در آمار، **مجموع مربعات باقی‌مانده** (**RSS**) یا **مجموع مربع باقیمانده‌ها** (**SSR**) یا **مجموع مربع برآوردهای خط** (**SSE**)، مجموع مربعات باقیمانده‌ها (انحرافات پیش‌بینی‌شده از روی مقادیر تجربی واقعی) است، که معیار اختلافی بین داده‌ها و مدل برآورد، مانند رگرسیون خطی است. RSS کوچک نشان‌دهنده تناسب دقیق مدل با داده‌ها است. از آن به عنوان معیار بهینه‌سازی در انتخاب پارامتر و انتخاب مدل استفاده می‌شود.

به طور کلی، جمع کل مربعات = مجموع مربعات توضیح داده‌شده + مجموع مربعات باقیمانده. برای اثبات این موضوع در مورد کمترین مربعات معمولی چند متغیره (OLS)، به تقسیم بندی در مدل کلی OLS مراجعه کنید.

متغیر تبینی
-----------

در مدلی با متغیر تبینی واحد، RSS به صورت زیر ارائه می‌شود: 

{\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum \_{i=1}^{n}(y\_{i}-f(x\_{i}))^{2}}
که در آن *y**i* به مقدار متغیر مطلوب پیش‌بینی *i*ام ، *xi* مقدار متغیر تبینی *i*ام است، و {\displaystyle f(x\_{i})} مقدار پیش بینی شده *y**i* است (که همچنین {\displaystyle {\hat {y\_{i}}}} نامیده می شود). در مدل رگرسیون خطی ساده استاندارد، {\displaystyle y\_{i}=\alpha +\beta x\_{i}+\varepsilon \_{i}\,} است، که \alpha  و \beta  ضرایب، *y* و *x* به ترتیب رگرسیون‌شده و رگرسیون‌ساز و ε اصطاح خطا است. مجموع مربعات باقیمانده مجموع مربعات {\displaystyle {\widehat {\varepsilon \,}}\_{i}} است; یعنی:

{\displaystyle \operatorname {RSS} =\sum \_{i=1}^{n}({\widehat {\varepsilon \,}}\_{i})^{2}=\sum \_{i=1}^{n}(y\_{i}-({\widehat {\alpha \,}}+{\widehat {\beta \,}}x\_{i}))^{2}}
که {\displaystyle {\widehat {\alpha \,}}} مقدار برآورد اصطلاح ثابت \alpha  و {\displaystyle {\widehat {\beta \,}}} مقدار تخمینی ضریب شیب است \beta  .

بیان ماتریس برای مجموع مربعات باقیمانده OLS
-------------------------------------------

{\displaystyle y=X\beta +e}
{\displaystyle X{\hat {\beta }}=y\iff }
{\displaystyle X^{\operatorname {T} }X{\hat {\beta }}=X^{\operatorname {T} }y\iff }
{\displaystyle {\hat {\beta }}=(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y.}
{\displaystyle \operatorname {RSS} ={\hat {e}}^{\operatorname {T} }{\hat {e}}=\|{\hat {e}}\|^{2}} ،
{\displaystyle \operatorname {RSS} =y^{\operatorname {T} }y-y^{\operatorname {T} }X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }y=y^{\operatorname {T} }[I-X(X^{\operatorname {T} }X)^{-1}X^{\operatorname {T} }]y=y^{\operatorname {T} }[I-H]y} ،
{\displaystyle y=ax+b} ،
که {\displaystyle b={\bar {y}}-a{\bar {x}}} و {\displaystyle a={\frac {S\_{xy}}{S\_{xx}}}}، که {\displaystyle S\_{xy}=\sum \_{i=1}^{n}({\bar {x}}-x\_{i})({\bar {y}}-y\_{i})} و {\displaystyle S\_{xx}=\sum \_{i=1}^{n}({\bar {x}}-x\_{i})^{2}.}

از این رو،

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {RSS} &=\sum \_{i=1}^{n}(y\_{i}-f(x\_{i}))^{2}=\sum \_{i=1}^{n}(y\_{i}-(ax\_{i}+b))^{2}=\sum \_{i=1}^{n}(y\_{i}-ax\_{i}-{\bar {y}}+a{\bar {x}})^{2}\\[5pt]&=\sum \_{i=1}^{n}(a({\bar {x}}-x\_{i})-({\bar {y}}-y\_{i}))^{2}=a^{2}S\_{xx}-2aS\_{xy}+S\_{yy}=S\_{yy}-aS\_{xy}=S\_{yy}\left(1-{\frac {S\_{xy}^{2}}{S\_{xx}S\_{yy}}}\right)\end{aligned}}}
که {\displaystyle S\_{yy}=\sum \_{i=1}^{n}({\bar {y}}-y\_{i})^{2}.}

ضریب همبستگی پیرسون توسط {\displaystyle r={\frac {S\_{xy}}{\sqrt {S\_{xx}S\_{yy}}}};} از این رو، {\displaystyle \operatorname {RSS} =S\_{yy}(1-r^{2}).}

همچنین ببینید
-------------

* معیار اطلاعات آکایک #مقایسه با حداقل مربعات
* توزیع Chi-squared#کاربردها
* درجات آزادی (آمار)#مجموع مجذورات و درجات آزادی
* خطاها و باقی مانده ها در آمار
* عدم تناسب مجموع مربع ها
* خطای میانگین مربعات
* کاهش آمار کای دو ، RSS به ازای درجه آزادی
* انحرافات مربعی
* مجموع مربعات (آمار)

منابع
-----

عرفان کریمی

1. ↑  Archdeacon, Thomas J. (1994). *Correlation and regression analysis : a historian's guide*. University of Wisconsin Press. pp. 161–162. ISBN 0-299-13650-7. OCLC 27266095.