En probabloteorio kaj stokastikaj procezoj, la **reflektadprincipo** por Wiener-procezo deklaras ke se la pado de Wiener-procezo {\displaystyle f(t)} atingi valoron {\displaystyle f(s)=a} en tempo {\displaystyle t=s}, tiam la posta vojo post tempo {\displaystyle s} havas la saman distribuon kiel la reflektado de la posta vojo sur la valoro {\displaystyle a}. Pli formale, la principo de reflektado rilatas al lemo koncerne la distribuadon de la suprema de la Wiener-procezo, ankaŭ nomita Browniana moviĝo. La rezulto rilatigas la distribuadon de la suprema de la Browniana movo al la tempo {\displaystyle t} kun la distribuo de la procezo en tempo {\displaystyle t}. Ĝi estas konsekvenco de la forta Markov-posedaĵo de Brownia moviĝo.

Aserto
------

se {\displaystyle (W(t):t\geq 0)} estas Wiener-procezo {\displaystyle a>0} estas sojlo (ankaŭ nomita krucpunkto), tiam la lemo diras:

> {\displaystyle \mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)=2\mathbb {P} (W(t)\geq a).}
> 
> 

Pli forte, la principo de pripensado deklaras ke se {\displaystyle \tau } estas halta tempo, tiam la reflekto de la Wiener-procezo komencanta je {\displaystyle \tau }, indikita {\displaystyle (W^{\tau }(t):t\geq 0)}, ankaŭ estas Wiener-procezo, kie:

> {\displaystyle W^{\tau }(t)=W(t)\chi \_{\left\{t\leq \tau \right\}}+(2W(\tau )-W(t))\chi \_{\left\{t>\tau \right\}}}
> 
> 

kaj la indikila funkcio {\displaystyle \chi \_{\{t\leq \tau \}}={\begin{cases}1,&{\text{se }}t\leq \tau \\0,&{\text{de outro modo }}\end{cases}}} Ĝi estas {\displaystyle \chi \_{\{t>\tau \}}} estas difinitaj simile. La plej forta formo implicas la originalan moton dum elektado {\displaystyle \tau =\inf \left\{t\geq 0:W(t)=a\right\}} .

Pruvo
-----

La plej frua halttempo por atingi la interkruciĝpunkton {\displaystyle a}, {\displaystyle \tau \_{a}:=\inf \left\{t:W(t)=a\right\}}, estas preskaŭ certe limigita halttempo. Tiam ni povas apliki la fortan Markov-econ por dedukti ke posta relativa vojo al {\displaystyle \tau \_{a}}, donita de {\displaystyle X\_{t}:=W(t+\tau \_{a})-a}, estas ankaŭ simpla Brownia movo sendependa de {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{\tau \_{a}}^{W}}. Do la probabla distribuo por la lasta fojo {\displaystyle W(s)} estas sur la sojlo {\displaystyle a} aŭ super ĝi en la tempointervalo {\displaystyle [0,t]} kaj povas esti malkomponita kiel:

> {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,W(t)<a\right)\\&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau \_{a})<0\right)\\\end{aligned}}.}
> 
> 

Per la turo por kondiĉaj atendoj, la dua termino reduktas al:

> {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau \_{a})<0\right)&=\mathbb {E} \left[\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a,X(t-\tau \_{a})<0|{\mathcal {F}}\_{\tau \_{a}}^{W}\right)\right]\\&=\mathbb {E} \left[\chi \_{\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a}\mathbb {P} \left(X(t-\tau \_{a})<0|{\mathcal {F}}\_{\tau \_{a}}^{W}\right)\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right),\end{aligned}}}
> 
> 

donita tion {\displaystyle X(t)} estas norma Brownia movo sendependa de {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{\tau \_{a}}^{W}} kaj havas probablecon {\displaystyle 1/2} esti malpli ol {\displaystyle 0}. La pruvo de la lemo estas kompletigita per anstataŭigado de tio en la duan linion de la unua ekvacio:

> {\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)+{\frac {1}{2}}\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)\\\mathbb {P} \left(\sup \_{0\leq s\leq t}W(s)\geq a\right)&=2\mathbb {P} \left(W(t)\geq a\right)\end{aligned}}.} 
> 
>

Konsekvencoj
------------

La reflektadprincipo estas ofte uzata por simpligi distribuajn trajtojn de Browniana moviĝo. Konsiderante Brownian moviĝon en la limigita intervalo {\displaystyle (W(t):t\in [0,1])}, tiam la principo de reflektado permesas al ni pruvi, ke la loko de maksimumoj {\displaystyle t\_{\text{max}}}, kiuj kontentigas {\displaystyle W(t\_{\text{max}})=\sup \_{0\leq s\leq 1}W(s)}, havas la arksinusan distribuon. Tio estas unu el la arksinuoj de Lévy.

Vidu ankaŭ
----------

* Reflekto

Referencoj
----------

1. ↑   Jacobs, Kurt (2010). Stochastic Processes for Physicists: Understanding Noisy Systems (en angla). [S.l.]: Cambridge University Press. pp. Cambridge. ISBN 9781139486798. Konsultita la 27an de februaro 2018 ISBN=9781139486798
2. ↑   Mörters, Peter; Peres, Yuval (2010). Brownian Motion (en angla). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9781139486576. Konsultita la 27an de februaro 2018
3. ↑   Lévy, Paul (1940). «Sur certain processus stochastiques homogènes» (PDF). *Compositio Mathematica*. Konsultita la 27an de februaro 2018

|  |  |
| --- | --- |
| Bibliotekoj | * PeEnEo: 832303
 |