Παραδείγματα ομοιόμορφης διακριτής κατανομής.
Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής.

Διακριτή Ομοιόμορφη Κατανομή| Συμβολισμός | {\displaystyle {\mathsf {U}}\{a,b\}} |
| Παράμετροι | {\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} } με {\displaystyle b\geq a} {\displaystyle n=b-a+1} |
| Φορέας | {\displaystyle x\in \{a,a+1,\ldots ,b\}} |
| Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας | {\displaystyle {\frac {1}{n}}} |
| Μέσος | {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} |
| Διάμεσος | {\displaystyle {\frac {a+b}{2}}} |
| Διακύμανση | {\displaystyle {\frac {n^{2}-1}{12}}} |
| Λοξότητα | {\displaystyle 0} |
| Κύρτωση | {\displaystyle -{\frac {6\cdot (n^{2}+1)}{5\cdot (n^{2}-1)}}-3} |
| Εντροπία | {\displaystyle \log \_{2}n} |
| Πιθανογεννήτρια | {\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {t^{b}-t^{a}}{t-1}}} |
| Χαρακτηριστική | {\displaystyle {\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{e^{t}-1}}} |

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η **διακριτή ομοιόμορφη κατανομή** {\displaystyle {\mathcal {U}}\{a,b\}} είναι μία διακριτή συνάρτηση κατανομής που περιγράφει το αποτέλεσμα της ομοιόμορφης δειγματοληψίας ενός τυχαίου αριθμού από το σύνολο {\displaystyle \{a,a+1,\ldots ,b\}}.

Για παράδειγμα, η ρίψη ενός αμερόληπτου ζαριού μοντελοποιείται ως {\displaystyle {\mathcal {U}}\{1,6\}}, δηλαδή κάθε ένα από αποτελέσματα {\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}} έχουν ίση πιθανότητα ({\displaystyle 1/6}) να βγουν. Αντίστοιχα, το στρίψιμο ενός νομίσματος μπορεί να μοντελοποιηθεί από την {\displaystyle {\mathcal {U}}\{0,1\}} και ο νικητήριος αριθμός του λαχνού.

Ορισμός
-------

Η συνάρτηση μάζας πιθανότητας της {\displaystyle X\sim {\mathcal {U}}\{a,b\}}, δίνεται από την

{\displaystyle p\_{X}(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}}&{\text{αν }}a\leq x\leq b,\\0&{\text{διαφορετικά}}.\end{cases}}}

Μέση τιμή
---------

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]=\sum \_{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot x&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b\cdot (b+1)}{2}}-{\frac {a\cdot (a-1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {b^{2}-a^{2}+b+a}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a)\cdot (b+a+1)}{2}}\right)\\&={\frac {1}{n}}\cdot \left({\frac {(b-a+1)\cdot (b+a)}{2}}\right)\\&={\frac {(b+a)}{2}},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι {\textstyle \sum \_{i=1}^{n}i={\frac {1}{2}}n\cdot (n+1)}.

Διακύμανση
----------

Για να απλοποιήσουμε τον υπολογισμό της διακύμανσης, θα υπολογίσουμε την διακύμανση για την μεταβλητή {\displaystyle Y=X-a+1} και θα χρησιμοποιήσουμε την ιδιότητα,

{\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {V} [X-a+1]=\operatorname {V} [X],}
και τον ορισμό

{\displaystyle \operatorname {V} [Y]=\operatorname {E} [Y^{2}]-(\operatorname {E} [Y])^{2}.}
Χρησιμοποιώντας τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [Y^{2}]=\sum \_{y=1}^{n}{\frac {1}{n}}\cdot y^{2}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1),}
χρησιμοποιώντας ότι {\textstyle \sum \_{i=1}^{n}i^{2}={\frac {1}{6}}n\cdot (n+1)\cdot (2n+1)}. Επομένως,

{\displaystyle \operatorname {V} [Y]={\frac {1}{6}}(n+1)\cdot (2n+1)-{\frac {1}{4}}(n+1)^{2}={\frac {n+1}{2}}\cdot {\frac {n-1}{4}}={\frac {n^{2}-1}{12}}.}

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
-------------------------

Για {\displaystyle t\neq 1}, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\sum \_{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot t^{x}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {t^{b}-t^{a}}{t-1}},}
χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Χαρακτηριστική συνάρτηση
------------------------

Για {\displaystyle t\neq 0}, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tx}]=\sum \_{x=a}^{b}{\frac {1}{n}}\cdot e^{tx}={\frac {1}{n}}\cdot {\frac {e^{tb}-e^{ta}}{e^{t}-1}},}
χρησιμοποιώντας τον τύπο για το άθροισμα των όρων μίας γεωμετρικής προόδου.

Εντροπία
--------

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [-\log \_{2}X]=\sum \_{x=a}^{b}-{\frac {1}{n}}\cdot \log \_{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=-n\cdot {\frac {1}{n}}\cdot \log \_{2}\left({\frac {1}{n}}\right)=\log \_{2}n.}
Αυτή η κατανομή μεγιστοποιεί την εντροπία σε σχέση με όλες τις διακριτές κατανομές σε n στοιχεία.

Δείτε επίσης
------------

* Κατανομή Μπερνούλλι — Ειδική περίπτωση της διακριτής ομοιόμορφης κατανομής με δύο στοιχεία
* Ομοιόμορφη κατανομή (συνεχής) — Συνεχής εκδοχή της ομοιόμορφης κατανομής

Παραπομπές
----------

1. ↑  Λαπατινας, Αθανασιος. «Θεωρητικές κατανομές πιθανότητας» (PDF). Τμήμα Οικονομικών, Πανεπιστήμιο Ιωαννίων. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2023.
2. ↑  Παπαδόπουλος, Γιώργος. «Βασικές διακριτές κατανομές» (PDF). Γεωπονικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2023.
3. ↑  Καρακασίδης, Θεόδωρος. «Ανάλυση Χρονοσειρών και Δεδομένων Περιβαλλοντικών Κινδύνων» (PDF). Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας. Ανακτήθηκε στις 8 Ιουνίου 2023.