5 elementuko multzo batean posible diren 52 baliokidetasun-erlazioen matrize logikoak; eremu koloredunek batekoa eta eremu txuriek zerokoa adierazten dutelarik.
Multzo-teorian eta algebran baliokidetasun-erlazio batek {\displaystyle A} multzo bateko elementuen arteko erlazio bat definitzen du, elementuak euren artean baliokidetasun klaseetan antolatuz partizio bat sortuz. {\displaystyle {\mathcal {R}}} **baliokidetasun-erlazioa** da baldin eta erlazio bitar bihurkor, simetriko eta iragankorra bada.

Definizioa
----------

Izan bedi{\displaystyle A} multzo ez huts bat eta {\displaystyle {\mathcal {R}}} multzoaren gaineko erlazio bat. Erlazio hori baliokidetasun erlazioa izango da, baldin eta honako propietate hauek betetzen baditu:

* Erreflexiboa bada, hau da, {\displaystyle A} multzoko elementu oro bere buruarekin erlazionaturik badago.

{\displaystyle \forall x\in A:\ x{\mathcal {R}}x}

* Simetrikoa bada, {\displaystyle A} multzoko {\displaystyle x} elementu bat multzoko beste {\displaystyle y} elementu batekin erlazionatuta egonik, {\displaystyle y} ere {\displaystyle x}-rekin erlazionaturik badago.

{\displaystyle \forall x,y\in A:\ x{\mathcal {R}}y\Rightarrow y{\mathcal {R}}x}

* Iragankorra (edo trantsitiboa) bada: {\displaystyle A} multzoko elementu bat multzoko beste elementu batekin erlazionatuta badago, eta beste elementu hori hirugarren batekin; hasierako elementua hirugarrenarekin erlazionatuta badago:

{\displaystyle \forall x,y,z\in A,\ x{\mathcal {R}}y\land y{\mathcal {R}}z\;\Rightarrow x{\mathcal {R}}z}

Idazkera
--------

{\displaystyle A} multzoko {\displaystyle a} eta {\displaystyle b}-ren arteko baliokidetasun-erlazioa {\displaystyle a\sim b} edo {\displaystyle a\equiv b} moduetan idazten da erlazioa definiturik badago eta {\displaystyle a\sim \_{R}b}, {\displaystyle a\equiv \_{R}b} edo {\displaystyle a{\mathcal {R}}b}, hala ez bada.

{\displaystyle A} multzoan ezarritako {\displaystyle \sim } baliokidetasun-erlazioa, {\displaystyle (A,\sim )\,} bikote ordenatuaren bidez adierazten da.

Aritmetika modularrean {\displaystyle a\equiv b(mod{\mathcal {R}})} ({\displaystyle a} baliokide {\displaystyle b} modulu {\displaystyle {\mathcal {R}}}) bezala adierazten da.

Baliokidetasun klasea
---------------------

{\displaystyle {\mathcal {R}}} baliokidetasun-erlazioak azpimultzo disjuntuak definitzen ditu {\displaystyle A} multzoan. {\displaystyle x\in A} elementua emanik, {\displaystyle x}-rekin erlazionaturik dauden elementu guztiek honako baliokidetasun-klase hau definitzen dute:

{\displaystyle [x]=\{y\in A\,\mid y{\mathcal {R}}x\}}

Baliokidetasun-erlazio batek sortzen dituen klase kopuruari **ordena** deritzo; kopurua finitua bada ordena finituko erlazioa izanik.

Partiketa
---------

X-ren partiketa bat X-ren azpimultzo ez-hutsen P multzo bat da; beraz, X-ren elementu bakoitza P-ren elementu bakar baten elementua da. Gainera, P-ren elementuak binaka disjuntoak dira, eta haien lotura X da.

Adibideak
---------

### Baliokidetasun erlazioa eta klaseak

{\displaystyle \lbrace a,b,c\rbrace } multzoan {\displaystyle \lbrace (a,a),(b,b),(c,c),(b,c),(c,b)\rbrace } erlazioak betetzen badira, erlazioaren baliokidetasun klaseen multzoak honako hauek dira:

{\displaystyle [a]=\{a\},~~~~[b]=[c]=\{b,c\}}

Erlazio honetako baliokidetasun klase guztien multzoa {\displaystyle \{\{a\},\{b,c\}\}} da.

### Baliokidetasun erlazioak

* Triangelu guztien multzoan "Antzekoak dira" edo "Kongruentea da".
* Zenbaki osoen multzoan "Kongruentea da modulu n".
* Funtzio baten eremuko elementuetan "Irudi bera dute".
* Zenbaki errealen multzoan "Balio absolutu bera du".
* Angelu guztien multzoan "Kosinu bera du".
* Berdintza matematikoa.

Erreferentziak
--------------

* Brown, Ronald, 2006. *Topology and Groupoids.* Booksurge LLC. ISBN 1-4196-2722-8.
* Castellani, E. 2003, "Symmetry and equivalence" in Brading, Katherine, and E. Castellani, eds. *Symmetries in Physics: Philosophical Reflections*. Cambridge Univ. Press: 422-433.
* Robert Dilworth and Crawley, Peter, 1973. *Algebraic Theory of Lattices*. Prentice Hall. Chpt. 12 discusses how equivalence relations arise in lattice theory.
* Higgins, P.J. 1971. *Categories and groupoids.* Van Nostrand. Downloadable since 2005 as a TAC Reprint.
* John Randolph Lucas, 1973. *A Treatise on Time and Space*. London: Methuen. Section 31.
* Rosen, Joseph (2008) *Symmetry Rules: How Science and Nature are Founded on Symmetry*. Springer-Verlag. Mostly chpts. 9,10.
* Raymond Wilder (1965) *Introduction to the Foundations of Mathematics* 2nd edition, Chapter 2-8: Axioms defining equivalence, pp 48–50, John Wiley & Sons.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q130998
* Commonscat Multimedia: Equivalence relations

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4141500-0
* LCCN: sh85044563
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q130998
* Commonscat Multimedia: Equivalence relations

  


| * i
* e
* a
Matematika-erlazioak |
| --- |
| Gaien kopuruaren arabera | Monadikoa · Bitarra · Hirutarra · Lautarra · n-tarra |
| Baliokidetasun-erlazioak | Bihurkorra · Simetrikoa · Iragankorra |
| Ordena-erlazioak | Bihurkorra · Antisimetrikoa · Iragankorra |
| Itxiturak | Itxitura bihurkorra · Itxitura simetrikoa · Itxitura iragankorra |
| Diagrama | Grafoa · Hasseren diagrama · Auzokidetasun-matrizea · Eraso-matrizea |