چگونه می‌توان یک آونگ کاپیتسا ساخت: یک موتور یک میل‌لنگ را با سرعت زیادی می‌چرخاند، میل‌لنگ بازوی اهرمی را بالا و پایین می‌لرزاند، که آونگ با یک مفصل به آن وصل شده‌است.
**آونگ کاپیتسا**، آونگ سِفت (صُلب) وارونه‌ای است که تکیه‌گاه (مفصل، Pivot) آن در جهت عمودی به بالا و پایین می‌لرزد. این آونگ به‌افتخار فیزیکدان روسی، پیوتر کاپیتسا، برندۀ نوبل، که سال 1951 نظریه‌ای را پیش نهاد که با موفقیت برخی از خواص غیرعادی آن را توضیح می‌دهد، نام‌ گذاشته شده‌است.

ویژگی یگانۀ آونگ کاپیتسا این است که می‌تواند در اثر تعلیق ارتعاشی، و درحالی‌که وارونه است به تعادل پایدار برسد، گرچه گرانیگاه (مرکز جرم) آن بالای مفصل آونگ قرار گرفته‌است. در آونگ معمولی با یک سیستم تعلیق ثابت، تنها موقعیت تعادلی پایدار، قرار گرفتن آونگ زیر نقطه تعلیق (تکیه‌گاه، مفصل) است. موقعیت وارونگی عمودی، نقطه تعادل ناپایدار است و کوچکترین اغتشاش، آونگ را از تعادل در می‌آورد. در تئوری کنترل غیرخطی، آونگ کاپیتسا، نمونه‌ای از یک نوسان‌ساز پارامتری است که مفهوم «استواری پویا» (dynamic stabilization) را نشان می‌دهد.

آونگ کاپیتسا را نخستین‌ بار آ. استیوِنسون (A. Stephenson) در سال 1908 توصیف کرد. او دریافت که وقتی فرکانس ارتعاش سریع است، موقعیت عمودی بالایی آونگ ممکن است پایدار باشد. بااین‌حال تا دهه 1950 هیچ توضیحی برای این پدیدۀ بسیار نامعمول نبود. پیوتر کاپیتسا نخستین کسی بود که در سال 1951 آن را تحلیل کرد. او چند مطالعات تجربی کرد و با دسته‌بندی حرکت به متغیرهای «سریع» و «آهسته» و با معرفی یک پتانسیل موثر، بینشی تحلیلی از دلایل پایداری پیش نهاد. این کار ابتکاری موضوع جدیدی در فیزیک باز کرد؛ مکانیک ارتعاشی. روش کاپیتسا برای توصیف فرآیندهای دوره‌ای در فیزیک اتمی، فیزیک پلاسما و فیزیک سایبرنتیک به کار می‌روند. پتانسیل مؤثری که مؤلفه «آهسته» حرکت را توصیف می‌کند، در جلد «مکانیک» (فصل سی‌ام) دوره فیزیک نظری لانداو شرح داده شده‌است.

یکی دیگر از ویژگی‌های جالب آونگ کاپیتسا این است که موقعیت تعادل پایین، که آونگ پایین‌تر از مفصل قرار گرفته‌است، دیگر پایدار نیست. دامنۀ هر انحراف ناچیز از حالت عمود، با گذشت زمان افزایش می‌یابد. تشدید پارامتریک نیز می‌تواند در این موقعیت رخ دهد، و رژیم‌های آشوبناک را می‌توان وقتی‌که جاذب‌های شگفت در بخش پوانکاره وجود دارند، در سیستم مشاهده کرد.

نمادگذاری
---------

 طرح آونگ کاپیتزا
محور عمودی را با {\displaystyle y} و محور افقی را با {\displaystyle x} نشان می‌دهیم، طوری‌که آونگ در صفحۀ ({\displaystyle y}-{\displaystyle x}) حرکت می‌کند. از نمادهای زیر استفاده خواهد شد:

* {\displaystyle \nu } - فرکانس نوسان‌های عمودی آونگ،
* {\displaystyle a} - دامنه نوسانات آونگ،
* {\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {g/l}}} - فرکانس آونگ ریاضی،
* {\displaystyle g} - شتاب سقوط آزاد،
* {\displaystyle l} - طول آونگ صلب و سبک،
* {\displaystyle m} - جرم.

با نشان دادن زاویۀ میان آونگ و جهت روبه‌پایین با {\displaystyle \varphi }، وابستگی زمانی موقعیت آونگ چنین نوشته می‌شود

{\displaystyle {\begin{cases}x&=l\sin \varphi \\y&=-l\cos \varphi -a\cos \nu t\end{cases}}}

انرژی
-----

انرژی پتانسیل آونگ در اثر گرانش است و برحسب موقعیت عمودی، چنین تعریف می‌شود.

{\displaystyle E\_{\mathrm {POT} }=-mg(l\cos \varphi +a\cos \nu t).\,}
انرژی جنبشی، افزون‌بر عبارت استاندارد {\displaystyle E\_{\mathrm {KIN} }=ml^{2}{\dot {\varphi }}^{2}/2} که سرعت یک آونگ ریاضی را توصیف می‌کند، در اثر ارتعاش‌های تعلیق هم هست

{\displaystyle E\_{\mathrm {KIN} }={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+mal\nu ~\sin(\nu t)\sin(\varphi )~{\dot {\varphi }}+{\frac {ma^{2}\nu ^{2}}{2}}\sin ^{2}(\nu t)\;.}
انرژی کل، جمع انرژی های جنبشی و پتانسیل است {\displaystyle E=E\_{\mathrm {KIN} }+E\_{\mathrm {POT} }} و لاگرانژی، تفاوت آن دو است {\displaystyle L=E\_{\mathrm {KIN} }-E\_{\mathrm {POT} }} .

انرژی کل در یک آونگ ریاضی، پایسته می‌ماند، بنابراین وابستگی زمانی {\displaystyle E\_{\mathrm {POT} }} و {\displaystyle E\_{\mathrm {KIN} }} نسبت‌به خط افقی متقارن است. بر اساس قضیه ویریال، میانگین انرژی جنبشی و پتانسیل در نوسانگر هارمونیک برابر است. این بدان معنی است که خط تقارن با نیمی از کل انرژی مطابق است.

سیستم تعلیق ارتعاشی، دیگر یک سیستم بسته نیست و انرژی کل، دیگر پایسته نیست. انرژی جنبشی در مقایسه با انرژی پتانسیل به ارتعاش حساس‌تر است. انرژی پتانسیل {\displaystyle E\_{\mathrm {POT} }=mgy} از پایین و بالا کراندار است {\displaystyle -mg(l+a)<E\_{\mathrm {POT} }<mg(l+a)}، اما انرژی جنبشی تنها از پایین کران دارد {\displaystyle E\_{\mathrm {KIN} }\geq 0}. در فرکانس بالای ارتعاشات {\displaystyle \nu }، انرژی جنبشی می‌تواند در مقایسه با انرژی پتانسیل بزرگ باشد.

معادلات حرکت
------------

حرکت آونگ معادلات اویلر-لاگرانژ را برمی‌آورد. وابستگی فاز {\displaystyle \varphi } آونگ به موقعیتش، معادله زیر را برمی‌آورد:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}={\frac {\partial L}{\partial \varphi }},}
که لاگرانژی {\displaystyle L} چنین است

{\displaystyle L={\frac {ml^{2}}{2}}{\dot {\varphi }}^{2}+ml(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t)\cos \varphi ,}
تا جمله‌های مشتق زمانی نامرتبط. معادله دیفرانسیل

{\displaystyle {\ddot {\varphi }}=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}},}
که حرکت آونگ را توصیف می کند، در اثر عامل {\displaystyle \sin \varphi } غیرخطی است.

موقعیت‌های تعادلی
-----------------

 پتانسیل موثر {\displaystyle V\_{\mathrm {eff} }} دارای دو کمینه است اگر {\displaystyle (a\nu )^{2}>2gl} یا معادل آن، {\displaystyle (a/l)(\nu /\omega \_{0})>{\sqrt {2}}}. کمینۀ اول در همان موقعیت است {\displaystyle (x,y)=(0,-l)} همانطور که آونگ ریاضی و حداقل دیگر در موقعیت عمودی بالایی قرار دارد {\displaystyle (x,y)=(0,l)}. در نتیجه موقعیت عمودی بالایی که در یک آونگ ریاضی ناپایدار است، می تواند در آونگ کاپیتزا پایدار شود.

هنگامی که سیستم تعلیق با دامنه کمی در لرزش است ({\displaystyle a\ll l}) و فرکانس {\displaystyle \nu } بسیار بیشتر از فرکانس {\displaystyle \omega \_{0}} است ({\displaystyle \nu \gg \omega \_{0}})، زاویه {\displaystyle \varphi } ممکن است به‌عنوان برهم‌نهفتۀ یک جزء «آهسته» {\displaystyle \varphi \_{0}} و یک نوسان کم‌دامنۀ سریع {\displaystyle \xi } در اثر ارتعاشات کوچک اما سریع سیستم تعلیق در نظر گرفته شود {\displaystyle \varphi =\varphi \_{0}+\xi }. در واقع، یک فزونی اغتشاشی در ثابت‌های {\displaystyle (a/l),(\omega \_{0}/\nu )\ll 1} با ثابت نگه داشتن {\displaystyle (a/l)(\nu /\omega \_{0})} در نظر می‌گیریم. این رویکرد اغتشاشی، با {\displaystyle a\to 0,\nu \to \infty } دقیق می‌شود. به طور دقیق‌تر، نوسان سریع {\displaystyle \xi } چنین تعریف می‌شود

{\displaystyle \xi ={\frac {a}{l}}\sin \varphi \_{0}~\cos \nu t.\,}
معادله حرکت برای مولفۀ «آهسته» {\displaystyle \varphi \_{0}} چنین می‌شود

{\displaystyle {\begin{aligned}{\ddot {\varphi }}\_{0}={\ddot {\varphi }}-{\ddot {\xi }}&=-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {\sin \varphi }{l}}\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}\_{0}\cos \varphi \_{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}\_{0}^{2}\sin \varphi \_{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}\_{0}\cos \varphi \_{0}~\sin \nu t-\nu ^{2}\sin \varphi \_{0}~\cos \nu t\right)\\[8pt]&=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi \_{0}-(g+a~\nu ^{2}\cos \nu t){\frac {1}{l}}\left(\xi \cos \varphi \_{0}+O(\xi ^{2})\right)\\&{}\quad {}-{\frac {a}{l}}\left({\ddot {\varphi }}\_{0}\cos \varphi \_{0}~\cos \nu t-{\dot {\varphi }}\_{0}^{2}\sin \varphi \_{0}~\cos \nu t-2\nu {\dot {\varphi }}\_{0}\cos \varphi \_{0}~\sin \nu t\right).\end{aligned}}}
میانگین‌گیری زمانی روی نوسان سریع {\displaystyle \nu }، به عبارت زیر می‌انجامد 

{\displaystyle {\ddot {\varphi }}\_{0}=-{\frac {g}{l}}\sin \varphi \_{0}-{\frac {1}{2}}\left({\frac {a\nu }{l}}\right)^{2}\sin \varphi \_{0}\cos \varphi \_{0}.}
معادله «آهسته» حرکت چنین می‌شود

{\displaystyle ml^{2}{\ddot {\varphi }}\_{0}=-{\frac {\partial V\_{\mathrm {eff} }}{\partial \varphi \_{0}}}\;,}
با فرض یک پتانسیل موثر

{\displaystyle V\_{\mathrm {eff} }=-mgl\cos \varphi \_{0}+m\left({\frac {a\nu }{2}}\sin \varphi \_{0}\right)^{2}.}
اگر {\displaystyle (a\nu )^{2}>2gl}، یا معادل آن، {\displaystyle (a/l)(\nu /\omega \_{0})>{\sqrt {2}}}، پتانسیل موثر {\displaystyle V\_{\mathrm {eff} }} دست‌کم دو کمینه دارد. نخستین کمینه در همان موقعیت است {\displaystyle (x,y)=(0,-l)} به‌عنوان آونگ ریاضی، و کمینۀ دیگر در موقعیت عمودی بالایی قرار دارد {\displaystyle (x,y)=(0,l)}. درنتیجه موقعیت عمودی بالایی که در یک آونگ ریاضی ناپایدار است، می‌تواند در آونگ کاپیتسا پایدار شود.

انشعاب و آشوب
-------------

برای دامنه‌هایی حتی بزرگتر، نوسان پایدار، ناپایدار می‌شود و آونگ شروع به چرخش می‌کند. در دامنه‌های بزرگتر، چرخش نیز از بین می‌رود و یک جاذب شگفت با یک انشعاب دوبرابرکنندۀ دوره تناوب ظاهر می‌شود.

پاسخ‌های چرخشی
--------------

پاسخ‌های چرخشی آونگ کاپیتسا زمانی روی می‌دهند که آونگ حول تکیه‌گاه با همان فرکانسی که تکیه‌گاه تکان داده می‌شود بچرخد. دو پاسخ چرخشی وجود دارد؛ در هر جهت، یکی. با شیفت دادن مرجع چرخان از راه {\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi ^{\prime }\pm \nu t}، خواهیم داشت:

{\displaystyle {\ddot {\varphi }}^{\prime }=-{\frac {1}{l}}\left[{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime })+g\sin(\varphi ^{\prime }\pm \nu t)+{\frac {1}{2}}a\nu ^{2}\sin(\varphi ^{\prime }\pm 2\nu t)\right]\;.}
با در نظر گرفتن حالتی که {\displaystyle \nu } بسیار بزرگتر از {\displaystyle \omega \_{0}} است، رژیم {\displaystyle \nu } سریع و {\displaystyle \varphi \_{0}^{\prime }} آهسته، به این معادله می‌انجامد:

{\displaystyle {\ddot {\varphi }}\_{0}^{\prime }=-{\frac {1}{2l}}a\nu ^{2}\sin \varphi \_{0}^{\prime }\;.}
پتانسیل موثر، همان برای معادله یک آونگ ساده است. یک تعادل پایدار در {\displaystyle \varphi \_{0}^{\prime }=0} و یک تعادل ناپایدار در {\displaystyle \varphi \_{0}^{\prime }=\pi } وجود دارد.

*

مراجع
-----

1. 1 2 3  Kapitza P. L. (1951). "Dynamic stability of a pendulum when its point of suspension vibrates". *Soviet Phys. JETP*. **21**: 588–597.; Kapitza P. L. (1951). "Pendulum with a vibrating suspension". *Usp. Fiz. Nauk*. **44**: 7–15. doi:10.3367/UFNr.0044.195105b.0007.
2. ↑  Бутиков Е. И. «Маятник с осциллирующим подвесом (к 60-летию маятника Капицы»), учебное пособие.
3. ↑  Blackburn, James A.; Smith, H. J. T.; Gro/nbech‐Jensen, N. (October 1992). "Stability and Hopf bifurcations in an inverted pendulum". *American Journal of Physics* (به انگلیسی). **60** (10): 903–908. Bibcode:1992AmJPh..60..903B. doi:10.1119/1.17011. ISSN 0002-9505.
4. ↑  McLaughlin, John B. (February 1981). "Period-doubling bifurcations and chaotic motion for a parametrically forced pendulum". *Journal of Statistical Physics* (به انگلیسی). **24** (2): 375–388. Bibcode:1981JSP....24..375M. doi:10.1007/BF01013307. ISSN 0022-4715.
5. ↑  Koch, B. P.; Leven, R. W.; Pompe, B.; Wilke, C. (1983-07-04). "Experimental evidence for chaotic behaviour of a parametrically forced pendulum". *Physics Letters A* (به انگلیسی). **96** (5): 219–224. Bibcode:1983PhLA...96..219K. doi:10.1016/0375-9601(83)90336-5. ISSN 0375-9601.

پیوند به بیرون
--------------

* آونگ کاپیتسا - یوتیوب
* شبیه‌سازی آونگ کاپیتسا