**Serie konbergentea** bere gaien batura partzialen segidak limite finitua duen seriea da; kasu horretan, serieak batura finitua du, batura partzialen segidaren limitea hain zuzen.

Definizio formala
-----------------

Kontuan hartutako serieak zenbakizkoak (termino erreal edo konplexuekin) edo bektorialak (eratutako espazio bektorialean balioekin) dira. Termino orokorraren serieak {\displaystyle a\_{n}} bat egiten du batuketa partzialen segidak bat egiten duenean.

{\displaystyle a\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}}

Kasu honetan, seriearen batura batura partzialen segidaren limitea da.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }a\_{k}=\lim \_{n\to \infty }a\_{n}}

Serie baten konbergentzia edo ez konbergentzia izaera ez da aldatzen seriearen termino-kopuru finitu bat aldatzen bada.

Adibideak
---------

Konbergenteak dira sekuentzien serieak:

* Zenbaki oso bakoitietako elkarrekikoak, zeinuak tartekatuta dituztenak {\displaystyle \left({\frac {1}{1}},-{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{7}},{\frac {1}{9}},-{\frac {1}{11}},...\right)}. Leibnizen serie bezala ezagutzen dira:

{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}...={\frac {\Pi }{4}}}

* Zenbaki triangeluarren elkarrekikoak:

{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{21}}+...=2}

* Hurrengo faktorialetako elkarrekikoak (n!):

{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{24}}+{\frac {1}{120}}+...=e}

* Ondoz ondoko karratu perfektuen elkarrekikoak (ikus Basileako problema):

{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+{\frac {1}{36}}+...={\frac {\Pi ^{2}}{6}}}

* 2ren potentzien elkarrekikoak:

{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{32}}+...=2}

* 2ren berreturen elkarrekikoak, zeinu txandakatuekin:

{\displaystyle {\frac {1}{1}}-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{16}}-{\frac {1}{32}}+...={\frac {2}{3}}}

* Fibonacciren zenbakien elkarrekikoak (ikus Fibonacciren alderantzizkoen konstantea):

{\displaystyle {\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{8}}+...=\psi }

* Zeinu txandakatuak dituzten zenbaki naturalen elkarrekikoak {\displaystyle {\biggl (}{\frac {1}{1}},-{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},-{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},-{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...{\biggr )}}:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2}

Dibergenteak dira sekuentzien serieak:

* Zenbaki naturalen elkarrekikoak, serie harmonikoa bezala ezagutua dena {\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{6}},{\frac {1}{7}},...\right)}:

{\displaystyle 1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+...\rightarrow \infty }

* Zenbaki lehenen elkarrekikoak {\displaystyle \left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{5}},{\frac {1}{7}},{\frac {1}{11}},{\frac {1}{13}},...\right)}:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}+...\rightarrow \infty }

Konbergentzia absolutua
-----------------------

{\displaystyle \sum a\_{n}} seriea absolutuki konbergentea dela diogu baldin eta termino orokorraren seriea {\displaystyle \lVert a\_{n}\rVert } konbergentea bada. Kasu honetan {\displaystyle \sum a\_{n}} serieak bat egiten du.

Erabateko konbergentzia oso interesgarria da Banachen espazio batean balioak dituzten serieak aztertzeko (horixe da zenbaki-serieen kasua), non nahikoa baita serieak erabateko konbergentzia izatea bat egiten duela frogatzeko. Teknika horri esker, kasu askotan, termino positiboen serieetan soilik egin daiteke azterketa; horretarako, metodo ugari daude.

Gai positiboko serieen konbergentziarako-irizpideak
---------------------------------------------------

**Konparazio irizpidea**: izan bitez {\displaystyle \sum a\_{n}} eta {\displaystyle \sum b\_{n}} gai positiboko serieak, {\displaystyle \sum a\_{n}<<\sum b\_{n}} izanik. Orduan:

* {\displaystyle \sum b\_{n}} konbergentea bada, {\displaystyle \sum a\_{n}} ere konbergentea da.

* {\displaystyle \sum a\_{n}} dibergentea bada, {\displaystyle \sum b\_{n}} ere dibergentea da.

**Limitearen irizpidea**: izan bitez {\displaystyle \sum a\_{n}} eta {\displaystyle \sum b\_{n}} gai positiboko serieak, {\displaystyle b\_{n}\neq 0} izanik {\displaystyle n\in N} guztietarako. Izan bedi {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}=\lambda }.

* {\displaystyle \lambda \neq 0,+\infty } denean, {\displaystyle \sum a\_{n}} konbergentea da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \sum b\_{n}} konbergentea bada.
* {\displaystyle \lambda =0} denean, {\displaystyle \sum b\_{n}} konbergentea bada, {\displaystyle \sum a\_{n}} ere konbergentea da.
* {\displaystyle \lambda =+\infty } denean, {\displaystyle \sum b\_{n}} dibergentea bada, {\displaystyle \sum a\_{n}} ere dibergentea da.

**D'Alamberten irizpidea**: izan bedi {\displaystyle \sum a\_{k}} seriea gai positiboko seriea eta demagun {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {a\_{k+1}}{a\_{k}}}=l} limitea existitu egiten dela. Orduan:

* l < 1 bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} konbergentea da.

* l > 1 bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} dibergentea da.

**Raaberen irizpidea**: izan bedi {\displaystyle \sum a\_{k}} gai positiboko seriea, zeinetarako {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {a\_{k+1}}{a\_{k}}}=1} den, eta izan bedi {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }1-{\frac {a\_{k+1}}{a\_{k}}}=l}. Orduan:

* l >1 edo l = {\displaystyle \infty } bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} konbergentea da.

* l <1 bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} dibergentea da.

**Cauchyren irizpidea** edo **erroaren irizpidea**: izan bedi {\displaystyle \sum a\_{k}} gai positiboko seriea eta demagun {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\sqrt[{k}]{a\_{k}}}=l} limitea existitzen dela. Orduan:

* l < 1 bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} konbergentea da.

* l >1 bada, orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} dibergentea da.

**Integralaren irizpidea**: Izan bedi f funtzio positiboa eta beherakorra [1, +{\displaystyle \infty }) tartean. Izan bedi {\displaystyle a\_{k}=f(k)}, {\displaystyle k\in \mathrm {N} } guztietarako. Orduan {\displaystyle \sum a\_{k}} konbergentea da baldin eta soilik baldin {\displaystyle \lim \_{k\to \infty }\int \_{1}^{k}f(x)dx} existitzen bada eta finitua bada.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Elhuyar Zientzia eta Teknologiaren Hiztegi Entziklopedikoa. *Serie konbergente.* .

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q1211057
* Commonscat Multimedia: Convergent series

---

 |

* Wd Datuak: Q1211057
* Commonscat Multimedia: Convergent series