**Bertranden bozketa ebazkizuna** ebazkizun klasikoa da konbinatorian eta probabilitatean. Honela dio: bozketa bateko bi hautagaiek *p* eta *q* boto lortu badituzte hurrenez hurren, zenbatekoa da boto zenbaketan *p* boto lortu dituen hautagaia beti aurretik izateko *Pp,q* probabilitatea?.

{\displaystyle P\_{p,q}={\frac {p-q}{p+q}}\ \ \ ;\ \ \ p\geq q}
Adibidez, hautagaiek 10 boto eta 6 boto lortu badituzte hurrenez hurren, 10 boto lortu dituenak beti aurretik izateko probabilitatea hau da:

{\displaystyle P\_{10,6}={\frac {10-6}{10+6}}=0.25}
Argi denez, probabilitatea 0 izango da, *p<q* denean.

Bertranden bozketa ebazkizuna lehen aldiz Joseph Bertrand matematikari frantsesak asmatu eta ebatzi zuen 1887. urtean.

Ebazpena indukzio matematikoa erabiliz
--------------------------------------

*p=q* denean argi dago formula bete egiten dela, formulak erakutsi bezala, orduan *p* boto lortu dituena beti aurretik joateko probabilitatea 0 baita, gutxienez azken botoaren zenbaketa bukatzean, *p=q* izanik azkenean berdinketa denean alegia, *p* boto lortu dituena aurretik joango ez delako.

*p>0, q=0* balioetarako ere argi dago formula bete egiten dela, orduan beti joango baita *p* boto lortu dituena aurretik eta ondorioz beti aurretik joateko probabilitatea 1 da, formulak erakutsi bezala.

*p>q* balioetarako formula indukzio matematikoa erabiliz froga daiteke. Horretarako kalkula bedi *Pp,q* probabilitatea jakinda *p* boto lortu dituena beti aurretik joatea, besteak *q* boto lortu dituela, bi era hauetara hel daitekeela: azken botoa *p* boto lortu dituen hautagaiarena izanda (eta hori *p/(p+q)* probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan *p-1* eta *q* botorekin, hurrenez hurren, *p-1* boto lortu dituena beti aurretik joan izanda; edo azken botoa *q* boto lortu dituenarena izanda (eta hori *q/(p+q)* probabilitateaz gertatzen da) eta, aldi berean, boto horren aurreko zenbaketan *p* eta *q-1* botorekin, hurrenez hurren, *p* boto lortu dituena beti aurretik joan izanda. Erabateko probabilitatearen teorema erabiliz eta biderketa bakoitzaren bigarren biderkagaian **emandako formula egiazkotzat hartuz**:

{\displaystyle {\begin{aligned}P\_{p,q}&={p \over (p+q)}P\_{p-1,q}+{q \over (p+q)}P\_{p,q-1}\\&={p \over (p+q)}{(p-1)-q \over (p+q-1)}+{q \over (p+q)}{p-(q-1) \over (p+q-1)}\\&={p-q \over p+q}\end{aligned}}.}
Hau da, formula *p-1,q* eta *p,q-1* balioetarako betetzen bada, *p,q* balioetarako ere bete egiten da. Formula *p>0, q=0* eta *p=q; p,q>0* balioetarako betetzen denez (orduan, argi dauden *Pp,q=0=(p-0)/(p+0)=1* eta *Pp,q=p=(p-p)/(p+p)=0* betetzen baitira), beste *p>q>0* guztietarako ere beteko da, *p-1,q* eta *p,q-1* balioetatik *p,q* balioetarako jauzi edo indukzioa eginez (adibidez, *Pp=1,q=1* eta *Pp=1,q=0* probabilitateetatik *Pp=2,q=1* probabilitatera egiten da jauzi).

Kanpo estekak
-------------

* **(Ingelesez)** The Ballot Problem and the First Return to 0, non argibideak eta applet bat dauden.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q2253746
* Commonscat Multimedia: Bertrand's ballot theorem

---

 |

* Wd Datuak: Q2253746
* Commonscat Multimedia: Bertrand's ballot theorem

Erreferentziak
--------------

1. ↑  **(Ingelesez)** RENAULT, Marc: André and the Ballot Problem-History and a Generalization.[*Betiko hautsitako esteka*] Shippensburg University.

Bibliografia
------------

* **(Ingelesez)** RENAULT, Marc, Lost (and found) in translation: André's actual method and its application to the generalized ballot problem. Amer. Math. Monthly 115 (2008), no. 4, 358-363.
* **(Ingelesez)** RENAULT, Marc, Lost in Translation: A Reflection on the Ballot Problem and André's Original Method, Mathfest, Shippensburg University. 2007-08-05.