**توزیع هندسی** (به انگلیسی: Geometric distribution) توزیعی است گسسته که بیانگر احتمال اولین پیروزی پس از k-1 شکست در فرایند برنولی می‌باشد

{\displaystyle P\_{X}(k)={\text{P}}\{X=k\}=(1-p)^{k-1}\,p}
که در آن p احتمال پیروزی در یک دفعه است.

متغیر تصادفی هندسی
------------------

فرض کنید آزمایش‌های مستقلی با احتمال موفقیت p، آن قدر تکرار می‌شود تا یک موفقیت به دست آید. اگر X تعداد آزمایش‌های لازم باشد، آنگاه:

{\displaystyle P\{X=n\}=(1-p)^{n-1}p\qquad n=1,2,3\ldots }

اثبات
-----

می دانیم شرط لازم و کافی برای X=n آن است که ابتدا، n-1 آزمایش شکست و n اُمین آزمایش موفقیت باشد. از آنجا که برآمدهای متوالی آزمایش‌ها بنا به فرض مستقل هستند داریم  :

{\displaystyle p\_{X}(k)={\text{P}}\{X=n\}=p(1-p)^{n-1}}
هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر (فرایند) تصادفی هندسی با پارامتر p می نامیم.

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\text{Pr}}\{X=n\}=p\sum \_{n=1}^{\infty }(1-p)^{n-1}={\frac {p}{1-(1-p)}}=1}
در نتیجه با احتمال ۱، یک موفقیت بالاخره اتفاق می افتد. هر متغیر تصادفی که تابع جرم احتمال به صورت بالا باشد را یک متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p می‌نامیم.

چند مثال ساده
-------------

* فرض کنیم می خواهیم رمز عبور 8 کاراکتری یک کامپیوتر را حدس بزنیم. چند مرتبه باید این کار را تکرار کنیم؟
* فرض کنیم یک دارو به احتمال p سبب درمان شود، دارو روی چندمین بیمار مؤثر واقع می‌شود؟
* فرض کنیم احتمال برد یک تیم p باشد، چند مرتبه این تیم باید بازی کند تا یک بازی را ببرد ؟

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
-----------------------------

**قصیه:** امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با 

{\displaystyle {\text{E}}[X]={\frac {1}{p}}}
### اثبات

می دانیم {\displaystyle p\_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p} بنابراین برای محاسبه امید ریاضی می‌بایست عبارت زیر را محاسبه کنیم

{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum \_{x}xp\_{X}(x)}
پس با ترکیب دو رابطه ی بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم 

{\displaystyle {\text{E}}[X]=\sum \_{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}
حال اگر فرض کنیم 

{\displaystyle F(p)=\sum \_{k=0}^{\infty }(1-p)^{k}={\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {1}{p}}}
داریم 

{\displaystyle {\frac {dF(p)}{dp}}=-\sum \_{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}=-{\frac {1}{p^{2}}}}
در نتیجه 

{\displaystyle {\text{E}}[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}

واریانس متغیر تصادفی هندسی
--------------------------

**قضیه:** واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با

{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}

### اثبات

فرض می کنیم پیشامد {\displaystyle A=\{X=1\}} و پیشامد {\displaystyle B=\{X>1\}} 
با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم 

{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\text{E}}[X^{2}|A]{\text{P}}(A)+{\text{E}}[X^{2}|B]{\text{P}}(B)}
می‌دانیم 

{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|A]={\text{E}}[X^{2}|X=1]=1}  

و 

{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}|B]={\text{E}}[X^{2}|X>1]={\text{E}}[(X+1)^{2}]={\text{E}}[X^{2}+2X+1]={\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}
بنابراین

{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]=1\times p+\left({\text{E}}[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1\right)(1-p)}  

{\displaystyle {\text{E}}[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}  

در نهایت از آنجا که {\displaystyle {\text{var}}[X]={\text{E}}[X^{2}]-({\text{E}}[X])^{2}} داریم

{\displaystyle {\text{var}}[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}

متغیر تصادفی هندسی بدون حافظه است !
-----------------------------------

فرض کنیم می دانیم تعداد دفعاتی که سکه‌ای را اندخته ایم از n بیشتر است، احتمال اینکه سکه را بیش از n+m دفعه بی اندازیم تا شیر بیاید چقدر است ؟

{\displaystyle P(X>n+m|X>n)={\frac {P((X>n+m)\cap (X>m))}{P(X>n)}}={\frac {P(X>n+m)}{P(X>n)}}={\frac {(1-p)^{n+m}}{(1-p)^{n}}}=(1-p)^{m}}  

پس تنها m بار پرتاب بعدی اهمیت دارد و n بار پرتاب اولیه بی‌ارزش می‌شود.

همچنین می‌توان ثابت کرد اگر یک متغیر تصادفی گسسته بی حافظه باشد، هندسی است. (عکس قضیه)

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی
-----------------------------

امید ریاضی متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

{\displaystyle E[X]={\frac {1}{p}}}

### اثبات

می‌دانیم:

{\displaystyle P\_{X}(k)=(1-p)^{k-1}p}

و:

{\displaystyle E[X]=\sum \_{x}xP\_{X}(x)}

پس با ترکیب دو رابطهٔ بالا برای متغیر تصادفی هندسی داریم:

{\displaystyle E[X]=\sum \_{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}p}

حال اگر فرض کنیم:

{\displaystyle F(p)=\sum \_{k=0}^{\infty }(1-p)^{k-1}={\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {1}{p}}}

داریم:

{\displaystyle {\frac {dF(p)}{dp}}=-\sum \_{k=0}^{\infty }k(1-p)^{k-1}=-{\frac {1}{p^{2}}}}

در نتیجه:

{\displaystyle E[X]=p{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1}{p}}}

واریانس متغیر تصادفی هندسی
--------------------------

واریانس متغیر تصادفی هندسی با پارامتر p برابر است با:

{\displaystyle Var[X]={\frac {1-p}{p^{2}}}}

### اثبات

فرض می‌کنیم پیشامد {\displaystyle A=\{X=1\}} و پیشامد {\displaystyle B=\{X>1\}} :

با توجه به اینکه A و B افرازهای فضای نمونه ی ما هستند، داریم:

{\displaystyle E[X]=E[X|A]P(A)+E[X|B]P(B)}

{\displaystyle E[X^{2}]=E[X^{2}|A]P(A)+E[X^{2}|B]P(B)}

در نتیجه:

{\displaystyle E[X^{2}|A]=E[X^{2}|X=1]=1}

و:

{\displaystyle E[X^{2}|B]=E[X^{2}|X>1]=E[(X+1)^{2}]=E[X^{2}+2X+1]=E[X^{2}]+{\frac {2}{p}}+1}

پس:

{\displaystyle E[X^{2}]=1\*p+(E[X^{2}+{\frac {2}{p}}+1)(1-p)}

{\displaystyle E[X^{2}]={\frac {2-p}{p^{2}}}}

در نهایت از آنجا که می‌دانیم {\displaystyle Var[X]=E[X^{2}]-(E[X])^{2}} :

{\displaystyle Var[X]={\frac {2-p}{p^{2}}}-{\frac {1}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}

منابع
-----

1. ↑  «*توزیع هندسی*» [*آمار*] هم‌ارزِ «*geometric distribution*»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر یازدهم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۴۵-۳ (ذیل سرواژهٔ *توزیع هندسی*)
2. ↑  A First Course In Probability 8 Edition-Sheldon Ross

* Wikipedia contributors, "Geometric distribution," Wikipedia, The Free Encyclopedia,  (accessed January 30, 2010).
* Introduction to probabilities models by Sheldon M.Ross
* A First Course In Probability 8Edition-Sheldon Ross
* Athanasios Papoulis-probability and statistics

| * ن
* ب
* و
توزیع‌های احتمالات |
| --- |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره متناهی |
| --- |
|  بنفورد **·**  برنولی **·**  دوجمله‌ای  **·**  رسته‌‌ای **·**  فوق‌هندسی **·**  رادماکر **·**  یکنواخت گسسته **·**  زیف **·**  زیف−مندالبروت  |

 |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  بولتزمن **·**  Conway-Maxwell-Poisson **·**  compound Poisson **·**  discrete phase-type **·**  Gauss-Kuzmin **·**  هندسی **·**  لگاریتمی **·**  دوجمله‌ای منفی **·**  برخال سهموی **·**  پواسون **·**  اسکلام **·**  Yule-Simon **·**  zeta  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره محدود |
| --- |
|  بتا **·**  Kumaraswamy **·**  raised cosine **·**  مثلثی **·**  U-quadratic **·**  یکنواخت پیوسته **·**  توزیع نیم دایره  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نیمه‌متناهی |
| --- |
|  بتا پریم **·**  توزیع بر **·**  کی‌دو **·**  Coxian **·**  ارلانگ **·**  نمایی **·**  اِف **·**  آمار فرمی-دیراک **·**  توزیع نرمال پوشیده **·**  توزیع فریشه **·**  گاما **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته **·**  توزیع نیم لجستیک **·**  توزیع نیم نرمال **·**  توزیع تی مربع هاتلینگ **·**  hyper-exponential **·**  hypoexponential **·**  inverse chi-square (scale inverse chi-square) **·**  inverse Gaussian **·**  توزیع گامای وارونه **·**  توزیع لوی **·**  لُگ نرمال **·**  log-logistic **·**  ماکسول-بولتزمان **·**  توزیع ماکسول-بولتزمن **·**  Nakagami **·**  توزیع خی دو نامرکزی **·** پارتو **·**   phase-type **·**  ریلی **·**  relativistic Breit–Wigner **·**  Rice **·**  توزیع وایبول **·**  توزیع گمپرتز **·**  truncated normal **·**  type-2 Gumbel **·**  وایبول **·**  Wilks' lambda  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  کوشی **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی تعمیم‌یافته **·**  توزیع زد فیشر **·**  فیشر‐تیپت **·**  هایپربولیک عمومی **·**  hyperbolic secant **·**  Landau **·**  لاپلاس **·**  توزیع لوی **·**  logistic **·**  نرمال **·**  normal-gamma **·**  normal inverse Gaussian **·**  skew normal **·**  تی-استودنت **·**  توزیع گامبل **·**  Variance-Gamma **·**  Voigt  |

 |
| 

| چندمتغیره |
| --- |
|  *گسسته:* Ewens **·**  چندجمله‌ای **·**  توزیع دیریکله—چندجمله‌ای*پیوسته:* توزیع دریکله **·**  توزیع دریکله عمومی **·**  multivariate normal **·**  multivariate Student*Matrix-valued:* توزیع ویشارت وارون **·**  matrix normal **·**  توزیع ویشارت  |

 |
| 

| جهت‌دار، تک‌مقدار و تکین |
| --- |
|  *Directional:* Kent  **·**  von Mises **·**  von Mises–Fisher  *Degenerate:* discrete degenerate **·**  تابع دلتای دیراک  *تکین:* Cantor  |

 |
| 

| خانواده‌ها |
| --- |
|  نمایی **·**  natural exponential **·**  location-scale **·**  maximum entropy **·**  Pearson **·**  Tweedie  |

 |