**خارج‌قسمت** (به انگلیسی: quotient) در جبر خطی، برای یک فضای برداری *V* روی یک زیرفضای *N* برابر یک فضای برداری است که با «فروپاشی» *N* به صفر به دست می‌آید. به فضای به دست آمده **فضای خارج‌قسمت** گفته می‌شود، و به صورت *V*/*N* نشان داده می‌شود (بخوانید "*V* به پیمانه *N*" یا "*V* توسط *N*".

تعریف
-----

به صورت صوری، ساختار به این صورت است. فرض کنید که *V* یک فضای برداری روی یک میدان *K* باشد، و فرض کنید که *N* یک زیرفضا از *V* باشد. ما یک رابطه هم‌ارزی ~ روی *V* را به این شیوه تعریف می‌کنیم که *x* ~ *y* اگر *x* − *y* ∈ *N* باشد؛ یعنی، *x* با *y* مرتبط است اگر با اضافه‌کردن یک عنصر *N* یکی از دیگری قابل دستیابی باشد. از این تعریف، می‌توان استنتاج کرد که هر عنصر *N* با بردار صفر مرتبط است؛ به صورت دقیق‌تر، همه بردارها در *N* به کلاس هم‌ارزی بردار صفر نگاشت می‌یابند.

کلاس هم‌ارزی - با در این حالت، هم‌دسته - از *x* معمولاً به این صورت نمایش می‌یابد

[*x*] = *x* + *N*
زیرا توسط زیر داده شده‌است

[*x*] = {*x* + *n*: *n* ∈ *N*}.
فضای خارج‌قسمتی *V*/*N* به صورت *V*/~ تعریف می‌شود، که مجموعه همه کلاس‌های هم‌ارزی القا شده توسط ~ روی *V* است. ضرب و جمع نرده‌ای روی کلاس‌های هم‌ارزی توسط زیر تعریف شده‌است

* α[*x*] = [α*x*] برای همه α ∈ *K*، و
* [*x*] + [*y*] = [*x* + *y*].

بررسی خوش‌تعریف بودن این عملیات‌ها سخت نیست (یعنی آن‌ها به گزینه نماینده وابسته نیستند). این عملیات‌ها فضای خارج‌قسمتی *V*/*N* را به یک فضای برداری روی *K* با *N* برابر با کلاس صفر [0] تبدیل می‌کنند.

نگاشتی که به *v* ∈ *V* کلاس هم‌ارزی [*v*] را منتسب می‌کند، **نگاشت خارج‌قسمتی** نامیده می‌شود.

به زبان دیگر، فضای خارج‌قسمتی {\displaystyle V/N} برابر مجموعه همه زیرمجموعه‌های آفین از V است که با N موازی هستند.

مثال‌ها
-------

فرض کنید *X* = **R**2 همان صفحه دکارتی استاندارد باشد، و فرض کنید *Y* یک خط گذرنده از مبدأ *X* باشد. آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*Y* را می‌توان توسط همه خطوط در *X* که با *Y* موازی اند شناسایی کرد؛ یعنی عناصر مجموعه *X*/*Y* برابر خطوطی در *X* هستند که با *Y* موازی اند. توجه کنید که خطوط همراستا با چنین خطی رابطه هم‌ارزی را برآورده خواهد کرد، زیرا بردارهای تفاضلی آن‌ها به *Y* تعلق دارند. این موضوع راهی برای نمایش هندسی فضاهای خارج‌قسمتی فراهم می‌کند. (با پیش-پارامتردهی این خطوط، فضای خارج‌قسمتی را به صورت سنتی‌تر به صورت فضای همه نقاط در امتداد یک خط گذرنده از مبدأ نمایش داد که با *Y* موازی نیست. به صورت مشابه، فضای خارج‌قسمتی برای **R**3 توسط یک خط گذرنده از مبدأ را دوباره می‌توان به صورت مجموعه همه خطوط هم-موازی نمایش داد، یا از جهت دیگر، به صورت فضای برداری شامل صفحه‌ای نمایش داد که با خط در مبدأ تلاقی دارد)

مثال دیگر، خارج‌قسمت **R***n* توسط زیرفضای گسترده‌شده توسط اولین *m* بردار مبنایی استاندارد است. فضای **R***n* شامل همه *n*-تاپل‌ها از عدد حقیقی (*x*1, … , *x**n*) است. زیرفضایی که توسط **R***m* شناسایی می‌شود، شامل همه *n*-تاپل‌هایی است که *n* − *m* ورودی آخرش صفر است: (*x*1, … , *x**m*, 0, 0, … , ۰). دو بردار **R***n* در یک کلاس هم‌ارزی مشابه به پیمانه زیرفضا هستند، اگر و تنها اگر در *n* − *m* آخرشان مشابه باشند. به روش بدیهی، فضای خارج‌قسمتی **R***n*/**R***m* با **R***n*−*m* ایزوریختار است.

به صورت کلی‌تر، اگر *V* یک جمع مستقیم (درونی) از زیرفضاهای *U* و *W* باشد

{\displaystyle V=U\oplus W}
آنوقت فضای خارج‌قسمتی *V*/*U* با *W* طبیعی ایزوریختار است.

یک مثال مهم از یک فضای خارج‌قسمتی تابعی یک L*p* فضا است.

ویژگی‌ها
--------

یک اپی‌ریختار طبیعی از *V* به فضای خارج‌قسمتی *V*/*U* وجود دارد که توسط ارسال *x* به کلاس هم‌ارزی‌اش [*x*] به دست می‌آید. هسته (یا فضای پوچ) از این اپی‌ریختار برابر زیرفضای *U* است. این رابطه به صورت طبیعی توسط دنباله دقیق کوتاه زیر خلاصه‌بندی می‌شود

{\displaystyle 0\to U\to V\to V/U\to 0.\,}
اگر *U* یک زیرفضای *V* باشد، بعد *V*/*U* **هم‌بعد** برای *U* در *V* نامیده می‌شود. به‌این دلیل که پایه *V* را می‌توان از یک پایه *A* از *U* و یک پایه *B* از *V*/*U* توسط جمع یک نماینده از هر عنصر *B* به *A* ساخت، بعد *V* برابر جمع ابعاد *U* و *V*/*U* است. اگر *V* متناهی-بعد باشد، این به این معنی است که هم‌بعد *U* در *V* برابر تفاضل بین ابعاد *V* و *U* است:

{\displaystyle \mathrm {codim} (U)=\dim(V/U)=\dim(V)-\dim(U).}
فرض کنید که *T*: *V* → *W* یک عملگر خطی باشد. هسته *T*، که توسط ker(*T*) نشان داده می‌شود، برابر مجموعه همه *x*ها در *V* است که در آن *Tx* = ۰ است. هسته یک زیرفضای *V* است. قضیه اول ایزوریختار برای فضاهای برداری بیان می‌کند که فضای خارج‌قسمتی *V*/ker(*T*) با تصویر *V* در *W* ایزوریختار است. یک نتیجه سریع، برای فضاهای متناهی-بعد، همان قضیه رتبه-پوچی است: بعد *V* برابر بعد هسته (با پوچی *T*) بعلاوه بعد تصویر (رتبه *T*) است.

هم‌هسته یک عملگر خطی *T*: *V* → *W* را به صورت فضای خارج‌قسمتی *W*/im(*T*) تعریف می‌کنند.

خارج‌قسمت فضای باناخ روی یک زیرفضا
----------------------------------

اگر *X* یک فضای باناخ باشد و *M* یک زیرفضای بسته از *X* باشد، آنوقت خارج‌قسمت *X*/*M* باز هم یک فضای باناخ است. به فضای خارج‌قسمتی قبلاً یک ساختار فضای برداری، توسط ساختار بخش قبل، داده شده‌است. ما یک نرم روی *X*/*M* به این شیوه تعریف می‌کنیم

{\displaystyle \|[x]\|\_{X/M}=\inf \_{m\in M}\|x-m\|\_{X}=\inf \_{m\in M}\|x+m\|\_{X}=\inf \_{y\in [x]}\|y\|\_{X}.}
وقتیکه *X* کامل باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*M* هم در رابطه با نرم کامل است، و از این‌رو یک فضای باناخ است.[]

### مثال‌ها

فرض کنید *C*[0,1] فضای باناخ برای توابع حقیقی-مقدار پیوسته روی بازه [0٬1] با نرم سوپ باشد. زیرفضای همه توابع *f* ∈ *C*[0,1] با *f*(0) = ۰ را توسط *M* نشان بدهید. آنوقت کلاس هم‌ارزی یک تابع *g* توسط مقدارش در 0 تعیین می‌شود، و فضای خارج‌قسمتی *C*[0,1]/*M* با **R** ایزوریختار است.

اگر *X* یک فضای هیلبرت باشد، آنوقت فضای خارج‌قسمتی *X*/*M* با مکمل متعامد *M* ایزوریختار است.

### تعمیم به فضاهای محلی محدب

خارج‌قسمت یک فضای محلی محدب توسط یک زیرفضای بسته باز هم محلی محدب است. در واقع، فرض کنید که *X* به صورت محلی محدب باشد، از این رو توپولوژی روی *X* توسط خانواده‌ای از زیرنرم‌های {*p*α | α ∈ *A*} تولید می‌شود، که در آن *A* برابر مجموعه اندیس است. فرض کنید که *M* یک زیرفضای بسته باشد، و نیم‌نرم‌های *q*α را روی *X*/*M* توسط زیر تعریف کنیم

{\displaystyle q\_{\alpha }([x])=\inf \_{v\in [x]}p\_{\alpha }(v).}
آنوقت *X*/*M* یک فضای محلی محدب است، و توپولوژی روی آن یک توپولوژی خارج‌قسمتی است.

بعلاوه، اگر *X* مترپذیر باشد، آنوقت *X*/*M* هم هست. اگر *X* یک فضای فرچت باشد، آنوقت *X*/*M* هم هست.

پانویس
------

1. ↑  (Halmos 1974) pp. 33-34 §§ 21-22
2. ↑  (Katznelson و Katznelson 2008) p. 9 § 1.2.4
3. ↑  (Roman 2005) p. 75-76, ch. 3
4. ↑  (Axler 2015) p. 95, § 3.83
5. ↑  (Halmos 1974) p. 34, § 22, Theorem 1
6. ↑  (Axler 2015) p. 97, § 3.89
7. ↑  (Halmos 1974) p. 34, § 22, Theorem 2
8. ↑  (Dieudonné 1976) p. 65, § 12.14.8
9. ↑  (Dieudonné 1976) p. 54, § 12.11.3

منابع
-----

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Quotient space (linear algebra)». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۶ ژوئیهٔ ۲۰۲۲.

| * ن
* ب
* و
جبر خطی |
| --- |
| مفاهیم عمومی | 
* اسکالر (ریاضی)
* بردار
* فضای برداری
* ضرب اسکالر
* تصویر (بردار)
* اسپن و مولد
* نگاشت خطی
* Linear projection
* استقلال خطی
* ترکیب خطی
* پایه (جبر خطی)
* Column space
* Row space
* تعامد (جبر خطی)
* هسته(فضای پوچ)
* ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار
* Outer product
* فضای ضرب داخلی
* ضرب داخلی
* ترانهاده
* الگوریتم گرام اشمیت
* دستگاه معادلات خطی

 | Three dimensional Euclidean space |
| جبر برداری | 
* ضرب خارجی
* Triple product
* Seven-dimensional cross product

 |
| جبر چندخطی | 
* Geometric algebra
* Exterior algebra
* Bivector
* Multivector

 |
| ماتریس | 
* Block
* Decomposition
* ماتریس وارون
* کهاد
* ضرب ماتریس
* رتبه (جبر خطی)
* تبدیل
* قاعده کرامر
* حذف گاوسی

 |
| ساختارهای جبر مجرد | 
* Dual
* Direct sum
* Function space
* خارج‌قسمت
* زیرفضا
* ضرب تنسوری

 |
| جبر خطی عددی | 
* ممیز شناور
* متلب
* Numerical stability
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* ماتریس خلوت
* Comparison of linear algebra libraries
* Comparison of numerical analysis software

 |
| 
* رده:جبر خطی
* Outline
* Portal
* Wikibook
* Wikiversity

 |