La regula kvaredro havas turnan simetrion de ordo 12 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 24 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn).

La grupo de simetrioj kiu inkluzivas reflektojn estas izomorfia al *S*4, aŭ la grupo de permutoj de kvar objektoj, pro tio ke estas akurate unu tia simetrio por ĉiu permuto de verticoj de kvaredro. La aro de orientiĝo-konservantaj simetrioj formas grupon *A*4.

**Turna kvaredra simetrio** kaj **plena kvaredra simetrio** estas la diskretaj punktaj simetrioj (aŭ ekvivalente, simetrioj sur sfero). Ili estas en la kristalaj punktaj grupoj de la kuba kristala sistemo.

Turna kvaredra simetrio
-----------------------

La kvaredra turnada grupo *T* kun fundamenta domajno; por la trilateropiramidigita kvaredro, vidi pli sube, la lasta estas unu plena edro
Kvaredro povas lokiĝi en 12 diversaj situoj nur per turnoj. Ĉi tio estas ilustrita kiel la cikla grafeo, kun la 180° lateraj turnoj (bluaj sagoj) kaj 120° verticaj turnoj (ruĝaj sagoj).
***T*** aŭ **332** aŭ **23**, de ordo 12 estas **nememspegulsimetria** aŭ **turna kvaredra simetrio**. Estas tri perpendikularaj 2-obla turnaj aksoj, simile al nememspegulsimetria duedra simetrio *D*2 aŭ 222, kun aldone kvar 3-oblaj aksoj, centrita *inter* la tri perpendikularaj direktoj. Ĉi tiu grupo estas izomorfia al *A*4, la alterna grupo sur 4 eroj; fakte ĝi estas la grupo de paraj permutoj de la kvar 3-oblaj aksoj: e, (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243), (12)(34), (13)(24), (14)(23).

La konjugecaj klasoj de *T* estas:

* idento
* 4 × turno je 120° laŭhorloĝnadla (vidata de vertico): (234), (143), (412), (321)
* 4 × turno je 120° mallaŭhorloĝnadla
* 3 × turno je 180°

La turnoj je 180°, kaj ankaŭ la idento, formas normalan subgrupon de speco Dih2 kun kvocienta grupo de speco Z3. La tri eroj de la lasta estas la idento, "laŭhorloĝnadla turnado", kaj "kontraŭ-laŭhorloĝnadla turnado", respektivaj al permutoj de la tri perpendikularaj 2-obla aksoj, konservantaj orientiĝon.

*A*4 estas la plej malgranda grupo demonstracianta ke la aserto de la teoremo de Lagrange *ne* estas vera ĝenerale: se estas donita finia grupo *G* kaj dividanto *d* de |*G*|, tie ne nepre ekzistas subgrupo de *G* kun ordo *d*: la grupo *G* = *A*4 ne havas subgrupon de ordo 6. Pro la nememspegulsimetrieco la subgrupo povus esti nur C6 aŭ D3, sed neniu el ili taŭgas.

Plena kvaredra simetrio
-----------------------

La plena kvaredra grupo *T*d kun fundamenta domajno
***Td*** aŭ **\*332** aŭ {\displaystyle {\bar {4}}3m}, de ordo 24 estas **memspegulsimetria** aŭ **plena kvaredra simetrio**. Ĉi tiu grupo havas la samajn turnajn aksojn kiel *T*, sed kun ses spegulaj ebenoj, ĉiu el ili tra du 3-oblaj aksoj. La 2-oblaj aksoj estas ĉi tie *S*4 ({\displaystyle {\bar {4}}}) aksoj. *Td* kaj *O* estas izomorfiaj kiel abstraktaj grupoj: ili ambaŭ esti konforma laŭ *S*4, la simetria grupo je 4 objektoj. *Td* estas la unio de *T* kaj la aro ricevita per komponado de ĉiu ero de *O* \ *T* kun inversigo.

La konjugecaj klasoj de *Td* estas:

* idento
* 8 × turno je 120°
* 3 × turno je 180°
* 6 × reflekto en ebeno tra du turnaj aksoj
* 6 × turnoreflekto je 90°

Piritopluredra simetrio
-----------------------

La piritopluredra grupo *T*h kun fundamenta domajno
Pilko kun piritopluredra simetrio
***T*h** aŭ **3\*2** aŭ {\displaystyle 2/m\ {\bar {3}}}, de ordo 24 - **piritopluredra simetrio**. Ĉi tiu grupo havas la sama turnajn aksojn kiel *T*, kun tru spegulaj ebenoj ĉiu tra du perpendikularaj direktoj. La 3-oblaj aksoj estas ĉi tie S6 ({\displaystyle {\bar {3}}}) aksoj, kaj estas inversiga simetrio. *T*h estas izomorfia al *T* × *Z*2: ĉiu ero de *T*h estas ĉu ero de *T*, aŭ tiu kombinita kun inversigo. Krom ĉi tiuj du normalaj subgrupoj, estas ankaŭ normala subgrupo *D2h* (tiu de kvadrata prismo), de speco Dih2 × *Z2* = *Z2* × *Z2* × *Z2*. Ĝi estas la direkta produto de la normala subgrupo de *T* (vidi pli supre) kun *Ci*. La kvocienta grupo estas la sama kiel pli supre: de speco Z3. La tri eroj de la lasta estas la idento, "laŭhorloĝnadla turno", kaj "mallaŭhorloĝnadla turno", respektivaj al permutoj de la tri perpendikularaj 2-obla jaksoj, konservantaj orientiĝon.

Ĝi estas la simetrio de kubo kun streko sur ĉiu edro dividanta la edron en du egalan ortangulojn, tiel ke la strekoj de najbaraj edroj ne kuniĝas je la lateroj. La simetrioj esti konforma laŭ la paraj permutaj de korpaj diagonaloj kaj la samaj kombinitaj kun inversigo. Ĝi estas ankaŭ la simetrio de piritopluredro, kiu estas simila al la kubo priskribita supre, kun ĉiu ortangulo anstataŭigita per kvinlatero kun unu simetria akso kaj 4 egalaj lateroj kaj 1 malsama latero (la tiu respektiva al la streko dividanta la kuban edron); do estas, la kuba edra estas malformigita eksteren je la dividanta linio kaj igita pli mallarĝan tie. Ĝi estas subgrupo de la plena dudekedra simetria grupo (kiel izometria grupo, ne kiel abstrakta grupo), kun 4 el la 10 3-oblaj aksoj.

La konjugecaj klasoj de *Th* inkluzivi tiujn de *T*, kun la du klasoj de 4 kombinitaj, kaj tiujn kun inversigo:

* idento
* 8 × turno je 120°
* 3 × turno je 180°
* inversigo
* 8 × turnoreflekto je 60°
* 3 × reflekto en ebeno

Iuj nememspegulsimetriaj pluredroj kun turna kvaredra simetrio
--------------------------------------------------------------

La dudekedro kun uniforma kolorigo kiel **riproĉa kvaredro** havas turnan kvaredran simetrion.

Iuj pluredroj kun plena kvaredra simetrio
-----------------------------------------

| Nomo | Speco | Bildo | Edroj | Lateroj | Verticoj |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Kvaredro | Platona solido |  | 4 | 6 | 4 |
| Senpintigita kvaredro | Arĥimeda solido |  | 8 | 18 | 12 |
| Trilateropiramidigita kvaredro | Katalana solido |  | 12 | 18 | 8 |
| Kvar-duon-sesedro | Nekonveksa unuforma pluredro |  | 7 | 12 | 6 |

Vidu ankaŭ
----------

* Duedra simetrio en tri dimensioj
* Okedra simetrio
* Dudekedra simetrio
* Triangulo de Schwarz

Referencoj
----------


* Kvaredra simetrio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)