La **modelo de Debye** estas modelo de solido far Peter Debye en 1912. Ĝi modelas la kontribuaĵojn de fononoj en solido al la propraĵoj de la solido. Ĝi estas akurata ĉe aŭ altegaj aŭ malaltegaj temperaturoj, sed ne estas akurata ĉe mezaj temperaturoj.

Derivado
--------

Konsideru solidan kubon kun eĝo {\displaystyle L}. Ĝi havas sonajn modojn etiketitajn per tri entjerojn {\displaystyle n\_{x},n\_{y},n\_{z}} tia ke la ondolongo laŭ la {\displaystyle x}-direkto estas {\displaystyle \lambda \_{x}=2L/n\_{x}} kaj simile por {\displaystyle y} kaj {\displaystyle z}.

Ni supozu konstantan rapidon de sono {\displaystyle v} ĝis ia maksimuma frekvenco. (Tiu postulo ne estas ĝusta por fononoj kun grandegaj frekvencoj.)
Do la energio de la {\displaystyle (n\_{x},n\_{y},n\_{z})}-fonono estas

{\displaystyle E={\frac {hv}{2L}}{\sqrt {n\_{x}^{2}+n\_{y}^{2}+n\_{z}^{2}}}={\frac {hv}{2L}}\lVert \mathbf {n} \rVert }.
Fononoj estas bosonoj: ili sekvas la statistikon de Bose-Einstein

{\displaystyle N(E)=3/(\exp(E/kT)-1)}
kie la faktoro 3 nombras la elektojn de polarizoj: unu longitudan, du transversajn.

Do la tuta energio {\displaystyle U(T)} de aro de fononoj ĉe temperaturo {\displaystyle T} estas

{\displaystyle U(T)=3\sum \_{\mathbf {n} }^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n\_{\max }}{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}}
kie {\displaystyle n\_{\max }} priskribas la maksimuman frekvencon de sono. Ni uzas proksimumadon per anstataŭigi sumon per integralo:

{\displaystyle U=3\int \_{n\_{x},n\_{y},n\_{z}>0}^{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n\_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}={\frac {3}{8}}\int \_{\lVert \mathbf {n} \rVert \leq n\_{\max }}\operatorname {d} ^{3}\!\mathbf {n} \;{\frac {\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2L}{\exp(\lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT)-1}}}.
Ansataŭigu {\displaystyle \lVert \mathbf {n} \rVert hv/2LkT\mapsto x} kaj difinu la **temperaturon de Debye** {\displaystyle T\_{\mathrm {D} }=n\_{\max }hv/2Lk}:

{\displaystyle U(T)={\frac {3}{8}}kTn\_{\max }^{3}(T/T\_{\mathrm {D} })^{3}\cdot 4\pi \int \_{0}^{T\_{D}/T}{\frac {r^{3}}{\exp r-1}}={\frac {\pi }{2}}kTn\_{\max }^{3}D\_{3}(T\_{\mathrm {D} }/T)}
kie {\displaystyle D\_{3}} estas la tria funkcio de Debye.

Fine, ni observu ke la tuta volumeno de la {\displaystyle \mathbf {n} }-spaco egalu la nombron {\displaystyle N} de partikloj:
{\displaystyle {\frac {1}{8}}\cdot {\frac {4}{3}}\pi n\_{\max }^{3}=N}.
Do

{\displaystyle U(T)/N=3kTD\_{3}(T\_{\mathrm {D} }/T)}.
La sendimensia varmokapacito {\displaystyle C\_{V}/Nk} estas

{\displaystyle C\_{V}/Nk={\frac {1}{Nk}}{\frac {\operatorname {d} U}{\operatorname {d} T}}=3\left(4D\_{3}(T\_{\mathrm {D} }/T)-{\frac {3T\_{\mathrm {D} }/T}{\exp(T\_{\mathrm {D} }/T)-1}}\right).}
Ĉe temperaturo {\displaystyle T\ll T\_{\mathrm {D} }},

{\displaystyle C\_{V}/Nk\approx {\frac {12\pi ^{4}}{5}}(T/T\_{\mathrm {D} })^{3}}.
Ĉe temperaturo {\displaystyle T\gg T\_{\mathrm {D} }},

{\displaystyle C\_{V}/Nk\approx 3}.
(Tiu ĉi estas la **leĝo de Dulong–Petit**.)

Funkcioj de Debye
-----------------

La **funkcioj de Debye** {\displaystyle D\_{n}(x)} faciligas kalkulojn pri la modelo de Debye. Ili estas difinitaj jene:

{\displaystyle D\_{n}(x)={\frac {n}{x^{n}}}\int \_{0}^{x}{\frac {\operatorname {d} \!s\;s^{n}}{\exp s-1}}}.
Ili verigas:

{\displaystyle D\_{n}(0)=1}.
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }D\_{n}(x)x^{n}=n\zeta (n+1)n!}.
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!x}}D\_{n}(x)={\frac {n}{\exp x-1}}-(n/x)D\_{n}(x)}.

Tabelo de Temperaturoj de Debye de realaj solidoj
-------------------------------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| aluminio | 428 K |
| arĝento | 215 K |
| berilio | 1440 K |
| cezio | 38 K |
| fero | 470 K |
| kadmio | 209 K |
| karbono | 2230 K |
| kromio | 630 K |
| kupro | 343.5 K |
| mangano | 410 K |
| nikelo | 450 K |
| oro | 170 K |
| plateno | 240 K |
| plumbo | 105 K |
| silicio | 645 K |
| stano (blanka) | 200 K |
| tantalo | 240 K |
| titano | 420 K |
| volframo | 400 K |
| zinko | 327 K |

Datenoj el Kittel 1996.

Referencoj
----------

  Vidu ankaŭ: Modelo de Einstein
* *CRC Handbook of Chemistry and Physics*, 56a eld. (1975–1976)
* Schroeder, Daniel V. *An Introduction to Thermal Physics*. San Francisco: Addison-Wesley, 2000. §7.5.
* Kittel, Charles. Introduction to Solid State Physics (7a eld.). John Wiley & Sons, 1996. ISBN 0-471-11181.
* Weisstein, Eric W. "Debye function", *MathWorld*.