Eraztunen teorian, {\displaystyle K} gorputza izanik, {\displaystyle p(x)\in K[x]} polinomio ez-nulu bat **irreduziblea** dela diogu baldin eta honako polinomioaren edozein faktorizaziotan {\displaystyle p(x)=q(x)r(x)} berdintzako {\displaystyle q(x)} eta {\displaystyle r(x)} polinomioetako bat unitatea bada. Hau da, ez badira existitzen {\displaystyle q(x),r(x)\in K[x]} zeinek {\displaystyle p(x)} polinomioaren maila baino maila hertsiki txikiagoa duten eta {\displaystyle p=r\cdot q} betetzen den. Beraz, {\displaystyle r\in R} edo {\displaystyle q\in R} da derrigor; beste era batera esanda, bietako bat polinomio konstante bat izango da. Kontrako kasuan, {\displaystyle p(x)} polinomio erreduziblea dela esaten da.

Erreduzible izatea edo ez gorputzaren arabera aldatzen da eta {\displaystyle K} gorputza, {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } zenbaki errealen multzoa, {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } zenbaki konplexuen multzoa, {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } zenbaki arrazionalen multzoa edo {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } zenbaki osoen multzoa (eraztuna) izan daiteke.

Adibideak
---------

Ondorengo bost polinomioek polinomio erreduzible eta irreduzibleen oinarrizko ezaugarri batzuk erakusten dizkigute, definiturik dauden eremuaren arabera:

{\displaystyle p\_{1}(x)=x^{2}+4x+4\,=(x+2)(x+2)},
{\displaystyle p\_{2}(x)=x^{2}-4\,=(x-2)(x+2)},
{\displaystyle p\_{3}(x)=x^{2}-4/9\,=(x-2/3)(x+2/3)},
{\displaystyle p\_{4}(x)=x^{2}-2\,=(x-{\sqrt {2}})(x+{\sqrt {2}})},
{\displaystyle p\_{5}(x)=x^{2}+1\,=(x-i)(x+i)}.
* {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} } zenbaki osoen eraztunaren gainean, lehen bi polinomioak erreduzibleak dira, baina azken hirurak irreduzibleak dira.
* {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} } zenbaki arrazionalen gorputzaren gainean, lehen hiru polinomioak erreduzibleak dira, baina azken biak irreduzibleak dira.
* {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} } zenbaki errealen gorputzaren gainean, lehen lau polinomioak erreduzibleak dira, baina azkena irreduziblea da.
* {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} } zenbaki konplexuen gorputzaren gainean, bost polinomioak erreduzibleak dira. Izan ere, {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} }-n polinomio ez konstante bakoitza, faktore linealetan faktorizatu daiteke:

{\displaystyle p(z)=a\_{n}(z-z\_{1})(z-z\_{2})\cdots (z-z\_{n})}
non {\displaystyle a\_{n}} polinomioaren koefiziente nagusia den eta {\displaystyle z\_{1},\ldots ,z\_{n}} {\displaystyle p(x)}-ren erroak diren. Beraz, polinomio irreduzible guztiak 1 mailakoak dira.

Irreduzibilitate irizpideak
---------------------------

Polinomio bat irreduziblea den edo ez frogatzeko hainbat irizpide erabil daitezke, horien artean, erredukzio irizpidea, Gauss-en lema eta Einstein-en irizpidea aurki ditzakegu.

### Lehen mailako polinomioak

Irreduzibleak dira beti, {\displaystyle p(x)=q(x)r(x)} bada, {\displaystyle deg(p)=deg(q)+deg(r)} delako eta {\displaystyle deg(p)=1} denez eta {\displaystyle deg(q),deg(r)\geq 1} izan behar duenez, ez da posible.

### Bigarren edo hirugarren mailako polinomioak

Baldin eta {\displaystyle deg(p)=2} edo {\displaystyle deg(p)=3} bada, orduan {\displaystyle p(x)} irreduziblea da {\displaystyle K}-ren gainean baldin eta soilik baldin ez badu errorik.

### {\displaystyle Q} gorputzeko erroak

Baldin eta {\displaystyle P(x)=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+...+a\_{n}x^{n}\in Z[x]} bada eta {\displaystyle deg(p)\geq 2} bada, orduan {\displaystyle P(x)}-k {\displaystyle Q}-n {\displaystyle \alpha =r/s} erroren bat izatekotan {\displaystyle zkh(r,s)=1} izanik, derrigorrez, {\displaystyle r|a\_{0}} eta {\displaystyle s|a\_{n}} izan behar du.

### Gaussen lema

Baldin eta {\displaystyle p(x)\in Z[x]} bada, orduan {\displaystyle Q[x]}-n {\displaystyle p(x)} polinomioa {\displaystyle q(x),r(x)\in Q[x]} maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz daiteke, baldin eta soilik baldin {\displaystyle q\_{0}(x),r\_{0}(x)\in Z[x]}-ko maila txikiagoko bi polinomio ez-konstanteren biderkadura gisa adieraz badaiteke. Hau da, {\displaystyle Z} eta {\displaystyle Q}-n irreduzible izatea baliokidea da.

### Einseinstein-en irizpide orokortua

Baldin eta {\displaystyle P(x)=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+...+a\_{n}x^{n}\in Z[x]} bada, {\displaystyle p\in N} zenbaki lehena bada, eta

* {\displaystyle p|a\_{0},p|a\_{1},...p|a{\scriptstyle {\text{r-1}}}} non {\displaystyle 1\leq r\leq n}
* {\displaystyle p^{2}\nmid a\_{0}}
* {\displaystyle p\nmid a\_{r}}

Orduan {\displaystyle p(x)}-k {\displaystyle Z[x]} eraztunean {\displaystyle r} edo {\displaystyle r} baino maila handiagoko faktore irreduzible bat dauka. Bereziki, {\displaystyle r=n} bada, {\displaystyle p(x)} irreduziblea da {\displaystyle Q[x]}-ren gainean.

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1476663

 |

* Wd Datuak: Q1476663