| مکانیک کوانتوم |
| --- |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }معادله شرودینگر

---

 |
| آشنایی واژه‌نامه · تاریخچه |
| پیش‌زمینه
* نشان‌گذاری برا-کت
* مکانیک کلاسیک
* هامیلتونی (مکانیک کوانتومی)
* تداخل امواج
* نظریه کوانتومی قدیمی
 |
| مفاهیم بنیادی
* همدوسی
* ناهمدوسی
* اصل مکملیت
* تراز انرژی
* درهم‌تنیدگی کوانتومی
* هامیلتونین
* اصل عدم قطعیت
* حالت پایه
* تداخل امواج
* اندازه‌گیری در مکانیک کوانتومی
* عدم موضعیت
* مشاهده‌پذیری
* عملگر (فیزیک)
* کوانتوم
* نوسان کوانتومی
* کف کوانتومی
* اثر کاسیمیر
* عدد کوانتومی
* نویز کوانتومی
* مکانیک کوانتومی
* حالت کوانتومی
* سیستم کوانتومی
* دورنوردی کوانتومی
* کیوبیت
* اسپین
* برهم‌نهی کوانتومی
* Symmetry
* (Spontaneous) symmetry breaking
* حالت خلاء
* انتشار موج
* تابع موج
	+ فروریزش تابع موج
	+ دوگانگی موج و ذره
	+ موج مادی
 |
| آزمایش‌ها
* افشار
* نامعادله بل
* دیویسون گرمر
* انتخاب تاخیردار
* دوشکاف
* فرانک هرتز
* ماخ-زندر
* بمب خنثی‌کن الیتزور فایدمن
* آزمایش پوپر
* پاک‌کن کوانتومی
* گربه شرودینگر
* اشترن-گرلاخ
* آزمایش انتخاب تاخیردار ویلر
 |
| فرمول‌بندی
* فرمول‌بندی ریاضی مکانیک کوانتم
* تصویر هایزنبرگ
* تصویر دیراک
* مکانیک ماتریسی
* تصویر شرودینگر
* فرمول‌بندی انتگرال مسیر
* فرمول‌بندی فضای فاز
 |
| معادلات
* معادله دیراک
* معادله کلاین-گوردون
* معادله پائولی
* فرمول ریدبرگ
* معادله شرودینگر
 |
| تفسیرها
* تفسیرهای مکانیک کوانتومی
* خودآگاهی باعث فروریزش تابع موج
* Consistent histories
* تفسیر کپنهاگی
* مکانیک بوهمی
* Ensemble
* تئوری متغیر پنهان
* دنیاهای چندگانه
* Objective collapse
* Pondicherry
* منطق کوانتومی
* Relational
* مکانیک کوانتومی تصادفی
* Transactional
 |
| عناوین پیشرفته
* آشوب کوانتومی
* نظریه میدان‌های کوانتومی
* نظریه اطلاعات کوانتومی
* نظریه پراکندگی
* Fractional quantum mechanics
 |
| دانشمندان
* Bell
* پاتریک بلاکت
* Bogolyubov
* دیوید بوهم
* نیلز بور
* جان باردین
* ماکس برن
* ساتیندرا بوز
* لویی دوبروی
* آرتور هالی کامپتون
* لئون نیل کوپر
* پل دیراک
* فریمن دایسون
* کلینتون دیویسون
* Duarte
* پیتر دبای
* Ehrenfest
* آلبرت اینشتین
* هیو اورت
* Fock
* انریکو فرمی
* ریچارد فاینمن
* گوستاو هرتز
* ورنر کارل هایزنبرگ
* داوید هیلبرت
* Jordan
* کلاوس فون کلیتسینگ
* پولیکارپ کوش
* Kramers
* جان فون نویمان
* ولفگانگ پائولی
* ویلیس اوژن لمب
* ماکس فون لائو
* رابرت لافلین
* هنری موزلی
* رابرت میلیکان
* هایک کامرلینگ اونس
* ماکس پلانک
* سی وی رامان
* یوهانس ریدبرگ
* عبدالسلام
* اروین شرودینگر
* هورست لودویگ اشتورمر
* ویلیام شاکلی
* جان رابرت شریفر
* کلیفورد گلنوود شال
* آرنولد زومرفلد
* جرج پاجت تامسون
* دانیل چی تسوئی
* سین‌ایترو تومونوجا
* هرمان ویل
* Ward
* ویلهلم وین
* یوجین ویگنر
* پیتر زیمان
* Zeilinger
 |
| * ن
* ب
* و
 |

در جبر خطی و مکانیک کوانتومی، عملگر بالابرنده (به انگلیسی: raising operator) یا عملگر پایین‌آورنده (به انگلیسی: lowering operator) که در مجموع **عملگر نردبانی** (انگلیسی: Ladder operator) خوانده می‌شوند عملگرهایی هستند که ویژه‌مقدار یک عملگر دیگر را افزایش یا کاهش می‌دهند. گاهی در فیزیک این عملگرها عملگر خلق و عملگر فنا نیز خوانده می‌شوند. از مشهورترین کاربردهای این عملگرها در مکانیک کوانتومی می‌توان به تحلیل نوسانگر هماهنگ کوانتومی و تکانه زاویه‌ای اشاره کرد.

اولین بار دیراک این عملگرها را ابداع و از این روش برای تحلیل تکانه‌ی زاویه‌ای و نشان دادن اینکه عدد کوانتومی تکانه‌ی زاویه‌ای کل باید مضربی از {\displaystyle \hbar /2} باشد استفاده کرد.

شرح ریاضی
---------

دو عملگر *X* و *N* را با فرض {\displaystyle [N,X]=cX,\quad } که در آن *c* یک اسکالر است در نظر می‌گیریم.اگر {\displaystyle {|n\rangle }} یک ویژه‌حالت *N* با معادله ویژه‌مقداری {\displaystyle N|n\rangle =n|n\rangle ,\,} باشد، در آن صورت عملگر *X* به گونه‌ای بر روی {\displaystyle \scriptstyle {|n\rangle }} عمل می‌کند که ویژه‌مقدار را به مقدار *c* جابه‌جا کند:

{\displaystyle {\begin{aligned}NX|n\rangle &=(XN+[N,X])|n\rangle \\&=XN|n\rangle +[N,X]|n\rangle \\&=Xn|n\rangle +cX|n\rangle \\&=(n+c)X|n\rangle .\end{aligned}}}
به عبارت دیگر، اگر {\displaystyle {|n\rangle }} یک ویژه‌حالت *N* با ویژه‌مقدار *n* باشد در آن صورت {\displaystyle \scriptstyle {X|n\rangle }} یک ویژه‌حالت *N* با ویژه‌مقدار *n* + *c* است. در اینجا اگر *c* حقیقی و مثبت باشد *X* یک عملگر بالابرنده یا عملگر خلق برای *N* است و اگر *c* حقیقی و منفی باشد *X* یک عملگر پایین‌آورنده یا عملگر فنا برای *N* است.

اگر *N* یک عملگر هرمیتی باشد، در آن صورت *c* باید حقیقی باشد و الحاقی هرمیتی (Hermitian adjoint) آن در رابطه‌ی :{\displaystyle [N,X^{\dagger }]=-cX^{\dagger }.\quad } صدق می‌کند. به‌خصوص، اگر *X* یک عملگر پایین‌آورنده برای *N* باشد، *X*† یک عملگر بالابرنده برای *N* است و بالعکس.

برخی کاربردها
-------------

### نوسانگر هماهنگ

یکی از کاربردهای عملگرهای خلق و فنا، تحلیل نوسانگر هماهنگ است. برای این کار، عملگرهای خلق و فنا به صورت زیر تعریف می‌شوند: 

{\displaystyle {\begin{aligned}a&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}+{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\\a^{\dagger }&={\sqrt {m\omega \over 2\hbar }}\left({\hat {x}}-{i \over m\omega }{\hat {p}}\right)\end{aligned}}}
در این صورت، نمایش عملگرهای مکان و تکانه به صورت زیر درمی‌آید:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {x}}&={\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}{\frac {1}{m\omega }}}}(a^{\dagger }+a)\\{\hat {p}}&=i{\sqrt {{\frac {\hbar }{2}}m\omega }}(a^{\dagger }-a)~.\end{aligned}}}
(عملگر a هرمیتی نیست، زیرا الحاقی آن *a*† با خودش برابر نیست.) در این صورت، با اعمال این عملگرها روی ویژه‌حالت‌های انرژی |*n*⟩، ویژه‌مقدارهای انرژی به صورت زیر تغییر می‌کنند:

{\displaystyle {\begin{aligned}a^{\dagger }|n\rangle &={\sqrt {n+1}}|n+1\rangle \\a|n\rangle &={\sqrt {n}}|n-1\rangle .\end{aligned}}}
بنابراین *a*† یک کوانتوم انرژی به انرژی حالت اضافه و *a* به همان میزان انرژی آن را کاهش می‌دهد. به همین دلیل به این عملگرها، عملگر خلق و فنا نیز گفته می‌شود.

منابع
-----

1. ↑  «نسخه آرشیو شده» (PDF). بایگانی‌شده از اصلی (PDF) در ۸ دسامبر ۲۰۱۷. دریافت‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.
2. ↑  Shankar، Ramamurti (۲۰۱۲). *Principles of Quantum Mechanics*. Springer.

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Ladder operator». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۴ مارس ۲۰۱۸.