Στη γεωμετρία, το **υπεροκτάεδρο** ή **πολύτοπο-διασταύρωσης** ή **ορθόπλεξη** (Αγγλικά: *hyperoctahedron*, *cocube*, *cross-polytope*, ή *orthoplex*,) είναι ένα κανονικό κυρτό πολύτοπο που υπάρχει σε οποιοδήποτε αριθμό διαστάσεων. Οι κορυφές σε ένα υπεροκτάεδρο είναι όλες οι παραλλαγές (±1, 0, 0, ... 0). Το υπεροκτάεδρο είναι το κυρτό περίβλημα των κορυφών του. Οι έδρες του υπεροκταέδρου είναι πλέγματα της προηγούμενης διάστασης, ενώ το σχήμα των κορυφών του είναι ένα άλλο υπεροκτάεδρο επίσης από την προηγούμενη διάσταση.

Το *ν* διαστάσεων υπεροκτάεδρο μπορεί επίσης να οριστεί ως μία κλειστή μονάδα ("unit ball"), ή στα όριά του (σύμφωνα με ορισμένους συγγραφείς), με την ℓ1-νόρμα στο **R***n*:

{\displaystyle \{x\in \mathbb {R} ^{n}:\|x\|\_{1}\leq 1\}.}
Σε 1 διάσταση το υπεροκτάεδρο είναι απλά ένα ευθύγραμμο τμήμα [−1, +1], σε 2 διαστάσεις είναι ένα τετράγωνο (ή διαμάντι στην ξενόγλωσση βιβλιογραφία) με κορυφές {(±1, 0), (0, ±1)}. Σε 3 διαστάσεις είναι ένα οκτάεδρο (ένα από τα πέντε κυρτά κανονικά πολύεδρα που είναι γνωστά ως πλατωνικά στερεά). Σε υψηλότερες διαστάσεις τα υπεροκτάεδρα είναι γενικεύσεις των προηγουμένων διαστάσεων.

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 2-υπεροκτάεδρο |  | 3-υπεροκτάεδρο |  | 4-υπεροκτάεδρο |
| 2 διαστάσειςΤετράγωνο |  | 3 διαστάσειςΟκτάεδρο |  | 4 διαστάσειςΔεκαεξάχωρο |

Το υπεροκτάεδρο είναι το διπλό πολύτοπο του υπερκύβου. Ο μονοδιάστατος σκελετός ενός *ν* διαστάσεων υπεροκταέδρου είναι ένα γράφημα *Turán*: *T*(2*ν*,*ν*).

4 διαστάσεις
------------

Το υπεροκτάεδρο 4-διαστάσεων είναι επίσης γνωστό με το όνομα δεκαεξάχωρο (αγγλικά: *hexadecachoron* ή *16-cell*). Είναι ένα από τα έξι κυρτά κανονικά πολύτοπα 4-διαστάσεων. Τα πολύχωρα αυτά περιγράφηκαν για πρώτη φορά από τον Ελβετό μαθηματικό *Ludwig Schläfli* στα μέσα του 19ου αιώνα.

Υψηλότερες διαστάσεις
---------------------

Η οικογένεια *υπεροκταέδρων* είναι μία από τις τρεις οικογένειες κανονικών πολυτόπων, οι οποίες φέρουν *Coxeter* ως *βν*, οι άλλες δύο είναι η οικογένεια υπερκύβων, ως *γν*, και τα πλέγματα, ως *αν*. Μία τέταρτη οικογένεια, είναι οι άπειρες ψηφιδοθετήσεις των υπερκύβων (hypercubic honeycomb), που χαρακτηρίζονται ως *δν*.

Τα *ν* διαστάσεων υπεροκτάεδρα έχουν 2*ν* κορυφές, και 2*ν* έδρες (*ν*−1 διαστάσεων τμήματα) οι οποίες είναι όλες *ν*−1 πλέγματα. Τα σχήματα κορυφών είναι όλα *ν*−1 υπεροκτάεδρα. Το σύμβολο *Schläfli* του υπεροκταέδρου είναι {3,3,…,3,4}. Η δίεδρη γωνία των *n* διαστάσεων υπεροκταέδρων είναι:

{\displaystyle \arccos \left({\frac {2-n}{n}}\right)}.
Ο αριθμός των συνιστωσών *k*-διαστάσεων (κορυφές, ακμές, επιφάνειες, ... έδρες) σε *n* διαστάσεων υπεροκτάεδρα δίνεται (με βάση τον διωνυμικό συντελεστή) από την:

{\displaystyle 2^{k+1}{n \choose {k+1}}}
Ο όγκος των υπεροκταέδρων *n*-διαστάσεων είναι:

{\displaystyle {\frac {2^{n}}{n!}}.}
Υπάρχουν πολλές πιθανές ορθογραφικές προβολές που μπορεί να δείξουν τα υπεροκτάεδρα σε γραφικά 2-διαστάσεων. Οι προβολές του Πέτρι πολυγώνου χαρτογραφούν τα σημεία σε ένα κανονικό *2ν*-γώνιο ή κατώτερης τάξης κανονικά πολύγωνα. Μια δεύτερη προβολή παίρνει το *2(ν-1)*-γώνιο Πέτρι πολύγωνο της κάτω διάστασης, δείχνοντάς το ως μια διπυραμίδα, που προβάλεται κάτω από τον άξονα, με 2 κορυφές της να αντιστοιχίζονται στο κέντρο.


Στοιχεία υπεροκταέδρου| n | βnk11 | ΟνομασίεςΓραφικά | Γραφικά2n-γώνια | Γραφικά2(n-1)-γώνια | Schläfli | Coxeter-Dynkin | Κορυφές | Ακμές | Επιφάνειες | Κελιά | *4*-Επιφ. | *5*-Επιφ. | *6*-Επιφ. | *7*-Επιφ. | *8*-Επιφ. | *9*-Επιφ. |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | β1 | ευθύγραμμο τμήμα1-ορθόπλεξη |  |  | {} |  | 2 |   |   |   |   |   |   |   |   |   |
| 2 | β2 −111 | τετράγωνο2-ορθόπλεξη**Bicross** |  |  | {4}{}+{} |  | 4 | 4 |   |   |   |   |   |   |   |   |
| 3 | β3011 | οκτάεδρο3-ορθόπλεξη**Tricross** |  |  | {3,4}{30,1,1}{}+{}+{} |  | 6 | 12 | 8 |   |   |   |   |   |   |   |
| 4 | β4111 | δεκαεξάχωρο4-ορθόπλεξη**Tetracross** |  |  | {3,3,4}{31,1,1}4{} |  | 8 | 24 | 32 | 16 |   |   |   |   |   |   |
| 5 | β5211 | 5-ορθόπλεξη**Pentacross** |  |  | {33,4}{32,1,1}5{} |  | 10 | 40 | 80 | 80 | 32 |   |   |   |   |   |
| 6 | β6311 | 6-ορθόπλεξη**Hexacross** |  |  | {34,4}{33,1,1}6{} |  | 12 | 60 | 160 | 240 | 192 | 64 |   |   |   |   |
| 7 | β7411 | 7-ορθόπλεξη**Heptacross** |  |  | {35,4}{34,1,1}7{} |  | 14 | 84 | 280 | 560 | 672 | 448 | 128 |   |   |   |
| 8 | β8511 | 8-ορθόπλεξη**Octacross** |  |  | {36,4}{35,1,1}8{} |  | 16 | 112 | 448 | 1120 | 1792 | 1792 | 1024 | 256 |   |   |
| 9 | β9611 | 9-ορθόπλεξη**Enneacross** |  |  | {37,4}{36,1,1}9{} |  | 18 | 144 | 672 | 2016 | 4032 | 5376 | 4608 | 2304 | 512 |   |
| 10 | β10711 | 10-ορθόπλεξη**Decacross** |  |  | {38,4}{37,1,1}10{} |  | 20 | 180 | 960 | 3360 | 8064 | 13440 | 15360 | 11520 | 5120 | 1024 |
| ... |
| **n** | βn*k*11 | *n*-ορθόπλεξη*n*-cross |  |  | {3*n* − 2,4}{3*n* − 3,1,1}n{} | ......... | 2*n* **0-επιφάνειες**, ... {\displaystyle 2^{k+1}{n \choose k+1}} ***k*-επιφάνειες** ... 2*n* **(n-1)-επιφάνειες** |

Όλες οι κορυφές ενός ευθυγραμμισμένου άξονα υπεροκταέδρου είναι σε ίση απόσταση με την κάθε άλλη κορυφή σε *απόσταση Manhattan* (L1 νόρμα). Ο *Kusner* στις *Εικασίες* του δηλώνει ότι αυτό το σύνολο των 2*d* σημείων είναι το μεγαλύτερο δυνατό ισαπέχον σύνολο για την απόσταση αυτή.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Elte, E. L. (1912). *The Semiregular Polytopes of the Hyperspaces*. Groningen: University of Groningen.  Chapter IV, five dimensional semiregular polytope.
2. ↑  Ο John Horton Conway το αναφέρει ως *n-orthoplex for orthant complex*.
3. ↑  Guy, Richard K. (1983), «An olla-podrida of open problems, often oddly posed», *American Mathematical Monthly* **90** (3): 196–200 .

Πηγές
-----

* Coxeter, H. S. M. (1973). *Regular Polytopes* (3η έκδοση). Νέα Υόρκη: Dover Publications. σελίδες 121–122. ISBN 0-486-61480-8.  σελ. 296, Table I (iii): Regular Polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5).

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Commons logoCommons logo | Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα   **Υπεροκτάεδρο** |

* Weisstein, Eric W. "Cross polytope" από το MathWorld.
* Olshevsky, George, *Glossary for Hyperspace: Cross polytope*.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Διάσταση |
| --- |
|  |
| Διαστάσεις του χώρου | 
* Μηδέν
* Μία
* Δύο
* Τρεις
* Τέσσερις
* Πέντε
* Έξι
* Επτά
* Οκτώ
* Πολλές
* Μορφοκλασματική
 |  |
|  |
| Διαστατικοί χώροι | 
* Χώρος (Ευκλείδειος
* Διανυσματικός
* Προβολικός
* Αρνητικός)
* Χωροχρόνος
* Υπερβολικό επίπεδο
* Πολλαπλότητα
* Πολυσύμπαν
 |
|  |
| Έννοιες και μαθηματικά | 
* Καρτεσιανές συντεταγμένες
* Γραμμική άλγεβρα
* Γεωμετρική άλγεβρα
* Συμμορφική γεωμετρία
* Βαθμοί ελευθερίας
* Αντανάκλαση
* Περιστροφή
 |
|  |
| Πολύτοπα και σχήματα | 
* Πλέγμα
* Υπερκύβος
* Υπερορθογώνιο
* Ημιυπερκύβος
* Υπεροκτάεδρο
* Υπερσφαίρα
* Υπερεπίπεδο
 |
|  |
| 
* **Κατηγορίες:** Φυσική
* Μαθηματικά
 |

 |