Το **θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ** είναι μαθηματικό θεώρημα στη θεωρία του κόσκινου. Είναι ένα βασικό συστατικό σε αποδείξεις του θεωρήματος του Τσεν σχετικά με την εικασία του Γκόλντμπαχ.:272
Αποδείχθηκε το 1965 από τους Βόλφγκανγκ Μπ. Γιούρκατ και Χανς-Έγκον Ρίχερτ.

Δήλωση του θεωρήματος
---------------------

Αυτή η διατύπωση είναι από τους Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ.:81 Άλλες διατυπώσεις είναι από τους Γιούρκατ και Ρίχερτ,:230 Χάλμπερσταμ και Ρίχτερτ,:231 και Νάθανσον.:257

Ας υποθέσουμε ότι Α είναι μια πεπερασμένη ακολουθία ακέραιων και Ρ είναι ένα σύνολο πρώτων αριθμών. Γράφουμε *Ad* για τον αριθμό των στοιχείων του *Α* που διαιρούνται με το d και Ρ(*z*) για το γινόμενο από τα στοιχεία του *Ρ* που είναι μικρότερα από το *z*. Γράφουμε το ω(*d*) για την πολλαπλασιαστική συνάρτηση έτσι ώστε το ω(*p*)/*p* να είναι περίπου ο λόγος των στοιχείων του *Α* που διαιρούνται από το *p*. Τέλος γράφουμε *X* για οποιαδήποτε κατάλληλη προσέγγιση του |*A*|, και να γράψει το υπόλοιπο ως

{\displaystyle r\_{A}(d)=\left|A\_{d}\right|-{\frac {\omega (d)}{d}}X.}
Γράφουμε *S*(*A*,*P*,*z*) για τον αριθμό των στοιχείων σε *Α* που είναι σχετικά πρώτοι *P*(*z*). Γράφουμε

{\displaystyle V(z)=\prod \_{p\in P,p<z}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right).}
Γράφουμε ν(*m*) για τον αριθμό των διακριτών πρώτων διαιρετών του *m*. Γράφουμε *F*1 και *f*1 για τις εξισώσεις που πληρούν ορισμένες διαφορετικές διαφορικές εξισώσεις (βλέπε Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ:67–68 για τον ορισμό και ιδιότητες).

Υποθέτουμε ότι η διάσταση (πυκνότητα κοσκινίσματος[*ασαφές*]) είναι 1: όπου υπάρχει μια σταθερά *C* τέτοια ώστε για το 2 ≤ *z* < *w* να έχουμε

{\displaystyle \prod \_{z\leq p<w}\left(1-{\frac {\omega (p)}{p}}\right)^{-1}\leq \left({\frac {\log w}{\log z}}\right)\left(1+{\frac {C}{\log z}}\right).}
(Το βιβλίο των Ντάιαμοντ και Χάλμπερσταμ επεκτείνει το θεώρημα σε διαστάσεις μεγαλύτερες από 1.), Τότε το θεώρημα Γιούρκατ-Ρίχερτ ορίζει ότι για οποιουσδήποτε αριθμούς *ψ* και *z* με 2 ≤ *z* ≤ *y* ≤ *X* έχουμε

{\displaystyle S(A,P,z)\leq XV(z)\left(F\_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)+O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)+\sum \_{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r\_{A}(m)\right|}
και

{\displaystyle S(A,P,z)\geq XV(z)\left(f\_{1}\left({\frac {\log y}{\log z}}\right)-O\left({\frac {(\log \log y)^{3/4}}{(\log y)^{1/4}}}\right)\right)-\sum \_{m|P(z),m<y}4^{\nu (m)}\left|r\_{A}(m)\right|.}

Παραπομπές
----------

1. 1 2  
Nathanson, Melvyn B. (1996). *Additive Number Theory: The Classical Bases*. Graduate Texts in Mathematics. **164**. Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94656-6. Ανακτήθηκε στις 14 Μαρτίου 2009.
2. 1 2  
Jurkat, W. B.; Richert, H.-E. (1965). «An improvement of Selberg's sieve method I». *Acta Arithmetica* **XI**: 217–240. ISSN 0065-1036. Zbl 0128.26902.. Ανακτήθηκε στις 2009-02-17.
3. 1 2 3  
Diamond, Harold G.· Halberstam, Heini (2008). *A Higher-Dimensional Sieve Method: with Procedures for Computing Sieve Functions*. Cambridge Tracts in Mathematics. **177**. With William F. Galway. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-89487-6.
4. ↑  
Halberstam, Heini· Richert, H.-E. (1974). *Sieve Methods*. London Mathematical Society Monographs. **4**. London: Academic Press. ISBN 0-12-318250-6.