La kompleksa ebeno. La kompleksa nombro *z = a+bi* kaj ĝia kompleksa konjugito {\displaystyle {\bar {z}}}*=a-bi*.
**Kompleksa nombro** estas nombro, kiu havas aspekton **z=a+bi**, kie **a** kaj **b** estas reelaj nombroj, kaj **i²** egalas al la nombro **-1**. La signo **i** estas por **imaginara unuo**, **a = Re z** nomiĝas reela parto de kompleksa nombro kaj **b = Im z** - imaginara parto. Reelaj nombroj estas aparta kazo de kompleksaj nombroj, kie **b=0**.

Operacioj de adicio kaj multipliko por kompleksaj nombroj estas difinitaj nature laŭ la koncernaj reguloj sur plurtermoj kaj kun kondiĉo {\displaystyle i^{2}=-1}, t.e.

{\displaystyle z=a+bi\ \ w=c+di}
{\displaystyle z+w=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i}
{\displaystyle z-w=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i}
{\displaystyle z\cdot w=(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i}
{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {a+bi}{c+di}}={\frac {(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}}={\frac {(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^{2}+d^{2}}}}
Multobligado kaj adiciado estas komutecaj kaj asociecaj kaj estas ligitaj kun rilato de distribueco. Por ili ekzistas ankaŭ inversaj operacioj, t.e. subtraho kaj divido (escepte de divido je 0). Tiamaniere, kompleksaj nombroj faras kampon kaj estas signataj per {\displaystyle \mathbb {C} }. Tial unu prezento de kompleksaj nombroj estas per vektoroj, tiel formantaj la kompleksan ebenon: (anstataŭ *a* ofte uzatas *x*, kaj anstataŭ *b* uzatas *y*)

Historio
--------

La unuaj imaginaraj variabloj aperis en verkoj de Gerolamo Cardano "Granda arto aŭ pri algebraj reguloj" (1545), sekve al la provoj kalkuli la radikojn de 3-a grada ekvacio, sed li traktis ilin senutilaj kaj netaŭgaj por la uzo. Unue la gravecon de tiu fenomeno taksis alia italo R. Bombelli (1572), kiu donis kelkajn simplajn regulojn de operacioj sur kompleksaj nombroj. La gravajn kontribuojn por la evoluo de kompleksaj nombroj faris Abraham de Moivre, R. Cotes, Leonhard Euler. La termino "kompleksa nombro" estis enkondukita en 1803 de L. Carnot, sed ĝi fariĝis vaste uzata nur post verkoj de Carl Friedrich Gauss (1831). Al William Rowan Hamilton apartenas la grava spaca generaligo de kompleksaj nombroj, konstruo de la **teorio pri kvaternionoj**.

Polusa prezento
---------------

Ĉiu kompleksa nombro povas esti esprimita ne nur en siaj karteziaj koordinatoj sed ankaŭ per la polusaj koordinatoj de la punkto (la polusa varianto estas nomata ankaŭ trigonometria prezento, aŭ polusa formo). La kompleksa nombro *z* prezenteblas kartezie per

{\displaystyle z=a+bi=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )}
{\displaystyle |z|} estas modulo (aŭ absoluta valoro) de *z*, la distanco inter *z* kaj punkto (0,0)
{\displaystyle \varphi } estas argumento de *z*.
Tiam:

{\displaystyle a=|z|\cos \varphi }
{\displaystyle b=|z|\sin \varphi }
{\displaystyle \varphi =\arctan {\frac {y}{x}}}
{\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
En trigonometria formo operacioj de multobligado kaj divido pli facilas:

{\displaystyle z=|z|(\cos \varphi +i\sin \varphi )\ \ w=|w|(\cos \psi +i\sin \psi )}
{\displaystyle z\cdot w=|z|\cdot |w|(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \psi +i\sin \psi )} = {\displaystyle |z||w|(\cos \varphi \cos \psi -\sin \varphi \sin \psi \ +\ i(\sin \varphi \cos \psi +\cos \varphi \cos \psi ))=|z||w|(\cos(\varphi +\psi )+i\sin(\varphi +\psi ))}
{\displaystyle {\frac {z}{w}}={\frac {|z|}{|w|}}(\cos(\varphi -\psi )+i\sin(\varphi -\psi ))}
Grafika prezento de la tri kubaj radikoj de 1 sur la kompleksa ebeno.
Uzante ilin por potencigo kaj radikigo oni atingas **formulon de de Moivre**:

{\displaystyle z^{n}=|z|^{n}(\cos n\varphi +i\sin n\varphi )}
{\displaystyle {\sqrt[{n}]{z}}={\sqrt[{n}]{|z|}}\left(\cos {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}+i\sin {\frac {\varphi +2k\pi }{n}}\right)\ k\in \{0,1,...n-1\}}
Do en kampo de kompleksaj nombroj ĉiu nombro havas precize *n* radikojn de nivelo *n*.

Uzadoj
------

Estas multaj problemoj en matematiko kaj fiziko kiuj estas pli facile priskribeblaj kaj solveblaj helpe de kompleksaj nombroj, eĉ kiam tiuj nombroj havas neniun spuron en la vortumo de la problemo nek en ĝia fina rezulto.

### En Matematiko

Kompleksaj nombroj estis origine inventitaj por solvi polinomajn ekvaciojn, kiel triaorda ekvacio aŭ la ekvacio {\displaystyle x^{2}+1=0}. Poste estis malkovrite ke ĉiu polinomo kun koeficientoj kiuj estas kompleksaj nombroj fakte havas radikon kiu estas kompleksa nombro.

Uzante la teoremon pri restoj eblas kalkuli realajn integralojn, precipe ĝeneraligitajn integralojn (ankaŭ nomatajn nerealajn aŭ malkonvenajn) sur la tuta reela linio: ek de nulo (aŭ minus infinito) ĝis malfinio.

Ankaŭ, per la polusa reprezentado, diferencialaj ekvacioj ankaŭ povas esti solvitaj.

La zeta funkcio de Riemann, kiu estas kompleksa funkcio, estas surprize rilata al la distribuo de la primoj (vidu ankaŭ la hipotezon de Riemann).

### En fiziko kaj elektrotekniko

En klasika fiziko la polusa reprezentado de kompleksaj nombroj povas esti uzata por solvi la ekvaciojn de moviĝo de harmonia oscilatado, kiuj estas priskribitaj helpe de diferencialaj ekvacioj. Estas ankaŭ ofte oportune por kalkuloj reprezenti ondojn en kompleksa maniero (kutime nur la fakta parto estas referita kiel grandeco kun fizika signifo).
En kvantuma mekaniko, la ŝtatbazo de ĉiu sistemo, kiu estas enhavita en la Hilberta spaco, estas super la kompleksaj nombroj.

Ĉiu ondfunkcio havas kompleksan kazon kiu ne influas la grandecon de sia amplitudo sed nur la "direkton" de la ondo, permesante al ĝi interferiĝi kun aliajn ondfunkciojn. Tamen, la probableco de mezurado de speciala mezurebla fizika grandeco ĉiam estas reala kaj ne negativa.

kompleksaj nombroj ankaŭ estas precipe utilaj en priskribado de periodaj grandecoj, en fizika optiko, elektra teorio kaj elektrotekniko.

Tiuj domajnoj uzas fazojn (kompleksaj grandecoj kiuj inkludas amplitudon kaj kazon). En la lastaj du domajnoj estas kutime marki la kompleksan parton per la litero{\displaystyle \ j} anstataŭ la litero{\displaystyle \ i}, ĉar ĝi jam estas uzata en ili por marki elektran fluon.

Vidu ankaŭ
----------

* Kategorio Kompleksa nombro en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Reela parto
* Imaginara parto
* Imaginara nombro
* Kompleksa konjugito
* Kompleksa ebeno
* Kompleksa geometrio
* Eŭlera idento
* Loka kampo
* Unuocirklo
* Rimana sfero
* Fend-kompleksa nombro
* Fundamenta teoremo de algebro

Bibliografio
------------

* Ahlfors, Lars.  (1979) *Complex analysis*, 3‑a eldono, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
* Apostol, Tom.  (1981) *Mathematical analysis*. Addison-Wesley.
* (1814) "Reflexions sur la nouvelle théorie des imaginaires, suives d'une application à la demonstration d'un theorème d'analise", *Annales de mathématiques pures et appliquées* (fr) **5**, p. 197–209.

* Derbyshire, John.  (2006) *Unknown Quantity: A real and imaginary history of algebra*. Joseph Henry Press. ISBN 978-0-309-09657-7.
* (1831) "Theoria residuorum biquadraticorum. Commentatio secunda.", *Commentationes Societatis Regiae Scientiarum Gottingensis Recentiores* (la) **7**, p. 89–148.

* Needham, Tristan.  (1997) *Visual Complex Analysis*. Clarendon Press. ISBN 978-0-19-853447-1.
* Penrose, Roger.  (2005) *The Road to Reality: A complete guide to the laws of the universe*. Alfred A. Knopf. ISBN 978-0-679-45443-4.

### En matematiko

* Ahlfors, Lars.  (1979) *Complex analysis*, 3‑a eldono, McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-000657-7.
* Conway, John B..  (1986) *Functions of One Complex Variable I*. Springer. ISBN 978-0-387-90328-6.
* Joshi, Kapil D..  (1989) *Foundations of Discrete Mathematics*. Nov-Jorko: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-470-21152-6.
* Pedoe, Dan.  (1988) *Geometry: A comprehensive course*. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
* Press, W.H..  (2007) "Section 5.5 Complex Arithmetic", *Numerical Recipes: The art of scientific computing*, 3‑a eldono, New York: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88068-8.

* *Kompleksa nombro* en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.

### Historio

* Bourbaki, Nicolas.  (1998) "Foundations of mathematics § logic: set theory", *Elements of the history of mathematics*. Springer.
* Burton, David M..  (1995) *The History of Mathematics*, 3‑a eldono, New York: [McGraw-Hill. ISBN 978-0-07-009465-9.

* Katz, Victor J..  (2004) *A History of Mathematics, Brief Version*. Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-16193-2.

* Nahin, Paul J..  (1998) *An Imaginary Tale: The Story of {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-1}}}*. Princeton University Press. ISBN 978-0-691-02795-1.

```
— A gentle introduction to the history of complex numbers and the beginnings of complex analysis.
```

* Ebbinghaus, H. D..  (1991) *Numbers*. Springer. ISBN 978-0-387-97497-2.

```
— An advanced perspective on the historical development of the concept of number.
```

Tiu ĉi artikolo apartenas al la aro de la mil plej gravaj artikoloj

|  |  |
| --- | --- |
| Bibliotekoj | * PeEnEo: 5946
* GND: 4128698-4
* LCCN: sh85093211
* BNF: 11981946j
* NDL: 00563643
* NKC: ph121761
 |