Στη μαθηματική ανάλυση η έννοια του **σημείου συσσώρευσης** είναι αναγκαία όταν θέλουμε να ορίσουμε το όριο συνάρτησης. Συγκεκριμένα το όριο μιας συνάρτησης έχει νόημα μόνο στα σημεία συσσώρευσης του πεδίου ορισμού της συνάρτησης.

Ορισμός
-------

Ένας άτυπος ορισμός του σημείου συσσώρευσης είναι ο εξής: ένας πραγματικός αριθμός είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν υπάρχει στοιχείο του Α (που να είναι διαφορετικό του x0) οσοδήποτε κοντά θέλουμε στο x0.

Ο αυστηρός ορισμός είναι ο εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι **το x0 είναι σημείο συσσώρευσης** του συνόλου Α αν :

για κάθε {\displaystyle \delta >0} ,{\displaystyle \exists x\in A} με {\displaystyle x\in (x\_{0}-\delta ,x\_{0}+\delta )} και {\displaystyle x\neq x\_{0}}
Σημεία συσσώρευσης μπορεί να είναι και τα {\displaystyle \pm \infty }. Οι αντίστοιχοι ορισμοί είναι οι εξής:

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών. Λέμε ότι το {\displaystyle +\infty } είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ > 0:

{\displaystyle \exists x\in A} με {\displaystyle x\in \cap (\delta ,+\infty )}
και ότι το {\displaystyle -\infty } είναι σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α αν για κάθε δ < 0:

{\displaystyle \exists x\in A} με {\displaystyle x\in \cap (-\infty ,\delta )}
### Μεμονωμένα σημεία

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένα στοιχείο του Α. Λέμε ότι το x0 είναι **μεμονωμένο σημείο** του συνόλου Α αν δεν είναι σημείο συσσώρευσής του, δηλαδή :

αν υπάρχει {\displaystyle \delta >0} τέτοιο ώστε,{\displaystyle (\forall x\in A)} με {\displaystyle x\in (x\_{0}-\delta ,x\_{0}+\delta )} να ισχύει {\displaystyle x=x\_{0}}
Επομένως τα στοιχεία ενός συνόλου χωρίζονται σε δύο κατηγορίες, στα σημεία συσσώρευσης και στα μεμονωμένα σημεία. Φυσικά είναι δυνατόν ένα σύνολο να έχει μόνο σημεία συσσώρευσης ή μόνο μεμονωμένα σημεία. Σημειώνουμε ότι ενώ ενδέχεται τα σημεία συσσώρευσης ενός συνόλου να ανήκουν σε αυτό ή και να μην ανήκουν, τα μεμονωμένα σημεία είναι πάντοτε εξ'ορισμού στοιχεία του συνόλου.

### Παραδείγματα

* Έστω [a, b] ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
* Έστω (a, b) ένα διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι όλα τα σημεία x του [a, b].
* Έστω I ένα μη κενό διάστημα. Τα σημεία συσσώρευσής του είναι ακριβώς τα σημεία x του Ι και επίσης τα άκρα του (συμπεριλαμβανομένων των {\displaystyle \pm \infty } αν είναι άκρα του Ι).
* Το σύνολο {\displaystyle \mathbb {N} } έχει ως σημείο συσσώρευσης μόνο το {\displaystyle +\infty }.
* Τα σύνολα {\displaystyle \mathbb {Q} } και {\displaystyle \mathbb {R} } έχουν ως σημεία συσσώρευσης κάθε x στο {\displaystyle \mathbb {R} }, καθώς επίσης και τα {\displaystyle \pm \infty }.

Σημεία συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά
---------------------------------------------

Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Λέμε ότι το x0 είναι **σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από δεξιά**, αν για κάθε δ > 0:

{\displaystyle \exists x\in A} με {\displaystyle x\in (x\_{0},x\_{0}+\delta )}
και ότι το x0 είναι **σημείο συσσώρευσης του συνόλου Α από αριστερά**, αν για κάθε δ > 0:

{\displaystyle \exists x\in A} με {\displaystyle x\in (x\_{0}-\delta ,x\_{0})}
Αν ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α από δεξία ή από αριστερά, τότε είναι σημείο συσσώρευσης του Α. Αν όμως ένα σημείο x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α τότε δεν είναι πάντα σωστό ότι το x0 είναι σημείο συσσώρευσης από δεξιά και από αριστερά. Μπορεί να είναι σημείο συσσώρευσης μόνο από δεξιά ή μόνο από αριστερά.

Βασικές Προτάσεις
-----------------

* Αν ένα σύνολο είναι πεπερασμένο τότε δεν έχει σημείο συσσώρευσης και επομένως κάθε στοιχείο του είναι μεμονωμένο σημείο.
* Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχουν άπειρα το πλήθος στοιχεία του Α στο διάστημα {\displaystyle (x\_{0}-\delta ,x\_{0}+\delta )} για κάθε δ > 0.
* Έστω Α ένα υποσύνολο των πραγματικών αριθμών και έστω x0 ένας πραγματικός αριθμός. Το x0 είναι σημείο συσσώρευσης του Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία xn στο Α τέτοια ώστε: {\displaystyle x\_{n}\rightarrow x\_{0}} και {\displaystyle x\_{n}\neq x\_{0}} για κάθε n στο {\displaystyle \mathbb {N} }.
* Το {\displaystyle +\infty } είναι σημείο συσσώρευσης ενός συνόλου Α αν το Α δεν είναι άνω φραγμένο και το {\displaystyle -\infty } είναι σημείο συσσώρευσης του αν δεν είναι κάτω φραγμένο.