Funtzio lineal baten irudikapena

Definizioa:
-----------

Endomorfismo bat eremu eta koeremu bera dituen aplikazio lineal bat da. V espazio bektorial baten endomorfismo taldea ({\displaystyle End(V)}), V-tik V-ra doazen aplikazio linealek osatzen dute:

{\displaystyle f\in End(V)\Leftrightarrow \forall v\in V:(\exists f(v)\Rightarrow f(v)\in V)}

Propietateak:
-------------

* Definizioz, alderantzizko funtzioa duten V-ko endomorfismoek, {\displaystyle GL(V)} multzoa osatzen dute: {\displaystyle GL(V)=\{f\in End(v):\exists g\in End(V):f\circ g(v)=g\circ f(v)=v,\forall v\in V\}}

* {\displaystyle f\in End(V)} alderanzgarria da baldin eta soilik baldin bere matrize elkartua ({\displaystyle \beta -tik} {\displaystyle \beta -ra}) alderanzgarria bada
* Hartu V K gorputzaren gainean dagoela definituta. {\displaystyle \lambda \in K}, {\displaystyle f}-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v}

Matrize elkartuak:
------------------

Edozein aplikazio linealek matrize elkartuak dauzka bere baitan, eremuko oinarri bat eta koeremuko bat erlazionatzen dituena. Endomorfismoen kasuan, {\displaystyle \beta \longrightarrow \beta } motako elkartutako matrizeak erabili daitezke funtzioa definitzeko. Honek bisualki asko lagundu dezake. Adibidez, gure funtzioari lotutako matrizea identitate matrizea bada, badakigu funtzioa konstantea dela. Lehen aipatutako propietatean sakonduz, {\displaystyle GL(V)}-ko funtzioei elkartutako matrizeek {\displaystyle GLn(V)} taldea osatzen dute, hau da, V espazioaren dimentsioa duten matrize alderanzgarrien taldea.

Balio propioak edo autobalioak:
-------------------------------

V K gorputzaren gainean definituta egonik, {\displaystyle \lambda \in K}, {\displaystyle f}-ren balio propioa da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \exists v\neq 0\in V:f(v)=\lambda v}.

Adibidez: {\displaystyle f\in End(R^{3}):f(x,y,z)=(2x,x+y-z,2z)}: Ohartu {\displaystyle f(1,0,1)=(2,0,2)=2(1,0,1)} delataz.

Gainera, {\displaystyle f(0,1,0)=(0,1,0)=1(0,1,0)}, beraz {\displaystyle \lambda =2} eta {\displaystyle \lambda =1} funtzioaren balio propiak dira, eta {\displaystyle (1,0,1),(0,1,0)} haiei lotutako bektoreak, hurrenez hurren.

Balio propioei lotutako azpiespazio bektorialak:
------------------------------------------------

Hau jakinda, azpiespazio ezberdinak defini ditzakegu, {\displaystyle \lambda } balioari dagokion f-ren azpiespazio propioak deritzonak:

{\displaystyle V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}}.

Ohartu gure eremu eta koeremua V direnez, {\displaystyle V(\lambda )\leq V,} edozein balio propiorako. Hain zuzen: (1 = V gaineko funtzio konstantea)

{\displaystyle V(\lambda )=\{v\in V:f(v)=\lambda v\}=\{v\in V:f(v)-\lambda v=0\}=\{v\in V:(f-\lambda 1)(v)=0\}=ker(f-\lambda 1)} eta

{\displaystyle (f-\lambda 1)} V-ren gaineko endomorfismo bat denez, {\displaystyle V(\lambda )\leq V}.

Hartzen badugu {\displaystyle A={\underset {\beta }{M}}(f)} (beta bidezko f-ri elkartutako matrizea), eta {\displaystyle dim(V)=n}:

{\displaystyle {\underset {\beta }{M}}(f-\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-{\underset {\beta }{M}}(\lambda 1)={\underset {\beta }{M}}(f)-\lambda {\underset {\beta }{M}}(1)=A-\lambda In}.

Hemendik erraz lortu dezakegun edozein azpiespazio propioren dimentsioa:

{\displaystyle dim(V(\lambda ))=dim(ker(f-\lambda 1))=n-dim(Im(f-\lambda 1))=n-rg(A-\lambda In)}

Polinomio karakteristikoa:
--------------------------

Matrize ororekin polinomio karakteristikoa izena duen polinomio bat dago lotuta. Polinomio hori sortzeko arrazonamendu bat dago:

Lehenik, konturatu behar gara edozein {\displaystyle \lambda } izanik gure {\displaystyle A={\underset {\beta }{M}}(f)} matrizearen balio propioa dela baldin eta soilik baldin hau betetzen bada:

{\displaystyle \exists X\in {\underset {nx1}{M}}(K):AX=\lambda X\Leftrightarrow 0=\lambda X-AX=(\lambda In-A)X:X\neq 0\Leftrightarrow BX=0:B=\lambda InX} sistemak soluzio ez nulurik badu {\displaystyle \Leftrightarrow detB=0\Leftrightarrow det(\lambda In-A)=0},

Matrize baten autobalioak aurkitzeko prozesua.Orduan, expresio horri polinomio karakteristikoa deituko diogu. {\displaystyle {\underset {A}{\mathrm {X} }}(x)=det(xIn-A)} eta {\displaystyle \lambda } polinomio horren erroa bada, orduan A-ren balio propioa da, eta ondorioz endomorfismoarena ere.

  

1. ↑     *APLICACIONES LINEALES (4/7) ENDOMORFISMO.*  (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
2. ↑     *Oinarri (aljebra).*  2023-01-03 (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
3. ↑   **(Gaztelaniaz)** «matriz unidad o identidad» *Diccionario de Matemáticas | Superprof* (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
4. ↑   **(Ingelesez)**  *General linear group.*  2022-12-10 (Noiz kontsultatua: 2023-01-07).
5. ↑  Espazio bektorialen propietateak.