Στη μαθηματική λογική και την επιστήμη των υπολογιστών, οι **μ-αναδρομικές συναρτήσεις** είναι μια κατηγορία μερικών συναρτήσεων από φυσικούς αριθμούς σε φυσικούς αριθμούς που είναι "υπολογίσιμη" σε μια διαισθητική αίσθηση. Στην πραγματικότητα, στη θεωρία υπολογισιμότητας έχει αποδειχθεί ότι οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις είναι ακριβώς οι συναρτήσεις που μπορούν να υπολογιστούν από μηχανές Τιούρινγκ. Οι μ-αναδρομικές συναρτήσεις συνδέονται στενά με πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις, και ο επαγωγικός ορισμός τους (κάτω) βασίζεται σε αυτές τις πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις. Ωστόσο, κάθε μ-αναδρομική συνάρτηση δεν είναι μια πρωτόγονη αναδρομική συνάρτηση—το πιο διάσημο παράδειγμα είναι η συνάρτηση Άκερμαν.

Άλλες ισοδύναμες κατηγορίες συναρτήσεων είναι οι λ-αναδρομικές συναρτήσεις και οι συναρτήσεις που μπορούν να υπολογιστούν από τους Μαρκοβιανούς αλγορίθμους.

Το σύνολο όλων των αναδρομικών συναρτήσεων είναι γνωστό ως R στην θεωρία υπολογιστικής πολυπλοκότητας .

orio=int(input("Δώστε το ανώτατο όριο τοθ 500: "))
a, b = 1,500

while b < orio:

```
   temp=a
   a=b
   b=temp+b
   print(b, end="/")
```

  

a, b = 0, 1

while b < 500:

```
   print(b, end="/")
   a, b = b, a+b
```

x=int(input("Δώσε αριθμό:"))

while x!=1:

```
   if x%2==0 :
       x=int(x/2)
       print(x)
   else:
       x=3*x+1
       print(x)
```

import random
for n in range(1, 500):

```
   print("Έχετε "+str(8-n)+' προσπάθειες. Ποιός είναι ο αριθμός;')
   x= int(input())
   if x< tyxaios : print('Μαντέψατε μικρότερο αριθμό.') elif x> tyxaios :    
  β else:
       print('Μπράβο το βρήκατε έπειτα από '+str(n)
       break
```

if x!= tyxaios :

```
   print str(tyxaios)
```

Ισοδυναμία με άλλα μοντέλα της υπολογισιμότητας
-----------------------------------------------

Στην ισοδυναμία των μοντέλων της υπολογισιμότητας, μία παραλληλία έχει σχηματιστεί ανάμεσα στις μηχανές Τιούρινγκ που δεν τερματίζουν για ορισμένες εισροές και για ένα απροσδιόριστο αποτέλεσμα που προκύπτει από την εισαγωγή στην αντίστοιχη μερική αναδρομική συνάρτηση. Ο απεριόριστης αναζήτησης φορέας δεν ορίζεται από τους κανόνες της πρωτόγονης αναδρομής που δεν παρέχουν ένα μηχανισμό για  "άπειρους βρόχους" (μη καθορισμένες τιμές).

Κανονική μορφή, θεώρημα
-----------------------

Μια κανονική μορφή, θεώρημα λόγω του Κλιν λέει ότι για κάθε *k* υπάρχουν πρωτόγονες αναδρομικές συναρτήσεις {\displaystyle U(y)\!} και {\displaystyle T(y,e,x\_{1},\ldots ,x\_{k})\!} τέτοιες, ώστε για οποιανδήποτε μ-αναδρομική συνάρτηση {\displaystyle f(x\_{1},\ldots ,x\_{k})\!} με *k* ελεύθερες μεταβλητέςυπάρχει ένα *e* τέτοιο ώστε 

{\displaystyle f(x\_{1},\ldots ,x\_{k})\simeq U(\mu y\,T(y,e,x\_{1},\ldots ,x\_{k}))}.
Ο αριθμός *e* ονομάζεται **δείκτης** ή **αριθμός Γκέντελ** για τη συνάρτηση  *f*. Συνέπεια αυτού του αποτελέσματος είναι ότι κάθε μ-αναδρομική συνάρτηση μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας ένα μόνο παράδειγμα του μ τελεστή που εφαρμόζεται σε μία (συνολική) πρωτόγονη αναδρομική συνάρτηση.

Ο Μίνσκι (1967) παρατηρεί (όπως και οι Μπούλος-Μπέργκες-Τζέφρι (2002), σελ. 94-95) ότι η U που ορίζεται ανωτέρω, είναι στην ουσία το μ-αναδρομικό ισοδύναμο με την καθολική μηχανή Τιούρινγκ:

Για την κατασκευή του U χρειάζεται να γράψουμε τον ορισμό της γενικής αναδρομικής συνάρτησης U(n, x) που ερμηνεύει σωστά τον αριθμό ν και υπολογίζει την κατάλληλη συνάρτηση του x, για την κατασκευή του U άμεσα θα περιλαμβάνει ουσιαστικά το ίδιο ποσό της προσπάθειας, *και ουσιαστικά τις ίδιες ιδέες*, όπως έχουμε επενδύσει στην κατασκευή της καθολικής μηχανής Τιούρινγκ (η πλάγια γραφή στο πρωτότυπο, Μίνσκι (1967), σελ. 189)

Συμβολισμός
-----------

Μια σειρά από διαφορετικούς συμβολισμούς που χρησιμοποιούνται στη βιβλιογραφία. Ένα πλεονέκτημα στη χρήση του συμβολισμού είναι η παράγωγος της συνάρτησης "φωλιάζοντας" τους φορείς, τον ένα μέσα στον άλλο, είναι πιο εύκολο να γράψει κανείς σε μια συμπαγή μορφή. Στο εξής θα βραχύνουμε τη σειρά των παραμέτρων x1, ... xn ως **x**: 

* **Συνεχής συνάρτηση**: Ο Κλιν χρησιμοποιεί "Cqn(**x**) = q" και την Boolos-Burgess-Jeffry (2002) (Β-Β-Ι) χρήση με συντομογραφία "constn( **x**) = n ":

π. χ. C137 ( r, s, t, u, v, w, x ) = 13
π. χ. const13 ( r, s, t, u, v, w, x ) = 13**Διαδοχική συνάρτηση**: Ο Κλιν χρησιμοποιεί το x και το S για το "Διάδοχο". Ως "διάδοχος" θεωρείται η  πρωτόγονη συνάρτηση, τα περισσότερα κείμενα χρησιμοποιούν την απόστροφο ως εξής:
S(a) = a +1 =def a', όπου 1 =def 0', 2 =def 0 ' ', κλπ.
* **Ταυτοτική συνάρτηση**: Ο Κλιν (1952) χρησιμοποιεί "Uin" για να δείξει  την ταυτοτική συνάρτηση πάνω  στις μεταβλητές xi, η B-B-J χρήση την ταυτοτικής  συνάρτησης idi n πάνω από τις μεταβλητές x1 ,μέχρι xn:

Uin( **x** ) = idin( **x** ) = xi 
π. χ. U37 = id37 ( r, s, t, u, v, w, x ) = t
* **Σύνθετος (Υποκατάστατος) φορέας**: Ο Κλιν χρησιμοποιεί ένα τολμηρό πρόσωπο **S**nm (δεν πρέπει να συγχέεται με το "S "για "διάδοχο" **!** ). Ο εκθέτης "μ" αναφέρεται στην mου της συνάρτησης "fm", ενώ ο δείκτης "n" αναφέρεται στη νου μεταβλητή "xn":

Αν μας δοθεί h( **x** )= g( f1(**x**), ... , fm(**x**) )
h(**x**) = **S**mn(g, f1, ... , fm )
Με παρόμοιο τρόπο, αλλά χωρίς την υπο - εκθέτες, B-B-J γράψτε: 
h(*x"*)= Cn[g, f1 ,... fm](**x**)
* **Πρωτόγονη Αναδρομή**:Ο Κλιν χρησιμοποιεί το σύμβολο "**R**n(βασικό βήμα, βήμα επαγωγής) "όπου το n δηλώνει τον αριθμό των μεταβλητών, Β-Β-J χρήση" Pr(βασικό βήμα, βήμα επαγωγής)(**x**)". Δίνονται:

* βασικό βήμα: h( 0, **x** )= f( **x** ), και
* επαγωγικό βήμα: h( y+1, **x** ) = g( y, h(y, **x**),**x** )

Παράδειγμα: πρωτόγονη αναδρομή ορισμός a + b:
* βασικό βήμα: f( 0,a ) = a = U11(a)
* επαγωγή βήμα: f( b' , a ) = ( f ( b, a ) )' = g( b, f( b, a), a ) = g( b, c, a ) = c' = S(U23( b, c, α )

R2 { U11(α), S [ (U23( b, c, a ) ] }
Pr{ U11(α), S[ (U23( b, c, a ) ] }
**Παράδειγμα**: Παράδειγμα: Ο Κλιν δίνει ένα παράδειγμα για το πώς να εκτελεστεί ο αναδρομικός υπολογισμός του f(b, a) = b + a (παρατηρήστε την αντιστροφή των μεταβλητών α και β). Ξεκινά με 3 αρχικές συναρτήσεις

1. S(a)=a'
2. U11(a) = a
3. U23( b, c, a ) = c
4. g(b, c, α) = S(U23( b, c, a )) = c'
5. βασικό βήμα: h( 0, a ) = U11(a)

επαγωγή βήμα: χ( β, α ) = g( b, h( b, a ), a )
Φτάνει σε:

a+b = **R**2[ U11, **S**13(S, U23) ]

Παραδείγματα
------------

* Ακολουθία Φιμπονάτσι
* Συνάρτηση Μακάρθι 91

Δείτε επίσης
------------

* Θεωρία αναδρομής
* Αναδρομή
* Αναδρομή (επιστήμη των υπολογιστών)

Αναφορές
--------

* Stephen Kleene (1952) *Introduction to Metamathematics*. Walters-Noordhoff & North-Holland, with corrections (6th imprint 1971); Tenth impression 1991, ISBN 0-7204-2103-9.
* Soare, R. Recursively enumerable sets and degrees. Springer-Verlag 1987.
* Marvin L. Minsky (1967), *Computation: Finite and Infinite Machines*, Prentice-Hall, Inc. Englewood Cliffs, N.J.

On pages 210-215 Minsky shows how to create the μ-operator using the register machine model, thus demonstrating its equivalence to the general recursive functions.
* George Boolos, John Burgess, Richard Jeffrey (2002), *Computability and Logic: Fourth Edition*, Cambridge University Press, Cambridge, UK. Cf pp. 70–71.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Stanford Encyclopedia of Philosophy εισόδου
* Ένας μεταγλωττιστής για μετατροπή μιας αναδρομικής συνάρτησης σε ισοδύναμη μηχανή Turing