Διάμεσος {\displaystyle \mathrm {AM} } του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } που αντιστοιχεί στην κορυφή {\displaystyle \mathrm {A} } (και {\displaystyle \mathrm {M} } το μέσο της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }).
Στην γεωμετρία, το **πρώτο θεώρημα διαμέσων** (ή **θεώρημα Απολλωνίου**) ονομάζεται το θεώρημα που σχετίζει τα τετράγωνα των πλευρών ενός τριγώνου και το τετράγωνο της διαμέσου. Πιο συγκεκριμένα,:41:121

**Θεώρημα:** Σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με διάμεσο την {\displaystyle \mathrm {AM} }, ισχύει ότι

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}}.
Το θεώρημα αποτελεί ειδική περίπτωση του θεωρήματος Στιούαρτ.

Απόδειξη
--------

Σχήμα απόδειξης πρώτου θεωρήματος διαμέσων.
Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AMB} } έχουμε ότι 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi }. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Χρησιμοποιώντας τον νόμο των συνημιτόνων στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AM\Gamma } } έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {A\Gamma } ^{2}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {M\Gamma } ^{2}-2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {M\Gamma } \cdot \cos(180^{o}-\phi )}

|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\phantom {\mathrm {A\Gamma } ^{2}}}=\mathrm {AM} ^{2}+\mathrm {MB} ^{2}+2\cdot \mathrm {AM} \cdot \mathrm {MB} \cdot \cos \phi }, | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

καθώς {\displaystyle \mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } }, αφού {\displaystyle \mathrm {M} } το μέσο του {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }.

Προσθέτοντας τις εξισώσεις (**1**) και (**2**), λαμβάνουμε ότι

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+2\mathrm {MB} ^{2}.}
Χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \mathrm {MB} =\mathrm {M\Gamma } ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } } λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση. {\displaystyle \square }

Συνέπειες
---------

Τα μήκη των διαμέσων ενός τριγώνου δίνονται από

{\displaystyle \mu \_{\rm {A}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\beta ^{2}+2\gamma ^{2}-\alpha ^{2}}}},
{\displaystyle \mu \_{\rm {B}}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\gamma ^{2}-\beta ^{2}}}},
{\displaystyle \mu \_{\rm {\Gamma }}={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2\alpha ^{2}+2\beta ^{2}-\gamma ^{2}}}}.
Το Πυθαγόρειο θεώρημα προκύπτει ως συνέπεια του πρώτου θεωρήματος διαμέσων αφού {\displaystyle \mathrm {AM} ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } }, και επομένως

{\displaystyle \mathrm {AB} ^{2}+\mathrm {A\Gamma } ^{2}=2\cdot \mathrm {AM} ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}={\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}+{\frac {1}{2}}\mathrm {B\Gamma } ^{2}=\mathrm {B\Gamma } ^{2}}.

Δείτε επίσης
------------

* Διάμεσος (γεωμετρία)
* Δεύτερο θεώρημα διαμέσων
* Θεώρημα Στιούαρτ
* Νόμος των συνημιτόνων
* Πυθαγόρειο θεώρημα

Παραπομπές
----------

1. ↑  Πανάκης, Ιωάννης (1974). *Μαθηματικά Δ',Ε',ΣΤ' Γυμνασίου Τόμος Δεύτερος*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.
2. 1 2  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα.
3. ↑  Κανελλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεως Διδακτικών Βιβλίων.