Alef-0, simbolo de la plej malgranda malfinia kardinalo
En aroteorio, la **alef-nombroj** estas vico de nombroj, kiuj prezentas la kardinalojn (la ampleksojn) de nefiniaj aroj. Ili estas nomataj laŭ la simbolo uzata por signifi ilin, la hebrea litero alef ({\displaystyle \aleph }).

La kardinalo de la naturaj nombroj estas {\displaystyle \aleph \_{0}} (alef-nul), la sekva pli granda kardinalo estas {\displaystyle \aleph \_{1}} (alef-unu), la sekva estas {\displaystyle \aleph \_{2}} (alef-du) kaj tiel plu. Daŭrigante en ĉi tiu maniero, eblas difini kardinalon {\displaystyle \aleph \_{\alpha }} por ĉiu orda numero *α*, kiel estas priskribite pli sube. Neformale, {\displaystyle \aleph } (sen subskribo) estas bijekcio de la ordaj numeroj al la senfinaj kardinaloj. Sed formale, laŭ ZFC, {\displaystyle \aleph } ne estas funkcio, ĉar nek la ordaj numeroj nek la kardinaloj estas matematika aro. Anstataŭ, ili estas matematikaj klasoj.

La alef-nombroj malsamas de la malfinio (∞) kutime aperanta en la baza algebro kaj kalkulo. Alef-nombroj mezuras la amplekson de aroj; malfinio, aliflanke, estas kutime difinita kiel (ege, ekstremuma) limigo de la reela nombra linio (aplikita al funkcio aŭ vico kiu malkonverĝas al malfinio aŭ pligrandiĝas sen baro), aŭ la ekstremuma punkto de la etendita reela nombra linio.

La koncepto fontas de Georg Cantor, kiu difinis la komprenaĵon de kardinalo kaj komprenis ke malfiniaj aroj povas havi malsamajn kardinalojn.

Alef-nulo
---------

{\displaystyle \aleph \_{0}} estas la kardinalo de la aro de ĉiuj naturaj nombroj, kaj estas la unua transfinia kardinalo. Aro havas kardinalon {\displaystyle \aleph \_{0}} se kaj nur se ĝi estas kalkulebla malfinio, kio estas se kaj nur se ĝi povas esti metita en reciproke unuvalora surĵeto kun la naturaj nombroj. Ĉiuj tiaj aroj inkluzivas la aron de ĉiuj primoj, la aron de ĉiuj entjeroj, la aron de ĉiuj racionalaj nombroj, la aron de algebraj nombroj, la aron de ĉiuj finiaj subaroj de ĉiu kalkuleble malfinia aro.

Se la aksiomo de elekto veras, aŭ eĉ se aksiomo de kalkulebla elekto (pli malforta versio de la aksiomo de elekto) veras, do {\displaystyle \aleph \_{0}} estas pli malgranda ol ĉiu la alia malfinia kardinalo.

Alef-unu
--------

{\displaystyle \aleph \_{1}} estas la kardinalo de la aro de ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, nomata kiel  ***ω**1* aŭ ***Ω***. Ĉi tiu  ***ω**1* estas mem orda numero pli granda ol ĉiuj kalkuleblaj ordaj numeroj, tiel ĝi estas nekalkulebla aro. Pro tio {\displaystyle \aleph \_{1}} estas malsama de {\displaystyle \aleph \_{0}}. La difino de {\displaystyle \aleph \_{1}} implicas (en ZF (aroteorio de Zermelo-Fraenkel) eĉ sen la aksiomo de elekto (AC)) ke neniu kardinalo estas inter {\displaystyle \aleph \_{0}} kaj {\displaystyle \aleph \_{1}}. Se la aksiomo de elekto estas uzata, povas esti plu pruvite ke la klaso de kardinaloj estas tutece ordita, kaj tial {\displaystyle \aleph \_{1}} estas la dua plej malgranda malfinia kardinalo. Uzante AC ni povas montri unuon el la plej utilaj propraĵoj de la aro ***Ω***: ĉiu kalkulebla subaro de ***Ω*** havas superan baron en ***Ω***. Ĉi tio sekvas el tio ke kalkulebla kunigo de kalkuleblaj aroj estas kalkulebla, unu el la plej komunaj aplikoj de AC. Ĉi tiu fakto estas analoga al la situacio kun {\displaystyle \aleph \_{0}}: ĉiu finia aro de naturaj nombroj havas maksimumon, kiu mem estas natura nombro; tio estas, kunaĵo de finia nombro da finiaj aroj estas finia.

**Ω** estas reale utila koncepto, kvankam ekzotike sonanta. Ekzempla apliko estas la fermado kun respekto al kalkuleblaj operacioj; ekzemple, provo eksplicite priskribi la σ-algebron generitan per ajna kolekto de subaroj. Ĉi tio estas pli peza ol plej eksplicitaj priskriboj de "generacio" en algebro (vektoraj spacoj, grupoj, kaj tiel plu) ĉar en tiuj okazoj oni nur devas fermi kun respekto al finiaj operacioj - sumoj, produtoj, kaj la similaj. La procezo engaĝas difinadon, por ĉiu kalkulebla orda numero, tra transfinia indukto, de aro per "ĵetado en" de ĉiuj eblaj kalkuleblaj kunaĵoj kaj komplementoj, kaj preno de kunaĵo de ili ĉiuj super ĉiuj el ***Ω***.

Kontinuumo-hipotezo
-------------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kontinuumo-hipotezo.
La kardinalo de la aro de reelaj nombroj (kardinalo de kontinuumo) estas {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}}. Estas ne klare kie ĉi tiu nombro estas en la alef-nombra hierarkio. El aroteorio de Zermelo-Fraenkel kun la aksiomo de elekto (ZFC) sekvas, ke la kontinuumo-hipotezo (CH) estas ekvivalento al la idento

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}=\aleph \_{1}}
CH estas sendependa de ZFC, kio estas ke CH povas esti nek pruvita nek malpruvita en la ĉirkaŭteksto de ZFC.

Alef-*ω*
--------

Kutime la plej malgranda malfinia orda numero estas signifata kiel *ω*, kaj la kardinalo {\displaystyle \aleph \_{\omega }} estas la plej malgranda supera baro de

{\displaystyle \left\{\,\aleph \_{n}:n\in \left\{\,0,1,2,\dots \,\right\}\,\right\}}
Alef-*ω* estas la unua nekalkulebla kardinalo kiu povas esti demonstraciita en aroteorio de Zermelo-Fraenkel aroteorio al esti ne egala al la kardinalo de la aro de ĉiuj reelaj nombroj; por ĉiu pozitiva entjero *n* oni povas konsekvence alpreni ke {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}=\aleph \_{n}}, kaj ankaŭ eblas alpreni ke {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}} estas tiel granda kiel oni ŝatas. Oni tamen devas eviti variantoj de egaleco de ĝi al certaj specialaj kardinaloj kun kunfinio {\displaystyle \aleph \_{0}}, kio estas nebarita funkcio de {\displaystyle \aleph \_{0}} al ĝi.

Alef-*α* por ĝenerala *α*
-------------------------

Por difini {\displaystyle \aleph \_{\alpha }} por ajna orda numero *α*, oni devas difini la postantan kardinalan operacion, kiu asignas al ĉiu kardinalo *ρ* la sekvan pli grandan bonordan kardinalon *ρ+*. Se la aksiomo de elekto veras, ĉi tiu estas la sekva pli granda kardinalo.

Oni povas tiam difini la alef-nombrojn kiel

{\displaystyle \aleph \_{0}=\omega }
{\displaystyle \aleph \_{\alpha +1}=\aleph \_{\alpha }^{+}}
kaj por *λ*, malfinia limiga orda numero,

{\displaystyle \aleph \_{\lambda }=\bigcup \_{\beta <\lambda }\aleph \_{\beta }}
La *α*-a malfinia komenca orda numero estas skribata kiel {\displaystyle \omega \_{\alpha }}. Ĝia kardinalo estas skribata kiel {\displaystyle \aleph \_{\alpha }}.

En ZFC la {\displaystyle \aleph }-funkcio (alef-funkcio) estas reciproke unuvalora surĵeto inter la ordaj numeroj kaj la malfiniaj kardinaloj.

Fiksaj punktoj de alef-funkcio
------------------------------

Por ĉiu orda numero *α*

{\displaystyle \alpha \leq \aleph \_{\alpha }}
En multaj okazoj {\displaystyle \aleph \_{\alpha }} estas severe pli granda ol *α*. Ekzemple, por ĉiu postanta orda numero *α* ĉi tio veras. Ekzistas, tamen, iuj limigaj ordaj numeroj kiu estas fiksaj punktoj de la alef-funkcio, pro la fiksopunkta lemo por normalaj funkcioj. La unua ĉi tia estas la limigo de la vico

{\displaystyle \aleph \_{0},\aleph \_{\aleph \_{0}},\aleph \_{\aleph \_{\aleph \_{0}}},\ldots }
Ĉiu malforte nealirebla kardinalo estas ankaŭ fiksa punkto de la alef-funkcio.

Vidu ankaŭ
----------

* Orda numero
* Kardinala nombro
* Beth-nombro
* Kontinuumo-hipotezo
* Kardinalo de kontinuumo

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Alef-0* en MathWorld.
* Eric W. Weisstein, *Alef-1* en MathWorld.
* Alef-nombroj en PlanetMath.