Τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {\Delta } } σημείο της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα Στιούαρτ** ή **σχέση Στιούαρτ** (αναφέρεται και ως **θεώρημα Stewart** ή **σχέση Stewart**) είναι μία σχέση για το μήκος ενός ευθυγράμμου τμήματος από την μία κορυφή ενός τριγώνου προς την απέναντι πλευρά. Πιο συγκεκριμένα, έστω ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και ένα σημείο {\displaystyle \mathrm {\Delta } } της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }. Τότε,:122-126:199-201:41-42:2210-225

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } =\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } )}.
Το θεώρημα Στιούαρτ είναι μία γενίκευση του πρώτου θεωρήματος διαμέσων και επιτρέπει τον υπολογισμό του μήκους των υψών, των διαμέσων και των διχοτόμων ενός τριγώνου. 

Η **γενικευμένη σχέση Στιούαρτ** δίνει ότι για κάθε σημείο {\displaystyle \mathrm {\Delta } } της ευθείας {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } (όχι μόνο για το ευθύγραμμο τμήμα), ισχύει ότι 

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}+\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}+{\overline {\mathrm {\Delta \Gamma } }}\cdot {\overline {\mathrm {\Gamma B} }}\cdot {\overline {\mathrm {B\Delta } }}=0}.
Το θεώρημα ονομάζεται έτσι προς τιμήν του μαθηματικού Μάθιου Στιούαρτ που δημοσίευσε τη σχέση το 1746.:Proposition II

Απόδειξη
--------

Από τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi }.
Αντίστοιχα, στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Delta } }, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {A\Delta ^{2}} +\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi .}
Συνδυάζοντας τις δύο παραπάνω σχέσεις έχουμε ότι 

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {AB} ^{2}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot \mathrm {B\Delta } &=\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta B} ^{2}+2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta B} \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \\&\qquad +\left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Delta \Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {\Delta \Gamma } \cdot \cos \phi \right)\cdot \mathrm {B\Delta } \\&=\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } \cdot (\mathrm {\Gamma \Delta } +\mathrm {B\Delta } )\\&=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+\mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {B\Delta } ),\end{aligned}}}
ολοκληρώνοντας την απόδειξη. {\displaystyle \square }

Εφαρμογές
---------

### Υπολογισμός διαμέσου

Για τον υπολογισμό του μήκους της διαμέσου, έχουμε ότι {\displaystyle \mathrm {\Delta } } είναι το μέσο της διαμέσουm δηλαδή {\displaystyle \mathrm {B\Delta } =\mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}. Επομένως, η σχέση Στιούαρτ δίνει ότι

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}\cdot {\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}=\mathrm {B\Gamma } \cdot (\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}).}
Απλοποιώντας, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}+{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}=\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}},}
και τελικώς ότι

{\displaystyle \mathrm {A\Delta } ={\sqrt {{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } ^{2}}{4}}-{\tfrac {\mathrm {AB} ^{2}}{2}}-{\tfrac {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}{2}}}}}.
### Υπολογισμός εσωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εσωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι {\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}} και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}} από το θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}+\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}=\alpha \cdot \left(\mathrm {A\Delta } ^{2}+{\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}\right)}.
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle \delta \_{A}^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left(1-{\frac {\alpha ^{2}}{(\beta +\gamma )^{2}}}\right).}
### Υπολογισμός εξωτερικής διχοτόμου

Για τον υπολογισμό του μήκους της εξωτερικής διχοτόμου, θα χρησιμοποιήσουμε ότι {\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\tfrac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}} και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}} από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου. Εφαρμόζοντας την γενικευμένη σχέση Sterwart, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle \gamma ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}-\mathrm {A\Delta } ^{2}\cdot \alpha +\beta ^{2}\cdot {\tfrac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}+\alpha \cdot {\tfrac {\alpha ^{2}\beta \gamma }{(\beta +\gamma )^{2}}}=0}.
Αναδιατάσσοντας και απλοπλοιώντας, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle (\delta \_{A}')^{2}=\mathrm {A\Delta } ^{2}=\beta \gamma \cdot \left({\frac {\alpha ^{2}}{(\beta -\gamma )^{2}}}-1\right).}

Γενικεύσεις
-----------

Υπάρχουν διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος και αναδρομές στην ιστορία του θεωρήματος και των παραλλαγών του.

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Θεώρημα Στιούαρτ Διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα και εφαρμογές.
* Απόδειξη με διανύσματα
* Διαδραστική εφαρμογή για το θεώρημα Στιούαρτ

### Ελληνικά άρθρα

* Φραγκουλόπουλος Γ.; Αντωνίου Δ. (1991). «Η "επέκταση" των Μετρικών Σχέσεων». *Ευκλείδης Β΄* (2): 26-29.

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Brown, Peter G. (Μαρτίου 2011). «Rays in a right triangle». *The Mathematical Gazette* **95** (532): 126–127. doi:10.1017/S0025557200002552.
* Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications». *The Mathematics Teacher* **21** (8): 465-478. .

Δείτε επίσης
------------

* Πρώτο θεώρημα διαμέσων
* Νόμος των συνημιτόνων

Παραπομπές
----------

1. ↑  Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
2. ↑  Ταβανλης, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
3. ↑  Πανάκης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ'-Ε'-ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
4. ↑  Στεργίου, Μπάμπης (2012). *Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά*. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.
5. ↑  Stewart, Matthew (1746). *Some General Theorems of Considerable Use in the Higher Parts of Mathematics*. Edinburgh: Sands, Murray and Cochran.
6. ↑  Morris, Richard (1928). «Stewart's theorem with applications». *The Mathematics Teacher* **21** (8): 465-478. .
7. ↑  Fabricius-Bjerre, Fr (1971). «Generalizations of Stewart's formula». *Nordisk Matematisk Tidskrift* **19** (4): 109-119. .
8. ↑  Mackay, J. S. (Φεβρουαρίου 1891). «Matthew Stewart's Theorem». *Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society* **10**: 90–94. doi:https://doi.org/10.1017/S0013091500031072.