|  |
| --- |
| Artikulu sail baten zatia |
| Mekanika kuantikoa |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }Schrödingerren ekuazioa |
| * Sarrera
* Glosarioa
* Historia
 |
| Oinarria
* Mekanika klasikoa
* Teoria kuantiko zaharra
* Bra-ket notazioa

* Hamiltondarra
* Interferentzia

 |
| Fundamentuak
* Osagarritasuna
* Dekoherentzia
* Nahastea
* Energia maila
* Neurketak
* Lokaltasun-eza
* Zenbaki kuantikoa
* Egoera
* Gainezarpena
* Simetria
* Tunel-efektua
* Ziurgabetasuna
* Uhin-funtzioa
	+ Kolapso

 |
| Esperimentuak
* Bellen desberdintzak
* Davisson-Germer
* Zirrikitu bikoitza
* Elitzur-Vaidman
* Franck-Hertz
* Leggett–Gargen desberdintza
* Mach–Zehnder
* Popper

* Ezabagailu kuantikoa
	+ Aukera atzeratua

* Schrödingerren katua
* Stern–Gerlach
* Wheelerren aukera atzeratua

 |
| Formulazioa
* Ikuspegi orokorra

* Heisenberg
* Interakzioa
* Matrizea
* Fase-espazioa
* Schrödinger
* Sum-over-histories (lerro integrala)

 |
| Ekuazioak
* Dirac
* Klein–Gordon
* Pauli
* Rydberg
* Schrödinger

 |
| Interpretazioak
* Bayesiarra
* Historia koherenteak
* Kopenhage
* de Broglie–Bohm
* Multzoak
* Aldagai ezkutuak
	+ Lokala
		- Superdeterminismoa
* Everett
* Kolapso objektiboa
* Logika kuantikoa
* Erlatibista
* Transakzionala
* Von Neumann–Wigner

 |
| Gai aurreratuak
* Mekanika kuantiko erlatibista
* Eremu-teoria kuantikoa
* Informazio kuantikoaren zientzia
* Konputazio kuantikoa
* Kaos kuantikoa
* EPR paradoxa
* Dentsitate matrizea
* Sakabanatze teoria
* Mekanika estatistiko kuantikoa
* Ikasketa automatiko kuantikoaa
 |
| Zientzialariak
* Aharonov
* Bell
* Bethe
* Blackett
* Bloch
* Bohm
* Bohr
* Born
* Bose
* de Broglie
* Compton
* Dirac
* Davisson
* Debye
* Ehrenfest
* Einstein
* Everett
* Fock
* Fermi
* Feynman
* Glauber
* Gutzwiller
* Heisenberg
* Hilbert
* Jordan
* Kramers
* Pauli
* Lamb
* Landau
* Laue
* Moseley
* Millikan
* Onnes
* Planck
* Rabi
* Raman
* Rydberg
* Schrödinger
* Simmons
* Sommerfeld
* von Neumann
* Weyl
* Wien
* Wigner
* Zeeman
* Zeilinger

 |
| * i
* e
* a
 |

**Materia-uhinak** mekanika kuantikoaren oinarrizko atal bat dira, bereziki uhin-partikula dualtasunari dagokionez. Era laburrean azalduz, edozein partikulari uhin bat dagokio, eta uhin honi materia-uhin deritzo. Hortaz, materiak uhin motako portaera du eta, beraz, uhinen kasuan agertzen diren propietate eta efektuak materiaren kasuan ere azaleratuko dira. Adibidez, elektroi-sorta bat argi-izpi bat edo ur-uhin bat bezala difrakta daiteke.

Louis de Broglie fisikari frantsesak proposatu zuen materia uhin gisa portatzen denaren kontzeptua, 1924an; beraz, materia-uhinaren ideiari ere **de Broglieren hipotesia** deitu ohi zaio.

{\displaystyle \lambda } de Broglieren uhin-luzera izanik, p partikula bati dagokion momentu lineala eta h bien arteko proportzioa ezartzen duen Plancken konstantea, honako erlazio hau defini daiteke:

{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}.

Materiaren uhin portaera frogatu zuten lehen pertsonak George Paget Thomson eta Alexander Reid (transmisio-difrakzioaren esperimentuaren bidez) eta Clinton Joseph Davisson eta Lester Halbert Germer izan ziren. Bi bikote hauek modu independentean lan egin zuten arren ondorio berdinetara iritsi ziren eta biek elektroiak erabili zituzten beraien esperimentuetan. Gerora beste oinarrizko partikula, atomo neutro eta molekula batzuetarako ere berretsi da uhin izaera hori.

Testuingurua
------------

Betidanik pentsatu izan da materia partikulez osatuta dagoela, eta historian zehar eginiko esperimentuek ez zuten kontrakoa adierazten. Bestalde, XIX. mendean Christiaan Huygensek argia uhin elektromagnetikoa zela proposatu zuen, eta 1864an James Clerk Maxwellek, bere ekuazioak erabiliz, baieztatu egin zuen proposamena. Hala ere, XX. mendean fisika arloa asko garatu zen, eta argiaren eta materiaren ezaugarriak zalantzan jarri ziren hipotesi berriekin.

Haien artean, Max Planckek argiaren izaera zalantzan jarri zuen gorputz beltzaren erradiazioa aztertu zuenean. Berak proposatu zuen argiak "kuantu" deitutako energia pakete diskretuetan bidaiatzen duela, eta teoria hori Albert Einsteinek garatu zuen 1905ean, efektu fotoelektrikoaren azalpena postulatu zuenean. Hori dela eta, argia partikula (fotoia deiturikoa) zein uhina dela ondorioztatu zen, haren energia {\displaystyle E=h\nu } izanda (h Plancken konstantea da eta {\displaystyle \nu } argiaren maiztasuna).

Argiak izaera bikoitza zuela ezagutzeak izugarrizko iraultza ekarri zuen fisikara, eta handik gutxira materiak ere ea izaera bikoitz hau duen ikertzen hasi ziren zientzialariak. Fisikako esperimentu famatuenetariko bat bi zirrikituen esperimentua deritzona da, eta bertan elektroiek duten partikula- eta uhin-izaera ondorioztatzen da: izaera bikoitza, alegia. Hala ere, de Broglie izan zen lehena dualtasun hau proposatzen.

De Broglieren hipotesia
-----------------------

> 1923 eta 1924 bitartean uhin-mekanikako oinarrizko lehen ideiak bururatu zitzaizkidanean, 1905ean Einsteinek proposatu zuen argiaren kuantizazioko uhin eta partikulen arteko bizikidetzaren atzean dagoen fisikaren sintesi bat egitea zen nire helburua, partikula guztien kasurako onargarria izango zena. — de Broglie
> 
> 

Louis-Victor de Broglie (1929)
1924an Louis de Broglie fisikari frantsesak, bere doktorego-tesian, honako proposamen hau egin zuen: argiak kasu batzuetan uhin baten portaera eta beste batzuetan partikulen portaera (korpuskularra) erakusten duen bezala, elektroiek ere badituzte uhinen propietateak. Bere abiapuntuko hipotesia honako hau izan zen: "m0 pausaguneko masari dagokion energiaren kasu bakoitzeko, {\displaystyle \nu \_{0}} maiztasuneko fenomeno periodiko bat aurki daiteke; beraz, energiaren adierazpenetik abiatuz, {\displaystyle h\nu \_{0}=m\_{0}c^{2}} lor daiteke. Hipotesi honek gure teoriaren oinarria finkatzen du". {\displaystyle \nu \_{0}} honi Comptonen maiztasuna deritzo eta maiztasun hori duen uhinaren uhin-luzerari Comptonen uhin-luzera.

Ondoren, de Brogliek ideia bera aplikatu zuen higitzen ari den gorputz baten kasurako. Horrela, mugimenduan dagoen gorputz bati dagokion uhin luzera lortzeko, erlatibitate bereziko energiaren adierazpena eta {\displaystyle h\nu } berdindu zituen (hau da, erlatibitate berezian oinarrituz, pausaguneko energia ordezkatu eta bere ordez energia osoa jarri zuen):

{\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=h\nu }.

Fisika modernoan, energia osoaren adierazpen hori erabili beharrean, energia (osoa eta pausagunekoa) eta momentua lortzen dituen adierazpen hau erabiltzen da: {\displaystyle E^{2}=(m\_{0}c^{2})^{2}+(pc)^{2}}. De Brogliek, ordea, ez zuen adierazpen hau erabili. Bestetik, partikularen v abiadura uhinaren talde-abiadura gisa definitu zuen. Honako hau ez da uhin harmoniko bakarrari dagokion hedapen abiadura; izan ere, partikula aske baten uhin-funtzioa ezin da uhin harmoniko bakar gisa adierazi. Hortaz, uhin-funtzioa uhin harmonikoen gainezarpenaren bidez osatutako uhin-fardel (edo pakete) bat da, eta talde-abiadura multzo honi dagokion desplazamenduaren abiadura da. Talde-abiaduraren adierazpen matematikoa honako hau da:

{\displaystyle v\_{t}\equiv {\frac {\partial \omega }{\partial k}}={\frac {d\nu }{d(1/\lambda )}}}.

Horrez gain, kontuan hartu behar da, halaber, erlatibitate berezian momentu linealaren adierazpena honako hau dela:

{\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Hiru adierazpen horiek baliatuz, ordezkapenak eginez eta beharrezko hurbilketa eta integralak kalkulatuz, partikulari dagokion uhinaren {\displaystyle \lambda } uhin-luzera eta p, bere momentua, h Plancken konstantearen bidez erlazionatuta daudela lortu zuen de Brogliek. Erlazio hori, zehazki, ondorengoa dela lortu zuen:

{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{p}}}.

> Honako hau teoriako oinarrizko erlazio bat da. —- Louis de Broglie, 1929ko Nobel Sarietako hitzaldian
> 
>

Schrödingerren ekuazioa
-----------------------

De Brogliek bere postulatua argitaratu zuenean, Peter Debye fisikariak pentsatu zuen partikulak uhin bezala funtzionatzen badute, uhin-ekuazio moduko bat bete beharko luketela. Debyeren iradokizunari jarraituz, elektroiarentzat hiru dimentsioko uhin-funtzio apropos bat aurkitzea erabaki zuen Erwin Schrödingerrek. Lan hau aurrera eramateko, William Rowan Hamiltonek aurkeztutako mekanika eta optikaren arteko analogia jarraitu zuen. Bere lanean, sistema optiko batean argiaren  uhin-luzera zerorantz doanean sistema mekaniko baten antza duela aipatzen da, akzio minimoko printzipioa dela eta.  Hau da, ekuazio hau garatzeko, fotoien eta eremu elektromagnetikoaren arteko lotura hartu zuen abiapuntu gisa eta materia-uhinen kasura estrapolatu zuen.

1926an, Schrödingerrek bere uhin-ekuazioa aurkeztu zuen, gaur egun *Schrödingerren ekuazio* izenez ezagutzen dena, eta uhin-funtzio baten (ekuazioan {\displaystyle \Psi (x,t)} gisa adierazten dena) denboraren garapena deskribatzen du:

{\displaystyle {\hat {H}}\Psi (x,t)=[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}+V(x,t)]\Psi (x,t)=i\hbar {\partial \over \partial t}\Psi (x,t)}

Schrödingerren uhin-funtzioa
Schrödingerrek, modu oker batean, uhin-funtzioaren moduluaren karratua karga-dentsitate gisa interpretatzen saiatu zen, baina interpretazio arrakastatsua Max Bornek emandakoa izan zen (Bornen legea), uhin-funtzioaren moduluaren karratua probabilitate-dentsitate gisa adierazi zuelako.

Urte bat beranduago, 1927an, C. G. Darwinek (biologo famatuaren ilobak) Schrödingerren ekuazioa erabili zuen zenbait egoera ideal aztertzeko. Elektroi aske baten kasuan, adibidez, honi dagokion uhinaren hedapena landu zuen, eta hasierako egoera uhin-fardel gaussiar bat kontuan hartuz, hurrengo adierazpenera iritsi zen:

{\displaystyle x(t)=x\_{0}+vt\pm {\sqrt {\sigma ^{2}+({\frac {ht}{2\pi \sigma m}})^{2}}}}.

Adierazpen honekin v abiadura duen fardel gaussiar baten x posizioa lor daiteke, t denbora igarotakoan ({\displaystyle \sigma } hasierako posizioaren ziurgabetasuna da).  Emandako posizioaren ziurgabetasuna dela eta, abiaduran ere ziurgabetasuna agertzen da, eta hemendik Heisenbergen ziurgabetasun printzipiora hel daiteke: {\displaystyle \Delta x\Delta p\geq {\frac {\hbar }{2}}}. Hortaz, partikula batek duen uhin-izaera eta honek daukan interpretazio estatistikoa erlazionatuta daudela erakusten du ekuazio honek. Hori dela eta, partikula baten posizioa eta abiadura (edo momentua) ziurtasun osoz jakitea ezinezkoa dela esan daiteke.

Egiaztapen esperimentala
------------------------

Materia-uhinen lehen frogapen esperimentala elektroiekin loturiko bi esperimentuen bidez egin zen: alde batetik, G.P. Thomson eta Alexander Reiden difrakzioaren esperimentua; bestetik, Davisson eta Germerren esperimentua.

Fenomeno hau (uhin-partikula dualtasuna) zuzenean egiaztatu zuten lehen elektroi-uhinen interferentzia patroiak elektroi prisma bikoitzak erabiliz lortu ziren eta, hauen bitartez, elektroiek difrakzio patroia nola eraikitzen duten neurtu ahal izan zen.

De Broglieren hipotesia eta materia-uhinen existentzia beste oinarrizko partikula batzuentzat ere frogatu da: atomo neutroek edota molekulek uhin izaera azaltzen dute, besteak beste.

### Elektroien ikerketa (Davisson eta Germerren esperimentua eta G.P. Thomson eta Alexander Reiden esperimentua)

1927an, Clinton Davisson eta Lester Germer-ek abiadura txikiko elektroiak bideratu zituzten nikel kristalinozko xafla baten kontra. Elektroien intentsitatea neurtzean, konturatu ziren hauen menpekotasun angeluarra Bragg-ek X izpietarako iragarritako menpekotasun angeluarraren oso antzekoa zela. Bestela esanda, elektroiek difrakzioa jasaten zutela aurkitu zuten.

Braggen legearen arabera, X izpiek solido kristalino baten aurka jotzean jarraitzen duten ibilbidearen eskema eta betetzen duten adierazpen matematikoa; uhin-luzera eta eraso-angeluaren araberakoa da.
Bestalde, George Paget Thomson eta Alexander Reid zientzialariak ere elektroiak bideratu nahian zebiltzan garai berean; baina, kasu honetan, zeluloide eta metalezko xafletara. Hauek ere antzeko emaitzetara heldu ziren beraien ikerketetan.

* Difrakzio kamera erabiliz lorturiko elektroien difrakzioaren jatorrizko argazkia (1925-1927).Difrakzio kamera erabiliz lorturiko elektroien difrakzioaren jatorrizko argazkia (1925-1927).
* G.P. Thomson eta Alexander Reid-ek beraien esperimentua burutzeko erabilitako difrakzio kamera (1925).G.P. Thomson eta Alexander Reid-ek beraien esperimentua burutzeko erabilitako difrakzio kamera (1925).

De Broglieren hipotesia onartu aurretik, materiak difrakzioa erakutsi ezin zuela uste zen. Hori dela eta, esperimentu hauetan frogatutakoaren arabera, materiak izan zezakeen edozein difrakzio-efektuk materiaren uhin-portaera ziurtatu zuen.

Esperimentu hauek mekanika kuantikoaren garapenean garrantzi handia izan zuten. Efektu fotoelektrikoak argiaren jarrera korpuskularra azaldu zuen bezala, esperimentu hauek materiaren uhin izaera erakutsi zuten.

Materia-uhinen hedapeneko propietateak
--------------------------------------

Uhinen abiadura kontzeptuei eta haien propietateei dagokienez, esan behar da objektu solidoenak baino konplexuagoak direla. Ikuspegi errazena eta deskribapen sinpleena, partikula aske baterako, uhin lauen menpe jartzerakoan lortzen da. Uhin lauak hurrengo funtzioaren bidez deskribatzen diren uhinak dira:

{\displaystyle \psi ({\textbf {r}})=e^{i{\textbf {k}}\cdot {\textbf {r}}-i\omega t}}.

Funtzio honetan parametro hauek aurki daitezke: r espazio errealeko posizioa, k uhin-bektorea (1/m unitatetan), {\displaystyle \omega } maiztasun angeluarra (1/s unitatetan) eta t denbora.

Bestalde, materia-uhinen magnitudeek bi oinarrizko ekuazio hauek betetzen dituzte:

{\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{|{\textbf {k}}|}}={\frac {h}{p}}}

{\displaystyle f={\frac {\omega }{2\pi }}={\frac {E}{h}}}

Lehenengoak, De Broglieren erlazioak, {\displaystyle \lambda } uhin-luzera momentuaren moduluarekin erlazionatzen du. Aldiz, bigarrenak maiztasunaren eta partikula askearen energia osoaren arteko erlazioa azaltzen du, eta bere izena *Planck-Einstein erlazioa* da, non {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}} Planck-en konstante murriztua den. Ekuazio hauek idazteko beste era bat honako hau da:

{\displaystyle {\textbf {p}}=\hbar {\textbf {k}}}

{\displaystyle E=\hbar \omega }

Abiaduraren propietateak aztertzerakoan, kontuan hartu behar da, materia-uhinen kasuan, bi abiadura mota daudela: talde-abiadura eta fase-abiadura.

### Talde-abiadura

De Broglieren hipotesiaren arabera, partikularen abiadura partikula honi dagokion uhin-fardelaren talde-abiaduraren baliokidea da. Uhin-fardela uhin harmonikoen gainezarpenaren bidez eratzen den paketea da. Talde-abiadura fardel honen hedapenari dagokion abiadura da, eta ez da nahastu behar gainezartzen diren uhin harmonikoen fase-abiadurekin. Hutsean edota ingurune isotropo batean materia-uhin bati dagokion talde-abiadura honako hau da:

{\displaystyle v\_{t}={\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}},

non {\displaystyle \omega } maiztasun angeluarra den eta k uhin-zenbakia. Bi magnitude hauen arteko erlazioari dispertsio-erlazio deritzo, eta kasu ez-erlatibistan honako hau da (m0 pausaguneko masa da):

{\displaystyle \omega (k)\approx {\frac {m\_{0}c^{2}}{\hbar }}+{\frac {\hbar k^{2}}{2m\_{0}}}}.

Horrela, kasu ez-erlatibistako talde-abiaduraren adierazpena honako hau izango da:

{\displaystyle v\_{t}={\frac {\hbar k}{m\_{0}}}}.

Kasu erlatibista kontsideratzen bada, ordea, dispertsio-erlazioa desberdina izango da eta, beraz, talde-abiaduraren adierazpen berri bat lortuko da:

{\displaystyle \omega (k)={\sqrt {k^{2}c^{2}+({\frac {m\_{0}c^{2}}{\hbar }})^{2}}}}

{\displaystyle v\_{t}={\frac {kc^{2}}{\omega }}}.

Talde-abiadura honek erlazio estua du fase-abiadurarekin, gerora azalduko den bezala.

Ingurune ez isotropoetan, ordea, talde-abiadura zehazteko energia eta momentuaren arteko erlazioa erabiltzen da. Horrela, kalkuluak eginda, honako hau lor daiteke:

{\displaystyle v\_{t}={\partial \omega \over \partial {k}}={\partial {(E/\hbar )} \over \partial (p/\hbar )}={\partial E \over \partial p}={\partial \over \partial p}({\sqrt {p^{2}c^{2}+m\_{0}^{2}c^{4}}})={\frac {pc^{2}}{\sqrt {p^{2}c^{2}+m\_{0}^{2}c^{4}}}}={\frac {pc^{2}}{E}}}.

Halaber, gerora ikusiko den bezala fase-abiadura {\displaystyle v\_{f}={\frac {E}{p}}={\frac {c^{2}}{v}}} adierazpenaren bitartez adieraz daiteke eta, beraz, honako hau lortuko da:

{\displaystyle v\_{t}={\frac {pc^{2}}{E}}={\frac {c^{2}}{v\_{f}}}=v},

non v partikularen masa-zentroaren abiadura den. Abiadura hori materia-uhinaren talde-abiaduraren berdina izango da, beraz.

### Fase-abiadura

Fase-abiadura uhin-fardela osatzen duten uhin harmonikoen abiadura da. Abiadura hau uhin monokromatikoek dutena da, eta haien uhin-luzeraren ({\displaystyle \lambda }) eta maiztasunaren ({\displaystyle \nu }) menpekoa da:

{\displaystyle v\_{f}=\nu \lambda }.

Beste modu batean ere idatz daiteke, alegia, uhinaren maiztasun angeluarraren ({\displaystyle \omega }) eta uhin-zenbakiaren (k) menpe:

{\displaystyle v\_{f}={\frac {\omega }{k}}}.

Hortaz, aurreko ataleko adierazpena berreskuratuz, fase-abiadura eta talde-abiadura erlazionatuta daudela ondorioztatu daiteke, {\displaystyle v\_{f}={\frac {c^{2}}{v\_{t}}}} formularen bidez. Hemen argi ikus daiteke {\displaystyle v\_{f}v\_{t}=c^{2}} dela. Erlazio hau ez da materia-uhinetan bakarrik gertatzen, uhin elektromagnetikoek ere erlazio hau betetzen dute, {\displaystyle v\_{t}=c} eta {\displaystyle v\_{f}=c} baitira. Materia uhinen kasuan, ordea, fase-abiadura eta talde-abiadura ez dira c argiaren abiaduraren berdinak.

Hala ere, bietako baten abiadura argiarena baino azkarragoa izan behar da, eta bestea argiarena baino motelagoa. Erlatibitatearen teoriarekin bat etortzeko, informazioa daraman ezer ezin da argiaren abiadura baino azkarrago higitu; beraz, {\displaystyle v\_{f}>c} izango da kasu honetan. Uhin-fardela uhin monokromatikoen gainezarpenaren emaitza da; hortaz, talde-abiadurak garraiatuko du uhin horren informazio guztia; izan ere, uhin monokromatikoek ezin dute informaziorik garraiatu, denboran konstanteak baitira, eta ez dute pultsaziorik sortzen.

Erlatibitatea eta de Broglieren postulatua kontuan izanik, {\displaystyle E=\hbar \omega } eta {\displaystyle p=\hbar k} dira; beraz, {\displaystyle v\_{f}={\frac {\omega }{k}}={\frac {E/\hbar }{p/\hbar }}={\frac {E}{p}}} izango da. Erlatibitateko adierazpenak erabiliz, honako hau lor daiteke:

{\displaystyle v\_{f}={\frac {E}{p}}={\frac {mc^{2}}{mv}}={\frac {\gamma m\_{0}c^{2}}{\gamma m\_{0}v}}={\frac {c^{2}}{v}}}.

Aurreko atalean adierazi den bezala, v partikularen abiadura izango da, eta materia-uhinaren talde-abiaduratzat har daiteke halaber. Hori dela eta, v ezin da c baino handiagoa izan, masadun partikula bat ezingo delako inoiz argiaren abiadurara heldu; eta {\displaystyle v\_{t}<c} denez, {\displaystyle v\_{f}>c} izango da, lehen azaldu den bezala.

### Erlatibitate berezia

Erlatibitate bereziko bi formula erabiliz, de Broglieren uhin-luzera eta maiztasuna lortu ahalko dira. Hauek dira energia eta momentu lineal erlatibistaren adierazpenak, hurrenez hurren:

{\displaystyle E=mc^{2}=\gamma m\_{0}c^{2}}

{\displaystyle {\textbf {p}}=m{\textbf {v}}=\gamma m\_{0}{\textbf {v}}},

non {\displaystyle m\_{0}} pausaguneko masa, c argiak hutsean duen abiadura eta **v** aztertutako masaren abiadura diren. {\displaystyle m\_{0}} {\displaystyle \gamma } Lorentz-en faktorearekin biderkatzean, m masa erlatibista lortzen da.

Lorentzen faktoreak deskribatzen du mugitzen ari den objektu baten propietate fisikoak zenbat aldatzen diren. Honela definitzen da:

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}.

Honako hau kontuan izanda eta lehen lortutako adierazpenetatik abiatuta, ondorengoak lor daitezke:

{\displaystyle \lambda ={\frac {h}{\gamma m\_{0}v}}={\frac {h}{m\_{0}v}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}

{\displaystyle f={\frac {\gamma m\_{0}c^{2}}{h}}={\frac {m\_{0}c^{2}}{h{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}}.

Uhin-luzeraren adierazpenetik ondorioztatu daiteke, partikularen abiadurak 0-ra jotzen duenean (hau da, pausagunean dagoenean), de Broglieren uhin-luzerak infinitura joko duela.

Erreferentziak
--------------

1. 1 2 3   **(Ingelesez)** Thomson, G. P.; Reid, A..  (1927-06). «Diffraction of Cathode Rays by a Thin Film» *Nature* 119 (3007): 890–890.  doi:10.1038/119890a0. ISSN 0028-0836. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
2. 1 2 3   **(Ingelesez)** Davisson, C.; Germer, L. H..  (1927-12-01). «Diffraction of Electrons by a Crystal of Nickel» *Physical Review* 30 (6): 705–740.  doi:10.1103/PhysRev.30.705. ISSN 0031-899X. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
3. 1 2 3   **(Ingelesez)** Davisson, C. J.; Germer, L. H..  (1928-04). «Reflection of Electrons by a Crystal of Nickel» *Proceedings of the National Academy of Sciences* 14 (4): 317–322.  doi:10.1073/pnas.14.4.317. ISSN 0027-8424. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
4. ↑   Kragh, Helge.  (2000-12). «Max Planck: the reluctant revolutionary» *Physics World* 13 (12): 31–36.  doi:10.1088/2058-7058/13/12/34. ISSN 0953-8585. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
5. ↑   EINSTEIN, A..  (1967). «On the Quantum Theory of Radiation» *The Old Quantum Theory* (Elsevier): 167–183. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
6. ↑   **(Ingelesez)** de Broglie, Louis.  (1970-03). «The reinterpretation of wave mechanics» *Foundations of Physics* 1 (1): 5–15.  doi:10.1007/BF00708650. ISSN 0015-9018. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
7. 1 2  de Broglie, Louis Victor. "On the Theory of Quanta" (PDF). *Foundation of Louis de Broglie* (English translation by A.F. Kracklauer, 2004. ed.).
8. ↑   **(Ingelesez)** De Broglie, Louis.  (1923-10). «Waves and Quanta» *Nature* 112 (2815): 540–540.  doi:10.1038/112540a0. ISSN 0028-0836. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
9. ↑   **(Ingelesez)** Medicus, Heinrich A..  (1974-02-01). «Fifty years of matter waves» *Physics Today* 27 (2): 38–45.  doi:10.1063/1.3128444. ISSN 0031-9228. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
10. ↑   MacKinnon, Edward.  (1976-11-01). «De Broglie’s thesis: A critical retrospective» *American Journal of Physics* 44 (11): 1047–1055.  doi:10.1119/1.10583. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
11. ↑   **(Ingelesez)** Espinosa, James M..  (1982-04-01). «Physical properties of de Broglie’s phase waves» *American Journal of Physics* 50 (4): 357–362.  doi:10.1119/1.12844. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
12. ↑   **(Ingelesez)** Brown, Harvey R.; Martins, Roberto de A..  (1984-12-01). «De Broglie’s relativistic phase waves and wave groups» *American Journal of Physics* 52 (12): 1130–1140.  doi:10.1119/1.13743. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
13. ↑   Whittaker, Edmund Taylor.  (1989). *A history of the theories of aether and electricity.*  Dover ISBN 978-0-486-26126-3. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
14. ↑  McEvoy, J. P.; Zarate, Oscar (2004). *Introducing Quantum Theory*. Totem Books. pp. 110–114. ISBN 978-1-84046-577-8
15. ↑   **(Ingelesez)** «The Nobel Prize in Physics 1929» *NobelPrize.org* (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
16. ↑   Schrödinger, Erwin.  (1984). *Gesammelte Abhandlungen: = Collected papers.*  Verlag der Österreichischen Akademie der Wissenschaften [u.a.] ISBN 978-3-7001-0573-2. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
17. ↑   **(Ingelesez)** Schrödinger, E..  (1926-12-01). «An Undulatory Theory of the Mechanics of Atoms and Molecules» *Physical Review* 28 (6): 1049–1070.  doi:10.1103/PhysRev.28.1049. ISSN 0031-899X. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
18. 1 2   Moore, Walter John.  (2001). *Schrödinger: life and thought.*  (Repr. transferred to digital printing. argitaraldia) Cambridge University Press ISBN 978-0-521-43767-7. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
19. ↑   Jammer, Max.  (1974). *The philosophy of quantum mechanics: the interpretations of quantum mechanics in historical perspective.*  Wiley ISBN 978-0-471-43958-5. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
20. ↑   **(Ingelesez)** Karam, Ricardo.  (2020-06-01). «Schrödinger's original struggles with a complex wave function» *American Journal of Physics* 88 (6): 433–438.  doi:10.1119/10.0000852. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
21. ↑   «Free motion in the wave mechanics» *Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character* 117 (776): 258–293. 1927-12  doi:10.1098/rspa.1927.0179. ISSN 0950-1207. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
22. ↑   **(Ingelesez)** Arndt, Markus; Hornberger, Klaus.  (2014-04). «Testing the limits of quantum mechanical superpositions» *Nature Physics* 10 (4): 271–277.  doi:10.1038/nphys2863. ISSN 1745-2473. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
23. ↑  **^** Mauro Dardo, *Nobel Laureates and Twentieth-Century Physics*, Cambridge University Press 2004, pp. 156–157
24. ↑   Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert.  (2009). *Quantum physics of atoms, molecules, solids, nuclei, and particles.*  (2. ed. 37. [Nachdr.]. argitaraldia) Wiley ISBN 978-0-471-87373-0. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
25. 1 2   Whittaker, Edmund Taylor.  (1989). *A history of the theories of aether and electricity.*  Dover ISBN 978-0-486-26126-3. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).
26. ↑  Holden, Alan (1971). *Stationary states*. New York: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-501497-6.
27. ↑   Williams, William S. C..  (2002). *Introducing special relativity.*  Taylor & Francis ISBN 978-0-415-27761-7. (Noiz kontsultatua: 2023-11-30).

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q193907
* **Identifikadoreak**
* GND: 4169089-8
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q193907