*Tiu artikolo temas pri la "gaŭsa leĝo", kaj rilatas al la elektra kampo.*
*Analoga leĝo rilatas al la magneta kampo, laŭ la "leĝo de konservita flukso",*
*alienomita "gaŭsa leĝo pri magnetismo". Analoga leĝo rilatas al gravita kampo,*
*laŭ la "gaŭsa leĝo pri gravito". La ĝenerala teoremo rilatanta tiujn leĝojn*
*estas la teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso.*

En fiziko, la **gaŭsa leĝo**, aŭ **leĝo de Gauss**, estas leĝo rilatanta al la distribuo de elektraj ŝargoj, kiuj kaŭzas elektran kampon. La *gaŭsa leĝo* esprimiĝas tiel:

*La elektra flukso tra fermita surfaco estas proporcia al la tuta enfermita elektra ŝargo.*
Ĝi estis formulita de Carl Friedrich Gauss en 1835, sed ne eldonita ĝis 1867, t.e. post lia morto
.

Ĝi estas integrala formo de unu el la kvar ekvacioj de Maxwell nomita *ekvacio de Maxwell-Gauss*, kaj estas fundamento de klasika elektromagnetismo.

En vakuo, por fermita gaŭsa surfaco *S*, la *elektra flukso* estas donita per sekvanta surfaca integralo:

{\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}={\frac {Q(V)}{\varepsilon \_{0}}}\;;}
kie

* *Q(V)* estas la tuta elektra ŝargo (inkluzivanta ambaŭ liberajn ŝargojn kaj barajn ŝargojn) en la volumeno *V* limigita de la surfaco *S*,
* *ε0* estas la permitiveco de vakuo.

Diversaj formoj de ŝargoj
-------------------------

Oni povas konsideri diversajn kazojn de elektraj ŝargoj ĉirkaŭigitaj de surfaco *S*.
* Kiam la surfaco ĉirkaŭas plurajn punktajn ŝargoj, tiam la totala ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

{\displaystyle Q(V)=\sum q\_{i}}
kie **{\displaystyle q\_{i}}** estas la elektra ŝargo de punkto *i*,

* Kiam la surfaco ĉirkaŭas linian ŝargon kun lineara ŝarga denseco **{\displaystyle k}**, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

{\displaystyle Q(V)=\int k\mathrm {d} l} ,

* Kiam la surfaco ĉirkaŭas enen surfacan ŝargon kun surfaca ŝarga denseco **{\displaystyle j}**, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

{\displaystyle Q(V)=\iint \_{S}j\mathrm {d} s} 
* Kiam la surfaco ĉirkaŭas volumenan ŝargon kun volumena ŝarga denseco {\displaystyle \mathbf {\rho } },

{\displaystyle \mathbf {\rho } =\mathbf {\rho \_{l}} +\mathbf {\rho \_{b}} } 
kie {\displaystyle \mathbf {\rho \_{l}} } estas ŝarga denseco de liberaj ŝargoj, kaj {\displaystyle \mathbf {\rho \_{b}} } estas ŝarga denseco de baraj ŝargoj en la medio, tiam la ĉirkaŭigita elektra ŝargo estas kalkulota laŭ la formulo:

{\displaystyle Q(V)=\iiint \_{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho \;\mathrm {d} V}

Demonstro de kulomba leĝo
-------------------------

La *gaŭsa leĝo* uzitiĝas por dedukti la kulomban leĝon, kaj reciproke.
Elektra fluo de punkta ŝargo ene de sfero.
Konsideru sferon de radiuso **r** kun punkta elektra ŝargo **q1**
(pozitiva aŭ negativa) lokata en ĝia centro, kiel indikita sur la desegno.
La elektra kampo {\displaystyle {\vec {E}}} estas paralela al la surfaca normala vektoro {\displaystyle {\vec {dS}}}, kaj la kampo estas konstanta pri ĉiuj punktoj de la sfera surfaco.
Konsekvence:

{\displaystyle \Phi \_{E}=\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cos \theta d{\mathbf {S} }}
{\displaystyle \Phi \_{E}=\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cos(0)d{\mathbf {S} }=\mathbf {E} \cdot \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset d{\mathbf {S} }=\mathbf {E} \cdot 4\pi r^{2}},
ĉar la surfaco de sfero estas:
{\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset d{\mathbf {S} }=4\pi r^{2}\;.}
Laŭ la gaŭsa leĝo:

{\displaystyle \Phi \_{E}={\frac {q\_{1}}{\varepsilon \_{0}}}\;,}
do

{\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {q\_{1}}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{2}}}\;.}
Se sur la surfaco **S** oni metas alian punktan elektran ŝargon **q2** (pozitivan aŭ negativan), tiu ŝargo estas submetita al la lorenca forto:

{\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}=q\_{2}\cdot {\vec {\mathbf {E} }}\;,}
tio estas (kun vektoro {\displaystyle {\vec {r}}} orientita de punkto **q1** al punkto **q2**):

{\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}={\frac {q\_{1}q\_{2}\;.\;{\vec {r}}}{4\pi \varepsilon \_{0}r^{2}|{\vec {r}}|}}\;,}
kio estas la kulomba leĝo.

Rilato al ekvacioj de Maxwell
-----------------------------

La *ekvacio de Maxwell-Gauss* per elektra ŝovodenso kaj sub diferenciala formo permesas dedukti la *leĝon de Gauss*, fakte de:

{\displaystyle \nabla \cdot {\vec {\mathbf {D} }}=\rho \_{l}\;,}
la apliko de teoremo de Ostrogradskij-Gaŭso al la ĉi-supra ekvacio rezultigas:

{\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {D} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}=\iiint \_{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho \_{l}\;\mathrm {d} V\;,}
kio estas la *gausa leĝo* en ĝenerala medio (inkluzive dielektriko).
Pri lineara, uniforma, izotropa medio:

{\displaystyle {\vec {\mathbf {D} }}=\varepsilon \varepsilon \_{0}{\vec {\mathbf {E} }}\;,} 
kie *ε* estas la relativa permitiveco de la medio, do

{\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\vec {\mathbf {E} }}\cdot d{\vec {\mathbf {S} }}\;={\frac {Q\_{l}(V)}{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}\;.}
Pri libera spaco *ε* = 1, *Ql(V)* = *Q(V)*, tial oni bone retrovas la originan *gausan leĝon* pri vakuo.

Vidu ankaŭ
----------

* Gaŭso
* Elektra konstanto
* Kulomba leĝo
* Lorenca forto
* Vektora kalkulo

Referencoj
----------

1. ↑   Bellone, Enrico, *A World on Paper*: Studadoj pri la dua scienco revolucio, 1980.

* Kategorio Gaŭsa leĝo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)