**Sistemo de linearaj ekvacioj** estas sistemo de ekvacioj, en kiu estas laŭvola nombro de linearaj ekvacioj kaj samtempe ne estas nelinearaj ekvacioj.

Se estas **m** ekvacioj, en kiujn estas **n** variantoj, tiam oni povas prezenti en formo:

{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a\_{11}x\_{1}&+&a\_{12}x\_{2}&+&a\_{13}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{1n}x\_{n}&=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}&+&a\_{22}x\_{2}&+&a\_{23}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{2n}x\_{n}&=b\_{2}\\a\_{31}x\_{1}&+&a\_{32}x\_{2}&+&a\_{33}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{3n}x\_{n}&=b\_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a\_{m1}x\_{1}&+&a\_{m2}x\_{2}&+&a\_{m3}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{mn}x\_{n}&=b\_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}
Skalaroj {\displaystyle a\_{ij}} nomas **koeficienton de sistemo** ,
skalaroj {\displaystyle b\_{i}} nomas **liberajn elementojn**.
**Solvo de sistemo de ekvacioj** nomas laŭvolan n-elementojn {\displaystyle (r\_{1},r\_{2},\dots ,r\_{n})} 
de korpo{\displaystyle K}, kiuj substituanta {\displaystyle x\_{i}} donas **verajn ekvaciojn**.

Ĉefa matrico de sistemo
-----------------------

**Ĉefa matrico** estas matrico, kiujn elementojn estas **koeficiento de sistemo**

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&\cdots &a\_{2n}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&\cdots &a\_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&a\_{m3}&\cdots &a\_{mn}\\\end{bmatrix}}}.

Dilata matrico de sistemo
-------------------------

**Dilata matrico** estas **ĉefa matrico**, kiu estas dilatata pri vertikala vektoro {\displaystyle (b\_{1},b\_{2},\dots ,b\_{m})}: 

{\displaystyle U=\left[{\begin{matrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}&\cdots &a\_{2n}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}&\cdots &a\_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&a\_{m3}&\cdots &a\_{mn}\\\end{matrix}}\right|\left.{\begin{matrix}b\_{1}\\b\_{2}\\b\_{3}\\\vdots \\b\_{m}\end{matrix}}\right]=[A|B]}

Priskribo de matricoj de sistemo de linearaj ekvacioj
-----------------------------------------------------

Ĉar koeficientoj de sistemoj de ekvacioj facile skribas per matricoj, tial oni uzas atributojn 
de matrica multipliko oni povas skribi sistemon de ekvacioj kiel:

{\displaystyle AX=B}
kie:

{\displaystyle A} - ĉefa matrico,
{\displaystyle X} - (vertikala) vektoro de variantoj {\displaystyle x\_{i}},
{\displaystyle B} -(vertikala) vektoro de liberaj elementoj {\displaystyle b\_{i}}.
do, oni povus solvi sistemo de linearaj ekvacioj, kiel:

{\displaystyle X={B \over A}}
se oni ekzistus divido de matricoj. Tamen oni scias ke divido de du elementoj de grupo estas multipliko de unue elemento kaj inverso de dua elemento, oni povas skribi:

{\displaystyle X=A^{-1}B}
(**Rimarku!**, ke {\displaystyle X=BA^{-1}} ne estas korekta , ĉar multpliko de matricoj 
ne estas komuteca. )

Tipoj de sistemoj de linearaj ekvacioj
--------------------------------------

### Sistemo de Kramero

Sistemo de Kramero estas sistemo *n* de linearaj ekvacioj (kun *n* variantoj), kiuj havas sekvan atributon:

{\displaystyle \det A\not =0}
Sistemo de Kramero havas nur strikte unu solvon, kiu estas difinata per formuloj de Kramero.

### Homogena sistemo

Sistemo de ekvacioj estas homogena se ĉiuj liberaj elementoj de sistemo estas nuloj. Ekzemplo de homogena sistemo:

{\displaystyle a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+...+a\_{1n}x\_{n}=0\,}
{\displaystyle a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+...+a\_{2n}x\_{n}=0\,}
{\displaystyle \vdots \,}
{\displaystyle a\_{n1}x\_{1}+a\_{n2}x\_{2}+...+a\_{nn}x\_{n}=0\,}
Atributoj de homogena sistemo:

* havas ĉiam nulan solvon.
* havas ne nulan solvon nur se vico de ĉefa matrico estas malpli ol *n*

### Kvadrata sistemo

Se {\displaystyle n=m} (nombro de variantoj egalas nombro de ekvacioj), tiam sistemo nomas kvadratan sistemon. 

Se determinanto de ĉefa matrico **ne** estas nulo, tiam oni povas uzi formuloj de Kramero por solvi.

Se determinanto de ĉefa matrico estas nulo, tiam sistemo ne havas solvon aŭ havas infinite multe solvojn.

Signifas per {\displaystyle A\_{i}} matricojn, kiel sube:

{\displaystyle A\_{i}={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1\ i-1}&b\_{1}&a\_{1\ i+1}&\dots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2\ i-1}&b\_{2}&a\_{2\ i+1}&\dots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\dots &a\_{n\ i-1}&b\_{n}&a\_{n\ i+1}&\dots &a\_{nn}\end{bmatrix}}}
* Se determinanto de ĉiuj matricoj {\displaystyle A\_{i}} estas nulo (kaj {\displaystyle \det A=0}), tiam sistemo havas infinite multe solvojn.
* Se almenaŭ unu el matricoj{\displaystyle A\_{i}} havas determinanton nenula, tiam sistemo ne havas solvojn.

### Ortangula sistemo

Laŭvola sistemo:

{\displaystyle a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+...+a\_{1n}x\_{n}=b\_{1}\,}
{\displaystyle a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+...+a\_{2n}x\_{n}=b\_{2}\,}
{\displaystyle \vdots \,}
{\displaystyle a\_{m1}x\_{1}+a\_{m2}x\_{2}+...+a\_{mn}x\_{n}=b\_{m}\,}
nomas ortagulan sistemon, kiam {\displaystyle m\not =n}.

Ekzemploj
---------

{\displaystyle x+3y=2 \atop -2x+-6y=-4}
{\displaystyle {\begin{cases}{\begin{matrix}a\_{11}x\_{1}&+&a\_{12}x\_{2}&+&a\_{13}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{1n}x\_{n}&=b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}&+&a\_{22}x\_{2}&+&a\_{23}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{2n}x\_{n}&=b\_{2}\\a\_{31}x\_{1}&+&a\_{32}x\_{2}&+&a\_{33}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{3n}x\_{n}&=b\_{3}\\\vdots &&\vdots &&\vdots &&\ddots &&\vdots &\vdots \\a\_{m1}x\_{1}&+&a\_{m2}x\_{2}&+&a\_{m3}x\_{3}&+&\dots &+&a\_{mn}x\_{n}&=b\_{m}\end{matrix}}\end{cases}}}

Vidu ankaŭ
----------

* Metodo de Gaŭso
* Teoremo de Kronecker-Capellego