در نظریه آمار و احتمال، **توزیع حاشیه‌ای** از یک زیرمجموعه از یک مجموعه ای از متغیرهای تصادفی، توزیع احتمال از متغیرهای موجود در زیر مجموعه هست. احتمال مقادیر مختلف متغیرها را در زیرمجموعه بدون مراجعه به مقادیر سایر متغیرها ارائه می‌دهد. در حالی که توزیع شرطی، احتمالات را مشروط به مقادیر متغیرهای دیگر می‌کند.

**متغیرهای حاشیه‌ای** آن متغیرها در زیرمجموعه متغیرهایی هستند که حفظ می‌شوند. این مفاهیم «حاشیه‌ای» هستند زیرا با جمع کردن مقادیر در جدول در امتداد سطرها یا ستون‌ها و نوشتن حاصل جمع در حاشیه جدول، می‌توان آنها را یافت. توزیع متغیرهای حاشیه‌ای (توزیع حاشیه‌ای) توسط **حاشیه سازی** حاصل می‌شود، یعنی تمرکز روی مبالغ موجود در حاشیه بیش از توزیع متغیرهای کنار گذاشته شده‌است، و گفته می‌شود که متغیرهای دور انداخته شده، **به حاشیه رانده شده‌اند**.

به‌طور ساده‌تر گاهی نیاز داریم توزیع مستقل دو متغیر تصادفی را هم از توزیع توأم به دست آوریم. جواب این سؤال ما در توزیع حاشیه‌ای نهفته‌است.

تعریف
-----

برای حساب کردن توزیع حاشیه‌ای یکی از این متغیرها کافی است به نوعی تأثیر آنرا بر روی تابع توزیع توأم حذف کنیم.

### تابع جرم احتمال حاشیه‌ای

فرض کنید توزیع توأم دو متغیر تصادفی **گسسته** X و Y به ما داده شده‌است. توزیع حاشیه‌ای هر یک از این متغیرها - به عنوان مثال X - برابر است با توزیع احتمال X هنگامی که مقادیر Y در نظر گرفته نمی‌شوند. این را می‌توان با جمع کردن احتمال توزیع توأم روی تمام حالات Y محاسبه کرد. به‌طور مشابه، برای عکس آن نیز درست است؛ یعنی توزیع حاشیه‌ای Y را نیز می‌توان با جمع کردن احتمال توزیع توأم روی حالات X محاسبه کرد.



p

X

(

x

i

)
=

∑

j

p
(

x

i

,

y

j

)

{\displaystyle p\_{X}(x\_{i})=\sum \_{j}p(x\_{i},y\_{j})}

{\displaystyle p_{X}(x_{i})=\sum _{j}p(x_{i},y_{j})}


p

Y

(

y

j

)
=

∑

i

p
(

x

i

,

y

j

)

{\displaystyle p\_{Y}(y\_{j})=\sum \_{i}p(x\_{i},y\_{j})}

{\displaystyle p_{Y}(y_{j})=\sum _{i}p(x_{i},y_{j})}

| *X**Y* | *x*1 | *x*2 | *x*3 | *x*4 | *pY*(*y*) ↓ |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *y*1 | 4/32 | 2/32 | 1/32 | 1/32 | 8/32 |
| *y*2 | 3/32 | 6/32 | 3/32 | 3/32 | 15/32 |
| *y*3 | 9/32 | 0 | 0 | 0 | 9/32 |
| *pX*(*x*) → | 16/32 | 8/32 | 4/32 | 4/32 | 32/32 |
مقادیر توزیع توأم این دو متغیر تصادفی، در مستطیل 3\*4 وسط، و مقادیر توزیع حاشیه‌ای این دو متغیر، در **حاشیه** راست و پایین آورده شده‌است.

**احتمال حاشیه‌ای** می‌تواند به صورت امید ریاضی نیز نوشته شود.



p

X

(
x
)
=

∫

y

p

X
∣
Y

(
x
∣
y
)

p

Y

(
y
)

d

y
=

E

Y

⁡
[

p

X
∣
Y

(
x
∣
y
)
]

{\displaystyle p\_{X}(x)=\int \_{y}p\_{X\mid Y}(x\mid y)\,p\_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} \_{Y}[p\_{X\mid Y}(x\mid y)]\;}

{\displaystyle p_{X}(x)=\int _{y}p_{X\mid Y}(x\mid y)\,p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y=\operatorname {E} _{Y}[p_{X\mid Y}(x\mid y)]\;}

به‌طور شهودی احتمال حاشیه‌ای X با بررسی احتمال شرطی X به شرط مقدار خاصی از Y، و سپس میانگین این احتمال شرطی بر روی توزیع همه مقادیر Y محاسبه می‌شود.

این از تعریف امید ریاضی (بعد از انجام قانون *LOTUS*) می‌آید.


E

Y

⁡
[
f
(
Y
)
]
=

∫

y

f
(
y
)

p

Y

(
y
)

d

y

{\displaystyle \operatorname {E} \_{Y}[f(Y)]=\int \_{y}f(y)p\_{Y}(y)\,\mathrm {d} y}

{\displaystyle \operatorname {E} _{Y}[f(Y)]=\int _{y}f(y)p_{Y}(y)\,\mathrm {d} y}
### تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای

فرض کنید توزیع توأم دو متغیر تصادفی **پیوسته** X و Y به ما داده شده‌است. تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای X را می‌توان از انتگرال احتمال توزیع توأم روی تمام حالات Y محاسبه کرد.



f

X

(
x
)
=

∫

+
∞

−
∞

f
(
x
,
y
)

d
y

{\displaystyle f\_{X}(x)=\int \_{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dy}

{\displaystyle f_{X}(x)=\int _{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dy}


f

X

(
y
)
=

∫

+
∞

−
∞

f
(
x
,
y
)

d
x

{\displaystyle f\_{X}(y)=\int \_{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dx}

{\displaystyle f_{X}(y)=\int _{+\infty }^{-\infty }f(x,y)\,dx}

و یا به‌طور شهودی تر داریم:



f

X

(
x
)
=

∫

c

d

f
(
x
,
y
)

d
y

{\displaystyle f\_{X}(x)=\int \_{c}^{d}f(x,y)\,dy}

{\displaystyle f_{X}(x)=\int _{c}^{d}f(x,y)\,dy}


f

X

(
y
)
=

∫

a

b

f
(
x
,
y
)

d
x

{\displaystyle f\_{X}(y)=\int \_{a}^{b}f(x,y)\,dx}

{\displaystyle f_{X}(y)=\int _{a}^{b}f(x,y)\,dx}

x
∈
[
a
,
b
]
,
y
∈
[
c
,
d
]

{\displaystyle x\in [a,b],y\in [c,d]}

{\displaystyle x\in [a,b],y\in [c,d]}

### تابع توزیع تجمعی حاشیه‌ای

به راحتی می‌توان تابع توزیع تجمعی حاشیه‌ای را از روی تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای به دست آورد.

#### تابع توزیع تجمعی حاشیه‌ای متغیر تصادفی گسسته

برای متغیرهای تصادفی **گسسته** داریم:



F
(
x
,
y
)
=
P
(
X
≤
x
,
Y
≤
y
)

{\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}

{\displaystyle F(x,y)=P(X\leq x,Y\leq y)}
#### تابع توزیع تجمعی حاشیه‌ای متغیر تصادفی پیوسته

برای متغیرهای تصادفی **پیوسته** داریم:



F
(
x
,
y
)
=

∫

a

x

∫

c

y

f
(

x
′

,

y
′

)

d

y
′

d

x
′

{\displaystyle F(x,y)=\int \_{a}^{x}\int \_{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}

{\displaystyle F(x,y)=\int _{a}^{x}\int _{c}^{y}f(x',y')\,dy'dx'}
حال فرض کنید می‌خواهیم توزیع تجمعی حاشیه‌ای یک متغیر تصادفی را از روی توزیع تجمعی توأم **بدون استفاده** از **تابع چگالی** آنها بدست آوریم.


F

X

(
x
)
=

F

X

,

Y

(
x
,
∞
)
=

lim

x
→
∞

F

X
Y

(
x
,
y
)

{\displaystyle F\_{X}(x)=F\_{X},\_{Y}(x,\infty )=\lim \_{x\to \infty }F\_{XY}(x,y)}

{\displaystyle F_{X}(x)=F_{X},_{Y}(x,\infty )=\lim _{x\to \infty }F_{XY}(x,y)}

توزیع احتمال حاشیه‌ای و توزیع احتمال شرطی
-----------------------------------------

### تعریف

**احتمال حاشیه‌ای**، احتمال رخ دادن یک رخداد مستقل از رخدادهای دیگر است. از سمت دیگر **احتمال شرطی**، احتمال رخ دادن یک رخداد به شرطی که رخدادهای مشخص دیگری اتفاق افتاده باشند است. این بدین معنا است که در چنین احتمالی محاسبات مربوط به یک متغیر تصادفی به محاسبات متغیرهای تصادفی دیگر وابسته می‌باشد.

توزیع احتمال شرطی یک متغیر تصادفی به شرط رخ دادن متغیر تصادفی دیگر معادل توزیع احتمال توأم هر دو متغیر تصادفی تقسیم بر توزیع احتمال حاشیه‌ای متغیر تصادفی دیگری است که بالاتر معرفی شد می‌باشد. پس داریم،

* برای **متغیرهای تصادفی** **گسسته**،


p

Y

|

X

(
y

|

x
)
=
P
(
Y
=
y
∣
X
=
x
)
=

P
(
X
=
x
,
Y
=
y
)

P

X

(
x
)


{\displaystyle p\_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P\_{X}(x)}}}

{\displaystyle p_{Y|X}(y|x)=P(Y=y\mid X=x)={\frac {P(X=x,Y=y)}{P_{X}(x)}}}
* برای **متغیرهای تصادفی پیوسته**،


f

Y

|

X

(
y

|

x
)
=

f

X
,
Y

(
x
,
y
)

f

X

(
x
)


{\displaystyle f\_{Y|X}(y|x)={\frac {f\_{X,Y}(x,y)}{f\_{X}(x)}}}

{\displaystyle f_{Y|X}(y|x)={\frac {f_{X,Y}(x,y)}{f_{X}(x)}}}
### مثال

فرض کنید داده‌های مربوط به دانشجویان یک کلاس ۲۰۰ نفری را داریم. این داده‌ها شامل میزان زمان مطالعه دانشجویان (X) و درصد جواب‌های درست دانشجویان در امتحان (Y) هستند. فرض کنید که X و Y متغیرهای تصادفی گسسته هستند؛ توزیع احتمال توأم X و Y را می‌توان با استفاده از لیست کردن تمام مقادیر ممکن *p*(*xi*,*yj*) همانند جدول پایین، تعریف کرد.


| *X**Y* | میزان زمان مطالعه (دقیقه) |
| --- | --- |
| % جواب‌های درست |  | *x*1 (0-20) | *x*2 (21-40) | *x*3 (41-60) | *x*4(>60) | *p**Y*(*y*) ↓ |
| *y*1 (0-20) | 2/200 | 0 | 0 | 8/200 | 10/200 |
| *y*2 (21-40) | 10/200 | 2/200 | 8/200 | 0 | 20/200 |
| *y*3 (41-59) | 2/200 | 4/200 | 32/200 | 32/200 | 70/200 |
| *y*4 (60-79) | 0 | 20/200 | 30/200 | 10/200 | 60/200 |
| *y*5 (80-100) | 0 | 4/200 | 16/200 | 20/200 | 40/200 |
| *pX*(*x*) → | 14/200 | 30/200 | 86/200 | 70/200 | 1 |
جدولی از داده‌های رابطهٔ بین میزان زمان مطالعه و تعداد پاسخ‌های درست در یک کلاس با ۲۰۰ دانشجو

توزیع احتمال حاشیه‌ای می‌تواند تعداد دانشجوهایی که نمره ۲۰ یا کمتر گرفته‌اند را مشخص کند:

{\displaystyle p\_{Y}(y\_{1})=P\_{Y}(Y=y\_{1})=\sum \_{i=1}^{4}P(x\_{i},y\_{1})={\frac {2}{200}}+{\frac {8}{200}}={\frac {10}{200}}}، یعنی ۱۰ دانشجو یا ۵ درصد دانشجویان.

**توزیع احتمال شرطی** برای مشخص کردن احتمال اینکه یک دانشجو که ۶۰ دقیقه یا بیشتر مطالعه کرده باشد، نمرهٔ ۲۰ یا پایین‌تر کسب کند به کار می‌رود:

{\displaystyle p\_{Y|X}(y\_{1}|x\_{4})=P(Y=y\_{1}|X=x\_{4})={\frac {P(X=x\_{4},Y=y\_{1})}{P(X=x\_{4})}}={\frac {8/200}{70/200}}={\frac {8}{70}}={\frac {4}{35}}}، این عبارت به این معنی است که ۱۱ درصد احتمال این وجود دارد که نمره دانشجو پس از حداقل ۶۰ دقیقه مطالعه، ۲۰ شود.

نمونه ای از دنیای واقعی
-----------------------

فرض کنید احتمال برخورد یک عابر پیاده با ماشین در حین عبور از جاده در گذرگاه عابر پیاده بدون توجه به چراغ راهنمایی محاسبه شود. فرض کنید H یک متغیر تصادفی گسسته باشد که یک مقدار از {Hit, Not Hit} را می‌گیرد. فرض کنید L (برای چراغ راهنمایی) یک متغیر تصادفی گسسته باشد که یک مقدار از {RED, YELLOW, GREEN} را می‌گیرد.

در واقع، H به L وابسته خواهد بود؛ یعنی P(H = Hit) بسته به قرمز، زرد یا سبز بودن L مقادیر متفاوتی خواهد گرفت (و به همین ترتیب برای P(H = Not Hit)). برای مثال، یک عابر زمانی که چراغ‌های راهنمایی سبز هستند، احتمال بیشتری وجود دارد که هنگام عبور با خودرو برخورد کند تا زمانی که قرمز باشد. به عبارت دیگر، برای هر جفت مقادیر ممکن معینی برای H و L، باید احتمال توزیع توأم H و L را در نظر گرفت تا در صورت نادیده گرفتن حالت چراغ راهنمایی توسط عابر، احتمال وقوع آن جفت رویدادها با هم پیدا شود.

هرچند، در تلاش برای محاسبه احتمال حاشیه‌ای P(H = Hit)، آنچه مورد نظر است، احتمال برخورد H = Hit در شرایطی است که مقدار خاص L ناشناخته است و در آن عابر پیاده وضعیت چراغ راهنمایی را نادیده می‌گیرد. به‌طور کلی، اگر چراغ‌ها قرمز باشد یا اگر چراغ‌ها زرد یا اگر چراغ‌ها سبز باشند، می‌توان به عابر پیاده ضربه زد؛ بنابراین، پاسخ احتمال حاشیه‌ای را می‌توان با جمع P(H | L) برای همه مقادیر ممکن L، با وزن هر مقدار L با احتمال وقوع آن یافت.

در اینجا جدولی وجود دارد که بسته به وضعیت چراغ‌ها، احتمالات مشروط ضربه خوردن را نشان می‌دهد. (توجه داشته باشید که ستون‌های این جدول باید تا ۱ جمع شوند زیرا بدون توجه به وضعیت نور، احتمال اصابت یا عدم اصابت ۱ است)

Conditional distribution: {\displaystyle P(H\mid L)}| LH | Red | Yellow | Green |
| --- | --- | --- | --- |
| Not Hit | 0.99 | 0.9 | 0.2 |
| Hit | 0.01 | 0.1 | 0.8 |

برای یافتن توزیع احتمال توأم، داده‌های بیشتری مورد نیاز است. برای مثال، فرض کنید P(L = red) = ۰٫۲ و P(L = yellow) = ۰٫۱ و P(L = green) = ۰٫۷. ضرب هر ستون در توزیع شرطی در احتمال وقوع آن ستون منجر به توزیع احتمال توأم H و L می‌شود که در مستطیل ۲×۳ وسط داده شده‌است.

Joint distribution: {\displaystyle P(H,L)}| LH | Red | Yellow | Green | Marginal probability P(*H*) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Not Hit | 0.198 | 0.09 | 0.14 | 0.428 |
| Hit | 0.002 | 0.01 | 0.56 | 0.572 |
| Total | 0.2 | 0.1 | 0.7 | 1 |

احتمال حاشیه‌ای P(H = Hit) مجموع ۰٫۵۷۲ در امتداد ردیف H = Hit این جدول توزیع مشترک است، زیرا این احتمال برخورد زمانی است که چراغ‌ها قرمز یا زرد یا سبز هستند. به‌طور مشابه، احتمال حاشیه‌ای که P(H = Not Hit) مجموع در امتداد ردیف H = Not Hit است.

توزیع احتمال‌های چند متغیره
---------------------------

تعدادی نمونه از یک توزیع احتمال نرمال دو متغیره. توزیع احتمال‌های حاشیه‌ای قرمز و آبی به نمایش درآمده‌اند. توزیع احتمال حاشیه‌ای X بوسیله یک هیستوگرام از مختصات X بدون در نظر گرفتن مختصات Y به نمایش درآمده است.
برای توزیع احتمال‌های چند متغیره، همان فرمولی را به کار می‌گیریم که بالاتر از آن استفاده کردیم با این تفاوت که در این‌جا نمادهای X و/یا Y به عنوان بردار شناخته می‌شوند. به‌طور خاص می‌توان گفت که هر جمع یا انتگرال بر روی تمام متغیرها، بجز متغیرهایی که در X قرار دارند، اعمال می‌شود. یعنی، اگر *X*1,*X*2,…,*Xn* **متغیرهای تصادفی** **گسسته** باشند، آنگاه تابع جرم احتمال حاشیه‌ای باید به شکل زیر تعریف شود:


p

X

i

(
k
)
=
∑
p
(

x

1

,

x

2

,
…
,

x

i
−
1

,
k
,

x

i
+
1

,
…
,

x

n

)
;

{\displaystyle p\_{X\_{i}}(k)=\sum p(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{i-1},k,x\_{i+1},\dots ,x\_{n});}

{\displaystyle p_{X_{i}}(k)=\sum p(x_{1},x_{2},\dots ,x_{i-1},k,x_{i+1},\dots ,x_{n});}
اگر *X*1,*X*2,…,*Xn* **متغیرهای تصادفی پیوسته** باشند، آنگاه تابع چگالی احتمال حاشیه‌ای باید به شکل زیر تعریف شود:


f

X

i

(

x

i

)
=

∫

−
∞

∞

∫

−
∞

∞

∫

−
∞

∞

⋯

∫

−
∞

∞

f
(

x

1

,

x

2

,
…
,

x

n

)
d

x

1

d

x

2

⋯
d

x

i
−
1

d

x

i
+
1

⋯
d

x

n

.

{\displaystyle f\_{X\_{i}}(x\_{i})=\int \_{-\infty }^{\infty }\int \_{-\infty }^{\infty }\int \_{-\infty }^{\infty }\cdots \int \_{-\infty }^{\infty }f(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n})dx\_{1}dx\_{2}\cdots dx\_{i-1}dx\_{i+1}\cdots dx\_{n}.}

{\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\cdots \int _{-\infty }^{\infty }f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})dx_{1}dx_{2}\cdots dx_{i-1}dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}

جستارهای وابسته
---------------

* توزیع احتمال
* توزیع احتمال توأم

پانویس
------

1. ↑  Trumpler, Robert J. & Harold F. Weaver (1962). *Statistical Astronomy*. Dover Publications. pp. 32–33.
2. ↑  «*توزیع توأم*» [*آمار*] هم‌ارزِ «*joint distribution*» مترادفِ: «*توزیع چندمتغیره*» هم‌ارزِ واژهٔ بیگانه‌ای دیگر (multivariate distribution)؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر یازدهم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۶۰۰-۶۱۴۳-۴۵-۳ (ذیل سرواژهٔ *توزیع توأم*)
3. ↑  "Marginal & Conditional Probability Distributions: Definition & Examples". *Study.com* (به انگلیسی). Retrieved 2019-11-16.
4. ↑  "Exam P [FSU Math]". *www.math.fsu.edu*. Retrieved 2019-11-16.
5. ↑  *Marginal and conditional distributions* (به انگلیسی), retrieved 2019-11-16
6. ↑  *A modern introduction to probability and statistics: understanding why and how*. Dekking, Michel, 1946-. London: Springer. 2005. ISBN 978-1-85233-896-1. OCLC 262680588.`{{cite book}}`: نگهداری CS1: سایر موارد (link)

منابع
-----

* Sheldon Ross ,Introduction to Probability, joint distribution pages 279 to 350
* 
* Trumpler, Robert J. ; Harold F. Weaver (1962). Statistical Astronomy. Dover Publications. pp. 32–33
* Marginal & Conditional Probability Distributions: Definition & Examples". Study.com. Retrieved 2019-11-16
* Marginal and conditional distributions, retrieved 2019-11-16
* Exam P [FSU Math]". www.math.fsu.edu. Retrieved 2019-11-16


| * ن
* ب
* و
توزیع‌های احتمالات |
| --- |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره متناهی |
| --- |
|  بنفورد **·**  برنولی **·**  دوجمله‌ای  **·**  رسته‌‌ای **·**  فوق‌هندسی **·**  رادماکر **·**  یکنواخت گسسته **·**  زیف **·**  زیف−مندالبروت  |

 |
| 

| تک‌متغیره گسسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  بولتزمن **·**  Conway-Maxwell-Poisson **·**  compound Poisson **·**  discrete phase-type **·**  Gauss-Kuzmin **·**  هندسی **·**  لگاریتمی **·**  دوجمله‌ای منفی **·**  برخال سهموی **·**  پواسون **·**  اسکلام **·**  Yule-Simon **·**  zeta  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره محدود |
| --- |
|  بتا **·**  Kumaraswamy **·**  raised cosine **·**  مثلثی **·**  U-quadratic **·**  یکنواخت پیوسته **·**  توزیع نیم دایره  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نیمه‌متناهی |
| --- |
|  بتا پریم **·**  توزیع بر **·**  کی‌دو **·**  Coxian **·**  ارلانگ **·**  نمایی **·**  اِف **·**  آمار فرمی-دیراک **·**  توزیع نرمال پوشیده **·**  توزیع فریشه **·**  گاما **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته **·**  توزیع نیم لجستیک **·**  توزیع نیم نرمال **·**  توزیع تی مربع هاتلینگ **·**  hyper-exponential **·**  hypoexponential **·**  inverse chi-square (scale inverse chi-square) **·**  inverse Gaussian **·**  توزیع گامای وارونه **·**  توزیع لوی **·**  لُگ نرمال **·**  log-logistic **·**  ماکسول-بولتزمان **·**  توزیع ماکسول-بولتزمن **·**  Nakagami **·**  توزیع خی دو نامرکزی **·** پارتو **·**   phase-type **·**  ریلی **·**  relativistic Breit–Wigner **·**  Rice **·**  توزیع وایبول **·**  توزیع گمپرتز **·**  truncated normal **·**  type-2 Gumbel **·**  وایبول **·**  Wilks' lambda  |

 |
| 

| تک‌متغیره پیوسته با گستره نامتناهی |
| --- |
|  کوشی **·**  توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته **·**  توزیع گاوسی تعمیم‌یافته **·**  توزیع زد فیشر **·**  فیشر‐تیپت **·**  هایپربولیک عمومی **·**  hyperbolic secant **·**  Landau **·**  لاپلاس **·**  توزیع لوی **·**  logistic **·**  نرمال **·**  normal-gamma **·**  normal inverse Gaussian **·**  skew normal **·**  تی-استودنت **·**  توزیع گامبل **·**  Variance-Gamma **·**  Voigt  |

 |
| 

| چندمتغیره |
| --- |
|  *گسسته:* Ewens **·**  چندجمله‌ای **·**  توزیع دیریکله—چندجمله‌ای*پیوسته:* توزیع دریکله **·**  توزیع دریکله عمومی **·**  multivariate normal **·**  multivariate Student*Matrix-valued:* توزیع ویشارت وارون **·**  matrix normal **·**  توزیع ویشارت  |

 |
| 

| جهت‌دار، تک‌مقدار و تکین |
| --- |
|  *Directional:* Kent  **·**  von Mises **·**  von Mises–Fisher  *Degenerate:* discrete degenerate **·**  تابع دلتای دیراک  *تکین:* Cantor  |

 |
| 

| خانواده‌ها |
| --- |
|  نمایی **·**  natural exponential **·**  location-scale **·**  maximum entropy **·**  Pearson **·**  Tweedie  |

 |

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |