|  |
| --- |
| Artikulu sorta honen partea: |
| Mekanika klasikoa |
| {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}}Newtonen legeak |
| 
* Historia
* Kronologia

 |
| Adarrak
* Aplikatua
* Dinamika
* Estatika
* Zerukoa
* Zinematika
* Medio jarraituak
* Zinetika
* Estatistikoa

 |
| Oinarriak
* Abiadura
* Azelerazioa
* Abiadura-modulua
* Bulkada
* D'Alembert-en printzipioa
* Denbora
* Energia
	+ potentziala
	+ zinetikoa
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Espazioa
* Indar-parea
* Indarra
* Inertzia / Inertzia-momentua
* Lana
* Lan birtuala
* Masa
* Momentua
* Momentu angeluarra
* Momentu lineala
* Potentzia
* Torkea

 |
| Zientzialariak
* Galileo
* Huygens
* Newton
* Kepler
* Horrocks
* Halley
* Euler
* d'Alembert
* Clairaut
* Lagrange
* Laplace
* Hamilton
* Poisson
* Daniel Bernoulli
* Johann Bernoulli
* Cauchy

 |
| Muinekoak
* Bibrazioa
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Gorputz zurruna
	+ Eulerren ekuazioa
	+ Solido zurrunaren mekanika
* Grabitazio unibertsalaren legea
* Higidura zuzena
* Higidura
* Marruskadura-indarra
* Newtonen legeak
* Osziladore harmonikoa
* Moteltze(Moteltze ratio)
* Higiduraren ekuazioa
* Eulerren higiduraren legeak
* Itxurazko indarra
* Partikula planarraren higadura-mekanika
* Abiadura erlatiboa
* Higidura harmoniko sinple

 |
| Biraketa
* Abiadura angeluarra
* Abiadura tangentziala
* Azelerazio angeluarra
* Biraketa-abiadura
* Coriolis efektua
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Higidura zirkular
* Indar zentripetu
* Indar zentrifugo
* Maiztasuna
* Pendulua

 |
| Formulazioak
* Newtonen legeak
* Mekanika analitikoa
* Mekanika Lagrangiar
* Mekanika Hamiltoniar
* Mekanika Routhiar
* Hamilton–Jacobi ekuazioa
* Appellen higidura-ekuazioa
* Koopman–von Neumann mekanika

 |
| Kategoriak  Mekanika klasikoa
 |
| * i
* e
* a
 |

**Grabitazio unibertsalaren legea** masadun gorputzen arteko *elkarrekintza grabitatorioa* deskribatzen duen lege fisikoa da. Isaac Newton-ek (1643-1727) formulatu zuen bere *Philosophiae Naturalis Principia Mathematica* lanean (1687an argitaratua), non, lehen aldiz, bi masek elkar erakartzen duten indarraren erlazio kuantitatiboa formula batez adierazi baitzuen.

Grabitaziozko erakarpen-indarrak elkarren aurkako noranzkoak dituzte, masen biderkaduraren proportzionala dira eta masen arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionalak.
Grabitazio unibertsalaren legeak dioenez, {\displaystyle r} distantziara dauden bi objektuetan ({\displaystyle m\_{1}} eta {\displaystyle m\_{2}} masakoak) modulu bereko erakarpen-indar bana sortzen da, biak masak lotzen dituen norabidean baina aurkako noranzkoetan, indarraren modulua masen biderkaduraren proportzionala izanik, eta distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala, hots:



F
=
G

m

1

m

2

r

2

.

{\displaystyle F=G{\frac {m\_{1}m\_{2}}{r^{2}}}.}

{\displaystyle F=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}.}Formula horretan ageri den horri grabitazio unibertsalaren konstantea deritzo eta balio hau du:



G
=
6
,
67408
×

10

−
11

N·m

2

·kg

−
2

.

{\displaystyle G=6,67408\times 10^{-11}{\text{N·m}}^{2}{\text{·kg}}^{-2}.}

{\displaystyle G=6,67408\times 10^{-11}{\text{N·m}}^{2}{\text{·kg}}^{-2}.}
Grabitazioa da Lurreko gorputzen erorketaren kausa, baita zeruko gorputzen higiduren sortzailea ere, hala nola planeten, satelite naturalen eta satelite artifizialen higidurena.

Bestalde, grabitazioa da Naturan ezagutzen diren lau oinarrizko elkarrekintzetatik ezagututako lehena; beste hirurak elkarrekintza elektromagnetikoa, elkarrekintza nuklear ahula eta elkarrekintza nuklear bortitza dira. Artikulu honetan, mekanika klasikoaren barnean grabitazioak dituen ezaugarriak aurkezten dira, alde batera utzita, elkarrekintza honen izaera sakonago ulertzeko Einsteinek proposaturiko erlatibitate orokorraren teoria.

Grabitazio-indarraren aurkikuntzaren historia
---------------------------------------------

### Newtonen aurreko lanak

Newtonen aurretik ere agertu ziren gorputzen arteko erakarpen-legeari buruzko zenbait ideia, baina ez zuten pentsatu indarra distantziaren funtzioan txikiagotzen zenik. Hala ere, Euklidesen garaietan bazekiten iturri batek igorritako argi-intentsitatea aldatu egiten zela distantziaren alderantzizko balioaren arabera. Erdi Aroan, Roger Bacon-en (1214-1294) aburuz, urruneko elkarrekintza guztiak izpi lerrozuzenetan hedatzen ziren, argia kasu.

Tycho Brahe (1546-1601).Tycho Brahe-k (1546-1601) planeten higidura aztertzeko eskatuta, Johannes Keplerrek planeten higidura deskribatzen zuten hiru lege proposatu zituen *Astronomia nova* (1609) izeneko lanean; gaur egun, *Keplerren legeak* deritze. Geroago, *Harmonices Mundi* (1619) liburuan, Keplerrek hau idatzi zuen: «*Eguzkitik indar bat baletor bezala gertatzen da dena*». 

Bestalde, Baconen analogia optikoaren bidetik, Eguzkitik datorren eta planeten gainean ziharduen *virtus movens* batek ("*bertute higiarazlea*") lege berari jarraitu behar zion. Bere bigarren legetik Johannes Kepler-ek (1571-1610)ondorio oker hau atera zuen esanez ezen Eguzkiak planetetan duen *virtus movens*-a Eguzkiaren distantziarekiko alderantziz proportzionala zela.Geroago, Ismael Boulliau-k (1605-1691) analogia optikoa bultzatu zuen azkeneraino 1645ean argitaratutako *Astronomia Philolaïca* lanean. Bertan zioenez, erakarpen-legea distantziaren karratuarekiko alderantziz proportzionala zen. Baina Boulliaurentzat erakarpena erradioaren perperdikularra zen; Newtonentzat, ordea, erradioaren norabidekoa.

Isaac Newtonen erretratoa (1689).
Bestetik, Robert Hooke-k (1635-1703), Naturako Zientzien Royal Society elkarteko idazkariak, 1672an onartu zuen erakarpena karratuaren alderantziko proportzioan txikiagotzen zela «*An attempt to prove the motion of the Earth from observations*» ("*Behaketetatik abiatuta Lurraren mugimendua probatzeko saiakera*") izeneko lanean, optikarekiko analogia oinarri hartuta. Handik gutxira, 1674ko idazki batean, argi eta garbi azaldu zuen grabitazioaren printzipioa.

Oinarri horien gainean, Keplerren hirugarren legetik aurrera eginez, Isaac Newtonek grabitazioari buruzko teoria garatu zuen. Newtonek 1687an argitaratu zuen bere funtsezko lana, *Philosophiæ naturalis principia mathematica* (*Filosofia naturalaren printzipio matematikoak*) izenburupean. Bertan fisika berri baten oinarriak jarri zituen, Keplerren legeek iradokitako masen erakarpen unibertsalaren legetik abiatuta.

#### Hookeren lanak eta jatorrizko ideiaren autoretzari buruzko eztabaida

Newtonen liburua Royal Society elkartean aurkeztu zuenean, Robert Hooke-k plagioa leporatu zion Newtoni, zehazki, grabitatea bi gorputzen zentroen arteko distantziaren karratuaren alderantzizko karratuaren ideia berea izan zelakoan.

Eztabaida hori erabat argitu ez den arren, ez dago datu zehatzik ziurtatzeko Newtonek Hookeren lanak ezagutzen zituen ala ez; izan ere, biek aldizka elkarri gutunak idazten zizkioten ziren arren, Hookek ez zuen gutun haietan karratuaren alderantzizkoaren legea. Newtonek, ordea, beste autore batzuekiko gutun trukean egin zuen ideia horren aipamena, eta gainera, bi autoreri eskertu egin zizkien bere ideien aurreko lanak.

Hookeren aldarrikapena zela eta, Newtonek berretsi egin zuen ezen ideia hori ez zela berea bakarrik izan, baizik eta garai hartan zenbait autorek jadanik susmatua zutela horrelako menpekotasun bat; eta bi autoreri eskertu egin zizkien espreski bere ideien aurreko lanak.

Grabitazio-indarraren adierazpen matematikoa
--------------------------------------------

Aurreko paragrafoetan, Newtonen legea indarraren moduluaren bidez aurkeztu da; baina kontuan hartu behar da, indarra magnitude bektoriala dela.

### Newtonen legearen forma bektoriala

Indar grabitatorioa forma bektorialean idazteko, erreferentzia-sistema batean bi masen posizio-bektoreak kontsideratuko ditugu lehenik, eta horien bidez masen arteko distantziari dagokion bektorearen modulua (distantziaren neurria, alegia) eta batetik besterako norabidearen bektore unitarioa definituko ditugu honelaxe:



r

12

=

r

2

−

r

1

⇒
r
=

|

r

2

−

r

1

|

,

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}\_{12}={\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}\Rightarrow r=|{\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}|,}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}_{12}={\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}\Rightarrow r=|{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}|,}


u

12

=


r

2

−

r

1

∣

r

2

−

r

1

∣

=


r

2

−

r

1

r

.

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}\_{12}={\frac {{\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}}{\mid {\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}\mid }}={\frac {{\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}}{r}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {u}}_{12}={\frac {{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}{\mid {\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}\mid }}={\frac {{\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}}{r}}.}
Gauzak horrela, hauexek izango dira grabitazioaren kausaz masa bietan eragiten ari diren indarren adierazpen bektorialak:



F

1

=
G

m

1

m

2

r

2



u

12

,

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{1}=G{\frac {m\_{1}m\_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}\_{12},}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{1}=G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{12},}


F

2

=
−
G

m

1

m

2

r

2



u

12

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{2}=-G{\frac {m\_{1}m\_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}\_{12}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{2}=-G{\frac {m_{1}m_{2}}{r^{2}}}{\boldsymbol {u}}_{12}.}Newtonek ezin izan zuen ezarri grabitazio unibertsaleko konstantearen balioa, grabitatezko elkarrekintzaren forma matematikoa baino ez baitzuen ondorioztatu; aren balioak oso txikia izan behar zuela ondorioztatu zuen, besterik ez. 

Handik denbora gutxira garatu ziren konstantearen balioa kalkulatzeko behar ziren teknikak, eta gaur egun ere zehaztasun gutxiagoz ezagutzen diren konstante unibertsaletako bat da. Lehenengo neurketa aski zehatza Henry Cavendish-ek (1731-1810) egin zuen 1798an. Gaur egun, askoz teknika zehatzagoak erabiliz, emaitza hau lortu da:



G
=
6
,
67408
±

0,00031

×

10

−
11

N·m

2

kg

−
2

.

{\displaystyle G=6,67408\pm {\text{0,00031}}\times 10^{-11}{\text{N·m}}^{2}{\text{kg}}^{-2}.}

{\displaystyle G=6,67408\pm {\text{0,00031}}\times 10^{-11}{\text{N·m}}^{2}{\text{kg}}^{-2}.}
Grabitazio-indarraren legeak antz handia du Coulomb-en legearekin —indar elektrostatikoari buruzkoa— kasu bietan, indarraren modulua elkarrekintzan dauden magnitudeen balioen —*masa*k Newtonen kasuan eta *karga elektrikoak* Coulombenean— proportzionala eta bi partikulen arteko distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala baita.

### Grabitazioaren energia potentziala

Hona hemen {\displaystyle M} masako gorputz batetik {\displaystyle R} distantziara dagoen {\displaystyle m} masako gorputz batek duen energia potentziala grabitatorioa adierazten duen kalkulua, grabitazio-eremuak sortzen duena:


E

gp

=
−
G

M
m

R

.

{\displaystyle E\_{\text{gp}}=-G{\frac {Mm}{R}}.}

{\displaystyle E_{\text{gp}}=-G{\frac {Mm}{R}}.}
Formula hori Coulomben legetik datorren energia potentzial elektrostatikoaren antzekoa da, masen ordez karga elektrikoak jarrita eta grabitazio-konstantearen ordez, konstante elektrikoa. Hala, grabitazioan egiten diren kalkulu guztiak elektrostatikan ere errepikatzen dira.

Grabitazioaren ondorioak
------------------------

### Grabitatearen azelerazioa Lurrean

Grabitazio unibertsalaren legearekin batera, *Principia*-n Newtonek emandako mekanikaren bigarren legea kontuan hartuz, alegia, masa batean indar batek sorturiko azelerazioa masaren proportzionala,


F

=
m

a

,

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}},}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}},}
eta adierazpen horretan {\displaystyle m} masa horrek {\displaystyle M} masaren elkarrekintzan jasaten duen grabitazio-indarraren balioa ordezkatuz, Lurraren zentrotik {\displaystyle d} distantziara dagoen {\displaystyle m} masak jasaten duen azelerazioa kalkula daiteke:


F

g

=
G

M
m

d

2

=
m
g
⇒
g
=
G

M

d

2

.

{\displaystyle F\_{\text{g}}=G{\frac {Mm}{d^{2}}}=mg\Rightarrow g=G{\frac {M}{d^{2}}}.}

{\displaystyle F_{\text{g}}=G{\frac {Mm}{d^{2}}}=mg\Rightarrow g=G{\frac {M}{d^{2}}}.}
Ikus daitekeenez, azelerazio hori {\displaystyle m} masarekiko independentea da, baina indar grabitatorioa eragiten duen {\displaystyle M} masaren eta masa bien arteko {\displaystyle d} distantziaren araberakoa: azelerazio horri puntu horretako *grabitatearen azelerazioa* deritzo.

Adierazpen horren bidez, Lurraren masaren eraginez Lurraren zentrotik distantzia jakin batera gorputzek jasaten duten grabitatearen azelerazioa zehaztu daiteke. Kasurako, ondorioztatzen da Lurraren masaren eraginez lurrazalean jasaten dugun grabitatearen azelerazioa {\displaystyle g\approx 9,81{\text{ m/s}}^{2}} dela, eta horixe izango dela altuera batetik erortzean objektu orok izango duen azelerazioa.

### Gorputz masiboenaren nagusitasuna

Gorputz txiki batek, {\displaystyle m}, beste gorputz askoz handiago baten, {\displaystyle M\gg m}, grabitazioaren kausaz jasaten duen azelerazioari buruz esan dezakegu ezen, gorputz txikienak handienak baino azelerazio askoz handiagoa izango duela. Horregatik, higiduraren azterketa gorputz askoz handiagoaren erreferentzia-sistematik egin ohi da. Argi dago, beraz, zergatik kontsideeratzen den Lurrak orbitatzen duela Eguzkiaren inguruan, eta ez alderantziz; izan ere, Eguzkiaren masa Lurrarena baino {\displaystyle 3.000} aldiz handiagoa da, eta elkar-erakarpenaren ondorioz Eguzkiak jasandako azelerazioa hutsala da Lurrak jasandakoaren konparazioan. Arrazoi beragatik, Ilargiak Lurraren inguruan orbitatzen du.

### Gorputz esferiko trinko eta uniforme baten barneko grabitazioa

Lurraren barneko erremu grabitatorioaren intentsitatearen eskema. 
Grabitazio-indarraren intentsitatea distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala izatearen ondorioetako bat da ezen, {\displaystyle R} erradioko gorputz esferiko trinko eta uniforme baten kasuan, esferaren barnean zentrotik {\displaystyle d<R} distantzia batera dagoen grabitazio-indarra {\displaystyle d} erradioko esferaren barruan dagoen masaren araberakoa baino ez dela. Izatez, hori Gaussen legearen ondorioa da.

Horrek esan nahi du, esfera horretatik kanpo dagoen masak ez duela indar netorik eragiten puntu horretan. Hortaz, gorputzaren barruan, grabitazio-indarra kalkulatzeko kontuan hartu behar {\displaystyle d} erradioari dagokiona bakarrik. Alegia, {\displaystyle \rho } balioko dentsitatea gorputz trinko uniformearen kasuan, 


M

d

=

4
3

π

d

3

ρ

{\displaystyle M\_{d}={\frac {4}{3}}\pi d^{3}\rho }

{\displaystyle M_{d}={\frac {4}{3}}\pi d^{3}\rho }
dela kontuan izanik, honako hau izango da puntu horretako grabitatea:


g

d

=
G



4
3

π

d

3

ρ

d

2

=
G

4
3

π
ρ
d
.

{\displaystyle g\_{d}=G{\frac {{\tfrac {4}{3}}\pi d^{3}\rho }{d^{2}}}=G{\frac {4}{3}}\pi \rho d.}

{\displaystyle g_{d}=G{\frac {{\tfrac {4}{3}}\pi d^{3}\rho }{d^{2}}}=G{\frac {4}{3}}\pi \rho d.}
Hots, barneko puntuen grabitatea {\displaystyle d} distantziarekiko proportzionala da; bestela esanda, gorputzaren barruan grabitazio-indarra handituz doa gorputzaren zentrotik urruntzen garen heinean —zentroan indarra nulua da— gainazalera iritsi arte, bertan maximoa izanik. Eta hortik aurrera distantziaren karratuaren alderantziz proportzionala da.

Arrazoibide horrek esfera homogeneoetarako balio du soilik, hau da, dentsitate uniformeko esferetarako. Gure planetaren kasuan, Lurrak nukleo metaliko bat du ("*nifea*"), mantua eta lurrazala baino askoz dentsoagoadena, eta, beraz, grabitazio-eremuaren intentsitate maximoa nukleoaren eta mantuaren arteko mugan gertatzen da.

Oskol hutsaren barne eta kanpoko grabitazio-indarra.
### Oskol huts baten barnealdea

Gorputz esferikoa oskol hutsa den kasuan, gorputzaz kanpoko edozein puntutan sortutako grabitazio-indarra masa guztia zentroan kontzentraturik balego sorturiko berbera izango litzateke, hots, {\displaystyle d\geq R} denean,


F

g

=
G

M
m

d

2

.

{\displaystyle F\_{\text{g}}=G{\frac {Mm}{d^{2}}}.}

{\displaystyle F_{\text{g}}=G{\frac {Mm}{d^{2}}}.}
Aldiz, oskolaren barnealdeko puntuetan ez dago grabitazio-indarrik, puntuari dagokion esfera kontzentrikoaren barruan ez baitago masarik. Alegia, {\displaystyle r<R}, denean {\displaystyle F\_{\text{g}}=0} da.

### Planeten higiduraren azalpena eta Neptunoren aurkikuntza

Newtonen grabitazioaren legeak Keplerren hirugarren legea azaltzeko aukera eman zuen. Lege horrek zioenez, «*Planetak orbita osatzeko behar duen periodoaren karratua Eguzkirako batez besteko distantziaren kuboarekiko proportzionala da*». Gainera, Newtonen legeak erabiliz, ezin hobeto deskribatzen dira eguzki-sistemaren planeten higidurak eta baita Ilargiarena eta Lurretik bidalitako satelite artifizialean ere.

Leegearen zehaztasuna erakusten duen gertaeretako bat da 1800. urtearen inguruan ezagunak ziren planeten orbitak aztertzean gertatutakoa. Ordurako William Herschel-ek (1738-1822) Urano planeta aurkitua zuen 1781an. Garai hartan Neptuno eta Pluton aurkitu gabe zeuden oraindik, baina Newton eta Keplerren legeek adierazten zutenarekin alderatuta, astronomoek irregulartasunak hauteman zituzten Uranoren orbitan, batez ere, eta baita Saturnoren eta Jupiterren orbitetan ere, neurri txikiagoan. Hori dela eta, astronomo batzuek uste izan zuten irregulartasun haiek oraindik aurkitu gabe zegoen kanpoko planeta baten existentziaren ondorio zirela.

Hala, Urbain Le Verrier-ek (1811-1877) matematikoki kalkulatu zuten non egon behar zukeen balizko planeta ezezagun horrek, neurturiko irregulartasunak azaldu ahal izateko. Azkenik, Johann Gottfried Galle (1812-1910) astronomoak Neptuno aurkitu zuen 1846ko irailaren 23an, proposaturiko jarraibideei jarraituz eta aurrez ezarritako posiziotik hurbil bilatuz. 

### Grabitatearen azelerazioaren zuzenketa Lurraren ardatzaren inguruko biraketa-higiduraren kausaz

Orain arte, grabitazio-indarrek lurrazaleko gorputzetan duten azelerazio grabitatorioa aipatzean, ez dugu kontuan hartu Lurrak Ipar-Hegoa ardatzaren inguruan duen biraketa-higidura (birabete bat eguneko). Baina lurrazaleko tokiko erreferentzia-sistema ez-inertziala denez, partikulen dinamika aztertzean sistemari dagozkion inertzia-indarrak ere kontsideratu behar dira, eta horrela "pisua" eta "*azelerazio grabitatorio eraginkorra*" deritzen kontzeptuak sortzen dira.

#### Gorputzen pisua eta tokiko bertikala

A) Tokiko bertikalaren definizioa. B) {\displaystyle P\_{1}}: {\displaystyle \lambda } latitudeko puntua; {\displaystyle P\_{2}}: ekuatoreko puntua; P3{\displaystyle P\_{3}}: Ipar poloa.
Inertzia-indarrik garrantzitsuena lurrazaleko behatzaileek hautematen duten duten *indar zentrifugoa* da; beraren balioa {\displaystyle F\_{\text{z}}=m\omega ^{2}r} da, non {\displaystyle \omega } Lurrak Ipar-Hegoa ardatzaren inguruko biraketako abiadura angeluarra den, eta {\displaystyle r} behatzailearen tokiko puntutik ardatzerako erradioa. Agerikoa denez, bi poloetan indar zentrifugoa nulua da, {\displaystyle F\_{z}=0}, {\displaystyle r=0} baita;  eta maximoa da ekuatorean, {\displaystyle F\_{z}=m\omega ^{2}R}, {\displaystyle R} hori Lurraren erradioa izanik; tarteko {\displaystyle \lambda } latitudeetan {\displaystyle F\_{z}=m\omega ^{2}\cos \lambda } balio du.

Masa bat sabaitik eskegita dagoen soka batean lotuta daukagula, soka horrek {\displaystyle {\boldsymbol {T}}} tentsioa jasaten du gorputzaren *pisua*ri eusteko, orekan. Izatez "*pisu*" hori bi indar hauek bektorialki batuz lortzen da: batetik, Lurraren grabitazioaren erakarpen-indarra, {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{g}}}, eta bestetik, indar zentrifugoa, {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}}. Bi indar horien batura bektoriala da gorputzen *pisua*, eta horren balioak definitzen du *azelerazio grabitatorio eraginkorra*, {\displaystyle {\boldsymbol {g}}\_{\text{e}}}, honelaxe:



F

g

+

F

z

=
m

g

e

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{g}}+{\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}=m{\boldsymbol {g}}\_{\text{e}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}_{\text{g}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{z}}=m{\boldsymbol {g}}_{\text{e}}.}
Eta hauxe da sokaren tentsioaren ekuazio bektoriala: 


T

+
m

g

e

=
0.

{\displaystyle {\boldsymbol {T}}+m{\boldsymbol {g}}\_{e}=0.}

{\displaystyle {\boldsymbol {T}}+m{\boldsymbol {g}}_{e}=0.}
Hain zuzen, sokak definitzen du *tokiko bertikala*ren norabidea. Horixe da hormak orndo bertikal jartzeko igeltsariek darabilten *plomua*ren edo *berun-haria*ren oinarria.

Ondorioz, ekuatoretik hurbil dagoen behatzaile batek poloetatik hurbil dagoenak baino pisu txikiagoa neurtuko du, zeren eta azelerazio zentrifugoa txikiagoa baita poloetan neurtuta; gainera, Lurraren erdigunetik hurbilago egongo baita poloak txatartuta. Poloetan {\displaystyle g\_{\text{e}}=9,83{\text{ m·s}}^{2}}da eta ekuatorean, {\displaystyle g\_{\text{e}}=9,78{\text{ m·s}}^{2}}. Bestalde, horrek eragina du toki bakoitzeko bertikalaren definizioan, zeren {\displaystyle \lambda } latitudearen arabera, {\displaystyle \alpha } angelu txiki bat baitago bertikalaren eta erradioaren artean, {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{g}}} eta {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}} indarrek duten norabide desberdinen ondorioz. Nolanahi ere, konparaziorako {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{g}}}ren modulua {\displaystyle 1.000} baliokotzat harturik, {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}}-rena {\displaystyle 0\div 5} bitrtekoa izanik, {\displaystyle \alpha } angelua oso txikia da, eta lehen hurbilketa batean tokiko bertikalak erradioaren norabidea duela onartzen da.

Arazo filosofikoak
------------------

### Distantziarako elkarrekintza

Grabitazio unibertsalaren teoria proposatu zenean, arazo filosofiko nagusi bat agertu zen. Nola azal ote zitekeen distantziarako elkarrekintza hori? Alegia, nola ulertu kontakturik gabe eta distantzia handi batera dauden bi gorputzek elkarri indar bat egitea etengabe? Hasteko, nola egin ote zitekeen indar hori, elkar ukitu gabe? 

Galdera horrentzako ezin ahal izan zuten erantzun egokirik eman bi mende pasatu arte, harik eta XIX. mendearen bigarren partean, arazo filosofiko berbera planteatzen zuen elkarrekintza elektromagnetikoa ulertzen hasi ziren arte. Horretarako elkarrekintzari zegokion "eremu fisikoa" deitu zuten kontzeptu berria asmatu zen arte.  

### Masa grabitazionala eta masa inertziala: baliokidetasun-printzipioa

Teoria horrek zekarren beste arazo handi bat *masa* kontzeptuaren bikoiztasunean zegoen. Hau da, Grabitazio Unibertsalaren legean, masa da gorputzaren kantitate jakin bat grabitazio-indarraren balioa definitzen duena, alegia grabitazioarekin lotuta dagoena; esango genuke horixe dela "***masa grabitazionala***". Baina, bestalde, Newtonen higidurari buruzko bigarren legearen arabera, indar batek gorputz jakin batean sortzen duen azelerazioa gorputzaren masa kontzeptuaren definizioa ere bada; alegia, masa kontzeptu honen definizioa gorputzaren inertziarekin dago lotuta; horregatik "***masa inertziala***" dela esango dugu. Berdinak ote ziren bi masa horiek?

Praktikan, ez dago legerik, printzipiorik edo egitaterik bi masak gauza bera direla ezartzen duenik; halere, egindako neurketen arabera, esan daiteke bi masa horiek *ia-berdinak* direla, zehaztasun handiz). Argudio interesgarri bat ere badago: berdinak ez balira, gorputz batek jasaten duen azelerazioa ez litzateke bere masarekiko independentea izango.

Einsteinek Erlatibitate Orokorraren barnean baliokidetasun-printzipioa postulatu zuen, masa grabitazionalaren eta masa inertzialaren arteko baliokidetza postulatzen duena. Printzipioaren arabera, honako sistema hauek baliokideak dira: a) grabitazio-indar uniforme baten eraginpean geldirik dagoen sistema; eta b) grabitaziorik ezean uniformeki azeleratua den sistema. Hau da, grabitazio-eremu uniformearen eragina eta azelerazioaren eragina guztiz baliokideak dira.

Merkurioren orbitaren perihelioaren prezesioaren eskema.

Newtonen legea, erlatibitate orokorraren "grabitazio erlatibista"ren hurbilketa
-------------------------------------------------------------------------------

Hogeigarren mendearen hasieran, beste arazo bat geratzen zen azaldu gabe: Merkurio planetak Eguzkiaren inguruan egiten duen ibilbidearen prezesioa. Grabitazio unibertsalaren arabera, planeten ibilbideak elipseak ziren, Eguzkia elipsearen foku batean egonik. Baina Merkurioren ibilbidea ia-elipse ireki bat zela frogatu zuten astronomoek, zeinaren perihelioak mende bakoitzean {\displaystyle {\text{43 s}}}-ko prezesio bat baitzuen. "Anomalia" horren azalpenik ez zegoen, harik eta Einsteinek bere Erlatibitate Orokorraren Teoria proposatu zuen arte, 1915ean, teorikoki prezesioa gertatu behar zela azalduz. Gainera, handik gutxira, 1919an, Arthur Stanley Eddington-ek (1882-1944) antolatutako espedizio batean, eta Eguzkia izango zuen eklipse oso bat aprobetxatuz, Eguzkiaren albotik pasatzean argia desbideratu egiten zela erakusten zuten argazkiak atera zituen, horrela Einsteinen teoria berriaren zuzentasuna frogatuz. 

Eddingtonek 1919ko espedizioan ateratako argazkietako bat
Thomas Samuel Kuhn (1922-1993) fisikari eta zientzia-filosofoaren arabera, Einsteinen teoriak, Newtonen teoria zuzentzeaz gain, erabat baliogabetzen zuela ere esan zuen, eta esaldi hau gaineratu zuen: «*Newtonen legeak irtenbide egoki bat ematen du, kontuan hartutako gorputzen abiadura erlatiboki oso txikiak direnean argiaren abiadurarekin alderatuta*». Beraren ustez, Einsteinen teoriak Newtonen teoriaren paradigma-aldaketa garrantzitsua ekarri zuen; izan ere, teoria horren ondorioz, denborak eta espazioak euren izaera independentea galtzen dute, espazio-denbora kontzeptu berria ezarriz. erabat baztertu zuen Newtonen ikuspegia, konparazio batean Kopernikoren astronomiak errotik aldatzen zuen bezala Ptolomeoren mundu-ikuspegia.

Nolanahi ere, paradigma-aldaketa horrek ez zuen deuseztu Newtonen teoriaren balio praktikoa, Izatez, Newtonen legea ***grabitazio erlatibista***ren lehen hurbilketa bat da, oso praktikoa gainera, egokia gertatzen dena baldin eta {\displaystyle v/c\ll 1} den kasuetan (non {\displaystyle v} gorputzen abiadura erlatiboa adierazten baitu eta {\displaystyle c} argiaren abiadura) eta jokoan dauden masak txikiak direnean; horrek esan nahi du espazio-denboraren deformazio oso txiki bat dagoela masen inguruetan. Merkurioren perihelioaren anomalia espazio-denboraren deformazioaren efektu txiki bat da, eta Newtonen legearen mugak agerian jarri zituen lehen elementua izan zen.

 Ariketak
---------

* Grabitazio unibertsalaren legearen ariketak
* **Grabitazio unibertsala** lantzeko ariketa I.
* **Grabitazio unibertsala** lantzeko ariketa II.
* **Ilargia** eta **lurraren** mugimendua kalkulatzeko ariketa.

Bibliografia
------------

* Aguirregabiria, Juan María.. (2004). *Mekanika klasikoa.* Universidad del País Vasco ISBN 84-8373-631-4. PMC 932541663.
* Fishbane, Paul (2008) *Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)* Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308 PMC932800438.
* Prosper Schroeder, *La loi de la gravitation universelle - Newton, Euler et Laplace: Le cheminement d'une révolution scientifique vers une science normale*, Springer, Paris, 2007, {{ISBN|9782287720833}}.
* J.M. Aguirregabiria (2004) *Mekanika Klasikoa*, EHU/UPV, ISBN 84-8373-631-4.
* Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) *Fisika orokorra (2. argitalpena)* UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola (1992) *Mekanika eta uhinak*, UEU, {{ISBN|84-86967-42-2}}
* J.R. Etxebarria (1990) *Kosmoa pentsagai,* Gaiak Arg. Bilbo, ISBN: 84-87203-10-8.
* UEU-ko Fisika Saila, *Fisikaren Historia Laburra,* Iruñea (1990). ISBN: 84-86967-27-9
* Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). *Física*. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-

Erreferentziak
--------------

1. ↑    Zientziaren eta Teknologiaren Hiztegi Entziklopedikoa, ..

Ikus gainera
------------

* Cavendish-en esperimentua
* Oinarrizko elkarrekintzak
* Elkarrekintza elektromagnetikoa
* Elkarrekintza nukleak ahula
* Elkarrekintza nuklear bortitza
*

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q134465
* Commonscat Multimedia: Newton's law of universal gravitation

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4296819-7
* NDL: 00564150
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q134465
* Commonscat Multimedia: Newton's law of universal gravitation