خروجی مدل معادلهٔ آب کم‌عمق در یک استخر. پنج قطرهٔ آب روی سطح استخر می‌چکد که امواج جاذبه ایجاد می‌کند و این امواج به سمت دیواره‌ها منتشر و از آن‌ها منعکس می‌شود.
**معادلات آب کم‌عمق** (که شکل یک‌بعدی آن، معادلات سن‌ونان نیز خوانده می‌شود) مجموعه‌ای از معادلات دیفرانسیل هذلولوی با مشتقات جزئی (یا سهموی در صورت در نظر گرفتن تنش برشی لزج) است که جریان تحت فشار در یک سیال را توصیف می‌کند.

این معادلات از معادلات ناویه-استوکس متوسط‌گیری شده در عمق، در شرایطی که مقیاس افقی بسیار بزرگ‌تر از مقیاس عمودی باشد، استخراج شده‌اند. بر پایهٔ این شرط، باید سرعت قائم سیال اندک باشد تا پایستگی جرم برقرار بماند. می‌توان از معادلهٔ اندازهٔ حرکت نشان داد که گردایان فشار قائم تقریباً هیدرواستاتیک می‌ماند و گرادیان فشار افقی وابسته به تغییرات سطح فشار است و نتیجهٔ آن، ثابت بودن سرعت افقی در عمق سیال است. با متوسط‌گیری در عمق، می‌توان سرعت قائم را از معادلات حذف کرد.

با این که از سرعت قائم چشم‌پوشی می‌شود، ولی این سرعت لزوماً صفر نیست. برای نمونه، هنگامی که تراز بستر تغییر می‌کند، سرعت قائم نمی‌تواند برابر صفر باشد و اگر شرط صفر بودن الزامی بود، معادلات آب کم‌عمق تنها روی بستر افقی برقرار بود. پس از به دست آمدن پاسخ، می‌توان سرعت قائم را از معادلهٔ پیوستگی به دست آورد.

در دینامیک سیالات، نمونه‌های زیادی از ناچیز بودن مقیاس عمودی نسبت به مقیاس افقی وجود دارد؛ بنابراین معادلات آب کم‌عمق، کاربرد زیادی دارند. این معادلات در مدل‌سازی جوی و اقیانوسی به همراه نیروهای کوریولیس برای ساده‌سازی معادلات اولیهٔ جریان جوی به کار می‌روند.

معادلات
-------

### شکل پایستار

معادلات آب کم‌عمق از معادلات پایستگی جرم و پایستگی تکانهٔ خطی (معادلات ناویه-استوکس) استخراج می‌شوند. در نبود نیروهای کوریولیس، اصطکاکی و لزجت، معادلات آب کم‌عمق به صورت زیر هستند:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \eta }{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta u)}{\partial x}}+{\frac {\partial (\eta v)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta u)}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\eta u^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial y}}&=0\\[3pt]{\frac {\partial (\eta v)}{\partial t}}+{\frac {\partial (\eta uv)}{\partial x}}+{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\eta v^{2}+{\frac {1}{2}}g\eta ^{2}\right)&=0.\end{aligned}}}

که در آن *η* ارتفاع ستون سیال و *H* عمق آب ساکن هستند. *u* و *v* سرعت‌های افقی متوسط‌گیری شده در عمق و *g* شتاب گرانش هستند. معادلهٔ اول از پایستگی جرم و معادلهٔ دوم از پایستگی تکانه مشتق شده‌اند.

### شکل ناپایستار

با بسط روابط بالا با قاعده ضرب، شکل ناپایستار معادلات آب کم‌عمق به دست می‌آید. از آن‌جایی که معادلات اساسی پایستگی برقرار نیستند، شکل ناپایستار برای ضربه یا پرش هیدرولیکی قابل استفاده نیست. با اعمال اثر کوریولیس، اصطکاک و لزجت، داریم:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}-fv&=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}+fu&=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-bv,\\[3pt]{\frac {\partial h}{\partial t}}&=-{\frac {\partial }{\partial x}}{\Bigl (}u\left(H+h\right){\Bigr )}-{\frac {\partial }{\partial y}}{\Bigl (}v\left(H+h\right){\Bigr )},\end{aligned}}}

که در آن *h* اختلاف تراز آب با حالت ساکن ، *f* ضریب کوریولیس و *b* ضریب درگ لزج است.

معمولاً جملات مرتبهٔ بالاتر *u* و *v* که انتقال خالص را نشان می‌دهند، در مقایسه با سایر جملات کوچک هستند. هم‌چنین می‌توان چنین پنداشت که ارتفاع موج *h* در مقایسه با تراز آب متوسط *H* ناچیز است؛ بنابراین:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial u}{\partial t}}-fv&=-g{\frac {\partial h}{\partial x}}-bu,\\[3pt]{\frac {\partial v}{\partial t}}+fu&=-g{\frac {\partial h}{\partial y}}-bv,\\[3pt]{\frac {\partial h}{\partial t}}&=-H{\Bigl (}{\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\Bigr )}\end{aligned}}}

مدل‌سازی موج با معادلات آب کم‌عمق
---------------------------------

می‌توان معادلات آب کم‌عمق را برای مدل‌سازی موج روسبی و کلوین در جو، رودخانه‌ها، دریاچه‌ها و دریاها هم‌چون امواج جاذبه در دامنه‌های کوچک‌تر به کار برد. برای معتبر بودن معادلات آب کم‌عمق، باید طول موج پدیدهٔ مورد مدل‌سازی بسیار بزرگتر از عمق حوضهٔ محل وقوع پدیده باشد. این معادلات برای مدل‌سازی جزر و مد نیز قابل استفاده هستند.

ایجاد و انتشار سونامی محاسبه شده با معادلات آب کم‌عمق (خط سرخ، بدون پراکندگی فرکانس) و مدل بوزینسک (خط آبی، با پراکندگی فرکانس). مشاهده می‌شود که مدل بوزینسک یک موج تکی با دنباله‌ای نوسانی شکل می‌دهد. در حالی که معادلات آب کم‌عمق، یک جبههٔ تیز را ایجاد می‌کند. عمق آب ۱۰۰ متر است.

منابع
-----

1. ↑  "The Shallow Water Equations" (PDF). Archived from the original (PDF) on 6 September 2012. Retrieved 2010-01-22.
2. ↑  Clint Dawson and Christopher M. Mirabito (2008). "The Shallow Water Equations" (PDF). Retrieved 2013-03-28.

| * ن
* ب
* و
اقیانوس‌نگاری فیزیکی |
| --- |
| امواج | 
* نظریه موج ایری
* Ballantine scale
* Benjamin–Feir instability
* Boussinesq approximation
* موج شکنا
* Clapotis
* Cnoidal wave
* Cross sea
* پاشش
* موج لبه‌ای
* Equatorial wave
* موجگاه
* موج گرانشی
* Green's law
* Infragravity wave
* Internal wave
* Iribarren number
* Kelvin wave
* Kinematic wave
* رانش کرانه‌ای
* Luke's variational principle
* Mild-slope equation
* تنش تشعشعی
* موج عظیم
* Rossby wave
* Rossby-gravity waves
* Sea state
* سیش
* ارتفاع موج مشخصه
* سالیتون
* Stokes boundary layer
* Stokes drift
* Stokes wave
* Swell
* Trochoidal wave
* سونامی
	+ کلان‌سونامی
* جریان پاشنه
* عدد اورسل
* Wave action
* پایه موج
* ارتفاع موج
* Wave nonlinearity
* انرژی موج
* Wave radar
* خیزآب موج
* کم‌ژرفایی
* Wave turbulence
* Wave–current interaction
* امواج و آب کم‌ژرفا
	+ معادلات آب کم‌عمق
	+ معادلات آب کم‌عمق
* موج دریا
	+ model

 | UpwellingAntarctic bottom water |
| جریان‌ها | 
* گردش جوی
* Baroclinity
* Boundary current
* اثر کوریولیس
* Coriolis–Stokes force
* Craik–Leibovich vortex force
* فروچاهش
* Eddy
* Ekman layer
* Ekman spiral
* انتقال اکمن
* نوسان جنوبی ال‌نینو
* General circulation model
* Geochemical Ocean Sections Study
* Geostrophic current
* Global Ocean Data Analysis Project
* گلف استریم
* Halothermal circulation
* جریان هامبالت
* گردش آب گرم
* Langmuir circulation
* رانش کرانه‌ای
* جریان لوپ
* Modular Ocean Model
* جریان اقیانوسی
* Ocean dynamics
* Ocean dynamical thermostat
* چرخاب
* Princeton ocean model
* جریان شکافنده
* جریان‌های زیرسطحی
* Sverdrup balance
* گردش دماشوری
	+ shutdown
* فراچاهش
* Wind generated current
* گرداب
* World Ocean Circulation Experiment

 |
| جزر و مد | 
* Amphidromic point
* جزر و مد زمین
* Head of tide
* Internal tide
* Lunitidal interval
* Perigean spring tide
* Rip tide
* Rule of twelfths
* Slack water
* بلند آبخیز
* نیروی کشندی
* انرژی کشندی
* Tidal race
* دامنه کشندی
* Tidal resonance
* جزر و مد سنج
* Tideline
* Theory of tides

 |
| زمین‌چهر‌ها | 
* Abyssal fan
* دشت مغاکی
* آب‌سنگ حلقوی
* Bathymetric chart
* جغرافیای ساحلی
* تراوش سرد
* حاشیه قاره‌ای
* خیز قاره‌ای
* فلات قاره
* Contourite
* فینه
* آب‌نگاری
* Knoll
* حوضه اقیانوسی
* فلات اقیانوسی
* درازگودال
* حاشیه نافعال
* بستر دریا
* دریاکوه
* ژرف‌دره زیردریایی
* آتشفشان زیردریایی

 |
| زمین‌ساخت صفحه‌ای | 
* مرز همگرا
* مرز واگرا
* زون شکستگی
* چاه گرمابی
* زمین‌شناسی دریایی
* پشته میانی اقیانوس
* ناپیوستگی موهوروویچیچ
* Vine–Matthews–Morley hypothesis
* پوسته اقیانوسی
* Outer trench swell
* Ridge push
* گسترش بستر اقیانوس
* Slab pull
* Slab suction
* Slab window
* فرورانش
* گسل ترادیس
* کمان آتشفشانی

 |
| ناحیه‌های اقیانوسی | 
* دریابن
* Deep ocean water
* ژرف
* پهنه ساحلی
* Mesopelagic
* ناحیه اقیانوسی
* لجه
* ناحیه فوتیک
* پهنه موج‌خیز
* پسروی دریا

 |
| سطح دریا | 
* Deep-ocean Assessment and Reporting of Tsunamis
* افزایش سطح آب دریاها
* Global Sea Level Observing System
* North West Shelf Operational Oceanographic System
* Sea-level curve
* افزایش سطح آب دریاها
* World Geodetic System

 |
| اقیانوس‌نگاری صوتی | 
* لایه پراکنش عمقی
* صوت‌شناسی زیرآبی
* Ocean acoustic tomography
* Sofar bomb
* کانال اس‌اواف‌ای‌آر
* صوت‌شناسی زیرآبی

 |
| ماهواره‌ها | 
* Jason-1
* مأموریت مکان‌نگاری سطح اقیانوس
* Jason-3

 |
| نوشتارهای مرتبط | 
* اسیدی شدن اقیانوس
* Argo
* Benthic lander
* رنگ آب
* دی‌اس‌وی آلوین
* Marginal sea
* انرژی دریایی
* آلودگی دریایی
* Mooring
* National Oceanographic Data Center
* اقیانوس
* Explorations
* Observations
* Reanalysis
* توپوگرافی سطح اقیانوس
* Ocean temperature
* تبدیل انرژی گرمایی اقیانوس
* اقیانوس‌نگاری
	+ Outline of oceanography
* Pelagic sediment
* Sea surface microlayer
* دمای سطح دریا
* آب دریا
* Science On a Sphere
* لایه‌بندی آب
* پرده دمایی
* Underwater glider
* Water column
* اطلس اقیانوس جهانی

 |
| 
* **نشان درگاه درگاه Oceans**
* رده:اقیانوس‌نگاری فیزیکی
* Commons

 |