**Fibonacci jada** on arvude jada, mille kaks esimest liiget on vastavalt F1=0 ja *F*2=1 ning iga järgnev liige on kahe eelneva liikme summa. Jada esimesed liikmed on

{\displaystyle 0,\;1,\;1,\;2,\;3,\;5,\;8,\;13,\;21,\;34,\;55,\;89,\;144,\;233,\;377,\;610,\ \ldots .}
(esimesed 500 elementi on loetletud siin).

Fibonacci jada {*F*n} defineeritakse rekurrentse seosega

{\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2},\,}
mis lahendatakse algtingimustel

{\displaystyle F\_{0}=0,\quad F\_{1}=1.\,}

Ajalugu
-------

Teadaolevalt esinevad Fibonacci arvud esmakordselt *mātrāmeru* nime all Pingala sanskritikeelses käsikirjas *Chandaḥśāstra* ('Prosoodiakunst'; 450 eKr või 200 eKr).

Aastal 1202 tutvustas seda jada läänemaailmale itaalia matemaatik Leonardo Fibonacci[*viide?*].

Pealiige
--------

Fibonacci arvud on tihedalt seotud kuldlõikega: kui valida piisavalt suur Fibonacci arv, siis on sellele eelnev Fibonacci arv sellest alati ligikaudu kuldlõike suhtarvu pöördväärtus {\displaystyle 1/\varphi \approx 0,618} korda väiksem ning järgnev arv on sellest {\displaystyle \varphi \approx 1,618} korda suurem. 

Viimast väljendab asjaolu, et Fibonacci jada esitub kujul

{\displaystyle F\_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(-\varphi )^{-n}}{\sqrt {5}}}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}},}
kus {\displaystyle \varphi } on kuldlõike suhtarv. See valem saadakse eeltoodud rekurrentse seose {\displaystyle F\_{n}=F\_{n-1}+F\_{n-2}} lahendamisel algtingimustel {\displaystyle F\_{0}=0}, {\displaystyle F\_{1}=1}.

Fibonacci jada pealiikme valemi tuletamine

Unustame esialgu algtingimused ja otsime rekurrentse võrrandi

{\displaystyle F\_{n+2}=F\_{n+1}+F\_{n}\qquad (1)}
lahendit kujul

{\displaystyle F\_{n}=x^{n}.\,}
Asendades oletatava lahendi võrrandisse (1), saame pärast kõikide suuruste samale poole võrdusmärki viimist ja {\displaystyle x^{n}}-ga jagamist karakteristliku ruutvõrrandi 

{\displaystyle x^{2}-x-1=0.\,}
Selle ruutvõrrandi lahendid on

{\displaystyle x\_{1}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}=\varphi ,\quad x\_{2}={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}}=1-\varphi ,\,}
kus {\displaystyle \varphi } on kuldlõike suhtarv. Et seos (1) on lineaarne, siis on {\displaystyle F\_{n}} üldlahend

{\displaystyle F\_{n}=A\varphi ^{n}+B(1-\varphi )^{n},\qquad (2)}
kus kordajad {\displaystyle A} ja {\displaystyle B} leitakse algtingimustest:

{\displaystyle F\_{0}=0,\quad F\_{1}=1.\qquad (3)}
Asendades üldlahendi (2) algtingimustesse (3), saame lineaarvõrrandisüsteemi

{\displaystyle F\_{0}=A+B=0,\quad F\_{1}=A\varphi +B(1-\varphi )=1,}
mille lahendamine annab *A* ja *B* väärtused:

{\displaystyle A=-B={\frac {1}{2\varphi -1}}={\frac {1}{\sqrt {5}}}.\,}

Asendades kordajad *A* ja *B* üldlahendisse (2), jõuamegi oodatud tulemuseni

{\displaystyle F\_{n}={\frac {\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}}{\sqrt {5}}}.\,}

Loodus
------

Fibonacci jada võib kohata ka looduses. Näiteks taimede ehituses: et lehed ühtlaselt päikest saaksid, on need paigutunud korrapäraselt. Näiteks kahe kohakuti lehe vahel on tihti Fibonacci arv[*viide?*] lehti. Sama on täheldatud ka käbi kihtide puhul[*viide?*].

Lucas' jada
-----------

*Vaata ka: Lucas' jada*
Lucas' jada liikmed defineeritakse samuti rekursiivselt kahe eelneva liikme summana, kuid selle esimesed liikmed erinevad Fibonacci jada omadest, mistõttu on Lucas' jada Fibonacci jadast erinev. Selle esimesed liikmed on:

{\displaystyle 2,\;1,\;3,\;4,\;7,\;11,\;18,\;29,\ \ldots .}

Vaata ka
--------

* Faktoriaal

Välislingid
-----------

 Fibonacci jada – pildid, videod ja helifailid Wikimedia Commonsis