En lineara algebro, **determinanto** estas funkcio kiu asociigas skalaron det(*A*) al ĉiu *n*×*n* kvadrata matrico *A*. La fundamenta geometria signifo de determinanto estas kiel la skala faktoro por volumeno se *A* estas konsiderita kiel lineara transformo. 

Por ĉiu pozitiva entjero *n*, estas unika determinanta funkcio por la *n*×*n* matricoj super ĉiu komuta ringo *R*. Aparte, ĉi tiu funkcio ekzistas kiam *R* estas la kampo de reelaj aŭ kompleksaj nombroj.

Determinanto de *A* estas ankaŭ iam skribita kiel |*A*|, sed ĉi tiu skribmaniero estas ambigua: ĝi estas ankaŭ uzata por matricaj normoj, kaj por la kvadrata radiko de {\displaystyle {AA}^{\*}}.

Ĝenerala difino kaj kalkulado
-----------------------------

Estu {\displaystyle A=(A\_{i,j})\,} kvadrata matrico.

Se {\displaystyle A} estas 1-per-1 matrico, tiam {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}} .

Se {\displaystyle A} estas 2-per-2 matrico, tiam {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}A\_{2,2}-A\_{2,1}A\_{1,2}} .

Por 3-per-3 matrico *A*, la formulo estas pli komplika:

{\displaystyle {\begin{matrix}\det(A)&=&A\_{1,1}A\_{2,2}A\_{3,3}+A\_{1,3}A\_{2,1}A\_{3,2}+A\_{1,2}A\_{2,3}A\_{3,1}\\&&-A\_{1,3}A\_{2,2}A\_{3,1}-A\_{1,1}A\_{2,3}A\_{3,2}-A\_{1,2}A\_{2,1}A\_{3,3}.\end{matrix}}\,}
Por ĝenerala *n*-per-*n* matrico, la determinanto estis difinita per **formulo de Leibniz**:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}A\_{i,\sigma (i)}}
La sumo estas komputita super ĉiuj permutoj {\displaystyle \sigma } de nombroj {1,2,...*n*} kaj {\displaystyle \operatorname {sgn}(\sigma )} estas signumo de la permuto {\displaystyle \sigma }: =+1 se {\displaystyle \sigma } estas para permuto kaj =−1 se ĝi estas nepara.

Ĉi tiu formulo enhavas {\displaystyle n!\ } (faktorialon) da termoj, kaj pro tio uzi ĝin por kalkuli determinantojn pri granda {\displaystyle n\ } maloportunas.

Determinanto povas esti komputita kun la gaŭsaj algoritmaj uzante jenajn regulojn:

* Se {\displaystyle A} estas triangula matrico, kio estas {\displaystyle A\_{i,j}=0\,} ĉiam {\displaystyle i>j}, tiam {\displaystyle \det(A)=A\_{1,1}A\_{2,2}\cdots A\_{n,n}.\,}
* Se {\displaystyle B} rezultas de {\displaystyle A} per interŝanĝo de du linioj aŭ de du kolumnoj, tiam {\displaystyle \det(B)=-\det(A).\,}
* Se {\displaystyle B} rezultas de {\displaystyle A} per multipliko de unu linio aŭ de unu kolumno kun la nombro {\displaystyle c}, tiam {\displaystyle \det(B)=c\,\det(A).\,}
* Se {\displaystyle B} rezultas de {\displaystyle A} per adicio al linio de unu alia linio multiplikita per iu koeficiento, aŭ adicio al kolumno de unu alia kolumno multiplikita per iu koeficiento, tiam {\displaystyle \det(B)=\det(A).\,}

Uzante la lastajn tri regulojn eblas konverti ĉiun matricon en triangulan matricon, tiam eblas uzi la unua regulo por komputi ĝian determinanton.

Propraĵoj
---------

La determinanto estas *multiplika mapo* en la senco ke

{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B)\,} por ĉiuj *n*-per-*n* matricoj {\displaystyle A} kaj {\displaystyle B}.
Ĉi tiu estas ĝeneraligita per la Koŝio-Binet-a formulo al produktoj de ne-kvadrataj matricoj.

Estas facile vidi ke, se {\displaystyle I\_{n}\ } estas la {\displaystyle n\ }-per-{\displaystyle n\ } identa matrico, {\displaystyle \det(rI\_{n})=r^{n}\ \,} kaj tial:

{\displaystyle \det(rA)=\det(rI\_{n}\cdot A)=r^{n}\det(A)\,}, por ĉiuj {\displaystyle n}-per-{\displaystyle n} matricoj {\displaystyle A} kaj ĉiuj skalaroj {\displaystyle r\ }.
Matrico super komuta ringo *R* estas inversigebla, se kaj nur se ĝia determinanto estas unuo en *R*.

Aparte, se *A* estas matrico super kampo *K*, kiel la realaj nombroj aŭ kompleksaj nombroj, tiam *A* estas inversigebla se kaj nur se det\_(*A*) estas ne-nulo. En ĉi tiu okazo, ni havas

{\displaystyle \det(A^{-1})=\det(A)^{-1}\ .\,}
Esprimita malsame: la vektoroj *v*1,...*v**n* en **R***n* formas bazon, se kaj nur se det(*v*1,...*v**n*) estas ne-nulo.

Matrico kaj ĝia transpono havas la saman determinanton:

{\displaystyle \det(A^{\top })=\det(A).\,}
La determinanto de
kompleksa matrico kaj de ĝia konjugita transpono
estas konjugita:

{\displaystyle \det(A^{\*})=\det(A)^{\*}.\,}
Notu ke konjugita transpono de matrico estas identa al la transpono pri reela matrico.

Se {\displaystyle A} kaj {\displaystyle B} estas similaj, tio estas, se tie ekzistas inversigebla matrico {\displaystyle X} , tia ke {\displaystyle A} = {\displaystyle X^{-1}BX} , tiam pro la multiplika propraĵo,

{\displaystyle \det(A)=\det(B)\,.}

Vidu ankaŭ
----------

* Rango de matrico
* Ejgeno

  


|  |  |
| --- | --- |
|  <!-- --> | Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto, ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn. |

* Kategorio Determinanto en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)



|  |  |
| --- | --- |
| Bibliotekoj | * PeEnEo: 87309
* GND: 4138983-9
* LCCN: sh85037299
* BNF: 11975737s
* NDL: 00562696
* NKC: ph153485
 |