| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| Fonta aro, Cela aro; Bildo, Malbildo; Bildaro, Argumentaro |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**:  konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius 

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco 

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

Ĉi tiu artikolo temas pri la *Eŭlera beta-funkcio*, konvencie skribata *Β(x,y)*. Ekzistas ankaŭ aliaj beta-funkcioj en matematiko kaj fiziko.
La matematika **beta-funkcio**, alinome *Eŭlera integralo de la unua speco*, estas speciala funkcio, kiun oni difinas por kompleksaj nombroj *x* kaj *y* kun pozitiva reela parto:

{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
kiam

{\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0\,}
La beta-funkcion studis Leonhard Euler kaj Adrien-Marie Legendre, kaj la nomon al ĝi donis Jacques Binet. Ekzistas ankaŭ ĝeneraligo de la funkcio, t.n. *nekompleta beta-funkcio* kaj ties variaĵo *reguligita nekompleta beta-funkcio*.

Ecoj de la funkcio
------------------

* : {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x)\;}, t.e. la funkcio estas simetria.

* : {\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}

La funkcio povas esti prezentita ankaŭ per sekvaj formuloj

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \limits \_{0}^{\pi /2}\sin ^{2x-1}\theta \cos ^{2y-1}\theta \,d\theta ,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \limits \_{0}^{\infty }{\frac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad {\mathrm {R} e}(x)>0,\ {\mathrm {R} e}(y)>0}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {1}{y}}\sum \_{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {(y)\_{n+1}}{n!(x+n)}}\quad \mathrm {kaj} \quad (x)\_{n}=x(x-1)(x-2)\ldots (x-n+1)}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}

Derivaĵo
--------

{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y))}
kie {\displaystyle \ \psi (x)} estas la digamma-funkcio.

Aproksimaĵo
-----------

Oni povas aproksimi la beta-funkcion per la formulo de Stirling:

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
por grandaj: *x* kaj *y*.

Sed se *x* estas granda kaj *y* estas konstanta, tiam validas

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}

Nekompleta beta-funkcio
-----------------------

La **nekompleta beta-funkcio**, estas ĝeneraligo de la beta-funkcio kaj difinita kiel

{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int \_{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
Por *x* = 1, la nekompleta funkcio egalas al la *kompleta* funkcio.

**Reguligita (senkompleta) beta-funkcio** estas difinita kiel

{\displaystyle I\_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
Integrante la formulon, oni ricevas por entjeraj *a* kaj *b*:

{\displaystyle I\_{x}(a,b)=\sum \_{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
Pri la reguligita beta-funkcio validas

{\displaystyle I\_{0}(a,b)=0\,}
{\displaystyle I\_{1}(a,b)=1\,}
{\displaystyle I\_{x}(a,b)=1-I\_{1-x}(b,a)\,}

* Kategorio Beta-funkcio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)