**Buckinghami π teoreem** on inseneriteaduses, rakendusmatemaatikas ja füüsikas oluline teoreem dimensionaalanalüüsis.

Antud teoreem on formaalsem variant Rayleigh' dimensionaalanalüüsi meetodist. Buckinghami π teoreem ütleb, et füüsikaliselt tähenduslikku *n* füüsikalist suurust siduvat võrrandit saab esitada läbi *p* = *n* − *k* dimensioonitu parameetri *π1*, *π2*, ... *πp* ning *k* on algsete algsetest füüsikalistest suurustega seotud füüsikaliste põhisuuruste arv (*k* langeb kokku ka dimensioonide arvuga kuna igale dimensioonile vastab põhisuurus).

Teoreem annab juhised, kuidas võrrandeid teadmata leida dimensioonita suuruseid etteantud füüsikalistest suurustest.

Teoreemi sõnastus
-----------------

Olgu *f(q**i**)* füüsikaliselt tähenduslik võrrand üldkujul

{\displaystyle f(q\_{1},q\_{2},\ldots ,q\_{n})=0,}
kus *q**i* tähistavad *n*-i füüsikalist suurust, mida saab esitada *k* põhisuurusega. Sel juhul saab antud võrrandit ümber kirjutada kujul

{\displaystyle F(\pi \_{1},\pi \_{2},\ldots ,\pi \_{p})=0,}
kus *πi* on dimensioonitud parameetrid, mis on leitud *füüsikalistest suurustest q**i* vastavalt valemile *p* = *n* − *k* dimensioonitust võrrandist – *Pi rühmast* – mis avalduvad kujul

{\displaystyle \pi \_{i}=q\_{1}^{a\_{1}}\,q\_{2}^{a\_{2}}\cdots q\_{n}^{a\_{n}},}
kus eksponendid *a**i* on ratsionaalarvud.

Näide teoreemi rakendusestː matemaatilise pendli võnkumine
----------------------------------------------------------

Määramaks matemaatilise pendli väikese amplituudiga võnkumiste perioodi *T* eeldame, et periood sõltub pendli nööri pikkusest *L*, massist *M* ja raskuskiirendusest *g,* mille dimensiooniks on pikkus jagatud aja ruuduga. Antud mudeli saab kirja panna kujul

{\displaystyle f(T,M,L,g)=0.}
Antud võrrandis on 3 füüsikalist suurust: aeg {\displaystyle t}, mass {\displaystyle m} ja pikkus {\displaystyle \ell } ning 4 dimensiooniga muutujat *T*, *M*, *L* ja *g*. Seega on vaja 4 − 3 = 1 dimensioonitut suurust, mida tähistades π saab mudeli kirja panna kujul

{\displaystyle f(\pi )=0,}
kus π on

{\displaystyle \pi =T^{a\_{1}}M^{a\_{2}}L^{a\_{3}}g^{a\_{4}}}
mingite *a*1, ... *a*4 väärtuste korral.

Dimensiooniga suuruste dimensioonidele vastavad põhisuurused onː

{\displaystyle T=t,M=m,L=\ell ,g=\ell /t^{2}.}
Dimensioonide maatriks on:

{\displaystyle M={\begin{bmatrix}1&0&0&-2\\0&1&0&0\\0&0&1&1\end{bmatrix}}.}
(Maatriksi read vastavad põhisuurustele {\displaystyle t,m}, and {\displaystyle \ell } ja veerud dimensiooniga muutujatele *T*, *M*, *L* ning *g*. Näiteks neljandas veerus (−2, 0, 1) on kirjas tuletatud suurse *g* moodustavad põhisuurused {\displaystyle t^{-2}m^{0}\ell ^{1}}.)

Otsime tuumavektorit *a* = [*a*1, *a*2, *a*3, *a*4], mis annaks maatriksi *M* ja tuumavektori *a* vektorkorrutise vastuseks nullvektori [0,0,0] ehk {\displaystyle M\times a=0}. Antud juhul on selliseks vektoriks:

{\displaystyle a={\begin{bmatrix}2\\0\\-1\\1\end{bmatrix}}.}
Dimensioonitu konstandi saab avaldada kujul:

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=T^{2}M^{0}L^{-1}g^{1}\\&=gT^{2}/L\end{aligned}}.}
Põhisuurustest avaldub see:

{\displaystyle \pi =(t)^{2}(m)^{0}(\ell )^{-1}(\ell /t^{2})^{1}=1,}
mis on dimensioonitu.

Antud näites on analüüs lihtsam, kuna dimensiooniga muutujatest kolm on põhisuurused ja (*g*) avaldub antud põhisuuruste kaudu. Juhul kui vektori a teine element *a*2 oleks nullist erinev puuduks võimalus maatriksi *M* taandamiseks ja seetõttu *a*2 *peab* olema võrdne nulliga. Seega saab antud dimensionaalanalüüsist järeldada, et matemaatilise pendli võnkeperiood ei sõltu tema massist.

Mudel avaldub seega kujul:

{\displaystyle f(gT^{2}/L)=0.}
Eeldades, et *f* nullkohad on täisarvulised võime öelda, et *gT*2/*L* = *C**n*, kus *Cn* on *n*is funktsiooni *f* nullkoht. Kui leidub ainult üks nullkoht, siis *gT*2/*L* = *C*. Selgitamaks, et leidub ainult üks nullkoht, *C* = 4π2 oleks vaja süsteemi kohta lisateadmisi.

Vaata ka
--------

* Dimensionaalanalüüs
* Dimensioonita suurus

Viited
------

1. ↑  "Buckingham π Theorem". *Sciencedirect*. Vaadatud 17.08.2020.