Στην θεωρία πιθανοτήτων και στην στατιστική, η **ανισότητα Σάμιουελσον** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Samuelson**) λέει ότι για κάθε {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}}, ισχύει ότι

{\displaystyle {\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}}\leq x\_{i}\leq {\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}},}
όπου {\textstyle {\overline {x}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}} είναι η δειγματική μέση τιμή και {\textstyle s={\sqrt {{\frac {1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\overline {x}})^{2}}}} είναι η δειγµατική διακύμανση.

Δηλαδή σε μία δειγματοληψία, κάθε ένα από τα δείγματα είναι στο διάστημα {\displaystyle {\big [}{\overline {x}}-s{\sqrt {n-1}},{\overline {x}}+s{\sqrt {n-1}}{\big ]}}.

Ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Πολ Σάμιουελσον.

Απόδειξη
--------

Η απόδειξη που θα δούμε βασίζεται στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς και ακολουθεί αυτή στην εργασία του Άρνολντ.

Χωρίς βλάβη της γενικότητας θα αποδείξουμε την ανισότητα για {\displaystyle i=n}. Θεωρούμε τα διανύσματα {\displaystyle \mathbf {a} =(x\_{1},\ldots ,x\_{n-1})} και {\displaystyle \mathbf {b} =(1,\ldots ,1)}. Από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, έχουμε ότι

{\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |\leq \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert .}
Το εσωτερικό τους γινόμενο δίνεται από

{\displaystyle |\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} |=\left|\sum \_{j=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{j})\right|=\left|(n-1){\overline {x}}-(n\cdot {\overline {x}}-x\_{n})\right|=\left|x\_{n}-{\overline {x}}\right|.}
Το δεξί μέλος της ανισότητας δίνεται από

{\displaystyle \lVert \mathbf {a} \rVert \cdot \lVert \mathbf {b} \rVert ={\sqrt {\sum \_{i=1}^{n-1}1^{2}}}\cdot {\sqrt {\sum \_{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}}}={\sqrt {(n-1)\cdot \sum \_{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}}}}
Συνδυάζοντας τα δύο μέλη, λαμβάνουμε

{\displaystyle \left|x\_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {(n-1)\cdot \sum \_{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}}}}.
Υψώνοντας στο τετράγωνο και τα δύο μέλη,

{\displaystyle \left|x\_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum \_{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}},
και προσθέτοντας τον όρο {\displaystyle (n-1)\cdot \sum \_{i=1}^{n-1}({\overline {x}}-x\_{n})^{2}} και στα δύο μέλη,

{\displaystyle n\cdot \left|x\_{n}-{\overline {x}}\right|^{2}\leq (n-1)\cdot \sum \_{i=1}^{n}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}}.
Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι

{\displaystyle \left|x\_{n}-{\overline {x}}\right|\leq {\sqrt {{\frac {n-1}{n}}\cdot \sum \_{i=1}^{n}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}}}}
Από τον ορισμό της δειγµατικής διακύµανσης έχουμε ότι

**Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (MathML αν είναι δυνατό (πειραματικό): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \left| x\_n - \overline{x} \right| \leq s\sqrt{n-1}}**
.

Σχέση με ανισότητα Τσεμπισιόφ
-----------------------------

Η ανισότητα Τσεμπισιόφ μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να δώσει ένα λιγότερο ισχυρό φράγμα για την απόκλιση {\displaystyle |{\overline {x}}-x\_{i}|}. Για κάθε τυχαία μεταβλητή X η ανισότητα Τσεμπισιόφ λέει ότι για κάθε {\displaystyle \alpha >0},

{\displaystyle \Pr \left(\left|X-E[X]\right|\leq \alpha \right)\leq {\frac {\mathrm {Var} (X)}{\alpha ^{2}}}}.
Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X για την οποία {\displaystyle \Pr(X=x\_{i})={\tfrac {1}{n}}} για κάθε {\displaystyle 1\leq i\leq n}. Τότε ισχύει ότι {\displaystyle E[X]={\overline {x}}} και {\displaystyle \sigma ^{2}=\operatorname {Var} (X)={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}({\overline {x}}-x\_{i})^{2}=s}. Για {\displaystyle \alpha =\sigma ^{2}} η ανισότητα Τσεμπισιόφ δίνει ότι

{\displaystyle \Pr \left(|X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}\right)>1-{\frac {1}{n}}.}
Επομένως, με πιθανότητα {\displaystyle 1-1/n} (δηλαδή πάντοτε αφού κάθε τιμή έχει πιθανότητα να επιλεγεί {\displaystyle 1/n}) ισχύει ότι,

{\displaystyle |X-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}},}
που είναι ισοδύναμο ότι για κάθε {\displaystyle 1\leq i\leq n},

{\displaystyle |x\_{i}-{\overline {x}}|\leq s{\sqrt {n}}.}
Σε σχέση με την ανισότητα Σάμιουελσον είναι λιγότερο ισχυρό αφού {\displaystyle {\sqrt {n}}\geq {\sqrt {n-1}}}, αλλά η ανισότητα μπορεί να δώσει φράγματα για κάποιο δοθέν ποσοστό των δειγμάτων.

Γενικεύσεις
-----------

Διάφορες γενικεύσεις της ανισότητας Σάμιουελσον έχουν μελετηθεί.

Δείτε επίσης
------------

* Ανισότητα Τσεμπισιόφ

Παραπομπές
----------

1. ↑  Samuelson, Paul A. (Δεκεμβρίου 1968). «How Deviant Can You Be?». *Journal of the American Statistical Association* **63** (324): 1522–1525. doi:10.2307/2285901. .
2. ↑  Arnold, Barry C. (Φεβρουαρίου 1974). «Schwarz, Regression, and Extreme Deviance». *The American Statistician* **28** (1): 22–23. doi:10.1080/00031305.1974.10479058. .
3. ↑  Jensen, Shane Tyler. *The Laguerre-Samuelson inequality with extensions and applications in statistics and matrix theory* (Διδακτορική διατριβή). McGill University.
4. ↑  Wolkowicz, Henry; Styan, George P.H. (Αυγούστου 1979). «Extensions of Samuelson's Inequality». *The American Statistician* **33** (3): 143–144. doi:10.1080/00031305.1979.10482683. .
5. ↑  Jensen, Shane T.; Styan, George P. H. (1999). «Some Comments and a Bibliography on the Laguerre-Samuelson Inequality with Extensions and Applications in Statistics and Matrix Theory». *Analytic and Geometric Inequalities and Applications*: 151–181. doi:10.1007/978-94-011-4577-0\_10.