Στα μαθηματικά, η **ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς** ή **ανισότητα Κωσύ-Μπουνιακόφσκι-Σβαρτς** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Cauchy-Schwarz** ή **ανισότητα Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz**) δίνει ότι σε οποιοδήποτε πραγματικό ή μιγαδικό διανυσματικό χώρο V και με εσωτερικό γινόμενο {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }, για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}:8:19,28:157:66

{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}
όπου {\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}}, {\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}} και {\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |} η απόλυτη τιμή του {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }. Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα {\displaystyle \mathbf {x} } και {\displaystyle \mathbf {y} } είναι συγγραμικά.

Η ανισότητα ισχύει για κάθε συνάρτηση {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } που ικανοποιεί τις συνθήκες του εσωτερικού γινομένου και επομένως δίνει ως πόρισμα πολλές ανισότητες. Για παράδειγμα, για {\displaystyle V=\mathbb {R} ^{n}} και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο:32:198:83

{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x\_{1}y\_{1}+\ldots +x\_{n}y\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i},}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε {\displaystyle (x\_{1},\ldots ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} και {\displaystyle (y\_{1},\ldots ,y\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ισχύει ότι

{\displaystyle (x\_{1}y\_{1}+\ldots +x\_{n}y\_{n})^{2}\leq (x\_{1}^{2}+\ldots +x\_{n}^{2})\cdot (y\_{1}^{2}+\ldots +y\_{n}^{2}).}

Διατύπωση
---------

Μία συνάρτηση {\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle } είναι εσωτερικό γινόμενο ενός διανυσματικού χώρου V με σώμα {\mathbb {F}} (για {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {R} } ή {\displaystyle \mathbb {F} =\mathbb {C} }), αν ικανοποιεί τις εξής τρεις συνθήκες:

* {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle >0} για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} \in V} με {\displaystyle \mathbf {x} \neq \mathbf {0} }.
* {\displaystyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ={\overline {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle }}} για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}.
* {\displaystyle \langle a\mathbf {x} +b\mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle =a\langle \mathbf {x} ,\mathbf {z} \rangle +b\langle \mathbf {y} ,\mathbf {z} \rangle } για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} ,\mathbf {z} \in V} και {\displaystyle a,b\in \mathbb {F} }.

H ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}

{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ,}
όπου {\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {x} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle }}} και {\displaystyle \textstyle \lVert \mathbf {y} \rVert ={\sqrt {\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle }}} και ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν τα διανύσματα {\displaystyle \mathbf {x} } και {\displaystyle \mathbf {y} } είναι συγγραμικά, δηλαδή {\displaystyle \mathbf {x} =\lambda \mathbf {y} } για κάποιο {\displaystyle \lambda \in \mathbb {F} }.

Απόδειξη
--------

Υπάρχουν πολλές αποδείξεις για αυτή την ανισότητα. Παρακάτω δίνεται μία απόδειξη που δουλεύει μόνο για πραγματικούς χώρους και μία που δουλεύει για κάθε διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο.

### Απόδειξη για πραγματικούς χώρους

Έστω {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in \mathbb {R} ^{n}}. Θεωρούμε το διάνυσμα {\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} } για τυχόν {\displaystyle \lambda \in \mathbb {R} }. Από τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

{\displaystyle \langle \mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} -\lambda \mathbf {y} \rangle \geq 0}.
Επεκτείνοντας το αριστερό μέλος χρησιμοποιώντας τις ιδιότητες του εσωτερικού γινομένου

{\displaystyle {\begin{aligned}0&\leq \langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \lambda \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\lambda \mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}-2\lambda \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\lambda ^{2}\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}.\end{aligned}}}
Όταν {\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert >0} (δηλαδή όταν {\displaystyle \mathbf {y} \neq \mathbf {0} }) τo δεξί μέλος είναι ένα τριώνυμο του \lambda  και για να είναι πάντα μη-αρνητικό πρέπει να έχει διακρίνουσα {\displaystyle \Delta \leq 0}. Επομένως,

{\displaystyle \Delta =4\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle ^{2}-4\cdot \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\leq 0}.
Αναδιατάσσοντας και παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη,

{\displaystyle |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |\leq \lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert },
που είναι η ζητούμενη ανισότητα. Επομένως, μένει να ελέγξουμε την περίπτωση {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} }, η οποία προκύπτει άμεσα καθώς και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν.

### Γενική απόδειξη

Ξεκινάμε με την παρατήρηση ότι για κάθετα διανύσματα {\displaystyle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \in V}, δηλαδή με {\displaystyle \langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle =0}, ισχύει ότι 

{\displaystyle \lVert \mathbf {u} +\mathbf {v} \rVert ^{2}=\langle \mathbf {u} +\mathbf {v} ,\mathbf {u} +\mathbf {v} \rangle =\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {u} ,\mathbf {v} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {v} ,\mathbf {u} \rangle }}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}=\lVert \mathbf {u} \rVert ^{2}+\lVert \mathbf {v} \rVert ^{2}.}
Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς για κάθε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}. Αν {\displaystyle \lVert \mathbf {y} \rVert =0}, τότε {\displaystyle \mathbf {y} =\mathbf {0} } και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι μηδέν, επομένως ισχύει άμεσα. Διαφορετικά, θεωρούμε το διάνυσμα 

{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \in V.}
Αυτό το διάνυσμα είναι κάθετο στο {\displaystyle \mathbf {y} }, καθώς

{\displaystyle {\begin{aligned}\langle \mathbf {z} ,\mathbf {y} \rangle &=\left\langle \mathbf {x} -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} ,\mathbf {y} \right\rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle -\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =0.\end{aligned}}}
Επομένως,


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}=\left\|\mathbf {z} +{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+\left\|{\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} \right\|^{2}=\lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}+{\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\geq {\frac {|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |}{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}.} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ζητούμενη ανισότητα

{\displaystyle \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}\cdot \lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\geq |\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |.}
Επίσης, η ισότητα από την (**1**) ισχύει αν και μόνο αν, {\displaystyle \lVert \mathbf {z} \rVert ^{2}=0} δηλαδή ανν

{\displaystyle \mathbf {z} =\mathbf {0} \Leftrightarrow \mathbf {x} ={\frac {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }{\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}}}\cdot \mathbf {y} },
δηλαδή ανν τα διανύσματα είναι συγγραμικά.

Πορίσματα
---------

### Τριγωνική ανισότητα

Η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς μπορεί να χρησιμοποιηθεί ώστε να αποδείξει την τριγωνική ανισότητα σε χώρους με εσωτερικό γινόμενο. Θεωρούμε {\displaystyle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \in V}, τότε

{\displaystyle {\begin{aligned}\lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}&=\langle \mathbf {x} +\mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} +\mathbf {y} \rangle \\&=\langle \mathbf {x} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {x} \rangle +\langle \mathbf {y} ,\mathbf {y} \rangle \\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle +{\overline {\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle }}+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&=\lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\mathrm {Re} (\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle )+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}\\&\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2|\langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle |+\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2},\end{aligned}}}
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι για κάθε μιγαδικό αριθμό {\displaystyle z\in \mathbb {C} } το πραγματικό του μέρος είναι μικρότερο από την απόλυτη τιμή του, {\displaystyle \mathrm {Re} (z)\leq |z|}.
Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς,

{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert ^{2}\leq \lVert \mathbf {x} \rVert ^{2}+2\lVert \mathbf {x} \rVert \cdot \lVert \mathbf {y} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert ^{2}=(\lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert )^{2}.}
Παίρνοντας την τετραγωνική ρίζα και στα δύο μέλη, καθώς είναι μη-αρνητικά, λαμβάνουμε

{\displaystyle \lVert \mathbf {x} +\mathbf {y} \rVert \leq \lVert \mathbf {x} \rVert +\lVert \mathbf {y} \rVert .}
### Ειδικές περιπτώσεις

#### Ευκλείδειος χώρος

Για το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο

{\displaystyle \textstyle \langle \mathbf {x} ,\mathbf {y} \rangle =x\_{1}y\_{1}+\ldots +x\_{n}y\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i},}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι για κάθε {\displaystyle (x\_{1},\ldots ,x\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} και {\displaystyle (y\_{1},\ldots ,y\_{n})\in \mathbb {R} ^{n}} ισχύει ότι

{\displaystyle (x\_{1}y\_{1}+\ldots +x\_{n}y\_{n})^{2}\leq (x\_{1}^{2}+\ldots +x\_{n}^{2})\cdot (y\_{1}^{2}+\ldots +y\_{n}^{2}).}
#### Ανισότητα με ολοκληρώματα

Για το εσωτερικό γινόμενο δύο συναρτήσεων {\displaystyle f,g} που είναι ολοκληρώσιμες στο {\displaystyle [a,b]} που ορίζεται ως

{\displaystyle \langle f,g\rangle =\int \_{a}^{b}f(x)g(x)\ dx,}
η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι:Ανισότητα (C), σελ. 4

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(x)g(x)\ dx\leq \left(\int \_{a}^{b}f^{2}(x)\ dx\right)\cdot \left(\int \_{a}^{b}g^{2}(x)\ dx\right).}
Η ανισότητα αυτή αναφέρεται ως ανισότητα Μπουνιακοφκι-Σβαρτς.

#### Ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου που λέει ότι για κάθε {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}\in \mathbb {R} \_{+}}

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+\ldots +x\_{n}}{n}}\geq {\sqrt[{n}]{x\_{1}\cdot \ldots \cdot x\_{n}}},}
μπορεί να αποδειχθεί με την χρήση της ανισότητας Κωσύ-Σβρατς.:Θεώρημα 17, σελ.457-459

Εφαρμογές
---------

### Θεωρία πιθανοτήτων

Στην θεωρία πιθανοτήτων, για δύο τυχαίες μεταβλητές {\displaystyle X,Y}, η ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς δίνει ότι:187-188:242:64-65

{\displaystyle (\operatorname {E} (XY))^{2}\leq \operatorname {E} (X^{2})\cdot \operatorname {E} (Y^{2}),}
με την ισότητα να ισχύει αν {\displaystyle \Pr(aX=bY)=1} για κάποια {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }.

Εφαρμόζοντας την ανισότητα αυτή στις τυχαίες μεταβλητές {\displaystyle X'=X-\operatorname {E} (X)} και {\displaystyle Y'=Y-\operatorname {E} (Y)}, λαμβάνουμε ότι ο συντελεστής συσχέτισης ικανοποιεί

{\displaystyle -1\leq \rho (X,Y)\leq 1,}
καθώς

{\displaystyle \rho (X,Y)={\frac {\operatorname {Cov} (X,Y)}{\operatorname {Var} (X)\cdot \operatorname {Var} (Y)}}={\frac {\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))(Y-\operatorname {E} (Y)))}{\operatorname {E} ((X-\operatorname {E} (X))^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y-\operatorname {E} (Y))^{2})}}={\frac {\operatorname {E} (X'Y')}{\operatorname {E} ((X')^{2})\cdot \operatorname {E} ((Y')^{2})}}.}
### Γεωμετρία

Στον Ευκλείδειο χώρο \mathbb{R} ^{2}, για δύο διανύσματα {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\in \mathbb {R} ^{2}} και \theta  την γωνία μεταξύ των δύο διανυσμάτων, ισχύει ότι

{\displaystyle \cos \theta ={\frac {\langle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} \_{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \_{2}\rVert }}}.
Σε {\displaystyle n\geq 3} η γωνία δύο μη μηδενικών διανυσμάτων {\displaystyle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\in \mathbb {R} ^{n}} ορίζεται από τον παραπάνω τύπο. Δηλαδή η γωνία \theta  μεταξύ του {\displaystyle \mathbf {v} \_{1}} και {\displaystyle \mathbf {v} \_{2}} ορίζεται ως

{\displaystyle \theta =\cos ^{-1}\left({\frac {\langle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} \_{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \_{2}\rVert }}\right)}.
Για να έχει νόημα αυτός ο ορισμός, πρέπει

{\displaystyle {\frac {\langle \mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2}\rangle }{\lVert \mathbf {v} \_{1}\rVert \cdot \lVert \mathbf {v} \_{2}\rVert }}\in [-1,1],}
το οποίο προκύπτει από την ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς.

Ιστορία
-------

Η ανισότητα για το \mathbb{R} ^{n} και το ευκλείδειο εσωτερικό γινόμενο εμφανίζεται σε εργασία του Ωγκυστέν-Λουί Κωσύ. Η ανισότητα για τα ολοκληρώματα εμφανίζεται με την μοντέρνα της μορφή σε εργασία του Μπουνιακόφσκι. Η ανισότητα για δύο ολοκληρώματα εμφανίζεται σε εργασία του Χέρμαν Σβαρτς και κάνει χρήση της απόδειξης που γενικεύεται για κάθε πραγματικό διανυσματικό χώρο με εσωτερικό γινόμενο. Διάφορες εργασίες κοιτάνε την ιστορία αυτής της ανισότητας και μελετούν τις γενικεύσεις της.

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3  Steele, J. Michael (2004). *The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities*. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780511817106.
2. 1 2 3  Cowley, S. J. (2010). «Mathematical Tripos: IA Vectors & Matrices» (PDF). Cambridge University. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
3. 1 2  Χαραλάμπους, Χ.· Φωτιάδης, Α. (2015). *Μία εισαγωγή στη γραμμική άλγεβρα για τις θετικές επιστήμες*. Αθήνα: ΣΕΑΒ. ISBN 978-960-603-273-8.
4. ↑  Αναστόπουλος, Χάρις. «Κβαντική Θεωρία» (PDF). Τμήμα Φυσικής, Πανεπιστήμιο Πατρών. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
5. ↑  Kolmogorov, A. N. (1970). *Introductory real analysis*. New York: Dover Publications. ISBN 978-0-486-61226-3.
6. ↑  Zeitz, Paul (1999). *The art and craft of problem solving*. New York: John Wiley. ISBN 0-471-13571-2.
7. 1 2 3  Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). *Classical and new inequalities in analysis*. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.
8. 1 2  Bunyakovsky, Viktor (1859). «Sur quelques inegalités concernant les intégrales aux différences finies». *Mem. Acad. Sci. St. Petersbourg* **7** (1): 6. .
9. 1 2  Cauchy, A.-L. (1821). «Sur les formules qui résultent de l'emploie du signe et sur > ou <, et sur les moyennes entre plusieurs quantités». *Cours d'Analyse, 1er Partie: Analyse Algébrique 1821; OEuvres Ser.2 III 373-377*.
10. ↑  Casella, George· Berger, Roger L. (2002). *Statistical Inference* (2η έκδοση). Cengage Learning. ISBN 978-81-315-0394-2.
11. ↑  Feller, William (1950). *An introduction to probability theory and its applications Volume I* (3η έκδοση). Wiley.
12. ↑  Grimmett, Geoffrey (2001). *Probability and random processes* (3η έκδοση). Oxford: Oxford University Press. ISBN 978-0-19-857222-0.
13. ↑  Κολουντζάκης, Μ. «Βίντεο 2: Ανισότητα Cauchy-Schwarz. Συντελεστής συσχέτισης δύο ΤΜ». Πανεπιστήμιο Κρήτης. Ανακτήθηκε στις 11 Σεπτεμβρίου 2022.
14. ↑  Schwarz, H. A. (1888). «Über ein Flächen kleinsten Flächeninhalts betreffendes Problem der Variationsrechnung». *Acta Societatis Scientiarum Fennicae* **XV**: 318. .
15. ↑  Dragomir, S. S.; Sofo, A. (2008). «On some inequalities of Cauchy-Bunyakovsky type and applications». *Tamkang Journal of Mathematics* **39** (4): 291-301.
16. ↑  Dragomir, S. S. (2003). «A survey on Cauchy-Bunyakovsky-Schwarz type discrete inequalities». *Journal of Inequalities in Pure and Applied Mathematics* **4** (3). .