| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**:  konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius 

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco 

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

En matematiko, la **primo-kalkulanta funkcio** estas la funkcio {\displaystyle \pi (x)} kies valoro estas kvanto de primoj malpli grandaj ol aŭ egala al ĝia argumento - reela nombro *x*. (Ĝi estas malsama la nombro *π*, kvankam la sama litero estas uzata).

La unuaj valoroj de {\displaystyle \pi (n)}

Kreskada kurzo
--------------

Granda intereso en nombroteorio estas al la kreskada kurzo de la primo-kalkulanta funkcio. Estis konjektite en la fino de la 18-a jarcento de Carl Friedrich Gauss kaj Adrien-Marie Legendre ke ĝi estas proksimume {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} en la senco ke

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{\frac {x}{\ln(x)}}}=1}
Ĉi tiu frazo estas la prima teoremo. Ekvivalenta frazo estas

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{{\mbox{li}}(x)}}=1}
kie {\displaystyle {\mbox{li}}} estas la logaritma integrala funkcio. Ĉi tio estis unue pruvita en 1896 de Jacques Hadamard kaj Charles Jean de la Vallée-Poussin sendepende, uzante propraĵojn de la rimana ζ funkcio prezentitaj de Bernhard Riemann en 1859.

Pli precizaj pritaksoj de {\displaystyle \pi (x)} estas nun sciataj, ekzemple

{\displaystyle \pi (x)={\mbox{li}}(x)+O\left(x\exp \left(-{\frac {\sqrt {\ln(x)}}{15}}\right)\right)}
kie *O* estas la granda O. Pruvoj de la prima teoremo ne uzantaj la zetan funkcion aŭ kompleksan analitikon estis trovitaj ĉirkaŭ 1948 de Atle Selberg kaj Paŭlo Erdős grandparte sendepende.

Alia konjekto pri la kreskada kurzo por prima serio engaĝante la priman teoremon estas

{\displaystyle \sum \_{p\leq x}p^{n}\sim \pi (x^{n+1})\sim Li(x^{n+1})}

Tabelo de {\displaystyle \pi (x)} , {\displaystyle {\frac {x}{\ln(x)}}} , kaj {\displaystyle {\mbox{li}}(x)}
------------------------------------------------------------------------------------------------------------

| {\displaystyle x} | {\displaystyle \pi (x)} | {\displaystyle \pi (x)-{\frac {x}{\ln(x)}}} | {\displaystyle {\mbox{li}}(x)-\pi (x)} | {\displaystyle {\frac {x}{\pi (x)}}} |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 10 | 4 | -0,3 | 2,2 | 2,500 |
| 102 | 25 | 3,3 | 5,1 | 4,000 |
| 103 | 168 | 23 | 10 | 5,952 |
| 104 | 1229 | 143 | 17 | 8,137 |
| 105 | 9592 | 906 | 38 | 10,425 |
| 106 | 78498 | 6116 | 130 | 12,740 |
| 107 | 664579 | 44158 | 339 | 15,047 |
| 108 | 5761455 | 332774 | 754 | 17,357 |
| 109 | 50847534 | 2592592 | 1701 | 19,667 |
| 1010 | 455052511 | 20758029 | 3104 | 21,975 |
| 1011 | 4118054813 | 169923159 | 11588 | 24,283 |
| 1012 | 37607912018 | 1416705193 | 38263 | 26,590 |
| 1013 | 346065536839 | 11992858452 | 108971 | 28,896 |
| 1014 | 3204941750802 | 102838308636 | 314890 | 31,202 |
| 1015 | 29844570422669 | 891604962452 | 1052619 | 33,507 |
| 1016 | 279238341033925 | 7804289844393 | 3214632 | 35,812 |
| 1017 | 2623557157654233 | 68883734693281 | 7956589 | 38,116 |
| 1018 | 24739954287740860 | 612483070893536 | 21949555 | 40,420 |
| 1019 | 234057667276344607 | 5481624169369960 | 99877775 | 42,725 |
| 1020 | 2220819602560918840 | 49347193044659701 | 222744644 | 45,028 |
| 1021 | 21127269486018731928 | 446579871578168707 | 597394254 | 47,332 |
| 1022 | 201467286689315906290 | 4060704006019620994 | 1932355208 | 49,636 |
| 1023 | 1925320391606803968923 | 37083513766578631309 | 7250186216 | 51,939 |

La valoro por {\displaystyle \pi (10^{23})} estas de Tomás Oliveira e Silva.

Algoritmoj por komputado de {\displaystyle \pi (x)}
---------------------------------------------------

Simpla maniero por kalkuli {\displaystyle \pi (x)} se {\displaystyle x} estas ne tro granda estas per kribrilo de Eratosteno produkti la primojn kaj poste kalkuli ilin.

Pli ellaborita vojo kalkuli {\displaystyle \pi (x)} estas de Adrien-Marie Legendre: por donita {\displaystyle x} , se {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{k}} estas malsamaj primoj, kvanto de entjeroj malpli grandaj ol aŭ egalaj al {\displaystyle x} kiu estas divideblaj per neniu el {\displaystyle p\_{i}} estas

{\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum \_{i}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}}}\right\rfloor +\sum \_{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}}}\right\rfloor -\sum \_{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}p\_{k}}}\right\rfloor +\cdots }
(kie {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } estas la planka funkcio). Ĉi tiu nombro estas pro tio egala al

{\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}
kiam la nombroj {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{k}} estas la primoj malpli grandaj ol aŭ egalaj al la kvadrata radiko de {\displaystyle x} .

En serio de artikoloj publikigita inter 1870 kaj 1885, Ernst Meissel priskribis kaj uzis praktikan kombinan manieron de komputado de {\displaystyle \pi (x)}. Estu {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{n}} la unuaj {\displaystyle n} primoj kaj estu {\displaystyle \Phi (m,n)} kvanto de naturaj nombroj ne pli grandaj ol {\displaystyle m} kiuj estas divideblaj per neniu el {\displaystyle p\_{i}}. Tiam

{\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left(\left[{\frac {m}{p\_{n}}}\right],n-1\right)}
Por donita natura nombro *m*, se {\displaystyle n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)} kaj se {\displaystyle \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n} , tiam

{\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum \_{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p\_{n+k}}}\right)}
Uzante ĉi tiun manieron, Meissel komputis {\displaystyle \pi (x)} por {\displaystyle x} egala al {\displaystyle 5\cdot 10^{5}} , {\displaystyle 10^{6}} , {\displaystyle 10^{7}} , kaj {\displaystyle 10^{8}} .

En 1959, Derrick Henry Lehmer etendis kaj simpligis la manieron de Meissel. Estu, por reela {\displaystyle m} kaj naturaj {\displaystyle n} , {\displaystyle k} , {\displaystyle P\_{k}(m,n)} kvanto de entjeroj ne pli grandaj ol {\displaystyle m} kun akurate {\displaystyle k} primaj faktoroj, ĉiuj pli granda ol {\displaystyle p\_{n}}. Ankaŭ estu {\displaystyle P\_{0}(m,n)=1}. Tiam

{\displaystyle \Phi (m,n)=\sum \_{k=0}^{\infty }P\_{k}(m,n)}
kie la sumo reale havas nur finie multajn nenulajn erojn. Estu {\displaystyle y} entjero tia ke {\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}} , kaj estu {\displaystyle n=\pi (y)}. Tiam {\displaystyle P\_{1}(m,n)=\pi (m)-n} kaj {\displaystyle P\_{k}(m,n)=0} por {\displaystyle k\geq 3}. Pro tio

{\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P\_{2}(m,n)}
La kalkulado de {\displaystyle P\_{2}(m,n)} povas esti farita kiel

{\displaystyle P\_{2}(m,n)=\sum \_{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right)}
Aliflanke, la kalkulado de {\displaystyle \Phi (m,n)} povas esti farita per jenaj reguloj:

{\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor }
{\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p\_{b}}},b-1\right)}
Per ĉi tia maniero sur komputilo IBM 701, Lehmer estis pova komputi valoron {\displaystyle \pi (10^{10})} .

Hwang Cheng uzis jenajn identojn:

{\displaystyle e^{(a-1)\Theta }f(x)=f(ax)}
{\displaystyle J(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\pi (x^{\frac {1}{n}})}{n}}}
kun preno de {\displaystyle x=e^{t}} , kun laplaca konverto de ambaŭ flankoj kaj aplikado de geometria sumo sur {\displaystyle e^{n\Theta }}. Tiam rezultiĝas

{\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int \limits \_{c-i\infty }^{c+i\infty }g(s)t^{s}\,ds=\pi (t)}
{\displaystyle {\frac {\ln {\bigl (}\zeta (s){\bigr )}}{s}}=(1-e^{\Theta (s)})^{-1}g(s)}
{\displaystyle \Theta (s)=s{\frac {d}{ds}}}

Aliaj primo-kalkulantaj funkcioj
--------------------------------

Unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas {\displaystyle \pi \_{0}(x)} kies valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto:

{\displaystyle \pi \_{0}(x)=\lim \_{\varepsilon \to 0}{\frac {\pi (x-\varepsilon )+\pi (x+\varepsilon )}{2}}}
Tiel ekzemple:

*π0(x)=1* por *2<x<3*
*π0(3)=3/2*
*π0(x)=2* por *3<x<5*
Ankoraŭ unu el la aliaj primo-kalkulantaj funkcioj estas la **rimana primo-kalkulanta funkcio**, kutime skribata kiel *Π0(x)*. Ĉi tiu funkcio pligrandiĝas je *1/n* je ĉiu prima potenco *pn*, kaj ĝia valoro je ĉiu punkto de nekontinueco egalas al averaĝo de valoroj je la du flankoj de ĉi tiu punkto. Ĉi tiu aldonita detalo estas ĉar tiam la funkcio povas esti difinita per inverso de konverto de Mellin. Tiel *Π0(x)* estas

{\displaystyle \Pi \_{0}(x)={\frac {1}{2}}{\bigg (}\sum \_{p^{n}<x}{\frac {1}{n}}\ +\sum \_{p^{n}\leq x}{\frac {1}{n}}{\bigg )}}
kie ĉiu *p* estas primo. Aŭ

{\displaystyle \Pi \_{0}(x)=\sum \_{2}^{x}{\frac {\Lambda (n)}{\ln n}}-{\frac {1}{2}}{\frac {\Lambda (x)}{\ln x}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n}}\pi \_{0}(x^{1/n})}
kie *Λ(n)* estas la funkcio de von Mangoldt.

Inversiga formulo de Möbius tiam donas ke

{\displaystyle \pi \_{0}(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\Pi \_{0}(x^{1/n})}
Per interrilato inter logaritmo de la rimana ζ funkcio kaj la funkcio de von Mangoldt kaj per la formulo de Perron rezultiĝas

{\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int \_{0}^{\infty }\Pi \_{0}(x)x^{-s+1}\,dx}
En la funkcioj de Ĉebiŝev por primoj aŭ primaj potencoj *pn* estas sumataj valoroj *ln(p)*:

{\displaystyle \theta (x)=\sum \_{p\leq x}\ln p}
{\displaystyle \psi (x)=\sum \_{p^{n}\leq x}\ln p=\sum \_{n=1}^{\infty }\theta (x^{1/n})=\sum \_{n\leq x}\Lambda (n)}

Formuloj por primo-kalkulantaj funkcioj
---------------------------------------

Estas jena esprimo por *ψ(x)*:

{\displaystyle \psi \_{0}(x)=x-\sum \_{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\ln 2\pi -{\frac {1}{2}}\ln(1-x^{-2})}
kie

{\displaystyle \psi \_{0}(x)=\lim \_{\varepsilon \rightarrow 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}}
Ĉi tie *ρ* estas la nuloj de la rimana ζ funkcio en la kritika filmo, kie la reela parto de *ρ* estas inter 0 kaj 1. La formulo estas valida por *x>1*, kio estas la regiono de intereso. La sumo tra la radikoj estas kondiĉe konverĝa, kaj devas esti sumata en ordo de pligrandiĝo de absoluta valoro de la imaginara parto. La sama sumo tra la bagatelaj radikoj donas la lasta subtrahaton en la formulo. La nuloj en la kritika filmo estas en kompleksaj konjugitaj paroj, do la sumo estas reela.

Por *Π0(x)* estas pli komplika formulo

{\displaystyle \Pi \_{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum \_{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\ln 2+\int \_{x}^{\infty }{\frac {dt}{t(t^{2}-1)\ln t}}}
Denove, la formulo estas valida por *x>1*, kaj *ρ* estas la netrivialaj nuloj de la zeta funkcio ordigitaj laŭ ilia absoluta valoro, kaj, denove, la lasta integralo, prenita kun minuso, estas ĝuste la sama sumo sed tra la bagatelaj nuloj. La unua membro *li(x)* estas la kutima logaritma integrala funkcio; la esprimo *li(xρ)* en la dua membro devas esti konsiderata kiel *Ei(ρ ln x)*, kie *Ei* estas la analitika vastigaĵo de la eksponenta integrala funkcio de pozitivaj reelaj nombroj al la kompleksa ebeno kun branĉa tranĉo laŭ la negativaj reelaj nombroj.

Tiel inversiga formulo de Möbius donas ke

{\displaystyle \pi \_{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum \_{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}}
por *x>1*, kie

{\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(\ln x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}
estas tiel nomata kiel rimana R-funkcio. La lasta serio por ĝi estas sciata kiel grama serio kaj konverĝas por ĉiuj pozitivaj *x*.

La δ funkcio (ruĝa) en logaritma skalo
La sumo tra nuloj de zeta funkcio en la kritika filmo en la formulo por *π0(x)* priskribas la fluktuojn de *π0(x)*, kaj la cetera eroj donas la glatan parton. Se la rimana hipotezo veras, la amplitudo de la fluktuoj estas heŭristike proksimume {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {x}}/\ln x}, tiel la fluktuoj de la distribuo de primoj povas esti prezentitaj per la delta funkcio:

{\displaystyle \Delta (x)=\left(\pi \_{0}(x)-\operatorname {R} (x)+{\frac {1}{\ln x}}-{\frac {1}{\pi }}\arctan {\frac {\pi }{\ln x}}\right){\frac {\ln x}{\sqrt {x}}}}

Neegalaĵoj
----------

Jen estas iuj neegalaĵoj pri *π(x)*:

{\displaystyle \pi (x)<1,25506{\frac {x}{\log x}}} por *x > 1*
{\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}} por *x ≥ 55*
Estis konjekto ke *π(x) ≤ li(x)* por ĉiu pozitiva entjero *x*, ĝi estas malpruvita, vidu pli detale en artikolo nombro de Skewes.

Jen estas iuj neegalaĵoj por la *n*-a primo *pn*:

*n ln n + n ln ln n - n < pn < n ln n + n ln ln n* por *n ≥ 6*, la maldekstra neegalaĵo veras eĉ por *n ≥ 1*
Proksimumado por la *n*-a primo estas

{\displaystyle p\_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n\ln \ln n-2n}{\ln n}}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right)}

La rimana hipotezo
------------------

La rimana hipotezo estas ekvivalenta al multe pli strikta baro por la eraro en la pritakso por *π(x)*, kaj de ĉi tie al pli regula distribuo de primoj:

{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x})}

Vidu ankaŭ
----------

* Primofaktorialo
* Logaritma integrala funkcio
* Rimana ζ funkcio
* Rimana hipotezo
* Nombro de Skewes - pri signo de la diferenco *π(x) - li(x)*

Eksteraj ligiloj
----------------

* Marc Deléglise kaj Jöel Rivat, Komputado de *π(x)*: maniero de Meissel, Lehmer, Lagarias, Miller, Odlyzko, *Matematiko de kalkulado*, volumo 65, nombro 33, januaro 1996, paĝoj 235-245
* Eric W. Weisstein, *Rimana primo-kalkulanta funkcio, Rimana R-funkcio* en MathWorld.
* Eric W. Weisstein, *Grama serio* en MathWorld.
* Tomás Oliveira e Silva, Tabeloj de valoroj de *π(x)* kaj de *π2(x)*
* Xavier Gourdon kaj Pascal Sebah, Valoroj ĝis 4&middot1022
* Chrita Caldwell, La *n*-a prima paĝo je la Primaj Paĝoj.
* A006880 en OEIS *π(x)*
* A057752 en OEIS *li(x) − π(x)*
* A057835 en OEIS *π(x) - x / ln x*
* Tabelo de *Δ(x)*, bazita sur la rezultoj de Tomás Oliveira e Silva