Ta elkarbanatzea  

denez naturala  

pizza bat zein pastel bat  

zatitu bezala  

osoen zatidura  

da ARRAZIONALA

4 zati duten zatikien irudikapen grafikoa. Lau zatiki horiek «zenbaki arrazionalak» dira.

| Zenbakiak matematikan |
| --- |
| Zenbaki multzoak |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }
Zenbaki arruntak {\displaystyle \mathbb {N} } 
Zenbaki osoak {\displaystyle \mathbb {Z} } 
Zenbaki arrazionalak {\displaystyle \mathbb {Q} } 
Zenbaki irrazionalak 
Zenbaki errealak {\displaystyle \mathbb {R} } 
Zenbaki konplexuak {\displaystyle \mathbb {C} } 
Zenbaki aljebraikoak 
Zenbaki transzendenteak  |
| Konplexuen hedadurak |
| Koaternioiak {\displaystyle \mathbb {H} } 
Oktonioiak {\displaystyle \mathbb {O} }
Zenbaki hiperkonplexuak  |
| Bestelakoak |
| Zenbaki kardinalak 
Zenbaki ordinalak 
Zenbaki lehenak 
π = 3.141592654… 
e = 2.718281828… 
i unitate irudikaria 
∞ infinitua 
Φ = 1,6180339887...  |
| Zenbaki-sistemak |
| Zenbaki-sistema hamartarra 
Zenbaki-sistema bitarra 
Zenbaki-sistema hamaseitarra 
Zenbaki-sistema zortzitarra |

**Zenbaki arrazionalak** zatiki bidez adieraz daitezkeen zenbakiak dira. Adibidez, 345/456. Zenbaki guztiak ez dira arrazionalak. Adibidez, ({\displaystyle {\sqrt {2}}}) zenbakia ez da arrazionala: irrazionala da. Zenbaki arrazionalak identifikatzeko pista bat hau da: dezimal kopuru mugatua dute. Zenbaki irrazionalek aitzitik, dezimal kopuru infinitua dute ({\displaystyle {\sqrt {2}}}, pi, e zenbakia, ...). Zenbaki arrazionalen multzoa **{\displaystyle \mathbb {Q} }** ikurrez izendatzen da 
(edo, bestela {\displaystyle \mathbb {Q} }, arbeleko letra lodiz) *zatidura*tik eratortzen dena (latineko ***Quotiens***-etik, Europako hainbat hizkuntzatara *zatidura* gisa egokitua). Zenbaki multzo horrek zenbaki osoak ({\displaystyle \mathbb {Z} }) eta zatiki zenbakiek hartzen ditu barne, eta zenbaki errealen azpimultzo bat da ({\displaystyle \mathbb {R} }).

Zenbaki arrazional baten grafia hamartarra zenbaki hamartar finitua edo zenbaki erdiperiodikoa da. Hau ez da egia 10 oinarrian (sistema hamartarra) idatzitako zenbakientzat bakarrik, bitarrean, hamaseitarran edo beste edozein osoko oinarrian ere egia da. Era berean, hedapen finitua edo periodikoa onartzen duen edozein zenbakia (edozein oinarri osotan) zenbaki arrazionala da.

Arrazionala ez den zenbaki erreal bati zenbaki irrazionala deitzen zaio; zenbaki irrazionalen adierazpen hamartarra, arrazionalak ez bezala, infinitu *aperiodikoa* da.

Zentzu hertsian, zenbaki arrazionala zatiki baten baliokideen multzoa da; horien guztien artean, zatiki laburtezina hartzen da zenbaki arrazional horren *ordezkari kanonikotzat*. Elkarren artean baliokideak diren zatikiak –zenbaki arrazionala– baliokidetasun-klase bat dira, {\displaystyle \mathbb {Z} }-ri aplikatutako baliokidetasun-erlazioaren emaitza

Zenbaki arrazionalen eraikuntza
-------------------------------

* Har ditzagun {\displaystyle \left(a,b\right)} zenbaki arrunten bikoteak non {\displaystyle b\neq 0}.

* {\displaystyle {\frac {a}{b}}} zatikiak {\displaystyle \left(a,b\right)} denotatzen du. {\displaystyle a\,} *zenbakitzaile* deritzogu eta {\displaystyle b\,} *izendatzaile*

* Mota horretako zenbakiak {\displaystyle \mathbb {Q} } hitzaz adierazten dira. Hots, {\displaystyle \mathbb {Q} =\left\{{\frac {p}{q}}\mid p\in \mathbb {Z} ,q\in \mathbb {Z} ,q\neq 0\right\}}

Historia
--------

Egiptoarrek problema praktikoen ebazpena kalkulatzen zuten izendatzaile bezala zenbaki oso positiboak dituzten zatikiak erabiliz; zenbaki oso baten zatiak irudikatzeko erabili ziren lehenengo zenbaki arrazionalak dira, zenbaki oso baten alderantzizkoaren kontzeptuaren bidez.

Antzinako Greziako matematikariek zioten bi magnitude *neurgarriak* zirela, baldin eta hirugarren bat aurkitzerik bazegoen non lehen biak azkenekoaren multiploak ziren, hau da, *unitate* komun bat aurki zitekeen zeinentzako bi magnitudeek balio osoa izango zuten. Zenbaki guztiak osoen zatidura direla dioen printzipio pitagorikoak honela adierazten zuen edozein bi magnitudek neurgarriak izan behar dutela zenbaki arrazional izan aurretik.

Etimologikoki, zenbaki horiek arrazionalak deitzea bi zenbaki osoren arrazoia izateari dagokio, eta hitz horren sustraia latinezko *ratio* hitzetik dator, zeina grekotik datorren λόγος (arrazoi); eta hau da antzinako Greziako matematikariek zenbaki horiei deitzen zieten modua. Zenbaki arrazionalen multzoa izendatzeko erabiltzen den notazioa 1895ean eginiko Giuseppe Peanoren lan batetik eratorria den *quoziente* italiar hitzetik dator.

Zenbaki arrazionalen aritmetika
-------------------------------

### Baliokidetasun eta ordena erlazioak

#### Osoen murgilketa

Edozein n zenbaki oso n/1 zenbaki arrazional bezala adieraz daiteke, horregatik idazten da maiz {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} } bezala.

### Baliokidetasuna

Hau betetzen bada:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad=bc}

#### Ordena

Izendatzaile biak positiboak badira:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}<{\frac {c}{d}}\quad \longleftrightarrow \quad ad<bc}

Izendatzaileetako bat negatiboa bada, zatikiak, lehenik, izendatzaile positiboak dituzten beste batzuk bihurtu behar dira, ekuazio hauei jarraituz:

{\displaystyle {\frac {-a}{-b}}={\frac {a}{b}}}

eta

{\displaystyle {\frac {a}{-b}}={\frac {-a}{b}}}

### Eragiketa arrazionalak

Batuketa, kenketa, biderketa eta zatiketa eragiketei **eragiketa arrazionalak** deitzen zaie.

#### Gehiketa

Bi zenbaki arrazionalen batuketa edo gehiketa zenbaki arrazionalen pare orori bere batuketak egokiarazten dion eragiketari deitzen zaio:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\cfrac {ad}{bd}}+{\cfrac {bc}{bd}}={\frac {ad+bc}{bd}}}

#### Kenketa

Zenbaki arrazional guztiei bere diferentzia egokitzen dien eragiketari kenketa edo diferentzia deitzen zaio, eta baturaren *alderantzizko eragiketatzat* hartzen da.

{\displaystyle {\frac {c}{d}}-{\frac {a}{b}}={\frac {c}{d}}+\left(-{\frac {a}{b}}\right)}

#### BIderketa

Bi zenbaki arrazionalen biderketa edo biderkadura:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {a\cdot c}{b\cdot d}}}

#### Zatiketa

Bi zenbaki arrazionalen zatiketa edo zatidura, alegia *r* zati *s* ezberdin 0, {\displaystyle r\times s^{-1}} bezala adieraz daiteke. Edo bestela:

{\displaystyle {\frac {a}{b}}\div {\frac {c}{d}}={\frac {a}{b}}\cdot {\frac {d}{c}}}

Erabat definituta dagoen eragiketa bat da, baina biderketaren alderantzizko eragiketa dela onartzen da, s · x = r, s≠0 ekuazioa ebazten duena.

### Alderantzizkoa

Zenbaki arrazionaletan aurkako eta alderantzizkoak daude:

{\displaystyle -\left({\frac {a}{b}}\right)={\frac {-a}{b}}={\frac {a}{-b}}\quad {\mbox{eta}}\quad \left({\frac {a}{b}}\right)^{-1}={\frac {b}{a}},a\neq 0{\mbox{ bada }}.}

Erreferentziak
--------------

1. ↑  Wiktionary *Quotiens* (latín)
2. ↑  T.S. Tsipkin. *Manual de Matemática* Editorial Mir, Moscú
3. ↑   Eves, Howard.  (1990). *An introduction to the history of mathematics.*  (6th ed. argitaraldia) Saunders College Pub ISBN 0-03-029558-0. PMC 20842510. (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).
4. ↑   Lockwood, E. H.; Dantzig, Tobias.  (1957-12). «The Bequest of the Greeks» *The Mathematical Gazette* 41 (338): 307. doi:10.2307/3610156. ISSN 0025-5572. (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).
5. ↑   Riaño Rufilanchas, Daniel.  (2005-12-30). «La sintaxis de los verbos "comer" y "beber" en griego antiguo. Un estudio sobre el genitivo partitivo» *Emerita* 73 (2): 263–302. doi:10.3989/emerita.2005.v73.i2.46. ISSN 1988-8384. (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).
6. 1 2   Esquivel Villafana, Jorge.  (2011-06-30). «Real Academia Española / Asociación de Academias de Lengua Española. La ortografía de la lengua española. Espasa Libros, SLU, Madrid, 2010; 743 pp.» *Boletín de la Academia Peruana de la Lengua*: 257–263. doi:10.46744/bapl.201101.013. ISSN 2708-2644. (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).
7. ↑   Rodriguez Mansilla, Fernando.  (2015-05-04). ««Cuidadoso descuido»: los pícaros, la mentira y el teatro en la narrativa picaresca» *Hipogrifo. Revista de literatura y cultura del Siglo de Oro* 3 (1): 55–67. doi:10.13035/h.2015.03.01.05. ISSN 2328-1308. (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).
8. 1 2   «PRESENTACIÓN DE LA SEGUNDA EDICIÓN» *El concepto de servicio público en el derecho administrativo* (Universidad del Externado de Colombia): 13–14. 2004-10-01 (Noiz kontsultatua: 2021-10-31).

Kanpo estekak
-------------

* 3.DBH. ZENBAKI ARRAZIONALAK: Zatikiak eta hamartarrak bideoa youtuben.

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1244890
* Commonscat Multimedia: Rational numbers

---

* **Identifikadoreak**
* BNE: XX528806
* BNF: 12104932p (data)
* GND: 4048495-6
* LCCN: sh85093220
* NKC: ph215329
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q1244890
* Commonscat Multimedia: Rational numbers


| Zenbakien sailkapena |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Multzo zenbakigarria | Zenbaki arruntak • Zenbaki osoak • Zenbaki arrazionalak • Zenbaki eraikigarriak • Zenbaki aljebraikoak • Periodoak • Konputagarriak • Gaussiar osoak |
| Aljebra zatiketak | Zenbaki errealak • Zenbaki konplexuak • Koaternioiak • Oktonioiak |
| Besteak | Zenbaki kardinalak • Zenbaki irrazionalak • Zenbaki lausoak • Zenbaki hipererrealak • Zenbaki surrealak • Zenbaki transzendenteak • Zenbaki ordinalak • Zenbaki supernaturalak • Zenbaki supererrealak |
| Zenbaki ezagunak | 1 • 2 • 3 • 5 • 7 • Pi • Urrezko zenbakia • E |
| Gaiarekin lotuta dauden artikuluak | Matematika • Matematikaren historia • Fibonacciren zenbakiak • Matematikarien zerrenda |

 |