|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

در ریاضیات، **سری تیلور** یا **بسط تیلور** (به انگلیسی: Taylor series)، نمایش یک تابع به صورت مجموع بی‌نهایت جمله است که از مشتق‌های تابع در یک نقطه به دست می‌آید. ریاضیدان انگلیسی، بروک تیلور، در سال ۱۷۱۵ میلادی، مفهوم سری تیلور را به‌طور رسمی معرفی کرد. اگر سری را دور نقطه صفر گسترش دهیم، سری، سری مکلارن نامیده می‌شود که به نام ریاضیدان اسکاتلندی، کالین مکلارن (که در قرن ۱۸م. از این حالت خاص سری تیلور استفاده بسیاری کرد) نام‌گذاری شده‌است. مرسوم است که توابع را حول یک نقطه با تعدادی متناهی از جملات سری تیلور تقریب بزنند. قضیه تیلور مقدار خطای این تقریب زنی را به صورت کمّی تخمین می‌زند. هر تعداد متناهی از جملات اول سری تیلور به چندجمله‌ای تیلور معروف است. سری تیلور یک تابع، حد چندجمله‌ای‌های تیلور آن است (اگر حد وجود داشته باشد) یک تابع ممکن است با سری تیلورش برابر نباشد حتی اگر سری تیلور آن در هر نقطه همگرا باشد. تابعی که در یک بازهٔ باز (یا یک دیسک در صفحه مختلط) با سری تیلورش برابر باشد، تابع تحلیلی نامیده می‌شود.

تعریف
-----

 تابع نمایی (به رنگ آبی) و مجموع n+1 جمله اول سری تیلور دور نقطه ۰ (به رنگ قرمز)
هر چه درجه چند جمله‌ای تیلور حول نقطه مد نظر افزایش پیدا کند، تابع تقریب تیلور به تابع اصلی نزدیک‌تر می‌شود. این تصویر \sin(x) و تقریب‌های تیلور آن را تا جملات ۱، ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱ و ۱۳ نشان می‌دهد.
سری تیلور یک تابع f(x) با مقادیر حقیقی یا مختلط که در همسایگی نقطه حقیقی یا مختلط x\_{0} بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است، سری توانیِ زیر است:

{\displaystyle f(x)=f(x\_{0})+{\frac {f'(x\_{0})(x-x\_{0})}{1!}}+{\frac {f''(x\_{0})(x-x\_{0})^{2}}{2!}}+{\frac {f'''(x\_{0})(x-x\_{0})^{3}}{3!}}+...}

که می‌توانیم آن را با علامت سیگما خلاصه‌تر بنویسیم:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(x\_{0})}{n!}}(x-x\_{0})^{n}}

که در اینجا {\displaystyle n!} به معنی فاکتوریل عدد n و {\displaystyle f^{(n)}(x\_{0})} به معنی مشتق مرتبهnاُم تابع f در نقطه x\_{0} است. طبق تعریف مشتق ۰-اُم هر تابع خودش است و {\displaystyle (x-x\_{0})^{0}} و {\displaystyle 0!} هر دو برابر ۱اند. اگر {\displaystyle x\_{0}=0} باشد، سری همان سری مکلورن است.

اثبات
-----

فرض کنید می‌خواهیم تابعی چندجمله‌ای مثل {\displaystyle P(x)} مدلسازی کنیم که در همسایگی نقطه a با تابع f(x) یکریخت باشد. اول اینکه باید مقدار تابع در نقطه a با f برابر باشد پس داریم:
{\displaystyle P(a)=f(a)}
تا اینجا داریم {\displaystyle P(x)=f(a)} و اکنون برای اینکه تابع P در همسایگی a نیز شبیه f شود باید مشتق‌های آن در این نقطه با مشتق‌های f برابر باشد. مشتق‌های f را به صورت مضاربی از x به P اضافه می‌کنیم به‌طوری که: (۱) در نقطهٔ a برابر صفر باشند تا مدل به هم نخورد و (۲) مشتق i-اُمِ P برابر با مشتق i-اُمِ f باشد. برای برقراری شرط یک و دو کافی‌ست مقدار عددی مشتق i-اُمِ f را به ضریبِ {\displaystyle {\frac {(x-a)^{i}}{i!}}} قرار دهیم. در این صورت این مقدار تا مشتق i-اُم صفر باقی خواهد ماند و چون در هر مشتق این مقدار در توانِ صورت ضرب می‌شود هنگامِ گرفتن مشتق i-اُم خواهیم داشت {\displaystyle P^{(i)}(x)={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}(f^{(i)}(a))(i!){\frac {(x-a)^{i}}{i!}}=f^{(i)}(a)}. اگر اضافه کردن مشتقات را تا ابد ادامه دهیم تابع P بیشتر شبیه f شده تا در بینهایت هم‌ارز خود f شود.

{\displaystyle f(x)\sim P(x)=f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f''(a)}{2!}}(x-a)^{2}+{\frac {f^{(3)}(a)}{3!}}(x-a)^{3}+\cdots .}

یا همان:

{\displaystyle f(x)\sim P(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}

گاهی درگرفتن حد، از یک یا دو جمله اول گسترش تیلور یک تابع دور نقطه حدگیری، به عنوان یک هم‌ارزی استفاده می‌کنند. به عنوان مثال در گسترش تیلور تابع {\displaystyle sin(x)} دور نقطه ۰ داریم:

{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

پس در حد گرفتن، هرجا کمان {\displaystyle sin(x)} به سمت صفر میل کند داریم:

{\displaystyle \sin(x)\sim x-{\frac {x^{3}}{3!}}}

نمونه
-----

{\displaystyle f(x)=e^{2x}}

در همسایگی (۱-)، بی‌نهایت بار مشتق‌پذیر است.

می‌توان گفت:

{\displaystyle e^{2x}={\frac {(1)}{(e^{2})}}+{\frac {(2)(x+1)}{(1!)(e^{2})}}+{\frac {(2^{2})(x+1)^{2}}{(2!)(e^{2})}}+{\frac {(2^{3})(x+1)^{3}}{(3!)(e^{2})}}+...}

{\displaystyle e^{2x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2)^{(n)}}{((n)!e^{2})}}(x+1)^{n}}

همچنین، از بسط تیلور می‌توان برای حل از روش سری‌های توانی استفاده کرد.

موارد پر کاربرد
---------------

تابع نمایی

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

لگاریتم طبیعی

{\displaystyle \ln(1-x)=-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}-1\leq x<1}

{\displaystyle \ln(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n+1}{\frac {x^{n}}{n}}{\text{ for }}-1<x\leq 1}

دنبالهٔ هندسی متناهی

{\displaystyle {\frac {1-x^{m+1}}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{m}x^{n}\quad {\mbox{ for }}x\not =1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} \_{0}\!}

دنبالهٔ هندسی نامتناهی

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}{\text{ for }}|x|<1\!}

متغیرهای دنبالهٔ هندسی نامتناهی

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{-n}{\text{ for }}|x|>1\!}

{\displaystyle {\frac {x^{m}}{1-x}}=\sum \_{n=m}^{\infty }x^{n}\quad {\mbox{ for }}|x|<1{\text{ and }}m\in \mathbb {N} \_{0}\!}

{\displaystyle {\frac {x}{(1-x)^{2}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }nx^{n}\quad {\text{ for }}|x|<1\!}

{\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{2}}}=\sum \_{n=1}^{\infty }nx^{n-1}\quad {\text{ for }}|x|>1\!}

ریشهٔ مربع

{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{(1-2n)(n!)^{2}(4^{n})}}x^{n}=1+\textstyle {\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots {\text{ for }}|x|\leq 1}

بسط دو جمله‌ای

{\displaystyle (1+x)^{\alpha }=\sum \_{n=0}^{\infty }{\alpha \choose n}x^{n}\quad {\mbox{ for all }}|x|<1{\text{ and all complex }}\alpha \!}

توابع مثلثاتی

{\displaystyle \sin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

{\displaystyle \cos x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ for all }}x\!}

{\displaystyle \tan x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

{\displaystyle \sec x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}E\_{2n}}{(2n)!}}x^{2n}{\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

{\displaystyle \arcsin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}

{\displaystyle \arccos x={\pi \over 2}-\arcsin x={\pi \over 2}-\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}

{\displaystyle \arctan x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}

توابع هذلولی

{\displaystyle \sinh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

{\displaystyle \cosh x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots {\text{ for all }}x\!}

{\displaystyle \tanh x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}4^{n}(4^{n}-1)}{(2n)!}}x^{2n-1}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {2}{15}}x^{5}-{\frac {17}{315}}x^{7}+\cdots {\text{ for }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}

{\displaystyle \mathrm {arsinh} (x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}(2n)!}{4^{n}(n!)^{2}(2n+1)}}x^{2n+1}{\text{ for }}|x|\leq 1\!}

{\displaystyle \mathrm {artanh} (x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{2n+1}}{\text{ for }}|x|<1\!}

منابع
-----


* Thomas, George B. Jr. ; Finney, Ross L. (1996). *Calculus @ and Analytic Geometry* (9th ed.). Addison Wesley. ISBN 0-201-53174-7.
* Greenber, Michael (1998). *Advanced Engineering Mathematics (2nd ed.)*. Prentice Hall. ISBN 0-13-321431-1.
* Navid K. Jalali; Doctrine: How Limits Work.


| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |

| * ن
* ب
* و
دنباله‌ها و سری‌ها |
| --- |
| دنباله صحیح | 

|  |  |
| --- | --- |
| پایه | 
* تصاعد حسابی
* تصاعد هندسی
* تصاعد همساز
* مربع کامل
* مکعب
* فاکتوریل
* Powers of two
* Powers of three
* Powers of 10

 |
| پیشرفته (فهرست) | 
* Complete sequence
* اعداد فیبوناچی
* Figurate number
* Heptagonal number
* Hexagonal number
* دنباله لوکاس
* Pell number
* Pentagonal number
* Polygonal number
* عدد مثلثی

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| خواص دنباله‌ها | 
* دنباله کوشی
* تابع یکنوا
* Periodic sequence

 |
| خواص سری‌ها | 
* سری همگرا
* سری واگرا
* همگرایی مشروط
* Absolute convergence
* Uniform convergence
* Alternating series
* Telescoping series

 |
| سری‌های صریح | 

|  |  |
| --- | --- |
| همگرا | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* تابع زتای ریمان

 |
| واگرا | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* ۱ + ۲ + ۳ + ۴ + …
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (سری گراندی)
* تصاعد حسابی
* ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* سری هارمونیک
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (فاکتوریل‌های متناوب)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (معکوس اعداد اول)

 |

 |
| انواع سری‌ها | 
* بسط تیلور
* سری توانی
* سری توانی صوری
* سری لوران
* Puiseux series
* Dirichlet series
* Trigonometric series
* سری فوریه
* تابع مولد

 |
| سری‌هایفوق هندسی | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| 
* کتاب
* سری‌های ریاضی

 |