Η έννοια του *ορίου ακολουθίας* είναι από τις πιο σημαντικές έννοιες της μαθηματικής ανάλυσης. Διαισθητικά, μια ακολουθία λέμε ότι έχει *όριο* ή ότι *συγκλίνει σε ένα αριθμό L, όταν οι όροι της πλησιάζουν όλο και περισσότερο τον αριθμό αυτό καθώς ο δείκτης της αυξάνεται απεριόριστα.*

Θεωρούμε την ακολουθία:

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{n}}}
με όρους:

{\displaystyle a\_{1}=1,...a\_{10}={\frac {1}{10}},...a\_{100}={\frac {1}{100}},...a\_{1000}={\frac {1}{1000}}...}
Είναι εύκολο να παρατηρήσει κανείς ότι οι όροι της ακολουθίας *πλησιάζουν* ολοένα και περισσότερο το 0 καθώς ο δείκτης n αυξάνεται. Για τη συγκεκριμένη ακολουθία μπορούμε επίσης να παρατηρήσουμε ότι για καμιά τιμή του n δεν θα υπάρξει όρος (ίσος ή) μικρότερος του μηδενός. Θα μπορούσαμε λοιπόν να πούμε ότι η ακολουθία μας δεν μπορεί να *ξεπεράσει* το μηδέν, με άλλα λόγια ότι έχει *όριο* τον αριθμό 0.

Παρακάτω δίνονται αυστηροί ορισμοί της σύγκλισης μιας ακολουθίας.

Σύγκλιση ακολουθίας σε πραγματικό αριθμό
----------------------------------------

### Ορισμός σύγκλισης ακολουθίας

Έστω {\displaystyle (a\_{n})} μία πραγματική ακολουθία και L ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι **ο αριθμός L είναι όριο της ακολουθίας** {\displaystyle (a\_{n})} ή ότι **η ακολουθία {\displaystyle (a\_{n})} συγκλίνει στον αριθμό L** αν: για κάθε ε > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

{\displaystyle |a\_{n}-L|<\epsilon \Leftrightarrow -\epsilon <a\_{n}-L<\epsilon \Leftrightarrow a\_{n}\in (L-\epsilon ,L+\epsilon )}
και συμβολίζεται με:

\lim \_{{n\to \infty }}a\_{n}=L ή {\displaystyle \lim a\_{n}=L} ή {\displaystyle a\_{n}\rightarrow L}.
Η έννοια του ορίου ακολουθίας όπως την έχουμε ορίσει διαισθητικά λέει ότι: αν μια ακολουθία {\displaystyle (a\_{n})} συγκλίνει σε ένα αριθμό L τότε οποιαδήποτε *περιοχή του L* και αν επιλέξουμε, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας όλοι οι επόμενοι θα βρίσκονται μέσα στην περιοχή αυτή. Σύμφωνα με τον ορισμό, αυτό μπορεί να γίνει για οσοδήποτε *μικρή* περιοχή του L.

Σύγκλιση της ακολουθίας an. Μετά τον δεύτερο όρο της ακολουθίας, όλοι οι επόμενοι βρίσκονται μέσα στην περιοχή του a, που είναι το όριο της ακολουθίας. Επομένως, για το συγκεκριμένο ε, n0=2.
Η διατύπωση του ορισμού μπορεί να γίνει πιο *κομψή*, χρησιμοποιώντας τη λέξη *τελικά*, η οποία δεν είναι καθόλου ασαφής, ως εξής: μια ακολουθία {\displaystyle (a\_{n})} έχει όριο έναν πραγματικό αριθμό L, αν για κάθε ε>0 *τελικά* ισχύει:

{\displaystyle |a\_{n}-L|<\epsilon }
Εδώ, η λέξη *τελικά* σημαίνει: *για όλα τα n>n0*, που δείχνει ότι η κύρια πρόταση που ορίζει την έννοια της σύγκλισης μπορεί να μην ισχύει για τους πρώτους όρους της ακολουθίας, αλλά, αν υπάρχει το όριο, τότε σίγουρα, μετά από κάποιον όρο της ακολουθίας, για όλους τους επόμενους (δηλαδή τους *τελικούς*) θα ισχύει η πρόταση αυτή.

### Μοναδικότητα του όριου

Αποδεικνύεται ότι *αν μια ακολουθία πραγματικών αριθμών έχει όριο, τότε το όριό της αυτό είναι μοναδικό*.

Η απόδειξη γίνεται ως εξής:
Έστω ότι μια ακολουθία {\displaystyle (a\_{n})} έχει δύο όρια, τα α και β τα οποία δεν είναι ίσα μεταξύ τους. Τότε, με βάση τον ορισμό του ορίου ακολουθίας έχουμε τα εξής:

{\displaystyle (a\_{n}\rightarrow a)\Leftrightarrow {\Big (}\forall \epsilon >0,\exists n\_{1}=n\_{1}(\epsilon )\in \mathbb {N} :\forall n>n\_{1},|a\_{n}-a|<{\frac {\epsilon }{2}}{\Big )}}
και

{\displaystyle (a\_{n}\rightarrow \beta )\Leftrightarrow {\Big (}\forall \epsilon >0,\exists n\_{2}=n\_{2}(\epsilon )\in \mathbb {N} :\forall n>n\_{2},|a\_{n}-\beta |<{\frac {\epsilon }{2}}{\Big )}}.
Έστω τώρα, ο φυσικός αριθμός n0 ο οποίος είναι ο μεγαλύτερος των n1 και n2, δηλαδή, n0=max{n1, n2}. Τότε:

{\displaystyle \forall \epsilon >0} και {\displaystyle \forall n\geq n\_{0}} ισχύει: {\displaystyle |b-a|=|(a\_{n}-a)-(a\_{n}-b)|}
Από την τριγωνική ανισότητα παίρνουμε:

{\displaystyle |b-a|=|(a\_{n}-a)-(a\_{n}-b)|<|a\_{n}-a|+|a\_{n}-b|<{\frac {\epsilon }{2}}+{\frac {\epsilon }{2}}=\epsilon }
Η σχέση {\displaystyle |b-a|<\epsilon } ισχύει για κάθε ε>0 και επομένως a=b που είναι άτοπο. Επομένως αν μια ακολουθία έχει όριο τότε το όριο αυτό είναι μοναδικό.

Σύγκλιση ακολουθίας στο άπειρο
------------------------------

### Ορισμός απόκλισης ακολουθίας

Έστω {\displaystyle (a\_{n})} μία πραγματική ακολουθία. Λέμε ότι η ακολουθία **έχει όριο το {\displaystyle +\infty }** ή **αποκλίνει στο {\displaystyle +\infty }**, αν για κάθε Μ > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

{\displaystyle a\_{n}>M\Leftrightarrow a\_{n}\in (M,+\infty )}
και συμβολίζεται με:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=+\infty } ή με {\displaystyle \lim a\_{n}=+\infty } ή ακόμα με {\displaystyle a\_{n}\rightarrow +\infty }
Εντελώς ανάλογα ορίζεται και η σύγκλιση μιας σκολουθίας στο {\displaystyle -\infty }:

Έστω {\displaystyle (a\_{n})} μία πραγματική ακολουθία. Λέμε ότι η ακολουθία **έχει όριο το {\displaystyle -\infty }** ή **αποκλίνει στο {\displaystyle -\infty }**, αν για κάθε Μ > 0 υπάρχει (τουλάχιστον ένα) n0 τέτοιο, ώστε για κάθε n>n0 να ισχύει:

{\displaystyle a\_{n}<-M\Leftrightarrow a\_{n}\in (-\infty ,-M)}
και συμβολίζεται με:

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=-\infty } ή με {\displaystyle \lim a\_{n}=-\infty } ή ακόμα με {\displaystyle a\_{n}\rightarrow -\infty }
Όταν μια ακολουθία σύγκλινει στο άπειρο, τότε οποιοδήποτε θετικό αριθμό και να διαλέξουμε, οσοδήποτε μεγάλο, πάντα θα υπάρχει κάποιος όρος της ακολουθίας που θα έχει μεγαλύτερη τιμή και θα ξεπερνάει αυτόν τον επιλεγμένο αριθμό, καθώς επίσης, θα τον ξεπερνάνε και οι επόμενοι όροι. Αντίστοιχα και για την σύγκλιση της ακολουθίας στο αρνητικό άπειρο, για οποιονδήποτε αρνητικό αριθμό, οσοδήποτε μικρό, πάντα θα υπάρχει ένας όρος της ακολουθίας όπου αυτός και οι επόμενοι όροι θα είναι ακόμα πιο μικροί.

Ιδιότητες ορίων ακολουθίας
--------------------------

Αποδεικνύονται, οι παρακάτω ιδιότητες:

* Κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι και φραγμένη. Όμως, κάθε φραγμένη ακολουθία δεν είναι απαραίτητα συγκλίνουσα.

Έστω {\displaystyle (a\_{n})}, {\displaystyle (b\_{n})} δύο ακολουθίες πραγματικών αριθμών και a,b, λ πραγματικοί αριθμοί. Τότε:

* {\displaystyle a\_{n}\rightarrow a\Leftrightarrow \lambda a\_{n}\rightarrow \lambda a},
* {\displaystyle a\_{n}\rightarrow a\Rightarrow |a\_{n}|\rightarrow |a|},
* {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0\leftrightarrow |a\_{n}|\rightarrow 0},
* Αν {\displaystyle a\_{n}\rightarrow a} και {\displaystyle b\_{n}\rightarrow \beta }, τότε {\displaystyle (a\_{n}+b\_{n})\rightarrow (a+b)}. *Δεν ισχύει το αντίστροφο*
* Αν {\displaystyle a\_{n}\rightarrow a} και {\displaystyle b\_{n}\rightarrow b}, τότε {\displaystyle (a\_{n}b\_{n})\rightarrow (ab)}. *Δεν ισχύει το αντίστροφο!*

### Κριτήριο παρεμβολής

Έστω {\displaystyle (a\_{n})}, {\displaystyle (b\_{n})}, {\displaystyle (c\_{n})} τρεις ακολουθίες πραγματικών αριθμών. Σύμφωνα με το κριτήριο παρεμβολής:

Αν {\displaystyle a\_{n},c\_{n}\rightarrow L} και {\displaystyle a\_{n}\leq b\_{n}\leq c\_{n}}, τότε: {\displaystyle b\_{n}\rightarrow L}.

Τέλος, σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano - Weierstrass, κάθε φραγμένη ακολουθία περιέχει μία τουλάχιστον συγκλίνουσα υπακολουθία. Έτσι, αφού κάθε συγκλίνουσα ακολουθία είναι φραγμένη, προκύπτει ότι κάθε συγκλίνουσα ακολουθία περιέχει μία τουλάχιστον συγκλίνουσα υπακολουθία.