در جبر خطی *ضرب ماتریس* به عملیات ضرب یک ماتریس با یک کمیت نرده‌ای یا یک ماتریس دیگر گفته می‌شود. در این مقاله سعی شده‌است تا نگاهی به انواع مختلف ضرب ماتریسی داشته باشیم.

ضرب معمولی ماتریس‌ها و درایه های آنها
-------------------------------------

ضرب معمولی ماتریس‌ها رایج‌ترین نوع ضرب در ماتریس‌هاست. این نوع ضرب تنها زمانی تعریف می‌شود که تعداد ستون‌های ماتریس اول با تعداد سطرهای ماتریس دوم برابر باشد. حاصل‌ضرب یک ماتریس *m*در*n* در یک ماتریس *n* در *p* یک ماتریس *m* در *p* است، به همین صورت اگر لیستی از ماتریس‌ها برای ضرب را داشته باشیم که ابعاد مختلفی دارند (مانند *m*در*n* , *n*در*p* , *p*در*q* , *q*در*r*) بُعد ماتریس حاصل ضرب از تعداد سطرهای اولین ماتریس و تعداد ستون‌های آخرین ماتریس می‌آید (مثلاً در لیست ذکر شده در بالا بعد ماتریس حاصلضرب *m* در *r* خواهد بود). توجه به این نکته نیز لازم است که ضرب ماتریس‌ها خاصیت جابجایی ندارد.

ضرب معمولی به این صورت تعریف می‌شود

{\displaystyle {\overset {3\times 4{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\color {Blue}1&\color {Blue}2&\color {Blue}3&\color {Blue}4\\\end{bmatrix}}}{\overset {4\times 5{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}a&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}b&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}c&\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\color {Red}d&\cdot \\\end{bmatrix}}}={\overset {3\times 5{\text{ matrix}}}{\begin{bmatrix}\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &\cdot &\cdot \\\cdot &\cdot &\cdot &x\_{3,4}&\cdot \\\end{bmatrix}}}}

که در آن درایه {\displaystyle x\_{3,4}} برابر است با:

{\displaystyle x\_{3,4}=({\color {Blue}1},{\color {Blue}2},{\color {Blue}3},{\color {Blue}4})\cdot ({\color {Red}a},{\color {Red}b},{\color {Red}c},{\color {Red}d})={\color {Blue}1}\times {\color {Red}a}+{\color {Blue}2}\times {\color {Red}b}+{\color {Blue}3}\times {\color {Red}c}+{\color {Blue}4}\times {\color {Red}d}}.

برای به یادسپاری این موضوع می‌توان ضرب معمولی را به این صورت القا کرد که **سطر اول در ستون اول درایه اول** یا به صورت کلی‌تر **سطر mم در ستون nم درایه mnم**.

matrix multiplicationنحوه انجام ضرب ماتریس‌ها در انیمیشن توضیح داده شده‌است.
### نمایش فرمولی

فرض کنید برای
{\displaystyle A\in F^{m\times n}} و {\displaystyle B\in F^{n\times p}}
در میدان F که
{\displaystyle (AB)\in F^{m\times p}}، درایه‌های **AB** به صورت زیر بدست می‌آیند:

matrix multiplicationچکونگی انجام ضرب ماتریس‌ها به وسیله انمیشن توضیح داده ده است .

{\displaystyle (AB)\_{i,j}=\sum \_{r=1}^{n}A\_{i,r}B\_{r,j}}

در اینجا *i* و *j* را اعداد طبیعی در نظر می‌گیریم که {\displaystyle 1\leq j\leq p} و {\displaystyle 1\leq i\leq m}.

### رابطه ضرب معمولی با ضرب داخلی و ضرب خارجی

ضرب داخلی و ضرب خارجی در حقیقت صورت‌های خاص و ساده‌شده‌ای از ضرب معمولی ماتریس‌ها هستند. ضرب دو بردار ستونی A و B به صورت {\displaystyle A\cdot B=A^{T}B} می‌باشد، دراینجا T نشانگر ترانهاده ماتریس است. به صورت صریح‌تر:

{\displaystyle A\cdot B=A^{T}B={\begin{bmatrix}a\_{1}&a\_{2}&\cdots &a\_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{1}b\_{1}+a\_{2}b\_{2}+\cdots +a\_{n}b\_{n}\end{bmatrix}}.}.

ضرب خارجی به صورت {\displaystyle A\otimes B=AB^{T}} تعریف می‌شود که:

{\displaystyle AB^{T}={\begin{bmatrix}a\_{1}\\a\_{2}\\\vdots \\a\_{n}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}b\_{1}&b\_{2}&\cdots &b\_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{1}b\_{1}&a\_{1}b\_{2}&\cdots &a\_{1}b\_{n}\\a\_{2}b\_{1}&a\_{2}b\_{2}&\cdots &a\_{2}b\_{n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n}b\_{1}&a\_{n}b\_{2}&\cdots &a\_{n}b\_{n}\\\end{bmatrix}}.}

ضرب ماتریس‌ها در پناه این دو عمل می‌تواند به صورت قطعه‌ای مورد بحث قرار گیرد. برای شروع تجزیهٔ ماتریس به بردارهای سطری و بردارهای ستونی را بررسی می‌کنیم، در شکل زیر ماتریس **A** را به وسیله ماتریسی با بردارهای سطری و ماتریس **B** را به وسیله ماتریسی با بردارهای ستونی نمایش می‌دهیم:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}a\_{1,1}}&{\color {Red}a\_{1,2}}&\cdots &{\color {Red}a\_{1,n}}\\{\color {ForestGreen}a\_{2,1}}&{\color {ForestGreen}a\_{2,2}}&\cdots &{\color {ForestGreen}a\_{2,n}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {Blue}a\_{m,1}}&{\color {Blue}a\_{m,2}}&\cdots &{\color {Blue}a\_{m,n}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}A\_{1}}\\{\color {ForestGreen}A\_{2}}\\\vdots \\{\color {Blue}A\_{m}}\end{bmatrix}}}
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}{\color {Red}b\_{1,1}}&{\color {ForestGreen}b\_{1,2}}&\cdots &{\color {Blue}b\_{1,p}}\\{\color {Red}b\_{2,1}}&{\color {ForestGreen}b\_{2,2}}&\cdots &{\color {Blue}b\_{2,p}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\{\color {Red}b\_{n,1}}&{\color {ForestGreen}b\_{n,2}}&\cdots &{\color {Blue}b\_{n,p}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\color {Red}B\_{1}}&{\color {ForestGreen}B\_{2}}&\cdots &{\color {Blue}B\_{p}}\end{bmatrix}}}

که در اینجا {\displaystyle A\_{i}={\begin{bmatrix}a\_{i,1}&a\_{i,2}&\cdots &a\_{i,n}\end{bmatrix}}} و {\displaystyle B\_{i}={\begin{bmatrix}b\_{1,i}&b\_{2,i}&\cdots &b\_{n,i}\end{bmatrix}}^{T}.} می‌باشند.

ضرب ماتریسی با این شیوه با توجه به تعاریف بالا به این صورت خواهد بود:

{\displaystyle \mathbf {AB} ={\begin{bmatrix}A\_{1}\\A\_{2}\\\vdots \\A\_{m}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}B\_{1}&B\_{2}&\dots &B\_{p}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(A\_{1}\cdot B\_{1})&(A\_{1}\cdot B\_{2})&\dots &(A\_{1}\cdot B\_{p})\\(A\_{2}\cdot B\_{1})&(A\_{2}\cdot B\_{2})&\dots &(A\_{2}\cdot B\_{p})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\(A\_{m}\cdot B\_{1})&(A\_{m}\cdot B\_{2})&\dots &(A\_{m}\cdot B\_{p})\end{bmatrix}}.}

### ویژگی‌ها

* ضرب ماتریسی خاصیت جابجایی ندارد.

{\displaystyle AB\neq BA}

* اگر *A* و *B* دو ماتریس n در n باشند، دترمینان حاصلضرب به اولویت شرکت آن‌ها در ضرب بستگی ندارد.

{\displaystyle \;\!\det(AB)=\det(BA)}

* اگر هر دو ماتریس قطری مربعی با ابعاد مشابه باشند، ضرب آن‌ها جابجایی است.
* ضرب ماتریسی شرکت‌پذیر است:

{\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {BC} )=(\mathbf {AB} )\mathbf {C} }

* ضرب ماتریسی بروی جمع پخش می‌شود:

{\displaystyle \ \mathbf {A} (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {AB} +\mathbf {AC} }
{\displaystyle \ (\mathbf {A} +\mathbf {B} )\mathbf {C} =\mathbf {AC} +\mathbf {BC} }.

* اگر ماتریس را تحت یک میدان (برای مثال میدان‌های حقیقی یا مختلط) تعریف کنیم، آنگاه تحت هر اسکالر از آن میدان جابجایی خواهد بود:

{\displaystyle \ c(\mathbf {AB} )=(c\mathbf {A} )\mathbf {B} }
{\displaystyle \ (\mathbf {A} c)\mathbf {B} =\mathbf {A} (c\mathbf {B} )}
{\displaystyle \ (\mathbf {AB} )c=\mathbf {A} (\mathbf {B} c)}

در اینجا c یک اسکالر از میدان مربوطه‌است.

ضرب اسکالر در ماتریس
--------------------

ضرب اسکالر r در یک ماتریس **A** به این صورت تعریف می‌شود:

{\displaystyle (r\mathbf {A} )\_{ij}=r\cdot a\_{ij}.\,}

برای مثال اگر:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}}

در نتیجه

{\displaystyle r\cdot \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}r\cdot a&r\cdot b\\r\cdot c&r\cdot d\end{bmatrix}}}

| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |

| * ن
* ب
* و
جبر خطی |
| --- |
| مفاهیم عمومی | 
* اسکالر (ریاضی)
* بردار
* فضای برداری
* ضرب اسکالر
* تصویر (بردار)
* اسپن و مولد
* نگاشت خطی
* Linear projection
* استقلال خطی
* ترکیب خطی
* پایه (جبر خطی)
* Column space
* Row space
* تعامد (جبر خطی)
* هسته(فضای پوچ)
* ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار
* Outer product
* فضای ضرب داخلی
* ضرب داخلی
* ترانهاده
* الگوریتم گرام اشمیت
* دستگاه معادلات خطی

 | Three dimensional Euclidean space |
| جبر برداری | 
* ضرب خارجی
* Triple product
* Seven-dimensional cross product

 |
| جبر چندخطی | 
* Geometric algebra
* Exterior algebra
* Bivector
* Multivector

 |
| ماتریس | 
* Block
* Decomposition
* ماتریس وارون
* کهاد
* ضرب ماتریس
* رتبه (جبر خطی)
* تبدیل
* قاعده کرامر
* حذف گاوسی

 |
| ساختارهای جبر مجرد | 
* Dual
* Direct sum
* Function space
* خارج‌قسمت
* زیرفضا
* ضرب تنسوری

 |
| جبر خطی عددی | 
* ممیز شناور
* متلب
* Numerical stability
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* ماتریس خلوت
* Comparison of linear algebra libraries
* Comparison of numerical analysis software

 |
| 
* رده:جبر خطی
* Outline
* Portal
* Wikibook
* Wikiversity

 |

| * ن
* ب
* و
جبر خطی عددی |
| --- |
| اصول بنیادی | 
* ممیز شناور
* پایداری عددی
* BLAS

 |
| مساله‌ها | 
* ضرب ماتریس
* تجزیه ماتریس
* دستگاه معادلات خطی
* ماتریس خلوت

 |
| سخت‌افزارها | 
* حافظه نهان سی‌پی‌یو
* تی‌ال‌بی
* Cache-oblivious algorithm
* اس‌آی‌ام‌دی
* چندپردازشی

 |
| نرم‌افزارها | 
* Specialized libraries
* General purpose software

 |