Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Μπερνούλλι για {\displaystyle p=0.2,0.5,0.7}.

Κατανομή Μπερνούλλι| Συμβολισμός | {\displaystyle {\mathsf {Ber}}(p)} |
| Παράμετροι | {\displaystyle p\in [0,1]} |
| Φορέας | {\displaystyle x\in \{0,1\}} |
| Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας | {\displaystyle {\begin{cases}1-p&{\text{αν }}x=0\\p&{\text{αν }}x=1\end{cases}}} |
| Μέσος | p |
| Διάμεσος | {\displaystyle {\begin{cases}0&{\text{αν }}p<1/2,\\\left[0,1\right]&{\text{αν }}p=1/2,\\1&{\text{αν }}p>1/2.\end{cases}}} |
| Διακύμανση | {\displaystyle p\cdot (1-p)} |
| Λοξότητα | {\displaystyle {\frac {1-2p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}} |
| Κύρτωση | {\displaystyle {\frac {1}{p\cdot (1-p)}}-3} |
| Εντροπία | {\displaystyle -p\cdot \log \_{2}p-(1-p)\cdot \log \_{2}(1-p)} |
| Ροπή | {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=p} |
| Ροπογεννήτρια | {\displaystyle p\cdot t+q} |
| Χαρακτηριστική | {\displaystyle p\cdot e^{t}+q} |

  

Η **κατανομή Μπερνούλλι** είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X που παίρνει τιμές {\displaystyle 0} ή 1, δηλαδή {\displaystyle X\in \{0,1\}}. Για {\displaystyle X=1} έχουμε επιτυχία και για {\displaystyle X=0} αποτυχία.
Λέμε ότι η X ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι {\displaystyle {\mathsf {Ber}}(p)} για {\displaystyle p\in [0,1]} αν::18

{\displaystyle \operatorname {P} (X=1)=p} και
{\displaystyle \operatorname {P} (X=0)=q=1-p}.
Το κλασσικό παράδειγμα τυχαίας μεταβλητής που ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με {\displaystyle p=1/2} είναι το στρίψιμο ενός νομίσματος, όπου {\displaystyle X=1} αντιστοιχεί σε *κορώνα* και {\displaystyle X=0} σε *γράμματα*.

Η κατανομή Μπερνούλλι είναι ειδική περίπτωση της διωνυμικής κατανομής με {\displaystyle n=1}.

Αναμενόμενη τιμή
----------------

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=p\cdot 1+(1-p)\cdot 0=p.}

Διακύμανση
----------

Από τον ορισμό της διακύμανσης, έχουμε ότι

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {V} [X]=\operatorname {E} [(X-\operatorname {E} [X])^{2}]&=p\cdot (1-p)^{2}+(1-p)\cdot p^{2}\\&=p\cdot (1-p)\cdot ((1-p)+p)\\&=p\cdot (1-p).\end{aligned}}}

Λοξότητα
--------

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

{\displaystyle \gamma \_{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].}
Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma \_{1}&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sigma }}\right)^{3}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sigma }}\right)^{3}\\&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{3}-(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{3}\\&={\frac {(1-p)^{3/2}}{p^{1/2}}}-{\frac {p^{3/2}}{(1-p)^{1/2}}}\\&={\frac {1-2p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \sigma ={\sqrt {p\cdot (1-p)}}}.

Κύρτωση
-------

Από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sigma }}\right)^{4}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sigma }}\right)^{4}\\&=p\cdot \left({\frac {1-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{4}+(1-p)\cdot \left({\frac {0-p}{\sqrt {p\cdot (1-p)}}}\right)^{4}\\&={\frac {(1-p)^{2}}{p}}+{\frac {p^{2}}{1-p}}\\&={\frac {(1-p)^{3}+p^{3}}{p\cdot (1-p)}}\\&={\frac {1-3p\cdot (1-p)}{p\cdot (1-p)}}\\&={\frac {1}{p\cdot (1-p)}}-3.\end{aligned}}}

Ροπές
-----

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε {\displaystyle k\in \mathbb {N} }:

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=p\cdot 1^{k}+(1-p)\cdot 0^{k}=p.}

Εντροπία
--------

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [-\log \_{2}X]=-p\cdot \log \_{2}p-(1-p)\log \_{2}(1-p).}
Η εντροπία μεγιστοποιείται όταν τα δύο ενδεχόμενα είναι ισοπίθανα, δηλαδή όταν {\displaystyle p=1/2}.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
-------------------------

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle G\_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]=p\cdot t^{1}+(1-p)\cdot t^{0}=p\cdot t+q.}

Χαρακτηριστική συνάρτηση
------------------------

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]=p\cdot e^{t}+(1-p)\cdot e^{0}=p\cdot e^{t}+q.}

Δείτε επίσης
------------

* Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
* Διωνυμική κατανομή

Παραπομπές
----------

1. ↑  Φωτάκης, Δημήτρης. «Πιθανότητες και Αλγόριθμοι» (PDF). Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023.
2. ↑  Χαραλαμπίδης, Χαράλαμπος Α. «Βασικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιον Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023.
3. ↑  Δαμιανού, Χ.· Παπαδάτος, Χ.· Χαραλαμπίδης, Χ.Α. (2003). «Εισαγωγή στις Πιθανότητες και τη Στατιστική» (PDF). Τμήμα Μαθηματικών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023.