میانه‌های مثلث (خطوط قرمز).
در هندسه مسطحه، یک **میانه** از مثلث، نیم خطی خطی است که یک رأس را به نقطه میانی ضلع مقابل متصل می کند، لذا بدین طریق ضلع مقابل به دو ضلع مساوی تقسیم می شود. هر مثلث دقیقاً سه میانه دارد، که هر کدام از آن ها از یک رأس مثلث به وسط ضلع مقابل آن رأس کشیده می شود. در نهایت هر سه میانه مثلث در نقطه ای به نام مرکزوار (یا مرکز مثلث) همدیگر را قطع می کنند. در مورد خاص مثلث متساوی الساقین، میانه مربوط به رأسی که دو ضلع مجاور آن با هم برابر است، همزمان نیمساز آن زاویه نیز می باشد.

مفهوم میانه به چهار وجهی ها نیز تعمیم پیدا می کند.

ارتباط با مرکز ثقل
------------------

هر میانه ی یک مثلث، از مرکزوار مثلث عبور می کند که به آن مرکز ثقل نیز می گویند، چرا که مرکز جرم شیء مثلثی ایده آل، با ضخامت بی نهایت نازک، با مرکزوار یکی می شود. ازین رو، یک شیء مثلثی آیده آل که ذکر آن رفت، در مرکزوار به تعادل می رسد. فاصله مرکزوار از رأسی که از آن خارج می شود دو برابر فاصله آن تا ضلعی است که با آن برخورد می کند.

تقسیم به نواحی برابر
--------------------

هر میانه، مساحت مثلث را نیز همچون طول اضلاع آن به دو نیمه مساوی تقسیم بندی می کند. به همین دلیل است که اگر مثلثی را با چگالی یک دست بسازیم، مرکز ثقل آن همان محل برخورد میانه های مثلث می شود، به همین دلیل برخی مواقع به مرکزوار یا محل برخورد میانه های مثلث، مرکز ثقل مثلث هم می گویند(غیر از سه میانه، هیچ خط دیگری که از مرکزوار، یا مرکز ثقل عبور کند، مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم نمی کند، هرچند که خطوط دیگر که از خارج مرکزوار عبور می کنند ممکن است مساحت مثلث را به دو نیم تقسیم کنند). سه میانه مثلث را به شش مثلث کوچکتر با مساحت های برابر تقسیم بندی می کنند.

روابط طول میانه در مثلث
-----------------------

طول میانه ها را می توان از طریق قضیه آپولونیوس بدست آورد:

{\displaystyle m\_{a}={\sqrt {\frac {2b^{2}+2c^{2}-a^{2}}{4}}},}
{\displaystyle m\_{b}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2c^{2}-b^{2}}{4}}},}
{\displaystyle m\_{c}={\sqrt {\frac {2a^{2}+2b^{2}-c^{2}}{4}}},}
که در آن a و b و c اضلاع مثلث و میانه های متناظر با این اضلاع به ترتیب {\displaystyle m\_{a}} و {\displaystyle m\_{b}} و {\displaystyle m\_{c}} می باشند.

ازین رو روابط زیر را داریم:

{\displaystyle a={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m\_{a}^{2}+2m\_{b}^{2}+2m\_{c}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+c^{2})-4m\_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-c^{2}+2m\_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-b^{2}+2m\_{c}^{2}}},}
{\displaystyle b={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m\_{b}^{2}+2m\_{a}^{2}+2m\_{c}^{2}}}={\sqrt {2(a^{2}+c^{2})-4m\_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-c^{2}+2m\_{a}^{2}}}={\sqrt {{\frac {c^{2}}{2}}-a^{2}+2m\_{c}^{2}}},}
{\displaystyle c={\frac {2}{3}}{\sqrt {-m\_{c}^{2}+2m\_{b}^{2}+2m\_{a}^{2}}}={\sqrt {2(b^{2}+a^{2})-4m\_{c}^{2}}}={\sqrt {{\frac {b^{2}}{2}}-a^{2}+2m\_{b}^{2}}}={\sqrt {{\frac {a^{2}}{2}}-b^{2}+2m\_{a}^{2}}}.}

منابع
-----

1. ↑  Weisstein, Eric W. (2010). *CRC Concise Encyclopedia of Mathematics, Second Edition*. CRC Press. pp. 375–377. ISBN 9781420035223.
2. ↑  Bottomley, Henry. "Medians and Area Bisectors of a Triangle". Archived from the original on 2019-05-10. Retrieved 27 September 2013.
3. ↑  Dunn, J. A. and Pretty, J. E. "Halving a triangle," *Mathematical Gazette* 56, May 1972, 105-108. DOI 10.2307/3615256
4. ↑  Déplanche, Y. (1996). *Diccio fórmulas*. Medianas de un triángulo. Edunsa. p. 22. ISBN 978-84-7747-119-6. Retrieved 2011-04-24.

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Median (Geometry)». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.