Konbinatorian, **konbinazioak** *n* elementuko multzo batetik *k* elementu aukeratzeko erak dira, era bakoitzean elementuen ordena kontuan hartu gabe. **Konbinazio arruntak** eta **errepikatuzko konbinazioak** bereizten dira, aukeratutako elementuak errepika daitezkeen.

Konbinazio arruntak
-------------------

 *(1,2,3,4,5)* multzotik hartutako 3 elementuren **konbinazio arruntak**: *C(n=5,k=3)=10*, 10 eratara aukera baitaitezke 3 elementu (gorriz) *(1,2,3,4,5)* multzotik; eskuin aldean konbinazio arrunt horien zerrenda zehazten da.
Konbinazio arrunta *n* elementu ezberdineko multzo batetik *k* elementu aukeratzeko era bakoitza da, *ordena kontuan hartu gabe eta elementurik errepikatu gabe*. *n* eta *k* zenbakiak osoak eta ez negatiboak izan behar dira. Gainera {\displaystyle n\geq k} betetzen da, ezin baitira aukeratu daude *n* elementuak baino gehiago.

Adibidez {A,B,C,D,E,F} multzoa harturik, 6 elementu dituena, 2 elementu aukeratu behar dira. Konbinazio arrunten kopurua 15 da:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| A,B | A,C | A,D | A,E | A,F |
|  | B,C | B,D | B,E | B,F |
|  |  | C,D | C,E | C,F |
|  |  |  | D,E | D,F |
|  |  |  |  | E,F |

Konbinazio arrunten kopurua adierazteko {\displaystyle C(n,k)\,}, {\displaystyle n\,C\,k\,}, {\displaystyle C\_{k}^{n}\,} notazioak erabil daitezke. Honela kalkulatzen da horien kopurua (ikus koefiziente binomiala eta faktoriala):

{\displaystyle C(n,k)={n \choose k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}.
Honela bada, aurreko adibidea harturik C(6,2)=6!/(2!4!)=6\*5/2=15 eta beraz, zerrendan ikus daitekeen bezala, 15 dira 2 elementu 6 elementuko multzo batetik aukeratzeko erak.

### Frogapena

*n* elementuko multzo batetik *k* elementu, *modu ordenatuan* eta *elementurik errepikatu gabe*, osatzeko era kopurua (ikus aldakuntza (konbinatoria)) honela kalkulatzen da:

* lehen elementua *n* eratara aukera daiteke;
* bigarren elementua *n-1* eratara aukera daiteke, aurreko elementua ezin baita aukeratu;

...

* azken elementua *n-(k-1)* eratara aukera daiteke
* beraz, *k* elementuak *(n)r=n×(n-1)×(n-2)×...×(n-(k-1))* eratara aukera daitezke.

*(n)r* kopuruan aukeratutako elementuen ordena hartzen da kontuan (adibidez, 123 eta 321 ez dira bat bera balira bezala kontatzen). *k* elementuko aukeraketa bakoitzak, beraz, *n!* permutazio izango ditu *n(r)* kopuruan. Beraz, ordena kontuan hartu gabe *k* elementuen aukeraketa, konbinazio arrunten kopurua alegia, hau izango da: *n(r)/k!*. Hots,

{\displaystyle {\begin{aligned}C(n,k)=&{\frac {(n)\_{k}}{k!}}={\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))}{k!}}\\=&{\frac {n\times (n-1)\times \ldots \times (n-(k-1))\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}{k!\times (n-k)\times (n-(k+1))\times \ldots 1}}\\=&{\frac {n!}{k!(n-k)!}}\end{aligned}}}

Errepikatuzko konbinazioak
--------------------------

**Errepikatuzko konbinazioa**, multikonbinazioa ere deitua, *n* elementu ezberdineko multzo batetik *k* elementu aukeratzeko era bakoitza da, *ordena kontuan hartu gabe eta elementuak errepika daitezkeela*. Adibidez, 1-2-3 elementuen binakako errepikatuzko konbinazioak hauek dira, 6 guztira: 11-12-13-22-23-33

*n* elementuko multzo batetik *k*-nakako errepikatuzko konbinazioen kopurua honela izendatu eta kalkulatzen da, koefiziente binomial baten bitartez:

{\displaystyle Cr(n,k)=C(n+k-1,k)={n+k-1 \choose k}={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}.
Arestiko adibidea hartuz, errepikatuzko konbinazioen kopurua honela kalkulatzen da:

{\displaystyle Cr(n=3,k=2)={3+2-1 \choose 2}={\frac {(3+2-1)!}{2!\cdot (3-1)!}}=6}.
Frogapen intuitibo moduan, (1,2,3,4) multzoa hartu eta 3 elementuren errepikatuzko konbinazioak osatuko dira eta errepikatuzko konbinazio bakoitzari, *(n-1)* "0" eta *k* "X" elementu berdinen errepikatuzko permutazio bat dagokio, modu honetan:

```
112 -----> XX0X00
233 -----> 0X0XX0
234 -----> 0X0X0X
.................
```

Bihurketa hau honela interpretatzen da: lehenengo 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 1 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, bigarren 0 ikurraren ezkerrera dagoen X ikur kopurua permutazioan 2 elementuen kopurua da errepikatuzko konbinazioan, ... Azken 0 ikurra jartzea ez da beharrezkoa: 4 elementuen kopurua konbinazioan hirugarren 0 ikurraren *eskuinera* dagoen X ikur kopurua izango da. Horrela 4 elementuen 3-nakako errepikatuzko konbinazioak 4-1 "0" eta 3 "X" elementuen errepikatuzko permutazioak izango dira:

{\displaystyle Cr(n,k)={\frac {(n+k-1)!}{k!\cdot (n-1)!}}}.

Konbinazioei buruzko identitate jakingarriak
--------------------------------------------

  


| Identitatea | Azalpena |
| --- | --- |
| {\displaystyle {n \choose 1}=n} | *n* elementuko multzo batetik elementu bat *n* eratara aukera daiteke, multzoan dauden elementuetako bakoitza aukeratuz hain zuzen. |
| {\displaystyle {n \choose 0}=1} | *n* elementuko multzo batetik 0 elementu era bakar batean aukera daiteke, inongo elementurik aukeratu gabe hain zuzen. |
| {\displaystyle {n \choose k}={n \choose n-k}} | *n* elementuko multzo batetik *k* elementu aukeratzen badira, *n-k* elementu aukeratu gabe geratzen dira. Beraz, *k* elementu aukeratzeko erak, *n-k* elementu ez aukeratzeko erak dira. |
| {\displaystyle {n \choose k}={n-1 \choose k}+{n-1 \choose k-1}} | Pascalen identitatea: *n* elementuko multzo batetik *k* elementuren aukeraketa bi eratara egin daiteke, *x* elementu jakin bati buruz: *x* elementua aukeratuz nahiz *x* elementua aukeratu gabe. *x* elementua aukeratuz, beste *k-1* elementuak beste *n-1* elementuen artean aukera daitezke; *x* elementua aukeratu gabe, berriz, beste *n-1* elementuetatik *k* aukeratu behar dira. |
| {\displaystyle {m+n \choose k}=\sum \_{i=0}^{k}{m \choose i}{n \choose k-i}} | Vandermonderen identitatea: *m+n* elementuko multzo batetik *k* elementuren aukeraketa k eratara egin daiteke: *m* elementutik 0 elementu eta *n* elementutik *k* elementu hartuz, *m* elementutik 1 elementu eta *n* elementutik *k-1* elementu hartuz, *m* elementutik 2 elementu eta *n* elementutik *k-2* elementu hartuz, ... *m* elementutik *k-1* elementu eta *n* elementutik 1 elementu hartuz eta azkenik *m* elementutik *k* elementu eta *n* elementutik 0 elementu hartuz. |
| {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}=2^{n}} | Adierazpenean agertzen den konbinazioen batura *n* elementuko multzo bateko azpimultzo guztien kopurua da. Hain zuzen, multzo bat bertatik k=0, 1, 2, ... n elementu erauziz zatitu daiteke. |
| {\displaystyle n{n-1 \choose k-1}=k{n \choose k}} | Adibidez, *n* pertsona aukeran daudelarik, *k* kideko talde batean, burua ere aukeratu behar bada, talde kopurua bi era hauetako batean eman daiteke: lehenik burua (*n* aukera) eta gainerako *k-1* kideak aukeratzeko *n-1* pertsona daude aukeran edota lehenik talde osoa osaturik (*n* elementutik *k* kide), gero horietan burua aukeratzeko *k* taldekide daude aukeran. |
|

Ikus, gainera
-------------

* Aldakuntza (konbinatoria)

Erreferentziak
--------------

1. ↑  **(Ingelesez)**  Cameron, Peter J.. *Notes on Combinatorics.* , 9 or..

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q202805
* Commonscat Multimedia: Combinations (combinatorics)

---

* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q202805
* Commonscat Multimedia: Combinations (combinatorics)