***e*** konstante matematikoa zenbaki irrazional garrantzitsuenetariko bat da. Bere balioa 2,71828 da eta matematikako adar desberdinetan agertzen da. Izan ere, ***e*** konstante matematikoa logaritmo nepertarraren oinarria da. Bere lehenengo 29 dezimalen balioa hau da:

*e* = 2.71828 18284 59045 23536 02874 7135...
Batzuetan, *e* zenbakiari **Eulerren Zenbakia** esaten zaio, Leonhard Eulerren omenez. Beste batzuetan, berriz, **Napierren konstantea**, John Napier logaritmo-garatzailearen omenez.

Zenbaki horrek garrantzi handia dauka kalkulu eta analisi matematikoan, hain zuzen ere, matematikako funtziorik garrantzitsuenean, hau da, funtzio esponentzialean, {\displaystyle \pi } geometrian eta *i* (zenbaki irudikaria) analisi konplexuan eta aljebran den bezala. 

Hasieran aipatu dugunez, *e* zenbakia zenbaki irrazional bat da , {\displaystyle \pi } zenbakia eta urrezko zenbakia (φ) diren moduan. *e* zenbakia ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa ezarri. Bestalde, {\displaystyle \pi } zenbakia bezala, zenbaki transzendentea da, ez baita koefiziente arrazionalak dituen ekuazio aljebraiko baten erroa.

π eta unitate irudikaria (*i*) ostean, *e* da matematiketan zenbakirik garrantzitsuenetariko bat. 

Eulerrek (1707-1783) erabaki zuen *e* zenbakiaren ikurra letra horrek izan behar zuela.
John Napier (1550-1617) logaritmoen garatzailea.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| « | Harrigarria da zenbait zenbaki naturan aurkitzea, esate baterako, π eta e zenbaki irrazionalak. Desintegrazio erradioaktiboan ere agertzen dira. Ezin dira digituen bidez adierazi. Zenbaki horiek idazten hasi eta inoiz ez duzu amaituko, infinitura zoaz, baina aldi berean logikoak dira. Eta logika hori aurki dezakegu bai gizakion baitan eta baita gizakiongandik aparte dagoen errealitatean ere. |  » |
| —Jose Ramon Etxebarria   |

Historia
--------

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren aurkikuntza {\displaystyle \pi } zenbakiarenarekin alderatuta, duela gutxikoa dela esan daiteke. Izan ere, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren aurkikuntzak jatorri analitikoa du eta {\displaystyle \pi } zenbakiarenak, aldiz, geometrikoa.

Konstante horren inguruko lehen aipamenak 1618an argitaratu ziren, John Napier-ek egindako logaritmoen inguruko lan bateko taula batean. Berez, taula horretan ez zen agertzen {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren benetako baliorik, zenbaki horretatik abiatutako logaritmo natural batzuen kalkuluak baizik. Taula horren egilea Willian Oughtred dela esaten da. Urte batzuk geroago, 1624an, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia matematikako literaturan aipatu zen berriro. Urte horretan, Briggs-ek 10 oinarriko logaritmoekin lortutako hurbilketa bat eman zuen, baina bere lanean ez zuen {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren izenik zehaztu.

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren ondorengo agerpena zalantzazkoa da. 1647an Saint Vicent-ek hiperbola angeluzuzenaren azpiko azalera kalkulatu zuen. Kalkulatutako azalerak logaritmoekin zuen erlazioa ez zen oso fidagarria, ez baitzegoen arrazoi garbirik {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiarekin lotuta egoteko. Urte batzuk geroago, 1661ean, Huygens-ek hiperbolaren azalera eta logaritmoen arteko erlazioa aztertu zuen {\displaystyle yx=1} kurbaren inguruko problema lantzean.

Hala ere, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren aurkikuntza ez dator logaritmoetatik, Jacob Bernoulli matematikari ezagunak 1683an egindako kapitalizazio konposatuaren  inguruko lanetik baizik. Moneta unitate (MU)  bat inbertitzen bada urteko % 100eko interesarekin eta interesak urtean behin ordaintzen badira, 2 MU lortuko genituzke. Interesak urtean bi aldiz ordaintzen badira, eta interes hori birekin zatitzen bada, lortutako emaitza {\displaystyle 1MU\*1.5^{2}=2,25MU} da. Urtea lau zatitan zatitzen badugu eta aurreko prozesua errepikatuz, honako hau lortuko genuke: {\displaystyle 1MU\*1,25^{4}=2,4141} … Era berean, urtea hamabi hilabetetan banatuz gero, hau da, interesa hilero ordainduz gero, emaitza hau lortuko genuke: {\displaystyle 1MU\*(1+{\frac {1}{12}})^{12}=2.61303}… Beraz, urteko interesak ordaintzeko epea handitzean, eta interes tasa txikitzean, moneta-unitatearen honako adierazpen hau lortuko genuke, n periodoa izanik eta {\displaystyle {\ce {{\frac {1}{n}}}}} interes tasa:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

Bernoullik azken limitearen balioa bi eta hiru artean zegoela frogatzeko, newtonen binomioa erabili zuen. Esan daiteke, limitearen balioa bi eta hiru artean egotea dela {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren inguruko lehen hurbilpena. Gainera, adierazpen hori {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren definiziotzat hartuz gero, limite baten bidez adierazten den lehen zenbakiaren definizioa izango litzateke. Bernoullik ez zuen bere lanaren eta logaritmoen arteko erlaziorik zehaztu. Hortik dator finantza-arloan ematen den {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren definizioa: {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia, urteko %100eko interes-tasa konposatua duen MU baten inbertsioaren limitea da. Modu orokorrago batean, K kapital bateko inbertsioak eta R urteko interes tasak {\displaystyle Ke^{R}} interes konposatua du.

Konstantearen lehen erabilera 1690koa da, izan ere, Gottfried Leibniz-ek Christian Huygens-i bidalitako gutun batean zenbaki hau b letraz adierazi zuen. Leonhard Euler izan zen konstantea adierazteko {\displaystyle {\text{e}}} letra erabiltzen hasi zen lehenengoa 1727an eta publikoki lehen aldiz 1736an egin zen ezaguna Eulerren liburu batean. Nahiz eta ondorengo urteetan ikertzaile batzuk c letra erabili zuten konstantea adierazteko, {\displaystyle {\text{e}}} erabiltzea zen ohikoena, ondorioz, zenbakiaren adierazpen ofizialtzat hartu zen. 1748an, Eulerrek Introductio in analysin infinitorum liburua argitaratu zuen eta bertan {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiarekin lotutako informazio guztia bildu zuen. Adibidez, honako hau frogatu zuen:

{\displaystyle {\text{e}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

Honela, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren hurbilpen bat eman zuen 18 hamartarrekin. Horrez gain, zatiki jarraituen egituran ere {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren definizioa eman zuen. Azken karakterizazio horrekin ondorioztatu zen {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia zenbaki irrazionala zela, eta beraz, ikerkuntza honengatik, matematika-adituen komunitateak dio Euler izan zela propietate hau frogatu zuen lehena.

Bestalde, {\displaystyle \pi } zenbakiarekin gertatu ez zen bezala, orokorrean ez zen {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren hamartarrak aurkitzeko interesik agertu. Baina, matematikari batzuei hamartar horiek aurkitzeko grina piztu zitzaien eta 1854an lan hori egiten hasi zen lehena William Shanks izan zen. Esan beharra dago Shanks bera izan zela gehien saiatu zena {\displaystyle \pi } zenbakiaren hamartar desberdinak aurkitzen. James Whitbread Lee Glainser matematikariak frogatu zuen Shanks-ek ikertutako lehen 137 zenbaki hamartarrak zuzenak zirela, baina akats bat aurkitu zuen, nahiz eta gero Shanks-ek zuzendu eta 205 zifra hamartarretara iritsi. Izan ere, 200 hamartar lortzeko, 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! + … moduko 120 termino inguru behar dira.

Boorman-ek 1884an egindako lanei esker, zenbaki hamartarren aurkikuntzek gora egin zuten eta 346 hamartar inguru kalkulatu zituen Boorman-ek. Kalkuluak egin ostean, ohartu zen berak aurkitutako lehen 187 hamartarrak eta Shanks-ek aurkitutakoak berdinak zirela, baina, gero, dibergitu egiten zutela. 1887an, Adams-ek {\displaystyle {\text{e}}}-ren logaritmoa 10 oinarrian hurbildu zuen 272 zifra zehatzekin.

1873an, Charles Hermitek {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia transzendentea dela frogatu zuen. Lorpen hau polinomio bat erabiliz lortu zuen, Lambert-ek landutako zatiki jarraituen laguntzaz. David Hilbert-ek lehen frogapenak egin zituen egindako ikerketa guztien inguruan.

Definizioak
-----------

Definizio ugari ditu, baina *e* zenbakiaren hiru definiziorik garrantzitsuenak hauek dira:

x-ren eta y=1/x-ren arteko azalera x=1 eta x=e artean 1 da.
1. {\displaystyle {\text{e}}} {\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}} segidaren limite moduan definitzen da: {\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
2. {\displaystyle {\text{e}}} serie infinitu baten batukari gisa definitzen da: {\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{1 \over n!}={1 \over 0!}+{1 \over 1!}+{1 \over 2!}+{1 \over 3!}+{1 \over 4!}+\cdots } non *n*! *n-*ren faktoriala den.
3. {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia {\displaystyle \int \_{1}^{x}{\frac {1}{t}}\,dt={1}} ekuazioaren soluzioa da. Hau da, {\displaystyle {\text{e}}} honela definitzen da: {\displaystyle \int \_{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}.

Hiru definizio hauek baliokideak direla frogatu da.

### e zenbakiaren deskubrimendua (Bernouilli, 1683)

Eulerren zenbakia ez zen XVII. mendera arte deskubritu. Eta naturan hainbat esparrutan agertuagatik, diru irabaziei begira deskubritu zen *e* zenbakia. Jacob Bernouilli matematikaria interes konposatuari begira ari zen. Interes konposatuak honela funtzionatzen du: demagun euro bat daukagula eta urtebeteren buruan dugunaren %100 emango digutela. Orduan, daukagun kopuru hori urtebeteren buruan begiratzen badu bankuak, 1 izatetik 2 izatera pasako gara.

Baina zer gertatzen da %100 hori urtean zehar bi zatitan ematen badigute? Hau da, seigarren hilean dugunaren %50 eta handik sei hilera dugunaren %50, berriz. Orduan, ekainean 1,5 euro izatera pasako gara, eta abenduan 2,25 izango ditugu. Irabazten atera gara, beraz, interes konposatua bi zatitan bereizita. Eta hilabetero egingo bagenu? Orduan 2,61 eurorekin bukatuko genuke urtea.

Pentsa liteke urtea zatitzen jarraituta etengabe gehiago irabazten amaituko dugula. Baina badu muga bat prozesu honek. Ez gara sekula urte amaieran 3 euro izatera iritsiko. Egunero eginda, adibidez, 2,7145 euro irabaziko genituzke. Nanosegundutan zatituko bagenu urtea, ez ginateke kopuru horretatik apenas urrunduko: 2,7182... Eta hori da *e* zenbakia: interes konposatuaren epeekin jokatuta ere, irabaziek muga bat dutela adierazten digun zenbakia. Hortik dator goian eman den lehenengo definizoa

Behin zenbakia deskubrituta, beste hainbat propietate dituela ikusi zuten. Baita beste hainbat egoeratan agertzen dela ere. Probabilitateen teorian, esaterako, erruleta batean 37 zenbakitik bat hautatu eta huts egiteko probabilitatea 0,97 da. Bada, 37 aldiz jokatu, eta denetan huts egitekoa 0,3628. Gutxi gorabehera *1/e* dena, hain zuzen ere. Hortik dator goian eman den bigarren definizioa.

Propietate matematikoak eta horien aplikazioak
----------------------------------------------

### Analisi matematikoak

#### Funtzio esponentziala

Edozein {\displaystyle x\in \mathbb {R} } -rako {\displaystyle \left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}}segida konbergentea da. Limite hau {\displaystyle {\text{e}}^{x}} modura idatz dezakegu:

{\displaystyle {\text{e}}^{x}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{x \over n}\right)^{n}.}
thumb[Betiko hautsitako esteka]
Funtzio esponentziala, funtzio erreal bati deritzo non bere aldagai independenteak {\displaystyle \mathbb {R} } osoa zeharkatzen duen. Honako hau da:

{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to \mathbb {R^{+}} \\x&\mapsto {\text{e}}^{x}\end{aligned}}}

Funtzio esponentzialaren ezaugarri nagusia da funtzioa eta bere deribatua berdinak izatea.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}

Gainera, deribatua {\displaystyle \mathbb {R} }-ko puntu guztietan existitzen da.

Deribatuaren ezaugarri horretatik ondorioztatzen da funtzio esponentzialaren integrala eta funtzioa berdinak direla.

{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C} non *C* integraleko konstante bat den.

Gainera, deribatuaren propietate hori betetzen duen funtzioa bakarra da edozein {\displaystyle x} baliorako zero balioa hartuko ez duena (edozein {\displaystyle x\in \mathbb {R} } {\displaystyle e^{x}\neq 0}). Horregatik, analisi matematikoko funtzio garrantzitsuena da; bereziki, ekuazio diferentzialetarako.

{\displaystyle f(x)=e^{x}} funtzioaren seriea, Maclauriren formula bidez lortzen da.

{\displaystyle f(x)=f^{'}(x)=f^{''}(x)=...=f^{n+1}(x)={\text{e}}^{x},} (1)

{\displaystyle f(0)=f^{'}(0)=f^{''}(0)=...=f^{n+1}(0)=1,} (2)

Maclauriren formula {\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R\_{k}(x)} denez, aurreko (1) eta (2) berdintzak kontuan hartuz, honako hau dugu:

  

{\displaystyle {\text{e}}^{x}=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {f^{(k)}(0)}{k!}}\,x^{k}+R\_{k}(x)=1+{\frac {x}{1!}}+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+...+{\frac {x^{n}}{n!}}+O(x^{n+1})}

  

{\displaystyle x=1} hartuz, e zenbakiaren hurbilpen bat lortzen da,

  

{\displaystyle {\text{e}}\approx 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+...+{\frac {1}{n!}}}

non ≈ -k balio hurbildua adierazten duen.

#### Steiner-en problema

{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}}-ren maximo absolutuko puntua {\displaystyle x=e} da.
Steiner-en problemaren helburua da, {\textstyle f(x)=x^{1/x}} funtzioaren maximo absolutua aurkitzea. Maximo absolutua, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia da hain zuzen.

Bestalde, {\textstyle 1/{\text{e}}} {\textstyle f(x)=x^{x}\,} funtzioaren minimo absolutua da {\textstyle x>0} kasurako.

Azken funtzio hori orokortuz, {\textstyle \!\ f(x)=x^{x^{n}}} funtzioaren maximo absolutua {\textstyle 1/{\text{e}}} puntua da {\textstyle n<0} kasurako, eta minimo absolutua {\textstyle {\text{e}}^{-1/n}}  {\textstyle n>0} denean.

  

Leonhard Euler-en teorema batetik ondokoa ondorioztatzen da:

Tetrazio infinitua

{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}edo {\displaystyle {^{\infty }}x}

konbergentea da baldin eta soilik baldin {\displaystyle {\text{e}}^{-{\text{e}}}\leq x\leq {\text{e}}^{1/{\text{e}}}} betetzen bada.

### Zenbaki konplexuak

[*Betiko hautsitako esteka*]Euler-en formularen irudikapen geometrikoa.
{\displaystyle {\text{e}}} Euler-en formulan zenbaki konplexuekin erlazionatuta agertzen den zenbaki garrantzitsuenetarikoa da.

{\displaystyle {\text{e}}^{ix}=\cos x+i\sin x,\,\!}

Aurreko honetan {\displaystyle x=\pi } denean, Eulerren identitatea izango dugu:

{\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

Hemendik, hau ondorioztatzen da:

{\displaystyle \log \_{e}(-1)=i\pi .\,\!}

Gainera, esponentzialaren legeak aplikatuz, honako hau lor dezakegu:

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left({\text{e}}^{ix}\right)^{n}={\text{e}}^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx)}

Hau, De Moivre-ren formula da.

Harvard-eko irakaslea den Benjamin Peirce-k ezagutarazi zuen formula hau, eta aditzera eman zuen, formulak aldi berean matematikan dauden bost zenbakirik garrantzitsuenak (0, 1, π, *i* eta *e*) batzen dituela.

### Probabilitatea eta estatistika

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakia probabilitate-teoriaren aplikazioetan ere agertzen da. Horren adibide da subfaktorialaren problema, neurri batean Jacob Bernoulli-k Pierre Raymond de Montmort-en laguntzaz aurkitua, *Txapelen problema* ere deitzen zaio: Festa bateko {\textstyle n} gonbidatuk diskoteka bateko sarreran beraien txapelak maiordomoari uzten dizkiote; honek, gonbidatu bakoitzaren izena duten {\textstyle n} konpartimentu desberdinetan uzten ditu txapelak. Baina maiordomoak gonbidatuak ezagutzen ez dituenez, txapelak modu aleatorioan uzten ditu konpartimentuetan. De Montmort-en probleman, hain zuzen, txapel bakoitza dagokion konpartimentuan kokatuta ez egoteko probabilitatea kalkulatzen da. Probabilitate hori ondorengoa da:

{\displaystyle P(n)=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}} .

Gonbidatu kopuruak ({\textstyle n}) infinitura jotzean, {\textstyle P(n)} balioa {\textstyle 1/e}-ra hurbilduko da {\displaystyle (\lim \_{n\to \infty }P(n)={\frac {1}{e}})}. Are gehiago, {\textstyle n!/e}-ren gertueneko zenbaki arrunta da txapel guztiak dagokien konpartimentuetan kokatuta ez egoteko aukera kopurua .

  

Azken emaitza hau, beste modu honetan ere defini daiteke: izan bedi {\textstyle P(n)} ausazko funtzio batek puntu finko bat izateko probabilitatea non n{\displaystyle \in }{{\textstyle {1,2,...n}}} den. Orduan,

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }P(n)=1-{\frac {1}{e}}=0.6321205588...}

  

Probabilitatean, ondorengo probleman ere ageri da {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia: izan bitez {\textstyle X\_{1},}{\textstyle X\_{2},...}{\textstyle X\_{n}} [0,1] tarteko banaketa uniformea duten ausazko aldagaien segida bat, eta N, {\textstyle {X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}>1}} desberdintza betetzen deneko {\textstyle n} zenbaki txikiena:

{\displaystyle N=\min {\left\{n\mid X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}>1\right\}}.}

Orduan, N-ren itxaropena {\textstyle E(N)={\text{e}}} da. Emaitza horrekin, konstantearen balioa estima dezakegu ausazko simulazioak eginez.

Azkenik, esan beharra dago {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiak matematikako arlo honetan agerpenik garrantzitsuena duela μ batezbestekoa eta σ desbideratze estandarreko banaketa normalaren probabilitatearen dentsitate-funtzioan; hau, gauss-en integraletik lortzen da:

{\displaystyle \phi (x)={1 \over \sigma {\sqrt {2\pi }}}\,{\text{e}}^{-(x-\mu )^{2}/2\sigma ^{2}}.}

### Zenbaki teoria

Bi lotura hauek zenbaki lehenen teoremaren korolarioak dira.

{\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{p\_{n}}]{(p\_{n}\#)}}}

non {\displaystyle p\_{n}} *n*. zenbaki lehena eta {\displaystyle p\_{n}\#} *n*.zenbaki lehenaren eta {\displaystyle p\_{n}} baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura diren.

{\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}}

non {\displaystyle \pi (n)} *n* baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua den.

### Geometria

α[*Betiko hautsitako esteka*] angeluko espiral angeluberdina
{\displaystyle {\text{e}}} zenbakia planoko kurba jakin bati lotutako kantitateen arteko zatidura gisa interpreta daiteke, {\displaystyle \pi } zenbakia bezala. Izan bedi {\displaystyle \gamma } kurba bat non jatorritik datorren edozein zuzenerdik kurba mozten duen {\displaystyle \pi /4} radianeko angelua osatuz. Radian bateko banaketa angeluarra duten bi puntu hartzen baditugu, P1 eta P2, eta {\displaystyle r\_{i}=\operatorname {dist} (P\_{i},O),r\_{1}<r\_{2},} definituz, orduan,

{\displaystyle {\frac {r\_{2}}{r\_{1}}}={\text{e}}.}

Formula hori lortzeko radian bat neurtu behar denez, konplexua dela iruditu daiteke. Baina zirkunferentzia bat zuzen baten gainean mugitzen badugu, oso erraz lor daiteke. Aurretik aipatutako propietatea duen kurba, espiral logaritmikoa da, eta kurba horrek angelu guztiak berdinak dituenez, erraz egiazta daiteke koordenatu polarretako bere ekuazioa ondorengoa dela:

{\displaystyle r(\theta )=Ae^{\theta },\qquad \theta \in \mathbb {R} ,A>0.}

Espiral logaritmikoak {\displaystyle 0<\alpha \leq \pi /2} -ko angelua badu, koodenatu polarretako ekuazioa {\displaystyle r(\theta )=Ae^{\cot(\alpha )\cdot \theta }} da.

### Irrazionalitatea eta traszendentzia

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakia irrazionala denez, ezin da bi zenbaki osoren arteko zatidura gisa idatzi. Horixe frogatu zuen 1737an Euler-ek. Frogapen horretan, Eulerrek {\displaystyle {\text{e}}} zatiki jarraitu gisa jarri zuen, horrela, infinitua izatean, bazekien ez zegokiola zenbaki arrazional bati. Hala ere, frogapen ezagunena Fourier-ek egindakoa izan zen, eta zenbaki-seriearen garapenean oinarritu zen horretarako. 1768an J.H. Lambert-ek {\displaystyle {\text{e}}^{p/q}} irrazionala zela frogatu zuen {\displaystyle p \over q} zenbaki arrazional positiboa izanik.

Gainera, {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia zenbaki traszendentea da, hau da, ez da koefiziente osoak dituen polinomio baten erroa. Zenbaki traszendentetzat hartu zen lehenengo zenbakia izan zen eta Charles Hermitek frogatu zuen mota horretako zenbakia zela.

### e zenbakia duten formulak

Hona hemen {\displaystyle {\text{e}}} zenbakia barne hartzen duten formula batzuk:

{\displaystyle {\frac {1}{\text{e}}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1-2k}{(2k)!}}.}

{\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {4k+3}{2^{2k+1}\,(2k+1)!}}.}

{\displaystyle {\frac {{\text{e}}+1}{e-1}}=2+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\ddots }}}}}}}}}.}

{\displaystyle {\sqrt {\text{e}}}-1={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{5+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{9+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}.}

{\displaystyle 2={\frac {{\text{e}}^{1}}{{\text{e}}^{1/2}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/3}}{{\text{e}}^{1/4}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/5}}{{\text{e}}^{1/6}}}\cdot {\frac {{\text{e}}^{1/7}}{{\text{e}}^{1/8}}}\cdots ,} formula hau {\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}\cdots } identitatetik lortzen da.

  

{\displaystyle {\text{e}}-{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod \_{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {1}{k^{2}\pi ^{2}}}\right).}

{\displaystyle {\text{e}}+{\frac {1}{\text{e}}}=2\prod \_{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {4}{(2k-1)^{2}\pi ^{2}}}\right).}

  

Euler-en formula: {\displaystyle {\text{e}}^{i\pi }+1=0.\,\!}

Stirling-en formula: {\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{\text{e}}}\right)^{n}.}

Gosperren formula: {\displaystyle -{\frac {\pi ^{2}}{12{\text{e}}^{3}}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k^{2}}}\ \cos \left({\frac {9}{k\pi +{\sqrt {k^{2}\pi ^{2}-9}}}}\right).}

  

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren hurbilketa bat, aldi berean urrezko zenbakia eta π erabiliz, honako hau da:

{\displaystyle e\sim \left({\frac {\pi }{5}}\phi \right)^{({\frac {600}{\pi ^{2}}})}.}

e zenbakiaren adierazpena
-------------------------

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakia, zenbaki erreal gisa hainbat modutan adieraz daiteke: serie infinitu, biderkadura infinitu, zatiki jarraitu eta segida baten limite bezala.

### Limite gisa

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren definizioa: {\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}

1975ean, Felix A. Keller suitzarrak limite simetrikoa lortu zuen: {\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }\left[{\frac {(n+1)^{n+1}}{n^{n}}}-{\frac {n^{n}}{(n-1)^{n-1}}}\right].}

Stirling-en formulatik ondorengoa lortzen da: {\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }n\cdot \left({\frac {\sqrt {2\pi n}}{n!}}\right)^{1/n}}

{\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}}

{\displaystyle p\_{n}} n. zenbaki lehena eta {\displaystyle p\_{n}\#} n. zenbaki lehenaren eta {\displaystyle p\_{n}} baino zenbaki lehen txikiagoen arteko biderkadura izanik, {\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{p\_{n}}]{(p\_{n}\#)}}} frogatu zen.

Azkenik, {\displaystyle {\text{e}}=\lim \_{n\to \infty }n^{\pi (n)/n}} adierazpena lortu zen {\displaystyle \pi (n)} *n* baino zenbaki lehen txikiagoen kontagailua izanik.

### Serie edo batura infinitu gisa

{\displaystyle {\text{e}}={\frac {1}{2}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{k!}}}
{\displaystyle {\text{e}}=2\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k+1}{(2k+1)!}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {3-4k^{2}}{(2k+1)!}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(3k)^{2}+1}{(3k)!}}}

{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{n}}{B\_{n}(k!)}}} non {\displaystyle B\_{n}} Bell-en n. zenbakia den.
Azkeneko karakterizazioaren adibide batzuk:

{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{2}}{2(k!)}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{3}}{5(k!)}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{4}}{15(k!)}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{5}}{52(k!)}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{6}}{203(k!)}}}
{\displaystyle {\text{e}}=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {k^{7}}{877(k!)}}}
### Biderkadura infinitu gisa

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakia <<Wallisen erako>> biderkadura infinitu gisa ere adieraz daiteke hainbat modutan:

Pippenger-en biderkadura:

{\displaystyle {\text{e}}=2\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/2}\left({\frac {2}{3}}\;{\frac {4}{3}}\right)^{1/4}\left({\frac {4}{5}}\;{\frac {6}{5}}\;{\frac {6}{7}}\;{\frac {8}{7}}\right)^{1/8}\left({\frac {8}{9}}\;{\frac {10}{9}}\;{\frac {10}{11}}\;{\frac {12}{11}}\;{\frac {12}{13}}\;{\frac {14}{13}}\;{\frac {14}{15}}\;{\frac {16}{15}}\right)^{1/16}\cdots ,}
Catalán-en biderkadura:

{\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {4}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {6\cdot 8}{5\cdot 7}}\right)^{1/4}\left({\frac {10\cdot 12\cdot 14\cdot 16}{9\cdot 11\cdot 13\cdot 15}}\right)^{1/8}\cdots ,}
eta Guillera-ren biderkadura:

{\displaystyle {\text{e}}=\left({\frac {2}{1}}\right)^{1/1}\left({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}}\right)^{1/2}\left({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}}\right)^{1/3}\left({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}}\right)^{1/4}\cdots ,}
n. faktorea n. erroa izanik
{\displaystyle \prod \_{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},}
eta azkenik, biderkadura infinitu gisa

{\displaystyle {\text{e}}={\frac {2\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{2}}\cdots }{2^{\ln(2)-1}\cdot 2^{(\ln(2)-1)^{3}}\cdots }}.}

### Zatiki jarraitu gisa

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren hamartarrek ez dute patroi erregular bat jarraitzen. Hala ere, normalizatu daitezkeen zatiki jarraituei esker, zatiki jarraitu normalizatu gisa lor dezakegu:

{\displaystyle {\text{e}}=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {6} +{\cfrac {1}{1+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}},}

eta {\displaystyle {\text{e}}=[2;1,{\textbf {2}},1,1,{\textbf {4}},1,1,{\textbf {6}},1,1,{\textbf {8}},1,1,\ldots ,{\textbf {2n}},1,1,\ldots ]} moduan idazten da. Azken propietate hau Leonhard Euler-ek lortu zuen. Zatiki jarraitu ez normalizatuaren adierazpena, berriz, {\displaystyle {\text{e}}=2+{\frac {2}{2+{\cfrac {3}{3+{\cfrac {4}{4+{\cfrac {5}{5+{\cfrac {6}{6+{\cfrac {7}{7+\cdots }}}}}}}}}}}}} da.

Bi kasutan, argi ikusten da {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren hamartarrek ez dutela patroi bat jarraitzen.

### Digitu dezimalen kopuru ezaguna

Poster bat *e* zenbakiaren lehen 10.000 digituak jasotzen dituena.
(1+1/n) eta (1+1/n) sekuentzien bidez e zenbakia kalkulatzeko diagrama
Azken hamarkadetan, asko handitu da ezagunak diren {\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren digitu dezimalen kopurua. Ordenagailuen errendimendua handitzeari eta hobekuntza algoritmikoei zor zaie hori. 1949an, J. Von Neumann eta bere taldeak ENIAC erabili zuten 2010 hamartar lortzeko.

1961ean, D. Shanks eta J.W. Wrecnch-ek 2,5 ordu behar izan zituzten 100.265 hamartar lortzeko Eulerren formularekin. 1994an, R.Nemiroff eta J.Bonellek 10.000.000 hamartar topatu zituzten.

Azken hamarkadetan, ordenagailuek hamartar kopuru handiak dituzten zenbakiak lortu dituzte. 2000. urtean, esaterako, Pentium III 800 ordenagailuko PiFast33 programa erabiliz, 12884901000 zifra hamartar lortu ziren eta hau lortzeko 167 ordu behar izan zituzten.

Urte bakoitzean ezagutzen ziren *e* zenbakiaren hamartar kopurua eta nork lortu zuen kopuru hori| Urtea | Dezimal kopurua | Nork |
| --- | --- | --- |
| 1690 | 1 | Jacob Bernoulli |
| 1714 | 13 | Roger Cotes |
| 1748 | 23 | Leonhard Euler |
| 1853 | 137 | William Shanks |
| 1871 | 205 | William Shanks |
| 1884 | 346 | J. Marcus Boorman |
| 1949 | 2.010 | John von Neumann ( ENIAC konputagailuarekin) |
| 1961 | 100.265 | Daniel Shanks eta John Wrench |
| 1978 | 116.000 | Steve Wozniak, Apple II konptagailu batekin |
| 1994 | 10.000.000 | Robert Nemiroff eta Jerry Bonnell |
| 1997ko maiatza | 18.199.978 | Patrick Demichel |
| 1997ko abuztua | 20.000.000 | Birger Seifert |
| 1997ko iraila | 50.000.817 | Patrick Demichel |
| 1999ko otsaila | 200.000.579 | Sebastián Wedeniwski |
| 1999ko urria | 869.894.101 | Sebastián Wedeniwski |
| 1999ko azaroaren 21a | 1.250.000.000 | Xavier Gourdon |
| 2000ko uztailaren 10a | 2.147.483.648 | Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon |
| 2000ko uztailaren 16a | 3.221.225.472 | Colin Martin eta Xavier Gourdon |
| 2000ko abuztuaren 2a | 6.442.450.944 | Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon |
| 2000ko abuztuaren 16a | 12.884.901.000 | Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon |
| 2003ko abuztuaren 21a | 25.100.000.000 | Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon |
| 2003ko irailaren 18a | 50.100.000.000 | Shigeru Kondo eta Xavier Gourdon |
| 2007ko apirilaren 27a | 100.000.000.000 | Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo |
| 2009ko maiatzaren 6a | 200.000.000.000 | Shigeru Kondo eta Steve Pagliarulo |
| 2010eko otsailaren 21a | 500.000.000.000 | Alexander J. Yee |
| 2010eko uztailaren 5a | 1.000.000.000.000 | Shigeru Kondo eta Alexander J. Yee |
| 2015eko ekainaren 24a | 1.400.000.000.000 | Matthew Hebert |
| 2019 | 8,000,000,000,000 | Gerald Hofmann |

### Lehenengo ehun hamartarrak

{\displaystyle {\text{e}}} zenbakiaren lehenengo 100 hamartarrak ondorengoak dira:

{\displaystyle {\text{e}}\approx 2,7182818284} {\displaystyle 5904523536} {\displaystyle 0287471352} {\displaystyle 6624977572} {\displaystyle 4709369995} {\displaystyle 9574966967} {\displaystyle 6277240766} {\displaystyle 3035354759} {\displaystyle 4571382178} {\displaystyle 5251664274}

e zenbakiaren inguruko auzi batzuk
----------------------------------

* Ez dakigu e 10 oinarrian edo beste oinarriren batean normala den. Hau da, sistema hamartarraren hamar digituetako bakoitzak hedapen hamartar batean agertzeko probabilitate bera duen ala ez.
* Ez dakigu {\displaystyle {\text{e}}^{e}} traszendentea den.
* Ez dakigu {\displaystyle \pi +e} eta {\displaystyle \pi \cdot e} irrazionalak diren. Baina jakina da ez direla 9 baino txikiagoko maila duten eta 109 ordenako koefiziente osoak dituzten polinomioen erroak.

Erreferentziak
--------------

1. 1 2 3 4 5    Albizuri, Jone Uria. «Eulerren zenbakia» *Berria* (Noiz kontsultatua: 2022-05-13).
2. ↑    «JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA "Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara"» *eu.wikisource.org* (Noiz kontsultatua: 2021-03-05).
3. ↑    Zapiain, Markos.  (2020-02-05). «"Pentsatzeko gaitasuna lortu duen materiamultzo bat gara" JOSE RAMON ETXEBARRIA, INGENIARIA, IRAKASLEA ETA IDAZLEA» *www.noticiasdegipuzkoa.eus* (Noiz kontsultatua: 2021-03-04).
4. ↑   O'Connor, John J.; Robertson, Edmund F.. *MacTutor History of Mathematics archive.*  University of St Andrews..
5. ↑   *Pro Mathematica* (Lima: PUCP) IV7-8 ISSN 1012-3938..
6. ↑   Arias, José María, 1948-.  (D.L. 2009). *Matemáticas 1, Bachillerato ciencias y tecnología.*  Bruño ISBN 978-84-216-5985-4. PMC 733850234. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
7. ↑   **(Gaztelaniaz)** Spivak, Michael. *Cálculo Infinitesimal 2.ª edición.*  Reverté, 465 or. ISBN 8429151362..
8. ↑   «Supplementum Epigraphicum GraecumSivrihissar (in vico). Op. cit. Op. cit. 334, n. 19.» *Supplementum Epigraphicum Graecum* (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
9. ↑   Dörrie, Heinrich, 1873-1955,. *100 great problems of elementary mathematics : their history and solution.*  ISBN 978-0-486-61348-2. PMC 487523. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
10. ↑   **(Latinez)** Leonhard, Euler.  (1783). *De serie Lambertina Plurimisque eius insignibus proprietatibus.*  Acta Academiae Scientiarum Imperialis Petropolitanae, 29-51 or..
11. ↑   Aiton, E.J..  (1978-03). «Leonhardi Euleri Opera Omnia. Series Secunda: Opera Mechanica. Volume XX: Commentationes mechanicae et astronomicae ad scientiam navalem pertinentes. Walter HabichtLeonhardi Euleri Opera Omnia. Series Tertia: Opera physica miscellanea epistolae. Volume IX: Commentationes opticae. Walter Habicht , Emil Alfred Fellmann» *Isis* 69 (1): 129–130. doi:10.1086/351979. ISSN 0021-1753. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
12. ↑   Kasner, Edward, 1878-1955..  (2007). *Matemáticas e imaginación.*  (1a ed. en Qed. argitaraldia) CONACULTA, Direccion General de Publicaciones ISBN 978-970-35-1300-0. PMC 476883399. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
13. ↑   Grinstead, Charles M. (Charles Miller), 1952-.  (1997). *Introduction to probability..*  (2nd rev. ed.. argitaraldia) American Mathematical Society ISBN 0-8218-0749-8. PMC 36511474. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
14. ↑   Ervin Knuth, Donald.  (1997). *The Art of Computer Programming.*  Addison-Wesley Professional, 183 or. ISBN 9780321635747..
15. ↑   Txantiloi:In Ma, Dan.  (2015). *A randomized definition os the natural logarithm constant.*  Probability end Stats.
16. ↑    *Estimating the Value of e by Simulation.*  The American Statistician, 66-68 or..
17. ↑   Weisstein, Eric.  (2007-08-07). «Making MathWorld» *The Mathematica Journal* 10 (3) doi:10.3888/tmj.10.3-3. ISSN 1097-1610. (Noiz kontsultatua: 2020-11-13).
18. ↑  S. M. Ruiz 1997
19. ↑   de Bray, M. E. J. Gheury.  (1923-03). «Exponentials Made Easy or The Story of 'Epsilon'» *The Mathematical Gazette* 11 (163): 278. doi:10.2307/3602212. ISSN 0025-5572. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
20. ↑   Théodore, Olivier.  (1845). *«Quelques applications des projections coniques ou centrales et des projections cylindriques». Complements de geometrie descriptive..*  París: Carilian-Goeury et Dalmont, 445 or..
21. ↑   Sondow, Jonathan.  (2006-08-01). «A Geometric Proof that 𝑒 Is Irrational and a New Measure of Its Irrationality» *The American Mathematical Monthly* 113 (7): 637. doi:10.2307/27642006. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
22. ↑   Brothers, Harlan J..  (). «Improving the Convergence of Newton's Series Approximation for e» *The College Mathematics Journal* 35 (1): 34-39. doi:10.2307/4146881. ISSN 0746-8342. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
23. ↑   Brothers, Harlan J.; Knox, John A..  (1998-09). «New closed-form approximations to the logarithmic constant e» *The Mathematical Intelligencer* 20 (4): 25–29. doi:10.1007/bf03025225. ISSN 0343-6993. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
24. ↑   Khattri, Sanjay Kumar.  (2010-07-12). «From Lobatto Quadrature to the Euler Constante» *PRIMUS* 20 (6): 488–497. doi:10.1080/10511970802509682. ISSN 1051-1970. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
25. ↑   y otros, V.Vodney.  (1995). *Fórmulas matemáticas fundamentales.*  Euro Omega, Madrid.
26. ↑    *.* .
27. ↑   **(Ingelesez)** Weisstein, Eric W.. «Pippenger Product» *mathworld.wolfram.com* (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
28. ↑   Pippenger, Nicholas.  (1980-05). «An Infinite Product for e» *The American Mathematical Monthly* 87 (5): 391–391. doi:10.1080/00029890.1980.11995044. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
29. ↑   Sondow, Jonathan.  (2005-10-01). «A Faster Product for $\pi$ and a New Integral for ln $\frac{\pi}{2}$» *The American Mathematical Monthly* 112 (8): 729. doi:10.2307/30037575. ISSN 0002-9890. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
30. ↑   Guillera, Jesús; Sondow, Jonathan.  (2008-07-12). «Double integrals and infinite products for some classical constants via analytic continuations of Lerch’s transcendent» *The Ramanujan Journal* 16 (3): 247–270. doi:10.1007/s11139-007-9102-0. ISSN 1382-4090. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
31. ↑   [ «Who Proved 𝑒 is Irrational? (February
 2006)»] *Spectrum*: 185–190. 2007 doi:10.1090/spec/052/36. ISSN 2638-6909. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
32. ↑   Saouter, Yannick; Gourdon, Xavier; Demichel, Patrick.  (2011). «An improved lower bound for the de Bruijn-Newman constant» *Mathematics of Computation* 80 (276): 2281–2281. doi:10.1090/s0025-5718-2011-02472-5. ISSN 0025-5718. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).
33. ↑    *Reported large computations with PiFast.* .
34. ↑  Roger Cotes (1714) "Logometria," *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*, **29** (338) : 5–45; see especially the bottom of page 10. From page 10: *"Porro eadem ratio est inter 2,718281828459 &c et 1, … "* (Furthermore, by the same means, the ratio is between 2.718281828459… and 1, … )
35. ↑  Leonhard Euler, *Introductio in Analysin Infinitorum* (Lausanne, Switzerland: Marc Michel Bousquet & Co. 1748), volume 1, page 90.
36. ↑  William Shanks, *Contributions to Mathematics*, ... (London, England: G. Bell, 1853), page 89.
37. ↑  William Shanks (1871) "On the numerical values of *e*, log*e* 2, log*e* 3, log*e* 5, and log*e* 10, also on the numerical value of M the modulus of the common system of logarithms, all to 205 decimals," *Proceedings of the Royal Society of London*, **20** : 27–29.
38. ↑  J. Marcus Boorman (October 1884) "Computation of the Naperian base," *Mathematical Magazine*, **1** (12) : 204–205.
39. ↑    doi:10.2307/2003813..
40. ↑   Wozniak, Steve.  (1981). *The Impossible Dream: Computing e to 116,000 Places with a Personal Computer.*  BYTE, 392 or..
41. ↑   Bonnell, Jerry, Nemiroff, Robert;. *The Number e to 1 Million Digits.* .
42. ↑  *A list of notable large computations of* e
43. ↑   Bailey, David H..  (1988-01). «Numerical Results on the Transcendence of Constants Involving π, e, and Euler's Constant» *Mathematics of Computation* 50 (181): 275. doi:10.2307/2007931. (Noiz kontsultatua: 2020-11-15).

Ikus, gainera
-------------

* Eulerren identitate.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q82435
* Commonscat Multimedia: E (mathematical constant)

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4150966-3
* LCCN: sh93008168
* NKC: ph114413

 |

* Wd Datuak: Q82435
* Commonscat Multimedia: E (mathematical constant)