Στην θεωρία αριθμών, η **συνάρτηση Όιλερ** είναι η συνάρτηση {\displaystyle \phi :\mathbb {N} \_{>0}\to \mathbb {N} }, όπου για κάθε θετικό ακέραιο {\displaystyle n} το {\displaystyle \phi (n)} μας δίνει το πλήθος των φυσικών αριθμών μικρότερων του {\displaystyle n} οι οποίοι είναι σχετικά πρώτοι με τον {\displaystyle n} (δηλαδή έχουν με τον {\displaystyle \,n}, μέγιστο κοινό διαιρέτη τη μονάδα).:96:52-54:37-40:133-144

Για παράδειγμα ας θεωρήσουμε τον αριθμό 9. Το {\displaystyle \phi (9)} είναι ίσο με 6, αφού από τους φυσικούς αριθμούς από το 1 μέχρι το 9 ακριβώς έξι, οι 1, 2, 4, 5, 7 και 8, είναι πρώτοι ως προς το 9.

Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολύ χρήσιμη στην θεωρία αριθμών. Αρκεί και μόνο να παρατηρήσει κάποιος ότι το πλήθος των στοιχείων της πολλαπλασιαστικής ομάδας των ακεραίων modulo n είναι ακριβώς {\displaystyle \phi (n)}. Αυτό το γεγονός, μαζί με το θεώρημα του Λαγκράνζ, μας δίνουν την απόδειξη για το θεώρημα του Όιλερ, που αποτελεί γενίκευση του μικρού θεωρήματος του Φερμά.

Παραδείγματα
------------

* Για {\displaystyle n=6}, έχουμε ότι {\displaystyle \phi (6)=2}, {\displaystyle 1,5} είναι πρώτοι με το {\displaystyle 6}.
* Για {\displaystyle n=7}, έχουμε ότι {\displaystyle \phi (5)=6}, καθώς {\displaystyle 1,2,3,4,5,6} είναι πρώτοι με το {\displaystyle 7}.
* Για {\displaystyle n=10}, έχουμε ότι {\displaystyle \phi (10)=4}, καθώς {\displaystyle 1,3,7,9} είναι πρώτοι με το {\displaystyle 10}.
* Για {\displaystyle n=12}, έχουμε ότι {\displaystyle \phi (12)=4}, καθώς {\displaystyle 1,5,7,11} είναι πρώτοι με το {\displaystyle 12}.

Ιστορία, ορολογία, συμβολισμός
------------------------------

Ο Λέοναρντ Όιλερ εισήγαγε τη συνάρτηση το 1763, αλλά χωρίς να τη συμβολίσει. Το 1784 επέλεξε το ελληνικό γράμμα {\displaystyle \pi } για το συμβολισμό της: {\displaystyle \pi D} "*το πλήθος των αριθμών, μικρότερων του {\displaystyle D}, που δεν έχουν κοινό διαιρέτη με το D*"· ο ορισμός είναι ίδιος με αυτόν που χρησιμοποιούμε, εκτός από την περίπτωση {\displaystyle D=1}. To 1801 ο Γκάους χρησιμοποίησε τον συμβολισμό {\displaystyle \phi D} στη διατριβή του "*Disquisitiones Arithmeticae*". Ονομάστηκε "*η συνάρτηση {\displaystyle \phi } του Όιλερ*" ή "*η συνάρτηση {\displaystyle \phi }*" και γράφουμε {\displaystyle \phi (D)}. 

Το 1879 ο Τζ. Συλβέστερ δημιούργησε τον όρο *totient*, έτσι τη λέμε "η συνάρτηση totient του Όιλερ". Γενίκευση της συνάρτησης είναι η totient του Τζόρνταν. Η "συνάρτηση {\displaystyle \phi } του Όιλερ" να μη συγχέεται με τη "συνάρτηση του Όιλερ", που είναι μία σειρά q στη συνδυαστική και τη μιγαδική ανάλυση. 

Οι αριθμοί που είναι μικρότεροι του {\displaystyle n} και πρώτοι με αυτόν ονομάζονται totatives του {\displaystyle n}, π.χ. οι 1, 5 είναι *totatives* του 6. Υπάρχουν {\displaystyle \phi (6)=2} τέτοιοι. Οι υπόλοιποι, δηλ. 2, 3, 4, 6 είναι εκείνοι που έχουν τουλάχιστον έναν κοινό παράγοντα με τον {\displaystyle n}· υπάρχουν {\displaystyle n-\phi (n)=6-2=4} τέτοιοι και το πλήθος τους αυτό λέγεται *cototient*.

Ιδιότητες
---------

Η συνάρτηση {\displaystyle \phi } δεν ορίζεται στο {\displaystyle n=0} και επίσης θεωρούμε ότι {\displaystyle \phi (1)=1}.

### 1η ιδιότητα

Η συνάρτηση του Όιλερ είναι πολλαπλασιαστική, που σημαίνει ότι για κάθε δύο φυσικούς {\displaystyle m}, {\displaystyle n} με {\displaystyle \mathrm {gcd} (m,n)=1} ισχύει {\displaystyle \phi (mn)=\phi (m)\cdot \phi (n)}.

### 2η ιδιότητα

Είναι εύκολο να παρατηρήσει κάποιος ότι αν ο {\displaystyle n} είναι πρώτος αριθμός τότε όλοι οι φυσικοί που είναι μικρότεροι από αυτόν είναι πρώτοι ως προς τον {\displaystyle n}, οπότε {\displaystyle \phi (n)=n-1}.

Για παράδειγμα: {\displaystyle \phi (101)=101-1=100} επειδή το {\displaystyle 101} είναι πρώτος.

### 3η ιδιότητα

Αν {\displaystyle n=p^{k}} για πρώτο αριθμό {\displaystyle p} και {\displaystyle k\geq 1} τότε

{\displaystyle \phi (p^{k})=p^{k-1}\cdot (p-1)=p^{k}\left(1-{\frac {1}{p}}\right).}
Για παράδειγμα {\displaystyle \phi (81)=\phi (3^{4})=3^{4-1}\cdot (3-1)=3^{3}\cdot 2=54} ή {\displaystyle \phi (3^{4})=3^{4}\cdot (1-1/3)=81(3-1)/3=54}.

### Ο τύπος του Όιλερ

Με χρήση των παραπάνω και του Κινεζικού Θεωρήματος Υπολοίπων η τιμή της {\displaystyle \phi (n)} μπορεί να υπολογιστεί με χρήση του θεμελιώδους θεωρήματος της αριθμητικής:

Αν {\displaystyle n=p\_{1}^{k\_{1}}\cdot \ldots \cdot p\_{r}^{k\_{r}}}, όπου τα {\displaystyle p\_{j}} είναι διακεκριμένοι πρώτοι αριθμοί, τότε

{\displaystyle \phi (n)=(p\_{1}-1)p\_{1}^{k\_{1}-1}\cdot \ldots \cdot (p\_{r}-1)p\_{r}^{k\_{r}-1}}.
Για παράδειγμα {\displaystyle \phi (72)=\phi (3^{2}\cdot 2^{3})=(3-1)\cdot 3^{2-1}\cdot (2-1)\cdot 2^{3-1}=2\cdot 3^{1}\cdot 1\cdot 2^{2}=24}.

Ο τελευταίος τύπος μπορεί να γραφτεί και ως εξής: 

{\displaystyle \phi (n)=p\_{1}^{k\_{1}}\cdot \left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot p\_{r}^{k\_{r}}\cdot \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right)=n\cdot \left(1-{\frac {1}{p\_{1}}}\right)\cdot \ldots \cdot \left(1-{\frac {1}{p\_{r}}}\right)}.
Για παράδειγμα {\displaystyle \phi (36)=\phi (3^{2}2^{2})=36\left(1-{\frac {1}{3}}\right)\left(1-{\frac {1}{2}}\right)=36\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {1}{2}}=12}.

### 4η ιδιότητα

Πιο πάνω υπολογίσαμε το {\displaystyle \phi (9)}. Οι διαιρέτες του 9 είναι οι 1, 3, 9 με {\displaystyle \phi (1)=1}, {\displaystyle \phi (3)=2}, {\displaystyle \phi (9)=6}. Ο Γκάους παρατήρησε ότι {\displaystyle \phi (1)+\phi (3)+\phi (9)=1+2+6=9} και γενικότερα

{\displaystyle \sum \_{d\mid n}\phi (d)=n},
όπου {\displaystyle d} είναι όλοι οι (θετικοί) διαιρέτες του {\displaystyle n}.

Για παράδειγμα τα κλάσματα {\displaystyle 1/9,2/9,3/9,4/9,5/9,6/9,7/9,8/9,9/9} αν απλοποιηθούν δίνουν {\displaystyle 1/9,2/9,1/3,4/9,5/9,2/3,7/9,8/9,1/1}.

Οι παρονομαστές είναι όλοι οι διαιρέτες του 9: 9,3, 1. Πόσα έχουν παρονομαστή το 9; όσα ο αριθμητής τους δεν είχε κοινό διαιρέτη με το 9, δηλ. {\displaystyle \phi (9)}. Πόσα έχουν παρονομαστή το 3; {\displaystyle \phi (3)}. Πόσα το 1; {\displaystyle \phi (1)}. Και αυτά είναι όλα τα κλάσματα. Συνολικά είναι 9, δηλ. {\displaystyle \phi (9)+\phi (3)+\phi (1)=9}.

### Παρατήρηση

Μπορούμε να πάρουμε έναν άλλο τύπο για την {\displaystyle \phi (n)}, χρησιμοποιώντας την αντιστροφή του Μέμπιους στο άθροισμα 

{\displaystyle n=\sum \_{d\mid n}\phi (d)}.
Ο τύπος αυτός είναι ο εξής:

{\displaystyle \phi (n)=\sum \_{d\mid n}d\cdot \mu (n/d)},
όπου με {\displaystyle \mu } συμβολίζουμε την συνάρτηση του Μέμπιους στους φυσικούς αριθμούς.

Άλλοι τύποι για τη συνάρτηση φ
------------------------------

* {\displaystyle a\mid b\implies \phi (a)\mid \phi (b)}.
* {\displaystyle \phi (mn)\phi (d)=\phi (m)\phi (n)d}, όπου d = μκδ(m, n)

Ειδικές περιπτώσεις: 
* Για {\displaystyle m=2}, τότε έχουμε ότι

{\displaystyle \phi (2n)={\begin{cases}2\phi (n)&{\text{αν }}n{\text{ άρτιος}},\\(n)&{\text{αν }}n{\text{ περιττός}}.\end{cases}}}
* Για {\displaystyle m=n} ο τύπος γίνεται

{\displaystyle \phi (n^{2})=n\cdot \phi (n)}
και γενικότερα 
{\displaystyle \phi (n^{k})=n^{k-1}\cdot \phi (n)}.
* {\displaystyle \phi (\mathrm {gcd} (m,n))\cdot \phi (\mathrm {lcm} (m,n))=\phi (m)\cdot \phi (n)},

που μοιάζει με τον τύπο {\displaystyle \mathrm {gcd} (m,n)\cdot \mathrm {lcm} (m,n)=m\cdot n} (δείτε Ελάχιστο Κοινό Πολλαπλάσιο).
* Το {\displaystyle \phi (n)} είναι άρτιος για {\displaystyle n\geq 3}. Ακόμη, αν ο {\displaystyle n} έχει {\displaystyle r} διακριτούς περιττούς παράγοντες τότε {\displaystyle 2^{r}\mid \phi (n)}.

Μερικές τιμές της συνάρτησης
----------------------------

Οι πρώτες 143 τιμές (ακολουθία A000010 στην OEIS) εμφανίζονται στο γράφημα και στον πιο κάτω πίνακα:

  

Γράφημα των πρώτων 100 τιμών

*φ*(*n*) for 1 ≤ *n* ≤ 143| + | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | N/A | 1 | 1 | 2 | 2 | 4 | 2 | 6 | 4 | 6 | 4 | 10 |
| 12 | 4 | 12 | 6 | 8 | 8 | 16 | 6 | 18 | 8 | 12 | 10 | 22 |
| 24 | 8 | 20 | 12 | 18 | 12 | 28 | 8 | 30 | 16 | 20 | 16 | 24 |
| 36 | 12 | 36 | 18 | 24 | 16 | 40 | 12 | 42 | 20 | 24 | 22 | 46 |
| 48 | 16 | 42 | 20 | 32 | 24 | 52 | 18 | 40 | 24 | 36 | 28 | 58 |
| 60 | 16 | 60 | 30 | 36 | 32 | 48 | 20 | 66 | 32 | 44 | 24 | 70 |
| 72 | 24 | 72 | 36 | 40 | 36 | 60 | 24 | 78 | 32 | 54 | 40 | 82 |
| 84 | 24 | 64 | 42 | 56 | 40 | 88 | 24 | 72 | 44 | 60 | 46 | 72 |
| 96 | 32 | 96 | 42 | 60 | 40 | 100 | 32 | 102 | 48 | 48 | 52 | 106 |
| 108 | 36 | 108 | 40 | 72 | 48 | 112 | 36 | 88 | 56 | 72 | 58 | 96 |
| 120 | 32 | 110 | 60 | 80 | 60 | 100 | 36 | 126 | 64 | 84 | 48 | 130 |
| 132 | 40 | 108 | 66 | 72 | 64 | 136 | 44 | 138 | 48 | 92 | 70 | 120 |

Στο διάγραμμα η ευθεία y = n-1 είναι ένα άνω όριο και είναι ακριβώς αυτό στις περιπτώσεις όπου n = πρώτος. Δεν υπάρχει ευθεία που να είναι κάτω όριο.

Ασυμπτωτική τιμή
----------------

Για κάθε σύνθετο αριθμό {\displaystyle n>2} έχουμε ότι:943

{\displaystyle \phi (n)>{\frac {n}{e^{\gamma }\cdot \log \log n+{\frac {3}{\log \log n}}}}},
και 

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }{\frac {\phi (n)}{n/\log \log n}}=e^{-\gamma }},
όπου {\displaystyle \gamma } είναι η σταθερά Όιλερ. 

Επίσης, και για κάθε {\displaystyle n\geq 5} ισχύει η απλουστευμένη ανισότητα

{\displaystyle \phi (n)>{\frac {n}{6\cdot \log \log n}}}.

Εφαρμογές
---------

### Εφαρμογή στο θεώρημα του Όιλερ

Το θεώρημα του Όιλερ λέει ότι αν {\displaystyle a} και {\displaystyle n} είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, τότε

{\displaystyle a^{\phi (n)}\equiv 1\mod n}.
Το μικρό θεώρημα του Φερμά είναι η ειδική περίπτωση που το {\displaystyle n} είναι πρώτος και τότε 

{\displaystyle a^{n-1}\equiv 1\mod n},
καθώς {\displaystyle \phi (n)=n-1}.

### Εφαρμογή στην κρυπτογραφία RSA

Στην κρυπτογραφία RSA ξεκινάμε με δύο μεγάλους πρώτους {\displaystyle p}, {\displaystyle q}. Για χάριν ευκολίας ας υποθέσουμε ότι είναι {\displaystyle p=5}, {\displaystyle q=11}. Παίρνουμε το γινόμενό τους {\displaystyle n=pq=55} και το {\displaystyle \phi (n)=\phi (55)=40}. Διαλέγουμε έναν αριθμό {\displaystyle e<\phi (n)} έτσι ώστε {\displaystyle e} και {\displaystyle \phi (n)} είναι σχετικά πρώτοι μεταξύ τους, ας είναι το {\displaystyle e=7}. Υπολογίζουμε τον αντίστροφό του {\displaystyle \mathrm {mod} \ \phi (n))} με τη βοήθεια του αλγορίθμου του Ευκλείδη, που είναι το {\displaystyle d=23}. Πράγματι {\displaystyle 7\cdot 23=161=1{\pmod {40}}}. To *δημόσιο κλειδί* είναι το ζεύγος {\displaystyle (e,n)=(7,55)} και το *ιδιωτικό κλειδί* είναι το {\displaystyle (d,n)=(23,55)}. Αν ξέρει κάποιος άλλος το {\displaystyle (e,n)} δεν μπορεί (εύκολα) να βρει το {\displaystyle d} αν δεν ξέρει το {\displaystyle \phi (n)}, καθώς οι γνωστοί αλγόριθμοι στηρίζονται στην παραγοντοποίηση του {\displaystyle n}. Μέχρι στιγμής, δεν είναι γνωστός κάποιος αλγόριθμος που γρήγορα παραγοντποιεί αριθμούς (δηλαδή αλγόριθμος που τρέχει σε πολυωνυμικό χρόνο) και αυτό εγγυάται ότι δεν θα βρει κάποιος άλλος το *ιδιωτικό κλειδί*.

Τέλος για να κρυπτογραφήσουμε ένα μήνυμα (δηλαδή έναν αριθμό) {\displaystyle m}, τον υψώνουμε στην δύναμη {\displaystyle e}, δηλαδή στέλνουμε {\displaystyle m^{e}(\mathrm {mod} \ m)}. Ο παραλήπτης υψώνει αυτό που έλαβε στη δύναμη {\displaystyle d} και λαμβάνει το {\displaystyle (m^{e})^{d}\equiv m^{ed}\equiv m^{1}\equiv m{\pmod {1}}}, δηλαδή το αρχικό μήνυμα.

### Εφαρμογή στην κυκλοτομία

Στο τελευταίο κεφάλαιο του έργου του *Disquisitiones* ο Καρλ Φρίντριχ Γκάους αποδεικνύει ότι ένα κανονικό {\displaystyle n}-γωνο μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη αν το {\displaystyle \phi (n)} είναι δύναμη του {\displaystyle 2}. 

Αναλύουμε τον {\displaystyle n} σε γινόμενο πρώτων παραγόντων. Τότε:

1. Αν {\displaystyle n=2^{k}} τότε {\displaystyle \phi (n)=2^{k-1}} είναι δύναμη του {\displaystyle 2} και το πολύγωνο κατασκευάζεται: {\displaystyle 2,4,8,16,32,\ldots }

1. Αν {\displaystyle n=p^{k}} όπου {\displaystyle p} είναι πρώτος μεγαλύτερος του 2, τότε {\displaystyle \phi (n)=p^{k-1}\cdot (p-1)}, που για να είναι δύναμη του {\displaystyle 2} πρέπει {\displaystyle k=1} και {\displaystyle p-1} να είναι δύναμη του {\displaystyle 2}. Οι αριθμοί αυτοί {\displaystyle p} λέγονταιπρώτοι αριθμοί του Φερμά και είναι γνωστοί οι εξής: 3, 5, 17, 257, 65537. Δεν ξέρουμε αν υπάρχουν άλλοι.

1. Συνδυασμός των παραπάνω: {\displaystyle 2\cdot 3,2\cdot 5,2^{2}\cdot 3,3\cdot 5,2^{2}\cdot 5,2^{3}\cdot 3,2\cdot 3\cdot 5,2\cdot 17,2^{3}\cdot 5,\ldots }

Τελικά τα κατασκευάσιμα κανονικά πολύγωνα είναι 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, 17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, ... (ακολουθία A003401 στην OEIS).

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

### Ελληνικά άρθρα

* Π. Μαρουσάκης (1978). «Η Αριθμοθεωρητική Συνάρτηση φ(Α) του Euler». *Ευκλείδης Β΄* (4): 193-194. .

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Moser, Leo (Ιανουαρίου 1949). «Some Equations Involving Euler's Totient Function». *The American Mathematical Monthly* **56** (1): 22. doi:10.2307/2305815. .
* Shiu, Peter (2013). «97.02 Solutions to φ (m) = k! and σ (n) = k!». *The Mathematical Gazette* **97** (538): 110-115. .
* Freed-Brown, Julian; Holden, Matthew; Orrison, Michael E.; Vrable, Michael (Φεβρουαρίου 2012). «Cyclotomic Polynomials, Symmetric Polynomials, and a Generalization of Euler's Totient Function». *Mathematics Magazine* **85** (1): 44–50. doi:10.4169/math.mag.85.1.44. .
* Tou, Erik R. «Math Origins: The Totient Function». MAA. Ανακτήθηκε στις 8 Σεπτεμβρίου 2023.

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3 4  Βλάμος, Π.· Ραππος, Ε.· Ψαρρακος, Π. (2000). *Θεωρία αριθμών*. Αθήνα: Ελληνική Μαθηματική Εταιρεία. ISBN 960-7341-18-X.
2. 1 2 3 4 5 6  Hardy, Godfrey H.· Wright, Edward Maitland. *An introduction to the theory of numbers* (5η έκδοση). Oxford: Clarendon Press. ISBN 9780198531715.
3. ↑  Davenport, Harold. *The higher arithmetic: an introduction to the theory of numbers* (8η έκδοση). Cambridge: Cambridge university press. ISBN 9780521722360.
4. ↑  Graham, Ronald Lewis· Knuth, Donald Ervin· Patashnik, Oren. *Concrete mathematics: a foundation for computer science* (2. 31. print έκδοση). Upper Saddle River, NJ: Addison-Wesley. ISBN 9780201558029.
5. ↑  Cormen, Thomas H.· Leiserson, Charles Eric· Rivest, Ronald Linn· Stein, Clifford. *Introduction to algorithms* (Third έκδοση). Cambridge, Massachusetts London, England: MIT Press. ISBN 9780262533058.

Βιβλιογραφία
------------

* Abramowitz, M.; Stegun, I. A. (1964), Handbook of Mathematical Functions, New York: Dover Publications, ISBN 0-486-61272-4. See paragraph 24.3.2.
* Bach, Eric; Shallit, Jeffrey (1996), Algorithmic Number Theory (Vol I: Efficient Algorithms), MIT Press Series in the Foundations of Computing, Cambridge, MA: The MIT Press, ISBN 0-262-02405-5, Zbl 0873.11070
* Ford, Kevin (1999), "The number of solutions of φ(x) = m", Annals of Mathematics, 150 (1): 283–311, doi:10.2307/121103, ISSN 0003-486X, JSTOR 121103, MR 1715326, Zbl 0978.11053.
* Gauss, Carl Friedrich; Clarke, Arthur A. (translator into English) (1986), Disquisitiones Arithmeticae (Second, corrected edition), New York: Springer, ISBN 0-387-96254-9
* Gauss, Carl Friedrich; Maser, H. (translator into German) (1965), Untersuchungen uber hohere Arithmetik (Disquisitiones Arithmeticae & other papers on number theory) (Second edition), New York: Chelsea, ISBN 0-8284-0191-8
* Graham, Ronald; Knuth, Donald; Patashnik, Oren (1994), Concrete Mathematics: a foundation for computer science (2nd ed.), Reading, MA: Addison-Wesley, ISBN 0-201-55802-5, Zbl 0836.00001
* Guy, Richard K. (2004), Unsolved Problems in Number Theory, Problem Books in Mathematics (3rd ed.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-20860-7, Zbl 1058.11001
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979), An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853171-5
* Long, Calvin T. (1972), Elementary Introduction to Number Theory (2nd ed.), Lexington: D. C. Heath and Company, LCCN 77-171950
* Pettofrezzo, Anthony J.; Byrkit, Donald R. (1970), Elements of Number Theory, Englewood Cliffs: Prentice Hall, LCCN 77-81766
* Ribenboim, Paulo (1996), The New Book of Prime Number Records (3rd ed.), New York: Springer, ISBN 0-387-94457-5, Zbl 0856.11001
* Sandifer, Charles (2007), The early mathematics of Leonhard Euler, MAA, ISBN 0-88385-559-3
* Sándor, József; Mitrinović, Dragoslav S.; Crstici, Borislav, eds. (2006), Handbook of number theory I, Dordrecht: Springer-Verlag, pp. 9–36, ISBN 1-4020-4215-9, Zbl 1151.11300
* Sándor, Jozsef; Crstici, Borislav (2004). Handbook of number theory II. Dordrecht: Kluwer Academic. pp. 179–327. ISBN 1-4020-2546-7. Zbl 1079.11001.
* Schramm, Wolfgang (2008), "The Fourier transform of functions of the greatest common divisor", Electronic Journal of Combinatorial Number Theory, A50 (8(1)).
* Βλάμος Π. Ράππος Ε. «Η συνάρτηση φ του Euler Αρχειοθετήθηκε 2019-01-16 στο Wayback Machine.», σελ.96-103, από Ελληνική Ψηφιακή Μαθηματική Βιβλιοθήκη Αρχειοθετήθηκε 2019-07-26 στο Wayback Machine.. Αρχειοθετήθηκε 16/01/2019. Ανακτήθηκε 16/01/2019.