| Κβαντική μηχανική |
| --- |
| {\displaystyle \sigma \_{x}\sigma \_{p}\geq {\frac {\hbar }{2}}}Αρχή της απροσδιοριστίας |
| * Εισαγωγή
* Ορολογία
* Ιστορία
 |
| Ιστορικό
* Κλασική μηχανική
* Παλαιά κβαντική θεωρία
* Συμβολισμός Bra-ket

* Συμβολή
* Χαμιλτονιανή

 |
| Θεμελιώδη
* Αποσυσχέτιση
* Απροσδιοριστία
* Διεμπλοκή
* Δυισμός
* Ενεργειακό επίπεδο
* Κατάσταση
* Κβαντικός αριθμός
* Κυματοσυνάρτηση (κατάρρευση)
* Μέτρηση
* Μη τοπικότητα
* Συμμετρία
* Συμπληρωματικότητα
* Υπέρθεση
* Φαινόμενο σήραγγας

 |
| Πειράματα
* Ανισότητα Μπελ
* Afshar
* Γάτα του Σρέντινγκερ
* Διπλή σχισμή
* Davisson–Germer
* Elitzur–Vaidman

* Κβαντική διαγραφή (delayed-choice)

* Mach–Zehnder
* Πόπερ
* Stern–Gerlach
* Franck–Hertz
* Wheeler's delayed-choice

 |
| Φορμαλισμοί
* Επισκόπηση

* Heisenberg
* Interaction
* Matrix
* Phase-space
* Schrödinger
* Sum-over-histories (path integral)

 |
| Εξισώσεις
* Κλάιν-Γκόρντον
* Ντιράκ
* Πάουλι
* Rydberg
* Σρέντινγκερ

 |
| Ερμηνείες
* Επισκόπηση

* Κβαντική λογική
* Κοπεγχάγη
* Κρυμμένες μεταβλητές
* Μπεϋζιανή ερμηνεία
* Ντε Μπρολί-Μπομ
* Συνεπής ιστορικά ερμηνεία
* Στατιστική ερμηνεία
* Παράλληλα σύμπαντα
* Αντικειμενική κατάρρευση
* Σχεσιακή
* Στοχαστική
* Συναλλακτική

 |
| Προχωρ. θέματα
* Κβαντικό χάος
* Κβαντικός υπολογιστής
* Μήτρα πυκνότητας
* Κβαντική θεωρία πεδίου
* Κβαντική θεωρία πληροφορίας
* Κλασματική Κβαντική Μηχανική
* Σχετικιστική Κβαντική Μηχανική
* Κβαντική θεωρία σκέδασης
* Κβαντική Στατιστική Μηχανική
 |
| Επιστήμονες
* Αϊνστάιν
* Αχαρόνοφ
* Βάυλ
* Βιν
* Γκλάουμπερ
* Γκουτζβίλερ
* Γουίγκνερ
* Έβερετ
* Έρενφεστ
* Ζέεμαν
* Κάμερλιν
* Κάντλιν
* Κόμπτον
* Κράμερς
* Λαμπ
* Λαντάου
* Λάουε
* Μίλικαν
* Μόσελεϊ
* Μπελ
* Μπλάκετ
* Μπλοχ
* Μπομ
* Μπόους
* Μπορ
* Μπορν
* ντε Μπρέιγ
* Ντέιβισον
* Ντεμπύ
* Ντιράκ
* Πάουλι
* Πλανκ
* Ράμαν
* Ράμπι
* Ρίντμπεργκ
* Σόμμερφελντ
* Σρέντινγκερ
* Τζόρνταν
* Τσέιλινγκερ
* Φάινμαν
* Φέρμι
* Φοκ
* φον Νόιμαν
* Χάιζενμπεργκ
* Χίλμπερτ

 |
| * π
* σ
* ε
 |

Ο συμβολισμός Dirac είν' ένα σύνολο μαθηματικών συμβόλων που χρησιμοποιούνται για τον φορμαλισμό της κβαντομηχανικής. Η βασική υπόθεση της κβαντομηχανικής είναι πως σε κάθε δυναμική κατάσταση αντιστοιχεί ένα διάνυσμα. Τα διανύσματα αυτά ανήκουν σ' έναν γραμμικό (διανυσματικό) χώρο απείρων διαστάσεων έχων εσωτερικό γινόμενο (χώρος Χίλμπερτ). Η μαθηματική περιγραφή της κβαντομηχανικής χρήσει συμβολισμού Dirac είν' ουσιωδώς χρήσει διαφορετικού φορμαλισμού.

Κβαντομηχανική χωρίς συμβολισμό Dirac
-------------------------------------

Στην κβαντομηχανική τ' οποιοδήποτε φυσικό σύστημα περιγράφεται από μια κυματοσυνάρτηση (συνήθως συμβολίζεται με Ψ). Στηn μαθηματική περιγραφή χωρίς συμβολισμό Dirac, η κυματοσυνάρτηση είναι συνάρτηση του χώρου και χρόνου, οπότε συμβολίζεται ως {\displaystyle \Psi ({\vec {r}},t)}. Σημαντικό μέγεθος που παράγεται απ' αυτήν την συνάρτηση είναι τ' ολοκλήρωμα:

{\displaystyle \int \_{K}\Psi ^{\*}\Psi dV}

(Το αστεράκι πάνω δεξιά συμβολίζει την μιγαδική συζυγία.)

Σύμφωνα με τη στατιστική ερμηνεία της κβαντομηχανικής, αυτό τ' ολοκλήρωμα είν' η πιθανότητα ευρέσεως του φυσικού συστήματος εντός (Ευκλείδιου γεωμετρικού) χώρου K. Για κάθε φυσικό μέγεθος υπάρχει στην κβαντομηχανική ο αντίστοιχος τελεστής. Εάν ο τελεστής είν' ο {\displaystyle {\hat {A}}}, τότε το μέγεθος ισούται με το ολοκλήρωμα:

{\displaystyle \int \Psi ^{\*}({\hat {A}}\Psi )dV=\int ({\hat {A}}\Psi )^{\*}\Psi dV}

Μαθηματική σκοπιά του συμβολισμού
---------------------------------

Τα ket συμβολίζονται με {\displaystyle |\psi \rangle }. Ο δυικός του χώρος του χώρου Χίλμπερτ έχει ως διανύσματα τα bra που συμβολίζονται με {\displaystyle \langle \psi |}. Ετσι το εσωτερικό γινόμενο στο χώρο Χίλμπερτ συμβολίζεται ως {\displaystyle \langle \phi |\psi \rangle }
Η σχέση μεταξύ bra και ket είναι αντιγραμμική, δηλαδή

{\displaystyle \left(c\_{1}|\psi \_{1}\rangle +c\_{2}|\psi \_{2}\rangle \right)^{\dagger }=c\_{1}^{\*}\langle \psi \_{1}|+c\_{2}^{\*}\langle \psi \_{2}|.}

(Το στιλέτο πάνω δεξιά συμβολίζει τον ερμιτιανό συζυγή.)

Το ket πολλαπλασιαζόμενο απο δεξιά απο ενα bra σχηματίζει ενα bra-ket (αγκύλη).

Αντιστοιχία συμβολισμού Ντιράκ με τον παλιό συμβολισμό
------------------------------------------------------

Το ket αντιστοιχεί στην κυματοσυνάρτηση, δηλαδή Ψ={\displaystyle |\Psi \rangle }. Το bra αντιστοιχεί στο υπόλοιπο τμήμα του ολοκληρωματος, δηλαδή:

{\displaystyle \langle \Phi |\Psi \rangle =\int \_{K}\Phi ^{\*}\Psi dV}

Η ολοκλήρωση με τελεστή συμβολίζεται ως εξής:

{\displaystyle \langle \Psi |A|\Psi \rangle =\int \Psi ^{\*}(A\Psi )dV=\int (A\Psi )^{\*}\Psi dV}

Αλλαγή της μαθηματικής περιγραφής
---------------------------------

Η παραπάνω μαθηματική αντιστοιχία δεν ισχύει, οι φυσικοί έχουν αλλάξει τη μαθηματική περιγραφή των bra, των ket και των τελεστών. Ο λόγος είναι ότι από φυσική άποψη δεν ενδιαφέρει η μαθηματική περιγραφή αλλά τα αποτελέσματα της θεωρίας. Πιο συγκεκριμένα στη κβαντομηχανική ενδιαφέρουν οι τιμές των τελεστών {\displaystyle \langle \Psi |A|\Psi \rangle }. Οι πράξεις μεταξύ πινάκων είναι πιο εύκολες από τον υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων, οπότε πλέον τα bra και τα ket, από μαθηματική άποψη είναι πίνακες. Ωστόσο, η αντιστοιχία των τελεστών και των κυματοσυναρτήσεων με τους πίνακες δεν είναι απόλυτη και εξαρτάται από το ίδιο το πρόβλημα που περιγράφεται με το συμβολισμό Ντιράκ.

Πηγές
-----

Κυριάκου Ταμβάκη (2003), *Εισαγωγή στην Κβαντομηχανική*