**Jaiotza-heriotza prozesuak** denbora jarraituko Markov kateen kasu berezi bat dira, non egoera trantsizioak bakarrik bi motakoak izan daitezkeen: jaiotzea, egoera aldagaiari bata gehitzen diona, eta heriotza, egoera batean gutxitzen duena. Ereduaren izena aplikazio arrunt batetik dator: populazioaren uneko tamaina adierazteko ereduetan erabiliak dira, non trantsizioak literalki jaiotzak eta heriotzak diren. Jaiotza-heriotza prozesuek aplikazio asko dituzte demografian, ilara-teorian, errendimendu ingeniaritzan, epidemiologian edo biologian. Adibidez, bakterioen eboluzioa, populazioko zenbat pertsonak duten gaixotasun bat edo supermerkatu bateko ilaran zenbat erosle egongo diren aztertzeko.  

Jaiotze bat ematen denean prozesua {\displaystyle n} egoeratik {\textstyle n+1} egoerara pasatzen da. Heriotza gertatzean berriz, prozesua {\displaystyle n} egoeratik {\textstyle n-1} egoerara pasatzen da. Prozesua {\textstyle \{\lambda \_{i}\}\ {i=0,\dots ,\infty }} jaiotza tasa eta {\textstyle \{\mu \_{i}\}\_{\ }{i=1,\dots ,\infty }} heriotza tasekin zehazten da.

Sarrera
-------

Jaiotza-heriotza prozesuen egoera diagrama
Jaiotza-heriotza prozesu bat **jaiotza prozesu puru**a da baldin eta {\textstyle \mu \_{i}=0} {\textstyle i\geq 0} guztietarako.

Jaiotza-heriotza prozesu bat **heriotza prozesu puru**a izango da baldin eta {\textstyle \lambda \_{i}=0} {\textstyle i\geq 0}  guztietarako.

Poisson prozesu bat jaiotza prozesu purua izango da {\displaystyle \lambda \_{i}=\lambda } denean {\displaystyle i\geq 0} guztietarako.

M/M/1 eta M/M/C ereduak, biak ilara-teorian erabiliak, ilara infinitu bateko bezeroak deskribatzeko jaiotza-heriotza prozesuak dira.

{\displaystyle \Delta t} denbora tarte txikian, hiru motako trantsizioak bakarrik dira posible: heriotza bat, jaiotza bat edo ez jaiotza ez heriotzarik. Jaiotza tasa (denbora unitatean) {\displaystyle \lambda } bada eta heriotza tasa {\displaystyle \mu }, orduan trantsizio horien probabilitateak hauek dira, hurrenez hurren: {\displaystyle \lambda \Delta t}, {\displaystyle \mu \Delta t}, eta {\displaystyle 1-(\lambda +\mu )\Delta t}.

Erabilera Ilara-teorian
-----------------------

Ilara-teorian jaiotza-heriotza prozesua da ilara ereduaren oinarrizko adibidea, *M/M/C/K/∞/FIFO* ilara Kendallen notazioan. Honek adierazten du ilararen etorrerak Poisson prozesuaren araberakoak direla, populazio infinitu batetik, bere zerbitzu denborek banaketa esponentziala jarraitzen duten *C* zerbitzari eta *K* toki daudela ilaran. Nahiz eta populazio infinitua izango dela onartu, eredu hau ona da telekomunikazio sistema hainbatentzat. Banaketa esponentzialean kopuruen arteko independentzia dagoenean, denborak infinituraino askeak izango dira trantsizioei buruz.

### M/M/1 ilara

M/M/1 ilara sistema
Zerbitzari bakarra egongo da tamaina infinituko bufferrarekin. Ausazkoa ez den ingurunean jaiotza-heriotza prozesuak ilara ereduan batezbeste epe luzekoak dira, beraz batezbesteko etorrera tasa {\textstyle \lambda } moduan ematen da eta batezbesteko zerbitzu denbora {\textstyle 1/\mu } bezala. Jaiotze-heriotza prozesu bat *M/M/1* ilara da baldin eta,

{\displaystyle \lambda \_{i}=\lambda {\text{ eta }}\mu \_{i}=\mu \quad i{\text{ guztietarako}}.\,}

Sistema *t* denboran *k* egoeran izateko probabilitatearen funtzio errekurtsiboa hau da:

{\displaystyle p\_{0}^{\prime }(t)=\mu \_{1}p\_{1}(t)-\lambda \_{0}p\_{0}(t)\,}

{\displaystyle p\_{k}^{\prime }(t)=\lambda \_{k-1}p\_{k-1}(t)+\mu \_{k+1}p\_{k+1}(t)-(\lambda \_{k}+\mu \_{k})p\_{k}(t)\,}

### M/M/C ilara

M/M/C ilara sistema
Zerbitzari anitzeko ilarak buffer infinitua du *C* zerbitzariekin. *M/M/1* ilararekin alderatuz, desberdintza bakarra zerbitzu denbora da orain honelakoa izanik

{\displaystyle \mu \_{i}=i\mu \quad 0<i<C{\text{ izanik }}}

eta

{\displaystyle \mu \_{i}=C\mu \quad i\geq C{\text{ izanik }}\,}

non

{\displaystyle \lambda \_{i}=\lambda \quad i{\text{ guztietarako}}.\,}

### M/M/1/K ilara

Zerbitzari bakarra eta *K* tamainako bufferra (finitua) duen ilara da. Ilara mota hau telekomunikazioetan erabiltzen da, baita ere biologian populazioaren tamaina mugatuta dagoenean. Telekomunikazioetan berriro ere erabiltzen dira *M/M/1* ilararen parametroak

{\displaystyle \lambda \_{i}=\lambda {\text{ baldin }}0\leq i<K\,}

{\displaystyle \lambda \_{i}=0{\text{ baldin }}i\geq K\,}

{\displaystyle \mu \_{i}=\mu {\text{ non }}1\leq i\leq K.\,}

Biologian, batez ere bakterioen hazkundearen analisian, populazioa zero denean ez dagoenez hazteko gaitasuna,

{\displaystyle \lambda \_{0}=0.\,}

Gainera, *K*-k populazioaren limitea adierazten badu, non hortik aurrera bakterioen populazioaren soberakina hil egiten den

{\displaystyle \mu \_{K}=0.\,}

Probabilitatearen funtzio errekurtsiboa sistema *k* egoeran izateko *t* unean

{\displaystyle p\_{0}^{\prime }(t)=\mu \_{1}p\_{1}(t)-\lambda \_{0}p\_{0}(t)}

{\displaystyle p\_{k}^{\prime }(t)=\lambda \_{k-1}p\_{k-1}(t)+\mu \_{k+1}p\_{k+1}(t)-(\lambda \_{k}+\mu \_{k})p\_{k}(t){\text{ baldin }}k\leq K\,}

{\displaystyle p\_{k}^{\prime }(t)=0{\text{ baldin }}k>K\,}

Oreka
-----

Ilara bat orekan dagoela esaten da baldin eta {\displaystyle \lim \_{t\to \infty }p\_{k}(t)} existitzen bada. Horretarako {\displaystyle p'\_{k}(t)=0} izan behar da.

*M/M/1* ilara adibide moduan erabiliz, egoera egonkorraren ekuazioak hauek dira:

{\displaystyle \lambda \_{0}p\_{0}(t)=\mu \_{1}p\_{1}(t)\,}

{\displaystyle (\lambda \_{k}+\mu \_{k})p\_{k}(t)=\lambda \_{k-1}p\_{k-1}(t)+\mu \_{k+1}p\_{k+1}(t)\,}

{\displaystyle \lambda \_{k}=\lambda } eta {\displaystyle \mu \_{k}=\mu } baldin badira {\displaystyle k} guztietarako orduan ekuazioen kasu homogeneoan gaude eta honela laburtu daitezke:

{\displaystyle \lambda p\_{k}(t)=\mu p\_{k+1}(t){\text{ non }}k\geq 0.\,}

Ikus, gainera
-------------

* Ilara-teoria
* Markov kate
* Prozesu estokastiko

Bibliografia
------------

* R. Jain. *The Art Of Computer Systems Perfomance Analysis.* 1. edizioa. 31. kapitulua: *Analysis of a Single Queue*; WILEY, 1991.
* G. Latouche, V. Ramaswami. *Introduction to Matrix Analytic Methods in Stochastic Modelling*, 1. edizioa. 1. kapitulua: *Quasi-Birth-and-Death Processes*; ASA SIAM, 1999.
* M. A. Nowak. *Evolutionary Dynamics: Exploring the Equations of Life*, Harvard University Press, 2006.
* K. S. Trivedi. *Probability and Statistics with Reliability, Queuing and Computer Science Applications,* 2. edizioa. 8. kapitulua: *Continuous-Time Markov Chains*; WILEY, 2002.
* J. Virtamo,"Birth-death processes"[1], 38.3143 Queueing Theory.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1456275

 |

* Wd Datuak: Q1456275