.d.) باشند. حد زیر برقرار است:

{\displaystyle \lim \_{N\to \infty }{\frac {1}{N}}\ln P(M\_{N}>x)=-I(x).}
تابع {\displaystyle I(\cdot )} تابع نرخ، تابع کرامر یا تابع تابع آنترپی نامیده می‌شود. حد نوشته شده در قسمت فوق به این معنی است که به ازای مقادیر بزرگ N:

{\displaystyle P(M\_{N}>x)\approx \exp[-NI(x)],}
که نتیجهٔ قضیهٔ انحرافات بزرگ است.

اگر توزیع X را بدانیم، عبارتی صریح می‌توان برای تابع نرخ بدست آورد. این عبارت صریح توسط تبدیل لژاندر-فنشل به دست می‌آید: 

{\displaystyle I(x)=\sup \_{\theta >0}[\theta x-\lambda (\theta )],}
که در آن 

{\displaystyle \lambda (\theta )=\ln \operatorname {E} [\exp(\theta X)]}
تابع cumulant generating یا GCF نامیده می‌شود و {\displaystyle \operatorname {E} } امید ریاضی اماری است. 
اگر X دارای توزیع نرمال باشد، تابع نرخ یک سهمی با مقدار حداکثر در میانگین توزیع نرمال خواهد بود. اگر {\displaystyle \{X\_{i}\}} یک زنجیرهٔ ماکوف باشد، نسخه‌ای از قضیهٔ انحرافات بزرگ برای آن برقرار است.

جستارهای وابسته
---------------

* قضیه انحرافات بزرگ کرامر
* نامساوی چرنوف
* لم وارادهان
* انحرافات بزرگ توابع گوسی تصادفی

پانویس
------

1. ↑  Touchette, Hugo (1 July 2009). "The large deviation approach to statistical mechanics". *Physics Reports*. **478** (1–3): 1–69. doi:10.1016/j.physrep.2009.05.002.

منابع
-----

* Special invited paper: Large deviations by S. R. S. Varadhan The Annals of Probability 2008, Vol. 36, No. 2, 397–419 doi:10.1214/07-AOP348
* Entropy، Large Deviations and Statistical Mechanics by R.S. Ellis، Springer Publication. ISBN 3-540-29059-1
* Large Deviations for Performance Analysis by Alan Weiss and Adam Shwartz. Chapman and Hall ISBN 0-412-06311-5
* Large Deviations Techniques and Applications by Amir Dembo and Ofer Zeitouni. Springer ISBN 0-387-98406-2
* Random Perturbations of Dynamical Systems by M.I. Freidlin and A.D. Wentzell. Springer ISBN 0-387-98362-7

| * ن
* ب
* و
فرایندهای تصادفی |
| --- |
| فرایند تصادفی | 
* فرایند برنولی
* فرایند شاخه‌ای
* فرایند رستوران چینی
* فرایند گالتون-واتسون
* متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع یکسان
* زنجیره مارکوف
* فرایند مورن
* ولگشت
	+ Loop-erased
	+ ولگشت خودپرهیز (قدم زدن بدون قطع کردن خود)

 |
| Continuous time | 
* Bessel process
* Birth–death process
* فرایند وینر
	+ Bridge
	+ Excursion
	+ Fractional
	+ Geometric
	+ Meander
* فرایند کوشی
* Contact process
* گام-تصادفی زمان-پیوسته
* Cox process
* Diffusion process
* Empirical process
* فرایند فلر
* فرایند فلمینگ-ویوت
* Gamma process
* Hunt process
* Interacting particle systems
* Itô diffusion
* فرایند ایتو
* Jump diffusion
* Jump process
* فرایند لوی
* Local time
* Markov additive process
* McKean–Vlasov process
* فرایند اورنستین-یولنبک
* فرایند پواسون
	+ Compound
	+ فرایند پواسون
	+ فرایند پواسون
* تحول شرام و لونر
* Semimartingale
* Sigma-martingale
* Stable process
* Superprocess
* Telegraph process
* Variance gamma process
* فرایند وینر
* Wiener sausage

 |
| Both | 
* فرایند شاخه‌ای
* Galves–Löcherbach model
* فرایند گاوسی
* مدل پنهان مارکف
* زنجیره مارکوف
* مارتینگیل
	+ Differences
	+ Local
	+ مارتینگیل
	+ مارتینگیل
* Random dynamical system
* Regenerative process
* نظریه تجدید
* Stochastic chains with memory of variable length
* نویز سفید

 |
| Fields and other | 
* فرایند دیریکله
* Gaussian random field
* Gibbs measure
* شبکه هاپفیلد
* مدل آیزینگ
	+ Potts model
	+ شبکه بولی
* میدان تصادفی مارکفی
* نظریه تراوش
* فرایند پیتمن-یور
* فرایند نقطه ای
	+ Cox
	+ فرایند پواسون
* میدان تصادفی
* گراف تصادفی

 |
| سری زمانی | 
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* میانگین متحرک خودهمبسته یکپارچه
* مدل خودهمبسته
* مدل خودهمبسته میانگین متحرک
* واریانس ناهمسانی شرطی اتورگرسیو
* مدل میانگین متحرک

 |
| Financial models | 
* مدل بلک-درمن-توی
* Black–Karasinski
* مدل بلک-شولز
* مدل چن
* Constant elasticity of variance (CEV)
* مدل کاکس-اینگرسول-راس
* Garman–Kohlhagen
* Heath–Jarrow–Morton (HJM)
* Heston
* Ho–Lee
* Hull–White
* LIBOR market
* Rendleman–Bartter
* SABR volatility
* مدل واسیچک
* Wilkie

 |
| بیمسنجی | 
* Bühlmann
* Cramér–Lundberg
* Risk process
* Sparre–Anderson

 |
| نظریه صفs | 
* Bulk
* Fluid
* Generalized queueing network
* M/G/1
* صف M/M/1
* M/M/c

 |
| Properties | 
* تابع Càdlàg
* Continuous
* Continuous paths
* ارگادیسیتی
* متغیرهای تصادفی تعویض پذیر
* Feller-continuous
* فرآیندهای تصادفی گاوسی-مارکوف
* خاصیت مارکف
* Mixing
* Piecewise deterministic
* Predictable
* Progressively measurable
* Self-similar
* فرایند مانا
* Time-reversible

 |
| Limit theorems | 
* قضیه حد مرکزی
* Donsker's theorem
* Doob's martingale convergence theorems
* نظریه ارگودیک
* Fisher–Tippett–Gnedenko theorem
* Large deviation principle
* قانون اعداد بزرگ
* قانون لگاریتم‌های تکراری
* Maximal ergodic theorem
* Sanov's theorem

 |
| Inequalities | 
* Burkholder–Davis–Gundy
* Doob's martingale
* Kunita–Watanabe

 |
| Tools | 
* Cameron–Martin formula
* همگرایی متغیرهای تصادفی
* Doléans-Dade exponential
* Doob decomposition theorem
* Doob–Meyer decomposition theorem
* Doob's optional stopping theorem
* Dynkin's formula
* Feynman–Kac formula
* Filtration
* Girsanov theorem
* Infinitesimal generator
* Itô integral
* Itô's lemma
* Kolmogorov continuity theorem
* Kolmogorov extension theorem
* Lévy–Prokhorov metric
* Malliavin calculus
* Martingale representation theorem
* Optional stopping theorem
* Prokhorov's theorem
* Quadratic variation
* Reflection principle
* Skorokhod integral
* Skorokhod's representation theorem
* تابع Càdlàg
* Snell envelope
* معادله دیفرانسیل تصادفی
	+ Tanaka
* زمان توقف
* Stratonovich integral
* Uniform integrability
* Usual hypotheses
* Wiener space
	+ Classical
	+ Abstract

 |
| Disciplines | 
* بیمسنجی
* اقتصادسنجی
* نظریه ارگودیک
* نظریه مقدار حدی
* قضیه انحرافات بزرگ
* مالیه ریاضیاتی
* آمار ریاضی
* نظریه احتمالات
* نظریه صف
* نظریه تجدید
* Ruin theory
* آمار
* حسابان تصادفی
* سری زمانی
* یادگیری ماشین

 |
| 
* List of topics
* 

 |