Logaritma integrala funkcio
En matematiko, la **logaritma integrala funkcio** aŭ **integrala logaritmo** *li(x)* estas speciala funkcio.

Difino
------

La logaritma integralo havas integrala prezento difinita por ĉiuj pozitivaj reelaj nombroj {\displaystyle x\neq 1} per la difinita integralo:

{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{\ln(t)}}\,dt}
Ĉi tie, *ln* estas la natura logaritmo. La funkcio 1/ln (*t*) havas specialaĵon je *t=1*, kaj la integralo por *x>1* estas interpretita kiel koŝia ĉefa valoro:

{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\lim \_{\varepsilon \to 0}\left(\int \_{0}^{1-\varepsilon }{\frac {dt}{\ln(t)}}+\int \_{1+\varepsilon }^{x}{\frac {dt}{\ln(t)}}\right)}

Kompensita logaritma integralo
------------------------------

La **kompensita logaritma integralo** aŭ **eŭlera logaritma integralo** estas difinita kiel

{\displaystyle {\rm {Li}}(x)=\int \_{2}^{x}{\frac {1}{\ln t}}\,dt}
Avantaĝo de ĉi tiu varianto estas je evito de la specialaĵo en domajno de la integralado.

Interligo inter la du funkcioj estas

{\displaystyle {\rm {Li}}(x)={\rm {li}}(x)-{\rm {li}}(2)}

Seria prezento
--------------

La funkcio *li(x)* estas rilatanta al la integrala eksponenta funkcio *Ei(x)* kiel

*li(x) = Ei(ln(x))*
kiu estas valida por *x>1*. Ĉi tiu idento provizas serian prezenton de *li(x)* kiel

{\displaystyle {\rm {li}}(e^{u})={\hbox{Ei}}(u)=\gamma +\ln u+\sum \_{n=1}^{\infty }{u^{n} \over n\cdot n!}} por *u≠0*
kie *γ ≈ 0,577215664901532...* estas la konstanto de Eŭlero-Mascheroni. Pli rapide konverĝa serio (de Srinivasa Aiyangar Ramanujan) estas

{\displaystyle {\rm {li}}(x)=\gamma +\ln \ln x+{\sqrt {x}}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}(\ln x)^{n}}{n!\,2^{n-1}}}\sum \_{k=0}^{\lfloor (n-1)/2\rfloor }{\frac {1}{2k+1}}}

Specialaj valoroj
-----------------

La funkcio *li(x)* havas solan pozitivan nulon, ĝi okazas je *x ≈ 1,4513692348 ...*, ĉi tiu nombro estas la konstanto de Ramanujan-Soldner.

La valoro *li(2)* estas {\displaystyle {\rm {li}}(2)=-(\Gamma \left(0,-\ln 2\right)+i\,\pi )} kie {\displaystyle \Gamma \left(a,x\right)} estas la neplena γ funkcio. Ĝi devas esti komprenita kiel la koŝia ĉefa valoro de la funkcio.

*li(2) ≈ 1,045163 780117 492784 844588 889194 613136 522615 578151 ...*

Asimptota elvolvaĵo
-------------------

La asimptota konduto por *x → ∞* estas

{\displaystyle {\rm {li}}(x)={\mathcal {O}}\left({x \over \ln(x)}\right)}
kie *O* estas la granda O. La plena asimptota elvolvaĵo estas

{\displaystyle {\rm {li}}(x)={\frac {x}{\ln x}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(\ln x)^{k}}}}
aŭ

{\displaystyle {\frac {{\rm {li}}(x)}{x/\ln x}}=1+{\frac {1}{\ln x}}+{\frac {2}{(\ln x)^{2}}}+{\frac {6}{(\ln x)^{3}}}+\cdots }
Noto ke kiel asimptota elvolvaĵo, ĉi tiu serio estas malkonverĝa serio, ĝi estas modera proksimumado nur se la serio estas sumigata je finia kvanto de eroj, kaj nur por grandaj valoroj de *x*. Ĉi tiu elvolvaĵo sekvas rekte de la asimptota elvolvaĵo por la integrala eksponenta funkcio.

Nombroteoria uzo
----------------

La logaritma integralo estas grava en nombroteorio, aperante en pritaksoj de kvanto de primoj malpli grandaj ol donita valoro. La primaj teoremaj statas ke:

{\displaystyle \pi (x)\sim {\hbox{li}}(x)\sim {\hbox{Li}}(x)\!}
kie *π(x)* estas la primo-kalkulanta funkcio - kvanto de primoj pli malgrandaj ol aŭ egalaj al *x*.

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Logaritma integrala funkcio en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Milton Abramowitz kaj Irene A. Stegun. *Gvidlibro de matematikaj funkcioj kun formuloj, grafikaĵoj kaj matematikaj tabeloj* Novjorko: Dover, 1972. *(Vidu en ĉapitro 5)*