**Suurima tõepära meetod** on statistikas laialt kasutatav meetod hinnangute leidmiseks. Suurima tõepära meetod on üldjuhul efektiivsem kui muud levinud meetodid.

Põhikomponendid
---------------

Olgu antud valim {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}} jaotusest {\displaystyle F(x;\theta )}, mis võib olla kas pidev või diskreetne. **Tõepärafunktsiooniks** nimetame avaldist

{\displaystyle L(\theta )=\left\{{\begin{array}{c}f(x\_{1};\theta )\cdot f(x\_{2};\theta )\cdot ...\cdot f(x\_{n};\theta ),{\text{pideval juhul,}}\\p(x\_{1};\theta )\cdot p(x\_{2};\theta )\cdot ...\cdot p(x\_{n};\theta ),{\text{diskreetsel juhul,}}\end{array}}\right.}
kus {\displaystyle f(x;\theta )} tähistab jaotuse {\displaystyle F} tihedusfunktsiooni (pideval juhul) ja {\displaystyle p(x;\theta )} tähistab {\displaystyle F} tõenäosusfunktsiooni
(diskreetsel juhul), {\displaystyle \theta \in A}.

Olgu {\displaystyle X=(X\_{1},X\_{2},...X\_{n}),X\_{i}} sõltumatud suurused ja {\displaystyle X\_{i}\sim F(x;\theta )}, siis {\displaystyle L(\theta )} on valimi {\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})} saamise tõenäosus (diskreetsel juhul) või juhusliku vektori {\displaystyle X} tihedusfunktsiooni
väärtus punktis {\displaystyle x} (pideval juhul) antud {\displaystyle \theta } korral.
Realiseerunud valimi {\displaystyle x} korral on suurused {\displaystyle x\_{1},x\_{2},...x\_{n}} teadaolevad arvud ja {\displaystyle L(\theta )} on üksnes
parameetri {\displaystyle \theta } funktsioon. Eesmärgiks on leida niisugune {\displaystyle \theta } väärtus parameeterruumist
{\displaystyle A}, et {\displaystyle L(\theta )} oleks maksimaalne. Ütleme, et vastav {\displaystyle \theta } väärtus on kõige tõepärasem vaadeldava valimi
jaoks (st ka vastav üldkogumi jaotus on kõige tõepärasem vaadeldava valimi jaoks).

**Suurima tõepära printsiip –** kõige tõepärasema üldkogumijaotuse määramine antud valimi jaoks.

Väärtust {\displaystyle {\hat {\theta }}}, mida maksimeeritakse parameeterruumis {\displaystyle A} ({\displaystyle L(\theta )} saavutab maksimaalse
väärtuse), nimetatakse parameetri {\displaystyle \theta } **suurima tõepära hinnanguks**:

{\displaystyle L({\hat {\theta }})={\underset {\theta \in A}{\operatorname {max} }}\ L(\theta ).}
Kui tahta leida suurima tõepära hinnangut praktiliselt, on tihti lihtsam kasutada tõepärafunktsiooni logaritmi. Logaritmi monotoonsuse tõttu saavutavad {\displaystyle L(\theta )} ja {\displaystyle \ln L(\theta )} maksimumi samas
punktis, st määravad sama suurima tõepära hinnangu.

**Logaritmiline tõepärafunktsioon** on

{\displaystyle l(\theta \,;x)=\ln L(\theta \,;x)\left\{{\begin{array}{c}\sum \_{i=1}^{n}\ln f(x\_{i};\theta ),{\text{pideval juhul,}}\\\sum \_{i=1}^{n}\ln p(x\_{i};\theta ),{\text{diskreetsel juhul,}}\end{array}}\right.}

Näited
------

**Näide 1:** Mündivise. Üldkogumijaotuseks on mündi visketulemuse (vapp, kiri) jaotus,
kus vapi tulemise tõenäosuseks on {\displaystyle p} ja kirja tulemise tõenäosuseks {\displaystyle 1-p}. Olgu eelnevalt teada, et {\displaystyle p\in {\Big \{}{\frac {1}{2}};{\frac {1}{4}}{\Big \}}} Olgu meil kaks
vaatlust: {\displaystyle x\_{1}} = vapp ja {\displaystyle x\_{2}} = vapp. Kumb on tõepärasem hinnang parameetrile p, kas {\displaystyle {\frac {1}{2}}} või {\displaystyle {\frac {1}{4}}} Kirjutame välja tõepärafunktsiooni:

{\displaystyle L(p)=P(X=x\_{1})\cdot P(X=x\_{2})=p^{2},}
millest saame, et {\displaystyle L({\frac {1}{2}})={\frac {1}{4}},L({\frac {1}{4}})={\frac {1}{16}}}.

Kuna {\displaystyle L({\frac {1}{2}})>L({\frac {1}{4}})}, siis {\displaystyle {\hat {p}}={\frac {1}{2}}} on suurima tõepära hinnang {\displaystyle p}-le.

**Näide 2:** Olgu üldkogumijaotus eksponentjaotusest {\displaystyle Exp(\lambda )} parameetriga {\displaystyle \lambda ={\frac {1}{\theta }}}. Jaotusele vastav tihedusfunktsioon on

{\displaystyle f(x;\theta )={\frac {1}{\theta }}e^{-{\frac {x}{\theta }}},x\geq 0.}
Olgu parameeter {\displaystyle \theta } tundmatu. Pole raske näidata, et {\displaystyle \theta } on antud jaotuse keskväärtus.
Olgu meil {\displaystyle n=4} vaatlust jaotusest:

{\displaystyle 0.322,0.879,0.222,0.012.}
Leiame tõepärafunktsiooni

{\displaystyle L(\theta )=\prod \_{i=1}^{n}f(x\_{i};\theta )={\frac {1}{\theta ^{n}}}e^{-{\frac {\sum \_{i=1}^{n}}{\theta }}}={\frac {1}{\theta ^{4}}}e^{\frac {-1.435}{\theta }}}
ja logaritmilise tõepärafunktsiooni:

{\displaystyle l(\theta )=\ln L(\theta )=-4\ln \theta -{\frac {1.435}{\theta }}}
Paneme tähele, et tõepärafunktsioonid on {\displaystyle \theta } funktsioonid. Mõlemad funktsioonid saavutavad maksimumi
samal kohal, kuna logaritmfunktsioon on monotoonselt kasvav.
Maksimumi leidmiseks leiame tuletise,

{\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}l(\theta )=-{\frac {4}{\theta }}+{\frac {1.435}{\theta ^{2}}}.}
Tuletise võrdsustamisel nulliga saame logaritmilise tõepärafunktsiooni maksimumpunkti, mis on ühtlasi parameetri {\displaystyle \theta }
suurima tõepära hinnanguks, {\displaystyle {\hat {\theta }}=0.358}.

Hinnang logistilise regressiooni korral
---------------------------------------

Logistilise regressiooni korral avaldub suurima tõepära hinnang järgmiselt:

{\displaystyle LF=\prod \_{i=1}^{n}\{P\_{i}^{Y\_{i}}\*(1-P\_{i})^{1-Y\_{i}}\},}
kus {\displaystyle LF} on tõepära hinnang, {\displaystyle Y\_{i}} on vaadeldav väärtus {\displaystyle i}-l juhul ja {\displaystyle P\_{i}} on ennustatud tõenäosus {\displaystyle i}-l juhul. {\displaystyle P\_{i}} väärtused tulevad logistilise regressiooni mudelist ja valemist {\displaystyle P\_{i}=1/(1+e^{-L\_{i}})}, kus {\displaystyle L\_{i}} on log-šansid, mis on määratud vabaliikme ja parameetri väärtuste {\displaystyle \beta } poolt. Eesmärk on leida {\displaystyle \beta } väärtused, mille tulemusel saadakse {\displaystyle L\_{i}} ja {\displaystyle P\_{i}} väärtused, mis maksimeerivad {\displaystyle LF}-i.

Viited
------

1. 1 2 3 4 5  Lepik, Natalja. (2017). Tõenäosusteooria ja statistika II. Loengukonspekt. Kasutatud 19.03.2018.
2. ↑  Pampel F. C. (2000). *Logistic Regression. Aprimer*. CA Sage: Thousand Oaks.