Το σύμβολο μετάθεσης, σε τρεις διαστάσεις.
Στα μαθηματικά, το **σύμβολο μετάθεσης** (ή **μετάταξης**, επίσης γνωστό ως **σύμβολο του Levi-Civita** ή **αντισυμμετρικό σύμβολο**) είναι ένα μαθηματικό σύμβολο που συναντάται συχνά στον τανυστικό λογισμό.

Ορισμός
-------

Το σύμβολο μετάθεσης συναντάται κυρίως στις τρεις, στις τέσσερις και σε κάποιο βαθμό στις δύο διαστάσεις. Ωστόσο, ο ορισμός του συμβόλου μετάθεσης γενικεύεται για οποιαδήποτε διάσταση.

### Δύο διαστάσεις

Το διδιάστατο σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

{\displaystyle \varepsilon \_{ij}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j)=(1,2)\\-1&{\text{αν }}(i,j)=(2,1)\\\;\;\,0&{\text{αν }}i=j\end{cases}}}
Οι τιμές μπορούν να διαταχθούν σε έναν 2 × 2 αντισυμμετρικό πίνακα:

{\displaystyle {\begin{pmatrix}\varepsilon \_{11}&\varepsilon \_{12}\\\varepsilon \_{21}&\varepsilon \_{22}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&1\\-1&0\end{pmatrix}}}
Η χρήση του διδιάστατου συμβόλου είναι σχετικά ασυνήθιστη, παρόλα αυτά, σε ορισμένες εξεζητημένες περιοχές όπως η υπερσυμμετρία και στη θεωρία twistor εμφανίζεται στο πλαίσιο των 2-σπινόρων. Τα σύμβολα Levi-Civita χρησιμοποιούνται ευρύτερα στις τρεις ή περισσότερες διαστάσεις.

  

### Τρεις διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης στην τριδιάστατη εκδοχή του ((i,j,k)={1,2,3}) ορίζεται μαθηματικά με τον ακόλουθο τρόπο:

{\displaystyle \epsilon \_{ijk}={\begin{cases}+1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,2,3),(3,1,2)\ {\acute {\eta }}\ (2,3,1)\\-1,&\ \alpha \nu \ (i,j,k)=(1,3,2),(2,1,3)\ {\acute {\eta }}\ (3,2,1)\\0,&\ \alpha \nu \ i=j,\ i=k\ {\acute {\eta }}\ j=k\end{cases}}}
Δηλαδή, το σύμβολο μετάθεσης εijk ισούται με μονάδα αν η τριάδα (i,j,k) είναι μία άρτια μετάθεση (ή μετάταξη) των (1,2,3), -1 στην περίπτωση που είναι περιττή μετάθεση αυτών και 0 όταν οποιοσδήποτε από τους δείκτες επαναλαμβάνεται.

Η τιμή του συμβόλου μετάταξης συναρτήσει των τιμών των δεικτών i,j,k δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle \epsilon \_{ijk}={\frac {\left(i-j\right)\left(j-k\right)\left(k-i\right)}{2}}}
Κατ' αναλογία με τους πίνακες δύο διαστάσεων, οι τιμές του τριδιάστατου συμβόλου Levi-Civita μπορούν να παρασταθούν σε μια διάταξη 3 × 3 × 3:

όπου i είναι το βάθος (μπλε, i=1; κόκκινο, i=2; πράσινο, i=3), j η σειρά and k η στήλη.

Μερικά παραδείγματα:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}})=1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}=-\varepsilon \_{\color {Orange}{2}\color {Violet}{3}\color {Orange}{2}}&=0\end{aligned}}}
### Τέσσερις διαστάσεις

Στις τέσσερις διαστάσεις, το σύμβολο Levi-Civita ορίζεται ως:

{\displaystyle \varepsilon \_{ijkl}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\-1&{\text{αν }}(i,j,k,l){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,4)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}}
Αυτές οι τιμές μπορούν να παρασταθούν σε μια 4 × 4 × 4 × 4 διάταξη, παρόλα αυτά στις 4 ή ανώτερες διαστάσεις, αυτό δύσκολα μπορεί να σχεδιαστεί.

Μερικά παραδείγματα:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}}&=-1\\\varepsilon \_{\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {BrickRed}{1}}=-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}}&=-(-\varepsilon \_{\color {BrickRed}{1}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {Violet}{3}\color {RedViolet}{4}})=1\\\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}=-\varepsilon \_{\color {Violet}{3}\color {Orange}{\color {Orange}{2}}\color {RedViolet}{4}\color {Violet}{3}}&=0\end{aligned}}}
### Γενίκευση στις *n* διαστάσεις

Το σύμβολο μετάθεσης Levi-Civita μπορεί να γενικευθεί στις n διαστάσεις:

{\displaystyle \varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}a\_{3}\ldots a\_{n}}={\begin{cases}+1&{\text{αν }}(a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n}){\text{ είναι άρτια μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\-1&{\text{αν }}(a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots ,a\_{n}){\text{ είναι περιττή μετάθεση των }}(1,2,3,\dots ,n)\\\;\;\,0&{\text{διαφορετικά}}\end{cases}}}
Έτσι, πρόκειται για το πρόσημο της μετάθεσης, στη περίπτωση της μετάθεσης και μηδέν σε κάθε άλλη περίπτωση.

Χρησιμοποιώντας το συμβολισμό του πολλαπλασιασμού ∏ για το συνήθη πολλαπλασιασμό αριθμών, μπορεί να διατυπωθεί μια πολύ σαφής έκφραση:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon \_{a\_{1}a\_{2}a\_{3}\ldots a\_{n}}&=\prod \_{1\leq i<j\leq n}\operatorname {sgn}(a\_{j}-a\_{i})\\&=\operatorname {sgn}(a\_{2}-a\_{1})\operatorname {sgn}(a\_{3}-a\_{1})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{1})\operatorname {sgn}(a\_{3}-a\_{2})\operatorname {sgn}(a\_{4}-a\_{2})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{2})\dots \operatorname {sgn}(a\_{n}-a\_{n-1})\end{aligned}}}
όπου το γινόμενο είναι συνολικά αντισυμμετρικό σε όλους τους δείκτες και το σύμβολο sgn υποδηλώνει τη συνάρτηση προσήμου, η οποία εξάγει το πρόσημο κάθε διαφοράς, απορρίπτοντας τις απόλυτες τιμές. Ο τύπος ισχύει για κάθε τιμή δείκτη και για κάθε n (όταν n = 0 ή 1, τότε πρόκειται για το "άδειο" γινόμενο (empty product). Ωστόσο, το να υπολογίσει κανείς αφελώς την παραπάνω έκφραση, απαιτείται χρονική πολυπλοκότητα τάξης O(*n*2), ενώ, χρησιμοποιώντας διακριτούς κύκλους μετάθεσης (disjoint cycles), απαιτείται ένα κόστος τάξης μόλις O(*n* log(*n*)).

Ιδιότητες
---------

Σε δύο διαστάσεις ((i,j)={1,2}), το σύμβολο μετάθεσης ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:

{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon \_{ij}\epsilon \_{mn}&=\delta \_{im}\delta \_{jn}-\delta \_{in}\delta \_{jm}\\\epsilon \_{ij}\epsilon \_{in}&=\delta \_{jn}\\\epsilon \_{ij}\epsilon \_{ij}&=2\end{aligned}}}
Αντίστοιχα σε τρεις διαστάσεις ((i,j,k)={1,2,3}),

{\displaystyle {\begin{aligned}\epsilon \_{ijk}\epsilon \_{mnk}&=\delta \_{im}\delta \_{jn}-\delta \_{in}\delta \_{jm}\\\epsilon \_{imn}\epsilon \_{jmn}&=2\delta \_{ij}\\\epsilon \_{ijk}\epsilon \_{ijk}&=6\end{aligned}}}
Σε όλες τις παραπάνω σχέσεις το σύμβολο δ αναφέρεται στο δέλτα του Κρόνεκερ, ενώ υπονοείται κάθε φορά η σύμβαση άθροισης του Αϊνστάιν.

Χρήσεις
-------

### Διανυσματικός λογισμός

Στον διανυσματικό λογισμό, το εξωτερικό γινόμενο μεταξύ δύο διανυσμάτων **Α**=(a1,a2,a3) και **Β**=(b1,b2,b3) μπορεί να γραφτεί υπό μορφή ορίζουσας πίνακα ως εξής:

{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} ={\begin{vmatrix}\mathbf {e} \_{1}&\mathbf {e} \_{2}&\mathbf {e} \_{3}\\a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\\end{vmatrix}}}
όπου (**e**1,**e**2,**e**3) μία βάση ορθομοναδιαίων διανυσμάτων. Βάσει του ορισμού του συμβόλου μετάθεσης, η παραπάνω σχέση μπορεί να γραφτεί επίσης κατά τον ακόλουθο συμπαγή τρόπο:

{\displaystyle \mathbf {A} \times \mathbf {B} =\epsilon \_{ijk}\mathbf {e} \_{i}a\_{j}b\_{k}}
Εν γένει, αν **C**=**A**×**B** (όπου **C**=(c1,c2,c3)) τότε:

{\displaystyle c\_{i}=\epsilon \_{ijk}a\_{j}b\_{k}}

Δείτε επίσης
------------

* Δέλτα του Κρόνεκερ

Παραπομπές
----------

1. ↑  Labelle, P. (2010). *Supersymmetry*. Demystified. McGraw-Hill. σελίδες 57–58. ISBN 978-0-07-163641-4.
2. ↑  Hadrovich, F. «Twistor Primer». Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Απριλίου 2015. Ανακτήθηκε στις 3 Σεπτεμβρίου 2013.
3. ↑  Kay, D. C. (1988). *Tensor Calculus*. Schaum’s Outlines. McGraw Hill. ISBN 0-07-033484-6.

Πηγές
-----

* Wolfram Mathworld. «Permutation Symbol».