Ekuazioaren erakusketa bat Taipei 101en, 2005ko Fisika Urtea ospatzeko.
{\textstyle E=mc^{2}} fisikako ekuaziorik ezagunetarikoa da, energia (*E*), masa (*m*) eta argiaren abiaduraren arteko erlazioa hutsean zehar azaltzen duena. Ekuazio hau erlatibitate bereziaren barruan sartzen da, eta hau dela eta, egunero erabiltzen dugun masaren kontzeptua (masa inbariantea) baino, masa erlatiboa erabiltzen da.

Albert Einsteinek 1905an idatzi zuen (nahiz eta garaian idazkera ezberdina izan) bere Annus mirabiliseko txostenetan. Bertan Einsteinek erakusten zuen nola denbora eta espazioko lau dimentsioko sistema bateratu bat erabiliz fenomeno behagarrien jokaera azaltzea posiblea den, Galileoren erlatibitate printzipio eta argiaren abiadura konstatearekin bat eginez. Einsteinen erlatibitatearen teoria bereziak Euclide eta Galileoren denbora eta distantzia absolutuen ideia baztertu zuen, masa eta energia forman bakarrik ezberdinak direla erakutsiz.

Beraz *c*² gaz biderkatuz (*c*ren balioa 299,792,458 m/s da), masa energia bilakatu daiteke, hau da, SIko kg masaren unitatetik, energiaren joule edo kg·m²/s² tara.

Ekuazioaren zentzua
-------------------

Pausagunean dagoen masadun edozein gorputzek, pausagunean neurtu daitekeen masa hori dela eta, berezko energia kantitate oso handi bat dauka, Newtonen fisikan proposatzen zenaren ez bezala, hau da, geldirik dagoen edozein gorputzek energia zinetikorik ez du, eta berezko izan dezakeen energia (kimiko edo termikoa) oso txikia da. Berezko energia honetaz gain, energia potentziala ere izan dezake, gorputzak indar eremu batekiko daukan posizioaren araberakoa dena. Einsteinen ekuazioari esker badakigu gorputzak berezko duen energia Newtonek suposaturikoa baino askoz handiagoa dela.

Geldirik dagoen gorputzaren masa honi Einsteinen teorian pausaguneko energia deritzo; hau, gorputzaren berezko energia da. Formulako *E*, bestalde, gorputzaren masari proportzionala den energia da (gogoratu ekuazioan masa erlatiboa erabiltzen dela, hau da, masa ez dela konstantea).

Daramagun fotoi bakar bat hutsean zehar higitzen ari dela. Fotoiaren pausaguneko energia edo masa *m* neurtzerik ez dagoenez, formula ezingo litzateke erabili, geldirik dauden gorputz edo sistemetan bakarrik aplikatu daitekeelako (sistemak geldi daude beraien masa zentrutik ikusten direnean abiadura nulua denean). Bi fotoi edo gehiagoko sistemak, ordea, non fotoiak batak bestetik aldentzen diren (esaterako elektroi eta positroiaren deuseztaketa), masa inbariantea izango dute, eta beraz ekuazioa erabili daiteke baina sistema osoa kontuan hartuz, ez fotoi bakoitzean.

Ekuazio hau ere geldirik dagoen gorputz edo sistema batetik (masa inbariate eta pausaguneko energia berdinak izanik, hau da, momenturik gabeko sistema edo gorputza) energia galtzean masari zer gertatzen zaion iragartzeko erabili daiteke. Prozesu honen adibide erreakzio kimiko edo nuklearrak dira, non gorputz edo sistemek beroa eta argia galtzen duten. Ideia berdina jarraituz, baina prozesuari buelta emanez, gorputz edo sistema batek energia irabazten duenean masaren gehikuntza kalkulatu daiteke.

Max Planck izan zen, Einsteinen ekuazioa ikusi eta gero, bateratzen diren sistemen masa sistemek berez duten masa baino gutxiago izango zena, sistemak lotzeko behar den energiak ihes egin eta gero. Plancken nehurketak prozesu kimikoetan izan zen, baina prozesu hauen lotura-energia txikiegia da nehurketak sentzurik izateko.

Formularen historia
-------------------

Einsteinek argiaren abiaduran mugitzen diren gorputzei buruz burutatzen ibili ondoren, edozein gorputzen masak gorputzaren berezko energia-edukia izan behar duela ondorioztatu zuen. Horretan oinarrituta, 1905ean erlatibitate bereziaren teoriari buruzko artikulu bat bidali zuen *Annalen der Physik* fisika aldizkari alemaniarrera, baina inolako matematika-oinarririk gabe. E = mc2 ekuazioa handik hilabete batzuetara aldizkari berera bidalitako jatorrizko artikuluaren eranskin batean argitaratu zuen, baina *Δm = L/c²* bezala idatzita, non *L* energia den (nahiz eta artikulu berberean Einsteinek energiarentzat *E* ere erabili).

Ekuazioa argitaratu eta gero, hainbat fisikari konturatu zen nukleo atomikoaren lotura-energia kalkulatu nahi izanez gero, nahikoa zela nukleoaren masa jakitea. Saiakuntza hau ezin izan zen egin 1932an neutroiaren eta bere masaren aurkikuntzara arte. Gertaera horretatik gutxira, posible bilakatu zen lehen trasmutazio-erreakzioak egitea, adibidez:

{\displaystyle {}^{7}\mathrm {Li} +\mathrm {p} \rightarrow 2\,{}^{4}\mathrm {He} }

Erreakzio hauek direla eta Einsteinen formularen zuzentasuna baieztatu ahal izan zen, %1eko zehaztasunarekin.

Jakina denez, Einsteinen ekuazioa bonba atomikoaren garapenean erabili zen. Hainbat atomoren nukleoen masa neurtu eta emaitzatik protoi eta neutroien masaren totala kenduz gero, atomoen nukleo batek duen lotura-energiaren zenbatekoa lortu daiteke. Kalkulu hori erreakzio nuklear batean jariatzen den energia estimatzeko erabili zuten, nukleoaren energia neurtuz prosezuaren aurretik eta ostean.

Adibide praktikoak
------------------

Kilogramo batean, teoretikoki, energia hau dago:

* 90 PJ (90 000 000 000 000 000 joule)
* 25 TWh (25 000 000 000 kilowatt ordu)
* TNT megatonen energia

*Enterprise (CVN-65)*, *Long Beach* eta *Bainbridge* itsasontzi estatubatuarrak 1964ko ekainaren 18an Mediterraneoan. *Enterprise* ontziko marinelak Einsteinen ekuazioa irudikatzen dabiltza, lehen erreakzio nuklearraren urteurrena ospatzeko.
Kontuan hartzekoa da masatik energiarako aldaketak gutxitan direla %100 eraginkorrak. Teorikoki guztiz eraginkorra den adibide bat materiak eta antimateriak elkarrekin talka egiten dutenekoa da (esaterako positroniumaren saiakuntza); beste kasuetan, energiaren azpiproduktuak sortzen dira eta masatik oso gutxi pasatzen da energia izatera. Adibidez, fisio nuklearrean, masaren %0.1 edo energia bilakatzen da. Hala ere, atomoaren masa materiaren masaren zati bat baino ez denez, fisio nuklearra erabiltzen duen armamentuaren eraginkortasuna %40koa da. Fusio nuklearrean, bestealde, masa atomikoaren %0.3a energia bilakatzen da. Armamentu termonuklearrean berriz, eraginkortasunak behera egiten du, %0.03raino, bonbaren masaren zati handi bat materia ez-erradiaktiboa delako.

Ekuazioan masa energia "izan" arren, nomalean "bilakatu" hitza erabiltzen da. Normalean bilakatze prosezu honekin energia pasibo eta potentzial batetik energia zinetikora (lana egiteko gai dena) igarotzen deneko prosezua irudikatu nahi da, adibidez erreaktore nuklear batean. Gogoratzekoa da energia mota bat beste energia mota bat bilakatu denean baina sistemak energia hori galdu gabe, masarik ere ez duela galduko. Beraz, energia horrek ez badu alde egiten, argi, bero edo beste edozein erradiazio moduan, sistemaren masa totala kontserbatu egiten da, hau da, aldaezina da (edozein behatzaile bakarrentzako). Kilogramo bateko gorputz bat argi, bero edo beste edozein energia zinetiko bilakatzen bada, kilogramo bateko masa izaten jarraituko du, baldin eta bere pisua neurtzen duen sistematik alde egiten ez badu.

Ekuazioaren azalpena
--------------------

*E* = *mc*², gorago esan bezala, geldirik dagoen masa inbariantea {\displaystyle m\_{0}} eta momenturik gabeko edozein sistema edo gorputzentzat erabili daiteke. Beste hitzetan, geldirik dagoen edozein partikulatzat. Hala ere, badaude beste kasu batzuk non partikulak bata bestetik aldentzen diren, momentuak ezeztatuz. Azken kasu honetan, partikulen masak bai higidura zein beroa dauka konponententzat, baina ekuazioa aplikatu daiteke.

Energia eta momentua kontutan hartzen duen ekuazio nagusi baten atal berezi batean kokatu behar da *E* = *mc*². Ekuazio nagusi hau erreferentzia sistema batetik ikusita geldirik dagoen, baina beste erreferentzia sistemetatik mugi daitekeen (eta momentua izan dezakeen) partikula baten higidurarentzat erabili daiteke. Kasu hauetan ekuazio nagusia askoz korapiltsuagoa bilakatzen da; masa inbariantea edozein erreferentzia sistematatik aldakorezina izateko, momentodun atalak ekuazioari gehitu behar zaizkio. Beste hitzetan, ekuazioan gorputzaren masa inbariantea erabili ezkero, lortuko dugun energia, {\displaystyle E} gorputzaren geldiko energia (edo gorago esan bezala, geldiko masa) izango da, eta nahiz eta gorputzaren barruko energiarekin aldatu daitekeen (adibidez, gorputzak beroa galdu edo irabazten badu), geldiko energiak ez da aldatuko gorputzaren higidura orokorrarekin.

Masa inbariantearen ordez, masa erlatibista ere erabili daiteke. Kasu honetan momentuak ez dira kontuan hartzen eta gorputzaren masa aldakorra izango da erreferentiza sistema bakoitzarekiko. Ekuazioa ulertzeko beharrezkoa da "masa" hitzak bi kontzeptu ezberdin deskribatzeko erabiltzen dela konprenitzea. Gaur egungo fisikan masa absolututzat baina energia erlatibotzat hartzen da. Hontan oinarrituta esan dezakegu masa ez dela energia, edo energia masa. Beraz, ekuazioak masa energia bihurtze prosezua deskribatzen du.

Einsteinek erlatibitate berezian lanean ari zela, objektu mugikor baten energia totala:

{\displaystyle E={\frac {m\_{0}c^{2}}{\sqrt {1-(v^{2}/c^{2})}}},}
dela, non {\displaystyle v} abiadura erlatiboa den. Formula hau beste honen baliokide da:

{\displaystyle E={\sqrt {m\_{0}^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}}}
non {\displaystyle p} momentu erlatiboa den. (hau da, {\displaystyle p=\gamma p\_{0}=m\_{\mathrm {rel} }\*v}).

{\displaystyle v=0} denean, {\displaystyle p=0} da, eta bi formulak {\displaystyle E={m\_{0}c^{2}}} sinplifikatu dira, {\displaystyle E} geldiko energia den, {\displaystyle E\_{0}}. Energia hau fisika klasikoaren energia kinetikoaren konparatu daiteke:

{\displaystyle E={\frac {1}{2}}mv^{2}},
non {\displaystyle E\_{0}=0} (fisika klasikoan higitzen diren gorputzen energia, hau da, energia kinetikoa, hartzen da kontutan, geldiko energia 0 da).

### Masa erlatibista

Einsteinek bere ekuazioaren proposaketa egin eta gero, hainbatek masa erlatibista matematikoki horrela definitu zuten:

{\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }\;=\;\gamma m\_{0}\;=\;{\frac {m\_{0}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}.}
Masaren esangura matematiko hau erabili ezkero,

{\displaystyle E=m\_{\mathrm {rel} }c^{2}}
gorputz geldi eta mugikorrentzat. Ekuazioko abiadura argiaren abiaduraren hainbestekoa bada, orduan masa erlatibista geldiko masaren antzerakoa izango da,

{\displaystyle v=0} bada, orduan {\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }=m\_{0}}.
Masa erlatibista eta geldiko masaren arteko ezberdintasunak gogoan izanda,

{\displaystyle E=m\_{0}c^{2}} baldin eta {\displaystyle v=0}
edo {\displaystyle E=m\_{\mathrm {rel} }c^{2}} baldin eta {\displaystyle v} ≠ {\displaystyle 0}.

Einsteinen jatorrizko artikuluetan () geldiko masa erabili zuen, masa erlatibistaren kontzeptua ez baitzuen gogoko. Gaur egungo fisikoek ere, masa esaterakoan, ia gehienetan geldiko masari buruz ari dira, nahiz eta formula sinplistikoki erabiltzeko masa erlatibista kontzeptua beharrezkoa den.

### Abiadura gutxiko hurbilketa

Taylorren serieak ekuazioa berridazteko erabili ezkero:

{\displaystyle E=m\_{0}c^{2}\left[1+{\frac {1}{2}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}+{\frac {3}{8}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{4}+{\frac {5}{16}}\left({\frac {v}{c}}\right)^{6}+\ldots \right].}
Argiaren abiadura {\displaystyle c} baino askoz txikiagoak diren abiadurak {\displaystyle v} erabili ezkero, eskubitara dauden terminoek geroz eta txikiagoak bilakatzen dira, hau da, {\displaystyle v/c} zerorantz doa. Abiadura goiko hurbilketaren lehenengo bi terminoak erabiltzeko txiki haina izan ezkero,

{\displaystyle E\approx m\_{0}c^{2}+{\frac {1}{2}}m\_{0}v^{2}.}
Ekuazio honetan energia geldian dagoen gorputz baten Einsteinen terminoen gehiketa da, beste hitzetan, energia kinetikoa. Newtonen energia kinetikoaren ekuazioak, beraz, garaian jakitea ezinezkoa ziren partea ez du kontutan hartzen, {\displaystyle m\_{0}c^{2}} terminoa hain zuzen ere. Newtonek termino honen izatea jakitea ezinezkoa zen, garaiko saikuntzek gorputz baten geldiko masaren aldaketa nehurtzerik, nuklear erreakzio batean gertatzen den bezala, ez zutelako; beste hitzetan, Newtonen gorputz mugikorren nehurketak argiaren baino abiadura askoz txikiagoan mugitzen ari zirenetan egin zituen. Einsteinek gorputzen abiadura argiaren abiadurararte goratzean geldiko masa energia bilakatu daitekela aurkitu zuen.

{\displaystyle m\_{0}c^{2}} terminoa Newtonen ekuazioan ere erabili daiteke, energia aldaketak gorputzaren higiduran eragina daukanean bakarrik aldatzen delako (energia haundiko prozesuetan, esaterako erreakzio nuklearrak edo partikula azeleratzaileetan); gorputza argiaren abiadura baino askoz abiadura txikiagoan mugitzen direnean termino hau konstantea da eta beraz ekuazioan sartu daiteke, nahiz eta ondorio nabarmenik ez izan. Nahiz eta Newtonen energia kinetikoaren ekuazioa "gaizki" egon, abiadura txikiko gorputzentzat balio du, {\displaystyle E=mc^{2}} ren hurbilketa bat bezala. Gogoratzekoa da ia objektu guztiek argiaren baino abiadura txikiagoa dutela eta adibidez, astronautak ilargira bidaltzeko behar den mekanika guztia Newtonen hurbilketarekin egin daiteke.

Einstein eta 1905eko artikulua
------------------------------

Einsteinek ez zuen Irailak 27an *Annalen der Physik* aldizkarian agertutako bere *"Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?"* ("Gorputz baten inertzia bere energia kopuruaren menpe al dago?") artikuluan ekuazioa ez zuen formulatu.

Artikuluaren arabera, "Gorputz batek *L* energia kopurua erradiazio modura igortzen badu, bere masa {\displaystyle L/c^{2}}tez txikitzen da"; erradiazio elektromagnetikoaz hari zen Einstein, kasu honetan (artikuluan argia bezala zehazten du), eta masa garaiko kontzeptu arruntaz definituta dago, hau da, gaur egungo geldiko energia edo masa inbariantea.

Einsteinen lehenengo formulaketaren arabera, gorputz baten masa ez da aldatzen gorputzak argia edo beroa galtzen ez duen bitartean. Masa hauen *diferentzia'*{\displaystyle \Delta m\ }', energia galdu aurretik eta ostean, {\displaystyle L/c^{2}}ren pareko da, ez masa gorputzaren masa osoa, *m*. 1905eko urtean, noski, guzti hau teorikoa zen eta saiakuntzaz frogagabea. 1932an positroiaren eta antimateriaren aurkikuntza eta gero, geldian dauden partikula pareak argiaren abiaduran mugitzen den erradiazio bihurtu zitzatekela frogatu zen arte.

Beste fisikarien laguntza
-------------------------

Einstein ez zen energia eta masa parekatu zituen bakarra, baina bai erlazio hau teoria haundiago baten barruan kokatu zuena; are gehiago, Einsteinek bere teorian oinarrituta ondorioztatu zuen. Hemeretzigarren mendean zehar masa eta energiaren arteko erlazioa erakusteko hainbat saiakera egon ziren, askotan elektromagnetismo arloaren barruan, baina teoretikoki arrakastaitzak. 

Newtonek 1704an argitaraturiko optika liburuan argiaren teoria korpuskularra azaltzen zuen. 1904 eta 1905an Friedrich Hasenöhrlek erradiazioa zeukan hutsune baten intertziari buruz bi artikulu argitaratu ziten. Maxwellen ekuazioak erabiltzen zituen argiaren presioa kalkulatzeko eta beraz erlatibitate bereziaren teoriarik ez zuen erabiltzen. Hasenöhrlen kalkuluen emaitzetan {\displaystyle m=(4/3)E/c^{2}} agertzen zen. Nazi propagandan E=mc² ekuazioa *Hasenöhrlen Pritzipioa* bezala berbatailatu zuten.

1900garren urteko artikulu batean, Henri Poincaré matematikar frantsesak norabide bakar batean erradiazioak igortzen dituen gorputz fisiko baten atzeratzea eztabaidatu zuen, Maxwell-Lorentz elektrodinamikak aurresan bezala. Bere hitzetan, erradiazioa irudimenezko fluido baten antzera azaltzen zen, *e/c2* masa bolumen unitate bakoitzeko, non e energia dentsitatea den; hau da, erradiazioaren masa baliokidea *m = E / c2* da. Poincaréren ustetan, erradiazioa igortzen dituen gorputzaren atzeratzea Maxwell-Lorentz teorian argitu gabeko berezitasun bat da. Ideia berdin hau 1902ko "Zientzia eta Hipotesiak" eta 1904ko "Zientziaren balioa"an argitaratu zuen. Azken honetan, urrengoa esaten du: "Atzeratzeak ez du Newtonen legeak jarraitzen, gorputzak masarik ez baitu, ez da materia, energia baizik". Azaldu gabeko beste bi efektu ere eztabaidatu zituen, 1) masaren kontserbaketa eza, Lorentzen *γm* masa inbariantea, Abrahamen masa aldakorraren teoria eta Kauffmanen saiakuntzak azkar mugitzen diren elektroiekin eta 2) Energiaren kontserbazio eza Marie Curiek egindako erradio saiakuntzetan. Arazo hauek Einsteinen *m = E / c2* ekuazio eta dagokion masa-energia kontserbazio azaldu ziren.

Deribazioa
----------

Newtonen bigarren legearen arabera, mekanika klasikoko terminoak (ez-erlatibistak) erabiliz,

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d(m\mathbf {v} )}{dt}},}
da, non *m***v** gorputz baten momentu ez-erlatibista den, **F** bere gainean jarduten duen indarra eta *t* denbora absolutuaren koordenatua. Era honetan idatzi ezkero, ekuazioa erlatibitatearen funtsekin ez dator bat; Lorenz transformaketekin bat eginteko ekuazioa honelaxe idatzi dezakegu:

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{d\tau }},}
non **p**=*m*γ*c* gorputzaren momentu erlatibista den, **F** geldian neurtutako gorputzaren gainean jarduten duen indarra den eta *τ* gorputzaren benetako denbora den, geldiko erreferentzia sistema batean kokatutako erloju batek neurtuta. Ekuazio hau abiadura gutxiko kasuetan Newtonenarekin bat dator. Are gehiago, Lorentzen transformaketan oinarrituta, ekuazioa kobariantea da, hau da, erreferentzi sistema guztietan balio du.

Momentu erlatibista, **p**=*m*γ*c* *p*ren zati espaziala da, Minkowski bektorearen energia-momentua. Beraz, **F** beste *F* baten Minkowski bektorea izan behar du. Newtonen legearen ekuazio erlatibistak lau bektore hauek hartu behar ditu kontutan:

{\displaystyle F={\frac {dp}{d\tau }}.}
Minkowski bektorearen momentu-energia

{\displaystyle p=(m\gamma c,\mathbf {p} )^{T}}
da,

{\displaystyle p^{2}=m^{2}c^{2}}
ekuazioa betetzen duena, eta nondik

  

{\displaystyle F\cdot p=0.}
ondorioztatu dezakegun.

Gorputzaren geldiko erreferentzi sisteman, momentua (*mc*) 0 da, eta beraz indarraren lau bektoreak ortogonalak izateko, bere denbora konponenteak 0 izan behar du geldiko erreferentzi sisteman, non *F* = (0,**F**) den. Lorentzen transformaketa hautazko erreferentzi sistema batekin erabili ezkero,

{\displaystyle F=\left({\frac {\gamma }{c}}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ),\mathbf {F} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )\right)^{T}.}
da, eta beraz Newtonen bigarren legearen bertsio erlatibistako denbora konponentea

{\displaystyle {\frac {\gamma }{c}}(\mathbf {F} \cdot \mathbf {v} )={\frac {d(m\gamma c)}{d\tau }}.}
da.

Indar eta lanaren arteko erlazioa kontutan hartuz,

{\displaystyle W=\int \mathbf {F} \cdot \,d\mathbf {r} =\int \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} \,dt,}
eta lana energiaren aldaketa denez,

{\displaystyle {\frac {dE}{d\tau }}=\gamma \mathbf {F} \cdot \mathbf {v} ,}
azkenean energia:

{\displaystyle E=m\gamma c^{2}.}
da, non gamma konstante gehigarri bat den. Beraz, energia gorputzaren energia kinetikoa erabiliz definitu dezakegu, *T* = *mc*2(γ – 1), *E*gatik konstante batengatik ezberdina dena, mekanika ez-erlatibistan gertatzen den bezala. momentu kontserbazio printzipioa aplikatuz ezkero, *m*γ*c*2 = *mc*2 + *T* geldiko energia energia kinetiko bihurtuko da eta alderantziz, saiakuntza askotan ikusitako jokaera.

Erreferentziak
--------------

1. ↑  See Helge Kragh, "Fin-de-Siècle Physics: A World Picture in Flux" in *Quantum Generations: A History of Physics in the Twentieth Century* (Princeton, NJ: Princeton University Press, 1999.
2. ↑  F. Hasenöhrl, Ann. Physik, 16, 589 (1905) [Received 26 Jan. presented 14 Mar.]

Ikus, gainera
-------------

* Albert Einstein
* Argiaren abiadura
* Energia eta momentu kontserbazioa
* Inertzia
* Masa erlatibista

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q35875
* Commonscat Multimedia: Einstein formula

---

* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q35875
* Commonscat Multimedia: Einstein formula