| Κβαντική μηχανική |
| --- |
| {\displaystyle \sigma \_{x}\sigma \_{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}Αρχή της απροσδιοριστίας |
| * Εισαγωγή
* Ορολογία
* Ιστορία
 |
| Ιστορικό
* Κλασική μηχανική
* Παλαιά κβαντική θεωρία
* Συμβολισμός Bra-ket

* Συμβολή
* Χαμιλτονιανή

 |
| Θεμελιώδη
* Αποσυσχέτιση
* Απροσδιοριστία
* Διεμπλοκή
* Δυισμός
* Ενεργειακό επίπεδο
* Κατάσταση
* Κβαντικός αριθμός
* Κυματοσυνάρτηση (κατάρρευση)
* Μέτρηση
* Μη τοπικότητα
* Συμμετρία
* Συμπληρωματικότητα
* Υπέρθεση
* Φαινόμενο σήραγγας

 |
| Πειράματα
* Ανισότητα Μπελ
* Afshar
* Γάτα του Σρέντινγκερ
* Διπλή σχισμή
* Davisson–Germer
* Elitzur–Vaidman

* Κβαντική διαγραφή (delayed-choice)

* Mach–Zehnder
* Πόπερ
* Stern–Gerlach
* Franck–Hertz
* Wheeler's delayed-choice

 |
| Φορμαλισμοί
* Επισκόπηση

* Heisenberg
* Interaction
* Matrix
* Phase-space
* Schrödinger
* Sum-over-histories (path integral)

 |
| Εξισώσεις
* Κλάιν-Γκόρντον
* Ντιράκ
* Πάουλι
* Rydberg
* Σρέντινγκερ

 |
| Ερμηνείες
* Επισκόπηση

* Κβαντική λογική
* Κοπεγχάγη
* Κρυμμένες μεταβλητές
* Μπεϋζιανή ερμηνεία
* Ντε Μπρολί-Μπομ
* Συνεπής ιστορικά ερμηνεία
* Στατιστική ερμηνεία
* Παράλληλα σύμπαντα
* Αντικειμενική κατάρρευση
* Σχεσιακή
* Στοχαστική
* Συναλλακτική

 |
| Προχωρ. θέματα
* Κβαντικό χάος
* Κβαντικός υπολογιστής
* Μήτρα πυκνότητας
* Κβαντική θεωρία πεδίου
* Κβαντική θεωρία πληροφορίας
* Κλασματική Κβαντική Μηχανική
* Σχετικιστική Κβαντική Μηχανική
* Κβαντική θεωρία σκέδασης
* Κβαντική Στατιστική Μηχανική
 |
| Επιστήμονες
* Αϊνστάιν
* Αχαρόνοφ
* Βάυλ
* Βιν
* Γκλάουμπερ
* Γκουτζβίλερ
* Γουίγκνερ
* Έβερετ
* Έρενφεστ
* Ζέεμαν
* Κάμερλιν
* Κάντλιν
* Κόμπτον
* Κράμερς
* Λαμπ
* Λαντάου
* Λάουε
* Μίλικαν
* Μόσελεϊ
* Μπελ
* Μπλάκετ
* Μπλοχ
* Μπομ
* Μπόους
* Μπορ
* Μπορν
* ντε Μπρέιγ
* Ντέιβισον
* Ντεμπύ
* Ντιράκ
* Πάουλι
* Πλανκ
* Ράμαν
* Ράμπι
* Ρίντμπεργκ
* Σόμμερφελντ
* Σρέντινγκερ
* Τζόρνταν
* Τσέιλινγκερ
* Φάινμαν
* Φέρμι
* Φοκ
* φον Νόιμαν
* Χάιζενμπεργκ
* Χίλμπερτ

 |
| * π
* σ
* ε
 |

Το **Θεώρημα του Έρενφεστ (Ehrenfest)** είναι θεώρημα της κβαντικής μηχανικής και ονομάστηκε έτσι, επειδή διατυπώθηκε από τον φυσικό και μαθηματικό Πάουλ Έρενφεστ.  

Χρησιμοποιώντας το θεώρημα αυτό, βρίσκουμε κάποιες σχέσεις οι οποίες μας θυμίζουν την κλασική μηχανική. Δηλαδή οι κβαντικές μέσες τιμές εξελίσσονται κλασικά.

Διατύπωση θεωρήματος Έρενφεστ
-----------------------------

Έστω ένα φυσικό σύστημα που έχει Χαμιλτονιανή Ĥ και έστω ένα μέγεθος Â που περιγράφει το σύστημα αυτό. Τότε, ισχύει το θεώρημα Έρενφεστ:

{\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
Το <â> συμβολίζει τη μέση τιμή του μεγέθους â, ενώ το [â,ĉ] συμβολίζει το μεταθέτη των τελεστών â, ĉ και ισούται με [â,ĉ]=âĉ-ĉâ.

### Απόδειξη του θεωρήματος Έρενφεστ

Η μέση τιμή ενός μεγέθους Â σε ένα σύστημα με Χαμιλτονιανή Ĥ και κυματοσυνάρτηση Ψ ισούται με: 

{\displaystyle \left\langle {\hat {A}}\right\rangle =\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\hat {A}}\Psi dV}, όπου dV ο στοιχειώδης όγκος.  

Έχουμε λοιπόν:

{\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {\partial }{\partial t}}\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\hat {A}}\Psi dV=\int \_{V\_{\infty }}{\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}{\hat {A}}\Psi dV+\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\Psi dV+\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\hat {A}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}dV}
Από την εξίσωση Schrodinger έχουμε ότι:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\hat {H}}\Psi \Leftrightarrow {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}{\hat {H}}\Psi }
Επίσης παίρνοντας την συζυγή σχέση έχουμε:

{\displaystyle {\frac {\partial \Psi ^{\*}}{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{\*}{\hat {H}}^{\*}=-{\frac {1}{i\hbar }}\Psi ^{\*}{\hat {H}}} (η σχέση αυτή γίνεται πιο προφανής με τον συμβολισμό του Dirac), όπου χρησιμοποιήθηκε η αυτοσυζυγία της Χαμιλτονιανής, δηλαδή το ότι {\displaystyle {\hat {H}}^{\*}={\hat {H}}}
Επίσης είναι προφανές ότι:

{\displaystyle \int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\Psi dV=\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
Αντικαθιστώντας στην αρχική, έχουμε:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}=-{\frac {1}{i\hbar }}\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\hat {H}}{\hat {A}}\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle +{\frac {1}{i\hbar }}\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}{\hat {A}}{\hat {H}}\Psi dV={\frac {1}{i\hbar }}\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}\left({\hat {A}}{\hat {H}}-{\hat {H}}{\hat {A}}\right)\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle =\\&={\frac {1}{i\hbar }}\int \_{V\_{\infty }}\Psi ^{\*}\left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\Psi dV+\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle \end{aligned}}}
Και καταλήγουμε στην:

{\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {A}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {A}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {A}}}{\partial t}}\right\rangle }
ο.έ.δ.

Εφαρμογές του θεωρήματος
------------------------

### Εφαρμ

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {\partial \langle {\hat {x}}\rangle }{\partial t}}={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +\left\langle {\frac {\partial {\hat {x}}}{\partial t}}\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\hat {H}}\right]\right\rangle +0={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\frac {{\hat {p\_{x}}}^{2}}{2m}}+V(x)\right]\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar }}\left\langle \left[{\hat {x}},{\frac {{\hat {p\_{x}}}^{2}}{2m}}\right]+\left[{\hat {x}},V(x)\right]\right\rangle =\\&={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle {\hat {p}}\_{x}\left[{\hat {x}},{\hat {p\_{x}}}\right]+\left[{\hat {x}},{\hat {p\_{x}}}\right]{\hat {p}}\_{x}+0\right\rangle ={\frac {1}{i\hbar 2m}}\left\langle 2i\hbar {\hat {p}}\_{x}\right\rangle \end{aligned}}}
Και τελικά καταλήγουμε στην:

{\displaystyle {\frac {\partial \langle {\hat {x}}\rangle }{\partial t}}={\frac {\left\langle {\hat {p}}\_{x}\right\rangle }{m}}}, η οποία μας θυμίζει την κλασσική σχέση για την ταχύτητα.   

### Εφαρμογή για την ορμή px

Η εφαρμογή στην ορμή μας δίνει με παρόμοιους συλλογισμούς την:

{\displaystyle {\frac {\partial \left\langle {\hat {p}}\_{x}\right\rangle }{\partial t}}=-\left\langle {\frac {\partial V(x)}{\partial x}}\right\rangle }, η οποία μας θυμίζει τη σχέση του 2ου νόμου του Newton (Νεύτωνος).

Εσωτερικοί Σύνδεσμοι
--------------------

* Συμβολισμός Ντιράκ
* Τελεστής
* Μεταθέτης τελεστή
* Χαμιλτονιανή μηχανική