Pilko kun plena dudekedra simetrio
La regula dudekedro havas turnan simetrion de ordo 60 (kiu inkluzivas turnajn transformojn sed ne inkluzivas reflektajn transformojn), kaj entutan simetrion de ordo 120 (kiu inkluzivas kaj reflektajn kaj turnajn transformojn). La regula dekduedro havas la samajn simetriojn pro tio ke ĝi estas la duala pluredro de dudekedro.

La aro de orientiĝo-konservantaj simetrioj formas grupon *A*5 (la alterna grupo sur 5 eroj), kaj la plena geometria simetria grupo (inkluzivanta reflektojn) estas la produto *A*5 × *C*2 de *A*5 kun cikla grupo de ordo 2.

Detaloj
-------

La dudekedra turna grupo *I* kun fundamenta domajno
La dudekedra grupo *I*h kun fundamenta domajno
Krom la du malfiniaj serioj de prismaj kaj kontraŭprismaj simetrioj, **turna dudekedra simetrio** de nememspegulsimetriaj objektoj kaj **plena dudekedra simetrio** de memspegulsimetriaj objektoj estas la diskretaj punktaj simetrioj (aŭ ekvivalente, simetrioj sur la sfero) kun la plej grandaj ordoj.

Dudekedra simetrio ne estas kongrua kun mova simetrio, do tiel ne estas asociita kun iu kristala punkto grupo aŭ spaca grupo.
La dudekedra turnada grupo *I* estas de ordon 60. La grupo *I* estas izomorfia al *A*5, la alterna grupo de paraj permutoj de kvin objektoj.
(La kvin objektoj estas permutataj per *I* en okazo de la kvin enskribitaj kuboj en dekduedro.)
La grupo enhavas 5 versiojn de *T*h kun 20 versioj de *D3* (10 aksoj, 2 por akso), kaj 6 versiojn de *D5*.

La plena dudekedra grupo *Ih* havas ordon 120. Ĝi havas grupon *I* kiel normala subgrupo de indekso 2. La grupo *Ih* estas izomorfia al *I* × *C*2, aŭ *A*5 × *C*2, kun la inversigo en la centro respektiva al ero (idento,-1), kie *C*2 estas skribita multiplike. La grupo enhavas 10 versiojn de *D3d* kaj 6 versiojn de *D5d* (simetrioj similaj al tiuj de kontraŭprismoj).

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| Kristala skribmaniero de Arthur Moritz Schönflies | Skribmaniero de H. S. M. Coxeter | Skribmaniero de Conway |  Ordo |
| *I* | [3,5]+ | 532 | 60 |
| *Ih* | [3,5] | \*532 | 120 |

Prezentoj de la grupoj:

*I*: {\displaystyle \langle s,t\mid s^{2},t^{3},(st)^{5}\rangle }
*Ih*: {\displaystyle \langle s,t\mid s^{3}(st)^{-2},t^{5}(st)^{-2}\rangle }
Noto ke ekzistas ankaŭ la aliaj prezentoj.

En la piramidigita tridekedro unu plena edro estas fundamenta domajno. La aliaj pluredroj kun la sama simetrio povas esti ricevita per ĝustigo de orientiĝo de la edroj, do per kunigo de elektitaj subaroj de edroj por komponi ĉiun tutan subaron en unu edron, aŭ per anstataŭigo de ĉiu edro per multaj edroj aŭ surfaco.

Konjugecaj klasoj
-----------------

La konjugecaj klasoj de *Mi* estas:

* idento
* 12 × turno je 72°
* 12 × turno je 144°
* 20 × turno je 120°
* 15 × turno je 180°

Tiuj de *Ih* inkluzivas ankaŭ tiujn kun inversigo:

* inversigo
* 12 × turnoreflekto je 108°
* 12 × turnoreflekto je 36°
* 20 × turnoreflekto je 60°
* 15 × reflekto

Subgrupoj
---------

*I* enhavas 5 kopiojn de turna kvaredra simetrio *T*.

*Ih* enhavas 5 kopiojn de plena kvaredra simetrio *Th*.

Iuj nememspegulsimetriaj pluredroj kun turna dudekedra simetrio
---------------------------------------------------------------

| Nomo | Speco | Bildo | Edroj | Lateroj | Verticoj |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Mallaŭ horloĝa nadlo | Laŭ horloĝa nadlo |
| Riproĉa dekduedro | Arĥimeda solido |  |  | 92 | 150 | 60 |
| Kvinlatera sesdekedro | Katalana solido |  |  | 60 | 150 | 92 |

Iuj pluredroj kun plena dudekedra simetrio
------------------------------------------

| Nomo | Speco | Bildo | Edroj | Lateroj | Verticoj |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Dekduedro | Platona solido |  | 12 | 30 | 20 |
| Dudekedro | Platona solido |  | 20 | 30 | 12 |
| Malgranda steligita dekduedro | Pluredro de Keplero-Poinsot |  | 12 | 30 | 12 |
| Granda dekduedro | Pluredro de Keplero-Poinsot |  | 12 | 30 | 12 |
| Granda steligita dekduedro | Pluredro de Keplero-Poinsot |  | 12 | 30 | 20 |
| Granda dudekedro | Pluredro de Keplero-Poinsot |  | 20 | 30 | 12 |
| Dudek-dekduedro | Arĥimeda solido, kvazaŭregula pluredro |  | 32 | 60 | 30 |
| Senpintigita dekduedro | Arĥimeda solido |  | 32 | 90 | 60 |
| Senpintigita dudekedro | Arĥimeda solido |  | 32 | 90 | 60 |
| Malgranda rombo-dudek-dekduedro | Arĥimeda solido |  | 62 | 120 | 60 |
| Granda rombo-dudek-dekduedro  (senpintigita dudek-dekduedro) | Arĥimeda solido |  | 62 | 180 | 120 |
| Romba tridekedro | Katalana solido, duala de kvazaŭregula pluredro |  | 30 | 60 | 32 |
| Trilateropiramidigita dudekedro | Katalana solido |  | 60 | 90 | 32 |
| Kvinlateropiramidigita dekduedro | Katalana solido |  | 60 | 90 | 32 |
| Deltosimila sesdekedro | Katalana solido |  | 60 | 120 | 62 |
| Piramidigita tridekedro  (seslateropiramidigita dudekedro) | Katalana solido |  | 120 | 180 | 62 |

Vidu ankaŭ
----------

* Duedra simetrio en tri dimensioj
* Kvaredra simetrio
* Okedra simetrio
* Triangulo de Schwarz