| Algebraj strukturoj |
| --- |
| 
Grupo-similaj**Grupo-teorio**
Duvalenta operacio
A Asocieco •
N Neŭtrala elemento •
I Inversa elemento •
K Komuteco
Abela grupo (ANIK) •
Grupo (ANI) •
Monoido (AN) •
Duongrupo (A) •
Magmo

Kvazaŭgrupo • Lopo •
Lie-grupo • Cikla grupo • Simetria grupo
Grupa homomorfio • Normala subgrupo
 |
| 
Ringo-similaj**Ringo-teorio**
Distribueco
Ringo •
Komuta ringo •
Integreca ringo •
Korpo •
Kampo
Ringa homomorfio • Nuldivizoro • Idealo
 |
| 
Modulo-similaj**Lineara algebro**
Modulo • Vektora spaco
Lineara transformo • Bazo • Dimensio
 |
| v • d • r |

**Integreca ringo** aŭ **integreca domajno** estas komuta ringo kun multiplika neŭtrala elemento, {\displaystyle 1\neq 0}, kaj sen nuldivizoroj, do {\displaystyle \forall a,b} {\displaystyle a\cdot b=0\implies a=0} aŭ {\displaystyle b=0}.

Difino
------

Por komuta ringo {\displaystyle R}, la jenaj kondiĉoj estas ekvivalentaj:

* {\displaystyle 1\neq 0}, kaj ĝi ne enhavas nuldivizoron.
* La nulidealo (0) estas prima idealo.
* {\displaystyle 1\neq 0}, kaj ĉiu nenula elemento {\displaystyle x} estas forigebla sub multipliko, t.e. se {\displaystyle x\cdot a=x\cdot b}, do {\displaystyle a=b}
* La aro de nenulaj elementoj konsistigas monoidon laŭ multipliko (ĉar monoido postulas *fermitecon*: {\displaystyle \forall a,b\in R\setminus \{0\}:a\cdot b\in R\setminus \{0\}}).
* Ĉiu elemento {\displaystyle r} estas **regula**: la funkcio {\displaystyle R\to R}, {\displaystyle x\mapsto r\cdot x} estas disĵeta.
* {\displaystyle R} estas izomorfa al subringo de korpo.

**Integreca ringo** estas ringo, kiu plenumas unu (kaj do ĉiujn) el la ĉi-supraj kondiĉoj.

Ecoj
----

Validas jenaj klas-inkluzivoj:

**komutaj ringoj** ⊃ **integrecaj ringoj** ⊃ **integrece fermitaj ringoj** ⊃ **faktorecaj ringoj** ⊃ **ĉefidealaj integrecaj ringoj** ⊃ **eŭklidaj ringoj** ⊃ **komutaj korpoj**
Ĉiu integreca ringo povas esti enigita en korpon; la plej malgranda tia korpo estas la korpo de frakcioj de la integreca ringo.

Ekzemploj
---------

Ekzemploj estas la entjeroj kaj la reelaj polinomoj. Ĉiu kampo estas integreca ringo. Aliaflanke ĉiu finia aro kun integrecringostrukturo estas kampo. Pruvo: Por ĉiu {\displaystyle a\neq 0} en integreca ringo ekzistas disĵeta funkcio {\displaystyle x\mapsto a\cdot x}, kiu sendas ĉiun {\displaystyle d} en la integrecringo al {\displaystyle a\cdot d}. Ĉiu disĵeta funkcio kun finia fontaro estas inversigebla. Do {\displaystyle x\mapsto a\cdot x} estas inversigebla. Tiel {\displaystyle 1} estas bildo de iu {\displaystyle d}, kaj tiu elemento estas la inverso de {\displaystyle a}.

La plej supra kondiĉo implicas ecojn, kiujn havas nur la integrecaj ringoj. Ekzemple, ĝi permesas aserti ke {\displaystyle a\cdot b=a\cdot c\implies a=0} aŭ {\displaystyle b=c}, ĉar {\displaystyle a\cdot (b-c)=0\implies a=0} aŭ {\displaystyle b-c=0}. Do tiu koncepto montras, ke la eco, ke {\displaystyle a\cdot b=0\implies a=0} aŭ {\displaystyle b=0}, estas unu el tiuj, kiuj ĝeneraligas la entjerojn, reelajn polinomojn kaj aliajn ringojn.

La kongruecaj klasoj de entjeroj module je {\displaystyle p} estas integreca ringo se kaj nur se {\displaystyle p} estas primo. Rimarku, ke, se {\displaystyle p} estas primo, {\displaystyle p|a\cdot b\implies p|a} aŭ {\displaystyle p|b}. Ĉiu integreca ringo de kongruecaj klasoj module je {\displaystyle p} estas kampo.

Referencoj
----------

1. ↑  Nova Plena Ilustrita Vortaro de Esperanto: faktor/ec/a "pp integreca ringo"

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Integral domain* en MathWorld.