En matematiko, **inversaj hiperbolaj funkcioj** estas retroĵetoj de hiperbolaj funkcioj.

| Hiperbola funkcio | Inversa hiperbola funkcio |
| --- | --- |
| Nomo | Skribmaniero | Difino | Nomo | Skribmaniero |
| Hiperbola sinuso | *y=sinh x* aŭ *y=sh x* | {\displaystyle y={\frac {e^{x}-e^{-x}}{2}}\!} | **Inversa hiperbola sinuso** | *u=arcsinh v* aŭ *u=arsinh v* aŭ *u=asinh v* aŭ *u=arsh v* |
| Hiperbola kosinuso | *y=cosh x* aŭ *y=ch x* | {\displaystyle y={\frac {e^{x}+e^{-x}}{2}}\!} | **Inversa hiperbola kosinuso** | *u=arccosh v* aŭ *u=arcosh v* aŭ *u=acosh v* aŭ *u=arch v* |
| Hiperbola tangento | *y=tanh x* aŭ *th x* | {\displaystyle y={\frac {\sinh x}{\cosh x}}\!} | **Inversa hiperbola tangento** | *u=arctanh v* aŭ *u=artanh v* aŭ *u=atanh v* |
| Hiperbola kotangento | *y=coth x* aŭ *cth x* | {\displaystyle y={\frac {\cosh x}{\sinh x}}\!} | **Inversa hiperbola kotangento** | *u=arccoth v* aŭ *u=arcoth v* aŭ *u=acoth v* |
| Hiperbola sekanto | *y=sech x* | {\displaystyle y={\frac {1}{\cosh x}}\!} | **Inversa hiperbola sekanto** | *u=arcsech v* aŭ *u=arsech v* aŭ *u=asech v* |
| Hiperbola kosekanto | *y=csch* | {\displaystyle y={\frac {1}{\sinh x}}\!} | **Inversa hiperbola kosekanto** | *u=arccsch v* aŭ *u=arcsch v* aŭ *u=acsch v* |

|  |  |
| --- | --- |
|   *arsinh x* |   *arcosh x* |
|   *artanh x* |   *arcoth x* |
|   *arsech x* |   *arcsch x* |

Radio tra la fonto tranĉas la hiperbolo *x2-y2 = 1* en la punkto *(cosh a, sinh a)*, kie *a* estas la areo inter la radio, ĝia spegula bildo kun respekto al la *x*-akso, kaj la hiperbolo
Ili estas nomataj ankaŭ kiel **areaj hiperbolaj funkcioj**, ĉar ili komputas areon de sektoro de la unua hiperbolo *x2-y2 = 1*, simile al tio kiel inversaj trigonometriaj funkcioj komputas longon de arko de la unuobla cirklo *x2+y2 = 1*.

La kutimaj simboloj por ili (ekzemple por hiperbola sinuso) estas kiel *arsinh*, *arcsinh* aŭ *asinh* (en komputiko). Ankaŭ skribmaniero kiel *sinh−1 (x)* estas uzata. La simboloj komenciĝantaj de "arc" (*arcsinh*, ...) estas kutime uzita, sed fakte ili estas misnomaĵoj ĉar la prefikso "arc" devenas de vorto *arko* analoge al inversaj trigonometriaj funkcioj, sed inversaj hiperbolaj funkcioj ne kalkulas arkon. La prefikso "ar" devenas de vorto *areo* kaj respektivas la realan kalkuladon.

Sur reelaj nombroj, nur *sinh*, *tanh*, *coth* kaj *csch* permesas retroĵetadon kun certa ricevo de la originala valoro (tiel por ĉiu reela *x*, ekzemple *arsinh (sinh x)=x*). *cosh* kaj *sech* prenas (sur reela domajno) preskaŭ ĉiun eblan valoron je du malsamaj argumentoj, sed la ĉefa valoro de inversa funkcio redonas nur unuon el la du eblaj variantoj.

Pro tio ke ĉiuj hiperbolaj funkcioj estas periodaj kun kompleksa periodo *2πi* (*πi* por hiperbola tangento kaj hiperbola kotangento), apliko de la inversa funkcio kun preno de la ĉefa valoro (vidu sube) ne ĉiam donas la originalan valoron. Tiel la inversaj funkcioj estas multvaloraj funkcioj

Logaritma prezento
------------------

La funkcioj estas difinita en la kompleksa ebeno per esprimoj kun logaritmoj kiel:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x^{2}+1}})}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x=\ln(x+{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}})\neq \ln(x+{\sqrt {x^{2}-1}})}
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x=\ln \left({\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{1-x}}\right)={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\ln \left({\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}+{\frac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\ln \left({\sqrt {{\frac {1}{x}}-1}}{\sqrt {{\frac {1}{x}}+1}}+{\frac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x={\frac {1}{2}}\ln {\frac {x+1}{x-1}}}
De la kvadrataj radikoj estas prenetaj la ĉefaj valoroj. Por reelaj argumentoj kaj redonaj valoroj, certaj plisimpligoj povas esti faritaj, ekzemple {\displaystyle {\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}}={\sqrt {x^{2}-1}}}, kio ne estas ĝenerale vera tra kompleksaj *x*.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   *arsinh z* |   *artanh z* |   *arsech z* |
|   *arcosh z* |   *arcoth z* |   *arcsch z* |

Serioj
------

Seriaj elvolvaĵoj por la funkcioj estas:

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x}
{\displaystyle =x-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{7}}{7}}+\cdots }
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1}
{\displaystyle \operatorname {arcosh} \,x}
{\displaystyle =\ln 2x-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-6}}{6}}+\cdots \right)}
{\displaystyle =\ln 2x-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-2n}}{(2n)}},\qquad x>1}
{\displaystyle \operatorname {artanh} \,x=x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1}
{\displaystyle \operatorname {arcsch} \,x=\operatorname {arsinh} \,x^{-1}}
{\displaystyle =x^{-1}-\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{-3}}{3}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{-5}}{5}}-\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots }
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|<1}
{\displaystyle \operatorname {arsech} \,x=\operatorname {arcosh} \,x^{-1}}
{\displaystyle =\ln {\frac {2}{x}}-\left(\left({\frac {1}{2}}\right){\frac {x^{2}}{2}}+\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right){\frac {x^{4}}{4}}+\left({\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\right){\frac {x^{6}}{6}}+\cdots \right)}
{\displaystyle =\ln {\frac {2}{x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {(-1)^{n}(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right){\frac {x^{2n}}{2n}},\qquad 0<x\leq 1}
{\displaystyle \operatorname {arcoth} \,x=\operatorname {artanh} \,x^{-1}}
{\displaystyle =x^{-1}+{\frac {x^{-3}}{3}}+{\frac {x^{-5}}{5}}+{\frac {x^{-7}}{7}}+\cdots }
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{-(2n+1)}}{(2n+1)}},\qquad \left|x\right|>1}
Asimptota elvolvaĵo por *arsinh x* estas

{\displaystyle \operatorname {arsinh} \,x=\ln 2x+\sum \limits \_{n=1}^{\infty }{\left({-1}\right)^{n-1}{\frac {\left({2n-1}\right)!!}{2n\left({2n}\right)!!}}}{\frac {1}{x^{2n}}}}

Derivaĵoj
---------

{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arcosh} \,x}{dx}}={\frac {1}{{\sqrt {x-1}}{\sqrt {x+1}}}}}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {artanh} \,x}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arcoth} \,x}{dx}}={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arsech} \,x}{dx}}={\frac {-1}{x(x+1)\,{\sqrt {\frac {1-x}{1+x}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arcsch} \,x}{dx}}={\frac {-1}{x^{2}\,{\sqrt {1+{\frac {1}{x^{2}}}}}}}}
Por reela *x* eblas plisimpligi la esprimojn:

{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arsech} \,x}{dx}}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1-x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0}
{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arcsch} \,x}{dx}}={\frac {\mp 1}{x\,{\sqrt {1+x^{2}}}}};\qquad \Re \{x\}\gtrless 0}
Ekzemplo de pruvo: estu *θ = arsinh x*, do:

{\displaystyle {\frac {d\operatorname {arsinh} \,x}{dx}}={\frac {d\theta }{d\sinh \theta }}={\frac {1}{\cosh \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1+\sinh ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}

Vidu ankaŭ
----------

* Hiperbola funkcio
* Trigonometria funkcio
* Inversa trigonometria funkcio
* Eksponenta funkcio
* Logaritmo
* Eŭlera formulo
* Funkcio de Gudermannian

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Inversa hiperbola funkcio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Inversaj hiperbolaj funkcioj je MathWorld

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| v • d • rTrigonometrio |
| --- |
| Trigonometriaj funkcioj | Sinuso • Kosinuso • Tangento • Kotangento • Sekanto • Kosekanto |
| Inversaj trigonometriaj funkcioj | Arksinuso • Arkkosinuso • Arktangento • Arkkotangento • Arksekanto • Arkkosekanto |
| Teoremoj kaj formuloj | Leĝo de sinusoj • Leĝo de kosinusoj (en sfero) • Leĝo de tangentoj • Formuloj de prostaferezo • Formuloj de Werner |
| Aliaj | Trigonometria cirklo • Hiperbola funkcio • Inversa hiperbola funkcio • Trigonometria idento • Komplementaj anguloj |

 |