La **ekvacioj de Maxwell** estas kvar ekvacioj kiuj priskribas la konduton de elektraj kaj magnetaj kampoj. Ili estis eltrovitaj de James Clerk Maxwell en 1864.
Konsekvence al la leĝo de Lenz-Faraday pri la variado de magneta flukso {\displaystyle \Delta \Phi }, la laboro *W* de la elektromagneta forto (de Lorentz/Laplace) sur elektra konduktilo, kiu estas trairita de elektra kurento *I*, estas :

{\displaystyle W=I\Delta \Phi \ ,}
{\displaystyle \Delta \Phi } estas la variado de la magneta fluo, kiu trairis la surfacon de la elektra konduktilo, aŭ kiun trapasas la elektra konduktilo.

En la sekvantaj ekvacioj, **dikliteraj** simboloj reprezentas **vektorojn**, dum *kursivaj* simboloj reprezentas *skalarojn*.

La ekvacioj de Maxwell estas ĝeneralaj, sed sekvas iliaj aplikoj laŭ la konsiderataj medioj.

Formulado pri *liberaj* ŝargoj kaj kurentoj
-------------------------------------------

Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio.

Pri lokala formo :

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \mathbf {D} ={\rho \_{l}}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Gauss\;pri\;elektrostatiko)} \\\nabla \cdot \mathbf {B} =0&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Gauss\;pri\;magnetismo)} \\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Faraday)} \\\nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} \_{l}+{\partial \mathbf {D} }/{\partial t}&\mathrm {(ekvacio\;de\;Maxwell-Ampere)} \end{matrix}}\right.}
kie

{\displaystyle \nabla \cdot \mathrm {N} } estas diverĝenco de **N** kaj
{\displaystyle \nabla \times \mathrm {N} } estas kirlo de **N**, konsiderante
{\displaystyle \rho \_{l}} la ŝargodenso de liberaj ŝargoj, kaj
{\displaystyle \mathbf {j} \_{l}} la libera kurenta denseco.
La kurenta denseco estas proporcia al la trairantaj elektraj ŝargoj, kiuj estas proporciaj al la elektra kampo **E**, la proporcia koeficiento nomiĝas elektra konduktivo σ :

{\displaystyle \mathbf {j} \_{l}=\sigma \mathbf {E} \;.}
Se oni integras la kvar ĉisuprajn ekvaciojn de Maxwell, la integralaj formoj deduktiĝas tiel :

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {D} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=\iiint \_{V}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\;\;\;\;\;\subset \!\supset \;\rho \_{l}\;\mathrm {d} v=Q\_{l}(V)\;,} | pri elektra flukso tra fermita surfaco (vidi Gaŭsan leĝon) |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;} | pri magneta flukso tra fermita surfaco (leĝo de konserviĝa flukso) |
| {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial }{\partial t}}\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =-{\frac {\partial \Phi \_{B}}{\partial t}}\;;} | (vidi leĝon de Lenz-Faraday) |
| {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {H} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {j} \_{l}}\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }+{\frac {\partial }{\partial t}}\iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {D} }\cdot \mathrm {d} \mathbf {a} =I\_{l}+{\frac {\partial \Phi \_{D}}{\partial t}}\;;} | (vidi Amperan cirkvitan leĝon) |

kie

{\displaystyle \mathrm {N} \cdot \mathrm {n} } estas skalara produto inter **N** kaj **n** ,
{\displaystyle Q\_{l}(V)} estas la sumo de liberaj elektraj ŝargoj tra la fermita volumeno *V* ,
{\displaystyle I\_{l}} estas la sumo de liberaj elektraj kurentoj tra la surfaco *S* ,
{\displaystyle \Phi \_{B}} estas la magneta flukso de la magneta indukdenso **B** kaj
{\displaystyle \Phi \_{D}} estas la elektra flukso de la elektra ŝovodenso **D**.

Formulado pri *tutaj* ŝargoj kaj kurentoj
-----------------------------------------

Tiuj ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al konduktanta medio kun dielektraj aŭ/kaj magnetaj propraĵoj.

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \mathbf {E} ={\rho }/{\epsilon \varepsilon \_{0}}&\mathrm {(MG)} \\\nabla \cdot \mathbf {B} =0&\mathrm {(M\Phi )} \\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}&\mathrm {(MF)} \\\nabla \times \mathbf {B} =\mu \mu \_{0}\mathbf {J} +\mu \mu \_{0}\epsilon \varepsilon \_{0}{\partial \mathbf {E} }/{\partial t}&\mathrm {(MA)} \end{matrix}}\right.}
kie

{\displaystyle \rho \ } estas la tuta la ŝarga denseco de liberaj ŝargoj kaj baraj ŝargoj {\displaystyle \rho =\rho \_{l}+\rho \_{b}\ },
{\displaystyle \mathbf {J} } la tuta kurenta denseco, {\displaystyle \mathbf {J} =\mathbf {j} \_{l}+\mathbf {j} \_{b}},
{\displaystyle \epsilon \ } estas la dielektra permeableco (povus esti kompleksa) de la medio kaj
{\displaystyle \mu \ } estas la permeableco (povus esti kompleksa) de la medio ;
sciante ke

{\displaystyle \varepsilon \_{0}} estas la permitiveco de vakuo kaj
{\displaystyle \mu \_{0}\ } estas la permeableco de vakuo.
Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {E} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }={Q(V)}/{\epsilon \varepsilon \_{0}}\;,} | (Gaŭsa leĝo) |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;} | (konserviĝa flukso) |
| {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial \Phi \_{B}}{\partial t}}\;;} | (Leĝo de Lenz-Faraday) |
| {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {B} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =\mu \mu \_{0}I+\mu \mu \_{0}\epsilon \varepsilon \_{0}{\frac {\partial \Phi \_{E}}{\partial t}}\;;} | (Ampera cirkvita leĝo) |

kie

{\displaystyle Q(V)} estas la tutaj elektraj ŝargoj en la fermita volumeno *V* ,
{\displaystyle I} estas la tutaj kurentoj tra la surfaco *S* limigita per la kurbo *C*, kaj
{\displaystyle \Phi \_{E}} estas la elektra fluo.
***Aparta kazo de konstanta frekvenco kaj kompleksaj komponantoj*** :
{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot {\underline {\mathbf {D} }}=\rho \\\nabla \cdot {\underline {\mathbf {B} }}=0\\\nabla \times {\underline {\mathbf {E} }}=-i\omega {\underline {\mathbf {B} }}\\\nabla \times {\underline {\mathbf {B} }}/{\mu \mu \_{0}}=(\sigma +i\varepsilon \varepsilon \_{0}\omega ){\underline {E}}\end{matrix}}\right.}
kie

{\displaystyle i={\sqrt {-1}}}, kaj {\displaystyle \omega \ } estas la angula frekvenco .

Formulado pri *linearaj* medioj
-------------------------------

Tiu ĉi ekvacioj aplikiĝas aparte al linearaj, izotropaj kaj tempo-invariantaj medioj.

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \varepsilon \varepsilon \_{0}\mathbf {E} =\rho \_{l}\\\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}\\\nabla \times {\mathbf {B} }/{\mu \mu \_{0}}=\mathbf {j} \_{l}+\varepsilon \varepsilon \_{0}{\partial \mathbf {E} }/{\partial t}\end{matrix}}\right.}
kie

{\displaystyle \varepsilon } estas la relativa permitiveco (reela valoro) de la materio,
{\displaystyle \mu \ } estas la relativa permeableco (reela valoro) de la materio.
Se oni integras la ĉisuprajn ekvaciojn:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\varepsilon \varepsilon \_{0}\mathbf {E} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=Q\_{l}(V)\;,} |  |
| {\displaystyle \iint \_{S}\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\;\;\;\subset \!\supset {\mathbf {B} }\cdot \mathrm {d} {\mathbf {a} }=0\;;} |  |
| {\displaystyle \oint \_{C}\mathbf {E} \cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =-{\frac {\partial \Phi \_{B}}{\partial t}}\;;} |  |
| {\displaystyle \oint \_{C}{\mathbf {B} }/{\mu \mu \_{0}}\cdot \mathrm {d} \mathbf {s} =I\_{l}+\varepsilon \varepsilon \_{0}{\frac {\partial \Phi \_{E}}{\partial t}}\;;} |  |

Formulado pri vakuo
-------------------

En vakuo, la relativa permitiveco egalas al unu ({\displaystyle \varepsilon =1}), same kiel la relativa permeableco ({\displaystyle \mu =1\ }), plie estas neniuj ŝargoj ({\displaystyle \rho =0\ }) kaj neniu kurento ({\displaystyle \mathbf {j} =0\ }).

La formuloj simpliĝas :

{\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\nabla \cdot \mathbf {E} =0\\\nabla \cdot \mathbf {B} =0\\\nabla \times \mathbf {E} =-{\partial \mathbf {B} }/{\partial t}\\\nabla \times \mathbf {B} =\varepsilon \_{0}\mu \_{0}{\partial \mathbf {E} }/{\partial t}\end{matrix}}\right.}
La integralaj formoj estas facile dedukteblaj.

Vidu ankaŭ
----------

* Oliver Heaviside
* Elektrostatiko
* Magnetostatiko
* Elektromagnetismo
* Klasika elektromagnetismo

* Kategorio Ekvacioj de Maxwell en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)