*Σε αυτό το λήμμα, τα διανύσματα και τα μέτρα τους απεικονίζονται με έντονη γραφή και πλάγια γράμματα, αντίστοιχα. Για παράδειγμα, {\displaystyle \left|\mathbf {A} \right|=A}.*

Στην κλασική μηχανική, το **διάνυσμα Λαπλάς-Ραντζ-Λεντς** (ή απλά το **διάνυσμα LRL**) είναι ένα διάνυσμα που χρησιμοποιείται κυρίως για να περιγράψει το σχήμα και τον προσανατολισμό της τροχιάς ενός αστρονομικού σώματος γύρω από ένα άλλο, όπως ένας πλανήτης περιστρέφεται γύρω από ένα αστέρι. Για δύο σώματα που αλληλεπιδρούν με νευτώνεια βαρύτητα, το LRL διάνυσμα είναι μια σταθερά της κίνησης, πράγμα που σημαίνει ότι είναι το ίδιο χωρίς να έχει σημασία που υπολογίζεται στην τροχιά, ισοδύναμα, το LRL διάνυσμα λέγεται ότι πρέπει να διατηρηθεί. Γενικότερα, το LRL διάνυσμα διατηρείται σε όλα τα προβλήματα στα οποία αλληλεπιδρούν δύο σώματα ωθούμενα από μια κεντρική δύναμη που μεταβάλλεται ως το αντίστροφο τετράγωνο της απόστασης μεταξύ τους. Τέτοια προβλήματα ονομάζονται προβλήματα Κέπλερ.

Το άτομο του υδρογόνου είναι ένα πρόβλημα Κέπλερ, δεδομένου ότι περιλαμβάνει δύο φορτισμένα σωματίδια που αλληλεπιδρούν σύμφωνα με το νόμο του Κουλόμπ της ηλεκτροστατικής, μια άλλη κεντρική δύναμη του αντίστροφου τετράγωνου. Το διάνυσμα LRL ήταν απαραίτητο στην πρώτη κβαντική μηχανική παράγωγη του φάσματος του ατόμου του υδρογόνου, πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Σρέντινγκερ. Ωστόσο, αυτή η προσέγγιση χρησιμοποιείται σπάνια σήμερα.

Στην κλασσική και την κβαντική μηχανική, συντηρημένες ποσότητες αντιστοιχούν σε μια συμμετρία του συστήματος. Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ασυνήθιστη συμμετρία, το πρόβλημα Κέπλερ είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα σωματίδιο που κινείται ελεύθερα επί της επιφάνειας μίας τεσσάρων διαστάσεων (υπερ-) σφαίρα, επομένως όλο το πρόβλημα είναι συμμετρική υπό συγκεκριμένες περιστροφές του χώρου των τεσσάρων διαστάσεων. έτσι ώστε όλο το πρόβλημα είναι συμμετρικό υπό ορισμένες περιστροφές του τετραδιάστατου χώρου. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία προέρχεται από δύο ιδιότητες του προβλήματος Κέπλερ: το διάνυσμα της ταχύτητας κινείται πάντα σε έναν τέλειο κύκλο και, για μια δεδομένη συνολική ενέργεια, όλοι αυτοί οι κύκλοι του διανύσματος της ταχύτητας τέμνουν ο ένας τον άλλο στα ίδια δύο σημεία.

Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα πήρε το όνομά του από τους Πιέρ Σιμόν Λαπλάς, Carl Runge και Wilhelm Lenz. Είναι επίσης γνωστό ως το **διάνυσμα Λαπλάς**, το **διάνυσμα Runge-Lenz** και το **διάνυσμα Lenz**. Κατά ειρωνικό τρόπο, κανένας από αυτούς τους επιστήμονες δεν το ανακάλυψε. Το LRL διάνυσμα έχει ανακαλυφθεί εκ νέου αρκετές φορές  και είναι επίσης ισοδύναμο με το αδιάστατο διάνυσμα εκκεντρικότητας της ουράνιας μηχανικής. Έχουν οριστεί διάφορες γενικεύσεις του LRL διανύσματος, οι οποίες ενσωματώνουν τις επιπτώσεις της ειδικής σχετικότητας, των ηλεκτρομαγνητικών πεδίων, ακόμα και διαφορετικών τύπων των κεντρικών δυνάμεων.

Γενικό πλαίσιο
--------------

Ένα ενιαίο σωματίδιο το οποίο κινείται κάτω από οποιαδήποτε συντηρητική κεντρική δύναμη έχει τουλάχιστον τέσσερις σταθερές της κίνησης, την ολική ενέργεια (Ε) καθώς και τις τρεις καρτεσιανές συνιστώσες της στροφορμής διανύσματος (L). Η τροχιά του σωματιδίου περιορίζεται σε ένα επίπεδο που ορίζεται από την αρχική ορμή (p) του σωματιδίου (ή ισοδύναμα, την ταχύτητά του (v) και το διάνυσμα r μεταξύ του σωματιδίου και του κέντρο της δύναμης (βλέπε εικόνα 1, παρακάτω).

Όπως ορίζεται παρακάτω (βλέπε μαθηματικό ορισμό), το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz (διάνυσμα LRL ) **Α** βρίσκεται πάντα στο επίπεδο της κίνησης για κάθε κεντρική δύναμη. Ωστόσο, το Α είναι σταθερό μόνο για μια κεντρική δύναμη αντιστρόφου τετραγώνου. Για τις περισσότερες κεντρικές δυνάμεις, ωστόσο, αυτό το διάνυσμα Α δεν είναι σταθερό, αλλά αλλάζει τόσο σε μήκος 'όσο και σε κατεύθυνση, αν η κεντρική δύναμη υπακούει περίπου στο νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου, το διάνυσμα Α είναι περίπου σταθερό σε μήκος, αλλά σιγά-σιγά περιστρέφει την κατεύθυνσή του. Ένα γενικευμένο συντηρημένη LRL διάνυσμα μπορεί να οριστεί για όλες τις κεντρικές δυνάμεις, αλλά αυτή το γενικευμένο διάνυσμα είναι μια πολύπλοκη συνάρτηση της θέσης, και συνήθως δεν εκφράζεται σε κλειστή μορφή.

Το επίπεδο της κίνησης είναι κάθετο προς το διάνυσμα της στροφορμής **L**, που είναι σταθερό. Αυτό μπορεί να εκφραστεί μαθηματικά ως το εσωτερικό γινόμενο των διανυσμάτων **r** · **L** = 0, ομοίως δεδομένου ότι το **Α** βρίσκεται σε αυτό το επίπεδο προκύπτει, **A** · **L** = 0.

Το διάνυσμα LRL διαφέρει από τις άλλες διατηρούμενες ποσότητες στην ακόλουθη ιδιότητα: Λαμβάνοντας υπόψη ότι για τυπικές διατηρούμενες ποσότητες υπάρχουν οι αντίστοιχες κυκλικές συντεταγμένες στο τρισδιάστατο σύστημα Lagrangian, εκεί δεν υπάρχουν τέτοιες συντεταγμένες για τον διάνυσμα LRL. Έτσι, η διατήρηση του διανύσματος LRL πρέπει να προέρχεται απευθείας π.χ. από τη μέθοδο των αγκύλων Poisson, η οποία περιγράφεται παρακάτω. Οι συντηρημένες ποσότητες αυτού του είδους ονομάζονται «δυναμικές», σε αντίθεση με τους συνήθεις «γεωμετρικούς» νόμους διατήρησης, π.χ. εκείνους της στροφορμής.

Ιστορία των παράλληλων ανακαλύψεων
----------------------------------

Το διάνυσμα LRL Α είναι μια σταθερά της κίνησης του σημαντικού προβλήματος Κέπλερ και είναι χρήσιμο για την περιγραφή αστρονομικών τροχιών όπως η κίνηση των πλανητών. Παρ 'όλα αυτά ποτέ δεν ήταν ιδιαίτερα διαδεδομένο στους φυσικούς. Κατά συνέπεια έχει ανακαλύφθηκε ανεξάρτητα αρκετές φορές κατά τη διάρκεια των τελευταίων τριών αιώνων. 
Ο Jakob Hermann ήταν ο πρώτος που δείχνει ότι το Α διατηρείται για μια ειδική περίπτωση μιας κεντρικής δύναμης του αντίστροφου τετραγώνου  και επεξεργάστηκε τη σύνδεσή της με την εκκεντρικότητα της τροχιακής έλλειψης. Η εργασία του Hermann γενικεύτηκε σε σύγχρονη μορφή από τον Johann Bernoulli το 1710. Στο τέλος του αιώνα ο Pierre-Simon de Laplace ανακάλυψε ξανά τη διατήρηση του A περισσότερο αναλυτικά παρά γεωμετρικά. Στα μέσα του δέκατου ένατου αιώνα ο William Rowan Hamilton βρίσκει το αντίστοιχο διάνυσμα εκκεντρότητας που ορίζεται παρακάτω,, και το χρησιμοποιεί για να αποδείξει ότι το διάνυσμα p της ορμής κινείται σε έναν κύκλο για την κίνηση κάτω από την επίδραση μιας δύναμης αντιστρόφως ανάλογης του τετραγώνου (Σχήμα 3) .

Στις αρχές του εικοστού αιώνα ο Josiah Willard Gibbs βρίσκει το ίδιο διάνυσμα με διανυσματική ανάλυση. Η ανακάλυψη του Gibbs χρησιμοποιήθηκε ως παράδειγμα από τον Runge Carle σε ένα δημοφιλές γερμανικό βιβλίο για διανύσματα, στην οποία αναφέρεται ο Wilhelm Lenz στην εργασία του σχετικά με την (παλιά) κβαντική μηχανική επεξεργασία του ατόμου του υδρογόνου. Το 1926, το διάνυσμα είχε χρησιμοποιηθεί από τον Wolfgang Pauli για να ερευνήσει το φάσμα του υδρογόνου με τη χρήση σύγχρονης κβαντομηχανικής, αλλά όχι την εξίσωση Σρέντινγκερ; από τη δημοσίευσή του Pauli έμεινε γνωστό ως το διάνυσμα Runge-Lenz.

Μαθηματικός ορισμός
-------------------

Για ένα μόνο σωματίδιο κάτω από την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης του αντιστρόφου τετραγώνου που περιγράφεται από την εξίσωση {\displaystyle \mathbf {F} (r)={\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }, το LRL διάνυσμα Α ορίζεται μαθηματικά από τον τύπο 

Σχήμα 1: Το LRL διάνυσμα *'Α* (εμφανίζεται με κόκκινο χρώμα) σε τέσσερα σημεία (με την ένδειξη 1, 2, 3 και 4) στην ελλειπτική τροχιά ενός συνδεδεμένου σωματιδίου σημείο κινείται υπό την επίδραση μιας κεντρικής δύναμης αντίστροφου τετραγώνου. Το κέντρο της έλξης εμφανίζεται ως ένας μικρός μαύρος κύκλος από τον οποίο προέρχονται τα διανύσματα θέσης (επίσης μαύρο). Το διάνυσμα *'L'* της στροφορμής είναι κάθετο στην τροχιά. Τα ομοεπίπεδα διανύσματα p Χ L εμφανίζονται σε μπλε και πράσινο, αντίστοιχα. Ορίζονται οι μεταβλητές αυτές παρακάτω. Το διάνυσμα Α είναι σταθερό σε κατεύθυνση και μέγεθος.
{\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} }

όπου,

* {\displaystyle m\!\,} είναι η μάζα του σημειακού σωματιδίου κινούμενο κάτω από την κεντρική δύναμη
* {\displaystyle \mathbf {p} \!\,} είναι το διάνυσμα της ορμής
* {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} \!\,} είναι η στροφορμή
* {\displaystyle k\!\,} είναι μια παράμετρος που περιγράφει την ισχύ της κεντρικής δύναμης
* {\displaystyle \mathbf {r} \!\,} είναι το διάνυσμα θέσης του σωματιδίου (Σχήμα 1)
* {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} \!\,} είναι το αντίστοιχο μοναδιαίο διάνυσμα, δηλαδή {\displaystyle \mathbf {\hat {r}} ={\frac {\mathbf {r} }{r}}} όπου το *r* είναι το μέγεθος του **r**.

Δεδομένου ότι η υποτιθέμενη δύναμη είναι συντηρητική, η ολική ενέργεια Ε είναι μια σταθερά της κίνησης

{\displaystyle E={\frac {p^{2}}{2m}}-{\frac {k}{r}}={\frac {1}{2}}mv^{2}-{\frac {k}{r}}}
Επιπλέον, η υποτιθέμενη δύναμη είναι μια κεντρική δύναμη, και έτσι η στροφορμή **L**  διατηρείται καθώς και καθορίζει το επίπεδο στο οποίο το σωματίδιο ταξιδεύει. Το LRL διάνυσμα **Α** είναι κάθετο στη στροφορμή **L**, διότι και το **p × L** και το **R** είναι κάθετα στο **L**. Συνεπάγεται ότι το **Α** βρίσκεται στο επίπεδο της τροχιάς.

Αυτός ο ορισμός του LRL διανύσματος **A** αναφέρεται σε ένα μοναδικό σημειακό σωματίδιο μάζας *m* που κινείται υπό την επίδραση μιας σταθερής δύναμης. Ωστόσο, ο ίδιος ορισμός μπορεί να επεκταθεί σε δύο προβλήματα, όπως το πρόβλημα του Κέπλερ, θεωρώντας ως *m* τη μειωμένη μάζα των δύο σωμάτων και **r** ως το διάνυσμα μεταξύ των δύο σωμάτων.

Μία ποικιλία εναλλακτικών τύπων για την ίδια σταθερά της κίνησης μπορούν επίσης να χρησιμοποιηθούν. Η πιο συνηθισμένη είναι η κλίμακα από *mk* για να ορίσει το διάνυσμα εκκεντρικότητας

{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {\mathbf {A} }{mk}}={\frac {1}{mk}}(\mathbf {p} \times \mathbf {L} )-\mathbf {\hat {r}} }

Προέλευση των τροχιών Κέπλερ
----------------------------

Σχήμα 2: Απλοποιημένη εκδοχή του Σχήματος 1, όπου ορίζεται η γωνία θ μεταξύ Α και r σε ένα σημείο της τροχιάς.
Το *σχήμα* και ο *προσανατολισμός* του προβλήματος των τροχιών Κέπλερ μπορεί να προσδιορισθεί από το LRL διάνυσμα ως ακολούθως. [1] Παίρνοντας το εσωτερικό γινόμενο του **Α** με το διάνυσμα θέσεως **r** έχουμε την εξίσωση

{\displaystyle \mathbf {A} \cdot \mathbf {r} =Ar\cos \theta =\mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-mkr}
όπου θ είναι η γωνία μεταξύ και Α (Σχήμα 2). Μετασχηματίζοντας το εσωτερικό γινόμενο τριών διανυσμάτων

{\displaystyle \mathbf {r} \cdot \left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=\left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\cdot \mathbf {L} =\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} =L^{2}}
και αναδιατάσσοντας τις αποδόσεις ο τύπος για μια κωνική τομή

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}

της εκκεντρικότητας *e*

{\displaystyle e={\frac {A}{mk}}={\frac {\left|\mathbf {A} \right|}{mk}}}
και latus rectum

{\displaystyle \left|4p\right|={\frac {2L^{2}}{mk}}}
Ο κύριος ημιάξονας *a* της κωνικής τομής μπορεί να οριστεί χρησιμοποιώντας το latus rectum και την εκκεντρικότητα

{\displaystyle a\left(1\pm e^{2}\right)=2p={\frac {L^{2}}{mk}}}
όπου το σύμβολο μείον αφορά στις ελλείψεις και το σύμβολο συν στις υπερβολές.

Παίρνοντας το γινόμενο του **A** με τον εαυτό του έχουμε μια εξίσωση που αφορά στην ενέργεια *E*

{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}\,}
η οποία μπορεί να ξαναγραφτεί ως προς την εκκεντρικότητας

{\displaystyle e^{2}-1={\frac {2L^{2}}{mk^{2}}}E}
Έτσι, εάν η ενέργεια *E* είναι αρνητική (δεσμευμένες τροχιές), η εκκεντρότητα είναι μικρότερη από το ένα και η τροχιά είναι μία έλλειψη. Αντιστρόφως, αν η ενέργεια είναι θετική (τροχιές χωρίς περιορισμούς, που ονομάζονται επίσης "διάσπαρτες τροχιές»), η εκκεντρότητα είναι μεγαλύτερη από το ένα και η τροχιά είναι μία υπερβολή. Τέλος, αν η ενέργεια είναι ακριβώς μηδέν, η εκκεντρότητα είναι μία και η τροχιά είναι μία παραβολή. Σε όλες τις περιπτώσεις, η κατεύθυνση του **A** βρίσκεται κατά μήκος του άξονα συμμετρίας της κωνικής τομής και τα σημεία από το κέντρο της δύναμης προς την περίαψη, το σημείο της πλησιέστερης προσέγγισης.

---

---

Κυκλικά διαγράμματα της ορμής
-----------------------------

Σχήμα 3: Το διάνυσμα ορμής **p** (με μπλε χρώμα) κινείται σε έναν κύκλο,καθώς το σωματίδιο κινείται σε μια έλλειψη. Τα τέσσερα επισημασμένα σημεία αντιστοιχούν σε εκείνα του σχήματος 1. Ο κύκλος έχει κέντρο στον άξονα *y* στη θέση *Α / L* ( με ροζ χρώμα), και ακτίνα *mk / L* (με πράσινο χρώμα). Η γωνία η καθορίζει την εκκεντρότητα *e* της ελλειπτικής τροχιάς (cos η = *e*). Από το θεώρημα εγγεγραμμένης γωνίας για κύκλους, το η είναι και η γωνία μεταξύ κάθε σημείο του κύκλου και των δύο σημείων τομής με τον άξονα *px*, *px*=±*p0*.
Η διατήρηση του LRL διανύσματος **Α** και της στροφορμής **L** είναι χρήσιμη καθώς δείχνει ότι το διάνυσμα ορμής **p** κινείται σε έναν κύκλο με μια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη.

Λαμβάνοντας το γινόμενο

{\displaystyle mk~{\hat {\mathbf {r} }}=\mathbf {p} \times \mathbf {L} -\mathbf {A} }
με τον εαυτό του δίνει

{\displaystyle (mk)^{2}=A^{2}+p^{2}L^{2}+2\mathbf {L} \cdot (\mathbf {p} \times \mathbf {A} )~.}
Περαιτέρω επιλέγοντας **L** κατά μήκος του *ζ*-άξονα, και τον μεγάλο ημιάξονα ως τον άξονα *χ*, παίρνουμε την εξίσωση τόπου για το **p**,

{\displaystyle p\_{x}^{2}+\left(p\_{y}-A/L\right)^{2}=\left(mk/L\right)^{2}}

Με άλλα λόγια, το διάνυσμα ορμής **p** περιορίζεται σε έναν κύκλο ακτίνας *mk / L* με κέντρο (0, *A / L*). Η εκκεντρότητα *e* αντιστοιχεί στο συνημίτονο της γωνίας η που φαίνεται στο Σχήμα 3. Στο εκφυλισμένο όριο των κυκλικών τροχιών, και ως εκ τούτου εξαφανίζοντας το **Α**, ο κύκλος έχει κέντρο την αρχή των αξόνων (0,0). Για λόγους συντομίας, είναι επίσης χρήσιμο να εισάγουμε την μεταβλητή {\displaystyle p\_{0}={\sqrt {2m\left|E\right|}}}. Αυτό το κυκλικό διάγραμμα ταχύτητας είναι χρήσιμο στην απεικόνιση της συμμετρίας του προβλήματος Κέπλερ.

Σταθερές της κίνησης και υπερ-ολοκληρωσιμότητα
----------------------------------------------

Οι επτά μονοδιάστατες ποσότητες *Ε*, **Α** και **L** (που είναι διανύσματα, οι δύο τελευταίες συνεισφέρουν τρεις διατηρημένες ποσότητες κάθε μία) σχετίζονται με δύο εξισώσεις, **Α** · **L** = 0 και *A2 = m2k2 + 2 m E L2*, δίνοντας πέντε ανεξάρτητες σταθερές κίνησης. Αυτό είναι σύμφωνο με τις έξι αρχικές συνθήκες (αρχική θέση του σωματιδίου και διάνυσμα ταχύτητας, το καθένα με τρεις συνιστώσες) που προσδιορίζουν την τροχιά του σωματιδίου, δεδομένου ότι ο αρχικός χρόνος δεν καθορίζεται από μια συνέχεια της κίνησης. Δεδομένου ότι το μέγεθος του **Α** (και η εκκεντρότητα *e* της τροχιάς) μπορεί να προσδιοριστεί από τη συνολική στροφορμή *L* και την ενέργεια *Ε*, μόνο η *κατεύθυνση* του **Α** διατηρείται ανεξάρτητα. Περαιτέρω, εφόσον το **Α** πρέπει να είναι κάθετο στο **L**, συμβάλλει μόνον μία επιπλέον διατηρημένη ποσότητα.

Ένα μηχανικό σύστημα με *d* βαθμούς ελευθερίας μπορεί να έχει το πολύ 2*d* - 1 σταθερές της κίνησης, δεδομένου ότι υπάρχουν 2*d* αρχικές συνθήκες και ο αρχικός χρόνος δεν μπορεί να προσδιοριστεί από μια σταθερά της κίνησης. Ένα σύστημα με περισσότερες από *d* σταθερές της κίνησης ονομάζεται *υπερ-ολοκληρώσιμο* και ένα σύστημα με 2*d* - 1 σταθερές ονομάζεται μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο. Δεδομένου ότι η λύση της εξίσωσης Hamilton-Jacobi σε ένα σύστημα συντεταγμένων μπορεί να δώσει μόνο *d* σταθερές της κίνησης, τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα πρέπει να να διαχωρισθούν σε περισσότερα από ένα σύστημα συντεταγμένων. Το πρόβλημα Κέπλερ είναι μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμο, δεδομένου ότι έχει τρεις βαθμούς ελευθερίας (*d* = 3), και πέντε ανεξάρτητες σταθερές της κίνησης. Η Hamilton-Jacobi εξίσωση της είναι διαχωρίσιμη τόσο για σφαιρικές συντεταγμένες όσο και για τις παραβολικές συντεταγμένες , όπως περιγράφεται στη συνέχεια.

Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα ακολουθούν κλειστές, μονοδιάστατες τροχιές στον χώρο, καθώς η τροχιά είναι η τομή των επιφανειών που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι σταθερές της κίνησης. Κατά συνέπεια, οι τροχιές είναι κάθετες με όλες τις βαθμίδες όλων αυτών των ανεξάρτητων επιφανειών, πέντε σε αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα, και ως εκ τούτου καθορίζονται από τα συνήθη εξωτερικά γινόμενα όλων αυτών των βαθμίδων Ως εκ τούτου, όλα τα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα περιγράφονται αυτόματα από την μηχανική Nambu,, εναλλακτικά, και ισοδύναμα, από την Χαμιλτονιανή μηχανική. Τα μέγιστα υπερ-ολοκληρώσιμα συστήματα μπορούν να υπολογιστούν χρησιμοποιώντας τις σχέσεις μετατροπής, όπως παρουσιάζεται στη συνέχεια. Ωστόσο, ισόποσα, είναι επίσης υπολογισμένα με το πλαίσιο Nambu, όπως αυτό το κλασσικό πρόβλημα Κέπλερ στο άτομο του υδρογόνου.

Εξέλιξη υπό διαταραγμένα δυναμικά
---------------------------------

Σχήμα 5: Σταδιακή μετάπτωση της ελλειπτική τροχιά, με εκκεντρότητα e = 0,667. Αυτή η μετάπτωση προκύπτει από το πρόβλημα Κέπλερ εάν η κεντρική δύναμη έλξης αποκλίνει ελαφρώς από τον νόμος του αντιστρόφου τετραγώνου. Ο *ρυθμός* της μετάπτωσης μπορεί να υπολογιστεί χρησιμοποιώντας τον τύπο στο κείμενο.
Το Laplace-Runge-Lenz **Α** διατηρείται μόνο για μια τέλεια αντιστρόφως ανάλογη του τετραγώνου κεντρική δύναμη. Σε πιο πρακτικά προβλήματα, όπως η πλανητική κίνηση, ωστόσο, η δυναμική ενέργεια αλληλεπίδρασης μεταξύ δύο σωμάτων δεν είναι ακριβώς ένας νόμος αντιστρόφου τετραγώνου αλλά μπορεί να περιλαμβάνει μια πρόσθετη κεντρική δύναμη,η λεγόμενη *διαταραχή* περιγράφεται από μια δυναμική ενέργεια *h* (*r*). Σε τέτοιες περιπτώσεις, το LRL περιστρέφεται αργά στο επίπεδο της τροχιάς, που αντιστοιχεί σε αργή αψιδωτή εκτροπή της τροχιάς. Παραδεχόμαστε ότι το διαταράσσων δυναμικό *h* (*r*) είναι μια συντηρητική κεντρική δύναμη πράγμα που σημαίνει ότι η ολική ενέργεια *Ε* και η στροφορμή **L** διατηρούνται. Έτσι, η κίνηση εξακολουθεί να βρίσκεται σε ένα επίπεδο κάθετο στο **L** και το μέτρο *Α* διατηρείται από την εξίσωση *A*2 = *m*2*k*2 + 2*mEL*2. Το διαταράσσων δυναμικό *h* (*r*) μπορεί να είναι οποιοδήποτε είδος της λειτουργία, αλλά θα πρέπει να είναι σημαντικά ασθενέστερη από την κύρια αντιστρόφου τετραγώνου δύναμη μεταξύ των δύο φορέων.

Ο *ρυθμός* με τον οποίο περιστρέφεται το LRL διάνυσμα δίνει πληροφορίες σχετικά με το διαταράσσων δυναμικό *h* (*r*). Χρησιμοποιώντας την θεωρία διαταραχών και τις δράσης-γωνίας συντεταγμένες είναι απλό να δείξουμε  ότι το Α περιστρέφεται με ρυθμό

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial L}}\langle h(r)\rangle &=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {1}{T}}\int \_{0}^{T}h(r)\,dt\right\}\\[1em]&=\displaystyle {\frac {\partial }{\partial L}}\left\{{\frac {m}{L^{2}}}\int \_{0}^{2\pi }r^{2}h(r)\,d\theta \right\}.\end{aligned}}}
όπου *Τ* είναι η τροχιακή περίοδος και η ταυτότητα *L* *dt* = *m* *r*2 *dθ* χρησιμοποιήθηκε για να μετατρέψει το ολοκλήρωμα χρόνου σε ένα γωνιακό ολοκλήρωμα (Σχήμα 5). Η έκφραση σε ορθογώνιες παρενθέσεις <*h*(*r*)> αντιπροσωπεύει το διαταράσσων δυναμικό, αλλά κατά μέσο όρο σε μια πλήρη περίοδο, που είναι κατά μέσο όρο πάνω από ένα πλήρη πέρασμα του σώματος γύρω από την τροχιά του. Από μαθηματική άποψη ο μέσος όρος του χρόνου αντιστοιχεί στην ακόλουθη ποσότητα σε αγκύλες. Αυτός ο μέσος όρος βοηθά στην ελαχιστοποίηση των διακυμάνσεων του ρυθμού περιστροφής.

Η προσέγγιση αυτή χρησιμοποιείται για να βοηθήσει στην επαλήθευση της γενικής σχετικότητας του Αϊνστάιν η οποία προσθέτει μια μικρή αντίστροφη κυβικών διαταραχών στην κανονική νευτώνεια βαρυτική δυναμική.

{\displaystyle h(r)={\frac {kL^{2}}{m^{2}c^{2}}}\left({\frac {1}{r^{3}}}\right)}
Εισάγοντας αυτή τη λειτουργία στο ολοκλήρωμα και χρησιμοποιώντας την εξίσωση

{\displaystyle {\frac {1}{r}}={\frac {mk}{L^{2}}}\left(1+{\frac {A}{mk}}\cos \theta \right)}
για να εκφράσουμε το *r* συναρτήση του θ, ο ρυθμός εκτροπή της περίαψης προκαλείται από αυτή την μη-Νευτώνεια διαταραχή υπολογίζεται να είναι 

{\displaystyle {\frac {6\pi k^{2}}{TL^{2}c^{2}}}}
που ταιριάζει με την παρατηρούμενη ανώμαλη εκτροπή του Ερμή  και των πάλσαρ. Αυτή η συμφωνία με το πείραμα θεωρείται ότι είναι ισχυρή ένδειξη για τη γενική σχετικότητα.

Αγκύλες Poisson
---------------

Οι τρεις συνιστώσες *Li* της στροφορμής **L** έχουν τις αγκύλες Poisson 

{\displaystyle \left\{L\_{i},L\_{j}\right\}=\sum \_{s=1}^{3}\epsilon \_{ijs}L\_{s}~,}
όπου *i* = 1,2,3 και εijs είναι ο πλήρως αντισυμμετρικός τανυστής δηλαδή το Levi-Civita σύμβολο. Το άθροισμα του δείκτη *s* χρησιμοποιείται εδώ για να αποφεύγεται η σύγχυση με την παράμετρο δύναμης *k* που ορίζεται παραπάνω. Οι αγκύλες Poisson που εκπροσωπούνται εδώ ως *τετραγωνικές* παρενθέσεις (όχι αγκύλες) τόσο για λόγους συνοχής με τις αναφορές αλλά και επειδή θα πρέπει να ερμηνευθεί ως σχέση κβαντομηχανικής μετατροπής στην επόμενη ενότητα και ως Lie παρένθεση σε μια επόμενη ενότητα.

Όπως αναφέρεται παρακάτω ένα απλοποιημένο Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα **D** μπορεί να οριστεί με τις ίδιες μονάδες ως στροφορμή διαιρώντας το **A** με {\displaystyle p\_{0}={\sqrt {2m|E|}}}
. Οι αγκύλες Poisson του **D** με την στροφορμή **L** μπορεί να γραφεί σε μια παρόμοια μορφή 

{\displaystyle \left\{D\_{i},L\_{j}\right\}=\sum \_{s=1}^{3}\epsilon \_{ijs}D\_{s}~.}
Οι αγκύλες Poisson της **D** με τον εαυτό της εξαρτώνται από το πρόσημο του *Ε*, δηλαδή, από το αν η ολική ενέργεια *Ε* είναι αρνητική (που παράγει κλειστές, ελλειπτικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη) ή θετική (που παράγει ανοικτές, υπερβολικές τροχιές υπό μια αντιστρόφου τετράγωνου κεντρική δύναμη). Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - οι αγκύλες Poisson είναι

{\displaystyle \left\{D\_{i},D\_{j}\right\}=\sum \_{s=1}^{3}\epsilon \_{ijs}L\_{s}~,}
ενώ για τις θετικές ενέργειες, οι αγκύλες Poisson έχουν το αντίθετο πρόσημο,

{\displaystyle \left\{D\_{i},D\_{j}\right\}=-\sum \_{s=1}^{3}\epsilon \_{ijs}L\_{s}~.}
Οι σταθερές Casimir για αρνητικές ενέργειες είναι

{\displaystyle C\_{1}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {D} +\mathbf {L} \cdot \mathbf {L} ={\frac {mk^{2}}{2\left|E\right|}}}
{\displaystyle C\_{2}=\mathbf {D} \cdot \mathbf {L} =0,}
και έχουν μηδενικές αγκύλες Poisson με όλες τις συνιστώσες των **D** και **L**,

{\displaystyle \left\{C\_{1},L\_{i}\right\}=\left\{C\_{1},D\_{i}\right\}=\left\{C\_{2},L\_{i}\right\}=\left\{C\_{2},D\_{i}\right\}=0~.}
Η *C2* είναι τετριμμένα μηδέν, δεδομένου ότι οι δύο διανύσματα είναι πάντα κάθετα.

Ωστόσο,η άλλη σταθερά, *C1*, δεν είναι τετριμένη και εξαρτάται μόνο από τα *m*, *k* και *Ε*. Μετά τον υπολογισμό, αυτή η σταθερά αφήνει αμετάβλητη την ενέργεια ατόμων όμοιων με το υδρογόνο που μπορούν να προκύπτουν με τη χρήση μόνο κβαντομηχανικών σχέσεων μετατροπής, αντί της συμβατικής λύσης της εξίσωσης Σρέντινγκερ.

Κβαντομηχανική του ατόμου του υδρογόνου
---------------------------------------

Σχήμα 6: Τα επίπεδα ενέργειας του ατόμου του υδρογόνου όπως προβλέφθηκαν από τις σχέσεις μετατροπής της στροφορμής και των διανυσματικών τελεστών Laplace-Runge-Lenz.. Αυτά τα επίπεδα ενέργειας έχουν επαληθευτεί πειραματικά.
Οι αγκύλες Poisson παρέχουν έναν απλό οδηγό για τον υπολογισμό των περισσότερων κλασικών συστημάτων: η σχέση μετατροπής των δύο κβαντομηχανικών τελεστών προκύπτει από την αγκύλη Poisson των αντίστοιχων κλασικών μεταβλητών, πολλαπλασιαζόμενη με *iħ* 

Με τη διεξαγωγή αυτού του υπολογισμού και υπολογίζοντας τις ιδιοτιμές του {\displaystyle C\_{1}} τελεστή Casimir για το πρόβλημα του Κέπλερ, ο Wolfgang Pauli ήταν σε θέση να κατανοήσει τα επίπεδα ενέργειας ατόμων όμοιων με το υδρογόνο (Σχήμα 6) και, ως εκ τούτου, το ατομικό φάσμα εκπομπής τους. Αυτό το κομψό δημιούργημα επιτεύχθηκε πριν από την ανάπτυξη της εξίσωσης Σρέντινγκερ.

Η λεπτότητα του κβαντομηχανικού τελεστή για το LRL διάνυσμα **Α** είναι ότι οι τελεστές ορμής και στροφορμής δεν μετακινούνται,ως εκ τούτου, το εξωτερικό γινόμενο των **p** και **L** πρέπει να ορίζεται με προσοχή. Συνήθως, οι τελεστές για τις καρτεσιανές συνιστώσες *As* ορίζονται βάσει ενός συμμετρικού γινομένου,

{\displaystyle A\_{s}=-mk{\hat {r}}\_{s}+{\frac {1}{2}}\sum \_{i=1}^{3}\sum \_{j=1}^{3}\epsilon \_{sij}\left(p\_{i}l\_{j}+l\_{j}p\_{i}\right),}
από το οποίο οι αντίστοιχοι πρόσθετοι κλιμακωτοί τελεστές για το **L** μπορούν να οριστούν,

{\displaystyle J\_{0}=A\_{3}\,}
{\displaystyle J\_{\pm 1}=\mp {\frac {1}{\sqrt {2}}}\left(A\_{1}\pm iA\_{2}\right)~.}
Αυτές περαιτέρω συνδέουν διαφορετικές ιδιοκαταστάσεις της **L**2.

Ένας κανονικοποιημένος σταθερός πρώτος τελεστής Casimir, με κβάντο ανάλογο του παραπάνω, μπορεί επίσης να οριστεί,

{\displaystyle C\_{1}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}}}H^{-1}-I~,}
όπου *Η*−1 είναι το αντίστροφο του Χαμιλτονιανού τελεστή ενέργειας, και το *Ι* είναι ο ταυτοτικός τελεστής.

Εφαρμόζοντας αυτούς τους κλιμακωτούς τελεστές στις ιδιοκαταστάσεις {\displaystyle \left|lmn\right.\rangle } της συνολικής στροφορμής, αζιμουθιακής στροφορμής και τους ενεργειακούς τελεστές, οι ιδιοτιμές του πρώτου τελεστή Casimir *C*1 είναι *n*2 - 1. Είναι αξιοσημείωτο, ότι λόγω του μηδενισμού του *C*2, είναι ανεξάρτητα από τους *l* και *m* κβαντικούς αριθμούς, καθιστώντας τα ενεργειακά επίπεδα εκφυλισμένα.

Ως εκ τούτου, τα επίπεδα της ενέργειας δίνονται από τον τύπο

{\displaystyle E\_{n}=-{\frac {mk^{2}}{2\hbar ^{2}n^{2}}},}
ο οποίος συμπίπτει με τον τύπο Rydberg για άτομα όμοια με το υδρογόνο (Σχήμα 6). Οι πρόσθετοι τελεστές συμμετρίας **Α** έχουν συνδέσει εμμέσως τις διάφορες πολλαπλές *l* μεταξύ τους, για μία δεδομένη ενέργεια (και την *C*1). Στην πραγματικότητα, έχουν διευρύνει την ομάδα SO (3) σε SO (4).

Διατήρηση και συμμετρία
-----------------------

Η διατήρηση του διανύσματος LRL αντιστοιχεί σε μια ανεπαίσθητη συμμετρία του συστήματος. Στην κλασική μηχανική,οι συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες που απεικονίζουν μία τροχιά επί μίας άλλης χωρίς να αλλάζει την ενέργεια του συστήματος. Στην κβαντομηχανική,οι συμμετρίες είναι συνεχείς διαδικασίες, που συνδυάζουν ατομικά τροχιακά της ίδιας ενέργειας, δηλαδή, εκφυλίζουν τα επίπεδα ενέργειας. Μια συντηρημένη ποσότητα είναι συνήθως συνδεδεμένη με αυτές τις συμμετρίες. Για παράδειγμα, κάθε κεντρική δύναμη είναι συμμετρική με την ομάδα περιστροφής SO (3), με αποτέλεσμα τη διατήρηση της στροφορμής **L**. Κλασικά, μια συνολική περιστροφή του συστήματος δεν επηρεάζει την ενέργεια μιας τροχιάς. Από πλευρά κβαντομηχανικής, οι περιστροφές αναμιγνύουν τις σφαιρικές αρμονικές του ίδιου κβαντικού αριθμού *l* χωρίς να να αλλάζουν την ενέργεια.

Σχήμα 7: Η οικογένεια των κυκλικών διαγραμμάτων της ορμής για μια δοθείσα ενέργεια *Ε*. Όλοι οι κύκλοι διέρχονται από τα ίδια δύο σημεία {\displaystyle \pm p\_{0}=\pm {\sqrt {2m\left|E\right|}}} πάνω στον *px* άξονα (βλέπε Σχήμα 3). Αυτή η οικογένεια των διαγραμμάτων αντιστοιχεί σε μία οικογένεια Απολλωνίων κύκλων, και το σ είναι η επιφάνεια που καταλαμβάνουν στον τρισδιάστατο χώρο οι διπολικές συντεταγμένες.
Η συμμετρία για την αντιστρόφου τετραγώνου κεντρική δύναμη είναι μεγαλύτερη και πιο ανεπαίσθητη. Η ιδιόμορφη συμμετρία του προβλήματος Κέπλερ έχει ως αποτέλεσμα τη διατήρηση τόσο του διανύσματος στροφορμής **L** και του LRL διανύσματος **Α** (όπως ορίστηκε ανωτέρω) και, από πλευρά κβαντομηχανικής, διασφαλίζει ότι τα επίπεδα ενέργειας του υδρογόνου δεν εξαρτώνται από τους κβαντικούς αριθμούς στροφορμής *l* και *m*. Η συμμετρία είναι πιο λεπτεπίλεπτη, καθώς η συμμετρία πρέπει να πραγματοποιείται σε έναν μεγαλύτερης διάστασης χώρο. Αυτές οι συμμετρίες συχνά αποκαλούνται "κρυφές συμμετρίες". Κλασικά, η μεγαλύτερη συμμετρία του προβλήματος Κέπλερ επιτρέπει τις συνεχείς εναλλαγές των τροχιών που διατηρούν την ενέργεια, αλλά όχι την στροφορμή. Με άλλα λόγια, οι τροχιές της ίδιας ενέργειας αλλά διαφορετικής στροφορμής (εκκεντρότητας) μπορούν να μετασχηματιστούν συνεχώς η μία στην άλλη. Από πλευρά κβαντομηχανικής, αυτό αντιστοιχεί σε αναμειγμένα τροχιακά που διαφέρουν στους *l* και *m* κβαντικούς αριθμούς, όπως τα *s* (*l* = 0) και *p* (*l* = 1) ατομικά τροχιακά. Η εν λόγω ανάμιξη δεν μπορεί να γίνει με τους συνήθεις τρισδιάστατους μετασχηματισμούς ή τις περιστροφές, αλλά είναι ισοδύναμη με μια περιστροφή σε μια υψηλότερη διάσταση.

Για τις αρνητικές ενέργειες - δηλαδή, για τα εξαρτημένα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (4), η οποία διατηρεί το μήκος των διανυσμάτων τεσσάρων διαστάσεων

{\displaystyle \left|\mathbf {e} \right|^{2}=e\_{1}^{2}+e\_{2}^{2}+e\_{3}^{2}+e\_{4}^{2}}
Το 1935, ο Vladimir Fock έδειξε ότι το περιορισμένο κβαντομηχανικά πρόβλημα Κέπλερ είναι ισοδύναμο με το πρόβλημα ενός ελεύθερου σωματιδίου που περιορίζεται σε μια τρισδιάστατη σφαίρα σε χώρο τεσσάρων διαστάσεων. Συγκεκριμένα, ο Fock έδειξε ότι η κυματοσυνάρτηση Σρέντινγκερ στον χώρο ορμής για το πρόβλημα Κέπλερ ήταν η στερεογραφική προβολή των σφαιρικών αρμονικών στη σφαίρα. Περιστρέφοντας την σφαίρα και παίρνοντας πάλι την προβολή έχουμε ως αποτέλεσμα μια συνεχή αποτύπωση των ελλειπτικών τροχιών χωρίς αλλαγή της ενέργειας. Από πλευρά κβαντομηχανικής, αυτό αντιστοιχεί σε μια ανάμειξη όλων των τροχιακών της ίδιας ενέργειας με κβαντικό αριθμό *n*. Ο Valentine Bargmann πρόσεξε στη συνέχεια ότι οι αγκύλες Poisson για το διάνυσμα στροφορμής **L** και το κλιμακωτό LRL διάνυσμα **D** σχημάτισαν τη άλγεβρα Lie για το SO (4). Με απλά λόγια, οι έξι ποσότητες **D** και **L** αντιστοιχούν στις έξι σταθερές στροφορμές σε τέσσερις διαστάσεις, που συνδέονται με τις έξι πιθανές απλές περιστροφές σε αυτόν τον χώρο (υπάρχουν έξι τρόποι επιλογής δύο αξόνων από τους τέσσερις). Το συμπέρασμα αυτό δεν σημαίνει ότι το σύμπαν μας είναι μια τρισδιάστατη σφαίρα. Αυτό σημαίνει απλώς ότι αυτό το συγκεκριμένο πρόβλημα φυσικής (το πρόβλημα των δύο σωμάτων για τις αντιστρόφως ανάλογες του τετραγώνου κεντρικές δυνάμεις) είναι μαθηματικά ισοδύναμο με ένα ελεύθερο σωματίδιο σε μια τρισδιάστατη σφαίρα.

Για θετικές ενέργειες - δηλαδή, για τα ανεξάρτητα συστήματα - η μεγαλύτερη ομάδα συμμετρία είναι η SO (3,1), η οποία διατηρεί το μήκος Minkowski 4-διανυσμάτων

{\displaystyle ds^{2}=e\_{1}^{2}+e\_{2}^{2}+e\_{3}^{2}-e\_{4}^{2}}
Και οι δύο περιπτώσεις-αρνητικής και θετικής ενέργειας-εξετάστηκαν από τον Fock  και τον Bargmann , και έχουν αξιολογηθεί εγκυκλοπαιδικά από τον Bander και τον Itzykson.

Οι τροχιές των συστημάτων κεντρικών δυνάμεων - και εκείνων του προβλήματος Κέπλερ ιδίως - είναι επίσης συμμετρικές ύστερα από αντικατοπτρισμό. Ως εκ τούτου, οι SO (3), SO (4) και SO (3,1) ομάδες που αναφέρονται παραπάνω δεν είναι οι πλήρεις συμμετρικές ομάδες των τροχιών τους. Οι πλήρεις ομάδες είναι οι Ο (3), Ο (4) και Ο (3, 1), αντίστοιχα. Παρ 'όλα αυτά, μόνο οι συνδεδεμένες υποομάδες, SO (3), SO (4) και SO (3,1), απαιτούνται για να αποδειχθεί η διατήρηση της στροφορμής και των LRL διανυσμάτων. Η αντικατοπτρική συμμετρία δεν επηρεάζει τη διατήρηση, η οποία μπορεί να προέρχεται από την άλγεβρα Lie της ομάδας.

---

---

Περιστροφική συμμετρία σε τέσσερις διαστάσεις
---------------------------------------------

Σχήμα 8: Τα δυναμικά διαγράμματα του σχήματος 7 αντιστοιχούν στα στερεογραφικές προβολές των μεγάλων κύκλων σχετικά με την τρισδιάστατη σφαίρα η μονάδα. Όλοι οι μεγάλοι κύκλοι τέμνουν την ηx άξονα, ο οποίος είναι κάθετος στη σελίδα,η προεξοχή είναι από τον Βόρειο Πόλο ('w' *του* μοναδιαίο διάνυσμα) στην ηx-ηy άξονα,όπως φαίνεται εδώ για την διάγραμμα ματζέντα από τις διακεκομμένες μαύρες γραμμές. Το μεγάλο κύκλο σε α γεωγραφικό πλάτος αντιστοιχεί σε ένα εκκεντρότητα *e* = sin α. Τα χρώματα των μεγάλων κύκλων που εμφανίζονται εδώ αντιστοιχούν σε διαγράμματα στο Σχήμα 7.
Η σχέση μεταξύ του προβλήματος Κέπλερ και τεσσάρων διαστάσεων περιστροφική συμμετρία SO (4) μπορεί να είναι εύκολα ορατό. Έστω τα τεσσάρων διαστάσεων καρτεσιανές συντεταγμένες θα συμβολίζεται (*w*, *x*, *y*, *z*), όπου (*x*, *y*, *z*) αντιπροσωπεύουν την καρτεσιανές συντεταγμένες της κανονικής **r** διάνυσμα θέσης. Το τρισδιάστατο διάνυσμα **p** ορμή συνδέεται με ένα τετραδιάστατο διάνυσμα {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} σε μια τρισδιάστατη σφαίρα μονάδα

{\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\eta }}&=\displaystyle {\frac {p^{2}-p\_{0}^{2}}{p^{2}+p\_{0}^{2}}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {2p\_{0}}{p^{2}+p\_{0}^{2}}}\mathbf {p} \\[1em]&=\displaystyle {\frac {mk-rp\_{0}^{2}}{mk}}\mathbf {\hat {w}} +{\frac {rp\_{0}}{mk}}\mathbf {p} \end{aligned}}}
όπου {\displaystyle \mathbf {\hat {w}} } είναι το διάνυσμα μονάδα κατά μήκος του νέου *w*-άξονα. Η χαρτογράφηση μετασχηματισμός **p** στο **η** μπορεί να είναι μοναδικά ανεστραμμένη? Για παράδειγμα, το *x*-συνιστώσα της ορμής ισούται

{\displaystyle p\_{x}=p\_{0}{\frac {\eta \_{x}}{1-\eta \_{w}}}}
και ομοίως για  *p  y*  και *p  z*. Με άλλα λόγια, το τρισδιάστατο διάνυσμα **p** είναι ένα στερεογραφική προβολή των τεσσάρων διαστάσεων {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} διάνυσμα, με κλίμακα από το *p*0.
Χωρίς εξάλειψη της γενικότητας,μπορούμε να εξαλείψουμε την κανονική περιστροφική συμμετρία επιλέγοντας τους καρτεσιανές συντεταγμένες έτσι ώστε ο άξονας-*z* είναι ευθυγραμμισμένο με το διάνυσμα L γωνιακή ορμή και είναι ευθυγραμμισμένες τα διαγράμματα ορμής που είναι στο Σχήμα 7,με τα κέντρα των κύκλων για την *y*-άξονα. Δεδομένου ότι η κίνηση είναι επίπεδη,και **p** και **L** είναι κάθετες, *pz* = η*z* = 0 και προσοχή μπορεί να περιοριστεί στο τρισδιάστατο διάνυσμα {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} = (η*w*, η*x*, η*y*). Η οικογένεια των Απολλωνίων κύκλων των hodographs ορμής (Σχήμα 7) αντιστοιχεί σε μια οικογένεια των μεγάλων κύκλων σχετικά με την τρισδιάστατο {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}}σφαίρα, τα οποία τέμνουν τον ηx-άξονα στο δύο εστίες *ηx* = ±1, που αντιστοιχεί στην ορμή του hodograph εστίες σε *px* = ±*p*0. Αυτές οι μεγάλες κύκλοι που συνδέονται με μια απλή περιστροφή περί τον άξονα η*x*-axis (Σχήμα 8). Αυτή η περιστροφική συμμετρία μετατρέπει όλες τις τροχιές της ίδιας ενέργειας σε μία άλλη,Ωστόσο, μια τέτοια περιστροφή είναι ορθογώνια προς τις συνήθεις τρισδιάστατες περιστροφές, αφού μετατρέπει την τέταρτη η*w* διάσταση. Αυτή η υψηλότερη συμμετρία είναι χαρακτηριστική του προβλήματος Κέπλερ και αντιστοιχεί στη διατήρηση της LRL διάνυσμα. Ένα κομψό δράση γωνίας λύση μεταβλητές για το πρόβλημα Κέπλερ μπορεί να επιτευχθεί με την εξάλειψη των απολυμένων τεσσάρων διαστάσεων συντεταγμένες {\displaystyle {\boldsymbol {\eta }}} υπέρ των ελλειπτικών κυλινδρικές συντεταγμένες (χ, ψ, φ)

{\displaystyle \eta \_{w}=\mathrm {cn} \,\chi \ \mathrm {cn} \,\psi }
{\displaystyle \eta \_{x}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \cos \phi }
{\displaystyle \eta \_{y}=\mathrm {sn} \,\chi \ \mathrm {dn} \,\psi \ \sin \phi }
{\displaystyle \eta \_{z}=\mathrm {dn} \,\chi \ \mathrm {sn} \,\psi }
όπου sn, cn και dn είναι ελλειπτικά λειτουργίες του Jacobi.

Οι γενικεύσεις σε άλλες δυνατότητες και σχετικότητας
----------------------------------------------------

Το Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα μπορεί επίσης να γενικευθεί για τον εντοπισμό συντηρημένες ποσότητες που ισχύουν σε άλλες καταστάσεις.
Με την παρουσία ενός ηλεκτρικού πεδίου **E**, η συντηρημένη γενικευμένη Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα {\displaystyle {\mathcal {A}}} είναι

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\mathbf {A} +{\frac {mq}{2}}\left[\left(\mathbf {r} \times \mathbf {E} \right)\times \mathbf {r} \right]}
όπου *q* είναι το φορτίο στην τροχιά των σωματιδίων.
Η περαιτέρω γενίκευση της Laplace-Runge-Lenz διάνυσμα για άλλες δυνατότητες και την ειδική θεωρία της σχετικότητας, η πιο γενική μορφή μπορεί να γραφτεί ως

{\displaystyle {\mathcal {A}}=\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left[\xi -u\left({\frac {\partial \xi }{\partial u}}\right)\right]L^{2}\mathbf {\hat {r}} }
όπου *u* = *1/r* (βλ. θεώρημα Bertrand) και ξ = cos θ, με τη γωνία θ ορίζεται από

{\displaystyle \theta =L\int ^{u}{\frac {du}{\sqrt {m^{2}c^{2}\left(\gamma ^{2}-1\right)-L^{2}u^{2}}}}}
και γ είναι ο παράγοντας Lorentz. Όπως και πριν, μπορούμε να αποκτήσουμε μια συντηρημένη binormal διάνυσμα **B** παίρνοντας το γινόμενο με το συντηρημένο διάνυσμα της γωνιακής ορμής

{\displaystyle {\mathcal {B}}=\mathbf {L} \times {\mathcal {A}}}
Αυτές οι δύο φορείς μπορούν ομοίως να συνδυαστούν σε μια διατηρημένη δυαδική τανυστής **W**

{\displaystyle {\mathcal {W}}=\alpha {\mathcal {A}}\otimes {\mathcal {A}}+\beta \,{\mathcal {B}}\otimes {\mathcal {B}}}
Για παράδειγμα,το LRL διάνυσμα για ένα μη-σχετικιστικό, ισοτροπική αρμονικός ταλαντωτής μπορεί να υπολογιστεί. Επειδή η δύναμη είναι κεντρική

{\displaystyle \mathbf {F} (r)=-k\mathbf {r} }
η γωνιακή διάνυσμα ορμή διατηρείται και η κίνηση βρίσκεται σε ένα επίπεδο. Η συντηρημένη δυαδική tensor μπορεί να γραφτεί σε απλή μορφή

{\displaystyle {\mathcal {W}}={\frac {1}{2m}}\mathbf {p} \otimes \mathbf {p} +{\frac {k}{2}}\,\mathbf {r} \otimes \mathbf {r} }
αν και θα πρέπει να σημειωθεί ότι τα ρ και r δεν είναι απαραίτητα κάθετα. Το αντίστοιχο Runge-Lenz διάνυσμα είναι πιο περίπλοκη

{\displaystyle {\mathcal {A}}={\frac {1}{\sqrt {mr^{2}\omega \_{0}A-mr^{2}E+L^{2}}}}\left\{\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)+\left(mr\omega \_{0}A-mrE\right)\mathbf {\hat {r}} \right\}}
όπου {\displaystyle \omega \_{0}={\sqrt {\frac {k}{m}}}}είναι η φυσική συχνότητα ταλάντωσης και {\displaystyle A=(E^{2}-\omega ^{2}L^{2})^{1/2}/\omega }.

Αποδείξεις ότι το διάνυσμα Laplace-Runge-Lenz διατηρείται στα προβλήματα Κέπλερ
-------------------------------------------------------------------------------

Τα παρακάτω είναι τα επιχειρήματα που δείχνουν ότι το LRL διάνυσμα διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεις που υπακούουν σε ένα νόμο του αντιστρόφου τετραγώνου.

### Άμεση απόδειξη της διατήρησης

Μια κεντρική δύναμη {\displaystyle \mathbf {F} } που δρουν στο σωματίδιο είναι

{\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}=f(r){\frac {\mathbf {r} }{r}}=f(r)\mathbf {\hat {r}} }
για κάποια συνάρτηση {\displaystyle f(r)} της ακτίνας r. Δεδομένου ότι η στροφορμή {\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }διατηρείται, υπό την κεντρική δυνάμεων, {\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {L} =0} και

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)={\frac {d\mathbf {p} }{dt}}\times \mathbf {L} =f(r)\mathbf {\hat {r}} \times \left(\mathbf {r} \times m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=f(r){\frac {m}{r}}\left[\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right]}
όπου η δυναμική {\displaystyle \mathbf {p} =m{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}} και όταν το προϊόν τριπλού σταυρού έχει απλοποιηθεί χρησιμοποιώντας τον τύπο του Lagrange

{\displaystyle \mathbf {r} \times \left(\mathbf {r} \times {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)=\mathbf {r} \left(\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}\right)-r^{2}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}}
Η ταυτότητα

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {r} \right)=2\mathbf {r} \cdot {\frac {d\mathbf {r} }{dt}}={\frac {d}{dt}}\left(r^{2}\right)=2r{\frac {dr}{dt}}}
αποδίδει την εξίσωση

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=-mf(r)r^{2}\left[{\frac {1}{r}}{\frac {d\mathbf {r} }{dt}}-{\frac {\mathbf {r} }{r^{2}}}{\frac {dr}{dt}}\right]=-mf(r)r^{2}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)}
Για την ειδική περίπτωση ενός αντίστροφου τετραγώνου κεντρική δύναμη {\displaystyle f(r)={\frac {-k}{r^{2}}}}, αυτό ισούται

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)=mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\mathbf {r} }{r}}\right)={\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)}
Ως εκ τούτου,**A**διατηρείται για αντιστρόφου τετραγώνου κεντρικές δυνάμεις

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {A} ={\frac {d}{dt}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-{\frac {d}{dt}}\left(mk\mathbf {\hat {r}} \right)=\mathbf {0} }
Μία βραχύτερη απόδειξη επιτυγχάνεται χρησιμοποιώντας τη σχέση της στροφορμής με γωνιακή ταχύτητα, {\displaystyle \mathbf {L} =mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}},η οποία ισχύει για ένα σωματίδιο που ταξιδεύει σε ένα επίπεδο κάθετο προς {\displaystyle \mathbf {L} }. Καθορισμός σε αντιστρόφου κεντρική πλατεία δυνάμεις, η χρονική παράγωγος της {\displaystyle \mathbf {p} \times \mathbf {L} } είναι

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\mathbf {p} \times \mathbf {L} =\left({\frac {-k}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} \right)\times \left(mr^{2}{\boldsymbol {\omega }}\right)=mk\,{\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} =mk\,{\frac {d}{dt}}\mathbf {\hat {r}} }
όπου η τελευταία ισότητα ισχύει επειδή το μοναδιαίο διάνυσμα μπορεί να αλλάξει μόνο με περιστροφή, και {\displaystyle {\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {\hat {r}} } είναι η τροχιακή ταχύτητα του περιστρεφόμενου διάνυσμα. Έτσι,**A** φαίνεται να είναι μια διαφορά των δύο διανυσμάτων ίσο με παράγωγα του χρόνου.

Όπως περιγράφεται παρακάτω, αυτό το διάνυσμα LRL **A** είναι μια ειδική περίπτωση ενός γενικού συντηρημένη διάνυσμα {\displaystyle {\mathcal {A}}} που μπορούν να οριστούν για όλες τις κεντρικές δυνάμεις. Ωστόσο, δεδομένου ότι οι περισσότερες κεντρικές δυνάμεις δεν παράγουν κλειστές τροχιές, το ανάλογο διάνυσμα {\displaystyle {\mathcal {A}}} σπάνια έχει έναν απλό ορισμό και είναι γενικά μια πλειότιμη συνάρτηση της γωνίας θ μεταξύ **r** και {\displaystyle {\mathcal {A}}}.

### Hamilton-Jacobi εξίσωση σε παραβολικές συντεταγμένες

Η σταθερότητα του LRL διανύσματος μπορεί επίσης να προέρχεται από το Hamilton-Jacobi εξίσωση στην παραβολικές συντεταγμένες (ξ, η), οι οποίοι ορίζονται από τις εξισώσεις

{\displaystyle \xi =r+x\,}
{\displaystyle \eta =r-x\,}
όπου το *r* αντιπροσωπεύει την ακτίνα στο επίπεδο της τροχιάς

{\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Η αναστροφή αυτών των συντεταγμένων είναι

{\displaystyle x={\frac {1}{2}}\left(\xi -\eta \right)}
{\displaystyle y={\sqrt {\xi \eta }}}
Διαχωρισμός των Hamilton-Jacobi εξίσωση σε αυτές τις συντεταγμένες δίδει τις δύο ισοδύναμων εξισώσεων

{\displaystyle 2\xi p\_{\xi }^{2}-mk-mE\xi =-\Gamma }
{\displaystyle 2\eta p\_{\eta }^{2}-mk-mE\eta =\Gamma }
όπου Γ είναι μια σταθερά της κίνησης. Αφαίρεση και την εκ νέου έκφραση από την άποψη του καρτεσιανού ορμές *px* και *py* Γ δείχνει ότι είναι ισοδύναμο με το διάνυσμα LRL

{\displaystyle \Gamma =p\_{y}\left(xp\_{y}-yp\_{x}\right)-mk{\frac {x}{r}}=A\_{x}}
### Θεώρημα Noether

Η σύνδεση μεταξύ του περιστροφική συμμετρία περιγράφηκε ανωτέρω και η διατήρηση του LRL διανύσματος μπορεί να γίνει ποσοτική με τον τρόπο του θεωρήματος Noether. Αυτό το θεώρημα, το οποίο χρησιμοποιείται για την εύρεση σταθερές της κίνησης,αναφέρει ότι οποιαδήποτε απειροελάχιστη παραλλαγή της γενικευμένες συντεταγμένες ενός φυσικού συστήματος

{\displaystyle \delta q\_{i}=\epsilon g\_{i}(\mathbf {q} ,\mathbf {\dot {q}} ,t)}
που προκαλεί η Lagrangian να διαφέρουν στην πρώτη τάξη με συνολική χρονική παράγωγο

{\displaystyle \delta L=\epsilon {\frac {d}{dt}}G(\mathbf {q} ,t)}
αντιστοιχεί σε μια διατηρημένη ποσότητα Γ

{\displaystyle \Gamma =-G+\sum \_{i}g\_{i}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}\right)}
Ειδικότερα, η διατηρημένη LRL διανυσματική συνιστώσα *As* αντιστοιχεί στη διακύμανση της συντεταγμένες

{\displaystyle \delta x\_{i}={\frac {\epsilon }{2}}\left[2p\_{i}x\_{s}-x\_{i}p\_{s}-\delta \_{is}\left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]}
όπου *i* είναι ίσο με 1, 2 και 3, με *xi* και *pi* είναι τα *i*th-συνιστώσες της θέσης και ορμής διανύσματα **r** και **p**, αντίστοιχα,ως συνήθως, *δis*αντιπροσωπεύει το δέλτα του Kronecker. Το προκύπτον πρώτης τάξης αλλαγή στην λαγκρατζιανές

{\displaystyle \delta L=\epsilon mk{\frac {d}{dt}}\left({\frac {x\_{s}}{r}}\right)}
Υποκατάσταση στο γενικό τύπο για την συντηρημένη ποσότητα Γ δίδει την συντηρημένη συστατικό *As* του φορέως LRL

{\displaystyle A\_{s}=\left[p^{2}x\_{s}-p\_{s}\ \left(\mathbf {r} \cdot \mathbf {p} \right)\right]-mk\left({\frac {x\_{s}}{r}}\right)=\left[\mathbf {p} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {p} \right)\right]\_{s}-mk\left({\frac {x\_{s}}{r}}\right)}
### Μετασχηματισμός Lie

Σχήμα 9: Ο μετασχηματισμός lie από την οποία η διατήρηση του LRL διανύσματος **A** προέρχεται. Καθώς η παράμετρος λ κλιμάκωση ποικίλλει, η ενέργεια και γωνιακή ορμή αλλάζει,αλλά η εκκεντρότητα *e* και το μέγεθος και την κατεύθυνση του **A** δεν αλλάζουν.
Η παραγωγή θεώρημα Noether της διατήρησης του LRL διανύσματος **A** είναι κομψό,αλλά έχει ένα μειονέκτημα: η διακύμανση συντεταγμένων δ*x*i περιλαμβάνει όχι μόνο τη *θέση* **r**, αλλά και την *ορμή* **p** ή, ισοδύναμα, την *ταχύτητα* **v**. Αυτό το μειονέκτημα μπορεί να εξαλειφθεί με την αντί απορρέουν τη διατήρηση του **Α** χρησιμοποιώντας μια προσέγγιση που εγκαινίασε ο Sophus Lie. Συγκεκριμένα, το ένα μπορεί να καθορίζει μια μεταμόρφωση Lie  στην οποία το **r** συντεταγμένες και ο χρόνος *t* κλιμακώνονται από διαφορετικές δυνάμεις μιας παραμέτρου λ (Σχήμα 9)

{\displaystyle t\rightarrow \lambda ^{3}t,\ \mathbf {r} \rightarrow \lambda ^{2}\mathbf {r} ,\ \mathbf {p} \rightarrow {\frac {1}{\lambda }}\mathbf {p} }
Αυτή η μεταμόρφωση αλλάζει τη συνολική γωνιακή *L* ορμή και ενέργεια *Ε*

{\displaystyle L\rightarrow \lambda L,\ E\rightarrow {\frac {1}{\lambda ^{2}}}E}
αλλά διατηρείται *EL2*. Ως εκ τούτου, η εκκεντρότητα *e* και το μέγεθος *Α* σώζονται, όπως μπορεί να φανεί από την εξίσωση για την *A*2]]

{\displaystyle A^{2}=m^{2}k^{2}e^{2}=m^{2}k^{2}+2mEL^{2}}
Η κατεύθυνση Α διατηρείται, καθώς, αφού οι ημιάξονες μεταβάλλονται από μια παγκόσμια κλιμάκωση. Ο μετασχηματισμός αυτός διατηρεί και τρίτο νόμο του Κέπλερ, δηλαδή, ότι η ημιάξονα *a* και *T* περίοδο αποτελούν μια σταθερή *T2/a3*.

Εναλλακτικές διαβαθμίσεις, σύμβολα και μορφοποιήσεις
----------------------------------------------------

Σε αντίθεση με το momentum και το γωνιακό mementum διάνυσμα **p** και **L**,δεν υπάρχει καθολικά αποδεκτός ορισμός του Laplace-Runge-Lenz διανύσματος,οι πολλές διαφορετικές συντελεστές κλίμακας και τα σύμβολα που χρησιμοποιούνται στην επιστημονική βιβλιογραφία. Η πιο κοινή ορισμός που δίνεται παραπάνω, αλλά μια άλλη κοινή εναλλακτική λύση είναι να διαιρέσει από τη συνεχή *mk* να ληφθεί ένα αδιάστατη συντηρημένη διάνυσμα εκκεντρότητας

{\displaystyle \mathbf {e} ={\frac {1}{mk}}\left(\mathbf {p} \times \mathbf {L} \right)-\mathbf {\hat {r}} ={\frac {m}{k}}\left(\mathbf {v} \times \left(\mathbf {r} \times \mathbf {v} \right)\right)-\mathbf {\hat {r}} }
όπου **ν** είναι το διάνυσμα ταχύτητος. Αυτό το κλιμακωτό ηλεκτρονικό διάνυσμα **e** έχει την ίδια κατεύθυνση με **Α** και το μέγεθός του ισούται με την εκκεντρότητα της τροχιάς. Άλλες κλίμακα εκδόσεις είναι επίσης δυνατόν, π.χ. διαιρώντας **A** από *m* μόνο

{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {v} \times \mathbf {L} -k\mathbf {\hat {r}} }
ή από *p*0

{\displaystyle \mathbf {D} ={\frac {\mathbf {A} }{p\_{0}}}={\frac {1}{\sqrt {2m\left|E\right|}}}\left\{\mathbf {p} \times \mathbf {L} -mk\mathbf {\hat {r}} \right\}}
η οποία έχει τις ίδιες μονάδες με τη γωνιακή ορμή διάνυσμα **L**. Σε σπάνιες περιπτώσεις, το πρόσημο του LRL διανύσματος μπορεί να αντιστραφεί, δηλαδή, με κλίμακα από -1. Άλλα κοινά σύμβολα για τον LRL διάνυσμα περιλαμβάνουν **a**, **Ε**, **F**, **J** και **V**. Ωστόσο, η επιλογή της κλιμάκωσης και το σύμβολο για τον LRL διάνυσμα δεν επηρεάζουν τη διατήρησή της.

Σχήμα 4:Το γωνιακό L δυναμικό διάνυσμα, το LRL διάνυσμα **Α** και του διανύσματος του Χάμιλτον, ο binormal **Β**, είναι κάθετες μεταξύ τους,**Α** και **Β** σημείο κατά μήκος του μείζονος και ελάσσονος άξονες, αντίστοιχα, από μια ελλειπτική τροχιά του προβλήματος Κέπλερ.
Ένα εναλλακτικό συντηρημένο διάνυσμα είναι το binormal διάνυσμα **Β** που μελετήθηκε από τον William Rowan Hamilton

{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right)}
η οποία είναι διατηρημένη και τα σημεία κατά μήκος τησ κύριας ημιάξονας της έλλειψης,η LRL διάνυσμα **Α** = **Β** × **L** είναι το γινόμενο του Β και L (Σχήμα 4). Το **Β** διάνυσμα συμβολίζεται ως "binormal» δεδομένου ότι είναι κάθετος προς τα δύο **Α** και **L**. Παρόμοια με τον ίδιο LRL διάνυσμα, το binormal διάνυσμα μπορεί να οριστεί με διαφορετικούς αποσφυροκοπήματα και σύμβολα.

Οι δύο συντηρημένες διανύσματα, **Α** και **Β** μπορούν να συνδυαστούν για να σχηματίσουν μια συντηρημένη δυαδική τανυστής **W**

{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {p} -\left({\frac {mk}{L^{2}r}}\right)\ \left(\mathbf {L} \times \mathbf {r} \right)}
όπου α και β είναι αυθαίρετες σταθερές κλιμάκωση και {\displaystyle \otimes } αντιπροσωπεύει το tensor προϊόν (το οποίο δεν έχει σχέση με το προϊόν πολλαπλής διανύσματος, παρά το παρόμοιο σύμβολο τους). Γράφει σε ρητή συστατικά, αυτή η εξίσωση έχει ως εξής

{\displaystyle W\_{ij}=\alpha A\_{i}A\_{j}+\beta B\_{i}B\_{j}\,}
Όντας κάθετα προς κάθε άλλο, τα διανύσματα **Α** και **Β** μπορεί να θεωρηθεί ως τους κύριους άξονες του τανυστή διατηρημένων **W**, δηλαδή, διαβαθμισμένη ιδιοδιανύσματα της. **W** είναι κάθετο προς **L**

{\displaystyle \mathbf {L} \cdot \mathbf {W} =\alpha \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {A} \right)\mathbf {A} +\beta \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {B} \right)\mathbf {B} =0}
δεδομένου ότι τα **Α** και **Β** είναι και τα δύο κάθετα προς **L**, καθώς, **L** ⋅ **A** = **L** ⋅ **B** = 0. Για λόγους σαφήνειας, η εξίσωση αυτή έχει ρητά τις συνιστώσες

{\displaystyle \left(\mathbf {L} \cdot \mathbf {W} \right)\_{j}=\alpha \left(\sum \_{i=1}^{3}L\_{i}A\_{i}\right)A\_{j}+\beta \left(\sum \_{i=1}^{3}L\_{i}B\_{i}\right)B\_{j}=0}

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3 4 5 6  Goldstein, H. (1980). *Classical Mechanics* (2η έκδοση). Addison Wesley. σελίδες 102–105,421–422.
2. ↑  Arnold, VI (1989). *Mathematical Methods of Classical Mechanics, 2nd ed*. New York: Springer-Verlag. σελ. 38. ISBN 0-387-96890-3.
3. 1 2 3  Pauli, W (1926). «Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quantenmechanik». *Zeitschrift für Physik* **36**: 336–363. doi:10.1007/BF01450175. Bibcode: 1926ZPhy...36..336P.
4. 1 2 3  Fock, V (1935). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms». *Zeitschrift für Physik* **98**: 145–154. doi:10.1007/BF01336904. Bibcode: 1935ZPhy...98..145F.
5. 1 2 3  Bargmann, V (1936). «Zur Theorie des Wasserstoffatoms: Bemerkungen zur gleichnamigen Arbeit von V. Fock». *Zeitschrift für Physik* **99**: 576–582. doi:10.1007/BF01338811. Bibcode: 1936ZPhy...99..576B.
6. 1 2 3  Hamilton, WR (1847). «The hodograph or a new method of expressing in symbolic language the Newtonian law of attraction». *Proceedings of the Royal Irish Academy* **3**: 344–353.
7. 1 2 3  Goldstein, H. (1975). «Prehistory of the Runge–Lenz vector». *American Journal of Physics* **43**: 735–738. doi:10.1119/1.9745. Bibcode: 1975AmJPh..43..737G.   
Goldstein, H. (1976). «More on the prehistory of the Runge–Lenz vector». *American Journal of Physics* **44**: 1123–1124. doi:10.1119/1.10202. Bibcode: 1976AmJPh..44.1123G.
8. 1 2  Hamilton, WR (1847). «Applications of Quaternions to Some Dynamical Questions». *Proceedings of the Royal Irish Academy* **3**: Appendix III.
9. ↑  Fradkin, DM (1967). «Existence of the Dynamic Symmetries O4 and SU3 for All Classical Central Potential Problems». *Progress of Theoretical Physics* **37**: 798–812. doi:10.1143/PTP.37.798. Bibcode: 1967PThPh..37..798F.
10. ↑  Yoshida, T (1987). «Two methods of generalisation of the Laplace–Runge–Lenz vector». *European Journal of Physics* **8**: 258–259. doi:10.1088/0143-0807/8/4/005. Bibcode: 1987EJPh....8..258Y.
11. ↑  Hermann, J (1710). «Unknown title». *Giornale de Letterati D'Italia* **2**: 447–467.   
Hermann, J (1710). «Extrait d'une lettre de M. Herman à M. Bernoulli datée de Padoüe le 12. Juillet 1710». *Histoire de l'academie royale des sciences (Paris)* **1732**: 519–521.
12. ↑  Bernoulli, J (1710). «Extrait de la Réponse de M. Bernoulli à M. Herman datée de Basle le 7. Octobre 1710». *Histoire de l'academie royale des sciences (Paris)* **1732**: 521–544.
13. ↑  Laplace, PS (1799). *Traité de mécanique celeste*. Tome I, Premiere Partie, Livre II, pp.165ff.
14. ↑  Gibbs, J. W.· Wilson, E. B. (1901). *Vector Analysis*. New York: Scribners. σελ. 135.
15. ↑  Evans, NW (1990). «Superintegrability in classical mechanics». *Physical Review A* **41**: 5666–5676. doi:10.1103/PhysRevA.41.5666. Bibcode: 1990PhRvA..41.5666E.
16. ↑  Sommerfeld, A (1923). *Atomic Structure and Spectral Lines*. London: Methuen. σελ. 118.
17. ↑  Landau, L. D.· Lifshitz, E. M. (1976). *Mechanics* (3η έκδοση). Pergamon Press. σελ. 154. ISBN 0-08-021022-8.
18. ↑  Curtright, T; Zachos C (2003). «Classical and Quantum Nambu Mechanics». *Physical Review* **D68**: 085001. doi:10.1103/PhysRevD.68.085001. Bibcode: 2003PhRvD..68h5001C.
19. ↑  Evans, NW (1991). «Group theory of the Smorodinsky–Winternitz system». *Journal of Mathematical Physics* **32**: 3369–3375. doi:10.1063/1.529449. Bibcode: 1991JMP....32.3369E.
20. ↑  Zachos, C; Curtright T (2004). «Branes, quantum Nambu brackets, and the hydrogen atom». *Czech Journal of Physics* **54**: 1393–1398. doi:10.1007/s10582-004-9807-x. Bibcode: 2004CzJPh..54.1393Z.
21. 1 2  Einstein, A (1915). «Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie». *Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften* **1915**: 831–839.
22. ↑  Le Verrier, UJJ (1859). «Lettre de M. Le Verrier à M. Faye sur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de cette Planète». *Comptes Rendus de l'Academie de Sciences (Paris)* **49**: 379–383.
23. ↑  Will, CM (1979). *General Relativity, an Einstein Century Survey* (SW Hawking and W Israel, eds. έκδοση). Cambridge: Cambridge University Press. Chapter 2.
24. ↑  Pais, A. (1982). *Subtle is the Lord: The Science and the Life of Albert Einstein*. Oxford University Press.
25. ↑  Roseveare, NT (1982). *Mercury's Perihelion from Le Verrier to Einstein*. Oxford University Press.
26. 1 2 3  Bohm, A. (1986). *Quantum Mechanics: Foundations and Applications* (2η έκδοση). Springer Verlag. σελίδες 208–222.
27. ↑  Dirac, PAM (1958). *Principles of Quantum Mechanics* (4η έκδοση). Oxford University Press.
28. ↑  Schrödinger, E (1926). «Quantisierung als Eigenwertproblem». *Annalen der Physik* **384**: 361–376. doi:10.1002/andp.19263840404. Bibcode: 1926AnP...384..361S.
29. 1 2  Prince, GE; Eliezer CJ (1981). «On the Lie symmetries of the classical Kepler problem». *Journal of Physics A: Mathematical and General* **14**: 587–596. doi:10.1088/0305-4470/14/3/009. Bibcode: 1981JPhA...14..587P.
30. ↑  Bander, M; Itzykson C (1966). «Group Theory and the Hydrogen Atom (I)». *Reviews of Modern Physics* **38**: 330–345. doi:10.1103/RevModPhys.38.330. Bibcode: 1966RvMP...38..330B.
31. ↑  Bander, M; Itzykson C (1966). «Group Theory and the Hydrogen Atom (II)». *Reviews of Modern Physics* **38**: 346–358. doi:10.1103/RevModPhys.38.346. Bibcode: 1966RvMP...38..346B.