Στην θεωρία πιθανοτήτων, η **ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος** δίνει ένα κάτω φράγμα στην ένωση γεγονότων. Πιο συγκεκριμένα, για οποιαδήποτε n γεγονότα {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}} με {\displaystyle \Pr(A\_{1}\cup \ldots \cup A\_{n})>0}, ισχύει ότι

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\geq {\frac {\left(\sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i})\right)^{2}}{\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}\Pr(A\_{i}\cap A\_{j})}}.}
Στην εργασία των Τσουνγκ και Έρντος η ανισότητα εμφανίζεται με την ισοδύναμη μορφή, 

{\displaystyle 2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\Pr(A\_{i}\cap A\_{j})\geq \left(\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\right)^{-1}\cdot \left(\sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i})\right)^{2}-\sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i}).}

Απόδειξη
--------

Η απόδειξη στηρίζεται στην εξής ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής, όπου για κάθε μη-αρνητική τυχαία μεταβλητή X,

{\displaystyle \Pr(X>0)\geq {\frac {(\operatorname {E} (X))^{2}}{\operatorname {E} (X^{2})}}.}
Θα χρησιμοποιήσουμε τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές {\displaystyle \mathbf {1} \_{A\_{i}}} για τα γεγονότα {\displaystyle A\_{i}}. Από τις ιδιότητες των δείκτριων τυχαίων μεταβλητών έχουμε ότι

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i})=\sum \_{i=1}^{n}\operatorname {E} (\mathbf {1} \_{A\_{i}})=\operatorname {E} \left(\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}\right),}
και

{\displaystyle 2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\Pr(A\_{i}\cap A\_{j})=2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\operatorname {E} (\mathbf {1} \_{A\_{i}}\mathbf {1} \_{A\_{j}})=\operatorname {E} \left(2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}\mathbf {1} \_{A\_{j}}\right).}
Συνδυάζοντας αυτές τις δύο σχέσεις έχουμε ότι,


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i})+2\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=i+1}^{n}\Pr(A\_{i}\cap A\_{j})=\sum \_{i=1}^{n}\sum \_{j=1}^{n}\Pr(A\_{i}\cap A\_{j})=\operatorname {E} \left(\left(\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}\right)^{2}\right).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Επίσης, η πιθανότητα να γίνει οποιοδήποτε από τα n γεγονότα {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}} είναι ισοδύναμη με την πιθανότητα το άθροισμα των δεικτών να είναι μεγαλύτερο του μηδενός. Επομένως,


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)=\Pr \left(\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}>0\right).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

Επομένως συνδυάζοντας τις (**1**) και (**2**) η αρχική ανισότητα γράφεται ως εξής

{\displaystyle \Pr \left(\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}>0\right)\cdot \operatorname {E} \left(\left(\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}\right)^{2}\right)\geq \left(\operatorname {E} \left(\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}\right)\right)^{2}}
Θέτοντας {\displaystyle \textstyle X=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \_{A\_{i}}}, η ανισότητα παίρνει την μορφή

{\displaystyle \Pr \left(X>0\right)\cdot \operatorname {E} (X^{2})\geq (\operatorname {E} (X))^{2},}
η οποία προκύπτει από αναδιάταξη της ανισότητα της μεθόδου της δεύτερης ροπής.

Δείτε επίσης
------------

* Ανισότητα Μπουλ
* Ανισότητες Μπονφερρόνι

Παραπομπές
----------

1. ↑  Chung, K. L.; Erdös, P. (1952). «On the application of the Borel-Cantelli lemma». *Transactions of the American Mathematical Society* **72** (1): 179–186. doi:https://doi.org/10.1090/S0002-9947-1952-0045327-5. .
2. ↑  Kounias, Stratis; Marin, Jacqueline (1976). «Best Linear Bonferroni Bounds». *SIAM Journal on Applied Mathematics* **30** (2): 307-323. .