Du riproĉaj kuboj faritaj de la entutotranĉita kubo (senpintigita kubokedro).
En geometrio, **alternado** aŭ **parta tranĉo** estas operacio je hiperpluredro aŭ kahelaro
kiu plene senpintigas alternajn verticojn. Nur tiuj pluredroj povas esti alternitaj ĉe kiuj ĉiuj edroj havas paran kvanton de verticoj, ekzemple la zonopluredroj. Ĉiu *2n*-flankita edro iĝas *n*-flankitan. Kvarlateraj edroj iĝas novajn laterojn.

Alternado de regula pluredro aŭ kahelaro povas esti priskribita per etendita simbolo de Schläfli, kiu estas tiu de la regula formo kun prefikso "h". Ekzemple h{4,3} estas alternita kubo (kiu estas kvaredro), kaj h{4,4} estas alternita kvadrata kahelaro (denove kvadrata kahelaro).

Ĝenerale estas du manieroj de elekto de tio kiuj verticoj estas forprenitaj, kaj en iuj okazoj la rezultoj estas spegulaj bildoj de unu la alia, kaj ĉiu el ili estas nememspegulsimetria.

Riproĉigo
---------

Riproĉigo estas rilatanta operacio. Ĝi estas *alternado* aplikita al la entutotranĉita hiperpluredro aŭ kahelaro. Entutotranĉita pluredro aŭ kahelaro ĉiam havas paran kvanton de verticoj ĉe ĉiuj edroj kaj tiel povas ĉiam esti alternita.

Ekzemple, la *riproĉa kubo* estas kreita en du ŝtupoj. Unue ĝi estas entutotranĉita kaj rezultiĝas la granda rombokub-okedro. Due ĝi estas alternita kaj rezultiĝas la riproĉa kubo.

Alia ekzemplo estas la uniformaj kontraŭprismoj. *n*-latera kontraŭprismo povas esti konstruita kiel alternado de *2n*-latera prismo, aŭ per riproĉigo de *n*-latera duvertica pluredro. Ĉe prismoj ambaŭ alternitaj formoj estas identaj.

Ne-uniformaj zonopluredroj povas ankaŭ esti alternita. Ekzemple, la romba tridekedro povas esti riproĉigita en dudekedron aŭ dekduedron depende de tio kiuj verticoj estas forprenitaj.

Ekzemploj
---------

### Riproĉigo de platonaj solidoj

La pluredroj estas donitaj kun iliaj figuroj de Coxeter-Dynkin. Ĉe la entutotranĉitaj formoj la ĉiuj speguloj estas aktivaj, do ĉiuj verticoj de la grafeo estas ringitaj. La alternado estas montrita per verticoj de la grafeo kiel ringoj kun truoj.

| Familio  (p q 2) | Regula   | Entutotranĉita   | Riproĉa   |
| --- | --- | --- | --- |
| (3 3 2) |   Kvaredro   |   Senpintigita okedro   |   Dudekedro   |
| (4 3 2) |   Kubo   |   Senpintigita kubokedro   |   Riproĉa kubo   |
| (5 3 2) |   Dekduedro   |   Granda rombo-dudek-dekduedro   |   Riproĉa dekduedro   |

### Riproĉigo de regulaj 2-kahelaroj

| Familio  (p q 2) | Regula   | Entutotranĉita   | Riproĉi malafable   |
| --- | --- | --- | --- |
| (4 4 2) |   Kvadrata kahelaro (4.4.4.4)   |   Senpintigita kvadrata kahelaro (4.8.8)   |   Riproĉa kvadrata kahelaro (3.3.4.3.4)   |
| (6 3 2) |   Seslatera kahelaro (6.6.6)   |   Granda rombo-tri-seslatera kahelaro (3.4.6.4)   |   Riproĉa seslatera kahelaro 3.3.3.3.6   |

### Riproĉigo de uniformaj prismoj

Alternaj tranĉoj povas esti aplikita al prismoj. Ekzemple *kvadrata kontraŭprismo* samtempe estas *riproĉigita 4-latera duvertica pluredro* kaj *alternita oklatera prismo*.

| Fonta formo | Alternita formo |
| --- | --- |
| Nomo | Bildo | Nomo | Bildo |
| Kubo |  | Kvaredro |  |
| Seslatera prismo |  | Okedro |  |
| Oklatera prismo |  | Kvadrata kontraŭprismo |  |
| Deklatera prismo |  | Kvinlatera kontraŭprismo |  |
| ... |  | ... |  |

Alternaj tranĉoj
----------------

Simila operacio povas senpintigi alternaj verticoj sed ne tute forpreni ilin. Pli sube estas aro de pluredroj kiuj povas esti generita de la dualaj de katalanaj solidoj. Ili havi du specojn de verticoj kiu povas esti alterne senpintigitaj. Senpintigo de verticoj de la "pli alta ordo" produktas ĉi tiujn formoj:

| Fonta formo | Alterne senpintigita formo |
| --- | --- |
| Nomo | Bildo | Nomo | Bildo |
| Kubo  (duala de rektigita kvaredro) |  | Alternita senpintigita kubo |  |
| Romba dekduedro  (duala de kubokedro) |  | Senpintigita romba dekduedro |  |
| Romba tridekedro  (duala de dudek-dekduedro) |  | Senpintigita romba tridekedro |  |
| Trilateropiramidigita kvaredro  (duala de senpintigita kvaredro) |  | Senpintigita trilateropiramidigita kvaredro |  |
| Trilateropiramidigita okedro  (duala de senpintigita kubo) |  | Senpintigita trilateropiramidigita okedro |  |
| Trilateropiramidigita dudekedro  (duala de senpintigita dekduedro) |  | Senpintigita trilateropiramidigita dudekedro |  |

Alterne edrotranĉita kuba kahelaro estas farita per **alterna edrotranĉo**. La operacio estas malproksime simila al operacioj de *alternado* kaj edrotranĉo.

Alterne edroverticotranĉita kuba kahelaro estas farita per **alterna edroverticotranĉo**. La operacio estas malproksime simila al operacioj de *alternado* kaj edroverticotranĉo.

Pli altaj dimensioj
-------------------

La alternado povas esti aplikita al pli alte dimensiaj hiperpluredroj kaj kahelaroj, tamen ĝenerale plejparto de formoj ne povas esti misformigitaj por ke esti uniformaj. La malplenaĵoj kreitaj per la forigo de verticoj ĝenerale ne povas esti plenigita per uniformaj facetoj.

Ekzemploj:

* 3-kahelaroj
	+ Alternita kuba kahelaro estas la kvaredra-okedra kahelaro.
	+ Alternita seslatera prisma kahelaro estas la turnita alternita kuba kahelaro.
* Plurĉeloj
	+ Alternita senpintigita 24-ĉelo estas nomata kiel la riproĉa 24-ĉelo (kvankam ĝi ne estas vere riproĉa laŭ la donita pli supre difino).
* Alternita *n*-hiperkubo estas uniforma la duonvertica *n*-hiperkubo.
	+ Alternita Kubo estas la regula kvaredro
	+ Alternita 4-hiperkubo estas la regula 16-ĉelo
	+ Alternita 5-hiperkubo estas la duonregula duonvertica 5-hiperkubo
	+ Alternita 6-hiperkubo estas la uniforma duonvertica 6-hiperkubo

|  |  |
| --- | --- |
|   Kubo |   Kvaredro (alternita kubo) |
|   4-hiperkubo |   16-ĉelo (alternita 4-hiperkubo) |

Vidu ankaŭ
----------

* Operacioj je hiperpluredroj kaj kahelaroj:
	+ Tranĉo t0, 1{p, ...}
	+ Laterotranĉo t0, 2{p, q, ...}
	+ Lateroverticotranĉo t0, 1, 2{p, q, ...}
	+ Edrotranĉo t0, 3{p, q, r, ...}
	+ Edroverticotranĉo t0, 1, 3{p, q, r, ...}
	+ Edrolaterotranĉo t0, 2, 3{p, q, r, ...}
	+ Edrolateroverticotranĉo t0, 1, 2, 3{p, q, r, ...}
	+ Ĉelotranĉo t0, 4{p, q, r, s, ...}
	+ Entutotranĉo t0, 1, ... n-1{p1, p2, ... pn-1}
	+ Rektigo t1{p, ...}
	+ Dutranĉo t1, 2{p, q, ...}
	+ Alternado
	+ Riproĉigo
* Simbolo de Schläfli - etendita simbolo de Schläfli priskribas rezultojn de la operacioj faritaj je regulaj hiperpluredroj kaj regulaj kahelaroj

Referencoj
----------

* H. S. M. Coxeter, *Regular Polytopes* - *Regulaj hiperpluredroj*, 3-a. red. Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (pp. 154–156 8.6 parta tranĉo, aŭ alternado)

Eksteraj ligiloj
----------------

* George Olshevsky, *Alternado* en *Glossary for Hyperspace*.