En matematiko, **homogena funkcio** estas funkcio kun proporcieca multiplika konduto: se la argumento estas multiplikata per iu faktoro, tiam la rezulto estas multiplikata per iu potenco de ĉi-tiu faktoro. Ekzemploj estas la homogenaj polinomoj.

Formale, estu

{\displaystyle f:V\rightarrow W\qquad \qquad }
funkcio inter du vektoraj spacoj super kampo {\displaystyle F\qquad \qquad }.

Ni diru, ke {\displaystyle f\qquad \qquad } estas *homogena de grado {\displaystyle k\qquad \qquad }*,
se la ekvacio

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {v} )\qquad \qquad (\*)}
veras por ĉiuj {\displaystyle \alpha \in F\qquad \qquad } kaj {\displaystyle \mathbf {v} \in V\qquad \qquad }.

Lineara funkcio estas homogena de grado 1.

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=\alpha f(\mathbf {v} )}
Plurlineara funkcio {\displaystyle f:V\_{1}\times \ldots \times V\_{n}\rightarrow W\qquad \qquad } estas homogena de grado *n*:

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} \_{1},\ldots ,\alpha \mathbf {v} \_{n})=\alpha ^{n}f(\mathbf {v} \_{1},\ldots ,\mathbf {v} \_{n})}

Eŭlera teoremo pri homogenaj funkcioj
-------------------------------------

Funkcio

{\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})\qquad \qquad }
kiu estas homogena de grado {\displaystyle k\qquad \qquad }, havas partajn derivaĵojn de grado {\displaystyle k-1\qquad \qquad }. Plue, ĝi verigas la **eŭleran teoremon pri homogenaj funkcioj**, kiu konstatas, ke

{\displaystyle \mathbf {x} \cdot \nabla f(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )\qquad \qquad }
Skribite eksplicite en komponantoj, ĉi tio estas

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}x\_{i}{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}(\mathbf {x} )=kf(\mathbf {x} )}
**Pruvo**

Estu {\displaystyle f=f(x\_{1},\ldots ,x\_{n})}, trovu derivaĵon de

{\displaystyle f(\alpha \mathbf {y} )=\alpha ^{k}f(\mathbf {y} )}
je {\displaystyle \alpha }. Laŭ ĉena regulo estas

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x\_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y\_{1})+\cdots +{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} ){\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \alpha }}(\alpha y\_{n})=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )},
kaj do

{\displaystyle y\_{1}{\frac {\partial }{\partial x\_{1}}}f(\alpha \mathbf {y} )+\cdots +y\_{n}{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} )}.
Ĉi tio povas esti skribita per nabla operatoro kiel

{\displaystyle \mathbf {y} \cdot \nabla f(\alpha \mathbf {y} )=k\alpha ^{k-1}f(\mathbf {y} ),\qquad \qquad \nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x\_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial }{\partial x\_{n}}}\right)},
de kie la eŭlera teoremo rezultas se meti {\displaystyle \alpha =1}.

Ĝeneraligoj
-----------

Pli ĝenerale, funkcio {\displaystyle f\qquad \qquad } estas nomata homogena, se la ekvacio {\displaystyle f(\alpha \mathbf {v} )=g(\alpha )f(\mathbf {v} )\qquad \qquad } veras por iu severe pligrandiĝanta pozitiva funkcio {\displaystyle g\qquad \qquad }.

Foje funkcio veriganta {\displaystyle (\*)\qquad \qquad } por ĉiu pozitiva {\displaystyle \alpha \qquad \qquad } nomiĝas *pozitive homogena* (ĉi tio postulas, ke la kampo {\displaystyle F\qquad \qquad } estu {\displaystyle \mathbb {R} \qquad \qquad }; almenaŭ necesas orda rilato por difini la pozitivecon).

Eksteraj ligiloj
----------------

*