La **pluredroj de Keplero-Poinsot** estas la regulaj nekonveksaj stelaj pluredroj. Estas 4 pluredroj de Keplero-Poinsot. Ĉiu el ili havas edrojn, kiuj estas kongruaj regulaj plurlateroj.

Listo
-----

Edroj kaj verticaj figuroj estas donitaj kun iliaj simboloj de Schläfli.

| Nomo | Bildo | Steliga figuro | Simbolo de Schläfli {p,q} kaj  Figuro de Coxeter-Dynkin | Edroj  {p} | Lateroj | Verticoj | Vertica figuro  {q} | χ | Simetrio | Duala |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Malgranda steligita dekduedro |  |  | {5/2,5}   | 12 stelokvinlateroj {5/2}   | 30 | 12 | Kvinlatero {5}   | -6 | Ih | Granda dekduedro |
| Granda dekduedro |  |  | {5,5/2}   | 12 kvinlateroj {5}   | 30 | 12 | Stelokvinlatero {5/2}   | -6 | Ih | Malgranda steligita dekduedro |
| Granda steligita dekduedro |  |  | {5/2,3}   | 12 stelokvinlateroj {5/2}   | 30 | 20 | Triangulo {3}   | 2 | Ih | Granda dudekedro |
| Granda dudekedro |  |  | {3,5/2}   | 20 trianguloj {3}   | 30 | 12 | Stelokvinlatero {5/2}   | 2 | Ih | Granda steligita dekduedro |

Geometriaj rilatoj
------------------

* La malgranda steligita dekduedro kaj granda dudekedro havas la samajn situon de lateroj kaj situon de verticoj kiel la regula dudekedro.
* La granda dekduedro havas la sama situon de lateroj kiel la regula dudekedro.
* La granda steligita dekduedro havas la sama situon de lateroj kiel la regula dekduedro.

Ĉi tiuj figuroj povas doni erarajn pensojn pro sia inkluzivo de stelokvinlateraj edroj kaj verticaj figuroj. Kie du edroj intersekciĝas laŭ streko tio ne ĉiam estas latero. Ankaŭ kie tri edroj intersekcas je punkta tio ne ĉiam estas vertico. Ĉi tiuj ŝajnantaj verticoj kaj lateroj ne estas grafitaj en la bildoj pli supre. Veraj verticoj estas montritaj kiel oraj sferoj kaj veraj lateroj estas montritaj kiel arĝentaj cilindroj.

Ĉiuj la tri dekduedroj estas steligoj de la regula konveksa dekduedro, kaj la granda dudekedro estas steligo de la regula konveksa dudekedro. La malgranda steligita dekduedro kaj la granda dudekedro estas facetigoj de la konveksa dekduedro, kaj la du grandaj dekduedroj estas facetigoj de la regula konveksa dudekedro.

Se ĉiuj intersekcoj estas traktataj kiel novaj lateroj kaj verticoj, la rezultantaj figuroj ne estas regulaj pluredroj, sed ili povas ankoraŭ esti konsiderataj kiel steligoj.

Vidu la aliajn steligojn en Listo de pluredroj de Wenninger.

### La eŭlera karakterizo χ

Ĉiu el pluredroj de Keplero-Poinsot kovras siajn ĉirkaŭskribitan sferon pli ol unufoje. Pro ĉi tio, ili ne estas topologie ekvivalentaj al la 2-sfero, kvankam platonaj solidoj estas topologie ekvivalentaj al la 2-sfero. Pro ĉi tio la eŭlera karakterizo

*V - L + E*
ne egalas al 2 por iuj el pluredroj de Keplero-Poinsot.

Se konsideri la saman formon alimaniere, aldoninte verticojn kaj laterojn en ĉiuj lokoj de intersekcoj de la edroj, la rezultanta pluredro havos la valoron de la eŭlera karakterizo χ egalan al 2. Konsideru ekzemple la malgrandan steligitan dekduedron. Ĝi konsistas el dekduedro kun kvinlatera piramido sur ĉiu el ĝiaj 12 edroj. Ĉiu el la 12 edroj estas stelokvinlatero kun la centra kvinlatera parto latenta en la solido. La ekstera parto de ĉiu edro konsistas el 5 izocelaj trianguloj kiuj nur intertuŝi je 5 punktoj. Alternative oni povas konsideri ĉi tiujn triangulojn kiel apartaj edroj, ili estas 60. Simile ĉiu latero devas esti dividita en 3 laterojn. Ankaŭ la kvin punktoj kie la trianguloj intertuŝas, kune estas 20 punktoj, nun formas aldonajn verticojn, tiel ke estas entute 32 verticoj (de du specoj). La latentaj enaj kvinlateroj estas jam ne bezonataj. Nun la eŭlera karakterizo estas: 60 - 90 + 32 = 2, kaj la pluredro estas topologie ekvivalenta al la 2-sfero. Tamen ĉi tiu pluredro estas jam ne estas tiu priskribita per la simbolo de Schläfli {5/2,5}, kaj eĉ ne estas unuforma, kvankam ĝi aspektas simile al la fonta unuforma malgranda steligita dekduedro.

### Dualeco

La pluredroj de Keplero-Poinsot formas 2 parojn de dualaj pluredroj:

* Malgranda steligita dekduedro kaj granda dekduedro.
* Granda steligita dekduedro kaj granda dudekedro.

Historio
--------

Malgranda steligita dekduedro aperas en tarsia marmoro (marketra panelo) sur la planko de Baziliko de Sankta Marko en Venecio en Italio. Ĝi estas datita kiel de la 15-a jarcento kaj estas eble farita de Paolo Uccello.

Wenzel Jamnitzer en sia *Perspectiva corporum regularium*- *Perspektivoj de la regulaj solidoj* , libro publikigita en la 16-a jarcento, prezentas la grandan dekduedron. Tamen ĝenerale li konsideras nur la 5 platonaj solidoj kiel regula, kaj ne komprenas la regulan naturon de la granda dekduedro. Li ankaŭ prezentas eraran figuron por la granda steligita dekduedro, en kiu la triangulaj surfacoj estas ne samebenaj, do ĝi reale havas 60 triangulajn edrojn.

La kepleraj solidoj estis esploritaj de Keplero en 1619. Li ricevis ilin per steligo de la regula konveksa dekduedro, unuafoje traktatante ĝin kiel surfaco sed ne kiel solido. Li rimarkis ke per etendo de la lateroj aŭ edroj de la konveksa dekduedro ĝis kiam ili renkontas denove, oni povas ricevi stelajn kvinlaterojn. Plu, li agnoskis ke ankaŭ ĉi tiuj stelaj kvinlateroj estas regulaj. Tiamaniere li trovis du steligitajn dekduedrojn, la malgrandan kaj la grandan. Ĉiu havas la centran konveksan regionon de ĉiu edro latenta en la eno, kun nur la triangulaj brakoj videblaj. Keplera fina paŝo estis agnosko ke ĉi tiuj pluredroj verigas la difinon de regula pluredro, kvankam ili ne estas konveksaj.

En 1809, Louis Poinsot reesploris ĉi tiujn du keplerajn solidojn. Li konsideris ankaŭ stelajn verticojn kaj ankaŭ stelajn edrojn, kaj tiel esploris du aliajn regulajn stelajn pluredrojn, la grandan dudekedron kaj grandan dekduedron.

Tri jarojn poste Augustin Louis Cauchy pruvis ke la listo de regulaj pluredroj estas plena, kaj preskaŭ post duono de jarcento Joseph Louis François Bertrand donis pli eleganta pruvo per facetado de la platonaj solidoj.

En arto kaj kulturo
-------------------

Aleksandra stelo
Malgranda steligita dekduedro aperas en marmoro tarsia (marketra panelo) sur la planko de S-ta Marka Baziliko en Venecio en Italio. Ĝi estas datita kiel de la 15-a jarcento kaj estas eble farita de Paolo Uccello.

En la 20-a jarcento, M. C. Escher interesiĝis pri geometriaj formoj kaj ofte faris laborojn bazitajn sur regulaj solidoj, ekzemple laboro "Gravito" estas bazita sur la malgranda steligita dekduedro.

Sekco de la granda dekduedro estas uzata por enigmo Aleksandra Stelo de la 1980-aj jaroj .

Norvego Vebjørn Sand faris skulptaĵon "La Keplera Stelo" kiu estas elmontrata en la flughaveno de Oslo, Gardermoen. La stelo ampleksas je 14 metroj, kaj konsistas el dudekedro kaj dekduedro en granda steligita dekduedro.

Vidu ankaŭ
----------

* Regula hiperpluredro
* Regula pluredro
* Listo de regulaj hiperpluredroj
* Listo de pluredroj de Wenninger - pri steligoj de konveksaj regulaj pluredroj
* Unuforma pluredro
* Pluredra kombinaĵo
* Steligo
* Plurĉelo de Schläfli-Hess - la 10 4-dimensiaj stelaj plurĉeloj

Referencoj
----------

* J. Bertrand, Note sur la théorie des polyèdres réguliers, *Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences*, **46** (1858), pp. 79-82, 117.
* Augustin Louis Cauchy, *Recherches sur les polyèdres.* J. de l'École Polytechnique 9, 68-86, 1813.

1. ↑   Arkivigite je 2016-10-13 per la retarkivo Wayback Machine Wenzel Jamnitzer, *Perspectiva corporum regularium* - *Perspektivoj de la regulaj solidoj*
2. ↑    "La Keplera Stelo" de Vebjørn Sand

Eksteraj ligiloj
----------------

* Eric W. Weisstein, *Pluredroj de Keplero-Poinsot* en MathWorld.
* Paperaj modeloj de pluredroj de Keplero-Poinsot
* Liberaj aperaj modeloj de pluredroj de Keplero-Poinsot Arkivigite je 2007-02-17 per la retarkivo Wayback Machine
* La unuformaj pluredroj
* VRML modeloj de pluredroj de Keplero-Poinsot
* Historio de steligo kaj facetado