**قانون لگاریتم‌های تکراری،** اولین بار توسط A. Y. Khinchin (به فارسی: خین‎چین) در سال ۱۹۲۴ و بعدها، در سال ۱۹۲۹ به وسیله A. N. Kolmogorov (به فارسی: کولموگوروف) به صورت کامل‎تری بیان شد. همچنین ریشه این قانون به یک مسئله خاص در نظریه اعداد بازمی‌گردد.

مقدمه
-----

از قانون Hewitt-Savage 0-1(به فارسی: هویت سوج) می‌دانیم اگر {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}} متغیرهای تصادفی حقیقی با توزیع متقارن حول {\displaystyle 0} باشند و {\displaystyle S\_{n}=\sum \_{j=1}^{n}X\_{j}} باشد، آنگاه داریم:


−
∞
=

lim inf

n
→
∞

S

n

<

lim sup

n
→
∞

S

n

=
∞

{\displaystyle -\infty =\liminf \_{n\rightarrow \infty }S\_{n}<\limsup \_{n\rightarrow \infty }S\_{n}=\infty }

{\displaystyle -\infty =\liminf _{n\rightarrow \infty }S_{n}<\limsup _{n\rightarrow \infty }S_{n}=\infty }که منظور از {\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }S\_{n}} و {\displaystyle \liminf \_{n\rightarrow \infty }S\_{n}} به ترتیب حد سوپریمم و حد اینفیمم است.

حال اگر بخواهیم کمی دقیق‎تر عبارت بالا را توسعه دهیم، باید از قانون Hartman-Wintner (به فارسی: هارتمن وینتنر) استفاده کنیم که بیان می‌کند:


lim inf

n
→
∞


S

n

−
ϕ
(
n
)

=

lim sup

n
→
∞


S

n

ϕ
(
n
)

=
1

a
l
m
o
s
t
 
s
u
r
e
l
y

{\displaystyle \liminf \_{n\rightarrow \infty }{\frac {S\_{n}}{-\phi (n)}}=\limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {S\_{n}}{\phi (n)}}=1\qquad almost\ surely}

{\displaystyle \liminf _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{-\phi (n)}}=\limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\phi (n)}}=1\qquad almost\ surely}
و برای هر {\displaystyle S\_{n}}ای که شرایط زیر را داشته باشد:



{

E
[

X

n

]
=
0


V
a
r
[

X

n

]
=

σ

2

=
f
i
n
i
t
e



{\displaystyle {\begin{cases}E[X\_{n}]=0\\\\Var[X\_{n}]=\sigma ^{2}=finite\\\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}E[X_{n}]=0\\\\Var[X_{n}]=\sigma ^{2}=finite\\\end{cases}}}
داریم:

نقاط خط چین در شکل مربوط به عبارت{\displaystyle {\sqrt {2\log \log(n)/n}}}است و خط پر رنگ مربوط به {\displaystyle S\_{n}/n}است؛ و همچنین {\displaystyle S\_{n}}مربوط به سری {\displaystyle S\_{n}=2\sum \_{k=1}^{n}x\_{k}-n}است که در آن {\displaystyle X\_{k}}، kامین رقم اعشاری عدد \pi در سیستم دودویی است.


lim sup

n
→
∞


S

n

2

σ

2

n
log
⁡
log
⁡
(
n
)

=
1

a
l
m
o
s
t
 
s
u
r
e
l
y

{\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {S\_{n}}{\sqrt {2\sigma ^{2}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}

{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {2\sigma ^{2}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}برای درک بهتر مطالب بالا به شکل روبرو توجه کنید. سری {\displaystyle S\_{n}=2\sum \_{k=1}^{n}x\_{k}-n} را در نظر بگیرید که در آن {\displaystyle X\_{k}}، k امین رقم اعشاری عدد \pi در سیستم دودویی است. دو نمودار {\displaystyle {\sqrt {2\log \log(n)/n}}}(نقطه چین) و {\displaystyle S\_{n}/n} (خط پررنگ) رسم شده‌است و به وضوح می‌توان دید که وقتی {\displaystyle n\longrightarrow \infty } این دو نمودار به هم همگرا می‌شوند.

مثال
----

فرض کنید با دوستتان سنگ، کاغذ، قیچی بازی می‌کنید به طوری که شما به احتمال ۱/۳ برنده می‌شوید، به احتمال ۱/۳ بازنده‌اید و به احتمال ۱/۳ کسی برنده نمی‌شود. اگر برنده شوید ۱ ریال دریافت می‌کنید، اگر بازنده شوید ۱ ریال به دوستتان می‌دهید و اگر کسی برنده نشود هیچ اتفاقی نمی‌افتد.

متغیر تصادفی {\displaystyle X\_{n}} را مقدار پولی در نظر بگیرید که در مرحله nام بازی باید بپردازید به این ترتیب برای متغیر تصادفی مقادیر زیر را داریم:


X

n

=
{
−
1
,
0
,
1
}

{\displaystyle X\_{n}=\{-1,0,1\}}

{\displaystyle X_{n}=\{-1,0,1\}}که احتمال رویدادن هر کدام ۱/۳ است.

حال اگر {\displaystyle S\_{n}} را به صورت زیر تعریف کنیم:


S

n

=

X

1

+

X

2

+
.
.
.
+

X

n

=

∑

j
=
1

n

X

j

{\displaystyle S\_{n}=X\_{1}+X\_{2}+...+X\_{n}=\sum \_{j=1}^{n}X\_{j}}

{\displaystyle S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X_{n}=\sum _{j=1}^{n}X_{j}}مقدار {\displaystyle S\_{n}} بیانگر مقدار کل پرداختی ما تا مرحله nام خواهد بود. ما علاقه‌مند به رفتار {\displaystyle S\_{n}}در طولانی مدت هستیم.

برای ابن مثال خاص که صحبت شد می‌توان به سادگی نشان داد که:



{

E
[

X

n

]
=
∑

X

n

P
(

X

n

)
=
0




V
a
r
[

X

n

]
=
E
[

X

n

2

]
−
(
E
[

X

n

]

)

2

=

σ

2

=

2
3




{\displaystyle {\begin{cases}E[X\_{n}]=\sum X\_{n}P(X\_{n})=0\\\\\\Var[X\_{n}]=E[X\_{n}^{2}]-(E[X\_{n}])^{2}=\sigma ^{2}={\frac {2}{3}}\\\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}E[X_{n}]=\sum X_{n}P(X_{n})=0\\\\\\Var[X_{n}]=E[X_{n}^{2}]-(E[X_{n}])^{2}=\sigma ^{2}={\frac {2}{3}}\\\end{cases}}}
و با جاگذاری مقادیر بالا داریم:


lim sup

n
→
∞


S

n


4
3

n
log
⁡
log
⁡
(
n
)

=
1

a
l
m
o
s
t
 
s
u
r
e
l
y

{\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {S\_{n}}{\sqrt {{\frac {4}{3}}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}

{\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {S_{n}}{\sqrt {{\frac {4}{3}}n\log \log(n)}}}=1\qquad almost\ surely}

جستارهای وابسته
---------------

* قانون اعداد بزرگ
* قضیه حد مرکزی

منابع
-----

1. ↑  Khintchine, Aleksandr (1924). "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung". *Fundamenta Mathematicae*. **6**: 9–20. doi:10.4064/fm-6-1-9-20. ISSN 0016-2736.
2. ↑  Kolmogoroff, A. (1929-12). "�ber das Gesetz des iterierten Logarithmus". *Mathematische Annalen*. **101** (1): 126–135. doi:10.1007/bf01454828. ISSN 0025-5831. `{{cite journal}}`: Check date values in: `|date=` (help); replacement character in `|title=` at position 1 (help)
3. ↑  W. FELLER (فوریه ۲۷, ۱۹۴۳). *THE GENERAL FORM OF THE SO-CALLED LAW OF THE ITERATED LOGARITHM*. صص. . کاراکتر line feed character در `|عنوان=` در موقعیت 34 (کمک)
4. ↑  Breiman، Leo (1992-01). *Probability*. Society for Industrial and Applied Mathematics. شابک ۹۷۸۰۸۹۸۷۱۲۹۶۴. تاریخ وارد شده در `|تاریخ=` را بررسی کنید (کمک)
5. ↑  "Law of the iterated logarithm". *Wikipedia* (به انگلیسی). 2018-03-28.