**نظریه کُدینگ** یا **کُدگذاری** (با رمزنگاری یا رمزگذاری اشتباه نشود) به بررسی روش‌های کدگذاری اطلاعات می‌پردازد و یکی از موضوعات مهم در بخش‌های مختلف علوم (مثل نظریه اطلاعات، مهندسی برق، ریاضیات و علوم رایانه، انتقال داده) است؛ به این ترتیب که می‌توان با استفاده از آن روش‌های مطمئن برای انتقال داده‌ها طراحی کرد به طوری که تکرارهای بی‌مورد، حذف و خطاها کاهش یابد.

در علوم مهندسی مانند مهندسی برق و رایانه، در ترجمهٔ واژهٔ «Code» به فارسی باید دقت و احتیاط کرد، و از ترجمهٔ آن به واژه «رمز» خودداری و به همان «کُد» بسنده کرد. چرا که واژهٔ «رمز» در این علوم، معنیِ کاملاً متفاوتی با آنچه که منظورمان از به کاربردن «Code» است، دارد. در غیر این صورت، این کار باعث ابهام در مفاهیمی مانند Coding، Encoding، و Decoding که در مهندسی برق بسیار رایجند می‌شود. مثلاً، دو واژهٔ «کدگذاری» و «رمزگذاری» به دو مفهوم کاملاً متفاوت و نامرتبط اشاره می‌کنند؛ کدگذاری اطلاعات (Data Encoding) با رمزگذاری اطلاعات (Data Encryption)، یکی نیست و هدف آن‌ها دو چیز کاملاً متفاوت است. و یا در علوم رایانه، کدنویسی (Coding)، همان برنامه‌نویسی (Programming) است، و هیچ ربطی به رمزنویسی (Cryptography) ندارد. 

نظریه کدگذاری (Coding Theory) در سال ۱۹۴۸ توسط ریچارد هَمینگ پایه‌ریزی شد. وی پی برد هنگامی که رایانه از یک عمل رایج نسخه‌برداری می‌کند و با عمل دیگری شروع به کار می‌کند، هرگز نمی‌تواند به حالت اولیه بازگردد. نظریه کدگذاری مثال خوبی از کاربرد ریاضی محض در حل مسائل عملی است. اگر چه برخی از کدهای ساده دارای ساختاری هستند که نیاز زیادی به ریاضیات ندارند، با این حال ویژگی کدها از کشفیات ریاضیات است.

دسته‌بندی
---------

سه دسته کدگذاری وجود دارد:

1. کدگذاری منبع (فشرده‌سازی داده‌ها)
2. کدگذاری کانال (تشخیص و تصحیح خطای انتقال داده ها)
3. کدگذاری توأم منبع و کانال

در مورد اول، کدگذاری منبع، برای انتقال مؤثرتر داده‌ها، آن‌ها را فشرده کند. مثال عملی روزمره آن در اینترنت، وقتی از فُرمَت فایل zip برای انتقال فایل‌های مختلف استفاده می‌کنیم، است. چرا که حجم فایل مورد انتقال را کم کرده و ترافیک شبکه را کاهش می‌دهد. مورد دوم، کدگذاری کانال، بیت‌هایی را به داده‌های مورد انتقال اضافه می‌کند تا آن‌ها را در برابر اختلالات مسیر انتقال (نویز، تداخل) سالم به مقصد برساند. کاربر عادی ممکن است از کاربردهای معمول این نوع کدگذاری بی‌خبر باشد. برای نمونه یک CD معمولی از روش کدگذاری Reed-Solomon برای تصحیح خطای ناشی از خراش و غبار استفاده می‌کند. در این مثال مسیر انتقال داده خود CD خواهد بود. گوشی‌های همراه نیز از نوعی کدگذاری برای تصحیح خطای ناشی از محو شدگی (Fading) سیگنال و نویز، بهره می‌برد.

کدگذاری منبع (Source Coding)
----------------------------

به‌طور ساده هدف این کار این است که داده‌های منبع را گرفته و آن را فشرده کند.

اصل کدگذاری منبع
----------------

اِنتروپی یا آنتروپیِ (Entropy) منبع اطلاعات، بیانگر میزان اطلاعات آن منبع است. اساساً روش‌های کدگذاری منبع تکرارهای بی‌مورد را کم می‌کنند تا با بیت‌های کمتر، اطلاعات بیشتری را منتقل کنند. فشرده‌سازی داده‌ها، متوسط طول پیام‌های ارسالی را بر اساس یک مدل احتمالاتی به نام entropy encoding کاهش دهد. برنامه‌های فشرده ساز از تکنیک‌های متعددی استفاده میکنند تا به حد آنتروپی منبع یعنی (C(x) ≥ H(x برسند؛ که در آن (H(x انتروپی منبع و (C(x انتروپی فایل پس از پردازش است. در موارد خاص هیچ روش کدگذاری برای منبع، بهتر از خود کد منبع نیست.

کدگذاری کانال (Channel Coding)
------------------------------

هدف این کدگذاری یافتن کدهایی است که سریع تر و بی خطاتر منتقل می‌شوند، شامل تعداد زیادی کدواژه (Keyword) هستند و می‌توانند خطاها را تصحیح کنند یا اینکه حداقل تعداد زیادی از خطاها را تشخیص دهند. ویژگی‌های هر کد بستگی به این دارد که در انتقال آن کد احتمال وقوع چه خطاهایی وجود دارد، برای نمونه در CDهای معمولی خطاهای رایج، خراش‌ها و گرد و غبار هستند. پس داده‌ها روی سطح دیسک توزیع می‌شوند. یک مثال ساده، کدگذاریِ تکرار (Repetition Code) است. در این روش هر بیت را سه بار می‌فرستیم. در مقصد، دریافت‌کننده بیت‌ها را بیت به بیت چک می‌کند و آن بیت را که در سه بار تکرار، فراوانی بیشتری دارد به عنوان بیت صحیح برمی‌گزیند. البته در عمل، روش‌های پیچیده تری برای کدگذاری کانال استفاده می‌شود.

در کدگذاری برای مقابله با خطا بیت های بیشتری را برای ارسال پیام استفاده می کنیم. در صورتی که داده ها قبل از کدگذاری ارسال شوند، احتمال تشخیص یا تصحیح خطا وجود ندارد و به تکرار ارسال پیام نیاز داریم. بنابراین کدگذاری موجب مقاوم تر شدن داده ها نسبت به خرابی و خطا شده و ارسال های تکراری را نیز کاهش می‌دهد. روش های کدگذاری نسبت به روش ارسال های تکراری، داری سرعت بیشتری در انتقال پیام هستند. برای هر روش کدگذاری یک روش کدگشایی مناسب نیز نیاز است. همچنین برای طراحی یک کد مناسب باید به مشخصاتی مانند طول کد، کمترین فاصله بردارهای کد و توانایی کد در تشخیص و تصحیح خطا توجه شود‌. کدهای تصحیح کننده خطا برای تصحیح خطاهای یک پیام هنگام عبور از یک کانال دارای نویز استفاده می شوند. به عنوان مثال ما میخواهیم یک داده باینری را که شامل رشته ای از صفر و یک است از درون یک کانال دارای نویز ارسال کنیم به نحوی که در پیام تغییرات ناخواسته ای ایجاد نشود و به صورت صحیح و قابل اعتماد منتقل شود. کانال در این مثال می تواند یک خط تلفن یا یک لینک رادیویی با فرکانس بالا یا یک لینک ارتباط ماهواره ای باشد. و نویز هم میتواند خطای انسانی، نور، نویز حرارتی یا خطا در وسایل باشد. این‌ها میتوانند باعث رخ دادن خطا در انتقال اطلاعات بشوند و سبب شود گیرنده پیام متفاوت با آنچه فرستنده ارسال کرده دریافت کند. هدف از کد تصحیح خطا، ایجاد افزونگی در کدگذاری داده است تا پیام اصلی بتواند بازیابی شود چنانچه خطاهای زیادی رخ نداده باشد.

کدگذاری جبری کانال (Algebraic Coding Theory)
--------------------------------------------

**نظریهٔ کدگذاری جبری** زیر مجموعه‌ای از نظریهٔ کدگذاری است که در آن ویژگی کدها با عبارات جبری بیان می‌شود. نظریهٔ کدگذاری جبری اساساً به دو دسته تقسیم می‌شود:

1. کدهایی خطی بلوکی (Linear Block Codes)
2. کدهای کانوُلوشِنال (Convolutional)

این نظریه سه ویژگی زیر از کدها را بررسی می‌کند:

1. طول کدواژه ها
2. تعداد کدواژه ها
3. حداقل فاصلهٔ میان دو کدواژه، مثلاً با استفاده از روش فاصلهٔ همینگ (Hamming Distance)

افزایش حداقل فاصله میان دو کدواژه، قابلیت تشخیص و تصحیح خطا را افزایش می‌دهد.

کاربردهای دیگری از کدها
-----------------------

غیر از آنچه که در بالا به آن اشاره شد، طراحی کد برای همزمان سازی (Synchronization)، از دیگر کاربردهای کدهاست. یک کد می‌تواند طوری طراحی شود که به راحتی جابجایی فاز (موج) را تشخیص دهد و تصحیح کند، و اینکه از یک مسیر چند سیگنال را بفرستد.

دیگر کاربرد کدها که در برخی از گوشی‌های همراه استفاده می‌شود، دسترسی چندگانه تقسیم کُدی (Code Division Multiple Access, CDMA) است.

جستارهای وابسته
---------------

* کدگذاری عصبی

منابع
-----

* Vera Pless (1982)، *Introduction to the Theory of Error-Correcting Codes*, John Wiley & Sons, Inc. , ISBN 0-471-08684-3.
* Elwyn R. Berlekamp (1984)، *Algebraic Coding Theory*, Aegean Park Press (revised edition), ISBN 0-89412-063-8، ISBN 978-0-89412-063-3.
* Randy Yates, *A Coding Theory Tutorial*.

| * ن
* ب
* و
ریاضیات صنعتی و کاربردی |
| --- |
| ریاضیات محاسباتی | 
* الگوریتمs
	+ الگوریتم
	+ تحلیل الگوریتم‌ها
* نظریه اتوماتا
* نظریه کدگذاری
* منطق در علوم کامپیوتر
* رمزنگاری
* نظریه اطلاعات

 |
| ریاضیات گسسته | 
* جبر رایانه‌ای
* نظریه اعداد رایانشی
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* هندسه گسسته

 |
| آنالیز ریاضی | 
* نظریه تقریب
* Clifford analysis
	+ Clifford algebra
* معادله دیفرانسیل
	+ Complex differential equations
	+ معادله دیفرانسیل معمولی
	+ معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی
	+ معادله دیفرانسیل تصادفی
* هندسه دیفرانسیل
	+ Differential forms
	+ Gauge theory
	+ Geometric analysis
* سامانه پویا
	+ نظریه آشوب
	+ نظریه کنترل
* آنالیز تابعی
	+ Operator algebra
	+ نظریه عمل‌گرها
* آنالیز هارمونیک
	+ آنالیز فوریه
* Multilinear algebra
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ تانسور
	+ حساب برداری
* حساب چندمتغیره
	+ Exterior
	+ Geometric
	+ حساب تانسوری
	+ حساب برداری
* آنالیز عددی
	+ جبر خطی عددی
	+ حل عددی معادلات دیفرانسیل معمولی
	+ Numerical methods for partial differential equations
	+ Validated numerics
* حساب تغییرات

 |
| نظریه احتمالات | 
* توزیع احتمالs (متغیر تصادفیs)
* فرایند تصادفیes / حسابان تصادفی
* Path integral
* Stochastic variational calculus

 |
| ریاضی فیزیک | 
* مکانیک تحلیلی
	+ مکانیک لاگرانژی
	+ مکانیک همیلتونی
* میدان (فیزیک)
	+ نظریه میدان کلاسیک
	+ Conformal
	+ Effective
	+ نظریه پیمانه‌ای
	+ نظریه میدان‌های کوانتومی
	+ Statistical
* نظریه پتانسیل
* نظریه ریسمان
	+ Topological

|  |  |
| --- | --- |
| ساختارهای جبری | 
* Algebra of physical space
* فرمول‌بندی انتگرال مسیر
* Quantum group
* گروه بازبهنجارش
* Representation theory
* Spacetime algebra

 |

 |
| نظریه‌های تصمیم | 
* نظریه بازی
* تحقیق در عملیات
* بهینه‌سازی
* نظریه انتخاب اجتماعی
* آمار
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی

 |
| کاربردهای دیگر | 
* زیست‌شناسی ریاضیاتی و نظری
* شیمی ریاضیاتی
* روانشناسی ریاضی
* Sociology
* "The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences"

 |
| مرتبط | 
* ریاضیات

 |
| سازمان‌ها | 
* Society for Industrial and Applied Mathematics
	+ Japan Society for Industrial and Applied Mathematics
* Société de Mathématiques Appliquées et Industrielles
* International Council for Industrial and Applied Mathematics

 |
| 
* 
* درگاه:ریاضیات / outline / فهرست مفاهیم ریاضی

 |