*pn#* kiel funkcio de *n*, grafike prezentita logarifme.
*n#* kiel funkcio de *n* (ruĝaj punktoj), komparare al *n*!. Ambaŭ grafikaĵoj estas logaritmaj.
En matematiko, **primofaktorialo** estas produto de la unuaj primoj.

La primofaktorialo havas du similajn sed malsamajn signifojn.

La nomo estas konstruita el la vortoj *primo* kaj *faktorialo*.

*n#*
----

*n#* por *n≥1* estas difinita kiel produto de ĉiuj primoj, kiuj estas ne pli grandaj ol *n*.

La vico ankaŭ inkluzivas *1# = 1* kiel malplenan produton.

La ekvivalenta rikura difino estas

{\displaystyle n\#={\begin{cases}1&n=1\\n\times ((n-1)\#)&n>1\And n{\text{ estas primo }}\\(n-1)\#&n>1\And n{\text{ estas komponigita }}\end{cases}}}
La unuaj primofaktorialoj *n#* por *n=1, 2, 3 ... 12* estas:

1, 2, 6, 6, 30, 30, 210, 210, 210, 210, 2310, 2310.
Ĉiu elemento de tiu ĉi vico por neprima *n* estas sama kiel la antaŭa elemento.

Ekzemple, 7# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 7:

*7# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210*
8# estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol 8:

*8# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210*
kio egalas al 7#. Ankaŭ 9# kaj 10# havas la saman valoron, sed

*11# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310*

*pn#*
-----

Se *pn* estas la *n*-a primo, do la primofaktorialo *pn#* estas produto de la unuaj *n* primoj:

{\displaystyle p\_{n}\#=\prod \_{k=1}^{n}p\_{k}}
La unuaj kelkaj primofaktorialoj *pn#* estas:

1, 2, 6, 30, 210, 2310
La vico ankaŭ inkluzivas *p0# = 1* kiel malplena produto.

Ekzemple, *p4#* estas produto de la unuaj 4 primoj:

*p4# = 2 · 3 · 5 · 7 = 210*
kaj, *p5#* estas produto de la unuaj 5 primoj:

*p4# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310*

Propraĵoj
---------

Estas idento

{\displaystyle n\#=p\_{\pi (n)}\#}
kie, *π(n)* estas la primo-kalkulanta funkcio, donanta kvanton de primoj ne pli grandaj ol *n*.

Natura logaritmo de primofaktorialo *log (n#)* estas la unua funkcio de Ĉebiŝev, skribata kiel {\displaystyle \theta (n)} aŭ {\displaystyle \vartheta (n)}, kiu proksimiĝas al lineara *n* por granda *n*. Tiel asimptote primofaktorialo *n#* kreskas kiel:

{\displaystyle \log(n\#)\sim n}
aŭ pli konkrete

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {\log(n\#)}{n}}=1}
Asimptote primofaktorialo *pn#* kreskas kiel:

{\displaystyle p\_{n}\#=\exp \left[(1+o(1))\cdot n\log n\right]}
kie *exp (x) = ex* estas la eksponenta funkcio kaj "o" estas la malgranda o.

Ĉiu alte komponigita nombro estas produto de primofaktorialoj (ekzemple  360 = 2·6·30).

Ĉiu valoro de primofaktorialo kvadrato-libera entjero kaj havas pli multajn malsamajn primajn faktorojn ol ĉiu nombro pli malgranda ol ĝi. Por ĉiu valoro primofaktorialo *n#*, la frakcio *φ(n#)/(n#)* estas pli malgranda ol *φ(x)/x* por ĉiu entjero *x*, *x<n#*, kie *φ* estas la eŭlera φ funkcio.

Ĉiu plene multiplika funkcio estas difinita per ĝiaj valoroj je primofaktorialoj, pro tio ke ĝi estas difinita per ĝiaj valoroj je primoj, kiuj povas esti rekalkulitaj per divido de najbaraj valoroj je primofaktorialoj.

Primofaktorialoj raperas en la serĉoj de primoj en aritmetikaj vicoj. Ekzemple, 2236133941 + 23# estas primo komenca en vico de 13 primoj, trovataj per sinsekva adicio de 23#, kaj finiĝanta kun 5136341251. 23# estas ankaŭ la komuna diferenco en aritmetikaj vicoj de 15 kaj 16 primoj.

Tabelo de primofaktorialoj
--------------------------

| *n* | *n#* | *pn* | *pn#* |
| --- | --- | --- | --- |
| 0 |  |  | 1 |
| 1 | 1 | 2 | 2 |
| 2 | 2 | 3 | 6 |
| 3 | 6 | 5 | 30 |
| 4 | 6 | 7 | 210 |
| 5 | 30 | 11 | 2310 |
| 6 | 30 | 13 | 30030 |
| 7 | 210 | 17 | 510510 |
| 8 | 210 | 19 | 9699690 |
| 9 | 210 | 23 | 223092870 |
| 10 | 210 | 29 | 6469693230 |
| 11 | 2310 | 31 | 200560490130 |
| 12 | 2310 | 37 | 7420738134810 |
| 13 | 30030 | 41 | 304250263527210 |
| 14 | 30030 | 43 | 13082761331670030 |
| 15 | 30030 | 47 | 614889782588491410 |

Vidu ankaŭ
----------

* Primofaktoriala primo
* Faktorialo
* Eŭlera φ funkcio
* Primo-kalkulanta funkcio

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Primofaktorialo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

Eric W. Weisstein, *Primofaktorialo* en MathWorld.
A034386 en OEIS *n#*
A002110 en OEIS *pn#*
A000720 en OEIS primo-kalkulanta funkcio *π(n)*
Eric W. Weisstein, *Funkcioj de Ĉebiŝev* en MathWorld.