**اتحادهای لگاریتمی** زیادی را می‌توان در ریاضیات پیدا کرد.

قوانین جبری
-----------

### کاربرد عملگرهای ساده‌ساز

گاهی از لگاریتم برای ساده کردن شمارش‌های ریاضی استفاده می‌شود. مانند لگاریتم حاصل ضرب که برابر است با مجموع لگاریتم دو عدد:


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(xy)=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)\!\,} | زیرا: | {\displaystyle b^{c}\cdot b^{d}=b^{c+d}\!\,} |
| {\displaystyle \log \_{b}\!\left({\begin{matrix}{\frac {x}{y}}\end{matrix}}\right)=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)} | زیرا: | {\displaystyle b^{c-d}={\tfrac {b^{c}}{b^{d}}}} |
| {\displaystyle \log \_{b}(x^{d})=d\log \_{b}(x)\!\,} | زیرا: | {\displaystyle (b^{c})^{d}=b^{cd}\!\,} |
| {\displaystyle \log \_{b}\!\left(\!{\sqrt[{y}]{x}}\right)={\begin{matrix}{\frac {\log \_{b}(x)}{y}}\end{matrix}}} | زیرا: | {\displaystyle {\sqrt[{y}]{x}}=x^{1/y}} |
| {\displaystyle x^{\log \_{b}(y)}=y^{\log \_{b}(x)}\!\,} | زیرا: | {\displaystyle x^{\log \_{b}(y)}=b^{\log \_{b}(x)\log \_{b}(y)}=b^{\log \_{b}(y)\log \_{b}(x)}=y^{\log \_{b}(x)}\!\,} |
| {\displaystyle c\log \_{b}(x)+d\log \_{b}(y)=\log \_{b}(x^{c}y^{d})\!\,} | زیرا: | {\displaystyle \log \_{b}(x^{c}y^{d})=\log \_{b}(x^{c})+\log \_{b}(y^{d})\!\,} |

که در آن b و x و y اعداد حقیقی بزرگتر از صفر اند و {\displaystyle b\neq 1} است. همچنین c و d همگی اعداد حقیقی اند.

اثبات قانون نخست

{\displaystyle xy=b^{\log \_{b}(x)}b^{\log \_{b}(y)}=b^{\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)}\Rightarrow \log \_{b}(xy)=\log \_{b}(b^{\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)})=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y)}

قانون مربوط به توان‌ها:

{\displaystyle x^{y}=(b^{\log \_{b}(x)})^{y}=b^{y\log \_{b}(x)}\Rightarrow \log \_{b}(x^{y})=y\log \_{b}(x)}

قانون نسبت‌ها:

{\displaystyle \log \_{b}{\bigg (}{\frac {x}{y}}{\bigg )}=\log \_{b}(xy^{-1})=\log \_{b}(x)+\log \_{b}(y^{-1})=\log \_{b}(x)-\log \_{b}(y)}

قانون ریشه‌ها مانند قانون توان‌ها اثبات می‌شود:

{\displaystyle \log \_{b}({\sqrt[{y}]{x}})=\log \_{b}(x^{\frac {1}{y}})={\frac {1}{y}}\log \_{b}(x)}

### اتحادهای بدیهی


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \log \_{b}(1)=0\!\,} | زیرا: | {\displaystyle b^{0}=1\!\,} |
| {\displaystyle \log \_{b}(b)=1\!\,} | زیرا: | {\displaystyle b^{1}=b\!\,} |

*هشدار:* {\displaystyle \log \_{b}(0)\!\,} تعریف نشده‌است چون هیچ عدد {\displaystyle x\!\,} را نمی‌توان پیدا کرد که {\displaystyle b^{x}=0\!\,} شود. به عبارت دیگر در نمودار {\displaystyle \log \_{b}(x)\!\,} در نقطهٔ ۰ = x یک مجانب قائم داریم.

### توان‌های خنثی کننده

تابع‌های لگاریتمی و نمایی در صورتی که هر دو در یک پایه باشند می‌توانند یکدیگر را خنثی کنند. این به این دلیل است که دو تابع وارون یکدیگرند. (درست مانند ضرب و تقسیم یا جمع و تفریق که عملگرهای وارون اند)

{\displaystyle b^{\log \_{b}(x)}=x{\text{ because }}\operatorname {antilog} \_{b}(\log \_{b}(x))=x\,}
{\displaystyle \log \_{b}(b^{x})=x{\text{ because }}\log \_{b}(\operatorname {antilog} \_{b}(x))=x\,}

### تغییر پایه

بسیاری از ماشین حساب‌ها تنها می‌توانند لگاریتم طبیعی و اعشاری را حساب کنند برای همین اگر بخواهیم لگاریتم در دیگر پایه‌ها را بدست آوریم باید از اتحاد زیر استفاده کنیم:

{\displaystyle \log \_{b}a={\log \_{d}a \over \log \_{d}b}}

#### اثبات

فرض کنید که {\displaystyle c=\log \_{b}a} آنگاه {\displaystyle b^{c}=a} حال از دو سوی تساوی در پایهٔ *d* لگاریتم می‌گیریم:

{\displaystyle \log \_{d}b^{c}=\log \_{d}a}
پس از ساده‌سازی خواهیم داشت: {\displaystyle c\log \_{d}b=\log \_{d}a}

آنگاه {\displaystyle c={\frac {\log \_{d}a}{\log \_{d}b}}}

از آنجایی که {\displaystyle c=\log \_{b}a} خواهیم داشت: {\displaystyle \log \_{b}a={\frac {\log \_{d}a}{\log \_{d}b}}}

#### نتایج

نتایج بدست آمده از اتحاد بالا عبارتند از:

{\displaystyle \log \_{b}a={\frac {1}{\log \_{a}b}}}
{\displaystyle \log \_{b^{n}}a={{\log \_{b}a} \over n}}
{\displaystyle b^{\log \_{a}d}=d^{\log \_{a}b}}
{\displaystyle -\log \_{b}a=\log \_{b}\left({1 \over a}\right)=\log \_{1 \over b}a}
{\displaystyle \log \_{b\_{1}}a\_{1}\,\cdots \,\log \_{b\_{n}}a\_{n}=\log \_{b\_{\pi (1)}}a\_{1}\,\cdots \,\log \_{b\_{\pi (n)}}a\_{n},\,}

که در آن {\displaystyle \scriptstyle \pi \,} جایگشت زیرنویس ۱ تا n است مانند:

{\displaystyle \log \_{b}w\cdot \log \_{a}x\cdot \log \_{d}c\cdot \log \_{d}z=\log \_{d}w\cdot \log \_{b}x\cdot \log \_{a}c\cdot \log \_{d}z.\,}

### جمع و تفریق

جمع و تفریق در لگاریتم‌ها در نظریه‌های احتمالاتی کاربرد دارند:

{\displaystyle \log \_{b}(a+c)=\log \_{b}a+\log \_{b}(1+b^{\log \_{b}c-\log \_{b}a})}
{\displaystyle \log \_{b}(a-c)=\log \_{b}a+\log \_{b}(1-b^{\log \_{b}c-\log \_{b}a})}

که در حالت ویژه می‌دهد:

{\displaystyle \log \_{b}(a+c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1+{\frac {c}{a}}\right)}
{\displaystyle \log \_{b}(a-c)=\log \_{b}a+\log \_{b}\left(1-{\frac {c}{a}}\right)}

منابع
-----

منبع ریاضیات

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «List of logarithmic identities». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۳۱ اوت ۲۰۱۱.