En matematiko, **formulo de Faà di Bruno** estas idento ĝeneraliganta la ĉenan regulon al pli altaj derivaĵoj. Ĝi estas nomita pro Francesco Faà di Bruno (1825 - 1888).

Eble la plej konata formo de formulo de Faà di Bruno estas

{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m\_{1}!\,1!^{m\_{1}}\,m\_{2}!\,2!^{m\_{2}}\,\cdots \,m\_{n}!\,n!^{m\_{n}}}}f^{(m\_{1}+\cdots +m\_{n})}(g(x))\prod \_{j=1}^{n}\left(g^{(j)}(x)\right)^{m\_{j}}}
kie la sumo estas tra ĉiuj *n*-opoj *(m1, ... mn)* kontentigantaj kondiĉon

{\displaystyle 1m\_{1}+2m\_{2}+3m\_{3}+\cdots +nm\_{n}=n}
Iam, por doni ĝi plaĉantan kaj memoreblan ŝablonon, ĝi estas skribita tiel ke la koeficientoj kiuj havas la kombinan interpretadon diskutitan pli sube estas malpli eksplicitaj:

{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum {\frac {n!}{m\_{1}!\,m\_{2}!\,\cdots \,m\_{n}!}}f^{(m\_{1}+\cdots +m\_{n})}(g(x))\prod \_{j=1}^{n}\left({\frac {g^{(j)}(x)}{j!}}\right)^{m\_{j}}}
Kombinigo de la termoj kun la sama valoro de {\displaystyle m\_{1}+m\_{2}+\cdots +m\_{n}=k} kondukas al alia iel pli simpla formulo esprimita per sonorilaj polinomoj {\displaystyle B\_{n,k}(x\_{1},\dots ,x\_{n-k+1})}:

{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=\sum \_{k=0}^{n}f^{(k)}(g(x))B\_{n,k}\left(g'(x),g''(x),\dots ,g^{(n-k+1)}(x)\right)}

Kombina formo
-------------

La formulo havas la kombinan formon:

{\displaystyle {d^{n} \over dx^{n}}f(g(x))=(f\circ g)^{(n)}(x)=\sum \_{\pi \in \Pi }f^{(\left|\pi \right|)}(g(x))\cdot \prod \_{B\in \pi }g^{(\left|B\right|)}(x)}
kie

* *π* ruliĝas tra la aro *Π* de ĉiuj dispartigoj de la aro *{1, ... n}*,

* "B ∈ π" signifas ke la variablo *B* ruliĝas tra la listo de ĉiuj blokoj de la dispartigo *π*, kaj

* *|A|* signifas kardinalon de la aro *A*, tiel *|π|* estas kvanto de la blokoj en la dispartigo *π* kaj *|B|* estas amplekso de la bloko *B*.

### Ekzemplo

Jen estas ekzemplo de uzo de la kombina formo:

{\displaystyle {\begin{aligned}(f\circ g)''''(x)&=f''''(g(x))g'(x)^{4}+6f'''(g(x))g''(x)g'(x)^{2}\\&{}\quad +\;3f''(g(x))g''(x)^{2}+4f''(g(x))g'''(x)g'(x)\\&{}\quad +\;f'(g(x))g''''(x)\end{aligned}}}
La ŝablono estas

{\displaystyle {\begin{aligned}g'(x)^{4}&&\leftrightarrow &&1+1+1+1&&\leftrightarrow &&f''''(g(x))&&\leftrightarrow &&1\\\\g''(x)g'(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+1+1&&\leftrightarrow &&f'''(g(x))&&\leftrightarrow &&6\\\\g''(x)^{2}&&\leftrightarrow &&2+2&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&3\\\\g'''(x)g'(x)&&\leftrightarrow &&3+1&&\leftrightarrow &&f''(g(x))&&\leftrightarrow &&4\\\\g''''(x)&&\leftrightarrow &&4&&\leftrightarrow &&f'(g(x))&&\leftrightarrow &&1\end{aligned}}}
La faktoro {\displaystyle \scriptstyle g''(x)g'(x)^{2}\;} respektivas al la dispartigo 2+1+1 de la entjero 4 (4 ĉar estas trovata la 4-a derivaĵo), en la evidenta vojo. La faktoro {\displaystyle \scriptstyle f'''(g(x))\;} kiu estas kun ĝi respektivas al tio ke estas 3 termoj en ĉi tiu dispartigo. La koeficiento 6 kiu estas kun ĉi tiuj faktoroj respektivas al tio ke estas akurate 6 dispartigoj de aro de 4 membroj kiuj disdividas ĝin en unu parton de amplekso 2 kaj du partojn de amplekso 1.

Simile, la faktoro {\displaystyle \scriptstyle g''(x)^{2}\;} en la tria linio respektivas al la dispartigo 2+2 de la entjero 4, dum {\displaystyle \scriptstyle f''(g(x))\,\!} respektivas al tio ke estas *du* termoj en la dispartigo. La koeficiento 3 respektivas al tio ke estas 3 manieroj de disdivido de 4 objektoj en grupojn po 2 (4C2 / 2).

La sama koncepto aplikas al la aliaj linioj.

Kombinatoriko de la koeficientoj de Faà di Bruno
------------------------------------------------

Ĉi tiuj dispartigo-kalkulantaj koeficientoj havas fermito-forman esprimon. La kvanto de dispartigoj de aro de amplekso *n* respektiva al la entjera dispartigo

{\displaystyle \displaystyle n=\underbrace {1+\cdots +1} \_{m\_{1}}\,+\,\underbrace {2+\cdots +2} \_{m\_{2}}\,+\,\underbrace {3+\cdots +3} \_{m\_{3}}+\cdots }
de la entjero *n* estas egala al

{\displaystyle {\frac {n!}{m\_{1}!\,m\_{2}!\,m\_{3}!\,\cdots 1!^{m\_{1}}\,2!^{m\_{2}}\,3!^{m\_{3}}\,\cdots }}}
Ĉi tiuj koeficientoj ankaŭ aperas en la sonorilaj polinomoj.

Formala potencoseria versio
---------------------------

En la formala potencoserio

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n}{a\_{n} \over n!}x^{n}}
oni havas la *n*-an derivaĵon je 0

{\displaystyle f^{(n)}(0)=a\_{n}\;}
Ĉi tiu devus ne esti komprenata kiel la valoro de funkcio, ĉar ĉi tiu serio estas pure formala; ne estas koncernata ĝia konverĝo aŭ malkonverĝo en ĉi tiu ĉirkaŭteksto.

Se

{\displaystyle g(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{b\_{n} \over n!}x^{n}}
kaj

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{a\_{n} \over n!}x^{n}}
kaj

{\displaystyle g(f(x))=h(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{c\_{n} \over n!}x^{n}}
do la koeficiento *cn* (kiu devus esti la *n*-a derivaĵo de *h* komputita je 0 se ne konsideri konverĝecon de la serio) estas donita per

{\displaystyle c\_{n}=\sum \_{\pi =\left\{\,B\_{1},\,\dots ,\,B\_{k}\,\right\}}a\_{\left|B\_{1}\right|}\cdots a\_{\left|B\_{k}\right|}b\_{k}}
kie *π* ruliĝas tra la aro de ĉiuj dispartigoj de la aro *{1, ... n}* kaj *B1, ... Bk* estas la blokoj de la dispartigo *π*, kaj *| Bj |* estas kvanto de membroj en la *j*-a bloko, por *j = 1, ... k*.

Ĉi tiu versio de la formulo estas aparte bone konvena por celoj de kombinatoriko.

Eblas ankaŭ skribi ke

{\displaystyle g(f(x))=\sum \_{n=1}^{\infty }{\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}B\_{n,k}(a\_{1},\dots ,a\_{n-k+1}) \over n!}x^{n}}
kie la esprimoj

{\displaystyle B\_{n,k}(a\_{1},\dots ,a\_{n-k+1})}
estas sonorilaj polinomoj.

Eksponenta okazo
----------------

Se *f(x) = ex* tiam ĉiuj derivaĵoj de *f* estas la samaj, kaj estas faktoro komuna al ĉiu termo. En okazo se *g(x)* estas duoninvarianto-generanta funkcio, do *f(g(x))* estas momanto-generanta funkcio, kaj la polinomo en diversaj derivaĵoj de *g* estas la polinomo kiu ekspresas la momantojn kiel funkcioj de la duoninvariantoj.

Eksteraj ligiloj
----------------

* W. P. Johnson, "La kurioza historio de formulo de Faà di Bruno", *Amerika Matematiko Monate*, Volumo. 109, Marto 2002, 217-234
* Formulo de Faà di Bruno je MathWorld
* Numeriga kombinatoriko ISBN 0-521-55309-1N. Vidu pri la formala potencoseria versio en ĉapitro 5.