|  |  |
| --- | --- |
|  | Por samtitola artikolo vidu la paĝon Sudafrika rando. |

Aro en Eŭklida ebeno {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}: rando (malhele blua) kaj malfermaĵo (hele verdblua)
En topologio, **rando** de subaro *S* de topologia spaco *X* estas aro de punktoj kiuj kuŝas inter la "ekstero" (komplemento de fermaĵo) kaj la "interno" (malfermaĵo) de *S*. Pli formale, rando estas aro de punktoj en la fermaĵo de *S*, ne apartenanta al la malfermaĵo de *S*. Ĉiu punkto en la rando de *S* estas **randa punkto** de *S*. Skribmanieroj uzata por rando de aro *S* estas bd(*S*), fr(*S*), ∂*S*.

Difino
------

Supozu topologian spacon {\displaystyle X} kaj ĝian subaron {\displaystyle S\subseteq X}. Jen kelkaj ekvivalentaj difinoj de la rando de {\displaystyle S}:

* La aro de punktoj *p* de *X* tiaj, ke ĉiu ĉirkaŭaĵo de *p* enhavas almenaŭ unu punkton de *S* kaj almenaŭ unu punkton ne de *S*.
* La fermaĵo {\displaystyle {\bar {S}}} de *S* minus la malfermaĵo {\displaystyle S^{\circ }} de *S*:
* {\displaystyle \partial S={\bar {S}}\setminus S^{\circ }}.
* La komunaĵo de la fermaĵo de *S* kun la fermaĵo de ĝia komplemento:
{\displaystyle \partial S={\bar {S}}\cap {\overline {(X\setminus S)}}}.

Ecoj
----

* La rando de aro estas fermita aro.
* La rando de aro estas la rando de la komplemento de la aro: {\displaystyle \partial S=\partial \complement S}.
* *p* estas randa punkto de aro se kaj nur se ĉiu najbaraĵo de *p* enhavas almenaŭ unu punkton en la aro kaj almenaŭ unu punkton ne en la aro.
* Aro estas fermita aro se kaj nur se ĝi enhavas sian randon, kaj malfermita aro se kaj nur se ĝi estas senkomunaĵa kun sia rando.
* La fermaĵo de aro egalas la kunaĵon de la aro kun ĝia rando.
{\displaystyle {\bar {S}}=S\cup \partial S}
* La rando de aro estas malplena aro se kaj nur se la aro estas fermita-malfermita aro.
* En la eŭklida spaco {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}, ĉiu fermita aro estas la rando de iu aro.

### Rando de rando

Por ĉiu aro *S*,

*∂S ⊇ ∂∂S*,
kun egaleco se kaj nur se la rando de *S* ne havas internajn punktojn; ĉi tio estas ĉiam vera se *S* estas fermita aŭ malfermita.

Pro tio ke la rando de ĉiu aro estas fermita,

*∂∂S* = *∂∂∂S*
por ĉiu aro *S*.

Ekzemploj
---------

Konsideru la reelan linion {\displaystyle \mathbb {R} } kun la kutima topologio (t.e. la topologio kies bazaj aroj estas malfermitaj intervaloj). Do:

* {\displaystyle \partial (0,5)=\partial [0,5)=\partial (0,5]=\partial [0,5]=\{0,5\}}
* {\displaystyle \partial \varnothing =\varnothing }
* {\displaystyle \partial \mathbb {Q} =\mathbb {R} } ({\displaystyle \mathbb {Q} } estas la subaro de la racionalaj nombroj)
* {\displaystyle \partial {\big (}\mathbb {Q} \cap [0,1]{\big )}=[0,1]}

La lastaj du ekzemploj ilustras tion, ke la rando de densa aro kun malplena malfermaĵo estas ĝia fermaĵo.

### Netriviala subaro, kies rando estas malplena

En la spaco {\displaystyle \mathbb {Q} } de racionalaj nombroj kun la kutima topologio (la subspaca topologio de {\displaystyle \mathbb {R} }), la rando de la aro de nombroj, kies kvadrato estas malpli ol 2 estas malplena, ĉar la √2 ne apartenas al la spaco.

### Dependeco de la rando laŭ la topologio

La rando de aro estas topologia nocio kaj povas ŝanĝiĝi se ŝanĝiĝas la topologio. Ekzemple, por la kutima topologio sur {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, la rando de fermita disko

*Ω={(x, y): x2+y2 ≤ 1}*
estas la cirklo ĉirkaŭ la disko:

*∂Ω = {(x, y) | x2+y2 = 1}*.
Se la sama disko estas vidata kiel aro en {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}} kun ĝia kutima topologio, kiel

*Ω={(x, y, 0): x2+y2 ≤ 1}*,
do la rando de la disko estas la tuta disko mem:

*∂Ω = Ω*.
Se la disko estas vidata kiel la tuta topologia spaco, tiam la rando de la disko estas malplena:

*∂Ω = ∅*.

Vidu ankaŭ
----------

* Fermita aro
* Malfermita aro
* Fermita-malfermita aro
* Fermaĵo
* Limiga punkto
* Topologia spaco
* Komplemento (matematiko)