Pendulu matematiko baten animazioa, abiadura eta azelerazio bektoreak erakutsiz (**v** eta **a**).
**Pendulua** puntu finko batetik eskegita dagoen eta aske oszilatzen duen masa bat da. Masa hori bere oreka-posiziotik horizontalki desplazatzen denean, grabitate-indarrak masa oreka-posiziora itzultzea eragingo duen azelerazio bat sortuko du. Indar horren ondorioz, penduluak oreka-posizioaren inguruan oszilatuko du. Sistema fisiko horrek oszilazio bat egiteko behar duen denborari periodo deritzo, eta magnitude hori penduluaren luzeraren eta oszilazioaren anplitudearen araberakoa da.

Pendulu mota desberdinak daude: pendulu sinplea, pendulu konposatua, pendulu fisikoa, Foucaulten pendulua eta pendulu esferikoa, besteak beste.

Pendulu matematikoa edo pendulu sinplea
---------------------------------------

Sistema ideal bat da masa puntual batek eta masa arbuiagarriko eta luzera aldaezineko hari batek osatzen dutena. Hariaren mutur bat finko dago, eta bestean masa puntuala dago kokatuta, azken horrek aske oszilatzen du plano bertikal finko batean. Masa puntuala bere oreka posiziotik desplazatzean, puntu horren inguruan higitzen da periodikoki, ibilbide zirkularra deskribatuz.

#### Higiduraren ekuazioa

Pisuaren osagaiak.
Higiduraren ekuazioa lortzeko, posizio orokor batean dagoen pendulua kontsideratuko da (ikus irudia). Gezi urdinak masa puntualaren pisua adierazten du, eta bi gezi moreek pisuaren higidurarekiko osagai tangentziala eta normala.

Newtonen bigarren legea penduluaren mugimenduaren norabidean aplikatuz ondorengoa daukagu:


F

t

=
−
m
g
sin
⁡
θ
=
m

a

t

,

{\displaystyle F\_{\text{t}}=-mg\sin \theta =ma\_{\text{t}},}

{\displaystyle F_{\text{t}}=-mg\sin \theta =ma_{\text{t}},}
non zeinu negatiboak, indarrak eta desplazamenduak kontrako noranzkoa dutela adierazten duen (indar berreskuratzailea).

Higidura zirkularra denez, azelerazio tangentzialaren eta azelerazio angeluarraren arteko erlazioa ezaguna da:


a

t

=
l

θ
¨

.

{\displaystyle a\_{\text{t}}=l{\ddot {\theta }}.}

{\displaystyle a_{\text{t}}=l{\ddot {\theta }}.}
Bi ekuazio horiek kontuan hartzen baditugu, pendulu sinplearen higiduraren ekuazio diferentziala lortzen dugu:



l

θ
¨

 
+
g
sin
⁡
θ
=
0.

{\displaystyle l{\ddot {\theta }}\ +g\sin \theta =0.}

{\displaystyle l{\ddot {\theta }}\ +g\sin \theta =0.}
#### Oszilazio txikiak

Anplitude txikiko oszilazioak kontsideratzen baditugu, {\displaystyle \theta } angeluaren balioa txikia baldin bada, {\displaystyle \sin \theta }-ren balioa eta {\displaystyle \theta }-ren balioak, radianetan adierazita, antzekoak izango dira ({\displaystyle \sin \theta \sim \theta }) eta higidura-ekuazio diferentziala honela geratzen da:



l

θ
¨

+
g
θ
=
0.

{\displaystyle l{\ddot {\theta }}+g\theta =0.}

{\displaystyle l{\ddot {\theta }}+g\theta =0.}
Penduluaren periodoaren eta anplitudearen arteko erlazioa.
Ekuazio hori higidura harmoniko sinplearen ekuazioa da eta soluzioa ezaguna da:

{\displaystyle \theta =A\sin(\omega t+\phi )}

non {\displaystyle \omega } oszilazioen abiadura angeluarra den. Magnitude horretatik abiatuz periodoa zehaztu dezakegu:



ω
=

g
l

⇒

T
=
2
π

l
g

.

{\displaystyle \omega ={\sqrt {g \over l}}\qquad \Rightarrow \qquad T=2\pi {\sqrt {l \over g}}.}

{\displaystyle \omega ={\sqrt {g \over l}}\qquad \Rightarrow \qquad T=2\pi {\sqrt {l \over g}}.}
{\displaystyle A} eta {\displaystyle \phi } hasierako baldintzen araberakoak diren bi konstante dira, anplitudea eta hasierako fasea, hurrenez hurren.

Oszilazio txikien hurbilketa ez badugu egiten, higidura-ekuazioaren soluzioa lehenengo mailako integral eliptikoak erabiliz lortzen da, prozesu korapilatsua da eta azkenean hau da lortzen den soluzioa:



T

(
θ
)

=

T

0

[

1
+

(

1
2

)

2

sin

2

⁡

θ
2

+

(

1
⋅
3

2
⋅
4

)

2

sin

4

⁡

θ
2

+

(

1
⋅
3
⋅
5

2
⋅
4
⋅
6

)

2

sin

6

⁡

θ
2

+
…

]

=

T

0

[

∑

n
=
0

∞

(

(
2
n
)
!

2

2
n

(
n
!

)

2


)

2

sin

2
n

⁡

(

θ
2

)

]

.

{\displaystyle T\left(\theta \right)=T\_{0}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta }{2}}+\dots \right]=T\_{0}\left[\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}

{\displaystyle T\left(\theta \right)=T_{0}\left[1+\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}\sin ^{4}{\frac {\theta }{2}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right)^{2}\sin ^{6}{\frac {\theta }{2}}+\dots \right]=T_{0}\left[\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right)^{2}\sin ^{2n}\left({\frac {\theta }{2}}\right)\right].}
Ikusten denez, kasu honetan periodoa oszilazioen anplitudearen araberakoa da.

Pendulu fisikoa
---------------

Pendulu fisikoa (edo pendulu konposatua) eremu grabitatorioaren eraginpean, ardatz horizontal finko baten inguruan, aske oszilatzen duen edozein solido zurruna da. Penduluaren biraketa-ardatzak ezin du solidoaren masa-zentroa zeharkatu.

Pendulu fisikoa.
### Periodoaren dedukzioa

Pendulu fisikoa askatasun-gradu bakarreko sistema da, ardatz baten inguruko biraketari dagokiona. Biraketa-ardatzak eta grabitate-zentroak (irudiko {\displaystyle G} puntua) osatutako planoaren, eta biraketa-ardatza zeharkatzen duen plano bertikalaren arteko {\displaystyle \theta } angeluak, edozein aldiuneko posizioa guztiz zehazten du.

Izan bedi {\displaystyle h} grabitate-zentroaren eta biraketa-ardatzaren arteko distantzia. Pendulua oreka posizio egonkorretik {\displaystyle \theta } desplazatzean, bi indar agertzen dira penduluan: indar grabitatorioa eta biraketa-ardatzaren erreakzio-indarra. Horien ondorioz, jatorriarekiko, eta biraketa-ardatzean zehar, indarren momentu bat agertuko da:


M

e

=
−
m
g
h
sin
⁡
θ
.

{\displaystyle M\_{\text{e}}=-mgh\sin \theta .}

{\displaystyle M_{\text{e}}=-mgh\sin \theta .}
Momentu angeluarraren teorema erabiliz, penduluaren higidura-ekuazio diferentziala lortzen da, {\displaystyle I\_{0}} penduluaren biraketa-ardatzarekiko inertzia-momentuaren eta {\displaystyle {\ddot {\theta }}} azelerazio angeluarraren funtzioan.



−
m
g
h
sin
⁡
θ
=

I

0


θ
¨

.

{\displaystyle -mgh\sin \theta =I\_{\text{0}}{\ddot {\theta }}.}

{\displaystyle -mgh\sin \theta =I_{\text{0}}{\ddot {\theta }}.}
Ekuazio hau berridatziz,



θ
¨

+

m
g
h

I

0

sin
⁡
θ
=
0

{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{mgh \over I\_{\text{0}}}\sin \theta =0}

{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{mgh \over I_{\text{0}}}\sin \theta =0}
bigarren ordeneko ekuazio diferentziala lortzen dugu.

Oszilazio txikien kasurako, hau da, anplitude angeluar txikia dugunean, {\displaystyle \sin \theta \sim \theta } hurbilketa egin daiteke eta,



θ
¨

+

m
g
h

I

0

θ
=
0.

{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{mgh \over I\_{\text{0}}}\theta =0.}

{\displaystyle {\ddot {\theta }}+{mgh \over I_{\text{0}}}\theta =0.}
higidura harmoniko sinplearen ekuazioa lortzen da. Adierazpen honekin, berehalakoa da oszilazio-periodoa zehaztea



T
=
2
π

I

0

m
g
h

.

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I\_{\text{0}} \over mgh}}.}

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I_{\text{0}} \over mgh}}.}
### Luzera laburtua

Edozein pendulu fisiko izanik, beti izango da posible periodo berdina duen pendulu matematiko baliokidea lortzea. Pendulu horri, pendulu sinple baliokidea deritzogu, eta bere luzera ({\displaystyle \lambda }) pendulu fisikoaren luzera laburtua da. Aurreko periodoaren adierazpena {\displaystyle \lambda }-ren funtzioan berridatziz,



T
=
2
π

I

0

m
g
h

=
2
π

λ
g

,

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I\_{\text{0}} \over mgh}}=2\pi {\sqrt {\lambda \over g}},}

{\displaystyle T=2\pi {\sqrt {I_{\text{0}} \over mgh}}=2\pi {\sqrt {\lambda  \over g}},}
non luzera laburtua ondokoa den:



λ
=

I

0

m
h

.

{\displaystyle \lambda ={I\_{\text{0}} \over mh}.}

{\displaystyle \lambda ={I_{\text{0}} \over mh}.}
Egindako hurbilketa aztertzeko, pendulu fisikoaren masa {\displaystyle O'} biraketa puntutik {\displaystyle \lambda } distantziara kontzentratzen dela esan daiteke. Puntu hori oszilazio-zentroa deitzen da. Luzera laburtu berdineko pendulu fisiko guztiek maiztasun berdinarekin oszilatuko dute.

Pendulu esferikoa
-----------------

Pendulu esferikoa espazio osoan (eta ez planoan) oszilatzen duen pendulu sinple bat da; hau da, hiru dimentsioko higiduran.

Masa gabeko sokatik {\displaystyle m} masa puntuala eskegitzen da eta, kasu honetan, penduluari ematen zaion hasierako abiadura ez da plano batean zeharrekoa. Horrek eragingo du {\displaystyle m} masaren higidura plano batean finko ez egotea, eta espazioan zehar oszilatzen hastea.

Pendulu esferikoaren higidurak {\displaystyle \theta } eta {\displaystyle \phi } angeluekiko menpekotasuna izango duenez, gainazal zirkular batean zehar mugituko da masa. Beraz, bi askatasun-graduko sistema da.

Pendulu esferikoaren diagrama.
### Oinarri teorikoa

Bi higidura-konstante daude: {\displaystyle E}, energia, eta {\displaystyle M\_{z}}, momentu angeluarraren ardatz bertikalarekiko paraleloa den osagaia. Funtzio lagrangearra ondorengoa da:

{\displaystyle L={\frac {1}{2}}ml^{2}({\dot {\theta }}^{2}+{\dot {\phi }}^{2}\sin ^{2}\theta )+mgl\cos \theta }

non {\displaystyle \phi } angelu azimutala eta {\displaystyle \theta } masak bertikalarekiko eratzen duen angelua diren. Higidura-ekuazioak, aurreko adierazpena Euler-Lagrange ekuazioetan sartuta:







d



d
t





∂
L



∂

θ
˙



−



∂
L



∂
θ


=
0

⇒

l

θ
¨

−
l

ϕ
˙

2

sin
⁡
θ
cos
⁡
θ
+
g
sin
⁡
θ
=
0
,





d



d
t





∂
L



∂

ϕ
˙



−



∂
L



∂
ϕ


=
0

⇒




d



d
t


(
m

l

2


ϕ
˙

sin

2

⁡
θ
)
=
0.



{\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}-l{\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0,\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta )=0.\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\theta }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \theta }}=0&\Rightarrow &l{\ddot {\theta }}-l{\dot {\phi }}^{2}\sin \theta \cos \theta +g\sin \theta =0,\\\\{\cfrac {d}{dt}}{\cfrac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}-{\cfrac {\partial L}{\partial \phi }}=0&\Rightarrow &{\cfrac {d}{dt}}(ml^{2}{\dot {\phi }}\sin ^{2}\theta )=0.\end{matrix}}}
Bigarren adierazpenaren bitartez momentu angeluarraren {\displaystyle Z} osagaia konstante mantentzen dela antzematen da. Bertatik lor daiteke abiadura azimutalaren eta momentu angeluarraren arteko erlazioa:



ϕ
˙

=

M

z

m

l

2

sin

2

⁡
θ


{\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {M\_{z}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}}

{\displaystyle {\dot {\phi }}={\frac {M_{z}}{ml^{2}\sin ^{2}\theta }}}
Beraz, lagrangearra berridatz daiteke dimentsio bakarreko problema lortzeko:

{\displaystyle L=K({\dot {\theta }})+U\_{ef}(\theta )={\frac {1}{2}}ml^{2}{\dot {\theta }}^{2}+{\frac {M\_{z}^{2}}{2ml^{2}\sin ^{2}\theta }}+mgl\cos \theta }

#### Periodoa

Orokorrean, pendulu esferikoaren mugimendua ez da periodikoa. Hala ere, higidura kuasiperiodikoa dela esan daiteke; hau da, aldiune batean posizioa eta abiadura aztertzen badira, {\displaystyle T} denbora bat igarota, pendulua posizio horrekiko distantzia oso-oso txikira egongo da, eta oso antzekoa den abiadura bat izango du, guztiz berdinak izango ez diren arren.

#### Higidura ekuazioaren soluzioa

Higidura ekuazioen emaitzak integral eliptikoen menpeko diren ekuazioen bitartez adieraz daitezke:

{\displaystyle t={\sqrt {\frac {ml^{2}}{2}}}\int {\frac {d\theta }{\sqrt {E-U\_{ef}(\theta )}}}\qquad \phi ={\frac {M\_{z}}{l{\sqrt {2m}}}}\int {\frac {d\theta }{\sin ^{2}\theta {\sqrt {E-U\_{ef}(\theta )}}}}}

Erabilerak
----------

Segundoko pendulua.
### Denboraren neurketa

1582an, Vincenzo Vivianik (Galileo Galileiren ikaslea zena) Pisako Katedraleko argimutilaren oszilazioa behatu, eta mota horretako higidurekiko interesa erakutsi zuen. Momentu horretatik aurrera, eta kuartzozko erlojua agertu zen arte, munduan denbora neurtzeko erabiltzen zen objektua pendulua izan zen.

XVII. eta XVIII. mendeetan, segundoko penduluak erabili ziren saiakera zientifikoetan denbora era zehatzagoan neurtzeko. Segundoko penduluak bi segundoko periodoa dutenak dira; hau da, segundo bateko iraupena du alde bakoitzera gertatzen den oszilazioak.

### Grabitatearen neurketa

Grabitatearen azelerazioa, {\displaystyle g}, periodoaren adierazpenean agertzen denez, Lurraren azelerazio grabitazionala pendulu baten periodotik lor dezakegu. Erloju batean, erlojuaren berezko mugimenduek sortzen dituzte penduluaren perturbazioak, eta grabitatea neurtzeko tresnen oinarria izan ziren 1930. urtera arte.

XVII. mendean, segundoko penduluak grabitatea neurtzeko oso erabiliak izan ziren, beren periodoa erraz konpara daitekelako penduludun erlojuekin. Pendulu horietan, {\displaystyle g} eta luzera zuzenki proportzionalak dira:



g
 
α
 
l
.

{\displaystyle g\ \alpha \ l.}

{\displaystyle g\ \alpha \ l.}
### Beste erabilera batzuk

#### Sismografoak

Haga ia horizontal batez egindako pendulu batekin lurrikarak neurtzeko lehenengo sismografoak sortu ziren. Tresna horietan, pendulua geldi egonarazten zen, bere ingurunea mugitzen zen bitartean, penduluaren muturrean kokatutako puntzoi batez bibrazioen erregistroa jasoz.

#### Pendulu akoplatuak

Periodo bereko bi pendulu oinarri beretik eskegita
1665ean, pendulu-erlojuei buruzko behaketa bitxia egin zuen Huygensek. Bi erloju jarri zituen elkarren ondoan zintzilik, eta kontrako noranzkoan higitzen ari zirela antzeman zuen; hau da, penduluak batera zihoazten, baina 180º-ko desfasearekin. Portaera horren arrazoia izan zen pendulu biek eskegita zeuden oinarriari mugimendu arinak eragiten zizkiotela. Modu horretan erregistratu zen akoplaturiko osziladore baten lehen behaketa. Ondorioz, sinkronizatutako penduluak erlojuetan erabili izan dira XX. mendearen hasieran.

Huygensek kontrako faseko sinkronizazioa behatu zuen arren, orain dela gutxiko ikerketek frogatu dute fase bereko sinkronizazioa ere gerta daitekela.     

#### Ospakizun erlijiosoak

Penduluaren higidura ospakizun erlijiosoetan ere agertzen da. Horren adibidea da Compostelako Donejakuen dagoen "Botafumeiro" pebetontziaren oszilazioa.

#### Hezkuntza

Penduluak, higidura harmonikoaren adibide gisa, askotan erabiltzen dira zientzietan (fisikan, gehienbat), dinamika eta oszilazioak irakasteko. Erabileretako bat energiaren kontserbazioa frogatzea da.

#### Torturak

XVIII. mendeko inkisizioak pendulua erabiltzen zuen tortura eta exekuzioetarako. Teoria horren erregistroa 1835eko *Historia crítica de la inquisición de España* liburuan dago jasota, Juan Antonio Llorentek idatzia. Pendulu baten muturrean sorbatz bat jarriz, pendulu oszilakor bat jaitsarazten da, gorputza ebaki arte. Metodo hori ezagutzera eman zuen Edgar Allan Poe idazleak, *The Pit and the Pendulum* liburuan. Dena dela, metodoaren erabilpenaz zalantzak daude, Llorenteren liburuko atal bakarrean aipatzen delako, eta metodoaren erregistro bakarra da.

Erreferentziak
--------------

* UEUko fisika saila. *Fisika orokorra*. ISBN 84-8438-045-9
* Juan M. Aguirregabiria. *Mekanika klasikoa* ISBN 84-8373-631-4

1. ↑    *Fisika orokorra.*  (2. argit. zuzendua eta berregokitua. argitaraldia) Udako Euskal Unibersitatea 2003 ISBN 84-8438-045-9. PMC 432853358. (Noiz kontsultatua: 2020-11-11).
2. ↑   Aguirregabiria, Juan María..  (2004). *Mekanika klasikoa.*  Universidad del País Vasco ISBN 84-8373-631-4. PMC 932541663. (Noiz kontsultatua: 2020-11-11).

Ikus, gainera
-------------

* Focaulten pendulua
* Newtonen pendulua

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q20702
* Commonscat Multimedia: Pendulums

---

* **Identifikadoreak**
* BNF: 11966679g (data)
* GND: 4173651-5
* LCCN: sh85099384
* NDL: 00563762
* NKC: ph581644
* NARA: 10643773
* AAT: 300235975
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q20702
* Commonscat Multimedia: Pendulums