در جبر خطی، **چندجمله‌ای مشخصه** یک ماتریس مربعی، چندجمله‌ای است که تحت تشابه ماتریس ثابت است و دارای مقادیر ویژه به عنوان ریشه است. در بین ضرایب خود، دترمینان و رَد ماتریس را دارد. **چندجمله‌ای مشخصهٔ** یک درونریختی فضای برداری با بعد محدود، چندجمله‌ای مشخصه ماتریس آن درونریختی بر روی هر پایه است (یعنی چندجمله‌ای مشخصه به انتخاب یک پایه بستگی ندارد). **معادله مشخصه** که به عنوان **معادله دترمینان** نیز شناخته می‌شود، معادله‌ای است که از معادل‌سازی چندجمله‌ای مشخصه با صفر به دست می‌آید.

در نظریه طیفی گراف، **چندجمله‌ای مشخصه یک گراف**، چندجمله‌ای مشخصه ماتریس مجاورت آن است.

انگیزه
------

با توجه به یک ماتریس مربعی {\displaystyle ,A} ما می‌خواهیم چندجمله‌ای را پیدا کنیم که صفرهای آن مقادیر ویژه A باشد برای یک ماتریس قطری A، چندجمله‌ای مشخصه را می‌توان به صورت زیر تعریف کرد: اگر درایه‌های قطری {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,} و غیره باشند. آنگاه چندجمله‌ای مشخصه خواهد بود:



(

t
−

a

1

)

(

t
−

a

2

)

(

t
−

a

3

)

⋯
.

{\displaystyle \left(t-a\_{1}\right)\left(t-a\_{2}\right)\left(t-a\_{3}\right)\cdots .}

{\displaystyle \left(t-a_{1}\right)\left(t-a_{2}\right)\left(t-a_{3}\right)\cdots .}این کار می‌کند زیرا درایه‌های قطری نیز مقادیر ویژه این ماتریس هستند.

برای یک ماتریس کلی A می‌توان به صورت زیر عمل کرد. یک اسکالر \lambda یک مقدارویژه از A اگر و فقط اگر بردار غیرصفر {\mathbf {v}}، وجود داشته باشد بردارویژه نامیده می‌شود، به طوری که


A

v

=
λ

v

,

{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}

{\displaystyle A\mathbf {v} =\lambda \mathbf {v} ,}یا به‌طور معادل


(
λ
I
−
A
)

v

=
0

{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =0}

{\displaystyle (\lambda I-A)\mathbf {v} =0}که دراینجا I ماتریس همانی است. از آنجا که {\mathbf {v}} باید غیرصفر باشد، این بدان معناست که ماتریس {\displaystyle \lambda I-A} دارای هسته غیرصفر است؛ بنابراین این ماتریس وارون‌پذیر نیست و بنابراین دترمینان آن باید صفر باشد؛ بنابراین مقادیرویژه از A ریشه‌های {\displaystyle \det(\lambda I-A)}، هستند که یک چندجمله‌ای در \lambda است.

تعریف رسمی
----------

A را یک ماتریس {\displaystyle n\times n} درنظر بگیرید. چندجمله‌ای مشخصه از A نشان داده شده با {\displaystyle p\_{A}(t)}، چندجمله‌ای تعریف‌شده‌است توسط.



p

A

(
t
)
=
det
(
t
I
−
A
)

{\displaystyle p\_{A}(t)=\det(tI-A)}

{\displaystyle p_{A}(t)=\det(tI-A)}که I نشان دهندهٔ ماتریس همانی {\displaystyle n\times n}.

برخی از نویسندگان چندجمله‌ای مشخصه را {\displaystyle \det(A-tI)} تعریف می‌کنند. آن چندجمله‌ای با چیزی که در اینجا با یک علامت {\displaystyle (-1)^{n}} تعریف شده متفاوت است، بنابراین برای ویژگی‌هایی مانند ریشه داشتن مقادیر ویژه A تفاوتی ندارد؛ با این حال، تعریف بالا همیشه یک چندجمله‌ای یکین به دست می‌دهد، درحالی که تعریف جایگزین تنها زمانی یکین است که n زوج است.

جستارهای وابسته
---------------

* معادله مشخصه (ابهام‌زدایی)
* چندجمله‌ای کمینه (جبر خطی)
* ناورداهای تانسورها
* ماتریس همراه
* الگوریتم فادیف-لووریر
* قضیه کیلی-همیلتون
* الگوریتم ساموئلسون-برکوویتز

منابع
-----

1. ↑  Guillemin, Ernst (1953). *Introductory Circuit Theory*. Wiley. pp. 366, 541. ISBN 0-471-33066-3.
2. ↑  Forsythe, George E.; Motzkin, Theodore (January 1952). "An Extension of Gauss' Transformation for Improving the Condition of Systems of Linear Equations" (PDF). *American Mathematical Society – Mathematics of Computation*. **6** (37): 18–34. doi:10.1090/S0025-5718-1952-0048162-0. Retrieved 3 October 2020.
3. ↑  Frank, Evelyn (1946). "On the zeros of polynomials with complex coefficients". *Bulletin of the American Mathematical Society*. **52** (2): 144–157. doi:10.1090/S0002-9904-1946-08526-2.
4. ↑  "Characteristic Polynomial of a Graph – Wolfram MathWorld". Retrieved August 26, 2011.
5. ↑  Steven Roman (1992). *Advanced linear algebra* (2 ed.). Springer. p. 137. ISBN 3-540-97837-2.

* T.S. Blyth & E.F. Robertson (1998) *Basic Linear Algebra*, p 149, Springer شابک ‎۳−۵۴۰−۷۶۱۲۲−۵.
* John B. Fraleigh & Raymond A. Beauregard (1990) *Linear Algebra* 2nd edition, p 246, Addison-Wesley شابک ‎۰−۲۰۱−۱۱۹۴۹−۸.
* Garibaldi, Skip (2004), "The characteristic polynomial and determinant are not ad hoc constructions", *American Mathematical Monthly*, **111** (9): 761–778, arXiv:math/0203276, doi:10.2307/4145188, JSTOR 4145188, MR 2104048
* Werner Greub (1974) *Linear Algebra* 4th edition, pp 120–5, Springer, شابک ‎۰−۳۸۷−۹۰۱۱۰−۸.
* Paul C. Shields (1980) *Elementary Linear Algebra* 3rd edition, p 274, Worth Publishers شابک ‎۰−۸۷۹۰۱−۱۲۱−۱.
* Gilbert Strang (1988) *Linear Algebra and Its Applications* 3rd edition, p 246, Brooks/Cole شابک ‎۰−۱۵−۵۵۱۰۰۵−۳.