در ریاضیات چند انتگرال وجود دارد که به نام ریاضیدان آلمانی یوهان پتر گوستاف لوژون دیریکله با **انتگرال دیریکله** شناخته می‌شوند.
معروفترین این انتگرال‌ها، انتگرال ناسره تابع سینوسی‌است که در زیر آمده است:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}}
این انتگرال به صرت مساحت زیر نمودار قابل تعربیف نیست و تنها بع تعریف اولیه انتگرال ریمان قابل تعریف است. این رابطه با نمایش انتگرال فوریه قابل اثبات است. همچنین به سادگی با استفاده از مشتق‌گیری در داخل علامت انتگرال قابل ارزیابی است.

اثبات با استفاده از مشتق‌گیری در داخل علامت انتگرال
---------------------------------------------------

ابتدا انتگرال را به صورت تابعی از یک ثابت دلخواه بازنویسی می‌کنیم، \alpha  و \beta. رابطه

{\displaystyle f(\alpha ,\beta )=\int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega }

را در نظر بگیرید. سپس باید {\displaystyle f(0,1)} را بدست آورید.

با مشتق گیری نسبت به \alpha  داریم:

{\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {d}{d\alpha }}\int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega }
با اعمال قانون انتگرال لایبنیتز داریم:

{\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}\int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega =\int \_{0}^{\infty }{\frac {\partial }{\partial \alpha }}e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}d\omega =-\int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }\sin \beta \omega \,d\omega }
انتگرال با استفاده از فرمول اویلر بسیار ساده‌تر ساخته می‌شود

{\displaystyle e^{i\beta \omega }=\cos \beta \omega +i\sin \beta \omega }
در نتیجه

{\displaystyle \Im e^{i\beta \omega }=\sin \beta \omega }

که {\displaystyle \Im } نشان دهنده قسمت موهومی است. بازنویسی انتگرال به رابطه زیر منجر می‌شود:

{\displaystyle -\Im \int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }e^{i\beta \omega }d\omega =\Im {\frac {1}{-\alpha +i\beta }}=\Im {\frac {-\alpha -i\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}={\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}
بنابراین

{\displaystyle {\frac {df}{d\alpha }}={\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}}
با انتگرال گرفتن از هر دو سوی معادله با شروع از {\displaystyle 0} تا {\displaystyle \infty } داریم

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {df}{d\alpha }}d\alpha =\int \_{0}^{\infty }{\frac {-\beta }{\alpha ^{2}+\beta ^{2}}}d\alpha }
{\displaystyle f(\infty ,\beta )-f(0,\beta )=-\lim \_{\alpha \rightarrow \infty }\arctan {\frac {\alpha }{\beta }}+\arctan 0}
{\displaystyle f(0,\beta )={\frac {\pi }{2}}{\textrm {sign}}\beta }
Note that {\displaystyle f(\infty ,\beta )=\lim \_{\alpha \rightarrow \infty }\int \_{0}^{\infty }e^{-\alpha \omega }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}{d\omega }=0}

لذا،

{\displaystyle f(0,1)={\frac {\pi }{2}}}
در نتیجه:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}}
و به‌طور کلی تر

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{\frac {\sin \beta \omega }{\omega }}\,d\omega ={\frac {\pi }{2}}{\textrm {sign}}\beta }

منابع
-----

1. ↑  Appel, Walter. *Mathematics for Physics and Physicists*. Princeton University Press, 2007, p. 226. شابک ‎۹۷۸−۰−۶۹۱−۱۳۱۰۲−۳
2. ↑  Bartle, Robert G. (10 June 1996). "Return to the Riemann Integral" (PDF). *The American Mathematical Monthly*. **103** (8): 625–632. doi:10.2307/2974874. JSTOR 2974874. Archived from the original (PDF) on 18 November 2017. Retrieved 16 May 2019.

پیوند به بیرون
--------------

* Weisstein, Eric W. "Dirichlet Integrals". *MathWorld*.

| * ن
* ب
* و
انتگرال ها |
| --- |
| انواع انتگرال | 
* انتگرال ریمان
* انتگرال لبگ
* Burkill integral
* Bochner integral
* Daniell integral
* Darboux integral
* Henstock–Kurzweil integral
* Haar integral
* Hellinger integral
* Khinchin integral
* Kolmogorov integral
* Lebesgue–Stieltjes integral
* Pettis integral
* Pfeffer integral
* انتگرال ریمان–استیلتیس
* Regulated integral

 |
| روش‌های انتگرال‌گیری | 
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Substitution
* Inverse functions
* Changing order
* جانشینی مثلثاتی
* تغییر متغیر اویلر
* Weierstrass substitution
* Partial fractions
* Reduction formulas
* Parametric derivatives
* Euler's formula
* Differentiation under the integral sign
* انتگرال‌گیری کانتور
* انتگرال عددی

 |
| انتگرال‌های ناسره | 
* انتگرال گاوسی
* انتگرال دیریکله
* Fermi–Dirac integral
	+ complete
	+ incomplete
* پلی‌لگاریتم
* Frullani integral
* Common integrals in quantum field theory

 |
| حسابان تصادفی | 
* حساب ایتو
* Russo–Vallois integral
* Stratonovich integral
* Skorokhod integral

 |

| * ن
* ب
* و
دیریکله |
| --- |
| 
* توزیع دیریکله
* Dirichlet character
* فرایند دیریکله
* توزیع دیریکله—چندجمله‌ای
* Dirichlet series
* قضیه دیریکله روی تصاعدهای حسابی
* ضرب دیریکله
* Dirichlet problem
* انتگرال دیریکله

 |