La **teorio de Landau** estas makroskopa teorio de faztransiro far Lev Landau. Ĝi kalkulas la kritajn eksponentojn de dua-orda faztransiroj el du aksiomoj:

1. La libera energio de la sistemo estas analitika;
2. La libera energio sekvas la simetriojn de la hamiltoniano.

Difino
------

Konsideru makroskopan sistemon kun faztransiro ĉe temperaturo {\displaystyle T\_{0}}: la sistemo estas senorda ĉe {\displaystyle T>T\_{0}} kaj orda ĉe {\displaystyle T<T\_{0}}. Elektu **ordo-parametron** {\displaystyle m} kiu

* nulas ĉe {\displaystyle T>T\_{0}}
* ne nulas ĉe {\displaystyle T<T\_{0}}.

Alivorte, {\displaystyle m} estas mezuro de la ordo de la sistemo.

La libera energio {\displaystyle F} de la sistemo (la helmholca libera energio se ni supozas la kanonan ensemblon) estas

{\displaystyle \exp(-F\beta )=Z=\sum \_{i}\exp(-E\_{i}\beta )}.
Ni uzu la proksimumadon de la averaĝa kampo kaj supozu ke

{\displaystyle Z(T,m)=\exp(-F\_{0}(T))\int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F\_{\mathrm {L} }(T,m))}.
Do ni uzu la selan proksumumadon

{\displaystyle \int \operatorname {D} \!m\;\exp(-F\_{\mathrm {L} }(T,m))\approx \exp(-F\_{\mathrm {L} }(T,m\_{\min }))}
kie {\displaystyle m\_{\min }} estas la minimumejo de {\displaystyle F\_{\mathrm {L} }(T,m)}. Do

{\displaystyle A=F\_{0}(T)+F\_{\mathrm {L} }(T,m\_{\min })}.
Ni supozu ke {\displaystyle F\_{\mathrm {L} }(T,m)} analitike dependas de {\displaystyle T} kaj {\displaystyle m} kaj sekvas la simetriojn de la sistemo. Do ni skribu la plej ĝeneralan analitikan serion por {\displaystyle A\_{\mathrm {L} }} kaj solvu por {\displaystyle m\_{\min }}.

Ekzemplo: Modelo de Ising
-------------------------

La modelo de Ising, kiu modelas magneton kun spinoj {\displaystyle s\_{i}=\pm 1}, havas faztransiron por du aŭ pli multaj dimensioj. La kutima ordo-parametro estas la magnetado {\displaystyle M=\langle s\rangle }, kiu estas averaĝo de la spinoj. La modelo de Ising estas simetria per la inversigo de ĉiuj spinoj, k.e. {\displaystyle M\mapsto -M}.

La esprimo por la libera energio {\displaystyle F(M)} estas do

{\displaystyle F\_{\mathrm {L} }(T,M)={\frac {1}{2}}a(T-T\_{0})M^{2}+{\frac {1}{4}}bM^{4}+\cdots }.
Observu ke ne ekzistas termo kun nepara eksponento de {\displaystyle M} ({\displaystyle M}, {\displaystyle M^{3}}, ktp.) ĉar la simetrio {\displaystyle M\mapsto -M}.
Supozante ke {\displaystyle a,b>0} kaj neglektante alta-ordajn termojn, la minimumejo de {\displaystyle F} estas

{\displaystyle M\_{\min }={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T\_{0}\\\pm {\sqrt {a(T\_{0}-T)/b}}&{\text{se }}T\leq T\_{0}.\end{cases}}}
La minimumo de {\displaystyle F\_{\mathrm {L} }} estas

{\displaystyle F\_{\mathrm {L} }(T,M\_{\min })={\begin{cases}0&{\text{se }}T\geq T\_{0}\\-a^{2}(T-T\_{0})^{2}/4b&{\text{se }}T\leq T\_{0}.\end{cases}}}
Ni vidas ke:

* Ekzistas faztransiro ĉe {\displaystyle T=T\_{0}}. La faztransiro estad dua-orda: la **ordo** de la faztransiro estas minimuma la eksponento {\displaystyle n} tia ke {\displaystyle (\partial /\partial T)^{n}F} ne kontinuas.
* Sub {\displaystyle T\_{0}}, la simetrio {\displaystyle M\to -M} spontanee rompiĝas, ĉar {\displaystyle M\_{\min }\neq 0}.
* La krita eksponento {\displaystyle \beta } estas la eksponento tia ke {\displaystyle M\propto (T-T\_{0})^{\beta }} sub la faztransira temperaturo. La teorio de Landau prognozas ke {\displaystyle \beta =1/2}. (Fakte, {\displaystyle \beta \approx 1/3}.)

Referencoj
----------

* K Huang, *Statistical mechanics* (statistika mekaniko), 2a eld. Wiley, 1987. ISBN 0-471-81518-7
* "Landau theory of phase transitions", *SklogWiki*
* PD Olmsted, *Lectures on Landau theory of phase transitions*[*rompita ligilo*]
* MC Cross, "Landau theory of second order phase transitions" Arkivigite je 2010-06-22 per la retarkivo Wayback Machine (notoj el Caltech)
* IR Yukhnovskii, *Phase transitions of the second order: collective variables method*, World Scientific, 1987. ISBN 9971-50-087-6