En fiziko kaj matematiko **teoremo de Green** donas la interrilaton inter linia integralo ĉirkaŭ simpla fermita kurbo *C* kaj duobla integralo super la ebena regiono *D* barita per *C*. La teoremo de Green estis nomita laŭ brita sciencisto George Green kaj estas speciala okazo de la pli ĝenerala teoremo de Stokes.

La propozicio de la teoremo estas jena: Estu *C* dekstruma, glata, simpla fermita kurbo en la ebeno kaj estu *D* la regiono barita per *C*. Se *L* kaj *M* havas kontinuajn partajn derivaĵojn en malfermita regiono enhavanta *D*-an, rezultas

{\displaystyle \int \_{C}L\,dx+M\,dy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Iam malgranda cirklo estas lokita supre sur la integrala simbolo:

{\displaystyle \oint \_{C}}
Tio indikas, ke la kurbo *C* estas fermita. Por indiki pozitivan orientiĝon, sago en la laŭhorloĝnadla direkto estas iam desegnita en la cirklo sur la integrala simbolo.

Pruvo de la teoremo kiam *D* estas simpla regiono
-------------------------------------------------

Se D estas la simpla regiono tiel ke *x* ∈ [*a*, *b*] kaj *g*1(*x*) < *y* < *g*2(*x*) kaj la rando de D estas dividita je la kurboj *C1*, *C2*, *C3*, *C4*, oni povas demonstri la teoremon.
Se eblas esti montrite ke

{\displaystyle \int \_{C}L\,dx=\iint \_{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)dA\qquad \mathrm {(1)} }
kaj

{\displaystyle \int \_{C}M\,dy=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}\right)\,dA\qquad \mathrm {(2)} }
estas veraj, la teoremo estas pruvita.

Estu regiono *D* simpla sufiĉe por la celoj. Se regiono *D* estas esprimita kiel:

{\displaystyle D=\{(x,y)|a\leq x\leq b,g\_{1}(x)\leq y\leq g\_{2}(x)\}}
kie *g*1 kaj *g*2 estas kontinuaj funkcioj, la duopa integralo en (1) povas esti skribata kiel:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \iint \_{D}\left({\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA} | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}\!\!\int \_{g\_{1}(x)}^{g\_{2}(x)}\left[{\frac {\partial L}{\partial y}}(x,y)\,dy\,dx\right]} |
|  | {\displaystyle =\int \_{a}^{b}{\Big \{}L[x,g\_{2}(x)]-L[x,g\_{1}(x)]{\Big \}}\,dx\qquad \mathrm {(3)} } |

Nun *C* povas esti reskribita kiel la unio de kvar kurboj C1, C2, C3, C4.

Kun C1, uzu la parametrajn ekvaciojn, *x* = *x*, *y* = *g*1(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Pro tio:

{\displaystyle \int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx=\int \_{a}^{b}{\Big \{}L[x,g\_{1}(x)]{\Big \}}\,dx}
Kun −*C*3, uzu la parametrajn ekvaciojn, *x* = *x*, *y* = *g*2(*x*), *a* ≤ *x* ≤ *b*. Tiam:

{\displaystyle \int \_{C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{-C\_{3}}L(x,y)\,dx=-\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{2}(x))]\,dx}
Sur *C*2 kaj *C*4, *x* restas konstanto, do:

{\displaystyle \int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx=\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx=0}
Do:

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \int \_{C}L\,dx} | {\displaystyle =\int \_{C\_{1}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{2}}L(x,y)\,dx+\int \_{C\_{3}}L(x,y)+\int \_{C\_{4}}L(x,y)\,dx} |
|  | {\displaystyle =-\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{2}(x))]\,dx+\int \_{a}^{b}[L(x,g\_{1}(x))]\,dx\qquad \mathrm {(4)} } |

Kombinante (3) kun (4), oni ricevas na:

{\displaystyle \int \_{C}L(x,y)\,dx=\iint \_{D}\left(-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA}
Simila pruvo povas esti farita por (2).

Rilato al la teoremo de Stokes
------------------------------

La teoremo de Green estas speciala kazo de la teoremo de Stokes, kiam aplikita al la xy-ebeno.

Konsideru du-dimensian kampon kiel tri-dimensian kampon, pri kiu z-komponanto en kartezia koordinato estas nula: {\displaystyle {\vec {\mathbf {F} }}=(L,M,0)}.

De la maldekstra termo de la teoremo de Green aplikita al tiu aparta kampo :

{\displaystyle \oint \_{C}(L\,dx+M\,dy)=\oint \_{C}(L,M,0)\cdot (dx,dy,dz)=\oint \_{C}{\vec {\mathbf {F} }}\cdot d{\vec {\mathbf {r} }}.\ }
Kaj laŭ la teoremo de Kelvino-Stokes :

{\displaystyle \oint \_{C}{\vec {\mathbf {F} }}\cdot d{\vec {\mathbf {r} }}=\iint \_{S}\nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS,\ }
kie {\displaystyle \nabla } estas la nabla operatoro uzita ĉi tie pri la kirlo.

Se la surfaco {\displaystyle S} estas la ebena regiono {\displaystyle D}, kun {\displaystyle {\vec {\mathrm {n} }}} la unuobla vektoro normala al la surfaco kaj pozitive orientita laŭ la +z direkto, tial {\displaystyle {\vec {\mathrm {n} }}={\vec {\mathrm {k} }}}.

La esprimo inter la integralo iĝas :

{\displaystyle \nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}=\left[\left({\frac {\partial 0}{\partial y}}-{\frac {\partial M}{\partial z}}\right){\vec {\mathbf {i} }}+\left({\frac {\partial L}{\partial z}}-{\frac {\partial 0}{\partial x}}\right){\vec {\mathbf {j} }}+\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right){\vec {\mathbf {k} }}\right]\cdot {\vec {\mathbf {k} }}=\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right);\ }
fakte oni obtenas la dekstran termon de la teoremo de Stokes:

{\displaystyle \iint \_{S}\nabla \times {\vec {\mathbf {F} }}\cdot {\vec {\mathbf {n} }}\,dS=\iint \_{D}\left({\frac {\partial M}{\partial x}}-{\frac {\partial L}{\partial y}}\right)\,dA.\ }

Vidu ankaŭ
----------

* Vektora kalkulo
* Diverĝenca teoremo
* Gradienta teoremo
* Teoremo de Kelvino-Stokes