Achimedese aksioomi näitlik esitus. Kui tahes väikest lõiku A saab piisav arv kordi iseendaga kõrvuti asetades pikendada pikemaks etteantud lõigust B
**Archimedese aksioom** ütleb: mis tahes kahe suuruse {\displaystyle y>x>0} korral leidub naturaalarv {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, mille korral {\displaystyle nx>y}. 

Geomeetriliselt on Archimedese aksioom tõlgendatav nii: kui meil on sirgel kaks lõiku, siis saab neist suuremat ületada, korrates väiksemat piisav arv kordi. 

Järjestatud rühma või järjestatud korpust, milles kehtib Archimedese aksioom, nimetatakse vastavalt arhimeediliseks järjestatud rühmaks või arhimeediliseks järjestatud korpuseks.

Reaalarvude korpuse {\displaystyle \mathbb {R} } puhul võetakse Archimedese aksioomi mõnikord aksioomina. Järjestatud korpuse aksioomidest ja pidevuse aksioomist (järjestatud korpuse igal mittetühjal ülalt tõkestatud alamhulgal on ülemine raja) saab järeldada, et reaalarvud on arhimeediliselt järjestatud.

Kuigi väide on nime saanud Archimedese järgi, sõnastas selle juba Eudoxos oma suurusõpetuses.

Archimedese aksioomi tõestus järjestatud korpuses pidevuse aksioomi põhjal
--------------------------------------------------------------------------

Olgu {\displaystyle x>0.}

*Väide:* Mis tahes {\displaystyle y>x} korral leidub naturaalarv {\displaystyle n}, mille korral {\displaystyle nx>y}.

*Vastuväide:* Leidub {\displaystyle y>x}, mille korral {\displaystyle nx\leq y} kõigi naturaalarvude {\displaystyle n} korral.

Vastuväitest järeldub, et {\displaystyle y} on kõikide naturaalarvude {\displaystyle n} korral {\displaystyle nx} ülemine tõke. Koos pidevuse aksioomiga järeldub sellest, et eksisteerib vähim ülemine tõke {\displaystyle y\_{0}}. Kui aga {\displaystyle nx\leq y\_{0}} kõikide naturaalarvude {\displaystyle n} korral, siis ka {\displaystyle \left(n+1\right)x\leq y\_{0}} ning siis ka {\displaystyle nx\leq y\_{0}-x} kõikide naturaalarvude {\displaystyle n} korral. Ent siis on {\displaystyle nx} ülemiseks tõkkeks ka {\displaystyle y\_{0}-x}. Et {\displaystyle y\_{0}-x<y\_{0}}, siis järelikult {\displaystyle y\_{0}} ei ole vähim ülemine tõke, mis on vastuolus {\displaystyle y\_{0}} definitsiooniga. Järelikult peab vastuväide olema väär ja väide on tõestatud.

Järeldused Archimedese aksioomist
---------------------------------

Iga arvu {\displaystyle x\in \mathbb {R} } korral leidub {\displaystyle n\_{1},n\_{2}\in \mathbb {N} } nii, et {\displaystyle n\_{1}>x} ja {\displaystyle -n\_{2}<x}. Sellest järeldub: iga {\displaystyle x\in \mathbb {R} } korral leidub üheselt määratud arv {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }, mille korral

{\displaystyle n\leq x<n+1.}
Seejuures tähistatakse arvu *x* täisosa {\displaystyle n} tähisega {\displaystyle \lfloor x\rfloor } või {\displaystyle \operatorname {floor} (x)}. Samuti eksisteerib üheselt määratud arv {\displaystyle m\in \mathbb {Z} }, mille korral

{\displaystyle m-1<x\leq m};
seda tähistatakse {\displaystyle \lceil x\rceil } või {\displaystyle \operatorname {ceil} (x)}. Seetõttu kehtib ka: mis tahes {\displaystyle \varepsilon >0} korral leidub {\displaystyle n\in \mathbb {N} }, mille korral {\displaystyle n>1/\varepsilon } ja seetõttu ka {\displaystyle 1/n<\varepsilon }. Matemaatilises analüüsis on see seos kasulik näiteks jada koonduvuse või hajuvuse tõestamisel.

Archimedese aksioomist järeldub ka, et kahe reaalarvu {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,a<b} korral leidub alati ratsionaalarv {\displaystyle q\in \mathbb {Q} }, mille korral {\displaystyle a<q<b}, ning et maturaalarvude hulk korpuses {\displaystyle \mathbb {R} } ei ole ülalt tõkestatud.

Viited
------

1. ↑  Eukleides. *[[Elemendid (Eukleides)|]]*, V, definitsioon 4: "Et neil on omavahel suhe, öeldakse suuruste kohta, mis mitmekordistatutena üksteist ületavad."