**مشتق هموردا** (کواریانت) تعمیم مشتق خطی از یک چند بردار در محاسبات تانسوری است. برای آنکه بتوانیم از یک چند بردار که در یک جهان چند بعدی قرار گرفته و مؤلفه‌هایش تغییر می‌کند در جهت یکی از ابعاد مشتق بگیریم نمی‌توانیم از مشتق معمولی استفاده کنیم و بایستی از مشتق کواریانت استفاده کنیم. برای میدان اسکالر {\displaystyle \displaystyle \phi \,} مشتق هموردا همانند مشتقات جزئی است:

{\displaystyle \displaystyle \phi \_{;a}\equiv \partial \_{a}\phi }
اما برای میدان برداری (چند بردار) با شاخص بالا {\displaystyle \lambda ^{a}\,} و با شاخص پایین {\displaystyle \lambda \_{a}\,} مشتق هموردا به ترتیب چنین است:

{\displaystyle \lambda ^{a}{}\_{;b}\equiv \partial \_{b}\lambda ^{a}+\Gamma ^{a}{}\_{cb}\lambda ^{c}}
{\displaystyle \lambda \_{a;c}\equiv \partial \_{c}\lambda \_{a}-\Gamma ^{b}{}\_{ac}\lambda \_{b}}
همینطور برای تانسوری از مرتبه دو (ضرب دو عدد چند بردار) با شاخصهای بالا {\displaystyle \tau ^{ab}\,} و با شاخصهای پایین {\displaystyle \tau \_{ab}\,} به ترتیب داریم: 

{\displaystyle \tau ^{ab}{}\_{;c}\equiv \partial \_{c}\tau ^{ab}+\Gamma ^{a}{}\_{dc}\tau ^{db}+\Gamma ^{b}{}\_{dc}\tau ^{ad}}
{\displaystyle \tau \_{ab;c}\equiv \partial \_{c}\tau \_{ab}-\Gamma ^{d}{}\_{ac}\tau \_{db}-\Gamma ^{d}{}\_{bc}\tau \_{ad}}
و برای تانسور مرتبه دوم با شاخصهای بالا و پایین {\displaystyle \tau ^{a}{}\_{b}\,}

{\displaystyle \tau ^{a}{}\_{b;c}\equiv \partial \_{c}\tau ^{a}{}\_{b}+\Gamma ^{a}{}\_{dc}\tau ^{d}{}\_{b}-\Gamma ^{d}{}\_{bc}\tau ^{a}{}\_{d}}

خواص
----

از خواص مهم مشتق هموردا این است که اولاً {\displaystyle \lambda \_{a;bc}\neq \lambda \_{a;cb}\,} و ثانیاً

{\displaystyle \lambda \_{a;bc}-\lambda \_{a;cb}=R^{d}{}\_{abc}\lambda \_{d}}
{\displaystyle \lambda ^{a}{}\_{;bc}-\lambda ^{a}{}\_{;cb}=-R^{a}{}\_{dbc}\lambda ^{d}}
{\displaystyle \tau ^{ab}{}\_{;cd}-\tau ^{ab}{}\_{;dc}=-R^{a}{}\_{ecd}\tau ^{eb}-R^{b}{}\_{ecd}\tau ^{ae}}
که {\displaystyle R^{d}{}\_{abc}\,} به تانسور ریمان معتبر است.

جستارهای وابسته
---------------

* نسبیت خاص
* اصل نسبیت
* معادلات میدان اینشتین
* نظریه میدان اسکالر
* برابری جرم و انرژی
* علایم مورد استفاده در نسبیت عام
* هندسه ریمانی

منابع
-----


* Kobayashi, Shoshichi and Nomizu, Katsumi (1996). *Foundations of Differential Geometry, Vol. 1*. Wiley-Interscience. ISBN 0-471-15733-3.`{{cite book}}`: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
* I.Kh. Sabitov (2001) [1994], "Covariant differentiation", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press
* Sternberg, Shlomo (1964). *Lectures on Differential Geometry*. Prentice-Hall.
* Spivak, Michael (1999). *A Comprehensive Introduction to Differential Geometry (Volume Two)*. Publish or Perish, Inc.


| * ن
* ب
* و
تانسورها |
| --- |
| *واژه نامه تانسورها* |
| قلمرو | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دستگاه مختصات
* جبر چندخطی
* هندسه اقلیدسی
* جبر تانسوری
* dyadic algebra
* هندسه دیفرانسیل
* حساب خارجی
* حساب تانسوری

 |
| * فیزیک
* مهندسی
 | 
* مکانیک پیوسته
* الکترومغناطیس
* پدیده انتقال
* نسبیت عام
* بینایی رایانه

 |

 |
| نمادگذاری | 
* نمادگذاری اندیسی
* نمادگذاری چند-اندیسی
* نمادگذاری اینشتین
* حساب ریچی
* نمادگذاری تصویری پنروز
* نمادگذاری وویت
* نمادگذاری اندیسی مجرد
* فرمالیسم چهارتایی
* نمادگذاری ون در واردن

 |
| تعاریفتانسورها | 
* تانسور (تعریف ذاتی)
* میدان تانسوری
* چگالی تانسوری
* تانسور در مختصات خمیده خطی
* تانسور مخلوط
* تانسور پادمتقارن
* تانسور متقارن
* عملگر تانسور
* کلاف تانسوری
* تانسور دو-نقطه‌ای

 |
| عمل | 
* ضرب تانسوری
* ضرب خارجی
* انقباض تانسوری
* ترانهاده
* بالا و پایین بردن اندیس‌ها
* عملگر ستاره هاج
* مشتق هموردا
* مشتق خارجی
* مشتق هموردای خارجی
* مشتق لی

 |
| تجریدهایمرتبط | 
* بعد
* پایه
* بردار, فضای برداری
* چندبردار
* مؤلفه‌های همورد و پادورد بردار
* تبدیل خطی
* ماتریس
* اسپینور
* فرمالیسم کارتان (فیزیک)
* فرم دیفرانسیل
* فرم خارجی
* فرم الصاقی
* ژئودزیک
* منیفلد
* کلاف برداری
* الصاق لوی-چیویتا
* الصاق آفین

 |
| تانسورهای مهم | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دلتای کرونکر
* نماد لوی-چیویتا
* تانسور متریک
* تانسور غیر متریک
* نمادهای کریستوفل
* خمیدگی ریچی
* تانسور خمیدگی ریمانی
* تانسور ویل
* تانسور تابدار

 |
| فیزیک | 
* گشتاور لختی
* تانسور گشتاور دورانی
* تانسور اسپین
* تانسور تنش کوشی
* تانسور تنش-انرژی
* تانسور الکترومغناطیسی
* تانسور قدرت میدان گلوئون
* تانسور اینشتاین
* تانسور متریک (نسبیت عام)

 |

 |
| ریاضیدانان | 
* لئونارد اویلر
* کارل فردریش گاوس
* آگوستین-لویی کوشی
* هرمان گراسمان
* گئورگیو ریچی-کورباسترو
* تولیو لوی-چیویتا
* جان آرنولدوس شوتن
* برنهارت ریمان
* الوین برونو کریستوفل
* وولدمار وویگت
* الی کارتان
* هرمان ویل
* آلبرت اینشتاین

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد هندسه دیفرانسیل است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |