برای دیگر کاربرد های "صفر"، صفر(ابهام زدایی) را ببینید 

در ریاضیات، عنصر صفر یکی از چندین تعمیم عدد صفر به دیگر ساختارهای جبری است. این معانی جایگزین امکان دارد بسته به زمینه ای که داند، به یک چیز کاهش یابند یا نه.

همانی جمع
---------

همانی جمع یک عنصر همانی در یک گروه جابجایی پذیر است. با عنصر ۰ مطابقت دارد به طوری که به ازای همه مقادیر x در گروه، 0 + x = x + 0 = x. چند نمونه از همانی های جمع عبارتند از:

* **بردار صفر** در جمع برداری: برداری با طول ۰ که همه اجزای آن ۰ هستند. اغلب نمایش داده می شوند به شکل ۰ یا {\displaystyle {\vec {0}}}

* **تابع صفر** یا **نگاشت صفر** تعریف شده به وسیله z(x) = ۰، تحت جمع نقطه ای (f + g)(x) = f(x) + g(x)

* مجموعه خالی تحت مجموعه اجتماع

* یک جمع خالی یا جمع رسته ای

* یک عنصر اولیه در یک دسته (یک جمع رسته ای پوچ، و در نتیجه یک هویت تحت جمع رسته ای)

عناصر جاذب
----------

یک عنصر جذب کننده در یک نیم گروه ضربی یا نیم حلقه خاصیت 0 ⋅ *x* = 0 را تعمیم می دهد. مثالهایی در این زمینه عبارتند از:

* مجموعه خالی ، که یک عنصر جذب کننده در حاصل ضرب دکارتی مجموعه ها است، زیرا { } × *S* = { }
* **تابع صفر** یا **نگاشت صفر** تعریف شده توسط *z*(*x*) = 0 در ضرب نقطه ای (*f* ⋅ *g*)(*x*) = *f*(*x*) ⋅ *g*(*x*)

بسیاری از عناصر جذب کننده نیز همانی جمع هستند، از جمله مجموعه تهی و تابع صفر. نمونه مهم دیگر عنصر مشخص ۰ در یک میدان یا حلقه است که هم همانی جمع و هم عنصر جذب کننده ضربی است و ایده آل اصلی آن کوچکترین ایده آل است.

اشیاء صفر
---------

یک **شی صفر** در یک دسته ، به هر دو صورت شی اولیه و پایانی می باشد (و بنابراین یک هویت تحت جمع رسته ای و در ضرب است ). به عنوان مثال، ساختار ساده (که فقط شامل هویت است) یک شی صفر در دسته بندی هایی است که مورفیسم ها باید هویت ها را به هویت ها نگاشت کنند. نمونه های خاص عبارتند از:

* گروه ساده ، که تنها شامل هویت است (یک شیء صفر در دسته گروه ها )

* **ماژول صفر** ، که تنها شامل هویت است (یک شی صفر در دسته ماژول ها بر روی ی حلقه)

مورفیسم های صفر
---------------

یک مورفیسم صفر در دسته یک عنصر جذب کننده کلی تحت ترکیب تابعی است: هر مورفیسمی که با مورفیسم صفر تشکیل شده باشد، مورفیسم صفر می دهد. به صورت خاص، اگر 0*XY* : *X* → *Y* مورفیسم صفر در بین مورفیسم های *X* تا *Y* باشد و *f* : *A* → *X* و *g* : *Y* → *B* مورفیسم هایی دلخواه باشند، در نتیجه داریم *g* ∘ 0*XY* = 0*XB* و 0*XY* ∘ *f* = 0*AY* .

اگر یک دسته در بر دارنده یک شی صفر **0** است، در این حالت مورفیسم های کانونی *X* → **0** و **0** → *Y*, و ترکیب آن ها، یک مورفیسم صفر 0*XY* : *X* → *Y* تولید می کند. در دسته گروه‌ها ، برای نمونه، مورفیسم‌های صفر، مورفیسم‌هایی هستند که همیشه به عنصر هویت گروه باز میگردند، بنابراین تابع *z*(*x*) = 0
را تعمیم می دهند .

عناصر کمینه
-----------

عنصر کمینه در یک مجموعه جزئی مرتب شده یا مشبکه احتمال دارد گاهی اوقات عنصر صفر نامیده شود و به صورت ۰ یا ⊥ نوشته شود .

ماژول صفر
---------

در ریاضیات ، **ماژول صفر** ماژولی است که فقط شامل همانی جمع برای تابع جمع ماژولی است. در اعداد صحیح ، این هویت صفر است که نام ماژول صفر را می دهد. نشان دادن اینکه ماژول صفر در واقع یک ماژول است، ساده است. در واقع آن تحت عمل جمع و ضرب بسته است .

صفر ایده آل
-----------

در ریاضیات ، **صفر** ایده آل در یک حلقه R یک {\displaystyle \{0\}} ایده آل است که تنها شامل همانی جمع (یا عنصر صفر ) می باشد. این حقیقت که این یک ایده آل است مستقیماً از تعریف نتیجه می شود .

ماتریس صفر
----------

در ریاضیات ، به خصوص جبر خطی ، **ماتریس صفر** ماتریسی است که تمام ورودی های آن برابر صفر است. که به صورت جایگزین با نماد 𝑂 نشان داده می شود. چند نمونه از ماتریس های صفر را نمایش داده شده :

{\displaystyle 0\_{1,1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\ 0\_{2,2}={\begin{bmatrix}0&0\\0&0\end{bmatrix}},\ 0\_{2,3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}},\ }, 

مجموعه ماتریس های *m* × *n* با ورود در یک حلقه *K* یک ماژول {\displaystyle K\_{m,n}} را می سازند. که ماتریس صفر {\displaystyle 0\_{K\_{m,n}}} در {\displaystyle K\_{m,n}} ماتریسی با تمام ورودی های برابر با صفر {\displaystyle 0\_{K}} می باشد، در صورتی که {\displaystyle 0\_{K}} همانی جمع در *K* می باشد :

{\displaystyle 0\_{K\_{m,n}}={\begin{bmatrix}0\_{K}&0\_{K}&\cdots &0\_{K}\\0\_{K}&0\_{K}&\cdots &0\_{K}\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0\_{K}&0\_{K}&\cdots &0\_{K}\end{bmatrix}}}

ماتریس صفر همانی جمع در {\displaystyle K\_{m,n}} است. یعنی برای همه {\displaystyle A\in K\_{m,n}} :

{\displaystyle 0\_{K\_{m,n}}+A=A+0\_{K\_{m,n}}=A}

در اینجادقیقاً یک ماتریس صفر با هر اندازه داده شده از *m* × *n* (با ورودی های یک حلقه داده شده) قرار دارد، بنابراین وقتی مفهوم متن ابهامی ندارد، اغلب به ماتریس صفر اشاره می شود. به طور کلی، عنصر صفر هر حلقه یکتا است و عموماً عنصر صفر در حلقه‌ها، با سمبل ۰ و بدون هیچ نشانگری برای حلقه والد، نشان داده می‌شود. از این رو مثال های بالا نشان دهنده ماتریس های صفر بر روی هر حلقه هستند.

ماتریس صفر همچنین نگاشت خطی را نمایش می دهد که همه بردارها را به بردار صفر تبدیل می کند.

تانسور صفر
----------

در ریاضیات ، **تانسور صفر** یک تانسوری است که تمامی عناصر آن برابر با صفر هستند و می‌تواند هر گونه تانسوری با هر مرتبه‌ای باشد. تانسور صفر با مرتبه ۱ گاهی اوقات به عنوان بردار صفر شناخته می شود.

در یک ضرب تانسوری ، ضرب هر تانسور با یک تانسور صفر ، تانسور صفر دیگری را تولید می کند. اضافه کردن تانسور صفر معادل عملیات همانی است.

همچنین ببینید
-------------

* نیم گروه تهی
* مقسوم الیه صفر
* شی صفر
* صفر یک تابع
* صفر - کاربرد های غیر ریاضی

منابع
-----

۱. Weisstein, Eric W. "Zero Vector". *mathworld.wolfram.com*. Retrieved 2020-08-12.

۲. "Definition of ZERO VECTOR". *mathworld.wolfram.com*. Retrieved 2020-08-12.