|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

نمودار قضیه اساسی حسابان
**قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان)**، همان‌طور که از نامش مشخص است، از مهم‌ترین قضایای حساب دیفرانسیل و انتگرال است که رابطه‌ای میان انتگرال معین و نامعین به وجود می‌آورد و همچنین روشی برای محاسبهٔ دقیق انتگرال معین یک تابع ارائه می‌دهد.

این قضیه دارای دو بخش است. بخش اول را قضیهٔ اساسی اول حساب دیفرانسیل و انتگرال (حسابان) می‌گویند که رابطه‌ای میان انتگرال معین و نامعین برقرار می‌کند و قضیهٔ دوم را قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال می‌نامند که روشی برای محاسبهٔ انتگرال نامعین ارائه می‌دهد. البته در برخی منابع به قسمت اول قضیهٔ اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال گفته می‌شود و قسمت دوم (قضیهٔ اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال) را به عنوان نتیجه‌ای از قضیهٔ اول بیان می‌کنند. ما در اینجا از مورد اول پیروی می‌کنیم و هر یک را جداگانه بررسی می‌کنیم.

تاریخچه
-------

صورت ضعیف‌تری از قضیه و اثبات آن نخستین بار توسط جیمز جرجی (۱۶۷۵–۱۶۳۸) منتشر شد. سپس نسخهٔ جامع‌تری از قضیه توسط آیزاک بارو (۱۶۳۰–۱۶۷۷) اثبات شد. پس از او دانشجوی او ایزاک نیوتن (۱۷۲۷–۱۶۴۳) آن را تا حد یک نظریهٔ جامع ریاضی توسعه داد و همزمان با او گوتفرید لایبنیتس (۱۷۱۶–۱۶۴۶) با نظام‌مند کردن آن دانش برای مقادیر بسیار کوچک، آن را به صورت نظریه‌ای که امروز می‌شناسیم ارائه کرد.

قضایای اساسی حساب دیفرانسیل و انتگرال
-------------------------------------

همان‌طور که اشاره شد، این قضیه دارای دو بخش است که هر یک را جداگانه بیان و اثابت می‌کنیم.

### قضیه اساسی اول حساب دیفرانسیل و انتگرال

فرض کنید f تابعی پیوسته در بازه بسته [a,b] باشد. در این صورت تابع (F(x برای هر x در این بازه که به صورت:

{\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}f(t)\,dt}

تعریف می‌شود یک پادمشتق f است، یعنی:

{\displaystyle F'(x)=f(x)}

به این ترتیب رابطه‌ای بین انتگرال معین و نامعین یک تابع وجود دارد. هر پادمشتق یک تابع در هر نقطه به صورت یک انتگرال معین قابل بیان است.

#### برهان

برای اثبات قضیه نشان می‌دهیم که مشتق (F(x در بازه [a,b] برابر (f(x است. برای هر x متعلق به بازه

[a,b] داریم:

{\displaystyle F(x+\Delta x)-F(x)=\int \_{a}^{x+\Delta x}f(t)\,dt-\int \_{a}^{x}f(t)\,dt}
{\displaystyle =\int \_{a}^{x}f(t)\,dt+\int \_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt-\int \_{a}^{x}f(t)\,dt=\int \_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt}

پس:

{\displaystyle F'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {\int \_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt}{\Delta x}}\qquad (1)}

حال چون f در بازه [x,x+Δx] پیوسته‌است بنابر قضیه مقدار میانگین برای انتگرال‌ها، به ازای [c∈[x,x+Δx داریم:

{\displaystyle \int \_{x}^{x+\Delta x}f(t)\,dt=f(c)\Delta x}

با توجه به این مطالب (۱) را می‌توان به این صورت نوشت:

{\displaystyle F'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(c)\Delta x}{\Delta x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}f(c)}

اما {\displaystyle x\leq c\leq x+\Delta x} و وقتی که {\displaystyle \Delta x\to 0} بنابر قضیه فشردگی، {\displaystyle c\to x} پس عبارت فوق را می‌توان به صورت زیر بازنویسی کرد:

{\displaystyle F'(x)=\lim \_{\Delta x\to 0}f(c)=\lim \_{c\to x}f(c)}

اما چون f تابعی پیوسته است پس {\displaystyle \lim \_{c\to x}f(c)=f(x)} ولذا {\displaystyle F'(x)=f(x)} و برهان کامل است.∎

به عنوان مثال اگر {\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{x}\sin(t)\,dt} آنگاه:

{\displaystyle F'(x)=\sin x}

همچنین اگر u تابعی از x باشد و {\displaystyle F(x)=\int \_{a}^{u(x)}f(t)\,dt} و در این صورت:

{\displaystyle F'(x)=u'(x)f(x)}

و به‌طور کلی‌تر اگر u و v توابعی از x باشند و {\displaystyle F(x)=\int \_{v(x)}^{u(x)}f(t)\,dt} در این صورت:

{\displaystyle F'(x)=u'(x)f(u(x))-v'(x)f(v(x))}

### قضیه اساسی دوم حساب دیفرانسیل و انتگرال

این قضیه را می‌توان نتیجه‌ای از قضیه اساسی اول دانست. اگر f تابعی پیوسته در بازه بسته [a,b] باشد و F یک پادمشتق f در این بازه باشد در این صورت:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)}

وضوحاً این قضیه روشی سودمند برای محاسبه انتگرال معین یک تابع در یک بازه توصیه می‌کند که البته همواره کارساز نیست چون همواره برای همه توابع نمی‌توان یک پادمشتق پیدا کرد.

#### برهان اول

برای اثبات فرض می‌کنیم {\displaystyle G(x)=\int \_{a}^{x}f(t)\,dt} در این صورت بنابر قضیه اول حساب دیفرانسیل و انتگرال (G(x یک پادمشتق fدر بازه [a,b] است پس {\displaystyle G(x)=F(x)+C} اما:

{\displaystyle G(a)=F(a)+C=\int \_{a}^{a}f(t)\,dt=0}
{\displaystyle G(b)=F(b)+C=\int \_{a}^{b}f(t)\,dt}

پس:

{\displaystyle F(b)-F(a)=\int \_{a}^{b}f(t)\,dt}

و برهان قضیه تمام است.∎

حال اثباتی دیگر از این قضیه ارائه می‌دهیم که از قضیه اساسی اول مستقل است و بر پایه انتگرال ریمان بنا شده‌است.

#### برهان دوم

فرض کنید f تابعی پیوسته در بازه [a,b] باشد و F یک پادمشتق f در این بازه باشد. بازه [a,b] را به n زیربازه با نقاط افراز:

{\displaystyle a=x\_{0}<x\_{1}<x\_{2}<...<x\_{n-1}<x\_{n}=b}

تقسیم می‌کنیم. در این صورت:

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}F(x\_{i})-F(x\_{i-1})}

اگر برای هر i بین یک و n طول زیربازه n ام یعنی [xi-1,xi]را با {\displaystyle \Delta x\_{i}} نشان دهیم، داریم:

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}{\frac {F(x\_{i})-F(x\_{i-1})}{\Delta x\_{i}}}\Delta x\_{i}\qquad \ (1)}

اما پادمشتق f یعنی F در سراسر بازه [a,b] به‌خصوص در هر زیربازه این بازه پیوسته‌است (توجه داشته باشید دلیل این امر در خود تعریف پادمشتق نهفته‌است. پادمشتق در سراسر این بازه مشتق‌پذیر است و لذا پیوسته‌است) پس با به‌کارگیری قضیه مقدار میانگین برای توابع پیوسته در هر زیرباره [xi-1,xi] نقطه‌ای چون ci در این بازه وجود دارد که:

{\displaystyle F'(c\_{i})=f(c\_{i})={\frac {F(x\_{i})-F(x\_{i-1})}{\Delta x\_{i}}}}

پس از (۱) داریم:

{\displaystyle F(b)-F(a)=\sum \_{i=1}^{n}f(c\_{i})\Delta x\_{i}}

حال نُرم دلتا {\displaystyle \|\Delta \|} را به عنوان طول طویل‌ترین زیربازه در نظر می‌گیریم یعنی:

{\displaystyle \|\Delta \|={\mbox{max}}\{\Delta x\_{1},\Delta x\_{2},...\Delta x\_{n}\}}

پس بنابر قضیه وجود انتگرال ریمان چون f پیوسته است، داریم:

{\displaystyle \lim \_{\|\Delta \|\to 0}F(b)-F(a)=\lim \_{\|\Delta \|\to 0}\sum \_{i=1}^{n}f(c\_{i})\Delta x\_{i}=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx}

پس: {\displaystyle F(b)-F(a)=\int \_{a}^{b}f(x)\,dx} و برهان کامل می‌شود.∎

به عنوان مثال می‌خواهیم {\displaystyle \int \_{2}^{5}x^{2}\,dx} را محاسبه کنیم. می‌دانیم که {\displaystyle \int x^{2}\,dx={\frac {x^{3}}{3}}+C=F(x)} پس:

{\displaystyle \int \_{2}^{5}x^{2}\,dx=F(5)-F(2)=({\frac {5^{3}}{3}})-({\frac {2^{3}}{3}})=39}

جستارهای وابسته
---------------

* قضیه مقدار میانی
* انتگرال
* انتگرال ریمان
* قضیه مقدار میانگین

منابع
-----

* جرج توماس-راس فینی (۱۳۷۰)، *حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی (جلد اول)*، ترجمهٔ سیامک کاظمی-مهدی بهزاد-علی کافی، تهران: مرکز نشر دانشگاهی، شابک ۹۶۴-۰۱-۰۵۳۶-۸
* ریچارد آ. سیلورمن (۱۳۷۶)، *حساب دیفرانسیل و انتگرال و هندسه تحلیلی جدید*، ترجمهٔ دکتر علی‌اکبر عالم‌زاده، تهران: انتشارات علمی فنی، شابک ۹۶۴-۶۲۱۵-۰۶-۸

| * ن
* ب
* و
Fundamental mathematical theorems |
| --- |
| 
* قضیه اساسی حساب
* قضیه اساسی جبر
* قضیه اساسی حسابان
* Geometry
	+ Curves
	+ Projective
	+ Riemannian
* Groups
	+ Cyclic
	+ Finitely generated Abelian
* Linear algebra
* Linear programming
* Calculus of variations
* قضیه هلمهولتز
* Homomorphisms
* Galois theory

 |

| * ن
* ب
* و
موضوعات اصلی در آنالیز ریاضی |
| --- |
| 
* **حسابان**: انتگرال
* مشتق
* معادله دیفرانسیلs (معادله دیفرانسیل معمولی - معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی)
* قضیه اساسی حسابان
* حساب تغییرات
* حساب برداری
* حساب تنسوری
* فهرست‌های انتگرال‌ها
* قواعد دیفرانسیل گیری

 |
| 
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* آنالیز تابعی
* آنالیز فوریه
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)
* نظریه نمایش

* تابع
* تابع پیوسته
* توابع خاص
* حد (ریاضی)
* سری (ریاضیات)
* بی‌نهایت

 |
| **درگاه:ریاضیات** |

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |