|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib hulgateooria mõistest; ordinaalarvudeks nimetatakse ka järgarve* |

---

**Ordinaalarvud** on matemaatilised objektid, mis üldistavad elemendi positsiooni (indeksi) mõiste jadas täielikele järjestustele suvalistel hulkadel.

Positsioone jadades käsitatakse naturaalarvudena (mida väljendatakse järgarvudega "esimene, teine, kolmas, …" (element)), mis moodustavad lõplikud ordinaalarvud. Selle üldistuse juures on otsustav, et nagu ka jadade korral, on olemas vähim positsioon (ordinaalarv null) ja igal elemendil (välja arvatud võib-olla leiduv viimane element) on üheselt määratud järglane. Et (lineaarsetel) järjestustel, mis neid tingimusi täidavad, võib ikka veel olla väga erinevaid struktuure, siis lisatakse tingimus, et iga alamhulga korral leidub minimaalne positsioon, ning jõutakse täielike järjestusteni. 

Ordinaalarvud võimaldavad üldistada jadadega piirduva tõestusmeetodi matemaatilise induktsiooni kui tahes suurtele hulkadele või ka pärisklassidele, mis on täielikult järjestatud. Matemaatilise induktsiooni üldistust nimetatakse transfiniitseks intuitsiooniks. 

Seevastu hulga suuruse (elementide arvu) kirjeldus viib kardinaalarvu mõisteni ("üks, kaks, kolm, …").

Georg Cantoril oli idee, kuidas saab mõlemat mõistet (arv kui suurus ja arv kui positsioon) hulgateooria raames lõpmatutele hulkadele üldistada; sest kuna nad lõplike hulkade korral langevad kokku, tuleb neid lõpmatute hulkade korral eristada. Kardinaalarvud defineeritakse ordinaalarvude erijuhuna. Ordinaalarvude kogum, mida enamasti tähistatakse {\displaystyle \mathrm {On} } või {\displaystyle \mathrm {Ord} }, ei moodusta tänapäeva hulgateoorias – täpselt nagu ka mitte kardinaalarvude kogum – hulka, vaid pärisklassi.

Paljud neist kaalutlustest (näiteks transfiniitne induktsioon ja kardinaalarvude definitsioon ordinaalarvudena) vajavad valikuaksioomi või sellega ekvivalentset Zermelo teoreemi. 

Ordinaalarvud on olulised hulgateoorias. Teistes matemaatika valdkondades kasutatakse ka teisi üldistatud indekseeringuid, mis opereerivad täielikust järjestusest erinevate järjestustega. Näiteks topoloogias kasutatakse võrke ja filtreid, mis üldistavad koonduvuse mõistet.

Avastuslugu
-----------

Tänapäevase ordinaalarvude mõiste töötas olulises välja Georg Cantor. Põhiidee leidis ta uurides reaalmuutuja funktsioonide trigonomeetriliste ridadena esitamise ühesust. Siiski ei osutunud ordinaalarvude teooria nendes uurimustes lõpuks viljakaks.

Eduard Heine töödest oli teada, et vahemikus {\displaystyle (-\pi ,\pi )} pidevatel funktsioonidel on alati ühene esitus trigonomeetrilise reana. Cantor näitas (1870), et see on õige iga funktsiooni korral, mille trigonomeetriline rida kõikjal koondub. Küsimusele, kas on olemas teisi funktsiooniklasse, millel on see omadus, ei ole sellega aga veel vastatud. Juba Heine teoreem on õige funktsioonide korral, mis on peaaegu kõikjal pidevad, st lõpliku hulga {\displaystyle E} mittepidevuskohtadega. Ühesuse küsimus on samaväärne küsimusega, kas trigonomeetrilise rea 

{\displaystyle f(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }(a\_{n}\cos nx+b\_{n}\sin nx)}
võrdumine nulliga hulgal {\displaystyle (-\pi ,\pi )} \ {\displaystyle E} toob kaasa ka koefitsientide {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=0,1,...}} ja {\displaystyle \{b\_{n}\}\_{n=1,2,...}} nulliga võrdumise. Selle omadusega hulki {\displaystyle E} nimetatakse U-tüüpi hulkadeks (prantsuse sõnast *unicité* 'ühesus') ja kõiki teisi hulki M-tüüpi hulkadeks (*multiplicité* 'mitmesus'). Lõplikud hulgad on seega U-tüüpi hulgad. Funktsiooni {\displaystyle f(x)} kahekordsel integreerimisel saadakse Riemanni funktsioon:

{\displaystyle F(x)={\frac {a\_{0}}{4}}x^{2}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n}\cos nx+b\_{n}\sin nx}{n^{2}}}+Cx+D.}
Kui {\displaystyle F(x)} on lineaarne, siis on kõik {\displaystyle \{a\_{n}\}\_{n=0,1,...}} ja {\displaystyle \{b\_{n}\}\_{n=1,2,...}} võrdsed {\displaystyle 0}-iga. Nii et kui mingi hulga {\displaystyle P} kohta tõestataks, et sellest, et {\displaystyle {\ }^{\forall }}{\displaystyle x} {\displaystyle {\ }^{\in }} {\displaystyle ((-\pi ,\pi )} \ {\displaystyle P)} {\displaystyle (f(x)=0)}, järeldub funktsiooni {\displaystyle F(x)} lineaarsus, siis oleks sellega ka tõestatud, et {\displaystyle P} on U-tüüpi hulk. Cantor kasutab seda ideed artiklis "Über die Ausdehnung eines Satzes aus der Theorie der trigonometrischen Reihen" aastast 1871 ja näitab: "Kui (p,q) on mingi vahemik, milles on vaid lõplik arv hulga P punkte, siis on F(x) selles vahemikus lineaarne …" (seal lk 131)

Kui {\displaystyle P} on lõpmatu, siis on tal vähemalt üks kuhjumispunkt. Cantor nimetab hulga {\displaystyle P} kuhjumispunktide hulka tuletatud hulgaks ja tähistab seda {\displaystyle P^{(1)}}, hulga {\displaystyle P^{(1)}} tuletatud hulka tähistab ta {\displaystyle P^{(2)}} jne. (vt hulga tuletis). Kui pärast lõplikku arvu samme jõutakse lõpliku hulgani {\displaystyle P^{(n)}}, siis nimetab Cantor hulka {\displaystyle P} {\displaystyle n}-liiki hulgaks. Cantor teeb kindlaks, et funktsiooni {\displaystyle F(x)} lineaarsust vahemikus {\displaystyle (p,q)} sab tõestada ka siis, kui hulka {\displaystyle (p,q)} kuulub lõplik arv hulga {\displaystyle P^{(k)}} punkte, kusjuures selle väite korrektsus ei sõltu naturaalarvu {\displaystyle k} väärtusest. Tühja mitmekordse tuletisega hulgad on alati U-tüüpi. 

Selles artiklis ei välju Cantori kaalutlused veel lõplike iteratsiooniprotsesside raamidest; ent seal sisalduvad juba mõttemustrid, mis hiljem hakkasid kujundama kogu hulgateooriat. Ta omistab reaalarvude näitlikustamisele geomeetriliste punktidega teisejärgulise rolli, defineerides reaalarve Cauchy jadadena ratsionaalarvude hulga *A* elementidest. Nende jadade hulka tähistab ta *B* ja defineerib seal *A* korral kasutusel olevad tehted. Cauchy jadad hulga *B* elementidest moodustavad uue hulga *C*. Seda protsessi saab teoreetiliselt lõpmatuseni jätkata. Cantor hakkab nüüd mõistma punkti all mingite hulkade *A*, *B*, *C*, … elemente. 
Niisuguste korrastatud hierarhiate ehitamine, mille korral üleminek ühelt astmelt teisele toimub piirprotsesside kaudu, on hiljem saanud uute hulgateoreetiliste mõistete kasutuselevõtu sagedaseks vahendiks. Selline hierarhia on äratuntav ka ordinaalarvude puhul.

Pärast seda tööd trigonomeetriliste ridade kohta nõrgenes Cantori huvi funktsioonide trigonomeetrilistesse ridadesse arendamise ühesuse tarviliku ja piisava tingimuse vastu. Seda küsimust uurisid hiljem väga intensiivselt Paul Du Bois-Reymond, Charles-Jean de La Vallée Poussin, William Henry Young, Arnaud Denjoy, Nina Bari, Raichmann ja Dmitri Menšov, jõudmata siiski rahuldava tulemuseni. Cantor ise pühendus ülesandele klassifitseerida punktihulki selle järgi, millal tuletamise protsess lõpeb. Hulki, mille korral see toimub lõpliku arvu sammud järel, nimetab Cantor esimest liiki hukadeks. Hulk {\displaystyle P} on täpselt siis esimest liiki hulk, kui ühisosa

{\displaystyle \bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(n)}}
on tühi. Loomulik mõte on seejuures teha just see hulk esimeseks tuletiseks teist liiku hulkade transfiniitses järjestuses. Cantor tähistan selle {\displaystyle P^{(\infty )}}. Sellele järgnevad tuletised

{\displaystyle P^{(\infty +1)},\ P^{(\infty +2)},\ldots ,P^{(2\infty )}=\bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty +n)},\ P^{(3\infty )}=\bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(2\infty +n)},\ldots }
{\displaystyle P^{(\infty ^{2})}=\bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty )},\ P^{(\infty ^{3})}=\bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(n\infty ^{2})},\ldots ,\ P^{(\infty ^{\infty })}=\bigcap \nolimits \_{n\in \mathbb {N} }P^{(\infty ^{n})},\ldots }
Cantor kirjutab artiklis "Über unendliche, lineare Punktmannichfaltigkeiten" aastast 1880: "Konsekventsel edasiminekul saadakse suktsessiivselt edasised mõisted: 

{\displaystyle \ P^{(n\infty ^{\infty })},\ P^{(\infty ^{\infty +1})},\ P^{(\infty ^{\infty +n})},\ P^{(n\infty ^{n\infty })},\ P^{(\infty ^{(\infty ^{\infty })})}}
jne; me näeme siin dialektilist mõistemoodustust, mis viib üha edasi ning jääb seejuures igasugusest suvast vabana iseeneses paratamatuks ja konsekventseks."

Selles mitte viie leheküljegi pikkuses artiklis on välja joonistatud sama hästi kui kogu tee, kuidas naturaalarvudest saab arendada täieliku transfiniitse ordinaalarvude süsteemi. Ordinaalarvude mõiste defineeris ta siis kahes artiklis "Beiträge zur Begründung der transfiniten Mengenlehre" (1895/97) täielikult järjestatud tüüpide järjestustüübina.

Naturaalarvud ja järjestatud hulgad
-----------------------------------

Ordinaalarvud on tänapäeva matemaatikas hulgateooria mõiste. Et defineerida neid naturaalarvude üldistusena, on loomulik paigutada naturalarvud hulgateoreetilisse hierarhiasse. Sealjuures kuulutatakse tühi hulk naturaalarvude jada nulliks. Tühi hulk on niisiis naturaalarvude Peano aksiomaatikas spetsiaalselt esiletõstetud ja ekspolitsiitselt defineerimata ilma eelkäijata arv. John von Neumanni ettepaneku järgi defineeritakse siis iga järgmist arvu juba defineeritud arvude hulgana:

{\displaystyle 0:=\emptyset }
{\displaystyle 1:=\{0\}=\{\emptyset \}}
{\displaystyle 2:=\{0,1\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}}
{\displaystyle 3:=\{0,1,2\}=\{\emptyset ,\{\emptyset \},\{\emptyset ,\{\emptyset \}\}\}}
{\displaystyle 4:=\{0,1,2,3\}\,}
…
{\displaystyle n+1:=n\cup \{n\}=\{0,1,\ldots ,n\}}
…
Hulgad {\displaystyle 0}, {\displaystyle 1}, {\displaystyle 2} on kuulumisseose ({\displaystyle n\in n+1}) suhtes täielikult järjestatud. Näiteks on arvul 4 elemendid 0, 1, 2, 3, mis järjestatakse 0 < 1 < 2 < 3. Sellepärast kirjutatakse ka {\displaystyle 4:=\{0<1<2<3\}}. Niisiis on naturaalarv {\displaystyle a} väiksem kui arv {\displaystyle b}, kui {\displaystyle a} on hulga {\displaystyle b} element. Kogu naturaalarvude hulga kohta määratletakse: {\displaystyle \omega :=\{0<1<2<3<...\}}. Hulk {\displaystyle \omega } on Peano aksiomaatika mudel. Selle olemasolu tagatakse Zermelo-Fraenkeli hulgateoorias lõpmatuse aksioomiga.

Motivatsioon ja definitsioon
----------------------------

Ordinaalarvude teooria on abstraheeriv teooria, mis abstraheerub hulga elementide "tegelikust loomusest" ning uuritakse ainult niisuguseid omadusi, mida saab tuletada elementide järjestusest. Edasi defineeritakse: bijektsiooni {\displaystyle f:} {\displaystyle A}→{\displaystyle B} täielikult järjestatud hulgalt {\displaystyle (A,} ≤{\displaystyle A}{\displaystyle )} täielikult järjestatud hulgale {\displaystyle (B,} ≤{\displaystyle B}{\displaystyle )} nimetatakse järjestusisomorfismiks ehk sarnaseks teisenduseks, kui {\displaystyle a} ≤{\displaystyle A} {\displaystyle b} ja {\displaystyle f(a)} ≤{\displaystyle B} {\displaystyle f(b)} on kõikide {\displaystyle a,b}{\displaystyle {\!}^{\in }}{\displaystyle A} korral ekvivalentsed. Öeldakse, et hulgad {\displaystyle A} ja {\displaystyle B} on järjestusisomorfsed (ehk sarnased) ja kirjutatakse {\displaystyle A} {\displaystyle {\!}^{\cong }} {\displaystyle B}, kui {\displaystyle A} ja {\displaystyle B} vahel on järjestusisomorfism gibt. Kõigi omavahel järjestusisomorfsete hulkade kogum on ekvivalentsusklass, mida nimetatakse järjestustüübiks.

Saab näidata, et iga lõplik täielikult järjestaud hulk on järjestusisomorfne (täpselt) ühe naturaalarvuga. Peale selle on täiesti järjestatud hulga kohta kolm väidet ekvivalentsed: 1.) Ta on lõplik. 2.) Pöördjärjestus on täielik. 3.) Igal mittetühjal alamhulgal on suurim element.

See pakub aluse naturaalarvude üldistamiseks ordinaalarvudeks, mis valitakse spetsiaalsete täielikult järjestatud hulkadena nõnda, et iga täiesti järjestatud hulk on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga. Niisiis on iga ordinaalarv ühe teatud järjestustüübi esindaja. Järgnev definitsioon parandab Cantori lähenemist ja selle andis esimesena John von Neumann:

*Definitsioon I.* (eeldab regulaarsuse aksioomi: Hulka {\displaystyle H} nimetatakse ordinaalarvuks, kui hulga {\displaystyle H} iga element on ka hulga {\displaystyle H} osahulk ning {\displaystyle H} on sisaldumisseose {\displaystyle \subseteq } suhtes täielikult järjestatud.

Niisugune hulk {\displaystyle H} on automaatselt täielikult järjestatud tulenevalt regulaarsuse aksioomist, mis ütleb: igal mittetühjal hulgal {\displaystyle H} on element {\displaystyle a}, millel ei ole ühisosa hulgaga {\displaystyle H}. Naturaalarvud on selle definitsiooni järgi ordinaalarvud. Näiteks on {\displaystyle 2=\{0,1\}} arvu {\displaystyle 4=\{0,1,2,3\}} element ja ühtlasi alamhulk. {\displaystyle \omega } on samuti ordinaalarv, vähim transfiniitne (igast naturaalarvust suurem) ordinaalarv. Neumanni definitsioonil on esimese definitsiooni ees see eelis, et ta määratleb aksiomaatilise hulgateooria raames laitmatult defineeritud hulgateoreetilise objekti. Iga täielikult järjestatud hulk {\displaystyle X} on järjestusisomorfne täpselt ühe ordinaalarvuga, mida enamasti tähistatakse {\displaystyle {\textrm {ord}}(X)}.

### Märkused ja teised definitsioonid

Kõikide hulkade ekvivalentsusklassid järjestusisomorfismi suhtes on tänapäeva matemaatika seisukohast problemaatilised, sest nad on "haaramatult suured objektid", mis erinevalt von Neumanni ordinaalarvudest on defineeritud geneetiliselt, mitte substantsiaalselt. Nende olemasolu eeldatakse naiivses hulgateoorias ilma eksplitsiitse põhjenduseta ja Zermelo-Fraenkeli hulgateooria raames ei saa seda ordinaalarve kasutamata põhjendada.

Igas hulgateoorias nimetatakse ordinaalarvudeks niisuguseid objekte, mis rahuldavad ordinaalarvu aksioomi. See ütleb: igale täielikult järjestatud hulgale (või ka muule täielikult järjestatud struktuurile) saab omistada ordinaalarvu nõnda, et suvalised kahele eri hulgale omistatud ordinaalarvud on võrdsed täpselt siis, kui need kaks hulka on omavahel järjestusisomorfsed. Kõikides aksiomaatilistes hulgateooriates püütakse uute fundamentaalobjektide sissetoomise vältimiseks leida sobivaid teooriaga ette antud objekte, mis rahuldavasd ordinaalarvu aksioomi. Üks võimalus selleks seisneb spetsiaalsete hulkade hierarhiate (näiteks von Neumanni arvude hierarhia) ehitamises. 

Milliste raskustega sellistest hierarhiatest loobumine võib seotud olla, on näha üldiste lineaarsete järjestuste pealt, mille jaoks sobivat hulkade hierarhiat pole teada (2004). Järjestustüüpide eksisteerimise postuleerimist saab sel juhtumil vältida ainult järgu- ja astmetüüpide abil. Kui spetsiaalsed objektid, mis oleksid ordinaalarvude sissetoomiseks sobivad, on juba nimetatud, siis ordinaalarvu aksioom elimineeritakse (kui see on üldse võimalik), st taandatakse teoreemi staatusesse. ZFC puhul kasutatakse selleks Adolf Abraham Halevi Fraenkeli poolt 1922 Zermelo aksiomaatikale spetsiaalselt lisatud asendamisaksioomi.

Kui suur on ordinaalarvu aksioomi hulgateoreetiline tugevus, seda näitab tõsiasi, et "paljude" von Neumanni ordinaalarvude olemasolu tõestamiseks tuleb appi võtta lõpmatuse aksioom, asendamise aksioom ning mõnel juhtumil koguni valikuaksioom. Von Neumanni ordinaalarvude definitsioon on tänapäeval kõige kasutatavam. Ent ka aksiomaatilistes hulgateooriates leidub ordinaalarvude definitsioone, mis põhinevad ekvivalentsusklasside moodustamisel. Vastuolude vältimiseks moodustatakse need ekvivalentsusklassid aga teatud kitsendustega. Nii näiteks konstrueeritakse loenduvate ordinaalarvude hulk {\displaystyle \omega \_{1}} Friedrich Moritz Hartogsi järgi nii: see defineeritakse ekvivalentsusklasside hulgana hulga {\displaystyle \{(M,O)\mid M\subseteq N,\;O\subseteq M\times M\}} täielikult järjestatud elementide alamhulgas, kui {\displaystyle N=\omega }. Seejuures on kaks alamhulka ekvivalentsed, kui nad on järjestusisomorfselt teineteisele kujutatavad. {\displaystyle (\omega \_{1},<)} on järjestuse {\displaystyle (\eta ,<\_{\eta })<(\beta ,<\_{\beta })\iff \exists \xi \in \beta \;((\{x\mid x<\_{\beta }\xi \},<\_{\beta })\cong (\eta ,<\_{\eta }))} suhtes täielikult järjestatud hulk. Seda hierarhiat saab jätkata, postuleerides {\displaystyle N=\omega \_{n}} ning moodustades hulgad {\displaystyle \omega \_{n+1}}, kus {\displaystyle n=1,2,...}. Hartogsi definitsioon ei kasuta esindajate valikut ning on piisav paljudeks ordinaalarvude rakendusteks analüüsis ja topoloogias. Järjestusisomorfsete hulkade ekvivalentsusklasid moodustatakse ka astmeteoreetilise ülesehitusega hulgateooriates (Bertrand Russell, Willard Van Orman Quine, Dana Scott, Dieter Klaua jt). Näiteks Klaua üldises hulgateoorias on kõik hulgad universaalhulkade elemendid. Täielikult järjestatud hulga {\displaystyle A} ordinaalarv on siis kõikide hulgaga {\displaystyle A} järjestusisomorfsete elementide ekvivalentsusklass vähimas universaalhulgas, mis sisaldab hulgaga {\displaystyle A} järjestusisomorfseid hulki. Scotti-Potteri hulgateoorias, mis on ilma asendusaksioomita hulgateooria näide, nimetatakse von Neumanni ordinaalarve pseudoordinaalarvudeks. , Ordinaalarvud selles hulgateoorias defineeritakse iga täielikult järjestatud kollektsiooni {\displaystyle a} jaoks kui {\displaystyle {\textrm {ord}}(a)=\langle x\mid x\cong a\rangle } ning täielikult järjestatud hulkade ordinaalarve nimetatakse väikesteks ordinaalarvudeks. {\displaystyle {\textrm {On}}} on väikeste ordinaalarvude kollektsioon ja {\displaystyle {\textrm {Ord}}({\textrm {On}})} on vähim suur ordinaalarv. Kõikide ordinaalarvude kollektsiooni Scotti-Potteri hulgateoorias ei ole. 

On juba mainitud, et ordinaalarvude täieliku järjestatuse saab ZF-is tuletada regulaarsuse aksioomist. Aga hulgateoreetilises kirjanduses on tavaks sõnastada definitsioone aksioomidest võimalikult sõltumatult.

Viited
------

1. 1 2  S. Natanson, 1977, ptkX. § 6.
2. ↑  vt Riemann Function (MathWorld).
3. ↑  *Mathematische Annalen* 5 (1872) lk 123–132
4. ↑  2. artikkel ajakirjas *Mathematische Annalen* 17 (1880) 357j
5. ↑  *Mathematische Annalen* 46 (1895) lk 499 ja *Mathematische Annalen* 49 (1897) lk 207
6. ↑  Mis on ka matemaatika enese jaoks sellepärast soodne, et seeläbi saavad arvukad muud matemaatilise mõisted hulgateoreetilise tõlgenduse.
7. 1 2  15. august 1923 – Johann von Neumanni kiri Ernst Zermelole (vt H. Meschkowsk. *Problemgeschichte der neueren Mathematik*, B.I.-Wissenschaftsverlag, 1978, ISBN 3-411-01542-X. XIV.1. ja tahvel 10.)
8. ↑  vt Bachmann, 1968, § 3.5
9. ↑  Fundeerimata hulgauniversumite puhul ei pruugi niisugust funktsiooni olla.
10. ↑  A. Fraenkel: *Zu den Grundlagen der Cantor-Zermeloschen Mengenlehre.* – *Mathematische Annalen*, 86, 1922, lk 230–237
11. ↑  vt Deiser, 2004, 2.6. lk 256 ja 3.1, lk 433 ning Bachmann, 1968, § 6. § 38. § 42.
12. ↑  Vt: O. Deiser. *Reelle Zahlen. Das klassische Kontinuum und die natürlichen Folgen*, Springer, 2007, ISBN 978-3-540-45387-1, lk 382–386
13. ↑  Tõestamiseks, et {\displaystyle \omega \_{1}} on hulk, mitte pärisklass, on ZFC raames tarvis asendamise aksioomi (vt Zuckerman, 1974, 5.12)
14. ↑  Ordinaalarvude kohta Russelli ja Alfred North Whiteheadi mõttes vt: J. Rosser. *Logic for mathematicians*, McGraw-Hill Book Company, 1953, ISBN 0-8284-0294-9, XII.
15. ↑  W. Quine. New Foundations for Mathematical Logic. – *American Mathematical Monthly*, 44, 1937, lk 70–80
16. ↑  D. Scott: Axiomatizing Set Theory. – *Proceedings of Symposia in Pure Mathematics.* 13, 2, American Mathematical Society, 1971, lk 207–214
17. ↑  *AM:* *Allgemeine Mengenlehre* (üldine hulgateooria) – vt Klaua, 1968 ja Klaua, 1969
18. ↑  Vt Klaua, 1974 ja D. Klaua. Eine axiomatische Mengenlehre mit größtem Universum und Hyperklassen. – *Monatshefte für Mathematik.* 92, 3, 1981, lk 179–195.
19. ↑  Vt Potter, 1994, 6.2
20. ↑  Pseudoordinaalarvud olid küll enne 1923. aastat Zermelole ja Mirimanoffile teada. Ent nende tähtsus ZFC raames kasvas alles siis, kui von Neumann sai teada, et asendamise aksioomist järeldub järgufunktsiooni olemasolu kõigi hulkade jaoks ja ordinaalarvufunktsiooni olemasolu kõigi täielikult järjestatud hulkade jaoks. Sellepärast on pseudoordinaalarvud tänapäeval tuntuf eelkõige von Neumanni arvude mõiste kaudu.
21. ↑  Siin on {\displaystyle \langle x\mid \Phi (x)\rangle =\{x\mid \Phi (x)\land \forall y(\Phi (y)\implies D(x)\subseteq D(y))\}}, kusjuures {\displaystyle D(a)} on hulga {\displaystyle \{b\mid a\subseteq b\land T(b)\}} seose {\displaystyle \in } suhtes vähim element ja {\displaystyle {\textrm {T}}(a):=\exists d(H(d)\land a={\textrm {acc}}(d))}, {\displaystyle {\textrm {H}}(a):=(\forall d\in a)(d={\textrm {acc}}(d\cap a))}, {\displaystyle {\textrm {acc}}(a):=\{x\mid x\neq \{y\mid y\in x\}\lor (\exists b\in a)(x\in b\lor x\subseteq b)\}}.