| Matematikaj funkcioj |
| --- |
| fonta aro, cela aro • bildo, malbildo • bildaro, argumentaro |
| Fundamentaj funkcioj |
| **Algebraj funkcioj**:  konstanta • lineara • kvadrata • polinoma • racionala • Transformo de Möbius 

---

 **Aliaj funkcioj**: trigonometriaj • inversa trigonometria • hiperbola • eksponenta • logaritma • potenca |
| Specialaj funkcioj |
| erara • β • Γ • ζ • η • W de Lambert • de Bessel |
| Nombroteoriaj funkcioj: |
| τ • σ • de Möbius • φ • π • λ |
| Ecoj: |
| totaleco kaj parteco • pareco kaj malpareco • monotoneco • bariteco • periodeco • disĵeteco • surĵeteco • dissurĵeteco 

---

 kontinueco • derivaĵeco • integralebleco |

*f(x) = x2 - x - 2 = (x+1)(x−2)*.   
 La radikoj estas -1 kaj 2.
En matematiko, **kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2, do de formo:

*f(x)=ax2+bx+c*
kie *a≠0*.

Ekvacio en kiu la kvadrata funkcio estas egala al nulo estas la kvadrata ekvacio. La solvaĵoj (radikoj) de la ekvacio estas nuloj de la funkcio.

Radikoj
-------

Kvadrata ekvacio estas solvebla per la metodo plenigo de kvadrato.

La du radikoj de la kvadrata ekvacio *ax2+bx+c=0*, kie *a≠0*, estas:

{\displaystyle x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}

Estu diskriminanto *D = b2-4ac*. Tiam:

* Se *D = 0* do la du radikoj estas egalaj pro tio ke *√D* estas nulo, aŭ ĉi tio povas esti konsiderata kiel ekzisto de unu radiko de obleco 2.
* Se *D ≠ 0* kaj se konsideri nur reelajn valorojn *x* do (*a*, *b* kaj *c* estas reelaj):
	+ Se *D > 0* do estas du malsamaj radikoj pro tio ke *√D* estas pozitiva reela nombro.
	+ Se *D < 0* do la radikoj forestas.
* Se *D ≠ 0* kaj se konsideri kompleksajn valorojn *x* do nepre estas du malsamaj radikoj.
	+ Se *a*, *b* kaj *c* estas reelaj kaj *D > 0* do estas du malsamaj radikoj pro tio ke *√D* estas pozitiva reela nombro.
	+ Se *a*, *b* kaj *c* estas reelaj kaj *D < 0* do la du radikoj estas kompleksaj konjugitoj ĉar *√D* estas pure imaginara.
	+ Se *a*, *b* kaj *c* estas kompleksaj en ĝenerala okazo, la radikoj estas du diversaj kompleksaj nombroj.

Estu la radikoj (eble kompleksaj):

{\displaystyle r\_{1}={\frac {-b+{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
{\displaystyle r\_{2}={\frac {-b-{\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}}
Tiam oni povas faktorigi la funkcion:

*f(x) = ax2+bx+c = a (x - r1) (x - r2)*
### Formuloj de Viète

**Formuloj de Viète** donas simplajn rilatojn inter radikoj kaj koeficientoj de la funkcio.

{\displaystyle r\_{1}+r\_{2}=-{\frac {b}{a}}}
{\displaystyle r\_{1}\cdot r\_{2}={\frac {c}{a}}}
La formuloj estas faritaj de François Viète.

Grafikaĵo
---------

La grafikaĵo de reela kvadrata funkcio estas parabolo kies simetria akso estas paralela al la *y*-akso.

|  |
| --- |
|   *f(x) = ax2 + x* por *a* el {0,1, 0,3, 1, 3} |
|   *f(x) = x2 + bx* por *b* el {1, 2, 3, 4} |
|   *f(x) = x2 + bx* por *b* el {-1, -2, -3, -4} |

Se *a > 0* la parabolo havas branĉoj supren. Se *a < 0* la parabolo havas branĉoj suben.

La koeficiento *a* regas la rapidon de pligrandiĝo de la funkcio ekde la vertico, pli granda pozitiva *a* faras la funkcion pligrandiĝantan pli rapide kaj la grafikaĵon pli fermitan.

La koeficiento *b* sola estas la inklino de la parabolo je sekco kun la *y*-akso.

La koeficientoj *a* kaj *b* kune regas la *x*-koordinaton de la vertico, aŭ la simetriakson de la parabolo.

La koeficiento *c* sola estas la *y*-koordinato de sekco de la parabolo kun la *y*-akso, aŭ ĝenerale ĝi regas alto de la parabolo.

La *x*-koordinatoj de sekco de la parabolo *y=f(x)* kun la *x*-akso estas radikoj de la ekvacio *f(x)=0*.

La **vertico** de parabolo estas la loko kie ĝi turnas sian direkton de supren al suben aŭ reen, ĝi estas nomata ankaŭ kiel la **turnopunkto**.

La funkcio povas esti skribita ankaŭ en la **norma formo** aŭ **vertica formo**:

*f(x) = a(x-h)2 + k*
Tiam la vertico estas *(h, k)*.

Se

*f(x)=ax2+bx+c*
do

{\displaystyle f(x)=a\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}}
kaj la vertico estas:

{\displaystyle \left(-{\frac {b}{2a}},-{\frac {b^{2}-4ac}{4a}}\right)}
aŭ

{\displaystyle \left({\frac {r\_{1}+r\_{2}}{2}},f\left({\frac {r\_{1}+r\_{2}}{2}}\right)\right)}
La vertico estas ankaŭ la maksimuma punkto se *a < 0* kaj la minimuma punkto se *a > 0*.

La vertikalo (paralelo al la y-akso), kiu pasas tra la vertico, difinita per:

*x=h*
aŭ

{\displaystyle x=-{\frac {b}{2a}}}
estas simetriakso de la parabolo.

Kvadrata radiko de kvadrata funkcio
-----------------------------------

La kvadrata radiko de kvadrata funkcio priskribas elipson aŭ al hiperbolon (por reelaj *x* kaj *y*).

Estu ekvacio:

{\displaystyle y=\pm {\sqrt {ax^{2}+bx+c}}}
aŭ ekvivalente:

{\displaystyle y^{2}=ax^{2}+bx+c}
* Se *a<0* do la ekvacio priskribas elipson aŭ nenion.
	+ Se la *y*-koordinato de la maksimuma punkto de la respektiva parabolo {\displaystyle y\_{p}=ax^{2}+bx+c\,} estas pozitiva, tiam la ekvacio priskribas elipson.
	+ Se la *y*-koordinato estas negativa tiam la ekvacio priskribas malplenan aron de punktoj.

* Se *a>0* do la ekvacio priskribas hiperbolon. La akso de la hiperbolo estas difinita per la *y*-koordinato de la minimuma punkto de la respektiva parabolo {\displaystyle y\_{p}=ax^{2}+bx+c\,}.
	+ Se la *y*-koordinato estas negativa, do la hiperbola akso estas horizontala.
	+ Se la *y*-koordinato estas pozitiva, do la hiperbola akso estas vertikala.

Multvariabla kvadrata funkcio
-----------------------------

**Multvariabla kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2 de *D+1* variabloj, en koordinatoj {\displaystyle \{x\_{0},x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{D}\}} en *D+1*-dimensia spaco ĝi estas

{\displaystyle \sum \_{i,j=0}^{D}Q\_{i,j}x\_{i}x\_{j}+\sum \_{i=0}^{D}P\_{i}x\_{i}+R=0}
kie *Q* estas *D+1* dimensia kvadrata matrico ne egala al la nula matrico kaj *P* estas *D+1* dimensia vektoro kaj *R* estas nombro. Ĝenerale, la loko de nuloj de ĉi tia funkcio estas kvadriko.

**Duvariabla kvadrata funkcio** estas polinoma funkcio de la grado 2 de du variabloj, do de formo:

*f(x,y) = A x2 + B y2 + C x + D y + E x y + F*
La funkcio priskribas kvadratan surfacon *z=f(x,y)*. Ekvacio *f(x,y)=0* priskribas la komunaĵon de la surfaco kun la ebeno *z=0*, kiu komunaĵo estas koniko.

Vidu ankaŭ
----------

* Kvadrata formo
* Matrica prezento de konikoj
* Periodaj punktoj de kompleksa kvadrata surĵeto
* Koniko
* Kvadriko
* Kvadrato (algebro)
* Kvadrato (geometrio)
* Kvadrata radiko
* Plenigo de kvadrato

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Kvadrata funkcio* en MathWorld.