توابع ریاضیاتی
در ریاضیات، **فاکتوریل نزولی**، (به انگلیسی: Descending Factorial) (اسامی دیگر **فاکتوری سقوط کننده**، **ضرب دنباله‌ای سقوط‌کننده**، یا **فاکتوریل تحتانی**) به صورت این چندجمله‌ای تعریف می‌گردد:

{\displaystyle (x)\_{n}=x^{\underline {n}}=x(x-1)(x-2)\cdots (x-n+1)=\prod \_{k=1}^{n}(x-k+1)=\prod \_{k=0}^{n-1}(x-k).}

همچنین **فاکتوریل صعودی** (به انگلیسی: Ascending Factorial) (نام‌های دیگر: **فاکتوریل بالارونده**، **چندجمله‌ای پوکهامر**، **فاکتوریل بالارونده**، **ضرب دنباله‌ای بالارونده**، یا **فاکتوریل فوقانی**) نیز به این صورت تعریف می‌گردد:

{\displaystyle x^{(n)}=x^{\overline {n}}=x(x+1)(x+2)\cdots (x+n-1)=\prod \_{k=1}^{n}(x+k-1)=\prod \_{k=0}^{n-1}(x+k).}

هرگاه {\displaystyle n=0} باشد (حاصلضرب تهی)، مقدار هرکدام از این فاکتوریل‌ها را ۱ فرض می‌کنند. این نمادها را جمعاً **توان‌های فاکتوریل** می‌نامند.

**نماد پوکهامر** (Pochhammer Symbol) که توسط لئو آگوست پوکهامر معرفی شد، دارای نماد {\displaystyle (x)\_{n}} بوده که در آن *n* عدد صحیح نامنفی است. ممکن است این نماد در کتب و مقالات مؤلفان مختلف، بسته به قراردادهای بکار رفته توسط آن‌ها، در مواردی نمایانگر فاکتوریل نزولی، و در موارد دیگر نمایانگر فاکتوریل صعودی باشد. در حقیقت خود پوکهامر از این نماد برای معنای دیگری، یعنی ضریب دوجمله‌ای {\displaystyle {\tbinom {x}{n}}} استفاده نمود.

در این مقاله، نماد {\displaystyle (x)\_{n}} را جهت نمایش فاکتوریل نزولی و نماد {\displaystyle x^{(n)}} را جهت نمایش فاکتوریل صعودی به کار می‌بریم. این قراردادها در ترکیبیات استفاده شده‌اند، گرچه نمادگذاری دونالد کنوث، یعنی {\displaystyle x^{\underline {n}},x^{\overline {n}}} برای این اشیاء ریاضیاتی به‌طور فزاینده ای در حال معروف شدن می‌باشند. در نظریه توابع خاص (به خصوص توابع فوق‌هندسی) و در مرجع استاندارد *Aabramowitz and Stegun*، از نماد پوکهامر {\displaystyle (x)\_{n}} جهت نمایش فاکتوریل صعودی استفاده شده‌است.

هنگامی که *x* عدد صحیح مثبتی باشد، {\displaystyle (x)\_{n}} تعداد *n*-جایگشت‌های یک مجموعه *x* عضوی را می‌دهد، یا به‌طور معادل تعداد توابع یک‌به‌یک از مجموعه‌ای به اندازه *n* به مجموعه‌ای به اندازه *x*. همچنین، {\displaystyle (x)\_{n}} «تعداد طرقی است که *n* پرچم را می‌توان در *x* سوراخ پرچم» آرایش داد، به طوری که تمام پرچم‌ها باید استفاده شود و هر سوراخ پرچم می‌تواند حداکثر یک پرچم داشته باشد.

ارجاعات
-------

1. 1 2  Steffensen, J. F. (17 March 2006), *Interpolation* (2nd ed.), Dover Publications, p. 8, ISBN 0-486-45009-0 (A reprint of the 1950 edition by Chelsea Publishing Co.)
2. 1 2  Knuth. *The Art of Computer Programming*. Vol. Vol. 1 (3rd ed.). p. 50. `{{cite book}}`: `|volume=` has extra text (help)
3. ↑  Knuth, Donald E. (1992), "Two notes on notation", *American Mathematical Monthly*, **99** (5): 403–422, arXiv:math/9205211, doi:10.2307/2325085, JSTOR 2325085, S2CID 119584305. The remark about the Pochhammer symbol is on page 414.
4. ↑  Olver, Peter J. (1999). *Classical Invariant Theory*. Cambridge University Press. p. 101. ISBN 0-521-55821-2. MR 1694364.
5. ↑  Harris; Hirst; Mossinghoff (2008). *Combinatorics and Graph Theory*. Springer. Ch. 2. ISBN 978-0-387-79710-6.
6. ↑  *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables*. p. 256.
7. ↑  A useful list of formulas for manipulating the rising factorial in this last notation is given in Slater, Lucy J. (1966). *Generalized Hypergeometric Functions*. Cambridge University Press. Appendix I. MR 0201688.
8. ↑  Feller, William. *An Introduction to Probability Theory and Its Applications*. Vol. Vol. 1. Ch. 2. `{{cite book}}`: `|volume=` has extra text (help)

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Falling and Rising Factorials». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۲۱ مهٔ ۲۰۲۱.

پیوند به بیرون
--------------

* Weisstein, Eric W. "Pochhammer Symbol". *MathWorld*.
* Elementary Proofs