Erloju digital baten zirkuitua.
**Sistema konbinazionalak**, elektronikan erabiltzen diren zirkuituak dira eta haien irteera, sarreren arabera zehaztuta egongo da une guztietan. Erabiltzen duten informazioa bi motatakoa izan daiteke:

* Egia (bat baten bidez irudikatzen dena)
* Gezurra (zero baten bidez irudikatzen dena).

Egia = Piztuta = 1  

Gezurra = Itzalita = 0

Egoera hauek, piztuta (1) edo itzalita (0) hitzekin ager daitezke zenbait liburuetan. Gehienetan, hitzen ordez, zenbakiak erabiltzen dira zirkuituaren tentsioari aldarrikatzeko eta hauek, balore zehatz bati erreferentzia egiten diote. Balore altua (1), zirkuitu konbinazionalaren tentsio altuarekin lotzen da eta baxua (0), ordea, zirkuituaren tentsio txikiarekin lotzen da. Balore hauei maila logiko deritzo.

|  |
| --- |
| 
Sistema logika ezeztatuaren arauekin funtzionatuz gero, sistemaren balore altua zero izango da eta txikia bata.
 |

```
Adibidez, +5 V-ko tentsioarekin funtzionatzen den zirkuituan:
Balore altua, 5 V-ko tentsioa izango da eta honi 1 balorea lotuko zaio eta 0 V-ko tentsioari 0 balorea lotuko zaio tentsio txikia delako. 
Errealitatean tentsioak ez dira kalkuluetan bezalakoak eta 5V-koa izan ordez, 4,78V-ko hurbilketa izan daiteke zirkuituan galdutako tentsioa
Ohm-en legea eraginda ere kontuan hartu behar delako.
```

Sistema digitalak
=================

Sistema digital batek gailu talde batez osatuta dagoen seinale digitalak sortzeko, transmititzeko, prozesatzeko edo batzeko erabiltzen den tresna bat da. Digitalek, analogikoekin alderatuta, informazio fisikoa erabiltzen dute informazio iturri gisa eta horregatik erabiltzen dituzten datuak, balore zehatzak izan behar dira. Hala ere, sistema analogikoetan, digitaleetan ez bezala, makina bat balore eduki dezakete sarrera bakar bat zehazteko.

* Sistema konbinazionalak: Bit mailakoak eta hitz Mailakoak

Sistema konbinazionaletan sarrerak jakinda, irteera kalkulatu ahal dira, hau da, irteerak sarreren menpean daude eta sarrerak aldatuz gero, irteerak aldatuko dira. Kalkulu hauek egi taulen eta booleren aljebraren bidez egiten dira. Sistema baten diseinuaren helburu nagusia zirkuitua optimizatzea da. Horren ondorioz, zirkuituaren ekoizpen-kostuak txikitzeko sistema osatzen dituzten zirkuituen funtzioak sinplifikatu behar dira. Zirkuitua optimoa izateko zenbait faktore kontuan hartu behar dira esaterako zirkuitua osatzen duten atalen prezioa, fidagarritasuna eta erantzun denbora.
**Gaur egun exisitzen diren sistema konbinazionalak:**
Bit Mailakoak:
* AND, NOT, OR, NAND, NOR, XOR, XNOR ateak.

Hitz Mailakoak:
* Batutzailea
* Unitate aritmetiko logikoa (UAL)
* Parekotasun sorgailua.
* Hautagailua.
* Kontrako hautagailua
* Kodeatzailea.
* Dekodeatzailea.
* Kode aldatzailea.
* Konparatzailea.

Kode motak
==========

Sistema konbinazionalaren proposamenaren arabera, hobeto dagokion kode bitarra erabili behar da. Horregatik, eta kodeak ezaugarri desberdinak dituztenez, oso garrantzitsua da sistema horretarako dagokion kode bitar egokiena aukeratzea.

Kode bitar purua
----------------

Seinu gabeko zenbakiak erabiltzeko ahalmena ematen du. Kode honekin edozein seinurik gabeko zenbakiak irudikatu ahal dira, zerotik hasita infinituraino. Hona hemen, adibide bezala, kode bitar puruan 4 bits-ekin egin ahal diren zenbakiak.

```
Dezimal:            0     1     2     3      4     5     6     7     8    9     10     11     12    13    14    15  
Kode bitar purua:  0000  0001  0010  0011  0100  0101  0110  0111  1000  1001  1010   1011   1100  1101  1110  1111
```

AdibidezDezimaletik kode bitarrara aldatzeko

```
                                                                20=   1|0
100|0                                                           21=   2|1
 50|0                                                           22=   4|0
 25|1   --> {\displaystyle 25/2=12} zatiketaren hondarra {\displaystyle =1}                23=   8|0
 12|0                                                           24=  16|0
  6|0                                                           25=  32|0
  3|1                                                           26=  64|0
  1|1   -->  {\displaystyle (100)\_{10}=(1100100)\_{2}}                             27= 128|1     -->  {\displaystyle 130=(130)\_{10}=(10000010)\_{2}}
```

AdibidezKode bitarretik dezimalara aldatzeko.

```
{\displaystyle 100001=1\cdot 2^{5}+0\cdot 2^{4}+0\cdot 2^{3}+0\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=32+1=33}
{\displaystyle 1111=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+1\cdot 2^{1}+1\cdot 2^{0}=8+4+2+1=15}
```

Kode bitarra seinuarekin (C1 eta C2)
------------------------------------

Kode hauek, kode bitar purua bezalakoak dira baina seinua eraibiliz, hau da, kode bitar puruarekin irudikatu ahal ez ziren zenbakiak, kode honek irudika dezake. Kode bitar hauen ezaugarri garrantzitsuena zenbaki bitarra zeroz hasten bada, zenbakia positiboa izango dela eta batez hasiz gero, zenbakia negatiboa izango dela da.

#### Kode bitarra seinuarekin

Kode mota honen ezaugarri nagusia MSB-aren erabilpena da. MSB-a (Most Significal Bit) edozein zenbaki bitarrean ezkerretik hasita agertzen den lehen zenbakia da. MSB-a 0 edo 1 izan daiteke. 0 izaten denean kode bitarra positiboa izango da eta zenbaki hori ez da kontuan hartuko zenbakiaren balioa kalkulatzeko. Beste alde batetik, MSB-a 1 denean kode bitarra negatiboa izango da eta aurrekoarekin gertatzen den bezala, ez da kontuan hartuko zenbakiaren balioa kalkulatzeko. Horregatik MSB-a zenbakiaren seinua jakiteko erabiltzen da.

```
Adibidez:  01100 eta 1100 ez dira gauza bera kode bitarra seinuarekin erabiltzen denean. 
Kode bitar purua erabiliz gero, balio bera izango dute -> Kode bitar purua: 01110 = 1110
Baina seinua kontuan hartuz gero, 01100 eta 1100 zenbaki desberdinak izango lirateke.
Seinua kontuan hartuz:
01100 -> MSB = 0 beraz, zenbaki positiboa da.
Seinua alde batera utzita balorea kalkulatzen da.  ===> balorea: {\displaystyle (0)1100=1\cdot 2^{3}+1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=8+4=12}
{\displaystyle 01100=+12}
1100 -> MSB = 1 beraz, zenbaki negatiboa da.
Seinua alde batera utzita balorea kalkulatzen da.  ===> balorea: {\displaystyle (1)110=1\cdot 2^{2}+0\cdot 2^{1}+0\cdot 2^{0}=4}
{\displaystyle 1100=-4}
```

#### Kode bitarra: C1

```
Kode honetan zenbakiak zeroz hasten direnean positiboak dira eta bat batekin hasten direnean negatiboak izango dira. 
```

Kode bitarreko zenbakiak ordenatuta daude eta zenbaki bakoitzak balore zehatz bat du.
Ezkerreko zenbakiari MSB(ingelesez Most Significal Bit) deritzo eta eskuinekoari, ordea, LSB (ingelesez Less Significal Bit)

```
Adibidez: 0101011 = positiboa; 100011101 = negatiboa
```

Kode bitarra C1-a eta kode bitarra seinuarekin duten desberdintasuna, zenbaki negatiboak kakulatzeko era da. C1 kodean, zenbakiak kalkulatzeko beste prozezu bat erabiltzen da.
Zenbakien balorea kalkulatzeko oso sistema arrunta erabiltzen da: zenbakiak zeroz hasten direnean, kode bitar puruan izango ziren bezala kalkulatuko behar dira eta batez hasten direnean, ordea, zenbakiari buelta (edo alderantzikatu) eman behar zaio.

|  |
| --- |
| 
Positiboa izatea nahi dugunean, kode bitar puruari zero bat gehitu behar zaio (ezkerraldetik) eta negatiboa izatea nahi dugunean positiboaren C1-a egin behar da.
 |

Zenbaki positiboa:

```
Adibidez: 13
Kode bitarrean kodifikatua: 1101
C1 kodean +13 eta -13:
+13  positiboa denez kode bitarra zeroz hasi behar da.
C1 +13 = 01101
-13 negatiboa denez kode bitarra batez hasi behar da.
C1 -13 = positiboari(+13) buelta eman.
C1 -13 = 10010
Kontuan izan kode honetan 10001 eta 010001 ez direla gauza bera seinu eta balore desberdinak dituztelako.
```

#### Kode bitarra: C2

Kode honen zailtasuna zenbakiekin egin behar diren kalkuluetan dago. Kode bitarraren C2-a kalkulatzeko hasierako zenbakia, C1 kodera pasatu behar da eta hau egin ondoren, geratutako zenbakiari 1 gehitu behar zaio.

|  |
| --- |
| 
Positiboa izatea nahi dugunean, kode bitar puruari zero bat gehitu behar zaio (ezkerraldetik) eta negatiboa izatea nahi dugunean positiboaren C2-a egin behar da.
{\displaystyle C2=C1+1}
 |

```
Adibidez: 
Hasierako zenbakia: 11001
zenbakia positiboa izateko ezkerraldean zero bat gehitu:
C2 = **0**11001
zenbakia negatiboa izateko C1-ari bat gehitu behar zaio:
Hasierako zenbakia: 11001
**C2 = C1 + 1**
C1 = 00110 (Zenbakiei buelta eman)
C2 = 00110 + 1 (+1 gehitu)
C2 = 00111
```

Metodo hau zenbaki handiekin erabiltzen denean okertzeko aukerak handiagotzen direnez, honako metodoa erabil dezakezu:
Hasierako zenbakia dagoen bezala utzi behar da, eskuinetik hasita, lehen bata topatu arte. Bata agertzen den momentuan, handik aurrera geratzen diren zenbaki guztiak aldatu.

```
Hasierako zenbakia: 011111100010100100111010010101000101010010100001**000**
Eskuinetik hasita, agertzen diren hiru 0 ez dira aldatzen.
Hurreno posizioan dagoen bata izan ezik, ezkerraldean dauden zenbaki guztiei buelta eman behar zaie.
     01111110001010010011101001010100010101001010000**1**000
C2 = 10000001110101101100010110101011101010110101111**1000**
```

| Dezimal | Bitar purua | Bitar C1 | Bitar C2 |
| --- | --- | --- | --- |
| +13 | 1101 | 01101 | 01101 |
| -13 | ezinezkoa | 10010 | 10011 |
| +1 | 1 | 01 | 01 |
| -1 | ezinezkoa | 10 | 11 |
| 0 | 0 | 00 | 00 |

BCD kodea (ingelesez Binary Coded Decimal)
------------------------------------------

Digito dezimal bakoitzak 4 bits-eko adierazpen bitarra du. Honen ondorioz BCD kodea, 10 zenbaki bitarraz osatuta dago. Zenbaki hauek edozein zenbaki dezimal sor dezakete. Beste kodeetan ez bezala, BCD kodean zenbakiak modu zehat batez irudikatu behar dira: lau bits-eko taldeak sortuz. Talde bakoitza zenbaki bat izango da eta zenbakia osotasunean egongo da zenbaki guztiak lau bits-eko multzoak osatzen dituztenean. Hona hemen egin ahal diren zenbakiak:

```
Dezimal:   0     1     2     3     4     5     6     7     8     9
BCD:     0000  0001  0010  0011  0100  0101  0110  0111  1000  1001
```

BCD kodean, zenbakiak **4n-ko** luzeera izan behar dute, non **n** 4 bits-ekin egindako zenbaki multzoak dira:

```
655 zenbakia = 0110 0101 0101             ---> Luzeera: 3 multzo x 4 = 12
12 zenbakia = 00010010 = 0001 0010        ---> Luzeera: 2 multzo x 4 = 8
```

011101 ez dago BCD kodean kodifikatuta 6 bits-eko luzeera duelako eta BCD zenbakia izateko {\displaystyle 4,8,12,...4n} luzeera izan behar du.

Adibidez, 59237 BCD sisteman irudikatuta:

```
Dezimal:   5    9    2    3    7
BCD:     0101 1001 0010 0011 0111
```

Zenbaki bera (59237) kode bitar puruan honako hau da: **1110011101100101**

Sistemaren sinplifikazioa
=========================

Sistema konbinazionalen egi taula
---------------------------------

Egi taula egiteko, taularen goiko ezkerraldean zirkuituaren sarrerak kokatu behar dira eta taularen goiko eskuinaldean kalkulatu behar diren irteerak. Taularekin egiten den gauza bakarra, zirkuitu horretan dauden konbinazio posible guztiak adieraztea da.

### Taularen neurriak

* **Taularen zutabe kopurua**:

{\displaystyle zutabe\_{kopurua}=sarrera\_{kopurua}+irteera\_{kopurua}}
* **Taularen lerro kopurua**:

{\displaystyle lerro\_{kopurua}=2^{n};n=sarrera\_{kopurua}}
Egi taulak sistemen sarreren arabera egiten dira. Egiteko orduan baldintza libreak edo egoera ezinezkoak agertzen badira 0 eta 1 ordez, X-a jarriko da irteera horretan baldintza libreak daudela irudikatzeko.

**Hurrengo argazkian 1-3 sarrerak dituzten zirkuituen egia taulak agertzen dira.**
* Sarrera bat duen egia taula:

sarrera batekin 2 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle zutabe\_{kopurua}=sarrera(1)+irteera(0)}
{\displaystyle lerro\_{kopurua}=2^{1}}

|  |
| --- |
| A |
| 0 |
| 1 |

* Bi sarrera dituen egia taula:

2 sarrerekin 8 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle zutabe\_{kopurua}=sarrera(2)+irteera(0)}
{\displaystyle lerro\_{kopurua}=2^{2}}

|  |  |
| --- | --- |
| A | B |
| 0 | 0 |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |
| 1 | 1 |

* Hiru sarrera dituen egia taula:

3 sarrerekin 24 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle zutabe\_{kopurua}=sarrera(3)+irteera(0)}
{\displaystyle lerro\_{kopurua}=2^{3}}

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| A | B | C |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

* N sarrera dituen egia taula:

N sarrerekin 2n laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle zutabe\_{kopurua}=sarrera(n)+irteera(m)}
{\displaystyle lerro\_{kopurua}=2^{n}}
### Irteeren kokapena

Karnaugh-en sinplifikazioa ondo egiteko zirkuituaren irteerak ondo kokatuta egon behar dira hurrengo urratsak jarraituz:

**1. Kalkulatutako irteeren kokapena zerrendatu.**

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| A | B | C | D | S | Kokapena |
| 0 | 0 | 0 | 0 | 1 | 0 |
| 0 | 0 | 0 | 1 | 1 | 1 |
| 0 | 0 | 1 | 0 | 1 | 2 |
| 0 | 0 | 1 | 1 | 0 | 3 |
| 0 | 1 | 0 | 0 | 1 | 4 |
| 0 | 1 | 0 | 1 | 1 | 5 |
| 0 | 1 | 1 | 0 | 0 | 6 |
| 0 | 1 | 1 | 1 | 0 | 7 |
| 1 | 0 | 0 | 0 | 1 | 8 |
| 1 | 0 | 0 | 1 | 1 | 9 |
| 1 | 0 | 1 | 0 | 1 | 10 |
| 1 | 0 | 1 | 1 | 0 | 11 |
| 1 | 1 | 0 | 0 | 0 | 12 |
| 1 | 1 | 0 | 1 | 0 | 13 |
| 1 | 1 | 1 | 0 | 0 | 14 |
| 1 | 1 | 1 | 1 | 0 | 15 |

**2. Karnaugh-en taularen irteeren kokapenaren diagramaz lagunduta, irteerak kokatu.** (Diagrama bakoitzak kokapen zehatzak ditu. Beste diagrametan, irteerak beste era batean kokatuta egoten dira eta ez horregatik, txarto kokatuta daude).

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  | A | C |
|  |  |  |  |  |  |
|  |  |  |  |  |  |
|  |  |  | 0 | 8 | 10 | 2 |
| B |  | 4 | 12 | 14 | 6 |
| D |  | 5 | 13 | 15 | 7 |
|  |  | 1 | 9 | 11 | 3 |

**3. Ahal diren multzo handienak egin talde kopuru gutxiena erabiliz. Multzoak ondo eginda egoteko 2n-ko multiploak izan behar dira.**

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 
a
b

c
d
 | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 | 1 | 1 | 1 | 1 |
| 01 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 11 | 1 | 0 | 0 | 0 |
| 10 | 1 | 1 | 0 | 0 |

Karnaugh-en sistema
-------------------

Sistema konbinazional guztiak Karnaugh-en metodoa erabiliz sinplifika daiteke. Karnaugh-en metodoa erabiltzeko sistemaren sarrerak jakin behar dira eta hauen arabera egin behar da.
Karnaugh-en metodoa Veitch diagramaz edo Maurice Karnaugh-en taulaz ere ezagutzen da baina laburtzeko, K-Mapaz edo VK-Mapaz aipatzen da. Metodoa Maurice Karnaugh matematikaria, Bell laborategiko matematikaria eta fisikaria 1950. urtean asmatu zuen. Sistema hau erabiliz, kalkulu konplexuak egiteko beharrak txikiagotzen dira eta horrela, kalkuluak grafikoki egiteko gaitasuna erabiltzen da. Sistema hau 6 sarrera baino gehiago dituzten sistemetan ez du balio kalkuluak konplexuagoak bihurtzen direlako.

V-K taularen beste diagrama desberdina.
### V-K taula kalkulatzeko softwarea

V-K mapa edo taula kalkulatzeko lagungarriak diren programak:

* Gorgeous Karnaugh K-Mapas programa
* GKMap
* Karnaugh Map Minimizer
* WinLogiLab

Sarreren sinplifikazioa V-K taulan
----------------------------------

* Bi sarrera dituen sistema konbinazionalaren sinplifikazioa:

2 sarrera dituen sisteman, 4 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle Taula=2^{sarrera(2)}=2^{2}=4}

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| a
b | 0 | 1 |
| 0 |  |  |
| 1 |  |  |

* Hiru sarrera dituen sistema konbinazionalaren sinplifikazioa:

3 sarrera dituen sisteman, 8 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle Taula=2^{sarrera(3)}=2^{3}=8}

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 
a
b

c
 
 | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 0 |  |  |  |  |
| 1 |  |  |  |  |

* Lau sarrera dituen sistema konbinazionalaren sinplifikazioa:

4 sarrera dituen sisteman, 16 laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle Taula=2^{sarrera(4)}=2^{4}=16}

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 
a
b

c
d
 | 00 | 01 | 11 | 10 |
| 00 |  |  |  |  |
| 01 |  |  |  |  |
| 11 |  |  |  |  |
| 10 |  |  |  |  |

* N sarrera dituen sistema konbinazionalaren sinplifikazioa:

N sarrera dituen sisteman, 2n laukiko taula egin behar da.
{\displaystyle Taula=2^{sarrera(n)}=2^{n}}
Karnaugh-en taularen sorkuntza metodoa

Booleren Aljebra
================

Booleren aljebra erabiliz zirkuituaren ekuazioa jakin daiteke baina Karnaugh-en taulari esker ekuazioa sinplifikatuta kalkulatzen da eta horretarako multzoak erabili behar dira. Multzo bakoitza ekuazioaren atal bat da eta ekuazioa bere osotasunean egongo da multzo guztiak adierazita dauden momentuan.
Aurreko taularen adibidea jarraituta, booleren ekuazioa 3 multzok osatzen dute: 4 elementuko bi multzo eta multzo bat bi elementukoa. Ekuazioa bere osotasunena kalkulatzeko, multzoan dauden eta ez dauden sarrerak ikusi behar dira.

* Sarrera multzoan dago, multzoko elementu guztietan dagoenean.
* Sarrera ez da kontuan hartzen, multzoko elementu bati faltatzen zaionean.
* Elementu bati faltatzen zaion momentuan, sarrera hori ez da kontuan hartzen.
* Sarrera ez dago multzoan, multzoko elementu guztiak ez dutenenan. Kasu hauetan sarrera ezeztatzen da.

```
Talde Gorria: 4 elementu. Talde honetan C eta D sarrerak ez daudenez, talde honen ekuazioa **¬C x ¬D** (C eta D ezeztatuta) izango da. 
Sarrerak taldetik kanpo daudenean ezeztatzen dira.
Talde Horia: 4 elementu.  Talde gorrian bezala, talde honetan aurreko baldintzak betetzen dituzten sarrera bakarrak A eta B dira
baina multzotik kanpo daudenez ezeztatu behar dira.
Talde honen ekuazioa **¬A x ¬B** izango da.
Talde Urdiña: 2 elementu. Baldintzak betezen dituzten elementuak B, C eta D dira baina B eta C talde urdiñatik kanpo daudenez
ezeztatzeko beharra dago.
A ez da kontuan hartzen taldearen elementu bati eragiten diolako. A kontuan hartzeko, bi elementuetan edo taldetik kanpo egon behar da.
Talde honen ekuazioa, beraz, **¬B x ¬C x D** izango da.
```

* **Sarreren sinplifikazioa:**

egindako multzoa 2n elementu baditu n irteera sinplifikatzen dira.
{\displaystyle {sarrera\_{sinplifikatu}}=log\_{2}{elementuak(n)}=log\_{2}2^{n}=nlog\_{2}2=n}

egindako multzoa 8 (23) elementu baditu 3 irteera sinplifikatzen dira.
{\displaystyle {sarrera\_{sinplifikatu}}=log\_{2}{elementuak(8)}=log\_{2}8=3log\_{2}2=3}

egindako multzoa 4 (22) elementu baditu 2 irteera sinplifikatzen dira.
{\displaystyle {sarrera\_{sinplifikatu}}=log\_{2}{elementuak(4)}=log\_{2}4=2log\_{2}2=2}

egindako multzoa 2 (21) elementu baditu 1 irteera sinplifikatzen dira.
{\displaystyle {sarrera\_{sinplifikatu}}=log\_{2}{elementuak(2)}=log\_{2}2=1log\_{2}2=1}

egindako multzoa elementu 1 (20) duenean ez da ezer sinplifikatzen eta sarrera guztiak agertu behar dira.
{\displaystyle {sarrera\_{sinplifikatu}}=log\_{2}{elementuak(1)}=log\_{2}1=0}

Logikaren arauak
================

Booleren aljebraren ekuazioa sinplifikatzeko, hurrengo arauak erabiltzen dira.

Logikaren propietateak
----------------------

| Propiedades |
| --- |
| conmutativa | *a + b = b + a* | *a · b = b · a* |
| distributiva | *a + b · c = (a + b) · (a + c)* | *a ·(b + c) = a · b + a · c* |
| asociativa | *a · (b · c) = (a · b) · c = a · b · c* | *a + (b + c) = (a + b) + c = a + b + c* |

Logikaren postulatuak
---------------------

| Postulados |
| --- |
| Existe un complementario | *a + a̅ = 1* | *a · a̅ = 0* |
| Idempotencia | *a + a = a* | *a · a = a* |
| Existe un elemento neutro | *a + 0 = a* | *a · 0 = 0* |
| Dominio del 0 y del 1 | *a + 1 = 1* | *a · 1 = 1* |
| Doble complementación | *a̿ = a* |  |

Logikaren teoremak
------------------

| Teoremas |
| --- |
| Absorción | *a + (a · b) = a* | *a · (a + b) = a* |
| Unicidad de complementario | {\displaystyle {\begin{aligned}&a=1{\overset {\text{será}}{\longrightarrow }}{\overline {a}}=0\\&{\overline {a}}=1{\overset {\text{será}}{\longrightarrow }}a=0\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}&a{\overset {\text{sólo}}{\longrightarrow }}{\overline {a}}\\&{\overline {a}}{\overset {\text{sólo}}{\longrightarrow }}a\end{aligned}}} |
| Dualidad | {\displaystyle a\cdot {\overline {b}}+{\overline {a}}\cdot b\equiv {\overline {\left({\overline {a}}+b\right)\cdot \left(a+{\overline {b}}\right)}}} |  |

De Morgan Arauak
----------------

| Leyes de De Morgan |
| --- |
| {\displaystyle {\overline {a\cdot b\cdot c\cdot d}}={\overline {a}}+{\overline {b}}+{\overline {c}}+{\overline {d}}} | {\displaystyle {\overline {a+b+c+d}}={\overline {a}}\cdot {\overline {b}}\cdot {\overline {c}}\cdot {\overline {d}}} |

Ate logikoak
============

Ateak ariketa logikoak egiten dituzten zirkuituak dira eta diseinatutako bit mailako sistema konbinazionala egiteko bi mota daude: oinarrizko ateak eta gainerako ateak. Biak BZ(Barne Zirkuitu) bezala edo neurri eran diseinatu ahal dira. Normalean BZ bezala diseinatzen dira abantaila gehiago eskaintzen dituztelako.

**Barne zirkuituen abantailak:**
* Balio txikikoak.
* Kontsumo txikia.
* Fidagarritasun tasa handia.
* Ariketak egiteko abiadura handia.
* Kanpo lotura kopurua txikiagoa dute.

  

Integrazio eskalaren arabera, zirkuituak 5 taldeetan bereizten dira:

* **SSI** (Small Scale of Integration): osagarri kopurua 100 baino gutxiago dutenek osatzen dute.

* Adibidez: ate logikoak, biegonkorrak,...

* **MSI** (Medium Scale of Integration): osagarri kopurua 100 eta 1000 tartearen barruan dutenek osatzen dute.

* Adibidez: Kodeatzaileak, erregistroak, batutzaileak,...

* **LSI** (Large Scale of Integration): osagarri kopurua 103 eta 105 tartearen barruan dutenek osatzen dute.

* Adibidez: memoriak, Unitate Aritmetiko Konplexuak,...

* **VLSI** (Very Large Scale of Integration): osagarri kopurua 105 eta 106 tartearen barruan dutenek osatzen dute.

* Adibidez: memoriak, mikrokontrolagailuak, mikroprozezadoreak,...

* **ULSI** (Ultra Large Scale of Integration): osagarri kopurua 106 baino gehiago dutenek osatzen dute.

* Adibidez: mikroprozezadore aurreratuak, prozesadore digitalak,...

  

Zirkuituak familietan antolatzen dira eta familia bakoitzean beste subfamiliak existitzen dira. Zirkuituak egiteko erabiltzen den teknologia CMOS (Complementary metal-oxide-semiconductor eta TTL (transistor-transistor logic) dira.

CMOS eta TTL teknologien etekin faktoreak|  | CMOS | TTL |
| --- | --- | --- |
|  | 74HC | 4000B | 74 | 74S | 74LS | 74AS | 74ALS | ECL |
| Potentzia xahupena (mW)
→ Estatikoa
→ Dinamika (100 KHz) | 2.5x10-30.17 | 1x10-30.1 | 1010 | 2020 | 22 | 88 | 1.21.2 | 4040 |
| Zabalkundearen atzerapena | 8 | 50 | 9 | 3 | 9.5 | 1.7 | 4 | 1 |
| Erlojuaren maiztasuna (MHz) | 40 | 12 | 35 | 12.5 | 45 | 200 | 70 | 300 |
| Zarata tartea (V) | 0.9 | 1.5 | 0.4 | 0.3 | 0.3 | 0.3 | 0.4 | 0.25 |

Oinarrizko ateak
----------------

Oinarrizko ateekin edozein zirkuitua egin daiteke, txikienetatik hasita handieneraino baina zirkuituaren kalitatea eta etekina kaskarragoa izango da ekuazio bera sinplifikatuta egindako zirkuituarekin alderatuz gero. Esaterako, etekina, kalitatea, ate kopurua, zirkuituaren tentsioa, sarrera eta irteera kopurua, fan out-a,... zirkuituraren kalitatea neurtzeko faktoreak dira.

| Ate mota | Normalizatu gabeko sinboloa | Normalizatutako sinboloa | Booleren algebraren ekuazioa | Egi taula |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **AND** | AND symbol | AND symbol | {\displaystyle A\cdot B} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A AND B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

 |
| **OR** | OR symbol | OR symbol | {\displaystyle A+B} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A OR B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 1 |

 |
| **NOT** | NOT symbol | NOT symbol | {\displaystyle {\overline {A}}} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | NOT A |
| 0 | 1 |
| 1 | 0 |

 |

### AND Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarrera guztiak 1 direnean. 0 bat agertzen den momentuan, atea 0 izango da.

**(Ingelesez)** AND atearen informazio teknikoa (PDF Datasheet)
### OR Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarreren bat 1 izaten denean. Sarrera guztiak 0 direnean atea 0 izango da.

**(Ingelesez)** OR atearen informazio teknikoa (PDF Datasheet)
### NOT Atea

Ate honen irteera sarreraren kontrakoa izango da, hau da, sarrera 1 bada, irteera 0 izango da eta alderantziz.

**(Ingelesez)** NOT atearen informazio teknikoa (PDF Datasheet)
Oinarrizko ateak errealitatean
------------------------------

74LS Familiatik, adibide bezala, hartutako txipak.

* **74LS04:** 6 Not ateaz egindako txipa.
* **74LS08:** 4 And ateaz egindako txipa.
* **74LS32:** 4 Or ateaz egindako txipa.

 
**Txipen informazioa:**

| Ate mota/Lotura | Not | And | Or |
| --- | --- | --- | --- |
| Lotura 1 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 2 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 3 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 4 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 5 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 6 | Irteera | Irteera | Irteera |
| Lotura 7 | GND | GND | GND |
| Lotura 8 | Irteera | Irteera | Irteera |
| Lotura 9 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 10 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 11 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 12 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 13 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 14 | VCC | VCC | VCC |

Hirurak argazkian agertzen den txiparen itxura bera dute.

Gainerako ate logikoak
----------------------

Ate hauek oinarrizko ateak egiten dituzten funtzioak hobetzen dituzte booleren ekuazioa sinplifikatuta dagoenean. Gainerako ateak erabiliz gero sistemaren kalitatea neurtzeko faktoreak hobetuko dira sinplifikatutako ekuazioa erabiltzen baldin bada. Hori dela eta, zirkuituaren etekina hobetzen da. Oinarrizko ateak edozein sistema implementatzeko ahalmena ematen badute ere, sistemaren zailtasuna handitzen denean oinarrizko ateen etekina txikitzen da eta beste ate batzuk erabili behar dira sisteman etekina ez galtzeko. NAND eta NOR ateekin edozein zirkuitua diseinatzeko ahalmena ematen dutenez, ate unibertsal izenarekin ere ezagutzen dira.

| Ate mota | Normalizatu gabeko sinboloa | Normalizatutako sinboloa | Booleren algebraren ekuazioa | Egi taula |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **NAND** | NAND symbol | NAND symbol | {\displaystyle {\overline {A\cdot B}}} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A NAND B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 |
| **NOR** | NOR symbol | NOR symbol | {\displaystyle {\overline {A+B}}} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A NOR B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 0 |

 |
| **XOR** | XOR symbol | XOR symbol | {\displaystyle A\oplus B} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A XOR B |
| 0 | 0 | 0 |
| 0 | 1 | 1 |
| 1 | 0 | 1 |
| 1 | 1 | 0 |

 |
| **XNOR edo NXOR** | XNOR symbol | XNOR symbol | {\displaystyle {\overline {A\oplus B}}} edo {\displaystyle {A\odot B}} | 

|  |  |
| --- | --- |
| **Sarrera** | **Irteera** |
| A | B | A XNOR B |
| 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 |
| 1 | 0 | 0 |
| 1 | 1 | 1 |

 |

### NAND edo NOT-AND Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarrera guztiak ez direnean 1.

**(Ingelesez)** NAND atearen informazio teknikoa. (PDF Datasheet)
### NOT-OR edo NOR Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarrera guztiak 0 direnean.

**(Ingelesez)** NOR atearen informazio teknikoa. (PDF Datasheet)
### XOR Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarrerak desberdinak direnean.

**(Ingelesez)** XOR atearen informazio teknikoa. (PDF Datasheet)
### NOT-XOR edo NXOR Atea

Ate honen irteera 1 izango da, sarrerak berdinak direnean.

**(Ingelesez)** NXOR atearen informazio teknikoa. (PDF Datasheet)
Gainerako ateak errealitatean
-----------------------------

74LS Familiatik, adibide bezala, hartutako txipak.

* **74LS00:** 4 Nand ateaz egindako txipa.
* **74LS02:** 4 Nor ateaz egindako txipa.
* **74LS386:** 4 Xor ateaz egindako txipa.

 
**Txipen informazioa:**

| Ate mota/Lotura | Nor | Nand | Xor |
| --- | --- | --- | --- |
| Lotura 1 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 2 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 3 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 4 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 5 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 6 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 7 | GND | GND | GND |
| Lotura 8 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 9 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 10 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 11 | Sarrera | Irteera | Irteera |
| Lotura 12 | Sarrera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 13 | Irteera | Sarrera | Sarrera |
| Lotura 14 | VCC | VCC | VCC |

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q76505
* **Identifikadoreak**
* GND: 4052053-5
* LCCN: sh2007000413

 |

* Wd Datuak: Q76505


| * i
* e
* a
Elektronika digital |
| --- |
| Osagai elektronikoak | 
* Ate logiko
* Logika sekuentzial
* Sistema konbinazional
* Txip

 |
| Teoria | 
* Seinale digital
* Booleren aljebra
* Sintesi logiko
* Logika konputazional
* Konputagailu arkitektura
* Seinale digitalen prozesamendua
* Zirkuitu kommutazioen teoria

 |
| Diseinua | 
* Sintesi logiko
* Lekutze eta bideraketa
* Lekutze
* Bideraketa
* Register-transfer level
* Hardwarearen deskribapen hizkuntza
* Goi mailako sintesi
* Ekibalentzia formalen konprobaketa
* Zirkuitu sinkrono
* Zirkuitu asinkrono
* Automata finitu

 |
| Aplikazioak | 
* Hardware
* Hardware bidezko azelerazio
* Audio digital
* Irrati digital
* Argazkigintza digital
* Telefonia digital
* Bideo digital
* Zinema digital
* Telebista digital
* Literatura elektroniko

 |
| Diseinu arazoak | 
* Metaestabilitatea
* Pultsu ahul

 |