در نظریه صف، برای مدل کردن ورود مشتریان به صف از **فرایند ورود مارکوف** استفاده می‌شود.

*فرایند پواسون*، *فرایند ورود مارکوف* و *فرایند ورود دسته‌ای مارکوف* برخی از رایج ترین‌ها محسوب می‌شوند.

سابقه
-----

فرایندهای ورودی مارکوف دارای دو فرایند است. فرایند مارکوف در زمان پیوسته {\displaystyle j(t)}، فرایندهای مارکوف که توسط یک مولد یا ماتریس تغییرات Q تولید می‌شود. فرایند دیگر یک فرایند شمارنده است {\displaystyle N(t)}، که دارای فضای حالت {\displaystyle \mathbb {N} \_{0}:=\mathbb {N} \cup \{0\}} (که در آن {\mathbb {N}} مجموعه‌ای از تمام اعداد طبیعی)

```
که هر زمان {\displaystyle N(t)} افزایش می‌بابد و یک‌گذار {\displaystyle j(t)}  وجود داشته و علامتگذاری شده‌است .
```

فرایند پواسون
-------------

فرایند ورود پواسون یا فرایند پواسون تعداد ورودی‌ها را می‌شمارد به‌طوری‌که هریک از آن‌ها دارای توزیع نمایی بین ورود می‌باشد. در حالت کلی این مورد با ماتریس تغییرات نشان داده است ،

{\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}-\lambda \_{0}&\lambda \_{0}&0&0&\dots \\0&-\lambda \_{1}&\lambda \_{1}&0&\dots \\0&0&-\lambda \_{2}&\lambda \_{2}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \end{matrix}}\right]\;.}
در حالت همگن ساده‌تر هم می‌شود.

{\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}-\lambda &\lambda &0&0&\dots \\0&-\lambda &\lambda &0&\dots \\0&0&-\lambda &\lambda &\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \end{matrix}}\right]\;.}
در اینجا هر حالت‌گذار مشخص شده‌است .

فرایندهای ورود مارکوف
---------------------

**فرایند ورود مارکوف** (MAP) یک تعمیم از فرایند پواسون با توزیع غیر نمایی موقت بین ورودی‌ها است. در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

{\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}D\_{0}&D\_{1}&0&0&\dots \\0&D\_{0}&D\_{1}&0&\dots \\0&0&D\_{0}&D\_{1}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \end{matrix}}\right]\;.}
ورود در زمان‌گذار رخ می هد و باعث افزایش سطح (گذار مشخص شده ) می‌شود به عنوان مثال در تغییر حالت در زیر ماتریس {\displaystyle D\_{1}} .
در زیر ماتریس‌های {\displaystyle D\_{0}} و {\displaystyle D\_{1}} با عناصر {\displaystyle \lambda \_{i,j}} و تغییرات فرایند پواسون ،

{\displaystyle 0\leq [D\_{1}]\_{i,j}<\infty }
{\displaystyle 0\leq [D\_{0}]\_{i,j}<\infty \;\;\;\;i\neq j}
{\displaystyle [D\_{0}]\_{i,i}<0\;}
و

{\displaystyle (D\_{0}+D\_{1}){\boldsymbol {1}}={\boldsymbol {0}}}
چندین مورد خاص در فرایند ورود مارکوف وجود دارد.

### فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف

فرایندهای پوآسون با مدوله مارکوف یا *MMPP* که m به وسیلهٔ فرایندهای پواسون تغییر می‌کند .
در صورتی که هر یک از فرایندهای پواسون m دارای تغییرات {\displaystyle \lambda \_{i}} و فرایند اساسی تولید شده به وسیلهٔ یک ماتریس مولد {\displaystyle m\times m} باشد.، سپس در MAP نمایش داده می‌شود،

{\displaystyle D\_{1}=\operatorname {diag} \{\lambda \_{1},\dots ,\lambda \_{m}\}}
ماتریس قطری در تغییرات پواسون است و

{\displaystyle D\_{0}=R-D\_{1}}
### فرایندهای تجدید فاز-نوع

**فرایندهای تجدید فاز**-**نوع** یک فرایند ورود مارکوف با توزیع فاز-نوع بین دو زمان ورود است. به‌طور مثال اگر یک فرایند ورودی بین دو ورود که زمان توزیع PH {\displaystyle ({\boldsymbol {\alpha }},S)} با یک بردار خروجی نشان داده شد {\displaystyle {\boldsymbol {S}}^{0}=-S{\boldsymbol {1}}}، فرایند ورودی یک ماتریس مولد دارد ،

{\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}S&{\boldsymbol {S}}^{0}{\boldsymbol {\alpha }}&0&0&\dots \\0&S&{\boldsymbol {S}}^{0}{\boldsymbol {\alpha }}&0&\dots \\0&0&S&{\boldsymbol {S}}^{0}{\boldsymbol {\alpha }}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \\\end{matrix}}\right]}

فرایند ورود دسته‌ای مارکوف
--------------------------

**فرایند ورود دسته‌ای مارکوف** (*BMAP*) یک فرایند ورود مارکوف دارای ورودی‌ها بزرگتر از یک است. در وضعیت همگن، ماتریس تغییرات به صورت زیر است ،

{\displaystyle Q=\left[{\begin{matrix}D\_{0}&D\_{1}&D\_{2}&D\_{3}&\dots \\0&D\_{0}&D\_{1}&D\_{2}&\dots \\0&0&D\_{0}&D\_{1}&\dots \\\vdots &\vdots &\ddots &\ddots &\ddots \end{matrix}}\right]\;.}
یک ورودی با اندازه k هر زمان رخ می‌دهد که‌گذار اتفاق می افتد. زیر ماتریس {\displaystyle D\_{k}} دارای عناصر {\displaystyle \lambda \_{i,j}} است و تغییرات فرایند پواسون :

{\displaystyle 0\leq [D\_{k}]\_{i,j}<\infty \;\;\;\;1\leq k}
{\displaystyle 0\leq [D\_{0}]\_{i,j}<\infty \;\;\;\;i\neq j}
{\displaystyle [D\_{0}]\_{i,i}<0\;}
و

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }D\_{k}{\boldsymbol {1}}={\boldsymbol {0}}}

منابع
-----

* Søren Asmussen (2000). *Matrix-analytic Models and their Analysis*، Scandinavian Journal of Statistics **27**(2)، 193–226.
* David M. Lucantoni (1993). *The BMAP/G/1 Queue: A Tutorial*، Lecture Notes in Computer Science: Performance Evaluation of Computer and Communication Systems (Editors: Lorenzo Donatiello and Randolph Nelson)، volume **729**.
* Srinivas R. Chakravarthy (2001). The batch Markovian arrival process: A review and future work. In Advances in Probability and Stochastic Processes، Ed. A. Krishnamoorthy، N.Raju and V. Ramaswami، Notable Publications، Inc.، New Jersey، USA، 21-49.
* Srinivas R. Chakravarthy (2010). Markovian Arrival Processes. Wiley Encyclopedia of Operations Research and Management Science. Published Online: 15 JUN 2010.
* Marcel F. Neuts (1992). Models based on the Markovian arrival process. IEICE Transactions on Communications، E75B، 1255-1265.