| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**:  konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius 

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco 

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

**Transformo de Mellin**, aŭ **Mellin-a transformo**, estas integrala transformo, bindata kun serio de Dirichlet *(ruse: Ряд Дирихле)*, kun nombroteorio, kun Γ-funkcio, kun speciala funkcio kaj kun asimptota elvolvaĵo *(ruse: Асимптотическое разложение)*, ankaŭ bindata kun laplaca transformo kaj furiera transformo.

Integro
-------

La rekta transformo donas la formulon:

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\varphi (s)=\int \_{0}^{\infty }x^{s-1}f(x)dx\,,}
kaj la inversa transformo formuliĝas:

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}^{-1}\varphi \right\}(x)=f(x)={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{c-i\infty }^{c+i\infty }x^{-s}\varphi (s)\,ds\,.}
Ni konjektas, ke la integralo integras en kompleksan ebenon.

Rilato kun ceteraj transformoj
------------------------------

* La transformo de Fourier esprimiĝas tiel:

{\displaystyle \left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-s)=\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(-is)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(-is)\,.}
kaj reen:

{\displaystyle \left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f(e^{-x})\right\}(is)\,.}

Ekzemplo
--------

### Integralo de Cahen-Mellin

Se

* {\displaystyle c>0,}
* {\displaystyle \Re (y)>0,}
* {\displaystyle y^{-s}} на ĉefe branĉo *(angle: Principal branch)*,

do

{\displaystyle e^{-y}={\frac {1}{2\pi i}}\int \_{c-i\infty }^{c+i\infty }\Gamma (s)y^{-s}\;ds},
kie
{\displaystyle \Gamma (s)} — Γ-funkcio.

Transformo de Mellin en *spaco de Lebesgue*
-------------------------------------------

Por {\displaystyle L^{2}(0,\infty )} ajna fundamenta branĉo inkluzivas {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+i\mathbb {R} .}

Donas lineara bildigo {\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}} :

{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}\colon L^{2}(0,\infty )\to L^{2}(-\infty ,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{0}^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}+is}f(x)\,dx.}
Tio estas

{\displaystyle \{{\tilde {\mathcal {M}}}f\}(s):={\tfrac {1}{\sqrt {2\pi }}}\{{\mathcal {M}}f\}({\tfrac {1}{2}}-is).}
Inversa teoremo de Mellin *(angle: Mellin inversion theorem)* demonstras, ke

{\displaystyle {\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\colon L^{2}(-\infty ,\infty )\to L^{2}(0,\infty ),\{{\tilde {\mathcal {M}}}^{-1}\varphi \}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }x^{-{\frac {1}{2}}-is}\varphi (s)\,ds.}
Krome, tiu bildigo estas izometria, tio estas

{\displaystyle \|{\tilde {\mathcal {M}}}f\|\_{L^{2}(-\infty ,\infty )}=\|f\|\_{L^{2}(0,\infty )}} kie {\displaystyle \forall f\in L^{2}(0,\infty )}.
Por probablokalkulo la transformo de Mellin prezentas gravan ilon.

Se

* {\displaystyle D={s:a\leqslant \Re (s)\leqslant b},}
* {\displaystyle a\leqslant 0\leqslant b,}
* {\displaystyle X} — hazarda variablo,
* {\displaystyle X^{+}=max{X,0},}
* {\displaystyle X^{-}=max{-X,0},},

do transformo de Mellin stimas kiel

{\displaystyle {\mathcal {M}}\_{X}(s)=\int \_{0}^{\infty }x^{s}dF\_{X^{+}}(x)+i\int \_{0}^{\infty }x^{s}dF\_{X^{-}}(x)\,,}
kie
{\displaystyle i} — imaginara unuo.

Referencoj
----------

1. ↑   (1916) "*Contributions to the Theory of the Riemann Zeta-Function and the Theory of the Distribution of Primes*", *Acta Mathematica* **41** (1), p. 119–196. doi:10.1007/BF02422942. 

 (Vidu notojn enen por pli da referencoj pri laboroj de Cahen kaj Mellin, kun tezo de Cahen.)

Literaturo
----------

* Galambos, Janos.  (2004) *Products of random variables: applications to problems of physics and to arithmetical functions*. Marcel Dekker, Inc.. ISBN 0-8247-5402-6.

* Paris, R. B..  (2001) '**Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals *"(Asimptotaj funkcioj kaj integraloj de Mellin-Barnes)"*. Cambridge University Press.**

* Polyanin, A. D..  (1998) '**Handbook of Integral Equations *"(Manlibro pri integralaj ekvacioj)"*. Boca Raton: CRC Press. ISBN 0-8493-2876-4.**

```
(angle)
```

* Flajolet, P..  (1995) *Mellin transforms and asymptotics, Harmonic sums* **144**, p. 3–58.

```
(angle)
```

* *Tables of Integral Transforms* "(Tabeloj pri integralaj transformoj)"[*rompita ligilo*] al EqWorld: The World of Mathematical Equations.
* *Transformo de Mellin* en Encyclopaedia of Mathematics, Kluwer Academic Publishers, red. Michiel Hazewinkel, ISBN 978-1556080104.
* Eric W. Weisstein, *Mellin-transformo* en MathWorld.

Eksteraj ligiloj
----------------

* Philippe Flajolet, Xavier Gourdon, Philippe Dumas, *Mellin Transforms and Asymptotics: Harmonic sums.*
* Antonio Gonzáles, Marko Riedel *Celebrando un clásico, newsgroup es.ciencia.matematicas* (hispane)
* Juan Sacerdoti, *Funciones Eulerianas Arkivigite je 2007-01-29 per la retarkivo Wayback Machine* (hispane).
* Mellin Transform Methods, Digital Library of Mathematical Functions, 2011-08-29, National Institute of Standards and Technology (angle)
* Antonio De Sena and Davide Rocchesso, Rapida Mellin-a transformo kun aplikoj en DAFX (itale)