Geometrian, **elipsea** bi puntu finkoetarako distantzien batura konstantea duten planoko puntu guztien leku geometrikoa da. Aldi berean, kono bati ebakidura zeihar bat egitean agertzen den kurba da. Horrela, elipsea konika-mota bat da, parabola eta hiperbola bezala. Zirkunferentzia elipse berezi bat da, zeina konoari ebakidura zuzen bat eginez agertzen den.

Errealitatean maiz agertzen den kurba bat da. Horrela, eguzki-sistemako planetek elipse motako orbita batean zehar egiten dute bira eguzkiaren inguruan. Zirkunferentzia bat proiektatuz sor daitekeen kurba ere bada elipsea.

  

440**Elipse** bateko puntuetatik **F1** eta **F2** bi puntu finkoetarako distantzien batura berdina da beti. Bi puntu finkoei **foku** deritze.180**Elipsea** kono bat plano zeihar batez ebakitzean sortzen den konika da.231Saturnoko eraztunek zirkunferentzia bat osatzen dute, baina proiekzio efektu bat dela eta, zeihar behatzen badira, elipse moduan agertzen dira.261Planetek **elipse** bati jarraiki egiten dute bira eguzkiaren inguruan eta elipse horretan eguzkia foku batean dago kokaturik, Keplerren lehenengo legearen arabera.

Elipse baten elementuak
-----------------------

**Elipse baten elementuak.**
Elipsearen **zentroa** 0 puntuan kokaturik, **ardatz nagusia** *-a*tik *a*ra doan zuzenkia da eta **ardatz txikia** *-b*tik *b*ra doana. Bi ardatzak elkarzutak dira eta elipsearen simetria-ardatzak dira gainera.

**Fokuak** *-c* eta *c* puntuetan kokaturik daude, zentrotik distantzia berera. Elipseko puntu orotik bi fokuetara dagoen distantzien batura bat dator ardatz nagusiaren luzerarekin: 2a. Gainera, berdintza hau betetzen da: *a2+b2=c2*.

Elipsearen **eszentrikotasuna** honela definitzen da: *e=c/a*. Beraz, *c=ea* betetzen da. Eszentrikotasuna zenbat eta txikiagoa izan, elipsea orduan eta *borobilagoa* da.

**Zuzentzaileak** *-D* eta *D* dira eta fokuen bertikaletik elipsearen zuzen tangenteak ardatz nagusiarekiko ebaki-puntuan altxatzen diren elkarzutak dira. Gainera, eszentrikotasuna zuzentzaileen arteko distantziaren eta ardatz nagusiaren luzeraren arteko konstante proportzionala ere bada: *e=2a/2d=a/d*.

Elipsearen ekuazioak
--------------------

### Ekuazio kanonikoa

Elipsearen ekuazio kanonikoa bere ardatzak abzisa eta ordenatuen ardatzekiko paraleloak direnean erabiltzen da.

* Elipsea ardatz nagusia **X** ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

{\displaystyle {\frac {(x-x\_{1})^{2}}{a^{2}}}+{\frac {(y-y\_{1})^{2}}{b^{2}}}=1}
* Elipsearen ardatz nagusia **X** ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}
* Elipsearen ardatz nagusia **Y** ardatza bada eta zentrua (0,0) puntuan ez badago:

{\displaystyle {\frac {(x-x\_{1})^{2}}{b^{2}}}+{\frac {(y-y\_{1})^{2}}{a^{2}}}=1}
* Elipsearen ardatz nagusia **Y** ardatza bada eta zentrua (0,0) bada:

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{b^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}}}=1}
Frogapena, ardatz nagusia **X** ardatza izanik, puntu batetik fokuetarako distantzien batura erabiliz egiten da:

* elipsearen {\displaystyle x,\ y\,} puntu batetik {\displaystyle F\_{1}:(-c,0)\,} eta {\displaystyle F\_{2}:(c,0)\,} fokuetarako distantzien batura konstantea eta {\displaystyle 2a\,} ardatz nagusiarekin bat datorrenez:

  

{\displaystyle d(P,F\_{1})+d(P,F\_{2})=2a\rightarrow \,}
{\displaystyle {\sqrt {(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}}+{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}=2a\,;}
* bigarren erroa beste aldera eraman ondoren, karratura berretuz:

  

{\displaystyle (x+c)^{2}+y^{2}=4a^{2}-4a{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}+(x-c)^{2}-y^{2}\,;}

  

* erroa bakanduz eta laburtuz:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}}&={\frac {-1}{4a}}(x^{2}+2xc+c^{2}+y^{2}-4a^{2}-x^{2}+2xc-c^{2}-y^{2})\\&=-{\frac {1}{4a}}{4xc-4a^{2}}\\&=a-{\frac {c}{a}}x.\end{aligned}}}
* bi aldeak karratura berretuz eta laburtuz:

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{2}-2xc+c^{2}+y^{2}&=a^{2}-2cx+{\frac {c^{2}}{a^{2}}}x\\x^{2}{\frac {a^{2}-c^{2}}{a^{2}}}+y^{2}&=a^{2}-c^{2}\\{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{a^{2}-c^{2}}}&=1.\end{aligned}}}

  

* {\displaystyle b^{2}=c^{2}-a^{2}\,} aldaketa eginez:

  

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1}

  

Zentroa {\displaystyle x\_{1},\ y\_{1}\,} puntuan dagoenean nahikoa da, zentroa jatorria bihurtu {\displaystyle X=x-x\_{1}\,} eta {\displaystyle Y=y-y\_{1}\,} aldagai-aldaketak erabiliz, aurreko formula erabili eta ondoren, aldagai-aldaketa desegin. Ardatz nagusia bertikala denena, {\displaystyle x\,} eta {\displaystyle y\,} aldagaiak aldatzea besterik ez da egin behar.

  

{\displaystyle 2b\,} ardatz txikiaren luzera da, {\displaystyle x=0\,} eginez, {\displaystyle y=\pm b\,} elipseko puntuen arteko aldea, hain zuzen.

### Lau puntuetatik igarotzen den elipsea

Lau punutuetatik elipse bakarra igarotzen da.
Konziklikoak ez diren, hots, zirkunferentia berean ez dauden lau puntuetatik elipse bakarra igarotzen da. Puntuak {\displaystyle (x\_{1},\ y\_{1}),(x\_{2},\ y\_{2}),(x\_{3},\ y\_{3}),(x\_{4},\ y\_{4})} izanik, determinante hau garatuz eratzen da elipsearen ekuazioa:

  

{\displaystyle {\begin{vmatrix}x^{2}&y^{2}&x&y&1\\x\_{1}^{2}&y\_{1}^{2}&x\_{1}&y\_{1}&1\\x\_{2}^{2}&y\_{2}^{2}&x\_{2}&y\_{2}&1\\x\_{3}^{2}&y\_{3}^{2}&x\_{3}&y\_{3}&1\\x\_{4}^{2}&y\_{4}^{2}&x\_{4}&y\_{4}&1\end{vmatrix}}}

Erreferentziak
--------------

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q40112
* Commonscat Multimedia: Ellipses

---

* **Identifikadoreak**
* BNF: 11981967h (data)
* GND: 4194779-4
* LCCN: sh85042604
* AAT: 300055630
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q40112
* Commonscat Multimedia: Ellipses