Matematikan, tradizionalki, deribagarritasunaren (edo frogagarritasunaren) kontzeptua frogapenaren teorian deribazioen arabera definitzen da:

serieak edo zuhaitz-formako egiturakformulaz edo segidaz osatuta, proba-arauak eskatzen dituzten baldintza jakin batzuk betetzen dituztenak.

Normalean, deribazioen "indar-eragilea" baldintzazko adierazpenetan  datza: xede-hizkuntzan dituen ondorioak.

h-ra doanean deribatuaren limitearen grafikoa
( {\displaystyle \varphi \rightarrow \Psi }), loturak meta-hizkuntzan{\displaystyle {\bigl (}\varphi ,\Psi \vdash \varphi \land \Psi {\Bigr )}}, edo segidak inplikatzen dituzten proba-araua {\displaystyle ({\text{if }}\gamma \vdash \varphi {\text{ and }}\gamma ,\Psi \vdash \mathrm {X} {\text{ then }}\gamma ,\varphi \rightarrow \Psi \vdash \mathrm {X} {\Bigr )}.}

Deribagarritasuna eta jarraitasuna
----------------------------------

Jarraitutasunaren eta deribagarritasunaren arteko erlazioa deskribatzen duten bi enuntziatu daude:

**a)** f deribagarria bada Xo-n orduan, f jarraia da Xo-n.

**b)** f jarraia bada {\displaystyle [a,b]}-n orduan, f deribatu bat da.

a) atalak ez du azalpen gehiagorik behar. b) atalak f = F´ baieztatzen duen F funtzio bat existitzen dela dio.

F funtzio honi f-ren antideribatua edo oinarrizkoa deritzo. f jarraia bada, badakigu b) atala egia dela, Kalkulu Integralaren oinarrizko teoremagatik.

Deribagarritasunaren azterketa funtzio jarraituetan
---------------------------------------------------

Hurrengo 3 adibideak funtzioen deribagarritasuna aztertzean aurki ditzakegun egoera guztiak hartzen dituzte:

**Adibide 1** a eta b aurkitu, x=-1 denean hurrengo funtzioa deribagarria izan dadin:

{\displaystyle F(x)={\begin{cases}ax^{2}+b,&{\text{baldin eta }}x\leq -1\\ax^{3}+x+2b,&{\text{baldin eta }}x>-1\end{cases}}}

*Erantzuna*: Alboko limiteak berdinduz x = -1-ean, {\displaystyle a+b=-a-1+2b} lortzen dugu, finkatu behar dena jarraitasuna ziurtatzeko.

Gainera, {\displaystyle F'(x)=2ax} baldin eta {\displaystyle x<-1} ; {\displaystyle F'(x)=3ax^{2}+1} baldin eta {\displaystyle x>-1}

{\displaystyle \lim F'(x)=-2a} (x=-1-era doanean ezkerretik) eta {\displaystyle \lim F'(x)=3a+1} (x = -1-era doanean eskumatik) dela egiaztatzen da. Beraz:

**a)** Baldin eta {\displaystyle -2a=3a+1}, {\displaystyle \lim F'(x)} x = -1-era doanean existitzen da eta {\displaystyle F} deribagarria da x = -1 denean.

**b)** Baldin eta {\displaystyle -2a\neq 3a+1}, orduan {\displaystyle F}-k ez dauka deribaturik x = -1-ean, existituko balitz, orduan {\displaystyle F'} etenune bat izango litzateke x = -1-ean, eta hori ez da posiblea.

**Adibide 2** Deribagarritasuna aztertu x = 0 {\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{1/3},&{\text{baldin eta }}x\leq 0\\x^{3},&{\text{baldin eta }}x>0\end{cases}}}-rena.

*Erantzuna* Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Gainera,

{\displaystyle F'(x)=1/3x^{-2/3}} baldin eta {\displaystyle x<0} ; {\displaystyle F'(x)=3x^{2}} baldin eta {\displaystyle x>0}

Kasu honetan, {\displaystyle F}-k ez dauka deribaturik x = 0 denean.

**Adibide 3** Hurrengo funtzioaren deribagarritasuna aztertu x=0 denean:

{\displaystyle F(x)={\begin{cases}x^{2}\sin 1/x,&{\text{baldin eta }}x\neq 0\\0,&{\text{baldin eta }}x=0\end{cases}}}

*Erantzuna* Funtzio hau jarraia da x = 0 denean. Ikus dezagun {\displaystyle F'(x)=2x\sin {1}/{x}-\cos {1}/{x}} baldin eta {\displaystyle x\neq 0}

Beraz, {\displaystyle \lim F'(x)} x=0-ra doanean ez da existitzen. Egiaztatzen da {\displaystyle \lim \left({\frac {F(x)-F(0)}{x-0}}\right)=0} dela. Beraz, {\displaystyle F} deribagarria da x=0 denean eta {\displaystyle F'} ez da jarraia x = 0 denean.

Erreferentziak
--------------

1. ↑  Matematika
2. ↑
3. ↑
4. ↑
5. ↑
6. ↑
7. ↑  Kalkuluaren oinarrizko teorema
8. ↑