در نظریه احتمال، **تابع مولد احتمال** (به انگلیسی: Probability-generating function) یک متغیر تصادفی گسسته، یک نمایش سری‌های توانی از تابع جرمی احتمال یک متغیر تصادفی است. توابع مولد احتمال معمولاً برای ایجاز در توصیفات دنباله‌ای از احتمالات Pr(*X*) = *i*، و همچنین فراهم ساختن یک فرضیه مناسب از سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، به کار گرفته می‌شوند. هم چنین از این تابع برای محاسبه گشتاورهای مراتب مختلف (مانند امید ریاضی یک متغیر تصادفی) استفاده میشود.

تعریف
-----

اگر *X* یک متغیر تصادفی گسسته باشد که مقادیری از بعضی زیر مجموعه‌های نا-منفی اعداد صحیح {۰، ۱، ۲، ...} اتخاذ کند، آنگاه *تابع مولد احتمال X* اینگونه تعریف می‌گردد:

{\displaystyle G(z)={\textrm {E}}(z^{X})=\sum \_{i=0}^{\infty }f(i)z^{i},}
که در آن *f* تابع جرمی احتمال*X* است. دقت کنید که نشانه‌گذاری معادل *G**X* بعضی مواقع برای متمایز ساختن توابع مولد احتمال متغیرهای تصادفی مختلفی مورد استفاده قرار می‌گیرد.

خواص
----

### سری‌های توانی

توابع مولد احتمال از تمام قوانین سری‌های توانی با ضرایبِ نا-منفی تبعیت می‌کنند. به طور خاص *G*(۱-) = ۱، تا زمانی‌که احتمالات باید ۱ واحد افزوده شوند و در جاییکه *G*(۱-) = limz→۱*G*(*z*)، آن‌گاه طبق قضیهٔ آبل برای سری‌های توانی با ضرایب نا-منفی، شعاع همگرایی هر تابع مولد احتمال باید حداقل ۱ باشد.

### توابع برای متغیرهای تصادفی مستقل

توابع مولد احتمال به‌طور خاص برای کار کردن با توابع متغیرهای تضادفی مستقل، کاربرد دارند. به عنوان مثال:

اگر *X*۱، *X*۲، ...، *X*n
یک دنباله از متغیرهای تصادفی مستقل (و نه لزوماً با توزیع یکنواخت) باشند و همچنین

{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}X\_{i},}
که در آن *a'*iها ثابت هستند، آنگاه تابع مولد احتمال بدین شکل است:

{\displaystyle E(z^{S\_{n}})=E(z^{\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}X\_{i},})=G\_{S\_{n}}(z)=G\_{X\_{1}}(z^{a\_{1}})G\_{X\_{2}}(z^{a\_{2}})\ldots G\_{X\_{n}}(z^{a\_{n}}).}
به عنوان مثال اگر:

{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}X\_{i},}
آنگاه تابع مولد احتمالِ (*G**Sn*(*z* به شکل زیر است:

{\displaystyle G\_{S\_{n}}(z)=G\_{X\_{1}}(z)G\_{X\_{2}}(z)\ldots G\_{X\_{n}}(z).}
همچنین تابع مولد احتمالِ اختلاف میان دو متغیر تصادفی (*S* = *X*۱ − *X*۲) برار است با:

{\displaystyle G\_{S}(z)=G\_{X\_{1}}(z)G\_{X\_{2}}(1/z).}

مثال‌ها
-------

* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی ثابت، به عنوان مثال Pr(*X*=*c*) = *۱*، به شکل زیر است:

{\displaystyle G(z)=\left(z^{c}\right).}
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصافی با توزیع دوجمله‌ای، تعداد موفقیت‌ها در*n* آزمایش، با احتمال موفقیت *p* در هر مرحله برابر است با:

{\displaystyle G(z)=\left[(1-p)+pz\right]^{n}.}
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی دو جمله‌ای منفی که در آن تعداد آزمایش‌های لازم برای رسیدن به *r*امین موفقیت با احتمال موفقیت *p* در هر آزمایش، برابر است با:

{\displaystyle G(z)=\left({\frac {pz}{1-(1-p)z}}\right)^{r}.}
* تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی پواسون با نرخ λ برابرست با:

{\displaystyle G(z)=\left({\textrm {e}}^{\lambda (z-1)}\right).}

توابع مولد احتمال برای متغیرهای تصادفی پیوسته
---------------------------------------------

مفهوم تابع مولد احتمال یک متغیر تصادفی تنها، می‌تواند به تابع مولد احتمال برای دو یاچند متغیر تصادفی پیوسته نیز تعمیم داده شود.

مفاهیم مرتبط
------------

از تابع مولد احتمال به‌ندرت با نام تبدیلِ z یک تابع جرمی احتمال نیز یاد می‌شود. این یک نمونه از تابع مولد یک دنباله نیز هست(به سری‌های توانی منظم رجوع شود).

منابع
-----

* Wikipedia contributors، "Probability-generating function،" Wikipedia، The Free Encyclopedia،  (accessed February ۲۰، ۲۰۰۸).

| * ن
* ب
* و
نظریه توزیع‌های احتمال |
| --- |
| 
* تابع جرم احتمال (pmf)
* تابع چگالی احتمال (pdf)
* تابع توزیع تجمعی (cdf)
* تابع چندک

 |  |
| 
* گشتاور خام
* central moment
* مقدار انتظاری
* واریانس
* انحراف معیار
* چولگی
* کشیدگی
* ال-گشتاور

 |
| 
* تابع مولد گشتاور (mgf)
* characteristic function
* تابع مولد احتمال (pgf)
* انباشتک
* combinant

 |