En elektroniko kaj signal-prilaborado, la **filtriloj de Bessel** estas speco de analogaj aŭ ciferecaj linearaj filtriloj kun maksimume plata grupa malfruo (maksimume lineara fazo-frekvenca karakterizo).

Filtriloj de Bessel estas karakterizitaj per preskaŭ konstanta grupa malfruo en la tuta pasanta bendo, tial ili konservas la formon de filtrata signalo en la pasanta bendo. La trairo de la pasanta bendo al la haltata bendo estas multe pli malrapida ol por aliaj filtriloj. La filtriloj de Bessel maksimumigas la platecon de la grupa malfruo apud nula frekvenco.

Filtriloj de Bessel estas ofte uzataj en aŭdaj sistemoj.

La filtrila nomo estas en honoro de Friedrich Bessel, germana matematikisto (1784-1846), kiu ellaboris la matematikan teorion sur kiu la filtriloj estas bazitaj. La filtriloj estas ankaŭ kiel filtriloj de Bessel-Thomson en honoro de W. E. Thomson, kiu ellaboris kiel apliki teorion de Bessel al filtrila dizajno.

La tradona funkcio
------------------

Amplifo (verda) kaj grupa malfruo (ruĝa) por kvara-orda malalta-pasa filtrilo de Bessel.
Malalta-pasa filtrilo de Bessel estas karakterizita per ĝia tradona funkcio:

{\displaystyle H(s)={\frac {\theta \_{n}(0)}{\theta \_{n}(s/\omega \_{0})}}\,}
kie *θn(s)* estas dorsflanka polinomo de Bessel de kiu la filtrilo prenas ĝian nomon kaj *ω0* estas frekvenco elektita por doni la deziratan fortranĉan frekvencon. La filtrilo havas malalta-frekvencan grupan malfruon de *1/ω0*.

Polinomoj de Bessel
-------------------

La radikoj de la tria-orda polinomo de Bessel, kiuj estas la polusoj de tradona funkcio de la filtrilo en la kompleksa frekvenca spaco (*s*-ebeno), ĉi tie estas montritaj kiel krucoj.
La tradona funkcio de la filtrilo de Bessel estas racionala funkcio kies denominatoro estas dorsflanka polinomo de Bessel, kiel jeno:

*s+1* por *n=1*
*s2+3s+3* por *n=2*
*s3+6s2+15s+15* por *n=3*
La dorsflankaj polinomoj de Bessel estas donita per

{\displaystyle \theta \_{n}(s)=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}s^{k}}
kie

{\displaystyle a\_{k}={\frac {(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!}}\quad k=0,1,\ldots ,n}

Ekzemplo
--------

Amplitudo-frekvenca karakterizo de la tria-orda filtrilo de Bessel, kontraŭ ununormigita frekvenco
Grupa malfruo de la tria-orda filtrilo de Bessel
La tradona funkcio de tria-orda (tri-polusa) malalta-pasa filtrilo de Bessel, ununormigita por havi grupan malfruon egalan al 1, estas

{\displaystyle H(s)={\frac {15}{s^{3}+6s^{2}+15s+15}}}
La radikoj de la denominatora polinomo, la filtrilaj polusoj, inkluzivas reelan poluson je *s=-2,3222*, kaj komplekso-konjugitan paron de polusoj je *s=-1,8389 ± j1,7544*, grafike prezentitajn pli supre. La numeratoro 15 estas elektita por doni amplifo de 1 je malaltaj frekvencoj (je *s=0*).

La amplifo estas do

{\displaystyle G(\omega )=|H(j\omega )|={\frac {15}{\sqrt {\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}}
La fazo estas

{\displaystyle \phi (\omega )=-\arg(H(j\omega ))=-\arctan \left({\frac {15\omega -\omega ^{3}}{15-6\omega ^{2}}}\right)}
La grupa malfruo estas

{\displaystyle D(\omega )=-{\frac {d\phi }{d\omega }}={\frac {6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}{\omega ^{6}+6\omega ^{4}+45\omega ^{2}+225}}}
La elvolvaĵo kiel serio de Taylor de la grupa malfruo estas

{\displaystyle D(\omega )=1-{\frac {\omega ^{6}}{225}}+{\frac {\omega ^{8}}{1125}}+\cdots }
En *D(ω)* la termoj kun *ω2* kaj *ω4* estas nuloj, rezultante en tre plata grupa malfruo apud *ω=0*. Ĉi tio estas la plej granda kvanto de termoj kiuj povas esti nuligitaj, ĉar estas entute kvar koeficientoj en la tria orda polinomo, postulantaj kvar ekvaciojn por ke esti difinitaj:

unu ekvacio precizigas ke la amplifo estu 1 je *ω=0*;
dua precizigas la fortranĉan frekvencon;
la lastaj du ekvacioj precizigas ke la du termoj en la seria elvolvaĵo estu nuloj.
La unuaj du ekvacioj same bone aplikeblas al la aliaj specoj de linearaj filtriloj kaj iliaj polinomoj, sed la lastaj du ekvacioj veriĝas se la polinomo estas polinomo de Bessel.

Ĉi tio estas ĝenerala propraĵo de la grupa malfruo por filtrilo de Bessel de ordo *n*: la unuaj *n-1* termoj (kun pozitivaj paraj potencoj de *ω*) en la seria elvolvaĵo de la grupa malfruo estas nuloj, tial maksimumigante la plateco de la grupa malfruo apud *ω=0*.

Vidu ankaŭ
----------

* Filtrilo de Bessel en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)

* Filtrilo de Butterworth
* Filtrilo de Ĉebiŝev
* Elipsa filtrilo
* Funkcio de Bessel
* Polinomo de Bessel
* Grupa malfruo kaj faza malfruo

Eksteraj ligiloj
----------------

* Klasifiko de filtriloj
* Filtrilo de Bessel en aŭdaj aplikoj Arkivigite je 2007-01-15 per la retarkivo Wayback Machine
* 
* Arkivigite je 2008-06-29 per la retarkivo Wayback Machine
* Malalta-pasaj filtriloj
* Filtrilo de Bessel en rega teorio Arkivigite je 2005-05-07 per la retarkivo Wayback Machine
* Arkivigite je 2014-02-24 per la retarkivo Wayback Machine
* Arkivigite je 2013-01-24 per la retarkivo Wayback Machine