Στην γεωμετρία, η έννοια του **συνδέσμου** καθιστά ακριβή την ιδέα της μεταφοράς δεδομένων κατά μήκος μιας καμπύλης ή οικογένειας καμπυλών με έναν παράλληλο και συνεπή τρόπο. Υπάρχει μια ποικιλία των ειδών των συνδέσμων στη σύγχρονη γεωμετρία, ανάλογα με το είδος των δεδομένων που κάποιος θέλει να μεταφέρει. Για παράδειγμα, ένας συσχετισμένος σύνδεσμος, ο πιο στοιχειώδης τύπος σύνδεσης, δίνει ένα νόημα στη μεταφορά εφαπτόμενων φορέων σε ένα συλλέκτη από το ένα σημείο στο άλλο κατά μήκος μιας καμπύλης. Ένας συσχετισμένος σύνδεσμος συνήθως δίνεται με τη μορφή μιας συναλλοίωτης παραγώγου , η οποία δίνει ένα νόημα στη λήψη  κατευθυντικών παραγώγων των  διανυσματικών πεδίων: απειροελάχιστη μεταφορά ενός φορέα πεδίου σε μια δεδομένη κατεύθυνση.

Οι σύνδεσμοι είναι κεντρικής σημασίας στη σύγχρονη γεωμετρία σε μεγάλο βαθμό, επειδή επιτρέπουν τη σύγκριση μεταξύ της τοπικής γεωμετρίας σε ένα σημείο και την τοπoλογική γεωμετρία σε ένα άλλο σημείο. Η Διαφορική γεωμετρία αγκαλιάζει πολλές παραλλαγές στο θέμα του συνδέσμου, οι οποίες εμπίπτουν σε δύο μεγάλες ομάδες: την απειροελάχιστη και την τοπoλογική θεωρία. Η τοπολογική θεωρία ασχολείται κυρίως με τις έννοιες της παράλληλης μεταφοράς και της ολονομίας. Η απειροελάχιστη θεωρία ασχολείται με τη διαφοροποίηση των γεωμετρικών στοιχείων. Έτσι, η συναλλοίωτος παράγωγος είναι ένας τρόπος προσδιορισμού ενός παραγώγου ενός διανυσματικού πεδίου κατά μήκος ενός άλλου διανυσματικού πεδίου φορέων σε ένα συλλέκτη. Ένας σύνδεσμος Cartan είναι ένας τρόπος διατύπωσης ορισμένης πτυχής της θεωρίας του συνδέσμου χρησιμοποιώντας διαφορικές μορφές και ομάδες Lie. Ένας σύνδεσμος Ehresmann είναι ένας σύνδεσμος σε μια δέσμη  ινών ή μια κύρια δέσμη , καθορίζοντας τις επιτρεπόμενες κατευθύνσεις της κίνησης του επιπέδου. Ένας σύνδεσμος Koszul είναι ένας σύνδεσμος γενικεύοντας τη παράγωγο σε μια δέσμη  φορέων.

Οι σύνδεσμοι οδηγούν επίσης σε βολική σύνθεση *γεωμετρικών αναλλοίωτων*, όπως η καμπυλότητα (βλέπε επίσης τανυστής καμπυλότητας και τη μορφή καμπυλότητας), και τανυστής στρέψης.

Κίνητρο: η ακαταλληλότητα των συντεταγμένων
-------------------------------------------

Η παράλληλη μεταφορά (του μαύρου βέλος) σε μια σφαίρα. Τα μπλε και τα κόκκινα βέλη αντιπροσωπεύουν παράλληλες μεταφορές σε διαφορετικές κατευθύνσεις, αλλά καταλήγουν στο ίδιο κάτω δεξιά σημείο. Το γεγονός ότι καταλήγουν χωρίς να δείχνουν προς την ίδια κατεύθυνση είναι αποτέλεσμα της καμπυλότητας της σφαίρας.
Εξετάστε το ακόλουθο πρόβλημα. Ας υποθέσουμε ότι ένας φορέας που εφάπτεται στη σφαίρα S δίνεται στο βόρειο πόλο, και θέλουμε να ορίσουμε ένα τρόπο συνεχούς κίνησης αυτού του διανύσματος σε άλλα σημεία της σφαίρας: ένας τρόπος παράλληλης μεταφοράς. Αφελώς, αυτό θα μπορούσε να γίνει σε ένα συγκεκριμένο σύστημα συντεταγμένων. Ωστόσο, χωρίς ιδιαίτερη προσοχή, η παράλληλη μεταφορά ορισμένη σε ένα σύστημα συντεταγμένων δεν θα συμφωνήσει με εκείνη ενός άλλου συστήματος συντεταγμένων. Ένα πιο κατάλληλο παράλληλο σύστημα μεταφοράς εκμεταλλεύεται την συμμετρία της σφαίρας υπό περιστροφή. Λαμβάνοντας υπόψη ένα διάνυσμα στο βόρειο πόλο, μπορεί κανείς να μεταφέρει αυτόν τον φορέα κατά μήκος μιας καμπύλης με περιστροφή της σφαίρας κατά τέτοιο τρόπο ώστε ο βόρειος πόλος να κινείται κατά μήκος της καμπύλης χωρίς αξονική έλαση. Αυτός ο τελευταίος τρόπος παράλληλης μεταφοράς είναι ο σύνδεσμος Levi-Civita στην σφαίρα. Εάν δύο διαφορετικές καμπύλες δίνονται με το ίδιο αρχικό και τελικό σημείο, και ένα διάνυσμα v κινείται σταθερά κατά μήκος της πρώτης καμπύλης από μια περιστροφή, το προκύπτον διάνυσμα στο τελικό σημείο θα είναι διαφορετικό από τον φορέα που προκύπτει από άκαμπτη κίνηση του ν κατά μήκος της δεύτερης καμπύλης. Το φαινόμενο αυτό αντανακλά την καμπυλότητα της σφαίρας. Μια απλή μηχανική συσκευή που μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να απεικονίσει παράλληλη μεταφορά είναι το south-pointing chariot.

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι στην S δίνονται συντεταγμένες από τη στερεογραφική προβολή. Θεωρούμε ότι η  S  αποτελείται από φορείς μονάδων στον **R**3. Τότε η S φέρει ένα ζεύγος συντεταγμένων περιοχών: η μία θα καλύπτει μια γειτονιά του βόρειου πόλου, και η άλλη του νότιου πόλου. Οι συναρτήσεις

{\displaystyle \phi \_{0}(x,y)=(}{\displaystyle 2x \over 1+x^{2}+y^{2}}**,**{\displaystyle {2y \over 1+x^{2}+y^{2}}}**,**{\displaystyle {1-x^{2}-y^{2} \over 1+x^{2}+y^{2}}}{\displaystyle )}

{\displaystyle \phi \_{1}(x,y)=(}{\displaystyle {2x \over 1+x^{2}+y^{2}}},{\displaystyle {2y \over 1+x^{2}+y^{2}}},{\displaystyle {x^{2}+y^{2}-1 \over 1+x^{2}+y^{2}}}{\displaystyle )}

καλύπτουν μια γειτονιά *U*0 του βόρειου πόλου και *U*1 του νότιου πόλου, αντίστοιχα. Έστω X, Y, Z οι συντεταγμένες του περιβάλλοντος στο **R**3. Στη συνέχεια, φ0 και φ1  έχουν αντίστροφες

{\displaystyle \phi \_{0}^{-1}(X,Y,Z)=({X \over Z+1},{Y \over Z+1})}

{\displaystyle \phi \_{0}^{-1}(X,Y,Z)=({-X \over Z-1},{-Y \over Z-1})}

έτσι ώστε η συντεταγμένη λειτουργία μετάβασης είναι αντιστροφή στον κύκλο:

{\displaystyle \phi \_{01}(x,y)=\phi \_{0}^{-1}\circ \phi \_{1}(x,y)=({x \over x^{2}+y^{2}},{y \over x^{2}+y^{2}})}

Ας παρουσιάσουμε τώρα ένα διανυσματικό πεδίο όσον αφορά τα συστατικά του σε σχέση με τα συντεταγμένα παράγωγα. Αν Ρ είναι ένα σημείο στη γειτονιά *U*0 ⊂ *S*, τότε ένας φορέας πεδίου μπορεί να αντιπροσωπεύεται από τον pushforward.

{\displaystyle \upsilon (P)=J\_{\phi }{\_{0}}(\phi \_{0}^{-1}(P)).\nu \_{0}(\phi \_{0}^{-1}(P))} **(1)**

όπου υποδηλώνει την Ιακωβιανή μήτρα του φ0, και **v**0 = **v**0(*x*, *y*) είναι ένας φορέας πεδίου στο  **R**2 μοναδικά καθορισμένος από το ν. Επιπλέον, στην επικάλυψη μεταξύ των συντεταγμένων διαγραμμάτων *U*0 ∩*U*1, είναι δυνατόν να αναπαραστίσουμε τον ίδιο φορέα πεδίου σε σχέση με τις συντεταγμένες  φτου1 :

{\displaystyle \upsilon (P)=J\_{\phi }{\_{1}}(\phi \_{1}^{-1}(P)).\nu \_{1}(\phi \_{1}^{-1}(P))} **(2)**

Για να συσχετίσετε τα στοιχεία **v**0 και **v**1 , εφαρμόστε τον κανόνα της αλυσίδας στην ταυτότητα φ1 = φ0 ο φ01:

Εφαρμόζοντας και τις δύο πλευρές της εξίσωσης αυτής της μήτρας  στον συστατικό  φορέα v1 (φ1-1 (P)) και συμπεριλαμβάνοντας τις (1) και (2) προκύπτει

{\displaystyle \nu \_{0}(\phi \_{0}^{-1}(P))=J\_{\phi }{\_{01}}(\phi \_{1}^{-1}(P)).\nu \_{1}(\phi \_{1}^{-1}(P))} **(3)**

Ερχόμαστε τώρα στο κύριο ερώτημα του ορισμού για το πώς να μεταφέρουμε ένα φορέα πεδίου παράλληλα στο μήκος μιας καμπύλης. Ας υποθέσουμε ότι *P*(*t*) είναι μια καμπύλη S. Αφελώς, μπορεί κανείς να εξετάσει ένα φορέα πεδίου παράλληλα αν οι συντεταγμένες συνιστώσες του φορέα πεδίου είναι σταθερές κατά μήκος της καμπύλης. Ωστόσο, μια άμεση αμφιβολία προκύπτει: σε *ποιο* σύστημα συντεταγμένων θα πρέπει αυτά τα στοιχεία να είναι σταθερά;

Για παράδειγμα, ας υποθέσουμε ότι το *v*(*P*(*t*)) έχει σταθερά συστατικά στο *U*1 σύστημα συντεταγμένων. Δηλαδή, οι λειτουργίες του **v**1(*φ*1−1(*P*(*t*))) είναι σταθερές. Εντούτοις, η εφαρμογή του προιόντος κανόνα στην (3) και χρησιμοποιώντας το γεγονός ότι  *d***v**1/*dt* = 0  δίνει

{\displaystyle {d \over dt}\nu \_{0}(\phi \_{0}^{-1}(P(t)))=({d \over dt}J\_{\phi }{\_{01}}(\phi \_{1}^{-1}(P(t))).\nu \_{1}(\phi \_{1}^{-1}(P(t)))}

Αλλά η {\displaystyle ({d \over dt}J\_{\phi }{\_{01}}(\phi \_{1}^{-1}(P(t)))} είναι πάντα μια μη μοναδική μήτρα (υπό την προϋπόθεση ότι η καμπύλη P (t) δεν είναι στάσιμη), έτσι ώστε τα ν1 και v0 να μην μπορούν ποτέ ταυτόχρονα  να είναι σταθερά κατά μήκος της καμπύλης.

Ανάλυση
-------

Το πρόβλημα που παρατηρείται παραπάνω είναι ότι η συνήθης κατευθυντική παράγωγος του  διανυσματικού λογισμού δεν συμπεριφέρεται καλά κάτω από τις αλλαγές στο σύστημα συντεταγμένων όταν εφαρμόζεται στα συστατικά των διανυσματικών πεδίων. Αυτό καθιστά πολύ δύσκολο να περιγράψεις το πώς να μεταφράσεις διανυσματικά πεδία με παράλληλο τρόπο, αν πράγματι μια τέτοια έννοια έχει νόημα σε όλα. Υπάρχουν δύο ριζικά διαφορετικοί τρόπους επίλυσης αυτού του προβλήματος.

Η πρώτη προσέγγιση είναι να εξετάσεις τι απαιτείται για μια γενίκευση της παραγώγου κατεύθυνσης για να "συμπεριφέρεται καλά» κάτω από συντεταγμένες μεταβάσεις. Αυτή είναι η τακτική που λήφθηκε από την  συναλλοίωτη παράγωγο προσέγγιση για συνδέσεις: η καλή συμπεριφορά ταυτίζεται με τη συνδιακύμανση. Εδώ θα σκεφτεί κανείς μία τροποποίηση της παραγώγου κατεύθυνσης κατά ένα ορισμένο γραμμικό φορέα, του οποίου τα συστατικά ονομάζονται σύμβολα Christoffel, τα οποία δεν συμπεριλαμβάνουν παραγώγους στον ίδιο φορέα πεδίου. Η κατευθυντική παράγωγος *D***u****v** των συστατικών ενός φορέα **v** σε ένα φ σύστημα συντεταγμένων στην κατεύθυνση του **u** αντικαθίστανται από μια συναλλοίωτη παράγωγο:

{\displaystyle \bigtriangledown \_{u}\nu =D\_{u}\nu +\Gamma (\phi )\{u,\nu \}}

όπου η Γ εξαρτάται από το φ σύστημα συντεταγμένων και είναι διγραμμική στο u και v. Ειδικότερα, η Γ δεν περιέχει καμία παράγωγο σε u ή v. Σε αυτή την προσέγγιση, η Γ πρέπει να μετατραπεί με ένα καθορισμένο τρόπο, όταν το σύστημα συντεταγμένων φ αλλάζει σε ένα διαφορετικό σύστημα συντεταγμένων. Αυτή η μετατροπή δεν είναι τανυστική, δεδομένου ότι περιλαμβάνει όχι μόνο την πρώτη παράγωγο της μετάβασης συντεταγμένων, αλλά και τη δεύτερο παράγωγο της. Το να καθορίζεις τον μετατρεπτικό νόμο της Γ δεν είναι αρκετό για να καθορίσεις τη Γ μοναδικά. Πρέπει να επιβάλλονται κάποιες άλλες προϋποθέσεις ομαλοποίησης, συνήθως ανάλογα με το είδος της γεωμετρίας υπό εξέταση. Στη Riemann γεωμετρία, ο σύνδεσμος Levi-Civita απαιτεί συμβατότητα των συμβόλων Christoffel με την μετρική (καθώς και ένα συγκεκριμένο όρο συμμετρίας). Με αυτές τις ομαλοποιήσεις, η σύνδεση είναι μοναδικά ορισμένη.

Η δεύτερη προσέγγιση είναι να χρησιμοποιήσουμε ομάδες Lie για να προσπαθήσουμε να συλλάβουμε κάποιο απομεινάρι της συμμετρίας στο χώρο. Αυτή είναι η προσέγγιση των συνδέσμων Cartan. Το παραπάνω παράδειγμα χρησιμοποιώντας περιστροφές για να καθορίσουμε την παράλληλη μεταφορά των φορέων στη σφαίρα είναι πάρα πολύ σε αυτό το πνεύμα.

Ιστορική έρευνα των συνδέσμων
-----------------------------

Ιστορικά, οι σύνδεσμοι μελετήθηκαν από μια απειροελάχιστη προοπτική στη Riemann γεωμετρία. Η απειροελάχιστη μελέτη των συνδέσμων άρχισε σε κάποιο βαθμό από τον Elwin Christoffel.Αυτό μελετήθηκε αργότερα περισσότερο διεξοδικά από τους Gregorio Ricci-Curbastro και Tullio Levi-Civita (Levi-Civita & Ricci 1900) που παρατήρησαν εν μέρει ότι ένας σύνδεσμος στην απειροελάχιστο έννοια του Christoffel επέτρεψε επίσης την έννοια της παράλληλης μεταφοράς.

Το έργο του Levi-Civita που εστιάζεται αποκλειστικά στην αναφορά των συνδέσμων ως ένα είδος διαφορικού χειρισμού του οποίου παράλληλες μετατοπίσεις ήταν τότε οι λύσεις των διαφορικών εξισώσεων. Καθώς προχωρούσε ο εικοστός αιώνας, Elie Cartan ανέπτυξε μια νέα έννοια του συνδέσμου. Αυτός προσπάθησε να εφαρμόσει τις τεχνικές των συστημάτων Pfaffian στις γεωμετρίες του προγράμματος Erlangen Felix Klein 's. Σε αυτές τις έρευνες, βρήκε ότι κάποια απειροελάχιστη έννοια της σύνδεσης (ένας σύνδεσμος Cartan) θα μπορούσε να εφαρμοστεί σε αυτές τις γεωμετρίες περισσότερο: η έννοια του συνδέσμου επιτράπηκε για την παρουσία της καμπυλότητας, η οποία διαφορετικά θα ήταν απούσα σε μια κλασική γεωμετρία Klein. (Βλέπε, για παράδειγμα, (Cartan 1926) και (Cartan 1983).) Επιπλέον, χρησιμοποιώντας τη δυναμική του Gaston Darboux, ο Cartan ήταν σε θέση να γενικεύσει την έννοια της παράλληλης μεταφοράς στην κατηγορία των απειροελάχιστων συνδέσμων. Αυτό καθιέρωσε μια άλλη σημαντική τομή στη θεωρία των συνδέσμων: ότι ένας σύνδεσμος είναι ένα ορισμένο είδος διαφορικής μορφής.

Τα δύο θέματα στη θεωρία των συνδέσμων συνεχίστηκαν μέχρι και σήμερα: ένας σύνδεσμος ως διαφορικός τελεστής, και ένας σύνδεσμος σε διαφορική μορφή. Το 1950, ο Jean-Louis Koszul (Koszul 1950) έδωσε ένα αλγεβρικό πλαίσιο σχετικά με έναν σύνδεσμο ως διαφορικό χειριστή μέσω του συνδέσμου Koszul.Ο σύνδεσμος Koszul ήταν και  πιο ευρείς από αυτόν του Levi-Civita, και πιο εύκολο να εργασθείς με αυτόν, επειδή τελικά ήταν σε θέση να εξαλείψει (ή τουλάχιστον να αποκρύψει) τα αδέξια σύμβολα Christoffel από τον σύνδεσμο φορμαλισμού.Η συνοδική παράλληλη μετατόπιση της εργασίας είχε επίσης φυσικές αλγεβρικές ερμηνείες όσον αφορά τον σύνδεσμο. Ο ορισμός  του Koszul εγκρίθηκε στη συνέχεια από το μεγαλύτερο μέρος της της κοινότητας Διαφορικής Γεωμετρίας , αφού μετέτρεψε αποτελεσματικά την *αναλυτική* αλληλογραφία μεταξύ συναλλοίωτη διαφοροποίησης και παράλληλης μετάφρασης σε κάτι *αλγεβρικό* .

Την ίδια χρονιά, ο Charles Ehresmann (Ehresmann 1950), μαθητής του Cartan του, παρουσίασε μια παραλλαγή σχετικά με τον σύνδεσμο ως μια διαφορική μορφή, στο πλαίσιο του κεφαλαίου δέσμες και, γενικότερα, δέσμες ινών. Οι σύνδεσμοι Ehresmann ήταν, για να κυριολεκτήσουμε,όχι μια γενίκευση των συνδέσμων Cartan. Οι σύνδεσμοι Cartan ήταν αρκετά αυστηρά συνδεδεμένοι με την υποκείμενη διαφορική τοπολογία του συλλέκτη, λόγω της σχέσης τους με τη μέθοδο της ισοδυναμίας του Cartan .Οι σύνδεσμοι Ehresmann ήταν μάλλον ένα σταθερό πλαίσιο για την προβολή της θεμελιακής εργασίας άλλων Γεωμετρών της εποχής, όπως Shiing-Shen Chern, ο οποίος είχε ήδη αρχίσει να απομακρύνεται από τους συνδέσμους Cartan για να μελετήσει αυτό που θα μπορούσε να ονομαστεί σύνδεσμοι μετρητή. Κατά την άποψη του Ehresmann,ένας σύνδεσμος σε μια κύρια δέσμη αποτελείται από έναν καθορισμό του *οριζόντιου και κάθετου* Οριζόντιου και κάθετου πεδίου του φορέα|πεδίου του φορέα σχετικά με το συνολικό χώρο της δέσμης. Μια παράλληλη μετάφραση είναι ότι μια ανύψωση της καμπύλης από τη βάση σε μια καμπύλη στην κύρια δέσμη η οποία είναι οριζόντια. Αυτή η άποψη έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα πολύτιμη για τη μελέτη της ολονομίας.

Πιθανές προσεγγίσεις
--------------------

* Μια μάλλον άμεση προσέγγιση είναι να καθορίσετε τον τρόπο ένα συναλλοίωτη παράγωγο λειτουργεί σχετικά με τα στοιχεία της μονάδας των διανυσματικών πεδίων ως διαφορικός τελεστής. Γενικότερα, μια παρόμοια προσέγγιση ισχύει και για τις συνδέσεις σε κάθε δέσμη φορέα.
* Ο παραδοσιακός συμβολισμός του δείκτη προσδιορίζει τη σύνδεση με τα συστατικά΄ δείτε τα σύμβολα Christoffel. (Σημείωση: αυτό έχει τρεις δείκτες, αλλά **δεν** είναι ένας τανυστής).
* Σε ψεύδο-Riemannian και Riemannian γεωμετρία ο σύνδεσμος Levi-Civita είναι μια ειδική σύνδεση που σχετίζεται με το μετρικό τανυστή.
* Αυτά είναι παραδείγματα των συγγενικών συνδέσμων. Υπάρχει επίσης μια έννοια του προβολικού συνδέσμου, του οποίου η Schwarzian παράγωγος σε πολύπλοκες αναλύσεις είναι ένα παράδειγμα.Γενικότερα, τόσο οι συγγενικοί όσο και οι προβολικοί σύνδεσμοι είναι τύποι Cartan συνδέσμων.
* Χρησιμοποιώντας κύριες δέσμες, ο σύνδεσμος μπορεί να πραγματοποιηθεί ως Lie αλγεβρικά-αποτιμημένη διαφορική μορφή. Ανατρέξτε στην ενότητα Σύνδεσμος (κύρια δέσμη).
* Μια προσέγγιση των συνδέσμων που κάνει άμεση χρήση της έννοιας της μεταφοράς των «δεδομένων» (όποια και αν είναι) είναι οι σύνδεσμοι Ehresmann.
* Η πιο αφηρημένη προσέγγιση μπορεί να είναι εκείνη που προτείνεται από τον Alexander Grothendieck, όπου ένας σύνδεσμος Grothendieck θεωρείται ως ένα καθοδικό δεδομένο  από απειροελάχιστες γειτονιές της διαγωνίου' δείτε (Osserman 2004).