**Difusioz mugatutako agregazioa** edo **DLA** (ingeleseko siglengatik, *Diffusion-limited aggregation*) partikulen higidura browndarraren ondorioz egiturak sortzen dituen prozesu estokastikoa da. Mugimendu browndarraren ondorioz ausazko ibiltariak diren partikulak askatzen dira. Partikularen batek beste partikula ukituz gero itsatsita gelditzen da. Algoritmo hau Witten eta Sanderrek asmatu zuten 1981. urtean. Modu honetan oso egitura adartuak lortzen dira, eta bere konplexutasuna geometria fraktala eta multifraktalitatearen bidez aztertu daiteke. Naturak patroi asko sortzen ditu, eta hauetako asko DLA prozesuaren bidez modela daitezke. Bi dimentsiotako egituren kasuan mapeo konformeak eta aldagai konplexuaren teoria patroi berdinak lortzeko era alternatiboa eskaintzen dute. Errenormalizazio teoria eta sistema dinamikoak ere prozesu hau ikertzeko erabili izan dira.

Difusioz mugatutako agregazioz osatutako kupre egitura, kupre sulfato disoluziotik elektrodeposizio gelaxkan batean eratua.

Fraktalak
---------

Romanesku brokoli baten irudia, naturako fraktalen adibide argia.
Fraktal bat objektu auto-antzekoa edo eskala aldaketekiko aldaezina den objektua da. Auto-antzekotasuna objektu geometriko bat zatietan banatzeko gaitasuna bezala defini daiteke, zati bakoitza hasierako objektuaren txikitutako kopia izanik. Normalean objektu fraktal batek honako ezaugarriak ditu:

* Eskala oso txikietan ongi definitutako egitura dauka.
* Ohiko Euklidesen lengoai geometrikoarekin deskribatzeko oso irregularra da
* Bere Haussdorffen dimentsioa dimentsio topologikoa baino handiagoa da.
* Definizio sinple eta errekurtsiboa dauka.

Koch elur-maluta, modu artifizialean sortutako fraktala.
Objektu bat oso konplexua denean zaila izan daiteke bere luzera, azalera edo bolumena neurtzea. Kasu hauetan luzera, azalera edo bolumenaren aldaketa neur daiteke eskala aldatzerakoan. Frogatu daiteke aldaketa honek potentzia lege bat jarraitzen duela: {\displaystyle y\propto x^{d}}. Potentzia lege hau oso erabilgarria da fraktal baten dimentsioa neurtzeko.

Unitate bateko objektuaren zatiketa, zati l, non 
  
    
      
        N
        =
        
          l
          
            D
          
        
      
    
    {\displaystyle N=l^{D}}
  
. D dimentsioa litzateke. Dimentsio fraktalen kasuan D zenbaki ez-osoa litzateke.Unitate bateko objektuaren zatiketa, zati l, non {\displaystyle N=l^{D}}. D dimentsioa litzateke. Dimentsio fraktalen kasuan D zenbaki ez-osoa litzateke.
Dimentsio fraktala modu ezberdinetan kalkula daiteke, dimentsio ezberdinak lortuz. Dimentsiorik erabilgarriena ziurrenik Mandelbrot edo kutxa-zenbaketa deritzona izango da. Dimentsio hau kalkulatzeko {\displaystyle s} tamainako sare bat marrazten da, eta zenbatzen da objektuak okupatzen dituen kutxa kopurua. Gero sarearen tamaina aldatzen da hainbat aldiz, eta {\displaystyle \ln(N(s))} {\displaystyle \ln(1/s)}-ren kontra irudikatzen da. Honen malda dimentsio fraktala da.

Dimentsio fraktala definitzeko beste modua honakoa da: behar diren {\displaystyle N(\epsilon )} bola kopuru minimoa {\displaystyle \epsilon } erradiokoak objektua estaltzeko {\displaystyle \epsilon \rightarrow 0} limitean:

{\displaystyle D\_{f}=lim\_{\epsilon \to 0}{\frac {\ln {N(\epsilon )}}{\ln {(1/\epsilon )}}}}

Difusioz mugatutako agregazioa, DLA
-----------------------------------

Witten eta Sanderren algoritmoa ausazko ibiltarien agregazioaren bidezko hazkuntza modelatuan oinarritzen da. {\displaystyle n} partikuletako kumulua kontsideratzen bada, {\displaystyle n+1} partikuletako kumulua osatzeko ausazko ibiltari bat sartzen da kumulutik oso urrun. Ausazko ibiltari honek infinitura alde egin dezake kumulua topatu gabe edo kumuluaren kontra jo. Algoritmo honetan partikula itsatsita gelditzen da kumulua ukitzen duen lehenengo puntuan, {\displaystyle n+1} partikuletako kumulua osatuz. Prozesu hau behin eta berriz burutzen da nahi den tamainako kumulua eratzeko.

Algoritmo honen bidez eraikitzen diren egiturak oso adartuak dira eta euren dimentsio fraktala kalkula daiteke. Dimentsio fraktalak partikula kopurua, {\displaystyle n}, kumuluaren tamainarekin lotzen du, {\displaystyle r} batezbesteko erradiokoa: {\displaystyle n=r\_{f}^{D}}. Fraktalitatea agertzen da dimentsio fraktala topologikoa baino txikiagoa denean, eta normalean zenbaki zatikiarra izaten da.

Hazi batetik hasita Wittner eta Sanderren algoritmoaren bidez eraikitako egitura. Kolore ezberdinek ausazko ibiltarien iriste denbora ezberdinak adierazten dute.
Lerro zuzen batetik hasita Wittner eta Sanderren algoritmoaren bidez eraikitako egitura. Kolore ezberdinek ausazko ibiltarien iriste denbora ezberdinak adierazten dute.
Zortzi espazio dimentsioetan egindako simulazio numerikoek erakutsi dute, espazio dimentsio altuetarako, {\displaystyle d}, kumuluaren dimentsio fraktala {\displaystyle D\_{f}\rightarrow d-1} dela. Bi dimentsiotan, ordea, DLAren fraktal izaera ahulagoa da. Adibidez, dimentsio hau aldatu egiten da sarearen egiturarekin. Azpitik sarerik gabe kumulua haziz gero, {\displaystyle D\_{f}=1,71} lortzen da, eta prozesu bera sare karratu batekin eginda {\displaystyle D\_{f}\simeq 3/2}. Bi dimentsiotan ziurra den gauza bakarra DLAk {\displaystyle D\_{f}\geq 3/2} betetezen duela da. Gainera, badirudi DLAren dimentsio fraktalak simulazioaren geometriaren menpekotasuna duela. {\displaystyle D\_{f}=1,71} emaitza hazi batetik hasita, eta hazkuntza erradialerako lortu den bitartean, azalera batekin hasita emaitza {\displaystyle D\_{f}=1,67}-ra gehiago hurbildu da. Hiru dimentsiotan {\displaystyle D\_{f}\simeq 2,49} inguru kalkulatu da.

Garrantzia du aipatzeak prozesu estokastiko bat dela, ausazko ibiltariaren izaera probabilistikoarengatik. Emandako partikula kopuru zehatz baterako, {\displaystyle n}, hainbat kumulu ezberdin eraiki daitezke, bakoitza bere agertzeko probabilitatearekin. Horregatik, dimentsio fraktala bezalako neurketak taldeen batezbestekoak eginez kalkulatu beharko lirateke, kumulu guztiek ez dutelako {\displaystyle D\_{f}} bera. Adibidez, kumulu posible bat kate zuzen luzea da, {\displaystyle D\_{f}=1} duena, baina honen probabilitatea oso txikia izango da.

Hele-Shaw fluxua
----------------

Hele-Shaw fluxua gelaxka txiki batean edo ingurune porotsu batean fluido baten abiadura presio gradientearen proportzionala da:

{\displaystyle {\vec {v}}=-{\frac {k}{\mu }}\nabla p}

non {\displaystyle k} ingurune porotsuaren iragazkortasuna eta {\displaystyle \mu } fluidoaren biskositatea den. Fluido konprimaezina dela kontsideratzen bada goiko ekuazioak Laplacen ekuaziora eramaten du: {\displaystyle \nabla ^{2}p=0}. Biskositate askoz txikiago duen bigarren fluido bat sartuz gero Hele-Shaw fluxua lortzen da. Horren biskositate txikia izanda, bere presioa konstantetzat har daiteke. Orduan, fluido likatsuaren fluxua Laplacen ekuazioaren bidez kalkulatuko da, presio konstante bat muga baldintza bezala izanda, eta abiadurak goiko ekuazioa jarraituko du. Abiadura honek interfasearen abiadura ere adieraziko du.

Boltai altuko haustura dielektrikoa plexiglas bloke batean patroi fraktal bat eratzen du, Lichtenberg irudia.
DLAren kasuan ausazko ibiltariaren probabilitate dentsitateak Laplacen ekuazioa beteko du, eta azaleraren probabilitate konstantea muga baldintza izango da. Kasu honetan, hazkuntza probabilitatea azaleran probabilitate dentsitatearen gradientearen menpe egongo da.

Hele-Shaw eta DLAren fluxuen arteko ezberdintasun nabariena lehenengoak izaera deterministikoa duela da, DLA estokastikoa den bitartean. Agregazio koloidalean partikulak zabaltzen dira, eta Hele-Shaw fluxuan presioa da. Bi kasuetan interfasearen hazkuntza nahikoa motela da Laplacen ekuazioa erabiltzeko difusio ekuazioaren ordez.
Honek pentsarazten du Laplacen eredu hau erabilgarria izan daitekeela garraio difusiboak kontrolatutako egituraren hazkuntzak eraikitako patroiak azaltzeko. DLA edo honen aldaerak elektrodeposizioa edo haustura dielektrikoa bezalako prozesuak modelatzeko erabili izan da.

Hastings-Levitov metodoa
------------------------

DLAren sorrera prozesua ausazko ibiltariaren sarreran bidez [Laplacen ekuazioa kumulu agregatutik kanpo ebaztearen berdina da, muga baldintza egokiak aukeratuz gero.
Bi dimentsiotan funtzio analitikoek automatikoki Laplacen ekuazioa edozein puntu ez singularrerako betetzen dutenez, mapeo konformearen teoriak formak eraikitzeko beste mekanismo bat eskaintzen du. Horrela DLA bat bi dimentsiotan haz daiteke mapeo konforme baten iterazio estokastikoak behin eta berriz aplikatuta.
Mapeo konformea D modu sinplean konektaturiko eskualdean dagoen plano konplexuko {\displaystyle f(z)} funtzioa bezala definitzen da, non bere deribatua, {\displaystyle df/dz} ez den inoiz zero egiten D-n. Ondorioz, bat bat mapeo bat eskaintzen du D barrutik sinpleki konektaturiko beste eskualde batera, R, eskualde baten mugak bestearen mugetan mapeatuz. Riemannek frogatu zuen eskualde finituentzat mapeoa bakarra zela. Funtzio inbertsoa ere bakarra da, {\displaystyle g(f(z))=z}.

{\displaystyle w=f\_{a}(z)=(z-a+{\frac {r^{2}}{z-a}})/2}

Ezkerreko irudian {\displaystyle \omega =f\_{a}(z)} funtzioa behin aplikatu da, konkor bat eraginez eta eskubian f(f(f(...(z)...))) hainbat aldiz.
formako mapa baten bidez {\displaystyle r} erradioko tontorrak eratzen dira {\displaystyle a} posizioan zuzen baten gainean aplikatzen den bakoitzean.

Tontor hauek ausaz aplikatzen direnean, eta denek tamaina bera dutenean DLA bat lortzen da Hastings eta Levitoven metodoaren bidez.
Metodo hau arestian azaldutakoaren analogoa da. Ausazko ibiltari bat puntu batean aurkitzeko probabilitatea difusio prozesu baten bidez definitua izango da. Beraz, hurbilketa kuasigeldikorrean, partikula bat aurkitzeko probabilitate dentsitateak Laplacen ekuazioa beteko du:

{\displaystyle \nabla ^{2}\psi (z)=0}
honako baldintzekin:

{\displaystyle \psi (z)=0,z\in \partial C}
{\displaystyle \psi (z)={\frac {1}{2\pi }}\ln {\vert z\vert },\vert z\vert \rightarrow \infty }
Lehenengo baldintzak eskatzen du probabilitatea nulua izatea kumuluaren mugan. Hau horrela da partikula itsatsita gelditzen delako kumuluko partikularen bat ukitzean. Bigarren baldintzak esan nahi du {\displaystyle \psi (z)} norabidearen independentea izan behar duela infinituan. kumuluaren hazkunde probabilitatea {\displaystyle z} puntuan honakoa da:

{\displaystyle dP(z)=\vert \nabla \psi (z)\vert dl}

non {\displaystyle dl} {\displaystyle z} puntua bere barne duen mugako elementua den.
Riemannen mapeo teoriak dioenez, existitzen da unitate zirkuluaren kanpoaldea kumuluaren kanpoaldera mapeatzen duen mapeo conforme|mapeo konformea. {\displaystyle \phi \_{\lambda ,\theta }(w)} funtzioak unitate zirkulua mapeatzen du {\displaystyle w=e^{i\theta }} puntuan {\displaystyle {\sqrt {\lambda }}} tamaina linealeko tontorra duen zirkulura:

{\displaystyle \phi \_{\lambda ,0}(w)=w^{1-a}\left({\frac {1+\lambda }{2w}}(1+w)\left[1+w+w\left(1+{\frac {1}{w^{2}}}-{\frac {2}{w}}{\frac {1-\lambda }{1+\lambda }}\right)^{1/2}\right]-1\right)^{a}}
{\displaystyle \phi \_{\lambda ,\theta }(w)=e^{i\theta }\phi \_{\lambda ,0}(e^{-i\theta }w)} 
0 eta 1 artean dagoen {\displaystyle a} parametroak tontorraren forma zehazten du. {\displaystyle a} handiagoa denean tontorra luzeago egiten da mugarekiko norabide normalean, eta lerro baten segmentua da {\displaystyle a=1}-erako. {\displaystyle a=1/2} denean tontorra zirkulu erdi bat da. {\displaystyle n} tontorretako kumulua mapeo hainbat aldiz aplikatuz lor daiteke.

Dimentsio fraktala mapeo konforme|mapeo konformearen Laurenten serie bat bezala ere kalkula daiteke, seriearen lehenengo koefiziente, {\displaystyle \phi \_{n}(w)} eta DLA kumuluaren tamainaren arteko eskala erlazioaren bidez. Lehenengo koefizientea kumuluaren erradioaren proportzionala denez, dimentsio fraktala zuzenean neur daiteke erradioa eta tontor kopuruaren arteko erlazioa erabiliz: {\displaystyle r\propto N^{1/D\_{f}}}. Tontor kopurua kumuluaren tamainaren berdina da.
Dimentsio fraktala lortzeko beste modu bat korrelazio dentsitatearen funtzioaren azterketatik abiatzea da:

{\displaystyle c({\textbf {r}})={\frac {1}{V\_{\textbf {r'}}}}\rho ({\textbf {r}}+{\textbf {r'}})\rho ({\textbf {r'}})}

non {\displaystyle \rho (r)} {\displaystyle {\textbf {r}}} posizioko dentsitatea den, eta batezbestekoa kumuluko puntu guztientzako hartzen den. Kumulu isotropikoentzat korrelazio dentsitatea {\displaystyle r} distantziaren menpekoa da soilik. Fraktal auto-antzekoentzat, {\displaystyle c(r)\propto r^{-\alpha }} betetzen da, non esponenteari kodimentsionalitatea deritzon, eta {\displaystyle \alpha =d-D\_{f}} -ri dagokion, {\displaystyle d} txertatutako dimentsioa izanik.

Multifraktalitatea
------------------

DLA kumuluek multifraktalitatea ere aurkezten dute, hau da, fraktalitate mota ezberdinak dituzte DLAren eskualde ezberdinetan. Partikula kumulu batean, partikula berri bat, {\displaystyle n+1}-a, aurretik dagoen baten batera elkartzeko probabilitatea ongi definituta dago, {\displaystyle p\_{i}}, i kumulu partikula bakoitzaren indizea izanda. Probabilitate hau nahiko banatuta dago: oso altua da kumuluaren ertzetan, partikulak iristeko probabilitatea handia den zonaldeetan, eta oso txikia da kumuluaren barruan, fiordoen hondoetan, nora ausazko ibiltariek beste partikularik ukitu gabe iristeko probabilitatea oso txikia den. Ondorioz, oso interesgarria da {\displaystyle {p\_{i}}} probabilitate banaketa honen momentuek nola eskalatzen duten aztertzea. Partikula banaketa multifraktala bada eskala funtzio bat defini daiteke:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}^{q}=n^{-\sigma (q)}}
non ekuazio honen bidez definitutako {\displaystyle \sigma (q)}-k {\displaystyle n}-ren asintotikoki independentea izan behar duen. Esponente ez tribial baten existentziak multifraktalitatea behartzen du. Modu honetan, hazkuntza probabilitate tarte bakoitzari, {\displaystyle dp}, dimentsio fraktal ezberdin bat elkar dakioke. kumuluak, berriz, dimentsio fraktal bakarra izango du, eta tarte guztien dimentsiorik altuena izango da.
Problema deterministikoentzat esponente hau balio negatiboetarako ere existitzen da. Kasu honetan {\displaystyle p\_{i}} txikiek menperatzen dute banaketa. Kasu estokastikoetan grabitate kuantikoko teknikak erabiliz frogatu da orekako fraktalentzat {\displaystyle q} negatiboak egon daitezkeela, multzoen batura egiten den moduaren arabera. Orekatik kanpoko fraktalen kasuan, ordea, ez da lortu.
Eskala legea idazteko beste modua kumuluaren luzeraren menpe jartzea da:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}^{q}=r^{-\tau (q)}}
Kontuan izanda dimentsio fraktalak honakoa betetzen duela: {\displaystyle \tau (q)=D\_{f}\sigma (q)}. Suposatzen bada {\displaystyle p\_{i}} bakoitzarentzat {\displaystyle \alpha \_{i}} bat definitzen dela, non {\displaystyle p\_{i}=(a/r)^{\alpha \_{i}}} den, {\displaystyle a} partikularen erradioa izanik, orduan
{\displaystyle d\alpha } tartean {\displaystyle p\_{i}} duten partikula kopuruak, {\displaystyle N(\alpha )d\alpha }, {\displaystyle f(\alpha )} kantitatea defini dezake hurrengo moduan:

{\displaystyle N(\alpha )=(a/r)^{-f(\alpha )}}
Frogatu da {\displaystyle f(\alpha )} {\displaystyle r}-ren independentea dela multifraktalentzat. {\displaystyle f(\alpha )} kantitatea {\displaystyle \tau (q)} -ren Legendreren transformazio baten bidez lor daiteke:

{\displaystyle \alpha (q)={\frac {d\tau (q)}{dq}};f(\alpha (q))=q\alpha (q)-\tau (q)} 
{\displaystyle f} eta {\displaystyle \alpha } {\displaystyle q}-ren balio baterako baldintza tangentea betetzen dute:

{\displaystyle {\frac {df(\alpha )}{d\alpha }}=q}
Definizioz {\displaystyle f(\alpha )} modu intrintsekoan positiboa da, {\displaystyle N(\alpha )\geq 1} delako. Efektu estokastikoa sartzeko erlazio hauek moldatu behar dira. Aukera bat {\displaystyle \sigma (q)} momentuen batezbestekoa bezala definitzea da, batezbesteko epela deritzona:

{\displaystyle \langle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}^{q}\rangle =n^{-\sigma \_{A}(q)}}
{\displaystyle \sigma \_{A}(q)} dimentsio epelak lirateke. Modu berean {\displaystyle \tau \_{A}(q)} erradioaren funtzioan defini daiteke:

{\displaystyle \langle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}^{q}\rangle =(a/r)^{-\tau \_{A}(q)}}
Prozedura honen abantaila bat {\displaystyle f(\alpha )}-ren interpretazio erraza da. {\displaystyle \alpha } esponenteari dagokion {\displaystyle p\_{i}} probabilitatea duten partikula kopuruaren esperotako balioa {\displaystyle \alpha } {\displaystyle \langle N(\alpha )\rangle } bada, batezbesteko epelaren ekuazioaren Legendreren transformatu bat eginez {\displaystyle \langle N(\alpha )\rangle \propto (a/r)^{-f(\alpha )}} lortzen da, non {\displaystyle f(\alpha )}-k Legendreren transformazioaren ekuazioak eta baldintza tangentea betetzen duen. Ondorioz, {\displaystyle \tau \_{A}(q)\equiv D\_{f}\sigma \_{A}(q)} bidez sortu daiteke.
Zenbaki baten esperotako balioak edozein balio ez negatibo har dezakeenez, {\displaystyle f(\alpha )} negatiboa izan daiteke. Normalean, {\displaystyle f}-ren balio negatiboak {\displaystyle \alpha \_{m}} hazkuntza probabilitatearen maizen agertzen den baliotik (eta {\displaystyle f} maximora dagokiona) urrun dauden {\displaystyle \alpha }-entzat ikusten dira.

{\displaystyle f}-ren balio negatiboak eragiten dituzten {\displaystyle \alpha }-ren balioak ikusteko behintzat {\displaystyle N\sim (r/a)^{\vert f\vert }} kumuluez osatutako multzoaren batezbestekoa egin behar da. Hau zaila izango da tamaina handitzean, baina {\displaystyle f}-ren balio absolutu txikientzat {\displaystyle f}-ren balio negatiboak kalkula daitezke. Garrantzitsua da aipatzea balio hauek multzo estokastikoaren gaineko batura modu zehatz batean egiterakoan agertzen direla.

  

### Eskala legeak DLArentzat

Multifraktalitatea bereziki interesgarria da kasu honetan ezaugarri multifraktalak dimentsio fraktalaren probabilitateekin lotzen dituzten eskala legeak daudelako:

* Nikolai Makarov: bi dimentsiotako edozein kurbak honakoa betetzen du: {\displaystyle {\frac {d\sigma }{dq}}\vert \_{q=1}=D^{-1}}.
* Kumuluaren hazkundea: partikula bat muturrean itsastean emango da, eta {\displaystyle a} luzerakoa izango da:

{\displaystyle {\frac {dr\_{max}}{dn}}\propto p\_{punta}a}

Suposatzen bada {\displaystyle p\_{muturra}} {\displaystyle r} edo {\displaystyle n}-ren funtzioa dela integratu daiteke eskala erlazioa topatzeko.

* Suposatzen bada {\displaystyle p\_{muturra}} maximoa dela, probabilitate banaketaren portaeratik dimentsio fraktalarekin konexio bat lor daiteke:

{\displaystyle D\geq 1+D^{-1}{\frac {d\sigma }{dq}}\vert \_{q\rightarrow \infty }}

* Erlazio elektrostatikoa: azalera baten kapazitantzia ({\displaystyle C}) aldaketa geometriaren

aldaketa txikiak egiterakoan deskribatzen duen ekuazio batetik lortzen da. Partikulen agregazioa azaleraren aldaketa txikiak bezala interpreta daiteke, eta DLAra aplikatu: {\displaystyle {\frac {dC^{-1}}{dn}}\propto -\sum \_{i}p\_{i}^{3}}.
Bi dimentsiotan honetara eramaten du:

{\displaystyle \sum \_{i}p\_{i}^{3}\propto 1/n\Rightarrow \sigma (3)=1}
### Beste teknikak

#### Errenormalizazioa

DLAren auto-antzekotasuna errenormalizazio teoria erabiliz aztertu daiteke, eta emaitzak lortu dira.

#### Adartutako hazkundearen eredua

Problema aztertzeko beste ikuspuntu bat adarkadurek aldi berean elkar estaltzen dutela kontsideratzea da. Eskala aldatzerakoan adarkadura batzuk desagertzen dira, beste batzuk agertzen diren bitartean. Adarkaduren txapelketa hau sistema dinamiko bat bezala azter daiteke. Modu honetan multifraktal|multifraktalitateari buruzko informazioa ere lor daiteke.

Ikus, gainera
-------------

* Fraktal

Kanpo estekak
-------------

* **(Ingelesez)** DLA fraktal baten hazkuntza erakusten duen orrialdea, baldintzak aldatzeko aukerekin.
* **(Ingelesez)** Sistema dinamikoen azalpena scholarpedian
* **(Ingelesez)** DLAren azalpenak

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1224521
* Commonscat Multimedia: Diffusion-limited aggregation

---

 |

* Wd Datuak: Q1224521
* Commonscat Multimedia: Diffusion-limited aggregation

Erreferentziak
--------------

* Diffusion Limited Aggregation: Model for Pattern Formation. Thomas C. Halsey. Physics Today, November 2000.
* Multifractal Dimensions for Branched Growth. Thomas C. Halsey , Katsuya Honda, and Bertrand Duplantier. Submitted to Journal of Statistical Physics: 12/28/95
* Scaling and Multiscaling Behavior of the Perimeter of Dffusion−Limited Aggregation (DLA) Generated by the Hastings−Levitov Method. F. Mohammadi, A. A. Saberi ,and S. Rouhani. May 6, 2009
* Chaos and Fractals, New Frontiers of Science, second edition. Peitgen, Jurgens, Saupe. Springer
* Fractal growth phenomena. Tamás Viczek, World Scientific Publishing Co, 1989, Singapore.