این فهرستی از قواعد استنتاج منطقی است. این قوانین مربوط به فرمول‌های ریاضی هستند.

مقدمه
-----

**قواعد استنتاج یا** قوانین استنتاج**، نحوهٔ** تبدیل **قوانین هستند که می‌توان برای پی بردن به یک نتیجه از یک فرض برای ایجاد یک استدلال استفاده کرد.**

این مجموعه از قواعد یا قوانین را می‌توان برای به دست آوردن نتایج معتبر استفاده کرد. برای اثبات نیاز به استفاده از همهٔ قواعدِ فهرست نیست.

*در نماد زیر، از درستی عبارت اول به درستی عبارت دوم پی می‌بریم*

{\displaystyle \varphi \vdash \psi \,\!}

قواعد کلاسیک جمله‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال
----------------------------------------------

جمله‌های حساب دیفرانسیل و انتگرال همچنین به‌عنوان حساب گزاره‌ای (منطق گزاره‌ای) شناخته شده‌است.

### قوانین برای نفی

برهان آگهی خلف (یا *نفی مقدمه*)
{\displaystyle \varphi \vdash \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
برهان آگهی خلف (مربوط به قانون مستثنی میانه)
{\displaystyle \lnot \varphi \vdash \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \vdash \lnot \psi }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \,\!}
Non contradiction (یا *نفی حذف*)
{\displaystyle \varphi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
دو نفی و حذف
{\displaystyle {\underline {\lnot \lnot \varphi }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \,\!}
دو نفی مقدمه
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \lnot \varphi \,\!}
### قوانین به صورت شرطی

قضیه کسر (و یا *مشروط مقدمه*)
{\displaystyle {\underline {\varphi \vdash \psi }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
وضع مقدم (یا *مشروط حذف*)
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
نقیض انتزاع
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
### قوانین برای حروف ربط

ضمیمه (یا *رابطه مقدمه*)
{\displaystyle \varphi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \land \psi \,\!}
ساده‌سازی (یا *حذف پیوستگی*)
{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \land \psi }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
### قوانین برای disjunctions

علاوه بر این (و یا *جدایی مقدمه*)
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad \ \ }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad \ \ }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
مورد تجزیه و تحلیل (یا *اثبات از طریق موارد* یا *استدلال با موارد*)
{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi \,\!}
{\displaystyle \psi \rightarrow \chi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}\,\!}
{\displaystyle \chi \,\!}
قیاس فصلی
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
{\displaystyle \varphi \lor \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \,\!}
معضل سازنده
{\displaystyle \varphi \rightarrow \chi \,\!}
{\displaystyle \psi \rightarrow \xi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \lor \psi }}\,\!}
{\displaystyle \chi \lor \xi \,\!}
### قوانین برای دو شرطی‌ها

معرفی دو شرطی
{\displaystyle \varphi \rightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\psi \rightarrow \varphi }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
حذف دو شرطی
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\psi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \varphi \,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \varphi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \psi \,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \quad \quad }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \varphi \,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\psi \lor \varphi }}\,\!}
{\displaystyle \psi \land \varphi \,\!}
{\displaystyle \varphi \leftrightarrow \psi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\lnot \psi \lor \lnot \varphi }}\,\!}
{\displaystyle \lnot \psi \land \lnot \varphi \,\!}

قوانین کلاسیک گزاره حساب دیفرانسیل و انتگرال
--------------------------------------------

در زیر قوانین {\displaystyle \varphi (\beta /\alpha )\,\!} است دقیقاً مانند {\displaystyle \varphi \,\!} به جز داشتن این اصطلاح {\displaystyle \beta \,\!} در همه جا {\displaystyle \varphi \,\!} به متغیر آزاد {\displaystyle \alpha \,\!}است.

تعمیم جهانی (یا مقدمه جهانی)
{\displaystyle {\underline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}\,\!}
{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \,\!}
محدودیت 1: \beta  یک متغیر است که در \varphi رخ می‌دهد.

محدودیت 2: \beta  در هر فرضیه یا فرضیات ذکر نشده‌است.

نمونه جهانی (یا حذف جهانی)
{\displaystyle \forall \alpha \,\varphi \!}
{\displaystyle {\overline {\varphi {(\beta /\alpha )}}}\!}
تعمیم وجودی (یا مقدمه وجودی)
{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )}}\,\!}
{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}
نمونه وجودی (یا حذف وجودی)
{\displaystyle \exists \alpha \,\varphi \,\!}
{\displaystyle {\underline {\varphi (\beta /\alpha )\vdash \psi }}\,\!}
{\displaystyle \psi \,\!}
محدودیت 1: \beta  یک متغیر است که در {\displaystyle \varphi \,\!} رخ می‌دهد

محدودیت ۲: هیچ اتفاق یا محدود از {\displaystyle \beta \,\!} در {\displaystyle \psi \,\!}.

محدودیت 3: \beta  در هر فرضیه یا فرضیات ذکر نشده‌است.

جدول: قوانین استنتاج
--------------------

قوانین فوق را می‌توان در جدول زیر خلاصه کرد. ستون "درست نماً نشان می‌دهد که چگونه به وسیلهٔ قانون نماد تفسیر داده می‌شود.

| Rules of inference | Tautology | Name |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow q} | Modus ponens |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\neg q\\p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((\neg q\wedge (p\rightarrow q))\rightarrow \neg p} | Modus tollens |
| {\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\vee r\\\therefore {\overline {p\vee (q\vee r)}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\vee q)\vee r)\rightarrow (p\vee (q\vee r))} | Associative |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {q\wedge p}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow (q\wedge p)} | Commutative |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow p\\\therefore {\overline {p\leftrightarrow q}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow p))\rightarrow (\ p\leftrightarrow q)} | Law of biconditional propositions |
| {\displaystyle {\begin{aligned}(p\wedge q)\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow (q\rightarrow r)}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\wedge q)\rightarrow r)\rightarrow (p\rightarrow (q\rightarrow r))} | Exportation |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg q\rightarrow \neg p}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg q\rightarrow \neg p)} | Transposition or contraposition law |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\q\rightarrow r\\\therefore {\overline {p\rightarrow r}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\rightarrow q)\wedge (q\rightarrow r))\rightarrow (p\rightarrow r)} | Hypothetical syllogism |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {\neg p\vee q}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (\neg p\vee q)} | Material implication |
| {\displaystyle {\begin{aligned}(p\vee q)\wedge r\\\therefore {\overline {(p\wedge r)\vee (q\wedge r)}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\vee q)\wedge r)\rightarrow ((p\wedge r)\vee (q\wedge r))} | Distributive |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\rightarrow q\\\therefore {\overline {p\rightarrow (p\wedge q)}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\rightarrow q)\rightarrow (p\rightarrow (p\wedge q))} | Absorption |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\\\therefore {\overline {q\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\vee q)\wedge \neg p)\rightarrow q} | Disjunctive syllogism |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {p\vee q}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle p\rightarrow (p\vee q)} | Addition |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\wedge q\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\wedge q)\rightarrow p} | Simplification |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\\q\\\therefore {\overline {p\wedge q}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p)\wedge (q))\rightarrow (p\wedge q)} | Conjunction |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\\\therefore {\overline {\neg \neg p}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle p\rightarrow (\neg \neg p)} | Double negation |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\vee p\\\therefore {\overline {p\quad \quad \quad }}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle (p\vee p)\rightarrow p} | Disjunctive simplification |
| {\displaystyle {\begin{aligned}p\vee q\\\neg p\vee r\\\therefore {\overline {q\vee r}}\\\end{aligned}}} | {\displaystyle ((p\vee q)\wedge (\neg p\vee r))\rightarrow (q\vee r)} | Resolution |

همه قوانین از عملگرهای منطقی استفاده می‌کنند. یک جدول کامل از عملگرهای منطقی با جدول درستی نشان داده شده که تعریفی از همهٔ متغیرهای بولی(*p*با *q*)است:

| *p* | *q* | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| T | T | F | F | F | F | F | F | F | F | T | T | T | T | T | T | T | T |
| T | F | F | F | F | F | T | T | T | T | F | F | F | F | T | T | T | T |
| F | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T | F | F | T | T |
| F | F | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T | F | T |

که در آن T = درست و F = نادرست و ستون هستند عملگرهای منطقی: **0**false تناقض; **۱**کار نه منطقی و نه; **۲**زن صحبت nonimplication; **3**با **p**با نفی; **۴**با مواد nonimplication; **5**با **q**نفی؛ **۶**با XORهای منحصر به فرد جدایی; **7**NAND سه منطقی NAND; **8**و منطقی رابطه; **۹**با نقیض یای انحصاری با اگر و تنها اگربا منطقی biconditional; **10**با **پرسش**های طرح تابع؛ **۱۱**اگر/پس منطقی مفهوم; **۱۲**با **p**پروجکشن تابع؛ **۱۳**پس از آن/اگر صحبت مفهوم; **۱۴**یا منطقی جدایی; **۱۵**با درست است گو.

هر منطق اپراتور را می‌توان در ادعا در مورد متغیرها و عملیات نشان از قانون اساسی استنباط است. نمونه:

* ستون-۱۴ اپراتور (یا) نشان می‌دهد *علاوه بر این قانون*: زمانی که *p*=T (فرضیه انتخاب دو خط اول جدول) ما (در ستون-۱۴) که *p*∨*q*=T.
ما همچنین می‌توانید ببینید که با همان فرض یکی دیگر از نتایج معتبر هستند: ستون ۱۲, ۱۴ و ۱۵ در حال T.
* ستون-۸ اپراتور (و) نشان می‌دهد، *ساده‌سازی قانون*: زمانی که *p*∧*q*=T (خط اول جدول) ما می‌بینیم که *p*=T.
با این فرض ما نیز نتیجه‌گیری کرد که *q*=T, *p*∨*q*=T، به عنوان نشان داد توسط ستون ۹–۱۵.
* ستون-۱۱ اپراتور (اگر/پس از آن) نشان می‌دهد *Modus ponens قانون*: زمانی که *p*→*q*=T و *p*=T فقط یک خط از حقیقت در جدول () صدق این دو شرایط. در این خط *q* نیز صادق است؛ بنابراین هر زمان که p → q درست است و p درست است و q نیز باید درست باشد.

ماشین خوبی آموزش دیده و با مردم با استفاده از این نگاه در جدول رویکرد به فراموش پایه استنتاج و برای بررسی اگر دیگر استنتاج (در همان محل) می‌توان به دست آمده.

### مثال ۱

اجازه دهید ما در نظر گرفتن مفروضات زیر: "اگر باران امروز، پس از آن ما نمی‌خواهد در یک قایق رانی امروز. اگر ما در یک قایق رانی سفر امروز، پس از آن ما را بر روی یک قایق رانی سفر فردا؛ بنابراین (ریاضی نماد برای "بنابراین" است {\displaystyle \therefore }) اگر باران امروز ما در یک قایق رانی سفر فردا".
به استفاده از قواعد استنتاج در جدول بالا ما اجازه p بود که گزاره "اگر باران امروز" q بود "ما نمی‌خواهد در یک قایق رانی امروز" و اجازه دهید r "ما را در یک قایق رانی سفر فردا". سپس این استدلال این است که از فرم:

### مثال ۲

اجازه دهید ما در نظر پیچیده‌تر مجموعه‌ای از مفروضات: "آن است نه آفتابی امروز و آن را سردتر از دیروز". "ما را به شنا کردن تنها در صورتی از آن آفتابی است" "اگر ما فراموش نمی شنا و سپس ما یک کباب پز" و "اگر ما یک کباب پز، پس از آن ما خواهد بود با غروب آفتاب" منجر به نتیجه‌گیری "ما خواهد بود با غروب آفتاب است."
اثبات توسط قوانین استنتاج: اجازه بدهید p بود که گزاره "آن است که رو به آفتاب امروز" q گزاره "آن است که سردتر از دیروز" با r گزاره "ما شناً با s گزاره "ما یک کباب پز" و t گزاره "ما خواهد بود با غروب آفتاب". سپس فرضیه تبدیل شده {\displaystyle \neg p\wedge q,r\rightarrow p,\neg r\rightarrow s} و {\displaystyle s\rightarrow t}. با استفاده از شهود ما ما حدس می‌زنیم که این نتیجه ممکن است t. با استفاده از قواعد استنتاج جدول ما می‌توانیم اثبات این حدس به راحتی:

| گام | دلیل |
| --- | --- |
| 1.{\displaystyle \neg p\wedge q} | فرضیه |
| 2. \neg p | ساده‌سازی با استفاده از گام ۱ |
| 3. {\displaystyle r\rightarrow p} | فرضیه |
| 4. {\displaystyle \neg r} | Modus tollens با استفاده از مرحله ۲ و ۳ |
| 5. {\displaystyle \neg r\rightarrow s} | فرضیه |
| 6. s | Modus ponens با استفاده از مرحله ۴ و ۵ |
| 7. {\displaystyle s\rightarrow t} | فرضیه |
| 8. t | Modus ponens با استفاده از گام ۶ و ۷ |

منابع
-----

1. ↑  Kenneth H. Rosen: *Discrete Mathematics and its Applications*, Fifth Edition, p. 58.

| * ن
* ب
* و
علم منطق |
| --- |
| تاریخ | 
* + عمومی
* چینی
* یونانی
* هندی
* اسلامی

 |
| مقالات اصلی | 
* + خرد
* منطق فلسفی
* فلسفه منطق
* منطق ریاضی
* فرامنطق
* زبَر-منطق
* منطق در علوم رایانه

 |
| مفاهیم منطق | 
* 

|  |  |
| --- | --- |
| استدلالی | 
* + قیاسی
* استقرائی
* معکوس

 |
| محتواگرا | 
* + گزاره
* استنتاج
* برهان
* اعتبارمندی
* قانع‌کنندگی
* منطق ترم
* تفکر نقادانه
* مغالطه
* قیاس
* نظریهٔ برهان‌آوری

 |
| ریاضی | 
* + عبارت
* عبارت خوش‌ساخت
* مجموعه
* عنصر
* رده
* اصل موضوع
* قضیه
* برهان
* تعبیرات
* سازگاری
* درستی
* کاملیت
* تصمیم‌پذیری
* انجام‌پذیری
* استقلال
* زبان صوری
* دستگاه صوری
* دستگاه قیاسی
* نظریهٔ مجموعه
* نظریهٔ برهان
* نظریهٔ مدل
* نظریهٔ بازگشتی
* نظریهٔ انواع
* نحو
* معناشناسی
* دنباله معنایی
* دنباله نحوی

 |
| گزاره‌ای | 
* + توابع بولی
* حساب مسندات تکین
* حساب گزاره‌ای
* ادات منطقی
* جدول ارزش

 |
| محمولات | 
* + منطق دسته یکم
* سورها
* منطق دسته دوم

 |
| موجهات | 
* + تکلیفی
* شناختی
* زمانمند
* اعتقادی

 |
| غیرکلاسیک‌های دیگر | 
* محاسبه‌پذیری
* فازی
* خطی
* ربط
* نایک‌نوا

 |

 |
| مجادله‌ها | 
* + ناهماهنگی‌پذیری
* دودُرُستی
* منطق شهودگرایانه
* متناقض‌نماها
* خلاف‌آمدها
* تجربی بودن منطق

 |
| افراد اصلی | 
* ابن النفیس
* ابن تیمیه
* ابن حزم
* ابن رشد
* ابن سینا
* ارسطو
* برتراند راسل
* اسکولم
* بول
* پئانو
* پاتنم
* پانینی
* پولس ایرانی
* پیرس
* تارسکی
* تورینگ
* چرچ
* دارماکیرتی
* دیگناگه
* شهاب‌الدین یحیی سهروردی
* غزالی
* فارابی
* فخر رازی
* فرگِه
* کارناپ
* کانادا
* کانتور
* کریپکه
* کِنْدی
* کواین
* گنتزن
* گوتاما
* گودل
* لطفی زاده
* موتزی
* ناگارجونه
* هیلبرت
* وایت‌هد

 |
| فهرست‌ها | 
* + منطق‌دانان
* قواعد استنتاج
* متناقض‌نماها
* سفسطه‌ها
* عمومی
* جدول نمادها

 |
| 
* رده
* نوشتارهای ناتمام
* نوشتارهای ناتمام منطق ریاضی

 |