| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**:  konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius 

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco 

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

Divizora funkcio *σ0(n)* por *n≤250*
Divizora funkcio *σ1(n)* por *n≤250*
Sumo de la kvadratoj de divizoroj, *σ2(n)* por *n≤250*
Sumo de kuboj de divizoroj, *σ3(n)* por *n≤250*
En nombroteorio, la **divizora funkcio** estas aritmetika funkcio rilata al divizoroj de entjero.

Difino
------

La funkcio, kiu prezentas sumon de pozitivaj divizoroj *σx(n)* estas difinita kiel la sumo de la *x*-aj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n*, aŭ

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\sum \_{d|n}d^{x}\,\!.}
La notacia stilo *d(n)* kaj *τ(n)* (la funkcio *τ*) estas uzata ankaŭ por *σ0(n)*, t.e. la kvanto de divizoroj de *n*. Se *x* estas 1, la funkcio estas identa al la funkcio *σ*, kaj la suba indico estas ofte neskribata, do *σ(n)* estas ekvivalenta al *σ1(n)*.

La **obla suma funkcio** estas sumo de la propraj divizoroj (tio estas, la divizoroj malinkluzivante *n* mem), estas *s(n)=σ1(n)-n*; la obla vico de *n* estas formita per multfoja aplika de la obla suma funkcio.

Ekzemplo
--------

Ekzemple, *σ0(12)* estas la kvanto de la divizoroj de 12:

*σ0(12)=10+20+30+40+60+120=1+1+1+1+1+1=6*
kaj *σ1(12)* estas la sumo de ĉiuj divizoroj:

*σ1(12)=11+21+31+41+61+121=1+2+3+4+6+12=28*

Ecoj
----

Por primo *p*:

*d(p)=2*
*d(pn)=n+1*
*σ(p)=p+1*
Por ĉiu *n>2*:

*1<d(n)<n*
*σ(n)>n*
La divizora funkcio estas multiplika funkcio, sed ne plene multiplika funkcio. La konsekvenco de ĉi tio estas tiu ke, se

{\displaystyle n=\prod \_{i=1}^{r}p\_{i}^{a\_{i}}}
kie *{\displaystyle r=\omega (n)}* estas la kvanto de diversaj primaj faktoroj de *n*, *pi* estas la *i*-a prima faktoro, kaj *ai* estas la maksimuma povo de *pi* per kiu *n* estas dividebla, do

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\prod \_{i=1}^{r}{\frac {p\_{i}^{(a\_{i}+1)x}-1}{p\_{i}^{x}-1}}}
kiu estas ekvivalento al la utila formulo:

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\prod \_{i=1}^{r}\sum \_{j=0}^{a\_{i}}p\_{i}^{jx}=\prod \_{i=1}^{r}(1+p\_{i}^{x}+p\_{i}^{2x}+...+p\_{i}^{a\_{i}x})}
Ekvacio por kalkulo de *d(n)* estas

{\displaystyle d(n)=\prod \_{i=1}^{r}(a\_{i}+1)}
Ekzemple, se *n* estas 24, estas du primaj faktoroj (*p1* estas 2; *p2* estas 3); 24 estas produto de 23×31, *a1* estas 3 kaj *a2* estas 1. Do *d(24)* estas:

{\displaystyle d(24)=\prod \_{i=1}^{2}(a\_{i}+1)=(3+1)(1+1)=4\times 2=8.}
(la ok divizoroj estas 1, 2, 4, 8, 3, 6, 12, kaj 24).

Funkcio de sumo de la propraj divizoroj *s(n)* estas la uzata por difini perfektajn nombrojn, por kiu *s(n)=n*. Se *s(n)>n* do *n* estas abunda nombro kaj se *s(n)<n* do *n* estas manka nombro.

En 1984, Roger Heath-Brown pruvis ke

*d(n)=d(n+1)*
okazas malfinie ofte.

Seria elvolvaĵo
---------------

La divizora funkcio povas esti skribita kiel finia trigonometria serio

{\displaystyle \sigma \_{x}(n)=\sum \_{\mu =1}^{n}\mu ^{x-1}\sum \_{\nu =1}^{\mu }\cos {\frac {2\pi \nu n}{\mu }}}
sen eksplicita referenco al la divizoroj de *n*.

Seriaj rilatoj
--------------

Du serioj de Dirichlet engaĝantaj la divizoran funkcion estas:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)}{n^{s}}}=\zeta (s)\zeta (s-a)}
kaj

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\sigma \_{a}(n)\sigma \_{b}(n)}{n^{s}}}={\frac {\zeta (s)\zeta (s-a)\zeta (s-b)\zeta (s-a-b)}{\zeta (2s-a-b)}}}
Serio de Lambert engaĝanta la divizoran funkcion estas:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }q^{n}\sigma \_{a}(n)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {n^{a}q^{n}}{1-q^{n}}}}
por ajna kompleksa nombro *|q|≤1* kaj *a*. Ĉi tiu sumado ankaŭ aspektas kiel la serio de Fourier de la serio de Eisenstein kaj la invariantoj de la elipsa funkcio de Weierstrass.

Asimptota kreskado
------------------

En malgranda o skribmaniero, la divizora funkcio plenumas la jenan neegalaĵon:

{\displaystyle {\mbox{por cxiu }}\epsilon >0,d(n)=o(n^{\epsilon }).}
En granda O skribmaniero, Dirichlet montris ke la averaĝa ordo de la divizora funkcio kontentigas jenan neegalaĵon

{\displaystyle {\mbox{por cxiu }}x\geq 1,\sum \_{n\leq x}d(n)=x\log x+(2\gamma -1)x+O({\sqrt {x}}),}
kie {\displaystyle \gamma } estas konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Plibonigo de la baro {\displaystyle O({\sqrt {x}})} en ĉi tiu formulo estas konata kiel la divizora problemo de Dirichlet

La konduto de la *σ* funkcio estas malregula.
La kreska kurzo de la *σ* funkcio povas esti esprimita kiel:

{\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}
kie *limsup* estas la limigo supera. Ĉi tiu rezulto estas teoremo de Thomas Hakon Grönwall, publikigita en 1913.

En 1984 Guy Robin pruvis ke

{\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n} por *n>5040*
estas vera se kaj nur se la rimana hipotezo estas vera. La plej granda sciata valoro kiu malverigas la neegalaĵon estas *n=5040*. Se la rimana hipotezo estas vera, ne estas pli grandaj esceptoj. Se la hipotezo estas malvera tiam estas malfinia kvanto da valoroj *n* tiaj por kiu la neegalaĵo estas malvera.

Rilatanta baro estis donita de Jeffrey Lagarias en 2002, kiu pruvis ke la rimana hipotezo estas ekvivalento al la frazo ke

{\displaystyle \sigma (n)\leq H\_{n}+\ln(H\_{n})e^{H\_{n}}}
por ĉiu natura nombro *n*, kie {\displaystyle H\_{n}} estas la *n*-a harmona nombro.

Vidu ankaŭ
----------

* Eŭlera φ funkcio
* Rimana ζ funkcio

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Divizora funkcio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Eric W. Weisstein, *Divisor function* en MathWorld.
* Eric W. Weisstein, *Robin's theorem* en MathWorld.