La **dua teoremo de Eŭklido** aŭ **alto-teoremo** estas teoremo en geometrio, kiu rilatas al orta triangulo kaj priskribas rilaton inter la alto sur la hipotenuzo en orta triangulo kaj la du linipartoj kiujn ĝi kreas sur la hipotenuzo.

La teoremo devenas, kiel la unua, de la 8-a propozicio en libro VI de la Elementoj de Geometrio de Eŭklido.

La teoremo kaj ĝia apliko
-------------------------

areo de griza kvadrato = areo de griza rektangulo  

Se *h* indikas la alton en orta triangulo kaj *p* kaj *q* la segmentojn sur la hipotenuzo tiam la teoremo povas esti formulata kiel:

{\displaystyle h={\sqrt {pq}}}
aŭ en esprimo de areoj:

{\displaystyle h^{2}=pq.}
Ĉi-lasta versio donas metodon por konstrui per liniilo kaj cirkelo kvadraton, kiu havas egalan areon kiel antaŭfiksita rektangulo. En tiu rektangulo kun flankoj *p* kaj *q* ni indikas ĝian altan maldekstran verticon kun *D*. Nun ni etendas la segmenton *q* al ĝia maldekstro de *p* helpe de arko kun centro en *D*. Poste ni faras duoncirklon kun finpunktoj *A* kaj *B* kun la nova segmento *p+q* kiel ĝia diametro. Tiam ni starigas ortan linion al la diametro en *D* kiu intersekcas la duoncirklon en *C*. Pro la teoremo de Thales la punkto *C* kaj la diametro formas ortan triangulon, kies alto estas *DC*. Pro la dua teoremo de Euklido *DC* estas la flanko de kvadrato kun la areo de la rektangulo.

Ankaŭ la inversa deklaro estas vera. Ĉiu triangulo, en kiu la alteco korespondas al la geometria meznombro de la du linipartoj kreitaj per ĝi, estas orta triangulo.

Pruvo
-----

### Surbaze de simileco

**Teoremo**:

La trianguloj {\displaystyle \triangle ADC} kaj {\displaystyle \triangle BDC} estas similaj, ĉar kun {\displaystyle \angle ADC=\angle CDB} and {\displaystyle \angle CAD=90^{\circ }-\angle DBC=\angle BCD} ili havas du angulojn de egala grandeco. La simileco donas la sekvan ekvacion:
{\displaystyle {\frac {h}{p}}={\frac {q}{h}}\Leftrightarrow h^{2}=pq\Leftrightarrow h={\sqrt {pq}}\qquad (h,p,q>0)}
**Inversio:**

Por la inversio ni havas triangulon {\displaystyle \triangle ABC} en kiu validas {\displaystyle h^{2}=pq} kaj oni devas montri ke la angulo je *C* estas orta.
Pro {\displaystyle h^{2}=pq} validas ankaŭ {\displaystyle {\tfrac {h}{p}}={\tfrac {q}{h}}}. Kune kun {\displaystyle \angle ADC=\angle CDB} la trianguloj {\displaystyle \triangle ADC} kaj {\displaystyle \triangle BDC} havas angulon de egala grandeco kaj havas ekvivalentajn parojn de flankoj kun la sama rilatumo. Tio signifas ke la trianguloj estas similaj, kiu donas:
{\displaystyle \angle ACB=\angle ACD+\angle DCB=\angle ACD+(90^{\circ }-\angle ACD)=90^{\circ }}
### Surbaze de dissekcio kaj rearanĝo

File:Geometrischer Höhensatzbeweis.svg

Dissekcante la ortan triangulon laŭ ĝia alto *h*rezultas du similaj trianguloj, kiuj povas esti pliigitaj kaj aranĝitaj laŭ du alternativaj manieroj al pli granda orta triangulo kun ortaj flankoj de longo *p+h* kaj *q+h*. Unu tia aranĝo postulas kvadraton de areo *h2* kompletigi ĝin, la alia rektangulon de areo *pq*. Ĉar ambaŭ aranĝoj donas la saman triangulon, la areoj de la kvadrato kaj de la rektangulo devas esti identaj.

Referencoj
----------

* Claudi Alsina, Roger B. Nelsen: *Icons of Mathematics: An Exploration of Twenty Key Images*. MA 2011, ISBN 9780883853528, pp 31-32 (Ĉar neniuj valoroj estis precizigitaj por la apogilparametro, heredaĵformato estis uzita por la produktaĵo. Tiu formato estas malrekomendita, kaj en la estonteco, normalvaloro estos metita por la apogilparametro, igante la novan formaton ĉiam esti uzita. )
* Ilka Agricola, Thomas Friedrich: *Elementa geometrio*. AMS 2008, ISBN 9780821843475, p. 25 ()
* Eŭklido:*Elementoj*, libro II - apogilo. 14, libro VI - apogilo. 8, (reta kopio)

*En tiu ĉi artikolo estas uzita traduko de teksto el la artikolo Geometric mean theorem en la angla Vikipedio.* 

* Kategorio Dua teoremo de Eŭklido en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)