**Üldistatud lineaarne mudel** (inglise keeles *generalized linear model*, lühend **GLM**) on analüüsimeetod statistikas, mis võimaldab mingit uuritavat tunnust {\displaystyle Y} prognoosida teiste, sõltumatute tunnuste {\displaystyle X} abil, kusjuures erinevalt lineaarregressioonist võimaldab üldistatud lineaarne mudel sobitada lineaarse mudeli ka mittelineaarse seose peale. GLM sobitab lineaarse mudeli uuritavale seosele seosefunktsiooni abil.

Olemus
------

Lihtne lineaarregressioon hindab uuritava tunnuse {\displaystyle Y} väärtust, kui see on lineaarkombinatsioon sõltumatu tunnuse {\displaystyle X} väärtustest (vaadeldud väärtused). Sellisel juhul {\displaystyle Y} allub normaaljaotusele. Olgu meil näiteks lihtne lineaarne mudel, mis hindab õhutemperatuuri põhjal rannas olevate inimeste arvu. Iga 10 °C muutus õhutemperatuuris toob kaasa 1000-pealise muutuse rannasviibijate arvus. Kui on rand, kus inimesi on alguses 50, siis 10 °C languse korral annaks selline lineaarne mudel rannasviibijate arvu hinnanguks võimatu –950 inimest.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab kahte tunnust omavahel siduda nii, et uuritav tunnus {\displaystyle Y} allub mingisugusele juhuslikule jaotusele, mis ei pea olema normaaljaotus. Meie näite kohaselt tähendaks see, et õhutemperatuuri {\displaystyle X} muutudes rannasviibijate arv {\displaystyle Y} võib muutuda mittelineaarselt.

Jätkates sama näidet, olgu meil nüüd mingisugune üldistatud lineaarne mudel. 10-kraadise õhutemperatuuri languse korral selline mudel ei anna meile hinnanguks mitte –950 aktiivset rannasviibijat, vaid esialgsest 50 inimesest poole vähem ehk 25 rannasviibijat. Samas esialgse temperatuuriga võrreldes 10-kraadise tõusu korral oleks rannas jällegi 1000 inimest rohkem. On näha, et {\displaystyle X} konstantse muutuse korral {\displaystyle Y} muutub mittelineaarselt. Selles konkreetses näites {\displaystyle Y} allub Poissoni jaotusele.

Üldistatud lineaarne mudel võimaldab sellist mittelineaarset seost esitada lineaarsel kujul, teisisõnu {\displaystyle Y|X} oleks justkui lineaarne. Sellist teisendamist üldistatud lineaarses mudelis võimaldab mudelis kasutatav seosefunktisoon (sellest täpsemalt allpool).

Ülevaade
--------

Üldistatud lineaarne mudel eeldab, et uuritav tunnus {\displaystyle Y} allub mingisugusele jaotusele, mis kuulub eksponentjaotuste perre (nt normaaljaotus, eksponentjaotus, Bernoulli jaotus, Poissoni jaotus). Sellise jaotuse keskväärtus {\displaystyle \mu } sõltub sõltumatu tunnuse {\displaystyle X} väärtustest.

{\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)=\mu =g^{-1}(X\beta )}, kus:

* {\displaystyle \mathbb {E} (Y|X)} on {\displaystyle Y} keskväärtus {\displaystyle X} korral;
* {\displaystyle g} on seosefunktsioon;
* {\displaystyle X\beta } on lineaarkombinatsioon tundmatutest parameetritest {\displaystyle \beta }.

GLM-i eesmärk on hinnata suurust {\displaystyle \mu } ehk keskväärtust. Parameetri {\displaystyle \beta } hindamiseks kasutatakse üldiselt suurima tõepära meetodit, kvaasitõepära või Bayesi meetodeid.

Mudeli komponendid
------------------

Üldistatud lineaarne mudel koosneb kolmest komponendist.

1. **Juhuslik komponent** (*random component*). Määrab uuritava tunnuse ({\displaystyle Y}) jaotuse, kui {\displaystyle Y} sõltub {\displaystyle X}-st (tähistatakse kui {\displaystyle Y|X}). See jaotus kuulub eksponentsjaotuste perre. {\displaystyle Y|X} jaotuse keskväärtus on {\displaystyle \mu \_{i}}, mille hindamine ongi mudeli eesmärk.
2. **Süsteemne komponent** (*systematic component*). Määrab mudeli sõltumatute tunnuste {\displaystyle X} hulga, kasutades selleks lineaarkombinatsiooni {\displaystyle \eta \_{i}=x\_{i}^{T}\beta =x\_{1}\beta \_{1}+...+x\_{p}\beta \_{p}}.
3. **Seosefunktsioon** (*link function*). Seosefunktsioon {\displaystyle g} on funktsioon, mis seob juhusliku ja süsteemse komponendi, täpsemini {\displaystyle Y|X} keskväärtuse {\displaystyle \mu \_{i}} ja {\displaystyle \eta \_{i}}, moodustades seeläbi lineaarfunktsiooni: {\displaystyle g(\mu \_{i})=\eta \_{i}}.

### Seosefunktsioon

Sõltuvalt uuritavate andmete olemusest, on valida mitme seosefunktsiooni vahel.

Tuntud teoreetilised jaotused ja neile vastavad kanoonilised seosefunktsioonid| Jaotus | Kasutusala | Seosefunktsiooni nimi | Seosefunktsioon |
| --- | --- | --- | --- |
| Normaaljaotus | Lineaarkasvule alluvad andmed. | Samasusteisendus | {\displaystyle X\beta =\mu } |
| Poisson | Kindlas aja- või ruumiühikus toimunud sündmuste arv. | log | {\displaystyle X\beta =ln(\mu )} |
| Bernoulli | Üksiku jah/ei sündmuse tulem. | logit | {\displaystyle X\beta =\ln \left({\frac {\mu }{1-\mu }}\right)} |
| Binoom | "Jah" sündmuste arv kõikides toimunud jah/ei sündmustes. | logit | {\displaystyle X\beta =\ln \left({\frac {\mu }{n-\mu }}\right)} |

Vaata ka
--------

* Üldistatud aditiivne mudel
* Regressioonanalüüs

Viited
------

1. ↑  "Link function". *Statistics How To*. Vaadatud 13. detsember 2022.
2. 1 2  Dobson, Annette J. Barnett, Adrian G. (2008). *An Introduction to Generalized Linear Models, Third Edition*. Chapman and Hall/CRC.`{{raamatuviide}}`: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)
3. ↑  "Exponential family". *Sõnaveeb*. Vaadatud 13. detsember 2022.
4. ↑  Käärik, Meelis (2020). "Üldistatud lineaarsed mudelid". *Tartu Ülikooli matemaatika ja statistika instituut*. Vaadatud 13. detsember 2022.
5. ↑  "Generalized Linear Models: Advanced Methods for Data Analysis" (PDF). *Carnegie Mellon University*. 2014. Vaadatud 13. detsember 2022.