La **matricoj de Pauli** estas tri 2×2 kompleksaj matricoj ofte uzitaj en matematiko kaj fiziko. La matricoj estas memadjunktaj kaj unitaj; ili formas bazon de la vektora spaco de nulspuraj memadjunkta matricoj. Ilia simbolo estas la greka litero sigmo: {\displaystyle \sigma \_{1},\sigma \_{2},\sigma \_{3}} (sed kelka aŭtoroj uzas taŭon anstataŭe). Iliaj difinoj estas jene:

{\displaystyle \sigma \_{1}=\sigma \_{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{2}=\sigma \_{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}}
{\displaystyle \sigma \_{3}=\sigma \_{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}
La matricoj estas nomitaj pro Wolfgang Pauli, kiu ilin enkondukis en 1925 pro studio de kvantuma mekaniko.

Iafoje oni uzis la "nulan" matricon de Pauli {\displaystyle \sigma \_{0}=I} (t.e. la 2×2 identan matricon) kune kun la normalaj tri matricoj de Pauli. Tiam, la kvar matricoj formas bazon de la vektora spaco de tutaj memadjunktaj matricoj (inkludante nenulspurajn matricojn).

Karakterizaĵoj
--------------

Ili kvadratiĝas al identa matrico:

{\displaystyle \sigma \_{1}^{2}=\sigma \_{2}^{2}=\sigma \_{3}^{2}=-i\sigma \_{1}\sigma \_{2}\sigma \_{3}={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}=I}.
Ili estas nulspuraj kaj havas determinanton {\displaystyle -1}:

{\displaystyle \operatorname {tr} \sigma \_{i}=0}.
{\displaystyle \det \sigma \_{i}=-1}
Iliaj du ejgenoj estas ±1. Iliaj ejgenvektoroj estas jene:

{\displaystyle {\begin{array}{lclc}\psi \_{x+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{1}\end{pmatrix}},&\psi \_{x-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-1}\end{pmatrix}},\\\psi \_{y+}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{i}\end{pmatrix}},&\psi \_{y-}=\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}\!\!\!\!\!&{\begin{pmatrix}{1}\\{-i}\end{pmatrix}},\\\psi \_{z+}=&{\begin{pmatrix}{1}\\{0}\end{pmatrix}},&\psi \_{z-}=&{\begin{pmatrix}{0}\\{1}\end{pmatrix}}.\end{array}}}
Iliaj komutkrampoj estas jene:

{\displaystyle [\sigma \_{a},\sigma \_{b}]=2i\epsilon \_{abc}\sigma \_{c}}
{\displaystyle \{\sigma \_{a},\sigma \_{b}\}=2\delta \_{ab}\cdot I}.
(Jena {\displaystyle \varepsilon \_{abc}} estas la simbolo de Levi-Civita.)
Iliaj produtoj estas jene:

{\displaystyle \sigma \_{a}\sigma \_{b}=\delta \_{ab}\cdot I+i\sum \_{c}\epsilon \_{abc}\sigma \_{c}}.

Vektoro de Pauli
----------------

Iafoje oni uzas la **vektoron de Pauli**, kiu estas vektoro kun tri matricaj komponantoj.

{\displaystyle {\vec {\sigma }}=\sigma \_{1}{\hat {x}}+\sigma \_{2}{\hat {y}}+\sigma \_{3}{\hat {z}}}.
Oni uzas ĝin konverti inter 3-dimensiaj vektoroj kaj 2×2 nulspuraj memadjunktaj matricoj jene:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {a}}\cdot {\vec {\sigma }}&=(a\_{i}{\hat {x}}\_{i})\cdot (\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{j})\\&=a\_{i}\sigma \_{j}{\hat {x}}\_{i}\cdot {\hat {x}}\_{j}\\&=a\_{i}\sigma \_{i}.\end{aligned}}}

Vidu ankaŭ
----------

* Angula movokvanto
* matricoj de Gell-Mann
* grupo de Poincaré

Referencoj
----------

* Liboff, Richard L..  (2002) *Introductory Quantum Mechanics*. Addison-Wesley. ISBN 0-8053-8714-5.
* Schiff, Leonard I..  (1968) *Quantum Mechanics*. McGraw-Hill. ISBN 007-Y85643-5.
* Leonhardt, Ulf.  (2010) *Essential Quantum Optics*. Cambridge University Press. ISBN 0-5211-4505-8.