Denbora serie bati (zutabez irudikaturik) dagozkion lau **batezbesteko higikorren serieak**, 3 (gorriz), 6 (urdinez), 9 (berdez) eta 12 (horiz) tamainakoak hurrenez hurren. Erreparatu tamaina zenbat eta handiagoa izan, seriea orduan eta leunago azaltzen dela.
Estatistikan, **batezbesteko higikorra**, **batezbesteko mugikorra** edo **batezbesteko lerrakorra** datu multzo ordenatuak, denbora serieak gehienetan, aztertzeko tresna da, datuetan egon daitekeen zorizkotasun edo hondar osagaia ezabatu eta joera azalaraztea helburu duena. Horretarako, batezbesteko bat behin eta berriz kalkulatzen da datu azpimultzo baterako, batezbestekoaren kalkuluan aldi bakoitzean datu edo behaketa berriena datu zaharrenaren ordez barneratuz edo besterik gabe datu berria sartuz. Batezbesteko higikorraren *tamaina* batezbesteko bakoitza kalkulatzeko erabiltzen den datu kopurua da. Zorizko gorabeherak ezabatu eta joera modu argian azaltzen direnez, batezbesteko higikorren bitartez datu segidaren **leunketa** egiten dela esaten da. Batezbesteko higikorrak aurresanak egiteko ere erabiltzen dira, aldi baterako aurresan moduan aurreko aldiko batezbesteko higikorraren balioa hartuz.

Batezbesteko higikorra *iragazki* motako prozedura sinpleenetakoa ere bada. Horrela, seinale prozesaketan maiz erabiltzen da, *behe-pasako iragazki* moduan, *zarata* osagaia ezabatu eta maiztasun txikiko osagaiak bakantzeko. Akzio eta beste aktiboen kotizazioen azterketan, analisi teknikoan alegia, eta bestelako aldagai ekonomikoen ikerketan ere erabiltzen da, zorizko gorabeheren gainetik aldagai hauek erakusten duten epe luzerako joera hauteman asmoz betiere.

Batezbesteko higikor sinplea
----------------------------

*t* aldi baterako, *t* aldi baterako, batezbesteko higikor sinplea *k* tamainako batezbesteko aritmetiko sinplea da , aurreko *k* aldietako datuak hartuz:

{\displaystyle {\text{BH(t,k)}}={\frac {1}{k}}\sum \_{i=0}^{k-1}x\_{i}={x\_{t}+x\_{t-1}+\cdots +x\_{t-(k-1)} \over k}}
Lehenengo batezbesteko higikorra kalkulatuta, hurrengo batezbestekoa aurrekoaren emaitzan oinarrituz kalkula daiteke:

{\displaystyle {\text{BH(t+1,k)}}={\text{BH(t,k)}}-{x\_{t} \over n}+{x\_{t+1} \over n}}
### Tamainaren eragina

Batezbesteko higikorraren tamaina bere kalkulurako hartzen diren datuen kopurua da. Tamaina zenbat eta handiagoa, zorizko osagaiaren ezabaketa orduan eta nabariago, seriea orduan eta leunago eta norabide nagusia orduan eta argiago azaltzen dira, baina aldi berean interesgarriak izan daitezkeen aldaketak eta gorabeherak ere ezabatzen dira. Urtarokotasuna eta beste ziklo osagai erregularrak ezabatzeko ere erabil daiteke batezbesteko higikorra eta orduan ziklo horietako iraupena hartzen da batezbesteko higikorraren tamaina moduan.

Serie historiko baterako (urdinez) 2 eta 5 tamainako **batezbesteko higikorrak**. 2 tamainako batezbesteko higikorrak (gorriz) seriea leundu egiten du, baina gorabeherak guztiz ezabatu gabe. 5 tamainako batezbesteko higikorrak (horiz) joera garbiagoa azaltzen du, baina jakingarriak izan daitezkeen gorabeherak guztiz ezabatuz.

| t (denbora) | xt (serie historikoa) | BH(t,2) | BH(t,5) |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 8 | - | - |
| 1 | 9 | {\displaystyle {\frac {8+9}{2}}=8.5} | - |
| 2 | 11 | {\displaystyle {\frac {9+11}{2}}=10} | - |
| 3 | 12 | {\displaystyle {\frac {11+12}{2}}=11.5} | - |
| 4 | 12 | {\displaystyle {\frac {12+12}{2}}=12} | {\displaystyle {\frac {8+9+11+12+12}{5}}=10.4} |
| 5 | 10 | {\displaystyle {\frac {12+10}{2}}=11} | {\displaystyle {\frac {9+11+12+12+10}{5}}=10.8} |
| 6 | 14 | {\displaystyle {\frac {10+14}{2}}=12} | {\displaystyle {\frac {11+12+12+10+14}{5}}=11.8} |
| 7 | 15 | {\displaystyle {\frac {14+15}{2}}=14.5} | {\displaystyle {\frac {12+12+10+14+15}{5}}=12.6} |
| 8 | 15 | {\displaystyle {\frac {15+15}{2}}=15} | {\displaystyle {\frac {12+10+14+15+15}{5}}=13.2} |
| 9 | 16 | {\displaystyle {\frac {15+16}{2}}=15.5} | {\displaystyle {\frac {10+14+15+15+16}{5}}=14} |
|

### Batezbesteko higikorrak aldiroko aldaketak ezabatzeko prozedura moduan

6 eguneko periodoko gorabeherak (astelehenetik ostegunera) dituen salmenta serie bati 6 tamainako **batezbesteko higikor** bat kalkulatuz ezabatzen zaio astegunaren efektua. Datuak eta dagozkien batezbesteko higikorrak ezker aldean agertzen dira.
Denbora seriea leuntzen dutenez, batezbesteko higikorrak seriean egon daitezkeen aldiroko aldaketak (urtarokotasuna, esaterako) ezabatzeko erabil daitezke, seriearen joera edo norabide nagusia soilik uzteko agerian. Adibidez, denda bateko astelehenetik larunbaterako salmentek gorabehera periodiko eta konstanteak izaten badituzte, 6 tamainako batezbesteko higikorra kalkulatu behar da gorabehera horiek ezabatu eta salmenten joera garbia azalarazteko.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| t (denbora) | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 |
| Serie historikoa | 8 | 9 | 12 | 15 | 16 | 22 | 9 | 10 | 11 | 14 | 17 | 23 | 10 | 12 | 12 |
| BH(6) | ------- | ------- | ------- | ------- | ------- | 13.66 | 13.83 | 14.00 | 13.66 | 13.50 | 13.66 | 13.83 | 13.66 | 14.00 | 14.33 |

### Aurresanak batezbesteko higikorrekin

Batezbesteko higikorrak balio konstante baten inguruan, zorizko gorabeherekin batera, zarata zuriko prozesu baten arabera alegia, garatzen doazen denbora serieei buruzko aurresanak egiteko erabiltzen dira. Joera arina duten serieetarako ere erabil daitezke. Kasu guztietan, *t+k* (*k=1,2,3,...*) aldietarako aurresan moduan ({\displaystyle {\hat {x}}\_{t}\,}) aurreko *t* aldiko batezbesteko higikorra, kalkulaturiko azken batezbesteko higikorra alegia, erabiltzen da:

{\displaystyle {\hat {x}}\_{t+1}={\text{BH(t,k)}}}
Joera nabarmena duten serieetarako, berriz, batezbesteko higikorrek aurresan alboratuak egiten dituzte, aurreko bilakaeran oinarrituta aurresan egoki batek adieraziko lukeena baino aurresan handiagoa edo txikiagoa ezarriz. Adibidez, joera gorakorra duen serie batean batezbesteko higikorrak behar baino aurresan txikiagoa egiten du eta atzerapen batez jasotzen ditu izandako aldaketak. Joera duten serieetan iraganeko bilakaeran oinarrituta aurresan egokiak egiteko, batezbesteko higikorretatik eratortzen den leunketa esponentziala erabil daiteke.

Edonola ere, batezbesteko higikorren bitartez eginiko aurresanak iraganean jasotako datuetan oinarritzen direla hartu behar da kontuan eta, beraz, euren fidagarritasuna iraganeko bilakaeraren jarraipenaren mendean dagoela. Horrela, batezbesteko higikorrak epe laburrerako aurresanak egiteko soilik erabili behar dira, epe luzera ez baitago ziurtasunik lehengo bilakaera historikoak aurrera jarraitu behar duenik.

Aurresanak (kalkuluak ezker aldeko taulan) **batezbesteko higikorrak** erabiliz joerarik gabeko serie batean (goian) eta joera nabarmena duen serie batean (behean). Joera duen serierako aurresanak alboratuak dira eta atzerapen batez gertatzen dira. Hala ere, bukaera aldera serieak joera galdu eta gutxira, aurresanak berriz ere egoktizat jo daitezke.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Joerarik gabeko seriea |  | Joera duen seriea |
| xt serie historikoa | BH(t,k=3) | {\displaystyle {\hat {x}}\_{t}} aurresanak |  | xt serie historikoa | BH(t,k=3) | {\displaystyle {\hat {x}}\_{t}} aurresanak |
| 8 | - | - |  | 8 | - | - |
| 9 | - | - |  | 9 | - | - |
| 7 | 8 | - |  | 12 | 9.66 | - |
| 9 | 8.33 | 8 |  | 14 | 11.66 | 9.66 |
| 8 | 8 | 8.33 |  | 15 | 13.66 | 11.66 |
| 9 | 8.66 | 8 |  | 17 | 15.33 | 13.66 |
| 11 | 9.33 | 8.66 |  | 20 | 17.33 | 15.33 |
| 8 | 9.33 | 9.33 |  | 22 | 19.66 | 17.33 |
| 10 | 9.66 | 9.33 |  | 23 | 21.66 | 19.66 |
| 8 | 8.66 | 9.66 |  | 25 | 23.33 | 21.66 |
| 10 | 9.33 | 8.66 |  | 24 | 24 | 23.33 |
| 11 | 9.66 | 9.33 |  | 25 | 24.66 | 24 |
| - | - | 9.66 |  | - | - | 24.66 |
|

### Alde bakarreko eta alde biko batezbesteko higikorrak

Aurreko formulak *alde bakarreko batezbesteko higikorrak* kalkulatzen dituzte, batezbesteko higikor bakoitzak barnehartzen dituen datuak alde bakar batean, atzeragoko *k* aldietan alegia, geratzen direlako. Batzuetan, ordea, *alde biko batezbesteko higikorrak* edo *batezbesteko higikor zentratuak* kalkulatzen dira, non *t* aldiko batezbesteko higikorra aurreko eta ondorengo *k* balioak hartuz kalkulatzen den, batezbesteko higikorraren tamaina *2k+1* izanik:

{\displaystyle {\text{BH(t,k)}}={\frac {1}{2k+1}}\sum \_{i=-k}^{i=k}x\_{t+i}}
Batezbesteko higikor zentratuetan tamaina bikoitia denean, emaitzak zentratu gabe geratzen dira, aldi jakin batean kokatu ezinik. Behar bezala zentraturik gera daitezen, batezbesteko ez zentratuen gainean berriz 2 tamainako batezbesteko higikorrak kalkula daitezke.

Serie historiko baterako (urdinez) kalkulaturiko 3 tamainako **batezbesteko higikorrak** (kalkulua ezker aldean, alde bakarreko batezbesteko higikorra gorriz eta alde bikoa horiz). Ohartzekoa da nola leuntzen duten serie historikoa batezbesteko higikorrek gorabeherak ezabatuz. Alde bakarreko eta alde biko batezbesteko higikorren serieek balio berdinak dituzte; bien arteko ezberdintasun bakarra alde bakarrekoak alde bikoarekin duen atzerapena da.

| t (denbora) | xt (serie historikoa) | BH(t,3) (alde bakarrekoa) | BH(t,3) (alde bikoa eta zentratua) |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 13 | - | - |
| 1 | 14 | - | {\displaystyle {\frac {13+14+18}{3}}=15} |
| 2 | 18 | {\displaystyle {\frac {13+14+18}{3}}=15} | {\displaystyle {\frac {14+18+16}{3}}=16} |
| 3 | 16 | {\displaystyle {\frac {14+18+16}{3}}=16} | {\displaystyle {\frac {18+16+20}{3}}=18} |
| 4 | 20 | {\displaystyle {\frac {18+16+20}{3}}=18} | {\displaystyle {\frac {16+20+21}{3}}=19} |
| 0 | 21 | {\displaystyle {\frac {16+20+21}{3}}=19} | - |
|

### Batezbesteko higikor bikoitzak

Leunketa areagotzeko batezbesteko higikor bakoitzak kalkula daitezke. Adibidez *2×10* tamainako batezbesteko higikorrak 10 tamainako batezbesteko higikorren gainean kalkulaturiko 2 tamainako batezbesteko higikorrak dira. Froga daiteke, batezbesteko higikor bikoitza batezbesteko higikor haztatu baten baliokidea dela. Batezbesteko higikor bikoitzak batezbesteko higikorrak zentratzeko ere erabiltzen dira: tamaina bikoitiko eta alde biko batezbesteko higikorrak kalkulatzen direnean, horiek zentratu gabe geratzen dira eta beharrezkoa da horien gainean berriz ere 2 tamainako batezbesteko higikorrak kalkulatzea.

Batezbesteko higikor haztatuak
------------------------------

Helburua bereziki aurresanak egitea denean, batezbesteko higikorrak kalkulatzean berriagoak diren datuei haztapen edo garrantzi handiagoa ematea komeni da, denbora seriean izandako azken aldaketak modu egokiagoan jasotzearren. Horretarako, batezbesteko higikorrak batezbesteko aritmetiko haztatua erabiliz kalkulatzen dira, denboran zenbat eta atzerago joan datuei ematen zaizkien haztapen-koefizienteak gutxituz. Alde bakarreko batezbesteko higikor haztatu baterako hau litzateke formula, {\displaystyle w\_{i}} balioak iraganeko balioei ematen zaizkien haztapenak diren:

{\displaystyle {\text{BHH}}(t,k,w\_{0},w\_{1},\ldots ,w\_{k-1})=w\_{0}x\_{t}+w\_{1}x\_{t-1}+w\_{2}x\_{t-2}+\ldots +w\_{k-1}x\_{t-(k-1)}}
non honako hau betetzen den: {\displaystyle w\_{0}+w\_{1}+\ldots +w\_{k-1}=1}.

Aurresana hobeki egokitzen da azken aldietako joera eta aldaketetara azken balio horiei haztapen handiagoak ematen zaizkienean batezbesteko higikor haztatuan (horiz) batezbesteko higikor sinplean (gorriz) baino (datuak eta kalkuluak ezker aldeko taulan).

| t (denbora) | xt (serie historikoa) | **Higikor sinplea**: BH(t,6) | **Higikor haztatua**: BH(t,6,w=(0.3,0.3,0.1,0.1,0.1,0.1)) |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 | 20 | - | - |
| 1 | 17 | - | - |
| 2 | 19 | - | - |
| 3 | 17 | - | - |
| 4 | 14 | - | - |
| 5 | 15 | {\displaystyle {\frac {15+14+17+19+17+20}{6}}=17} | 0.3×15+0.3×14+0.1×17+0.1×19+0.1×17+0.1×20=16 |
|  |  |  |  |
| 6 (etorkizuna) | - | **Aurresana**: 17 | **Aurresana**: 16 |
|

Leunketa esponentziala aurreko datu guztiak barnehartzen dituen **batezbesteko higikor haztatua** da, haztapenak modu esponentzialean gutxitzen dituena, α, α(1-α)2, α(1-α)3, ... koefizienteei jarraiki, erabiltzaileak finkatzen duen 0<α<1 parametro baten arabera.
Batezbesteko higikor haztatu horien kasu berezi moduan, maiz erabiltzen da serie historikoko aurreko balio guztiak barnehartzen dituen leunketa esponentziala, *t=0* uneraino aurreko datu guztiak barnehartzen dituena kalkuluan, {\displaystyle \alpha ,\alpha (1-\alpha ),\alpha (1-\alpha )^{2},\ldots } haztapen beherakorrekin, non {\displaystyle \alpha \in [0,1]} erabiltzaileak finkatu beharreko parametro bat den.

Akzioen kotizazioak eta beste aktiboen prezioak aztertzen dituen analisi teknikoaren baitan *batezbesteko higikor haztatu lineala* erabiltzen da. Adibidez, 15 tamainako batezbesteko higikor haztatu lineal baterako haztapenak serie historikoaren azken baliotik atzera 15/(1+2+...+15), 14/(1+2+...+15), 13/(1+2+...+15),... 2/(1+2+...+15), 1/(1+2+...+15) izango lirateke.

15 tamainako Spencer batezbesteko higikorra maiz erabiltzen da hilkortasunari buruzko serieak leuntzeko. Propietate interesgarri bat badu: joera kubikoa (funtzio kubiko bati jarraitzen dion joera, alegia) bere horretan uzten du leundu ondoren, zorizko osagaia soilik ezabatuz. Alde biko batezbesteko higikor moduan erabiltzen da eta hauek dira bere haztapen-koefizienteak:

{\displaystyle {\frac {1}{320}}(-3,-6,-5,3,21,46,67,74,67,46,21,3,-5,-6,-3)}
Henderson batezbesteko higikor haztatu alde bikoak edo simetrikoak ere maiz erabiltzen dira, bereziki urtarokotasuna ezabatzeko eta X-12-ARIMA denra serieen azterketarako softwarean erabiltzen da. Kasu honetan ere Henderson batezbestekoak seriearen baitan egon daitekeen joera kubikoa atxikitzen du leunketa burutzean. Adibidez, 13 tamainako Hendersonen batezbestekoa hilabetez hilebeteko denbora serieen urtarokotasuna ezabatzeko erabiltzen da. Ondoren, tamaina desberdinetarako haztapen koefizienteak zehazten dira:

| Tamaina | Haztapenak |
| --- | --- |
| 5 | (-0.073, 0.294, 0.558, 0.294, -0.073) |
| 7 | (-0.059, 0.059, 0.294, 0.412, 0.294, 0.059, -0.059) |
| 9 | (-0.041, -0.010, 0.119, 0.267, 0.330, 0.267, 0.119, -0.010, -0.041) |
| 13 | (-0.019, -0.028, 0.0, 0.066, 0.147, 0.214, 0.240, 0.214, 0.147, 0.066, 0.0, -0.028, -0.019) |
| 25 | (-0.004, -0.011, -0.016, -0.015, -0.005, 0.013, 0.039, 0.068, 0.097, 0.122, 0.138, 0.148, 0.138, 0.122, 0.097, 0.068, 0.039, 0.013, -0.005, -0.015, -0.016, -0.011, -0.004) |
|

Batezbesteko higikorretan oinarritutako prozesu estokastikoak
-------------------------------------------------------------

Batezbesteko higikorraren kontzeptua, prozesu estokastikoak definitzeko erabili da. Denbora serieen eredu gisa erabiltzen diren eredu autorregresiboak batezbesteko higikor batean oinarritzen da. Zehatzago, AR(p) eredu autorregresiboa honela definitzen da:

{\displaystyle X\_{t}=c+\sum \_{i=1}^{p}\varphi \_{i}X\_{t-i}+\varepsilon \_{t}\,},
non {\displaystyle c} konstante bat eta {\displaystyle \varepsilon \_{t}\,} zarata zuri motako prozesua den.

MA(q) ereduak (ingelesez, *moving average*; batezbesteko higikor, euskaraz) ere batezbesteko higikorrak dira, baina zarata zuriko prozesuei buruz soilik:

{\displaystyle X\_{t}=\mu +\varepsilon \_{t}+\theta \_{1}\varepsilon \_{t-1}+\cdots +\theta \_{q}\varepsilon \_{t-q}\,}

Erreferentziak
--------------

1. ↑  **(Ingelesez)**  Silver, Edward A.; Pyke, David F.; Peterson, Rein.  (1998). *Inventory Management and Production Planning and Scheduling.* , 87 or..
2. 1 2  **(Ingelesez)**  Hyndman, Rob J..  (2009). *Moving averages.* .
3. ↑  Alde biko batezbesteko higikorra denez, haztapenak zentroari buruz simetrikoak direla ohartarazi behar da. Haztapen koefizienteak simetrikoak direnean, bestalde, leunketak joera lineal bati atxikitzen diola froga daiteke. Ikus: **(Ingelesez)** Moving average filters, 2013-01-10ean kontsultatua
4. ↑  Bestalde, Spencer batezbesteko higikorrak joerak jarraituko lukeen joera kubikoa bere horretan utziko luke leundu gabe. Ikus: **(Ingelesez)**  Aue, Alexander. *Lecture Notes: Applied Time Series Analysis (University of California).* , 15 or...
5. ↑  **(Ingelesez)**  Pollock, D.S.G.. *BRIEF NOTES ON TIME SERIES: LOCAL POLYNOMIAL REGRESSION AND THE HENDERSON FILTER.* .
6. ↑  **(Ingelesez)** WHAT ARE HENDERSON MOVING AVERAGES?, *Australian Bureau of Statistics*, 2013-01-10ean kontsultatua.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1130194
* Commonscat Multimedia: Moving averages

---

 |

* Wd Datuak: Q1130194
* Commonscat Multimedia: Moving averages