Arrazonamendu formalean, bi proposizioen arteko **konjuntzio logikoa** lokailu logiko bat da, zeinen egia balioa egiazkoa izango da bi proposizioak egiazkoak badira eta faltsua beste kasu guztietan.

A {\displaystyle \land } B ebakiduraren, Venn-en diagrama
"A eta B" egiazkoa izango da, A egiazkoa bada eta B egiazkoa bada bakarrik.

* Hizkuntza naturalean, "eta" hitza erabiltzen da euskaraz konjuntzio logiko bat adierazteko.
* Multzo teorian kontzeptu baliokidea ebaketa edo ebakidura da ({\displaystyle \cap }).
* Aljebra Boolearrean, konjuntzioa bi aldagaien arteko eragile bitar gisa erdiko puntuaren (·) sinboloarekin adireazten da.
* Elektronikan, AND ate logikoa erabiltzen da konjuntzio logikoa ezartzeko.

A{\displaystyle \land }B{\displaystyle \land }C ebakiduraren, Venn-en diagrama

Notazioa
--------

Eta adierazteko gehien erabiltzen diren ikurrak hurrengoak dira: matematika eta logikan, ∧ edo × ; elektronikan, ⋅ ; eta programazio lengoaietan, &, &&, edo and.

Definizioa
----------

Faltsuak **F** eta egiazkoak **E** diren elementuez osatutako multzo unibertsal bat, **U,**:

{\displaystyle U=\{F,E\}}

eta {\displaystyle (U,\land )} bezala irudikatuko dugun barne ergiketa bitara ∧ konjuntzioa, emanda ,

{\displaystyle {\begin{array}{rccl}\land :&\;U\times U&\to &U\\&(a,b)&\to &c=a\land b\end{array}}}

**(a,b) U** x **U**ko bikote ordenatu bakoitzari **U**ko **c** bat bakarra esleituko zaio, **c**, **a** eta **b** ren arteko konjuntzio logikoaren emaitza izango da.

{\displaystyle \forall (a,b)\in U\times U\,:\quad \exists !c\in U\;/\quad c=a\land b}

Konjuntzio logikoaren egia taula:

|  |  |
| --- | --- |
| **INPUT** | **OUTPUT** |
| {\displaystyle A} | {\displaystyle B} | {\displaystyle A\land B} |
| E | E | E |
| E | F | F |
| F | E | F |
| F | F | F |

Erabilera
---------

### Hizkuntza formala

Hizkuntza formal bateko adierazpenek, egiazkoak edo faltsuak izan daitezkeen proposizioak irudikatzen badituzte, konjuntzio logikoa egiazkoa izango da bi adierazpenak egiazkoak badira bakarrik.

### Aljebra boolearra

B={0,1} multzoa emanik, · honela definituko da:

0 · 0 = 0, 0 · 1 = 0, 1 · 0 = 0, 1 · 1 = 1

### Sare neuronalak

Propietateak
------------

Konjuntzio logikoak honako propietate hauek ditu:

* Elkartze propietatea:

{\displaystyle \forall a,b,c\in U:\;(a\land b)\land c=a\land (b\land c)}

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle ~A} | {\displaystyle ~~~\land ~~~} | {\displaystyle (B\land C)} |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  |  | {\displaystyle (A\land B)} | {\displaystyle ~~~\land ~~~} | {\displaystyle ~C} |
|  | {\displaystyle ~~~\land ~~~} |  |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  | {\displaystyle ~~~\land ~~~} |  |

* Trukatze propietatea:

{\displaystyle \forall a,b\in U:\;a\land b=b\land a}

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle A\land B} |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     | {\displaystyle B\land A} |
|  |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  |

* Banatze propietatea:

{\displaystyle \forall a,b,c\in U:\;a\land (b\lor c)=(a\land b)\lor (a\land c)}

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle ~A} | {\displaystyle \land } | {\displaystyle (B\lor C)} |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  |  | {\displaystyle (A\land B)} | {\displaystyle \lor } | {\displaystyle (A\land C)} |
|
|  | {\displaystyle \land } |  |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  |     {\displaystyle \Leftrightarrow }     |  | {\displaystyle \lor } |  |

* Elementu neutroaren existentzia:

{\displaystyle \forall a\in U:\;a\land V=a}

* Alderantzizkoa

{\displaystyle \forall a\in U;\;\exists \lnot {a}\in U:\;a\land \lnot {a}=F}

* Konjuntzioa ondorioz disjuntzioa

{\displaystyle \forall a,b\in U:\;a\land b\rightarrow a\lor b}

Eragiketak bit-ekin
===================

Konjuntzioa oso erabilia da bit-ekin eragiketak egiteko. Adibidez:

* Zero eta zero:

{\displaystyle 0\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}}
* Zero eta bat:

{\displaystyle 0\land 1=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&0\\\land &1\\\hline &0\\\end{array}}}
* Bat eta zero:

{\displaystyle 1\land 0=0\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &0\\\hline &0\\\end{array}}}
* Bat eta bat:

{\displaystyle 1\land 1=1\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{cc}&1\\\land &1\\\hline &1\\\end{array}}}
* Lau bitetan:

{\displaystyle 1010\land 1100=1000\quad \longleftrightarrow \quad {\begin{array}{ccccc}&1&0&1&0\\\land &1&1&0&0\\\hline &1&0&0&0\\\end{array}}}
Erreferentziak
--------------

1. ↑   Richard. Johnsonbaugh,.  (2005). *Matemáticas discretas.*  (6{487} ed. argitaraldia) Pearson Educación ISBN 9702606373..

Bibliografia
------------

* Winfried Karl Grassmann, Jean-Paul Tremblay (1995), Logic and Discrete Mathematics: A Computer Science Perspective, Prentice Hall, ISBN 8131714381

Kanpo estekak
-------------

|  |  |
| --- | --- |
| Autoritate kontrola | 
* **Wikimedia proiektuak**
* Wd Datuak: Q191081
* Commonscat Multimedia: Logical conjunction

---

* **Identifikadoreak**
* GND: 4164990-4

 |

* Wd Datuak: Q191081
* Commonscat Multimedia: Logical conjunction