Pierre-Simon Laplace
Kalkulu bektorialean, **Laplace-ren ekuazioa** mota eliptikoko bigarren mailako deribatu partzialetako ekuazioa da, Pierre-Simon Laplace fisikariaren eta matematikariaren omenez izendatua.

Mekanika newtondarraren beharrizanek sartuta, Laplaceren ekuazioa fisika teorikoko beste adar askotan agertzen da, hala nola astronomian, elektrostatikan, fluidoen mekanikan edo mekanika kuantikoan.

Definizioa
----------

Hiru dimentsiotan, bi aldiz deribagarria, eta {\displaystyle (x,y,z)} aldagai errealetako {\displaystyle u} funtzio erreal bat aurkitzean datza problema, non

**koordenatu cartesiarretan**,

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial x^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial y^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0.}
{\displaystyle (\rho ,\varphi ,z)\,} **koordenatu zilindrikoetan**,

{\displaystyle {1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial u \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}+{\partial ^{2}u \over \partial z^{2}}=0}
{\displaystyle (r,\theta ,\phi )\,} **koordenatu esferikoetan**,

{\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial u \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial u \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}u \over \partial \varphi ^{2}}=0}
baita.
{\displaystyle \nabla ^{2}u=0\,}
non {\displaystyle \nabla ^{2}} Laplace-ren eragilea edo "Laplacetarra" da.

Ekuazio hau deribatu partzialetan honela ere idatz daiteke:

{\displaystyle \nabla \cdot \nabla u=0,}
non {\displaystyle \nabla \cdot } dibergentzia den, eta {\displaystyle \nabla } gradientea den.

Edo, batzuetan notazioa hau izan daiteke:

{\displaystyle \Delta u=0,\,}
non {\displaystyle \Delta } Laplace-ren eragilea ere baden.

Laplace-ren ekuazioaren soluzioei funtzio harmoniko deitzen zaie.

Berdintzaren eskuinaldean {\displaystyle f(x,y,z)} funtzio bat zehazten bada, hau da, ekuazioa honela idazten bada:

{\displaystyle \Delta u=f\,}
orduan "Poisson-en ekuazioa" duzu, beraz, Laplace-ren ekuazioa horren kasu partikularra da. Laplace-ren ekuazioa Helmholtz-en ekuazioaren kasu partikular bat ere bada.

Laplace-ren ekuazioa, baita Poisson-en ekuazioa ere, deribatu partzialetako ekuazio eliptikoren adibiderik errazenak dira.

Laplaceren ekuazioa bi dimentsiotan
-----------------------------------

Laplaceren ekuazioa bi aldagai independentetan:

{\displaystyle {\displaystyle \varphi \_{xx}+\varphi \_{yy}=0.\,}}

Denboraren mende ez dauden zenbait egoera fisiko modelatzen ditu Laplaceren ekuazioak. Bero-transferentziari buruzko Fourier-en legean tenperatura, edo Fick-en difusio-legean kontzentrazio kimikoa edo Ohm-en eroapen-legean potentzial elektrostatikoa adieraz ditzake.

### **Funtzio analitikoak**

Konplexuetako funtzio analitiko baten parte errealak eta irudikariak Laplaceren ekuazioa betetzen dute. Hau da, {\displaystyle {\displaystyle z=x+iy}} bada eta {\displaystyle {\displaystyle f(z)=u(x,y)+iv(x,y)}}, orduan {\displaystyle {\displaystyle f(z)}} analitikoa izateko baldintza Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzea da: 

{\displaystyle {\displaystyle u\_{x}=v\_{y},\quad v\_{x}=-u\_{y}}} non {\displaystyle {\displaystyle u\_{x}}} {\displaystyle x}-rekiko {\displaystyle u}-ren lehen deribatu partziala den. 

Orduan, {\displaystyle {\displaystyle u\_{yy}=(-v\_{x})\_{y}=-(v\_{y})\_{x}=-(u\_{x})\_{x}}}. 

Ondorioz, {\displaystyle u}-k Laplaceren ekuazioa betetzen du. Antzeko kalkulu batek frogatzen du {\displaystyle {\displaystyle v}}-k ere betetzen duela Laplaceren ekuazioa.

Alderantziz, funtzio harmoniko baten ondorioz, funtzio analitiko baten zati erreala da {\displaystyle {\displaystyle f(z)}}. Hori frogatzeko modu bat da: 

{\displaystyle {\displaystyle f(z)=\varphi (x,y)+i\psi (x,y)}}, orduan Cauchy-Riemann-en ekuazioak betetzen dira;

{\displaystyle {\displaystyle \psi \_{x}=-\varphi \_{y},\quad \psi \_{y}=\varphi \_{x}}}.

Erlazio horrek ez du zehazten {\displaystyle {\displaystyle \psi }}, bere gehikuntzak soilik;

{\displaystyle {\displaystyle d\psi =-\varphi \_{y}\,dx+\varphi \_{x}\,dy}}

Laplace-ren ekuazioak {\displaystyle {\displaystyle \varphi }}-rako adierazten du betetzen dela integragarritasun-baldintza {\displaystyle {\displaystyle \varphi }}-rako.

{\displaystyle {\displaystyle \psi \_{xy}=\psi \_{yx}}}, eta, hala, {\displaystyle {\displaystyle \psi }}, lineako integral batekin defini daiteke. 

Integragarritasun-baldintzak eta Stokes-en teoremak adierazten dute bi puntu lotzen dituen linearen integralaren balioa eta bidea independenteak direla. Laplaceren ekuaziotik ateratzen den emaitza-pareari funtzio harmoniko konjokatua esaten zaio. Hau lokalki baino ez da baliozkoa, edo baldin eta bidea berezitasun batekin inguratzen ez bada. Adibidez, {\displaystyle r} eta {\displaystyle {\displaystyle \theta }} koordenatu polarrak badira eta {\displaystyle {\displaystyle \varphi =\log r}}, orduan, dagokion funtzio analitikoa hurrengoa da:

{\displaystyle {\displaystyle f(z)=\log z=\log r+i\theta }}

Hala ere, {\displaystyle {\displaystyle \varphi }} angelua jatorririk gabeko eskualde batean baino ez da kokatzen.

Laplaceren ekuazioaren eta funtzio analitikoen arteko erlazio estuak ezartzen du Laplaceren ekuazioko edozein ebazpenak maila guztietan dituela deribatuak, eta potentzia-serieetan zabal daitekeela, berezitasunik ez duen zirkulu baten barruan gutxienez. Hori uhinaren ekuazioaren emaitzekin kontrastean dago, eskuarki erregulartasun txikiagoa baitu.

Potentzia-serieen eta Fourier-en serieen arteko lotura estua dago. Potentzia-serieetan {\displaystyle f} funtzio bat hedatzen badugu {\displaystyle R} erradioko zirkulu baten barruan, horrek esan nahi du

{\displaystyle {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }c\_{n}z^{n}}}, behar bezala definitutako koefizienteekin, non benetako eta irudizko zatiak hauek diren: 

{\displaystyle {\displaystyle c\_{n}=a\_{n}+ib\_{n}}}

Orduan, {\displaystyle {\displaystyle f(z)=\sum \_{n=0}^{\infty }\left[a\_{n}r^{n}\cos n\theta -b\_{n}r^{n}\sin n\theta \right]+i\sum \_{n=1}^{\infty }\left[a\_{n}r^{n}\sin n\theta +b\_{n}r^{n}\cos n\theta \right]}}

### Fluido-fluxua

Izan bitez {\displaystyle {\displaystyle u}} eta {\displaystyle {\displaystyle v}} kantitateak, hurrenez hurren, fluxu konprimaezin geldikorraren eta irrotazionalaren abiadura-eremuaren osagai horizontal eta bertikalak, bi dimentsiotan. 

Fluxua konprimaezina izateko baldintza hau da: {\displaystyle {\displaystyle u\_{x}+v\_{y}=0}}. 

Eta fluxua irrotazionala izateko baldintza hau da: {\displaystyle {\displaystyle \nabla \times \mathbf {V} =v\_{x}-u\_{y}=0}}

{\displaystyle \psi }-ren diferentziala {\displaystyle {\displaystyle d\psi =v\,dx-u\,dy}} bezala definitzen badugu, orduan, konprimi-ezintasunaren baldintza da diferentzial horren integragarritasuna: ondoriozko funtzioari korronte-funtzio deritzo, konstantea baita fluxu-lerroetan zehar. 

{\displaystyle \psi }-ren lehen deribatuak:

{\displaystyle {\displaystyle \psi \_{x}=v,\quad \psi \_{y}=-u}}, eta irrotazionaltasunaren baldintzak ezartzen duenez, {\displaystyle {\displaystyle \psi }}-k betetzen du Laplaceren ekuazioa. {\displaystyle {\displaystyle \varphi }} funtzio harmonikoak, {\displaystyle {\displaystyle \psi }}-ren konjokatua denak, abiadura-potentzial deritzo. Cauchy-Riemann-en ekuazioek hau ezartzen dute: 

{\displaystyle {\displaystyle \varphi \_{x}=-u,\quad \varphi \_{y}=-v}}.

Beraz, funtzio analitiko bakoitzari fluido konprimiezinen fluxu geldikor eta irrotazional bat dagokio planoan. Zati erreala abiadura-potentziala da, eta zati irudikaria korronte-funtzioa.

### Elektrostatika

Maxwellen ekuazioen arabera, bi dimentsioko eremu elektriko batek {\displaystyle (u,v)}, denborarekiko independentea denak, hau betetzen du:

{\displaystyle {\displaystyle {\begin{cases}\nabla \times (u,v)=v\_{x}-u\_{y}=0\,\\\nabla \cdot (u,v)=\rho \,\end{cases}}}}

non {\displaystyle \rho } kargaren dentsitatea den. Maxwellen lehen ekuazioa integragarritasun-baldintza da {\displaystyle {\displaystyle d\varphi =-u\,dx-v\,dy\,}} diferentzialarentzat. Beraz, {\displaystyle {\displaystyle \varphi }} potentzial elektrikoa honako hau asetzeko eraiki daiteke: 

{\displaystyle {\displaystyle \varphi \_{x}=-u,\quad \varphi \_{y}=-v\,}}

Maxwellen bigarren ekuazioak hau ezartzen du:

{\displaystyle {\displaystyle \varphi \_{xx}+\varphi \_{yy}=-\rho \,}}, Poisson-en ekuazioa izenez ezagutua.

Garrantzitsua da ikustea Laplaceren ekuazioa hiru dimentsioko problemetan erabil daitekeela elektrostatikan eta fluido-fluxuan, bai eta bi dimentsiotan ere.

Erreferentziak
--------------

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q339444
* **Identifikadoreak**
* NKC: ph135790
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q339444