**Itsasaldi indarra** edo **marea indarra** gorputz batek beste baten gainean eragindako indar grabitatorioaren uniformetasun ezak eragindako indarra da. Indar hauen ondorioz, indarra jasotzen duen gorputzak luzapen bat jasaten du bi gorputzen masa zentroak lotzen dituen lerroaren norabidean. Fenomeno hau agertzen da gorputz batek bestearen gainazalean eragindako indarraren diferentzialaren ondorioz, eta gizakiontzat garrantzi handikoak diren naturako gertakarien jatorria da, itsasaldiak hain zuzen ere. Itsasaldiez gain, indar hauek beste ondorio batzuk izan ditzakete sistemaren arabera: gorputzak, itsasaldi indarrak jasateko gai ez badira luzatuz apurtu daitezke, planeta batzuen eraztunen jatorria badira ere, eta zulo beltzetan, espagetizazioa izenez ezagutzen den fenomenoaren sortzaileak dira.

Zeruko mekanikaren testuinguruan itsasaldi indarra erabili ohi da bi gorputzek osatutako sistema batean hirugarren gorputz batek sortutako perturbazio indarrak sortzen dituenean. Honen adibide bat, lurra eta eguzkiak sortutako sistema da; izan ere, ilargiak perturbatiboa kontsideratu daitekeen , ekarpena sortzen du.

Azalpen fisikoa
---------------

Itsasaldien jatorria ulertu ahal izateko Newtonen grabitazio eta bigarren legeak gogoratu behar dira. Kasu orokor bat kontsideratuz, demagun gorputz bat (1 gorputza) beste batek (2 gorputzak) sortutako grabitazio eremuan murgilduta dagoela. 2. Gorputzak lehenengoaren gainean eragindako indarrak kalkulatuz, Newtonen grabitazio legea erabiliz, 2. Gorputzetik gertuen dauden 1 gorputzaren guneek jasango duten indarra urrunago daudenak baino indartsuagoa izango dela lortzen da. Honek, indarren arteko desoreka sortzen du lehenengo gorputzaren gainean, hau tentsiopean jarriz. Tentsio hauek gorputzak deformatzera eraman lezake, eta mugako kasuetan apurtzera ere.   Tentsioen jatorria 2. gorputzak sortutako grabitazio eremua espazioan zehar konstantea ez izatean datza.

* Newtonen grabitazio unibertsalaren legea:



F
→

=
−

r
^



G
M
m

r

2



{\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {GMm}{r^{2}}}}

{\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {GMm}{r^{2}}}}
* Newtonen bigarren legea:



F
→

=
m

a
→


{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}

{\displaystyle {\vec {F}}=m{\vec {a}}}y=1/x^2 funtzioaren irudia. Newtonen grabitazio legearen arabera, grabitazio indarraren intentsitatea r^2 rekin aldatzen da; beraz, konstanteak salbu irudiko funtzioaren portaera berdina du.
Marea indarren intentsitatea, jasaten dituen gorputzaren tamaina eta sistema osatzen duten bi gorputzen arteko distantziaren arteko erlazioarekin lotuta dago. Grabitazio unibertsalaren legetik, 2 gorputzen arteko indarra distantziaren karratuaren alderantzizkoarekin aldatzen dela ikusten da; distantzia handietan erakarpen handia txikia da, eta gero eta gertuago egon bi gorputzen arteko indarrak intentsitate handiagoa du.  Indarraren distantziarekiko menpekotasuna irudikatuz gero, gertuago dauden bi puntuk jasaten dituzten indarren arteko desberdintasuna, urrunago dauden bi punturen artekoa baino handiagoa dela ikusten da. Itsasaldi indarra bi puntuk jasandako indarren arteko aldea izanik, lehenengo gorputzean indarra nabariagoa izango da bi puntuak elkarren artean ahalik eta urrutien badaude, edo bigarren gorputzetik oso gertu badaude. Hau hobeto ulertzeko erabilgarria da ilargia eta eguzkiak lurraren gainean eragindako indarrak aztertzea. Ilargiak eragindako itsasaldi indarra handiagoa da lurreko gainazaleko puntuen gainean eragindako indarren arteko diferentzia nabariagoak delako. Hau honela gertatzen da ilargia eta lurraren arteko distantzia laburragoa delako, eta irudian ikusi daitekeenez distantzia laburretan gertu dauden bi punturen gainean eragindako indarren arteko aldea handiagoa baita.

### Itsasaldi azelerazioa

Gorputz bateko puntu batean marea indarrek eragindako itsasaldi azelerazioa kalkulatzeko, kanpoko gorputzak bestearen masa zentroan sortutako azelerazioa eta puntuan bertan sortutakoa kendu behar dira. Kalkulu hau burutzeko, kanpoko objektuak sortutako grabitazio eremua hartzen da kontutan soilik, aztergai den gorputzak sortutako baztertuz.

Demagun, kanpoko eremua sortzen duen gorputza {\displaystyle M} masakoa dela, eta aztergai den {\displaystyle m} masako objektuaren masa zentrotik {\displaystyle R} distantziara dagoela. Grabitazio unibertsalaren, eta Newtonen bigarren legeak erabiliz masa zentroaren azelerazioa ondokoa da:



F
→

=
−

r
^



G
M
m

r

2

=
m

a
→

⇒

{\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {GMm}{r^{2}}}=m{\vec {a}}\Rightarrow }

{\displaystyle {\vec {F}}=-{\hat {r}}{\frac {GMm}{r^{2}}}=m{\vec {a}}\Rightarrow }

⇒

a
→

=
−

r
^



G
M

r

2



{\displaystyle \Rightarrow {\vec {a}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{r^{2}}}}

{\displaystyle \Rightarrow {\vec {a}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{r^{2}}}}

  

Kalkulua errazteko eta lehenengo hurbilketan m masako objektuaren masa zentrotik erradialki {\displaystyle \Delta r} distantziara dauden bi punturen azelerazioa kalkulatu daiteke:




a

−
Δ
r

→

=
−

r
^



G
M

(
R
−
Δ
r

)

2


=
−

r
^



G
M

R

2



1

(
1
−

Δ
r

R

)

2


{\displaystyle {\vec {a\_{-\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{(R-\Delta r)^{2}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}{\frac {1}{(1-{\frac {\Delta r}{R}})^{2}}}}

{\displaystyle {\vec {a_{-\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{(R-\Delta r)^{2}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}{\frac {1}{(1-{\frac {\Delta r}{R}})^{2}}}}


a

+
Δ
r

→

=
−

r
^



G
M

(
R
+
Δ
r

)

2


=
−

r
^



G
M

R

2



1

(
1
+

Δ
r

R

)

2


{\displaystyle {\vec {a\_{+\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{(R+\Delta r)^{2}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\Delta r}{R}})^{2}}}}

{\displaystyle {\vec {a_{+\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{(R+\Delta r)^{2}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}{\frac {1}{(1+{\frac {\Delta r}{R}})^{2}}}}
Posizioarekiko menpekotasuna Maclaurinen serieen bidez garatu daiteke ondoko garapenaz baliatuz:



1

(
1
±
x

)

2


=
1
∓
2
x
+
3

x

2

∓
.
.
.
 
 
.

{\displaystyle {\frac {1}{(1\pm x)^{2}}}=1\mp 2x+3x^{2}\mp ...\ \ .}

{\displaystyle {\frac {1}{(1\pm x)^{2}}}=1\mp 2x+3x^{2}\mp ...\ \ .}Aurreko adierazpenetan {\displaystyle x={\frac {\Delta r}{R}}} ordezkatuz ondorengo azelerazioak lortzen dira:



a

−
Δ
r

→

=
−

r
^



G
M

R

2

+

r
^



G
M

R

2

2

Δ
r

R

+
.
.
.
 
 
,

{\displaystyle {\vec {a\_{-\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}+{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}2{\frac {\Delta r}{R}}+...\ \ ,}

{\displaystyle {\vec {a_{-\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}+{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}2{\frac {\Delta r}{R}}+...\ \ ,}


a

+
Δ
r

→

=
−

r
^



G
M

R

2

−

r
^



G
M

R

2

2

Δ
r

R

+
.
.
.
 
 
.

{\displaystyle {\vec {a\_{+\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}2{\frac {\Delta r}{R}}+...\ \ .}

{\displaystyle {\vec {a_{+\Delta r}}}=-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}-{\hat {r}}{\frac {GM}{R^{2}}}2{\frac {\Delta r}{R}}+...\ \ .}  
Ohartu garapen honetan 0 ordenako gaia m masako objektuaren masa zentroak jasandako azelerazioa dela.  {\displaystyle \Delta r} eta {\displaystyle -\Delta r} puntuetan itsasaldi indarra kalkulatzeko, masa zentroaren azelerazioa eta puntu hauen arteko azelerazioen arteko aldea kalkulatu behar da:




a

m
a
r
e
a
,
 
±
Δ
r

→

=

a

±
Δ
r

→

−

a

m
z

→

≈
±

r
^

 
2
Δ
r
 

G
M

R

3



{\displaystyle {\vec {a\_{marea,\ \pm \Delta r}}}={\vec {a\_{\pm \Delta r}}}-{\vec {a\_{mz}}}\approx \pm {\hat {r}}\ 2\Delta r\ {\frac {GM}{R^{3}}}}

{\displaystyle {\vec {a_{marea,\ \pm \Delta r}}}={\vec {a_{\pm \Delta r}}}-{\vec {a_{mz}}}\approx \pm {\hat {r}}\ 2\Delta r\ {\frac {GM}{R^{3}}}}
Modu honetan esplizituki azaltzen da m masako objektuaren masa zentroaren ikuspuntutik, itsasaldi indarrek, gorputzaren aurkako aldeetan dauden {\displaystyle \Delta r} eta {\displaystyle -\Delta r} puntuak urruntzen dituztela. Honela, indar hauen ondorioz objektu baten luzapena gertatu daitekeela ikasi daiteke. Aurreko lerroetan kontsideratu diren puntuak gorputz esferikoaren gainazaleko puntu diametralak badira, itsasaldi indarren menpekotasuna objektuaren tamainarekiko, eta distantziarekiko idatzi daiteke; izan ere,  {\displaystyle 2\Delta r=d} da, non {\displaystyle d} gorputzaren diametroa den.




a

m
a
r
e
a

→

≈
±
G
M

d

R

3



{\displaystyle {\vec {a\_{marea}}}\approx \pm GM{\frac {d}{R^{3}}}}

{\displaystyle {\vec {a_{marea}}}\approx \pm GM{\frac {d}{R^{3}}}}
Antzeko kalkulua egin daiteke bi gorputzak lotzen dituen ardatzetik kanpo dauden puntuentzat. Orokorrean, 2 gorputzak lotzen dituen ardatzean, aurreko kasuetan norabide erradiala definitu den bezala, x ardatza aukeratzen da, eta honekiko norabide elkarzutean y ardatza. Esfera baten gainazaleko edozein punturen azelerazioaren x eta y ardatzetako osagaiak ondokoak dira: 

Irudi honetan kalkuluetan lortutako emaitzak irudikatzen dira. Gezi beltzek itsasaldi indarrak adierazten dituzte. Marea indarrak sortzen dituen gorputza, irudian satelitea, eta gorputza bera lotzen dituen lerroaren norbaidean, indarrek masa zentrutik urruntzen dituzte puntuak, eta norabide perpendikularrean masa zentrorantz erakartzen dituzte.


a

m
a
r
e
a
,
x

≈
2
G
M
 

x

R

3



{\displaystyle a\_{marea,x}\approx 2GM\ {\frac {x}{R^{3}}}}

{\displaystyle a_{marea,x}\approx 2GM\ {\frac {x}{R^{3}}}}

a

m
a
r
e
a
,
y

≈
−
2
G
M
 

x

R

3



{\displaystyle a\_{marea,y}\approx -2GM\ {\frac {x}{R^{3}}}}

{\displaystyle a_{marea,y}\approx -2GM\ {\frac {x}{R^{3}}}}

  

Ardatzean kokatutako puntuetan aurreko emaitzak berreskuratzen dira, {\displaystyle x=\Delta r,\ y=0} ordezkatuz; eta y ardatzeko balio handiagoak dituzten puntuak aukeratu ahala, indarrak masa zentrorantz zuzentzen joaten dira. Bi gorputzak lotzen dituen ardatzarekiko perpendikularrak diren puntuek zuzenean masa zentrorantz erakartzen dituzten indarrak jasango dituzte ({\displaystyle x=0,\ y=\Delta r}). Indarren banaketa honen ondorioz, jatorriz esferikoa den gorputz batek itxura elipsoidala hartzen du.

Itsasaldiak
-----------

Aurreko kalkuluetako emaitzak kontuan hartuz lurraren kasua aztertu daiteke. Lurraren gainazalean ilargia eta eguzkiaren eraginak hartu beharko lirateke kontuan, hala ere, aurreko emaitzetan ilargia eta eguzkiari dagozkien datuak ordezkatuz ilargiaren eragina askoz garrantzitsuagoa izango dela lortzen da. Hau gertatzen da, ilargiak, eguzkiaren masa baino askoz masa txikiagoa izan arren, lurretik askoz gertuago dagoelako; eta aurreko emaitzetan ikusi dugunez, marea indarrek eragindako azelerazioak distantziaren kuboarekin txikitzen dira.

Eguzkia eta lurra lotzen dituen ardatzean dauden lurraren gainazaleko bi punturen gaineko marea indarra :

{\displaystyle GmM\ {\frac {2r\_{\rm {lurra}}}{d\_{\rm {eguzkia}}^{3}}}=5.05\times 10^{-7}ms^{-2}}

Ilargiaren eragina puntu hauetan:

  

{\displaystyle GmM\ {\frac {2r\_{\rm {lurra}}}{d\_{\rm {ilargia}}^{3}}}=1.10\times 10^{-6}ms^{-2}}

Kalkulu hauetan argi geratzen da ilargiak lurraren gainean sortutako marea indarrak, eguzkiak eragindakoen bikoitza direla gutxi gora behera. 

Marea indarrek gorputz elastiko baten gainean eragiten dutenean deformazioak eragiten dituzte honen gainean. Orokorrean esfera batek elipsoide itxura hartzen du, eta objektu handiek oboide forma har dezakete. Hau da itsasoari gertatzen zaiona. 

Ilargiak lurrean sortutako marea indarren ondorioz itsasoak jasaten duen deformazioa.
Itsasoak, Lurraren gainazalean kokatutako ura izanik, ilargiaren marea indarren eraginpean dagoen gorputz elastikoa osatzen du. Goiko ataletan aipatu denez, marea indarrek itsasoaren itxura aldatuko dute, ilargia eta lurra lotzen dituen ardatzean zehar itsasoa luzatuz, eta, aldiz, poloetan uzkurtuz. Modu honetan, itsasoak arrautza itxura (oboidea) hartzen du. Ilargiak lurraren inguruan orbitatu ahala eraldatutako itsasoan lurraren gainazaletik gehien urrundu diren puntuek ilargiari jarraituko diote, eta ondorioz itsasoaren maximoek ilargiaren errotazioari jarraitzen diote. Ilargiaren biraketa periodoa, lurraren inguruan, egun batekoa denez, egunean behin lurraren gainazaleko puntu bat oboidearen maximoari dagokio. Ilargia eta lurraren ardatzeko puntuetan oboideak lurrarekiko banatze maximoa lortzen du; beraz, ilargia lurraren gainazaleko puntu baten gainean dagoenean itsasoak garaiera maximoa izango du gune horretan, itsasgora eraginez. Ohartu itsasoaren deformazioa dela eta, puntu batean itsasgora denean diametroaren aurkako puntuan ere itsasgora gertatuko dela, eta diametroarekiko perpendikularra den norabidean itsasbehera. Egunean zehar ilargiak lurrarekiko orbitatu ahala, bi itsasgora sortuko dira gainazaleko puntu batean, bata ilargia zuzenean puntuaren gainean kokatzen denean, eta bestea puntu honekiko diametralki aldendutako puntuaren gainean dagoenean.

Beste fenomenoak
----------------

Lurrak eta ilargiak grabitatearen legeek gobernatutako sistema osatzen dute, eta marea indarrak eragiten dizkiote elkarri.
Ilargia eta Lurraren arteko elkarrekintzaren ondorioz itsasaldiak sortzearekin batera beste fenomeno batzuk ematen dira ere. Itsasoaren gainean marea indarrek eragiten dutenean Lurra eta itsasoko uraren arteko marruskadura agertzen da. Marruskadura indar honen ondorioz Lurra eta Ilargiak osatutako sistemak biraketa energia galtzen du. Lurra, Itsasoa eta Ilargiak osatutako sisteman kanpoko indarrek eragiten ez dutela kontsideratuz gero, momentu angeluarraren kontserbazioa gertatu behar da. Ondorioz, errotazio abiaduraren moteltzeak, Lurra eta Ilargiaren arteko distantzia handitzea dakar.

Honetaz gaindi, itsasaldien ondorioz sortzen diren ur korronteek eragin garrantzitsuak dituzte planetako tenperaturen gainean. Zenbait proposamenen aburuz marea indarretan gertatutako aldaketa txikiek Lurreko tenperaturaren minimoekin lotura izango lukete, 6 eta 10 urte bitarteko periodoarekin. 

Io, Jupiterren satelitea, planetaren inguruko orbitan irudikatzen da. (A) eskeman Jupiterren zenbait sateliteren orbitak azaltzen dira, eta (B) irudian marea indarren ondorioz Iok jasaten duen deformazioa marrazten da.
Lurrean gertatzen diren fenomenoez at , Jupiterrek bere satelitea den Io-ren gainean eragindako itsasaldi indarrek sortutako marruskaduraren ondorioz, Io-ko sumendien aktibitate bortitza gertatzen da. 

Pertsona batek, zulo beltz batera eroriko balitz, pairatuko lukeen luzapena irudikatzen da. Lerro makurrak, zulo beltzaren ondorioz kurbatutako espazio denboraren eskema dira. Zulo beltzaren zentroa lerroak estutzen diren norabidean egongo litzateke, eta irudian ageri den bezala, bertara hurbildu ahala gorputza luzatzen joango litzateke.
Beste eragin bitxi bat masa handiko gorputz txikien inguruan ematen den "espagetizazioa" da. Marea indarrak sortzen dituen objektua txikia eta masa handikoa bada, zulo beltza edo neutroi izarra kasu, marea indarra oso bortitzak sortzen dira. Gorputza grabitazio eremua sortzen duen objektura nahikoa hurbiltzen denean ezberdintasun handia dago objektutik gertuen, eta urrunen, dauden puntuek jasaten dituzten indarren artean. Honen ondorioz, marea indar bortitzak ematen dira. Norbait zulo beltz batean eroriko balitz, marea indarrek bere gorputza luzatuko lukete hau osatzen duten atomo guztiek ilara bat osatu arte. Aipatu beharra dago ez dela beharrezkoa zulo beltz edo neutroi izar bat bezalako gorputz bat marea indarrek gertu dagoen objektu bat apurtu ahal izateko. Roche Limitea planeta baten inguruan gorputz batek izan dezakeen distantzia minimoa da; planetak eragindako marea indarrek, gorputza bera elkarrekin lotzen duen grabitazio elkarrekintza gainditu aurretik .

Azkenik, Lurraren gaineko itsasaldi indarrek lurraren barnealdeko jariakinen higidura eragiten du, eta honek, aldi berean, Lurraren eremu magnetikoa aldatzen du.

Marea indarrak erlatibitate orokorrean
--------------------------------------

Beste ikuspuntu batetik marea indarrak erlatibitate orokorraren teoriaren ondorio garrantzitsua dira. Einsteinen teorian grabitatearen indarra espazio-denbora kurbatu batean partikulek jarrai ditzaketen ibilbideen desbideraketa bezala azaltzen da. Partikula askeak geodesikoen ekuazioaren soluzioak diren ibilbideetan zehar higitzen dira, eta gertuko masadun objektuek ibilbide hauek definitzen duten espazio-denboraren egitura aldatzen dute, partikulen higidura eraldatuz. Gorputz batek sortutako grabitatearen eraginpean erorketa askean dauden partikulen higidurari jarraituz gero, partikulak geroz eta hurbilago daudela behatuko litzateke. Hurbilketa hau lerro geodesikoen konbergentziaren ondorioz gertatzen da, eta marea indar baten eragina kontsideratu daiteke.

Espazio-denbora jakin batean geodesikoak parametro baten menpe parametrizatutako kurben bitartez adierazi daitezke.

{\displaystyle {\mathcal {F}}=\{\gamma \_{s}:\mathbb {R} \rightarrow {\mathcal {M}},\ s\in [a,b]\}}

Adierazpen honetan {\displaystyle {\mathcal {F}}} ikurrak {\displaystyle s} parametroaren bitartez deskribatutako {\displaystyle \gamma \_{s}} kurba multzoa da, non, {\displaystyle s} -k {\displaystyle [a,b]} tarteko balioak hartzen dituen {\displaystyle {\mathcal {M}}} espazio-denborako geodesikoak deskribatuz. Honelako lerro geodesikoen arteko espazioko distantzia lerroekiko edozein puntutan elkarzuta diren {\displaystyle X^{a}} eremu bektorialen bitartez adieraziko dira, eta lerroekiko tangenteak diren eremu bektorialak {\displaystyle T^{a}} ikurraren bidez idazten dira:

{\displaystyle T^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial t}}\right)^{a}\qquad X^{a}=\left({\frac {\partial }{\partial s}}\right)^{a}}

hemen lerroak denbora koordenatuaren (propioa ez dena) bidez ({\displaystyle t}) parametrizatzen direla kontsideratzen da.

Lerroen arteko distantziaren aldaketa erritmoa ({\displaystyle a^{a}}) lortzeko eremu elkarzut eta tangenteak Riemannen kurbadura tentsorearekin biderkatu behar dira ondoren azaltzen den bezala:

{\displaystyle a^{a}=-R^{a}\ \_{bcd}T^{b}X^{c}T^{d}}.

Energia-momentu tentsorearen gaineko zenbait baldintza inposatuz etorkizunera zuzendutako lerro geodesikoak elkarrengana gerturatzeko joera dutela frogatu daiteke. Hau nolabait, ikuspegi klasikoan, grabitateak gorputzak erakartzeko duen joera bezala ulertu daiteke. Honelako lerro batean zehar higitzen den partikula batek hurbilketa honen ondorioz jasango lukeen indarra aurreko aldaketa erritmoa partikularen masarekin biderkatuz lortzen da.

{\displaystyle f^{a}=ma^{a}}

### Gorputz esferiko baten eraginpeko marea indarrak

Espazio hutsean dagoen masadun gorputz baten inguruan espazio-denbora Schwarzschilden metrikaren bitartez deskribatu daiteke. Kasu hau aplikagarria da lurra edo eguzkia bezalako gorputzen inguruko higidura aztertzeko. Metrikaren adierazpena ondorengoa da:

  

{\displaystyle ds^{2}=-c^{2}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\mathrm {d} t^{2}+\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\mathrm {d} r^{2}+r^{2}\left(\mathrm {d} \theta ^{2}+\sin ^{2}\theta \ \mathrm {d} \phi ^{2}\right)}

Gorputzaren inguruan erorketa askean dagoen partikula baten higidura geodesika erradialek deskribatuko dute. Partikularen abiadura geodesika erradialekiko tangentea den bektorearen bitartez lortzen da:

  

{\displaystyle V^{a}=T^{a}=(c{\dot {t}},{\dot {r}},0,0)=\left({\frac {g\_{r}^{1/2}c}{\sqrt {1-{\frac {v\_{r}^{2}}{g\_{r}^{2}c^{2}}}}}},{\frac {g\_{r}^{1/2}v\_{r}}{\sqrt {1-{\frac {v\_{r}^{2}}{g\_{r}^{2}c^{2}}}}}},0,0\right)}

  

Deribatuak kasu honetan partikularen denbora propioarekiko (partikularen unibertso lerroko erreferentzia sisteman neurtzen dena) egiten dira. Denbora propio eta koordenatuaren arteko erlazioa azpiko lerroan adierazten da:

  

{\displaystyle \tau =\int \_{0}^{t}{\sqrt {g\_{r}-{\frac {v\_{r}^{2}(t)}{c^{2}}}g\_{r}^{-1}}}\ dt\qquad g\_{r}:=1-{\frac {2GM}{c^{2}r(t)}}}

Partikula gorputz zurruna bada, objektuaren barneko masa unitateko indarren intentsitatea desberdina izango da norabide desberdinetan. Gorputzaren masa zentrotik pasatzen den, eta {\displaystyle N^{a}} bektore normala duen, plano batean zeharreko indarrak hurrengo adierazpenaren bidez kalkulatu daitezke:

  

{\displaystyle f^{a}=R\_{0b0}^{a}N^{b}V^{0}V^{0}+R\_{0b1}^{a}N^{b}V^{0}V^{1}+R\_{1b0}^{a}N^{b}V^{1}V^{0}+R\_{1b1}^{a}N^{b}V^{1}V^{1}}

  

Definitutako metrikarekin Riemannen tentsorea kalkulatuz gero ez nuluak diren osagaiak ondokoak direla lortzen da:

  

{\displaystyle {\begin{matrix}R\_{110}^{0}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}&R\_{010}^{1}={\frac {-2GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)\\R\_{020}^{2}={\frac {GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)&R\_{121}^{2}={\frac {-GM}{c^{2}r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{-1}\end{matrix}}}

  

{\displaystyle N^{a}=(0,N^{1},N^{2},0)} bektore normala espazio-motakoa dela, eta gorputza plano ekuatorialean dagoela kontsideratuz indarren osagaiak ondorengoak dira:

{\displaystyle {\begin{cases}f^{0}=(R\_{110}^{0}v\_{r}c){\cfrac {g\_{r}^{3}N^{1}}{g\_{r}^{2}-{\frac {v\_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{1}=(R\_{010}^{1}c^{2}){\cfrac {g\_{r}^{3}N^{1}}{g\_{r}^{2}-{\frac {v\_{r}^{2}}{c^{2}}}}}\\f^{2}=(R\_{020}^{2}c^{2}+R\_{121}^{2}v\_{r}^{2}){\cfrac {g\_{r}^{3}N^{2}}{g\_{r}^{2}-{\frac {v\_{r}^{2}}{c^{2}}}}}&\qquad f^{3}=0\end{cases}}}

  

Beste kasu aipagarri bat altuera beretik, eta pausagunetik, lurraren ( edo beste gorputz baten) zentrora erortzen diren bi partikularena da. Zentrorantz hurbildu ahala gerturatu egingo dira, elkarren arteko distantzia murriztuz, marea indarra bezala ulertu daitekeen indarraren ondorioz. Indar honen hasierako aldiuneko balioa honela lortzen da:

{\displaystyle f={\frac {GM}{r^{3}}}\left(1-{\frac {2GM}{c^{2}r}}\right)^{2}\approx -{\frac {1}{2}}{\frac {d^{2}\phi \_{g}}{dr^{2}}},}

non {\displaystyle \phi \_{g}} grabitazio eremua sortzen duen gorputzaren grabitazio potentzial klasikoa den.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   «1977SvAL....3...96A Page 96» *adsabs.harvard.edu* (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
2. ↑   **(Ingelesez)** Sawicki, Mikolaj.  (1999-10). «Myths about gravity and tides» *The Physics Teacher* 37 (7): 438–441. doi:10.1119/1.880345. ISSN 0031-921X. (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
3. 1 2    *Tidal Forces.*  University Of Arizona.
4. ↑   **(Ingelesez)** Schutz, Bernard.  (2003-12-04). *Gravity from the Ground Up: An Introductory Guide to Gravity and General Relativity.*  Cambridge University Press ISBN 978-0-521-45506-0. (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
5. ↑   **(Ingelesez)**  *The Encyclopedia Americana: A Library of Universal Knowledge.*  Encyclopedia Americana Corporation 1920 (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
6. ↑   Keeling, Charles D.; Whorf, Timothy P..  (1997-08-01). «Possible Forcing of Global Temperature by the Oceanic Tides» *Proceedings of the National Academy of Science* 94: 8321–8328. doi:10.1073/pnas.94.16.8321. ISSN 0027-8424. (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
7. ↑   Penrose, Roger.  (1999). *The emperor's new mind : concerning computers, minds, and the laws of physics.*  Oxford : Oxford University Press ISBN 978-0-19-286198-6. (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).
8. ↑   **(Ingelesez)** Encrenaz, Therese; Bibring, Jean-Pierre; Blanc, M.; Barucci, Maria-Antonietta; Roques, Francoise; Zarka, Philippe.  (2004-01-26). *The Solar System.*  Springer Science & Business Media ISBN 978-3-540-00241-3. (Noiz kontsultatua: 2022-05-09).

Ikus gainera
------------

* Espagetizazio

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q223325
* Commonscat Multimedia: Tidal forces

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4157310-9

 |

* Wd Datuak: Q223325
* Commonscat Multimedia: Tidal forces