*Artikulu hau objektu geometrikoari buruzkoa da; beste esanahietarako, ikus «Plano (argipena)».*
Geometrian, **planoaren ekuazioak** hiru dimentsioko espazioan plano bat osatzen duten puntu guztiak ditu soluzio. Adibidez **x+y+z-6=0** planoko soluzio guztiak (besteak beste, **(x=2,y=2,z=2), (x=3, y=2, z=1), (x=4, y=1, z=1)**) hiru ardatzeko diagrama kartesiar irudikatzen badira, plano bat sortuko da.

Plano bat zenbait eratara finka daiteke:

* kolinealak edo zuzen berekoak ez diren hiru puntu emanez;
* puntu bat eta planoarekiko normal edo elkarzuta izango den bektore baten bitartez;
* puntu bat eta planoaren norabidea emango duten bi bektore zuzentzaile eta elkarrekiko independente emanez.

Ekuazio bektoriala
------------------

Planoko hiru puntuak {\displaystyle (x\_{0},y\_{0},z\_{0}),(x\_{1},y\_{1},z\_{1}),(x\_{2},y\_{2},z\_{2})\,} izanik, planoa osatzeko behar diren bi bektore zuzentzaileak honela eman daitezke:

{\displaystyle \mathbf {u} =(u\_{1},u\_{2},u\_{3})=(x\_{1}-x\_{0},y\_{1}-y\_{0},z\_{1}-z\_{0})\,}
{\displaystyle \mathbf {v} =(v\_{1},v\_{2},v\_{3})=(x\_{2}-x\_{0},y\_{2}-y\_{0},z\_{2}-z\_{0})\,}
Horrela, hau izango da planoaren ekuazio bektoriala:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} =(x,y,z)&=\mathbf {x} \_{0}+\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} =\\&=(x\_{0},y\_{0}+z\_{0})+\lambda (x\_{1}-x\_{0},y\_{1}-y\_{0},z\_{1}-z\_{0})+\mu (x\_{2}-x\_{0},y\_{2}-y\_{0},z\_{2}-z\_{0}).\end{aligned}}}

Planoko puntuak {\displaystyle \lambda ,\ \mu \,} parametroei edozein balio erreal emanez sortzen dira.

Ekuazio parametrikoak
---------------------

Ekuazio bektoriala deskonposatuz eratzen dira ekuazio parametrikoak:

{\displaystyle x=x\_{0}+\lambda (x\_{1}-x\_{0})+\mu (x\_{2}-x\_{0})\,}
{\displaystyle y=y\_{0}+\lambda (y\_{1}-y\_{0})+\mu (y\_{2}-y\_{0})\,}
{\displaystyle z=z\_{0}+\lambda (z\_{1}-z\_{0})+\mu (z\_{2}-z\_{0})\,}
Ekuazio bektorialean bezala, {\displaystyle \lambda ,\ \mu \,} parametroei edozein balio erreal emanez, planoko *(x,y,z)* puntuak sortuko dira.

Ekuazio orokorra
----------------

Ekuazio bektorialetik abiatuz, hau betetzen denez:

{\displaystyle \mathbf {x} -\mathbf {x} \_{0}=\lambda \mathbf {u} +\mu \mathbf {v} \,},
honako determinante honetan lehenengo zutabea bigarren zutabearen eta hirugarren zutabearen konbinazio lineala denez, determinantearen balioa 0 da:

{\displaystyle \left|{\begin{array}{ccc}x-x\_{0}&x\_{1}-x\_{0}&x\_{2}-x\_{0}\\y-y\_{o}&y\_{1}-y\_{0}&y\_{2}-y\_{0}\\z-z\_{0}&z\_{1}-z\_{0}&z\_{2}-z\_{0}\\\end{array}}\right|=0.}
Determinantea garatuz eta 0 baliora berdinduz, ekuazio orokor, kartesiar edo inplizitua lortzen da:

{\displaystyle Ax+By+Cz+D=0\,}
Planoko {\displaystyle (x,y,z)\,} puntu bat {\displaystyle x,y\,} aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren {\displaystyle z\,} balioa bakanduz lortuko da.

Ekuazio normala
---------------

Bitez {\displaystyle \mathbf {P} \_{0}=(x\_{0},y\_{0},z\_{0})\,} planoko puntu bat eta {\displaystyle \mathbf {n} =(a,b,c)\,} planoarekiko normala edo elkarzuta den bektore bat. Orduan, {\displaystyle \mathbf {P} =(x,y,z)\,} planoko edozein punturentzat hau betetzen da:

{\displaystyle {\vec {PP\_{0}}}\mathbf {n} =0\,}
Garatuz, planoaren ekuazio normala lortzen da:

{\displaystyle \mathbf {n} {\vec {PP\_{0}}}=a(x-x\_{0})+b(y-y\_{0})+c(z-z\_{0})=ax+by+cz+d=0\,,}

  

non {\displaystyle d=-ax\_{0}-by\_{0}-cz\_{0}\,}.

Planoko {\displaystyle (x,y,z)\,} puntu bat {\displaystyle x,y\,} aldagaiei balio erreal bat eman eta ondoren {\displaystyle z\,} balioa bakanduz lortuko da.

Beraz, ekuazio orokorrarekin alderatuz, ekuazio okorreko {\displaystyle A,B,C\,} parametroek planoarekiko normala den bektore bat osatzen dute.

 Ariketak
---------

* Plano
* **Puntu** batetik **plano** batera dagoen distantzia kalkulatzeko ariketa.
* **Plano** bat eta **zuzen** bat paraleloak diren jakiteko ariketa.
* Bi puntutatik pasatzea **zuzen** bat eta plano baten **paraleloa** izatea.

Ikus gainera
------------

* Plano inklinatua

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q17285
* Commonscat Multimedia: Euclidean planes

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4150968-7
* AAT: 300055640

 |

* Wd Datuak: Q17285
* Commonscat Multimedia: Euclidean planes