Aljebra linealean, **matrize diagonala** matrize karratu bat da, diagonal nagusian ez dauden elementu guztien balioa zero dena. Diagonal nagusiko elementuen balioa edozein izan daiteke, baita zero ere. Beraz, {\displaystyle D=(d\_{i,j})} matrizea diagonala da baldin eta soilik:

{\displaystyle (d\_{i,j})=0\ \forall i\neq j} bada. Hau da:
{\displaystyle D={\rm {diag}}(d\_{11},d\_{22},\dots ,d\_{nn})={\begin{pmatrix}d\_{11}&0&\cdots &0\\0&d\_{22}&\ddots &\vdots \\\vdots &\ddots &\ddots &0\\0&\cdots &0&d\_{nn}\end{pmatrix}}}.
Adibidez, honako matrize hau diagonala da:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&4&0\\0&0&-2\end{pmatrix}}}
Matrize diagonalaren beste adibide bat unitate matrizea da.

Askotan, matrize diagonala izendatzeko diag(*a*1,...*a**n*) notazioa erabiltzen da, non *a*1,...*a**n* diagonal nagusiko elementuak diren, goiko ezkerretik hasita. Hau da, aurreko adibidea diag(1,4,-2) notazioarekin ere idatz daiteke; aldiz, matrize identitateak diag(1,1,...1) motakoak dira.

Matrize diagonal guztiak simetrikoak eta (goi- eta behe-) triangeluarrak dira; eta, elementuak ℝ edo ℂ gorputzekoak badira, normalak deitzen dira.

Matrize diagonalgarria
----------------------

Izan bedi {\displaystyle f\in End(V)}. Esaten da {\displaystyle f} diagonalgarria dela, existitzen bada {\displaystyle f}-ri elkartutako {\displaystyle D} matrize diagonal bat, edo baliokidea dana, bektore propioz osatutako {\displaystyle V}-ren {\displaystyle \beta }-oinarri bat lor badaiteke, izan ere, kasu horretan {\displaystyle M{\scriptstyle {\text{B}}}(f)=D} izango baita.

* {\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)} matrize karratu diagonalgarria dela diogu {\displaystyle \exists D\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)} matrize diagonala {\displaystyle A}-rekin antzekoa ({\displaystyle D=P^{-1}\*A\*P,P\in GL{\scriptstyle {\text{n}}}(K)} ) dana. Endomorfismo bati elkartutako matrizeek elkarren artean antzekoak diranez, hau dogu:

> {\displaystyle f\in End(V)} eta {\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)} edozein badira: {\displaystyle f} diagonalgarria {\displaystyle \Longleftrightarrow A} diagonalgarria.
> 
> 

Bereziki, {\displaystyle A\in M{\scriptstyle {\text{n}}}(K)} edozein matrize karratu bada,

> {\displaystyle B} diagonalgarria {\displaystyle \Longleftrightarrow B} matrizea modu naturalean definitzen dauan {\displaystyle f{\scriptstyle {\text{B}}}} endomorfismoa diagonalgarria bada.
> 
> 

{\displaystyle {\displaystyle f\in End(V)}} izanik ({\displaystyle dim(V)=n}), orduan {\displaystyle f} diagonalgarria da bi kasu honeek betetzen dauzanean:

1. {\displaystyle \chi f(x)} polinomioaren {\displaystyle n} erroak {\displaystyle K} gorputzean dagoz. Kasu honetan {\displaystyle \chi f(x)} {\displaystyle K}-ren gainean banatzen dala esaten da.
2. {\displaystyle \lambda ,f}-ren balio propio guztietarako {\displaystyle dim(V(\lambda ))=m(\lambda )}

Eragiketak matrizeekin
----------------------

Batuketa eta matrizeen biderketa eragiketak oso errazak dira matrize diagonalekin. Batuketarako:

diag(*a*1,...*a**n*) + diag(*b*1,...*b**n*) = diag(*a*1+*b*1,...*a**n*+*b**n*)
eta matrizeen biderketarako,

diag(*a*1,...*a**n*) · diag(*b*1,...*b**n*) = diag(*a*1*b*1,...*a**n**b**n*).
diag(*a*1,...*a**n*) matrize diagonalak alderantzizko matrizea izango du, baldin eta soilik *a*1,...*a**n* elementuak 0 ez badira. Orduan, hau daukagu

diag(*a*1,...*a**n*)-1 = diag(*a*1-1,...*a**n*-1).
Bereziki, matrize diagonalek azpieraztun bat osatzen dute, *n*×*n* dimentsioko matrizeen eraztunaren parte dena.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q332791

 |

* Wd Datuak: Q332791