En matematiko, **matrica normo** estas vastigaĵo de nocio de vektora normo al matricoj.

Proprecoj
---------

Estu *K* reelaj aŭ kompleksaj nombroj. Konsideru spacon *Km×n* de ĉiuj matricoj kun *m* linioj kaj *n* kolumnoj kun elementoj en *K*.

Matrica normo sur *Km×n* kontentigas ĉiujn propraĵojn de vektora normo. Tio estas ke se *||A||* estas la normo de matrico *A*, do:

* *||A|| ≥ 0*
* *||A|| = 0* se kaj nur se *A=0*
* *||αA|| = α||A||* por ĉiu α en *K* kaj ĉiu *A* en *Km×n*
* *||A+B|| ≤ ||A||+||B||* por ĉiuj *A* kaj *B* en *Km×n*

Aldone, iuj matricaj normoj difinita sur kvadrataj *n*-per-*n* matricoj (sed ne ĉiuj tiaj normoj) kontentigas iujn el jenaj kondiĉoj kiuj rilatas al tio ke matricoj estas pli ol ĝuste vektoroj:

* *||AB|| ≤ ||A|| ||B||* por ĉiuj *A* kaj *B* en *Kn×n*
* *||A|| = ||A\*||* por ĉiu *A* en *Kn×n*, kie *A\** estas la konjugita transpono de *A*, aŭ simple la transpono, por reela matrico

Matrica normo kiu kontentigas la unuan el la aldonaj propraĵoj estas **sub-multiplika normo**. La aro de ĉiuj *n*-per-*n* matricoj kune kun ĉi tia sub-multiplika normo estas ekzemplo de banaĥa algebro. En iu libroj la termino *matrica normo* estas uzata nur por ĉi tiaj sub-multiplikaj normoj.

Konkludita normo
----------------

Se vektora normo sur *Km* kaj *Kn* estas donita, tiam oni difinas la respektivan **konkluditan normon** aŭ **operatoran normon** sur la spaco de *m*-per-*n* matricoj:

{\displaystyle {\begin{aligned}\|A\|&=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}\|x\|\leq 1\}\\&=\max\{\|Ax\|:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}\|x\|=1\}\\&=\max \left\{{\frac {\|Ax\|}{\|x\|}}:x\in K^{n}{\mbox{ kun }}x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}
Se *m=n* kaj estas uzata la sama normo por *x* kaj *Ax*, tiam la konkludita normo estas sub-multiplika matrica normo.

Ekzemple, la konkludita normo respektiva al la *p*-normo por vektoroj estas:

{\displaystyle \left\|A\right\|\_{p}=\max \limits \_{x\neq 0}{\frac {\left\|Ax\right\|\_{p}}{\left\|x\right\|\_{p}}}.}
Se *p=1*:

{\displaystyle \|A\|\_{1}=\max \limits \_{1\leq j\leq n}\sum \_{i=1}^{m}|a\_{ij}|}
Se *p=∞*:

{\displaystyle \|A\|\_{\infty }=\max \limits \_{1\leq i\leq m}\sum \_{j=1}^{n}|a\_{ij}|}
Ĉi tiuj normoj estas malsamaj de la *p*-normoj de Schatten por matricoj, ankaŭ kiuj estas kutime skribataj
kiel {\displaystyle \left\|A\right\|\_{p}.}

En la speciala okazo de *p=2* (la eŭklida normo) kaj *m=n* (kvadrata matrico), la konkludita matrica normo estas la **spektra normo**. La spektra normo de matrico *A* estas la plej granda singulara valoro de *A* aŭ la kvadrata radiko de la plej granda ejgeno de la pozitive duondifina matrico *A\*A*:

{\displaystyle \left\|A\right\|\_{2}={\sqrt {\lambda \_{\text{max}}(A^{\*}A)}}}
Ĉiu konkludita normo verigas neegalaĵon

{\displaystyle \left\|A\right\|\geq \rho (A),}
kie *ρ(A)* estas la spektra radiuso de *A*. Fakte, *ρ(A)* estas la preciza malsupra rando de ĉiuj konkludita normoj de *A*.

Plue

{\displaystyle \lim \_{r\rightarrow \infty }\|A^{r}\|^{1/r}=\rho (A).}

Laŭelementaj normoj
-------------------

Ĉi tiu normoj traktas la matricon kiel vektoro de *mn* elementoj, kaj uzas iun el la vektoraj normoj.

Ekzemple, uzante la *p*-normo por vektoroj estas:

{\displaystyle \Vert A\Vert \_{p}={\Big (}\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}|a\_{ij}|^{p}{\Big )}^{1/p}.\,}
Noto ke laŭelementa *p* normo estas malsamo de konkludita *p* normo.

### Normo de Frobenius

Por *p=2*, ĉi tiu normo estas nomata kiel la **normo de Frobenius** aŭ la **normo de Hilberto-Schmidt**, kvankam la lasta termino estas ofte rezervata por operatoroj sur hilberta spaco. Ĉi tiu normo povas esti difinita diversmaniere:

{\displaystyle \|A\|\_{F}^{2}=\sum \_{i=1}^{m}\sum \_{j=1}^{n}|a\_{ij}|^{2}=\operatorname {spuro} (A^{\ast }{}A)=\sum \_{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma \_{i}^{2}}
kie *A\** estas la konjugita transpono de *A*, *σi* estas la singularaj valoroj de *A*, kaj la spuro estas uzata. La normo de Frobenius estas tre simila al la eŭklida normo sur *Kn* kaj venas de ena produto sur la spaco de ĉiuj matricoj.

La normo de Frobenius estas sub-multiplika kaj estas tre utila por cifereca lineara algebro. Ĉi tiu normo estas ofte pli simpla por komputi ol konkluditaj normoj.

### Spura normo

La **spura normo** estas difinita kiel

{\displaystyle \|A\|\_{tr}=\operatorname {spuro} ({\sqrt {A^{\*}A}})=\sum \_{i=1}^{\min\{m,\,n\}}\sigma \_{i}.}
### Maksimuma normo

La **maksimuma normo** estas difinita kiel {\displaystyle \|A\|\_{max}=\max\{|a\_{ij}|\}.}

Konsekvenca normo
-----------------

Matrica normo {\displaystyle \|\cdot \|\_{ab}} sur *Km×n* estas konsekvenca kun vektora normo {\displaystyle \|\cdot \|\_{a}} sur *Kn* kaj vektora normo {\displaystyle \|\cdot \|\_{b}} sur *Km* se:

{\displaystyle \|Ax\|\_{b}\leq \|A\|\_{ab}\|x\|\_{a}}
por ĉiuj *A* en *Km×n* kaj *x* en *Kn*. Ĉiu konkludita normo estas konsekvenca laŭ difino.

Ekvivalenteco de normoj
-----------------------

Por ĉiuj du vektoraj normoj *||·||α* kaj *||·||β*

*r ||A||α ≤ ||A||β ≤ s ||A||α*
por iuj pozitivaj nombroj *r* kaj *s*, kaj por ĉiuj matricoj *A* en *Km×n*. En aliaj vortoj, ili estas *ekvivalentaj normoj*; ili donas la saman topologion sur *Km×n*.

### Iuj ekvivalentecoj de normoj

Por matrico *A* en *Rm×n* jenaj neegalaĵoj veras:

* {\displaystyle \|A\|\_{2}\leq \|A\|\_{F}\leq {\sqrt {n}}\|A\|\_{2}}
* {\displaystyle \|A\|\_{max}\leq \|A\|\_{2}\leq {\sqrt {mn}}\|A\|\_{max}}
* {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {n}}}\|A\|\_{\infty }\leq \|A\|\_{2}\leq {\sqrt {m}}\|A\|\_{\infty }}
* {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {m}}}\|A\|\_{1}\leq \|A\|\_{2}\leq {\sqrt {n}}\|A\|\_{1}}
* {\displaystyle \|A\|\_{2}\leq {\sqrt {\|A\|\_{1}\|A\|\_{\infty }}}}

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Matrica normo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Arkivigite je 2008-01-08 per la retarkivo Wayback Machine L. Thomas. Normoj kaj kondiĉaj nombroj de matrico