La 5 liberaj 4-kvadratoj
En matematiko, **4-kvadrato** estas plurkvadrato de ordo 4, kio estas plurlatero en la ebeno el 4 egale ampleksaj kvadratoj koneksaj je latero al latero. Se turnadoj kaj reflektoj estas ne konsiderataj kiel generantaj malsamajn formojn, estas 5 malsamaj **liberaj** 4-kvadratoj. Se reflektoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 7 **unuflankaj** 4-kvadratoj. Se ankaŭ turnoj estas konsiderataj kiel malsamaj, estas 19 **fiksitaj** 4-kvadratoj.

La respektiva plurkubo, la **4-kubo**, estas geometria formo komponita el kvar kuboj koneksaj edro al edro.

Populara uzo de 4-kvadratoj estas en la videoa ludo *Tetriso*.

Unuflankaj 4-kvadratoj
----------------------

| Simbolo |  | Bildo |
| --- | --- | --- |
| I | Rekta linio el kvar blokoj. Ankaŭ nomata kiel "bastono" aŭ "longa". |  |
| J | Horizontala linio el tri blokoj kun unu aldonita pli sube ĉe la dekstra fino. Ankaŭ nomata kiel "inversigita L" aŭ "gamo" Γ. |  |
| L | Horizontala linio el tri blokoj kun unu aldonita pli sube ĉe la maldekstra fino. Ĉi tiu peco estas reflekto de J sed ne povas esti turnita enen de J en du dimensioj; ĉi tio estas ekzemplo de nememspegulsimetrieco. Tamen, en tri dimensioj, ĉi tiu peco estas identa al J. Ankaŭ nomata kiel "pafilo". |  |
| O | Kvar blokoj en 2×2 kvadrato. Ankaŭ nomata kiel "kvadrato", "pakaĵo", "bloko". |  |
| S | Du intertuŝantaj horizontalaj domenoj, kun la supra unu ŝovita dekstren. Ankaŭ nomata kiel "inversigita N", "dorsflanka ondoformo", "s-zigzago". |  |
| Z aŭ N | Du intertuŝantaj horizontalaj domenoj, kun la supra unu ŝovita maldekstren. La samaj simetriaj propraĵoj kiel kun L kaj J aplikas kun S kaj Z. Ankaŭ nomata kiel "zigzago". |  |
| T | Linio el tri blokoj kun unu aldonita flanke ĉe la mezo. |  |

La liberaj 4-kvadratoj konsideras reflekton (turnadon en la tria dimensio) kiel ekvivalento.
Ĉi tiu eliminas J kaj Z, lasanta kvin liberajn 4-kvadratojn: I, L, O, S (ankaŭ nomata kiel N aŭ Z), T.

La fiksitaj 4-kvadratoj ne permesas turnadon aŭ reflekton. Estas 2 malsamaj fiksitaj I 4-kvadratoj, 4 J, 4 L, 1 O, 2 S, 4 T, 2 Z, por tuteco de 19 fiksitaj 4-kvadratoj.

Kahelado de la ortangulo kaj 3D skatolo kun 2D pecoj
----------------------------------------------------

La kvin liberaj 4-kvadratoj, de supro al malsupro I, O, Z, T, L, markitaj kun helaj kaj malhelaj kvadratoj.
Kvankam plena aro de liberaj 4-kvadratoj havas entute 20=4×5 kvadratojn, kaj plena aro de unuflankaj 4-kvadratoj havas 28=4×7 kvadratojn, ne eblas paki ilin en 4×5 kaj 4×7 ortangulon respektive, simile al 6-kvadratoj kaj malsimile al 5-kvadratoj.

La pruvo estas ke la ortangulo kovrita kun ŝakludotabula ŝablono havas po 10 aŭ 14 da helaj kaj malhelaj kvadratoj. Sed plena aro de liberaj 4-kvadratoj havas 11 helajn kaj 9 malhelajn kvadratojn; plena aro de unuflankaj 4-kvadratoj havas 15 helajn kaj 13 malhelajn kvadratojn.

Multaro inkluzivanta po duon de ĉiu libera 4-kvadrato, kiu havas tutecan areon de 40 kvadratoj, povas konformi 4×10 kaj 5×8 ĉelaj ortangulojn. La respektivaj kvarkuboj povas ankaŭ konformi 2×4×5 kaj 2×2×10 skatolojn.

|  |
| --- |
|  |
| 5×8 ortangulo |

|  |
| --- |
|  |
| 4×10 ortangulo |

|  |  |
| --- | --- |
| tavolo 1 | tavolo 2 |
|  Z Z T t I  |  l T T T i  |
|  L Z Z t I  |  l l l t i  |
|  L z z t I  |  o o z z i  |
|  L L O O I  |  o o O O i  |
| 2×4×5 skatolo |

|  |  |
| --- | --- |
| tavolo 1 | tavolo 2 |
|  L L L z z Z Z T O O  |  o o z z Z Z T T T l  |
|  L I I I I t t t O O  |  o o i i i i t l l l  |
| 2×2×10 skatolo |

4-kuboj
-------

Ĉiu 4-kvadrato havas respektivan 4-kubon, kiu estas la 4-kvadrato elpuŝita je profundo de longo de latero de unu kvadrato. Tri pliaj unuflankaj 4-kuboj estas eblaj, ĉiuj kreataj per aldono de la kubo al la L-forma 3-kubo:

| Simbolo | Nomo |  | Bildo |
| --- | --- | --- | --- |
| S | Maldekstra ŝraŭbo | Nememspegulsimetria en 3D. |  |
| D | Dekstra ŝraŭbo | Nememspegulsimetria en 3D. |  |
| B | Branĉo | Memspegulsimetria en 3D. |  |

Tamen, trairo al tri dimensioj signifas ke turnado estas permesita en tri dimensioj eĉ por unuflankaj 4-kuboj. Tial, la L kaj J 2D-pecoj estas ekvivalentaj en 3D, kaj la Z kaj S 2D-pecoj estas ekvivalentaj en 3D.

Enspacado de la skatolo kun 3D pecoj
------------------------------------

En 3D, ĉi tiuj 8 4-kuboj povas konformi 4×4×2 aŭ 8×2×2 skatolon.

|  |  |
| --- | --- |
| tavolo 1 | tavolo 2 |
|  S T T T  |  S Z Z B  |
|  S S T B  |  Z Z B B  |
|  O O L D  |  L L L D  |
|  O O D D  |  I I I I  |
| 4×4×2 skatolo |

|  |  |
| --- | --- |
| tavolo 1 | tavolo 2 |
|  D Z Z L O T T T  |  D L L L O B S S  |
|  D D Z Z O B T S  |  I I I I O B B S  |
| 8×2×2 skatolo |

Se la nememspegulsimetria paro (D kaj S) estas konsiderata kiel identa, la 7 pecoj povas enspacigi 7×2×2 skatolon. C prezentas D aŭ S.

|  |  |
| --- | --- |
| tavolo 1 | tavolo 2 |
|  L L L Z Z B B  |  L C O O Z Z B  |
|  C I I I I T B  |  C C O O T T T  |
| 7×2×2 skatolo |

Vidu ankaŭ
----------

* 4-hiperkubo
* Tetriso
* Kvarlatero

* Kategorio 4-kvadrato en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Eksteraj ligiloj
----------------

* Malfermito-fonta 4-kvadrata ludo
* La patro de Tetriso (TTT-arkiva kopio de la paĝo ĉi tie)
* Redelmeier, D. Hugh  (1981). Counting polyominoes: yet another attack - Kalkulo de plurkvadratoj: ankoraŭ alia atako. Discrete Mathematics - Diskreta Matematiko **36** 191–203. COI:10.1016/0012-365X(81)90237-5.
* Eric W. Weisstein, *4-kvadrato* en MathWorld.
* Hohenberger Demaine kaj Liben-Nowell. Tetriso estas peza, eĉ por aproksimi.
* Vadim Gerasimov, "Tetriso: la histrorio."