Formula used to model how air pressure varies with altitude
**فرمول بارومتریک** فرمولی است که برای مدل سازی چگونگی تغییر فشار (یا چگالی)هوا با ارتفاع استفاده می شود.

معادلات فشار
------------

Pressure as a function of the height above the sea level
فشار به عنوان تابعی از ارتفاع از سطح دریا دو معادله برای محاسبه فشار به عنوان تابعی از ارتفاع وجود دارد. معادله اول برای مدل استاندارد تروپوسفر قابل استفاده است که در آن فرض می شود دما با ارتفاع از سطح دریا تغییر می کند.


P
=

P

b

[

T

b

−

(

h
−

h

b

)

L

b

T

b

]



g

0

M

R

∗

L

b



{\displaystyle P=P\_{b}\left[{\frac {T\_{b}-\left(h-h\_{b}\right)L\_{b}}{T\_{b}}}\right]^{\tfrac {g\_{0}M}{R^{\*}L\_{b}}}}

{\displaystyle P=P_{b}\left[{\frac {T_{b}-\left(h-h_{b}\right)L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\tfrac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}}
معادله دوم برای مدل استاندارد استراتوسفر که در آن فرض می شود دما با ارتفاع تغییر نمی کند قابل استفاده است:


P
=

P

b

exp
⁡

[

−

g

0

M

(

h
−

h

b

)

R

∗

T

b


]

{\displaystyle P=P\_{b}\exp \left[{\frac {-g\_{0}M\left(h-h\_{b}\right)}{R^{\*}T\_{b}}}\right]}

{\displaystyle P=P_{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]}
جایی که:

* {\displaystyle P\_{b}} =فشار مرجع
* {\displaystyle T\_{b}} =دمای مرجع ( K )
* {\displaystyle L\_{b}} =نرخ افت دما (K/m) در ISA
* h =ارتفاعی که فشار در آن محاسبه می شود (m)
* {\displaystyle h\_{b}} =ارتفاع سطح مرجع b
* {\displaystyle R^{\*}} =ثابت گاز جهانی : 8.3144598 J/(mol·K)
* {\displaystyle g\_{0}} =شتاب گرانشی : 9.80665 m/s 2
* M =جرم مولی هوای زمین: 0.0289644 کیلوگرم بر مول

یا به واحدهای اندازه‌گیری بریتانیایی تبدیل می شوند:

مقدار زیرخط b مطابق با هر یک از هفت لایه متوالی اتمسفر که در جدول زیر نشان داده شده است، از ۰ تا ۶ متغیر است.در این معادلات،*g*0, *M* و *R*\* هر یک ثابت های تک ارزشی هستند، در حالی که P، L، T و h ثابت های چند ارزشی مطابق با جدول زیر هستند. مقادیر مورد استفاده برای *g*0, *M* مطابق با U.S. Standard Atmosphere در سال ۱۹۷۶ هستند و مقدار R \* به طور خاص با مقادیر استاندارد برای این ثابت موافق نیست.

مقدار مرجع*Pb* برای b = 0 مقدار سطح دریا تعریف شده، P۰ = ۱۰۱ ۳۲۵ Pa یا inHg ۲۹.۹۲۱۲۶ است. مقادیر *Pb* از b = ۱ تا b = ۶ از کاربرد عضو مناسب معادلات جفت ۱ و ۲ برای حالتی که *h* = *h**b*+1.


| Subscript *b* | Height above sea level | Static pressure | Standard temperature (K) | Temperature lapse rate | Exponent  g0 M / R L |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| (m) | (ft) | (Pa) | (inHg) | (K/m) | (K/ft) |
| 0 | 0 | 0 | 101 325.00 | 29.92126 | 288.15 | 0.0065 | 0.0019812 | 5.2558 |
| 1 | 11 000 | 36,089 | 22 632.10 | 6.683245 | 216.65 | 0.0 | 0.0 | — |
| 2 | 20 000 | 65,617 | 5474.89 | 1.616734 | 216.65 | -0.001 | -0.0003048 | -34.1626 |
| 3 | 32 000 | 104,987 | 868.02 | 0.2563258 | 228.65 | -0.0028 | -0.00085344 | -12.2009 |
| 4 | 47 000 | 154,199 | 110.91 | 0.0327506 | 270.65 | 0.0 | 0.0 | — |
| 5 | 51 000 | 167,323 | 66.94 | 0.01976704 | 270.65 | 0.0028 | 0.00085344 | 12.2009 |
| 6 | 71 000 | 232,940 | 3.96 | 0.00116833 | 214.65 | 0.002 | 0.0006096 | 17.0813 |

معادله چگالی
------------

عبارات محاسبه چگالی تقریبا با محاسبه فشار یکسان هستند. تنها تفاوت، توان در معادله ۱ است.دو معادله برای محاسبه چگالی به عنوان تابعی از ارتفاع وجود دارد. معادله اول برای مدل استاندارد تروپوسفر قابل استفاده است که در آن فرض می شود دما با ارتفاع از سطح دریا تغییر می کند.

معادله دوم برای مدل استاندارد استراتوسفر کاربرد دارد که در آن فرض می شود دما با ارتفاع تغییر نمی کند.

معادله 1:



ρ
=

ρ

b

[

T

b

−
(
h
−

h

b

)

L

b

T

b

]

(


g

0

M

R

∗

L

b


−
1

)


{\displaystyle \rho =\rho \_{b}\left[{\frac {T\_{b}-(h-h\_{b})L\_{b}}{T\_{b}}}\right]^{\left({\frac {g\_{0}M}{R^{\*}L\_{b}}}-1\right)}}

{\displaystyle \rho =\rho _{b}\left[{\frac {T_{b}-(h-h_{b})L_{b}}{T_{b}}}\right]^{\left({\frac {g_{0}M}{R^{*}L_{b}}}-1\right)}}
که معادل نسبت فشار نسبی و تغییرات دما است:



ρ
=

ρ

b

P
T


T

b

P

b



{\displaystyle \rho =\rho \_{b}{\frac {P}{T}}{\frac {T\_{b}}{P\_{b}}}}

{\displaystyle \rho =\rho _{b}{\frac {P}{T}}{\frac {T_{b}}{P_{b}}}}
معادله 2:



ρ
=

ρ

b

exp
⁡

[

−

g

0

M

(

h
−

h

b

)

R

∗

T

b


]

{\displaystyle \rho =\rho \_{b}\exp \left[{\frac {-g\_{0}M\left(h-h\_{b}\right)}{R^{\*}T\_{b}}}\right]}

{\displaystyle \rho =\rho _{b}\exp \left[{\frac {-g_{0}M\left(h-h_{b}\right)}{R^{*}T_{b}}}\right]}
جایی که:

* {\rho } == چگالی جرمی (kg/ m3)
* {\displaystyle T\_{b}} == دمای استاندارد (K)
* L == نرخ افت دمای استاندارد (جدول زیر را ببینید) (K/m) در ISA
* h == ارتفاع از سطح دریا (متر ژئوپتانسیل)
* {\displaystyle R^{\*}} == ثابت گاز جهانی 8.3144598 N·m/(mol·K)
* {\displaystyle g\_{0}} == شتاب گرانشی: 9.80665 m/s 2
* M == جرم مولی هوای زمین: 0.0289644 کیلوگرم بر مول

مقدار زیرخط b مطابق با هر یک از هفت لایه متوالی اتمسفر که در جدول زیر نشان داده شده است، از ۰ تا ۶ متغیر است. مقدار مرجع ρb برای برای b = 0 مقدار سطح دریا تعریف شده است، ρ0 = ۱.۲۲۵۰ kg / m۳ یا ۰.۰۰۲۳۷۶۸۹۰۸ slug / ft۳. مقادیر ρb از b = ۱ تا b = ۶ از کاربرد عضو مناسب معادلات جفت ۱ و ۲ برای حالتی که *h* = *h**b*+1.
در این معادلات، g۰، M و R \* هر یک ثابت های تک ارزشی هستند، در حالی که چگالی، L، T و h ثابت های چند ارزشی مطابق با جدول زیر هستند. مقادیر به کار رفته برای M، g۰ و R \* مطابق با استاندارد آمریکا در سال ۱۹۷۶ است و مقدار R \* به طور خاص با مقادیر استاندارد برای این ثابت موافق نیست.

| Subscript *b* | Height Above Sea Level (*h*) | Mass Density (\rho ) | Standard Temperature (*T'*) (K) | Temperature Lapse Rate (*L*) |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| (m) | (ft) | (kg/m3) | (slug/ft3) | (K/m) | (K/ft) |
| 0 | 0 | 0 | 1.2250 | ۶۹۹۷۲۳۷۶۸۹۰۷۹۹۹۹۹۹۹♠۲٫۳۷۶۸۹۰۸×۱۰−۳ | 288.15 | 0.0065 | 0.0019812 |
| 1 | 11 000 | 36,089.24 | 0.36391 | ۶۹۹۶۷۰۶۱۱۷۰۳۰۰۰۰۰۰۰♠۷٫۰۶۱۱۷۰۳×۱۰−۴ | 216.65 | 0.0 | 0.0 |
| 2 | 20 000 | 65,616.79 | 0.08803 | ۶۹۹۶۱۷۰۸۱۵۷۲۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۷۰۸۱۵۷۲×۱۰−۴ | 216.65 | -0.001 | -0.0003048 |
| 3 | 32 000 | 104,986.87 | 0.01322 | ۶۹۹۵۲۵۶۶۰۷۳۵۰۰۰۰۰۰۰♠۲٫۵۶۶۰۷۳۵×۱۰−۵ | 228.65 | -0.0028 | -0.00085344 |
| 4 | 47 000 | 154,199.48 | 0.00143 | ۶۹۹۴۲۷۶۹۸۷۰۱۹۹۹۹۹۹۹♠۲٫۷۶۹۸۷۰۲×۱۰−۶ | 270.65 | 0.0 | 0.0 |
| 5 | 51 000 | 167,322.83 | 0.00086 | ۶۹۹۴۱۶۷۱۷۸۹۵۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۶۷۱۷۸۹۵×۱۰−۶ | 270.65 | 0.0028 | 0.00085344 |
| 6 | 71 000 | 232,939.63 | 0.000064 | ۶۹۹۳۱۲۴۵۸۹۸۹۰۰۰۰۰۰۰♠۱٫۲۴۵۸۹۸۹×۱۰−۷ | 214.65 | 0.002 | 0.0006096 |

**استخراج**

فرمول بارومتریک را می توان به کمک قانون گاز ایده آل به دست آورد:



P
=

ρ
M

R

∗

T

{\displaystyle P={\frac {\rho }{M}}{R^{\*}}T}

{\displaystyle P={\frac {\rho }{M}}{R^{*}}T}
با فرض اینکه تمام فشار هیدرواستاتیک باشد:



d
P
=
−
ρ
g

d
z

{\displaystyle dP=-\rho g\,dz}

{\displaystyle dP=-\rho g\,dz}
و با تقسیم 𝑑𝑃 بر عبارت 𝑃 به دست می آید:



d
P

P

=
−

M
g

d
z

R

∗

T


{\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{\*}T}}}

{\displaystyle {\frac {dP}{P}}=-{\frac {Mg\,dz}{R^{*}T}}}
با ادغام این عبارت از سطح تا ارتفاع z به دست می آوریم:



P
=

P

0

e

−

∫

0

z

M
g
d
z

/

R

∗

T


{\displaystyle P=P\_{0}e^{-\int \_{0}^{z}{Mgdz/R^{\*}T}}}

{\displaystyle P=P_{0}e^{-\int _{0}^{z}{Mgdz/R^{*}T}}}
اگر تغییر دما را خطی فرض کرد {\displaystyle T=T\_{0}-Lz} و جرم مولی ثابت و شتاب گرانشی، اولین فرمول بارومتریک را به دست می آوریم:



P
=

P

0

⋅

[

T

T

0

]



M
g

R

∗

L



{\displaystyle P=P\_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T\_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{\*}L}}}}

{\displaystyle P=P_{0}\cdot \left[{\frac {T}{T_{0}}}\right]^{\textstyle {\frac {Mg}{R^{*}L}}}}
در عوض، با فرض دمای ثابت، انتگرال گیری فرمول بارومتریک دوم را می دهد:



P
=

P

0

e

−
M
g
z

/

R

∗

T

{\displaystyle P=P\_{0}e^{-Mgz/R^{\*}T}}

{\displaystyle P=P_{0}e^{-Mgz/R^{*}T}}
در این فرمول، R \* ثابت گاز است و عبارت R \* T / Mg ارتفاع مقیاس را می دهد (تقریبا برابر ۸.۴ کیلومتر برای تروپوسفر).
برای نتایج دقیق تر، باید بدانید که اتمسفرهایی که حاوی آب هستند به عنوان یک گاز ایده آل رفتار نمی کنند.)

همچنین ببینید
-------------

* Hypsometric equation
* NRLMSISE-00
* Vertical pressure variation

1. ↑  Mechtly, E. A. 1973: *The International System of Units, Physical Constants and Conversion Factors*. NASA SP-7012, Second Revision, National Aeronautics and Space Administration, Washington, D.C.
2. 1 2  U.S. Standard Atmosphere, 1976, U.S. Government Printing Office, Washington, D.C. 1976. (Linked file is 17 Mb)