|  |
| --- |
|  |
| ریاضیات |
| 

|  |
| --- |
| ریاضیات محض
* بنیان‌ها
* آنالیز
* جبر
* نظریه اعداد
* ترکیبیات
* هندسه
* توپولوژی
 |
| ریاضیات کاربردی
* احتمالات
* آمار
* علم محاسبه
* ریاضی فیزیک
* تحقیق در عملیات
* بهینه‌سازی
* زیست‌شناسی محاسباتی
* زبان‌شناسی رایانشی
 |

 |
| 
ناوبری |
| * فهرست‌ها
* نمای کلی
* درگاه
* شاخه‌ها
 |
| * ن
* ب
* و
 |

مفاهیم رایانه به روش سیستم عددی ریاضیات گسسته
**ریاضیات گسسته** شاخه‌ای از علم ریاضیات است که با عناصر گسسته سروکار دارد و نه عناصر پیوسته، و از جبر و حساب استفاده می‌کند. ریاضیات گسسته به‌دلیل کاربردهای زیاد در علوم رایانه در دهه‌های گذشته کاربرد زیاد یافته‌است. مفاهیم و نشانه‌های ریاضیات گسسته برای مطالعه «الگوریتم‌های رایانه» و «زبان‌های برنامه‌نویسی» مورد استفاده قرار گرفته‌است. در بعضی دانشگاه‌ها ریاضیات محدود به مفاهیمی از ریاضیات گسسته گفته می‌شود که در تجارت کاربرد داشته‌اند؛ ولی ریاضیات گسسته به مباحث تخصصی علوم رایانه می‌پردازد.

رئوس مطالب ریاضیات گسسته
------------------------

مقالهٔ اصلی: رئوس مطالب ریاضیات گسسته
* منطق – مطالعهٔ استدلال
* نظریه مجموعه‌ها – مطالعهٔ مجموعه‌ای از عناصر
* نظریه اعداد –
* ترکیبیات – مطالعهٔ شمارش
* نظریه گراف –
* هندسه دیجیتال و توپولوژی دیجیتال
* الگوریتم‌شناسی – مطالعهٔ روش‌های محاسبه
* نظریه اطلاعات –
* نظریهٔ محاسبه‌پذیری و پیچیدگی – بررسی محدودیت‌های نظری و عملی الگوریتم‌ها
* نظریه احتمالات بنیادی و زنجیره مارکوف
* جبر خطی – مطالعهٔ معادلات خطی مرتبط
* تابع –
* مجموعه جزئاً مرتب –
* احتمالات –
* برهان (ریاضی) –
* شمارش –
* رابطه دوتایی –

تاریخچه
-------

عمدهٔ پیشرفتی که از اواسط قرن ۱۷ میلادی در ریاضیات صورت گرفت، در حساب دیفرانسیل و انتگرال بود که به خواص عدد حقیقی و تابع‌های از این مجموعه بود. مطالعهٔ این مجموعه‌های ناشمارا منجر به به وجود آمدن مفاهیم پیوستگی و مشتق گردید و به این دلیل این ریاضیات را ریاضیات پیوسته می‌خوانند. اما در مقابل این گونه ریاضیات مفاهیم دیگری در ریاضیات وجود دارند که روی مجموعه‌های متناهی و شمارا قابل تعریف‌اند. به مجموعهٔ این مفاهیم ریاضی، ریاضیات گسسته گویند.
ریاضیات گسسته در سال‌های اخیر و به دلیل پیشرفت دانش کامپیوتر بیشترین رشد خود را در تاریخ ریاضیات داشته‌است.

کاربردها
--------

ریاضیات گسسته مطالعه ریاضیاتی است که به مجموعه‌ای از اعداد صحیح محدود شده‌است. اگرچه مطالعه کاربردهای ریاضیات پیوسته مانند حساب و جبر و مقابله به بسیاری از محققان آشکار است، کاربرد ریاضیات گسسته ممکن است نخست مبهم به نظر آید. با این وجود، ریاضی گسسته پایه‌های بسیاری از رشته‌های علمی در دنیای واقعی به خصوص علوم کامپیوتر را تشکیل می‌دهد. تکنیک‌های اولیه در ریاضیات گسسته را می‌توان در بسیاری از زمینه‌های مختلف استفاده شود.

### کاربرد ریاضیات گسسته در رمزنگاری

رشته رمزنگاری که مطالعه روی چگونگی ایجاد ساختارهای امنیتی و کلمه عبور برای **کامپیوتر** و دیگر سیستم‌های الکترونیکی است، به‌طور کامل در ریاضیات گسسته بنا شده‌است. این امر تا حدی به این دلیل است که کامپیوترها ا**طلاعات را به صورت گسسته** ارسال می‌کند. یک بخش مهم از ریاضیات گسسته این است که اجازه می‌دهد تا رمزنگاران به ایجاد و با شکستن کلمات عبور عددی نمایند. از آنجا که کمیت پول و مقدار اطلاعات محرمانه دخالت می‌کند، رمزنگار، اول باید یک پس زمینه محکم در نظریه اعداد داشته باشد تا اینکه بتوانند نشان دهند که آن‌ها می‌توانند کلمات عبور امن و روش‌های رمزگذاری مطمئن ارائه دهند[۲].

### پایگاه داده‌های رابطه

پایگاه‌های داده رابطه تقریباً در تمام سازمان‌هایی که باید پیگیر کارمندان، مشتریان یا منابع هستند، نقش دارد. تقریباً در هر سازمان است که باید پیگیری کارکنان، مشتریان یا منابع است. یک پایگاه داده رابطه، صفات از یک قطعه خاصی از اطلاعات را متصل می‌کند. به عنوان مثال، در یک پایگاه شامل اطلاعات مشتری، رابطه جنبه‌های مختلف این پایگاه، نام، آدرس، شماره تلفن و سایر اطلاعات مریض را اجازه می‌دهد تا با هم در ارتباط باشند و مورد استفاده قرار گیرند. این کار همه از طریق مفهوم ریاضی گسسته انجام می‌شود. پایگاه داده اجازه می‌دهد تا اطلاعات گروه‌بندی شود و مورده استفاده قرار داده شود. از آنجا که هر قطعه از اطلاعات و هر صفت متعلق به آن قطعه از اطلاعات گسسته‌است، سازماندهی این چنین اطلاعاتی در یک پایگاه داده نیاز به روش‌های ریاضیات گسسته دارد[۲].

### استفاده به عنوان تدارکات

لجستیک مطالعه سازماندهی جریان اطلاعات، کالاها و خدمات است. بدون ریاضیات گسسته، تدارکات وجود نخواهد داشت. دلیل این است که تدارکات به‌طور سنگین از نمودارها و نظریه گراف، که یک زیر رشته ریاضی گسسته‌است، استفاده می‌کند. نظریه گراف اجازه می‌دهد تا مشکلات پیچیده تدارکات به‌طور ساده به نمودارهای متشکل از گره‌ها و خطوط نمایش داده شوند. یک ریاضی‌دان می‌تواند این نمودارها را با توجه به روش نظریه گراف به منظور تعیین بهترین راه برای حمل و نقل یا حل دیگر مشکلات لجستیکی تجزیه و تحلیل کند.

### الگوریتم‌های کامپیوتری

الگوریتم قوانینی است که توسط آن یک کامپیوتر عمل می‌کند. این قوانین از طریق قوانین ریاضیات گسسته ایجاد شده‌است. یک برنامه‌نویس کامپیوتر با استفاده از ریاضیات گسسته به طراحی الگوریتم‌های کارآمد می‌پردازد. این طراحی شامل استفاده از ریاضی گسسته برای تعیین تعداد مراحلی که یک الگوریتم نیاز دارد کامل شود، که حاکی از سرعت الگوریتم است. به دلیل پیشرفت‌های حاصل در کاربردی ریاضیات گسسته در الگوریتم، کامپیوترهای امروزی بسیار سریع تر از قبل اجرا و راه اندازی می‌شوند[۲].

### کاربردهای همنهشتی

همنهشتی‌ها کاربردهای زیادی در ریاضیات گسسته ،علوم کامپیوتر، و بسیاری از رشته‌های دیگر دارد. در این مقاله سه کاربرد آن را معرفی می‌کنیم.

#### استفاده در تخصیص مکان‌های حافظه به فایل‌های کامپیوتری

فرض کنید یک شماره شناسایی مشتری به طول ده رقم است. برای بازیابی سریع فایل‌های مشتری، نمی‌خواهیم با استفاده از رکورد مشتری، یک خانهٔ حافظه اختصاص دهیم. در عوض، می‌خواهیم از یک عدد صحیح کوچکتر مربوط به شماره شناسایی استفاده کنیم. اینکار را می‌توان با تابع درهم‌ساز (hashing function) معروف است انجام داد.

#### تولید اعداد تصادفی

ساختن دنباله‌ای از اعداد تصادفی برای الگوریتم‌های تصادفی، برای شبیه‌سازی‌ها، و نیز برای بسیاری از اهداف دیگر مهم هستند. ساختن یک دنباله از اعداد تصادفی واقعی خیلی دشوار است یا احتمالاً غیرممکن.

با استفاده از همنهشتی می‌توان دنباله‌ای از اعداد شبه تصادفی تولید کرد. این اعداد تصادفی دارای این مزیت هستند که خیلی سریع ساخته می‌شوند و عیب آن در این است که در استفاده از این دنباله‌ها در کارهای مختلف باید پیشگویی‌های زیادی داشته باشیم.

#### رقم‌های کنترلی

از همنهشتی‌ها می‌توان در برای تولید رقم‌های کنترلی (check digit) شماره‌های شناسایی از انواع مختلف نظیر شماره‌های کد ورد استفاده در محصولات خرده فروشی، شماره‌های مورد استفاده در کتاب‌ها، شماره‌های بلیط هواپیمایی، و… استفاده کرد.

### تابع درهم‌ساز

در عمل، تابع‌ها ی در هم ساز مختلفی وجود دارد اما یکی از متداول‌ترین آن‌ها به شکل h(k)=k mod m است که در آن m تعداد خانه‌های حافظه موجود است.
تابع‌های در هم ساز به راحتی ارزیابی می‌شوند طوری‌که مکان فایل‌ها را به سرعت می‌توان مشخص کرد. تابع در هم ساز h(k) ای نیاز را برطرف می‌کند. برای یافتن h(k) لازم است باقی‌مانده تقسیم k بر m را به‌دست آوریم. همچینی این تابع پوشا نیز هست.

### روش همنهشتی خطی

معمول‌ترین روش استفاده شده برای تولید اعداد شبه تصادفی این روش همنهشتی خطی (liner consequential method) است.

### رقم‌های کنترلی

از همنهشتی‌ها در رشته‌های رقمی برای کنترل خطاها استفاده می‌شود. یک روش معمول برای کشف خطاها در چنین رشته‌ای، افزودن یک رقم اضافی در پایان رشته‌است. این رقم پایانی یا رقم کنترلی، با استفاده از یک تابع خاص محاسبه می‌شود. آنگاه برای تعیین اینکه این یک رشته رقمی درست است، یک کنترل انجام می‌شود تا معلوم شود این رقم پایانی دارای مقدار درست است.

جستارهای وابسته
---------------

* رئوس مطالب ریاضیات گسسته

منابع
-----

1. ↑   بایگانی‌شده در ۱۸ ژانویه ۲۰۱۶ توسط Wayback Machine.
2. ↑
3. ↑  , Logistics
4. ↑  Discrete Mathematics and its Applications- Kenneth H. Rosen

Kenneth H, Rosen (1998). "Number Theory and Cryptography". *Discrete Mathematics and its Applications*. SIGS Reference Library (به انگلیسی). William C Brown Pub; 4th edition. Retrieved 2007. `{{cite book}}`: Check date values in: `|بازبینی=` (help)


| * ن
* ب
* و
ریاضیات (شاخه‌های ریاضیات) |
| --- |
| بنیان‌ها | 
* نظریه دسته‌ها
* نظریه اطلاعات
* منطق ریاضی
* فلسفه ریاضیات
* نظریه مجموعه‌ها
* نظریه نوع‌ها

 |
| جبر | 
* مجرد
* جبر جابجایی
* مقدماتی
* نظریه گروه‌ها
* خطی
* چندخطی
* جبر جهانی
* جبر همولوژی

 |
| آنالیز | 
* حسابان
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* معادله دیفرانسیل
* آنالیز تابعی
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)

 |
| گسسته | 
* ترکیبیات
* نظریه گراف
* نظریه ترتیب
* نظریه بازی‌ها

 |
| هندسه | 
* جبری
* تحلیلی
* دیفرانسیل
* گسسته
* اقلیدسی
* متناهی

 |
| نظریه اعداد | 
* حساب
* نظریه جبری اعداد
* نظریه تحلیلی اعداد
* هندسه دیوفانتینی

 |
| توپولوژی | 
* توپولوژی عمومی
* جبری
* دیفرانسیل
* هندسی
* نظریه هموتوپی

 |
| کاربردی | 
* نظریه کنترل
* ریاضیات مهندسی
* زیست‌شناسی ریاضی و نظری
* شیمی ریاضی
* اقتصاد ریاضی
* ریاضیات مالی
* ریاضی فیزیک
* روانشناسی ریاضی
* جامعه‌شناسی ریاضی
* آمار ریاضی
* تحقیق در عملیات
* احتمالات
* آمار

 |
| محاسباتی | 
* علوم رایانه
* نظریه محاسبات
* نظریه پیچیدگی محاسباتی
* آنالیز عددی
* بهینه‌سازی
* جبر رایانه‌ای

 |
| سایر | 
* تاریخ ریاضیات
* سرگرمی‌های ریاضی
* ریاضیات و هنر
* آموزش ریاضی

 |
| 
* **رده**
* **درگاه**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |

| * ن
* ب
* و
علوم رایانه |
| --- |
| Note: This template roughly follows the 2012 ACM Computing Classification System. |
| سخت‌افزار | 
* برد مدار چاپی
* دستگاه جانبی
* مدار مجتمع
* یکپارچه‌سازی کلان‌مقیاس
* سامانه روی یک تراشه
* رایانش سبز
* خودکارسازی طراحی الکترونیکی
* شتاب‌دهنده سخت‌افزاری

 |
| سازمانسامانه‌های رایانه | 
* معماری رایانه
* سامانه نهفته
* رایانش بی‌درنگ
* اطمینان‌پذیری

 |
| شبکه رایانه‌ای | 
* معماری شبکه
* پروتکل ارتباطات
* سخت‌افزار شبکه
* برنامه‌ریز شبکه
* کارایی شبکه رایانه‌ای
* سرویس شبکه‌ای

 |
| سازمان نرم‌افزار | 
* مفسر
* میان‌افزار
* ماشین مجازی
* سیستم‌عامل
* کیفیت نرم‌افزار

 |
| نظریه زبان‌های برنامه‌نویسیو ابزار توسعه نرم‌افزار | 
* الگو برنامه‌نویسی
* زبان برنامه‌نویسی
* کامپایلر
* زبان خاص دامنه
* زبان مدل‌سازی
* چارچوب نرم‌افزاری
* محیط یکپارچه توسعه نرم‌افزار
* مدیریت پیکربندی نرم‌افزار
* کتابخانه (رایانه)
* مخزن نرم‌افزاری

 |
| توسعه نرم‌افزار | 
* فرایند توسعه نرم‌افزار
* تحلیل نیازمندی‌ها
* طراحی نرم‌افزار
* ساخت نرم‌افزار
* استقرار نرم‌افزار
* تعمیر و نگهداری نرم‌افزار
* تیم برنامه‌نویسی
* نرم‌افزار متن‌باز
* برنامه‌نویسی
* آزمون نرم‌افزار

 |
| نظریه محاسبات | 
* مدل محاسبه
* زبان صوری
* نظریه اتوماتا
* نظریه رایانش‌پذیری
* نظریه پیچیدگی محاسباتی
* منطق در علوم کامپیوتر
* معنی‌شناسی (علوم رایانه)

 |
| الگوریتمها | 
* الگوریتم
* تحلیل الگوریتم‌ها
* کارایی الگوریتمی
* الگوریتم‌های تصادفی
* هندسه محاسباتی

 |
| ریاضیاترایانه | 
* ریاضیات گسسته
* احتمالات
* آمار
* نرم‌افزار ریاضی
* نظریه اطلاعات
* آنالیز ریاضی
* آنالیز عددی

 |
| سامانه اطلاعاتی | 
* پایگاه داده
* ذخیره‌سازی داده رایانه
* سامانه اطلاعات سازمانی
* نرم‌افزار اجتماعی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* سامانه پشتیبانی تصمیم
* کنترل فرایند
* پایگاه داده چند رسانه‌ای
* داده‌کاوی
* کتابخانه دیجیتال
* سکوی رایانش
* بازاریابی اینترنتی
* وب جهان‌گستر
* بازیابی اطلاعات
* مستندسازی فنی

 |
| امنیت رایانه | 
* رمزنگاری
* روش‌های صوری
* خدمات امنیتی
* سامانه تشخیص نفوذ
* خرابی سخت‌افزار
* امنیت شبکه
* امنیت اطلاعات
* امنیت برنامه

 |
| تعامل انسان و رایانه | 
* طراحی تعاملی
* رایانش اجتماعی
* رایانش فراگیر
* مصورسازی
* دسترس‌پذیری رایانه
* واسط‌های کاربر
* رایانش پوشیدنی

 |
| همروندی | 
* رایانش همزمان
* رایانش موازی
* رایانش توزیع‌شده
* چندریسمانی
* چندپردازشی

 |
| هوش مصنوعی | 
* پردازش زبان‌های طبیعی
* بازنمود دانش
* بینایی رایانه‌ای
* برنامه‌ریزی خودکار
* بهینه‌سازی
* نظریه کنترل
* فلسفه هوش مصنوعی
* هوش مصنوعی توزیع شده
* استدلال خودکار
* زبان‌شناسی رایانشی
* یادگیری ماشین

 |
| یادگیری ماشین | 
* یادگیری با نظارت
* یادگیری بی‌نظارت
* یادگیری تقویتی
* یادگیری چند-وظیفه‌ای
* روش اعتبارسنجی متقابل

 |
| گرافیک رایانه‌ای | 
* پویانمایی رایانه‌ای
* رندرینگ (گرافیک رایانه‌ای)
* روتوش
* واحد پردازش گرافیکی
* واقعیت ترکیبی
* واقعیت مجازی
* فشرده‌سازی تصویر
* مدلسازی جامد

 |
| رایانشکاربردی | 
* تجارت الکترونیک
* نرم‌افزار سازمانی
* ریاضیات محاسباتی
* فیزیک محاسباتی
* شیمی محاسباتی
* زیست‌شناسی محاسباتی
* علوم اجتماعی محاسباتی
* مهندسی و علم محاسبه
* انفورماتیک پزشکی
* هنر دیجیتال
* نشر الکترونیک
* جنگ مجازی
* رأی‌گیری الکترونیکی
* بازی ویدئویی
* واژه‌پرداز
* تحقیق در عملیات
* فناوری آموزشی
* سامانه مدیریت اسناد

 |
| توجه: بنا بر سامانه رده‌بندی رایانش ای‌سی‌ام علم رایانه همچنین می‌تواند به موضوع‌ها یا زمینه‌های گوناگون تقسیم شود.
* **کتاب:علوم رایانه**
* **رده:علوم رایانه**
* **طرح کلی علوم رایانه**
* **ویکی‌پدیا:ویکی‌پروژه علوم رایانه**
* **ویکی‌انبار**
 |