Mekanika klasikoko Newtonen legeen araberako partikula baten ibilbide batzuk (A), eta mekanika kuantikoko Schrödingerren ekuazioaren araberako ibilibideak (B-F). (B-F)-n, ardatz horizontala posizioa da, eta ardatz bertikala uhin-funtzioaren zati erreala (urdina) eta zati irudikaria (gorria) da. B, C, D egoerak energiaren autoegoerak dira, baina E eta F ez.
Mekanika kuantikoan, **partikula kutxa batean** ereduak (baita ere **potentzial osin infinitua** edo **karratu osin infinitua** bezala ezagutua) horma zeharkezinez mugatutako espazio txikian aske mugi daitekeen partikula bat deskribatzen du. Eredu hau gehienbat sistema kuantiko eta klasikoen ezberdintasunak irudikatzeko erabiltzen den eredu hipotetikoa da. Sistema klasikoetan, adibidez, kutxa handi batean harrapatutako partikula batek edozein abiadura izan dezake eta posizio guztietan aurkitzeko probabilitatea berdina da. Hala ere, horma oso estua bihurtzean (nanometro batzuen eskalan), efektu kuantikoak garrantzitsuak bihurtzen dira. Baliteke partikulak soilik energia maila positibo batzuk betetzea. Era berean, ezin du inoiz zero energia eduki, hau da, partikula ezin da inoiz egon geldi, irudi klasikoari jarraituz. Halaber, bere energia mailen arabera probableagoa da posizio batzuetan aurkitzea besteetan baino. Partikula baliteke posizio jakin batzuetan inoiz ez detektatzea, nodo espazialak bezala ezagutuak.

Partikula kutxa batean eredua mekanika kuantikoan analitikoki eta hurbilketarik egin gabe ebatzi daitekeen problema gutxietako bat da. Bere sinpletasunagatik, ereduak efektu kuantikoak ezagutzea ahalbidetzen du matematika konplexurik garatu gabe. Energiaren kuantizazioak, atomo eta molekulak bezalako sistema kuantiko konplexuetan aurki daitezkeenak, nola gertatzen diren ulertzea ahalbidetzen duen ilustrazio sinple bat da. Unibertsitateko fisikako graduetan irakasten diren lehenengoetako mekanika kuantikoko problemetako bat da, eta sistema kuantiko konplexuagoetan hurbilketa bat bezala erabiltzen da.

Dimentsio bakarreko soluzioa
----------------------------

Dimentsio bateko kutxako hormek energia potentzial infinitua dute, kutxaren barnealdeak aldiz nulua.
Partikula kutxa batean ereduaren formarik sinpleena dimentsio bakarreko sistema da. Hemen, partikula soilik aurrera eta atzera mugitu daiteke horma zeharkaezinez mugatutako lerro zuzen batean. Dimentsio bakarreko kutxaren hormak energia potentzial infinitua duten espazioko eremuak bezala imagina daitezke. Kutxa barruko zonaldeak aldiz, konstantea edo zero den energia potentziala dauka. Horrek esan nahi du partikularen gainean ez duela indarrik eragiten eta aske higitu daitekeela kutxa barruan. Hala ere, indar infinituki handi aldaratzaileak eragiten diote partikulari hormetako bat ukitzen badu, ihes egitea ekidinez. Eredu honetan energia potentziala horrela idazten da:

{\displaystyle V(x)={\begin{cases}0,&x\_{c}-L/2<x<x\_{c}+L/2\\\infty ,&{\text{bestela }}\end{cases}}}

non L kutxaren luzera, xc kutxaren erdiko puntua eta x partikularen kutxako posizioa diren. Kasu sinpleak kutxa zentratua (xc=0) eta desplazatutako kutxa (xc=L/2) dira.

### Posizioaren uhin-funtzioa

Mekanika kuantikoan, uhin-funtzioak partikularen jokabidearen deskribapen oinarrizkoena ematen du, ezaugarri neurgarri guztiak (posizioa, momentua eta energia adibidez) uhin funtziotik lor daitezke. {\displaystyle \psi (x,t)} uhin funtzioa Schrödinger-en ekuazioa ebatziz lor daiteke hurrengo sistemarako:

{\displaystyle i\hbar {\partial \over \partial t}\psi (x,t)=-{\hbar ^{2} \over 2m}{\partial ^{2} \over \partial x^{2}}{\psi (x,t)}+V(x,t)\psi (x,t)}

non {\displaystyle \hbar } erreduzitutako Planck-en konstantea, {\displaystyle m} partikularen masa, {\displaystyle i} unitate irudikaria eta {\displaystyle t} denbora diren.

Kutxa barruan, partikularen gainean ez du indarrik eragiten, ondorioz, kutxaren barruan dagoen uhin-funtzioaren zatiak denboran eta espazioan partikula aske bat bezala oszilatzen du:

{\displaystyle \psi (x,t)=[Asin(kx)+Bcos(kx)]e^{-iwt}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (1)} ,

non {\displaystyle A} eta {\displaystyle B} zenbaki konplexuak diren. Espazioko eta denborako oszilazioen maiztasuna {\displaystyle k} uhin-zenbakia eta {\displaystyle w} maiztasun angeluarraren arabera zehazten dira hurrenez hurren. Bi hauek energia totalaren adierazpenarekin loturik daude:

{\displaystyle E=\hbar w={\hbar ^{2}k^{2} \over 2m}},

non partikula askearen kasuan dispertsio-erlazio bezela ezagutzen den adierazpen hau. Orain kontuan hartu behar da partikula potentzial batean dagoenez (goian deskribaturiko V potentziala) guztiz askea ez denez, goian emandako energiaren adierazpena ez dela {\displaystyle {p^{2} \over 2m}}, non {\displaystyle p} partikularen momentua den, eta ondorioz {\displaystyle k} uhin-zenbakiak benetan partikularen energia-egoerak deskribatzen ditu, ez momentu-egoerak (ondorioz partikularen momentu lineala ez da {\displaystyle p=\hbar k}). Zentzu honetan, nahiko arriskutsua da {\displaystyle k}-ri uhin zenbakia deitzea, izan ere, ez dago momentuari lotuta "uhin-zenbakia" normalki dagoen bezala. {\displaystyle k}-ri uhin zenbakia deitzeko arrazoia da uhin-funtzioak kutxa barruan dituen maximoen kopurua adierazten duela. Desakordio hau argiago ikus daiteke behean, energiaren espektroa diskretua dela jakitean (energiaren balio diskretuak soilik dira onartuak) baina momentuaren espektroa jarraitua denean (momentua jarraituki alda daiteke) eta partikularki, {\displaystyle E={p^{2} \over 2m}} adierazpena partikularen energia eta momentuarentzat ez da betetzen. Lehen esan bezala, adierazpen hau ez betetzearen arrazoia partikula askea ez dela da, {\displaystyle V} potentziala baitago, eta partikularen energia {\displaystyle E=T+V} da, non {\displaystyle T} partikularen energia zinetikoa eta {\displaystyle V} partikularen energia potentziala den.

Hasierako uhin-funtzioak lehenengo partikularen 4 egoerentzat dimentsio bateko kutxa batean
Uhin funtzioaren tamaina (edo anplitudea) erlazionatuta dago partikula hor aurkitzeko probabilitatearekin, adierazpen honen arabera: {\displaystyle P(x,t)=\left\vert \psi (x,t)\right\vert ^{2}}. Hori dela eta, uhin funtzioa nulua izan behar da kutxatik kanpo. Halaber, uhin-funtzioaren anplitudeak ezin du "salto" gogorrik egin puntu batetik bestera. Bi baldintza hauek horrelako itxura duten uhin-funtzioak soilik betetzen dituzte:

{\displaystyle \psi (x,t)={\begin{cases}Asin(k\_{n}(x-x\_{c}+L/2))e^{-iw\_{n}t},&x\_{c}-L/2<x<x\_{c}+L/2\\0,&{\text{bestela }}\end{cases}}}

non

{\displaystyle k\_{n}={n\pi \over L}},

eta

{\displaystyle E\_{n}=\hbar w\_{n}={\pi ^{2}\hbar ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}},

diren. n zenbaki osoa eta positiboa da. 0=1,2,3,4.... Desplazatutako kutxaren erreferentzia-sisteman (xc=L/2) soluzioa partikularki sinplea da. Soluziorik sinpleenek, {\displaystyle k\_{n}=0} edo {\displaystyle A=0}, uhin-funtzio tribiala sortzen dute {\displaystyle \psi (x)=0}, sisteman inon existitzen ez den partikula bat deskribatzen duena. Hemen ikus daiteke soilik energia eta {\displaystyle k} uhin-zenbakien balio diskretuen multzo bat dela onargarria partikularako. Orokorrean, uhin-funtzioaren deribatua ere jarraitua izan behar da, baina kasu honetan baldintza hori ezin da inposatu kutxaren bi muturretan potentziala infinitua delako. Jakina, potentzial infinitua duen sistema limiteko sistema abstrakto ez-fisiko bezala ikus daiteke Baldintza hori kontuan ez hartzean, uhin-funtzioa ez da diferentziagarria kutxaren hormetan.

Amaitzeko, {\displaystyle A} konstante ezezaguna uhin-funtzioa normalizatuz finkatu daiteke, horrela sistema osoan partikula aurkitzeko probabilitate dentsitatea 1 izango baita. Lorturiko emaitza hauxe da:

{\displaystyle \left\vert A\right\vert ={\sqrt {2 \over L}}}

Beraz, {\displaystyle A}, modulua {\displaystyle {\sqrt {2/L}}} duen edozein zenbaki konplexu izan daiteke, {\displaystyle A}-ren balio ezberdin hauek egoera fisiko berdina deskribatzen dute, beraz {\displaystyle A={\sqrt {2 \over L}}} aukera daiteke sinplifikatzeko.

Esperotako *autobalioak,* adibidez, kutxako partikularen energia {\displaystyle E\_{n}} berdina izan behar da posizioa edozein delarik ere, baina {\displaystyle \psi (x,t)} x-ren arabera aldatzen da. Konturatu {\displaystyle (x\_{c}-L/2)} magnitudek uhin-funtzioaren fasearen desplazamendua adierazten duela. Fasearen desplazamendu honek ez du eraginik Schrödinger-en ekuazioa ebaztean, eta ondorioz ez du eraginik *autobalioengan.* Koordenatuen jatorria kutxaren zentroan jarriz, espazioko zatia horrela berridatz daiteke:

{\displaystyle \psi \_{n}(x)={\begin{cases}{\sqrt {2 \over L}}sin(k\_{n}x),&{\text{n bikoitia denean}}\\{\sqrt {2 \over L}}cos(k\_{n}x),&{\text{n bakoitia denean}}\end{cases}}}

### Momentuaren uhin-funtzioa

Uhin-funtzioaren momentua, uhin-funtzio berberaren posizioaren Fourierren transformatuaren proportzionala da. {\displaystyle k={p/\hbar }} izanik, (ohartu, uhin-funtzioaren momentua deskribatzen duen k paramentroa ez dela lehenago deskribatutako balio propioen energiarekin erlazionatutako {\displaystyle k\_{n}}), uhin-funtzioaren momentua honako hau da:

{\displaystyle \phi \_{n}(p,t)={1 \over {\sqrt {2\hbar \pi }}}\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\psi \_{n}(x,t)e^{-ipx/\hbar }dx={\sqrt {L \over \pi \hbar }}\left({n\pi \over n\pi +kL}\right)sinc(1/2(n\pi -kL))e^{-ikx}e^{i(n-1)\pi /2}e^{-iw\_{n}t}}

sinc sine sinc funtzioaren kardinala izanik {\displaystyle sinc(x)=sin(x)/x}. Zentratutako kutxarako ({\displaystyle x\_{c}}=0), soluzioa erreala eta bereziki sinplea da, fase faktorea unitatera erreduzitzen baita. (p-ren funtzio bikoiti bezala idatzia izan daiteke).

Uhin pakete honetarako, espektroaren momentua jarraia dela ikus daiteke, eta ondoriozta daiteke {\displaystyle k\_{n}} uhin-zenbakiak deskribaturiko energiaren egoerarako, momentuak, neurtua denean, {\displaystyle p=\pm \hbar k} ez diren beste balio batzuk lor ditzakeela.

Horregatik, energia {\displaystyle E\_{n}={\hbar ^{2}k\_{n}^{2} \over 2m}} denez n-garren autoegoerarako, {\displaystyle E={p^{2} \over 2m}} erlazioa ez da zorrozki betetzen neurturiko p momenturako; energiaren {\displaystyle \psi \_{n}} autoegoera ez da momentuaren autoegoera, eta izatez, bi momentuen autoegoeren gainezarmena ere ez, bat tentatua izan baitaiteke imaginatzera (1) ekuaziotik haratago.

Energia mailak
--------------

Kutxa bateko partikularen (zirkulu beltzak) eta partikula askearen (lerro grixa) energiek uhin-zenbakiarekiko menpekotasuna dute modu berean. Hala ere, kutxako partikularen energiak diskretuak dira eta balio jakin batzuk soilik har ditzazke. 
Baimendutako uhin-zenbaki bakoitzari dagozkion energiak horrela idaz daitezke

{\displaystyle E\_{n}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}n^{2}={h^{2} \over 8mL^{2}}n^{2}}.

Energia mailak {\displaystyle n^{2}}-rekin handitzen dira, hori dela eta, energia maila altuen arteko tarteak handiagoak dira energia maila baxuenenak baino. Energia mailarik baxuena (bere 0-puntuko energia) 1 egoeran aurkitzen da, adierazpen honen arabera

{\displaystyle E\_{1}={\hbar ^{2}\pi ^{2} \over 2mL^{2}}}.

Partikulak, ondorioz, beti energia positiboa dauka. Hau mekanika klasikoaren aurkakoa da, non partikulak energia nulua izan dezakeen geldirik egonez. Hau ziurgabetasun printzipioaren bidez azaldu daiteke, zeinek esaten duen momentuaren eta posizioaren ziurgabetasunak mugatuta daudela honako adierazpenaren bidez

{\displaystyle \Delta {x}\Delta {p}\geq {\hbar \over 2}}

Erakutsi daiteke posizioaren ziurgabetasuna kutxaren zabaleraren proportzionala dela. Beraz, momentuaren ziurgabetasuna gutxi gorabehera kutxaren zabaleraren alderantziz proportzionala da. Partikularen energia zinetikoa {\displaystyle E={p^{2} \over 2m}} da, eta beraz partikularen energia zinetiko minimoa partikularen masaren eta kutxaren zabaleraren karratuaren alderantziz proportzionala da, aurreko kalkuluekin kualitatiboki ados egonik.

Dimentsio altuagoko kutxak
--------------------------

### Horma hipererrektangeluarrak

Partikula bat bi dimentsioko kutxa batean harrapatuta badago, {\displaystyle x} eta {\displaystyle y} noranzkoetan aske mugi daiteke {\displaystyle L\_{x}} eta Ly {\displaystyle L\_{y}}distantzia batzuetaz banandutako hormen artean, hurrenez hurren. Jatorrian zentratutako kutxan, kutxaren luzeera adieraziz idatz genezake uhin funtzioa, {\displaystyle \psi \_{n}(x,t,L)} moduan. Dimentsio bakarreko ekuazioa ereduz hartuta, ikusi egin daiteke jatorrian zentratutako kutxa baten uhin funtzioaren eta energiaren adierazpenak ondokoak direla:

2D potentzial osineko uhin-funtzioa nx=4 eta ny=4 izanik.{\displaystyle \psi \_{n\_{x},n\_{y}}=\psi \_{n\_{x}}(x,t,L\_{x})\psi \_{n\_{y}}(y,t,L\_{y})}

{\displaystyle E\_{n\_{x},n\_{y}}={\hbar ^{2}k\_{n\_{x},n\_{y}}^{2} \over 2m}}

non bi dimentsioko uhin-bektorea honela dagoen emanda:

{\displaystyle \mathbf {k\_{n\_{x},n\_{y}}} =k\_{n\_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+k\_{n\_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}={n\_{x}\pi \over L\_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{n\_{y}\pi \over L\_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}}

Hiru dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:

{\displaystyle \psi \_{n\_{x},n\_{y},n\_{z}}=\psi \_{n\_{x}}(x,t,L\_{x})\psi \_{n\_{y}}(y,t,L\_{y})\psi \_{n\_{z}}(z,t,L\_{z})}

{\displaystyle E\_{n\_{x},n\_{y},n\_{z}}={\hbar ^{2}k\_{n\_{x},n\_{y},n\_{z}}^{2} \over 2m}}

non hiru dimentsioko uhin bektorea honela dagoen emanda:

{\displaystyle \mathbf {k\_{n\_{x},n\_{y},n\_{z}}} =k\_{n\_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+k\_{n\_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}+k\_{n\_{z}}{\hat {\mathbf {z} }}={n\_{x}\pi \over L\_{x}}{\hat {\mathbf {x} }}+{n\_{y}\pi \over L\_{y}}{\hat {\mathbf {y} }}+{n\_{z}\pi \over L\_{z}}{\hat {\mathbf {z} }}}

Orokorrean, n dimentsioko kutxan, ebazpenak hauek dira:

{\displaystyle \psi =\prod \_{i=1}\psi \_{n}(x\_{i},t,L\_{i})}

n-dimentsioko momentu uhin funtzioak {\displaystyle \phi \_{n}(x,t,L\_{x})} adierazpenaz adieraz litezke, eta ondorioz momentuaren uhin funtzioa n dimentsioko kutxa zentratuan honakoa da:

{\displaystyle \phi =\prod \_{i=1}\phi \_{n}(k\_{i},t,L\_{i})}

Aurreko adierazpena aztertuz, bi luzera edo gehiago berdinak direnean (adibidez {\displaystyle L\_{x}=L\_{y}} ) uhin funtzio bat baino gehiago energia maila berdinari dagokiola ikus daiteke. Adibidez, {\displaystyle n\_{x}=2} eta {\displaystyle n\_{y}=1} egoerak daukan uhin funtzioak eta {\displaystyle n\_{x}=1} eta {\displaystyle n\_{y}=2} egoerak daukanak energia bera dute. Egoera desberdinek energia bera dutenean, energia hori *endekatua dela* esaten da, edo energia horren endakapena bi dela. Endekapena sistemaren simetriatik dator. Goiko kasuan osinaren bi luzerak berdinak dira, beraz sistema simetrikoa da 90º biraketarekiko.

### Forma konplikatuagoko hormak

Forma arbitrarioko paretak dituen kutxa batean harrapatutako partikula mekaniko-kuantiko baten uhin funtzioa Helmholtzen ekuaziotik dator, mugalde baldintzak uhin funtzioa paretetan nulua dela izanik. Sistema hauek kaos kuantikoan aztertzen dira.

Ikusi baita ere
---------------

* Oszilatzaile harmoniko kuantikoa

Erreferentziak
--------------

1. 1 2 3 4 5  Davies, p.4
2. ↑  Edozein potentzial konstante V0 egon daiteke kutxa barruan. Honek soilik energia mailak V0-z aldatzen ditu.
3. ↑  Davies, p.1
4. 1 2  Bransden and Joachain, p. 157
5. 1 2  Davies, p.5
6. ↑  Bransden eta Joachain, p.158
7. 1 2 3  Bransden eta Joachain, p. 159
8. ↑  Davies, p. 15

Bibliografia
------------

* Bransden, B. H.; Joachain, C. J. (2000). *Quantum mechanics* (2nd ed.). Essex: Pearson Education. ISBN 978-0-582-35691-7.
* Davies, John H. (2006). *The Physics of Low-Dimensional Semiconductors: An Introduction* (6th reprint ed.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-48491-6
* Griffiths, David J. (2004). *Introduction to Quantum Mechanics* (2nd ed.). Prentice Hall. ISBN 978-0-13-111892-8