Kalkulu diferentzialean, **Rolle-ren teoremak** dio funtzio bat {\displaystyle [a,b]} tarte batean jarraia eta {\displaystyle (a,b)} tarte batean deribagarria bada, {\displaystyle f(a)=f(b)} izanik, existituko dela gutxienez puntu bat tarte horretan malda nulua duena, hau da, {\displaystyle \exists c\in (a,b):f'(c)=0}. Bataz besteko balioaren teoremaren kasu berezi bat da.

Bhaskara II matematikari indiarrak deskribatu zuen 12. mendean, baina Michel Rolle (1652-1719) matematikariak frogatu zuen 1691-an.

Teorema
-------

Izan bedi {\displaystyle f} funtzioa {\displaystyle [a,b]} tartean jarraitua eta {\displaystyle (a,b)} tarte irekian deribagarria eta demagun {\displaystyle f(a)=f(b)} dela. Orduan {\displaystyle \exists c\in (a,b):f'(c)=0}.

Froga
-----

{\displaystyle f} funtzioa {\displaystyle [a,b]} tartean jarraitua denez, minimo eta maximo absolutuak lortzen ditu {\displaystyle [a,b]} tartean arabera, hau da, {\displaystyle f(x\_{0})\leq f(x)\leq f(y\_{0}),\forall x\in [a,b]}. Bi posibilitate daude:

* Maximoa edo minimoa {\displaystyle (a,b)} tartean dago. {\displaystyle x\_{0}} puntua orduan mutur bat (minimo bat) izango da, beraz {\displaystyle f'(x\_{0})=0}, mutur baten deribatuaren balioa {\displaystyle 0} delako, eta {\displaystyle c=x\_{0}} izango da. {\displaystyle y\_{0}} puntuaren kasuan konklusioa berdina da.
* Aurrekoa ez bada egia, {\displaystyle x\_{0}} eta {\displaystyle y\_{0}} tartearen muturrak izango dira. Beraz, {\displaystyle a={\displaystyle x\_{0}}} eta {\displaystyle b={\displaystyle y\_{0}}} suposatu dezakegu. Beraz, {\displaystyle f(x\_{0})\leq f(x)\leq f(y\_{0}),\forall x\in [a,b]} ikusi dezakegu, baina {\displaystyle a=b} denez, funtzioa konstantea izango da, eta edozein punturen deribatuaren balioa {\displaystyle 0} izango da.

Adierazpen geometrikoa
----------------------

Hurrengo irudian ikus daitekeenez, hiru baldintzak betetzen dira: funtzioa {\displaystyle [a,b]} tarte batean jarraitua da, {\displaystyle (a,b)} tarte batean deribagarria eta {\displaystyle f(a)=f(b)} da. Ikus daitekeenez, badago gutxienez {\displaystyle c} puntu bat non {\displaystyle f'(c)=0}, kasu honetan puntu guztiak, funtzioa konstantea delako. 

Irudian funtzio konstantea ikus daiteke, baina ez da betetzen den kasu bakarra.

### 1. kasua

Hurrengo kasuan ikus daitekeenez, tartearen puntu maximoa {\displaystyle f(a)} eta {\displaystyle f(b)}-ren berdina da, eta minimoa ezberdina da, beraz, kurba ganbila da.. Puntu minimoa {\displaystyle {\displaystyle m=f(c)}} da, eta
funtzioaren deribatua puntu honetan {\displaystyle 0} da.

### 2. kasua

Puntu minimoa {\displaystyle f(a)} eta {\displaystyle f(b)}-ren berdina da eta maximoa ezberdina, beraz, kurba ahurra da. Puntu maximoa {\displaystyle M=f(c)} da eta bere deribatua {\displaystyle 0} da puntu horretan.

### 3. kasua

Kasu honetan, bai puntu maximo bai minimoa {\displaystyle f(a)} eta {\displaystyle f(b)}-ren ezberdinak dira. Beraz, funtzioak {\displaystyle [a,b]} tarte barnean {\displaystyle f(a)} eta {\displaystyle f(b)} baino handiagoa den {\displaystyle M=f(c\_{2})} puntu maximo bat eta {\displaystyle f(a)} eta {\displaystyle f(b)} baino txikiagoa den {\displaystyle m=f(c\_{1})} puntu bat izango ditu gutxienez. Bai maximoan bai minimoan deribatuaren balioa nulua izango da, hau da,{\displaystyle f'(c\_{1})=0} eta {\displaystyle f'(c\_{2})=0}.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q193286
* Commonscat Multimedia: Rolle's theorem

---

* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q193286
* Commonscat Multimedia: Rolle's theorem