«هنگرد» به اینجا تغییرمسیر دارد. برای دیگر کاربردها، هنگرد (ابهام‌زدایی) را ببینید.

| مکانیک آماری |
| --- |
|  |
| * ترمودینامیک
* نظریه جنبشی
 |
| آمار ذرات
* تئوری چرخش-آمار
* ذرات یکسان
* ماکسول بولتزمن
* بوز-اینشتین
* فرمی-دیراک
* Parastatistics
* Anyonic Statistics
* Braid Statistics
 |
| هنگردهای ترمودینامیک
* *NVE* ریزبندادی
* *NVAT* بندادی
* *µVAT* بزرگ‌بندادی
* *NPH* Isoenthalpic–isobaric
* *NPT* Isothermal–isobaric
* *µVT* Open statistical
 |
| مدل‌ها
* دبای
* جامد اینشتین
* ایزینگ
* پاتس
 |
| پتانسیل ترمودینامیکی
* انرژی درونی
* آنتالپی
* انرژی آزاد هلمولتز
* انرژی آزاد گیبس
* پتانسیل بزرگ
 |
| دانشمندان
* جیمز کلرک ماکسول
* لودویگ بولتسمان
* جوسایا ویلارد گیبس
* آلبرت اینشتین
* پائول ارنفست
* جان فون نویمان
* ریچارد سی تولمان
* پیتر دبای
* انریکو فرمی
* ساتیندرا بوز
 |
| * ن
* ب
* و
 |

در فیزیک، **هنگرد آماری** یا **آنسامبل آماری** (به انگلیسی: ensemble) به مجموعهٔ فرضی‌ای گفته می‌شود که شامل تعداد زیادی (گاهی تعداد نامتنهاهی‌ای) از یک سامانهٔ فیزیکی است.
این سامانه‌ها کپی‌هایی از یکدیگر هستند ولی هر کدام در یکی از وضعیت‌های ممکن (برای سامانه) قرار دارند.
مفهوم هنگرد را گیبس در سال ۱۹۰۲ در فیزیک آماری و ترمودینامیک معرفی کرد. یک آنسامبل در واقع توزیع احتمال وضعیت‌های فیزیکی ممکن برای سامانه است.

**آنسامبل ترمودینامیکی** نوع ویژه‌ای از هنگرد آماری است که در حالت تعادل قرار دارد و برای محاسبهٔ ویژگی‌های یک سیستم ترمودینامیکی به‌کار می‌رود.

هنگردهای ترمودینامیکی
---------------------

* هنگرد ریزبندادی (به انگلیسی: microcanonical ensemble) در این هنگرد (آنسامبل)، انرژی کل سیستم و تعداد کل ذرات سیستم ثابت است. (سیستم نمی‌تواند انرژی یا ذره تبادل کند)
* هنگرد بندادی (به انگلیسی: canonical ensemble) در این هنگرد (آنسامبل)، انرژی دقیقاً مشخص نیست ولی تعداد ذرات ثابت است. به جای انرژی، مقدار دما است که ثابت می‌ماند. آنسامبل کانونیک برای توصیف سیستم بسته‌ای که در تبادل گرمایی ضعیف با حمام گرمایی است به کار می‌آید. این سیستم اگر در تبادل گرمایی ضعیف با سیستم‌های دیگر با دمای مشابه باشد در تعادل می‌ماند.
* هنگرد بزرگ‌بندادی (به انگلیسی: grand canonical ensemble) در این آنسامبل نه انرژی ثابت است و نه تعداد ذرات ثابت، به جای اینها دما و پتانسیل شیمیایی ثابت هستند. این آنسامبل برای توصیف سیستمهای باز مناسب است که در تبادل ضعیف با یک مخزن است. (تبادل گرمایی، تبادل شیمیایی، تبادل تابشی، تبادل الکتریکی و …) این سیستم اگر در تبادل ضعیف با سیستم‌های دیگر با دما و پتانسیل شیمیایی مشابه باشد در تعادل است.

کاربرد آنسامبل آماری
--------------------

مجموعه متعارف مجموعه‌ای است که حالت‌های احتمالی سیستمی را توصیف می‌کند که با یک حمام گرمایی در تعادل حرارتی است ( مشتق این واقعیت را می‌توان در گیبس یافت). 

مجموعه متعارف برای سیستم هایی با هر اندازه ای اعمال می شود. در حالی که لازم است فرض کنیم که حمام حرارتی بسیار بزرگ است (یعنی یک حد ماکروسکوپی را در نظر بگیرید)، سیستم ممکن است کوچک یا بزرگ باشد.

شرایط ایزوله مکانیکی سیستم برای اطمینان از مبادله انرژی با هیچ جسم خارجی به جز حمام حرارتی ضروری است. به طور کلی، مطلوب است که مجموعه متعارف را برای سیستم هایی که در تماس مستقیم با حمام حرارتی هستند اعمال کنیم، زیرا این تماس است که تعادل را تضمین می کند. در موقعیت‌های عملی، استفاده از مجموعه متعارف معمولاً 1) با فرض اینکه تماس از نظر مکانیکی ضعیف است، یا 2) با ادغام بخشی مناسب از اتصال حمام حرارتی در سیستم تحت تجزیه و تحلیل توجیه می‌شود، به طوری که تأثیر مکانیکی اتصال. بر روی سیستم در داخل سیستم مدل شده است.

هنگامی که انرژی کل ثابت است اما وضعیت داخلی سیستم ناشناخته است، توصیف مناسب مجموعه متعارف نیست، بلکه مجموعه میکروکانونیکال است. برای سیستم هایی که تعداد ذرات متغیر است (به دلیل تماس با مخزن ذرات)، توصیف صحیح مجموعه بزرگ متعارف است. در کتاب‌های درسی فیزیک آماری برای سیستم‌های ذره‌ای در حال تعامل، این سه مجموعه از نظر ترمودینامیکی معادل فرض می‌شوند: نوسانات مقادیر ماکروسکوپی حول مقدار متوسط آن‌ها کوچک می‌شود و با گرایش تعداد ذرات به بی‌نهایت، تمایل به ناپدید شدن دارند. در حد اخیر که حد ترمودینامیکی نامیده می شود، محدودیت های متوسط به طور موثر به محدودیت های سخت تبدیل می شوند. فرض هم ارزی مجموعه به گیبس برمی گردد و برای برخی از مدل های سیستم های فیزیکی با فعل و انفعالات کوتاه برد و در معرض تعداد کمی از محدودیت های ماکروسکوپی تأیید شده است. با وجود این واقعیت که بسیاری از کتاب‌های درسی هنوز این پیام را دارند که هم ارزی مجموعه برای همه سیستم‌های فیزیکی وجود دارد، در دهه‌های گذشته نمونه‌های مختلفی از سیستم‌های فیزیکی پیدا شده‌اند که برای آنها شکسته شدن هم ارزی مجموعه رخ می‌دهد.

مجموعه های نمونه
----------------

### توزیع بولتزمن سیستم های قابل تفکیک

اگر یک سیستم توصیف شده توسط یک گروه متعارف را بتوان به بخش‌های مستقل جدا کرد (این اتفاق در صورتی رخ می‌دهد که قسمت‌های مختلف برهمکنش نداشته باشند)، و هر یک از آن بخش‌ها دارای یک ترکیب (ماده) ثابت باشد، آن‌گاه هر بخش می‌تواند به عنوان یک سیستم برای خود دیده شود و توسط یک مجموعه متعارف که دارای همان دمای کل است توصیف شود. علاوه بر این، اگر سیستم از چندین بخش مشابه تشکیل شده باشد، هر قسمت دقیقاً توزیع مشابهی با قسمت های دیگر دارد.

به این ترتیب، مجموعه متعارف دقیقاً توزیع بولتزمن (همچنین به عنوان آمار ماکسول-بولتزمن شناخته می‌شود) برای سیستم‌هایی با هر تعداد ذره ارائه می‌کند. در مقایسه، توجیه توزیع بولتزمن از مجموعه میکروکانونیکال فقط برای سیستم هایی با تعداد قطعات زیاد (یعنی در حد ترمودینامیکی) اعمال می شود.

خود توزیع بولتزمن یکی از مهم ترین ابزارها در به کارگیری مکانیک آماری در سیستم های واقعی است، زیرا مطالعه سیستم هایی را که می توانند به بخش های مستقل جدا شوند (به عنوان مثال، ذرات در گاز، حالت های الکترومغناطیسی در یک حفره، پیوندهای مولکولی) به طور گسترده ساده می کند. در یک پلیمر).

### Ising model (strongly interacting system)

در سیستمی متشکل از قطعاتی که با یکدیگر تعامل دارند، معمولاً نمی‌توان راهی برای جدا کردن سیستم به زیرسیستم‌های مستقل، همانطور که در توزیع بولتزمن انجام شد، پیدا کرد. در این سیستم ها لازم است به استفاده از بیان کامل مجموعه متعارف به منظور توصیف ترمودینامیک سیستم در هنگام ترموستات شدن آن به حمام حرارتی متوسل شود. مجموعه متعارف به طور کلی ساده ترین چارچوب برای مطالعات مکانیک آماری است و حتی به فرد اجازه می دهد تا راه حل های دقیقی را در برخی از سیستم های مدل در حال تعامل به دست آورد.

یک مثال کلاسیک از این مدل، مدل Ising است که یک مدل اسباب‌بازی است که به طور گسترده برای پدیده‌های فرومغناطیس و تشکیل تک‌لایه خودآرایی شده بحث شده است و یکی از ساده‌ترین مدل‌هایی است که انتقال فاز را نشان می‌دهد. لارس اونساگر دقیقاً انرژی آزاد یک مدل آیزینگ شبکه مربعی با اندازه بی نهایت را در میدان مغناطیسی صفر، در مجموعه متعارف محاسبه کرد.

توصیفات دقیقی برای آنسامبل آماری
--------------------------------

به این دلیل که مفهوم زیرحالت یا microstate در مکانیک کوانتومی یا کلاسیک دارای دو تعریف متفاوت است بیان دلیل ریاضیاتی برای یک مجموعه آماری برای هر یک نوع خاصی دارد. در مکانیک کوانتوم آنسامبل آماری توصیف ساده ای را ارائه می دهد زیرا مورب سازی مجموعه ای مجزا از ریز حالت ها با انرژی های خاص را فراهم می سازد. همین ادعا در مکانیک کلاسیک پیچده تر به نظر میرسد زیرا به جای آن یک فضای فاز متعارف یکپارچه را شامل می شود و اندازه ریز حالت ها را می توان تا حدودی با اختیار تعیین کرد.

### مکانیک کوانتومی

یک مجموعه آماری در مکانیک کوانتومی با یک ماتریس چگالی{\displaystyle {\hat {\rho }}} نشان داده می شود

مثالی از مجموعه متعارف برای یک سیستم کوانتومی متشکل از یک ذره در یک چاه پتانسیلطرح تمام حالت های ممکن این سیستم. حالت های ساکن موجود به صورت نوارهای افقی با تاریکی متغیر مطابق |ψi(x)|2 نمایش داده می شوند.این یک مجموعه متعارف برای این سیستم، برای دمای نشان داده شده است. حالت ها به صورت تصاعدی بر حسب انرژی هستند
{\displaystyle {\hat {\rho }}=\exp \left({\tfrac {1}{kT}}(F-{\hat {H}})\right),}

که در این فرمول *Ĥ* عملگر انرژی کل سیستم exp() عملگر نمایی ماتریس است. انرژی آزاد *F* با شرط نرمال شدن احتمال که ماتریس چگالی اثری از یک داشته باشد تعیین می شود.{\displaystyle \operatorname {Tr} {\hat {\rho }}=1}

{\displaystyle e^{-{\frac {F}{kT}}}=\operatorname {Tr} \exp \left(-{\tfrac {1}{kT}}{\hat {H}}\right).}

اگر حالت های ویژه و مقادیر ویژه انرژی سیستم مشخص باشد مجموعه متعارف را می توان به شکلی ساده با استفاده از نماد براکتی(براکت نوتیشن) نوشت. با توجه به یک پایه کامل ازحالت های ویژه انرژی |*ψ**i*⟩ نمایه شده توسط i مجموعه متعارف عبارتست از:

{\displaystyle {\hat {\rho }}=\sum \_{i}e^{\frac {F-E\_{i}}{kT}}|\psi \_{i}\rangle \langle \psi \_{i}|}

{\displaystyle e^{-{\frac {F}{kT}}}=\sum \_{i}e^{\frac {-E\_{i}}{kT}}.}

که در آن *E**i* مقادیر ویژه انرژی هستند که با *Ĥ*|*ψ**i*⟩ = *E**i*|*ψ**i*⟩ تعیین می شوند به عبارت دیگر مجموعه ای از ریز حالت ها در مکانیک کوانتومی توسط مجموعه ای کامل از حالت های ساکن به دست می آید. در این مبنا ماتریس چگالی مورب است و ورودی های مورب هر کدام مستقیما یک احتمال می دهند.

### مکانیک کلاسیک

در مکانیک کلاسیک یک مجموعه آماری با یک تابع چگالی احتمال مشترک در فضای فاز سیستم *ρ*(*p*1, … *p**n*, *q*1, … *q**n*) نشان داده می شوند که در آن *p*1, … *p**n* و *q*1, … *q**n* مختصات درجات آزادی داخل سیستم هستند. در یک سیستم از ذرات تعداد درجات آزادی n به تعداد ذرات N بستگی دارد. به نحوی که به وضعیت فیزیکی هم بستگی دارد برای گاز سه بعدی تک اتمی n=3N در نظر گرفته می شود و همچنین درجات آزادی چرخشی و ارتعاشی در گاز های دو اتمی وجود خواهند داشت.

مثالی از مجموعه ای متعارف برای یک سیستم کلاسیک متشکل از یک ذره در یک چاه پتانسیلنمایش تمام حالت های ممکن این سیستم حالات فیزیکی موجود به طور مساوی در فضای فاز توزیع می شوند اما با توزیع نابرابر انرژی پلات جانبی نشان دهنده *dv*/*dE*یک مجموعه متعارف برای این سیستم برای دمای مشخص نشان داده شده است. حالت ها به صورت تصاعدی بر حسب انرژی اندازه گیری می شوند.
تابع چگالی احتمال برای آنسامبل آماری:

{\textstyle \rho ={\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {F-E}{kT}}}

در حالی که:

* *E* انرژِی سیستم مورد نظر است که تابعی از فاز (*p*1, … *q**n*)
* *h* یک ثابت از پیش تعیین شده با دیمانسیون energy×time است که وسعت یک ریزحالت را تنظیم می کند و ابعاد صحیح را به *ρ* تحویل می دهد
* *C* یک ضریب تصحیح بیش شماری است که اغلب برای سیستم های ذرات استفاده می شود که در آن ذرات یکسان قادر به تغییر مکان با یکدیگر هستند.

* *F* یک عامل نرمال کننده را فراهم می کند و همچنین تابع حالت مشخصه انرژی آزاد است.

برای تاکید*F* بیش تر مقدار با توجه به اینکه *ρ* یک تابع چگالی احتمال نرمال شده است تعیین می شود:

{\displaystyle e^{-{\frac {F}{kT}}}=\int \ldots \int {\frac {1}{h^{n}C}}e^{\frac {-E}{kT}}\,dp\_{1}\ldots dq\_{n}} این انتگرال روی کل فضای فازی گرفته می شود.

به عبارت دیگر یک ریز حالت در مکانیک کلاسیک یک منطقه فضای فاز است و این ناحیه دارای *hnC* حجمی است. و این بدان معنی است که هر ریز حالت طیفی از انرژی را در بر می گیرد اما این محدوده را می توان با انتخاب یک بسیار کوچک به طور دلخواه باریک کرد. انتگرال فضای فاز را می توان به یک جمع بر روی ریز حالت ها تبدیل کرد زمانی که فصای فاز به میزان کافی به خوبی تقسیم می شود

پانویس
------

1. 1 2 3  Gibbs, Josiah Willard (1902). *Elementary Principles in Statistical Mechanics*. New York: Charles Scribner's Sons.
2. ↑  Gibbs, Josiah Willard (1902). Elementary Principles in Statistical Mechanics. New York: Charles Scribner's Sons
3. ↑  Roccaverde, Andrea (August 2018). "Is breaking of ensemble equivalence monotone in the number of constraints?". *Indagationes Mathematicae*. **30**: 7–25. arXiv:1807.02791. doi:10.1016/j.indag.2018.08.001. ISSN 0019-3577. S2CID 119173928.
4. ↑  Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (2016-11-25). "Ensemble nonequivalence in random graphs with modular structure". *Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical*. **50** (1): 015001. arXiv:1603.08759. doi:10.1088/1751-8113/50/1/015001. ISSN 1751-8113. S2CID 53578783.
5. ↑  Garlaschelli, Diego; den Hollander, Frank; Roccaverde, Andrea (2018-07-13). "Covariance Structure Behind Breaking of Ensemble Equivalence in Random Graphs". *Journal of Statistical Physics*. **173** (3–4): 644–662. arXiv:1711.04273. Bibcode:2018JSP...173..644G. doi:10.1007/s10955-018-2114-x. ISSN 0022-4715. S2CID 52569377.
6. ↑  Hollander, F. den; Mandjes, M.; Roccaverde, A.; Starreveld, N. J. (2018). "Ensemble equivalence for dense graphs". *Electronic Journal of Probability*. **23**. arXiv:1703.08058. doi:10.1214/18-EJP135. ISSN 1083-6489. S2CID 53610196.
7. ↑  Ellis, Richard S.; Haven, Kyle; Turkington, Bruce (2002). "Nonequivalent statistical equilibrium ensembles and refined stability theorems for most probable flows". *Nonlinearity*. **15** (2): 239. arXiv:math-ph/0012022. Bibcode:2002Nonli..15..239E. doi:10.1088/0951-7715/15/2/302. ISSN 0951-7715. S2CID 18616132.
8. ↑  Barré, Julien; Gonçalves, Bruno (December 2007). "Ensemble inequivalence in random graphs". *Physica A: Statistical Mechanics and Its Applications*. **386** (1): 212–218. arXiv:0705.2385. Bibcode:2007PhyA..386..212B. doi:10.1016/j.physa.2007.08.015. ISSN 0378-4371. S2CID 15399624.
9. ↑  Onsager, L. (1944). "Crystal Statistics. I. A Two-Dimensional Model with an Order-Disorder Transition". *Physical Review*. **65** (3–4): 117–149. Bibcode:1944PhRv...65..117O. doi:10.1103/PhysRev.65.117.

یادداشت ها
----------


1. ↑  (Historical note) Gibbs' original ensemble effectively set *h* = 1 [energy unit]×[time unit], leading to unit-dependence in the values of some thermodynamic quantities like entropy and chemical potential. Since the advent of quantum mechanics, *h* is often taken to be equal to Planck's constant in order to obtain a semiclassical correspondence with quantum mechanics.
2. ↑  In a system of *N* identical particles, *C* = *N*! (factorial of *N*). This factor corrects the overcounting in phase space due to identical physical states being found in multiple locations. See the statistical ensemble article for more information on this overcounting.