La konstanto de Eŭlero-Mascheroni egalas al la helblua areo
En matematiko, **konstanto de Eŭlero-Mascheroni** (ankaŭ nomata kiel la *Eŭlera konstanto*) estas matematika konstanto difinita kiel limigo de diferenco inter sumo de harmona serio kaj natura logaritmo:

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }[(\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}})-\ln(n)]=\int \_{1}^{\infty }({1 \over \lfloor x\rfloor }-{1 \over x})\,dx}
Ĝi estas kutime skribata per minuskla greka litero gamo *γ*.

Ĝia proksimuma valoro estas:

*γ ≈ 0,577215664901532860606512090082402431042159335 9399235988057672348848677267776646709369470632917467495...*
En deksesuma sistemo ĝi estas proksimume:

*γ ≈ 0,93C467E37DB0C7A4D1B...16*
Konstanto de Eŭlero-Mascheroni estas malsama de la *eŭlera nombro* *e*, bazo de natura logaritmo.

Historio
--------

La konstanto unue aperis en papero de Leonhard Euler, *De Progressionibus harmonicis observationes* (Indekso de Eneström 43) de 1735. Eŭlero uzis simbolojn *C* kaj *O* por la konstanto. En 1790, itala matematikisto Lorenzo Mascheroni uzis simbolon *A* por la konstanto. La skribmaniero *γ* aperas nek en la skribadoj de Eŭlero nek de Mascheroni, kaj estis elektita poste pro ligeco al Γ funkcio.

Aperoj
------

La konstanto aperas, en multaj lokoj, inter alia en († signifas ke ĉi tiu elemento enhavas eksplicitan ekvacion):

* Produto formulo de la Γ funkcio
* Kalkuloj de la digama funkcio
* Neegalaĵo por eŭlera φ funkcio
* La kreskada kurzo de la dividanta funkcio
* Esprimoj kun la eksponenta funkcia integralo
* Laplaca konverto de la natura logaritmo
* La unua termo de la serio de Taylor de la rimana zeta funkcio†, kie ĝi estas la unua de la konstantoj de Stieltjes†
* La kalkulo de la konstanto Meissel-Mertens
* La tria el teoremoj de Mertens†
* Solvaĵo de ekvacio de Bessel de la dua speco

Propraĵoj
---------

La nombro *γ* ne estas pruvita al esti racionala aŭ neracionala. Ankaŭ, ĝi ne estas pruvita al esti algebra aŭ transcenda.

Ĉenfrakcia analitiko montras ke se *γ* estas racionala, ĝia denominatoro estas pli granda ol 10242080.

### Rilato al Γ funkcio

*γ* estas minus la derivaĵo de la gama funkcio Γ je argumenta valoro 1. Tial:

{\displaystyle \ -\gamma =\Gamma '(1)=\Psi (1)}
kie Ψ estas digama funkcio.

γ estas ankaŭ la limigo:

{\displaystyle \gamma =\lim \_{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]}
Limigo rilatanta al la beta funkcio (esprimita per Γ funkcio) estas

{\displaystyle \gamma =\lim \_{n\to \infty }[{\frac {\Gamma ({\frac {1}{n}})\Gamma (n+1)\,n^{1+1/n}}{\Gamma (2+n+{\frac {1}{n}})}}-{\frac {n^{2}}{n+1}}]}
### Rilato al la zeta funkcio

*γ* povas ankaŭ esti esprimita kiel malfinia sumo (serio) kies termoj enhavas la rimanan zetan funkcion je pozitivaj entjeroj:

{\displaystyle \gamma =\sum \_{m=2}^{\infty }{\frac {(-1)^{m}\zeta (m)}{m}}}
{\displaystyle =\ln({\frac {4}{\pi }})+\sum \_{m=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{m-1}\zeta (m+1)}{2^{m}(m+1)}}}
Alia serio rilatanta al la zeta funkcio:

{\displaystyle \gamma ={\frac {3}{2}}-\ln 2-\sum \_{m=2}^{\infty }(-1)^{m}\,{\frac {m-1}{m}}[\zeta (m)-1]}
{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }[{\frac {2\,n-1}{2\,n}}-\ln \,n+\sum \_{k=2}^{n}({\frac {1}{k}}-{\frac {\zeta (1-k)}{n^{k}}})]}
{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }[{\frac {2^{n}}{e^{2^{n}}}}\sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {2^{m\,n}}{(m+1)!}}\sum \_{t=0}^{m}{\frac {1}{t+1}}-n\,\ln 2+O({\frac {1}{2^{n}\,e^{2^{n}}}})]}
La eraro termo en la lasta ekvacio estas rapide malkreskanta funkcio de *n*. Tiel la formulo konvenas por kalkulado de la konstanto kun alta precizeco.

Alia estas la malsimetria limigo (Sondow, 1998):

{\displaystyle \gamma =\lim \_{s\to 1^{+}}\sum \_{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n^{s}}}-{\frac {1}{s^{n}}})=\lim \_{s\to 1}(\zeta (s)-{\frac {1}{s-1}})}
kaj

{\displaystyle \gamma =\lim \_{x\to \infty }[x-\Gamma ({\frac {1}{x}})]}
{\displaystyle =\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}\,\sum \_{k=1}^{n}(\lceil {\frac {n}{k}}\rceil -{\frac {n}{k}})}
Proksime rilatanta al ĉi tiu estas la racionala zeta seria esprimo:

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln(n)-\sum \_{m=2}^{\infty }{\frac {\zeta (m,n+1)}{m}}}
kie {\displaystyle \zeta (s,k)} estas la zeta funkcio de Hurwitz;

*Hn* estas la *n*-a harmona nombro.
Elvolvado de iuj termoj en la zeta funkcio de Hurwitz rezultiĝas:

{\displaystyle H\_{n}=\ln n+\gamma +{\frac {1}{2n}}-{\frac {1}{12n^{2}}}+{\frac {1}{120n^{4}}}-\varepsilon }, kie {\displaystyle 0<\varepsilon <{\frac {1}{252n^{6}}}}
### Integraloj

*γ* rezultiĝas kiel valoro de difinitaj integraloj:

{\displaystyle \gamma =-\int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln x}\,dx}
{\displaystyle =-\int \_{0}^{1}{\ln \ln({\frac {1}{x}})}\,dx}
{\displaystyle =\int \_{0}^{\infty }{({\frac {1}{1-e^{-x}}}-{\frac {1}{x}})e^{-x}}\,dx}
{\displaystyle =\int \_{0}^{\infty }{{\frac {1}{x}}({\frac {1}{1+x}}-e^{-x})}\,dx}
Difinitaj integraloj en kiuj *γ* estas inkluzivata estas:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x^{2}}\ln x}\,dx=-{\frac {1}{4}}(\gamma +2\ln 2){\sqrt {\pi }}}
{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }{e^{-x}\ln ^{2}x}\,dx=\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}}
*γ* rezultiĝas kiel valoro de kelkaj de duopa integralo (Sondow 2003, 2005) kun ekvivalenta serio:

{\displaystyle \gamma =\int \_{0}^{1}\int \_{0}^{1}{\frac {x-1}{(1-x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum \_{n=1}^{\infty }({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}}).}
Interesa komparo (J. Sondow 2005) estas la duopa integralo kaj alterna serio

{\displaystyle \ln({\frac {4}{\pi }})=\int \_{0}^{1}\int \_{0}^{1}{\frac {x-1}{(1+x\,y)\ln(x\,y)}}\,dx\,dy=\sum \_{n=1}^{\infty }(-1)^{n-1}({\frac {1}{n}}-\ln {\frac {n+1}{n}})}
Tiel {\displaystyle \ln({\frac {4}{\pi }})} povas esti konsiderata kiel **alterna eŭlera konstanto**.

La du konstantoj estas ankaŭ rilatantaj per du serioj (vidi \_Sondow\_ 2005 #2)

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {N\_{1}(n)+N\_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\gamma }
{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {N\_{1}(n)-N\_{0}(n)}{2n(2n+1)}}=\ln({\frac {4}{\pi }})}
kie *N0(n)* kaj *N1(n)* estas la kvanto de ciferoj "0" kaj "1", respektive, en la duuma prezento de *n*.

### Serioj

*γ* rezultiĝas kiel valoro de malfiniaj serioj:

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=1}^{\infty }[{\frac {1}{k}}-\ln(1+{\frac {1}{k}})]}
La serio por *γ* estas ekvivalenta al serio de Nielsen (trovita en 1897):

{\displaystyle \gamma =1-\sum \_{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log \_{2}k\rfloor }{k+1}}}.  

En 1910, Vacca trovitis similan serion:

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=2}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {\lfloor \log \_{2}k\rfloor }{k}}={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}+2({\frac {1}{4}}-{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}-{\frac {1}{7}})+3({\frac {1}{8}}-\dots -{\frac {1}{15}})+\dots }
kie *log2* estas la logaritmo kun bazo 2 kaj {\displaystyle \lfloor \,\rfloor } estas la planka funkcio.

En 1926, Vacca trovis serion:

{\displaystyle \gamma +\zeta (2)=\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}({\frac {1}{4}}+\dots +{\frac {1}{8}})+{\frac {1}{9}}({\frac {1}{9}}+\dots +{\frac {1}{15}})+\dots }
aŭ

{\displaystyle \gamma =\sum \_{k=2}^{\infty }{\frac {k-\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}{k^{2}\lfloor {\sqrt {k}}\rfloor ^{2}}}={\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {2}{3^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}({\frac {1}{5^{2}}}+{\frac {2}{6^{2}}}+{\frac {3}{7^{2}}}+{\frac {4}{8^{2}}})+{\frac {1}{3^{2}}}({\frac {1}{10^{2}}}+\dots +{\frac {6}{15^{2}}})+\dots }
(Krämer, 2005)

Serio de Vacca povas esti ricevita de integralo de Catalan de 1875 (Sondow kaj Zudilin):

{\displaystyle \gamma =\int \_{0}^{1}{\frac {1}{1+x}}\sum \_{n=1}^{\infty }x^{2^{n}-1}\,dx}
### Ĉenfrakcia elvolvaĵo

La ĉenfrakcio elvolvaĵo de *γ* estas:

*γ = [0; 1, 1, 2, 1, 2, 1, 4, 3, 13, 5, 1, 1, 8, 1, 2, 4, 1, 1, 40, 1, 11, 3, 7, 1, 7, 1, 1, 5, 1, 49, 4, 1, 65, 1, 4, 7, 11, 1, 399, 2, ...]*
Tiel

{\displaystyle \gamma =0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\ \ddots \ {}}}}}}}}}}}}
La ĉenfrakcia elvolvaĵo de *γ* enhavas almenaŭ 470000 erojn.

### Asimptotaj elvolvaĵoj

Estas jenaj asimptotaj formuloj por *γ*:

{\displaystyle \gamma \sim H\_{n}-\ln(n)-{\frac {1}{2n}}+{\frac {1}{12n^{2}}}-{\frac {1}{120n^{4}}}+...}
(Eŭlero)
{\displaystyle \gamma \sim H\_{n}-\ln({n+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{24n}}-{\frac {1}{48n^{3}}}+...})}
(Negoi)
{\displaystyle \gamma \sim H\_{n}-{\frac {\ln(n)+\ln({n+1})}{2}}-{\frac {1}{6n({n+1})}}+{\frac {1}{30n^{2}({n+1})^{2}}}-...}
(Cesaro)
kie *Hn* estas la *n*-a harmona nombro.

La tria formulo estas ankaŭ nomita kiel la elvolvaĵo de Ramanujan.

### *e* en potenco *γ*

Bazo de natura logaritmo e en potenco *γ*, la nombro *eγ≈1,78107241799019798523650410310717954916964521430343...* estas grava en nombroteorio. Iam ĝi estas skribata kiel *γ'* .

*eγ* egalas al jena limigo, kie *pn* estas la *n*-a primo:

{\displaystyle e^{\gamma }=\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{\ln p\_{n}}}\prod \_{i=1}^{n}{\frac {p\_{i}}{p\_{i}-1}}}
Aliaj malfiniaj produtoj rilatantaj al *eγ*, kiuj rezultiĝas de la G-funkcio de Barnes:

{\displaystyle {\frac {e^{1+\gamma /2}}{\sqrt {2\,\pi }}}=\prod \_{n=1}^{\infty }e^{-1+1/(2\,n)}\,(1+{\frac {1}{n}})^{n}}
{\displaystyle {\frac {e^{3+2\gamma }}{2\,\pi }}=\prod \_{n=1}^{\infty }e^{-2+2/n}\,(1+{\frac {2}{n}})^{n}}
Ankaŭ:

{\displaystyle e^{\gamma }=({\frac {2}{1}})^{1/2}({\frac {2^{2}}{1\cdot 3}})^{1/3}({\frac {2^{3}\cdot 4}{1\cdot 3^{3}}})^{1/4}({\frac {2^{4}\cdot 4^{4}}{1\cdot 3^{6}\cdot 5}})^{1/5}\cdots }
kie la *n*-a faktoro estas la *(n+1)*-a radiko de

{\displaystyle \prod \_{k=0}^{n}(k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}}}
Ĉi tiu malfinia produto, unue esplorita de Ser en 1926, estis reesplorita per Sondow (2003) uzante supergeometriajn funkciojn.

Ĝeneraligoj
-----------

**Eŭleraj ĝeneraligitaj konstantoj** estas

{\displaystyle \gamma \_{\alpha }=\lim \_{n\to \infty }[\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k^{\alpha }}}-\int \_{1}^{n}{\frac {1}{x^{\alpha }}}\,dx],}
por *0 < α < 1*, kaj estas *γ* la okazo de *α=1*. Ĉi tiu povas esti plui ĝeneraligita al

{\displaystyle c\_{f}=\lim \_{n\to \infty }[\sum \_{k=1}^{n}f(k)-\int \_{1}^{n}f(x)\,dx]}
por ajna malkreskanta funkcio *f*. Se

{\displaystyle f\_{n}(x)={\frac {\ln ^{n}x}{x}}}
rezultiĝas konstantoj de Stieltjes, kaj

{\displaystyle f\_{a}(x)=x^{-a}}
donas konstantojn

{\displaystyle \gamma \_{f\_{a}}=\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}}
kie denove aperas la limigo

{\displaystyle \gamma =\lim \_{a\to 1}[\zeta (a)-{\frac {1}{a-1}}]}
La du-dimensia limiga ĝeneraligo estas la konstanto de Masser-Gramain.

Sciataj ciferoj
---------------

Eŭlero komence kalkulis la valoron kun 6 dekumaj ciferoj. En 1781, li kalkulis ĝin kun 16 dekumaj ciferoj. Mascheroni provis kalkuli kun 32 dekumaj ciferoj, sed faris erarojn en la 20...22-aj ciferoj. (startanta de la 20-a cifero, lia rezulto estas 1811209008239 la korekta valoro estas 0651209008240.)

Poste pli rapidaj komputiloj kaj algoritmoj permesis kalkuli la nombron kun pli multaj ciferoj de precizeco.

| Dato | Kvanto de sciataj ciferoj | Kalkulado de |
| --- | --- | --- |
| 1734 | 5 | Leonhard Euler |
| 1736 | 15 | Leonhard Euler |
| 1790 | 19 | Lorenzo Mascheroni |
| 1809 | 24 | Johann Georg von Soldner |
| 1812 | 40 | F.B.G. Nicolai |
| 1861 | 41 | Oettinger |
| 1869 | 59 | William Shanks |
| 1871 | 110 | William Shanks |
| 1878 | 263 | John Couch Adams |
| 1962 | 1271 | Donald E. Knuth |
| 1962 | 3566 | D.W. Sweeney |
| 1977 | 20700 | Richard P. Brent |
| 1980 | 30100 | Richard P. Brent kaj Edwin M. McMillan |
| 1993 | 172000 | Jonathan Borwein |
| 1997 | 1000000 | Thomas Papanikolaou |
| Decembro 1998 | 7286255 | Xavier Gourdon |
| Oktobro 1999 | 108 000 000 | Xavier Gourdon & Patrick Demichel |
| 16-a de julio de 2006 | 2 000 000 000 | Shigeru Kondo  |
| 8-a de decembro, 2006 | 116 580 041 | Aleksander J. Yee  |
| 15-a de julio, 2007 | 5 000 000 000 | Shigeru Kondo (pretendis)  |
| 1-a de januaro, 2008 | 1 001 262 777 | Richard B. Kreckel (pretendis)  |
| 3-a de januaro, 2008 | 131 151 000 | Nicholas D. Farrer (pretendis)  |

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

1. ↑  Gourdon, X. Sebah, P; La eŭlera konstanto γ
2. ↑   Wayback maŝino. Arkivita el la originalo je 2007-02-20. Alirita 2007-02-20.
3. ↑  Wieczner, Jen  (2007-03-02). Student Sets World Record For Math Constant Calculation - Studenta Ara Monda Rikordo Por Matematika Konstanta Kalkulo (Angla). *La Ĉiutaga Nordokcidenta*. Students Publishing Company. ISSN 1523-5033. Kontrolita en 2007-03-16.
4. ↑  Pretendo farita en TTT-ejo de Shigeru Kondo[*rompita ligilo*]
5. ↑  Pretendo farita en Paĝo de Richard B. Kreckel en TTT-ejo de GiNaC
6. ↑   TTT-ejo de Nicholas D. Farrer. Arkivita el la originalo je 2008-12-08. Alirita 2008-07-14.

* A001620 en OEIS - *γ*
* A002852 en OEIS - ĉenfrakcia elvolvaĵo de *γ*
* Eric W. Weisstein, *Konstanto de Eŭlero-Mascheroni* en MathWorld.
* Borwein, Jonathan M. David M. Bradley, Richard E. Crandall (2000). "Computational Strategies for the Riemann Zeta Function - Komputaj strategioj por la rimana zeta funkcio", *Journal of Computational and Applied Mathematics - Ĵurnalo de komputa kaj aplika matematiko* **121**, p. p.11.  γ derivata kiel sumoj de rimana zeta funkcio.
* Jonathan Sondow (1998)  Arkivigite je 2006-08-08 per la retarkivo Wayback Machine Malsimetria formulo por eŭlera konstanto *Matematika Revuo 71*: 219-220.
* Jonathan Sondow (2002)  Supergeometria proksimiĝo tra lineara formoj engaĝante logaritmojn al neracionalecaj kriterioj por eŭlera konstanto. Kun apendico de Sergey Zlobin Arkivigite je 2013-05-23 per la retarkivo Wayback Machine
* Jonathan Sondow (2003)  Malfinio produto por *eγ* tra supergeometriaj formuloj por eŭlera konstanto γ
* Jonathan Sondow (2003a)  Kriterioj por neracionaleco de Eŭlera konstanto. Paperoj de la Amerika Matematika Socio 131*: 3335-3344.*
* Jonathan Sondow (2005) "Duopaj integraloj por Eŭlera konstanto kaj ln 4/π kaj analoga de \_Hadjicostas\_'s formulo. Amerika Matematika Monate 112: 61-65.
* Jonathan Sondow (2005)  Nova Vacca-speca racionala serio por Eŭlera konstanto kaj ĝia alterna analogo *ln 4/π*
* Jonathan Sondow kaj Wadim Zudilin,  Eŭlera konstanto, *q*-logaritmoj, kaj formuloj de ramanujan kaj Gosper. Ramanujan J. (al aperi).
* Gourdon, Xavier kaj Sebah, P. (2002)  Kolekto de formuloj por eŭlera konstanto γ
* Gourdon, Xavier kaj Sebah, P (2004)  La eŭlera konstanto γ.
* Arkivigite je 2008-10-12 per la retarkivo Wayback Machine Konstanto de Eŭlero-Mascheroni en Biblioteko de Mathcad.
* Krämer, Stefan  Arkivigite je 2013-10-17 per la retarkivo Wayback Machine Eŭlera konstanto *γ=0,577...*, ĝia matematiko kaj historio
* Jonathan Sondow Arkivigite je 2007-12-10 per la retarkivo Wayback Machine