Matematiketan **aplikazio lineala** bi bektore-espazioren arteko aplikazio bat da, zeinak bektoreen arteko batuketa eta bektore eta eskalar baten arteko biderketa operazioak mantentzen baititu.

Aljebra abstraktuan eta aljebra linealean aplikazio lineal bat homomorfismoa da bektore-espazioen artean, edo kategorietako teoriako terminoetan, morfismo bat bektore-espazioen kategorian emandako gorputz baten gainetik.

Definizioa
----------

**Aplikazio lineal,** **funtzio lineal** edo **transformazio lineal** esaten zaio dominio eta kodominio moduan bektore-espazioak dituen eta hurrengo baldintza betetzen duen edozein {\displaystyle T} aplikaziori:

Bitez {\displaystyle K} gorputzaren gainean eraikitako {\displaystyle V}eta {\displaystyle W} bektore-espazioak. {\displaystyle T:V\to W} aplikazio lineala izanen da baldin eta edozein bi bektorendako {\displaystyle \forall u,v\in V} eta edozein eskalarrendako {\displaystyle \forall k\in K} ondokoa betetzen bada:
1. {\displaystyle T(u+v)=T(u)+T(v)\,}
2. {\displaystyle T(ku)=kT(u)\,}.

Bi berdintza hauek betetzeari "gainjartze printzipioa" deritzo eta hurrengo berdintzaren bidez adieraz daiteke:

* {\displaystyle T(ku+k'v)=kT(u)+k'T(v)}.

Adibideak
---------

1. **Identitate** aplikazioa aplikazio lineala da edozein bektore-espazioren gainean:


T
:

V

→

V


x

↦

T
(
x
)
=
x



{\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&V&\to &V\\&x&\mapsto &T(x)=x\end{array}}}

{\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&V&\to &V\\&x&\mapsto &T(x)=x\end{array}}}
2. **Homoteziak** {\displaystyle n}-dimentsioko {\displaystyle \mathbb {K} } gorputzean ere aplikazio linealak dira, non {\displaystyle k\in \mathbb {K} } handitze ({\displaystyle k>1}) edo txikitze ({\displaystyle k<1}) konstantea baita:


T
:

K

n

→

K

n


x

↦

T
(
x
)
=
k
x



{\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&\mathbb {K} ^{n}&\to &\mathbb {K} ^{n}\\&x&\mapsto &T(x)=kx\end{array}}}

{\displaystyle {\begin{array}{cccl}T:&\mathbb {K} ^{n}&\to &\mathbb {K} ^{n}\\&x&\mapsto &T(x)=kx\end{array}}}*Demostrazioa*: bitez {\displaystyle x,y\in \mathbb {K} ^{n},a,b\in \mathbb {K} }. Orduan {\displaystyle T(ax+by)=k(ax+by)=kax+kby=a(kx)+b(ky)=aT(x)+bT(y)}.

Irudia eta nukleoa
------------------

### Irudia

Izan bitez {\displaystyle \mathbb {K} } gorputzaren gaineko {\displaystyle V,W} espazio bektorialak. {\displaystyle T:V\to W} aplikazio lineala definituz, orduan, {\displaystyle T(f)} multzoari **aplikazioaren irudia** deritzo definizioz, eta {\displaystyle \operatorname {Im} f} ere adierazten da. Multzo hau {\displaystyle W}-ren azpimultzoa da, are gehiago, {\displaystyle \operatorname {Im} f} {\displaystyle W}-ren azpiespazio bektoriala izango da.

Aplikazio lineal bat supraiektiboa izango da baldin eta soilik baldin, {\displaystyle \operatorname {Im} T=W} bada.

### Nukleoa

{\displaystyle T:V\to W} hartuz, bere **nukleoa** ({\displaystyle \operatorname {Ker} T} adierazia) honako hau izango da:

{\displaystyle \operatorname {Ker} T=\{v\in V:T(v)=0\_{W}\}=T^{-1}(\{0\_{W}\})}

Hau da, aplikazio lineal baten nukleoa eremuren azpimultzo bat da, zeinaren elementuen irudia koeremuko 0-a den. Gainera, {\displaystyle \operatorname {Ker} T} {\displaystyle V}-ren azpiespazio bektoriala da ere. 

Bestalde, aplikazio lineal bat injektiboa izango da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \operatorname {Ker} T=\{0\_{V}\}} bada.

### Aplikazio linealen oinarrizko teorema

Izan bedi {\displaystyle T:V\to W} aplikazio lineala. Orduan, {\displaystyle \operatorname {dim} V=\operatorname {dim} \operatorname {Im} T+\operatorname {dim} \operatorname {Ker} T} berdintza betetzen da.

Aplikazio linealen eraikuntza
-----------------------------

{\displaystyle f\_{1}:V\rightarrow W} eta {\displaystyle f\_{2}:V\rightarrow W} linealak badira, {\displaystyle f\_{1}+f\_{2}} ere lineala izango da ({\displaystyle (f\_{1}+f\_{2})(x)=f\_{1}(x)+f\_{2}(x)}).

{\displaystyle f:V\rightarrow W} lineala bada eta a K gorputzeko elementu bat bada, orduan, {\displaystyle (af)(x)=a(f(x))} ere lineala izango da.

Bi propietate horiei esker, eta dena elementu nulura bidaltzen duen funtzioa aplikazio lineala denez, {\displaystyle f:V\rightarrow W} transformazio linealen multzoak V-ren funtzioen azpiespazio bat eratzen du W-n. Azpieremu horri L(V,W) esaten zaio.

{\displaystyle f:V\rightarrow W} eta {\displaystyle g:W\rightarrow Z} linealak badira, orduan haien konposizio *g*∘*f*: *V* → *Z* ere lineala izango da.

V espazio bektoriala emanda, L(V,V) espazio bektorialak, eskuarki End(V) gisa hautematen denak, aljebra asoziatibo bat eratzen du oinarrizko gorputzaren gainean, non biderketa konposizioa baita eta unitatea identitatearen eraldaketa baita.

{\displaystyle f:V\rightarrow W} transformazio lineal bijektiboa bada, alderantzizkoa ere lineala izango da.

Transformazio linealen sailkapena
---------------------------------

* Funtzional lineala: {\displaystyle T:V\rightarrow \mathbb {K} } transformazio linealei (non {\displaystyle \mathbb {K} } den V-ren oinarrizko gorputza) funtzional linealak deritze.
* Monomorfismoa: {\displaystyle T:V\rightarrow W} injektiboa da, nukleoko elementu bakarra bektore nulua bada. {\displaystyle \operatorname {ker} (T)={0\_{V}}}
* Epimorfismoa: Baldin eta {\displaystyle T:V\rightarrow W} supraiektiboa bada.
* Isomorfismoa: Baldin eta {\displaystyle T:V\rightarrow W} bijektiboa bada (injektiboa eta supraiektiboa).
* Endomorfismoa: Transformazio lineal bat esaten zaio, non eremua eta koeremua bat baitatoz.
* Automorfismoa: Endomorfismo bijektiboari deitzen zaio.

Aplikazio linealari dagokion matrizea
-------------------------------------

Izan bitez V eta W bi bektore-espazio dim V=n eta dim W=m izanik eta {\displaystyle \beta =\{v\_{1},v\_{2},...v\_{n}\}} eta {\displaystyle \beta '=\{w\_{1},w\_{2},...w\_{m}\}} V eta W-ren oinarriak. Hartu {\displaystyle f\in } L(V,W). f aplikazio linealari elkartutako matrizea {\displaystyle \beta } eta {\displaystyle \beta '} oinarriekiko, i. zutabean {\displaystyle f(v\_{i})} bektorearen {\displaystyle \beta '} oinarriarekiko koordenatuak dituen matrizea da.

{\displaystyle M\_{\beta ,\beta '}(f)={\begin{pmatrix}|&|&...&|\\|&|&...&|\\f(v\_{1})-en&f(v\_{2})-ren&...&f(v\_{n})-ren\\koordenatuak&koordenatuak&...&koordenatuak\\\{w\_{1},w\_{2},...w\_{m}\}-rekiko&\{w\_{1},w\_{2},...w\_{m}\}-rekiko&...&\{w\_{1},w\_{2},...w\_{m}\}-rekiko\end{pmatrix}}}

hau da, {\displaystyle i\in \{1,...n\}} guztietarako, {\displaystyle f(v\_{i})=\textstyle \sum \_{k=1}^{m}\displaystyle a\_{ki}w\_{k}} da.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q207643
* Commonscat Multimedia: Linear operators

---

* **Identifikadoreak**
* BNF: 11944511p (data)
* GND: 4167700-6
* LCCN: sh85077178

 |

* Wd Datuak: Q207643
* Commonscat Multimedia: Linear operators