مدل‌های پخش بیماری در شبکه
==========================

یکی از پدیده‌های مهم در علم شبکه نحوه پخش اطلاعات در آن است. اگر شبکه مورد نظر را یک جامعه انسانی و اطلاعات نشر شده بر روی آن‌ را یک بیماری واگیردار در نظر بگیریم، به یک پدیده مهم می‌رسیم که در همه‌گیرشناسی نیز کاربرد دارد و آن نحوه پخش بیماری در شبکه است.

در این متن قصد داریم، **مدل‌های پخش بیماری در شبکه** را بررسی کنیم. ریاضیات مورد استفاده در این مدل‌ها همان معادله دیفرانسیل معمول است و نیاز به ریاضیات پیشرفته‌تری نداریم. با این مدل‌ها می‌توانیم پیش‌بینی‌های در مورد نحوه پخش بیماری در جامعه، درصد افرادی که با بیماری درگیر می‌شوند، احتمال شیوع گسترده بیماری و ... انجام بدهیم که در زمان شیوع بیماری‌های واگیردار (مانند کووید ۱۹ یا همان **کرونا**) این پیش‌بینی‌ها بسیار حیاتی و کلیدی می‌شوند.

مدل SI
------

در این مدل افراد جامعه به دو دسته S (افراد سالمی که مستعد گرفتن بیماری هستند) و I (افرادی که در حال حاضر بیمار هستند) تقسیم می‌شوند. همچنین تعداد افراد کل شبکه برابر N می‌گیریم و در شبکه تولد و مرگی رخ نمی‌دهد و در نتیجه N ثابت است.

اگر k تعداد متوسط همسایه‌های یک راس در شبکه، نرخ تغییرات تعداد بیمارها به صورت زیر است که در آن بتا احتمال انتقال بیماری به او (در بازه زمان dt) و PI درصد افراد بیمار در شبکه است. (برای درک نحوه به دست آمدن این رابطه می‌توانید به کتاب علم شبکه اثر باراباسی-آلبرت مراجعه کنید):

{\displaystyle {\operatorname {d} \!I \over \operatorname {d} \!t}=\beta {\bar {<k>}}I/N}

برای راحتی کار I/N را برابر i تعریف می‎‌کنیم و به همین ترتیب s را برابر S/N تعریف می‌کنیم. از آن‌جایی که N باید ثابت باشد آهنگ تغییرات S برابر منفی آهنگ تغییرات I است و در نتیجه دستگاه معادلات به شکل زیر در می‌آیند:

{\displaystyle {\begin{cases}{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}=\beta {\bar {<k>}}si\\{\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}=-\beta {\bar {<k>}}si\end{cases}}}

با حل این دستگاه معادلات می‌توانیم به رابطه زیر برای i برسیم:

{\displaystyle (i\_{0}\exp(\beta {\bar {k}}t))) \over (1-i\_{0}+i\_{0}\exp(\beta {\bar {k}}t)}

این رابطه بیان می‌کند که در ابتدا که i کوچک است، تعداد افراد بیماری با سرعت کم افزایش پیدا می‌کند اما بعد شتاب گرفته و بعد از مدتی با سرعت بیشتری تعداد افراد بیمار افزایش پیدا می‌کند تا در نهایت همه افراد بیمار شده و i برابر یک می‌شود.

مدل SIS
-------

در این مدل که نسبت به مدل SI واقعی‌تر است، فرض می‌کنیم که هر فرد بیمار با احتمال میو (در بازه زمانی dt)، بیماری‌اش برطرف می‌شود و سالم می‌شود. بدین ترتیب دستگاه معادلاتمان این بار به صورت زیر در می‌آیند:

{\displaystyle {\begin{cases}{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}=\beta {\bar {k}}si-\mu i=\beta {\bar {k}}(1-i)-\mu i\\{\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}=-\beta {\bar {<k>}}i+\mu i\end{cases}}}

در این آهنگ تغییرات تعداد بیماران در دو نقطه صفر می‌شود. یک زمانی که i=0 باشد و بار دیگر زمانی که برابر {\displaystyle \beta {\bar {k}}-\mu \over (\beta {\bar {k}})} باشد. البته اگر {\displaystyle \mu >\beta {\bar {k}}} باشد، دیگر i به محل دوم نمی‌رسد، و بعد از مدتی تعداد بیماران صفر می‌شود و این یعنی دو حالت داریم:

1. اگر {\displaystyle \mu <\beta {\bar {k}}} باشد، تعداد بیماران اگر از یک تعداد اولیه شروع شود، افزایش پیدا می‌کند و i به {\displaystyle \beta {\bar {k}}-\mu \over (\beta {\bar {k}})} میل می‌کند.
2. اگر {\displaystyle \mu >\beta {\bar {k}}} باشد، تعداد بیماران اگر از یک تعداد اولیه شروع بشود، به مرور کم می‌شود و در جایی تعداد بیماران به صفر می‌رسد و شیوع بیماری تمام می‌شود.

مدل SIR
-------

این مدل که که می‌توان گفت از دو مدل قبلی واقعی‌تر است‌، فرض بر این است که فرد بعد از گرفتن بیماری یا بهبود پیدا می‌کند و دارای پادتن بیماری می‌شود یا متاسفانه فوت پیدا می‌کند، که در هر دو صورت فرد در مقابل بیماری مقاوم می‌شود. این دسته افراد مقاوم در برابر بیماری را با R نشان می‌دهیم. باز هم فرض بر این است که N شبکه تغییر نمی‌کند و در نتیجه مجموع R,S,I برابر N است. همچنین R/N را به صورت r تعریف می‌کنیم.

در این مدل هر فرد بیمار با احتمال میو (در بازه زمانی dt)، به دسته R می‌پیوندد (یا می‌میرد یا بهبود پیدا کرده و دارای پادتن بیماری می‌شود) و در مقابل بیماری مقاوم می‌شود. بدین ترتیب دستگاه معادلات در این مدل به شکل زیر درمی‌آیند:

{\displaystyle {\begin{cases}{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!t}=\beta {\bar {k}}si-\mu i=\beta {\bar {k}}(1-i)-\mu i\\{\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}=-\beta {\bar {k}}si\\{\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!t}=\mu i\end{cases}}}

این معادلات را می‌توان به صورت زیر نیز بازنویسی کرد:

{\displaystyle {\begin{cases}{\operatorname {d} \!i \over \operatorname {d} \!r}=\beta {\bar {k}}s/y-1\\{\operatorname {d} \!s \over \operatorname {d} \!r}=-\beta {\bar {k}}s/\mu \end{cases}}}

در این مدل نیز دو حالت داریم:

1. اگر {\displaystyle \mu >\beta {\bar {k}}}، تعداد بیماران همواره کاهشی است و بالاخره صفر می‌شود و شیوع بیماری تمام می‌شود.
2. اگر {\displaystyle \mu <\beta {\bar {k}}} تعداد بیماران تا نقطه افزایشی است و بعد از آن کاهشی می‌شود و به صفر می‌رسد. به عبارت دیگر تعداد بیماران دارای یک قله می‌شود. شاید اگر زمان شیوع بیماری کرونا را به یاد داشته باشید، این قله‌ها در تعداد بیماران در نمودارهایی که روزانه اخبار منتشر می‌کرد، به یاد داشته باشید.

در این مدل کمیتی به صورت {\displaystyle R\_{0}=\beta {\bar {k}}/\mu } تعریف می‌کنند. این کمیت به نوعی بیانگر تعداد افرادی است که یک فرد در بازه مبتلا بودن خود به بیماری، می‌تواند بیمار کند. اگر {\displaystyle R\_{0}} بزرگ‌تر از یک باشد، بیماری شیوع پیدا می‌کند ولی اگر کوچک‌تر از یک باشد، بیماری سریعا کاهش پیدا می‌کند و اصلا شیوع چندانی پیدا نمی‌کند. برای مثال در شیوع بیماری کرونا، سویه سویه امیکرون سارس کووید ۲ آن دارای {\displaystyle R\_{0}} بزرگ‌تری نسبت به سایر سویه‌ها بود و بیشتر از سایر سویه‌ها بود و در نتیجه بیشتر از آن‌ها نیز شیوع پیدا کرد ولی خوشبختانه نسبت به سویه دلتای سارس کووید ۲، دارای کشندگی کمتری بود و در نتیجه با شیوع سویه امیکرون تعداد کشته‌های بیماری کاهش پیدا کرد.

واکیسناسیون
-----------

### چند درصد از شبکه را باید واکسینه کنیم، تا شیوع بیماری تمام بشود؟