**Laplace'i operaator** on matemaatikas kaks korda diferentseeruvatele mitme muutuja funktsioonidele rakendatav diferentsiaaloperaator, mis on eukleidilises ruumis defineeritud kui funktsiooni gradiendi divergents.

Ristkoordinaatides avaldub Laplace'i operaator kujul

{\displaystyle \Delta =\nabla ^{2}=\sum \_{i=1}^{n}{\partial ^{2} \over \partial x\_{i}^{2}},}
kus {\displaystyle \nabla } on nabla-operaator ja {\displaystyle \partial /\partial x\_{i}} tähistab osatuletise võtmise operaatorit muutuja {\displaystyle x\_{i}} järgi.

Laplace'i operaator on saanud nimetuse prantsuse matemaatiku Pierre-Simon de Laplace'i (1749–1827) järgi. Laplace kasutas antud operaatorit esmakordselt taevamehaanikas, kus ta gravitatsioonivälja potentsiaalile rakendatuna annab konstandi kordse massi tiheduse. Selle võrrandi Δ*f* = 0 üldisemat kuju nimetatakse tänapäeval Laplace'i võrrandiks.

Laplace'i operaator eri koordinaadistikes
-----------------------------------------

### Kahemõõtmelises ruumis

Laplace'i operaatori rakendamine kahe muutuja funktsioonile f(x,y) annab ristkoordinaatides *x* ja *y'*

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}}
Polaarkoordinaatides kehtib

{\displaystyle \Delta f={1 \over r}{\partial \over \partial r}\left(r{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}.}
### Kolmemõõtmelises ruumis

Kolmes dimensioonis on Laplace'i operaatori kuju olulisemates koordinaadisüsteemides järgmine:

Ristkoordinaatides:

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}f}{\partial z^{2}}}.}
Silindrilistes koordinaatides:

{\displaystyle \Delta f={1 \over \rho }{\partial \over \partial \rho }\left(\rho {\partial f \over \partial \rho }\right)+{1 \over \rho ^{2}}{\partial ^{2}f \over \partial \theta ^{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial z^{2}}.}
Sfäärilistes koordinaatides:

{\displaystyle \Delta f={1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \phi ^{2}}.}
({\displaystyle \theta \ } tähistab sfäärilist laiust ja {\displaystyle \phi } sfäärilist pikkust).

Avaldise {\displaystyle {1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)} võib asendada samaväärse avaldisega {\displaystyle {1 \over r}{\partial ^{2} \over \partial r^{2}}\left(rf\right)}.

### *N* dimensioonis

*N*-dimensionaalsetes sfäärilistes koordinaatides, mis on parametriseeritud kujul {\displaystyle x=r\theta \in {\mathbb {R} }^{N}}, kus {\displaystyle r\in [0,+\infty )}, {\displaystyle \theta \in S^{N-1}}, on Lapalace'i operaatoril kuju

{\displaystyle \Delta f={\frac {\partial ^{2}f}{\partial r^{2}}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}+{\frac {1}{r^{2}}}\Delta \_{S^{N-1}}f}
kus {\displaystyle \Delta \_{S^{N-1}}} on Laplace'i-Beltrami operaator {\displaystyle N-1} dimensionaalsel sfääril ehk sfääriline Laplace'i operaator.

Avaldise {\displaystyle {\partial ^{2}f \over \partial r^{2}}+{\frac {N-1}{r}}{\frac {\partial f}{\partial r}}} võib asendada samaväärse avaldisega {\displaystyle {\frac {1}{r^{N-1}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\Bigl (}r^{N-1}{\frac {\partial f}{\partial r}}{\Bigr )}.}

Laplace'i operaator diferentsiaalvõrrandites
--------------------------------------------

Laplace'i operaator esineb paljudes olulistes diferentsiaalvõrrandites. Neist mõned on:

Laplace'i võrrand:

{\displaystyle \Delta f=0\,,}
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse harmoonilisteks funktsioonideks.

Biharmooniline võrrand:

{\displaystyle \Delta ^{2}f=0\,,}
kusjuures selle võrrandi lahendeid nimetatakse biharmoonilisteks funktsioonideks.

Poissoni võrrand:

{\displaystyle \Delta f=-g\,,}
kus *g* on teadaolev funktsioon.

Lainevõrrand:

{\displaystyle \Delta f={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial t^{2}}}\,,}
kus c on laine liikumise kiirus.

Difusioonivõrrand:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=k\Delta f}
kus *k* on konstant.

Schrödingeri võrrand kvantmehaanikas:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \phi }{\partial t}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\Delta \phi +V\phi \,,}
kus {\displaystyle \phi } on lainefunktsioon, {\displaystyle \hbar }on taandatud Plankci konstant, m on osakese mass ja {\displaystyle V}on potentsiaalne energia.

Vaata ka
--------

* Nabla-operaator
* Pierre-Simon Laplace

Viited
------

1. ↑  Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (2002)

Välislingid
-----------

* Wolfram MathWorld, Laplacian (inglise keeles)