Bektore espazioaren irudikapena.
Matematikan eta zehazkiago aljebra linealean **bektore espazioa** hutsa ez den multzo batetik sorturiko egitura aljebraiko bat da, egitura hau aipatutako multzo ez hutsa horren eta bektore batuketa batetik (barne operazioa) edota eskalar biderketa sortzen da.

Definizioa:
-----------

Izan bitez {\displaystyle (K,+,\cdot )}eta {\displaystyle V}multzoa, orduan {\displaystyle VK}-espazio bektoriala da baldin eta solik baldin:

1. {\displaystyle (V,+)}Talde abeldarra da, hau da, multzoak gehiketa aplikazioa definituta du, taldearen elementu neutroa {\displaystyle 0\_{V}}denotatuko dugu.
2. Kanpo aplikazioa (eragiketa) existitzen da:{\displaystyle {\begin{aligned}\cdot :K\times V\to V\\(k,v)\to k\cdot v\\\end{aligned}}} (eskalar eta bektore arteko biderketa)

Gorputzeko elementuak eskalarrak deritze eta {\displaystyle V}-ko elementuak bektore, kanpo aplikazioak betetzen dituen propietateak hurrengoak dira:

* Banatze propietatea eskalarren gehiketarekiko: {\displaystyle \forall k\_{1},k\_{2}\in K,\forall v\in V:(k\_{1}+k\_{2})\cdot v=k\_{1}\cdot v+k\_{2}\cdot v}
* Banatze propietatea bektoreen gehiketarekiko:{\displaystyle \forall v\_{1},v\_{2}\in V,\forall k\in K:(v\_{1}+v\_{2})\cdot k=v\_{1}\cdot k+v\_{2}\cdot k}
* Elkartze propietatea: {\displaystyle \forall k\_{1},k\_{2}\in K,\forall v\in V:k\_{1}(k\_{2}\cdot v)=(k\_{1}\cdot k\_{2})\cdot v}
* Bektorea eta gorputzeko biderketarekiko elementu neutroaren arteko produktua bektore bera da: {\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 1\_{K}=v}

Adibideak:
----------

{\displaystyle \mathbb {Z} }ez da {\displaystyle \mathbb {Q} }-espazio bektoriala zeren, nahiz eta {\displaystyle (\mathbb {Z} ,+)}talde abeldarra izan, adibidez bektore moduan 3 zenbakia hartzen badugueta eskalar moduan 1/2, bektore bider eskalar produktua ez dago multzo barruan, hau da, 1.5 ez da zenbaki osoa.

Ostean, {\displaystyle \mathbb {Q} }-{\displaystyle \mathbb {Q} }-espazio bektoriala da, baita {\displaystyle \mathbb {Q} ^{2}}{\displaystyle \mathbb {Q} }espazio bektoriala da.

Beraz {\displaystyle (K,+,\cdot )}gorputza izanik, {\displaystyle K^{n}}{\displaystyle K}espazio bektoriala da.

Espazio bektorialak: {\displaystyle \mathbb {Q} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {Q} }espazio bektoriala da, {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {R} }espazio bektoriala da, {\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}{\displaystyle \mathbb {C} }espazio bektoriala da.

Propietate gehiago:
-------------------

{\displaystyle V}{\displaystyle K}espazio bektoriala bada:

{\displaystyle (i)}{\displaystyle \forall k\in K:k\cdot 0\_{V}=0\_{V}}

Badakigu {\displaystyle 0\_{V}=0\_{V}+0\_{V}}, orduan {\displaystyle k\cdot 0\_{V}=k\cdot (0\_{V}+0\_{V})=k\cdot 0\_{V}+k\cdot 0\_{V}} dugu, eta, beraz, {\displaystyle k\cdot 0\_{V}=k\cdot 0\_{V}+k\cdot 0\_{V}}. Adierazpena sinplifikatuz, {\displaystyle 0\_{V}=k\cdot 0\_{V}} ondorioztatzen da.

{\displaystyle (ii)}{\displaystyle \forall v\in V:v\cdot 0\_{K}=0\_{V}}

Badakigu {\displaystyle 0\_{K}=0\_{K}+0\_{K}}orduan {\displaystyle v\cdot 0\_{K}=v\cdot (0\_{K}+0\_{K})=v\cdot 0\_{K}+v\cdot 0\_{K}\Longrightarrow v\cdot 0\_{K}=v\cdot 0\_{K}+v\cdot 0\_{K}}eta adierazpena sinplifikatuz {\displaystyle 0\_{V}=v\cdot 0\_{K}}

{\displaystyle (iii)}{\displaystyle k\cdot v=0\_{V}\Longleftrightarrow k=0\_{K}edov=0\_{V}}

{\displaystyle \Longrightarrow }

Demagun {\displaystyle k\in K-\{0\_{K}\}}dela, orduan existitzen da eskalarraren alderantzizkoa {\displaystyle k^{-1}}, orduan {\displaystyle k\cdot v=0\_{V}}adierazpenean biderkatuz:

{\displaystyle (k^{-1}\cdot k)\cdot v=k^{-1}\cdot 0\_{V}\Longrightarrow 1\_{K}\cdot v=0\_{V}\Longrightarrow v=0\_{V}}

{\displaystyle \Longleftarrow }Frogatuta dago {\displaystyle (i)}eta {\displaystyle (ii)}-n.

{\displaystyle (iv)}{\displaystyle -v=(-1\_{K})\cdot v,\forall v\in V}

Mugitu adierazpenean bektorea eskumara: {\displaystyle 0\_{V}=v+(-1\_{K})\cdot v}, badakigu {\displaystyle v=(1\_{K})\cdot v,\forall v\in V}, ordezkatu: {\displaystyle (1\_{K})\cdot v+(-1\_{K})\cdot v=0\_{V}}banatze propietatea erabiliz:

{\displaystyle v\cdot (1\_{K}-1\_{K})=0\_{V}}eta badakigu {\displaystyle 1\_{K}-1\_{K}=0\_{K}}beraz {\displaystyle v\cdot (1\_{K}-1\_{K})=v\cdot (0\_{k})=0\_{V}}

{\displaystyle (v)} {\displaystyle u+w=v+w\Longrightarrow u=v}

{\displaystyle (vi)} {\displaystyle 0v=0,\forall v\in V}

{\displaystyle (vii)} {\displaystyle \lambda 0=0,\forall \lambda \in K}

{\displaystyle (viii)} {\displaystyle (-\lambda )v=-\lambda v,\forall \lambda \in K} eta {\displaystyle \forall v\in K}

{\displaystyle (ix)} {\displaystyle \lambda v=0\Longleftrightarrow \lambda =0} edo {\displaystyle v=0}

{\displaystyle (x)\lambda v=\mu v} eta {\displaystyle v\neq 0\Longrightarrow \lambda =\mu }

{\displaystyle (xi)}{\displaystyle \lambda v=\lambda w} eta {\displaystyle \lambda \neq 0\Longrightarrow v=w}

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q125977
* Commonscat Multimedia: Vector spaces

---

* **Identifikadoreak**
* BNF: 11947083w (data)
* GND: 4130622-3
* LCCN: sh85142456
* NKC: ph156663
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q125977
* Commonscat Multimedia: Vector spaces