در همهٔ موارد عملی،(الهی نسلت بسوزه ایرانی و ذاتتون روی کره زمین نماند برای دیدن زیبایی هاوشادی ها و خوبی های آینده کره زمین) زاویه بر حسب واحدهایی اندازه‌گیری می‌شود که از تقسیم زاویهٔ راست (قائم) به اجزاء برابر به دست می‌آیند. اگر تعداد این اجزا ۹۰ باشد، واحد همان واحد آشنای **درجه** است. تقسیم زاویهٔ راست به ۱۰۰ جزء برای نظام اعشاری ما مناسب‌تر است (واحد گرادیان)، ولی آن هم معرف همین شیوهٔ اندازه‌گیری است. اما در بررسی‌های نظری بهتر است برای مشخص کردنِ اندازهٔ زاویه، از شیوهٔ اساساً متفاوتی استفاده کنیم که آن را اندازهٔ رادیانی یا اندازه بر حسب **رادیان** می‌نامند.

بسیاری از فرمول‌های مهمی که شامل تابع‌های مثلثاتیِ زاویه‌ها هستند، در این نظام شکل ساده‌تری دارند تا در نظام اندازه‌گیری بر حسب درجه.

کمانی از دایره با طول برابر با شعاع دایره متناظر است با زاویهٔ ۱ رادیان. دایرهٔ کامل متناظر است با {\displaystyle 2\pi } رادیان.کمانی که اندازه آن با شعاع دایره برابر است
**رادیان** زاویه مرکزی مقابل به کمانی از دایره است که طول آن با شعاع دایره برابر است؛ یعنی زاویه مرکزیِ متناظر با محیط دایره، مساویِ {\displaystyle 2\pi } رادیان و اندازه زاویه نیم صفحه، {\displaystyle \pi } رادیان و اندازه زاویه قائمه، {\displaystyle \pi /2} رادیان است.

اندازهٔ بر حسب رادیان برای عملیات تحلیلی و نظری مناسب ولی برای استفاده‌های عملی نسبتاً نامناسب است، چون
عدد {\displaystyle \pi } گنگ است.
اگر از نقطه‌ای روی دایره شروع کرده پشت سر هم کمان‌های واحد یعنی کمان‌هایی به اندازهٔ ۱ رادیان جدا کنیم، هرگز به نقطهٔ شروع باز نخواهیم گشت. اما نظام اندازه‌گیری معمولی طوری طراحی شده که پس از ۳۶۰ بار کمان یک درجه‌ای، به نقطهٔ شروع برمی‌گردیم (یعنی یک دور به ۳۶۰ واحد صحیح تقسیم شده‌است).

علت وجود رادیان
---------------

می‌دانیم که **درجه** واحدی برای اندازه‌گیری زاویه است. یک دایرهٔ کامل برابر با ۳۶۰ درجه، نیم دایره برابر با ۱۸۰ درجه و ربع دایره برابر با ۹۰ درجه است.

اما تا به حال از خود پرسیده‌اید چرا یک دایرهٔ کامل را ۳۶۰ درجه می‌گوییم؟ علت چیست؟

واحد درجه از زمان‌های بسیار دور هم وجود داشته و در واقع نوعی قرارداد است. اینکه چرا مردمان گذشته، یک درجه را برابر با یک ۳۶۰ام دایره گرفته‌اند، معلوم نیست.

البته نظراتی دربارهٔ تاریخچهٔ آن بیان شده: برخی بر این عقیده‌اند که در گذشته، اخترشناسان گمان می‌بردند که خورشید در هر روز به اندازهٔ ۱/۳۶۰ (یک ۳۶۰ام) محیط دایره جابجا می‌شود. به همین دلیل یک درجه را بدین صورت تعریف کردند.

نظر دیگری می‌گوید که بابلی‌ها این واحد را اختراع کرده‌اند؛ واحد شمارش بابلی‌ها بر مبنای ۶۰ بوده (در حال حاضر بر مبنای ۱۰ است)؛ به همین دلیل به عدد ۳۶۰ رسیده‌اند.

همان‌طور که می‌بینید، درجه مبنای مشخصی ندارد. دانشمندان به این موضوع پی‌برده بودند. به همین دلیل سعی کردند واحدی برای زاویه بیابند که عمومی باشد؛ در نتیجه رادیان به وجود آمد. پس **رادیان** واحدی کاربردی‌تر برای اندازه‌گیری زاویه است.

معنی لغوی رادیان
----------------

**رادیان** واحد مسافت بر حسب واحد شعاع است و به نظر می‌رسد که رادیان ترکیبی از آن کلمه باشد. به بیان ساده‌تر رادیان صرفاً یک عدد مانند ۲٫۵ یا ۶۹ است و هیچ واحدی ندارد. در محاسبات، رادیان به معنی مسافت طی شده تقسیم بر شعاع دایره است؛ و می‌بینیم که وقتی طول بر طول تقسیم می‌شود هر گونه واحدی از بین می‌رود. اما وقتی از دیدگاه عملی، رادیان را بررسی می‌کنیم بهتر است تصور کنیم که رادیان مسافت طی شده روی یک دایرهٔ واحد است.

تبدیل رادیان به درجه
--------------------

هر رادیان تقریباً برابر با ۵۷ درجه است. به عبارت دیگر
هر رادیان برابر {\displaystyle {\frac {180}{\pi }}} درجه است؛ بنابراین با ضرب {\displaystyle {\frac {180}{\pi }}} در رادیان، درجه به دست می‌آید. به عبارت دیگر با ضرب زاویه بر حسب رادیان در ۱۸۰ و تقسیم آن بر عدد پی، *درجه* به دست می‌آید.

زاویه در درجه = زاویه در رادیان **.** {\displaystyle {\frac {180}{\pi }}}

به عنوان مثال:

{\displaystyle 1{\mbox{ rad}}=1\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 57.2958^{\circ }}
{\displaystyle 2.5{\mbox{ rad}}=2.5\cdot {\frac {180^{\circ }}{\pi }}\approx 143.2394^{\circ }}
و بلعکس: با ضرب {\displaystyle {\frac {\pi }{180}}} در درجه، رادیان به‌دست می‌آید:

{\displaystyle 1^{\circ }=1\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.0175{\mbox{ rad}}}
{\displaystyle 23^{\circ }=23\cdot {\frac {\pi }{180^{\circ }}}\approx 0.4014{\mbox{ rad}}}
جدول زیر تبدیل چند زاویه پرکاربرد را نمایش می‌دهد:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| **درجه** | ۰° | ۳۰° | ۴۵° | ۶۰° | ۹۰° | ۱۸۰° | ۲۷۰° | ۳۶۰° |
| **رادیان** | ۰ | {\displaystyle {\frac {\pi }{6}}} | {\displaystyle {\frac {\pi }{4}}} | {\displaystyle {\frac {\pi }{3}}} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} | {\displaystyle \pi \,} | {\displaystyle {\frac {3\pi }{2}}} | {\displaystyle 2\pi \,} |

جستارهای وابسته
---------------

* مثلثات
* گراد
* استرادیان

منابع
-----

1. ↑  «: اندازه زاویه بر حسب رادیان». *daneshnameh.roshd.ir*. بایگانی‌شده از اصلی در ۳۰ سپتامبر ۲۰۲۰. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۱۱-۱۷.
2. ↑  «مفهوم رادیان چیست؟ | علم نما». علم نما. ۲۰۱۶-۱۱-۰۷. بایگانی‌شده از اصلی در ۲۴ آوریل ۲۰۱۹. دریافت‌شده در ۲۰۱۸-۱۱-۱۷.

* Weisstein, Eric W. "Radian." From MathWorld—A Wolfram Web Resource.


| * ن
* ب
* و
دستگاه بین‌المللی یکاها |
| --- |
| یکای اصلی اس‌آی | آمپر •  شمع •  کلوین •  کیلوگرم •  متر •  مول •  ثانیه |  |
| یکای فرعی اس‌آی | بکرل •  کولن •  سلسیوس •  فاراد •  گری •  هانری •  هرتز •  ژول •  کاتال •  لومن •  لوکس •  نیوتون •  نیوتن-متر •  اهم •  پاسکال •  رادیان •  زیمنس •  سیورت •  استرادیان •  تسلا •  ولت •  وات •  وبر |
| دیگر یکاهای پذیرفته‌شده | یکای جرم اتمی •  واحد نجومی •  روز •  دسی‌بل •  درجه •  الکترون‌ولت •  هکتار •  ساعت •  لیتر •  دقیقه •  دقیقه و ثانیه قوسی •  نپر •  تن |
| جستارهای وابسته | پیشوندهای اس‌آی •  سامانه‌های اندازه‌گیری •  تبدیل یکاهای اندازه‌گیری •  بازتعریف ۲۰۱۹ |
|  رده:یکاها |

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |