در تجزیه و تحلیل ریاضی، **تابع بِسِل-کلیفورد**، که به نام فریدریش بسل و ویلیام کینگدون کلیفورد نامگذاری شده‌است، یک تابع کل از دو متغیر مختلط است می‌تواند برای نظریه توابع بسل مورد استفاده قرار بگیرد. اگر

{\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}{\displaystyle {\displaystyle \pi (x)={\frac {1}{\Pi (x)}}={\frac {1}{\Gamma (x+1)}}}}

یک تابع کل باشد که با استفاده از تابع گاما متقابل تعریف می‌شود، آنگاه تابع بِسِل-کلیفورد توسط سری پایین تعریف می‌شود:

{\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(z)=\sum \_{k=0}^{\infty }\pi (k+n){\frac {z^{k}}{k!}}}}

نسبت عبارات پشت سر هم {\displaystyle {\displaystyle {z}/{k(n+k)}}} است، که برای مقادیر n و zبا افزایش k به سمت صفر میل می‌کند. با استناد به آزمون نسبت، می‌توان نتیجه گرفت که این سری به‌طور مطلق برای تمام مقادیر n و zو به‌طور یکنواخت برای تمام مقادیر محدود {\displaystyle |z|} همگراست و ازین رو تابع بِسِل-کلیفورد یک تابع کامل از دو متغیر n و z است.

معادله دیفرانسیل تابع بسل-کلیفورد
---------------------------------

با مشتق گرفتن از تابع {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(x)}} نسبت به {\displaystyle {\displaystyle x}} به این نتیجه می‌رسیم که معادله خطی درجه دوم و همگن برای این تابع صدق می‌کند به این معنی که:

{\displaystyle xy''+(n+1)y'=y.\qquad }

این تابع، نوع تعمیم‌یافته فوق‌هندسی است و تابع بِسِل-کلیفورد در واقعی ضریبی از تابع فوق‌هندسی پوشهامر-بارنِس است، به عبارت دیگر:

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(z)=\pi (n)\ \_{0}F\_{1}(;n+1;z).}{\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(z)=\pi (n)\ \_{0}F\_{1}(;n+1;z).}}

ارتباط با توابع بسل
-------------------

تابع بسل از نوع اول را می‌توان با استفاده از تابع بسل-کلیفورد به شکل زیر تعریف کرد:

{\displaystyle J\_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}\_{n}\left(-{\frac {z^{2}}{4}}\right);}

زمانی که *n* یک عدد صحیح نیست، می‌توانیم از این معادله نتیجه بگیریم که تابع بسل، تابع کامل است. به‌طور مشابه، تابع اصلاح شده بسل از نوع اول می‌تواند به صورت زیر تعریف شود

{\displaystyle I\_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}\_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}{\displaystyle {\displaystyle I\_{n}(z)=\left({\frac {z}{2}}\right)^{n}{\mathcal {C}}\_{n}\left({\frac {z^{2}}{4}}\right).}}

البته این روش می‌تواند معکوس شود، به گونه ای که ما می‌توانیم تابع بسل-کلیفورد را با استفاده از تابع اصلاح شده بسل تعریف کنیم

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(z)=z^{-n/2}I\_{n}(2{\sqrt {z}});}

پس از آن باید نشان داده شود که {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C}}}} تابع کامل است.

رابطه بازگشتی
-------------

می‌توان با استفاده از مشتق گرفتن از حساب تابع بسل-کلیفورد نشان داد که:

{\displaystyle {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mathcal {C}}\_{n}(x)={\mathcal {C}}\_{n+1}(x).}}

و از این طریق معدله دیفرانسیل تابع را به شکل پایین بازنویسی کرد:

{\displaystyle {\displaystyle x{\mathcal {C}}\_{n+2}(x)+(n+1){\mathcal {C}}\_{n+1}(x)={\mathcal {C}}\_{n}(x),}}

با استفاده از این معادله می‌توان به یک رابطه بازگشتی برای تابع بسل-کلیفورد دست یافت:

{\displaystyle {\displaystyle {\frac {{\mathcal {C}}\_{n+1}(x)}{{\mathcal {C}}\_{n}(x)}}={\cfrac {1}{n+1+{\cfrac {x}{n+2+{\cfrac {x}{n+3+{\cfrac {x}{\ddots }}}}}}}}.}}

می‌توان نشان داد که این عبارت برای تمام حالات همگراست.

تابع مولد
---------

اگر ما سری‌های همگرای {\displaystyle \exp(t)} و {\displaystyle \exp(z/t)} را در هم ضرب کنیم، {\displaystyle \exp(t+z/t)} یک سری مطلقاً همگرا خواهد بود. اگر این سری را بسط بدهیم به معادله پایین می‌رسیم.

{\displaystyle {\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}\_{n}(z).}}{\displaystyle \exp \left(t+{\frac {z}{t}}\right)=\sum \_{n=-\infty }^{\infty }t^{n}{\mathcal {C}}\_{n}(z).}

از تابع مولد می‌توان برای بدست آوردن فرمول‌های دیگر استفاده کرد، به ویژه ما می‌توانیم از فرمول انتگرالی کوشی استفاده کنیم و {\displaystyle {\displaystyle {\mathcal {C\_{n}}}}}را برای برای عدد صحیح *n* بدست بیاوریم:

{\displaystyle {\mathcal {C}}\_{n}(z)={\frac {1}{2\pi i}}\oint \_{C}{\frac {\exp(t+z/t)}{t^{n+1}}}\,dt={\frac {1}{2\pi }}\int \_{0}^{2\pi }\exp(z\exp(-i\theta )+\exp(i\theta )-ni\theta )\,d\theta .}

منابع
-----

1. 1 2  Hobson, E. W. (1893). "On Bessel's Functions, and Relations connecting them with Hyper-Spherical and Spherical Harmonics". *Proceedings of the London Mathematical Society* (به انگلیسی). s1-25 (1): 49–75. doi:10.1112/plms/s1-25.1.49. ISSN 1460-244X.[*پیوند مرده*]
2. 1 2  Watson, G. N. (1995-08-25). *A Treatise on the Theory of Bessel Functions* (به انگلیسی). Cambridge University Press.
3. 1 2  Yaşar, Banu Yılmaz; Özarslan, Mehmet Ali (2016-04-02). "Unified Bessel, Modified Bessel, Spherical Bessel and Bessel-Clifford Functions". *arXiv:1604.05163 [math]*.
4. 1 2  Greenhill, Sir George (1919-11-01). "LI. The Bassel-Clifford Function, and its applications". *The London, Edinburgh, and Dublin Philosophical Magazine and Journal of Science*. **38** (227): 501–528. doi:10.1080/14786441108635980. ISSN 1941-5982.
5. ↑  Mainardi, Francesco (2010). *Fractional Calculus and Waves in Linear Viscoelasticity: An Introduction to Mathematical Models* (به انگلیسی). World Scientific.
6. ↑  Lian, Pan; Bao, Gejun; Bie, Hendrik De; Constales, Denis (2017-02-01). "The kernel of the generalized Clifford-Fourier transform and its generating function". *Complex Variables and Elliptic Equations*. **62** (2): 214–229. doi:10.1080/17476933.2016.1218851. ISSN 1747-6933.