*Ĉi tiu artikolo pridiskutas model-teorion kiel matematikan disciplinon, sed ne la neformale uzatan terminon matematika modelo kiel ĝi estas uzata en aliaj partoj de matematiko kaj scienco ĝenerale.*

---

En matematiko, **teorio de modeloj** aŭ **model-teorio** aŭ **modelo-teorio** estas la studo de la prezento de matematikaj konceptoj per terminoj de aroteorio, aŭ la studo de la **modeloj**, kiuj subkuŝas matematikajn sistemojn. Ĝia premiso estas, ke estas iuj antaŭ-ekzistantaj matematikaj objektoj malsubjektive, kaj ĝi instigas demandojn pri tio, kiel aŭ kio povas esti pruvita - se estas donitaj la objektoj, iuj operacioj aŭ rilatoj inter la objektoj, kaj aro de aksiomoj.

La sendependeco de la aksiomo de elekto kaj la kontinuumo-hipotezo de la aliaj aksiomoj de aroteorio (kiujn pruvis Paŭlo Cohen kaj Kurt Gödel) estas la du plej famaj rezultoj, kiuj rezultas el la model-teorio. Estas pruvite, ke la aksiomo de elekto - same kiel ĝia nego anstataŭe - estas logike ebla kune kun la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel; la sama rezulto validas por la kontinuumo-hipotezo. Ĉi tiuj rezultoj estas aplikoj de modelo-teoriaj metodoj al aksioma aroteorio.

Ekzemplojn de la konceptoj de model-teorio provizas la teorio de la reelaj nombroj. Oni komencu per aro de individuoj, kie ĉiu individuo estas reela nombro, kaj aro de rilatoj kaj/aŭ funkcioj, kiel { ×, +, −, . 0, 1 }. Kiam oni demandas, ekzemple, "∃ *y* (*y* × *y* = 1 + 1)" en ĉi tiu lingvo, tiam estas klare, ke tiu propozicio estas vera, se *y* estu el la reelaj nombroj - ekzistas tia reela nombro *y*, nome la kvadrata radiko de 2; tamen se *y* estu el la racionalaj nombroj, do la propozicio estas malvera kun ĉiu nombro el la racionalaj nombroj. Simila propozicio, "∃ *y* (*y* × *y* = 0 − 1)", estas malvera en la reelaj nombroj, sed estas vera en la kompleksaj nombroj, kie *i* × *i* = 0 − 1.

Model-teorio do koncernas la demandon pri tio, kio estas demonstrebla en donitaj matematikaj sistemoj, kaj kiel ĉi tiuj sistemoj rilatas unu al la alia. Ĝi aparte koncernas la demandon pri tio, kio okazas, kiam oni provas etendi iun sistemon per la aldono de novaj aksiomoj aŭ novaj lingvaj konstruoj.

Difino
------

**Modelo**, aŭ **strukturo**, estas formale difinita en la ĉirkaŭteksto de iu lingvo *L*, kiu konsistas el aro de konstanto-simboloj, aro de rilato-simboloj ĉiu de valento de iu pozitiva entjero, kaj aro de funkcio-simboloj ĉiu de valento iu pozitiva entjero. Modelo de la lingvo *L* konsistas el kelkaj aĵoj:

* universa aro *A*, kiu tute enhavas ĉiun objekton de intereso (la "domajno de diskurso");
* ero de *A* por ĉiu konstanta simbolo de *L*;
* *n*-argumenta rilato sur *A* (en aliaj vortoj subaro de *An*) por ĉiu predikato (aŭ rilato) de *L* de valento *n*;
* funkcio el *An* al *A* por ĉiu funkcia simbolo de *L* de valento *n*.

La "valento" de funkcioj aŭ rilatoj signifas la loknombron - kvanton de iliaj argumentoj - "unuloka" ("unuargumenta"), "duargumenta", "triargumenta", aŭ "*n*-argumenta".

**Teorio** estas difinita kiel aro de propozicioj en la lingvo *L* kaj estas nomata kiel **fermita teorio**, se la aro de propozicioj estas fermita sub la kutimaj reguloj de konkludo. Ekzemple, la aro de ĉiuj propozicioj veraj en iu aparta modelo (e.g. la reelaj nombroj) estas fermita teorio.

**Modelo de la teorio *T***  konsistas el modelo super la lingvo *L*, en kiu ĉiuj propozicioj de
la teorio *T* estas veraj - normale difinitaj per T-skemoj.

Ekzemple, la lingvo de partaj ordoj havas nur unu duargumentan rilaton ≥. Do, modelo de la *lingvo* de partaj ordoj estas nur aro kun duargumenta rilato signifita de ≥, kaj ĝi estas modelo de la *teorio* de partaj ordoj, se aldone ĝi kontentigas la aksiomojn de parta ordo.

Teoremoj de modela teorio
-------------------------

Teoremo de Gödel pri kompleteco (ne konfuzenda kun liaj teoremoj de nekompleteco) asertas, ke teorio havas modelon, se kaj nur se ĝi estas nekontraŭdira, kio signifas, ke neniu kontraŭdiro estas pruvebla en la teorio. Tio estas la koro de modela teorio, ĉar ĝi ebligas respondi demandojn pri teorioj per rigardado je modeloj kaj inverse. Oni devu ne konfuzi la teoremon pri kompleteco kun la nocio de kompleta teorio. Kompleta teorio estas teorio, kiu enhavas ĉiun propozicion aŭ ĝian negon. Grave, oni povas trovi kompletan konsekvencan teorion etendante iun ajn konsekvencan teorion. Tamen, kiel estas montrite per teoremoj de nekompleteco nur en relative simplaj okazoj eblas havi kompletan konsekvencan teorian, kiu estas ankaŭ rekursia, kio estas, ke povas esti priskribita per rekursie numerigebla aro de aksiomoj. Aparte, la teorio de naturaj nombroj ne havas rekursie kompletan kaj konsekvencan teorion. Ne-rekursiaj teorioj estas de malgranda praktika uzo, ĉar ĉe ili estas nedecideble, ĉu proponita aksiomo estas reale aksiomo, farante pruvo-kontroladon praktike neeblan.

La kompaktecaj teoremaj statas, ke aro de propozicioj *S* estas kontentiga, kio estas havas modelon, se ĉiu finia subaro de *S* estas kontentiga. En la ĉirkaŭteksto de pruva teorio la analoga propozicio estas bagatela, ĉar ĉiu pruvo povas havi nur finian kvanton de antaŭaĵoj uzataj en la pruvo; en la ĉirkaŭteksto de modela teorio, tamen, ĉi tiu pruvo estas iom pli malfacila. Estas du famekonataj pruvoj, unu far Kurt Gödel (kiu iras tra pruvoj), kaj unu far Malcev (kiu estas pli rekta kaj permesas limigi la kardinalon de la rezultanta modelo).

Modela teorio estas kutime koncernata kun logiko de unua ordo, kaj multaj gravaj rezultoj (kiel la pleneca kaj kompakteca teoremoj) malveras en logiko de dua ordo aŭ aliaj alternativoj. En logiko de la unua orda ĉiuj malfiniaj kardinaloj aspektas la samaj por lingvo, kiu estas kalkulebla. Ĉi tiu estas esprimita en la teoremoj de Löwenheim-Skolem, kiuj statas, ke iu ajn teorio kun malfinia modelo {\displaystyle {\mathfrak {A}}} havas modelojn de ĉiu malfiniaj kardinaloj (almenaŭ tiuj de la lingvo), kiuj kongruas kun {\displaystyle {\mathfrak {A}}} sur ĉiuj propozicioj; kio estas ke ili estas rudimente ekvivalentaj.

Do, aparte, aroteorio (kiu estas esprimita en kalkulebla lingvo) havas kalkuleblan modelon. Ĉi tio estas sciata kiel paradokso de Skolem: estas propozicioj en aroteorio, kiuj postulas la ekziston de nekalkuleblaj aroj, kaj ankaŭ ĉi tiuj propozicioj estas veraj en la kalkulebla modelo. Aparte la pruvo de la sendependeco de la kontinuumo-hipotezo postulas konsideri arojn en modeloj, kiuj ŝajnas nekalkuleblaj kiam vidataj de *ene* de la modelo, sed estas kalkuleblaj al iu *ekstere* de la modelo.

Vidu ankaŭ
----------

* Aksiomigebla klaso (angle)
* Pruva teorio (*angle*) (*de*)
* Hiperreela nombro (*angle*) (*de*)
* Kompakteca teoremo (*angle*)
* Rudimenta enigo (*angle*)
* Saturita modelo (*angle*)
* Fortado (matematiko) (*angle*)
* Finia modela teorio (*angle*)
* Priskriba komplekseco (*angle*)
* Semantiko de Kripke (*angle*)
* Listo de unua-ordaj teorioj (*angle*)

Referencoj
----------

* Wilfrid Hodges, *A shorter model theory* [*Pri pli mallonga modela teorio*](1997) Cambridge (Britio) University Press ISBN 0-521-58713-1
* Wilfrid Hodges, *Model theory* [*Modela teorio*] (1993) Cambridge University Press.
* C. C. Chang, H. J. Keisler, *Model theory* [*Modela teorio*] (1977) ISBN 0720406927
* David Marker, *Model Theory: An Introduction* [*Modela Teorio: Enkonduko*] (2002) Springer-Verlag, ISBN 0387987606

* Kategorio Modeloteorio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)