در جبر خطی، **ماتریسِ الحاقیِ** (به انگلیسی: Adjugate matrix or Adjunct matrix) یک ماتریسِ مربعی، ترانهادهٔ ماتریسِ همسازه‌هایِ آن ماتریس، است. ماتریسِ همسازه‌ها (به انگلیسی: matrix of cofactors or comatrix) به ماتریسی که شامل همه همسازه‌هایِ یک ماتریس می‌باشد، اطلاق می‌گردد. از ماتریسِ الحاقی برای محاسبهٔ ماتریس وارون استفاده می‌شود.

تعریف
-----

فرض کنید A ماتریسی مربعی باشد.

* **کِهادِ** {\displaystyle ij}امِ ماتریسِ A، عبارت است از دترمینانِ ماتریسِ مربعی‌ای که از حذف سطرِ iام و ستونِ jامِ ماتریسِ A بدست می‌آید و آنرا با {\mathbf {M}}\_{{ij}} نشان می دهیم.
* **همسازۀ** {\displaystyle ij}امِ ماتریسِ A، از رابطهٔ زیر به دست می‌آید:

{\mathbf {C}}\_{{ij}}=(-1)^{{i+j}}{\mathbf {M}}\_{{ij}}.\,
حال، ماتریس الحاقیِ ماتریسِ *A،* برابر است با ترانهادهٔ ماتریسِ *{\displaystyle \mathbf {C} }* (ماتریسِ *{\displaystyle \mathbf {C} }* همان ماتریسِ همسازه‌ها می‌باشد):

{\displaystyle \mathrm {adj} (\mathbf {A} )=\mathbf {C} ^{T}.\,}

مثال‌ها
-------

### ماتریس‌ ۲ × ۲

ماتریس الحاقی ماتریس ۲ × ۲ 

{\mathbf {A}}={\begin{pmatrix}{{a}}&{{b}}\\{{c}}&{{d}}\end{pmatrix}}
برابر است با

{\displaystyle \operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\begin{pmatrix}\,\,\,{d}&\!\!{-b}\\{-c}&{a}\end{pmatrix}}.}
### ماتریس‌ ۳ × ۳

ماتریس ۳ × ۳ زیر را در نظر بگیرید

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A\_{11}&A\_{12}&A\_{13}\\A\_{21}&A\_{22}&A\_{23}\\A\_{31}&A\_{32}&A\_{33}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2&3\\4&5&6\\7&8&9\end{pmatrix}}.}
ماتریس الحاقی، ترانهادهٔ ماتریس همسازهٔ آن است، پس

{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A\_{22}&A\_{23}\\A\_{32}&A\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{21}&A\_{23}\\A\_{31}&A\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{21}&A\_{22}\\A\_{31}&A\_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A\_{12}&A\_{13}\\A\_{32}&A\_{33}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{11}&A\_{13}\\A\_{31}&A\_{33}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{11}&A\_{12}\\A\_{31}&A\_{32}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A\_{12}&A\_{13}\\A\_{22}&A\_{23}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{11}&A\_{13}\\A\_{21}&A\_{23}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{11}&A\_{12}\\A\_{21}&A\_{22}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}.}
بنابراین خواهیم داشت

\operatorname {adj}({\mathbf {A}})={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}A\_{{22}}&A\_{{23}}\\A\_{{32}}&A\_{{33}}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{{12}}&A\_{{13}}\\A\_{{32}}&A\_{{33}}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{{12}}&A\_{{13}}\\A\_{{22}}&A\_{{32}}\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}A\_{{21}}&A\_{{23}}\\A\_{{31}}&A\_{{33}}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{{11}}&A\_{{13}}\\A\_{{31}}&A\_{{33}}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{{11}}&A\_{{13}}\\A\_{{21}}&A\_{{23}}\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}A\_{{21}}&A\_{{22}}\\A\_{{31}}&A\_{{32}}\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}A\_{{11}}&A\_{{12}}\\A\_{{31}}&A\_{{32}}\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}A\_{{11}}&A\_{{12}}\\A\_{{21}}&A\_{{22}}\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+\left|{\begin{matrix}5&6\\8&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}2&3\\8&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}2&3\\5&6\end{matrix}}\right|\\&&\\-\left|{\begin{matrix}4&6\\7&9\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&3\\7&9\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&3\\4&6\end{matrix}}\right|\\&&\\+\left|{\begin{matrix}4&5\\7&8\end{matrix}}\right|&-\left|{\begin{matrix}1&2\\7&8\end{matrix}}\right|&+\left|{\begin{matrix}1&2\\4&5\end{matrix}}\right|\end{pmatrix}}
که

{\displaystyle \left|{\begin{matrix}A\_{im}&A\_{in}\\\,\,A\_{jm}&A\_{jn}\end{matrix}}\right|=\det \left({\begin{matrix}A\_{im}&A\_{in}\\\,\,A\_{jm}&A\_{jn}\end{matrix}}\right).}

خواص
----

ماتریس الحاقی خواص زیر را دارد

{\mathrm {adj}}({\mathbf {I}})={\mathbf {I}}\,
{\mathrm {adj}}({\mathbf {AB}})={\mathrm {adj}}({\mathbf {B}})\,{\mathrm {adj}}({\mathbf {A}})\,
{\mathrm {adj}}(c{\mathbf {A}})=c^{{n-1}}{\mathrm {adj}}({\mathbf {A}})
برای تمام ماتریس های مربعی A و B

منابع
-----

* Strang, Gilbert (1988). "Section 4.4: Applications of determinants". *Linear Algebra and its Applications* (3rd ed.). Harcourt Brace Jovanovich. pp. 231–232. ISBN 0-15-551005-3.

* ویکی‌پدیای انگلیسی

پیوند به بیرون
--------------

* راهنمای بدست آوردن ماتریس الحاقی



| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |