**D'Alemberten irizpidea** (edo **zatiduraren irizpidea)** gai positiboetako serientzat erabiltzen da, hauen izaera aztertzeko. Demagun {\displaystyle \sum a\_{n}} gai positiboetako seriea daukagula, eta demagun ondorengo limitea existitu egiten dela: 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{a\_{n+1} \over a\_{n}}=l}

(i) Baldin eta {\displaystyle l<1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea da.

(ii) Baldin eta {\displaystyle l>1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} dibergentea da.

  

Bestetik, {\displaystyle l=1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea zein dibergentea izan daiteke.

Froga
-----

### Lehenengo atala

Lehenik eta behin lehengo atala frogatuko dugu:

{\displaystyle l<1} denez, {\displaystyle \epsilon ={1-l \over 2}>0} hartuko dugu, eta bestetik badakigu gai positiboetako seriea denez {\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}}

Segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz: 

{\displaystyle \left\vert {{a\_{n+1} \over a\_{n}}-l}\right\vert <{1-l \over 2}}

Ezkerretan daukagun "{\displaystyle -l}" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

{\displaystyle {a\_{n+1} \over a\_{n}}<{1-l \over 2}+l}

Edo beste era batera esanda:

{\displaystyle {1+l \over 2}=q<1}

bakandutako adierazpenari {\displaystyle q} deituko diogu ({\displaystyle q<1} izango dena {\displaystyle l<1} delako), eta badakigu {\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} dela, beraz:

{\displaystyle {a\_{n+1} \over a\_{n}}\leq q={q^{n+1} \over q^{n}}\Longrightarrow {a\_{n+1} \over q^{n+1}}\leq {a\_{n} \over q^{n}}\leq {a\_{n-1} \over q^{n-1}}\leq ...\leq {a\_{n\_{0}} \over q^{n\_{0}}}=A}

Hau da {\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} bada, {\displaystyle a\_{n}<Aq^{n}}, beraz konparazio irizpidearen ondorioz:

  

{\displaystyle \sum a\_{n}} eta {\displaystyle \sum b\_{n}} gai positiboko serieak, {\displaystyle \sum a\_{n}<<\sum b\_{n}}

  

Kasu honetan {\displaystyle b\_{n}=Aq^{n}} izanik, eta {\displaystyle q<1} denez {\displaystyle \sum b\_{n}} konbergentea da, eta ondorioz {\displaystyle \sum a\_{n}} ere konbergentea izango da.

Beraz lehengo atala frogatuta geratzen da.

### Bigarren atala

Orain bigarren atala frogatuko dugu:

Kasu honetan {\displaystyle l=+\infty } edo {\displaystyle l\in \mathbb {R} } izan daiteke.

* {\displaystyle l=+\infty } bada, {\displaystyle M=1} hartuz, existitzen da {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} } non {\displaystyle n\geq n\_{0}} guztietarako {\displaystyle {a\_{n+1} \over a\_{n}}>1} izango den.
* {\displaystyle l\in \mathbb {R} } bada, eta {\displaystyle l>1} izanik, kasu honetan hau frogatzeko {\displaystyle \epsilon =l-1>0} hartuko dugu. Oraingoan ere segiden limitea kalkulatzeko metodoa jarraituz:

{\displaystyle \left\vert {{a\_{n+1} \over a\_{n}}-l}\right\vert <l-1}

Ezkerretan daukagun "{\displaystyle -l}" hori eskubira gehitzen pasaz gero ondorengo adierazpena geratzen zaigu:

{\displaystyle {a\_{n+1} \over a\_{n}}<l-1+l=1}

Hau da, bi kasuetan adierazpen berdinera iristen gara, existitzen da {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} } non {\displaystyle n\geq n\_{0}} guztietarako {\displaystyle {a\_{n+1} \over a\_{n}}>1} izango den.

Beraz, {\displaystyle a\_{n+1}>a\_{n}}, hau da, gai positibotako segida gorakorra dugu eta ondorioz, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}} ezin da 0 izan eta, hortaz, {\displaystyle \sum a\_{n}} dibergentea da.

Bigarren atala ere frogatu dugu.

Adibidea
--------

**{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}} konbergentea da.**

Lehenik eta behin {\displaystyle a\_{n}} finkatuko dugu:

{\displaystyle a\_{n}={1 \over (2n+1)!}}

{\displaystyle a\_{n}>0} da {\displaystyle n\in \mathbb {N} } guztietarako, beraz aplikatu dezakegu D'Alemberten irizpidea:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{a\_{n+1} \over a\_{n}}=\lim \_{n\to \infty }{{1 \over (2n+3)!} \over {1 \over (2n+1)!}}=\lim \_{n\to \infty }{(2n+1)! \over (2n+3)!}}

Sinplifikatuz:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{1 \over (2n+3)(2n+2)}=0=l}

Eta lehenengo atalaren ondorioz badakigu {\displaystyle l<1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea dela. Beraz, **{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{1 \over (2n+1)!}} konbergentea da.**

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q165638
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q165638