|  |
| --- |
| Artikulu sorta honen partea: |
| Mekanika klasikoa |
| {\displaystyle {\boldsymbol {F}}=m{\boldsymbol {a}}}Newtonen legeak |
| 
* Historia
* Kronologia

 |
| Adarrak
* Aplikatua
* Dinamika
* Estatika
* Zerukoa
* Zinematika
* Medio jarraituak
* Zinetika
* Estatistikoa

 |
| Oinarriak
* Abiadura
* Azelerazioa
* Abiadura-modulua
* Bulkada
* D'Alembert-en printzipioa
* Denbora
* Energia
	+ potentziala
	+ zinetikoa
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Espazioa
* Indar-parea
* Indarra
* Inertzia / Inertzia-momentua
* Lana
* Lan birtuala
* Masa
* Momentua
* Momentu angeluarra
* Momentu lineala
* Potentzia
* Torkea

 |
| Zientzialariak
* Galileo
* Huygens
* Newton
* Kepler
* Horrocks
* Halley
* Euler
* d'Alembert
* Clairaut
* Lagrange
* Laplace
* Hamilton
* Poisson
* Daniel Bernoulli
* Johann Bernoulli
* Cauchy

 |
| Muinekoak
* Bibrazioa
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema inertziala
* Erreferentzia-sistema ez-inertziala
* Gorputz zurruna
	+ Eulerren ekuazioa
	+ Solido zurrunaren mekanika
* Grabitazio unibertsalaren legea
* Higidura zuzena
* Higidura
* Marruskadura-indarra
* Newtonen legeak
* Osziladore harmonikoa
* Moteltze(Moteltze ratio)
* Higiduraren ekuazioa
* Eulerren higiduraren legeak
* Itxurazko indarra
* Partikula planarraren higadura-mekanika
* Abiadura erlatiboa
* Higidura harmoniko sinple

 |
| Biraketa
* Abiadura angeluarra
* Abiadura tangentziala
* Azelerazio angeluarra
* Biraketa-abiadura
* Coriolis efektua
* Desplazamendua
* Erreferentzia-sistema
* Higidura zirkular
* Indar zentripetu
* Indar zentrifugo
* Maiztasuna
* Pendulua

 |
| Formulazioak
* Newtonen legeak
* Mekanika analitikoa
* Mekanika Lagrangiar
* Mekanika Hamiltoniar
* Mekanika Routhiar
* Hamilton–Jacobi ekuazioa
* Appellen higidura-ekuazioa
* Koopman–von Neumann mekanika

 |
| Kategoriak  Mekanika klasikoa
 |
| * i
* e
* a
 |

Fisikan, ***erreferentzia-sistema inertzial*** deritzo erreferentzia-sistema berezi bati, zeinean ***inertziaren printzipioa*** betetzen den. Horrek esan nahi du inolako indarren eraginik jasaten ez duen gorputz puntualak translaziozko higidura zuzen uniformea daukala edo, bestela, geldi dagoela. Beraz, gorputzaren abiadura konstantea da, bai moduluz eta bai norabidez ere. Horrelako sistemei *Galileoren sistemak* edo *sistema galilearrak* ere esaten zaie Galileoren omenez, bera izan zen horretaz jabetu zen lehena.

Erreferentzia-sistema inertzialetan, denbora uniformea da eta espazioa homogeneoa eta isotropoa. Mekanika newtondarrean, hiru dimentsioko espazio euklidear osoa kontuan hartzen du sistema horrek, eta toki guztietan dagoen behatzaile omnipresente bat kontsideratzen da bertan, edozein aldiunetan puntu materialak duen posizioa neurtzeko gai dena; izan ere, gertaera puntuala zein aldiunetan gertatzen den neurtuko du kronometroaz, eta puntua zein posiziotan dagoen luzera-neurgailuaz. Dena den, praktikan erabiltzen diren sistema inertzialak idealizazio bat dira, beti ere hurbilketa modura definitzen dena.

Erreferentzia-sistema inertzial batekiko biraketarik gabe eta translazio zuzen eta uniformez higitzen den beste edozein sistema ere inertziala da. Horrek esan nahi du infinitu sistema galilear daudela. Mekanikaren legeak berberak dira sistema inertzial guztietan; bestela esanda, ez dira aldatzen sistema inertzial batetik beste sistema inertzial batera pasatzean.

Hala ere, magnitude fisikoen balioak desberdinak izan daitezke sistema desberdinetan, nahiz eta balio horiek elkarrekin erlazionaturik dauden, transformazio-ekuazio zehatzen bitartez. Mekanika newtondarrean, sistema batetik besterako formulak *Galileoren transformazioa*ren bidez egiten dira. Sistema inertzial guztietatik balio bereko azelerazioak neurtzen dira; horrexegatik, sistema inertzial guztietan modu berean aplikatzen dira Newtonen legeak. Bestela esanda, guztietatik behatzen eta neurtzen dira indar berberak; indar horiek "*errealak*" direla esaten dira. *Erlatibitate berezia*n, sistema batetik bestera pasatzeko, ezin da Galileoren transformazioa erabili; horren ordez, *Lorentzen transformazioa* erabili behar da.

Inertziaren printzipioa betetzen ez duten sistemei *erreferentzia-sistema ez-inertzial* deritze. Horrelakoak dira sistema inertzial batekiko *biraketa*z edo *azelerazioa*z higitzen diren erreferentzia-sistemak. Sistema horietan Newtonen legeak ondo aplikatzeko, *indar erreal*ez gain, *inertzia-indarrak* ere hartu behar dira kontuan. Inertzia-indarrak ez dira gorputz materialen arteko interakzioen ondoriozkoak, eta horregatik *indar "fiktizioak"* izena ere ematen zaie.

Definizioa eta propietate orokorrak
-----------------------------------

Bai fisika klasiko newtondarrean eta bai erlatibitate berezian, neurketak egiten dituen *behatzaile* ahaltsu bat dago, hiru dimentsioko espazioan partikula puntualen posizioak neurtzeko gai dena aldiune guztietan. Behatzaile ahalguztidun horrek, batetik, "erreferentziako espazio solido" bat (*koordenatu-sistema* bat) kontsideratzen du espazioan, bertan partikulen posizio espazialak neurtzeko eta, bestetik, espazio osoko puntuetan sinkronizaturik dagoen eta "erreferentziako denbora" ematen duen "erloju" berezi bat dauka, gertaera puntualak jazotzen diren aldiuneak adierazteko. Posizioak eta denborak neurturik, behatzailea partikulen *higidura*k deskribatzeko gai da. Behatzaile, koordenatu-sistema eta erlojuen multzoa da fenomeno fisikoak aztertzeko erabiltzen den ***erreferentzia-sistema*.** 

### Nola aukeratu erreferentzia-sistema egokia

Fenomeno fisiko konkretu bat aztertzeko, funtsezkoa da erreferentzia-sistema egokia aukeratzea, batez ere horrela fisikaren legeen formulazio matematikoa erraztu daitekeelako. Aukera horretarako, aztertu beharreko problemaren baldintzak kontuan izanik, zenbait irizpide finkatu behar dira. Besteak beste, batetik, koordenatu-sistemen jatorria eta ardatzak (*koordenatu kartesiarrak*, *koordenatu* *zilindrikoak*, *koordenatu esferikoak*…) eta, bestetik, denboraren jatorria ({\displaystyle t=0} aldiunea) zehaztu beharko dira, neurketa espazio-denboralak finkatzeko. Halaber, behatzailea geldi dagoen sistema osoaren higidura ere kontuan izan beharko da, zeren, adibidez, higiduraren dinamika aztertzeko erreferentzia-sistematzat ez baita gauza bera tren geltokiko nasa aukeratzea, edo azeleratzen ari den tren hartzea; edota, zaldiko-maldikoaren gainean dagoen gorputzaren higidura aztertzeko, ez da berdin begiratokitzat parkeko puntu finkoa hartzea edo biraka ari den plataforma bera.

Bestalde, sistema desberdinetatik fenomeno fisikoak aztertzean, kontzeptu bereziak landu behar izaten dira, espazioko puntu eta norabide guztiak ez baitira baliokideak. Baina erreferentzia-sistema "pribilegiatu" batzuk existitzen dira, zeinetan espazioa *homogeneoa* (puntu guztiak dira baliokideak) eta *isotropoa* (norabide guztiak baliokideak) den, eta denbora *uniformea* (aldiune guztiak baliokideak): *erreferentzia-sistema inertzialak* edo *galilearrak*. Beraz, lehenengo pauso modura, mota horretako sistema pribilegiatuak definitu beharko ditugu.

### Erreferentzia-sistema galilearren definizioa eta inertziaren printzipioa

Ezer baino lehen, erreferentzia-sistema inertzial bat definituko dugu, ezaugarri hau duela esanez: sistema horretan edozein puntu material askek higidura zuzen uniformea du, edo geldi dago; eta aldi berean esango dugu puntu materiala partikula askea dela, inolako indarren eraginik jasaten duena. Definizio hori eta *inertziaren printzipioa* baliokideak dira; azken batez, printzipio horrek gorputz materialek beren abiaduran irauteko joera adierazten du. Beraz, inertziaren printzipioa honelaxe eman daiteke: «*Partikula askeak abiadura konstantez higitzen dira erreferentzia-sistema inertzialetan*»; hau da, partikula askeen azelerazioa nulua da sistema inertzialetan. Printzipio hori da *Newtonen lehenengo legearen* muina; horregatik, *inertziaren legea* ere esaten zaio. Dena den, definizioa eman ondoren, oraindik ebatzi gabeko arazo bat daukagu: nola aurkitu "*partikula aske*" bat?

Erreferentzia-sistema inertzial baten bila
------------------------------------------

Aurreko definizioak gurpil zoro batean sartu gaitu: sistema inertzial bat definitzeko, partikula aske bat identifikatu behar dugu lehenik, eta partikula aske bat identifikatzeko, sistema inertzial batean gaudela jakin behar dugu aldez aurretik. Nola edo hala irten egin behar dugu inora ez garamatzan zepo horretatik, eta horretan saiatuko gara jarraian.

Lurrean bizi garenez, galdetu egin dezakegu ea sistema inertzial konkreturik erabil dezakegun geure inguruan. Baina galdera horri erantzun ahal izateko, gugandik urrun joan beharko dugu lehenik, *izar finkoak* deritzen izarrekin loturiko sistemaraino. Sistema horretatik abiaturik eta hurbilketak eginez iritsiko gara geure bizimodu normaleko fenomenoak aztertzeko erabiliko dugun erreferentzia-sistema praktikora.

### Izar finkoen erreferentzia-sistema "inertziala"

Eguzki-sistemako planeten ibilbide eliptikoen eskema, Merkuriotik Jupiterrera
Dakigunez, naturako materian eragiten duten distantzia handietara eragiten duten *elkarrakzio* edo *indarrak* moteldu egiten dira distantzia handitu ahala; zehazki esanda, distantziaren karratuaren araberako alderantzizko *proportzionaltasun*ez. Hortaz, gaueko zeruan ikusten ditugun eta elkarrengandik distantzia izugarrietara dauden izar finkoak partikula asketzat har ditzakegu; eta izar finkoekin loturiko erreferentzia-sistema hori inertziala dela kontsidera dezakegu, hurbilketa oso ona eginez.

Lurreko sistema geozentrikoa, {\displaystyle S\_{\text{G}}}, eta Eguzkiko sistema heliozentrikoa, {\displaystyle S\_{\text{E}}}.
### Eguzkiarekin loturiko erreferentzia-sistema

Eguzkia bera ere izar bat da, gugandik hurbilen dagoena, eta kalkula daitekeenez, oso azelerazio txikiz higitzen da gure galaxiaren zentroarekiko: {\displaystyle 3\times 10^{-8}{\text{cm/s}}^{2}}baliokoaz. Azelerazio hori hain txikia izanik, Eguzkiarekin eta izan finkoekiko biratu gabe doan erreferentzia-sistema ere inertziala dela esan dezakegu.

Sistema horri *sistema heliozentrikoa* ere baderitzo, jatorria Eguzkiaren zentroan baitu eta {\displaystyle S\_{\text{E}}} sinboloaz adieraziko dugu; arlo gehienetan oso hurbilketa ona da sistema inertzialtzat hartzeko, jatorriak oso azelerazio txikia izateaz gain, sistema bera ez baitago biraka izar finkoekiko. Sistema horretan eguzki-sistemako planeten higidurak azter ditzakegu, eta bertan planeta guztien orbitak Eguzkia barnean duten planoetan gertatzen dira, eta eszentrikotasun oso txikiko ibilbide eliptikoak (ia-ia zirkunferentziak) dituzte, Eguzkia elipsearen foku batean egonik. Horiek dira izatez *Kepler-en legeak*.

Lur planetan erreferentziatzat hartu ohi diren bi sistema ia-inertzialak, problemaren hurbilketaren mailaren arabera erabiliak.
### Lurreko sistemak

Lurreko erreferentzia-sistema {\displaystyle P} puntuan, {\displaystyle S\_{\text{L}}}, eta sistema geozentrikoa, {\displaystyle S\_{\text{G}}}.
Defini ote dezakegu bizi garen Lur planetarekin loturiko sistema inertzialik? Kasu honetan ere, hurbilketa bat egin beharko dugu, alboko irudian grafikoki adierazten den modura. Kontuan izanik Lurrak Eguzkiaren inguruan duen ibilbide eliptikoan (ia zirkularra dena) azelerazio zentripetuak gutxi gorabehera {\displaystyle 0,6{\text{ cm/s}}^{2}} balio duela, azelerazio hori oso txikia denez, hurbilketa modura esan dezakegu jatorria Lurraren zentroan duen eta Eguzkiko {\displaystyle S\_{\text{E}}} sistemarekiko paraleloki kokaturik dagoen {\displaystyle S\_{\text{G}}} erreferentzia-sistema ere inertzialtzat har dezakegula.  Beraz, goialdeko ezkerraldeko irudiko {\displaystyle S\_{\text{G}}} sistema ere inertzialtzat hartuko ditugu praktikan, hurbilketa nahiko ona eginez; sistema horri *sistema geozentrikoa* ere esaten zaio.

Dena den, badakigu Lurra biraka ari dela, Ipar polotik Hego polora doan ardatzaren inguruan, eta gu-geu, Lurrean bizi garenok, biraketa horretan gabiltzala birabetea eginez egun osoan, hots, {\displaystyle \omega =7,27\times 10^{-5}{\text{rad·s}}^{-1}}balioko abiadura angeluarraz. Abiadura angeluar hori oso txikia denez, hurbilketa modura onartuz, gu bizi garen tokiko {\displaystyle S\_{\text{L}}} sistema arrunta ere inertzialtzat hartuko dugu.

Sistema honen jatorria Lurraren zentroan kontsidera daiteke, baina eguneroko problema arrunten kasuan ohikoagoa da jatorria gu bizi garen tokian (ezkerraldeko irudiko {\displaystyle P} puntuan) bertan hartzea. Praktikan, tokiko koordenatu kartesiarrak aukeratzean, {\displaystyle Px} ardatza norabide horizontalean eta hegoalderanzko noranzkoan hartu ohi da; {\displaystyle Py} ardatza, horizontala eta ekialderantz eta {\displaystyle Pz} ardatza, tokiko bertikala gorantz. Erreferentzia-sistema hori inertzialtzat hartzea oso hurbilketa ona da gure bizimoduko objektu arrunten *dinamika* aztertzean, baina ez da egokia naturan gertatzen diren tamaina handiko higiduretan, hala nola itsasoko korronte nagusien edo atmosferako haize-korronteen eta fenomeno metereologikoen  kasuan.

Erreferentzia-sistema inertzialen aldaketa mekanika newtondarrean
-----------------------------------------------------------------

Erreferentzia-sistema inertzial guztietan inertziaren printzipioa betetzen dela jakinik, hurrengo pausoa da elkarrekiko abiadura konstantez higitzen ari diren bi sistema inertzialetako behatzaileek neurtzen dituzten magnitude zinematikoen arteko erlazioak lortzea.  

{\displaystyle S'} sistema inertziala {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} abiadura konstantez higitzen ari da {\displaystyle S} sistema inertzialarekiko.
### Mekanika klasikoan, Galileoren transformazioa

Mekanika newtondarrean, bi sistema inertzialen arteko erlazio zinematikoak Galileoren transformazioaren bidez adierazten dira. Adibide sinple baten bidez jarraian ikusiko dugunez, oso modu errazean lortuko ditugu zein diren erlazio horiek. Eskuinaldeko irudiko adibidean, {\displaystyle S'} sistema {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} abiadura konstantez higitzen ari da {\displaystyle S} sistemaren {\displaystyle Ox} norabidean eta, gauzak errazteko, kontsideratuko dugu hasierako aldiunean bi sistemen jatorriak puntu berean egon direla eta bi erlojuek ordu berbera markatu dutela: {\displaystyle t=t'=0}. Gauzak horrela, erlazio hau dago {\displaystyle P} partikula puntualak bi sistema horietan dituen posizio-bektoreen artean:


r

′

=

r

−

R

=

r

−

V

t
.

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t.}

{\displaystyle {\boldsymbol {r}}'={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {R}}={\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t.}Erlazio hori bi sistemetako osagai kartesiarretan bananduta idatzirik:


{

x
′

=
x
−
V
t


y
′

=
y


z
′

=
z



{\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\end{cases}}}Bestalde, kontuan harturik denbora absolutua dela, eta bi behatzaileen erlojuak sinkronizaturik daudela,



t
′

=
t

{\displaystyle t'=t}

{\displaystyle t'=t}ere idatz ditzakegu. Lau erlazio zinematiko horiek osatzen dute ***Galileoren transformazioa***, modu trinkoagoan era honetan idatzi ohi dena:


{

x
′

=
x
−
V
t


y
′

=
y


z
′

=
z


t
′

=
t



{\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x'=x-Vt\\y'=y\\z'=z\\t'=t\end{cases}}}edo era matrizialean idatzita, honelaxe:


(

x
′



y
′



z
′



t
′

)

=

(


1

0

0

−
V

0

1

0

0

0

0

1

0

0

0

0

1


)

=

(

x

y

z

t

)

.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}1&0&0&-V\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}.}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\begin{matrix}1&0&0&-V\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{matrix}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}.}  

### Galileoren transformazioa eta momentu linealaren kontserbazioaren printzipioa

Sistema inertzialak erabiltzean, sistema fisikoen kontserbazio-printzipioak  aztertzeko magnitude interesgarri bat definitzen da: momentu lineala. Definizioz, partikula baten momentu lineala beraren masaren eta abiaduraren arteko biderkadura da:



p

=
m

v

.

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}.}Agerikoa denez, magnitude bektoriala da, abiaduraren norabide eta noranzko  berberak dituena. Ondorioz, inertziaren printzipioa honelaxe ere adieraz dezakegu: *Partikula askeak momentu lineal konstantez higitzen dira sistema inertzialetan.* Hau da:



p

=
m

v

=

kte

.

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}={\text{kte}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}=m{\boldsymbol {v}}={\text{kte}}.}Zer gertatzen da sistema inertzial batetik beste sistema inertzial batera pasatzean? Aurreko adibidean aipatu dugun Galileoren transformazioa erabiliz, erraz lor dezakegu bi sistemetako behatzaileek neurtutako partikularen abiaduraren bi balioen arteko erlazioa:


v

′

=

d

r

′

d

t

=

d

(

r

−

V

t
)

d

t

=

v

−

V

.

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t)}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {v}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {r}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {r}}-{\boldsymbol {V}}t)}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}}.}Alegia, abiadura neurtzean bi behatzaileek balio desberdina lortzen dute: {\displaystyle {\boldsymbol {v}}'\neq {\boldsymbol {v}}}. Dena den, {\displaystyle {\boldsymbol {V}}} abiadura konstantea denez, {\displaystyle S'} sisteman ere beteko da partikula askeen momentu linealaren kontserbazioaren printzipioa:


p

′

=
m

v

′

=
m
(

v

−

V

)
=

kte

.

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}'=m{\boldsymbol {v}}'=m({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})={\text{kte}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {p}}'=m{\boldsymbol {v}}'=m({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})={\text{kte}}.}  

### Galileoren transformazioa eta inertziaren printzipioa

Abiaduren arteko erlazioa berriro deribatuz, bi sistema inertzialetan neurturiko azelerazioaren bi balioen arteko erlazioa lortzen da:


a

′

=

d

v

′

d

t

=

d

(

v

−

V

)

d

t

=

d

v

d

t

=

a

.

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {a}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {a}}'={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}'}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}({\boldsymbol {v}}-{\boldsymbol {V}})}{{\text{d}}t}}={\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}={\boldsymbol {a}}.}Beraz, bi sistema inertzialetako behatzaileek azelerazioaren balio berbera neurtzen dute. Kontuan izanik {\displaystyle S} sistema inertziala dela, bertatik partikula aske bat behatzen ari bagara, partikula horren azelerazioa nulua izango da; hau da, {\displaystyle {\boldsymbol {a}}=0}izango da. Orduan {\displaystyle S'} sistematik neurtuko dugun azelerazioa ere nulua izango da: {\displaystyle {\boldsymbol {a}}'=0}. Horrela behar du izan, inertziaren printzipioa betetzen baita sistema inertzial guztietan.  

### Galileoren transformazioa eta indar kontzeptuaren definizioa. Newtonen bigarren legea

Sistema inertzial batean partikula baten abiadura aldatzen ari bada, horrek esan nahi du partikula hori ez dela askea. Zergatik gertatzen da hori? Fisikarien hitzetan esanez, partikula horrek eraginen bat jasaten duelako, alegia elkarrekintza bat jasaten duelako kanpotik. Mekanikaren arloan, elkarrekintzari ematen zaion izena *indarra* da.

Nola definitzen da indar terminoak adierazten duen kontzeptua? Horretarako, aurreko atalean definitutako partikularen momentu lineala hartuko dugu abiapuntutzat. Definizioz, *sistema inertzial batean* denbora-unitatean gertatzen den momentu linealaren aldakuntzari esango diogu *indarra*; bestela esateko, indarra da partikulak sistema inertzial batean duen momentu linealaren denborarekiko deribatua. Indarraren sinboloa {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} da, magnitude bektoriala da, eta honelaxe adierazten da modu sinbolikoan:



F

=

d
⁡

p

d
⁡
t

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} {\boldsymbol {p}} \over \operatorname {d} t}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\operatorname {d} {\boldsymbol {p}} \over \operatorname {d} t}.}Izatez, definizio hori *Newtonen bigarren legea* da. Momentu lineala masaren eta abiaduraren bidez azalduz, honelaxe adieraz dezakegu lege hori ekuazio modura idatzita:



F

=

d

(
m

v

)

d

t

=
m

d

v

d

t

=
m

a

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}(m{\boldsymbol {v}})}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=m{\boldsymbol {a}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}={\frac {{\text{d}}(m{\boldsymbol {v}})}{{\text{d}}t}}=m{\frac {{\text{d}}{\boldsymbol {v}}}{{\text{d}}t}}=m{\boldsymbol {a}}.}Galileoren transformazioaren arabera dakigunez, partikularen azelerazioak balio berbera du sistema inertzial guztietan. Ondorioz, horrek esan nahi du partikularen gainean eragiten duten indarrek balio berbera dutela sistema inertzial guztietan:


F

′

=
m

a

′

=
m

a

=

F

.

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'=m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}.}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}'=m{\boldsymbol {a}}'=m{\boldsymbol {a}}={\boldsymbol {F}}.}Horrela definituriko indarrei ***indar errealak*** edo ***elkarrekintza-indarrak*** ere esaten zaie, erreferentzia-sistema guztietan hartu behar baitira kontuan, sistemak inertzialak izan edo ez. Ekuazio hau da *dinamika*ren oinarria. Ekuazio bektoriala da eta esan nahi du partikula baten gainean indar bat egitean partikula azelerazio berbera jasaten duela, edozein sistema inertzialetik behatuta. Alderantziz esanda, sistema inertzial batetik partikulak azelerazioa duela behatzen bada, horrek esan nahi du partikula horren gainean indar batek eragiten duela.

Erlatibitate berezian, Lorentzen transformazioa
-----------------------------------------------

Teoria honetan ere, hipotesi modura onartzen da sistema inertzialek higidura zuzen uniformea dutela elkarrekiko. Baina, mekanika newtondarrean ez bezala, argiaren abiadura berber­a da sistema guztietan: abiadura hori {\displaystyle c} sinboloaz adierazten da, eta *aldaezina* da. Bestalde, denbora eta espazioa ezin dira absolututzat hartu; aitzitik, biak maila berean tratatzen dira lau dimentsioko espazioa-denbora (sasi)eukli­­dearrean, zeinari ***Minkowski-ren espazioa*** deritzon.

Espazio horretan, partikula material bati dagozkion bi gertaera puntualen arteko tarte edo *"distantzia" espazio-denborala* honelaxe definitzen da:


Δ

s

2

=

c

2

Δ

t

2

−
Δ

r

2

,

{\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta r^{2},}

{\displaystyle \Delta s^{2}=c^{2}\Delta t^{2}-\Delta r^{2},}eta balio, berbera du sistema inertzial guztietan, hots, aldaezina da erreferentzia-sistemaz aldatzean. Aldaezintasun hori oinarritzat harturik, sistemaz aldatzeko bete behar diren transformazio-ekuazioak honelaxe idazten dira:


{

x
′

=
γ
(
x
−
v
t
)


y
′

=
y


z
′

=
z


t
′

=
γ

(

t
−

v
x

c

2


)



{\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma (x-vt)\\y'=y\\z'=z\\t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{cases}}}

{\displaystyle {\begin{cases}x'=\gamma (x-vt)\\y'=y\\z'=z\\t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\end{cases}}}non {\displaystyle c} argiaren abiadura da  eta {\displaystyle \gamma } balioari *Lorentzen faktorea* deritzo, eta garrantzi handia hartzen du partikularen abiadura argiaren abiadurara hurbiltzean. Aurreko formulak honelaxe idatz daitezke era matrizialean:  

Lorentzen faktorearen aldaketa abiaduraren funtzioan.


(

x
′



y
′



z
′



t
′

)

=

(

γ

0

0

−
γ
v

0

1

0

0

0

0

1

0

−

γ
v

c

2



0

0

γ

)

=

(

x

y

z

t

)

.

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &0&0&-\gamma v\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-{\frac {\gamma v}{c^{2}}}&0&0&\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}.}

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\\z'\\t'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &0&0&-\gamma v\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\-{\frac {\gamma v}{c^{2}}}&0&0&\gamma \end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\z\\t\end{pmatrix}}.}Formula horien multzoari ***Lorentzen transformazioa*** deritzo, eta horien ondorio nagusietako bat da masadun partikulen abiadurak gainditu ezinezko muga bat izatea: argiaren abiadura. Bestetik, sistema inertzialen arteko abiadura erlatiboa argiarena baino askoz txikiagoa denean, hurbilketa hau egin dezakegu;


v
≪
c
→
β
=

v
c

≈
0
→
γ
≈
1.

{\displaystyle v\ll c\rightarrow \beta ={\frac {v}{c}}\approx 0\rightarrow \gamma \approx 1.}

{\displaystyle v\ll c\rightarrow \beta ={\frac {v}{c}}\approx 0\rightarrow \gamma \approx 1.}Hau da, Lorentzen faktoreak {\displaystyle 1} balio duela kontsidera daiteke, eta Lorentzen transformazioa Galileorenaren berdintzat har daiteke.

{\displaystyle S} sistema inertziala bada, {\displaystyle S'}sistema ez da inertziala, biraka ari delako eta {\displaystyle S''}sistema inertziala ez da inertziala, {\displaystyle {\boldsymbol {A}}} azelerazioaz higitzen ari delako.

Erreferentzia-sistema ez-inertzialak
------------------------------------

Erreferentzia-sistema inertzialen baldintzak betetzen ez dituzten erreferentzia-sistemak ez dira inertzialak; edo bestela esanda, *erreferentzia-sistema  ez-inertzialak* dira. Horrelakoak dira, adibidez, sistema inertzial batetiko *azelerazio zuzen uniformez* higitzen ari diren sistemak edota jatorri berbera izan arren *biraka* higitzen ari diren sistemak (ikus eskuinaldeko irudia).

Sistema inertzial batetik sistema ez-inertzial batera pasatzean, gertaera puntual batek bi sistema horietan dituen koordenatu espazio-denboralak erlazionatzen dituzten formulak ez dira jadanik Galileoren transformazioari dagozkionak, bestelakoak baizik; eta transformazio horretan, partikularen azelerazioa ere *ez da aldaezina*. Hori dela eta, sistema ez-inertzialetan Newtonen bigarren legea ondo aplikatu ahal izateko, lehenago aipatutako *indar errealez gain*, ***inertzia-indarrak*** deritzen indar berezi batzuk eduki behar izaten ditugu, hain zuzen ere sistema horietan inertziaren printzipioa ez betetzearen indorioz. Indar horiei *"**indar fiktizioak**"* ere esaten zaie, partikulen arteko elkarrekintza baten ondoriozkoak ez direlako, neurketak egiten ari den behatzailearen araberakoak baizik.

Abiadura angeluar konstanteaz biraka ari den erreferentzia-sistema ez-inertzial batean kontuan hartu beharreko indar zentrifugoa. 
Adibide modura, Lurreko tokiko {\displaystyle S} erreferentzia-sistema inertzialtzat hartuz gero (ikus ezkerraldeko irudia), toki berean bere ardatz zentralaren inguruan {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}} abiadura angeluarraz biraka ari den plataforma zirkular batean finko dagoen {\displaystyle S'} erreferentzia-sistema ez da inertziala izango.

Plataformaren gainean zentrotik {\displaystyle r} distantziara geldi dagoen gorputz baten (kasurako, biraketa-ardatzera soka batez lotuta dagoena) azelerazioa aztertuz gero, sistema inertzialeko {\displaystyle B} behatzaileak ikusiko du {\displaystyle r} erradioko ibilbide zirkularra duela, eta neurtuko du {\displaystyle \omega ^{2}r} balioko *azelerazio zentripetua* duela (azelerazio normala eta zentroranzkoa); horren arabera, Newtonen bigarren legea kontuan hartuz, jakingo du soka teinkaturik dagoela eta sokak {\displaystyle {\boldsymbol {F}}} balioko indarra (sokaren *tentsioa*) egiten diola partikulari, etengabe eta zentrorantz. Indar hori "*erreala*" da, edozein sistematako behatzaileak kontuan hartu beharrekoa.

Ostera, sistema ez-inertzialeko {\displaystyle B'} behatzaileak gorputza geldi dagoela ikusiko du, hots, azelerazio nulua duela: {\displaystyle {\boldsymbol {a}}'=0.}  Eta Newtonen legea ondo aplikatzeko, kontuan hartu beharko du beste indar bat, {\displaystyle {\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}}, etengabe sokaren tentsioa anulatzen duena, erradiala eta kanporanzkoa dena; hau da, tentsioaren balio berekoa eta aurkako noranzkoa duena. Horrela,



F

+

F

z

=
0

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}\_{\text{z}}=0}

{\displaystyle {\boldsymbol {F}}+{\boldsymbol {F}}_{\text{z}}=0}izango da. Sistema ez-inertzialean kontuan hartu beharrekoa den indar horri indar "*fiktizioa*" deritzogu. Kasu honetan, abiadura angeluarraren ondoriozko *indar zentrifugoa* da, eta modulu hau du:



F

z

=
m

ω

2

r
.

{\displaystyle F\_{\text{z}}=m\omega ^{2}r.}

{\displaystyle F_{\text{z}}=m\omega ^{2}r.}Indar hori da autoan goazela bihurguneetan sentitzen duguna.   

### Sistema guztiak dira ez-inertzialak

Hertsiki hitz eginez, inon ez dago benetako erreferentzia-sistema inertzialik, zeren unibertsoko puntu guztietan bertako partikula materialen arteko elkarrekintzak baitaude, eta horrek esan nahi du inon ez dagoela *partikula aske*rik. Baina sistema horiek fisikaren arloan funtsezkoak direnez, nola edo hala komeni da horrelako sistemak definitzea, *hurbilketa teoriko* gisa baino ez bada ere.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   **(Frantsesez)**  (bideoa) *Sistema inertzialak eta sistema ez-inertzialak.* .

Bibliografia
------------

* Fishbane, Paul (2008) *Fisika zientzialari eta ingeniarientzat. 1. bolumena, (1.etik-21.era Gaiak)* UPV/EHU, ISBN9788490820308 PMC932800438.
* J.R. Etxebarria (arg.) (2003) *Fisika Orokorra,* UEU, ISBN 84-8438-045-9
* J.R. Etxebarria & F. Plazaola (1992) *Mekanika eta uhinak*, UEU, {{ISBN|84-86967-42-2}}
* Marcelo Alonso & Edward J. Finn (1976). *Física*. Fondo Educativo Interamericano. ISBN 8403209908; 8403202334; 8403209908

Ikus, gainera
-------------

* Erreferentzia-sistema
* Erreferentzia-sistema ez-inertzial
* Newtonen legeak
* Indarra
* Erlatibitate berezia
* Galileoren transformazioa
* Lorentzen transformazioa
* Astronomia

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q192735
* **Identifikadoreak**
* GND: 4161638-8
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q192735