Τα μέσα {\displaystyle \mathrm {M} \_{1},\mathrm {M} \_{2},\mathrm {M} \_{3},\mathrm {M} \_{4}} των πλευρών ενός τετραπλεύρου δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα Βαρινιόν** δηλώνει ότι σε ένα οποιοδήποτε τετράπλευρο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma \Delta } } τα μέσα {\displaystyle \mathrm {M} \_{1},\mathrm {M} \_{2},\mathrm {M} \_{3},\mathrm {M} \_{4}} των πλευρών του, δημιουργούν ένα παραλληλόγραμμο. Το παραλληλόγραμμο αυτό ονομάζεται το **παραλληλόγραμμο Βαρινιόν**.

Το θεώρημα παίρνει το όνομά του από τον Πιερ Βαρινιόν που το δημοσίευσε το 1734.

Αποδείξεις
----------

Υπάρχουν διάφορες αποδείξεις για το θεώρημα Βαρινιόν. Παρακάτω παραθέτουμε δύο από αυτές.

Οι {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} } και {\displaystyle \mathrm {M\_{3}M\_{4}} } είναι παράλληλες και ίσες με το μισό της {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }.
### Με θεώρημα τομής του Θαλή

Από το θεώρημα τομής του Θαλή στo τρίγωνo {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } και αφού {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} } ενώνει τα μέσα των δύο πλευρών, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma } }.
Αντίστοιχα, από το τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } }, έχουμε ότι

{\displaystyle \mathrm {M\_{3}M\_{4}} \parallel ={\tfrac {1}{2}}\mathrm {A\Gamma } }.
Επομένως, το τετράπλευρο {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}M\_{3}M\_{4}} } έχει δύο πλευρές ίσες και παράλληλες άρα είναι παραλληλόγραμμο.

### Με διανύσματα

Έχουμε ότι 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {M} \_{1}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {AB} }}}, {\displaystyle {\vec {\mathrm {M} \_{2}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {B\Gamma } }}}, {\displaystyle {\vec {\mathrm {M} \_{3}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }}} και {\displaystyle {\vec {\mathrm {M} \_{4}}}={\tfrac {1}{2}}{\vec {\mathrm {\Delta A} }}}.
Επομένως, 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {M\_{1}M\_{2}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {B\Gamma } }}-{\vec {\mathrm {AB} }})={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}},
και 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {M\_{3}M\_{4}} }}={\tfrac {1}{2}}\cdot ({\vec {\mathrm {\Delta A} }}-{\vec {\mathrm {\Gamma \Delta } }})={\tfrac {1}{2}}\cdot {\vec {\mathrm {A\Gamma } }}}.
Άρα οι πλευρές {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}} } και {\displaystyle \mathrm {M\_{3}M\_{4}} } είναι παράλληλες και ίσες. Συνεπώς, το τετράπλευρο {\displaystyle \mathrm {M\_{1}M\_{2}M\_{3}M\_{4}} } είναι παραλληλόγραμμο.

Γενικεύσεις
-----------

Διάφορες γενικεύσεις του θεωρήματος έχουν μελετηθεί σε πολύγωνα και στον τρισδιάστατο χώρο.

Δείτε επίσης
------------

* Μέσο (σημείο)
* Παραλληλόγραμμο
* Θεώρημα τομής του Θαλή

Παραπομπές
----------

1. ↑  Oliver, Peter N. (2001). «Pierre Varignon and the Parallelogram Theorem». *The Mathematics Teacher* **94** (4): 316–319. doi:10.5951/MT.94.4.0316.
2. ↑  Varignon, Pierre (1734). *Elemens de mathematique*. Amsterdam: Chez François Changuion.
3. ↑  Palatnik, Alik (2017). «Proof Without Words: Varignon’s Theorem». *The College Mathematics Journal* **48** (5): 354–354. doi:10.4169/college.math.j.48.5.354.
4. ↑  de Villiers, Michael (2007). «A Hexagon Result and its Generalization via Proof». *The Mathematics Enthusiast* **4** (2): 188–192. doi:10.54870/1551-3440.1070.
5. ↑  Lord, Nick (2008). «92.22 Maths bite: averaging polygons». *The Mathematical Gazette* **92** (523): 134–134. doi:10.1017/S0025557200182749.
6. ↑  Oliver, Peter N. (2001). «Consequences of the Varignon Parallelogram Theorem». *The Mathematics Teacher* **94** (5): 406–408. doi:10.5951/MT.94.5.0406.
7. ↑  Laudano, Francesco (2023). «Generalized Varignon's and median triangle theorems». *Communications of the Korean Mathematical Society* **38** (2): 561–573. doi:10.4134/CKMS.c220095.