تابع موج کولن
=============

Irregular Coulomb wave function G plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1تابع کولن نامنظم با برهمکنش های دافعه و جاذبه.
 تصویر نمودار پیچیده تابع موج کولن منظم اضافه شد
در ریاضیات ، **تابع موج کولن** حل **معادله موج کولن** است که به نام چارلز آگوستین دو کولن نامگذاری شده است. آنها برای توصیف رفتار ذرات باردار در یک پتانسیل کولن استفاده می شوند و می توانند بر اساس توابع ابر هندسی متقابل یا توابع ویتاکر بر حسب استدلال خیالی نوشته شوند.

معادله موج کولن
---------------

معادله موج کولن برای یک ذره باردار با جرم  معادله شرودینگر با پتانسیل کولن است 

{\displaystyle \left(-\hbar ^{2}{\frac {\nabla ^{2}}{2m}}+{\frac {Z\hbar c\alpha }{r}}\right)\psi \_{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {\hbar ^{2}k^{2}}{2m}}\psi \_{\vec {k}}({\vec {r}})\,,}

جایی که  حاصل ضرب بارهای ذره و منبع میدان است (بر حسب واحد بار اولیه ،  برای اتم هیدروژن)  ثابت ساختار ریز است و  انرژی ذره است. جوابی که تابع موج کولن است را می توان با حل این معادله در مختصات سهموی پیدا کرد.

{\displaystyle \xi =r+{\vec {r}}\cdot {\hat {k}},\quad \zeta =r-{\vec {r}}\cdot {\hat {k}}\qquad ({\hat {k}}={\vec {k}}/k)\,.}
بسته به شرایط مرزی انتخاب شده، راه حل اشکال مختلفی دارد. دو مورد از راه حل ها عبارتند از  

{\displaystyle \psi \_{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})=\Gamma (1\pm i\eta )e^{-\pi \eta /2}e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}M(\mp i\eta ,1,\pm ikr-i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}})\,,}
جایی که  تابع {\displaystyle M(a,b,z)\equiv {}\_{1}\!F\_{1}(a;b;z)} ابر هندسی همرو است،  و {\displaystyle \eta =Zmc\alpha /(\hbar k)} و {\displaystyle \Gamma (z)}تابع گاما است. دو شرط مرزی مورد استفاده در اینجا عبارتند از

{\displaystyle \psi \_{\vec {k}}^{(\pm )}({\vec {r}})\rightarrow e^{i{\vec {k}}\cdot {\vec {r}}}\qquad ({\vec {k}}\cdot {\vec {r}}\rightarrow \pm \infty )\,,}
که مطابقت دارند  حالت مجانبی موج صفحه گرا به ترتیب *قبل* یا *بعد از* نزدیک شدن به منبع میدان در مبدا. توابع  با فرمول به یکدیگر مرتبط هستند

{\displaystyle \psi \_{\vec {k}}^{(+)}=\psi \_{-{\vec {k}}}^{(-)\*}\,.}
### گسترش جزئی موج

تابع موج {\displaystyle \psi \_{\vec {k}}({\vec {r}})}  را می توان به امواج جزئی گسترش داد (یعنی با توجه به پایه زاویه ای) برای به دست آوردن توابع شعاعی مستقل از زاویه {\displaystyle w\_{\ell }(\eta ,\rho )} . اینجا {\displaystyle \rho =kr} .

{\displaystyle \psi \_{\vec {k}}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{r}}\sum \_{\ell =0}^{\infty }\sum \_{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }w\_{\ell }(\eta ,\rho )Y\_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y\_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,.}

یک جمله منفرد از انبساط را می توان توسط محصول اسکالر با هارمونیک کروی خاص جدا کرد

  

{\displaystyle \psi \_{k\ell m}({\vec {r}})=\int \psi \_{\vec {k}}({\vec {r}})Y\_{\ell }^{m}({\hat {k}})d{\hat {k}}=R\_{k\ell }(r)Y\_{\ell }^{m}({\hat {r}}),\qquad R\_{k\ell }(r)=4\pi i^{\ell }w\_{\ell }(\eta ,\rho )/r.}

معادله تک موج جزئی  می توان با بازنویسی لاپلاسین در معادله موج کولن در مختصات کروی و طرح معادله بر روی یک هارمونیک کروی خاص به دست آورد. {\displaystyle Y\_{\ell }^{m}({\hat {r}})}

{\displaystyle {\frac {d^{2}w\_{\ell }}{d\rho ^{2}}}+\left(1-{\frac {2\eta }{\rho }}-{\frac {\ell (\ell +1)}{\rho ^{2}}}\right)w\_{\ell }=0\,.}

جواب ها را توابع موج کولن (جزئی) یا توابع کولن کروی نیز می نامند. قرار دادن {\displaystyle z=-2i\rho } معادله موج کولن را به معادله ویتاکر تغییر می دهد، بنابراین توابع موج کولن را می توان بر حسب توابع ویتاکر با آرگومان های خیالی بیان کرد. {\displaystyle M\_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )} و {\displaystyle W\_{-i\eta ,\ell +1/2}(-2i\rho )} . دومی را می توان بر حسب توابع ابر هندسی متقابل بیان کرد{\displaystyle M} و {\displaystyle U} . برای {\displaystyle \ell \in \mathbb {Z} }  ، یکی راه حل های ویژه را تعریف می کند

{\displaystyle H\_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )=\mp 2i(-2)^{\ell }e^{\pi \eta /2}e^{\pm i\sigma \_{\ell }}\rho ^{\ell +1}e^{\pm i\rho }U(\ell +1\pm i\eta ,2\ell +2,\mp 2i\rho )\,,}

جایی که

{\displaystyle \sigma \_{\ell }=\arg \Gamma (\ell +1+i\eta )}

تغییر فاز کولن نامیده می شود. یکی توابع واقعی را نیز تعریف می کند

{\displaystyle F\_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2i}}\left(H\_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )-H\_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,,}

Regular Coulomb wave function F plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1Regular Coulomb wave function F plotted from 0 to 20 with repulsive and attractive interactions in Mathematica 13.1

  

{\displaystyle G\_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {1}{2}}\left(H\_{\ell }^{(+)}(\eta ,\rho )+H\_{\ell }^{(-)}(\eta ,\rho )\right)\,.}

به ویژه یکی دارد

{\displaystyle F\_{\ell }(\eta ,\rho )={\frac {2^{\ell }e^{-\pi \eta /2}|\Gamma (\ell +1+i\eta )|}{(2\ell +1)!}}\rho ^{\ell +1}e^{i\rho }M(\ell +1+i\eta ,2\ell +2,-2i\rho )\,.}

رفتار مجانبی توابع کروی کولن {\displaystyle H\_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )} , {\displaystyle F\_{\ell }(\eta ,\rho )} و {\displaystyle G\_{\ell }(\eta ,\rho )} و در مقیاس بزرگ {\displaystyle \rho } است

{\displaystyle H\_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )\sim e^{\pm i\theta \_{\ell }(\rho )}\,,}

{\displaystyle F\_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \sin \theta \_{\ell }(\rho )\,,}

{\displaystyle G\_{\ell }(\eta ,\rho )\sim \cos \theta \_{\ell }(\rho )\,,}

جایی که

{\displaystyle \theta \_{\ell }(\rho )=\rho -\eta \log(2\rho )-{\frac {1}{2}}\ell \pi +\sigma \_{\ell }\,.}

راه حل ها {\displaystyle H\_{\ell }^{(\pm )}(\eta ,\rho )} مربوط به امواج کروی ورودی و خروجی است. راه حل ها {\displaystyle F\_{\ell }(\eta ,\rho )} و {\displaystyle G\_{\ell }(\eta ,\rho )} واقعی هستند و توابع موج کولن منظم و نامنظم نامیده می شوند. به طور خاص یکی دارای انبساط جزئی موج زیر برای تابع موج است {\displaystyle \psi \_{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})}

  {\displaystyle \psi \_{\vec {k}}^{(+)}({\vec {r}})={\frac {4\pi }{\rho }}\sum \_{\ell =0}^{\infty }\sum \_{m=-\ell }^{\ell }i^{\ell }e^{i\sigma \_{\ell }}F\_{\ell }(\eta ,\rho )Y\_{\ell }^{m}({\hat {r}})Y\_{\ell }^{m\ast }({\hat {k}})\,,}

ویژگی های تابع کولمب
--------------------

قطعات شعاعی برای یک تکانه زاویه ای معین متعامد هستند. هنگامی که در مقیاس عددی موج ( مقیاس *k* ) نرمال می شود، توابع موج شعاعی پیوسته   را برآورده می کند.

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }R\_{k\ell }^{\ast }(r)R\_{k'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (k-k')}

سایر نرمال سازی های رایج توابع موج پیوسته در مقیاس عددی موج کاهش یافته است ( {\displaystyle k/2\pi } مقیاس)،

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }R\_{k\ell }^{\ast }(r)R\_{k'\ell }(r)r^{2}dr=2\pi \delta (k-k')\,,}

و در مقیاس انرژی

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }R\_{E\ell }^{\ast }(r)R\_{E'\ell }(r)r^{2}dr=\delta (E-E')\,.}

توابع موج شعاعی تعریف شده در بخش قبل به نرمال سازی می شوند

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }R\_{k\ell }^{\ast }(r)R\_{k'\ell }(r)r^{2}dr={\frac {(2\pi )^{3}}{k^{2}}}\delta (k-k')}

در نتیجه عادی سازی

{\displaystyle \int \psi \_{\vec {k}}^{\ast }({\vec {r}})\psi \_{{\vec {k}}'}({\vec {r}})d^{3}r=(2\pi )^{3}\delta ({\vec {k}}-{\vec {k}}')\,.}

توابع موج کولن پیوسته (یا پراکنده) نیز متعامد به تمام حالات محدود کولن هستند 

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }R\_{k\ell }^{\ast }(r)R\_{n\ell }(r)r^{2}dr=0}

به دلیل اینکه حالت های ویژه یک عملگر هرمیتین ( هامیلتونی ) با مقادیر ویژه متفاوت است.

  

بیشتر خواندن
------------

* Bateman, Harry (1953), *Higher transcendental functions* (PDF), vol. 1, McGraw-Hill, archived from the original (PDF) on 2011-08-11, retrieved 2011-07-30.
* Jaeger, J. C.; Hulme, H. R. (1935), "The Internal Conversion of γ -Rays with the Production of Electrons and Positrons", *Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Mathematical and Physical Sciences*, **148** (865): 708–728, Bibcode:1935RSPSA.148..708J, doi:10.1098/rspa.1935.0043, ISSN 0080-4630, JSTOR 96298
* Slater, Lucy Joan (1960), *Confluent hypergeometric functions*, Cambridge University Press, MR 0107026.

منابع
-----

Hill, Robert N. (2006), Drake, Gordon (ed.), *Handbook of atomic, molecular and optical physics*, Springer New York, pp. 153–155, doi:10.1007/978-0-387-26308-3, ISBN 978-0-387-20802-2

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), *Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory* (3rd ed.), Pergamon Press, p. 569

Messiah, Albert (1961), *Quantum mechanics*, North Holland Publ. Co. p. 485

Gaspard, David (2018), "Connection formulas between Coulomb wave functions", *J. Math. Phys.*, **59** (11): 112104, arXiv:1804.10976, doi:10.1063/1.5054368

Messiah, Albert (1961), *Quantum mechanics*, North Holland Publ. Co. p. 426

Formánek, Jiří (2004), *Introduction to quantum theory I* (به چکی) (2nd ed.), Prague: Academia, pp. 128–130

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), *Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory* (3rd ed.), Pergamon Press, p. 121

Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1977), *Course of theoretical physics III: Quantum mechanics, Non-relativistic theory* (3rd ed.), Pergamon Press, pp. 668–669