نمایش تصویری تصاعد هندسی ۱ + ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ... که قدر نسبت آن ۱/۲ *است.*
در ریاضیات، **دنبالهٔ هندسی** یا **تصاعد هندسی** (به انگلیسی: geometric progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که از جملهٔ اول به بعد، هر جمله برابر است با حاصل‌ضرب جملهٔ قبلی در یک عدد ثابتِ مخالف صفر و یک. به این عدد ثابت *قدر نسبت تصاعد* گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۲، ۶، ۱۸، ۵۴، … یک دنباله از اعداد با قدر نسبت ۳ است. مجموع اعداد یک دنبالهٔ هندسی را **سری هندسی** می‌نامند.

شکل کلی دنباله‌های هندسی به‌صورت زیر نوشته می‌شود:

{\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }

بنابراین شکل کلی سری هندسی به‌صورت زیر خواهد بود:

{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots }

در رابطه‌های بالا a جملهٔ اول دنباله و *r* ≠ ۰ قدر نسبت تصاعد می‌باشد.

ویژگی‌های اولیه
---------------

*n* امین جملهٔ تصاعد هندسی با قدر نسبت *r* و جملهٔ اول a به صورت زیر نوشته می‌شود:

{\displaystyle a\_{n}=a\,r^{n-1}}

همچنین طبق معادلهٔ تفاضل برای تمامی {\displaystyle n\geq 1} می‌توان گفت:

{\displaystyle a\_{n}=r\,a\_{n-1}}

رفتار جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی تنها به قدر نسبت آن تصاعد وابسته‌است؛ چنانچه قدر نسبت تصاعد:

* مثبت باشد، جمله‌های بعدی دنباله همگی هم علامت جملهٔ اول خواهد بود.
* منفی باشد، جمله‌های بعدی دنباله به صورت یک در میان علامت مخالف خواهند داشت.
* بزرگتر از ۱ باشد، جمله‌های دنباله رشد نمایی به سمت مثبت بی‌نهایت خواهند داشت.
* ۱ باشد، دنباله ثابت خواهد بود.
* میان ۱ و ۱- باشد به‌جزء صفر، جمله‌های بعدی دنباله به صفر *میل* می‌کند. (اعداد سری هندسی به ترتیب کاهش می‌یابند و به صفر نزدیک می‌شوند؛ ولی هیچ‌گاه صفر نمی‌شود)
* ۱- باشد، جمله‌های بعدی تشکیل یک دنبالهٔ متناوب را خواهند داد. (اعداد به ترتیب یک در میان با تعویض علامت همراه هستند)
* کوچکتر از ۱- باشد، قدر مطلق جمله‌های دنباله رشد نمایی خواهند داشت و هر یک از آن‌ها بسته به علامت به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت میل خواهند کرد.

در صورتی که در دنباله‌های هندسی، قدر نسبت برابر با ۰ یا ۱ یا ۱- نباشد، در حالت کلی شاهد رشد نمایی به سمت مثبت یا منفی بی‌نهایت (بسته به علامت جمله‌ها) یا به سمت صفر خواهیم بود.

تشحیص دنباله هندسی
------------------

برای تشخیص دنباله هندسی دو جمله متوالی از دنباله هندسی را به هم تقسیم کنیم. 

{\displaystyle {\frac {a\_{4}}{a\_{3}}},{\frac {a\_{3}}{a\_{2}}}}
اگر به مقدار ثابتی رسیدیم. دنباله ما هندسی هست.

**مثال:** آیا دنبال زیر هندسی است؟

{\displaystyle 20,10,5,2.5,1.25,...}
**جواب:**

{\displaystyle {\frac {a\_{4}}{a\_{3}}}={\frac {2.5}{5}}=0.5}

{\displaystyle {\frac {a\_{3}}{a\_{2}}}={\frac {5}{10}}=0.5}
پس دنباله بالا هندسی است.

واسطه هندسی
-----------

اگر سه جمله a , b , c ، سه جمله متوالی دنباله هندسی باشد. آنگاه رابطه زیر برقرار است:

{\displaystyle b^{2}=ac}

**مثال:** مقدار x را طوری تعیین کنید که دنباله زیر هندسی باشد.

{\displaystyle x,x-3,x+1}

حل
--

{\displaystyle (x-3)^{2}=x(x+1)}

{\displaystyle x={\frac {9}{7}}}

سری‌های هندسی
-------------

مقالهٔ اصلی: سری هندسی
**سری هندسی** به *مجموع* جمله‌های یک دنبالهٔ هندسی گفته می‌شود.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\,}

اگر دو سوی تساوی را در {\displaystyle 1-r} ضرب کنیم به رابطهٔ ساده‌تری می‌رسیم و خواهیم داشت:

{\displaystyle {\begin{aligned}(1-r)\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}&=(1-r)(ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n})\\&=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}\\&{\color {White}{}=ar^{0}}-ar^{1}-ar^{2}-ar^{3}-\cdots -ar^{n}-ar^{n+1}\\&=a-ar^{n+1}\end{aligned}}}

برای یک سری هندسی در صورتی که *r* ≠ ۱ باشد رابطهٔ مجموع به صورت زیر نوشته می‌شود:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}.}

اگر مجموع را از شمارشگری بزرگتر از ۰ مانند *m* شروع کنیم:

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{n}ar^{k}={\frac {a(r^{m}-r^{n+1})}{1-r}}.}

مشتق این رابطه نسبت به *r* باعث می‌شود تا به رابطه‌ای برای مجموع برسیم:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}k^{s}r^{k}.}

برای نمونه:

{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum \_{k=0}^{n}r^{k}=\sum \_{k=1}^{n}kr^{k-1}={\frac {1-r^{n+1}}{(1-r)^{2}}}-{\frac {(n+1)r^{n}}{1-r}}.}

یک سری هندسی که تنها توان‌های زوج *r* را دارد را باید در {\displaystyle 1-r^{2}}: ضرب کرد:

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}=a-ar^{2n+2}.}

آنگاه

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k}={\frac {a(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}

و برای سری که توان‌های فرد *r* را دارد:

{\displaystyle (1-r^{2})\sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}=ar-ar^{2n+3}}

و

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{2k+1}={\frac {ar(1-r^{2n+2})}{1-r^{2}}}.}

### سری‌های هندسی نامتناهی

مقالهٔ اصلی: سری هندسی
یک **سری هندسی نامتناهی** یک سری نامتناهی ریاضی است که جمله‌های پشت هم آن قدر نسبت ثابتی داشته باشند. چنین سری‌های همگرا خواهند بود اگر و تنها اگر قدر مطلق قدر نسبت آن کوچکتر از ۱ باشد ۱> |*r*|. مقدار آن‌ها را می‌توان بوسیله رابطهٔ بدست آمده برای مجموع سری در حالت متناهی بدست آورد:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim \_{n\to \infty }{\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim \_{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}

از آنجایی که:

{\displaystyle r^{n+1}\to 0{\mbox{ as }}n\to \infty {\mbox{ when }}|r|<1.}

آنگاه

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}={\frac {a}{1-r}}-0={\frac {a}{1-r}}}

برای سری که تنها توان‌های زوج r را دارد:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k}={\frac {a}{1-r^{2}}}}

و برای توان‌های فرد:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{2k+1}={\frac {ar}{1-r^{2}}}}

در صورتی که مجموع از شمارشگر *k* = ۰ شروع نشود:

{\displaystyle \sum \_{k=m}^{\infty }ar^{k}={\frac {ar^{m}}{1-r}}}

رابطه‌ای که در بالا بدست آمد تنها برای ۱> |*r*| معتبر است. در حالتی که یک مجموع متناهی داشته باشیم، می‌توانیم از مشتق‌گیری برای بدست آوردن مجموع استفاده کنیم. برای نمونه:

{\displaystyle {\frac {d}{dr}}\sum \_{k=0}^{\infty }r^{k}=\sum \_{k=0}^{\infty }kr^{k-1}={\frac {1}{(1-r)^{2}}}}

رابطهٔ بالا تنها برای ۱> |*r*| کار می‌کند. همچنین برای۱> |*r*| می‌توان نوشت:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }kr^{k}={\frac {r}{\left(1-r\right)^{2}}}\,;\,\sum \_{k=0}^{\infty }k^{2}r^{k}={\frac {r\left(1+r\right)}{\left(1-r\right)^{3}}}\,;\,\sum \_{k=0}^{\infty }k^{3}r^{k}={\frac {r\left(1+4r+r^{2}\right)}{\left(1-r\right)^{4}}}}

سری‌های نامتناهی مانند **۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + · · ·** وجود دارند که مطلقاً همگرا هستند. در این سری جملهٔ اول و قدر نسبت هر دو ۱/۲ هستند؛ مجموع این سری خواهد بود:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(+1/2)}}=1.}

وارون سری بالا **۱/۲ − ۱/۴ + ۱/۸ − ۱/۱۶ + · · ·** خود یک نمونه از سری‌های متناوب است که مطلقاً همگرا است. در این سری هندسی جملهٔ اول ۱/۲ است و مجموع آن عبارت است از:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots ={\frac {1/2}{1-(-1/2)}}={\frac {1}{3}}.}

### اعداد مختلط

رابطه‌هایی که برای مجموع سری‌های هندسی بدست آمد حتی در مجموعهٔ اعداد مختلط نیز معتبر است. با این تفاوت که شرط «قدر مطلق *r* کوچکتر از ۱ باید باشد»، با «اندازهٔ عدد مختلط *r* کوچکتر از ۱ باید باشد» جایگزین می‌شود. با کمک مفهوم اعداد مختلط برخی سری‌هایی که به ظاهر هندسی نیستند به سری هندسی تبدیل می‌شوند. برای نمونه:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {r\sin(x)}{1+r^{2}-2r\cos(x)}}}

چون:

{\displaystyle \sin(kx)={\frac {e^{ikx}-e^{-ikx}}{2i}},}

که این از نتایج فرمول اولر است. با جایگزینی آن در رابطهٔ اصلی خواهیم داشت:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\sin(kx)}{r^{k}}}={\frac {1}{2i}}\left[\sum \_{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{ix}}{r}}\right)^{k}-\sum \_{k=0}^{\infty }\left({\frac {e^{-ix}}{r}}\right)^{k}\right]}.

که این خود برابر است با تفاضل دو سری هندسی.

ضرب
---

**ضرب یک تصاعد هندسی** به معنی ضرب تمامی جمله‌های آن در یکدیگر است. اگر تمامی جمله‌های آن مثبت باشد، می‌توان آن را به آسانی به کمک رابطهٔ میانگین هندسی و جمله‌های اول و آخر دنباله، محاسبه کرد. (این رابطه به مجموع تصاعد حسابی بسیار شبیه‌است)

{\displaystyle \prod \_{i=0}^{n}ar^{i}=\left({\sqrt {a\_{1}\cdot a\_{n+1}}}\right)^{n+1}} (if {\displaystyle a,r>0}).

اثبات:
اگر ضرب را را با علامت P نمایش دهیم:

{\displaystyle P=a\cdot ar\cdot ar^{2}\cdots ar^{n-1}\cdot ar^{n}}.

پس از انجام عمل ضرب خواهیم داشت:

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{1+2+3+\cdots +(n-1)+(n)}}.

با استفاده از مجموع تصاعد حسابی خواهیم داشت:

{\displaystyle P=a^{n+1}r^{\frac {n(n+1)}{2}}}.
{\displaystyle P=(ar^{\frac {n}{2}})^{n+1}}.

دو سوی تساوی را به توان ۲ می‌رسانیم:

{\displaystyle P^{2}=(a^{2}r^{n})^{n+1}=(a\cdot ar^{n})^{n+1}}.

در نتیجهٔ این کار:

اثبات شد.

رابطه‌های دیگر
--------------

چگونه جملهٔ بین دو جمله را پیدا کنیم؟  

در اینجا می‌خواهیم جملهٔ بین یعنی x را بدست آوریم:

{\displaystyle 4,x,16}

برای این کار از رابطه زیر استفاده می‌کنیم:

{\displaystyle x={\sqrt {4.16}}}

جمع‌بندی
--------

در شکل زیر جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی نمایش داده شده.

جمله عمومی دنباله هندسی
{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a\_{n}=ar^{n-1}\\\hline \end{array}}}
واسطه هندسی

{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a,\ b,\ c\\b^{2}=ac\\\hline \end{array}}}جمله عمومی دنباله هندسی و واسطه هندسی

جستارهای وابسته
---------------

* دنباله
* سری هندسی
* توماس مالتوس
* تابع نمایی
* تصاعد حسابی

منابع
-----


* Hall & Knight, *Higher Algebra*, p.  ۳۹، ISBN 81-8116-000-2
* Weisstein, Eric W. "Geometric Series". *MathWorld*.

* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ *(کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشتهٔ نظری)*

پیوند به بیرون
--------------

* ویدیوهای آموزشی تصاعد هندسی در کلاس درس
* Derivation of رابطه‌های مربوط به مجموع سری‌های هندسی متناهی و نامتناهی در Mathalino
* شمارشگر تصاعدهای هندسی
* اثبات زیبایی برای مجموع تصاعد هندسی در sputsoft.com

| * ن
* ب
* و
دنباله‌ها و سری‌ها |
| --- |
| دنباله صحیح | 

|  |  |
| --- | --- |
| پایه | 
* تصاعد حسابی
* تصاعد هندسی
* تصاعد همساز
* مربع کامل
* مکعب
* فاکتوریل
* Powers of two
* Powers of three
* Powers of 10

 |
| پیشرفته (فهرست) | 
* Complete sequence
* اعداد فیبوناچی
* Figurate number
* Heptagonal number
* Hexagonal number
* دنباله لوکاس
* Pell number
* Pentagonal number
* Polygonal number
* عدد مثلثی

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| خواص دنباله‌ها | 
* دنباله کوشی
* تابع یکنوا
* Periodic sequence

 |
| خواص سری‌ها | 
* سری همگرا
* سری واگرا
* همگرایی مشروط
* Absolute convergence
* Uniform convergence
* Alternating series
* Telescoping series

 |
| سری‌های صریح | 

|  |  |
| --- | --- |
| همگرا | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* تابع زتای ریمان

 |
| واگرا | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* ۱ + ۲ + ۳ + ۴ + …
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (سری گراندی)
* تصاعد حسابی
* ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* سری هارمونیک
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (فاکتوریل‌های متناوب)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (معکوس اعداد اول)

 |

 |
| انواع سری‌ها | 
* بسط تیلور
* سری توانی
* سری توانی صوری
* سری لوران
* Puiseux series
* Dirichlet series
* Trigonometric series
* سری فوریه
* تابع مولد

 |
| سری‌هایفوق هندسی | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| 
* کتاب
* سری‌های ریاضی

 |