Zenbat eta maiztasun altuagoak batu, orduan eta hurbilpen hobea lortuko da. Laplaceren transformazioa adierazten du grafiko berdeak .
Matematikan, **Laplaceren transformazio**a, Pierre-Simon Laplace zientzialari frantsesaren ohorez izendatua, aldagai errealeko funtzio bat (normalean {\displaystyle t}) {\displaystyle s} aldagai konplexuko funtzio batera bihurrarazten duen transformazio integrala da.

Lehenengo funtzioa, gehienetan {\displaystyle t}, denbora-eremuan egoten da definitua; bigarren funtzioa, aldiz, maiztasun-eremuan egon ohi da definitua, alegia, {\displaystyle s}-eremu notazioaz ezagutzen den horretan.

Transformazio honek hainbat erabilera ditu zientzia eta ingeniaritzako esparruetan, ekuazio diferentzialak ebazteko tresna baita. Partikularki, ekuazio diferentzial arruntak ekuazio aljebraiko bihurtzen ditu eta konboluzioa, biderketa.{\displaystyle f} funtzio egokietarako, Laplaceren transformazioa hurrengo integrala da:


L

{
f
(
t
)
}
(
s
)
=

∫

0

∞

f
(
t
)

e

−
s
t

d
t
.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=\int \_{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f(t)\}(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)e^{-st}\,dt.}

Historia
--------

Pierre-Simon Laplace astronomo eta matematikariaren oroimenez izendatua izan zen Laplaceren transformazioa, hark probabilitate teoriarako antzeko transformazio bat erabili baitzuen. Laplacek funtzio sortzaileen erabilerari buruz luze idatzi zuen *Essai philosophique sur les probabilités* (1814) liburuan, zeinen ondorioa Laplaceren transformazioaren forma integrala izan zen.

Pierre-Simon, marquis de Laplace

  

Gaur egun z-transformazio deitzen denaren antzekoa zen Laplaceren funtzio sortzaileen erabilera, baina Laplacek ez zien kasu handirik egin aldagai jarraituei, Niels Henrik Abelek ikertu zuena. Teoria hori geroago garatu zuten Mathias Lerch, Oliver Heaviside, eta Thomas Bromwichek XIX. eta XX. mendeetan.

  

Laplaceren transformazioaren gaur egungo erabilera hedatuena (nagusiki ingeniaritzan) Bigarren Mundu Gerran sortu zen, eta lehenagoko Heavisideren kalkulu operazionala ordezkatu zuen. Laplaceren transformazioaren abantailak Gustav Doestchek nabarmendu zituen, eta badirudi beronek ezarri zuela *Laplaceren transformazio* izena.

1744tik aurrera, Leonhard Eulerrek era honetako integralak ikertu zituen:


z
=
∫
X
(
x
)

e

a
x

d
x

 eta 

z
=
∫
X
(
x
)

x

A

d
x
,

{\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ eta }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx,}

{\displaystyle z=\int X(x)e^{ax}\,dx\quad {\text{ eta }}\quad z=\int X(x)x^{A}\,dx,}Ekuazio diferentzialen ebazpen bat lortu nahian; baina gai hori asko garatu gabe utzi zuen. Eulerren mireslea zen Joseph Louis Lagrange, bere probabilitatearen dentsitate-funtzioei buruzko lanean, ondorengo erako adierazpenak ikertzen aritu zen:


∫
X
(
x
)

e

−
a
x

a

x

d
x
,

{\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}

{\displaystyle \int X(x)e^{-ax}a^{x}\,dx,}Zenbait historialariren ustez, aurreko adierazpen horiek Laplaceren transformazioaren teoriaren barruan kokatu beharko lirateke.

  

Era horretako integralek Laplaceren arreta piztu zuten 1782an, eta integralak ekuazioen soluziotzat hartzen hasi zen. Alabaina, 1785an, integral erako soluzioak bilatu beharrean, aurrerako pauso bat eman eta transformazioak erabiltzen hasi zen geroago erabiliko zen eran. Horrela, ondoko era honetako integralak erabili zituen (Mellinen transformazioaren antzeko zirenak):


∫

x

s

φ
(
x
)

d
x
,

{\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}

{\displaystyle \int x^{s}\varphi (x)\,dx,}Integral horiek erabili zituen ekuazio diferentzial oso bat transformatzeko, eta horrela transformazioaren soluzio bat bilatzeko. Orduan, hurrengo urratsa egin zuen Laplacek: Laplaceren transformazioa era berean erabiltzen hasi zen eta, zenbait propietate deribatuz, transformazioak izan zezakeen potentzialaz ohartu zen.

Laplacek onartu zuen halaber difusio ekuazioa ebazteko Joseph Fourierrek erabilitako Fourierren serieen metodoa {\displaystyle s} eremuko esparru mugatu batean bakarrik aplikatu ahal zela; soluzioak periodikoak baitziren. 1809an, Laplacek bere transformazioa erabili zuen mugarik ez zuten soluzioak aurkitzeko.

Definizio formala
-----------------

{\displaystyle f(t)} funtzio baten Laplaceren transformazioa, edozein {\displaystyle t\geq 0} zenbaki errealetarako definituta, {\displaystyle F(s)} funtzioa da, zeina transformazio unilaterala den hurrengo moduan definiturik:


F
(
s
)
=

∫

0

∞

f
(
t
)
exp
⁡
(
−
s
t
)
d
t

{\displaystyle F(s)=\int \_{0}^{\infty }f(t)\exp(-st)dt}

{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(t)\exp(-st)dt}non {\displaystyle s} maiztasun parametro konplexua den,

{\displaystyle s=\sigma +i\omega }

{\displaystyle \sigma } eta {\displaystyle \omega } zenbaki errealak izanik.

Laplaceren transformazioa adierazteko beste notazio bat {\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}} izan daiteke, {\displaystyle F}-ren ordez.

  

Integralaren existentziarako, {\displaystyle f} lokalki integragarri izan behar da {\displaystyle [0,\infty )} tartean. Lokalki integragarri diren funtzioak, zeinak infinituan ahultzen diren edo esponentzialak diren ({\displaystyle |f(t)|\leq Ae^{B|t|}}), Lebesgueren integral zuzentzat har daitezke. Hala ere, hainbat aplikaziotarako, integral hori infinituan integral inpropiotzat hartuko dugu, zeinak konbergentzia baldintzatuta duen.

  

Borelen neurketa finitu baten ({\displaystyle \mu }) Laplaceren transformazioa honela defini daiteke:


L

{
μ
}
(
s
)
=

∫

0

∞

e

−
s
t

d
μ
(
t
)

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int \_{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t)}

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{\mu \}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}d\mu (t)}. Kasu berezi bat daukagu {\displaystyle \mu } probabilitate neurketa bat denean, adibidez, Diracen delta funtzioaren kasuan. Analisi diferentzialean, neurketa baten Laplaceren transformazioa {\displaystyle f} probabilitate-dentsitate funtziotik datorrela suposatuko da. Kasu horretan, Laplaceren transformazioa hurrengo moduan adieraziko da, sor daitezkeen nahasketak ekiditeko:


L

{
f
}
(
s
)
=

∫

0

−

∞

f
(
t
)

e

−
s
t

d
t
=

lim

ϵ
→

0

+


∫

−
ϵ

∞

f
(
t
)

e

−
s
t

d
t
.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int \_{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\lim \_{\epsilon \to 0^{+}}\int \_{-\epsilon }^{\infty }f(t)e^{-st}dt.}

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{f\}(s)=\int _{0^{-}}^{\infty }f(t)e^{-st}dt=\lim _{\epsilon \to 0^{+}}\int _{-\epsilon }^{\infty }f(t)e^{-st}dt.}Limite horrek adierazten du 0an kokatuta dagoen edozein masa puntual guztiz sartuta dagoela Laplaceren transformazioan. Hala ere, Lebesgueren integrala erabiliz gero, ez litzateke beharrezkoa izango limite hori hartzea, modu zuzenago batean erlazionatzen delako Laplace-Stieltjesen transformazioarekin.

### Laplaceren transformazio bilaterala

"Laplaceren transformazioa" aipatzen denean besterik gabe, transformazio unilaterala ulertzen da. Beste aukera bat Laplaceren transformazioa definitzeko, *Laplaceren transformazio bilaterala* edo *aldebiko Laplaceren transformatua* izan daiteke, integrazio limiteak ardatz erreal osora zabalduz. Hori eginez gero, orokorra den transformazioaren definizio unilaterala transformazio bilateralaren kasu berezi bat bihurtzen da (non transformatzen den funtzioaren definizioa biderkatzen den bider maila-funtzioa).

  

Laplaceren transformazio bilaterala {\displaystyle {\mathcal {F}}(s)} honela defini daiteke:


F

(
s
)
=

∫

−
∞

∞

e

−
s
t

f
(
t
)
d
t

{\displaystyle {\mathcal {F}}(s)=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt}

{\displaystyle {\mathcal {F}}(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)dt}{\displaystyle {\mathcal {F}}}-ren ordez, {\displaystyle {\mathcal {B}}(f)} adieraz daiteke.

### Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa

Bi funtzio integragarrik Laplaceren transformazio bera izango dute, baldin eta haien arteko diferentzia zero multzo bat bada Lebesgue neurketan. Horrek alderantzizko transformazio bat dagoela esan nahi du transformatuaren tartean. Izatez, Laplaceren transformazioa funtzio injektiboa da funtzio-espazio batetik bestera, nahiz eta tartearen bereizketa zaila izan.

  

Kasu horietan, Laplaceren transformazioaren irudia konbergentzia eremuko funtzio analitikoen eremuan aurkitzen da. Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa hurrengo integral konplexua itzuliko du, izendatzeko hainbat modu dauzkana (**Bromwich integrala**, **Fourier-Mellin integrala**, eta **Mellinen alderantzizko formula**):


f
(
t
)
=

L

−
1

{

F

}
(
t
)
=

1

2
π
i

lim

T
→
∞

∫

γ
−
i
T

γ
+
i
T

e

s
t

F

(
s
)
d
s

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\mathcal {F}}\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim \_{T\rightarrow \infty }\int \_{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}{\mathcal {F}}(s)ds}

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\mathcal {F}}\}(t)={\frac {1}{2\pi i}}\lim _{T\rightarrow \infty }\int _{\gamma -iT}^{\gamma +iT}e^{st}{\mathcal {F}}(s)ds}non {\displaystyle \gamma } zenbaki erreal bat den, integrazio eremua {\displaystyle {\mathcal {F}}(s)}-ren konbergentzia eremuan egon dadin. Erabiltzen den gehienetan eremua itxia izan daiteke, Cauchyren hondarraren teorema aplikatzeko aukera emanez. Posten inbertsio formula beste formula aukera bat Laplaceren alderantzizko transformazioa kalkulatzeko izan daiteke, limitea ahul-\*topologian bilatuz.

  

Praktikoki, orokorrean, erabilgarriagoa da Laplaceren transformazioa taulatik ateratako ezagunak diren funtzioen transformazioetan banantzea, eta alderantzizkoa ikuskatuz eraikitzea.

### Probabilitate teoria

Probabilitate puruan eta aplikatuan, Laplaceren transformatua itxarondako baliotzat defini daiteke. {\displaystyle X} ausazko aldagaia izanik,

{\displaystyle f} dentsitate-funtzioa duena, hurrengoa izango da *f*-ren Laplaceren transformazioa:


L

{

f

}
(
s
)
=
E
[

e

−
s
X

]
.

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\mathcal {f}}\}(s)=E[e^{-sX}].}

{\displaystyle {\mathcal {L}}\{{\mathcal {f}}\}(s)=E[e^{-sX}].}Hitzarmenez, horri {\displaystyle X} ausazko aldagaiaren Laplaceren transformazioa deitzen diogu. *s* aldagaia {\displaystyle -t}-z ordezkatuz gero, {\displaystyle X}-ren momentu sortzaile funtzioa lortuko da. Laplaceren transformazioa nabarmenki erabiltzen da probabilitate teorian, prozesu estokastikoak barne hartuz, esate baterako, Markov prozesua.

  

Laplaceren transformazioa baliagarria da banaketa-funtzioa berreskuratzeko, {\displaystyle X} ausazko aldagai jarraituarena hain zuzen, hurrengo moduan erabiliz:



F

X

(
x
)
=

L

−
1

{

1
s

E
[

e

−
s
X

]
}
(
x
)
=

L

−
1

{

1
s

L

{
f
}
(
s
)
}
(
x
)

{\displaystyle F\_{X}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}E[e^{-sX}]\}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\}(x)}

{\displaystyle F_{X}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}E[e^{-sX}]\}(x)={\mathcal {L^{-1}}}\{{\frac {1}{s}}{\mathcal {L}}\{f\}(s)\}(x)}

Konbergentzia eremua
--------------------

{\displaystyle f} lokalki integragarria den funtzioa izanik, {\displaystyle F(s)} Laplaceren transformazioak konbergitu egingo du ondorengo limitea existitzen bada:



lim

R
→
∞

∫

0

R

f
(
t
)

e

−
s
t

d
t

{\displaystyle \lim \_{R\to \infty }\int \_{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}

{\displaystyle \lim _{R\to \infty }\int _{0}^{R}f(t)e^{-st}\,dt}

  

Ondorengo integrala Lebesgueren integral propio bezala existitzen bada, Laplaceren transformazioak absolutuki konbergituko du:



∫

0

∞

|

f
(
t
)

e

−
s
t

|

d
t

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}

{\displaystyle \int _{0}^{\infty }\left|f(t)e^{-st}\right|\,dt}Laplaceren transformazioa, orokorrean, baldintzazko konbergentea da, hau da, azaldutako lehenengo zentzuan konbergituko du, baina ez du zertan bigarren zentzuan.

  

{\displaystyle F(s)}-k absolutuki konbergitzeko har ditzakeen {\displaystyle s}-ren balioak {\displaystyle Re(s)>a} edo {\displaystyle Re(s)\geq a} erakoak dira, non {\displaystyle a} konstante erreal hedatua den eta{\displaystyle -\infty \leq a\leq \infty } (konbergentzia teorema menderatuaren ondorio). {\displaystyle a} konstantea *konbergentzia absolutuaren abzisa* izenez ezagutzen da, eta {\displaystyle f(t)}-ren handitze portaeraren araberakoa da. Era berean, aldebiko Laplaceren transformazioak absolutuki konbergitu egiten du {\displaystyle a<Re(s)<b} tarte batean, eta ziurrenik {\displaystyle Re(s)=a} eta {\displaystyle Re(s)=b} zuzenak ere barne hartuko ditu. Konbergentzia absolutuko eremua Laplaceren transformazioak absolutuki konbergitu egiten dueneko {\displaystyle s}-ren balio tartea izango da. Laplaceren transformazioa analitikoa da konbergentzia absolutuko eremuan, Fubbiniren teoremaren eta Moreraren teoremaren ondorio dena.

  

Antzeko eran, {\displaystyle F(s)}-k konbergitzen duenean (bai absolutuki bai baldintzaz), har dezakeen {\displaystyle s}-ren balioen tarteari konbergentzia-eremu deritzo. Laplaceren transformazioak {\displaystyle s=s\_{0}}-n konbergitu egiten badu (baldintzaz), edozein {\displaystyle s} baliotan konbergituko du automatikoki, {\displaystyle Re(s)>Re(s\_{0})} bada. Hortaz, konbergentzia-eremua {\displaystyle Re(s)>a} formako planoerdia da, {\displaystyle Re(s)=a} zuzeneko puntu batzuk hartuta, agian.

  

{\displaystyle Re(s)>Re(s\_{0})} konbergentzia-eremuan, {\displaystyle f} funtzioaren Laplaceren transformazioa ondorengo zatikako integralaren bidez adieraz daiteke:


F
(
s
)
=
(
s
−

s

0

)

∫

0

∞

e

−
(
s
−

s

0

)
t

β
(
t
)

d
t
,

β
(
u
)
=

∫

0

u

e

−

s

0

t

f
(
t
)

d
t
.

{\displaystyle F(s)=(s-s\_{0})\int \_{0}^{\infty }e^{-(s-s\_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int \_{0}^{u}e^{-s\_{0}t}f(t)\,dt.}

{\displaystyle F(s)=(s-s_{0})\int _{0}^{\infty }e^{-(s-s_{0})t}\beta (t)\,dt,\quad \beta (u)=\int _{0}^{u}e^{-s_{0}t}f(t)\,dt.}Hau da, konbergentzia eremuan, {\displaystyle F(s)} beste funtzio baten Laplaceren transformazio gisa adieraz daiteke modu eraginkorrean, edo, zehatzagoak izanik, absolutuki konbergitzen duen Laplaceren transformazio gisa.

Hainbat Paley-Wienerren teorema daude {\displaystyle f} funtzioaren ahultze-propietateen eta Laplaceren transformazioak konbergentzia eremuan dituen propietateen arteko harremanaren inguruan.

  

Ingeniaritzarako aplikazioetan, linealki denborarekiko inbariantea den sistema bati (LTI sistema edo *Linear Time-Invariant*) dagokion funtzio bat *egonkorra* da bornatutako sarrera bakoitzak bornatutako irteera sortzen badu. Horren baliokidea izango litzateke Laplaceren transformazioaren konbergentzia absolutua pultsu-erantzunaren funtzioarentzat, {\displaystyle Re(s)\geq 0} eremuan. Ondorioz, LTI sistemak egonkorrak dira, baldin eta pultsu-erantzun funtzioaren Laplaceren transformazioaren poloek parte erreal negatiboa badute.

Konbergentzia-eremu hori sistemen kausalitatea eta egonkortasuna aztertzeko erabiltzen da.

Propietateak
------------

Laplaceren transformazioak hainbat propietate ditu sistema dinamiko linealak analizatzeko. Abantaila handiena da {\displaystyle s}-ren bidez deribatua biderketa eta integrazioa zatiketa bihurtzen direla.

  

Azken propietate honengatik, Laplaceren {\displaystyle s} aldagaia *aldagai eragile* izenaz ezagutzen da {\displaystyle L} eremuan: bai deribatu aldagai eragilea ({\displaystyle s^{-1}}-erako), bai integrazio aldagai eragilea. Laplaceren transformazioak, beraz, eraldatu ahal ditu ekuazio integralak eta ekuazio diferentzialak ekuazio polinomikoetara, ebazteko askoz errazagoak direnak. Behin ekuazioak ebatzita, Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa erabiliz jatorrizko eremura itzul daiteke.

Aipa ditzagun Laplaceren transformazioaren propietateak banan-banan. Izan bitez {\displaystyle f(t)} eta {\displaystyle g(t)} funtzioak, eta hauen Laplaceren transformazioak {\displaystyle F(s)} eta {\displaystyle G(s)}:



f
(
t
)

=

L

−
1

{
F
}
(
s
)
,

g
(
t
)

=

L

−
1

{
G
}
(
s
)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}f(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{F\}(s),\\g(t)&={\mathcal {L}}^{-1}\{G\}(s).\end{aligned}}}Ondorengo taula Laplaceren aldebakarreko transformazioaren propietateen zerrenda bat da:

| Laplaceren aldebakarreko transformazioaren propietateak |
| --- |
| Propietatea | Denbora eremua | s-eremua | Iruzkinak |
| Linealtasuna | {\displaystyle af(t)+bg(t)\ } | {\displaystyle aF(s)+bG(s)\ } | Frogatu daiteke integrazioko oinarrizko arauekin. |
| Maiztasun-eremu deribatua | {\displaystyle tf(t)\ } | {\displaystyle -F'(s)\ } | {\displaystyle F}-ren lehenengo deribatua {\displaystyle s}-rekiko. |
| Maiztasun-eremu integrazio orokorra | {\displaystyle t^{n}f(t)\ } | {\displaystyle (-1)^{n}F^{(n)}(s)\ } | Modu orokorragoa, {\displaystyle F(s)} funtzioaren n-garren deribatua. |
| Deribatua | {\displaystyle f'(t)\ } | {\displaystyle sF(s)-f(0^{+})\ } | Izan bedi {\displaystyle f} funtzio diferentziagarria eta bere deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. Hau zatikako integrazioa erabiliz lor daiteke. |
| Bigarren deribatua | {\displaystyle f''(t)\ } | {\textstyle s^{2}F(s)-sf(0^{+})-f'(0^{+})\ } | Izan bedi {\displaystyle f} birritan diferentziagarria eta bere bigarren deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. {\displaystyle f'(t)}-ri deribatuaren propietatea aplikatuz garatzen da. |
| Deribatu orokorra | {\displaystyle f^{(n)}(t)\ } | {\displaystyle s^{n}F(s)-\sum \_{k=1}^{n}s^{n-k}f^{(k-1)}(0^{+})\ } | Izan bedi {\displaystyle f} n aldiz diferentziagarria eta bere n-garren deribatua esponentzial erakoa den funtzioa. Indukzio matematikoz garatzen da. |
| Maiztasun-eremu integrazioa | {\displaystyle {\frac {1}{t}}f(t)\ } | {\displaystyle \int \_{s}^{\infty }F(\sigma )\,d\sigma \ } | Honako hau diferentziazio-maiztasunaren izaera eta baldintzazko konbergentziatik ondoriozta dezakegu. |
| Denbora-eremu integrazioa | {\displaystyle \int \_{0}^{t}f(\tau )\,d\tau =(u\*f)(t)} | {\displaystyle {1 \over s}F(s)} | {\displaystyle u(t)} Heaviside maila-funtzioa da eta {\displaystyle (u\times f)(t)} {\displaystyle u(t)} eta {\displaystyle f(t)}-ren konboluzioa. |
| Maiztasun desplazamendua | {\displaystyle e^{at}f(t)\ } | {\displaystyle F(s-a)\ } |  |
| Denbora desplazamendua | {\displaystyle f(t-a)u(t-a)\ } | {\displaystyle e^{-as}F(s)\ } | {\displaystyle a>0\ }, *u*(*t*) Heaviside maila-funtzioa da. |
| Denbora eskala | {\displaystyle f(at)} | {\displaystyle {\frac {1}{a}}F\left({s \over a}\right)} | {\displaystyle a>0\ } |
| Biderketa | {\displaystyle f(t)g(t)} | {\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\lim \_{T\to \infty }\int \_{c-iT}^{c+iT}F(\sigma )G(s-\sigma )\,d\sigma \ } | Integrazioa {\displaystyle Re(\sigma )=c} lerro bertikalean zehar egiten da, {\displaystyle F} konbergentzia eskualdean erabat kokatuta. |
| Konboluzioa | {\displaystyle (f\*g)(t)=\int \_{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } | {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ } |  |
| Konboluzio zirkularra | {\displaystyle (f\*g)(t)=\int \_{0}^{T}f(\tau )g(t-\tau )\,d\tau } | {\displaystyle F(s)\cdot G(s)\ } | {\displaystyle T} periodoa duten funtzio periodikoetan. |
| Konplexu **konjokatua** | {\displaystyle f^{\*}(t)} | {\displaystyle F^{\*}(s^{\*})} |  |
| Korrelazio gurutzatua | {\displaystyle (f\star g)(t)=\int \_{0}^{\infty }f(\tau )^{\*}\,g(t+\tau )\,d\tau } | {\displaystyle F^{\*}(-s^{\*})\cdot G(s)} |  |
| Funtzio periodikoa | {\displaystyle f(t)} | {\displaystyle {1 \over 1-e^{-Ts}}\int \_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt} | *t* ≥ 0 guztietarako, {\displaystyle f(t)=f(t+T)} betetzen duen T periodoko funtzio periodikoa da {\displaystyle f(t)}. Hau denbora desplazamenduaren propietatearen eta serie geometrikoen emaitza da. |
| Batuketa periodikoa | {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }f(t-Tn)u(t-Tn)}{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}f(t-Tn)u(t-Tn)} | {\displaystyle {\frac {1}{1-e^{-Ts}}}F(s)}{\displaystyle {\frac {1}{1+e^{-Ts}}}F(s)} |  |

Beste transformazioekiko lotura
-------------------------------

### Laplace-Stieltjesen transformazioa

{\displaystyle g:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} } funtzio baten Laplace-Stieltjesen transformazioa (aldebakarrekoa), Lebesgue-Stieltjesen integralak definitzen du:


{

L

∗

g
}
(
s
)
=

∫

0

∞

e

−
s
t

d

g
(
t
)
 
.

{\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{\*}g\}(s)=\int \_{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}

{\displaystyle \{{\mathcal {L}}^{*}g\}(s)=\int _{0}^{\infty }e^{-st}\,d\,g(t)~.}

  

{\displaystyle g} funtzioa bornatutako bariaziokoa dela suposatuko da. {\displaystyle g} funtzioa {\displaystyle f}-ren antideribatua izanik, ondorengoa beteko da:


g
(
x
)
=

∫

0

x

f
(
t
)

d

t

{\displaystyle g(x)=\int \_{0}^{x}f(t)\,d\,t}

{\displaystyle g(x)=\int _{0}^{x}f(t)\,d\,t}eta {\displaystyle g} funtzioaren Laplace-Stieltjesen transformazioak eta {\displaystyle f}-ren Laplaceren transformazioak bat egingo dute. Orokorrean, Laplace-Stieltjesen transformazioa {\displaystyle g}-ri dagokion Stieltjesen neurriaren Laplaceren transformazioa da. Beraz, praktikan, bi transformazioen arteko alde bakarra da Laplaceren transformazioa neurketaren dentsitate-funtzioan aplikatzen dela, eta Laplace-Stieltjesen transformazioa, ordea, metatze banaketa-funtzioan.

### Fourierren transformazioa

Fourierren transformazioa aldebiko Laplaceren transformazioaren kasu berezi bat da (zenbait baldintzaren pean). Funtzio baten Fourierren transformazioa aldagai *erreal* baten funtzio konplexua da, eta Laplaceren transformazioa, ordea, aldagai *konplexu* baten funtzio konplexua da. Laplaceren transformazioa {\displaystyle t\geq 0} duten transformazio-funtzioetara mugatu ohi da. Laplaceren transformazioa {\displaystyle s} aldagaiko funtzio holomorfoa izatea izango da mugaketa honen ondorioetako bat. Fourierren transformazioa ez bezala, banaketa baten Laplaceren transformazioa joera egokidun funtzioa izan ohi da.

**Fourierren transformazioa.** Grafikoak funtzio baten denbora eta maiztasun eremuen arteko lotura adierazten du, Fourierren transformazioan oinarrituta. Fourierren transformazioak {\displaystyle f} denbora-eremuko funtzio bat hartu (gorriz) eta maiztasun-eremuko {\displaystyle {\hat {f}}} funtzio bihurtzen du (urdinez). Irudian, uhin karratuaren 6 osagaiko hurbilketa deskonposatzen da 6 sinu uhinetan.
Aldagai konplexuzko teknikak ere erabil daitezke Laplaceren transformazioak aztertzeko. Funtzio holomorfoa izanik, Laplaceren transformazioa berretura-serie bidez adieraz daiteke. Berretura-serie horrek funtzioak haien momentuen gainezarpen-lineal moduan adierazten ditu. Ikuspegi honek zenbait aplikazio ditu probabilitate-teorian.

Fourierren transformazioaren adierazpenaren baliokidea da aldebiko Laplaceren transformazioan {\displaystyle s=i\omega } edo {\displaystyle s=2\pi i\xi } aldagai irudikariak ordezkatzea, ondorengo baldintza betetzen baldin bada:




f
^

(
ω
)

=

F

{
f
(
t
)
}



=

L

{
f
(
t
)
}

|

s
=
i
ω

=
F
(
s
)

|

s
=
i
ω



=

∫

−
∞

∞

e

−
i
ω
t

f
(
t
)

d
t
 
.



{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|\_{s=i\omega }=F(s)|\_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {f}}(\omega )&={\mathcal {F}}\{f(t)\}\\[4pt]&={\mathcal {L}}\{f(t)\}|_{s=i\omega }=F(s)|_{s=i\omega }\\[4pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-i\omega t}f(t)\,dt~.\end{aligned}}}

  

Fourierren transformazioaren hitzarmen honek {\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}} faktorea behar du Fourierren transformazioaren alderantzizkoan. Fourierren eta Laplaceren transformazioen arteko harreman hau maiz erabiltzen da seinale edo sistema dinamiko baten maiztasun-espektroa zehazteko.

  

Goiko harremana onargarria da baldin eta soilik baldin {\displaystyle F(s)}-ren konbergentzia eremuak ardatz irudikaria ({\displaystyle \sigma =0}) barne hartzen badu.

Adibide bat jartzearren, har dezagun {\displaystyle f(t)=cos(\omega \_{0}t)} funtzioa. Bere Laplaceren transformazioa {\displaystyle F(s)=s/(s^{2}+\omega \_{0}^{2})} da, zeinen konbergentzia-eremua {\displaystyle Re(s)>0} motakoa den. Gainera, {\displaystyle s=i\omega \_{0}} aldagaiaren balioa {\displaystyle F(s)} funtzioaren poloa denez, {\displaystyle s=i\omega } funtzioan ordezkatzeak ez du {\displaystyle f(t)u(t)} funtzioaren Fourierren transformazioa betetzen. Transformazio hori Diracen delta-funtzioarekiko proportzionala da ({\displaystyle \delta (\omega -\omega \_{0})}).

Hala ere, ondokoa bezalako harreman-mota batek baldintza ahulagoetan eusten dio:



lim

σ
→

0

+

F
(
σ
+
i
ω
)
=

f
^

(
ω
)

{\displaystyle \lim \_{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}

{\displaystyle \lim _{\sigma \to 0^{+}}F(\sigma +i\omega )={\hat {f}}(\omega )}Esate baterako, esandakoa goiko adibidean bermatuko da baldin eta limite hori limite ahultzat hartzen bada. Laplaceren transformazioarekin harremana duten baldintza orokorrek, Fourierren transformazioarekiko mugan, Paley-Wiener teoremen forma hartzen dute.

### Mellinen transformazioa

Mellinen transformazioa eta bere alderantzizkoa aldagai-aldaketa soil batez lot daitezke aldebiko Laplaceren transformazioarekin. Mellinen transformazioan {\displaystyle \theta =e^{-t}} ordezkatuz, aldebiko Laplaceren transformazioa lortzen da:


G
(
s
)
=

M

{
g
(
θ
)
}
=

∫

0

∞

θ

s

g
(
θ
)

d
θ

θ

{\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int \_{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}

{\displaystyle G(s)={\mathcal {M}}\{g(\theta )\}=\int _{0}^{\infty }\theta ^{s}g(\theta )\,{\frac {d\theta }{\theta }}}
### Borelen transformazioa

Borelen transformazioaren forma integrala


F
(
s
)
=

∫

0

∞

f
(
z
)

e

−
s
z

d
z

{\displaystyle F(s)=\int \_{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}

{\displaystyle F(s)=\int _{0}^{\infty }f(z)e^{-sz}\,dz}Laplaceren transformazioaren kasu partikularra da, non {\textstyle f} funtzio oso bat den esponentzial itxurakoa; hau da,



|

f
(
z
)

|

≤
A

e

B

|

z

|


{\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}

{\displaystyle |f(z)|\leq Ae^{B|z|}}{\textstyle A} eta {\textstyle B} konstante batzuentzat. Borelen transformazio orokortuak onartzen du esponentziala ez den beste pisu funtzio bat erabiltzea, transformatu ahal izateko esponentzial itxurakoak ez diren funtzioak. Nachbinen teoremak ematen dizkigu beharrezkoak eta nahikoak diren baldintzak Borelen transformazioa ondo definituta egon dadin.

### Oinarrizko erlazioak

Aurreko kasuetan ikusi dugun moduan, Laplaceren oinarrizko transformazio bat aldebiko transformazio baten moduan idatz daiteke. Gainera, aldebiko transformazio bat aldebakarreko bi transformazioren batuketaz idatz daiteke. Hori dela eta, azken finean, Laplace-, Fourier-, Mellin- eta Z-transformazioak gai berdineko kasu partikularrak dira. Hala ere, problema eta propietate ezberdinak ematen dizkigute lau oinarrizko integral transformazio hauek.

Adibideak eta aplikazioak
-------------------------

Laplaceren transformazioa askotan erabilgarria da ingeniaritzan eta fisikan.

Esate baterako, Laplaceren transformazioak ekuazio diferentzial lineal bat ekuazio aljebraiko bihur dezake. Honek ekuazioa ebazteko prozesua nabarmenki azkartu eta erraztu dezake.

### Kondentsadore baten inpedantzia konplexua

Zirkuitu elektrikoen teorian, kondentsadore baten korronte-fluxua zuzenki proportzionala da kapazitatearekiko eta potentzial elektrikoaren aldakuntzarekiko (SI unitatetan). Hau adieraz daiteke honako ekuazio diferentzialaren bitartez:

Zenbait kondentsadore.

i
=
C

d
v

d
t

,

{\displaystyle i=C{dv \over dt},}

{\displaystyle i=C{dv \over dt},}non {\textstyle C} kondentsadorearen kapazitatea den (farad unitatetan), {\textstyle i=i(t)} kondentsadoretik doan korronte elektrikoa (ampere unitatetan) denborarekiko funtzio gisa adierazita, eta {\textstyle v=v(t)} kondentsadoreko plaken arteko potentzial diferentzia (volt unitatetan) neurtzen duen denborarekiko funtzioa. Aurreko ekuazioan Laplaceren transformazioa aplikatuz


I
(
s
)
=
C
(
s
V
(
s
)
−

V

0

)

{\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V\_{0})}

{\displaystyle I(s)=C(sV(s)-V_{0})}lortzen dugu, non



I
(
s
)

=

L

{
i
(
t
)
}
,

V
(
s
)

=

L

{
v
(
t
)
}
,


V

0


=
v
(
0
)
.



{\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\\V\_{0}&=v(0).\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}I(s)&={\mathcal {L}}\{i(t)\},\\V(s)&={\mathcal {L}}\{v(t)\},\\V_{0}&=v(0).\end{aligned}}}{\textstyle V(s)} bakantzen badugu,


V
(
s
)
=

I
(
s
)

s
C

+

V

0

s

.

{\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V\_{0} \over s}.}

{\displaystyle V(s)={I(s) \over sC}+{V_{0} \over s}.}Inpedantzia konplexua {\textstyle Z(s)} funtzioaren bidez adieraziko dugu. Hain zuzen ere, inpedantzia konplexuaren definizioa (ohm unitatetan) potentzial diferentzia eta korronte elektrikoaren arteko zatiketa da; hau da,


Z
(
s
)
=



V
(
s
)

I
(
s
)

|

V

0

=
0

.

{\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|\_{V\_{0}=0}.}

{\displaystyle Z(s)=\left.{V(s) \over I(s)}\right|_{V_{0}=0}.}Inpedantzia konplexuaren definizioan {\textstyle V(s)} aurreko ekuaziotik ordezkatuz,


Z
(
s
)
=

1

s
C

.

{\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}.}

{\displaystyle Z(s)={\frac {1}{sC}}.}Azken ekuazio hau guztiz erabilgarria da kondentsadore baten inpedantzia konplexua kalkulatzeko.

### Cauchyren problema baten ebazpena

Demagun honako Cauchyren problemaren soluzioa aurkitu nahi dugula, alegia, ekuazio diferentzial baten soluzioa aurkitu, hasierako balioak emanda.

{\displaystyle y''+4y=0,}

{\displaystyle y(0)=1,\quad y'(0)=3}.

Egia esan, ekuazio diferentzialen teoria erabiliz, problema honen soluzioa aurkitu daiteke. Hala ere, Laplaceren transformazioaren teoria erabiliz, prozesua nahiko azkartu daiteke. Ekuazioaren transformazioa eginez, hauxe lortzen dugu:


0
=

s

2

Y
−
s
y
(
0
)
−

y
′

(
0
)
+
4
Y
=
(

s

2

+
4
)
Y
−
s
−
3.

{\displaystyle 0=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)+4Y=(s^{2}+4)Y-s-3.}

{\displaystyle 0=s^{2}Y-sy(0)-y'(0)+4Y=(s^{2}+4)Y-s-3.}{\textstyle Y} bakanduz, hauxe lortzen dugu:


Y
(
s
)
=

s
+
3

s

2

+
4

.

{\displaystyle Y(s)={\frac {s+3}{s^{2}+4}}.}

{\displaystyle Y(s)={\frac {s+3}{s^{2}+4}}.}Ohartu izendatzailea sinu edo kosinu itxurakoa dela; beraz, zenbakitzailean aldaketa batzuk egin beharko ditugu. Zatiketa banatu dezagun bi batugaitan:


Y
(
s
)
=

s

s

2

+
4

+

3

s

2

+
4

.

{\displaystyle Y(s)={\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{s^{2}+4}}.}

{\displaystyle Y(s)={\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{s^{2}+4}}.}Lehenengo batugaia argi ikusten da {\textstyle cos2t} funtzioaren transformazioa dela. Bigarren batugaiaren zenbakitzailean 2 bat izango bagenu, {\textstyle sin2t} funtzioaren transformazioa izango genuke. Hau konpontzeko, zatiketa biderkatu eta zatituko dugu 2 zenbakiarekin:


3

s

2

+
4

=

3
2

(

2

s

2

+
4


)

.

{\displaystyle {\frac {3}{s^{2}+4}}={\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}.}

{\displaystyle {\frac {3}{s^{2}+4}}={\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}.}Ondorioz, hasierako problemaren soluzioa hauxe da:


y
(
t
)
=

L

−
1

[

s

s

2

+
4

+

3
2

(

2

s

2

+
4


)

]

=
cos
⁡

2
t

+

3
2

sin
⁡

2
t

.

{\displaystyle y(t)={\mathcal {L}}^{-1}{\biggl [}{\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}{\biggr ]}=\cos {2t}+{\frac {3}{2}}\sin {2t}.}

{\displaystyle y(t)={\mathcal {L}}^{-1}{\biggl [}{\frac {s}{s^{2}+4}}+{\frac {3}{2}}{\biggl (}{\frac {2}{s^{2}+4}}{\biggr )}{\biggr ]}=\cos {2t}+{\frac {3}{2}}\sin {2t}.}
### Frakzio sinpletako deskonposaketa

Kontsidera dezagun denborarekiko independentea den sistema, honako transferentzia funtzioarekin:


H
(
s
)
=

1

(
s
+
α
)
(
s
+
β
)

.

{\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}

{\displaystyle H(s)={\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}.}Pultsu erantzuna aurreko transferentzia funtzioaren Laplaceren transformazioaren alderantzizko funtzioa da:


h
(
t
)
=

L

−
1

{
H
(
s
)
}
.

{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}

{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}.}Funtzio honen adierazpena aurkitzeko lehenik eta behin {\textstyle H(s)} funtzioa berridatziko dugu frakzio sinpletako deskonposaketa eginez,


1

(
s
+
α
)
(
s
+
β
)

=

P

s
+
α

+

R

s
+
β

.

{\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}

{\displaystyle {\frac {1}{(s+\alpha )(s+\beta )}}={P \over s+\alpha }+{R \over s+\beta }.}{\textstyle P} eta {\textstyle R} konstante ezezagunak transformazio-funtzioko hondarrak dira. Cauchyren hondarraren teoremak esaten du Laplaceren transformazioaren alderantzizkoa soilik dagoela poloen eta haien hondarren menpe. {\textstyle P} hondarra aurkitzeko, biderka dezagun berdintza {\textstyle s+\alpha } baturaz:


1

s
+
β

=
P
+

R
(
s
+
α
)

s
+
β

.

{\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}

{\displaystyle {\frac {1}{s+\beta }}=P+{R(s+\alpha ) \over s+\beta }.}Egiten badugu {\textstyle s=-\alpha } aldagai aldaketa, hauxe lortzen dugu:


P
=


1

s
+
β

|

s
=
−
α

=

1

β
−
α

.

{\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|\_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}

{\displaystyle P=\left.{1 \over s+\beta }\right|_{s=-\alpha }={1 \over \beta -\alpha }.}Antzeko modu batean, aurkitzen dugu {\textstyle R} hondarra:


R
=


1

s
+
α

|

s
=
−
β

=

1

α
−
β

.

{\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|\_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}

{\displaystyle R=\left.{1 \over s+\alpha }\right|_{s=-\beta }={1 \over \alpha -\beta }.}Ohartu honako berdintza betetzen dela:


R
=

−
1

β
−
α

=
−
P

{\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}

{\displaystyle R={-1 \over \beta -\alpha }=-P}Eta, beraz, {\textstyle P} eta {\textstyle R} ordezkatzen baditugu {\textstyle H(s)} funtzioan, honako hau daukagu:


H
(
s
)
=

(

1

β
−
α

)

⋅

(

1

s
+
α

−

1

s
+
β

)

.

{\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}

{\displaystyle H(s)=\left({\frac {1}{\beta -\alpha }}\right)\cdot \left({1 \over s+\alpha }-{1 \over s+\beta }\right).}Azkenik, linealtasunaren propietatea erabiliz eta esponentzial negatiboaren transformazioa aplikatuz, lortzen dugu {\textstyle H(s)} funtzioaren alderantzizko Laplaceren transformazioa:


h
(
t
)
=

L

−
1

{
H
(
s
)
}
=

1

β
−
α

(

e

−
α
t

−

e

−
β
t

)

.

{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right).}

{\displaystyle h(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{H(s)\}={\frac {1}{\beta -\alpha }}\left(e^{-\alpha t}-e^{-\beta t}\right).}Lortu dugun funtzioa, lehen esan dugun bezala, sistemaren pultsu-erantzuna da.

Erreferentziak
--------------

1. ↑   Lynn, Paul A..  (1986). *Electronic signals and systems.*  Macmillan ISBN 0-333-39163-2. PMC 13358343. (Noiz kontsultatua: 2022-11-09).
2. ↑   «Differential Equations - Laplace Transforms» *tutorial.math.lamar.edu* (Noiz kontsultatua: 2022-11-09).
3. ↑   **(Ingelesez)** W. Weisstein, Eric. «Laplace Transform -- from Wolfram MathWorld» *mathworld.wolfram.com* (Noiz kontsultatua: 2022-11-09).
4. ↑   Laplace, Pierre Simon.  (1812). *Théorie analytique des probabilités;.*  Paris, Ve. Courcier (Noiz kontsultatua: 2022-10-30).
5. ↑   Jaynes, E. T..  (2003). *Probability theory : the logic of science.*  Cambridge University Press ISBN 0-511-06589-2. PMC 57254076. (Noiz kontsultatua: 2022-10-30).
6. ↑   **(Frantsesez)** Abel, Niels Henrik.  (1881). *OEuvres Completes de Niels Henrik Abel.*  Grøndahl (Noiz kontsultatua: 2022-10-30).
7. ↑   **(Ingelesez)** Lerch, M..  (1903). «Sur un point de la théorie des fonctions génératrices d’Abel» *Acta Mathematica* **27** (0): 339–351. doi:10.1007/BF02421315. ISSN 0001-5962. (Noiz kontsultatua: 2022-10-27).
8. ↑   **(Ingelesez)** Heaviside, Oliver.  (2008-01-01). *Electromagnetic Theory.*  Cosimo, Inc. ISBN 978-1-60520-618-9. (Noiz kontsultatua: 2022-10-30).
9. ↑   **(Ingelesez)** Bromwich, T. J. I'A..  (1917). «Normal Coordinates in Dynamical Systems» *Proceedings of the London Mathematical Society* **s2-15** (1): 401–448. doi:10.1112/plms/s2-15.1.401. (Noiz kontsultatua: 2022-10-27).
10. ↑   F. Gardner, M..  (1942). *Transients in Linear Systems Studied by the Laplace Transform.*  Wiley PMC 1154163714. (Noiz kontsultatua: 2022-10-30).
11. ↑   Doetsch, Gustav.  (1937). «Definition und analytische Eigenschaften der Laplace-Transformation» *Theorie und Anwendung der Laplace-Transformation* (Springer Berlin Heidelberg): 12–40. ISBN 978-3-642-98721-2. (Noiz kontsultatua: 2022-10-27).
12. ↑   Euler, Leonhard.  (1744). *"De constructione aequationum" [The Construction of Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin).* , 22: 150–161 or..
13. ↑   Euler, Leonhard.  (1753). *"Methodus aequationes differentiales" [A Method for Solving Differential Equations], Opera Omnia, 1st series (in Latin).* , 22: 181–213 or..
14. ↑   **(Latinez)** Euler, Leonhard.  (1769). *Institutionum calculi integralis volumen primum [-tertium* ... Auctore Leonhardo Eulero ...: 2: Volumen secundum in quo methodus inueniendi functiones vnius variabilis ex data relatione differentialium secundi altiorisue gradus pertractatur. Auctore Leonhardo Eulero .... *] impensis Academiae imperialis scientiarum (Noiz kontsultatua: 2022-11-09)**.*
15. ↑   Lagrange, Joseph Luis.  (1773). *Mémoire sur l'utilité de la méthode, Œuvres de Lagrange, vol. 2.* , pp. 171–234 or..
16. 1 2   Grattan-Guinness, Ivor.  (1997). *"Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science.*  Princeton: Princeton University Press, 261 or. ISBN Laplace's integral solutions to partial differential equations..
17. ↑   Grattan-Guinness, Ivor.  (1997). *"Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science.*  Princeton: Princeton University Press, 261-262 or. ISBN 978-0-691-01185-1..
18. ↑   Grattan-Guinness, Ivor.  (1997). *"Laplace's integral solutions to partial differential equations", in Gillispie, C. C. (ed.), Pierre Simon Laplace 1749–1827: A Life in Exact Science.*  Princeton: Princeton University Press, 262-266 or. ISBN 978-0-691-01185-1..
19. ↑   **(Ingelesez)** Weisstein, Eric W.. «Laplace Transform» *mathworld.wolfram.com* (Noiz kontsultatua: 2022-12-01).
20. ↑   Feller, William.  ([1957-1971]). *An introduction to probability theory and its applications.*  (Second edition. argitaraldia) John Wiley & Sons, Inc ISBN 0-471-25709-5. PMC 279852. (Noiz kontsultatua: 2022-12-01).
21. ↑  The cumulative distribution function is the integral of the probability density function.
22. ↑   Widder, D. V..  (1941). «Chapter II» *The Laplace transform.*  Princeton University Press ISBN 978-1-4008-7645-7. PMC 609856330. (Noiz kontsultatua: 2022-12-01).
23. ↑   Widder, D. V..  (1941). «Chapter VI» *The Laplace transform.*  Princeton University Press ISBN 978-1-4008-7645-7. PMC 609856330. (Noiz kontsultatua: 2022-12-01).
24. ↑    *Mathematical Handbook for Scientists and Engineers (2nd ed.).*  McGraw-Hill Companies, 226-227 or. ISBN 978-0-07-035370-1..
25. ↑  (Bracewell 2000, Table 14.1, p. 385)
26. ↑   Feller, William.  (1971). *An introduction to probability theory and its applications. Vol II.*  John Wiley & Sons.
27. ↑   Txantiloi:Hungariarra Takacs, J.  (1953). *Fourier amplitudok meghatarozasa operatorszamitassal.*  Magyar Hiradastechnika, 93–96 or..

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q199691
* Commonscat Multimedia: Laplace transformation

---

* **Identifikadoreak**
* BNF: 119531733 (data)
* LCCN: sh85074666
* NDL: 00567362
* NKC: ph117703
* **Hiztegiak eta entziklopediak**
* Britannica: url

 |

* Wd Datuak: Q199691
* Commonscat Multimedia: Laplace transformation