|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib kõige üldisemast ringi mõistest algebras; ringi all mõistetakse sageli assotsiatiivset ringi, ühikelemendiga assotsiatiivset ringi või koguni ühikelemendiga assotsiatiivset kommutatiivset ringi* |

---

**Ring** on hulk *R* koos liitmise ja korrutamisega, mis on sellel hulgal defineeritud nii, et *R* moodustab liitmise suhtes Abeli rühma ning korrutamine on liitmise suhtes distributiivne. Et terminit "ring" kasutatakse sageli ka kitsamas tähenduses (nõutakse, et korrutamistehe oleks assotsiatiivne), siis nimetatakse ringe sageli (tinglikult) **mitteassotsiatiivseteks ringideks** (kasutatakse ka väljendit "**mitte tingimata assotsiatiivsed ringid**" [*viide?*]).

Rühma, mille ringi elemendid liitmise suhtes moodustavad, nimetatakse **ringi aditiivseks rühmaks**. Korrutamise suhtes moodustab ringi elemendid rühmoidi, mida nimetatakse **ringi multiplikatiivseks rühmoidiks**.

Definitsioon
------------

Formaalsemalt defineeritakse ring universaalalgebrana, kus on antud kaks binaarset tehet (liitmine ja korrutamine), mis rahuldavad järgmiseid tingimusi:

1. *R* on liitmise suhtes Abeli rühm: kehtivad samasused
	1. {\displaystyle a+b=b+a}
	2. {\displaystyle (a+b)+c=a+(b+c)}
	3. Hulgas *R* on olemas nullelement 0 (mis tahes *a* korral hulgast *R* kehtib võrdus {\displaystyle 0+a=a+0=a}).
	4. Hulga *R* mis tahes elemendil *a* on vastandelement *-a* (mis tahes *a* korral hulgast *R* kehtib võrdus {\displaystyle a+(-a)=(-a)+a=0}).
2. Korrutamine on distributiivne: kehtivad samasused
	1. {\displaystyle (a+b)c=ac+bc} (vasakpoolne distributiivsus)
	2. {\displaystyle a(b+c)=ab+ac} (parempoolne distributiivsus)

Üldjuhul ei ole korrutamine assotsiatiivne. Mõnel ringide klassil on assotsiatiivsuse asemel mõni muu tingimus, näiteks Lie ringidel Jacobi samasus ja Jordani ringidel Jordani samasus.

Sõna "ring" kasutamine kitsamas tähenduses
------------------------------------------

Matemaatilises kirjanduses ei ole algebraterminil "ring" ühtset tähendust. Käesolevas artiklis kasutatakse seda sõna selle kõige üldisemas tähenduses. Kirjanduses esineb ringi definitsioone, milles esitatakse assotsiatiivse ringi või assotsiatiivse ühikelemendiga ringi mõiste. 

Matemaatilises kirjanduses kasutatakse sõna "ring" sageli ka kokkuleppelise lühendina väljendite "assotsiatiivne ring", "assotsiatiivne ühikelemendiga ring" või "assotsiatiivne kommutatiivne ühikelemendiga ring" asemel.

Näited
------

* Kõik assotsiatiivsed ringid on ringid.
* John T. Gravesi poolt 1843 konstrueeritud oktaavid olid esimene mitteassotsiatiivse ringi näide.
* Alexander MacFarlane'i hüperboolsed kvaternioonid olid matemaatiliseks aluseks hilisemale aegruumi teooriale.
* Cayley-Dicksoni konstruktsioon annab mitteassotsiatiivsete ringide lõpmatu pere.
* Lie ringid ja Jordani ringid on mitteassotsiatiivsed ringid.
* Mitteassotsiatiivne ring on alternatiivne ring, kui [x,x,y]=[y,x,x]=0, kus [x,y,z] = (xy)z - x(yz) on assotsiaator.

Omadused
--------

Mitteassotsiatiivsetel ringidel puuduvad paljud assotsiatiivsete ringide omadused. 

Ühikelemendiga ringide puhul:

* Kui elemendil {\displaystyle x} on vasakpoolne pöördelement {\displaystyle a^{L}} ja parempoolne pöördelement {\displaystyle a^{R}}, siis {\displaystyle a^{L}} ja {\displaystyle a^{R}} võivad olla erinevad.
* Multiplikatiivse pöördelemendiga element võib olla nullitegur.

Alamringid
----------

 *Pikemalt artiklis Alamring*
Ringi *R* mittetühja alamhulka nimetatakse alamringiks, kui *A* ise on ringi *R* liitmise ja korrutamise suhtes ring. Selleks peab *A* olema ringi *R* aditiivse rühma alamrühm ja selle ringi multiplikatiivse rühmoidi alamrühmoid. 

Iga ringi alamringide seas on see ring ise ja nullalamring, mille ainus element on nullelement. 

Ringi alamringide ühisosa on selle ringi alamring. Ringi *R* **alamringide** *A**α* **ühendiks** nimetatakse kõikide selliste alamringide ühisosa, mis sisaldavad kõiki alamringe *A**α*. Alamringide ühisosa ja ühendi võtmise suhtes moodustavad ringi *R* alamringid võre *S*(*R*). Ringi *R* ideaalide hulk moodustab võre *S*(*R*) alamvõre.

Vaata ka
--------

* Ringiteooria