En geometrio, **speciala orta triangulo** estas orta triangulo kiu havas certajn angulojn aŭ rilatumojn inter longoj de lateroj.

Surbaze de anguloj
------------------

La du specialaj ortaj trianguloj surbaze de anguloj estas la 45°-45°-90° triangulo kaj la 30°-60°-90° triangulo.

### 45°-45°-90° triangulo

45°-45°-90° triangulo
Konstruo de diagonalo de kvadrato donas triangulon kies tri anguloj estas 45°, 45° kaj 90°. La rilatumo de longoj de ĝiaj lateroj estas

{\displaystyle 1:1:{\sqrt {2}}.\,}
Longo de la hipotenuzo {\displaystyle c={\sqrt {2}}} sekvas de la teoremo de Pitagoro.
  

### 30°-60°-90° triangulo

30°-60°-90° triangulo
Ĉi tio estas triangulo kies tri anguloj estas 30°, 60°, kaj 90°. La rilatumo de longoj de ĝiaj lateroj estas

{\displaystyle 1:{\sqrt {3}}:2.\,}
La pruvo: Estu egallatera triangulo *ABC* kun latera longo 2. Estu punkto *D* mezpunkto de segmento *BC*. Estu streko *AD*. Do *ABD* estas 30-60-90 triangulo kun hipotenuzo de longo *2*, kaj bazo *BD* de longo *1*.

Tio ke la cetera kateto *AD* havas longon {\displaystyle {\sqrt {3}}} sekvas de la teoremo de Pitagoro.

Surbaze de rilatumo de longoj de lateroj
----------------------------------------

### Pitagoraj triopoj

Estas pitagoraj triopoj kiuj konsistas el entjeroj (kateto:kateto:hipotenuzo):

3:4:5
5:12:13
7:24:25
8:15:17
20:21:29
...
La plej malgranda el ĉi tiuj, kune kun ĝiaj obloj (6:8:10, 9:12:15, ...), estas la nuraj ortaj trianguloj kun longoj de lateroj kiuj estas aritmetika vico.
Areo de ĉi tia triangulo estas duono de produto de longoj de la katetoj kaj estas entjero, ĉar almenaŭ unu el longoj de la katetoj estas para. Tiel, ĉiu el la trianguloj estas triangulo de Heron.

#### Fibonacci-trianguloj

Startante de 5, ĉiu la dua fibonaĉi-nombro, 5, 13, 34, 89, ... el la plena aro de la nombroj 0, 1, 1, 2, 3, **5**, 8, **13**, 21, **34**, 55, **89**, ... estas longo de hipotenuzo de orta triangulo kun entjeraj longoj de katetoj, aŭ en aliaj vortoj, la plej granda nombro de pitagora triopo. Longo de la pli longa kateto de ĉi tiu triangulo estas egala al sumo de la tri lateroj de la antaŭa triangulo en ĉi tiu serio de trianguloj. Se la hipotenuzo estas *i*-a fibonaĉi-nombro do la pli mallonga kateto estas egala al la diferenco inter *(i-1)*-a fibonaĉi-nombro kaj la pli mallonga kateto de la antaŭa triangulo.

La unua triangulo en ĉi tiu serio havas laterojn de longo 5, 4, kaj 3. Nombro 8 el vico de fibonaĉi-nombroj estas trapasta. La sekva triangulo havas laterojn de longo 13, 12 = (5 + 4 + 3), kaj 5 = (8 - 3). Nombro 21 el vico de fibonaĉi-nombroj estas trapasta, la sekva triangulo havas laterojn de longo 34, 30 = (13 + 12 + 5), kaj 16 = (21 - 5).

Ĉi tiu serio estas malfinia kaj rilatumo de longoj de la lateroj proksimiĝas al

{\displaystyle {\sqrt {5}}:2:1}.
#### Preskaŭ izocelaj pitagoraj triopoj

Izocela orta triangulo povas ne havi ĉiujn entjerajn longojn de flankoj. Tamen, malfinie multaj preskaŭ izocelaj ortaj trianguloj ekzistas. Ĉi tiuj estas ortaj trianguloj ĉe kiuj longoj de la katetoj diferenciĝas je 1. Ĉi tiaj preskaŭ izocelaj ortaj trianguloj povas esti ricevitaj rekursie per ekvacio de Pell:

*a0 = 1, b0 = 2*
*an = 2bn-1 + an-1*
*bn = 2an + bn-1*
*an* estas longo de la hipotenuzo por *n=1, 2, 3, ...*. La plej malgrandaj rezultoj estas:

3:4:5
20:21:29
119:120:169
696:697:985
### Keplera triangulo

La keplera triangulo estas orta triangulo kun longoj de lateroj en geometria vico. La rilatumo de longoj de lateroj de keplera triangulo estas (kateto : kateto : hipotenuzo):

{\displaystyle 1:{\sqrt {\varphi }}:\varphi } , aŭ proksimume **1 : 1.2720196 : 1.6180339**
kie {\displaystyle \varphi ={1+{\sqrt {5}} \over 2}} estas la ora proporcio.

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Specialaj ortaj trianguloj en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* 3-4-5 triangulo
* 30°-60°-90° triangulo
* 45°-45°-90° triangulo
* C.C. Chen kaj T.A. Peng: Preskaŭ-izocelaj ortaj trianguloj