Στην γραμμική άλγεβρα, **άνω τριγωνικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία κάτω από την κύρια διαγώνιο.:36:8:16:7:69:193 Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας U διαστάσεων {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία {\displaystyle U\_{ij}=0} για κάθε {\displaystyle 1\leq j<i\leq n}. Για {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι:

{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}U\_{11}&U\_{12}\\0&U\_{22}\end{bmatrix}} \_{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U\_{11}&U\_{12}&U\_{13}\\0&U\_{22}&U\_{23}\\0&0&U\_{33}\end{bmatrix}} \_{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}U\_{11}&U\_{12}&U\_{13}&U\_{14}\\0&U\_{22}&U\_{23}&U\_{24}\\0&0&U\_{33}&U\_{34}\\0&0&0&U\_{44}\end{bmatrix}} \_{4\times 4}.}
Αντίστοιχα, **κάτω τριγωνικός πίνακας** είναι κάθε τετραγωνικός πίνακας που έχει μόνο μηδενικά στοιχεία πάνω από την κύρια διαγώνιο. Πιο συγκεκριμένα, είναι κάθε πίνακας L διαστάσεων {\displaystyle n\times n} όπου τα στοιχεία {\displaystyle L\_{ij}=0} για κάθε {\displaystyle 1\leq i<j\leq n}. Για {\displaystyle n=2,3,4} η γενική τους μορφή είναι:

{\displaystyle \underbrace {\begin{bmatrix}L\_{11}&0\\L\_{21}&L\_{22}\end{bmatrix}} \_{2\times 2}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L\_{11}&0&0\\L\_{21}&L\_{22}&0\\L\_{31}&L\_{32}&L\_{33}\end{bmatrix}} \_{3\times 3}\quad \underbrace {\begin{bmatrix}L\_{11}&0&0&0\\L\_{21}&L\_{22}&0&0\\L\_{31}&L\_{32}&L\_{33}&0\\L\_{41}&L\_{42}&L\_{43}&L\_{44}\end{bmatrix}} \_{4\times 4}.}
Ένας πίνακας λέγεται **τριγωνικός** αν είναι άνω ή κάτω τριγωνικός.

Παραδείγματα
------------

* Οι παρακάτω πίνακες είναι άνω τριγωνικοί:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&2\\0&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&2&3\\0&4&5\\0&0&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&2&3&4\\0&5&6&7\\0&0&8&9\\0&0&0&10\end{bmatrix}}.}
* Οι παρακάτω πίνακες είναι κάτω τριγωνικοί:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&0\\2&3\end{bmatrix}},\quad B={\begin{bmatrix}1&0&0\\2&3&0\\4&5&6\end{bmatrix}},\quad C={\begin{bmatrix}1&0&0&0\\2&3&0&0\\4&5&6&0\\7&8&9&10\end{bmatrix}}.}
* Κάθε διαγώνιος πίνακας είναι κάτω και άνω τριγωνικός. Επομένως, ο ταυτοτικός πίνακας και ο μηδενικός πίνακας είναι τριγωνικοί.

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}3&0&0\\0&7&0\\0&0&-1\end{bmatrix}},\quad I\_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\quad I\_{3}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}},\quad 0\_{3}={\begin{bmatrix}0&0&0\\0&0&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}
* Οι κορυφές ενός Κατευθυνόμενου άκυκλου γράφου μπορούν να μετατεθούν ώστε ο πίνακας γειτνίασης του γράφου είναι τριγωνικός.

Ιδιότητες
---------

Οι τριγωνικοί πίνακες έχουν τις εξής ιδιότητες:

* Ο ανάστροφος πίνακας ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι άνω (κάτω) τριγωνικός.
* Το άθροισμα δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Το πολλαπλασιασμός δύο κάτω (άνω) τριγωνικών πινάκων είναι κάτω (άνω) τριγωνικός πίνακας.
* Ο αντίθετος ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα είναι κάτω (άνω) τριγωνικός.
* Η ορίζουσα ενός τριγωνικού πίνακα είναι ίση με το γινόμενο των στοιχείων της κυρίας διαγωνίου.
* Το χαρακτηριστικό πολυώνυμο ενός κάτω (άνω) τριγωνικού πίνακα δίνεται από τον τύπο

{\displaystyle p\_{L}(x)=\mathrm {det} (xI-L)=(x-L\_{11})\cdot \ldots \cdot (x-L\_{nn})}.
Επομένως, οι ιδιοτιμές του πίνακα L είναι τα στοιχεία της διαγωνίου του.
* Ένας συμμετρικός τριγωνικός πίνακας είναι διαγώνιος.

Εφαρμογές
---------

### Επίλυση γραμμικών εξισώσεων

Έστω ένα σύστημα γραμμικών εξισώσεων που μπορεί να γραφτεί με την μορφή {\displaystyle L\mathbf {x} =\mathbf {b} } με αγνώστους {\displaystyle \mathbf {x} }. Τότε μπορούμε να βρούμε την λύση του ξεκινώντας βρίσκοντας το x\_{1}, μετά το x\_{2} κ.ο.κ. χρησιμοποιώντας τους εξής τύπους:

{\displaystyle x\_{1}={\frac {b\_{1}}{L\_{11}}}},
{\displaystyle x\_{2}={\frac {1}{L\_{22}}}\cdot \left(b\_{2}-L\_{21}x\_{1}\right)},
{\displaystyle \quad \vdots }
{\displaystyle x\_{n}={\frac {1}{L\_{nn}}}\cdot \left(b\_{n}-L\_{n1}x\_{1}-\ldots -L\_{n(n-1)}x\_{n-1}\right)}.
Παρατηρήστε ότι στο i-οστό βήμα βρίσκουμε την τιμή του x\_{i} χρησιμοποιώντας τις τιμές των {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{i-1}} (που έχουμε υπολογίσει στα προηγούμενα βήματα). Ο αλγόριθμος αυτός χρειάζεται συνολικά {\displaystyle {\mathcal {O}}(n^{2})} πράξεις.

Αυστηρά τριγωνικός
------------------

Ένας άνω τριγωνικός πίνακας λέγεται **αυστηρά άνω τριγωνικός**, αν τα στοιχεία της διαγωνίου του είναι μηδέν. Αντίστοιχα, για έναν **αυστηρά κάτω τριγωνικό** πίνακα.

Δείτε επίσης
------------

* Αποσύνθεση LU

Παραπομπές
----------

1. ↑  Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). *Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες*. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
2. ↑  Βουκούτης, Ν. *Εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα: Πίνακες, Ορίζουσες, Γραμμικά συστήματα για τις πανελλήνιες εξετάσεις β' λυκείου*. Αθήνα: Δημόκριτος.
3. ↑  Βασιλειάδης, Π. (1983). *Στοιχειώδης γραμμική άλγεβρα: Θεωρία, μεθοδολογία, παραδείγματα, ασκήσεις*. Θεσσαλονίκη.
4. ↑  Κυριακόπουλος, Α. Κ.· Κυβερνητου-Κυριακοπουλου, Χ. *Μαθηματικά Γ' Λυκείου - 1ης και 4ης Δέσμης: Πίνακες, γραμμικά συστήματα, ορίζουσες*. Αθήνα: Εκδόσεις Παπαδημητροπούλου.
5. ↑  Μυριτζής, Ιωάννης (2015). *Δυναμικά συστήματα*. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-423-7.
6. ↑  Μπράτσος, Α. (2015). *Μαθήματα ανωτέρων μαθηματικών*. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-030-7.