برای دیگر کاربردها، مثلث (ابهام‌زدایی) را ببینید.

| هندسه |
| --- |
| تصویر کره بر روی صفحه |
| * خطوط کلی
* تاریخ هندسه
 |
| شاخه‌ها
* اقلیدسی
* نااقلیدسی
	+ بیضوی
		- کروی
	+ هذلولوی
* غیر-ارشمیدسی
* تصویری
* آفین
* سینتتیک
* تحلیلی
* جبری
	+ حسابی
	+ سیاله‌ای
* دیفرانسیل
	+ ریمانی
	+ سیمپلکتیک
	+ گسسته
* مختلط
* متناهی
* گسسته
	+ دیجیتال
* محدب
* محاسباتی
* فراکتال
* وقوع
 |
| * مفاهیم
بعد
* ساخت با خط‌کش و پرگار
* زاویه
* منحنی
* قطر
* تعامد در جبر خطی (تعامد هندسی)
* توازی
* رأس

* هم‌نهشتی
* تشابه
* تقارن
 |
| صفر بعدی
* نقطه
 |
| فضای یک بعدی
* خط مستقیم
	+ پاره‌خط
	+ خط مستقیم
* طول
 |
| فضای دوبعدی

|  |
| --- |
| * صفحه
* مساحت
* چندضلعی
 |
| مثلث |
| * ارتفاع (مثلث)
* وتر
* قضیه فیثاغورس
 |
| متوازی‌الاضلاع |
| * مربع
* مستطیل
* لوزی
* Rhomboid
 |
| چهارضلعی |
| * ذوزنقه
* کایت
 |
| دایره |
| * قطر
* محیط منحنی
* مساحت دایره
 |

 |
| فضای سه‌بعدی
* حجم

* مکعب
	+ مکعب مستطیل
* استوانه
* هرم (هندسه)
* کره (هندسه)
 |
| چهاربعدی / سایر ابعاد
* تسرکت
* ابرکره
 |
| فهرست هندسه‌دانان |
| براساس نام
* آیدا
* آریابهاتا
* احمس
* ابن هیثم
* آپولونیوس
* ارشمیدس
* مایکل عطیه
* Baudhayana
* یانوش بویایی
* برهماگوپتا
* الی کارتان
* هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر
* رنه دکارت
* اقلیدس
* لئونارد اویلر
* کارل فریدریش گاوس
* میخائیل لئونیوویچ گروموف
* دیوید هیلبرت
* Jyeṣṭhadeva
* کاتیایانا
* خیام
* فلیکس کلاین
* نیکلای لوباچفسکی
* Manava
* هرمان مینکوفسکی
* Minggatu
* بلز پاسکال
* فیثاغورس
* Parameshvara
* آنری پوانکاره
* برنهارت ریمان
* Sakabe
* ابوسعید سجزی
* خواجه نصیرالدین طوسی
* اسوالد وبلن
* Virasena
* Yang Hui
* al-Yasamin
* چانگ هنگ
* فهرست هندسه‌دانان
 |
| براساس دوره

| گاه‌شماری دوران مشترک |
| --- |
| * احمس
* Baudhayana
* Manava
* فیثاغورس
* اقلیدس
* ارشمیدس
* آپولونیوس
 |
| 
1–1400s |
| * چانگ هنگ
* کاتیایانا
* آریابهاتا
* برهماگوپتا
* Virasena
* ابن هیثم
* ابوسعید سجزی
* خیام
* al-Yasamin
* خواجه نصیرالدین طوسی
* Yang Hui
* Parameshvara
 |
| 
1400s–1700s |
| * Jyeṣṭhadeva
* رنه دکارت
* بلز پاسکال
* Minggatu
* لئونارد اویلر
* Sakabe
* Aida
 |
| 
1700s–1900s |
| * کارل فریدریش گاوس
* نیکلای لوباچفسکی
* یانوش بویایی
* برنهارت ریمان
* فلیکس کلاین
* آنری پوانکاره
* دیوید هیلبرت
* هرمان مینکوفسکی
* الی کارتان
* اسوالد وبلن
* هارولد اسکات مک‌دونالد کاکسیتر
 |
| 
روزگار کنونی |
| * مایکل عطیه
* میخائیل لئونیوویچ گروموف
 |

 |
| * ن
* ب
* و
 |

مثلثی که به وسیله میخ و کاموا بر روی چوب ساخته شده‌است.
**مُثَلَّث** یا **سه‌گوشه** یا **سه‌گوش یا سه‌سو** (در فارسی تاجیکی: **سه‌کُنجه**) یک چندضلعی با سه ضلع است.
مثلث شکلی مسطح است که از اتصال سه نقطه غیرهم‌خط در صفحه به وجود می‌آید. مثلث سه ضلع و سه زاویه (رأس) دارد. به بیان دیگر از برخورد سه خط راست به یک‌دیگر به‌طوری که اگر هر دو خط یک‌دیگر را قطع کنند، مثلث پدید می‌آید. در هندسهٔ اقلیدسی مجموع زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه است.

مساحت مثلث
----------

مساحت یک مثلث برابر یک دوم طول یک ضلع، ضرب در طول ارتفاع وارد بر آن، یعنی فاصله رأس سوم تا خط شامل ضلع انتخاب‌شده، است. مساحت مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند:
۲ ÷ (قاعده × ارتفاع) = مساحت مثلث

S =½bh

در رابطهٔ فوق S=مساحت، b=قاعده، و h=ارتفاع محسوب می‌شود. مساحت مثلث را با انتخاب هرکدام از ارتفاع‌های آن بیابیم، حاصل یک عدد یکسان خواهد بود.

محیط مثلث
---------

محیط مثلث را از رابطه زیر به دست می‌آورند:
مجموع سه ضلع = محیط مثلث

2P=a+c+b

در رابطهٔ فوق a اندازهٔ ضلع اول، c اندازهٔ ضلع دوم، b اندازهٔ ضلع سوم و 2P محیط است.

مساحت هر نوع مثلث بدون دانستن ارتفاع
------------------------------------

فرض می‌کنیم a و b و c اضلاع یک مثلث از هر نوع داده شده باشد (خواه قائم الزاویه - متساوی الساقین - مختلف الاضلاع)
فرمول زیر مساحت مثلث را بیان می‌کند:

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}}}
که در آن {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}}، نصف محیط مثلث است. این فرمول به فرمول هرون معروف است.

مرکز دایره محاطی محل برخورد نیمسازهای زوایای مثلث است.

با دانستن خصوصیات بعضی از خطوط مانند ارتفاع یا عمود منصف یا میانه می‌توانیم به نتایج جالبی دست پیدا کنیم. برخی از این نتایج را بیان می‌کنیم:
اگر بر سه ضلع مثلث خطوطی را عمود می‌کنیم به‌طوری‌که این خطوط اضلاع را نصف نمایند. (در واقع عمود منصف اضلاع را رسم کنیم) در این صورت محل برخورد این سه خط، مرکز دایره‌ای خواهد بود که مثلث را احاطه می‌کند. به این دایره، دایره محیطی گویند. این دایره طوری رسم می‌شود که از سه راس مثلث عبور کند.
طبق قضیه فیثاغورث اگر مرکز دایره محیطی روی یکی از اضلاع قرار گیرد آنگاه زاویه مقابل آن ضلع قائم خواهد بود. به عبارتی دیگر مثلث ما قائم الزاویه خواهد بود. اگر مرکز دایره درون مثلث باشد، مثلث ما یک مثلث حاده الزاویه خواهد بود و اگر بیرون مثلث باشد، مثلث از نوع منفرجه الزاویه خواهد بود.

ارتفاع مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث عبور کرده و بر ضلع مقابل آن راس عمود می‌شود. ضلعی را که ارتفاع بر آن عمود است را قاعدهٔ مثلث گویند. طول ارتفاع، فاصله بین راس و قاعدهٔ نظیر ارتفاع است. اگر سه ارتفاع مثلث را رسم کنیم این سه ارتفاع همدیگر را در داخل مثلث قطع می‌کنند مگر در حالتی که مثلث، منفرجه الزاویه باشد.

محل برخورد نیمسازهای مثلث مرکز دایره محاطی است.

نیمسازهای مثلث
--------------

نیمساز یک زاویه از مثلث خط راستی است که از یک راس مثلث گذشته و آن زاویه را به دو قسمت مساوی تقسیم کند.
اگر نیمسازهای سه زاویه مثلث را رسم کنیم این خطوط در نقطه‌ای درون مثلث همدیگر را قطع خواهند کرد. این نقطه مرکز دایره مُحاطی مثلث خواهد بود. این دایره درون مثلث قرار دارد به‌طوری‌که اضلاع مثلث، مُماس بر دایره هستند.

میانه‌ها و مرکز ثقل مثلث
------------------------

میانه یک مثلث خط راستی است که از راس مثلث گذشته و ضلع مقابل آن را به دو قسمت مساوی تقسیم می‌کند. سه میانهٔ مثلث یکدیگر را در نقطه‌ای به نام مرکز ثقل مثلث قطع می‌کنند. البته این نقطه مرکز ثقل مثلث نیز می‌باشد. همچنین این نقطه هر میانه مثلث را به نسبت ۱ به ۲ تقسیم می‌کند به‌طوری‌که فاصله میان راس مثلث تا این نقطه دو برابر فاصله این نقطه تا نقطه میانی ضلع مقابل راس است. فاصله یک راس تا مرکز ثقل برای یک مثلث متساوی الاضلاع برابر x=((√۳)/۳) ×d که در آن d اندازه ضلع مثلث متساوی الاضلاع می‌باشد.

روابط بین ضلع‌های مثلث
----------------------

در مثلث مجموع هر دو ضلع، بزرگتر از ضلع سوم است. در مثلث هر ضلع، بزرگتر از تفاضل بین دو ضلع دیگر است.

روابط بین زوایای مثلث
---------------------

مجموع زاویه‌های داخلی مثلث ۱۸۰ درجه است.
مجموع زاویه‌های خارجی مثلث ۳۶۰ درجه است.
هر زاویه خارجی برابر مجموع دو زاویه داخلی غیر مجاور آن است.
مجموع زوایای خارجی هر مثلث، دو برابر مجموع زوایای داخلی آن است.

روابط بین ضلع‌ها و زوایای مثلث
------------------------------

در مثلث زاویه مقابل به ضلع بزرگتر از زاویه مقابل به ضلع کوچکتر بزرگتر است. ضلع مقابل به زاویه بزرگتر از ضلع مقابل به زاویه کوچکتر بزرگتر است. زوایای مقابل به اضلاع برابر، برابرند و برعکس. هر مثلث متساوی الساقین متقارن است. عمود از رأس به قاعده مثلث متساوی الساقین، قاعده و زاویه رأس آن را نصف می‌کند. زوایای قاعده مثلث متساوی الساقین برابرند.
در مثلث قائم الزاویه، زوایای حاده متمم‌اند. در مثلث قائم الزاویه متساوی الساقین، زوایای قاعده ۴۵ درجه‌اند.
در مثلث متساوی الاضلاع تمام زوایای داخلی برابر و اندازهٔ هر یک ۶۰ درجه است.
مثلث‌های متساوی الاضلاع سه محور تقارن دارند.
اگر یکی از زوایای مثلث قائم الزاویه‌ای ۳۰ درجه باشد، ضلع مقابل به آن نصف وتر است. sin

مجموع اندازه زوایای مثلث
------------------------

در هندسه اقلیدسی مجموع اندازه زوایای هر مثلث برابر ۱۸۰ درجه‌است. اما در هندسه کروی اینطور نیست.

علم مثلثات بر اساس روابط موجود در مثلث قائم الزاویه تعریف و در علوم مختلف مهندسی بکاربرده می‌شود.

{\displaystyle {\hat {A}}+{\hat {B}}+{\hat {C}}=180^{\circ }}

اثبات مجموع زوایای داخلی یک مثلث را با خطوط موازی مورب می‌توان یافت.

در تمامی مثلثات، اندازهٔ زاویهٔ خارجی یکی از رئوس مثلث، برابر است با اندازهٔ مجموع زوایای غیر مجاور با زاویهٔ آن راس.

جستارهای وابسته
---------------

برابرهای درون پرانتز از برابرنهاده‌های پیشین فرهنگستان زبان فارسی است.

* مثلث قائم‌الزاویه (راست‌گوشه)
* مثلث حاده‌الزاویه (تیزگوشه)
* مثلث منفرجه‌الزاویه (بازگوشه)
* مثلث متساوی‌الاضلاع (سه‌پهلو برابر)
* مثلث متساوی‌الساقین (دوپهلو برابر)
* میانه مثلث
* نیمساز
* ارتفاع
* عمودمنصف
* مثلثات

منابع
-----

1. ↑  بیرونی، ابوریحان (۱۳۵۱). *التفهیم لأوائل صناعة التنجیم*. به کوشش جلال‌الدین همایی. تهران: انجمن آثار ملی. ص. قمه.

|  |  |
| --- | --- |
|  | در ویکی‌انبار پرونده‌هایی دربارهٔ مثلث موجود است. |

* پرویز شهریاری، بنیان‌های هندسه، ناشر: مهاجر، ۱۳۸۱.
* علی معصومی، هنریک سرکیسیان، هندسه ۱ و ۲، ناشر: ایران سنجش، ۱۳۸۶.

| * ن
* ب
* و
چندضلعی‌ها (فهرست) |
| --- |
| مثلث‌ها | 
* مثلث‌های حاده و منفرجه
* مثلث متساوی‌الاضلاع
* Ideal
* مثلث متساوی‌الساقین
* مثلث کپلر
* مثلث‌های حاده و منفرجه
* مثلث قائم‌الزاویه

 |
| چهارضلعی‌ها | 
* پادمتوازی‌الاضلاع
* Bicentric
* چهارضلعی
* چهارضلعی محاطی
* Equidiagonal
* Ex-tangential
* Harmonic
* ذوزنقه متساوی‌الساقین
* کایت
* Orthodiagonal
* متوازی‌الاضلاع
* مستطیل
* Right kite
* ذوزنقه
* لوزی
* مربع
* Tangential
* Tangential trapezoid
* ذوزنقه

 |
| بر پایه تعداد ضلع | 

|  |  |
| --- | --- |
| ۱–۱۰ ضلعی | 
* تک‌ضلعی
* دوضلعی
* مثلث
* چهارضلعی
* پنج‌ضلعی
* شش‌ضلعی
* هفت‌ضلعی
* هشت‌ضلعی
* نه‌ضلعی
* ده‌ضلعی

 |
| ۱۱–۲۰ ضلعی | 
* یازده‌ضلعی
* دوازده‌ضلعی
* سیزده‌ضلعی
* چهارده‌ضلعی
* پانزده‌ضلعی
* شانزده‌ضلعی
* هفده‌ضلعی
* هجده‌ضلعی
* بیست‌ضلعی

 |
| >۲۰ ضلعی | 
* Icositrigon (23)
* Icositetragon (24)
* سی‌ضلعی
* 257-gon
* هزارضلعی
* Myriagon (10,000)
* 65537-gon
* میلیون‌ضلعی
* بی‌نهایت‌ضلعی

 |

 |
| چندضلعی‌های ستاره‌ای | 
* ستاره پنج‌پر
* ستاره شش‌پر
* ستاره هفت‌پر
* ستاره هشت‌پر
* ستاره نه‌پر
* ستاره ده‌پر
* ستاره یازده‌پر
* ستاره دوازده‌پر

 |
| طبقه‌بندی‌ها | 
* چندضلعی مقعر
* چندضلعی محدب
* دایره محیطی
* Equiangular
* چندضلعی متساوی‌الاضلاع
* Infinite skew
* Isogonal
* Isotoxal
* Magic
* Pseudotriangle
* چندضلعی منتظم
* Reinhardt
* چندضلعی ساده
* Skew
* Star-shaped
* Tangential

 |