در ریاضیات، **ضرب خارجی** (به انگلیسی: Cross Product)، یا **ضرب برداری** (به انگلیسی: Vector Product)، یک عمل دوتایی (با نماد ×) بین دو بردار اقلیدسی در فضای سه‌بعدی است که نتیجهٔ آن برداری است که بر هر دو بردار اولیه عمود است.

تعریف
-----

### بیان ریاضی

برای بردار‌های یکّهٔ پایه تساوی‌های زیر برقرار اند:

روشی برای حفظ کردن ضرب خارجی {\displaystyle {\hat {i}}} و {\displaystyle {\hat {j}}} و {\displaystyle {\hat {k}}}
{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {j}}=-{\hat {j}}\times {\hat {i}}={\hat {k}}}

{\displaystyle {\hat {j}}\times {\hat {k}}=-{\hat {k}}\times {\hat {j}}={\hat {i}}}

{\displaystyle {\hat {k}}\times {\hat {i}}=-{\hat {i}}\times {\hat {k}}={\hat {j}}}

{\displaystyle {\hat {i}}\times {\hat {i}}={\vec {0}}\qquad {\hat {j}}\times {\hat {j}}={\vec {0}}\qquad {\hat {k}}\times {\hat {k}}={\vec {0}}}

از تساوی‌های فوق می‌توان فرمول ضرب خارجی را نتیجه گرفت:

اگر {\displaystyle {\vec {a}}=(a\_{x},a\_{y},a\_{z})} و {\displaystyle {\vec {b}}=(b\_{x},b\_{y},b\_{z})}:

{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=(a\_{y}b\_{z}-a\_{z}b\_{y},a\_{z}b\_{x}-a\_{x}b\_{z},a\_{x}b\_{y}-a\_{y}b\_{x})}

### بیان ماتریسی

برای حفظ‌کردن راحت‌تر ضرب خارجی می‌توان از تساوی زیر کمک گرفت:

{\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\begin{vmatrix}{\hat {i}}&{\hat {j}}&{\hat {k}}\\a\_{x}&a\_{y}&a\_{z}\\b\_{x}&b\_{y}&b\_{z}\\\end{vmatrix}}}

این دترمینان را می‌توان با روش ساروس محاسبه کرد که در نهایت به فرمول بیان ریاضی می‌رسد.

### بیان هندسی

قانون دست راستجهت بردارِ حاصل از ضرب خارجی، عمود بر هر دو بردار {\displaystyle {\vec {a}}} و {\displaystyle {\vec {b}}} است و به کمک قانون دست راست قابل تشخیص است و طول آن برابر مساحت متوازی‌الاضلاعی با اضلاع بردار‌های اوّلیّه است؛ پس اگر \theta  زاویهٔ بین دو بردار باشد:

{\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\times {\vec {b}}\right\vert =\left\vert {\vec {a}}\right\vert \left\vert {\vec {b}}\right\vert \sin \theta }

اگر بردار‌ها هم‌راستا باشند یا یکی از بردار‌ها صفر باشد، حاصل ضرب خارجی صفر خواهد شد.

خواص
----

* جابه‌جایی ندارد ولی: {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}=-{\vec {b}}\times {\vec {a}}}
* پخش‌پذیری: {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}+{\vec {c}})={\vec {a}}\times {\vec {b}}+{\vec {a}}\times {\vec {c}}}
* شرکت‌پذیری ندارد ولی از تساوی جاکوبی پیروی می‌کند: {\displaystyle {\vec {a}}\times ({\vec {b}}\times {\vec {c}})+{\vec {b}}\times ({\vec {c}}\times {\vec {a}})+{\vec {c}}\times ({\vec {a}}\times {\vec {b}})={\vec {0}}}
* ضرب در عدد: {\displaystyle (r{\vec {a}})\times {\vec {b}}={\vec {a}}\times (r{\vec {b}})=r({\vec {a}}\times {\vec {b}})}
* {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}}
* {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {b}}={\vec {0}}\Longleftrightarrow {\vec {a}}\parallel {\vec {b}}}

اتّحاد لاگرانژ
--------------

به کمک اتّحاد لاگرانژ می‌توان دریافت:

{\displaystyle \left\vert {\vec {a}}\times {\vec {b}}\right\vert ^{2}=\left\vert {\vec {a}}\right\vert ^{2}\left\vert {\vec {b}}\right\vert ^{2}-({\vec {a}}\cdot {\vec {b}})^{2}}

منابع
-----

1. ↑  "Comprehensive List of Algebra Symbols". *Math Vault* (به انگلیسی). 2020-03-25. Retrieved 2020-09-06.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8  «۱۲٫۴». *Thomas' Calculus (14th Edition)*.
3. 1 2  Weisstein, Eric W. "Cross Product". *mathworld.wolfram.com* (به انگلیسی). Retrieved 2020-09-06.
4. ↑  "Cross Product". *www.mathsisfun.com*. Retrieved 2020-09-06.
5. ↑  WS Massey (Dec 1983). "Cross products of vectors in higher dimensional Euclidean spaces". *The American Mathematical Monthly*. The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 10. **90** (10): 697–701. doi:10.2307/2323537. JSTOR 2323537.