|  |
| --- |
| بخشی از مجموعه مباحث درباره آمار |
| نظریهٔ احتمالات |
|  |
| اصول احتمال |
| فضای احتمالی \* فضای نمونه \* پیشامد ابتدایی \* پیشامد \* اندازه احتمالاتی |
| پیشامد مکمل \* توزیع احتمال توأم \* توزیع حاشیه‌ای \* احتمال شرطی |
| متغیرهای تصادفی مستقل \* مستقل شرطی \* قانون احتمال کامل \* قانون اعداد بزرگ \* قضیه بیز \* نابرابری بول |
| نمودار ون \* نمودار درختی |
| * ن
* ب
* و
 |

در تئوری احتمال **، قانون زنجیره‌ای** (به انگلیسی: Chain Rule) امکان محاسبه توزیع توأم مجموعه‌ای از متغیرهای تصادفی را تنها با استفاده از احتمالات شرطی می‌دهد. این قانون در مطالعه شبکه های بیزی مفید است که توزیع احتمال را بر حسب احتمالات شرطی توصیف می‌کند.

قانون زنجیره ای برای پیشامدها
-----------------------------

### دو پیشامد

قانون زنجیره ای برای دو پیشامد تصادفی A و B اینطور تعریف می‌شود:

{\displaystyle P(A\cap B)=P(B\mid A)\cdot P(A)}

#### مثال

این قانون در مثال زیر شرح داده شده است. 

توپ‌های موجود در سطل‌ها
سطل 1 دارای 1 توپ سیاه و 2 توپ سفید و سطل 2 دارای 1 توپ سیاه و 3 توپ سفید می‌باشد. فرض کنید یک سطل را به طور تصادفی انتخاب کرده و سپس یک توپ از آن سطل بر می‌داریم. پیشامد A را انتخاب سطل 1 در نظر بگیرید: {\displaystyle P(A)=P({\overline {A}})=1/2}. فرض کنید پیشامد B نشان دهنده این باشد که یک توپ سفید برداریم. شانس برداشتن توپ سفید به شرط اینکه اولین سطل را انتخاب کرده باشیم برابر است با {\displaystyle P(B|A)=2/3}. پیشامد {\displaystyle A\cap B} اشتراک دو پیشامد خواهد بود: یعنی انتخاب اولین سطل و یک توپ سفید از آن. احتمال رویداد {\displaystyle A\cap B} را می توان با قانون زنجیره‌ای احتمال پیدا کرد:

{\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (B\mid A)\mathrm {P} (A)=2/3\times 1/2=1/3}

### بیش از دو پیشامد

برای رویداد‌های {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}} قانون زنجیره به فرمول زیر گسترش می یابد

{\displaystyle \mathrm {P} (A\_{n}\cap \ldots \cap A\_{1})=\mathrm {P} (A\_{n}|A\_{n-1}\cap \ldots \cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{n-1}\cap \ldots \cap A\_{1})}

که می‌توان با استفاده از استقرا آنرا به شکل زیر نوشت

{\displaystyle \mathrm {P} (A\_{n}\cap \ldots \cap A\_{1})=\prod \_{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(A\_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap \_{j=1}^{k-1}A\_{j}\right)}

#### مثال

برای چهار پیشامد ( {\displaystyle n=4} ) قاعده زنجیره ای مطابق زیر است

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap A\_{4})&=\mathrm {P} (A\_{4}\mid A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})\\&=\mathrm {P} (A\_{4}\mid A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{3}\mid A\_{2}\cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{2}\cap A\_{1})\\&=\mathrm {P} (A\_{4}\mid A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{3}\mid A\_{2}\cap A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{2}\mid A\_{1})\cdot \mathrm {P} (A\_{1})\end{aligned}}}

#### مثال

در کارخانه‌ای 200 لامپ تولید شده است که 10 تا از این لامپ ها معیوب هستند. 4 لامپ به تصادف از این 200 لامپ انتخاب می کنیم. چقدر احتمال دارد که همه لامپ ها سالم باشند؟
پیشامد ( A\_i ) برابر با این است که لامپ ( i ) سالم باشد برای ( {\displaystyle i=1,2,3,4} ) ما به دنبال محاسبه احتمال {\displaystyle P(A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap A\_{4})} هستیم. توجه کنید:

{\displaystyle P(A\_{1})={\frac {190}{200}}}

اگر بدانیم اولین لامپ سالم بوده است، دومین لامپ از میان 189 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب می‌شود بنابراین

{\displaystyle P(A\_{2}\mid A\_{1})={\frac {189}{199}}}

اگر بدانیم اولین و دومین لامپ سالم بوده است، سومین لامپ باید از میان 188 لامپ سالم و 10 لامپ معیوب انتخاب شود بنابراین

{\displaystyle P(A\_{3}\mid A\_{2}\cap A\_{1})={\frac {188}{198}}}

به همین ترتیب برای لامپ چهارم داریم:

{\displaystyle P(A\_{4}\mid A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})={\frac {187}{197}}}

بنابراین برای محاسبه مقدار نهایی داریم:

{\displaystyle P(A\_{1}\cap A\_{2}\cap A\_{3}\cap A\_{4})=P(A\_{4}\mid A\_{3}\cap A\_{2}\cap A\_{1})P(A\_{3}\mid A\_{2}\cap A\_{1})P(A\_{2}\mid A\_{1})P(A\_{1})={\frac {190}{200}}{\frac {189}{199}}{\frac {188}{198}}{\frac {187}{197}}}

قانون زنجیره ای برای متغیرهای تصادفی
------------------------------------

### دو متغیر تصادفی

برای دو متغیر تصادفی {\displaystyle X,Y} ، برای یافتن توزیع توأم، می توانیم با اعمال تعریف احتمال شرطی نتیجه زیر را بگیریم:

{\displaystyle \mathrm {P} (X,Y)=\mathrm {P} (X\mid Y)\cdot P(Y)}

### بیش از دو متغیر تصادفی

متغیرهای تصادفی {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} را در نظر بگیرید. برای یافتن توزیع توأم این متغیرها، می‌توانیم از تعریف احتمال شرطی استفاده کنیم تا به دست آوریم:

{\displaystyle \mathrm {P} (X\_{n},\ldots ,X\_{1})=\mathrm {P} (X\_{n}|X\_{n-1},\ldots ,X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{n-1},\ldots ,X\_{1})}

اگر این فرایند را برای عبارت آخر تکرار کنیم نتیجه زیر به دست می‌آید:

{\displaystyle \mathrm {P} \left(\bigcap \_{k=1}^{n}X\_{k}\right)=\prod \_{k=1}^{n}\mathrm {P} \left(X\_{k}\,{\Bigg |}\,\bigcap \_{j=1}^{k-1}X\_{j}\right)}

### مثال

برای چهار متغیر تصادفی ( {\displaystyle n=4} )، قانون زنجیره‌ای به شکل زیر در می‌آید که حاصلضرب تعدادی احتمال شرطی است:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {P} (X\_{4},X\_{3},X\_{2},X\_{1})&=\mathrm {P} (X\_{4}\mid X\_{3},X\_{2},X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{3},X\_{2},X\_{1})\\&=\mathrm {P} (X\_{4}\mid X\_{3},X\_{2},X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{3}\mid X\_{2},X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{2},X\_{1})\\&=\mathrm {P} (X\_{4}\mid X\_{3},X\_{2},X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{3}\mid X\_{2},X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{2}\mid X\_{1})\cdot \mathrm {P} (X\_{1})\end{aligned}}}

پانویسها و منابع
----------------

منابع
-----

* Russell, Stuart J.; Norvig, Peter (2003), *Artificial Intelligence: A Modern Approach* (2nd ed.), Upper Saddle River, New Jersey: Prentice Hall, ISBN 0-13-790395-20-13-790395-2 ، پ. 496.
* "قاعده احتمالات زنجیره ای" ، *developerWorks* ، 3 نوامبر 2012.