همانند دیگر توزیع‌های نامتمرکز، توزیع نامتمرکز تی نیز برای تعمیم یک توزیع احتمالاتی (در اینجا توزیع تی-استیودنت) بکار می‌رود. همانطور که می‌دانیم، توزیع تی نشانگر درست بودن فرض صفر در آزمون تی است. یعنی به طور مثال، اگر نمونه‌ای از داده‌هایی با توزیع غیر نرمال داشته باشیم، و بخواهیم صحت میانگین حدس زده شده برای جامعه را در رابطه با پارامتری خاص مانند وزن تعیین کنیم، کافیست فرض صفر را برابر میانگین احتمالی گذاشته، و p-value مورد نظر را با توجه به توزیع تی حساب کنیم. 

اما توزیع نامتمرکز تی عملکردی متفاوت دارد، در واقع در این توزیع مشخص کننده توزیع داده‌ها زمانی است که فرض دیگر درست فرض شود.

همانطور که می‌شود حدس زد، مهمترین کاربرد این توزیع، اندازه گیری قدرت آزمون تی است، گرچه که کاربرد های دیگری در اندازه گیری مقبولیت نمونه‌گیری (VASP)، بازه‌های تحمل (بازه اطمینان در بخشی از داده‌ها) و چند کاربرد تخصصی دیگر از این قبیل دارد.

این توزیع همچنین به عنوان توزیع نامتمرکز یکتای تی نیز شناخته می‌شود، و علاوه بر کاربردش در استنباط آماری، در آمار باثبات برای مدل کردن داده‌ها نیاز به کار می‌آید.

خصوصیات
-------

اگر متغیر تصادفی Z، از یک توزیع نرمال استاندارد پیروی کند، و V نیز متغیر تصادفی توزیع کی‌دو با درجه آزادی v که مستقل از Z است، باشد، داریم:

{\displaystyle T={\frac {Z+\mu }{\sqrt {V/\nu }}}}

که T متغیر تصادفی یک توزیع نامتمرکز تی با v درجه آزادی و پارامتر نامتمرکزی μ ≠ ۰ است. (توجه داشته باشید که این پارامتر می‌تواند منفی باشد). همانطور که از فرمول برمی‌آید اگر μ برابر صفر باشد، توزیع مورد نظر تبدیل به توزیع تی عادی خواهد شد. با تغییر μ از مثبت بی‌نهایت تا منفی بی‌نهایت، تابع احتمال تجمعی NT از صفر به یک میل می‌کند.

### تابع توزیع تجمعی

تابع توزیع تجمعی این توزیع با درجه آزادی v و پارامتر نامتمرکزی μ به شکل زیر بیان می‌شود:

{\displaystyle F\_{\nu ,\mu }(x)={\begin{cases}{\tilde {F}}\_{\nu ,\mu }(x),&{\mbox{if }}x\geq 0;\\1-{\tilde {F}}\_{\nu ,-\mu }(x),&{\mbox{if }}x<0,\end{cases}}}

که در آن

{\displaystyle {\tilde {F}}\_{\nu ,\mu }(x)=\Phi (-\mu )+{\frac {1}{2}}\sum \_{j=0}^{\infty }\left[p\_{j}I\_{y}\left(j+{\frac {1}{2}},{\frac {\nu }{2}}\right)+q\_{j}I\_{y}\left(j+1,{\frac {\nu }{2}}\right)\right],}{\displaystyle I\_{y}\,\!(a,b)}

I تابع بتای ناقص منظم شده است،

{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{x^{2}+\nu }},}
{\displaystyle p\_{j}={\frac {1}{j!}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},} (تابع چگالی احتمال توزیع پواسون)
{\displaystyle q\_{j}={\frac {\mu }{{\sqrt {2}}\Gamma (j+3/2)}}\exp \left\{-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right\}\left({\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)^{j},}
و Φ (تابع فی)، تابع توزیع تجمعی توزیع نرمال استاندارد است.

همچنین، CDF توزیع نامتمرکز تی می‌تواند به صورت

{\displaystyle F\_{v,\mu }(x)={\begin{cases}{\frac {1}{2}}\sum \_{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x\geq 0\\1-{\frac {1}{2}}\sum \_{j=0}^{\infty }{\frac {1}{j!}}(-\mu {\sqrt {2}})^{j}e^{\frac {-\mu ^{2}}{2}}{\frac {\Gamma ({\frac {j+1}{2}})}{\sqrt {\pi }}}I\left({\frac {v}{v+x^{2}}};{\frac {v}{2}},{\frac {j+1}{2}}\right),&x<0\end{cases}}}بیان شود؛ که Γ تابع گاما و *I* تابع بتای ناقص منظم شده است.

اگرچه توابع دیگری نیز برای CDF این توزیع وجود دارد، اما این فرم برای محاسبه بازگشتی راحت‌تر است.

  

### تابع چگالی احتمال

تابع چگالی احتمال برای این توزیع (v>0 , μ) به چندین صورت قابل بیان است.

صورت اول: تابع فوق هندسی همریز:

{\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\Gamma (\nu +1)\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right)}{2^{\nu }(\nu +x^{2})^{\frac {\nu }{2}}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\left\{{\sqrt {2}}\mu x{\frac {{}\_{1}F\_{1}\left({\frac {\nu }{2}}+1;\,{\frac {3}{2}};\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(\nu +x^{2})}}\right)}{(\nu +x^{2})\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}}+{\frac {{}\_{1}F\_{1}\left({\frac {\nu +1}{2}};\,{\frac {1}{2}};\,{\frac {\mu ^{2}x^{2}}{2(\nu +x^{2})}}\right)}{{\sqrt {\nu +x^{2}}}\Gamma ({\frac {\nu }{2}}+1)}}\right\}}

که 1*F*1 تابع فوق هندسی همریز است.

صورت دیگر با استفاده از انتگرال به صورت زیر است:

{\displaystyle f(x)={\frac {\nu ^{\frac {\nu }{2}}\exp \left(-{\frac {\nu \mu ^{2}}{2(x^{2}+\nu )}}\right)}{{\sqrt {\pi }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})2^{\frac {\nu -1}{2}}(x^{2}+\nu )^{\frac {\nu +1}{2}}}}\int \_{0}^{\infty }y^{\nu }\exp \left(-{\frac {1}{2}}\left(y-{\frac {\mu x}{\sqrt {x^{2}+\nu }}}\right)^{2}\right)dy.}

صورت سوم از طریق CDF این توزیع بدست می‌آید:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\nu }{x}}\left\{F\_{\nu +2,\mu }\left(x{\sqrt {1+{\frac {2}{\nu }}}}\right)-F\_{\nu ,\mu }(x)\right\},&{\mbox{if }}x\neq 0;\\{\frac {\Gamma ({\frac {\nu +1}{2}})}{{\sqrt {\pi \nu }}\Gamma ({\frac {\nu }{2}})}}\exp \left(-{\frac {\mu ^{2}}{2}}\right),&{\mbox{if }}x=0.\end{cases}}}

  

نکته: در زبان R می‌توانید از توابع (dt ,pt ,qt ,rt) با مشخص کردن پارامتر ncp استفاده کنید.

توجه: همانطور که از بالا بر می‌آید، این توزیع شبیه به توزیع تی مرکزی است و تنها بسته به پارامتر نامتمرکزی (μ) به چپ یا راست انتقال پیدا می‌کند.

noncentral t pdf plot with degree of freedom 10
  

  

### امید ریاضی و واریانس

امید ریاضی برای متغیر تصادفی T به شکل زیر به دست می‌آید:

{\displaystyle E(T)=\mu \times (p/2)^{1/2}\times \Gamma ((p-1)/2)/\Gamma (p/2)}

  

همچنین واریانس به شکل زیر به دست می‌آید:

{\displaystyle var(T)={p \over p-2}\times (1+\mu ^{2})-E^{2}(T)}

نمونه کدی از R
--------------

به‌طور نمونه نمودار توزیع تی با درجه آزادی ۱ و پارامتر نامتمرکزی بین ۰ تا ۱۰ با کشیده‌ایم.

```
cl <- rainbow(11)
plots <- ggplot()
for(j in 0:10){
 sample <- seq(from=0, to=10, by=.1)
 p <- dt(x = sample, df = 1, ncp = j)
 plots <- plots + geom\_line(data.frame(x=sample, y=p), mapping = aes(x=x, y=y), color=cl[j+1])
}
print(plots)

```

همانطور که انتظار داریم، با زیاد کردن درجه آزادی توزیع شبیه به توزیع نرمال انتقال یافته می‌شود:

```
cl <- rainbow(11)
plots <- ggplot()
for(j in 0:10){
 sample <- seq(from=0, to=10, by=.1)
 p <- dt(x = sample, df = 1000, ncp = j)
 plots <- plots + geom\_line(data.frame(x=sample, y=p), mapping = aes(x=x, y=y), color=cl[j+1])
}
print(plots)

```

[df=1, ncp=[0,10

منابع
-----

* ویکی‌پدیا انگلیسی
* 

* مقاله faculty washington
* سایت real statics

پیوند به بیرون
--------------

| * ن
* ب
* و
توزیع احتمالs |
| --- |
| 

| Discrete univariate with finite support |
| --- |
| 
* قانون بنفورد
* توزیع برنولی
* توزیع بتا-دوجمله‌ای
* توزیع دوجمله‌ای
* categorical
* توزیع فوق‌هندسی
* Poisson binomial
* توزیع رادماکر
* توزیع یکنواخت گسسته
* قانون زیف
* قانون زیف−مندالبروت

 |

 |
| 

| Discrete univariate with infinite support |
| --- |
| 
* beta negative binomial
* Borel
* Conway–Maxwell–Poisson
* discrete phase-type
* Delaporte
* extended negative binomial
* Gauss–Kuzmin
* توزیع هندسی
* logarithmic
* توزیع دوجمله‌ای منفی
* parabolic fractal
* توزیع پواسون
* Skellam
* Yule–Simon
* zeta

 |

 |
| 

| Continuous univariate supported on a bounded interval, e.g. [0,1] |
| --- |
| 
* Arcsine
* ARGUS
* Balding–Nichols
* Bates
* توزیع بتا
* Beta rectangular
* Irwin–Hall
* Kumaraswamy
* توزیع لوجیت-نرمال
* Noncentral beta
* raised cosine
* توزیع مثلثی
* U-quadratic
* توزیع یکنواخت پیوسته
* توزیع نیم دایره

 |

 |
| 

| Continuous univariate supported on a semi-infinite interval, usually [0,∞) |
| --- |
| 
* Benini
* Benktander 1st kind
* Benktander 2nd kind
* توزیع بتا پریم
* توزیع بر
* توزیع کی‌دو
* توزیع کی
* Coxian
* Dagum
* Davis
* EL
* توزیع ارلانگ
* توزیع نمایی
* توزیع اف
* توزیع نرمال پوشیده
* Flory-Schulz
* توزیع فریشه
* توزیع گاما
* Gamma/Gompertz
* توزیع گاوسی معکوس تعمیم‌یافته
* Gompertz
* توزیع نیم لجستیک
* توزیع نیم نرمال
* توزیع تی مربع هاتلینگ
* hyper-Erlang
* hyperexponential
* hypoexponential
* inverse chi-squared (scaled inverse chi-squared)
* inverse Gaussian
* توزیع گامای وارونه
* آزمون کولموگروف–اسمیرنف
* توزیع لوی
* log-Cauchy
* log-Laplace
* log-logistic
* توزیع لگ نرمال
* matrix-exponential
* توزیع ماکسول-بولتزمن
* Maxwell–Jüttner
* Mittag–Leffler
* Nakagami
* noncentral chi-squared
* توزیع پارتو
* phase-type
* Poly-Weibull
* توزیع رایلی
* relativistic Breit–Wigner
* Rice
* توزیع وایبول
* shifted Gompertz
* truncated normal
* type-2 Gumbel
* توزیع وایبول
* Wilks' lambda

 |

 |
| 

| Continuous univariate supported on the whole real line (&minus;∞, ∞) |
| --- |
| 
* توزیع کوشی
* exponential power
* توزیع زد فیشر
* توزیع گاوسی تعمیم‌یافته
* توزیع هیپربولیک عمومی
* geometric stable
* Gumbel
* Holtsmark
* hyperbolic secant
* Johnson SU
* Landau
* توزیع لاپلاس
* Linnik
* logistic
* noncentral t
* توزیع طبیعی
* normal-inverse Gaussian
* skew normal
* slash
* stable
* توزیع تی-استیودنت
* type-1 Gumbel
* Tracy–Widom
* variance-gamma
* Voigt

 |

 |
| 

| Continuous univariate with support whose type varies |
| --- |
| 
* توزیع مقدار حدی تعمیم‌یافته
* generalized Pareto
* Tukey lambda
* q-Gaussian
* q-exponential
* q-Weibull
* shifted log-logistic

 |

 |
| 

| Mixed continuous-discrete univariate distributions |
| --- |
| 
* rectified Gaussian

 |

 |
| 

| توزیع احتمال توام |
| --- |
| 
*Discrete*
Ewens
توزیع چندجمله‌ای
توزیع دیریکله-چندجمله ای
negative multinomial
*Continuous*
توزیع دیریکله
توزیع دریکله عمومی
multivariate normal
Multivariate stable
multivariate Student
normal-scaled inverse gamma
normal-gamma
*Matrix-valued*
inverse matrix gamma
توزیع ویشارت وارون
matrix normal
matrix t
matrix gamma
توزیع وارن نرمال-ویشارت
توزیع نرمال-ویشارت
توزیع ویشارت
 |

 |
| 

| Directional |
| --- |
| 
*Univariate (circular) directional*
Circular uniform
univariate von Mises
wrapped normal
wrapped Cauchy
wrapped exponential
wrapped Lévy
*Bivariate (spherical)*
Kent
*Bivariate (toroidal)*
bivariate von Mises
*Multivariate*
von Mises–Fisher
Bingham
 |

 |
| 

| Degenerate and singular |
| --- |
| 
*Degenerate*
discrete degenerate
تابع دلتای دیراک
*Singular*
Cantor
 |

 |
| 

| Families |
| --- |
| 
* Circular
* توزیع پواسون مرکب
* elliptical
* خانواده نمایی
* natural exponential
* location-scale
* maximum entropy
* mixture
* Pearson
* Tweedie
* wrapped

 |

 |