نابرابری ینسن بر روی نمودار
**نابرابری ینسن** نابرابری اساسی در مبحث توابع محدب و مقعر است. این به دلیل عمومیت این نابرابری، خود مبنای بسیاری از نابرابری‌های مهم است، به خصوص در تجزیه و تحلیل و تئوری اطلاعات. این نابرابری بنام ریاضیدان دانمارکی *یوهان لودویگ ینسن* (به دانمارکی: Johan Ludvig William Valdemar Jensen)، نامگذاری شده و در ۱۷ در ژانویه ۱۹۰۵ در یک کنفرانس مربوط به ریاضیات در دانمارک معرفی شده‌اند.
طبق فرضیه‌های دیگری این نابرابری قبل از آن توسط *اتو هولدر*، (به آلمانی: Otto Hölder) ریاضیدان آلمانی در سال ۱۸۸۹ استفاده شده.

جملات
-----

### بیان

برای یک تابع محدب {\displaystyle f\;} و برای {\displaystyle \lambda \_{i}\;} غیر منفی: {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\lambda \_{i}=1}، بنابراین:  

{\displaystyle f\left(\sum \_{i=1}^{n}\lambda \_{i}x\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}\lambda \_{i}f\left(x\_{i}\right).}
### اثبات استنتاجی

برای هر \lambda حقیقی بین ۰ و ۱ :  

{\displaystyle f(\lambda x+(1-\lambda )y)\leq \lambda f(x)+(1-\lambda )f(y)}
### اثبات ینسن

{\displaystyle f\left({\frac {x+y}{2}}\right)\leq {\frac {f(x)+f(y)}{2}}}  

{\displaystyle f\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}}{n}}\right)\leq {\frac {\sum \_{i=1}^{n}f\left(x\_{i}\right)}{n}}}  

{\displaystyle f\left({\frac {\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}x\_{i}}{\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}}}\right)\leq {\frac {\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}f\left(x\_{i}\right)}{\sum \_{i=1}^{n}k\_{i}}}}  

{\displaystyle f\left(\sum \_{i=1}^{n}\lambda \_{i}x\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}\lambda \_{i}f\left(x\_{i}\right)}

کاربردها
--------

از *نابرابری ینسن* در اثبات نابرابری‌های دیگر استفاده می‌شود. به‌طور مثال در اثبات نابرابری میانگین حسابی-هندسی و *نابرابری کی فان* (به انگلیسی: Ky Fan inequality) از این نابرابری استفاده می‌شود.

پیوند به بیرون
--------------

نابرابری ینسن، مؤسسه‌ای بین‌المللی ولفرم ریسرچ

منابع
-----

1. 1 2  Johan Ludwig William Valdemar Jensen: Sur les fonctions convexes et les inégalités entre les valeurs moyennes. In Acta Math. 30, Seite 175–193, 1906.
2. ↑  Otto Hölder: Ueber einen Mittelwerthssatz. In: Nachrichten von der Königl. Gesellschaft der Wissenschaften und der Georg-Augusts-Universität zu Göttingen. Aus dem Jahre 1889. , Nr. 1-21, Dieterichsche Verlags-Buchhandlung, Göttingen 1889, S. 38ff. (in Wikisource, abgerufen am 24. März 2012).
3. ↑  Krantz, S. G. "Jensen's Inequality." §9.1.3 in Handbook of Complex Variables. Boston, MA: Birkhäuser, p. 118, 1999.
4. ↑  «jensen's inequality». Wolfram Alpha LLC—A Wolfram Research Company. دریافت‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.
5. ↑  "23.7 ,Konvexe Funktionen und Ungleichungen" (PDF) (به آلمانی). Universität Duisburg-Essen. Retrieved 15 August 2013.
6. ↑  مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «[[[:de:Jensensche Ungleichung#cite note-Hoelder1889-2]] Jensensche Ungleichung]». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای آلمانی*، بازبینی‌شده در ۱۵ اوت ۲۰۱۳.

* درگاه ریاضیات

| * ن
* ب
* و
آنالیز محدب و آنالیز تغییرات |
| --- |
| موضوعات (فهرست) | 
* Choquet theory
* بهینه‌سازی محدب
* دوگانگی (بهینه‌سازی)
* ضرایب لاگرانژ
* Legendre transformation
* Locally convex topological vector space
* سادک

 |
| نگاشت‌ها | 
* تابع مزدوج محدب
* تابع مقعر
* (Closed
* K-
* Logarithmically
* Proper
* Pseudo-
* تابع شبه‌محدب) تابع محدب
* Invex function
* Legendre transformation
* تابع نیم‌پیوسته
* Subderivative

 |
| نتایج اصلی (فهرست) | 
* Fenchel–Moreau theorem
* تابع مزدوج محدب
* نابرابری ینسن
* Hermite–Hadamard inequality
* Krein–Milman theorem
* Mazur's lemma
* Robinson-Ursescu
* Simons
* Ursescu

 |
| مجموعه‌ها | 
* پوش محدب
* (Pseudo-) مجموعه محدب
* Effective domain
* اپی گراف
* Hypograph
* Zonotope

 |
| سری‌ها | 
* Convex series related ((cs, lcs)-closed, (cs, bcs)-complete, (lower) ideally convex, (H*x*), and (Hw*x*))

 |