Frontoj de ebena ondo en tri-dimensia spaco.
**Ebena ondo** estas ondo kun konstanta frekvenco. Ondaj frontoj de ebena ondo estas ebenaj frontoj, perpendikularaj al vektoro de faza rapido.

Tielaj ebenaj ondoj ne ekzistas en realo, ĉar ebena ondo komencigas en {\displaystyle -{\mathcal {1}}} kaj finigas en {\displaystyle +{\mathcal {1}}}, kaj tio estas nereale. Tamen, fina ebena ondo ekzistas kaj nomiĝas *«kvazaŭebena»*. Se kvazaŭondo havas sufiĉan etendaĵon, do proksimume eblas opinii ĝin ebena.

Integro
-------

Ekvacio de ajna ondo estas solvo de diferenciala ekvacio, nomiĝas *«onda ekvacio»*. Onda ekvacio por funkcio {\displaystyle A} rezultas de la jena formulo:

{\displaystyle \Delta A({\vec {r}},t)={\frac {1}{v^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}A({\vec {r}},t)}{\partial t^{2}}}\,}
kie
* {\displaystyle \Delta } — Laplaca operatoro;
* {\displaystyle A({\vec {r}},t)} — nekonata funkcio;
* {\displaystyle r} — situa vektoro de nekonata punkto;
* {\displaystyle v} — rapido de ondo;
* {\displaystyle t} — tempo.

### Unu-dimensia kazo

Animacia movado de ebena ondo.
Ebena harmonia ondo rezultas je la jena ekvacio:

{\displaystyle A(x,t)=A\_{o}\cos \left(kx-\omega t+\varphi \_{0}\right)\,}
kie
* {\displaystyle A(x,t)} — grando de perturbo en punkto kun koordinato *x* kaj tempo *t*;
* {\displaystyle A\_{o}} — maksimuma amplitudo;
* {\displaystyle k} — onda nombro;
* {\displaystyle \omega } — Angula frekvenco;
* {\displaystyle \varphi \_{0}} — origina fazo.

Ankoraŭ ondo priskribiĝas de ekvacioj

* {\displaystyle A=A\_{o}\cos \left(2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-{\cfrac {t}{T}}\right)+\varphi \_{0}\right)\,}

kie
* {\displaystyle \lambda } — ondolongo;
* {\displaystyle T} — periodo de vibradoj.

* {\displaystyle A=A\_{o}\cos \left(2\pi \left({\cfrac {x}{\lambda }}-ft\right)+\varphi \_{0}\right)\,}

где
* {\displaystyle f} — frekvenco de vibradoj.

* {\displaystyle A=A\_{o}\cos \left({\cfrac {2\pi }{\lambda }}(x-vt)+\varphi \_{0}\right)\,}

где
* {\displaystyle v} — Vektora rapido de ondo.

### Mult-dimensia kazo

Ĝenerale, ekvacio de ebena ondo enskribiĝas kiel

{\displaystyle A({\vec {r}},t)=A\_{o}\cos \left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi \_{0}\right)\,}
kie
* {\displaystyle {\vec {k}}} — onda vektoro, egala {\displaystyle {k}{\vec {n}}\,}

kie
* {\displaystyle k} — onda nombro;
* {\displaystyle {\vec {n}}} — unuopa normalo al onda fronto;

* {\displaystyle {\vec {r}}} — situa vektoro de punkto;
* {\displaystyle ({\vec {k}},{\vec {r}}\,)} — Skalara produto vektorojn {\displaystyle {\vec {k}}} kaj {\displaystyle {\vec {r}}}. *Tie ĉie kaj plu skalara produto estos simboliĝi tiele.*

Komplekas formo
---------------

Skribiĝas pli alte ekvicion povas skribiĝi en kompleksa formo:

{\displaystyle A(x,t)=A\_{o}\,e^{i\left(kx-\omega t+\varphi \_{0}\right)}.}
kaj ĝenerale

{\displaystyle A({\vec {r}},t)=A\_{o}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t+\varphi \_{0}\right)}.}
Ĝusteco tiun formulon simple provas, uzas Eŭleran formulon.

El kompleksa formo de harmonia funkcio sekvas nocio de kompleksan amplitudon, egala {\displaystyle {\widehat {A}}=A\_{o}e^{i\varphi \_{0}}.}

Do {\displaystyle A(x,t)={\widehat {A}}\,e^{i\left(({\vec {k}},{\vec {r}}\,)-\omega t\right)}.}

modulo de funkcio egalas amplitudon, kaj argumento — origina fazo {\displaystyle \varphi \_{0}} de vibraroj.

Скорость волны
--------------

 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Grupa rapido.
 Pli detalaj informoj troveblas en artikolo Faza rapido.
La grupa rapido {\displaystyle v\_{g}} estas difinita per la ekvacio

{\displaystyle v\_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}
La faza rapido {\displaystyle v\_{\phi }} estas difinita pre la ekvacio

{\displaystyle v\_{\phi }={\frac {\omega }{k}}.}

Energio de elastan ebenan ondon
-------------------------------

Se {\displaystyle A(x,t)=A\_{o}\cos \left(\omega t-kx+\varphi \_{0}\right).}

Apartiĝas en spaco malgranda volumento {\displaystyle \Delta V}. En anjaj punktoj de tio volumento rapido {\displaystyle {\cfrac {\partial A}{\partial t}}} kaj deformiĝo {\displaystyle {\cfrac {\partial A}{\partial x}}} eblas opinii konstantaj.

Do tio volumenteto havas kineta energio

{\displaystyle \Delta W\_{k}={\cfrac {\rho }{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}\Delta V}
kaj potenciala energio deformiĝon

{\displaystyle \Delta W\_{p}={\cfrac {E}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V={\cfrac {\rho v^{2}}{2}}\left({\cfrac {\partial A}{\partial x}}\right)^{2}\Delta V.}
Totala energio egale

{\displaystyle W=\Delta W\_{k}+\Delta W\_{p}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}\Delta V.}
Denso de energio egale

{\displaystyle \omega ={\cfrac {W}{\Delta V}}={\cfrac {\rho }{2}}{\bigg [}\left({\cfrac {\partial A}{\partial t}}\right)^{2}+v^{2}\left({\cfrac {\partial A}{\partial {t}}}\right)^{2}{\bigg ]}=\rho A^{2}\omega ^{2}\sin ^{2}\left(\omega t-kx+\varphi \_{0}\right).}

Bibliografio
------------

* Савельев И.В. // Курс общей физики — Часть 2. Волны. Упругие волны. // М.: Наука, 1988. // vol. 2. // p. 274-315.

Rimarkoj
--------


* Kategorio Ebena ondo en la Vikimedia Komunejo (Multrimedaj datumoj)