**Taylori valem** annab pideva funktsiooni punkti ja selle lähisümbruse lähendamiseks n-ndat järku polünoomi. Kuna summa polünoom koosneb funktsiooni tuletistest, siis saab seda leida vaid juhul, kui funktsioonil mingis punktis a on kõik tuletised kuni järguni n. Juhul, kui eksisteerib ka (n+1)-järku tuletis kohal a, siis saame leida ka jääkliikme.

Ühe muutuja funktsioon
======================

Taylori valem on avaldis funktsiooni väärtuste ligikaudseks arvutamiseks mingi punkti ümbruses, teades tema erinevat järku tuletiste väärtusi antud punktis:

{\displaystyle f(x)\approx f(a)+{\frac {f'(a)}{1!}}(x-a)+{\frac {f^{(2)}(a)}{2!}}(x-a)^{2}+\cdots +{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n}.}
, mis kompaktsemalt kirja panduna summa notatsiooniga omandab kuju:

{\displaystyle f(x)\approx \sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}}
Vea hinnang
-----------

**Taylori valemi** vea (s. o. Taylori valemiga arvutatud väärtuse ja täpse väärtuse {\displaystyle f(x)} vahe) hindamiseks on mitmeid võimalusi. Üks neist, **Lagrange'i veahinnang**, kõlab järgmiselt.

Kui *n* ≥ 0 on täisarv ja {\displaystyle f\,} on funktsioon, mis on *n* korda pidevalt diferentseeruv lõigul [*a*, *x*] ja *n* + 1 korda diferentseeruv vahemikus (*a*, *x*), siis leidub arv {\displaystyle \xi \in (a,x)} nii, et
{\displaystyle R\_{n}(x)={\frac {f^{(n+1)}(\xi )}{(n+1)!}}(x-a)^{n+1}.}
Polünoomile jääkliikme lisamisel muutub väärtus ligikaudsest võrdseks:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(a)}{n!}}\,(x-a)^{n}+R\_{n}(x)}
Erijuhul, *a* = 0, saame **Maclaurini valemi**:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {f^{(n)}(0)}{n!}}\,x^{n}+R\_{n}(x)}
Näited
------

### Eksponentfunktsioon

Lihtne näide Taylori valemist on eksponentfunktsiooni {\displaystyle e^{x}\,} lähendamine *x* = 0 juures:

{\displaystyle {\textrm {e}}^{x}\approx 1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots +{\frac {x^{n}}{n!}}.}
### Trigonomeetrilised funktsioonid

{\displaystyle \sin x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}}
{\displaystyle \cos x=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}x^{2n}=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\cdots {\text{ iga }}x\!{\text{-i korral.}}}
{\displaystyle \tan x=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {B\_{2n}(-4)^{n}(1-4^{n})}{(2n)!}}x^{2n-1}=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}+\cdots {\text{ igale x-ile vahemikus }}|x|<{\frac {\pi }{2}}\!}
Kus *Bs* on Bernoulli numbrid.
Mitme muutuja funktsiooni Taylori rida
--------------------------------------

**Taylori valem** esitab reaal- või kompleksarvulise funktsiooni, mis peab olema polünoomi astme n+1 reaal- või kompleksarvuliste väljade ümbruses diferentseeruv, kahe muutuja funktsiooni binoomide (x - a) ja (y - b) astmete polünoomi ja ühe jääkliikme summana, kus polünoomi aste on n.

Vaata ka
--------

* Maclaurini rida
* Laurent'i rida
* Analüütiline funktsioon

Välislingid
-----------


|  |  |
| --- | --- |
|  | Salman Khan. "CALCULUS » Taylor Polynomials : Approximating a function with a Taylor Polynomial, Jun 18, 2008" (xHTML) (inglise keeles).. Khan Academy. Vaadatud 06.03.2011. `{{netiviide}}`: välislink kohas ``|Väljaandja=`` (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  |


|  |  |
| --- | --- |
|  | David Jerison. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Lecture 38 : Taylor's series, Fall 2006" (xHTML) (inglise keeles).. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. `{{netiviide}}`: välislink kohas ``|Väljaandja=`` (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  |


|  |  |
| --- | --- |
|  | Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Finding Taylor's Series" (xHTML) (inglise keeles).. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. `{{netiviide}}`: välislink kohas ``|Väljaandja=`` (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  |


|  |  |
| --- | --- |
|  | Joel Lewis. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series for sec(x)" (xHTML) (inglise keeles).. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. `{{netiviide}}`: välislink kohas ``|Väljaandja=`` (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  |


|  |  |
| --- | --- |
|  | Christine Breiner. "( 18.01 ) Single Variable Calculus, Recitation : Taylor's Series of a Polynomial" (xHTML) (inglise keeles).. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCouseWare. Vaadatud 06.03.2011. `{{netiviide}}`: välislink kohas ``|Väljaandja=`` (juhend)CS1 hooldus: tundmatu keel (link)  Litsents:  |