Delokigo de lumaj radioj kun perpendikularaj polarizoj tra duoblorefrakta materialo. Por unu el la radioj estas pli granda refrakta indico ol por la radio alia.
Kristalo de kalcito kuŝas sur papero kun literoj videblaj kun la duobla refrakto
Kalcita kristalo kuŝas sur papero kun iuj literoj montrante la duoblan refrakton
Kristalo de kalcito vidita tra polarizanta filtrilo

En fiziko, **duobla refrakto**, estas la malkomponiĝado de radio de lumo en du radiojn kiam ĝi trapasas tra certaj neizotropaj materialoj, kiel ekzemple kristaloj de kalcito aŭ bornitrido. La efiko ankaŭ okazas en iaj plastoj, magnetaj materialoj, diversaj nekristalaj materialoj, kaj likvaj kristaloj.

La efiko estis unue priskribita de dana sciencisto Rasmus Bartholin en 1669, kiu vidis ĝin ĉe kalcito.

La plej simpla apero de la efiko estas en materialoj kun unuaksa malizotropeco. Tio estas, la strukturo de la materialo estas tia ke ĝi havas simetriakson sen ekvivalenta akso en la ebeno perpendikulara al la simetriakso. Kubaj kristaloj tiel ne trafas la okazon. Ĉi tiu akso estas sciata kiel la optika akso de la materialo, kaj lumo kun lineara polarizo paralela aŭ perpendikulara al ĝi havas neegalajn indicojn de refrakto, signifataj kiel *ne* kaj *no* respektive, kie la sufiksoj estas por **eksterordinara** kaj **ordinara** (aŭ *nε* kaj *nω* kun grekaj sufiksoj). La nomoj montras tion ke se nepolarizita lumo eneniras la materialon je nenula akuta angulo al la optika akso, la komponanto kun polarizo perpendikulara al ĉi tiu akso estas refraktata laŭ la norma leĝo de refrakto, kaj la komplementa polariza komponanto estas refraktata je nenorma angulo difinita per la angulo de elemento kaj la diferenco inter la indicoj de refrakto

*Δn = ne - no*
sciata kiel la grandeco de duobla refrakto. La lumo estas pro tio fendata en du lineare polarizitajn faskojn, nomatajn respektive kiel ordinara kaj eksterordinara. Esceptoj okazas se la lumo propagas paralele aŭ perpendikulare al la optika akso. En la unua okazo, ambaŭ polarizoj kaj radioj estas ordinaraj kaj ne estas fendo.

Ankaŭ en la dua okazo ne estas forkiĝo de la lumo en du apartajn direktojn, sed la ordinara kaj eksterordinaraj komponantoj vojaĝas je malsamaj rapidoj, kaj la efiko estas je interkonverto inter lineara kaj cirkla aŭ elipsa polarizoj. Se diko de la materialo estas tia ke ŝanĝo de fazo de unu radio ralative al la alia estas kvarono de plena periodo, kaj se intesoj de ambaŭ radioj estas la sama, do lineara polarizo konvertiĝas en la cirklan. Se diko de la materialo estas tia ke ŝanĝo de fazo de unu radio ralative al la alia estas duono de plena periodo, do lineara polarizo konserviĝos sed turniĝos je iu angulo, kiu angulo dependas de angulo inter polariza ebeno de la fonta radio kaj la optika akso.

Duobla refrakto ankaŭ okazas en duakse neizotropaj materialoj, kiuj estas ankaŭ sciataj kiel trioble refraktaj, sed ĝia priskribo estas tiam sufiĉe pli komplika.

**Duaksa duobla refrakto**, ankaŭ sciata kiel **triobla refrakto**, priskribas neizotropan materialon kiu havas pli ol unu akson de malizotropeco. Por ĉi tia materialo, la refrakta indica tensoro ***n***, ĝenerale havas tri malsamajn ajgenojn kiuj povas esti markitaj kiel *nα*, *nβ*, *nγ*.

Kreado
------

Duobla refrakto estas ofte trovata nature (aparte en kristaloj), sed ankaŭ estas kelkaj manieroj krei ĝin en optike izotropaj materialoj.

* Duobla refrakto rezultas kiam izotropa materialo estas malformigita (streĉita) tiel ke la izotropeco estas perdita en unu direkto.
* Apliko de elektra kampo povas laŭliniigi la molekulojn aŭ igi ilin konduti nesimetrie, donante malizotropecon kaj rezultante en duobla refrakto. (vidu en efiko en Pockels, efiko de Kerr)
* Apliko de magneta kampo povas kaŭzi materialon al esti **cirkle duoblorefrakta**, kun malsamaj indicoj de refrakto por malsame direktaj cirklaj polarizoj.
* Sin-aranĝado de alte polusaj molekuloj kiel lipidoj kaj iu surface aktivaj substancoj povas doni alte duoblorefraktajn maldikajn filmojn. (vidu ankaŭ en likva kristalo)

Multaj plastoj estas duoblorefraktaj, ĉar iliaj molekuloj estas frostigitaj en streĉita formo kiam la plasto estas muldita aŭ elpuŝita. Ekzemple, celofano, polistirolo kaj polikarbonato estas duoblorefraktaj materialoj.

Duobla refrakto povas ankaŭ aperi en magnetaj materialoj, sed sufiĉaj variadoj en magneta permeablo de materialoj estas malofta je optikaj frekvencoj.

Duobla refrakto povas esti observita en amelosimila krustoj kiel tiuj kiuj estas trovitaj en cerboj de pacientoj kun alzheimer-malsano. Modifitaj proteinoj nenormale akumuliĝas inter ĉeloj, formantaj fibretojn. Multaj faldoj de ĉi tiuj fibroj laŭliniiĝas kaj alprenas beto-sulkitan folian formon. Konga ruĝa farbo enenmetiĝas inter la faldoj kaj, kiam observis en polarizita lumo, kaŭzas duoblan refrakton.

Kotona fibro estas duoblorefrakta pro altaj niveloj de celuloza materialo en la fibra akcesora ĉela muro.

Malgrandaj neperfektecoj en optika fibro povas kaŭzi duoblan refrakton, kiu povas kaŭzi malformiĝon en fibro-optika komunikado, polarizo-reĝiman variancon. La neperfektecoj povas esti geometrie bazitaj, aŭ rezulti de lumoelestaj efikoj de mekanika ŝarĝado de la optika fibro.

### Duobla refrakto aperita pro streĉo

Kolora ŝablono de plasta skatolo kun frostigita ene mekanika streĉo, lokita inter du krucigitaj polariziloj.
Izotropaj solidoj ne eksponas duoblan refrakton. Tamen, kiam ili estas sub mekanika streĉo, duobla refrakto rezultas. La streĉo povas esti aplikita ekstere aŭ estas frostigita ene post kiam duoblorefrakta plasta aĵo estas malvarmigita post kiam ĝi estas fabrikita uzante enĵetan muldadon. Kiam ĉi tia specimeno estas lokita inter du krucigitaj polariziloj, koloraj ŝablonoj povas esti observitaj pro la duobla refrakto aperita pro streĉo. La kaŭzo estas ke polarizo de luma radio estas kutime turnita post paso tra duoblorefrakta materialo kaj la kvanto de turnado estas dependa de la ondolongo (koloro).

Unuaksaj duoblorefraktaj materialoj
-----------------------------------

Unuaksaj duoblorefraktaj materialoj, je 590 nm de ondolongo de la lumo:

| Materialo | *no* | *ne* | *Δn* |
| --- | --- | --- | --- |
| Berilo Be3Al2(SiO3)6 | 1,602 | 1,557 | -0,045 |
| Kalcito CaCO3 | 1,658 | 1,486 | -0,172 |
| Kalomelo Hg2Cl2 | 1,973 | 2,656 | 0,683 |
| Akvo (glacio) H2O | 1,309 | 1,313 | 0,004 |
| Litia niobiato LiNbO3 | 2,272 | 2,187 | -0,085 |
| Magnezia fluorido MgF2 | 1,380 | 1,385 | 0,006 |
| Kvarco SiO2 | 1,544 | 1,553 | 0,009 |
| Rubeno Al2O3 | 1,770 | 1,762 | -0,008 |
| Rutilo TiO2 | 2,616 | 2,903 | 0,287 |
| Peridoto (Mg, Fe)2SiO4 | 1,690 | 1,654 | -0,036 |
| Safiro Al2O3 | 1,768 | 1,760 | -0,008 |
| Natri-salpetro NaNO3 | 1,587 | 1,336 | -0,251 |
| Turmalino (Ca, K, Na, [])(Al, Fe, Li, Mg, Mn)3(Al, Cr, Fe, V)6(BO3)3(Si, Al, B)6O18(OH, F)4 (kompleksa silikato) | 1,669 | 1,638 | -0,031 |
| Zirkono, alta ZrSiO4 | 1,960 | 2,015 | 0,055 |
| Zirkono, malalta ZrSiO4 | 1,920 | 1,967 | 0,047 |
| Silicia karbido SiC (6H formo) | 2,654 | 2,967 | 0,313 |

La plej bona studitaj unuaksaj duoblorefraktaj materialoj estas kristalaj.

Duaksaj duoblorefraktaj materialoj
----------------------------------

Duaksaj duoblorefraktaj materialoj, je 590 nm de ondolongo de la lumo:

| Materialo | *nα* | *nβ* | *nγ* |
| --- | --- | --- | --- |
| Borakso Na2B4O7·10H2O aŭ Na2[B4O5(OH)4]·8H2O | 1,447 | 1,469 | 1,472 |
| Magnezia sulfato MgSO4·7(H2O) | 1,433 | 1,455 | 1,461 |
| Glimo, nigra glimo K(Mg,Fe)3(AlSi3O10)(F,OH)2 | 1,595 | 1,640 | 1,640 |
| Glimo, muskovito KAl2(AlSi3O10)(F,OH)2 | 1,563 | 1,596 | 1,601 |
| Olivino (Mg, Fe)2SiO4 | 1,640 | 1,660 | 1,680 |
| CaTiO3 | 2,300 | 2,340 | 2,380 |
| Topazo Al2SiO4(F,OH)2 | 1,618 | 1,620 | 1,627 |
| NaCaB5O6(OH)6•5(H2O) | 1,490 | 1,510 | 1,520 |

Rapida kaj malrapida radioj
---------------------------

Por donita disvastiga direkto, estas ĝenerale du perpendikularaj polarizoj por kiu la mediumo kondutas kvazaŭ ĝi havas solan efikan refraktan indicon. En unuaksa materialo, radioj kun ĉi tiuj polarizoj estas nomataj kiel la eksterordinara kaj la ordinara radio (*e* kaj *o* radioj), respektive al la eksterordinara kaj ordinaraj refraktaj indicoj.

Por unuaksa materialo kun la *z* akso difinita al esti la optika akso, la efikaj refraktaj indicoj estas kiel en la tabelo:

| Direkto de disvastigo | Ordinara radio | Eksterordinara radio |
| --- | --- | --- |
| Polarizo | *nef* | Polarizo | *nef* |
| *z* | *xy*-ebeno | *no* | n/a | n/a |
| *xy*-ebeno | *xy*-ebeno | *no* | *z* | *ne* |
| *xz*-ebeno | *y* | *no* | *xz*-ebeno | *ne < n < no* |
| alia | analoge al *xz*-ebeno |

Por radioj propagantaj en la *xz* ebeno, la efika refrakta indico de la *e* polarizo varias kontinue inter *no* kaj *ne*, dependante de la angulo kun la *z* akso. La efika refrakta indico povas esti konstruita de la indica elipsoido.

En duaksa materialo, estas tri refraktaj indicoj *α*, *β*, *γ*, kaj nur du radioj, kiuj estas nomataj kiel la rapida kaj la malrapida radio. La malrapida radio estas la radio tiu kiu havas la plej altan efikan refraktan indicon.

Pozitiva kaj negativa duobla refrakto
-------------------------------------

Unuaksa duoblorefrakta materialo estas klasifikita kiel pozitive (aŭ negative) duoblorefrakta kiam, por lumo direktita orte al la optika akso, la refrakta indico de lumo polarizita paralelo al la optika akso estas pli granda (aŭ pli malgranda, respektive) ol de lumo polarizis orte al la optika akso. En aliaj vortoj, la polarizo de la malrapida (aŭ rapida) ondo estas paralela al la optika akso kiam la duobla refrakto de la kristalo estas pozitiva (aŭ negativa, respektive).

Duaksaj kristalaj estas difinitaj kiel pozitive (aŭ negative) duoblorefraktaj kiam la malrapida radio (aŭ rapida radio, respektive) dusekcas la akuta angulo formitan per la optikaj aksoj.

Mezurado
--------

Duobla refrakto kaj rilatantaj optikaj efikoj kiel optika turnado kaj lineara aŭ cirkla dukoloreco povas esti mezuritaj per mezurado de ŝanĝo de polarizo de lumo pasanta tra la materialo. Ĉi tiu mezurado estas nomata kiel polarizomezurado.

Duobla refrakto de lipidaj dutavoloj povas esti mezurita per duala polariza interferomezurado. Ĉi tiu provizas mezuron de la grado de ordo en ĉi tiuj fluaĵaj tavoloj kaj kiel ĉi tiu ordo estas disŝirita kiam la tavolo interagas kun aliaj biologiaj molekuloj.

Speciala aparato por uzo kun optika mikroskopo estas paro de krucigitaj polarizantaj filtriloj. Inter la krucigitaj polariziloj, duoblorefrakta specimeno aspektas hela kontraŭ malhela (izotropa) fono.

Por fiksita komponaĵo kiel kalcia karbonato, kristalo kiel kalcito aŭ ĝiaj aliaj formoj, la indico de refrakto dependas de la direkto de lumo tra la kristalsistemo. La refrakto ankaŭ dependas de komponaĵo, kaj povas esti kalkulita per la rilato de Gladstone-Dale.

Aplikoj
-------

Duobla refrakto estas larĝe uzata en optika aparatoj, kiel likvakristalaj ekranoj, elektro-optikaj moduliloj, koloraj filtriloj (filtriloj de Lyot), ondaj teleroj, optikaj aksaj kradoj, kaj tiel plu. Ĝi ankaŭ ludas gravan rolon en dua harmona generado kaj multaj aliaj nelinearaj optikaj procezoj.

Duoblorefraktaj materialoj estas uzataj en multaj aparatoj kiuj manipulas la polarizon de lumo, kiel ondaj teleroj, polarizantaj prismoj, kaj filtriloj de Lyot.

Duobla refrakto estas ankaŭ uzata en medicina diagnozado.

Duobla refrakto estas ankaŭ uzata en optika mineralogio por difini la kemian komponaĵon kaj historion de mineraloj kaj rokoj.

Duoblorefraktaj filtriloj estas ankaŭ uzita kiel spacaj malalto-pasaj filtriloj (ruse: Фильтр нижних частот) en elektronikaj kameraoj, kie la dikeco de la kristalo estas funkciigita por disvastigo de la bildo en unu direkto, tial pligrandiĝante la makulo-amplekson. Ĉi tio estas esenca por vera laboro de ĉiu televida kaj elektronika filma kamerao, por eviti spacan kromnomadon, la faldadon reen de spacaj frekvencoj pli altaj ol tiuj kiuj povas esti distingitaj per la rastrumera matrico de la kamerao.

Duobla refrakto de elastaj ondoj
--------------------------------

Alia formo de duobla refrakto estas observata ĉe disvastigo de mekanikaj elastaj ondoj en neizotropaj elastaj materialoj. En ĉi tiuj materialoj, tondaj ondoj fendiĝas laŭ similaj principoj kiel la lumaj ondoj kiel priskribite pli supre. La studo de duobla refrakto de tondaj ondoj en la tero estas parto de tertremoscienco.

Teoria priskribo
----------------

Pli ĝenerale, duobla refrakto povas esti difinita per konsidero de izola elektra permitivo kaj refrakta indico kiuj estas tensoroj. Konsideru ebenan ondon propagantan en neizotropa mediumo kun relativa elektra permitiva tensoro ***ε***, kie la refrakta indico ***n*** estas difinita per  ***n**·**n** = **ε***. Se la ondo havas elektran vektoron de formo:

{\displaystyle \mathbf {E} =\mathbf {E} \_{0}\exp i(\mathbf {k\cdot r} -\omega t)}     (1)
kie ***r*** estas la radiusvektoro kaj *t* estas tempo, tiam la onda vektoro ***k*** kaj la angula frekvenco *ω* devas kontentigi ekvaciojn de Maxwell en la mediumo, donante al la ekvaciojn

{\displaystyle -\nabla \times \nabla \times \mathbf {E} ={\frac {1}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot {\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}})}     (2a)
{\displaystyle \nabla \cdot (\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E} )}     (2b)
kie *c* estas la lumrapido en vakuo. Anstataŭado de ekvacio (1) en ekvaciojn (2a), (2b) kondukas al la kondiĉoj:

{\displaystyle |\mathbf {k} |^{2}\mathbf {E} \_{0}-(\mathbf {k} \cdot \mathbf {E} \_{0})\mathbf {k} ={\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}(\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E} \_{0})}     (3a)
{\displaystyle \mathbf {k} \cdot (\mathbf {\epsilon } \cdot \mathbf {E} \_{0})=0}     (3b)
Por la matrica produto *(**ε**·**E**)* ofte estas uzata aparta nomo "izola delokiga vektoro" ***D***. Tiel esence duobla refrakto koncernas la ĝeneralan teorion de linearaj interrilatoj inter ĉi tiuj du vektoroj en neizotropaj mediumoj.

Por trovi la permesitajn valorojn de ***k***,  ***E**0* povas esti eliminita el ekvacio (3a). Por fari ĉi tion oni skribu ekvacion (3a) en karteziaj koordinatoj, kie la *x*, *y* kaj *z* aksoj estu elektitaj en la direktoj de la ajgenvektoroj de ***ε***, tiel ke

{\displaystyle \mathbf {\epsilon } ={\begin{bmatrix}n\_{x}^{2}&0&0\\0&n\_{y}^{2}&0\\0&0&n\_{z}^{2}\end{bmatrix}}}     (4)
De ĉi tie ekvacio (3a) iĝas

{\displaystyle (-k\_{y}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{x}^{2}}{c^{2}}})E\_{x}+k\_{x}k\_{y}E\_{y}+k\_{x}k\_{z}E\_{z}=0}     (5a)
{\displaystyle k\_{x}k\_{y}E\_{x}+(-k\_{x}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{y}^{2}}{c^{2}}})E\_{y}+k\_{y}k\_{z}E\_{z}=0}     (5b)
{\displaystyle k\_{x}k\_{z}E\_{x}+k\_{y}k\_{z}E\_{y}+(-k\_{x}^{2}-k\_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{z}^{2}}{c^{2}}})E\_{z}=0}     (5c)
kie *Ex*, *Ey*, *Ez*, *kx*, *ky*, *kz* estas la komponantoj de  ***E**0* kaj ***k***. Ĉi tio estas aro de linearaj ekvacioj por *Ex*, *Ey*, *Ez*, kaj ili havas ne-bagatelan solvaĵon se ilia determinanto estas nulo:

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}(-k\_{y}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{x}^{2}}{c^{2}}})&k\_{x}k\_{y}&k\_{x}k\_{z}\\k\_{x}k\_{y}&(-k\_{x}^{2}-k\_{z}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{y}^{2}}{c^{2}}})&k\_{y}k\_{z}\\k\_{x}k\_{z}&k\_{y}k\_{z}&(-k\_{x}^{2}-k\_{y}^{2}+{\frac {\omega ^{2}n\_{z}^{2}}{c^{2}}})\end{bmatrix}}=0}     (6)
Multiplikante erojn de matrico en ekvacio (6) por kalkuli la determinanton, kaj reordigante la termojn oni ricevas

{\displaystyle {\frac {\omega ^{4}}{c^{4}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}}{n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{x}^{2}+k\_{z}^{2}}{n\_{y}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}+k\_{z}^{2}}{n\_{x}^{2}}}\right)+\left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{y}^{2}n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{x}^{2}n\_{z}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{x}^{2}n\_{y}^{2}}}\right)(k\_{x}^{2}+k\_{y}^{2}+k\_{z}^{2})=0}     (7)
Ĉe unuaksa materialo, kie *nx=ny=no* kaj *nz=ne*, ekvacio (7) povas esti faktorigita enen de

{\displaystyle \left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{o}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{o}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)\left({\frac {k\_{x}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{y}^{2}}{n\_{e}^{2}}}+{\frac {k\_{z}^{2}}{n\_{o}^{2}}}-{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}\right)=0}     (8)
Ĉiu el la faktoroj en ekvacio (8) difinas surfacon en la spaco de vektoroj ***k*** - la **surfacon de ondoj normaloj**. La unua faktoro difinas sferon kaj la dua difinas elipsoidon. Pro tio, por ĉiu direkto de la ondo normalo, du ondovektoroj ***k*** estas permesitaj. Valoroj de **k** sur la sfero respektivas al la **ordinaraj radioj** dum valoroj sur la elipsoido respektivas al la **eksterordinaraj radioj**.

Por duaksa materialo, ekvacio (7) ne povas esti faktorigita en la sama maniero, kaj priskribas pli komplikan paron de ondo-normalaj surfacoj.

Duobla refrakto estas ofte mezurata por radioj propagantaj laŭ unu el la optikaj aksoj, aŭ mezurata en du-dimensia materialo. En ĉi tiu okazo, ***n*** havas du ajgenojn kiuj povas esti markitaj kiel *n1* kaj *n2*. Tiam ***n*** povas esti diagonaligita kiel

{\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {R} (\chi )\cdot {\begin{bmatrix}n\_{1}&0\\0&n\_{2}\end{bmatrix}}\cdot \mathbf {R} (\chi )^{T}}     (9)
kie  ***R**(χ)* estas la turnada matrico tra angulo *χ*. Tiam anstataŭ precizigo de la plena tensoro ***n***, oni povas precizigi la grandecon de la duobla refrakto *Δn*, kaj estingiĝan angulon *χ*, kie *Δn = n1 - n2*.

Vidu ankaŭ
----------

* Duobla refrakto en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)
* Kategorio Duobla refrakto en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Refrakta indico
* Leĝo de refrakto
* Efiko de Faraday
* Efiko de Pockels
* Efiko de Kerr
* Kristala optiko
* Perioda polusigo
* Dukoloreco
* Rilato de Gladstone-Dale

Referencoj
----------

1. ↑  Erasmus Bartholin  (1669). *Experimenta crystalli islandici disdiaclastici quibus mira & infolita refractio detegitur* (Eksperimentoj sur duoblorefrakta islanda kristalo tra kiu estas detektita rimarkinda kaj unika refrakto) (Kopenhago, Danio: Daniel Paulli)..
2. ↑  Erasmus Bartholin (1-a de januaro de 1670). "Kalkulo de diversaj eksperimentoj faritaj kaj priskribitaj de D-ro Erasmus Bartholin, sur kristalo-simila korpo, sendita al lin el insulo," **vol. 5** p. 2039-2048.. (itale)

Eksteraj ligiloj
----------------

* Brad Amos. Duobla refrakto por facetistoj I: Kio estas duobla refrakto? Arkivigite je 2013-12-14 per la retarkivo Wayback Machine Unue publikigita en StoneChat, la Ĵurnalo de la UK Edra Tranĉista Gildo. Januaro-Marto. Redakcio 2005
* *Mondo de Fiziko* pri duobla refrakto
* Pri teorio de duobla refrakto
* La uzo de duobla refrakto por aŭgurado de la malmoleco de enĵete mulditaj polikarbonataj diskoj Arkivigite je 2011-07-25 per la retarkivo Wayback Machine
* Ekzemplo de duoble refraktanta malformigita materialo
* [*rompita ligilo*]
* Elert, Glenn. Refraction - Refrakto. *The Physics Hypertextbook - La Fizika Hipertekstolibro*.