p=2 parametroarentzat, Pell-en ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar.{\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar. 
**Pell-en ekuazio diofantoarra** gisa honetako ekuazioa da: {\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}, zeinetan {\displaystyle p} zenbaki arrunt eta ez karratua den. Ekuazio diofantoarren helburua, zenbaki osoen gaineko ebazpenak ( ebazpen diofantoarrak ) determinatzea da, existitzen diren kasuan. 

Pellen ekuazioaren: {\displaystyle p}, parametroaren balioa edozein zenbaki ez karratu izanik: {\displaystyle (x,y)=(1,0)}, eta {\displaystyle (x,y)=(-1,0)} beti dira ebazpen diofantoarrak: ebazpen neutroak izenda daitezke. Horregatik {\displaystyle p} zenbaki ez karratuarentzat, helburua: neutroak ez diren ebazpen diofantoarrak determinatzea da existitzen diren kasuan. 

Pell-en ekuazio diofantoarraren problemak bi dira beraz: {\displaystyle p} zenbaki ez karratua emanik, ebazpen ez neutrorik ba ote duen determinatzea, eta duen kasuan ahal diren ebazpen guztiak determinatzea. 

Irudian {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}, ekuazioaren zenbait ebazpen diofantoar eta ez neutroak, gorriz adierazi dira: {\displaystyle (x,y)\in \{(3,2),(3,-2),(-3,2),(-3,-2)\}}

Historia
--------

Ekuazio honen ikerketa antzinakoa da, eta ebazpena XVIII. mendean gauzatuko da.

Badirudi Euler-en nahaste baten ondorioz atxikitzen zaiola ekuazio hau Pell-i. Badirudi Eulerrek Wallis aipatu beharrean Pell aipatu zuela.

Evariste Galois (1811-1832)
Dirichlet-ek Pell en ekuazioa bateragarria dela frogatuko du. Hots: {\displaystyle p} edozein zenbaki arrunt ez karraturentzat, Pellen ekuaziak beti duela ebazpen ez neutro bat ( {\displaystyle y\neq 0} ), (usategiaren printzipioa erabiliz). 

Pell-en ekuazioak ebazpen ez neutro bat baldin badu, badu ebazpen minimo bat, eta ebazpen minimo honek ekuazio diofantikoaren ebazpen guztiak determinatzen ditu: oinarrizko ebazpena izendatzen da ebazpen minimo hau.

Oinarrizko ebazpena determinatzeko metodoa, zatiki jarraien bidez ebatziko dute: Euler(1748), Lagrange(1768) eta Galois(1828)-ek: zenbaki irrazional bikarratuak, zatiki jarraien bidezko garapenarekiko karakterizatuz.

Oinarrizko ebazpena
-------------------

{\displaystyle p} zenbaki ez karratua emanik, Pell-en ekuazioa: {\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}, bateragarria dela frogatzen du Dirichlet-ek. Ondorioz ebazpen diofantoar ( ez neutroa ) bat existitzen da. Ekuazioaren ebazpenak, {\displaystyle x^{2}-py^{2}=1} hiperbolan daudenez, ebazpen diofantoar bakar bat existitzen da lehen koadrantean, jatorrira distantzia minimoa duena: ebazpen minimo hau izango da: Oinarrizko ebapena, {\displaystyle (x,y)=(a,b)}, adieraziko da, hots: {\displaystyle a^{2}-pb^{2}=1}. Irudian agertu den kasuan: {\displaystyle x^{2}-2y^{2}=1}, ren oinarrizko ebazpena: {\displaystyle (a,b)=(3,2)}. 

{\displaystyle {\sqrt {p}}=[a\_{0},a\_{1},a\_{3},...a\_{n},...]} Zatiki jarraien bidezko garapena izango da.

Zatiki jarraien bidezko garapenaren {\displaystyle n}. hondarra{\displaystyle R\_{n}({\sqrt {p}})=[a\_{0},a\_{1},a\_{3},...a\_{n}]} adieraziko da.

Zenbaki irrazionala: {\displaystyle {\sqrt {p}}} , erro modukoa izateagatik, Zatiki jarraien bidezko bere garapena, lehen koefizientetik aurrera periodikoa dela frogatuko du Galoisek, eta periodo hori: {\displaystyle T}, {\displaystyle a\_{n}=2a\_{0}} berdintza betetzen duen lehen zenbaki arrunta dela.

Honela: {\displaystyle {\sqrt {p}}=[a\_{0},{\overline {a\_{1},a\_{3},...a\_{T-1},2a\_{0}}}]} izango da zatiki jarraien bidezko garapena. 

Ondorengoa dugu Pellen ekuazioaren oinarrizko ebazpena:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=R\_{T-1}({\sqrt {p}})=[a\_{0},a\_{1},a\_{3},...a\_{T-1}]} , {\displaystyle T} bikoitia bada.

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=R\_{2T-1}({\sqrt {p}})=[a\_{0},a\_{1},a\_{3},...a\_{2T-1}]} , {\displaystyle T} bakoitia bada.

Irudian agertu den kasuan: {\displaystyle {\sqrt {p}}=[1,{\overline {2}}]}, ondorioz: {\displaystyle T=1}, bakoitia. 

Eta oinarrizko ebazpena: {\displaystyle {\frac {a}{b}}=R\_{1}({\sqrt {2}})=[1,2]=1+{\frac {1}{2}}={\frac {3}{2}}}

Ebazpen guztiak
---------------

Pellen ekuazioaren: {\displaystyle x^{2}-py^{2}=1}, oinarrizko ebapena bada: {\displaystyle (x,y)=(a,b)}. 

{\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})(a-b{\sqrt {p}})=1}, eta erlazio hori betetzen du edozein ebazpenek. Ondorioz: 

{\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}(a-b{\sqrt {p}})^{n}=1^{n}=1}, berdintza betetzen da {\displaystyle n} edozein zenbaki osorentzat. 

{\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}=x\_{n}+y\_{n}{\sqrt {p}}}, moduan adieraz daiteke, eta {\displaystyle (a+b{\sqrt {p}})^{n}=x\_{n}+y\_{n}{\sqrt {p}}}, moduan zeinetan: 

{\displaystyle x\_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}+(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2}}}

{\displaystyle y\_{n}={\frac {(a+{\sqrt {p}})^{n}-(a-{\sqrt {p}})^{n}}{2{\sqrt {p}}}}}

Zeinetan: {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, hartzen bada lehen koadranteko ebazpen guztiak hartzen diren. Ebazpen hauen artean ezin dela beste egon frogatuz, lehen koadanteko ebazpen guztiak gisa horretakoak dira.

Adibideak
---------

**Lehena:**

{\displaystyle p=21}, ez da karratua, eta beraz: {\displaystyle x^{2}-21y^{2}=1}, bateragarria.

{\displaystyle {\sqrt {21}}=[4,{\overline {1,1,2,1,1,8}}]}, zatiki jarraien bidezko garapena. 

{\displaystyle T=6}, bikoitia denez: 

Ebazpen minimoa: {\displaystyle a^{2}-21b^{2}=1}. 

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=R\_{T-1}=R\_{5}=[4,1,1,2,1,1]={\frac {55}{12}}\Rightarrow a=55,b=12}. 

Lehen koadranteko ebazpen guztiak: {\displaystyle n\in \mathbb {N} }

{\displaystyle x\_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}+(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2}}}

{\displaystyle y\_{n}={\frac {(55+12{\sqrt {21}})^{n}-(55-12{\sqrt {21}})^{n}}{2{\sqrt {21}}}}}

**Bigarrena:**

{\displaystyle p=53}, ez da karratua, beraz: {\displaystyle x^{2}-53y^{2}=1}, bateragarria da.

{\displaystyle {\sqrt {53}}=[7,{\overline {3,1,1,3,14}}]}, zatiki jarraien bidezko garapena.

{\displaystyle T=5}, bakoitia denez:

Ebazpen minimoa: {\displaystyle a^{2}-21b^{2}=1}

{\displaystyle {\frac {a}{b}}=R\_{2T-1}=R\_{9}=[7,3,1,1,3,14,3,1,1,3]={\frac {66249}{9100}}\Rightarrow a=66249,b=9100}

Eta lehen koadranteko ebazpen guztiak: {\displaystyle n\in \mathbb {N} }

{\displaystyle x\_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}+(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2}}}{\displaystyle y\_{n}={\frac {(66249+9100{\sqrt {53}})^{n}-(66249-9100{\sqrt {53}})^{n}}{2{\sqrt {53}}}}}

Erreferentziak
--------------

1. ↑    *Solving the Pell equation.*  Notices Am Math. Soc. 182-192 or..

Ikus, gainera
-------------

* Pellen ekuazioaren bateragarritasuna
* Pellen ekuazioaren ebazpen guztiak

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q853067
* **Identifikadoreak**
* BNF: 150987299 (data)
* LCCN: sh2002004493
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q853067