Η αμοιβάδα της {\displaystyle P(z,w)=w-2z-1.}
Η αμοιβάδα της {\displaystyle P(z,w)=3z^{2}+5zw+w^{3}+1.} Σημειώστε το "κενό" στη μέση της αμοιβάδας.
Η αμοιβάδα της {\displaystyle P(z,w)=1+z+z^{2}+z^{3}+z^{2}w^{3}+10zw+12z^{2}w+10z^{2}w^{2}.}
Η αμοιβάδα της {\displaystyle P(z,w)=50z^{3}+83z^{2}w+24zw^{2}+w^{3}+392z^{2}+414zw+50w^{2}-28z+59w-100.}
Σημεία στην αμοιβάδα της {\displaystyle P(x,y,z)=x+y+z-1.} Σημειώστε ότι η αμοιβάδα είναι στην πραγματικότητα τρισδιάστατη και όχι επίπεδη (αυτό δεν είναι απολύτως εμφανές από την εικόνα).
Στην μιγαδική ανάλυση, έναν κλάδο των μαθηματικών, η **αμοιβάδα** είναι ένα σύνολο που σχετίζεται με ένα πολυώνυμο σε μία ή περισσότερες μιγαδικές μεταβλητές. Οι αμοιβάδες έχουν εφαρμογές στην αλγεβρική γεωμετρία, ιδίως στην τροπική γεωμετρία.

Ορισμός
-------

Έστω η συνάρτηση

{\displaystyle \operatorname {Log} :{\big (}{\mathbb {C} }\setminus \{0\}{\big )}^{n}\to \mathbb {R} ^{n}}
που ορίζεται στο σύνολο όλων των *n*-tuples {\displaystyle z=(z\_{1},z\_{2},\dots ,z\_{n})} μη μηδενικών μιγαδικών αριθμών με τιμές στον Ευκλείδειο χώρο {\displaystyle \mathbb {R} ^{n},} που δίνεται από τον τύπο 

{\displaystyle \operatorname {Log} (z\_{1},z\_{2},\dots ,z\_{n})={\big (}\log |z\_{1}|,\log |z\_{2}|,\dots ,\log |z\_{n}|{\big )}.}
Εδώ, το log δηλώνει τον φυσικό λογάριθμο. Αν p(z) είναι ένα πολυώνυμο σε {\displaystyle n} μιγαδικές μεταβλητές, η αμοιβάδα του {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{p}} ορίζεται ως η εικόνα του συνόλου των μηδενικών του *p* υπό Log, οπότε 

{\displaystyle {\mathcal {A}}\_{p}=\left\{\operatorname {Log} (z):z\in {\big (}\mathbb {C} \setminus \{0\}{\big )}^{n},p(z)=0\right\}.}
Οι αμοιβάδες παρουσιάστηκαν το 1994 σε ένα βιβλίο των Γκελφάντ, Καπράνοφ και Ζελεβίνσκι.

Ιδιότητες
---------

Έστω {\displaystyle V\subset (\mathbb {C} ^{\*})^{n}} ο μηδενικός τόπος ενός πολυωνύμου 

{\displaystyle f(z)=\sum \_{j\in A}a\_{j}z^{j}}
όπου {\displaystyle A\subset \mathbb {Z} ^{n}} είναι πεπερασμένο, {\displaystyle a\_{j}\in \mathbb {C} } και {\displaystyle z^{j}=z\_{1}^{j\_{1}}\cdots z\_{n}^{j\_{n}}} αν {\displaystyle z=(z\_{1},\dots ,z\_{n})} και {\displaystyle j=(j\_{1},\dots ,j\_{n})}. Έστω Δ f {\displaystyle \Delta \_{f}} το πολύεδρο του Νεύτων της {\displaystyle f}, i.e. δηλ, 

{\displaystyle \Delta \_{f}={\text{Convex Hull}}\{j\in A\mid a\_{j}\neq 0\}.}
Τότε

* Κάθε αμοιβάδα είναι ένα κλειστό σύνολο.
* Κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}\_{p}} είναι κυρτό.
* Το εμβαδόν μιας αμοιβάδας ενός μη πανομοιότυπα μηδενικού πολυωνύμου σε δύο μιγαδικές μεταβλητές είναι πεπερασμένο.
* Μια δισδιάστατη αμοιβάδα διαθέτει έναν αριθμό "πλοκαμιών", που είναι απείρως μακριά και εκθετικά στενότερα προς το άπειρο.
* Ο αριθμός των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}\_{p}} δεν είναι μεγαλύτερος από {\displaystyle \#(\Delta \_{f}\cap \mathbb {Z} ^{n})} και όχι μικρότερος από τον αριθμό των κορυφών του {\displaystyle \Delta \_{f}}.
* Υπάρχει μια έγχυση από το σύνολο των συνδεδεμένων συνιστωσών του συμπληρώματος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}\_{p}} στο {\displaystyle \Delta \_{f}\cap \mathbb {Z} ^{n}}. Οι κορυφές του {\displaystyle \Delta \_{f}} βρίσκονται στην εικόνα κάτω από αυτή την έγχυση. Μια συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}\setminus {\mathcal {A}}\_{p}} είναι περιορισμένη αν και μόνο αν η εικόνα της βρίσκεται στο εσωτερικό του {\displaystyle \Delta \_{f}}.

Συνάρτηση Ρόνκιν
----------------

Ένα χρήσιμο εργαλείο για τη μελέτη των αμοιβάδων είναι η **συνάρτηση Ρόνκιν**. Για *p*(*z*), ένα πολυώνυμο σε *n* μιγαδικές μεταβλητές, ορίζεται η συνάρτηση Ρόνκιν

{\displaystyle N\_{p}:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
σύμφωνα με τον τύπο

{\displaystyle N\_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi i)^{n}}}\int \_{\operatorname {Log} ^{-1}(x)}\log |p(z)|\,{\frac {dz\_{1}}{z\_{1}}}\wedge {\frac {dz\_{2}}{z\_{2}}}\wedge \cdots \wedge {\frac {dz\_{n}}{z\_{n}}},}
όπου {\displaystyle x} denotes {\displaystyle x=(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{n}).} Ισοδύναμα, το {\displaystyle N\_{p}} δίνεται από το ολοκλήρωμα 

{\displaystyle N\_{p}(x)={\frac {1}{(2\pi )^{n}}}\int \_{[0,2\pi ]^{n}}\log |p(z)|\,d\theta \_{1}\,d\theta \_{2}\cdots d\theta \_{n},}
όπου

{\displaystyle z=\left(e^{x\_{1}+i\theta \_{1}},e^{x\_{2}+i\theta \_{2}},\dots ,e^{x\_{n}+i\theta \_{n}}\right).}
Η συνάρτηση Ronkin είναι κυρτή και συγγενής σε κάθε συνδεδεμένη συνιστώσα του συμπληρώματος της αμοιβάδας του {\displaystyle p(z)}.

Ενδεικτικά, η συνάρτηση Ρόνκιν ενός μονοωνύμου

{\displaystyle p(z)=az\_{1}^{k\_{1}}z\_{2}^{k\_{2}}\dots z\_{n}^{k\_{n}}}
με {\displaystyle a\neq 0} είναι

{\displaystyle N\_{p}(x)=\log |a|+k\_{1}x\_{1}+k\_{2}x\_{2}+\cdots +k\_{n}x\_{n}.}

Βιβλιογραφία
------------

* Itenberg, Ilia· Mikhalkin, Grigory· Shustin, Eugenii (2007). *Tropical algebraic geometry*. Oberwolfach Seminars. **35**. Basel: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-8309-1. Zbl 1162.14300.
* Viro, Oleg (2002), «What Is ... An Amoeba?», *Notices of the American Mathematical Society* **49** (8): 916–917,  .
* Thorsten Theobald, « Computing amoebas », Exp. Math. vol. 11,‎ 2002, p. 513–526 (DOI 10.1080/10586458.2002.10504703, (on line).
* Antoine Chambert-Loir, « Quand la géométrie devient tropicale », Pour la science, no 492,‎ octobre 2018, p. 26-33

Δημοσιεύσεις
------------

* *texts Approximating amoebas and coamoebas by sums of squares "*
* *texts Amoebas, Nonnegative Polynomials and Sums of Squares Supported on Circuits*
* "texts Amoebas and coamoebas of linear spaces "
* Theobald, Thorsten (2002). «Computing amoebas». *Exp. Math.* **11** (4): 513–526. doi:10.1080/10586458.2002.10504703. Zbl 1100.14048. .

Παραπομπές
----------

1. ↑  «Amoebas of algebraic varieties». *web.archive.org*. 31 Μαρτίου 2017. Ανακτήθηκε στις 12 Απριλίου 2024.
2. ↑  Masanori Kobayashi· Shinsuke Odagiri (29 Φεβρουαρίου 2012). *Tropical geometry of PERT*.
3. ↑  
Gelfand, I. M.· Kapranov, M. M.· Zelevinsky, A. V. (1994). *Discriminants, resultants, and multidimensional determinants*. Mathematics: Theory & Applications. Boston, MA: Birkhäuser. ISBN 0-8176-3660-9. Zbl 0827.14036.
4. 1 2 3  Itenberg et al (2007) p. 3.
5. ↑  Gross, Mark (2004). «Amoebas of complex curves and tropical curves». Στο: Guest, Martin. *UK-Japan winter school 2004—Geometry and analysis towards quantum theory. Lecture notes from the school, University of Durham, Durham, UK, 6–9 January 2004*. Seminar on Mathematical Sciences. **30**. Yokohama: Keio University, Department of Mathematics. σελίδες 24–36. Zbl 1083.14061.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |