Zenbakien teorian, **kongruentzia** terminoa bi zenbaki oso {\displaystyle a} eta {\displaystyle b}, {\displaystyle m\neq 0} zenbaki arruntaz —**modulua** deiturikoa— zatitzerakoan, hondar berdina dutela adierazteko erabiltzen da. Honako notazio hau erabiliz:

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
Honela irakurtzen da: {\displaystyle a} *kongruente* {\displaystyle b} modulu {\displaystyle m}.

{\displaystyle a} eta {\displaystyle b} {\displaystyle m} moduluarekiko kongruenteak dira, baldin eta soilik baldin {\displaystyle m} moduluak {\displaystyle a} eta {\displaystyle b}-ren arteko desberdintza zehazki zatitzen badu, hau da, {\displaystyle m|a-b}. Beste modu batera esanda, {\displaystyle a} eta {\displaystyle b}-k {\displaystyle m}-rekiko zatiketan, hondar bera uzten badute. Gainera, baiezta daiteke {\displaystyle a} zenbakia {\displaystyle b}-ren batura eta {\displaystyle m}-ren multiplo bezala idatzi daitekela, {\displaystyle m|a-b} denez, {\displaystyle mk=a-b} izango da {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } batentzat eta orduan, {\displaystyle a=b+mk}.

Adierazpen baliokideak
----------------------

Kongruentziak hainbat modu matematikotan adieraz daitezke. Esate baterako, adierazpen hauek baliokideak dira:

* {\displaystyle a} kongruente {\displaystyle b} modulu {\displaystyle m}

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}
* {\displaystyle a} zati {\displaystyle m}-ren hondarra {\displaystyle b} zati {\displaystyle m}-ren hondarra da

{\displaystyle a\;{\bmod {\;}}m=b\;{\bmod {\;}}m}
* {\displaystyle m}-k zehatz zatitzen du {\displaystyle a} eta {\displaystyle b}-ren kendura

{\displaystyle m\mid a-b}
* {\displaystyle a} idatz daiteke {\displaystyle b}-ren eta {\displaystyle m}-ren multiplo baten batura bezala

{\displaystyle \exists k\in \mathbb {Z} \quad a=b+km}

Propietateak
------------

Kongruentziak {\displaystyle m} moduluarekiko {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} zenbakien arteko baliokidetasun-erlazio bat adierazten du, hurrengo erlazioak betetzen dituelako: 

* Erlazio bihurkaria (erreflexiboa): {\displaystyle a\equiv a{\pmod {m}}}, {\displaystyle a} guztietarako.
* Simetria erlazioa: {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} bada, {\displaystyle b\equiv a{\pmod {m}}} da.
* Iragate-erlazioa (trantsitiboa): {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} eta {\displaystyle b\equiv c{\pmod {m}}} badira, {\displaystyle a\equiv c{\pmod {m}}} izango da.

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} eta {\displaystyle k\in \mathbb {Z} } badira:

* {\displaystyle a(+-)k\equiv b(+-)k{\pmod {m}}}
* {\displaystyle ak\equiv bk{\pmod {m}}}
* {\displaystyle a^{k}\equiv b^{k}{\pmod {m}}} {\displaystyle k>0}

Gainera, {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elkarrekiko lehenak badira, beste zenbait propietate ere betetzen dituzte, besteak beste:

* {\displaystyle a} zenbakia {\displaystyle m} eta {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}-rekiko lehena bada, {\displaystyle b} ere {\displaystyle m}-rekiko lehena izango da.
* {\displaystyle k} {\displaystyle m}-rekiko lehena bada, orduan {\displaystyle \exists {\displaystyle h^{-1}}} non {\displaystyle {\displaystyle kh^{-1}\equiv 1{\pmod {m}}}}. Horregatik, zatiketari buruz aritzeak zentzua du eta beraz, zuzena da {\displaystyle {\displaystyle {\frac {a}{k}}\equiv {\frac {b}{k}}{\pmod {m}}}} non definizioz, {\displaystyle {\displaystyle a/k=ak^{-1}\,}}.
* Aurrekoaren ondorio bezala, modulu bereko bi kongruentzia badaude, {\displaystyle {\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}}} eta {\displaystyle {\displaystyle c\equiv d{\pmod {m}}}}, batu, kendu edo biderka ditzakegu, kongruentziak egiaztatzeko: {\displaystyle {\displaystyle a+c\equiv b+d{\pmod {m}}}} eta {\displaystyle {\displaystyle ac\equiv bd{\pmod {m}}}}.
* Fermaten teorema txikia: Izan bitez {\displaystyle p} lenbaki lehena eta {\displaystyle a\in \mathbb {N} }. {\displaystyle a}, {\displaystyle p}-ren multiploa ez bada orduan: {\displaystyle a^{(p-1)(q-1)}\equiv 1{\pmod {pq}}}
* Izan bitez {\displaystyle p} eta {\displaystyle q} zenbaki lehenak eta {\displaystyle a\in \mathbb {N} }. {\displaystyle a} ez bada ez {\displaystyle p}-ren ez {\displaystyle q}-ren multiploa, orduan:

Kongruentzia klaseak
--------------------

Edozein kongruentzia-erlazio bezala, n kongruentzia-modulua baliokidetasun-erlazio bat da, eta a zenbaki osoaren baliokidetasun-klasea, {\displaystyle {\bar {a\_{n}}}} bidez adierazten dena, {… , *a* − 2*n*, *a* − *n*, *a*, *a* + *n*, *a* + 2*n*, …} multzoa da. Multzo hori, a modulo n-rekin kongruenteak diren zenbaki osoek osatzen dute. Baliokidetasun-erlazioa denez, baliokidetasun-klaseak defini daitezke. Klase bakoitzean m-rekin zatitzean hondar bera ematen duten zenbaki osoak daude. Beraz, m hondar desberdin daudenez, m baliokidetasun-klase daude. Bakoitzaren ordezkari modura 0, 1,. .. eta m − 1 zenbakiak har daitezke. Baliokidetasun klasea [{\displaystyle a}] bezala ere adieraz daiteke.

Adibideak
---------

* {\displaystyle 7\equiv 3\ {\mbox{(mod 4)}}\ }, 7 = 3 + 1 ⋅ 4 baita.
* {\displaystyle 82\equiv 1\ {\mbox{(mod 9)}}\ }, 82 = 1 + 9 ⋅ 9 baita.
* {\displaystyle 27\equiv 0\ {\mbox{(mod 3)}}\ }, 27 = 0 + 3 ⋅ 3 baita.
* {\displaystyle -3\equiv 3\ {\mbox{(mod 6)}}\ }, -3 = 3 + -1 ⋅ 6 baita.
* {\displaystyle 2\not \equiv 5\ {\mbox{(mod 6)}}\ }, 2 ≠ 5 + k ⋅ 6 baita.

Kongruentzia linealak
---------------------

{\displaystyle a\equiv b{\pmod {m}}} motako ekuazioen ebazpen orokorrean, *d = zkh(a, n)* zatitzaile komunetako handienak *b* zatitzen badu, orduan *x* soluzioa aurki daiteke kongruentziarako: Euklidesen algoritmoak *r* eta *s* osoak sortzen ditu, non *d = ra + sn*. Hortaz, *x = rb/d* soluzio bat da. Gainerako soluzioak *x* modulo *n/d* -rekin kongruenteak diren zenbakiak dira.

Adibidez, ondoko kongruentziak 4 soluzio ditu:

{\displaystyle 12x\equiv 20{\pmod {28}}\ }

*zkh (12, 28) = 4*-k 20 zatitzen duelako. Euklidesen algoritmoak ondokoa ematen du: (-2)\*12 + 1\*28 = 4, hau da, *r* = -2 eta *s* = 1. Beraz, soluzio bat *x =* -2\*20/4 = -10 izango da, eta -10 = 4 mod(7). Beste soluzio guztiak ere 4 modulo 7-rekin kongruenteak izan beharko dira.

Ikus, gainera
-------------

* Aritmetika modularra
* Kongruentzien ebazpena
* Baliokidetasun klasea

Kanpo estekak
-------------

* Dibisibilitatearen teoria eta kongruentziak UEU Iruñea 1979
* **(Ingelesez)** Kongruentziak mathworld-en
* **(Gaztelaniaz)** Kongruentziak. Aljebra eskolak.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q3773677

 |

* Wd Datuak: Q3773677