En matematiko, **3-sfero** estas pli multdimensia analogo de sfero. Ĝi konsistas el punktoj samdistancaj de fiksita centra punkto en 4-dimensia eŭklida spaco. Ordinara sfero (aŭ 2-sfero) estas du dimensia surfaco dum 3-sfero estas objekto kun tri dimensioj, konata kiel 3-sternaĵo.

3-sfero estas parto okazo hipersfero, kiu estas *n*-sfero por *n* ≥ 3.

Difino
------

En karteziaj koordinatoj, 3-sfero kun centro (*C*0, *C*1, *C*2, *C*3) kaj radiuso *r* estas la aro de ĉiuj punktoj (*x*0, *x*1, *x*2, *x*3) en **R**4 tiaj ke

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{3}(x\_{i}-C\_{i})^{2}=(x\_{0}-C\_{0})^{2}+(x\_{1}-C\_{1})^{2}+(x\_{2}-C\_{2})^{2}+(x\_{3}-C\_{3})^{2}=r^{2}.}
La 3-sfero centrita je la fonto de koordinatoj kun radiuso 1 estas nomita la **unuobla 3-sfero** kaj estas kutime skribata kiel *S*3:

{\displaystyle S^{3}=\left\{(x\_{0},x\_{1},x\_{2},x\_{3})\in \mathbb {R} ^{4}:x\_{0}^{2}+x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}=1\right\}.}

Propraĵoj
---------

### Rudimentaj propraĵoj

La 3-dimensia volumeno (aŭ *hiperareo*) de 3-sfero de radiuso *r* estas

{\displaystyle 2\pi ^{2}r^{3}\,}
kaj la 4-dimensia *hipervolumeno* (la volumeno de la 4-dimensia regiono barita per la 3-sfero) estas

{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}\pi ^{2}r^{4}.}
Ĉiu ne-malplena komunaĵo de 3-sfero kun tri-dimensia hiperebeno estas 2-sfero (se ne la hiperebeno estas tangento al la 3-sfero, en ĉi tiu okazo la komunaĵo estas sola punkto). Se 3-sfero moviĝas tra donita tri-dimensia hiperebeno, la komunaĵo startas kiel punkto, poste iĝas kreskantan 2-sferon kiu atingas sian maksimuma amplekso kiam la hiperebeno sekcas ĝuste tra la ekvatoro de la 3-sfero. Poste la 2-sfero malpligrandiĝas denove al sola punkto kiam la 3-sfero lasas la hiperebenon.

### Topologiaj propraĵoj

3-sfero estas kompakta, koneksa, 3-dimensia sternaĵo sen rando. Ĝi estas ankaŭ simple-koneksa. Ĉi tio signifas ke ĉiu ciklo, aŭ cirkla vojo, sur la 3-sfero povas esti kontinue malpligrandigita al punkto ne lasante la 3-sferon. La konjekto de Poincaré proponas ke la 3-sfero estas la nura tri-dimensia sternaĵo kun ĉi tiuj propraĵoj (kun precizo de homeomorfio).

La 3-sfero estas homeomorfa al la unu-punkta kompaktigo de **R**3. Ĝenerale, ĉiu topologia spaco kiu estas homeomorfa al la 3-sfero estas nomata kiel **topologia 3-sfero**.

### Geometriaj propraĵoj

La 3-sfero estas nature glata sternaĵo, fakte, fermita enigita substernaĵo de **R**4. La eŭklida metriko sur **R**4 donas metriko sur la 3-sfero donante al ĝi la strukturon de rimana sternaĵo. Kiel kun ĉiuj sferoj, la 3-sfero havas konstanta pozitiva sekcian kurbecon egalan al 1/*r*2 kie *r* estas la radiuso.

Koordinatoj sur la 3-sfero
--------------------------

La kvar eŭklida koordinatoj por *S*3 estas superfluaj ĉar ili estas kun rezervo pro la kondiĉo ke {\displaystyle {x\_{0}}^{2}+{x\_{1}}^{2}+{x\_{2}}^{2}+{x\_{3}}^{2}=1}. Ĉar ĝi estas 3-dimensia sternaĵo oni devus kapabli parametrigi la 3-sferon *S*3 per tri koordinatoj, simile al kiel oni povas parametrigi la 2-sferon uzanta du koordinatojn (latitudo kaj longitudo). 

### Hipersferaj koordinatoj

Hipersferaj koordinatoj estas analogio al la kutimaj sferaj koordinatoj sur *S*2. La koordinatoj estas (ψ, θ, φ) kaj

{\displaystyle x\_{0}=\cos \psi \,}
{\displaystyle x\_{1}=\cos \phi \,\sin \theta \,\sin \psi }
{\displaystyle x\_{2}=\sin \phi \,\sin \theta \,\sin \psi }
{\displaystyle x\_{3}=\cos \theta \,\sin \psi }
kie ψ kaj θ estas en limigoj ekde 0 al π, kaj φ estas en limigoj ekde 0 al 2π. Noto ke por ĉiu fiksita valoro de ψ, θ kaj φ parametrigas 2-sferon de radiuso sin(ψ), krom okazoj kiam ψ egalas al 0 aŭ π, en ĉi tiu okazo ili priskribi punkton.

Vidu ankaŭ
----------

* Hipersfero
* 1-sfero, 2-sfero
* 4-hiperkubo
* 4-hiperpluredro
* Simplaĵo
* Sfero de Poincaré

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *3-srefo* en MathWorld. *Noto*: Ĉi tiu artikolo uzas la alternan sistemon de nomado por sferoj en kiu sfero en *n*-dimensia spaco estas nomata kiel *n*-sfero.