|  |
| --- |
| Λίστα των αριθμών - άρρητοι και ύποπτοι άρρητοι αριθμοί
γ - ζ (3) - √ 2 -√ 3 - √ 5 - φ - ρ - δ*s* - α - *e* - π - δ |
| Δυαδική απεικόνιση | 10,0011110001101111... |
| Δεκαδική | 2,23606797749978969... |
| Δεκαεξαδική | 2,3C6EF372FE94F82C... |
| Ως συνεχιζόμενο κλάσμα | {\displaystyle 2+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{4+\ddots }}}}}}}}} |

Η **τετραγωνική ρίζα του 5** είναι ο θετικός πραγματικός αριθμός ο οποίος όταν πολλαπλασιάζεται με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 5. Πιο συγκεκριμένα ονομάζεται **η κύρια τετραγωνική ρίζα του 5**, ώστε να διακρίνεται από τον αριθμό με αρνητικό πρόσημο με την ίδια ιδιότητα. Αυτός ο αριθμός εμφανίζεται στην κλασματική έκφραση για τη χρυσή αναλογία. Μπορεί να δηλώνεται ως ασύμμετρος αριθμός ως εξής:

{\displaystyle {\sqrt {5}}}.

Πρόκειται για έναν άρρητο αλγεβρικό αριθμό. Τα πρώτα εξήντα σημαντικά ψηφία του δεκαδικού επέκτασης είναι:
2,23606 79774 99789 69640 91736 68731 27623 54406 18359 61152 57242 7089 ... η οποία μπορεί να στρογγυλοποιείται προς το 2,236 εντός ακρίβεια 99,99%. Από τον Απρίλιο του 1994, η αριθμητική τιμή του σε δεκαδικά είχε υπολογιστεί σε τουλάχιστον ένα εκατομμύριο ψηφία.

Απόδειξη του άρρητου αριθμού
----------------------------

Ας υποθέσουμε ότι η {\displaystyle {\sqrt {5}}} είναι ρητός αριθμός, και την εκφράζουν σε χαμηλότερο δυνατό τρόπο (δηλαδή, ως ένα πλήρως μειωμένο κλάσμα), όπως {\displaystyle {\frac {m}{n}}} για τους φυσικούς αριθμούς ***m*** και ***n***. Στη συνέχεια η {\displaystyle {\sqrt {5}}} μπορεί να εκφραστεί με όρους όπως {\displaystyle {\frac {5n-2m}{m-2n}}}, η οποία είναι μια αντίφαση.

Το συνεχές κλάσμα
-----------------

Μπορεί να εκφράζεται ως το συνεχές κλάσμα [2; 4, 4, 4, 4, 4 ...]. Η ακολουθία της καλύτερης προσέγγισης του ρητού αριθμού είναι:

{\displaystyle {\color {OliveGreen}{\frac {2}{1}}},{\frac {7}{3}},{\color {OliveGreen}{\frac {9}{4}}},{\frac {20}{9}},{\frac {29}{13}},{\color {OliveGreen}{\frac {38}{17}}},{\frac {123}{55}},{\color {OliveGreen}{\frac {161}{72}}},{\frac {360}{161}},{\frac {521}{233}},{\color {OliveGreen}{\frac {682}{305}}},{\frac {2207}{987}},{\color {OliveGreen}{\frac {2889}{1292}}},\dots }
Οι συγκλίνουσες του συνεχούς κλάσματος είναι χρωματισμένες. Οι αριθμητές τους είναι 2, 9, 38, 161, ... και οι παρονομαστές είναι 1, 4, 17, 72, .... Οι υπόλοιποι (μη χρωματισμένοι) όροι είναι ημι-συγκλίνοντες.

Βαβυλώνιος μέθοδος
------------------

Όταν {\displaystyle {\sqrt {5}}} υπολογίζεται με τη βαβυλώνια μέθοδο , ξεκινώντας με *r*0 = 2 και χρησιμοποιώντας *r**n*+1 = (*r**n* + 5/*r**n*) / 2,το *n* του approximant *r**n* είναι ίσο με το 2*n*-οστό συγκλίνουσα της συγκλίνουσας ακολουθία:

{\displaystyle {\frac {2}{1}}=2.0,\quad {\frac {9}{4}}=2.25,\quad {\frac {161}{72}}=2.23611\dots ,\quad {\frac {51841}{23184}}=2.2360679779\ldots }

Σχέση με τη χρυσή αναλογία και οι αριθμοί Fibonacci
---------------------------------------------------

Η √ 5/2 αποτελεί τη βάση για την γεωμετρική κατασκευή ενός χρυσού ορθογωνίου
Η χρυσή αναλογία *φ* είναι ο αριθμητικός μέσος όρος του 1 και η τετραγωνική ρίζα του 5 , η αλγεβρική σχέση μεταξύ της τετραγωνικής ρίζας του 5 , η χρυσή αναλογία και η συζευγμένη χρυσή αναλογία ({\displaystyle \Phi =1/\varphi =\varphi -1}) εκφράζονται από τους ακόλουθους τύπους:

{\displaystyle {\sqrt {5}}=\varphi +\Phi =2\varphi -1=2\Phi +1}
{\displaystyle \varphi ={\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}}
{\displaystyle \Phi ={\frac {{\sqrt {5}}-1}{2}}.}
(Βλ. παρακάτω ενότητα για την γεωμετρική ερμηνεία τους ως αποσυνθέσεις της ρίζας-5 ορθογώνιο.)
Η τετραγωνική ρίζα του 5 τότε φυσικά αποδεικνύεται στην κοντινή μορφή έκφρασης για τους αριθμούς Fibonacci , ένας τύπος που συνήθως γράφεται με βάση τη χρυσή αναλογία:

{\displaystyle F\left(n\right)={{\varphi ^{n}-(1-\varphi )^{n}} \over {\sqrt {5}}}.}
Το πηλίκο του √ 5 και φ (ή το προϊόν της √ 5 και Φ), και της αμοιβαιότητας, παρέχει μια ενδιαφέρουσα πορεία της συνεχές κλάσματος και σχετίζεται με τις σχέσεις μεταξύ των αριθμών Fibonacci και τους αριθμούς Lucas :

{\displaystyle {\frac {\sqrt {5}}{\varphi }}=\Phi \cdot {\sqrt {5}}={\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}=1.3819660112501051518\dots =[1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}
{\displaystyle {\frac {\varphi }{\sqrt {5}}}={\frac {1}{\Phi \cdot {\sqrt {5}}}}={\frac {5+{\sqrt {5}}}{10}}=0.72360679774997896964\dots =[0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}
Η σειρά των συγκλίνουσων σε αυτές τις αξίες χαρακτηρίζουν τη σειρά των αριθμών Fibonacci και τη σειρά των αριθμών Lucas ως αριθμητές και παρανομαστές, και αντίστροφα, αντίστοιχα:

{\displaystyle {1,{\frac {3}{2}},{\frac {4}{3}},{\frac {7}{5}},{\frac {11}{8}},{\frac {18}{13}},{\frac {29}{21}},{\frac {47}{34}},{\frac {76}{55}},{\frac {123}{89}}},\dots \dots [1;2,1,1,1,1,1,1,1,\dots ]}
{\displaystyle {1,{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{7}},{\frac {8}{11}},{\frac {13}{18}},{\frac {21}{29}},{\frac {34}{47}},{\frac {55}{76}},{\frac {89}{123}}},\dots \dots [0;1,2,1,1,1,1,1,1,\dots ].}

Γεωμετρία
---------

Γεωμετρικά , η τετραγωνική ρίζα του 5 αντιστοιχεί στη διαγώνιο του ορθογωνίου του οποίου οι πλευρές έχουν μήκος 1 και 2 , όπως προκύπτει από το πυθαγόρειο θεώρημα. Μια τέτοια ορθογώνιος μπορεί να επιτευχθεί με τη μείωση κατά το ήμισυ ενός τετράγωνου , ή με την τοποθέτηση δύο ίσων τετραγώνων δίπλα δίπλα. Μαζί με την αλγεβρική σχέση μεταξύ √ 5 και φ, αυτό αποτελεί τη βάση για τη γεωμετρική κατασκευή ενός *χρυσού ορθογωνίου* από ένα τετράγωνο, και για την κατασκευή ενός κανονικού πεντάγωνου , δεδομένης κάθε πλευράς του (από τότε που η δεξιά-διαγώνια είναι ανάλογη σε ένα κανονικό πεντάγωνο είναι φ).

Σχηματίζοντας μία δίεδρη δεξιά γωνία με τα δύο ίσα τετράγωνα που είναι 1:2 ορθογώνιο, μπορεί να φανεί ότι η √ 5 αντιστοιχεί επίσης με τη σχέση μεταξύ του μήκους μίας ακμής κύβου και της συντομότερης απόστασης από ένα, από κάθε κόμβο με το αντίθετο , όταν διέρχονται από την *επιφάνεια* του κύβου (η μικρότερη απόσταση, όταν διέρχονται μέσα από το *εσωτερικό* του κύβου αντιστοιχεί στο μήκος της διαγωνίου του κύβου, η οποία είναι η τετραγωνική ρίζα του τρία επί την άκρη).

Ο αριθμός √ 5 μπορεί να είναι γεωμετρικά και αλγεβρικά να σχετίζεται με την τετραγωνική ρίζα του 2 και την τετραγωνική ρίζα του 3 , όπως είναι το μήκος της υποτείνουσας ενός ορθογωνίου τριγώνου με κάθετη μέτρηση √ 2 και √ 3 (και πάλι, το Πυθαγόρειο θεώρημα το αποδεικνύει αυτό). Τα δεξιά τρίγωνα τέτοιων διαστάσεων μπορεί να βρεθούν μέσα σε ένα κύβο: οι πλευρές του κάθε τριγώνου που ορίζεται από το κεντρικό σημείο ενός κύβου, μία από τις κορυφές του, και το μέσο σημείο της πλευράς που βρίσκεται σε ένα από τα στάδια που περιέχει η κορυφή και η απέναντι σε αυτό , είναι σε αναλογία √ 2: √ 3: √ 5. Αυτό προκύπτει από τις γεωμετρικές σχέσεις μεταξύ ενός κύβου και τις ποσότητες √ 2 (η άκρη να είναι απέναντι από τη διαγώνια αναλογία, ή την απόσταση μεταξύ των απέναντι στα άκρα), √ 3 (η άκρη στον κύβο, διαγώνια αναλογία) και √ 5 (ακριβώς η σχέση παραπάνω).

Ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο με διαστάσεις πλευρά 1: √ 5 ονομάζεται ρίζα πέντε ορθογώνιο και αποτελεί μέρος της σειράς της ορθογώνιας ρίζας, ένα υποσύνολο της δυναμικής ορθογωνίων , οι οποίες βασίζονται σε √ 1 (= 1), √ 2, √ 3, √ 4 (= 2), √ 5 ... διαδοχικά και κατασκευάστηκε με τη διαγώνιο της προηγούμενης ορθογώνιας ρίζας, ξεκινώντας από ένα τετράγωνο. Μια ρίζα 5 ορθογώνιο είναι ιδιαίτερα σημαντική, δεδομένου ότι μπορεί να χωριστεί σε ένα τετράγωνο και σε δύο ίσα *χρυσά ορθογώνια* , (διαστάσεων Φ × 1), ή σε δύο *χρυσά ορθογώνια* διαφόρων μεγεθών (διαστάσεις του Φ × 1 and 1 × φ). Μπορεί επίσης να αναλυθεί ως την ένωση των δύο ίσων χρυσών ορθογωνίων (με διαστάσεις 1 × φ), του οποίου αποτελεί τομή σε ένα τετράγωνο. Όλα αυτά μπορεί να θεωρηθούν ως η γεωμετρική ερμηνεία των αλγεβρικών σχέσεων μεταξύ √ 5, φ και Φ που αναφέρθηκε παραπάνω. Η ρίζα 5 ορθογώνιο μπορεί να κατασκευαστεί από ένα ορθογώνιο 1:2 (η ρίζα 4 ορθογώνιο), ή απευθείας από ένα τετράγωνο με τρόπο παρόμοιο με εκείνο για το *χρυσό ορθογώνιο* φαίνεται στην εικόνα, αλλά και την επέκταση του μήκους του τόξου √ 5/2 και στις δύο πλευρές.

Τριγωνομετρία
-------------

Όπως η √ 2 και η √ 3, έτσι και η τετραγωνική ρίζα του πέντε φαίνεται εκτενώς στους μαθηματικούς τύπους για τις ακριβές τριγωνομετρικές σταθερές , και ως εκ τούτου ο υπολογισμός της αξίας του είναι σημαντικός για τη δημιουργία τριγωνομετρικών πινάκων. Δεδομένου ότι η √ 5 είναι γεωμετρικά συνδεμένη σε ένα δεύτερο ορθογώνιο τετράγωνο και σε πεντάγωνα, εμφανίζεται επίσης συχνά στα παρασκευάσματα για τις γεωμετρικές ιδιότητες των στοιχείων που προέρχονται από αυτά, όπως στον τύπο για τον όγκο του δωδεκάεδρου .

Διοφαντικές προσεγγίσεις
------------------------

Το θεώρημα του Hurwitz στην Diophantine προσεγγίσεων αναφέρει ότι κάθε άρρητος αριθμός **x** μπορεί να προσεγγιστεί από πολλούς άπειρους ρητούς αριθμούς ***m*** / ***n*** στη χαμηλότερη άποψη κατά τέτοιο τρόπο ώστε:

{\displaystyle \left|x-{\frac {m}{n}}\right|<{\frac {1}{{\sqrt {5}}\,n^{2}}}}
και ότι η √ 5 είναι η καλύτερη δυνατή, με την έννοια ότι για κάθε μεγαλύτερη σταθερή √ 5, υπάρχουν κάποιοι άρρητοι αριθμοί όπως το **x** για τα οποία υπάρχουν μόνο πολλές πεπερασμένες τέτοιες προσεγγίσεις. Στενά συνδεδεμένο με αυτό είναι το θεώρημα ότι οποιωνδήποτε τριών διαδοχικών συγκλίνουσων *p**i*/*q**i*,
*p**i*+1/*q**i*+1,
*p**i*+2/*q**i*+2, ενός αριθμού **α**, τουλάχιστον μία των τριών ανισοτήτων κατέχει:

{\displaystyle \left|\alpha -{p\_{i} \over q\_{i}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q\_{i}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p\_{i+1} \over q\_{i+1}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q\_{i+1}^{2}},\qquad \left|\alpha -{p\_{i+2} \over q\_{i+2}}\right|<{1 \over {\sqrt {5}}q\_{i+2}^{2}}.}.
Και η √ 5 στον παρονομαστή είναι η καλύτερη δυνατή δέσμευση από τις συγκλίνουσες της χρυσής αναλογίας κάνει τη διαφορά στην αριστερή πλευρά αυθαίρετα κοντά στην αξία στη δεξιά πλευρά. Ειδικότερα, δεν μπορεί κανείς να αποκτήσει ένα αυστηρότερο δεσμεύτη από την εξέταση των ακολούθων τεσσάρων ή περισσότερων διαδοχικών συγκλινουσών.

Άλγεβρα
-------

Ο δακτύλιος {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} \left[\,{\sqrt {-5}}\,\right]} περιέχει τους αριθμούς της μορφής {\displaystyle \scriptstyle a\,+\,b{\sqrt {-5}}}, όπου ***a*** και ***b*** είναι ακέραιοι και {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {-5}}} είναι ο φανταστικός αριθμός {\displaystyle \scriptstyle i{\sqrt {5}}}. Αυτό το δαχτυλίδι είναι το πιο συχνό παράδειγμα αναπόσπαστου τομέα που δεν είναι ενός μοναδικού τομέα παραγοντοποίησης. Ο αριθμός 6 έχει δύο ισότιμες παραγοντοποιήσεις σε αυτό το δαχτυλίδι:

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1-{\sqrt {-5}})(1+{\sqrt {-5}}).\,}
Το πεδίο {\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} \left[\,{\sqrt {5}}\,\right]}, όπως και κάθε άλλος τετραγωνικός τομέας , είναι ένα abelian επέκταση των ρητών αριθμών. Το Kronecker Weber θεώρημα εγγυάται, συνεπώς, ότι η τετραγωνική ρίζα του πέντε μπορεί να γραφτεί ως ένας ρητός γραμμικός συνδυασμός των ριζών της ενότητας :

{\displaystyle {\sqrt {5}}=e^{2\pi i/5}-e^{4\pi i/5}-e^{6\pi i/5}+e^{8\pi i/5}.\,}

Ταυτότητες Ramanujan
--------------------

Η τετραγωνική ρίζα του 5 εμφανίζεται σε διάφορες ταυτότητες Ramanujan, οι οποίες εμπλέκονται σε συνεχείς κλάσματα. Για παράδειγμα, η περίπτωση του Rogers Ramanujan σε συνεχές κλάσμα :

{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi }}{1+{\cfrac {e^{-4\pi }}{1+{\cfrac {e^{-6\pi }}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}-{\frac {{\sqrt {5}}+1}{2}}\right)e^{2\pi /5}=e^{2\pi /5}\left({\sqrt {\varphi {\sqrt {5}}}}-\varphi \right).}

  

{\displaystyle {\cfrac {1}{1+{\cfrac {e^{-2\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-4\pi {\sqrt {5}}}}{1+{\cfrac {e^{-6\pi {\sqrt {5}}}}{1+\ddots }}}}}}}}=\left({{\sqrt {5}} \over 1+\left[5^{3/4}(\varphi -1)^{5/2}-1\right]^{1/5}}-\varphi \right)e^{2\pi /{\sqrt {5}}}.}

  

{\displaystyle 4\int \_{0}^{\infty }{\frac {xe^{-x{\sqrt {5}}}}{\cosh x}}\,dx={\cfrac {1}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {1^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {2^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+{\cfrac {3^{2}}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}.}