Matematikan, **serie teleskopiko** bat serie bat da non batura partzialek termino-kopuru finko bat duten ezeztatu ondoren.

{\displaystyle (a\_{2}-a\_{1})+(a\_{3}-a\_{2})+(a\_{4}-a\_{3})+\ldots +(a\_{n}-a\_{n-1})=a\_{n}-a\_{1}\,}
Serie teleskopikoaren ohiko adibide bat Mengoliren seriea da, honela definitzen dena:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
honela kalkula daitekeena:

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}

Oro har
-------

Izan bedi zenbaki-sekuentzia bat {\displaystyle a\_{n}}. Orduan, 

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=a\_{N}-a\_{0},}
eta, baldin {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0}

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=-a\_{0}.}

Salbuespenak
------------

Serie teleskopikoak teknika erabilgarria izan daitezkeen arren, eragozpen batzuk izan daitezke. Honako prozedura

{\displaystyle 0=\sum \_{n=1}^{\infty }0=\sum \_{n=1}^{\infty }(1-1)=1+\sum \_{n=1}^{\infty }(-1+1)=1\,}
ez da zuzena, zeren eta terminoak multzokatzeko modu horrek balioa izateko, terminoak bereizita 0 balioa izan behar du. Akats hori saihesteko, lehenik eta behin, lehenengo *N* terminoen batura aurkitu behar da, eta, bigarrenik, *N*-rekiko limitea aplikatu, infiniturantz hurbilduz.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum \_{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\&{}=\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)\\&{}=1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}\\&{}=1-{\frac {1}{N+1}}\to 1\ \mathrm {cuando} \ N\to \infty .\end{aligned}}}

Adibideak
---------

* Funtzio trigonometriko asko ezberdintasun gisa adieraz daitezke, eta, horri esker, serie teleskopikoan elkarren segidako terminoen arteko deuseztapena egin daiteke.

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{N}\operatorname {sen} \left(n\right)&{}=\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\operatorname {sen} \left({\frac {1}{2}}\right)\operatorname {sen} \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum \_{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
* Forma honetako batuketa batzuk

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)},}
non *f* eta *g* funtzio polinomikoak baitira eta horien zatidura zati partzialetan bereiz baitaiteke, ez dute onartzen metodo horren bidez batuketarik egitea. Zehazki,
{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}&{}=\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\&{}=\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\&{}=\infty .\end{aligned}}}
Kontua da terminoak ez direla ezeztatzen.
* Izan bedi *k* zenbaki oso positibo bat. Orduan,

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+k)}}={\frac {H\_{k}}{k}},}
non *H*k baita zenbaki harmoniko *k*-garrena. 1/(k–1) eta gero, termino guztiak ezeztatu egiten dira.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Departamento de Matemáticas, Universidad Estatal de Oregón.  (1996). *Telescoping Series.* .

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q2164293

 |

* Wd Datuak: Q2164293