Probabilitate teorian eta estatistikan, **banaketa geometrikoa** Bernoulliren prozesu batean lehenengo *baiezko* edo *arrakasta* suertatu arte suertaturiko *ezezko* edo *porrot* kopuruaren probabilitate banaketa da. Adibidez, banaketa geometrikoa dado bat behin eta berriz botata lehenengo 6 puntuazioa suertatu arte 6 ez diren puntuazioen kopuruari nahiz pieza segida batean lehenengo akastuna gauzatu arte akasgabeen kopuruari buruzko probabilitateak kalkulatzeko erabil daiteke. *Geometriko* izena ondoz ondoko balioen probabilitateek segida geometriko bati jarraitzen diotelako ematen zaio. Parametro bakarreko probabilitate banaketa da: *p*, arrakastaren probabilitate bakuna hain zuzen. Propietate jakingarriak baditu: porrot kopuru jakin gertatu delarik, arrakasta suertatu arteko porrot kopuruaren probabilitate-banaketa geometrikoa da betiere, Bernoulliren prozesuko independentzia dela tarteko. Beste alde batetik, beste zenbait probabilitate banakuntzekin lotura duen banaketa: *BN(r,p)* banaketa binomial negatiboa *r* banaketa geometrikoren batura da; banaketa geometrikoa binomial negatiboaren kasu berezi bat da, non *r=1* den, eta banaketa esponentziala banaketa geometrikoaren baliokide jarraitua da. Aplikazioei dagokienean, prozesu binomial baterako erabileraz gainera, banaketa geometrikoa maiz erabiltzen da maiztasun ziurgabeak modelizatzeko, hala nola testu batean hitz jakin baten maiztasunei nahiz urte batean zehar toki batean izadako ekaitz kopuruari buruzko probabilitateak aztertzeko.

Definizioa
----------

*X* zorizko aldagai bat banaketa geometrikoari jarraiki banatzen dela esaten da, labur {\displaystyle X\sim G(p)},bere probabilitate-funtzioa hau denean:

{\displaystyle P(X=x;p)={\big (}1-p{\big )}^{x}p\ \ ;\ \ x=0,1,2,\ldots }
### Azalpena

Banakuntza geometrikoari jarraiki banatzen den zorizko aldagai batek lehenengo arrakasta (1) izan arteko porrot (0) kopurua adierazten du. Porrot bakoitzaren probabilitatea *(1-p)* izendatzen Bernoulli prozesuetako notazioaren arabera. Horrela, lehen arrakastaren aurretik gertatzen diren *x* porroten probabilitatea *(1-p)x* da. Lehen arrakastaren aurreko porrot kopurua *x* izateko azkenik, *x+1* aldian arrakasta, *p* probabilitateaz, gertatu behar da. Beraz, lehenengo arrakasta izan arteko porrot kopurua *x* izateko probabilitatea *(1-p)xp* da.

**Adibidea**

| Bernoulli prozesua | x (arrakastaren aurreko porrot kopurua) | P[X=x] (p=0.8,q=1-p=0.2) |
| --- | --- | --- |
| **001**00... | 2 | 0.820.2=0.128 |
| **00001**00... | 4 | 0.840.2=0.082 |
| **000001**11... | 5 | 0.850.2=0.065 |
| **0000000**... | >7 |  ? |
|

Ezaugarriak eta propietateak
----------------------------

### Itxaropen matematikoa

{\displaystyle X\sim G(p)} probabilitate-banaketa baten itxaropen-matematikoa hau da:

{\displaystyle \mu =E[X]={\frac {q}{p}}={\frac {1-p}{p}}}
Frogapena
 
 Frogapenean segida geometrikoaren formula eta deribatuen batura baturen deribatua dela ezartzen duen teorema erabiltzen dira:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mu =E[X]&=\sum \_{x=0}^{\infty }x(1-p)^{x}p\\&=p(1-p)\sum \_{x=0}^{\infty }x(1-p)^{x-1}\\&=p(1-p)\sum \_{x=0}^{\infty }{\frac {d(1-p)^{x}}{d(1-p)}}\\&=p(1-p){\frac {d\sum \_{x=0}^{\infty }(1-p)^{x}}{d(1-p)}}\\&=p(1-p){\frac {d{\big (}{\frac {1}{1-(1-p)}}{\big )}}{d(1-p)}}\ \ \;\ \textstyle {(t=1-p)\ aldagai\ aldaketa\ eginez}\\&=p(1-p){\frac {d{\big (}{\frac {1}{1-t}}{\big )}}{dt}}\\&=p(1-p){\frac {1}{(1-t)^{2}}}\\&=p(1-p){\frac {1}{(1-(1-p))^{2}}}\\&=p(1-p){\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {1-p}{p}}={\frac {q}{p}}\\\end{aligned}}}

### Bariantza

* *G(p)* banaketa baten bariantza honakoa da:

{\displaystyle var[X]={\frac {q}{p^{2}}}={\frac {1-p}{p^{2}}}}
### Banakuntza geometrikoen batura

* {\displaystyle X\_{1},\ X\_{2},\ldots ,X\_{n}} aldagaiek *G(p)* banaketa geometrikoari jarraitzen badiote, {\displaystyle X=X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}} baturak *BN(n,p)* banaketa binomial negatiboari jarraitzen dio.

Bestelako jakingarriak
----------------------

* Banakuntza geometrikoa kromo biltzailearen ebazkizunean erabiltzen da: biltzaileak *k* kromo dituelarik *n* kromoko bilduma batetik, eskuratzen duen hurrengo kromoa errepikatua ez izateko probabilitatea *(n-k)/n* da. Kromo ez errepikatu bat eskuratu ahal izateko erosi behar duen kromo kopurua *G((n-k)/n)* banaketa geometrikoaren arabera banatzen da.
* San Petersburgo paradoxan, irabaziak eskuratu arte jokatu beharreko aldien kopurua *G(0.5)* banaketaren araberakoa da.

Oharrak
-------

1. ↑  Ohartarazi behar da *arrakasta* edo *porrot* izendapenek ez dutela zerikusirik praktikan gertakizun bat aldeko edo aurkako izatearekin. Adibidez, pieza segida batean akastun kopurua zenbatzen da, *arraskata* eta ondorioz *p* probabilitatea duen emaitza *akastuna* da, pieza akastuna kaltegarria izaten den arren.
2. ↑  Iturri batzuen arabera, banaketa geometrikoa lehen *porrota* izan arteko *arrakasta* kopuruari buruzkoa da eta ondorioz, probabilitate funtzioa *px(1-p)* da. Funtsean ez dago diferentziarik bi definizioen artean eta emaitzak berberak izango dira batarekin nahiz bestearekin, *porrot* eta *arraskata* zein diren gorabehera

Erreferentzia
-------------

1. ↑  **(Ingelesez)**  Bean, Michale A..  (2001). *Probability:The Science of Uncertainty.* , 207 or..
2. ↑  **(Ingelesez)** Geometric Distribution, *mathworld.wolfram.com*, 2013-03-16an kontsultatua.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q729523
* Commonscat Multimedia: Geometric distribution

---

 |

* Wd Datuak: Q729523
* Commonscat Multimedia: Geometric distribution