Μια διαταραχή (παλμός) ταξιδεύει μέσα σε ένα νήμα με σταθερά άκρα. Η μορφή του κύματος μπορεί να υπολογιστεί με την κυματική εξίσωση.Σφαιρικά κύματα που προέρχονται από σημειακή πηγή.
Η **κυματική εξίσωση** είναι μια σημαντική γραμμική δεύτερης τάξης μερική διαφορική εξίσωση η οποία χρησιμοποιείται για να περιγραφούν κύματα – όπως παρουσιάζονται στη φυσική – όπως ηχητικά κύματα, κύματα φωτός και κύματα στο νερό. Προκύπτει σε τομείς όπως η ακουστική, ο ηλεκτρομαγνητισμός και η ρευστοδυναμική.

Ιστορικά, το πρόβλημα της παλλόμενης χορδής, όπως αυτή ενός μουσικού οργάνου, μελετήθηκε από τους Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ, Λέοναρντ Όιλερ, Ντάνιελ Μπερνούλι και Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ. Το 1746, ο ντ'Αλαμπέρ ανακάλυψε τη μονοδιάστατη κυματική εξίσωση, και μέσα σε δέκα χρόνια ο Όιλερ ανακάλυψε την τρισδιάστατη κυματική εξίσωση.

Εισαγωγή
--------

Η κυματική εξίσωση είναι μια υπερβολική μερική διαφορική εξίσωση. Αφορά συνήθως μια μεταβλητή χρόνου t, μία ή περισσότερες χωρικές μεταβλητές *x*1, *x*2, …, *xn*, και μία βαθμωτή συνάρτηση *u* = *u* (*x*1, *x*2, …, *xn*; *t*), τιμές της οποίας θα μπορούσαν να διαμορφώσουν την μετατόπιση ενός κύματος. Η κυματική εξίσωση για το *u* είναι

{\displaystyle {\partial ^{2}u \over \partial t^{2}}=c^{2}\nabla ^{2}u}
όπου ∇2 είναι ο (χωρικός) τελεστής Λαπλάς και c μια σταθερά.

Οι λύσεις αυτής της εξίσωσης, που είναι αρχικά μηδέν έξω από κάποια περιορισμένη περιοχή, διαδίδονται έξω από την περιοχή με σταθερή ταχύτητα σε όλες τις χωρικές κατευθύνσεις, όπως κάνουν τα φυσικά κύματα που προκαλούνται από μια τοπική διαταραχή. Η σταθερά *c* ταυτίζεται με την ταχύτητα διάδοσης του κύματος. Η εξίσωση αυτή είναι γραμμική, καθώς το άθροισμα οποιωνδήποτε δύο λύσεων αποτελεί και αυτό λύση: στη φυσική αυτή η ιδιότητα ονομάζεται αρχή της επαλληλίας.

Η εξίσωση μόνη της δεν καθορίζει μια λύση. Μια μοναδική λύση επιτυγχάνεται συνήθως με τον καθορισμό ενός προβλήματος με περαιτέρω συνθήκες, όπως οι αρχικές συνθήκες, που καθορίζουν το μέτρο και την ταχύτητα του κύματος. Μια άλλη σημαντική κατηγορία προβλημάτων καθορίζει τις συνοριακές συνθήκες, για τις οποίες οι λύσεις αντιπροσωπεύουν στάσιμα κύματα, ή αρμονικές, ανάλογες με τις αρμονικές των μουσικών οργάνων.

Η κυματική εξίσωση, καθώς και οι τροποποιήσεις της, βρίσκουν εφαρμογή, μεταξύ άλλων, στην ελαστική φυσική, την κβαντική μηχανική, τη φυσική πλάσματος και τη γενική σχετικότητα.

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου
----------------------------------------------------

Γάλλος επιστήμονας Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ (γεν. 1717) ανακάλυψε την εξίσωση κυμάτων σε μία διάσταση χώρου
Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση χώρου μπορεί να γραφτεί ως εξής:

{\displaystyle {\partial ^{2}y \over \partial t^{2}}=c^{2}{\partial ^{2}y \over \partial x^{2}}}.
Αυτή η εξίσωση περιγράφεται τυπικά να έχει μόνο μία διάσταση χώρου "x", επειδή η μόνη άλλη ανεξάρτητη μεταβλητή είναι ο χρόνος "t". Παρ'όλα αυτά, η εξαρτημένη μεταβλητή "y" ίσως αντιπροσωπεύει μία δεύτερη διάσταση χώρου, όπως στην περίπτωση της χορδής που βρίσκεται στο x-y επίπεδο.

### Παράγωγος της κυματικής εξίσωσης

Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση του χώρου μπορεί να παραχθεί σε μια ποικιλία από φυσικά περιβάλλοντα. Πιο γνωστά, μπορεί να παραχθεί στην περίπτωση της χορδής που πάλλεται σε ένα επίπεδο δύο διαστάσεων, με κάθε ένα από τα στοιχεία του να έλκεται σε αντίθετες κατευθύνσεις από τη δύναμη της έντασης.

Ένα άλλο φυσικό περιβάλλον για παραγωγή κυματικής εξίσωσης σε μια διάσταση χώρου χρησιμοποιεί ο Νόμος του Χουκ. Στην Θεωρία ελαστικότητας, Ο νόμος του Hooke είναι μια προσέγγιση συγκεκριμένων υλικών, δηλώνοντας ότι η ποσότητα από την οποία ένα υλικό σώμα παραμορφώνεται(η ένταση) γραμμικά σχετίζεται με τη δύναμη που προκαλεί την παραμόρφωση.

#### Από τον Νόμο του Χουκ

Η κυματική εξίσωση σε μία διάσταση χώρου μπορεί να παραχθεί από τον Νόμο του Χουκ με τον ακόλουθο τρόπο: Φανταστείτε μια σειρά από μικρά βάρη μάζας *m* που αλληλοσυνδέονται με χορδές χωρίς μάζα του μάκρους *h*. Οι χορδές έχουν σταθερά ελατηρίου *k*:

Εδώ η εξαρτημένη μεταβλητή *u(x)* μετράει την απόσταση από την ισορροπία της μάζας που τοποθετήθηκε στο *x*, γι'αυτό το *u(x)* ουσιαστικά μετράει το μέγεθος της διαταραχής (δηλαδή της έντασης) που ταξιδεύει σ'ένα ελαστικό υλικό. Οι δυνάμεις που ασκούνται στη μάζα *m* στην θέση *x*+*h* είναι:

{\displaystyle F\_{\mathit {Newton}}=m\cdot a(t)=m\cdot {{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)}}
{\displaystyle F\_{\mathit {Hooke}}=F\_{x+2h}-F\_{x}=k\left[{u(x+2h,t)-u(x+h,t)}\right]-k[u(x+h,t)-u(x,t)]}
Η εξίσωση της κίνησης για το βάρος στην τοποθεσία *x+h* δίνεται εξισώνοντας αυτές τις δύο δυνάμεις:

{\displaystyle m{\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)=k[u(x+2h,t)-u(x+h,t)-u(x+h,t)+u(x,t)]}
όπου η χρονική εξάρτησης από το *u*(*x*) έχει εξηγηθεί.

Αν η σειρά των βαρών αποτελείται από *N* βάρη σε χώρο πάνω από το μάκρος *L* = *Nh* της συνολικής μάζας *M* = *Nm*, και η συνολική σταθερά του ελατηρίου of the array *K* = *k*/*N* μπορούμε να γράψουμε την παραπάνω εξίσωση ως:

{\displaystyle {\partial ^{2} \over \partial t^{2}}u(x+h,t)={KL^{2} \over M}{u(x+2h,t)-2u(x+h,t)+u(x,t) \over h^{2}}}
Παίρνοντας το όριο *N* → ∞, *h* → 0 και υποθέτοντας ομαλότητα παίρνουμε:

{\displaystyle {\partial ^{2}u(x,t) \over \partial t^{2}}={KL^{2} \over M}{\partial ^{2}u(x,t) \over \partial x^{2}}}
(*KL2)*/*M* είναι το τετράγωνο του πολλαπλασιασμού της ταχύτητας σ'αυτήν την ειδική περίπτωση.

Μιας διάστασης κύμα που στέκεται ως επαλληλία δύο κυμάτων που ταξιδεύουν προς αντίθετες κατευθύνσεις
### Γενική λύση

#### Αλγεβρική προσέγγιση

Η μίας διάστασης κυματική εξίσωση είναι ασυνήθιστη για μια μερική διαφορική εξίσωση στην οποία μια σχετικά απλή γενική λύση μπορεί να βρεθεί. Ο ορισμός νέων μεταβλητών:

{\displaystyle \xi =x-ct\quad ;\quad \eta =x+ct}
αλλάζει την κυματική εξίσωση σε

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial \xi \partial \eta }}=0}
η οποία οδηγεί στην γενική λύση

{\displaystyle u(\xi ,\eta )=F(\xi )+G(\eta )}
ή ισοδύναμα:

{\displaystyle u(x,t)=F(x-ct)+G(x+ct)}
Με άλλα λόγια, λύσεις της μιας διάστασης κυματικής εξίσωσης είναι αθροίσματα μιας συνάρτησης *F* που διαδίδεται δεξιά και μιας συνάρτησης *G* που διαδίδεται αριστερά. "Διάδοση" σημαίνει ότι το σχήμα των εν λόγω δύο αυθαίρετων μεμονωμένων συναρτήσεων σε σχέση με τον *x* παραμένει σταθερό, παρ'όλα αυτά οι συναρτήσεις μετακινούνται αριστερά και δεξιά με το χρόνο με την ταχύτητα *c*. Αυτό προέρχεται από τον Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ.

Ένας άλλος τρόπος για να καταλήξουμε σε αυτό το αποτέλεσμα είναι να σημειωθεί ότι η κυματική εξίσωση μπορεί να "παραγοντοποιηθεί":

{\displaystyle \left[{\frac {\partial }{\partial t}}-c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]\left[{\frac {\partial }{\partial t}}+c{\frac {\partial }{\partial x}}\right]u=0}
και ως εκ τούτου:

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}-c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0\qquad {\mbox{and}}\qquad {\frac {\partial u}{\partial t}}+c{\frac {\partial u}{\partial x}}=0}
Αυτές οι δύο τελευταίες εξισώσεις είναι συναγωγικές εξισώσεις, μια που διαδίδεται αριστερά και άλλη δεξιά, και οι δύο με σταθερή ταχύτητα *c*.

Για ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, οι τυχαίες συναρτήσεις *F* και *G* μπορούν να προσδιοριστούν για να ικανοποιήσουν τις αρχικές συνθήκες:

{\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}
{\displaystyle u\_{t}(x,0)=g(x)\,}
Το αποτέλεσμα είναι ο τύπος του Ζαν λε Ροντ ντ' Αλαμπέρ:

{\displaystyle u(x,t)={\frac {f(x-ct)+f(x+ct)}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \_{x-ct}^{x+ct}g(s)ds}
Με την τυπική έννοια, αν *f*(*x*) ∈ *Ck* και *g*(*x*) ∈ *C**k*−1 τότε *u*(*t*, *x*) ∈ *Ck*. Ωστόσο, οι κυματομορφές *F* and *G* μπορούν επίσης να είναι γενικευμένες συναρτήσεις, όπως η δέλτα-συνάρτηση. Στην περίπτωση αυτή, η λύση μπορεί να ερμηνευθεί ως μια ώθηση που ταξιδεύει προς τα δεξιά ή αριστερά.

Η βασική εξίσωση κύματος είναι μια γραμμική διαφορική εξίσωση και έτσι θα τηρεί την αρχή της επαλληλίας. Αυτό σημαίνει ότι η καθαρή μετατόπιση που προκαλείται από δύο ή περισσότερα κύματα είναι το άθροισμα των μετατοπίσεων που θα έχουν προκληθεί από κάθε κύμα ξεχωριστά. Επιπλέον, η συμπεριφορά ενός κύματος μπορεί να αναλυθεί με διάλυση του κύματος σε κομμάτια, π.χ. η ανάλυση Φουριέ, που χωρίζει ένα κύμα σε ημιτονοειδείς συναρτήσεις.

#### Ιδιομορφές κύματος στο επίπεδο

Ένας άλλος τρόπος για την επίλυση για τις λύσεις για την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση είναι να αναλύσουμε πρώτα τις ιδιόμορφες συχνότητες. Η λεγόμενη ιδιομορφή είναι μια λύση που ταλαντώνεται στο χρόνο με μια καλά καθορισμένη γωνιακή συχνότητα {\displaystyle \omega } (Η γωνιακή συχνότητα (ω)είναι ένα μέγεθος που αναφέρεται σε όλα τα περιοδικά ϕαινόµενα και δίνεται απο την σχέση :
ω =2π/T= 2πf.
Η γωνιακή συχνότητα είναι ίση µε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας στην ομαλή 
κυκλική κίνηση και εκφράζει τον αριθμό των επαναλήψεων ενός ϕαινοµένου σε χρόνο
2πsec.
Μονάδα µέτρησης της συχνότητας είναι το 1rad/sec.)
, με την οποία το χρονικό μέρος της κυματοσυνάρτησης για τέτοια ιδιομορφή παίρνει μια συγκεκριμένη μορφή {\displaystyle e^{-i\omega t}}. Η υπόλοιπη κυματοσυνάρτηση είναι μόνο εξαρτημένη από την χωρική μεταβλητή {\displaystyle x}, ως εκ τούτου, να ανέρχεται σε διαχωρισμό των μεταβλητών. Τώρα γράφουμε την κυματική συνάρτηση ως

{\displaystyle u\_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}f(x)},

μπορούμε να πάρουμε μία συνήθη διαφορική εξίσωση για το χωρικό μέρος {\displaystyle f(x)}

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u\_{\omega }}{\partial t^{2}}}={\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}[e^{-i\omega t}f(x)]=-\omega ^{2}e^{-i\omega t}f(x)=c^{2}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}[e^{-i\omega t}f(x)]},

{\displaystyle \Rightarrow {\frac {d^{2}}{dx^{2}}}f(x)=-{\bigg (}{\frac {\omega }{c}}{\bigg )}^{2}f(x)}.

η οποία είναι ακριβώς μια εξίσωση ιδιοτιμών για {\displaystyle f(x)}, εξ ου και το όνομα ιδιοτιμή. Έχει τις γνωστές λύσεις επιπέδου κύματος.

{\displaystyle f(x)=Ae^{\pm ikx}},

με κυματαριθμό

{\displaystyle k=\omega /c}.

Η συνολική κυματοσυνάρτηση για αυτή την ιδιομορφή είναι τότε ο γραμμικός συνδυασμός

{\displaystyle u\_{\omega }(x,t)=e^{-i\omega t}[Ae^{-ikx}+Be^{ikx}]=Ae^{-i(kx+\omega t)}+Be^{i(kx-\omega t)}},

όπου οι σύνθετοι αριθμοί {\displaystyle A,B} εξαρτώνται γενικά από τις ενδεχόμενες αρχικές και συνοριακές συνθήκες του προβλήματος.

Οι ιδιομορφές είναι χρήσιμες στην κατασκευή της ολοκληρωμένης λύσης στην κυματική εξίσωση, επειδή καθεμία από αυτές εξελίσσεται στο χρόνο ασήμαντα με τον συντελεστή φάσης {\displaystyle e^{-i\omega t}}. Έτσι, με αυτό, η πλήρης λύση μπορεί πάντα να αναλυθεί σε ιδιόμορφη επέκταση.

{\displaystyle u(x,t)=\int \_{-\infty }^{\infty }s(\omega )u\_{\omega }(x,t)d\omega }

ή σε όρους των επίπεδων κυμάτων,

{\displaystyle {\begin{aligned}u(x,t)&=\int \_{-\infty }^{\infty }s\_{+}(\omega )e^{-i(kx+\omega t)}d\omega +\int \_{-\infty }^{\infty }s\_{-}(\omega )e^{i(kx-\omega t)}d\omega \\&=\int \_{-\infty }^{\infty }s\_{+}(\omega )e^{-ik(x+ct)}d\omega +\int \_{-\infty }^{\infty }s\_{-}(\omega )e^{ik(x-ct)}d\omega \\&=F(x-ct)+G(x+ct),\end{aligned}}}

η οποία είναι ακριβώς στην ίδια μορφή όπως στην αλγεβρική προσέγγιση. Συναρτήσεις {\displaystyle s\_{\pm }(\omega )} είναι γνωστές ως Ανάλυση Φουριέ και καθορίζονται από αρχικές και οριακές συνθήκες. Αυτή είναι μία λεγόμενη μέθοδος πεδίο συχνοτήτων, σαν εναλλακτική στους απευθείας πολλαπλασιασμούς στο πεδίο χρόνου όπως η FDTD μέθοδος, του συνόλου επάλληλων κυμάτων {\displaystyle u(x,t)}.

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε τριών διαστάσεων χώρο
---------------------------------------------------

Ελβετός Μαθηματικός και Φυσικός Λέοναρντ Όιλερ (γεν. 1707) ανακάλυψε την εξίσωση κύματος σε τρισδιάστατο χώρο.Η λύση σε πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση σε χώρο τριών διαστάσεων μπορεί να επιτευχθεί από την λύση για ένα σφαιρικό κύμα. Αυτό το αποτέλεσμα μπορεί μετά να χρησιμοποιηθεί για να πετύχουμε τη λύση στο χώρο δύο διαστάσεων.

### Σφαιρικά κύματα

Η κυματική εξίσωση δεν μένει αναλλοίωτη στην περιστροφή των χωρικών συντεταγμένων, γιατί ο τελεστής Λαπλάς δεν μένει αμετάβλητος στις περιστροφές. Ωστόσο, παρόμοια με την εξίσωση Σρέντινγκερ σε τρεις διαστάσεις, κάποιος μπορεί να λύσει για τη λύση με μηδέν τροχιακή στροφορμή , στην οποία περίπτωση ο τελεστής Λαπλάς μειώνει σε μια περιστροφικά σταθερή μορφή

{\displaystyle \nabla ^{2}\rightarrow {\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigg (}r^{2}{\frac {\partial }{\partial r}}{\bigg )}={\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}.\,}
Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς να περιμένετε να βρείτε τις λύσεις που εξαρτώνται μόνο από την απόσταση της ακτίνας {\displaystyle r}, αλλά όχι τις μεταβλητές γωνίας, από ένα δοσμένο σημείο. Οι λύσεις αυτές τότε ικανοποιούν

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial t^{2}}}-c^{2}\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)=0.\,}
Η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφεί ως

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial t^{2}}}-c^{2}{\frac {\partial ^{2}(ru)}{\partial r^{2}}}=0;\,}
όπου η ποσότητα *r u(r,t)* ικανοποιεί την μονοδιάστατη κυματική εξίσωση. Ως εκ τούτου, υπάρχουν λύσεις, με τη μορφή

{\displaystyle u(r,t)={\frac {1}{r}}F(r-ct)+{\frac {1}{r}}G(r+ct),\,}
όπου *F* και *G* είναι γενικές λύσεις στην μιας διάστασης κυματική εξίσωση, και μπορεί να ερμηνευθεί αντίστοιχα ως ένα εξερχόμενο ή εισερχόμενο σφαιρικό κύμα. Τέτοια κύματα παράγονται από μία σημειακή πηγή, και καθιστούν πιθανά τα αιχμηρά σήματα των οποίων ο τύπος αλλάζει μόνο από την μείωση του πλάτους καθώς το *r* αυξάνεται (δείτε μια εικόνα από ένα σφαιρικό κύμα στην πάνω δεξιά). Τέτοια κύματα υπάρχουν μόνο σε περιπτώσεις χώρου με μονό αριθμό διαστάσεων.

Για φυσικά παραδείγματα μη-σφαιρικών κυμάτων σε τριών διαστάσεων κυματική εξίσωση που διαθέτουν γωνιακή εξάρτηση, βλέπε κείμενα με ακτινοβολία διπόλου.

#### Μονοχρωματικό σφαιρικό κύμα

Τομή από σφαιρικά μέτωπα κύματος, με μήκος κύματος των 10 μονάδων, που διαδίδονται από σημειακή πηγή.
Αν και η λέξη "μονοχρωματικός" δεν είναι τελείως ακριβής, δεδομένου ότι αναφέρεται στο φως ή στην ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία με καλά καθορισμένη συχνότητα, η ουσία είναι να ανακαλύψει την ιδιομορφή της εξίσωσης κύματος σε τρεις διαστάσεις.Μετά την παραγωγή στην προηγούμενη ενότητα στο Επίπεδο του κύματος ιδιομορφής, αν περιορίσουμε και πάλι τις λύσεις μας σε σφαιρικά κύματα που ταλαντώνονται σε χρόνο με σαφώς καθορισμένη γωνιακή συχνότητα {\displaystyle \omega },στη συνέχεια η μετασχηματισμένη συνάρτηση {\displaystyle ru(r,t)} απλά έχει λύσεις επιπέδου κύματος,

{\displaystyle ru(r,t)=Ae^{i(\omega t\pm kr)}},

ή

{\displaystyle u(r,t)={\frac {A}{r}}e^{i\left(\omega t\pm kr\right)}}.

Από αυτό μπορούμε να παρατηρήσουμε ότι η ένταση κορυφής του σφαιρικού κύματος ταλάντωσης, που χαρακτηρίζεται ως το τετράγωνο του πλάτους κύματος

{\displaystyle I=|u(r,t)|^{2}={\frac {|A|^{2}}{r^{2}}}}.

πέφτει με ρυθμό ανάλογο του {\displaystyle 1/r^{2}}, ένα παράδειγμα του νόμου του αντιστρόφου τετραγώνου.

### Λύση ενός γενικότερου προβλήματος αρχικών τιμών

Η κυματική εξίσωση είναι γραμμική *u* και έχει μείνει απαράλλαχτη από μεταφράσεις στο χώρο και το χρόνο. Ως εκ τούτου, μπορούμε να δημιουργήσουμε μια μεγάλη ποικιλία λύσεων με τη μετάφραση και την άθροιση σφαιρικών κυμάτων.Έστω φ (ξ, η, ζ) μια αυθαίρετη συνάρτηση τριών ανεξάρτητων μεταβλητών, και αφήστε το σφαιρικό σχήμα κύματος F να είναι μια δέλτα-λειτουργία: δηλαδή, ας είναι F είναι μια αδύναμη όριο των συνεχών συναρτήσεων των οποίων αναπόσπαστο είναι η ενότητα, αλλά των οποίων η στήριξης (η περιοχή όπου η συνάρτηση είναι μη μηδενική) συρρικνώνεται προς την προέλευση. Ας μια οικογένεια σφαιρικών κυμάτων με κέντρο στο (ξ, η, ζ), και αφήστε το r είναι η ακτινική απόσταση από εκείνο το σημείο. Έτσι

{\displaystyle r^{2}=(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}+(z-\zeta )^{2}.\,}
Αν u είναι μια υπέρθεση τέτοιων κυμάτων με στάθμιση συνάρτηση φ, στη συνέχεια,

{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {1}{4\pi c}}\iiint \varphi (\xi ,\eta ,\zeta ){\frac {\delta (r-ct)}{r}}d\xi \,d\eta \,d\zeta ;\,}
η 4πc παρονομαστής είναι μια ευκολία.

Από τον ορισμό της δέλτα-λειτουργία, το u μπορεί επίσης να γραφτεί ως

{\displaystyle u(t,x,y,z)={\frac {t}{4\pi }}\iint \_{S}\varphi (x+ct\alpha ,y+ct\beta ,z+ct\gamma )d\omega ,\,}
όπου α, β, και γ είναι συντεταγμένες στη μονάδα σφαίρα S, και ω είναι το στοιχείο περιοχής στο S. Αυτό το αποτέλεσμα έχει την ερμηνεία ότι το u (t, x) είναι τ φορές η μέση τιμή της φ σε μια σφαίρα ακτίνας ct επικεντρώνεται στο x:

{\displaystyle u(t,x,y,z)=tM\_{ct}[\phi ].\,}
Επομένως, η

{\displaystyle u(0,x,y,z)=0,\quad u\_{t}(0,x,y,z)=\phi (x,y,z).\,}
Η μέση τιμή είναι μία άρτια συνάρτηση του t, και κατά συνέπεια εάν

{\displaystyle v(t,x,y,z)={\frac {\partial }{\partial t}}\left(tM\_{ct}[\psi ]\right),\,}
τότε

{\displaystyle v(0,x,y,z)=\psi (x,y,z),\quad v\_{t}(0,x,y,z)=0.\,}
Αυτές οι φόρμουλες προσφέρουν τη λύση για το πρόβλημα αρχικών τιμών για την κυματική εξίσωση. Δείχνουν ότι η λύση σε ένα δεδομένο σημείο Ρ, δεδομένου (t, x, y, z) εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα σχετικά με την σφαίρα ακτίνας ct που τέμνεται από το φως κώνου που τραβιέται πίσω από Ρ. Αυτό δεν εξαρτάται από τα δεδομένα στο εσωτερικό αυτής της σφαίρας. Έτσι το εσωτερικό της σφαίρας είναι ένα κενό για τη λύση. Αυτό το φαινόμενο ονομάζεται αρχή Χάιγκαρ. Είναι αλήθεια για μονούς αριθμούς της διάστασης χώρου, όπου για μία διάσταση η ενσωμάτωση γίνεται πάνω από το όριο του διαστήματος σε σχέση με το μέτρο Dirac. Δεν είναι ικανοποιημένοι ακόμα και χωρικές διαστάσεις. Το φαινόμενο των κενών έχει ερευνηθεί εκτενώς στην Ατίγια, Μπότ και Γκάρντινγκ (1970, 1973).

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση σε δύο διαστάσεις
--------------------------------------------

Σε δύο διαστάσεις, η κυματική εξίσωση είναι

{\displaystyle u\_{tt}=c^{2}\left(u\_{xx}+u\_{yy}\right).\,}
Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε την τρισδιάστατη θεωρία για να λυθεί αυτό το πρόβλημα, αν θεωρήσουμε το u ως συνάρτηση σε τρεις διαστάσεις που είναι ανεξάρτητη από την τρίτη διάσταση. Aν

{\displaystyle u(0,x,y)=0,\quad u\_{t}(0,x,y)=\phi (x,y),\,}
τότε ο τύπος για την τρισδιάστατη θεωρία καθίσταται

{\displaystyle u(t,x,y)=tM\_{ct}[\phi ]={\frac {t}{4\pi }}\iint \_{S}\phi (x+ct\alpha ,\,y+ct\beta )d\omega ,\,}
όπου α και β είναι οι πρώτες δύο συντεταγμένες στη σφαίρα μονάδα και dΩ είναι το στοιχείο περιοχή της σφαίρας. Αυτό το ολοκλήρωμα μπορεί να ξαναγραφτεί ως αναπόσπαστο πάνω από το δίσκο D με το κέντρο (x, y) και την ακτίνα CT:

{\displaystyle u(t,x,y)={\frac {1}{2\pi c}}\iint \_{D}{\frac {\phi (x+\xi ,y+\eta )}{\sqrt {(ct)^{2}-\xi ^{2}-\eta ^{2}}}}d\xi \,d\eta .\,}
Είναι προφανές ότι η λύση στο (t, x, y) δεν εξαρτάται μόνο από τα δεδομένα επί του κώνου φωτός, όπου

{\displaystyle (x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}=c^{2}t^{2},\,}
αλλά επίσης και σε δεδομένα που είναι εσωτερικό του εν λόγω κώνου.

Κλιμακωτή κυματική εξίσωση στη γενική διάσταση και τύποι του Κιρκόφ
-------------------------------------------------------------------

Θέλουμε να βρούμε λύσεις για να utt-Δυ =

### Μονοδιάστατες

Υποθέσουμε n ≥ 3 είναι ένας περιττός ακέραιος και ζ ∈ Cm 1 (Rn), ω ∈ Cm (Rn) για m = (n +1) / 2. Έστω

{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma \_{n}}}\left[\partial \_{t}\left({\frac {1}{t}}\partial \_{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}\int \_{\partial B\_{t}(x)}^{\text{average}}gdS\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial \_{t}\right)^{\frac {n-3}{2}}\left(t^{n-2}\int \_{\partial B\_{t}(x)}^{\text{average}}hdS\right)\right]}
τότε

*u* ∈ *C*2(**R***n* × [0, ∞))
*utt*−Δ*u* = 0 in **R***n* × (0, ∞)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim \_{(x,t)\to (x^{0},0)}u\_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}
### Άρτιες διαστάσεις

Ας υποθέσουμε ότι n ≥ 2 είναι ένας ακέραιος και ακόμη ζ ∈ Cm 1 (Rn), h ∈ Cm (Rn), για m = (n 2) / 2. Έστω

{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{\gamma \_{n}}}\left[\partial \_{t}\left({\frac {1}{t}}\partial \_{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}\int \_{B\_{t}(x)}^{\text{average}}{\frac {g}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)+\left({\frac {1}{t}}\partial \_{t}\right)^{\frac {n-2}{2}}\left(t^{n}\int \_{B\_{t}(x)}^{\text{average}}{\frac {h}{(t^{2}-|y-x|^{2})^{\frac {1}{2}}}}dy\right)\right]}
τότε

*u* ∈ *C*2(**R***n* × [0, ∞))
*utt*−Δ*u* = 0 in **R***n* × (0, ∞)
{\displaystyle {\begin{aligned}\lim \_{(x,t)\to (x^{0},0)}u(x,t)&=g(x^{0})\\\lim \_{(x,t)\to (x^{0},0)}u\_{t}(x,t)&=h(x^{0})\end{aligned}}}

Προβλήματα με τα όρια
---------------------

### Μια διαστημική διάσταση

#### Η σύνθεση Στέρμ-Λιουβίλ

Μία εύκαμπτη χορδή που τεντώνεται μεταξύ δύο σημείων *x* = 0 και *x* = *L* ικανοποιεί την κυματική εξίσωση για *t* > 0 και 0 < *x* < *L*. Σχετικά με τα οριακά σημεία, το *u* μπορεί να ικανοποιήσει μια ποικιλία των συνοριακών συνθηκών. Μια γενική μορφή που είναι κατάλληλη για εφαρμογές είναι

{\displaystyle -u\_{x}(t,0)+au(t,0)=0,\,}
{\displaystyle u\_{x}(t,L)+bu(t,L)=0,\,}
όπου *a* και *b* είναι μη αρνητικά.Η περίπτωση όπου το u απαιτείται να εξαφανίζεται σε ένα τελικό σημείο είναι το όριο αυτής της κατάστασης, όταν το αντίστοιχο *a* ή *b* τείνει στο άπειρο. Η μέθοδος χωριζομένων μεταβλητών συνίσταται στο να ψάχνει για λύσεις του προβλήματος αυτού στην ειδική μορφή

{\displaystyle u(t,x)=T(t)v(x).\,}
Μια συνέπεια είναι ότι

{\displaystyle {\frac {T''}{c^{2}T}}={\frac {v''}{v}}=-\lambda .\,}
Η ιδιοτιμή λ πρέπει να προσδιορίζεται έτσι ώστε να υπάρχει μια μη τετριμμένη λύση του προβλήματος αρχικών τιμών

{\displaystyle v''+\lambda v=0,\,}
{\displaystyle -v'(0)+av(0)=0,\quad v'(L)+bv(L)=0.\,}
Αυτή είναι μια ειδική περίπτωση του γενικού προβλήματος της θεωρίας Στέρμ-Λιουβίλ. Αν a και b είναι θετικά, οι ιδιοτιμές είναι όλες θετικές, και οι λύσεις είναι τριγωνομετρικές συναρτήσεις. Μια λύση που ικανοποιεί τετραγωνικά ολοκληρώσιμες αρχικές συνθήκες για τα u και ut μπορεί να ληφθεί από την επέκταση αυτών των συναρτήσεων στην κατάλληλη τριγωνομετρική σειρά.

#### Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους

Προσεγγίζει την συνεχή σειρά με έναν πεπερασμένο αριθμό ισαπεχόντων σημειακών μαζών απ' όπου προκύπτει το ακόλουθο φυσικό μοντέλο:

Εάν κάθε σημειακή μάζα έχει τη μάζα *m*, η τάση της χορδής είναι *f*, ο διαχωρισμός μεταξύ των σημειακών μαζών είναι Δ*x* και *ui*, *i* = 1, ... *n* είναι η μετατόπιση από αυτά τα *n* σημεία από τα σημεία ισορροπίας τους (δηλαδή τη θέση τους σε μια ευθεία γραμμή μεταξύ των δύο σημείων συνδέσεως της χορδής) η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο *i*+1 είναι

```
{\displaystyle {\frac {u\_{i+1}-u\_{i}}{\Delta x}}\ f}                                         (1)
```

και η κατακόρυφη συνιστώσα της δύναμης προς το σημείο *i*−1 είναι

```
{\displaystyle {\frac {u\_{i-1}-u\_{i}}{\Delta x}}\ f}                                         (2)
```

Λαμβάνοντας το άθροισμα των δύο αυτών δυνάμεων και διαιρώντας με τη μάζα m προκύπτει για την κατακόρυφη κίνηση:

```
{\displaystyle {\ddot {u}}\_{i}=\left({\frac {f}{m\ \Delta x}}\right)\left(u\_{i+1}+u\_{i-1}\ -\ 2u\_{i}\right)}                 (3)
```

Καθώς η πυκνότητα μάζας είναι 

{\displaystyle \rho ={\frac {m}{\Delta x}}}
αυτό μπορεί να γραφτεί

```
{\displaystyle {\ddot {u}}\_{i}=\left({\frac {f}{\rho \ {\Delta x}^{2}}}\right)\left(u\_{i+1}+u\_{i-1}\ -\ 2u\_{i}\right)}           (4)
```

Η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αφήνοντας Δ*x* → 0 περίπτωση κατά την οποία *ui*(*t*) λαμβάνει τη μορφή *u*(*x*, *t*) όπου *u*(*x*, *t*) είναι συνεχής συνάρτηση δύο μεταβλητών, {\displaystyle {\ddot {u}}\_{i}} παίρνει τη μορφή {\displaystyle \partial ^{2}u \over \partial t^{2}} και

{\displaystyle {\frac {u\_{i+1}+u\_{i-1}\ -\ 2u\_{i}}{{\Delta x}^{2}}}\rightarrow {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}}
Αλλά η διακριτή σύνθεση (**3**)της εξίσωσης της κατάστασης με έναν πεπερασμένο αριθμό σημειακών μαζών είναι ακριβώς η κατάλληλη για μια αριθμητική διάδοση της κίνησης των χορδών. Η οριακή κατάσταση

{\displaystyle u(0,t)=u(L,t)=0}
όπου *L* είναι το μήκος της χορδής παίρνει στη διακριτή σύνθεση τη μορφή που για τα ιδιαίτερα απομακρυσμένα σημεία *u*1 και *un* η εξίσωση κίνησης είναι

```
{\displaystyle {\ddot {u}}\_{1}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u\_{2}\ -\ 2u\_{1}\right)}                             (5)
```

και

```
{\displaystyle {\ddot {u}}\_{n}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u\_{n-1}\ -\ 2u\_{n}\right)}                         (6)
```

καθώς για 1 < *i* < *n*

```
{\displaystyle {\ddot {u}}\_{i}={\left({\frac {c}{\Delta x}}\right)}^{2}\left(u\_{i+1}+u\_{i-1}\ -\ 2u\_{i}\right)}                 (7)
```

όπου {\displaystyle c={\sqrt {\frac {f}{\rho }}}}

Αν η χορδή προσεγγίζεται με 100 διακριτές σημειακές μάζες έχει κανείς το 100 σε συνδυασμό με τις διαφορικές εξισώσεις δεύτερης τάξης (**5**), (**6**) και (**7**) ή ισοδύναμα 200 σε συνδυασμό με τις διαφορικές εξισώσεις πρώτης τάξης.

Πολλαπλασιάζοντας αυτά μέχρι τις φορές

{\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=0,\cdots ,5}
χρησιμοποιώντας μια 8-ης τάξης μέθοδο πολλαπλού βήματος οι 6 καταστάσεις που εμφανίζεται στο σχήμα 2 είναι αυτές που βρέθηκαν:

Η κόκκινη καμπύλη είναι η αρχική κατάσταση σε χρόνο μηδέν κατά την οποία η χορδή είναι "ελεύθερη" σε ένα προκαθορισμένο σχήμα  με όλα τα {\displaystyle {\dot {u}}\_{i}=0}. Η μπλε καμπύλη είναι η κατάσταση την στιγμή {\displaystyle {\frac {L}{c}}\ 0.25},δηλαδή μετά από ένα διάστημα που αντιστοιχεί στον χρόνο ένα κύμα που κινείται με το ονομαστικό κύμα ταχύτητα {\displaystyle c={\sqrt {\frac {f}{\rho }}}} θα χρειαστεί για το ένα τέταρτο του μήκους της χορδής.

Το Σχήμα 3 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που{\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=6,\cdots ,11}.Το κύμα ταξιδεύει με κατεύθυνση δεξιά με τη ταχύτητα {\displaystyle c={\sqrt {\frac {f}{\rho }}}}χωρίς να είναι ενεργά περιορισμένο από τις συνοριακές συνθήκες στα δύο άκρα της χορδής. Το σχήμα του κύματος είναι σταθερό, δηλαδή η καμπύλη είναι πράγματι της μορφής *f*(*x*−*ct*).

Το Σχήμα 4 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που{\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=12,\cdots ,17}. Ο περιορισμός στο δεξι άκρο αρχίζει να παρεμβαίνει στην κίνηση εμποδίζοντας το κύμα να αυξήσει το τέλος της χορδής.

Το Σχήμα 5 εμφανίζει το σχήμα της χορδής στους χρόνους που {\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=18,\cdots ,23} όταν η κατεύθυνση της κίνησης αντιστρέφεται.Η κόκκινη,η πράσινη και η μπλε καμπύλη είναι οι καταστάσεις στους χρόνους που {\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=18,\cdots ,20} ενώ οι 3 μαύρες καμπύλες αντιστοιχούν προς τις καταστάσεις στους χρόνους που{\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=21,\cdots ,23} με το κύμα αρχίζουν να κινούνται πίσω προς τα αριστερά.

Το σχήμα 6 και το σχήμα 7 εμφανίζουν τελικά το σχήμα της χορδής στους χρόνους που {\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=24,\cdots ,29} και {\displaystyle {\frac {L}{c}}\ k\ 0.05\ \ k=30,\cdots ,35}. Το κύμα ταξιδεύει τώρα προς τα αριστερά και οι περιορισμοί στα τελικά σημεία δεν είναι ενεργοι πια. Όταν τελικά η άλλη άκρη της χορδής η κατεύθυνση θα έχει και πάλι αναστραφεί με τρόπο παρόμοιο με αυτό που εμφανίζεται στο σχήμα 6.

### Πολυδιάστατοι χώροι

Μία λύση της εξίσωσης κύματος σε δύο διαστάσεις με οριακή συνθήκη μηδενικής μετατόπισης κατά μήκος ολόκληρης της εξωτερικής ακμής.
Η μονοδιάστατη θεωρία της αξίας αρχική-όριο μπορεί να επεκταθεί σε έναν αυθαίρετο αριθμό διαστάσεων του χώρου. Σκεφτείτε μια περιοχή D σε έναν m-διαστάσεων χ του χώρου, με σύνορο Β. Στη συνέχεια, η κυματική εξίσωση ικανοποιείται αν το  x βρίσκεται μέσα  στο D και t> 0. Στο σύνορο του D, η λύση u ικανοποιεί την

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial n}}+au=0,\,}
όπου n είναι η μονάδα προς τα έξω κάθετα προς Β και α είναι μία μη αρνητική συνάρτηση που ορίζεται στο Β. Η περίπτωση όπου u εξαφανίζεται στο Β είναι μια οριακή περίπτωση για ένα πλησιάζει το άπειρο. Οι αρχικές συνθήκες είναι

{\displaystyle u(0,x)=f(x),\quad u\_{t}(0,x)=g(x),\,}
όπου *f* και *g ορίζονται στο*  *D*. Αυτό το πρόβλημα μπορεί να λυθεί με την επέκταση των f και g στις ιδιοσυναρτήσεις του Λαπλάσιαν στο D, οι οποίες πληρούν τις οριακές συνθήκες. Έτσι, η ιδιοσυνάρτηση v ικανοποιεί

{\displaystyle \nabla \cdot \nabla v+\lambda v=0,\,}
στο *D*, και

{\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial n}}+av=0,\,}
στο *B*.

Στην περίπτωση των δύο διαστάσεων του χώρου, οι ιδιοσυναρτήσεις μπορούν να ερμηνευθούν από τους τρόπους δόνησης ενός ταλαντευόμενου (drumhead) τεντωμένου νήμματος πάνω από το όριο Β. Εάν το Β είναι ένας κύκλος, τότε αυτές οι ιδιοσυναρτήσεις έχουν μία γωνιακή συνιστώσα που είναι τριγωνομετρική συνάρτηση της πολικής γωνίας θ, πολλαπλασιασμένη με μία συνάρτηση Μπέσελ (από ακέραιος σειρά) της ακτινικής συνιστώσας.Περισσότερες λεπτομέρειες υπάρχουν στο Εξίσωση Χέλμχολτζ.

Εάν το όριο είναι μια σφαίρα σε τρεις διαστάσεις χώρου, οι γωνιακές συνιστώσες των ιδιοσυναρτήσεων είναι σφαιρικές αρμονικές, και οι ακτινικές συνιστώσες είναι συναρτήσεις Μπέσελ ημιακέραιας τάξης.

Ανομοιογενής κυματική εξίσωση σε μία διάσταση
---------------------------------------------

Η ανομοιογενής εξίσωση κυμάτων σε μία διάσταση είναι η ακόλουθη:

{\displaystyle c^{2}u\_{xx}(x,t)-u\_{tt}(x,t)=s(x,t)\,}
με αρχικές συνθήκες που δίνονται από

{\displaystyle u(x,0)=f(x)\,}
{\displaystyle u\_{t}(x,0)=g(x)\,}
Η συνάρτηση s (x, t) συχνά αποκαλείται συνάρτηση προέλευσης, διότι, στην πράξη, περιγράφει τις επιπτώσεις των πηγών των κυμάτων στο μέσο που τους μεταφέρει. Φυσικά παραδείγματα των συναρτήσεων προέλευσης περιλαμβάνουν την κινητήρια δύναμη που οδηγεί ένα κύμα σε μια σειρά, είτε το φορτίο ή την πυκνότητα ρεύματος στον μετρητή Λόρενζ του ηλεκτρομαγνητισμού.

Μία μέθοδος για την επίλυση του προβλήματος αρχικών τιμών (με τις αρχικές τιμές, που τίθενται παραπάνω) είναι να επωφεληθούν από μια ειδική ιδιότητα της εξίσωσης κύματος σε ένα μονό αριθμό διαστάσεων χώρο, δηλαδή ότι οι λύσεις της σέβονται την αιτιότητα. Δηλαδή, για κάθε σημείο (xi, ti), η τιμή του u (xi, ti) εξαρτάται μόνο από τις τιμές της f (xi + CTI) και f (xi-CTI) και τις τιμές της συνάρτησης g (x) μεταξύ (*xi*−*cti*) and (*xi*+*cti*). Αυτό φαίνεται στην τύπος του Ντ' Αλαμπέρ, που προαναφέρθηκε, όπου οι ποσότητες αυτές είναι οι μόνες που εμφανίζονται σε αυτή. Φυσικά, εάν η μέγιστη ταχύτητα διάδοσης είναι C, τότε κανένα μέρος του κύματος που δεν μπορεί να διαδοθεί σε ένα δεδομένο σημείο από ένα δεδομένο χρονικό διάστημα μπορεί να επηρεάσει το πλάτος στο ίδιο σημείο και χρόνο.

Όσον αφορά την εξεύρεση λύσης, αυτή η ιδιότητα αιτιότητας σημαίνει ότι για κάθε συγκεκριμένο σημείο επί της γραμμής εξετάζεται, η μόνη περιοχή που πρέπει να εξεταστεί είναι η περιοχή που καλύπτει όλα τα σημεία που θα μπορούσαν να επηρεάσουν το αιτιώδες σημείο που εξετάζεται. Δείξτε την περιοχή που επηρεάζει ανέμελα το σημείο (xi, ti) ως RC. Έστω ότι  έχουμε ενσωματώσει την ανομοιογενή κυματική εξίσωση πάνω από αυτή την περιοχή.

{\displaystyle \iint \limits \_{R\_{C}}\left(c^{2}u\_{xx}(x,t)-u\_{tt}(x,t)\right)dxdt=\iint \limits \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt.}
Για να απλοποιηθεί σε μεγάλο βαθμό αυτό, μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε το θεώρημα του Γκριν για την απλοποίηση της αριστερή πλευρά για να εμφανίζεται το παρακάτω:

{\displaystyle \int \_{L\_{0}+L\_{1}+L\_{2}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)=\iint \limits \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt.}
Η αριστερή πλευρά είναι τώρα το άθροισμα των τριών γραμμικών ολοκληρωμάτων κατά μήκος των ορίων της περιοχής αιτιότητας. Αυτά αποδεικνύεται πως είναι αρκετά εύκολο να υπολογιστούν

{\displaystyle \int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}-u\_{t}(x,0)dx=-\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx.}
Στα παραπάνω, ο όρος που ενσωματώνεται σε σχέση με το χρόνο εξαφανίζεται επειδή το χρονικό διάστημα που εμπλέκεται είναι μηδέν, έτσι *dt* = 0.

Για τις άλλες δύο πλευρές της περιοχής, αξίζει να σημειωθεί ότι *x*±*ct* είναι μία σταθερά, ορίζοντας *xi*±*cti*, όπου το πρόσημο επιλέγεται κατάλληλα. Χρησιμοποιώντας αυτό, μπορούμε να πάρουμε τη σχέση *dx*±*cdt* = 0, και πάλι η επιλογή του σωστού σημείου:

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{L\_{1}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)&=\int \_{L\_{1}}\left(cu\_{x}(x,t)dx+cu\_{t}(x,t)dt\right)\\&=c\int \_{L\_{1}}du(x,t)\\&=cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}+ct\_{i}).\end{aligned}}}
Και ομοίως για το τελικό τμήμα του ορίου :

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{L\_{2}}\left(-c^{2}u\_{x}(x,t)dt-u\_{t}(x,t)dx\right)&=-\int \_{L\_{2}}\left(cu\_{x}(x,t)dx+cu\_{t}(x,t)dt\right)\\&=-c\int \_{L\_{2}}du(x,t)\\&=cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i}).\end{aligned}}}
Προσθέτοντας τα τρία αποτελέσματα μαζί και τοποθετώντας τα πίσω στο αρχικό ολοκλήρωμα:

{\displaystyle {\begin{aligned}\iint \_{R\_{C}}s(x,t)dxdt&=-\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx+cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}+ct\_{i})+cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i})\\&=2cu(x\_{i},t\_{i})-cf(x\_{i}+ct\_{i})-cf(x\_{i}-ct\_{i})-\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx\end{aligned}}}
Λύνοντας ως προς *u*(*xi*, *ti*) φτάνουμε στο

{\displaystyle u(x\_{i},t\_{i})={\frac {f(x\_{i}+ct\_{i})+f(x\_{i}-ct\_{i})}{2}}+{\frac {1}{2c}}\int \_{x\_{i}-ct\_{i}}^{x\_{i}+ct\_{i}}g(x)dx+{\frac {1}{2c}}\int \_{0}^{t\_{i}}\int \_{x\_{i}-c\left(t\_{i}-t\right)}^{x\_{i}+c\left(t\_{i}-t\right)}s(x,t)dxdt.}
Στην τελευταία εξίσωση της αλληλουχίας, τα όρια του ολοκληρώματος επί της συνάρτησης απ' όπου προέρχονται έχουν γίνει σαφή. Κοιτάζοντας αυτή τη λύση, η οποία ισχύει για όλες τις επιλογές (*xi*, *ti*) συμβατές με την εξίσωση κύματος, είναι σαφές ότι οι δύο πρώτοι όροι είναι απλά του τύπου του Ντ' Αλεμπέρ, όπως αναφέρθηκε παραπάνω ως η επίλυση της ομοιογενούς εξίσωσης κύματος σε μία διάσταση. Η διαφορά είναι στον τρίτο όρο, το ολοκλήρωμα επί της αρχικής συνάρτησης.

Άλλα συστήματα συντεταγμένων
----------------------------

Στις τρεις διαστάσεις, η κυματική εξίσωση, όταν είναι γραμμένη σε ελλειπτικές κυλινδρικές συντεταγμένες, μπορεί να επιλυθεί με διαχωρισμό των μεταβλητών, που οδηγεί στην Διαφορική εξίσωση Μάθιου.

Περαιτέρω γενικεύσεις
---------------------

Για να μοντελοποιήσουμε διασκεδαζόμενα κυματικά φαινόμενα,εκείνα στα οποία η ταχύτητα της διάδοσης κυμάτων ποικίλλει ανάλογα με τη συχνότητα του κύματος, η σταθερά c αντικαθίσταται από την ταχύτητα φάσης:

{\displaystyle v\_{\mathrm {p} }={\frac {\omega }{k}}.}
Η ελαστική εξίσωση κύματος σε τρεις διαστάσεις περιγράφει τη διάδοση των κυμάτων σε ένα ισοτροπικά ομοιογενές ελαστικό μέσο. Τα περισσότερα στερεά υλικά είναι ελαστικά, έτσι ώστε αυτή η εξίσωση περιγράφει φαινόμενα όπως σεισμικά κύματα στη Γη και υπερηχητικά κύματα που χρησιμοποιούνται για την ανίχνευση ελαττωμάτων σε υλικά. Παρότι γραμμική, αυτή η εξίσωση έχει μια πιο σύνθετη μορφή από τις εξισώσεις που δίδονται παραπάνω, καθώς πρέπει να αντιπροσωπεύει τόσο την διαμήκη όσο και την εγκάρσια κίνηση:

{\displaystyle \rho {\ddot {\mathbf {u} }}=\mathbf {f} +(\lambda +2\mu )\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\mu \nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} )}
όπου:

* λ και μ είναι οι λεγόμενες παράμετροι Λαμέ, που περιγράφουν τις ελαστικές ιδιότητες του μέσου,
* ρ είναι η πυκνότητα,
* **f** είναι η συνάρτηση προέλευσης (κινητήρια δύναμη),
* και **u** είναι το διάνυσμα μετατόπισης.

Σημειώστε ότι σε αυτήν την εξίσωση, τόσο η δύναμη όσο και η μετατόπιση είναι διανυσματικές ποσότητες. Έτσι, αυτή η εξίσωση είναι μερικές φορές γνωστή ως η διανυσματική εξίσωση κύματος.

Δείτε επίσης
------------

* Ακουστική εξασθένηση
* Ακουστική κυματική εξίσωση
* Μετασχηματισμός Μπέιτμαν
* Ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση
* Εξίσωση Χέλμχολτζ
* Ανομοιογενής ηλεκτρομαγνητική κυματική εξίσωση
* Τελεστής Λαπλάς
* Εξισώσεις Μάξγουελ
* Εξίσωση Σρέντινγκερ
* Στάσιμο κύμα
* Δονήσεις μιας κυκλικής μεμβράνης
* Απορροφητική θεωρία Γουίλερ–Φάινμαν

Σημειώσεις
----------

1. ↑  Cannon, John T.; Dostrovsky, Sigalia (1981). *The evolution of dynamics, vibration theory from 1687 to 1742*. Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences. **6**. New York: Springer-Verlag, σελ. ix + 184 pp.. ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6.  ISBN 0-3879-0626-6. ISBN 0-3879-0626-6.  GRAY, JW (July 1983). «BOOK REVIEWS». *BULLETIN (New Series) OF THE AMERICAN MATHEMATICAL SOCIETY* **9** (1).  (ανακτήθηκε 13 Nov 2012).
2. ↑  Gerard F Wheeler. The Vibrating String Controversy, (ανακτήθηκε 13 Nov 2012). Am. J. Phys. 1987, v55, n1, p33-37.
3. ↑  Για μια ειδική συλλογή 9 πρωτοποριακών εργασίων των τριών συγγραφέων, δείτε επίσης First Appearance of the wave equation: D'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli. - the controversy about vibrating strings Αρχειοθετήθηκε 2020-02-09 στο Wayback Machine. (ανακτήθηκε 13 Nov 2012). Herman HJ Lynge and Son.
4. ↑  Για τις συνεισφορές του Lagrange στην ακουστική κυματική εξίσωση,μπορείτε να συμβουλευτείτε Acoustics: An Introduction to Its Physical Principles and Applications Allan D. Pierce, Acoustical Soc of America, 1989; σελίδα 18.(ανακτήθηκε 9 Dec 2012)
5. 1 2 3  Speiser, David. *Discovering the Principles of Mechanics 1600-1800*, p. 191 (Basel: Birkhäuser, 2008).
6. ↑  Tipler, Paul and Mosca, Gene. *Physics for Scientists and Engineers, Volume 1: Mechanics, Oscillations and Waves; Thermodynamics*, pp. 470-471 (Macmillan, 2004).
7. ↑  Eric W. Weisstein. «d'Alembert's Solution». MathWorld. Ανακτήθηκε στις 21 Ιανουαρίου 2009.
8. ↑  D'Alembert (1747) "Recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Έρευνες σχετικά με την καμπύλη που σχηματίζεται σε ένα τεντωμένο καλώδιο με δονήσεις [όταν υπάρχουν])), *Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin*, vol. 3, σελίδες 214-219.

	* Δείτε επίσης: D'Alembert (1747) "Suite des recherches sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration" (Περαιτέρω έρευνες σχετικά με την καμπύλη που σχηματίζεται σε ένα τεντωμένο καλώδιο με δονήσεις [όταν υπάρχουν]), *Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin*, vol. 3, σελίδες 220-249.
	* Δείτε επίσης: D'Alembert (1750) "Addition au mémoire sur la courbe que forme une corde tenduë mise en vibration," *Histoire de l'académie royale des sciences et belles lettres de Berlin*, vol. 6, σελίδες 355-360.
9. ↑  John David Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd Edition, Wiley, σελίδα 425. ISBN 978-0-471-30932-1
10. ↑  Η αρχική κατάσταση για την "Διερεύνηση με αριθμητικές μεθόδους" έχει οριστεί με τμηματικά πολυώνυμα ως ακολούθως:

{\displaystyle u(0,x)=u\_{0}\ \left(1-\left({\frac {x-x\_{1}}{x\_{1}}}\right)^{2}\right)} για {\displaystyle 0\leq x\leq x\_{2}}
{\displaystyle u(0,x)=u\_{0}\ \left({\frac {x-x\_{3}}{x\_{1}}}\right)^{2}} για {\displaystyle x\_{2}\leq x\leq x\_{3}}
{\displaystyle u(0,x)=0} για {\displaystyle x\_{3}\leq x\leq L}
με {\displaystyle x\_{1}={\frac {1}{10}}\ L\ ,\ x\_{2}=x\_{1}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\ x\_{1}\ ,\ x\_{3}=x\_{2}+{\sqrt {\frac {1}{2}}}\ x\_{1}}

Αναφορές
--------

* M. F. Atiyah, R. Bott, L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients I", *Acta Math.*, **124** (1970), 109–189.
* M.F. Atiyah, R. Bott, and L. Garding, "Lacunas for hyperbolic differential operators with constant coefficients II", *Acta Math.*, **131** (1973), 145–206.
* R. Courant, D. Hilbert, *Methods of Mathematical Physics, vol II*. Interscience (Wiley) New York, 1962.
* L. Evans, "Partial Differential Equations". American Mathematical Society Providence, 1998.
* "Linear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* "Nonlinear Wave Equations", *EqWorld: The World of Mathematical Equations.*
* William C. Lane, "MISN-0-201 The Wave Equation and Its Solutions", *Project PHYSNET*.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Francis Redfern. «Kinematic Derivation of the Wave Equation». *Physics Journal*. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 25 Φεβρουαρίου 2013. Ανακτήθηκε στις 16 Ιουνίου 2014.  —μία εισαγωγική προσέγγιση βήμα-βήμα στο θέμα.
* Nonlinear Wave Equations by Stephen Wolfram και Rob Knapp, Nonlinear Wave Equation Explorer by Stephen Wolfram, και Wolfram Demonstrations Project.
* Η μαθηματική πλευρά της κυματικής εξίσωσης βρίσκεται στον παρακάτω σύνδεσμο Dispersive PDE Wiki.
* Graham W Griffiths και William E. Schiesser (2009). Linear and nonlinear waves. Scholarpedia, 4(7):4308. doi:10.4249/scholarpedia.4308