Ο **Λόιτσεν Εχμπέρτους Γιαν Μπράουερ** (ολλανδικά: *Luitzen Egbertus Jan Brouwer*‎‎· Όβερσκι, 27 Φεβρουαρίου 1881 - Μπλάρικουμ, 2 Δεκεμβρίου 1966 στο ) ήταν Ολλανδός μαθηματικός.

Βιογραφία
---------

Ο μεγαλύτερος από τρία παιδιά, γιος του δασκάλου Εγκμπέρτους Λούιτζενς Μπράουερ και της Χεντερίκα Πούτσμα, επέδειξε εξαιρετική ευφυΐα από μικρή ηλικία. Σε ηλικία μόλις 16 ετών, το νεαρό παιδί-θαύμα γράφτηκε στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ για να σπουδάσει μαθηματικά, χωρίς να παραμελήσει το παρακείμενο στο κρεβάτι του ανάγνωσμα, αυτό των φιλοσόφων Ιμμάνουελ Καντκαι Άρθουρ Σοπενχάουερ. Όχι ιδιαίτερα κοινωνικός λόγω των εκθαμβωτικών ικανοτήτων του και πάντα αρκετά χρόνια μπροστά από την εποχή του στο σχολείο, ο νεαρός επιβεβαίωσε την πίστη του στην Αδελφότητα των Ρεμονστράντων σε ηλικία 17 ετών, αποδεικνύοντας έτσι τον πεισματικό ατομικισμό του. Για τον Μπέρτους -όπως υπέγραψε την επίσημη ομολογία πίστης του- τα μόνα πράγματα που επικρατούν είναι ο εαυτός μας, αυτός που γνωρίζουμε, και ο Θεός, αυτός που αισθανόμαστε. Οι άλλοι δεν αξίζουν τίποτα άλλο παρά την περιφρόνηση, για να χρησιμοποιήσω τα δικά του λόγια. Στο πανεπιστήμιο, ο νεαρός Μπράουερ επηρεάστηκε από τα νεορομαντικά κινήματα, τα οποία καταδίκαζαν την επιστημονική πρόοδο υπέρ της επιστροφής στη φύση. Οι ιδέες αυτές τον οδήγησαν στη συγγραφή ενός πρώιμου έργου που δημοσίευσε το 1905: *Leven, Kunst en Mystiekn*. Δύο καθηγητές άσκησαν μεγάλη επιρροή πάνω του: ο επιβλέπων της διατριβής του, ο Ντίτερικ Κόρτεβεγκ, και ο Γκέριτ Μαννούρι (1867-1956), μαθηματικός και φιλόσοφος που ενθάρρυνε τη μελέτη των θεμελίων των μαθηματικών στις Κάτω Χώρες. Συναισθηματικά, μπόρεσε να αναθεωρήσει την κρίση του μόλις ασπάστηκε τα ρουσσωικά του ιδεώδη. Το 1904, παρά τον ανοιχτό μισογυνισμό του, ο Μπρόουερ παντρεύεται την Ελίζαμπεθ ντε Χολ, μια πλούσια διαζευγμένη φαρμακοποιό έντεκα χρόνια μεγαλύτερή του. Η Λίζα δεν του χάρισε παιδιά (αν και είχε ήδη μια κόρη από τον προηγούμενο γάμο της), αλλά η οικονομική της υποστήριξη επέτρεψε στον Μπρόουερ να ζήσει μακριά από την κακοφωνία της κοινωνίας, ενώ εργαζόταν πάνω στη διδακτορική του έρευνα. Στις 19 Φεβρουαρίου 1907 αναγορεύτηκε διδάκτορας του Πανεπιστημίου του Άμστερνταμ για τη διατριβή του με τίτλο "Σχετικά με τα θεμέλια των μαθηματικών" (Over de grondslagen der wiskunde),.

### Υφηγητής

Στο πλαίσιο της έρευνάς του για τη διδακτορική του διατριβή, ο Μπράουερ εξοικειώθηκε με τον περίφημο κατάλογο προβλημάτων που συνέταξε ο Ντέιβιντ Χίλμπερτ. Αποφάσισε να ασχοληθεί με το Πρόβλημα 5 και, στο Τέταρτο Διεθνές Μαθηματικό Συνέδριο (Ρώμη, 1908), παρουσίασε μια εργασία που περιέγραφε την έρευνά του σε αυτό το στάδιο, η οποία προσέλκυσε αμέσως την προσοχή των ειδικών. Λίγο αργότερα, τον Οκτώβριο του 1909, έχοντας διοριστεί Privatdozent στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ, ο Μπράουερ αφιέρωσε την πρώτη του διάλεξη στη φύση της γεωμετρίας, παρουσιάζοντας την Ανάλυση situs όπως θα έκανε ο Κλάιν, δηλαδή ως τη μελέτη των ιδιοτήτων που παραμένουν αναλλοίωτες υπό τη δράση της ομάδας των συνεχών μετασχηματισμών. Λίγους μήνες αργότερα, κατά τη διάρκεια των χριστουγεννιάτικων διακοπών του 1909-1910, ο Μπράουερ συναντήθηκε στο Παρίσι με τους Ζακ Ανταμάρ, Ανρί Πουανκαρέ και Εμίλ Μπορέλ, μεταξύ άλλων Γάλλων μαθηματικών. Επιστρέφοντας στις Κάτω Χώρες, επέστρεψε στην έρευνά του, η οποία επικεντρωνόταν όλο και περισσότερο στην τοπολογία. Μεταξύ των άρθρων που δημοσίευσε ο Μπράουερ μεταξύ 1910 και 1913, ξεχωρίζει κυρίως ένα: "Sur l'analysis situs", που δημοσιεύτηκε το 1910 στα Μαθηματικά Χρονικά, το έγκριτο περιοδικό που εξέδιδαν οι Χίλμπερτ και Κλάιν. Η απόδειξη της αναλλοίωτης διάστασης, η οποία καθιέρωσε τον Μπράουερ ως πατέρα της τοπολογίας, εμφανίστηκε το 1911 με τη μορφή πέντε ολόκληρων σελίδων προσεκτικά γραμμένου υλικού που δημοσιεύθηκε στα Μαθηματικά Χρονικά υπό τον τίτλο "Απόδειξη της αναλλοίωτης διάστασης ". Δύο χρόνια αργότερα, το 1913, ο Μπρόουερ βρήκε μια δεύτερη, πιο λεπτή και κομψή απόδειξη. Ενοχλημένος από μια άλλη απόδειξη της αναλλοίωτης διάστασης που δημοσιεύθηκε αμέσως μετά τη δική του από τον Ανρί Λεμπέσγκου στα Μαθηματικά Χρονικά, ο Μπράουερ αποφάσισε να τη διαλύσει με ένα πειστικό αντιπαράδειγμα. Το 1911, παρουσίασε ένα θεώρημα του οποίου τη διατύπωση είχε βελτιώσει από το 1909: το θεώρημα σταθερού σημείου του Μπράουερ,,.

### Καθηγητής πανεπιστημίου

Για τις θεμελιώδεις συνεισφορές του στην τοπολογία, ο Μπράουερ εξελέγη μέλος της Βασιλικής Ολλανδικής Ακαδημίας Τεχνών και Επιστημών το 1912. Την ίδια χρονιά, διορίστηκε έκτακτος καθηγητής της θεωρίας συνόλων, της θεωρίας συναρτήσεων και της αξιωματικής θεωρίας στο Πανεπιστήμιο του Άμστερνταμ. Όταν ο Μπράουερ έδωσε την πρώτη του διάλεξη στις 14 Οκτωβρίου 1912, αυτή δεν αφορούσε την τοπολογία αλλά τη φιλοσοφία των μαθηματικών, επιστρέφοντας στο ζήτημα των θεμελίων του κλάδου που είχε περιγράψει στη διδακτορική του διατριβή το 1907. Ο Ντιντέρικ Κόρτεβεγκ του έδωσε γενναιόδωρα την έδρα του ως πλήρους καθηγητή το 1913, την ίδια χρονιά με την τελευταία σημαντική συμβολή του Μπρόουερ στα θεμέλια της τοπολογίας, τη δεύτερη απόδειξη της αναλλοίωτης διάστασης. Έκτοτε, περιορίστηκε στη δημοσίευση σχετικά μικρών άρθρων για την τοπολογία. Επιπλέον, το ξέσπασμα των εχθροπραξιών το 1914 παρέλυσε την επιστημονική δραστηριότητα στην Ευρώπη. Μόλις τελείωσε ο Πρώτος Παγκόσμιος Πόλεμος, αφιερώθηκε σχεδόν αποκλειστικά στην ανάπτυξη του μαθηματικού διαισθητισμού και των διαισθητικών μαθηματικών.

Αποκλειόμενος από τη συντακτική επιτροπή του περιοδικού Μαθηματικά Χρονικά το 1928 με προτροπή του Ντέιβιντ Χίλμπερτ, ο Μπράουερ ίδρυσε το δικό του περιοδικό Compositio Mathematica την ταραγμένη δεκαετία του 1930. Αρνήθηκε να δημοσιεύει στα Μαθηματικά Χρονικά μετά τη "μάχη των αρουραίων και των βατράχων ". Πήρε έναν βοηθό, τον Χανς Φρούντενταλ, έναν Γερμανό από το Βερολίνο που πολιτογραφήθηκε Ολλανδός πολίτης, έναν φιλόδοξο και ανήσυχο μαθηματικό με ειδίκευση στην τοπολογία, τα θεμέλια, τη φιλοσοφία και ακόμη και τη διδακτική των μαθηματικών. Επομένως, δεν αποτελεί έκπληξη το γεγονός ότι η σχέση του με τον Μπράουερ επιδεινώθηκε γρήγορα. Ο Μπράουερ εμπόδισε την προαγωγή του και έχασε εντελώς το ενδιαφέρον του γι' αυτόν κατά τη διάρκεια του Β' Παγκοσμίου Πολέμου, όταν ο Φρόιντενταλ συνελήφθη λόγω της εβραϊκής καταγωγής του. Μετά τον πόλεμο, πέρασε αρκετός καιρός προτού ο Μπράουερ ανακτήσει την καθηγητική του θέση. Αποπέμφθηκε επίσης από διευθυντής του Compositio Mathematica λόγω των δωσιλογικών του τάσεων, ιδίως επειδή ενθάρρυνε τους φοιτητές του Πανεπιστημίου του Άμστερνταμ να υπογράψουν δήλωση πίστης στις δυνάμεις κατοχής. Ακόμη χειρότερα αυτή τη φορά, αποβλήθηκε από τη συντακτική επιτροπή του ίδιου του περιοδικού του. Ωστόσο, έγινε ξένο μέλος της Βασιλικής Εταιρείας, στις 27 Μαΐου 1948 και συνταξιοδοτήθηκε το 1951.

Ο Μπράουερ απομονώνεται ολοένα και περισσότερο και καταλήγει να βοηθάει τη γυναίκα του στο φαρμακείο που διατηρεί στο Άμστερνταμ και ενδιαφέρεται για την τοπική πολιτική. Μακριά από τον κόσμο, ένιωθε στιγματισμένος, νιώθοντας ότι η συνεισφορά του δεν είχε εκτιμηθεί πλήρως. Παρ' όλα αυτά, προσκλήθηκε να δώσει διαλέξεις σε όλο τον κόσμο (Κέιμπριτζ 1947-1951, Μαδρίτη 1949, Νότια Αφρική 1952, Καναδάς και Ηνωμένες Πολιτείες 1953 κ.λπ.) Καθώς όμως η παράνοιά του αυξανόταν, ισχυριζόταν όλο και περισσότερο ότι ήταν θύμα συνωμοσιών από τους συναδέλφους του. Πέθανε στα ογδόντα του το 1966, παρασυρμένος από αυτοκίνητο την ώρα που έφευγε από το σπίτι του στο Μπλάρικουμ.

### Συμπεριφορές

Ένας από τους φοιτητές του Μπράουερ, ο Ολλανδός μαθηματικός βαν ντερ Βάερντεν, μας έδωσε μια εξαιρετική περιγραφή του πρώην καθηγητή του. Ο Μπράουερ, ο οποίος έφευγε από το Μπλάρικουμ μόνο για να διδάξει, δεν επέτρεπε στους φοιτητές του να τον διακόπτουν και δίδασκε με την πλάτη του προς το μέρος τους, με το βλέμμα του καρφωμένο στον πίνακα. Παραδόξως, δεν δίδαξε ποτέ τοπολογία στο πανεπιστήμιο -αν και δεν συνταξιοδοτήθηκε παρά μόνο το 1951- και αφιερώθηκε πλήρως στη φιλοσοφία των μαθηματικών, παρόλο που οι νεαροί τοπολόγοι τον επισκέπτονταν επί χρόνια, ανυπομονώντας να γνωρίσουν τον πατέρα του κλάδου τους. Φαίνεται ότι ο Μπράουερ δεν ήταν πεπεισμένος για την εγκυρότητα του τοπολογικού του έργου από διαισθητική άποψη. Καθ' όλη τη διάρκεια της ζωής του δημοσίευε άρθρα στα οποία επιχειρούσε εν μέρει να αναπτύξει την τοπολογία από μια διαισθητική άποψη. Παρά τη θέλησή του, έγινε ο Δρ Τζέκιλ και ο κ. Χάιντ των μαθηματικών.

Στο σπίτι του, του άρεσε να λύνει μαθηματικά προβλήματα ξαπλωμένος στο κρεβάτι με κλειστά μάτια ή καθισμένος σταυροπόδι στο πάτωμα σαν ασκητής, πράγμα που του επέτρεπε να προσεγγίζει τα προβλήματα περισσότερο οπτικά παρά τυπικά, κάνοντας διανοητικό χειρισμό σχημάτων και όχι τύπων. Μάλιστα, συνόδευε τα άρθρα του για την τοπολογία με πολυάριθμα σχέδια των οποίων η αφαίρεση θυμίζει τους πίνακες του Ρώσου Βασίλι Καντίνσκι.

Φορμαλισμός και διαισθητισμός
-----------------------------

Στη δεκαετία του 1920, η μεγάλη συζήτηση για τα θεμέλια των μαθηματικών περιστράφηκε κυρίως γύρω από τη διαμάχη μεταξύ φορμαλισμού και διαισθητισμού, με πρωταγωνιστές τους Ντέιβιντ Χίλμπερτ και Μπράουερ. Η διαμάχη σύντομα ξέφυγε από την καθαρά ακαδημαϊκή σφαίρα και μετατράπηκε σε άμεση αντιπαράθεση μεταξύ των πρωταγωνιστών της. Τελικά, η διαμάχη για τα θεμέλια των μαθηματικών δεν ήταν προς όφελος κανενός εκ των δύο.

Το 1921, αισθανόμενος προδομένος, ο Χίλμπερτ ξεκίνησε τις αντιπαραθέσεις: εκείνη τη χρονιά, ο πιο διάσημος από τους μαθητές του, ο Χέρμαν Βάιλ, δημοσίευσε ένα προπαγανδιστικό φυλλάδιο με τίτλο "Για τη νέα κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών", στο οποίο υποστήριζε τις ριζοσπαστικές θέσεις του Μπράουερ, ανακηρύσσοντας τον εαυτό του απόστολο του διαισθητισμού και προφητεύοντας την έλευση μιας επανάστασης στο βασίλειο των μαθηματικών. Σε μια διάλεξη με τίτλο "Τα νέα θεμέλια των μαθηματικών", την οποία έδωσε το 1922, δήλωσε ότι "ακολουθώντας τέτοιους μεταρρυθμιστές - τον Μπράουερ και τον Βάιλ - κινδυνεύουμε να χάσουμε πολλές από τις πιο πολύτιμες έννοιες, τα σημαντικότερα αποτελέσματα και τις μεθόδους μας". Τα επόμενα χρόνια, ενώ ο Χίλμπερτ έδινε διαλέξεις εδώ κι εκεί σε θριαμβευτικούς τόνους, ανακοινώνοντας ότι η τελική απόδειξη της συνοχής των μαθηματικών επρόκειτο να δει το φως της δημοσιότητας, ο Μπράουερ επιτέθηκε σε δύο μέτωπα: δημοσίευσε μια σειρά συστηματικών άρθρων για τα διαισθητικά μαθηματικά στα Μαθηματικά Χρονικά (Mathematische Annalen) και εξαπέλυσε αρκετές επιθέσεις στο νόμιμο έδαφος του φορμαλισμού. Το 1927, ταξίδεψε στο Βερολίνο, όπου συσπείρωσε στο πλευρό του τον Λούντβιχ Μπίμπερμπαχ, έναν πολύπλευρο Γερμανό μαθηματικό που έβλεπε τον διαισθητισμό ως το αντίδοτο στην επιδημία των φορμαλιστών, και τον Ολλανδό Χανς Φρόιντενταλ, ο οποίος έμελλε να γίνει μαθητής του. Το 1928, προσκλήθηκε να δώσει δύο διαλέξεις για τη διαισθητική φιλοσοφία και τα μαθηματικά στη Βιέννη. Εκτός από διάφορα μέλη του Κύκλου της Βιέννης, παρόντες ήταν επίσης ο Λούντβιχ Βιτγκενστάιν και ο νεαρός Κουρτ Γκέντελ. Ο Χίλμπερτ, εκδότης του περιοδικού Μαθηματικά Χρονικά (Mathematische Annalen), φοβήθηκε ότι μετά τον θάνατό του το περιοδικό θα μεταστρεφόταν στον διαισθητισμό και αποφάσισε να αποπέμψει τον Μπράουερ από τη συντακτική επιτροπή. Η πλειοψηφία των μελών συμμορφώθηκε με την επιθυμία του Χίλμπερτ και το όνομα του Μπρόουερ αφαιρέθηκε από το περιοδικό. Οι μόνοι αντίπαλοι ήταν ο φυσικός Άλμπερτ Αϊνστάιν και ο Έλληνας μαθηματικός Κωνσταντίνος Καραθεοδωρή. Η αντιπαράθεση αυτή συνέτριψε τον Ολλανδό μαθηματικό, ο οποίος βυθίστηκε ακόμη περισσότερο στον σολιψισμό. Το 1929, ένας κλέφτης έκλεψε το επιστημονικό του περιοδικό από έναν σιδηροδρομικό σταθμό, σβήνοντας όλο το πνευματικό του έργο των προηγούμενων ετών και βυθίζοντάς τον σε βαθιά κατάθλιψη.

Γύρω στο 1930, ο Μπρόουερ και ο διαισθητισμός δεν ήταν πλέον στη μόδα και ο μαθηματικός παρέμεινε σιωπηλός για δεκατέσσερα χρόνια, χωρίς να δημοσιεύσει τίποτα καινούργιο για τα διαισθητικά μαθηματικά. Τον Σεπτέμβριο του 1930, πραγματοποιήθηκε στο Κένιγκσμπεργκ ένα συνέδριο για την επιστημολογία των ακριβών επιστημών, προκειμένου να διαπιστωθεί ο βαθμός στον οποίο είχε επιλυθεί η κρίση στα θεμέλια των μαθηματικών. Ο διαισθητισμός εκπροσωπήθηκε από τον Άρεντ Χάιτινγκ, ενώ ο Ούγγρος Τζον φον Νόιμαν υποστήριξε τον φορμαλισμό του Χίλμπερτ. Την έκτη ημέρα, ο νεαρός Αυστριακός λογικός Κουρτ Γκέντελ -τότε 24 ετών- δήλωσε: "Μπορώ να δώσω παραδείγματα αριθμητικών προτάσεων που είναι αληθείς αλλά αναπόδεικτες στο τυπικό σύστημα των κλασικών μαθηματικών". Το 1931, ο ίδιος Κουρτ Γκέντελ δημοσίευσε τα θεωρήματα της μη πληρότητας, τα οποία σήμαιναν την καταστροφή του προγράμματος του Χίλμπερτ. Ορισμένοι πιστεύουν ότι η σιωπή του Μπρόουερ τη δεκαετία του 1930 δείχνει ότι ο Ολλανδός μαθηματικός αναγνώριζε σιωπηρά ότι ο Αυστριακός λογικός είχε σαφή αντίληψη των δυσκολιών των θεμελίων των μαθηματικών. Άλλοι πιστεύουν ότι αν ο Μπράουερ δεν σχολίασε τα θεωρήματα του Γκέντελ, ήταν επειδή τα θεωρούσε αυτονόητα.

Εργασίες
--------

Το 1912, ο Μπρόουερ απέδειξε το θεώρημα σταθερού σημείου που φέρει το όνομά του.

Το 1918, ξεκίνησε ένα σχέδιο συστηματικής ανασυγκρότησης των μαθηματικών από διαισθητική άποψη, με το άρθρο του "Fondements d'une théorie des ensembles indépendante du principe logique du tiers exclu" ("Θεμέλια μιας θεωρίας συνόλων ανεξάρτητης από τη λογική αρχή του αποκλεισμένου τρίτου"), στο οποίο έδωσε δύο συνέχειες: μία με τον ίδιο τίτλο το 1919 και μία με παρόμοιο τίτλο το 1923. Την ίδια χρονιά, ξεκίνησε την ανάπτυξη μιας θεωρίας των συναρτήσεων, με τη διαισθητική συνάρτηση να μην είναι τελικά παρά η απόδοση τιμών στα στοιχεία που συνθέτουν μια ανάπτυξη. Το θεώρημα συνέχειας για τις διαισθητικές συναρτήσεις διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1923, αλλά ο Μπρόουερ βρήκε μη ικανοποιητική την απόδειξη που το συνόδευε. Το επόμενο έτος, προσπάθησε ξανά να αποδείξει το θεώρημα και απέδειξε αυτό που αργότερα θα αποκαλούσε θεωρήματα της μπάρας και της βεντάλιας.

Στη διάσημη διάλεξή του στη Βιέννη το 1930 με θέμα "Η δομή του συνεχούς" (Παρίσι, 1992), τοποθέτησε τη σκέψη του στην παράδοση του Καντ και του Σοπενχάουερ. Αναλαμβάνοντας τις ευκλείδειες θεωρίες, τη θεωρία συνόλων του Κάντορ και την αξιωματική μέθοδο, ο Μπράουερ οδηγήθηκε στην αντιπαράθεση του φορμαλισμού, που βλέπει τα μαθηματικά ως γλώσσα, με την παλιά διαισθητική σχολή, που συνδέεται εν μέρει με τον φορμαλισμό, για την οποία η αριθμητική παραμένει μια συλλογή από εκ των προτέρων συνθετικές κρίσεις. Κατά την άποψή του, ο φορμαλισμός στερείται βάσης στο ότι περιορίζει τον αριθμό των στοιχείων που συνθέτουν το συνεχές στο ολοκληρωμένο μετρήσιμο, παραδεχόμενος την οριακή ορθολογικότητα των αριθμών και τις περικοπές του Ντέντεκιντ .

Βιβλιογραφία
------------

* Carol Ann Parikh *The unreal life of Oscar Zariski*, Academic Press, London, San Diego 1991
* Hartshorne, Review von Parikhs Biographie, American Mathematical Monthly Band 99, 1992, S. 482.
* Hauser [Hrsg.] *Resolution of singularities- a research textbook in honor of Oscar Zariski*, Birkhäuser 2000 (mit Biographie von Lipman), teilweise online hier:uibk.ac.at
* Abhyankar *Historical ramblings in algebraic geometry and related algebra*, American Mathematical Monthly 1976
* Mumford *Oscar Zariski*, Notices American Mathematical Society, 1986, S. 891.
* Silke Slembek *Oskar Zariski und die Entstehung der modernen algebraischen Geometrie.*  Mainz, Strasbourg 2002 (Dissertation)

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) *καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας*. data.bnf.fr/ark:/12148/cb123178122. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
2. 1 2  *MacTutor History of Mathematics archive*. Ανακτήθηκε στις 22  Αυγούστου 2017.
3. ↑  «Luitzen Egbertus Jan Brouwer». *Biografisch Portaal*. 67111259.
4. ↑  *MacTutor History of Mathematics archive*.
5. ↑  id001427. Ανακτήθηκε στις 9  Σεπτεμβρίου 2019.
6. ↑  «Большая советская энциклопедия» (Ρωσικά) Η Μεγάλη Ρωσική Εγκυκλοπαίδεια. Μόσχα. 1969. Ανακτήθηκε στις 27  Σεπτεμβρίου 2015.
7. ↑  22707894.
8. ↑  *Album Academicum*. id001427. Ανακτήθηκε στις 9  Σεπτεμβρίου 2019.
9. ↑  PE00004406.
10. ↑  beeldbankblaricum.nl/overige/item/4555-begraafplaats-woensberg.
11. ↑  (Αγγλικά) *Find A Grave*.
12. ↑  beeldbankblaricum.nl/overige/item/4767-l-e-j-brouwer-1908-1969.
13. ↑  id001427. Ανακτήθηκε στις 9  Σεπτεμβρίου 2019.
14. ↑  Εθνική Βιβλιοθήκη της Γαλλίας: (Γαλλικά) *καθιερωμένοι όροι της Εθνικής Βιβλιοθήκης της Γαλλίας*. data.bnf.fr/ark:/12148/cb123178122. Ανακτήθηκε στις 10  Οκτωβρίου 2015.
15. 1 2  *CONOR.SI*. 252386403.
16. ↑  *Album Academicum*. id001427. Ανακτήθηκε στις 15  Σεπτεμβρίου 2019.
17. 1 2 3  *Album Academicum*. Ανακτήθηκε στις 15  Σεπτεμβρίου 2019.
18. ↑  «List of Royal Society Fellows 1660-2007». *Complete List of Royal Society Fellows 1660-2007*. Βασιλική Εταιρεία. σελ. 50.
19. ↑  «Luitzen Egbertus Jan Brouwer | Dutch mathematician | Britannica». *www.britannica.com* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουνίου 2023.
20. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 17
21. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 28/30
22. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 17-18/28/30
23. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 57
24. ↑  *Mathematische Annalen*.
25. ↑  «GDZ». *web.archive.org*. 30 Ιουνίου 2019. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 30 Ιουνίου 2019. Ανακτήθηκε στις 18 Ιουνίου 2023. CS1 maint: Unfit url (link)
26. ↑  *Mathematische Annalen*.
27. ↑  *Mathematische Annalen*.
28. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 68
29. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 57-58/60/63-64/68
30. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 71
31. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 71-73
32. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 140
33. ↑  «L E J Brouwer - Biography». *Maths History* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 18 Ιουνίου 2023.
34. ↑  «Luitzen Egbertus Jan Brouwer, 1881-1966» (στα αγγλικά). *Biographical Memoirs of Fellows of the Royal Society* **15**: 39–68. 1969-11. doi:10.1098/rsbm.1969.0002. ISSN 0080-4606. .
35. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0). p73
36. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 139/146-147
37. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 73.
38. ↑  «The War of the Frogs and the Mice, or the Crisis of the Mathematische Annalen» (PDF).
39. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 133/135/137/139-140
40. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 142
41. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 142-144
42. ↑  *Mathematische Annalen*.
43. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 118-119
44. ↑  Carlos M. Madrid Casado et Adrien Gauthier (Trad.), Une géométrie entre topologie et philosophie : Brouwer, Barcelone, RBA Coleccionables, 2019, 154 p. (ISBN 978-84-473-9728-0).  p. 106/122-123

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Καθιερωμένοι όροι | 
* WorldCat
* VIAF: 54216020
* **AA**: 42846
* LCCN: n80166794
* ISNI: 0000 0001 1027 015X
* GND: 118988131
* SELIBR: 234708
* SUDOC: 031526799
* BNF: cb123178122 (data)
* BPN: 67111259
* BIBSYS: 90259190
* MGP: 19467
* NKC: ola2002153801
* ICCU: CFIV029992

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Βιογραφίες
* Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |