| مثلثات |
| --- |
|  |
| * تاریخ
* کاربرد
* توابع (توابع معکوس)
* مثلثات تعمیم‌یافته
* مطالعه بیشتر
 |
| 
منابع |
| * اتحادها
* مقدارهای دقیق
* جدول‌ها
* دایره واحد
 |
| 
قوانین و قضایا |
| * قانون سینوس‌ها
* قانون کسینوس‌ها
* قانون تانژانت‌ها
* قانون کتانژانت‌ها
* قضیه فیثاغورس
 |
| حساب دیفرانسیل و انتگرال |
| * جانشینی مثلثاتی
* انتگرال توابع (انتگرال توابع وارون)
* مشتق توابع
 |
| * ن
* ب
* و
 |

یک مثلث دلخواه.
در مثلثات، **قانون سینوس‌ها** معادله‌ای است که میان طول ضلع هر مثلث دلخواه و زاویهٔ مقابل آن ضلع رابطه برقرار می‌کند؛ این قانون عبارت است از:

{\frac {a}{\sin(\alpha )}}={\frac {b}{\sin(\beta )}}={\frac {c}{\sin(\gamma )}}

که a و b و c به ترتیب ضلع‌های مثلث و \alpha  و \beta  و \gamma  به ترتیب زاویه‌های مقابل به هر ضلع‌اند. هنگامی که دو زاویه و یک ضلع مثلث را داشته باشیم از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا طول ضلع‌های دیگر مثلث را بدست آوریم.

پیشینه
------

قانون کروی سینوس‌ها در قرن ۱۰ میلادی کشف شد. این قانون را بیشتر به ابومحمود حامدبن خضر خجندی، ابوالوفای بوزجانی، خواجه نصیر طوسی و ابونصر منصور نسبت می‌دهند.

الجیانی در قرن ۱۱ میلادی کتابی نوشت با عنوان «کتاب کمان‌های ناشناخته در کره» (به انگلیسی: The book of unknown arcs of a sphere) و در آن به معرفی کلی قانون سینوس‌ها پرداخت. پس از او در قرن ۱۳ میلادی خواجه نصیر الدین طوسی به بیان این قانون میان صفحه‌ها پرداخت. او در کتابی با عنوان انگلیسی *On the Sector Figure* قانون سینوس‌ها را برای صفحه‌ها و مثلث‌های کروی بیان کرد و برای قانونش اثبات‌هایی را ارائه کرد.

نمونه
-----

در ادامه روش استفاده از قانون سینوس‌ها برای حل یک مسئله گفته شده‌است.

نمونه
اگر فرض کنیم: ضلع‌های *a* = 20 و *c* = 24 و زاویهٔ *C* = 40° باشد، با استفاده از قانون سینوس‌ها می‌توان نتیجه گرفت که:

{\frac {\sin A}{20}}={\frac {\sin 40^{\circ }}{24}}.
A=\arcsin \left({\frac {20\sin 40^{\circ }}{24}}\right)\cong 32.39^{\circ }.

رابطه با دایرهٔ محیطی مثلث
--------------------------

یک مثلث دلخواه محاط در دایره.
اگر داشته باشیم:

\,{\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {abc}{2S}}=2R،

مقدار تک تک کسرهایی که در قانون سینوس‌ها نوشته می‌شود برابر است با قطر دایرهٔ محیطی مثلث می‌توان نشان داد که این مقدار خود برابر است با:

{\begin{aligned}{\frac {abc}{2S}}&{}={\frac {abc}{2{\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}}\\[6pt]&{}={\frac {2abc}{{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}},\end{aligned}}

که در آن *S* مساحت مثلث است و *p* برابر با نصف محیط p={\frac {a+b+c}{2}} می‌باشد. همچنین رابطهٔ S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}} فرمول هرون بود که از آن در بالا استفاده شد.

### حالت مبهم برای مثلث

وقتی از قانون سینوس‌ها استفاده می‌کنیم تا زاویه‌های یک مثلث را بدست آوریم، حالت‌هایی وجود دارند که ابهام برانگیزند و ما به جای یک جواب به دو جواب (دو مثلث) می‌رسیم.

اگر *ABC* یک مثلث دلخواه باشد اگر شرایط زیر اتفاق افتد:

* اطلاعات ما دربارهٔ مثلث تنها زاویهٔ *A* و ضلع‌های *a* و *b* باشد.
* زاویهٔ *A* یک زاویهٔ تند باشد (کوچکتر از ۹۰ درجه).
* ضلع *a* کوچکتر از ضلع *b* باشد (*a <b*).
* ضلع *a* بزرگتر از ارتفاع مثلث راست‌گوشه با زاویهٔ *A* و وتر *b* باشد (*a> b sin A*).

اگر تمام شرط‌های بالا برقرار باشد، بسته به اینکه زاویهٔ *B* تند است یا باز، یکی از جواب‌های بدست آمده درست خواهد بود.

B=\arcsin {b\sin A \over a}

یا

B=180^{\circ }-\arcsin {b\sin A \over a}

اثبات
-----

یک مثلث دلخواه.
بنابر شکل بالا و با استفاده از قانون مساحت مثلثات، داریم:

اثبات.

حالت کلی در فضای اقلیدوسی
-------------------------

چهاروجهی A۱A۲A۳A۴ را در فضای اقلیدوسی در نظر بگیرید. در شکل مقابل اطلاعات مربوط به زاویه‌ها و ضلع مقابل به هر گوشه نشان داده شده‌است:

گوشه‌ها و ضلع‌های چهاروجهی.
* \,{\mathrm S}\_{k} ضلع مقابل به گوشهٔ \,{\mathrm A}\_{k}.
* \,\Delta \_{k} صفحه‌ای که \,{\mathrm S}\_{k} بر روی آن قرار دارد.
* \,\theta \_{{ij}} زاویهٔ میان دو سطح \widehat {(\Delta \_{i},\Delta \_{j})}.

سینوس زاویهٔ دو سطحی که بوسیلهٔ گوشهٔ *A۱* به وجود آمده به روش زیر بدست می‌آید:

* \sin A\_{1}={\frac {{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta \_{{23}}-\cos ^{2}\theta \_{{24}}-\cos ^{2}\theta \_{{34}}-2\cos \theta \_{{23}}\cos \theta \_{{24}}\cos \theta \_{{34}}}}}{\sin \theta \_{{23}}\sin \theta \_{{24}}\sin \theta \_{{34}}}} ;

برای دیگر زاویه‌ها هم به روش بالا بدست می‌آید. بنابراین:

{\frac {S\_{1}}{\sin A\_{1}}}={\frac {S\_{2}}{\sin A\_{2}}}={\frac {S\_{3}}{\sin A\_{3}}}={\frac {S\_{4}}{\sin A\_{4}}}={\frac {2S\_{1}S\_{2}S\_{3}S\_{4}}{9V}}،

که در آن *V* حجم چهاروجهی است.

حالت کلی قانون سینوس‌ها در هندسهٔ نااقلیدوسی
--------------------------------------------

مثلث کروی با ضلع‌های کاهش یافتهٔ *a* و *b* و *c* و زاویه‌های *α* و *β* و *γ*.
برای صفحه‌ای در هندسهٔ نااقلیدوسی با انحنای *K* و شعاع انحنای *ρ*، خواهیم داشت که:

\,\rho =1/{\sqrt {|K|}}.

حال ابعاد کاهش یافتهٔ مثلث از رابطه‌های زیر بدست می‌آید:

\,a=BC/\rho ،
\,b=AC/\rho ،
\,c=AB/\rho .

در حالتی که یک مثلث کروی داشته باشیم، اندازهٔ *a* و *b* و *c* برابر است با اندازهٔ زاویهٔ مقابل به کمان‌های بزرگ [BC] و [AC] و [AB] (شکل روبرو).

### هندسهٔ کروی

در یک مثلث کروی مانند ABC با شعاع *ρ* که بر روی کره‌ای با مرکز O کشیده شده‌است، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

{\frac {\sin a}{\sin \alpha }}={\frac {\sin b}{\sin \beta }}={\frac {\sin c}{\sin \gamma }}={\frac {6V\_{{{\mathrm {OABC}}}}}{\rho ^{3}\sin a\,\sin b\,\sin c}}،

که در آن *V*OABC حجم چهاروجهی OABC است و *α* و *β* و *γ* سه زاویهٔ تشکیل شده در مرکز کره‌اند

### هندسهٔ هذلولوی

در هندسهٔ هذلولوی هنگامی که انحنا ۱- باشد، قانون سینوس‌ها به صورت زیر نوشته می‌شود:

{\frac {\sinh a}{\sin \alpha }}={\frac {\sinh b}{\sin \beta }}={\frac {\sinh c}{\sin \gamma }}.

در حالت ویژه‌ای که زاویهٔ \beta  راست‌گوشه (۹۰ درجه) باشد، خواهیم داشت:

\sin \gamma ={\frac {\sinh c}{\sinh b}}\,

منابع
-----

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Law of sines». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۱۶ اوت ۲۰۱۱.

1. ↑  Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (۲۰۰۰) «Islamic mathematics» pp. ۱۳۷ , page 157, in Selin, Helaine; D'Ambrosio, Ubiratan (2000), *Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics*, Springer, ISBN 1402002602
2. ↑  O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F. "Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani", *MacTutor History of Mathematics archive*, University of St Andrews
3. ↑  Berggren, J. Lennart (2007). "Mathematics in Medieval Islam". *The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook*. Princeton University Press. p. 518. ISBN 9780691114859.
4. ↑  مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Loi des sinus». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای فرانسه*، بازبینی‌شده در ۱۶ اوت ۲۰۱۱.

جستارهای وابسته
---------------

* فرمول‌های مهم مثلثات
* مثلثات
* قانون کسینوس‌ها
* قانون تانژانت‌ها