تجسم تبدیل باکس-مولر - نقاط رنگی در مربع واحد (u1، u2) که به صورت حلقه‌هایی ترسیم شده‌اند، به یک گاوسی دوبعدی (z0، z1) ترسیم می‌شوند که به صورت ضربدرهایی ترسیم می‌شوند. طرح‌های موجود در حاشیه توابع توزیع احتمال z0 و z1 هستند. توجه داشته باشید که z0 و z1 محدود نیستند. به نظر می‌رسد آن‌ها به‌دلیل انتخاب نقاط مصور در [-۲٫۵٫۲٫۵] قرار دارند. در پرونده SVG، برای برجسته کردن آن روی یک نقطه شناور، روی یک نقطه مربوطه.
**تبدیل باکس-مولر**، توسط جورج ادوارد پلهام باکس و مروین ادگار مولر، یک روش نمونه‌گیری عدد تصادفی برای تولید جفت اعداد تصادفی مستقل، استاندارد، توزیع نرمال (چشم‌داشتی صفر، واریانس واحد) است، با استفاده از یک منبع اعداد تصادفی با توزیع یکنواخت. در حقیقت این روش برای اولین بار صریحاً توسط ریموند ایی. ای.سی. پالی و نوربرت وینر در سال ۱۹۳۴ ذکر شد.

تبدیل باکس-مولر معمولاً به دو شکل بیان می‌شود. شکل اصلی همان‌طور که توسط باکس و مولر آورده شده‌است دو نمونه از توزیع یکنواخت را در بازه [۰٬۱] دریافت می‌کند و آن‌ها را به دو نمونه استاندارد و توزیع نرمال نگاشت می‌دهد. فرم قطبی دو نمونه را از بازه متفاوت [−۱, +۱] می‌گیرد، و آنها را به دو نمونه توزیع نرمال بدون استفاده از توابع سینوسی یا کسینوسی نگاشت می‌دهد.

تبدیل باکس-مولر به عنوان یک جایگزین محاسباتی کارآمدتر برای روش نمونه‌گیری تبدیل معکوس توسعه یافت. الگوریتم زیگورات روشی کارآمدتر برای پردازنده‌های اسکالر (به عنوان مثال سی‌پی‌یوهای قدیمی) ارائه می‌دهد، درحالی که تبدیل باکس-مولر برای پردازنده‌های دارای واحد برداری برتر است (به عنوان مثال GPU یا CPUهای مدرن). علاوه بر این، تبدیل باکس-مولر را می‌توان برای ترسیم از چگالی‌های گاوسی دومتغیره مختصرشده استفاده کرد.

شکل اساسی
---------

فرض کنید *U* 1 و *U* 2 نمونه مستقلی هستند که از توزیع یکنواخت در بازه واحد (۰٬۱) انتخاب می‌شوند، پس

{\displaystyle Z\_{0}=R\cos(\Theta )={\sqrt {-2\ln U\_{1}}}\cos(2\pi U\_{2})\,}
و

{\displaystyle Z\_{1}=R\sin(\Theta )={\sqrt {-2\ln U\_{1}}}\sin(2\pi U\_{2}).\,}
سپس *Z* 0 و *Z* 1 متغیرهای تصادفی مستقل با توزیع نرمال استاندارد هستند.

جستارهای وابسته
---------------

* نمونه‌برداری تبدیل معکوس
* روش قطبی مارسالیا، تبدیل مشابه باکس-مولر، که به جای مختصات قطبی از مختصات دکارتی استفاده می‌کند

منابع
-----

* Howes, Lee; Thomas, David (2008). *GPU Gems 3 - Efficient Random Number Generation and Application Using CUDA*. Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-51526-1.  Howes, Lee; Thomas, David (2008). *GPU Gems 3 - Efficient Random Number Generation and Application Using CUDA*. Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-51526-1.  Howes, Lee; Thomas, David (2008). *GPU Gems 3 - Efficient Random Number Generation and Application Using CUDA*. Pearson Education, Inc. ISBN 978-0-321-51526-1.

1. ↑  Box, G. E. P.; Muller, Mervin E. (1958). "A Note on the Generation of Random Normal Deviates". *The Annals of Mathematical Statistics*. **29** (2): 610–611. doi:10.1214/aoms/1177706645. JSTOR 2237361.
2. ↑  Raymond E. A. C. Paley and Norbert Wiener *Fourier Transforms in the Complex Domain,* New York: American Mathematical Society (1934) §37.
3. ↑  Kloeden and Platen, *Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations*, pp. 11–12
4. ↑  (Howes و Thomas 2008).
5. ↑  Martino, L.; Luengo, D.; Míguez, J. (2012). "Efficient sampling from truncated bivariate Gaussians via Box-Muller transformation". *Electronics Letters*. **48** (24): 1533–1534. CiteSeerX 10.1.1.716.8683. doi:10.1049/el.2012.2816.

پیوند به بیرون
--------------

* Weisstein, Eric W. "تبدیل باکس-مولر". *MathWorld*.

* How to Convert a Uniform Distribution to a Gaussian Distribution (C Code)