Verŝa grafika prezento de la unuaj pitagoraj triopoj kun katetoj ne pli grandaj ol 4500 kun entjerajn valorojn.
**Pitagora triopo** estas en la nombroteorio ĉia grupo de tri naturaj nombroj, kiu povas esti flankoj de orta triangulo. Traktis ilin jam Diofanto el Aleksandrio.

Pro la teoremo de Pitagoro ili estas la pozitivaj solvoj de la diofanta ekvacio: {\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}\qquad (x,y,z\in \mathbb {Z} )}

Se *x,y,z* estas mallongigita, t.e. se ili ne havas komunan divizoron, oni nomas ilin **primitiva pitagora triopo**. Je ĉia primitiva triopo *z* estas nepara, kaj el la nombroj *x* kaj *y* unu estas para, la alia nepara.

*Ekzemploj*:

* La plej malgranda pitagora triopo estas (3,4,5). Ĝi estas primitiva. Oni uzas ĝin en la dekdunoda ŝnuro por krei ortajn angulojn.
* (5,12,13) estas primitiva triopo.
* (15,20,25) kaj (15,36,39) estas ne primitivaj.

Konstruo de pitagoraj triopoj
-----------------------------

La formuloj

{\displaystyle x=u^{2}-v^{2},y=2uv,z=u^{2}+v^{2}\ }
donas por ĉiaj {\displaystyle u,v\in \mathbb {Z} ,u>v}
pitagoran triopon. Sed ne ĉiu pitagoro triopo povas esti reprezentita tiel.

Sed ĉiu **primitiva** pitagora triopo *(x,y,z)* havas tian reprezenton, ĉar:

{\displaystyle u={\sqrt {\frac {z+x}{2}}},v={\sqrt {\frac {z-x}{2}}}}
se *y* estas la para nombro de la triopo. *u* kaj *v* estas tiam naturaj nombroj sen komunaj divizoroj kaj *u>v*, unu el ambaŭ estanta para, la alia nepara.

Oni trovas ĉiujn pitagorajn triopojn, se oni uzas tiaj nombroj, kalkulas la tiel difinitan primitivan triopon *x,y,z*, kaj multiplikas per iu natura nombro *n*: *nx,ny,nz*.

*Ekzemploj*:

* 2,1 donas la triopon (3,4,5)
* 3,1 donas la triopon (8,6,10), kiu estas ne primitiva, ĉar 3 kaj 1 estas ambaŭ neparaj
* 3,2 donas la triopon (5,12,13)
* multipliko per 7 donas (35,84,91)

La unuaj primitivaj pitagoraj triopoj
-------------------------------------

Laŭ tiuj reguloj oni ricevas kiel *primitivaj* pitagoraj triopoj ekzemple (ordigitaj laŭ u+v):

```
 u   v       **x**    **y**    **z**

 2   1       **3**    **4**    **5**

 4   1      **15**    **8**   **17**
 3   2       **5**   **12**   **13**

 6   1      **35**   **12**   **37**
 5   2      **21**   **20**   **29**
 4   3       **7**   **24**   **25**

 8   1      **63**   **16**   **65**
 7   2      **45**   **28**   **53**
 5   4       **9**   **40**   **41**

10   1      **99**   **20**  **101**
 9   2      **77**   **36**   **85**
 8   3      **55**   **48**   **73**
 7   4      **33**   **56**   **65**
 6   5      **11**   **60**   **61**
```

Estas notindaj du serioj da pitagoraj triopoj:

* kun **v = 1** (kaj para u):  
**(3, 4, 5)**, **(15, 8, 17)**, **(35, 12, 37)**, **(63, 16, 65)**, **(99, 20, 101)**, **(143, 48, 145)**,… , **(4n²-1, 4n, 4n²+1)**,…  
do por ĉiu natura nombro **n** estas triopo, kiu enhavas la nombron **4n**, kaj kie **la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 2**.
* kun **v = u-1**:  
**(3, 4, 5)**, **(5, 12, 13)**, **(7, 24, 25)**, **(9, 40, 41)**, **(11, 60, 61)**, **(13, 84, 85)**,… , **(2n+1, 2n²+2n, 2n²+2n+1)**,…  
do por ĉiu nepara nombro **2n+1** (krom 1) estas triopo, kies plej malgranda nombro estas **2n+1** kaj kie **la diferenco de ambaŭ aliaj nombroj estas ekzakte 1**.

Estas 16 primitivaj pitagoraj triopoj kun *z ≤ 100*:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| ( 3, 4, 5) | ( 5, 12, 13) | ( 7, 24, 25) | ( 8, 15, 17) |
| ( 9, 40, 41) | (11, 60, 61) | (12, 35, 37) | (13, 84, 85) |
| (16, 63, 65) | (20, 21, 29) | (28, 45, 53) | (33, 56, 65) |
| (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (48, 55, 73) | (65, 72, 97) |

Propraĵoj de pitagoraj triopoj
------------------------------

* En primitiva pitagora triopo akurate unu el *x*, *y* estas nepara; *z* estas nepara.
* En primitiva pitagora triopo la areo *A = xy/2* estas entjero.
* En primitiva pitagora triopo akurate unu el *x*, *y* estas dividebla je 3.
* En primitiva pitagora triopo akurate unu el *x*, *y* estas dividebla je 4.
* En primitiva pitagora triopo akurate unu el *x*, *y*, *z* estas dividebla je 5.
* En primitiva pitagora triopo akurate unu el *x*, *y*, *(x+y)*, *(y-x)* estas dividebla je 7.
* En primitiva pitagora triopo ĉiuj primaj faktoroj de *z* estas primoj de formo *4n+1*.
* En primitiva pitagora triopo maksimume unu el *x*, *y* estas kvadrato.
* Ĉiu entjero pli granda ol 2 kiu estas kongrua al 2 mod 4 estas parto de primitiva pitagora triopo. Ekzemploj de entjeroj kiuj ne estas partoj de primitivaj pitagoraj triopoj: 6, 10, 14, 18
* Ĉiu entjero pli granda ol 2 estas parto de primitiva aŭ neprimitiva pitagora triopo, ekzemple, entjeroj 6, 10, 14, 18 ne estas partoj de la primitivaj triopoj, sed ili estas partoj de la neprimitivaj triopoj (6, 8, 10), (14, 48, 50) kaj (18, 80, 82).
* Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj kies (hipotenuzoj, hipotenuzas) estas kvadratoj de naturaj nombroj.
* Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu unu el la (kruroj, kruras) estas la kvadrato de natura nombro.
* Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la pli longa kateto diferenciĝas je akurate 1.
* Ekzistas malfinie multaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la pli longa kateto diferenciĝas je akurate 2.
* Ne ekzistas primitivaj pitagoraj triopoj en kiu la hipotenuzo kaj la kateto diferenciĝas je primo pli granda ol 2.
* Por ĉiu natura nombro *n*, ekzistas *n* pitagoraj triopoj kun malsamaj hipotenuzoj kaj la sama areo.
* Por ĉiu natura nombro *n*, ekzistas almenaŭ *n* malsamaj pitagoraj triopoj kun la sama kateto.
* Por ĉiu natura nombro *n*, ekzistas almenaŭ *n* malsamaj pitagoraj triopoj kun la sama hipotenuzo.
* En ĉiu pitagora triopo, la radiuso de la enskribita cirklo kaj la radiusoj de la tri alskribitaj cirkloj estas naturaj nombroj.
* Ne ekzistas pitagora triopo en kiu la hipotenuzo kaj unu kateto estas du katetoj de alia pitagora triopo.
* En pitagora triopo *x+y=z+2((z-x)(z-y)/2)1/2*.
* *(z-x)(z-y)/2* estas ĉiam perfekta kvadrato.

Iuj interrilatoj
----------------

Se *(x, y, z)* estas primitiva pitagora triopo, *x2+y2=z2*, kie *x* estas nepara, tiam

{\displaystyle {\frac {z+x}{y}}={\frac {m}{n}}}
{\displaystyle {\frac {z+y+x}{z+y-x}}={\frac {m}{n}}}
{\displaystyle y/(z-x)={\frac {m}{n}}}
{\displaystyle (x+z-y)/(x+y-z)={\frac {m}{n}}}
kie ĉiu frakcio estas reduktita al plej malgrandaj valoroj kaj *m>n*. Tiam:

{\displaystyle y(m^{2}-n^{2})=x(2mn)}
{\displaystyle (m/n)y-x=z}
{\displaystyle (n/m)y+x=z}
{\displaystyle z-y=(m-n)^{2}}
{\displaystyle z+y=(m+n)^{2}}
{\displaystyle x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z-y)(z+y)}
{\displaystyle z-x=(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=2n^{2}}
{\displaystyle z=x+(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=x+2n^{2}}
{\displaystyle x=z-(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=z-2n^{2}}
Orta triangulo kun enskribita cirklo de radiuso *r*
La radiuso *r* de la enskribita cirklo estas

{\displaystyle r=xy/(x+y+z)} .
La nekonataj flankoj de triopo povas esti kalkulita rekte de la radiuso de la enskribita cirklo, *r*, kaj la valoro de la sola sciata kateto, *x*:

*k = x-2r*
*y = 2r + (2 r2/k)*
*z = y+k*
Por ĉiu cirklo kies radiuso estas entjero *r* estas almenaŭ unu orta triangulo enhavanta ĉi tiun cirklon kiel la enskribita cirklo kun longoj de la lateroj kiuj estas primitiva pitagora triopo. Unu el ĉi tiuj triopoj estas:

*x = 2r(r+1)*
*y = 2r+1*
*z = 2r2+2r+1*
La perimetro *P* kaj areo *L* de triangulo difinita per primitiva pitagora triopa estas

*P = x+y+z = 2m(m+n)*
*L = xy/2 = mn(m2 - n2)*
La plej mallonga latero estas *x* se unu el la sekvaj kondiĉoj veras:

{\displaystyle x<y}
{\displaystyle m^{2}-n^{2}<2mn}
{\displaystyle (m-n)^{2}<2n^{2}}
{\displaystyle m-n<n{\sqrt {2}}}
{\displaystyle m<n(1+{\sqrt {2}})}
{\displaystyle x^{2}=z^{2}-y^{2}=(z-y)(z+y)}
{\displaystyle z-x=(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=2n^{2}}
{\displaystyle z=x+(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=x+2n^{2}}
{\displaystyle x=z-(m^{2}+n^{2})-(m^{2}-n^{2})=z-2n^{2}}
Interrilatoj inter la lateroj:

{\displaystyle z^{4}=(x^{2}-y^{2})^{2}+(2ab)^{2}}
{\displaystyle x^{4}=(z^{2}+y^{2})^{2}-(2cb)^{2}}
{\displaystyle y^{4}=(z^{2}+x^{2})^{2}-(2ca)^{2}}
{\displaystyle x^{2}y^{2}=(z^{2}+xy)^{2}-(zx+zy)^{2}=(z^{2}-xy)^{2}-(zx-zy)^{2}}

Vidu ankaŭ
----------

* Triangulo de Heron
* Pitagora primo
* Nehipotenuza nombro

Eksteraj ligiloj
----------------

* Plidetalaj informoj kaj kelkaj pruvoj Arkivigite je 2006-07-08 per la retarkivo Wayback Machine (germane)
* Pitagoraj triopoj Arkivigite je 2006-08-18 per la retarkivo Wayback Machine (germane)
* Pitagora triopo je MathWorld
* 
* Pitagora triopo (in English)