Matematikan, **Hurwitzen zeta funtzioa** zeta funtzio ugarietako bat da. Honela definitzen da formalki *s* argumentu konplexu baterako eta *q* argudio erreal baterako:

{\displaystyle \zeta (s,q)=\sum \_{k=0}^{\infty }(k+q)^{-s}.}
Segida hori konbergentea da q>0 eta Re(s)>1 direnean. *q* zenbaki ez-positibo osoa bada, jotzen da ez direla kontuan hartzen izendatzaile nulua duen ondorengoetako terminoak. Hala ere, oro har, bat 0 < *q* ≤ 1 baino ez da, eta horrek funtzio horri aplika dakizkiokeen formuletako asko sinplifikatzen ditu.

Kontuan izan behar da, berez, ez dagoela ezer *q* aldagaia konplexua ez izateko (kasu horretan, Re(*q*)>0 murrizketa *naturala* da, nahiz eta ezinbesteko baldintza ez izan). Hedapen hori beharrezkoa da Schwingerren formularako, elektroi bikoteen ekoizpen-erritmorako.

Hedapen analitikoa
------------------

Hurwitz-en zeta funtzioak *s* ≠ 1 duten zenbaki konplexu guztietarako zehaztutako funtzio meromorfiko baterako hedapen analitikoa izan dezake. *s* = 1 denean, 1 hondarreko polo bakuna du. Termino konstantea honela adierazten da:

{\displaystyle \lim \_{s\to 1}\left[\zeta (s,q)-{\frac {1}{s-1}}\right]={\frac {-\Gamma '(q)}{\Gamma (q)}}=-\psi (q)}
non Γ baita Gamma funtzioa, eta ψ baita digamma funtzioa.

Segidaren irudikapena
---------------------

1930ean, Helmut Hassek segida konbergente baten forma aurkitu zuen, *q* > −1ek definitua, eta zenbaki konplexu guztientzat *s* ≠ 1:

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}.}
*S*egida hori uniformeki bateratzen da s planoko azpimultzo trinko batean, funtzio oso batera. Barne-batuketak {\displaystyle q^{1-s}}ren n-garren diferentzia progresibo gisa ulertu behar da, hau da,

{\displaystyle \Delta ^{n}q^{1-s}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}{n \choose k}(q+k)^{1-s}}
non Δ baita eragile diferentzial progresiboa. Beraz, baliagarria da baildin eta

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{s-1}}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{n+1}}\Delta ^{n}q^{1-s}}
{\displaystyle ={\frac {1}{s-1}}{\log(1+\Delta ) \over \Delta }q^{1-s}.}

Irudikapen integrala
--------------------

Funtzioak Mellinen transformatuaren araberako irudikapen integrala du. Hau da:

{\displaystyle \zeta (s,q)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}}{e^{qt}\left(1-e^{-t}\right)}}dt}
{\displaystyle \Re s>1}{\displaystyle \Re q>0} denean.

Hurwitzen formula
-----------------

Hurwitzen formulak teorema hau ezartzen du: 

{\displaystyle \zeta (1-s,x)={\frac {1}{2s}}\left[e^{-i\pi s/2}\beta (x;s)+e^{i\pi s/2}\beta (1-x;s)\right]}
izanik 

{\displaystyle \beta (x;s)=2\Gamma (s+1)\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\exp(2\pi inx)}{(2\pi n)^{s}}}={\frac {2\Gamma (s+1)}{(2\pi )^{s}}}{\mbox{Li}}\_{s}(e^{2\pi ix})}
zetaren adierazpen bat da, eta balio du{\displaystyle 0\leq x\leq 1}{\displaystyle s>1} -rentzat. Non, {\displaystyle {\mbox{Li}}\_{s}(z)} polilogaritmoa baiten.

Erreferentziak
--------------

1. ↑  Helmut Hasse, *Ein Summierungsverfahren fur die Riemannsche ζ-Reihe*, (1930) Math. Z. **32** pp 458-464.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1638777

 |

* Wd Datuak: Q1638777