Στα μαθηματικά, ένας **οιονεί κύκλος** είναι μια καμπύλη του Ζορντάν στο μιγαδικό επίπεδο που είναι η εικόνα ενός κύκλου υπό μια οιονεί αντιστοίχιση του επιπέδου στον εαυτό της. Αρχικά εισήχθησαν ανεξάρτητα από τον Πφλούγκερ (1961) και τον Τιενάρι (1962), ενώ στην παλαιότερη βιβλιογραφία (στα γερμανικά) αναφέρονταν ως κουασικομορφικές καμπύλες, μια ορολογία που ίσχυε και για τα τόξα. Στην μιγαδική ανάλυση και τη γεωμετρική θεωρία συναρτήσεων, οι οιονεί κύκλοι παίζουν θεμελιώδη ρόλο στην περιγραφή του καθολικού χώρου Τέιχμυλλερ, μέσω των σχεδόν συμμετρικών ομοιομορφισμών του κύκλου. Οι οιονεί κύκλοι παίζουν επίσης σημαντικό ρόλο στα σύνθετα δυναμικά συστήματα.

Ορισμός
-------

Ως οιονεί κύκλος ορίζεται η εικόνα ενός κύκλου κάτω από μια οιονεί σχηματική απεικόνιση του εκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου. Ονομάζεται K-quasicircle αν η οιονεί σχηματική απεικόνιση έχει διαστολή K. Ο ορισμός του οιονεί κύκλου γενικεύει τον χαρακτηρισμό μιας καμπύλης Ζορντάν ως την εικόνα ενός κύκλου κάτω από έναν ομοιομορφισμό του επιπέδου. Ειδικότερα, ένα οιονεί κύκλωμα είναι μια καμπύλη Ζορντάν. Το εσωτερικό ενός οιονεί κύκλου ονομάζεται οιονεί δίσκος.

Όπως φαίνεται στους Λέτο & Βιρτάνεν (1973), όπου χρησιμοποιείται ο παλαιότερος όρος "οιονεί καμπύλη", αν μια καμπύλη Ζορντάν είναι η εικόνα ενός κύκλου κάτω από έναν οιονεί σχηματισμό σε μια γειτονιά της καμπύλης, τότε είναι επίσης η εικόνα ενός κύκλου κάτω από έναν οιονεί σχηματισμό του εκτεταμένου επιπέδου και επομένως ένα οιονεί κύκλωμα. Το ίδιο ισχύει και για τα "κβαντικομορφικά τόξα" τα οποία μπορούν να οριστούν ως κβαντικομορφικές εικόνες ενός κυκλικού τόξου είτε σε ένα ανοικτό σύνολο είτε ισοδύναμα στο εκτεταμένο επίπεδο.

Γεωμετρικοί χαρακτηρισμοί
-------------------------

Ο Άλφορς (1963) έδωσε έναν γεωμετρικό χαρακτηρισμό των οιονεί κύκλων ως εκείνων των καμπυλών του Ζορντάν για τις οποίες η απόλυτη τιμή του λόγου διασταύρωσης τεσσάρων οποιωνδήποτε σημείων, που λαμβάνονται με κυκλική σειρά, περιορίζεται κάτω από μια θετική σταθερά.

Ο Άλφορς απέδειξε επίσης ότι οι οιονεί κύκλοι μπορούν να χαρακτηριστούν με όρους μιας ανισότητας αντίστροφου τριγώνου για τρία σημεία: θα πρέπει να υπάρχει μια σταθερά C τέτοια ώστε αν δύο σημεία *z*1 και *z*2 επιλεγούν στην καμπύλη και το *z*3 βρίσκεται στο μικρότερο από τα τόξα που προκύπτουν, τότε

{\displaystyle |z\_{1}-z\_{3}|+|z\_{2}-z\_{3}|\leq C|z\_{1}-z\_{2}|.}
Αυτή η ιδιότητα είναι επίσης γνωστή ως "περιορισμένη στροφή" ή "συνθήκη τόξου".

Για τις καμπύλες του Ζορντάν στο εκτεταμένο επίπεδο που διέρχεται από το ∞, ο Αχλφόρς (1966) έδωσε μια απλούστερη αναγκαία και επαρκή συνθήκη για να είναι οιονεί κύκλος. Υπάρχει μια σταθερά *C* > 0 τέτοια ώστε αν *z*1, *z*2 είναι οποιαδήποτε σημεία της καμπύλης και *z*3βρίσκεται στο τμήμα μεταξύ τους, τότε

{\displaystyle \displaystyle {\left|z\_{3}-{z\_{1}+z\_{2} \over 2}\right|\leq C|z\_{1}-z\_{2}|.}}
Αυτοί οι μετρικοί χαρακτηρισμοί συνεπάγονται ότι ένα τόξο ή μια κλειστή καμπύλη είναι οιονεί διαμορφωμένη όποτε προκύπτει ως η εικόνα ενός διαστήματος ή του κύκλου κάτω από έναν χάρτη f bi-Lipschitz, δηλαδή ικανοποιεί την εξής συνθήκη

{\displaystyle C\_{1}|s-t|\leq |f(s)-f(t)|\leq C\_{2}|s-t|}
για θετική σταθερά *C**i*.

Οιονεί κύκλοι και οιονεί συμμετρικοί ομοιομορφισμοί
---------------------------------------------------

Αν το φ είναι ένας οµοιοµορφισµός του κύκλου, τότε υπάρχουν συµβατικοί χάρτες *f* του [*z*| < 1 και *g* του |*z*|>1 σε διαχωρισµένες περιοχές έτσι ώστε το συµπλήρωµα των εικόνων των *f* και *g* να είναι µια καµπύλη του Ζορντάν. Οι χάρτες f και g επεκτείνονται συνεχώς στον κύκλο |*z*| = 1 και η εξίσωση ραφής

{\displaystyle \varphi =g^{-1}\circ f}
κατέχει. Η εικόνα του κύκλου είναι ένα οιονεί κύκλος.

Αντίστροφα, χρησιμοποιώντας το θεώρημα απεικόνισης Ρίμαν, οι σύμμορφοι χάρτες f και g που ομογενοποιούν το εξωτερικό ενός ημικυκλίου οδηγούν σε έναν ημικυκλικό ομοιομορφισμό μέσω της παραπάνω εξίσωσης.

Το πηλίκο του χώρου της ομάδας των ομορφομορφισμών του κουασυμμετρικού κύκλου από την υποομάδα των μετασχηματισμών Μέμπιους παρέχει ένα μοντέλο του καθολικού χώρου Τεϊχμίλλερ. Η παραπάνω αντιστοιχία δείχνει ότι και ο χώρος των οιονεί κυκλών μπορεί να ληφθεί ως πρότυπο .

Οιονεί συμμορφική αντανάκλαση
-----------------------------

Μια οιονεί συμμορφική ανάκλαση σε μια καμπύλη Ζορντάν είναι ένας οιονεί συμμορφικός χάρτης περιόδου 2 που αντιστρέφει τον προσανατολισμό και αλλάζει το εσωτερικό και το εξωτερικό της καμπύλης καθορίζοντας σημεία της καμπύλης. Δεδομένου ότι η

{\displaystyle \displaystyle {R\_{0}(z)={1 \over {\overline {z}}}}}
παρέχει μια τέτοια αντανάκλαση για τον μοναδιαίο κύκλο, κάθε ημικύκλιος δέχεται μια ημικυκλική αντανάκλαση. Ο Άλφφορς (1963) απέδειξε ότι αυτή η ιδιότητα χαρακτηρίζει τους ημικύκλους.

Ο Άλφορς σημείωσε ότι το αποτέλεσμα αυτό μπορεί να εφαρμοστεί σε ομοιόμορφα περιορισμένες ολόμορφες μονοσήμαντες συναρτήσεις *f*(*z*) στον μοναδιαίο δίσκο *D*. Έστω Ω = *f*(*D*). Όπως είχε αποδείξει ο Καραθεοδωρή χρησιμοποιώντας τη θεωρία των πρώτων άκρων του, η *f* επεκτείνεται συνεχώς στον μοναδιαίο κύκλο αν και μόνο αν το ∂Ω είναι τοπικά συνδεδεμένο, δηλαδή αν επιδέχεται κάλυψη από πεπερασμένα πολλά συμπαγή συνδεδεμένα σύνολα αυθαίρετα μικρής διαμέτρου. Η επέκταση στον κύκλο είναι 1-1 αν και μόνο αν το ∂Ω δεν έχει σημεία αποκοπής, δηλαδή σημεία που όταν αφαιρούνται από το ∂Ω δίνουν ένα ασύνδετο σύνολο. Το θεώρημα του Καραθεοδωρή δείχνει ότι ένα τοπικά σύνολο χωρίς σημεία αποκοπής είναι απλώς μια καμπύλη Jordan και ότι σε αυτήν ακριβώς την περίπτωση η επέκταση της *f* στον κλειστό μοναδιαίο δίσκο είναι ομοιομορφισμός. Αν η *f* επεκτείνεται σε μια οιονεί απεικόνιση του εκτεταμένου μιγαδικού επιπέδου τότε το ∂Ω είναι εξ ορισμού ένας οιονεί κύκλος. Αντίθετα ο Άλφορς(1963) παρατήρησε ότι αν το ∂Ω είναι ένα ημικύκλιο και το *R*1 συμβολίζει την ημικυκλική αντανάκλαση στο ∂Ω τότε η ανάθεση

{\displaystyle \displaystyle {f(z)=R\_{1}fR\_{0}(z)}}
για |*z*| > 1 ορίζει μια οιονεί παραμορφωτική επέκταση της *f* στο εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.

Σύνθετα δυναμικά συστήματα
--------------------------

Νιφάδα Κοχ
Οι οιονεί κύκλοι ήταν γνωστό ότι προκύπτουν ως σύνολα Julia των ορθολογικών χαρτών *R*(*z*). Ο Σάλιβαν (1985) απέδειξε ότι αν το σύνολο Φατού του *R* έχει δύο συνιστώσες και η δράση του R στο σύνολο Julia είναι "υπερβολική", δηλαδή υπάρχουν σταθερές*c* > 0 και *A* > 1 τέτοιες ώστε

{\displaystyle |\partial \_{z}R^{n}(z)|\geq cA^{n}}
στο σύνολο Julia, τότε το σύνολο Julia αποτελεί οιονεί κύκλος.

Υπάρχουν πολλά άλλα παραδείγματα:

* τετραγωνικά πολυώνυμα *R*(*z*) = *z*2 + *c* με σταθερό σημείο έλξης
* το κουνέλι Ντουαντί (*c* = –0.122561 + 0.744862i, όπου *c*3 + 2 *c*2 + *c* + 1 = 0)
* τα τετραγωνικά πολυώνυμα *z*2 + λ*z* με |λ| < 1
* Η Νιφάδα του Κοχ

Οιονεί Fuchsian ομάδες
----------------------

Οι οιονεί Fuchsian ομάδες προκύπτουν ως οιονεί παραμορφώσεις των Fuchsian ομάδων.

Έστω Γ μια ομάδα Fuchsian πρώτου είδους: μια διακριτή υποομάδα της ομάδας Μέμπιους που διατηρεί τον μοναδιαίο κύκλο. που δρα σωστά ασυνεχώς στον μοναδιαίο δίσκο *D' και με οριακό σύνολο τον μοναδιαίο κύκλο.*

Έστω μ(*z*) μια μετρήσιμη συνάρτηση στο *D' με*

{\displaystyle \|\mu \|\_{\infty }<1}
έτσι ώστε το μ να είναι Γ-αναλλοίωτο, δηλ.

{\displaystyle \mu (g(z)){{\overline {\partial \_{z}g(z)}} \over \partial \_{z}g(z)}=\mu (z)}
για κάθε *g* στο Γ. (Το μ είναι επομένως ένα "διαφορικό Μπελτράμι" στην επιφάνεια Ρίμαν *D* / Γ).

Επεκτείνετε το μ σε συνάρτηση επί της **C** θέτοντας μ(*z*) = 0 εκτός *D*.

Η εξίσωση Μπελτράμι

{\displaystyle \partial \_{\overline {z}}f(z)=\mu (z)\partial \_{z}f(z)}
δέχεται μια λύση μοναδική μέχρι τη σύνθεση με έναν μετασχηματισμό Μέμπιους.

Πρόκειται για έναν οµοιοµορφισµό οµοιοµορφίας του εκτεταµένου σύνθετου επιπέδου.

Εάν το *g* είναι στοιχείο του Γ, τότε το *f*(*g*(*z*)) δίνει μια άλλη λύση της εξίσωσης Μπελτράμι, έτσι ώστε

{\displaystyle \alpha (g)=f\circ g\circ f^{-1}}
είναι ένας μετασχηματισμός Μέμπιους.

Η ομάδα α(Γ) είναι μια οιονεί Fuchsian ομάδα με οριακό σύνολο το οιονεί ημικύκλιο που δίνεται από την εικόνα του μοναδιαίου κύκλου υπό *f*.

Διάσταση του Χάουσντορφ
-----------------------

Το κουνέλι του Ντουαντί αποτελείται από οιονεί κύκλους με διάσταση Χάουσντορφ περίπου 1,3934 
Είναι γνωστό ότι υπάρχουν οιονεί κύκλοι για τους οποίους κανένα τμήμα δεν έχει πεπερασμένο μήκος. Η διάσταση Χάουστορφ των οιονεί κύκλων διερευνήθηκε για πρώτη φορά από τους Γκέρινγκ & Väisälä (1973), οι οποίοι απέδειξαν ότι μπορεί να πάρει όλες τις τιμές στο διάστημα [1,2]. Ο Αστάλα (1993), χρησιμοποιώντας τη νέα τεχνική των "ολόμορφων κινήσεων" μπόρεσε να εκτιμήσει την αλλαγή στη διάσταση Χάουσντορφ οποιουδήποτε επίπεδου συνόλου κάτω από έναν κβαντικομορφικό χάρτη με διαστολή Κ. Για τους κβαντικούς κύκλους C, υπήρξε μια αδρή εκτίμηση για τη διάσταση Χάουσντορφ.

{\displaystyle d\_{H}(C)\leq 1+k}
όταν

{\displaystyle k={K-1 \over K+1}.}
Από την άλλη πλευρά, η διάσταση Χάουσντορφ για τα σύνολα Julia Jc των επαναλήψεων των ρητών χαρτών

{\displaystyle R(z)=z^{2}+c}
εκτιμήθηκε ως αποτέλεσμα της εργασίας των Ρούφους Μπόουεν και Ντέιβιντ Ρούελ, οι οποίοι έδειξαν ότι

{\displaystyle 1<d\_{H}(J\_{c})<1+{|c|^{2} \over 4\log 2}+o(|c|^{2}).}
Δεδομένου ότι πρόκειται για οιονεί κύκλους που αντιστοιχούν σε μια διαστολή

{\displaystyle K={\sqrt {1+t \over 1-t}}}
όταν

{\displaystyle t=|1-{\sqrt {1-4c}}|,}
αυτό οδήγησε τους Μπέκερ & Πομερένκε (1987) να δείξουν ότι για μικρά k

{\displaystyle 1+0.36k^{2}\leq d\_{H}(C)\leq 1+37k^{2}.}
Αφού βελτίωσε το κατώτερο όριο μετά από υπολογισμούς για τη νιφάδα Κοχ με τους Στέφεν Ρόουντ και Οντέντ Σραμ, ο Αστάλα (1994) θεώρησε ότι

{\displaystyle d\_{H}(C)\leq 1+k^{2}.}
Η εικασία αυτή αποδείχθηκε από τον Σμίρνοφ (2010)- μια πλήρης περιγραφή της απόδειξής του, πριν από τη δημοσίευση, δόθηκε ήδη στους Αστάλα, Ιβάνιεκ & Μάρτιν (2009).

Για μια οιονεί Fuchsian ομάδα οι Μπόουεν (1979) και Σάλιβαν (1982) έδειξαν ότι η διάσταση Χάουσντορφ *d* του οριακού συνόλου είναι πάντα μεγαλύτερη από 1. Όταν *d* < 2, η ποσότητα

{\displaystyle \lambda =d(2-d)\,\in (0,1)}
είναι η χαμηλότερη τιμή του τελεστή Laplace της αντίστοιχης Υπερβολικής 3-πολύπτυγμα (Hyperbolic 3-manifold).

Βιβλιογραφία
------------

* Ahlfors, Lars V. (1966), *Lectures on quasiconformal mappings*, Van Nostrand
* Ahlfors, L. (1963), «Quasiconformal reflections», *Acta Mathematica* **109**: 291–301, doi:10.1007/bf02391816, Zbl 0121.06403
* Astala, K. (1993), «Distortion of area and dimension under quasiconformal mappings in the plane», *Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.A.* **90** (24): 11958–11959, doi:10.1073/pnas.90.24.11958, PMID 11607447
* Astala, K.; Zinsmeister, M. (1994), «Holomorphic families of quasi-Fuchsian groups», *Ergodic Theory Dynam. Systems* **14** (2): 207–212, doi:10.1017/s0143385700007847
* Astala, K. (1994), «Area distortion of quasiconformal mappings», *Acta Math.* **173**: 37–60, doi:10.1007/bf02392568
* Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2009), *Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane*, Princeton mathematical series, **48**, Princeton University Press, σελ. 332–342, ISBN 978-0-691-13777-3 , Section 13.2, Dimension of quasicircles.
* Becker, J.; Pommerenke, C. (1987), «On the Hausdorff dimension of quasicircles», *Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A I Math.* **12**: 329–333, doi:10.5186/aasfm.1987.1206
* Bers, Lipman (August 1961). «Uniformization by Beltrami equations». *Communications on Pure and Applied Mathematics* **14** (3): 215–228. doi:10.1002/cpa.3160140304. .
* Bowen, R. (1979), «Hausdorff dimension of quasicircles», *Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math.* **50**: 11–25, doi:10.1007/BF02684767,
* Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993), *Complex dynamics*, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97942-7,
* Gehring, F. W.; Väisälä, J. (1973), «Hausdorff dimension and quasiconformal mappings», *Journal of the London Mathematical Society* **6** (3): 504–512, doi:10.1112/jlms/s2-6.3.504
* Gehring, F. W. (1982), *Characteristic properties of quasidisks*, Séminaire de Mathématiques Supérieures, **84**, Presses de l'Université de Montréal, ISBN 978-2-7606-0601-2
* Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), *An Introduction to Teichmüller spaces*, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5  *+*
* Lehto, O. (1987), *Univalent functions and Teichmüller spaces*, Springer-Verlag, σελ. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN 978-0-387-96310-5
* Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), *Quasiconformal mappings in the plane*, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, **126** (Second έκδοση), Springer-Verlag
* Marden, A. (2007), *Outer circles. An introduction to hyperbolic 3-manifolds*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7
* Mumford, D.; Series, C.; Wright, David (2002), *Indra's pearls. The vision of Felix Klein*, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6
* Pfluger, A. (1961), «Ueber die Konstruktion Riemannscher Flächen durch Verheftung», *J. Indian Math. Soc.* **24**: 401–412
* Pommerenke, C. (1975), *Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen*, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, **15**, Vandenhoeck & Ruprecht
* Rohde, S. (1991), «On conformal welding and quasicircles», *Michigan Math. J.* **38**: 111–116, doi:10.1307/mmj/1029004266
* Sullivan, D. (1982), «Discrete conformal groups and measurable dynamics», *Bull. Amer. Math. Soc.* **6**: 57–73, doi:10.1090/s0273-0979-1982-14966-7
* Sullivan, D. (1985), «Quasiconformal homeomorphisms and dynamics, I, Solution of the Fatou-Julia problem on wandering domains», *Annals of Mathematics* **122** (2): 401–418, doi:10.2307/1971308
* Tienari, M. (1962), «Fortsetzung einer quasikonformen Abbildung über einen Jordanbogen», *Ann. Acad. Sci. Fenn. Ser. A* **321**
* Smirnov, S. (2010), «Dimension of quasicircles», *Acta Mathematica* **205**: 189–197, doi:10.1007/s11511-010-0053-8

Δείτε επίσης
------------

* Λωρίδα του Μέμπιους
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. 1 2  «Camille Jordan - Biography». *Maths History* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 9 Οκτωβρίου 2023.
2. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
3. ↑  Lehto, O. (1987), Univalent functions and Teichmüller spaces, Springer-Verlag, pp. 50–59, 111–118, 196–205, ISBN 978-0-387-96310-5
4. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
5. ↑  Internet Archive, Lennart (1995). *Complex dynamics*. New York : Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-97942-7.
6. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
7. ↑  Lehto 1983, σελ. 45.
8. ↑  Λαρς Άλφορς, V. (1966), Lectures on quasiconformal mappings, Van Nostrand
9. ↑   Lehto 1983, pp. 48–49.
10. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
11. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
12. ↑  Pommerenke, C. (1975), Univalent functions, with a chapter on quadratic differentials by Gerd Jensen, Studia Mathematica/Mathematische Lehrbücher, vol. 15, Vandenhoeck & Ruprecht
13. 1 2  Carleson, L.; Gamelin, T. D. W. (1993), Complex dynamics, Universitext: Tracts in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-97942-7
14. ↑  Rohde, S. (1991), "On conformal welding and quasicircles", Michigan Math. J. 38: 111–116, doi:10.1307/mmj/1029004266
15. ↑  Bers, Lipman (1961-08). «Uniformization by Beltrami equations» (στα αγγλικά). *Communications on Pure and Applied Mathematics* **14** (3): 215–228. doi:10.1002/cpa.3160140304. .
16. ↑  Bowen, Rufus (1979-12-01). «Hausdorff dimension of quasi-circles» (στα αγγλικά). *Publications Mathématiques de l'Institut des Hautes Études Scientifiques* **50** (1): 11–25. doi:10.1007/BF02684767. ISSN 1618-1913. .
17. ↑  Mumford, D.; Series, C.; Wright, David (2002), Indra's pearls. The vision of Felix Klein, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35253-6
18. ↑  Imayoshi, Y.; Taniguchi, M. (1992), An Introduction to Teichmüller spaces, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-70088-5 +
19. ↑  Marden, A. (2007), Outer circles. An introduction to hyperbolic 3-manifolds, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7
20. ↑  Carleson & Gamelin 1993, σελ. 122
21. ↑  Lehto, O.; Virtanen, K. I. (1973), Quasiconformal mappings in the plane, Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, vol. 126 (Second ed.), Springer-Verlag
22. ↑  Astala, Kari; Iwaniec, Tadeusz; Martin, Gaven (2009), Elliptic partial differential equations and quasiconformal mappings in the plane, Princeton mathematical series, vol. 48, Princeton University Press, pp. 332–342, ISBN 978-0-691-13777-3, Section 13.2, Dimension of quasicircles.
23. ↑  Astala, K.; Zinsmeister, M. (1994-06). «Holomorphic families of quasi-Fuchsian groups» (στα αγγλικά). *Ergodic Theory and Dynamical Systems* **14** (2): 207–212. doi:10.1017/S0143385700007847. ISSN 1469-4417. .
24. ↑  Marden, A. (2007), Outer circles. An introduction to hyperbolic 3-manifolds, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-83974-7

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |