**Aljebra multilineala** Matematikan aljebra linealeko metodoak orokortzen dituen azterketa-eremua da. Aztergaiak espazio bektorialen produktu tentsorialak eta espazioen arteko transformazio multilinealak dira.

Notazioa
--------

Aljebra multilinealak indize anitzeko notazioaren erabilera intentsiboa egiten du. Horrelako notazio baten bidez, konbinazio linealak bi indize edo gehiago errepikatuz adierazten dira.

* Oinarrizko kasuan (**1 mailako** tensore, kontrabariantea), Einsteinen baturaren konbentzioa erabiliz: {\displaystyle \scriptstyle X=X^{s}e\_{s}\,} Horrek adierazten du X *objektua* konbinazio lineala dela:

> 
> {\displaystyle \scriptstyle \sum \_{s=1}^{n}X^{s}e\_{s}=X^{1}e\_{1}+X^{2}e\_{2}+\cdots +X^{n}e\_{n}}
> 
> 
> 

{\displaystyle \scriptstyle e\_{s}\,} *oinarrizko bektoreen gainean*, eta X-ren *osagaiak* deituriko {\displaystyle \scriptstyle X^{s}\,}balioen gainean, non {\displaystyle n} hemen baita X "bizi" den espazioaren dimentsioa (aljebraikoa). Konbentzioz, 1-kontratensore deitzen zaie.
* 1. mailan ere 1. tensorea dago, hau da, funtzio linealak aukeratutako espaziotik eskalarren gorputzera. {\displaystyle \scriptstyle i^{s}} funtzio linealen konbinazio lineal gisa idazten dira, {\displaystyle \scriptstyle i^{s}(e\_{\sigma })={\delta ^{s}}\_{\sigma }}betetzen duten {\displaystyle \scriptstyle V\to \mathbb {K} } transformazio lineal gisa, non (klasikoki bezala) Kronecker-en delta erabiltzen ari den. Hala, edozein {\displaystyle \scriptstyle f\colon V\to \mathbb {K} } kobektore honela idazten da:{\displaystyle \scriptstyle f=f\_{s}e^{s}\,} Notazioa hori honela laburtu daitekeela: {\displaystyle \scriptstyle f=f\_{1}e^{1}+\cdots +f\_{n}e^{n}\,}
* Bigarren mailako tentsoreak:
	+ **Kontrabarianteko bi heineko** tentsore bat da hau:{\displaystyle \scriptstyle B=B^{st}e\_{s}\otimes e\_{t}}
	+ **Kobarianteko bi heineko** tensorea da. {\displaystyle \scriptstyle C=C\_{st}e^{s}\otimes i^{t}}
	+ Eta bi heineko tensore misto bat da hau: {\displaystyle \scriptstyle D={D^{s}}\_{T}e\_{s}\otimes e\_{t}} Horrek **bi-indezedun** konbinazio lineal bat adierazten du.

Adibidez:

> 
> {\displaystyle \scriptstyle B=B^{11}e\_{1}\otimes e\_{1}+B^{12}e\_{1}\otimes e\_{2}+B^{21}e\_{2}\otimes e\_{1}+B^{22}e\_{2}\otimes e\_{2}}
> 
> 
> 

espazioaren dimentsioa bi bada.
* Aurrekoa orokortuz, {\displaystyle \scriptstyle {A^{i\_{1}i\_{2}...i\_{p}}}\_{j\_{1}j\_{2}...j\_{q}}} idazten da A *tensore misto* baten *osagaiak* irudikatzeko , p-kontrabariante eta q-kobariantea baita. Baina

> 
> {\displaystyle \scriptstyle A={A^{i\_{1}i\_{2}...i\_{p}}}\_{j\_{1}j\_{2}...j\_{q}}e\_{I\_{1}}\otimes \cdots \otimes e\_{i\_{p}}\otimes i^{j\_{1}}\otimes \cdots \otimes i^{j\_{q}}}
> 
> 
> 

indexatutako konbinazio lineal bat adierazten du.
Hori guztia ko*n*tuan hartzeko, kontuan hartu behar izan da bektore-espazioa n dimentsio finitua duela.

Produktu tentsoriala
--------------------

V eta *W* bi bektore-espazio baditugu, dagozkien oinarriekin, haien produktu tentsoriala definitzen da{\displaystyle \{b\_{1},...b\_{n}\}}{\displaystyle \{c\_{1},...c\_{m}\}}

{\displaystyle \scriptstyle V\otimes W:=\langle \{b\_{i}\otimes c\_{j}\}\rangle }
hau da, sinbolo berriek sortutako espazio bektoriala

{\displaystyle \scriptstyle \{b\_{1}\otimes c\_{1},b\_{1}\otimes c\_{2},...b\_{n}\otimes c\_{m-1},b\_{n}\otimes c\_{m}\}}
Eta, beraz, {\displaystyle \scriptstyle V\otimes W} espazioan *bizi* den (edo horren parte den) objektu bat, konbinazio lineal gisa adieraz daiteke.

{\displaystyle \scriptstyle X=X^{11}b\_{1}\otimes C\_{1}+X^{12}b\_{1}\otimes C\_{2}+\cdots +X^{ij}b\_{i}\otimes c\_{j}+\cdots +X^{nm}b\_{n}\otimes c\_{m}}
eta honela **laburtu** daiteke

{\displaystyle \scriptstyle X=X^{st}b\_{s}\otimes c\_{t}} *s* edo *t* indize errepikatuak, behin gora eta behin behera —batutze-hitzarmenaren arabera—, banan-banan.
Definizio hori guztiz abstraktua da, baina algebraren ikuspuntutik ez dago inolako arazorik produktu tensorialaren aukera guztiak aztertzean. Espazio pila bat (eta garrantzi handikoa) sortzen da V bektore-espazioa eta {\displaystyle V^{\*}} bere espazio dual bat espazioak kontsideratzen direnean:

{\displaystyle \scriptstyle V\otimes V\otimes V=V^{3\otimes }}
{\displaystyle \scriptstyle V\otimes V^{\*}={\rm {Hom}}(V)}
{\displaystyle \scriptstyle V^{\*}=\Lambda ^{1}(V)\,}
{\displaystyle \scriptstyle V\wedge V}
{\displaystyle \scriptstyle \Lambda ^{k}(V)\,}
Horiek guztiak egunero erabiltzen dira geometria diferentzialean, geometria aljebraikoan, aljebra konmutatiboan, erlatibitatean eta kuantikoan, QFT teorian, TQFT teorian eta beste batzuetan.

Tensoreak eta formak
--------------------

Bedi {\displaystyle V} espazio bat {\displaystyle b\_{i}}-ekin sortua. Sinboliza dezagun {\displaystyle \beta ^{\mu }}-rekin {\displaystyle \scriptstyle V^{\*}} oinarri duala, {\displaystyle \scriptstyle V^{\*}\otimes V^{\*}} multiespazioko edozein elementu honela idazten da: {\displaystyle \scriptstyle B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}. Adierazpen hori funtzio bilineal gisa ikus daiteke

{\displaystyle {\begin{array}{rcl}V\times V&{\stackrel {B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }}{\longrightarrow }}&\mathbb {R} \\\scriptstyle (b\_{i},b\_{j})&\mapsto &B\_{\mu \nu }\beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b\_{i},b\_{j})=B\_{ij}\\\end{array}}}
jakinik{\displaystyle \scriptstyle \beta ^{\mu }\otimes \beta ^{\nu }(b\_{i},b\_{j})={\delta ^{\mu }}\_{i}{\delta ^{\nu }}\_{j}} dela, non *{\displaystyle \delta }* Kronecker-en delta.

Garatutako kontzeptu batzuk (zerrenda guztiz osatu gabea)
---------------------------------------------------------

* tensore
* espazio dual
* Bobektoreak
* geometria diferentziala
* tensore-kalkulua
* analisi bektoriala
* bektoreen kobariantza eta kontraxia
* tensore metrikoa
* deribatu kobariantea
* konexioa
* Riemann-en kurbadura-tensorea
* Christoffelen ikurrak
* kanpoko aljebra
* forma diferentziala
* kurbadura
* Stokesen teorema
* Levi-Civita ikurra
* Atala (matematika)
* Eremu bektoriala
* Eremu tensoriala
* Pullback

Erreferentziak
--------------

1. ↑    Ramírez Alzola, Txomin; Mª Asunción, García Sánchez.  (2012). «Aljebra linealerako sarrera [2012/05 [eus»] *OCW* (UPV/EHU - OCW) (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).
2. ↑   «Aljebra lineala -- ZT Hiztegi Berria» *zthiztegia.elhuyar.eus* (Noiz kontsultatua: 2022-12-24).

Bibliografia
------------

* Grassmann, Hermann (2000) [1862]. Extension Theory [Die Ausdehnungslehre]. Translated by Kannenberg, Lloyd. American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-9049-3.
* Fleming, Wendell H. (1977). "Exterior algebra and differential calculus". Functions of several variables. Undergraduate Texts in Mathematics (2nd ed.). Springer. pp. 275–320. doi:10.1007/978-1-4684-9461-7\_7. ISBN 978-1-4684-9461-7. OCLC 2401829.
* Ricci-Curbastro, Gregorio; Levi-Civita, Tullio (1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications". Mathematische Annalen. 54 (1): 125–201. doi:10.1007/BF01454201. ISSN 1432-1807. S2CID 120009332.
* Shaw, Ronald (1983). Multilinear algebra and group representations. Linear Algebra and Group Representations. Vol. 2. Academic Press. ISBN 978-0-12-639202-9. OCLC 59106339.

Ikus, gainera
-------------

* Aljebra lineal

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1197190
* Commonscat Multimedia: Multilinear algebra

---

 |

* Wd Datuak: Q1197190
* Commonscat Multimedia: Multilinear algebra