*Por orientiĝo de vektoraj spacoj vidu artikolon orientiĝo (matematiko). Por aliaj uzoj, vidu artikolon orientiĝo.*

---

Orientebleco de surfacoj
------------------------

Toro estas orientebla surfaco.
Rubando de Möbius estas ne-orientebla surfaco.
Intuicie, surfaco *S* en la eŭklida spaco **R**3 estas **ne-orientebla**, se figuro simila al la figuro Я povas esti movita ĉirkaŭ la surfaco kaj ree al kie ĝi startis tiel ke ĝi aspektas kiel R, sia spegula bildo. (Tiu figuro estis elektita, ĉar ĝi ne povas esti kontinue movita al sia spegulo-bildo en ebeno). Alie la surfaco estas **orientebla**. Pli detale (kaj aplikeble al ne-enigitaj surfacoj) se estas kontinua mapo *f* de la produto de 2-dimensia pilko *B* kaj la unuobla intervalo [0, 1] al la surfaco, *f*:*B*×[0, 1] → *S* tia, ke *f*(*b*, *t*)=*f*(*c*, *t*) nur se *b*=*c* por iu ajn *t* en [0, 1], kaj *f*(b, 0) = *f*(*r*(*b*), 1) por ĉiu *b* en *B*, kie *r* estas reflekto-mapo, tiam la surfaco estas ne-orientebla.

Abstrakta surfaco (tio estas, du-dimensia sternaĵof) estas orientebla se konsekvenca koncepto de horloĝeca turnado povas esti difinita sur la surfaco en kontinua maniero. Tio montriĝas al esti ekvivalento al la demando ĉu la surfaco enhavas neniun subaron kio estas homeomorfa al la rubando de Möbius. Tial, por surfacoj, la rubando de Möbius povas esti konsiderata la fonto de ĉiu ne-orientebleco.

Surfaco kiu estas enigita en **R**3 estas orientebla en la senco de Я se kaj nur se ĝi estas orientebla kiel abstrakta surfaco.

Notu, ke loke enigita surfaco ĉiam havas du flankojn, do miopa formiko rampanta sur unuflanka surfaco pensus ke estas la "alia flanko". La esenco de unu-flankeco estas, ke la formiko povas rampi de unu flanko de la surfaco al la "alia" sen iri tra la surfacon aŭ renversiĝi trans randon, sed simple per rampo de sufiĉa distanco.

Ĝenerale, la propraĵo esti orientebla ne ekvivalentas al esti duflanka; tamen, la ekvivalenteco estas se la ĉirkaŭa spaco (kiel **R**3 pli supre) estas orientebla. Ekzemple, toro enigita en {\displaystyle K^{2}\times S^{1}} povas esti unuflanka, kaj botelo de Klein en la sama spaco povas esti duflanka; ĉi tie {\displaystyle K^{2}} signifas botelon de Klein.

#### Ekzemploj

Plejparto de surfacoj kiujn ni renkontas en la fizika mondo estas orienteblaj. Sferoj, ebenoj, kaj toroj estas orienteblaj, ekzemple. Sed rubandoj de Möbius, realaj projekciaj ebenoj, kaj boteloj de Klein estas ne-orienteblaj. Ili, kiel bildigitaj en 3-dimensioj, ĉiuj havas nur unu flankon. (Kromo: la reala projekcia ebeno kaj botelo de Klein ne povas esti enigitaj en **R**3, nur mergitaj kun sinsekco.)

#### Orientiĝo per triangulado

Orientebleco, por surfacoj, estas facile difinita, sendistinge de ĉu la surfaco estas enigita en ĉirkaŭa spaco ĉu ne. Iu ajn surfaco havas trianguladon: malkomponaĵo en triangulojn tia, ke ĉiu rando sur triangulo estas gluita al maksimume unu alia rando. Ni povas orienti ĉiun triangulon, per elekti direkton por ĉiu rando (pensu pri ĉi tion kiel desegnaĵan sagon sur ĉiu rando) tiel ke la sagoj iras de kapo al vosto dum ni ĉirkaŭiras la randon de la triangulo. Se ni povas fari ĉi tion tiel ke aldonaj trianguloj kunhavantaj randon havas sagojn sur tiu rando irantaj en kontraŭaj direktoj, tiam ni nomas kion ni faris orientiĝo por la surfaco. Notu, ke ĉu la surfaco estas orientebla estas sendependa de triangulado; ĉi tiu fakto estas ne okulfrape evidenta, sed normo ekzerci.

Ĉi tiu iom preciza difino estas bazita sur intuicio kolektita observante jenan fenomenon:

Imagu figuron Я sur la surfaco, kiu povas libere gliti laŭ la surfaco sed ne povas leviĝi for de la surfaco (figuro estas elektita pro ĝia nememspegulsimetrieco). Se la surfaco estas rubando de Möbius, kaj la figuro glitas la tutan vojon ĉirkaŭ la bando kaj revenas al sia deirpunkto, tiam ĝi aspektos kiel sia spegulo-bildo R anstataŭ Я. Se la surfaco estas sfero, aliflanke, tio ne povas okazi.

La rilato al la difino pli supre estas, ke ĉirkaŭglitante la Я-on de triangulo al triangulo en triangulado donas orientiĝon por ĉiu triangulo; la Я en triangulo kaŭzas elekton de sago por ĉiu rando, bazita sur la ordo ruĝa-verda-blua de koloroj. La nura barilo kontraŭ konsekvence orienti ĉiujn triangulojn estas, ke kiam la Я revenas al sia originala startanta triangulo, ĝi povas kaŭzi elektojn de sagoj irantaj kontraŭe al la originalaj elektoj. Klare, se tio neniam okazas, tiam oni deziras ke la surfaco estu orientebla, ĉar se tio ja okazas, tiam oni deziras nomi la surfacon kiel ne-orientebla.

La difino pli supre povas esti ĝeneraligita al *n*-sternaĵo, kiu havas trianguladon, sed estas problemoj kun tiu aliro: iuj 4-sternaĵoj ne havas trianguladon, kaj ĝenerale por *n* > 4 iu *n*-sternaĵoj havas trianguladojn, kiuj estas neekvivalentaj.

Orientebleco de sternaĵoj
-------------------------

#### Topologiaj difinoj

*n*-dimensia sternaĵo (enigita en finie dimensia vektora spaco, aŭ abstrakta sternaĵo) estas ne-orientebla se eblas preni la homomorfian bildon de *n*-dimensia pilko en la sternaĵon kaj movi ĝin tra la sternaĵo kaj ree al si, tiel ke je la fino de la iro, la pilko estas reflektita, uzante la saman difinon kiel por surfacoj pli supre. Ekvivalente, *n*-dimensia sternaĵo estas ne-orientebla se ĝi enhavas homeomorfian bildon de la spaco formita per preno de kartezia produto de (*n*−1)-dimensia pilko *B* kaj la unuobla intervalo [0, 1] kaj gluo de la pilko B×{0} je unu fino al la pilko B×{1} je alia fino kun unusola reflekto. Je surfacoj, ĉi tiu spaco estas rubando de Möbius; por 3-sternaĵoj, ĉi tio estas solida botelo de Klein.

Kiel alia alternativa difino, orientebla sternaĵo havas kovron de malfermitaj *n*-dimensiaj pilkoj kun konsekvencaj orientiĝoj (tio estas, ĉiu trair-mapo estas orientiĝo-konserva).

#### Orientiĝo de diferencialaj sternaĵoj per supro-dimensiaj formoj

Alia pensmaniero pri orientebleco estas koncepti ĝin kiel elekto de "dekstra-maneco" kontraŭ "maldekstra-maneco" ĉe ĉiu punkto en la sternaĵo.

Formale, *n*-dimensia diferencialebla sternaĵo estas nomita **orientebla** se ĝi posedas diferencialan formon {\displaystyle \omega } de grado *n* kiu estas ne nulo ĉe ĉiu punkto sur la sternaĵo. Por donita ĉi tia formo {\displaystyle \omega }, oni diras, ke la sternaĵo estas **orientita** per {\displaystyle \omega }.

La sojla punkto observenda ĉi tie estas, ke tia diferenciala formo donas elekto de "dekstramaneca" bazo ĉe ĉiu punkto. Vojaĝanto en orientebla sternaĵo neniam ŝanĝas sian manecon irante rondiran ekskurson.

#### Ekzemploj

Oni kredas ke la universo estas orientebla.

Orientiĝo kaj vektoraj pakaĵoj
------------------------------

Reela vektora pakaĵo, kiu apriore havas *Gl(n)* strukturan grupon, estas nomata kiel *orientebla* kiam la struktura grupo povas reduktiĝi al {\displaystyle GL^{+}(n)}, la grupo de matricoj kun pozitiva determinanto. Glata reela sternaĵo estas orientebla se kaj nur se ĝia tanĝanta pakaĵo estas tia.