En matematiko, **kvadrata nombro**, aŭ **perfekta kvadrato**, estas entjero kiu estas kvadrato de iu entjero. Ekzemple, 9 estas kvadrata nombro, ĉar ĝi estas 3 × 3. Kvadrataj nombroj estas nenegativaj. De la alia flanko, nenegativa nombro estas kvadrata nombro, se ĝia kvadrata radiko estas entjero. Ekzemple, √9 = 3, tiel 9 estas kvadrata nombro.

Pozitiva entjero kiu ne havas perfektajn kvadratajn divizorojn escepte de 1 estas kvadrato-libera.

La kutima skribmaniero por la formulo por la kvadrato de nombro *n* estas produto *n × n*, aŭ ekvivalenta potencigo *n2*

Se racionalaj nombroj estas inkluzivitaj, la kvadrato estas la rilatumo de du kvadrataj entjeroj, kaj, male, la rilatumo de du kvadrataj entjeroj estas kvadrato (ekzemple 4/9 = (2/3)2).

Startante kun 0, estas 1 + ⌊√*m*⌋ kvadrataj nombroj supren ĝis kaj inkluzivante de *m*.

La unuaj kvadratoj de nenegativaj entjeroj estas:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81 | 102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361 | 202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841 | 302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521 | 402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401 |

Propraĵoj
---------

La nombro *m* estas kvadrata nombro se kaj nur se oni povas aranĝi *m* punktojn en kvadrato:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |
| 12 = 1 | 22 = 4 | 32 = 9 | 42 = 16 | 52 = 25 |

La kvadrata nombro *n2* estas egala al sumo de la unuaj *n* neparaj nombroj:

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1)}
kiel povas vidiĝi en la pli supraj bildoj, kie ĉiu kvadrato rezultiĝas de la antaŭa unu per aldono de nepara kvanto de punktoj (markitaj kiel '+'). Tiel ekzemple 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

Kvadrata nombro estas ankaŭ sumo de du najbaraj triangulaj nombroj. Sumo de du najbaraj kvadrataj nombroj estas centrita kvadrata nombro. Ĉiu nepara kvadrata nombro estas ankaŭ centrita oklatera nombro.

Kvar-kvadrata teoremo de Lagrange diras ke ĉiu pozitiva entjero povas esti skribita kiel sumo de 4 aŭ malpli multaj perfektaj kvadratoj. Tri kvadratoj estas ne sufiĉa por nombroj de formo *4k(8m + 7)*. Pozitiva entjero povas esti prezentita kiel sumo de du kvadratoj precize se ĝia prima faktorigo ne enhavas neparajn potencojn de primoj de formo *4k + 3*. Ĉi tio estas ĝeneraligita per problemo de Waring.

Kvadrata nombro povas nur finiĝi je ciferoj 00, 1, 4, 6, 9, 25 en bazo 10, kiel sekvas:

* Se la lasta cifero de nombro estas 0, ĝia kvadrato finiĝas je 00 kaj la antaŭvenantaj ciferoj devas ankaŭ formi kvadratan nombron.
* Se la lasta cifero de nombro estas 1 aŭ 9, ĝia kvadrato finiĝas je 1 kaj la nombro formita per ĝiaj antaŭvenantaj ciferoj devas esti dividebla per 4.
* Se la lasta cifero de nombro estas 2 aŭ 8, ĝia kvadrato finiĝas je 4 kaj la antaŭvenanta cifero devas esti para.
* Se la lasta cifero de nombro estas 3 aŭ 7, ĝia kvadrato finiĝas je 9 kaj la nombro formita per ĝiaj antaŭvenantaj ciferoj devas esti dividebla per 4.
* Se la lasta cifero de nombro estas 4 aŭ 6, ĝia kvadrato finiĝas je 6 kaj la antaŭvenanta cifero devas esti nepara.
* Se la lasta cifero de nombro estas 5, ĝia kvadrato finiĝas je 25 kaj la antaŭvenantaj ciferoj devas esti 0, 2, 06, aŭ 56.

Kvadrata nombro ne povas esti perfekta nombro.

Kvadrato de para nombroj estas para, *(2n)2 = 4n2*.

Kvadrato de nepara nombro estas nepara, *(2n + 1)2 = 4(n2 + n) + 1*.

Do kvadrata radiko de para kvadrata nombro estas para, kaj kvadrata radiko de nepara kvadrata nombro estas nepara.

Teoremo de Chen
---------------

Chen Jingrun montris en 1975 en la **teoremo de Chen** ke inter *n2* kaj *(n+1)2* nepre ekzistas nombro *P* kiu estas primo aŭ duonprimo (produto de du primoj). Vidu ankaŭ en konjekto de Legendre.

Vidu ankaŭ
----------

* Kvadrata radiko
* Entjera kvadrata radiko
* Manieroj de komputantado de kvadrataj radikoj
* Kvadrata restaĵo
* Plurlatera nombro
* Triangula kvadrata nombro
* Eŭlera kvar-kvadrata idento

Referencoj
----------

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Kvadrata nombro en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Eric W. Weisstein, *Kvadrata Nombro* en MathWorld.
* A000290 en OEIS - la unuaj kvadratoj de naturaj nombroj
* Kvadrataj nombroj supren ĝis 144 Arkivigite je 2008-02-11 per la retarkivo Wayback Machine
* Java apleto por malkomponi naturan nombron en sumon de kvadratoj de Dario Alpern
* Fibonacci-aj kaj kvadrataj nombrojje