Στα μαθηματικά, μια **άλγεβρα φον Νόιμαν** ή **W\*-άλγεβρα** είναι μία \*-άλγεβρα φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ, κλειστό στην ασθενή τοπολογία τελεστών και περιέχει τον ταυτοτικό τελεστή. Την είχε αρχικά εισαγάγει ο Τζον φον Νόιμαν, υποκινούμενος από τη μελέτη του στους μοναδιαίους τελεστές, στις αναπαραστάσεις ομάδας, στην εργοδική θεωρία και στη κβαντική μηχανική. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημά του δείχνει ότι ο αναλυτικός ορισμός είναι ισοδύναμος με ένα καθαρά αλγεβρικό ορισμό ως άλγεβρα συμμετριών.

Υπάρχουν δυο βασικά παραδείγματα των αλγεβρών φον Νόιμαν. Ο δακτύλιος L∞**(R)** των ουσιωδώς φραγμένων μετρήσιμων συναρτήσεων στον πραγματικό άξονα, είναι μια αντιμεταθετική άλγεβρα φον Νόιμαν, η οποία ενεργεί με σημειακό πολλαπλασιασμό στο χώρο Χίλμπερτ L2**(R)** των τετραγωνικά ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Η άλγεβρα Β(Η) όλων των φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ *H* είναι μια άλγεβρα φον Νόιμαν μη-αντιμεταθετική, αν ο χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση τουλάχιστον 2.

Οι άλγεβρες φον Νόιμαν μελετήθηκαν για πρώτη φορά από τον von Neumann (1929)· αυτός και ο Φράνσις Μάρεϊ (Francis Joseph Murray) ανέπτυξαν τη βασική θεωρία, σύμφωνα με το αρχικό όνομα των δακτυλίων των τελεστών, σε μια σειρά από εργασίες που γράφτηκαν στην δεκαετία του 1930 και του 1940 (F.J. Murray & J. von Neumann 1938, 1940, 1943, 1949) και επανεκδόθηκαν στα άπαντα του von Neumann (1961).

Οι αρχικές αναφορές του φον Νόιμαν μπορούν να βρεθούν σε διαδικτυακές σημειώσεις του Jones (2003) και του Wassermann (1991), καθώς και στα βιβλία των Dixmier (1981), Schwartz (1967), Blackadar (2005) και Sakai (1971). Η τρίτομη μελέτη του Takesaki (1979) δίνει μια εγκυκλοπαιδική αναφορά της θεωρίας. Το βιβλίο του Connes (1994) ασχολείται με πιο επιτηδευμένα θέματα.

Ορισμοί
-------

Υπάρχουν τρεις κοινοί τρόποι για να καθοριστούν οι άλγεβρες φον Νόιμαν.

Ο πρώτος και πιο συνηθισμένος τρόπος είναι να τις ορίσουμε ως ασθενείς κλειστές \*-άλγεβρες φραγμένων τελεστών (σε ένα χώρο Χίλμπερτ) που περιέχουν τον ταυτοτικό. Σε αυτό τον ορισμό η ασθενής τοπολογία (τελεστών) μπορεί να αντικατασταθεί από πολλές άλλες κοινές τοπολογίες συμπεριλαμβανομένων των ισχυρών, υπερισχυρών η υπερασθενών τοπολογιών τελεστή. Οι \*-άλγεβρες των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστές σε τοπολογία νόρμας είναι οι C\*-άλγεβρες. Οπότε, πιο συγκεκριμένα, κάθε άλγεβρα φον Νόιμαν είναι μια C\*-άλγεβρα.

Ο δεύτερος ορισμός είναι ότι μια άλγεβρα φον Νόιμαν είναι ένα υποσύνολο των φραγμένων τελεστών που είναι κλειστοί σε \* και ίσοι με τη διπλή τους αντιμετάθεση, ή ισοδύναμα η αντιμετάθεση με κάποια υποσύνολα κλειστά σε \*. Το διπλό αντιμεταθετικό θεώρημα φον Νόιμαν (von Neumann 1929) αποδεικνύει ότι οι 2 πρώτοι ορισμοί είναι ισοδύναμοι.

Οι δυο πρώτοι ορισμοί περιγράφουν μια άλγεβρα φον Νόιμαν συγκεκριμένα ως ένα σύνολο τελεστών που ενεργούν σε ένα συγκεκριμένο χώρο Χίλμπερτ. Ο Sakai (1971) έδειξε ότι οι άλγεβρες φον Νόιμαν μπορούν επίσης να οριστούν αφηρημένα ως C\*-άλγεβρες που έχουν προδυϊκό χώρο (predual)· με άλλα λόγια η άλγεβρα φον Νόιμαν, που θεωρείται ως χώρος Μπάναχ (Banach space), είναι δευτερεύουσα ενός άλλου χώρου Μπάναχ που λέγεται προδυϊκός. Ο προδυϊκός μιας άλγεβρας φον Νόιμαν είναι στη πραγματικότητα o μοναδικός ισομορφισμός. Μερικοί συγγραφείς χρησιμοποιούν τον όρο *άλγεβρα φον Νόιμαν* για τις άλγεβρες που ενεργούν σε ένα χώρο Χίλμπερτ και *W\*-άλγεβρα* για την αφηρημένη έννοια, έτσι μια άλγεβρα φον Νόιμαν είναι μια W\*-άλγεβρα μαζί με ένα χώρο Χίλμπερτ και μια κατάλληλη πιστή μοναδιαία δράση στο χώρο Χίλμπερτ. Οι συγκεκριμένοι και αφηρημένοι ορισμοί στην άλγεβρα φον Νόιμαν είναι παρόμοιοι με τους συγκεκριμένους και αφηρημένους ορισμούς της C\*-άλγεβρας, η οποία μπορεί να ορισθεί είτε ως κλειστή σε νόρμα \*-άλγεβρες τελεστών σε χώρο Χίλμπερτ, ή σε Μπάναχ \*-άλγεβρες τέτοιο ώστε ||αα\*||=||α||||α\*||.

Ορολογία
--------

Μέρος της ορολογίας στη θεωρία άλγεβρας του φον Νόιμαν μπορεί να προκαλέσει σύγχυση, και οι όροι συνήθως έχουν διαφορετική σημασία έξω από τη θεωρία αυτή.

* Ο **παράγοντας** είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα με τετριμμένο κέντρο, δηλαδή ένα κέντρο που περιέχει μόνο βαθμωτούς τελεστές.
* Μια **πεπερασμένη** φον Νόιμαν άλγεβρα είναι αυτή η οποία είναι η άμεση ολοκλήρωση παραγόντων. Ομοίως **κατάλληλες άπειρες** φον Νόιμαν άλγεβρες είναι η άμεση ολοκλήρωση κατάλληλων άπειρων παραγόντων.
* Μια φον Νόιμαν άλγεβρα που δρα σε ένα διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ λέγεται **διαχωρίσιμη**. Σημειώστε ότι αυτές οι άλγεβρες είναι σπάνια διαχωρίσιμες σε μια τοπολογία νόρμας.
* Η φον Νόιμαν άλγεβρα που **παράγεται** από ένα σύνολο φραγμένων τελεστών σε ένα χώρο Χίλμπερτ είναι η μικρότερη φον Νόιμαν άλγεβρα που περιέχει όλους αυτούς τους τελεστές.
* Το **τανυστικό γινόμενο** δυο φον Νόιμαν αλγεβρών που δρουν σε δυο χώρους Χίλμπερτ ορίζεται να είναι η φον Νόιμαν άλγεβρα που παράγεται από το αλγεβρικό τανυστικό γινόμενό τους, θεωρείται ως τελεστές σε ένα Χίλμπερτ χώρο με τανυστικό γινόμενο, των χώρων Χίλμπερτ.

Ξεχνώντας τη τοπολογία σε μια φον Νόιμαν άλγεβρα μπορούμε να τη θεωρήσουμε ως (μοναδιαία) \*-άλγεβρα, ή απλώς δακτύλιο.Οι φον Νόιμαν άλγεβρες είναι ημι-κληρονομικές: κάθε πεπερασμένο παραγόμενο υποπρότυπο ενός προβολικού προτύπου είναι και αυτό προβολικό.Έχουν υπάρξει πολλές προσπάθειες να γίνουν αξίωμα οι υποκείμενοι δακτύλιοι των φον Νόιμαν αλγεβρών, συμπεριλαμβανομένου των Baer\*-δακτυλίων και των AW\*αλγεβρων. Η \*-άλγεβρα των συνδεδεμένων τελεστών μιας πεπερασμένης φον Νόιμαν άλγεβρας είναι ένας φον Νόιμαν κανονικός δακτύλιος. (Η ίδια η φον Νόιμαν άλγεβρα είναι σε γενικές γραμμές μη κανονική φον Νόιμαν άλγεβρα.)

Αντιμεταθετικές φον Νόιμαν άλγεβρες
-----------------------------------

*Κύριο άρθρο: Αβελιανή φον Νόιμαν άλγεβρα*  

Η σχέση μεταξύ αντιμεταθετικών αλγεβρών και μετρήσιμων χώρων είναι ανάλογη με αυτή των αντιμεταθετικών C\*-αλγεβρών και των τοπικά συμπαγών χώρων Χαουσντορφ. Κάθε αντιμεταθετική φον Νόιμαν άλγεβρα είναι ισομορφική με το L∞(Χ) για κάποιους μετρήσιμους χώρους (Χ,μ) και αντίστροφα, για κάθε σ-πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο Χ, η \*-άλγεβρα L∞(Χ) είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα.  

Λόγω αυτής της αναλογίας, η θεωρία των φον Νόιμαν αλγεβρών έχει κληθεί μη-αντιμεταθετική θεωρία μέτρου, καθώς η θεωρία των C\*-αλγεβρών μερικές φορές καλείται μη-αντιμεταθετική τοπολογία ([[[Connes 1994]]]).

Προβολές
--------

Οι τελεστές *Ε* σε μια φον Νόιμαν άλγεβρα για την οποία *Ε=ΕΕ=Ε\** ονομάζονται **προβολές**, είναι αυτοί οι τελεστές που δίνουν μια ορθογώνια προβολή του *Η* σε κάποιο κλειστό υπόχωρο. Ένας υπόχωρος του χώρου Χίλμπερτ *Η* λέγεται ότι **ανήκει στην** φον Νόιμαν άλγεβρα *Μ* αν είναι η εικόνα κάποιας προβολής στη *Μ*. Άτυπα αυτοί είναι οι κλειστοί υποχώροι που περιγράφονται από στοιχεία της *Μ*, ή ότι ορίζει η *Μ*.Η κλειστότητα της εικόνας οποιοδήποτε τελεστή στην *Μ* ή ο πυρήνας οποιουδήποτε τελεστή στν *Μ* ανήκει στην *Μ*, και η κλειστότητα της εικόνας οποιουδήποτε υποχώρου της Μ με ένα τελεστή στην Μ, επίσης ανήκει στην *Μ*. Υπάρχει μια ένα-προς-ένα αντιστοιχία μεταξύ των προβολών της *Μ* και των υποχώρων της( συνέπεια της πολικής ανάλυσης).  

Η βασική θεωρία των προβολών εκπονήθηκε από τους Μουράι και φον Νόιμαν (1936). Δυο υπόχωροι που ανήκουν στην Μ ονομάζονται (*Μουράι-φον Νόιμαν*) *ισοδύναμοι* αν υπάρχει μερική ισομετρία που αντιστοιχεί τον πρώτο ισομορφικά στο δεύτερο, που αποτελεί στοιχείο της άλγεβρας φον Νόιμαν (άτυπα ,αν η Μ ορίζει ότι οι υπόχωροι είναι ισομορφικοί).Αυτό περιλαμβάνει μια φυσική σχέση ισοδυναμίας στις προβολές προσδιορίζοντας το *Ε* να είναι ισοδύναμο με το F αν οι αντίστοιχοι υπόχωροι είναι ισοδύναμοι, ή με άλλα λόγια, αν υπάρχει μια μερική ισομετρία του Η που αντιστοιχεί την εικόνα του Ε ισομετρικά στην εικόνα του F και είναι ένα στοιχείο της φον Νόιμαν άλγεβρα. Ένας άλλος τρόπος να δηλώσουμε αυτό είναι ότι η Ε είναι ισοδύναμη με την F αν E=uu\* και F=u\*u για κάποια μερική ισομετρία u στην M.  

Η σχέση ισοδυναμίας ~, έτσι όπως ορίζεται είναι πρόσθετη στην εξής έννοια: Ας υποθέσουμε ότι Ε1~F1 και E2~F2. Αν Ε1⊥E2 και F1⊥F2, τότε Ε1+Ε2~F1+F2. Αυτό δεν είναι αλήθεια σε γενικές γραμμές, αν απαιτείται μοναδιαία ισοδυναμία στον ορισμό του ~, δηλαδή αν πούμε Ε είναι ισοδύναμη με την F αν u\*Eu=F για κάποιο μοναδιαίο u.

Οι υποχώροι που ανήκουν στην Μ είναι μερικώς διατεταγμένοι από την έκλιση, και αυτό περιλαμβάνει μια μερική διάταξη ≤ των προβολών. Υπάρχει επίσης μια φυσική μερική διάταξη στο σύνολο των  *κλάσεων ισοδυναμίας* των προβολών, που προκαλείται από την μερική διάταξη ≤ των προβολών. Αν η Μ είναι τελεστής, η ≤ είναι μια ολική διάταξη στις κλάσεις ισοδυναμίας των προβολών, που περιγράφονται στην ενότητα των ίχνών (traces) παρακάτω.

Η προβολή (ή ένας υποχώρος της Μ) λέγεται πεπερασμένη προβολή, αν δεν υπάρχει καμία προβολή F<E που είναι ισοδύναμη της Ε. Για παράδειγμα όλες οι πεπερασμένης διάστασης προβολές (υποχώροι) είναι πεπερασμένες (εφόσον οι ισομετρίες μεταξύ των χώρων Χίλμπερτ αφήνουν τη διάσταση σταθερή), αλλά ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν άπειρης διάστασης χώρο Χίλμπερτ δεν είναι πεπερασμένος στη φον Νόιμαν άλγεβρα των φραγμένων τελεστών, εφόσον είναι ισομετρικά ισόμορφο με ένα κατάλληλο υποσύνολο του εαυτού του. Παρόλα αυτά είναι δυνατό οι άπειρης διάστασης υποχώροι να είναι πεπερασμένοι.  

Οι ορθογώνιες προβολές δεν είναι αντιμεταθετικές αναλογίες του δείκτη της συνάρτησης L∞(**R**).L∞(**R**) είναι η ||·||∞–κλειστότητα του υποχώρου που παράγεται από το δείκτη των συναρτήσεων (indicator factors).Παρόμοια μια φον Νόιμαν άλγεβρα παράγεται απο τις προβολές της, αυτό είναι συνέπεια του φασματικού θεωρήματος για τους αυτοσυζυγείς τελεστές.  

Οι προβολές ενός πεπερασμένου τελεστή από μια συνεχή γεωμετρία.

Παράγοντες
----------

Μία άλγεβρα φον Νόιμαν *Ν* της οποίας το κέντρο αποτελείται μόνο από πολλαπλάσια της πράξης της ταυτότητας ονομάζεται **παράγοντας**. φον Νόιμαν (1949) έδειξε ότι κάθε φον Νόιμαν άλγεβρα σε διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ είναι ισόμορφη με ευθύ ολοκλήρωμα από παράγοντες. Αυτή η ανάλυση είναι ουσιαστικά μοναδική. Έτσι, το πρόβλημα της ταξινόμησης ισομορφισμού των τάξεων της άλγεβρας φον Νόιμαν σχετικά με διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ μπορεί να μειωθεί σε εκείνη της ταξινόμησης τάξεων σε ισομορφισμούς παραγόντων.

Μουρέι & φον Νόιμαν (1936) έδειξε ότι κάθε παράγοντας έχει έναν από τους 3 τύπους, όπως περιγράφεται παρακάτω. Η ταξινόμηση τύπου μπορεί να επεκταθεί σε Χίλμπερτ άλγεβρες που δεν είναι παράγοντες, και μια φον Νόιμαν άλγεβρα είναι τύπου Χ, εάν μπορεί να αναλυθεί ως άμεσο ολοκλήρωμα του τύπου παραγόντων Χ? Για παράδειγμα, κάθε αντιμεταθετική φον Νόιμαν άλγεβρα έχει τύπου I1. Κάθε άλγεβρα φον Νόιμαν μπορεί να γραφτεί με μοναδικό τρόπο ως άθροισμα των φον Νόιμαν άλγεβρες των τύπων I1. I1.

Υπάρχουν πολλοί άλλοι τρόποι για να διαιρέσει τους παράγοντες σε κλάσεις που χρησιμοποιούνται μερικές φορές:

* Ένας παράγοντας που ονομάζεται **διακριτός** (ή περιστασιακά **εξημερωμένος**) εάν έχει τύπου Ι, και **συνεχής** (ή περιστασιακά **άγριος**) αν έχει τύπο II ή III.
* Ένας παράγοντας που ονομάζεται **ημιπεπερασμένος** εάν έχει τύπου Ι ή II, και **καθαρά άπειρος** αν έχει τύπου III.
* Ένας παράγοντας που ονομάζεται **πεπερασμένος** εάν η προβολή 1 είναι πεπερασμένη και **γνησίως άπειρος** διαφορετικά. Παράγοντες των τύπων Ι και ΙΙ μπορεί να είναι είτε πεπερασμένοι είτε γνησίως άπειροι, αλλά και παράγοντες του τύπου III είναι πάντα γνησίως άπειροι.

### Παράγοντες τύπου Ι

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι *'τύπου Ι'* αν υπάρχει μια ελάχιστη προβολή *Ε ≠ 0*,δηλαδή μια προβολή *Ε*, έτσι ώστε δεν υπάρχει άλλη προβολή *Φ* με 0 < *Φ* < *Ε*. Κάθε παράγοντας τύπου I είναι ισομορφικός στην φον Νόιμαν άλγεβρα όλων των φραγμένων τελεστών σε κάποιο χώρο Χίλμπερτ; Δεδομένου ότι υπάρχει ένας χώρος Χίλμπερτ για κάθε πληθικό αριθμό, οι κλάσεις ισομορφισμού των παραγόντων του τύπου Ι αντιστοιχούν ακριβώς στους πληθικούς αριθμούς. Δεδομένου ότι πολλοί συγγραφείς θεωρούν τις φον Νόιμαν άλγεβρες μόνο σε διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ, είναι σύνηθες να καλέσει τους φραγμένους τελεστές σε ένα χώρο Χίλμπερτ πεπερασμένης διάστασης *n* παράγοντα τύπου Ι *n*
και οι φραγμένοι τελεστές σε ένα διαχωρίσιμο απείρων διαστάσεων χώρο Χίλμπερτ, ένα παράγοντα τύπου Ι ∞.

### Παράγοντες τύπου ΙΙ

Ένας παράγοντας λέγεται ότι είναι **τύπου ΙΙ** αν δεν υπάρχουν ελάχιστες προβολές, αλλά υπάρχουν μη-μηδενικές πεπερασμένες προβολές. Αυτό σημαίνει ότι κάθε προβολή *Ε* μπορεί να μειωθεί στο μισό, με την έννοια ότι υπάρχουν ισοδύναμες προβολές *Φ* και *Γ*, έτσι ώστε *Ε* =*Φ*+*Γ*. Εάν ο ταυτοτικός τελεστής σε έναν παράγοντα τύπου II είναι πεπερασμένος, ο παράγοντας λέγεται ότι είναι του τύπου II 1; Σε αντίθετη περίπτωση, λέγεται ότι είναι του τύπου II ∞. Οι καλύτερα κατανοητοί παράγοντες του τύπου II είναι υπερπεπερασμένος τύπου II1 παράγοντας και ο υπερπεπερασμένος τύπου II∞ παράγοντας, βρέθηκε από Μουρέι & φον Νόιμαν (1936). Αυτοί είναι οι μοναδικοί υπερπεπερασμένοι παραγοντες τύπου ΙΙ 1 και ΙΙ ∞; υπάρχει ένας ανυπολόγιστος αριθμός άλλων παραγόντων από αυτούς τους τύπους που αποτελούν αντικείμενο εντατικής μελέτης. Μουρέι & φον Νόιμαν (1937) αποδείχθηκε το βασικό αποτέλεσμα ότι ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ 1 έχει μία μοναδική πεπερασμένη εγγράψιμη κατάσταση και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0,1].

Ένας παράγοντας του τύπου ΙΙ ∞ έχει μοναδικό ημιπεπερασμένο ίχνος με αναγωγή, και το σύνολο των ιχνών των προβολών είναι [0, ∞]. Το σύνολο των πραγματικών αριθμών λ έτσι ώστε να υπάρχει μια κλίμακα αυτομορφισμού και το ίχνος από ένα συντελεστή λ ονομάζεται **βασική ομάδα** του τύπου II
∞ παράγοντα.

Το τανυστικό γινόμενο ενός παράγοντα του τύπου II 1 και ενός άπειρου παράγοντα τύπου Ι έχει τον τύπο II ∞ και αντίστροφα κάθε παράγοντα του τύπου II ∞ μπορεί να κατασκευαστεί σαν αυτό. Η **Βασική ομάδα** τύπου II1 παράγοντα ορίζεται ως η θεμελιώδης μονάδα τανυστικού γινομένου της με το άπειρο (διαχωρισμένο) παράγοντα του τύπου Ι. Για πολλά χρόνια, ήταν ένα ανοικτό πρόβλημα να βρει έναν παράγοντα τύπου II των οποίων η θεμελιώδη ομάδα δεν ήταν η ομάδα όλων των θετικών πραγματικών, αλλά ο Κονς στη συνέχεια έδειξε ότι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από μία αριθμήσιμη διακριτή ομάδα με την ιδιοτητα Καζντάν του T τετριμμένη αναπαράσταση απομονώνεται στο δυΪκό χώρο, όπως ΣΛ (3,**Ζ**), έχει μια μετρήσιμη βασική ομάδα. Στη συνέχεια ο Sorin Popa έδειξε ότι η βασική ομάδα μπορεί να είναι τετριμμένη για ορισμένες ομάδες, συμπεριλαμβανομένης και της ημιευθές γινόμενο του **Ζ**2 από το ΣΛ(2,**Ζ**).

Ένα παράδειγμα ενός τύπου II 1 παράγοντας είναι η ομάδα άλγεβρα φον Νόιμαν από ένα αριθμήσιμο άπειρο αριθμό διαφορετικών διακριτών ομάδων, έτσι ώστε κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας να είναι άπειρη. 
ΜσΝτουφ (1969) βρήκε μια οικογένεια αμέτρητες τέτοιες ομάδες με μη-ισομορφικές άλγεβρες ομάδες φον Νόιμαν, δείχνοντας έτσι την ύπαρξη πολλών διαφορετικών, αμέτρητων διαχωρίσιμων τύπου II1 παραγόντων.

### Παράγοντες τύπου ΙΙΙ

Τέλος, *'τύπου III'* παράγοντες είναι παράγοντες που δεν περιέχουν μη μηδενικές πεπερασμένες προβολές καθόλου. Στην πρώτη εργασία τους οι Μουρέι & φον Νόιμαν (1936) δεν ήταν σε θέση να αποφασίσουν κατά πόσον ή όχι υπήρχαν; τα πρώτα δείγματα βρέθηκαν αργότερα από φον Νόιμαν (1940). Δεδομένου ότι ο φραγμένος τελεστής είναι πάντα άπειρο σε αυτούς τους παράγοντες, που μερικές φορές ονομάζεται τύπου III ∞ κατά το παρελθόν, αλλά πρόσφατα αυτή η σημειογραφία έχει αντικατασταθεί από την παράσταση III λ, όπου λ είναι ένας πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0,1]. Πιο συγκεκριμένα, αν το φάσμα Κονς (με μέτρο της ομάδας του) είναι 1, τότε ο συντελεστής είναι του τύπου III 0, αν το φάσμα Κονς είναι όλες οι αναπόσπαστες δυνάμεις του λ για 0 < λ < 1, τότε ο τύπος είναι III λ, και αν το φάσμα Κονς είναι όλοι οι θετικοί πραγματικοί τότε ο τύπος είναι III 1. (Το φάσμα Κονς είναι μια κλειστή υποομάδα των θετικών πραγματικών, ώστε αυτοί να είναι οι μόνες δυνατότητες.) Το μόνο ίχνος σχετικά με τον τύπο III παράγοντες παίρνει την τιμή ∞ σε όλα τα μη-μηδενικά θετικά στοιχεία, καθώς και κάθε δύο μη μηδενικές προβολές είναι ισοδύναμες. κάποτε οι παράγοντες τύπου III θεωρήθηκαν δυσεπίλυτο αντικείμενο, αλλά θεωρία Τομίτα-Τακεσάκι, έχει οδηγήσει σε μια καλή θεωρία δομής. Ειδικότερα, κάθε παράγοντας τύπου III μπορεί να γραφτεί σε έναν κανονικό τρόπο όπως η διασταυρούμενο προιόν παράγοντας του τύπου II∞ και οι πραγματικοί αριθμοί.

Ο προδυϊκός (The predual)
-------------------------

Κάθε φον Νόιμαν άλγεβρα  *Μ* έχει **προδυϊκός**  *Μ*∗, που είναι ο χώρος Μπάναχ όλων των εξαιρετικά ασθενώς συνεχών γραμμικών συναρτησοειδών στο *Μ*. Όπως υποδηλώνει το όνομα, *Μ* είναι (ως ένα χώρο Μπάναχ) η δυϊκή του προδυϊκού της. Ο προδυϊκός είναι μοναδικός με την έννοια ότι σε κάθε άλλο χώρο Μπάναχ των οποίων είναι δυϊκή *Μ* είναι κανονικώς ισομορφικό στο *M*∗. Σακέι (1971) έδειξε ότι η ύπαρξη ενός προδυϊκού χαρακτηρίζει μεταξύ φον Νόιμαν αλγεβρών και C \* αλγεβρών.
Ο ορισμός του προδυϊκού δίνεται παραπάνω φαίνεται να εξαρτάται από την επιλογή του χώρου Χίλμπερτ που *Μ* δρα πάνω, καθώς αυτό καθορίζει την υπερασθενή τοπολογία. Ωστόσο, ο προδυϊκός μπορεί επίσης να οριστεί χωρίς τη χρήση του χώρου Χίλμπερτ που πάνω ενεργεί το *Μ* ορίζοντας ότι είναι ο χώρος που παράγεται από όλα τα θετικά **κανονικά** γραμμικά συναρτησοειδή στο *Μ*. (Εδώ "κανονική" σημαίνει ότι διατηρεί το ελάχιστο άνω φράγμα όταν εφαρμόζεται σε αύξοντα δίκτυα των συζυγών τελεστών; 
ή ισοδύναμα σε αύξουσες ακολουθίες των προβολών.)

ο προδυϊκός *Μ*∗ είναι ένας κλειστός υπόχωρος του δυϊκού *Μ\** (το οποίο αποτελείται από όλες τις νόρμες-συνεχή γραμμικά συναρτησιακά στο *Μ*), αλλά είναι γενικά μικρότερος. Η απόδειξη είναι ότι *Μ*∗ (συνήθως) δεν είναι το ίδιο όπως *M\** είναι μη εποικοδομητικές και χρησιμοποιεί το αξίωμα της επιλογής σε ένα βασικό τρόπο; είναι πολύ δύσκολο να παρουσιάζουν σαφή στοιχεία της *Μ\** που δεν είναι στο *Μ*∗. Για παράδειγμα, με εξωτικά θετική γραμμική μορφή για την φον Νόιμαν άλγεβρα *l*∞(*Z*) δίνονται από ελεύθερα υπερφίλτρα που αντιστοιχούν σε εξωτικούς \*-ομομορφισμούς στο *C* και να περιγράφουν την Στόουν-Σες συμπαγοποίηση του *Ζ*.

Παραδείγματα
------------

Ο προδυϊκός της φον Νόιμαν άλγεβρα *Λ*∞(**Ρ**) των ουσιαστικά φραγμένων συνάρτησεων στο **Ρ** είναι ο χώρος Μπάναχ *Λ*1(**Ρ**) των ολοκληρώσιμων συναρτήσεων. Το διπλό του *Λ*∞(**Ρ**) είναι αυστηρά μεγαλύτερο του *Λ*1(**Ρ**). Για παράδειγμα ένα συναρτησιοειδές στο *Λ*∞(**Ρ**) που επεκτείνει το Ντιράκ μέτρο δ0 σε ένα κλειστό υποχώρο φραγμένων συνεχών συναρτήσεων *C*0b(**Ρ**) δεν μπορεί να αναπαρασταθεί ως μια συνάρτηση στο *Λ*1(**Ρ**). 

Ο προδυϊκός της φον Νόιμαν άλγεβρας *Β*(*Η*) από φραγμένους τελεστές σε χώρο Χίλμπερτ *Η* είναι ο χώρος Μπάναχ όλων των ίχνη κλάσεις τελεστών με το ίχνος νόρμα ||*Α*||= Tr(|*Α*|). Ο χώρος Μπάναχ του ίχνους των κλάσεων τελεστών είναι η ίδια η διπλή του C \*-άλγεβρα των συμπαγών τελεστών (η οποία δεν είναι μια φον Νόιμαν άλγεβρα).

Βάρη, καταστάσεις, και ίχνη
---------------------------

Τα βάρη και οι ειδικές περιπτώσεις τους οι καταστάσεις και τα ίχνη που συζητήθηκαν λεπτομερώς στην (Τακεσάκι 1979).

* Ένα **βάρος** ω σε μία φον Νόιμαν άλγεβρα είναι μία γραμμική απεικόνιση από το σύνολο των θετικών στοιχείων (εκείνα της μορφής *α\*α*) στο [0,∞].
* Ένα **θετικό γραμμικό συναρτησοειδές** είναι ένα βάρος με ω(1) πεπερασμένο (ή μάλλον η επέκταση του ω στο σύνολο άλγεβρα με γραμμικότητα).
* Μία **κατάσταση** είναι ένα βάρος με ω(1) = 1.
* Ένα **ίχνος** είναι ένα βάρος με ω(*αα\**) = ω(*α\*α*) για όλα τα *α*.
* Μία **εγγράψιμη κατάσταση** είναι ένα ίχνος με ω(1) = 1.

Κάθε παράγοντας έχει ένα ίχνος τέτοιο ώστε το ίχνος μιας μη μηδενικής προβολής είναι μη μηδενικό και το ίχνος μιας προβολής είναι άπειρο αν και μόνο αν, η προβολή είναι άπειρη. Ένα τέτοιο ίχνος είναι μοναδικό μέχρι την κλιμάκωση. Για τους παράγοντες που έχουν ή είναι πεπερασμένοι, δύο προβολές είναι ισοδύναμες αν και μόνο αν έχουν το ίδιο ίχνος. Ο τύπος του παράγοντα μπορεί να διαβαστεί από τις πιθανές τιμές αυτής της ίχνος ως εξής:

* Τύπος I*n*: 0, *x*, 2*x*, ....*nx* για μερικά θετικά *x* (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1/*n* or 1).
* Τύπος I∞: 0, *x*, 2*x*, ....∞ για μερικά θετικά *x* (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
* Τύπος II1: [0,*x*] για μερικά θετικά*x* (συνήθως κανονικοποιείται να είναι 1).
* Τύπος II∞: [0,∞].
* Τύπος III: 0,∞.

Εάν μια άλγεβρα φον Νόιμαν δρα σε ένα χώρο Χίλμπερτ που περιέχει νόρμα 1 με διάνυσμα *v*, τότε το συναρτησοειδές *α* → (*αv*,*v*) είναι μια κανονική κατάσταση. Η κατασκευή αυτή μπορεί να αντιστραφεί για να δώσει μία δράση σε ένα χώρο Χίλμπερτ από μια κανονική κατάσταση: αυτή είναι η GNS κατασκευή για κανονική κατάσταση.

Πρότυπα πάνω σε έναν παράγοντα
------------------------------

Λαμβάνοντας υπόψη έναν αφηρημένο διαχωρίσιμο παράγοντα, μπορεί κανείς να ζητήσει για μια ταξινόμηση των προτύπων της, δηλαδή τα διαχωρίσιμους χώρους Χίλμπερτ στους οποίους ενεργεί. Η απάντηση δίνεται ως εξής: κάθε τέτοιο πρότυπο *H* μπορεί να δοθεί μία *Μ* διάσταση dim*Μ*(*H*) (όχι η διάσταση τους ως ένα πολύπλοκο διάνυσμα χώρο) έτσι ώστε τα πρότυπα είναι ισομορφικά αν και μόνο αν έχουν την ίδια *Μ* διάσταση. Η *Μ* διάσταση είναι προσθετική, και ένα πρότυπο είναι ισόμορφο με ένα υποχώρο του άλλου προτύπου, αν και μόνο αν έχει μικρότερη η ίση *Μ* διάσταση .

Ένα πρότυπο καλείται *τυπικό* αν έχει ένα κυκλικό διάνυσμα διαχωρισμού. Κάθε παράγοντας έχει μια τυπική αναπαράσταση, η οποία είναι μοναδική μέχρι τον ισομορφισμό. Η τυπική αναπαράσταση έχει αντιγραμμικη ενέλιξη *J* έτσι ώστε *JMJ* = *M′*. Για πεπερασμένους παράγοντες, το τυπικό πρότυπο δίνεται από την GNS κατασκευή που εφαρμόζεται στη μοναδική κανονική tracial κατάσταση και η *Μ* διάσταση κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο έχει *Μ* διάσταση 1, ενώ για άπειρους παράγοντες το τυπικό πρότυπο είναι το πρότυπο με *Μ* διάσταση ίση με ∞.

Οι πιθανές *Μ*-διαστάσεις των προτύπων δίνονται ως εξής:

* Τύπου I*n* (*n* πεπερασμένο): Η *Μ*-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0/*n*, 1/*n*, 2/*n*, 3/*n*, ... ∞. Το τυπικό πρότυπο έχει *M*-διάσταση 1 (και πολύπλοκη διάσταση *n*2.)
* Τύπου I∞ Η *Μ*-διάσταση μπορεί να είναι οποιοδήποτε από 0, 1, 2, 3, ... ∞. Η τυπική αναπαράσταση των *B*(*H*) είναι *H*⊗*H*; η *M*-διάστασή τους είναι ∞.
* Τύπου II1: Η *Μ*-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Κανονικοποιείται έτσι ώστε το τυπικό πρότυπο να έχει *Μ*-διάσταση 1. Η *Μ* διάσταση επίσης ονομάζεται **σταθερά σύζευξης** του προτύπου *Η*.
* Τύπου II∞: Η *Μ*-διάσταση μπορεί να είναι κάτι στο [0, ∞]. Δεν υπάρχει γενικά κανένας κανονικός τρόπος για να ομαλοποιήσει; ο παράγοντας μπορεί να έχει εξωτερικό αυτομορφισμό πολλαπλασιάζοντας την *Μ* διάσταση με σταθερές. Η τυπική αναπαράσταση είναι το ένα με την *Μ* διάσταση ∞.
* Τύπου III: Η *Μ* διάσταση μπορεί να είναι 0 ή ∞. Κάθε δύο μη μηδενικά πρότυπα είναι ισομορφικά, και όλα τα μη-μηδενικά πρότυπα είναι τυπικά.

Επιδεκτικές φον Νόιμαν άλγεβρες
-------------------------------

Κονς (1976) και άλλοι απέδειξαν ότι οι ακόλουθες προϋποθέσεις για μια φον Νόιμαν άλγεβρα *Μ* διαχωρίσιμο χώρο Χίλμπερτ *H* είναι όλες ισοδύναμες:

* *M* είναι **υπερπεπερασμένο** ή **AFD** ή **περίπου πεπερασμένων διαστάσεων** ή **περίπου πεπερασμένο**: Αυτό σημαίνει ότι η άλγεβρα περιέχει μια αύξουσα ακολουθία πεπερασμένων διαστάσεων υποάλγεβρας με πυκνή ένωση. (Προσοχή: ορισμένοι συγγραφείς χρησιμοποιούν "υπερπεπερασμένο" σημαίνει "AFD και πεπερασμένο".)
* *Μ* είναι **επιδεκτικό**: αυτό σημαίνει ότι το παραγώγιση του *Μ* τιμές σε ένα κανονικό διϋκό bi-πρότυπο Μπάνας είναι όλα εσωτερικά.
* *M* έχει την **ιδιότητα P** του Σβαρτζ: για κάθε φραγμένο τελεστή *Τ* στο *Η* ο αδύναμος τελεστής κλειστός κυρτό περίβλημα των στοιχείων *uTu\** περιέχει ένα στοιχείο αντιμεταθετικό με το *Μ*.
* *Μ* είναι **ημιδιακριτός**: αυτό σημαίνει ότι η ταυτοτική απεικόνιση από *Μ* στο *Μ* είναι ένα σημειακό αδύναμο όριο εντελώς θετικών απεικονίσεων πεπερασμένου βαθμού.
* *Μ* έχει την **ιδιότητα Ε** ή την **Χακέντα-Τομιουάμα επέκταση ιδιότητα**: αυτό σημαίνει ότι υπάρχει μια προβολή της νόρμας 1 από φραγμένους τελεστές πάνω από *Η* στο *Μ* '.
* *M* είναι **αμφιμονότιμη**: κάθε απολύτως θετική γραμμική απεικόνιση από οποιοδήποτε αυτοσυζυγή κλειστό υποχώρο που περιέχει 1 από κάθε μοναδιαία C \*-άλγεβρα *Α* στο *Μ* μπορεί να επεκταθεί σε μια εντελώς θετική απεικόνιση από το *Α* στο *Μ*.

Δεν υπάρχει γενικά αποδεκτός όρος για την κατηγορία αλγεβρών παραπάνω; Ο Κονς πρότεινε ότι **επιδεκτικά** θα πρέπει να είναι ο καθιερωμένος όρος.

Οι επιδεκτικοί παράγοντες έχουν ταξινομηθεί: υπάρχει ένα μοναδικό από κάθε ένα από τους τύπους I*n*, I∞, II1, II∞, IIIλ, for 0 < λ ≤ 1, και αυτά του τύπου III0 αντιστοιχούν σε ορισμένες εργοδικές ροές. (Για τον τύπο III0 καλώντας αυτό μια ταξινόμηση είναι λίγο παραπλανητικό, δεδομένου ότι είναι γνωστό ότι δεν υπάρχει εύκολος τρόπος για να χαρακτηρίσει τις αντίστοιχα εργοδικές ροές.) Αυτοί του τύπου Ι και II1 ταξινομήθηκαν από Μουρέι & φον Νόιμαν (1943), και οι υπόλοιπες ταξινομήθηκαν από Κονς (1976), εκτός από τον τύπο III1 υπόθεση η οποία ολοκληρώθηκε από τον Χάγκεραπ.

Όλοι οι επιδεκτικοί παράγοντες μπορούν να κατασκευαστούν χρησιμοποιώντας το **ομάδα μέτρου χώρος κατασκευής** του Μουρέι και φον Νόιμαν για ένα απλό εργοδικό μετασχηματισμό. Στην πραγματικότητα είναι ακριβώς οι παράγοντες που προκύπτουν ως εξωτερικό γινόμενο από ελεύθερες εργοδικές δράσεις του *Ζ* ή του *Z/nZ* για αβελιανές φον Νόιμαν άλγεβρες *L*∞(*X*). Τύπου I παράγοντες συμβαίνουν όταν ο χώρος μέτρου *X* είναι ατομικό και η δράση μεταβατική. Όταν *Χ* είναι διάχυτη ή μη ατομικό, είναι ισοδύναμη στο [0,1] ως ένας χώρος μέτρου. Παράγοντες τύπου ΙΙ συμβαίνουν όταν το *Χ* επιδέχεται ένα ισοδύναμη πεπερασμένη (II1) ή άπειρη (II∞) μέτρο, αναλλοίωτες στο πλαίσιο μιας δράσης της *Ζ*. Τύπου ΙΙΙ παράγοντες συμβαίνουν στις υπόλοιπες περιπτώσεις όπου δεν υπάρχει αναλλοίωτο μέτρο, αλλά μόνο ένα αναλλοίωτο μέτρο τάξη: Οι παράγοντες αυτοί ονομάζονται **παράγοντες Κρίεγκερ**.

Τανυστικό γινόμενο της Φον Νόιμαν άλγεβρας
------------------------------------------

Ο Χίλμπερτ χώρος τανυστικού γινομένου δύο Χίλμπερτ χώρων είναι η πλήρωση του αλγεβρικού τανυστικού γινομένου. Κάποιος μπορεί να προσδιορίσει ένα τανυστικό γινόμενο της Φον Νόιμαν άλγεβρας (μια πλήρωση του αλγεβρικού τανυστικού γινομένου από την άλγεβρα θεωρούνται ως δαχτυλίδια) , το οποίο είναι πάλι μια Φον Νόιμαν άλγεβρα, και δρα πάνω σε ένα τανυστικό γινόμενο από τους αντίστοιχους Χίλμπερτ χώρους. Το τανυστικό γινόμενο δύο πεπερασμένων άλγεβρων είναι πεπερασμένο, και το τανυστικό γινόμενο από μία άπειρη άλγεβρα και μία μη μηδενική άλγεβρα είναι άπειρο.Το είδος απο το τανυστικό γινόμενο δύο Φον Νόιμαν άλγεβρων (Ι,ΙΙ, ή ΙΙΙ) είναι το μέγιστο από τα είδη τους.Το **Θεώρημα αντιμετάθεσης για τανυστικά γινόμενά** ισχυρίζεται ότι:

{\displaystyle (M\otimes N)^{\prime }=M^{\prime }\otimes N^{\prime },}
όπου *M*′ δηλώνει τον αντιμεταθέτη του *M*.

Το τανυστικό γινόμενο ενός άπειρου αριθμού μιας Φον Νόιμαν άλγεβρας,αν γίνει απλοϊκά, είναι συνήθως μία γελοιωδώς μεγάλη μη-διαχωρίσιμη άλγεβρα.Αντί αυτού ο Φον Νόιμαν (1938) δείχνει ότι κάποιος πρέπει να διαλέξει μία κατάσταση σε καθένα απο την Φον Νόιμαν, χρησιμοποιήστε αυτό για να προσδιορίσετε μιά κατάσταση πάνω στο αλγεβρικό τανυστικό γινόμενο, το οποίο μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να παράγει έναν Χίλμπερτ χώρο και μια (δικαιολογημένα μικρή) Φον Νόιμαν άλγεβρα. Αράκι & Γούντς (1968) μελέτησε τη περίπτωση όπου όλοι οι συντελεστές είναι πεπερασμένοι αλγεβρικοί πίνακες, αυτοί οι συντελεστές ονομάζονται **Αράκι-Γουντς** συντελεστές ή **ΑΤΓΠΙ παράγοντες** (ΑΤΓΠΙ συντομογραφία του *άπειρου τανυστικού γινομένου από πεπερασμένου τύπου Ι συντελεστές*).Το είδος από το άπειρο τανυστικό γινόμενο μπορεί να ποικίλει δραματικά καθώς οι καταστάσεις αλλάζουν. Για παράδειγμα, στο άπειρο τανυστικό γινόμενο ενός άπειρου αριθμού του τύπου I2 οι συντελεστές μπορεί να είναι οποιουδήποτε τύπου εξαρτάται από την επιλογή των καταστάσεων. Ειδικότερα Πάουερς (1967) βρίσκετε μια μη-μετρήσιμη οικογένεια υπερπεπερασμένου τύπου IIIλ συντελεστές για 0<λ<1, ονομάζεται **συντελεστές δύναμης**,παίρνοντας ένα άπειρο τανυστικό γινόμενο για τύπου I2 συντελεστές.σε καθένα απο τους οποίους η κατάσταση δίνεται από:

{\displaystyle x\mapsto {\rm {Tr}}{\begin{pmatrix}{1 \over \lambda +1}&0\\0&{\lambda \over \lambda +1}\\\end{pmatrix}}x.}
Όλη η πεπερασμένη Φον Νόιμαν άλγεβρα εκτός του τύπου III0είναι ισόμορφη με τους συντελεστές Αράκι Γούντς, αλλά υπάρχουν υπερβολικά πολλοί του τύπου III0 που δεν είναι.

β-συζυγές και υποπαράγοντες
---------------------------

Μια **β-συζυγές** (ή αντιστοιχία) είναι ένας Χίλμπερτ χώρος *H* με πρότυπο πράξεις από δύο αντιμεταθετικές Φον Νόιμαν άλγεβρες.Οι β-συζυγές έχουν πολύ πιο πλούσια δομή από αυτή των πρότυπων. Κάθε β-συζυγές πάνω από δύο παράγοντες δίνει ένα υποπαράγοντα μέχρι ένας από τους παράγοντες πάντα να περιέχεται στην αντιμετάθεση του άλλου. Υπάρχει ακόμη ένα σχετικού suble τανυστικού γινομένου δράση λόγω Κοννς πάνω στις β-συζυγές. Η θεωρία των υποπαραγόντων , ξεκίνησε από τον Βάουγκχαν Τζόουνς, συμφιλιώνει αυτές τις δύο φαινομενικά διαφορετικές απόψεις.

Οι β-συζυγές είναι ακόμη σημαντικές για το γκρουπ Φον Νόιμαν άλγεβρα *Μ* από ένα διακριτό γκρουπ Γ. Πράγματι μία *V* είναι μια οποιαδήποτε μοναδιαία απεικόνιση του Γ, τότε, σχετικά με το Γ ως την διαγώνια υποομάδα Γ\*Γ , η αντίστοιχη επαγώμενη αναπαράσταση πάνω *l*2 (Γ, *V*) είναι φυσική μια β-συζυγές για δύο αντιμεταθετικά αντίγραφα του *Μ* .Σημαντική θεωρητική αναπαράσταση ιδιότητες του Γ μπορουν να διατυπωθούν εντελώς με όρους β-συζυγές και επιπλέον να βγάλουν νόημα για την ίδια την Φον Νόιμαν άλγεβρα.Για παράδειγμα ο Κοννς και ο Τζόουνς έδωσαν έναν ορισμό από ένα ανάλογο από Καζμπάν ιδιότητα T για Φον Νόιμαν άλγεβρες με αυτό τον τρόπο.

Μη-δεκτικοί παράγοντες
----------------------

Οι Φον Νόιμαν άλγεβρες του τύπου Ι είναι πάντα δεκτικές, αλλά για τους άλλους τύπους υπάρχει ένας μη-μετρήσιμος αριθμός από διαφορετικούς μη δεκτικούς παράγοντες,το οποίο δείχνει πολύ δύσκολο να τους κατατάξουμε σε κλάσεις, ή ακόμη και να τους διακρίνουμε τον έναν από τον άλλον. Παρ'όλα αυτά ο Βοϊκουλέσκου έδειξε ότι η κλάση των μη δεκτικών παραγόντων προερχόμενοι από την ομάδα μέτρου κατασκευαστικού χώρου είναι **ασύνδετη** από την κλάση που προέρχεται από την ομάδα των Φον Νόιμαν άλγεβρων από τις ελεύθερες ομάδες.Αργότερα ο Ναρουτάκα Οζάουα απέδειξε ότι η ομάδα φον Νόιμαν άλγεβρας από υπερβολικές ομάδες παράγει πρώτο αριθμό τύπου ΙΙ1 παράγοντες, δηλ. κάποιος που δεν μπορεί να παραγοντοποιηθεί ως τανυστικό γινόμενο τύπου ΙΙ 1 παράγοντες, ένα αποτέλεσμα αποδείχθηκε πρώτα από τον Λίμινγκ Τζι για ελεύθερη ομάδα παραγόντων χρησιμοποιώντας την ελεύθερη θεωρία πιθανοτήτων του Βοϊκουλέσκου. Η δουλειά του Πόπα πάνω στις βασικές ομάδες των μη δεκτικών παραγόντων παρουσιάζει μία ακόμη σημαντική βελτίωση.Η θεωρία των παραγόντων **πέρα από το υπερπεπερασμένο** εξαπλώνεται ραγδαία στο παρόν, με αρκετά νέα και εκπληκτικά αποτελέσματα, έχει μερικές σχετικές ιστοσελίδες φαινόμενα ακαμψίας στη Θεωρία γεωμετρικών ομάδων και εργοδική θεωρία.

Παραδείγματα
------------

* Οι ουσιώδεις φραγμένες συναρτήσεις πάνω σε ένα σ-πεπερασμένο μετρήσιμο χώρο από μια αντιμεταθετική (τύπου I1) Φον Νόιμαν άλγεβρα η οποία δρα πάνω στις *L*2 συναρτήσεις. Για ορισμένους μη σ-πεπερασμένους μετρήσιμους χώρους , συνήθως θεωρούνται παθολογικά μαθηματικά,*L*∞(*X*) δεν είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα, για παράδειγμα η σ-άλγεβρα από μετρήσιμο σύνολο ίσως είναι μετρήσιμη- συνμετρήσιμη άλγεβρα πάνω σε ένα μη-μετρήσιμο σύνολο.

* Οι φραγμένοι τελεστές πάνω σε οποιοδήποτε Χίλμπερτ χώρο από μια Φον Νόιμαν άλγεβρα,στη πραγματικότητα ένας παράγοντας,του τύπου Ι.

* Αν έχουμε οποιοδήποτε μοναδιαία αναπαράσταση από μία ομάδα *G* πάνω σε ένα Χίλμπερτ χώρο *H* τότε οι φραγμένοι τελεστές αντιμεταθετικοί με *G* από μια Φον Νόιμαν άλγεβρα *G*′, των οποίων οι αναπαραστάσεις αντιστοιχούν ακριβώς στο κλειστό υποδιάστημα του *Η* αναλλοίωτο κάτω από τον *G*. Ισοδύναμες υπο-παραστάσεις αντιστοιχούν σε ισοδύναμες παραστάσεις μέσα στη *G*′. Οι διπλές αντιμεταθέσεις *G*′′ από την *G* είναι επίσης μια Φον Νόιμαν άλγεβρα.

* Η *Φον Νόιμαν αλγεβρική ομάδα* από μία διακριτή ομάδα *G* είναι μία άλγεβρα από όλους τους φραγμένους τελεστές πάνω στο *Η* = *l*2 (*G*) αντιμεταθετική με την πράξη της *G* πάνω στην *Η* μέσω του δεξιού πολλαπλασιασμού. Κάποιος μπορεί να δείξει ότι αυτό είναι μια Φον Νόιμαν άλγεβρα που παράγεται από τελεστές αντιμεταθετικούς στον αριστερό πολλαπλασιασμό με ένα στοιχείο γ ∈ *G*.Αυτό είναι ένας παράγοντας (τύπου II1) αν κάθε μη τετριμμένη κλάση συζυγίας από *G* είναι πεπερασμένη (για παράδειγμα,μια μη αβελιανή ελεύθερη ομάδα), και είναι ένας υπερπεπερασμένος παράγοντας τύπου II1 αν επιπλέον *G* είναι μία ένωση από πεπερασμένες υποομάδες (για παράδειγμα, η ομάδα με όλες τις μεταθέσεις από τους ακεραίους τους καθορίζουν αλλά ένα πεπερασμένο αριθμό στοιχείο)

* Το τανυστικό γινόμενο από δύο Φον Νόιμαν άλγεβρες , ή από ένα αριθμήσιμο σύνολο με καταστάσεις, είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα όπως περιγράφονται στην ενότητα παραπάνω.

* Το σταυρωτό γινόμενο από μία Φον Νόιμαν άλγεβρα από μία διακριτή (ή πιο γενικά τοπικά συμπαγείς) ομάδα μπορεί να προσδιοριστεί , και είναι μία Φον Νόιμαν άλγεβρα. Σε ειδικές περιπτώσεις είναι η **μετρήσιμη ομάδα κατασκευάσιμου χώρου** από τον Μάρεϊ και Φον Νόιμαν και *Γκρίγκερ παράγοντες*

* Οι Φον Νόιμαν άλγεβρες από μια μετρήσιμη ισοδύναμη σχέση και μια μετρήσιμη ομάδα μπορούν να προσδιοριστούν. Αυτά τα παραδείγματα μπορούν να γενικεύσουν τις Φον Νόιμαν αλγεβρικές ομάδες και τις μετρίσημες ομάδες κατασκευάσιμου χώρου.

Εφαρμογές
---------

Οι φον Νόιμαν άλγεβρες έχουν βρει εφαρμογές σε ποικίλες περιοχές των μαθηματικών όπως θεωρία νοτ , στατιστικές μηχανικές, Ευρεία κβαντική θεωρία,, τοπική κβαντική φυσική , ελεύθερη πιθανότητα, μη αντιμεταθετική γεωμετρία , γεωμετρία , πιθανότητα .

Αναφορές
--------

* Araki, H.; Woods, E. J. (1968), «A classification of factors», *Publ. Res. Inst. Math. Sci. Ser. A* **4** (1): 51–130, doi:10.2977/prims/1195195263 MR 0244773
* Blackadar, B. (2005), *Operator algebras*, Springer, ISBN 3-540-28486-9
* Connes, A. (1976), «Classification of Injective Factors», *The Annals of Mathematics 2nd Ser.* **104** (1): 73–115, doi:10.2307/1971057
* Connes, A. (1994), *Non-commutative geometry*, Academic Press, ISBN 0-12-185860-X, ανακτήθηκε στις 2014-06-26 .
* Dixmier, J. (1981), *Von Neumann algebras*, ISBN 0-444-86308-7  (A translation of Dixmier, J. (1957), *Les algèbres d'opérateurs dans l'espace hilbertien: algèbres de von Neumann*, Gauthier-Villars , the first book about von Neumann algebras.)
* Jones, V.F.R. (2003), *von Neumann algebras*,  ; incomplete notes from a course.
* Kostecki, R.P. (2013), *W\*-algebras and noncommutative integration*,  .
* McDuff, Dusa (1969), «Uncountably many II1 factors», *Annals of Mathematics* (Annals of Mathematics) **90** (2): 372–377, doi:10.2307/1970730
* Murray, F. J. «The rings of operators papers», *The legacy of John von Neumann (Hempstead, NY, 1988)*, Proc. Sympos. Pure Math. **50**, Providence, RI.: Amer. Math. Soc. σελ. 57–60, ISBN 0-8218-4219-6  A historical account of the discovery of von Neumann algebras.
* Murray, F.J.; von Neumann, J. (1936), «On rings of operators», *Annals of Mathematics*, Second Series (Annals of Mathematics) **37** (1): 116–229, doi:10.2307/1968693 . This paper gives their basic properties and the division into types I, II, and III, and in particular finds factors not of type I.
* Murray, F.J.; von Neumann, J. (1937), «On rings of operators II», *Trans. Amer. Math. Soc.* (American Mathematical Society) **41** (2): 208–248, doi:10.2307/1989620 . This is a continuation of the previous paper, that studies properties of the trace of a factor.
* Murray, F.J.; von Neumann, J. (1943), «On rings of operators IV», *Annals of Mathematics*, Second Series (Annals of Mathematics) **44** (4): 716–808, doi:10.2307/1969107 . This studies when factors are isomorphic, and in particular shows that all approximately finite factors of type II1 are isomorphic.
* Powers, Robert T. (1967), «Representations of Uniformly Hyperfinite Algebras and Their Associated von Neumann Rings», *Annals of Mathematics*, Second Series **86** (1): 138–171, doi:10.2307/1970364
* Sakai, S. (1971), *C\*-algebras and W\*-algebras*, Springer, ISBN 3-540-63633-1
* Schwartz, Jacob (1967), *W-\* Algebras*, ISBN 0-677-00670-5
* Shtern, A.I. (2001), «von Neumann algebra», στο: Hazewinkel, Michiel, επιμ. *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4,
* Takesaki, M. (1979), *Theory of Operator Algebras I, II, III*, ISBN 3-540-42248-X
* von Neumann, J. (1930), «Zur Algebra der Funktionaloperationen und Theorie der normalen Operatoren», *Math. Ann.* **102** (1): 370–427, doi:10.1007/BF01782352 . The original paper on von Neumann algebras.
* von Neumann, J. (1936), «On a Certain Topology for Rings of Operators», *The Annals of Mathematics 2nd Ser.* **37** (1): 111–115, doi:10.2307/1968692 . This defines the ultrastrong topology.
* von Neumann, J. (1938), «On infinite direct products», *Compos. Math.* **6**: 1–77,  . This discusses infinite tensor products of Hilbert spaces and the algebras acting on them.
* von Neumann, J. (1940), «On rings of operators III», *Annals of Mathematics*, Second Series (Annals of Mathematics) **41** (1): 94–161, doi:10.2307/1968823 . This shows the existence of factors of type III.
* von Neumann, J. (1943), «On Some Algebraical Properties of Operator Rings», *The Annals of Mathematics 2nd Ser.* **44** (4): 709–715, doi:10.2307/1969106 . This shows that some apparently topological properties in von Neumann algebras can be defined purely algebraically.
* von Neumann, J. (1949), «On Rings of Operators. Reduction Theory», *The Annals of Mathematics 2nd Ser.* **50** (2): 401–485, doi:10.2307/1969463 . This discusses how to write a von Neumann algebra as a sum or integral of factors.
* von Neumann, John (1961), Taub, A.H. επιμ. *Collected Works, Volume III: Rings of Operators*, NY: Pergamon Press . Reprints von Neumann's papers on von Neumann algebras.
* Wassermann, A. J. (1991), *Operators on Hilbert space*,