برای حد سری‌ها سری (ریاضیات) را ببینید. یک دنبالهٔ همگرا که به عدد خاصی میل می‌کند
در حسابان، حد یک دنباله مقداری است که در صورت وجود، جمله‌های آن دنباله با پیش‌روی، به قدر دلخواه به آن نزدیک می‌شوند؛ اگر چنین مقداری وجود داشته باشد، دنباله را **همگرا** و در غیر این صورت دنباله را **واگرا** می‌نامیم.

تعریف
-----

### حد در بی‌نهایت

به حد یک دنباله **در** بی‌نهایت «حد دنباله» می‌گویند.

در نمایش مختصاتی، بازهٔ دوبعدی افقی حول مقدار {\displaystyle y=A} در نظر بگیرید (به شکل مستطیلی افقی که به سمت راست تا بی‌نهایت ادامه دارد)، اگر دنبالهٔ {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} به A میل کند، باید از یک اندیس مشخّص (N) به بعد، همهٔ a\_{n}ها در این بازه باشند. این گزاره باید برای تمام بازه‌ها (هر چند نازک) (به عرض {\displaystyle 2\varepsilon }) صدق کند.

به بیان دقیق‌تر، برای دنبالهٔ {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }}:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=A\Longleftarrow \forall \varepsilon >0:\exists N\in \mathbb {N} :d(a\_{n},A)<\varepsilon ,\forall n\geq N}

که \varepsilon مقدار نازک بودن بازه را نشان می‌دهد و {\displaystyle d(x,y)} در فضای متریک به معنای فاصلهٔ y و x است و به صورت {\displaystyle |x-y|} تعریف می‌شود.

در این صورت می‌نویسیم: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=A}

### حدِ بی‌نهایت

نمونه‌ای از یک دنبالهٔ واگرا که به هیچ مقداری میل نمی‌کند
برای بعضی دنباله‌های واگرا نیز عبارتی همچون {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=\infty } یا {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=-\infty } نوشته می‌شود، یعنی (به ترتیب) دنبالهٔ {\displaystyle \{b\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} به بی‌نهایت یا منفی بی‌نهایت میل می‌کند؛ به عبارتی دیگر، (به ترتیب) دنبالهٔ {\displaystyle \{b\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} از بالا یا از پایین کران ندارد. به بیان دقیق:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=\infty \Longleftarrow \forall B\in \mathbb {N} :\exists N\in \mathbb {N} :b\_{n}>B,\forall n\geq N}

دنبالهٔ واگرای {\displaystyle a\_{n}=(-1)^{n}} از جمله مثال‌هایی ست که به هیچ مقداری میل نمی‌کند.

ویژگی‌های حد دنباله
-------------------

ویژگی‌های حد دنباله مثل ویژگی‌های حد تابع هستند.

حد دنباله در صورت وجود، یکتاست. یعنی اگر {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=A\_{1}} و {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=A\_{2}} آنگاه {\displaystyle A\_{1}=A\_{2}} 

اگر برای دنبالهٔ {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=1}^{\infty }} داشته باشیم {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=A}، به ازای هر تابع پیوسته‌ٔ f داریم {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }f(a\_{n})=\lim \_{n\to \infty }f(A)}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(a\_{n}\pm b\_{n})=\lim \_{n\to \infty }a\_{n}\pm \lim \_{n\to \infty }b\_{n}}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(ca\_{n})=c\lim \_{n\to \infty }a\_{n}}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(a\_{n}b\_{n})=(\lim \_{n\to \infty }a\_{n})(\lim \_{n\to \infty }b\_{n})}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }({a\_{n} \over b\_{n}})={\lim \_{n\to \infty }a\_{n} \over \lim \_{n\to \infty }b\_{n}}} به شرطی که {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}\neq 0}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(a\_{n}^{p})=(\lim \_{n\to \infty }a\_{n})^{p}}

{\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n}\Longleftrightarrow \lim \_{n\to \infty }a\_{n}\leq \lim \_{n\to \infty }b\_{n}}

توجّه کنید که در بسیاری از موارد {\displaystyle a\_{n}<b\_{n}} برقرار است امّا {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\lim \_{n\to \infty }b\_{n}}

قضایای مرتبط
------------

### قضیهٔ تابع

اگر {\displaystyle f:\mathbb {R} \longrightarrow \mathbb {R} } و همیشه {\displaystyle f(n)=a\_{n}} برقرار باشد، {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=\lim \_{n\to \infty }f(n)}

### قضیه‌ٔ فشردگی (ساندویچ)

اگر از یک اندیس به بعد {\displaystyle b\_{n}\leq a\_{n}\leq c\_{n}} و همچنین {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }c\_{n}=\lim \_{n\to \infty }b\_{n}=L} آن گاه {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=L}

دنبالهٔ فوق نزولی ست و همیشه بیش از صفر، پس همگرا ست
### قضیهٔ دنبالهٔ یکنوا

اگر {\displaystyle \{a\_{n}\}} کران‌دار و یکنوا باشد همگرا ست.

حد چند دنبالهٔ مهم
------------------

{\displaystyle \alpha >0\Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }{1 \over n^{\alpha }}=0} 

{\displaystyle |c|<1\Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }c^{n}=0}

{\displaystyle c>0\Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }c^{1 \over n}=1}

{\displaystyle a>0,b>0\Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }{(\log n)^{a} \over n^{b}}=0}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }n^{1 \over n}=\lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}

{\displaystyle a\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }(1+{a \over n})^{n}=e^{a}}

{\displaystyle c\in \mathbb {R} \Longrightarrow \lim \_{n\to \infty }{c^{n} \over n!}=0}

جستارهای وابسته
---------------

* حد
* دنباله

منابع
-----

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Limit of a sequence». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.

1. ↑  جان کالرن (۱۳۸۷). *فرهنگ کتاب*. تهران: فرهنگ معاصر. صص. ۲۳۱. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۸۶۳۷-۷۹-۳.
2. 1 2  Walter Rudin. *Principles of Mathematical Analysis*. ص. ۴۷. شابک ۰-۰۷-۰۵۴۲۳۵-X.
3. 1 2 3 4 5  «فصل ۱۰». *حسابان توماس Thomas' Calculus (14th Edition)*. شابک ۹۷۸-۰۱۳۴۴۳۸۹۸۶.
4. ↑  «فصل ۱۰». *حسابان (اپوستول) Calculus Vol. 1 (2nd ed.) (Tom M. Apostol)*. شابک ۹۷۸-۰-۴۷۱-۰۰۰۰۵-۱.

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |