| Zenbakiak matematikan |
| --- |
| Zenbaki multzoak |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }
Zenbaki arruntak {\displaystyle \mathbb {N} } 
Zenbaki osoak {\displaystyle \mathbb {Z} } 
Zenbaki arrazionalak {\displaystyle \mathbb {Q} } 
Zenbaki irrazionalak 
Zenbaki errealak {\displaystyle \mathbb {R} } 
Zenbaki konplexuak {\displaystyle \mathbb {C} } 
Zenbaki aljebraikoak 
Zenbaki transzendenteak  |
| Konplexuen hedadurak |
| Koaternioiak {\displaystyle \mathbb {H} } 
Oktonioiak {\displaystyle \mathbb {O} }
Zenbaki hiperkonplexuak  |
| Bestelakoak |
| Zenbaki kardinalak 
Zenbaki ordinalak 
Zenbaki lehenak 
π = 3.141592654… 
e = 2.718281828… 
i unitate irudikaria 
∞ infinitua 
Φ = 1,6180339887...  |
| Zenbaki-sistemak |
| Zenbaki-sistema hamartarra 
Zenbaki-sistema bitarra 
Zenbaki-sistema hamaseitarra 
Zenbaki-sistema zortzitarra |

**Koaternioiak** zenbaki konplexuen hedadura dira. Koaternioien multzoak, {\displaystyle \mathbf {H} } multzoak, lau dimentsioetako bektore espazioa osatzen du, multzo hau {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}} multzoarekin identifika daiteke, alegia, errealen gaineko 4 dimentsioetako bektore espazioa osatzen dute. Bi elementuren arteko batuketaren definizioa {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}} espazioko elementuen batuketaren bera da. Koaternioi bati zenbaki erreal bat biderkatzeko ere {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}} espazioko elementuei eskalarra biderkatzea bezala definitzen da. Bi koaternioi biderkatzeko, ordea, bektore espazioko oinarria behar dugu, oinarriko lau bektoreak behar dira, lau elementu horiek 1, *i*, *j*, eta *k* izenez ezagutzen dira normalean. Eta oinarri hori erabiliz parekatzen dira koaternioien multzoa eta {\displaystyle \mathbf {R} ^{4}}, hau da, edozein koaternioi *a*1 + *bi* + *cj* + *dk* konbinazio linealaren bidez adieraz daiteke, non a, b, c eta d zenbaki errealak diren eta **1, i**, **j** eta ***k*** oinarrizko koaternioiak diren. Oinarri horretako lehen elementua, **1** elementua, elementu neutroa da eta edozein elementuri **1** elementua biderkatzean elementua ez da aldatzen.

Koaternioien oinarriko beste elementuen arteko biderketek baldintza hauek betetzen dituzte:

{\displaystyle \mathbf {ii=jj=kk=ijk=-1} }.

Baldintza hauetatik beste batzuk ondoriozta daitezke, esate baterako, **ijk=-1** ekuazioari bi aldeetan ***k*** biderkatuz **ijkk =-1k** lortuko genuke, baina **kk =-1** denez, **-ij =-k** bezala adieraz genezake, edo beste era batera, **ij = k**.

Laburbilduta, biderketa-taula hau betetzen dute:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  | 1 | i | j | k |
| 1 | 1 | i | j | k |
| i | i | -1 | k | -j |
| j | j | -k | -1 | i |
| k | k | j | -i | -1 |

Aipatzekoa da biderketa ez dela trukakorra. Banakortasun legeari esker bi koaternioiren arteko biderketa oinarrizko koaternioien arteko biderketen bidez adieraz daiteke. Biderketaren hedapenak honako espresioa ematen digu:

*(a*1 + *b*1*i* + *c*1*j* + *d*1*k* ).(*a*2 + *b*2*i* + *c*2*j* + *d*2*k*) =

*a*1 *a*2 + *a*1 *b*2*i* + *a*1*c*2*j* + *a*1 *d*2*k + b1a2i + b1b2ii + b1c2ij + b1d2ik +* c1a2j + c1b2ji + c1c2jj + c1d2jk + d1a2k + d1b2ki + d1c2kj + d1d2kk

Oinarriko elementuen biderketak aplikatuz,

*a*1 *a*2 - *b1b2 - c1c2 - d1d2 +* *a*1 *b*2*i* + *b1a2i +* c1d2i - *d1c2i*  + *a*1*c*2*j* *+* c1a2j *- b1d2*j + d1b2j + *a*1 *d*2*k + d1a2k + b1c2k* - c1b2k

azkenik, elkartze-legeari esker, biderketari dagokion koaternioia honako konbinazio linealak adierazten du:

*(a*1 *a*2 - *(b1b2 + c1c2 + d1d2)) **1** +* (*a*1 *b*2 + *b1a2 +* c1d2 - *d1c2) **i***  + (*a*1*c*2 *+* c1a2 *- b1d2* + d1b2) **j** + (*a*1 *d*2 *+ d1a2 + b1c2* - c1b2) **k**

Hainbatetan koaternioiak adierazteko eskalar bat eta bektore bat erabiltzen dira, alegia,

{\displaystyle q=(r,\ {\vec {v}}),\ q\in \mathbf {H} ,\ r\in \mathbf {R} ,\ {\vec {v}}\in \mathbf {R} ^{3}}

Adierazpide horrekin batuketa eta biderketa honela adieraz daitezke:

{\displaystyle (r\_{1},\ {\vec {v}}\_{1})+(r\_{2},\ {\vec {v}}\_{2})=(r\_{1}+r\_{2},\ {\vec {v}}\_{1}+{\vec {v}}\_{2})}

eta

{\displaystyle (r\_{1},\ {\vec {v}}\_{1})(r\_{2},\ {\vec {v}}\_{2})=(r\_{1}r\_{2}-{\vec {v}}\_{1}\cdot {\vec {v}}\_{2},r\_{1}{\vec {v}}\_{2}+r\_{2}{\vec {v}}\_{1}+{\vec {v}}\_{1}\times {\vec {v}}\_{2})}

non "**·**" biderketa eskalarra den eta and "**×**" bektore biderketa den.

q koaternioiaren norma honela definitzen da:

{\displaystyle \mathbf {|q|={\sqrt {a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}}}} }
Koaternioien biderketak elkartze-legea eta banatze-legea betetzen ditu, baina ez trukatze-legea. Koaternioiek, batuketarekin eta biderketarekin, osatzen duten egitura aljebraikoa zatiketa duen eraztuna da.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q173853
* Commonscat Multimedia: Quaternions

---

* **Identifikadoreak**
* BNE: XX4728834
* BNF: 11981947w (data)
* GND: 4176653-2
* LCCN: sh85109754
* NDL: 00570899
* NKC: ph844096
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q173853
* Commonscat Multimedia: Quaternions


| Zenbakien sailkapena |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Multzo zenbakigarria | Zenbaki arruntak • Zenbaki osoak • Zenbaki arrazionalak • Zenbaki eraikigarriak • Zenbaki aljebraikoak • Periodoak • Konputagarriak • Gaussiar osoak |
| Aljebra zatiketak | Zenbaki errealak • Zenbaki konplexuak • Koaternioiak • Oktonioiak |
| Besteak | Zenbaki kardinalak • Zenbaki irrazionalak • Zenbaki lausoak • Zenbaki hipererrealak • Zenbaki surrealak • Zenbaki transzendenteak • Zenbaki ordinalak • Zenbaki supernaturalak • Zenbaki supererrealak |
| Zenbaki ezagunak | 1 • 2 • 3 • 5 • 7 • Pi • Urrezko zenbakia • E |
| Gaiarekin lotuta dauden artikuluak | Matematika • Matematikaren historia • Fibonacciren zenbakiak • Matematikarien zerrenda |

 |