Ĉe la **egalŝtupa agordo** oni egaligas la pitagoran komon kaj subdividas la okton en dekdu duontono-paŝojn de la frekvencproporcio

{\displaystyle {\frac {f\_{2}}{f\_{1}}}={\sqrt[{12}]{\frac {2}{1}}}\approx 1{,}05946309}
La gamo, kiu uzas tian agordon, nomatas **temperita gamo**.

Tiamaniere agordita instrumento enhavas escepte de la okto neniun intervalon„idealan", do laŭ entjera frekvencproporcio pureagorditan, kaj la deviadoj estas nepre aŭdeblaj. Nuntempe oni ĝenerale perceptas tiujn ĉi kiel akcepteblaj (alkutimiĝo).

La divido de la okto en dek du tonoj kun sama frekvencproporcio al siaj najbaraj tonoj ja estas la plej uzata, tamen ne la ununura ebleco alproksimiĝi al la puraj intervaloj. Per pli tonoj pro okto oni atingas pli bonajn alproksimadojn. Fakte okazis subdivido en egalŝtupe agorditan deknaŭŝtupa tonsistemo.

Historio
--------

Geometria ilustrado de la egalŝtupa agordo el *Sopplimenti musicali* (1588) de Gioseffo Zarlino 
La egalŝtupan agordon kiel unua povis kalkuli sufiĉe ekzakte en 1584 Chu Tsai-yü ( 朱載堉 ) en Ĉinio helpe de sistemo de naŭciferaj nombroj. En Eŭropo tamen tiuj ĉi kalkuladoj iĝis konataj nur en 1799, sen ke oni menciis laŭnome Chu Tsai-yü. En 1588 Gioseffo Zarlino proponis ekzaktan geometrian priskribon. Simon Stevin kiel unua eŭropano priskribis en *Van de Spiegheling der Singconst* (manskribaĵo ĉ. aŭ antaŭ 1600) vastan alproksimiĝon helpe de procedo por radikokalkulado, tamen mise pensis garantii per tio naturajn grandajn tritojn.

Egalŝtupe nomataj liutagordoj de la 16-a jarcento baziĝis, kiel praktikate de Vincenzo Galilei, plejparte sur duontono kun la proporcio 18:17 (ĉ. 99 Cendojn).

Precipe en la 17-a jarcento ne nur teoriistoj kiel Pietro Mengoli kaj Marin Mersenne, sed ankaŭ komponistoj, instrumentkonstruistoj kaj muzikistoj diskutis pri la egalŝtupa agordo. Tion ekz. pruvas disputo pri agordoj inter Giovanni Artusi kaj Claudio Monteverdi mallonge post 1600. Girolamo Frescobaldi rekomendis la egalŝtupan agordon por la orgeno en la baziliko S. Lorenzo en Damaso.

En la germanlingvaj regionoj oni ankaŭ uzis anstataŭ *egalŝtupa* la nocion *egalŝveba*, ekz. Andreas Werckmeister 1707 en *Musikalische Paradoxal-Discourse*: *„ ... se la temperado estas aranĝata tiel, ke ĉiuj kvintoj ŝvebas 1/12 komon ... kaj akurata aŭdado povas realigi kaj agordi ĉi tiun/tiam certe troviĝas bontemperita harmonio tra la tuta cirklo kaj tra ĉiuj klavoj."* Werckmeister nepre ne opinias per tio, ke la ŝvebofrekvencojn egalas. La malfacilaĵon alparolatan de li, agordi egalŝtupe, ekz. pianagordistoj precize povas majstri per tio, ke li konas la diferencajn ŝvebofrekvencojn de la kvintoj en la diference altaj pozicioj de la piano kaj uzas por la agordado.

La nocio *egalŝveba* ankaŭ povas koncerni pluan apartaĵon de ĉi tiu agordo: La suprokvinto de tono kaj la subkvinto de ĝia okto ĉiam ŝvebas samrapide.

La praktika graveco restis bagatela ĝis en la 18-a jarcento, tamen pliiĝis la konsentantoj de la egalŝtupa agordo, inter ili Jean-Philippe Rameau kaj Friedrich Wilhelm Marpurg. Ĝisfine de la 18-a jarcento ĝi gajnis superecon kontraŭ malegalŝtupaj agordoj kaj en la 19-a jarcento ĝi finfine venkis.

Per tio tamen la tonalkarakteroj por novaj komponaĵoj perdis gravecon, ĉar diferencaj tonaloj ĉirilate ne plu sonis diferencaj. Je la prezentado de malnovaj verkoj sur egalŝtupe agorditaj instrumentoj pro la sama kaŭzo perdiĝas ofte gravak artaj aspektoj de la komponaĵo, ekz. ĉar fruaj komponistoj ŝatis apliki malbone sonantajn „maleblajn" tonalojn, por fari per-sone traviveblaj negativaĵojn kiel doloro kaj peko.

Nuntempe oni agordas instrumentojn kun fiksajn tonaltojn kiel la piano aŭ gitaro laŭnorme egalŝtupaj, sed multajn orgenojn kaj klavicenojn historieme per aliaj, malegalŝtupaj agordoj.

### Mishaqah

Araba muzikteoriulo Mishaqah egalŝtupigis la tradician araban duoktan gamon kaj dividis ĉiun okton en dudek kvar tonintervalojn. Tiu do havas duoble pli da tonoj ol la eŭropa de Werckmeister kaj diferenco de 50 cendojn inter sinsekvaj tonoj.

Frekvenckalkulado
-----------------

La matematika instrukcio por difini la tonon sur la tuta gamo de la egalŝtupa agordo estas

{\displaystyle f(i)=f\_{0}\cdot 2^{i/12}\,},
je kio *f0* povas esti ekz. la frekvenco de la ĉambrotono a’ (440 Hz). *i* estas la duontona distanco al la elektita tono kun dle frekvenco *f0*. Tian matematikan vicon oni nomas geometria vico.

Se oni volas difini la frekvencon de la tono g’, oni nombras ĝian duontonpaŝan distancon de la ĉambrotono a’ (*i* = **minus** 2, ĉar oni nombras malsupren), kaj enmetas la valorojn en la egalaĵon:

{\displaystyle f(-2)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{-2/12}\approx 391{,}995\,\mathrm {Hz} \,}
por la tono g’’ oni ricevas analoge duontonan distancon al *f0* de *i* = 10:

{\displaystyle f(10)=440\,\mathrm {Hz} \cdot 2^{10/12}\approx 783{,}991\,\mathrm {Hz} \,}
Kiel vidate, g’’ havas la duoblan frekvencon de g’ – pro tio ĝi sonas tiel konsonanca, se oni ekludas du samnomajn tonojn, kio ankaŭ klarigas unu ĉefan econ de la egalŝtupa agordo. Aliaj avantaĝo estas, ke oni povas transponi ĉiun pecon (do ekz. transloki ĉiujn tonojn ekde la origina F# maĵora al C maĵora), sen ke en la peco por ordinara aŭskultanto io ajn karakterize ŝanĝas (escepte homojn kun absoluta sonsento).

Cendvaloroj de la egalŝtupa agordo
----------------------------------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Tono | C | C#/D♭ | D | D#/E♭ | E | F | F#/G♭ | G | G#/A♭ | A | A#/B♭ | B | C |
| do | do#/re♭ | re | re#/mi♭ | mi | fa | fa#/sol♭ | sol | sol#/la♭ | la | la#/si♭ | si | do |
| Cendvaloro | 0 | 100 | 200 | 300 | 400 | 500 | 600 | 700 | 800 | 900 | 1000 | 1100 | 1200 |

Ĉi-sekva tabelo montras la valorojn de ĉiuj intervaloj, en egalŝtupa kaj pura agordoj samkiel la diferenco de unu al alia en Cendoj:

| Intervalo | Egalŝtupe temperita intervalo | Pura intervalo | Diferenco en Cendoj |
| --- | --- | --- | --- |
| Unuto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{0}}}=1=0\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {1}{1}}=1=0\,\mathrm {Cent} } | 0 Cendo |
| Malgranda duto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{1}}}={\sqrt[{12}]{2}}\approx 1{,}059463=100\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {16}{15}}\approx 1{,}066667\approx 111{,}73\,\mathrm {Cent} } | -11,73 Cendoj |
| Granda duto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{2}}}={\sqrt[{6}]{2}}\approx 1{,}122462=200\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {9}{8}}=1{,}125\approx 203{,}91\,\mathrm {Cent} } | -3,91 Cendoj |
| Malgranda trito | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{3}}}={\sqrt[{4}]{2}}\approx 1{,}189207=300\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {6}{5}}=1{,}2\approx 315{,}64\,\mathrm {Cent} } | -15,64 Cendoj |
| Granda trito | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{4}}}={\sqrt[{3}]{2}}\approx 1{,}259921=400\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {5}{4}}=1{,}25\approx 386{,}31\,\mathrm {Cent} } | 13,69 Cendoj |
| Kvarto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{5}}}={\sqrt[{12}]{32}}\approx 1{,}334840=500\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {4}{3}}\approx 1{,}333333\approx 498{,}04\,\mathrm {Cent} } | 1,96 Cendoj |
| Aŭgemtita kvarto \* | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{6}}}={\sqrt {2}}\approx 1{,}414214=600\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {45}{32}}=1{,}40625\approx 590{,}22\,\mathrm {Cent} } | 9,78 Cendoj |
| kvinto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{7}}}={\sqrt[{12}]{128}}\approx 1{,}498307=700\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}=1{,}5\approx 701{,}96\,\mathrm {Cent} } | -1,96 Cendoj |
| Malgranda sesto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{8}}}={\sqrt[{3}]{4}}\approx 1{,}587401=800\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {8}{5}}=1{,}6\approx 813{,}69\,\mathrm {Cent} } | -13,69 Cendoj |
| Granda sesto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{9}}}={\sqrt[{4}]{8}}\approx 1{,}681793=900\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {5}{3}}\approx 1{,}666667\approx 884{,}36\,\mathrm {Cent} } | 15,64 Cendoj |
| Malgranda septo | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{10}}}={\sqrt[{6}]{32}}\approx 1{,}781797=1000\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {16}{9}}\approx 1{,}777778\approx 996{,}09\,\mathrm {Cent} } | 3,91 Cendoj |
| Granda septo | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{11}}}={\sqrt[{12}]{2048}}\approx 1{,}887749=1100\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {15}{8}}=1{,}875\approx 1088{,}27\,\mathrm {Cent} } | 11,73 Cendoj |
| Okto | {\displaystyle {\sqrt[{12}]{2^{12}}}=2=1200\,\mathrm {Cent} } | {\displaystyle {\tfrac {2}{1}}=2=1200\,\mathrm {Cent} } | 0 Cent |
| Rimarkoj:* aŭgmentita kvarto, foje nomata tritono, difinita kiel: granda trito (5/4) plus granda duto (9/8). Tio samsignifas kun: kvinto (3/2) minus diatona duontono (16/15).
* Se la diferenco estas negativa, la samtemperita intervalo estas pli malvasta ol la pura.
 |

Vidu ankaŭ
----------

* Cendo

Literaturo
----------

* Mark Lindley: *Stimmung und Temperatur*, in Frieder Zaminer (Hrsg.): *Geschichte der Musiktheorie*, Bd. 6. *Hören Messen und Rechnen in der frühen Neuzeit*, S. 109-332, Darmstadt 1987

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| v • d • rMuzikaj gamoj |
| --- |
| Klasika muziko | 
Maĵora gamo •
Minora gamo •
Kromata gamo
 |
| Tipoj | 
Bibopo •
Diatono •
Enharmono •
Ĵazo •
Sintezo
 |
| Nomo | 
Alfa gamo •
Beta gamo •
Gama gamo •
Delta gamo •
Akustiko •
Aliigo •
Blusa gamo •
Bohlen–Pierce •
Duharmono •
Duoneto •
Enigmo •
Frigia dominanto •
Harmona maĵoro •
Harmona minoro •
Ĵaza minorgamo •
Lidia dominanto •
Maĵorlokrio •
Miŝebaruĥ (Klezmero) •
Plentono
 |
| Etna origino | 
Alĝera gamo •
Araba gamo (Duharmono  •  Maĵorlokrio  •  Kvarontono  •  Deksepŝtupa agordo) •
*Peloga gamelano* •
*Sajlendra gamelano* •
Cigana gamo •
Hungara cigano •
Hungara minoro •
Napola minoro kaj maĵoro •
Persa gamo •
Ukraina minoro •
*Jo-gamo* •
*In-gamo*
 |
| Modaloj | 
 |
| Kiom da tonoj | 
Kvintono •
Sestono •
Septono •
Oktoniko •
Dekdutoniko
 |

 |

* Egalŝtupa agordo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)
* Kategorio Egalŝtupa agordo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)