**Bézouten identitatea**k (edo **Bézouten lema**k) zera dio: zeroren ezberdinak diren {\displaystyle a} eta {\displaystyle b} bi zenbaki oso elkarrekiko lehenak badira, orduan existitzen dira x eta y bi zenbaki oso non 1={\displaystyle ax+by=d} den.

Era berean, {\displaystyle d=zkh(a,b)}izanik. Bezouten identitateagatik ondokoa ondorioztatu daiteke.:

* Alde batetik, baldin eta {\displaystyle n\neq 0} bada, orduan {\displaystyle zkh(na,nb)=|n|zkh(a,b)}dela .

* Bestalde, {\displaystyle zkh(a/c,b/d)=1}dela ziurtatzen du.

Identitateari izena Étienne Bézout (1730-1783) matematikari frantsesaren omenez jarri zitzaion. Zenbaki teoriako beste teorema batzuk (Euklidesen lema edo Hondarraren teorema txinatarra, adibidez) Bézouten identitatean oinarritzen dira.

Soluzioen egitura
-----------------

Bézouten identitateko ({\displaystyle x}, {\displaystyle y}) zenbakiak ({\displaystyle a}, 
{\displaystyle b})-rako Bézouten koefizienteak direla esaten da. Koefiziente horiek eta {\displaystyle d=zkh(a,b)} haien zatitzaile komun handiena Euklidesen algoritmo hedatuaren bitartez kalkula daitezke eta lortuko diren balioek honakoa beteko dute:

{\displaystyle |x|\leq \left|{\frac {b}{d}}\right|} eta {\displaystyle |y|\leq \left|{\frac {a}{d}}\right|}
{\displaystyle a} eta {\displaystyle b} bata bestearen multiplo badira, goiko erlazioan berdintza beteko da.

Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. Izan ere,

{\displaystyle a(x-kb)+b(y+ka)=ax-kba+by+kba=ax+by}.
Hortaz, ({\displaystyle x}, {\displaystyle y}) Bézouten koefiziente pare bat kalkulatua izan denean, (Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez, adibidez), gainerako ({\displaystyle x'}, {\displaystyle y'}) koefiziente-pareek existitzen diren Bézouten koefiziente guztiak (infinitu) adieraziko dituzte.

{\displaystyle x^{\prime }=x-kb,\qquad y^{\prime }=y+ka}.

Adibidea
--------

Izan bitez {\displaystyle a=502} eta {\displaystyle b=110} bi zenbaki oso. Euklidesen algoritmo hedatuaren bidez {\displaystyle (x,y)} Bézouten koefizienteak eta haien zatitzaile komun handiena den {\displaystyle d=zkh(a,b)} kalkulatuko ditugu. Zatiketa euklidearrak eginek eta hondarrak askatuz, zera lortuko dugu:

{\displaystyle {\begin{aligned}&502=110(4)+62\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)-110(4)\quad \Rightarrow \quad 62=502(1)+110(-4)\\&110=62(1)+48\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)-62(1)\quad \Rightarrow \quad 48=110(1)+62(-1)\\&62=48(1)+14\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)-48(1)\quad \Rightarrow \quad 14=62(1)+48(-1)\\&48=14(3)+6\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)-14(3)\quad \Rightarrow \quad 6=48(1)+14(-3)\\&14=6(2)+2\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)-6(2)\quad \Rightarrow \quad 2=14(1)+6(-2)\end{aligned}}}

  

Hortaz, {\displaystyle zkh(502,110)=2} da. Hondarrak atzera ordezkatuz, ({\displaystyle x}, {\displaystyle y}) Bézouten koefizienteak kalkulatuko ditugu:

{\displaystyle {\begin{aligned}2&=502(x)+100(y)\\2&=14(1)+6(-2)\\&=[62(1)+48(-1)](1)+[48(1)+14(-3)](-2)\\&=[62(1)+48(-1)]+[48(-2)+14(6)]\\&=62(1)+48(-3)+14(6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(1)+62(-1)](-3)+[62(1)+48(-1)](6)\\&=[502(1)+110(-4)](1)+[110(-3)+62(3)]+[62(6)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)+62(9)+48(-6)]\\&=[502(1)+110(-7)]+[502(9)+110(-36)+[110(-6)+62(-6)]]\\&=[502(10)+110(-49)+62(6)]\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(1)+110(-4)](6)\\&=[502(10)+110(-49)]+[502(6)+110(-24)]\\&=502(16)+110(-73)\end{aligned}}}

  

Beraz, lortu ditugu Bézouten koefizienteak: {\displaystyle x=16} eta {\displaystyle y=-73}.

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ({\displaystyle ax+by=d}) betetzen dela:

{\displaystyle 502(16)+110(-73)=2}.
Esan dugunez, Bézouten koefizienteak ez dira bakarrak. {\displaystyle k=1} baliorako, adibidez, honako beste ({\displaystyle x'}, {\displaystyle y'}) koefiziente-parea lortuko dugu:

{\displaystyle x^{\prime }=x-kb=16-110=-94,\,\qquad y^{\prime }=y+ka=-73+502=429}.

  

Egiazta daiteke Bézouten identitatea ({\displaystyle ax+by=zkh(a,b)}) betetzen dela:

{\displaystyle 502(-94)+110(429)=2}.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Frantsesez)** Bézout, Étienne.  (1779). *Théorie générale des équations algébrique.*  De l'imprimerie de Ph. D. Pierres (Noiz kontsultatua: 2017-12-22).

Kanpo estekak
-------------

* EHU TB - Alderantzizkoen kalkulua Z/nZ moduko eraztunetan
* **(Ingelesez)** Online calculator of Bézout's identity.
* Wolfram MathWorld, Bézout's identity

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q513028
* **Identifikadoreak**
* LCCN: sh2007006114

 |

* Wd Datuak: Q513028