Η **τετραγωνική ρίζα του 3** είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 3. Συμβολίζεται με **{\textstyle {\sqrt {3}}}** ή **{\displaystyle 3^{1/2}}**. Ονομάζεται ακριβέστερα η **κύρια τετραγωνική ρίζα του 3** για να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα. Η τετραγωνική ρίζα του 3 είναι ένας άρρητος αριθμός. Είναι επίσης γνωστή ως η **σταθερά του Θεοδώρου**, από τον Θεόδωρο τον Κυρηναίο που απέδειξε την αρρητότητά της.

Έως τον Δεκέμβριο του 2013, η αριθμητική της τιμή είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον δέκα δισεκατομμύρια ψηφία. Η δεκαδική της επέκταση, γραμμένη εδώ σε 60 δεκαδικά ψηφία, δίνεται από την ακολουθία OEIS A002194:

1.732050807568877293527446341505872366942805253810380628055806...
Το κλάσμα **{\textstyle {\frac {97}{56}}}** ( 1.732142857...) μπορεί να χρησιμοποιηθεί ως καλή προσέγγιση. Παρόλο που έχει παρονομαστή μόνο το 56, διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από {\textstyle {\frac {1}{10,000}}} (περίπου {\textstyle 9.2\times 10^{-5}}, με σχετικό σφάλμα {\textstyle 5\times 10^{-5}}). Η στρογγυλοποιημένη τιμή του, **1.732**, έχει σχετικό σφάλμα μόλις 0,01%.

Το κλάσμα {\textstyle {\frac {716,035}{413,403}}} ( 1.73205080756...) έχει σχετικό σφάλμα {\textstyle 1\times 10^{-11}}.

Ο Αρχιμήδης ανέφερε ένα εύρος για την τιμή της: {\textstyle ({\frac {1351}{780}})^{2}>3>({\frac {265}{153}})^{2}}.

Το κατώτερο όριο **{\textstyle {\frac {1351}{780}}}** είναι μια ακριβής προσέγγιση για το **{\displaystyle {\sqrt {3}}}** που διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από {\textstyle {\frac {1}{608,400}}} (έξι δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα {\textstyle 3\times 10^{-7}}) και το ανώτατο όριο **{\textstyle {\frac {265}{153}}}** διαφέρει από τη σωστή τιμή κατά λιγότερο από {\textstyle {\frac {2}{23,409}}} (τέσσερα δεκαδικά ψηφία, σχετικό σφάλμα {\textstyle 1\times 10^{-5}}).

Σχέσεις
-------

Το **{\displaystyle {\sqrt {3}}}** μπορεί να εκφραστεί ως το συνεχές κλάσμα [1; 1, 2, 1, 2, 1, 2, 1, …] (ακολουθία A040001 στην OEIS).

Είναι αλήθεια λοιπόν να πούμε ότι:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{n}={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{bmatrix}}}
οπότε, καθώς {\displaystyle n\to \infty }:

{\displaystyle {\sqrt {3}}=2\cdot {\frac {a\_{22}}{a\_{12}}}-1}.

Γεωμετρία και τριγωνομετρία
---------------------------

Το ύψος ενός ισόπλευρου τριγώνου με μήκος πλευράς 2 είναι ίσο με √3. Επίσης, η πλευρά αυτή είναι η υποτείνουσα ενός τριγώνου 30-60-90 με μήκος 2.Το ύψος ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1 είναι ίσο με √3.

 Η διαγώνιος του μοναδιαίου κύβου είναι √3.
Πρότυπο:Distances between double cube corners.svgΗ τετραγωνική ρίζα του 3 μπορεί να βρεθεί ως το μήκος της καθέτου ενός ισόπλευρου τριγώνου που περιλαμβάνει έναν κύκλο με διάμετρο 1.

Εάν ένα ισόπλευρο τρίγωνο με πλευρές μήκους 1 κοπεί σε δύο ίσα μισά, διχοτομώντας μια εσωτερική γωνία για να σχηματιστεί μια ορθή γωνία στη μία πλευρά, η υποτείνουσα του τριγώνου της ορθής γωνίας έχει μήκος ένα και οι πλευρές του έχουν μήκος **{\textstyle {\frac {1}{2}}}** και **{\textstyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}}**. Από αυτό, {\textstyle \tan {60^{\circ }}={\sqrt {3}}}, {\textstyle \sin {60^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}} και {\textstyle \cos {30^{\circ }}={\frac {\sqrt {3}}{2}}}.

Η τετραγωνική ρίζα του 3 εμφανίζεται επίσης σε αλγεβρικές σχέσεις για διάφορες άλλες τριγωνομετρικές σταθερές, συμπεριλαμβανομένων των ημιτόνων των 3°, 12°, 15°, 21°, 24°, 33°, 39°, 48°, 51°, 57°, 66°, 69°, 75°, 78°, 84° και 87°.

Είναι η απόσταση μεταξύ των παράλληλων πλευρών ενός κανονικού εξαγώνου με πλευρές μήκους 1.

Είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου κύβου.

Άλλες χρήσεις και εμφανίσεις
----------------------------

### Δυναμική μηχανική

Στην δυναμική μηχανική, η τάση μεταξύ δύο φάσεων σε ένα τριφασικό σύστημα είναι ίση με **{\textstyle {\sqrt {3}}}** φορές τη γραμμή προς την ουδέτερη τάση. Αυτό συμβαίνει επειδή οποιεσδήποτε δύο φάσεις απέχουν 120° μεταξύ τους και δύο σημεία σε έναν κύκλο με απόσταση 120 μοιρών χωρίζονται μεταξύ τους με **{\textstyle {\sqrt {3}}}** φορές την ακτίνα (δείτε παραδείγματα γεωμετρίας παραπάνω).

### Ειδικές συναρτήσεις

Είναι γνωστό ότι οι περισσότερες ρίζες της *ν*-οστής παραγώγου της {\displaystyle J\_{\nu }^{(n)}(x)} (όπου n < 18 και {\displaystyle J\_{\nu }(x)} είναι η συνάρτηση Μπέσελ πρώτου τύπου τάξης \nu ) είναι υπερβατικές. Οι μόνες εξαιρέσεις είναι οι αριθμοί {\displaystyle \pm {\sqrt {3}}}, που είναι οι αλγεβρικές ρίζες της {\displaystyle J\_{1}^{(3)}(x)} και της {\displaystyle J\_{0}^{(4)}(x)}.

Δείτε επίσης
------------

* Τετραγωνική ρίζα του 2
* Τετραγωνική ρίζα του 5

Πρότυπο:Algebraic numbers

Βιβλιογραφία
------------

1. ↑  Knorr, Wilbur R. (June 1976). «Archimedes and the measurement of the circle: a new interpretation». *Archive for History of Exact Sciences* **15** (2): 115–140. doi:10.1007/bf00348496. MR 0497462.. Ανακτήθηκε στις November 15, 2022.
2. ↑  Wiseman, Julian D. A. (Ιουνίου 2008). «Sin and Cos in Surds». *JDAWiseman.com*. Ανακτήθηκε στις 15 Νοεμβρίου 2022.
3. ↑  Lorch, Lee; Muldoon, Martin E. (1995). «Transcendentality of zeros of higher dereivatives of functions involving Bessel functions». *International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences* **18** (3): 551–560. doi:10.1155/S0161171295000706.

|  |  |
| --- | --- |
| Commons logoCommons logo | Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα   **Τετραγωνική ρίζα του 3** |

Πρότυπο:Algebraic numbersΠρότυπο:Irrational number