En geometrio, la **simbolo de Schläfli** estas skribmaniero por priskribi regulajn kaj ne nur hiperpluredrojn kaj kahelarojn.

La Simbolo de Schläfli estas nomita post la 19-a-jarcenta matematikisto Ludwig Schläfli kiu faris gravajn esplorojn en geometrio kaj aliaj areoj.

Vidu ankaŭ en listo de regulaj hiperpluredroj.

Regulaj plurlateroj (ebeno)
---------------------------

La simbolo de Schläfli de konveksa regula plurlatero kun *n* lateroj estas {*n*}.

Ekzemple, regula kvinlatero estas prezentita per {5}.

La simbolo de Schläfli de nekonveksa regula stelo (figuro) estas {*n*/*m*}, kie *n* estas kvanto de la lateroj, kaj *m* estas tia ke *m-1* verticoj estas preterpasataj de ĉiu latero.

Ekzemple, {5/2} estas la stelokvinlatero.

Ĉi tie *m < n/2*, skribaĵo kun *m > n/2* respektivas al stelo en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo. Skribaĵo *n/(n-1)* respektivas al konveksa plurlatero en kiu la verticoj estas trapasataj en la mala ordo.

Regulaj pluredroj (3-spaco)
---------------------------

La simbolo de Schläfli de regula pluredro estas {*p*,*q*} se ĝiaj edroj estas *p*-lateroj, kaj ĉiu vertico estas ĉirkaŭbarita per *q* edroj (la vertica figuro estas *q*-latero).

Ekzemple {5,3} estas la regula dekduedro. Ĝi havas kvinlaterajn edrojn, kaj 3 kvinlaterojn estas ĉirkaŭ ĉiu vertico.

Vidu la 5 konveksajn platonajn solidojn kaj la 4 nekonveksajn pluredrojn de Keplero-Poinsot.

Simboloj de Schläfli estas difinita ankaŭ por regulaj kahelaroj de eŭklida aŭ hiperbola enenoj en simila maniero.

Ekzemple, la seslatera kahelaro estas priskribata kiel {6,3}.

Regulaj plurĉeloj (4-spaco)
---------------------------

La simbolo de Schläfli de regula plurĉelo estas de la formo {*p*,*q*,*r*}. Ĝi havas regulaj plurlateraj edroj {*p*}, ĉelojn {*p*,*q*}, regulajn pluredrajn verticajn figurojn {*q*,*r*}, regulaj plurlaterajn laterajn figurojn {*r*}.

Vidu la 6 konveksajn regulajn plurĉelojn kaj 10 nekonveksajn regulajn plurĉelojn.

Ekzemple, la 120-ĉelo estas prezentita per {5,3,3}. Ĝi estas farita el dekduedraj ĉeloj {5,3}, kaj havas 3 ĉelojn ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ unu regula kahelaro de eŭklida 3-spaco: la kuba kahelaro, kun Simbolo de Schläfli de {4,3,4}, el kubaj ĉeloj, kun 4 kuboj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Estas ankaŭ 4 regulaj hiperbolaj kahelaroj. Ekzemple {5,3,4}, la hiperbola malgranda dekduedra kahelaro enspacas la spacon per dekduedraj ĉeloj, kun 4 dekduedroj ĉirkaŭ ĉiu latero.

Pli altaj dimensioj
-------------------

Por pli alte dimensiaj hiperpluredroj, la simbolo de Schläfli estas difinita rekursie kiel {*p*1, *p*2, ... *p**n* − 1} se la facetoj havas simbolon de Schläfli {*p*1,*p*2, ... *p**n* − 2} kaj la verticaj figuroj havas simbolon de Schläfli {*p*2,*p*3, ... *p**n* − 1}.

Noto ke vertica figuro de faceto kaj faceto de vertica figuro estas la sama hiperpluredro kun simbolo de Schläfli {*p*2,*p*3, ... *p**n* − 2}.

Estas nur 3 regulaj hiperpluredroj en 5 dimensioj kaj pli supre: la simplaĵo, {3,3,3,...3}; la kruco-hiperpluredro, {3,3, ... ,3,4}; kaj la hiperkubo, {4,3,3,...3}. Ne ekzistas nekonveksaj regulaj hiperpluredroj pli supre ol en 4 dimensioj.

Dualaj hiperpluredroj
---------------------

Por dimensio 2 aŭ pli alta, ĉiu hiperpluredro havas la dualan hiperpluredron.

Se hiperpluredro havas simbolon de Schläfli {*p*1,*p*2, ... *p**n*-1} tiam ĝia duala havas simbolon de Schläfli {*p**n*-1, ... *p*2,*p*1}.

Se la vico estas la sama se rigardi ĝi antaŭen kaj malantaŭen, la hiperpluredro estas *mem-duala*. Ĉiu regula hiperpluredro en 2 dimensioj (plurlatero) estas mem-duala.

Prismoj
-------

Prismaj hiperpluredroj povas esti difinita kaj nomataj kiel karteziaj produtoj de subaj dimensiaj hiperpluredroj:

* *p-latera prismo* kun vertica figuro *p.4.4* kiel {}×{p}.
* Uniforma **{p,q}-edra prismo** kiel {}×{p,q}.
* Uniforma **p-q duprismo** kiel {p}×{q}.

Noto ke ĉi tio rilatas nur al neklinaj prismoj.

Prismo povas ankaŭ esti prezentita kiel la tranĉo de duvertica pluredro kiel {\displaystyle t{\begin{Bmatrix}2,p\end{Bmatrix}}}, kaj kontraŭprismo (riproĉa duvertica pluredro) kiel {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}2\\p\end{Bmatrix}}}.

Etendita simbolo de Schläfli por uniformaj hiperpluredroj
---------------------------------------------------------

Uniformaj hiperpluredroj, faritaj per konstruo de Wythoff, estas priskribataj per etendita tranĉa skribmaniero de regula formoj {p,q,...}.

Estadas uzataj du variantoj de la etendita simbolo de Schläfli.

La dua, pli ĝenerala skribmaniero aplikas al ĉiuj dimensioj, kaj estas skribata kiel "*t*" sekvata per listo de indeksoj respektivaj al speguloj de la konstruo de Wythoff. La spegulaj ankaŭ respektivas al ringitaj verticoj en figuro de Coxeter-Dynkin.
Ĉiu indekso prezentas unuon el la hiperebenoj de la reflektaj speguloj en la fundamenta domajno. Kvanto de la hiperebenoj *n*, kaj do maksimuma kvanto de indeksoj, egalas al la dimensio de hiperpluredro, aŭ al dimensio de la kahelarata spaco plus 1. La eblas valoroj de la indeksoj estas 0 ... *n-1*. Entuta kvanto de la variantoj, krom la regula, estas 2n-1.
Riproĉaj formoj ne estas priskribataj per ĉi tiu maniero.

Ekzemple, la senpintigita sesedro povas esti prezentita per t0,1{4,3} kaj ĝi povas vidiĝi kiel mezvojo inter la kubo, t0{4,3}, kaj la kubokedro, t1{4,3}.

Estas donita ankaŭ alternativa nomo de operacio, vera nur por ĉi tiu dimensio. Ekzemple Entutotranĉo estas rektigitotranĉo en 3 dimensioj sed edrolateroverticotranĉo en 4 dimensioj. Kaj rektigitotranĉo en 4 dimensioj estas io alia.

### Uniformaj pluredroj kaj 2-kahelaroj

Ĉiu regula pluredro aŭ kahelaro {p,q} havas 7 formojn, inkluzivante la regulan formon kaj ĝin dualan, respektive al pozicioj en la fundamenta orta triangulo. La 8-a speciala formo, la riproĉa, estas alternado de la entutotranĉita formo. La unua varianto de la etendita simbolo de Schläfli havas skribmanierojn por ili ĉiuj.

| Operacio | Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio | Etenditaj simboloj de Schläfli | Figuro de Coxeter-Dynkin | Konstruo de Wythoff |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| **Gepatro** |  | {p,q} | t0{p,q} |  | q | 2 p |
| **Rektigita** | Kvazaŭregula | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}} | t1{p,q} |  | 2 | p q |
| Durektigita | Duala | {q,p} | t2{p,q} |  | p | 2 q |
| Senpintigita |  | t{p,q} | t0,1{p,q} |  | 2 q | p |
| Dutranĉita | Senpintigita duala | t{q,p} | t1,2{p,q} |  | 2 p | q |
| Laterotranĉita | Ekspansiita, elvolvita | {\displaystyle r{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}} | t0,2{p,q} |  | p q | 2 |
| Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita | Entutotranĉita | {\displaystyle t{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}} | t0,1,2{p,q} |  | 2 p q | |
| Riproĉa |  | {\displaystyle s{\begin{Bmatrix}p\\q\end{Bmatrix}}} | s{p,q} |  | | 2 p q |

### Uniformaj plurĉeloj kaj 3-kahelaroj

Estas ĝis 15 malsamaj tranĉitaj formoj por plurĉeloj kaj kahelaroj bazitaj sur ĉiu regula formo{p,q,r}.

Vidu ankaŭ en uniforma plurĉelo kaj konveksa uniforma kahelaro de eŭklida 3-spaco.

| Operacio | Operacio - alternativa nomo nur por ĉi tiu dimensio | Etenditaj simboloj de Schläfli | Figuro de Coxeter-Dynkin |
| --- | --- | --- | --- |
| **Gepatro** |  | {p,q,r} | t0{p,q,r} |  |
| Rektigita |  | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}p\\q,r\end{Bmatrix}}} | t1{p,q,r} |  |
| Durektigita | Rektigita duala | {\displaystyle {\begin{Bmatrix}q,p\\r\end{Bmatrix}}} | t2{p,q,r} |  |
| Trirektigita | Duala | {r,q,p} | t3{p,q,r} |  |
| Senpintigita |  |  | t0,1{p,q,r} |  |
| Dutranĉita |  |  | t1,2{p,q,r} |  |
| Tritranĉita | Senpintigita duala |  | t2,3{p,q,r} |  |
| Laterotranĉita |  |  | t0,2{p,q,r} |  |
| Dulaterotranĉita | Laterotranĉita duala |  | t1,3{p,q,r} |  |
| Edrotranĉita | Ekspansiita, elvolvita |  | t0,3{p,q,r} |  |
| Rektigitotranĉita aŭ lateroverticotranĉita |  |  | t0,1,2{p,q,r} |  |
| Durektigitotranĉita | Rektigitotranĉita duala |  | t1,2,3{p,q,r} |  |
| Edroverticotranĉita |  |  | t0,1,3{p,q,r} |  |
| Edrolaterotranĉita | Edroverticotranĉita duala |  | t0,2,3{p,q,r} |  |
| Edrolateroverticotranĉita | Entutotranĉita |  | t0,1,2,3{p,q,r} |  |

Formoj kun indekso "0" ĉe "t" estas diversaj tranĉitaj - "edro"-"latero"-"vertico"-"tranĉitaj".

* Se estas indekso "1" ĉe "t" ĝi estas "vertico"-"tranĉita"
* Se estas indekso "2" ĉe "t" ĝi estas "latero"-"tranĉita"
* Se estas indekso "3" ĉe "t" ĝi estas "edro"-"tranĉita"

Referencoj
----------

Etendita simbolo de Schläfli estas uzita de Harold Scott MacDonald Coxeter

* *The Beauty of Geometry: Twelve Essays* - *La Belo de Geometrio: Dek du eseoj* (1999), Dover Publications ISBN 978-0-486-40919-1 (Ĉapitro 3: konstruado de Wythoff por uniformaj hiperpluredroj, p 41-53)
* Norman Johnson *Uniformaj Hiperpluredroj*, Manuskripto (1991)
* Norman Johnson *La Teorio de Uniformaj Hiperpluredroj kaj Kahelaroj*, Ph.D. Disertaĵo, Universitato de Toronto, 1966
* Coxeter, H.S.M.; *Regulaj Hiperpluredroj*, (Methuen kaj Co. 1948). (pp. 14, 69, 149)
* Coxeter, Longuet-Higgins, Miller, *Uniformaj pluredroj*, Phil. Trans. 1954, 246 A, 401-50. (etendita skribmaniero Schläfli difinita: tabelo 1, p 403)

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Simbolo de Schläfli* en MathWorld.
* Simbolo de Wythoff kaj ĝeneraligita simbolo Schläfli Arkivigite je 2006-05-22 per la retarkivo Wayback Machine
* Pluredraj nomoj kaj skribmanieroj Arkivigite je 2006-12-16 per la retarkivo Wayback Machine