Konbinatorian, **aldakuntzak** *n* elementu ezberdineko multzo batetik *k* elementu aukeratzeko erak dira, aukeratutako elementuen *ordena kontuan hartuz*. Aukeraketan elementuak ezin badira errepikatu, **aldakuntza arruntak** sortzen dira; aukeratutako elementuak errepikatzen ahal badira, **errepikapenezko aldakuntzak** edo **errepikatuzko aldakuntzak** izango dira. Adibidez, (1,2,3) elementuen binakako aldakuntza arruntak (12,21,13,31,23,32) dira eta (12,21,13,31,23,32,11,22,33) errepikapenezkoak. Ekibalentziaz, funtzio partzial bat hedatu daiteke permutazio bat izateko.

1-2-3-4-5 elementuak aukeran, 3 elementuko aldakuntza arruntak. 5 zifra horietatik 3 elementuak aukeratu ondoren, ordena posible guztiak zehaztu behar dira, aldakuntza guztien zerrenda osatzeko.1-2-3-4-5 elementuak aukeran, 3 elementuko aldakuntza arruntak. 5 zifra horietatik 3 elementuak aukeratu ondoren, ordena posible guztiak zehaztu behar dira, aldakuntza guztien zerrenda osatzeko.

Aldakuntzen kopurua
-------------------

### Aldakuntza arruntak

*n* elementuko multzo batean, *k*-nakako aldakuntza arrunten kopurua honela kalkulatzen da:

{\displaystyle A\_{n}^{k}=n(n-1)(n-2)...(n-k+1)={\dfrac {n!}{(n-k)!}}}
Adibidez, 3 elementuko multzo batetik 2 elementuko aldakuntzak osatzeko era kopurua hau izango da:

{\displaystyle A\_{3}^{2}={\dfrac {3!}{(3-2)!}}=6}
Konbinatorian ohizkoa den biderkaketa erregela erabiliz, aise ulertzen da formula: aldakuntzaren lehenengo elementua *n* eratara aukera daiteke, bigarrena *(n-1)* eratara (elementuak errepika ezin daitezkeenez, lehenengoa baztertuz), ...; eta horrela aldakuntza osatzeko guztizko era kopurua :{\displaystyle n\cdot (n-1)\cdot (n-2)\cdots (n-k+1)} izango da.

Aldakuntza arruntek honako erlazio hau dute koefiziente binomialekin:

{\displaystyle {n \choose k}={\dfrac {A\_{n}^{k}}{k!}}}
Izan ere, aldakuntza arruntetan ordena kontuan hartzen denez, ordena kontuan hartzen ez duten koefiziente binomial edo konbinazioen kopurua lortzeko k elementuak ordenatzeko era kopuruaz, *k!*-z alegia, zatitu behar da.

### Errepikapenezko aldakuntzak

*n* elementuko multzo batean, *k*-nakako errepikatuzko aldakuntzen kopurua honela kalkulatzen da:

{\displaystyle EA\_{n}^{k}=n^{k}}
Arestiko adibidean, 3 elementuko multzotik 2 elementuko errepikatuzko aldakuntzen kopurua, multzo ordenatuak elementuak errepikatu daitezkeela alegia, hau da:

{\displaystyle EA\_{3}^{2}=3^{2}=9}.
Formula erraz ulertzen da, errepikatuzko aldakuntzak diren *k*-koteetan, leku bakoitzean *n* elementu baitaude aukeran eta horrela, hurrenez hurren biderkatuz {\displaystyle n\cdot n\cdots n=n^{k}} *k*-kote izango dira guztira.

Ikus, gainera
-------------

* Permutazio

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Ingelesez)** Straubing, Howard.  (1983-01-01). «A combinatorial proof of the Cayley-Hamilton theorem» *Discrete Mathematics* 43 (2): 273–279. doi:10.1016/0012-365X(83)90164-4. ISSN 0012-365X. (Noiz kontsultatua: 2022-12-12).
2. ↑   **(Ingelesez)** Ku, C. Y.; Leader, I..  (2006-01-28). «An Erdős–Ko–Rado theorem for partial permutations» *Discrete Mathematics* 306 (1): 74–86. doi:10.1016/j.disc.2005.11.007. ISSN 0012-365X. (Noiz kontsultatua: 2022-12-12).

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
|  | **Wikiliburuetan** liburu bat dago honi buruz:***Multzoak modu ordenatuan osatzen: aldakuntzak*** |

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1401935

 |

* Wd Datuak: Q1401935