در ریاضیات، **اتحادهای گرین** شامل سه اتحاد در جبر بردارها است که به نام جورج گرین ریاضیدان انگلیسی نام‌گذاری شده‌است.

اتحاد یکم
---------

این اتحاد از وارد کردن قضیهٔ دیورژانس در فضای برداری بدست آمده‌است. {\displaystyle \mathbf {F} =\psi \nabla \varphi } فرض کنید φ و ψ تابع‌های نردبانی اند (عددی) که بر روی ناحیهٔ U از R۳ تعریف شده‌اند. همچنین فرض کنید که φ دو بار مشتق پذیر و پیوسته و ψ یک بار مشتق پذیر و پیوسته است. آنگاه:

{\displaystyle \int \_{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi +\nabla \varphi \cdot \nabla \psi \right)\,dV=\oint \_{\partial U}\psi \left(\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} \right)\,dS}

که در آن {\displaystyle \nabla ^{2}} همان عملگر لاپلاس است. **n** بردار یکهٔ عمود بر سطح کوچک *dS* و {\displaystyle {\partial U}} مرز ناحیهٔ *U* می‌باشد. این قضیه اساساً هم‌ارز انتگرال‌گیری در ابعاد بالاتر است که دارای جزءهای ψ و گرادیان φ به جای u و v می‌باشد.

اتحاد دوم
---------

اگر φ و ψ هر دو، دو بار مشتق پذیر و پیوسته بر روی ناحیهٔ *U* از **R**۳ باشند و ε یک بار مشتق پذیر و پیوسته باشد:

{\displaystyle \int \_{U}\left[\psi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \varphi \right)-\varphi \nabla \cdot \left(\epsilon \nabla \psi \right)\right]\,dV=\oint \_{\partial U}\epsilon \left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS.}

در حالت خاص {\displaystyle \epsilon =1} بر روی ناحیهٔ *U* از **R**۳ خواهیم داشت:

{\displaystyle \int \_{U}\left(\psi \nabla ^{2}\varphi -\varphi \nabla ^{2}\psi \right)\,dV=\oint \_{\partial U}\left(\psi {\partial \varphi \over \partial n}-\varphi {\partial \psi \over \partial n}\right)\,dS.}

در رابطهٔ بالا، ∂*φ* / ∂*n* مشتق جهت دار *φ* در جهت **n**، رو به بیرون و عمود بر سطح کوچک *dS* است:

{\displaystyle {\partial \varphi \over \partial n}=\nabla \varphi \cdot \mathbf {n} .}

اتحاد سوم
---------

اتحاد سوم گرین از اتحاد دوم بدست می‌آید. به شرطی که {\displaystyle \varphi =G} در نظر بگیریم و G جواب معادلهٔ لاپلاس باشد و این بدین معنی است که:

{\displaystyle \nabla ^{2}G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )=\delta (\mathbf {x} -\mathbf {\eta } ).}

برای نمونه در {\mathbb {R}}^{3} جواب بنیادی فرم زیر را دارد:

{\displaystyle G(\mathbf {x} ,\mathbf {\eta } )={-1 \over 4\pi \|\mathbf {x} -\mathbf {\eta } \|}.}

اتحاد سوم گرین می‌گوید که اگر ψ تابعی باشد که دو بار بر روی ناحیهٔ *U* پیوسته و مشتق پذیر است، آنگاه:

{\displaystyle \int \_{U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } )\nabla ^{2}\psi (\mathbf {y} )\right]\,dV\_{\mathbf {y} }-\psi (\mathbf {\eta } )=\oint \_{\partial U}\left[G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )-\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}\right]\,dS\_{\mathbf {y} }.}

اگر بخواهیم مسئله را ساده‌تر کنیم، آن را به این شکل بیان می‌داریم که اگر ψ یک تابع هارمونیک باشد، برای نمونه جواب معادلهٔ لاپلاس باشد، آنگاه {\displaystyle \nabla ^{2}\psi =0} و اتحاد به شکل زیر ساده می‌شود:

{\displaystyle \psi (\mathbf {\eta } )=\oint \_{\partial U}\left[\psi (\mathbf {y} ){\partial G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ) \over \partial n}-G(\mathbf {y} ,\mathbf {\eta } ){\partial \psi \over \partial n}(\mathbf {y} )\right]\,dS\_{\mathbf {y} }.}

منبع و یادداشت
--------------

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Green's identities». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۵ نوامبر ۲۰۱۱.

1. ↑  Strauss, Walter. *Partial Differential Equations: An Introduction*. Wiley.

جستارهای وابسته
---------------

* تابع گرین
* جورج گرین

پیوند به بیرون
--------------

* اتحادهای گرین در Wolfram MathWorld.