Eŭklidaj kaj neeŭklidaj ebenojJen eŭklida (1), sfera (2) kaj hiperbola (3) ebenoj.
La **neeŭklidaj geometrioj** estas du spacoj, geometrie studataj, kiuj malsamas je la pli vaste konata Eŭklida geometrio. Pli specife, ili malobeas la Eŭklidajn postulaton pri paralelon. Efektive, tiuj geometrioj uzas nerektajn kurbojn anstataŭ la rektajn liniojn de la Eŭklida geometrio.

Historio
--------

Skribante pri la geometrio tiam konata, Eŭklido postulis kelkajn bazajn faktojn por helpi ekspliki pluajn matematikajn rezultojn. El tiuj postulatoj, la kvina temis pri la ekzisto de rektaj linioj paralelaj:

> Kaj se unu rekto incidanta sur du rektoj faras ke la internaj anguloj de la sama flanko estu malpli larĝa ol du rektaj anguloj, la du senĉese plilongigataj rektoj troviĝos en la flanko en kiu estas la anguloj kiuj estas malpli largaj ol du rektaj.
> 
> 

Rediris Proklo, Playfair kaj Ĥajam la postulaton pli simple:

> Havante linion kaj iun punkton ne sur la linio, oni povas desegni tra la punkto nur unu paralelon.
> 
> 

Dum iom da tempo, geometriistoj provis montri, ke rekta paraleleco estus pruvebla per la aliaj postulatoj de Eŭklido. Anstataŭe montriĝis, ke oni povas ŝanĝi la kvinan postulaton por krei utilajn spaco-modelojn kun diferencaj matematikaj rezultoj. Kelkaj matematikistoj, helpintaj malkovri neeŭklidajn geometriojn, estas Gaŭso, János Bolyai kaj Nikolaj Lobaĉevskij.

Sfera geometrio
---------------

Samradiusajn cirklojn uzas la sfera geometrio simile, kiel rektojn la Eŭklida. Sfer-geometrie, ĉiu sufiĉe longa linio kontaktas alian, do paraleloj ne ekzistas. Tiu geometrio estas utila modelo por la surfaco de sfero. Tial uzas ĝin oni en surtera navigacio.

Hiperbola geometrio
-------------------

En la hiperbola geometrio, linio havas du aŭ pli sam-ebenajn paralelojn tra unu ekster-linia punkto. Tiu geometrio obeas ĉiujn Eŭklidajn postulatojn krom la kvina, pruvante ĝian logikan sendependecon de la aliaj.

Komparo kun Eŭklida geometrio
-----------------------------

Jen sur globo iu triangulo, kies anguloj mezuriĝas 90, 90 kaj 50 gradojn.La sumo de triangulaj angul-mezuroj estas pli ol 180° en sfera surfaco.
La neeŭklidaj geometrioj iom similas al la Eŭklida. Ekzemple, en iu ajn el la tri, oni povas desegni triangulojn. Tamen multaj bone konataj faktoj pri trianguloj kaj aliaj figuroj diferencas inter la malsamaj geometrioj. Nek ortanguloj nek neegalaj similaj trianguloj ekzistas en la neeŭklidajn geometriojn. La sumo de la angul-mezuroj en triangulo estas 180° en la eŭklida geometrio sed ne en la aliaj.

Referencoj
----------

1. ↑  Elementoj de Eŭklido (Vikipedio)
2. ↑  *Axioms equivalent to the parallel lines axiom* (angla lingvo, "Aksiomoj, kiuj egalas la paralel-aksiomon")
3. 1 2 3  *Non-Euclidean Geometry* (angla lingvo) en *Liberal Arts Mathematics*, fare de Galivan kaj Radke.
4. ↑  *Geometría esférica* (hispana lingvo, "Sfera geometrio") de la UNAM.
5. ↑  *Euclidean, Hyperbolic, and Elliptical Geometries Arkivigite je 2021-05-07 per la retarkivo Wayback Machine* (angla lingvo, "Eŭklida, Hiperbola kaj Elipsa Geometrioj") el *Survey of Geometry Arkivigite je 2021-04-21 per la retarkivo Wayback Machine*, fare de Timothy Peil Arkivigite je 2021-04-22 per la retarkivo Wayback Machine.

* Kategorio Neeŭklidaj geometrioj en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)



|  |  |
| --- | --- |
| Bibliotekoj | * PeEnEo: 729863
* GND: 4042073-5
* LCCN: sh85054155
* BNF: 119798569
* NDL: 00563144
* NKC: ph228456
 |