Παράδειγμα μη ακέραιων διαστάσεων. Οι τέσσερις πρώτες επαναλήψεις της καμπύλης Κοχ, όπου μετά από κάθε επανάληψη, όλα τα αρχικά τμήματα γραμμής αντικαθίστανται από τέσσερα, το καθένα ένα αυτοομοειδές αντίγραφο που έχει το 1/3 του μήκους του αρχικού. Ένας φορμαλισμός της διάστασης Χάουσντορφ χρησιμοποιεί τον παράγοντα κλίμακας (S = 3) και τον αριθμό των αυτοομοειδών αντικειμένων (N = 4) για να υπολογίσει τη διάσταση, D, μετά την πρώτη επανάληψη να είναι D = (log N)/(log S) = (log 4)/(log 3) ≈ 1.26.
Στα μαθηματικά, η **διάσταση Χάουσντορφ** είναι ένα μέτρο της τραχύτητας, ή πιο συγκεκριμένα, η διάσταση του φράκταλ, που παρουσιάστηκε το 1918 από τον μαθηματικό Φέλιξ Χάουσντορφ. Παράδειγμα, η διάσταση Χάουσντορφ ενός σημείου είναι μηδέν, ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι 1, ενός τετραγώνου είναι 2 και ενός κύβου είναι 3. Δηλαδή, για σύνολα σημείων που ορίζουν ένα λείο σχήμα ή ένα σχήμα που έχει μικρό αριθμό γωνιών -τα σχήματα της συμβατικής γεωμετρίας και της επιστήμης- η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένας ακέραιος αριθμός που συμφωνεί με τη συνηθισμένη έννοια της διάστασης, γνωστή και ως τοπολογική διάσταση. Ωστόσο, έχουν επίσης αναπτυχθεί τύποι που επιτρέπουν τον υπολογισμό της διάστασης άλλων λιγότερο απλών αντικειμένων, όπου, αποκλειστικά και μόνο με βάση τις ιδιότητες της κλιμάκωσης και της αυτοομοιότητας, οδηγούμαστε στο συμπέρασμα ότι τα συγκεκριμένα αντικείμενα -συμπεριλαμβανομένων των φράκταλ- έχουν μη ακέραιες διαστάσεις Χάουσντορφ. Λόγω της σημαντικής τεχνικής προόδου που σημείωσε ο Αμπράμ Σαμόιλοβιτς Μπεζικόβιτς, η οποία επέτρεψε τον υπολογισμό των διαστάσεων για εξαιρετικά ακανόνιστα ή "τραχιά" σύνολα, η διάσταση αυτή αναφέρεται επίσης συνήθως ως διάσταση Χάουσντορφ-Μπεσίκοβιτς.

Πιο συγκεκριμένα, η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένας αριθμός διαστάσεων που σχετίζεται με έναν μετρικό χώρο, δηλαδή ένα σύνολο στο οποίο ορίζονται οι αποστάσεις μεταξύ όλων των μελών. Η διάσταση αντλείται από τους εκτεταμένους πραγματικούς αριθμούς, {\displaystyle {\overline {\mathbb {R} }}}, σε αντίθεση με την πιο διαισθητική έννοια της διάστασης, η οποία δεν συνδέεται με γενικούς μετρικούς χώρους και παίρνει τιμές μόνο στους μη αρνητικούς ακέραιους αριθμούς.

Με μαθηματικούς όρους, η διάσταση Χάουσντορφ γενικεύει την έννοια της διάστασης ενός πραγματικού διανυσματικού χώρου. Δηλαδή, η διάσταση Χάουσντορφ ενός *n*-διάστατου χώρου εσωτερικού γινομένου ισούται με *n*. Αυτό υποκρύπτει την προηγούμενη δήλωση ότι η διάσταση Χάουσντορφ ενός σημείου είναι μηδέν, μιας γραμμής είναι ένα κ.λπ. και ότι τα ακανόνιστα σύνολα μπορούν να έχουν μη ακέραιες διαστάσεις Χάουσντορφ. Παραδείγματος χάριν, η νιφάδα του Κοχ που απεικονίζεται στα δεξιά κατασκευάζεται από ένα ισόπλευρο τρίγωνο- σε κάθε επανάληψη, τα τμήματα της γραμμής που το συνθέτουν χωρίζονται σε 3 τμήματα μοναδιαίου μήκους, το νεοδημιουργηθέν μεσαίο τμήμα χρησιμοποιείται ως βάση ενός νέου ισόπλευρου τριγώνου που δείχνει προς τα έξω, και αυτό το τμήμα βάσης στη συνέχεια διαγράφεται για να αφήσει ένα τελικό αντικείμενο από την επανάληψη μοναδιαίου μήκους 4. Δηλαδή, μετά την πρώτη επανάληψη, κάθε αρχικό ευθύγραμμο τμήμα έχει αντικατασταθεί με Ν=4, όπου κάθε αυτοομοειδές αντίγραφο έχει μήκος 1/S = 1/3 όσο το αρχικό. Με άλλη διατύπωση, πήραμε ένα αντικείμενο με ευκλείδεια διάσταση, D, και μειώσαμε τη γραμμική του κλίμακα κατά 1/3 σε κάθε κατεύθυνση, έτσι ώστε το μήκος του να αυξηθεί σε N=SD. Αυτή η εξίσωση λύνεται εύκολα για το D, δίνοντας τον λόγο των λογαρίθμων (ή των φυσικών λογαρίθμων) που εμφανίζονται στα σχήματα, και δίνοντας -στην περίπτωση του Κοχ και σε άλλες περιπτώσεις κλασμάτων- μη ακέραιες διαστάσεις για αυτά τα αντικείμενα.

Η διάσταση Χάουσντορφ είναι διάδοχος της απλούστερης, αλλά συνήθως ισοδύναμης, διάστασης box-counting ή διάστασης Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ.

Διαίσθηση
---------

Η διαισθητική έννοια της διάστασης ενός γεωμετρικού αντικειμένου Χ είναι ο αριθμός των ανεξάρτητων παραμέτρων που χρειάζεται κανείς για να επιλέξει ένα μοναδικό σημείο στο εσωτερικό του. Ωστόσο, κάθε σημείο που προσδιορίζεται από δύο παραμέτρους μπορεί αντ' αυτού να προσδιοριστεί από μία, επειδή η πληθικότητα του πραγματικού επιπέδου είναι ίση με την πληθικότητα της πραγματικής γραμμής (αυτό μπορεί να γίνει αντιληπτό με ένα επιχείρημα που περιλαμβάνει την αλληλεπίδραση των ψηφίων δύο αριθμών ώστε να προκύψει ένας μόνο αριθμός που κωδικοποιεί την ίδια πληροφορία). Το παράδειγμα μιας καμπύλης που γεμίζει το χώρο δείχνει ότι μπορεί κανείς να αντιστοιχίσει ακόμη και την πραγματική γραμμή στο πραγματικό επίπεδο υποκειμενικά (παίρνοντας έναν πραγματικό αριθμό σε ένα ζεύγος πραγματικών αριθμών με τρόπο ώστε να καλύπτονται όλα τα ζεύγη αριθμών) και συνεχώς, έτσι ώστε ένα μονοδιάστατο αντικείμενο να γεμίζει πλήρως ένα αντικείμενο υψηλότερης διάστασης.

Κάθε καμπύλη που γεμίζει το χώρο συναντά ορισμένα σημεία αρκετές φορές και δεν έχει συνεχή αντίστροφο. Είναι ανέφικτο να αντιστοιχίσουμε δύο διαστάσεις σε μια ενιαία με τρόπο που να είναι συνεχής και συνεχώς αντιστρέψιμη. Η τοπολογική διάσταση, γνωστή και ως διάσταση κάλυψης Λεμπέσγκ, εξηγεί τον λόγο. Αυτή η διάσταση είναι ο μεγαλύτερος ακέραιος *n* τέτοιος ώστε σε κάθε κάλυψη του *X* από μικρές ανοιχτές σφαίρες, να υπάρχει τουλάχιστον ένα σημείο όπου *n* + 1 σφαίρες επικαλύπτονται. Παραδείγματος χάριν, όταν καλύπτουμε μια γραμμή με μικρά ανοιχτά διαστήματα, κάποια σημεία πρέπει να καλυφθούν δύο φορές, πράγμα που δίνει τη διάσταση *n* = 1..

Αλλά η τοπολογική διάσταση είναι ένα πολύ χονδροειδές μέτρο του τοπικού μεγέθους ενός χώρου (μέγεθος κοντά σε ένα σημείο). Μια καμπύλη που γεμίζει σχεδόν όλο το χώρο μπορεί να έχει τοπολογική διάσταση ένα, ακόμη και αν γεμίζει το μεγαλύτερο μέρος μιας περιοχής. Ένα φράκταλ έχει μια ακέραια τοπολογική διάσταση, αλλά από την άποψη της ποσότητας του χώρου που καταλαμβάνει, συμπεριφέρεται σαν ένας χώρος υψηλότερης διάστασης.

Η διάσταση Χάουσντορφ μετρά το τοπικό μέγεθος ενός χώρου λαμβάνοντας υπόψιν την απόσταση μεταξύ των σημείων, τη μετρική. Σκεφτείτε τον αριθμό *N*(*r*) των σφαιρών ακτίνας το πολύ *r* που απαιτούνται για την πλήρη κάλυψη του *X*. Όταν το *r* είναι πολύ μικρό, το *N*(*r*) αυξάνεται πολυωνυμικά με 1/*r*. Για ένα επαρκώς καλά διαμορφωμένο *X*, η διάσταση Χάουσντορφ είναι ο μοναδικός αριθμός *d* έτσι ώστε το N(*r*) να αυξάνεται ως 1/rd καθώς το *r* πλησιάζει το μηδέν. Πιο συγκεκριμένα, αυτό ορίζει τη Διάσταση Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ, η οποία είναι ίση με τη διάσταση Χάουσντορφ όταν η τιμή d είναι ένα κρίσιμο όριο μεταξύ των ρυθμών αύξησης που δεν επαρκούν για την κάλυψη του χώρου και των ρυθμών αύξησης που είναι υπερπληθείς.

Για τα σχήματα που είναι λεία, ή τα σχήματα με μικρό αριθμό γωνιών, τα σχήματα της κλασικής γεωμετρίας και της επιστήμης, η διάσταση Χάουσντορφ είναι ένας ακέραιος αριθμός που συμφωνεί με την τοπολογική διάσταση. Όμως ο Μπενουά Μαντελμπρό παρατήρησε ότι τα φράκταλ, σύνολα με μη ακέραιες διαστάσεις Χάουσντορφ, βρίσκονται παντού στη φύση. Παρατήρησε ότι η σωστή εξιδανίκευση των περισσότερων τραχιών σχημάτων που βλέπετε γύρω μας δεν είναι με όρους ομαλών εξιδανικευμένων σχημάτων, αλλά με όρους μορφοκλασματικών εξιδανικευμένων σχημάτων:

Τα σύννεφα δεν είναι σφαίρες, τα βουνά δεν είναι κώνοι, οι ακτογραμμές δεν είναι κύκλοι και ο φλοιός δεν είναι λείος, ούτε η αστραπή ταξιδεύει σε ευθεία γραμμή.
Για τα φράκταλ που εμφανίζονται στη φύση, η διάσταση Χάουσντορφ και η διάσταση Διάσταση Μινκόφσκι-Μπουλιγκάντ συμπίπτουν. Η διάσταση συσκευασίας είναι μια ακόμη παρόμοια έννοια που δίνει την ίδια τιμή για πολλά σχήματα, αλλά υπάρχουν καλά τεκμηριωμένες εξαιρέσεις όπου όλες αυτές οι διαστάσεις διαφέρουν

Παραδείγματα
------------

Διάσταση ενός ακόμη παραδείγματος φράκταλ. Το τρίγωνο Σιερπίνσκι, ένα αντικείμενο με διάσταση Χάουσντορφ log(3)/log(2)≈1.58.
* Τα μετρήσιμα σύνολα έχουν διάσταση Χάουσντορφ 0.
* Ο Ευκλείδειος χώρος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} έχει διάσταση Χάουσντορφ {\displaystyle n}, και ο κύκλος {\displaystyle S^{1}} έχει διάσταση Χάουσντορφ 1.
* Τα φράκταλ είναι συχνά χώροι των οποίων η διάσταση Χάουσντορφ υπερβαίνει αυστηρά την τοπολογική διάσταση.  Το τρίγωνο Σιερπίνσκι είναι μια ένωση τριών αντιγράφων του εαυτού του, κάθε αντίγραφο συρρικνωμένο κατά έναν παράγοντα 1/2- αυτό δίνει μια διάσταση Χάουσντορφ ln(3)/ln(2) ≈ 1.58. Αυτές οι διαστάσεις του Χάουσντορφ σχετίζονται με τον "κρίσιμο εκθέτη" του θεωρήματος Μάστερ για την επίλυση αναδρομικών σχέσεων στην ανάλυση αλγορίθμων.
* Οι καμπύλες που γεμίζουν το χώρο, όπως η Καμπύλη Πεάνο, έχουν την ίδια διάσταση Χάουσντορφ με το χώρο που γεμίζουν.
* Η τροχιά της κίνηση Μπράουν στη διάσταση 2 και πάνω εικάζεται ότι έχει διάσταση Χάουσντορφ 2. Εκτίμηση της διάστασης Χάουσντορφ της ακτής της Μεγάλης Βρετανίας
* Ο Λουίς Φράι Ρίτσαρντσον έκανε αναλυτικά πειράματα για να μετρήσει την κατά προσέγγιση διάσταση Χάουσντορφ για διάφορες ακτογραμμές. Τα αποτελέσματά του κυμαίνονται από 1,02 για την ακτογραμμή της Νότιας Αφρικής έως 1,25 για τη δυτική ακτή της Μεγάλης Βρετανίας.

Ιδιότητες της διάστασης Χάουσντορφ
----------------------------------

### Διάσταση Χάουσντορφ και επαγωγική διάσταση

Έστω *X* ένας αυθαίρετος διαχωρίσιμος μετρικός χώρος. Υπάρχει μια τοπολογική έννοια της επαγωγικής διάστασης για τον *X* η οποία ορίζεται αναδρομικά. Είναι πάντα ακέραιος (ή +∞) και συμβολίζεται dimindind(*X*).

**Θεώρημα**. Ας υποθέσουμε ότι ο *X* είναι μη-άδειος. Τότε

{\displaystyle \dim \_{\mathrm {Haus} }(X)\geq \dim \_{\operatorname {ind} }(X).}
Επιπλέον,

{\displaystyle \inf \_{Y}\dim \_{\operatorname {Haus} }(Y)=\dim \_{\operatorname {ind} }(X),}
όπου το *Y* εκτείνεται σε μετρικούς χώρους ομοιομορφικούς με το *X*. Με άλλα λόγια, το *X* και το *Y* έχουν το ίδιο υποκείμενο σύνολο σημείων και η μετρική *d**Y* του *Y* είναι τοπολογικά ισοδύναμη με την *d**X*.

Τα αποτελέσματα αυτά είχαν αρχικά τεκμηριωθεί από τον Edward Szpilrajn (1907-1976), π.χ. βλέπε Χούρεβιτς και Γουόλμαν, Κεφάλαιο VII.

### Διάσταση Χάουσντορφ και διάσταση Μινκόφσκι

Η διάσταση Μινκόφσκι είναι παρόμοια με τη διάσταση Χάουσντορφ και τουλάχιστον το ίδιο μεγάλη με αυτήν, και είναι ίσες σε πολλές περιπτώσεις. Ωστόσο, το σύνολο των ρητών σημείων στο [0, 1] έχει διάσταση Χάουσντορφ μηδέν και διάσταση Μινκόφσκι ένα. Υπάρχουν επίσης συμπαγή σύνολα για τα οποία η διάσταση Μινκόφσκι είναι αυστηρά μεγαλύτερη από τη διάσταση του Χάουσντορφ.

### Διαστάσεις Χάουσντορφ και μέτρα Φρόστμαν

Αν υπάρχει ένα μέτρο μ που ορίζεται σε υποσύνολα Μπορέλ ενός μετρικού χώρου *X* έτσι ώστε να ισχύει *μ*(*X*) > 0 και *μ*(*B*(*x*, *r*)) ≤ *rs* για κάποια σταθερά *s* > 0 και για κάθε σφαίρα *B*(*x*, *r*) στον *X*, τότε dimHaus(*X*) ≥ *s*. Μια μερική αντιστροφή παρέχεται από το λήμμα του Φρόστμαν.

### Συμπεριφορά των ενώσεών και γινομένων

Αν {\displaystyle X=\bigcup \_{i\in I}X\_{i}} είναι μια πεπερασμένη ή μετρήσιμη ένωση, τότε

{\displaystyle \dim \_{\operatorname {Haus} }(X)=\sup \_{i\in I}\dim \_{\operatorname {Haus} }(X\_{i}).}
Αυτό μπορεί να επαληθευτεί απευθείας από τον ορισμό.

Εάν οι *X* και *Y* είναι μη κενοί μετρικοί χώροι, τότε η διάσταση Χάουσντορφ του γινομένου τους ικανοποιεί την ακόλουθη συνθήκη 

{\displaystyle \dim \_{\operatorname {Haus} }(X\times Y)\geq \dim \_{\operatorname {Haus} }(X)+\dim \_{\operatorname {Haus} }(Y).}
Αυτή η ανισότητα μπορεί να είναι αυστηρή. Είναι δυνατόν να βρεθούν δύο σύνολα διάστασης 0 των οποίων το γινόμενο έχει διάσταση 1.. Στην αντίθετη κατεύθυνση, είναι γνωστό ότι όταν τα *X* και *Y* είναι υποσύνολα Μπορέλ του **R***n*, η διάσταση Χάουσντορφ του *X* × *Y* περιορίζεται από πάνω από τη διάσταση Χάουσντορφ του *X* συν την ανώτερη διάσταση συσκευασίας του *Y*. Αυτά τα γεγονότα συζητούνται στο Ματτίλα (1995).

Αυτοομοειδή σύνολα
------------------

Πολλά σύνολα που ορίζονται από μια συνθήκη αυτοομοιότητας έχουν διαστάσεις που μπορούν να προσδιοριστούν ρητά. Σε γενικές γραμμές, ένα σύνολο *E* είναι αυτοομοειδές αν είναι το σταθερό σημείο ενός μετασχηματισμού ψ, δηλαδή ψ(*E*) = *E*, αν και ο ακριβής ορισμός δίνεται παρακάτω.

**Θεώρημα.** Ας υποθέσουμε ότι
{\displaystyle \psi \_{i}:\mathbf {R} ^{n}\rightarrow \mathbf {R} ^{n},\quad i=1,\ldots ,m}
είναι το καθένα μια απεικόνιση συστολής στον **R***n* με σταθερά συστολής *ri* < 1. Τότε υπάρχει ένα μοναδικό μη κενό συμπαγές σύνολο *A* τέτοιο ώστε

{\displaystyle A=\bigcup \_{i=1}^{m}\psi \_{i}(A).}
Το θεώρημα προκύπτει από το θεώρημα σταθερού σημείου της συσταλτικής απεικόνισης του Στέφαν Μπάναχ που εφαρμόζεται στον πλήρη μετρικό χώρο των μη κενών συμπαγών υποσυνόλων του **R***n* με την απόσταση του Χάουσντορφ.

### Συνθήκη ανοικτού συνόλου

Για να προσδιορίσουμε τη διάσταση του αυτοομοειδούς συνόλου *A* (σε ορισμένες περιπτώσεις), χρειάζεται μια τεχνική συνθήκη που ονομάζεται συνθήκη ανοικτού συνόλου (OSC) στην ακολουθία των συστολών ψ*i*..

Υπάρχει ένα ανοικτό σύνολο *V* με συμπαγές κλείσιμο, τέτοιο ώστε

{\displaystyle \bigcup \_{i=1}^{m}\psi \_{i}(V)\subseteq V,}
όπου τα σύνολα σε ένωση στα αριστερά είναι κατά ζεύγη χωριστά.

Η συνθήκη ανοικτού συνόλου είναι μια συνθήκη διαχωρισμού που εξασφαλίζει ότι οι εικόνες ψ*i*(*V*) δεν επικαλύπτονται "υπερβολικά".

**Θεώρημα**. Ας υποθέσουμε ότι ισχύει η συνθήκη του ανοικτού συνόλου και ότι κάθε ψ*i* είναι μια ομοιότητα, δηλαδή μια σύνθεση μιας ισομετρίας και μιας διαστολής γύρω από κάποιο σημείο. Τότε το μοναδικό σταθερό σημείο του ψ είναι ένα σύνολο του οποίου η διάσταση Χάουσντορφ είναι *s*, όπου *s* είναι η μοναδική λύση της 

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{m}r\_{i}^{s}=1.}
Ο συντελεστής συστολής μιας ομοιότητας είναι το μέγεθος της διαστολής.

Γενικά, ένα σύνολο *E* το οποίο μεταφέρεται στον εαυτό του με μια απεικόνιση

{\displaystyle A\mapsto \psi (A)=\bigcup \_{i=1}^{m}\psi \_{i}(A)}
είναι αυτοομοιόμορφη αν και μόνο αν οι τομές της ικανοποιούν την ακόλουθη συνθήκη:

{\displaystyle H^{s}\left(\psi \_{i}(E)\cap \psi \_{j}(E)\right)=0,}
όπου *s* είναι η διάσταση του Χάουσντορφ του *E* και *Hs* συμβολίζει το s-διάστατο μέτρο Χάουσντορφ. Αυτό είναι σαφές στην περίπτωση του τριγώνου Σιερπίνσκι (οι τομές είναι απλά σημεία), αλλά ισχύει και γενικότερα:

**Θεώρημα**. Υπό τις ίδιες συνθήκες με το προηγούμενο θεώρημα, το μοναδικό σταθερό σημείο του ψ είναι αυτοομοιόμορφο.

Περισσότερες πληροφορίες
------------------------

* Dodson, M. Maurice· Kristensen, Simon (12 Ιουνίου 2003). «Hausdorff Dimension and Diophantine Approximation». *Fractal Geometry and Applications: A Jubilee of Benoît Mandelbrot*. Proceedings of Symposia in Pure Mathematics. **72**. σελίδες 305–347. arXiv:math/0305399 Ελεύθερα προσβάσιμο. Bibcode:2003math......5399D. doi:10.1090/pspum/072.1/2112110. ISBN 9780821836378.
* Hurewicz, Witold· Wallman, Henry (1948). *Dimension Theory*. Princeton University Press.
* (1937). «La dimension et la mesure». *Fundamenta Mathematicae* **28**: 81–9. doi:10.4064/fm-28-1-81-89.
* Marstrand, J. M. (1954). «The dimension of cartesian product sets». *Proc. Cambridge Philos. Soc.* **50** (3): 198–202. doi:10.1017/S0305004100029236. Bibcode: 1954PCPS...50..198M.
* Mattila, Pertti (1995). *Geometry of sets and measures in Euclidean spaces*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-65595-8.
* A. S. Besicovitch (1929). «On Linear Sets of Points of Fractional Dimensions». *Mathematische Annalen* **101** (1): 161–193. doi:10.1007/BF01454831.
* A. S. Besicovitch; H. D. Ursell (1937). «Sets of Fractional Dimensions». *Journal of the London Mathematical Society* **12** (1): 18–25. doi:10.1112/jlms/s1-12.45.18.   
Several selections from this volume are reprinted in Edgar, Gerald A. (1993). *Classics on fractals*. Boston: Addison-Wesley. ISBN 0-201-58701-7.  See chapters 9,10,11
* F. Hausdorff (March 1919). «Dimension und äußeres Maß». *Mathematische Annalen* **79** (1–2): 157–179. doi:10.1007/BF01457179. .
* Hutchinson, John E. (1981). «Fractals and self similarity». *Indiana Univ. Math. J.* **30** (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.
* Falconer, Kenneth (2003). *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications* (2nd έκδοση). John Wiley and Sons.

Δείτε επίσης
------------

* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3  MacGregor Campbell, 2013, "5.6 Scaling and the Hausdorff Dimension," at *Annenberg Learner:MATHematics illuminated*, see , accessed 5 March 2015.
2. ↑  Gneiting, Tilmann; Ševčíková, Hana; Percival, Donald B. (2012). «Estimators of Fractal Dimension: Assessing the Roughness of Time Series and Spatial Data». *Statistical Science* **27** (2): 247–277. doi:10.1214/11-STS370. .
3. ↑  Larry Riddle, 2014, "Classic Iterated Function Systems: Koch Snowflake", Agnes Scott College e-Academy (online), see , accessed 5 March 2015.
4. 1 2  Keith Clayton, 1996, "Fractals and the Fractal Dimension," *Basic Concepts in Nonlinear Dynamics and Chaos* (workshop), Society for Chaos Theory in Psychology and the Life Sciences annual meeting, June 28, 1996, Berkeley, California, see , accessed 5 March 2015.
5. 1 2 3  Mandelbrot, Benoît (1982). *The Fractal Geometry of Nature*Απαιτείται δωρεάν εγγραφή. Lecture notes in mathematics 1358. W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1186-9.
6. 1 2  Schleicher, Dierk (June 2007). «Hausdorff Dimension, Its Properties, and Its Surprises» (στα αγγλικά). *The American Mathematical Monthly* **114** (6): 509–528. doi:10.1080/00029890.2007.11920440. ISSN 0002-9890.
7. ↑  Falconer, Kenneth (2003). *Fractal Geometry: Mathematical Foundations and Applications* (2nd έκδοση). John Wiley and Sons.
8. ↑  Morters, Peres (2010). *Brownian Motion*. Cambridge University Press.
9. ↑  Schleicher, Dierk (2007). «Hausdorff Dimension, Its Properties, and Its Surprises». *The American Mathematical Monthly* **114** (6): 509–528. ISSN 0002-9890. .
10. ↑  Rogers, Claude Ambrose (22 Οκτωβρίου 1998). *Hausdorff Measures*. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-62491-6.
11. ↑  Marstrand, J. M. (1954). «The dimension of Cartesian product sets». *Proc. Cambridge Philos. Soc.* **50** (3): 198–202. doi:10.1017/S0305004100029236. Bibcode: 1954PCPS...50..198M.
12. ↑  Falconer, Kenneth J. (2003). *Fractal geometry. Mathematical foundations and applications*. John Wiley & Sons, Inc. Hoboken, New Jersey.
13. ↑  Gu, Xiaoping (1993). «The Hausdorff Dimension of Self-Similar Sets Under a Pinching Condition». *Proceedings of the American Mathematical Society* **118** (4): 1281–1289. doi:10.2307/2160089. ISSN 0002-9939. .
14. ↑  Falconer, K. J. (1985). «Theorem 8.3». *The Geometry of Fractal Sets*. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 0-521-25694-1.
15. ↑  Hutchinson, John E. (1981). «Fractals and self similarity». *Indiana Univ. Math. J.* **30** (5): 713–747. doi:10.1512/iumj.1981.30.30055.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |