Στα μαθηματικά, η **συνάρτηση του Βολτέρρα**, η οποία πήρε το όνομά της από τον Βίτο Βολτέρρα, είναι μια πραγματική συνάρτηση V που ορίζεται στο \mathbb{R}  με τον ακόλουθο περίεργο συνδυασμό ιδιοτήτων:

* Η *V* είναι διαφορίσιμη παντού ,
* η παράγωγος *V'* είναι παντού περιορισμένη,
* η παράγωγος δεν είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Τα τρία πρώτα στάδια κατασκευής.

Ορισμός και κατασκευή
---------------------

Η συνάρτηση ορίζεται από το Σύνολο Σμιθ-Βολτέρρα-Κάντορ, το οποίο θα σημειωθεί εδώ ως S, και "αντίγραφα" της συνάρτησης f που ορίζεται από τη σχέση {\displaystyle f(x)=x^{2}sin\left({\frac {1}{x}}\right)} για x ≠ 0 και {\displaystyle f(0)=0}, με στόχο την κατασκευή μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής σε ένα σύνολο μη μηδενικών μέτρο. Μια τέτοια παράγωγος δεν μπορεί να είναι ολοκληρώσιμη κατά Ρίμαν.

Το σύνολο S είναι ένα κλειστό τμήμα του [0,1], με μη μηδενικό μέτρο, κενό εσωτερικό και χωρίς απομονωμένα σημεία. Το συμπλήρωμά του στο [0,1] είναι μια μετρήσιμη ένωση ανοικτών διαστημάτων. Η συνάρτηση Βολτέρρα ορίζεται ως εξής. Είναι μηδέν στο S. Σε κάθε ανοικτό διάστημα {\displaystyle ]a,b[} του συμπληρωματικού του S, είναι ίση με μια διαφορίσιμη συνάρτηση, με συνεχή παράγωγο, που επεκτείνεται στο *a* και στο *b* σε μια συνεχή και διαφορίσιμη συνάρτηση, με {\displaystyle f(a)=f(b)=f'(a)=f'(b)=0}, αλλά με τέτοιο τρόπο ώστε η παράγωγος να είναι ασυνεχής στο *a* και στο *b*. Για να το κάνουμε αυτό, προσαρμόζουμε στο διάστημα {\displaystyle ]a,b[} την παρακάτω κατασκευή, που πραγματοποιήθηκε, για να απλοποιήσουμε τους συμβολισμούς, για την περίπτωση του διαστήματος ]0,1[ :

* Έστω {\displaystyle f(x)=x^{2}\sin \left({\frac {1}{x}}\right)} για {\displaystyle x\in ]0,c]}, με *c* ένα πραγματικό στοιχείο του {\displaystyle ]0,{\frac {1}{2}}]} και τέτοιο ώστε {\displaystyle f'(c)=0}.
* Έστω {\displaystyle f(x)=f(c)} πάνω στο {\displaystyle [c,{\frac {1}{2}}]}.
* Έστω {\displaystyle f(x)=f(1-x)} στο {\displaystyle [{\frac {1}{2}},1]}\*

Ιδιότητες
---------

Αφού ολοκληρώσουμε μια ανάλογη κατασκευή σε κάθε διάστημα του συμπληρώματος του S, λαμβάνουμε μια συνάρτηση V παραγωγίσιμη σε οποιοδήποτε σημείο του {\displaystyle [0,1]}, και της οποίας η παράγωγος είναι ασυνεχής στο S και συνεχής στο συμπλήρωμά του .

Πράγματι, η παραπάνω συνάρτηση *f* είναι παραγωγίσιμη στο 0, με μηδενική παράγωγο. Αλλά για μη μηδενικό *x*, έχουμε {\displaystyle f'(x)=2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}, το οποίο σημαίνει ότι σε οποιαδήποτε γειτονιά του μηδενός, υπάρχουν σημεία όπου η {\displaystyle f'(x)} παίρνει τις τιμές 1 και -1. Έτσι, υπάρχουν σημεία όπου το {\displaystyle V'(x)} παίρνει τις τιμές 1 και -1 σε κάθε γειτονιά κάθε ορίου των διαστημάτων που αφαιρούνται κατά την κατασκευή του συνόλου S του Σμιθ, Βόλτερρα και Κάντορ. Έτσι, σε οποιοδήποτε σημείο του S, το *V* είναι παραγωγίσιμο, με μηδενική παράγωγο, αλλά το {\displaystyle V'(x)} εκεί είναι ασυνεχές. Ωστόσο, η {\displaystyle V'} είναι συνεχής σε κάθε ένα από αυτά τα διαστήματα, οπότε το σύνολο των σημείων ασυνέχειας της {\displaystyle V'} είναι ακριβώς ίσο με το S.

Δεδομένου ότι το σύνολο S έχει αυστηρά θετικό μέτρο Λεμπεσγκ, αυτό σημαίνει ότι το {\displaystyle V'} είναι ασυνεχές σε ένα σύνολο μη μηδενικού μέτρου, και επομένως δεν είναι ολοκληρώσιμο κατά Ρίμαν. · .

Σημειώστε ότι αν είχαμε πραγματοποιήσει την ίδια κατασκευή στο σύνολο Cantor C, θα είχαμε λάβει μια συνάρτηση με παρόμοιες ιδιότητες, αλλά η παράγωγος θα ήταν ασυνεχής στο C, το οποίο έχει μέτρο μηδέν, και η συνάρτηση που θα λαμβάναμε θα είχε τότε μια ολοκληρώσιμη παράγωγο Ρίμαν.

Δημοσιεύσεις
------------

* Αρχειοθετήθηκε 2020-11-23 στο Wayback Machine. *Wrestling with the Fundamental Theorem of Calculus: Volterra's function*, talk by David Marius Bressoud
* Αρχειοθετήθηκε 2016-03-03 στο Wayback Machine. *Volterra's example of a derivative that is not integrable* (**PPT**), talk by David Marius Bressoud

Δείτε επίσης
------------

* Βίτο Βολτέρρα
* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. ↑  Gripenberg, G.· Londen, S. O. (1990). *Volterra Integral and Functional Equations*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-37289-3.
2. 1 2  The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon|page=35-36-éditeur=American Math. Society 1994, ISBN 0-8218-3805-9
3. ↑  «Volterra's Function - Definition and Construction | Definition Construction». *www.liquisearch.com*. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2023.
4. ↑  «Integral operators of volterra-stieltjes type, their properties and applications» (στα αγγλικά). *Mathematical and Computer Modelling* **32** (11-13): 1321–1331. 2000-12-01. doi:10.1016/S0895-7177(00)00207-7. ISSN 0895-7177. .
5. ↑  The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, auteur=R. A. Gordon page=39,|éditeur=American Math. Society année=1994 ISBN 0-8218-3805-9
6. ↑  L'intégrale de Lebesgue sur la droite réelle auteur=J.-A. Arnaudiès|éditeur=Vuivert année=1997 page=274 ISBN 2-7117-8904-7

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Κλάδοι των μαθηματικών |
| --- |
|  |
| 
* Άλγεβρα
* Μαθηματική ανάλυση
* Γεωμετρία
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Διακριτά μαθηματικά
* Θεμέλια των μαθηματικών
 |

 |


|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |