Aljebra linealean, **LU faktorizazioa** edo **LU deskonposaketa** (ingelesezko *Lower-Upper*-etik) matrize bat faktorizatzeko modu bat da, zeinak emaitza gisa bi matrize ematen dituen: bata behe-triangeluarra eta bestea goi-triangeluarra. Faktorizazio modu hau gehienbat ekuazio-sistemak eraginkorrago ebazteko erabiltzen da, edo alderantzizko matrizeak aurkitzeko, besteak beste. LU faktorizazioa burutzeko oinarrizko matrizeak erabili ohi dira.

Definizioa
----------

Izan bedi {\displaystyle A} matrize alderantzikagarri bat (ez balitz baliteke emaitza desberdinak egotea). Jakina da {\displaystyle A=LU} dela, non {\displaystyle L} eta {\displaystyle U} matrize behe- eta goi-triangeluarrak diren hurrenez hurren.

{\displaystyle 3\times 3} motako matrizeentzat honakoa dugu:{\displaystyle {\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\l\_{21}&1&0\\l\_{31}&l\_{32}&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}u\_{11}&u\_{12}&u\_{13}\\0&u\_{22}&u\_{23}\\0&0&u\_{33}\\\end{pmatrix}}}.

Bestalde, *PLU deskonposaketak* honako itxura du:

{\displaystyle L\_{m-1}P\_{m-1}...L\_{2}P\_{2}L\_{1}P\_{1}A=U}

Non {\displaystyle L\_{m-1}...L\_{1}} matrize behe-triangeluarrak diren, {\displaystyle P\_{m-1}...P\_{1}} permutazio-matrizeak eta {\displaystyle U} matrize goi-triangeluarra.

{\displaystyle L} zein den jakin nahi badugu, honakoa egin behar da:

{\displaystyle L=({L'}\_{m-1}\*...\*{L'}\_{2}\*{L'}\_{1})^{-1}}

{\displaystyle {L'}\_{k}} bakoitza honakoa delarik:

{\displaystyle {L'}\_{k}} = {\displaystyle {P}\_{m-1}\*...\*{P}\_{k+1}\*{L}\_{k}\*{P^{-1}}\_{k+1}\*...\*{P^{-1}}\_{m-1}}

Hori hala da {\displaystyle {L'}\_{k}} {\displaystyle L\_{k}}-ren berdina delako, baina azpidiagonaleko elementuak permutatuta dituela. Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

Faktorizazio modu hau ikusteko beste modu bat honakoa da: {\displaystyle A=P^{T}LU}. Permutazio matrizea alderantzikagarria da eta bere alderantzikoa bere iraulia ere bada.

Aplikazioak eta adibideak
-------------------------

### Ekuazio-sistemen ebazpena

LU faktorizazioak ekuazio-sistemen ebazpena erraztu dezake, ekuazio edo ezezagun ugariko sistemetan. Hartarako, Gauss-Jordanen metodoa gogoratzea komeni da lehenik.

Izan bedi honako ekuazio-sistema:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}\,x&+&\,y&+&\,z&=&2\\5\,x&+&4\,y&+&3\,z&=&4\\2\,x&+&\,y&+&2\,z&=&1\end{array}}\right.}Sistemari matrize-forma emanez honakoa dugu:

{\displaystyle A{\bar {x}}={\bar {b}}\Longrightarrow {\begin{pmatrix}1&1&1\\5&4&3\\2&1&2\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\\z\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\\4\\1\\\end{pmatrix}}}

Eta hura garatuz, oinarrizko matrizeak erabiliz:

{\displaystyle (A|b)=\left({\begin{matrix}1&1&1\\5&4&3\\2&1&2\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}2\\4\\1\end{matrix}}\right)=E\_{21}(-5)\left({\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&-2\\2&1&2\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}2\\-6\\1\end{matrix}}\right)=E\_{31}(-2)\left({\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&-2\\0&-1&0\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}2\\-6\\-3\end{matrix}}\right)=E\_{32}(-1)\left({\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&-2\\0&0&2\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}2\\-6\\3\end{matrix}}\right)=U}

Jakina denez L-1 matrizea erabilitako oinarrizko matrize guztien arteko biderketa dela:

{\displaystyle L^{-1}=E\_{21}(-5)\cdot E\_{31}(-2)\cdot E\_{32}(-1)=\left({\begin{matrix}1&0&0\\-5&1&0\\3&-1&1\end{matrix}}\right)}

Haren alderantzizkoa izango da L matrizea, zeina kalkulatzeko oinarrizko matrizeen propietateak erabil daitezkeen:

{\displaystyle L=(L^{-1})^{-1}=\left({\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\2&1&1\end{matrix}}\right)}

Beraz, ateratako L eta U matrizeen arteko biderketa izango da A matrizearen LU faktorizazioa:

{\displaystyle A=L\cdot U=\left({\begin{matrix}1&0&0\\5&1&0\\2&1&1\end{matrix}}\right)\left({\begin{matrix}1&1&1\\0&-1&-2\\0&0&2\end{matrix}}\right)}

Definizioan esan bezala, goiko adierazpenean ikus daiteke L eta U matrizea triangeluarrak direla, lehena behe-triangeluarra eta bigarrena goi-triangeluarra. Behin LU faktorizazioa edukita, interesgarria izan daiteke haren U osagaia erabiltzea ekuazio-sistema ebazteko, izan ere, matrizea forma triangeluarrekoa izanda, ekuazio-sistema berehalakoa bihurtzen da. Hartarako U kalkulatu bitartean eskuratu dugun {\displaystyle {\bar {c}}} gai-askeen zutabe-matrizea berreskuratu behar dugu eta honakoa gogoratu:

{\displaystyle U{\bar {x}}={\bar {c}}}

Beraz, matrizeak ekuazio-sistema gisa adierazita:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcrcr}\,x&+&\,y&+&\,z&=&2\\\,&&-1\,y&+&-2\,z&=&-6\\\,&&\,&&2\,z&=&3\end{array}}\right.}

Eta ekuazio-sistema hori berehalakoa da: {\displaystyle x={\frac {-5}{2}}}, {\displaystyle y=3} eta {\displaystyle z={\frac {3}{2}}}.

LU faktorizazioari errendimendu handiagoa ateratzeko, ekuazio sistema honela ere ebatz daiteke:

1. Lehenik, {\displaystyle Ly=b} ebatzi, {\displaystyle y} aldagaia ateraz.
2. Ondoren, {\displaystyle Ux=y} ebatzi, {\displaystyle x} aldagaia ateraz.

### Alderantzizko matrizearen kalkulua

Alderantzizko matrizeak kalkula daitezke LU faktorizazioa erabiliz, honako formula jarraituz:

{\displaystyle A^{-1}=U^{-1}L^{-1}P}

Zenbait programa informatiko formula horretan oinarritzen dira.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q833089
* Commonscat Multimedia: LU decomposition

---

 |

* Wd Datuak: Q833089
* Commonscat Multimedia: LU decomposition