Gorputz beltz batek emititutako energia totala {\displaystyle j^{\star }}={\displaystyle R(T)}, bere tenperatura termodinamikoaren arabera {\displaystyle T\,}. Urdinez, Wien-en hurbilketaren araberako energia totala:{\displaystyle j\_{W}^{\star }=j^{\star }/\zeta (4)\approx 0.924\,\sigma T^{4}\!\,}
**Stefan-Boltzmann legeak** gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia deskribatzen du, gorputz beltzak duen tenperaturaren arabera. Lege hau, zehatza izango da gorputz beltz idealen kasuan (xurgatzaile perfektuak), baina hurbilketa ona da gorputz grisen kasurako. Hain zuzen, Stefan-Boltzmann legeak esaten du, gorputz beltz baten azalera unitateko erradiatzen den energia (gorputz beltzaren erradiantzia {\displaystyle R(T)}) edozein denbora unitateko maiztasunetarako, gorputz beltzaren tenperatura termodinamikoaren {\displaystyle (T)} laugarren potentziaren zuzenki proportzionala da:

{\displaystyle R(T)=\sigma T^{4}}

{\displaystyle \sigma } proportzionaltasun konstantea, Stefan-Boltzmann konstantea da:

{\displaystyle \sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}\approx 5.670374419184429453...\times 10^{-8}Wm^{-2}K^{-4}}

non {\displaystyle k} Boltzmann-en konstantea, {\displaystyle h} Planck-en konstantea, eta {\displaystyle c} argiaren abiadura hutsean diren.

Ikuspuntu angeluar zehatz batekiko erradiantzia {\displaystyle (Wm^{-2}rad^{-1})} hurrengo eran definitzen da:

{\displaystyle L={\frac {R(T)}{\pi }}={\frac {\sigma }{\pi }}T^{4}}

Erradiazioa guztiz xurgatzen ez duen gorputz batek ("gorputz gris" bezala ezagunak), ez du guztiz Stefan-Boltzmann legea beteko; hau da, gorputz honek emititzen duen energia, ez da gorputz beltz batek emititzen duen parekoa izango. Desberdintasun hau {\displaystyle \epsilon <1} gorputzaren emisibitateak adierazten du:

{\displaystyle R(T)=\epsilon \sigma T^{4}}

Erradiantziaren dimentsioak energia fluxuarenak dira (energia azalera unitateko eta denbora unitateko). SI sistema internazionalean Joule {\displaystyle (J)} {\displaystyle m^{2}}-ko eta segunduko edo Watt {\displaystyle (W)} {\displaystyle m^{2}}-ko adierazten da. Tenperaturaren {\displaystyle (T)} SI unitatea Kelvin-a {\displaystyle (K)} da. Emisibitatea {\displaystyle (\epsilon )}, {\displaystyle 0<\epsilon <1} tarteko balio adimentsionala da (gorputz beltz perfektuaren kasuan {\displaystyle \epsilon =1} da), eta bere balioa gorputzak erradiatutako fotoien uhin-luzeeraren araberakoa da:{\displaystyle \epsilon =\epsilon (\lambda )}.

Gorputz beltz batek erradiatzen duen potentzia totala, gorputzaren erradiantziaren eta gorputzaren azalera osoaren biderketak adierazten du.

{\displaystyle P=AR(T)=A\sigma T^{4}}

Historia
--------

Josef Stefan, fisikari austriar-esloveniarra
1864an, John Tyndall-ek platinozko harizpiaren emisio infragorriaren neurriak eta harizpiaren kolore egokia aurkeztu zuen. Jožef Stefan-ek (1835-1893) tenperatura absolutuaren laugarren potentziarako proportzionaltasuna ondorioztatu zuen 1879-an Tyndall-en neurketa esperimentaletan oinarriturik, Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur artikuluan (tenperatura eta erradiazio termikoaren erlazioari buruz) deduzitu eta Vienako Zientzietako Akademia sesioetako Boletinetan argitaratu zuen.

Ludwig Boltzmann-ek (1844-1906) 1884an begirune teorikoetatik legearen eratorpena aurkeztu zuen, Adolfo Bartoli-ren lanean oinarrituta. 1876an Bartoli-k printzipio termodinamikoetatik, erradiazioaren presioaren existentzia eratorri zuen. Bartoli-ri jarraituz, Boltzmann-ek erradiazio elektromagnetikoa erabiltzen zuen motore termiko ideala erabiltzea kontsideratu zuen, gas ideal baten ordez.

Boltzmann 10566.jpgLudwig Boltzmann, fisikari austriarraLegea ia berehala egiaztatu zen esperimentalki. 1888an, Heinrich Weber-ek tenperatura altuagoetan desbideratzeak zeudela ikusi zuen, baina neurketa ziurgabetasunen barruan zehaztasun perfektuak zeudela egiaztatu zen {\displaystyle 1535K}-eko tenperaturaraino,1897an. Legea, Stefan-Boltzmann-en konstantea argiaren abiaduraren menpe denaren aurresan teorikoa barne, Boltzmann konstantea eta Planck-en konstantea, 1900an Planck-ek formulatutako legearen ondorio zuzena da.

2019ko nazioarteko sistemako oinarri unitate berdefiniziotik, Boltzmann-en {\displaystyle k} konstantearen balioak ezartzen ditu, baita Planck-en {\displaystyle h} konstantea, argiaren {\displaystyle c} abiadura eta Stefan-Boltzmann-en konstantea zehazki:

  

{\displaystyle \sigma ={\frac {5454781984210512994952000000\pi ^{5}}{29438455734650141042413712126365436049}}Wm^{-2}K^{-4}}

Sinbologia
----------

| Sinboloa | Izena | Balioa | Unitatea |
| --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle E} | Potentzia emisibo hemisferiko totala |  | {\displaystyle W/m^{2}} |
| {\displaystyle T\_{e}} | Tenperatura eraginkorra (gainazaleko tenperatura absolutua) |  | {\displaystyle K} |
| {\displaystyle \epsilon } | Emisibitatea |  |  |
| {\displaystyle \sigma } | Stefan-Boltzmann konstantea | {\displaystyle 5.67E^{-8}} | {\displaystyle W/(m^{2}K^{4})} |

Adibideak
---------

#### Eguzkiaren tenperatura

Bere legearekin, Stefan-ek Eguzkiaren gainazaleko tenperatura zehaztu zuen. Jacques-Louis Soret-en (1827- 1890) datuak erabiliz, Eguzkiaren energia fluxu dentsitatea, berotutako metal-lagin (xafla mehea) baten energia fluxu dentsitatea baino 29 aldiz handiagoa dela ondorioztatu zuen. Lagin biribila kokatu eta neurketa gailua distantzia zehatz batera jarri zuen, hori Eguzkiaren angelu berean ikusteko moduan. Soret-ek laginaren tenperatura gutxi gorabehera 1900℃-tik 2000℃-ra bitartean estimatu zuen. Stefan-ek suposatu zuen, Eguzkiko energia fluxuaren herena Lurraren atmosferak xurgatzen zuela, beraz, Eguzki energia fluxuaren balio zuzen bezala Soret-en emaitza baino 3/2 aldiz handiagoa zen balioa hartu zuen , {\displaystyle {\frac {29\times 3}{2}}=43.5}.

Xurgatze atmosferikoaren neurketa zehatzik ez zen egin  1888-tik 1904-ra arte. Stefan-ek lortu zuen tenperatura aurrekoen balio ertaina 1950℃, eta tenperatura absolutua 2200K izan ziren. Nola {\displaystyle 2.574^{4}=43.5} den, Eguzkiaren tenperatura 2.57 aldiz laginaren tenperatura baino handiagoa den legetik, Stefan-ek 5430℃ edo 5700K balioa lortu zuela (5778K da) ondorioztatzen da. Hori izan zen Eguzkiaren tenperaturarako lehen balioa. Izan ere, honen aurretik 1800℃-tik 13,000,000℃-raino zihoazen balioak erreklamatu ziren. Claude Pouillet-ek (1790-1868) balio baxuena,1800℃-koa, zehaztu zuen 1838-an, Dulong-Petit-en legea erabiliz.

#### Izarren tenperatura

Eguzkia ez diren gainontzeko izarren tenperatura, aurrekoan erabilitako antzeko ingurunean, igorritako energia, gorputz beltzetako erradiazioa bezala tratatzerakoan , hurrengo eran estimatu daiteke:

  

  

{\displaystyle L=4\pi R^{2}\sigma T\_{e}^{2}}

  

non {\displaystyle L} argitasuna, {\displaystyle \sigma } Stefan-Boltzmann-en konstantea, {\displaystyle R} izarraren erradioa eta {\displaystyle T} tenperatura eraginkorra diren. Formula hori bera erabil daiteke sekuentzia nagusiko izar baten gutxi gorabeherako erradioa kalkulatzeko, Eguzkiaren erradioarekiko:

  

{\displaystyle {\frac {R}{R\odot }}\approx {\biggl (}{\frac {T\odot }{T}}{\biggr )}^{-2}{\sqrt {\frac {L}{L\odot }}}}

  

non {\displaystyle R\odot } Eguzkiaren erradioa den, {\displaystyle L\odot } Eguzkiaren argitasuna, etab...

Stefan-Boltzmann-en legearekin, astronomoek izarren erradioak ondoriozta ditzakete. Hawking-en erradiazioa deituriko zulo beltzen termodinamikan ere lege hau betetzen da.

#### Lurraren tenperatura efektiboa

Lurraren tenperatura efektiboa {\displaystyle (T\oplus )} kalkulatzea posible da honek eguzkitik jasotako energia, berak irradiatutakoarekin berdinduz, lurra gorputz beltza dela kontsideratuz. Eguzkiak irradiatutako potentzia osoa, {\displaystyle P\odot }:

{\displaystyle P\odot =4\pi R\odot ^{2}\sigma T\odot ^{4}}

Potentzia hau duen erradiantzia, espazioan zehar modu esferikoan banatuko da uniformeki, eta esfera horrek {\displaystyle r} balioko erradioa duenean (eguzkia eta lurraren arteko distantzia), esferaren azalera unitateko erradiatutako energia hurrengoa da :

{\displaystyle E\oplus ={\frac {P\odot }{4\pi r^{2}}}}

Lurra, {\displaystyle R\_{L}} erradioko esfera izanik, bere zeharkako-sekzioaren azaleran jasoko du eguzkiaren erradiazioa. Eguzkitik jasotzen den potentzia hau, erradiantzia fluxua deitzen da, eta lurra gorputz-beltza dela kontsideratu denez, guztiz xurgatuko du:

  

{\displaystyle \Phi \odot =\pi R\oplus ^{2}\times E\oplus }

Stefan-Boltzmann legeak laugarren potentzia erabiltzen duenez, efektu egonkortzailea dauka. Beraz, Lurrak igorritako fluxuak xurgatutako fluxua bezalakoa izateko joera du, egoera geldikorretik hurbil non:

  

{\displaystyle 4\pi R\oplus ^{2}\sigma T\oplus ^{4}=\pi R\oplus ^{2}\times E\oplus =\pi R\oplus ^{2}\times {\frac {4\pi R\odot ^{2}\sigma T\odot ^{4}}{4\pi r^{2}}}}

  

Bertatik lurraren tenperatura {\displaystyle (T\oplus )} egiaztatu daiteke:

  

{\displaystyle T\oplus ^{4}={\sqrt {\frac {R\odot ^{2}T\odot ^{4}}{4r^{2}}}}\Rightarrow T\oplus =T\odot ^{2}\times {\sqrt {\frac {R\odot }{2r}}}\approx 279K}

  

non {\displaystyle T\odot } eguzkiaren gainazaleko tenperatura, {\displaystyle R\odot } eguzkiaren erradioa eta {\displaystyle r}, lurraren eta eguzkiaren arteko distantzia diren. Lurraren tenperatura efektiboa bere gainazalean {\displaystyle 6^{o}C} ingurukoa dela lortzen da, baina lurrak eguzkitik datorren energia osoa xurgatzen duela kontsideratu da (lurra gorputz beltz moduan hartu da), eta gainera ez da efektu atmosferikoak kontuan hartu (lurrak atmosferarik ez duela kontsideratu da).

Lurrak, 0.3-ko albedoa du. Honek esan nahi du, jasotzen duen erradiazio guztitik, %30-a ez duela xurgatuko. Aurreko adibidean, eguzkitik jasotako energiaren etekina %70-ekoa dela kontsidera daiteke, eta honek, lurraren tenperatura efektiboa {\displaystyle 0,7^{\frac {1}{4}}} faktorean murriztuko du. Beraz, {\displaystyle T\oplus \approx 255K=-18^{o}C}.

Aurrekoa, espaziotik ikusita kalkulatutako lurraren tenperatura efektiboa da; hau da, lurrean dauden objektuek emititzen duten tenperaturaren batezbestekoa da. Baina berotegi-efektua kontsideratuz gero, Lurraren gainazaleko tenperaturaren batezbestekoa {\displaystyle 288K} edo {\displaystyle 15^{o}C}-koa litzateke.

Hastapenak
----------

### Energia dentsitatearen deribazio termodinamikoa

Erradiazioa duen kutxa batean dagoen energia dentsitatea {\displaystyle T^{4}}-ren proportzionala izatea, termodinamika erabiliz deribatu daiteke.Deribazio horrek {\displaystyle p} erradiazio presioaren eta  {\displaystyle u} barne energia dentsitatearen arteko erlazioa erabiltzen du. Energia-bulkada tentsore elektromagnetikoaren forma erabiliz, erlazio hori ikusi daiteke:

  

{\displaystyle p={\frac {u}{3}}}

Termodinamikaren funtsezko erlaziotik:

  

{\displaystyle dU=TdS-pdV,}

  

{\displaystyle dV} zatitu eta T finkatu ondoren, hurrengo adierazpena lortzen da:

  

{\displaystyle {\biggl (}{\partial U \over \partial V}{\biggr )}\_{T}=T{\biggl (}{\partial S \over \partial V}{\biggr )}\_{T}-p=T{\biggl (}{\partial p \over \partial T}{\biggr )}\_{V}-p}

  

Azkenengo berdintza Maxwell-en erlazio honetatik dator:

  

{\displaystyle {\biggl (}{\partial S \over \partial V}{\biggr )}\_{T}={\biggl (}{\partial p \over \partial T}{\biggr )}\_{V}.}

Energia dentsitatearen definiziotik ondoko erlazioa ondorioztatu daiteke

  

{\displaystyle U=uV}

  

non erradiazioaren energia dentsitatea soilik tenperaturaren menpe dagoen. Orduan,

  

{\displaystyle {\biggl (}{\partial U \over \partial V}{\biggr )}\_{T}=u.}

  

Hortaz, berdintza:

  

{\displaystyle {\biggl (}{\partial U \over \partial V}{\biggr )}\_{T}=T{\biggl (}{\partial p \over \partial T}{\biggr )}\_{V}-p,}

  

{\displaystyle {\biggl (}{\partial U \over \partial V}{\biggr )}\_{T}} eta {\displaystyle p} ordezkatzen badira haien adierazpen egokietan, horrela idatzi daiteke,

  

{\displaystyle u={\frac {T}{3}}{\biggl (}{\partial u \over \partial T}{\biggr )}\_{V}-{\frac {u}{3}}}

Deribatu partziala {\displaystyle {\biggl (}{\partial u \over \partial T}{\biggr )}\_{V}} soilik {\displaystyle u} eta {\displaystyle T}-ren arteko erlazioa bezala adierazi daiteke, bat berdintzaren alde batean bakanduz gero. Deribatu partziala deribazio arrunt batez ordezkatu daiteke, diferentzialak bakandu eta gero, berdintza honelakoa da:

  

{\displaystyle {\frac {du}{4u}}={\frac {dT}{T}}}

  

{\displaystyle u=AT^{4}}-ra zuzenean eramaten da, {\displaystyle A} integrazio konstantea izanik.

### Planck-en legearen deribazioa

Esfera erdiak igorritako gorputz beltz baten gainazal lau txiki bat kontuan hartuz Planck-en legea deribatu daiteke. Deribazio horretan koordenatu esferikoak erabiltzen dira, {\displaystyle \theta } angelu zenitala eta {\displaystyle \varphi } angelu azimutala izanik. Gorputz beltzaren gainazal lau txikia xy planoan dago, non {\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{2}}} den.

Gorputz beltzaren gainazala igortzen duen argiaren intentsitateak, Planck-en legeak ematen du:

Stefan–Boltzmann legea Planck-en legetik deribatzen.

  

{\displaystyle I(\nu ,T)={\frac {2h\nu ^{3}}{c^{2}}}{\frac {1}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}}

non:

* {\displaystyle I(\nu ,T)} {\displaystyle T} tenperatura eta {\displaystyle \nu } maiztasun jakin batean gorputz beltz batek igorritako potentzia kantitatea azalera, angelua eta maiztasun unitateko.

* {\displaystyle h} Planck-en konstantea

* {\displaystyle c} argiaren abiadura

* {\displaystyle k} Boltzmann-en konstantea

{\displaystyle I(\nu ,T)Ad\nu d\Omega } magnitudeak, {\displaystyle A} azalerako gainazalak {\displaystyle d\Omega } angelu solidoan igorritako potentzia da {\displaystyle \nu } eta {\displaystyle \nu +d\nu } artean.

Stefan-Boltzmann legea gorputz igorlea igortzen duen potentzia azalera unitateko adierazten du,

  

{\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int \cos \theta d\Omega }

  

Kontuan hartu daiteke, kosinua gorputz beltzak Lambertiarrak (Lamberten kosinuaren legea betetzen dute) izatearen ondorioz agertzen dela. Horrek esan nahi du, esferan zehar behatutako intentsitatea, intentsitatea bider angelu zenitalaren cosinua izango dela. Stefan-Boltzmann legea deribatzeko,  {\displaystyle d\Omega =\sin \theta d\theta d\varphi } integratu behar da esfera erdiaren gainean eta {\displaystyle \nu } integratu 0-tik \infty -ra.

  

{\displaystyle {\frac {P}{A}}=\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int \_{0}^{2\pi }d\varphi \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \sin \theta d\theta =\pi \int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu }

  

{\displaystyle I}-ra gehituz,

  

{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {\nu ^{3}}{e^{\frac {h\nu }{kT}}-1}}d\nu }

Integral hori ebaluatzeko, ordezkapen bat egingo da,

  

{\displaystyle u={\frac {h\nu }{kT}}}

  

{\displaystyle du={\frac {h}{kT}}d\nu }

Hortaz, hau lortzen da:

  

{\displaystyle {\frac {P}{A}}={\frac {2\pi h}{c^{2}}}{\biggl (}{\frac {kT}{h}}{\biggr )}^{4}\int \_{0}^{\infty }{\frac {u^{3}}{e^{u}-1}}du.}

  

Eskuineko integrala orokorra da eta zenbait izen ditu; hala nola, Bose-Einstein integralaren kasu partikularra da, polilogaritmoa edo Riemann-en zeta funtzioa {\displaystyle \varsigma (s)}.Integralaren balorea {\displaystyle 6\varsigma (4)={\frac {\pi ^{4}}{15}}} da,horrek gorputz beltz perfektu baten azaleraren emaitza ematen du:

  

{\displaystyle R(T)=\sigma T^{4},\sigma ={\frac {2\pi ^{5}k^{4}}{15c^{2}h^{3}}}={\frac {\pi ^{2}k^{4}}{60\hbar ^{3}c^{2}}}.}

  

Azkenik, frogapen hori hasi zen gainazal lau txiki bat kontuan hartuz. Hala eta guztiz ere, edozein gainazal diferentziagarria gainazal lau txikien bilduma batera hurbildu daiteke.

Baldin eta gainazalaren geometriak, gorputz beltza bere erradiazoa birxurgatzea eragiten ez badu, erradiatutako energia guztia gainazal bakoitzak erradiatutako energiaren batura da. Era berean, gainazalaren azalera guztia gainazalen azaleraren batura da; hortaz, gorputz beltz konbexuetan, gainazalak azalera guztian zehar tenperatura berbera izan behar du, eta orduan, lege hori ere aplika daiteke.

Lege hori gorputz beltz ez konbexuen erradiaziora ere aplikatu ahal da. Horretarako, gorputz beltz baten kasko konbexua, kaskoa bera gorputz beltz bat izango balitz bezala jokatzen duela kontuan hartzen da.

### Energia dentsitatea

Gorputz beltzen {\displaystyle U} energia dentsitate totala kalkulatu daiteke, integrazioa esfera osoaren gainean edota kosinurik ez egotean izan ezik, energia dentsitatea ({\displaystyle U}) lortzeko energiaren fluxua ({\displaystyle Uc})  abiaduraz {\displaystyle c} zatitu behar da:

  

{\displaystyle U={\frac {1}{c}}\int \_{0}^{\infty }I(\nu ,T)d\nu \int d\Omega }

  

{\displaystyle \int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos \theta \sin \theta d\theta ,} {\displaystyle \int \_{0}^{\pi }\sin \theta d\theta } magnidudez ordezkatu da 4 faktore gehigarria emanez.

  

Beraz, {\displaystyle U={\frac {4}{c}}\sigma T^{4}.}

### Leslie-ren kuboraen esperimentua

Leslie-ren kuboa erabiliz egindako hurrengo saiakerarekin Stefan-Boltzmann legea demostratu daiteke:

Orokorrean, tenperatura oso altuko gorputzekin, tenperaturaren magnitudea dela eta (laugarren potentzia), giro-tenperatura, kalkuluetan baztergarria da. Baina saiakuntza honetan, Stefan-Boltzmann legea tenperatura baxuetarako aztertzen da, ezin da aurreko hurbilketa egin.

Leslie-ren kuboa (ezkerra) eta detektagailu termikoa (eskuina).
Orduan, Leslie-ren kuboak beroa askatu eta erradiazio sentsorea duen detektagailuak, jasotako erradiantzia neurtuko du. Neurketa hori ez da zehazki Leslieren kuboak igorritako energia izango; giro tenperatura baztergarria ez denez, detektatutako erradiantzia, benetakoaren balio proportzional bat izango da; hurrengoa hain zuzen:

{\displaystyle R\_{det}(T\_{det})=\sigma T\_{det}^{4}}

Beste aldetik, detektagailuak ere energia erradiatuko du (bere tenperatura ez baita nulua Leslie-ren Kuboaren eraginpean egon ondoren):

{\displaystyle R\_{rad}(T\_{rad})=\sigma T\_{rad}^{4}}

Teorikoki, detektagailuak xurgatzen eta igortzen duen erradiantzia berdina izan beharko litzateke, baina kasu honetan esperimentua tenperatura baxuetan egin denez, giro-tenperatura ez kontsideratzeak sortuko lukeen errorea nabaria da, eta hurrengo eran definitutako erradiantzia netoak nulua izan beharrean, giro-tenperaturan detektagailuak irradiatutako erradiantziaren balioa emango du, Stefan-Boltzmann legea frogatuz:

{\displaystyle R\_{net}=(R\_{rad}-R\_{det})=(\sigma T\_{rad}^{4}-\sigma T\_{det}^{4})}

### Gorputz beltzen arteko erradiazio trukea

Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukean, gorputz beltz batek {\displaystyle T\_{1}} tenperaturan beroa igorriko du eta beste gorputz beltzak {\displaystyle T\_{2}} tenperaturan energia erradiatzaile guztia xurgatuko du, energia trukea honela adierazi daiteke:

{\displaystyle q=\sigma A\_{1}({T\_{1}}^{4}-{T\_{2}}^{4})}

Bi gorputz beltzen artean erlazio geometriko jakin bat izanez gero, erlazio hori F forma faktorearekin zehaztu daiteke.

Era berean, beroaren fluxua honela lortzen da:

{\displaystyle q=AE=A\varepsilon \sigma ({T\_{e}})^{4}}

Bi gorputz beltzen arteko erradiazio trukeak kalkulatzeko, aurreko adierazpenari forma-faktorea ({\displaystyle F}) eragin behar zaio. Forma faktorea kontzeptu geometrikoa da; hain zuzen ere, gainazal batetik igortzen den energia guztiaren frakzioa beste gainazal batean jotzea (xurgatua, islatuta edo transmitituta) zehazten du. Azkenengo adierazpena:

{\displaystyle q\_{(1-2)}=A\_{1}F\_{12}\sigma ({T\_{1}})^{4}}

{\displaystyle q\_{(2-1)}=A\_{2}F\_{21}\sigma ({T\_{2}})^{4}}

{\displaystyle q\_{12}=q\_{(1-2)}-q\_{(2-1)}=A\_{1}F\_{12}\sigma (({T\_{1}})^{4}-({T\_{2}})^{4})}

Kontuan hartu behar da {\displaystyle A\_{1}F\_{12}=A\_{2}F\_{21}} betetzen dela. Gainazal errealetarako (emisibitatea 1 baino txikiagoa) kontuan hartu behar da energia igortzeaz gain, gainazalak, energia islatu ere egiten duela. Horretarako, {\displaystyle J} definitzen da erradiositate bezala, energia islatu eta igorriaren batura.

{\displaystyle q\_{(1-2)}=A\_{1}F\_{12}J\_{1}}

{\displaystyle q\_{(2-1)}=A\_{2}F\_{21}J\_{2}}

{\displaystyle q\_{12}=q\_{(1-2)}-q\_{(2-1)}=A\_{1}F\_{12}(J\_{1}-J\_{2})}

Gorputz beltz baten kasu partikularrean {\displaystyle J=E} betetzen da.

#### Adibidea

Bi gainazal errealez osatutako barrunbe itxiarentzako erradiazio trukea:

{\displaystyle q\_{12}={\frac {\sigma (({T\_{1}})^{4}-({T\_{2}})^{4})}{{\bigl (}{\frac {1-\varepsilon \_{1}}{\varepsilon \_{1}A\_{1}}}{\bigr )}+{\bigl (}{\frac {1}{A\_{1}F\_{12}}}{\bigr )}+{\bigl (}{\frac {1-\varepsilon \_{2}}{\varepsilon \_{2}A\_{2}}}{\bigr )}}}}

Gorputz errealek ez dituzte erradiatzaile idealen zehaztasunak betetzen; hala ere, gorputz beltzek baino abiadura gutxiagorekin igortzen dute erradiazioa.

Ikus, gainera
-------------

* Ludwig Boltzmann
* Boltzmann-en konstantea
* Jožef Stefan
* Stefan-Boltzmann konstantea
* Gorputz Beltza
* Gorputz eltzaren erradiazioa
* Erradiantzia
* Erradiazio Termikoa
* Wien-en desplazamendu legea
* Planck-en erradiazio legea
* Rayleigh–Jeans legea

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Bohren, Craig F..  (1983). *Absorption and scattering of light by small particles.*  Wiley ISBN 0-471-05772-X. PMC 8866730. (Noiz kontsultatua: 2021-05-10).
2. ↑  Narimanov, Evgenii E.; Smolyaninov, Igor I. (2012). "Beyond Stefan–Boltzmann Law: Thermal Hyper-Conductivity". *Conference on Lasers and Electro-Optics 2012*. OSA Technical Digest. Optical Society of America. pp. QM2E.1. CiteSeerX 10.1.1.764.846. doi:10.1364/QELS.2012.QM2E.1. ISBN 978-1-55752-943-5. S2CID 36550833
3. ↑  Tyndall, John (1864). "On luminous [i.e. visible] and obscure [i.e. infrared] radiation". *Philosophical Magazine*. 4th series. **28**: 329–341.; see p. 333.

In his physics textbook of 1875, Adolph Wüllner quoted Tyndall's results and then added estimates of the temperature that corresponded to the platinum filament's color:

Wüllner,Adolph(1875). *Lehrbuch der Experimentalphysik [Textbook of experimental physics] (in German). vol. 3. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. p. 215.*

From (Wüllner, 1875), p. 215: *"Wie aus gleich zu besprechenden Versuchen von Draper hervorgeht, … also fast um das 12fache zu."* (As follows from the experiments of Draper, which will be discussed shortly, a temperature of about 525°[C] corresponds to the weak red glow; a [temperature] of about 1200°[C], to the full white glow. Thus, while the temperature climbed only somewhat more than double, the intensity of the radiation increased from 10.4 to 122 ; thus, almost 12-fold.)

See also:

Wisniak, Jaime (November 2002). "Heat radiation law – from Newton to Stefan". *Indian Journal of Chemical Technology*. **9**: 545–555. ; see pp. 551–552. Available at: National Institute of Science Communication and Information Resources (New Dehli, India)
4. ↑  Stefan, J. (1879). "Über die Beziehung zwischen der Wärmestrahlung und der Temperatur" [On the relation between heat radiation and temperature]. *Sitzungsberichte der Kaiserlichen Akademie der Wissenschaften: Mathematisch-Naturwissenschaftliche Classe (Proceedings of the Imperial Philosophical Academy [of Vienna]: Mathematical and Scientific Class)* (Alemanieraz). **79**: 391–428.
5. ↑  Stefan stated (Stefan, 1879), p. 421: *"Zuerst will ich hier die Bemerkung anführen, … die Wärmestrahlung der vierten Potenz der absoluten Temperatur proportional anzunehmen."* (First of all, I want to point out here the observation which Wüllner, in his textbook, added to the report of Tyndall's experiments on the radiation of a platinum wire that was brought to glowing by an electric current, because this observation first caused me to suppose that thermal radiation is proportional to the fourth power of the absolute temperature.)
6. ↑  Boltzmann, Ludwig (1884). "Ableitung des Stefan'schen Gesetzes, betreffend die Abhängigkeit der Wärmestrahlung von der Temperatur aus der electromagnetischen Lichttheorie" [Stefan legearen deribazioa,bero erradiazioak tenperaturarekiko duen menpekotasunari buruz, argiaren teoria elektromagnetikoaren arabera]. *Annalen der Physik und Chemie* (Alemanieraz). **258** (6): 291–294. Bibcode:1884AnP...258..291B. doi:10.1002/andp.18842580616
7. ↑  Massimiliano Badino, *The Bumpy Road: Max Planck from Radiation Theory to the Quantum (1896–1906)* (2015), p. 31
8. ↑  (Stefan, 1879), 426–427 orrialdeak.
9. ↑  Soret, JL (1872) "Comparaison des intensités calorifiques du rayonnement solaire et du rayonnement d'un corps chauffé à la lampe oxyhydrique" [Eguzki-erradiazioaren eta oxigeno-hidrogeno linterna batez berotutako gorputz bateko bero-intentsitateen konparazioa ], *Archives des sciences physiques et naturelles*(Geneva, Switzerland), 2nd series, **44** : 220-229  ; **45** : 252-256.
10. ↑  ''Sun Fact Sheet''
11. ↑  Waterston, John James (1862). "An account of observations on solar radiation". *Philosophical Magazine*. 4th series. **23** (2): 497–511. Bibcode:1861MNRAS..22...60W. doi:10.1093/mnras/22.2.60.

O. 505-an, John James Waterston fisikari eskoziarra eguzkiaren gainazaleko tenperatura 12,880,000° izan zitekeela kalkulatu zuen.
12. ↑  Pouillet (1838). "Mémoire sur la chaleur solaire, sur les pouvoirs rayonnants et absorbants de l'air atmosphérique, et sur la température de l'espace" [Eguzki beroari buruzko memoria, atmosferako airearen erradiazioa eta xurgapen ahalmenez eta espazioaren tenperaturaz.*Comptes Rendus* (frantsesez). **7** (2): 24–65.36.orrialdean, Pouillet eguzkiaren tenperatura estimatzen du:*" … cette température pourrait être de 1761° … "* ( … tenperatura hau [hau da, Eguzkiarena] 1761° izan daiteke … )

English translation: Pouillet (1838) "Memoir on the solar heat, on the radiating and absorbing powers of atmospheric air, and on the temperature of space" in: Taylor, Richard, ed. (1846) *Scientific Memoirs, Selected from the Transactions of Foreign Academies of Science and Learned Societies, and from Foreign Journals.* vol. 4. London, England: Richard and John E. Taylor. pp. 44–90 ; see pp. 55–56.
13. ↑  "Luminosity of Stars". Australian Telescope Outreach and Education. 2006-08-13 kontsultatua.
14. ↑  Intergovernmental Panel on Climate Change Fourth Assessment Report. Chapter 1: Historical overview of climate change science 97 orrialdea
15. ↑  Solar Radiation and the Earth's Energy Balance[*Betiko hautsitako esteka*]
16. ↑  Knizhnik, Kalman. "Derivation of the Stefan–Boltzmann Law" (PDF). *Johns Hopkins University – Department of Physics & Astronomy*. on 2016-03-04 originaletik(PDF) artxibatuta. 2018-09-03 kontsultatua.
17. ↑  (Wisniak, 2002), 554 o.
18. ↑  ''Radiación cuerpo negro''

Bibliografia
------------

* Eisberg, Robert M.; Resnick, Robert (1985). "Quantum Physics of Atoms, Molecules, Solids, Nuclei, and Particles". ISBN 9780471873730
* Griffiths, D. J. (2004). "Introduction to Quantum Mechanics" (2nd ed.). Essex England: Pearson Education. ISBN 978-013111892-8.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q704747
* Commonscat Multimedia: Stefan-Boltzmann law

---

* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q704747
* Commonscat Multimedia: Stefan-Boltzmann law