**عدد موتزکین** n ام**،** در ریاضیات عبارت است از تعداد روش‌های مختلف رسم وترهای غیر متقاطع بین n نقطه روی یک دایره به صورتی که هر نقطه الزاما با یک وتر تماس ندارد). اعداد موتزکین به نام تئودور موتزکین نامگذاری شده اند و کاربردهای متنوعی در هندسه، ترکیبات و نظریه اعداد دارند.

اعداد موتزکین {\displaystyle M\_{n}} برای {\displaystyle n=0,1,\dots } دنباله زیر را تشکیل می دهد:

1، 1 ، 2 ، 4 ، 9 ، 21 ، 51 ، 127 ، 323، 835، ... (دنباله A001006 در OEIS)

مثال ها
-------

شکل زیر 9 روش برای رسم وترهای غیر متقاطع بین 4 نقطه روی یک دایره را نشان می دهد (*M*4 = 9):

شکل زیر 21 روش برای رسم وترهای غیر متقاطع بین 5 نقطه روی یک دایره را نشان می دهد (*M*5 = 21):

خواص
----

اعداد موتزکین روابط بازگشتی را برآورده می کند:

{\displaystyle M\_{n}=M\_{n-1}+\sum \_{i=0}^{n-2}M\_{i}M\_{n-2-i}={\frac {2n+1}{n+2}}M\_{n-1}+{\frac {3n-3}{n+2}}M\_{n-2}.}
اعداد موتزکین را می توان بر حسب ضرایب دوجمله ای و اعداد کاتالان نیز بیان کرد:

{\displaystyle M\_{n}=\sum \_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }{\binom {n}{2k}}C\_{k},}
و برعکس، 

{\displaystyle C\_{n+1}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}M\_{k}}
که نتیجه آن به صورت زیر خواهد بود:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}C\_{k}=1+\sum \_{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}M\_{k-1}.}
تابع مولد {\displaystyle m(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }M\_{n}x^{n}} از اعداد موتزکین نتیجه زیر را برآورد می کند:

{\displaystyle x^{2}m(x)^{2}+(x-1)m(x)+1=0}
و به صورت زیر بیان می شود:

{\displaystyle m(x)={\frac {1-x-{\sqrt {1-2x-3x^{2}}}}{2x^{2}}}.}
یک نمایش انتگرالی از اعداد موتزکین به صورت زیر است:

{\displaystyle M\_{n}={\frac {2}{\pi }}\int \_{0}^{\pi }\sin(x)^{2}(2\cos(x)+1)^{n}dx} .
آنها رفتار مجانبی نیز دارند:

{\displaystyle M\_{n}\sim {\frac {1}{2{\sqrt {\pi }}}}\left({\frac {3}{n}}\right)^{3/2}3^{n},~n\to \infty } .
عدد **اول موتزکین** یک عدد موتزکین است که جزء اول است. از سال 2019، فقط چهار عدد اول از این قبیل شناخته شده است:

2, 127, 15511, 953467954114363 (دنباله A092832 در OEIS)

تفاسیر ترکیبی
-------------

عدد موتزکین برای n نیز تعداد دنباله های اعداد صحیح مثبت به طول *n* − 1 است که در آن عناصر آغازین و انتهایی 1 یا 2 هستند و تفاوت بین هر دو عنصر متوالی −1، 0 یا 1 است. 

به طور مشابه، عدد موتزکین برای n هم تعداد دنباله های اعداد صحیح مثبت به طول *n* + 1 است که در آن عناصر آغازین و انتهایی 1 هستند و تفاوت بین هر دو عنصر متوالی −1، 0 یا 1 است.

همچنین، عدد موتزکین برای n بیانگر تعداد مسیرها در ربع سمت راست بالای یک شبکه از مختصات (0، 0) تا مختصات (n ، 0) در n مرحله است به صورتی که فقط مجاز باشد به سمت راست حرکت کرد (بالا، پایین یا مستقیم) ولی در هر مرحله فرو افتادن به زیر محور y = 0 ممنوع است.

به عنوان مثال، شکل زیر 9 مسیر معتبر موتزکین را از (0، 0) تا (4، 0) نشان می دهد:

حداقل چهارده نمود مختلف از اعداد موتزکین در شاخه های مختلف ریاضیات وجود دارد، به شکلی که (Donaghey و Shapiro 1977) در بررسی اعداد موتزکین برشمرده اند. (Guibert، Pergola و Pinzani 2001) نشان دادند که چرخه های وکسیلاری با اعداد موتزکین شمارش می‌شوند.

منابع
-----

1. ↑  Yi Wang and Zhi-Hai Zhang (2015). "Combinatorics of Generalized Motzkin Numbers" (PDF). *Journal of Integer Sequences* (18).

* Bernhart, Frank R. (1999), "Catalan, Motzkin, and Riordan numbers", *Discrete Mathematics*, **204** (1–3): 73–112, doi:10.1016/S0012-365X(99)00054-0
* Donaghey, R.; Shapiro, L. W. (1977), "Motzkin numbers", *Journal of Combinatorial Theory*, Series A, **23** (3): 291–301, doi:10.1016/0097-3165(77)90020-6, MR 0505544
* Guibert, O.; Pergola, E.; Pinzani, R. (2001), "Vexillary involutions are enumerated by Motzkin numbers", *Annals of Combinatorics*, **5** (2): 153–174, doi:10.1007/PL00001297, ISSN 0218-0006, MR 1904383
* Motzkin, T. S. (1948), "Relations between hypersurface cross ratios, and a combinatorial formula for partitions of a polygon, for permanent preponderance, and for non-associative products", *Bulletin of the American Mathematical Society*, **54** (4): 352–360, doi:10.1090/S0002-9904-1948-09002-4

لینک های خارجی
--------------

* Weisstein, Eric W. "Motzkin Number". *MathWorld*.