Στη θεωρία αριθμών, ένας **περικοπτόμενος πρώτος** είναι ένας πρώτος αριθμός ο οποίος, σε μια δεδομένη βάση, δεν περιέχει 0, και αν το πρώτο ("αριστερό") ψηφίο αφαιρεθεί διαδοχικά, τότε όλοι οι αριθμοί που προκύπτουν είναι πρώτοι. Για παράδειγμα, το 9.137 είναι ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος, αφού το 9.137, το 137, το 37 και το 7 είναι όλοι πρώτοι. Η δεκαδική αναπαράσταση συχνά θεωρείται και χρησιμοποιείται πάντα σε αυτό το άρθρο.

Ένας **δεξιά περικοπτόμενος πρώτος** είναι ένας πρώτος που παραμένει πρώτος όταν αφαιρεθεί διαδοχικά το τελευταίο ("δεξί") ψηφίο. Το 7.393 είναι ένα παράδειγμα δεξιού-κολοβωμένου πρώτου, αφού το 7.393, το 739, το 73 και το 7 είναι όλοι πρώτοι.

Ένας **αριστερά-και-δεξιά-περικοπτόμενος πρώτος** είναι ένας πρώτος που παραμένει πρώτος εάν αφαιρέσουμε διαδοχικά το πρώτο ("αριστερό") και τελευταίο ("δεξί") ψηφίο και καταλήξουμε με ένα ή δύο ψηφία. Το 1.825.711 είναι ένα παράδειγμα αριστερού-και-δεξιού-κολοβωμένου πρώτου, αφού το 1.825.711, το 82.571, το 257 και το 5 είναι όλοι πρώτοι.

Στη βάση 10, υπάρχουν ακριβώς 4.260 αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι, 83 δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι, και 920.720.315 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι.

Ιστορία
-------

Ένας συγγραφέας με το όνομα Leslie E. Card στους πρώτους τόμους του Journal of Recreational Mathematics (που ξεκίνησε να κυκλοφορεί το 1968) θεώρησε ένα θέμα κοντά σε αυτό των δεξιά-κολοβωμένων πρώτων, καλώντας ακολουθίες και προσθέτοντας ψηφία στα δεξιά με τη σειρά σε έναν αρχικό αριθμό.

Η συζήτηση του θέματος χρονολογείται τουλάχιστον τον Νοέμβριο του 1969, στο Mathematics Magazine, όπου οι κολοβωμένοι πρώτοι ονομάστηκαν *πρώτοι πρώτοι,* από δύο συν-συγγραφείς (Murray Berg και John E. Walstrom).

Δεκαδικοί κολοβωμένοι πρώτοι
----------------------------

Υπάρχουν 4.260 αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 3, 5, 7, 13, 17, 23, 37, 43, 47, 53, 67, 73, 83, 97, 113, 137, 167, 173, 197, 223, 283, 313, 317, 337, 347, 353, 367, 373, 383, 397, 443, 467, 523, 547, 613, 617, 643, 647, 653, 673, 683, 743, 773, 797, 823, 853, 883, 937, 947, 953, 967, 983, 997, ... (ακολουθία A024785 στην OEIS)
Ο μεγαλύτερος είναι ο 357.686.312.646.216.567.629.137 (24 ψηφία).

Υπάρχουν 83 δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι. Ολόκληρη η λίστα:

2, 3, 5, 7, 23, 29, 31, 37, 53, 59, 71, 73, 79, 233, 239, 293, 311, 313, 317, 373, 379, 593, 599, 719, 733, 739, 797, 2.333, 2.339, 2.393, 2.399, 2.939, 3.119, 3.137, 3.733, 3.739, 3.793, 3.797, 5.939, 7.193, 7.331, 7.333, 7.393, 23.333, 23.339, 23.399, 23.993, 29.399, 31.193, 31.379, 37.337, 37.339, 37.397, 59.393, 59.399, 71.933, 73.331, 73.939, 233.993, 239.933, 293.999, 373.379, 373.393, 593.933, 593.993, 719.333, 739.391, 739.393, 739.397, 739.399, 2.339.933, 2.399.333, 2.939.999, 3.733.799, 5.939.333, 7.393.913, 7.393.931, 7.393.933, 23.399.339, 29.399.999, 37.337.999, 59.393.339, 73.939.133 (ακολουθία A024770 στην OEIS)
Ο μεγαλύτερος είναι ο 73.939.133 (8 ψηφία). Όλοι οι πρώτοι πάνω από 5 τελειώνουν με το ψηφίο 1, 3, 7 ή 9, οπότε ένας δεξιά-κολοβωμένος πρώτος μπορεί να περιέχει μόνο αυτά τα ψηφία μετά το πρώτο ψηφίο.

Υπάρχουν 920.720.315 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97, 127, 131, 137, 139, 151, 157, 173, 179, 223, 227, 229, 233, 239, 251, 257, 271, 277, 331, 337, 353, 359, 373, 379, 421, 431, 433, 439, 457, 479, 521, 523, 557, 571, 577, 631, 653, 659, 673, 677, 727, 733, 739, 751, 757, 773, 821, 823, 827, 829, 839, 853, 857, 859, 877, 929, 937, 953, 971, 977, 1.117, 1.171, 1.193, 1.231, 1.237, 1.291, 1.297, 1.319, 1.373, 1.433, 1.439, 1.471, 1.531, 1.597, 1.613, 1.619, ... (ακολουθία A077390 στην OEIS)
Υπάρχουν 331.780.864 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι με περιττό αριθμό ψηφίων. Ο μεγαλύτερος είναι ο 7.228.828.176.786.792.552.781.668.926.755.667.258.635.743.361.825.711.373.791.931.117.197.999.133.917.737.137.399.993.737.111.177 (97 ψηφία).

Υπάρχουν 588.939.451 αριστερά-και-δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι με άρτιο αριθμό ψηφίων. Ο μεγαλύτερος είναι ο 91.617.596.742.869.619.884.432.721.391.145.374.777.686.825.634.291.523.771.171.391.111.313.737.919.133.977.331.737.137.933.773.713.713.973 (104 ψηφία).

Υπάρχουν 15 πρώτοι που είναι ταυτόχρονα αριστερά-κολοβωμένοι και δεξιά-κολοβωμένοι. Έχουν ονομαστεί **διπλής-όψης πρώτοι**. Ολόκληρη η λίστα:

2, 3, 5, 7, 23, 37, 53, 73, 313, 317, 373, 797, 3.137, 3.797, 739.397 (ακολουθία A020994 στην OEIS)
Ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος ονομάζεται **περιορισμένος** εάν όλες οι αριστερές επεκτάσεις του είναι σύνθετες, δηλαδή δεν υπάρχει άλλος αριστερά-κολοβωμένος πρώτος εκ των οποίων αυτός ο πρώτος είναι η αριστερά-κολοβωμένη "ουρά". Επομένως, το 7.937 είναι ένας περιορισμένος αριστερά-κολοβωμένος πρώτος, επειδή οι εννέα πενταψήφιοι αριθμοί που τελειώνουν σε 7937 είναι όλοι σύνθετοι, ενώ το 3.797 είναι ένας αριστερά-κολοβωμένος πρώτος που δεν είναι περιορισμένος επειδή το 33.797 είναι επίσης πρώτος.

Υπάρχουν 1.442 περιορισμένοι αριστερά-κολοβωμένοι πρώτοι:

2, 5, 773, 3.373, 3.947, 4.643, 5.113, 6.397, 6.967, 7.937, 15.647, 16.823, 24.373, 33.547, 34.337, 37.643, 56.983, 57.853, 59.743, 62.383, 63.347, 63.617, 69.337, 72.467, 72.617, 75.653, 76.367, 87.643, 92.683, 97.883, 98.317, ... (ακολουθία A240768 στην OEIS)
Ομοίως, ένας δεξιά-κολοβωμένος πρώτος ονομάζεται περιορισμένος εάν όλες οι δεξιές επεκτάσεις του είναι σύνθετες. Υπάρχουν 27 περιορισμένοι δεξιά-κολοβωμένοι πρώτοι:

53, 317, 599, 797, 2.393, 3.793, 3.797, 7.331, 23.333, 23.339, 31.193, 31.379, 37.397, 73.331, 373.393, 593.993, 719.333, 739.397, 739.399, 2.399.333, 7.393.931, 7.393.933, 23.399.339, 29.399.999, 37.337.999, 59.393.339, 73.939.133 (ακολουθία A239747 στην OEIS)

Άλλες βάσεις
------------

Παρόλο που η πρωταρχικότητα ενός αριθμού δεν εξαρτάται από το αριθμητικό σύστημα που χρησιμοποιείται, οι κολοβωμένοι πρώτοι ορίζονται μόνο σε σχέση με μια δεδομένη βάση. Μια παραλλαγή περιλαμβάνει την αφαίρεση 2 ή περισσότερων δεκαδικών ψηφίων κάθε φορά. Αυτό είναι μαθηματικά ισοδύναμο με τη χρήση της βάσης 100 ή μεγαλύτερης δύναμης του 10, με τον περιορισμό ότι οι βάσεις με 10ν ψηφία πρέπει να είναι τουλάχιστον 10ν-1, ώστε να ταιριάζουν με έναν δεκαδικό αριθμό με ν-ψηφία χωρίς το πρώτο να είναι 0.

Δείτε επίσης
------------

* Επιτρεπόμενος πρώτος

Βιβλιογραφικές αναφορές
-----------------------


* Weisstein, Eric W. "Truncatable Prime" από το MathWorld.
* Caldwell, Chris, *left-truncatable prime* and *right-truncatable primes*, at the Prime Pages glossary.
* Rivera, Carlos, Problems & Puzzles: Puzzle 2.- Prime strings and Puzzle 131.- Growing primes

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Grime, Dr. James. «357686312646216567629137» (video). *YouTube*. Brady Haran. Ανακτήθηκε στις 27 Ιουλίου 2018.