|  |
| --- |
| Artikulu sorta honen partea: |
| Mekanika klasikoa |
| {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}}Newtonen legeak |
| 
* Historia
* Kronologia

 |
| Adarrak
* Aplikatua
* Dinamika
* Estatika
* Zerukoa
* Zinematika
* Medio jarraituak
* Zinetika
* Estatistikoa

 |
| Oinarriak
* Abiadura
* Azelerazioa
* Abiadura-modulua
* Bulkada
* D'Alembert-en printzipioa
* Denbora
* Energia
	+ potentziala
	+ zinetikoa
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Espazioa
* Indar-parea
* Indarra
* Inertzia / Inertzia-momentua
* Lana
* Lan birtuala
* Masa
* Momentua
* Momentu angeluarra
* Momentu lineala
* Potentzia
* Torkea

 |
| Zientzialariak
* Galileo
* Huygens
* Newton
* Kepler
* Horrocks
* Halley
* Euler
* d'Alembert
* Clairaut
* Lagrange
* Laplace
* Hamilton
* Poisson
* Daniel Bernoulli
* Johann Bernoulli
* Cauchy

 |
| Muinekoak
* Bibrazioa
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Gorputz zurruna
	+ Eulerren ekuazioa
	+ Solido zurrunaren mekanika
* Grabitazio unibertsalaren legea
* Higidura zuzena
* Higidura
* Marruskadura-indarra
* Newtonen legeak
* Osziladore harmonikoa
* Moteltze(Moteltze ratio)
* Higiduraren ekuazioa
* Eulerren higiduraren legeak
* Itxurazko indarra
* Partikula planarraren higadura-mekanika
* Abiadura erlatiboa
* Higidura harmoniko sinple

 |
| Biraketa
* Abiadura angeluarra
* Abiadura tangentziala
* Azelerazio angeluarra
* Biraketa-abiadura
* Coriolis efektua
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Higidura zirkular
* Indar zentripetu
* Indar zentrifugo
* Maiztasuna
* Pendulua

 |
| Formulazioak
* Newtonen legeak
* Mekanika analitikoa
* Mekanika Lagrangiar
* Mekanika Hamiltoniar
* Mekanika Routhiar
* Hamilton–Jacobi ekuazioa
* Appellen higidura-ekuazioa
* Koopman–von Neumann mekanika

 |
| Kategoriak  Mekanika klasikoa
 |
| * i
* e
* a
 |

**Leonhard Euler** (Basilea, Suitza, 1707ko apirilaren 15a - San Petersburgo, Errusia, 1783 irailaren 18a) matematikaria eta fisikaria izan zen. Historiako matematikari handienetakoa, Arkimedesekin, Newtonekin eta Gaussekin batera; eta, argitaratutako lan kopuruari begiratuz gero, emankorrena, dudarik gabe. Orduko matematika-arlo ia guztietan ekarpen garrantzitsuak egiteaz gain terminologia eta notazio matematiko modernoaren sortzaileetakoa izan zen. Orobat lan garrantzitsuak egin zituen fisikan, mekanikan, hidrodinamikan, optikan eta astronomian.

Luterotar Elizaren santu egutegian Eulerren eguna ospatzen dute maiatzaren 24an. Kristau fededuna zen, Bibliaren hutsezintasunean sinesten zuena, eta bere garaiko ateisten aurkako apologiak idatzi zituen.

Bizitza
-------

### Lehen urteak

Leonhard Euler Basilean sortu zen, Paul Euler artzain kalbinista zuen aita, eta ama berriz Marguerite Brucker, hura ere artzain kalbinista baten alaba zena. Hiru haurrideren arteko zaharrena zen. Oraindik haurra zelarik, familia Basilea inguruko herri txiki batera joan zen bizitzera, Riehenera. Leonharden aita Bernoulli familiakoen laguna zen, eta horrek eragina izan zuen gaztearen interes zientifikoan.

Leonhard Basileara joan zen ikasketak egitera, 13 urte zituelarik. Basileako Unibertsitatean izena eman eta 1723an filosofia titulua eskuratu zuen Newton eta Descartesen arteko konparaketa bati buruzko lan bat aurkeztuz. Garai hartan, Johann Bernoullirengandik ikasgaiak jasotzen zituen, eta irakaslea berehala konturatu zen gazteak matematikarako zuen gaitasunaz.

Gaitasunak gorabehera, Eulerrek aitaren pausoak jarraitu nahi zituen eta teologia, greziera eta hebreera ikasten ari zen, artzain izateko asmoz. Johann Bernoullik Eulerren gurasoekin hitz egin eta matematikaren munduan etorkizun oparoa izango zuela konbentzitu zituen. 1726an soinuaren hedapenari buruzko tesia aurkeztu zuen (*De sono*) eta 1727an Frantziako Zientzia Akademiaren lehiaketa batera aurkeztu zuen bere burua. Lehiaketaren helburua itsasontzi batean masta nagusia kokapen egokia aurkitzeko metodo onena aurkeztean zetzan, eta Eulerrek bigarren postua eskuratu zuen, Pierre Bouguerren atzetik. Geroago lortuko zuen lehiaketan gainditzea, eta bi aldiz ere saria irabazi.

### San Petersburgo

Euler Basilean ikasle zebilen bitartean, Johann Bernouilliren semeetako bi San Petersburgon ari ziren lanean, Errusiako Zientzien Akademian. Nicolaus matematika eta fisiken arloan ari zen lanean, eta Daniel fisiologia arloan. Nicolausen heriotzan Danielek eskuratu zuen matematika eta fisikako postua, eta fisiologiakoa Eulerri eskaintzea proposatu zuen. Eulerrek, Basilean irakasle postua eskuratu nahian ari zenak, eskaintza onartu eta 1727ko maiatzean heldu zen San Petersburgora. Laster pasa zuten fisiologia sailetik matematika sailera.

Egoera nahasia zen San Petersburgoko Akademian. Petri I.ak sortua izan zen atzerriko zientzialariak erakarri eta herrialdeko hezkuntza eta ikerketa arloak hobetzeko. Kanpotik zetozen ikerlari eta irakasleek baldintza onetan egiten zuten lan, baina hori aldatu egin zen garai hartako estatu burua, Katalina I.a, hil zenean, Euler San Petersburgora heldu zen egun berean. Heriotza horren ondorioz Petri II.a, 12 urteko mutikoa, bihurtu zen estatuburu, eta errusiar nobleziak botere asko eskuratu zuen. Atzerritarrekiko mesfidantzaz, diru iturriak gutxitu eta askatasuna murriztu zieten errusiar nobleek.

Petri II.a hiltzean baldintzak hobetu ziren ikerlarientzat. Euler Akademiako postuetan gora joan zen apurka, eta 1731an matematika sailaren zuzendaritza postua eskuratu zuen, Daniel Bernoullik San Petersburgo utzi zuenean.

1734an Euler Katharina Gsellekin ezkondu zen, Georg Gsell margolariaren alabarekin. 13 seme-alaba ukan zituzten, nahiz eta bost soilik iritsi ziren helduarora.

### Berlin

1741eko ekainean Berlinera joan ziren Euler eta bere familia. Errusiako akademiako giro nahasiaz nazkaturik, Federiko II.a handiaren eskaintza onartu eta Berlingo Akademian lanpostu bat eskuratu zuen. 25 urtez bizi izan zen Berlinen, eta bertan idatzi zituen bere lan nagusiak: *Introductio in analysin infinitorum*, 1748an argitaratu zuen eta *Institutiones calculi differentialis* 1755ean. Anhalt-Dessauko printzesaren tutore izan zen, eta 200 eskutitz baino gehiago idatzi zizkion, matematika, fisika eta bere sinesmenei buruz mintzatuz. Eskutitz horiek liburu batean bildu eta argitaratu ere egin ziren, baita bere lanik irakurriena bihurtu ere.

Berlingo Akademian zuen itzala gorabehera, Eulerrek Berlin utzi behar izan zuen, azkenean. Hein batean, Federikorekin zituen desadostasunak, Voltairerekin zituen ika-mikak eta gortean sentitzen zuen ezerosotasuna lirateke arrazoiak.

### Ikusmenaren galera

Eulerrek ikusmen arazoak izan zituen ia bizitza osoan zehar. 1735ean San Petersburgon zelarik jasandako sukar bortitzen ondorioz begi bateko ikusmena ia guztiz galdu zuen. Federiko II.ak ziklopea izenez aipatzen du Euler behin baino gehiagotan. Beranduago beste begia lausotu zitzaion, eta 1766ean ikusmena erabat galdu zuen. Bizitzako azken urteak itsuturik pasa zituen.

Ikusmen falta ez zen oztopo izan bere jardun akademikoan. Memoria fotografikoa eta kalkulu gaitasun ikaragarria omen zituen, eta seme zaharrenari diktatuz matematika lanak argitaratzen jarraitu zuen.

### Errusiara itzulera

1766an Katalina handia zen Errusiako buru, eta akademiaren egoera hobetu zatekeelakoan, Euler San Petersburgora itzuli zen. Bertako egonaldia zoritxarrekoa gertatu zitzaion ordea familiari: 1771ean sute batean etxea eta ia bizia bera ere galdu zuen Eulerrek, eta 1773an emaztea hil zitzaion. Hiru urte beranduago Salome Abigailekin ezkondu zen Euler, bere lehen emaztearen ahizpa batekin.

Euler 1783an hil zen San Petersburgon, arazo zerebrobaskularren ondorioz.

Ekarpenak
---------

Eulerrek lan oparoa egin zuen eta ia matematikaren garaiko adar guztietan egin zituen ekarpenak, baita fisikaren arloan ere. Langile nekaezina zen, urtean 800 orrialde inguru argitaratzen zituen bataz beste, eta bere lanetako asko ez ziren argitaratzera iritsi. Argitaratutako artikuluei begiratuz matematikari emankorrena da, dudarik gabe, Gauss izanik lanaren bolumenari erreparatuz konparagarri zaion bakarra. Argitalpenen edukia ere ez da hutsala, bere lan askok eragin handia izan zuten garai hartako teoriak aitzinatu eta notazioak finkatzean. Gaur egungo matematika nozio ugari Euler izenari loturik doaz.

1911an bere lanen bilduma argitaratzeari ekin zitzaion *Opera Omnia* izenburupean, eta orain arte 76 atal argitaratu dira.

Jarraian ekarpen famatuenetako batzuk zehaztu dira:

### Notazioa

Idazkera matematikoaren arloan, bere lanen ugaritasunak eta idazkeraren zehaztasunak konbentzio asko hedatu zituen, haietako asko Eulerrek berak sortuak. Aldagai baten menpeko funtzioa idazteko *f(x)* erabiltzen lehena izan zen eta funtzio trigonometrikoen notazio modernoak ezarri zituen. Logaritmo naturalaren oinarria *e* letraz adieraztea, zenbaki irudikarientzat *i* erabiltzea, batukariaren {\displaystyle \Sigma } sinboloa proposatu eta hedatu zituen.

Berak proposatu ez bazuen ere, zirkunferentzia baten diametroa eta perimetroaren arteko erlazioa adierazteko {\displaystyle \pi } letraren erabilera hedatu zuen ikerlarien artean.

### Analisia

Kalkulu matematikoaren garapena zen Eulerren garaiko gai garrantzitsuenetako bat. Bernoulli familiarentzat ikergai nagusienetakoa izan zen, baita Eulerrentzat ere.

Arlo honetan, Eulerrek *e* konstantearen balioa definitu zuen, *f(x) = ex* funtzioak x=0 puntuan zuen deribatuaren balioa 1 izan behar zuela esanaz, eta *f(x) = ex* funtzioa bere buruaren deribatu moduan definitu zuen

Euler ezaguna da frogapenetan berretura-serieak eta logaritmoak arrakastaz erabiltzeagatik. Zenbaki negatiboen eta zenbaki konplexuen logaritmoak nola kalkula zitezkeen zehaztu zuen, logaritmoen erabilgarritasuna handituz.

Zenbaki konplexuen berredura funtzioak aztertu eta funtzio trigonometrikoekin zuten harremana aurkitu zuen. Horrela, Eulerren formula eta Eulerren identitatea definitu zituen:

{\displaystyle e^{i\varphi }=\cos \varphi +i\sin \varphi }

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}

Horrez gain, aljebra eragiketetan oinarritzen ez ziren funtzioak aztertu zituen, gamma funtzioa sortuz. Laugarren mailako ekuazioak askatzeko metodo bat ere garatu zuen. Limite konplexuak kalkulatzeko modua aurkitu zuen, eta horrela analisi konplexuaren hasiera ezarri.

### Zenbakien teoria

Eulerrek analisian erabiltzen ziren erremintak zenbakien teoriako arloan aplikatu zituen, bi arloak erlazionatuz.

### Grafo teoria eta geometria

1736an Königsbergeko zubien problema ebatzi zuen Eulerrek, grafo teoriako lehen teorema izango zena sortuta.

Espazioan Eulerren ezaugarria deritzona sortu zuen, gorputz geometriko baten aurpegien, hertzen eta erpinen arteko erlazioa zehazten duena, Eulerren erlazioaren bidez. Erlazio honen azterketaren ondorioz sortuko zen beranduago topologiaren arloa.

Geometria analitikoan, barizentroa, ortozentroa eta zirkunzentroa zuzen berean egon behar zutela frogatu zuen, gaur egun Eulerren zuzena deritzonean, hain zuzen.

### Matematika aplikatua

Euler analisi matematika nozioak mundu errealeko problemetan arrakastaz aplikatzeagatik famatu zen. Bernoulliren zenbakiak, Fourierren serieak, Venn diagramak, *e* eta {\displaystyle \pi } zenbakiak, integralak... erabili zituen eta hauentzat aplikazio berriak aurkitu zituen.

Integralak eta ekuazio diferentzialak ebazteko hurbilketa metodoak hobetu zituen. Eulerren metodoa, Euler-MacLaurin formula eta Euler-Mascheroni konstantea dira aipagarrienak.

### Logika

Silogismoak aztertzeko kurba itxiak erabili eta Euler diagramak sortu zituen.

### Fisika eta ingeniaritza

Analisi matematikoa problema fisikoei aplikatu zien, fisika, ingeniaritza, mekanika, optika eta astronomian ekarpenak eginez.

Astronomian, eguzkiaren inguruko gorputzen orbitak zehaztasun handiz kalkulatu ahal izan zituen.

Mekanikan, partikula eta masa puntuala definitu zituen, eta abiadura eta azelerazioa bektorialki adierazteko notazioa garatu zuen. Solido zurrunaren posizioa definitzeko "Eulerren hiru angeluak" definitu zituen.

Hidrodinamikan, jariakin ez konprimagarriak aztertu eta hidraulikako Eulerren ekuazioak zehaztu zituen.

Ingeniaritzan, elastikotasunaren ekuazioa garatzen lagundu zuen eta zutabeen karga kritikoa eta gilbordura aztertu zituen.

### φ funtzioa

Sakontzeko, irakurri: «Eulerren φ funtzioa»
1763an Eulerren φ funtzioa sortu zuen Hala ere, une horretan ez zuen sinbolo berezirik aukeratu hura denotatzeko. 1784ko argitalpen batean, Eulerrek sakonago aztertu zuen funtzioa, eta π letra grekoa aukeratu zuen hura denotatzeko: πD idatzi zuen "D baino zenbaki txikiagoak eta berarekin zatitzaile komunik ez dutenak" idazteko.

1879an, J. J. Sylvesterrek funtzio horretarako termino totientea asmatu zuen, eta Eulerren funtzio totiente edo Eulerren totiente ere deitzen zaio. Eulerren ideia orokortzea da Jordanen totientea. n-ren kobotientea n-φ(n) gisa definitzen da. n baino txikiagoak edo berdinak diren osoko positiboen kopurua kontatzen du, n duten faktore lehenetsi komun bat gutxienez dutenak.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Ingelesez)**  (pdf) *Lanaren ingeleserako itzulpena, Ian Bruce-rena.* .
2. ↑   «E212 -- Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum, volume 1» *eulerarchive.maa.org* (Noiz kontsultatua: 2019-10-06).
3. ↑   **(Ingelesez)**  *eulerarchive.org | Just another WordPress site.*  (Noiz kontsultatua: 2019-10-06).
4. ↑   «Mathematical Notation: Past and Future» *web.archive.org* 2009-02-01 (Noiz kontsultatua: 2019-10-06).
5. ↑   **(Gaztelaniaz)** Macho Stadler, Marta. (PDF) *¿Qué es la topologia?.* .

Ikus, gainera
-------------

* Königsbergeko zazpi zubietako ebazkizuna
* e (zenbakia)
* Eulerren identitatea
* Euler diagrama

Kanpo estekak
-------------

* Leonhard Euler, *Zientzia.net*.
* **(Ingelesez)** *The Euler Archive*.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q7604
* Commonscat Multimedia: Leonhard Euler

---

* **Identifikadoreak**
* WorldCat
* VIAF: 24639786
* ISNI: 0000 0001 2124 5291
* BNE: XX893649
* BNF: 12157666x (data)
* BNC: 000209972
* CANTIC: a10458827
* GND: 118531379
* LCCN: n50010222
* NDL: 00652487
* NKC: ola2002161287
* NLA: 35069249
* CiNii: DA01184372
* SNAC: w66d66q0
* SUDOC: 028115481
* BIBSYS: 90743512
* UB: a1281991
* MGP: 38586
* ICCU: VEAV019451
* Open Library: OL30028A
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Lur: 02052/eu\_e\_4430/e4430
* HDS: 018751
* Britannica: url
* **Bilduma digitalak**
* BVMC: 30440

 |

* Wd Datuak: Q7604
* Commonscat Multimedia: Leonhard Euler