Vektoraj kampoj en cilindraj koordinatoj
----------------------------------------

Vektoroj estas difinita en cilindraj koordinatoj per (ρ,φ,z), kie

* ρ estas la longo de la vektoro projektita sur la X-Y-ebeno,
* φ estas la angulo de la projektita vektoro kun la pozitiva abscisa akso (0 ≤ φ < 2π),
* z estas la regula z-koordinato.

(ρ,φ,z) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\rho &=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \\z&=&z\end{matrix}}\right.}
aŭ inverse per:

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&\rho \cos \phi \\y&=&\rho \sin \phi \\z&=&z\end{matrix}}\right.}
Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:

{\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {\hat {x}} +A\_{y}\mathbf {\hat {y}} +A\_{z}\mathbf {\hat {z}} =A\_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A\_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}}
La cilindraj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\hat {z}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\cos \phi &\sin \phi &0\\-\sin \phi &\cos \phi &0\\0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
* Noto: la matrico estas perpendikulara matrico, do, ĝia inverso estas egala al ĝia transpono.

Tempa derivaĵo de vektora kampo en cilindraj koordinatoj
--------------------------------------------------------

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}\_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}\_{z}\mathbf {\hat {z}} }
En cilindraj koordinatoj ĉi tio estas:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{\rho }{\boldsymbol {\hat {\rho }}}+A\_{\rho }{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}+{\dot {A}}\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}+{\dot {A}}\_{z}{\boldsymbol {\hat {z}}}+A\_{z}{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}}
La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {\rho }}}}&=&{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}&=&-{\dot {\phi }}{\boldsymbol {\hat {\rho }}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {z}}}}&=&0\end{matrix}}\right.}
Do la tempa derivaĵo simpliĝas al:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {\rho }}}({\dot {A}}\_{\rho }-A\_{\phi }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}\_{\phi }+A\_{\rho }{\dot {\phi }})+{\boldsymbol {\hat {z}}}{\dot {A}}\_{z}}

Gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj
---------------------------------------------------------------------------

La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.

Vektoraj kampoj en sferaj koordinatoj
-------------------------------------

Vektoroj estas difinitaj en sferaj koordinatoj per (r,θ,φ), kie

* r estas la longo de la vektoro,
* θ estas la angulo kun la pozitiva Z-akso (0 <= θ <= π),
* φ estas la angulo kun la X-Z-ebeno (0 <= φ < 2π).

(r,θ,φ) estas donita en karteziaj koordinatoj per:

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arccos \left(z/r\right),&0\leq \theta \leq \pi \\\phi &=&\operatorname {arctan} (y/x),&0\leq \phi <2\pi \end{matrix}}\right.}
aŭ inverse per:

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}x&=&r\sin \theta \cos \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \theta \end{matrix}}\right.}
Ĉiu vektora kampo povas esti skribita en terminoj de la unuoblaj vektoroj kiel:

{\displaystyle \mathbf {A} =A\_{x}\mathbf {\hat {x}} +A\_{y}\mathbf {\hat {y}} +A\_{z}\mathbf {\hat {z}} =A\_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A\_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
La sferaj unuoblaj vektoroj estas rilatanta al la karteziaj unuoblaj vektoroj per:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \cos \phi &\sin \theta \sin \phi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \phi &\cos \theta \sin \phi &-\sin \theta \\-\sin \phi &\cos \phi &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {\hat {x}} \\\mathbf {\hat {y}} \\\mathbf {\hat {z}} \end{bmatrix}}}
* Noto: la matrico estas perpendikulara matrico, do, ĝia inverso estas egala al ĝia transpono.

Tempa derivaĵo de vektora kampo en sferaj koordinatoj
-----------------------------------------------------

Por ekscii kiel la vektora kampo A ŝanĝas kun tempo (argumento) oni kalkulu la tempajn derivaĵojn.
En karteziaj koordinatoj ĉi tio estas:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{x}\mathbf {\hat {x}} +{\dot {A}}\_{y}\mathbf {\hat {y}} +{\dot {A}}\_{z}\mathbf {\hat {z}} }
En sferaj koordinatoj ĉi tio estas:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\dot {A}}\_{r}{\boldsymbol {\hat {r}}}+A\_{r}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}+{\dot {A}}\_{\theta }{\boldsymbol {\hat {\theta }}}+A\_{\theta }{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}+{\dot {A}}\_{\phi }{\boldsymbol {\hat {\phi }}}+A\_{\phi }{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}}
La tempaj derivaĵoj de la unuoblaj vektoroj estas donitaj per:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\dot {\hat {r}}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\theta }}}}\\{\boldsymbol {\dot {\hat {\phi }}}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&{\dot {\theta }}&{\dot {\phi }}\sin \theta \\-{\dot {\theta }}&0&{\dot {\phi }}\cos \theta \\-{\dot {\phi }}\sin \theta &-{\dot {\phi }}\cos \theta &0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}{\boldsymbol {\hat {r}}}\\{\boldsymbol {\hat {\theta }}}\\{\boldsymbol {\hat {\phi }}}\end{bmatrix}}}
La tempa derivaĵo estas:

{\displaystyle \mathbf {\dot {A}} ={\boldsymbol {\hat {r}}}({\dot {A}}\_{r}-A\_{\theta }{\dot {\theta }}-A\_{\phi }{\dot {\phi }}\sin \theta )+{\boldsymbol {\hat {\theta }}}({\dot {A}}\_{\theta }+A\_{r}{\dot {\theta }}-A\_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )+{\boldsymbol {\hat {\phi }}}({\dot {A}}\_{\phi }+A\_{r}{\dot {\phi }}\sin \theta +A\_{\phi }{\dot {\phi }}\cos \theta )}

Gradiento, diverĝenco, frizo kaj laplaca operatoro en sferaj koordinatoj
------------------------------------------------------------------------

La formuloj de gradiento, diverĝenco, kirlo kaj laplaca operatoro en cilindraj koordinatoj estas en artikolo nabla operatoro en cilindraj kaj sferaj koordinatoj.