Η αρχή του Χάμιλτον (Hamilton) είναι μία αρχή της φυσικής βάσει της οποίας τα φυσικά συστήματα συμπεριφέρονται έτσι ώστε το φυσικό μέγεθος που ονομάζεται δράση να στασιμοποιείται. Αυτή είναι μία αρχή η οποία φαίνεται να έχει γενική ισχύ στη φυσική και εφαρμόζεται σε διάφορα φυσικά συστήματα. Αρχικά, όμως, η αρχή αυτή εφαρμόστηκε σε κλασικά μηχανικά συστήματα.

Το φυσικό μέγεθος της δράσης
----------------------------

Η δράση (S) ενός συστήματος το οποίο βρισκόταν αρχικά στην κατάσταση Α και περιήλθε στην κατάσταση Β, είναι ένα φυσικό μέγεθος το οποίο ορίζεται ως εξής:

{\displaystyle S\equiv \int \_{A}^{B}L\left(a\_{i},{\dot {a\_{i}}},{\ddot {a\_{i}}},...t\right)dt}, όπου L είναι η Λαγκρανζιανή συνάρτηση του συστήματος και αi μέγεθος που περιγράφει το σύστημα, ενώ ο δείκτης i δείχνει τον αριθμό της συνιστώσας του διανύσματος.
Το μέγεθος της δράσης έχει γενικά μονάδες: (Ενέργεια)•(Χρόνος).

Αρχή του Hamilton
-----------------

Όπως εξηγήθηκε και προηγουμένως η αρχή του Hamilton λέει ότι η φύση προτιμά να ακολουθεί μία ακολουθία καταστάσεων για ένα σύστημα τέτοια ώστε η δράση S να στασιμοποιείται.  

Η στασιμοποίηση έγκειται στην μεταβολή της δράσης κατά τάξη ε2 ή μεγαλύτερης (δηλαδή ε3, ε4 κ.λ.π. κάτι που μαθηματικά συμβολίζεται ως Ο[ε2]), όταν το μέγεθος {\displaystyle {\vec {a}}} αλλάζει κατά τάξη ε ως:

{\displaystyle {\tilde {a\_{i}}}=a\_{i}+\epsilon \cdot n\_{i}}
Το ni είναι μία συνεχής συνάρτηση που δείχνει τον τρόπο με τον οποίο μεταβάλλεται το μέγεθος ai και το ε δείχνει το μέγεθος της μεταβολής αυτής (το πόσο μεγάλη είναι η μεταβολή) και για την οποία πρέπει να ισχύει {\displaystyle n\_{i}(A)=n\_{i}(B)=0}, απαιτείται δηλαδή από το μέγεθος {\displaystyle {\tilde {a\_{i}}}} να έχει ακριβώς την ίδια τιμή με το {\displaystyle a\_{i}} στις καταστάσεις Α και Β της αρχής και του τέλους αντιστοίχως.

Εξισώσεις Euler - Lagrange
--------------------------

Η εφαρμογή της αρχής του Hamilton σε ένα κλασικό μηχανικό σύστημα, μας οδηγεί στις εξισώσεις Euler - Lagrange που είναι οι εξισώσεις που πρέπει να ικανοποιούνται για να ελαχιστοποιείται η δράση και είναι ισοδύναμες με τον 2ο νόμο του Newton.  

Η Λαγκρανζιανή σε αυτήν την περίπτωση είναι της μορφής: {\displaystyle L=L\left(q(t),{\dot {q(t)}},t\right)}, όπου τα q είναι οι θέσεις του συστήματος (βλ. το άρθρο Λαγκρανζιανή συνάρτηση για το λόγο για τον οποίο απορρίφθηκε η υπόθεση η Λαγκρανζιανή στην περίπτωσή μας να είναι συνάρτηση και ανωτέρων παραγώγων της θέσης) και η δράση είναι εξ ορισμού ίση με: {\displaystyle S(q)=\int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt}.  

Υποθέτουμε ότι η q(t) είναι η τροχιά αυτή που ελαχιστοποιεί την δράση και {\displaystyle {\tilde {q(t)}}=q(t)+\epsilon \cdot n(t)} μία παρέκκλιση αυτής της τροχιάς. Η μεταβολή στη δράση θα είναι:

{\displaystyle \Delta S=S\left({\tilde {q}}\right)-S(q)=\int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)dt-\int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)dt=\int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}\left(L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)-L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)\right)dt}.
Το ανάπτυγμα της {\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)} κατά Taylor δίνει:

{\displaystyle L\left({\tilde {q}}(t),{\dot {\tilde {q}}}(t),t\right)=L\left(q(t),{\dot {q}}(t),t\right)+\epsilon \left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)+O\left[\epsilon ^{2}\right]}
Συνεπώς, έχουμε:

{\displaystyle \Delta S=\epsilon \int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}n+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}{\dot {n}}\right)dt+O\left[\epsilon ^{2}\right]=\epsilon \int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt+O\left[\epsilon ^{2}\right]}
Βάσει της αρχής του Hamilton πρέπει να μηδενιστεί ο όρος τάξης ε, δηλαδή πρέπει να ισχύει πάντοτε:

{\displaystyle \int \_{t\_{A}}^{t\_{B}}\left({\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}\right)ndt=0}
Και επειδή η n είναι μία τυχαία συνάρτηση, οδηγούμαστε στην εξίσωση:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {\partial L}{\partial q}}=0}
η οποία είναι γνωστή ως εξίσωση Euler - Lagrange.

Εσωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Λαγκρανζιανή συνάρτηση
* Λαγκρανζιανή μηχανική
* Χαμιλτονιανή μηχανική

Βιβλιογραφία
------------

* Ιωάννου Πέτρος, Αποστολάτος Θ. ***Θεωρητική Μηχανική***, Πανεπιστήμιο Αθηνών 2007 (έκδοση Β')