Διάμεσος {\displaystyle \mathrm {AM} } του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } που αντιστοιχεί στην κορυφή {\displaystyle \mathrm {A} } (και {\displaystyle \mathrm {M} } το μέσο της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }).Οι διάμεσοι ενός τριγώνου διέρχονται από το ίδιο σημείο, το κέντρο βάρους του.
Στη γεωμετρία, η **διάμεσος** ενός τριγώνου είναι το ευθύγραμμο τμήμα το οποίο ενώνει μία κορυφή του τριγώνου με το μέσο της απέναντι πλευράς. Κάθε τρίγωνο έχει ακριβώς τρεις διάμεσους: μία από κάθε κορυφή προς την αντίθετη πλευρά. Συνήθως οι διάμεσοι συμβολίζονται ως {\displaystyle \mu \_{\rm {A}},\mu \_{\rm {B}},\mu \_{\rm {\Gamma }}} ή {\displaystyle \mu \_{\alpha },\mu \_{\beta },\mu \_{\gamma }} αντίστοιχα.

Στην περίπτωση των ισοσκελών και ισόπλευρων τριγώνων, η διάμεσος είναι και διχοτόμος και ύψος μίας κορυφής, της οποίας οι δύο προσκείμενες πλευρές της είναι ίσες.

Βαρύκεντρο
----------

Κύριο λήμμα: Βαρύκεντρο τριγώνου
**Θεώρημα:** Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }, οι τρεις διάμεσοι {\displaystyle \mathrm {AM\_{A}} ,\mathrm {BM\_{B}} ,\mathrm {\Gamma M\_{\Gamma }} } διέρχονται από το ίδιο σημείο {\displaystyle \mathrm {G} }, το **βαρύκεντρο** (ή **κέντρο βάρους**) του τριγώνου. Επιπλέον ισχύει ότι {\displaystyle \mathrm {AG} ={\tfrac {2}{3}}\mu \_{\rm {A}}}.

Σχήμα για την πρώτη απόδειξη.
*(Απόδειξη 1η)* Έστω {\displaystyle {\rm {BM\_{B}}}} και {\displaystyle {\rm {\Gamma M\_{\Gamma }}}} οι διάμεσοι του τριγώνου και {\displaystyle {\rm {G'}}} το σημείο της τομής τους. Επίσης, θεωρούμε το σημείο {\displaystyle {\rm {A'}}} το συμμετρικό του {\displaystyle {\rm {A}}} ως προς το {\displaystyle {\rm {G'}}}, και {\displaystyle {\rm {M'}}} το σημείο τομής του {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} με το {\displaystyle {\rm {A'G'}}}.

Τα ευθύγραμμα τμήματα {\displaystyle {\rm {{M\_{B}G}'}}} και {\displaystyle {\rm {BA'}}} χωρίζουν τo {\displaystyle {\rm {A\Gamma }}} και {\displaystyle {\rm {G'A'}}} σε ίσα μέρη. Από το θεώρημα τομής του Θαλή, προκύπτει ότι 

{\displaystyle {\rm {M\_{\Gamma }G'//BA'}}},
και αντίστοιχα για τα ευθύγραμμα τμήματα {\displaystyle {\rm {M\_{\Gamma }G'}}} και {\displaystyle {\rm {\Gamma A'}}}

{\displaystyle {\rm {M\_{B}G'//\Gamma A'.}}}
Επομένως, το τετράπλευρο {\displaystyle {\rm {BA'\Gamma G'}}} έχει τις απέναντι πλευρές του ανά δύο παράλληλες, άρα είναι παραλληλόγραμμο. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου διχοτομούνται, άρα {\displaystyle {\rm {M'}}} είναι το μέσο του {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}} και άρα {\displaystyle {\rm {AM'}}} η διάμεσος της κορυφής {\displaystyle {\rm {A}}}. Επίσης, {\displaystyle {\rm {M'}}} το μέσο του {\displaystyle {\rm {G'A'}}} και άρα {\displaystyle {\rm {AG={\tfrac {2}{3}}AM'}}}. {\displaystyle \square }

*(Απόδειξη 2η)* Θεωρούμε ένα σημείο αναφοράς {\displaystyle {\rm {O}}} και το σημείο

{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OG}}}={\tfrac {1}{3}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}).}
Θα δείξουμε ότι η προέκταση της {\displaystyle {\rm {AG}}} κατά {\displaystyle {\tfrac {3}{2}}} είναι διάμεσος. 

{\displaystyle {\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {AG}}}={\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\tfrac {1}{2}}\cdot ({\overrightarrow {\rm {OA}}}+{\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}})-{\frac {3}{2}}{\overrightarrow {\rm {OA}}}={\frac {1}{2}}({\overrightarrow {\rm {OB}}}+{\overrightarrow {\rm {O\Gamma }}}),}
που είναι το μέσο του {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}. {\displaystyle \square }

1ο Θεώρημα Διαμέσων
-------------------

Κύριο λήμμα: Πρώτο θεώρημα διαμέσων
Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.
**Θεώρημα:**:41:121 Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} με διάμεσο την {\displaystyle {\rm {AM}}}, ισχύει ότι

{\displaystyle {\rm {AB^{2}+A\Gamma ^{2}=2\cdot AM^{2}+{\frac {1}{2}}B\Gamma ^{2}}}}.
*(Απόδειξη)* Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο {\displaystyle {\rm {AMB}}} έχουμε ότι 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi }. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο {\displaystyle {\rm {AM\Gamma }}} έχουμε ότι 

{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+M\Gamma ^{2}-2\cdot AM\cdot M\Gamma }}\cdot \cos(180^{o}-\phi )}

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\phantom {\rm {A\Gamma ^{2}}}}={\rm {AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB}}\cdot \cos \phi }, | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

καθώς {\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma }}}, αφού {\displaystyle {\rm {M}}} το μέσο του {\displaystyle {\rm {B\Gamma }}}.

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (**1**) και (**2**), λαμβάνουμε ότι

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.}
Χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle {\rm {MB=M\Gamma ={\tfrac {1}{2}}B\Gamma }}} λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. {\displaystyle \square }

**Πόρισμα:** Το μήκος της διαμέσου {\displaystyle \mu \_{a}} δίνεται από τον τύπο 

{\displaystyle \mu \_{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}},
και αντίστοιχα 

{\displaystyle \mu \_{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}} και {\displaystyle \mu \_{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}.

2ο Θεώρημα Διαμέσων
-------------------

Σχήμα απόδειξης δεύτερου θεωρήματος διαμέσων.
**Θεώρημα:** Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle {\rm {AB\Gamma }}} με {\displaystyle {\rm {A\Gamma >AB}}}, διάμεσο την {\displaystyle {\rm {AM}}} και ύψος {\displaystyle {\rm {AH}}}, ισχύει ότι

{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=2\cdot B\Gamma \cdot MH}}}.
*(Απόδειξη)* Αντίστοιχα με την απόδειξη του 1ου θεωρήματος των διαμέσων, έχουμε ότι 

{\displaystyle {\rm {AB^{2}=AM^{2}+MB^{2}-2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}},
και

{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}=AM^{2}+MB^{2}+2\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi }}}.
Παίρνοντας την διαφορά για των δύο παραπάνω σχέσεων, έχουμε ότι

{\displaystyle {\rm {A\Gamma ^{2}-AB^{2}=4\cdot AM\cdot MB\cdot \cos \phi =2\cdot B\Gamma \cdot MH}}},
ολοκληρώνοντας την απόδειξη. {\displaystyle \square }

Ιδιότητες
---------

* Η διάμεσος χωρίζει το τρίγωνο σε δύο τρίγωνα με ίσο εμβαδόν.


| Απόδειξη |
| --- |
| Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου
{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})}.
Τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {ABM} } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma M} } έχουν το ίδιο ύψος {\displaystyle \mathrm {AH} } και ίσες βάσεις {\displaystyle \mathrm {BM} =\mathrm {\Gamma M} ={\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}. Επομένως έχουν και ίσα εμβαδά. |

* Για τις διαμέσους {\displaystyle \mu \_{\rm {A}},\mu \_{\rm {B}},\mu \_{\rm {\Gamma }}} ενός τριγώνου, ισχύουν οι εξής τριγωνομετρικές σχέσεις:261-262:71:127

{\displaystyle \mu \_{\alpha }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {B}}+2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}-\sin ^{2}{\rm {A}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}}, {\displaystyle \quad \mu \_{\beta }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}+2\sin ^{2}{\rm {A}}-\sin ^{2}{\rm {B}}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}} και {\displaystyle \quad \mu \_{\gamma }^{2}=\alpha ^{2}\cdot {\frac {2\sin ^{2}{\rm {A}}+2\sin ^{2}{\rm {B}}-\sin ^{2}{\rm {\Gamma }}}{4\cdot \sin ^{2}{\rm {A}}}}}.
* Σε κάθε τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } },

{\displaystyle \mu \_{\rm {A}}^{2}+\mu \_{\rm {B}}^{2}+\mu \_{\rm {\Gamma }}^{2}={\tfrac {3}{4}}(\alpha ^{2}+\beta ^{2}+\gamma ^{2})},
και
{\displaystyle \mu \_{\rm {A}}^{4}+\mu \_{\rm {B}}^{4}+\mu \_{\rm {\Gamma }}^{4}={\tfrac {9}{16}}\cdot (\alpha ^{4}+\beta ^{4}+\gamma ^{4})}.

Ανισοτικές Σχέσεις
------------------

* Σε κάθε τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } },

{\displaystyle {\tfrac {3}{4}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )<\mu \_{\rm {A}}+\mu \_{\rm {B}}+\mu \_{\rm {\Gamma }}<{\tfrac {3}{2}}\cdot (\alpha +\beta +\gamma )}.
* Αν {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } >\mathrm {B\Gamma } }, τότε

{\displaystyle \mu \_{\rm {\Gamma }}<\mu \_{\rm {B}}<\mu \_{\rm {A}}}.
* Αν {\displaystyle \mathrm {AB} >\mathrm {A\Gamma } }, τότε

{\displaystyle {\tfrac {\mathrm {AB} -\mathrm {A\Gamma } }{2}}<\mu \_{\rm {A}}<{\tfrac {\mathrm {AB} +\mathrm {A\Gamma } }{2}}}.
* Αν {\displaystyle {\hat {\mathrm {A} }}} οξεία γωνία, τότε

{\displaystyle \mathrm {AM} >{\tfrac {\mathrm {B\Gamma } }{2}}}.

Κατασκευή με κανόνα και διαβήτη
-------------------------------

Η διάμεσος κατασκευάζεται με τον ίδιο τρόπου που βρίσκουμε το μέσο ενός ευθύγραμμου τμήματος (δηλαδή κατασκευάζοντας την μεσοκάθετο):

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα {\displaystyle \mathrm {B} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma } } και ακτίνα {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {T} \_{2}} των δύο κύκλων.
3. Χαράζουμε το ευθύγραμμο τμήμα {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}\mathrm {T} \_{2}}.
4. Βρίσκουμε το σημείο τομής {\displaystyle \mathrm {M} } του {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}\mathrm {T} \_{2}} με το {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }.
5. Ενώνουμε τα σημεία {\displaystyle \mathrm {A} } και {\displaystyle \mathrm {M} }

Δείτε επίσης
------------

* Νόμος των συνημιτόνων
* Θεώρημα Στιούαρτ
* Διχοτόμος γωνίας
* Ύψος

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3 4  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.
2. 1 2 3 4  Πανάκης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
3. 1 2  Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
4. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Ευθύγραμμος τριγωνομετρία*. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
5. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. *Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας*. Αθήνα: Εκδοτικός Οίκος Πέτρου Γ. Τόγκα.
6. 1 2  Posamentier, Alfred S. and Salkind, Charles T. *Challenging Problems in Geometry*, Dover, 1996: pp. 86-87.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Διάμεσοι και Διχοτόμοι ενός Τριγώνου
* Διάμεσοι
* Area of Median Triangle
* Διάμεσοι ενός Τριγώνου Με διαδραστικό animation
* Κατασκευάζοντας τη διάμεσο ενός τριγώνου με διαβήτη και κανόνα
* Weisstein, Eric W. "Διάμεσος τριγώνου" από το MathWorld.