En lineara algebro, **leĝo de inercio de Sylvester** estas teoremo priskribanta invariantojn de simetriaj kvadrataj matricoj kun reelaj elementoj kaj de reelaj kvadrataj formoj.

Ĝi estas nomita post J. J. Sylvester kiu publikigis pruvon de ĝi en 1852.

Estu *A* esti reela simetria kvadrata *n×n* matrico. Ĉiu ne-degenera matrico *S* de la sama amplekso konvertas *A* en alian simetrian matricon *B* kiel

*B = SAST*
kaj *B* estas dirita al esti ekvivalenta al *A*. Transformoj de ĉi tiu speco priskribas efikon de ŝanĝo de koordinatoj sur la matrico de kvadrata formo en la *n*-dimensia reela vektora spaco.

Simetria matrico *A* povas ĉiam esti konvertita en ekvivalentan diagonalan matricon kun elementoj 0, 1 kaj -1 laŭ la diagonalo. **Leĝo de inercio de Sylvester** statas ke la kvantoj de diagonalaj elementoj de la tri valoroj estas invariantoj de *A*, kio estas ili ne dependas de la matrico *S*. La kvanto da 0, signifata kiel *n0*, egalas al dimensio de la kerno de *A*, kaj ankaŭ al la kunrango de *A*. La kvanto da 1, signifata kiel *n+*, estas nomata kiel la **pozitiva indekso de inercio**. La kvanto da -1, signifata kiel *n-*, estas nomata kiel la **negativa indekso de inercio**. La rezulto de subtraho de la pozitiva kaj negativa indeksoj estas nomata kiel la **signumo** de *A*:

*sign(A) = n+-n-*
Iam la termino *signumo* temas pri la tuta triopo *(n0, n+, n-)*. Sumo de ĉi tiuj nombroj egalas al la dimensio de la matrico

*n0+n++n-=n*
Se la matrico *A* havas la propraĵon ke ĉiu ĉefa supra maldekstra *k×k* minoro *Δk* estas nenula, tiam la negativa indekso de inercio egalas al la kvanto de ŝanĝoj de signumoj en la vico

*Δ0, Δ1, ... Δn*
kie estas aldone difinite ke *Δ0=1* kaj

*Δn = det(A)*
La pozitiva kaj negativa indeksoj de inercio de *A* povas ankaŭ esti karakterizitaj kiel la kvantoj de pozitivaj kaj negativaj ajgenoj de *A*.

Leĝo de inercio por kvadrataj formoj
------------------------------------

Reela kvadrata formo *q* de *n* variabloj (aŭ sur *n*-dimensia reela vektora spaco) povas per taŭga ŝanĝo de bazo esti skribita en diagonala formo

{\displaystyle q(v)=q(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}x\_{i}^{2}}
kun ĉiu *ai* estas en *{0, 1, -1}*. Leĝo de inercio de Sylvester statas ke la kvanto de koeficientoj de ĉiu el la tri valoroj estas invarianto de *q*, kio estas ke la kvanto ne dependas sur aparta elekto de la diagonaliga bazo. Esprimita geometrie, la leĝo de inercio statas ke ĉiuj maksimumaj subspacoj sur kiuj la kvadrata formo estas pozitive difinita havas la saman dimension. Simile ĉiuj maksimumaj subspacoj sur kiuj la kvadrata formo estas negative difinita havas la saman dimension. Ĉi tiuj dimensioj estas la pozitiva kaj negativa indeksoj de inercio respektive.

Ankaŭ,

* *n+* estas kvanto de vektoroj *ei* de la bazo tiaj ke q(ei)>0*;*
* *n-* estas kvanto de vektoroj *ei* de la bazo tiaj ke q(ei)<0*;*
* *n0* estas kvanto de vektoroj *ei* de la bazo tiaj ke q(ei)=0*.*

Vidu ankaŭ
----------

* Metrika signumo
* Signumo
* Dulineara funkcio
* Kvadrata formo
* Izotropa kvadrata formo
* Ajgeno

Eksteraj ligiloj
----------------

* Sylvester, J J  (1852). A demonstration of the theorem that every homogeneous quadratic polynomial is reducible by real orthogonal substitutions to the form of a sum of positive and negative squares - Demonstracio de la teoremo ke ĉiu homogena kvadrata polinomo estas reduktebla per reelaj perpendikularaj anstataŭoj al la formo de sumo de pozitivaj kaj negativaj kvadratoj. Philosophical Magazine - Filozofia Revuo **Iv** 138–142. Kontrolita en 2008-06-27.
* Leĝo de inercio de Sylvester Arkivigite je 2012-03-15 per la retarkivo Wayback Machine je PlanetMath.