**Kahe valimi *t*-test** on üks statistiline test, üks *t*-testidest. See kontrollib kahe valimi keskmiste järgi, kas kahe üldkogumi keskmised on omavahel võrdsed (alternatiiviks on see, et üks keskmistest on teisest väiksem).

Kahe valimi *t*-testil on kaks varianti:

* kahe sõltumatu valimi jaoks, kusjuures mõlemal üldkogumil on *sama* standardhälve *{\displaystyle \sigma }*
* kahe mittesõltumatu valimi jaoks.

Kui kaks sõltumatut valimit pärinevad *erineva* standardhälbega üldkogumitest, siis tuleb kasutada Welchi testi.

Testi idee
----------

Kahe valimi *t*-test kontrollib (lihtsaimal juhul) kahe valimi keskmiste {\displaystyle {\bar {x}}\_{1}} ja {\displaystyle {\bar {x}}\_{2}} järgi, kas vastavate üldkogumite keskmised on erinevad. 

Joonis näitab kahte üldkogumit (mustad punktid) ja kahte valimit (sinised ja punased punktid), mis on üldkogumitest juhuslikult valitud. Valimite keskmised {\displaystyle {\bar {x}}\_{1}} ja {\displaystyle {\bar {x}}\_{2}} saab valimitest, arvutada, üldkogumite keskmised {\displaystyle \mu \_{1}} ja {\displaystyle \mu \_{2}} on aga tundmatut. Joonisel on üldkogumid nii konstrueritud, et nende keskmised on võrdsed: {\displaystyle \mu \_{1}=\mu \_{2}}. Nüüd oletatakse ajaloosündmuste tõttu või teoreetilistel kaalutlustel, et üldkogumite keskväärtused {\displaystyle \mu \_{1}} ja {\displaystyle \mu \_{2}} on erinevad.

Lihtsaimal juhul kontrollib test 

* nullhüpotees]i, et üldkogumite keskmised on võrdsed ({\displaystyle H\_{0}:\,\mu \_{1}=\mu \_{2}}), \*alternatiivhüpoteesi vastu, et üldkogumite keskmised on erinevad ({\displaystyle H\_{1}:\,\mu \_{1}\neq \mu \_{2}}).

Kui valimid on sobivalt valitud, näiteks lihtsate juhuvalimitena, siis on valimi 1 keskmine {\displaystyle {\bar {x}}\_{1}} suure tõenäosusega üldkogumi 1 keskmise {\displaystyle \mu \_{1}} lähedal ja valimi 2 keskmine {\displaystyle {\bar {x}}\_{2}} suure tõenäosusega üldkogumi 2 keskmise {\displaystyle \mu \_{2}} lähedal. See tähendab, kaugus punase ja musta punktiirjoone vahel ning kaugus sinise ja musta punktiirjoone vahel on suure tõenäosusega väikesed. 

* Kui {\displaystyle {\bar {x}}\_{1}} ja {\displaystyle {\bar {x}}\_{2}} vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on väike, siis on ka üldkogumite keskmised {\displaystyle \mu \_{1}} ja {\displaystyle \mu \_{2}} lähestikku. Siis ei saa nullhüpoteesi tagasi lükata.
* Kui {\displaystyle {\bar {x}}\_{1}} ja {\displaystyle {\bar {x}}\_{2}} vaheline kaugus ehk sinise ja punase punktiirjoone vaheline kaugus on suur, siis on ka üldkogumite keskmised {\displaystyle \mu \_{1}} ja {\displaystyle \mu \_{2}} teineteisest kaugel. Siis võib nullhüpoteesi tagasi lükata.

Täpsed arvutused on järgnevates jaotistes.

Kahe valimi *t*-test sõltumatute valimite korral
------------------------------------------------

Et uurida kahe võrdse tundmatu standardhälbega {\displaystyle \sigma } üldkogumi keskmiste vahesid, kasutatakse kahe valimi *t*-testi. Selleks peavad mõlemad üldkogumid olema normaaljaotusega või valimid nii suured, et rakendub tsentraalne piirteoreem, (valimite suurus ületab 30). Testi jaoks valitakse *n*-elemendiline valim {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} 1. üldkogumist ja sellest sõltumatult *m*-elemendiline valim {\displaystyle y\_{1},\ldots ,y\_{m}} 2. üldkogumist. Vastavate sõltumatute valimimuutujate {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} ja {\displaystyle Y\_{1},\ldots ,Y\_{m}} keskväärtuste kohta kehtib siis {\displaystyle E(X\_{i})=\mu \_{X}} ja {\displaystyle E(Y\_{j})=\mu \_{Y}}, kus {\displaystyle \mu \_{X}} ja {\displaystyle \mu \_{Y}} on üldkogumite keskmised. Kui keskmiste vahe jaoks on ette antud arv {\displaystyle \omega \_{0}}, siis ütleb nullhüpotees, et 

{\displaystyle H\_{0}:\,\mu \_{X}-\mu \_{Y}=\omega \_{0},}
ja alternatiivhüpotees, et

{\displaystyle H\_{1}:\,\mu \_{X}-\mu \_{Y}\neq \omega \_{0}}.
Statistiliseks kriteeriumiks osutub 

{\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}-\omega \_{0}}{S{\sqrt {{\frac {1}{n}}+{\frac {1}{m}}}}}}={\sqrt {\frac {nm}{n+m}}}{\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}-\omega \_{0}}{S}},}
kus{\displaystyle \scriptstyle {\bar {X}}} ja {\displaystyle \scriptstyle {\bar {Y}}} on vastavad valimikeskmised ja 

{\displaystyle S^{2}={\frac {(n-1)S\_{X}^{2}+(m-1)S\_{Y}^{2}}{n+m-2}}}
kaalutud dispersioon, mis arvutatakse valimite dispersioonide {\displaystyle \scriptstyle S\_{X}^{2}} ja {\displaystyle \scriptstyle S\_{Y}^{2}} kaalutud keskmisena.

Statistilisel kriteeriumil {\displaystyle T} on nullhüpoteesi korral {\displaystyle m+n-2} vabadusastmega *t*-jaotus. Kontrollväärtus (statistilise kriteeriumi realisatsioon valimi korral) saadakse siis kujul

{\displaystyle t={\sqrt {\frac {nm}{n+m}}}{\frac {{\bar {x}}-{\bar {y}}-\omega \_{0}}{s}},}
kus {\displaystyle {\bar {x}}} ja {\displaystyle {\bar {y}}} on valimist arvutatavad keskväärtused ja 

{\displaystyle s^{2}={\frac {(n-1)s\_{x}^{2}+(m-1)s\_{y}^{2}}{n+m-2}}}
kaalutud dispersiooni realisatsioon, mis arvutatakse valimite dispersioonidest {\displaystyle \scriptstyle s\_{x}^{2}} ja {\displaystyle \scriptstyle s\_{y}^{2}}.

Olulisnivool {\displaystyle \alpha } lükatakse nullhüpotees alternatiivi kasuks tagasi, kui 

{\displaystyle |t|>t(1-{\tfrac {1}{2}}\alpha ,\ n+m-2).}
Teise võimalusena võib sama statistilise kriteeriumiga {\displaystyle T} testida järgmisi hüpoteese:

* {\displaystyle \!H\_{0}:\mu \_{X}-\mu \_{Y}\leq \omega \_{0}} versus {\displaystyle \!H\_{1}:\mu \_{X}-\mu \_{Y}>\omega \_{0}} ja nullhüpotees lükatakse tagasi, ui {\displaystyle t>t(1-\alpha ,\ m+n-2)}.
* {\displaystyle \!H\_{0}:\mu \_{X}-\mu \_{Y}\geq \omega \_{0}} versus {\displaystyle \!H\_{1}:\mu \_{X}-\mu \_{Y}<\omega \_{0}} ja nullhüpotees lükatakse tagasi, kui {\displaystyle t<-t(1-\alpha ,\ m+n-2)}.

### Märkus

Kui üldkogumite dispersioonid ei ole võrdsed, siis tuleb teha Welchi test.

### Näide 1

Tuleb võrrelda väetisesorte. Selleks kasutatakse 25 väetisena ühesuurust portsjonit, nimelt {\displaystyle n=10} portsjonit väetist sordist A ja {\displaystyle m=15} portsjonit väetist sordist B. Eeldatake, et saakidel on normaaljaotus ja dispersioonid on võrdsed. Esimese sordi puhul on keskmine saak {\displaystyle {\bar {x}}=23{,}6} valimi dispersiooniga {\displaystyle s\_{x}^{2}=9{,}5} ja teise sordi puhul on keskmine saak {\displaystyle {\bar {y}}=20{,}1} dispersiooniga {\displaystyle s\_{y}^{2}=8{,}9}. Kaalutud keskmiseks saame

{\displaystyle s^{2}={\frac {9\cdot 9{,}5+14\cdot 8{,}9}{10+15-2}}=9{,}135}.
Siit saame kontrollväärtuse

{\displaystyle t={\sqrt {\frac {10\cdot 15}{10+15}}}\cdot {\frac {23{,}6-20{,}1}{\sqrt {9{,}135}}}=2{,}837}.
See väärtus on suurem kui {\displaystyle 10+15-2=23} vabadusastmega *t*-jaotuse 0,975-kvantiil {\displaystyle t(0{,}975;\ 23)=2{,}069}.
Järelikult saab {\displaystyle 95\%}-ise usaldusega väita, et väetisesortide toimes on erinevus.

Kahe valimi *t*-test mittesõltumatute valimite korral (paarisvõrdluse *t*-test)
-------------------------------------------------------------------------------

Seotud ja mitteseotud *t*-testi I tüüpi viga sõltuvalt korrelatsioonist. Simuleeritud juhuarvud pärinevad kahemõõtmelisest normaaljaotusest dispersiooniga 1. Olulisusnivoo on 5 % ja juhtumite arv 60.
Seotud ja mitteseotud *t*-testi I tüüpi viga sõltuvalt korrelatsioonist. Simuleeritud juhuarvud pärinevad kahemõõtmelisest normaaljaotusest dispersiooniga 1. Olulisusnivoo on 5 % ja juhtumite arv 60.
Siin on {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}} und {\displaystyle y\_{1},y\_{2},\dots ,y\_{n}} kaks paarikaupa erinevat valimit, mis on saadud näiteks samade uuritavate üksuste kahest mõõtmisest (korduvmõõtmine). Valimid võivad olla paarikaupa mittesõltumatud ka muudel põhjustel, näiteks kui {\displaystyle x}-i ja {\displaystyle y}-i väärtused on partnerluses olevate naiste ja meeste näidud ning huvi pakuvad soolised erinevused. 

Selleks et testida nullhüpoteesi, et normaaljaotusega üldkogumil on võrdsed keskmised, võib testida ühe valimi *t*-testi abil hüpoteesi, et vahede {\displaystyle d\_{i}=x\_{i}-y\_{i}} keskmine on null. Praktikas peab väiksemate valimite ({\displaystyle n\leq 30}) korral olema täidetud tingimus, et vahedel on üldkogumis normaaljaotus. Piisavalt suurte valimite korral jaotuvad paaride vahed ligikaudselt normaaljaotusega ümber üldkogumi vahe aritmeetilise keskmise. Tingimuste täidetuse suhtes ei ole *t*-test kuigi tundlik.

### Näide 2

Et testida uut ravimeetodit kolesterooli taseme alandamiseks, määratakse 10 katsealusel kolesterooli tase enne ja pärast ravi. Saadakse järgmised näidud:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Enne ravi: | 223 | 259 | 248 | 220 | 287 | 191 | 229 | 270 | 245 | 201 |
| Pärast ravi: | 220 | 244 | 243 | 211 | 299 | 170 | 210 | 276 | 252 | 189 |
| Vahe: | 3 | 15 | 5 | 9 | −12 | 21 | 19 | −6 | −7 | 12 |

Näitude vahede aritmeetiline keskmine on {\displaystyle {\bar {d}}=5{,}9} ja valimi standardhälve on {\displaystyle s\_{d}=11{,}3866}. Kontrollväärtuseks saame 

{\displaystyle t={\sqrt {10}}{\frac {5{,}9}{11{,}3866}}=1{,}6385}.
Et {\displaystyle t(0{,}975;\ 9)=2{,}2622}, siis {\displaystyle |t|\leq t(0{,}975;\ 9)}. Seega *ei saa* nullhüpoteesi, et kolesteriini taseme keskväärtused on enne ja pärast ravi võrdsed, nii et ravil *pole toimet*, olulisusnivool {\displaystyle \alpha =5\%} tagasi lükata.
Et {\displaystyle t<t(0{,}95;\ 9)=1{,}8331}, siis ka ühepoolne alternatiiv, et ravi *alandab* kolesterooli taset, statistiliselt oluline. Kui ravil üldse toime on, pole see nii suur, et seda võiks nii väikse valimi pealt avastada.

Welchi test
-----------

 *Pikemalt artiklis Welchi test*
Welchi testi puhul arvutatakse statistiline kriteerium sarnaselt nagu kahe valimi *t*-testi puhul:

{\displaystyle T={\frac {{\bar {X}}-{\bar {Y}}-\omega \_{0}}{\sqrt {{\frac {S\_{X}^{2}}{n}}+{\frac {S\_{Y}^{2}}{m}}}}}\approx t\_{\nu }.}
Ent sellel kriteeriumil ei ole nullhüpoteesi korral *t*-jaotust, vaid seda lähendatakse *t*-jaotuse abil vabadusastmete arvu muutmise teel (vaata ka Behrensi-Fisheri probleem):

{\displaystyle \nu ={\left({\frac {s\_{x}^{2}}{n}}+{\frac {s\_{y}^{2}}{m}}\right)^{2} \over {\frac {1}{n-1}}\left({\frac {s\_{x}^{2}}{n}}\right)^{2}+{\frac {1}{m-1}}\left({\frac {s\_{y}^{2}}{m}}\right)^{2}},}
kus {\displaystyle s\_{x}} ja {\displaystyle s\_{y}} on üldkogumite standardhälvete hinnangud valimite järgi ning {\displaystyle n} ja {\displaystyle m} on valimite suurused.

Kuigi Welchi test on välja töötatud spetsiaalselt juhtumiks, kus {\displaystyle \sigma \_{X}\neq \sigma \_{Y}}, ei tööta ta hästi, kui vähemalt üks jaotus on mittenormaalne ning juhtumite arvud on väikesed ja väga erinevad {\displaystyle n\neq m}).

Alternatiivsed testid
---------------------

*t*-testi kasutatakse selleks, et testida hüpoteese ühe või kahe tundmatu standardhälbega normaaljaotusega üldkogumitest võetud valimi keskväärtuste kohta. 

* Eeldust, et kumbki rühm omaette on normaaljaotusega, saab kontrollida Shapiro-Wilki testiga või Kolmogorovi-Smirnovi testiga. Kui normaaljaotus puudub, võib *t*-testi asemel kasutada mitteparameetrilisi teste, näiteks Wilcoxoni-Manni-Whitney testi ehk Manni-Whitney *U*-kriteeriumi ehk Wilcoxoni astaksummatesti sõltumatute valimite korral või Wilcoxoni astakmärgitesti paarikaupa seotud valimite korral. Lihtne alternatiivne meetod kiireks hindamiseks on Tukey kiire test.
* Kui on tarvis testida keskväärtuste võrdsust rohkem kui kahe normaaljaotusega valimi puhul, võib kasutada dispersioonanalüüsi.
* Kui tuleb võrrelda keskväärtusi teadaoleva standardhälbega normaaljaotusega valimite puhul, siis võib kasutada Gaußi teste.

Viited
------

1. ↑  Jürgen Bortz. *Statistik für Human- und Sozialwissenschaftler*, 6. trükk, Springer: Berlin 2005, ISBN 3-540-21271-X, lk 142.
2. ↑  R. R. Wilcox. *Statistics for the Social Sciences*, Academic Press Inc 1996, ISBN 978-0127515403.}}
3. ↑  D. G. Bonnet, R. M. Price. Statistical inference for a linear function of medians: Confidence intervals, hypothesis testing, and sample size requirements. – *Psychological Methods*, kd 7, nr 3, 2002.

Välislingid
-----------

* Võimalus teha *t*-teste