En matematiko, **ĝemelaj primoj** estas du primoj, kiuj diferenciĝas inter si je 2. Krom la paro (2, 3), ĉi tio estas la plej malgranda ebla diferenco inter du primoj.

La unuaj ĝemelaj primaj paroj
-----------------------------

Estas 35 ĝemelaj primaj paroj pli sube de 1000:

(3, 5), (5, 7), (11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61), (71, 73), (101, 103), (107, 109), (137, 139), (149, 151), (179, 181), (191, 193), (197, 199), (227, 229), (239, 241), (269, 271), (281, 283), (311, 313), (347, 349), (419, 421), (431, 433), (461, 463), (521, 523), (569, 571), (599, 601), (617, 619), (641, 643), (659, 661), (809, 811), (821, 823), (827, 829), (857, 859), (881, 883).

Propraĵoj
---------

La demando ĉu ekzistas malfinie multaj ĝemelaj primoj estas unu el la granda malfermitaj demandoj en nombroteorio por multaj jaroj. La ĝemela prima konjekto estas, ke ekzistas malfinie multaj ĝemelaj primoj. Forta formo de la ĝemela prima konjekto, la konjekto de Hardy-Littlewood, donas distribuan leĝon por ĝemelaj primoj simile al la prima teoremo.

Uzante kribrilajn manierojn, Viggo Brun montris, ke kvanto de ĝemelaj primoj malpli grandaj ol *x* estas *O(x/(log x)2)*. Ĉi tiu rezulto implicas, ke la malfinia sumo de la inversoj de ĉiuj ĝemelaj primoj konverĝas. Valoro de la sumo estas la konstanto de Brun:

{\displaystyle B\_{2}=\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}\right)+\left({\frac {1}{5}}+{\frac {1}{7}}\right)+\left({\frac {1}{11}}+{\frac {1}{13}}\right)+\left({\frac {1}{17}}+{\frac {1}{19}}\right)+\left({\frac {1}{29}}+{\frac {1}{31}}\right)+\cdots }
La konstanto, ricevita per sumigo laŭ ĉiuj ĝemelaj primoj ĝis 1016, estas:

*B*2 ≈ 1.902160583104
(Vidu ankaŭ en teoremo de Brun). Ĉi tio estas en kontrasto al sumo de inversoj de ĉiuj primoj, kiu malkonverĝas.
Li ankaŭ montras, ke ĉiu para nombro povas esti prezentita en malfinie multaj manieroj kiel diferenco de du nombroj ambaŭ havantaj maksimume 9 primajn faktorojn.

Teoremo de Chen Jingrun statas, ke por ĉiu para *m* estas malfinie multaj primoj *p* (primoj de Chen) tiaj, ke 'p+'m *estas nombro havanta maksimume du primajn faktorojn (primo aŭ duonprimo).*

Antaŭ Brun, ankaŭ Jean Merlin (1876-1914) provis solvi ĉi tiu problemon per la kribrila maniero.

Empiria analitiko de ĉiuj primaj paroj supren ĝis 4,35 · 1015 montras, ke kvanto de ĉi tiaj paroj malpli grandaj ol *x* estas *x·f(x)/(log x)2, kie f(x) estas proksimume 1,7 por malgrandaj* x *kaj malpligrandiĝas al proksimume 1,3, kiam* x *strebas al malfinio.*
La limiganta valoro de f(x) estas konjektita al egala du multiplikita je la ĝemela prima konstanto (kiu estas malsama de konstanto de Brun)

{\displaystyle 2\prod \_{\textstyle {p\;{\rm {primo}} \atop p\geq 3}}\left(1-{\frac {1}{(p-1)^{2}}}\right)=1.3203236\ldots ;}
Ĉi tiu konjekto devus enhavi la ĝemelan priman konjekton, sed restas nesolvita.

Ĉiu ĝemela prima paro pli granda ol 3 estas de formo *(6n-1, 6n+1)* por iu natura nombro *n*, kaj escepte de *n=1*, *n* devas finiĝi je cifero 0, 2, 3, 5, 7 aŭ 8. Do:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| n | (6n-1) | (6n+1) |
| --- | --- | --- |
| 1 | 5 | 7 |
| 2 | 11 | 13 |
| 3 | 17 | 19 |
| 5 | 29 | 31 |
| 7 | 41 | 43 |
| 10 | 59 | 61 |
| 12 | 71 | 73 |
| 17 | 101 | 103 |
| 18 | 107 | 109 |
| 23 | 137 | 139 |
| 25 | 149 | 151 |
| 30 | 179 | 181 |

 | 

| n | (6n-1) | (6n+1) |
| --- | --- | --- |
| 32 | 191 | 193 |
| 33 | 197 | 199 |
| 38 | 227 | 229 |
| 40 | 239 | 241 |
| 45 | 269 | 271 |
| 47 | 281 | 283 |
| 52 | 311 | 313 |
| 58 | 347 | 349 |
| 70 | 419 | 421 |
| 72 | 431 | 433 |
| 77 | 461 | 463 |
| 87 | 521 | 523 |

 | 

| n | (6n-1) | (6n+1) |
| --- | --- | --- |
| 95 | 569 | 571 |
| 100 | 599 | 601 |
| 103 | 617 | 619 |
| 107 | 641 | 643 |
| 110 | 659 | 661 |
| 135 | 809 | 811 |
| 137 | 821 | 823 |
| 138 | 827 | 829 |
| 143 | 857 | 859 |
| 147 | 881 | 883 |
| 170 | 1019 | 1021 |
| 172 | 1031 | 1033 |

 | 

| n | (6n-1) | (6n+1) |
| --- | --- | --- |
| 175 | 1049 | 1051 |
| 177 | 1061 | 1063 |
| 182 | 1091 | 1093 |
| 192 | 1151 | 1153 |
| 205 | 1229 | 1231 |
| 213 | 1277 | 1279 |
| 215 | 1289 | 1291 |
| 217 | 1301 | 1303 |
| 220 | 1319 | 1321 |
| 238 | 1427 | 1429 |
| 242 | 1451 | 1453 |
| 247 | 1481 | 1483 |

 | 

| n | (6n-1) | (6n+1) |
| --- | --- | --- |
| 248 | 1487 | 1489 |
| 268 | 1607 | 1609 |
| 270 | 1619 | 1621 |
| 278 | 1667 | 1669 |
| 283 | 1697 | 1699 |
| 287 | 1721 | 1723 |
| 298 | 1787 | 1789 |
| 312 | 1871 | 1873 |
| 313 | 1877 | 1879 |
| 322 | 1931 | 1933 |
| 325 | 1949 | 1951 |
| 333 | 1997 | 1999 |

 |

Estas pruvita, ke paro *m*, *m+2* estas ĝemelaj primoj, se kaj nur se

{\displaystyle 4((m-1)!+1)\equiv -m{\pmod {m(m+2)}}.} (Clement 1949).
Ĉiu tria nepara nombro pli granda ol sep estas dividebla per 3, tiel 5 estas la sola primo, kiu estas parto de la du paroj. Alivorte, ne ekzistas *m* tia, ke ĉiu el *m*, *m+2*, *m+4* estas primo kaj *m>3*.

Tiel, se *m*, *m+2* estas primoj kaj ankaŭ *m-4* aŭ *m+6* estas primo, tiam la 3 primoj estas la prima trio.

Konjekto de Polignac de 1849 statas, ke por ĉiu para natura nombro *k*, estas malfinie multaj primaj paroj *p* kaj *q* tiaj, ke *p−q=k*. La okazo *k=2* estas la ĝemela prima konjekto. La okazo *k=4* respektivas al kuzaj primoj kaj la okazo *k =6* al sensaj primoj. La konjekto ne estas pruvita aŭ malpruvita por iu valoro de *k*.

Plej grandaj sciataj ĝemelaj primoj
-----------------------------------

Por la 15-a de januaro de 2007, du distribuita komputadaj projektoj de serĉo de ĝemelaj primo trovis la plej grandajn sciatajn ĝemelaj primojn 2003663613 · 2195000 ± 1. La nombroj havas po 58711 dekumajn ciferojn.

Vidu ankaŭ
----------

* Prima k-opo
* Prima kvaropo
* Prima kvinopo
* Faktorialo
* Modula aritmetiko

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Ĝemelaj primoj* en MathWorld.
* Enkonduko al ĝemelaj primoj kaj konstanto de Brun de Xavier Gourdon kaj Pascal Sebah
* Supraj 20 ĝemelaj primoj) je la primaj paĝoj de Chris Caldwell.
* la 58711-cifera ĝemela prima rikordo