***Logaritmo natural** eta **logaritmo nepertar** terminoak sinonimo bezala erabili arren, izatez bi kontzeptu ezberdin dira. Informazio gehiago eskuratzeko, ikusi logaritmo nepertar.*
Logaritmo arruntaren grafikoa.
Matematikan, **logaritmo natural** edo **logaritmo nepertar** (modu informalean) deitzen zaie oinarri gisa e zenbakia duten logaritmoei (e zenbaki irrazional bat da, gutxi gorabehera balio honetakoa: 2,7182818284590452353602874713527). Logaritmo naturala {\displaystyle \log \_{e}x} edo {\displaystyle \ln x} notazioaren bidez adierazten da.

Beraz, *x* zenbaki baten logaritmo arrunta hura lortzeko *e* berretu behar duen *a* zenbakia da; hau da, ln(x)=a eta *e*a=*x* ekuazioak baliokideak dira. Adibidez, 7,38905... zenbakiaren logaritmo naturala 2 da, *e*2=7,38905... baita; eta ln(*e*)=1 da, *e*1=*e* da-eta.

Ikuspuntu analitikotik, edozein zenbaki x>0 positiboren logaritmo arrunta y=1/t kurbaren 0 eta *x* arteko azalera bezala defini daiteke. Definizio hain sinple honek ematen dio logaritmo mota honi "natural" izendapena.

Logaritmo naturala zenbaki erreal positiboez osatutako definizio-eremuko funtzio erreala da:

{\displaystyle {\text{ln}}:\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }
eta funtzio esponentzial naturalaren alderantzizko funtzioa da:

{\displaystyle e^{{\text{ln}}\,x}=x{\text{, }}x>0{\text{ osorako}}}
{\displaystyle {\text{ln}}(e^{x})=x\!}
Logaritmo arruntaren alderantzizkoa funtzio esponentziala da.

Historia
--------

Logaritmo arrunta Nikolaus Mercatorren *Logarithmotechnia*-n aipatu zen lehen aldiz (1668an argitaratua), nahiz eta John Speidell matematika irakasleak jadanik logaritmo naturalaren balio taula bat eratu izan 1619an. Formalki logaritmo hiperboliko deitu ohi zen, haren balioak hiperbola baten azpiko azalerarenak baitira. Batzuetan logaritmo "natural" eta "nepertar" izendapenak sinonimo gisa erabiltzen dira, jatorrizko esanahiak pixka bat ezberdinak izan arren.

Logaritmo natural terminoaren jatorria
--------------------------------------

Hasiera batean, sistema hamartarra zenbaki-sistema arruntena bihurtu zenetik, 10 oinarria e oinarria baino "naturalagoa" irudi dezake; baina matematika arloan, 10a ez da ezertarako zenbaki berezia. Bere erabilpen hedatua (zenbakitze-sistema gisa) ziur aski gizakion hatz kopurutik dator, errazagoa baita hamarnaka zenbatzea. Historian zehar kultura batzuk beste oinarritako zenbaki-sistemak erabili zituzten, hala nola 5, 8, 12, 20 edo 60.

log*e* da logaritmo "arrunta" matematiketan gehiagotan agertzen baita. Gainera, operazio batzuetan berez agertzen da logaritmo hau; funtzio logaritmikoa deribatzean adibidez:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{b}(x)={\frac {d}{dx}}\left({\frac {1}{\ln(b)}}\ln {x}\right)={\frac {1}{\ln(b)}}{\frac {d}{dx}}\ln {x}={\frac {1}{x\ln(b)}}}
Gainera, *b* oinarria *e* zenbakia bada, orduan deribatua 1/x da. Bestalde, e oinarriko logaritmoa "naturalena" izateko beste arrazoi bat, integral baten edo Taylorren serie baten bidez erraz definitu daitekeela da, eta hau ez litzake hain erraza izango beste oinarri batekin.

Kalkulutik kanpo badaude beste arrazoi pare bat hura "natural" izenaz ezagutzeko. Hala nola, badaude serie arrunt batzuk logaritmo arruntarekin erlazionatuak. Gainera, Pietro Mengoli eta Nicholas Mercatorrek *logarithmus naturalis* deitu zuten Newton eta Leibnizek kalkulua garatu baino hamarkada batzuk lehenago.

Definizioa
----------

Normalean ln(*x*)-ren balioa *f*(*t*) = 1/*t* kurbaren (1,*x*) tarteko azalera bezala irudikatzen da. *x*<1 bada, (*x*,1) tarteko azaleraren zeinua aldatzen da.
ln(x) funtzioa balio erreal positiboetarako dago definituta, 1/t funtzioaren 1 eta x arteko azalera bezala. Azalera hau integral baten emaitza da:

ln: **R**+→**R** honela definitzen da:

{\displaystyle \ln(x)=\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}\,}
Definizio honen bidez berehala ikus daiteke funtzio hau logaritmoen funtzezko propietatea betetzen duela:

{\displaystyle \ln(x\cdot y)=\ln(x)+\ln(y)}

|  |
| --- |
| Froga |
| Bi zenbaki positiboen logaritmoa:
{\displaystyle \ln(x\cdot y)=\int \_{1}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}}
Orain bitan deskonposatu daiteke eta kalkuloaren bigarren oinarrizko teorema erabili:
{\displaystyle \ln(x\cdot y)=\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int \_{x}^{x\cdot y}{\frac {dt}{t}}}
Eta bigarren integralan *s*=*t*/*x* aldagai aldaketaren bidez emaitza lortzen da:
{\displaystyle \ln(x\cdot y)=\int \_{1}^{x}{\frac {dt}{t}}+\int \_{1}^{y}{\frac {ds}{s}}=\ln(x)+\ln(y)} |

Gainera, *e* zenbakia erabiliz funtzioak 1 balio du. Beraz, ln logaritmoa *e* oinarriko logaritmoa da, hau da, *ex* funtzioaren alderantzizkoa.

Propietateak
------------

Logaritmo naturalak logaritmoen propietate orokorrak betetzen ditu, baita identitate logaritmikoak ere. Propietate orokorretaz gain hurrengo propietateak aipagarriak dira:

* {\displaystyle \ln(1)=0\,}

* {\displaystyle \ln(-1)=i\pi \quad \,}(ikusi logaritmo konplexua)

* {\displaystyle \ln(x)<\ln(y)\quad {\rm {para}}\quad 0<x<y\;}

* {\displaystyle {\frac {h}{1+h}}\leq \ln(1+h)\leq h\quad {\rm {para}}\quad h>-1\;}

* {\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(1+x)}{x}}=1.\,}

Deribatua, Taylorren seriea
---------------------------

ln(1 + *x*) funtziorako Taylorren polinomioak bakarrik −1 < *x* ≤ 1 tartean egiten dituzte hurbilketa zehatzak. Ikus daiteke *x* > 1 denean maila handiko Taylorren polinomioen hurbilketak oso txarrak direla.
Logaritmo naturalaren deribatua honako hau da:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(x)={\frac {1}{x}}.\,}
Logaritmo naturala haren definizio-eremuko puntu baten zentratutako Taylorren serie baten bidez adierazi daiteke. x=0 puntuan deribatua existitzen ez denez, haren Taylor seriea batean zentratzen da orokorrean, gero aldagai aldaketa baten bidez zeron zentratzeko. Horrela logaritmo naturalaren Taylorren seriea lortzen da:

{\displaystyle \ln(1+x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}x^{n}{\text{ para }}-1<x\leq 1}
Serie hau Mercatorren seriea deitzen da.

Funtzio identitatea erabiliz

{\displaystyle \ln x=\operatorname {artanh} \,\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right){\text{ , }}x>0{\text{ denean}}}
eta {\displaystyle {\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}} arkutangente hiperbolikoaren Taylorren seriean ordezkatuz hurrengo seriea lortzen da, konbergentzia azkarragokoa:

{\displaystyle \ln x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2n+1}}\left({\frac {x^{2}-1}{x^{2}+1}}\right)^{2n+1}{\text{ , }}x>0{\text{ denerako}}}
Taylor serieari transformazio binomiko bat aplikatuz bigarren serie hau lortzen da, |*x*|>1 denerako:

{\displaystyle \ln {x \over {x-1}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over {nx^{n}}}={1 \over x}+{1 \over {2x^{2}}}+{1 \over {3x^{3}}}+\cdots }
Ikusi daiteke {\displaystyle x \over {x-1}} bere buruaren alderantzizkoa da, eta ondorioz *y* zenbaki baten logaritmo naturala lortzeko nahiko da {\displaystyle y \over {y-1}} jartzea *x*-ren truke.

Integrala
---------

Logaritmo naturalari esker *g*(*x*) = *f'*(*x*)/*f*(*x*) erako funtzioak erraz integratu daitezke, katearen erregela eta hurrengo berdintza direla eta:

{\displaystyle \ {d \over dx}\left(\ln \left|x\right|\right)={1 \over x}.}
Beste era batera esanda,

{\displaystyle \int {1 \over x}dx=\ln |x|+C}
Honela ere bai adierazi daiteke,

{\displaystyle \int {{\frac {f'(x)}{f(x)}}\,dx}=\ln |f(x)|+C.}
Adibidez, ikusi *g*(*x*) = tan(*x*) funtzioaren integrazioa:

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {\sin(x) \over \cos(x)}\,dx}
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\int {-{d \over dx}\cos(x) \over {\cos(x)}}\,dx.}
*f*(*x*) = cos(*x*) eta *f'*(*x*)= – sin(*x*) hartuz:

{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=-\ln {\left|\cos(x)\right|}+C}
{\displaystyle \int \tan(x)\,dx=\ln {\left|\sec(x)\right|}+C}
non *C* integralaren konstante bat den.

Logaritmo naturala zatikako integrazioaren bidez integratu daiteke:

{\displaystyle \int \ln(x)\,dx=x\ln(x)-x+C.}

Erreferentziak
--------------

1. ↑  Pietro Mengoli eta Nicholas Mercatorek kalkulutik kanpoko arrazoiengatik eman zioten izendapen hau. Ikusi  **(Ingelesez)** Ballew, Pat. *Math Words, and Some Other Words, of Interest.*  (Noiz kontsultatua: 8 de abril de 2011).
2. ↑   **(Ingelesez)** O'Connor, J. J.; Robertson, E. F.. *The number e.*  The MacTutor History of Mathematics archive (Noiz kontsultatua: 2009ko otsailak 2).
3. ↑   **(Ingelesez)** Cajori.  (1991). *A History of Mathematics, 5th ed.*  AMS Bookstore, 152 or. ISBN 0821821024..
4. ↑   **(Ingelesez)** Flashman, Martin. *Estimating Integrals using Polynomials.*  (Noiz kontsultatua: 23 de marzo de 2008).
5. ↑   **(Ingelesez)** Boyers, Carl.  (1968). *A History of Mathematics.*  John Wiley & Sons.
6. ↑   **(Ingelesez)** Harris, John.  (1987). (PDF) *Australian Aboriginal and Islander mathematics.*  Australian Aboriginal Studies, 29–37 or.  jatorrizkotik artxibatua (artxibatze data: 31 de agosto de 2007) (Noiz kontsultatua: 12 de febrero de 2008).
7. ↑   **(Ingelesez)** Large, J.J..  (1902). *The vigesimal system of enumeration.*  Journal of the Polynesian Society, 260–261 or. (Noiz kontsultatua: 30 de marzo de 2011).
8. ↑   **(Ingelesez)** Cajori, Florian.  (1922). *Sexagesimal fractions among the Babylonians.*  American Mathematical Monthly, 8–10 or. doi:10.2307/2972914..
9. ↑   **(Ingelesez)** Larson, Ron.  (2007). *Calculus: An Applied Approach.*  (8va. argitaraldia) Cengage Learning, 331 or. ISBN 0-618-95825-8.. Section 4.5, page 331
10. ↑   **(Ingelesez)** Ballew, Pat. *Math Words, and Some Other Words, of Interest.*  (Noiz kontsultatua: 2007-9-16).

Bibliografia
------------

* "Cálculus" (Volume I). Tom M. Apostol. Bigarren edizioa, 1991. Editorial Reverté, S.A. ISBN 84-291-5002-1

Ikus, gainera
-------------

* Logaritmo
* Logaritmo konplexu
* Logaritmo nepertar
* *e* zenbakia
* Funtzio esponentzial

Kanpo estekak
-------------

* **(Ingelesez)** Weisstein, Eric W.: "Natural Logarithm" MathWorld-en.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q204037
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q204037