در ریاضیات، **ماتریس هادامارد** (به انگلیسی: Hadamard matrix) یک ماتریس مربعی است که همهٔ درایه‌هایش +۱یا −۱ هستند ردیف‌ها از دو طرف متعامد هستند به این معناست که هر دو ردیف متفاوت در یک ماتریس هادامارد بردار عمودی هستند این گونه ماتریس‌ها اکثراً به‌طور مستقیم برای کد تصحیح خطا با استفاده از کد هادامارد و همچنین توسط امارگران برای تخمین واریانس استفاده می‌شود

ویژگی‌ها
--------

ماتریس هادامارد دارای درایه‌های ۱ و -۱ می‌باشد و
فرم یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ n به صورت زیر بیان می‌شود:{\displaystyle H^{\mathrm {T} }H=nI\_{n}\ }
که *In* ماتریس همانی *n* × *n* می‌باشد بنابراین {\displaystyle \det H=\pm n^{n/2}.} می‌باشد. فرض کنید که M یک ماتریس مرکب از مرتبهٔ n باشد که همهٔ درایه‌هایش کراندار|*Mij*| ≤۱ برای هر *i*, *j* بین ۰وn.
بنابراین دترمینان هادامارد بیان می‌کند:

{\displaystyle |\operatorname {det} (M)|\leq n^{n/2}.}
مرتبهٔ یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ ۱و۲یا مضربی از ۴ می‌باشد

ساختار sylvester
----------------

مثالهایی از ماتریس هادامارد اولین بار توسط جیم جوزف سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ساخته شد. اگر ماتریس هاداماردH از مرتبهٔ n باشد آنگاه به صورت:{\displaystyle {\begin{bmatrix}H&H\\H&-H\end{bmatrix}}} جزءبندی شده‌است یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ 2n است این کار می‌تواند به صورت تکرای انجام و منجر به دنباله‌ای از ماتریس‌های زیر که ماتریس‌های والش نامیده می‌شوند.

{\displaystyle H\_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},}
{\displaystyle H\_{2}={\begin{bmatrix}1&1\\1&-1\end{bmatrix}},}
and

{\displaystyle H\_{2^{k}}={\begin{bmatrix}H\_{2^{k-1}}&H\_{2^{k-1}}\\H\_{2^{k-1}}&-H\_{2^{k-1}}\end{bmatrix}}=H\_{2}\otimes H\_{2^{k-1}},}
برای {\displaystyle 2\leq k\in N} که {\displaystyle \otimes } ضرب کرونکر(kroncker product) می‌باشد.

سیلوستر ماتریس‌های هادامارد را از مرتبهٔ ۲*k* که k هر عدد صحیح نامنفی، ارائه کرد.

ماتریس‌های سیلوستر چند ویژگی خاص دارند این ماتریس‌ها متقارن و بی اثر اند مقادیر در اولین ستون واولین ردیف همگی مثبت هستند مقادیر در دیگر ستون‌ها و ردیف‌ها به صورت هموار به مثبت و منفی تقسیم می‌شوند.

ساختار تناوبی
-------------

اگر مقادیر ماتریس هادامارد را با استفاده از گروه هم‌ریختی با {\displaystyle \{1,-1,\times \}\mapsto \{0,1,\oplus \}} متناظر کنیم می‌توانیم ساختار تناوبی ماتریس هادامارد را توصیف کنیم ابتدا ماتریس {\displaystyle F\_{n}} را {\displaystyle n\times 2^{n}}در نظر می‌گیریم که ستون‌هایش اعداد*n* بیتی به ترتیب صعودی مرتب شدند {\displaystyle F\_{n}} را می‌توان به صورت بازگشتی تعریف کنیم با استقرا:{\displaystyle F\_{1}={\begin{bmatrix}0&1\end{bmatrix}}}

{\displaystyle F\_{n}={\begin{bmatrix}0\_{1\times 2^{n-1}}&1\_{1\times 2^{n-1}}\\F\_{n-1}&F\_{n-1}\end{bmatrix}}.}
می‌توان با استقرا نشان داد که تصویر ماتریس هادامارد تحت هم ریختی بالا به صورت:{\displaystyle H\_{2^{n}}=F\_{n}^{T}F\_{n}.} است.

فرضیه هادامارد
--------------

مهم‌ترین سؤالی در مورد ماترس هادامارد، موجودیت انهاست فرضیه هادامارد پیشنهاد می‌کند که یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ 4k برای هر عدد مثبت k وجود دارد ساختار سیلوستر در سال ۱۸۶۷ ماتریس‌های از مرتبهٔ ۱٬۲٬۴٬۸٬۱۶٬۳۲ و غیره ارائه کرد پس ماتریس هادامارد از مرتبهٔ ۱۲و ۲۰ توسط هادامارد (در سال ۱۸۹۳) ساخته شد بعداً در سال ۱۹۳۳، ریماند پالی نشان داد که چگونه یک ماتریس هادامارد از مرتبهٔ q+1 کهq یک عدد اول به پیمانه ی ۴ برابر ۳، ساخت او همچنین ماتریس‌هایی از مرتبه 2(q+۱) برای عدد اول q که به پیمانهٔ ۴ بربر ۱، ساخت.
فرضیهٔ هادامارد به پالی نسبت داده شد. کوچکترین مرتبه‌ای که با روش پالی و سیلوستر ساخته نمی‌شود ۹۲ است روش‌های متعدد دیگری تا به حال برای ساختن ماتریس‌های هادامارد ارائه شده در حال حاضر ۶۶۸ کوچکترین مرتبه‌ای است که هیچ ماتریس هاداماردی برایش ساخته نشده‌است.

منابع
-----

ویکی‌پدیای انگلیسی

* جبر خطّی عددی (انگلیسی)

| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |