در هر علم دقیقه، از اصطلاحات **تغییر نسبی** و **اختلاف نسبی** برای مقایسه دو کمیت و در نظر گرفتن «اندازهٔ» موارد مقایسه‌شده استفاده می‌شود. مقایسه به صورت نسبت بیان می‌شود و یک عدد بدون واحد است. با ضرب این نسبت‌ها در ۱۰۰ می‌توان آنها را به صورت درصد بیان کرد، بنابراین اصطلاحات **درصد تغییر** **، درصد اختلاف (سن)** یا **درصد نسبی** نیز معمولاً استفاده می‌شود. تمایز بین «تغییر» و «اختلاف» به این بستگی دارد که آیا یکی از مقادیر مقایسه‌شده *استاندارد* یا *مرجع* یا مقدار *شروع محسوب می‌شود* یا خیر. هنگامی که این اتفاق می‌افتد، از عبارت *تغییر نسبی* (با توجه به مقدار مرجع) استفاده می‌شود و در غیر این صورت اصطلاح *اختلاف نسبی* ترجیح داده می‌شود. اختلاف نسبی اغلب به عنوان یک شاخص کمی برای تضمین کیفیت و کنترل کیفیت برای اندازه‌گیری‌های مکرر که انتظار می‌رود نتایج یکسان باشد استفاده می‌شود. یک مورد خاص از درصد تغییر (تغییر نسبی که به صورت درصد بیان می‌شود) به نام *درصد خطا* در اندازه‌گیری موقعیت‌هایی رخ می‌دهد که مقدار مرجع مقدار پذیرفته‌شده یا واقعی (شاید از نظر نظری تعیین‌شده) باشد و مقدار مقایسه‌شده با آن به صورت تجربی (با اندازه‌گیری) تعیین می‌شود.

ما می‌توانیم مقایسه را با در نظر گرفتن «اندازه» مقادیر درگیر، با تعریف مقادیر مثبت مرجع*x* تنظیم کنیم:


Relative change

(
x
,

x

reference

)
=

Actual change

x

reference

=

Δ

x

reference

=

x
−

x

reference

x

reference

.

{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x\_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{x\_{\text{reference}}}}={\frac {\Delta }{x\_{\text{reference}}}}={\frac {x-x\_{\text{reference}}}{x\_{\text{reference}}}}.}

{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{x_{\text{reference}}}}={\frac {\Delta }{x_{\text{reference}}}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{x_{\text{reference}}}}.}
به عنوان مثال، اگر ما دماسنجی را واسنجی می‌کنیم که وقتی باید ۱۰ درجه سانتیگراد باشد ۶ درجه سانتی گراد می‌خواند، این فرمول برای تغییر نسبی (که در این کاربرد *خطای نسبی* نامیده می‌شود) {\displaystyle {{-6-(-10)} \over {-10}}=-0.4} می‌دهد، با این حال خوانش بسیار زیاد است. برای رفع این مشکل ما تعریف تغییر نسبی را طوری تغییر می‌دهیم که برای تمام مقادیر غیر صفر مرجع*x* درست کار کند:


Relative change

(
x
,

x

reference

)
=

Actual change

|

x

reference

|

=

Δ

|

x

reference

|

=

x
−

x

reference


|

x

reference

|

.

{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x\_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{|x\_{\text{reference}}|}}={\frac {\Delta }{|x\_{\text{reference}}|}}={\frac {x-x\_{\text{reference}}}{|x\_{\text{reference}}|}}.}

{\displaystyle {\text{Relative change}}(x,x_{\text{reference}})={\frac {\text{Actual change}}{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {\Delta }{|x_{\text{reference}}|}}={\frac {x-x_{\text{reference}}}{|x_{\text{reference}}|}}.}
به‌طور کلی می‌توان گفت که اختلاف مطلق |Δ| با تابع مقادیر *x* و *y* مقیاس می‌شود، بخوانید *f*(*x*, *y*).


Relative difference

(
x
,
y
)
=

Absolute difference

|

f
(
x
,
y
)

|

=

|

Δ

|

|

f
(
x
,
y
)

|

=

|

x
−
y

f
(
x
,
y
)

|

.

{\displaystyle {\text{Relative difference}}(x,y)={\frac {\text{Absolute difference}}{|f(x,y)|}}={\frac {|\Delta |}{|f(x,y)|}}=\left|{\frac {x-y}{f(x,y)}}\right|.}

{\displaystyle {\text{Relative difference}}(x,y)={\frac {\text{Absolute difference}}{|f(x,y)|}}={\frac {|\Delta |}{|f(x,y)|}}=\left|{\frac {x-y}{f(x,y)}}\right|.}
همان‌طور که با تغییر نسبی، اختلاف نسبی اگر *f*(*x*, *y*) صفر باشد، تعریف نمی‌شود.

چندین گزینه رایج برای تابع *f*(*x*, *y*) عبارتند از:

* max(|*x*|, |*y*|),
* max(*x*, *y*),
* min(|*x*|, |*y*|),
* min (*x*, *y*),
* 2/(*x* + *y*), و
* ۲/(|*x*| + |*y*|).

مقیاس لگاریتمی
--------------

تغییر مقدار نیز می‌تواند به صورت لگاریتمی بیان شود. استفاده از لگاریتم طبیعی (ln) و نرمال سازی با ضریب ۱۰۰، همان‌طور که برای درصد انجام می‌شود با تعریف درصد تغییرات برای تغییرات بسیار کوچک (که در جداول زیر "تغییر log" نامیده می‌شود) مطابقت دارد:

{\displaystyle D=100\cdot \ln {\frac {V\_{2}}{V\_{1}}}\approx 100\cdot {\frac {V\_{2}-V\_{1}}{V\_{1}}}={\text{Percentage change}}{\text{ when }}\left|{\frac {V\_{2}-V\_{1}}{V\_{1}}}\right|\ll 1}
استفاده از مقیاس لگاریتمی مزایایی دارد. نخست، اندازه تغییر بیان شده در این روش همان که آیا *V* 1 و *V* 2 به عنوان مرجع انتخاب شده، از {\displaystyle \ln {\frac {V\_{2}}{V\_{1}}}=-1\cdot \ln {\frac {V\_{1}}{V\_{2}}}} است. در مقابل، {\displaystyle {\frac {V\_{2}-V\_{1}}{V\_{1}}}\approx -1\cdot {\frac {V\_{1}-V\_{2}}{V\_{2}}}} ، خطای تقریبی با واگرایی *V*2 و *V*1 چشمگیرتر تغییر می‌کند. مثلا:

| *V* 1 | *V* 2 | تغییر Log | تغییر (٪) |
| --- | --- | --- | --- |
| ۱۰ | ۹ | ۱۰٫۵- | ۱۰٫۰- |
| ۹ | ۱۰ | ۱۰٫۵+ | ۱۱٫۱+ |

جستارهای وابسته
---------------

* خطای تقریبی
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* انحراف استاندارد نسبی
* مقیاس لگاریتمی

یادداشت
-------

1. ↑  (Törnqvist، Vartia و Vartia 1985)

منابع
-----

* Bennett, Jeffrey; Briggs, William (2005), *Using and Understanding Mathematics: A Quantitative Reasoning Approach* (3rd ed.), Boston: Pearson, ISBN 0-321-22773-5
* "Understanding Measurement and Graphing" (PDF). North Carolina State University. 2008-08-20. Archived from the original (PDF) on 2010-06-15. Retrieved 2010-05-05.
* "Percent Difference – Percent Error" (PDF). Illinois State University, Dept of Physics. 2004-07-20. Archived from the original (PDF) on 13 July 2019. Retrieved 2010-05-05.
* Törnqvist, Leo; Vartia, Pentti; Vartia, Yrjö (1985), "How Should Relative Changes Be Measured?", *The American Statistician*, **39** (1): 43–46, doi:10.2307/2683905