تابع f و معکوسش ƒ–1

| تابع |
| --- |
| *x* ↦ *f* (*x*) |
| 
مثال‌هایی با دامنه و دامنه مشترک |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **X** | → | **B**, | **B** | → | **X**, | **B***n* | → | **B** |
| **X** | → | **Z**, | **Z** | → | **X** |
| **X** | → | **R**, | **R** | → | **X**, | **R***n* | → | **X** |
| **X** | → | **C**, | **C** | → | **X**, | **C***n* | → | **X** |

 |
| کلاس‌ها/ویژگی‌ها |
| ثابت ·  همانی ·  خطی ·  چندجمله‌ای ·  گویا ·  جبری ·  تحلیلی ·  هموار ·  پیوسته ·  قابل اندازه‌گیری ·  یک‌به‌یک ·  پوشا ·  دوسویی |
| 
  سازه‌های تابعی |
| محدودسازی ·  ترکیب ·  لاندا ·  وارون |
| 
  تعمیم تابع   |
| جزئی ·  چندمقداری ·  ضمنی |
| * ن
* ب
* و
 |

تابع وارون یا معکوس (به انگلیسی: Inverse Function): در ریاضیات اگر f تابعی از مجموعه A به مجموعه B باشد، آن گاه **تابع وارون** (**معکوس**) f یا f−1 تابعی از B به A است، با این ویژگی که برای هر x در دامنهٔ f، نتیجه‌ی اعمال پی‌درپی تابع و وارون آن روی x، خود x خواهد بود. به دیگر سخن:

f^{{-1}}\left(\,f(x)\,\right)=x

تعریف
-----

اگر R یک رابطه از مجموعه X به مجموعه Y باشد، آنگاه معکوس رابطه R را با R−1 نشان می‌دهیم که عبارت است از:

R^{{-1}}=\left\{{\left({y,x}\right):\left({x,y}\right)\in R}\right\}
که رابطه‌ای از مجموعه Y به مجموعه X است. حال تابع f:X→Y نیز یک رابطه است. پس، معکوس آن را نیز می‌توان تعریف کرد که آن را با f−1 نشان می‌دهیم و حداقل یک رابطه از Y به X است.

f^{{-1}}=\left\{{\left({f(x),x}\right):x\in X}\right\}

شرط معکوس‌پذیری
---------------

حال این سؤال مطرح می‌شود که آیا f−1 همواره تابع است؟

برای این که f−1:Y→X تابع باشد، باید در شرایط تابع بودن صدق کند. یعنی

* دامنه‌اش همان مجموعه Y باشد؛

برای اینکه دامنه f-1 برابر مجموعه Y باشد، برد تابع f باید برابر مجموعه Y باشد. یعنی تابع f باید *پوشا* باشد.
* هر عضو Y را به عضوی یگانه از X تصویر کند.

برای اینکه f-1 هر عضو از دامنه خود Y را به یک عضو یگانه از مجموعه X تصویر کند، باید برای هر x1,x2∈X داشته باشیم اگر (f(x1)=f(x2 آنگاه x1=x2. یعنی f باید *یک به یک* باشد.
بنابراین معکوس تابع f:X→Y یعنی f−1 تابعی از Y به X خواهد بود اگر و فقط اگر f:X→Y یک دوسویی باشد. در این حالت f−1:Y→X را **تابع معکوس** تابع f می‌گوییم.

ویژگی‌ها
--------

اگر f−1 معکوس تابع f:X→Y باشد رابطه زیر را بین دامنه و برد f و f−1 داریم:

1. {\mbox{dom}}f^{{-1}}={\mbox{ran}}f
2. {\mbox{ran}}f^{{-1}}={\mbox{dom}}f

همچنین اگر (y=f(x پس x,y)∈f) ولذا y,x)∈f−1) پس 
(x=f−1(y و بلعکس.

نمودار تابع معکوس
-----------------

رابطه بین یک تابع و معکوسش را می‌توان به این صورت توصیف کرد که تابع f−1 معکوس تابع f، دقیقاً عکس تناظری که تابع f بیانگر آن است را توصیف می‌کند. به همین دلیل و بنابه تعریف تابع معکوس نمودار پیکانی تابع f−1 معکوس تابع f:X→Y با معکوس کردن جهت فلش‌ها بدست می‌آید.

همچنین اگر f تابعی تابعی حقیقی باشد، برای اینکه نمودار معکوس f را تعیین کنیم کافی است قرینه نمودار تابع f را نسبت به نیمساز ربع اول و سوم یعنی f(x)=x رسم کنیم و چون انعکاس نسبت به نیمساز ربع اول و سوم موجب جابجایی مولفه‌های اول و دوم زوج‌های مرتب تابع f می‌شود و این در حقیقت همان هدف ماست.

جستارهای وابسته
---------------

* تابع‌های وارون مثلثاتی

مطالعه بیشتر
------------

* ویدیوهای آموزشی تابع به زبان فارسی در کلاس درس:

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |

| * ن
* ب
* و
توابع ریاضی |
| --- |
| مفاهیم | تابع یک به یک، تابع پوشا، تابع زوج و فرد، تابع تحلیلی، تابع برداری، تابع پیوسته، تابع دیفرانسیل‌پذیر، تابع یکنوا | *x* ↦ *f*(*x*) |
| توابع متعارف | تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع مثلثاتی، تابع نمایی (تابع هذلولوی)، قدر مطلق، لگاریتم |
| توابع مثلثاتی | سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، توابع وارون مثلثاتی، فهرست انتگرال توابع مثلثاتی، مشتق توابع مثلثاتی |
| توابع خاص | تابع بسل، تابع لژاندر، تابع پله‌ای، تابع گاما، تابع خطا، تابع چبیشف، تابع گرین، دلتای دیراک، تابع زتای ریمان، تابع هیون، تابع گاوسی، تابع دیریکله |


1. ↑  Weisstein, Eric W. "Inverse Function". *mathworld.wolfram.com* (به انگلیسی). Retrieved 2023-05-09.