La **símbolo de Legendre**, {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)}, estas multiplika funkcio uzata en nombroteorio, pri kiu 
argumentoj estas entjera nombro {\displaystyle a} kaj prima nombro {\displaystyle p}, kaj valoras 1, -1 aŭ 0, dependante ĉu {\displaystyle a} estas, aŭ ne, kvadrata restaĵo module {\displaystyle p}, ĉi tiu difinita per la kongrua rilato inter *a* kaj estanta, aŭ ne, nombro *x*, tielmaniere ke:

{\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}}.
Tiu simbolo estis kreita de Adrien-Marie Legendre en 1798.

La Jakobia simbolo estas ĝeneraligo de simbolo de Legendre, pri kiu *p* estas iu ajn pozitiva nepara nombro.

Difino
------

Konsiderante ĉiuj entjerojn {\displaystyle a} kaj ĉiuj neparaj primojn {\displaystyle p}, *simbolo de Legendre* {\displaystyle ({\frac {a}{p}})} estas difinita per:

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)={\begin{cases}\;\;\,1{\text{ se }}a{\text{ estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p{\text{ kaj }}a\not \equiv 0{\pmod {p}}\\-1{\text{ se }}a{\text{ ne estas kvadrata restaĵo laŭ modulo}}\ p\\\;\;\,0{\text{ se }}a\equiv 0{\pmod {p}}{\text{ , t.e. }}a{\text{ estas oblo de}}\ p.\end{cases}}}
La origina difino de Legendre estis per la eksplicita formulado:

{\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)\equiv a^{(p-1)/2}{\pmod {p}}\;\;{\text{ kaj }}\left({\frac {a}{p}}\right)\in \{-1,0,1\}\ .}
Laŭ la *kriterio de Eŭlero*, kiu estis eltrovita antaŭe kaj estis konita de Legendre, tiuj du supraj difinoj estas ekvivalentaj.

Ekzemploj
---------

\* 2 estas kvadrata restaĵo modulo 7, ĉar {\displaystyle 2\equiv 3^{2}{\pmod {7}}}, kaj la kalkulo laŭ la difino de Legendre kondukas al :
{\displaystyle \left({\frac {2}{7}}\right)\equiv 2^{\frac {7-1}{2}}=2^{3}\equiv 1\mod 7\ .}
\* 5 ne estas kvadrata restaĵo modulo 7 :
{\displaystyle \left({\frac {5}{7}}\right)\equiv 5^{\frac {7-1}{2}}=5^{3}\equiv 6\equiv -1\mod 7\ .}
\* 14 estas dividebla per 7 :
{\displaystyle \left({\frac {14}{7}}\right)\equiv 14^{\frac {7-1}{2}}=14^{3}\equiv 0\mod 7\ .}

Proprecoj
---------

* {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)} (la simbolo de Legendre estas do multiplika funkcio rilate al sia supera argumento);

fakte, {\displaystyle \left({\frac {ab}{p}}\right)=(ab)^{\frac {p-1}{2}}=a^{\frac {p-1}{2}}b^{\frac {p-1}{2}}=\left({\frac {a}{p}}\right)\left({\frac {b}{p}}\right)}.

* Se {\displaystyle a\equiv b{\pmod {p}}}, do {\displaystyle \left({\frac {a}{p}}\right)=\left({\frac {b}{p}}\right)}.

* {\displaystyle \left({\frac {1}{p}}\right)=1}, ĉar 1 estas kvadrato si mem.

* {\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\pmod {4}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\pmod {4}}.\end{cases}}} (aparta kazo de -1).

* {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\tfrac {p^{2}-1}{8}}={\begin{cases}~~1{\text{ se }}p\equiv 1{\text{ ou }}7{\pmod {8}}\\-1{\text{ se }}p\equiv 3{\text{ ou }}5{\pmod {8}}.\end{cases}}} (aparta kazo de 2).

* {\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)=1} se {\displaystyle a} estas nepara nombro, kaj {\displaystyle 0} se para.

* Se {\displaystyle q} estas nepara primo, do {\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=\left({\frac {p}{q}}\right)(-1)^{\left({\frac {p-1}{2}}\right)\left({\frac {q-1}{2}}\right)};}

la lasta propreco estas konata sub la nomo de leĝo de kvadrata reciprokeco.

Notoj
-----

* (angle) Eric W. Weisstein, *Legendre Symbol* en MathWorld.

1. ↑  A. M. Legendre *Essai sur la theorie des nombres* (Eseo pri la nombroteorio) Parizo 1798, p 186
2. ↑  Hardy & Wright, Thm. 83.

Eksteraj ligiloj
----------------

* (angle) Kalkulo de Jakobia simbolo kun ekzemploj Arkivigite je 2008-07-20 per la retarkivo Wayback Machine