Grafikaĵo de logaritmo de faktorialo kontraŭ logaritmo de la argumento

| {\displaystyle n} | {\displaystyle n!} |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 6 | 720 |
| 7 | 5040 |
| 8 | 40320 |
| 9 | 362880 |
| 10 | 3 628 800 |
| 11 | 39 916 800 |
| 12 | 479 001 600 |
| 13 | 6 227 020 800 |
| 14 | 87 178 291 200 |
| 15 | 1 307 674 368 000 |
| 20 | 2 432 902 008 176 640 000 |
| 25 | 15 511 210 043 330 985 984 000 000 |
| 50 | 3,04140932... × 1064 |
| 70 | 1,19785717... × 10100 |
| 450 | 1,73336873... × 101000 |
| 3249 | 6,41233768... × 1010000 |
| 25206 | 1,205703438... × 10100000 |
| 47176 | 8,4485731495... × 10200001 |
| 100000 | 2,8242294079... × 10456573 |

En la matematiko, **faktorialo** de natura nombro *n* estas la produto de la pozitivaj entjeroj malpli aŭ egalaj al *n*. Oni signas ĝin per *n!*, kion oni prononcas *no faktoriale* laŭ Christian Kramp.

Difino
------

{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)\cdot n=\prod \_{k=1}^{n}k}
{\displaystyle n!=n\cdot (n-1)!}
{\displaystyle 0!=1!=1\,}
Oni aldone difinas {\displaystyle 0!=1}, ĉar ĝenerale la produto de neniuj faktoroj estas konsiderata 1.

Kombinatoriko
-------------

En kombinatoriko, faktorialo *n!* estas kvanto de permutaĵoj de *n* eroj. Ekzemple:

Por 1 ero {*A*} estas 1!=1 permuto:
A
Por 2 eroj {*A*,*B*} estas 2!=2 permutaĵoj:
AB   BA
Por 3 eroj {*A*,*B*,*C*} estas 3!=6 permutaĵoj:
ABC   ACB   BAC   BCA   CAB   CBA
Por 4 eroj {*A*,*B*,*C*,*D*} estas 4!=24 permutaĵoj:
ABCD   BACD   CABD   DABC
ABDC   BADC   CADB   DACB
ACBD   BCAD   CBAD   DBAC
ACDB   BCDA   CBDA   DBCA
ADBC   BDAC   CDAB   DCAB
ADCB   BDCA   CDBA   DCBA

Γ-funkcio
---------

Γ-funkcio estas funkcio, difinita por ĉiuj reelaj aŭ kompleksaj argumentoj krom nepozitivaj entjeroj (0, -1, -2, -3, ...). Ĝi estas vastigaĵo de faktorialo. Se *n* estas nenegativa entjero (0, 1, 2, 3, ...), do

*Γ(n+1) = n!*
Aŭ ekvivalente se *n* estas pozitiva entjero (1, 2, 3, 4, ...), do

*Γ(n) = (n-1)!*

Proksimuma kalkulado de Stirling
--------------------------------

Proksimuma kalkulado de Stirling estas proksimuma formulo por faktoriala:

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}+O\left(n^{-4}\right)\right),}
kie la nombro *e* estas la bazo de la eksponenta funkcio kaj *O* estas granda O.

Pli simpla, malpli preciza sed iam uzebla estas formulo kun nur la unua membro de la proksimuma kalkulado de Stirling

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
Tiam estas limigoj por la faktorialo.

{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}}
Tia proksimumo permesas ankaŭ trovi proksimumon pri la logaritmo de n! :

{\displaystyle \ln \left(n!\right)\simeq n\ln \left(n\right)-n\ \,.}

Duopa faktorialo
----------------

**Duopa faktorialo** estas:

{\displaystyle n!!={\begin{cases}1,&{\mbox{ se }}n=0{\mbox{ aŭ }}n=1;\\n\times (n-2)!!&{\mbox{ se }}n\geq 2.\qquad \qquad \end{cases}}}
Tiel:

*n!!=n(n-2)(n-4)·...·6·4·2* se *n* estas para pozitiva;
*n!!=n(n-2)(n-4)·...·5·3·1* se *n* estas nepara pozitiva;
Noto ke duopa faktorialo ne estas faktorialo de faktorialo, ĝenerale *n!!≠(n!)!*.

La difino povas esti etendita reen al la negativaj argumentoj ĉar

{\displaystyle (n-2)!!={\frac {n!!}{n}}}
Tiel:

*n!!=1/( (n+2)(n+4)·...·(-3)·(-1)·1 )* se *n* estas nepara negativa.
Per ĉi tia maniero duopa faktorialo ne estas difinita por para negativa argumento, tamen vidu sube pri ebleco difini per Γ funkcio.

Ekzemple, 8!! = 2 · 4 · 6 · 8 = 384, 9!! = 1 · 3 · 5 · 7 · 9 = 945.

Valoroj de *n!!* por *n=0, 1, 2, ...* estas:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, ...
Valoroj de *n!!* por *n=-1, -3, -5, ...* estas:

{\displaystyle 1,-1,{\tfrac {1}{3}},-{\tfrac {1}{15}},\dots }
Iuj formuloj kun duopa faktorialo:

{\displaystyle n!=n!!(n-1)!!}
{\displaystyle (2n)!!=2^{n}n!}
{\displaystyle (2n+1)!!={(2n+1)! \over (2n)!!}={(2n+1)! \over 2^{n}n!}}
{\displaystyle (2n-1)!!={(2n-1)! \over (2n-2)!!}={(2n)! \over 2^{n}n!}}
{\displaystyle \Gamma \left(n+{1 \over 2}\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{(2n-1)!! \over 2^{n}}}
{\displaystyle \Gamma \left({n \over 2}+1\right)={\sqrt {\pi }}\,\,{n!! \over 2^{(n+1)/2}}}
kie *Γ* estas Γ funkcio. La lasta formulo povas esti konsiderata kiel difino de duopa faktorialo por ĉiuj kompleksaj *n≠0*.

Plurfaktorialo
--------------

**Plurfaktorialo** estas plua ĝeneraligo post la duopa faktorialo. Plurfaktorialo de la *k*-a ordo de *n*, aŭ alivorte la *k*-a plurfaktorialo de *n*, estas

{\displaystyle n!^{(k)}=\left\{{\begin{matrix}1,\qquad \qquad \ &&{\mbox{se }}0\leq n<k;\\n(n-k)!^{(k)},&&{\mbox{se }}n\geq k.\quad \ \ \,\end{matrix}}\right.}
Duopa faktorialo estas plurfaktorialo de la *2*-a ordo.

Primofaktorialo
---------------

**Primofaktorialo** *n#* estas produto de ĉiuj primoj ne pli grandaj ol *n*. Ekzemple:

{\displaystyle 11\#=12\#=2\cdot 3\cdot 5\cdot 7\cdot 11=2310}
Se *pn* estas la *n*-a primo, do *pn#* estas produto de *n* la unuaj primoj:

La unuaj valoroj de *pn#* por *n=1, 2, 3, ...* estas:

2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810, 304250263527210, 13082761331670030, 614889782588491410.

Vidu ankaŭ
----------

* Kombinatoriko
* Γ-funkcio

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Faktorialo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Retejo pri faktorialo (cs, en, fr)
* A000142 en OEIS - valoroj de faktorialo *n!* por *n = 0, 1, 2, ...*
* A006882 en OEIS - valoroj de duopa faktorialo *n!!* por *n = 0, 1, 2, ...*
* A002110 en OEIS - valoroj de *pn#*
* A001163 en OEIS - numeratoroj de proksimuma kalkulado de Stirling
* A001164 en OEIS - denominatoroj de proksimuma kalkulado de Stirling