Στα μαθηματικά, οι **τύποι του Βιετά** είναι μαθηματικοί τύποι που εκφράζουν τους συντελεστές ενός πολυωνύμου ως άθροισμα γινομένων των ριζών του. Για παράδειγμα, για το τριώνυμο

{\displaystyle ax^{2}+bx+x=0},
ισχύει ότι, 

{\displaystyle r\_{1}+r\_{2}=-{\frac {b}{a}}\quad } και {\displaystyle \quad r\_{1}\cdot r\_{2}={\frac {c}{a}}}.
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον Φραγκίσκο Βιετά.

Γενικοί τύποι
-------------

Σε ένα πολυώνυμο βαθμού n, {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+\ldots a\_{1}x+a\_{0}} με ρίζες {\displaystyle r\_{1},\ldots ,r\_{n}} έχουμε ότι:65:152:16-17:52

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}&=-(r\_{1}+\ldots +r\_{n})\\{\frac {a\_{n-2}}{a\_{n}}}&=((r\_{1}r\_{2}+r\_{1}r\_{3}+\ldots +r\_{1}r\_{n})+(r\_{2}r\_{3}++\ldots +r\_{2}r\_{n})\ldots +r\_{n-1}r\_{n})\\&\vdots \\{\frac {a\_{0}}{a\_{n}}}&=(-1)^{n}\cdot r\_{1}\cdot \ldots \cdot r\_{n}.\end{aligned}}}
Πιο συμπυκνωμένα, μπορεί να γραφτεί ως

{\displaystyle {\frac {a\_{n-k}}{a\_{n}}}=(-1)^{k}\cdot \sum \_{1\leq i\_{1}\leq i\_{2}\leq \ldots \leq i\_{k}\leq n}\prod \_{j=1}^{k}r\_{i\_{j}},}
όπου το άθροισμα είναι σε ακολουθίες μεγέθους k.

Τριώνυμο
--------

Θεωρούμε το τριώνυμο {\displaystyle f(x)=ax^{2}+bx+c} και έστω r\_{1} και r\_{2} οι ρίζες του. Τότε, 

{\displaystyle f(x)=a\cdot (x-r\_{1})\cdot (x-r\_{2})a\cdot (x^{2}-(r\_{1}+r\_{2})\cdot x+r\_{1}r\_{2})},
και ισχύει ότι

{\displaystyle b=-a\cdot (r\_{1}+r\_{2})\quad } και {\displaystyle \quad c=a\cdot r\_{1}r\_{2}}.
### Παράδειγμα 1ο

Το τριώνυμο {\displaystyle f(x)=x^{2}+4x-5}, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως {\displaystyle f(x)=(x+5)\cdot (x-1)} επομένως οι ρίζες του είναι {\displaystyle r\_{1}=-5} και {\displaystyle r\_{2}=1}. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

{\displaystyle f(x)=x^{2}-(-5+1)x+(-5)\cdot (1)}.
### Παράδειγμα 2ο

Το τριώνυμο {\displaystyle f(x)=2x^{2}-14x+24}, μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως {\displaystyle f(x)=2\cdot (x-3)\cdot (x-4)} επομένως οι ρίζες του είναι {\displaystyle r\_{1}=3} και {\displaystyle r\_{2}=4}. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

{\displaystyle f(x)=2x^{2}-2\cdot (r\_{1}+r\_{2})x+2\cdot (r\_{1}\cdot r\_{2})}.

Τριτοβάθμιο πολυώνυμο
---------------------

Θεωρούμε το τριτοβάθμιο πολυώνυμο {\displaystyle f(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d} και έστω r\_{1}, r\_{2}, {\displaystyle r\_{3}} οι ρίζες του. Τότε

{\displaystyle f(x)=a\cdot (x-r\_{1})\cdot (x-r\_{2})\cdot (x-r\_{3})}.
Επεκτείνοντας το γινόμενο, 

{\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&=a\cdot (x-r\_{1})\cdot (x-r\_{2})\cdot (x-r\_{3})\\&=a\cdot (x^{2}-(r\_{1}+r\_{2})\cdot x+r\_{1}r\_{2})\cdot (x-r\_{3})\\&=a\cdot (x^{3}-(r\_{1}+r\_{2}+r\_{3})\cdot x^{2}+(r\_{1}r\_{2}+r\_{2}r\_{3}+r\_{1}r\_{3})\cdot x-r\_{1}r\_{2}r\_{3}).\end{aligned}}}
Από αυτό προκύπτει ότι

{\displaystyle {\frac {b}{a}}=-(r\_{1}+r\_{2}+r\_{3})}, {\displaystyle \quad {\frac {c}{a}}=r\_{1}r\_{2}+r\_{2}r\_{3}+r\_{1}r\_{3}} και {\displaystyle \quad {\frac {d}{a}}=r\_{1}r\_{2}r\_{3}}.
### Παράδειγμα

Το πολυώνυμο {\displaystyle f(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6} παραγοντοποιείται ως {\displaystyle f(x)=(x+1)\cdot (x-2)\cdot (x-3)} και επομένως οι ρίζες του είναι {\displaystyle r\_{1}=-1}, {\displaystyle r\_{2}=2} και {\displaystyle r\_{3}=3}. Για αυτές τις τιμές ισχύει ότι:

{\displaystyle f(x)=x^{3}-(-1+2+3)\cdot x^{2}+((-1)\cdot 2+2\cdot 3+(-1)\cdot 3)\cdot x-(-1)\cdot 2\cdot 3}.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Βουκούτης, Ναπολέων. *Πολυώνυμα*. Αθήνα: Gutenberg.
2. ↑  Καζαντζής, Θεόδωρος Ν. (1977). *Πολυώνυμα*. Θεσσαλονίκη.
3. ↑  Παπαγιάννης, Ορέστης Β. *Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα*. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
4. ↑  Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). *Πολυώνυμα: Μεθοδολογία*. Αθήνα.
5. ↑  Ρούτσης, Νίκος (1972). *Πολυώνυμα*. Αθήνα.