Zenbaki Irrazional Bikarratuak
------------------------------

**Definizioa**: {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }, zenbaki irrazional bat bikarratua izendatzen da, koefiziente osoak dituen bigarren graduko polinomio baten erroa bada.

**Notazioa**: {\displaystyle \mathbb {N} ^{2}=\{n^{2}:n\in \mathbb {N} \}}.

{\displaystyle \alpha \in \mathbb {Q} ({\sqrt {p}})}, bada non {\displaystyle \alpha =a+b{\sqrt {p}}}, orduan {\displaystyle {\overline {\alpha }}=a-b{\sqrt {p}}} , bere konjokatua izendatuko da.

{\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} },ren {\displaystyle n}. hondarra: {\displaystyle R\_{n}}, beste modu honetan ere adieraziko da: {\displaystyle R\_{n}(\alpha )}, beste zenbaki irrazionalen {\displaystyle n}. hondarretik bereizteko.

**Definizioa**: {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }, zenbaki irrazional bikarratua, laburtua dela esango dugu, baldin eta: {\displaystyle \alpha >1} bada eta {\displaystyle -1<{\overline {\alpha }}<0}.

**Definizioa:**

Izan bedi {\displaystyle \alpha }, zenbaki irrazionala, eta {\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{n},...]}, zatiki jarraien bidezko bere garapena periodikoa dela esango dugu, {\displaystyle (a\_{n})\_{n\geq 0}}, segida periodikoa bada, eta segidaren periodoa: {\displaystyle T}, bada {\displaystyle \alpha }-ren zatiki jarraien bidezko garapenaren periodoa: {\displaystyle T}, dela esango dugu.

Periodoaren lehen elementua: {\displaystyle a\_{N}}, bada {\displaystyle \alpha }-ren zatiki jarraien garapena periodoa,{\displaystyle T}-periodikoa dela esango da {\displaystyle hein(N)}-tik aurrera (heina N), eta zatiki jarraien garapena, honela idatziko da:

{\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{N-1},{\overline {a\_{N},...a\_{N+T-1}}}]}.

* Eulerrek frogatu zuen 1748.urtean, {\displaystyle \alpha }-ren zatiki jarraien garapena periodikoa bada, orduan {\displaystyle \alpha } zenbaki irraziona bikarratua dela, eta Lagrangek frogatu zuen 1768.urtean {\displaystyle \alpha }zenbaki irrazional bikarratua bada, orduan zatiki jarraien bidezko garapena periodikoa dela. Biak idatziko dira proposizio batean.

**Proposizioa:**

Izan bedi {\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{n},...]}, zatiki jarraien bidezko bere garapena. Orduan: garapena periodikoa da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \alpha } irrazional bikarratua bada.

Froga: {\displaystyle \Rightarrow Euler(1748)}

Suposa bedi {\displaystyle \alpha }-ren zatiki jarraien bidezko garapena, {\displaystyle T}-periodikoa dela, {\displaystyle hein(N)}-tik aurrera: {\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{N-1},{\overline {a\_{N},...a\_{N+T-1}}}]} , eta {\displaystyle \alpha }-ren {\displaystyle n}. hondarra zatiki laburtezin gisara adierazia:{\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{n}]={\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}}. 

{\displaystyle \alpha \_{N}=[{\overline {a\_{N},...a\_{N+T-1}}}]}, {\displaystyle \alpha }-ren {\displaystyle N}.zatiki laburtua, eta {\displaystyle \alpha \_{N}}-ren {\displaystyle n}. hondarra zatiki laburtezi gisara adierazia: {\displaystyle \alpha \_{N}=[a\_{N},a\_{N+1},...a\_{N+n}]={\frac {r\_{n}}{s\_{n}}}}. 

{\displaystyle \alpha } zenbaki irrazional baten, {\displaystyle n}.zatiki laburtuek:{\displaystyle \alpha \_{n}}, ondorengo ezaugarria dute:{\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{n-1},\alpha \_{n}]}, ikus zatiki jarraiak. {\displaystyle \alpha \_{N}}periodikoa dela kontuan hartuz:

{\displaystyle \alpha \_{N}=[a\_{N},...a\_{N+T-1},{\overline {a\_{N},...a\_{N+T-1}}}]=[a\_{N},...a\_{N+T-1},\alpha \_{N}]={\frac {r\_{T-1}\alpha \_{N}+r\_{T-2}}{s\_{T-1}\alpha \_{N}+s\_{T-2}}}}. Eta ondorioz: {\displaystyle \alpha \_{N}=[a\_{N},...a\_{N+T-1},{\overline {a\_{N},...a\_{N+T-1}}}]=[a\_{N},...a\_{N+T-1},\alpha \_{N}]={\frac {r\_{T-1}\alpha \_{N}+r\_{T-2}}{s\_{T-1}\alpha \_{N}+s\_{T-2}}}}, eta beraz: {\displaystyle s\_{T-1}\alpha \_{N}^{2}+(s\_{T-2}-r\_{t-1})\alpha \_{N}-p\_{T-2}=0}, eta {\displaystyle s\_{T-1}\in \mathbb {N} }denez, {\displaystyle \alpha \_{N}} bikarratua da. Bestalde {\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{n},\alpha \_{N}]} betetzen denez, {\displaystyle \alpha \_{N}\in \mathbb {Q} \Rightarrow \alpha \in \mathbb {Q} } , eta ondorioz zatiki jarraien bidezko garapena finitua da (zatiki jarraiak), zeina ezinezkoa den. Ondorioz: {\displaystyle \alpha \_{N}\not \in \mathbb {Q} }, eta beraz {\displaystyle \alpha \_{N}}, zenbaki irrazional bikarratua da. {\displaystyle \alpha \_{N}=a+b{\sqrt {c}}}, modukoa da non: 

{\displaystyle a,b\in \mathbb {Q} ;b\neq 0}, eta {\displaystyle c\in \mathbb {N} -\mathbb {N} ^{2}}. 

{\displaystyle \alpha =[a\_{0},a\_{1},...a\_{N-1},\alpha \_{N}]\Rightarrow \alpha ={\frac {p\_{N-1}\alpha \_{N}+p\_{N+2}}{q\_{N-1}\alpha \_{N}+q\_{N-2}}}}

{\displaystyle \alpha ={\frac {p\_{N-1}\alpha \_{N}+p\_{N+2}}{q\_{N-1}\alpha \_{N}+q\_{N-2}}}={\frac {p\_{N-1}(a+b{\sqrt {c}})+p\_{N+2}}{q\_{N-1}(a+b{\sqrt {c}})+q\_{N-2}}}=u+v{\sqrt {c}}}, gisakoa da, zeinetan:

{\displaystyle u,v\in \mathbb {Q} }. Bestalde, {\displaystyle v=0} ezinezkoa da, zeren kasu horretan: {\displaystyle p\_{N-1}(a+b{\sqrt {c}})+p\_{N-2}=u(q\_{N-1}(a+b{\sqrt {c}})+q\_{N-2})\Rightarrow p\_{N-1}=uq\_{N-1};p\_{N-2}=uq\_{N-2}}. Zeinaren ondorioaz ondoz ondoko bi hondar berdinak diren: {\displaystyle R\_{N-1}=R\_{N-2}}. Ezinezkoa.

Ondorioz: {\displaystyle \alpha }, zenbaki irrazional bikarratua da.