|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

**حساب کسری** (به انگلیسی: Fractional calculus) بخشی از آنالیز ریاضی است که بر روی انجام عمل‌های مشتق و انتگرال روی اعداد حقیق یا اعداد در مراتب کسری مطالعه می‌کند. به‌طور مثال عملگر مشتق به صورت روبه‌رو تعریف نمی‌شود

{\displaystyle D={\dfrac {d}{dx}},}
و عملگر انتگرال به صورت *J*. (در فیزیک از *I* استفاده می‌شود)

همچنین توان‌ها از روش ترکیب تابع بدست می‌آید به‌طور مثال، *f*2(*x*) = *f*(*f*(*x*)). و ممکن است این سؤال پیش بیاید که آیا

{\displaystyle {\sqrt {D}}=D^{\frac {1}{2}}\,}
معنی دارد. حساب کسری روی توان‌هایی از عملگر مشتق کار می‌کند که صحیح نیستند و می‌تواند هر مقدار گویایی به خود بگیرند:

{\displaystyle D^{a}\,}
از این طریق می‌توان معادلات دیفرانسیل با مشتقات کسری را تعریف کرد و سیستم‌های فیزیکی را مدل‌سازی کرد. کاربردهای این مدل‌سازی در فیزیک در شبیه‌سازی حرکت و شبیه‌سازی سیستم‌های ترمودینامیکی است.

تاریخچه
-------

  

تابع گاما (به انگلیسی: Gamma function) در علم ریاضیات، یک تعمیم پرکاربرد برای تابع فاکتوریل به اعداد مختلط است. نماد تابع گاما {\displaystyle \Gamma } می‌باشد، که این نماد حرف بزرگ گاما در الفبای یونانی است. تابع گاما برای همه اعداد مختلط، غیر از اعداد صحیح غیر مثبت، تعریف شده‌است. برای هر عدد صحیح مثبت {\displaystyle n} رابطه زیر برقرار است:

تابع گاما در امتداد محور حقیقی

تابع گاما در صفحه مختلط

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ .}

دانیال برنولی برای اعداد مختلط با قسمت حقیقی مثبت، رابطه زیر را برای تابع گامای این اعداد به دست آورد، این عبارت یک انتگرال ناسره همگرا می‌باشد:

0\ .}">{\displaystyle \Gamma (z)=\int \_{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0\ .}0\ .}" style="margin: 0px; padding: 0px; border: 0px; font-style: inherit; font-variant: inherit; font-weight: inherit; font-stretch: inherit; line-height: inherit; font-family: inherit; font-size: 16px; vertical-align: -2.338ex; background: none; display: inline-block; width: 39.644ex; height: 5.843ex;">

تابع گاما به صورت امتداد تحلیلی این تابع انتگرالی به یک تابع مرومورفیک تعریف شده‌است (این تابع یک تابع تمام‌ریخت (هولومورفیک) در صفحه مختلط، بجز در اعداد صحیح غیر مثبت ، که در آنها تابع قطب ساده دارد، می‌باشد).

تابع گاما مقدار صفر ندارد، یعنی تابع گامای معکوس {\displaystyle 1/\Gamma } یک تابع کامل است. در واقع، تابع گاما متناظر با تبدیل ملین برای تابع نمایی منفی است:

{\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}

تعمیم‌های دیگری نیز برای تابع فاکتوریل وجود دارد، اما تابع گاما مردمی‌ترین و مفیدترین تعمیم می‌باشد. این تابع یکی از مولفه‌های مهم در توابع مختلف توزیع احتمال است؛ و از این رو تابع گاما، قابل استفاده در احتمال و آمار و همچنین ترکیبیات می‌باشد.

در ضمن برای هر عدد طبیعی z داریم:

{\displaystyle \Gamma (z)=(z-1)!\,}

همچنین می‌توان ثابت کرد که:

{\displaystyle \Gamma (z+1)=z.\Gamma (z)=z.(z-1)!\,}

این تابع در بسیاری از تابع‌های توزیع احتمال ظاهر می‌شود و در زمینه‌های مختلفی از جمله آمار و احتمال کاربرد دارد.[۱]

تعریف

خواص

تبدیل لاپلاس
------------

انتگرال کسری
------------

مشتق کسری
---------

کاربردها
--------

جستارهای وابسته
---------------

* معادله دیفرانسیل
* تبدیل فوریه کسری

منابع
-----

1. ↑  Hilfer, R. ed. (2000). "IX". *Applications of fractional calculus in physics* (به انگلیسی). World Sientific. `{{cite book}}`: `|access-date=` requires `|url=` (help)

* Wikipedia contributors, "Fractional calculus," Wikipedia, The Free Encyclopedia,  (accessed March 20, 2014).

پیوند به بیرون
--------------

* Eric W. Weisstein. "Fractional Differential Equation." From مث‌ورلد — A Wolfram Web Resource.
* MathWorld - Fractional calculus
* MathWorld - Fractional derivative
* Fractional Calculus at MathPages
* Specialized journal: Fractional Calculus and Applied Analysis
* Specialized journal: Fractional Differential Equations (FDE)
* Specialized journal: Communications in Fractional Calculus (ISSN 2218-3892)
* www.nasatech.com
* unr.edu (Broken Link)
* Igor Podlubny's collection of related books, articles, links, software, etc.
* GigaHedron - Richard Herrmann's collection of books, articles, preprints, etc.
* s.dugowson.free.fr
* History, Definitions, and Applications for the Engineer (پی‌دی‌اف) دانشگاه نوتردام
* Fractional Calculus Modelling
* Introductory Notes on Fractional Calculus
* Pseudodifferential operators and diffusive representation in modeling, control and signal
* Power Law & Fractional Dynamics
* The CRONE (R) Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable