**Inplikazioa** (latinezko *implicare*) baieztapen bat da, inplizituki beste bat duena. Etimologiari dagokionez, bere esanahia 'ezkutu' hitzetik dator; izan ere, inplizituki duen baieztapena ez da ikusgarria nahiz eta bere barnean egon, horregatik ez dago bigarren enuntziatua komunikatzeko beharrik. Inplikazioaren kontrako terminoa azalpena (latinezko *explicare*) da, ezkutuan dagoen zerbait ikusgarri eta ulergarria bihurtzea esan nahi duena.

  

Logikan, inplikazioa **inplikazio logikoa** edo **inplikazio materiala** izenekin ere ezagutzen da eta hurrengo eran adierazten da:

> {\displaystyle A\Rightarrow B}
> 
> 

B A-ren ondorio logiko bat da eta "A-k B inplikatzen du" irakurtzen da.

Inplikazioen egiazkotasuna
--------------------------

A eta B bi enuntziatu izanik, bakoitza egia edo gezurra izateko aukera dago eta horren arabera inplikazioa beteko da ala ez. Aukera posible guztiak modu sinple batean aztertzeko egiazkotasun taulak erabili ohi dira:

Egiazkotasun taula| {\displaystyle A} | {\displaystyle B} | {\displaystyle A\Rightarrow B} |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} |
| {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} |
| {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} |
| {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Egia} |

Argi ikusten denez gezurrak edozer inplikatzen du; beraz, modu bakarra dago inplikazio bat gezurra izateko: A enuntziatua egia izatea eta B, ordea, gezurra. 

### Baldintza beharrezkoak eta nahikoak

Ikusi dugunez, {\displaystyle A\Rightarrow B} egia izateko, A egia bada B derrigorrez egia izan behar du. Horregatik, A gertatzea nahikoa da B ere gertatzeko; beraz, A B-ren baldintza nahikoa da. Bestalde, B ez bada gertatzen A ez da gertatuko; hortaz, B A-rentzako baldintza beharrezkoa da. Hala ere, inplikazio egia izan daiteke nahiz eta A gezurra izan eta B egia, ondorioz B ez da A-rentzako baldintza nahikoa izango. Gainera, B-k gertatzea ez du ziurtatzen A gertatuko denik; beraz, A ez da B-ren baldintza beharrezkoa. 

  

Baliteke {\displaystyle A\Rightarrow B} eta {\displaystyle B\Rightarrow A} aldi berean betetzea; hau da, A B-rentzako baldintza beharrezkoa eta nahikoa izatea. Kasu horietan, A eta B enuntziatuak baliokideak direla esaten da eta bi aukera bakarrik daude: bi enuntziatuak egia izatea edo biak gezurra. Baliokidetasuna horrela adierazten da:

{\displaystyle (A\Leftrightarrow B)\Longleftrightarrow ((A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A))}

Hau da, A-k B inplikatu behar du, baina, gainera, *kontrako inplikazioa* ere egia izan behar du (B-k A inplikatzea).

Egiazkotasun taula| {\displaystyle A} | {\displaystyle B} | {\displaystyle A\Rightarrow B} | {\displaystyle B\Rightarrow A} | {\displaystyle (A\Rightarrow B)\land (B\Rightarrow A)} | {\displaystyle A\Leftrightarrow B} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} |
| {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} |
| {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} |
| {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Gezurra} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} | {\displaystyle Egia} |

Inplikazioak frogatzeko zenbait metodo
--------------------------------------

Inplikazio bat gezurtatzeko, enuntziatu horren *kontraadibide* bat aurkitu behar da; hau da, {\displaystyle A(x)\land \rceil B(x)} betetzen duen elementua. Ordea, inplikazio bat baieztatu nahi dugunean, orokorki frogatu behar dugu. Frogapena aurrera eramateko ez dago bide zehatzik, baina hainbat metodo existitzen dira prozesuan erabilgarriak izaten direnak. 

### Inplikazio kateak

Gure helburua {\displaystyle A\Rightarrow B} inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo hau erabilita, nahi adina enuntziatu tartekatzean datza.

Enuntziatu bat gehituz: {\displaystyle A\Rightarrow C} eta {\displaystyle C\Rightarrow B} bada, orduan {\displaystyle {\displaystyle A\Rightarrow B}} da.

Esan bezala, nahi bezain luzeak diren kateak osa ditzakegu: {\displaystyle A\Rightarrow C1\Rightarrow ...\Rightarrow \ Cn\Rightarrow B}

Esate baterako, {\displaystyle \forall x\in R,0\leq x\leq 2\Longrightarrow -x^{3}+4x+1=0} inplikazio hau frogatuko dugu.

Hortaz, adibidean, R(x) = {\displaystyle -x^{3}+4x=0} izango litzateke. Behin P {\displaystyle \Longrightarrow } R frogatuta, Q = {\displaystyle -x^{3}+4x+1=0} frogatu beharko litzateke, besterik ez. Orduan, P {\displaystyle \Longrightarrow } R eta R {\displaystyle \Longrightarrow } Q moduan frogatzea errazagoa da.

### Kontrajartzearen metodoa

Gure helburua {\displaystyle A\Rightarrow B} inplikazioa egia dela frogatzea da. Metodo honetan oinarrituz, A-k B inplikatzen duen kontrajarriaren ukapena frogatu behar da: {\displaystyle \urcorner B\land \urcorner A}.

Adibidez, {\displaystyle \exists }{\displaystyle n\in \mathbb {N} } {\displaystyle non} {\displaystyle n} {\displaystyle bikoitia} {\displaystyle \Longrightarrow } {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle bikoitia} {\displaystyle den} izanik,

Kontrajarria ateratzeko:| P = {\displaystyle n} {\displaystyle bikoitia} | {\displaystyle \rceil }P = {\displaystyle n} {\displaystyle ez} {\displaystyle bikoitia} = {\displaystyle n} {\displaystyle bakoitia} |
| --- | --- |
| Q = {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle bikoitia} | {\displaystyle \rceil }Q = {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle ez} {\displaystyle bikoitia} = {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle bakoitia} |

Hori dela eta, {\displaystyle n} {\displaystyle bikoitia}{\displaystyle \Longrightarrow } {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle bikoitia} frogatu beharrean, {\displaystyle n^{2}} {\displaystyle bakoitia} {\displaystyle \Longrightarrow } {\displaystyle n} {\displaystyle bakoitia} dela frogatuko genuke.

### Kontraesanaren bidezko froga

Metodo hau *absurdura eramanez* izenarekin ere ezagutzen da eta dioenez, {\displaystyle A\Rightarrow B} inplikazioa egia dela frogatzeko {\displaystyle A\land \rceil B} enuntziatutik abiatu behar gara *kontraesan* batera heldu arte. Kontraesana absurdua izango denez, ezinezkoa izango da {\displaystyle A\land \rceil B} egia izatea; beraz, hasierako inplikazio egia izan beharko du.

### Indukzio bidezko froga

Aurreko metodoetan arrazonamendu deduktiboa erabiltzen da; hau da, enuntziatu bat egia dela suposatuz beste bat egia dela frogatzea. Honetan, aldiz, arrazonamendu induktiboa erabiltzen da; alegia, zerbait behin eta berriz gertatzen ada, beti egia dela ondorioztatzea. Bi printzipio induktibo ezberdintzen dira:

#### Indukzio matematikoaren printzipioa

Zenbaki arrunten (Peanoren axiomak jarraituz osatutako multzoa) enuntziatuak zenbaki arrunt guztietarako betetzen direla frogatzeko balio du. 

Demagun P(n) enuntziatua egia dela n{\displaystyle \geq }no guztietarako, ondoko baldintzan betetzen badira:

1. P(no) egia dela
2. P(k) egia bada, P(k+1) ere egia dela k{\displaystyle \geq }no guztietarako

#### Indukzio sendoaren printzioa

Batzuetan indukzio matematikoaren printzipioaren bigarren pausua frogatzea ezinezkoa izan daiteke. Kasu horietan, horren ordez indukzio sendoaren printzioa aplikatzen da. 

Demagun P(n) enuntziatua egia dela no{\displaystyle \geq }n guztietarako, baldin eta:

1. P(no) egia bada
2. P(k) egia bada k{\displaystyle \geq }no guztietarako, P(k+1) ere egia bada k{\displaystyle \geq }no guztietarako

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Gaztelaniaz)** «Construyendo los números naturales (I): Axiomas de Peano.» *Lo fascinante de la teoría de números* 2013-09-28 (Noiz kontsultatua: 2021-10-21).

Ikus, gainera
-------------

* Enuntziatu
* Beharrezkotasuna eta nahikotasuna
* Arrazoibide deduktibo
* Arrazoibide induktibo

Kanpo estekak
-------------

* 

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q21573131

 |

* Wd Datuak: Q21573131