En matematiko, **inversigebla elemento** en ringo estas elemento, kiu havas multiplikan inverson.

La sama nocio (kaj terminon) estas aplikebla pli ĝenerale, por ĉia monoido. Tiam, ĉar la multiplika duongrupo de unuohava ringo estas monoido, inversigeblan elementon de ringo eblas difini kiel inversigeblan elementon de ĝia multiplika monoido.

La nociojn *inverso* kaj *inversigebla elemento* eblas ĝeneraligi por la duongrupoj.

Difino
------

Se {\displaystyle (R,+,0,\cdot ,1)} estas ringo, la **inverso** de elemento {\displaystyle r} estas tia elemento {\displaystyle s\in R}, ke

{\displaystyle r\cdot s=s\cdot r=1}.
Tia elemento estas unika, se ĝi ekzistas, kaj estas skribata {\displaystyle r^{-1}}.

Elemento, kies inverso ekzistas, estas **inversigebla**. Alivorte, s estas *inversigebla* elemento de la multiplika monoido de *R*.

En pluraj lingvoj, oni uzas la terminon *unuo* (angle *unit*, france *unité*, germane *Einheit*), sed ĉi tiu termino estas konfuza, ĉar ĝi estas ankaŭ kutime uzata por nomi la multiplikan neŭtralan elementon *1**R* de la ringo *R* en esprimoj de la tipo *ringo kun unuo* (t.e. 1-hava ringo) kaj ankaŭ ekz. *unuomatrico*. (Tial iuj aŭtoroj nomas la elementon 1**R** "unuaĵo", kaj diras, ke *R* estas "ringo kun unuaĵo" aŭ "1-hava ringo", sed ne "ringo kun unuo".)

Grupo de inversigeblaj elementoj
--------------------------------

La inversigeblaj elementoj de *R* konsistigas grupon *U*(*R*) sub multipliko, kiu nomiĝas la **grupo de iniversigeblaj elementoj** de *R*. Por la grupo de universigeblaj elementoj *U*(*R*) oni kelkfoje uzas la notacion *R*\* aŭ *R*×.

En komuta ringo *R*, la grupo de inversigeblaj elementoj *U*(*R*) agas sur *R* multiplike. La orbitoj de ĉi tiu ago estas nomataj aroj de *asociitoj*; alivorte, la rilato {\displaystyle \sim } sur *R* (nomata *asocieco*) tia, ke

{\displaystyle r\sim s\iff \exists u\in R^{\times }\colon r=us}
estas ekvivalentrilato.

La grupo de inversigeblaj elementoj estas funktoro de la kategorio de ringoj al la kategorio de grupoj:

{\displaystyle (-)^{\times }\colon \operatorname {Ring} \to \operatorname {Grup} }.
Ĉiu ringa homomorfio *f* : *R* → *S* difinas grupan homomorfion

*U*(*f*) : *U*(*R*) → *U*(*S*),
ĉar ringa homomorfio bildigas inversigeblajn elementojn al inversigeblaj elementoj. La ĉi-supra funktoro havas maldekstran adjunkton: la entjerkoeficienta grupa ringo

{\displaystyle G\mapsto \mathbb {Z} [G]}.
Ringo *R* estas korpo, se kaj nur se ĉiu nenula elemento estas inversigebla:

{\displaystyle R^{\times }=R\setminus \{0\}}.

Ekzemploj
---------

* En la ringo de entjeroj {\displaystyle \mathbb {Z} }, la inversigeblaj elementoj estas ±1. La asociitoj estas paroj *n* kaj −*n*.
* Ĉiu radiko de unu estas inversigebla en ĉiu unuohava ringo *R*. (Se *r* estas radiko de unu, kaj *r**n* = 1, tiam *r*−1 = *r**n* − 1 estas ankaŭ ero de *R* per fermaĵo sub multipliko.) En algebra nombroteorio, la unua teoremo de Dirichlet montras la ekziston de multaj inversigeblaj elementoj en la ringoj de algebraj entjeroj. Ekzemple, (√5 + 2)(√5 − 2) = 1.
* En la ringo {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;K)} de *n*×*n* kvadrataj matricoj super iu korpo {\displaystyle K}, la inversigeblaj elementoj estas precize la inversigeblaj matricoj.

Referencoj
----------

1. ↑  Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: invers/ig/ebl/a "en (unuohava) ringo la inversigeblaj elementoj estas la divizoroj de la unuo."