علامت کوواریانس دو متغیر تصادفی X و Y
**کوواریانس** یا **هم‌وَردایی** (به انگلیسی: Covariance)، در آمار و نظریه احتمالات یک مقیاس برای اندازه‌گیری «تغییر توأم» دو متغیر تصادفی است. کوواریانس موقعی مثبت است که مقادیر بزرگتر یک متغیر به صورت عمده با مقادیر بزرگتر متغیر دیگر متناظر باشد، و همین تناظر برای مقادیر کوچکتر هم برقرار باشد (یعنی متغیرها تمایل به رفتار مشابه داشته باشند). در حالت مقابل، موقعی که مقادیر بزرگتر یک متغیر به صورت عمده با مقادیر کوچکتر دیگری متناظر باشد (یعنی متغیرها گرایش به رفتار معکوس داشته باشند) کوواریانس منفی است. از این رو علامت کوواریانس نشان‌دهنده نوع گرایش در رابطه خطی بین متغیرها است. تفسیر کردن اندازه کوواریانس ساده نیست زیرا کوواریانس نرمال‌سازی نشده‌است، و از این رو بستگی به اندازه متغیرها دارد. نسخه نرمال‌سازی‌شده کوواریانس، ضریب همبستگی نام دارد، و اندازه این ضریب قدرت رابطه خطی را نشان می‌دهد.

باید بین این موارد تمایز قایل شد: (۱) کوواریانس دو متغیر تصادفی که یک پارامتر جمعیت است و می‌توان آن را به صورت یک ویژگی از توزیع احتمال توأم دید، (۲) کوواریانس نمونه که علاوه بر کاربردی که در توصیف‌کردن نمونه دارد برای مقدار تخمینی پارامتر جمعیت هم از آن استفاده می‌شود.

کوواریانس اندازه تغییرات هماهنگ دو متغیر تصادفی است. (اگر دو متغیر یکی باشند، کوواریانس برابر واریانس خواهد شد). برای متغیرهای تصادفی X و Y که امید ریاضی آنها {\displaystyle \scriptstyle E(X)=\mu \,} و {\displaystyle \scriptstyle E(Y)=\nu \,} هستند، کوواریانس به صورت زیر تعریف می‌شود:

{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} {{\big [}(X-\operatorname {E} [X])(Y-\operatorname {E} [Y]){\big ]}}=\operatorname {E} ((X-\mu )(Y-\nu ))\,}

چنان‌که دو متغیر تصادفی مستقل باشند، کوواریانس آنها صفر خواهد بود.

واژه‌شناسی
----------

فرهنگستان زبان فارسی، **وَردیدن** از ریشه باستانی وَرت (وَرتیدن: ریخت باستانی فعل "گردیدن")، را به‌جای فعل to vary برگزیده است و از آن، مشتقات **وردایی** (variance)،**وردش** (variation)، **وردا** (variant)، هم‌وردا (covariant)، هم وردایی (covariannce)، ناوردا (invariant)، ناوردایی (invariance)، پادوردا (contravariance) را برساخته است.

مفهوم
-----

بیان ریاضی مقدار همپراکنش دو تابع تصادفی: مجموع حجم زیر مربع‌های سرخ منهای مربع‌های آبی
**همپراکنش** با همبستگی رابطه دارد؛ چون ضریب همبستگی همان هنجارشده **همپراکنش** است؛ مثلاً اگر همپراکنش دو تابع صفر باشد، یعنی همبستگی آنها صفر است و این یعنی کلا از هم مستقل هستند. برعکس؛ بالا بودن مقدار همپراکنش چه به صورت منفی و چه به صورت مثبت، مبین آن است که این دو تابع به نوعی به هم وابسته اند. بیشترین مقدار همپراکنش زمانی است که یک تابع خطی بین آن دو تابع قابل تعریف باشد. در این صورت یک متغیر را می‌توان تابع متغیر دیگر دانست و به جای این که مقادیر آن دو را حفظ کرد، می‌توان مقادیر یکی به علاوه رابطه آنها را در نظر آورد؛ مثلاً اگر دسته اول جدول یک، درجه حرارت اجاق در ساعات مختلف یک روز بر حسب فارنهایت باشد و دسته دوم اعداد دیگری از این اجاق داشته باشیم و بین این دو دسته یک رابطه خطی به صورت دسته اول منهای سی و دو و کلا ضربدر هجده دهم باشد، خوب! دسته دوم همان دسته اول است منتها بر حسب سیلیسیوس است و نیازی به حفظ آن نیست!

خواص کوواریانس
--------------

اگر {\displaystyle X,Y,W,V} متغیرهای تصادفی با مقادیر حقیقی باشند و {\displaystyle a,b,c,d} اعداد ثابت غیر تصادفی باشند، آنگاه روابط زیر در مورد کوواریانس برقرار است:

{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,a)=0\,}
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,X)=\operatorname {Var} (X)\,}
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {Cov} (Y,X)\,}
{\displaystyle \operatorname {Cov} (aX,bY)=ab\,\operatorname {Cov} (X,Y)\,}
{\displaystyle \operatorname {Cov} (X+a,Y+b)=\operatorname {Cov} (X,Y)\,}
{\displaystyle \operatorname {Cov} (aX+bY,cW+dV)=ac\,\operatorname {Cov} (X,W)+ad\,\operatorname {Cov} (X,V)+bc\,\operatorname {Cov} (Y,W)+bd\,\operatorname {Cov} (Y,V)\,}

می‌توانیم با استفاده از تعریف کوواریانس رابطه‌ای برای محاسبهٔ آن پیدا کنیم

{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=\operatorname {E} \left((X-\operatorname {E} (X))\cdot (Y-\operatorname {E} (Y))\right)=\operatorname {E} (X\cdot Y)-\operatorname {E} (X)\cdot \operatorname {E} (Y)}

اگر {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} متغیرهای تصادفی و {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} اعدادی ثابت باشند آنگاه:

{\displaystyle \sigma ^{2}\left(\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}X\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}^{2}\sigma ^{2}(X\_{i})+2\sum \_{i,j\,:\,i<j}a\_{i}a\_{j}\operatorname {cov} (X\_{i},X\_{j})=\sum \_{i,j}{a\_{i}a\_{j}\operatorname {cov} (X\_{i},X\_{j})}}

ناهمبستگی و استقلال
-------------------

اگر کوواریانس دو متغیر تصادف صفر باشد آن دو متغیر ناهمبسته نامیده می‌شوند.
اگر دو متغیر تصادفی {\displaystyle X,Y} مستقل باشند آنگاه کوواریانس آنها صفر است. این موضوع را می‌توان به این صورت نتیجه گرفت که چون {\displaystyle \operatorname {E} (X\cdot Y)=E(X)\cdot E(Y)} پس{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0\,}. عکس این موضوع صحیح نیست، به این معنا که ممکن است کوواریانس دو متغیر تصادفی صفر باشد ({\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)=0\,}) ولی الزاماً آن دو متغیر تصادفی مستقل از هم نباشند.

ماتریس کوواریانس
----------------

اگر X را {\displaystyle n\times 1} و Y را {\displaystyle m\times 1} در نظر بگیریم آنگاه

{\displaystyle \operatorname {K} \_{\mathbf {X} \mathbf {Y} }=\operatorname {cov} (\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )=\operatorname {E} \left[(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {Y} -\operatorname {E} [\mathbf {Y} ])^{\mathrm {T} }\right]=\operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {Y} ^{\mathrm {T} }\right]-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {Y} ]^{\mathrm {T} }}

  
  
در اینجا عضو {\displaystyle i,j} ماتریس برابرِ هم وردای iامین عضو X و jامین عضو Y است، به زبان ریاضی {\displaystyle {\mbox{cov}}(\mathbf {X} ,\mathbf {Y} )\_{i,j}={\mbox{cov}}(\mathbf {X} \_{i},\mathbf {Y} \_{j})}.

جستارهای وابسته
---------------

* امیدریاضی
* واریانس

منابع
-----

1. ↑  «*هم‌وردایی، کوواریانس*» [*آمار، ریاضی*] هم‌ارزِ «*covariance*»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر ششم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ *هم‌وردایی*)
2. ↑  Rice, John (2007). *Mathematical Statistics and Data Analysis*. Belmont, CA: Brooks/Cole Cengage Learning. pp. 138. ISBN 978-0-534-39942-9.
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Covariance". *MathWorld*.
4. 1 2
5. ↑  Introduction to Probability
Models, Sheldon M. Ross, Tenth Edition

* سعید رضاخواه (اول اسفند ۱۳۷۹)، *آمار و احتمال کاربردی*، انتشارات دانشگاه امیر کبیر، ص. ۷۷، شابک ۹۶۴-۴۶۳-۰۹۱-۲ (کتابخانه ملی: م۷۹–۲۰۶۷۴) مقدار `|شابک=` را بررسی کنید: invalid character (کمک) تاریخ وارد شده در `|سال=` را بررسی کنید (کمک)
* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Covariance». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۱۰ آوریل ۲۰۰۹.

| * ن
* ب
* و
آمار |
| --- |
| 

| آمار توصیفی |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزیع احتمال | 

|  |  |
| --- | --- |
| پارامتر مکان | 
* میانگین (میانگین حسابی، میانگین هندسی، میانگین همساز)
* میانه
* مد

 |
| سنجش‌های پراکندگی | 
* دامنه
* انحراف معیار
* ضریب تغییرات
* صدک
* دامنه بین چارکی

 |
| شکل توزیع‌ها | 
* واریانس
* چولگی
* کشیدگی
* گشتاور
* ال-گشتاور

 |

 |
| توزیع احتمال | شاخص پراکندگی |
| جدول‌های خلاصه | 
* داده‌های گروه‌بندی‌شده
* توزیع فراوانی
* جدول پیشایندی

 |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی حاصل‌ضرب-گشتاور پیرسون
* ضریب همبستگی رتبه‌ای (ضریب همبستگی رتبه‌ای اسپیرمن، تای کندال)
* همبستگی جزئی
* نمودار نقطه‌ای

 |
| نمودارهای آماری | 
* نمودار میله‌ای
* دونموداره
* نمودار جعبه‌ای
* نمودار کنترل
* همبستگی‌نگار
* نمودار جنگلی
* بافت‌نگار
* نمودار Q-Q
* نمودار احتمال-احتمال
* نمودار توالی
* نمودار پراکنش
* نمودار ساقه و برگ
* نمودار راداری

 |

 |

 |
| 

| گردآوری داده |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| طراحی مطالعات | 
* اندازه تأثیر
* خطای استاندارد
* توان آماری
* تعیین اندازه نمونه

 |
| روش‌های آمارگیری | 
* نمونه
* پرسشنامه
* نمونه‌گیری طبقه‌بندی‌شده
* نظرسنجی

 |
| آزمایش | 
* طراحی آزمایش
* آزمایش تصادفی
* انتساب تصادفی
* تکرار آزمایش
* بلوک‌بندی
* آزمایش عاملی
* طراحی بهینه

 |
| مطالعات کنترل‌نشده | 
* آزمایش طبیعی
* شبه‌آزمایش
* مطالعه مشاهده‌ای

 |

 |

 |
| 

| استنباط آماری |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| نظریه آمار | 
* توزیع نمونه‌گیری
* آماره بسنده
* فراتحلیل
* آماره ترتیبی
* آماره کاوشی
* مقدار رکورد
* کامل بودن
* خانواده نمایی
* آزمون جایگشتی (آزمون تصادفیدن)
* توزیع نمونه‌ای
* بوت‌استرپینگ
* آماره U
* کارایی
* آمار باثبات

 |
| استنباط فراوانی‌گرایانه | 
* برآوردگر بدون بایاس (برآوردگر میانگین‌نااریب حداقل واریانس، برآوردگر میانه‌نااریب)
* برآوردگرهای با بایس (برآورد درست‌نمایی بیشینه، روش گشتاورها، برآورد با کمینه فاصله، برآورد چگالی)
* بازه اطمینان
* آزمون فرض آماری
* توان آماری
* آزمون‌های پارامتری (آزمون نسبت درست‌نمایی، آزمون والد، آزمون نمره)

 |
| استنباط بیزی | 
* احتمال بیزی
* احتمال پیشین
* احتمال پسین
* بازه مورد قبول
* عامل بیز
* برآوردگر بیزی
* برآوردگر بیشینه‌گر احتمال پسین

 |
| آزمون‌های خاص | 
* آزمون Z نرمال بودن
* توزیع تی-استیودنت
* آزمون اف
* آزمون خی‌دوی پیرسون
* آزمون مان-ویتنی
* آزمون شاپیرو-ویلک
* آزمون ویلکاکسون
* آزمون کولموگروف-اسمیرنف

 |

 |

 |
| 

| ضریب همبستگی و تحلیل رگرسیون |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ضریب همبستگی | 
* ضریب همبستگی پیرسون
* همبستگی جزئی
* اختلاط
* ضریب تشخیص

 |
| تحلیل رگرسیون | 
* خطاها و مانده‌ها در آمار
* اعتبارسنجی مدل رگرسیون
* مدل آمیخته
* مدل معادلات همزمان

 |
| رگرسیون خطی | 
* رگرسیون ساده خطی
* کمینه مربعات خطی
* رگرسیون چندمتغیره
* رگرسیون خطی بیزی

 |
| پیش‌بینی‌های غیراستاندارد | 
* رگرسیون غیرخطی
* رگرسیون ناپارامتری
* رگرسیون نیمه پارامتری
* رگرسیون همنوا
* رگرسیون باثبات
* ناهم‌واریانسی
* هم‌واریانسی

 |
| مدل خطی تعمیم‌یافته | 
* خانواده نمایی
* رگرسیون لجستیک
* رگرسیون دوجمله‌ای
* پواسون

 |
| تقسیم مجموع مربعات | 
* تحلیل واریانس
* تحلیل کوواریانس
* تحلیل واریانس چندمتغیره
* درجه آزادی

 |

 |

 |
| 

| داده‌های رسته‌ای، آمار چندمتغیره، تحلیل سری زمانی یا تحلیل بقا |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های رسته‌ای | 
* کاپای کوهن
* جدول پیشایندی
* مدل گرافی
* رگرسیون پواسون
* آزمون مک‌نمار

 |
| آمار چندمتغیره | 
* رگرسیون چندمتغیره
* تحلیل مؤلفه‌های اصلی
* تحلیل عاملی
* تحلیل خوشه‌ای
* مفصل

 |
| تحلیل سری زمانی | 

|  |  |
| --- | --- |
| عمومی | 
* تجزیه
* تخمین روند
* فرایند مانا
* تصحیح فصلی‌بودن
* هموارسازی نمایی
* هم‌جمعی

 |
| تست‌های خاص | 
* علیت گرانجر
* آماره Q
* آماره دوربین-واتسون

 |
| دامنه زمان | 
* خودهمبستگی
* تابع خودهمبستگی جزئی
* همبستگی متقابل
* آرما
* مدل آریما
* گارچ
* اتورگرسیو برداری

 |
| دامنه فرکانس | 
* تخمین طیفی
* تحلیل فوریه
* موجک

 |

 |
| تحلیل بقا | 
* تابع احتمال بقا
* برآوردگر کاپلان-مه‌یر
* آزمون لگ‌رتبه‌ای
* نرخ خرابی
* مدل خطرهای متناسب
* مدل زمان خرابی شتابیده

 |

 |

 |
| 

| کاربردهای آمار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| آمار زیستی | 
* بیوانفورماتیک
* زیست‌سنجشی
* کارآزمایی بالینی و مطالعات
* همه‌گیرشناسی
* آمار پزشکی

 |
| آمار مهندسی | 
* شیمی آماری
* مهندسی روش‌ها
* طراحی احتمالاتی
* کنترل آماری فرایندها کنترل کیفیت
* مهندسی قابلیت اطمینان
* شناسایی سامانه

 |
| آمار اجتماعی | 
* آکچوئری
* سرشماری
* آمار جرم
* آمار جمعیت‌شناسی
* اقتصادسنجی
* حساب‌های ملی
* آمار رسمی
* جامعه آماری
* روان‌سنجی

 |
| تحلیل داده‌های فضایی | 
* نقشه‌نگاری
* آمار زیست‌محیطی
* سامانه اطلاعات جغرافیایی
* زمین‌آمار
* کریگیدن

 |

 |

 |
| 
* **رده**
* **نشان درگاه درگاه ریاضیات**
* **انبار**
* **ویکی‌پروژه**

 |