En matematiko, **hiperoperatoro** estas funkcio de tri argumentoj, aŭ familio de la **hiper-*n*** funkcioj de du argumentoj:

{\displaystyle {\textrm {hyper}}(a,n,b)={\textrm {hyper}}n(a,b)=a^{(n)}b=a\uparrow ^{n-2}b=a\to b\to (n-2)}

(Vidu supren-sagan notacion de Knuth kaj ĉenitan sagan notacion de Conway.)

Disvolvo de la notacio
----------------------

La notacio povas vidiĝi kiel konforma al la demando "kio estas venonta en ĉi tiu vico?":

* adicio (+)
* multipliko (×)
* potencigo (^)

Notu, ke ekzustas la rikuraj rilatoj:

* {\displaystyle a+b=1+(a+(b-1))}
* {\displaystyle a\times b=a+(a\times (b-1))}
* {\displaystyle a^{b}=a\times (a^{(b-1)})}

Okazo de *n=0* estas konforma laŭ la postanta funkcio (adicio de 1).

La rikura difino de la hiperoperatoro estas:

**malsukcesis analizi formulon (MathML, alternative SVG aŭ PNG (rekomendata por modernaj foliumiloj kaj alirebleco-iloj): Ne valida respondo ("Math extension cannot connect to Restbase.") de servilo "http://localhost:6011/eo.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \textrm{hyper}(a,n,b)= \left\{ \begin{matrix} b+1, & \mbox{se }n=0 \\ a, & \mbox{se }n=1,b=0 \\ 0, & \mbox{se }n=2,b=0 \\ 1, & \mbox{se }n\ge 3,b=0 \\ a ^ {(n-1)} ( a ^ {(n)} (b - 1)) & \mbox{se }n\ge 1,b\ge 1,a\ge 0 \end{matrix} \right. }**

Ĉi tio donas jenon:

{\displaystyle \operatorname {hyper1} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,1,b)=a^{(1)}b=a+b}

{\displaystyle \operatorname {hyper2} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,2,b)=a^{(2)}b=ab}

{\displaystyle \operatorname {hyper3} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,3,b)=a^{(3)}b=a^{b}}

Por *n=4* estas **hyper4** aŭ **supereksponento**, superpotencigo aŭ potenca turo:

{\displaystyle {\operatorname {hyper4} (a,b)=\operatorname {hyper} (a,4,b)=a^{(4)}b=a\uparrow \uparrow b=a\to b\to 2= \atop {\ }}\!\!\!\!\!\!\!{{\underbrace {a^{a^{\cdot ^{\cdot ^{a}}}}} } \atop {b{\mbox{ kopioj de }}a}}}

La alia notacio por supereksponento estas

{\displaystyle \operatorname {hyper4} (a,b)={}^{b}a}

Ekzemplo de uzo de la rikura difino:

{\displaystyle 3^{(4)}3=3^{(3)}(3^{(4)}2)=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}1))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(4)}0))=3^{(3)}(3^{(3)}(3^{(3)}1))=3^{3^{3^{1}}}=3^{27}=7625597484987}
La familio ne estas etendita de naturaj nombroj al reelaj nombroj ĝenerale por *n>3*, pro neasocieco en la "evidentaj" vojoj por fari ĝin.

Pritakso de maldekstro dekstren
-------------------------------

Alternativo por ĉi tiuj operatoroj estas ricevita per pritakso de maldekstro dekstren. Estu (kun subaj indicoj anstataŭ supraj indicoj)

{\displaystyle a\_{(n+1)}b=(a\_{(n+1)}(b-1))\_{(n)}a}
kun

{\displaystyle a\_{(1)}b=a+b}
{\displaystyle a\_{(2)}0=0}
{\displaystyle a\_{(n)}0=1} por *n>2*
Pro tio ke

{\displaystyle a+b=(a+(b-1))+1}
{\displaystyle a\times b=(a\times (b-1))+a}
{\displaystyle a^{b}=(a^{(b-1)})\times a}
rezultiĝas ke {\displaystyle a^{(n)}b=a\_{(n)}b} por *n≤3*.

Sed ĉi tiu formo ne donas la potencan turon tradicie atendatan de *hyper4*:

{\displaystyle a\_{(4)}b=a^{(a^{(b-1)})}}
Kial povas {\displaystyle a^{(n)}b} esti la sama kiel {\displaystyle a\_{(n)}b} por *n≤3*, sed malsama por *n>3*? Ĉi tio estas pro simetrio (asocieco) de adicio kaj multipliko, sed kiu potencigo ne estas simetria.

Vidu ankaŭ
----------

* Akermana funkcio
* Supereksponento
* Supren-saga skribmaniero de Knuth
* Ĉenita saga skribmaniero de Conway
* Skribmaniero de Steinhaus-Moser

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Hiperoperatoro en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Robert Munafo, *La Vortaro de Grandaj Nombroj*
* Studo de Lynz kaj Clarkkkkson (tre granda nombro) Arkivigite je 2008-09-08 per la retarkivo Wayback Machine