Matematikan, **Leibnizen formulak** π kalkulatzeko balio du. Gottfried Leibnizen ohorez horrela izendatua, honela dio:

{\displaystyle 1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,{\frac {1}{7}}\,+\,{\frac {1}{9}}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}
Aurreko espresioa serie infinitu bat da, **Leibnizen seriea** deritzona, π ⁄ 4 denean konbergentzia lortzen duena. **Gregalik-Leibniz saila** ere deitzen zaio, James Gregoryren lana aitortzeko, Leibnizko garaikidea baita. Batuketaren ikurra erabiliz, honela adieraz daiteke seriea:

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }\,{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;=\;{\frac {\pi }{4}}.\!}
Serie edo formula hori sailak alderantzizko funtzio tangenterako duen hedapen orokorrago baten kasu berezia da. XV. mendean aurkitu zuen Madhava Sangamagramakoak, Keralako astronomia- eta matematika-eskolaren sortzaile indiarrak, Leibnizek bere serie espezifikoa argitaratu baino 300 urte lehenago. Bere lana eskertzeko, formula horri **Madhava-Leibniz** saila ere esaten zaio.

Demostrazioa
------------

Har dezagun serie geometriko infinitua

{\displaystyle 1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,x^{6}\,+\,x^{8}\,-\,\cdots \;=\;{\frac {1}{1+x^{2}}},\qquad |x|<1.\!}
Berdintasunaren bi kideak integratuz, potentzia batzuk lortzen dira arkotangente batentzat:

{\displaystyle x\,-\,{\frac {x^{3}}{3}}\,+\,{\frac {x^{5}}{5}}\,-\,{\frac {x^{7}}{7}}\,+\,{\frac {x^{9}}{9}}\,-\,\cdots \;=\;\tan ^{-1}x,\qquad |x|<1.\!}
x = 1 balioa sartzean, Leibnizen formula lortzen da (1 balioa π tangente da). Arrazoibide horren arazoa da 1 ez dagoela potentzia horien konbergentzia-erradioan, eta, beraz, argumentu sendoago bat behar da erakusteko seriea tan−1(1) dela x = 1 denean. Aukera bat seriearen konbergentzia Leibnizen irizpidearen bidez erakustea da, gero Abelen teorema aplikatzeko tan−1(1) konbergentzia izan behar duela frogatzeko. Baina oinarrizko argudioa ere erabil daiteke.

### Oinarrizko argudioa

Demagun deskonposizio hau dugula:

{\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}\;=\;1\,-\,x^{2}\,+\,x^{4}\,-\,\cdots \,+\,(-1)^{n}x^{2n}\;+\;{\frac {(-1)^{n+1}\,x^{2n+2}}{1+x^{2}}}.\!}
|*x*| < 1rako, eskuineko frakzioa da serie geometrikoko gainerako terminoen batura. Hala ere, ekuazioak ez ditu serie infinituak erabiltzen, eta x-ren edozein balio errealetan betetzen da. Bi kideak 0tik 1era integratuz, hau lortzen da:

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}\;=\;1\,-\,{\frac {1}{3}}\,+\,{\frac {1}{5}}\,-\,\cdots \,+{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}\;+\;(-1)^{n+1}\!\!\int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx.\!}
Gero eta {\displaystyle n\rightarrow \infty \!\,}-ra gehiago hurbildu, ekuazioko gaien baturak, integralak izan ezik, Leibnizen seriera jotzen du, eta integralak 0ra jotzen du:

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\frac {x^{2n+2}}{1+x^{2}}}\,dx\;<\;\int \_{0}^{1}x^{2n+2}\,dx\;=\;{\frac {1}{2n+3}}\;\rightarrow \;0\qquad {\text{cuando }}n\rightarrow \infty .\!}
Horrek frogatzen du Leibnizen formula.

π kalkulatzeko eraginkortasuna
------------------------------

Praktikan, Leibnizen formula ez da oso eraginkorra π kalkulatzeko, urrats kopuru handia behar baitu nolabaiteko zehaztasuna lortzeko. π kalkulatzeko, 10 hamartar *zuzen* erabiliz, bost mila milioi eragiketa matematiko baino gehiago egin behar dira, eta ordenagailuek denbora gehiago beharko dute π kalkulatzeko formula eraginkorragoak erabiliz.

Hala ere, seriea une egokian eteten bada, hurbilketaren irudikapen hamartarra zuzena izango da beste digitu askorentzat, zifra isolatuak edo zifra multzoak izan ezik. 5 milioi termino hartuta, hau lortzen da:

3.1415924535897932384646433832795027841971693993873058...
azpimarratutako zifrak okerrak dira. Hain zuzen, aurresangarriak dira akatsak: Eulerren zenbakiek sortzen dituzte *En* formula asintotikoaren arabera

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-2\sum \_{k=1}^{N/2}{\frac {(-1)^{k-1}}{2k-1}}\sim \sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {E\_{2m}}{N^{2m+1}}}\!}
no *N* zenbaki oso bat baita, 4rekin zatitu daitekeena. *N* hamarreko potentzia bada, eskuineko gai bakoitza zatiki hamartar finitu bat da. Formula Boolek serie alternoen batuketa egiteko formularen kasu berezia da. 1992an, Jonathan Borweinek eta Mark Limberrek π kalkulatu zuten 5.263 hamartarrekin, Leibnizen formulako lehen mila terminoak bakarrik erabiliz.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   George E. Andrews, Richard Askey, Ranjan Roy.  (1999). *Special Functions.*  Cambridge University Press, 58 or. ISBN 0521789885..
2. ↑   Gupta, R. C..  (1992). «On the remainder term in the Madhava-Leibniz's series» *Ganita Bharati* 14 (1-4): 68-71..

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q97226587

 |

* Wd Datuak: Q97226587