Η διχοτόμος αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τις πλευρές και βρίσκονται στο εσωτερικό της γωνίας.
Στην γεωμετρία, η **διχοτόμος ευθεία** ή απλά **διχοτόμος** μιας γωνίας στην ευκλείδεια γεωμετρία είναι μια ημιευθεία που ξεκινά από την κορυφή της γωνίας, βρίσκεται στο εσωτερικό της και την χωρίζει σε δύο ίσες γωνίες.:52:79-89

Η διχοτόμος ως γεωμετρικός τόπος
--------------------------------

**Θεώρημα:** Η διχοτόμος μιας γωνίας είναι ο γεωμετρικός τόπος των εσωτερικών σημείων που ισαπέχουν από τις πλευρές της γωνίας.

*Απόδειξη*: Έστω {\displaystyle \mathrm {O\delta } } η διχοτόμος της γωνίας {\displaystyle \mathrm {xOy} } και {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } σημείο της {\displaystyle \mathrm {O\delta } }. Φέρνουμε τις κάθετες {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} } στην {\displaystyle \mathrm {Ox} } και {\displaystyle \mathrm {\Sigma B} } στην {\displaystyle \mathrm {Oy} }. Θέλουμε να δείξουμε ότι οι αποστάσεις {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} } και {\displaystyle \mathrm {\Sigma B} } είναι ίσες. Τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {A\Sigma O} } και {\displaystyle \mathrm {B\Sigma O} } είναι ίσα ως ορθογώνια με την υποτείνουσα και μία οξεία γωνία ίσα. Συνεπώς {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B} }.

Αντίστροφα, έστω {\displaystyle \mathrm {xOy} } η γωνία και {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } εσωτερικό της σημείο τέτοιο ώστε να ισαπέχει από τις {\displaystyle \mathrm {Ox} } και {\displaystyle \mathrm {Oy} }, δηλαδή {\displaystyle \mathrm {\Sigma A} =\mathrm {\Sigma B} }. Τότε τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {A\Sigma O} } και {\displaystyle \mathrm {B\Sigma O} } είναι ίσα ως ορθογώνια με κοινή υποτείνουσα και ίση κάθετη πλευρά. Συνεπώς, {\displaystyle \angle \mathrm {AO\Sigma } =\angle \mathrm {BO\Sigma } }. {\displaystyle \square }

Εσωτερικές διχοτόμοι τριγώνου
-----------------------------

Εσωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } της κορυφής {\displaystyle \mathrm {A} } στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }. 
Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η εσωτερική διχοτόμος της γωνίας {\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } } είναι το ευθύγραμμο τμήμα {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } που διχοτομεί την {\displaystyle \angle \mathrm {BA\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {\Delta } } είναι το σημείο της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }. Αντίστοιχα ορίζονται οι διχοτόμοι των κορυφών {\displaystyle \mathrm {B} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma } }. Οι διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με {\displaystyle \delta \_{\rm {A}},\delta \_{\rm {B}},\delta \_{\rm {\Gamma }}} ή {\displaystyle \delta \_{\alpha },\delta \_{\beta },\delta \_{\gamma }} αντίστοιχα.

### Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου

Κύριο λήμμα: Θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου
Το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο **Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (MathML αν είναι δυνατό (πειραματικό): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathrm{AB\Gamma}}**
 η διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών, δηλαδή,

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}
### Έγκεντρο τριγώνου

Κύριο λήμμα: Έγκεντρο τριγώνου
Οι εσωτερικές διχοτόμοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό ονομάζεται **έγκεντρο** του τριγώνου και είναι το κέντρο του **εγγεγραμμένου κύκλου**.

Το έγκεντρο και ο εγγεγραμμένος κύκλος σε ένα οξυγώνιο, ένα ορθογώνιο και ένα αμβλυγώνιο τρίγωνο.
### Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εσωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:

{\displaystyle \delta \_{\rm {A}}^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}, {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {B}}^{2}=\gamma \alpha \cdot \left(1-{\frac {\beta ^{2}}{(\gamma +\alpha )^{2}}}\right)\quad } και {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {\Gamma }}^{2}=\alpha \beta \cdot \left(1-{\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha +\beta )^{2}}}\right)}.
Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των διχοτόμων είναι οι εξής::265-266:128

{\displaystyle \delta \_{\rm {A}}={\frac {2\beta \gamma }{\beta +\gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A}}{2}},} {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {B}}={\frac {2\gamma \alpha }{\gamma +\alpha }}\cdot \cos {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } και {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {\Gamma }}={\frac {2\alpha \beta }{\alpha +\beta }}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}},
και επίσης

{\displaystyle \delta \_{\rm {A}}={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \cos {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}}, {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {B}}={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \cos {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad } και {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {\Gamma }}={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \cos {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}}.
### Ανισοτική σχέση

**Θεώρημα:** Σε κάθε τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } } ισχύει ότι {\displaystyle \delta \_{\rm {\Gamma }}<\delta \_{\rm {B}}}, και αντίστροφα.

Εξωτερικές διχοτόμοι τριγώνου
-----------------------------

Η εξωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } της κορυφής {\displaystyle \mathrm {A} }
Ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } έχει τρεις εξωτερικές διχοτόμους μία για κάθε κορυφή. Το σχήμα στο πλάι δείχνει την εξωτερική διχοτόμο που αντιστοιχούν στην κορυφή {\displaystyle \mathrm {A} }. Οι εξωτερικές διχοτόμοι συνήθως συμβολίζονται με {\displaystyle \delta \_{\rm {A}}',\delta \_{\rm {B}}',\delta \_{\rm {\Gamma }}'} ή {\displaystyle \delta \_{\alpha }',\delta \_{\beta }',\delta \_{\gamma }'} αντίστοιχα. Η εξωτερική διχοτόμος {\displaystyle \delta \_{\rm {A}}'} είναι κάθετη στην εσωτερική διχοτόμο {\displaystyle \delta \_{\rm {A}}}.

### Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου

Κύριο λήμμα: Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου
Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η εξωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } ενός τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με {\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } } ικανοποιεί

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}
### Παράκεντρα τριγώνου

Κύριο λήμμα: Παρεγγεγραμμένοι κύκλοι τριγώνου
Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } οι εξωτερικές διχοτόμοι {\displaystyle \delta \_{\rm {A}}',\delta \_{\rm {B}}'} και η εσωτερική διχοτόμος {\displaystyle \delta \_{\rm {\Gamma }}} διέρχονται από το ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι κέντρο κύκλου που εφάπτεται εξωτερικά στις τρεις πλευρές του τριγώνου. Ονομάζεται το **παράκεντρο** {\displaystyle \mathrm {J} \_{\mathrm {\Gamma } }} του τριγώνου και ο κύκλος λέγεται **παρεγγεγραμμένος**. Αντίστοιχα, ορίζονται και τα παράκεντρα {\displaystyle {\rm {J\_{B}}}} και {\displaystyle {\rm {J\_{\Gamma }}}}.

Το παράκεντρο {\displaystyle \mathrm {J} \_{\Gamma }} του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }.
### Μήκος διχοτόμου

Από το θεώρημα Στιούαρτ προκύπτει ότι τα μήκη των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις:

{\displaystyle (\delta \_{\rm {A}}')^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right)}, {\displaystyle \quad (\delta \_{\rm {B}}')^{2}=\gamma \alpha \cdot \left({\frac {\beta ^{2}}{(\gamma -\alpha )^{2}}}-1\right)\quad } και {\displaystyle (\delta \_{\rm {\Gamma }}')^{2}=\alpha \beta \cdot \left({\frac {\gamma ^{2}}{(\alpha -\beta )^{2}}}-1\right)}.
Άλλες τριγωνομετρικές μορφές για το μήκος των εξωτερικών διχοτόμων δίνονται από τις σχέσεις

{\displaystyle \delta \_{\rm {A}}'={\frac {2\beta \gamma }{|\beta -\gamma |}}\cdot \sin {\frac {\rm {A}}{2}}}, {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {B}}'={\frac {2\gamma \alpha }{|\gamma -\alpha |}}\cdot \sin {\frac {\rm {B}}{2}}\quad } και {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {\Gamma }}'={\frac {2\alpha \beta }{|\alpha -\beta |}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma }}{2}}}.
και επίσης

{\displaystyle \delta \_{\rm {A}}'={\frac {\alpha \cdot \sin {\rm {B}}\cdot \sin {\rm {\Gamma }}}{\sin {\rm {A}}\cdot \sin {\frac {\rm {B-\Gamma }}{2}}}}}, {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {B}}'={\frac {\beta \cdot \sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\rm {A}}}{\sin {\rm {B}}\cdot \sin {\frac {\rm {\Gamma -A}}{2}}}}\quad } και {\displaystyle \quad \delta \_{\rm {\Gamma }}'={\frac {\gamma \cdot \sin {\rm {A}}\cdot \sin {\rm {B}}}{\sin {\rm {\Gamma }}\cdot \sin {\frac {\rm {A-B}}{2}}}}}.

Γεωμετρική κατασκευή
--------------------

Κατασκευή διχοτόμου με κανόνα και διαβήτη
Η διχοτόμος μίας γωνίας μπορεί να κατασκευαστεί με κανόνα και διαβήτη ως εξής:

1. Διαγράφουμε έναν κύκλο με κέντρο το σημείο τομής {\displaystyle \mathrm {O} } των δύο πλευρών της γωνίας.
2. Θεωρούμε {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {T} \_{2}} τα δύο σημεία τομής του κύκλου με τις δύο πλευρές της γωνίας.
3. Διαγράψουμε δύο κύκλους με κέντρα τα {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {T} \_{2}} και ακτίνα ίση με τον αρχικό. Οι δύο αυτοί κύκλοι τέμονται σε δύο σημεία εκ των οποίων το ένα είναι το {\displaystyle \mathrm {O} }.
4. Η ημιευθεία που ενώνει τα δύο αυτά σημεία είναι η διχοτόμος.

Αναλυτική γεωμετρία
-------------------

Έστω δύο ευθείες με εξισώσεις:

{\displaystyle A\_{1}x+B\_{1}y+C\_{1}=0,\quad {\text{ και }}\quad A\_{2}x+B\_{2}y+C\_{2}=0.}
Οι διχοτόμοι της οξείας και της αμβλείας γωνίας μεταξύ των δύο ευθειών έχουν εξισώσεις 

{\displaystyle {\frac {A\_{1}x+B\_{1}y+C\_{1}}{\sqrt {A\_{1}^{2}+B\_{1}^{2}}}}={\frac {A\_{2}x+B\_{2}y+C\_{2}}{\sqrt {A\_{2}^{2}+B\_{2}^{2}}}},}
και 

{\displaystyle {\frac {A\_{1}x+B\_{1}y+C\_{1}}{\sqrt {A\_{1}^{2}+B\_{1}^{2}}}}=-{\frac {A\_{2}x+B\_{2}y+C\_{2}}{\sqrt {A\_{2}^{2}+B\_{2}^{2}}}}.}
Ο τύπος αυτός προκύπτει από τον τύπο για την απόσταση σημείου από ευθεία.

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

### Ελληνικά άρθρα

* Ν. Μαρκάκης (1982). «Παραλληλία και καθετότητα στη διχοτόμο». *Ευκλείδης Β΄* (3): 160-164. .

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Constantia, Mary (1964). «Dr. Hopkins' proof of the angle bisector problem». *The Mathematics Teacher* **57** (8): 539-541. .
* Touval, Ayana (2011). «Teaching the Perpendicular Bisector: A Kinesthetic Approach». *The Mathematics Teacher* **105** (4): 269-273. doi:10.5951/mathteacher.105.4.0269. .
* Smith, T. Knape (Φεβρουαρίου 1969). «184. Angle bisector theorems». *The Mathematical Gazette* **53** (383): 58–59. doi:10.2307/3613462.
* Abu-Saymeh, Sadi; Al-Momani, Yaqeen; Hajja, Mowaffaq; Hayajneh, Mostafa (Νοεμβρίου 2021). «Long medians and long angle bisectors». *The Mathematical Gazette* **105** (564): 397–409. doi:10.1017/mag.2021.106.
* Mironescu, Petru; Panaitopol, Laurentiu (Ιανουαρίου 1994). «The Existence of a Triangle with Prescribed Angle Bisector Lengths». *The American Mathematical Monthly* **101** (1): 58–60. doi:10.1080/00029890.1994.11996906.

Δείτε επίσης
------------

* Γωνία
* Τρίγωνο
* Θεώρημα διχοτόμου
* Έγκεντρο τριγώνου
* Διάμεσος (γεωμετρία)
* Ύψος τριγώνου

Παραπομπές
----------

1. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.
2. 1 2 3 4 5  Ταβανλής, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
3. 1 2 3 4 5 6  Πανάκης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
4. 1 2 3 4 5 6  Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
5. 1 2  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Ευθύγραμμος τριγωνομετρία*. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
6. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. *Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας*. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία |
| --- |
|  |
| 
* Διχοτόμος γωνίας
* Κύκλος
* Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
* Μεσοπαράλληλη ευθεία
* Απολώνιος κύκλος
 |

 |