Στην θεωρία πιθανοτήτων η **ανισότητα Πέιλι-Ζίγκμουντ** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Paley-Zygmund**) λέει ότι για οποιαδήποτε τυχαία μεταβλητή {\displaystyle X\geq 0} και για οποιοδήποτε {\displaystyle \theta \in [0,1]} έχουμε ότι

{\displaystyle \operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X])\geq (1-\theta )^{2}\cdot {\frac {\operatorname {E} [X]^{2}}{\operatorname {E} [X^{2}]}}.}
Η ανισότητα παίρνει το όνομά της από τον Ρέιμοντ Πέιλι και τον Αντόνι Ζίγκμουντ που δημοσίευσαν την ανισότητα το 1932.

Απόδειξη
--------

Για τις δείκτριες τυχαίες μεταβλητές {\displaystyle \mathbf {1} \_{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}} και {\displaystyle \mathbf {1} \_{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}}, έχουμε ότι

{\displaystyle \mathbf {1} \_{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}+\mathbf {1} \_{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}=1}.
Επομένως, γράφουμε την αναμενόμενη τιμή του X ως

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} \_{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]+\operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} \_{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]}.
Για τον πρώτο όρο, έχουμε από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς ότι


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} \_{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {E} [\mathbf {1} \_{X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]}])^{1/2}=(\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2},} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Για τον δεύτερο όρο, έχουμε ότι {\displaystyle X\cdot \mathbf {1} \_{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]} και επομένως, 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \operatorname {E} [X\cdot \mathbf {1} \_{X\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X]}]\leq \theta \cdot \operatorname {E} [X].} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

Συνδυάζοντας τις (**1**) και (**2**), έχουμε ότι 

{\displaystyle \operatorname {E} [X]\leq (\operatorname {E} [X^{2}])^{1/2}\cdot (\operatorname {P} (X>\theta \cdot \operatorname {E} [X]))^{1/2}+\theta \cdot \operatorname {E} [X]},
αναδιατάσσοντας την οποία λαμβάνουμε τη ζητούμενη ανισότητα.

Επεκτάσεις
----------

Διάφορες επεκτάσεις έχουν προταθεί στην βιβλιογραφία.

Δείτε επίσης
------------

* Ανισότητα Τσουνγκ-Έρντος
* Μέθοδος δεύτερης ροπής

Παραπομπές
----------

1. ↑  Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Ιουλίου 1932). «A note on analytic functions in the unit circle». *Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society* **28** (3): 266–272. doi:https://doi.org/10.1017/S0305004100010112.
2. ↑  Paley, R. E. a. C.; Zygmund, A. (Απριλίου 1932). «On some series of functions, (3)». *Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society* **28** (2): 190–205. doi:https://doi.org/10.1017/S0305004100010860.
3. ↑  Petrov, Valentin V. (1 Αυγούστου 2007). «On lower bounds for tail probabilities». *Journal of Statistical Planning and Inference* **137** (8): 2703–2705. doi:https://doi.org/10.1016/j.jspi.2006.02.015.
4. ↑  Bakas, Odysseas (1 Ιουνίου 2019). «Variants of the Inequalities of Paley and Zygmund». *Journal of Fourier Analysis and Applications* **25** (3): 1113–1133. doi:https://doi.org/10.1007/s00041-018-9605-7.
5. ↑  Chatterjee, Sourav (Ιουλίου 2019). «A general method for lower bounds on fluctuations of random variables». *The Annals of Probability* **47** (4): 2140–2171. doi:https://doi.org/10.1214/18-AOP1304.