در یک ماتریس، **درایهٔ پیشرو** درایه‌ای ناصفر است که تمام درایه‌های هم‌سطر قبل از آن صفر باشند. مثال: گلوله‌ها {\displaystyle \bullet } در ماتریس زیر

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\bullet &\star &\star &\star &\star \\0&\bullet &\star &\star &\star \\0&0&0&\bullet &\star \\0&0&\bullet &\star &\star \\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}

اگر تمام درایه‌های یک سطر صفر باشند به آن سطرِ صفر می‌گوییم و در آن صورت هیچ درایهٔ پیشرویی نخواهد داشت (مثل سطر آخر در مثال).

در جبر خطی، **ماتریس پلکانی** ماتریسی است که خصوصیات زیر را داشته باشد:

* تمام سطرهای صفر زیر سطرهای ناصفر قرار داشته باشند.
* هر درایهٔ پیشرو اکیداً سمت راست درایه‌های پیشرو در سطرهای بالاییش باشد. در مثال بالا این شرط در سطر چهارم برقرار نیست.
* بعضی منابع خاصیت سومی اضافه می‌کنند که درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند.

با داشتن این دو (یا سه) خاصیت می‌گوییم آن ماتریس فرم پلکانی دارد. مثال: (گلوله‌ها و ستاره‌ها می‌توانند هر مقداری باشند. گلوله‌ها ناصفر)

{\displaystyle {\begin{bmatrix}\bullet &\star &\star &\star &\star \\0&\bullet &\star &\star &\star \\0&0&0&\bullet &\star \\0&0&0&0&\bullet \\0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}

می‌توان از تعریف نتیجه گرفت که ماتریس پلکانی یک ماتریس بالامثلثی است. همچنین در یک ماتریس پلکانی، درایه‌های هم‌ستون زیر هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.

به ماتریس {\displaystyle A} پلکانی ستونی می‌گوییم اگر ترانهادهٔ آن {\displaystyle A^{T}} یک ماتریس پلکانی باشد. گاهی برای تأکید، به ماتریس پلکانی ماتریس پلکانی سطری هم گفته می‌شود.

هر ماتریسی مثل {\displaystyle A} را می‌توان با دنباله‌ای از چند عمل سطری مقدماتی به یک ماتریس پلکانی تبدیل کرد. با این که چنین ماتریسی یکتا نیست، مکان پیشروهای آن یکتا است. یک مکان محور {\displaystyle i,j} در یک ماتریس مکانی است که بعد از تبدیل ماتریس به پلکانی {\displaystyle A'\_{i,j}} پیشرو باشد. برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش حذف گاوسی استفاده کرد.

ماتریس پلکانی کاهش یافته
------------------------

اگر یک ماتریس پلکانی دو خاصیت دیگر نیز داشته باشد به آن **ماتریس پلکانی کاهش‌یافته** یا کاهشی (به انگلیسی: reduced echelon matrix) می‌گوییم:

* هر درایهٔ پیشرو تنها درایهٔ ناصفر در ستون خود باشد. به عبارتی دیگر درایه‌های هم‌ستون هر درایهٔ پیشرو حتماً صفر اند.
* مقدار درایه‌های پیشرو باید ۱ باشند (همان طور که گفته شد، این خاصیت تنها در بعضی کتاب‌ها خاصیت ماتریس پلکانی غیرکاهشی است).

مثالی از ماتریسی با فرم پلکانی کاهش‌‌یافته (به انگلیسی: RREF):

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1&0&\star &0&\star \\0&0&1&\star &0&\star \\0&0&0&0&1&\star \\0&0&0&0&0&1\\0&0&0&0&0&0\end{bmatrix}}}

هر ماتریسی مثل {\displaystyle A} را می‌توان با دنباله‌ای از چند عمل سطری مقدماتی به یک ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافته تبدیل کرد. به آن ماتریس، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با ماتریس {\displaystyle A} می‌گوییم. برخلاف ماتریس پلکانی، ماتریس پلکانی کاهش‌‌یافتهٔ متناظر با هر ماتریس یکتا است. برای پیدا کردن چنین ماتریسی می‌توان از روش حذف گاوس-جردن استفاده کرد.

منابع
-----

1. 1 2 3 4 5  *Linear Algebra and Its Applications*. ج. sixth edition جلد. به کوشش David C. Lay, Steven R. Lay, Judi J. McDonald.

| * ن
* ب
* و
انواع ماتریس |
| --- |
| با درایه های صراحتاً مقید | 
* (0, 1)
* متناوب
* پادقطری
* پادهرمیتی
* پادمتقارن
* پیکانی
* نواری
* دوقطری
* مبنای دو
* دو-متقارن
* بلوکی-قطری
* بلوکی
* بلوکی سه‌قطری
* بولی
* کوشی
* مرکز-متقارن
* کنفرانسی
* هادامارد مختلط
* هم-مثبت
* قطری غالب
* قطری
* تبدیل فوریه گسسته
* مقدماتی
* معادل
* فروبنیوس
* جایگشتی تعمیم یافته
* هادامارد
* هنکل
* هرمیتی
* هسنبرگ
* توخالی
* عددصحیح
* منطقی
* مارکوف
* متزلر
* تک‌جمله‌ای
* مور
* نامنفی
* افرازشده
* پاریسی
* پنج-قطری
* جایگشت
* پر-متقارن
* چندجمله‌ای
* مثبت
* چهارتایی
* علامت
* امضاء
* اریب-هرمیتی
* اریب-متقارن
* خط افق
* خلوت
* سیلوستر
* متقارن
* توپلیتز
* مثلثی
* سه‌قطری
* یکانی
* وندرموند
* والش
* زد

 |
| ثابت | 
* تبادل
* هیلبرت
* همانی
* لمر
* یک‌ها
* پاسکال
* پاولی
* ردفر
* جابجایی
* صفر

 |
| شرایط روی مقادیرویژه یا بردارویژه‌ها | 
* همراه
* همگرا
* نقصانی
* قطری پذیر
* هورویتز
* ماتریس مثبت-معین
* پایداری
* اشتیلیس

 |
| شرایط کافی روی ضرب‌ها یا معکوس‌ها | 
* همنهشتی
* خودتوان یا تصویری
* معکوس‌پذیر
* پیچش
* پوچ‌توان
* نرمال
* متعامد
* متعامد یکه
* تکین
* تک‌نمایی
* تک-توان
* کاملاً تک-نما
* وزنی

 |
| با کاربردهای خاص | 
* الحاقی
* با علامت متناوب
* افزوده
* بزو
* کارلمن
* کارتان
* دوری
* کهاد
* جابجایی
* پریشانی
* کاکستر
* موهن
* فاصله
* تکرار
* حذف
* فاصله اقلیدسی
* بنیادی (معادله دیفرانسیل خطی)
* مولد
* گرامیان
* هسین
* خانه‌دار
* ژاکوبی
* گشتاور
* بازده
* پیک
* راندوم
* دوران
* سیفرت
* برش
* شباهت
* همتافته
* کاملاً مثبت
* تبدیل
* ودربرن
* X–Y–Z

 |
| بکار رفته در آمار | 
* برنولی
* مرکزیت
* همبستگی
* کوواریانس
* طرح
* پراکندگی
* تصادفی مضاعف
* اطلاع فیشر
* کلاه
* دقت
* تصادفی
* انتقال

 |
| بکار رفته در نظریه گراف | 
* مجاورت
* دو-مجاورت
* درجه
* ادموندز
* وقوع
* لاپلاس
* مجاورت سیدل
* اریب-مجاورت
* توته

 |
| بکار رفته در علوم و مهندسی | 
* کابیبو-کوبایاشی-ماسکاوا
* چگالی
* بنیادی (بینایی رایانه)
* شرکتپذیری فازی
* گاما
* گل-من
* همیلتونی
* نامنظم
* همپوشانی
* S
* انتقال حالت
* جایگزینی
* Z (شیمی)

 |
| اصطلاحات مرتبط | 
* فرم کانونی جوردن
* استقلال خطی
* نمای ماتریس
* نمایش ماتریسی مقاطع مخروطی
* ماتریس بی نقص
* شبه معکوس
* ماتریس چهارتایی
* شکل سطری-پلکانی
* رونسکین

 |
| 
* لیست ماتریس‎ها
* رده:ماتریس‌ها

 |