| Zenbakiak matematikan |
| --- |
| Zenbaki multzoak |
| {\displaystyle \mathbb {N} \subset \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} \subset \mathbb {R} \subset \mathbb {C} }
Zenbaki arruntak {\displaystyle \mathbb {N} } 
Zenbaki osoak {\displaystyle \mathbb {Z} } 
Zenbaki arrazionalak {\displaystyle \mathbb {Q} } 
Zenbaki irrazionalak 
Zenbaki errealak {\displaystyle \mathbb {R} } 
Zenbaki konplexuak {\displaystyle \mathbb {C} } 
Zenbaki aljebraikoak 
Zenbaki transzendenteak  |
| Konplexuen hedadurak |
| Koaternioiak {\displaystyle \mathbb {H} } 
Oktonioiak {\displaystyle \mathbb {O} }
Zenbaki hiperkonplexuak  |
| Bestelakoak |
| Zenbaki kardinalak 
Zenbaki ordinalak 
Zenbaki lehenak 
π = 3.141592654… 
e = 2.718281828… 
i unitate irudikaria 
∞ infinitua 
Φ = 1,6180339887...  |
| Zenbaki-sistemak |
| Zenbaki-sistema hamartarra 
Zenbaki-sistema bitarra 
Zenbaki-sistema hamaseitarra 
Zenbaki-sistema zortzitarra |

**Zenbaki errealen** multzoa: gorputz, ordenatu, arkimediar, osatu txikiena bezala karakterizatzen da.

Karakterizazio hau Cantorrek eginikoa da, eta zenbaki hauek puntuekin konpataratuz gero, lerro zuzen euklidear batean dauden puntuekin konpara daitezke.

Lerro zuzena, euklidesek emaniko bost axiometan oinarritutako zuzen baten eraikuntza da. Zenbaki erreal positibo batek, jatorritik distantzia horretara dagoen puntua adierazten du, zenbaki erreala negatiboa bada, ardatzerdi simetrikoan dagoen puntua egokitzen zaio. Eta alderantziz, zuzen euklidearreko ardatzerdi positiboan puntu bat emanik, puntu horretatik jatorrira dagoen distantziari dagokion zenbaki erreal positiboa, egokituko zaio zenbaki erreal moduan, eta puntua ardatzerdi negatiboan badago, jatorrira duen distantziaren aurkakoa den, zenbaki erreal negatiboa. 

Unitate honen helburua, Euklidesen axiometan oinarritutako zuzen euklidearraren puntuak, eta Cantorren bidea jarraituz eraikitako zenbaki errealak, baliokideak direla frogatzea da: distantziaren zentzuan. 

Abiapuntua gorputz ordenatu arkimediar txikiena izango da. Zenbaki hauek zuzen euklidearrean posizio arrazionaletan kokatzen diren puntuen baliokideak direla frogatuko da: distantziaren zentzuan.

Lerro zuzenarentzat zuzen euklidearraren definizioa erabiliz: '' lerro zuzen bat bertan dauden puntu guztiekiko berdina datzana da.'', eta zuzena osatzen duten puntuen ezaugarrietarako axioma euklidearrak erabiliz. 

Zenbaki arrazionalen multzoaren osaketa egitea: zenbaki arrazionalen ertsidura (Clausura) determinatzea da, eta ertsidura hori osatzea (completo). Zenbaki arrazionalen ertsidura egiteko, zenbaki arrazionalen multzoa handiagotu egiten da. Zenbaki berri hauek, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu daudela baieztatzen da (trinkoketaren axioma), trinkotzea esatzen zaio honi (denso). Ezaugarri hauekin puntu berrien gain eraikitzen den distantzia definitzen denean, ezin da baieztatu bi puntu desberdinen arteko distantzia positiboa denik, eta ondorioz distantzia horrekin geroz eta gertuago dauden bi punturen artean, bi puntu desberdin barnera daitezke. 

Osaketa egiten denean, elkarrengandik geroz eta gertuago dauden bi puntu desberdinen artean, puntu bakarra barneratzen dela ezartzen da (gorenaren axioma), osatzea esaten zaio honi. Zenbaki errealei ezaugarri hau axioma baten bidez (gorenaren axioma) ezartzen zaie. 

Osaketaren ondorioz, ez da gelditzen zuzen euklidearrean adierazi gabeko punturik (hutsunerik): adierazi gabeko puntu horretara, elkarrengandik geroz eta gertuago dauden puntuen bidez hurbildu gaitezkeenez (trinkoketaren ondorioz), adierazi gabeko puntua barneratuko dute. Gorenaren axiomagatik existitzen den puntua da eta bakarra da (zenbaki bat). 

Honela zuzen euklidearrean, ardatzerdi positiboko puntu batek jatorrira distantzia bakar bat determinatzen du: zenbaki erreal positibo bakarra. eta alderantziz: zenbaki erreal positibo batek, jatorritik distantzia horretara dagoen puntu bakarra determinatzen du, ardatzerdi positiboan. Zenbaki erreal negatiboak ardatzerdi simetrikoan kokatzen dira.

### Ondorioak

Zenbaki errealen elementu kopurua, infinitua da eta infinitu kontagarria baino handiagoa zela frogatu zuen Cantorrek (1874). Infinitu berri hau: Continuum izendatzen da. 

Infinitu kontagarria zenbaki arrunten elementu kopurua da, eta Continuuma zenbaki errealen kopurua, edo zuzen euklidearreko puntu kopurua. 

Honela Cantorrek Continuumaren hipotesia ezarri zuen: Bi infinitu horien artean ezinezkoa da beste infiniturik egotea. Baina ez zuen lortu axioma bat zenik frogatzea. Hilberten 23 problemetako bat izan zen Continuumaren hipotesia. 

1963. urtean Paul Cohen-ek frogatuko du, continuumaren hipotesia ezin dela ondorioztatu multzoen teoriako beste axiometatik abiatuta: (Zermelo-Fraenkel matematikariek ezarritako multzoen teoriako axiomak), eta ondorioz axioma berri bat dela.

2. Definizioak
--------------

**Gorputza**

{\displaystyle (K,+,.)} Gorputz bat dela esaten da, ondorengo proposizioak betetzen baditu:

1: {\displaystyle (K,+)} talde trukakorra da.

2:{\displaystyle (K-\{0\},.)} talde trukakorra da.

3: {\displaystyle a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c}, {\displaystyle \forall a,b,c\in K}. Banatze legea.

**Ordena**

{\displaystyle (K,\leq )} , Multzo ez huts batean: {\displaystyle K}, definitu den erlazio bitarra: {\displaystyle \leq }, orden erlazioa dela esaten da: erreflexiboa, antisimetrikoa eta trantsitiboa bada. Kasu horretan {\displaystyle K} multzoa ordenatua dagoela esaten da.

Erreflexiboa: {\displaystyle \forall a\in K\Rightarrow a\leq a}

Antisimetrikoa: {\displaystyle a\leq b;b\leq a\Rightarrow a=b}

Trantsitiboa: {\displaystyle a\leq b;b\leq c\Rightarrow a\leq c}

**Erabateko ordena**

{\displaystyle (K,\leq )} multzo ordenatua bada, orden erlazioa erabatekoa dela esaten da ondorengo proposizioa betetzen bada:

{\displaystyle \forall a,b\in K}, emanik ondorengo proposizioetako bat betetzen bada: {\displaystyle a\leq b}, edo {\displaystyle b\leq a}.

Kasu horretan multzoa guztiz ordenatua dagoela esaten da.

**Goputz ordenatua**

{\displaystyle (K,+,\cdot ,\leq )}, {\displaystyle K}multzo ordenatua: {\displaystyle \leq } rekiko, eta {\displaystyle +:K\times K\rightarrow K}, barne konposizio legea. Orduan {\displaystyle K} gorputz ordenatua dela esango dugu barne konposizio legea eta ordena bateragarriak baldin badira: 

{\displaystyle a\leq b\Rightarrow a+c\leq b+c}, {\displaystyle \forall c\in K}

**Ezaugarri arkimediarra**

{\displaystyle (K,\leq )} Ordenaturik dagoen multzoa bada, arkimediarra dela esaten da, ondorengo proposizioa betetzen badu:

{\displaystyle \forall a\in K,\exists b\in K}, non: {\displaystyle a\leq b} eta {\displaystyle a\neq b}.

**Ondorioa**: Erraz ondorioztatzen da ondorengo proposizioa: Multzo ordenatu bat arkimediarra bada, guztiz ordenatua dago.

**Metrika edo distantzia**

{\displaystyle (K,d)}, eta {\displaystyle K\neq \emptyset } espazio metriko bat dela esaten da baldin eta:

1: {\displaystyle d:K\times K\longrightarrow \mathbb {R} }, aplikazioa bada.

2: {\displaystyle d(a,b)\geq 0}, eta {\displaystyle d(a,a)=0}.

3: {\displaystyle d(a,b)=d(b,a)}

4: {\displaystyle d(a,b)\leq d(a,c)+d(b,c)}

5: {\displaystyle a\neq b\Rightarrow d(a,b)>0}

2, 3, 4 eta 5 erlazioak {\displaystyle \forall a,b,c\in K}, betetzen dira.

**Oharra:** Metrika edo distantzia definitzeko, zenbaki errealen multzoa adierazi da, eta oraindik sortu gabe dago. Ez du arazo bat suposatzen zenbaki errealen eraikuntzan, {\displaystyle d:K\times K\longrightarrow \mathbb {R} }, aplikazioa besterik ez denez irudiak bere azpimultzoak izan daitezkeelako.

**Espazio metriko isomorfoak.**

{\displaystyle (K\_{1},d\_{1})} eta {\displaystyle (K\_{2},d\_{2})}, espazio metrikoak isomorfoak direla esatzen da, baldin eta:

{\displaystyle \exists \phi :K\_{1}\rightarrow K\_{2}}, non:

1: {\displaystyle \phi } bijektiboa eta jarraia.

2: {\displaystyle \forall x,y\in K\_{1}\Rightarrow d\_{1}(x,y)=d\_{2}(\phi (x),\phi (y))}

**Espazio metriko osatua.**

{\displaystyle (K,d)}, espazio metrikoa osatua da, baldin eta Cauchyren segidak konbergenteak badira.

**Espazio metrikoen osaketa.**

{\displaystyle (X,e)}, espazio metrikoa, {\displaystyle (K,d)} espazio metrikoaren osaketa bat dela esango dugu.

1: {\displaystyle \exists X\_{1}\subset X}, non {\displaystyle (X\_{1},e)} eta {\displaystyle (K,d)} isometrikoak diren, eta {\displaystyle {\overline {X\_{1}}}=X}.

2: {\displaystyle (X,e)}espazio metriko osatua da.

**Oharra**:{\displaystyle {\overline {X\_{1}}}}, ertsidura adierazten du (clausura), {\displaystyle X\_{1}} bere baitan duen multzo ertsi txikiena.

**Multzo barnatuak**:

{\displaystyle (K,d)} espazio metrikoa bada, {\displaystyle A\subset K}, eta {\displaystyle A\neq \emptyset }. {\displaystyle A} barnatua dagoela esaten da baldin eta:

{\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} } non {\displaystyle \forall a,b\in A\Rightarrow d(a,b)\leq x}. 

Azken inplikazioa, {\displaystyle |A|\leq x} idatziko da laburduraz.

**Oharra**: Arestian aipatu den moduan, {\displaystyle x\in \mathbb {R} } ez da arazo bat multzo barnatuen definizioan, bere azpimultzo bateko elementua ere izan daitekeelako.

**Goi borne txikienaren axioma**

{\displaystyle (K,d)} espazio metrikoak gorenaren axioma betetzen duela esaten da baldin eta edozein azpimultzo barnatuk, gorena baldin badu. Hots:

{\displaystyle \emptyset \neq A\subset K}, {\displaystyle A\neq \emptyset } emanik, baldin eta {\displaystyle \exists x\in \mathbb {R} }, non {\displaystyle |A|\leq x}, orduan: {\displaystyle \exists \alpha \in \mathbb {R} } non:

1: Goi bornea den: {\displaystyle |A|\leq \alpha }

2: Goi borne txikiena den: {\displaystyle y\in \mathbb {R} ;|A|\leq y\Rightarrow \alpha \leq y}.

3. Gorputz ordenatu arkimediar txikiena.
----------------------------------------

  

Gorputz ordenatu arkimediar txikiena, ohiko eragiketekin eratu den zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu arkimediarraren isomorfoa dela frogatuko da.

{\displaystyle \mathbb {Q} =\{{\frac {a}{b}}:a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {N} \}}, zenbaki arrazionalen multzoa izango da.

Ohiko batura: {\displaystyle {\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}}={\frac {ad+cb}{bd}}}

Ohiko biderkadura: {\displaystyle {\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}}={\frac {ac}{bd}}}

Ohiko desberdintza: {\displaystyle {\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\Leftrightarrow ad\leq bc}

**3.1. Proposizioa**

{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )} ohiko eragiketenik definitua, Gorputz ordenatu arkimediarra da. 

**Froga**.

{\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot )} ek ohiko eragiketekin gorputz egitura dauka. 

Ikus dezagun: ohiko desberdintza arkimediarra dela eta bateragarria dela baturarekiko. 

Ohiko ordena arkimediarra da:{\displaystyle \forall {\frac {a}{b}}\in \mathbb {Q} ,\exists {\frac {a+1}{b}}\in \mathbb {Q} } non {\displaystyle {\frac {a}{b}}\leq {\frac {a+1}{b}}}, eta {\displaystyle {\frac {a}{b}}\neq {\frac {a+1}{b}}}. 

Ordena bateragarria da batuketarekin: {\displaystyle {\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\Rightarrow {\frac {a}{b}}+{\frac {e}{f}}\leq {\frac {c}{d}}+{\frac {e}{f}}}, betetzen da {\displaystyle \forall {\frac {e}{f}}\in \mathbb {Q} }.

**3.2. Proposizioa:**

Gorputz ordenatu arkimediar baten, azpigorputz txikiena, ohiko eragiketekin definitutako zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu arkimediarraren isomorfoa da.

**Froga**.

Izan bedi {\displaystyle (K,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra.

Baturarekiko neutroa {\displaystyle O}, eta biderkadurarekiko neutroa: {\displaystyle e}.

{\displaystyle a\in A} emanik baturarekiko aurkakoa: {\displaystyle {\overline {a}}}, eta biderkadurarekiko aurkakoa: {\displaystyle a^{-1}}, {\displaystyle a\neq O} denean.

Notazioa: {\displaystyle e\oplus ...naldiz...\oplus e=ne}, {\displaystyle {\overline {e}}\oplus ...naldiz...\oplus {\overline {e}}=(-n)e} eta {\displaystyle O=0e}, adieraziko dira.

Bere azpigorputzen artean, bat {\displaystyle K}, berbera da, eta {\displaystyle (A,\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )}existitzen den azpigorputza bada: {\displaystyle \preccurlyeq } ordena bateragarria denez {\displaystyle K}-ren gain baturarekiko, {\displaystyle \preccurlyeq } ordena bateragarria da {\displaystyle A}-ren gain baturarekiko. 

Ikus dezagun: {\displaystyle \preccurlyeq }, arkimediarra dela {\displaystyle A}-ren gain. 

{\displaystyle \preccurlyeq }, arkimediarra izateagatik, {\displaystyle K}-ren gain, {\displaystyle \preccurlyeq } erabateko ordena da {\displaystyle K}-ren gain, eta beraz bere azpimultzoen gain, honela {\displaystyle \preccurlyeq } erabateko ordena da {\displaystyle A}-ren gain. Orduan: 

{\displaystyle a\in A\Rightarrow a\preccurlyeq a\oplus e} edo {\displaystyle a\oplus e\preccurlyeq a}

1: {\displaystyle a\preccurlyeq a\oplus e}, ematen bada, {\displaystyle a\neq a\oplus e}, zeren {\displaystyle a=a\oplus e\Rightarrow {\overline {a}}\oplus a={\overline {a}}\oplus a\oplus e\Rightarrow O=e}

2: {\displaystyle a\oplus e\preccurlyeq a} ematen bada, {\displaystyle a\oplus e\preccurlyeq a\Rightarrow a\oplus e\oplus {\overline {e}}\preccurlyeq a\oplus {\overline {e}}\Rightarrow a\preccurlyeq a\oplus {\overline {e}}}, eta {\displaystyle a\neq a\oplus {\overline {e}}}, 

zeren: {\displaystyle a=a\oplus {\overline {e}}\Rightarrow a\oplus {\overline {a}}=a\oplus {\overline {a}}\oplus {\overline {e}}\Rightarrow O=e}, ezinezkoa da.

Ondorioz: {\displaystyle \preccurlyeq }, arkimediarra da {\displaystyle A}-ren gain.

{\displaystyle K} gorputzaren azpigorputz txikienak biderkadurarekiko elementu neutroa bere baitan du:

Frogapenaren hasierako atalean aipatu den notazioa erabiliz:

{\displaystyle e\in A\Rightarrow }{\displaystyle ae\odot (be)^{-1}\in A}. {\displaystyle a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {N} } edozein zenbakirentzat. Honela:

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{ae\odot (be)^{-1}:a\in \mathbb {Z} ;b\in \mathbb {N} \}\subset A}.

{\displaystyle \forall A\subset K}, eta {\displaystyle A} azpigorputz (ez neutroa {\displaystyle A\neq \{O\}}), orduan {\displaystyle {\mathcal {A}}\subset A}, ikusi da.

{\displaystyle ({\mathcal {A}},\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} azpigorputz ordenatu arkimediarra dela frogatzen bada, txikiena da.

{\displaystyle ({\mathcal {A}},\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} eta {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )} gorputz ordenatu isomorfoak direla frogatuko da.

Eta ondorioz gorputz ordenatu arkimediar txikiena: {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )}-ren isomorfo izango da.

{\displaystyle \psi :\mathbb {Q} \rightarrow {\mathcal {A}}}

Bi kasu eman daitezke: {\displaystyle O\preccurlyeq e} , edo {\displaystyle e\preccurlyeq O} .

{\displaystyle O\preccurlyeq e}, ematen bada, isomorfismoa modu honetan definitzen da:

{\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}})=ae\odot (be)^{-1}}, zeina aplikazio bikektiboa den. 

{\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})=\psi ({\frac {ad+cb}{bd}})=(ad+cb)e\odot ((bd)e)^{-1}}

{\displaystyle (ad+cb)e\odot ((bd)e)^{-1}=((ad)e\oplus (cb)e)\odot ((bd)e)^{-1}}

{\displaystyle (ad)e\odot ((bd)e)^{-1}=(ae)\odot (de)\odot (be)^{-1}\odot (de))^{-1}=(ae)\odot (be)^{-1}=\psi ({\frac {a}{b}})}

{\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}}+{\frac {c}{d}})=\psi ({\frac {a}{b}})\oplus \psi ({\frac {c}{d}})}, ondorioztatzen da.

{\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}})=\psi ({\frac {a\cdot c}{b\cdot d}})=(ac)e\odot ((bd)e)^{-1}}

{\displaystyle (ac)e\odot ((bd)e)^{-1}=ae\odot ce\odot (be)^{-1}\odot (de)^{-1}=\psi ({\frac {a}{b}})\odot \psi ({\frac {c}{d}})}

{\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}}\cdot {\frac {c}{d}})=\psi ({\frac {a}{b}})\odot \psi ({\frac {c}{d}})}, ondorioztatzen da.

Gorputzen arteko isomorfismoa da.

Ordena.{\displaystyle {\frac {a}{b}}\leq {\frac {c}{d}}\Leftrightarrow ad\leq cb} , emanik.

Lehen kasuan

{\displaystyle O\preccurlyeq e\Rightarrow O\preccurlyeq (ne)^{-1}}, betetzen da {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }

Absurdura bideratuz: {\displaystyle (ne)^{-1}\preccurlyeq O\Rightarrow e=(ne)^{-1}\oplus ...(n)...\oplus (ne)^{-1}\preccurlyeq O}, ezinezkoa.

{\displaystyle O\preccurlyeq (bde)^{-1}\Rightarrow (bde)^{-1}\preccurlyeq (2e)\odot (bde)^{-1}\Rightarrow (ade)\odot (bde)^{-1}\preccurlyeq (cbe)\odot (bde)^{-1}}

{\displaystyle (ade)\odot (bde)^{-1}=ae\odot de\odot (be)^{-1}\odot (de)^{-1}=ae\odot (be)^{-1}=\psi ({\frac {a}{b}})}

{\displaystyle (cbe)\odot (bde)^{-1}=ce\odot be\odot (be)^{-1}\odot (de)^{-1}=ce\odot (de)^{-1}=\psi ({\frac {c}{d}})}

Isomorfismoak ordena mantentzen duela ondorioztatzen da: {\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}})\preccurlyeq \psi ({\frac {c}{d}})}

Ondoriz gorputz ordenatuen arteko isomorfismoa da.

Bigarren kasuan:

{\displaystyle e\preccurlyeq O}, ematen da. Isomorfismoa: {\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}})=(-a)e\odot (be)^{-1}} definitzen da, eta lehen bezala gorputzen arteko isomorfismoa dela ikusten da. Ikus dezagun ordena:

{\displaystyle e\preccurlyeq O\Rightarrow (ne)^{-1}\preccurlyeq O}, betetzen da,{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }. Absurdura bideratuz:

{\displaystyle O\preccurlyeq (ne)^{-1}\Rightarrow O\preccurlyeq (ne)^{-1}\preccurlyeq (2e)\odot (ne)^{-1}\preccurlyeq ...\preccurlyeq (ne)\odot (ne)^{-1}=e}, ezinezkoa.

{\displaystyle (bde)^{-1}\preccurlyeq O\Rightarrow (2e)\odot (bde)^{-1}\preccurlyeq (bde)^{-1}\Rightarrow (cbe)\odot (bde)^{-1}\preccurlyeq (ade)\odot (bde)^{-1}}

{\displaystyle (cbe)\odot (bde)^{-1}\preccurlyeq (ade)\odot (bde)^{-1}\Leftrightarrow ce\odot (de)^{-1}\preccurlyeq (ae)\odot (be)^{-1}}

{\displaystyle ce\odot (de)^{-1}\preccurlyeq (ae)\odot (be)^{-1}\Leftrightarrow ((-a)e)\odot (be)^{-1}\preccurlyeq ((-c)e)\odot (de)^{-1}}

Eta isomorfismoak ordena mantentzen du: {\displaystyle \psi ({\frac {a}{b}})\preccurlyeq \psi ({\frac {c}{d}})}.

Ondorioz gorputz ordenatuen arteko isomorfismoa existitzen da.

Eta beraz gorputz ordenatu arkimediar txikiena, zenbaki arrazionalen multzo ordenatua da, ohiko eragiketak eta ohiko ordenarekin definitua.

**Ondorioa**: 

Gorputz ordenatu arkimediar txikienak: modu bakarrean determinatzen ditu: baturaren eta biderkaduraren arauak. Eta modu bakarrean determinatzen du ordena. 

**3.3. Definizioa**

Gorputz ordenatu arkimediar txikiena, zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu arkimediarraren isomorfoa da, elementuekiko notazioak salbuetsiz. Zeinetan eragiketak eta desberdintza ohiko moduan finkatzen diren.

4. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean
-------------------------------------------------------

Zenbaki arrazionalak zuzen euklidearrean, jatorrira distantzia hori duen puntu gisara adierazten dira, zenbakia positiboa denean, eta ardatzerdi simetrikoan kokatzen da puntua zenbakia negatiboa denean.

Zenbaki arrazionalen adierazpena diogunean, zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren adierazpenaz mintzo gara, zeinetan unitateko distantzia, zuzen euklidearrean unitateko segmentuaren bidez adierazten den.

Lerro zuzena bertan dauden puntu guztiekiko berdina datzana da. Bi dira halako kurbak planu euklidearrean: Zirkunferentziak eta zuzenak, eta modu zorrotzean soilik zirkunferentziak (zuzena erradio infinituko zirkunferentzia moduan ikusiz).

### 4.1. Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

Plano euklidearra puntuz osatzen denez, bi puntu desberdin existitzen dira, horiek: O eta 1 izendatzen dira. lehen segmentu honen distantzia: unitatekoa dela ezartzen da: {\displaystyle d(0,1)=1}

Euklidesen, lehen axiomagatik bi puntu lotzen dituen lerro zuzena marraztu daiteke, eta bigarren axiomagatik zuzen finitu bat etengabe luza daiteke lerro zuzenean. Lerro zuzenaren ertzak puntu bat determinatzen dutenez, jatorrira distantzia arrunta duten puntu multzo bat ordenatzen joango gara, (ezkerrekoak txikiagoak izanik). Distantzien arteko batura ohiko batura denez, modu bakarrean determinatzen da, eraztun ordenatu arkimediar txikiena. Zeinetan puntu bati dagokion zenbakia jatorrira duen distantzia den, eta ardatzerdi simetrikoan kokatzen bada, puntu hori zenbaki arrunt negatiboarekin adieraziko da. 

Zenbaki osoen adierazpena zuzen euklidearrean

  

**4.2. Proposizioa:**

{\displaystyle d:\mathbb {Z} \times \mathbb {Z} \rightarrow \mathbb {N} \cup \{0\}}, aplikazioak distantzia bat definitzen du.

{\displaystyle d(n,m)={\begin{cases}n-m,&m\leq n{\text{ bada}}\\m-n,&n\leq m{\text{ bada}}\end{cases}}}, distantzia bat da.

**Froga**: Erraz frogatzen dira , distantziaren 4 proposizioak.

**Oharra**: Distantzia hau distantzia euklidearra izendatzen da, distantziariburuz dugun ezagutza konbentzionala delako.

### 4.3. Zenbaki arrazionalen adierazpena zuzen euklidearrean

Prozedura euklidearrak erabiliz, distantzia arrazionaleko segmentuak eraiki daitezke. Distantzia arrazionalen arteko batura, zenbaki arrazionalen ohiko batura da, eta horrek modu bakarrean determinatzen du zenbaki arrazionalen gorputz ordenatu arkimediarra.

Ohiko distantzia, ohiko ordenaren bidez eratzen da, eta ohiko ordena: gorputz ordenatu arkimediar txikienak, berez definitua daukanez, inongo axiomaren beharrik gabe sortzen da ohiko distantzia. 

Honela zenbaki arrazionalak unitatearekiko posizio arrazionalean dauden puntu gisara adieraz daitezke.

#### 4.4. Distantzia arrazionalen eraikuntza

Distantzia arrazionaleko distantziak eraiki daitezke, euklidesen axiomak jarraituz. Euklidesen triangeluen: hirugarren karakterizazioagatik, bi triangeluk bi angelu berdin, eta angelu hauek lotzen dituen segmentua berdina badute, bi triangelu hauek berdinak dira. 

**Adibidea**: {\displaystyle {\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}}} distantziak eraikiko dira prozedura euklidearrak jarraituz. Gainerako distantzia arrazionalentzat ere antzeko prozedura jarrai daiteke.

Distantzia arrazionalen eraikuntza, axioma euklidearrak jarraituz.
O, eta 1 puntuak emanik, O,1 Zuzenarekiko paraleloa ez den zuzen baten gain, hiru (izendatzailea hiru delako) aldiz d distantziadun segmentuak marrazten dira: A,B,C puntuak sortuz. 

C puntutik 1 puntura zuzen bat bat marrazten da: r, eta bere zuzen paraleloak eraikitzen dira: A eta B puntuetatik pasatzen direnak: t eta s. 

r, t eta s zuzenak paraleloak izateagatik: OC1, OBE, eta OAD angeluak berdinak dira. 

A eta B puntuetatik: O,1 puntuetatik pasatzen den zuzenaren paraleloak eraikitzen dira: v eta u. 

v eta u paraleloak izateagatik: 1OC,vAC eta uBC angeluak berdinak dira. Honela irudiko hiru triangelu horiek bi angelu berdin eta angelu horiek lotzen dituen distantzia berdinak dituzte. Euklidesen triangeluen hirugarren karakterizazioagatik, halako triangelua bakarra da. Honela beraien elementuak berdinak dituzte, eta ondorioz oinarri berdinekoak dira. 

{\displaystyle d(0,D)=d(D,E)=d(E,1)}, hiruen batura unitatea denez: {\displaystyle d(0,D)={\frac {1}{3}}}, eta {\displaystyle d(0,E)={\frac {2}{3}}}Honela distantzia arrazionaleko segmentuaren ertzak determinatzen duen puntua, zenbaki arrazional horren bidez adieraziko da, eta puntua ardatzerdi simetrikoan badago zenbaki arrazional negatiboz adieraziko da.

**4.5. Proposizioa**

{\displaystyle d:\mathbb {Q} \times \mathbb {Q} \rightarrow \mathbb {Q} ^{+}\cup \{0\}}, aplikazioa distantzia bat da, zeinetan: 

{\displaystyle d(p,q)={\begin{cases}p-q,&q\leq p{\text{ bada}}\\q-p,&p\leq q{\text{ bada}}\end{cases}}}

**Froga**: ez du zailtasunik.

**Oharra**: Azken proposizio honetan definitu den distantzia, distantzia euklidear moduan izendatzen da, distantziari buruz dugun ulermen konbentzionala delako. 

Zenbaki arrazionalen gain ohiko distantzia definitzeko, ez dugu axiomarik behar, ohiko ordenaren bidez ezartzen bai da, eta gorputz ordenatu arkimediar batek modu bakarrean karakterizatzen du ordena.

5. Zenbaki errealak: Cantor
---------------------------

### 5.1. Sarrera

Zuzen euklidearrean unitateko segmentuarekiko posizio arrazionalean dauden puntuak, zenbaki arrazionalez izendatu dira. Honetarako zenbaki osoen gain definitutako distantzia hedatu egin da zenbaki arrazionaletara. Distantzia hau, distantzia euklidear moduan ezagutzen da. 

Zuzen euklidearrean posizio ez arrazionaletan dauden puntuak, posizio arrazionala duten puntuetatik nahi bezain gertu daudela ulertzen da, hots: posizio ez arrazionaletako puntuak, posizio arrazionaletako puntuen: metatze puntuak direla. Zenbaki arrazionalen Cauchyen segidak, puntu ez arrazionaletan metatzen dira. Honela puntu multzo berria, Cauchyren segida arrazionalen, metatze puntuek osatuko dute: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}. Puntu arrazionalen gaineko distantzia (euklidearra) definitua dagoenez, distantzia honen hedapen bat egiten da puntu berrietara, osaketa deritzon prozesu baten bidez.

Osaketa prozesua: zenbaki arrazionalen multzoa trinkotzea eta trinkoketa hau osatzea da.

Trinkoketarekin: metatze puntuak, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu daudela ezartzen da, eta osaketarekin: Cauchyren segida arrazional batek determinatzen duen: metatze puntua, zenbaki arrazional horiek zuzen euklidearrean duten metatze puntuan kokatzen da. 

Trinkotasunaren ondorioz eratzen den distantzia, pseudometrika bat da. Ezin da baieztatu bi puntu desberdinen arteko distantzia ez nulua denik. Osaketa beharrezkoa da metrika bat definitzeko. 

Osaketaren ondorioz sortzen den zenbaki multzoa: bakarra dela ikusiko da eta distantzia arrazionala modu bakarrean hedatzen duela, modu honetan zenbaki multzo berria definituko da. 

Ondorioz zenbaki multzo berria: gorputz ordenatu arkimediar txikienaren osaketa da, zeinetan osaketarako erabiltzen den distantzia: distantzia euklidearra den. Zenbaki errealen multzoa izendatuko da. .

Helburua beraz gorputz ordenatu arkimediar txikiena osatzea da.

### 5.2. Zenbaki arrazionalen metatze puntuen gorputza.

Zenbaki arrazional ordenatu arkimediarrak, zuzen euklidearrean posizio arrazionalean dauden puntuekin konpara daitezke, bere metatze puntuak Cauchyren segiden bidez sortzen dira. Honela zenbaki berriak Cauchyren segiden metatze puntuak izango dira. 

Zenbaki arrazionalek eta bere metatze puntuek, gorputz ordenatu arkimediarra osatzen dutela suposatuko da, zeinetan batura eta biderkadura determinatu gabeak dauden. Baldintza horietan azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena edozein azpimultzo kontagarri izan daiteke, eta beraz notazioa errazte aldera azpigorputz hori limite arrazionaleko Cauchyren segidek osatzen dutela suposatuko da. 

Honela barne konposizio legeak eta ordena definituak egongo dira limite arrazionaleko Cauchyren segiden gain. 

Metatze puntuak eratzeko metrika bat eraikiko da, zeina zenbaki arrazionalen gain distantzia euklidearra izango den. 

**5.2.1. Definizioa**

{\displaystyle \phi :\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Q} }, aplikazioa Cauchyren segida dela esaten da, ondorengo proposizioa betetzen bada:

{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n,m\geq n\_{0}\Rightarrow d(\phi (n),\phi (m))<\varepsilon }

Laburduraz: {\displaystyle \phi (n)=a\_{n}}, eta {\displaystyle \{\phi (n)\in \mathbb {Q} :n\in \mathbb {N} \}=(a\_{n})\_{n\geq 1}}, adieraziko da.

**Oharra**: Zenbaki errealak sortu ez direnez: {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}}.

**5.2.2. Definizioa**

Zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segiden multzoa: {\displaystyle C(\mathbb {Q} )}, adieraziko da.

{\displaystyle C(\mathbb {Q} )=\{(a\_{n})\_{n\geq 1}\subset \mathbb {Q} :(a\_{n})\_{n\geq 1}Cauchyrena\}}.

**Oharra**: Zenbaki berriak Cauchyren segiden metatze puntuak izango dira, honela metatze puntu berdineko Cauchyren segidak, zenbaki bakarra determinatuko dute.

**5.2.3. Proposizioa**:

{\displaystyle C(\mathbb {Q} )} multzoarengain ondorengo erlazioa,baliokidetasun erlazioa da: 

{\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1},(b\_{n})\_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )}, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (b\_{n})\_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }d(a\_{n},b\_{n})=0}.

**Froga**:

1: {\displaystyle \forall (a\_{n})\_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )} , {\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (a\_{n})\_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }d(a\_{n},a\_{n})=0}. Erreflexiboa.

2: {\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (b\_{n})\_{n\geq 1}\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }d(a\_{n},b\_{n})=0}

{\displaystyle \Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }d(b\_{n},a\_{n})=0\Leftrightarrow (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (b\_{n})\_{n\geq 1}}. Simetrikoa.

3:{\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (b\_{n})\_{n\geq 1}}, eta {\displaystyle (b\_{n})\_{n\geq 1}\sim (c\_{n})\_{n\geq 1}}.

Orduan: {\displaystyle 0\leq d(a\_{n},c\_{n})\leq d(a\_{n},b\_{n})+d(b\_{n},c\_{n})}

{\displaystyle 0\leq \lim \_{n\to \infty }d(a\_{n},c\_{n})\leq \lim \_{n\to \infty }d(a\_{n},b\_{n})+\lim \_{n\to \infty }d(b\_{n},c\_{n})=0}

Ondorioz: {\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (c\_{n})\_{n\geq 1}}. Trantsitiboa. 

**Ondorioak**: 

Baliokidetasun erlazio batek, klase baliokideen partiketa osatzen du zatidura multzoan: 

Klase baliokideak {\displaystyle [(a\_{n})\_{n\geq 1}]=\{(b\_{n})\_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} ):(a\_{n})\_{n\geq 1}\sim (b\_{n})\_{n\geq 1}\}}, metatze puntu berdineko Caucyren segidak dira. 

Zatidura multzoa: {\displaystyle {\frac {C(\mathbb {Q} )}{\sim }}=\{[(a\_{n})\_{n\geq 1}]:(a\_{n})\_{n\geq 1}\in C(\mathbb {Q} )\}}, klase baliokideen multzoa edo zenbaki berrien multzoa. 

Ondorengo proposizioan metatze puntuek gorputz egitura osatzen dutela ikusiko da. 

  

**Notazioa**: Ondorengo notazioa erabiliko da aurrerantzean.

Zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segiden multzoa: {\displaystyle C(\mathbb {Q} )} adieraziko da.

{\displaystyle C(\mathbb {Q} )=\{\{x\_{n}:n\geq 1\}\subset \mathbb {Q} :\{x\_{n}:n\geq 1\}Cauchyrena\}}

Zatidura multzoa: {\displaystyle {\frac {C(\mathbb {Q} )}{\sim }}=[C(\mathbb {Q} )]}, adieraziko da.

Zatidura multzoko elementuak: {\displaystyle [\{a\_{n}:n\geq 1\}]} adieraziko dira.

{\displaystyle [\{a\_{n}:n\geq 1\}]=\{\{x\_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-a\_{n}|=0\}}

{\displaystyle q,q\_{n}\in \mathbb {Q} } bada {\displaystyle [q]=[(q,q,q,...)]=[\{q:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]}, adieraziko da.

{\displaystyle [q\_{n}]=[(q\_{n},q\_{n},q\_{n},...)]=[\{q\_{n}:m\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]}

{\displaystyle \{[q\_{n}]:n\geq 1\}}, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gaineko segida bat adieraziko du: {\displaystyle ([q\_{1}],[q\_{2}],[q\_{3}],...)}.

Limite arrazionaleko Cauchyren segidek osatzen duten multzoa: {\displaystyle [\mathbb {Q} ]=\{[q]:q\in \mathbb {Q} \}}.

**Habiapuntua**.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra dela suposatuko da, zeinetan barne konposizio legeak determinatu gabe dauden. Ondorioz azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena existitzen da, eta zenbaki arrazinal ordenatu arkimediarren isosmorfoa da. Barne konposizio legeak determinatu gabe daudenez, edozein azpimultzo kontagarri izan daiteke azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena.

Zentzu honetan eta notazioa errazte aldera, azpigorputz hau: {\displaystyle [\mathbb {Q} ]=\{[q]:q\in \mathbb {Q} \}} dela suposatuko da, eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} goputz ordenatu arkimediarra, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )} gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena dela.

  

**5.2.5. Definizioa** (Aukeraketarena)

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )} gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da.

Zeinetan: {\displaystyle \psi ([p],[q])=[p]\oplus [q]=[p+q]} eta {\displaystyle \phi ([p],[q])=[p]\odot [q]=[p\cdot q]}.

**Oharra**: Aukeraketa egiteko nahikoak eta beharrezko dira: elementu neutroa, unitatea eta baturaren barne konposizio legea determinatzea. Ordena ezartzeko bi aukera daude, {\displaystyle [p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q}, edo {\displaystyle [p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\geq q}. Bi aukerak baliokideak dira, eta beraz notazioa errezte aldera:{\displaystyle [p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q}, suposatuko da.

Definizioan aipatu diren barne konposizo legeak, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gain definitutako ondorengo barne konposizo legeen laburdura dira:

{\displaystyle x\oplus y=[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y\_{n}:n\geq 1\}]=[\{x\_{n}+y\_{n}:n\geq 1\}]}

{\displaystyle x\odot y=[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\odot [\{y\_{n}:n\geq 1\}]=[\{x\_{n}\cdot y\_{n}:n\geq 1\}]},

Helburua beraz, {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y}, eta {\displaystyle \phi (x,y)=x\odot y}, betetzen dela frogatzea izango da, kontutan izanik, metatze puntuak eratzeko, metrika bat eraikitzea beharrezkoa dela eta metrika hori zenbaki arrazionalen gain definitua dagoela: metrika euklidear moduan. 

  

**5.2.6. Proposizioa**:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra bada.

1) {\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )],\exists !z(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]}, non {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus z(x,y)}

2) {\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\},\exists !w(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}},non {\displaystyle \phi (x,y)=x\odot w(x,y)}.

**Froga**:

Izan ere multzoen arteko ondorengo berdintzak betetzen dira:

1) {\displaystyle \forall x\in [C(\mathbb {Q} )],x\oplus [C(\mathbb {Q} )]=[C(\mathbb {Q} )]}

2) {\displaystyle \forall x\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}),x\odot ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})=([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})}

Ondorioz: {\displaystyle \psi }, eta {\displaystyle \phi }, baturari eta bidaerkadurari dagozkion barne konposizio legeak baldin badira.

1) {\displaystyle \psi (x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \exists !z(x,y)\in [C(\mathbb {Q} )]:\psi (x,y)=x\oplus z(x,y)}

2) {\displaystyle \phi (x,y)\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\})\Rightarrow \exists !w(x,y)\in ([C(\mathbb {Q} )]-\{[0]\}):\phi (x,y)=x\odot w(x,y)}

6. Zenbaki arrazional ordenatu arkimediarraren osaketa
------------------------------------------------------

**6.1. Sarrera**

Gorputz ordenatu arkimediar osatu batek: {\displaystyle F}, gorputz ordenatu arkimediar txikiena bere baitan du: {\displaystyle K\subset F}. Baina gerta daiteke ertsidura: {\displaystyle {\overline {K}}}, bere baitan ez egotea: {\displaystyle {\overline {K}}\nsubseteq F}. Geroago ikusiko den kontraadibidean. Honela gorputz ordenatu arikimediar osatua diogunean, osaketa trinkoaz mintzo gara: Azpigorputz arkimediar txikiena trinkoa den gorputz ordenatu arkimediar osatua. 

Baldintza horietan: {\displaystyle {\overline {K}}\subset F}. {\displaystyle F} osatua izanagatik, {\displaystyle {\overline {K}}} osatua da. Honela {\displaystyle {\overline {K}}},{\displaystyle F} ren azpigorputz ordenatu arkimediar osatu eta trinkorik txikiena da. 

Zentzu honetan:azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren trinkoketa bere baitan duen gorputz ordenatu arkimediar osatu txikiena, bakarra da, eta zenbaki errealen moduan izendatuko da. 

Zenbaki arrazionalen metatze puntuak Cauchyren segiden bidez eratzen dira: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}. Bere azpigorputz txikiena: {\displaystyle [\mathbb {Q} ]} adieraziko da. 

Honela habiapuntua ondorengoa da:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )} gorputz ordenatu arkimediarra, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} ren hedapena dela suposa daiteke.

Ordena ere zenbaki arrazionalen ohiko ordenaren hedapena dela supostuko da.

Ordena arkimediarra izateagatik, modu bakarrean defini daiteke {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren gaineko metrika euklidearra. 

Osaketarako erabiliko den metrika ere existitzen dela suposatuko da: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}, zeina {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}ren gain murrizten denean metrika euklidearra den.

Eta helburua ondorengoa da: Baldintza hauetan, {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]}, trinkoa izateko baldintzak ezarriko dira, eta {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} osatua izateko baldintzak. Baldintza horiek {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gaineko metrika determinatuko dute: Trinkoketaren ondorioz, {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren gain definitutako metrika (euklidearra), {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gain definitutako pseudometrika batetara hedatzen dela ikusiko da, eta osaketaren ondorioz metrika batetara.

Metrika honek, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gaineko ordena ere determinatuko du. 

**6.2. Proposizioa**:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra bada, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena dela suposa daiteke orokortasunik galdu gabe.

**Froga:**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} gorputz ordenatu arkimediarra izateagatik, azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren isomorfoa dela frogatua dago, eta beraz azpigorputz ordenatu arkimediar txikiena bezala {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} aukera daiteke. 

{\displaystyle \psi :\mathbb {Q} \rightarrow [\mathbb {Q} ]}, zeinetan: {\displaystyle \psi (q)=[q]}, gorputz ordenatu arkimediarren arteko isomorfismoa da. 

**6.3. Proposizioa:**

**{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}** gorputz ordenatu arkimediarra {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena bada, {\displaystyle \preccurlyeq } ordenak ondoko erlazioa betetzen duela suposa daiteke orokortasunik galdu gabe.

{\displaystyle \forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q}

**Froga**.

6.2. proposizioagatik {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} gorputz ordenatu arkimediarra {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )}en isomorfoa da, ondorioz ordena bi modutan eman daiteke:

{\displaystyle \forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\leq q}

{\displaystyle \forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],[p]\preccurlyeq [q]\Leftrightarrow p\geq q}

Bietako edozein aukera daiteke, isomorfoak bai dira bi aukerak. Eta beraz lehena aukera daiteke.

  

**Oharra**: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} multzoaren gain: ordena eta distantzia determinatu gabe daude. Zenbaki arrazionalen gaineko ordena modu bakarrean determinatzen da ( ordena arkimediarra izateagatik), eta orden honen bidez distantzia euklidearra definitu daiteke {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren gain. 

**6.4. Proposizioa**:

{\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}, espazio metrikoa da. Zeinetan: {\displaystyle \forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],e([p],[q])=d(p,q)=|p-q|}. 

**Froga**: Zailtasun gabea. 

**6.5. Proposizioa**. 

{\displaystyle \psi :\mathbb {Q} \rightarrow [\mathbb {Q} ]} egokitzapena non: {\displaystyle \psi (q)=[q]} , {\displaystyle (\mathbb {Q} ,d)} eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}aplikazioa isometria bat da.

**Froga**:

{\displaystyle \psi }, aplikazio bijektiboa eta jarraia da (zailtasun gabea). Distantziak mantentzen ditu:

{\displaystyle \forall p,q\in \mathbb {Q} ,d(p,q)=|p-q|=e([p],[q])=e(\psi (p),\psi (q))}

  

**Oharra**: Isometria honen bidez: {\displaystyle [\mathbb {Q} ]} multzoko zenbakiak: zuzen euklidearrean, unitateko segmentuarekiko posizio arrazionalean dauden puntu gisara adieraz daitezke.

{\displaystyle [\mathbb {Q} ]}multzoko elementuak zuzen euklidearrean irudika daitezke puntu gisara, distantzia erabiliz. Irudian: {\displaystyle d([0],[1])=1}, eta {\displaystyle d([0],[q])=q}.
**Ondorioak**:

Helburua {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-ren osaketa egitea da {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} ren gain. Osaketa bi pausutan emanten da: trinkoketa eta osaketa. Trinkoketarekin {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}, dauden zenbakiak, {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren metatze puntuak direla ezartzen da: {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]}. Osaketarekin, Cauchyren segida arrazional bati dagokion zenbaki erreala, Cauchyren segida arrazionalak, zuzen euklidearrean determikionatzen duen metatze puntua dela ezartzen da. 

Trinkoketarekin: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} pseudometrika bat eraikitzen da, eta osaketarekin metrika bat.

7. Trinkotasuna
---------------

**Hipotesiak**: Ondorengoak dira hipotesiak unitate honetan: 

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da, zeina zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren multzoaren isomorfoa den. 

Trinkotasunarekin: {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]} izatera behartzen da. Zeinetan {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} definituriko espazio metrikoa den, eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} definitzeke dagoen espazio metriko hedatua. 

Zenbaki arrazionalen gain distantzia definitua dagoenez, ondorengo definizioa eman daiteke. 

**7.1. Definizioa**

{\displaystyle a\in \mathbb {Q} }, eta {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}} emanik:

{\displaystyle B([a],\varepsilon )=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:e(x,[a])<\varepsilon \}}.

{\displaystyle a} zentruko eta {\displaystyle \varepsilon } erradioko bola irekia izendatuko da. 

**Oharra**: Kontuz hibili behar da definizioarekin, bolak zenbaki arrazionalak bere baitan ditu, baina ez arrazionalekin zer gertatzen den ez dakigu. Zenbaki ez arrazionalak, zenbaki arrazionaletatik gertu egotea nahi da, zentzu honetan. 

**7.2. Proposizioa**: Trinkotasunarena 

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )}

**Oharra**: Proposizio honek esaten du, arrazionalak ez diren zenbaki berriak, zenbaki arrazionaletatik nahi bezain gertu dauden, puntu gisara adieraz daitezkeela. Eta beraz osaketari zentzu euklidearra ezartzen zaio.

Trinkotasunaren proposizio hau inposatu egin da, eta beraz **hipotesi** moduan uzten da proposizio hori **axioma** bat den. 

**7.3. Proposizioa**: 

Suposa bedi {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}espazio metrikoa dela, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}ren edapena dela. 

Trinkotasunaren **proposizioa** betetzen da baldin eta soilik baldin {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} trinkoa {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-n. 

**Froga**. 

{\displaystyle \Leftarrow } {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}}, emanik, eta {\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]}. 

{\displaystyle x\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow x\in B(x,\varepsilon )}

{\displaystyle x\in C[\mathbb {Q} ]-[\mathbb {Q} ]\Rightarrow (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset }, trinkotasunagatik. 

{\displaystyle \exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:[q]\in B(x,\varepsilon )\Rightarrow e(x,[q])<\varepsilon \Rightarrow x\in B([q],\varepsilon )}. 

Ondorioz: {\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )}

{\displaystyle \Rightarrow }{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]}, eta {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}} emanik. 

{\displaystyle x\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset }, ezaugarri arkimediarragatik. 

{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]\Rightarrow x\in \bigcup \_{y\in [\mathbb {Q} ]}B(y,\varepsilon )}, trinkotasunaren hipotesiagatik. 

{\displaystyle \Rightarrow \exists q\in [\mathbb {Q} ]:x\in B(q,\varepsilon )\Rightarrow e(x,q)<\varepsilon \Rightarrow q\in (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]}

Ondorioz: {\displaystyle (B(x,\varepsilon )-\{x\})\cap [\mathbb {Q} ]\neq \emptyset }. 

{\displaystyle [\mathbb {Q} ]'=[C(\mathbb {Q} )]} ondorioztatu da. Eta definizioz: {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[\mathbb {Q} ]\cup [\mathbb {Q} ]'}denez. 

{\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]}, ondorioztatzen da. {\displaystyle [\mathbb {Q} ]} trinkoa beraz {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-n. 

**Ondorioa**:Trinkotasunaren proposizioa beste axiometatik ondorioztatuko balitz, {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa trinkoa izango zatekeen {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren gain, eta hori ez da horrela. Honela trinkotasunaren proposizioa **axioma bat da**, {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} trinkoa izateko beharrezkoa (puntu arrazionalak puntu ez arrazionaletatik nahi bezain gertu egoteko beharrezkoa). 

**7.4. Kontraadibidea:**{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}, espazio metrikoa, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-ren hedapena bada, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}, ez da beti trinkoa {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-n. Adibidez e metrika honela definitzen bada: 

{\displaystyle x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]} eta {\displaystyle x=y} bada: {\displaystyle e(x,y)=0}. 

{\displaystyle x,y\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]} eta {\displaystyle x\neq y} bada: {\displaystyle e(x,y)=1}. 

{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ]} eta {\displaystyle [q]\in [\mathbb {Q} ]} bada: {\displaystyle e(x,[q])=|q|+1}. 

{\displaystyle [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]}bada: {\displaystyle e([p],[q])=d([p],[q])=|p-q|}. 

Metrika honekin: {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[\mathbb {Q} ]}, eta beraz {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} ez da trinkoa {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-n. 

**7.5. Irudia**: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )} irudikatu da. 

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )}, irudikatu da.
**Irudia**: Irudia engainagarria da, badirudi zuzen euklidearreko puntu guztiak barneratzen direla. Ez da horrela: trinkotasunaren axiomak esaten du: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )}, eta beraz {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ko elementu guztiak barneratzen dira, zuzen euklidearrean puntu gisara, baina ez da esaten zuzen euklidearreko puntu guztiak {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren barnean daudenik ( Beste axioma bat beharko da honetarako). 

**Oharra**: Trinkotasunaren ondorioz: {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-n definiturik dagoen distantzia hedatu egiten da {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} multzora. 

**7.6. Habiapuntua**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metriko ezezaguna eta ondorengo ezaugarriak ditu:

1: {\displaystyle \forall [p],[q]\in [\mathbb {Q} ],e([p],[q])=d(p,q)=|p-q|}. Hedapenarena. 

2: {\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \ [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[x]\in [\mathbb {Q} ]}B([x],\varepsilon )}. Trinkotasunarena. 

**7.7. Proposizioa**: 

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa bada, trinkoa da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)} espazio metrikoan. 

**froga**: egina dago. 

**7.8. lema**: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}, espazio metrikoa bada, ondokoa betetzen da. 

{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow \forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a\_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],x)=0.}

Zeinetan: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],x)=0}, adierazpenak ondorengo esanahia duen: 

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}\Rightarrow e([a\_{n}],x)<\varepsilon }

**Froga**: 

Trikotasunaren axiomagatik: {\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow [C(\mathbb {Q} )]\subset \bigcup \_{[q]\in [\mathbb {Q} ]}B([q],\varepsilon )}

{\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{n}},\exists [a\_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:x\in B([a\_{n}],{\frac {1}{n}})\Rightarrow e([a\_{n}],x)\leq {\frac {1}{n}}}

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],x)=0}. ondorioztatzen da. 

**Laburduraz**: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\exists [a\_{n}]\in [\mathbb {Q} ]:\lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],x)=0}, adierazpena honela adieraziko da: {\displaystyle \{[a\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a\_{n}]\rightarrow x}, edo beste modu honetara: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=x}. 

**7.9. Proposizioa:** {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa bada: {\displaystyle x,y\in [C(\mathbb {Q} )]}, emanik 

{\displaystyle \forall \{[a\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a\_{n}]\rightarrow x}, eta {\displaystyle \forall \{[b\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b\_{n}]\rightarrow y} rentzat, ondoko erlazioa betetzen da: 

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }|e(x,y)-|a\_{n}-b\_{n}||=0}. 

**Laburduraz**: {\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}-b\_{n}|}, adieraziko da. 

**Froga**: 

{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}}, emanik: {\displaystyle \varepsilon /2\in \mathbb {Q} ^{+}}. 

{\displaystyle [a\_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m\_{0}\in \mathbb {N} :e(x,[a\_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m\_{0}}

{\displaystyle [b\_{n}]\rightarrow x\Rightarrow \exists m\_{1}\in \mathbb {N} :e(x,[b\_{m}])<\varepsilon /2,\forall m\geq m\_{1}}

Espazio metrikoen desberdintza triangeluarragatik: {\displaystyle \forall m\geq m\_{2}=Max\{m\_{0},m\_{1}\}}

{\displaystyle e(x,y)\leq e(x,[a\_{m}])+e([a\_{m}],[b\_{m}])+e([b\_{m}],y)<e([a\_{m}],[b\_{m}])+\varepsilon }.

{\displaystyle e([a\_{m}],[b\_{m}])\leq e([a\_{m}],x)+e(x,y)+e(y,[b\_{m}])<e(x,y)+\varepsilon }.

Azken bi desberdintzen ondorioz:

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m\_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-d([a\_{m}],[b\_{m}])|<\varepsilon ,\forall m\geq m\_{2}}.

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists m\_{2}\in \mathbb {N} :|e(x,y)-|a\_{m}-b\_{m}||<\varepsilon ,\forall m\geq m\_{2}}

Zeina honela adierazten den:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }|e(x,y)-|a\_{n}-b\_{n}||=0}.

**7.10. Korolarioa**:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa bada: {\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]}, eta {\displaystyle \{[a\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a\_{n}]\rightarrow x}, emanik:

{\displaystyle e([0],x)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}|}

**Froga**: 7.9. korolarioa aplikatu {\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]}ri.

  

**Ondorioa**: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazioa trinkotu egin da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}, espazio metrikoarekiko, eta ondorioz, distantzia berriak eratu dira: {\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}\cup \{0\}} multzotik, {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\lim \_{n\to \infty }e([0],[x\_{n}]):[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\}} multzora hedatzen dira neurri berriak. Ondorengo proposizioan ikusiko da, distantzia bat osatzeko, ezaugarri bakarra falta zaiola: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ren gain, definitu den: {\displaystyle e}, metrikari.

**7.11. Proposizioa**:

{\displaystyle e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}}, pseudometrika bat definitzen du. 

Zeinetan: {\displaystyle x,y\in [C(\mathbb {Q} )]} emanik,

{\displaystyle \forall \{[a\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a\_{n}]\rightarrow x}, eta {\displaystyle \forall \{[b\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b\_{n}]\rightarrow y}

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}-b\_{n}|}.

Eta: {\displaystyle {\mathcal {A}}=\{\lim \_{n\to \infty }e([0],[x\_{n}]):[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\}}

**Froga**:

Frogapenean:

{\displaystyle \{[a\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[a\_{n}]\rightarrow x},

{\displaystyle \{[b\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[b\_{n}]\rightarrow y}

eta {\displaystyle \{[c\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]:[c\_{n}]\rightarrow z}.

1: {\displaystyle e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}} aplikazio bat da.

i){\displaystyle [a\_{n}]\rightarrow x} eta {\displaystyle [b\_{n}]\rightarrow y}, orduan: {\displaystyle [\{|a\_{n}-b\_{n}|:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]}, 

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}-b\_{n}|=\lim \_{n\to \infty }e([0],[a\_{n}-b\_{n}])}, ondorioz: {\displaystyle e(x,y)\in {\mathcal {A}}}

ii) {\displaystyle x=x';y=y'.} Biz: {\displaystyle [a\_{n}]\rightarrow x}, {\displaystyle [a'\_{n}]\rightarrow x'}, {\displaystyle [b\_{n}]\rightarrow y} eta {\displaystyle [b'\_{n}]\rightarrow y'}.

{\displaystyle x=x';y=y'.}Izateagatik, {\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}}emanik {\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}}

{\displaystyle |a\_{n}-b\_{n}|\leq |a\_{n}-a'\_{n}|+|a'\_{n}-b'\_{n}|+|b'\_{n}-b\_{n}|<|a'\_{n}-b'\_{n}|+\varepsilon }

{\displaystyle |a'\_{n}-b'\_{n}|\leq |a'\_{n}-a\_{n}|+|a\_{n}-b\_{n}|+|b\_{n}-b'\_{n}|<|a\_{n}-b\_{n}|+\varepsilon }

Ondorioz:{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}} emanik {\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}} zeinetan: 

{\displaystyle ||a\_{n}-b\_{n}|-|a'\_{n}-b'\_{n}||<\varepsilon }, eta beraz: 

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}-b\_{n}|=\lim \_{n\to \infty }|a'\_{n}-b'\_{n}|=e(x',y')}

Ondorioz: {\displaystyle e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow {\mathcal {A}}}, aplikazioa da. 

1: {\displaystyle x=y\Rightarrow e(x,y)=0}. 

Izan ere: {\displaystyle [a\_{n}]\rightarrow x=y}, orduan: {\displaystyle e(x,y)=e(x,x)=\lim \_{n\to \infty }|a\_{n}-a\_{n}|=0}

2: {\displaystyle e(x,y)=e(y,x)}. Berealakoa da.

3: {\displaystyle e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)}

Hots: {\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow e(x,y)<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon }

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow {\frac {\varepsilon }{3}}\in \mathbb {Q} ^{+}}, {\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}}

{\displaystyle e(x,y)<e([a\_{n}],[b\_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}}, {\displaystyle e([a\_{n}],[c\_{n}])<e(x,z)+{\frac {\varepsilon }{3}}},

eta {\displaystyle e([c\_{n}],[b\_{n}])<e(z,y)+{\frac {\varepsilon }{3}}}desberdinatzak betetzen dira definizioz:

{\displaystyle e(x,y)<e([a\_{n}],[b\_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}\leq e([a\_{n}],[c\_{n}])+e([c\_{n}],[b\_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}}

{\displaystyle e([a\_{n}],[c\_{n}])+e([c\_{n}],[b\_{n}])+{\frac {\varepsilon }{3}}<e(x,z)+e(z,y)+\varepsilon }

Desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

**Ondorioa**:

Zenbaki arrazionalen metatze puntuen ondorioz sortzen den gorputz berria trinkoa izateko axioma bat ezarri behar da. Axioma honen bidez, pseudometrika bat eratzen da. Honela bi puntu desberdinen arteko distantzia nulua izan daiteke.

Metatze puntuen gain metrika bat eraikitzen bada, zeinaren bidez metatze puntuen gorputza trinkoa den zenbaki arrazionalen gain, ezin da zihurtatu gorputza osatua denik, ez eta distantzien arteko kontserbazioa beteko denik ere.

  

**7.12. proposizioa. Kontraadibidea.**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} modu honetan definitua:

{\displaystyle a\oplus b=[\{a\_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{b\_{n}:n\geq 1\}]=[\{a\_{n}+b\_{n}:n\geq 1\}]}

{\displaystyle a\odot b=[\{a\_{n}:n\geq 1\}]\odot [\{b\_{n}:n\geq 1\}]=[\{a\_{n}\cdot b\_{n}:n\geq 1\}]}

Eta ordena: {\displaystyle a\preccurlyeq b\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }a\_{n}\leq \lim \_{n\to \infty }b\_{n}}.

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\{{\sqrt {2}}+k:k\in \mathbb {N} \cup \{0\}\}}

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa modu honetan definitua:

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-y\_{n}|}. {\displaystyle x,y\in {\mathcal {A}}} bada.

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-y\_{n}|}. {\displaystyle x,y\notin {\mathcal {A}}}

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|1+x\_{n}-y\_{n}|}, {\displaystyle x\in {\mathcal {A}};y\notin {\mathcal {A}}}

Adibide honetan definitutako kontzeptuek ondorengo ezaugarriak dituzte:

1: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} Gorputz ordentatu arkimediarra da.

2: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa da, eta zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

3: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} trinkoa da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio euklidearraren gain.{\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]}.

4: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} ez da osatua.

5: {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}-k ez ditu distantziak kontserbatzen.

Kontserbazioa: {\displaystyle \forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus z,y\oplus z)}

**Froga**: Limitearen notazioaz abusatu den arren: Batura, biderkadura eta ordena zenbaki errealen gisara ezartzen dira, eta beraz zentzu zorrotzean ondo daude. Baina distantziak ez.

{\displaystyle {\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})\_{n}:n\geq 1\}]}, ondorengo zenbakia dugu, zeinetan: {\displaystyle ({\sqrt {2}})\_{n}}, zenbaki arrazionalen segida konbergentea den {\displaystyle {\sqrt {2}}}-ra, zenbaki errealen multzoan ohiko metrikarekin.

Ikus dezagun trinkoa dela.

{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]-{\mathcal {A}}\Rightarrow }

{\displaystyle x=[\{x\_{n}\in \mathbb {Q} :n\geq 1\}]}, eta {\displaystyle e([x\_{m}],x)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{m}-x\_{n}|}, zeinetan {\displaystyle \{x\_{n}\in \mathbb {Q} :n\geq 1\}}, Cauchyrena izateagatik ezereztatzen den: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }e([x\_{n}],x)=0}.

{\displaystyle x\in {\mathcal {A}}\Rightarrow } {\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \cup \{0\}:x={\sqrt {2}}\oplus [k]}

Orduan: {\displaystyle \{[({\sqrt {2}})\_{n}+k+1]:n\geq 1\}]\subset [\mathbb {Q} ]}, Cauchyren segida bat da:

{\displaystyle e([({\sqrt {2}})\_{n}+k+1],[({\sqrt {2}})\_{m}+k+1])=|({\sqrt {2}})\_{n}+k+1-(({\sqrt {2}})\_{m}+k+1)|=|({\sqrt {2}})\_{n}-({\sqrt {2}})\_{m}|}

Eta {\displaystyle x={\sqrt {2}}\oplus [k]}, zenbakira konbergitzen du: {\displaystyle x={\sqrt {2}}\oplus [k]=[\{({\sqrt {2}})\_{n}+k:n\geq 1\}]}

{\displaystyle e([({\sqrt {2}})\_{m}+k+1],{\sqrt {2}}\oplus [k])=\lim \_{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})\_{m}+k+1],[({\sqrt {2}})\_{n}+k+1)])=}

{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{m}-({\sqrt {2}})\_{n}|}

Ondorioz: {\displaystyle {\overline {[\mathbb {Q} ]}}=[C(\mathbb {Q} )]}

Ikus dezagun {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} ez dela osatua.

{\displaystyle {\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})\_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]}, eta beraz: {\displaystyle \{[({\sqrt {2}})\_{n}]:n\geq 1\}} Caucyrena {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}-ren gain.

Absurdura bideratuz, suposa bedi baduela limitea:

Ondorioz: {\displaystyle \exists \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]}, non: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})\_{n}],\alpha )=0}.

Zeinetan {\displaystyle \alpha =[\{(\alpha \_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]} notazioz.

Baldin eta, {\displaystyle \alpha \notin {\mathcal {A}}\Rightarrow }

{\displaystyle e([({\sqrt {2}})\_{m}],\alpha )=\lim \_{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})\_{m}],[\alpha \_{n}])=\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{m}-\alpha \_{n}|}

Ondorioz: {\displaystyle \{[({\sqrt {2}})\_{n}]:n\geq 1\}} eta {\displaystyle \{[\alpha \_{n}]:n\geq 1\}}Caucyren segida baliokideak dira:

.{\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}\in {\mathcal {A}}}, ezinezkoa.

Baldin eta, {\displaystyle \alpha \in {\mathcal {A}}\Rightarrow }{\displaystyle \exists k\in \mathbb {N} \cup \{0\}:\alpha ={\sqrt {2}}\oplus [k]}

{\displaystyle e([({\sqrt {2}})\_{m}],\alpha )=\lim \_{n\to \infty }e([({\sqrt {2}})\_{m}],[\alpha \_{n}])=\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{m}-(\alpha \_{n}+1)|=}

{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{m}-({\sqrt {2}})\_{n}-k-1|\geq |k+1|\geq 1}, ezinezkoa.

Ondorioz: {\displaystyle \{[({\sqrt {2}})\_{n}]:n\geq 1\}} Cauchyren segidak ez du limiterik {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}.

Ikus dezagun {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} ez dituela distantziak kontserbatzen.

{\displaystyle e({\sqrt {2}},{\sqrt {2}}\oplus [{\frac {1}{4}}])=\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{n}+1-({\sqrt {2}})\_{n}-{\frac {1}{4}}|={\frac {3}{4}}}

{\displaystyle e({\sqrt {2}}\oplus [{\frac {1}{4}}],{\sqrt {2}}\oplus [{\frac {2}{4}}])=\lim \_{n\to \infty }|({\sqrt {2}})\_{n}+{\frac {1}{4}}-({\sqrt {2}})\_{n}-{\frac {2}{4}}|={\frac {1}{4}}}

**Ondorioa:**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}gorputz arkimediar osatua,{\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} edapena izanik, eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain, orduan ere ezin da baieztatu {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} osatua denik, ez eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}-k distantziak kontserbatzen dituenik.

Unitateari amaiera emateko korolario bat frogatuko da. {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} multzoko edozein elementurentzat, existitzen direla zenbaki horretara konbergitzen duten segida arrazional gorakorrak eta beherakorrak.

Zenbaki errealen multzoan nabaria den emaitza honek, baditu bere zailtasunak: ordena eta metrika soilik zenbaki arrazionalen gain definituak daudelako.7.8. Proposizioan frogatu da, edozein zenbakitara zenbaki arrazionalen bidez hurbil gaitezkeela.

  

**7.13. Proposizioa**

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])}, bada, ondorengo emaitza ematen da:

{\displaystyle p\in \mathbb {N} }, emanik {\displaystyle \exists n\_{p}\in \mathbb {N} }, zeinetan:{\displaystyle \forall n\geq n\_{p}\Rightarrow [a\_{n}]\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

**Froga**:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=\alpha }, ematen denez, {\displaystyle \{[a\_{n}]:n\geq 1\}}, Cauchyrena da.

{\displaystyle p\in \mathbb {N} }, emanik: {\displaystyle \varepsilon ={\frac {1}{p}}}, harturik: {\displaystyle \exists n\_{p}\in \mathbb {N} }: {\displaystyle \forall n,m\geq n\_{p}\Rightarrow e([a\_{n}],[a\_{m}])<{\frac {1}{p}}}

{\displaystyle m=n\_{p}}, aukeratuz: {\displaystyle \forall n\geq n\_{p}\Rightarrow e([a\_{n}],[a\_{n\_{p}}])<{\frac {1}{p}}}

{\displaystyle \exists n\_{p}\in \mathbb {N} }, non: {\displaystyle \forall n\geq n\_{p}\Rightarrow [a\_{n}]\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}.

**7.14. Proposizioa**

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])} , bada, ondorengo emaitza ematen da:

{\displaystyle p\in \mathbb {N} }, emanik {\displaystyle \exists n\_{p}\in \mathbb {N} }, zeinetan:

1) {\displaystyle \forall n\geq n\_{p}\Rightarrow [a\_{n}]\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

2) {\displaystyle \alpha \in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

**Oharra**: Zenbaki irrazionala {\displaystyle \alpha \in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}, ez du esan nahi ordenarekiko, bolan dagoenik.

**Froga:**

1) Atala, 7.13. proposizioan frogatu da, ikus dezagun {\displaystyle n\_{p}}, aukera daitekeela 2. baldintza bete dezan.

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])\leq e(\alpha ,[a\_{n}])+e([a\_{n}],[a\_{n\_{p}}])}, {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=\alpha } eta {\displaystyle n\geq n\_{p}}, aukeratuz.

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<e(\alpha ,[a\_{n}])+{\frac {1}{p}}}, eta {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],\alpha )=0}.

Ondorioz: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}}. ondorioz: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<{\frac {1}{p}}}, ala {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])={\frac {1}{p}}}.

{\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} \Rightarrow n\_{p}+m\geq n\_{p}}, Argudio hau: {\displaystyle [a\_{n\_{p}+m}]}, elementuarengain aplika daiteke: 

Ondorioz: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])\leq {\frac {1}{p}}}, eta {\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} }, {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m}])\leq {\frac {1}{p}}}

i) {\displaystyle \exists m\_{0}\in \mathbb {N} :[a\_{n\_{p}}]\neq [a\_{n\_{p}+m\_{0}}]}, absurdura bideratuz

{\displaystyle \forall m\in \mathbb {N} :[a\_{n\_{p}}]=[a\_{n\_{p}+m}]\Rightarrow \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=[a\_{n\_{p}}]\in [\mathbb {Q} ]}, ezinezkoa.

ii) {\displaystyle a\_{n\_{p}}<a\_{n\_{p}+m\_{0}}}, ematen bada, eta {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])=e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])={\frac {1}{p}}}.

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}=a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n}+a\_{n}-a\_{n\_{p}}}

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])=e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])={\frac {1}{p}}} ematen denez.

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])=\lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],[a\_{n\_{p}}])={\frac {1}{p}}}, eta {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])=\lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])={\frac {1}{p}}}.

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+},\exists n\_{0}\in \mathbb {N} :\forall n\geq n\_{0}}

{\displaystyle {\begin{cases}|a\_{n}-a\_{n\_{p}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\|a\_{n}-a\_{n\_{p}+m\_{0}}|\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}}

Baldin eta soilik baldin:

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{n}-a\_{n\_{p}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a\_{n}-a\_{n\_{p}+m\_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}}

Baldin eta soilik baldin:

{\displaystyle a\_{n\_{p}},a\_{n\_{p}+m\_{0}}\in (a\_{n}-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a\_{n}-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\cup (a\_{n}+{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,a\_{n}+{\frac {1}{p}}+\varepsilon )}

{\displaystyle a\_{n\_{p}}<a\_{n\_{p}+m\_{0}}}, ematen denez: {\displaystyle \forall \varepsilon \leq {\frac {a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}}{2}}\in \mathbb {Q} ^{+}}

{\displaystyle {\begin{cases}a\_{n}-a\_{n\_{p}}\in ({\frac {1}{p}}-\varepsilon ,{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\\a\_{n}-a\_{n\_{p}+m\_{0}}\in (-{\frac {1}{p}}-\varepsilon ,-{\frac {1}{p}}+\varepsilon )\end{cases}}}

Eta {\displaystyle \forall \varepsilon \leq Min\{{\frac {a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}}{2}},{\frac {1}{p}}\}\in \mathbb {Q} ^{+}}, aukeratuz:

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow {\begin{cases}a\_{n}-a\_{n\_{p}}>0\\a\_{n}-a\_{n\_{p}+m\_{0}}<0\end{cases}}}

Ondorioz: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow 0<a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}=(a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n})+(a\_{n}-a\_{n\_{p}})}

Eta: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])=\lim \_{n\to \infty }e([a\_{n}],[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])={\frac {1}{p}}}

Honela: {\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} :0<a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}=(a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n})+(a\_{n}-a\_{n\_{p}})>{\frac {1}{p}}}

{\displaystyle e([a\_{n\_{p}}],[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])=a\_{n\_{p}+m\_{0}}-a\_{n\_{p}}>{\frac {1}{p}}}, ezinezkoa.

iii) Modu berean argudiatuz: 

{\displaystyle a\_{n\_{p}}>a\_{n\_{p}+m\_{0}}}, eta {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])=e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])={\frac {1}{p}}} ezinezkoa da.

Zenbaki arrazionalak ordenatuak daudenez: 

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<{\frac {1}{p}}}, edo {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{n\_{p}+m\_{0}}])<{\frac {1}{p}}}

Ondorioz:{\displaystyle \exists m\_{p}\in \mathbb {N} }: {\displaystyle m\_{p}=n\_{p}}, edo {\displaystyle m\_{p}=n\_{p+m\_{0}}}, kasurako: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{m\_{p}}])<{\frac {1}{p}}}

1) {\displaystyle \forall n\geq m\_{p}\Rightarrow [a\_{n}]\in B([a\_{m\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

2) {\displaystyle \alpha \in B([a\_{m\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

**7.15. Teorema:**

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }[a\_{n}]=\alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])} ematen bada.

{\displaystyle \forall \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+};\forall {\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}},\exists n\_{p}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon \_{p}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n\_{p}}

i) {\displaystyle \alpha ,[a\_{n}]\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

ii) {\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{p})\subset B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )}

**Froga:**

{\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {Q} ^{+}}, emanik eta: {\displaystyle {\frac {1}{p}}<{\frac {\varepsilon }{2}}} aukeraturik, 

7.14. Proposizioagatik: {\displaystyle \exists n\_{p}\in \mathbb {N} }, zeinetan:{\displaystyle \forall n\geq n\_{p}}

1) {\displaystyle \alpha ,[a\_{n}]\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

2){\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{p})\subset B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )}, frogatzeko:

{\displaystyle \alpha \in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<{\frac {1}{p}}\Rightarrow {\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])>0}

Honela: {\displaystyle \exists \varepsilon \_{p}\in \mathbb {Q} ^{+};\varepsilon \_{p}<{\frac {1}{p}}-e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])}, ezaugarri arkimediarragatik.

{\displaystyle x\in B(\alpha ,\varepsilon \_{p})\Rightarrow e(\alpha ,x)<\varepsilon \_{p}} bada

{\displaystyle e(x,[a\_{n\_{p}}])\leq e(\alpha ,x)+e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<\varepsilon \_{p}+e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])<{\frac {1}{p}}}

{\displaystyle \Rightarrow x\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}, eta beraz: {\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{p})\subset B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})}

{\displaystyle x\in B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})\Rightarrow e([a\_{n\_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}}

{\displaystyle e(\alpha ,x)\leq e(\alpha ,[a\_{n\_{p}}])+e([a\_{n\_{p}}],x)<{\frac {1}{p}}+{\frac {1}{p}}={\frac {2}{p}}<\varepsilon }

{\displaystyle \Rightarrow x\in B(\alpha ,\varepsilon )}, eta beraz: {\displaystyle B([a\_{n\_{p}}],{\frac {1}{p}})\subset B(\alpha ,\varepsilon )}

**7.16 Korolarioa**

{\displaystyle \alpha \in ([\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])\Rightarrow \exists [a\_{n}]\uparrow \alpha ;\exists [b\_{n}]\downarrow \alpha }

**Froga**:

Trinkotasunagatik {\displaystyle \exists [c\_{n}]\rightarrow \alpha }

{\displaystyle \varepsilon \_{0}=1\in \mathbb {Q} ^{+};p\_{1}=3} ri, 7.15 teorema aplikatuz: 

{\displaystyle \exists n\_{1}\in \mathbb {N} ;\exists \varepsilon \_{1}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n\_{1}}

i) {\displaystyle \alpha ,[c\_{n}]\in B([c\_{n\_{1}}],{\frac {1}{3}})}

ii) {\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{1})\subset B([c\_{n\_{1}}],{\frac {1}{3}})\subset B(\alpha ,1)}

{\displaystyle a\_{1}=c\_{n\_{1}}-{\frac {1}{p\_{1}}};b\_{1}=c\_{n\_{1}}+{\frac {1}{p\_{1}}}} aukeratzen dira.

Eta berriro ere, {\displaystyle \varepsilon \_{1}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p\_{2}}}<{\frac {\varepsilon \_{1}}{2}}}, aurreko teorema aplikatuz:

{\displaystyle \exists n\_{2}\in \mathbb {N} ;n\_{2}>n\_{1};\exists \varepsilon \_{2}\in \mathbb {Q} ^{+}:\forall n\geq n\_{2}}

i) {\displaystyle \alpha ,[c\_{n}]\in B([c\_{n\_{2}}],{\frac {1}{p\_{2}}})}

ii) {\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{2})\subset B([c\_{n\_{2}}],{\frac {1}{p\_{2}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon \_{1})}

Eta {\displaystyle a\_{2}=c\_{n\_{2}}-{\frac {1}{p\_{2}}};b\_{2}=c\_{n\_{2}}+{\frac {1}{p\_{2}}}}, aukeratzen dira.

Eta berriro ere: {\displaystyle \varepsilon \_{2}\in \mathbb {Q} ^{+}\Rightarrow \exists {\frac {1}{p\_{3}}}<{\frac {\varepsilon \_{2}}{2}}}, teorema aplika daiteke.

....

Errekurrentziz ondorengo segida eraikitzen da:

{\displaystyle a\_{k}=c\_{n\_{k}}-{\frac {1}{p\_{k}}};b\_{k}=c\_{n\_{k}}+{\frac {1}{p\_{k}}}}, zeinetan:

{\displaystyle B([c\_{n\_{k+1}}],{\frac {1}{p\_{k+1}}})\subset B(\alpha ,\varepsilon \_{k+1})\subset B([c\_{n\_{k}}],{\frac {1}{p\_{k}}})}

Ondorioz:

{\displaystyle a\_{k}=c\_{n\_{k}}-{\frac {1}{p\_{k}}}\leq a\_{k+1}=c\_{n\_{k+1}}-{\frac {1}{p\_{k+1}}}} {\displaystyle \Rightarrow [a\_{n}]\uparrow }

{\displaystyle b\_{k}=c\_{n\_{k}}+{\frac {1}{p\_{k}}}\geq b\_{k+1}=c\_{n\_{k+1}}+{\frac {1}{p\_{k+1}}}}{\displaystyle \Rightarrow [b\_{n}]\downarrow }

  

Gainera: {\displaystyle p\_{1}<p\_{2}<p\_{3}<...<p\_{n}<...} eta ondorioz:

{\displaystyle e(\alpha ,[a\_{k}])=e(\alpha ,[c\_{n\_{k}}-{\frac {1}{p\_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c\_{n\_{k}}])+e([c\_{n\_{k}}],[c\_{n\_{k}}-{\frac {1}{p\_{k}}}])}

{\displaystyle \alpha \in B([c\_{n\_{k}}],{\frac {1}{p\_{k}}})\Rightarrow e([c\_{n\_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p\_{k}}}}

Eta beraz: {\displaystyle e(\alpha ,[a\_{k}])<{\frac {2}{p\_{k}}}\Rightarrow [a\_{n}]\uparrow \alpha }

{\displaystyle e(\alpha ,[b\_{k}])=e(\alpha ,[c\_{n\_{k}}+{\frac {1}{p\_{k}}}])\leq e(\alpha ,[c\_{n\_{k}}])+e([c\_{n\_{k}}],[c\_{n\_{k}}+{\frac {1}{p\_{k}}}])}

{\displaystyle \alpha \in B([c\_{n\_{k}}],{\frac {1}{p\_{k}}})\Rightarrow e([c\_{n\_{k}}],\alpha )<{\frac {1}{p\_{k}}}}

{\displaystyle e(\alpha ,[b\_{k}])<{\frac {2}{p\_{k}}}\Rightarrow [b\_{n}]\downarrow \alpha }

{\displaystyle B(\alpha ,\varepsilon \_{k+1})\subset B([c\_{n\_{k}}],{\frac {1}{p\_{k}}})}, irudikatu da
**Oharra**: Irudian {\displaystyle \alpha \in B(\alpha ,\varepsilon )\subset B([q],{\frac {1}{p}})}, irudikatu da, eta kontuz ibili behar da, zeren geroago ikusiko den kontraadibidean {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ko elementuak ordenarekiko irudikatzen badira zuzen euklidearrean, behar bada, {\displaystyle \alpha \in ([C(\mathbb {Q} )]-[\mathbb {Q} ])}, ez da egongo irudikatu den bolaren barnean, naiz eta bolan dauden elementu arrazionalekiko gertu egon.

8. Osaketa
----------

Osaketarekin axioma berri bat txertatzen da, {\displaystyle [\mathbb {Q} ]}ren gain definitutako Cauchyren segidak konbergenteak direla. Honela ondorengoa da egoera.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra da, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, osatua da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

Orduan ere ezin da baieztatu ezaugarri hauek dituen gorputza bakarra denik, edo zenbaki errealen gorputzaren isomorfismo isometrikoa denik.

  

**8.1. Kontraadibidea**:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )}, zenbaki errealetan bezala definitua.

{\displaystyle x\oplus y=[\{x\_{n}+y\_{n}:n\geq 1\}]}, {\displaystyle x\odot y=[\{x\_{n}\cdot y\_{n}:n\geq 1\}]} eta {\displaystyle x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }(y\_{n}-x\_{n})\geq 0}.

Zeinak gorputz ordenatu arkimediarra eratzen duen.

{\displaystyle \wp =\{[k]\oplus {\sqrt {2}}:k\in \mathbb {Z} \}}, non: {\displaystyle {\sqrt {2}}=[\{({\sqrt {2}})\_{n}:n\geq 1\}]}, {\displaystyle ({\sqrt {2}})\_{n}} koefiziente arrazionaleko segida, {\displaystyle {\sqrt {2}}}ra konbergitzen duena zenbaki errealetan.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa honela definitua:

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-y\_{n}|}, {\displaystyle x,y\in \wp } edo {\displaystyle x,y\notin \wp } ematen bada.

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}+1-y\_{n}|}, {\displaystyle x\notin \wp } eta {\displaystyle y\in \wp } ematen bada.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)}, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} metrika euklidearraren hedapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} Trinkoa da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-n: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]={\overline {[\mathbb {Q} ]}}}.

Eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} osatua da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-ren gain.

Baina ez da zenbaki errealen multzoa: Neurri berriarekin egindako bolak ondorengoak dira zenbaki errealetan.

{\displaystyle B\_{e}(a,\varepsilon )=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:e(a,x)<\varepsilon \}=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})}, {\displaystyle a\in \wp } bada.

Eta {\displaystyle a\notin \wp } bada: {\displaystyle B\_{e}(a,\varepsilon )=B(a,\varepsilon )}

Ondorioa: Kontraadibide honek erakusten du, beste axioma bat behar dela zenbaki errealen multzoa modu bakarrean karakterizatzeko.

{\displaystyle B\_{e}(a,\varepsilon )=\{a\}\cup (B(a-1,\varepsilon )-\{a-1\})}
Irudian: {\displaystyle B\_{e}(a,\varepsilon )}, irudikatu da: {\displaystyle a\in \wp } denean.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ko elementuak zenbaki errealetan bezala kokatu dira: ordena eta distantziarekiko. Baina metrika berriarekin {\displaystyle a\in \wp } zentrutik gertu dauden puntuak, zenbaki errealetan unitate bat ezkerretara desplazatzen dira.

Froga:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa da.

1: {\displaystyle e:[C(\mathbb {Q} )]\times [C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]}, ondo definiutatko aplikazioa da.

2: {\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]}, {\displaystyle e(x,y)=e(y,x)}, defini daiteke.

3: {\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]}, {\displaystyle e(x,y)\geq 0}, berealakoa da.

4:{\displaystyle e(x,y)=0\Leftrightarrow x=y}.

{\displaystyle \Leftarrow } Berealakoa da.

{\displaystyle \Rightarrow }{\displaystyle x,y\in \wp }, bada edo {\displaystyle x,y\notin \wp } orduan {\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-y\_{n}|=0}, bada: {\displaystyle x=[\{x\_{n}:n\geq 1\}]=[\{y\_{n}:n\geq 1\}]=y}.

Eta beste kasua ezinezkoa da: {\displaystyle x\notin \wp } eta {\displaystyle y\in \wp } izanik, {\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}+1-y\_{n}|=0}, bada zenbaki errealetan ondorengo berdintza ematen da:

{\displaystyle x+1=y\Rightarrow x\in \wp }.

5: Desberdintza triangeluarra:

5.1. {\displaystyle x,y\notin \wp }

{\displaystyle z\notin \wp }, bada: desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

{\displaystyle z\in \wp }, bada: {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|=|x\_{n}+1-(y\_{n}+1)|\leq |x\_{n}+1-z\_{n}|+|y\_{n}+1-z\_{n}|}

eta limitera eramanez: {\displaystyle e(x,y)\leq e(x,z)+e(z,y)}

5.2.{\displaystyle x,y\in \wp }

{\displaystyle z\notin \wp }, bada: {\displaystyle |x\_{n}-y\_{n}|\leq |z\_{n}+1-x\_{n}|+|z\_{n}+1-y\_{n}|}, 

eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

{\displaystyle z\in \wp }, bada:desberdintza triangeluarra zenbaki errealetan bezala ematen da.

5.3. {\displaystyle x\notin \wp } eta {\displaystyle y\in \wp } kasua.

{\displaystyle z\notin \wp }, bada: {\displaystyle |x\_{n}+1-y\_{n}|=|x\_{n}-(y\_{n}-1)|\leq |x\_{n}-z\_{n}|+|z\_{n}-(y\_{n}-1)|}

{\displaystyle |x\_{n}+1-y\_{n}|\leq |x\_{n}-z\_{n}|+|z\_{n}+1-y\_{n}|}, ondorioztatzen da, eta limitera eramanez desberdintzaa triangeluarra.

{\displaystyle z\in \wp }, bada: {\displaystyle |x\_{n}+1-y\_{n}|\leq |x\_{n}+1-z\_{n}|+|z\_{n}-y\_{n}|}, eta limitera eramanez desberdintza triangeluarra ondorioztatzen da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}, espazio metriko euklidearraren hedapena da.

{\displaystyle [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow [p],[q]\notin \wp }

{\displaystyle e([p],[q])=\lim \_{n\to \infty }|p-q|=|p-q|=d([p],[q])}

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa trinkoa da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} espazio metrikoan.

{\displaystyle x\in [C(\mathbb {Q} )]} emanik.

1: {\displaystyle x\notin \wp } bada {\displaystyle x=\lim \_{n\to \infty }[x\_{n}]} betetzen da, zenbaki errealen kasuan bezala.

2: {\displaystyle x\in \wp } bada {\displaystyle x=\lim \_{n\to \infty }[x\_{n}-1]}, betetzen da, espazio metriko berrian.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metriko osatua da {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-ren gain.

Izan bedi: {\displaystyle \{[x\_{n}]:n\geq 1\}\subset [\mathbb {Q} ]}, cauchyrena {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)}-n, orduan zenbaki errealetan ohiko metrikarekin limite bakarra du:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\mid x\_{n}-x\mid =0}.

{\displaystyle x\notin \wp } bada: {\displaystyle x=\lim \_{n\to \infty }[x\_{n}]}, {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoan.

{\displaystyle x\in \wp } bada: {\displaystyle x\oplus [1]=\lim \_{n\to \infty }[x\_{n}]}, {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoan.

**Ondorioak:**

1: Gorputz ordenatu arkimediar trinko eta osatu txikiena, ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa, eta beraz emandako metrika berriak baldintza osagarriren bat bete behar du azpigorputz ordenatu arkimediar txikienaren gain.

2: Ezaugarri hori ez da unitateko distantziaren kontserbazioa, zeren azken kontraadibidean:

{\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [1],y\oplus [1])}, betetzen da.

Hurrengo kontraadibidean, ikusiko da distantziaren kontserbazioa zenbaki arrazionaletara hedatzen bada, baldintza hori ez dela nahikoa zenbaki errealen isomorfismo isometriko bat eraikitzeko.

  

**8.2. kontraadibidea**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )}, zenbaki errealetan bezala definitua.

{\displaystyle x\oplus y=[\{x\_{n}+y\_{n}:n\geq 1\}]}, {\displaystyle x\odot y=[\{x\_{n}\cdot y\_{n}:n\geq 1\}]} eta {\displaystyle x\preccurlyeq y\Leftrightarrow \lim \_{n\to \infty }(y\_{n}-x\_{n})\geq 0}.

Zeinak gorputz ordenatu arkimediarra eratzen duen, 8.2 kontraadibidean bezala.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa honela definitua:

{\displaystyle e([p],[q])=|p-q|}, baldin eta: {\displaystyle [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]} ematen bada.

{\displaystyle e(x,y)=\lim \_{n\to \infty }|x\_{n}-y\_{n}|}, baldin eta: {\displaystyle x,y\notin [\mathbb {Q} ]} ematen bada.

{\displaystyle e([p],x)=\lim \_{n\to \infty }|p-(x\_{n}-1)|}, baldin eta:{\displaystyle [p]\in [\mathbb {Q} ]} eta {\displaystyle x\notin [\mathbb {Q} ]} ematen bada.

Baldintza hauetan {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metriko bat da, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} espazio metriko euklidearraren hedapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} trinkoa da, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} espazio metrikoaren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} osatua da, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} espazio metrikoaren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoak, distantzia kontserbatzen du zenbaki arrazionalen bidezko batura bidez. Hots:

{\displaystyle \forall x,y\in [C(\mathbb {Q} )];\forall [p]\in [\mathbb {Q} ]\Rightarrow e(x,y)=e(x\oplus [p],y\oplus [p])}

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq ,e)} ez da zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa.

Ondorioa: Beharrezkoa da, distatziaren kontserbazioa zenbaki multzo handiago batetara hedatzea, zenbaki irrazionaletara hedatuko da.

  

  

**8.3. Axioma**

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\leq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren hedapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],d)} espazio metriko euklidearraren hedapena da, eta bateragarria baturarekiko: {\displaystyle \psi }.

{\displaystyle \forall x,y,z\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow e(x,y)=e(\psi (x,z),\psi (y,z))}

**8.4. Proposizioa**

{\displaystyle \forall \alpha \in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow }{\displaystyle \psi \_{\alpha }:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]} jarraia da, zeinetan: {\displaystyle \psi \_{\alpha }(x)=\psi (\alpha ,x)}.

Froga:

Topologia metrikoetan, multzo irekien oinarri bat bola irekiek osatzen dute.

Izan bedi: {\displaystyle B(b,\varepsilon )}, Ikus dezagun {\displaystyle \psi \_{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))}, multzo irekia dela.

{\displaystyle a=\psi (b,{\overline {\alpha }})}, hartzen bada orduan: {\displaystyle \psi \_{\alpha }(B(a,\varepsilon ))=B(b,\varepsilon )}, betetzen da.

{\displaystyle y\in \psi \_{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Rightarrow y=\psi (\alpha ,x):x\in B(a,\varepsilon )}

{\displaystyle e(b,y)=e(\psi \_{\alpha }(a),\psi \_{\alpha }(x))=e(\psi (\alpha ,a),\psi (\alpha ,x))=e(a,x)<\varepsilon }.

Ondorioz: {\displaystyle y\in \psi \_{\alpha }(B(a,\varepsilon ))\Leftrightarrow y\in B(b,\varepsilon )}, eta ondorioz: {\displaystyle \psi \_{\alpha }^{-1}(B(b,\varepsilon ))=B(a,\varepsilon )} irekia da.

Ondorioak:

Bi ondorio. Lehena baldintza hauetan bi zenbaki irrazionalen artean existitzen dira zenbaki arrazionalak.

Bigarrena: Zenbaki berdinera konbergitzen duten,segida arrazional gorakor batek eta segida arrazional beherakor batek, puntu bakarra barneratzen dute, edo ez dute ezer barneratzen. (Zeinak gorenaren axiomara hurbiltzen gaituen).

Ondorengoa da egoera:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra da, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, osatua da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoak bateragarria da: {\displaystyle \psi }, barne konposizio legearekiko.

Azken baieztapena, axioma moduan txertatu behar izan denak esaten du: bi puntuk osatzen duten segmentua, zenbaki batekin batuz segmentua zuzen euklidearrean trasladatzen bada, segmentuak distantzia kontserbatu egiten duela. Hots: zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren ezaugarria.

**8.5. Proposizioa**

{\displaystyle [a\_{n}]\rightarrow \alpha \Rightarrow [-a\_{n}]\rightarrow {\overline {\alpha }}}, zeinetan: {\displaystyle \psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})=[0]}

Froga:

{\displaystyle e([-a\_{n}],{\overline {\alpha }})=e({\overline {[a\_{n}]}},{\overline {\alpha }})=e(\psi ({\overline {[a\_{n}]}},[a\_{n}]),\psi ({\overline {\alpha }},[a\_{n}])=e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a\_{n}])}

{\displaystyle e([0],\psi ({\overline {\alpha }},[a\_{n}])=e(\psi ([0],\alpha ),\psi (\psi ({\overline {\alpha }},[a\_{n}]),\alpha )=e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a\_{n}])}

{\displaystyle e(\alpha ,\psi (\psi ({\overline {\alpha }},\alpha ),[a\_{n}])=e(\alpha ,\psi ([0],[a\_{n}])=e(\alpha ,[a\_{n}])\rightarrow 0}

Notazioa: Distantzia eta ordena bereizte aldera ondorengo notazioa erabiliko da.

{\displaystyle [a,b]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\preccurlyeq b\}}, bitarte ertsiak zein irekiak erabiliz.

**8.6. Proposizioa**

Bi zenbakiren artean, existitzen da zenbaki arrazional bat.

{\displaystyle \alpha ,\beta \in [C(\mathbb {Q} )]:\alpha \prec \beta \Rightarrow \exists [q]\in [\mathbb {Q} ]:\alpha \prec [q]\prec \beta }

**Froga**:

{\displaystyle \alpha \prec \beta \Rightarrow [0]=\psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})}, ordena bateragarria delako barne konposizio legearekin.

{\displaystyle \exists n\in \mathbb {N} :[0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})}, gorputz ordenatua, arkimediarra izateagatik.

{\displaystyle [a,b)=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:a\preccurlyeq x\prec b\}}adieraziko da. Orduan:

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]=\sum \_{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])}, bitarte erdi irekien bilketa disjuntua dela frogatuko da.

{\displaystyle \supset }

{\displaystyle \forall k\in \mathbb {Z} ,[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow }{\displaystyle \sum \_{k\in \mathbb {Z} }[[{\frac {k}{n}}],[{\frac {k+1}{n}}])\subset [C(\mathbb {Q} )]}

{\displaystyle \subset }

{\displaystyle x\_{0}\in [C(\mathbb {Q} )]} emanik, izan bedi, {\displaystyle E(x\_{0})=\{[{\frac {k}{n}}]\in [\mathbb {Q} ]:k\in \mathbb {Z} ;[{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq x\_{0}\}}

Baldin eta: {\displaystyle x\_{0}\succ [0]}, bada, ezaugarri arkimediarragatik:

{\displaystyle \exists N\in \mathbb {N} :x\_{0}\prec [N]=[{\frac {N\cdot n}{n}}]}, eta

{\displaystyle \exists M\in \mathbb {N} :{\overline {x\_{0}}}\prec [M]\Rightarrow \psi ({\overline {x\_{0}}},[{\overline {M}}])\prec [0]\Rightarrow }

{\displaystyle \Rightarrow [{\overline {M}}]=\psi (x\_{0},\psi ({\overline {x\_{0}}},[{\overline {M}}]))\prec \psi (x\_{0},[0])=x\_{0}\Rightarrow [{\overline {M}}]\prec x\_{0}}

Ondorioz: {\displaystyle [{\overline {M}}]=[-{\frac {M\cdot n}{n}}]\prec x\_{0}\prec [{\frac {N\cdot n}{n}}]\Rightarrow \exists !k\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec x\_{0}\prec [{\frac {k+1}{n}}]}

{\displaystyle x\_{0}\prec [0]} bada {\displaystyle [0]\prec [{\overline {x\_{0}}}]}-ren gain berdin argudiatuz emaitza lortzen da.

Orduan {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\exists !k,q\in \mathbb {Z} :[{\frac {k}{n}}]\prec \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}];[{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]}

I) {\displaystyle [q+1]\preccurlyeq [k]\Rightarrow \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {k}{n}}]\prec \alpha }, ezinezkoa.

ii) {\displaystyle [q]=[k]\Rightarrow [{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec \beta \prec [{\frac {k+1}{n}}]}

{\displaystyle \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq \psi (\alpha ,{\overline {\alpha }})\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})}

{\displaystyle \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec [{\frac {1}{n}}]\prec \psi (\beta ,{\overline {\alpha }})\prec \psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }})}

{\displaystyle [0]=\psi ([{\frac {1}{n}}],[-{\frac {1}{n}}])\prec \psi (\psi ([{\frac {k+1}{n}}],{\overline {\alpha }}),[-{\frac {1}{n}}])=\psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})}

Eta ondorioz: {\displaystyle \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})\preccurlyeq [0]\prec \psi ([{\frac {k}{n}}],{\overline {\alpha }})}. Zeina ezinezkoa den.

i) eta ii)-ren ondorioz: {\displaystyle [q]>[k]\Rightarrow [k+1]\preccurlyeq [q]}

{\displaystyle [{\frac {k}{n}}]\preccurlyeq \alpha \prec [{\frac {k+1}{n}}]\preccurlyeq [{\frac {q}{n}}]\prec \beta \prec [{\frac {q+1}{n}}]}

Beraz bi zenbakiren artean existitzen da zenbaki arrazional bat.

**Oharra**: Ondorengo proposizioek Gorenaren axiomara hurbilduko gaitu.

**8.7. Proposizioa.**

{\displaystyle [a\_{n}]\uparrow \alpha } eta {\displaystyle [b\_{n}]\downarrow \alpha }, orduan {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \Rightarrow [a\_{n}]\leq [b\_{n}]}

**Froga**:

Absurdura bideratuz suposa bedi: {\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :[b\_{n\_{0}}]<[a\_{n\_{0}}]}

{\displaystyle [a\_{n}]\uparrow \alpha } eta {\displaystyle [b\_{n}]\downarrow \alpha } {\displaystyle \Rightarrow \forall m>n\_{0},[b\_{m}]\leq [b\_{n\_{0}}]<[a\_{n\_{0}}]\leq [a\_{m}]}

Desberdintza zenbaki arrazionalen artekoa denez:

{\displaystyle 0<e([b\_{n\_{0}}],[a\_{n\_{0}}])\leq e([b\_{m}],[a\_{m}])\leq e([b\_{m}],\alpha )+e([a\_{m}],\alpha )}

{\displaystyle e([b\_{m}],\alpha )+e([a\_{m}],\alpha )\rightarrow 0} , ezinezkoa.

**8.8. Proposizioa**

{\displaystyle [a\_{n}]\uparrow \alpha } eta {\displaystyle [b\_{n}]\downarrow \alpha }, orduan bi proposizio hauetako bakar bat betetzen da:

1 ) {\displaystyle \exists !x\in [C(\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]=\{x\}}

2) {\displaystyle \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]=\emptyset }

**Froga**.

Absurdura bideratuz, suposa bedi {\displaystyle \exists \alpha ,\beta \in \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]} eta {\displaystyle \alpha <\beta }.

8.6. proposizioagatik,{\displaystyle \exists [p],[q]\in [\mathbb {Q} ]}, non {\displaystyle \alpha <[p]<[q]<\beta }.

{\displaystyle \exists \alpha ,\beta \in \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]\Rightarrow } {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,[a\_{n}]\prec \alpha \prec \beta \prec [b\_{n}]}

Zeren {\displaystyle [a\_{n},b\_{n}]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[a\_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b\_{n}]\}}

Honela zenbaki arrazionalen harteko ondorengo desberdintza betetzen da.

{\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,[a\_{n}]\prec \alpha \prec [p]\prec [q]\prec \beta \prec [b\_{n}]}, eta ondorioz:

{\displaystyle 0<e([p],[q])\leq e([a\_{n}],[b\_{n}])\rightarrow 0} ezinezkoa.

Ondorioz ezinezkoa da {\displaystyle \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]} multzoak bi elementu edo gehio izatea.

Eta beraz elementu bakarra izango du ala multzo hutsa izango da.

**Hipotesia**: Multzo hutsaren hipotesia.

{\displaystyle \exists } {\displaystyle [a\_{n}]\uparrow \alpha } eta {\displaystyle [b\_{n}]\downarrow \alpha }, non {\displaystyle \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]=\emptyset }.

Baldintzak:

Ondorengoa da egoera:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\phi ,\psi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra da, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, osatua da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoak bateragarria da: {\displaystyle \psi }, barne konposizio legearekiko.

**8.9. Teorema.**

Multzo hutsaren hipotesia betetzen bada ezinezkoa da, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}, zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea.

**Froga**:

Absurdura bideratuz isomorfismo isometriko bat existitzen bada: {\displaystyle \exists ,F:[C(Q)]\rightarrow \mathbb {R} }, zeinetan, {\displaystyle F} isomorfismo isometrikoa den.

Orduan {\displaystyle F}, aplikazioak zenbaki arrazionalak finko mantentzen ditu, eta ordena mantentzen du, eta hori ezinezkoa da.

{\displaystyle \exists } {\displaystyle [a\_{n}]\uparrow \alpha } eta {\displaystyle [b\_{n}]\downarrow \alpha }, non {\displaystyle \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]=\emptyset }. 

{\displaystyle [[a\_{n}],[b\_{n}]]=\{x\in [C(Q)]:[a\_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b\_{n}]\}}, eta ondorioz: {\displaystyle F([[a\_{n}],[b\_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :[a\_{n}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [b\_{n}]\}}.

{\displaystyle F}, isomorfismoak ordena mantentzen duenez, {\displaystyle F([[a\_{n}],[b\_{n}]])=\{F(x)\in \mathbb {R} :a\_{n}\leq F(x)\leq b\_{n}\}=[a\_{n},b\_{n}]}.

Honela: {\displaystyle F(\bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]])=F(\emptyset )=\emptyset } eta 

{\displaystyle F(\bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]])=\bigcap \_{n\geq 1}F([[a\_{n}],[b\_{n}]])=\bigcap \_{n\geq 1}[a\_{n},b\_{n}]=\lim \_{n\to \infty }a\_{n}}

Lehen berdintza {\displaystyle F} bijektiboa delako, eta azken berdintza zenbaki errealek gorenaren axioma betetzen dutelako.

Ezinezkoa da beraz multzo hutsaren hipotesia betetzea.{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} zenbaki errealen isomorfismo isometrikoa izatea nahi bada.

**8.10. Oharra**

Zenbaki errealen multzoa ezaguna izateak abantaila bat ematen du, bere eraikuntzarako beharrezkoak diren axiomak ezartzerako orduan. Honela errez frogatzen da, gorenaren axioma beharrezko baldintza bat dela zenbaki errealen eraikuntzan. Baina oraindik ez da frogatu axioma bat denik. Gerta daiteke, multzo hutsaren hipotesiarekin, ezarritako baldintzak betetzen dituen gorputz bat eraikitzea ezinezkoa izatea, eta orduan gorenaren axioma beste axiomen ondorioz ematen den proposizioa izango litzateke. Honetarako kontraadibide bat eraiki behar da ondorengo baldintzatan:

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra da, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, osatua da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoak bateragarria da: {\displaystyle \psi }, barne konposizio legearekiko.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} multzo hutsaren hipotesia betetzen du.

Baldintza horiek betetzen dituen gorputza existitzen bada, Gorenaren axioma, axioma bat izango da zenbaki errealen eraikuntzarako beharrekoa, eta ez bada existitzen gorenaren axioma, beste axiomen ondorioz ematen den proposizioa izango da.

Atal honen amaierarako utziko da kontraadibidea, prozesua luzea izateaz gainera, definizio berri batzuk, eta notazio berri bat eskatzen dituelako.

Momentuz, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-k gorenaren axioma betetzen du, baina ez dakigu axioma bat den edo proposizio bat den.

9. Kontraadibidea
-----------------

  

{\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )} Gorputz ordenatu arkimediarra existitzen dela frogatuko da lehenik. Zeinetan:

1: {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y}, {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y=[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\oplus [\{y\_{n}:n\geq 1\}]=[\{x\_{n}+y\_{n}:n\geq 1\}]}

2: {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-k multzo ez hutsaren hipotesia betetzen duela suposatuko da ( edo ez duela Gorenaren axioma betetzen ).

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ko elementuak ordenarekiko konparatuko dira zenbaki errealekin, eta {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} -k multzo hutsaren hipotesia betetzen duenez, hutsune horrek zenbaki errealetan puntu bat determinatuko du. Honela zenbaki errealetan zenbait puntu kenduaz gorputz bat eraiki daitekeela frogatuko da Zorn-en Lema erabiliz (Zeina aukeraketaren axiomaren baliokidea den). Gorputz hau existitzen dela frogatuko da eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )}-ren isomorfismoa dela frogatuko da.

Notazioa:{\displaystyle F\prec G}, erabiliko da (teorema honetan soilik), {\displaystyle F}, {\displaystyle G}-ren azpigorputz dela adierazteko.

Oharra: Ondorengo definizioan, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} multzoko hutsunea zenbaki errealetan: {\displaystyle \pi }, dela suposatuko da.

Definizioa: {\displaystyle \pi \in \mathbb {R} -\mathbb {Q} }, emanik {\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}} multzoa definituko da: {\displaystyle \pi } bere baitan ez duten, {\displaystyle \mathbb {Q} }-ren gaineko, {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpigorputzak adierazteko.

Proposizioa: Existitzen da elementu maximala {\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )}-n.

Froga: {\displaystyle ({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )} , partzialki ordenatutako multzoa da.

{\displaystyle \pi \notin \mathbb {Q} ;\mathbb {Q} \prec \mathbb {R} \Rightarrow }{\displaystyle \mathbb {Q} \in {\mathcal {F}}(\pi )\neq \emptyset }.

Guztiz ordenaturiko edozein multzoen familiak goi borne bat duela frogatuko da.{\displaystyle ({\mathcal {F}}(\pi ),\subset )}-n.

Izan bedi: {\displaystyle \{F\_{i}:i\in I\}\subset {\mathcal {F}}(\pi )}, guztiz ordenaturiko multzoen familia bat. {\displaystyle G=\bigcup \_{i\in I}F\_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )}, frogatuko da.

1: {\displaystyle G},{\displaystyle \mathbb {Q} }-ren gaineko, {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpigorputza da:{\displaystyle \mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R} } .

{\displaystyle \forall x,y\in G\Rightarrow \exists i,j\in I:x\in F\_{i};y\in F\_{j}}

Multzoen familia: {\displaystyle \{F\_{i}:i\in I\}}, guztiz ordenatua egoteagatik: {\displaystyle F\_{i}\subset F\_{j}}, orokortasunik galdu gabe.

{\displaystyle F\_{j}} gorputza denez: {\displaystyle x,y\in F\_{j}\Rightarrow x-y,xy^{-1}\in F\_{j}\subset G}. ( Biderkadurarentzat: {\displaystyle y\neq 0} denean ).

Ondorioz: {\displaystyle G}, gorputza da, eta {\displaystyle \mathbb {Q} \prec G\prec \mathbb {R} } erraz ondorioztatzen da.

2: {\displaystyle \pi \notin G}. Absurdura bideratuz: {\displaystyle \pi \in G} bada, {\displaystyle \exists i\in I:\pi \in F\_{i}} , eta {\displaystyle F\_{i}\in {\mathcal {F}}(\pi )\Rightarrow \pi \notin F\_{i}}.Ezinezkoa.

Ondorioz: {\displaystyle G\in {\mathcal {F}}(\pi )}. Eta {\displaystyle \forall i\in I,F\_{i}\subset G}.

Eta beraz guztiz ordenaturiko edozein familiak goi bornea du. Honela Zorn-en lema aplikatuz, {\displaystyle {\mathcal {F}}(\pi )=\{F:\mathbb {Q} \prec F\prec \mathbb {R} ,\pi \not \in F\}} multzoan existitzen da elementu maximala.

Elementu maximal bat aukeratuko da, eta {\displaystyle G\_{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )}, adieraziko da.

Oharrak: {\displaystyle G\_{\pi }}, izango da kontraadibiderako erabiliko den gorputza.{\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq )} eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\oplus ,\phi ,\preccurlyeq )}ren arteko isomorfismoa eratuko da.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}Multzoa Cauchyren segida erregularrek osatzen dute. Cauchyren segida bat emanik, bere baliokideak diren segida gorakorra eta beherakorra eraiki daitezke. Zentzu honetan ondorego notazioa erabiliko da

{\displaystyle \forall x\in [C(\mathbb {Q} )],\exists [x\_{n}^{1}]\uparrow ,[x\_{n}^{2}]\downarrow }, erregularrak. Hots: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}=\lim \_{n\to \infty }x\_{n}^{1}=\lim \_{n\to \infty }x\_{n}^{2}} .

Notazioarekin lehial izanez gero: {\displaystyle x=x^{1}=x^{2}}.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} Multzoa bi zatitan banatuko da. Lehen multzoko elementua osatzen duen segidak, ez du Gorenaren axioma beteko, eta beste multzoko elementua osatzen duen segidak beteko du gorenaren axioma. Hots lehen multzoko puntuaren elementuek ez dute punturik barneratuko (ordenarekiko), eta bigarren multzoko puntuen elementuek, puntu bat barneratuko dute.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\emptyset \}\oplus \{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}}

Bigarren multzoa, puntu bat barneratzen duten segida erregularrek osatzen dute, eta horrela {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}-ko elementu guziak barneratzen dira. Bigarren multzoa: {\displaystyle {\mathcal {P}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}}, adierazten bada. Gogora bedi, bitarteak ordenari egiten diola erreferentzi.

{\displaystyle [[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\{x\in [C(\mathbb {Q} )]:[x\_{n}^{1}]\preccurlyeq x\preccurlyeq [x\_{n}^{2}]\}}

Proposizioa.

{\displaystyle f:{\mathcal {P}}\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]}, aplikazio bijektiboa da. Zeinetan: 

{\displaystyle \forall x\in {\mathcal {P}},\{f(x)\}=\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}}.

Froga:

{\displaystyle f:{\mathcal {P}}\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]}

Aplikazioa da. 

{\displaystyle \forall x\in {\mathcal {P}},\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \Rightarrow |\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]|=1}, eta beraz {\displaystyle \exists !f(x)\in [C(\mathbb {Q} )]}.

Injektiboa da.

{\displaystyle x,y\in {\mathcal {P}}:f(x)=f(y)\Rightarrow \{f(x)\}=\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\{f(y)\}=\bigcap \_{n\geq 1}[[y\_{n}^{1}],[y\_{n}^{2}]]}

Eta beraz: {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}^{1}=\lim \_{n\to \infty }y\_{n}^{1}}, honela: {\displaystyle x=y}.

Supraiektiboa da.

{\displaystyle y\in [C(\mathbb {Q} )]}emanik barnera daiteke segida arrazionalen bidez: {\displaystyle \exists [x\_{n}^{1}]\uparrow ,[x\_{n}^{2}]\downarrow }, non {\displaystyle [x\_{n}^{1}]\preccurlyeq y\preccurlyeq [x\_{n}^{2}]}, eta {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }x\_{n}^{1}=\lim \_{n\to \infty }x\_{n}^{2}}.

Orduan: {\displaystyle \{y\}=\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\{f(x)\}}. Honela, {\displaystyle \exists x\in [C(\mathbb {Q} )]:y=f(x)}.

Bijekzio bat existitu arren, eta {\displaystyle {\mathcal {P}}\subset [C(\mathbb {Q} )]}, izan arren bi multzoak desberdinak dira.

Proposizioa: Multzo hutsaren hipotesia betetzen bada, {\displaystyle {\mathcal {P}}\subsetneq [C(\mathbb {Q} )]}.

Froga:

Multzo hutsaren hipotesia egia bada: {\displaystyle \exists [a\_{n}]\uparrow ,[b\_{n}]\downarrow }, non {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(b\_{n}-a\_{n})=0}, eta {\displaystyle \bigcap \_{n\geq 1}[[a\_{n}],[b\_{n}]]=\emptyset }

Ondorioz: {\displaystyle a=[\{a\_{n}:n\geq 1\}]\notin {\mathcal {P}}}.

Ikusi denez:

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\emptyset \}\oplus \{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}}

{\displaystyle {\mathcal {H}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]=\emptyset \}}

{\displaystyle {\mathcal {P}}=\{x\in [\mathbb {C} (\mathbb {Q} )]:\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}]]\neq \emptyset \}}

{\displaystyle {\mathcal {P}}}, multzoak gorputz maximaleko puntuen papera jokatuko du, eta {\displaystyle {\mathcal {H}}} multzoak hutsune multzoaren puntuak.

Hots, Cauchyren bi segida baliokidek ( gorakorra eta beherakorra ) ez badute elementu bat barneratzen, hutsune bat sortzen dute. Baina Cauchyren segida baliokideak izateagatik, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]} ko elementu bat dira, elementu honek ez du hutsunea sortzen, elementu hau osatzen duten terminuek determinatzen dute hutsunea. 

Zenbaki errealekin konparatzeko, {\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}ko elementu bakoitza bere terminuen limitera eramango da zenbaki errealetan.

Proposizioa:

{\displaystyle L:[C(\mathbb {Q} )]\rightarrow \mathbb {R} }, aplikazioa bijektiboa da. Zeinetan:

{\displaystyle x=[\{x\_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]\Rightarrow L(x)=\lim \_{n\to \infty }x\_{n}}

Froga. Ez du zailtasunik, zenbaki errealetan Cauchyren segidak konbergenteak dira.

Isomorfismoa.

Honenbestez isomorfismoa eraikitzeko moduan gaude, {\displaystyle G\_{\pi }\in {\mathcal {F}}(\pi )} gorputz maximalaren gain.

{\displaystyle G\_{\pi }=L({\mathcal {P}})} eginez, zeina hipotesiagatik existitzen den. {\displaystyle f({\mathcal {P}})=[(C(\mathbb {Q} ))]}, denez:

{\displaystyle G\_{\pi }=L(f^{-1}([C(\mathbb {Q} )]))=(L\circ f^{-1})([C(\mathbb {Q} )])}

Proposizioa:

{\displaystyle (f\circ L^{-1}):L({\mathcal {P}})\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]} aplikazio bijektiboa da.

Froga: Aplikazio bijektiboen konposizioa bijektiboa da.

{\displaystyle [C(\mathbb {Q} )]}Multzoan batura eta biderkadura definitu gabe daude, baturaren aukera posible bat: {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y} egitea da.

Teorema:

{\displaystyle (f\circ L^{-1}):G\_{\pi }\rightarrow [C(\mathbb {Q} )]}, Gorputzen arteko isomorfismoa da. 

Zeinetan {\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq )}, zenbaki arrazionalen gaineko gorputz ordenatu arkimediarra den, zenbaki errealen azpigorputza delako.

Eta {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )}-en eragiketak isomorfismoaren bidez definitzen diren.

{\displaystyle (f\circ L^{-1})(u+v)=\psi ((f\circ L^{-1})(u),(f\circ L^{-1})(v))}

{\displaystyle (f\circ L^{-1})(u+v)=\phi ((f\circ L^{-1})(u),(f\circ L^{-1})(v))}

Eta ordena: {\displaystyle x\leq y\Leftrightarrow (L\circ f^{-1})(u)\preccurlyeq (L\circ f^{-1})(v)}

Ondorengo baldintzarekin: {\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y}

Froga.

{\displaystyle \psi (x,y)=x\oplus y}, baldintza ezar daiteke. {\displaystyle x=(f\circ L^{-1})(u);y=(f\circ L^{-1})(v)}

{\displaystyle (f\circ L^{-1})(u+v)=(f\circ L^{-1})(u)\oplus (f\circ L^{-1})(v)}

{\displaystyle \Leftrightarrow (f\circ L^{-1})(L\circ f^{-1}(x)+L\circ f^{-1}(y))=x\oplus y} {\displaystyle \Leftrightarrow (f\circ L^{-1})(L(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y))=x\oplus y}

{\displaystyle \Leftrightarrow f(f^{-1}(x)\oplus f^{-1}(y)=x\oplus y}

Orokortasuna galdu gabe notazioak aldatuz{\displaystyle \Leftrightarrow f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y)}

Eta ondorengo berdintza betetzen denez:{\displaystyle \{f(x\oplus y)\}=\bigcap \_{n\geq 1}[[x\_{n}^{1}+y\_{n}^{1}],[x\_{n}^{2}+y\_{n}^{2}]]=\psi (f(x)\oplus f(y))}

{\displaystyle \psi (x\oplus y)=x\oplus y}, kontsidera daiteke.

Korolarioa:

{\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)} Gorputz ordenatu arkimediarra da. Trinkoa eta osatua zenbaki arrazionalen gain. Metrika bateragarria da baturarekiko, zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da eta ez du Gorenaren axioma betetzen.

Zeinetan: {\displaystyle e(u,v)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)|}

Froga:

{\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq )} Gorputz ordenatu arkimediarra da.

Gorputz hau Zorn-en lemarengatik existitzen da, Zenbaki arrazionalen hedapena da, eta zenbaki errealen azpigorputza da.

Ondorioz arkimediarra da.

Metrika:

1: Zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

{\displaystyle \forall p\in \mathbb {Q} \Rightarrow L([p])=p;f([p])=[p]}.

{\displaystyle e(p,q)=|(L\circ f\circ L^{-1})(p)-(L\circ f\circ L^{-1})(q)|=|p-q|}

2: {\displaystyle (G\_{\pi },e)}Trinkoa da {\displaystyle (\mathbb {Q} ,e)}-ren gain.

Izan bedi, {\displaystyle u\in G\_{\pi }}. Orduan, {\displaystyle (L\circ f\circ L^{-1})(u)\in \mathbb {R} }

Eta zenbaki errealetan existitzen da limite hori duen segida arrazionala.

{\displaystyle \exists \{v\_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} ):(L\circ f\circ L^{-1})(u)=\lim \_{n\to \infty }v\_{n}}.

Honela, {\displaystyle \forall \varepsilon >0,\exists n\in \mathbb {N} }, non:

{\displaystyle e(u,v\_{n})=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v\_{n})|=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-v\_{n}|<\varepsilon }

Eta beraz: {\displaystyle u\in B(v\_{n},\varepsilon )}.

3: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} Osatua da {\displaystyle (\mathbb {Q} ,e)}-ren gain.

Izan bedi {\displaystyle \{a\_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} )}, zenbaki arrazionalen gaineko Cauchyren segida bat.

Orduan: {\displaystyle a=[\{a\_{n}:n\geq 1\}]\in [C(\mathbb {Q} )]}, eta {\displaystyle u=(L\circ f^{-1})(a)\in L({\mathcal {P}})=G\_{\pi }}.

{\displaystyle \{a\_{n}:n\geq 1\}\in C(\mathbb {Q} )} Seidak {\displaystyle u\in G\_{\pi }}, rea konbergitzen du metrika berrian.

{\displaystyle e(u,a\_{n})=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(a\_{n})|=|L(a)-a\_{n}|<\varepsilon }

4: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} Metrika bateragarria da barne konposizio legearekiko.

{\displaystyle \forall u,v,w\in G\_{\pi }\Rightarrow e(u,v)=e(u+w,v+w)}

{\displaystyle e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u+w)-(L\circ f\circ L^{-1})(v+w)|}

{\displaystyle e(u+w,v+w)=|(L\circ f)(L^{-1}(u)\oplus L^{-1}(w))-(L\circ f)(L^{-1}(v)\oplus L^{-1}(w))|}

Eta ondorengo erlazioa betetzen denez:{\displaystyle f(x\oplus y)=f(x)\oplus f(y)}

{\displaystyle e(u+w,v+w)=|(L((f\circ L^{-1})(u)\oplus (f\circ L^{-1})(w))-(L((f\circ L^{-1})(v)\oplus (f\circ L^{-1})(w))|}

{\displaystyle e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)+(L\circ f\circ L^{-1})(w)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)-(L\circ f\circ L^{-1})(w)|}

{\displaystyle e(u+w,v+w)=|(L\circ f\circ L^{-1})(u)-(L\circ f\circ L^{-1})(v)|=e(u,v)}

5: {\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)} Espazioak ez du betetzen Gorenaren axioma.

Izan bedi zenbaki errealetan, {\displaystyle \pi =\lim \_{n\to \infty }\pi \_{n}}, unitateko zirkunferentziaren diametro erdira konbergitzen duen segida arrazional gorakorra.

Zebaki errealetan honela adierazten da: {\displaystyle \pi \_{n}\uparrow \pi }.

{\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}} Barnatua dago {\displaystyle (G\_{\pi },e)} espazio metrikoan.

{\displaystyle \varepsilon =1,\exists n\_{0}:\forall n\geq n\_{0},|\pi \_{n}-\pi \_{n\_{0}}|\leq 1}, eta ondorioz: {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\pi \_{1}\leq \pi \_{n}\leq \pi \_{n\_{0}}+1}. 

  

{\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}} Multzoak ez du elementu Gorena, {\displaystyle (G\_{\pi },e)}-n.

  

Absurdura bideratuz, suposa bedi {\displaystyle h\in G\_{\pi }}, {\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}}-ren Goi borne txikiena dela.

{\displaystyle \pi \not \in G\_{\pi }\Rightarrow h\neq \pi }. Eta beraz Zenbaki errealetan: i) {\displaystyle \pi <h} ala ii) {\displaystyle h<\pi }

i) Ematen bada: {\displaystyle \exists q\in \mathbb {Q} :\pi <q<h}, eta {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} ,\pi \_{n}<\pi <h}.

{\displaystyle q\in G\_{\pi }}, eta {\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}} ren goi bornea da eta {\displaystyle h\in G\_{\pi }}baino txikiagoa.

Honela {\displaystyle h\in G\_{\pi }} ez da {\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}}-ren goi borne txikiena.

ii) Ematen bada, zenbaki errealetan: {\displaystyle \pi \_{n}\uparrow \pi } ematen denez.

{\displaystyle \exists n\_{0}\in \mathbb {N} :h<\pi \_{n\_{0}}<\pi }, baina orduan {\displaystyle h\in G\_{\pi }} ez da {\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}} multzoaren goi bornea.

Ondorioz Existizen da {\displaystyle (G\_{\pi },e)}-n multzo barnatu bat:{\displaystyle \{\pi \_{n}:n\geq 1\}} , Elementu gorena ez duena.

**Bola irekiak irudikatuko dira.**

Ondorioak:

Ondorengo kontraadibidea aurkitu da:

1: {\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq )} Gorputz ordenatu arkimediarra da eta {\displaystyle (\mathbb {Q} ,+,\cdot ,\leq )}gorputz ordenatu arkimediarraren hedapena da.

2: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} metrika bat da eta {\displaystyle (\mathbb {Q} ,e)} Zenbaki arrazionalen gaineko metrika euklidearraren hedapena da.

3: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} trinkoa da {\displaystyle (\mathbb {Q} ,e)}-n.

4: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} osatua da {\displaystyle (\mathbb {Q} ,e)}-n.

5: {\displaystyle (G\_{\pi },e)} espazio metrikoa bateragarria da baturarekiko.

6: {\displaystyle (G\_{\pi },+,\cdot ,\leq ,e)} ez du betetzen Gorenaren axioma.

Ondorioz, Gorenaren axioma ezin da gainerako axiometatik ondorioztatu. Gorenaren axioma gainerako axiometatik ondorioztatuko balitz: 1,2,3,4 eta 5 axiomak betetzen dituen gorputzak Gorenaren axioma beteko luke. Eta kontraadibideak erakusten du, hori ez dela horrela.

Honela gorenaren axioma, Axioma berri bat da, Zenbaki errealen eraikuntzarako beharrezkoa.

Eta beraz ondorengo axiomak betetzen ditu {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)}espazioak.

i ) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq )}gorputz ordenatu arkimediarra da, eta {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],\oplus ,\odot ,\preccurlyeq )} zenbaki arrazional ordenatu arkimediarren edapena da.

ii) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren hedapena da.

iii) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, trinkoa da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

iv) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoa, osatua da: {\displaystyle ([\mathbb {Q} ],e)}espazio metriko euklidearraren gain.

v) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],e)} espazio metrikoak bateragarria da: {\displaystyle \psi }, barne konposizio legearekiko.

vi) {\displaystyle ([C(\mathbb {Q} )],\psi ,\phi ,\preccurlyeq ,e)} espazioan Gorenaren axioma betetzen da.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Angulo Martín, Patxi.  (2002-2005). *Euklides elementuak.*  Lizarra: Elhuyar, 123 or. ISBN 84-95338-52-1. PMC 1055232137. (Noiz kontsultatua: 2023-05-06).