Laplace'i pöördteisendus on integraalteisendus, mis teisendab kompleksmuutuja funktsiooni {\displaystyle F(s)}, kus kompleksarv {\displaystyle s=\sigma +j\omega } (kompleks sagedusdomeen ehk **s-domeen**), tagasi reaalmuutuja funktsiooniks {\displaystyle f(t)}, kus {\displaystyle t\in [0;\infty ]} (ajadomeen). Kuna Laplace teisendus on üheselt määratav teisendus, siis on võimalik näidata, et selle pöördteisendus on samuti üheselt määratav:

{\displaystyle f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}\Longleftrightarrow {\mathcal {L}}\{f(t)\}=F(s)}

Bromwichi integraal
-------------------

Laplace'i pöördteisenduse leidmiseks on mitmeid võimalusi, kus igaühel on omad eelised, aga kõige laialdasema rakendusega on **Bromwichi integral** (Mellini inverteeritud integral või Fourier-Mellini integral), mis tuletatakse Fourier' teisenduse juba teadaoleva pöördseose vaatlemisel: 

**Kujutlus Bromwichi integraalist -** Punaste ristidega on tähistatud poolused, telgedel on toodud viimaste reaalarvulised osad ning nooltega on näidatud integreeritav joon.{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{F(s)\}=f(t)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{\sigma -i\omega }^{\sigma +i\omega }e^{st}F(s)\,ds,}

kus {\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}} tähistab Laplace'i pöördteisendust ja integreerimine toimub vertikaalsel joonel {\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)=\sigma } komplekstasandil selliselt, et {\displaystyle \sigma } väärtus oleks suurem (ehk vasakul) kõikidest {\displaystyle F(s)} pooluste reaalarvulisest osadest.

Praktikas on Laplace'i pöördteisenduse tegemine tüüpiliselt mugavam, kui esmane {\displaystyle F(s)} funktsioon teha osadeks vastavalt tabelitest leitavatele esitusvormidele ning pöördteisendus kirjutada lihtsalt ümber tabeli vastete järgi (*lookup table*).

Omadused
--------

Olgu meil funktsioonid {\displaystyle G(s)} ja {\displaystyle P(s)}, millel leiduvad vastavad Laplace'i pöördteisendused {\displaystyle g(t)} ja {\displaystyle p(t)}. Teisenduse

**1. Aditiivsus (summa või vahe)**

{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\pm P(s)\}={\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\}\pm {\mathcal {L}}^{-1}\{P(s)\}}

Laplace'i pöördteisendus kahe funktsiooni summast on võrdne nende üksikute funktsioonide Laplace'i pöördteisenduste summaga.

**2. Homogeensus (konstandiga korrutamine)**

{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{a\cdot G(s)\}=a\cdot {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s)\},}

kus {\displaystyle a} on konstant.

**3. Esimene teoreem sageduse nihutamise kohta**

{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{G(s-a)\}=e^{at}G(t)}

**4. Teine teoreem sageduse nihutamise kohta**

{\displaystyle {\mathcal {L}}^{-1}\{e^{-sT}G(s)\}=G(t-T)\cdot u(t-T),}

kus {\displaystyle u(t)} on ühikastme funktsioon.

Kui Laplace' pöördteisenduses esineb {\displaystyle e^{-sT}} komponent, siis on see võimalik teisenduse lõpus asendada astmefunktsiooniga. Nimelt tehes Laplace' pöördteisenduse selliselt, et ignoreerides {\displaystyle e^{-sT}} komponenti ja lõpptulemuses {\displaystyle t} asendada {\displaystyle (t-T)} ning juurde lisada korrutiseks ühiksastme funktsioon, saamegi korrektse Laplace' pöördteisenduse kogu funktsiooni kohta.

Vaata ka
--------

* Laplace teisendus

Viited
------

1. 1 2  "Inverse Laplace Transform - an overview | ScienceDirect Topics". *www.sciencedirect.com*. Vaadatud 26. märtsil 2023.

Välislingid
-----------

* Laplace' pöördteisenduse kalkulaator
* Laplace' pöördteisenduse vastete tabel
* Inverse Laplace transform - Wikipedia