Plano inklinatuaren gainean dagoen gorputzak jasaten duen indar erresultantearen deskonposizioa.
Fisikan, indar baten osagaiak dira erreferentzia-sistema koordenatu batean indarrak dituen proiekzio ortogonalak. Proiekzio horiek ahalbidetu egiten dute indarrari dagozkion eragiketa matematikoak era errazagoan egitea, eta horregatik oso erabiliak dira indarren ondorio fisikoak aztertzeko; izan ere, metodo gisa, askoz sinpleagoa izan ohi da indarrek gorputz batean duten efektua aztertzea, abiapuntu modura indarrak bere osagaietan banatu eta osagai bakoitza bere aldetik analizatuz gero. Alderantziz, gorputz berean egiten ari diren indar guztien osagaien batuketa eginez, horien guztion efektu berbera duen indar erresultantea edo ordezkaria lor daiteke.

Alboko irudian plano inklinatuan kokaturiko blokea zenbait indarren eragina jasaten ari da; horien guztien indar erresultantea {\displaystyle {\boldsymbol {R}}} da. Higiduraren azterketa errazteko, erresultante hori bi ardatzetan proiekta daiteke: bata, plano inklinatuaren paraleloa ({\displaystyle {\boldsymbol {T}}} indarra) eta bestea planoaren norabide perpendikularra ({\displaystyle {\boldsymbol {N}}} indarra); bigarren indar honi proiekzio normala ere esaten zaio.

  

Mota desberdinetako osagaiak erabiltzen dira partikularen dinamika lantzean, erreferentzia-sisteman aukeratutako koordenatuak zein diren arabera: horrela, indar baten osagai kartesiarrak {\displaystyle (F\_{x},F\_{y},F\_{z})}, zilindrikoak {\displaystyle (F\_{\rho },F\_{\varphi },F\_{z})} edo esferikoak {\displaystyle (F\_{r},F\_{\theta },F\_{\varphi })} defini daitezke. Bestetik, partikularen ibilbidea kurbaturik badago, ibilbidearen puntu bakoitzeko norabidearen araberako osagaiak ere erabil ditzakegu, eta orduan osagai tangentea, osagai normala eta tortsio-osagaia edo osagai binormala izango ditugu, Frenet-en erreferentzia-sistema erabiliz. Sistema horretan ibilbide kurbatua laua denean (alegia, plano batean gertatzen denean), indar tangentziala eta indar zentripetua izango ditugu; gainera, erreferentzia-sistema ez-inertzialeko dinamikan indar zentrifugoa eta Coriolisen indarra ere hartu beharko ditugu.

Indarraren osagaia norabide jakin batean
----------------------------------------

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}} indarrak {\displaystyle Ox} norabidean duen proiekzio ortogonala.
Indar batek edozein norabidetan duen osagaia kalkulatzeko, indar bektoreak norabide horrekin osatzen den {\displaystyle \theta } angelua eduki behar da kontuan. Zehazki, ondoko erlazio trigonometrikoa erabiliz lor daiteke norabide horretako osagaia:



F

x

=
F
cos
⁡
θ
.

{\displaystyle F\_{x}=F\cos \theta .}

{\displaystyle F_{x}=F\cos \theta .}Mekanika klasikoan erabiltzen dugun espazio euklidearrak hiru dimentsio ditu (geometriako *luzera*, *zabalera* eta *sakonera*); hortaz, espazio horretan elkarrekiko independenteak diren hiru norabide nagusi zehaztu behar dira, gero edozein posizio eta norabide definitzeko bertan. Kontuan izanik osagaiak propiekzio ortogonalak direla, normalean hiru norabide horiek elkarren perpendikularrak izango dira espazioko puntu guztietan. Hala ere, problema fisikoen simetria geometrikoak direla eta, mota desberdinetako erreferentzia-sistema ortogonalak erabiltzen dira praktikan. Gauzak horrela, erreferentzia-sistema nola aukeratzen den, mota desberdinetako osagaiak definitzen dira mekanikan. Gehien erabiltzen diren sistemetako osagaiak aipatuko ditugu jarraian: osagai kartesiarrak, osagai zilindrikoak, osagai esferikoak eta Freneten sistemako osagai intrintsekoak.

  

### Osagai kartesiarrak

Koordenatu-sistema kartesiarra hiru dimentsiotko espazioan.Koordenatu-sistema kartesiar batean indarrari dagozkion osagaiak dira. Gehienetan sistema hauek erabiltzen dira espazio euklidearretan, sinpleenak baitira magnitude fisiko bektorialak aztertzeko, simetria bereziak daudenean izan ezik. René Descartes-en (1596-1650) ohorez eman zaie izendapen hori, bera izan baitzen lehena horrelakoak erabiltzen.

Sistema kartesiarretan hiru norabide finko eta elkarrekiko ortogonal definitzen dira espazioko puntu guztietan, {\displaystyle (Oz,Oy,Oz)}, eta horien norabideetako bektore unitarioak berberak dira puntu guztietan : {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{x},{\boldsymbol {u}}\_{y},{\boldsymbol {u}}\_{z}} (askotan {\displaystyle {\boldsymbol {i}},{\boldsymbol {j}},{\boldsymbol {k}}} eran idazten dira).  Edozein puntutan eragiten ari den indar baten osagai kartesiarrak hiru indarrak norabide horietan dituen proiekzio ortogonalak dira: {\displaystyle F\_{x},F\_{y},F\_{z}.}Honelaxe idazten da edozein indar bere osagai kartesiarren bidez:


F

=

F

x

u

x

+

F

y

u

y

+

F

z

u

z

=

F

x

i

+

F

y

j

+

F

x

k

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F\_{x}{\boldsymbol {u}}\_{x}+F\_{y}{\boldsymbol {u}}\_{y}+F\_{z}{\boldsymbol {u}}\_{z}=F\_{x}{\boldsymbol {i}}+F\_{y}{\boldsymbol {j}}+F\_{x}{\boldsymbol {k}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{x}{\boldsymbol {u}}_{x}+F_{y}{\boldsymbol {u}}_{y}+F_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}=F_{x}{\boldsymbol {i}}+F_{y}{\boldsymbol {j}}+F_{x}{\boldsymbol {k}}.}
### Osagai zilindrikoak

Koordenatu-sistema zilindrikoaren gainazal koordenatuak eta {\displaystyle P} puntuko bektore unitarioak.
Koordenatu-sistema zilindrikoaren kasuan espazioko {\displaystyle P} puntua definitzen duten hiru koordenatuak honelaxe definitzen dira:

* {\displaystyle \rho }: {\displaystyle Oz} ardatzaren inguruko zilindro baten erradioa. Beraz, koordenatu honek definituriko gainazal kordenatuak {\displaystyle Oz} ardatzaren inguruko zilindroak dira, {\displaystyle \rho } erradiokoak. Hortik, "*sistema zilindriko*" izendapena.
* {\displaystyle \varphi }: {\displaystyle Oz} ardatza barnean daukan plano bertikalak {\displaystyle Oxz} planoarekin osatzen duen {\displaystyle \varphi } angelua. Koordenatu honek definituriko gainazal koordenatuak {\displaystyle Oz} ardatza barnean daukaten plano bertikalak dira.
* {\displaystyle z} : {\displaystyle Oxy} planotik {\displaystyle z} distantziara dagoen plano horizontala. Koordenatu honek definituriko gainazal koordenatuak {\displaystyle z} altueran dauden plano horizontalak dira.

Horrela definituriko gainazal koordenatuek ebaki-puntu bat definitzen dute : {\displaystyle P(\rho ,\varphi ,z).} Gauzak horrela, espazioko puntu bakoitzean hiru norabide definitzen dira: {\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{\rho },{\boldsymbol {e}}\_{\varphi },{\boldsymbol {e}}\_{z}.} Norabide horietan indarrak dituen proiekzio ortogonalak dira indarraren osagai zinlindrikoak: {\displaystyle F\_{\rho },F\_{\varphi },F\_{z}.}Eta indarra honelaxe idatziko da koordenatu ziindrikoetan banaturik:



F

=

F

ρ

u

ρ

+

F

φ

u

φ

+

F

z

u

z

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F\_{\rho }{\boldsymbol {u}}\_{\rho }+F\_{\varphi }{\boldsymbol {u}}\_{\varphi }+F\_{z}{\boldsymbol {u}}\_{z}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{\rho }{\boldsymbol {u}}_{\rho }+F_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }+F_{z}{\boldsymbol {u}}_{z}.}  

Koordenatu-sistema esferikoaren gainazal koordenatuak eta {\displaystyle P}puntuko bektore unitarioak.
### Osagai esferikoak

Koordenatu-sistema esferikoaren kasuan, hiru parametro hauen bidez definitzen da {\displaystyle P} puntua:

* {\displaystyle r}: Sistemaren jatorri puntutik {\displaystyle P} punturako distantzia. Hain zuzen, koordenatu honek definituriko gainazal kordenatuak jatorrian zentroa duten esferak definitzen ditu, {\displaystyle r} erradiokoak. Hortik dator "*sistema esferiko*" izendapena.
* {\displaystyle \theta }: {\displaystyle OP} zuzenaren eta {\displaystyle Oz} ardatzaren arteko angelua.
* {\displaystyle \varphi } : {\displaystyle Oxz} plano bertikalaren eta eta {\displaystyle Oz} ardatzak eta {\displaystyle P} puntuak definituriko plano bertikalaren arteko angelua.

Horrela definituriko gainazal koordenatuek ebaki-puntu bat definitzen dute : {\displaystyle P(r,\theta ,\varphi ).} Gauzak horrela, espazioko puntu bakoitzean hiru norabide definitzen dira: {\displaystyle {\boldsymbol {e}}\_{r},{\boldsymbol {e}}\_{\theta },{\boldsymbol {e}}\_{\varphi }.} Norabide horietan indarrak dituen proiekzio ortogonalak dira indarraren osagai esferikoak: {\displaystyle F\_{r},F\_{\theta },F\_{\varphi }.}Honelaxe adierazten da indarra koordenatu esferikoetan:



F

=

F

r

u

ρ

+

F

θ

u

θ

+

F

φ

u

φ

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F\_{r}{\boldsymbol {u}}\_{\rho }+F\_{\theta }{\boldsymbol {u}}\_{\theta }+F\_{\varphi }{\boldsymbol {u}}\_{\varphi }.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=F_{r}{\boldsymbol {u}}_{\rho }+F_{\theta }{\boldsymbol {u}}_{\theta }+F_{\varphi }{\boldsymbol {u}}_{\varphi }.}  

Freneten sistemako koordenatu intrintsekoak eta plano oskulatzailea.
### Freneten sistemako osagaiak

Freneten sistema ibilbide helikoidal batean, tortsioaren eragina adierazita.
Aurreko hiru kasuetan, osagaiak espazioko erreferentzia-sistemaren arabera definitu dira, baina ez dugu definizio horretan sartu partikularen higidura. Dena den, zenbaitetan komenigarria izaten da partikularen ibilbidea kontuan hartzea osagaiak definitzean. Horixe da Freneten erreferentzia-sistemak egiten duena. Sistema honetan hiru norabide hauek definitzen dira ibilbideko puntu bakoitzean:

* {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}}: *bektore unitario tangentea**.*** Posizio-bektorearen desplazamenduarekiko deribatua da, {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}s}}} eta abiaduraren norabidea du. Indarrak norabide horretan duen osagaiak abiaduraren moduluaren aldaketa sorraraziko du. Bestelako hitzetan esanda, partikularen azelerazio tangentziala eragingo du.
* {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}}: *bektore unitario normala**.*** Puntu bereko bektore tangentearen perpendikularra da, eta bien artean plano berezi bat osatzen dute ibilbideko puntu bakoitzean. Bektore unitario normalak ibilbidearen kurbadura-zentroranzko noranzkoa du ibilbideko puntu guztietan. Ibilbidea laua den kasuetan, plano plano bakarrean gertatzen da higidura osoa. Baina ibilbidea *kopatua* denean, bektore tangentzialak eta bektore normalak *plano oskulatzailea* osatzen dute ibilbideko puntu bakoitzean. Kasu horretan, plano oskulatzailea aldatuz doa ibilbidean zeha, etengabe ibilbidearen tangentea (ukitzailea) izanik. Indarraren osagai normalak ibilbidearen kurbadura sorraraziko du. Dinamikan, indar baten osagai normalari *indar zentripetua* deitu ohi zaio, ibilbidearen kurbadura-zentroranzko noranzkoa baitu.
* {\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{B}}}: *bektore unitario binormala**.*** Aurreko bi bektoreren biderkadura bektorial modura definitzen da: 


u

B

≡

u

T

×

u

N

.

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{\text{B}}\equiv {\boldsymbol {u}}\_{\text{T}}\times {\boldsymbol {u}}\_{\text{N}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{\text{B}}\equiv {\boldsymbol {u}}_{\text{T}}\times {\boldsymbol {u}}_{\text{N}}.}Nolabait esateko, indarraren osagai binormalak beste bi osagaiek eraturiko planotik "ateratzen" du ibilbidea, ibilbidea tortsionatuz; hortaz, jadanik ez da laua izango, kopatua edo alabeatua baizik. Horrelako indarrak erabiliz sortzen da ibilbide helikoidalak edo malguki metalikoak.

Hiru bektore unitario horiek *triedo intrintsekoa* definitzen dute ibilbideko puntu guztietan. Definizioz eta eraketaz, *triedro ortogonala* da, hiru bektoreok elkarren perpendikularrak baitira. Baina ibilbidea kurbaduna bada, aldatu egiten dira puntutik puntura.

Adibideak
---------

Plano inklinatuan dagoen gorputzean eragiten duten indarren osagaiak.
Higidura lauari dagozkion bi kasu sinple aztertuko ditugu jarraian, indarren osagaiak zein irizpideren arabera banatzen diren ulertzeko.

### Plano inklinatua

Higidura zirkular uniformeko {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{N}}} indar zentripetua, abiadura eta azelerazioa.
Plano inklinatuan dagoen gorputzaren kasuan, ohikoa da bertan eragiten ari diren indarrek planoarekiko osagai tangentzialak eta osagai normalak aztertzea. Adibide honetan, indar hauen osagaik kontsideratzen dira: gorputzaren pisua ({\displaystyle m{\boldsymbol {g}}}) eta zoluak gorputzari eginiko indarra zeinak bi osagai dituen, hau da, osagai normala ({\displaystyle {\boldsymbol {N}}}) eta marruskadura-indarra ({\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{m}}}). Ikus daitekeenez, kasu honetan erreferentzia-sistema kartesiar bat erabili dugu, planoaren paraleloa den {\displaystyle Ox} eta ardatza eta horren perpendikularra den {\displaystyle Oy} ardatza.

### Higidura zirkularra

Higidura zirkularraren kasuan Freneten sistema erabiltzea komeni da, horrela ibilbideari egokitzen zaizkion osagaiak bereizteko. Horrela, erraz adieraz daitezke indarraren osagai erradial eta tangentziala. Indarraren osagai erradialari indar zentripetua deritzo. Bi indar horien bidez, erraz kalkulatu ahalko dira partikularen abiadura eta azelerazioa, bere osagai etan banandurik.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Frantsesez)**  *repère de Frenet.*  (Noiz kontsultatua: 24-02-2019).

Bibliografia
------------

* J.R. Etxebarria & F. Plazaola, *Mekanika eta Uhinak*, UEU (1992), ISBN: 84-86967-42-2.
* A. Bergara, N. Zabala, *Fisika (mekanika eta uhinak),* UPV/EHU (202)
* J.M. Agirregabiria, Mekanika eta uhinak I, UPV/EHU (2005)
* J.M. Agirregabiria, Mekanika eta uhinak I, UPV/EHU (2005)

Ikus gainera
------------

* indar
* mekanika
* dinamika
* indar erresultantea
* batuketa bektoriala
* erreferentzia-sistema

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q65218912

 |

* Wd Datuak: Q65218912