یک بردار مشابه را می‌توان در دو پایه متفاوت نمایش داد (پیکان‌های ارغوانی و قرمز).
در ریاضیات، زیرمجموعه‌‌ای مانند {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},\cdots ,v\_{n}\}} از بردارهای یک فضای برداری {\displaystyle V} را **پایهٔ {\displaystyle V}** می‌نامیم (به انگلیسی: basis) اگر بتوان هر عنصری از {\displaystyle V} را به صورت ترکیب خطی یکتا از عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت. به عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} **بردارهای پایه** گفته می‌شود. ضرایب این ترکیب خطی **مختصات** آن بردار نسبت به پایهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}} نامیده می‌شوند.

یک فضای برداری می‌تواند چندین پایه داشته باشد. با این حال همه پایه‌ها تعداد عناصرشان یکسان خواهد بود، که به آن **بعد** فضای برداری گفته می‌شود.

تعریف
-----

زیرمجموعهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},\cdots ,v\_{n}\}} از بردارهای فضای برداری {\displaystyle V} را پایهٔ {\displaystyle V} می‌نامیم اگر دو خاصیت زیر را داشته باشد:

* {\displaystyle {\mathcal {B}}} مستقل خطی باشد. به عبارتی دیگر عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} ترکیب خطی یکدیگر نباشند.
* {\displaystyle {\mathcal {B}}} مولد {\displaystyle V} باشد: {\displaystyle V=\operatorname {Span} (B)}. به بیان دیگر هر عنصر {\displaystyle V} یک ترکیب خطی از عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} باشد.

از این خواص نتیجه می‌شود که می‌توان هر عنصری از {\displaystyle V} را به صورت یک ترکیب خطی یکتا از عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت. در نتیجه این دو تعریف با یکدیگر معادل اند.

### نتایج و قضایا

#### قضیه مجموعه مولد

اگر {\displaystyle S} یک مجموعهٔ مولد برای فضای {\displaystyle V\neq \{0\}} باشد (ولی لزوماً مستقل خطی نباشد)، زیرمجموعه‌ای از {\displaystyle S} وجود دارد که پایهٔ {\displaystyle V} باشد. چنین زیرمجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل حذف به شرح زیر پیدا کرد:

اگر {\displaystyle S} مستقل خطی نباشد یعنی عنصری مانند {\displaystyle v\_{k}} در آن وجود دارد که می‌توان آن را به صورت ترکیب خطی عناصر دیگر نوشت. در این صورت با حذف این عنصر، مجموعهٔ {\displaystyle S\backslash \{v\_{k}\}} هنوز مولد {\displaystyle V} خواهد بود.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه کوچک‌ترین مولد {\displaystyle V} است. چون اگر یک بردار دیگر را حذف کنیم، بردار محذوف ترکیب خطی از بردارهای دیگر نخواهد بود و در نتیجه دیگر مولد {\displaystyle V} نخواهد بود.

#### قضیه مجموعه مستقل خطی

اگر {\displaystyle S} یک مجموعهٔ مستقل خطی در فضای {\displaystyle V\neq \{0\}} باشد (ولی لزوماً مولد نباشد)، مجموعهٔ بزرگتر {\displaystyle S\subseteq {\mathcal {B}}} وجود دارد که پایهٔ {\displaystyle V} باشد.

چنین مجموعه‌ای را می‌توان با چند عمل گسترش پیدا کرد. به خاطر عمل گسترش و حذف در قضیهٔ قبل به این دو قضیه «قضیهٔ استخراج پایه» و «قضیهٔ توسعه به پایه» نیز می‌گویند.

با توجه به این قضیه می‌توان نتیجه گرفت که یک پایه همچنین بزرگترین مجموعهٔ مستقل خطی ممکن است. چون اگر یک بردار دیگر به آن اضافه کنیم، طبق تعریف می‌توان این بردار را به صورت ترکیب خطی بردارهای قبلی نوشت. در نتیجهٔ این دو قضیه، این دو تعریف با تعریف اصلی معادل اند.

#### قضیه پایه

پایهٔ یک فضای برداری یکتا نیست ولی تمام پایه‌های آن به تعداد برابری عضو خواهند داشت. اگر پایه‌های یک فضای برداری {\displaystyle V} به تعداد {\displaystyle n} عضو داشته باشند آن فضا را **{\displaystyle n}-بعدی** می‌نامیم. بعد یک فضای برداری را با {\displaystyle \operatorname {dim} (V)} نمایش می‌دهیم. طبق تعریف قراردادی {\displaystyle \operatorname {dim} (\{0\})=0}.

اگر {\displaystyle H} زیرفضای {\displaystyle V} باشد {\displaystyle \operatorname {dim} (H)\leqslant \operatorname {dim} (V)}.

قضیهٔ پایه بیان می‌کند که اگر {\displaystyle \operatorname {dim} (V)=n>0}‌ باشد، هر زیرمجموعهٔ مستقل خطی و {\displaystyle n} عضوی از اعضای {\displaystyle V} پایهٔ {\displaystyle V} است. همچنین هر زیرمجموعهٔ مولد {\displaystyle V} و {\displaystyle n} عضوی از اعضای {\displaystyle V} پایهٔ {\displaystyle V} است.

هیچ زیرمجموعه‌ای از {\displaystyle V} با تعداد اعضای بیشتر از {\displaystyle n} مستقل خطی نخواهد بود و هیچ زیرمجموعه‌ای از {\displaystyle V} با تعداد اعضای کمتر از {\displaystyle n} مولد {\displaystyle V} نخواهد بود.

دستگاه مختصات
-------------

همچنین ببینید: دستگاه مختصات
طبق تعریف، یک فضای برداری با نام فرضی {\displaystyle U} به صورت {\displaystyle U=(V,+,\cdot )} تعریف می‌شود که در آن {\displaystyle V} مجموعهٔ تمام بردارهای فضای {\displaystyle U} است. توجه کنید که در بیشتر موارد خود فضا ({\displaystyle U}) نامگذاری نمی‌شود و به جایش برای اشاره به آن از عبارت «فضای {\displaystyle V}» استفاده می‌کنیم.

دستگاه مختصاتی دکارتی محیطی برای نگاشت بردارهای اقلیدسی به یک {\displaystyle n}-تایی مرتب فراهم می‌کند. هر چند هر فضای برداری {\displaystyle n}-بعدی لزوماً اقلیدسی نیست، می‌توان رفتار تقریباً مشابهی با آن داشت.

اگر {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{v\_{1},\cdots ,v\_{n}\}} پایهٔ فضای {\displaystyle V} باشد، هر بردار {\displaystyle u\in V} را می‌توان به صورت یک ترکیب خطی یکتا از عناصر {\displaystyle {\mathcal {B}}} نوشت: {\displaystyle u=c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n}v\_{n}}

ضرایب این ترکیب خطی را **مختصاتِ** بردار {\displaystyle u} (نسبت به پایهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}}) می‌نامیم: {\displaystyle c\_{1},\cdots ,c\_{n}}

نمایش این ضرایب در یک {\displaystyle n}-تایی مرتب را **بردار مختصاتیِ {\displaystyle u}** (نسبت به پایهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}}) می‌نامیم و آن را با {\displaystyle [u]\_{\mathcal {B}}} نمایش می‌دهیم: {\displaystyle [u]\_{\mathcal {B}}=(c\_{1},\cdots ,c\_{n})}

**تابع** **نمایش استانداردِ {\displaystyle V}** (نسبت به پایهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}}) به صورت {\displaystyle \phi \_{\mathcal {B}}(u)=[u]\_{\mathcal {B}}} تعریف می‌شود. تبدیل خطی {\displaystyle \phi \_{\mathcal {B}}:u\mapsto [u]\_{\mathcal {B}}} **نگاشت مختصاتی** {\displaystyle V} به {\displaystyle F^{n}} (نسبت به پایهٔ {\displaystyle {\mathcal {B}}}) است ({\displaystyle \phi \_{\mathcal {B}}:V\rightarrow F^{n}}).

به «فضای {\displaystyle F^{n}}» **فضای مختصاتیِ** {\displaystyle V} می‌گوییم. میدان {\displaystyle F} معمولاً اعداد حقیقی فرض می‌شود: {\displaystyle F=\mathbb {R} }

{\displaystyle \phi \_{\mathcal {B}}(c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n}v\_{n})=(c\_{1},\cdots ,c\_{n})=[u]\_{\mathcal {B}}}

{\displaystyle \varphi \_{\mathcal {B}}(c\_{1},\cdots ,c\_{n})=\phi \_{\mathcal {B}}^{-1}(c\_{1},\cdots ,c\_{n})=c\_{1}v\_{1}+\cdots +c\_{n}v\_{n}=u}

#### مثال

اگر **{\displaystyle V={\mathcal {P}}\_{2}}** مجموعهٔ تمام چندجمله‌ای‌های با درجهٔ حداکثر ۲ باشد و {\displaystyle {\mathcal {B}}=\{x^{2},x,1\}} باشد، {\displaystyle 2x^{2}+3x+4} یک بردار با *مختصات* {\displaystyle 2,3,4} در فضای **{\displaystyle V}** است و *بردار مختصاتی* آن {\displaystyle [2x^{2}+3x+4]\_{\mathcal {B}}=(2,3,4)}، یک بردار اقلیدسی در فضای سه‌بعدی خواهد بود. *تابع نمایش استاندارد* {\displaystyle \phi \_{\mathcal {B}}(ax^{2}+bx+c)=(a,b,c)} را یک *نگاشت مختصاتی* می‌نامیم.

پایه استاندارد
--------------

هر برداری مانند {\displaystyle a} در فضای سه‌بعدی را می‌توان به صورت ترکیب خطی یکتا از پایه‌های استاندارد {\displaystyle {\hat {i}},{\hat {j}},{\hat {k}}} نوشت: {\displaystyle a=a\_{x}+a\_{y}+a\_{z}}
در فضای اقلیدسی دوبعدی دو **بردار پایهٔ استاندارد** {\displaystyle {\hat {i}}=(1,0)} و {\displaystyle {\hat {j}}=(0,1)} پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

در فضای اقلیدسی سه‌بعدی سه بردار پایهٔ استاندارد {\displaystyle {\hat {i}}=(1,0,0)} و {\displaystyle {\hat {j}}=(0,1,0)} و {\displaystyle {\hat {j}}=(0,0,1)} پایهٔ استاندارد فضا را تشکیل می‌دهند.

در فضای اقلیدسی {\displaystyle n}بعدی پایهٔ استاندارد فضا متشکل از {\displaystyle n} بردار پایه {\displaystyle e\_{1}=(1,0,\cdots ,0)} و ... و {\displaystyle e\_{n}=(0,\cdots ,0,1)} است.

پایه‌های استاندارد یکه و بر یکدیگر عمود (یا یکامتعامد) هستند.

با داشتن یک پایهٔ دلخواه از یک فضای برداری، به کمک الگوریتم گرام اشمیت می‌توان یک پایهٔ یکامتعامد برای آن فضا پیدا کرد.

جستارهای وابسته
---------------

* فضای برداری
* زیرفضای خطی
* استقلال خطی
* پوشش خطی (اسپن)
* بعد (فضای برداری)

منابع
-----

1. ↑  «*پایه*» [*ریاضی*] هم‌ارزِ «*basis, base*»؛ منبع: گروه واژه‌گزینی. جواد میرشکاری، ویراستار. *دفتر ششم*. فرهنگ واژه‌های مصوب فرهنگستان. تهران: انتشارات فرهنگستان زبان و ادب فارسی. شابک ۹۷۸-۹۶۴-۷۵۳۱-۸۵-۶ (ذیل سرواژهٔ *پایه3*)
2. 1 2 3 4 5 6 7 8  *Linear Algebra and Its Applications*. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.
3. 1 2 3  *Linear algebra done right*. ج. Third Edition جلد. به کوشش Sheldon Axler.
4. ↑  Halmos, Paul Richard (1987). *Finite-Dimensional Vector Spaces* (4th ed.). New York: Springer. p. 10. ISBN 978-0-387-90093-3.

مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Basis (linear algebra)». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*، بازبینی‌شده در ۱۶ نوامبر ۲۰۲۱.

* جبر خطّی عددی (انگلیسی)
* مقدمه‌ای بر ریاضیات کاربردی

* Strang, Gilbert (۱۹ ژوئیه ۲۰۰۵), Linear Algebra and Its Applications (4th ed.), Brooks Cole, ISBN 978-0-03-010567-8

| * ن
* ب
* و
جبر خطی |
| --- |
| مفاهیم عمومی | 
* اسکالر (ریاضی)
* بردار
* فضای برداری
* ضرب نرده‌ای
* تصویر (بردار)
* اسپن و مولد
* نگاشت خطی
* Linear projection
* استقلال خطی
* ترکیب خطی
* پایه (جبر خطی)
* Column space
* Row space
* تعامد (جبر خطی)
* هسته(فضای پوچ)
* ویژه‌مقدار و ویژه‌بردار
* Outer product
* فضای ضرب داخلی
* ضرب داخلی
* ترانهاده
* الگوریتم گرام اشمیت
* دستگاه معادلات خطی

 | Three dimensional Euclidean space |
| جبر برداری | 
* ضرب خارجی
* Triple product
* Seven-dimensional cross product

 |
| جبر چندخطی | 
* Geometric algebra
* Exterior algebra
* Bivector
* Multivector

 |
| ماتریس | 
* Block
* Decomposition
* ماتریس وارون
* کهاد
* ضرب ماتریس
* رتبه (جبر خطی)
* تبدیل
* قاعده کرامر
* حذف گاوسی

 |
| ساختارهای جبر مجرد | 
* Dual
* Direct sum
* Function space
* خارج‌قسمت
* زیرفضا
* ضرب تنسوری

 |
| جبر خطی عددی | 
* ممیز شناور
* متلب
* Numerical stability
* Basic Linear Algebra Subprograms (BLAS)
* ماتریس خلوت
* Comparison of linear algebra libraries
* Comparison of numerical analysis software

 |
| 
* رده:جبر خطی
* Outline
* Portal
* Wikibook
* Wikiversity

 |

| * ن
* ب
* و
تانسورها |
| --- |
| *واژه نامه تانسورها* |
| قلمرو | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دستگاه مختصات
* جبر چندخطی
* هندسه اقلیدسی
* جبر تانسوری
* dyadic algebra
* هندسه دیفرانسیل
* حساب خارجی
* حساب تانسوری

 |
| * فیزیک
* مهندسی
 | 
* مکانیک پیوسته
* الکترومغناطیس
* پدیده انتقال
* نسبیت عام
* بینایی رایانه

 |

 |
| نمادگذاری | 
* نمادگذاری اندیسی
* نمادگذاری چند-اندیسی
* نمادگذاری اینشتین
* حساب ریچی
* نمادگذاری تصویری پنروز
* نمادگذاری وویت
* نمادگذاری اندیسی مجرد
* فرمالیسم چهارتایی
* نمادگذاری ون در واردن

 |
| تعاریفتانسورها | 
* تانسور (تعریف ذاتی)
* میدان تانسوری
* چگالی تانسوری
* تانسور در مختصات خمیده خطی
* تانسور مخلوط
* تانسور پادمتقارن
* تانسور متقارن
* عملگر تانسور
* کلاف تانسوری
* تانسور دو-نقطه‌ای

 |
| عمل | 
* ضرب تانسوری
* ضرب خارجی
* انقباض تانسوری
* ترانهاده
* بالا و پایین بردن اندیس‌ها
* عملگر ستاره هاج
* مشتق هموردا
* مشتق خارجی
* مشتق هموردای خارجی
* مشتق لی

 |
| تجریدهایمرتبط | 
* بعد
* پایه
* بردار, فضای برداری
* چندبردار
* مؤلفه‌های همورد و پادورد بردار
* تبدیل خطی
* ماتریس
* اسپینور
* فرمالیسم کارتان (فیزیک)
* فرم دیفرانسیل
* فرم خارجی
* فرم الصاقی
* ژئودزیک
* منیفلد
* کلاف برداری
* الصاق لوی-چیویتا
* الصاق آفین

 |
| تانسورهای مهم | 

|  |  |
| --- | --- |
| ریاضیات | 
* دلتای کرونکر
* نماد لوی-چیویتا
* تانسور متریک
* تانسور غیر متریک
* نمادهای کریستوفل
* خمیدگی ریچی
* تانسور خمیدگی ریمانی
* تانسور ویل
* تانسور تابدار

 |
| فیزیک | 
* گشتاور لختی
* تانسور گشتاور دورانی
* تانسور اسپین
* تانسور تنش کوشی
* تانسور تنش-انرژی
* تانسور الکترومغناطیسی
* تانسور قدرت میدان گلوئون
* تانسور اینشتاین
* تانسور متریک (نسبیت عام)

 |

 |
| ریاضیدانان | 
* لئونارد اویلر
* کارل فردریش گاوس
* آگوستین-لویی کوشی
* هرمان گراسمان
* گئورگیو ریچی-کورباسترو
* تولیو لوی-چیویتا
* جان آرنولدوس شوتن
* برنهارت ریمان
* الوین برونو کریستوفل
* وولدمار وویگت
* الی کارتان
* هرمان ویل
* آلبرت اینشتاین

 |