یکی از نامساوی‌های مهم و پرکاربرد در ریاضیات، نامساوی کوشی-شوارتس (به انگلیسی: Cauchy-Schwarz inequality) است که به نام‌های «نامساوی کوشی»، «نامساوی شوارتس»، «نامساوی کوشی-بونیاکوفسکی-شوارتس» و «نامساوی لاگرانژ» نیز مشهور است. علت این نامگذاری‌ها، شیوه‌های گوناگون گسترش یافتن این نامساوی به فضاهای مختلف است که در زمینه‌های مختلفی مانند جبر خطی، آنالیز ریاضی و نظریه احتمالات مطرح می‌شود. نابرابری کوشی-شوارتز به عنوان یکی از مهم‌ترین نابرابری‌های ریاضیات شناخته می‌شود و به نام آگوستین لویی کوشی و هرمن امندوس شوارتز خوانده می‌شود.

بیان نابرابری
-------------

نابرابری کوشی-شوارتز بیان می‌کند که برای هر دو بردار دلخواه x و y در فضای ضرب داخلی داریم:

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }
که در آن {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } ضرب داخلی است. هم‌چنین با گرفتن ریشه دوم طرفین و با توجه به متریک القاء شده توسط این عملگر ضرب داخلی، نامساوی به شکل زیر نوشته می‌شود:

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|\,}
حالت تساوی رخ می‌دهد اگر و فقط اگر x و y وابستهٔ خطی باشند.

حالات خاص
---------

### لم تیتو

برای لم تیتو ( همچنین بنام نامساوی برگستورم، فرم انگل یا لم T2 نیز شناخته می‌شود) داریم، برای اعداد حقیقی و مثبت داریم:

{\displaystyle {\displaystyle {\frac {\left(\sum \_{i=1}^{n}u\_{i}\right)^{2}}{\sum \_{i=1}^{n}v\_{i}}}\leq \sum \_{i=1}^{n}{\frac {u\_{i}^{2}}{v\_{i}}}\quad \equiv \quad {\frac {u\_{1}^{2}}{v\_{1}}}+{\frac {u\_{2}^{2}}{v\_{2}}}+\cdots +{\frac {u\_{n}^{2}}{v\_{n}}}\geq {\frac {\left(u\_{1}+u\_{2}+\cdots +u\_{n}\right)^{2}}{v\_{1}+v\_{2}+\cdots +v\_{n}}}.}}

برای اثبات کافیست تا ضرب داخلی روی فضای برداری {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} را در نظر بگیرید و با جایگذاری {\displaystyle u\_{i}'={\frac {u\_{i}}{\sqrt {v\_{i}}}}} و {\displaystyle v\_{i}'={\sqrt {v\_{i}}}} حکم نتیجه می‌شود.

نامساوی کوشی-شوارتز در دایره واحد صفحه اقلیدسی.
### صفحه اقلیدسی (R2)

فضای برداری حقیقی {\mathbb {R}}^{2}، نشان دهنده صفحه دو بعدی است که در آن ضرب داخلی همان حاصل ضرب نقطه‌ای است. اگر {\displaystyle \mathbf {v} =\left(v\_{1},v\_{2}\right)} و {\displaystyle \mathbf {u} =\left(u\_{1},u\_{2}\right)} آنگاه نابرابری کوشی-شوارتز می شود:

{\displaystyle \displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle ^{2}=(\|\mathbf {u} \|\|\mathbf {v} \|\cos \theta )^{2}\leq \|\mathbf {u} \|^{2}\|\mathbf {v} \|^{2},}

که در آن θ، زاویه بین u و v است.

حالت بالا شاید ساده‌ترین شکل برای درک نابرابری باشد، زیرا مجذور کسینوس حداکثر می‌تواند ۱ باشد، که زمانی اتفاق می‌افتد که بردارها در یک جهت یا مخالف هم باشند. همچنین می توان آن را بر حسب مختصات برداری {\displaystyle u\_{1},u\_{2},v\_{1}{\text{و}}v\_{2}} تنظیم کرد:

{\displaystyle \left(u\_{1}v\_{1}+u\_{2}v\_{2}\right)^{2}\leq \left(u\_{1}^{2}+u\_{2}^{2}\right)\left(v\_{1}^{2}+v\_{2}^{2}\right),}

که در آن تساوی برقرار است اگر و فقط اگر بردار {\displaystyle \left(u\_{1},u\_{2}\right)} در جهت یکسان یا مخالف {\displaystyle \left(v\_{1},v\_{2}\right)} باشد یا اگر یکی از آنها بردار صفر است.

### فضای n-بعدی مختلط (Cn)

اگر {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}\in \mathbb {C} } و {\displaystyle y\_{1},\ldots ,y\_{n}\in \mathbb {C} } اعداد مختلط دلخواه باشند، و نماد بار نشان‌دهندهٔ مزدوج مختلط باشد، نابرابری را می‌توان به شکل زیر بازنویسی کرد:

{\displaystyle |x\_{1}{\bar {y}}\_{1}+\cdots +x\_{n}{\bar {y}}\_{n}|^{2}\leq (|x\_{1}|^{2}+\cdots +|x\_{n}|^{2})(|y\_{1}|^{2}+\cdots +|y\_{n}|^{2}).}

مراجع
-----

1. ↑  Mitrinović, D. S.; Pečarić, J. E.; Fink, A. M. (1993). "Classical and New Inequalities in Analysis". doi:10.1007/978-94-017-1043-5. `{{cite journal}}`: Cite journal requires `|journal=` (help)
2. ↑  The Cauchy–Schwarz Master Class: an Introduction to the Art of Mathematical Inequalities, Ch. 1 by J. Michael Steele.
3. ↑  "Sedrakyan's inequality". *Wikipedia* (به انگلیسی). 2022-01-15.

منابع
-----

* محمد صال‌مصلحیان و فاطمه عبدالله‌زاده گنابادی، "بازنگاهی به نامساوی کوشی-شوارتس"، فرهنگ و اندیشۀ ریاضی سال ٣۶، شمارۀ ۶١ (پاییز و زمستان ١٣٩۶) صص. ٩٩ تا ١١۵

| * ن
* ب
* و
آنالیز تابعی (موضوعات – واژه‌نامه) |
| --- |
| فضاها | 

|  |
| --- |
| 
* باناخ
* بزوف
* فرشه
* هیلبرت
* هولدر
* هسته‌ای
* اورلیکز
* شوارتز
* سوبولف
* فضای برداری توپولوژیکی

 |
| خواص | 
* بشکه‌ای
* کامل
* دوگان (جبری/توپولوژیکی)
* موضعاً محدب
* انعکاسی
* جداپذیر

 |

 |
| قضایا | 
* هان-باناخ
* نمودار بسته
* اصل کرانداری یکنواخت
* نقطه-ثابت کاکوتانی
* کرین-میلمن
* مین-مکس
* گلفاند-نایمارک
* باناخ-الوگلو

 |
| عملگرها | 
* الحاقی
* کراندار
* فشرده
* هیلبرت-اشمیت
* نرمال
* هسته‌ای
* کلاس تریس
* بی‌کران
* یکانی

 |
| جبرها | 
* جبر باناخ
* \*C-جبر
* طیف یک \*C-جبر
* جبر عملگری
* جبر گروهی یک گروه موضعاً فشرده
* جبر فون نویمان

 |
| مسائل باز | 
* مسئله زیرفضای ناوردا
* حدس ماهلر

 |
| کاربردها | 
* فضای هاردی
* نظریه طیفی معادلات دیفرانسیل معمولی
* هسته گرما
* قضیه اندیس
* حساب تغییرات
* حساب تابعی
* عملگر اننتگرال
* چندجمله‌ای جونز
* نظریه میدان کوانتومی توپولوژیکی
* هندسه ناجابجایی
* حدس ریمان

 |
| موضوعات پیشرفته | 
* خاصیت تخمین
* مجموعه متعادل
* توپولوژی ضعیف
* فاصله باناخ-مازور
* نظریه تومیتا-تیکسکی

 |


|  |  |
| --- | --- |
| آیکون خرد | این یک مقالهٔ خرد ریاضیات است. می‌توانید با گسترش آن به ویکی‌پدیا کمک کنید. |