En matematiko, **produta regulo** aŭ **leĝo de Leibniz** estas formulo donanta derivaĵon de produto de funkcioj. Estu *f(x)* kaj *g(x)* esti du diferencialeblaj funkcioj de *x*. Tiam

*(f·g)'=f·g'+g·f'* 
aŭ en la alia skribmaniero:

{\displaystyle {d(f(x)\cdot g(x)) \over dx}=f(x)\cdot {dg(x) \over dx}+g(x)\cdot {df(x) \over dx}}

Ekzemploj
---------

* Trovu derivaĵon de *f(x) = x2*. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel *f(x) = x·x* kaj per uzo de la produta regulo

{\displaystyle {\frac {d(x^{2})}{dx}}={\frac {d(x\cdot x)}{dx}}=x\cdot {\frac {dx}{dx}}+x\cdot {\frac {dx}{dx}}=x+x=2x}
* Trovu derivaĵon de *f(x) = x3*. Ĉi tiu funkcio povas esti skribita kiel *f(x) = x2·x* kaj

{\displaystyle {\frac {d(x^{3})}{dx}}={\frac {d(x^{2}\cdot x)}{dx}}=x^{2}\cdot {\frac {dx}{dx}}+x\cdot {\frac {d(x^{2})}{dx}}}
El la antaŭa ekzemplo prenu la formulon por {\displaystyle {\frac {d(x^{2})}{dx}}} kaj do

{\displaystyle {\frac {d(x^{3})}{dx}}=x^{2}+x\cdot 2x=3x^{2}}
* Trovu derivaĵon de *f(x) = x2 sin(x)*.

{\displaystyle {\frac {d(x^{2}\cdot \sin(x))}{dx}}=x^{2}\cdot {\frac {d\sin(x)}{dx}}+\sin(x)\cdot {\frac {d(x^{2})}{dx}}}
Derivaĵo de *sin(x)* estas *cos(x)* kaj do

{\displaystyle {\frac {d(x^{2}\cdot \sin(x))}{dx}}=x^{2}cos(x)+2x\,\sin(x)}

Konsekvencoj
------------

* Speciff okazo de la produta regulo estas la **konstanta multiplika regulo** kiuj ststas ke se *c* estas konstanto (ne dependas de *x*) kaj *f(x)* estas diferencialebla funkcio, tiam *cf(x)* estas ankaŭ diferencialebla, kaj ĝia derivaĵo estas

{\displaystyle {\frac {d(cf(x))}{dx}}=c\cdot {\frac {df(x)}{dx}}}
ĉar {\displaystyle {\frac {dc}{dx}}=0}.

* La produta regulo donas la regulon por poparta integralado.

* La produta regulo donas la malfortan version de la regulo de derivaĵo de kvociento. Ĝi estas *malforta* versio en tio ke ĝi ne pruvas ke la kvociento estas diferencialebla, sed nur statas kio estas ĝia derivaĵo se estas ĝi estas diferencialebla.

Pruvo
-----

### Per difino de derivaĵo

*f(x)(g(x + h) - g(x)) + g(x + h)(f(x + h) - f(x))*
Ĉi tiu pruvo estas simila al la pruvo pli supre. Estu

*y(x) = f(x)g(x)*
Laŭ difino de derivaĵo

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {y(x+h)-y(x)}{h}}}
kaj do

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)}{h}}}
Por plisimpligi la limigon oni adiciu kaj subtrahu termon *f(x)g(x + h)* al la numeratoro, tiam rezultas

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)g(x+h)-f(x)g(x)+f(x)g(x+h)-f(x)g(x+h)}{h}}}
Tiam eblas faktorigi partojn de la numeratoro

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x)(g(x+h)-g(x))+g(x+h)(f(x+h)-f(x))}{h}}}
La frakcio estas disdividiĝas en du frakciojn

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}\left(f(x){\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+g(x+h){\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
Pro tio ke *g(x)* estas diferencialebla ĝi estas kontinua je *x* kaj do {\displaystyle \lim \_{h\to 0}g(x+h)} ekzistas kaj egalas al *g(x)*. Krome, *f(x)* ne dependas de *h* kaj povas esti eligita el la limigo kiel konstanta faktoro. Tiel la limigo povas esti aplikata aparte al eroj de la esprimo

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x)\lim \_{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}+(\lim \_{h\to 0}g(x+h))\left(\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}\right)}
La difinoj de derivaĵoj de *f(x)* kaj *g(x)*

{\displaystyle {\frac {df(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}
{\displaystyle {\frac {dg(x)}{dx}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {g(x+h)-g(x)}{h}}}
Povas esti uzataj por anstataŭigi erojn de la antaŭ esprimo kaj rezultas la produta regulo

{\displaystyle {\frac {dy(x)}{dx}}=f(x){\frac {dg(x)}{dx}}+g(x){\frac {df(x)}{dx}}}
### Per tuteca derivaĵo

Funkcio *f(x) = g(x)h(x)* povas esti konsiderata kiel funkcio de du variabloj *g* kaj *h*, ĉiu el kiuj en sia vico estas funkcio de *x*.

Ambaŭ partaj derivaĵoj de *f* je *g* kaj *h* povas esti trovitaj:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial g}}=h}
kie *h* estas konsiderata kiel konstanto; kaj

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial h}}=g}
kie *g* estas konsiderata kiel konstanto.

Tiam

{\displaystyle {\frac {df}{dx}}={\frac {\partial f}{\partial g}}g'(x)+{\frac {\partial f}{\partial h}}h'(x)=h(x)g'(x)+g(x)h'(x)}

Ekspliko per diferencialoj
--------------------------

Malkovro de ĉi tiu regulo estas kreditita al Gottfried Wilhelm Leibniz, kiu monris ĝian verecon jene.

Estu *f(x)* kaj *g(x)* du diferencialeblaj funkcioj de *x*. La diferencialo de *fg* estas

*d(fg) = (f + df)(g + dg) - fg = f·dg + g·df + df·dg*
Pro tio ke la termo *df·dg* estas *malatentebla* (ĉar ĝi estas kvadrate malgranda respektive al *df* kaj *dg*, Leibniz konkludis ke

*d(fg) = f·dg + g·df*
kaj ĉi tio estas diferenciala formo de la produta regulo. Se dividi la esprimon per diferencialo *dx* rezultas

{\displaystyle {\frac {d(fg)}{dx}}=f{\frac {dg}{dx}}+g{\frac {df}{dx}}}

Aliaj okazoj
------------

### Derivaĵoj de produtoj de vektoraj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por skalara produto kaj vektora produto de du vektoro-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu  ***f**(x)* kaj  ***g**(x)* ĉi tiaj funkcioj de skalaro *x*.

Tiam por derivaĵo de ilia skalara produto estas formulo

{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\cdot \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\cdot {d\mathbf {g} (x) \over dx}+\mathbf {g} (x)\cdot {d\mathbf {f} (x) \over dx}}
Por derivaĵo de ilia vektora produto estas formulo

{\displaystyle {d(\mathbf {f} (x)\times \mathbf {g} (x)) \over dx}=\mathbf {f} (x)\times {d\mathbf {g} (x) \over dx}+{d\mathbf {f} (x) \over dx}\times \mathbf {g} (x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu vektora produto gravas.

### Derivaĵo de produto de matricaj funkcioj

La regulo veras ankaŭ por matrica produto kaj vektora produto de du matrico-valoraj funkcioj de skalara variablo.

Estu *A(x)* kaj *B(x)* ĉi tiaj funkcioj de skalaro *x*, de tiaj ampleksoj ke ilia matrica produto *A(x)B(x)* ekzistas.

Tiam por derivaĵo de ilia matrica produto estas formulo

{\displaystyle {d(A(x)B(x)) \over dx}=A(x){dB(x) \over dx}+{dA(x) \over dx}B(x)}
kie la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

### Derivaĵo de produto de pli ol du funkcioj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al produto de pli ol du faktoroj.

Por kolekto de funkcioj *f1(x), ... fk(x)* de variablo *x*:

{\displaystyle {\frac {d\prod \_{i=1}^{k}f\_{i}(x)}{dx}}=\sum \_{i=1}^{k}\left({\frac {df\_{i}(x)}{dx}}\prod \_{j\neq i}f\_{j}(x)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:

{\displaystyle {\frac {d(uvw)}{dx}}={\frac {du}{dx}}vw+u{\frac {dv}{dx}}w+uv{\frac {dw}{dx}}}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, sed tiam ordo de multiplikatoj en la produtoj devas esti ĉiam tia kia ĝi estas en la fonta produto. Por kolekto de matrico-valoraj funkcioj *A1(x), ... Ak(x)* de variablo *x*, de ampleksoj tiaj ke ilia produto ekzistas. Taim

{\displaystyle {\frac {d\prod \_{i=1}^{k}A\_{i}(x)}{dx}}=\sum \_{i=1}^{k}\left(\left(\prod \_{j=1}^{i-1}A\_{j}(x)\right){\frac {dA\_{i}(x)}{dx}}\left(\prod \_{j=i+1}^{k}A\_{j}(x)\right)\right)}
Ekzemple, por tri faktoroj:

{\displaystyle {\frac {d(ABC)}{dx}}={\frac {dA}{dx}}BC+A{\frac {dB}{dx}}C+AB{\frac {dC}{dx}}}
### Pli altaj derivaĵoj

La produta regulo povas esti ĝeneraligita al pli altaj derivaĵoj de produto de du funkcioj *f(x)* kaj *g(x)* de variablo *x*:

{\displaystyle {d^{n}(f(x)g(x)) \over dx^{n}}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}\cdot {d^{n-k}f(x) \over dx^{n-k}}\cdot {d^{k}g(x) \over dx^{k}}}
kie {\displaystyle {n \choose k}} estas binomaj koeficientoj. La formulo aspekte similas al la binomo de Newton.

Ekzemple por *n=2*:

{\displaystyle {d^{2}(f(x)g(x)) \over dx^{2}}=f(x)\cdot {d^{2}g(x) \over dx^{2}}+2\cdot {df(x) \over dx}\cdot {dg(x) \over dx}+{d^{2}f(x) \over dx^{2}}\cdot g(x)}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

### Miksitaj partaj derivaĵoj

Por miksita parta derivaĵo de *n*-a ordo de produto de du funkcioj *f(x1, ... xn)* kaj *g(x1, ... xn)* je *x1, ... xn* estas formulo

{\displaystyle {\partial ^{n}(fg) \over \partial x\_{1}\,\cdots \,\partial x\_{n}}=\sum \_{S}{\partial ^{|S|}f \over \prod \_{i\in S}\partial x\_{i}}\cdot {\partial ^{n-|S|}g \over \prod \_{i\not \in S}\partial x\_{i}}}
kie la indekso *S* trapasas ĉiujn *2n* variantojn de subaro de aro *{1, ... n}*.

Ekzemple por *n=3*:

{\displaystyle {\partial ^{3}(fg) \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}=}
{\displaystyle =f\cdot {\partial ^{3}g \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}+{\partial f \over \partial x\_{1}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}+{\partial f \over \partial x\_{2}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{3}}+{\partial f \over \partial x\_{3}}\cdot {\partial ^{2}g \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}}+}
{\displaystyle +{\partial ^{2}f \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}}\cdot {\partial g \over \partial x\_{3}}+{\partial ^{2}f \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x\_{2}}+{\partial ^{2}f \over \partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}\cdot {\partial g \over \partial x\_{1}}+{\partial ^{3}f \over \partial x\_{1}\,\partial x\_{2}\,\partial x\_{3}}\cdot g}
Ĉi tio veras ankaŭ por matrico-valoraj funkcioj, tiam la ordo de multiplikatoj en ĉiu produto gravas.

Vidu ankaŭ
----------

* Derivaĵo de funkcia komponaĵo
* Operacioj en vektora kalkulo
* Derivaĵo de kvociento
* Poparta integralado
* Formulo de Faà di Bruno

* Kategorio Derivaĵo de produto en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)