Σύμφωνα με το Θεώρημα Viviani, {\displaystyle d\_{1}+d\_{2}+d\_{3}=u}.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα Viviani** λέει ότι σε κάθε ισόπλευρο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και για {\displaystyle \mathrm {P} } ένα τυχόν εσωτερικό του σημείο, ισχύει ότι:65-66

{\displaystyle d\_{1}+d\_{2}+d\_{3}=u},
όπου {\displaystyle d\_{1},d\_{2},d\_{3}} οι αποστάσεις του {\displaystyle \mathrm {P} } από τις πλευρές του τριγώνου και u το ύψος του τριγώνου.

Απόδειξη
--------

Ο χωρισμός του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } στα επιμέρους τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {APB} ,\mathrm {AP\Gamma } ,\mathrm {BP\Gamma } }.
Θα χρησιμοποιήσουμε τον εξής τύπο για το εμβαδόν ενός τριγώνου:

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}}).}
Χωρίζοντας το αρχικό τρίγωνο στα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {APB} ,\mathrm {AP\Gamma } ,\mathrm {BP\Gamma } }, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} \_{\mathrm {APB} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {AP\Gamma } }+\mathrm {E} \_{\mathrm {BP\Gamma } }.}
Επομένως, αν x είναι η πλευρά του ισοπλεύρου τριγώνου, τότε

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{3}={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot (d\_{1}+d\_{2}+d\_{3}).}
Απλοποιώντας το {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x}, καταλήγουμε στην ζητούμενη έκφραση 

{\displaystyle u=d\_{1}+d\_{2}+d\_{3}}.

Επεκτάσεις
----------

### Για ισοσκελές τρίγωνο

Το θεώρημα Viviani για ισοσκελή τρίγωνα.
Έστω ένα ισοσκελές τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με {\displaystyle \mathrm {AB} =\mathrm {A\Gamma } =x} και ένα τυχόν σημείο {\displaystyle \mathrm {P} } της {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }. Αν {\displaystyle d\_{1}} και {\displaystyle d\_{2}} είναι οι αποστάσεις του {\displaystyle \mathrm {P} } από τις {\displaystyle \mathrm {AB} } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }, και d το ύψος που αντιστοιχεί στην κορυφή {\displaystyle \mathrm {A} }, τότε

{\displaystyle d\_{1}+d\_{2}=u}.
*Απόδειξη:* Χωρίζοντας το τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } στα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {ABP} } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma P} }, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} \_{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {A\Gamma P} }}.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν του τριγώνου έχουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{1}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{2}}.
Απλοποιώντας το {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}x}, λαμβάνουμε ότι 

{\displaystyle u=d\_{1}+d\_{2}}.
Το θεώρημα Viviani για εξωτερικό σημείο του τριγώνου.
### Για εξωτερικό σημείο

Το θεώρημα Viviani αφορά τα σημεία {\displaystyle \mathrm {P} } που είναι εσωτερικά του τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }. Όταν το {\displaystyle \mathrm {P} } είναι εξωτερικό σημείο προς την πλευρά {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }, τότε ο τύπος αλλάζει σε 

{\displaystyle u=d\_{2}+d\_{3}-d\_{1}.}
*Απόδειξη:* Θεωρούμε τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {APB} } και {\displaystyle \mathrm {AP\Gamma } }. Τότε, 

{\displaystyle \mathrm {E} \_{\mathrm {AB\Gamma } }=\mathrm {E} \_{\mathrm {ABP} }+\mathrm {E} \_{\mathrm {A\Gamma P} }-\mathrm {E} \_{\mathrm {B\Gamma P} }}.
Χρησιμοποιώντας τον τύπο για το εμβαδόν τριγώνου, έχουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot x\cdot u={\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{2}+{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{3}-{\frac {1}{2}}\cdot x\cdot d\_{1}}.
Απλοποιώντας, λαμβάνουμε τη ζητούμενη σχέση.

### Για κανονικά πολύγωνα

Έστω ένα κανονικό πολύγωνο {\displaystyle \mathrm {A} \_{1},\ldots ,\mathrm {A} \_{n}} και ένα εσωτερικό του σημείο {\displaystyle \mathrm {P} }. Αν d η απόσταση του περίκεντρου από τις πλευρές και {\displaystyle d\_{1},\ldots ,d\_{n}} οι αποστάσεις του {\displaystyle \mathrm {P} } από τις πλευρές {\displaystyle \mathrm {A} \_{1}\mathrm {A} \_{2},\ldots ,\mathrm {A} \_{n-1}\mathrm {A} \_{n},\mathrm {A} \_{n}\mathrm {A} \_{1}}, τότε ισχύει ότι 

{\displaystyle d\_{1}+\ldots +d\_{n}=n\cdot d.}
Η γενίκευση του θεωρήματος Viviani για το τετράγωνο και το πεντάγωνο.
*(Απόδειξη):* Θεωρούμε τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {A} \_{1}\mathrm {P} \mathrm {A} \_{2},\ldots ,\mathrm {A} \_{n}\mathrm {P} \mathrm {A} \_{1}}. Το εμβαδό του πολυγώνου ισούται με το άθροισμα των εμβαδόν των τριγώνων, άρα

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} \_{1}\mathrm {A} \_{2}\cdot d\_{1}+\ldots +{\tfrac {1}{2}}\cdot \mathrm {A} \_{n}\mathrm {A} \_{1}\cdot d\_{n}={\tfrac {1}{2}}\cdot x\cdot (d\_{1}+\ldots +d\_{n}).}
Αντίστοιχα, για το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου του πολυγώνου, οι αποστάσεις προς κάθε μία από τις πλευρές είναι d. Επομένως, το εμβαδόν του πολυγώνου δίνεται από τον τύπο 

{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot x\cdot (d\_{1}+\ldots +d\_{n})={\tfrac {n}{2}}\cdot x\cdot d.}
Εξισώνοντας του τύπους για το εμβαδόν έχουμε ότι 

{\displaystyle d=d\_{1}+\ldots +d\_{n}=n\cdot d,}
ολοκληρώνοντας την απόδειξη. {\displaystyle \square }

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

* Gueron, Shay; Tessler, Ran (2002). «The Fermat-Steiner problem». *Amer. Math. Monthly* **109** (5): 443–451. doi:10.2307/2695644.
* Samelson, Hans (2003). «Proof without words: Viviani's theorem with vectors». *Math. Mag.* **76** (3): 225. doi:10.2307/3219327.
* Chen, Zhibo; Liang, Tian (2006). «The converse of Viviani's theorem». *The College Mathematics Journal* **37** (5): 390–391. doi:10.2307/27646392.
* Kawasaki, Ken-Ichiroh; Yagi, Yoshihiro; Yanagawa, Katsuya (2005). «On Viviani's theorem in three dimensions». *Math. Gaz.* **89** (515): 283–287. doi:10.1017/S002555720017785X.
* Zhou, Li (2012). «Viviani polytopes and Fermat Points». *Coll. Math. J.* **43** (4): 309–312. doi:10.4169/college.math.j.43.4.309.

Δείτε επίσης
------------

* Ισόπλευρο τρίγωνο
* Κανονικό πολύγωνο

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Ταβανλης, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.