|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib matemaatilise analüüsi mõistest. Monotoonse funktsiooni üldistuse kohta suvalistele osaliselt järjestatud hulkadele vaata artiklit Isotoonne kujutus.* |

---

 
Matemaatilises analüüsis nimetatakse reaalmuutuja funktsiooni **kasvavaks**, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kasvab, ning **kahanevaks**, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus kahaneb. Kasvavaid ja kahanevaid funktsioone nimetatakse **rangelt monotoonseteks**. Funktsiooni nimetatakse **mittekahanevaks**, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kahane, ning **mittekasvavaks**, kui argumendi kasvades funktsiooni väärtus ei kasva. Mittekahanevaid ja mittekasvavaid funktsioone nimetatakse **monotoonseteks**.

Definitsioon
------------

Olgu *A* ja *B* teatavad reaalarvude hulgad ja olgu *f* funktsioon hulgast *A* hulka *B*. Funktsiooni *f* nimetatakse

* **kasvavaks**, kui iga *x* ja *y* korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) < f(y),
* **kahanevaks**, kui iga *x* ja *y* korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) > f(y),
* **mittekahanevaks**, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≤ f(y),
* **mittekasvavaks**, kui iga x ja y korral hulgast A, kus x < y, kehtib seos f(x) ≥ f(y).

Kui funktsioon on mittekahanev või mittekasvav, nimetatakse seda **monotoonseks**. Kui funktsioon on rangelt kasvav või kahanev, nimetatakse seda **rangelt monotoonseks**. Iga rangelt monotoonne funktsioon on monotoonne, aga mitte vastupidi.

Mõnedes allikates nimetatakse *kasvavaks* ja *kahanevaks* vastavalt mittekahanevat ja mittekasvavat funktsiooni. Sel juhul nimetatakse rangelt monotoonset funktsiooni vastavalt **rangelt kasvavaks** või **rangelt kahanevaks** funktsiooniks.[*viide?*] Tekstides, kus kasutatakse mõisteid "mittekasvav" ja "mittekahanev", eeldatakse, et mõisted "kasvav" ja "kahanev" tähendavad vastavalt ranget kasvamist ja kahanemist. Antud artiklis kasutatakse viimast tähistust.

Tuleb tähele panna, et väited *funktsioon f on mittekahanev* ning *funktsioon f ei ole kahanev* ei ole samaväärsed: funktsioon, mis ei ole kahanev, ei pea veel olema mittekahanev (vastupidine järeldus *mittekahanev* ⇒ *ei ole kahanev* küll kehtib, kui hulgas A on rohkem kui üks element). Väljendit *funktsioon f on mittekahanev* tuleks mõista pigem nii: *argumendi kasvades funktsiooni f väärtus kunagi ei kahane* või nii: *funktsioon f ei ole kahanev oma määramispiirkonna üheski vähemalt kaheelemendilises alamhulgas* (vt. alajaotust *Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas*). Samamoodi ei ole väide *funktsioon f on mittekasvav* samaväärne väitega *funktsioon f ei ole kasvav*.

Erijuhul, kui A on kõigi naturaalarvude hulk, siis funktsioon f määrab ära jada ning saame eelnevast rangelt kasvava, rangelt kahaneva, mittekahaneva, mittekahaneva, monotoonse ja rangelt monotoonse jada definitsioonid.

### Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis hulgas

Sageli kõneldakse funktsiooni kasvamisest ja kahanemisest mingis tema määramispiirkonna *A* alamhulgas *X*. Seda mõistetakse järgmiselt: funktsiooni f nimetatakse **kasvavaks**, **kahanevaks**, **mittekahanevaks** või **mittekasvavaks** **hulgas X**, kui funktsiooni f ahend hulgale X on vastavalt kasvav, kahanev, mittekasvav või mittekahanev.

Üks ja sama funktsioon võib seega olla oma lähtehulga ühes alamhulgas kasvav, teises kahanev.

### Funktsiooni kasvamine/kahanemine mingis punktis

Olgu *a* funktsiooni *f* määramispiirkonna sisepunkt. Funktsiooni *f* nimetatakse

* **kasvavaks kohal *a***, kui punkti *a* mingis vasakpoolses ümbruses *f*(*x*)<*f*(*a*) ning mingis parempoolses ümbruses *f*(*x*)>*f*(*a*),
* **kahanevaks kohal *a***, kui punkti *a* mingis vasakpoolses ümbruses *f*(*x*)>*f*(*a*) ning mingis parempoolses ümbruses *f*(*x*)<*f*(*a*) .

Diferentseeruva funktsiooni monotoonsusomadused
-----------------------------------------------

Olgu funktsioon *f* on diferentseeruv mingis oma määramispiirkonna sisepunktis *a*. Siis kehtivad järgnevad väited (need tulenevad otse piirväärtuse monotoonsusest):

* kui f'(a) > 0, siis funktsioon f kasvab kohal a,
* kui f'(a) < 0, siis funktsioon f kahaneb kohal a.

Olgu funktsioon *f* pidev mingis lõigus [*a*, *b*] ning diferentseeruv vahemikus (*a*, *b*). Lagrange'i keskväärtusteoreemist ja piirväärtuse monotoonsusest saab siis lihtsasti tuletada, et funktsioon *f* on lõigus [a, b]

* *kahanev*, kui funktsiooni *f* tuletis on vahemikus (*a*, *b*) negatiivne,
* *kasvav*, kui funktsiooni *f* tuletis on vahemikus (*a*, *b*) positiivne,
* *mittekasvav* parajasti siis, kui funktsiooni *f* tuletis on vahemikus (*a*, *b*) mittepositiivne,
* *mittekahanev* parajasti siis, kui funktsiooni *f* tuletis on vahemikus (*a*, *b*) mittenegatiivne.

Märgigem, et esimese kahe väite puhul kehtib järeldumine vastupidises suunas üldjuhul ei kehti: näiteks funktsioon f(x)=x3 on küll kasvav kogu reaalteljel, kuid tema tuletis punktis 0 on 0.

Vaata ka
--------

* Monotoonsusprintsiip
* Isotoonne kujutus

Viited
------

1. 1 2   Kaasik, Ü. (2002). *Matemaatikaleksikon*. Tartu.
2. ↑  Gunnar Kangro. "Matemaatiline analüüs I", lk. 248. Tallinn, "Valgus" 1982