صفت **نقطه‌گون** (به انگلیسی: pointwise) در ریاضیات برای نمایش آن است که یک «ویژگی معین» توسط «سنجش هر مقدار f(x) برای تابع f» تعریف می‌شود. کلاس مهمی از مفاهیم نقطه‌گون همان *عملیات نقطه‌گون* است، یعنی، عملیاتی که روی توابع با اعمال عمل روی مقادیر تابع، به صورت مجزا، برای هر نقطه در دامنه تعریف می‌گردد. تعریف‌های نقطه‌گون درباره «روابط» هم به کار می‌رود.

عملیات نقطه‌گون
---------------

جمع نقطه‌گون (نمودار بالا، بنفش) و ضرب (سبز) برای توابع سینوس (نمودار پایین آبی) و ln (قرمز). باریکه عمودی پررنگ نمایش‌دهنده محاسبات در نقطه *x*=2π است.
### تعریف صوری

می‌توان یک عمل دودویی *o*: *Y* × *Y* → *Y* روی مجموعه *Y* را به صورت نقطه‌گون به یک عمل *O*: (*X*→*Y*) × (*X*→*Y*) → (*X*→*Y*) روی مجموعه *X*→*Y* از همه توابع از *X* به *Y* به این شیوه ترفیع داد که: اگر دو تابع *f*1: *X* → *Y* و *f*2: *X* → *Y* داشته باشیم، تابع *O*(*f*1,*f*2): *X* → *Y* را به صورت زیر تعریف می‌کنیم:

برای همه *x*∈*X* داریم (*O*(*f*1,*f*2))(*x*) = *o*(*f*1(*x*),*f*2(*x*)) .
معمولا *o* و *O* با نماد مشابهی نمایش داده می‌شوند. تعریف مشابهی برای عمل یکتایی *o*، و همچنین برای عمل‌هایی با آریتی دیگر به کار می‌رود.[]

### مثال‌ها

{\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x)&{\text{(pointwise addition)}}\\(f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)&{\text{(pointwise multiplication)}}\\(\lambda \cdot f)(x)&=\lambda \cdot f(x)&{\text{(pointwise multiplication by a scalar)}}\end{aligned}}}
که در آن {\displaystyle f,g:X\to R} است.

ضرب نقطه‌گون و نرده‌ای را ببینید.

یک مثال از عمل روی تابع که نقطه‌گون *نیست*، عمل هم‌گشت (یا کانولوشن) است.

### ویژگی‌ها

عمل‌های نقطه‌گون وبژگی‌هایی مثل خاصیت انجمنی، جابجایی و توزیع‌پذیری را از عمل متناظر روی هم‌دامنه به ارث می‌برند. اگر A یک ساختار جبری باشد، مجموعه همه توابع X به مجموعه حامل A را می‌توان به یک ساختار جبری با نوع مشابه به روش مشابهی تبدیل نمود.

عمل‌های مولفه‌گون
-----------------

عمل‌های مولفه‌گون (به انگلیسی: componentwise operations) معمولا روی بردارها تعریف می‌شود، که در آن بردارها عناصر مجموعه {\displaystyle K^{n}} هستند (برای یک عدد طبیعی n و یک میدان K). اگر ما مولفه iام از هر بردار v را به صورت {\displaystyle v\_{i}} نشان دهیم، آنوقت جمع مولفه‌گون برابر {\displaystyle (u+v)\_{i}=u\_{i}+v\_{i}} است.

عمل‌های مولفه‌گون را می‌توان روی ماتریس‌ها هم تعریف کرد. جمع ماتریسی، که در آن {\displaystyle (A+B)\_{ij}=A\_{ij}+B\_{ij}} است یک عمل مولفه‌گون است درحالیکه ضرب ماتریسی اینطور نیست.

یک تاپل را می‌توان نوعی تابع درنظر گرفت، و یک بردار یک تاپل است. از این‌رو، هر بردار v با تابع {\displaystyle f:n\to K} متناظر است به این صورت که {\displaystyle f(i)=v\_{i}} و هر عمل مولفه‌گون روی بردارها برابر عمل نقطه‌گون روی توابع متناظر با آن بردارها هستند.

روابط نقطه‌گون
--------------

در نظریه ترتیب می‌توان ترتیب جزیی نقطه‌گون را روی توابع تعریف کرد. اگر *A* و *B* پوست باشند، می‌توان مجموعه توابع *A* → *B* را توسط *f* ≤ *g* مرتب نمود، اگر و فقط اگر (∀*x* ∈ A) *f*(*x*) ≤ *g*(*x*) باشد. ترتیب‌های نقطه‌گون بعضی از ویژگی‌های پوست‌های مبنا را به ارث می‌برند. برای مثال اگر A و B مشبکه پیوسته باشند، آنوقت مجموعه توابع *A* → *B* هم با ترتیب نقطه‌گون، یک مشبکه پیوسته است. به کمک ترتیب نقطه‌گون روی توابع، می‌توان دیگر مفاهیم مهم دیگر را به دقت تعریف کرد، مثلا:

* یک *عملگر بستاری* *c* روی پوست *P* یک نگاشت یکنوا و خودتوان روی *P* است (یعنی یک عملگر تصویری) است، با این ویژگی اضافی که id*A* ≤ *c* است، که در آن id تابع همانی است.
* به صورت مشابه یک عملگر تصویری *k* یک *عملگر هسته‌ای* نامیده می‌شود اگر و فقط اگر *k* ≤ id*A* باشد.

یک مثال از یک رابطه نقطه‌گون بی‌نهایت همان همگرایی نقطه‌گون برای توابع است—یک دنباله از توابع 

{\displaystyle (f\_{n})\_{n=1}^{\infty }}
با

{\displaystyle f\_{n}:X\longrightarrow Y}
به صورت نقطه‌گون به یک تابع f همگرا می‌شود اگر برای هر x در X داشته باشیم
{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }f\_{n}(x)=f(x).}

یادداشت
-------

1. ↑  Gierz et al. p. xxxiii
2. ↑  Gierz, et al. p. 26

پانویس
------

منابع
-----

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Pointwise». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۱۶ ژانویهٔ ۲۰۲۲.