Στα μαθηματικά, το **Φάσμα Μάρκοφ** επινοήθηκε από τον Αντρέι Μάρκοφ, είναι ένα περίπλοκο σύνολο πραγματικών αριθμών που προκύπτουν στη θεωρία της διοφαντικής προσέγγισης, και περιέχει όλους τους πραγματικούς αριθμούς που είναι μεγαλύτεροι από τη *σταθερά του Φράιμαν*.

Περιεχόμενο
-----------

Αρχίζοντας από το θεώρημα του Χούρβιτς στη διοφαντική προσέγγιση, ότι οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός *\xi*  έχει μια αλληλουχία ορθολογικών προσεγγίσεων *m*/*n* με την τάση

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}
είναι δυνατόν να ζητηθεί η κάθε τιμή *1/c* όπου *1/c* ≥ √5 με την ύπαρξη κάποιου *\xi*  για τον οποίο ισχύει

{\displaystyle \left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {c}{n^{2}}}}
ως μια ακολουθία, για την οποία το *c* είναι η καλύτερη δυνατή (μέγιστη) τιμή. Παρόμοια *1/c* συνθέτουν το *φάσμα του Λαγκράνζ*, ένα σύνολο πραγματικών αριθμών με τιμή τουλάχιστον √5 (η οποία είναι η μικρότερη τιμή του φάσματος). Ο υπολογισμός είναι δύσκολος, αλλά παρατηρώντας το σύνολο των *c* βλέπουμε ότι μπορεί να οριστεί ένα όριο ακολουθίας. Για το οποίο, θεωρούμε

{\displaystyle \liminf \_{n\to \infty }n^{2}\left|\xi -{\frac {m}{n}}\right|}
όπου το *m*, σε συνάρτηση με το *n*, επιλέγεται ως ένας ακέραιος τέτοιος ώστε να κάνει τη διαφορά ελάχιστη. Αυτή είναι μια συνάρτηση του *\xi* , όπου το αντίστροφο του φάσματος Λαγκράνζ είναι το εύρος των τιμών που παίρνει σε άρρητους αριθμούς.

Το αρχικό μέρος του φάσματος Λαγκράνζ, δηλαδή το μέρος που βρίσκεται στο διάστημα [√5, 3), συνδέεται με κάποιες δυαδικές τετραγωνικές μορφές που είναι αόριστες (έτσι παράγεται εντός δύο πραγματικών γραμμικών μορφών). Οι πρώτες τιμές είναι √5, √8, √221/5, √1517/13, .... Το φάσμα Μάρκοφ ασχολείται άμεσα με τα φαινόμενα που συνδέονται με αυτές τις τετραγωνικές μορφές.

*Σταθερά του Φράιμαν* είναι το όνομα που δίνεται στο τέλος του τελευταίου διακένου στο φάσμα Λαγκράνζ, δηλαδή:

{\displaystyle F={\frac {2\,221\,564\,096+283\,748{\sqrt {462}}}{491\,993\,569}}=4.5278295661\dots .}
Οι πραγματικοί αριθμοί που είναι μεγαλύτεροι από το *F* είναι επίσης μέλη του φάσματος Μάρκοφ.

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

* Αριθμός Μάρκοφ
* Αριθμός Λαγκράνζ
* Φάσμα Λαγκράνζ

Παραπομπές
----------

1. ↑  Weisstein, Eric W. «Markov Spectrum». MathWorld–A Wolfram Web Resource. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2013. [*νεκρός σύνδεσμος*]
2. ↑  Weisstein, Eric W. «Markov Freiman's Constant». MathWorld–A Wolfram Web Resource. Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2013.
3. ↑  Cusick (1989), Lagrange Spectra.
4. ↑  Cassels (1957), σελ. 18.
5. ↑  Conway (1995), σσ. 188–189.
6. ↑  Sloane, N. J. A. «Sequence A118472». OEIS (The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences). Ανακτήθηκε στις 14 Σεπτεμβρίου 2013.

Βιβλιογραφία
------------

* Cassels, J. W. S. (1957). *An introduction to Diophantine approximation*. Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics. **45**. Cambridge University Press. Zbl 0077.04801.
* Conway, John H.· Guy, Richard K. (1995). *The Book of Numbers*. New York: Springer-Verlag. σελίδες 188–189. ISBN 0-3879-7993-X.
* Cusick, Thomas· Flahive, Mari (1989). *The Markoff and Lagrange spectra*. Math. Surveys and Monographs. **30**. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-1531-8. Zbl 0685.10023.

Εξωτερικοί συνδέσμοι
--------------------

* Hazewinkel, Michiel, επιμ.. (2001), «Markov spectrum problem», *Encyclopedia of Mathematics*, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4,