Geometrian, **koadrika**, edo **gainazal koadrika**, bigarren mailako ekuazio batek eragiten duen gainazala da, hots, itxura honetakoa: {\displaystyle P(x\_{1},x\_{2}...x\_{n})=0\ }

non P bigarren mailako polinomio bat den {\displaystyle x\_{1},x\_{2}...x\_{n}\ } koordenatuetan.

Zehazten ez bada, ohiko espazio tridimentsional errealeko gainazala da, koordenatu-sistema ortogonal eta unitario, eta koordenatuak hauek dira: *x*, *y*, *z*.

Hiperboloide azalbakarra.

Historia
--------

Antzineko Greziako matematikariak izan ziren lehenengoak koadrikak ikasten, konoa (koadrika bat) eta bere ebakidurak, plano bidimentsionaleko koadrikak direnak, baina, ez zuten erabili ekuaziorik.

Definizio aljebraikoa
---------------------

**koadrika** edo **gainazal koadrika** bat, hipergainazal *D*-dimentsional bat da, espazio-aldagai (koordenatuak) dituen bigarren mailako ekuazio batek adierazita. Koordenatu horiek {\displaystyle \{x\_{1},x\_{2},...x\_{D}\}\,} badira, orduan espazio horretako ohiko koadrikak ekuazio aljebraiko hau dauka:

{\displaystyle \sum \_{i,j=1}^{D}Q\_{i,j}x\_{i}x\_{j}+\sum \_{i=1}^{D}P\_{i}x\_{i}+R=0}
non *Q* (*D*) dimentsioko matrize karratu bat den , *P* (*D*) dimentsioko bektore bat eta *R* konstante bat. *Q*, *P* eta *R*, orokorrean, errealak edo konplexuak izan arren, koadrika bat defini daiteke edozein eraztunaren gainean.

### Ekuazio kartesiarra

Gainazal koadrikaren ekuazio kartesiarra honela da:

{\displaystyle Ax^{2}+By^{2}+Cz^{2}+Dxy+Eyz+Fxz+Gx+Hy+Iz+J=0\,}
non *A*-tik *J*-rako koefizienteak errealak diren, eta *A,B,C,D,E,F* ez dira guztiak nuluak.

### Ekuazio normalizatua

Koadrika tridimentsional (*D* = 3) baten ekuazio normalizatua, espazio tridimentsionaleko (0, 0, 0) jatorrian zentratua, hau da:

{\displaystyle \pm {x^{2} \over a^{2}}\pm {y^{2} \over b^{2}}\pm {z^{2} \over c^{2}}\pm 1=0}

Koadrika motak
--------------

| Gainazal koadrika propioak |
| --- |
| **Elipsoidea** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}+{z^{2} \over c^{2}}=1\,} |  |
|     **Esferoidea** (elipsoidearen kasu berezia) | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over b^{2}}=1\,} |
|         **Esfera** (esferoidearen kasu berezia) | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}+{z^{2} \over a^{2}}=1\,} |
| **Paraboloide eliptikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,} |  |
|     **Paraboloide zirkularra** (paraboloide eliptikoaren kasu berezia) | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-z=0\,} |
| **paraboloide hiperbolikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}-z=0\,} |  |
| **Hiperboloide azalbakarra** edo **hiperbolikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=1\,} |  |
| **Azal biko hiperboloidea** edo **hiperboloide eliptikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=-1\,} |  |
| Gainazal koadrika endekatuak |
| **Kono eliptikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,} |  |
|     **Kono Zirkularra** (kono eliptikoaren kasu berezia) | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}-{z^{2} \over c^{2}}=0\,} |
| **Zilindro eliptikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over b^{2}}=1\,} |  |
|     **Zilindro zirkularra** (zilindro eliptikoaren kasu berezia) | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}+{y^{2} \over a^{2}}=1\,} |
| **Zilindro hiperbolikoa** | {\displaystyle {x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}=1\,} |  |
| **Zilindro parabolikoa** | {\displaystyle x^{2}+2ay=0\,} |  |

Ikus, gainera
-------------

* Konika

Kanpo estekak
-------------

  

* **(Gaztelaniaz)** Koadrikak, wmatem.eis.uva.es