Οι διωνυμικοί συντελεστές σε διάταξη τέτοια ώστε να σχηματίσουν το τρίγωνο του Πασκάλ.
Απεικόνιση του διωνυμικού θεωρήματος μέχρι την 4η δύναμη
Στα μαθηματικά, οι **διωνυμικοί συντελεστές** είναι μια οικογένεια θετικών ακεραίων αριθμών που προκύπτουν ως συντελεστές στο διωνυμικό θεώρημα. Ένας διωνυμικός συντελεστής αναπροσαρμόζεται από δύο φυσικούς αριθμούς *n* και *k*, που συνήθως γράφονται {\displaystyle {\tbinom {n}{k}},} και είναι ο συντελεστής του *x**k* όρου στην πολυωνυμική διεύρυνση της διωνυμικής δύναμης (1 + *x*)*n*. Υπό κατάλληλες συνθήκες, η τιμή του συντελεστή δίνεται από την έκφραση {\displaystyle {\tfrac {n!}{k!\,(n-k)!}}}. Η διάταξη των διωνυμικών συντελεστών σε σειρές διαδοχικών τιμών του *n*, όπου το *k* κυμαίνεται από το 0 έως το *n*, δίνει μια τριγωνική διάταξη που ονομάζεται τρίγωνο του Πασκάλ.

Αυτή η οικογένεια αριθμών προκύπτει και σε πολλούς άλλους τομείς των μαθηματικών πέραν της άλγεβρας, ειδικά στην Συνδυαστική. {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} συχνά προφέρεται ως "*n* ανά *k*», επειδή υπάρχουν {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} τρόποι για να επιλεγούν *k* στοιχεία από ένα σύνολο *n* στοιχείων. Οι ιδιότητες των διωνυμικών συντελεστών έχουν ως συνέπεια την επέκταση της έννοιας του συμβόλου {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} πέραν από τη βασική περίπτωση όπου οι *n* και *k* είναι φυσικοί αριθμοί, στο γενικότερο *k* ≤ *n*. Τέτοιες εκφράσεις εξακολουθούν να ονομάζονται διωνυμικοί συντελεστές.

Ο συμβολισμός {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} εισήχθη από τον Andreas von Ettingshausen το 1826, αν και οι αριθμοί αυτοί ήταν ήδη γνωστοί αιώνες πριν (βλέπε τρίγωνο του Πασκάλ). Η αρχαιότερη γνωστή λεπτομερή αναφορά στους διωνυμικούς συντελεστές είναι ένα σχόλιο του 10ου αιώνα, από τον Halayudha, σε ένα αρχαίο σανσκριτικό κείμενο, το *Pingala's Chandaḥśāstra*. Περίπου το 1150, ο Ινδός μαθηματικός Bhaskaracharya έκανε ένα εγχειρίδιο λειτουργίας των διωνυμικών συντελεστών στο τέταρτο κεφάλαιο της έκτης ενότητας του βιβλίου του *Lilavati*.

Εναλλακτικές σημειογραφίες περιλαμβάνουν *C*(*n*, *k*), *C**n*,*k* , *n**C**k* , *n**C**k* , *C**k**n*, *C**n**k*, σε όλες τις οποίες το *C* σημαίνει *συνδυασμοί* ή *επιλογές*. Πολλοί υπολογιστές χρησιμοποιούν παρόμοιες παραλλαγές της σημειογραφίας *C*, ώστε να αναπαρασταθεί σε μια γραμμή οθόνης, κατά το δυνατόν.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Higham (1998), σελ. 25
2. ↑  Knuth (1997), σελ. 52–74
3. ↑  Shilov (1977), Binomial coefficients

### Βιβλιογραφία

* Higham, Nicholas J. (1998). *Handbook of writing for the mathematical sciences*. Society for Industrial and Applied Mathematics. σελ. 25. ISBN 0-89871-420-6.
* Knuth, Donald E. (1997). *Fundamental Algorithms*. The Art of Computer Programming. **1** (3η έκδοση). Addison-Wesley. σελίδες 52–74. ISBN 0-201-89683-4.
* Shilov, G. E. (1977). *Linear algebra*. Dover Publications. ISBN 978-0-486-63518-7.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Binomial coefficients», *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4,
* Granville, Andrew (1997). «Arithmetic Properties of Binomial Coefficients I. Binomial coefficients modulo prime powers». *CMS Conf. Proc* **20**: 151–162. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 2015-09-23.. Ανακτήθηκε στις 2015-09-21.
* PlanetMath: Binomial Coefficient, Bounds for binomial coefficients, Generalized binomial coefficients, Proof that C(n,k) is an integer.