**Ĉina restteoremo** estas la nomo de multaj similaj teoremoj de abstrakta algebro kaj nombroteorio.

Simultanaj kongruecoj de entjeroj
---------------------------------

Simultana kongrueco de entjeroj estas sistemo de linearaj kongruecoj

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &a\_{1}&{\pmod {m\_{1}}}\\x&\equiv &a\_{2}&{\pmod {m\_{2}}}\\&\vdots &&\\x&\equiv &a\_{n}&{\pmod {m\_{n}}}\\\end{matrix}}}
por kiu ĉiuj {\displaystyle x} estu trovita, kiuj solvas ĉiujn kongruecojn samtempe. Se solvo {\displaystyle x} ekzistas kaj oni difinas {\displaystyle M:=\operatorname {pmko} \{m\_{1},m\_{2},\ldots ,m\_{n}\}} ("pmko" signifas la plej malgrandan komunan oblon), la aro {\displaystyle \{x+k\cdot M\mid k\in \mathbb {Z} \}} enhavas ĉiujn solvojn. Sed ankaŭ eblas, ke nenio solvo ekzistas.

### Recipeoke primaj moduloj

La origina versio de la restteoremo (el la libro *La kompendio de aritmetiko de Sūn Zǐ* de la ĉina matematikisto Sūn Zǐ) deklaras eldiron pri simultanajn kongruecojn en la kazo, ke la moduloj estas reciproke primaj. Ĝi tekstas:

{\displaystyle m\_{1},m\_{2},\ldots ,m\_{n}} estu popare reciproke primaj entjeroj. Tiam por ĉiu entjera opo {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n}} ekzistas entjero {\displaystyle x}, kiu solvas la jenan simultanan kongruecon:

{\displaystyle x\equiv a\_{i}{\pmod {m\_{i}}}} kun {\displaystyle i=1,2,\ldots ,n}
Ĉiuj solvoj por tiu kongrueco estas kongrua module {\displaystyle M:=m\_{1}\cdot m\_{2}\cdot \ldots \cdot m\_{n}}.

Tiu produto {\displaystyle M} egalas al la PMKO kaŭze de reciproka primeco.

**Trovado de unu solvo**

Unu solvo {\displaystyle x} povas esti trovita jen: Por ĉiu {\displaystyle i} la nombroj {\displaystyle m\_{i}} kaj {\displaystyle M\_{i}:={\tfrac {M}{m\_{i}}}} estas reciproke primaj, do oni povas trovi du nombrojn {\displaystyle r\_{i}} kaj {\displaystyle s\_{i}}, ekzemple kun la etendita eŭklida algoritmo, kun la propreco

{\displaystyle r\_{i}\cdot m\_{i}+s\_{i}\cdot M\_{i}=1}.
Se oni metas {\displaystyle e\_{i}:=s\_{i}\cdot M\_{i}}, tiam validas

{\displaystyle e\_{i}\equiv 1{\pmod {m\_{i}}}}
{\displaystyle e\_{i}\equiv 0{\pmod {m\_{j}}},\ j\neq i}.
Tiam la nombro

{\displaystyle x:=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i}e\_{i}}
estas solvo por la simultana kongrueco.

**Ekzemplo**

Estu serĉata entjero {\displaystyle x} kun la propreco

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &2{\pmod {3}}\\x&\equiv &3{\pmod {4}}\\x&\equiv &2{\pmod {5}}\\\end{matrix}}}
Ĉi tie validas {\displaystyle M=3\cdot 4\cdot 5=60,\ M\_{1}={\tfrac {M}{3}}=20,\ M\_{2}={\tfrac {M}{4}}=15,\ M\_{3}={\tfrac {M}{5}}=12}.
Kun helpo de etendita eŭklida algoritmo oni kalkulas

{\displaystyle 7\cdot 3+(-1)\cdot 20=1}, do {\displaystyle e\_{1}=-20}
{\displaystyle 4\cdot 4+(-1)\cdot 15=1}, do {\displaystyle e\_{2}=-15}
{\displaystyle 5\cdot 5+(-2)\cdot 12=1}, do {\displaystyle e\_{3}=-24}
Tiam unu solvo estas {\displaystyle x=2\cdot (-20)+3\cdot (-15)+2\cdot (-24)=-133}. Kaŭze de {\displaystyle -133\equiv 47{\pmod {60}}} ĉiuj aliaj solvoj estas kongruaj al 47 module 60.

### Ĝenerala kazo

Ankaŭ ĉe la kazo, ke la moduloj ne estas reciproke primaj, ekzistas solvo kelkfoje. La ekzakta kondiĉo tekstas:
Solvo por la simultana kongrueco ekzistas strikte tiam, se por ĉiuj {\displaystyle i\neq j} validas:

{\displaystyle a\_{i}\equiv a\_{j}{\pmod {\operatorname {pgkd} (m\_{i},m\_{j})}}}.
Ĉiuj solvoj estas kongruaj module la PMKO de {\displaystyle m\_{i}}.

En la kazo, ke solvo ekzistas, unu simultana kongrueco povas esti solvita ekzemple per iom post iom substituo, ankaŭ se la moduloj ne estas reciproke primaj.

**Ekzemplo**

La celo de unu klassika enigmo estas trovi la malplej grandan naturalan nombron, kiu ĵetas la reston 1 ĉe dividado kun resto kun 2, 3, 4, 5 kaj 6, kaj estas dividebla kun 7. Do oni serĉas la malplej grandan pozitivan solvon {\displaystyle x} de la simultana kongrueco.

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &1&{\pmod {2}}\\x&\equiv &1&{\pmod {3}}\\x&\equiv &1&{\pmod {4}}\\x&\equiv &1&{\pmod {5}}\\x&\equiv &1&{\pmod {6}}\\x&\equiv &0&{\pmod {7}}\\\end{matrix}}}
Ĉar la moduloj ne estas reciproke primaj, oni ne povas apliki la ĉinan restteoremon senpere.
Sed oni povas kunigi la unuan kvin kondiĉojn al {\displaystyle x\equiv 1{\pmod {\operatorname {pmko} \{2,3,4,5,6\}}}}, kiu signifas, ke solvo estu trovita por

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &1&{\pmod {60}}\\x&\equiv &0&{\pmod {7}}\\\end{matrix}}}
Tiu sistemo de kongruecoj nun solveblas kun la ĉina restteoremo.

Rekta solvado de simultanaj kongruecoj de entjeroj
--------------------------------------------------

La jenaj ambaŭ kongruecoj estu donita:

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &a&{\pmod {n}}\\x&\equiv &b&{\pmod {m}}\\\end{matrix}}}
Se tiuj solveblas, do {\displaystyle a\equiv b{\pmod {d}}}, ili estas ekvivalenta je la simpla kongrueco:

{\displaystyle {\begin{matrix}x&\equiv &a-yn{\frac {a-b}{d}}&{\pmod {\frac {nm}{d}}}\\\end{matrix}}}
kun {\displaystyle d=\operatorname {pgkd} (n,m)=yn+zm}.

Tio funkcias ankaŭ kiam la nombroj n kaj m ne estas reciproke primaj; tio do estas klara simpligo por solvi simultanajn kongruecojn.
Sistemo de kongruecoj povas esti solvita per refarita aplikado de tiu simpligo.