Τραπέζιο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } με βάσεις τις {\displaystyle \mathrm {AB} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }. Οι {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {B\Delta } } είναι διαγώνιοι του.Το ύψος u του τραπεζίου και η διάμεσος {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} }.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, **τραπέζιο** είναι το κυρτό τετράπλευρο που έχει δύο πλευρές παράλληλες. Οι παράλληλες αυτές πλευρές λέγονται **βάσεις** και η απόστασή τους **ύψος** του τραπεζίου. Τέλος το ευθύγραμμο τμήμα που ενώνει τα μέσα των μη παράλληλων πλευρών του λέγεται **διάμεσος** του τραπεζίου· πρόκειται για το τμήμα της μεσοπαράλληλης των βάσεων που αποκόπτουν οι μη παράλληλες πλευρές.

Ειδική περίπτωση τραπεζίου είναι το παραλληλόγραμμο, το ισοσκελές τραπέζιο και το ορθογώνιο τραπέζιο.

Ιδιότητες
---------

Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.
* Η διάμεσος ενός τραπεζίου είναι παράλληλη προς τις βάσεις του και ίση με το ημιάθροισμά τους.:103-107

*Απόδειξη*: Έστω {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } ένα τραπέζιο με βάσεις {\displaystyle \mathrm {AB} }, {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } η διαγώνιος. Από το μέσο {\displaystyle \mathrm {M} \_{1}} της {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } φέρνουμε ευθεία \epsilon  παράλληλη προς την {\displaystyle \mathrm {\Delta \Gamma } }. Στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }, η \epsilon  διέρχεται από το μέσο της πλευράς {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } και είναι παράλληλη στην πλευρά {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }, άρα περνάει από το μέσο της τρίτης πλευράς {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }, ας το πούμε {\displaystyle \mathrm {E} }, και έτσι τα {\displaystyle \mathrm {M\_{1}E} }, {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } /2} είναι ίσα και παράλληλα. Όμοια, στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } το {\displaystyle \mathrm {E} } είναι μέσο της {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } και η {\displaystyle \mathrm {EM\_{2}} } παράλληλη στην {\displaystyle \mathrm {AB} }, άρα το {\displaystyle \mathrm {M} \_{2}} θα είναι το μέσο της \mathrm{B\Gamma} και έτσι τα {\displaystyle \mathrm {M\_{2}E} }, {\displaystyle \mathrm {AB} /2} ειναι ίσα και παράλληλα. Συνεπώς η {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} } θα είναι η διάμεσος του τραπεζίου και θα ισχύει

{\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} =\mathrm {M\_{1}E} +\mathrm {EM\_{2}} \parallel ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {AB} }{2}}}.

Η διάμεσος τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων και τους αποκόπτει τμήμα ίσο με την ημιδιαφορά των βάσεων.
* Η διάμεσος ενός τραπεζίου διέρχεται από τα μέσα των διαγωνίων του και το τμήμα που αποκόπτεται από αυτές ισούται με την ημιδιαφορά των βάσεων.

*Απόδειξη*: Για τους ίδιους λόγους όπως στην προηγούμενη ιδιότητα, το {\displaystyle \mathrm {Z} } είναι το μέσον της {\displaystyle \mathrm {B\Delta } }. Επομένως,

{\displaystyle \mathrm {EZ} =\mathrm {M\_{1}E} -\mathrm {M\_{1}Z} ={\frac {\mathrm {\Gamma \Delta } -\mathrm {\mathrm {A} \mathrm {B} } }{2}}}.
Το {\displaystyle \mathrm {EZ} } είναι παράλληλο με τις βάσεις ως τμήμα της διαμέσου του τραπεζίου.{\displaystyle \square }

Εμβαδόν
-------

Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το γινόμενο του ημιαθροίσματος των βάσεών του επί το ύψος, δηλαδή

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot \mathrm {AH} .}
Καμιά φορά γράφεται ως

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {(B+\beta )\cdot u}{2}}}.
Η διαγώνιος του {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } χωρίζει το τραπέζιο σε δύο τρίγωνα με ίσο ύψος.
*Απόδειξη:* Θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})}.
Το εμβαδόν του τραπεζίου ισούται με το άθροισμα των εμβαδών των δύο τριγώνων {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta A} }:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {E} &=(\mathrm {AB\Gamma } )+(\mathrm {\Gamma \Delta A} )={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot \mathrm {\Gamma H\_{\Gamma }} +{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH\_{\mathrm {A} }} ={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {AB} \cdot u+{\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot u\\&={\frac {1}{2}}\cdot (\mathrm {AB} +\mathrm {\Gamma \Delta } )\cdot u,\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \mathrm {AH\_{\mathrm {A} }} =\mathrm {\Gamma H\_{\mathrm {\Gamma } }} =u}. {\displaystyle \square }

Από τον παρακάτω τύπο για το ύψος του τραπεζίου προκύπτει ο εξής τύπος για το εμβαδόν συναρτήσει των πλευρών:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot (\alpha +\gamma )\cdot {\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.}
Το εμβαδόν του τραπεζίου επίσης ισούται με το γινόμενο της μίας μη-παράλληλης πλευράς και της απόστασης του μέσου της από την άλλη.

Μετρικές σχέσεις
----------------

* Το ύψος ενός τραπεζίου με {\displaystyle \alpha <\gamma } δίνεται από τους τύπους

{\displaystyle {\begin{aligned}u&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {(-\alpha +\beta +\gamma +\delta )\cdot (\alpha +\beta -\gamma +\delta )\cdot (-\alpha -\beta +\gamma +\delta )\cdot (-\alpha +\beta +\gamma -\delta )}}\\&={\sqrt {\beta ^{2}-{\frac {1}{4}}\cdot \left((\gamma -\alpha )-{\frac {\beta ^{2}-\delta ^{2}}{\gamma -\alpha }}\right)}}.\end{aligned}}}

| Απόδειξη |
| --- |
| 
Θεωρούμε την παράλληλη {\displaystyle \mathrm {BE} } από το {\displaystyle \mathrm {B} } στο {\displaystyle \mathrm {AB} }. Επομένως, {\displaystyle \mathrm {BE} =\delta }. Από τον τύπο του Ήρωνα στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {EB\Gamma } } έχουμε ότι 
{\displaystyle u={\frac {2}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\tau \cdot (\tau -(\gamma -\alpha ))\cdot (\tau -\beta )\cdot (\tau -\delta )}},}
όπου {\displaystyle \tau ={\tfrac {1}{2}}\cdot (\beta +\delta +(\gamma -\alpha ))}, η ημιπερίμετρος του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {EB\Gamma } }. Αναδιατάσσοντας την παραπάνω παράσταση λαμβάνουμε τους ζητούμενους τύπους. |

* Οι διαγώνιες δίνονται από τους τύπους

{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \beta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \delta ^{2}}}\quad {\text{και}}\quad \mathrm {A\Gamma } ^{2}={\frac {1}{\gamma -\alpha }}\cdot {\sqrt {\alpha \delta ^{2}-\alpha \gamma ^{2}+\gamma \alpha ^{2}-\gamma \beta ^{2}}}.}

| Απόδειξη |
| --- |
| Από τον νόμο συνημιτόνων στα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {AB\Delta } } και {\displaystyle \mathrm {B\Gamma \Delta } }:
{\displaystyle \left.{\begin{aligned}\delta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-2\alpha \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \\\beta ^{2}&=\mathrm {B\Delta } ^{2}+\gamma ^{2}-2\gamma \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi \end{aligned}}\right\}\Rightarrow \left.{\begin{aligned}2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\alpha }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\delta ^{2})\\2\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \cos \phi &={\tfrac {1}{\gamma }}\cdot (\mathrm {B\Delta } ^{2}+\alpha ^{2}-\beta ^{2})\end{aligned}}\right\}.}
Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις και αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση. |

Ανισοτικές σχέσεις
------------------

Σε ένα τραπέζιο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } με παράλληλες τις {\displaystyle \mathrm {AB} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }, ισχύει ότι::78

{\displaystyle |\mathrm {B\Delta } -\mathrm {A\Gamma } |<\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } <\mathrm {B\Delta } +\mathrm {A\Gamma } .}
και 

{\displaystyle |\mathrm {AB} -\mathrm {\Gamma \Delta } |<\mathrm {B\Gamma } +\mathrm {A\Delta } .}

Ειδικές περιπτώσεις
-------------------

Ισοσκελές τραπέζιο με ΑΔ=ΒΓ.
### Ισοσκελές τραπέζιο

Κύριο λήμμα: Ισοσκελές τραπέζιο
Ένα τραπέζιο που έχει τις μη-παράλληλες πλευρές του ίσες λέγεται ισοσκελές. Ένα ισοσκελές τραπέζιο είναι εγγράψιμο σε κύκλο. Ειδική περίπτωση περίπτωση είναι το τραπέζιο με τρεις πλευρές ίσες.

Ορθογώνιο τραπέζιο με {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}={\hat {\mathrm {\Delta } }}=90^{o}}.
### Ορθογώνιο τραπέζιο

Κύριο λήμμα: Ορθογώνιο τραπέζιο
Ένα τραπέζιο που έχει τις δύο του γωνίες ορθές λέγεται ορθογώνιο. 

Ένα παραλληλόγραμμο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } }.
### Παραλληλόγραμμο

Κύριο λήμμα: Παραλληλόγραμμο
Ένα τραπέζιο που έχει όλες τις πλευρές του ανά δύο παράλληλες είναι ένα παραλληλόγραμμο. Από τις ιδιότητες του παραλληλογράμμου προκύπτει ότι είναι και ίσες. 

### Περιγεγραμμένο τραπέζιο

Κύριο λήμμα: Περιγεγραμμένο τραπέζιο
Ένα τραπέζιο λέγεται περιγεγραμμένο αν υπάρχει κύκλος στον οποίο και οι τέσσερις πλευρές του τραπεζίου εφάπτονται. Δεν είναι όλα τα τραπέζια περιγεγραμμένα.

Εφαρμογές
---------

### Τραπεζοειδής αποσύνθεση

Στην υπολογιστική γεωμετρία, η τραπεζοειδής αποσύνθεση χωρίζει έναν χώρο με n αντικείμενα (που αναπαριστούνται από πολύγωνα), σε τραπέζια παίρνοντας τις προβολές των σημείων στον άξονα {\displaystyle xx'}. Ενώνοντας τα γειτονικά τραπέζια, λαμβάνουμε έναν γράφο που μας επιτρέπει π.χ. να βρίσκουμε μονοπάτια μεταξύ δύο τοποθεσιών στον αρχικό χώρο.

Τραπεζοειδής αποσύνθεση για δύο αντικείμενα {\displaystyle \mathrm {A} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {A} \_{2}} μέσα σε ένα πολύγωνο.Ο γράφος που προκύπτει από την τραπεζοειδή αποσύνθεση.

Δείτε ακόμη
-----------

|  |  |
| --- | --- |
| wiktionary logowiktionary logo | Το *Βικιλεξικό* έχει σχετικό λήμμα:  **τραπέζιο**  |

* Ισοσκελές τραπέζιο
* Ορθογώνιο τραπέζιο
* Περιγεγραμμένο τραπέζιο
* Τετράπλευρο
* Παραλληλόγραμμο

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3  Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
2. 1 2 3  Ταβανλής, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
3. ↑  Αλεξίου, Κ. Τ. (1975). *Θεωρητική Γεωμετρία: Τεύχος Α'*. Αθήνα.
4. ↑  Seidel, Raimund (1 Ιουλίου 1991). «A simple and fast incremental randomized algorithm for computing trapezoidal decompositions and for triangulating polygons». *Computational Geometry* **1** (1): 51–64. doi:https://doi.org/10.1016/0925-7721(91)90012-4.
5. ↑  Choset, Howie. «Robotic motion planning: Cell decompositions» (PDF). CMU. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2023.