در ریاضیات **دنباله حسابی** یا **تصاعد حسابی** (به انگلیسی: arithmetic progression) به دنباله‌ای از اعداد گفته می‌شود که اختلاف هر دو جمله متوالی آن مقداری ثابت، مثلاً d باشد. به عدد ثابت d قدر نسبت تصاعد گفته می‌شود. برای نمونه دنبالهٔ ۳، ۵، ۷، ۹، ۱۱، ۱۳، … یک تصاعد حسابی از اعداد با قدر نسبت ۲ می‌باشد.میو

اگر جمله اول یک دنباله حسابیa\_{1} و قدر نسبت آن d باشد آنگاه جملهٔ i ام این تصاعد برابر خواهد بود با

{\displaystyle a\_{i}=a\_{1}+(i-1)d}.
در حالت کلی رابطهٔ دنباله حسابی برای جمله‌های n ام و m ام خواهد بود:

{\displaystyle a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d}
مقدار d می‌تواند مثبت یا منفی باشد که در صورت مثبت بودن آن، دنباله به سمت بینهایت مثبت میل می‌کند و در صورت منفی بودن d، دنباله به سوی منفی بینهایت می‌رود. همچنین تعداد جملات در تصاعد حسابی اینگونه بدست می آید:((اولی-اخری)÷ فاصله) به علاوه دو

تشخیص دنباله حسابی
------------------

برای تشخیص دنباله حسابی کافیست دو جمله متوالی از هم کم کنیم.

{\displaystyle a\_{4}-a\_{3}=a\_{3}-a\_{2}}

اگر به مقدار ثابتی رسیدیم، دنباله حسابی است.

**مثال:** آیا دنباله زیر حسابی است؟

{\displaystyle 10,7.5,5,2.5,...}

جواب
----

{\displaystyle a\_{4}-a\_{3}=2.5-5=-2.5}

{\displaystyle a\_{3}-a\_{2}=5-7.5=-2.5}

دو مقدار بالا ثابت است پس دنباله حسابی است.

واسطه حسابی
-----------

اگر {\displaystyle a,b,c} سه جمله متوالی دنباله حسابی باشند. برای پیدا کردن جمله وسط (واسطه حسابی) کافیست از فرمول زیر استفاده کنیم:

{\displaystyle b={\frac {a+c}{2}}}

**مثال:** x را بیابید؟ (سه جمله زیر جملات متوالی دنباله حسابی هستند)

{\displaystyle 4x-1,x+2,2-x}

حل:

{\displaystyle x+2={\frac {4x-1+2-x}{2}}}

{\displaystyle x=3}

مجموع
-----

مجموع اعضای یک دنبالهٔ محدود از اعداد با رابطهٔ **تصاعد حسابی** عبارت است از:

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}.}
با جمع طرفین دو عبارت فوق:

{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n}).}
در نتیجه:

{\displaystyle S\_{n}={\frac {n(a\_{1}+a\_{n})}{2}}={\frac {n[2a\_{1}+(n-1)d]}{2}}.}
برای نمونه اگر فرض کنیم که جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه مجموع ۵۰ جملهٔ اول برابر با ۶۲۷۵ خواهد بود:

{\displaystyle S\_{50}={\frac {50}{2}}[2(3)+(49)(5)]=6,275.}

ضرب
---

اگر در نظر بگیریم که جملهٔ اول یک تصاعد حسابی a\_{1} نام دارد و قدر نسبت تصاعد d است؛ آنگاه حاصل ضرب جمله‌های آن تصاعد در یکدیگر، عبارت است از:

{\displaystyle a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}=d^{n}{\left({\frac {a\_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a\_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a\_{1}/d\right)}},}

که در آن {\displaystyle x^{\overline {n}}} نماد افزایش فاکتوریل و \Gamma  نماد تابع گاما است. (هشدار: فرمول بدست آمده به ازای {\displaystyle a\_{1}/d} کوچکتر مساوی صفر، نادرست خواهد بود)

فرمول بدست آمده در بالا، حالت کلی رابطهٔ حاصل ضرب {\displaystyle 1\times 2\times \cdots \times n} است که آن را با {\displaystyle n!} فاکتوریل نمایش می‌دهیم و در صورتی که شروع ضرب از بجای یک از عدد دلخواه m باشد:

{\displaystyle m\times (m+1)\times (m+2)\times \cdots \times (n-2)\times (n-1)\times n\,\!}

در صورتی که m و n اعداد طبیعی باشند، حاصل ضرب عبارت خواهد بود از:

{\displaystyle {\frac {n!}{(m-1)!}}.}

برای درک بهتر مطلب، مثال گفته شده در بالا را در نظر بگیرید، که در آن جملهٔ اول دنباله تصاعد حسابی ۳ و نسبت تصاعد آن ۵ است، آنگاه حاصل ضرب ۵۰ جملهٔ اول برابر خواهد بود با:

{\displaystyle P\_{50}=5^{50}\cdot {\frac {\Gamma \left(3/5+50\right)}{\Gamma \left(3/5\right)}}\approx 3.78438\times 10^{98}}

نمونهٔ دیگر
تصاعد حسابی زیر را در نظر بگیرید:

{\displaystyle a,(a+d),(a+2d),.................(a+(n-1)d)}

حاصل ضرب سه جملهٔ اول این تصاعد عبارت است از:

{\displaystyle a(a+d)(a+2d)}
{\displaystyle =(a^{2}+ad)(a+2d)}
{\displaystyle =a^{3}+3a^{2}d+2ad^{2}}

حال از روی ظاهر عبارت بالا می‌توان پاسخ را برای n حدس زد:

{\displaystyle a^{n}+na^{n-1}d^{n-2}+(n-1)a^{n-2}d^{n-1}}

مطالب گفته شده در بالا، به عنوان اثبات قابل پذیرش نیست و تنها برای درک بهتر بیان شد.

جمع‌بندی دنباله حسابی
---------------------

مطالب بالا را در عکس زیر می‌توانید دوره کنید.

جمله عمومی دنباله حسابی
{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a\_{n}=a+(n-1)d\\\hline \end{array}}}
واسطه حسابی

{\displaystyle {\begin{array}{|c|}\hline a,\ b,\ c\\b={\frac {a+c}{2}}\\\hline \end{array}}}جمله عمومی دنباله حسابی و واسطه حسابی

پانویس
------

آموزش دنباله حسابی «سیده فاطمه موسوی نطنزی»

جستارهای وابسته
---------------

* دنباله
* تصاعد هندسی

منابع
-----

* ریاضیات ۲، اسماعیل بابلیان، میرزا جلیلی، رضا شهریاری اردبیلی، علیرضا مدقالچی، اداره کل چاپ و توزیع کتاب‌های درسی، ۱۳۸۰ *(کتاب رسمی وزارت آموزش و پرورش جمهوری اسلامی ایران برای سال دوم آموزش متوسطه در رشته نظری)*

* Sigler, Laurence E. (trans.) (2002). *Fibonacci's Liber Abaci*. Springer-Verlag. pp. 259–۲۶۰. ISBN 0-387-95419-8.

پیوند به بیرون
--------------

* ویدیوهای آموزشی تصاعد حسابی به زبان فارسی

* Weisstein, Eric W. "Arithmetic progression". *MathWorld*.
* Weisstein, Eric W. "Arithmetic series". *MathWorld*.


| * ن
* ب
* و
دنباله‌ها و سری‌ها |
| --- |
| دنباله صحیح | 

|  |  |
| --- | --- |
| پایه | 
* تصاعد حسابی
* تصاعد هندسی
* تصاعد همساز
* مربع کامل
* مکعب
* فاکتوریل
* Powers of two
* Powers of three
* Powers of 10

 |
| پیشرفته (فهرست) | 
* Complete sequence
* اعداد فیبوناچی
* Figurate number
* Heptagonal number
* Hexagonal number
* دنباله لوکاس
* Pell number
* Pentagonal number
* Polygonal number
* عدد مثلثی

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| خواص دنباله‌ها | 
* دنباله کوشی
* تابع یکنوا
* Periodic sequence

 |
| خواص سری‌ها | 
* سری همگرا
* سری واگرا
* همگرایی مشروط
* Absolute convergence
* Uniform convergence
* Alternating series
* Telescoping series

 |
| سری‌های صریح | 

|  |  |
| --- | --- |
| همگرا | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* ۱/۲ + ۱/۴ + ۱/۸ + ۱/۱۶ + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* تابع زتای ریمان

 |
| واگرا | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* ۱ + ۲ + ۳ + ۴ + …
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (سری گراندی)
* تصاعد حسابی
* ۱ − ۲ + ۳ − ۴ + …
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* سری هارمونیک
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (فاکتوریل‌های متناوب)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (معکوس اعداد اول)

 |

 |
| انواع سری‌ها | 
* بسط تیلور
* سری توانی
* سری توانی صوری
* سری لوران
* Puiseux series
* Dirichlet series
* Trigonometric series
* سری فوریه
* تابع مولد

 |
| سری‌هایفوق هندسی | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| 
* کتاب
* سری‌های ریاضی

 |