Matematikan, elkarrekiko lehenak diren zenbakiak, elkarren artean faktore lehen komunik ez duten bi zenbaki oso, a eta b, dira. Beste modu batera esanda, 1 eta -1ez gain ez badute beste zatitzaile komunik. Elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, haien zatitzaile komun handiena 1 bada, hau da, a eta b zenbaki osoak badira a eta b elkarrekiko lehenak dira baldin eta zkh(a,b)=1 bada

Adibidez, 6 eta 35 elkarrekiko lehenak dira, baina 6 eta 27 ez dira zeren eta biak 3 zenbakiak zatitzen ditu.

Bi zenbaki elkarrekiko lehenak diren jakiteko modu azkar bat Euclidesen algoritmoa erabiltzea da.

Propietateak
------------

### **Oinarrizkoak**

* Elkarrekiko lehenak diren bi zenbakiren arteko zatitzaile komun handiena 1 da. Hori dela eta, ez da existitzen biak zatituko dituen zenbaki lehenik, zkh{\displaystyle (a,b)=1} .

* {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira bi zenbaki, {\displaystyle x} eta y non {\displaystyle a\cdot x+b\cdot y=1} den. (Bézout-en identitatea)
* {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elkarrekiko lehenak badira eta {\displaystyle a|bc} orduan {\displaystyle a|c}.(Euklidesen lema)
* {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin {\displaystyle b}-k alderantzizko bat badu modulu {\displaystyle a} produkturako, hau da, existitzen da zenbaki oso bat *y* non {\displaystyle b\cdot y\equiv 1} (mod *a*). Honen ondorio bat da {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elkarrekiko lehenak badira eta {\displaystyle bm\equiv bn~(mod~a)}, orduan {\displaystyle m\equiv n~(mod~a)}. Beste modu batera esanda, {\displaystyle b} sinplifika daiteke {\displaystyle a} moduluko osokoen **Z**/*n***Z** eraztunean.
* 
* {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} zenbaki arruntak, elkarrekiko lehenak badira, {\displaystyle a^{2}}, {\displaystyle ab}, {\displaystyle b^{2}}ere bai.
* {\displaystyle m} eta {\displaystyle n} zenbaki oso positiboak elkarrekiko lehenak badira, {\displaystyle m}, {\displaystyle n}, {\displaystyle m+n} ere bai.

1 irudia. 4 eta 9 zenbakiak elkarrekiko lehenak dira. Beraz, 4x9-ren erretikuluko diagonalak ez du elkarukitzen erretikuluko gainontzeko puntuekin.
### **Beste Propietate Batzuk**

* {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} zenbaki osoak elkarrekiko lehenak dira baldin eta soilik baldin, koordenatu sistema kartesiar batean {\displaystyle (a,b)} koordenatua {\displaystyle (0,0)} jatorrik ikus badaiteke. Hau da, ez dago beste koordenatu punturik {\displaystyle (a,b)} eta {\displaystyle (0,0)}ren artean.(Ikus 1 irudia);
* Ausaz hartutako bi zenbakik elkarrekiko lehenak izateko duten probabilitatea {\displaystyle 6/\pi ^{2}} da.
* Bi zenbaki arrunt a eta b elkarrekiko lehenak dira, baldin eta soilik baldin, {\displaystyle 2^{a}-1} eta {\displaystyle 2^{b}-1} elkarrekiko lehenak badira.
* Zenbaki oso positibo batekiko, {\displaystyle n}*,* elkarrekiko lehenak diren zenbaki osoen kopurua, {\displaystyle 1} eta {\displaystyle n} bitartean, Eulerren {\displaystyle \varphi (n)}funtzioak ematen du .
* Bi zenbaki ondoz ondokoak badira, elkarrekiko lehenak dira. (Hori erraz ikus daiteke Euclidesen Algoritmoa erabilita).

Elkarrekiko Lehenak Izateko Probabilitatea
------------------------------------------

Bi ausaz aukeratutako zenbaki oso {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} hartuz gero, normala izango litzateke hauek ***{\displaystyle a}*** eta ***{\displaystyle b}*** elkarren artean lehenak izateko duten probabilitateaz galdetzea. Hau egiaztatzeko, {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} elkarren artean lehenak direla esango dugu, baldin eta soilik baldin bi zenbakiak beste zenbaki lehen edozeinek ez baditu zatitzen (ikusi Aritmetikaren oinarrizko teorema).

Beste edozein zenbaki lehen (edo beste oso) ***{\displaystyle p}*** batek zatitzeko probabilitatea {\displaystyle 1/p} da; adibidez, 7. oso bakoitza zazpi zenbakiaz zatigarria da. Hori dela eta, bi zenbaki {\displaystyle p}-k zatitzeko probabilitatea {\displaystyle 1/p^{2}}da. Edozein zenbaki lehen ezberdinekin loturiko zatigarritasun gertaeren bilduma finkoa elkar independentea da. Esaterako, bi zenbakiko kasuan, zenbaki bat {\displaystyle p} eta {\displaystyle q}lehenekiko zatigarria izango da baldin eta soilik baldin {\displaystyle pq}-rekiko ere zatigarria bada. Arrazoiketa hori zatigarritasun gertakari infinituetara hedatu daitekeelako suposizio heuristikoa egiten badugu, bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea, zenbaki guztien gaineko produktu batek ematen du,

{\displaystyle \prod \_{prime~p}{\Biggl (}1-{\frac {1}{p^{2}}}{\Biggl )}={\Biggl (}\prod \_{prime~p}{\frac {1}{1-p^{-2}}}{\Biggl )}^{-1}={\frac {1}{\zeta (2)}}={\frac {6}{\pi ^{2}}}\approx 0.607927102\approx 61\%}

  

Hemen ζ Riemann en zeta funtzioari dagokio, zenbaki lehenen produktua ζ (2) gainean erlazionatzen duen identitatea, Eulerren produktu baten adibidea da, eta *ζ*(2) ebaluazioa *π*2/6 bezala Baselen problema da, Leonhard Eulerrek ebatzia 1735 ean.

  

Ez dago ausazko zenbaki positibo bat hautatzeko modurik, zenbaki positibo bakoitza probabilitate berarekin gertatzeko, baina hauei (ausaz hautatutako zenbaki osoak) buruzko adierazpenak, aurrekoak bezala, dentsitate naturalaren nozioarekin formalizatu daitezke. Zenbaki oso positibo N bakoitzarentzat, ausaz autatutako {\displaystyle \{1,2,...N\}} bi zenbaki elkarrekiko lehenak izateko probabilitatea *PN* izango da. Nahiz eta *PN* ez den inoiz {\displaystyle 6/\pi ^{2}} ren berdina izango zehazki, batek lana eginez, {\displaystyle N\longrightarrow \infty } limitean probabilitatea {\displaystyle P\_{N}}, {\displaystyle 6/\pi ^{2}} ra gerturatzen dela frogatu lezake.

Oro har, ausaz hautatutako *k* zenbaki elkarren artean lehenak izateko probabilitatea {\displaystyle 1/\zeta (k)} da.

Elkarrekiko Zenbaki Lehen Bikote Guztiak Sortzen
------------------------------------------------

Algoritmo honekin hertsapen-pareak sortzeko ordena. Lehen nodoa (2,1) gorriz markatuta dago, hurrengo belaunaldiko 3 nodoak laranjaz erakusten dira, hirugarren belaunaldia horia da eta horrela hurrenez hurren ortzadarraren ordenan.
Elkarrekiko lehenak diren zenbaki bikote guztiak {\displaystyle (m,n)}{\displaystyle (m>n)}, disjuntoak diren bi zuhaitz hirutarretan antolatu daitezke. Zuhaitz bat {\displaystyle (2,1)}-etik hasita (bakoiti-bikoiti eta bikioiti-bakoiti bikoteentzat) eta bestea {\displaystyle (3,1)}-etik hasita (bakoiti-bakoiti bikoteentzat). Erpin {\displaystyle (m,n)}batetik ateratzen diren adar guztiak, honela sortuta daude:

* 1 Adarra: {\displaystyle (2m-n,m)}

* 2 Adarra: {\displaystyle (2m+n,m)}
* 3 Adarra: {\displaystyle (m+2n,n)}

Eskema hau guztiz baliogabea eta ez-erredundantea da, kide baliogaberik gabe.

Erreferentziak
--------------

1. 1 2   **(Ingelesez)** James Stewart Eaton.  (1872). *A Treatise on Arithmetic ....*  Thompson, Bigelow & Brown (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
2. 1 2   1877-1947. Hardy, G. H. (Godfrey Harold),.  (2008). *An introduction to the theory of numbers.*  (6th ed.. argitaraldia) Oxford University Press ISBN 9780199219858. PMC 214305907. (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
3. 1 2   **(Ingelesez)** W. Weisstein, Eric. «Relatively Prime» *mathworld.wolfram.com* (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
4. ↑    *The future of the U.S.-EU-Japan triad : how dominant? how interdependent? how divergent?.*  Center for Strategic & International Studies 1995 ISBN 0892063173. PMC 31938715. (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
5. ↑   1939-, Stark, Harold M..  (1978, ©1970). *An introduction to number theory.*  (1st MIT Press pbk. ed. argitaraldia) MIT Press ISBN 0262690608. PMC 3707973. (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
6. ↑  Teorema hau Ernesto Cesàrok egiaztatu zuen 1881ean. Proba moduan, ikusi Hardy & Wright 2008, 332. teorema
7. ↑   Saunders, Robert; Randall, Trevor.  (1994). «78.12 The Family Tree of the Pythagorean Triplets Revisited» *The Mathematical Gazette* 78 (482): 190–193. doi:10.2307/3618576. (Noiz kontsultatua: 2018-11-29).
8. ↑  Mitchell, Douglas W. (2001eko Uztaila), "An alternative characterisation of all primitive Pythagorean triples", *Mathematical Gazette*, **85**: 273–275, doi:10.2307/3622017

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q104752
* Commonscat Multimedia: Coprime integers

---

 |

* Wd Datuak: Q104752
* Commonscat Multimedia: Coprime integers