نوار لغزشی که بر روی یک دانه فریت در فولاد ضد زنگ سخت شده کهنه شده تشکیل شده است. نوار لغزش در مرکز تصویر در یک بار مشخص مشاهده شد، سپس بار با انفجاری از دررفتگی‌هایی که از نوک نوار لغزش خارج می‌شد به عنوان پاسخی به افزایش بار افزایش می یابد. این انفجار نابجایی و تغییر توپوگرافی جلوتر از نوار لغزش در نوارهای لغزش مختلف مشاهده شد (به اطلاعات تکمیلی مقاله مراجعه کنید). طول تصویر 10 پیکومتر است. 
تشکیل **نوارهای حاصل از حرکت نابجایی ها** یک لغزش یک طرفه متمرکز بر روی سطوح خاص را نشان میدهد که باعث افزایش تراکم تنش می شود. به طور معمول، نوارهای لغزش باعث ایجاد پله‌های سطحی می‌شوند (به عنوان مثال، زبری ناشی از نوارهای لغزش مداوم در هنگام خستگی ) و تراکم تنش که می‌تواند محل هسته‌زایی ترک باشد. نوارهای لغزش آنقدر حرکت میکنند و گسترش می یابند تا زمانی که با یک مرز برخورد کنند پس از رسیدن به مرز دانه دو اتفاق میتواند بیوفتد یا تنش ایجاد شده از انباشته شدن نابجایی در برابر آن مرز یا متوقف می شود یا لغزش عملیاتی را منتقل می کند.  

ایجاد نوارهای لغزش تحت شرایط چرخه ای به عنوان نوار لغزش پایدار (PSBs) در نظر گرفته می شود که در آن شکل گیری در شرایط یکنواخت به عنوان آرایه های مسطح نابجایی خطاب می شود.  خطوط نابجایی را می توان به سادگی، با استفاده از حرکن خطوط نابجایی که بدلیل تنش اتفاق میوفتد مشاهده کرد. و در جایی که PSB ها معمولاً با بردار (موثر) برگر هم تراز با صفحه اکستروژن مطالعه می شوند، زیرا نوار های لغزشی در سراسر دانه گسترش می یابد و در هنگام خستگی افزایش می یابند.  نوار لغزشی یکنواخت یک بردار برگرز برای انتشار و دیگری برای اکستروژن های صفحه است که شرایط لبه هردو را کنترل می کند.

نوارهای لغزش مداوم (PSB)
------------------------

 ساختار PSB (اقتباس شده از  )
نوار لغزش پایدار (PSBs) با محلی سازی کرنش به دلیل خستگی در فلزات و ترک در همان صفحه همراه است. نوار لغزشی مداوم - ساختار نردبانی - عمدتاً از کانال های کم تراکم بخش های دررفتگی پیچ های متحرک و دیوارهای با چگالی بالا قطعات دررفتگی لبه دوقطبی که با بخش لبه های درهم پیچیده و حلقه های دو قطبی در اندازه های مختلف که بین دیوارها و کانال ها پراکنده شده اند تشکیل شده است..   یک نوع حلقه نابجایی مرز یک تکه کاملا محصور از مواد لغزش شده را بر روی صفحه لغزش تشکیل می دهد که به سطح آزاد ختم می شود و باعث ایجاد پلکان روی سطح جسم میشود. پهن شدن نوار لغزش: نابجایی پیچ می تواند تنش برشی حل شده کافی برای سر خوردن روی بیش از یک صفحه لغزش داشته باشد. لغزش متقاطع ممکن است رخ دهد. اما این باعث می شود که بخش هایی از دررفتگی در صفحه لغزش اصلی باقی بماند و لغزش را برای سایر نابجایی محدود و سختتر کند. دررفتگی می تواند به صفحه لغزش اولیه موازی برگردد. جایی که یک منبع نابجایی جدید را تشکیل می دهد و فرآیند می تواند تکرار شود. این دیوارها در PSB ها یک شکل "پراکندگی دوقطبی" از آرایش پایدار نابجایی لبه ها با حداقل میدان تنش دوربرد است که دارای میدان تنش دوربرد حداقلی است. که متفاوت از نوارهای لغزشی است که یک پشته مسطح از یک آرایه پایدار است که میدان تنش دوربرد قوی دارد. و - در سطح آزاد - برش و باز کردن (حذف) حلقه های نابجایی در سطح باعث ایجاد پله سطح غیرقابل برگشت / پایدار مرتبط با نوار لغزش می شود و این گله ها عیوب دو بعدی نیز نامگذاری میشوند.    تسکین سطح از طریق اکستروژن در جهت بردار برگر و ارتفاع اکستروژن و عمق PSB با ضخامت PSB افزایش می یابد و ناهمواری را در سطح ماده افزایش میدهد و باعث زبر تر شدن ماده میشود.  و به محض اینکه نابجایی اشباع شد و به پیکربندی بی‌نظیر خود رسید، ترک‌هایی برای ایجاد هسته و انتشار در امتداد اکستروژن‌های PSB مشاهده شد و این ترک ها باعث شکننده تر شدن ماده میشوند البته برای ایجاد این ترک ها پس ازاشباع شدن دانه از نابجایی انرژی و تنش زیادی لازم است چون محدودیت برای حرکت نابجایی حاصل از افزایش تراکم میدان تنشی حرکت نابجایی را سختتر میکند و عملا در این حالت ماده ی استحکام یافته ترک برداشته.    به طور خلاصه، برخلاف عیوب خط دوبعدی، میدان در نوک نوار لغزش به دلیل فعل و انفعالات سه بعدی است که در آن اکستروژن باند لغزش یک دررفتگی سینک مانندی را شبیه سازی می کند که در امتداد محور حرکت نابجایی مشاهده میشوند. بزرگی میدان تغییر شکل گرادیان جلوتر از باند لغزش به ارتفاع لغزش بستگی دارد و شرایط مکانیکی انتشار تحت تأثیر میدان دوربرد نابجایی‌های ساطع شده است. یک علامت سطح، یا نوار لغزش، در تقاطع یک صفحه لغزش فعال و سطح آزاد یک کریستال ظاهر می شود. لغزش در بهمن هایی که به موقع از هم جدا شده اند رخ می دهد. بهمن‌های سیستم‌های لغزشی دیگر که از یک صفحه لغزشی حاوی منبع فعال عبور می‌کنند، منجر به نشانه‌های سطح پلکانی مشاهده‌شده، با بهمن‌های متوالی از منبع داده شده نسبت به یکدیگر جابجا شده‌اند.  نابجایی‌ها روی یک صفحه لغزش واحد ایجاد می‌شوند زیرا انتقال نابجایی از صفحه ای به صفحه ی دیگر نیازمند انرژی بالایی است. آنها اشاره می‌کنند که یک بخش نابجایی ، که در یک صفحه لغزش قرار دارد و در هر دو انتها چسبانده شده است، منبع تعداد نامحدودی از حلقه‌های نابجایی است که البته با وجود تعداد بیشتر نابجایی ایجاد نابجایی جدید سختتر است. به این ترتیب می توان گروه بندی نابجایی ها را در بهمنی از هزار حلقه یا بیشتر در یک صفحه لغزش درک کرد.  هر حلقه نابجایی دارای یک میدان تنش است که با تنش اعمال شده در همسایگی منبع مخالف است و این باعث می شود که حلقه های نابجایی با یکدیگر ادغام نشوند. وقتی حلقه‌های کافی ایجاد شد، تنش در منبع به مقداری کاهش می‌یابد که حلقه‌های اضافی تشکیل نمی‌شوند. به دلیل وجود میدان تنشی اطراف هر حلقه حلقه نمی توانند با یکدیگر تفکیک شوند و باید فاصله ی مشخصی را از هم حفظ کنند و تنها پس دور شدن یک بهمن از حلقه ها بهمن جدیدی میتواند ایجاد شود این کشش های داخلی باعث ایحاد محدودیت در حرکت خطوط نابجایی میشود و هرچه خطوط نا بجایی بیشتر باشند میدان تنشی اطراف این نابجایی ها فضای بیشتری را اشغال کرده قابل ذکر است که خطوط نابجایی بدلیل میدان های تنشی متفاوت اطرافشان با یکدیگر ادغام نمی شوند و همین امر باعث میشود که افزایش تعداد این خطوط باعث سختتر شدن حرکت سایر نابجایی ها بشود و به دلیل ستتر شدن حرکت نا بجایی در دانه استحکام ماده بالاتر میرود.

تولید اولین تجمع نابجایی ها به راحتی قابل ردیابی و مشاهده است .هنگامی که تنش در منبع به r\* رسید، حلقه‌ها ایجاد می‌شوند و تا زمانی که استرس پس از بهمن متوقف شود، تولید می‌شوند. بهمن دوم بلافاصله در پلی کریستال ها رخ نمی دهد، زیرا حلقه ها در بهمن اول در مرزهای دانه متوقف می شوند یا تا حدی متوقف می شوند و فضای دانه را برای بهمن بعدی محدود تر میکنند و تنش بیشتری برای ایجاد بهمن دوم لازم است. تنها در صورتی که تنش خارجی به میزان قابل توجهی افزایش یابد، بهمن دوم تشکیل خواهد شد و همچنین فضا برای بهمن های بعدی محدود تر خواهد شد. به این ترتیب می توان تشکیل بهمن های اضافی با افزایش تنش را درک کرد.

باقی مانده است که جابجایی بهمن های متوالی را با مقدار کمی نرمال نسبت به صفحه لغزش توضیح دهیم، در نتیجه ساختار ظریف مشاهده شده نوارهای لغزش را در نظر بگیریم. جابجایی از این نوع مستلزم آن است که منبع فرانک-رید نسبت به سطحی که نوارهای لغزش مشاهده می شود حرکت کند البته باید این را هم در نظر گرفت که میدان های تنشی و سایر نابجایی ها چگونه در هر دانه توزیع شده اند.

کار نانو فشرده سازی درجا  در میکروسکوپ الکترونی عبوری (TEM) نشان می دهد که تغییر شکل a-Fe در مقیاس نانو یک فرآیند ناهمگن است که با یک سری انفجارهای جابجایی کوتاه و انفجارهای جابجایی بزرگ متناوب مشخص می شود. مجموعه ای از انفجارهای کوتاه با حرکت جمعی نابجایی ها در داخل کریستال مطابقت دارد. انفجارهای بزرگ منفرد از SBهایی هستند که از سطح نمونه هسته گرفته شده اند. این نتایج نشان می دهد که تشکیل SBs را می توان به عنوان یک فرآیند انعطاف پذیری محدود منبع در نظر گرفت. تغییر شکل پلاستیک اولیه با ضرب / حرکت چند نابجایی در فواصل کوتاه به دلیل در دسترس بودن منابع نابجایی در نانو تیغه مشخص می شود و البته باید در نظر گرفت که این نا بجایی بصورت نا محدود نمیتوانند حرکت کنند و اغلب این حرکت به مرز دانه محدود میشود چون که یک نا بجایی برای گذر از مرز دانه و ورود به دانه دیگر نیازمند انرژی وتنش زیادی است و گاها ممکن است جسم توان تحمل این مقدار تنش را نداشته باشد و دچار شکستگی شود. هنگامی که به مرحله ای رسید که در آن نابجایی های متحرک در امتداد صفحات لغزش ترجیحی از طریق نانو تیغه حرکت کردند یا در پیکربندی های بدون حرکت درگیر شدند و حرکت نابجایی بیشتر در داخل کریستال دشوار شد، شکل پذیری با تشکیل SB ها انجام می شود که هسته می شوند. از سطح  و سپس از طریق نانو تیغه منتشر می شود.

 منبع فرانک-رید
فیشر *و همکاران*  پیشنهاد کرد که SBها به صورت دینامیکی از منبع فرانک-رید در سطح نمونه تولید می‌شوند و توسط میدان تنش خود در تک بلورها خاتمه می‌یابند و با ایجاد هر کدام از این SB ها و بدلیل میدان تنشی اطرافش تولید و جاگیری SB جدید به تنش بیشتری احتیاج دارد. رفتار ترکیدگی جابجایی که توسط Kiener و Minor  در فشرده سازی نانوستون های تک کریستالی مس گزارش شده است. بدیهی است که پیشرفت تسلیم دندانه دار را نسبت به آن بدون نانوساختار اسپینودال سرکوب کرد. نتایج تحقیقات نشان داد که در طول تغییر شکل فشاری، نانوساختار اسپینودال حرکت نابجایی‌ها را محدود می‌کند (که منجر به افزایش قابل‌توجه در چگالی دررفتگی می‌شود)، باعث ایجاد یک اثر تقویتی قابل‌توجه می‌شود، و همچنین مورفولوژی نوار لغزش را مسطح نگه می‌دارد و استحکام ماده را افزایش میدهد. 

حرکت خطوط نا بجایی که بر اثر تنش وارد شده به آنها رخ میدهد به رشد رسوبات آستنیت کمک می کند و داده های کمی را برای آشکار کردن میدان تنش ایجاد شده توسط مهاجرت رابط فراهم می کند.  تغییر سریع سرعت حرکت لبه هاب نابجایی احتمالا بخاطر شل شدن و تجمع میدان تنشی در نزدیکی این لبه ها است. پس از خروج از نوک، حلقه دررفتگی به سرعت جلوتر از نوک منبسط می شود، بنابراین تغییر در سرعت نوک با انتشار نابجایی همراه است. این نشان می دهد که دررفتگی ساطع شده به شدت توسط میدان تنش موجود در نوک لت دفع می شود. هنگامی که حلقه با سطح فویل برخورد می کند، به دلیل وجود یک لایه نازک اکسید روی سطح، به دو بخش دررفتگی شکسته می شود که اثری قابل مشاهده از خود باقی می گذارد. انتشار یک حلقه دررفتگی از نوک ممکن است بر سرعت حرکت نوک از طریق تعامل بین حلقه دررفتگی موضعی و نابجایی‌های سطحی احتمالی در رابط نیمه منسجم اطراف نوک تأثیر بگذارد و به دلیل ایجاد میدان تنشی در اطرافی فصای دانه را برای بوجود آمدن نابجایی جدید محدود تر میکند و همچنین برای ایجاد نابجایی جدید در این شرایط به تنش بیشتری احتیاج است و از طرفی به دلیل اینکه حرکت از دانه ای به یک دانه ی دیگر برای نابجایی انرژی بسیار بالایی نیاز دارد عملا با ایجاد هر نابجایی حرکت و بوجود آمدن برای سایر نابجایی ها دشوار تر میشود و اینگونه استحگام ماده افزایش می یابد. در نتیجه نوک به طور موقت متوقف شد. تنش برشی خالص اعمال شده بر روی هر نابجایی ناشی از ترکیبی از میدان تنش در نوک لت ( نوک τ)، تنش تصویر که تمایل به جذب حلقه نابجایی به سطح دارد ( تصویر τ)، کشش خط ( τl ) و تنش اندرکنش بین نابجایی ها (τ inter ). این بدان معناست که میدان کرنش به دلیل تبدیل آستنیت به اندازه کافی بزرگ است که باعث ایجاد هسته و انتشار نابجایی ها از نوک لت آستنیتی شود.

لغزش باند در غیاب بارگذاری چرخه ای
----------------------------------

 تشکیل نوارهای لغزشی
در حالی که بارگذاری معکوس مکرر معمولاً منجر به محلی سازی سر خوردن نابجایی و محدودیت حرکت برای سایر نابجایی ها می شود، ایجاد اکستروژن ها و نفوذهای خطی بر روی سطح آزاد می شود، ویژگی های مشابهی می تواند حتی در صورت عدم برگشت بار ایجاد شود و فضای هر دانه برای حرکت نابجایی ها محدود است مگر در صورتی که تنش آنقدر بالا برود که نا بجایی بتواند صفحه لغزش خود را عوض کند و پلکانی از این جنس درست شود. اینها از نابجایی هایی ناشی می شوند که روی یک صفحه لغزش خاص، در یک جهت لغزش خاص ، تحت یک بار خارجی می روند و البته بسته به تعداد خطوط نابجایی در دانه اندازه ی این بار میتواند متفاوت باشد. پله‌ها را می‌توان بر روی سطح آزاد به‌عنوان یک نتیجه از تمایل به دنبال شدن نابجایی‌ها در امتداد یک مسیر سر خوردن، که ممکن است چندین مورد به موازات یکدیگر در دانه مورد نظر وجود داشته باشد، ایجاد کرد. عبور قبلی نابجایی‌ها ظاهراً سر خوردن را برای موارد بعدی آسان‌تر می‌کند، و این اثر ممکن است با منابع نابجایی، مانند منبع فرانک-رید ، که در هواپیماهای خاص عمل می‌کند، مرتبط باشد.

 این مجموعه ای از 3 میکروگراف - یک نوری و دو الکترون روبشی - است که مجموعه‌ای از نوارهای لغزش پایدار را در دانه‌های جداگانه در ناحیه اطراف یک فرورفتگی کروی ساخته شده در یک نمونه مس صیقلی نشان می‌دهد. این نوارها پله هایی در سطح هستند که توسط تعداد زیادی نابجایی که در امتداد صفحات خاص (لغزش) سر می خورند ایجاد می شوند.
ظاهر چنین نوارهایی که گاهی به آنها "خطوط لغزش پایدار" می گویند، شبیه به آنهایی است که از بارگذاری چرخه ای ناشی می شوند، اما مراحل حاصل معمولاً موضعی تر و دارای ارتفاع کمتری هستند. آنها همچنین ساختار دانه را آشکار می کنند. آنها اغلب روی سطوح آزاد که قبل از تغییر شکل صیقل داده شده اند دیده می شوند. به عنوان مثال، شکل ریزنگارهای  (گرفته شده با بزرگنمایی های مختلف) از ناحیه اطراف یک تورفتگی ایجاد شده در نمونه مسی با یک فرورفتگی کروی را نشان می دهد. خطوط موازی درون دانه‌های منفرد هر کدام نتیجه چند صد نابجایی از یک نوع هستند که به سطح آزاد می‌رسند و پله‌هایی با ارتفاع چند میکرون ایجاد می‌کنند. اگر یک سیستم لغزشی منفرد در یک دانه عمل می کرد، آنگاه فقط یک مجموعه از خطوط وجود دارد، اما معمول است که بیش از یک سیستم در یک دانه فعال شود (مخصوصاً زمانی که کرنش نسبتاً زیاد باشد)، که منجر به دو یا چند خط می شود. مجموعه ای از خطوط موازی ویژگی‌های دیگری که نشان‌دهنده جزئیات چگونگی تغییر شکل پلاستیک است، مانند ناحیه‌ای از برش مشارکتی ناشی از دوقلوزایی تغییر شکل ، نیز گاهی اوقات در چنین سطوحی دیده می‌شود دو قلویی ها نوعی از نابجایی ها هستند که در آن خطی نا بجایی را به دو نیم که دقیقا هم شکل هستند تقسیم کرده. در میکروگراف نوری نشان داده شده، همچنین شواهدی از چرخش دانه وجود دارد - به عنوان مثال، در "رینگ" تورفتگی و به شکل فرورفتگی در مرزهای دانه اما حرکت نابجایی ها از یک دانه به دانه ی دیگر و عبور آنها از مرز دانه به سادگی انجام نمیشود و نیازمند انرژی بالایی است و به همین دلیل است که یکی از روش های استحکام بخشی به مواد کوچک کردن فضای دانه و ایجاد خطوط نابجایی و میدان تنشی بیشتر در هر دانه است تا سایر نایجایی برای حرکت و ایجاد شدن به سختی بیشتری بیوفتند البته باید دقت کرد که اندازه ی دانه ها بیش از حد کوچک نشود. بنابراین چنین تصاویری می توانند بسیار آموزنده باشند.

ماهیت میدان محلی باند لغزش
--------------------------

 شماتیک یک نوار لغزش، نسبت به محورهای اندازه گیری (𝑥 1 ، 𝑥 2 ، و 3 ) و محورهای مربوط به نوار لغزش (𝑥، 𝑦 و 𝑧)، که زوایایی را نشان می دهد که رابطه بین این محورها را توصیف می کند. و آثار نوار لغزش (𝛼، 𝜃)، و زاویه شیب (𝜓) رد لغزش (𝑥) و بردار برگر (𝑏) نسبت به سطح. ℎ ارتفاع باند لغزش است و 𝑞 جهت انتشار باند لغزشی است که برای محاسبه انتگرال J هنگام استفاده از روش گسترش مجازی در نظر گرفته شده است.  𝑡 بردار خط ترسیم شده در اینجا را برای یک جابجایی لبه توصیف می کند، یعنی 𝑏⊥𝑡، و 𝑛 صفحه باند لغزش نرمال است. 
میدان تغییر شکل در نوار لغزش به دلیل کرنش های الاستیک و پلاستیکی سه بعدی است که در آن برش متمرکز نوک نوار لغزش دانه را در مجاورت آن تغییر شکل می دهد. کرنش های الاستیک غلظت تنش را در جلوی نوار لغزش توصیف می کنند، که مهم است زیرا می تواند بر انتقال تغییر شکل پلاستیک در مرزهای دانه تأثیر بگذارد و حرکت خطوط نابجایی را با سختی مضاعف مواجه کند زیرا هرچه خطوط نا بجایی بیشتر و غلظت تنش بالاتر باشد ایجاد و حرکت خطوط نابجایی جدید سختتر است زیرا اطراف خطوط نا بجایی میدان تنشی خاصی وجود داره که این خطوط را با یکدیگر ادغام ناپذیر میکند و فضای دانه را برای خطوط نابجایی جدید محدود تر میکند.    درک این موضوع برای حمایت از مطالعه عملکرد و شکستگی بین / داخل دانه ای مورد نیاز است.    برش متمرکز نوارهای لغزش همچنین می‌تواند ترک‌هایی را در صفحه نوار لغزش ایجاد کند،   و نوارهای لغزش پایدار که منجر به شروع و رشد ترک خستگی درون دانه‌ای می‌شوند نیز ممکن است تحت شرایط بارگذاری چرخه‌ای تشکیل شوند.   برای مشخص کردن صحیح نوارهای لغزش و اعتبارسنجی مدل‌های مکانیکی برای برهمکنش آنها با ریزساختار، تعیین کمیت میدان‌های تغییر شکل محلی مرتبط با انتشار آنها بسیار مهم است. با این حال، توجه کمی به نوارهای لغزش درون دانه ها (یعنی در غیاب برهمکنش مرزی دانه ) شده است.

میدان تنش دوربرد (یعنی میدان کرنش الاستیک) در اطراف نوک یک متمرکز کننده تنش، مانند یک نوار لغزش ، می‌تواند یک تکینگی معادل ترک در نظر گرفته شود.   این تکینگی را می توان با استفاده از یک انتگرال مستقل از مسیر تعیین کرد زیرا قوانین بقای کشش را برآورده می کند. قوانین بقای کشش مربوط به تقارن های انتقالی، چرخشی و مقیاس بندی در ابتدا توسط نولز و استرنبرگ  از قضیه نوتر استخراج شد.  بودیانسکی و رایس  انتگرال J-، M-، L- را معرفی کردند و اولین کسانی بودند که به ترتیب تفسیری فیزیکی به عنوان نرخ آزادسازی انرژی کرنش برای مکانیسم هایی مانند انتشار حفره، انبساط یکنواخت همزمان و چرخش نقص ارائه کردند.. هنگامی که بر روی سطحی که یک نقص را در بر می گیرد، ارزیابی می شود، این انتگرال های حفاظتی نشان دهنده نیروی پیکربندی بر روی نقص هستند.  این کار راه را برای زمینه مکانیک پیکربندی مواد هموار کرد، با انتگرال J مستقل از مسیر که اکنون به طور گسترده برای تجزیه و تحلیل نیروهای پیکربندی در مسائل مختلف مانند دینامیک نابجایی،   گنجاندن نامناسب،  استفاده می شود. انتشار ترک ها ،  تغییر شکل برشی رس ها،  و هسته دررفتگی همسطح از ترک های بارگذاری شده برشی.  انتگرال ها برای مواد الاستیک خطی و الاستیک-پلاستیک به کار رفته اند و با فرآیندهایی مانند بارگذاری حرارتی  و الکتروشیمیایی  و کشش های داخلی همراه شده اند و این کشش های داخلی باعث ایحاد محدودیت در حرکت خطوط نابجایی میشود و هرچه خطوط نا بجایی بیشتر باشند میدان تنشی اطراف این نابجایی ها فضای بیشتری را اشغال کرده قابل ذکر است که خطوط نابجایی بدلیل میدان های تنشی متفاوت اطرافشان با یکدیگر ادغام نمی شوند و همین امر باعث میشود که افزایش تعداد این خطوط باعث سختتر شدن حرکت سایر نابجایی ها بشود و به دلیل ستتر شدن حرکت نا بجایی در دانه استحکام ماده بالاتر میرود.  اخیراً، مطالعات تجربی مکانیک شکست از اندازه‌گیری‌های میدان کامل در محل جابجایی‌ها   و کرنش‌های الاستیک   برای ارزیابی میدان تغییر شکل موضعی اطراف نوک ترک به‌عنوان یک انتگرال J استفاده کرده‌اند.

خطوط حرکت نابجایی به دلیل تغییر شکل قابل بازگشت شکل میگیرند و خود میتوانند عامل این باشند که جسم قابلیت چکش خواری و تغییر شکل باشند بدون اینه از بین بروند و تجزیه و تحلیل نیروی وارد بر نابجایی ماهیت دو بعدی نقص خط نابجایی را در نظر می‌گیرد. تعاریف کلی نیروی پیکربندی هلو– کوهلر (𝑃 𝑘𝑗 )  (یا تانسور الاستیک انرژی- تکانه  ) در یک جابجایی در دلخواه 1, 2, 3, سیستم مختصات Burger (بردار تجزیه کننده بردار) 𝑏) به اجزای متعامد. این منجر به تعریف تعمیم یافته J-انتگرال در معادلات زیر می شود. برای یک انباشته نابجایی، انتگرال J مجموع نیروی پیکربندی هلو- کوهلر نابجایی‌های انباشته است (از جمله خارج از صفحه، 𝑏 3 ).

𝐽𝑘 = ∫ 𝑃𝑘𝑗 𝑛𝑗 𝑑𝑆 = ∫(𝑊𝑠 𝑛𝑘− 𝑇𝑖 𝑢𝑖,𝑘) 𝑑𝑆

𝐽𝑘𝑥 = 𝑅𝑘𝑗 𝐽𝑗, 𝑖,𝑗,𝑘=1,2,3

که در آن 𝑆 یک کانتور دلخواه در اطراف محل تجمع خطوط نابجایی است با واحد به سمت خارج عمود است. انتگرال است که در امتداد جهت 𝑥 𝑘 ارزیابی می شود، و 𝑅 𝑘𝑗 یک تانسور نگاشت مرتبه دوم است که در جهت 𝑥 𝑘 نگاشت می شود. این انتگرال - برداری منجر به مشکلات عددی در تجزیه و تحلیل از 2 می شود و برای یک نوار لغزش سه بعدی یا ترک شیبدار، 3 عبارت را نمی توان نادیده گرفت و محاسبه ی انرژی لازم برای حرکت نابجایی ها معادلات انرژی پیچیده نیاز است. 

1. 1 2 3  Koko, Abdalrhaman; Elmukashfi, Elsiddig; Becker, Thorsten H.; Karamched, Phani S.; Wilkinson, Angus J.; Marrow, T. James (2022-10-15). "In situ characterisation of the strain fields of intragranular slip bands in ferrite by high-resolution electron backscatter diffraction". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **239**: 118284. Bibcode:2022AcMat.23918284K. doi:10.1016/j.actamat.2022.118284. ISSN 1359-6454.
2. ↑  Smallman, R. E.; Ngan, A. H. W. (2014-01-01), Smallman, R. E.; Ngan, A. H. W. (eds.), "Chapter 9 - Plastic Deformation and Dislocation Behaviour", *Modern Physical Metallurgy (Eighth Edition)* (به انگلیسی), Oxford: Butterworth-Heinemann: 357–414, doi:10.1016/b978-0-08-098204-5.00009-2, ISBN 978-0-08-098204-5, retrieved 2022-10-04
3. ↑  Sangid, Michael D. (2013-12-01). "The physics of fatigue crack initiation". *International Journal of Fatigue*. Fatigue and Microstructure: A special issue on recent advances (به انگلیسی). **57**: 58–72. doi:10.1016/j.ijfatigue.2012.10.009. ISSN 0142-1123.
4. ↑  Lukáš, P.; Klesnil, M.; Krejčí, J. (1968). "Dislocations and Persistent Slip Bands in Copper Single Crystals Fatigued at Low Stress Amplitude". *Physica Status Solidi (B)* (به آلمانی). **27** (2): 545–558. Bibcode:1968PSSBR..27..545L. doi:10.1002/pssb.19680270212.
5. ↑  Schiller, C.; Walgraef, D. (1988-03-01). "Numerical simulation of persistent slip band formation". *Acta Metallurgica* (به انگلیسی). **36** (3): 563–574. doi:10.1016/0001-6160(88)90089-2. ISSN 0001-6160.
6. ↑  Erel, Can; Po, Giacomo; Crosby, Tamer; Ghoniem, Nasr (December 2017). "Generation and interaction mechanisms of prismatic dislocation loops in FCC metals". *Computational Materials Science* (به انگلیسی). **140**: 32–46. doi:10.1016/j.commatsci.2017.07.043.
7. ↑  Differt, K.; Essmann, U. (1993), "Dynamical model of the wall structure in persistent slip bands of fatigued metals", *Fundamental Aspects of Dislocation Interactions* (به انگلیسی), Elsevier: 295–299, doi:10.1016/b978-1-4832-2815-0.50048-6, ISBN 978-1-4832-2815-0, retrieved 2022-10-03
8. 1 2  Verdier, M; Fivel, M; Groma, I (1998-11-01). "Mesoscopic scale simulation of dislocation dynamics in fcc metals: Principles and applications". *Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering*. **6** (6): 755–770. Bibcode:1998MSMSE...6..755V. doi:10.1088/0965-0393/6/6/007. ISSN 0965-0393.
9. ↑  Déprés, C.; Robertson, C. F.; Fivel, M. C. (January 2006). "Low-strain fatigue in 316L steel surface grains: a three dimension discrete dislocation dynamics modelling of the early cycles. Part 2: Persistent slip markings and micro-crack nucleation". *Philosophical Magazine* (به انگلیسی). **86** (1): 79–97. Bibcode:2006PMag...86...79D. doi:10.1080/14786430500341250. ISSN 1478-6435.
10. ↑  Déprés, C.; Robertson, C. F.; Fivel, M. C. (August 2004). "Low-strain fatigue in AISI 316L steel surface grains: a three-dimensional discrete dislocation dynamics modelling of the early cycles I. Dislocation microstructures and mechanical behaviour". *Philosophical Magazine* (به انگلیسی). **84** (22): 2257–2275. Bibcode:2004PMag...84.2257D. doi:10.1080/14786430410001690051. ISSN 1478-6435.
11. ↑  Man, J.; Obrtlík, K.; Polák, J. (June 2009). "Extrusions and intrusions in fatigued metals. Part 1. State of the art and history†". *Philosophical Magazine* (به انگلیسی). **89** (16): 1295–1336. Bibcode:2009PMag...89.1295M. doi:10.1080/14786430902917616. ISSN 1478-6435.
12. ↑  Wood, W. A. (July 1958). "Formation of fatigue cracks". *Philosophical Magazine* (به انگلیسی). **3** (31): 692–699. Bibcode:1958PMag....3..692W. doi:10.1080/14786435808237004. ISSN 0031-8086.
13. 1 2  Koss, D.A.; Chan, K.S. (September 1980). "Fracture along planar slip bands". *Acta Metallurgica* (به انگلیسی). **28** (9): 1245–1252. doi:10.1016/0001-6160(80)90080-2.
14. 1 2  Mughrabi, H. (September 1983). "Dislocation wall and cell structures and long-range internal stresses in deformed metal crystals". *Acta Metallurgica* (به انگلیسی). **31** (9): 1367–1379. doi:10.1016/0001-6160(83)90007-X.
15. 1 2  Fisher, John C.; Hart, Edward W.; Pry, Robert H. (1952-09-15). "Theory of Slip-Band Formation". *Physical Review* (به انگلیسی). **87** (6): 958–961. Bibcode:1952PhRv...87..958F. doi:10.1103/PhysRev.87.958. ISSN 0031-899X.
16. ↑  Frank, F. C.; Read, W. T. (1950-08-15). "Multiplication Processes for Slow Moving Dislocations". *Physical Review* (به انگلیسی). **79** (4): 722–723. Bibcode:1950PhRv...79..722F. doi:10.1103/PhysRev.79.722. ISSN 0031-899X.
17. ↑  Xie, Kelvin Y.; Wang, Yanbo; Ni, Song; Liao, Xiaozhou; Cairney, Julie M.; Ringer, Simon P. (December 2011). "Insight into the deformation mechanisms of α-Fe at the nanoscale". *Scripta Materialia* (به انگلیسی). **65** (12): 1037–1040. doi:10.1016/j.scriptamat.2011.08.023.
18. ↑  Zheng, He; Cao, Ajing; Weinberger, Christopher R.; Huang, Jian Yu; Du, Kui; Wang, Jianbo; Ma, Yanyun; Xia, Younan; Mao, Scott X. (December 2010). "Discrete plasticity in sub-10-nm-sized gold crystals". *Nature Communications* (به انگلیسی). **1** (1): 144. Bibcode:2010NatCo...1..144Z. doi:10.1038/ncomms1149. ISSN 2041-1723. PMC 3105591. PMID 21266994.
19. ↑  Kiener, D.; Minor, A.M. (February 2011). "Source-controlled yield and hardening of Cu(100) studied by in situ transmission electron microscopy". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **59** (4): 1328–1337. Bibcode:2011AcMat..59.1328K. doi:10.1016/j.actamat.2010.10.065.
20. ↑  Hsieh, Yi-Chieh; Zhang, Ling; Chung, Tsai-Fu; Tsai, Yu-Ting; Yang, Jer-Ren; Ohmura, Takahito; Suzuki, Takuya (December 2016). "In-situ transmission electron microscopy investigation of the deformation behavior of spinodal nanostructured δ-ferrite in a duplex stainless steel". *Scripta Materialia* (به انگلیسی). **125**: 44–48. doi:10.1016/j.scriptamat.2016.06.047.
21. ↑  Du, Juan; Mompiou, Frédéric; Zhang, Wen-Zheng (March 2018). "In-situ TEM study of dislocation emission associated with austenite growth". *Scripta Materialia* (به انگلیسی). **145**: 62–66. doi:10.1016/j.scriptamat.2017.10.014.
22. ↑  Campbell, JE; Thompson, RP; Dean, J; Clyne, TW (2019). "Comparison between stress-strain plots obtained from indentation plastometry, based on residual indent profiles, and from uniaxial testing". *Acta Materialia*. **168**: 87–99. Bibcode:2019AcMat.168...87C. doi:10.1016/j.actamat.2019.02.006.
23. ↑  Parks, D.M. (December 1977). "The virtual crack extension method for nonlinear material behavior". *Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering* (به انگلیسی). **12** (3): 353–364. Bibcode:1977CMAME..12..353P. doi:10.1016/0045-7825(77)90023-8.
24. ↑  Benjamin Britton, T.; Wilkinson, Angus J. (September 2012). "Stress fields and geometrically necessary dislocation density distributions near the head of a blocked slip band". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **60** (16): 5773–5782. Bibcode:2012AcMat..60.5773B. doi:10.1016/j.actamat.2012.07.004.
25. ↑  Guo, Y.; Britton, T.B.; Wilkinson, A.J. (September 2014). "Slip band–grain boundary interactions in commercial-purity titanium". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **76**: 1–12. Bibcode:2014AcMat..76....1G. doi:10.1016/j.actamat.2014.05.015.
26. ↑  Andani, Mohsen Taheri; Lakshmanan, Aaditya; Sundararaghavan, Veera; Allison, John; Misra, Amit (November 2020). "Quantitative study of the effect of grain boundary parameters on the slip system level Hall-Petch slope for basal slip system in Mg-4Al". *Acta Materialia* (به انگلیسی). **200**: 148–161. Bibcode:2020AcMat.200..148A. doi:10.1016/j.actamat.2020.08.079.
27. ↑  Livingston, J.D; Chalmers, B (June 1957). "Multiple slip in bicrystal deformation". *Acta Metallurgica* (به انگلیسی). **5** (6): 322–327. doi:10.1016/0001-6160(57)90044-5.
28. ↑  Lee, T.C.; Robertson, I.M.; Birnbaum, H.K. (May 1989). "Prediction of slip transfer mechanisms across grain boundaries". *Scripta Metallurgica* (به انگلیسی). **23** (5): 799–803. doi:10.1016/0036-9748(89)90534-6.
29. ↑  Luster, J.; Morris, M. A. (July 1995). "Compatibility of deformation in two-phase Ti-Al alloys: Dependence on microstructure and orientation relationships". *Metallurgical and Materials Transactions A* (به انگلیسی). **26** (7): 1745–1756. Bibcode:1995MMTA...26.1745L. doi:10.1007/BF02670762. ISSN 1073-5623.
30. ↑  Lukáš, P.; Klesnil, M.; Krejčí, J. (1968). "Dislocations and Persistent Slip Bands in Copper Single Crystals Fatigued at Low Stress Amplitude". *Physica Status Solidi (B)* (به آلمانی). **27** (2): 545–558. Bibcode:1968PSSBR..27..545L. doi:10.1002/pssb.19680270212.
31. ↑  Tu, S.-T.; Zhang, X.-C. (2016), "Fatigue Crack Initiation Mechanisms", *Reference Module in Materials Science and Materials Engineering* (به انگلیسی), Elsevier: B9780128035818028526, doi:10.1016/b978-0-12-803581-8.02852-6, ISBN 978-0-12-803581-8, retrieved 2022-10-03
32. ↑  Makin, M. J. (April 1970). "The mechanism of slip band growth in irradiated crystals". *Philosophical Magazine* (به انگلیسی). **21** (172): 815–817. Bibcode:1970PMag...21..815M. doi:10.1080/14786437008238467. ISSN 0031-8086.
33. ↑  Rice, James R. (December 1987). "Tensile crack tip fields in elastic-ideally plastic crystals". *Mechanics of Materials* (به انگلیسی). **6** (4): 317–335. doi:10.1016/0167-6636(87)90030-5.
34. ↑  Knowles, J. K.; Sternberg, Eli (January 1972). "On a class of conservation laws in linearized and finite elastostatics". *Archive for Rational Mechanics and Analysis* (به انگلیسی). **44** (3): 187–211. Bibcode:1972ArRMA..44..187K. doi:10.1007/BF00250778. ISSN 0003-9527.
35. ↑  Noether, Emmy (January 1971). "Invariant variation problems". *Transport Theory and Statistical Physics* (به انگلیسی). **1** (3): 186–207. arXiv:physics/0503066. Bibcode:1971TTSP....1..186N. doi:10.1080/00411457108231446. ISSN 0041-1450.
36. ↑  Budiansky, B.; Rice, J. R. (1973-03-01). "Conservation Laws and Energy-Release Rates". *Journal of Applied Mechanics* (به انگلیسی). **40** (1): 201–203. Bibcode:1973JAM....40..201B. doi:10.1115/1.3422926. ISSN 0021-8936.
37. ↑  Eshelby, J. D. (1951-11-06). "The force on an elastic singularity". *Philosophical Transactions of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences* (به انگلیسی). **244** (877): 87–112. Bibcode:1951RSPTA.244...87E. doi:10.1098/rsta.1951.0016. ISSN 0080-4614.
38. ↑  Agiasofitou, Eleni; Lazar, Markus (May 2017). "Micromechanics of dislocations in solids: J -, M -, and L -integrals and their fundamental relations". *International Journal of Engineering Science* (به انگلیسی). **114**: 16–40. arXiv:1702.00363. doi:10.1016/j.ijengsci.2017.02.001.
39. ↑  Kim, Hokun; Kim, Soon; Kim, Sung Youb (March 2021). "Lattice-based J integral for a steadily moving dislocation". *International Journal of Plasticity* (به انگلیسی). **138**: 102949. doi:10.1016/j.ijplas.2021.102949.
40. ↑  Markenscoff, Xanthippi; Ni, Luqun (January 2010). "The energy-release rate and "self-force" of dynamically expanding spherical and plane inclusion boundaries with dilatational eigenstrain". *Journal of the Mechanics and Physics of Solids* (به انگلیسی). **58** (1): 1–11. Bibcode:2010JMPSo..58....1M. doi:10.1016/j.jmps.2009.10.001.
41. ↑  Rice, Jr; Drugan, WJ; Sham, T-L (1980-01-01), Paris, Pc (ed.), "Elastic-Plastic Analysis of Growing Cracks", *Fracture Mechanics* (به انگلیسی), 100 Barr Harbor Drive, PO Box C700, West Conshohocken, PA 19428-2959: ASTM International: 189–189–33, doi:10.1520/stp36972s, ISBN 978-0-8031-0363-4, retrieved 2022-10-03`{{citation}}`: نگهداری CS1: موقعیت (link)
42. ↑  Palmer, A. C.; Rice, J. R. (1973-04-03). "The growth of slip surfaces in the progressive failure of over-consolidated clay". *Proceedings of the Royal Society of London. A. Mathematical and Physical Sciences* (به انگلیسی). **332** (1591): 527–548. Bibcode:1973RSPSA.332..527P. doi:10.1098/rspa.1973.0040. ISSN 0080-4630.
43. ↑  Rice, James R. (January 1992). "Dislocation nucleation from a crack tip: An analysis based on the Peierls concept". *Journal of the Mechanics and Physics of Solids* (به انگلیسی). **40** (2): 239–271. Bibcode:1992JMPSo..40..239R. doi:10.1016/S0022-5096(05)80012-2.
44. ↑  Kc, Amit; Kim, Jeong-Ho (May 2008). "Interaction integrals for thermal fracture of functionally graded materials". *Engineering Fracture Mechanics* (به انگلیسی). **75** (8): 2542–2565. doi:10.1016/j.engfracmech.2007.07.011.
45. ↑  Haftbaradaran, Hamed; Qu, Jianmin (November 2014). "A path-independent integral for fracture of solids under combined electrochemical and mechanical loadings". *Journal of the Mechanics and Physics of Solids* (به انگلیسی). **71**: 1–14. Bibcode:2014JMPSo..71....1H. doi:10.1016/j.jmps.2014.06.007.
46. ↑  Walters, Matthew C.; Paulino, Glaucio H.; Dodds, Robert H. (July 2005). "Interaction integral procedures for 3-D curved cracks including surface tractions". *Engineering Fracture Mechanics* (به انگلیسی). **72** (11): 1635–1663. doi:10.1016/j.engfracmech.2005.01.002.
47. ↑  Becker, T. H.; Mostafavi, M.; Tait, R. B.; Marrow, T. J. (October 2012). "An approach to calculate the J-integral by digital image correlation displacement field measurement: An Approach to Calculate the J -Integral Using Digital Image Correlation". *Fatigue & Fracture of Engineering Materials & Structures* (به انگلیسی). **35** (10): 971–984. doi:10.1111/j.1460-2695.2012.01685.x.
48. 1 2  Koko, A.; Earp, P.; Wigger, T.; Tong, J.; Marrow, T.J. (May 2020). "J-integral analysis: An EDXD and DIC comparative study for a fatigue crack". *International Journal of Fatigue* (به انگلیسی). **134**: 105474. doi:10.1016/j.ijfatigue.2020.105474.
49. ↑  Barhli, S.M.; Saucedo-Mora, L.; Jordan, M.S.L.; Cinar, A.F.; Reinhard, C.; Mostafavi, M.; Marrow, T.J. (November 2017). "Synchrotron X-ray characterization of crack strain fields in polygranular graphite". *Carbon* (به انگلیسی). **124**: 357–371. doi:10.1016/j.carbon.2017.08.075.
50. ↑  Lubarda, Vlado A. (2019-01-01). "Dislocation Burgers vector and the Peach–Koehler force: a review". *Journal of Materials Research and Technology* (به انگلیسی). **8** (1): 1550–1565. doi:10.1016/j.jmrt.2018.08.014. ISSN 2238-7854.
51. ↑  Eshelby, J.D. (1956), *The Continuum Theory of Lattice Defects*, Solid State Physics (به انگلیسی), vol. 3, Elsevier, pp. 79–144, doi:10.1016/s0081-1947(08)60132-0, ISBN 978-0-12-607703-2, retrieved 2022-10-03