| مثلثات |
| --- |
|  |
| * تاریخ
* کاربرد
* توابع (توابع معکوس)
* مثلثات تعمیم‌یافته
* مطالعه بیشتر
 |
| 
منابع |
| * اتحادها
* مقدارهای دقیق
* جدول‌ها
* دایره واحد
 |
| 
قوانین و قضایا |
| * قانون سینوس‌ها
* قانون کسینوس‌ها
* قانون تانژانت‌ها
* قانون کتانژانت‌ها
* قضیه فیثاغورس
 |
| حساب دیفرانسیل و انتگرال |
| * جانشینی مثلثاتی
* انتگرال توابع (انتگرال توابع وارون)
* مشتق توابع
 |
| * ن
* ب
* و
 |

در ادامه فهرستی از انتگرال تابع‌های مثلثاتی نوشته شده‌است. برای آگاهی از انتگرال تابع‌های نمایی و مثلثاتی فهرست انتگرال تابع‌های نمایی را نگاه کنید، همچنین برای داشتن یک فهرست کامل صفحهٔ فهرست انتگرال‌ها را نگاه کنید.

اگر تابع \sin(x) را شکل کلی تابع مثلثاتی در نظر بگیریم و \cos(x) را به عنوان مشتق آن، آنگاه:

{\displaystyle \int a\cos nx\;dx={\frac {a}{n}}\sin nx+c}

در تمامی رابطه‌ها فرض می‌شود که *a* ناصفر است و *C* ثابت انتگرال‌گیری است.

انتگرال‌هایی که تنها تابع سینوس دارند
-------------------------------------

{\displaystyle \int \sin ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\cos ax+C\,\!}
{\displaystyle \int \sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
{\displaystyle \int x\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{2}}{4}}-{\frac {x}{4a}}\sin 2ax-{\frac {1}{8a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
{\displaystyle \int x^{2}\sin ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}-\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax-{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
{\displaystyle \int \sin b\_{1}x\sin b\_{2}x\;dx={\frac {\sin((b\_{1}-b\_{2})x)}{2(b\_{1}-b\_{2})}}-{\frac {\sin((b\_{1}+b\_{2})x)}{2(b\_{1}+b\_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|b\_{1}|\neq |b\_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sin ^{n}{ax}\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \sin ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax}}={\frac {\cos ax}{a(1-n)\sin ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int x\sin ax\;dx={\frac {\sin ax}{a^{2}}}-{\frac {x\cos ax}{a}}+C\,\!}
{\displaystyle \int x^{n}\sin ax\;dx=-{\frac {x^{n}}{a}}\cos ax+{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\cos ax\;dx=\sum \_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k+1}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\cos ax+\sum \_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-1-2k}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\sin ax\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \_{\frac {-a}{2}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\sin ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=2,4,6...{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x}}dx=\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(ax)^{2n+1}}{(2n+1)\cdot (2n+1)!}}+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\sin ax}{(n-1)x^{n-1}}}+{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\cos ax}{x^{n-1}}}dx\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1\pm \sin ax}}={\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\sin ax}}={\frac {x}{a}}\tan \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos \left({\frac {ax}{2}}-{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\sin ax}}={\frac {x}{a}}\cot \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin \left({\frac {\pi }{4}}-{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{1\pm \sin ax}}=\pm x+{\frac {1}{a}}\tan \left({\frac {\pi }{4}}\mp {\frac {ax}{2}}\right)+C}

انتگرال‌هایی که تنها تابع کسینوس دارند
--------------------------------------

{\displaystyle \int \cos ax\;dx={\frac {1}{a}}\sin ax+C\,\!}
{\displaystyle \int \cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{4a}}\sin 2ax+C={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\sin ax\cos ax+C\!}
{\displaystyle \int \cos ^{n}ax\;dx={\frac {\cos ^{n-1}ax\sin ax}{na}}+{\frac {n-1}{n}}\int \cos ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n>0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int x\cos ax\;dx={\frac {\cos ax}{a^{2}}}+{\frac {x\sin ax}{a}}+C\,\!}
{\displaystyle \int x^{2}\cos ^{2}{ax}\;dx={\frac {x^{3}}{6}}+\left({\frac {x^{2}}{4a}}-{\frac {1}{8a^{3}}}\right)\sin 2ax+{\frac {x}{4a^{2}}}\cos 2ax+C\!}
{\displaystyle \int x^{n}\cos ax\;dx={\frac {x^{n}\sin ax}{a}}-{\frac {n}{a}}\int x^{n-1}\sin ax\;dx\,=\sum \_{k=0}^{2k+1\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k-1}}{a^{2+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k-1)!}}\cos ax+\sum \_{k=0}^{2k\leq n}(-1)^{k}{\frac {x^{n-2k}}{a^{1+2k}}}{\frac {n!}{(n-2k)!}}\sin ax\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x}}dx=\ln |ax|+\sum \_{k=1}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {(ax)^{2k}}{2k\cdot (2k)!}}+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax}{x^{n}}}dx=-{\frac {\cos ax}{(n-1)x^{n-1}}}-{\frac {a}{n-1}}\int {\frac {\sin ax}{x^{n-1}}}dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+{\frac {n-2}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n>1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cos ax}}={\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1+\cos ax}}={\frac {x}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\cos {\frac {ax}{2}}\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {x\;dx}{1-\cos ax}}=-{\frac {x}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+{\frac {2}{a^{2}}}\ln \left|\sin {\frac {ax}{2}}\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1+\cos ax}}=x-{\frac {1}{a}}\tan {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{1-\cos ax}}=-x-{\frac {1}{a}}\cot {\frac {ax}{2}}+C\,\!}
{\displaystyle \int \cos a\_{1}x\cos a\_{2}x\;dx={\frac {\sin(a\_{1}-a\_{2})x}{2(a\_{1}-a\_{2})}}+{\frac {\sin(a\_{1}+a\_{2})x}{2(a\_{1}+a\_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a\_{1}|\neq |a\_{2}|{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌هایی که تنها تابع تانژانت دارند
---------------------------------------

{\displaystyle \int \tan ax\;dx=-{\frac {1}{a}}\ln |\cos ax|+C={\frac {1}{a}}\ln |secax|+C\,\!}
{\displaystyle \int \tan ^{n}ax\;dx={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}ax-\int \tan ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{q\tan ax+p}}={\frac {1}{p^{2}+q^{2}}}(px+{\frac {q}{a}}\ln |q\sin ax+p\cos ax|)+C\qquad {\mbox{(for }}p^{2}+q^{2}\neq 0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax}}={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\tan ax-1}}=-{\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax+\cos ax|+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln |\sin ax-\cos ax|+C\,\!}

انتگرال‌هایی که تنها تابع سکانت دارند
-------------------------------------

{\displaystyle \int \sec {ax}\,dx={\frac {1}{a}}\ln {\left|\sec {ax}+\tan {ax}\right|}+C}
{\displaystyle \int \sec ^{2}{x}\,dx=\tan {x}+C}
{\displaystyle \int \sec ^{n}{ax}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{ax}\tan {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sec ^{n}{x}\,dx={\frac {\sec ^{n-2}{x}\tan {x}}{n-1}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \sec ^{n-2}{x}\,dx}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}+1}}=x-\tan {\frac {x}{2}}+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sec {x}-1}}=-x-\cot {\frac {x}{2}}+C}

انتگرال‌هایی که تنها تابع کسکانت دارند
--------------------------------------

{\displaystyle \int \csc {ax}\,dx=-{\frac {1}{a}}\ln {\left|\csc {ax}+\cot {ax}\right|}+C}
{\displaystyle \int \csc ^{2}{x}\,dx=-\cot {x}+C}
{\displaystyle \int \csc ^{n}{ax}\,dx=-{\frac {\csc ^{n-2}{ax}\cot {ax}}{a(n-1)}}\,+\,{\frac {n-2}{n-1}}\int \csc ^{n-2}{ax}\,dx\qquad {\mbox{ (for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}+1}}=x-{\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}+\sin {\frac {x}{2}}}}+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\csc {x}-1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}}{\cos {\frac {x}{2}}-\sin {\frac {x}{2}}}}-x+C}

انتگرال‌هایی که تنها تابع کتانژانت دارند
----------------------------------------

{\displaystyle \int \cot ax\;dx={\frac {1}{a}}\ln |\sin ax|+C\,\!}
{\displaystyle \int \cot ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n-1)}}\cot ^{n-1}ax-\int \cot ^{n-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax+1}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1-\cot ax}}=\int {\frac {\tan ax\;dx}{\tan ax-1}}\,\!}

انتگرال‌هایی که سینوس و کسینوس دارند
------------------------------------

{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ax\pm \sin ax}}={\frac {1}{a{\sqrt {2}}}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}\pm {\frac {\pi }{8}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos ax\pm \sin ax)^{2}}}={\frac {1}{2a}}\tan \left(ax\mp {\frac {\pi }{4}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n}}}={\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\sin x-\cos x}{(\cos x+\sin x)^{n-1}}}-2(n-2)\int {\frac {dx}{(\cos x+\sin x)^{n-2}}}\right)}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax+\sin ax}}={\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax+\cos ax\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax-\sin ax}}=-{\frac {x}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\sin ax-\cos ax\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1+\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\tan ^{2}{\frac {ax}{2}}+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ax(1-\cos ax)}}=-{\frac {1}{4a}}\cot ^{2}{\frac {ax}{2}}-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1+\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\cot ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)+{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ax(1-\sin ax)}}={\frac {1}{4a}}\tan ^{2}\left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)-{\frac {1}{2a}}\ln \left|\tan \left({\frac {ax}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int \sin ax\cos ax\;dx=-{\frac {1}{2a}}\cos ^{2}ax+C\,\!}
{\displaystyle \int \sin a\_{1}x\cos a\_{2}x\;dx=-{\frac {\cos((a\_{1}-a\_{2})x)}{2(a\_{1}-a\_{2})}}-{\frac {\cos((a\_{1}+a\_{2})x)}{2(a\_{1}+a\_{2})}}+C\qquad {\mbox{(for }}|a\_{1}|\neq |a\_{2}|{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ax\;dx={\frac {1}{a(n+1)}}\sin ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sin ax\cos ^{n}ax\;dx=-{\frac {1}{a(n+1)}}\cos ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx=-{\frac {\sin ^{n-1}ax\cos ^{m+1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {n-1}{n+m}}\int \sin ^{n-2}ax\cos ^{m}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int \sin ^{n}ax\cos ^{m}ax\;dx={\frac {\sin ^{n+1}ax\cos ^{m-1}ax}{a(n+m)}}+{\frac {m-1}{n+m}}\int \sin ^{n}ax\cos ^{m-2}ax\;dx\qquad {\mbox{(for }}m,n>0{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ax}}={\frac {1}{a}}\ln \left|\tan ax\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ax\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{n}ax\cos ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {1}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {1}{a}}\sin ax+{\frac {1}{a}}\ln \left|\tan \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {ax}{2}}\right)\right|+C}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{2}ax\;dx}{\cos ^{n}ax}}={\frac {\sin ax}{a(n-1)\cos ^{n-1}ax}}-{\frac {1}{n-1}}\int {\frac {dx}{\cos ^{n-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-1)}}+\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ax}}\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n+1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m+2}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}=-{\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(n-m)\cos ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\sin ^{n}ax\;dx}{\cos ^{m}ax}}={\frac {\sin ^{n-1}ax}{a(m-1)\cos ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\sin ^{n-2}ax\;dx}{\cos ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{a(n-1)\sin ^{n-1}ax}}+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ax}}={\frac {1}{a}}\left(\cos ax+\ln \left|\tan {\frac {ax}{2}}\right|\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{2}ax\;dx}{\sin ^{n}ax}}=-{\frac {1}{n-1}}\left({\frac {\cos ax}{a\sin ^{n-1}ax)}}+\int {\frac {dx}{\sin ^{n-2}ax}}\right)\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n+1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-m-2}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}={\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(n-m)\sin ^{m-1}ax}}+{\frac {n-1}{n-m}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq n{\mbox{)}}\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\cos ^{n}ax\;dx}{\sin ^{m}ax}}=-{\frac {\cos ^{n-1}ax}{a(m-1)\sin ^{m-1}ax}}-{\frac {n-1}{m-1}}\int {\frac {\cos ^{n-2}ax\;dx}{\sin ^{m-2}ax}}\qquad {\mbox{(for }}m\neq 1{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌هایی که سینوس و تانژانت دارند
-------------------------------------

{\displaystyle \int \sin ax\tan ax\;dx={\frac {1}{a}}(\ln |\sec ax+\tan ax|-\sin ax)+C\,\!}
{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n-1)}}\tan ^{n-1}(ax)+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌هایی که کسینوس و تانژانت دارند
--------------------------------------

{\displaystyle \int {\frac {\tan ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\tan ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌هایی که سینوس و کتانژانت دارند
--------------------------------------

{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\sin ^{2}ax}}={\frac {1}{a(n+1)}}\cot ^{n+1}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq -1{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌هایی که کسینوس و کتانژانت دارند
---------------------------------------

{\displaystyle \int {\frac {\cot ^{n}ax\;dx}{\cos ^{2}ax}}={\frac {1}{a(1-n)}}\tan ^{1-n}ax+C\qquad {\mbox{(for }}n\neq 1{\mbox{)}}\,\!}

انتگرال‌های با بازه‌های متقارن
------------------------------

{\displaystyle \int \_{-c}^{c}\sin {x}\;dx=0\!}
{\displaystyle \int \_{-c}^{c}\cos {x}\;dx=2\int \_{0}^{c}\cos {x}\;dx=2\int \_{-c}^{0}\cos {x}\;dx=2\sin {c}\!}
{\displaystyle \int \_{-c}^{c}\tan {x}\;dx=0\!}
{\displaystyle \int \_{-{\frac {a}{2}}}^{\frac {a}{2}}x^{2}\cos ^{2}{\frac {n\pi x}{a}}\;dx={\frac {a^{3}(n^{2}\pi ^{2}-6)}{24n^{2}\pi ^{2}}}\qquad {\mbox{(for }}n=1,3,5...{\mbox{)}}\,\!}

منابع
-----

1. ↑  Stewart, James. Calculus: Early Transcendentals, 6th Edition. Thomson: 2008

| * ن
* ب
* و
فهرست انتگرال‌ها |
| --- |
| *توابع گویا* • *توابع گنگ* • *توابع مثلثاتی* • *توابع وارون مثلثاتی* • *توابع هیپربولیک* • *تابع‌های وارون هیپربولیک* • *توابع نمایی* • *توابع لگاریتمی* • *تابع‌های گوسی* |

| * ن
* ب
* و
توابع ریاضی |
| --- |
| مفاهیم | تابع یک به یک، تابع پوشا، تابع زوج و فرد، تابع تحلیلی، تابع برداری، تابع پیوسته، تابع دیفرانسیل‌پذیر، تابع یکنوا | *x* ↦ *f*(*x*) |
| توابع متعارف | تابع ثابت، تابع همانی، تابع علامت، توابع چندجمله‌ای، توابع گویا، توابع مثلثاتی، تابع نمایی (تابع هذلولوی)، قدر مطلق، لگاریتم |
| توابع مثلثاتی | سینوس، کسینوس، تانژانت، کتانژانت، توابع وارون مثلثاتی، فهرست انتگرال توابع مثلثاتی، مشتق توابع مثلثاتی |
| توابع خاص | تابع بسل، تابع لژاندر، تابع پله‌ای، تابع گاما، تابع خطا، تابع چبیشف، تابع گرین، دلتای دیراک، تابع زتای ریمان، تابع هیون، تابع گاوسی، تابع دیریکله |

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |