|  |  |
| --- | --- |
|  |  *See artikkel räägib kolmnurga külgede omadusest {\displaystyle z\leq x+y}; teiste kolmnurga omaduste kohta vaata artiklit Kolmnurk* |

---

**Kolmnurga võrratuseks** nimetatakse elementaargeomeetrias kolmnurga külgede omadust, mis väidab, et kolmnurga iga kahe külje summa on suurem kui kolmas külg või on sellega võrdne.

Teiste sõnadega kolmnurga küljed {\displaystyle x,y} ja {\displaystyle z} on seoses 

{\displaystyle z\leq x+y.}
Eukleidese geomeetrias käsitletakse kolmnurga võrratust kauguse teoreemina, kus kasutatakse vektoreid {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} ning nende pikkusi:

{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|.}

Eukleidese geomeetria
---------------------

Joonis 1: Eukleidese kolmnurga võrratuse tõestuseks kasutatud joonis kolmnurgast.
Eukleides tõestas kolmnurga külgede pikkuste võrratust tasapinnalises geomeetrias kasutades joonist 1. Järgnev tõestus on välja toodud Eukleidese raamatus "Elemendid".

Alustatakse kolmnurgaga {\displaystyle \Delta ABC}. Küljele {\displaystyle BC} moodustatakse võrdhaarne kolmnurk {\displaystyle \Delta BCD} nii, et külg {\displaystyle BD} on külje {\displaystyle AB} pikendus.

Seejärel väidetakse, et nurk {\displaystyle \alpha <\beta }, nii et külg {\displaystyle AD>AC}. 

Kuid {\displaystyle AD=AB+BD=AB+BC}, nii et külgede summa on {\displaystyle AB+BC>AC}, mis tõestab kolmnurga külgede pikkuste võrratust.

Võrratusest tulenevad valemid
-----------------------------

### Võrratus teisel kujul

Võrratusest tulenevalt kehtivad kolmnurga külgede {\displaystyle x,y} ja {\displaystyle z} vahel järgmised seosed: 

Joonis 2: kolm juhtu kolmnurga võrratuses. Külgede pikkused on {\displaystyle x,y} ja {\displaystyle z.}{\displaystyle x+y>z,} {\displaystyle y+z>x,} {\displaystyle x+z>y.}

Sellest valemist järeldub

{\displaystyle |x-y|<z,|y-z|<x,|x-z|<y.}

Eelnevatest valemitest tuleneb, et

{\displaystyle |x-y|<z<x+y.}

Seda saab panna kirja valemina

{\displaystyle \max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z)<x+y+z-\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z),} mis on sama mis {\displaystyle 2\max(x,{\text{ }}y,{\text{ }}z)<x+y+z.}

### Kolmnurga võrratuse juhud

Kui on antud kolm külge {\displaystyle x,y} ja {\displaystyle z}, kus {\displaystyle z} on pikim külg, siis tulenevalt {\displaystyle z}-külje pikkusest saab võrratus esineda kolmel kujul: 

1. {\displaystyle z<x+y}
2. {\displaystyle z=x+y}(summavektor vektorite käsitluses)
3. {\displaystyle z\approx x+y}, kus {\displaystyle z}-külje pikkus on vähesel määral väiksem kui {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} summa.

Näide kolmnurga võrratuse kasutamisest
--------------------------------------

### Näide kahel hulknurgal

Olgu meil hulknurk {\displaystyle ABCD} ja selle sees kolmnurk {\displaystyle \Delta AMD}. 

Tõestame, et {\displaystyle P(ABCD)>P(AMD),}kus {\displaystyle P} on ümbermõõt ehk kõikide külgede summa.

1. Rakendame kolmnurga võrratust kolmnurkadele {\displaystyle \Delta ABM} ja {\displaystyle \Delta DCM.}
2. Saame {\displaystyle AB+BM>AM} ja {\displaystyle MC+CD>MD.}
3. Liidame võrratused: {\displaystyle AB+(BM+MC)+CD>AM+MD} ehk {\displaystyle AB+BC+CD>AM+MD.}
4. Liites võrratuse mõlemale poolele suuruse {\displaystyle AD.}
5. Saame {\displaystyle AB+BC+CD+AD>AM+MD+AD} ehk {\displaystyle P(ABCD)>P(AMD).}

Kolmnurga võrratus vektorruumis
-------------------------------

Joonis 3: kolmnurga võrratus kasutades summavektorit, kus {\displaystyle v}ja {\displaystyle w} on vektorid.
Kui on antud normeeritud vektorruum {\displaystyle V,}siis üks normi määratlevaks tingimuseks on kolmnurga võrratus:

{\displaystyle \|x+y\|\leq \|x\|+\|y\|\quad \forall \,x,y\in V}

Sellest tuleneb kolmnurga reegel, mis seisneb selles, et geomeetriliste vektorite {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} summavektoriks {\displaystyle x+y} nimetatakse vektorit, mis on suunatud vektori {\displaystyle x} alguspunktist vektori {\displaystyle y} lõpp-punkti ning summavektori pikkus on väiksem kui {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} pikkuste summa.

Meetriline ruum
---------------

Olgu {\displaystyle X} mitte tühi meetriline ruum ning {\displaystyle d} funktsioon {\displaystyle X\times X}üle reaalarvude. Üheks meetrilise ruumi tingimuseks on: 

{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y),\forall x,y,z\in X.}

Igale paarile {\displaystyle x,y\in X} on vastavusse seatud reaalarv {\displaystyle d(x,y),}mis on {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} vaheline kaugus: {\displaystyle d(x,y)=|x-y|}(absoluutväärtus või moodul arvude {\displaystyle x} ja {\displaystyle y} vahest).

Tõestame antud aksioomi lähtudes kauguse definitsioonist. 

{\displaystyle \forall x,y,z\in \ X} korral: 

**(M1)** {\displaystyle d(x,y)\geq 0;}

**(M2)** {\displaystyle d(x,y)=|x-y|,}kui {\displaystyle x=y;}

**(M3){\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|-(x-y)|=|y-x|=d(y,x);}**

**(M4)** {\displaystyle d(x,y)=|x-y|=|(x-z)+(z-y)|\leq |x-z|+|z-y|=d(x,z)+d(z,y).}

Tagurpidi kolmnurga võrratus
----------------------------

Tuletame meetrilise ruumi {\displaystyle X}eeltoodud aksioomist tagurpidi kolmnurga võrratust. 

{\displaystyle \forall x,y,z\in \ X} korral: 

{\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).}

Teisendame võrratust eelmises peatükis mainituid sammude **M3** ja **M4** abil: 

{\displaystyle d(y,z)\leq d(y,x)+d(x,z)=d(x,y)+d(x,z)}

ja sellest tuleneb 

{\displaystyle -d(x,y)\leq d(x,z)-d(y,z)\leq d(x,y)}

ning saame 

{\displaystyle |d(x,y)-d(x,z)|\leq d(y,z),}mis on tagurpidi kolmnurga võrratus.

  

Tagurpidi kolmnurga võrratus omab kuju {\displaystyle |\|x\|-\|y\||\leq \|x-y\|,}kus {\displaystyle \|x-y\|=d(x,y)} ehk meetrilise (ja normeeritud) ruumi kaugus. Sellest tulenevalt on kolmnurga tõestus järgmine: 

{\displaystyle d(x,y)=\|x-y\|=\|(x-z)+(z-y)\|\leq \|x-z\|+\|z-y\|=d(x,z)+d(z,y),}

mis tähendabki seda, et {\displaystyle d(x,y)\leq d(x,z)+d(z,y).}

Tõestame, et tagurpidi kolmnurga võrratus kasutab fundamentaalset kolmnurga võrratust eeldades, et {\displaystyle \|y-x\|=\|-1(x-y)\|=|-1|\|x-y\|=\|x-y\|}:

{\displaystyle \|x\|=\|(x-y)+y\|\leq \|x-y\|+\|y\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|,}

{\displaystyle \|y\|=\|(y-x)+x\|\leq \|y-x\|+\|x\|\Rightarrow \|x\|-\|y\|\geq -\|x-y\|,}

Ning kui paneme mõlemad võrratused kokku, saame

{\displaystyle -\|x-y\|\leq \|x\|-\|y\|\leq \|x-y\|\Rightarrow {\bigg |}\|x\|-\|y\|{\bigg |}\leq \|x-y\|.}

Vaata ka
--------

* Kolmnurk
* Meetriline ruum
* Vektorruum

Viited
------

1. ↑   Kirk, William A.; Khamsi, Mohamed A. (2001). *An Introduction to Metric Spaces and Fixed Point Theory*. John Wiley, New York. ISBN 978-0-471-41825-2.
2. ↑  Juhan Aru, Kristjan Korjus, Elis Saar (2014). "Matemaatika õhtuõpik" (PDF). OÜ Hea Lugu. Vaadatud 1. detsember 2018.`{{netiviide}}`: CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)
3. ↑  David E. Joyce. "Euclid's elements: Book I, Proposition 20". Dept. Math and Computer Science, Clark University. Vaadatud 21.12.2018.
4. ↑  Euclides; Richard Fitzpatrick; Johan Ludvig Heiberg (2007). *Euclid's elements of geometry : the Greek text of J.L. Heiberg (1883-1885)* (inglise). [s.l.] : [s.n.] Lk 21. ISBN 9780615179841 0615179843. `{{raamatuviide}}`: kontrolli parameetri `|isbn=` väärtust: pikkust (juhend)CS1 hooldus: mitu nime: autorite loend (link)
5. ↑  Minna Bro (mai 2018). "MTMM.00.114 Matemaatika olümpiaadid: Algebra, Peatükk 1. Arvuteooria". Lk 25-26. Vaadatud 12.12.2018.
6. ↑  "American Mathematical Monthly". *pp. 49-50, 1954*.
7. ↑  Raili Vilt. "Ettevalmistus matemaatikaolümpiaadiks II: Kolmnurga ja nelinurga võrratused" (PDF). TÜ teaduskool. Vaadatud 21.12.2018.
8. ↑  Tõnu Laas, Risto Tammelo (11.11.2004). "Vektor- ja tensoranalüüs: Loengukonspekt koos üllesannete lahendustega" (PDF). Teoreetilise Füüsika Instituut, Tartu Ülikool. Vaadatud 21.12.2018.
9. 1 2 3  Qamrul Hasan Ansari (2010). *Metric spaces : including fixed point theory and set-valued maps*. New Delhi: Narosa.
10. ↑  Eve Oja, Peeter Oja (1991). *Funktsionaalanalüüs* (PDF). Tartu: Tartu Ülikool. Lk 3. ISBN 9789949800308. Originaali (PDF) arhiivikoopia seisuga 20. märts 2009. Vaadatud 4. novembril 2018.
11. ↑  Anonymous (1854). "Exercise I. to proposition XIX". *The popular educator; fourth volume*. Ludgate Hill, London: John Cassell. Lk 196.