Σφαίρα Μπλοχ
Στην κβαντική μηχανική, η **σφαίρα Μπλοχ** είναι μια γεωμετρική αναπαράσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντομηχανικού συστήματος δύο επιπέδων που πήρε το όνομά της από τον φυσικό Φέλιξ Μπλοχ. Εναλλακτικά, είναι ο χώρος καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή 1 qubit. Η σφαίρα Μπλοχ είναι και γεωμετρικά μια σφαίρα και η αντιστοιχία μεταξύ των στοιχείων της σφαίρας και των καθαρών καταστάσεων μπορεί να δοθεί σαφώς. Σε γενικευμένη μορφή, η σφαίρα Μπλοχ μπορεί επίσης να αναφέρεται στο ανάλογο χώρο ενός κβαντικού συστήματος *n* επιπέδων.

Η κβαντική μηχανική είναι μαθηματικά διατυπωμένη σε ένα χώρο Χίλμπερτ ή προβαλλόμενο χώρο Χίλμπερτ. Ο χώρος των καθαρών καταστάσεων ενός κβαντικού συστήματος δίνεται από τις ακτίνες στον χώρο Χίλμπερτ (τα *σημεία* του προβαλλόμενου χώρου Χίλμπερτ). Ο χώρος των ακτινών σε οποιοδήποτε διανυσματικό χώρο είναι ένας προβαλλόμενος χώρος, και συγκεκριμένα, ο χώρος των ακτίνων σε ένα δισδιάστατο χώρο Χίλμπερτ είναι η μιγαδική προβολική γραμμή, η οποία είναι ισομορφική προς τη σφαίρα.

Η φυσική μετρική στην σφαίρα Μπλοχ είναι η μετρική Fubini-Study.

To qubit
--------

Για να δειχθεί αυτή η αντιστοιχία σαφώς, θεωρήστε την περιγραφή qubit της σφαίρας Μπλοχ˙ οποιοδήποτε κβαντομηχανική κατάσταση \psi  μπορεί να γραφεί ως μια μιγαδική υπέρθεση των διανυσμάτων ket {\displaystyle |0\rangle } και {\displaystyle |1\rangle }˙ επιπλέον, αφού οι παράγοντες φάσης δεν επηρεάζουν την φυσική κατάσταση, μπορούμε να πάρουμε την αναπαράσταση ώστε ο συντελεστής του {\displaystyle |0\rangle } να είναι πραγματικός και μη αρνητικός. Έτσι το \psi  έχει μια αναπαράσταση ως

{\displaystyle |\psi \rangle =\cos \theta \,|0\rangle +e^{i\phi }\sin \theta \,|1\rangle \quad =\quad \cos \theta \,|0\rangle \,+\,(\cos \phi +i\sin \phi )\,\sin \theta \,|1\rangle }
με 

{\displaystyle 0\leq \theta <{\frac {\pi }{2}},\quad 0\leq \phi <2\pi .}
Εκτός από την περίπτωση όπου \psi  είναι ένα από τα διανύσματα ket {\displaystyle |0\rangle } ή {\displaystyle |1\rangle }, η αναπαράσταση είναι μοναδική, με άλλα λόγια οι παράμετροι {\displaystyle \phi \,} και {\displaystyle \theta \,} προσδιορίζουν μοναδικά ένα σημείο στην μοναδιαία σφαίρα του Ευκλείδειου χώρου {\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}, δηλαδή το σημείο του οποίου οι συντεταγμένες {\displaystyle (x,y,z)} είναι

{\displaystyle {\begin{matrix}x&=&\sin 2\theta \times \cos \phi \\y&=&\sin 2\theta \times \sin \phi \\z&=&\cos 2\theta .\end{matrix}}}
Σε αυτή την αναπαράσταση το {\displaystyle |0\rangle } είναι χαρτογραφημένο μέσα στο {\displaystyle (0,0,1)} και το {\displaystyle |1\rangle } είναι χαρτογραφημένο μέσα στο {\displaystyle (0,0,-1)}.

Γενίκευση
---------

Θεωρήστε ένα κβαντομηχανικό σύστημα *n* επιπέδων. Αυτό το σύστημα περιγράφεται από ένα n-διάστατο χώρο Χίλμπερτ *H**n*. Ο χώρος της καθαρής κατάστασης είναι εξ ορισμού το σύνολο των μονοδιάστατων ακτίνων του *H**n*.

**Θεώρημα**. Θέτουμε το U(*n*) να είναι η ομάδα Λι των μοναδιαίων πινάκων μεγέθους *n*. Τότε ο χώρος καθαρής κατάστασης του *H**n* μπορεί να αναγνωριστεί με το συμπαγή σύμπλοκο χώρο

{\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1)).}
Για να αποδείξουμε αυτό το γεγονός, σημειώνουμε ότι υπάρχει μια φυσική ομαδική πράξη του U(*n*) στο σύνολο των καταστάσεων του *H**n*. Αυτή η πράξη είναι συνεχής και μεταβατική στις καθαρές καταστάσεις. Για οποιαδήποτε κατάσταση ψ, το σύνολο σταθερών σημείων του ψ, (ορισμένο ως το σύνολο των στοιχείων *g* του U(*n*) τέτοια ώστε *g* ψ = ψ) είναι ισομορφικό προς την ομάδα γινομένων

{\displaystyle \operatorname {U} (n-1)\times \operatorname {U} (1).}
Από αυτό το σημείο ο ισχυρισμός του θεωρήματος ακολουθεί βασικά αξιώματα για τις μεταβατικές πράξεις ομάδων σε συμπαγείς ομάδες.

Το σημαντικό γεγονός που πρέπει να σημειωθεί στα παραπάνω είναι ότι η *μοναδιαία ομάδα δρα μεταβατικά* σε καθαρές καταστάσεις.

Τώρα η (πραγματική) διάσταση του U(*n*) είναι *n*2. Αυτό είνα εύκολο να το δούμε αφού ο εκθετικός χάρτης

{\displaystyle A\mapsto e^{iA}}
είναι ένας τοπικός ομοιομορφισμός από το χώρο των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων στο U(*n*). Ο χώρος των αυτοσυζυγών μιγαδικών πινάκων έχει πραγματική διάσταση *n*2.

**Συνέπεια**. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης του *H**n* είναι 2*n* − 2.

Ουσιαστικά,

{\displaystyle n^{2}-((n-1)^{2}+1)=2n-2.\quad }
Ας εφαρμόσουμε αυτό για να εξετάσουμε την πραγματική διάσταση ενός κβαντικού καταχωρητή *m* qubit. Ο αντίστοιχος χώρος Χίλμπερτ έχει διάσταση 2*m*.

**Συνέπεια**. Η πραγματική διάσταση του χώρου καθαρής κατάστασης ενός κβαντικού καταχωρητή *m* qubit είναι 2*m*+1 − 2.

Η γεωμετρία των τελεστών πυκνότητας
-----------------------------------

Οι διατυπώσεις της κβαντικής μηχανικής με όρους καθαρών καταστάσεων είναι επαρκείς για απομονωμένα συστήματα˙ γενικά κβαντομηχανικά συστήματα πρέπει να περιγράφονται με όρους τελεστών πυκνότητας. Η τοπολογική περιγραφή περιπλέκεται από το γεγονός ότι η μοναδιαία ομάδα δεν ενεργεί μεταβατικά σε τελεστές πυκνότητας. Επιπλέον οι τροχιές παρουσιάζουν μεγάλη διαφοροποίηση, όπως προκύπτει από την ακόλουθη παρατήρηση:

**Θεώρημα**. Υποθέστε ότι *A* είναι ένας τελεστής πυκνότητας σε ένα κβαντομηχανικό σύστημα *n* επιπέδων του οποίου οι διακριτές ιδιοτιμές είναι μ1, ... μ*k* με πολλαπλότητες *n*1, ...*n**k*. Τότε η ομάδα των μοναδιαίων τελεστών *V* ώστε *V A V*\* = *A* είναι ισομορφική (ως μια ομάδα Λι) προς

{\displaystyle \operatorname {U} (n\_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n\_{k}).}
Συγκεκριμένα η τροχιά του *A* είναι ισομορφική προς 

{\displaystyle \operatorname {U} (n)/(\operatorname {U} (n\_{1})\times \cdots \times \operatorname {U} (n\_{k})).}

Παραπομπές
----------

* Darius Chrusinski, "Geometric Aspect of Quantum Mechanics and Quantum Entanglement[*νεκρός σύνδεσμος*]", *Journal of Physics Conference Series*, **39** (2006) σελ.9-16. (Αγγλικά)
* Alain Michaud, "Rabi Flopping Oscillations" (2006). *(Ένα μικρό animation ενός διανύσματος Μπλοχ υποβαλλόμενο σε μια αντηχητική διέγερση.)* (Ανακτήθηκε 27 Απριλίου 2011)(Αγγλικά)