En nombroteorio, **multiplika funkcio** estas aritmetika funkcio *f*(*n*) de la pozitiva entjero *n* kun la propraĵoj *f*(1) = 1 kaj por ĉiuj [[Reciproka primeco|reciproke primaj] *a* kaj *b*

*f(ab) = f(a) f(b)* .
Aritmetika funkcio *f*(*n*) estas **forte multiplika** se *f(ab) = f(a)* por ĉiu primo *a* kaj pozitiva entjero *b*.

Aritmetika funkcio *f*(*n*) estas **plene multiplika** se *f*(1) = 1 kaj *f(ab) = f(a) f(b)* veras *por ĉiuj* pozitivaj entjeroj *a* kaj *b*, eĉ se ili estas ne [[Reciproka primeco|reciproke primaj]. Tiam *f(ab) = f(a)b*.

Ekster nombroteorio, la termino **multiplika** estas kutime uzata por funkcioj kun la propraĵo *f(ab) = f(a) f(b)* por *ĉiuj* argumentoj *a* kaj *b*; ĉi tio postulas ke *f*(1) = 1, aŭ *f*(*a*) = 0 por ĉiuj *a* escepti *a* = 1. Ĉi tiu artikolo diskutas nombro-teoriajn multiplikajn funkciojn.

Ekzemploj
---------

Ekzemploj de multiplikaj funkcioj inkluzivas multajn funkciojn gravajn en nombroteorio:

* {\displaystyle \phi }(*n*): eŭlera funkcio {\displaystyle \phi }, kalkulanta la pozitivajn entjerojn kiuj estas [[Reciproka primeco|reciproke primaj] al *n* kaj esras ne pli grandaj *n*
* {\displaystyle \mu }(*n*): la funkcio de Möbius, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj de kvadrato-liberaj nombroj
* plej granda komuna divizoro(*n*,*k*): la plej granda komuna divizoro de *n* kaj *k*, kie *k* estas fiksita entjero.
* *d*(*n*): la kvanto de pozitivaj divizoroj de *n*,
* {\displaystyle \sigma }(*n*): la sumo de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n*,
* {\displaystyle \sigma }*k*(*n*): la dividanta funkcio, kiu estas la sumo de la *k*-onaj potencoj de ĉiuj pozitivaj divizoroj de *n* (kie *k* povas esti ĉiu kompleksa nombro). En specialaj okazoj:
	+ {\displaystyle \sigma }0(*n*) = *d*(*n*) kaj
	+ {\displaystyle \sigma }1(*n*) = {\displaystyle \sigma }(*n*) ,
* 1(*n*): la konstanta funkcio, difinita kiel 1(*n*) = 1 (plene multiplika)
* Id(*n*): identa funkcio, difinita kiel Id(*n*) = *n* (plene multiplika)
* Id*k*(*n*): la pova funkcio, difinita kiel Id*k*(*n*) = *n**k* por ĉiu natura aŭ kompleksa nombro *k* (plene multiplika). Kiel specialaj okazoj:
	+ Id0(*n*) = 1(*n*) kaj
	+ Id1(*n*) = Id(*n*) ,
* {\displaystyle \epsilon }(*n*): la funkcio difinita kiel {\displaystyle \epsilon }(*n*) = 1 se *n* = 1 kaj = 0 se *n* > 1, iam nomata kiel *multiplika unuo por rulumo de Dirichlet* aŭ simple la *unuobla funkcio*; iam skribita kiel *u*(*n*), ĝi estu ne konfuzita kun {\displaystyle \mu }(*n*) (plene multiplika).
* (*n*/*p*), la simbolo de Legendre, kie *p* estas fiksita primo (plene multiplika).
* {\displaystyle \lambda }(*n*): la funkcio de Liouville, rilatanta al la kvanto de primaj faktoroj dividantaj na *n* (plene multiplika).
* {\displaystyle \gamma }(*n*), difinita kiel {\displaystyle \gamma }(*n*)=(-1){\displaystyle \omega }(n), kie la adicia funkcio {\displaystyle \omega }(*n*) estas la kvanto de diversaj primoj dividantaj na *n*.
* Ĉiuj signoj de Dirichlet estas plene multiplikaj funkcioj.

Ekzemplo de ne-multiplika funkcio estas la aritmetika funkcio *r**2*(*n*) - la kvanto de prezentoj de *n* kiel sumoj de kvadratoj de du entjeroj, pozitivaj, negativaj, aŭ nulo, kie en kalkulo de la kvanto de la manieroj, malaj ordoj estas permesataj. Ekzemple:

1 = 12 + 02 = (-1)2 + 02 = 02 + 12 = 02 + (-1)2
kaj pro tio *r*2(1) = 4 ≠ 1. Ĉi tio montras ke la funkcio estas ne multiplika. Tamen, *r*2(*n*)/4 estas multiplika.

Vidu en aritmetika funkcio por iuj aliaj ekzemploj de ne-multiplikaj funkcioj.

Propraĵoj
---------

Multiplika funkcio estas plene difinita per siaj valoroj je la potencoj de primoj, kio estas konsekvenco de la fundamenta teoremo de aritmetiko. Tial, se *n* estas produto de potencoj de diversaj primoj

*n* = *p**a* *q**b* ... tiam
*f*(*n*) = *f*(*p**a*) *f*(*q* *b*) ...
Ĉi tiu propraĵo de multiplikaj funkcioj grave reduktas la necesan por kalkulado, kiel en jenaj ekzemploj por *n* = 144 = 24 · 32:

d(144) = {\displaystyle \sigma }0(144) = {\displaystyle \sigma }0(24){\displaystyle \sigma }0(32) = (10 + 20 + 40 + 80 + 160)(10 + 30 + 90) = 5 · 3 = 15,
{\displaystyle \sigma }(144) = {\displaystyle \sigma }1(144) = {\displaystyle \sigma }1(24){\displaystyle \sigma }1(32) = (11 + 21 + 41 + 81 + 161)(11 + 31 + 91) = 31 · 13 = 403,
{\displaystyle \sigma }\*(144) = {\displaystyle \sigma }\*(24){\displaystyle \sigma }\*(32) = (11 + 161)(11 + 91) = 17 · 10 = 170.
Simile:

{\displaystyle \phi }(144)={\displaystyle \phi }(24){\displaystyle \phi }(32) = 8 · 6 = 48
Ĝenerale, se *f*(*n*) estas multiplika funkcio kaj *a*, *b* estas iuj du pozitivaj entjeroj, tiam

*f*(*a*) · *f*(*b*) = *f*(PGKD(*a*,*b*)) · *f*(PMKO(*a*,*b*)).
Ĉiu plene multiplika funkcio estas homomorfio de monoidoj kaj estas plene difinita per ĝia limigo al la primoj.

Rulumo
------

Se *f* kaj *g* estas du multiplikaj funkcioj, unu difinas nova multiplika funkcio *f* \* *g*, la *rulumo de Dirichlet* de *f* kaj *g*, per

(*f* \* *g*)(*n*) = ∑*d* |*n* *f*(*d*)*g*(*n*/*d*)
kie la sumo etendas super ĉiuj pozitivaj divizoroj *d* de *n*.
Kun ĉi tiu operacio, la aro de ĉiuj multiplikaj funkcioj estas komuta grupo kun la neŭtrala elemento {\displaystyle \epsilon }.

Rilatoj inter la multiplikaj funkcioj estas:

* {\displaystyle \epsilon } = {\displaystyle \mu } \* 1 (la inversiga formulo de Möbius)
* {\displaystyle \phi } = {\displaystyle \mu } \* Id
* *d* = 1 \* 1
* {\displaystyle \sigma } = Id \* 1 = {\displaystyle \phi } \* *d*
* {\displaystyle \sigma }*k* = \_Id\_*k* \* 1
* Id = {\displaystyle \phi } \* 1 = {\displaystyle \sigma } \* {\displaystyle \mu }
* Id*k* = {\displaystyle \sigma }*k* \* {\displaystyle \mu }

La rulumo de Dirichlet povas esti difinita por ĝeneralaj aritmetikaj funkcioj, kaj donas ringan strukturon, la ringon de Dirichlet.

Vidu ankaŭ
----------

* Eŭlera produto
* Serio de Bell
* Adicia funkcio
* Unuobla funkcio