**Homomorfism** on kujutus ühest algebralisest struktuurist teise sama tüüpi struktuuri, kus säilivad vaadeldavad tehted ja/või seosed.

Definitsioon ja selgitus
------------------------

Matemaatikas tähendab homomorfism sama tüüpi algebraliste struktuuride vahelist niisugust kujutust, mille puhul vaadeldavad operatsioonid säilivad.

Näiteks, kui on antud hulk *X* osalise järjestusega <, ja teine hulk *Y* osalise järjestusega, siis kujutus *f*: *X* -> *Y* hulgast *X* hulka *Y* on homomorfism kui

kui    *u* < *v*    siis    *f*(*u*) { *f*(*v*).
Kui hulkadel *X* ja *Y* on defineeritud binaarsed tehted, vastavalt \* ja @, siis kujutus *f* on homomorfism, kui

*f*(*u*) @ *f*(*v*)  = *f*(*u* \* *v*).
Homomorfismid on näiteks 

* rühmade homomorfismid,
* ringide homomorfismid,
* vektorruumide homomorfismid ehk lineaarsed operaatorid
* pidevad kujutused.

Homomorfismi tuum
-----------------

Iga homomorfism *f*: *X* -> *Y* defineerib algebraliste struktuuride ekvivalentsiseose ehk kongruentsi ~ algebralisel struktuuril *X*: 

*a* ~ *b* parajasti siis, kui *f*(*a*) = *f*(*b*).
Kongruentsi ~ nimetatakse homomorfismi *f* tuumaks. Vastaval faktorhulgal *X*/~, mida nimetatakse *X* faktoralgebraks kongruentsi ~ järgi, saab loomulikul viisil anda algebra struktuuri, näiteks [*x*] \* [*y*]  = [*x* \* *y*]. Tänu viimasele on algebra *X* kujutis algebras *Y* isomorfne algebraga *X*/~. See tõik on üks isomorfismiteoreemidest.

Teatud juhtudel (näiteks rühmade ja ringide puhul) piisab faktoralgebra määramiseks ühestainsast ekvivalentsiklassist *K*. Sel juhul tähistatakse seda faktoralgebrat *X*/*K* ja homomorfismi tuumaks mitte kongruentsi ~, vaid ekvivalentsiklassi *K*.

Universaalalgebrate homomorfismid
---------------------------------

### Definitsioon

Olgu *A*=<A, f(1),...f(n)> ja *B*=<B, g(1),...g(n)> sama signatuuriga universaalalgebrad ning *h* : A → B funktsioon, mis kujutab hulga A hulka B. Olgu i=1,...n korral a(i) tehete f(i) ja g(i) aarsus (need aarsused peavad olema võrdsed, sest algebratel *A* ja *B* on sama signatuur). Siis *h* on algebra *A* **homomorfism** algebrasse *B*, kui iga i=1,...n korral ja hulga A elementide iga a(i)-korteeži (x(1),...x(a(i))) korral kehtib võrdus (f(i)(x(1),...x(a(i))))=g(i)(*h*(x(1)),...h(x(a(i)))). See tähendab, et iga i=1,...n korral kujutab kujutus *h* tehte f(i) tehteks g(i).

### Näited

#### Näide 1

Olgu *G*=<G, +, –, 0> ja *H*=<H, +′, –′, 0′> Abeli rühmad ja *h* : G → H. Eeldame, et kõikide *a*, *b* korral rühmast G kehtib võrdus *h* (*a* + *b*) = *h*(*a*) +′ *h*(b). Siis *h* on rühma G homomorfism rühma H. Tõepoolest, eelduse põhjal võib öelda, et *h* kujutab rühmatehte + rühmatehteks +′. Peale selle on kerge näidata, et *h* kujutab rühma G rühmatehte Ühikelemendi 0 rühma H rühmatehte ühikelemendiks 0′, nii et kehtib võrdus *h*(0) = 0′. Analoogiliselt on kerge näidata, et iga *a* ∈ G korral kehtib *h*(–*a*) = –′ *h*(*a*).

#### Näide 2

Vaatame funktsiooni *f*(*x*) = 2*x* reaalarvude hulgast, kus on defineeritud (ainult) liitmine, positiivsete reaalarvude hulka, kus on defineeritud (ainult) korrutamine. Antud tehete suhtes on funktsioon *f* rühmade, täpselmalt Abeli rühmade, homomorfism:

*f* (*x* + *y*) = *f* (*x*) · *f* (*y*).

Homomorfismide tüübid
---------------------

* Homomorfismi, mis on ühtlasi bijektsioon, mille pöördkujutus on samuti homomorfism, nimetatakse isomorfismiks. Kaks isomorfset objekti on vaatlusaluse struktuuri poolest eristamatud.
* Homomorfismi iseendasse nimetatakse endomorfismiks, ja kui see on ühtlasi isomorfism, siis nimetatakse seda automorfismiks.
* Homomorfismi, mis on sürjektiivne, nimetatakse epimorfismiks.
* Homomorfismi, mis on injektiivne, nimetatakse monomorfismiks.

Viited
------

1. ↑  Ü. Kaasik, Matemaatikaleksikon (Valgus 1982)

Kirjandus
---------

* Gräzin, Igor jt (toimetaja), 1985. Filosoofia leksikon. Tallinn.
* Schmidt, Heinrich, 1991. Philosophisches Wörerbuch. Stuttgart. (venekeelne tõlge, 2003, Moskva. ISBN 5-250-01794-0.)
* Novaja filosofskaja entsiklopedija. 2001, Moskva. ISBN 5-244-00961-3 (00962-1).
* Smirnov, D. M. 1979. Gomomorfizm. *Matematitšeskaja entsiklopedija, tom 1*, Moskva.
* McGraw-Hill dictionary of Mathematics, 1997. N. Y. ISBN 007524335.