Γραφική παράσταση υπερβολής (κόκκινες γραμμές)
Στη γεωμετρία με τον όρο **υπερβολή** χαρακτηρίζεται η καμπύλη που ορίζεται ως γεωμετρικός τόπος των σημείων επιπέδου, των οποίων η διαφορά των αποστάσεών τους από δύο καθορισμένα σημεία Ε και Ε΄, που λέγονται **εστίες** της υπερβολής, είναι σταθερά.

Ισοδύναμα ως υπερβολή ορίζεται ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων ο λόγος της απόστασης κάθε σημείου από σταθερό σημείο προς την απόστασή του από σταθερή ευθεία ισούται πάντα με τον ίδιο αριθμό ε ο οποίος είναι μεγαλύτερος από την μονάδα (ισοδύναμος ορισμός του Πάππου). 

Επίσης ισοδύναμα ως υπερβολή μπορεί να ορισθεί ως ο γεωμετρικός τόπος των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από δεδομένο κύκλο και σταθερό σημείο (εξωτερικό του κύκλου). 

Τέλος, υπερβολή ορίζεται ως η επίπεδη ανοικτή καμπύλη που προκύπτει από την τομή ενός ορθού κυκλικού κώνου από επίπεδο μη παράλληλο με οποιαδήποτε γενέτειρα του. 

* Η ευθεία που ενώνει τις εστίες της υπερβολής ονομάζεται **βασική γραμμή**, (Base line).
* Η δε κάθετος στο μέσον της βασικής γραμμής ονομάζεται **κεντρική γραμμή**, (Centre line). Καθίσταται φανερό ότι όλα τα σημεία της κεντρικής γραμμής ισαπέχουν από τις εστίες Ε και Ε΄. Συνεπώς η γραμμή αυτή μπορεί και να χαρακτηρίζεται ως γραμμή "μηδενικής διαφοράς αποστάσεων".

* Με τον καθορισμό δύο εστιών υπάρχουν άπειρες ομοέστιες υπερβολές.
* Τα σκέλη της κάθε υπερβολής προεκτεινόμενα πολύ πέρα της βασικής γραμμής πλησιάζουν προς την ευθεία και τελικά καθίστανται ευθείες. Το ευθύγραμμο τμήμα της υπερβολής ονομάζεται **ασύμπτωτος** αυτής, τούτο προεκτεινόμενο διέρχεται από το μέσον της βασικής γραμμής.

Εξίσωση υπερβολής σε καρτεσιανές συντεταγμένες και για συγκεκριμένο καρτεσιανό σύστημα αξόνων
---------------------------------------------------------------------------------------------

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{\alpha ^{2}}}-{\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}=1}
### Ισοσκελής υπερβολή

Γραφική παράσταση της ισοσκελούς υπερβολής {\displaystyle y={\frac {1}{x}}\,}.
Όταν a=b, οι ασύμπτωτες της υπερβολής σχηματίζουν γωνία 90°, και η καμπύλη ονομάζεται *ισοσκελής υπερβολή*. Όταν οι ασύπτωτες είναι παράλληλες με τους καρτεσιανούς άξονες η εξίσωση της καμπύλης μπορεί να γραφεί στη μορφή,

{\displaystyle (x-h)(y-k)=m\,}
ή ακόμα πιο απλά:
{\displaystyle x^{2}\ -\ y^{2}=a^{2}} ή {\displaystyle y^{2}\ -\ x^{2}=a^{2}} (αναλόγως τη μορφή της υπερβολής)
Η απλούστερη περίπτωση είναι όταν {\displaystyle y={\frac {m}{x}}\,},οπότε οι ποσότητες x, y είναι *αντιστρόφως ανάλογες*.

**Εκκεντρότητα:** Η εκκεντρότητα μίας ισοσκελούς υπερβολής είναι σταθερή και έχει τιμή {\displaystyle \epsilon ={\sqrt {2}}}.

Παρατηρήσεις
------------

* Η απόσταση μεταξύ των ομοεστίων υπερβολών αυξάνει με την αύξηση της απόστασής τους από τη βασική γραμμή. Επίσης η μεταξύ των απόσταση αυξάνει και όσο αυτές απομακρύνονται από της κεντρικής γραμμής.
* Η χρήση των υπερβολών στη ναυτιλία έχει ιδιαίτερη σπουδαιότητα, ειδικότερα στη λεγόμενη υπερβολική ναυτιλία που είναι και ο βασικός κλάδος της ραδιοναυτιλίας.
* Ποια είναι η καρτεσιανή εξίσωση της ίδιας παραβολής εάν αλλάξουμε την θέση του καρτεσιανού συστήματος;

Δείτε επίσης
------------

* Υπερβολικές συναρτήσεις

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Κωνικές τομές |
| --- |
|  |
| 
* Σημείο
* Κύκλος
* Έλλειψη
* Παραβολή
* Υπερβολή
 |

 |