En geometrio, **kahelaro** estas *enspacado de spaco* aŭ *proksima pakigo* de hiperpluredraj facetoj tiel ke ne estas ne breĉoj kaj ĉe najbaraj facetoj koincidas respektivaj eroj - vertico kun vertico, latero kun latero ktp.

Kahelaroj ekzistadas en ĉiu kvanto de dimensioj.

Kahelaroj estadas en eŭklida spaco, hiperbola spaco kaj sur sfero. Kahelaro de *(n-1)*-dimensia sfero similas al *n*-dimensia hiperpluredro.
Kahelaro de eŭklida spaco povas esti konsiderata kiel malfinia hiperpluredro.

Noto ke en multaj lingvoj estas diversaj aŭ specifaj vortoj por kahelaroj de diversaj dimensioj (simile al tio kiel "plurlatero" estas specifa vorto por 2-dimensia hiperpluredro). Tamen ĉi tie la vorto "kahelaro" estas uzata por ĉiuj dimensioj.

*(n-1)*-dimensia kahelaro konsistas el *(n-1)*-dimensiaj facetoj. Ĉi tiuj facetoj estas mem hiperpluredroj, kies facetoj estas *(n-2)*-dimensiaj krestoj de la originala kahelaro. Ĉiu kresto ekestas kiel la komunaĵo de du facetoj (sed la komunaĵo de du facetoj ne nepre esti kresto). Krestoj estas denove hiperpluredroj kies facetoj estas *(n-3)*-dimensiaj kulminoj de la originala kahelaro, kaj tiel plu.

| Dimensio de ero de *(d-1)*-kahelaro | Ero |
| --- | --- |
| 0 | Vertico |
| 1 | Latero |
| 2 | Edro |
| 3 | Ĉelo |
| ... | ... |
| *n* ( *n* = 2, 3, ... *d-1* ) | *n*-hiperĉelo |
| ... | ... |
| *d-3* | Kulmino |
| *d-2* | Kresto |
| *d-1* | Faceto |

Eblas enspacigi la ebenon per plurlateroj kiuj ne kuniĝas je siaj verticoj, ekzemple uzante ortangulojn, kiel en brika mura ŝablono:

Estante konsistanta el kvaranguloj, ĉi tio ne estas konsiderata kiel vera kahelaro. Sed eblas konsideri, ke la sama bildo konsistas el seslateroj, aldonante po unu verticon en mezo de ĉiu longa latero de ĉiu kvarlatero (anguloj de la seslateroj je ĉi tiuj verticoj estas 180°). Tiam rezultiĝas jam la vera kahelaro.

Klasifiko
---------

Estas malfinie multaj kahelaroj, kiu ne estas plene klasifikitaj. La pli regulaj aĵoj allogitas pli multan intereson, sed riĉa kaj diversa sortimento de la aliaj ankoraŭ ne estas esplorita.

La plej simplaj *n*-dimensiaj kahelaroj estas konstruataj surbaze de *(n-1)*-dimensiaj kahelaroj kiel aroj de paralelaj tavoloj de prismoj.

|  |  |
| --- | --- |
|   2-dimensia senpintigita seslatera kahelaro |   3-dimensia prismigita senpintigita seslatera kahelaro, konstruita surbaze de la senpintigita seslatera kahelaro |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   2-dimensia kvadrata kahelaro |   3-dimensia kuba kahelaro (kvadrata prisma kahelaro), konstruita surbaze de la *kvadrata kahelaro*. |   4-dimensia 4-hiperkuba kahelaro, konstruita surbaze de la *kuba kahelaro* (estas montrita perspektiva projekcio de 3x3x3x3 ruĝa kaj blua ŝakluda tabulo). |

### Unuformaj kahelaroj

**Unuforma kahelaro** estas kahelaro komponita el unuforma hiperpluredro kiel facetoj kaj kiu estas vertico-transitiva, do ĉe kiu ĉiuj verticoj la samaj.

Estas 11 konveksaj unuformaj kahelaroj de eŭklida 2-dimensia ebeno. El ĉi tiuj, 3 estas regulaj (triangula kahelaro, kvadrata kahelaro, seslatera kahelaro) kaj 8 duonregulaj.

Estas 28 konveksaj unuformaj kahelaroj de eŭklida 3-spaco. El ĉi tiuj, nur unu estas *regula* - la kuba kahelaro kaj unu *kvazaŭregula* - okedro-kvaredra kahelaro.

|  |  |
| --- | --- |
|   Kuba kahelaro |   Kvaredro-okedra kahelaro |

### Spaco-enspacantaj pluredroj

Kahelaro ĉe kiu ĉiuj ĉeloj estas identaj estas ĉelo-transitiva. *Ĉelo* de ĉi tia 3-dimensia kahelaro, estas nomata kiel *spaco-enspacanta pluredro* (kvankam ĉelo-transitiva kahelaro povas esti ankaŭ de pli alta dimensio). Konataj ekzemploj estas:

* La regula kuba kahelaro.
* La unuformo pakado de senpintigitaj okedroj - dutranĉita kuba kahelaro.
* La romba dekduedra kahelaro.
* La rombo-seslatera dekduedra kahelaro.
* Pakado de paralelepipedoj.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   Dutranĉita kuba kahelaro (senpintigitaj okedroj) |   Romba dekduedra kahelaro (rombaj dekduedroj) |   Rombo-seslatera dekduedra kahelaro (rombo-seslateraj dekduedroj) |

### Nekonveksaj kahelaroj

Dokumentitaj ekzemploj estas malmultaj. Du klasoj povas esti distingitaj:

* Nekonveksaj facetoj, pakitaj sen interkovroj. Ĉi tiuj inkluzivas kahelaron konsistantan el la malgrandaj steligitaj rombaj dekduedroj.
* Interkovrantaj facetoj kies pozitiva kaj negativa densecoj formas unuforme densa kontinuaĵon, inter ili al interkovrantaj kahelaroj de la ebeno.

### Hiperbolaj kahelaroj

Dekduedra kahelaro en hiperbola spaco
Hiperbola spaco kondutas iom malsame de ordinara eŭklida spaco, kun ĉeloj adaptanta kune laŭ iom malsamaj reguloj. Kelkaj hiperbolaj kahelaroj estas menciitaj en la listo de regulaj hiperpluredroj.

Dualaj kahelaroj
----------------

Por *n*-dimensia kahelaro povas ekzisti la **duala kahelaro**. Eroj de la duala kahelaro estas respektivaj laŭ sia kvanto kaj konekseco al eroj de la originala kahelaro:

| Ero de la originala kahelaro | Ero de la duala kahelaro |
| --- | --- |
| Faceto | Vertico |
| Krestoj | Latero |
| ... | ... |
| *m*-hiperĉelo | *(n-m)*-hiperĉelo |
| ... | ... |
| Latero | Kresto |
| Vertico | Faceto |

La reguloj de kreo de la dualaj kahelaroj estas la samaj kiel reguloj de kreo de la dualaj hiperpluredroj. Duala de la duala kahelaro estas denove la originala kahelaro.

Dum la dualigo en 2 dimensioj, edroj estas anstataŭigitaj per verticoj, verticoj estas anstataŭigitaj per edroj. La originalaj lateroj estas anstataŭigitaj per la novaj lateroj, kiuj intersekcas la originalajn laterojn.

|  |  |
| --- | --- |
|   Regulaj triangula kahelaro (blua) kaj seslatera kahelaro (ruĝa), dualaj unu al la alia |   Du regulaj kvadrataj kahelaroj (blua kaj ruĝa), dualaj unu al la alia |

En 3 dimensioj, ĉeloj estas anstataŭigitaj per verticoj, edroj estas anstataŭigitaj per lateroj, lateroj estas anstataŭigitaj per edroj, verticoj estas anstataŭigitaj per ĉeloj.

Por *n*-dimensia kahelaro estas konstruata surbaze de *(n-1)*-dimensia kahelaro kiel aro de paralelaj tavoloj de prismoj, la duala kahelaro estas tiu la same konstruita el la duala de la *(n-1)*-dimensia kahelaro.

Vidu ankaŭ
----------

* Listo de unuformaj ebenaj kahelaroj
* Konveksa unuforma kahelaro de eŭklida 3-spaco
* Listo de regulaj hiperpluredroj, ankaŭ kun listo de regulaj kahelaroj
* Hiperkuba kahelaro
* Pluredro
* Pluredra kombinaĵo
* Malfinioedro aŭ malfinia pluredro
* Hiperpluredro
* Regula hiperpluredro
* Simbolo de Schläfli
* Grupo de Coxeter
* Plurformo
	+ Plurkvadrato
	+ Plurformo de regula seslatero
	+ Plurformo de egallatera triangulo
	+ Plurkubo

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Kahelaro (geometrio) en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Eric W. Weisstein, *Spaco-enspacanta pluredro* en MathWorld.
* George Olshevsky, *Kahelaro* en *Glossary for Hyperspace*.
* Kvin spaco-enspacantaj pluredroj, Guy Inchbald
* La dualaj de arĥimedaj kahelaroj, Guy Inchbald, La Matematika Gazeto **80**, Novembro 1996, p.p. 466-475.