Στα μαθηματικά, ο **πίνακας προσπτώσεων** είναι ένας πίνακας που δείχνει τη σχέση ανάμεσα σε δύο κλάσεις αντικειμένων. Αν η πρώτη κλάση αντικειμένων είναι η *X* και η δεύτερη η *Y*, ο πίνακας έχει μια γραμμή για κάθε στοιχείο του της κλάσης Χ και μια στήλη για κάθε στοιχείο της κλάσης Y. Το στοιχείο της γραμμής *x* και της στήλης *y* ισούται με 1 αν *x* και *y* σχετίζονται και με 0 αν δε σχετίζονται. Υπάρχουν παραλλαγές, βλ. παρακάτω.

Θεωρία Γράφων
-------------

Πίνακες προσπτώσεων χρησιμοποιούνται κατά κύριο λόγο στη θεωρία γράφων.

### Μη κατευθυνόμενοι και κατευθυνόμενοι γράφοι

Μη κατευθυνόμενος γράφος
Στη θεωρία γράφων, ένας μη κατευθυνόμενος γράφος *G* έχει δύο είδη πινάκων προσπτώσεων: τους προσανατολισμένους και τους μη προσανατολισμένους.
Ο **πίνακας προσπτώσεων** (ή **μη προσανατολισμένος πίνακας προσπτώσεων**) του *G* είναι ένας *p* × *q* πίνακας {\displaystyle (b\_{ij})}, όπου *p* και *q* είναι οι αριθμοί των κορυφών και των ακμών αντίστοιχα , έτσι ώστε {\displaystyle b\_{ij}=1} αν η κορυφή v\_{i} και η ακμή {\displaystyle x\_{j}} είναι προσπίπτουσες και 0 σε αντίθετη περίπτωση. 

Για παράδειγμα, ο πίνακας προσπτώσεων του μη κατευθυνόμενου γράφου που φαίνεται στα δεξιά είναι ένας πίνακας που έχει 4 γραμμές (που αντιστοιχούν στις τέσσερις κορυφές, 1-4) και τέσσερις στήλες (που αντιστοιχούν στις τέσσερις ακμές, e1-e4):

{\displaystyle {\begin{pmatrix}1&1&1&0\\1&0&0&0\\0&1&0&1\\0&0&1&1\\\end{pmatrix}}}
Ο **πίνακας προσπτώσεων** ενός κατευθυνόμενου γράφου *D* είναι ένας *p* × *q* πίνακας {\displaystyle [b\_{ij}]} όπου *p* και *q* είναι ο αριθμός των κορυφών και των ακμών αντίστοιχα, έτσι ώστε {\displaystyle b\_{ij}=-1} αν η ακμή {\displaystyle x\_{j}} ξεκινάει από την κορυφή v\_{i}, 1 αν καταλήγει στην κορυφή v\_{i} και 0 διαφορετικά. Πολλοί συγγραφείς χρησιμοποιούν αντίθετο κανόνα προσήμου.

Ο **προσανατολισμένος πίνακας προσπτώσεων** ενός μη κατευθυνόμενου γράφου *G* είναι ο πίνακας προσπτώσεων, με την έννοια των κατευθυνόμενων γράφων, οποιουδήποτε προσανατολισμού του *G*. Δηλαδή στη στήλη της ακμής *e*, υπάρχει +1 στη γραμμή που αντιστοιχεί στη μία κορυφή της *e* και −1 στη γραμμή που αντιστοιχεί στην άλλη κορυφή της *e*, και όλες οι άλλες γραμμές έχουν μηδενικά. Όλοι οι προσανατολισμένοι πίνακες προσπτώσεων του *G* διαφέρουν μόνο στο πρόσημο των στοιχείων κάποιων στηλών. Σε πολλές περιπτώσεις αυτή είναι μια ασήμαντη διαφορά, έτσι κάποιος μπορεί να μιλήσει για *τον* προσανατολισμένο πίνακα προσπτώσεων, παρόλο που κάτι τέτοιο τεχνικά είναι λανθασμένο.

Ο προσανατολισμένος ή μη προσνατολισμένος πίνακας προσπτώσεων ενός γράφου *G* σχετίζεται με τον πίνακα γειτνίασης του γραφήματος γραμμής του *L*(*G*) σύμφωνα με το ακόλουθο θεώρημα:

{\displaystyle A(L(G))=B(G)^{T}B(G)-2I\_{q}\ }
όπου {\displaystyle A(L(G))} είναι ο πίνακας γειτνίασης του γραφήματος γραμμής του *G*, *B*(*G*) είναι ο πίνακας προσπτώσεων και {\displaystyle I\_{q}} είναι ο μοναδιαίος πίνακας διάστασης q.

Ο πίνακας Κίρχοφ υπολογίζεται από τον προσανατολισμένο πίνακα γειτνίασης με χρήση του τύπου:

{\displaystyle M(G)M(G)^{T}.}
### Προσημασμένοι και δικατευθυνόµενοι γράφοι

Ο πίνακας προσπτώσεων ενός προσημασμένου γράφου είναι μια γενίκευση του προσανατολισμένου πίνακα προσπτώσεων. Είναι ο πίνακας προσπτώσεων οποιουδήποτε δικατευθυνόμενου γράφου που δημιουργεί τον προσανατολισμό του προσημασμένου γράφου. Η στήλη μιας θετικής ακμής έχει a +1 στη γραμμή που αντιστοιχεί στη μια άκρη της ακμής και a −1 στη γραμμή που αντιστοιχεί στην άλλη άκρη, όπως και σε ακμή μη προσημασμένου γράφου. Η στήλη μιας αρνητικής ακμής έχει είτε a +1 ή a −1 και στις δύο γραμμές.

### Πολυγράφοι

Οι ορισμοί του πίνακα προσπτώσεων ισχύουν και σε γράφους με βρόχους και πολλαπλές ακμές. Η στήλη ενός προσανατολισμένου πίνακα προσπώσεων που αντιστοιχεί σε ένα βρόχο έχει όλα τα στοιχεία της μηδενικά, εκτός αν ο γράφος είναι προσημασμένος και ο βρόχος είναι αρνητικός. Σε αυτήν την περίπτωση η στήλη έχει όλα τα στοιχεία της μηδενικά εκτός από τη γραμμή της προσπίπτουσας κορυφής της, στην οποία έχει ±2.

### Υπεργράφοι

Εξαιτίας του γεγονότος ότι οι ακμές ενός συνηθισμένου γράφου μπορούν να έχουν μόνο 2 κορυφές (μία σε κάθε άκρη), η στήλη ενός πίνακα προσπτώσεων για γράφους μπορεί να έχει μόνο δύο μη μηδενικά στοιχεία. Αντίθετα, ένας υπεργράφος μπορεί να έχει περισσότερες από μία κορυφές σε κάθε άκρη μιας ακμής. Έτσι, η γενική περίπτωση περιγράφει έναν υπεργράφο.

Δομές προσπτώσεων
-----------------

Ο **πίνακας προσπτώσεων** μιας δομής προσπτώσεων *C* είναι ένας *p* × *q* πίνακας {\displaystyle [b\_{ij}]}, όπου *p* και *q* είναι ο αριθμός των **σημείων** και των **γραμμών** αντίστοιχα, έτσι ώστε {\displaystyle b\_{ij}=1} αν το σημείο {\displaystyle p\_{i}} και η γραμμή {\displaystyle L\_{j}} είναι προσπίπτοντα και 0 διαφορετικά. Σε αυτήν την περίπτωση ο πίνακας προσπτώσεων είναι επίσης πίνακας γειτνίασης του γραφήματος Λέβι της δομής. Δεδομένου ότι υπάρχει ένας υπεργράφος για κάθε γράφημα Λέβι και *αντίστροφα*, ο πίνακας προσπτώσεων μιας δομής προσπτώσεων περιγράφει έναν υπεργράφο..

### Πεπερασμένες γεωμετρίες

Μια περίπτωση τέτοιων δομών είναι η πεπερασμένη γεωμετρία. Για παράδειγμα, σε ένα πεπερασμένο επίπεδο, *X* είναι το σύνολο των σημέιων και *Y* είναι το σύνολο των γραμμών. Σε μια πεπερασμένη γεωμετρία περισσότερων διαστάσεων, *X* θα μπορούσε να είναι το σύνολο των σημείων και *Y* θα μπορούσε να είναι το σύνολο των υποχώρων διάστασης D - 1 όπου D η διάσταση του *Y* ή *X* θα μπορούσε να είναι το σύνολο όλων των υποχώρων μιας διάστασης *d* και *Y* το σύνολο όλων των υποχώρων μιας άλλης διάστασης *e*.

### Σχεδιασμοί κατά Μπλοκ

Ένα άλλο παράδειγμα τέτοιας δομής είναι ένας σχεδιασμός κατά μπλοκ. Σε αυτήν την περίπτωση, *X* είναι είνα πεπερασμένο σύνολο "σημείων" και *Y* είναι μια κλάση υποσυνόλων του *X*, που ονομάζονται "μπλοκς" και τα οποία υπόκεινται σε κανόνες που εξαρτώνται από τον τύπο του σχεδιασμού. Ο πίνακας προσπτώσεων είναι ένα σημαντικό εργαλείο στη θεωρία των σχεδιασμών κατά μπλοκ. Για παράδειγμα, χρησιμοποιείται για να αποδείξει το θεμελιώδες θεώρημα των συμμετρικών 2-σχεδιασμών, ότι δηλαδή ο αριθμός των μπλοκς ισούται με τον αριθμό των σημείων.

Αναφορές
--------

* Diestel, Reinhard (2005), *Graph Theory*, Graduate Texts in Mathematics, **173** (3rd έκδοση), Springer-Verlag, ISBN 3-540-26183-4 .
* Coxeter|Coxeter, H.S.M. *Regular Polytopes*, (3rd edition, 1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8 (Section 9.2 Incidence matrices, pp. 166–171)
* Jonathan L Gross, Jay Yellen, *Graph Theory and its applications*, second edition, 2006 (p 97, Incidence Matrices for unidrect graphs; p 98, incidence matrices for digraphs)