En matematiko, la **kvocienta regulo** estas idento por derivaĵo de funkcio kiu estas la kvociento de du la aliaj funkcioj por kiuj la derivaĵoj ekzistas.

Se la funkcio *f(x)* estas donita kiel

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}
kaj *h(x)≠0*, tiam la derivaĵo de *f(x)* estas

{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}={\frac {{\frac {dg(x)}{dx}}h(x)-g(x){\frac {dh(x)}{dx}}}{(h(x))^{2}}}}
aŭ en la alia skribmaniero

{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}
Pli detale, se por ĉiu *x* en iu malfermita aro enhavanta nombron *a*, *h(x)≠0* kaj *g'(a)* kaj *h'(a)* ambaŭ ekzistas do *f'(a)* kaj

{\displaystyle f'(a)={\frac {g'(a)h(a)-g(a)h'(a)}{(h(a))^{2}}}}

Ekzemplo
--------

{\displaystyle {\frac {d\tan(x)}{dx}}={\frac {d{\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}{dx}}}

*g(x) = sin(x)*
*g'(x) = cos(x)*
*h(x) = cos(x)*
*h'(x) = -sin(x)*
{\displaystyle {\frac {d\tan(x)}{dx}}={\frac {\cos(x)\cos(x)-\sin(x)(-\sin(x))}{(cos(x))^{2}}}={\frac {(\cos(x))^{2}+(sin(x))^{2}}{(cos(x))^{2}}}={\frac {1}{(cos(x))^{2}}}}

Pruvoj
------

### Per difino de derivaĵo

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{w\to 0}{\frac {f(x+w)-f(x)}{w}}=\lim \_{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)}{h(x+w)}}-{\frac {g(x)}{h(x)}}}{w}}}
Oni eligu la *1/w* kaj kombinu la frakciojn en la numeratoro:

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {g(x+w)h(x)-g(x)h(x+w)}{h(x)h(x+w)}}\right)}
Adiciante kaj subtrahante de *g(x)h(x)* en la numeratoro:

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{w\to 0}{\frac {1}{w}}\left({\frac {(g(x+w)h(x)-g(x)h(x)-g(x)h(x+w)+g(x)h(x)}{h(x)h(x+w)}}\right)}
Oni faktorigu ĉi tion kaj multipliku je la *1/w* tra la numeratoro:

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{w\to 0}{\frac {{\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}h(x)-g(x){\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}}{h(x)h(x+w)}}}
Nun oni movu la limigon tra:

{\displaystyle f'(x)={\frac {\lim \_{w\to 0}\left({\frac {g(x+w)-g(x)}{w}}\right)h(x)-g(x)\lim \_{w\to 0}\left({\frac {h(x+w)-h(x)}{w}}\right)}{h(x)h(\lim \_{w\to 0}(x+w))}}}
Laŭ la difino, la limigoj en la numeratoro estas derivaĵoj, kaj do tiel:

{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{[h(x)]^{2}}}}
### Per regulo por derivaĵo de produto

Se

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}}
do

*g(x) = f(x)h(x)*
kaj

*g'(x)=f'(x)h(x) + f(x)h'(x)*
De ĉi tie per algebraj transformoj eblas ricevi formulon por *f'(x)*.

{\displaystyle f'(x)={\frac {g'(x)-f(x)h'(x)}{h(x)}}={\frac {g'(x)-{\frac {g(x)}{h(x)}}h'(x)}{h(x)}}=}
{\displaystyle ={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}
Ankaŭ eblas apliki la regulo por derivaĵo de produto rekte se *1/h(x)* estas konsiderata kiel la dua multiplikato :

{\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}=g(x){\frac {1}{h(x)}}}
Kun tio ke {\displaystyle ({\frac {1}{h(x)}})'={\frac {-1}{(h(x))^{2}}}\cdot h'(x)} rezultas

{\displaystyle f'(x)=g'(x)(h(x))^{-1}+g(x)(-(h(x))^{-2}h'(x))={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}
### Per tuteca derivaĵo

Funkcio {\displaystyle f(x)={\frac {g(x)}{h(x)}}} povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj *g* kaj *h*, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de *x*.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de *f* je *g* kaj *h* povas esti trovitaj:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}={\frac {1}{h}}}
kie *h* estas konsiderata kiel konstanto; kaj

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g\cdot {\frac {-1}{h^{2}}}}
kie *g* estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=}
{\displaystyle ={\frac {1}{h(x)}}g'(x)+g(x){\frac {-1}{(h(x))^{2}}}h'(x)={\frac {g'(x)h(x)-g(x)h'(x)}{(h(x))^{2}}}}

Vidu ankaŭ
----------

* Derivaĵo de funkcia komponaĵo
* Derivaĵo de produto