دو نمونه از بردارهای وابسته در فضای سه‌بعدی.
یک مجموعه بردار مستقل خطی
در جبر خطی، زیرمجموعه‌‌ای از بردارهای یک فضای برداری V مانند {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},\cdots ,v\_{n}\}} را **وابستهٔ خطی** گویند هر گاه یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها موجود باشد {\displaystyle v\_{n}\in \operatorname {Span} \{v\_{1},\cdots ,v\_{n-1}\}}. به عبارتی دیگر (طبق تعریف اسپن) یکی از بردارها را بتوان به صورت ترکیب خطی بردارهای دیگر بیان کرد {\displaystyle v\_{n}=c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n-1}v\_{n-1}}.

اگر {\displaystyle {\mathcal {B}}} وابستهٔ خطی نباشد می‌گوییم این بردارها استقلال خطی (به انگلیسی: Linear Independence) دارند یا **مستقل خطی** هستند.

تعریف
-----

مجموعهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}} را *مستقل خطی* می‌نامیم اگر تنها جواب معادلهٔ {\displaystyle c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n}v\_{n}=0} **جواب بدیهی** {\displaystyle c\_{1}=\cdots =c\_{n}=0} باشد.

در غیر این صورت به این مجموعه *وابسته خطی* می‌گوییم. به عبارتی دیگر اگر معادلهٔ {\displaystyle c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n}v\_{n}=0} یک جواب غیربدیهی {\displaystyle \exists c\_{i}\neq 0} داشته باشد *وابسته خطی* است. در این صورت به معادلهٔ مذکور *رابطهٔ وابستگی خطی* می‌گوییم. از این رابطه می‌توان هر بردار را بر حسب بردارهای دیگر به دست آورد: {\displaystyle v\_{n}=(c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n-1}v\_{n-1})/c\_{n}}

از این رابطه نتیجه می‌گیریم یکی از بردارها در اسپن بقیه بردارها وجود دارد: {\displaystyle v\_{n}\in \operatorname {Span} \{v\_{1},\cdots ,v\_{n-1}\}} یا {\displaystyle v\_{n}\in \operatorname {Span} ({\mathcal {B}}\backslash \{v\_{n}\})}

### نتایج و قضایا

یک مجموعهٔ یک‌عضوی بردار {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\}} را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر ناصفر باشد {\displaystyle v\neq 0}.

یک مجموعهٔ دوعضوی بردارها {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},v\_{2}\}} را مستقل خطی می‌گوییم اگر و تنها اگر مضرب یکدیگر نباشند {\displaystyle v\_{1}\neq cv\_{2}}.

هر مجموعه‌ای شامل بردار صفر {\displaystyle 0\in {\mathcal {B}}} وابستهٔ خطی است.

مجموعهٔ بردارهای {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},\cdots ,v\_{n}\}} با بیش از یک عضو وابستهٔ خطی است اگر و تنها اگر اندیسی مانند k وجود داشته باشد که بردار v\_{k} با آن اندیس را بتوان به صورت ترکیب خطی {\displaystyle v\_{k}=c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{k-1}v\_{k-1}} از بردارهای با اندیس قبل از آن بیان کرد {\displaystyle v\_{k}\in \operatorname {Span} \{v\_{1},\cdots ,v\_{k-1}\}}.

برای توابع
----------

طبق تعریف مذکور اگر فضای برداری را مجموعهٔ تمام توابع فرض کنیم به تعریف استقلال خطی توابع می‌رسیم:

اگر بتوان مجموعهٔ ضرایبی مانند {\displaystyle \{b\_{1},b\_{2},\cdots ,b\_{n}\}\neq \{0\}} برای مجموعهٔ توابع {\displaystyle F=\{f\_{1}(x),\cdots ,f\_{n}(x)\}} پیدا کرد که {\displaystyle b\_{1}f\_{1}+b\_{2}f\_{2}+\cdots +b\_{n}f\_{n}=0} باشد (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) در آن صورت مجموعهٔ توابع {\displaystyle F=\{f\_{1}(x),\cdots ,f\_{n}(x)\}} *مستقل خطی* **نیستند**. در غیر این صورت F را مستقل خطی می‌نامیم.

### استفاده از یک قضیه

اگر توابع {\displaystyle F=\{f\_{1}(x),\cdots ,f\_{n}(x)\}} (در یک دامنهٔ مشترک و پیوسته از آنها) همگی دارای مشتق تا مرتبهٔ {\displaystyle n-1} اُم باشند و همچنین اگر {\displaystyle W[f\_{1},\cdots ,f\_{n}](x)} رونسکین این توابع باشد، این قضیه بیان می‌کند که:

توابع F مستقل خطی اند اگر و تنها اگر بتوان یک x\_{0} پیدا کرد که {\displaystyle W[f\_{1},\cdots ,f\_{n}](x\_{0})\neq 0}.

جستارهای وابسته
---------------

* فضای برداری
* زیرفضای خطی
* پوشش خطی (اسپن)
* پایه‌های فضا
* بعد (فضای برداری)

منابع
-----

1. ↑  Grant Sanderson. "Linear combinations, span, and basis vectors | Chapter 2, Essence of linear algebra". *3Blue1Brown* (به انگلیسی).
2. 1 2 3  *Linear Algebra and Its Applications*. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
3. ↑  H. Friedberg, Stephen (2003). *Linear algebra* (به انگلیسی) (4th ed ed.). Upper Saddle River, N.J.: Pearson Education. pp. 48–49. OCLC 50424308. `{{cite book}}`: `|edition=` has extra text (help)
4. 1 2  Prof. Vladimir Dobrushkin. "Part IV: Fundamental Set of Solutions" (به انگلیسی).
5. ↑  *Elementary Differential Equations and Boundary Value Problems (11th Edition)*. به کوشش William E. Boyce, Richard C. DiPrima, Douglas B. Meade.

* مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی (انگلیسی)

* Strang, Gilbert (July 19, 2005), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8


| * ن
* ب
* و
جبر خطی |
| --- |
| مفاهیم عمومی | 
* اسکالر (ریاضی)
* بردار
* فضای برداری
* ضرب نرده‌ای
* تصویر (بردار)
* اسپن و مولد
* نگاشت خطی
* Linear projection
* استقلال خطی
* ترکیب خطی
* پایه (جبر خطی)
* Column space
* Row space
* تعامد (جبر خطی)
* هسته(فضای پوچ)
* ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار
* Outer product
* فضای ضرب داخلی
* ضرب داخلی
* ترانهاده
* الگوریتم گرام اشمیت
* دستگاه معادلات خطی

 | Three dimensional Euclidean space |
| جبر برداری | 
* ضرب خارجی
* Triple product
* Seven-dimensional cross product

 |
| جبر چندخطی | 
* Geometric algebra
* Exterior algebra
* Bivector
* Multivector

 |
| ماتریس | 
* Block
* Decomposition
* ماتریس وارون
* کهاد
* ضرب ماتریس
* رتبه (جبر خطی)
* تبدیل
* قاعده کرامر
* حذف گاوسی

 |
| ساختارهای جبر مجرد | 
* Dual
* Direct sum
* Function space
* خارج‌قسمت
* زیرفضا
* ضرب تنسوری

 |
| جبر خطی عددی | 
* ممیز شناور
* متلب
* Numerical stability
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* ماتریس خلوت
* Comparison of linear algebra libraries
* Comparison of numerical analysis software

 |
| 
* رده:جبر خطی
* Outline
* Portal
* Wikibook
* Wikiversity

 |

| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد مربوط به جبر خطی است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |