Spactempo, nur du spacaj dimensioj estas montritaj
Du-dimensia ilustraĵo de spactempa malformiĝo. Materio ŝanĝas geometrion de la spactempo, ĉi tiu malrektigita geometrio estas interpretata kiel gravito. Blankaj linioj prezentas ne la malrektecon de spaco sed koordinatsistemon altruditan sur la malrektigita spactempo, kiu devus esti ortangula regula krado en ebena spactempo.
En fiziko, **spactempo** estas matematika modelo kiu kombinas spacon kaj tempon en unuecan kontinuaĵon (sternaĵon). Spactempo estas kutime kun tri-dimensia spaco kaj unu-dimensia tempo, kiu estas en rolo de la kvara dimensio kiu estas de malsama speco ol la spacaj dimensioj. Kombinante la du konceptojn en ununuran sternaĵon, fizikistoj simpligis plurajn fizikajn teoriojn, kaj priskribas en pli difinita maniero la funkciadon je ambaŭ subatoma kaj supergalaktika niveloj.

De eksperimentoj je malrapidaj rapidoj, tempo estis kredita al esti sendependa de moviĝo, progresanta je fiksa kurzo en ĉiu kadro de referenco. Tiel en klasika meĥaniko aparta konsidero de spaco kaj tempo anstataŭ spactempo estas adekvata ĉar tempo estas traktata kiel universala kaj universa, sendependa de ĉiuj eventoj kaj moviĝoj de rigardantoj.

Tamen, eksperimentoj kun grandaj rapidoj rivelis ke tempo malplirapidiĝas je pli altaj rapidoj. En fizika relativeco tempo ne povas esti apartigita de la tri dimensioj de spaco, ĉar la kurzo je kiu tempo pasas dependas de rapido de rigardanto (relative al la lumrapideco) kaj ankaŭ de intenso de gravitaj kampoj kiuj povas malplirapidigi la pasadon de tempo. Ankaŭ rezulto de komparo (pli granda, egala, pli malgranda) de tempaj koordinatoj de du eventoj povas ŝanĝiĝi por rapide moviĝanta rigardanto. En la plej simpla varianto ĉi tio estas eksplikita en la speciala teorio de relativeco kaj priskribita per la lorenca transformo.

La koncepto de spactempo kombinas spacon kaj tempon en solan koordinatsistemon, tipe kun tri spacaj dimensioj: longo, larĝo, alto, kaj unu tempa dimensio. En spactempo, koordinata krado de la 3+1 dimensioj lokigas eventojn, anstataŭ nur punktoj en spaco, ĉar ankaŭ tempo estas konsiderata. Tiamaniere estas priskribite kie kaj kiam io estas. Malsimile al okazo de nur normalaj spacaj koordinatoj, estas limigoj por tio kiel mezuroj povas esti faritaj space kaj tempe. Ĉi tiuj limigoj estas priskribitaj proksimume en la lorenca sternaĵo, kiu malsamas de eŭklida spaco je siaj simetrioj. Tiel dimensioj estas de du specoj: spacaj - dudirektaj kaj tempaj direktaj. Nur tempo havas direkton.

La mondolinio de partiklo aŭ luma fotono estas la vojo de ĉi tiu partiklo aŭ fotono en la spactempo kaj prezentas historion de la partiklo aŭ fotono.

Ekzemple, mondolinio de la Tero estas prezentata en du spacaj dimensioj *x* kaj *y* (la ebeno de la tera orbito) kaj tempa dimensio perpendikulara al *x* kaj *y*. La orbito de la Tero estas elipso en nur spacaj koordinatoj, sed ĝia mondolinio estas helico (iom simila al ŝraŭbofadeno) en spactempo.

La samspecigo de spaco kaj tempo estas kutime farata per esprimado de distanco en mezurunuoj de tempo, do per dividado la distanco per la lumrapideco.

Estas proponoj de spactempaj teorioj kiuj inkluzivas aldonajn spacajn dimensiojn, kaj ekzistas ankaŭ iuj spekulativaj teorioj kiuj inkluzivas aldonajn tempajn dimensiojn kaj eĉ iuj inkluzivas dimensiojn kiu estas nek tempaj nek spacaj. Kvanto da dimensioj kiuj estas bezonataj por priskribi la realan universon estas ankoraŭ de malfermita demando. Spekulativaj teorioj kiel teorio de kordoj antaŭdiras 10 aŭ 26 dimensiojn (kun M-teorio antaŭdiranta 11 dimensiojn: 10 spacajn kaj 1 tempan), sed la ekzisto de pli ol kvar dimensioj devus nur fari diferencojn je la subatoma nivelo.

Spactempaj intervaloj
---------------------

Spactempo implicas la novan koncepto de distanco. Dum kiam distanco nur en spaco estas ĉiam pozitiva, en speciala teorio de relativeco la koncepto de distanco estas donata kiel la spactempa intervalo *s* inter du eventoj, kiuj okazas en du situoj je du tempoj:

*s2 = c2 Δt2 - Δr2*
kie *c* estas la lumrapideco,

*Δt*estas diferenco de tempo inter la eventoj,
*Δr* estas diferenco de la spacaj koordinatoj inter la eventoj.
Elekto de signumoj por *s2* pli supre estas laŭ la signuma konvencio de Landau-Lifshitz.

Spactempaj intervaloj povas esti klasifikitaj en tri malsamajn specojn surbaze de signumo de la kvadratigita spactempa intervalo *s2 = 0*, aŭ ekvivalente per tio ĉu la tempa apartigo *c2 Δt2* aŭ la spaca apartigo *Δr2* de la du eventoj estas pli granda.

Mondolinio de certa speco, nomata kiel geodezia kurbo de la spactempo estas la plej mallonga vojo inter du donitaj eventoj, kun *distanco* difinita per la spactempaj intervaloj. La koncepto de geodezia kurbo estas grava en ĝenerala relativeco, pro tio ke tie geodezia moviĝo povas esti konsiderata kiel la *pura moviĝo* (inercia moviĝo) en spactempo, kio estas, sen ajnaj eksteraj influoj.

Geodezia kurbo estas klasifikita kiel tempo-simila, lumo-simila (nula), aŭ spaco-simila se la tanĝanta vektoro al unu punkto de la geodezia kurbo estas de ĉi tiu naturo. La vojoj de partikloj kaj lumaj fotonoj en spactempo estas prezentataj per tempo-similaj kaj lumo-similaj geodeziaj kurboj respektive.

### Tempo-simila intervalo

Du eventoj apartigitaj per tempo-simila intervalo havas pozitivan kvadratigitan spactempan intervalon, *s2 > 0* aŭ *c2 Δt2 > Δr2*. Pri ili povas esti dirite ke unu okazas en estonto aŭ pasinteco de la alia.

Por du eventoj apartigitaj per tempo-simila intervalo, sufiĉa tempo trapasas inter ili por ke tie povas esti kaŭza interrilato inter la du eventoj. Por partiklo vojaĝanta je rapido malpli granda ol la lumrapideco, ĉiu du eventoj kiu okazas ĉe la partiklo devas esti apartigitaj per tempo-simila intervalo. Ekzistas kadro de referenco tia ke la du eventoj estas observitaj en la sama spaca situo, sed ne ekzistas referenca kadro en kiu la du eventoj okazas samtempe.

La mezuro de tempo-simila spactempa intervalo estas priskribita per la propra tempo

{\displaystyle \Delta \tau ={\sqrt {\Delta t^{2}-{\frac {\Delta r^{2}}{c^{2}}}}}}
La propra tempa intervalo devus esti mezurita per rigardanto kun horloĝo vojaĝanta inter la du eventoj en inercia referenca kadro, tiel ke la vojo de rigardanto sekcas ĉiun eventon kiam ĝi okazas. La propra tempo estas reela nombro pro tio ke eno de la kvadrata radiko estas pozitiva.

### Lumo-simila intervalo

En lumo-simila intervalo, la spaca distanco inter du eventoj estas akurate balancita per la tempo inter la du eventoj. Ili havas nulan kvadratigitan spactempan intervalon, *s2 = 0* aŭ *c2 Δt2 = Δr2*.

Ĉiuj eventoj kiuj okazas al aŭ per fotono laŭ ĝia vojo (kio estas, dum vojaĝado je rapido *c*) havas lumo-similan apartigon.

Por donita evento, ĉiuj eventoj kiu sekvas ĝin je lumo-simila intervalo difinas la disvastigo de luma konuso, kaj ĉiuj eventoj kiu antaŭvenis ĝin je lumo-simila intervalo difinas la alian luman konuson.

### Spaco-simila intervalo

Du eventoj apartigitaj per spaco-simila intervalo havas negativan kvadratigitan spactempan intervalon, *s2 < 0* aŭ *c2 Δt2 < Δr2*.

Se spaco-simila intervalo apartigas du eventojn, ne sufiĉa tempo trapasas inter ili por ke tie povu ekzisti kaŭza interrilato krucanta la spacan distancon inter la du eventoj je la lumrapideco aŭ pli malrapide. Ĝenerale, la eventoj ne estas konsideritaj tiel ke unu el ili okazas en estonto aŭ pasinteco de la alia. Ekzistas referenca kadro tia ke la du eventoj estas observitaj kiel samtempaj, sed ne ekzistas referenca kadro en kiu la du eventoj okazas en la sama spaca situo.

La mezuro de spaco-simila spactempa intervalo estas priskribita per la propra distanco:

{\displaystyle \Delta \sigma ={\sqrt {\Delta r^{2}-c^{2}\Delta t^{2}}}}
La propra distanco estas reela nombro pro tio ke eno de la kvadrata radiko estas pozitiva.

Spactempa sternaĵo
------------------

Por fizikaj kaŭzoj, spactempa kontinuaĵo estas matematike difinita kiel kvar-dimensia, glata, koneksa lorenca sternaĵo *(M, g)*. Ĉi tio signifas ke la glata lorenca metriko *g* havas subskribon *(3, 1)*. La metriko difinas geometrion de la spactempo, kaj ankaŭ difinas la geodeziajn kurbojn de partikloj kaj lumoj fotonoj. Por ĉiu evento sur ĉi tiu sternaĵo, koordinatosistemoj estas uzataj por prezenti rigardantojn en referencaj kadroj. Kutime, karteziaj koordinatoj *(x, y, z, t)* estas uzataj.

Ĉiu el du referencaj kadroj (du rigardantoj) povas esti identigita kun unu el ĉi tiuj koordinatosistemoj; ĉiu ĉi tia rigardanto povas priskribi iun eventon *p*. Du rigardantoj (po unu en ĉiu referenca kadro) povas priskribi la saman eventon *p* sed ricevi malsamajn priskribojn.

Kutime, multaj interkovrantaj koordinatosistemoj estas bezonataj por kovri la tutan sternaĵon. Se estas donitaj du koordinatosistemoj, do la intersekco de la koordinatosistemoj prezentas la regionon de spactempo en kiu ambaŭ rigardantoj povas mezuri fizikajn kvantojn kaj de ĉi tie kompari la rezultojn. La rilato inter la du aroj de mezuroj estas donita per ne-singulara koordinata transformo sur ĉi tiu intersekco. La ideo de koordinatosistemoj kiel lokaj rigardantoj kiuj povas mezuri en sia apudaĵo havas fizikan sencon, ĉar ĉi tiu maniero estas tio kiel oni reale kolektas fizikajn datumojn.

### Topologio

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Spactempa topologio.
La supozoj en la difino de spactempo estas kutime pravigitaj per jenaj konsideroj.

La konekteca supozo servas du ĉefajn celojn. Unue, malsamaj rigardantoj farantaj mezurojn (prezentitaj per valoroj de la koordinatoj) devus kapabli kompari siajn observadojn sur la ne-malplena intersekco de la koordinatosistemoj. Se la konekteca supozo estus forĵetita, ĉi tio devus ne ebli. Due, por sternaĵo, la propraĵoj de konekteco kaj vojo-konekteco estas ekvivalentaj kaj estas postulita la ekzisto de vojoj (aparte, geodeziaj kurboj) en la spactempo por prezenti moviĝon de partikloj kaj fotonoj.

Ĉiu spactempo estas parakompakta. Ĉi tiu propraĵo, kune kun la glateco de la spactempo, donas glatan linearan ligon, gravan strukturon de ĝenerala relativeco. Iuj gravaj teoremoj pri konstruado de spactempoj de kompaktaj kaj nekompaktaj sternaĵoj estas jenaj:

* Surbaze de kompakta sternaĵo povas esti konstruita spactempo se kaj nur se ĝia eŭlera karakterizo estas 0.
* Surbaze de ĉiu ne-kompakta 4-sternaĵo povas esti konstruita spactempo.

|  |
| --- |
|  |
| Kiel ekzemplo de kompakta spactempo estas 2-dimensia spactempo kun 1 spaca kaj 1 tempa dimensioj. Ĝi estas donita per toro, kies eŭlera karakterizo estas 0. La tempo-simila geodezia kurbo povas esti fermita kurbo (unu ĉi tia tra (0, 0) estas montrita en ruĝa koloro). Tiel la evento *A* povas esti kaŭzo de la evento *B*, kaj ankaŭ la evento *B* povas esti kaŭzo de la evento *A*; ĉi tio atencas la kaŭzan strukturon, kiel ĝi estas kutime komprenata. La ekzemplo povas esti facile ĝeneraligita al pli multaj dimensioj. |

### Spactempaj simetrioj

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Spactempaj simetrioj.
Ofte en relativeco, estas studitaj spactempoj kiuj havas iun formon de simetrio. Ĉi tiuj simetrioj kutime servas kiel plisimpligantaj supozoj, ankaŭ helpante klasifiki spactempojn. Iuj el la plej popularaj estas:

* Sfere simetria spactempo
* Akse simetria spactempo
* Statika spactempo
* Senmova spactempo

### Kaŭza strukturo

La kaŭza strukturo de spactempo priskribas kaŭzajn interrilatojn inter paroj de eventoj en la spactempo surbaze de ekzisto de certaj specoj de kurboj kunigantaj la eventoj.

Spactempo en speciala teorio de relativeco
------------------------------------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Spaco de Minkowski.
La geometrio de spactempo en speciala teorio de relativeco estas priskribita per la metriko de Minkowski sur R4. Ĉi tiu spactempo estas nomata kiel **spaco de Minkowski**. La metriko de Minkowski estas kutime signifita per *η* kaj povas esti skribita kiel 4×4 kvadrata matrico:

{\displaystyle \eta \_{ab}=\operatorname {diag} (1,-1,-1,-1)={\begin{matrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\end{matrix}}}

kie la signuma konvencio de Landau-Lifshitz estas uzata. Baza supozo de relativeco estas ke koordinataj transformoj devas konservi spactempajn intervalajn kiel invarianto. Intervalo estas lorenca invarianto, do invarianto sub lorencaj transformoj.

Spactempo en ĝenerala relativeco
--------------------------------

En ĝenerala relativeco estas alprenite ke spactempo estas malrektigita per la ekzisto de materio (energio), ĉi tiu malrekteco estas prezentita per la rimana tensoro. En speciala relativeco, la rimana tensoro estas idente nulo, kaj tiel ĉi tiu koncepto de nula malrekteco estas iam esprimita per la frazo ke spactempo de Minkowski estas ebena.

Multaj variantoj de spactempo havas fizikajn ekzegezojn kiujn plejparte fizikistoj devus konsideri kiel netaŭgaj. Ekzemple, kompakta spactempo havas fermitajn tempo-similajn kurboj, kiu atencas kutimajn ideojn de kaŭzeco (tio estas, estontaj eventoj povis influi pasintajn). Pro ĉi tiu kaŭzo, oni kutime konsideras nur limigitajn subarojn de ĉiuj eblaj spactempoj, la realecajn solvaĵojn de ekvacioj de ĝenerala relativeco. Alia maniero estas aldoni iujn fizike prudentajn sed ankoraŭ sufiĉe ĝeneralaj geometriajn limigojn kaj provi pruvi interesatajn aĵoj pri la rezultantaj spactempoj. La lasta maniero donis iujn gravajn rezultojn, plej rimarkindaj inter ili estas la specialaĵaj teoremoj de Penrose-Hawking.

Kvantumeca spactempo
--------------------

En ĝenerala relativeco spactempo estas alprenita al esti glata kaj kontinua, kaj ne nur en la matematika senco. Laŭ kvantummeĥaniko estas imanenta diskreteco en fiziko. En provoj de kunigo de ĉi tiuj du teorioj estas iam postulite ke la spactempo devus esti kvantumita je la plej malgranda skalo. Aktuala teorio estas fokusita sur la naturo de spactempo je la skalo de Planck (tempo de Planck, ≈5·10−44 s kaj longo de Planck, ≈1,6·10−35 m). Kaŭzaj aroj, cikla kvantuma gravito, teorio de kordoj, varmodinamiko de nigra truo ĉiuj antaŭdiras kvantumitan spactempon kaj konsentas pri la ordo de grandeco. Cikla kvantuma gravito faras precizajn antaŭdirojn pri geometrio de spactempo je la skalo de Planck.

Kvanto de dimensioj
-------------------

Estu la kvanto de spacaj dimensioj de spactempo *N* kaj estu la kvanto de tempaj dimensioj *T*.

Immanuel Kant argumentis ke 3-dimensia spaco estis konsekvenco de la inversa kvadrateco de dependo de forto de distanco en la leĝo de gravito. Argumento de Kant estas historie grava, tamen nun estas konsiderate reen. Tio ke la spaco estas tri-dimensina eksplikas inversan kvadratecon de la leĝo de gravito kaj ankaŭ de elektrostatika leĝo. Ĉi tio estas ĉar la leĝoj sekvas de la koncepto de fluo. La 3-dimensiaj solidaj objektaj havas surfacajn areojn proporciajn al kvadrato de ilia amplekso je unu spaca dimensio. Tiel, sfero de radiuso *r* havas areo de *4πr2*. Pli ĝenerale, en spaco de *N* dimensioj, la forteco de la gravita kaj elektrostatika fortoj inter du korpoj apartigita per distanco de *r* devus esti inverse proporcia kun *rN-1*. Eksperimentoj kun granda precizeco estis farataj por kontroli ĉu la elektrostatika leĝo estas vere inversa kvadrata, kvankam povus estu ankaŭ la alia ekspliko se okazus ke la potenco de *r* malsamas de 2; la kaŭzo povus esti ne nur tio ke la spaco havus la alian kvanton de dimensioj, sed ankaŭ tio ke fotono estus malstabila (vidu en elektrostatika leĝo).

Tio ke spactempo, ignorante ĉiujn ankoraŭ nedetekteblajn kompaktiĝintajn dimensiojn, havas *N=3* kaj *T=1*, povas esti eksplikita per konsiderado de fizikaj konsekvencoj de *N≠3* kaj *T≠1*. La argumentoj estas ofte de homocentreca speco.

Se *T=1* kaj *N>3* do, kiel Paul Ehrenfest montris en 1920, orbito de planedo ĉirkaŭ ĝia stelo ne povas resti stabila. La samo estas vera pri orbito de stelo ĉirkaŭ centro de ĝia galaksio. Ankaŭ, F. R. Tangherlini montris en 1963 ke se *N>3* do elektronoj devus ne formi stabilajn orbitojn ĉirkaŭ atomkernoj; ili devus fali en la kernojn aŭ forflugi; atomoj tiaj kiel oni nun scias ilin (kaj verŝajne ankaŭ pli komplikaj strukturoj) ne povus ekzisti. Ehrenfest ankaŭ montris ke se *N* estas para do la malsamaj partoj de onda impulso vojaĝas je malsamaj rapidoj. Se *N* estas nepara kaj pli granda ol 3, tiam ondaj impulsoj malformiĝas. Nur se *N* estas 1 aŭ 3 ambaŭ problemoj ne aperas.

Max Tegmark elvolvas la antaŭan argumenton en jena maniero. Se *T≠1* do konduto de fizikaj sistemoj ne povas esti antaŭdirita de scio de la taŭgaj diferencialaj ekvacioj en partaj derivaĵoj, kaj do teknologia civilazacio ne povas aperi. Tegmark ankaŭ argumentas ke se *T>1* protonoj kaj elektronoj devus esti malstabilaj kaj povi disfali en partiklojn havantajn pli grandan mason ol la fonta partiklo, ĉi tio ne estas problemo se la partikloj havas sufiĉe malgrandan temperaturon.

Se *N<3*, gravito de ĉiu speco iĝus probleman, kaj la universo estus verŝajne tro simpla por enhavi rigardantojn.

Ĝenerale, estas ne klare kiel fizikaj leĝoj povas operacii se *T≠1*. Se *T>1*, subatomaj partikloj kiu disfalas post fiksita periodo devus ne konduti antaŭdireble, ĉar tempo-similaj geodeziaj kurboj ne devas esti nepre maksimumaj. Okazo de *N=1* kaj *T=3* havas strangan propraĵon ke la lumrapideco en vakuo estas *suba baro* por rapido de materio.

De ĉi tie homocentrecaj kaj aliaj argumentoj malebligas ĉiujn okazojn escepte de *N=3* kaj *T=1*. Kurioze, 3 kaj 4 dimensiaj spacoj havas la plej riĉan kaj plej malfacilan geometrion kaj topologion. Estas, ekzemple, geometriaj propozicioj kies vereco aŭ malvereco estas konata por ĉiuj *N* escepte de unu aŭ ambaŭ el 3 kaj 4. *N=3* estis la lasta okazo por kiu la konjekto de Poincaré estis pruvita.

Teorio de kordoj estas konstruita surbaze de la ideo ke la *universo estas sinua* kaj hipotezas ke materio kaj energio estas komponitaj el etaj vibrantaj kordoj de diversaj specoj, la plejparto de kiuj estas enigitaj en dimensiojn kiuj ekzistas nur je skaloj ne pli grandaj ol la longo de Planck. De ĉi tie teorio de kordoj ne estas limigita per *N=3* kaj *T=1*, kaj koordinatosistemoj kun pli multaj dimensioj estas uzataj por priskribi la specojn kaj situojn de la vibrantaj kordoj pri kiuj la teorio hipotezas.

Historio
--------

Spactempo povas esti vidita sekve de speciala teorio de relativeco de 1905 de Albert Einstein. Spactempo estis unue eksplicite proponita matematike de matematikisto Hermann Minkowski en 1908, konstruante ĝin surbaze de kaj etendante laboron de Einstein. La koncepto de spaco de Minkowski estas la plej frua konsidero de spaco kaj tempo kiel du aspektoj de unueca tuto. La ideo de spaco de Minkowski ankaŭ gvidis al konsidero de speciala teorio de relativeco en pli geometria maniero, ĉi tiu geometria starpunkto de spactempo estas grava ankaŭ en ĝenerale relativeco.

La 13-a redakcio de la Encyclopaedia Britannica de 1926 inkluzivis artikolon de Einstein kun titolo "Spaco-Tempo".

Ĝi estis ankaŭ spekulaciita en frua parto de la libro de H.G. Wells *La Tempa Maŝino* publikigita en 1895. La tempvojaĝanto ne referas al la prospekto kiel "spactempo", sed li nomas ĝin kiel "la kvara dimensio".

Vidu ankaŭ
----------

* Spaco
* Tempo
* Spaco de Minkowski
* Kvar-vektoro
* Kvara dimensio
* Malloka spactempa strukturo
* Loka spactempa strukturo
* Lorenca transformo
* Lorenca invarianto
* Sternaĵo
* Metrika spaco
* Eventa horizonto
* Spacotrenado
* Kvantuma ŝaŭmo
* Speciala relativeco
* Ĝenerala relativeco
* Vermotruo

Eksteraj ligiloj
----------------

* Kategorio Spactempo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Ehrenfest, Paul  (1920). How do the fundamental laws of physics make manifest that Space has 3 dimensions? - Kiel la fundamentaj leĝoj de fiziko evidentigas ke spaco havas 3 dimensiojn?. Annalen der Physik **61** 440. COI:10.1002/andp.19203660503.
* Tegmark, Max  (Aprilo de 1997). On the dimensionality of spacetime - Pri la kvanto de dimensioj de spactempo. Classical and Quantum Gravity - Klasika kaj Kvantuma Gravito **14** (4) L69–L75. COI:10.1088/0264-9381/14/4/002. Kontrolita en 2006-12-16.
* Dorling, J. (1970) La kvanto de dimensinoj de tempo[*rompita ligilo*], *Amerika Ĵurnalo de Fiziko '38'*  (4): 539-40.
* Hermann Minkowski, "Raum und Zeit", 80. Versammlung Deutscher Naturforscher (Köln, 1908). Publikigita en Physikalische Zeitschrift **10** 104-111 (1909) kaj Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung **18** 75-88 (1909).
* Albert Einstein, Spaco-Tempo   Arkivigite je 2013-01-10 per la retarkivo Wayback Machine ,*Encyclopaedia Britannica*, 13-a red, 1926.
* Relativisma spactempo Arkivigite je 2013-07-01 per Archive.today de Édouard Kierlik



|  |  |
| --- | --- |
| Bibliotekoj | * PeEnEo: 281990
* GND: 4302626-6
* LCCN: sh85125911
* SUDOC: 028669657
* BNF: 13319358m
* NDL: 00574722
* NKC: ph128086
* BNE: XX527285
 |