Astmehulga {x, y, z} elemendid kaasaarvamise järjekorras.
**Astmehulk** ehk **potentshulk** on matemaatikas hulk, mis koosneb antud hulga {\displaystyle S} kõigist alamhulkadest (kaasa arvatud tühi hulk ja hulk {\displaystyle S} ise).

Zermelo-Fraenkeli aksiomaatikas postuleerib astmehulga olemasolu astmehulga aksioom, mille järgi igal hulgal on olemas astmehulk.

Hulga {\displaystyle S} astmehulka tähistatakse kujul 𝒫(*S*), *P*(*S*), {\displaystyle \mathbb {P} (S)}, {\displaystyle \wp (S)} või 2*S*. Tähis 2*S* tähistab õigupoolest hulka, mille elemendid on kõik funktsioonid hulgast {\displaystyle S} mõnda kahe elemendiga hulka (näiteks {\displaystyle \{0,1\}}); seda kasutatakse sellepärast, et hulga {\displaystyle S} astmehulk on selle funktsioonide hulgaga võrdvõimas ja bijektiivne.

Näide
-----

Kui {\displaystyle S} on hulk {\displaystyle \{x,y,z\}}, siis kõik {\displaystyle S}-i alamhulgad on:

* {\displaystyle \{\}} (märgitud ka kui {\displaystyle \varnothing } või {\displaystyle \emptyset }, tühi hulk või nullhulk)
* {\displaystyle \{x\}}
* {\displaystyle \{y\}}
* {\displaystyle \{z\}}
* {\displaystyle \{x,y\}}
* {\displaystyle \{x,z\}}
* {\displaystyle \{y,z\}}
* {\displaystyle \{x,y,z\}}

Seega on hulga {\displaystyle S} astmehulk {\displaystyle \{\{\},\{x\},\{y\},\{z\},\{x,y\},\{x,z\},\{y,z\},\{x,y,z\}\}}

Omadused
--------

Kui {\displaystyle S} on lõplik hulk võimsusega {\displaystyle |S|=n} (hulga {\displaystyle S} elementide arv on {\displaystyle n}), siis on hulga {\displaystyle S} kõigi alamhulkade arv {\displaystyle |\mathbb {P} (S)|=2^{n}}.

Cantori diagonaaltõestus näitab, et hulga astmehulk (olgu hulk lõpmatu või mitte) on alati suurema võimsusega kui hulk ise, mis tähendab, et astmehulk on alati suurem kui hulk ise.

Hulga {\displaystyle S} astmehulk koos ühendi, ühisosa ja täiendi tehetega on algeline näide Boole'i algebrast.

Seos indikaatorfunktsiooniga
----------------------------

Indikaatorfunktsioon hulga {\displaystyle S} alamhulga {\displaystyle A} puhul on funktsioon hulgast {\displaystyle S} kahe elemendiga hulka {\displaystyle \{0,1\}}, mida tähistatakse kui {\displaystyle I\_{A}:S\rightarrow \{0,1\}}. Selline funktsioon näitab seda, kas hulga {\displaystyle S} element kuulub alamhulka {\displaystyle A} või mitte. Kui hulga {\displaystyle S} element {\displaystyle x} kuulub alamhulka {\displaystyle A}, siis {\displaystyle I\_{A}(x)=1}, ning muul juhul {\displaystyle 0}. Iga hulga {\displaystyle S} alamhulga {\displaystyle A} puhul eksisteerib indikaatorfunktsioon {\displaystyle I\_{A}}. Kirjapilt {\displaystyle X^{Y}} tähistab hulgateoorias hulka, mis sisaldab kõiki funktsioone hulgast {\displaystyle Y} hulka {\displaystyle X}. Hulk {\displaystyle \{0,1\}^{S}}, mis koosneb seega igast funktsioonist hulgast {\displaystyle S} hulka {\displaystyle \{0,1\}}, koosneb kõigi hulga {\displaystyle S} alamhulkade indikaatorfunktsioonidest. Teisisõnu on {\displaystyle \{0,1\}^{S}} vastavuses ehk bijektiivne astmehulgaga {\displaystyle \mathbb {P} (S)}. Kuna iga element hulgast {\displaystyle S} vastab kas arvule {\displaystyle 0} või {\displaystyle 1} mistahes funktsiooni puhul hulgast {\displaystyle \{0,1\}^{S}}, omab see funktsioonide hulk võimsust {\displaystyle 2^{n}}. Kuna arv {\displaystyle 2} võib olla hulgateoorias defineeritud kui {\displaystyle \{0,1\}} (näiteks von Neumanni ordinaalarvude puhul), kirjutatakse {\displaystyle \mathbb {P} (S)} ka kui {\displaystyle 2^{S}}. Seega on samuti tõene, et{\displaystyle |2^{S}|=2^{|S|}}.

Viited
------

1. 1 2 3  Weisstein
2. ↑  Devlin 1979

Kirjandus
---------

* Devlin, Keith J. (1979). *Fundamentals of contemporary set theory*. Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90441-7. Zbl 0407.04003.
* Halmos, Paul R. (1960). *Naive set theory*. The University Series in Undergraduate Mathematics. van Nostrand Company. Zbl 0087.04403.
* Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1992), *Sheaves in Geometry and Logic*, Springer-Verlag, ISBN 0-387-97710-4
* Puntambekar, A. A. (2007). *Theory Of Automata And Formal Languages*. Technical Publications. ISBN 978-81-8431-193-8.
* Weisstein, Eric W. "Power Set". *mathworld.wolfram.com* (inglise). Originaali arhiivikoopia seisuga 6. aprill 2023. Vaadatud 5. septembril 2020.