با معادله دیفرانس اشتباه نشود.
تجسم انتقال حرارت در پوسته یک پمپ، که با حل معادله گرما ایجاد شده‌است. گرما در داخل بدنه تولید می‌شود و در مرز سرد شده و توزیع دمایی حالت پایدار را فراهم می‌کند.

| معادلات دیفرانسیل |
| --- |
|  |
| *حوزه کاربرد***علوم طبیعی و مهندسی**
* اخترشناسی
* فیزیک
* شیمی
* زیست‌شناسی
* زمین‌شناسی

**ریاضیات کاربردی**
* مکانیک محیط‌های پیوسته
* نظریه آشوب
* سیستم‌های دینامیکی

**علوم اجتماعی**
* علم اقتصاد
* دینامیک جمعیت
 |
| 
طبقه‌بندی |
| نوع عملگرها
* عملگر دیفرانسیلی
* نمادگذاری‌های مشتق
* معادلات دیفرانسیل معمولی
* معادلات دیفرانسیل تاخیری
* معادله دیفرانسیل با مشتقات پاره‌ای
* دیفرانسیلی-جبری
* انتگرو-دیفرانسیلی
* حساب کسری
* خطی
* غیرخطی
 |
| ویژگی‌های متغیرها
* متغیر وابسته و مستقل
* معادله دیفرانسیل همگن
* معادلات دیفرانسیل معمولی
* جفتیده
* غیرجفتیده
* مرتبه
* درجه
* اتونوموس
* معادله دیفرانسیل کامل
* معادله دیفرانسیل مختلط
 |
| رابطه با فرآیندها
* تفاضل (مشابه گسسته)
* معادله دیفرانسیل تصادفی
* تاخیر
 |
| 
پاسخ‌ها |
| عناوین پاسخ‌ها
* قضیه پیکارد لیندلوف (وجود و یکتایی)
* رونسکین
* Phase portrait
* فضای فاز
* پایداری لیاپونوف
* پایداری مجانبی
* پایداری نمایی
* آهنگ همگرایی
* پاسخ‌های به فرم سری
* پاسخ‌های انتگرالی
* انتگرال‌گیری عددی
* تابع دلتای دیراک
 |
| روش‌های حل
* وارسی
* جداسازی متغیرها
* روش ضرایب نامعین
* فاکتور انتگرال‌گیری
* تبدیل انتگرالی
* روش اویلر
* روش اجزاء محدود
* روش تفاضل محدود
* روش حجم محدود
* کرنک نیکلسون
* روش‌های رونگه‐کوتا
* روش گالرکین
* نظریه اختلال
 |
| ریاضی‌دان‌ها
* آیزاک نیوتن
* لئونارد اویلر
* چارلز امیل پیکارد
* جوزف ماریا هوئن-رونسکی
* ارنست لیندلف
* رودولق لیپشیتز
* آگوستین لویی کوشی
* جان کرنک
* فیلیس نیکولسون
* کارل دیوید تولم رونگ
* مارتین ولهلم کوتا
 |
| * ن
* ب
* و
 |

**معادله دیفرانسیل** (به انگلیسی: Differential Equation) در ریاضیات، معادله‌ای است که یک یا چند تابع مجهول و مشتقات آنها را به هم مرتبط می‌کند. عموماً در کاربردها، توابع کمیت‌های فیزیکی را نشان می‌دهند، مشتق‌ها نرخ تغییر آن‌ها را نشان می‌دهند، و *معادله دیفرانسیل* رابطه بین این دو را تعریف می‌کند. چنین روابطی بسیار رایج است، و به همین دلیل معادلات دیفرانسیل نقش برجسته‌ای در بسیاری از رشته‌ها از جمله مهندسی، فیزیک، اقتصاد و زیست‌شناسی دارند.

مطالعه معادلات دیفرانسیل عمدتاً شامل مطالعه جواب‌های آنها (مجموعه توابعی که هر معادله را برآورده می‌کند) و خواص جواب‌های آنها است. فقط معادلات دیفرانسیل ساده با فرمول‌های صریح قابل حل هستند. با این حال، امکان تعیین بسیاری از خواص جواب‌های یک معادله دیفرانسیل معین بدون محاسبه دقیق آنها وجود دارد.

اغلب هنگامی که یک عبارت فرم بسته برای جواب در دسترس نیست، می‌توان با استفاده از رایانه به صورت عددی جواب‌ها را تخمین زد. تئوری سیستم‌های دینامیکی بر تحلیل کیفی سیستم‌هایی که با معادلات دیفرانسیل توصیف شده‌اند، تأکید می‌کند، در حالی که روش‌های عددی زیادی برای تعیین راه‌حل‌ها با درجه‌ای از دقت معین توسعه داده شده‌اند.

تاریخچه
-------

معادلات دیفرانسیل با اختراع حساب دیفرانسیل و انتگرال توسط آیزاک نیوتن و گوتفرید لایبنیتس به وجود آمد. نیوتن در فصل ۲ کتاب خود*Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum،* در سال ۱۶۷۱ سه نوع معادله دیفرانسیل را فهرست کرد:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {dy}{dx}}&=f(x)\\[4pt]{\frac {dy}{dx}}&=f(x,y)\\[4pt]x\_{1}{\frac {\partial y}{\partial x\_{1}}}&+x\_{2}{\frac {\partial y}{\partial x\_{2}}}=y\end{aligned}}}

در تمام این موارد، y یک تابع مجهول از x (یا از x1 و x2)، و f یک تابع معین است.

او این مثال‌ها و نمونه‌های دیگر را با استفاده از سری‌های بی‌نهایت حل می‌کند و در مورد منحصربه‌فرد نبودن جواب‌ها بحث می‌کند.

ژاکوب برنولی در سال ۱۶۹۵ میلادی معادله دیفرانسیل برنولی را پیشنهاد کرد. این معادله یک معادله دیفرانسیل معمولی با شکل زیر است:

{\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}\,}

که سال بعد لایبنیتس با ساده کردن آن جواب‌هایی برای آن به دست آورد.

از نظر تاریخی، مسئله سیم ارتعاشی مانند یک ساز موسیقی توسط ژان لو رون دالامبر، لئونارد اویلر، دانیل برنولی و ژوزف لوئی لاگرانژ مورد مطالعه قرار گرفت. در سال ۱۷۴۶، دالامبر معادله موج یک بعدی را کشف کرد و در عرض ده سال اویلر معادله موج سه بعدی را کشف کرد.

معادله اویلر-لاگرانژ در دهه ۱۷۵۰ توسط اویلر و لاگرانژ در ارتباط با مطالعات آنها در مورد مسئله خم همزمانی ایجاد شد. این مسئله در رابطه با تعیین منحنی‌ای است که در آن یک ذره وزن‌دار در یک زمان ثابت، مستقل از نقطه شروع، به یک نقطه ثابت سقوط می‌کند. لاگرانژ این مسئله را در سال ۱۷۵۵ حل کرد و راه حل را برای اویلر فرستاد. آن دو روش لاگرانژ را بیشتر توسعه دادند و آن را در مکانیک به کار بردند که منجر به تدوین مکانیک لاگرانژی شد.

در سال ۱۸۲۲، ژوزف فوریه کار خود را در مورد شارش گرما در کتاب *Théorie analytique de la chaleur* (نظریه تحلیلی گرما) منتشر کرد، که در آن استدلال خود را بر قانون خنک‌سازی نیوتن استوار کرد. در این کتاب پیشنهاد فوریه از معادله گرما برای رسانش واپخشی گرما وجود داشت. در حال حاضر این معادله دیفرانسیل جزئی بخشی مشترک از درس فیزیک ریاضی است.

مسائل مقدار اولیه
-----------------

مقالهٔ اصلی: مسئله مقدار اولیه
در حل مسائل کلّی به *ثابت انتگرال* برمی‌خوریم. به عنوان مثال:

{\displaystyle y'=1\Longrightarrow y=\int 1\operatorname {d} \!x+c=x+c}

به این معنی که مقدار پادمشتق می‌تواند هر تابع {\displaystyle x+c} (به ازای هر {\displaystyle c}) باشد. به عبارتی دیگر تابع {\displaystyle y} ممکن است {\displaystyle y=x+1} یا {\displaystyle y=x+2} یا موارد مشابه باشد.

در صورتی که مقدار اوّلیّهٔ {\displaystyle y} را بدانیم، می‌توان آن را به صورت دقیق پیدا کرد. در مثال قبلی، اگر بدانیم {\displaystyle y(1)=2} از این موضوع نتیجه می‌گیریم:

{\displaystyle y(x)=x+c\Longrightarrow y(1)=1+c=2\Longrightarrow c=1\Longrightarrow y(x)=x+1}

به عنوان مثال، اگر بدانیم سرعت یک جسم ({\displaystyle y'}) برابر ۱ است و همچنین در ثانیهٔ ۱ در مکان ۲ قرار داشته ({\displaystyle y(1)=2})، از روش مذکور برای پیدا کردن معادلهٔ مکان-زمان استفاده می‌کنیم.

شاخه‌بندی
---------

مجسم‌سازی جریان هوا به داخل لوله که با معادلات ناویه-استوکس، مدل‌سازی شده‌است، مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئیمعادلات دیفرانسیل را به‌طور کلی به دو دسته می‌توان تقسیم کرد:

* معادلات دیفرانسیل معمولی (به انگلیسی: ordinary differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای تنها یک متغیّر مستقل است. یک معادله شامل یک متغیّر مستقل {\displaystyle x}، تابع {\displaystyle y(x)} و مشتقات آن را یک *معادله دیفرانسیل عادی* یا *معمولی* (به انگلیسی: ODE) می‌نامند.
* معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی (به انگلیسی: partial differential equation): در این نوع معادلات تابع پاسخ دارای چندین متغیّر مستقل می‌باشد. معادله‌ای پدید آمده از تابعی با بیش از یک متغیّر مستقل همراه با مشتقات جزئی آن را *معادله دیفرانسیل جزئی* (به انگلیسی: PDE) می‌نامند.

### خطی

برای مدل‌سازی نوسان هارمونیک سادهٔ یک فنر از قانون دوم نیوتن و قانون هوک استفاده و به یک معادلهٔ دیفرانسیل خطی همگن مرتبه دوم (خودگردان) می‌رسیم:

{\displaystyle F=ma=m{\operatorname {d} ^{2}\!x \over \operatorname {d} \!t^{2}}=-kx}

مقالهٔ اصلی: معادله دیفرانسیل خطی
هر دو نوع این معادلات را می‌توان از دیدگاه خطی یا غیرخطی بودن تابع پاسخ هم دسته‌بندی کرد. اکثر معادلاتی (معمولی) که در فیزیک به آنها برمی‌خوریم خطی هستند.

اگر درجهٔ مجهول و مشتقاتش یک باشند، آن را *خطی* و در غیر این صورت غیرخطی می‌نامیم.

به عنوان مثال، معادلهٔ {\displaystyle y'=1} خطی است ولی معادلهٔ {\displaystyle (y')^{2}=1} غیرخطی است.

به دلیل این که معادلات خطی حل (نسبتاً) ساده‌تری دارند، می‌توان معادلات غیرخطی را با تقریب خطی به معادلات خطی تبدیل و آنها را با روش‌های معمول حل کرد. به این عمل *خطی‌سازی* می‌گویند.

از کاربردهای فیزیکی این معادلات می‌توان به مدل‌سازی حرکت سیارات، که از قانون دوم نیوتن به دست می‌آیند اشاره کرد. در مورد حرکت موشک‌ها در نزدیکی سطح زمین و در فضا، معادلات دیفرانسیل پیچیده‌تر هستند. در رشته سینتیک شیمیایی، معادلات دیفرانسیل نقش منحصر به فردی به عهده دارند. همچنین در مواردی چون سود مرکب، واپاشی رادیواکتیو و قانون سرمایش نیوتن کاربرد فراوانی دارد.

### مرتبه

مرتبهٔ یک معادلهٔ دیفرانسیل عبارت است از مرتبهٔ مشتقی که بالاترین مرتبه را در معادله دارد.

به عنوان مثال، مرتبهٔ معادلهٔ {\displaystyle y'=1} یک است و مرتبهٔ {\displaystyle y''=1} دو است.

همچنین مرتبه معادلات دیفرانسیل را می‌توان به صورت کسری در نظر گرفت که به معادلات دیفرانسیل کسری مشهورند. این نوع از معادلات دیفرانسیل غیرخطی نیز روش‌های حل گوناگونی دارند که می‌توان به روش تجزیه آدومیان، هموتوپی و تکرار تغییرات اشاره نمود.

### دستگاه معادلات دیفرانسیل

یک شاخه‌بندی دیگر این معادلات، تعداد مجهول‌های این معادلات است. اگر یک مجهول وجود داشته باشد، یک معادله برای پیدا کردن جواب کافی است. اگر دو مجهول باشد دو معادله نیاز است که تشکیل دستگاه معادلات دیفرانسیل می‌دهند.

از این معادلات می‌توان به معادله لوتکا-ولترا اشاره کرد که در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی استفاده می‌شود.

مرتبه اول
---------

*معادلات دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل* (به انگلیسی: First-Order Differential Equations) گروهی از *معادلات دیفرانسیل* هستند که تنها شامل مشتق مرتبهٔ اوّل تابع مجهول هستند (و البتّه خود آن تابع). اگر {\displaystyle y(x)} تابعی مجهول از متغیّر {\displaystyle x} باشد، یک *معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل* معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت زیر نمایش داد (که در آن {\displaystyle f} می‌تواند هر تابع پیوسته‌ای باشد):

{\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=y\prime =f(x,y)}

به عنوان مثال {\displaystyle y\prime =2x} یک *معادله دیفرانسیل مرتبه اوّل* است ({\displaystyle f=2x}) و حل آن ما را به {\displaystyle y=x^{2}+c} می‌رساند.

یکی از فرم‌های دیگر این معادلات به شکل زیر است:

{\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}

برای حل این معادلات روش کلی وجود ندارد. روش‌های متعدّدی وجود دارد که هر کدام تنها برای دستهٔ خاصی از این معادلات کاربردی هستند. از مهم‌ترین آنها می‌توان به *مرتبه اول خطی* و *مرتبه اول تفکیک‌پذیر* اشاره کرد که در ادامه به آنها می‌پردازیم.

### قضیهٔ وجود و یکتایی

*قضیهٔ پیکارد-لیندلوف* (به انگلیسی: Picard–Lindelöf theorem): این معادلات در بازهٔ وجودی‌شان دقیقاً یک جواب دارند. اگر {\displaystyle f} پیوسته باشد، بازهٔ وجودی برابر {\displaystyle \mathbb {R} } است.

در غیر این صورت، پیدا کردن بازه‌ای که جواب در آن وجود دارد می‌تواند سخت باشد. بازهٔ وجودی جواب شاید هیچ ارتباطی با بازهٔ پیوستگی {\displaystyle f} نداشته باشد.

اگر توابع {\displaystyle f} و {\displaystyle {\partial f \over \partial y}} در یک مربّع فرضی (مثل {\displaystyle x\in [X\_{1},X\_{2}],\ \ \ y\in [Y\_{1},Y\_{2}]}) پیوسته باشند،

بازه‌ای از {\displaystyle x} (مثل {\displaystyle x\in [\alpha ,\beta ]\subseteq [X\_{1},X\_{2}]}) وجود دارد که معادلهٔ {\displaystyle y\prime =f(x,y)} (با مقادیر اوّلیّهٔ دلخواه) در آن جواب دارد.

توجّه کنید که شروط ذکر شده ضروری نیستند؛ یعنی شاید بتوان به روشی دیگر و بدون کمک گرفتن از این قضیه، بازهٔ وجودی پیدا کرد.

### مرتبهٔ اول خطی

یک مدار RL ساده
مقالهٔ اصلی: معادله دیفرانسیل مرتبه اول خطیدر صورتی که درجهٔ {\displaystyle y} و {\displaystyle y\prime } یک باشد به آن خطی گوییم.

در مدارهای RL، به کمک قانون اهم به معادلاتی مشابه {\displaystyle L{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}+Ri=V} می‌رسیم ({\displaystyle L} و {\displaystyle R} و {\displaystyle V} ثابت و {\displaystyle i} تابعی از {\displaystyle t}) و برای پیدا کردن {\displaystyle i} باید از *معادلات دیفرانسیل مرتبه اوّل خطی* کمک بگیریم.

#### برنولی

با معادله برنولی اشتباه نشود.
معادلهٔ دیفرانسیل برنولی (به انگلیسی: Bernoulli differential equation) معادله‌ای ست که بتوان آن را به صورت {\displaystyle y'+p(t)y=q(t)y^{n}} نوشت.

برای حل این معادلات می‌توان آنها را با تغییر متغیّر {\displaystyle u=y^{n-1}} به معادلهٔ خطی تبدیل کرد:

{\displaystyle y'+p(t)y=q(t)y^{n}\Longrightarrow y^{-n}y'+p(t)y^{1-n}=q(t)\Longrightarrow {1 \over 1-n}{\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}+p(t)u=q(t)\Longrightarrow {\operatorname {d} \!u \over \operatorname {d} \!t}+(1-n)p(t)u=(1-n)q(t)}

### مرتبهٔ اول تفکیک‌پذیر

*معادلهٔ دیفرانسیل مرتبهٔ اوّل تفکیک‌پذیر* (به انگلیسی: separable first-order differential equations) معادلاتی هستند که بتوان آن‌ها را به فرم دیفرانسیلی زیر نمایش داد ({\displaystyle M} و {\displaystyle N} دلخواه):

{\displaystyle M(x)\operatorname {d} \!x=N(y)\operatorname {d} \!y}

برای حل این معادله، آن را به فرم زیر می‌نویسیم:

{\displaystyle f(x)=g(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}}

با فرض این که {\displaystyle F} و {\displaystyle G} پادمشتق {\displaystyle f} و {\displaystyle g} باشند:

{\displaystyle F'(x)=G'(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}}

طبق قاعدهٔ زنجیره‌ای:

{\displaystyle G'(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!y}G(y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}G(y)}

در نتیجه تساوی بالا را می‌توان به صورت زیر نوشت:

{\displaystyle {\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}F(x)={\operatorname {d} \over \operatorname {d} \!x}G(y)}

در نتیجه، با انتگرال‌گیری نسبت به {\displaystyle x} داریم:

{\displaystyle F(x)=G(y)+c}

به عبارتی دیگر، جواب به صورت زیر به دست می‌آید:

{\displaystyle \int f(s)\operatorname {d} \!s=\int g(s)\operatorname {d} \!s}

#### مرتبهٔ اول همگن

با معادله دیفرانسیل خطی § همگن اشتباه نشود.مقالهٔ اصلی: معادله دیفرانسیل همگنهمچنین ببینید: تابع همگن
اگر یک *معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل* را به فرم {\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0} بنویسیم، در صورتی که توابع {\displaystyle M(x,y)} و {\displaystyle N(x,y)} هر دو توابع همگن با درجه (مرتبه) یکسان باشند، آن معادله دیفرانسیل مرتبه اول همگن (به انگلیسی: Homogeneous first-order differential equation) است.

به عبارتی دیگر {\displaystyle M(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}M(x,y)} و {\displaystyle N(\lambda x,\lambda y)=\lambda ^{n}N(x,y)}.

توجّه کنید که مرتبهٔ همگنی توابع ({\displaystyle n}) با مرتبهٔ معادله (یک) اشتباه نشود.

حال درصورتی که {\displaystyle \lambda ={1 \over x}}:

{\displaystyle y\prime =f(x,y)={M(x,y) \over N(x,y)}={x^{n}({1 \over x^{n}}M(x,y)) \over x^{n}({1 \over x^{n}}N(x,y))}={x^{n}(\lambda ^{n}M(x,y)) \over x^{n}(\lambda ^{n}N(x,y))}={x^{n}M(\lambda x,\lambda y) \over x^{n}N(\lambda x,\lambda y)}={M(1,{y \over x}) \over N(1,{y \over x})}=f(1,{y \over x})}

به عبارتی دیگر {\displaystyle y\prime } را می‌توان به صورت تابعی از تنها کسر {\displaystyle y \over x} بیان کرد ({\displaystyle f} یک تابع همگن درجه صفر است). این معادلات را می‌توان با تغییر متغیّر {\displaystyle v={y \over x}} به معادلات *تفکیک‌پذیر* تبدیل کرد.

به عنوان مثال، معادلهٔ {\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={y-4x \over x-y}} را می‌توان به صورت {\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={{y \over x}-4 \over 1-{y \over x}}} نمایش داد (پس همگن است). با فرض {\displaystyle v={y \over x}}، می‌توان معادله را به صورت {\displaystyle {1 \over x}\operatorname {d} \!x={1-v \over v^{2}-4}\operatorname {d} \!v} تفکیک کرد. ادامهٔ حل، به روش حل *معادلات تفکیک‌پذیر* است.

##### یک حالت خاص

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل به فرم {\displaystyle (ax+by+c)\operatorname {d} \!x+(ex+fy+g)\operatorname {d} \!y=0} یا {\displaystyle y'={\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=-{ax+by+c \over ex+fy+g}} باشد، می‌توان معادلهٔ مذکور را با تغییر متغیّر به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد.

جواب‌های دو معادله دومجهولی {\displaystyle ax+by+c=0} و {\displaystyle ex+fy+g=0} به صورت زیر به دست می‌آید (اگر {\displaystyle af\neq be}):

{\displaystyle \alpha ={cf-bg \over be-af},\quad \beta ={ag-ce \over be-af}}

سپس با تغییر متغیّر {\displaystyle X=x-\alpha } و {\displaystyle Y=y-\beta } می‌توان معادلهٔ مذکور را به یک معادلهٔ همگن تبدیل کرد:

{\displaystyle {\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}={\operatorname {d} \!Y \over \operatorname {d} \!X}=-{aX+bY \over eX+fY}}

### مرتبهٔ اول خودگردان

مقالهٔ اصلی: سیستم خودگردان (ریاضیات)
در صورتی که نرخ رشد یک تابع ({\displaystyle y(x)}) تنها به مقدار تابع وابسته باشد، *خودگردان* (به انگلیسی: autonomous differential equations) نامیده می‌شود: {\displaystyle y\prime =f(y)}

#### رشد نمایی

همچنین ببینید: رشد نمایی
*معادلهٔ رشد نمایی* ساده‌ترین نوع معادلات خودگردان است و برای مدل‌سازی رشد بعضی گونه‌ها (مثل میکروب‌ها) استفاده می‌شود. به این معادله «قانون رشد طبیعی» نیز می‌گویند.

این معادلات را می‌توان به فرم {\displaystyle y\prime =ry} نوشت ({\displaystyle r} یک عدد و {\displaystyle y} تابعی از {\displaystyle t} است) و جواب آن برابر {\displaystyle y=y\_{0}e^{rt}} است.

#### رشد لجستیک

چند تابع لجستیک مختلف با ثابت {\displaystyle K=100}
مقالهٔ اصلی: تابع\_لجستیک § معادله\_دیفرانسیلی\_لُجستیکهمچنین ببینید: پویایی‌شناسی جمعیت
*معادلهٔ لُجِستیک یا معادلهٔ ورهولست* (به انگلیسی: Verhulst equation or Logistic equation) از انواع معادلات خودگردان است که اوّلین بار توسّط یک ریاضی‌دان بلژیکی (به فرانسوی: Pierre François Verhulst) برای مدل‌سازی رشد جمعیّت معرّفی شد.

به عنوان مثال در حالت کشت سلّول در یک پتری‌دیش، اگر در ابتدا تعداد میکروب‌ها کم باشند به صورت نمایی رشد می‌کنند؛ امّا به دلیل محدود بودن فضای رشد، تعداد آن‌ها از مقدار خاصی فراتر نمی‌رود و سرعت رشد به مرور کاهش پیدا می‌کند. همچنین اگر تعداد اوّلیّهٔ میکروب‌ها از این حد فراتر بود تعدادی از آنها نابود می‌شدند.

این معادلات را می‌توان به فرم {\displaystyle y\prime =(r-ay)\ y} یا به شکل معمول‌ترِ {\displaystyle y\prime =r(1-{y \over K})\ y} نوشت ({\displaystyle K={r \over a}}).

به ثابت {\displaystyle r>0} *نرخ رشد ذاتی* (به انگلیسی: intrinsic growth rate) گفته می‌شود، زیرا در ابتدا (یعنی {\displaystyle t=0}) که {\displaystyle y\thickapprox 0} است، {\displaystyle y\prime \thickapprox ry} می‌شود.

به ثابت {\displaystyle K} *حد اشباع* یا *ظرفیّت تحمّل محیطی* (به انگلیسی: environmental carrying capacity) گفته می‌شود. تمام توابع لجستیک (با هر مقدار اوّلیّهٔ مثبتی) به {\displaystyle K} میل می‌کنند.

حل این معادلات به صورت زیر است:{\displaystyle y\prime ={\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!t}=r(1-{y \over K})\ y\Longrightarrow r\operatorname {d} \!t={\operatorname {d} \!y \over {(1-{y \over K})\ y}}=({1 \over y}+{{1 \over K} \over 1-{y \over K}})\operatorname {d} \!y\Longrightarrow \int r\operatorname {d} \!t=\int {1 \over y}+{{1 \over K} \over 1-{y \over K}}\operatorname {d} \!y\Longrightarrow rt+c=\ln y-\ln(1-{y \over K})\Longrightarrow e^{rt+c}={y \over 1-{y \over K}}}{\displaystyle \Longrightarrow y={y\_{0}K \over y\_{0}+(K-y\_{0})e^{-rt}}}

### مرتبهٔ اول کامل

اگر یک معادلهٔ دیفرانسیل مرتبه اوّل را به فرم {\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0} بنویسیم، با فرض این که {\displaystyle M\_{y}(x,y)={\partial {M} \over \partial y}} و {\displaystyle N\_{x}(x,y)={\partial N \over \partial x}} مشتق‌های جزئی این توابع باشند (که در یک ناحیهٔ خاص پیوسته است)،

معادلهٔ مورد نظر *کامل* (به انگلیسی: exact differential equations) است اگر و تنها اگر {\displaystyle M\_{y}(x,y)=N\_{x}(x,y)}.

به بیانی دیگر معادله کامل است اگر و تنها اگر تابعی مانند {\displaystyle \psi (x,y)} وجود داشته باشد که {\displaystyle \psi \_{x}=M} و {\displaystyle \psi \_{y}=N}. در آن صورت {\displaystyle \psi \_{xy}=M\_{y}=N\_{x}=\psi \_{yx}} می‌شود.

برای حل این معادلات می‌توان از این روش استفاده کرد:

{\displaystyle M(x,y)+N(x,y){\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=0={\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}+{\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!y \over \operatorname {d} \!x}=2{\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}\Longrightarrow {\operatorname {d} \!\psi \over \operatorname {d} \!x}=0\Longrightarrow \psi =c}

در نتیجه با قرار دادن {\displaystyle \psi (x,y)=c} به جواب می‌رسیم.

#### عامل انتگرال‌ساز

در بعضی موارد که معادلهٔ {\displaystyle M(x,y)\operatorname {d} \!x+N(x,y)\operatorname {d} \!y=0} کامل نیست می‌توان با یک ترفند آن را به یک معادلهٔ کامل تبدیل کرد و سپس آن را به روش مذکور حل کرد. در این ترفند ساده معادله را در یک *عامل انتگرال‌ساز* (به انگلیسی: integrating factor) (مثل {\displaystyle \mu }) ضرب می‌کنیم به صورتی که معادلهٔ به دست آمده ({\displaystyle \mu (x,y)M(x,y)\operatorname {d} \!x+\mu (x,y)N(x,y)\operatorname {d} \!y=0}) کامل باشد.

مشکل این ترفند در پیدا کردن *عامل انتگرال‌ساز* مناسب است. طبق تعریفِ معادلهٔ کامل برای معادلهٔ جدید:

{\displaystyle (\mu M)\_{y}=(\mu N)\_{x}\Longrightarrow M\mu \_{y}-N\mu \_{x}+(M\_{y}-N\_{x})\mu =0}

امّا پیدا کردن {\displaystyle \mu } با حل این معادله بسیار دشوار است (همچنین احتمالاً {\displaystyle \mu } یکتا نیست). برای حل این مشکل حدس می‌زنیم که {\displaystyle \mu \_{y}=0} باشد و امیدوار می‌مانیم که همین‌طور باشد. اگر با این فرض {\displaystyle \mu } به دست آمد و معادلهٔ {\displaystyle \mu M\operatorname {d} \!x+\mu N\operatorname {d} \!y=0} طبق تعریف کامل شد، به این نتیجه می‌رسیم که فرضمان درست بوده. گاهی نیز با حدس {\displaystyle \mu \_{x}=0} می‌توان به جواب رسید.

##### یک مثال

معادلهٔ {\displaystyle 3xy+y^{2}+(x^{2}+xy)y'=0} کامل نیست. {\displaystyle M(x,y)=3xy+y^{2}} و {\displaystyle N(x,y)=x^{2}+xy}.

برای پیدا کردن عامل انتگرال‌ساز از حدس {\displaystyle \mu \_{y}=0} استفاده می‌کنیم:

{\displaystyle (\mu M)\_{y}=(\mu N)\_{x}\Longrightarrow -N\mu \_{x}+(M\_{y}-N\_{x})\mu =0\Longrightarrow {\mu \_{x} \over \mu }={M\_{y}-N\_{x} \over N}={1 \over x}\Longrightarrow \mu =x}

معادلهٔ جدید به صورت {\displaystyle 3x^{2}y+xy^{2}+(x^{3}+x^{2}y)y'=0} به دست می‌آید.

باید بررسی کنیم که آیا معادلهٔ جدید کامل هست یا نه، زیرا شاید حدسمان اشتباه بوده. پس از بررسی (تعریف کامل بودن) مشاهده می‌کنیم که معادله کامل شده. حال باید معادلهٔ کامل را حل کنیم تا جواب به دست بیاید.

تابعی مانند {\displaystyle \psi (x,y)} وجود دارد که {\displaystyle \psi \_{x}=M=3x^{2}y+xy^{2}} و {\displaystyle \psi \_{y}=N=x^{3}+x^{2}y}.

{\displaystyle \psi =\int \psi \_{x}\operatorname {d} \!x=\int M\operatorname {d} \!x=x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+h(y)\Longrightarrow \psi \_{y}=x^{3}+x^{2}y+h'(y)}

از طرفی می‌دانستیم که {\displaystyle \psi \_{y}=N=x^{3}+x^{2}y}. پس:

{\displaystyle \psi \_{y}=x^{3}+x^{2}y+h'(y)=x^{3}+x^{2}y\Longrightarrow h'=0\Longrightarrow h=c}

{\displaystyle \Longrightarrow \psi =x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}+c}

برای حل معادلات کامل باید از {\displaystyle \psi =c} استفاده کرد:

{\displaystyle x^{3}y+{1 \over 2}x^{2}y^{2}=c}

در ادامه می‌توان {\displaystyle y} را بر حسب {\displaystyle x} به دست آورد.

همچنین توجّه داشته باشید که {\displaystyle \mu } یکتا نبود. به عنوان مثال {\displaystyle \mu ={1 \over xy(2x+y)}} یک *عامل انتگرال‌ساز* دیگر است که به کمک آن باز هم به همین جواب می‌رسیم.

معادلات دیفرانسیل مشهور
-----------------------

* قانون دوم نیوتن در دینامیک (مکانیک)
* معادلات همیلتون در مکانیک کلاسیک
* واپاشی هسته‌ای در فیزیک هسته‌ای
* معادله موج
* معادلات ماکسول در الکترومغناطیس
* معادلات پواسن
* معادله لاپلاس که توابع هارمونیک را تعریف می‌کند
* مسئله منحنی کوتاه‌ترین زمان.
* فرمول انیشتین.
* قانون گرانش نیوتن.
* معادله شرودینگر در مکانیک کوانتوم
* معادلات ناویه-استوکس در دینامیک شاره‌ها
* معادلات کوشی-ریمان در آنالیز مختلط
* معادله پواسون-بولتزمن در دینامیک ملکولی
* معادله موج برای تار مرتعش.
* نوسانگر همساز در مکانیک کوانتومی.
* نظریه پتانسیل.
* معادله موج برای غشای مرتعش.
* معادلات شکار و شکارچی.
* مکانیک غیر خطی.
* مسئلهٔ مکانیکی آبل.
* معادلات دسته لین-امدن
* معادله ابرگاز کروی
* معادله کوتوله سفید
* معادلات امدن-فاولر
* معادله جمعیتی ولترا
* معادله توماس فرمی
* معادله بلاسیوس
* معادله فالکنر اسکن
* معادله فوکر-پلانک
* معادله لوتکا ولترا در مدل‌سازی جمعیّت شکار و شکارچی
* معادله زابولوتسکایا-خوخولوف
* معادله برنولی

جستارهای وابسته
---------------

* مدل‌سازی ریاضیاتی

منابع
-----

1. ↑  Dennis G. Zill (15 March 2012). *A First Course in Differential Equations with Modeling Applications*. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.
2. ↑  Bernoulli, Jacob (1695), "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", *Acta Eruditorum*
3. ↑  Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard (1993), *Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems*, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-56670-0
4. ↑  Frasier, Craig (July 1983). "Review of *The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742*, by John T. Cannon and Sigalia Dostrovsky" (PDF). *Bulletin of the American Mathematical Society*. New Series. **9** (1).
5. ↑  Wheeler, Gerard F.; Crummett, William P. (1987). "The Vibrating String Controversy". *Am. J. Phys.* **55** (1): 33–37. Bibcode:1987AmJPh..55...33W. doi:10.1119/1.15311.
6. ↑  For a special collection of the 9 groundbreaking papers by the three authors, see First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings بایگانی‌شده در ۲۰۲۰-۰۲-۰۹ توسط Wayback Machine (retrieved 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
7. ↑  For de Lagrange's contributions to the acoustic wave equation, can consult Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; page 18.(retrieved 9 Dec 2012)
8. ↑  Speiser, David. *Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800*, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
9. ↑  Fourier, Joseph (1822). *Théorie analytique de la chaleur* (به فرانسوی). Paris: Firmin Didot Père et Fils. OCLC 2688081.
10. 1 2 3  «۹». *Thomas' Calculus (14th Edition)*.
11. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition)*. به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.
12. 1 2  *Calculus: Early Transcendentals*. ج. ۹th edition جلد. به کوشش James Stewart.
13. ↑  Dennis G. Zill (15 March 2012). *A First Course in Differential Equations with Modeling Applications*. Cengage Learning. ISBN 978-1-285-40110-2.

* سیمونز آرش دارابی فرد ج.اف. معادلات دیفرانسیل و کاربرد آنها، ترجمه:علی اکبر بابایی، مرکز نشر دانشگاهی، چاپ یازدهم
* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Differential equation». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.

|  |  |
| --- | --- |
|  | در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ معادله دیفرانسیل موجود است. |

مطالعهٔ بیشتر
-------------

* Abbott, P.; Neill, H. (2003). *Teach Yourself Calculus*. pp. 266–277.
* Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). *Differential Equations*. Thompson.
* Boyce, W.; DiPrima, R.; Meade, D. (2017). *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems*. Wiley.
* Coddington, E. A.; Levinson, N. (1955). *Theory of Ordinary Differential Equations*. McGraw-Hill.
* Ince, E. L. (1956). *Ordinary Differential Equations*. Dover.
* Johnson, W. (1913). *A Treatise on Ordinary and Partial Differential Equations*. John Wiley and Sons. In University of Michigan Historical Math Collection
* Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. (2003). *Handbook of Exact Solutions for Ordinary Differential Equations* (2nd ed.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
* Porter, R. I. (1978). "XIX Differential Equations". *Further Elementary Analysis*.
* Teschl, Gerald (2012). *Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems*. Providence: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
* Daniel Zwillinger (12 May 2014). *Handbook of Differential Equations*. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

پیوند به بیرون
--------------

* معادلات دیفرانسیل در متلب

| * ن
* ب
* و
ریاضیات (شاخه‌های ریاضیات) |
| --- |
| بنیان‌ها | 
* نظریه دسته‌ها
* نظریه اطلاعات
* منطق ریاضی
* فلسفه ریاضیات
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه نوع‌ها

 |
| جبر | 
* مجرد
* جبر جابجایی
* مقدماتی
* نظریه گروه‌ها
* خطی
* چندخطی
* جبر جهانی
* جبر همولوژی

 |
| آنالیز | 
* حسابان
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* معادله دیفرانسیل
* آنالیز تابعی
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)

 |
| گسسته | 
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* نظریه ترتیب
* نظریه بازی‌ها

 |
| هندسه | 
* جبری
* تحلیلی
* دیفرانسیل
* گسسته
* اقلیدسی
* متناهی

 |
| نظریه اعداد | 
* حساب
* نظریه جبری اعداد
* نظریه تحلیلی اعداد
* هندسه دیوفانتینی

 |
| توپولوژی | 
* توپولوژی عمومی
* جبری
* دیفرانسیل
* هندسی
* نظریه هموتوپی

 |
| کاربردی | 
* نظریه کنترل
* ریاضیات مهندسی
* زیست‌شناسی ریاضی و نظری
* شیمی ریاضی
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی
* ریاضی فیزیک
* روانشناسی ریاضی
* جامعه‌شناسی ریاضی
* آمار ریاضی
* تحقیق در عملیات
* احتمالات
* آمار

 |
| محاسباتی | 
* علوم رایانه
* نظریه محاسبات
* نظریه پیچیدگی محاسباتی
* آنالیز عددی
* بهینه‌سازی
* جبر رایانه‌ای

 |
| سایر | 
* تاریخ ریاضیات
* سرگرمی‌های ریاضی
* ریاضیات و هنر
* آموزش ریاضی

 |
| 
* **رده**
* **درگاه**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |

| * ن
* ب
* و
موضوعات اصلی در آنالیز ریاضی |
| --- |
| 
* **حسابان**: انتگرال
* مشتق
* معادله دیفرانسیلs (معادله دیفرانسیل معمولی - معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی)
* قضیه اساسی حسابان
* حساب تغییرات
* حساب برداری
* حساب تنسوری
* فهرست‌های انتگرال‌ها
* قواعد دیفرانسیل گیری

 |
| 
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* آنالیز تابعی
* آنالیز فوریه
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)
* نظریه نمایش

* تابع
* تابع پیوسته
* توابع خاص
* حد (ریاضی)
* سری (ریاضیات)
* بی‌نهایت

 |
| **درگاه:ریاضیات** |

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

| * ن
* ب
* و
ریاضیات صنعتی و کاربردی |
| --- |
| ریاضیات محاسباتی | 
* الگوریتمs
	+ الگوریتم
	+ تحلیل الگوریتم‌ها
* نظریه اتوماتا
* نظریه کدگذاری
* منطق در علوم کامپیوتر
* رمزنگاری
* نظریه اطلاعات

 |
| ریاضیات گسسته | 
* جبر رایانه‌ای
* نظریه اعداد رایانشی
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* هندسه گسسته

 |
| آنالیز ریاضی | 
* نظریه تقریب
* Clifford analysis
	+ Clifford algebra
* معادله دیفرانسیل
	+ Complex differential equations
	+ معادله دیفرانسیل معمولی
	+ معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی
	+ معادله دیفرانسیل تصادفی
* هندسه دیفرانسیل
	+ Differential forms
	+ Gauge theory
	+ Geometric analysis
* سامانه پویا
	+ نظریه آشوب
	+ نظریه کنترل
* آنالیز تابعی
	+ Operator algebra
	+ نظریه عمل‌گرها
* آنالیز هارمونیک
	+ آنالیز فوریه
* Multilinear algebra
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ تانسور
	+ حساب برداری
* حساب چندمتغیره
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ حساب تانسوری
	+ حساب برداری
* آنالیز عددی
	+ جبر خطی عددی
	+ حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
	+ Numerical methods for partial differential equations
	+ Validated numerics
* حساب تغییرات

 |
| نظریه احتمالات | 
* توزیع احتمالs (متغیر تصادفیs)
* فرایند تصادفیes / حسابان تصادفی
* Path integral
* Stochastic variational calculus

 |
| ریاضی فیزیک | 
* مکانیک تحلیلی
	+ مکانیک لاگرانژی
	+ مکانیک همیلتونی
* میدان (فیزیک)
	+ نظریه میدان کلاسیک
	+ Conformal
	+ Effective
	+ نظریه پیمانه‌ای
	+ نظریه میدان‌های کوانتومی
	+ Statistical
* نظریه پتانسیل
* نظریه ریسمان
	+ Topological

|  |  |
| --- | --- |
| ساختارهای جبری | 
* Algebra of physical space
* فرمول‌بندی انتگرال مسیر
* Quantum group
* گروه بازبهنجارش
* Representation theory
* Spacetime algebra

 |

 |
| نظریه‌های تصمیم | 
* نظریه بازی
* تحقیق در عملیات
* بهینه‌سازی
* نظریه انتخاب اجتماعی
* آمار
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی

 |
| کاربردهای دیگر | 
* زیست‌شناسی ریاضیاتی و نظری
* شیمی ریاضیاتی
* روانشناسی ریاضی
* Sociology
* "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"

 |
| مرتبط | 
* ریاضیات

 |
| سازمان‌ها | 
* Society for Industrial and Applied Mathematics
	+ Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
* Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
* International Council for Industrial and Applied Mathematics

 |
| 
* 
* درگاه:ریاضیات / outline / فهرست مفاهیم ریاضی

 |

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* فرانسه (داده‌ها)
* آلمان
* اسرائیل
* ایالات متحده آمریکا
* ژاپن
* جمهوری چک

 |