دنباله‌های بازنشناختنی
----------------------

در ریاضیات، در نظریهٔ مدلها،
منظور از یک
دنباله‌ٔ بازنشناختنی، یا یک دنبالهٔ تمیزداده‌نشدنی، یا یک دنباله‌ٔ متشکل از اعضای از هم بازنشناخته‌شدنی، دنباله‌ای است که تایپ هر چندتایی‌ِ متشکل از اعضای آن، تنها به ترتیب قرار گرفتن آن اعضا وابسته باشد. به بیان دیگر، دنبالهٔ 
{\displaystyle (a\_{i})\_{i\in \omega }}
از عناصرِ
{\displaystyle a\_{i}}
در مدل هیولا 
روی مجموعهٔ
{\displaystyle A}
از پارامترها
بازنشناختنی است، هرگاه برای هر تعداد متناهی از اندیسهای
{\displaystyle i\_{1},\ldots ,i\_{n}}
تایپ کامل
{\displaystyle tp(a\_{i\_{1}},\ldots ,a\_{i\_{n}}/A)}
تنها به تایپ «بدون‌سورِ» اندیسهای
{\displaystyle i\_{1},\ldots ,i\_{n}}
در زبانِ
{\displaystyle \{=,<\}}
بستگی داشته باشد.
برای مثال در تئوری ترتیب‌های خطیِ چگال بدون ابتدا و انتها (دی‌اِلْ‌اُ) هر دنباله‌ٔ صعودی، روی مجموعه‌ٔ تهی بازنشناختنی است. نیز 
در این تئوری،
برای هر مجموعه‌ٔ
{\displaystyle A}
هر دنباله‌ٔ صعودی که همه‌ٔ اعضای آن در شکافی از
{\displaystyle A}
واقع شود، 
روی
{\displaystyle A}
بازنشناختنی است. برای مثالی دیگر، فرض کنید 
{\displaystyle M}
یک میدان بستهٔ جبری باشد و 
{\displaystyle (a\_{i})\_{i\in \omega }}
دنباله‌ای از عناصرِ متعالی روی
{\displaystyle M}.
این دنباله نیز روی
{\displaystyle M}
بازنشناختنی است. در واقع تایپهای شکل‌گرفته از اعضای این دنباله، تنها به تایپ اندیسهای متناظرشان در زبان
{\displaystyle \{=\}}
وابسته‌اند و از این رو این دنباله را می‌توان «بسیاربازنشناختنی» خواند. به‌طور کلی، در تئوری‌های ثابت، هر دنباله‌ٔ بازنشناختنی، بسیار بازنشناختنی است.

### تعریف

دنباله‌ی
{\displaystyle (a\_{i})\_{i\in \omega }}
را که در آن هر
{\displaystyle a\_{i}}
یک چندتایی 
(نه لزوماً متناهی)
در مدل هیولاست، روی مجموعه‌ٔ پارامترِ
{\displaystyle A}
*بازنشناختنی*
می‌خوانیم هرگاه برای هر
{\displaystyle i\_{1}<i\_{2}<\ldots <i\_{n}\in \omega }
داشته باشیم
{\displaystyle a\_{i\_{1}}\ldots a\_{i\_{n}}\equiv \_{A}a\_{1}\ldots a\_{n}}؛
یعنی
{\displaystyle tp(a\_{i\_{1}}\ldots a\_{i\_{n}}/A)=tp(a\_{1}\ldots a\_{n}/A)}.

### وجود و نحوه‌ٔ به دست آوردن دنباله‌های بازنشناختنی

در هر تئوریِ کاملی می‌توان در مدل هیولا دنباله‌ای بازنشناختنی پیدا کرد. برای اثباتِ این امر، از لمی ترکیبیاتی به نام «لم رمزی» استفاده شود. بیان نظریهٔ مدلی این لم به
«لمِ استاندارد» موسوم است که در زیر آمده‌است.

### لم استاندارد

فرض کنید
{\displaystyle (a\_{i})\_{i\in \omega }}
دنباله‌ای دلخواه در مدل هیولا باشد
و 
{\displaystyle A} مجموعه‌ای باشد از پارامترها. آن‌گاه یک دنبالهٔ 
{\displaystyle (b\_{i})\_{i\in \omega }}
بازنشناختنی روی
{\displaystyle A}
چنان یافت می‌شود که *تایپِ اهغن‌موستوفسکیِ* دنباله‌ی
{\displaystyle A}
را برآورد. به بیان دیگر، دنباله‌ٔ
{\displaystyle (b\_{i})\_{i\in \omega }}
دارای این ویژگی است که 
برای هر
{\displaystyle n\in \omega }
و
برای هر فرمولِ
{\displaystyle \phi (x\_{1},\ldots ,x\_{n},y)}
و برای هر پارامترِ
{\displaystyle a\in A}،
اگر برای هر
{\displaystyle i\_{1}<\ldots <i\_{n}\in \omega }
داشته باشیم
{\displaystyle \models \phi (a\_{i\_{1}},\ldots ,a\_{i\_{n}},a)}
آن‌گاه داریم
{\displaystyle \models \phi (b\_{1},\ldots ,b\_{n},a)}.
نیز به بیان دیگر، دنباله‌ٔ
{\displaystyle (b\_{i})\_{i\in \omega }}
دارای این ویژگی است که برای هر فرمولِ
{\displaystyle \phi (x\_{1},\ldots ,x\_{n},y)}
و هر
{\displaystyle a\in A}
از
{\displaystyle \models \phi (b\_{1},\ldots ,b\_{n},a)}
نتیجه می‌شود که
اندیسهای{\displaystyle i\_{1}<\ldots <i\_{n}}
از دنباله‌ٔ اولیه موجودند که 
{\displaystyle \models \phi (a\_{i\_{1}},\ldots ,a\_{i\_{n}},a)}
  

دنبالهٔ حاصل از لم استاندارد، «موضعاً» و حول هر فرمول، شبیه دنباله‌ٔ اولیه است و تضمینی وجود ندارد که تایپهای اعضای آن در دنبالهٔ اولیه موجود باشند. 
برای به دست آوردن دنباله‌ای که تایپ اعضایش در دنباله‌ٔ اولیه موجود باشد، عموماً از نسخه‌ٔ بهبودیافته‌ای از لم استاندارد، موسوم به «لم شلاخ» استفاده می‌شود که در زیر آمده‌است. شایانِ یادآوری است که از لوازم این لم، در دست داشتن دنباله‌ای باندازه طولانی است.

### لم شلاخ

برای هر مجموعهٔ پارامترِ
{\displaystyle A}
یک کاردینالِ
{\displaystyle \lambda }
موجود است به‌طوری‌که برای هر
دنباله‌ٔ
{\displaystyle (a\_{i})\_{i\in I}}
که در آن
{\displaystyle |I|=\lambda }
بتوان دنباله‌ٔ بازنشناختنیِ
{\displaystyle (b\_{i})\_{i\in \omega }}
را چُنان یافت که برای هر
{\displaystyle n\in \omega }
اندیسهای
{\displaystyle i\_{1}<\ldots <i\_{n}\in I}
پیدا شوند که
{\displaystyle b\_{1}\ldots b\_{n}\equiv \_{A}a\_{i\_{1}}\ldots a\_{i\_{n}}}.

آرایه‌های بازنشناختنی
---------------------

ایدهٔ ازهم‌بازشناخته‌نشدن را می‌توان از دنباله‌ها به آرایه‌ها تعمیم داد. در آرایه‌ها نیز چند نوع بازنشناختنی بودن می‌توان تعریف کرد. 
  

آرایه‌ی
{\displaystyle (a\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
را *بازنشناختنی متقابل* می‌خوانیم هرگاه 
هر سطرِ
{\displaystyle (a\_{ij})\_{j\in \omega }}
از آن، روی بقیه‌ٔ آرایه، یعنی روی
{\displaystyle (a\_{kj})\_{k\not =i,j\in \omega }}
دنباله‌ای 
بازنشناختنی باشد. معادلاً آرایه‌ٔ
{\displaystyle (a\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
بازنشناختنی متقابل است، هرگاه برای هر دو سطرِثابت‌گرفته‌شده‌ٔ
{\displaystyle i\_{1},i\_{2}}
تایپ
چندتاییِ
{\displaystyle a\_{i\_{1}j\_{i\_{1}}^{1}}\ldots a\_{i\_{1}j\_{i\_{1}}^{m}}a\_{i\_{2}j\_{i\_{2}}^{1}}\ldots a\_{i\_{2}j\_{i\_{2}}^{m}}}
تنها به تایپِ اندیسهای 
{\displaystyle j\_{i\_{1}}^{1},\ldots ,j\_{i\_{1}}^{m}}
و
{\displaystyle j\_{i\_{2}}^{1},\ldots ,j\_{i\_{2}}^{m}}
در زبان
{\displaystyle \{=,<\}}
بستگی داشته باشد. 
  

دنباله‌ٔ ستونهای یک آرایه‌ٔ بازنشناختنیِ متقابل، دنباله‌ای بازنشناختنی (از دنباله‌ها) است. آرایه‌های بازنشناختنی متقابل نیز دارای «ساختاری رمزی» هستند. یعنی اگر
آرایه‌ٔ دلخواهِ
{\displaystyle (a\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
داده شده باشد، می‌توان با کمک لم استاندارد، آرایه‌ٔ
{\displaystyle (b\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
را چنان یافت که 
{\displaystyle (b\_{ij})\_{i,j\in \omega }\models EM((a\_{ij})\_{i,j\in \omega })}؛
بدین معنی که
{\displaystyle (b\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
چنان است که برای هر دو
شماره‌ٔ
{\displaystyle i\_{1},i\_{2}}
از سطرها و هر فرمولِ
{\displaystyle \phi }،
از این که
{\displaystyle \models \phi (b\_{i\_{1}1}\ldots b\_{i\_{1}m}b\_{i\_{2}1}\ldots b\_{i\_{2}m})}
نتیجه شود که اندیسهای
{\displaystyle j\_{i\_{1}}^{1}<\ldots <j\_{i\_{1}}^{m},j\_{i\_{2}}^{1},\ldots <j\_{i\_{2}}^{m}}
برای سطرهای 
آرایه‌ٔ
{\displaystyle (a\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
پیدا می‌شوند که
{\displaystyle \models \phi (a\_{i\_{1}j\_{i\_{1}}^{1}}\ldots a\_{i\_{1}j\_{i\_{1}}^{m}},a\_{i\_{2}j\_{i\_{2}}^{1}},\ldots a\_{i\_{2}j\_{i\_{2}}^{m}})}.
  

به این ترتیب، نیز
آرایه‌ی
{\displaystyle (a\_{ij})\_{i,j\in \omega }}
را *بسیاربازنشناختنی* می‌خوانیم هرگاه
دنباله‌ٔ سطرهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) و دنبالهٔ ستونهای آن (همچون دنباله‌ای از دنباله‌ها) هر دو بازنشناختنی باشند.

پانویس
------

منابع
-----

* Tent, Katrin; Ziegler, Martin (2012). *A Course in Model Theory* (به انگلیسی). Cambridge University Press.
* Marker، David (۲۰۰۲). *Model Theory: An Introduction*. Springer.
* Hodges، Wilfrid (۱۹۹۳). *Model Theory*. Cambridge University Press.
* Chernikov, Artem (2014). "Theories without the tree property of the second kind". *Annals of Pure and Applied Logic* (به انگلیسی). **165** (2): 695 - 723.