**Assotsiatiivseks ringiks** (mõnikord lihtsalt **ringiks**) nimetatakse üldalgebras hulka *R* kahe binaarse algebralise tehtega (liitmine +; korrutamine ·), mille korral

* (*R*, +) on Abeli rühm,
* (*R*, ·) on poolrühm,
* korrutamine on liitmise suhtes distributiivne.

**Assotsiatiivsete ringide homomorfism** on kujutus *f* : *R* → *S* ühest assotsiatiivsest ringist teise, mille korral 

* *f*(*x* + *y*) = *f*(*x*) + *f*(*y*)
* *f*(*x*·*y*) = *f*(*x*)·*f*(*y*)

assotsiatiivse ringi *R* mis tahes elementide *x* ja *y* korral.

Näited
------

* Kõik ühikelemendiga assotsiatiivsed ringid on assotsiatiivsed ringid.
* Paarisarvud tavalise täisarvude liitmise ja korrutamisega moodustavad assotsiatiivse ringi, mis ei ole ühikelemendiga assotsiatiivne ring.
* Kõik reaalarvuliste elementidega 3×3-maatriksid, mille alumisel real on ainult nullid, moodustavad assotsiatiivse ringi, mis ei ole ühikelemendiga assotsiatiivne ring.
* Ühikelemendiga assotsiatiivse ringi iga ideaal, vasakpoolne ideaal või parempoolne ideaal on assotsiatiivne ring.
* Kui defineerida mingil Abeli ringil korrutamine reegliga :*r*·*s* = 0 mis tahes *r* ja *s* korral (triviaalne korrutamine)

saame nullringi. Kui tegu pole triviaalse ringiga, on see assotsiatiivne ring, millel pole ühikelementi.

Assotsiatiivsed ringid tekivad sageli funktsionaalanalüüsis seoses lõpmatumõõtmeliste vektorruumidega. Võtame näiteks mis tahes lõpmatumõõtmelise vektorruumi *V* kõik lõpliku astakuga lineaarsed operaatorid *f* : *V* → *V* (st sellised, mille korral (dim *f*(*V*) < ∞). Liitmisega ja operaatorite kompositsiooniga moodustavad nad assotsiatiivse ringi, millel puudub ühikelement.

Võtame kõik reaalarvude jadad, mille piirväärtus on 0. Kui defineerida nende liitmine ja korrutamine tehetena komponentide kaupa, saame assotsiatiivse ringi, millel puudub ühikelement.

Ka paljud testfunktsioonide ruumid (näiteks Schwartzi ruum) distributsiooniteoorias koosnevad lõpmatuses nullile lähenevatest funktsioonidest. Kui defineerida nende funktsioonide liitmine ja korrutamine punktide kaupa, siis ainus võimalik ühikelement oleks konstantselt 1-ga võrduv funktsioon, mis aga sellistesse ruumidesse kuuluda ei saa.

Võtame mingil topoloogilisel ruumil defineeritud reaalarvuliste väärtustega pidevad funktsioonid, mille kandja on kompaktne. Kui defineerida liitmine ja korrutamine neil punktikaupa, saame assotsiatiivse ringi. Kui võetud topoloogiline ruum ei ole kompaktne, siis sellel ringil puudub ühikelement.

Omadused
--------

Assotsiatiivsetel ringidel saab ideaalid ja faktorringid defineerida samamoodi nagu ühikelemendiga assotsiatiivsetel ringidel.

Erinevalt ühikelemendiga assotsiatiivsest ringist ei pruugi assotsiatiivsel ringil olla maksimaalset ideaali. Ka paljud teised teoreemid ei ole assotsiatiivsete ringide korral kehtivad.

Ühikelemendi adjungeerimine
---------------------------

Iga assotsiatiivset ringi *R* saab ühikelemendi adjungeerimise teel muuta ühikelemendiga assotsiatiivseks ringiks *R*^. Kõige üldisem viis selleks on lisada formaalselt ühikelement 1 ning panna *R*^ koosnema 1 ning ringi *R* elementide täisarvulistest lineaarkombinatsioonidest: ringi *R*^ elementel oleks kuju 

*n*·1 + *r*,
kus *n* on täisarv ja *r* ∈ *R*. Korrutamine oleks defineeritud järgmiselt:

(*n*1 + *r*1)·(*n*2 + *r*2) = *n*1*n*2 + *n*1*r*2 + *n*2*r*1 + *r*1*r*2.
Formaalsemalt formuleerides, võime võtta ringiks *R*^ otsekorrutise **Z** × *R* ning defineerida liitmise ja korrutamise järgmiselt: 

(*n*1, *r*1) + (*n*2, *r*2) = (*n*1 + *n*2, *r*1 + *r*2),
(*n*1, *r*1)·(*n*2, *r*2) = (*n*1*n*2, *n*1*r*2 + *n*2*r*1 + *r*1*r*2).
Ringi *R*^ multiplikatiivne ühikelement on siis (1, 0). On olemas assotsiatiivsete ringide loomulik homomorfism *j* : *R* → *R*^, mis on defineeritud eeskirjaga *j*(*r*) = (0, *r*). Sellel kujutusel on järgmine universaalomadus:

Olgu antud mis tahes ühikelemendiga assotsiatiivne ring *S* ja mis tahes assotsiatiivsete ringide homomorfism *f* : *R* → *S*. Siis on olemas parajasti üks niisugune ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide homomorfism, *g* : *R*^ → *S*, et *f* = *gj*.
Kujutuse *g* võib defineerida eeskirjaga *g*(*n*, *r*) = *n*·1*S* + *f*(*r*). Seega on *R*^ teatud mõttes "kõige üldisem" ühikelemendiga assotsiatiivne ring, mis sisaldab ringi *R*.

On olemas loomulik sürjektiivne ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide homomorfism *R*^ → **Z**, mis seab järjestatud paarile (*n*, *r*) vastavusse arvu *n*. Selle homomorfismi tuum on ringi *R* kujutis ringis *R*^. Et *j* on injektiivne, siis *R* on (kahepoolse) ideaalina injektiivselt sisestatud ringi *R*^, kusjuures faktorring *R*^/*R* on isomorfne täisarvude ringiga **Z**. Siit tuleneb, et 

*Iga assotsiatiivne ring on mõne ühikelemendiga assotsiatiivse ringi ideaal, ja ühikelemendiga assotsiatiivse ringi iga ideaal on assotsiatiivne ring.*
Kujutus *j* ei ole kunagi sürjektiivne. Nii et isegi kui assotsiatiivsel ringil juba on ühikelement, on ring *R* laiem ring teise ühikelemendiga.

Assotsiatiivsele ringile ühikelemendi adjungeerimise protseduuri saab sõnastada kategooriateooria keeles. Kui tähistada ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide kategooria (ühikelemendiga assotsiatiivsete ringide homomorfismidega) sümboliga **Ring** ning assotsiatiivsete ringide kategooria (assotsiatiivsete ringide homomorfismidega) sümboliga **Rng**, siis **Ring** on **Rng** (mittetäielik) alamkategooria. Ülaltoodud ringi *R*^ konstruktsioon annab vasakpoolse adjunkti sisestusfunktorile *I* : **Ring** → **Rng**. See tähendab, et kategooria **Ring** on kategooria **Rng** reflektiivne alamkategooria reflektoriga *j* : *R* → *R*^.