Στα μαθηματικά, η **συνάρτηση διάστασης** αποτελεί εργαλείο στη μελέτη των φράκταλ και άλλων υποσυνόλων των μετρικών χώρων. Οι συναρτήσεις διάστασης είναι μια γενίκευση του απλού νόμου δύναμης "διάμετρος προς διάσταση "που χρησιμοποιείται στην κατασκευή του s-διάστατου μέτρου Χάουσντορφ.

Κίνητρο: s-διάστατο μέτρο Χάουστορφ
-----------------------------------

Κύριο άρθρο: Διάσταση Χάουσντορφ

Ας υποθέσουμε έναν μετρικό χώρο (*X*, *d*) και ένα υποσύνολο *E* του *X*. Δεδομένου ενός αριθμού *s* ≥ 0, το *s*-διάστατο μέτρο Χάουστορφ του *E*, που συμβολίζεται*s* ≥ 0 ορίζεται ως εξής

{\displaystyle \mu ^{s}(E)=\lim \_{\delta \to 0}\mu \_{\delta }^{s}(E),}
όπου

{\displaystyle \mu \_{\delta }^{s}(E)=\inf \left\{\left.\sum \_{i=1}^{\infty }\mathrm {diam} (C\_{i})^{s}\right|\mathrm {diam} (C\_{i})\leq \delta ,\bigcup \_{i=1}^{\infty }C\_{i}\supseteq E\right\}.}
Το *μ**δ**s*(*E*) μπορεί να θεωρηθεί ως μια προσέγγιση του "πραγματικού" *s*-διάστατου εμβαδού/όγκου του E που δίνεται από τον υπολογισμό του ελάχιστου s-διάστατου εμβαδού/όγκου μιας κάλυψης του *E* από σύνολα με διάμετρο το πολύ *δ*.

Ως αύξουσα συνάρτηση του *s*, *μ**s*(*E*) είναι μη αύξουσα. Στην πραγματικότητα, για όλες τις τιμές του *s* εκτός ίσως από μία, *H**s*(*E*) είναι είτε 0 είτε +∞- αυτή η εξαιρετική τιμή ονομάζεται διάσταση Χάουσντορφ της *E*, που σημειώνεται εδώ dimH(*E*). Ενδεχομένως, *μ**s*(*E*) = +∞ για *s* < dimH(*E*) για τον ίδιο λόγο που το μονοδιάστατο γραμμικό μήκος ενός δισδιάστατου δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι +∞- ομοίως, *μ**s*(*E*) = 0 για *s* > dimH(*E*) για τον ίδιο λόγο που ο τρισδιάστατος όγκος ενός δίσκου στο ευκλείδειο επίπεδο είναι μηδέν.

Η ιδέα μιας συνάρτησης διάστασης είναι να χρησιμοποιηθεί διαφορετική συνάρτηση της διαμέτρου από την απλή diam(*C*)*s* για κάποιο *s*, και να αναζητηθεί η ίδια ιδιότητα το μέτρο Χάουσντορφ να είναι πεπερασμένο και μη μηδενικό.

Ορισμός
-------

Ας υποθέσουμε ότι (*X*, *d*) είναι ένας μετρικός χώρος και *E* ⊆ *X*. Έστω *h* : [0, +∞) → [0, +∞] μια συνάρτηση. Ορίζουμε την *μ**h*(*E* ως εξής

{\displaystyle \mu ^{h}(E)=\lim \_{\delta \to 0}\mu \_{\delta }^{h}(E),}
ὀπου

{\displaystyle \mu \_{\delta }^{h}(E)=\inf \left\{\left.\sum \_{i=1}^{\infty }h\left(\mathrm {diam} (C\_{i})\right)\right|\mathrm {diam} (C\_{i})\leq \delta ,\bigcup \_{i=1}^{\infty }C\_{i}\supseteq E\right\}.}
Τότε η h καλείται **συνάρτηση** (**ακριβούς**) **διάστασης** (ή **συνάρτηση μετρητή**) για την *E* αν *μ**h*(*E*) είναι πεπερασμένη και αυστηρά θετική. Υπάρχουν πολλές συμβάσεις ως προς τις ιδιότητες που πρέπει να έχει η *h*: Ο Rogers (1998), για παράδειγμα, προϋποθέτει ότι η h πρέπει να είναι μονότονα αυξανόμενη για *t* ≥ 0, απολύτως θετική για *t* > 0, και συνεχής προς τα δεξιά για όλα τα *t* ≥ 0.

### Διάσταση συσκευασίας

Η διάσταση συσκευασίας κατασκευάζεται με έναν πολύ παρόμοιο τρόπο με τη διάσταση Χάουσντορφ, με τη διαφορά ότι "πακετάρουμε" την *Ε* από μέσα με διαχωρισμένες κατά ζεύγη σφαίρες διαμέτρου το πολύ *δ*. Όπως και πριν, μπορεί κανείς να θεωρήσει συναρτήσεις *h* :  [0, +∞) → [0, +∞] γενικότερα από το *h*(*δ*) = *δ**s* και ονομάζουμε την *h* ακριβή συνάρτηση διάστασης για την *E* αν το μέτρο συσκευασίας *h* της *E* είναι πεπερασμένο και αυστηρά θετικό.

Παράδειγμα
----------

Είναι σχεδόν βέβαιο ότι μια δειγματική διαδρομή *X* της κίνησης Μπράουν στο ευκλείδειο επίπεδο έχει διάσταση Χάουσντορφ ίση με 2, αλλά το δισδιάστατο μέτρο Χάουσντορφ *μ*2(*X*) είναι μηδέν. Η ακριβής συνάρτηση διάστασης *h* δίνεται από τη λογαριθμική διόρθωση

{\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log {\frac {1}{r}}\cdot \log \log \log {\frac {1}{r}}.}
Δηλαδή, με πιθανότητα ένα, 0 < *μ**h*(*X*) < +∞ για ένα μονοπάτι Μπράουν *X* στο **R**2. Για την κίνηση Μπράουν στον ευκλείδειο *n*-χώρο **R***n* με *n* ≥ 3, η ακριβής συνάρτηση διάστασης είναι

{\displaystyle h(r)=r^{2}\cdot \log \log {\frac {1}{r}}.}

Δημοσιεύσεις
------------

* Olsen, L. (2003). «The exact Hausdorff dimension functions of some Cantor sets». *Nonlinearity* **16** (3): 963–970. doi:10.1088/0951-7715/16/3/309.
* Rogers, C. A. (1998). *Hausdorff measures*. Cambridge Mathematical Library (Third έκδοση). Cambridge: Cambridge University Press. σελίδες xxx+195. ISBN 0-521-62491-6.

Βιβλιογραφία
------------

* Dendrimers III: Design, Dimension, Function
* Geometric Function Theory in Higher Dimension
* Dimension and Extensions
* Geometric Function Theory in One and Higher Dimensions

Δείτε επίσης
------------

* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν
* Σύστημα-L

Παραπομπές
----------

1. ↑  «Dimensional Function - an overview | ScienceDirect Topics». *www.sciencedirect.com*. Ανακτήθηκε στις 9 Ιανουαρίου 2024.
2. ↑  «Fractals and the Hausdorff Dimension» (PDF).
3. ↑  «LECTURES ON FRACTALS AND DIMENSION THEORY» (PDF).
4. ↑  Darst, Richard (1993). «The Hausdorff Dimension of the Nondifferentiability Set of the Cantor Function is [ ln(2)/ln(3) 2»]. *Proceedings of the American Mathematical Society* **119** (1): 105–108. doi:10.2307/2159830. ISSN 0002-9939. .
5. ↑  Hurewicz, witold (1948). *Dimension Theory*.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |