Στα μαθηματικά, **δευτεροβάθμια εξίσωση** (ή **τετραγωνική εξίσωση** ή **εξίσωση δεύτερου βαθμού**) ονομάζεται κάθε πολυωνυμική εξίσωση με βαθμό δύο. Η γενική μορφή μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης είναι:

{\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0,}
όπου τα γράμματα *α*, *β* και *γ* παριστάνουν σταθερούς αριθμούς, με

{\displaystyle \alpha \neq 0}.
Οι σταθερές *α*, *β* και *γ* ονομάζονται συντελεστές, με το *α* να είναι ο συντελεστής του *x*2, το *β* να είναι ο συντελεστής του *x* και *γ* ο σταθερός όρος. Οι συντελεστές μπορεί να είναι πραγματικοί ή μιγαδικοί αριθμοί.

Απόδειξη με συμπλήρωση τετραγώνου
---------------------------------

Θέλουμε να φέρουμε την εξίσωση {\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad } στη μορφή {\displaystyle (ax+b)^{2}=c} ώστε να είναι πιο εύκολο να λυθεί.

  

Αρχικά εξετάζουμε τους όρους με *x2* και *x* και τους χωρίζουμε από τη σταθερά *γ*:

{\displaystyle \alpha x^{2}+\beta x+\gamma =0\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+{\frac {\beta }{\alpha }}x\right)=-\gamma \qquad (1)}
Κατόπιν προσθαφαιρούμε στο αριστερό μέλος της εξίσωσης κατάλληλη σταθερά, ώστε να «συμπληρωθεί» το τετράγωνο:

{\displaystyle (1)\quad \iff \quad \alpha \left(x^{2}+2{\frac {\beta }{2\alpha }}x+{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}-{\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}-\,\alpha \left({\frac {\beta ^{2}}{4\alpha ^{2}}}\right)=-\gamma \qquad (2)}
και φέρνουμε τη σταθερά στο δεξί μέρος:

{\displaystyle (2)\quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}}{4\alpha }}-\gamma \quad \iff \quad \alpha \left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}={\frac {\beta ^{2}-4\alpha \gamma }{4\alpha }}\qquad (3)}
Φέρνουμε στο αριστερό μέρος όλα τα μεγέθη που μπορούν να γραφούν ως τετράγωνο:

{\displaystyle (3)\quad \iff \quad (2\alpha )^{2}\left(x+{\frac {\beta }{2\alpha }}\right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (4)}

  

Το δεξί μέρος της εξίσωσης ονομάζεται διακρίνουσα: {\displaystyle \Delta =\beta ^{2}-4\alpha \gamma \qquad (5)}

  

Οπότε έχουμε φέρει την εξίσωση στη μορφή που θέλουμε και συγκεκριμένα:

{\displaystyle (4),(5)\quad \iff \quad \left(2\alpha x+\beta \right)^{2}=\Delta \qquad (6)}
Αποτετραγωνίζοντας και τα δύο μέλη, έχουμε:

{\displaystyle (6)\quad \iff \quad 2\alpha x+\beta =\pm {\sqrt {\Delta }}\quad \iff \quad x={\frac {-\beta \pm {\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}\qquad (7)}

  

Από την {\displaystyle (7)} προκύπτει ότι η εξίσωση έχει πάντα δύο ρίζες, μία που περιέχει το {\displaystyle +{\sqrt {\Delta }}} και μία που περιέχει το {\displaystyle -{\sqrt {\Delta }}.} Ανάλογα με την τιμή της διακρίνουσας {\displaystyle \Delta ,} διακρίνονται τρεις περιπτώσεις:

* Αν {\displaystyle \Delta >0}, τότε προκύπτουν δύο διαφορετικές πραγματικές ρίζες:

{\displaystyle x\_{+}={\frac {-\beta +{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}
{\displaystyle x\_{-}={\frac {-\beta -{\sqrt {\Delta }}}{2\alpha }}}
* Αν {\displaystyle \Delta =0}, τότε προκύπτουν δύο ρίζες, που εκφυλίζονται σε μια διπλή πραγματική ρίζα:

{\displaystyle x\_{\pm }={\frac {-\beta }{2\alpha }}}
* Αν {\displaystyle \Delta <0}, τότε η διακρίνουσα μπορεί να γραφεί ως {\displaystyle \Delta =i^{2}|\Delta |}, όπου {\displaystyle i} η φανταστική μονάδα με {\displaystyle i^{2}:=-1} και {\displaystyle |\Delta |} η απόλυτη τιμή της διακρίνουσας. Τώρα η υπόριζη ποσότητα είναι μη αρνητική και επομένως ορίζεται στο σύνολο των μιγαδικών αριθμών. Επομένως, σε αυτή τη περίπτωση προκύπτουν δύο συζυγείς μιγαδικές ρίζες:

{\displaystyle x\_{+}={\frac {-\beta +i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}
{\displaystyle x\_{-}={\frac {-\beta -i{\sqrt {|\Delta |}}}{2\alpha }}}

  

Από τα παραπάνω συνάγεται ότι για να έχει η εξίσωση πραγματικές λύσεις, πρέπει να ισχύει {\displaystyle \Delta \geq 0}, επειδή κάθε πραγματικός αριθμός υψωμένος στο τετράγωνο είναι μη αρνητικός (αριστερό μέρος της εξίσωσης 6), η διακρίνουσα {\displaystyle \Delta } (δεξί μέρος της εξίσωσης 6) πρέπει να είναι και αυτή μη αρνητικός αριθμός.

Οι τύποι του Βιετά
------------------

Οι τύποι του Βιετά δίνουν απλές σχέσεις μεταξύ των ριζών ενός πολυωνύμου και των συντελεστών του. Στην περίπτωση των δευτεροβάθμιων εξισώσεων παίρνουν την ακόλουθη μορφή:

{\textstyle x\_{+}+x\_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}
και

{\displaystyle x\_{+}\cdot x\_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}
Αν συμβολίσουμε με {\displaystyle S} το άθροισμα των ριζών μιας δευτεροβάθμιας εξίσωσης και με {\displaystyle P} το γινόμενό τους τότε κάθε δευτεροβάθμια εξίσωση γράφεται και ως εξής:

{\displaystyle x^{2}-Sx+P=0\ }
όπου 

{\displaystyle S=x\_{+}+x\_{-}=-{\frac {\beta }{\alpha }}}
και

{\displaystyle P=x\_{+}\cdot x\_{-}={\frac {\gamma }{\alpha }}}

Δείτε επίσης
------------

* Τριώνυμο
* Παραβολή (γεωμετρία)
* Εξίσωση

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Πολυμέσα σχετικά με το θέμα  Quadratic equation στο Wikimedia Commons
* Διαδραστική εφαρμογή για την λύση εξισώσεων δευτέρου βαθμού από το γράφημα
* Διαδραστική εφαρμογή για την αραβική μέθοδο επίλυσης εξισώσεων 2ου βαθμού
* Γεωμετρική επίλυση εξισώσεων 2ου βαθμού

### Ελληνικά άρθρα

* Κωστοπούλου, Καλλιόπη; Καρκαζής, Γιάννης (Οκτώβριος 2020). «Στιγμιότυπα της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: από τη Βαβυλώνα στη σύγχρονη εποχή». *Ευκλείδης Α΄* (118): 20-26. .

Παραπομπές
----------

1. ↑  Ανδρεαδάκης κ.α. Σ. (1991). *Άλγεβρα και Στοιχεία Πιθανοτήτων Α Λυκείου*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 90.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |