Επιφάνεια Ρίμαν για την συνάρτηση *ƒ*(*z*) = √*z*. Οι δύο οριζόντιοι άξονες αντιπροσωπεύουν τα πραγματικά και φανταστικά μέρη του *z*, ενώ ο κάθετος άξονας αντιπροσωπεύει το πραγματικό μέρος √*z*. Για το φανταστικό μέρος √*z*, περιστρέφει την πλοκή 180° γύρω από τον κάθετο άξονα.
Στα μαθηματικά, ιδιαίτερα στη μιγαδική ανάλυση, η **επιφάνεια Ρίμαν** που πήρε το όνομά της από τον Μπέρναρντ Ρίμαν ο οποίος ήταν και ο πρώτος που τη μελέτησε, είναι ένας μονοδιάστατος μιγαδικός τοπολογικός χώρος. Οι επιφάνειες Ρίμαν μπορούν να θεωρηθούν ως "παραμορφωμένες εκδόσεις" του μιγαδικού επίπεδου τοπικά κοντά σε κάθε σημείο που μοιάζουν με μπαλώματα του μιγαδικού επιπέδου, ​​αλλά γενικά η τοπολογία τους μπορεί να είναι αρκετά διαφορετική. Παραδείγματος χάριν, μπορούν να μοιάσουν με μια σφαίρα ή με ένα τόρο ή με φύλλα που κολλιούνται από κοινού.

Το κύριο σημείο των επιφανειών Ρίμαν είναι ότι οι ολομορφικές συναρτήσεις μπορούν να καθοριστούν μεταξύ τους. Οι επιφάνειες Ρίμαν εξετάζονται σήμερα ως φυσική ρύθμιση για τη μελέτη της σφαιρικής συμπεριφοράς αυτών των λειτουργιών, ειδικά σύνθετες συναρτήσεις όπως η τετραγωνική ρίζα και άλλες αλγεβρικές συναρτήσεις, ή ο λογάριθμος.

Κάθε επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας δισδιάστατος πραγματικός αναλυτικός τοπολογικός χώρος (δηλ. μια επιφάνεια), αλλά περιέχει περισσότερη δομή (συγκεκριμένα μια μιγαδική δομή) που απαιτείται για το σαφή καθορισμό των ολομορφικών συναρτήσεων. Ένας δισδιάστατος πραγματικός τοπολογικός χώρος μπορεί να μετατραπεί σε επιφάνεια Ρίμαν εάν και μόνο εάν είναι προσανατολίσιμος και μετρήσιμος. Έτσι στη σφαίρα και στο δακτύλιο μπορούν να γίνουν αποδεκτές μιγαδικές δομές, κάτι που δεν είναι εφικτό στη λουρίδα Möbius, στο μπουκάλι Klein και στο προβολικό επίπεδο.

Τα γεωμετρικά δεδομένα για τις επιφάνειες Ρίμαν είναι «όμορφα», και παρέχουν συχνά τη διαίσθηση και το κίνητρο για τις γενικεύσεις σε άλλες καμπύλες, πολλαπλές ή ποικιλίες. Το θεώρημα Riemann-Roch είναι ένα πρωταρχικό παράδειγμα αυτής της επιρροής.

Ορισμοί
-------

Υπάρχουν διάφοροι ισοδύναμοι ορισμοί μιας επιφάνειας Ρίμαν.

1. Μια επιφάνεια Χ Ρίμαν είναι ένας μιγαδικός τοπολογικός χώρος της μιγαδικής διάστασης ένα. Αυτό σημαίνει ότι το Χ είναι ένα τοπολογικό διάστημα Hausdorff που συνοδεύεται με έναν άτλαντα: για κάθε σημείο Χ ∈ Χ υπάρχει μια γειτονιά που περιέχει το Χ ομοιομορφικό στο δίσκο μονάδων του μιγαδικού επιπέδου. Ο χάρτης που φέρνει τη δομή του μιγαδικού επιπέδου στην επιφάνεια Ρίμαν καλείται διάγραμμα. Επιπλέον, οι χάρτες μετάβασης μεταξύ δύο επικαλύπτομενων διαγραμμάτων πρέπει για να είναι ολομορφικοί.
2. Μια επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας προσανατολισμένός τοπολογικός χώρος (της πραγματικής) διάστασης δύο – μια διπλής όψης επιφάνεια – μαζί με μια σύμμορφη δομή. Πάλι, τοπολογικός χώρος σημαίνει τοπικά σε οποιοδήποτε σημείο χ του Χ, το διάστημα είναι πραγματικό επίπεδο. Το συμπλήρωμα «Ρίμαν» δηλώνει ότι το Χ συνοδεύεται με μια πρόσθετη δομή που επιτρέπει το μέτρημα γωνίας στόν τοπολογικό χώρο, δηλαδή μια κατηγορία ισοδυναμίας αποκαλούμενων μετρικών Riemannian. Δύο τέτοιες μετρικές θεωρούνται ισοδύναμες εάν οι γωνίες που μετρούν είναι οι ίδιες. Η επιλογή μιας κατηγορίας ισοδυναμίας μετρικών στο Χ είναι το πρόσθετο στοιχείο της σύμμορφης δομής

Μια μιγαδική δομή δίνει αφορμή για μια σύμμορφη δομή με την επιλογή τυποποιημένης Ευκλείδειας μετρικης που δίνεται στο μιγαδικό επίπεδο και τη μεταφορά του στο Χ με τη βοήθεια των διαγραμμάτων. Να δείξει ότι μια σύμμορφη δομή καθορίζει μια μιγαδική δομή είναι δυσκολότερο.

Παραδείγματα
------------

Η σφαίρα Ρίμαν
* Το μιγαδικό επίπεδο *C* είναι η πιό βασική επιφάνεια Ρίμαν. Ο χάρτης *f(z) = z* (ο ταυτοτηκός χάρτης) καθορίζει ένα διάγραμμα για το *C*, και {*f*} είναι ένας άτλαντας για το C. Το mapg(z) = z\* (ο συζευγμένος χάρτης) επίσης καθορίζει ένα διάγραμμα στο *C* και {*g*} είναι ένας άτλαντας για το Γ. Τα διαγράμματα *f* και *g* δεν είναι συμβατά, έτσι αυτό χρηματοδοτεί το *C*με δύο ευδιάκριτες δομές επιφάνειας Ρίμαν. Στην πραγματικότητα, λαμβάνοντας υπόψη μια επιφάνεια Χ Ρίμαν και τον άτλαντά του *Α*, ο συζευγμένος άτλαντας *Β = {f\*: το f ∈ Α}* δεν είναι ποτέ συμβατό με το *a*, και συνοδεύει το *Χ* με μια ευδιάκριτη, ασυμβίβαστη δομή Ρίμαν.

* Παρόμοια , κάθε ανοικτό υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου μπορεί να αντιμετωπισθεί ως επιφάνεια Ρίμαν με έναν φυσικό τρόπο. Γενικότερα, κάθε ανοικτό υποσύνολο μιας επιφάνειας Ρίμαν είναι μια επιφάνεια Ρίμαν.

* Αφήστε *S* = *C* ∪ {∞} και αφήστε το *f(z)* = *z* όπου το *z* είναι στο *S* \ {∞} και *g(*z*)* = 1/*z* όπου το *z* είναι στο *S* \ {0} και 1/∞ καθορίζεται για να είναι 0. Κατόπιν το *f* και τα *g* είναι διαγράμματα, είναι συμβατά, και {*f*, *g*} είναι ένας άτλαντας για το *S*, που κάνει το *S* σε μια επιφάνεια Ρίμαν. Αυτή η ιδιαίτερη επιφάνεια καλείται σφαίρα Ρίμαν επειδή μπορεί να ερμηνευθεί όπως τυλίγοντας το μιγαδικό επίπεδο γύρω από τη σφαίρα.

* Η θεωρία των συμπαγών επιφανειών Ρίμαν μπορεί να αποδειχθεί για να είναι ισοδύναμη με αυτήν των προβολικών αλγεβρικών καμπυλών που καθορίζονται πέρα από τους μιγαδικούς αριθμούς. Παραδείγματος χάριν, το δακτύλιο *g*(*Ζ* + *τ Ζ*), όπου τ είναι ένας μιγαδικός μη-πραγματικός αριθμός, αντιστοιχεί, μέσω της ελλειπτικής λειτουργίας Weierstrass που συνδέεται στο δικτυωτό πλέγμα *Ζ* + *τ Ζ*, σε μια ελλειπτική καμπύλη που δίνεται από μια εξίσωση

*y*2 = *x*3 + *a x* + *b*.
Οι Tori είναι οι μόνες επιφάνειες Ρίμαν του γένους ένα, οι επιφάνειες των υψηλότερων γενών γ παρέχονται από τις υπερελληπτικές επιφάνειες
*y*2 = *P*(*x*),
όπου το *P* είναι ένα σύνθετο πολυώνυμο του βαθμού *2g + 1*.
* Τα σημαντικά παραδείγματα των μη συμπαγών επιφανειών Ρίμαν παρέχονται από την αναλυτική συνέχεια.

* f(z) = arcsin z*f*(*z*) = arcsin *z*
* f(z) = log z*f*(*z*) = log *z*
* f(z) = z1/2*f*(*z*) = *z*1/2
* f(z) = z1/3*f*(*z*) = *z*1/3
* f(z) = z1/4*f*(*z*) = *z*1/4

Περαιτέρω ορισμοί και ιδιότητες
-------------------------------

Όπως με οποιοδήποτε χάρτη μεταξύ των μιγαδικων τοπολογικών υποχώρων, μια συνάρτηση *f*: Το *Μ* → *Ν* μεταξύ δύο επιφανειών Ρίμαν *Μ* και *Ν* καλείται ολομορφική εάν για κάθε διάγραμμα *g* στον άτλαντα του *Μ* και κάθε charth στον άτλαντα του *Ν*, ο χάρτης *h* o *f* o *g*−1 είναι ολομορφικός (ως λειτουργία από το *C* στο *C*) οπουδήποτε καθορίζεται. Η σύνθεση δύο ολομορφικών χαρτών είναι ολομορφική. Οι δύο επιφάνειες *Μ* και *Ν* Ρίμαν καλούνται βιχολομορφικές εάν υπάρχει μια 1-1 ολομορφική συνάρτηση από το *Μ* στο *Ν* του οποίου αντίστροφο είναι επίσης ολομορφικό (βγάζει ότι ο τελευταίος όρος είναι αυτόματος και μπορεί επομένως να παραλειφθεί)

### Δυνατότητα Προσανατολισμού

Σημειώσαμε στον πρόλογο ότι όλες οι επιφάνειες Ρίμαν, όπως όλους τους μιγαδικούς τοπολογικούς χώρους, μπορεί να προσανατοληστέι ως πραγματικός τοπολογικός χώρος. Ο λόγος είναι αυτός για τα μιγαδικά διαγράμματα *f* και *g* με τη συνάρτηση μετάβασης *h* = *f*(*g*−1(*z*)) μπορούμε να εξετάσουμε το *χ* ως χάρτη από ένα ανοικτό σύνολο **R**2 to **R**2 του οποίου ο Πίνακας Jacobi σε ένα σημείο *z* είναι ακριβώς ο πραγματικός γραμμικός χάρτης που δίνεται από τον πολλαπλασιασμό από το μιγαδικό αριθμό *h*'(*z*). Εντούτοις, ο πραγματικός καθοριστικός παράγοντας του πολλαπλασιασμού από έναν μιγαδικό αριθμό α είναι ίσος με *α* equals |*α*|2, έτσι ο Πίνακας Jacobi του *χ* έχει θετική ορίζουσα. Συνεπώς ο σύνθετος άτλαντας είναι ένας προσανατολισμένος άτλαντας.

### Συναρτήσεις

Κάθε μη συνεχής επιφάνεια Ρίμαν αναγνωρίζει τις μη-σταθερές ολομορφικές συναρτήσεις (με τις τιμές στο *C*). Στην πραγματικότητα, κάθε μη συνεχής επιφάνεια Ρίμαν είναι ένας τοπολογικός χώρος Stein.
Αντίθετα, σε μια συμπαγή επιφάνεια Χ Ρίμαν κάθε ολομορφική συνάρτηση με τιμές στο *C* είναι σταθερή λογο του ολικού μεγίστου. Εντούτοις, πάντα υπάρχουν οι μη συνεχής μερομορφικές συναρτήσεις (ολομορφικές συναρτήσεις με τις τιμές στη σφαίρα *C* ∪ Ρίμαν {∞}). Ακριβέστερα, ο μερομορφικός χώρος (ομάδα μερομορφικών συναρτήσεων) του *Χ* είναι μια πεπερασμένη επέκταση του *C*(*τ*), ο μερομορφικός χώρος σε μια μεταβλητή, δηλ. οποιες δήποτε δύο μερομορφικές συναρτήσεις είναι αλγεβρικά εξαρτώμενες. Αυτή η δήλωση γενικεύει στις υψηλότερες διαστάσεις, Siegel (1955).

Αναλυτικός εναντίον αλγεβρικού
------------------------------

Το ανωτέρω γεγονός για την ύπαρξη των μη συνεχών μερομορφικών συναρτήσεων μπορούν να χρησιμοποιηθεί για να δείξει ότι οποιαδήποτε συμπαγής επιφάνεια Ρίμαν είναι μια προβολική ποικιλία, δηλ. μπορεί να δοθούν οι πολυωνυμικές εξισώσεις μέσα σε ένα προβολικό διάστημα. Πραγματικά, μπορεί να αποδειχθεί ότι κάθε συμπαγής επιφάνεια Ρίμαν μπορεί να ενσωματωθεί στο μιγαδικό προβολικό χώρο. Αυτό είναι ένα εκπληκτικό θεώρημα: Οι επιφάνειες Ρίμαν δίνονται με τοπικά να επιδιορθώσουν τα διαγράμματα. Εάν ένας σφαιρικός όρος, δηλαδή πυκνότητα, προστίθεται, η επιφάνεια είναι απαραιτήτως αλγεβρική. Αυτό το χαρακτηριστικό γνώρισμα των επιφανειών Ρίμαν επιτρέπει να τους μελετήσει με είτε τα μέσα της αναλυτικής είτε αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αντίστοιχη δήλωση για τα υψηλότερων διαστασεων αντικείμενα είναι ψεύτικη, δηλ. υπάρχουν συμπαγείς μιγαδικοί τοπολογικοί χώροι που δεν είναι αλγεβρικοί. Αφ' ετέρου, κάθε προβολική σύνθετη πολλαπλή είναι απαραιτήτως αλγεβρική.

Για παράδειγμα, εξετάστε το δακτύλιο *T* := **C**/(**Z** + *τ* **Z**). Η συνάρτηση Weierstrass {\displaystyle \wp \_{\tau }(z)} είναι μια μερομορφική συνάρτηση στο *T* Αυτή η συνάρτηση και η παράγωγός της {\displaystyle \wp \_{\tau }^{'}(z)} παράγει τον μερομορφικό χώρο του *Τ*. Υπάρχει μια εξίσωση 

{\displaystyle [\wp '(z)]^{2}=4[\wp (z)]^{3}-g\_{2}\wp (z)-g\_{3},}
όπου οι συντελεστές *g*2 και *g*3 εξαρτώνται από τ, δίνοντας κατά συνέπεια μια ελλειπτική καμπύλη *E*τ από την άποψη της αλγεβρικής γεωμετρίας. Η αντιστροφή αυτού ολοκληρώνεται από τη j-σταθερά *j*(*E*), η οποία μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να καθορίσει τ και ως εκ τούτου ένα δακτύλιο.

Ταξινόμηση των επιφανειών Ρίμαν
-------------------------------

Η σφαίρα των επιφανειών Ρίμαν μπορεί να διαιρεθεί σε τρία καθεστώτα: υπερβολικές, παραβολικές και ελλειπτικές επιφάνειες Ρίμαν, με τη διάκριση που δίνεται από το θεώρημα uniformization. Γεωμετρικά, αυτοί αντιστοιχούν σε αρνητική κυρτότητα, μηδενική κυρτότητα(δηλ. οριζόντια), και τη θετική κυρτότητα: δηλώνοντας το θεώρημα uniformization από την άποψη της σύμμορφης γεωμετρίας, κάθε συνδεδεμένη επιφάνεια Χ Ρίμαν αναγνωρίζει ένα μοναδικό πλήρες 2-διάστατο πραγματικό Ρίμαν μετρικό με τη σταθερή κυρτότητα −1, 0 ή 1 που προκαλούν την ίδια σύμμορφη δομή – κάθε μετρικός είναι συμμορφικά ισοδύναμος με μια σταθερή κυρτότητα μετρική. Η επιφάνεια *Χ* καλείται υπερβολική, παραβολική, και ελλειπτική, αντίστοιχα.
Για τις απλά συνδεδεμένες επιφάνειες Ρίμαν, το θεώρημα uniformization δηλώνει ότι κάθε απλά συνδεδεμένη επιφάνεια Ρίμαν είναι συμμορφικά ισοδύναμη με ένα από τα εξής:

ελλειπτικήσφαίρα Ρίμαν {\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}:=\mathbf {C} \cup \{\infty \}}
παραβολικήτο μιγαδικό επίπεδο **C** ή
υπερβολικήο ανοιχτός δίσκος *D* := {*z* ∈ **C** : |*z*| < 1} ή ισοδύναμα με τα δύο άνω τεταρτημόρια *H* := {*z* ∈ **C** : Im(*z*) > 0}
Η ύπαρξη αυτών των τριών τύπων παραλληλίζει τις διάφορες μη-Ευκλείδειες γεωμετρίες.
Η γενική τεχνική σε ένα τοπολογικό χώρο Χ η καθολική κάλυψή της Υ, και το αρχικό Χ ως πηλίκο του Υ από την ομάδα αυτομορφησμών δίνει μια πρώτη επισκόπηση σχετικά με τις επιφάνειες Ρίμαν.

### Ελλειπτικές επιφάνειες Ρίμαν

Εξ ορισμού, αυτές είναι οι επιφάνειες *Χ* με τη σταθερή κυρτότητα +1. Η σφαίρα Ρίμαν *C*∪{∞} είναι το μόνο παράδειγμα. (Οι ελλειπτικές συναρτήσεις είναι παραδείγματα των παραβολικών επιφανειών Ρίμαν. Η ονομασία προέρχεται από την ιστορία: οι ελλειπτικές συναρτήσεις συνδέονται με τα ελλειπτικά ολοκληρώματα, τα οποία παρουσιάζουν με τη σειρά τους τον υπολογισμό της περιφέρειας των ελλείψεων).

### Παραβολικές επιφάνειες Ρίμαν

Εξ ορισμού, αυτές είναι οι επιφάνειες *Χ* με τη σταθερή κυρτότητα 0. Ισοδύναμα, από το θεώρημα uniformization, η καθολική κάλυψη του *Χ* πρέπει να είναι το μιγαδικό επίπεδο.
Υπάρχουν έπειτα τρεις δυνατότητες για το *Χ*. Μπορεί να είναι το ίδιο το επίπεδο, ένας δακτύλιος, ή ένα τόρους

*T* := **C** / (**Z** ⊕ τ**Z**)
Το σύνολο αντιπροσώπων των στοιχείων καλείται θεμελιώδεις περιοχές.
Η προσοχή πρέπει να ληφθεί στο μέτρο που δύο δακτύλια είναι πάντα ομοιομορφικά, αλλά γενικά μη βιχολομορφικά το ένα με το άλλο. Αυτό είναι η πρώτη εμφάνιση του προβλήματος των συντελεστών. Ο συντελεστής ενός δακτυλίου μπορεί να συλληφθεί από έναν ενιαίο σύνθετο αριθμό τ με το θετικό φανταστικό μέρος. Στην πραγματικότητα, το χαρακτηρισμένο διάστημα συντελεστών (διάστημα Teichmüller) του δακτυλίου είναι βιχολομορφικό στον ανώ μισό επίπεδο ή ισοδύναμα ο ανοικτός δίσκος μονάδων.

### Υπερβολικές επιφάνειες Ρίμαν

Οι επιφάνειες Ρίμαν με την κυρτότητα −1 καλούνται υπερβολικές. Αυτή η ομάδα είναι «η μεγαλύτερη».
Το γιορτασμένο θεώρημα χαρτογράφησης Ρίμαν δηλώνει ότι οποιοδήποτε απλά συνδεδεμένο ακριβές υποσύνολο του μιγαδικού επιπέδου είναι βιχολομορφικο στο δίσκο μονάδων. Επομένως ο ανοικτός δίσκος με τον poincaré-μετρικό της σταθερής κυρτότητας −1 είναι το τοπικό πρότυπο οποιασδήποτε υπερβολικής επιφάνειας Ρίμαν. Σύμφωνα με το θεώρημα uniformization ανωτέρω, όλες οι υπερβολικές επιφάνειες είναι πηλίκα του δίσκου μονάδων.

Τα παραδείγματα περιλαμβάνουν όλες τις επιφάνειες με το γένος *g* > 1 όπως οι υπερβολικός-ελλειπτικές καμπύλες.

Για κάθε υπερβολική επιφάνεια Ρίμαν, η θεμελιώδης ομάδα είναι ισομορφική σε μια ομάδα Fuchsian, και έτσι η επιφάνεια μπορεί να διαμορφωθεί από ένα Fuchsian πρότυπο**H**/Γ όπου το *Χ* είναι στο ανω μισο επίπεδο και Γ είναι η ομάδα Fuchsian. Το σύνολο αντιπροσώπων των cosets **H**/Γ είναι ελεύθερα κανονικά σύνολα και μπορεί να διαμορφωθεί στα μετρικά θεμελιώδη πολύγωνα. Οι δομές πηλίκου ως **H**/Γ είναι γενικευμένες στις ποικιλίες Shimura.

Αντίθετα από τις ελλειπτικές και παραβολικές επιφάνειες, καμία ταξινόμηση των υπερβολικών επιφανειών δεν είναι δυνατή. Οποιοδήποτε συνδεδεμένο ανοικτό ακριβές υποσύνολο του επιπέδου δίνει μια υπερβολική επιφάνεια εξετάστε το επίπεδο μείον ένα Cantor set. Μια ταξινόμηση είναι δυνατή για τις **επιφάνειες πεπερασμένου τύπου**:εκείνες που είναι ισομορφικές σε μια συμπαγή επιφάνεια με έναν πεπερασμένο αριθμό σημείων αφαιρούμενων. Οποιοσδήποτε από αυτούς έχει έναν πεπερασμένο αριθμό συντελεστών και έτσι ενός πεπερασμένου διαστατικού διαστήματος Teichmüller. Το πρόβλημα των συντελεστών (που λύνονται από Lars Ahlfors και που επεκτείνονται από Lipman Bers) ήταν να δικαιολογηθεί η αξίωση Ρίμαν που για μια κλειστή επιφάνεια του γένους **g, 3g − 3** μιγαδικοί παράμετροι αρκεί.

Όταν μια υπερβολική επιφάνεια είναι συμπαγής, κατόπιν η συνολική έκταση της επιφάνειας είναι 4π(*g* − 1), όπου το γ είναι το γένος της επιφάνειας η περιοχή λαμβάνεται με την εφαρμογή του θεωρήματος Gauss-Bonnet στην περιοχή του θεμελιώδους πολυγώνου.

Χάρτες μεταξύ των επιφανειών Ρίμαν
----------------------------------

Η γεωμετρική ταξινόμηση απεικονίζεται στους χάρτες μεταξύ των επιφανειών Ρίμαν, όπως εκτίθεται λεπτομερώς στο θεώρημα Liouville και το θεώρημα Little Picard: οι χάρτες από υπερβολικό σε παραβολικό σε ελλειπτικό είναι εύκολοι, αλλά οι χάρτες από ελλειπτικό παραβολικός ή παραβολικός σε υπερβολικό είναι πολύ περιορισμένοι. Υπάρχουν συνυπολογισμοί του δίσκου στο επίπεδο στη σφαίρα:{\displaystyle \Delta \subset \mathbf {C} \subset {\widehat {\mathbf {C} }},} αλλά οποιοσδήποτε μερομορφικός χάρτης από τη σφαίρα στο επίπεδο είναι σταθερός, οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο δίσκο μονάδων είναι σταθερός (θεώρημα Liouville), και στην πραγματικότητα οποιοσδήποτε ολομορφικός χάρτης από το επίπεδο στο αεροπλάνο μείον δύο σημεία είναι σταθερός (θεώρημα Little Picard)!

### Τρυπημένες σφαίρες

Αυτές οι δηλώσεις διευκρινίζονται με την εξέταση του τύπου μιας σφαίρας {\displaystyle {\widehat {\mathbf {C} }}} Ρίμαν με διάφορες οπές. Χωρίς τις οπές, είναι μια σφαίρα Ρίμαν, η οποία είναι ελλειπτική. Με μια οπή, που μπορεί να τοποθετηθεί στο άπειρο, είναι το σύνθετο επίπεδο, το οποίο είναι παραβολικό. Με δύο οπές, είναι το τρυπημένος επίπεδο ή εναλλακτικά ο δακτύλιος ή κύλινδρος, οι οποίοι είναι παραβολικοί. Με τρεις ή περισσότερες οπές, είναι υπερβολικό. Κάποιος μπορεί να χαρτογραφήσει από μια οπή σε δύο, μέσω του εκθετικού χάρτη (που είναι ολόκληρος και έχει μια ουσιαστική ιδιομορφία στο άπειρο, τόσο που δεν καθορίζεται στο άπειρο, και χάνει μηδέν και το άπειρο), αλλά όλους τους χάρτες από μηές οπές σε μια ή περισσότερες, ή μια ή δύο οπές σε τρεις ή περισσότεροι είναι σταθεροί

Ισομετρίες των επιφανειών Ρίμαν
-------------------------------

Η ισομετρική ομάδα απο μια επιφάνεια Ρίμαν (ισοδύναμα, η σύμμορφη αυτόμορφη ομάδα) απεικονίζει τη γεωμετρία της:

* γένος 0 – η ισομετρική ομάδα της σφαίρας είναι η ομάδα Möbius προβολικών μετατροπών της μιγαδικής γραμμής,
* η ισομετρική ομάδα του επιπέδου είναι η άπειρη υποομάδα, και του τρυπημένου επιπέδου είναι η υποομάδα που αφήνει αμετάβλητο το σύνολο που περιέχει μόνο το άπειρο και μηδέν: είτε καθορίζοντας τους και οι δύο, είτε ανταλλάσσοντας τους (1/*z*).
* η ισομετρική ομάδα του ανω μισού καρτεσιανού γινομένου είναι η πραγματική ομάδα Möbius αυτό είναι συζευγμένο στην αυτόμορφη ομάδα ομάδα του δίσκου.
* γένος 1 – η ισομετρική ενός δακτυλίου είναι γενικά μεταφράσεις (ως αβελιανή ποικιλία), αν και το τετραγωνικό δικτυωτό πλέγμα και το εξαγωνικό δικτυωτό πλέγμα έχουν τις συμμετρίες προσθηκών από την περιστροφή από 90° και 60°.
* Για το γένος ≥ 2, η ισομετρική ομάδα είναι πεπερασμένη, και έχει τη διαταγή το πολύ-πολύ {\displaystyle 84(g-1),} από το θεώρημα αυτομορφισμού Hurwitz οι επιφάνειες που πραγματοποιούν αυτό συνδεδεμένο καλούνται επιφάνειες Hurwitz.
* Είναι γνωστό ότι κάθε πεπερασμένη ομάδα μπορεί να πραγματοποιηθεί ως πλήρης ισομετρική ομάδα κάποιας επιφάνειας Ρίμαν.
	+ Για το γένος 2 η τάξη μεγιστοποιείται από την επιφάνεια Bolza, με τάξη 48.
	+ Για το γένος 3 η τάξη μεγιστοποιείται από το Klein quartic, με τη σειρά 168 αυτό είναι η πρώτη επιφάνεια Hurwitz, και είναι ομάδα αυτομορφισμός, είναι ισομορφική στη μοναδική απλή ομάδα τάξης 168, η οποία είναι η δεύτερη μικρότερη μη-αβελιανή απλή ομάδα.
	+ Για το γένος 4,η επιφάνεια Bring's είναι μια ιδιαίτερα συμμετρική επιφάνεια.
	+ Για το γένος 7 η τάξη μεγιστοποιείται από την επιφάνεια Macbeath, με τάξη 504 αυτό είναι η δεύτερη επιφάνεια Hurwitz, και η αυτόμορφη ομάδα είναι ισομορφη, η τέταρτη μικρότερη μη-αβελιανή απλή ομάδα.

Συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση
---------------------------------

Το σχέδιο ταξινόμησης ανωτέρω χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από γεωμετριστές. Υπάρχει μια διαφορετική ταξινόμηση για τις επιφάνειες Ρίμαν που χρησιμοποιείται χαρακτηριστικά από τους μιγαδικούς αναλυτές. Υιοθετεί έναν διαφορετικό καθορισμό για «παραβολικός» και «υπερβολικός». Σε αυτό το εναλλακτικό σχέδιο ταξινόμησης, μια επιφάνεια Ρίμαν καλείται παραβολική εάν δεν υπάρχει καμία μη συνεχής αρνητική υποαρμονική συνάρτηση στην επιφάνεια και ειδάλλως καλείται υπερβολική.. Αυτή η κατηγορία υπερβολικών επιφανειών υποδιαιρείται περαιτέρω στις υποκατηγορίες σύμφωνα με το εάν τα διαστήματα των συναρτήσεων εκτός από τις αρνητικές υποαρμονικές συναρτήσεις είναι εκφυλισμένες, π.χ. επιφάνειες Ρίμαν στις οποίες όλες οι οριακές ολομορφικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες οριακές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, ή σε όποιες όλες οι θετικές αρμονικές συναρτήσεις είναι σταθερές, κ.λ.π.

Για να αποφύγετε τη σύγχυση, καλέστε την ταξινόμηση βασισμένη στις μετρικές της σταθερής κυρτότητας στη γεωμετρική ταξινόμηση, και αυτή βασισμένη στον εκφυλισμό της συνάρτησης χωρίζει κατά διαστήματα τη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση. Παραδείγματος χάριν, η επιφάνεια Ρίμαν που αποτελείται από «όλους τους μιγαδικούς αριθμούς εκτώς 0 και 1» είναι παραβολική στη συναρτησιακή-θεωρητική ταξινόμηση αλλά είναι υπερβολική στη γεωμετρική ταξινόμηση.

Σημειώσεις
----------

1. ↑  Δείτε Harvard citations (Jost 2006, Ch. 3.11) για την κατασκευή μιας αντίστοιχης μιγαδικής δομής.
2. ↑  L.Greenberg, Maximal groups and signatures, Ann. Math. Studies 79 (1974) 207–226
3. ↑  Ahlfors, Lars; Sario, Leo (1960), *Riemann Surfaces* (1st έκδοση), Princeton, New Jersey: Princeton University Press, σελ. 204
4. ↑  Rodin, Burton; Sario, Leo (1968), *Principal Functions* (1st έκδοση), Princeton, New Jersey: D. Von Nostrand Company, Inc. σελ. 199

Αναφορές
--------

* Farkas, Hershel M.; Kra, Irwin (1980), *Riemann Surfaces* (2nd έκδοση), Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90465-8
* Pablo Arés Gastesi, *Riemann Surfaces Book*.
* Hartshorne, Robin (1977), *Algebraic Geometry*, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90244-9, OCLC 13348052 , esp. chapter IV.
* Jost, Jürgen (2006), *Compact Riemann Surfaces*, Berlin, New York: Springer-Verlag, σελ. 208–219, ISBN 978-3-540-33065-3
* Papadopoulos, Athanase, επιμ.. (2007), *Handbook of Teichmüller theory. Vol. I*, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, **11**, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/029, ISBN 978-3-03719-029-6
* Papadopoulos, Athanase, επιμ.. (2009), *Handbook of Teichmüller theory. Vol. II*, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, **13**, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/055, ISBN 978-3-03719-055-5
* Papadopoulos, Athanase, επιμ.. (2012), *Handbook of Teichmüller theory. Vol. III*, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics, **19**, European Mathematical Society (EMS), Zürich, doi:10.4171/103, ISBN 978-3-03719-103-3
* Siegel, Carl Ludwig (1955), «Meromorphe Funktionen auf kompakten analytischen Mannigfaltigkeiten», *Nachrichten der Akademie der Wissenschaften in Göttingen. II. Mathematisch-Physikalische Klasse* **1955**: 71–77, ISSN 0065-5295
* Weyl, Hermann (2009), *The concept of a Riemann surface* (3rd έκδοση), New York: Dover Publications, ISBN 978-0-486-47004-7,