Bi dimentsioko distantzia euklidearra kalkulatzen Pitagorasen teorema erabiliz.
Matematikan, bi punturen arteko **distantzia euklidearra** espazio euklidearrean, bi puntuen arteko zuzenkiaren luzera da. Puntuen koordenatu kartesiarretatik abiatuta kalkula daiteke, Pitagorasen teorema erabiliz; beraz, **Pitagorasen** **distantzia** deitzen zaio noizbehinka. Izen horiek antzinako matematikari grekoetatik datoz, Euklides eta Pitagorasengandik. Euklidesek ez zituen zenbakiak erabili distantziak adierazteko. XVIII. mendean egin zen Pitagorasen teoremaren eta distantziaren kalkuluaren arteko lotura.

Puntuak ez diren bi objekturen arteko distantzia bi objektuen puntu-pareen arteko distantziarik txikiena da. Hainbat formula daude objektu mota desberdinen arteko distantziak kalkulatzeko, hala nola, puntu batetik lerro batera dagoen distantzia kalkulatzeko. Matematika aurreratuan, distantziaren kontzeptua espazio metriko abstraktuetara orokortu da, eta beste distantzia batzuk aztertu dira. Estatistikako eta optimizazioko aplikazio batzuetan, distantzia euklidearraren karratua erabiltzen da, distantzia bera erabili beharrean.

* Euklidesen Elementuak liburua euskaraz (2005)
* Euklidesen ElementuakEuklidesen Elementuak
* Euklides (Oxfordeko Unib.)

Historia
--------

Distantzia euklidearra, espazio euklidearreko distantzia da; bi kontzeptuak Euklides antzinako matematikari greziarragatik izendatzen dira, zeinaren *Elementuak* geometriako ohiko testu-liburua izan baitzen mende askotan. Luzeraren eta distantziaren kontzeptuak oso zabalduta daude kultura guztietan, eta K. a. IV. milurtekotik kontserbatzen diren Sumerreko lehen dokumentu burokratiko "protoliterarioetatik" datoz (Euklides baino askoz lehenago). Gainera, badira haurrek bi kontzeptu horiek abiadura eta denboraren antzeko kontzeptuak baino lehenago garatzen dituztela planteatzen duten hipotesiak. Baina distantziaren nozioa, bi puntutatik definitutako zenbaki gisa, ez da agertzen Euklidesen *Elementuak* lanean. Aldiz, Euklidesek modu inplizituan heltzen dio kontzeptu horri, zuzenkien kongruentziaren bidez, zuzenkien luzeren konparazioaren bidez eta proportzionaltasunaren kontzeptuaren bitartez.

Pitagorasen teorema ere antzinakoa da, baina René Descartes-ek 1673an koordenatu kartesiarrak asmatu ondoren, oro har, distantzien neurketarako bakarrik erabili zen. Distantziaren formula 1731n argitaratu zuen lehen aldiz Alexis Clairaut-ek. Formula hori dela eta, distantzia euklidearrari distantzia pitagorikoa ere esaten zaio batzuetan. Lurrazalean distantzia handien neurketa zehatzak, euklidearrak ez direnak, antzinatik kultura askotan ere aztertu ziren arren (geodesiaren historia adibidez), distantzia euklidearra espazio matematikoetan puntuen arteko distantziak neurtzeko modu bakarra izan ez izatearen ideia beranduago iritsi zen, XIX. mendean geometria ez-euklidearraren formulazioarekin. Hiru dimentsio baino gehiagoko geometrietarako, norma euklidearraren eta distantzia euklidearraren definizioa ere XIX. mendean agertu zen lehen aldiz, Augustin-Louis Cauchy-ren obran.

Euklidesen *Elementuak* liburua euskaratu zuen Patxi Angulok (Elhuyar, 2005). Matematikazko liburu klasikoetan klasikoenetako bat da, eta Jose Ramon Etxebarriaren laguntza izan zuen testua ondo biribiltzeko.

Distantzien formulak
--------------------

### Dimentsio bat

Lerro errealeko bi punturen arteko distantzia koordenatuen zenbakizko diferentziaren balio absolutua da, alegia, haien diferentzia absolutua. Hala, {\displaystyle p} eta {\displaystyle q} lerro errealeko bi puntu badira, bien arteko distantzia hurrengo hau izango da:



d
(
p
,
q
)
=

|

p
−
q

|

.

{\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}

{\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}
Formula konplexuagoa, balio bera ematen duena, baina dimentsio handiagoetara errazago orokortzen dena, honako hau da:



d
(
p
,
q
)
=

(
p
−
q

)

2

.

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p-q)^{2}}}.}
Formula horrek, karratuari erro karratua aplikatzean, edozein zenbaki positibo aldaketarik gabe uzten du, eta aldiz edozein zenbaki negatiboren ordez bere balio absolutua ematen du.

### Bi dimentsio

Plano euklidearrean, {\displaystyle p} puntuak {\displaystyle (p\_{1},p\_{2})} koordenatu kartesiarrak baditu; eta {\displaystyle q} puntuak, aldiz, {\displaystyle (q\_{1},q\_{2})} koordenatuak, bi puntu horien arteko distantzia honela kalkulatuko dugu:



d
(
p
,
q
)
=

(

q

1

−

p

1

)

2

+
(

q

2

−

p

2

)

2

.

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(q\_{1}-p\_{1})^{2}+(q\_{2}-p\_{2})^{2}}}.}

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(q_{1}-p_{1})^{2}+(q_{2}-p_{2})^{2}}}.}
Hori ikus daiteke Pitagorasen teorema {\displaystyle p}-tik {\displaystyle q}-ra doan zuzenkia hipotenusa gisa duen triangelu angeluzuzen batean aplikatzean, alde horizontal eta bertikalekin. Erro karratuaren barruko bi karratuek, alde horizontalaren eta bertikalaren karratuen azalerak ematen dituzte; eta kanpoko erro karratuak hipotenusaren karratuaren azalera hipotenusaren luzera bilakatzen du.

Koordenatu polarren bidez emandako puntuen arteko distantzia ere kalkula daiteke. {\displaystyle p}-ren koordenatu polarrak {\displaystyle (r,\theta )} eta {\displaystyle q}-ren koordenatu polarrak {\displaystyle (s,\psi )} badira, haien arteko distantzia kosinuaren teorema aplikatuz lortu daiteke:



d
(
p
,
q
)
=

r

2

+

s

2

−
2
r
s
cos
⁡
(
θ
−
ψ
)

.

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {r^{2}+s^{2}-2rs\cos(\theta -\psi )}}.}
Plano konplexuan, {\displaystyle p} eta {\displaystyle q} zenbaki konplexu gisa adierazten direnean, zenbaki erreal gisa adierazitako dimentsio bakarreko puntuen arteko formula bera erabil daiteke, nahiz eta hemen balio absolutuaren zeinuak norma konplexua adierazten duen:



d
(
p
,
q
)
=

|

p
−
q

|

.

{\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}

{\displaystyle d(p,q)=|p-q|.}
### Dimentsio handiagoetan

{\displaystyle n}-dimentsioko distantzia euklidearra deribatzen, Pitagorasen teorema behin eta berriz aplikatuz.
Hiru dimentsiotan, koordenatu kartesiarretan emandako puntuen arteko distantzia hau da:



d
(
p
,
q
)
=

(

p

1

−

q

1

)

2

+
(

p

2

−

q

2

)

2

+
(

p

3

−

q

3

)

2

.

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+(p\_{3}-q\_{3})^{2}}}.}

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+(p_{3}-q_{3})^{2}}}.}
Oro har, {\displaystyle n}-dimentsioko espazio euklidearretan koordenatu kartesiarren bidez emandako puntuen artean hau da distantzia:



d
(
p
,
q
)
=

(

p

1

−

q

1

)

2

+
(

p

2

−

q

2

)

2

+
⋯
+
(

p

n

−

q

n

)

2

.

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}}}.}

{\displaystyle d(p,q)={\sqrt {(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}}}.}
Distantzia euklidearra era laburragoan adieraz daiteke, bektore euklidearren kenduren norma euklidearraren funtzioan:



d
(
p
,
q
)
=
‖
p
−
q
‖
.

{\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}

{\displaystyle d(p,q)=\|p-q\|.}
### Puntuak ez diren objektuekin

Puntuak ez diren objektu-bikoteen kasuan, distantzia, era sinplean, bi objektuetako edozein punturen arteko distantziarik txikiena dela esan daiteke, nahiz eta puntuetatik multzoetarako orokortze konplexuagoak ere erabili ohi diren, hala nola Hausdorff-en distantzia. Objektu mota desberdinen arteko distantziak kalkulatzeko formulen artean hauek daude:

* Puntu batetik zuzen baterako distantzia, plano euklidearrean.
* Puntu batetik plano baterako distantzia hiru dimentsioko espazio euklidearrean.
* Bi zuzenen arteko distantzia hiru dimentsioko espazio euklidearrean.

Propietateak
------------

Distantzia euklidearra espazio metriko bateko distantziaren adibide prototipikoa da, eta espazio metriko bat definitzeko propietate guztiak betetzen ditu:

* *Simetrikoa* da, hortaz, {\displaystyle p} eta {\displaystyle q} puntu guztietarako, {\displaystyle d(p,q)=d(q,p)} da. Hau da, bi puntuen arteko distantzia ez dago puntuetatik zein den abiapuntua eta zein helmugaren menpe.
* *Positiboa* da; alegia, bi puntu desberdinen arteko distantzia zenbaki positiboa da beti, eta edozein puntutatik norberarekiko distantzia zero izango da.
* Desberdintza triangeluarraren propietatea betetzen du. Edozein hiru puntutarako {\displaystyle p}, {\displaystyle q} eta {\displaystyle r} {\displaystyle d(p,q)+d(q,r)\geq d(p,r)}. Intuitiboki, {\displaystyle p}-tik {\displaystyle r}-ra, {\displaystyle q}-tik igaroz, bidaiatzea ezin da {\displaystyle p}-tik {\displaystyle r}-ra zuzenean bidaiatzea baino laburragoa izan.

Beste propietate batek, Ptolomeoren desberdintzak, {\displaystyle p}, {\displaystyle q}, {\displaystyle r} eta {\displaystyle s} lau puntuen arteko distantzia euklidearrak erlazionatzen ditu. Hauxe dio:



d
(
p
,
q
)
⋅
d
(
r
,
s
)
+
d
(
q
,
r
)
⋅
d
(
p
,
s
)
≥
d
(
p
,
r
)
⋅
d
(
q
,
s
)
.

{\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}

{\displaystyle d(p,q)\cdot d(r,s)+d(q,r)\cdot d(p,s)\geq d(p,r)\cdot d(q,s).}
Planoko puntuen kasuan, esan daiteke lauki bakoitzerako laukiaren kontrako aldeetako biderkaduren batura, gutxienez, diagonalen biderkadura bezain zenbaki handia dela. Hala eta guztiz ere, Ptolomeoren desberdintza modu orokorragoan aplikatzen zaie edozein dimentsiotako espazio euklidearretako puntuei, horiek nola kokatuta dauden alde batera utzita. Espazio euklidearrak ez diren espazio metrikoetako puntuetan, gerta daiteke desberdintza hori egia ez izatea. 

Distantzia euklidearraren geometriak, distantzia euklidearraren propietateak aztertzen ditu, hala nola, Ptolomeoren desberdintasuna, eta horren aplikazioa distantzien multzo jakin batzuk espazio euklidear bateko puntuetatik datozen egiaztatzeko.

Beckman–Quarles-en teoremaren arabera, unitate-distantziak mantentzen dituen plano euklidearraren edo dimentsio handiagoko espazio euklidearraren edozein transformaziok isometria izan behar du, distantzia guztiak mantenduz.

Distantzia euklidearraren karratura
-----------------------------------

Kono bat, distantzia euklidearraren grafikoa planoko jatorritik.Paraboloide bat, distantzia euklidearraren karratuaren grafikoa planoko jatorritik.
Aplikazio askotan, eta bereziki distantziak konparatzen direnean, komenigarriagoa izan daiteke distantzia euklidearren kalkuluan azken erro karratua alde batera uztea, bi distantziak proportzionalak baitira. Horren ondorioz lortzen dugun balioa distantzia euklidearraren karratua da, eta **distantzia euklidearraren karratua** deitzen zaio. Adibidez, hedapen gutxieneko zuhaitz euklidearra distantzien arteko ordena soilik erabiliz zehaztu daiteke, eta ez haien zenbakizko balioak erabiliz. Distantzien karratuen konparazioak emaitza bera ematen du, baina erro karratuaren alferrikako kalkulua saihesten du eta zenbakizko doitasunaren arazoak saihesten ditu. Ekuazio gisa, distantziaren karratua karratuen batura gisa adieraz daiteke:


d

2

(
p
,
q
)
=
(

p

1

−

q

1

)

2

+
(

p

2

−

q

2

)

2

+
⋯
+
(

p

n

−

q

n

)

2

.

{\displaystyle d^{2}(p,q)=(p\_{1}-q\_{1})^{2}+(p\_{2}-q\_{2})^{2}+\cdots +(p\_{n}-q\_{n})^{2}.}

{\displaystyle d^{2}(p,q)=(p_{1}-q_{1})^{2}+(p_{2}-q_{2})^{2}+\cdots +(p_{n}-q_{n})^{2}.}
Distantziak konparatzeko duen aplikazioaz gain, distantzia euklidearraren karratua garrantzia handikoa da estatistikan, non karratu txikienen erregresioaren metodoan erabiltzen den; hori metodo estandar bat da zenbatespen estatistikoak datuetara egokitzeko, behatutako eta zenbatetsitako balioen arteko distantzien karratuaren batez bestekoa minimizatuz, eta probabilitate-banaketak alderatzeko dibergentziaren modurik sinpleena da. Distantzien karratuak batzea, karratu txikien doikuntzan egiten den bezala, batuketa pitagoriko deritzon distantzien (ez-karratuen) arteko eragiketa bati dagokio. Multzokatze-analisian, distantzia luzeenen eragina indartzeko erabil daitezke distantzien karratuak.

Distantzia euklidearraren karratuak ez du espazio metriko bat sortzen, ez baitu desberdintza triangeluarra betetzen. Hala ere, bi punturen funtzio leun eta hertsiki ganbila da, distantzia ez bezala, zeina ez baita leuna (puntu berdinen pareetatik gertu) eta ganbila da, baina ez hertsiki ganbila. Beraz, distantziaren karratua gogokoena da optimizazioaren teorian, analisi ganbila erabiltzeko aukera ematen baitu. Karratua balio ez-negatiboen funtzio monotonoa denez, distantziaren karratua minimizatzea distantzia euklidearra minimizatzearen baliokidea da; beraz, optimizazio-problema baliokidea da bietan, baina errazago ebazten da distantziaren karratua erabiliz.

Multzo finitu bateko puntu-pareen arteko distantzien karratu guztien bilduma distantzia euklidearraren matrize batean gorde daiteke, eta, forma horretan erabiltzen da distantzien geometrian.

Orokortzeak
-----------

Matematikako arlo aurreratuagoetan, espazio euklidearra espazio bektorialtzat hartzen denean, bere distantzia norma euklidear deritzon norma bati lotzen zaio, bektore bakoitzak jatorritik duen distantzia bezala definitzen dena. Norma honen propietate garrantzitsuetako bat da, beste norma batzuekin alderatuta, ez dela aldatzen jatorriaren inguruko espazioaren errotazio arbitrarioekin. Dvoretzky-ren teoremaren arabera, bektore-espazio normadun finitu bakoitzak dimentsio handiko azpiespazio bat du, eta bertan norma gutxi gorabehera euklidearra da; norma euklidearra da ezaugarri hori duen norma bakarra. Hori dimentsio infinituko bektore-espazioetara heda daiteke *L*2 norma edo *L*2 distantzia gisa. Distantzia euklidearrak espazio euklidearrari espazio topologiko baten egitura ematen dio, topologia euklidearra, bola irekiak (puntu jakin batetik distantzia jakin batera baino txikiagora dauden puntuen azpimultzoak) bere ingurune gisa dituela.

Beste ohiko distantzia batzuk koordenatu errealeko espazioetan eta funtzio-espazioetan hauek dira:

* Txebishev-en distantzia *(L∞* distantzia): distantzia koordenatuetako distantzien maximo gisa definitzen du.
* Manhattan-en distantzia (*L*1 distantzia): distantzia koordenatuetako distantzien batura gisa definitzen du.
* Minkowski-ren distantzia (*Lp* distantzia): distantzia euklidearra, Manhattanen distantzia eta Txebisheven distantzia bateratzen dituen orokortzea da.

Hiru dimentsioko gainazalen gaineko puntuetarako, distantzia euklidearra eta distantzia geodesikoa, gainazaleko kurba laburrenaren luzera, bereizi behar dira.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Zhang, Jin.  (2007). *Visualization for Information Retrieval.*  Springer ISBN 978-3-540-75148-9..
2. ↑   Høyrup, Jens.  (2018). Jones ed. *The Cambridge History of Science, Volume 1: Ancient Science.*  Cambridge University Press, 58–72 or..
3. ↑   Acredolo, Curt; Schmid, Jeannine.  (1981). «The understanding of relative speeds, distances, and durations of movement» *Developmental Psychology* 17 (4): 490–493.  doi:10.1037/0012-1649.17.4.490..
4. ↑   Henderson, David W..  (2002). «Review of *Geometry: Euclid and Beyond* by Robin Hartshorne» *Bulletin of the American Mathematical Society* 39: 563–571.  doi:10.1090/S0273-0979-02-00949-7..
5. ↑   Maor, Eli.  (2019). *The Pythagorean Theorem: A 4,000-Year History.*  Princeton University Press, 133–134 or. ISBN 978-0-691-19688-6..
6. ↑   Rankin, William C.; Markley, Robert P.; Evans, Selby H..  (March 1970). «Pythagorean distance and the judged similarity of schematic stimuli» *Perception & Psychophysics* 7 (2): 103–107.  doi:10.3758/bf03210143..
7. ↑   Milnor, John.  (1982). «Hyperbolic geometry: the first 150 years» *Bulletin of the American Mathematical Society* 6 (1): 9–24.  doi:10.1090/S0273-0979-1982-14958-8..
8. ↑   Ratcliffe, John G..  (2019). *Foundations of Hyperbolic Manifolds.*  in: *Graduate Texts in Mathematics*. 149 (3rd. argitaraldia) Springer, 32 or. ISBN 978-3-030-31597-9..
9. ↑   Euklides.  (2005). *Eukleidou stoicheia = Euklides elementuak.*  Elhuyar Fundazioa ISBN 9788495338525..
10. ↑    Angulo Martin, Patxi.  (2006). «Euklidesen Elementuak lanaren itzulpena, matematika arloko euskararen normalizaziorako ekarpena» *Senez: itzulpen aldizkaria* (EIZIE) (30): 107–143. ISSN 1132-2152. (Noiz kontsultatua: 2021-12-21).
11. ↑   Rakel, Lopez Viña.  (2005). «Euklides. Elementuak, euskaraz» *Elhuyar aldizkaria* (Noiz kontsultatua: 2021-12-21).
12. ↑   Roa Zubia, Guillermo.  (2005). «Euklidesen ondarea» *Elhuyar aldizkaria* (Noiz kontsultatua: 2021-12-21).
13. 1 2 3   **(Ingelesez)** Smith, Karl.  (2013). *Precalculus: A Functional Approach to Graphing and Problem Solving.*  Jones & Bartlett Publishers ISBN 978-0-7637-5177-7. (Noiz kontsultatua: 2023-11-03).
14. 1 2   **(Ingelesez)** Cohen, David.  (2004-12-14). *Precalculus: A Problems-Oriented Approach.*  Cengage Learning ISBN 978-0-534-40212-9. (Noiz kontsultatua: 2023-11-03).
15. ↑   Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D..  (2007). *College Trigonometry.*  (6th. argitaraldia) Cengage Learning, 17 or. ISBN 978-1-111-80864-8..
16. ↑   Andreescu, Titu; Andrica, Dorin.  (2014). *Complex Numbers from A to ... Z.*  (2nd. argitaraldia) Birkhäuser, 57–58 or. ISBN 978-0-8176-8415-0..
17. ↑   Tabak, John.  (2014). *Geometry: The Language of Space and Form.*  in: *Facts on File math library*. Infobase Publishing, 150 or. ISBN 978-0-8160-6876-0..
18. ↑   Ó Searcóid, Mícheál.  (2006). *Metric Spaces.*  in: *Springer Undergraduate Mathematics Series*. Springer, 29–30 or. ISBN 978-1-84628-627-8..
19. 1 2   Ballantine, J. P.; Jerbert, A. R..  (April 1952). «Distance from a line, or plane, to a point» *American Mathematical Monthly* 59 (4): 242–243.  doi:10.2307/2306514..
20. ↑   Bell, Robert J. T..  (1914). *An Elementary Treatise on Coordinate Geometry of Three Dimensions.*  (2nd. argitaraldia) Macmillan, 57–61 or..
21. ↑   Ivanov, Oleg A..  (2013). *Easy as π?: An Introduction to Higher Mathematics.*  Springer, 140 or. ISBN 978-1-4612-0553-1..
22. 1 2 3 4   **(Ingelesez)** Strichartz, Robert S..  (2000). *The Way of Analysis.*  Jones & Bartlett Learning ISBN 978-0-7637-1497-0. (Noiz kontsultatua: 2023-11-03).
23. ↑   Adam, John A..  (2017). «Chapter 2. Introduction to the "Physics" of Rays» *Rays, Waves, and Scattering: Topics in Classical Mathematical Physics.*  in: *Princeton Series in Applied Mathematics*. Princeton University Press, 26–27 or.  doi:10.1515/9781400885404-004. ISBN 978-1-4008-8540-4..
24. ↑   Liberti, Leo; Lavor, Carlile.  (2017). *Euclidean Distance Geometry: An Introduction.*  in: *Springer Undergraduate Texts in Mathematics and Technology*. Springer, xi or. ISBN 978-3-319-60792-4..
25. ↑   Beckman, F. S.; Quarles, D. A. Jr..  (1953). «On isometries of Euclidean spaces» *Proceedings of the American Mathematical Society* 4 (5): 810–815.  doi:10.2307/2032415..
26. 1 2   **(Ingelesez)** Spencer, Neil H..  (2013-12-17). *Essentials of Multivariate Data Analysis.*  CRC Press ISBN 978-1-4665-8479-2. (Noiz kontsultatua: 2023-11-03).
27. ↑   Yao, Andrew Chi Chih.  (1982). «On constructing minimum spanning trees in k-dimensional spaces and related problems» *SIAM Journal on Computing* 11 (4): 721–736.  doi:10.1137/0211059..
28. ↑   Randolph, Karen A.; Myers, Laura L..  (2013). *Basic Statistics in Multivariate Analysis.*  in: *Pocket Guide to Social Work Research Methods*. Oxford University Press, 116 or. ISBN 978-0-19-976404-4..
29. ↑   Csiszár, I..  (1975). «I-divergence geometry of probability distributions and minimization problems» *Annals of Probability* 3 (1): 146–158.  doi:10.1214/aop/1176996454..
30. ↑   Moler, Cleve and Donald Morrison.  (1983). «Replacing Square Roots by Pythagorean Sums» *IBM Journal of Research and Development* 27 (6): 577–581.  doi:10.1147/rd.276.0577..
31. ↑   Mielke, Paul W.; Berry, Kenneth J..  (2000). Brown ed. *Statistical Mining and Data Visualization in Atmospheric Sciences.*  Springer, 7–27 or.  doi:10.1007/978-1-4757-6581-6\_2..
32. ↑   Kaplan, Wilfred.  (2011). *Maxima and Minima with Applications: Practical Optimization and Duality.*  in: *Wiley Series in Discrete Mathematics and Optimization*. 51 John Wiley & Sons, 61 or. ISBN 978-1-118-03104-9..
33. ↑   Alfakih, Abdo Y..  (2018). *Euclidean Distance Matrices and Their Applications in Rigidity Theory.*  Springer, 51 or. ISBN 978-3-319-97846-8..
34. ↑   Kopeikin, Sergei; Efroimsky, Michael; Kaplan, George.  (2011). *Relativistic Celestial Mechanics of the Solar System.*  John Wiley & Sons, 106 or. ISBN 978-3-527-63457-6..
35. ↑   Matoušek, Jiří.  (2002). *Lectures on Discrete Geometry.*  in: *Graduate Texts in Mathematics*. Springer, 349 or. ISBN 978-0-387-95373-1..
36. ↑   Ciarlet, Philippe G..  (2013). *Linear and Nonlinear Functional Analysis with Applications.*  Society for Industrial and Applied Mathematics, 173 or. ISBN 978-1-61197-258-0..
37. ↑   Richmond, Tom.  (2020). *General Topology: An Introduction.*  De Gruyter, 32 or. ISBN 978-3-11-068657-9..
38. ↑   Klamroth, Kathrin.  (2002). *Single-Facility Location Problems with Barriers.*  in: *Springer Series in Operations Research*. Springer, 4–6 or.  doi:10.1007/0-387-22707-5\_1..

Ikus, gainera
-------------

* Distantzia
* Geometria
* Geometria euklidear
* Geometria ez-euklidear

* Pitagorasen teorema
* Dendrograma ‎
* Elipse ‎
* Multzokatze hierarkiko ‎

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q847073

 |

* Wd Datuak: Q847073