Topologiaren arloan, X espazio topologiko baten **azpiespazioa**, X-ren A azpimultzo bat da X-tik heredaturiko topologia duena, **azpiezpazio topologia** ( edota **topologia erlatiboa)** deiturikoa.

Definizioa
----------

Izan bedi {\displaystyle (X,\tau \_{X})} espazio topologikoa eta {\displaystyle A} {\displaystyle X} -ren azpimultzoa, {\displaystyle A}-ren azpiezpazio topologia honela dago definituta:

{\displaystyle \tau \_{A}=\{A\cap U\mid U\in \tau \_{X}\}.}

Hau da, {\displaystyle A}-ren azpimultzo bat irekia da azpiespazio topologikoan baldin eta solik baldin {\displaystyle A}-ren eta {\displaystyle (X,\tau \_{X})}-n irekia den multzo baten ebakidura gisa adieraz badaiteke.

{\displaystyle \tau \_{A}}azpiespazioan itxiak izango dira,{\displaystyle \tau \_{X}}espazioan itxia den eta A-ren arteko ebakidura gisa adieraz badaiteke, eta itxien multzoa {\displaystyle C\_{A}}denotatuko dugu.

{\displaystyle A} multzoak azpiezpazio topologia badauka, orduan, berez espazio topologikoa da, eta {\displaystyle (X,\tau \_{X})}-ren azpiezpazioa deritzo. Espazio topologikoen azpimultzoek azpiezpazio topologia dutela ulertzen da maiz, besterik esaten ez bada.

Propietateak
------------

{\displaystyle A}, {\displaystyle X}-ren azpimultzo baterako azpiezpazio topologia modu honetan ere defini dezakegu: topologiarik txikiena zeinetarako partekotasun aplikazioa {\displaystyle \imath :A\hookrightarrow X} jarraitua den.

125x125px[*Betiko hautsitako esteka*]
Izan bitez {\displaystyle A}, {\displaystyle X}-ren azpimultzoa eta {\displaystyle \imath \_{A}:(A,\tau \_{A})\longrightarrow (X,\tau \_{X})|\imath \_{A}(x)=x} partekotasun aplikazioa.

* Orduan {\displaystyle (Y,\tau \_{Y})}edozein espazio topologiko baterako {\displaystyle f:(Y,\tau \_{Y})\longrightarrow (A,\tau \_{A})} aplikazioa jarraitua da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \imath \_{A}\circ f} jarraitua bada.
* {\displaystyle \tau } {\displaystyle A}-ren gaineko beste topologia bada non {\displaystyle \imath \_{A}:(A,\tau \_{A})\longrightarrow (X,\tau \_{X})} jarraitua den, orduan, {\displaystyle \tau \_{A}\subseteq \tau }.

  

Ondorioz, {\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})}jarraitua bada, orduan {\displaystyle f\_{|A}:(A,\tau \_{A})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})|f(x)=x}jarraitua da. Izan ere, {\displaystyle f\_{|A}=\imath \_{A}\circ f},

eta aurreko proposizioaren ondorioz, {\displaystyle f\_{|A}}jarraitua da.

Propietate gehiago:

* {\displaystyle V} ∈ {\displaystyle \tau \_{A}} baldin eta soilik baldin {\displaystyle U\in \tau \_{X}}badago non {\displaystyle V=U\cap A} den.
* {\displaystyle F\in C\_{A}} baldin eta soilik baldin {\textstyle G\in C\_{X}} badago non {\displaystyle F=G\cap A} den.
* {\displaystyle \beta } {\displaystyle \tau \_{X}}-ren ireki-oinarria bada, orduan, {\displaystyle \beta \_{A}=\{B\cap A\mid B\in \beta \}} {\displaystyle \tau \_{A}}-ren ireki-oinarria da.
* {\displaystyle N\in N\_{x}^{A}} baldin eta soilik baldin {\displaystyle M\in N\_{x}^{X}} badago non {\displaystyle N=M\cap A} den.
* {\displaystyle B\_{x}} x-ren ingurune-oinarria bada {\displaystyle (X,\tau \_{X})} espazio topologikoan, orduan{\displaystyle B\_{x}^{A}=\{B\cap A\mid B\in B\_{x}\}} x-ren ingurune-oinarria da {\displaystyle (A,\tau \_{A})}-n.
* {\displaystyle \sigma } {\displaystyle \tau }-ren azpioinarria bada orduan {\displaystyle \sigma \_{A}=\{S\cap A:S\in \sigma \}}{\displaystyle \tau \_{A}}-ren azpioinarria da.
* {\displaystyle B\subseteq A} bada, orduan, {\displaystyle {\bar {B}}^{A}={\bar {B}}^{X}\cap A} eta {\displaystyle B'^{A}=B'^{X}\cap A.}
* {\displaystyle B\subseteq A} bada, orduan, {\displaystyle fr\_{A}(B)\subseteq fr(B)\cap A} eta {\displaystyle {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B}}}\cap A\subseteq {\displaystyle {\stackrel {\ \circ }{B^{A}}}}}, eta berdintza ematen da {\displaystyle A\in \tau } denean.

Izan bitez {\displaystyle (X,\tau \_{X})} espazio topologikoa, {\displaystyle (A,\tau \_{A})} eta {\displaystyle B\subseteq A}. {\displaystyle B} {\displaystyle (X,\tau \_{X})}-ren azpiezpazio moduan ikus daiteke, {\displaystyle B}-ren gaineko {\displaystyle \tau \_{B}}topologia erlatiboa lortuz edota {\displaystyle (A,\tau \_{A})}-ren azpiezpazio moduan{\displaystyle (\tau \_{A})\_{B}}topologia erlatiboa lortuz. Orduan,{\displaystyle \tau \_{B}=(\tau \_{A})\_{B}}

Adibideak
---------

Hurrengoetan {\displaystyle \mathbb {R} } sinboloak zenbaki errealen multzoa adierazten du ohiko topologiarekin.

* Zenbaki arrunten, {\displaystyle \mathbb {N} }, azpiezpazio topologia, {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazio gisa, topologia diskretua da(zenbaki osoena, {\displaystyle \mathbb {Z} }, ere bai) .
* Zenbaki arrazionalek, {\displaystyle \mathbb {Q} }, {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazio gisa,  ez dute topologia diskretua,{\displaystyle \tau \_{dis}}, {0} adibidez ez da multzo irekia {\displaystyle \mathbb {Q} }-n. *a* eta *b* arrazionalak badira, orduan (a,b) eta [a,b] tarteak irekia eta itxia dira hurrenez hurren, baina *a* eta *b* irrazionalak badira, orduan x arrazional guztien multzoa non *a* < *x* < *b* itxia eta irekia da.
* [0,1] multzoa {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazio gisa, itxia eta irekia da, aldiz, {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazio gisa bakarrik itxia da.
* {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazio gisa, [0, 1] ∪ [2, 3] multzoa, bi multzo ireki disjuntuek osatzen dute (itxiak ere direnak), eta, ondorioz, azpiespazio ez-konexu bat da.
* Izan bitez A = [0, 1) {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpiezpazioa. Orduan [0, 1/2) irekia da A -n, baina ez {\displaystyle \mathbb {R} }-n. Halaber, [½, 1) itxia da A-n, baina ez *{\displaystyle \mathbb {R} }*-n. *A* bai irekia eta itxia da bere buruaren azpimultzo gisa, baina ez {\displaystyle \mathbb {R} }-ren azpimultzo gisa.

Adibide gehiago ikasitako espazio topologikoetan

* {\displaystyle (X,\tau \_{ind})}espazioan, non {\displaystyle \tau \_{ind}=\{X,\emptyset \}},edozein {\displaystyle A\subset X}, {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{ind}}.
* {\displaystyle (X,\tau \_{dis})}espazioan,non {\displaystyle \tau \_{dis}={\mathcal {P}}},{\displaystyle X}-ren partiketa ,orduan edozein {\displaystyle A\subset X}, {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{dis}}
* {\displaystyle (X,\tau \_{kof})}espazioan, non, {\displaystyle \tau \_{kof}=\{U\subset X:X\backslash U{\mbox{ finitua da edo }}U=\emptyset \}} , {\displaystyle A} infinitua bada, orduan {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{kof}} eta {\displaystyle A} finitua bada, orduan {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{dis}}.
* {\displaystyle (X,\tau \_{kok})}espazioan, non {\displaystyle \tau \_{kok}=\{U\subseteq X\ :\ X\setminus U{\mbox{ kontagarria da edo }}A=\emptyset \}}, {\displaystyle A} kontagarria ez bada, orduan {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{kok}} eta {\displaystyle A} kontagarria bada, orduan {\displaystyle \tau \_{A}=\tau \_{dis}}.

Propietate topologikoen kontserbazioa
-------------------------------------

Propietate bat **heredagarria** da, espazio topologiko batek propietate bat betetzeak inplikatzen badu bere edozein azpiezpaziok ere propietate hori beteko duela. Azpiezpazio itxiek soilik propietatea betetzen badute orduan **ahulki** **heredagarri** deritzo.

* Metrizagarria izatea propietate heredagarria da.
* Baire espazio baten edozein azpiezpazio ireki Baire ezpazio bat da.
* Espazio trinko baten edozein azpiespazio itxi trinkoa da.
* Hausdorff (T2) izatea propietate heredagarria da.
* Espazio normala izatea ahulki heredagarria da.

Aplikazio konbinatuak
---------------------

Izan bitez X eta Y bi multzo eta {\displaystyle \{A\_{i}:i\in I\}}X-ren estalkia (hau da {\displaystyle \bigsqcup \_{i\in I}A\_{i}=X}). Demagun {\displaystyle f\_{i}:A\_{i}\longrightarrow Y} erako aplikazioa dugula non {\displaystyle i\neq j} denean {\displaystyle x\in A\_{i}\cap A\_{j}}guztietarako {\displaystyle f\_{i}(x)=f\_{j}(x)}den( {\displaystyle f\_{i|\_{A\_{i}\cap A\_{j}}}}={\displaystyle f\_{j|\_{A\_{i}\cap A\_{j}}}}).

Orduan, {\displaystyle f:X\longrightarrow Y} **aplikazio konbinatua,** modu honetan definituta dagoen aplikazioa da: {\displaystyle f:X\longrightarrow Y|f(x)=f\_{i}(x)} {\displaystyle x\in A\_{i}}bada.

Aurreko egoeran, {\displaystyle (X,\tau \_{X})}eta {\displaystyle (Y,\tau \_{Y})}espazio topologikoak badira :

(i) {\displaystyle \forall i\in I}, {\displaystyle A\_{i}\in \tau \_{X}}eta {\displaystyle f\_{i}:(A\_{i},\tau \_{A\_{i}})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})} jarraitua bada, orduan {\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})} aplikazio konbinatua jarraitua da.

(ii) {\displaystyle I} finitua bada,{\displaystyle \forall i\in I} , {\displaystyle A\_{i}\in C\_{X}} eta {\displaystyle f\_{i}:(A\_{i},\tau \_{A\_{i}})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})} jarraituak ,orduan{\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})} aplikazio konbinatua jarraitua da.

#### Kontradibidea

(ii) atalean, {\displaystyle I} finitua izan behar da. Adibidez,{\displaystyle I=\mathbb {R} }bada, {\displaystyle 1\_{\mathbb {R} }:(\mathbb {R} ,\tau \_{u})\longrightarrow (\mathbb {R} ,\tau \_{dis})} ez da jarraitua, aldiz, {\displaystyle 1\_{\mathbb {R} |\_{\{x\}}}(\{x\},\tau \_{u})\longrightarrow (\mathbb {R} ,\tau \_{dis})} jarraitua da {\displaystyle x\in \mathbb {R} }guztietarako.

Murgilketak
-----------

Murgilketa bat {\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (Y,\tau \_{Y})}apliklikazio bat da non{\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (f(X),\tau \_{f(X)})} homeomorfismo bat den. Esango dugu {\displaystyle X} {\displaystyle Y}-n murgilduta dagoela {\displaystyle f} -ren bidez.

Murgilketa baten bidez{\displaystyle (X,\tau \_{X})} espazioa {\displaystyle (Y,\tau \_{Y})}-ren azpiezpazio gisa ikusten da.

### Propietateak

* Izan bitez {\displaystyle f:(X,\tau \_{X})\longrightarrow (f(X),\tau ')}murgilketa eta {\displaystyle g:(Y,\tau ')\longrightarrow (Z,\tau '')} homeomorfismoa. Orduan, {\displaystyle g\circ f} murgilketa da.
* Izan bedi {\displaystyle (X,\tau \_{X})} espazio topologikoa eta {\displaystyle A} bere azpimultzo bat {\displaystyle \tau '}topologiarekin. Orduan, {\displaystyle \imath :(A,\tau ')\hookrightarrow (X,\tau \_{X})}partekotasun aplikazioa murgilketa da baldin eta solik baldin {\displaystyle \tau '=\tau \_{A}}

Ikus gainera
------------

Zatidura espazio topologikoa

Biderkadura espazio topologikoa

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q16636374

 |

* Wd Datuak: Q16636374