|  |
| --- |
| Artikulu sorta honen partea: |
| Mekanika klasikoa |
| {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}}Newtonen legeak |
| 
* Historia
* Kronologia

 |
| Adarrak
* Aplikatua
* Dinamika
* Estatika
* Zerukoa
* Zinematika
* Medio jarraituak
* Zinetika
* Estatistikoa

 |
| Oinarriak
* Abiadura
* Azelerazioa
* Abiadura-modulua
* Bulkada
* D'Alembert-en printzipioa
* Denbora
* Energia
	+ potentziala
	+ zinetikoa
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Espazioa
* Indar-parea
* Indarra
* Inertzia / Inertzia-momentua
* Lana
* Lan birtuala
* Masa
* Momentua
* Momentu angeluarra
* Momentu lineala
* Potentzia
* Torkea

 |
| Zientzialariak
* Galileo
* Huygens
* Newton
* Kepler
* Horrocks
* Halley
* Euler
* d'Alembert
* Clairaut
* Lagrange
* Laplace
* Hamilton
* Poisson
* Daniel Bernoulli
* Johann Bernoulli
* Cauchy

 |
| Muinekoak
* Bibrazioa
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Gorputz zurruna
	+ Eulerren ekuazioa
	+ Solido zurrunaren mekanika
* Grabitazio unibertsalaren legea
* Higidura zuzena
* Higidura
* Marruskadura-indarra
* Newtonen legeak
* Osziladore harmonikoa
* Moteltze(Moteltze ratio)
* Higiduraren ekuazioa
* Eulerren higiduraren legeak
* Itxurazko indarra
* Partikula planarraren higadura-mekanika
* Abiadura erlatiboa
* Higidura harmoniko sinple

 |
| Biraketa
* Abiadura angeluarra
* Abiadura tangentziala
* Azelerazio angeluarra
* Biraketa-abiadura
* Coriolis efektua
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Higidura zirkular
* Indar zentripetu
* Indar zentrifugo
* Maiztasuna
* Pendulua

 |
| Formulazioak
* Newtonen legeak
* Mekanika analitikoa
* Mekanika Lagrangiar
* Mekanika Hamiltoniar
* Mekanika Routhiar
* Hamilton–Jacobi ekuazioa
* Appellen higidura-ekuazioa
* Koopman–von Neumann mekanika

 |
| Kategoriak  Mekanika klasikoa
 |
| * i
* e
* a
 |

Higiduraren legeak aztertzen ditu zinematikak
Higidura zirkularraren azterketa formala
**Zinematika** (grezieraz *κινεω*, *kineo*, euskaraz *higidura*) fisikaren adar bat da, zeinak objektuen higidura deskribatzen eta aztertzen baitu, higidura hori sorrarazi duten kausak (indarrak) kontuan izan gabe. Gorputzek higitzean egiten duten ibilbidea deskribatzen du batez ere, eta, horretarako, bi magnitude fisikoz baliatzen da, azelerazioaz eta abiaduraz, bi magnitude horiek deskribatzen baitute objektu baten kokagunea nola aldatzen den denboraren arabera. Abiadura desplazamenduaren eta denboraren arteko zatiduraren bidez zehazten da, eta azelerazioa, berriz, abiadura-aldaketaren eta denboraren arteko zatiduraren bidez.

Historia
--------

Antzinako astronomo eta filosofo greziarrek deskribatu zuten lehen aldiz gorputzen higidura, baina higiduraren azalpen kualitatiboak egin zituzten soilik. Ia bi mila urte geroago, XVI. mendeko jakintsuek deskribapen zehatzagoak egin zituzten neurketa esperimentalen bitartez, hala nola Nikolas Kopernikok (1473-1543) eta Tycho Brahek (1546-1601).

Hurrengo mendean, 1605. urte inguruan, Galileo Galileik (1564-1642) erorketa askea aztertu zuen, eta baita plano inklinatuetakoa ere. Evangelista Torricellik (1605-1647), berriz, higiduraren geometria landu zuen, zikloidearen azterketaren bidez.

Halaber, funtsezkoa izan zen Johannes Keplerren (1571-1630) lana, planeten ibilbide eliptikoen legeak zehaztu baitzituen, eta zer esanik ez Isaac Newtonena (1643-1726), *Philosophiae naturalis principia mathematica*  liburuan (1687) matematikoki azaldu baitzituen higiduraren legeak, bere izena daramaten hirurak hain zuzen. Dinamikaren esparruan ekarpena egiteaz gainera, grabitazio unibertsalaren legea ere sortu zuen Newtonek.

Zinematika modernoa, aldiz, Parisen jaio zen, Pierre Varignonek (1654-1746) hango Zientzien Akademian (*Académie royale des sciences)* definitu baitzituen lehen aldiz *aldiuneko abiadura* eta *azelerazio* kontzeptuak, 1700eko urtarrilaren 20an. Era berean, frogatu zuen posible dela aldiuneko abiadura kontuan hartuta azelerazioa lortzea kalkulu diferentzial sinple baten bidez.

Gerora, XVIII. mendearen bigarren erdialdean, Jean Le Rond d'Alembertek, Leonhard Eulerrek eta André-Marie Ampèrek ekarpen gehiago egin zizkioten zinematikaren alorrari. Besteak beste, Daniel Bernoulliren aldiuneko biraketa-zentroaren oinarrizko legea lantzen jarraitu zuten.

André-Marie Ampère (1775-1836).

Zinematika izenaren jatorriaz
-----------------------------

André-Marie Ampère-k (1775-1836)  asmatu zuen *zinematika* izena, greziera zaharreko {\displaystyle \kappa \iota \nu \eta \mu \alpha } hitza (**kinema**, euskaraz *‘higidura’*edo *‘agitazioa’* esan nahi duena) eta {\displaystyle -\tau \iota \kappa \mathrm {o} \zeta } atzizkia (**-ticos**, euskaraz *‘horri buruzkoa’*) elkartuz; alegia, zinematikak *‘higidurari buruzko jakintza-arloa*’ adierazten du.

  

Fisika modernoaren hasierako urteetan orokortu zen fisikako kontzeptuak izendatzeko jatorri greziar edo latindarreko hitzen edo hitz-erroen konposizioak erabiltzea, horrela ordura arte ezagutzen ez ziren kontzeptu berriak *termino* berri horiekin izendatzeko. Ordutik hona hainbat termino zientifiko berri osatu edo asmatu dira era horretan, eta gaur egun termino horiek *nazioartekoak* direla esan dezakegu; izan ere, zientziaren arloan erabiltzen diren hizkuntza gehienetan onartuta daude, hori bai, hizkuntza bakoitzean bere arau estandarretan ohikoak diren aldaketa ortografiko-fonetikoak eginez. Adibidez, euskaraz *zinematika* terminoaz adierazten duguna, antzeratsu erabiltzen da inguruko hizkuntzetan, baina ortografia eta ahoskera desberdinekin: *cinemática* (es, gal), *cinemàtica* (cat), *kinematics* (en), *cinématique* (fr), *kinematik* (de).

Zinematika klasikoaren oinarrizko elementuak
--------------------------------------------

Mekanika klasikoan, zinematika oinarrizko elementu eta kontzeptu batzuez baliatzen da objektuen higidurak aztertzeko. Hasteko, funtsezko kontzeptuak dira ***higikaria*** (*zer* higitzen den), ***espazioa*** (higidura *non* gertatzen den) eta ***denbora*** (higidura *noiz* gertatzen den). Horiez gain, higidura deskribatu eta aztertu behar denez, deskripzioa osatzeko behar-beharrezkoak dira ***erreferentzia-sistema*** (neurketak *zein lekutatik* egiten diren), sistema horretako ***behatzailea*** (neurketak *nork* egiten dituen) eta higidura bere osotasunean grafikoki deskribatzen duen ***ibilbidea*** (gorputza *nondik, nora* eta *nola* higitzen den espazioan). Banan-banan aztertuko ditugu jarraian.

### Higikaria

Higikaria partikula bat edo partikula-multzo bat izan daiteke.  Partikula bakarreko kasua da sinpleena, eta kasu askotan erabiltzen da eredu modura, bereziki gorputza biraka ez dabilenean edota ibilbidea gorputzaren tamaina baino askoz handiagoa denean. Kasu horretan, *partikularen zinematika* aztertzen da, eta sinplifikatzeko, gorputza puntu bat balitz bezala kontsideratzen da.

Bestetik, partikula-multzoa gorputz zabala izan daiteke, eta horretan kontuan eduki behar da gorputzaren forma alda daitekeen edo ez. Horregatik, kontuan izanik higikari asko objektu solidoak direla, eredu teoriko sinplifikatu bat erabiltzen da askotan, *solido zurruna* deritzona, gorputz horren forma geometrikoa beti berbera dela esan nahi duena. Eredu teoriko horretan *solido zurrunaren zinematika* lantzen da.

Partikula-multzoa fluido bat denean, higiduraren azterketa korapilatsuagoa da, sistemako partikulak askatasun handiagoa baitaukate higitzeko. Horregatik, horrelako gorputzen higidura *fluidoen mekanika* deritzon arlo berezian aztertzen da.

### Espazioa

Sakontzeko, irakurri: «Espazio»
Materia dagoen tokia edo higitzeko daukan lekuari esaten zaio *espazio fisikoa*. Izatez, fisikan erabiltzen den *espazio* kontzeptua fisikariek asmatutako sinplifikazio bat da, propietate bereziak dituena. Espazio horretan daude unibertsoko objektu material guztiak eta bertan gertatzen dira fenomeno fisiko guztiak; gainera, suposatzen da ezen fisikaren legeak berdin betetzen direla espazioko puntu guztietan.  

Mekanika klasikoan espazioak hiru dimentsio ditu, bizimodu arruntean kontsiderarzen ditugun gorputzen *luzera*, *zabalera* eta *sakonera*ri dagozkionak, hain zuzen. Hiru dimentsio horiek kontuan izanik, espazioko puntuen arteko distantziak eta objektuen propietate geometrikoak zehazten dira, Euklides-ek asmaturiko geometria erabiliz: *geometria euklidearra*.

Praktikan, erregela metriko batez neurtuko ditugu espazio horretako puntuen arteko distantziak. Eta suposatuko dugu, halaber, espazio horrek propietate berberak dituela toki guztietan eta garai guztietan; kasurako, espazioko bi punturen arteko distantziak beti direla berberak edozein alditan. Bestelako hitzekin esanda, espazioa *absolutua* dela esango dugu.

### Denbora

Sakontzeko, irakurri: «Denbora»
Oso zaila da denbora definitzea, baina guztiok ulertzen dugu intuitiboki zer den *denbora* kontzeptuak esan nahi duena: magnitude fisiko bat da, aldiune desberdinen arteko tartea (‘*distantzia denborala*’) adierazten duena eta erlojuarekin neurtzen dena. Materiaren aldaketak gertatzeko denbora pasatu behar da, eta beti aurrerantz doa, hau da, iraganetik etorkizunerantz. Mekanika klasikoan, denbora ere *absolutua* dela suposatzen da, alegia, espazio osoan dauden erloju guztiek denbora-tarte berberak neurtzen dituztela, eta behin sinkronizatu ondoren etengabe segitzen dutela sinkronizaturik.

### Erreferentzia-sistema eta behatzaile orojakile eta omnipresentea

Erreferentzia-sistema eta neurketa espazio-denboralak egiten dituen bertako behatzailea.Higitzen ari den gorputzak espazioan aldiune jakin batean duen posizioa finkatzeko, elkarrekin batera definitu beharreko bi elementu behar ditugu. *Erreferentzia-sistema* bat, puntua zein den zehazteko, eta *behatzaile orojakile* eta *omnipresente* bat, edozein tokitan gorputzaren *posizioa* (luzera-neurgailuaz neurtua) eta *aldiunea* (erlojuaz neurtua) zehazteko gaitasuna duena. Bistan da behatzaile ideal bat dela, gure imajinazioan sorturiko "jainko" imajinario bat, etengabe eta espazioko puntu guztietan gertatzen dena neurtzeko gai dena.

Erreferentzia-sistema {\displaystyle O} *jatorri-puntu*az eta hiru dimentsioko koordenatu-sistema kartesiarraz adierazi ohi da gehienetan, nahiz eta bestelako koordenatuak ere erabil daitezkeen (koordenatu zilindrikoak edo esferikoak, adibidez). Hortaz, {\displaystyle P} puntua {\displaystyle (x,y,z)} hiru osagaiez identifikatuko da. Aldi bakoitzean behatzaileak erlojuaz neurtuko du zein den {\displaystyle t} aldiunea, eta gorputza aldiune horretan dagoen puntua {\displaystyle P(t)} izango da, lau zenbakiez identifikaturik: {\displaystyle x,y,z} eta {\displaystyle t}. Horrela, ba, lau zenbaki horien bidez  identifikatuko dugu gertakari puntual bakoitza, partikula non eta noiz egon den adieraziaz: {\displaystyle P(x,y,z,t)}. Partikularen zinematikaren kasuan, partikula non-noiz dagoen definitzen duen {\displaystyle P(x,y,z,t)}horri *gertaera* edo *gertakari puntuala* deituko diogu.

### Galileoren transformazioa

Galileoren transformazioko erreferentzia-sistemak.
Zinematikan aukera dago edozein erreferentzia-sistema aukeratzeko. Fisikaren ikuspuntutik, sistema guztiak baliokideak dira naturako fenomeno fisikoak deskribatzeko, baina sistema desberdinetan, puntuen lau osagaiak desberdinak izan daitezke. Ohikoa den bezala, elkarrekiko higitzen ari diren bi erreferentzia-sistema kontsideratuko ditugu: {\displaystyle S}eta {\displaystyle S'}. Gertakari puntual bat kontuan hartuz gero, {\displaystyle S}sisteman beraren osagaiak {\displaystyle (x,y,z,t)} izango dira, eta {\displaystyle S'}sisteman, {\displaystyle (x',y',z',t')}. Osagai horiek elkarrekin erlazionaturik daude, sistema batetik besterako Galileoren transformazioa deritzen ekuazioen bidez.

Bi koordenatu-sistema kartesiarren kasuan, Galileoren transformazioari dagozkion ekuazioak hauexek dira: 




x
′

=
x
−
v
t
,


y
′

=
y
,


z
′

=
z
,


t
′

=
t
.



{\displaystyle {\begin{matrix}x'=x-vt,\\y'=y,\\z'=z,\\t'=t.\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}x'=x-vt,\\y'=y,\\z'=z,\\t'=t.\end{matrix}}}
#### Bi gertakari puntualen arteko distantzia espazio-denboralak bi erreferentzia-sistematan

Bi gertaera puntualen arteko distantzia espaziala eta denbora-tartea.Interesgarria da aztertzea bi erreferentzia-sistema desberdin horietatik neurturiko zenbait magnituderen balioen arteko erlazioa, bereziki *distantzia espazio-denboral*en artekoak. Adibidez, higitzen ari den partikula baten kasuan, kontsidera ditzagun espazioko {\displaystyle P\_{1}} eta {\displaystyle P\_{2}} puntuetatik pasatzean partikulari dagozkion gertaera puntualen lau osagaiak {\displaystyle S} eta {\displaystyle S'} erreferentzia-sistemetan. Hurrenez hurren, {\displaystyle (x\_{1},y\_{1},z\_{1},t\_{1})}eta {\displaystyle (x\_{2},y\_{2},z\_{2},t\_{2})} izango dira {\displaystyle S} sisteman, eta {\displaystyle (x'\_{1},y'\_{1},z'\_{1},t'\_{1})} eta {\displaystyle (x'\_{2},y'\_{2},z'\_{2},t'\_{2})} {\displaystyle S'} sisteman.

*Mekanika klasikoa*n espazioak geometria euklidearra duenez, hauxe izango da bi bi puntuen arteko *distantzia espaziala* bi sistemetan:

* {\displaystyle S}sisteman, {\textstyle d\_{12}={\sqrt {(x\_{2}-x\_{1})^{2}+(y\_{2}-y\_{1})^{2}+(z\_{2}-z\_{1})^{2}}}}.
* {\displaystyle S'}sisteman, {\textstyle d'\_{12}={\sqrt {(x'\_{2}-x'\_{1})^{2}+(y'\_{2}-y'\_{1})^{2}+(z'\_{2}-z'\_{1})^{2}}}}.
* Eta gainera, mekanika klasikoan onartzen da {\displaystyle d\_{12}=d'\_{12}} dela.

Alegia, mekanika klasikoan onartzen da espazioko bi punturen arteko distantziak berberak direla edozein erreferentzia-sistematatik neurtuta. Horregatik esaten da espazioa *absolutua* dela.

Era berean, bi gertakari puntual horien arteko *distantzia denborala* (hau da, *denbora-tartea*) neurtzean, balio hauek lortuko ditugu bi sistemetan:

* {\displaystyle S}sisteman, {\displaystyle \Delta t\_{12}=t\_{2}-t\_{1}}.
* {\displaystyle S'}sisteman, {\displaystyle \Delta t'\_{12}=t'\_{2}-t'\_{1}}.

* Mekanika klasikoaren ikuspuntutik, bi sistema desberdinetako behatzaileen erlojuak elkarrekin sinkronizaturik egon badira hasieratik, sinkronizaturik segituko dute etengabe. Horregatik, {\displaystyle \Delta t\_{12}=\Delta t'\_{12}} dela onartzen da. Bestela esanda, bi gertaeraren arteko denbora-tartea berdina izango da sistema batean eta bestean.

Horregatik esaten da mekanika klasikoaren denbora *absolutua* dela.

Nolanahi den, *mekanika erlatibista*n, bai distantzia espazialak eta bai denbora-tarteak neurtzean, balio desberdinak lortzen dira elkarrekiko higitzen ari diren sistemetatik. Horregatik esaten da espazioa eta denbora ez direla absolutuak, erlatiboak baizik.

### Ibilbidea

Ibilbideko puntu bakoitzak adierazten du partikula *non* egon den aldiune zehatz batean. Higitzen ari den gorputz puntuala erreferentzia-sistema batetik behatzean, denboran zehar espazioko puntu desberdinetatik pasatzen dela konturatuko gara. Higidura hori bere osotasunean kontsideratzean, abstrakzio bat eginez eta gorputzak espazioan izan dituen posizio guztiak batera harturik, gorputzaren higidura osoa irudika dezakegu espazioan. Horrela, lerro bat defini dezakegu, ***ibilbidea*** deituko duguna, eta gorputzaren higiduraren "historia" adieraziko diguna.

Hitz matematikoez azalduta, ibilbidea gorputzaren posizio guztien ***leku geometrikoa*** dela esaten da. Mekanika klasikoan lerro hori jarraitua da, eta bertako puntuak denboraren funtzioan adierazten dira: {\displaystyle P(t)}. Ibilbideko puntu bakoitzari dagokion posizio-bektorea honelaxe adieraziko da erreferentzia-sistema kartesiar batean:


r

(
t
)
=
x
(
t
)

i

+
y
(
t
)

j

+
z
(
t
)

k

.

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {i}}+y(t){\boldsymbol {j}}+z(t){\boldsymbol {k}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {i}}+y(t){\boldsymbol {j}}+z(t){\boldsymbol {k}}.}

Zinematikako magnitude fisikoak
-------------------------------

Zinematikaren arloan erabili ohi diren magnitude fisiko nagusiak hauexek:

### Posizio-bektorea

Erreferentzia-sistema jakin batean partikulak edozein aldiunetan duen kokapena definitzen du. Izenak berak dioenez, magnitude bektoriala da, eta partikularen higidura aztertzean, funtzio modura adierazten da, {\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)} sinboloaz. Hiru osagai kartesiarren  bidez era honetan idatz daiteke:


r

(
t
)
=
x
(
t
)

i

+
y
(
t
)

j

+
z
(
t
)

t

.

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {i}}+y(t){\boldsymbol {j}}+z(t){\boldsymbol {t}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}(t)=x(t){\boldsymbol {i}}+y(t){\boldsymbol {j}}+z(t){\boldsymbol {t}}.}
Bistakoa denez, erreferentzia-sistema bakoitzean balio desberdina izango du: {\displaystyle S} sisteman*,* {\displaystyle {\boldsymbol {r}}}; {\displaystyle S'} sisteman, {\displaystyle {\boldsymbol {r}}'}.

### Desplazamendua

Partikula higitzen ari dela, bi aldiune desberdinetan, {\displaystyle t\_{1}} eta {\displaystyle t\_{2}}, posizio desberdinak izango ditu, {\displaystyle P\_{1}} eta {\displaystyle P\_{2}}hurrenez hurren (edo {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\_{1}} eta {\displaystyle {\boldsymbol {r}}\_{2}}). Definizioz, bi aldiune horien  arteko denbora-tartean partikulak izandako desplazamendua honako bektore hau da:




P

1

P

2

→

=

r

2

−

r

1

.

{\displaystyle {\overrightarrow {P\_{1}P\_{2}}}={\boldsymbol {r}}\_{2}-{\boldsymbol {r}}\_{1}.}

{\displaystyle {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}={\boldsymbol {r}}_{2}-{\boldsymbol {r}}_{1}.}
Bektore horren modulua *bi puntuen arteko distantzia* da:


d

12

=

|

P

1

P

2

→

|

.

{\displaystyle d\_{12}=\left\vert {\overrightarrow {P\_{1}P\_{2}}}\right\vert .}

{\displaystyle d_{12}=\left\vert {\overrightarrow {P_{1}P_{2}}}\right\vert .}
### Abiadura

Higitzen ari den partikularen abiadura, definizioz, posizio-bektorearen denborarekiko deribatua da. Bektore bat da, denboraren funtzioa dena, {\displaystyle {\boldsymbol {v}}} sinboloaz adierazten dena, edo nahiago bada, {\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)} modura:


v

(
t
)
≡

d
⁡

r

(
t
)

d

t

.

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)\equiv {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}(t) \over \operatorname {d} \!t}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}(t)\equiv {\operatorname {d} {\boldsymbol {r}}(t) \over \operatorname {d} \!t}.}
Edo osagaien bidez emanik:


v

=

v

x

i

+

v

x

j

+

v

z

k

=

d

x

d

t

i

+

d

y

d

t

j

+

d

z

d

t

k

.

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v\_{x}{\boldsymbol {i}}+v\_{x}{\boldsymbol {j}}+v\_{z}{\boldsymbol {k}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {k}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}=v_{x}{\boldsymbol {i}}+v_{x}{\boldsymbol {j}}+v_{z}{\boldsymbol {k}}={\frac {{\text{d}}x}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}y}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}z}{{\text{d}}t}}{\boldsymbol {k}}.}
### Azelerazioa

Matematikoki hitz eginez, azelerazioa abiaduraren denborarekiko deribatua da. Bektore bat da, denboraren funtzioa dena, {\displaystyle {\boldsymbol {a}}} sinboloaz adierazten dena, edo nahiago bada, {\displaystyle {\boldsymbol {a}}(t)} modura:


a

≡

d

v

d

t

=


d

2

r

d

t

2


=


d

2

x

d

t

2



i

+


d

2

y

d

t

2



j

+


d

2

z

d

t

2



k

.

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {k}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}\equiv {\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}^{2}{\boldsymbol {r}}}{{\text{d}}t^{2}}}={\frac {{\text{d}}^{2}x}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {i}}+{\frac {{\text{d}}^{2}y}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {j}}+{\frac {{\text{d}}^{2}z}{{\text{d}}t^{2}}}{\boldsymbol {k}}.}

Higidura motak
--------------

Partikularen higidura askotarikoa izan daiteke, abiadura eta azelerazioaren balioen arabera. Hona hemen kasurik sinpleenak:

* Azelerazioa nulua bada, abiadura bektorea konstantea izango da. Hortaz, norabide berean eta modulu berberaz higituko da etengabe, eta ibilbidea zuzena izango da: *higidura zuzen uniformea* gauzatuko da.
* Azelerazio bektorea konstantea bada eta, gainera, abiadura bektorearen norabide berekoa bada, orduan ibilbidea zuzena izango da, norabide berekoa, baina abiaduraren modulua etengabe handituagotuz joango da: *higidura zuzen uniformeki azeleratua* izango dugu.
* Azelerazioaren modulua konstantea bada eta etengabe abiadurarekiko norabide perpendikularra badu, ibilbidea behin errepikatuko den zirkunferentzia bat izango da eta *higidura zirkular uniformea* gauzatuko da. Kasu horretan, bestelako magnitude bat ere definitu ohi da, ibilbideko puntuari dagokion erradioan duen biraketa aztertzeko: *abiadura angeluarra*.
* Azelerazio bektorea konstantea izanik, bektore hori abiaduraren eta ibilbidearen plano berean badago, orduan *higidura parabolikoa* gertatuko da.

Automobiletako aginte-koadro arrunta. Ezkerreko zirkulu handia abiadura-neurgailua da eta eskuinekoa, takometroa.

Higiduraren neurketa eta erregistroa
------------------------------------

Gaur egungo teknologiari esker, hainbat modutara neurtu eta erregistra dezakegu gorputzen higidura. Esate baterako, automobiletako aginte-koadroan aldiuneko abiadura neurtzen da *takometro*aren bidez; tresna horrek autoaren abiadura neurtzen du gurpilek segundo bakoitzean egiten dituen birabeteen kopurua zenbatuz, eta horrela gidariak etengabe daki zein abiaduratan doan. Bestalde, errepideetako abiadura kontrolatzeko, puntu jakin batzuetan *trafiko-radar*ren bidez automatikoki neurtzen da ibilgailuen abiadura, horrela abiadura-mugatik gora doazen autoen jabeei isunak ezartzeko, zigor gisa. Azkenik, paseoan ateratzen diren oinezko ibiltariek *podometroa* erabil dezakete, pausoak zenbatzeko eta ibiltako distantzia kalkulatzeko.

Zinematika erlatibistako zenbait zehaztapen
-------------------------------------------

Erlatibitatearen teorian partikulen abiadura oso handiak kontsideratzen direnez, aldaketa kontzeptual batzuk eduki behar dira kontuan zinematikaren arloan. Hain zuzen, zehaztapen batzuk egin behar dira, partikulen abiadura oso handien kasuan aplikatzekoak, bereziki argiaren abiaduraren baliora hurbiltzen direnean. Jarraian, horrelako zenbait aipatuko dira, lehenago zinematika klasikoari buruz esandako elementu eta kontzeptuak zehaztuz.

### Argiaren abiaduraren izaera

Argiak hutsean duen abiadura *magnitude absolutua* da; ez, ordea, espazioa eta denbora. Horretan, zinematika erlatibista bereizi egiten da zinematika klasiko ez-erlatibistatik, zeinean abiadura guztiak erlatiboak diren, eta, ostera, espazioa eta denbora, absolutuak. Argiaren hutseko abiadura absolutua izateak esan nahi beti balio berbera lortuko dela abiadura hori neurtzean, edozein sistema inertzialetatik neurtuta ere.

Argiaren izaera horren ondorioz, birplanteatu egin behar da zinematika klasikoan erreferentzia-sistema inertzialen izaeraz esandakoa, zeren, orduan kontzeptu erlatiboa baitzen abiadura, abiadura desberdinak neurtzen baitziren elkarrekiko higitzen ari diren sistemetatik. Argiaren abiaduraren izaera absolutuak ondorio "harrigarriak" ditu mekanika ez-erlatibistan lortutakoekin konparatuz, jarraian aipatuko ditugunak.

Erreferentzia-sistemako {\displaystyle A} eta {\displaystyle B} puntuetako erlojuak sinkronizatzeko modua.
### Erreferentzia-sistema bakoitzak bere aldiberekotasuna du

Einsteinek sakon aztertu zuen zer zen erreferentzia-sistema bateko bi puntu desberdinetan jazo diren bi gertaera puntualen "*aldiberekotasuna*" edo "*simultaneitatea*" eta konturatu zen kontzeptu hori bi puntu horietan jarritako bi erlojuen *sinkronizazio*arekin loturik zegoela. Izenak berak dioenez, errferentzia-sistemako espazioko bi puntutan jazotzen diren bi gertaera puntual *aldiberekoak* izan direla esaten da sistema horretako behatzaileen arabera ***aldi berean*** gertatu badira.

Erreferentzia-sistemako puntu guztietako erloju sinkronizatuak.
Einsteinek esperimentu bat imajinatu zuen (*gedanken experiment* bere hitzetan, *esperimentu mental* euskaraz), beti ere kontsideratuz toki desberdinetako erlojuak argiaren bidez sinkronizatu behar zirela, kontuan izanik argiaren abiadurak balio absolutua zuela. Horretarako, {\displaystyle P} puntuan kokaturiko behatzaile bat imajinatu zuen, puntu horretatik eskuin-ezker distantzia berera zeuden bi puntutan, {\displaystyle A} eta {\displaystyle B} puntuetan, erloju bana egonik. Nola ziurta zezakeen behatzaileak bi erloju horiek "ordu berbera" markatzen zutela? Metodo hau imajinatu zuen: bi puntu horietatik, argi-pultsu edo argi-izpi bana jaurtitzen zen erdiko behatzailearenganantz, erlojuek adierazitako ordu berean. Baldin bi argi-pultsu horiek aldiune berean iristen baziren behatzailearen neurgailura, horrek esan nahi zuen erreferentzia-sistema horretako bi erlojuak elkarrekin sinkronizaturik zeudela. Prozesu hori sistemako puntu guztietan kokaturiko erlojuekin errepikatuz gero, sistemari zegokion sinkronizazioa definiturik geratzen zen; bestela esanda, erreferentzia-sistemaren "*ordua*". Era horretan, posible da definitzea erreferentzia-sistema bakoitzeko denbora, alegia, "sistemako aldiberekotasuna" adierazten dutena: {\displaystyle S} sistemako {\displaystyle t} denbora. Nolanahi ere, aipatutako sistemarekiko higitzen ari den beste sistema batean (aurreko sistemarekiko {\displaystyle v} abiaduraz higitzen ari den {\displaystyle S'}sisteman) bestelako aldiberekotasun bat egongo da definiturik.

Elkarrekiko higitzen ari diren bi erreferentzia-sistematan aldiberekotasun desberdina definitzen da. 
Ezkerreko eskeman aurreko bi sistemetatik aztertzen da erlojuen sinkronizazioa. Hain zuzen, {\displaystyle S} sisteman {\displaystyle P} puntuan dagoen behatzaileak aldi berean neurtuko ditu {\displaystyle A} eta {\displaystyle B} puntuetatik aldi berean irtendako argi-pultsuak. Argi-izpien irteerak aldiberekoak izan dira, eta iritsierak ere bai. Ikus dezagun nola gertatzen diren gauzak {\displaystyle S'} sisteman. Argi-izpien irteerako aldiunean {\displaystyle A'} eta {\displaystyle A} puntuak elkarren parean egon dira eta {\displaystyle B'} eta {\displaystyle B} puntuak ere elkarren parean, eta {\displaystyle S'} sistemako erlojuak ere elkarrekin sinkronizaturik egon dira; beraz, argi-pultsuak ordu berean irten dira, bi behatzaileen arabera. Argiaren abiadura berbera izango da bi noranzkoetan bigarren sisteman ere. Baina {\displaystyle S'} sistemako {\displaystyle P'} puntuko behatzailearengana lehenago iritsiko da {\displaystyle B'} puntuaren paretik irtendako argi-pultsua, zeren trena {\displaystyle v} abiaduraz ari baita {\displaystyle P'} punturantz hurbiltzen; eta geroago iritsiko da {\displaystyle A'} puntuaren paretik irtendakoa, {\displaystyle P'} puntua urruntzen ari baita. Ondorioz, {\displaystyle S'} sistemako sinkronizazioan, bi argi-pultsuak ez dira aldi berean iritsiko {\displaystyle P'} puntuko behatzailearengana. Bestela esanda, {\displaystyle S} eta {\displaystyle S'} sistemen aldiberekotasunak ez dira berdinak. Aldiberekotasuna *erlatiboa* da.

### Lorentzen transformazioa

Lorentzen transformazioaren erreferentzia-sistemak. {\displaystyle S'} sistema {\displaystyle v} abiadura konstanteaz ari da higitzen {\displaystyle Ox} ardatzaren norabidean.
Aldiberekotasuna erlatiboa izateak ondorio zuzenak ditu bi erreferentzia-sistema inertzialen koordenatu espazio-denboralak erlazionatzen dituzten transformazio-ekuazioetan. Izan ere, horretan bereizten dira zinematika klasikoa eta zinematika erlatibista. Zinematika klasikoan Galileoren transformazioak erabili behar dira, eta horietan bi gertaera puntualen arteko distantzia espaziala eta distantzia denborala berberak dira bi erreferentzia-sistemetan, aurreko atal batean aipatu dugun bezala. Zinematika erlatibistan, ordea, ezin dira erabili Galileoren transformazioak, Lorentzen transformazioak baizik. Transformazio hauek kontuan hartzen dute erlatibitatean aldiberekotasuna, eta horren arabera, honelaxe erlazionatzen dituzte aldiune batean espazioko {\displaystyle P} puntuan jazotako gertaera puntual batek {\displaystyle S}eta {\displaystyle S'} sistemetan dituzten koordenatu espazio-denboralak:



x
′

=
γ
(
x
−
v
t
)
,


y
′

=
y
,


z
′

=
z
,


t
′

=
γ

(

t
−

x
v

c

2



)

.



{\displaystyle {\begin{matrix}x'=\gamma (x-vt),\\y'=y,\\z'=z,\\t'=\gamma {\Bigl (}t-{\frac {xv}{c^{2}}}{\Bigr )}.\end{matrix}}}

{\displaystyle {\begin{matrix}x'=\gamma (x-vt),\\y'=y,\\z'=z,\\t'=\gamma {\Bigl (}t-{\frac {xv}{c^{2}}}{\Bigr )}.\end{matrix}}}Adierazpen honetan ageri den {\displaystyle \gamma } faktorea etengabe agertuko da Einsteinen erlatibitatean eta balio hau du:



γ
=

1

1
−

v

2

c

2


.

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}Faktore honek bi sistemen arteko abiaduraren menpekotasuna du eta tarte hauen arteko balioa du: {\displaystyle 1\leq \gamma \leq \infty }.

### Denbora erlatibista ez da magnitude absolutua

Aldiberekotasun erlatiboaren ondorioz, zinematika klasikoan ez bezala, zinematika erlatibistan erreferentzia-sistemetan ez dago behatzaile "*omnipresente*"rik, toki guztietarako ordu berbera neurtzen duenik. Aitzitik, espazioko puntu bakoitzean behatzaile bat kontsideratu behar da, bakoitzak bere erlojua duena. Ez dago puntu guztietako balio duen erloju bakarrik, baizik eta espazioko puntu guztietan dauden infinitu erloju kontsideratu behar dira, horiek guztiak argiaren bidez elkarrekin sinkronizaturik egonik, aldiberekotasun erlatibistari buruzko paragrafoan azaldu den moduan. Hain zuzen ere, aldiberekotasun erlatibista kontuan harturik egin behar dira erreferentzia-sistemetako denbora-neurketak. Bestela esanda, erreferentzia-sistema bakoitzak ***bere denbora*** du, sistemako puntu bakoitzeko erloju guztien sinkronizazioari dagokiona; eta beste erreferentzia-sistema batean, bestelako sinkronizazio bat egongo da, ***bestelako denbora*** bat. Alegia, ez dago denbora absoluturik, sistema guztietan berbera dena: denbora ***magnitude erlatiboa*** da. Gauzak horrela, denbora neurtzean bi denbora-mota bereizten dira: *denbora propioa* eta *denbora inpropioa.* Eta bien arteko erlazioa adieraztean, *denboraren zabalkuntza* izeneko emaitza gauzatzen da:

#### Denbora propioa

Partikula edo objektu batekin batera doan erloju ideal bakar batek neurtuko lukeen denbora da; bestela esanda, denbora propioa da erreferentzia-sistema inertzial bateko puntu berean jazotako bi gertaeraren arteko denbora-tartea, bertan dagoen behatzaileak bertako erlojuarekin neurtua. Sinbolikoki, {\displaystyle \Delta t} eran idatziko dugu.

#### Denbora inpropioa

Sistema inertzial bateko bi puntu desberdinetan jazotako bi gertaeraren arteko denbora-tartea da, sistema horretan dauden bi behatzailek neurtua; alegia, neurketa hori bi erlojurekin egiten da, sistemako bi puntutan dauden bi erloju sinkronizaturen bidez; horregatik deituko dugu "inpropioa". Kasu honetan, {\displaystyle \Delta t'} idatziko dugu.

#### Denboraren zabalkuntza

Lorentzen transformazioak erabiliz ondoriozta daitekeenez, denbora propioaren eta denbora inpropioaren arteko erlazio matematikoa honako hau da:



Δ

t
′

=

Δ
t

1
−

v

2

c

2


=
γ
Δ
t
.

{\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma \Delta t.}

{\displaystyle \Delta t'={\frac {\Delta t}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=\gamma \Delta t.}Adierazpen horretan, {\displaystyle v} abiadura higitzen ari den behatzailearena da, eta {\displaystyle c}, argiaren abiadurarena. Edozein partikula edo objektu materialen abiadura argiarena baino txikiagoa denez (hots, {\displaystyle v<c} denez), {\displaystyle \Delta t'>\Delta t} izango da; alegia, denbora inpropioa denbora propioa baino handiagoa izango da. Ondorio horri deitzen zaio "*denboraren zabalkuntza*".

### Espazio erlatibista ez da absolutua

Denboraren izaerarekin lotuta dagoen beste ondorio bat ere badago, objektuen luzerak neurtzean agertzen dena. Hauxe da: erreferentzia-sistema batean geldi dagoen objektu baten tamaina neurtzean eta sistema horrekiko higitzen ari den beste sistema batetik objektu berberaren tamaina neurtzean ez dira balio berberak lortzen. Bestela esanda, objektuaren "*luzera*" ez da balio absolutua, *erlatiboa* baizik. Kasu honetan ere, *luzera propioa eta* *luzera inpropioa* definituko ditugu. Eta bien arteko erlazioan *luzeraren uzkurdura* azaltzen da:

#### Luzera propioa

Sistema inertzial batean geldi dauden objektuei neurtutako luzerak "*propioak*" direla esaten da. Objektuak aldatu gabe irauten badu, beti luzera berbera izango du; horregatik deitzen da propioa.

#### Luzera inpropioa

Baina objektua {\displaystyle v} abiaduraz higitzen ari bada neurketa egiten ari den erreferentzia-sistema inertzialarekiko, eta abiaduraren norabide bereko luzera bat neurtzen bada, bestelako emaitza bat lortuko da neurketa egitean; gainera, neurtuko den luzeraren balioa objektuaren abiaduraren menpekoa izango da. Horregatik, luzera horri *luzera inpropioa* deritzo. Lorentzen transformazioa erabiliz lortzen denez, honako erlazio hau dago {\displaystyle l'}luzera inpropioaren, eta {\displaystyle l\_{0}} luzera propioaren artean:



l
′

=

l

0

1
−

v

2

c

2



=

l

0

γ

.

{\displaystyle l'=l\_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {l\_{0}}{\gamma }}.}

{\displaystyle l'=l_{0}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\frac {l_{0}}{\gamma }}.}
#### Luzeraren uzkurdura

Aurreko adierazpenean agerikoa denez, luzera inpropioa kasu guztietan da luzera propioa baino txikiagoa. Emaitza horri *luzeraren uzkurdura* deritzo zinematika erlatibistan. Gainera, aurreko formulan ikus daitekeenez, zenbat eta abiadura handiagoa luzera inpropioa txikiagoa; alegia, luzeraren uzkurdura, handiagoa.

### Aldaezin espazio-denborala

Goragoko paragrafo batean esan dugun bezala, zinematika klasikoan espazioa eta denbora "absolutuak" izatean, bi gertaera puntualen arteko denbora-tartea berbera zen erreferentzia-sistema guztietan; eta, halaber, objektu baten bi muturrean arteko luzera ere berbera zen sistema guztietan. Baina zinematika erlatibistan gauzak ez dira horrela. Hala ere, bada denboraren eta espazioaren konbinazio bat, sistema guztietan balio berbera duena: *aldaezin espazio-denborala*, nolabait esateko "distantzia espazio-denborala" adierazten duena. Hain zuzen ere, infinituki hurbil dauden bi gertaera puntualen arteko aldaezin espazio-denborala honelaxe adieraz daiteke era diferentzialean {\displaystyle S} eta {\displaystyle S'} erreferentzia-sistemetan::


d

s

2

=

d

x

2

+

d

y

2

+

d

z

2

−

c

2

d

t

2

=

d

x

′

2

+

d

y

′

2

+

d

z

′

2

−

c

2

d

t

′

2

=

d

s

′

2

.

{\displaystyle {\text{d}}s^{2}={\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}+{\text{d}}z^{2}-c^{2}{\text{d}}t^{2}={\text{d}}x'^{2}+{\text{d}}y'^{2}+{\text{d}}z'^{2}-c^{2}{\text{d}}t'^{2}={\text{d}}s'^{2}.}

{\displaystyle {\text{d}}s^{2}={\text{d}}x^{2}+{\text{d}}y^{2}+{\text{d}}z^{2}-c^{2}{\text{d}}t^{2}={\text{d}}x'^{2}+{\text{d}}y'^{2}+{\text{d}}z'^{2}-c^{2}{\text{d}}t'^{2}={\text{d}}s'^{2}.}

 Ariketak
---------

* Zinematika
* **Higidura zuzen uniformeki azeleratua** lantzeko ariketa.
* **Higidura zuzen uniformeki azeleratua** lantzeko ariketa II.
* **Higidura zuzen uniformea** lantzeko ariketa.
* **Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.
* **Higidura zirkular uniformea** identifikatzeko bideoa.
* **Higidura zirkular uniformea** bi gorputzariketa.
* **Higidura motak ezberdintzen** ikasteko bideoa.
* **Higidura harmoniko sinplea** lantzeko ariketa.
* **Higidura harmoniko sinplea** lantzeko ariketa II.
* **Higidura harmoniko sinplea** lantzeko ariketa III.
* **Higidura harmoniko sinplea** lantzeko ariketa IV.
* **Higidura harmoniko sinplea** lantzeko ariketa V.
* **Mugimendu harmoniko sinplea** lantzeko ariketa.
* **Higidura harmoniko sinple periodikoa** ulertzeko bideoa.
* **Erorketa askea** lantzeko ariketa.
* **Erorketa librea** ariketa 1.
* **Higidura parabolikoa** zer den ikasteko bideoa.
* **Tiro parabolikoa** ulertzeko bideoa.
* **Abiadura osagaiak** lantzeko bideoa.
* **Higidura parabolikoa** lantzeko ariketa.
* **Higidura parabolikoa** lantzeko ariketa II.
* **Lenteak** lantzeko ariketa.
* **Dinamika** lantzeko ariketa.
* **Dinamika** lantzeko ariketa II.
* **Dinamika** lantzeko ariketa III.
* **Dinamika** lantzeko ariketa IV.
* **Dinamika** lantzeko ariketa V.
* **Mugimendua** ulertzeko bideoa.
* **Mugimendua** lantzeko ariketa.
* **Mugimendua** lantzeko ariketa II.
* **Mugimendua** lantzeko ariketa III.
* **Abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa I.
* **Abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa II.
* **Abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa III.
* **Abiadura unitateak** eta **azelerazio unitateak** lantzeko ariketa IV.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Feynman, Richard P.; Leighton, Robert B.; Sands, Matthew; Treiman, S. B..  (1964-08). «The Feynman Lectures on Physics» *Physics Today* 17 (8): 45–46. doi:10.1063/1.3051743. ISSN 0031-9228. (Noiz kontsultatua: 2018-12-22).
2. ↑    *Fisika orokorra.*  (2. argit. zuzendua eta berregokitua. argitaraldia) Udako Euskal Unibersitatea 2003 ISBN 84-8438-045-9. PMC 432853358. (Noiz kontsultatua: 2020-04-29).
3. ↑   **(Ingelesez)** Newton, Isaac.  (1687). *Philosophiae naturalis principia mathematica.* .
4. ↑    Bilbao, Jose Ramon Etxebarria.  (1994). *Teoria fisikoen oinarriak.*  UEU arg ISBN 9788486967574. (Noiz kontsultatua: 2019-02-16).
5. ↑   1879-1955. Einstein, Albert,.  (2008). *Erlatibitatearen teoria, Einsteinek berak azaldua.*  (1. argit. argitaraldia) Klasikoak ISBN 9788496455245. PMC 434110093. (Noiz kontsultatua: 2019-02-15).

Bibliografia
------------

* Fishbane, Paul (2008) *Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)* Universidad del País Vasco/Euskal Herriko Unibertsitatea ISBN9788490820308 PMC932800438.
* Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) *Fisika orokorra (2. argitalpena)* UEU, Bilbo (2003) ISBN 9788484380450.
* Marcelo Alonso, Edward J. Finn (1976). *Física*. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 84-03-20234-
* UEU-ko Fisika Saila, *Fisikaren Historia Laburra,* Iruñea (1990). ISBN: 84-86967-27-9
* Etxebarria Bilbao, Jose Ramon, *Albert Einstein, kosmoa pentsagai*, Gaiak (1990), Donostia, ISBN: 84-87203-10-8

Ikus gainera
------------

* Dinamika
* Mekanika
* Fluidoen mekanika
* Erlatibitatearen teoria berezia

Kanpo estekak
-------------

* Zinematika. Fisika. Euskal Herriko Unibertsitatea
* Deskargatu *Fisika orokorra (2. argitalpena)* liburua. Etxebarria Bilbao, Jose Ramon (arg.) UEU, Bilbo (2003)

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q11476
* Commonscat Multimedia: Kinematics

---

* **Identifikadoreak**
* BNE: XX525554
* BNF: 11947049q (data)
* GND: 4030664-1
* LCCN: sh85072381
* NDL: 00574002
* NKC: ph121580
* AAT: 300065458
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q11476
* Commonscat Multimedia: Kinematics

  


| * i
* e
* a
Zinematika |
| --- |
| 
* ← Integratuz … Diferentziatuz →

 |
| 
* Absemendua
* Desplazamendua
* Abiadura
* Azelerazioa
* Gainazelerazio
* Jounce
* Crackle
* Pop

 |