انحنای ایجاد شده در فضا-زمان به علت جرم زمین که باعث ایجاد گرانش زمین می گردد.
پس از آنکه اینشتین به فکر ارائه نظریه نسبیت عام خود بر مبنای رفع محدودیت‌های نسبیت خاص (مخصوصا ارتباط هندسی فضا و زمان) افتاد، اولین چالش پیش رویش مقوله گرانش نیوتنی بود که بیان می نمود جاذبه یک عاملی خارجی است و صرفاً بر اجرام تأثیر خواهد کرد. حال آنکه مطابق با نظریه نسبیت خصوصی جرم و انرژی دو تعریف (یا ظاهر) متفاوت از یک کمیت واحد هستند، لذا تمامی خصوصیات مربوط به جرم شامل انرژی نیز خواهد شد. پس گرانش نیز اگر بر اجرام اثر کرده و مسیر حرکت آن‌ها را منحرف می‌کند بایستی مسیر حرکت بسته‌های انرژی متحرکت (کوانتوم های نوری) را نیز منحرف نماید. این عمل به راحتی از طریق مشاهدات آرتور استنلی ادینگتون مشهود بود با این تفاوت که مقادیر نتایج این مشاهدات تقریباً دو برابر پیش‌بینی نسبیت خاص بود. لذا اینشتین متوجه محدودیت نسبیت خاص در خصوص نادیده گرفتن تغییرات در بازه زمانی شد چراکه با نسبیت خاص تنها انحنای فضایی مد نظر گرفته می‌شود. پس این ایده که اجرام ثقیل علاوه بر مکان بر زمان مجاورشان نیز تأثیر می گذارند اولین بار اینچنین به ذهن اینشتین خطور کرد. و برای توضیح ریاضیاتی آن بایستی از محاسبات تانسوری بهره بگیریم.
بدین منظور چون تانسور ریچی {\displaystyle R\_{\mu \nu }\,} نماد انحناء در فضا-زمان و تانسور تکانه-انرژی {\displaystyle T\_{\mu \nu }\,} نماد ماده (انرژی) در محاسبات تانسوری است بایستی رابطه خطی میان این دو بر قرار باشد، اما چون مشتق هموردا (کواریانت) {\displaystyle T\_{\mu \nu }\,} صفر است:

{\displaystyle \nabla \_{b}T^{ab}\,=T^{ab}{}\_{;b}\,=0}
مشتق هموردای طرف دیگر تساوی نیز باید صفر باشد که برای {\displaystyle R\_{\mu \nu }\,} اینچنین نیست لذا اینشتین جهت برطرف نمودن این مشکل ترکیبی از ریچی و اسکالر ریچی {\displaystyle R\,} را از طریق اتحاد بیانکی بدست آورد که مشتق کواریانت آن صفر می‌باشد و به **تانسور اینشتین** معتبر است:

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=R\_{\mu \nu }-{1 \over 2}g\_{\mu \nu }R.}
و همچنین دارای خاصیت تقارن شاخص‌ها است:

{\displaystyle G\_{\mu \nu }=G\_{\nu \mu }\,}
و از قانون دیورژانس نیز تبعیت می‌کند:

{\displaystyle G^{\mu \nu }{}\_{;\nu }=0\,.}
و اسکالر آن نیز چنین است:

{\displaystyle \mathbf {G} =\mathbf {R} -{\frac {1}{2}}\mathbf {g} R,}
و اگر بخواهیم آن را بر حسب نمادهای کریستوفل بازنویسی کنیم:

{\displaystyle {\begin{aligned}G\_{\alpha \beta }&=R\_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g\_{\alpha \beta }R\\&=R\_{\alpha \beta }-{\frac {1}{2}}g\_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta }R\_{\gamma \zeta }\\&=(\delta \_{\alpha }^{\gamma }\delta \_{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g\_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })R\_{\gamma \zeta }\\&=(\delta \_{\alpha }^{\gamma }\delta \_{\beta }^{\zeta }-{\frac {1}{2}}g\_{\alpha \beta }g^{\gamma \zeta })(\Gamma \_{\gamma \zeta ,\epsilon }^{\epsilon }-\Gamma \_{\gamma \epsilon ,\zeta }^{\epsilon }+\Gamma \_{\epsilon \sigma }^{\epsilon }\Gamma \_{\gamma \zeta }^{\sigma }-\Gamma \_{\zeta \sigma }^{\epsilon }\Gamma \_{\epsilon \gamma }^{\sigma }),\end{aligned}}}
که در آن {\displaystyle \Gamma \_{\beta \gamma }^{\alpha }} به نمادهای کریستوفل معتبر است و داریم:

{\displaystyle \Gamma \_{\beta \gamma }^{\alpha }={\frac {1}{2}}g^{\alpha \epsilon }(g\_{\beta \epsilon ,\gamma }+g\_{\gamma \epsilon ,\beta }-g\_{\beta \gamma ,\epsilon }).}

جستارهای وابسته
---------------

* معادلات میدان اینشتین
* مشتق هموردا
* تانسور ضربه-انرژی
* نسبیت عام
* نسبیت خاص

منابع
-----

Ohanian, Hans C.; Remo Ruffini (1994). Gravitation and Spacetime (Second edition ed.). W. W. Norton & Company. ISBN 0-393-96501-5.
Martin, John Legat (1995). General Relativity: A First Course for Physicists. Prentice Hall International Series in Physics and Applied Physics (Revised edition ed.). Prentice Hall. ISBN 0-13-291196-5.


| * ن
* ب
* و
تانسورها |
| --- |
| *واژه نامه تانسورها* |
| قلمرو | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دستگاه مختصات
* جبر چندخطی
* هندسه اقلیدسی
* جبر تانسوری
* dyadic algebra
* هندسه دیفرانسیل
* حساب خارجی
* حساب تانسوری

 |
| * فیزیک
* مهندسی
 | 
* مکانیک پیوسته
* الکترومغناطیس
* پدیده انتقال
* نسبیت عام
* بینایی رایانه

 |

 |
| نمادگذاری | 
* نمادگذاری اندیسی
* نمادگذاری چند-اندیسی
* نمادگذاری اینشتین
* حساب ریچی
* نمادگذاری تصویری پنروز
* نمادگذاری وویت
* نمادگذاری اندیسی مجرد
* فرمالیسم چهارتایی
* نمادگذاری ون در واردن

 |
| تعاریفتانسورها | 
* تانسور (تعریف ذاتی)
* میدان تانسوری
* چگالی تانسوری
* تانسور در مختصات خمیده خطی
* تانسور مخلوط
* تانسور پادمتقارن
* تانسور متقارن
* عملگر تانسور
* کلاف تانسوری
* تانسور دو-نقطه‌ای

 |
| عمل | 
* ضرب تانسوری
* ضرب خارجی
* انقباض تانسوری
* ترانهاده
* بالا و پایین بردن اندیس‌ها
* عملگر ستاره هاج
* مشتق هموردا
* مشتق خارجی
* مشتق هموردای خارجی
* مشتق لی

 |
| تجریدهایمرتبط | 
* بعد
* پایه
* بردار, فضای برداری
* چندبردار
* مؤلفه‌های همورد و پادورد بردار
* تبدیل خطی
* ماتریس
* اسپینور
* فرمالیسم کارتان (فیزیک)
* فرم دیفرانسیل
* فرم خارجی
* فرم الصاقی
* ژئودزیک
* منیفلد
* کلاف برداری
* الصاق لوی-چیویتا
* الصاق آفین

 |
| تانسورهای مهم | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دلتای کرونکر
* نماد لوی-چیویتا
* تانسور متریک
* تانسور غیر متریک
* نمادهای کریستوفل
* خمیدگی ریچی
* تانسور خمیدگی ریمانی
* تانسور ویل
* تانسور تابدار

 |
| فیزیک | 
* گشتاور لختی
* تانسور گشتاور دورانی
* تانسور اسپین
* تانسور تنش کوشی
* تانسور تنش-انرژی
* تانسور الکترومغناطیسی
* تانسور قدرت میدان گلوئون
* تانسور اینشتاین
* تانسور متریک (نسبیت عام)

 |

 |
| ریاضیدانان | 
* لئونارد اویلر
* کارل فردریش گاوس
* آگوستین-لویی کوشی
* هرمان گراسمان
* گئورگیو ریچی-کورباسترو
* تولیو لوی-چیویتا
* جان آرنولدوس شوتن
* برنهارت ریمان
* الوین برونو کریستوفل
* وولدمار وویگت
* الی کارتان
* هرمان ویل
* آلبرت اینشتاین

 |