Cauchyren irizpidea
-------------------

Cauchyren irizpidea (edo erroaren irizpidea) gai positiboko serieen izaera aztertzeko erabiltzen da. {\displaystyle \sum a\_{n}} gai positiboko seriea bada eta hurrengo limitea existitzen bada:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{n}}}=l}

Orduan, 

(i) Baldin eta {\displaystyle l<1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea da.

(ii) Baldin eta {\displaystyle l>1} bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{n}} dibergentea da.

{\displaystyle l=1} bada ezin da ezer esan {\displaystyle \sum a\_{n}}-ren izaerari buruz.

Froga
-----

**(i) atalaren froga:**

{\displaystyle l<1} da, eta {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1-l}{2}}>0} hartuz,

{\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :} {\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle \left\vert {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}-l\right\vert <{\frac {1-l}{2}}}

Bi aldeetan {\displaystyle l} gehituz,

{\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}<{\frac {1-l}{2}}+l={\frac {1+l}{2}}=q<1\Longrightarrow }

{\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle a\_{n}<q^{n}}

Hau da, {\displaystyle \sum a\_{n}} {\displaystyle {\displaystyle \sum q\_{n}}} seriearen serie minorantea da {\displaystyle (\sum a\_{n}}{\displaystyle <<{\displaystyle \sum q^{n}})}. Gainera, argi ikusten da {\displaystyle {\displaystyle \sum q\_{n}}} seriea konbergentea dela, {\displaystyle 0<q<1} baita. Bukatzeko, konparazio-irizpidea aplikatuz, {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea dela ondorioztatzen da.

**(ii) atalaren froga:**

{\displaystyle l>1} denez, {\displaystyle l=+\infty } edo {\displaystyle l\in \mathbb {R} } izan daiteke.

{\displaystyle l=+\infty } bada, {\displaystyle M=1} denean, existitzen da {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} } non {\displaystyle n\geq n\_{0}} guztietarako {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}>1} den. Beste era batera esanda, {\displaystyle n\geq n\_{0}} denean {\displaystyle a\_{n}>1} da.

{\displaystyle l\in \mathbb {R} } bada, {\displaystyle l>1} izanik, {\displaystyle \epsilon =l-1>0} hartuz,

{\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :} {\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle \left\vert {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}-l\right\vert <l-1\Longrightarrow }

{\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle {\sqrt[{n}]{a\_{n}}}>1-l+l=1\Longrightarrow }

{\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} {\displaystyle a\_{n}>1}

Beraz, ikusten da existitzen dela {\displaystyle n\_{0}\in \mathbb {N} } non, {\displaystyle n\geq n\_{0}} bada, {\displaystyle a\_{n}>1} den. Ondorioz, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}} ez da 0 izango eta {\displaystyle \sum a\_{n}} dibergentea da.

Adibidea
--------

Adibidez, azter dezagun {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}} seriearen izaera. 

{\displaystyle a\_{n}={\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}>0} da {\displaystyle n\in \mathbb {N} } guztietarako eta, beraz, aplika daiteke Cauchyren irizpidea.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{(2n+1)}}={\frac {1}{2}}<1}

Hau da, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{a\_{n}}}<1} da eta, ondorioz, Cauchyren irizpidearen arabera, {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{n}}{(2n+1)^{n}}}} seriea konbergentea da.