Στα μαθηματικά, η **ταυτότητα Κασίνι** λέει ότι για τον n-οστό αριθμό Φιμπονάτσι {\displaystyle F\_{n}} ισχύει ότι

{\displaystyle F\_{n-1}\cdot F\_{n+1}-F\_{n}^{2}=(-1)^{n}}.
Η ταυτότητα παίρνει το όνομά της από τον Τζοβάνι Ντομένικο Κασίνι.

Παραδείγματα
------------

Μπορούμε να επιβεβαιώσουμε την ταυτότητα για τους πρώτους αριθμούς Φιμπονάτσι:

* Για {\displaystyle n=1}, {\displaystyle F\_{0}\cdot F\_{2}-F\_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}}.
* Για {\displaystyle n=2}, {\displaystyle F\_{1}\cdot F\_{3}-F\_{2}^{2}=1\cdot 2-1^{2}=+1=(-1)^{2}}.
* Για {\displaystyle n=3}, {\displaystyle F\_{2}\cdot F\_{4}-F\_{3}^{2}=1\cdot 3-2^{2}=-1=(-1)^{3}}.
* Για {\displaystyle n=4}, {\displaystyle F\_{3}\cdot F\_{5}-F\_{4}^{2}=2\cdot 5-3^{2}=+1=(-1)^{4}}.
* Για {\displaystyle n=5}, {\displaystyle F\_{4}\cdot F\_{6}-F\_{5}^{2}=3\cdot 8-5^{2}=-1=(-1)^{5}}.

Αποδείξεις
----------

### Με χρήση πινάκων

Για κάθε {\displaystyle n\in \mathbb {N} \_{+}} οι αριθμοί Φιμπονάτσι ικανοποιούν την παρακάτω ισότητα πινάκων:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}F\_{n+1}&F\_{n}\\F\_{n}&F\_{n-1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}.}
Παίρνοντας την ορίζουσα και στα δύο μέλη, από τις ιδιότητες της ορίζουσας έχουμε ότι 

{\displaystyle \operatorname {det} {\begin{bmatrix}F\_{n+1}&F\_{n}\\F\_{n}&F\_{n-1}\end{bmatrix}}=\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}^{n}=\left(\operatorname {det} {\begin{bmatrix}1&1\\1&0\end{bmatrix}}\right)^{n}=(-1)^{n}.}
Επομένως, 

{\displaystyle F\_{n-1}\cdot F\_{n+1}-F\_{n}^{2}=(-1)^{n}}.
### Με μαθηματική επαγωγή

Θα χρησιμοποιήσουμε την μαθηματική επαγωγή για να αποδείξουμε ότι:

{\displaystyle F\_{n-1}\cdot F\_{n+1}-F\_{n}^{2}=(-1)^{n}}.
**Βάση:** Για {\displaystyle n=1}, έχουμε ότι 

{\displaystyle F\_{0}\cdot F\_{2}-F\_{1}^{2}=0\cdot 1-1^{2}=-1=(-1)^{1}=(-1)^{n}}.
**Επαγωγικό βήμα:** Ας υποθέσουμε ότι η σχέση ισχύει για {\displaystyle n=k}, τότε

{\displaystyle F\_{k-1}\cdot F\_{k+1}-F\_{k}^{2}=(-1)^{k}}.
Από την αναδρομική σχέση των αριθμών Φιμπονάτσι έχουμε ότι

{\displaystyle F\_{k+1}=F\_{k-1}+F\_{k}}.
Αντικαθιστώντας στην πρώτη σχέση, λαμβάνουμε ότι

{\displaystyle {\begin{aligned}&(F\_{k+1}-F\_{k})\cdot F\_{k+1}-F\_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F\_{k+1}^{2}-F\_{k}\cdot F\_{k+1}-F\_{k}^{2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F\_{k+1}^{2}-F\_{k}\cdot (F\_{k+1}+F\_{k})=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F\_{k+1}^{2}-F\_{k}\cdot F\_{k+2}=(-1)^{k}\Rightarrow \\&F\_{k}\cdot F\_{k+2}-F\_{k+1}^{2}=(-1)^{k+1},\end{aligned}}}
που ολοκληρώνει την απόδειξη.

Γενικεύσεις
-----------

Η **ταυτότητα Catalan** είναι μία γενίκευση της ταυτότητας Κασίνι όπου για κάθε {\displaystyle n,r\in \mathbb {N} \_{+}} με {\displaystyle n\geq r} έχουμε ότι 

{\displaystyle F\_{n}^{2}-F\_{n-r}F\_{n+r}=(-1)^{n-r}F\_{r}^{2}.}
Η **ταυτότητα Vajda** γενικεύει ακόμα περισσότερο αυτήν την ταυτότητα δίνοντας ότι για κάθε {\displaystyle n,i,j\in \mathbb {N} \_{+}} ισχύει ότι 

{\displaystyle F\_{n+i}F\_{n+j}-F\_{n}F\_{n+i+j}=(-1)^{n}F\_{i}F\_{j}.}

Δείτε επίσης
------------

* Ακολουθία Φιμπονάτσι

Παραπομπές
----------

1. ↑  Grimaldi, Ralph P. *Fibonacci and Catalan numbers: an introduction*. Hoboken, N.J: John Wiley & Sons. ISBN 9780470631577.
2. ↑  Trystram, Denis. «Solving recurrences and Fibonacci numbers» (PDF). Ανακτήθηκε στις 10 Ιουλίου 2023.