|  |
| --- |
| **Klasifiko de entjeroj laŭ dividebleco** |
| Formoj de faktorado: |
| Primo |
| Komponita nombro |
| Pova nombro |
| Kvadrato-libera entjero |
| Aĥila nombro |
| Nombroj kun limigitaj sumoj de divizoroj: |
| Perfekta nombro |
| Preskaŭ perfekta nombro |
| Kvazaŭperfekta nombro |
| Multiplika perfekta nombro |
| Hiperperfekta nombro |
| Unuargumenta perfekta nombro |
| Duonperfekta nombro |
| Primitiva duonperfekta nombro |
| Praktika nombro |
| Nombroj kun multaj divizoroj: |
| Abunda nombro |
| Alte abunda nombro |
| Superabunda nombro |
| Kolose abunda nombro |
| Altkomponita nombro |
| Supera altkomponita nombro |
| Aliaj: |
| Manka nombro |
| Bizara nombro |
| Amikebla nombro |
| Kompleza nombro |
| Societema nombro |
| Nura nombro |
| Sublima nombro |
| Harmondivizora nombro |
| Malluksa nombro |
| Egalcifera nombro |
| Ekstravaganca nombro |
| Vidu ankaŭ: |
| Divizora funkcio |
| Divizoro |
| Prima faktoro |
| Faktorado |

En matematiko, **pova nombro** estas pozitiva entjero *m* tia ke por ĉiu primo *p* dividanta na *m*, ankaŭ *p2* dividas na *m*. Ekvivalente, pova nombro estas la produto de kvadrato kaj kubo, tio estas, nombro *m* de formo *m = a2b3*, kie *a* kaj *b* estas pozitivaj entjeroj. Povaj nombroj estas ankaŭ sciata kiel **kvadrato-plenaj**, aŭ **2-plenaj**.

Jen estas listo de ĉiuj povaj nombroj inter 1 kaj 1000:

1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72, 81, 100, 108, 121, 125, 128, 144, 169, 196, 200, 216, 225, 243, 256, 288, 289, 324, 343, 361, 392, 400, 432, 441, 484, 500, 512, 529, 576, 625, 648, 675, 676, 729, 784, 800, 841, 864, 900, 961, 968, 972, 1000.

Ekvivalento de la du difinoj
----------------------------

Se *m* = *a*2*b*3, tiam ĉiu primo en la prima faktorigo de *a* aperas en la prima faktorigo de *m* kun eksponento de almenaŭ du, kaj ĉiu primo en la prima faktorigo de *b* aperas en la prima faktorigo de *m* kun eksponento de almenaŭ tri; pro tio, *m* estas pova.

En la alia direkto, supozu ke *m* estas pova, kun prima faktorigo

{\displaystyle m=\prod p\_{i}^{\alpha \_{i}},}
kie ĉiu *αi ≥ 2*. Estu *γi* egala al 3 se *αmi* estas nepara, kaj 0 alie, kaj estu *βi = αi - γi*. Tiam, ĉiuj valoroj *βi* estas nenegativaj paraj entjeroj, kaj ĉiuj valoroj *γi* estas ĉu 0 aŭ 3, do

{\displaystyle m=(\prod p\_{i}^{\beta \_{i}})(\prod p\_{i}^{\gamma \_{i}})=(\prod p\_{i}^{\beta \_{i}/2})^{2}(\prod p\_{i}^{\gamma \_{i}/3})^{3}}
liveras la deziratan prezenton de *m* kiel produto de kvadrato kaj kubo.

En la prezento *m = a2b3* kalkulita en tiamaniere *b* estas kvadratolibera, kaj estas unike difinita per ĉi tiu propraĵo.

Matematikaj propraĵoj
---------------------

La sumo inversoj de povaj nombroj konverĝas al

{\displaystyle \prod \_{p}\left(1+{\frac {1}{p(p-1)}}\right)={\frac {\zeta (2)\zeta (3)}{\zeta (6)}}={\frac {315}{2\pi ^{4}}}\zeta (3),}
kie *p* ruligas tra ĉiuj primoj, *ζ(s)* estas la rimana ζ funkcio, kaj *ζ(3)* estas konstanto de Apéry (Golomb, 1970).

Estu *k(x)* la kvanto de povaj nombroj en la intervalo *[1,x]*. Tiam *k(x)* estas proporcia al la kvadrata radiko de *x*. Pli detale,

{\displaystyle cx^{1/2}-3x^{1/3}\leq k(x)\leq cx^{1/2},c=\zeta (3/2)/\zeta (3)=2.173\cdots }
(Golomb, 1970).

Povas esti konsiderata la vico de paroj de najbaraj povaj nombroj. La du plej malgrandaj najbaraj povaj nombroj estas 8 kaj 9. Pro tio ke la ekvacio de Pell *x2 - 8y2 = 1* havas malfinie multajn integralajn solvaĵojn, estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj (Golomb, 1970); pli ĝenerale, oni povas trovi najbarajn povajn nombrojn per solvado de simila ekvacio *x2 - ny2 = ±1* por ĉiu perfekta kubo *n*. Tamen, unu el la du povaj nombroj en paro formita en tiamaniere devas esti kvadrato. Laŭ Richard K. Guy, Erdős demandis ĉu estas malfinie multaj paroj de najbaraj povaj nombroj tiaj en kiu neniu nombro en la paro estas kvadrato (ekzemplo de ĉi tia paro: 233, 2332132). Jaroslaw Wroblewski montris ke ja estas malfinie multaj ĉi tiaj paroj per montro ke *33c2+1=73d2* havas malfinie multajn solvaĵojn. Estas konjekto de Erdős, Mollin, kaj Walsh ke ne ekzistas 3 najbaraj povaj nombroj.

Sumoj kaj diferencoj de povaj nombroj
-------------------------------------

Ĉiu nepara nombro estas diferenco de du najbaraj kvadratoj: *2k + 1 = (k + 1)2 - k2*. Simile, ĉiu multipliko de 4 estas diferenco de la kvadratoj de du nombroj kiuj diferenciĝas inter si je 2. Tamen, unuope para nombro, kio estas, nombro dividebla per du sed ne per kvar, ne povas esti esprimita kiel diferenco de kvadratoj. Ĉi tiu motivigas la demandon de difinado de kiuj unuopaj paraj nombroj povas esti esprimitaj kiel diferencoj de povaj nombroj. Golomb eksponis iujn prezentojn de ĉi tiu speco:

2 = 33 − 52
10 = 133 − 37
18 = 192 − 73 = 32(33 − 52).
Li konjektis ke 6 ne povas esti tiel prezentita, kaj Golomb konjektis ke estas malfinie multaj entjeroj kiuj ne povas esti prezentitaj kiel diferenco inter du povaj nombroj. Tamen, Narkiewicz montris ke 6 povas esti tiel prezentita en malfinie multaj manieroj, ekzemple

6 = 5473 − 4632,
kaj McDaniel montris ke ĉiu entjero havas malfinie multajn ĉi tiajn prezentojn (McDaniel, 1982).

Erdős konjektis ke ĉiu sufiĉe granda entjero estas sumo de maksimume tri povaj nombroj; ĉi tio estis pruvita de Roger Heath-Brown (1987).

Ĝeneraligo
----------

Pli ĝenerale, oni povas konsideri la entjerojn kies ĉiuj primaj faktoroj havas eksponentojn de almenaŭ *k*. Tia entjero estas nomata kiel ***k*-pova nombro** aŭ ***k*-plena nombro**.

(2*k*+1 − 1)*k*, 2*k*(2*k*+1 − 1)*k*, (2*k*+1 − 1)*k*+1
estas *k*-povaj nombroj en aritmetika vico. Ankaŭ, se *a*1, *a*2, ... *a**s* estas *k*-povaj en aritmetika vico kun komuna diferenco *d*, tiam

*a*1(*a**s* + *d*)*k*,
*a*2(*a**s* + *d*)*k*, ... *a**s*(*a**s* + *d*)*k*, (*a**s* + d)*k*+1

estas *s* + 1 *k*-povaj nombroj en aritmetika vico.

Oni havas identon engaĝante *k*-povaj nombroj:

*a**k*(*a**l* + ... + 1)*k* + *a**k* + 1(*a**l* + ... + 1)*k* + ... + *a**k* + *l*(*a**l* + ... + 1)*k* = *a**k*(*a**l* + ... +1)*k*+1.
Ĉi tiu donas malfinie multajn *(l+1)*-opoj de *k*-povaj nombroj kies sumo estas ankaŭ *k*-pova. Nitaj montras ke estas malfinie multaj solvaĵoj de *x+y=z* en [[Reciproka primeco|reciproke primaj] 3-povaj nombroj (Nitaj, 1995). Cohn konstruas malfinian familion de solvaĵoj de *x+y=z* en [[Reciproka primeco|reciproke primaj] ne-kubaj 3-povaj nombroj kiel sekvas: la trio

*X* = 9712247684771506604963490444281, *Y* = 32295800804958334401937923416351, *Z* = 27474621855216870941749052236511
estas solvaĵo de la ekvacio 32*X*3 + 49*Y*3 = 81*Z*3. Oni povas konstrui la alian solvaĵon per opcio *X*′ = *X*(49*Y*3 + 81*Z*3), *Y*′ = −*Y*(32*X*3 + 81*Z*3), *Z*′ = *Z*(32*X*3 − 49*Y*3) kaj nefarante la komunan dividanton.

Vidu ankaŭ
----------

* Aĥila nombro

Referencoj
----------

* Cohn, J. H. E. (1998). "A conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj", *Math. Comp.* **67**, p. 439–440.
* Paul Erdős kaj George Szekeres (1934). "Über die Anzahl der Abelschen Gruppen gegebener Ordnung und über ein verwandtes zahlentheoretisches Problem", *Acta Litt. Sci. Szeged* **7**, p. 95–102.
* Solomon W. Golomb (1970). "Powerful numbers - Povaj nombroj", *American Mathematical Monthly - Amerika Matematiko Monate* **77**, p. 848–852.
* Richard K. Guy.  (2004) *Unsolved Problems in Number Theory, 3rd edition - Nesolvitaj Problemoj en Nombra Teorio, 3-a redakcio*. Springer-Verlag, p. Sekcio B16. ISBN 0-387-20860-7.
* McDaniel, Wayne L. (1982). "Representations of every integer as the difference of powerful numbers - Prezentoj de ĉiu entjero kiel la diferenco de povaj nombroj", *Fibonacci Quarterly - Fibonacci Kvarone* **20**, p. 85–87.
* Nitaj, Abderrahmane (1995). "On a conjecture of Erdős on 3-powerful numbers - Sur konjekto de Erdős sur 3-povaj nombroj", *Bulletin of the London Mathematical Society - Bulteno de la Londona Matematika Socio* **27**, p. 317–318.

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Pova nombro* en MathWorld.
* La abc konjekto Arkivigite je 2000-08-19 per la retarkivo Wayback Machine
* A001694 en OEIS - vico de povaj nombroj
* A060355 en OEIS - vico de paroj de najbaraj povaj nombroj