Μια οπτική αναπαράσταση των πρώτων έξι πενταγωνικών αριθμών
**Πενταγωνικός αριθμός** είναι ένας αριθμός που επεκτείνει την έννοια των τριγωνικών και τωντετραγωνικών αριθμών πάνω στο πεντάγωνο, αλλά, σε αντίθεση με τους δύο πρώτους, τα μοτίβα που εμπλέκονται στην κατασκευή των πενταγωνικών αριθμών δεν είναι περιστροφικά συμμετρικά. Ο *n*-οστός πενταγωνικός αριθμός *pn* είναι ο αριθμός των *διακριτών* κουκκίδων σε ένα μοτίβο που αποτελείται από τα *περιγράμματα* κανονικών πενταγώνων με μήκος πλευρών έως n κουκκίδες, όταν τα πεντάγωνα επικαλύπτονται έτσι ώστε να μοιράζονται μία κορυφή. Για παράδειγμα, ο τρίτος πενταγωνικός αριθμός σχηματίζεται από τα περιγράμματα που περιέχουν 1, 5 και 10 κουκκίδες, αλλά η πρώτη και οι 3 από τις 5 συμπίπτουν με 3 από τις 10 – αφήνοντας 12 διακριτές κουκκίδες, 10 σε μορφή πενταγώνου και 2 μέσα στο πεντάγωνο.

Ο *n*-οστός πενταγωνικός αριθμός *p*n δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle p\_{n}={\frac {3n^{2}-n}{2}}={\binom {n}{1}}+3{\binom {n}{2}}}
για κάθε *n* ≥ 1. Οι πρώτοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι οι εξής:

1, 5, 12, 22, 35, 51, 70, 92, 117, 145, 176, 210, 247, 287, 330, 376, 425, 477, 532, 590, 651, 715, 782, 852, 925, 1001, 1080, 1162, 1247, 1335, 1426, 1520, 1617, 1717, 1820, 1926, 2035, 2147, 2262, 2380, 2501, 2625, 2752, 2882, 3015, 3151, 3290, 3432, 3577, 3725, 3876, 4030, 4187... (ακολουθία A000326 στην OEIS).

Ο *n*-οστός πενταγωνικός αριθμός είναι το άθροισμα των πρώτων n ακεραίων που ξεκινούν από το n (δηλαδή από το n έως το 2n-1). Ισχύουν επίσης οι ακόλουθες σχέσεις:

{\displaystyle p\_{n}=p\_{n-1}+3n-2=2p\_{n-1}-p\_{n-2}+3}
Οι πενταγωνικοί αριθμοί σχετίζονται στενά με τους τριγωνικούς αριθμούς. Ο *n*-οστός πενταγωνικός αριθμός είναι το ένα τρίτο του (3*n* − 1)-οστού τριγωνικού αριθμού. Επιπλέον, αν Tn είναι ο *n*-οστός τριγωνικός αριθμός, τότε ισχύει ότι:

{\displaystyle p\_{n}=T\_{n-1}+n^{2}=T\_{n}+2T\_{n-1}=T\_{2n-1}-T\_{n-1}}

  

Οι **γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί** λαμβάνονται από τον τύπο που δίνεται παραπάνω, αλλά με το *n* να παίρνει τιμές με την εξής σειρά: 0, 1, −1, 2, −2, 3, −3, 4... Έτσι, παίρνουμε την εξής ακολουθία:

0, 1, 2, 5, 7, 12, 15, 22, 26, 35, 40, 51, 57, 70, 77, 92, 100, 117, 126, 145, 155, 176, 187, 210, 222, 247, 260, 287, 301, 330, 345, 376, 392, 425, 442, 477, 495, 532, 551, 590, 610, 651, 672, 715, 737, 782, 805, 852, 876, 925, 950, 1001, 1027, 1080, 1107, 1162, 1190, 1247, 1276, 1335... (ακολουθία A001318 στην OEIS).

Οι γενικευμένοι πενταγωνικοί αριθμοί είναι σημαντικοί για τη θεωρία των διαμερίσεων του Όιλερ, όπως εκφράζεται στο θεώρημά του για τους πενταγωνικούς αριθμούς.

Άλλες ιδιότητες
---------------

* Το {\displaystyle p\_{n}}για n>0 είναι ο αριθμός των διαφορετικών συνθέσεων του {\displaystyle n+8} σε n μέρη που δεν περιλαμβάνουν το 2 ή το 3.
* Το {\displaystyle p\_{n}}είναι το άθροισμα των πρώτων n φυσικών αριθμών που είναι όμοιοι με τον αριθμό 1 (mod 3).
* Ισχύει ότι: {\displaystyle p\_{8n}-p\_{8n-1}=p\_{2n+2}-p\_{2n-2}}

Τεστ για πενταγωνικούς αριθμούς
-------------------------------

Για να ελέγξουμε αν ένας θετικός ακέραιος *x* είναι πενταγωνικός αριθμός, μπορούμε να υπολογίσουμε την εξής παράσταση:

{\displaystyle n={\frac {{\sqrt {24x+1}}+1}{6}}.}
Ο αριθμός *x* είναι πενταγωνικός αν και μόνο αν το *n* είναι φυσικός αριθμός. Σε αυτή την περίπτωση, το *x* είναι ο *n*-οστός πενταγωνικός αριθμός.

Για γενικευμένους πενταγωνικούς αριθμούς, αρκεί απλώς να ελέγξουμε αν ο αριθμός 24*x* + 1 είναι τέλειο τετράγωνο.

Για μη γενικευμένους πενταγωνικούς αριθμούς, εκτός από τον παραπάνω έλεγχο, απαιτείται επίσης να ελέγξουμε αν:

{\displaystyle {\sqrt {24x+1}}\equiv 5\mod 6}
Οι μαθηματικές ιδιότητες των πενταγωνικών αριθμών διασφαλίζουν ότι αυτά τα τεστ είναι επαρκή για την απόδειξη ή την απόρριψη ενός αριθμού αν είναι πενταγωνικός.

Τετραγωνικοί πενταγωνικοί αριθμοί
---------------------------------

Ένας τετραγωνικός πενταγωνικός αριθμός είναι ένας πενταγωνικός αριθμός που είναι επίσης τέλειο τετράγωνο.

Οι πρώτοι απ' αυτούς είναι οι εξής:

0, 1, 9801, 94109401, 903638458801, 8676736387298001, 83314021887196947001, 799981229484128697805801, 7681419682192581869134354401, 73756990988431941623299373152801... (ακολουθία A036353 στην OEIS)

* Εξαγωνικοί αριθμοί
* Τριγωνικός αριθμοί

Βιβλιογραφικές αναφορές
-----------------------

1. ↑  How do you determine if a number N is a Pentagonal Number?
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Pentagonal Square Number." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource.

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

* Λέοναρντ Όιλερ: Οι αξιοσημείωτες ιδιότητες των πενταγωνικών αριθμών