Το θεώρημα Πάππου λέει ότι το εμβαδόν των πράσινων παραλληλογράμμων ισούται με το εμβαδόν του μπλε.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα Πάππου για το εμβαδόν** είναι ένα θεώρημα που συσχετίζεται τα εμβαδά τριών παραλληλογράμμων στις πλευρές ενός τριγώνου. 

Πιο συγκεκριμένα, για δύο τυχόντα παραλληλόγραμμα {\displaystyle \mathrm {AB\Delta E} } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Theta H} } στις πλευρές ενός τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }, και το παραλληλόγραμμο {\displaystyle \mathrm {B\Gamma KI} } με πλευρά ίση και παράλληλη με την {\displaystyle \mathrm {AA'} }, όπου {\displaystyle \mathrm {A} '} το σημείο τομής των {\displaystyle \mathrm {\Delta E} } και {\displaystyle \mathrm {IK} }, ισχύει ότι 

{\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {B\Gamma KI} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Delta E} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {A\Gamma \Theta H} }.}
Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πάππο της Αλεξάνδρειας.

Απόδειξη
--------

Σχήμα απόδειξης
Θεωρούμε τις παράλληλες στην {\displaystyle \mathrm {AA'} } από το {\displaystyle \mathrm {B} } και το {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } και την τομή τους {\displaystyle \mathrm {B} '} με την {\displaystyle \mathrm {E\Delta } } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma '} } με την {\displaystyle \mathrm {\Theta H} } αντίστοιχα. Επίσης, θεωρούμε τις τομές {\displaystyle \mathrm {\Lambda } ,\mathrm {M} } της προέκτασης της {\displaystyle \mathrm {AA'} } με την {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {IK} }. Τέλος, {\displaystyle \mathrm {B'} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma '} } είναι οι τομές της προέκτασης της {\displaystyle \mathrm {IB} } με την {\displaystyle \mathrm {\Delta E} } και της {\displaystyle \mathrm {K\Gamma } } με την {\displaystyle \mathrm {H\Theta } }.

Τα τετράπλευρά {\displaystyle \mathrm {ABB'A'} } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Gamma 'A'} } έχουν δύο πλευρές παράλληλες, και επομένως είναι παραλληλόγραμμα, δηλαδή {\displaystyle \mathrm {AA'} =\mathrm {BB'} =\mathrm {\Gamma \Gamma '} }.

Τα παραλληλόγραμμα {\displaystyle \mathrm {AB\Delta E} } και {\displaystyle \mathrm {ABB'A'} } έχουν τη μία βάση κοινή και το ίδιο ύψος {\displaystyle u\_{1}}. Άρα έχουν το ίδιο εμβαδόν, δηλαδή {\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Delta E} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {ABB'A'} }}. Επίσης, τα παραλληλόγραμμα {\displaystyle \mathrm {ABB'A'} } και {\displaystyle \mathrm {B\Lambda MI} } έχουν το ίδιο εμβαδόν, καθώς έχουν μία ίση βάση ({\displaystyle \mathrm {BB'} =\mathrm {BI} }) και κοινό ύψος το {\displaystyle u\_{3}}. Επομένως, {\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Delta E} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {ABB'A'} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {B\Lambda MI} }}.

Αντίστοιχα, λαμβάνουμε ότι τα παραλληλόγραμμα {\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Theta H} }, {\displaystyle \mathrm {A\Gamma \Gamma 'A'} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Lambda MK} } έχουν το ίδιο εμβαδόν.

Τέλος, ολοκληρώνουμε με

{\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Delta E} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {A\Gamma \Theta H} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {B\Lambda MI} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {\Gamma \Lambda MK} }=\mathrm {E} \_{\mathrm {B\Gamma KI} }.}

Δείτε επίσης
------------

* Εμβαδόν
* Παραλληλόγραμμο

Παραπομπές
----------

1. ↑  Eves, Howard (1958). «Historically Speaking,— Pappus's extension of the Pythagorean Theorem». *The Mathematics Teacher* **51** (7): 544–546. doi:10.5951/MT.51.7.0544.
2. ↑  Pamfilos, Paris. «Θεώρημα του Πάππου». Τμήμα Μαθηματικών & Εφαρμοσμένων Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 28 Αυγούστου 2023.
3. ↑  Alsina, Claudi· Nelsen, Roger B. *Charming proofs: a journey into elegant mathematics*. Washington, DC: Mathematical Association of America. σελίδες 77–78. ISBN 9780883853481.