**Lihtne juhuslik valik** on selline valikuprotseduur, kus kõik {\displaystyle n}-mahulised valimid {\displaystyle N}-mahulisest üldkogumist on võrdtõenäosed.

Eristatakse kahte liiki lihtsat juhuslikku valikut: tagasipanekuta ja tagasipanekuga valik. Esimesel juhul valitud objekt eemaldatakse üldkogumist, teisel juhul mitte.

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuta
------------------------------------

Olgu üldkogum {\displaystyle U=\{1,2,\dots ,N\}}.Kõigi {\displaystyle n} mahuliste valimite arv, mida {\displaystyle U}-st saab moodustada on {\displaystyle M=C\_{N}^{n}}. Olgu {\displaystyle S=\{s\_{1},\dots ,s\_{M}\}} kõigi võimalike valimite hulk.

Lihtsa juhusliku valiku korral on kaasamistõenäosus järgmine:

```
           {\displaystyle \pi \_{i}={\frac {n}{N}}\quad \forall i}
```

ning teist järku kaasamistõenäosus on

```
           {\displaystyle \pi \_{ij}={\frac {n(n-1)}{N(N-1)}}\quad \forall i\neq j}
```

### Valimi genereerimise võimalused

#### Definitsiooni järgi

Loetleda kõikvõimalikud valimid mahuga {\displaystyle n} (selliseid võimalusi on {\displaystyle C\_{N}^{n}}) ja siis valida üks valim võrdse tõenäosusega.

#### Tõmbeviis (elemendid on nummerdatud)

1. {\displaystyle i=1\Rightarrow } valime tõenäosusega {\displaystyle 1/N} ja eemaldame üldkogumist;
2. {\displaystyle i=2,...n\Rightarrow } valime tõenäosusega {\displaystyle {\frac {1}{N-(i-1)}}} ja eemaldame iga kord üldkogumist.

#### Loeteluviis (tulemuseks on vektorvalim)

{\displaystyle \forall i=1,...N} seame vastavusse juhusliku arvu {\displaystyle u\_{i}\sim U(0,1)}.

1. {\displaystyle i=1}: kui {\displaystyle u\_{1}<n/N}, siis 1. element on valimis
2. {\displaystyle i=2,...N}: kui {\displaystyle u\_{i}<{\frac {n-n\_{i}}{N-i+1}}}, siis {\displaystyle i.}s element on valimis.

Siin {\displaystyle n\_{i}} on elementide arv, mis on valitud üldkogumi esimese {\displaystyle i-1} objekti seast.

#### Järjestusvalik

1. {\displaystyle \forall i=1,...N} seame vastavusse juhuslikud arvud {\displaystyle u\_{1},...u\_{N},\quad u\_{i}\sim U(0,1)}.
2. Järjestame üldkogumi objektid ümber {\displaystyle u\_{i}} järgi kasvavalt: {\displaystyle u\_{(i\_{1})}<u\_{(i\_{2})}<...<u\_{(i\_{N})}.}
3. Võtame valimisse esimest {\displaystyle n} objekti.

### Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub kogusumma {\displaystyle t=\sum \_{U}y\_{i}} nihketa hinnang kujul

```
           {\displaystyle {\hat {t}}=N{\overline {y}},}
```

kus {\displaystyle {\overline {y}}=\sum \_{s}y\_{i}} on valimi keskmine.

Kogusumma hinnangu dispersioon on

```
           {\displaystyle D({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S\_{yU}^{2}/n}
```

ja dispersiooni hinnang on 

```
           {\displaystyle {\hat {D}}({\hat {t}})=N^{2}(1-f)S\_{ys}^{2}/n,}
```

kusjuures {\displaystyle f={\frac {n}{N}}} on valikusuhe,

```
           {\displaystyle S\_{yU}^{2}={\frac {1}{N-1}}\sum \_{U}(y\_{i}-{\overline {Y}})^{2}}
```

on tunnuse {\displaystyle y} dispersioon üldkogumis ja

```
           {\displaystyle S\_{ys}^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \_{s}(y\_{i}-{\overline {y}})^{2}}
```

on tunnuse {\displaystyle y} dispersioon valimis.

### Keskmise hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku korral avaldub keskmine {\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {Y}{N}}} nihketa hinnang kujul

```
           {\displaystyle {\hat {\overline {Y}}}={\frac {1}{n}}\sum \_{s}y\_{i}={\overline {y}}.}
```

Valimi keskmise dispersiooni ja dispersiooni hinnangu avaldised on järgmised:

```
           {\displaystyle D{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S\_{yU}^{2}/n,}
           {\displaystyle {\hat {D}}{\hat {\overline {y}}}=(1-f)S\_{ys}^{2}/n}.
```

Lihtne juhuslik valik tagasipanekuga
------------------------------------

Tagasipanekuga disainide korral objektid võivad sattuda valimisse korduvalt, seetõttu on valikuindikaator {\displaystyle I\_{i}} juhuslik suurus, mille realisatsioonid võivad olla hulgast {\displaystyle \{0,1,2,..\}}. 

### Valimi genereerimise võimalused

Praktikas on väga levinud kahte tüüpi tagasipanekuga disainid: multinoomiaal- ja hüpergeomeetriline disain. [konspekt]

#### Multinominaaldisain

1. Valikutõenäosused {\displaystyle p\_{i}} on fikseeritud iga {\displaystyle i} jaoks, {\displaystyle i\in U} kogu valikuprotsessis,{\displaystyle \sum \_{i=1}^{N}p\_{i}=1}.
2. Objekt valitakse vastavalt {\displaystyle p\_{i}}-le, registreeritakse ja seejärel pannakse tagasi üldkogumisse.
3. Protsessi korratakse {\displaystyle n} korda (kuni valim on käes).

#### Hüpergeometriline disain

Iga element saab olla valitud kuni {\displaystyle m\_{i}} korda.

Olgu {\displaystyle m=\sum \_{i=1}^{N}m\_{i}}.

Tähistame {\displaystyle I\sim HG(n;m\_{1},m\_{2},...m\_{N})}, kus jaotuse tõenäosusfunktsioon on järgmine: {\displaystyle p(k)=P(I=k)={\frac {\prod \_{i=1}^{N}C\_{m\_{i}}^{k\_{i}}}{C\_{m}^{n}}}} , kui {\displaystyle |k|=n}.

### Kogusumma hinnang ja hinnangu dispersioon

Lihtsa juhusliku valiku tagasipanekuga korral nihketa hinnang üldkogumi kogusummale {\displaystyle t=\sum \_{U}y\_{i}} avaldub järgmiselt: 

```
           {\displaystyle {\hat {t}}=N{\overline {y}}.}
```

Hinnangu {\displaystyle {\hat {t}}} dispersioon on järgmine:

```
           {\displaystyle V({\hat {t}})=(N(N-1))/nS\_{y}^{2}},
```

ja dispersiooni hinnang:

```
           {\displaystyle {\hat {V}}({\hat {t}})=N^{2}/(n(n-1))s\_{y}^{2}},
```

kus

```
           {\displaystyle {\overline {y}}=1/n\sum \_{s}y\_{i}}
```

on valimi keskmine,

```
           {\displaystyle {\overline {Y}}=1/N\sum \_{U}y\_{i}}
```

on üldkogumi keskmine,

```
           {\displaystyle S\_{y}^{2}=1/(N-1)\sum \_{U}(y\_{i}-{\overline {Y}})^{2}}
```

on tunnuse {\displaystyle y} dispersioon üldkogumis ja

```
           {\displaystyle s\_{y}^{2}=1/(n-1)\sum \_{s}(y\_{i}-{\overline {y}})^{2}}
```

on tunnuse {\displaystyle y} dispersioon valimis.

Viited
======

1. ↑  Hansen M.H. Hurwitz W.N. Madow W.G. (1953). *Sample Survey Methods and Theory*.`{{raamatuviide}}`: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)
2. 1 2 3 4  Traat I. Inno J. *Tõenäosuslik valikuuring*.
3. 1 2  Natalja Lepik. *Konspekt aines Valikuuuringu teooria I*.