En nombroteorio, **primoj en aritmetika vico** estas minimume tri primoj kiuj estas najbaraj eroj de aritmetika vico, ekzemple la primoj {3, 7, 11} (ne gravas ke ankaŭ 5 estas primo).

Iam (ne en ĉi tiu artikolo) la termino povas ankaŭ esti uzata por primoj kiuj apartenal al donita aritmetika vico sed estas ne bezone najbaraj ĝiaj eroj. Teoremo de Dirichlet pri aritmetikaj vicoj diras, ke, se *a* kaj *b* estas reciproke primaj, tiam la aritmetika vico *an+b* enhavas nefinie multajn primojn. Se *a=1*, ĉi tio respektivas al ekzisto de nefinie multaj primoj entute.

Vico de *k* primoj en aritmetika vico (kutime *k≥3*) estas signifata kiel **AP-*k*** aŭ **PAP-*k***. Ĉiu AP-*k* povas esti skribita kiel *k* primoj de formo *an+b*, por fiksitaj entjeroj *a* (la komuna diferenco) kaj *b*, kaj *k* najbaraj entjeraj valoroj de *n*, *n = 0, ... (k-1)*. Tiam *b* estas la unua primo en la aritmetika vico.

Propraĵoj
---------

Por ĉiu donita entjero *k*, ekzistas vicoj de primoj en aritmetika vico de longo *k*, kio komence estis konjekto kaj kio estis pruvita de Ben Green kaj Terence Tao en 2004. Ĉi tio estas ekzista teoremo kaj ne diras kiel trovi la progresiojn. 

Sekvas tuj ke estas malfinie multaj AP-*k* por ĉiu *k*.

*Pruvo*: Supozu ke estas nur *n* vicoj AP-*k*. Sed ekzistas ankaŭ vico AP-*(n+1)k*, kiu povas esti distranĉita je *n+1* malsamaj AP-*k*. Fakte, sufiĉas ekzisto de AP-*(n+k)* el kiu povas esti prenitaj *n+1* malsamaj kvankam interkovrantaj AP-*k*.
Ne ekzistas malfinie longa vico de primoj en aritmetika vico. Por ĉiu vico *an+b*, la ero por *n=b* estas komponigita *ab+b=(a+1)b*.

Se AP-*k* ne komenciĝas per la primo *k*, tiam la komuna diferenco estas oblo de primofaktorialo de *k*, *k# = 2·3·5·...·j*, kie *j* estas la plej granda primo ne pli granda ol *k*.

*Pruvo*: Estu la AP-*k* kiel *an+b* por *k* najbaraj valoroj de *n*. Se primo *p* ne dividas *a*, tiam modula aritmetiko donas ke *p* dividas ĉiun *p*-an eron de la aritmetika vico. Se la eroj de AP estas primoj por *k* najbaraj valoroj, tiam *a* devas pro tio esti dividebla per ĉiuj primoj *p≤k*.
Ĉi tiu ankaŭ montras ke AP kun komuna diferenco *a* ne povas enhavi pli multajn primojn ol valoro de la plej malgranda primo kiu ne dividas *a*.

Se *k* estas primo tiam AP-*k* povas komenciĝi kun *k* kaj havi komunan diferencon kiu estas nur oblo de *(k-1)#* anstataŭ *k#*. Ekzemple estas la AP-3 kun primoj {3, 5, 7} kaj komuna diferenco 2# = 2, aŭ la AP-5 kun primoj {5, 11, 17, 23, 29} kaj komuna diferenco 4# = 6. Estas konjektite ke ĉi tiaj ekzemploj ekzistas por ĉiu primo *k*. Kiel en 2008, la plej granda primo por kiu ĉi tio estas konfirmita estas *k=17*, kun AP-17: *17 + 11387819007325752·13#·n*, por *n= 0, ... 16*, trovita de Phil Carmody en 2001.

Sekvas el larĝe kreditaj konjektoj, konjekto de Dickson kaj iuj variantoj de la prima k-opa konjekto, ke se *p>2* estas la plej malgranda primo ne dividanta *a*, tiam estas malfinie multaj AP-*(p-1)* kun komuna diferenco *a*. Ekzemple, 5 estas la plej malgranda primo ne dividanta 6, tiel estas atendite ke estas malfinie multaj AP-4 kun komuna diferenco 6, kiu estas nomata kiel sensa prima kvaropo. Se *a=2*, *p=3*, ĝi estas la ĝemela prima konjekto, kun "AP-2" de 2 primoj *(b, b+2)*.

Plej grandaj sciataj primoj en AP
---------------------------------

Kiel en majo de 2008, la plej longa sciata AP-*k* estas AP-25, trovita de Raanan Chermoni kaj Jaroslaw Wroblewski

6171054912832631 + 366384·23#·*n*, por *n=0, ... 24* (23# = 223092870)
La serĉo estis per distribuita komputado kaj prenis proksimume 57 jarojn sur procesoro Athlon 64.

La pli frua rikordo estis AP-24 trovita de Jaroslaw Wroblewski en 2007 :

468395662504823 + 205619·23#·*n*, por *n = 0, ... 23*
Noto ke la plej granda sciata AP-*k* povas esti la fino de AP-*(k+1)*. Iuj serĉistoj elektas unue komputi grandan aron de primoj de formo *c·(p#)+1* kun fiksita *p*, kaj tiam serĉi por AP inter la valoroj de *c* kiuj donas primoj. Ĉi tiu estas reflektita en la esprimoj por iu rikordoj. La esprimoj povas facile esti reskribitaj kiel *an+b*.

Ĉi tio estas la plej grandaj sciataj AP-*k* kiel en majo de 2008.

| *k* | Primoj por *n=0, ... (k-1)* | Ciferoj en la fina primo | Jaro | Esploristo |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | (1769267·2340000 − 1) + (1061839·2456789 − 1769267·2340000)·*n* | 137514 | 2007 | Jens Kruse Andersen, Jiong Sun, Daniel Heuer |
| 4 | (100997770 + 3624707*n*)·27751# + 1 | 11961 | 2008 | Ken Davis |
| 5 | ((49077426729 + 681402540*n*) · 205881·4001#/35·(205881·4001# + 1) + 6) · (205881·4001# − 1) + 7 | 5132 | 2007 | Ken Davis |
| 6 | (32649185 + 3884057*n*)·3739# + 1 | 1606 | 2006 | Ken Davis |
| 7 | (143850392 + 114858412*n*)·3011# + 1 | 1290 | 2006 | Ken Davis |
| 8 | (4941928071 + 176836494*n*)·2411# + 1 | 1037 | 2003 | Paul Underwood, Markus Frind |
| 9 | (805227062 + 54790161*n*)·941# + 1 | 401 | 2006 | Mike Oakes |
| 10 | (1079682357 + 109393276*n*)·607# + 1 | 260 | 2006 | Mike Oakes |
| 11 | (631346030 + 151515939*n*)·449# + 1 | 195 | 2006 | Jeff Anderson-Lee |
| 12 | (1366899295 + 54290654*n*)·401# + 1 | 173 | 2006 | Jeff Anderson-Lee |
| 13 | (1374042988 + 22886141*n*)·173# + 1 | 78 | 2006 | Mike Oakes |
| 14 | (1067385825 + 193936257*n*)·151# + 1 | 69 | 2007 | Jens Kruse Andersen |
| 15 | (358766428 + 17143877*n*)·101# + 1 | 48 | 2005 | Jens Kruse Andersen |
| 16 | (636435342 + 49408956*n*)·73# + 1 | 38 | 2008 | Jeff Anderson-Lee |
| 17 | (1259891250 + 70154768*n*)·53# + 1 | 29 | 2007 | Jens Kruse Andersen |
| 18 | (1051673535 + 32196596*n*)·53# + 1 | 29 | 2007 | Jens Kruse Andersen |
| 19 | 62749659973280668140514103 + 107·61#·*n* | 27 | 2007 | Jaroslaw Wroblewski |
| 20 | 178284683588844176017 + 53#·*n* | 21 | 2007 | Jaroslaw Wroblewski |
| 21 | 1925228725347080393 + 47#·*n* | 20 | 2007 | Jaroslaw Wroblewski |
| 22 | 950203555027421 + 892·37#·*n* | 18 | 2007 | Jaroslaw Wroblewski |
| 23 | 660593947782971 + 5414270·23#·*n* | 17 | 2008 | Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski |
| 24 | 1606021011322579 + 3490622·23#·*n* | 17 | 2008 | Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski |
| 25 | 6171054912832631 + 366384·23#·*n* | 16 | 2008 | Raanan Chermoni, Jaroslaw Wroblewski |

Najbaraj primoj en aritmetika vico
----------------------------------

**Najbaraj primoj en aritmetika vico** estas *najbaraj* (en aro de ĉiuj primoj) primoj kiu estas samtempe najbaraj eroj de aritmetika vico. Ekzemple, la AP-3 {3, 7, 11} ne estas najbaraj primoj en aritmetika vico ĉar 5 estas ankaŭ primo.

Vico de *k* najbaraj primoj en aritmetika vico (kutime *k≥3*) estas signifata kiel **CPAP-*k***

Estas konjekto ke por ĉiu donita entjero *k* ekzistas CPAP-*k*. Ĉi tio devus enhavi malfinie multajn CPAP-*k* por ĉiuj *k*.

La meza primo en CPAP-3 estas nomata kiel ekvilibra primo. Kiel en 2007, la plej granda pruvita ekvilibra primo havas 7535 ciferojn.

La sola sciata CPAP-10 (kiel en 2007) estis trovita en 1998 de Manfred Toplic en distribuita komputada projekto CP10 kiu estis organizita de Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony kaj Paul Zimmermann. Ĉi tiu CPAP-10 havas la plej malgrandan ebla komunan diferencon 7# = 210.

Se CPAP-11 ekzistas tiam ĝi devas havi komunan diferencon kiu estas oblo de 11# = 2310. La diferenco inter la unua kaj lasta de la 11 primoj devus pro tio esti oblo de 23100. La bezono havi minimume 23090 komponigitajn nombrojn inter la 11 primoj faras travadon de CPAP-11 ege malfacilan. Dubner kaj Zimmermann pritaksis ke ĝi devas esti je minimume 1012 fojoj pli malfacila ol trovado de CPAP-10.

Plej grandaj sciataj primoj en CPAP
-----------------------------------

Ĉi tio estas la plej grandaj sciataj CPAP-*k* kiel en decembro de 2007

| *k* | Primoj por *n=0, ... (k-1)*  | Ciferoj | Jaro | Esploristo |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 3 | 197418203 · 225000 − 6091 + 6090*n* | 7535 | 2005 | David Broadhurst, François Morain |
| 4 | 25900 + 469721931951 + 2880*n* | 1777 | 2007 | Ken Davis |
| 5 | 142661157626 · 2411# + 71427757 + 30*n* | 1038 | 2002 | Jim Fougeron |
| 6 | 44770344615 · 859# + 1204600427 + 30*n* | 370 | 2003 | Jens Kruse Andersen, Jim Fougeron |
| 7 | 4785544287883 · 613# + *x*253 + 210*n* | 266 | 2007 | Jens Kruse Andersen |
| 8 | 10097274767216 · 250# + *x*99 + 210*n* | 112 | 2003 | Jens Kruse Andersen |
| 9 | 73577019188277 · 199#·227·229 + *x*87 + 210*n* | 101 | 2005 | Hans Rosenthal, Jens Kruse Andersen Andersen |
| 10 | 507618446770482 · 193# + *x*77 + 210*n* | 93 | 1998 | Manfred Toplic, CP10 projekto |

*xd* estas *d*-cifera nombro uzita en unu el la pli supre donitaj nombroj:

*x*77 = 54538241683887582 668189703590110659057865934764 604873840781923513421103495579
*x*87 = 279872509634587186332039135 414046330728180994209092523040 703520843811319320930380677867
*x*99 = 158794709 618074229409987416174386945728 371523590452459863667791687440 944143462160821328735143564091
*x*253 = 1617599298905 320471304802538356587398499979
836255156671030473751281181199 911312259550734373874520536148
519300924327947507674746679858 816780182478724431966587843672
408773388445788142740274329621 811879827349575247851843514012
399313201211101277175684636727

Vidu ankaŭ
----------

* Aritmetika vico
* Prima *k*-opo

Referencoj
----------

1. ↑  Ben Green kaj Terence Tao, *La primoj enhavas arbitre longajn aritmetikajn vicojn*. Ekstraktita en 2007-06-17.
2. ↑  Internacia Matematika Unio. *IMU premioj de 2006* Arkivigite je 2006-09-01 per la retarkivo Wayback Machine. Ekstraktita en 2007-06-17.
3. 1 2  Jens Kruse Andersen, *Rikordoj pri primoj en aritmetika progresio*. Ekstraktita en 2008-05-17.
4. ↑   Arkivita kopio. Arkivita el la originalo je 2008-07-24. Alirita 2008-10-16.
5. ↑
6. ↑  Harvey Dubner, Tony Forbes, Nik Lygeros, Michel Mizony kaj Paul Zimmermann, *Dek najbaraj primoj en aritmetika vico*, Matematiko de Kalkulado 71 (2002), 1323-1328.
7. ↑  Manfred Toplic, *La naŭ kaj dek prima projekto*. Ekstraktita en 2007-06-17.
8. ↑  Jens Kruse Andersen, *La plej grandaj sciataj CPAP*. Ekstraktita en 2008-02-01.

* *La prima glosaro: aritmetika vico*, *La supra 20: aritmetikaj progresioj de Primoj* kaj *La supra 20: najbaraj primoj en aritmetika progresio*, en la *Primaj Paĝoj* de Chrita Caldwell
* Eric W. Weisstein, *Prima Aritmetika Progresio* en MathWorld.