Τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με βαρύκεντρο {\displaystyle \mathrm {G} } και ένα τυχόν σημείο {\displaystyle \mathrm {M} } του επιπέδου.
Στην γεωμετρία, η **σχέση του Λάιμπνιτς** (αναφέρεται και ως **σχέση του Leibniz**) αναφέρεται στην σχέση μεταξύ των τετραγώνων των αποστάσεων ενός τυχόντος σημείου {\displaystyle \mathrm {M} } από τις κορυφές ενός τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και το βαρύκεντρο {\displaystyle \mathrm {G} } του τριγώνου. Πιο συγκεκριμένα,:181-182:132-133:131:47

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}\\&=3\cdot \mathrm {MG} ^{2}+{\frac {1}{3}}\cdot (\mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {B\Gamma } ^{2}+\mathrm {\Gamma A} ^{2}).\end{aligned}}}
Η σχέση παίρνει το όνομα της από τον Γκότφριντ Βίλχελμ Λάιμπνιτς.

Αποδείξεις
----------

Σχήμα απόδειξης
### Απόδειξη με θεώρημα διαμέσων

Έστω {\displaystyle {\rm {M\_{A}}}} το μέσο της {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}. Τότε από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο {\displaystyle {\rm {BM\Gamma }}} έχουμε ότι 

{\displaystyle {\rm {MB^{2}+M\Gamma ^{2}=2\cdot {MM\_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}.
Αντίστοιχα από το πρώτο θεώρημα διαμέσων στο τρίγωνο {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}}, 

{\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot {AM\_{A}}^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}.
Από το θεώρημα Stewart και χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM\_{A}}}} έχουμε ότι 

{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}\cdot GM\_{A}+{MM\_{A}}^{2}\cdot AG}}&{\rm {=AM\_{A}\cdot (MG^{2}+AG\cdot GM\_{A})\Rightarrow }}\\{\rm {{\tfrac {1}{3}}MA^{2}+{\tfrac {2}{3}}{MM\_{A}}^{2}}}&{\rm {=MG^{2}+{\tfrac {2}{3}}{AM\_{A}}^{2}.}}\end{aligned}}}
Τέλος, συνδυάζοντας τις τρεις παραπάνω σχέσεις, λαμβάνουμε

{\displaystyle {\begin{aligned}{\rm {MA^{2}+MB^{2}+M\Gamma ^{2}}}&={\rm {3\cdot MG^{2}+2\cdot {AM\_{A}}^{2}-2\cdot {MM\_{A}}^{2}+2\cdot {MM\_{A}}^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}-{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}+{\frac {3}{2}}B\Gamma ^{2}}}\\&={\rm {3\cdot MG^{2}+AB^{2}+A\Gamma ^{2}+B\Gamma ^{2}.}}\end{aligned}}}
### Απόδειξη με διανύσματα

Θα χρησιμοποιήσουμε διανύσματα για να αποδείξουμε την πρώτη σχέση.
Από τις ιδιότητες του βαρυκέντρου έχουμε ότι 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }}=0}.
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος έχουμε ότι 

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathrm {MA} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}&=({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GA} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {GB} }})^{2}+({\vec {\mathrm {MG} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})^{2}\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}+2\cdot \mathrm {MG} \cdot ({\vec {\mathrm {GA} }}+{\vec {\mathrm {GB} }}+{\vec {\mathrm {G\Gamma } }})\\&=3\cdot \mathrm {M\Gamma } ^{2}+\mathrm {GA} ^{2}+\mathrm {GB} ^{2}+\mathrm {G\Gamma } ^{2}.\end{aligned}}}

Γενικεύσεις
-----------

Γενικά, σε ένα διανυσματικό χώρο σε κάθε πολύγωνο με κορυφές τα σημεία {\displaystyle \mathrm {A} \_{1},\ldots ,\mathrm {A} \_{n}} και ένα τυχόν σημείο {\displaystyle \mathrm {M} } του επιπέδου ισχύει ότι

{\displaystyle \mathrm {MA} \_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {MA} \_{n}^{2}=n\cdot \mathrm {MG} ^{2}+\mathrm {GA} \_{1}^{2}+\ldots +\mathrm {GA} \_{n}^{2}},
όπου {\displaystyle \mathrm {G} ={\tfrac {1}{n}}\cdot (\mathrm {A} \_{1}+\ldots +\mathrm {A} \_{n})}.

Δείτε επίσης
------------

* Πρώτο θεώρημα διαμέσων
* Θεώρημα Στιούαρτ

Παραπομπές
----------

1. ↑  Στεργίου, Μπάμπης (2012). *Γεωμετρία 2: Μετρικές σχέσεις σε τρίγωνα, πολύγωνα - εμβαδά*. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 978-960-493-159-0.
2. ↑  Kisačanin, Branislav. *Mathematical problems and proofs: combinatorics, number theory, and geometry*. New York: Plenum Press. ISBN 978-0-306-45967-2.
3. ↑  Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
4. ↑  Πανάκης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
5. ↑  Tsintsifas, G. A. «The applications of Leibniz's formula in Geometry» (PDF). Ανακτήθηκε στις 13 Αυγούστου 2023.