En matematiko, la **kardinalo de kontinuumo** aŭ la **kvantonombro de kontinuumo**, estas la amplekso (kardinalo) de la aro de reelaj nombroj ***R*** (kiu aro estas iam nomata kiel la kontinuumo). La kardinalo de ***R*** estas skribata kiel |***R***| aŭ kiel *c*. Kiel kardinalo, *c* estas egala al beth-nombro beth-unu, {\displaystyle c=\beth \_{1}}). Se la kontinuumo-hipotezo veras, tiam *c* estas ankaŭ egala al alef-nombro alef-unu, {\displaystyle c=\aleph \_{1}}.

Nekalkulebleco
--------------

Kardinalo de la kontinuaĵo estas pli granda ol kardinalo de la aro de naturaj nombroj ***N***, {\displaystyle |\mathbf {N} |=\aleph \_{0}<c}, konkrete {\displaystyle c=2^{\aleph \_{0}}} kie {\displaystyle \aleph \_{0}} (alef-nulo) estas la kardinalo de ***N***. En aliaj vortoj, kvankam ***R*** kaj ***N*** estas ambaŭ nefiniaj aroj, la reelaj nombroj estas iusence pli multaj ol la naturaj nombroj.

Georg Cantor pruvis ĉi tion en malsamaj manieroj - kiel la unua nekalkulebleca pruvo de Cantor kaj per la diagonala argumento de Cantor.

Egalaĵoj kun la kardinaloj
--------------------------

Estu *{0, 2}**N*** la aro de nefiniaj vicoj kun valoroj el aro *{0, 2}*. Ĉi tiu aro klare havas kardinalon {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}} (la natura reciproke unuvalora surĵeto inter la aro de duumaj vicoj kaj *P*(**N**) estas donita per la nadla funkcio). La asociaĵo al ĉiu tia vico *(ai)* estas la unika reela nombro en la intervalo [0,1] kies triuma elvolvaĵo estas donita per la ciferoj *(ai)*, kio estas la *i*-a cifero post la dekuma punkto estas *ai*. La bildo de ĉi tiu mapo estas nomata kiel la aro de Kantor. Ĉi tiu mapo estas enjekcia. Per evito de punktoj kun la cifero 1 en ilia triuma elvolvaĵo estas evitataj konfliktoj kreis per tio ke la triuma -elvolvaĵo de reela nombro estas ne unika. Tiel {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\leq c}.
Per la teoremo de Cantor-Bernstein-Schroeder

{\displaystyle c=|P(\mathbb {N} )|=2^{\aleph \_{0}}}
Egaleco *cc = c* povas esti montrita per la kardinala aritmetiko:

{\displaystyle c^{2}=(2^{\aleph \_{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph \_{0}}}=2^{\aleph \_{0}}=c}
Ĉi tiu argumento estas densigita versio de la alternado de du duumaj vicoj: estu *0,a0a1a2...* la duuma elvolvaĵo de reela *x* kaj estu *0,b0b1b2...* esti la duuma elvolvaĵo de reela *y*. Tiam *z* = *0,a0b0a1b1a2b2...*, la alternado de la duumaj elvolvaĵoj, estas bone-difinita funkcio se *x* kaj *y* havas unikajn duumajn elvolvaĵojn. Nur kalkuleble multaj reelaj nombroj havas ne-unikajn duumajn elvolvaĵojn.

Per uzado de la reguloj de kardinala aritmetiko eblas montri ke

{\displaystyle c^{\aleph \_{0}}={\aleph \_{0}}^{\aleph \_{0}}=n^{\aleph \_{0}}=c^{n}=\aleph \_{0}c=nc=c}
kie *n* estas ĉiu finia kardinalo, *n≥2*, kaj

{\displaystyle c^{c}=(2^{\aleph \_{0}})^{c}=2^{c\times \aleph \_{0}}=2^{c}}
kie *2c* estas la kardinalo de aro de ĉiuj subaroj de ***R***, kaj *2c>c*.

Beth-nombroj
------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Beth-nombro.
La vico de beth-nombroj estas difinita per {\displaystyle \beth \_{0}=\aleph \_{0}} kaj {\displaystyle \beth \_{k+1}=2^{\beth \_{k}}}. Tiel {\displaystyle c=\beth \_{1}} kaj {\displaystyle 2^{c}=\beth \_{2}}.

La kontinuumo-hipotezo
----------------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kontinuumo-hipotezo.
La kontinuumo-hipotezo statas ke *c* estas ankaŭ la dua alef-nombro {\displaystyle \aleph \_{1}}. En aliaj vortoj, la kontinuumo-hipotezo statas ke ne ekzistas aro *A* kies kardinalo kuŝas severe inter {\displaystyle \aleph \_{0}} kaj *c*.

Ĉi tiu frazo estas sciata al esti sendependa de la aksiomoj de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. Tio estas, ambaŭ la hipotezo kaj ĝia nego estas konsekvencaj kun ĉi tiuj aksiomoj. Fakte, por ĉiu nenula natura nombro *n*, la egaleco {\displaystyle c=\aleph \_{n}} estas sendependa de aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto. La okazo *n=1* estas la kontinuumo-hipotezo. La samo estas vera por plejparto de la aliaj okazoj, kvankam en iuj okazoj egaleco povas estas neebla pro la teoremo de König pri la fundoj de kunfinieco, ekzemple, {\displaystyle c\neq \aleph \_{\omega }}. Konkrete, *c* povas esti {\displaystyle \aleph \_{1}} aŭ {\displaystyle \aleph \_{\omega \_{1}}}, kie {\displaystyle \omega \_{1}} estas la unua nekalkulebla orda numero. Tiel *c* povas esti postanta kardinalo aŭ limiga kardinalo, kaj krom ĉi tio *c* povas esti regula kardinalo aŭ singulara kardinalo.

Aroj kun kardinalo egala al kardinalo de kontinuumo
---------------------------------------------------

Multaj aroj uzataj en matematiko havan kardinalon egalan al *c*:

* Aro de ĉiuj reelaj nombroj ***R***
* Ĉiu nedegenera fermita aŭ malfermita intervalo en ***R*** (kiel ekzemple la unuobla intervalo [0, 1])
* Aro de ĉiuj neracionalaj nombroj
* Aro de ĉiuj transcendaj nombroj
* Aro de ĉiuj kompleksaj nombroj ***C***
* Aro de ĉiuj punktoj de (finidimensia) eŭklida spaco  ***R**n*
* Aro de ĉiuj vicoj de entjeroj, kio estas ĉiuj funkcioj  ***N**→**Z*** , ofte skribata kiel  ***Z****N***
* Aro de ĉiuj vicoj de reelaj nombroj, kio estas ĉiuj funkcioj  ***N**→**R*** , ofte skribata kiel  ***R****N***
* Aro de ĉiuj kontinuaj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro de ĉiuj subaroj de la naturaj nombroj *P(**N**)*
* Aro de Kantor
* Eŭklida topologio sur  ***R**n*, kio estas la aro de ĉiuj malfermitaj aroj en  ***R**n*
* Borela *σ*-algebro sur ***R***, kio estas la aro de ĉiuj borelaj aroj en ***R***

Aroj kun kardinalo pli granda ol kardinalo de kontinuumo
--------------------------------------------------------

Iuj aroj kun kardinalo {\displaystyle 2^{c}=\beth \_{2}}, kiu estas pli granda ol *c*:

* Aro  ***R****R*** de ĉiuj funkcioj de ***R*** al ***R***
* Aro *P(**R**)* de ĉiuj subaroj de ***R***
* Aro *2**R*** de nadlaj funkcioj difinantaj subarojn de reelaj nombroj; ĝi estas izomorfia al *P(**R**)*, la nadla funkcio elektas erojn kiujn ĉiu subaro inkluzivas
* Lebega *σ*-algebro de ***R***, kio estas, la aro de ĉiuj lebege mezureblaj aroj en ***R***

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kardinalo de kontinuumo en PlanetMath.