*Ĉi tiu artikolo estas pri matematika koncepto. Pro la sociologia termino vidu artikolon grupa ago (sociologio).*

---

En matematiko, simetria grupo priskribas ĉiujn simetriojn de objektoj. Ĉi tio estas formaligita per la nocio de **grupa ago**: ĉiu elemento de la grupo "agas" tiel, ke ĝi permutas laŭ "simetrio" elementojn de iu aro. En ĉi tia situacio, la grupo estas ankaŭ nomata **permuta grupo** (aparte se la aro estas finia aŭ ne estas vektora spaco) aŭ **transforma grupo** (aparte se la aro havas strukturon de vektora spaco kaj la elementoj de la grupo agas kiel ĝiaj linearaj transformoj). **Permuta prezento** de grupo *G* estas prezento de *G* kiel grupo de permutoj de iu aro (precipe, se la aro estas finia). Ĝi povas esti ekvivalente priskribita ankaŭ kiel grupa prezento de *G* per permutaj matricoj kaj estas kutime konsiderata en la finidimensia kazo - ĝi estas la sama kiel grupa ago de *G* sur *ordita* bazo de vektora spaco.

Difino
------

Se {\displaystyle \mathrm {G} } estas grupo kaj {\displaystyle \mathrm {X} } estas aro, tiam **grupa ago** de {\displaystyle \mathrm {G} } sur {\displaystyle \mathrm {X} } estas duvalenta operacio {\displaystyle \cdot :\mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} } (kies apliko al {\displaystyle g\in \mathrm {G} } kaj {\displaystyle x\in \mathrm {X} } estas notacie {\displaystyle g\cdot x}), kiu kontentigas jenajn du aksiomojn:

1. {\displaystyle g\cdot (h\cdot x)=(gh)\cdot x} por ĉiuj {\displaystyle g,h\in \mathrm {G} } kaj {\displaystyle x\in \mathrm {X} }
2. {\displaystyle e\cdot x=x} por ĉiu {\displaystyle x\in \mathrm {X} }, kie {\displaystyle e} estas la neŭtrala elemento de la grupo {\displaystyle \mathrm {G} }.

El ĉi tiuj du aksiomoj sekvas, ke por ĉiu {\displaystyle g\in \mathrm {G} }, la funkcio, kiu surĵetas {\displaystyle x\in \mathrm {X} } al {\displaystyle g\cdot x}, estas dissurĵeto de {\displaystyle \mathrm {X} } al {\displaystyle \mathrm {X} }. Tial oni povas alternative kaj ekvivalente difini grupan agon de {\displaystyle \mathrm {G} } sur {\displaystyle \mathrm {X} } kiel grupan homomorfion {\displaystyle \mathrm {G} \rightarrow {\mathcal {X}}}, kie {\displaystyle {\mathcal {X}}} estas simetria grupo sur {\displaystyle \mathrm {X} }, t.e. la grupo de ĉiuj dissurĵetoj de {\displaystyle \mathrm {X} } al {\displaystyle \mathrm {X} }.

Pri grupa ago {\displaystyle \mathrm {G} \times \mathrm {X} \rightarrow \mathrm {X} }, oni alivortume diras, ke *G agas sur aro X*.

Ekzemploj
---------

* La simetria grupo S*n* kaj ĝiaj subgrupoj agas sur la aro { 1, ... , *n* }, permutante ĝiajn elementojn.
* La grupo de simetrioj de pluredro agas sur la aro de ĝiaj verticoj.
* La grupo de simetrioj de ĉiu geometria objekto agas sur la aro de punktoj de tiu objekto: ekzemple, la simetrioj de kubo kimbinita el ok kubetoj kaj la diamanta teoremo

Ĝeneraligoj
-----------

Oni povas difini, ke sur aro agas ne grupo, sed monoido (algebra strukturo pli ĝenerala ol grupo) aŭ (eĉ pli ĝenerale) duongrupo, postulante la samajn du aksiomojn kiel ĉi-supre por monoidoj kaj nur la unuan aksiomon por duongrupoj. Tamen **monoida ago** kaj **duongrupa ago** ne difinas dissurĵetojn kaj ekvivalentrilatojn.

  


|  |  |
| --- | --- |
|  <!-- --> | Ĉi tiu artikolo enhavas dume forkomentitajn partojn de la teksto, ĉar ili ankoraŭ ne estas sufiĉe bonaj. Vi povas redakti la paĝon kaj plibonigi kaj malkomenti la forkomentitajn partojn. |

* Kategorio Grupa ago en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)