The Dirichlet beta function
در ریاضیات، **تابع بتا دیریکله** (این تابع با عنوان **تابع بتا کاتالان** نیز شناخته می‌شود) یک تابع خاص مشابه تابع زتا ریمان است.

تعریف
-----

تابع بتا دیریکله به این صورت تعریف می‌شود:

{\displaystyle \beta (s)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)^{s}}},}

این تابع با فرمول پایین معادل است:

{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}e^{-x}}{1+e^{-2x}}}\,dx}

در هر دو مورد، فرض بر این است که {\displaystyle Re(s)>0}.

مضاف بر این با تعریف پایین می‌توان تابع را توسط تابع هورویتز زتا در فضای اعداد مختلط به این شکل تعریف کرد:

{\displaystyle \beta (s)=4^{-s}\left(\zeta \left(s,{1 \over 4}\right)-\zeta \left(s,{3 \over 4}\right)\right).}

تعریف دیگری که می‌توان از این تابع ارائه داد توسط تابع لِرش زتا است، که مانند تعریف پیشین برای تمام اعداد مختلط s تعریف شده‌است:

}
{\displaystyle \beta (s)=2^{-s}\Phi \left(-1,s,{{1} \over {2}}\right),}

در نهایت این تابع را می‌توان به صورت یک سری نیز تعریف کرد، با کمک تابع پُلی‌گاما:

{\displaystyle \beta (s)={\frac {1}{2^{s}}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{s}}}={\frac {1}{(-2)^{2s}(s-1)!}}\left[\psi ^{(s-1)}\left({\frac {1}{4}}\right)-\psi ^{(s-1)}\left({\frac {3}{4}}\right)\right]}

معادله تابعی
------------

معادله تابعی تابع بتا را از سمت چپ صفحه اعداد مختلط ، {\displaystyle Re(s)<0} گسترش می‌دهد:

{\displaystyle \beta (1-s)=\left({\frac {\pi }{2}}\right)^{-s}\sin \left({\frac {\pi }{2}}s\right)\Gamma (s)\beta (s)}

در اینجا {\displaystyle \Gamma (s)} تابع گاما است.

مقادیر ویژه
-----------

برخی از ویژه مقادیر تابع عبارتند از:

{\displaystyle \beta (0)={\frac {1}{2}},}

{\displaystyle \beta (1)\;=\;\arctan(1)\;=\;{\frac {\pi }{4}},}

{\displaystyle \beta (2)\;=\;G,}

در اینجا *G* عدد ثابت کاتالان است.

{\displaystyle \beta (3)\;=\;{\frac {\pi ^{3}}{32}},}

{\displaystyle \beta (4)\;=\;{\frac {1}{768}}\left(\psi \_{3}\left({\frac {1}{4}}\right)-8\pi ^{4}\right),}

{\displaystyle \beta (5)\;=\;{\frac {5\pi ^{5}}{1536}},}

{\displaystyle \beta (7)\;=\;{\frac {61\pi ^{7}}{184320}},}

در اینجا {\displaystyle {\displaystyle \psi \_{3}(1/4)}} نمونه ای از تابع پُلی‌گاما است. به‌طور کلی، برای هر عدد صحیح مثبت K معادله پایین همیشه برقرار است:

{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E\_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}{\displaystyle \beta (2k+1)={{({-1})^{k}}{E\_{2k}}{\pi ^{2k+1}} \over {4^{k+1}}(2k)!},}

در اینجا {\displaystyle E\_{n}} اعداد اویلر است. برای عدد صحیح {\displaystyle k\geq 0} تابع به شکل پایین تغییر می‌کند:

{\displaystyle \beta (-k)={{E{k}} \over {2}}.}

به این ترتیب، تابع برای تمام مقادیر صحیح منفی و مفرد صفر می‌شود.

برای هر عدد صحیح مثبت *k* معادله پایین صادق خواهد بود:

{\displaystyle \beta (2k)={\frac {1}{2(2k-1)!}}\sum \_{m=0}^{\infty }\left(\left(\sum \_{l=0}^{k-1}{\binom {2k-1}{2l}}{\frac {(-1)^{l}A\_{2k-2l-1}}{2l+2m+1}}\right)-{\frac {(-1)^{k-1}}{2m+2k}}\right){\frac {A\_{2m}}{(2m)!}}{\left({\frac {\pi }{2}}\right)}^{2m+2k},}

همچنین مالمستن در سال ۱۸۴۲ معادله پایین را اثبات کرد:

{\displaystyle \beta '(1)=\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {\ln(2n+1)}{2n+1}}\,=\,{\frac {\pi }{4}}{\big (}\gamma -\ln \pi )+\pi \ln \Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}


| s | approximate value β(s) | OEIS |
| --- | --- | --- |
| ۱/۵ | ۰٫۵۷۳۷۱۰۸۴۷۱۸۵۹۴۶۶۴۹۳۵۷۲۶۶۵ | A261624 |
| ۱/۴ | ۰٫۵۹۰۷۲۳۰۵۶۴۴۲۴۹۴۷۳۱۸۶۵۹۵۹۱ | A261623 |
| ۱/۳ | ۰٫۶۱۷۸۵۵۰۸۸۸۴۸۸۵۲۰۶۶۰۷۲۵۳۸۹ | A261622 |
| ۱/۲ | ۰٫۶۶۷۶۹۱۴۵۷۱۸۹۶۰۹۱۷۶۶۵۸۶۹۰۹ | A195103 |
| ۱ | ۰٫۷۸۵۳۹۸۱۶۳۳۹۷۴۴۸۳۰۹۶۱۵۶۶۰۸ | A003881 |
| ۲ | ۰٫۹۱۵۹۶۵۵۹۴۱۷۷۲۱۹۰۱۵۰۵۴۶۰۳۵ | A006752 |
| ۳ | ۰٫۹۶۸۹۴۶۱۴۶۲۵۹۳۶۹۳۸۰۴۸۳۶۳۴۸ | A153071 |
| ۴ | ۰٫۹۸۸۹۴۴۵۵۱۷۴۱۱۰۵۳۳۶۱۰۸۴۲۲۶ | A175572 |
| ۵ | ۰٫۹۹۶۱۵۷۸۲۸۰۷۷۰۸۸۰۶۴۰۰۶۳۱۹۴ | A175571 |
| ۶ | ۰٫۹۹۸۶۸۵۲۲۲۲۱۸۴۳۸۱۳۵۴۴۱۶۰۰۸ | A175570 |
| ۷ | ۰٫۹۹۹۵۵۴۵۰۷۸۹۰۵۳۹۹۰۹۴۹۶۳۴۶۵ |
| ۸ | ۰٫۹۹۹۸۴۹۹۹۰۲۴۶۸۲۹۶۵۶۳۳۸۰۶۷۱ |
| ۹ | ۰٫۹۹۹۹۴۹۶۸۴۱۸۷۲۲۰۰۸۹۸۲۱۳۵۸۹ |
| ۱۰ | ۰٫۹۹۹۹۸۳۱۶۴۰۲۶۱۹۶۸۷۷۴۰۵۵۴۰۷ |

منابع
-----

1. ↑  Idowu, Michael A. (2012-10-19). "Fundamental relations between the Dirichlet beta function, euler numbers, and Riemann zeta function for positive integers". *arXiv:1210.5559 [math]*.
2. ↑  Unknown (۲۰۱۲-۰۹-۰۸). «Engineering Mathematics: Dirichlet Beta - Hurwitz zeta relation». *Engineering Mathematics*. دریافت‌شده در ۲۰۱۹-۰۴-۱۳.
3. ↑  Lander, Anthony (2018-04-24). "The Zeros of the Dirichlet Beta Function Encode the Odd Primes and Have Real Part 1/2" (به انگلیسی). doi:10.20944/preprints201804.0305.v1. `{{cite journal}}`: Cite journal requires `|journal=` (help)

* Glasser, M. L. (1972). "The evaluation of lattice sums. I. Analytic procedures". *J. Math. Phys*. **14** (3): 409. Bibcode:1973JMP....14..409G. doi:10.1063/1.1666331.
* J. Spanier and K. B. Oldham, *An Atlas of Functions*, (1987) Hemisphere, New York.
* Weisstein, Eric W. "Dirichlet Beta Function". MathWorld.