الف-صفر کوچکترین کاردینال نامتناهی
در ریاضیات، **اعداد کاردینال** (به انگلیسی: Cardinal Numbers) (یا **اعداد اصلی** یا صرفاً **کاردینال‌ها**)، تعمیم اعداد طبیعی اند که جهت اندازه‌گیری کاردینالیتی (اندازه) مجموعه‌ها از آن استفاده می شود. کاردینالیتی یک مجموعه متناهی همیشه عددی طبیعی است که برابر با همان تعداد اعضای مجموعه می باشد. اعداد کاردینال *ترامتناهی* را اغلب با استفاده از حرف عبری {\displaystyle \aleph } نمایش می دهند که به دنبال آن زیرنویسی قرار داده می شود که توصیف کننده اندازه مجموعه‌های نامتناهی است.

کاردینالیتی را براساس تناظر دوسویه تعریف می کنند. دو مجموعه دارای کاردینالیتی یکسانی اند اگر و تنها اگر تناظر دوسویه ای بین اعضای آن دو مجموعه وجود داشته باشد. در حالتی که مجموعه ها متناهی باشند، کاردینال مجموعه هایی که با هم کاردینال برابری دارند برابر با همان مفهوم شهودی اندازه مجموعه است. در مواردی که مجموعه‌ها نامتناهی باشند، رفتار کاردینالیتی‌شان کمی پیچیده تر می شود. در قضیه ای بنیادی از گئورگ کانتور، نشان داده شده که ممکن است مجموعه‌های نامتناهی دارای کاردینالیتی های متفاوتی باشند، مثلاً در مورد خاص اعداد حقیقی، کاردینال این اعداد بزرگتر از کاردینال اعداد طبیعی است. همچنین ممکن است زیرمجموعه محضی از یک مجموعه نامتناهی دارای کاردینالی برابر با مجموعه اولیه باشد، در حالی که چنین حالتی در مورد مجموعه های متناهی هرگز رخ نمی دهد.

دنباله ترامتناهی از اعداد کاردینال وجود دارد:

{\displaystyle 0,1,2,3,\ldots ,n,\ldots ;\aleph \_{0},\aleph \_{1},\aleph \_{2},\ldots ,\aleph \_{\alpha },\ldots .\ }
این دنباله با اعداد حسابی شامل صفر شروع می شود (کاردینال‌های متناهی)، و سپس اعداد الف (کاردینال‌های نامتناهی از مجموعه‌های خوش ترتیب) در پی آن می آیند. اعداد الف توسط اعداد ترتیبی اندیس گذاری می شوند. تحت فرض اصل موضوع انتخاب، این دنباله ترامتناهی شامل تمام کاردینال ها می شود. اگر کسی آن اصل را رد کند، شرایط پیچیده تر خواهد شد، به گونه ای که وجود کاردینال‌های نامتناهی بیشتری غیر از الف‌ها تأیید خواهد شد.

مطالعه خود کاردینالیتی به عنوان بخشی از نظریه مجموعه‌ها مطالعه می شود. همچنین از آن به عنوان ابزاری جهت استفاده در شاخه‌های ریاضیات شامل نظریه مدل، ترکیبیات، جبر مجرد و آنالیز ریاضی مورد استفاده واقع می شود. در نظریه رسته‌ها، اعداد کاردینال تشکیل اسکلتی برای رسته مجموعه‌ها می دهند.

قوانین عدد کاردینال
-------------------

اعداد اصلی از قوانین زیر پیروی می‌کنند:

۱. هر مجموعهٔ A متناظر با یک عدد اصلی موسوم به {\displaystyle card{A}\!} است و هر عدد اصلی a متناظر با مجموعه‌ای مانند A است که {\displaystyle card{A}=a\!} .
۲. {\displaystyle card{A}=0\!} اگر و فقط اگر A تهی باشد.
۳. اگر A یک مجموعهٔ ناتهی و متناهی باشد که {\displaystyle A\sim {\big \{}1,2,3,...k{\big \}}\!} (k یک عدد طبیعی است) آنگاه {\displaystyle card{A}=k\!} .
۴. به ازای دو مجموعهٔ دلخواه A و B, {\displaystyle card{B}=card{A}\!} اگر و تنها اگر {\displaystyle A\sim B\!}
عدد اصلی هر مجموعهٔ متناهی، برابر با یک عدد طبیعی است؛ و برای مجموعه‌های نامحدود اعداد ترامتناهی می‌شود:

{\displaystyle 0,1,2,3,\cdots ,n,\cdots ;\aleph \_{0},\aleph \_{1},\aleph \_{2},\cdots ,\aleph \_{\alpha },\cdots .\!}
که هم شامل اعداد طبیعی می‌شود و هم اعداد نامتناهی که هر {\displaystyle \aleph \_{\alpha }\!} متناظر با یک مجموعه خوش ترتیب است. کوچکترین عدد نامتناهی {\displaystyle \aleph \_{0}} است که برابر اندازهٔ مجموعهٔ اعداد طبیعی است.

همچنین، عدد اصلی متناظر با مجموعهٔ غیرقابل شمارش اعداد حقیقی برابر {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\!} است، که با {\displaystyle c\!} نشان داده می‌شود. اعداد اصلی

فرض پیوستار
-----------

بر طبق فرض پیوستار هیچ عدد اصلی ما بین {\displaystyle \aleph \_{0}\!} و {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\!} موجود نیست پس داریم:

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}=\aleph \_{1}}

جستارهای وابسته
---------------

* عدد اردینال

منابع
-----

1. ↑  "Comprehensive List of Set Theory Symbols". *Math Vault* (به انگلیسی). 2020-04-11. Retrieved 2020-09-06.

* امیر هوشنگ یمینی (چهارم دی ماه ۱۳۷۹)، *مبانی ریاضیات*، مرکز نشر دانشگاه امیر کبیر، شابک ۹۶۴-۴۶۳-۰۳۴-۳ تاریخ وارد شده در `|سال=` را بررسی کنید (کمک)
* ریاضیات گسسته و کاربردهای آن (انگلیسی)

* Sudkamp, T. A. , *An Introduction to the Theory of Computer Science, Languages and Machines*, 3rd ed. , Pearson Education, Inc. , 2006. ISBN 0-321-32221-5


| * ن
* ب
* و
نظریه مجموعه‌ها |
| --- |
| نمای‌کلی | 
* مجموعه

 | Venn diagram of set intersection |
| اصول موضوع | 
* Adjunction
* اصل موضوع انتخاب
	+ اصل انتخاب شمارا
	+ dependent
	+ جهانی
* Constructibility (V=L)|
* Determinacy
* اصل موضوع گسترش
* اصل موضوع بی‌نهایت
* Limitation of size
* اصل موضوع زوج‌سازی
* اصل موضوع مجموعه توانی
* Regularity
* اصل موضوع اجتماع
* Martin's axiom
* Axiom schema
	+ اصول موضوع جایگزینی
	+ اصل موضوع تصریح

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* ضرب دکارتی
* متمم (a.k.a set difference)
* قوانین دمورگان
* اجتماع مجزا
* اشتراک
* مجموعه توانی
* تفاضل متقارن
* اجتماع

 |
| * مفاهیم
* روش‌ها
 | 
* کاردینالیتی
* عدد اصلی (بزرگ)
* کلاس
* جهان ساختی
* فرضیه پیوستار
* استدلال قطری کانتور
* عنصر
	+ زوج مرتب
	+ نوع تاپل
* Family
* Forcing
* تناظر دوسویه
* عدد ترتیبی
* Set-builder notation
* استقرای ترامتناهی
* نمودار ون

 |
| انواع مجموعه‌ها | 
* Amorphous
* مجموعه شمارا
* مجموعه تهی
* مجموعه متناهی (hereditarily)
* مجموعه‌های فازی
* مجموعه نامتناهی (Dedekind-infinite)
* مجموعه بازگشتی
* مجموعه تک‌عضوی
* زیرمجموعه
* مجموعه متعدی
* مجموعه ناشمارا
* مجموعه جهانی

 |
| نظریه‌ها | 
* نظریه مجموعه جایگزین
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه طبیعی مجموعه‌ها
* قضیه کانتور

* Zermelo
	+ General
* *مبادی ریاضیات*
	+ New Foundations
* Zermelo–Fraenkel 
	+ von Neumann–Bernays–Gödel 
		- Morse–Kelley
	+ Kripke–Platek
	+ Tarski–Grothendieck

 |
| * تناقضات
* مسئله‌ها
 | 
* پارادوکس راسل
* Suslin's problem
* پارادوکس بورالی-فورتی

 |
| نظریه‌پردازان مجموعه | 
* آبراهام فرنکل
* برتراند راسل
* ارنست تسرملو
* گئورگ کانتور
* جان فون نویمان
* کورت گودل
* پل برنایز
* پل کوهن
* ریچارد ددکیند
* Thomas Jech
* تورالف اسکولم
* ویلارد کواین

 |

| * ن
* ب
* و
دستگاه اعداد |
| --- |
| مجموعه‌های شمارا | 
* اعداد طبیعی({\displaystyle \mathbb {N} })
* اعداد صحیح({\displaystyle \mathbb {Z} })
* اعداد گویا({\displaystyle \mathbb {Q} })
* اعداد ترسیم پذیر
* اعداد جبری({\displaystyle \mathbb {A} })
* دوره (نظریه اعداد)
* Computable number
* Definable real number
* Arithmetical numbers
* Gaussian integer

 |
| جبرهای ترکیبی | 
* جبر تقسیم: اعداد حقیقی({\displaystyle \mathbb {R} })
* اعداد مختلط({\displaystyle \mathbb {C} })
* چهارگان‌ها({\displaystyle \mathbb {H} })
* هشتگان‌ها({\displaystyle \mathbb {O} })

 |
| انواعدوقسمتی | 
* over {\displaystyle \mathbb {R} }:
* Split-complex number
* Split-quaternion
* Split-octonion روی {\displaystyle \mathbb {C} }:
* Bicomplex number
* Biquaternion
* Bioctonion

 |
| اعداد ابرمختلط دیگر | 
* Dual number
* Dual quaternion
* Dual-complex number
* Hyperbolic quaternion
* شانزدهگان‌ها ({\displaystyle \mathbb {S} })
* Split-biquaternion
* Multicomplex number
* Geometric algebra
	+ Algebra of physical space
	+ Spacetime algebra

 |
| انواع دیگر | 
* اعداد اصلی
* اعداد گنگ
* اعداد فازی
* اعداد ابرحقیقی
* Levi-Civita field
* Surreal numbers
* اعداد متعالی
* اعداد ترتیبی
* عدد پی-ادیک (*p*-adic solenoids)
* Supernatural numbers
* Superreal numbers

 |
| 
* عدد
* List

 |

| * ن
* ب
* و
بی‌نهایت (∞) |
| --- |
| تاریخچه | 
* Controversy over Cantor's theory

 |
| شاخه‌های ریاضیات | 
* Internal set theory
* Nonstandard analysis
* نظریه مجموعه‌ها
* Synthetic differential geometry

 |
| صوری‌سازی بی‌نهایت | 
* اعداد اصلی
* اعداد ابرحقیقی
* Infinity + 1
* اعداد ترتیبی
* Surreal numbers
* اعداد ترامتناهی
* بی‌نهایت کوچک‌ها
* Absolute Infinite

 |
| ریاضی‌دانان | 
* گئورگ کانتور
* گوتفرید لایبنیتس
* آبراهام رابینسون

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |