Στην συνδυαστική, η **ταυτότητα Βαντερμόντε** δίνει ότι για οποιοσδήποτε φυσικούς αριθμούς {\displaystyle \nu ,\mu \in \mathbb {N} } και {\displaystyle 0\leq \kappa \leq \min(\nu ,\mu )},:168:31

{\displaystyle {\binom {\nu +\mu }{\kappa }}=\sum \_{\lambda =0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda }}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda }},}
όπου {\displaystyle {\tbinom {x}{y}}} ο διωνυμικός συντελεστής.

Παράδειγμα
----------

Για {\displaystyle \nu =2}, {\displaystyle \mu =3} και {\displaystyle \kappa =3}, η ταυτότητα Βαντερμόντε δίνει ότι:

{\displaystyle {\binom {5}{3}}={\binom {2}{0}}{\binom {3}{3}}+{\binom {2}{1}}{\binom {3}{2}}+{\binom {2}{2}}{\binom {3}{1}},}
που ισχύει καθώς

{\displaystyle 10=1\cdot 1+2\cdot 3+1\cdot 3.}
Ένας εναλλακτικός τρόπος να δούμε την ισότητα είναι να μετρήσουμε τους δυνατούς τρόπους να φτιάξουμε μία επιτροπή με {\displaystyle 3} άτομα από τα συνολικά {\displaystyle 5} άτομα (εκ των οποίων {\displaystyle 2} είναι άνδρες και {\displaystyle 3} γυναίκες).

| Πλήθος ανδρών/Γυναικών | Οι επιτροπές | Πλήθος επιτροπών |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle 0}/{\displaystyle 2} | {\displaystyle {\color {red}\Gamma \_{1}\Gamma \_{2}\Gamma \_{3}}} | 1 |
| {\displaystyle 1}/{\displaystyle 1} | {\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}}{\color {red}\Gamma \_{1}\Gamma \_{2}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}}{\color {red}\Gamma \_{1}\Gamma \_{3}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}}{\color {red}\Gamma \_{2}\Gamma \_{3}}} 

{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{1}\Gamma \_{2}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{1}\Gamma \_{3}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{2}\Gamma \_{3}}} | 6 |
| {\displaystyle 2}/{\displaystyle 0} | {\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{1}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{2}}} 
{\displaystyle {\color {blue}\mathrm {A} \_{1}\mathrm {A} \_{2}}{\color {red}\Gamma \_{3}}} | 3 |

Αποδείξεις
----------

### Αλγεβρική απόδειξη

Θεωρούμε το πολυώνυμο {\displaystyle p(x)=(x+1)^{\nu +\mu }}. Από το διωνυμικό θεώρημα, ο συντελεστής του {\displaystyle x^{\kappa }} είναι {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}}. Γράφοντας το {\displaystyle p(x)} ως:

{\displaystyle p(x)=(x+1)^{\nu }\cdot (x+1)^{\mu }=\left(\sum \_{\lambda \_{1}=0}^{\nu }{\binom {\nu }{\lambda \_{1}}}x^{\lambda \_{1}}\right)\cdot \left(\sum \_{\lambda \_{2}=0}^{\mu }{\binom {\mu }{\lambda \_{2}}}x^{\lambda \_{2}}\right),}
o όρος {\displaystyle x^{\kappa }} προκύπτει από τον πολλαπλασιασμό των {\displaystyle x^{\lambda \_{1}}} και {\displaystyle x^{\lambda \_{2}}} με {\displaystyle \lambda \_{1}+\lambda \_{2}=\kappa }. Συνεπώς, ο συντελεστής του {\displaystyle x^{\kappa }} δίνεται από τον άθροισμα

{\displaystyle \sum \_{\lambda \_{1}=0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda \_{1}}}{\binom {\mu }{\kappa -\lambda \_{1}}}.}
Από το διωνυμικό θεώρημα στο {\displaystyle (x+1)^{\nu +\mu }} αυτός ο συντελεστής είναι ίσος με {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}}, και έπεται το ζητούμενο.

### Συνδυαστική απόδειξη

Μπορούμε να αποδείξουμε την ταυτότητα με την εξής ερμηνεία. Έστω ότι έχουμε {\displaystyle \nu } άνδρες και {\displaystyle \mu } γυναίκες και θέλουμε να φτιάξουμε μία επιτροπή αποτελούμενη από {\displaystyle \kappa } άτομα. Από τον συνδυαστικό ορισμό των διωνυμικών συντελεστών, υπάρχουν {\displaystyle {\tbinom {\nu +\mu }{\kappa }}} τρόποι να διαλέξουμε αυτά τα άτομα.

Ένας άλλος τρόπος να μετρήσουμε το πλήθος των επιτροπών είναι να μετρήσουμε τις ομάδες που έχουν {\displaystyle \lambda =0,1,\ldots ,\kappa } άνδρες και να τις αθροίσουμε. Ξανά, από τον ορισμό των διωνυμικών συντελεστών, υπάρχουν {\displaystyle {\tbinom {\nu }{\lambda }}} τρόποι να διαλέξουμε τους άνδρες της επιτροπής και {\displaystyle {\tbinom {\mu }{\kappa -\lambda }}} τρόποι να διαλέξουμε τις γυναίκες. Επομένως, συνολικά υπάρχουν 

{\displaystyle \sum \_{\lambda =0}^{\kappa }{\binom {\nu }{\lambda }}\cdot {\binom {\mu }{\kappa -\lambda }}.}
Επειδή αυτές οι δύο τιμές μετράνε την ίδια ποσότητα, λαμβάνουμε τη ζητούμενη ταυτότητα.

Δείτε επίσης
------------

* Διωνυμικό θεώρημα
* Υπεργεωμετρική κατανομή

Παραπομπές
----------

1. ↑  Graham, Ronald L.· Knuth, Donald E.· Patashnik, Oren (1997). *Concrete mathematics : a foundation for computer science* (2η έκδοση). Reading, Mass.: Addison-Wesley. ISBN 9780201558029.
2. ↑  Φωτάκης, Δ. «Συνδυαστική Απαρίθµηση» (PDF). Σχολή Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Μηχανικών Υπολογιστών, Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο. Ανακτήθηκε στις 6 Αυγούστου 2022.