**تغییر متغیر اویلر** یک روش برای یافتن حاصل انتگرال‌های به فرم زیر است:

{\displaystyle }
که در آن {\displaystyle } یک تابع گویا از {\displaystyle } و {\displaystyle } است. در چنین مواردی انتگرال را می‌توان با تغییر متغیر اویلر به دست آورد.

اولین تغییر متغیر اویلر
-----------------------

اولین قانون تغییر متغیر اویلر هنگامی استفاده می‌شود که {\displaystyle a>0}. در این تغییر متغیر از طریق برابری {\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=\pm x{\sqrt {a}}+t} به دست می‌آید: {\displaystyle x={\frac {c-t^{2}}{\pm 2t{\sqrt {a}}-b}}} و {\displaystyle \mathrm {d} x} هم همچون x بر حسب t قابل بیان است.

در این تغییر متغیر انتخاب علامت مثبت یا منفی می‌تواند انتخاب شود.

دومین تغییر متغیر اویلر
-----------------------

اگر {\displaystyle c>0} باشد ما چنین برابری‌ای را حل می‌کنیم: {\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {ax^{2}+bx+c}}=xt\pm {\sqrt {c}}.\end{aligned}}}
و x چنین به دست خواهد آمد: {\displaystyle x={\frac {\pm 2t{\sqrt {c}}-b}{a-t^{2}}}.}
مشابه مورد بالا dx نیز برحسب t به دست خواهد آمد.

سومین تغییر متغیر اویلر
-----------------------

اگر چندجمله‌ای {\displaystyle ax^{2}+bx+c} دارای ریشه های حقیقی \alpha  و \beta  باشد می‌توان با معادله‌ی زیر، x و dx را بر حسب t به دست آورد.
{\displaystyle {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}={\sqrt {a(x-\alpha )(x-\beta )}}=(x-\alpha )t}
که نتیجه خواهد داد:
{\displaystyle x={\frac {a\beta -\alpha t^{2}}{a-t^{2}}}}

مثال‌ها
-------

### نمونه‌هایی برای اولین تغییر متغیر اویلر

#### یک

در انتگرال {\displaystyle \int \!{\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}} ما می توانیم با استفاده از اولین تغییر متغیر و برابری {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-x+t} حاصل زیر را داشته باشیم:

{\displaystyle x={\frac {t^{2}-c}{2t}}\quad \quad \mathrm {d} x={\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}\,\mathrm {d} t}
{\displaystyle {\sqrt {x^{2}+c}}=-{\frac {t^{2}-c}{2t}}+t={\frac {t^{2}+c}{2t}}}
بر اساس این چنین چیزی به دست خواهد آمد:

{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+c}}}=\int {\frac {\frac {t^{2}+c}{2t^{2}}}{\frac {t^{2}+c}{2t}}}\,\mathrm {d} t}
{\displaystyle =\int \!{\frac {\mathrm {d} t}{t}}=\ln |t|+C=\ln |x+{\sqrt {x^{2}+c}}|+C}
به ازای {\displaystyle c=\pm 1}، چنین فرمول‌هایی به دست می‌آید.

{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}+1}}}={\mbox{arsinh}}(x)+C}
{\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} x}{\sqrt {x^{2}-1}}}={\mbox{arcosh}}(x)+C\quad (x>1)}
#### دو

برای پیدا کردن پاسخ  {\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}} طبق اولین جایگزینی اویلر خواهیم داشت: {\displaystyle {\sqrt {x^{2}+4x-4}}={\sqrt {1}}x+t=x+t} و با به توان دو رساندن دو طرف معادله خواهیم داشت:{\displaystyle x^{2}+4x-4=x^{2}+2xt+t^{2}} ؛

{\displaystyle x^{2}}ها حذف خواهند شد و در پایان x برابر با {\displaystyle x={\frac {t^{2}+4}{4-2t}}} خواهد شد.dx را با مشتق گرفتن از دو سمت معادله‌ی فوق به دست آورده و با جایگزین کردن مقادیر پاسخ انتگرال را به دست می‌آوریم:

{\displaystyle dx={\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt}{\displaystyle \int {\frac {dx}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=\int {\frac {{\frac {-2t^{2}+8t+8}{(4-2t)^{2}}}dt}{({\frac {t^{2}+4}{4-2t}})({\frac {-t^{2}+4t+4}{4-2t}})}}=2\int {\frac {dt}{t^{2}+4}}=tan^{-1}(t/2)+C} است و {\displaystyle t={\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x} پس{\displaystyle \int {\frac {1}{x{\sqrt {x^{2}+4x-4}}}}=tan^{-1}({\frac {{\sqrt {x^{2}+4x-4}}-x}{2}})+C}

منابع
-----

1. ↑  N. Piskunov, *Diferentsiaal- ja integraalarvutus körgematele tehnilistele öppeasutustele. Viies, taiendatud trukk. Kirjastus Valgus*, Tallinn (1965). Note: Euler substitutions can be found in most Russian calculus textbooks.

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

| * ن
* ب
* و
انتگرال ها |
| --- |
| انواع انتگرال | 
* انتگرال ریمان
* انتگرال لبگ
* Burkill integral
* Bochner integral
* Daniell integral
* Darboux integral
* Henstock–Kurzweil integral
* Haar integral
* Hellinger integral
* Khinchin integral
* Kolmogorov integral
* Lebesgue–Stieltjes integral
* Pettis integral
* Pfeffer integral
* انتگرال ریمان–استیلتیس
* Regulated integral

 |
| روش‌های انتگرال‌گیری | 
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Substitution
* Inverse functions
* Changing order
* جانشینی مثلثاتی
* تغییر متغیر اویلر
* Weierstrass substitution
* Partial fractions
* Reduction formulas
* Parametric derivatives
* Euler's formula
* Differentiation under the integral sign
* انتگرال‌گیری کانتور
* انتگرال عددی

 |
| انتگرال‌های ناسره | 
* انتگرال گاوسی
* انتگرال دیریکله
* Fermi–Dirac integral
	+ complete
	+ incomplete
* پلی‌لگاریتم
* Frullani integral
* Common integrals in quantum field theory

 |
| حسابان تصادفی | 
* حساب ایتو
* Russo–Vallois integral
* Stratonovich integral
* Skorokhod integral

 |