En matematiko, **kvadrata radiko** (√) de nombro *x* estas nombro *r* tia ke *r2 = x*, aŭ alivorte, nombro *r* kies *kvadrato* (la rezulto de multiplikante de la nombro je si) estas *x*.

Ĉiu nenegativa reela nombro *x* havas unikan nenegativan kvadratan radikon, nomatan kiel la **ĉefa kvadrata radiko** kaj skribatan per radikala simbolo *√x*. Ekzemple, la ĉefa kvadrata radiko de 9 estas 3, √9=3, ĉar *32 = 3 × 3 = 9*.

Ĉiu pozitiva nombro *x* havas du kvadratajn radikojn. Unu el ili, *√x*, estas *√x* pozitiva, kaj la alia, *(-√x)*, estas negativa. Kune, ĉi tiuj du radikoj estas skribataj kiel *±√x*.

Se ne estas rekte alie skribite, kiel la kvadrata radiko de nombro estas komprenata la ĉefa kvadrata radiko.

Kvadrataj radikoj de negativaj nombroj estas imaginaraj nombroj kaj estas diskutataj en la kadro de kompleksaj nombroj.

Kvadrataj radikoj ankaŭ de objektoj kiuj ne estas nombroj povas esti difinitaj.

Kvadrataj radikoj aperas de solvado de kvadrataj ekvacioj, aŭ ekvacioj de formo *ax2+bx+c=0*.

Kvadrataj radikoj de entjeroj kiu ne estas ne perfektaj kvadratoj estas ĉiam *neracionalaj nombroj*, do nombroj ne esprimeblaj kiel rilatumo de du entjeroj, do ili ne povas esti skribitaj akurate kiel *m/n*, kie *n* kaj *m* estas entjeroj. (*Vidu en kvadrata radiko de 2 por pruvo de neracionaleco de ĉi tiu nombro.*)

Kvadrataj radikoj de nenegativaj nombroj
----------------------------------------

Grafikaĵo de funkcio *f(x) = √x*, kiu havas formon de duono de parabolo (matematiko) kun vertikala direktanto.
La ĉefa kvadrata radika funkcio *f(x) = √x* (kutime nomata simple kiel la "kvadrata radika funkcio") estas funkcio kiu bildigas la aron de nenegativaj reelaj nombroj **R**+ ∪ {0} sur sin, kaj ĉiam redonas unikan valoron. La kvadrata radika funkcio ankaŭ bildigas racionalajn nombrojn enen algebrajn nombrojn (superaro de la racionalaj nombroj); *√x* estas racionala se kaj nur se *x* estas racionala nombro kiu povas esti prezentita kiel rilatumo de du perfektaj kvadratoj. En geometriaj terminoj, la kvadrata radika funkcio el areo de kvadrato kalkulas ĝian longon de latero.

Por ĉiuj reelaj nombroj *x*,

{\displaystyle {\sqrt {x^{2}}}=\left|x\right|={\begin{cases}x,&{\mbox{se }}x\geq 0\\-x,&{\mbox{se }}x\leq 0\end{cases}}}
Por ĉiuj nenegativaj reelaj nombroj *x* kaj *y*,

{\displaystyle {\sqrt {xy}}={\sqrt {x}}{\sqrt {y}}}
kaj

{\displaystyle {\sqrt {x}}=x^{1/2}.}
La kvadrata radika funkcio estas kontinua funkcio por ĉiuj nenegativaj *x* kaj diferencialebla por ĉiuj pozitivaj *x*. Ĝia derivaĵo estas

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}.}
La serio de Taylor de *√(1+x)* ĉirkaŭ *x* = 0

{\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+\dots \!}
konverĝas por *|x| < 1*.

Kalkulado
---------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Manieroj de komputantaj kvadrataj radikoj.
Eblas kalkuli kvadratan radikon per la eksponenta funkcio kaj la natura logaritmo:

{\displaystyle {\sqrt {x}}=e^{{\frac {1}{2}}\ln x}} aŭ {\displaystyle {\sqrt {x}}=10^{{\frac {1}{2}}\log x}}
La sama idento estas uzata por komputi kvadratan radikon per logaritma baremo aŭ glitkalkulilo.

La plej konata, sed malrapida, maniero de kalkulado de kvadrata radika estas nomata kiel la "babilona maniero". Ĝi estas algoritmo, kiuj rezultoj proksimiĝas al la reala kvadrata radiko kun ripetoj.

* Starti kun ajna pozitiva starta valoro *r* (ju pli proksima al la kvadrata radiko de *x*, des pli bonas).
* Anstataŭigi *r* per la averaĝo inter *r* kaj *x/r*. Estas sufiĉe preni aproksimaĵon de la averaĝo, ne tro proksiman al la antaŭa valoro de *r* kaj *x/r* por konverĝo.
* Ripeti se *r* kaj *x/r* ne estas sufiĉe proksimaj kiel deziratas.

Sciataj la plej bonaj laŭ komputa komplikeco algoritmoj por komputo de kvadrata radiko kun *n* ciferoj de precizeco estas la same komplikaj kiel tiuj por multipliko de du *n*-ciferaj nombroj.

Kvadrataj radikoj de negativaj kaj kompleksaj nombroj
-----------------------------------------------------

Kompleksa kvadrata radiko
Dua folio de la kompleksa kvadrata radiko
Uzante la rimanan surfacon de la kvadrata radiko, oni povas vidi kiel la du folioj kuniĝas
La kvadrato de ĉiu pozitiva aŭ negativa nombro estas pozitiva, kaj kvadrato de 0 estas 0. Pro tio, negativa nombro ne povas havi reelan kvadratan radikon.

Tamen, eblas laboro kun pli granda aro de kompleksaj nombroj, kiuj enhavas kvadratan radikon de ĉiu negativa nombro.

La imaginara unuo *i* estas tia ke *i2 = -1*. Tiel *i* estas kvadrata radiko de -1.

Sed ankaŭ *(-i)2 = i2 = -1*, tiel ankaŭ *-i* estas kvadrata radiko de -1. Simile al la reelaj nombroj, la ĉefa kvadrata radiko de -1 estas *i*, aŭ pli ĝenerale, se *x* estas pozitiva nombro, do la ĉefa kvadrata radiko de *-x* estas

{\displaystyle {\sqrt {-x}}=i{\sqrt {x}}}
ĉar

{\displaystyle (i{\sqrt {x}})^{2}=i^{2}({\sqrt {x}})^{2}=(-1)x=-x.}
Por ĉiu ne-nula kompleksa nombro *z* tie ekzisti precize du nombroj *w* tiaj ke *w2 = z*. Ekzemple, la kvadrataj radikoj de *i* estas:

{\displaystyle {\sqrt {i}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i)}
kaj

{\displaystyle -{\sqrt {i}}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}(1+i).}
La *i* estas nek pozitiva nek negativa. Tiel oni ne povas difini *√z* por kompleksa nombro *z* kiel la "pozitiva" kvadrata radiko de *z*.

La kutima difino de *√z* estas per prezentanta jena branĉa tranĉo: se *z* estas prezentita en polusaj koordinatoj kiel *z = r eiφ* kaj *-π < φ ≤ π* , tiam la ĉefa valoro estas

{\displaystyle {\sqrt {z}}={\sqrt {r}}\,e^{i\phi \over 2}.}
Tiel difinis, la kvadrata radika funkcio estas kontinua kaj holomorfa ĉie escepte sur la nepozitivaj reelaj nombroj. La pli supre donita serio de Taylor por *√(1+x)* restas valida por kompleksaj nombroj *x* kun *|x| < 1*.

Se la nombro estas donita en ortangulaj koordinatoj jena formulo povas esti uzata por la ĉefa valoro:

{\displaystyle {\sqrt {x+iy}}={\sqrt {\frac {r+x}{2}}}+i{\frac {y}{\sqrt {2(r+x)}}}}
kie {\displaystyle r=|x+iy|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}} estas la absoluta valoro, se ne *x = −r* kaj *y = 0*.

Signo de imaginara parto de la radiko estas la sama kiel signo de imaginara parto de la originala nombro. La reela parto de la ĉefa valoro estas ĉiam nenegativa.

Noto ke pro la nekontinua naturo de la kvadrata radika funkcio en la kompleksa ebeno, la leĝo *√(zw) = √z √w* estas ĝenerale *ne vera*. La problemo okazas pro la libereco en la elekto de branĉo. Tamen, veras *√(zw) = √z √w* aŭ *√(zw) = -√z √w*

Kvadrataj radikoj de matricoj kaj operatoroj
--------------------------------------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Kvadrata radiko de matrico.
Se *A* estas pozitive difinita matrico aŭ operatoro, tiam ekzistas precize unu pozitive definitiva matrico aŭ operatoro *B* tia ke *B2 = A*. Tiam oni difinas ke *√A = B*.

Pli ĝenerale, por ĉiu normala matrico aŭ operatoro *A* ekzistas normalaj matricoj aŭ operatoroj *B* tiaj ke *B2 = A*. Ĝenerale, estas kelkaj tiaj *B* por ĉiu *A* kaj la kvadrata radika funkcio ne povas esti difinita por normalaj matricoj kaj operatoroj en kontentiga maniero.

Ĉefaj kvadrataj radikoj de la unuaj 20 pozitivaj entjeroj
---------------------------------------------------------

### Kiel neperiodaj dekumaj frakcioj

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\sqrt {1}}} | = | 1 |
| {\displaystyle {\sqrt {2}}} | ≈ | 1.4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694 8073176679 7379907324 78462 |
| {\displaystyle \!{\sqrt {3}}} | ≈ | 1.7320508075 6887729352 7446341505 8723669428 0525381038 0628055806 9794519330 16909 |
| {\displaystyle {\sqrt {4}}} | = | 2 |
| {\displaystyle {\sqrt {5}}} | ≈ | 2.2360679774 9978969640 9173668731 2762354406 1835961152 5724270897 2454105209 25638 |
| {\displaystyle {\sqrt {6}}} | ≈ | 2.4494897427 8317809819 7284074705 8913919659 4748065667 0128432692 5672509603 77457 |
| {\displaystyle {\sqrt {7}}} | ≈ | 2.6457513110 6459059050 1615753639 2604257102 5918308245 0180368334 4592010688 23230 |
| {\displaystyle {\sqrt {8}}} | ≈ | 2.8284271247 4619009760 3377448419 3961571393 4375075389 6146353359 4759814649 56924 |
| {\displaystyle {\sqrt {9}}} | = | 3 |
| {\displaystyle \!{\sqrt {10}}} | ≈ | 3.1622776601 6837933199 8893544432 7185337195 5513932521 6826857504 8527925944 38639 |
| {\displaystyle {\sqrt {11}}} | ≈ | 3.3166247903 5539984911 4932736670 6866839270 8854558935 3597058682 1461164846 42609 |
| {\displaystyle {\sqrt {12}}} | ≈ | 3.4641016151 3775458705 4892683011 7447338856 1050762076 1256111613 9589038660 33818 |
| {\displaystyle {\sqrt {13}}} | ≈ | 3.6055512754 6398929311 9221267470 4959462512 9657384524 6212710453 0562271669 48293 |
| {\displaystyle {\sqrt {14}}} | ≈ | 3.7416573867 7394138558 3748732316 5493017560 1980777872 6946303745 4673200351 56307 |
| {\displaystyle {\sqrt {15}}} | ≈ | 3.8729833462 0741688517 9265399782 3996108329 2170529159 0826587573 7661134830 91937 |
| {\displaystyle {\sqrt {16}}} | = | 4 |
| {\displaystyle {\sqrt {17}}} | ≈ | 4.1231056256 1766054982 1409855974 0770251471 9922537362 0434398633 5730949543 46338 |
| {\displaystyle {\sqrt {18}}} | ≈ | 4.2426406871 1928514640 5066172629 0942357090 1562613084 4219530039 2139721974 35386 |
| {\displaystyle {\sqrt {19}}} | ≈ | 4.3588989435 4067355223 6981983859 6156591370 0392523244 4936890344 1381595573 28203 |
| {\displaystyle {\sqrt {20}}} | ≈ | 4.4721359549 9957939281 8347337462 5524708812 3671922305 1448541794 4908210418 51276 |

### Kiel periodaj ĉenfrakcioj

Unu el la plej intrigantaj rezultoj de la studo de ĉenfrakcioj estis ricevita per Joseph-Louis de Lagrange en proksimume 1780. Ĝi estas ke kvadrata radiko de ĉiu ne-kvadrata pozitiva entjero povas esti prezentita per perioda ĉenfrakcio.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\sqrt {2}}} | = | [1; 2, 2, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {3}}} | = | [1; 1, 2, 1, 2, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {4}}} | = | [2] |
| {\displaystyle {\sqrt {5}}} | = | [2; 4, 4, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {6}}} | = | [2; 2, 4, 2, 4, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {7}}} | = | [2; 1, 1, 1, 4, 1, 1, 1, 4, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {8}}} | = | [2; 1, 4, 1, 4, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {9}}} | = | [3] |
| {\displaystyle \!{\sqrt {10}}} | = | [3; 6, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {11}}} | = | [3; 3, 6, 3, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {12}}} | = | [3; 2, 6, 2, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {13}}} | = | [3; 1, 1, 1, 1, 6, 1, 1, 1, 1, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {14}}} | = | [3; 1, 2, 1, 6, 1, 2, 1, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {15}}} | = | [3; 1, 6, 1, 6, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {16}}} | = | [4] |
| {\displaystyle {\sqrt {17}}} | = | [4; 8, 8, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {18}}} | = | [4; 4, 8, 4, 8, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {19}}} | = | [4; 2, 1, 3, 1, 2, 8, 2, 1, 3, 1, 2, 8, ...] |
| {\displaystyle {\sqrt {20}}} | = | [4; 2, 8, 2, 8, ...] |

La skribmaniero kun kvadrataj krampoj uzata pli supre estas ekvivalenta al pli tradicia skribmaniero de ĉenfrakcio. Ekzemple la kvadrata radiko de 11 skribata kiel [3; 3, 6, 3, 6, ...] aspektas kiel:

{\displaystyle {\sqrt {11}}=3+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{\ddots }}}}}}}}}}}
kie la du-nombra ŝablono {3, 6} ripetiĝas en la partaj denominatoroj.

Geometria konstruado de kvadrata radiko
---------------------------------------

Kvadrata radiko povas esti konstruita kun cirkelo kaj liniilo. En liaj eroj, Eŭklido donis konstruadon de la geometria meznombro de du longoj en du malsamaj lokoj. Pro tio ke la geometria meznombro de *a* kaj *b* estas *√(ab)*, onu povas konstrui na *√a* per preno de *b = 1*.

Alia maniero de geometria konstruado uzas ortajn trianguloj kaj indukton: se 1=√1 estas donita, kaj se *√x* estas konstruita, do la orta triangulo kun katetoj 1 kaj *√x* havas hipotenuzon *√(x+1)*.

Vidu ankaŭ
----------

* Manieroj de komputado de kvadrata radiko
* Kvadrata radiko de matrico
* Entjera kvadrata radiko
* Kvadrata radika principo
* Kvadrata restaĵo
* Kuba radiko
* *n*-a radiko
* Radiko de unu
* Kvadrata radiko de 2
* Kvadrata radiko de 3
* Kvadrata radiko de 5
* Kvadrato (algebro)
* Kvadrata funkcio
* Funkcia kvadrata radiko

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Kvadrata radiko en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Arkivigite je 2009-12-01 per la retarkivo Wayback Machine maniero de Fukutaro Kato
* Arkivigite je 2009-09-04 per la retarkivo Wayback Machine maniero de Takashi Kojima
* Algoritmoj kaj realigoj
* Kvadrata radiko de pozitivaj reelaj nombroj kun realigo en Rexx.
* Kvadrataj radikoj je MATHPATH
* Kvadrato-radikaj manieroj de alta ordo
* Kiel kalkuli kvadratan radikon Arkivigite je 2009-10-16 per la retarkivo Wayback Machine
* Propozicio II.14 - konstruado de la geometria meznombro per cirkelo kaj liniilo en elementoj de Eŭklido
* Propozicio VI.13 - konstruado de la geometria meznombro per cirkelo kaj liniilo en elementoj de Eŭklido
* konstruado de Kartezio en lia *La Géométrie*, figuro 2.