|  |
| --- |
| از سلسله مقالات دربارهٔ |
| برتراند راسل |
| راسل در ۱۹۱۶ |
| * نظراتِ فلسفی
* نظراتِ اجتماعی
* پارادوکس راسل
* قوری راسل
* نظریه توصیفات
* اتمیسم منطقی

---

* کتاب‌شناسی
* سال‌شمار
 |
|  کارها  سخن‌ها  برتراند راسل |
| * ن
* ب
* و
 |

در بنیان‌های رایش **پارادوکس راسل** یا **ناسازنمای راسل** از برجسته‌ترین ناسازنماهای نگره‌ی مجموعه‌ها است که به دست رایشمند و فیلسوف بریتانیایی برتراند راسل در سال ۱۹۰۱ شناسانده شد.

این ناسازنما نشان می‌دهد که نگره‌ی طبیعی مجموعه‌های فرگه که برپایه‌ی کارهای گئورگ کانتور، بنیان‌گذار نظریه مجموعه‌ها، بود دارای پاد‌گویی‌هایی در درون خودش است.

بحث غیررسمی
-----------

در نظریه طبیعی مجموعه‌ها دو اصل موضوع عمده وجود دارد که عبارت‌اند از اصل موضوع گسترش و اصل موضوع شهودی تجرید.

اصل شهودی تجرید بیان می‌کند که اگر {\displaystyle \phi (x)} یک گزاره‌نما در مورد متغیر آزاد x باشد آنگاه:

{\displaystyle \{x:\phi (x)\}}
یک مجموعه‌است. به بیان دیگر متناظر با هر گزاره‌نما (خاصیت (به عبارت ساده‌تر مجموعه)) چون {\displaystyle \phi (x)}، مجموعه‌ای وجود دارد که دقیقاً شامل عناصری است که در {\displaystyle \phi (x)} صدق می‌کنند. به این ترتیب این اصل به ما اجازه می‌دهد که به‌وسیلهٔ هر ویژگی دلخواه، یک مجموعه داشته باشیم.

برتراند راسل به‌وسیلهٔ پارادکس راسل نشان داد که در نظر گرفتن این اصل در نظریهٔ طبیعی مجموعه‌ها موجب تناقض می‌شود، و لذا نظریهٔ طبیعی مجموعه‌های گئورگ کانتور نظریه‌ای ناسازگار است و نیاز به بازنگری دارد.

راسل، به‌وسیلهٔ ارایهٔ **مجموعهٔ همه مجموعه‌هایی که عضو خود نیستند**، این فرض را که مجموعه‌ها می‌توانند به صورت آزاد و بدون هیچ قید و بند و معیاری تعریف شوند، باطل اعلام کرد. این مجموعه توسط برتراند راسل معرفی شد و تناقضی که از آن حاصل می‌شود **پارادوکس راسل** است.

گزاره‌نمای {\displaystyle \phi (x):x\not \in x} را در مورد مجموعه‌ها، در نظر بگیرید. دراین صورت مطابق اصل شهودی تجرید

{\displaystyle \{x:x\not \in x\}}
یک مجموعه‌است که شامل همهٔ مجموعه‌هایی است که عضو خودشان نیستند.

فرض کنید R «مجموعهٔ همهٔ مجموعه‌هایی که عضو خودشان نیستند» باشد؛ یعنی:

{\displaystyle R=\{x:x\not \in x\}}
پس A یک عضو R است اگر و فقط اگر A یک عضو A نباشد؛ یعنی:

{\displaystyle \forall A(A\in R\iff A\not \in A)}
هیچ چیز در نظریهٔ مجموعه‌های کانتور و فرگه مانع تعریف چنین مجموعه‌ای نمی‌شود و خوش تعریفی آن نیز واضح فرض می‌شود.

مشکل هنگامی برمی‌خیزد که به خود مجموعهٔ R، به عنوان مجموعهٔ قابل قبول نگاه بیندازیم و این سؤال را در مورد R مطرح کنیم که آیا R عضوی از خودش است یا نه؟

* اگر پاسخ بلی بدهیم، پس {\displaystyle R\in R} ولذا بنابر تعریف مجموعهٔ R باید داشته باشیم {\displaystyle R\not \in R} که این تناقض است.
* اگر پاسخ خیر باشد، پس {\displaystyle R\not \in R} و لذا بنابر تعریف R باید داشته باشیم {\displaystyle R\in R} که این نیز تناقض است.

پارادکس راسل اولین عامل برای برانگیختن تلاش ریاضیدانان در جهت اصل موضوعی کردن نظریه مجموعه‌ها بود.

آن‌ها سعی کردند نظریه مجموعه‌ها را بر پایهٔ اصولی قوی‌تر و پیچیده‌تر از اصل موضوع گسترش استوار کنند تا از تعریف چنین مجموعه‌هایی جلوگیری شود. این پارادکس، راسل را برای گسترش هرچه بیشتر نظریهٔ انواع و ارنست تسرملو را برای گسترش نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها سوق داد و موجب پیدایش نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل و سایر دستگاه‌های اصل موضوعی مجموعه‌ها شد.

این پارادکس همچنین نشان می‌دهد که مجموعه همه مجموعه‌ها نیز که تا آن زمان وجود آن مسلم فرض می‌شد، وجود ندارد.

بیانی سوری از پارادوکس راسل و تحلیل منطقی
-----------------------------------------

در حقیقت بیان دیگری از این پارادکس به زبان منطق چیزی بجز اطلاعات منطق مقدماتی و تعریف مجموعه‌هایی انتزاعی نیاز ندارد. با استفاده از نماد مجموعه‌ساز که در نظریه طبیعی مجموعه‌ها وجود دارد می‌توان مجموعه

{\displaystyle R=\{x:x\not \in x\}}
را تعریف کرد، در این صورت:

{\displaystyle \forall x(x\in R\iff x\not \in x)}
حال با جایگذاری R به جای x داریم:

{\displaystyle R\in R\iff R\not \in R}
که این یک تناقض است (در منطق ریاضی، تناقض گزاره (منطق) همواره نادرست است). این تناقض با استثنا قرار دادن برای مقادیر x رفع نمی‌شود چرا که موارد بسیاری از آن‌ها را داریم.

تاریخچه
-------

این‌که راسل چه موقع این پارادوکس را کشف کرد دقیقاً مشخص نیست، ولی به‌نظر می‌رسد که در ماه مه یا ژوئن سال ۱۹۰۱ و احتمالاً به عنوان نتیجه‌ای از کارش بروی قضیه کانتور (عدد اصلی هر مجموعه از عدد اصلی مجموعه توانی آن کمتر است) به این پارادوکس پی برده‌است.

او ابتدا پارادکس را در سال ۱۹۰۱ به صورت مقاله‌ای در ماهنامهٔ *اینترنشنال* با عنوان «جدیدترین کار در فلسفه ریاضیات» مطرح کرد.

او همچنین برهان کانتور را در مورد این‌که بزرگ‌ترین عدد اصلی وجود ندارد مطرح ساخت و اضافه کرد که «استاد» در مورد یک مغالطه زیرکانه مقصر است که او بعداً در این باره توضیح می‌دهد.

راسل همچنین پارادوکس را در کتاب خود با عنوان اصول ریاضیات (Principles of Mathematics)-که نباید با کتاب قبلی او Principia Mathematica اشتباه شود- ذکر کرد که آن را «تناقض» نامید. دوباره او بیان کرد که این پارادکس را با تجزیه و تحلیل برهان کانتور برای اثبات عدم وجود بزرگ‌ترین عدد اصلی به‌دست آورده‌است.

راسل در سال ۱۹۰۲ این پارادکس را با فرگه که در حال نوشتن جلد دوم کتاب خود با عنوان Grundgesetze der Arithmetik بود در میان گذاشت.

فرگه با عجله در ضمیمه‌ای، یک راه حل برای رفع این پارادکس نوشت که بعدها ناکافی بودن آن به اثبات رسید. به هر حال، بعد از چاپ جلد دوم کتاب، فرگه بعد از انتشار دومین بخش کتاب خود، کمی در مورد منطق ریاضی و فلسفه ریاضیات نوشت.

ارنست تسرملو در هنگام کار روی نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها که در سال ۱۹۰۸ آن را منتشر ساخت، به این پارادکس پی‌برد ولی گمان کرد نکتهٔ کوچکی است و لذا هیچ‌گاه آن را منتشر نساخت. تسرملو در دستگاه اصل موضوعی خود، از این پارادکس با بهره‌گیری از اصل موضوعی با عنوان اصل موضوع تصریح جلوگیری کرد.

راسل و آلفرد نورث وایتهد سه جلد از کتاب اصول ریاضیات را به امید پیروزی در حالی که فرگه شکست خورده‌بود نوشتند و در آن سعی کردند با استفاده از نظریهٔ انواع، از چنین پارادکس‌هایی در نظریه طبیعی مجموعه‌ها اجتناب کنند.

هنگامی که آن‌ها موفق به پایه‌ریزی حساب شدند، به نظر نمی‌رسید که فقط از منطق استفاده کرده باشند. به هر حال کورت گودل، در بین سال‌های ۱۹۳۰ تا ۱۹۳۱ ثابت کرد که منطق بسیاری از بخش‌های *Principia Mathematica* که اکنون به عنوان منطق مقدماتی خوانده می‌شود کامل است ولی حساب پئانو در صورتی که سازگار باشد لزوماً ناکامل است؛ بنابراین از این به بعد برنامه‌های منطقی فرگه و *Principia Mathematica* مردند.

نمونه‌های کاربردی
-----------------

مواردی ساده‌تر از پارادکس راسل نیز وجود دارد که بیشتر با واقعت‌ها در زندگی نزدیک است و برای غیر منطقیون قابل فهم‌تر است. به عنوان مثال پارادوکس آرایشگر دهکده نمونه‌ای از آن است.

در دهکده‌ای فقط یک ریش‌تراش وجود دارد. او فقط ریش کسانی را می‌تراشد که ریش خود را نمی‌تراشند. ریش خود ریش‌تراش را چه کسی می‌تراشد؟ اگر او ریش خود را نتراشد. باید نزد ریش‌تراش یعنی خودش برود تا ریشش را بتراشد و اگر ریش خودش را بتراشد نباید توسط ریش‌تراش یعنی خودش ریشش تراشیده شود!

اما هنگامی که این بیانات غیررسمی و عامیانه از پارادکس را ارائه می‌دهیم اشکالی هم به‌وجود می‌آید. به عنوان نمونه در جواب پارادکس آرایشگر آسان است که بگوییم چنین آرایشگری وجود نخواهد داشت. تمامی نکتهٔ پارادکس راسل در این است که پاسخ «چنین مجموعه‌ای وجود ندارد» به معنی این است که تعریف مجموعه به کمک نماد مجموعه‌ساز بدون هیچ مرز و معیاری ناکافی است و رضایت بخش نیست. البته برخی نمونه‌ها از این پارادکس این اشکال را ندارد. از این نمونه می‌توان به پارادکس گریلینگ-نلسون (Grelling-Nelson) اشاره کرد که در آن کلمات و معنای آن‌ها به‌جای افراد و آرایشگر قرار گرفته‌اند.

این آسان است که پارادکس آرایشگر را با رد وجود چنین آرایشگری رفع کنیم ولی گفتن چنین چیز مشابهی در مورد لغات و معناها ممکن نیست.

پاسخ نظریه مجموعه‌ها به پارادکس
-------------------------------

راسل به همراه آلفرد نورث وایتهد با گسترش نظریهٔ انواع سعی در دور کردن پارادکس کرد. در همین حال چالش‌های دیگری در نظریهٔ مجموعه‌ها پیدا شدند.

در سال ۱۹۰۸ ارنست تسرملو یک دستگاه اصل موضوعی را برای نظریهٔ مجموعه‌ها ارائه داد که از پارادوکس‌های نظریه مجموعه‌ها جلوگیری می‌کرد. این اصول به‌وسیله آبراهام فرانکیل، تورالف اسکولم و خود تسرملو در سال ۱۹۲۰ اصلاح شدند و سرانجام نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها را به وجود آوردند که آن را نظریه مجموعه‌های تسرملو-فرانکیل یا **ZFC** می‌نامند.

در **ZFC** فرض این‌که هر گزاره‌نما، مجموعهٔ همهٔ اشیایی را که در آن خاصیت صدق می‌کنند تعریف می‌کند، وجود ندارد و به جای آن این جمله جایگزین شده‌است که «برای هر مجموعهٔ X و گزاره‌نمای {\displaystyle \phi (x)}، زیرمجموعه‌ای از همهٔ عناصر X وجود دارد که دارای خاصیت \phi هستند». به عبارت دیگر برای مجموعهٔ X و گزاره‌نمای \phi زیرمجموعهٔ Y از X وجود دارد که

{\displaystyle \forall x(x\in Y\iff x\in X\land \phi (x))}

در این صورت مجموعهٔ ناممکن راسل R دیگر یک مجموعهٔ معتبر از نظر **ZFC** نخواهد بود و اساساً قابل تعریف نخواهد بود.

اما ZFC تنها نظریهٔ اصل موضوعی به‌وجود آمده نبود بلکه نظریه‌های دیگری چون نظریه مجموعه‌های فون نیومن-گودل-برنیز(NGB) یا مبانی جدید و… نیز به‌وجود آمدند که هر یک دارای اصول موضوع خاص و محدودیت‌هایی هستند.

جستارهای وابسته
---------------

* مجموعه
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه اصل موضوعی مجموعه‌ها
* نظریه طبیعی مجموعه‌ها
* پارادوکس

منابع
-----

* پل ریچارد هالموس (۱۳۷۳)، *نظریه طبیعی مجموعه‌ها*، ترجمهٔ عبدالحمید دادالله، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۰۵۲-۸
* ایان استیوارت، دیوید تال (۱۳۷۶)، *مبانی ریاضیات*، ترجمهٔ محمد مهدی ابراهیمی، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۲۵۳-۹
* شووینگ تی. لین و یو-فینگ. لین (۱۳۸۴)، *نظریه مجموعه‌ها و کاربرد آن*، ترجمهٔ عمید رسولیان، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۴۶۲-۰
* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Russell's paradox». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۴ آگوست ۲۰۰۷.

| * ن
* ب
* و
نظریه مجموعه‌ها |
| --- |
| نمای‌کلی | 
* مجموعه

 | Venn diagram of set intersection |
| اصول موضوع | 
* Adjunction
* اصل موضوع انتخاب
	+ اصل انتخاب شمارا
	+ dependent
	+ جهانی
* Constructibility (V=L)|
* Determinacy
* اصل موضوع گسترش
* اصل موضوع بی‌نهایت
* Limitation of size
* اصل موضوع زوج‌سازی
* اصل موضوع مجموعه توانی
* Regularity
* اصل موضوع اجتماع
* Martin's axiom
* Axiom schema
	+ اصول موضوع جایگزینی
	+ اصل موضوع تصریح

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* ضرب دکارتی
* متمم (a.k.a set difference)
* قوانین دمورگان
* اجتماع مجزا
* اشتراک
* مجموعه توانی
* تفاضل متقارن
* اجتماع

 |
| * مفاهیم
* روش‌ها
 | 
* کاردینالیتی
* عدد اصلی (بزرگ)
* کلاس
* جهان ساختی
* فرضیه پیوستار
* استدلال قطری کانتور
* عنصر
	+ زوج مرتب
	+ نوع تاپل
* Family
* Forcing
* تناظر دوسویه
* عدد ترتیبی
* Set-builder notation
* استقرای ترامتناهی
* نمودار ون

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* Amorphous
* مجموعه شمارا
* مجموعه تهی
* مجموعه متناهی (hereditarily)
* مجموعه‌های فازی
* مجموعه نامتناهی (Dedekind-infinite)
* مجموعه بازگشتی
* مجموعه تک‌عضوی
* زیرمجموعه
* مجموعه متعدی
* مجموعه ناشمارا
* مجموعه جهانی

 |
| نظریه‌ها | 
* نظریه مجموعه جایگزین
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه طبیعی مجموعه‌ها
* قضیه کانتور

* Zermelo
	+ General
* *مبادی ریاضیات*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel 
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * تناقضات
* مسئله‌ها
 | 
* پارادوکس راسل
* Suslin's problem
* پارادوکس بورالی-فورتی

 |
| نظریه‌پردازان مجموعه | 
* آبراهام فرنکل
* برتراند راسل
* ارنست تسرملو
* گئورگ کانتور
* جان فون نویمان
* کورت گودل
* پل برنایز
* پل کوهن
* ریچارد ددکیند
* Thomas Jech
* تورالف اسکولم
* ویلارد کواین

 |

| * ن
* ب
* و
پارادوکس‌ها |
| --- |
| فلسفه | 
* تحلیل
* پل بوریدان
* Dream argument
* اپیکور
* Fiction
* Fitch's knowability
* برهان اختیار
* گودمن
* Hedonism
* پارادوکس لیبرالیسم
* منون
* Mere addition
* Moore's
* پارادوکس نیوکامب
* Nihilism
* پارادوکس قدرت مطلق
* Preface
* ویتگنشتاین و قواعد و زبان خصوصی
* White horse
* پارادوکس‌های زنون

 | 

 |
| منطقی | 

|  |  |
| --- | --- |
| ارجاع به خود | 
* آرایشگر
* Berry
* Bhartrhari's
* پارادوکس بورالی-فورتی
* دادگاه
* Crocodile
* Curry's
* Epimenides
* Grelling–Nelson
* پارادوکس کلینی-راسر
* پارادوکس دروغگو
	+ Card
	+ No-no
	+ Pinocchio
	+ Quine's
	+ Yablo's
* Opposite Day
* Richard's
* پارادوکس راسل
* دانم که ندانم
* Hilbert's Hotel

 |
| ابهام | 
* کشتی تسئوس
	+ فهرست نمونه‌های کشتی تسئوس
* پارادوکس کپه‌ها

 |
| انواع دیگر | 
* Barbershop
* تبصره ۲۲ (منطق)
* Drinker
* پارادوکس استلزام مادی
* ناسازنمای بخت‌آزمایی
* Plato's beard
* Raven
* Ross'
* پارادوکس اعدام غیرمنتظره
* What the Tortoise Said to Achilles
* پارادوکس مرگ گرما
* پارادوکس اولبرس

 |

 |
| اقتصادی | 
* پارادوکس اله
* Antitrust
* Arrow information
* پارادوکس برتراند (اقتصاد)
* پارادوکس بریس
* Competition
* درآمد و باروری
* Downs–Thomson
* Easterlin
* Edgeworth
* Ellsberg
* European
* Gibson's
* کالای گیفن
* Icarus
* Jevons
* Leontief
* پارادوکس لوکاس
* Mandeville's
* Mayfield's
* Metzler
* نفرین منابع
* Productivity
* Prosperity
* Scitovsky
* Service recovery
* پارادوکس سنت‌پترزبورگ
* تناقض خست
* Toil
* رانت‌خواهی
* Value

 |
| نظریه تصمیم | 
* پارادوکس ابیلین
* Apportionment
	+ Alabama
	+ New states
	+ Population
* قضیه عدم امکان ارو
* خر بوریدان
* Chainstore
* پارادوکس کندورسه
* Decision-making
* Downs
* Ellsberg
* Fenno's
* Fredkin's
* Green
* Hedgehog's
* Inventor's
* Kavka's toxin puzzle
* Morton's fork
* Navigation
* پارادوکس نیوکامب
* پارادوکس پاراندو
* Prevention
* دوراهی زندانی
* پارادوکس بردباری
* Willpower

 |
| 
* فهرست پارادوکس‌ها
* رده:پارادوکس‌ها
* Book

 |

| * ن
* ب
* و
موضوعات اصلی در بنیان‌های ریاضیات |
| --- |
| منطق ریاضی | 
* اصول موضوعه پئانو
* استقرای ریاضی
* دستگاه اصول‌موضوعه‌ای
* اثبات ریاضیات
* نظریه مدل
* برساخت‌گرایی (ریاضیات)
* منطق موجهات
* لیست موضوعات منطق ریاضی

 |
| نظریه مجموعه‌ها | 
* مجموعه (ریاضیات)
* نظریه طبیعی مجموعه‌ها
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه مجموعه‌های زرملو
* نظریه مجموعه‌های زرملو-فرانکل
* نظریه توصیفی مجموعه‌ها
* قطعیت
* پارادوکس راسل
* لیست موضوعات نظریه مجموعه‌ها

 |
| نظریه رسته‌ها | 
* رسته (ریاضیات)
* نظریه نوع‌ها
* نظریه توپوز
* واژه نامه نظریه رسته‌ها
* لیست موضوعات نظریه رسته‌ها

 |

| * ن
* ب
* و
برتراند راسل |
| --- |
| فهرست‌ها |
| اندیشه | 

|  |  |
| --- | --- |
| Views on philosophy | 
* مناظره کاپلستن–راسل
* Logical atomism
* قوری راسل
* نظریه توصیفات

 |

|  |  |
| --- | --- |
| نگرش سیاسی | 
* بیانیه راسل–اینشتین
* Russell Tribunal

 |

|  |  |
| --- | --- |
| Mathematics | 
* Peano–Russell notation
* پارادوکس راسل

 |

 |
| کتاب‌ها و مقالات | 
* *The Principles of Mathematics* (1903)
* *در باب دلالت* (1905)
* *مبادی ریاضیات* (1910–1913)
* *مسائل فلسفه* (1912)
* *Why Men Fight* (1916)
* *Introduction to Mathematical Philosophy* (1919)
* *Free Thought and Official Propaganda* (1922)
* *چرا مسیحی نیستم* (1927)
* *Marriage and Morals* (1929)
* *در ستایش بطالت و چند مقاله دیگر* (1935)
* *قدرت (کتاب)* (1938)
* *تاریخ فلسفه غرب* (1945)
* *تکامل فلسفی من* (1959)

 |
| خانواده | 
* Alys Pearsall Smith (wife, 1894–1921)
* دورا راسل (wife, 1921–35)
* Patricia Russell (wife, 1936–51)
* Edith Finch Russell (wife, 1952–70)
* جان راسل (son)
* Conrad Russell, 5th Earl Russell (son)
* Frank Russell, 2nd Earl Russell (brother)
* John Russell, Viscount Amberley (father)
* Katharine Russell, Viscountess Amberley (mother)
* جان استوارت میل (godfather)
* جان راسل (نخست‌وزیر) (paternal grandfather)
* Henrietta Stanley, Baroness Stanley of Alderley (maternal grandmother)

 |
| دیگر | 
* Appointment court case
* Earl Russell
* Peace Foundation
* Professorship of Philosophy

 |
| **رده: برتراند راسل** |