**چندجمله‌ای تیلور** مقدار تقریبی یک تابع مشتق‌پذیر را در همسایگی یک نقطه به دست می‌آورد. ضرایب این چندجمله‌ای را مشتق‌های این تابع در نقطه مذکور تشکیل می‌دهند. این نظریه به نام ریاضیدان بروک تیلور نامیده شده‌است.

قضیه تیلور نخستین بار توسط تیلور در سال ۱۷۱۲ مطرح گردید. با این حال، بیان صریح و روشن از خطا بسیار بعدها توسط ژوزف لویی لاگرانژ ارائه شد. بیان جدید این نظریه در سال ۱۶۷۱ توسط جیمز گرگوری اشاره شده است.
قضیه تیلور در دوره سطح مقدماتی حساب دیفرانسیل و انتگرال آموزش داده شده است و از آن است که یکی از ابزار ابتدایی و اصلی در آنالیز ریاضی است. تعمیم قضیه تیلور در هندسه دیفرانسیل و معادلات دیفرانسیل با مشتقات جزئی استفاده می‌شود.

تابع توانی {\displaystyle y=e^{x}} (خط قرمز ممتد) و چندجمله‌ای تیلور متناظر آن از درجه ۴ حول مبدأ (خط‌چین سبز).

بیان قضیه
---------

اگر تابع f در نقطه a مشتق پذیر باشد و آنگاه f دارای یک تقریب خطی درنقطه a است. این به این معنی است که h1 وجود دارد:

{\displaystyle f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+h\_{1}(x)(x-a),\qquad \lim \_{x\to a}h\_{1}(x)=0.}
که:

{\displaystyle P\_{1}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)\ }
میزان تقریب خطا:

{\displaystyle R\_{1}(x)=f(x)-P\_{1}(x)=h\_{1}(x)(x-a).\ }
که اگر بخواهیم هرچه بیشتر به نقطه a نزدیک شویم از چندجمله‌ای درجه دوم:

{\displaystyle P\_{2}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2}}(x-a)^{2}.\,}
که میزان تقریب خطا:

{\displaystyle R\_{2}(x)=f(x)-P\_{2}(x)=h\_{2}(x)(x-a)^{2}\ }
به همین ترتیب اگر از چندجمله‌ایهای درجه بالاتر استفاده کنیم بیشتر به نقطه a نزدیک می‌شویم.

قضیه تیلور در یک نقطه حقیقی
---------------------------

تابع زیر یک تابع از درجه k از چندجمله‌ای تیلور در نقطه a است:

{\displaystyle P\_{k}(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(k)}(a)}{k!}}(x-a)^{k}}
در این صورت fوجود دارد:

{\displaystyle f(x)=p(x)+h\_{k}(x)(x-a)^{k},\quad \lim \_{x\to a}h\_{k}(x)=0,}
در این صورت برخورد مجانبی تابع خطا در نقطه a:

{\displaystyle \ R\_{k}(x)=f(x)-P\_{k}(x),}
برای عددی در این فاصله باز است.

فرمول مستقیم برای بدست آوردن میزان خطا
--------------------------------------

اگر (G(t d یک تابع پیوسته در یک فاصله بسته باشد و همواره مشتق پذیر در یک فاصله باز بین a و x باشد:

{\displaystyle R\_{k}(x)={\frac {f^{(k+1)}(\xi \_{L})}{(k+1)!}}(x-a)^{k+1}}

تخمین تابع خطا
--------------

بسیاری اوقات تخمین تابع خطا مفیدتر از ایجاد یک فرم کلی برای آن است. فرض کنید f یک تابع k+1 بار در بازه I شامل نقطه a مشتق پذیر است. حال فرض کنید مقادیر حقیقی q و Q وجود داشته باشند که:

{\displaystyle q\leq f^{(k+1)}(x)\leq Q}
آنگاه تابع خطا در نامساوی:

{\displaystyle q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}}\leq R\_{k}(x)\leq Q{\frac {(x-a)^{k+1}}{(k+1)!}},}

قضیه تیلور برای توابع یک متغیره
-------------------------------

قضیه تیلور مرتبه اول
--------------------

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U مشتق پذیر باشد، میتوان نوشت:

{\displaystyle f(x+h)=f(x)+\sum \_{i=1}^{n}{\frac {df(x)}{dx\_{i}}}(h\_{i})+R\_{1}(h,x)}

قضیه تیلور مرتبه دوم
--------------------

اگر f یک تابع با دامنه U از فضای حقیقی n بعدی به R باشد و همچنین f در نقطه دلخواه x عضو U دارای مشتقات پیوسته تا مرتبه سوم باشد، میتوان نوشت:

{\displaystyle f(x+h)=f(x)+\sum \_{i=1}^{n}{\frac {df(x+th)}{dx\_{i}}}(h\_{i})+1/2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {df^{2}(x+th)}{dx\_{i}dx\_{j}}}+R\_{2}(h,x).}

منابع
-----


* Apostol, ‎Tom (1967), *Calculus* (به انگلیسی), Jon Wiley & Sons, Inc.`{{citation}}`: نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)

* E.Marsden,‎Jerrold) (2003), (به انگلیسی), Tromba,‎Anthony, amazon `{{citation}}`: Missing or empty `|title=` (help)نگهداری یادکرد:نام‌های متعدد:فهرست نویسندگان (link)
* ویکی‌پدیا انگلیسی


| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |