Το μεγαλύτερο αυστηρώς κυρτό δελτάεδρο είναι το κανονικό εικοσάεδρο.
Ένα περικομμένο τετράεδρο με εξάγωνα διαιρεμένα σε τρίγωνα. Το σχήμα αυτό δεν είναι αυστηρώς κυρτό δελτάεδρο διότι οι συνεπίπεδες έδρες δεν επιτρέπονται εξ ορισμού.
Το **δελτάεδρο** είναι ένα πολύεδρο οι έδρες του οποίου είναι όλες ισόπλευρα τρίγωνα. Η λέξη δελτάεδρο συνδυάζει το επίθεμα *-έδρα* με το πρόθεμα *δέλτα-*, καθώς το κεφαλαίο γράμμα δέλτα αναπαριστά ως σχήμα ένα ισόπλευρο τρίγωνο. Υπάρχουν άπειρα δελτάεδρα, αλλά από αυτά μόνο οκτώ είναι κυρτά, αυτά που έχουν 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16 και 20 πλευρές. Ο αριθμός των εδρών, των ακμών και των κορυφών παρατίθεται παρακάτω για κάθε ένα από τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα.

Τα οκτώ κυρτά δελτάεδρα
-----------------------

Υπάρχουν μόνον οκτώ αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα: τα τρία είναι κανονικά πολύεδρα και τα άλλα πέντε είναι στερεά του Τζόνσον.

| Κανονικά δελτάεδρα |
| --- |
| Εικόνα | Όνομα | Έδρες | Ακμές | Κορυφές | Διαμορφώσεις κορυφών | Συμμετρία |
|  | Τετράεδρο | 4 | 6 | 4 | 4 × 33 | Td, [3,3] |
|  | Οκτάεδρο | 8 | 12 | 6 | 6 × 34 | Oh, [4,3] |
|  | Εικοσάεδρο | 20 | 30 | 12 | 12 × 35 | Ih, [5,3] |
| Δελτάεδρα του Τζόνσον |
| Εικόνα | Όνομα | Έδρες | Ακμές | Κορυφές | Διαμορφώσεις κορυφών | Συμμετρία |
|  | Τριγωνική διπυραμίδα | 6 | 9 | 5 | 2 × 333 × 34 | D3h, [3,2] |
|  | Πενταγωνική διπυραμίδα | 10 | 15 | 7 | 5 × 342 × 35 | D5h, [5,2] |
|  | Κολοβό δισφηνοειδές | 12 | 18 | 8 | 4 × 344 × 35 | D2d, [2,2] |
|  | Τρις επαυξημένο τριγωνικό πρίσμα | 14 | 21 | 9 | 3 × 346 × 35 | D3h, [3,2] |
|  | Γυροσκοπική επιμήκης τετραγωνική διπυραμίδα | 16 | 24 | 10 | 2 × 348 × 35 | D4d, [4,2] |

Στο δελτάεδρο με 6 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 3 μοίρες και κάποιες 4 μοίρες. Στα δελτάεδρα με 10, 12, 14 και 16 πλευρές, μερικές κορυφές έχουν 4 μοίρες και κάποιες 5 μοίρες. Αυτά τα πέντε αντικανονικά δελτάεδρα ανήκουν στην κατηγορία των στερεών του Τζόνσον (κυρτά πολύεδρα με έδρες κανονικά πολύγωνα).

Τα δελτάεδρα διατηρούν το σχήμα τους, ακόμη και όταν οι ακμές περιστρέφονται ελεύθερα γύρω από τις κορυφές τους, και έτσι οι γωνίες μεταξύ των ακμών τους είναι ρευστές. Δεν έχουν όμως όλα τα πολύεδρα αυτή την ιδιότητα, για παράδειγμα, αν χαλαρώσετε μερικές από τις γωνίες ενός κύβου, ο κύβος μπορεί να παραμορφωθεί σε ένα λανθάνον τετραγωνικό πρίσμα.

Κυρτά δελτάεδρα με 18 πλευρές δεν υπάρχουν. Ωστόσο, το συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο δίνει ένα παράδειγμα οκταδεκάεδρου το οποίο μπορεί είτε να κατασκευαστεί κυρτό με 18 αντικανονικές τριγωνικές πλευρές, είτε να κατασκευαστεί με ισόπλευρα τρίγωνα που περιλαμβάνουν δύο συνεπίπεδες ομάδες των τριών τριγώνων.

Μη αυστηρώς κυρτά δελτάεδρα
---------------------------

Υπάρχουν άπειρες περιπτώσεις συνεπίπεδων τριγώνων που καθορίζουν τμήματα για τριγωνική ψηφοθέτηση επ' άπειρον. Οι συνεπίπεδες τριγωνικές έδρες μπορούν να συγχωνευθούν σε ρομβοειδείς, τραπεζοειδείς, εξαγωνικές, ή και άλλες έδρες ισόπλευρων πολυγώνων. Εάν το σύνολο των συνεπίπεδων τριγώνων θεωρηθεί ως ενιαία έδρα (που ονομάζεται *triamond*), μπορεί να προστεθεί και ένα μικρότερο σύνολο εδρών, πλευρών και κορυφών. Οι *triamond* έδρες που χρησιμοποιούνται πρέπει να είναι κυρτές και συμπεριλαμβάνουν: , , ,  και , ...

Μερικά μικρότερα παραδείγματα περιλαμβάνουν:

Συνεπίπεδα δελτάεδρα| Εικόνα | Όνομα | Έδρες | Ακμές | Κορυφές | Διαμορφώσεις κορυφών | Συμμετρία |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|  | Επαυξημένο οκτάεδροΑύξηση1 τετρ + 1 οκτ | 10  | 15 | 7 | 1 × 333 × 343 × 350 × 36 | C3v, [3] |
| 4  3  | 12 |
|  | Τριγωνικό τραπεζόεδροΑύξηση2 τετρ + 1 οκτ | 12  | 18 | 8 | 2 × 330 × 346 × 350 × 36 | C3v, [3] |
| 6  | 12 |
|  | Αύξηση2 τετρ + 1 οκτ | 12  | 18 | 8 | 2 × 331 × 344 × 351 × 36 | C2v, [2] |
| 2 2 2  | 11 | 7 |
|  | Τριγωνικό frustumΑύξηση3 τετρ + 1 οκτ | 14  | 21 | 9 | 3 × 330 × 343 × 353 × 36 | C3v, [3] |
| 1 3 1  | 9 | 6 |
|  | Επιμήκης οκτάεδροΑύξηση2 τετρ + 2 οκτ | 16  | 24 | 10 | 0 × 334 × 344 × 352 × 36 | D2h, [2,2] |
| 4 4  | 12 | 6 |
|  | ΤετράεδροΑύξηση4 τετρ + 1 οκτ | 16  | 24 | 10 | 4 × 330 × 340 × 356 × 36 | Td, [3,3] |
| 4  | 6 | 4 |
|  | Αύξηση3 τετρ + 2 οκτ | 18  | 27 | 11 | 1 × 332 × 345 × 353 × 36 | D2h, [2,2] |
| 2 1 2 2  | 14 | 9 |
|  | Συμβεβλημένης ακμής εικοσάεδρο | 18  | 27 | 11 | 0 × 332 × 348 × 351 × 36 | C2v, [2] |
| 12 2  | 22 | 10 |
|  | Τριγωνικό bifrustumΑύξηση6 tets + 2 octs | 20  | 30 | 12 | 0 × 333 × 346 × 353 × 36 | D3h, [3,2] |
| 2 6  | 15 | 9 |
|  | Τριγωνικός τρούλοςΑύξηση4 tets + 3 octs | 22  | 33 | 13 | 0 × 333 × 346 × 354 × 36 | C3v, [3] |
| 3 3 1 1  | 15 | 9 |
|  | Τριγωνική διπυραμίδαΑύξηση8 τετρ + 2 οκτ | 24  | 36 | 14 | 2 × 333 × 340 × 359 × 36 | D3h, [3] |
| 6  | 9 | 5 |
|  | Εξαγωνικό αντιπρίσμα | 24  | 36 | 14 | 0 × 330 × 3412 × 352 × 36 | D6d, [12,2+] |
| 12 2  | 24 | 12 |
|  | Περικομμένο τετράεδροΑύξηση6 τετρ + 4 οκτ | 28  | 42 | 16 | 0 × 330 × 3412 × 354 × 36 | Td, [3,3] |
| 4 4  | 18 | 12 |
|  | Τετράκις κυβοκτάεδροΟκτάεδροΑύξηση8 τετρ + 4 οκτ | 32  | 24 | 18 | 0 × 3312 × 340 × 356 × 36 | Oh, [4,3] |
| 8  | 12 | 6 |

Μη κυρτές μορφές
----------------

Υπάρχει άπειρος αριθμός μη κυρτών μορφών.

Μερικά παραδείγματα δελτάεδρων με τεμνόμενες έδρες:

* Μεγάλο εικοσάεδρο - ένα στερεό των *Kepler-Poinsot*, με 20 τεμνόμενα τρίγωνα

Άλλα μη κυρτά δελτάεδρα μπορούν να δημιουργηθούν με την προσθήκη ισοπλεύρων πυραμίδων στις έδρες όλων των 5 κανονικών πολυέδρων:

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
|  |  |  |  |  |
| Τριάκις τετράεδρο | Τετράκις εξάεδρο | Τριάκις οκτάεδρο(αστερώδης οκτάεδρο) | Πεντάκις δωδεκάεδρο | Τριάκις εικοσάεδρο |
| 12 τρίγωνα | 24 τρίγωνα | 60 τρίγωνα |

Άλλες επαυξήσεις του τετραέδρου περιλαμβάνουν:

Παραδείγματα επαυξημένων τετράεδρων|  |  |  |
| 8 τρίγωνα | 10 τρίγωνα | 12 τρίγωνα |

Επίσης, με την προσθήκη ανεστραμμένων πυραμίδων στις έδρες:

|  |  |
| --- | --- |
| Το ανασκαμμένο δωδεκάεδρο | Ένα σπειροειδές δελτάεδρο |
| 60 τρίγωνα | 48 τρίγωνα |

Παραπομπές
----------

### Σημειώσεις

1. ↑  Freudenthal & van der Waerden (1947) — Απέδειξαν ότι υπάρχουν μόνο 8 κυρτά δελτάεδρα.
2. ↑  Trigg (1978), σσ. 55–57.
3. ↑  «The Convex Deltahedra And the Allowance of Coplanar Faces». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Οκτωβρίου 2015. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2015.
4. ↑  «Triamonds». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 10 Δεκεμβρίου 2015. Ανακτήθηκε στις 25 Αυγούστου 2015.

### Βιβλιογραφία

* Freudenthal, H.; van der Waerden, B. L. (1947), «Over een bewering van Euclides ("On an Assertion of Euclid")», *Simon Stevin* **25**: 115–128
* Cundy, H. Martyn (Δεκέμβριος 1952), *Deltahedra*, **36**, Math. Gaz. σελ. 263-266,
* Cundy, H. Martyn; Rollett, A. (1989), *Deltahedra: §3.11 – Mathematical Models* (3η έκδοση), Stradbroke, England: Tarquin Pub. σελ. 142–144
* Gardner, Martin (1992). «Fractal Music, Hypercards, and More: Mathematical Recreations». *Scientific American Magazine* (New York: W. H. Freeman): 40, 53 & 58-60.
* Pugh, Anthony (1976). *Polyhedra: A visual approach*. California: University of California Press Berkeley. σελίδες 35–36. ISBN 0-520-03056-7.
* Rausenberger, O. (1915), *Konvexe pseudoreguläre Polyeder*, Zeitschrift für mathematischen und naturwissenschaftlichen, **46**, Unterricht, σελ. 135-142
* Trigg, Charles W. (Ιανουάριος 1978). «An Infinite Class of Deltahedra». *Mathematics Magazine* **51** (1): 55–57. .

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Weisstein, Eric W. "Deltahedron" από το MathWorld.
* The eight convex deltahedra