حرکت یک پالس در ریسمانی که دو سر آن ثابت است. مدل نمایش داده شده با استفاده از معادله موج بدست آمده است.
**معادله موج** (Wave equation) معادله‌ای خطی و کلاسیک از نوع معادلات دیفرانسیل هذلولوی پاره‌ای است. در حالت دو بعدی (نسبت به مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم موج به صورت زیر نمایش داده می‌شود:

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u\!}

که در اینجا {\displaystyle \nabla ^{2}={\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}\!} عملگر لاپلاس، {\displaystyle t\!} زمان، {\displaystyle u\!} دامنهٔ موج، و {\displaystyle c\!} ضریبی است ثابت برابر با سرعت موج.

به عنوان تعمیمی از معادلهٔ خطی موج، می‌توان سرعت را تابعی از دامنه موج گرفت. در این حالت، **معادلهٔ غیرخطی موج** خواهیم داشت

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c(u)^{2}\nabla ^{2}u}

معادله درجهٔ اول موج
--------------------

امواج کروی صادره از یک منبع نقطه‌ای.
(در حالت یک‌بعدی نسبت به‌مکان) معادلهٔ درجهٔ دوم بالا را می‌توانیم به دو معادله درجه اول موج به‌صورت زیر قسمت کنیم:

{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}

{\displaystyle {\Big \Downarrow }}

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}

جواب‌ها
-------

در حالت یک بعدی داریم:

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}-c^{2}{\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}=0\!}

برای حل مسئله ابتدا تغییر متغیر زیر را انجام می‌دهیم:

{\displaystyle x+ct=\xi \!}، {\displaystyle x-ct=\eta \!}

به سادگی می‌توان نشان داد که در دستگاه مختصات جدید {\displaystyle \xi \!} و {\displaystyle \eta \!} معادله موج به صورت زیر در می‌آید:

{\displaystyle u\_{\xi \eta }={\partial ^{2}u \over \partial \xi \,\partial \eta }=0\!}

که با انتگرال‌گیری ازآن داریم:

{\displaystyle u=f(\xi )+g(\eta )\!}

که در اینجا {\displaystyle f\!} و {\displaystyle g\!} توابع دلخواه (ولی مشتق‌پذیر) هستند.

### جواب سینوسی

یک جواب معادله‌ٔ موج می‌تواند به این شکل باشد:

{\displaystyle u(x,t)=A\sin(kx-\omega t+\phi )\,}
k عدد موج، \omega  سرعت زاویه‌ای، \lambda طول موج، \phi فاز، T دوره تناوب و f بسامد حرکت نوسانی نام دارند.

{\displaystyle \omega ={\frac {2\pi }{T}}=2\pi f\quad ,\quad k={\frac {2\pi }{\lambda }}\quad ,\quad c={\frac {\lambda }{T}}}

سرعت فاز و سرعت گروه
--------------------

جایی که (A(z,t پوشش دامنه‌ای که برای موج داریم و K تعداد موج و \phi نمایانگر فاز موج است. سرعت فاز *v**p* این موج توسط {\displaystyle v\_{p}={\frac {\omega }{k}}=\lambda f,\,} نشان داده می‌شود. ( \lambda نمایانگر طول موج است.

پانوشته‌ها
----------

جستارهای وابسته
---------------

* جواب بنیادین
* معادله لاپلاس
* معادله حرارت
* معادلات دیفرانسیل هذلولوی
* قانون هوک

منابع
-----


* Farlow, S. J. *Partial Differential Equations for Scientists and Engieers*, Dover, New York, 1982
* Smoller, J. *Shock Waves and Reaction - Diffusion Equations*, Springer-Verlag, New York, Inc. 1983. ISBN 0-387-90752-1


|  |  |
| --- | --- |
| داده‌های کتابخانه‌ای: کتابخانه‌های ملی ویرایش در ویکی‌داده | 
* ژاپن
* جمهوری چک

 |

|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |