En matematiko, la **kardinalo de kontinuaĵo** aŭ la **kvantonombro de kontinuaĵo**, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj ***R*** (kiu aro estas iam nomata kiel la kontinuaĵo). La kardinalo de ***R*** estas skribata kiel *|**R**|* aŭ kiel *c*. Kiel kardinalo, *c* estas egala al beth-nombro beth-unu, {\displaystyle c=\beth \_{1}}). Se la kontinuaĵa hipotezo veras, tiam *c* estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu, {\displaystyle c=\aleph \_{1}}.

Nekalkulebleco
--------------

Kardinalo de la kontinuaĵo estas pli granda ol kardinalo de la aro de naturaj nombroj ***N***, {\displaystyle |\mathbf {N} |=\aleph \_{0}<c}, konkrete {\displaystyle c=2^{\aleph \_{0}}} kie {\displaystyle \aleph \_{0}} (alef-nulo) estas la kardinalo de ***N***. En aliaj vortoj, kvankam ***R*** kaj ***N*** estas ambaŭ malfiniaj aroj, la reelaj nombroj estas iusence pli multaj ol la naturaj nombroj.

Georg Cantor pruvis ĉi tion en malsamaj manieroj - kiel la unua nekalkulebleca pruvo de Cantor kaj per la diagonala argumento de Cantor.

Egalaĵoj kun la kardinaloj
--------------------------

Estu *{0, 2}**N*** la aro de malfiniaj vicoj kun valoroj el aro *{0, 2}*. Ĉi tiu aro klare havas kardinalon {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}} (la natura reciproke unuvalora surĵeto inter la aro de duumaj vicoj kaj *P*(**N**) estas donita per la nadla funkcio). La asociaĵo al ĉiu tia vico *(ai)* estas la unika reela nombro en la intervalo [0,1] kies triuma elvolvaĵo estas donita per la ciferoj *(ai)*, kio estas la *i*-a cifero post la dekuma punkto estas *ai*. La bildo de ĉi tiu mapo estas nomata kiel la aro de Kantor. Ĉi tiu mapo estas enjekcia. Per evito de punktoj kun la cifero 1 en ilia triuma elvolvaĵo estas evitataj konfliktoj kreis per tio ke la triuma -elvolvaĵo de reela nombro estas ne unika. Tiel {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\leq c}.
Per la teoremo de Cantor-Bernstein-Schroeder

{\displaystyle c=|P(\mathbb {N} )|=2^{\aleph \_{0}}}
Egaleco *cc = c* povas esti montrita per la kardinala aritmetiko:

{\displaystyle c^{2}=(2^{\aleph \_{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph \_{0}}}=2^{\aleph \_{0}}=c}
Ĉi tiu argumento estas densigita versio de la alternado de du duumaj vicoj: estu *0,a0a1a2...* la duuma elvolvaĵo de reela *x* kaj estu *0,b0b1b2...* esti la duuma elvolvaĵo de reela *y*. Tiam *z* = *0,a0b0a1b1a2b2...*, la alternado de la duumaj elvolvaĵoj, estas bone-difinita funkcio se *x* kaj *y* havas unikajn duumajn elvolvaĵojn. Nur kalkuleble multaj reelaj nombroj havas ne-unikajn duumajn elvolvaĵojn.

Per uzado de la reguloj de kardinala aritmetiko eblas montri ke

{\displaystyle c^{\aleph \_{0}}={\aleph \_{0}}^{\aleph \_{0}}=n^{\aleph \_{0}}=c^{n}=\aleph \_{0}c=nc=c}
kie *n* estas ĉiu finia kardinalo, *n≥2*, kaj

{\displaystyle c^{c}=(2^{\aleph \_{0}})^{c}=2^{c\times \aleph \_{0}}=2^{c}}
kie *2c* estas la kardinalo de aro de ĉiuj subaroj de ***R***, kaj *2c>c*.

Beth-nombroj
------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Beth-nombro.
La vico de beth-nombroj estas difinita per {\displaystyle \beth \_{0}=\aleph \_{0}} kaj {\displaystyle \beth \_{k+1}=2^{\beth \_{k}}}. Tiel {\displaystyle c=\beth \_{1}} kaj {\displaystyle 2^{c}=\beth \_{2}}.

La kontinuaĵa hipotezo
----------------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kontinuaĵa hipotezo.
La kontinuaĵa hipotezo statas ke *c* estas ankaŭ la dua alef-nombro {\displaystyle \aleph \_{1}}. En aliaj vortoj, la kontinuaĵa hipotezo statas ke ne ekzistas aro *A* kies kardinalo kuŝas severe inter {\displaystyle \aleph \_{0}} kaj *c*.

Ĉi tiu frazo estas sciata al esti sendependa de la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. Tio estas, ambaŭ la hipotezo kaj ĝia nego estas konsekvencaj kun ĉi tiuj aksiomoj. Fakte, por ĉiu nenula natura nombro *n*, la egaleco {\displaystyle c=\aleph \_{n}} estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. La okazo *n=1* estas la kontinuaĵa hipotezo. La samo estas vera por plejparto de la aliaj okazoj, kvankam en iuj okazoj egaleco povas estas neebla pro la teoremo de König pri la fundoj de kunfinieco, ekzemple, {\displaystyle c\neq \aleph \_{\omega }}. Konkrete, *c* povas esti {\displaystyle \aleph \_{1}} aŭ {\displaystyle \aleph \_{\omega \_{1}}}, kie {\displaystyle \omega \_{1}} estas la unua nekalkulebla orda numero. Tiel *c* povas esti postanta kardinalo aŭ limiga kardinalo, kaj krom ĉi tio *c* povas esti regula kardinalo aŭ singulara kardinalo.

Aroj kun kardinalo egala al kardinalo de kontinuaĵo
---------------------------------------------------

Multaj aroj uzataj en matematiko havan kardinalon egalan al *c*:

* Aro de ĉiuj reelaj nombroj ***R***
* Ĉiu nedegenera fermita aŭ malfermita intervalo en ***R*** (kiel ekzemple la unuobla intervalo [0, 1])
* Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj
* Aro de ĉiuj transcendaj nombroj
* Aro de ĉiuj kompleksaj nombroj ***C***
* Aro de ĉiuj punktoj de (finidimensia) eŭklida spaco  ***R**n*
* Aro de ĉiuj vicoj de entjeroj, kio estas ĉiuj funkcioj  ***N**→**Z*** , ofte skribata kiel  ***Z****N***
* Aro de ĉiuj vicoj de reelaj nombroj, kio estas ĉiuj funkcioj  ***N**→**R*** , ofte skribata kiel  ***R****N***
* Aro de ĉiuj kontinuaj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro de ĉiuj subaroj de la naturaj nombroj *P(**N**)*
* Aro de Kantor
* Eŭklida topologio sur  ***R**n*, kio estas la aro de ĉiuj malfermitaj aroj en  ***R**n*
* Borela *σ*-algebro sur ***R***, kio estas la aro de ĉiuj borelaj aroj en ***R***

Aroj kun kardinalo pli granda ol kardinalo de kontinuaĵo
--------------------------------------------------------

Iuj aroj kun kardinalo {\displaystyle 2^{c}=\beth \_{2}}, kiu estas pli granda ol *c*:

* Aro  ***R****R*** de ĉiuj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro *P(**R**)* de ĉiuj subaroj de ***R***
* Aro *2**R*** de nadlaj funkcioj difinantaj subarojn de reelaj nombroj; ĝi estas izomorfia al *P(**R**)*, la nadla funkcio elektas erojn kiujn ĉiu subaro inkluzivas
* Lebega *σ*-algebro de ***R***, kio estas, la aro de ĉiuj lebege mezureblaj aroj en ***R***

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kardinalo de kontinuaĵo en PlanetMath.