**Ευθύγραμμο τμήμα** *ΑΒ* είναι εκείνο το γεωμετρικό σχήμα που περιέχεται μεταξύ δύο σημείων *Α* και *Β* μίας ευθείας *ε*. 

* Η δε ευθεία *ε* καλείται **φορέας** του ευθύγραμμου τμήματος και τα σημεία *Α* και *Β*, **άκρα** του.

Είδη ευθυγράμμου τμήματος
-------------------------

* Όταν τα άκρα ενός ευθυγράμμου τμήματος δεν ανήκουν σ΄ αυτό, τότε ονομάζεται **ανοιχτό** *ευθύγραμμο τμήμα*.
* Όταν αντίθετα, τα άκρα ανήκουν σ΄ αυτό ονομάζεται **κλειστό** *ευθύγραμμο τμήμα*.
* Τέλος όταν τα άκρα Α και Β συμπίπτουν, (Α=Β), τότε ονομάζεται **μηδενικό** *ευθύγραμμο τμήμα*.

Άλλα στοιχεία
-------------

* **Μήκος** ευθυγράμμου σχήματος, ονομάζεται η μεταξύ απόσταση των δύο άκρων.
* **Μέσο** ευθυγράμμου τμήματος, ονομάζεται το σημείο του εκείνο, (Μ), που ισαπέχει από τα άκρα του, έτσι ώστε ΜΑ=ΜΒ.

Αξίωμα: Κάθε ευθύγραμμο τμήμα έχει ένα μόνο **μέσο**

Σύγκριση ευθύγραμμων τμημάτων
-----------------------------

Ας είναι *ΑΒ* και *ΓΔ* ευθύγραμμα τμήματα με φορείς *ε* και *δ* αντίστοιχα. Ταυτίζουμε τις *ε* και *δ* έτσι ώστε το *Α* να συμπίπτει με το *Γ*.

* Αν το *Δ* συμπίπτει με το *Β* λέμε ότι το *ΑΒ* είναι *ίσο* με το *ΓΔ* και συμβολίζουμε *ΑΒ* = *ΓΔ*.
* Αν το *Δ* βρίσκεται στο εσωτερικό του τμήματος *ΑΒ* τότε λέμε ότι το *ΑΒ* είναι *μεγαλύτερο* από το *ΓΔ* και συμβολίζουμε *ΑΒ* > *ΓΔ*.
* Τέλος, αν το *Δ* βρίσκεται στην ημιευθεία *ΑΒ*, αλλά όχι ανάμεσα στα *Α* και *Β*, τότε λέμε ότι το *ΑΒ*  είναι *μικρότερο* από το *ΓΔ* και συμβολίζουμε *ΑΒ* < *ΓΔ*.

* Δύο ευθύγραμμα τμήματα λέγονται *διαδοχικά* όταν έχουν ένα κοινό άκρο αλλά κανένα κοινό εσωτερικό σημείο.

### Ιδιότητες ισότητας

Στην ισότητα των ευθυγράμμων τμημάτων ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

**Ανακλαστική** όπου ΑΒ=ΑΒ
**Συμμετρική**: αν ΑΒ=ΓΔ τότε ισχύει και ΓΔ=ΑΒ
**Μεταβατική**: αν ΑΒ=ΓΔ και ΓΔ=ΔΕ τότε ισχύει και ΑΒ=ΔΕ
* Κάθε σχέση για την οποία ισχύουν οι τρεις αυτές ιδιότητες λέγεται **σχέση ισοδυναμίας**

Επίσης η σχέση *ΑΒ* > *ΓΔ* ή *ΑΒ* < *ΓΔ* λέγεται **σχέση ανισότητας**. Στη σχέση αυτή ισχύει και η εξής ιδιότητα: (Μεταβατική) αν ΑΒ>ΓΔ και ΓΔ>ΔΕ τότε και ΑΒ>ΔΕ. Σημειώνεται πως η σχέση της ανισότητας δεν είναι συμμετρική, δηλαδή δεν ισχύει ΑΒ>ΓΔ και ΑΒ<ΓΔ.  
 
Κάθε σχέση που είναι μεταβατική, αλλά όχι συμμετρική αλλά ούτε και ανακλαστική λέγεται **σχέση γνήσιας διάταξης**. Συνεπώς η σχέση της ανισότητας είναι σχέση *γνήσιας διάταξης*.

### Πράξεις επί ευθυγράμμων τμημάτων

#### Πρόσθεση

* Έστω *ΑΒ*, *ΓΔ* ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία *ε* παίρνουμε τα διαδοχικά τμήματα *ΚΛ*, *ΛΜ* τέτοια ώστε *ΚΛ* = *ΑΒ* και *ΛΜ* = *ΓΔ*. Τότε *άθροισμα* των *ΑΒ* και *ΓΔ* θα καλούμε το ευθύγραμμο τμήμα *ΚΜ* και θα γράφουμε *ΚΜ* = *ΑΒ* + *ΓΔ*.

Για να βρεθεί το άθροισμα περισσοτέρων ευθυγράμμων τμημάτων, μετά το άθροισμα των δύο πρώτων προστίθεται το τρίτο και συνεχίζεται η πρόσθεση όλων των τμημάτων. Στη πρόσθεση αυτή ισχύουν οι εξής ιδιότητες:

*Αντιμεταθετική*: δηλαδή α+β=β+α και
*Προσεταιριστική*: δηλαδή (α+β)+γ=α+(β+γ)
Επίσης υπάρχει και το ουδέτερο στοιχείο που είναι το *μηδενικό ευθύγραμμο τμήμα* όπου α+0=0+α = α.
Γενικά η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων είναι πράξη **μονότροπη** και **εσωτερική** του συνόλου των τμημάτων και αποτελεί ένα συνολικό ευθύγραμμο τμήμα.
Η πρόσθεση ευθυγράμμων τμημάτων ως προς την σχέση της ανισότητας παρουσιάζει τις δύο ακόλουθες ιδιότητες:

Αν για παράδειγμα *ΑΒ* > *ΒΓ* και *ΓΔ* > *ΔΕ* τότε *ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΔΕ* (πρόσθεση κατά μέλη ομοιόστροφων ανισοτήτων).
Αν επίσης *ΑΒ* > *ΒΓ* τότε συνεπάγεται ότι *ΑΒ+ΓΔ > ΒΓ+ΓΔ* (πρόσθεση ίδιου τμήματος στα μέλη μιας ανισότητας).
#### Αφαίρεση

* Έστω *ΑΒ* > *ΓΔ* ευθύγραμμα τμήματα. Σε ευθεία *ε* παίρνουμε τα *ΚΛ* = *ΑΒ* και *ΚΜ* = *ΓΔ* με το σημείο *Μ* να κείται στο εσωτερικό του *ΚΛ*. Τότε *διαφορά* του *ΓΔ* από το *ΑΒ* θα λέμε το ευθύγραμμο τμήμα *ΜΛ* και θα γράφουμε *ΜΛ* = *ΑΒ* - *ΓΔ*.

#### Πολλαπλασιασμός

Γινόμενο ενός ευθυγράμμου τμήματος *ΑΒ* επί ένα φυσικό αριθμό, έστω 3, λέγεται το ευθύγραμμο τμήμα *ΑΓ* που γίνεται από το *ΑΒ* αν ληφθεί τρεις φορές. Δηλαδή *ΑΓ* = 3*ΑΒ*

* Έστω *ΑΒ* ευθύγραμμο τμήμα και *ν* ένας φυσικός αριθμός. Αν *ΚΛ* είναι ευθύγραμμο τμήμα για το οποίο {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\underbrace {\mathrm {A} \mathrm {B} +\cdots +\mathrm {A} \mathrm {B} } \_{\nu }}, τότε λέμε ότι το *ΚΛ* είναι το *ν*-*πλάσιο γινόμενο* του *ΑΒ* και γράφουμε {\displaystyle \mathrm {K} \Lambda =\nu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} }, καθώς και ότι το *ΑΒ* είναι το *υπο*-*ν*-*πλάσιο γινόμενο* του *ΚΛ*, και γράφουμε {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {1}{\nu }}\mathrm {K} \Lambda }. Τέλος αν για *μ* φυσικό αριθμό είναι {\displaystyle \Gamma \Delta =\mu \cdot \mathrm {A} \mathrm {B} } τότε μπορούμε να γράψουμε {\displaystyle \Gamma \Delta ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda } και το τμήμα ΓΔ ονομάζεται *γινόμενο του ρητού αριθμού* *μ*/*ν* *με το ευθύγραμμο τμήμα* *ΚΛ*.

Με τη *μέτρηση* ενός ευθύγραμμου τμήματος *ΑΒ* εννοούμε τη σύγκρισή του με ένα άλλο αυθαίρετα μοναδιαίο ευθύγραμμο τμήμα *ΚΛ*. Αν ισχύει {\displaystyle \mathrm {A} \mathrm {B} ={\frac {\mu }{\nu }}\mathrm {K} \Lambda }, τότε λέμε ότι το *μήκος* του *ΑΒ* ως προς το *ΚΛ* είναι *μ*/*ν*, ή ότι η *απόσταση* του *Α* από το *Β* είναι *μ*/*ν*.

#### Διαίρεση

Πηλίκο ενός ευθυγράμμου τμήματος *ΑΒ* δι΄ ενός φυσικού αριθμού, έστω 3, ονομάζεται το ευθύγραμμο τμήμα *ΑΓ* που είναι ίσο με το ένα από τα τρία ίσα μέρη στα οποία χωρίζεται το *ΑΒ*, όπου και θα ισχύει η σχέση *ΑΓ = ΑΒ/3*

Δείτε ακόμη
-----------

* Διάνυσμα

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Commons logoCommons logo | Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα   **Ευθύγραμμο τμήμα** |