Στην περιοχή της σύγχρονης άλγεβρας γνωστή και ως θεωρία ομάδων, η **ομάδα** *Held* είναι σποραδική απλή ομάδα της τάξης

   210 · 33 · 52 · 73 · 17 = 4030387200
≈ 4×109.

Ιστορία
-------

*Αυτή* είναι μια από τις 26 σποραδικές ομάδες και βρέθηκε από τον Dieter Held (1969a, 1969b) κατά τη διάρκεια  της έρευνας απλών ομάδων που περιέχουν μια συνάρτηση με κανονικοποιητή ισόμορφο με μια  Mathieu ομάδα M24. Μια δεύτερη ομάδα είναι η γραμμική ομάδα L5(2). Η ομάδα είναι η τρίτη πιθανή, και η κατασκευή της ολοκληρώθηκε από τους Τζον Μακέι και Graham Higman.

Η εξωτερική ομάδα αυτομορφισμών έχει τάξη 2 και ο πολλαπλασιαστής Schur είναι τετριμμένος.

Αναπαραστάσεις
--------------

Το μικρότερο συγκρότημα που εμφανίζεται έχει διάσταση 51 \* υπάρχουν δύο τέτοιες αναπαραστάσεις που μάχεται η μία την άλλη.

Αυτό κανονικοποιεί ένα στοιχείο τάξης 7 το  Monster group. Ως αποτέλεσμα, ο πρώτος αριθμός 7 διαδραματίζει έναν ιδιαίτερο ρόλο στην θεωρία της ομάδας, για παράδειγμα, η μικρότερη εκπροσώπηση ομάδας πάνω από κάθε σώμα είναι μια αναπαράσταση με διάσταση 50 πάνω από σώμα με 7 στοιχεία και ενεργεί φυσικά σε ένα διάνυσμα φορέα της άλγεβρα πάνω από το πεδίο με 7 στοιχεία.

Η μικρότερο αναπαράσταση μετάθεσης είναι βαθμίδας δράσης 5 για 2058 σημεία με σημείο σταθεροποιητή Sp4(4):2.

Η ομάδα αυτομορφισμών He:2 της ομάδας Held είναι μια υποομάδα της Fischer ομάδα Fi24.

Generalized Monstrous Moonshine
-------------------------------

Οι Conway και  Norton πρότειναν το 1979 στο έγγραφο τους ότι η monstrous moonshine  δεν περιορίζεται στο μόνο στο monster , αλλά ότι παρόμοια φαινόμενα μπορούν να βρεθούν και τις άλλες ομάδες. Η Βασίλισσα Larissa και άλλοι στη συνέχεια ανακάλυψαν ότι μπορεί κανείς να κατασκευάσει επεκτάσεις Hauptmoduln κάνοντας απλούς συνδυασμούς της διάστασης των σποραδικών ομάδων.
Για τον He, η σχετική McKay-Thompson σειρά {\displaystyle T\_{7A}(\tau )} , όπου μπορεί κανείς να ορίσει το σταθερό όρο a(0) = 10 ( A007264),

{\displaystyle {\begin{aligned}j\_{7A}(\tau )&=T\_{7A}(\tau )+10\\&={\Big (}{\big (}{\tfrac {\eta (\tau )}{\eta (7\tau )}}{\big )}^{2}+7{\big (}{\tfrac {\eta (7\tau )}{\eta (\tau )}}{\big )}^{2}{\Big )}^{2}\\&={\frac {1}{q}}+10+51q+204q^{2}+681q^{3}+1956q^{4}+5135q^{5}+\dots \end{aligned}}}
και *η*(*τ*) είναι η Dedekind eta συνάρτηση.

Παρουσίαση
----------

Μπορεί να ορισθεί σύμφωνα με τις γεννήτριες *α* και *β* οι σχέσεις

{\displaystyle a^{2}=b^{7}=(ab)^{17}=[a,b]^{6}=\left[a,b^{3}\right]^{5}=\left[a,babab^{-1}abab\right]=(ab)^{4}ab^{2}ab^{-3}ababab^{-1}ab^{3}ab^{-2}ab^{2}=1.}

Μέγιστη υποομάδες
-----------------

Butler (1981) βρήκε το 11 conjugacy τάξεις της μέγιστης υποομάδες της *Είναι* ως εξής:

* S4(4):2
* 22.L3(4).S3
* 2και 6:3.S6
* 2και 6:3.S6
* 21+6.L3(2)
* 72:2.L2(7)
* 3.S7
* 71+2:(3 × S3)
* S4 × L3(2)
* 7:3 × L3(2)
* 52:4Α4

Αναφορές
--------

* Butler, Gregory (1981), «The maximal subgroups of the sporadic simple group of Held», *Journal of Algebra* **69** (1): 67–81, doi:10.1016/0021-8693(81)90127-7, ISSN 0021-8693,
* Held, D. (1969a), «Some simple groups related to *M*24», στο: Brauer, Richard; Shah, Chih-Han, επιμ. *Theory of Finite Groups: A Symposium*, W. A. Benjamin
* Held, Dieter (1969b), «The simple groups related to *M*24», *Journal of Algebra* **13**: 253–296, doi:10.1016/0021-8693(69)90074-X
* Ryba, A. J. E. (1988), «Calculation of the 7-modular characters of the Held group», *Journal of Algebra* **117** (1): 240–255, doi:10.1016/0021-8693(88)90252-9

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* MathWorld: ομάδα
* Άτλας των Πεπερασμένων Ομάδα Αναπαραστάσεις: μια ομάδα\