**Matrize norma** bat, bektoreena bezala, {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } adierazten da eta hurrengo hiru propietateak betetzen ditu:

1. {\displaystyle \lVert A\rVert >0,\forall A\neq 0.}
2. {\displaystyle \lVert cA\rVert =\left\vert c\right\vert \cdot \lVert A\rVert ,\forall c\in {\displaystyle \mathbb {R} }.}
3. {\displaystyle \lVert A+B\rVert \leq \lVert A\rVert +\lVert B\rVert .}

A eta B {\displaystyle K^{m\times n}} -erako matrizeak izanik.

Gainera, matrizea karratua den kasuetan; hau da, m=n hurrengo propietatea betetzen dela esan dezakegu:

* {\displaystyle \lVert AB\rVert \leq \lVert A\rVert \cdot \lVert B\rVert .}

Definizioa
----------

Izan bitez A matrize bat eta {\displaystyle \lVert \cdot \rVert } bektore-norma bat. {\displaystyle \lVert A\rVert } eragindako matrize norma honela definitzen da:

{\displaystyle \lVert A\rVert =\max \limits \_{x\neq 0}{\frac {\lVert Ax\rVert }{x}}}

Jarraian bektoreen bat-, bi- eta infinitu-normek eragindako matrize normak adieraziko ditugu:

* {\displaystyle \lVert A\rVert \_{1}=\max \limits \_{j}\lVert A\_{:,j}\rVert \_{1}} ( zutabe guztien bat-normetako maximoa)
* {\displaystyle \lVert A\rVert \_{2}=\sigma \_{1}(A)} ( balio singular handiena)
* {\displaystyle \lVert A\rVert \_{\infty }=\max \limits \_{i}\lVert A\_{i,:}\rVert \_{1}} ( lerro guztien bat-normetako maximoa)

A simetrikoa den kasuetan, {\displaystyle \lVert A\rVert \_{2}=\max \limits \_{1\leq i\leq n}\left\vert \lambda \_{i}\right\vert } ( {\displaystyle \lambda \_{i},1\leq i\leq n} , A- autobalioak izanik) betetzen da.

*Frobenius*en norma
-------------------

{\displaystyle \lVert \cdot \rVert \_{b}} bektore-norma bat eta {\displaystyle \lVert \cdot \rVert \_{m}} matrize-norma bat bateragarriak direla esaten da, A eta x guztietarako hurrengoa betzen bada:

{\displaystyle \lVert Ax\rVert \_{b}\leq \lVert A\rVert \_{m}\lVert x\rVert \_{b}.}

Bektore-norma eta berak eragindako matrize-norma beti izango dira bateragarriak, baina ez eragindako matrize norma bat ere badago, ***Frobenius*en norma:**

{\displaystyle \lVert A\rVert \_{F}=(\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i,j}^{2})^{\frac {1}{2}}} .

Norma hau bateragarria izanik bektore-norma euklidearrarekin:

{\displaystyle \lVert Ax\rVert \_{2}\leq \lVert A\rVert \_{F}\lVert x\rVert \_{2}.}

Propietateak
------------

Edozein {\displaystyle A\in {\displaystyle \mathbb {R} }^{m\times n}} matrizetarako hurrengo 3 propietateak betetzen dira:

1. {\displaystyle \lVert A\rVert \_{2}\leq \lVert A\rVert \_{F}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert \_{2}.}
2. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\lVert A\rVert \_{\infty }\leq \lVert A\rVert \_{2}\leq {\sqrt {m}}\lVert A\rVert \_{\infty }.}
3. {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\lVert A\rVert \_{1}\leq \lVert A\rVert \_{2}\leq {\sqrt {n}}\lVert A\rVert \_{1}.}

Propietate honen arabera, bektore edo matrize norma ezberdinek balio ezberdinak izan ditzaketen arren, baliokidetzat har daitezke, baten balio ezagutuz beste norma batena borna baitezakegu.

Erreferentziak
--------------

* Zenbakizko metodoak MATLAB erabiliz, 2.edizioa- Eugenio Juan Mijangos Fernández liburua

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q939253
* Commonscat Multimedia: Matrix norms

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4210047-1

 |

* Wd Datuak: Q939253
* Commonscat Multimedia: Matrix norms