|  |  |
| --- | --- |
|  Polurinda artikolo | Ĉi tiu artikolo bezonas **poluradon**, ĉar ĝi montras stilajn kaj/aŭ gramatikajn kaj/aŭ strukturajn problemojn, kiuj ne konformas al stilogvido.

---

La priskribo de la problemo troviĝas ĉi tie. Bonvolu ŝanĝi la enhavon por plibonigi la artikolon. |

| Algebraj strukturoj |
| --- |
| 
Grupo-similaj**Grupo-teorio**
Duvalenta operacio
A Asocieco •
N Neŭtrala elemento •
I Inversa elemento •
K Komuteco
Abela grupo (ANIK) •
Grupo (ANI) •
Monoido (AN) •
Duongrupo (A) •
Magmo

Kvazaŭgrupo • Lopo •
Lie-grupo • Cikla grupo • Simetria grupo
Grupa homomorfio • Normala subgrupo
 |
| 
Ringo-similaj**Ringo-teorio**
Distribueco
Ringo •
Komuta ringo •
Integreca ringo •
Korpo •
Kampo
Ringa homomorfio • Nuldivizoro • Idealo
 |
| 
Modulo-similaj**Lineara algebro**
Modulo • Vektora spaco
Lineara transformo • Bazo • Dimensio
 |
| v • d • r |

En matematiko, **ringo-teorio** aŭ **ringoteorio** estas la studo pri ringoj, algebraj strukturoj en kiuj adicio kaj multipliko estas difinitaj kaj havas similajn propraĵojn al tiuj familiaraj de la entjeroj.

Bonvolu konsulti la glosaron de ringo-teorio por la difinoj de terminoj uzataj tra ringo-teorio.

Historio
--------

La studo de ringoj devenis de la teorio de polinomringoj kaj la teorio de algebraj entjeroj. Plue, la apero de hiperkompleksaj nombroj en la mezo de la 19-a jarcento subfosis la antaŭ-moŝtecon de kampoj en analitiko.

Richard Dedekind prezentis la koncepton de ringo.

La termino *ringo (Zahlring)* estis elpensita de David Hilbert en la artikolo *Die Theorie der algebraischen Zahlkörper,* Jahresbericht der Deutschen Mathematiker Vereinigung, volumo 4, 1897.

La unua aksioma difino de ringo estis donita per Adolf Fraenkel en eseo en *Ĵurnalo für die reine und angewandte Mathematik* (A. L. Crelle), volumo 145, 1914.

En 1921, Emmy Noether donis la unuan aksioman fundamenton de la teorio de komutaj ringoj en sia monumenta papero *Ideala teorio en ringoj*.

Enkonduko
---------

### Difino

Formale, ringo estas komuta grupo (*R*, +), kaj ankaŭ dua operacio (matematiko) {\displaystyle \*} tia, ke por ĉiuj *a*, *b* kaj *c* en *R*,

{\displaystyle a\*(b\*c)=(a\*b)\*c}
{\displaystyle a\*(b+c)=(a\*b)+(a\*c)}
{\displaystyle (a+b)\*c=(a\*c)+(b\*c)}
kaj tia, ke rilate operacion {\displaystyle \*} ekzistas neŭtrala elemento, aŭ *unuo*,
t.e. tia elemento 1, ke por ĉiuj *a* en *R*,

{\displaystyle a\*1=1\*a=a}
La komuta grupo (*R*, +) nomiĝas **adicia grupo** de la ringo, kaj la operacio {\displaystyle \*} kutime nomiĝas **multipliko**.

Ne ĉiuj aŭtoroj igas la ekziston de multiplika neŭtrala elemento parto de la difino de ringo, t.e. la difino allasas ringojn sen unuo, kiel oni kutime nomas multiplikan neŭtralan elementon. Ekzemple, paraj entjeroj rilate aritmetikajn operaciojn de adiciado kaj multiplikado formas ringon sen unuo. En tiaj kuntekstoj ringon, kiu fakte havas la multiplikan neŭtralan elementon, oni nomas **unuohava ringo** aŭ **ringo kun unuo**.

### Bazaj nocioj

Estas simple montri, ke iu ajn ringo en kiu 1 = 0 devas havi nur unu elementon; iu ajn tia ringo estas nomata **nula ringo**.

Subaroj de ringo, kiuj mem estas ringoj rilate la operaciojn de la origina ringo, estas nomataj **subringo**j. Funkcioj inter ringoj, kiuj respektas la ringajn operaciojn, nomiĝas **ringaj homomorfioj**. Ringoj kune kun ringaj homomorfioj, formas kategorion. Proksime rilata estas la nocio de idealoj, certaj subaroj de ringoj, kiuj servas kiel kernoj de homomorfioj kaj povas servi por difini **faktor-ringo**jn. Bazajn faktojn pri idealoj, homomorfioj kaj faktor-ringoj formas la tiel nomataj **teoremoj pri izomorfeco** ĝenerale validaj por multaj klasoj de algebraj strukturoj: grupoj, moduloj ktp.

Ringo nomiĝas *komuta ringo*, se ĝia multipliko estas komuta. Komutaj ringoj similas familiarajn nombrosistemojn, kaj diversaj difinoj por komutaj ringoj estas fasonitaj por reakiri konatajn ecojn de la entjeroj. Komutaj ringoj estas gravaj ankaŭ en algebra geometrio. En teorio pri komutaj ringoj, nombroj estas ofte anstataŭigitaj per idealoj, kaj la difino de prima idealo peras la esencon de primoj. Integrecaj ringoj, ne-bagatelaj komutaj ringoj kie neniuj du ne-nulaj eroj inter si multiplikitaj donas nulon, ĝeneraligas la alian propraĵon de la entjeroj kaj servas kiel la pozitiva regno por studi divideblecon. Ĉefidealaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj ĉiu idealo povas esti generita per sola ero, alia propraĵo komuna kun la entjeroj. Eŭklidaj ringoj estas integrecaj ringoj en kiuj la eŭklida algoritmo por plej granda komuna divizoro povas funkcii. Gravaj ekzemploj de komutaj ringoj povas esti konstruitaj kiel ringoj de polinomoj kaj iliaj faktoraj ringoj. Enkonduko: eŭklida ringo => ĉefideala ringo => faktoreca ringo => integreca ringo => komuta ringo.

Ne-komutaj ringoj similas ringojn de matricoj en multaj aspektoj. Sekve la modelo de algebra geometrio, provas esti farita nur je difinanta ne-komuta geometrio bazita sur ne-komutaj ringoj.

Ne-komutaj ringoj kaj asociecaj algebroj (ringoj, kiuj estas ankaŭ vektoraj spacoj) estas ofte studitaj per ilia kategorioj de moduloj. Modulo super ringo estas komuta grupo sur kiu la ringo agas kiel ringo de endomorfioj, treege simile al la manieroj kiel kampoj (integrecaj ringoj en kiuj ĉiu ne-nula ero estas inversigebla) agas sur vektoraj spacoj. Ekzemploj de ne-komutaj ringoj estas donitaj per ringoj de kvadrataj matricoj aŭ pli ĝenerale per ringoj de endomorfioj de komutaj grupoj aŭ moduloj, kaj per monoidaj ringoj.

Iuj utilaj teoremoj
-------------------

* Teoremo de Artin-Wedderburn

Ĝeneraligoj
-----------

Iun ajn ringon eblas konsideri antaŭadicia kategorio kun unusola objekto. Tial estas nature konsideri la antaŭadiciajn kategoriojn kiel ĝeneraligon de ringoj. Kaj efektive, multaj difinoj kaj teoremoj originale pruvitaj por ringoj povas esti tradukitaj por tiu pli ĝenerala kunteksto. Adiciaj funktoroj inter antaŭadiciaj kategorioj ĝeneraligas la koncepton de ringa homomorfio, kaj idealoj en adiciaj kategorioj povas esti difinitaj kiel klasoj de strukturkonservantaj transformoj fermitaj sub adicio kaj sub komponado kun ajnaj strukturkonservantaj transformoj.

Eksteraj ligiloj
----------------

* Historio de ringo-teorio je la arĥivo MacTutor Arkivigite je 2017-04-24 per la retarkivo Wayback Machine