**Higidura zirkularra** ezagutzeko azalpena.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu **hemen**.Fisikan, **higidura zirkularra** partikula puntual batek plano batean duen higidura berezia da, zeinean ibilbidea zirkunferentzia bat den, behin eta berriro errepikatzen dena. Beraz, partikula biraka ari da zirkunferentziaren zentroaren inguruan, beti ere distantzia berberera; distantzia hori da, hain zuzen, zirkunferentziaren *erradioa*.

Partikularen abiaduraren norabidea zirkunferentziaren tangentea da etengabe; alegia, zirkunferentziaren erradioaren perpendikularra; abiaduraren modulua, ordea, aldatu egin daiteke denboran zehar. Abiaduraren modulua konstantea bada, partikulak *higidura zirkular uniformea* duela esango dugu. Nolanahi dela, ibilbidea zuzena ez denez, partikulak etengabe izango du azelerazio ez-nulua.

Higidura zirkularra deskribatzeko kontzeptuak eta magnitudeak zinematikan
-------------------------------------------------------------------------

Higidura zirkularra plano batean gertatzen da. Partikula biraka ari {\displaystyle O} biraketa-zentroaren inguruan edo gauza bera dena, {\displaystyle Oz} biraketa-ardatzaren inguruan.
Higidura zirkularraren azterketa zinematikoa eta dinamikoa era matematikoan egin ahal izateko, lehenik eta behin zenbait oinarrizko kontzeptu definitu eta zehaztu behar ditugu.

### Ibilbidearen zentroa eta erradioa

Ibilbidea zirkunferentzia bat da, espazio tridimentsionalean plano batean ({\displaystyle \pi } planoa) irudika dezakeguna. Zinkunferentziaren zentroa {\displaystyle O} puntua da, eta erradioa, {\displaystyle R}. Erradioa konstantea da higiduran zehar. Plano horretan {\displaystyle Oxy} koordenatu-sistema kartesiarra erabil dezakegu higidura deskribatzeko.

### Biraketa-ardatza eta biraketa-zentroa

*Biraketa-ardatza* higidurren planoarekiko perpendikularra den lerro zuzen bat da, hain zuzen ere zirkunferentziaren zentrotik pasatzen dena. Partikula ardatz horren inguruan ari da biraka, betiere distantzia berera, hau da, {\displaystyle R} erradioaz. Biraketa-ardatzaren eta {\displaystyle \pi } planoaren arteko ebaki-puntua ibilbidearen *biraketa-zentroa* da.

### Partikularen posizioa

Higidura zirkularreko posizio espaziala eta posizio angeluarra definitzeko elementuak.
Zinematikan ohikoa denez, lehenik ibilbidearen *jatorri-puntua* aukeratzen da, puntu horren erreferentziarekin edozein aldiunetako posizioa adierazteko. Hortaz, demagun {\displaystyle t=0} aldiuneko posizioan partikula {\displaystyle P\_{0}} puntuan egon dela, eta {\displaystyle t} aldiunean partikula {\displaystyle P} puntutik pasatu dela. Gauzak horrela, {\displaystyle P\_{0}}puntua *hasierako posizioa* izan da; eta {\displaystyle P} puntua, {\displaystyle t} *aldiuneko posizioa,* {\displaystyle P(t)} alegia. Dena den, aldiuneko posizioa bi modutara definituko dugu: {\displaystyle {\overset {\frown }{P\_{0}P}}} zirkunferentzia-arkuaren bidez eta arku horri dagokion {\displaystyle \varphi } angelu zentralaren bidez.

#### Posizio espaziala

Aldiune bakoitzeko posizio espaziala {\displaystyle P} puntua bera izango da, eta ohikoa da {\displaystyle t\_{0}\rightarrow t} bitartean *ibilitako distantzia* (edo *desplazamendua*) {\displaystyle {\overset {\frown }{P\_{0}P}}} zirkunferentzia-arkuaren bidez ematea, eta arkuaren luzera {\displaystyle s} sinboloaz adieraztea. Partikula higitzen ari denez, ibilitako distantzia denboraren funtzioa da, {\displaystyle s(t)}, eta luzera-unitatetan neurtzen da, hots, *metro*tan {\textstyle ({\text{m}}).}

#### Posizio angeluarra

Aldiuneko posizio angeluarra {\displaystyle {\overset {\frown }{P\_{0}P}}} arkuari dagokion {\displaystyle \varphi } angelu zentralaren bidez adierazten da. Hitzarmenez, angelu hori neurtzeko noranzko positiboa erlojuaren orratzen noranzkoaren alderantzizkoa da. Angeluaren balioa denboraren funtzioa da, {\displaystyle \varphi (t),}eta angelu-unitatetan neurtzen da, *radian*etan {\displaystyle ({\text{rad}})}hain zuzen. Arkuaren luzeraren eta angelu zentralaren arteko erlazio trigonometrikoa hauxe da:

  



s
=
R
φ
.

{\displaystyle s=R\varphi .}

{\displaystyle s=R\varphi .}  

### Partikularen abiadura

Abiadurari dagokionez, *abiadura lineala* eta *abiadura angeluarra* bereiziko ditugu:

#### Abiadura lineala

Abiadura lineala partikularen abiadura bektorearen modulua da eta ibilitako distantziaren denborarekiko deribatua eginez kalkulatzen da:


v
=

d

s

d

t

.

{\displaystyle v={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}.}

{\displaystyle v={\frac {{\text{d}}s}{{\text{d}}t}}.}Kontuan izanik  {\displaystyle s=R\varphi } dela, honelaxe eman dezakegu abiadura lineala abiadura angeluarraren bidez:


v
=

d

(
R
φ
)

d

t

=
R

d

φ

d

t

=
R
ω
.

{\displaystyle v={\frac {{\text{d}}(R\varphi )}{{\text{d}}t}}=R{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}=R\omega .}

{\displaystyle v={\frac {{\text{d}}(R\varphi )}{{\text{d}}t}}=R{\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}=R\omega .}Formula horretan, {\displaystyle \omega } sinboloak jarraian aipatuko dugun abiadura angeluarra adierazten du. Geometrikoki kontsideraturik, abiadura bektoreak ibilbidearen norabide tangentziala du; hau da, ibilbidearen puntu guztietan zirkunferentziaren ukitzailea da. Abiadura lineala neurtzeko unitatea {\displaystyle {\text{m · s}}^{-1}}da.  

#### Abiadura angeluarra

Definizioz, abiadura angeluarra partikulak higidura zirkularrean duen posizio angeluarraren denborarekiko deribatua da:


ω
≡

d

φ

d

t

.

{\displaystyle \omega \equiv {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}.}

{\displaystyle \omega \equiv {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}.}Abiadura angeluarra {\displaystyle \omega } sinboloaz adierazten da eta {\displaystyle {\text{rad}}\cdot {\text{s}}^{-1}}unitatetan neurtzen da.  

### Partikularen azelerazioa

*Azelerazio*aren kasuan ere, *azelerazioa lineala* eta *azelerazio angeluarra* kontsideratuko ditugu:

Abiaduraren eta azelerazioaren osagaiak higidura zirkularrean.Higidura zirkularreko abiadura eta azelerazioa (osagai tangentziala eta osagai normala erakutsirik).
#### Azelerazio lineala

Azelerazio lineala planoko bektore modura aztertu beharko dugu, bi osagai izango batitu: osagai tangentziala eta osagai normala:

* **Azelerazio tangentziala** azelerazio bektoreak ibilbidearen lerro ukitzailearen norabidean duen osagaia da. Abiadura linealaren moduluaren deribatua eginez kalkulatzen da, eta balio hau du:

a

T

=

d

v

d

t

.

{\displaystyle a\_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}

{\displaystyle a_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}.}

* **Azelerazio normala** azelerazio tangentzialaren perpendikularra da, eta beti du zentroranzko noranzkoa; horregatik, *azelerazio zentripetua* ere deritzo. Azelerazioaren osagai horrek ibilbidearen norabide-aldaketa adierazten du, ibilbidearen kurbadura sorraraziz. Higidura zirkularraren kasuan, honelaxe adieraz daiteke beraren balioa abiadura linealaren edo abiadura angeluarraren funtzioan:

a

N

=

v

2

R

=
R

ω

2

.

{\displaystyle a\_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}=R\omega ^{2}.}

{\displaystyle a_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}=R\omega ^{2}.}

Beraz, azelerazio bektorearen balioa honelaxe adieraziko da bektorialki ibilbideko edozein puntutan:


a

=

d

v

d

t


u

T

+
R

ω

2

u

N

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}+R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}}+R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}}
{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}} eta {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}} ibilbideko puntu bakoitzari dagozkion bektore unitario tangentziala (abiaduraren noranzkoan) eta normala (zentroranzko noranzkoan) izanik, hurrenez hurren.  

#### Azelerazio angeluarra

Definizioz, azelerazio angeluarra abiadura angeluarraren denborarekiko deribatua kalkulatuz lortzen da:


α
≡

d

ω

d

t

=


d

2

φ

d

t

2


.

{\displaystyle \alpha \equiv {\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}.}

{\displaystyle \alpha \equiv {\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}\varphi }{{\text{d}}t^{2}}}.}Azelerazio angeluarra {\displaystyle \alpha } sinboloz adierazten da eta {\displaystyle {\text{rad · s}}^{-2}} unitatetan neurtzen da.

Higidura zirkularraren dinamikako magnitudeak
---------------------------------------------

Higidura zirkularraren dinamika aztertzean bestelako magnitude batzuk ere erabiltzen dira:

Higidura zirkular ez-uniformeko azelerazioaren eta indarraren osagaiak.
### Higidura zirkularreko indarrak

Higidura zirkularreko dinamikan lehenik kontuan hartu behar dugun magnitudea higitzen ari den objektuan eragiten ari den indarra da, zeina Newtonen bigarren legean zehaztutakoa izango den:



F

=
m

a

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}.}Indar honen bi osagaiak honako hauek izango dira:

* **Indar tangentziala.** Aurreko atalean adierazitako azelerazio tangentzialari dagokiona da:


F

T

=
m

a

T

=
m

d

v

d

t


u

T

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{T}}=m{\boldsymbol {a}}\_{\text{T}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{T}}=m{\boldsymbol {a}}_{\text{T}}=m{\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}}.}Osagai hau da abiaduraren moduluan eragiten duena.
* **Indar normala.** Era berean, azelerazio normalari dagokiona da:


F

N

=
m
R

ω

2

u

N

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{N}}=mR\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{N}}=mR\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}.}Indar normal honek erradioaren norabidea du eta zentroranzko noranzkoa; horregatik, *indar zentripetua* ere deitzen zaio.Osagai honek ez du eraginik abiaduraren modulua, baina bera da ibilbidea zirkunferentzia izatera behartzen duena.

### Biraketa-zentroarekiko *momentu angeluarra*

Definizioz, biraketa-zentroarekiko zehaztu ohi den magnitude hau bi bektoreren arteko biderkadura bektoriala da. Hortaz, bektore bat da, hain zuzen ere, partikularen {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} posizio-bektorearen eta partikularen {\displaystyle {\boldsymbol {p}}} momentu linealaren arteko biderkadura bektoriala, ordena horretan egina:


L

O

≡

r

×

p

=

r

×
m

v

.

{\displaystyle {\boldsymbol {L}}\_{O}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {L}}_{O}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {p}}={\boldsymbol {r}}\times m{\boldsymbol {v}}.}Oro har, edozein punturekiko momentu angeluarra {\displaystyle {\boldsymbol {L}}} sinboloaz adierazi ohi da. Higidura zirkularraren kasuan, {\displaystyle O} azpi-indizea biraketa-zentroari dagokio.  

### Biraketa-zentroarekiko *inertzia-momentua*

Era honetan definituriko magnitudea da:



I

O

=
m

R

2

.

{\displaystyle I\_{O}=mR^{2}.}

{\displaystyle I_{O}=mR^{2}.} Alegia, partikularen masaren eta zirkunferentziaren erradioaren karratuaren arteko biderkadura da. Oro har, biraketa-ardatz batekiko inertzia-momentua {\displaystyle I} sinboloaz adierazi ohi da. Kasu honetan, {\displaystyle O}azpi-indizea higidura zirkularreko biraketa-zentroari dagokio.

### Biraketa-zentroarekiko indar-momentua

Higidura zirkularrean higitzen ari den partikulak jasaten duen indarraren bitartez definitzen da magnitude hau, honelaxe hain zuzen:


M

O

≡

r

×

F

.

{\displaystyle {\boldsymbol {M}}\_{O}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {M}}_{O}\equiv {\boldsymbol {r}}\times {\boldsymbol {F}}.}Hortaz, bektore bat da, balio hau duena: {\displaystyle {\boldsymbol {r}}} posizio-bektorearen eta {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} indarraren arteko biderkadura bektoriala, ordena horretan egina. Magnitude hau {\displaystyle {\boldsymbol {M}}} edo {\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}sinboloez idazten da. Kasu honetan ere, {\displaystyle O}azpi-indizea higidura zirkularreko biraketa-zentroari dagokio

Higidura zirkular uniformea
---------------------------

**Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.

---

Bideo hau Jakindun elkarteak egin du. Gehiago dituzu eskuragarri euren gunean. Bideoak dituzten artikulu guztiak ikus ditzakezu **hemen**.
Higidura zirkularraren kasu berezi modura, oso interesgarria da abiadura lineal konstantez gertatzen dena aztertzea. Higidura horri **higidura zirkular uniformea** deritzo. Higidura zirkular uniformean zenbait magnitude fisikok balio bereziak dute.

### Abiadura lineala eta abiadura angeluarra

Abiadura lineala eta abiadura angeluarra, biak ala biak, konstanteak dira:


v
=

kte

,

{\displaystyle v={\text{kte}},}

{\displaystyle v={\text{kte}},}

ω
=

kte

.

{\displaystyle \omega ={\text{kte}}.}

{\displaystyle \omega ={\text{kte}}.}
### Periodoa eta maiztasuna

Higidura zirkular uniformean, partikula etengabe ari da ibilbide zirkularra osatzen, betiere denbora-tarte berbera behar izanik birabetea osatzeko. Hain zuzen, denbora-tarte horri higiduraren *periodoa* deritzo; segundotan neurtzen da eta {\displaystyle P} edo {\displaystyle T} sinboloaz adierazten da. Esan bezala, higidura zirkular uniformean, ibilbidea errepikatu egiten da denbora-tarte hori pasatu ondoren, behin eta berriro. Izan ere, periodoa konstantea da, eta higidura osoa ezaugarritzen du; horregatik, ibilbidea "*periodikoa*" dela esaten da.

Erraz kalkula daiteke periodoaren balioa abiadura angeluar edo abiadura linealaren funtzioan. Periodo batean ibilitako birabetea {\displaystyle 2\pi R} distantziaren edo {\displaystyle 2\pi }balioko angeluaren baliokidea dela kontsideraturik, berdintza hauek idatz ditzakegu:


v
P
=
2
π
R
→
P
=

2
π
R

v

,

{\displaystyle vP=2\pi R\rightarrow P={\frac {2\pi R}{v}},}

{\displaystyle vP=2\pi R\rightarrow P={\frac {2\pi R}{v}},}

ω
P
=
2
π
→
P
=

2
π

ω

.

{\displaystyle \omega P=2\pi \rightarrow P={\frac {2\pi }{\omega }}.}

{\displaystyle \omega P=2\pi \rightarrow P={\frac {2\pi }{\omega }}.}Periodoaren alderantzizko magnitudea *maiztasuna* da; *frekuentzia*  ere esaten zaio, eta {\displaystyle f} edo {\displaystyle \nu } ("nu" letra grekoa) sinboloez adierazten da:


ν
≡

1
P

.

{\displaystyle \nu \equiv {\frac {1}{P}}.}

{\displaystyle \nu \equiv {\frac {1}{P}}.}Higidura zirkular uniformearen maiztasunak zehazki adierazten du partikulak zenbait birabete osatzen dituen segundo bakoitzean. Maiztasuna neurtzeko unitatea *hertz* deitzen da eta {\displaystyle {\text{Hz}}}sinboloaz adierazten da. Hertz unitatea {\displaystyle {\text{s}}^{-1}}unitatearen baliokidea da dimentsionalki.  

Higidura zirkular uniformeko abiadura, azelerazio zentripetua eta indar zentripetua.
### Azelerazioa

#### Azelerazio tangentziala

Higidura zirkular uniformearen kasuan abiadura lineala konstantea denez, azelerazio tangentziala nulua da:



a

T

=

d

v

d

t

=
0.

{\displaystyle a\_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=0.}

{\displaystyle a_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=0.}  

#### Azelerazio normala

Beraz, kasu honetan partikularen azelerazioak osagai bakarra du, azelerazio normala, eta beraren balioa hauxe da:



a

N

=

v

2

R

=

ω

2

R
.

{\displaystyle a\_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R.}

{\displaystyle a_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R.}Azelerazio normal horri *azelerazio zentripetua* ere esaten zaio, zentroranzko noranzkoa duelako. Zer esanik ez, partikulak azelerazio hori izan dezan, kanpotik noranzko bereko indar bat egin behar zaio; horregatik, indar horri *indar zentripetua* deritzo. Hain zuzen, {\displaystyle m} masa duen partikula puntual batek higidura zirkular uniformea izan dezan, etengabe egin behar zaio balio honetako indar zentripetu bat:



F

N

=
m

a

N

=
m

v

2

R

=
m

ω

2

R
.

{\displaystyle F\_{\text{N}}=ma\_{\text{N}}=m{\frac {v^{2}}{R}}=m\omega ^{2}R.}

{\displaystyle F_{\text{N}}=ma_{\text{N}}=m{\frac {v^{2}}{R}}=m\omega ^{2}R.}Izatez, balio hori indar zentripetu bektorearen modulua da, eta norabidea etengabe aldatzen ari da posizioarekin, beti pasatzen baita zentrotik; gainera, beti du zentroranzko noranzkoa, alboko irudian ikus daitekeen bezala.

Higidura zirkular uniformeko magnitudeak koordenatu kartesiarretan.
### Higidura zirkular uniformea planoko koordenatu kartesiarretan

Higidura zirkularreko planoan, jatorria zirkunferentziaren zentroan daukan koordenatu-sistema kartesiarra hartuko dugu erreferentziatzat. Bestalde, hasierako unean, {\displaystyle t=0}izan denean, partikula {\displaystyle P\_{0}} puntutik pasatu dela kontsideratuko dugu. Gauzak horrela, honelaxe adierazi ahal dira higidura zirkular uniformeko magnitude zinematikoen balioak edozein *t* aldiunetan.


Higidura zirkular uniformea koordenatu kartesiarretan| Magnitudea | Magnitudearen balioa {\displaystyle t} aldiunean |
| --- | --- |
| Abiadura angeluarra | 

ω
=

kte

{\displaystyle \omega ={\text{kte}}}

{\displaystyle \omega ={\text{kte}}} |
| Posizio angeluarra | 

φ
(
t
)
=
ω
t

{\displaystyle \varphi (t)=\omega t}

{\displaystyle \varphi (t)=\omega t} |
| Partikularen posizioa | 

P
(
x
,
y
)

{\displaystyle P(x,y)}

{\displaystyle P(x,y)}

x
(
t
)
=
R
cos
⁡

ω
t

{\displaystyle x(t)=R\cos {\omega t}}

{\displaystyle x(t)=R\cos {\omega t}}

y
(
t
)
=
R
sin
⁡

ω
t

;

{\displaystyle y(t)=R\sin {\omega t};}

{\displaystyle y(t)=R\sin {\omega t};}

r

=

O
P

→

=
R
cos
⁡

ω
t

 

i

+
R
sin
⁡

ω
t

 

j

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\overrightarrow {OP}}=R\cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+R\sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}={\overrightarrow {OP}}=R\cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+R\sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}} |
| Ibilbidearen ekuazio kartesiarra | 

x

2

+

y

2

=

R

2

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}}

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}} |
| Abiadura | 

v

(
t
)
=

d

r

d

t

=
−
R
ω
sin
⁡

ω
t

 

i

+
R
ω
cos
⁡

ω
t

 

j

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}=-R\omega \sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+R\omega \cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t}}=-R\omega \sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}+R\omega \cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}} |
| Azelerazioa | 

a

(
t
)
=

d

v

d

t

=
−
R

ω

2

cos
⁡

ω
t

 

i

−
R

ω

2

sin
⁡

ω
t

 

j

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=-R\omega ^{2}\cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}-R\omega ^{2}\sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=-R\omega ^{2}\cos {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {i}}-R\omega ^{2}\sin {\omega t}{\text{ }}{\boldsymbol {j}}} |

  

Donostiako zaldiko-maldikoa.

Higidura zirkular uniformeko adibideak
--------------------------------------

Noriaren kasuan bidaiarien ibilbidea plano bertikalean gertatzen da, ardatz horizontalaren inguruan.
Eguneroko bizitzan, higidura zirkularraren hainbat adibide ditugu.

### Zaldiko-maldikoak eta noriak

Umeek (eta helduek) gustuko jolasgarri dituzten zaldiko-maldikoek (*karrusel* ere deituak) erdigunean dagoen ardatz bertikal baten inguruan ari dira biraka. Bitartean, plataforma zirkular horizontaleko puntu guztiek higidura zirkularra osatzen dute plataformako biraketa-ardatz horren inguruan.

Lurra biraka ari etengabe poloetatik pasatzen den ardatzaren ingurua, egunero birabetea osatuz.
Norien kasuan ere, jendearentzako kutxek ibilbide zirkularra osatzen dute, baina kasu honetan biraketa-ardatza horizontala da eta higidura zirkularra plano bertikal batean gauzatzen da.

### Lurraren biraketa-higidura

Lurra, gu bizi garen planeta, Ipar Polotik Hego Polora doan ardatzaren inguruan ari da biraka, egunero birabete osoa eginez. Horregatik, gutariko bakoitzak higidura zirkularra dugu ardatz horren inguruan, etengabe; hala ere, konturatu ere ez gara egiten higidura hori dugunik, ohituta baikaude sistema ez-inertzial horretan bizitzen, eta pisu-sentsazioan integraturik sumatzen baitugu biraketa horren ondoriozko indar zentrifugoa.

Higidura zirkular ez-uniformea
------------------------------

Higidura zirkular ez-uniformean abiadura lineala eta abiadura angeluarra ez dira konstanteak; aldatu egiten dira. Hortaz, azelerazio tangentziala ez da nulua, eta hortaz azelerazio bektorean bi osagai izango ditu etengabe:

### Azelerazio tangentziala

Kasu honetan abiadura aldatzen ari denez,



v
=
v
(
t
)

 eta 

ω
=
ω
(
t
)
,

{\displaystyle v=v(t){\text{ eta }}\omega =\omega (t),}

{\displaystyle v=v(t){\text{  eta  }}\omega =\omega (t),} 

a

T

=

d

v

d

t

≠
0

{\displaystyle a\_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\neq 0}

{\displaystyle a_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}\neq 0}da, eta horrek esan nahi du kontuan eduki behar dugula osagai tangentziala,


a

T

=

d

v

d

t


u

T

=
R

d

ω

d

t


u

T

,

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}},}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}},}non {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}} ibilbidearen bektore unitario tangentea den puntu bakoitzean.   

### Azelerazio normala

Beti ere kontuan izanik bai azelerazio lineala eta bai abiadura angeluarra denboraren funtzioak direla, azlerazio normala honako izango da:


a

N

=

v

2

R

u

N

=
R

ω

2

u

N

,

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}=R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}},}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}_{\text{N}}={\frac {v^{2}}{R}}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}=R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}},}non {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}} aldiuneko erradioari dagokion zentroranzko bektore unitarioa den. Zer esanik ez, azelerazio normalaren modulua aldatu egingo da denboraren funtzioan, abiaduraren modulua ere aldatu egiten baita, nahiz erradioa konstantea izan:

  



a

N

=
f
(
t
)
.

{\displaystyle a\_{\text{N}}=f(t).}

{\displaystyle a_{\text{N}}=f(t).}
### Azelerazio bektorea

Beraz, higidura zirkular uniformearen kasuan ez bezala, higidura zirkular ez-uniformean azelerazio bektoreak ez du erradioaren norabidea, bi osagaiek batera adierazten dutena baizik:



a

=

d

v

d

t


u

T

+

v

2

R

u

N

=
R

d

ω

d

t


u

T

+
R

ω

2

u

N

.

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}+{\frac {v^{2}}{R}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}+R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}}+{\frac {v^{2}}{R}}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {u}}_{\text{T}}+R\omega ^{2}{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}.}
### Higidura zirkular uniformeki azeleratua

Higidura zirkular ez-uniformean abiaduraren eta azelerazioaren osagaien moduluak aldatuz doaz denboraren funtzioan. Kasu honetan higidura uniformeki azeleratua adierazi da  (azelerazio tangentearen modulua konstantea izanik).
Higidura zirkular ez-uniformearen kasu berezi honetan, azelerazio angeluarra *konstantea* da, hots, {\displaystyle \alpha ={\text{kte.}}} Balio horretan oinarriturik, erraz kalkula ditzakegu higidura uniformeki azeleratuari dagozkion gainerako magnitude zinematikoak.

Azelerazio angeluarraren definiziotik abiaturik,


α
≡

d

ω

d

t

,

{\displaystyle \alpha \equiv {\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}},}

{\displaystyle \alpha \equiv {\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}},}partikularen *abiadura angeluarra* lor dezakegu, integrazioz. Era horretan, abiadura angeluarrak denboraren funtzioan duen eboluzioa kalkulatuko dugu:



d

ω
=
α

d

t
⟶

∫

ω

0

ω

d

ω
=
α

∫

0

t

d

t
,

{\displaystyle {\text{d}}\omega =\alpha {\text{d}}t\longrightarrow \int \_{\omega \_{0}}^{\omega }{\text{d}}\omega =\alpha \int \_{0}^{t}{\text{d}}t,}

{\displaystyle {\text{d}}\omega =\alpha {\text{d}}t\longrightarrow \int _{\omega _{0}}^{\omega }{\text{d}}\omega =\alpha \int _{0}^{t}{\text{d}}t,}

ω
(
t
)
=
α
t
+

ω

0

.

{\displaystyle \omega (t)=\alpha t+\omega \_{0}.}

{\displaystyle \omega (t)=\alpha t+\omega _{0}.}Eta horren bidez, partikulak edozein aldinuetan daukan *posizio angeluarra* ere kalkula dezakegu, hau ere denboraren funtzio modura:


ω
≡

d

φ

d

t

.

{\displaystyle \omega \equiv {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}.}

{\displaystyle \omega \equiv {\frac {{\text{d}}\varphi }{{\text{d}}t}}.}Hortik,



∫

φ

0

φ

d

φ
=

∫

0

t

ω

d

t
⟶
φ
(
t
)
=

1
2

α

t

2

+

ω

0

t
+

φ

0

.

{\displaystyle \int \_{\varphi \_{0}}^{\varphi }{\text{d}}\varphi =\int \_{0}^{t}\omega {\text{d}}t\longrightarrow \varphi (t)={\frac {1}{2}}\alpha t^{2}+\omega \_{0}t+\varphi \_{0}.}

{\displaystyle \int _{\varphi _{0}}^{\varphi }{\text{d}}\varphi =\int _{0}^{t}\omega {\text{d}}t\longrightarrow \varphi (t)={\frac {1}{2}}\alpha t^{2}+\omega _{0}t+\varphi _{0}.}Bestalde, abiadurari dagokionez, honako hau izango da *abiadura linealaren modulua*:


v
(
t
)
=
R
ω
=
R
α
t
+
R

ω

0

.

{\displaystyle v(t)=R\omega =R\alpha t+R\omega \_{0}.}

{\displaystyle v(t)=R\omega =R\alpha t+R\omega _{0}.}Alegia, abiaduraren modulua aldatuz joango da denboran zehar, azelerazio angeluarraren kausaz. Zer esanik ez, *abiadura bektorea*k ibilbidearen lerro ukitzailearen norabidea izango du puntu bakoitzean.

Bestalde, *azelerazio lineala*k bi osagai hauek izango ditu:

* **Azelerazio tangentziala.** Aurreko balioak ordezkatuz, honako hau lortuko dugu:

a

T

=

d

v

d

t

=
R

d

ω

d

t

=
R
α
=

kte

.

{\displaystyle a\_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}=R\alpha ={\text{kte}}.}

{\displaystyle a_{\text{T}}={\frac {{\text{d}}v}{{\text{d}}t}}=R{\frac {{\text{d}}\omega }{{\text{d}}t}}=R\alpha ={\text{kte}}.}Agerikoa denez, azelerazioaren osagai tangentzialak balio konstantea du ibilbidean zehar, azelerazio angeluarra konstantea baita.

* **Azelerazio normala (**edo **zentripetua).** Abiadura linealaren balio ordezkatuz,

a

N

(
t
)
=

v

2

R

=

ω

2

R
=
(
α
t
+

ω

0

)

2

R
.

{\displaystyle a\_{\text{N}}(t)={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R=(\alpha t+\omega \_{0})^{2}R.}

{\displaystyle a_{\text{N}}(t)={\frac {v^{2}}{R}}=\omega ^{2}R=(\alpha t+\omega _{0})^{2}R.}Beraz, azelerazioaren osagai zentripetua denboraren funtzioa da; horrela behar du izan abiadura ere denboraren funtzioa baita.

Hortaz, honelaxe eman dezakegu *azelerazio bektorea* edozein puntutan:



a

=
R
α

u

T

+
(
α
t
+

ω

0

)

2

R

u

N

.

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=R\alpha {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}+(\alpha t+\omega \_{0})^{2}R{\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}=R\alpha {\boldsymbol {u}}_{\text{T}}+(\alpha t+\omega _{0})^{2}R{\boldsymbol {u}}_{\text{N}}.}Alegia, azelerazioa denboraren funtzioa da, bai norabidez eta bai moduluz.  

Pawel Fajdek mailu-jaurtiketako proban, Gwanju-ko Udako Unibertsiadan (2015).
### Abididea: mailu jaurtitzaileen teknika

Higidura zirkular uniformeki azeleratuaren adibide bat atletismoko mailu-jaurtiketaren probetan gertatzen da, gutxi gorabehera. Kasu honetan, lehenik kable muturreko bola posizio egokira igo ondoren, atleta behin eta berriro hasten da biraka, gero eta bizkorrago biratuz eta lauzpabost zirkunferentzia osatuz. Mailu-jaurtitzaileak horretarako beharrezko diren indar tangentziala eta indar normala egin beharko ditu: azelerazio tangentziala, bolaren abiadura lineala areagotzeko; eta indar normala (zentripetua), bola higidura zirkularrean edukitzeko.

Indar tangentziala nahikoa antzekoa izango da jaurtitze-prozesuan zehar, baina indar zentripetua gero eta handiagoa izango, abiadura linealaren karratuaren proportzionala baita. Era horretan, bolaren abiadura lineala modulu eta norabide egokian daudenean (eta indar zentrifugoari ia eutsi ezinik dagoela), atletak eskuak askatu eta mailu-bolak ibilbidea (ia parabolikoa) osatzen du airean, ahalik eta urrunen jaurti ondoren, alboko bideoan ikus daitekeenez.

 Ariketak
---------

* Higidura zirkularra
* **Higidura motak ezberdintzen** ikasteko bideoa.
* **Higidura eta pausagunea** lantzeko ariketa.
* **Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.
* **Higidura zirkular uniformea** bi gorputz ariketa

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Gaztelaniaz)**  [https:www.sc.ehu.es/sbweb/fisika/default.htm *Fisika ordenagailuaz-UPV-EHU.* ] (Noiz kontsultatua: 2019-04-02).
2. ↑   **(Ingelesez)**  *Uniform Circular Motion.*  (Noiz kontsultatua: 2019-04-03).

Bibliografia
------------

* Etxebarria, Jose Ramon (argitaratzailea) (2003) Fisika Orokorra (2. arg.), Udako Euskal Unibertsitatea (UEU), ISBN 84-8438-045-9
* Marion, Jerry B. (1996). *Dinámica clásica de las partículas y sistemas*. Barcelona: Ed. Reverté. ISBN 84-291-4094-8
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola, *Mekanika eta Uhinak*, UEU (1992), ISBN 84-86967-42-2
* J.M. Agirregabiria, *Mekanika klasikoa*, UPV/EHU (2004), ISBN 84-8373-631-4

Ikus gainera
------------

* Abiadura
* Azelerazioa
* Indar
* Indar baten osagaiak
* Indar zentripetua
* Indar zentrifugoa
* Orbita
* Orbita geoestazionario
* Zinematika
* Dinamika

Kanpo estekak
-------------

* Higidura zirkularra. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea.
* Higidura zirkularraren dinamika. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q715746
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q715746