Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων sinh, cosh και tanh
Γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων csch, sech και coth
Στα μαθηματικά, οι **υπερβολικές συναρτήσεις** είναι ανάλογες των συμβατικών τριγωνομετρικών ή κυκλικών συναρτήσεων. Οι βασικές υπερβολικές συναρτήσεις είναι το **υπερβολικό ημίτονο** (συμβολίζεται *sinh*) και το **υπερβολικό συνημίτονο** (*cosh*), από τις οποίες προκύπτουν η **υπερβολική εφαπτομένη** (*tanh*) και οι υπόλοιπες υπερβολικές, κατ' αναλογία των παράγωγων τριγωνομετρικών συναρτήσεων. Οι συναρτήσεις αυτές ονομάστηκαν έτσι επειδή η γεωμετρική σχέση τους με μία υπερβολή είναι σχεδόν ίδια με την σχέση των τριγωνομετρικών συναρτήσεων με την περιφέρεια.

Αλγεβρικές εκφράσεις
--------------------

* Υπερβολικό ημίτονο

\sinh x={\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{2}}=-i\sin ix\!
* Υπερβολικό συνημίτονο

\cosh x={\frac {e^{{x}}+e^{{-x}}}{2}}=\cos ix\!
* Υπερβολική εφαπτομένη

\tanh x={\frac {\sinh x}{\cosh x}}={\frac {{\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{2}}}{{\frac {e^{x}+e^{{-x}}}{2}}}}={\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{e^{x}+e^{{-x}}}}={\frac {e^{{2x}}-1}{e^{{2x}}+1}}=-i\tan ix\!
* Υπερβολική συνεφαπτομένη

\coth x={\frac {\cosh x}{\sinh x}}={\frac {{\frac {e^{x}+e^{{-x}}}{2}}}{{\frac {e^{x}-e^{{-x}}}{2}}}}={\frac {e^{x}+e^{{-x}}}{e^{x}-e^{{-x}}}}={\frac {e^{{2x}}+1}{e^{{2x}}-1}}=i\cot ix\!
* Υπερβολική τέμνουσα

\operatorname {sech}x={\frac {1}{\cosh x}}={\frac {2}{e^{x}+e^{{-x}}}}=\sec {ix}\!
* υπερβολική συντέμνουσα

\operatorname {cosech}x={\frac {1}{\sinh x}}={\frac {2}{e^{x}-e^{{-x}}}}=i\,\csc \,ix\!
Όπου {\displaystyle i} είναι η φανταστική μονάδα που ορίζεται ως {\displaystyle i^{2}=-1}.

Χρήσιμες σχέσεις
----------------

{\displaystyle \sinh(-x)=-\sinh x\,\!}
{\displaystyle \cosh(-x)=\cosh x\,\!}
Οπότε:

{\displaystyle \tanh(-x)=-\tanh x\,\!}
{\displaystyle \coth(-x)=-\coth x\,\!}
{\displaystyle \operatorname {sech} (-x)=\operatorname {sech} \,x\,\!}
{\displaystyle \operatorname {cosech} (-x)=-\operatorname {cosech} \,x\,\!}
Προκύπτει δηλαδή ότι οι cosh *x* και sech *x* είναι άρτιες συναρτήσεις, ενώ οι υπόλοιπες είναι περιττές συναρτήσεις.

{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\cosh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\sinh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
{\displaystyle \coth ^{-1}x=\tanh ^{-1}\left({\frac {1}{x}}\right)}
Τα υπερβολικά ημίτονα και συνημίτονα ικανοποιούν τη σχέση:

{\displaystyle \cosh ^{2}x-\sinh ^{2}x=1\,}
η οποία είναι αντίστοιχη της συμβατικής τριγωνομετρικής σχέσης:

{\displaystyle \sin ^{2}x+\cos ^{2}x=1\,}
Η υπερβολική εφαπτομένη είναι λύση του μη γραμμικού προβλήματος οριακών τιμών.:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}f''=f^{3}-f\qquad ;\qquad f(0)=f'(\infty )=0}

Αντίστροφες υπερβολικές εκφρασμένες με λογάριθμους
--------------------------------------------------

{\displaystyle \sinh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}+1}}\right)}
{\displaystyle \cosh ^{-1}x=\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right);x\geq 1}
{\displaystyle \tanh ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right);\left|x\right|<1}
{\displaystyle \operatorname {sech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1+{\sqrt {1-x^{2}}}}{x}}\right);0<x\leq 1}
{\displaystyle \operatorname {cosech} ^{-1}x=\ln \left({\frac {1}{x}}+{\frac {\sqrt {1+x^{2}}}{\left|x\right|}}\right)}
{\displaystyle \coth ^{-1}x={\frac {1}{2}}\ln \left({\frac {x+1}{x-1}}\right);\left|x\right|>1}

Παράγωγοι
---------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sinh(x)=\cosh(x)\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cosh(x)=\sinh(x)\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tanh(x)=1-\tanh ^{2}(x)={\hbox{sech}}^{2}(x)=1/\cosh ^{2}(x)\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\coth(x)=1-\coth ^{2}(x)=-{\hbox{csch}}^{2}(x)=-1/\sinh ^{2}(x)\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{csch(x)}}=-\coth(x)\ {\hbox{csch(x)}}\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ {\hbox{sech(x)}}=-\tanh(x)\ {\hbox{sech(x)}}\,}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\sinh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\cosh ^{-1}x\right)={\frac {1}{\sqrt {x^{2}-1}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\tanh ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {csch} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{\left|x\right|{\sqrt {1+x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\operatorname {sech} ^{-1}x\right)=-{\frac {1}{x{\sqrt {1-x^{2}}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left(\coth ^{-1}x\right)={\frac {1}{1-x^{2}}}}

Συνήθη ολοκληρώματα
-------------------

{\displaystyle \int \sinh ax\,dx={\frac {1}{a}}\cosh ax+C}
{\displaystyle \int \cosh ax\,dx={\frac {1}{a}}\sinh ax+C}
{\displaystyle \int \tanh ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\cosh ax)+C}
{\displaystyle \int \coth ax\,dx={\frac {1}{a}}\ln(\sinh ax)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}=\sinh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}=\cosh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tanh ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}<a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}-u^{2}}}={\frac {1}{a}}\coth ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C;u^{2}>a^{2}}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {sech} ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {a^{2}+u^{2}}}}}=-{\frac {1}{a}}\operatorname {csch} ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}
Στις πιο πάνω σχέσεις, *C* καλούμε την σταθερά ολοκλήρωσης.

Σχέσεις με σειρά Τέιλορ
-----------------------

Είναι δυνατόν να εκφράσουμε τις υπερβολικές συναρτήσεις με χρήση σειράς Taylor:

{\displaystyle \sinh x=x+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}+{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n+1}}{(2n+1)!}}}
{\displaystyle \cosh x=1+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{2n}}{(2n)!}}}
{\displaystyle \tanh x=x-{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {2x^{5}}{15}}-{\frac {17x^{7}}{315}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \coth x={\frac {1}{x}}+{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}+{\frac {2x^{5}}{945}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Σειρά Laurent)
{\displaystyle \operatorname {sech} \,x=1-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {5x^{4}}{24}}-{\frac {61x^{6}}{720}}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {E\_{2n}x^{2n}}{(2n)!}},\left|x\right|<{\frac {\pi }{2}}}
{\displaystyle \operatorname {csch} \,x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{6}}+{\frac {7x^{3}}{360}}-{\frac {31x^{5}}{15120}}+\cdots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(1-2^{2n-1})B\_{2n}x^{2n-1}}{(2n)!}},0<\left|x\right|<\pi } (Σειρά Laurent)
όπου

{\displaystyle B\_{n}\,} είναι ο νιοστός αριθμός Μπερνούλι
{\displaystyle E\_{n}\,} είναι ο νιοστός αριθμός Όιλερ

Αναφορές
--------

1. ↑  Tom M. Apostol. *Διαφορικός και Ολοκληρωτικός Λογισμός Τόμος Ι*. Ατλαντίς. ISBN 9600700672.
2. ↑  Eric W. Weisstein. «Hyperbolic Tangent». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 20 Οκτωβρίου 2008.

Δείτε επίσης
------------

* Τριγωνομετρικές συναρτήσεις
* Υπερβολή (γεωμετρία)