Fisika eta astronomian, **Reissner eta Nordström-en metrika** Einstein-Maxwell-en eremu ekuazioen soluzio estatikoa da. *M* masa estatiko, *q* karga eta simetría esferikodun zulo beltz batek sortzen duen grabitazio-eremu baten kasuan. Soluzio hau Kerr eta Newman-en metrikaren kasu partikularra da non masa biratzen ari den.

1916an eta 1921ean Hans Reissner, Hermann Weyl, Gunnar Nordström eta George Barker Jeffery-k deskubritu zuten era independentean.

Metrika
-------

Metrika lortzeko Einstein-Maxwellen eremu ekuazioen soluzio estatiko, asintotikoki lau eta esferikoki simetrikoa bilatzen da. Einsteinen ekuazioak ondorengoak dira;

{\displaystyle G^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu },}

non {\displaystyle T^{\mu \nu }} energia-momentu tentsorea den. Karga gabeko eremu batean honela definitzen dena;

{\displaystyle T^{\mu \nu }={\frac {1}{\mu \_{0}}}\left[F^{\mu \alpha }F^{\nu }{}\_{\alpha }-{\frac {1}{4}}\eta ^{\mu \nu }F\_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right]\,,}

Tentsore honen heina zero denez Ricciren eskalarra nulua izango da eta ondorioz Einsteinen ekuazioen baliokidearekin lan egin dezakegu;

{\displaystyle R^{\mu \nu }=8\pi G\cdot T^{\mu \nu }.}

Gainera, {\displaystyle F\_{\mu \upsilon }} Maxwell-en tentsoreak karga gabeko Maxwell-en ekuazioak bete behar ditu 

{\displaystyle \nabla \_{\mu }F^{\mu \alpha }=0,}

{\displaystyle \partial \_{[\mu }F\_{\nu \rho ]}.}

Simetria esferikoa betetzen dela onartu denez *(t,r,θ,Φ)* koordinatu sistema erabili daiteke eta estatikotasuna kontuan hartuz hurrengoa da metrika;

{\displaystyle ds^{2}=-A(r)c^{2}dt^{2}+B(r)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},}

non {\displaystyle d\Omega ^{2}=d\theta ^{2}+sin^{2}\theta d\varphi ^{2}} angelu solidoaren infinitesimala den.

{\displaystyle F\_{\mu \nu }=E(r){\begin{bmatrix}0&-1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},}

Maxwellen lehen ekuazio identikoki betetzen da eta bigarren ekuazioa aplikatuz 

{\displaystyle E=K{\frac {\sqrt {AB}}{r^{2}}}.}

Asintotikoki laua izatea eskatzen denez infinituan {\displaystyle A,\ B\rightarrow 1,} eta {\displaystyle E={\frac {K}{r^{2}}}.} q kargako partikula baten eremu Coulomb-dar klasikoa berreskuratu nahi izanez gero {\displaystyle K=q} aukeratu behar da.

Azken emaitza Einsteinen ekuazioetan ordezkatuz, {\displaystyle A''} ezabatu ondoren, geratzen diren baldintzen artean {\displaystyle AB'+A'B=(AB)''=0} dago. Ondorioz {\displaystyle AB=konst} eta infinituan {\displaystyle AB\rightarrow 1}. Beraz, r guztietarako,

{\displaystyle B={\frac {1}{A}}.}

Baldintza hauekin hurrengo aukeraketa egin dezakegu:

{\displaystyle A=1-{\frac {\tilde {K}}{r}}+{\frac {Gq^{2}}{c^{4}r^{2}}}.}

{\displaystyle ds^{2}=-\left(1-{\frac {r\_{S}}{r}}+{\frac {r\_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}dt^{2}+\left(1-{\frac {r\_{S}}{r}}+{\frac {r\_{q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2},}

non {\displaystyle r\_{S}={\tilde {K}}={\frac {8\pi G}{c^{2}}}} Schwarzschilden erradioa eta {\displaystyle r\_{q}^{2}\equiv {\frac {Gq^{2}}{c^{4}}}} diren, {\displaystyle q} gorputzaren karga elektriko osoa izanik. Q karga (edota {\displaystyle r\_{q}}) desagertzen den limitean Schwarzschilden metrika berreskuratzen da. Gainera, Newtonen grabitateren teoria klasikoa berruskuratu dezakegu {\displaystyle r\_{s}/r\rightarrow 0} limitean. {\displaystyle r\_{s}/r\rightarrow 0} eta {\displaystyle r\_{q}/r\rightarrow 0} limitean erlatibitate bereziko Minkowskiren metrika berreskuratzen dugu.

Masa *r* koordenatuaren funtzioan aldatzen da. Masa efektiboa M infinituko masa baino txikiagoa da. Izan ere, eremu elektrikoak masa dauka baliokidetasunaren printzipioaren arabera.

{\displaystyle M(r)=M-Q^{2}/2r}

Horizonteak
-----------

Izan bedi hurrengo koefizientea;

{\displaystyle A=1-{\frac {2m}{r}}+{\frac {q^{2}}{r^{2}}}={\frac {Q}{r^{2}}}}

non 

{\displaystyle {\frac {Q}{r^{2}}}=r^{2}-2mr+q^{2}.}

Q kuadratikoaren diskriminantea {\displaystyle \Delta =m^{2}-q^{2}} da.

### {\displaystyle m^{2}-q^{2}<0}

Kuadratikoak ez du soluzio errealik eta ondorioz positiboa da *r*-ren balio guztietarako. Honek esan nahi du ez dagoela gertaeren mugarik. Ondorioz, singularitate bakarra {\displaystyle r=0} jatorrian dago eta biluzia dela esaten da. Emaitza hau ez da harritzekoa, izan ere, hemen dago kokatuta eremua sortzen duen *q* karga. Singularitate biluziek arazoak sortzen dituzte kausalitatearekin, hori dela eta, normalean Penrose-n zentsura kosmikoaren hipotesian oinarrituz ez da soluzio fisiko bezela onartzen.

{\displaystyle d\theta =d\varphi =0} planoa aztertuz, honela idazten da geodesiko nulu baten ekuazioa:

{\displaystyle ds^{2}=0\rightarrow c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1},}

{\displaystyle ct=\pm [r-{\frac {2r\_{q}^{2}-r\_{s}^{2}}{\sqrt {4r\_{q}^{2}-r\_{s}^{2}}}}arctan{\frac {2r-r\_{s}}{\sqrt {4r\_{q}^{2}-r\_{s}^{2}}}}+{\frac {r\_{s}}{2}}ln{\frac {r^{2}A}{r\_{s}^{2}}}]+K}

### {\displaystyle m^{2}-q^{2}>0}

Geodesiko nulu erradiala hurrengo eran idazten da;

{\displaystyle r\_{\pm }=m\pm {\sqrt {(m^{2}-q^{2})}}}

{\displaystyle c{\frac {dt}{dr}}=\pm A^{-1}=\pm {\frac {r^{2}}{(r-r\_{+})(r-r\_{-})}},}

{\displaystyle ct=\pm [r+{\frac {r\_{+}^{2}}{r\_{+}-r\_{-}}}ln|{\frac {r}{r\_{+}}}-1|-{\frac {r\_{-}^{2}}{r\_{+}-r\_{-}}}ln|{\frac {r}{r\_{-}}}-1|]}

Ondorioz, hurrengo moduan idazten da metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

{\displaystyle ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}

* **I eremua**, {\displaystyle r\_{+}<r<\infty :} {\displaystyle r=r\_{+}}gertaera-horizontea da eta ondorioz ezin da zeharkatu.
* **II eremua**, {\displaystyle r\_{-}<r<r\_{+}:} eskualde honetan dauden partikula eta fotoiek {\displaystyle r=r\_{-}} gainazala zeharka dezakete.
* **III eremua**, {\displaystyle 0<r<r\_{-}:} eremu hau ez da zertan {\displaystyle r=0} singularitatera iritsi behar.

### {\displaystyle m^{2}-q^{2}=0}

Aurreko kasuaren limite bat da non gertaeren horizontea degeneratua den, {\displaystyle r=r\_{+}=r\_{-}=r\_{s}/2} gertaeren-horizontean izan ezik, *r* koordenatua espazio motakoa da. {\displaystyle r=r\_{+}} puntua Schwartzilden {\displaystyle r=2m} kasuaren antzekoa da. Geodesika nulu erradialen ekuazioa honako hau da;

{\displaystyle ct=\pm [r+{\frac {rr\_{s}}{r\_{s}-2r}}+r\_{s}ln\left\vert 1-{\frac {2r}{r\_{s}}}\right\vert ]+K}

eta metrika Eddington Finkelsteinen koordenatueatan;

{\displaystyle ds^{2}=-Ac^{2}dt'^{2}+2(1-A)dt'dr+(2-A)dr^{2}+r^{2}d\Omega ^{2}}

Denboraren zabalkuntza grabitazionala
-------------------------------------

Denboraren zabalkuntza grabitazionala hurrengo moduan adierazten da gorputzaren inguruan;

{\displaystyle \gamma ={\sqrt {|g^{tt}|}}={\sqrt {\frac {r^{2}}{Q^{2}+(r-2M)r}}},}

ihes abiadura lokalarekin hurrengo eran erlazionatzen dena;

{\displaystyle v\_{\rm {esc}}={\frac {\sqrt {\gamma ^{2}-1}}{\gamma }}.}

Christoffel-en ikurrak
----------------------

Christofellen ikurrak

{\displaystyle \Gamma \_{jk}^{i}=\sum \_{s=0}^{3}\ {\frac {g^{is}}{2}}\left({\frac {\partial g\_{js}}{\partial x^{k}}}+{\frac {\partial g\_{sk}}{\partial x^{j}}}-{\frac {\partial g\_{jk}}{\partial x^{s}}}\right)\qquad \{0,\ 1,\ 2,\ 3\}\to \{t,\ r,\ \theta ,\ \varphi \}}

hurrengo adierazpenak dakarzkite

{\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \_{tr}^{t}&={\frac {Mr-Q^{2}}{r(Q^{2}+r^{2}-2Mr)}}\\[6pt]\Gamma \_{tt}^{r}&={\frac {(Mr-Q^{2})\left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r^{5}}}\\[6pt]\Gamma \_{rr}^{r}&={\frac {Q^{2}-Mr}{Q^{2}r-2Mr^{2}+r^{3}}}\\[6pt]\Gamma \_{\theta \theta }^{r}&=-{\frac {r^{2}-2Mr+Q^{2}}{r}}\\[6pt]\Gamma \_{\varphi \varphi }^{r}&=-{\frac {\sin ^{2}\theta \left(r^{2}-2Mr+Q^{2}\right)}{r}}\\[6pt]\Gamma \_{\theta r}^{\theta }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma \_{\varphi \varphi }^{\theta }&=-\sin \theta \cos \theta \\[6pt]\Gamma \_{\varphi r}^{\varphi }&={\frac {1}{r}}\\[6pt]\Gamma \_{\varphi \theta }^{\varphi }&=\cot \theta \end{aligned}}}

Ikur hauen bidez proba partikula baten geodesikoa lor daiteke.

Higidura ekuazioak
------------------

Simetria esferikoa dela eta, beti hautatu daiteke koordinatu sistema proba-partikula plano batean aurkitzeko moduan. Hori dela eta, *θ* erabiliko dugu *φ*-ren ordez. Dimentsio gabeko unitate naturaletan {\displaystyle G=M=c=K=1} q kargako partikula baten higidura

{\displaystyle {\ddot {x}}^{i}=-\sum \_{j=0}^{3}\ \sum \_{k=0}^{3}\ \Gamma \_{jk}^{i}\ {{\dot {x}}^{j}}\ {{\dot {x}}^{k}}+q\ {F^{ik}}\ {{\dot {x}}\_{k}}}

da eta ondorioz,

{\displaystyle {\ddot {t}}={\frac {\ 2(Q^{2}-Mr)}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {r}}{\dot {t}}+{\frac {qQ}{(r^{2}-2mr+Q^{2})}}\ {\dot {r}}}

{\displaystyle {\ddot {r}}={\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})(Q^{2}-Mr)\ {\dot {t}}^{2}}{r^{5}}}+{\frac {(Mr-Q^{2}){\dot {r}}^{2}}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}+{\frac {(r^{2}-2Mr+Q^{2})\ {\dot {\theta }}^{2}}{r}}+{\frac {qQ(r^{2}-2mr+Q^{2})}{r^{4}}}\ {\dot {t}}}

{\displaystyle {\ddot {\theta }}=-{\frac {2\ {\dot {\theta }}\ {\dot {r}}}{r}}.}

Kontuan hartu deribatu guztiak denbora propioarekiko direla, {\displaystyle {\dot {a}}={\frac {da}{d\tau }}.}

Higidura konstanteak {\displaystyle S(t,{\dot {t}},r,{\dot {r}},\theta ,{\dot {\theta }},\varphi ,{\dot {\varphi }})}-rekin lortzen dira, hurrengo ekuazio diferentzialaren soluzioa dena,

{\displaystyle {\dot {t}}{\dfrac {\partial S}{\partial t}}+{\dot {r}}{\frac {\partial S}{\partial r}}+{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial \theta }}+{\ddot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}+{\ddot {r}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {r}}}}+{\ddot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}

Lehenago aipatutako bigarren deribatuak ordezkatu ondoren metrika bera ekuazio diferentzialaren soluzioa da,

{\displaystyle S\_{1}=1=\left(1-{\frac {r\_{s}}{r}}+{\frac {r\_{\rm {Q}}^{2}}{r^{2}}}\right)c^{2}\,{\dot {t}}^{2}-\left(1-{\frac {r\_{s}}{r}}+{\frac {r\_{Q}^{2}}{r^{2}}}\right)^{-1}\,{\dot {r}}^{2}-r^{2}\,{\dot {\theta }}^{2}.}

{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2}{r}}{\dot {\theta }}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {\theta }}}}=0}

Ekuazio banangarriak momentua angeluar erlatibista ematen digu,

{\displaystyle S\_{2}=L=r^{2}{\dot {\theta }}.}

Hirugarren konstantea energia espezifikoa (energia geldiuneko masaran unitateko) da

{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial r}}-{\frac {2(Mr-Q^{2})}{r(r^{2}-2Mr+Q^{2})}}{\dot {t}}{\frac {\partial S}{\partial {\dot {t}}}}=0}

{\displaystyle S\_{3}=E={\frac {{\dot {t}}(r^{2}-2Mr+Q^{2})}{r^{2}}}+{\frac {qQ}{r}}.}

{\displaystyle S\_{2}} eta {\displaystyle S\_{3}}, {\displaystyle S\_{1}}-en ordezkatuz ekuazio erradiala lortzen da,

{\displaystyle c\int d\,\tau =\int {\frac {r^{2}\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}

Berriro ere {\displaystyle S\_{2}}-rekin biderkatuz eta integratuz

{\displaystyle c\int Lr^{2}\,d\theta =\int {\frac {L\,dr}{\sqrt {r^{4}(E-1)+2Mr^{3}-(Q^{2}+L^{2})r^{2}+2ML^{2}r-Q^{2}L^{2}}}}.}

Proba partikularen eta infinituan kokatuta dagoen behatzailearen arteko denboraren dilatazioa

{\displaystyle \gamma ={\frac {q\ Q\ r^{3}+E\ r^{4}}{r^{2}\ (r^{2}-2r+Q^{2})}}}

da.

{\displaystyle v^{i}} 3-abiadura lokalaren osagai kontrabarianteak eta {\displaystyle {\dot {x}}^{i}}lehen deribatuak {\displaystyle {\dot {x}}^{i}={\frac {v^{i}}{\sqrt {(1-v^{2})\ |g\_{ii}|}}}}-ren bidez erlazionatzen dira eta honela ezartzen dira hasierako baldintzak;

{\displaystyle {\dot {r}}={\frac {v\_{\parallel }{\sqrt {r^{2}-2M+Q^{2}}}}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}}

{\displaystyle {\dot {\theta }}={\frac {v\_{\perp }}{r{\sqrt {(1-v^{2})}}}}.}

Proba-partikularen energia orbital espezifikoa

{\displaystyle E={\frac {\sqrt {Q^{2}-2rM+r^{2}}}{r{\sqrt {1-v^{2}}}}}+{\frac {qQ}{r}}}

eta momentu angeluar erlatibo espezifikoa

{\displaystyle L={\frac {v\_{\perp }\ r}{\sqrt {1-v^{2}}}}}

higiduraran konstatnte mantentzen diren kantitateak dira. {\displaystyle v\_{\parallel }} eta {\displaystyle v\_{\perp }}abiadura lokalaren osagai erradial eta tangentziala dira, hurrenez hurren, beraz, abiadura lokala

{\displaystyle v={\sqrt {v\_{\perp }^{2}+v\_{\parallel }^{2}}}={\sqrt {\frac {(E^{2}-1)r^{2}-Q^{2}-r^{2}+2rM}{E^{2}r^{2}}}}}

izango da,

Zuzenketa kuantikoak
--------------------

Grabitazio kuantikoaren zenbait alderditan, Reissner-Nordströmen metrikak zuzenketa kuantikoak behar ditu. Honen adibide da, Barvinsky eta Vilkovisky-k eremuen teorien hubilketa. Bigarren ordeneko kurbaduran, Einstein-Hilberten akzio klasikoa termino lokal eta ez-lokalekin batzen da:

{\displaystyle \Gamma =\int d^{4}x\,{\sqrt {-g}}\,{\bigg (}{\frac {R}{16\pi G\_{N}}}+c\_{1}(\mu )R^{2}+c\_{2}(\mu )R\_{\mu \nu }R^{\mu \nu }+c\_{3}(\mu )R\_{\mu \nu \rho \sigma }R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg )}-\int d^{4}x{\sqrt {-g}}{\bigg [}\alpha R\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R+\beta R\_{\mu \nu }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu }+\gamma R\_{\mu \nu \rho \sigma }\ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)R^{\mu \nu \rho \sigma }{\bigg ]},}
non {\displaystyle \mu } energia eskala den. Alde batetik, {\displaystyle c\_{1},c\_{2}} eta {\displaystyle c\_{3}} koefizienteen balio zehatza ezezaguna da, izan ere, grabitazio kuantikoaren teoria ultra-morearen naturan oinarritzen dira. Bestalde, {\displaystyle \alpha ,\beta } eta {\displaystyle \gamma } koefizienteak kalkulagarriak dira. {\displaystyle \ln \left(\Box /\mu ^{2}\right)} operadorea integral baten bidez adierazi daiteke

{\displaystyle \ln \left({\frac {\Box }{\mu ^{2}}}\right)=\int \_{0}^{+\infty }ds\,\left({\frac {1}{\mu ^{2}+s}}-{\frac {1}{\Box +s}}\right).}
Akzioaren termino berriek soluzio klasikoaren aldaketa bat dakarkate. Kuantukoki zuzendutako Reissner–Nordström metrika, {\displaystyle {\mathcal {O}}(G^{2})} ordeneraino, Campos Delgado-k aurkeztu zuen:

{\displaystyle ds^{2}=-f(r)dt^{2}+{\frac {1}{g(r)}}dr^{2}+r^{2}d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta d\phi ^{2},}
non

{\displaystyle f(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {32\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\bigg [}c\_{2}+4c\_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma \_{E}-{\frac {3}{2}}\right){\bigg ]},}
{\displaystyle g(r)=1-{\frac {2GM}{r}}+{\frac {GQ^{2}}{r^{2}}}-{\frac {64\pi G^{2}Q^{2}}{r^{4}}}{\Big [}c\_{2}+4c\_{3}+2\left(\beta +4\gamma \right)\left(\ln \left(\mu r\right)+\gamma \_{E}-2\right){\Big ]}.}

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Reissner, H..  (1916-01-01). «Über die Eigengravitation des elektrischen Feldes nach der Einsteinschen Theorie» *Annalen der Physik* 355: 106–120. doi:10.1002/andp.19163550905. ISSN 0003-3804. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
2. ↑   Weyl, Hermann.  (1917-01-01). «Zur Gravitationstheorie» *Annalen der Physik* 359: 117–145. doi:10.1002/andp.19173591804. ISSN 0003-3804. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
3. ↑   Nordström, G..  (1918-01-01). «On the Energy of the Gravitation field in Einstein's Theory» *Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenschappen Proceedings Series B Physical Sciences* 20: 1238–1245. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
4. ↑   Jeffery, G. B..  (1921-05-01). «The Field of an Electron on Einstein's Theory of Gravitation» *Proceedings of the Royal Society of London Series A* 99: 123–134. doi:10.1098/rspa.1921.0028. ISSN 0080-4630. (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
5. ↑   **(Ingelesez)** «Surprise: the Big Bang isn't the beginning of the universe anymore» *Big Think* (Noiz kontsultatua: 2022-04-18).
6. 1 2 3   **(Ingelesez)** d'Inverno, Ray A..  (1998). *Introducing Einstein's relativity.*  Oxford University Press Inc. 239-240 or. ISBN 019859653..
7. 1 2 3 4   Aguirregabiria, Juan M..  (2017). *Grabitazioa eta Kosmologia.*  Euskal Herriko Unibertsitatea (UPV/EHU), 141-146 or. ISBN 9788498607109..
8. ↑   **(Ingelesez)** «(PDF) Reissner-Nordström metric» *ResearchGate* (Noiz kontsultatua: 2022-04-22).
9. ↑   **(Ingelesez)** «Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry» *jila.colorado.edu* (Noiz kontsultatua: 2022-04-27).
10. ↑   **(Ingelesez)** Carter, Brandon.  (1968-10-25). «Global Structure of the Kerr Family of Gravitational Fields» *Physical Review* 174 (5): 1559–1571. doi:10.1103/PhysRev.174.1559. ISSN 0031-899X. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
11. ↑   Hubeny, Veronika E..  (1999-02-11). «Overcharging a Black Hole and Cosmic Censorship» *Physical Review D* 59 (6): 064013. doi:10.1103/PhysRevD.59.064013. ISSN 0556-2821. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
12. ↑   Hod, Shahar.  (2008-03-26). «Weak Cosmic Censorship: As Strong as Ever» *Physical Review Letters* 100 (12): 121101. doi:10.1103/PhysRevLett.100.121101. ISSN 0031-9007. (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
13. ↑   Chesler, Paul M.; Narayan, Ramesh; Curiel, Erik.  (2019-11-29). «Singularities in Reissner-Nordstr\"om black holes» *arXiv:1902.08323 [gr-qc]* (Noiz kontsultatua: 2022-04-19).
14. ↑   **(Ingelesez)** Nordebo, Jonatan. *The Reissner-Nordström metric.* .
15. ↑  Leonard Susskind: *The Theoretical Minimum: Geodesics and Gravity*, (*General Relativity Lecture 4*, timestamp: 34m18s)
16. ↑  Eva Hackmann, Hongxiao Xu: *Charged particle motion in Kerr–Newmann space-times*
17. ↑   Smith, B. R..  (2009-12-01). «First-order partial differential equations in classical dynamics» *American Journal of Physics* 77 (12): 1147–1153. doi:10.1119/1.3223358. ISSN 0002-9505. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
18. ↑   Misner, Charles W..  (1973). *Gravitation.*  ISBN 0-7167-0334-3. PMC 585119. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
19. ↑   **(Ingelesez)** Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A..  (1983-11-17). «The generalized Schwinger-DeWitt technique and the unique effective action in quantum gravity» *Physics Letters B* 131 (4): 313–318. doi:10.1016/0370-2693(83)90506-3. ISSN 0370-2693. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
20. ↑   **(Ingelesez)** Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A..  (1985-03-01). «The generalized Schwinger-Dewitt technique in gauge theories and quantum gravity» *Physics Reports* 119 (1): 1–74. doi:10.1016/0370-1573(85)90148-6. ISSN 0370-1573. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
21. ↑   **(Ingelesez)** Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A..  (1987-01-01). «Beyond the Schwinger-DeWitt technique: Converting loops into trees and in-in currents» *Nuclear Physics B* 282: 163–188. doi:10.1016/0550-3213(87)90681-X. ISSN 0550-3213. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
22. ↑   **(Ingelesez)** Barvinsky, A. O.; Vilkovisky, G. A..  (1990-03-26). «Covariant perturbation theory (II). Second order in the curvature. General algorithms» *Nuclear Physics B* 333 (2): 471–511. doi:10.1016/0550-3213(90)90047-H. ISSN 0550-3213. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
23. ↑   Donoghue, John F.; El-Menoufi, Basem Kamal.  (2014-05-29). «Nonlocal quantum effects in cosmology: Quantum memory, nonlocal FLRW equations, and singularity avoidance» *Physical Review D* 89 (10): 104062. doi:10.1103/PhysRevD.89.104062. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).
24. ↑   **(Ingelesez)** Campos Delgado, Ruben.  (2022-03-29). «Quantum gravitational corrections to the entropy of a Reissner–Nordström black hole» *The European Physical Journal C* 82 (3): 272. doi:10.1140/epjc/s10052-022-10232-0. ISSN 1434-6052. (Noiz kontsultatua: 2022-04-21).

Kanpo estekak
-------------

* Charged Black Holes: The Reissner-Nordström Geometry
* Reissner - Nordstrom Solution II, Cosmic Censorship conjecture
* Reissner-Nordstrom Metric Derivation | Solving The Maxwell-Einstein Equations

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q540664

 |

* Wd Datuak: Q540664