Παράδειγμα: 2 τρίγωνα, για να δείξουμε πώς λειτουργεί η μορφοκλασματική συμπίεση
Η **μορφοκλασματική συμπίεση** είναι μία μέθοδος συμπίεσης με απώλειες για ψηφιακές εικόνες, βασισμένη στα φράκταλ. Η μέθοδος είναι καταλληλότερη για υφές και φυσικές εικόνες, βασιζόμενη στο γεγονός ότι τα μέρη μιας εικόνας συχνά μοιάζουν με άλλα μέρη της ίδιας εικόνας. Οι μορφοκλασματικοί αλγόριθμοι μετατρέπουν αυτά τα μέρη σε μαθηματικά δεδομένα που ονομάζονται "κώδικες φράκταλ" και χρησιμοποιούνται για την αναδημιουργία της κωδικοποιημένης εικόνας.

Επαναληπτικά συστήματα συναρτήσεων
----------------------------------

Κύριο άρθρο Επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων

Η αναπαράσταση της κλασματικής εικόνας μπορεί να περιγραφεί μαθηματικά ως ένα σύστημα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (IFS).

### Για δυαδικές εικόνες

Ξεκινάμε με την αναπαράσταση μιας δυαδικής εικόνας, όπου η εικόνα μπορεί να θεωρηθεί ως ένα υποσύνολο του {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}. Ένα IFS είναι ένα σύνολο από απεικονίσεις συστολής *ƒ*1,...*ƒN*,

{\displaystyle f\_{i}:\mathbb {R} ^{2}\to \mathbb {R} ^{2}.}
Σύμφωνα με αυτές τις συναρτησιακές απεικονίσεις, το IFS περιγράφει ένα δισδιάστατο σύνολο *S* ως το σταθερό σημείο του τελεστή Χάτσινσον

{\displaystyle H(A)=\bigcup \_{i=1}^{N}f\_{i}(A),\quad A\subset \mathbb {R} ^{2}.}
Με άλλα λόγια, ο *H* είναι ένας τελεστής που συνδέει σύνολα με σύνολα, και το *S* είναι το μόνο σύνολο που ικανοποιεί το *H*(*S*) = *S*. Η ιδέα είναι να κατασκευαστεί το IFS με τέτοιο τρόπο ώστε αυτό το σύνολο *S* να είναι η δυαδική εικόνα εισόδου. Το σύνολο *S* μπορεί να ανακτηθεί από το IFS με επανάληψη σταθερού σημείου: για οποιοδήποτε αρχικό συμπαγές μη κενό σύνολο *A*0, η επανάληψη *A**k*+1 = *H*(*Ak*) συγκλίνει στο *S*.

Το σύνολο *S* είναι αυτοομοειδές επειδή το *H*(*S*) = *S* συνεπάγεται ότι το *S* είναι ένωση απεικονισμένων αντιγράφων του εαυτού του:

{\displaystyle S=f\_{1}(S)\cup f\_{2}(S)\cup \cdots \cup f\_{N}(S)}
Βλέπουμε λοιπόν ότι το IFS είναι μια μορφοκλασματική αναπαράσταση του *S*.

Επέκταση σε κλίμακα του γκρίζου
-------------------------------

Η αναπαράσταση IFS μπορεί να επεκταθεί σε μια εικόνα σε κλίμακα του γκρι θεωρώντας το γράφημα της εικόνας ως υποσύνολο του {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}. Για μια εικόνα κλίμακας του γκρι *u*(*x*,*y*), θεωρήστε το σύνολο *S* = {(*x*,*y*,*u*(*x*,*y*))}. Τότε, παρόμοια με τη δυαδική περίπτωση, το S περιγράφεται από ένα IFS χρησιμοποιώντας ένα σύνολο απεικονίσεων συστολής *ƒ*1,...*ƒN*, but in {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}},

{\displaystyle f\_{i}:\mathbb {R} ^{3}\to \mathbb {R} ^{3}.}
### Κωδικοποίηση

Ένα δύσκολο πρόβλημα της τρέχουσας έρευνας στην αναπαράσταση των μορφοκλασματικών εικόνων είναι πώς να επιλέξουμε το *ƒ*1,...*ƒN*έτσι ώστε το σταθερό σημείο του να προσεγγίζει την εικόνα εισόδου και πώς να το κάνουμε αυτό αποτελεσματικά.

Μια απλή προσέγγιση για την επίτευξη αυτού του στόχου είναι το ακόλουθο σύστημα κατανεμημένων επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων (PIFS):

1. Διαίρεση του πεδίου εικόνας σε μπλοκ περιοχής *Ri* of size *s*×*s*.
2. Για κάθε *Ri*, αναζητήστε στην εικόνα ένα μπλοκ *Di* μεγέθους 2*s*×2*s* παρόμοιο με το *Ri*.
3. Επιλέγουμε τις συναρτήσεις απεικόνισης έτσι ώστε *H*(*Di*) = *Ri* για κάθε *i*.

Στο δεύτερο βήμα, είναι σημαντικό να βρεθεί ένα παρόμοιο μπλοκ ώστε το IFS να αναπαριστά με ακρίβεια την εικόνα εισόδου, οπότε πρέπει να ληφθεί υπόψιν ένας επαρκής αριθμός υποψήφιων μπλοκ για *Di*. Αφετέρου, μια εκτεταμένη αναζήτηση που λαμβάνει υπόψιν πολλά μπλοκ είναι υπολογιστικά δαπανηρή. Αυτή η δυσχέρεια στην αναζήτηση παρόμοιων μπλοκ εξηγεί γιατί η φράκταλ κωδικοποίηση PIFS είναι πολύ πιο αργή από ό,τι, για παράδειγμα, η αναπαράσταση εικόνας με βάση το DCT και το wavelet.

Ο αρχικός τετραγωνικός διαμερισμός και ο αλγόριθμος ωμής αναζήτησης που παρουσίασε ο Τζακίν παρέχει ένα σημείο εκκίνησης για περαιτέρω έρευνα και επεκτάσεις προς πολλές πιθανές κατευθύνσεις -- διαφορετικούς τρόπους διαμερισμού της εικόνας σε μπλοκ εύρους διαφόρων μεγεθών και σχημάτων, γρήγορες τεχνικές για την ταχεία εύρεση ενός αρκετά κοντινού ταιριαστού μπλοκ πεδίου για κάθε μπλοκ πεδίου αντί της ωμής αναζήτησης, όπως οι αλγόριθμοι γρήγορης εκτίμησης κίνησης, διαφορετικούς τρόπους κωδικοποίησης της αντιστοίχισης από το μπλοκ πεδίου στο μπλοκ πεδίου, κ.λπ.

Άλλοι ερευνητές προσπαθούν να βρουν αλγορίθμους για την αυτόματη κωδικοποίηση μιας αυθαίρετης εικόνας ως RIFS (επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων) ή ως συνολικό IFS, αντί για PIFS, και αλγορίθμους για συμπίεση βίντεο με φράκταλ, συμπεριλαμβανομένων της αντιστάθμισης κίνησης και των τρισδιάστατων επαναλαμβανόμενων συστημάτων συναρτήσεων.

Η συμπίεση μορφοκλασματικών εικόνων παρουσιάζει πολλές ομοιότητες με τη συμπίεση εικόνων διανυσματικής κβάντισης.

Χαρακτηριστικά
--------------

Με την μορφοκλασματική συμπίεση, η κωδικοποίηση είναι εξαιρετικά δαπανηρή από υπολογιστική άποψη λόγω της αναζητήσεως που χρησιμοποιείται για την εύρεση των αυτοομοιώσεων. Η αποκωδικοποίηση, ωστόσο, είναι αρκετά γρήγορη. Ενώ αυτή η ασυμμετρία την καθιστά μέχρι στιγμής μη πρακτική για εφαρμογές πραγματικού χρόνου, όταν το βίντεο αρχειοθετείται για διανομή από αποθήκευση σε δίσκο ή λήψη αρχείων η φράκταλ συμπίεση γίνεται πιο ανταγωνιστική.

Σε συνήθεις αναλογίες συμπίεσης, μέχρι περίπου 50:1, η συμπίεση φράκταλ παρέχει παρόμοια αποτελέσματα με αλγορίθμους που βασίζονται σε DCT, όπως το JPEG. Σε υψηλές αναλογίες συμπίεσης η συμπίεση φράκταλ μπορεί να προσφέρει ανώτερη ποιότητα. Για δορυφορικές εικόνες, έχουν επιτευχθεί αναλογίες πάνω από 170:1 με αποδεκτά αποτελέσματα. Λόγοι συμπίεσης βίντεο με φράκταλ από 25:1-244:1 έχουν επιτευχθεί σε λογικούς χρόνους συμπίεσης (2,4 έως 66 δευτερόλεπτα/καρέ).

Η αποδοτικότητα της συμπίεσης αυξάνεται με την υψηλότερη πολυπλοκότητα της εικόνας και το βάθος χρώματος, σε σύγκριση με τις απλές εικόνες κλίμακας του γκρίζου.

### Αναλυτική ανεξαρτησία και κλίμακα φράκταλ

Ένα χαρακτηριστικό γνώρισμα της μορφοκλασματικής συμπίεσης είναι ότι οι εικόνες γίνονται ανεξάρτητες από την ανάλυση μετά τη μετατροπή τους σε κώδικα φράκταλ. Αυτό συμβαίνει διότι τα συστήματα επαναλαμβανόμενων συναρτήσεων στο συμπιεσμένο αρχείο κλιμακώνονται απεριόριστα. Αυτή η ιδιότητα της απεριόριστης κλιμάκωσης ενός φράκταλ είναι γνωστή ως "μορφοκλασματική κλιμάκωση ".

### Μορφοκλασματική παρεμβολή

Η ανεξαρτησία ανάλυσης μιας εικόνας κωδικοποιημένης με φράκταλ μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την αύξηση της ανάλυσης προβολής μιας εικόνας. Η διαδικασία αυτή είναι επίσης γνωστή ως "μορφοκλασματική παρεμβολή ". Στην παρεμβολή φράκταλ, μια εικόνα κωδικοποιείται σε κώδικες φράκταλ μέσω μορφοκλασματικής συμπίεσης και στη συνέχεια αποσυμπιέζεται σε υψηλότερη ανάλυση. Το αποτέλεσμα είναι μια εικόνα με αναβαθμισμένη δειγματοληψία στην οποία έχουν χρησιμοποιηθεί επαναλαμβανόμενα συστήματα συναρτήσεων ως παρεμβολέας. Η φράκταλ παρεμβολή διατηρεί πολύ καλά τη γεωμετρική λεπτομέρεια σε σύγκριση με τις παραδοσιακές μεθόδους παρεμβολής, όπως η διγραμμική παρεμβολή και η δικυβική παρεμβολή. Ωστόσο, δεδομένου ότι η παρεμβολή δεν μπορεί να αντιστρέψει την εντροπία του Σάνον, καταλήγει να οξύνει την εικόνα προσθέτοντας τυχαία αντί για ουσιαστική λεπτομέρεια. Δεν μπορεί κανείς, για παράδειγμα, να μεγεθύνει μια εικόνα ενός πλήθους όπου το πρόσωπο κάθε ατόμου είναι ένα ή δύο εικονοστοιχεία και να ελπίζει ότι θα τα αναγνωρίσει.

Ιστορία
-------

Ο Μάικλ Μπάρνσλεϊ ηγήθηκε της ανάπτυξης της μορφοκλασματικής συμπίεσης το 1987, και του απονεμήθηκαν διπλώματα ευρεσιτεχνίας για την τεχνολογία αυτή .Ο πιο γνωστός πρακτικός αλγόριθμος μορφοκλασματικής συμπίεσης εφευρέθηκε από τον Μπάρνσλεϊ και τον Άλαν Σλόαν. Ο μεταπτυχιακός φοιτητής του Μπάρνσλεϊ, Αρνό Ζακίν, υλοποίησε τον πρώτο αυτόματο αλγόριθμο σε λογισμικό το 1992 Όλες οι μέθοδοι βασίζονται στον μετασχηματισμό φράκταλ με χρήση επαναληπτικών συστημάτων συναρτήσεων. Ο Μάικλ Μπάρνσλεϊ και ο Άλαν Σλόαν δημιούργησαν το 1987 την Iterated Systems Inc. στην οποία χορηγήθηκαν πάνω από 20 επιπλέον διπλώματα ευρεσιτεχνίας που σχετίζονται με τη μορφοκλασματική συμπίεση.

Μια σημαντική ανακάλυψη για την Iterated Systems Inc. ήταν η αυτόματη διαδικασία μετασχηματισμού φράκταλ, η οποία εξάλειψε την ανάγκη ανθρώπινης παρέμβασης κατά τη συμπίεση, όπως συνέβαινε κατά τους πρώτους πειραματισμούς με την τεχνολογία συμπίεσης φράκταλ. Το 1992, η Iterated Systems Inc. έλαβε κυβερνητική επιδότηση ύψους 2,1 εκατομμυρίων δολαρίων ΗΠΑ για την ανάπτυξη ενός πρωτότυπου τσιπ αποθήκευσης και αποσυμπίεσης ψηφιακών εικόνων με χρήση της τεχνολογίας συμπίεσης εικόνων με μετασχηματισμό φράκταλ.

Η συμπίεση των μορφοκλασματικών εικόνων χρησιμοποιήθηκε σε διάφορες εμπορικές εφαρμογές: το λογισμικό onOne, που αναπτύχθηκε με άδεια χρήσης από την Iterated Systems Inc. το Genuine Fractals 5, το οποίο είναι ένα πρόσθετο του Photoshop που μπορεί να αποθηκεύει αρχεία σε συμπιεσμένη μορφή FIF (Fractal Image Format). Μέχρι σήμερα η πιο επιτυχημένη χρήση της συμπίεσης εικόνων φράκταλ είναι από τη Microsoft στην εγκυκλοπαίδεια πολυμέσων της Ενκάρτα, επίσης με άδεια χρήσης.

Η Iterated Systems Inc. παρείχε έναν κωδικοποιητή λογισμικού shareware (Fractal Imager), έναν αυτόνομο αποκωδικοποιητή, έναν αποκωδικοποιητή plug-in του Netscape και ένα πακέτο ανάπτυξης για χρήση με Windows. Καθώς οι μέθοδοι συμπίεσης εικόνας που βασίζονται στα κυματίδια βελτιώθηκαν και αδειοδοτήθηκαν ευκολότερα από τους προμηθευτές εμπορικού λογισμικού, η υιοθέτηση του Fractal Image Format δεν κατάφερε να εξελιχθεί. Η αναδιανομή του "αποσυμπιεστή DLL" που παρέχεται από το πρόγραμμα ColorBox III SDK διέπονταν από περιοριστικά καθεστώτα αδειοδότησης ανά δίσκο ή ανά έτος για τους προμηθευτές ιδιόκτητου λογισμικού και από ένα διακριτικό καθεστώς που συνεπαγόταν την προώθηση των προϊόντων της Iterated Systems για ορισμένες κατηγορίες άλλων χρηστών[.

Κατά τη διάρκεια της δεκαετίας του 1990, η Iterated Systems Inc. και οι συνεργάτες της δαπάνησαν σημαντικούς πόρους για να φέρουν τη μορφοκλασματική συμπίεση στο βίντεο. Παρόλο που τα αποτελέσματα της συμπίεσης ήταν πολλά υποσχόμενα, το υλικό των υπολογιστών εκείνης της εποχής δεν διέθετε την επεξεργαστική ισχύ για να είναι πρακτική η συμπίεση βίντεο με φράκταλ πέρα από λίγες επιλεγμένες χρήσεις. Για τη συμπίεση ενός μόνο λεπτού βίντεο απαιτούνταν έως και 15 ώρες.

Το ClearVideo - επίσης γνωστό ως RealVideo ("φράκταλ") - και το SoftVideo ήταν πρώιμα προϊόντα συμπίεσης βίντεο με φράκταλ. Το ClearFusion ήταν το ελεύθερα διανεμόμενο πρόσθετο βίντεο ροής της Iterated για προγράμματα περιήγησης στο διαδίκτυο. Το 1994 το SoftVideo παραχωρήθηκε στην Spectrum Holobyte για χρήση στα παιχνίδια CD-ROM της, συμπεριλαμβανομένων των (Σταρ Τρεκ: Η Επόμενη Γενιά) Star Trek: The Next Generation A Final Unity..

Το 1996, η Iterated Systems Inc. ανακοίνωσε μια σύμπραξη με την Mitsubishi Corporation για την προώθηση της ClearVideo στους Ιάπωνες πελάτες της. Το αρχικό πρόγραμμα οδήγησης αποκωδικοποιητή ClearVideo 1.2 εξακολουθεί να υποστηρίζεται από τη Microsoft στο Windows Media Player αν και ο κωδικοποιητής δεν υποστηρίζεται πλέον.

Δύο εταιρείες, η Total Multimedia Inc. και η Dimension, ισχυρίζονται ότι κατέχουν ή έχουν την αποκλειστική άδεια χρήσης της τεχνολογίας βίντεο της Iterated, αλλά καμία από τις δύο δεν έχει ακόμη κυκλοφορήσει ένα λειτουργικό προϊόν. Η τεχνολογική βάση φαίνεται να είναι οι αμερικανικές πατέντες 8639053 και 8351509 της Dimension, οι οποίες έχουν αναλυθεί σημαντικά. Συνοπτικά, πρόκειται για ένα απλό σύστημα αντιγραφής μπλοκ με τετράδεντρα, το οποίο δεν έχει ούτε την αποδοτικότητα εύρους ζώνης ούτε την ποιότητα PSNR των παραδοσιακών κωδικοποιητών που βασίζονται στην DCT. Τον Ιανουάριο του 2016, η TMMI ανακοίνωσε ότι εγκαταλείπει εντελώς την τεχνολογία που βασίζεται στο φράκταλ.

Ερευνητικές εργασίες μεταξύ 1997 και 2007 συζήτησαν πιθανές λύσεις για τη βελτίωση των αλγορίθμων και του υλικού κωδικοποίησης φράκταλ

Δείτε επίσης
------------

* Χαλί του Σιερπίνσκι
* Φτέρη του Μπάρνσλεϊ
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. ↑  May, Mike (1996). «Fractal Image Compression». *American Scientist* **84** (5): 442–451. Bibcode: 1996AmSci..84..442M.
2. 1 2  Fischer, Yuval (1992-08-12). «SIGGRAPH'92 course notes - Fractal Image Compression». Στο: Przemyslaw Prusinkiewicz, επιμ. **Fractals - From Folk Art to Hyperreality**. SIGGRAPH. ACM SIGGRAPH. .
3. ↑  Saupe, Dietmar; Hamzaoui, Raouf (November 1994). «A review of the fractal image compression literature». *ACM SIGGRAPH Computer Graphics* **28** (4): 268–276. doi:10.1145/193234.193246.
4. ↑  Lacroix, Bruno (1999). *Fractal image compression* (Διδακτορική διατριβή). doi:10.22215/etd/1999-04159. OCLC 1103597126.
5. ↑  Fisher, Yuval (2012). *Fractal Image Compression: Theory and Application*. Springer Science & Business Media. σελ. 300. ISBN 978-1-4612-2472-3.
6. ↑  
Henry Xiao.
"Fractal Compression".
2004.
7. ↑  John R. Jensen, *Remote Sensing Textbooks*, University of South Carolina,
8. ↑  Steve Heath (23 Αυγούστου 1999). *Multimedia and communications technology*. Focal Press. σελίδες 120–123. ISBN 978-0-240-51529-8.  Focal Press link
9. ↑  Sayood, Khalid (2006). *Introduction to Data Compression*. Elsevier. σελίδες 560–569. ISBN 978-0-12-620862-7.
10. ↑  Wee Meng Woon· Anthony Tung Shuen Ho· Tao Yu· Siu Chung Tam· Siong Chai Tan· Lian Teck Yap (2000). «Achieving high data compression of self-similar satellite images using fractal». *IGARSS 2000. IEEE 2000 International Geoscience and Remote Sensing Symposium. Taking the Pulse of the Planet: The Role of Remote Sensing in Managing the Environment. Proceedings (Cat. No.00CH37120)*. **2**. σελίδες 609–611. doi:10.1109/IGARSS.2000.861646. ISBN 0-7803-6359-0.
11. ↑  Fisher, Y. (July 1995). «Fractal encoding of video sequences». Fractal image encoding and analysis. Trondheim.
12. ↑  Walking, Talking Web Αρχειοθετήθηκε 2008-01-06 στο Wayback Machine. Byte Magazine article on fractal compression/resolution independence
13. ↑  He, Chuan-jiang; Li, Gao-ping; Shen, Xiao-na (May 2007). «Interpolation decoding method with variable parameters for fractal image compression». *Chaos, Solitons & Fractals* **32** (4): 1429–1439. doi:10.1016/j.chaos.2005.11.058. Bibcode: 2007CSF....32.1429H.
14. ↑  Navascués, M. A.; Sebastián, M. V. (2006). «Smooth fractal interpolation». *Journal of Inequalities and Applications* **2006**: 1–20. doi:10.1155/JIA/2006/78734.
15. ↑  Uemura, Satoshi; Haseyama, Miki; Kitajima, Hideo (28 January 2003). «EFIFを用いた自己アフィンフラクタル図形の拡大処理に関する考察» (στα ja). *IEICE Technical Report* **102** (630): 95–100. doi:10.11485/itetr.27.9.0\_95.
16. ↑  Kuroda, Hideo; Hu, Xiaotong; Fujimura, Makoto (1 February 2003). «フラクタル画像符号化におけるスケーリングファクタに関する考察» (στα ja). *The Transactions of the Institute of Electronics, Information and Communication Engineers* **86** (2): 359–363.
17. ↑  U.S. Patent 4.941.193
 –  Barnsley and Sloan's first iterated function system patent, filed in October 1987
18. ↑  Using Fractal Coding to Index Image Content for a Digital Library Tech report
19. ↑  Jacquin, A.E. (1992). «Image coding based on a fractal theory of iterated contractive image transformations». *IEEE Transactions on Image Processing* **1** (1): 18–30. doi:10.1109/83.128028. PMID 18296137. Bibcode: 1992ITIP....1...18J.
20. ↑  Iterated Systems Inc. changed its name to MediaBin Inc. Inc. in 2001 and in turn was bought out by Interwoven, Inc. in 2003)
21. ↑  NIST SP950-3, "Capturing and Integrating Patient Healthcare Information to Improve Accessibility"; see page 36, "MediaBin Fractal-Based Technology to Compress Digital Image Files" Αρχειοθετήθηκε 2015-09-23 στο Wayback Machine.
22. ↑  Genuine Fractals Product Review
23. ↑  «MAW 1998: Theme Essay». *www.mathaware.org*. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 31 Αυγούστου 2016. Ανακτήθηκε στις 18 Απριλίου 2018.
24. ↑  Aitken, William (May 1994). «The big squeeze». *Personal Computer World*.
25. ↑  1994 Manual specifying on page 11 SoftVideo under license to Spectrum Holobyte
26. ↑  Iterated Systems (29 October 1996). *Mitsubishi Corporation Inks Agreement With Iterated Systems*. Δελτίο τύπου.
27. ↑  «Windows Media Player for Windows XP Supported Codecs». 31 Οκτωβρίου 2003. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 28 Οκτωβρίου 2004.
28. ↑  «April - 2014 - Due Diligence Study of Fractal Video Technology». *paulschlessinger.wordpress.com*. Ανακτήθηκε στις 18 Απριλίου 2018.
29. ↑  Kominek, John (1 June 1997). «Advances in fractal compression for multimedia applications». *Multimedia Systems* **5** (4): 255–270. doi:10.1007/s005300050059.
30. ↑  Harada, Masaki· Kimoto, Tadahiko· Fujii, Toshiaki· Tanimoto, Masayuki (2000). «Fast calculation of IFS parameters for fractal image coding». Στο: Ngan, King N· Sikora, Thomas· Sun, Ming-Ting. *Visual Communications and Image Processing 2000*. **4067**. σελίδες 457–464. Bibcode:2000SPIE.4067..457H. doi:10.1117/12.386580.
31. ↑  Rajkumar, Wathap Sapankumar· Kulkarni, M.V.· Dhore, M.L.· Mali, S.N. (2006). «Fractal image compression performance synthesis through HV partitioning». *2006 International Conference on Advanced Computing and Communications*. σελίδες 636–637. doi:10.1109/ADCOM.2006.4289976. ISBN 978-1-4244-0715-6.
32. ↑  Simple and Fast Fractal Image Compression Circuits, Signals, and Systems - 2003
33. ↑  Wu, Ming-Sheng; Jeng, Jyh-Horng; Hsieh, Jer-Guang (June 2007). «Schema genetic algorithm for fractal image compression». *Engineering Applications of Artificial Intelligence* **20** (4): 531–538. doi:10.1016/j.engappai.2006.08.005.
34. ↑  Wu, Xianwei; Jackson, David Jeff; Chen, Hui-Chuan (September 2005). «A fast fractal image encoding method based on intelligent search of standard deviation». *Computers & Electrical Engineering* **31** (6): 402–421. doi:10.1016/j.compeleceng.2005.02.003.
35. ↑  Wu, Xianwei; Jackson, David Jeff; Chen, Hui-Chuan (2005). «Novel fractal image-encoding algorithm based on a full-binary-tree searchless iterated function system». *Optical Engineering* **44** (10): 107002. doi:10.1117/1.2076828. Bibcode: 2005OptEn..44j7002W.
36. ↑  Truong, Trieu-Kien· Jeng, Jyh H. (2000). «Fast classification method for fractal image compression». Στο: Schmalz, Mark S. *Mathematics and Applications of Data/Image Coding, Compression, and Encryption III*. *Mathematics and Applications of Data/Image Coding*. **4122**. σελίδες 190–193. Bibcode:2000SPIE.4122..190T. doi:10.1117/12.409247.
37. ↑  Erra, Ugo (2005). «Toward Real Time Fractal Image Compression Using Graphics Hardware». *Advances in Visual Computing*. Lecture Notes in Computer Science. **3804**. σελίδες 723–728. doi:10.1007/11595755\_92. hdl:11563/14075. ISBN 978-3-540-30750-1.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |