**X** abiaburu-multzotik **Y** multzorako **f** funtzioaren irudia **Y**-ren azpimultzoa da.
Matematikan, funtzio baten **irudia** funtzioaren eremua elementu batek kodominioan hartzen duen balioa da. Halaber, **irudi-multzoa**, **helburu-multzoa** edo **ibiltartea** dominioko elementu batzuek (edo guztiek) hartzen duten balioen multzoa da.

Formalki honela adierazten da:

{\displaystyle Im\_{f}:=\left\{y\in Y\;|\;\exists x\in X,\;f(x)=y\right\}}
Irudi-multzoa kodominioaren azpimultzo bat da, beste alde batetik.

Definizioa
----------

"Irudi" hitza hiru modutan erabiltzen da. Definizio horietan, {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} funtzio bat da {\displaystyle X} multzotik {\displaystyle Y} multzora doana.

### Elementu baten irudia

Baldin eta {\displaystyle x} {\displaystyle X}-ren elementua bada, orduan {\displaystyle x}-ren irudia {\displaystyle f}-n, {\displaystyle f(x)} deitua, {\displaystyle x} ordezkatzean {\displaystyle f}-k hartzen duen balioa da. {\displaystyle f(x)} {\displaystyle x}-rako {\displaystyle f}-ren irteera gisa ezagutzen da.

{\displaystyle y} emanda, {\displaystyle f} funtzioak "{\displaystyle y}-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada {\displaystyle x} bat funtzioaren eremuan non {\displaystyle f(x)=y} den. Era berean, {\displaystyle S} multzo bat emanda, {\displaystyle f}-k "{\displaystyle S}-ren balioa hartzen duela" esaten da baldin eta existiten bada {\displaystyle x} bat funtzioaren eremuan non {\displaystyle f(x)\in S}. Aldiz, "{\displaystyle f}-k {\displaystyle S}-ren balio guztiak hartzen dituela" esaten da edozein {\displaystyle x} {\displaystyle f}-ren eremuan {\displaystyle f(x)\in S} bada.

### Azpimultzo baten irudia

{\displaystyle A\subseteq X} azpimultzoaren irudia {\displaystyle f}-n, {\displaystyle f(A)} deitua, {\displaystyle Y}-ren azpimultzoa da multzoak osatzeko notazioa erabiliz definitu daitekeena: 

{\displaystyle f(A)=\{f(x):x\in A\}}

Nahasteko arriskurik ez dagoenean, {\displaystyle f[A]} honela idazten da: {\displaystyle f(A)}. Konbentzio hori komuna da; aurreikusitako esanahia testuingurutik ondorioztatu behar da. Horren ondorioz, {\displaystyle f[\cdot ]} funtzio bat da zeinen eremua {\displaystyle X}-ren potentzia-multzoa den eta koeremua {\displaystyle Y}-ren potentzia-multzoa.

### Funtzio baten irudia

Funtzio baten irudia bere domeinu osoaren irudia da, funtzioaren heina ere deitua. Erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere {\displaystyle f}-ren koeremua adierazteko erabiltzen baita.

### Erlazio bitarretara orokortzea

{\displaystyle R} erlazio bitar arbitrarioa bada {\displaystyle X\times Y}-n, orduan {\displaystyle \{y\in Y:xRy\ non\ x\in X\}} multzoari {\displaystyle R}-ren irudia (edo heina) deitzen zaio. Era berean, {\displaystyle \{x\in X:xRy\ non\ y\in Y\}} multzoari {\displaystyle R}-ren eremua deritzo.

Aurreirudia
-----------

{\displaystyle f} {\displaystyle X}-tik {\displaystyle Y}-ra doan funtzioa izanda, {\displaystyle B\subseteq Y} multzoaren aurreirudia, {\displaystyle f^{-1}[B]} deitua, {\displaystyle f^{-1}[B]=\{x\in X:f(x)\in B\}} definitutako {\displaystyle X}-ren azpimultzoa da.

Beste notazio batzuetan {\displaystyle f^{-1}(B)} eta {\displaystyle f^{-}(B)} erabiltzen dira. Multzo baten aurreirudia {\displaystyle f^{-1}[\{B\}]} edo {\displaystyle f^{-1}[B]} da.

Adibidez, {\displaystyle f(x)=x^{2}} funtziorako, {\displaystyle \{4\}}-ren aurreirudia {\displaystyle \{-2,2\}} izango litzateke. Ez da nahasi behar {\displaystyle f^{-1}} notazioa erabiltzean aurreirudia alderantzizko funtzioarekin, nahiz eta bat etorri injekzioetarako ohikoa denarekin non {\displaystyle B}-ren aurreirudia {\displaystyle f}-n, {\displaystyle B}-ren irudia den {\displaystyle f^{-1}}-n.

Irudiarentzako eta aurreirudiarentzako notazioa
-----------------------------------------------

Aurreko atalean erabilitako notazio tradizionalak nahasgarriak izan daitezke. Aukera bat  irudiari eta aurreirudiari izen esplizituak ematea da, potentzia-multzoen arteko funtzio gisa:

### Geziaren notazioa

* {\displaystyle f^{\rightarrow }:P(X)\rightarrow P(Y)}, {\displaystyle f^{\rightarrow }=\{f(a)\mid a\in A\}}
* {\displaystyle f^{\leftarrow }:P(Y)\rightarrow P(X)}, {\displaystyle f^{\leftarrow }=\{a\in X\mid f(a)\in B\}}

### Izarren notazioa

* {\displaystyle f\_{\star }:P(X)\rightarrow P(Y)}, {\displaystyle f^{\rightarrow }}-ren ordez
* {\displaystyle f^{\star }:P(Y)\rightarrow P(X)}, {\displaystyle f^{\leftarrow }}-ren ordez

### Beste terminologiak

* {\displaystyle f[A]}-ren ordez {\displaystyle f''A} ere erabiltzen da.
* Zenbait testuk {\displaystyle f}-ren irudia {\displaystyle f}-ren heina deitzen dute, baina erabilera hori saihestu egin behar da, "hein" hitza ere erabili ohi baita {\displaystyle f}-ren koeremua adierazteko.

Adibideak
---------

1.{\displaystyle f:\{1,2,3\}\rightarrow \{a,b,c,d\}} honek definituta: {\displaystyle f(x)={\begin{cases}a,&x{\text{=1 }}{\text{bada}}\\a,&x{\text{=2 }}{\text{bada}}\\c,&x{\text{=3 }}{\text{bada.}}\end{cases}}}

{\displaystyle \{2,3\}} multzoaren irudia {\displaystyle f}-n {\displaystyle f(\{2,3\})=\{a,c\}} da. {\displaystyle f} funtzioaren irudia {\displaystyle \{a,c\}} da. {\displaystyle a}-ren aurreirudia {\displaystyle f^{-1}(\{a\})=\{1,2\}} da. {\displaystyle \{a,b\}}-ren aurreirudia ere {\displaystyle f^{-1}(\{a,b\})=\{1,2\}} da eta {\displaystyle \{b,d\}}-ren aurreirudia multzo hutsa da {\displaystyle \{\ \}=\varnothing }.

  

2. {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } honek definituta: {\displaystyle f(x)=x^{2}}.

{\displaystyle \{-2,3\}}-ren irudia {\displaystyle f}-n {\displaystyle f^{-1}(\{-2,3\})=\{4,9\}} da, eta {\displaystyle f}-ren irudia {\displaystyle \mathbb {R} ^{+}} da (zenbaki erreal positibo guztien multzoa eta zero). {\displaystyle \{4,9\}}-ren aurreirudia {\displaystyle f}-n {\displaystyle f^{-1}(\{4,9\})=\{-3,-2,2,3\}} da. {\displaystyle N=\{n\in \mathbb {R} :n<0\}} multzoaren aurreirudia {\displaystyle f}-n multzo hutsa da, zenbaki negatiboek ez dutelako erro karraturik errealen multzoan.

Propietateak
------------

### Orokorrean

{\displaystyle f:X\longrightarrow Y} edozein funtziorako eta {\displaystyle A\subseteq X} eta {\displaystyle B\subseteq Y} azpimultzo guztietarako, propietate hauek betetzen dira:

| Irudia | Aurreirudia |
| --- | --- |
| {\displaystyle f(X)\in Y} | {\displaystyle f^{-1}(Y)=X} |
| {\displaystyle f(f^{-1}(Y))=f(X)} | {\displaystyle f(f^{-1}(X))=X} |
| {\displaystyle f(f^{-1}(B))\subseteq B}
(berdin {\displaystyle f} supraiektiboa bada) | {\displaystyle f(f^{-1}(A))\supseteq A}(berdin {\displaystyle f} injektiboa bada) |
| {\displaystyle f(f^{-1}(B))=B\cap f(X)} | {\displaystyle (f\mid \_{A})^{-1}(B)=A\cap f^{-1}(B)} |
| {\displaystyle f(f^{-1}(f(A)))=f(A)} | {\displaystyle f^{-1}(f(f^{-1}(B)))=f^{-1}(B)} |
| {\displaystyle f(A)=\emptyset } baldin eta soilik baldin {\displaystyle A=\emptyset } | {\displaystyle f^{-1}(B)=\emptyset } baldin eta soilik baldin {\displaystyle B\subseteq Y\ \setminus f(X)} |
| {\displaystyle f(A)\supseteq B} baldin eta soilik baldin existitzen bada {\displaystyle C\subseteq A} non {\displaystyle f(C)=B} den | {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq A} baldin eta soilik baldin {\displaystyle f(A)\supseteq B} |
| {\displaystyle f(A)\supseteq f(X\backslash A)} baldin eta soilik baldin {\displaystyle f(A)=f(X)} | {\displaystyle f^{-1}(B)\supseteq f^{-1}(Y\backslash B)} baldin eta soilik baldin {\displaystyle f^{-1}(B)=X} |
| {\displaystyle f(X\backslash A)\supseteq f(X)\setminus f(A)} | {\displaystyle f^{-1}(Y\backslash B)=X\setminus f^{-1}(B)} |
| {\displaystyle f(A\ \cup f^{-1}(B))\subseteq f(A)\cup B} | {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cup B)\supseteq A\cup f^{-1}(B)} |
| {\displaystyle f(A\ \cap f^{-1}(B))=f(A)\cap B} | {\displaystyle f^{-1}(f(A)\cap B)\supseteq A\cap f^{-1}(B)} |

Horrez gain:

* {\displaystyle f(A)\cap B=\emptyset } baldin eta soilik baldin {\displaystyle A\cap f^{-1}(B)=\emptyset }

### Funtzio konposatuak

{\displaystyle f:X\longrightarrow Y} eta {\displaystyle g:Y\longrightarrow Z} funtzioetarako {\displaystyle A\subseteq X} eta {\displaystyle C\subseteq Z} azpimultzoekin, ondorengo propietateak betetzen dira:

* {\displaystyle (g\circ f)(A)=g(f(A))}
* {\displaystyle (g\circ f)^{-1}(C)=f^{-1}(g^{-1}(C))}

| Zenbaki errealetan oinarritutako kontraadibideak {\displaystyle \mathbb {R} }, {\displaystyle f:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } honek definituta: {\displaystyle f(x)=x^{2}}, berdintasuna lege batzuetan betetzen ez dela erakusten dutenak: |
| --- |
| Berdinak ez diren multzoak erakusten dituen irudia: {\displaystyle f(A\cap B)\subsetneq f(A)\cap f(B)}. {\displaystyle A=[-4,2]} eta {\displaystyle B=[-2,4]} multzoa urdinez agertzen dira {\displaystyle x} ardatzaren azpian, haien ebakidura {\displaystyle A\_{3}=[-2,2]} berdez agertzen da. | {\displaystyle f(f^{-1}(B\_{3}))\subsetneq B\_{3}} | {\displaystyle f^{-1}(f(A\_{4}))\supsetneq A\_{4}} |

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Ingelesez)** «5.4: Onto Functions and Images/Preimages of Sets» *Mathematics LibreTexts* 2019-11-05 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
2. ↑   Verfasser, Halmos, Paul R. 1916-2006.  (1968). *Naive Mengenlehre..*  Vandenhoeck u. Ruprecht PMC 1072448936. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
3. ↑   **(Ingelesez)** Weisstein, Eric W.. «Image» *mathworld.wolfram.com* (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
4. ↑   Dolecki, Szymon; Mynard, Frédéric.  (2016-07). *Convergence Foundations of Topology.*  doi:10.1142/9012. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
5. ↑   Blyth, T. S..  (2005). *Lattices and ordered algebraic structures.*  Springer ISBN 978-1-84628-127-3. PMC 262677746. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
6. ↑   Rubin, Jean E..  (1967). *Set theory for the mathematician.*  San Francisco, Holden-Day (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
7. ↑   «Wayback Machine» *web.archive.org* 2018-02-07 (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
8. 1 2 3   Halmos, Paul R..  (1960). *Naive set theory.*  London : Van Nostrand ISBN 978-0-442-03064-3. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).
9. 1 2   Kelley, John L..  (1955). *General topology.*  Van Nostrand ISBN 0-387-90125-6. PMC 338047. (Noiz kontsultatua: 2021-12-04).

Ikus, gainera
-------------

* Izate-eremua

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q860623

 |

* Wd Datuak: Q860623