Έστω {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } τα μήκη των πλευρών του τριγώνου. Από το ημιάθροισμά τους υπολογίζετε η ημιπερίμετρος {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}, που χρησιμοποιείται στον τύπο του Ήρωνα.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, ο **τύπος του Ήρωνα** δίνει το εμβαδόν ενός τριγώνου συναρτήσει του μήκους των πλευρών του. Σύμφωνα με τον τύπο ένα τρίγωνο με μήκη πλευρών \alpha , \beta  και \gamma  έχει εμβαδό 

{\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {\tau \left(\tau -\alpha \right)\left(\tau -\beta \right)\left(\tau -\gamma \right)}}},
όπου \tau  είναι η ημιπερίμετρος του τριγώνου, δηλαδή:

{\displaystyle \tau ={\frac {\alpha +\beta +\gamma }{2}}}.
Ο τύπος του Ήρωνα μπορεί να γραφτεί και ως εξής:

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{4}}{\sqrt {(\alpha +\beta +\gamma )(\alpha +\beta -\gamma )(\beta +\gamma -\alpha )(\gamma +\alpha -\beta )}}.}
Ο τύπος παίρνει το όνομά του από τον Ήρων. Ο τύπος του Ήρωνα γενικεύεται για όλα τα πολύγωνα που είναι εγγεγραμμένα σε κύκλο.

Απόδειξη
--------

Τρίγωνο με πλευρές {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma }, κορυφές {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } και το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή {\displaystyle \mathrm {A} }.
Μια σύγχρονη απόδειξη η οποία χρησιμοποιεί άλγεβρα και γεωμετρία είναι η εξής: 

Έστω ένα τρίγωνο με πλευρές \alpha , \beta , \gamma  και {\displaystyle \mathrm {A} }, {\displaystyle \mathrm {B} }, {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } οι απέναντί τους γωνίες. Εφαρμόζοντας τον νόμο των συνημιτόνων για την γωνία {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } έχουμε ότι:

{\displaystyle \cos \mathrm {\Gamma } ={\frac {\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}}{2\alpha \beta }}}.
Από την σχέση του ημιτόνου και του συνημιτόνου έχουμε ότι:

{\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\sqrt {1-\cos ^{2}\mathrm {\Gamma } }}={\frac {\sqrt {4\alpha ^{2}\beta ^{2}-(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2})^{2}}}{2\alpha \beta }}}.
Χρησιμοποιώντας την διαφορά τετραγώνων {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)\cdot (x+y)} έχουμε ότι:

{\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(2\alpha \beta -(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))\cdot (2\alpha \beta +(\alpha ^{2}+\beta ^{2}-\gamma ^{2}))}}.}
Χρησιμοποιώντας την ταυτότητα {\displaystyle (x+y)^{2}=x^{2}+2xy+y^{2}}, προκύπτει ότι:

{\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma ^{2}-(\alpha -\beta )^{2})\cdot ((\alpha +\beta )^{2}-\gamma ^{2}))}}.}
Χρησιμοποιώντας πάλι την διαφορά τετραγώνων έχουμε ότι 

{\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } ={\frac {1}{2\alpha \beta }}{\sqrt {(\gamma -\alpha +\beta )\cdot (\gamma +\alpha -\beta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma )\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}}={\frac {2}{\alpha \beta }}\cdot {\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}.}
Το ύψος {\displaystyle u\_{\rm {A}}} του τριγώνου που αντιστοιχεί στην πλευρά \alpha  έχει μήκος

{\displaystyle u\_{\rm {A}}=\beta \cdot \sin \mathrm {\Gamma } ,}
και έτσι έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}({\beta {\acute {\alpha }}\sigma \eta })({{\acute {\upsilon }}\psi \mathrm {o} \varsigma })={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \cdot u\_{\rm {A}}={\frac {1}{2}}\cdot \alpha \beta \cdot u\_{\rm {A}}={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot \tau }}},
που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις
-----------

### Τύπος Βραχμαγκούπτα

Κύριο λήμμα: Τύπος Βραχμαγκούπτα
Ο τύπος Βραχμαγκούπτα γενικεύει αυτόν τον τύπο για τον εμβαδόν οποιουδήποτε εγγράψιμου τετρατπλεύρου. Πιο συγκεκριμένα, για ένα εγγράψιμο τετράπλευρο με πλευρές {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } και ημιπερίμετρο \tau , το εμβαδόν του είναι ίσο με 

{\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )}}.}
### Τύπος Bretschneider

Κύριο λήμμα: Τύπος Bretschneider
Ο τύπος Bretschneider δίνει το εμβαδόν για κάθε τετράπλευρο σχήμα με πλευρές {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma ,\delta } και γωνίες {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } ,\mathrm {\Delta } } ως

{\displaystyle \mathrm {E} ={\sqrt {(\tau -\alpha )\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\gamma )\cdot (\tau -\delta )-{\frac {1}{2}}\alpha \beta \gamma \delta \cdot (1+\cos(\mathrm {A} +\mathrm {\Gamma } ))}}}.

Δείτε επίσης
------------

* Τρίγωνο του Ήρωνα
* Τύπος Βραχμαγκούπτα
* Τύπος Bretschneider

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Αποδείξεις για τον τύπο του Ήρωνα

### Ελληνικά άρθρα

* Παπαδάτος Ιωάννης (1976). «Ο τύπος του Ήρωνα είναι του Αρχιμήδη». *Ευκλείδης Β΄* (5): 5-6.
* Ν. Κισκύρας (1980). «Αριθμητικές Τετράδες του Ήρωνα - Ηρώνεια Τρίγωνα». *Ευκλείδης Β΄* (3): 8-9.

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Bényi, Árpád (Ιουλίου 2003). «87.47 A Heron-type formula for the triangle». *The Mathematical Gazette* **87** (509): 324–326. doi:10.1017/S0025557200172882. .
* Lowry, H. V. (Οκτωβρίου 1964). «116. Heron's formula». *The Mathematical Gazette* **48** (365): 312–313. doi:10.2307/3613028. .
* Lord, Nick (2013). «97.29 A family of Heron-type formulae for the triangle». *The Mathematical Gazette* **97** (539): 294-297. .
* Nelsen, Roger B. (Σεπτεμβρίου 2001). «Heron's Formula via Proofs without Words». *The College Mathematics Journal* **32** (4): 290. doi:10.2307/2687566. .
* Josefsson, Martin (2016). *100.31 Heron-like formulas for quadrilaterals*. **100**, σελ. 505-508. .
* Stroethoff, Karel (Ιουλίου 1999). «83.37 Heron’s formula via complex numbers». *The Mathematical Gazette* **83** (497): 292–293. doi:10.2307/3619066. .

Παραπομπές
----------

1. ↑  Πανακης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής κατευθύνσεως) Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 39–46.
2. ↑  Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία Δ',Ε',ΣΤ' Γμνασίου Θετικής Κατευθύνσεως*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων. σελίδες 137–139.
3. ↑  Στεργίου, Μπάμπης (2012). *Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά*. Αθήνα: Σαββάλας. σελ. 98. ISBN 978-960-493-159-0.
4. ↑  Ταβανλης, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία 1*. Ι. Χιωτέλη.
5. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελίδες 461–463.