|  |
| --- |
| بخشی از سری مقالات |
| حسابان |
| * قضیه اساسی
* قاعده انتگرال گیری لایبنیز

* حد توابع
* پیوستگی

* قضیه مقدار میانگین
* قضیه رول

 |
| دیفرانسیل

| 
تعاریف |
| --- |
| * مشتق (تعمیم‌ها)

* دیفرانسیل
	+ بی‌نهایت‌کوچک‌ها
	+ از یک تابع
	+ کلی

 |
| 
مفاهیم |
| 
* نمادگذاری دیفرانسیل گیری
* مشتق دوم
* دیفرانسیل گیری ضمنی
* دیفرانسیل گیری لگاریتمی
* نرخ های مرتبط
* قضیه تیلور

 |
| قواعد و اتحادها |
| 
* جمع
* ضرب
* زنجیره
* توان
* خارج قسمت
* قاعده هوپیتال
* معکوس
* لایبنیز عمومی
* فرمول فا دی برونو

 |

 |
| انتگرال

|  |
| --- |
| * لیست انتگرال‌ها
* تبدیل انتگرالی
 |
| 
تعاریف |
| * پادمشتق
* انتگرال (نامعین)
* انتگرال ریمانی
* انتگرال لبگ
* انتگرال کانتور
* انتگرال توابع معکوس
 |
| 
انتگرال گیری توسط |
| * جزء به جزء
* دیسک ها
* پوسته‌های سیلندری
* تغییر متغیر (مثلثاتی, وایرشتراس, اویلر)
* فرمول اویلر
* کسرهای جزئی
* تغییر ترتیب
* فرمول کاهش
* دیفرانسیل گیری زیر نماد انتگرال
 |

 |
| سری

|  |
| --- |
| * هندسی (حسابی-هندسی)
* هارمونیک
* متناوب
* توانی
* دوجمله‌ای
* تیلور
 |
| آزمون‌های همگرایی |
| * حد جمعوند (آزمون جمله)
* نسبت
* ریشه
* انتگرال
* آزمون مقایسه
* مقایسه حدی
* سری‌های متناوب
* چگالی کوشی
* دیریکله
* آبل
 |

 |
| بردار

|  |
| --- |
| * گرادیان
* دیورژانس
* کرل
* لاپلاس
* مشتق جهتی
* اتحادها
 |
| 
قضایا |
| * گرادیان
* گرین
* استوکس
* دیورژانس
* استوکس تعمیم یافته
 |

 |
| چندمتغیره

| 
فرمالیسم‌ها |
| --- |
| * ماتریس
* تانسور
* خارجی
* هندسی
 |
| 
تعاریف |
| * مشتق جزئی
* انتگرال چندگانه
* انتگرال خطی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* ژاکوبی
* هسین
 |

 |
| تخصصی
* کسری
* مالیاوین
* تصادفی
* تغییرات

 |
| متفرقه
* پیش-حسابان
* تاریخچه
* واژه‌نامه
* فهرست موضوعا

 |
| * ن
* ب
* و
 |

در ریاضیات، **تابع پیوسته** (به انگلیسی: Continuous Function) تابعی است که در مقادیر خروجی خود تغییرات ناگهانی (به آن ناپیوستگی هم می گویند) نداشته باشد. به طور دقیق تر، یک تابع پیوسته است اگر تغییرات به دلخواه کوچک در خروجی آن را بتوان با محدود کردن ورودی به مقادیری خاص تضمین کرد. اگر تابعی پیوسته نباشد به آن *ناپیوسته* گویند. تا قرن ۱۹م میلادی، ریاضیدانان به طور عمده به مفهوم شهودی پیوستگی تکیه می کردند، در طی قرن نوزدهم بود که تلاش هایی جهت ایجاد تعریف صوری پیوستگی برحسب \delta  و \epsilon  صورت گرفت.

پیوستگی توابع یکی از مفاهیم بنیادی و مرکزی در توپولوژی است، که در ادامه به طور کامل به آن پرداخته خواهد شد. بخش مقدماتی این مقاله به حالت خاصی که ورودی و خروجی تابع اعداد حقیق اند پرداخته خواهد شد. شکل قوی تر پیوستگی، پیوستگی یکنواخت است. به علاوه، این مقاله به بحث در مورد تعریف پیوستگی توابع، در حالت کلی تر بین فضاهای متری خواهد پرداخت. در نظریه ترتیب، به‌خصوص در نظریه دامنه، مفهوم پیوستگی را به اسم پیوستگی اسکات می شناسند. دیگر اشکال پیوستگی نیز وجود دارند ولی در این مقاله به آن ها پرداخته نمی‌شود. 

به عنوان مثالی از توابع پیوسته، تابع {\displaystyle H(t)} که نشان دهنده ارتفاع یک گل بر حسب زمان است را می توان در نظر گرفت. در مقایسه، تابع {\displaystyle M(t)} که نشانگر مقدار پول در حساب بانکی بر حسب زمان است را می توان تابعی ناپیوسته در نظر گرفت، چرا که در آن "پرش" هایی در نقاطی که مقداری پول به حساب واریز یا از آن بیرون کشیده می شود وجود خواهد داشت.

تاریخچه
-------

تعریف اپسیلون-دلتا از پیوستگی اولین بار توسط برنارد بولزانو در ۱۸۱۷ داده شد. آگوستین لویی کوشی پیوستگی {\displaystyle y=f(x)} را به این صورت تعریف کرد: هر افزایش بی نهایت کوچکی چون \alpha  در متغیر مستقل x، همیشه منجر به افزایش بی نهایت کوچک {\displaystyle f(x+\alpha )-f(x)} در متغیر وابسته y شود (به عنوان مثال *Cours d'Analyse* صفحه ۳۴ را ببینید). کوشی مقادیر بی نهایت کوچک را بر حسب متغیر ها بیان کرد، و این تعریف از پیوستگی قرابت نزدیکی با تعریف بی‌نهایت‌کوچک‌هایی که امروزه استفاده می شوند داشت (بحث میکرو پیوستگی را ببینید). تعریف صوری و تمایز بین پیوستگی نقطه ای و پیوستگی یکنواخت اولین بار توسط بولزانو در دهه ۱۸۳۰ میلادی ارائه شد، اما اثر او تا دهه ۱۹۳۰ انتشار نیافت.

پیوستگی توابع و قضایای آن
-------------------------

تابع پیوسته f در نقطه a تابعی است که در نقطه a تعریف شده، و هم چنین حد تابع در آن نقطه موجود و برابر f(a)  باشد. در تعریف هندسی می گوییم، تابعی پیوسته‌ است که بتوان نمودار آن را بدون برداشتن قلم از روی کاغذ رسم کرد.

### تعریف ریاضی پیوستگی

تابع f در نقطه x=a پیوسته گوییم هرگاه سه شرط زیر برقرار باشد:

1. (f(a موجود و متناهی باشد یعنی تابع در نقطه a تعریف شده باشد.
2. حد تابع در a موجود باشد یعنی حد راست و چپ در این نقطه موجود و برابر باشد.(به جز نقاط ابتدا و انتها)
3. حد تابع برابر مقدار تابع باشد.
4. در نقطه ابتدا توابعی با دامنه محدود، حد راست موجود و برابر با مقدار تابع باشد.
5. در نقطه انتها توابعی با دامنه محدود، حد چپ موجود و برابر با مقدار تابع باشد.

توابع حقیقی
-----------

### تعریف

تابع {\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{x}}} روی دامنه {\displaystyle \mathbb {R} \smallsetminus \{0\}} پیوسته است، اما روی دامنه {\displaystyle \mathbb {R} } پیوسته نیست، چرا که در نقطه x=0 تعریف نشده است.
یک تابع حقیقی، که تابعی از اعداد حقیقی به اعداد حقیقی است را می توان با نموداری در صفحه کارتزین نمایش داد؛ به طور نادقیق می توان گفت که چنین تابعی پیوسته است اگر نمودار آن منحنی باشد که در آن پاره شدگی و شکاف نبوده و دامنه آن کل اعداد حقیقی باشد. در ادمه تعریف دقیق تر ریاضیاتی ارائه خواهد شد.

تعریف دقیق پیوستگی برای توابع حقیقی اغلب در اولی درس حسابان (حساب دیفرانسیل و انتگرال) بر اساس مفهوم حد ارائه می شود. ابتدا، یک تابع چون f بر حسب x را *در نقطه c* در اعداد حقیقی پیوسته می گویند اگر حد f(x) با نزدیک شدن به c برابر {\displaystyle f(c)} باشد؛ آنگاه کل یک *تابع* را *پیوسته* گویند اگر در تمام نقاطش پیوسته باشد. تابعی را *ناپیوسته* گویند (یا آن را دارای *ناپیوستگی* گویند) گویند اگر در نقطه ای پیوسته نباشد. به این نقاط *ناپیوستگی*های آن تابع می گویند.

### تعریف هاینه

تابع حقیقی f پیوسته است، اگر به ازای هر دنباله x\_{n} که \lim \limits \_{{n\to \infty }}x\_{n}=L، نتیجه بگیریم \lim \limits \_{{n\to \infty }}f(x\_{n})=f(L). ادوارد هاینه ریاضی‌دان آلمانی این تعریف را ارائه داده‌است.

توابع پیوسته بین فضاهای توپولوژیکی
----------------------------------

یکی دیگر از مفاهیم مجرد، مفهوم پیوستگی توابع بین فضاهای توپولوژیکی است که در آن عموماً به طور صوری مفهوم فاصله نقاط (همچون فضاهای متری) تعریف نشده است. یک فضای توپولوژیکی، مجموعه ای چون X مجهز به ساختار توپولوژی روی آن است، این ساختار مفهوم گوی های باز در فضاهای متری را مجرد کرده به گونه ای که هنوز می توان در مورد مفهوم همسایگی یک نقطه صحبت کرد. اعضای یک فضای توپولوژی را زیرمجموعه های باز X گویند (نسبت به ساختار توپولوژی روی آن تعریف می شوند).

تابعی چون {\displaystyle f\colon X\rightarrow Y} بین دو فضای توپولوژی X و Y پیوسته است اگر برای هر مجموعه باز {\displaystyle V\subseteq Y}، تصویر معکوس:

{\displaystyle f^{-1}(V)=\{x\in X\;|\;f(x)\in V\}}
زیرمجموعه بازی از X باشد. یعنی f یک تابع بین دو مجموعه X و Y است (نه روی عناصر {\displaystyle \tau \_{X}})، اما پیوستگی f به ساختار توپولوژی تعریف شده روی X و Y بستگی دارد.

به طور معادل می توان گفت که تصویر عکس هر مجموعه بسته (که متمم مجموعه های باز اند) از Y در X هم بسته است.

مثلاً اگر X توپولوژی گسسته باشد، تمام توابعی چون {\displaystyle f\colon X\rightarrow T} پیوسته خواهند بود.

منابع
-----


* "Continuous function", *Encyclopedia of Mathematics*, EMS Press, 2001 [1994]

* مشارکت‌کنندگان ویکی‌پدیا. «Continuous Function». در *دانشنامهٔ ویکی‌پدیای انگلیسی*.

| * ن
* ب
* و
موضوعات اصلی در آنالیز ریاضی |
| --- |
| 
* **حسابان**: انتگرال
* مشتق
* معادله دیفرانسیلs (معادله دیفرانسیل معمولی - معادله دیفرانسیل با مشتقات جزئی)
* قضیه اساسی حسابان
* حساب تغییرات
* حساب برداری
* حساب تنسوری
* فهرست‌های انتگرال‌ها
* قواعد دیفرانسیل گیری

 |
| 
* آنالیز حقیقی
* آنالیز مختلط
* آنالیز تابعی
* آنالیز فوریه
* آنالیز هارمونیک
* اندازه (ریاضیات)
* نظریه نمایش

* تابع
* تابع پیوسته
* توابع خاص
* حد (ریاضی)
* سری (ریاضیات)
* بی‌نهایت

 |
| **درگاه:ریاضیات** |

| * ن
* ب
* و
حسابان |
| --- |
| پیش حسابان | 
* بسط دوجمله‌ای
* تابع مقعر
* تابع پیوسته
* فاکتوریل
* تفاضل محدود
* متغیر آزاد و متغیر پابند
* نمودار تابع
* Linear function
* رادیان
* قضیه رول
* سکانت
* شیب
* مماس

 |
| حد (ریاضی) | 
* شکل نامعلوم
* حد تابع
	+ حد یک-طرفه
* حد دنباله
* مرتبه تخمین
* حد تابع

 |
| حساب دیفرانسیل | 
* مشتق
* دیفرانسیل (ریاضیات)
* معادله دیفرانسیل
* عملگر دیفرانسیلی
* قضیه مقدار میانگین
* نمادگذاری‌های مشتق
	+ Leibniz's notation
	+ نمادگذاری‌های مشتق
* قواعد دیفرانسیل گیری
	+ linearity
	+ Power
	+ قواعد دیفرانسیل گیری
	+ قاعده زنجیری
	+ قاعده هوپیتال
	+ قاعده ضرب
		- General Leibniz's rule
	+ قاعده خارج قسمت
* Other techniques
	+ تابع ضمنی
	+ Inverse functions and differentiation
	+ Logarithmic derivative
	+ Related rates
* نقاط مانا
	+ First derivative test
	+ Second derivative test
	+ Extreme value theorem
	+ بیشینه و کمینه
* کاربرد های دیگر
	+ روش نیوتن
	+ قضیه تیلور

 |
| انتگرال | 
* پاد مشتق
* طول قوس
* انتگرال
* Constant of integration
* Differentiation under the integral sign
* قضیه اساسی حسابان
	+ Differentiating under the integral sign
* انتگرال‌گیری جزء به جزء
* Integration by substitution
	+ جانشینی مثلثاتی
	+ تغییر متغیر اویلر
	+ Weierstrass
* Partial fractions in integration
	+ Quadratic integral
* قانون ذوزنقه
* حجم‌ها
	+ Washer method
	+ روش پوسته

 |
| حساب برداری | 
* مشتق‌ها
	+ تاو (ریاضی)
	+ مشتق جهت‌دار
	+ دیورژانس
	+ گرادیان
	+ عملگر لاپلاس
* قضایای پایه‌ای
	+ قضیه گرادیان
	+ قضیه گرین
	+ Stokes'
	+ قضیه دیورژانس

 |
| حساب چندمتغیره | 
* قضیه دیورژانس
* Geometric
* ماتریس هسین
* ماتریس ژاکوبی
* ضرایب لاگرانژ
* انتگرال خطی
* حساب ماتریس‌ها
* انتگرال چندگانه
* مشتق جزئی
* انتگرال سطحی
* انتگرال حجمی
* مباحث پیشرفته
	+ Differential forms
	+ Exterior derivative
	+ قضیه استوکس
	+ حساب تنسوری

 |
| دنباله و سری | 
* Arithmetico–geometric sequence
* انواع سری
	+ Alternating
	+ سری دو جمله‌ای
	+ سری فوریه
	+ سری هندسی
	+ سری هارمونیک
	+ سری (ریاضیات)
	+ سری توانی
		- بسط تیلور
		- بسط تیلور
	+ Telescoping
* آزمون‌های همگرایی
	+ Abel's
	+ Alternating series
	+ Cauchy condensation
	+ Direct comparison
	+ Dirichlet's
	+ Integral
	+ Limit comparison
	+ آزمون نسبت
	+ Root
	+ آزمون جمله

 |
| توابع خاصو اعداد | 
* عدد برنولی
* E (عدد)
* تابع نمایی
* لگاریتم طبیعی
* تقریب استرلینگ

 |
| تاریخچه حسابان | 
* Adequality
* بروک تیلور
* کولین مک‌لورین
* Generality of algebra
* گوتفرید لایبنیتس
* بی‌نهایت کوچک
* حسابان
* آیزاک نیوتن
* Fluxion
* Law of Continuity
* لئونارد اویلر
* *Method of Fluxions*
* *The Method of Mechanical Theorems*

 |
| لیست‌ها | 
* قواعد دیفرانسیل گیری
* فهرست انتگرال تابع‌های نمایی
* فهرست انتگرال‌های تابع‌های هیپربولیک
* فهرست انتگرال تابع‌های وارون هذلولوی
* فهرست انتگرال توابع وارون مثلثاتی
* فهرست انتگرال تابع‌های گنگ
* فهرست انتگرال‌های توابع لگاریتمی
* فهرست انتگرال توابع گویا
* فهرست انتگرال توابع مثلثاتی
	+ Secant
	+ Secant cubed
* فهرست حدها
* فهرست‌های انتگرال‌ها

 |
| موضوعات متفرقه | 
* هندسهٔ دیفرانسیل
	+ انحنا
	+ of curves
	+ of surfaces
* Euler–Maclaurin formula
* Gabriel's Horn
* برهان بزرگتر بودن ۲۲/۷ از عدد پی
* Regiomontanus' angle maximization problem
* Steinmetz solid

 |