Στα μαθηματικά, η **ταυτότητα Λαγκράνζ** (αναφέρεται και ως **ταυτότητα Lagrange**) είναι η ταυτότητα που ισχύει για κάθε πραγματικούς αριθμούς {\displaystyle a,b,x,y} και λέει ότι:47:26-27

{\displaystyle (a^{2}+b^{2})\cdot (x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}}.
Πιο γενικά, για οποιαδήποτε για n πραγματικούς {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} και {\displaystyle b\_{1},\ldots ,b\_{n}} ισχύει ότι 

{\displaystyle (a\_{1}^{2}+\ldots +a\_{n}^{2})\cdot (b\_{1}^{2}+\ldots +b\_{n}^{2})-(a\_{1}b\_{1}+\ldots +a\_{n}b\_{n})^{2}=\left(a\_{1}b\_{2}-a\_{2}b\_{1}\right)^{2}+\left(a\_{1}b\_{3}-a\_{1}b\_{3}\right)^{2}+\ldots +\left(a\_{n-1}b\_{n}-a\_{n-1}b\_{n}\right)^{2},}
ή πιο σύντομα με την χρήση του συμβολισμού για το άθροισμα

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{2}\right)\left(\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}^{2}\right)-\left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}b\_{k}\right)^{2}=\sum \_{i=1}^{n-1}\sum \_{j=i+1}^{n}\left(a\_{i}b\_{j}-a\_{j}b\_{i}\right)^{2}}.
Η σχέση αυτή μπορεί επίσης να γραφτεί με την χρήση διανυσμάτων {\displaystyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}} ως εξής

{\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|^{2}\left\|\mathbf {b} \right\|^{2}-(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )^{2}=\sum \_{1\leq i<j\leq n}\left(a\_{i}b\_{j}-a\_{j}b\_{i}\right)^{2}}.
Από αυτήν την σχέση και το γεγονός ότι {\displaystyle x^{2}\geq 0} για κάθε πραγματικό αριθμό x, προκύπτει η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς στους πραγματικούς αριθμούς, δηλαδή

{\displaystyle \left\|\mathbf {a} \right\|\left\|\mathbf {b} \right\|\geq \mathbf {a} \cdot \mathbf {b} }.
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Ζοζέφ Λουί Λαγκράνζ.

Αποδείξεις
----------

### Απόδειξη για n = 2

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι 

{\displaystyle {\begin{aligned}(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2}&=(ax)^{2}+2\cdot (ax)\cdot (by)+(by)^{2}+(ay)^{2}-2\cdot (ay)\cdot (bx)+(bx)^{2}\\&=a^{2}x^{2}+2abxy+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}-2abxy+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}x^{2}+b^{2}y^{2}+a^{2}y^{2}+b^{2}x^{2}\\&=a^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})+b^{2}\cdot (x^{2}+y^{2})\\&=(a^{2}+b^{2})\cdot (x^{2}+y^{2}),\end{aligned}}}
το οποίο είναι το αριστερό μέλος. 

### Γενική απόδειξη

Ξεκινώντας από το δεξί μέλος έχουμε ότι 

{\displaystyle \left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}^{2}\right)\left(\sum \_{k=1}^{n}b\_{k}^{2}\right)-\left(\sum \_{k=1}^{n}a\_{k}b\_{k}\right)^{2}=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}^{2}b\_{j}^{2}-\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}b\_{i}a\_{j}b\_{j}.}
Για το αριστερό μέλος έχουμε ότι 

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n-1}\sum \_{j=i+1}^{n}\left(a\_{i}b\_{j}-a\_{j}b\_{i}\right)^{2}=\sum \_{i=1}^{n-1}\sum \_{j=i+1}^{n}\left(a\_{i}^{2}b\_{j}^{2}-2a\_{i}b\_{i}a\_{j}b\_{j}+a\_{j}^{2}b\_{i}^{2}\right)=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}^{2}b\_{j}^{2}-\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}a\_{i}b\_{i}a\_{j}b\_{j}},
όπου στο τελευταίο βήμα προσθέσαμε τους όρους {\displaystyle a\_{i}^{2}b\_{i}^{2}} στο πρώτο άθροισμα και τους αφαιρέσαμε από το δεύτερο. Επομένως, συμπεραίνουμε ότι τα δύο μέλη είναι ίσα.

Δείτε επίσης
------------

* Ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Παραπομπές
----------

1. ↑  Δημήτριος Αργυράκης· Παναγιώτης Βουργάνας· Κωνσταντίνος Μεντης· Σταματούλα Τσικοπούλου· Μιχαήλ Χρυσοβεργης. *Μαθηματικά Γ' Γυμνασίου*. Αθήνα: Ινστιτούτο Τεχνολογίας Υπολογιστών και Εκδόσεων "Διόφαντος".
2. ↑  Στεργίου, Μπάμπης (2003). *Ολυμπιάδες μαθηματικών Μαθηματικοί διαγωνισμοί Γ' Γυμνασίου*. Αθήνα: Σαββάλας. ISBN 9789604609161.