Χώρος παραμέτρων της μιγαδικής εκθετικής οικογένειας f(z)=exp(z)+c. Οκτώ ακτίνες παραμέτρων που προσγειώνονται σε αυτή την παράμετρο σχεδιάζονται με μαύρο χρώμα.
Μια **εξωτερική ακτίνα** είναι μια καμπύλη που εκτείνεται από το άπειρο προς ένα σύνολο Julia ή Μάντελμπροτ. Αν και αυτή η καμπύλη είναι μόνο σπάνια μια ημιευθεία (ακτίνα), ονομάζεται ακτίνα επειδή αποτελεί εικόνα μιας ακτίνας.

Οι εξωτερικές ακτίνες χρησιμοποιούνται στη μιγαδική ανάλυση, ιδιαίτερα στη μιγαδική δυναμική και στη θεωρία γεωμετρικών συναρτήσεων.

Ιστορία
-------

Οι εξωτερικές ακτίνες εισήχθησαν στη μελέτη των Ντουαντί και Χάμπαρντ για το σύνολο Μάντελμπροτ.

Στις αρχές της δεκαετίας του 1980, ο Αντριέν Ντουαντί (1935- ) και ο Τζον Χάμπαρντ (1945- ) συνεργάστηκαν για να μελετήσουν τη δομή του συνόλου Μάντελμπροτ. Για τον σκοπό αυτό χρησιμοποίησαν τότε εργαλεία από την πολύπλοκη ανάλυση και τα δυναμικά συστήματα, και κατάφεραν να αποδείξουν ότι, παρά τα φαινόμενα, το σύνολο αυτό είναι συνδεδεμένο. Επιπλέον, χρησιμοποιώντας την περίφημη τεχνική τους που περιλαμβάνει "εξωτερικές ακτίνες", κατάφεραν να περιγράψουν τη δυναμική σημασία των διακοσμήσεων που συνδέονται με το σύνολο Μάντελμπροτ, καθώς και τη δυναμική στα αντίστοιχα σύνολα Julia.

Τύποι
-----

Κριτήρια ταξινόμησης :

* Επίπεδο : παράμετρος ή δυναμική
* Χάρτης
* Διακλάδωση δυναμικών ακτίνων
* Τέντωμα
* Προσγείωση

### Επίπεδο

Οι εξωτερικές ακτίνες των (συνδεδεμένων) συνόλων Julia στο δυναμικό επίπεδο συχνά ονομάζονται δυναμικές ακτίνες.

Οι εξωτερικές ακτίνες του συνόλου Μάντελμπροτ (και παρόμοιων μονοδιάστατων τόπων συνδεσιμότητας) στο επίπεδο παραμέτρων ονομάζονται ακτίνες παραμέτρων.

### Διακλάδωση

Η δυναμική ακτίνα μπορεί να είναι:

* διακλάδωση =διακλαδισμένη =σπασμένη
* ομαλή = μη διακλαδισμένη = αδιάσπαστη

Όταν το γεμάτο σύνολο Julia είναι συνδεδεμένο, δεν υπάρχουν διακλαδισμένες εξωτερικές ακτίνες. Όταν το σύνολο Julia δεν είναι συνδεδεμένο, τότε κάποιες εξωτερικές ακτίνες διακλαδίζονται.

### Τέντωμα

Οι τεντωμένες ακτίνες εισήχθησαν από τους Μπράνερ και Χάμπαρντ:

"Η έννοια των τεντωμένων ακτίνων είναι μια γενίκευση αυτής των εξωτερικών ακτίνων για το σύνολο Μάντελμπροτ σε πολυώνυμα υψηλότερου βαθμού".

### Προσγείωση

Κάθε ακτίνα ορθολογικής παραμέτρου του συνόλου Μάντελμπροτ προσγειώνεται σε μία μόνο παράμετρο.

Χάρτες
------

### Πολυνώνυμα

#### Δυναμικό επίπεδο = z-επίπεδο

Οι **εξωτερικές ακτίνες** συνδέονται με ένα συμπαγές, πλήρες, συνδεδεμένο υποσύνολο {\displaystyle K\,} του μιγαδικού επιπέδου ως:

* οι εικόνες των ακτινικών ακτίνων υπό τον χάρτη Ρίμαν του συμπληρώματος του {\displaystyle K\,}
* οι γραμμές κλίσης της συνάρτησης Γκριν του {\displaystyle K\,},
* γραμμές πεδίου του δυναμικού Ντουαντί-Χούμπαρντ.

Οι εξωτερικές ακτίνες μαζί με τις ισοδυναμικές γραμμές του δυναμικού Ντουαντί-Χούμπαρντ ( σύνολα επιπέδων) σχηματίζουν ένα νέο πολικό σύστημα συντεταγμένων για το εξωτερικό ( συμπλήρωμα ) του {\displaystyle K\,}.

Με άλλα λόγια, οι εξωτερικές ακτίνες ορίζουν την κατακόρυφη φολίωση η οποία είναι ορθογώνια προς την οριζόντια φολίωση που ορίζεται από τα σύνολα επιπέδων του δυναμικού.

#### Ομογενοποίηση

Έστω {\displaystyle \Psi \_{c}\,} ο σύμμορφος ισομορφισμός από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου {\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}} στο συμπλήρωμα του συμπληρωμένου συνόλου Julia {\displaystyle \ K\_{c}}.

{\displaystyle \Psi \_{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K\_{c}}
όπου {\displaystyle {\hat {\mathbb {C} }}} συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο.
Έστω {\displaystyle \Phi \_{c}=\Psi \_{c}^{-1}\,} που συμβολίζει τον χάρτη Μπότσερ. Ο {\displaystyle \Phi \_{c}\,}, είναι ένας ομογενοποιητικός χάρτης της λεκάνης έλξης του απείρου, διότι συζεύγει την {\displaystyle f\_{c}} στο συμπλήρωμα του γεμισμένου συνόλου Julia {\displaystyle K\_{c}} με την {\displaystyle f\_{0}(z)=z^{2}} στο συμπλήρωμα του μοναδιαίου δίσκου:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \_{c}:{\hat {\mathbb {C} }}\setminus K\_{c}&\to {\hat {\mathbb {C} }}\setminus {\overline {\mathbb {D} }}\\z&\mapsto \lim \_{n\to \infty }(f\_{c}^{n}(z))^{2^{-n}}\end{aligned}}}
και

{\displaystyle \Phi \_{c}\circ f\_{c}\circ \Phi \_{c}^{-1}=f\_{0}}
Η τιμή {\displaystyle w=\Phi \_{c}(z)} ονομάζεται **συντεταγμένη Μπότσερ** για ένα σημείο {\displaystyle z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K\_{c}}.

#### Τυπικός ορισμός της δυναμικής ακτίνας

Σύστημα πολικών συντεταγμένων και{\displaystyle \psi \_{c}} για {\displaystyle c=-2}
Η **εξωτερική ακτίνα** γωνίας {\displaystyle \theta \,} που σημειώνεται ως {\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }^{K}}είναι:

* η εικόνα υπό {\displaystyle \Psi \_{c}\,} των ευθύγραμμων {\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }=\{\left(r\cdot e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }^{K}=\Psi \_{c}({\mathcal {R}}\_{\theta })}
* σύνολο σημείων της εξωτερικής πλευράς του συμπληρωμένου συνόλου Julia με την ίδια εξωτερική γωνία {\displaystyle \theta }

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }^{K}=\{z\in {\hat {\mathbb {C} }}\setminus K\_{c}:\arg(\Phi \_{c}(z))=\theta \}}
#### Ιδιότητες

Η εξωτερική ακτίνα για μια περιοδική γωνία {\displaystyle \theta \,} ικανοποιεί:

{\displaystyle f({\mathcal {R}}\_{\theta }^{K})={\mathcal {R}}\_{2\theta }^{K}}
και το σημείο προσγείωσής του {\displaystyle \gamma \_{f}(\theta )} ικανοποιεί:

{\displaystyle f(\gamma \_{f}(\theta ))=\gamma \_{f}(2\theta )}
#### Επίπεδο παραμέτρων = επίπεδο c

"Οι ακτίνες παραμέτρων είναι απλώς οι καμπύλες που είναι κάθετες στις ισοδυναμικές καμπύλες του συνόλου Μ".

##### Ομογενοποίηση

Όριο του συνόλου Μάντελμπροτ ως εικόνα του μοναδιαίου κύκλου υπό {\displaystyle \Psi \_{M}\,}
Ομογενοποίηση του συμπληρώματος (εξωτερικού) του συνόλου Μάντελμπροτ
Έστω {\displaystyle \Psi \_{M}\,} η απεικόνιση από το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου {\displaystyle {\overline {\mathbb {D} }}} στο συμπλήρωμα του σύνολο Μάντελμπροτ {\displaystyle \ M}.

{\displaystyle \Psi \_{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}\to \mathbb {\hat {C}} \setminus M}
και ο χάρτης (συνάρτηση) του Μπότσερ {\displaystyle \Phi \_{M}\,}, ο οποίος είναι ομογενοποιητικός χάρτης του συμπληρώματος του συνόλου Μάντελμπροτ, επειδή συζεύγει το συμπλήρωμα του συνόλου Μάντελμπροτ {\displaystyle \ M} και το συμπλήρωμα (εξωτερικό) του κλειστού μοναδιαίου δίσκου.

{\displaystyle \Phi \_{M}:\mathbb {\hat {C}} \setminus M\to \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}
μπορεί να εξομαλυνθεί έτσι ώστε :

{\displaystyle {\frac {\Phi \_{M}(c)}{c}}\to 1\ as\ c\to \infty \,}

όταν :

{\displaystyle \mathbb {\hat {C}} } συμβολίζει το εκτεταμένο μιγαδικό επίπεδο
Η συνάρτηση Γιουνγκράις {\displaystyle \Psi \_{M}\,} είναι η αντίστροφη του ομοιόμορφου χάρτη :

{\displaystyle \Psi \_{M}=\Phi \_{M}^{-1}\,}
Στην περίπτωση του μιγαδικού τετραγωνικού πολυωνύμου μπορεί κανείς να υπολογίσει αυτόν τον χάρτη χρησιμοποιώντας σειρές Λοράν γύρω από το άπειρο

{\displaystyle c=\Psi \_{M}(w)=w+\sum \_{m=0}^{\infty }b\_{m}w^{-m}=w-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{8w}}-{\frac {1}{4w^{2}}}+{\frac {15}{128w^{3}}}+...\,}
όταν

{\displaystyle c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M}
{\displaystyle w\in \mathbb {\hat {C}} \setminus {\overline {\mathbb {D} }}}
##### Επίσημος ορισμός της παραμέτρου ακτίνα

Η **εξωτερική ακτίνα** της γωνίας {\displaystyle \theta \,} είναι:

* η εικόνα κάτω από {\displaystyle \Psi \_{c}\,} των ευθειών {\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }=\{\left(r\*e^{2\pi i\theta }\right):\ r>1\}}

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }^{M}=\Psi \_{M}({\mathcal {R}}\_{\theta })}
* σύνολο σημείων του εξωτερικού του συνόλου Μάντελμπροτ με την ίδια εξωτερική γωνία {\displaystyle \theta }

{\displaystyle {\mathcal {R}}\_{\theta }^{M}=\{c\in \mathbb {\hat {C}} \setminus M:\arg(\Phi \_{M}(c))=\theta \}}
##### Ορισμός του χάρτη Μπότσερ

Ορισμός των Ντουαντί και Χάμπαρντ:

{\displaystyle \Phi \_{M}(c)\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \Phi \_{c}(z=c)\,}

οπότε η εξωτερική γωνία του σημείου {\displaystyle c\,} του παραμετρικού επιπέδου είναι ίση με την εξωτερική γωνία του σημείου {\displaystyle z=c\,} του δυναμικού επιπέδου

#### Εξωτερική γωνία

* συλλογή κομματιών προς τα έξωσυλλογή κομματιών προς τα έξω
* Δυαδική διάσπαση του επιπέδου κύκλου χωρίς κύλισηΔυαδική διάσπαση του επιπέδου κύκλου χωρίς κύλιση
* δυαδική διάσπαση του δυναμικού επιπέδου για f(z) = z^2δυαδική διάσπαση του δυναμικού επιπέδου για f(z) = z^2

Η γωνία θ ονομάζεται **εξωτερική γωνία**. ( επιχείρημα ).

Η κύρια τιμή των εξωτερικών γωνιών μετριέται σε στροφές modulo 1

1 στροφή = 360 μοίρες = 2 × π ακτίνια
Συγκρίνετε διαφορετικούς τύπους γωνιών :
Σύγκριση διαφορετικών τύπων γωνιών :

* εξωτερικές ( σημείο της εξωτερικής πλευράς του συνόλου )
* εσωτερική ( σημείο του εσωτερικού του στοιχείου )
* απλή ( όρισμα μιγαδικού αριθμού )

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
|  | εξωτερική γωνία | εσωτερική γωνία | απλή γωνία |
| επίπεδο παραμέτρων | {\displaystyle \arg(\Phi \_{M}(c))\,} | {\displaystyle \arg(\rho \_{n}(c))\,} | {\displaystyle \arg(c)\,} |
| δυναμικό επίπεδο | {\displaystyle \arg(\Phi \_{c}(z))\,} |  | {\displaystyle \arg(z)\,} |
|

##### Υπολογισμός του εξωτερικού επιχειρήματος

* επιχείρημα της συντεταγμένης Μπότσερ ως εξωτερικό επιχείρημα
	+ {\displaystyle \arg \_{M}(c)=\arg(\Phi \_{M}(c))}
	+ {\displaystyle \arg \_{c}(z)=\arg(\Phi \_{c}(z))}
* Ακολουθία ζύμωσης ως δυαδική επέκταση του εξωτερικού επιχειρήματος

##### Υπερβατικοί χάρτες

Για υπερβατικούς χάρτες ( παραδείγματος χάριν εκθετικούς ) το άπειρο δεν είναι σταθερό σημείο αλλά μια ουσιαστική ιδιομορφία και δεν υπάρχει ισομορφισμός Boettcher.

Εδώ η δυναμική ακτίνα ορίζεται ως μια καμπύλη :

* που συνδέει ένα σημείο σε ένα σύνολο διαφυγής και το άπειρο
* που βρίσκεται σε ένα σύνολο διαφυγής

Εικόνες
-------

### Δυναμικές ακτίνες

* μη διακλαδισμένη
* Σύνολο Julia για 
  
    
      
        
          f
          
            c
          
        
        (
        z
        )
        =
        
          z
          
            2
          
        
        −
        1
      
    
    {\displaystyle f_{c}(z)=z^{2}-1}
  
 με 2 εξωτερικές ακτίνες να προσγειώνονται στο απωθητικό σταθερό σημείο άλφαΣύνολο Julia για {\displaystyle f\_{c}(z)=z^{2}-1} με 2 εξωτερικές ακτίνες να προσγειώνονται στο απωθητικό σταθερό σημείο άλφα
* Σύνολο Julia και 3 ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο 
  
    
      
        
          α
          
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{c}\,}Σύνολο Julia και 3 ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο {\displaystyle \alpha \_{c}\,}
* Δυναμικές εξωτερικές ακτίνες προσγείωσης στην περίοδο απώθησης 3 κύκλων και 3 εσωτερικές ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο 
  
    
      
        
          α
          
            c
          
        
        
      
    
    {\displaystyle \alpha _{c}\,}Δυναμικές εξωτερικές ακτίνες προσγείωσης στην περίοδο απώθησης 3 κύκλων και 3 εσωτερικές ακτίνες προσγείωσης στο σταθερό σημείο {\displaystyle \alpha \_{c}\,}
* Σύνολο Julia με εξωτερικές ακτίνες που προσγειώνονται σε τροχιά περιόδου 3Σύνολο Julia με εξωτερικές ακτίνες που προσγειώνονται σε τροχιά περιόδου 3
* Προσγείωση ακτίνων σε παραβολικό σταθερό σημείο για περιόδους 2-40

  

* διακλαδισμένη
* Διακλαδισμένη δυναμική ακτίνα Διακλαδισμένη δυναμική ακτίνα

### Παράμετροι ακτίνων

Σύνολο Μάντελμπροτ για σύνθετο τετραγωνικό πολυώνυμο με ακτίνες παραμέτρων των σημείων της ρίζας

* Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 21 - 1) (0/1; 1/1) που προσγειώνονται στο σημείο c= 1/4, το οποίο είναι κορυφή της κύριας καρδιοειδούς ( συνιστώσα περιόδου 1)Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 21 - 1) (0/1; 1/1) που προσγειώνονται στο σημείο c= 1/4, το οποίο είναι κορυφή της κύριας καρδιοειδούς ( συνιστώσα περιόδου 1)
* Οι εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 22 - 1) (1/3, 2/3) προσγειώνονται στο σημείο c= - 3/4, το οποίο είναι σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 2Οι εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 22 - 1) (1/3, 2/3) προσγειώνονται στο σημείο c= - 3/4, το οποίο είναι σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 2
* Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 23 - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) προσγειώνονται στο σημείο c= -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 3.Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 23 - 1) (1/7,2/7) (3/7,4/7) προσγειώνονται στο σημείο c= -1,75 = -7/4 (5/7,6/7) προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 3.
* Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 24 - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) που προσγειώνονται στο σημείο ρίζας c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 4.Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 24 - 1) (1/15,2/15) (3/15, 4/15) (6/15, 9/15) που προσγειώνονται στο σημείο ρίζας c= -5/4 (7/15, 8/15) (11/15,12/15) (13/15, 14/15) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών της περιόδου 4.
* Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 25 - 1) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών περιόδου 5 Εξωτερικές ακτίνες για γωνίες της μορφής : n / ( 25 - 1) που προσγειώνονται στα σημεία ρίζας των συνιστωσών περιόδου 5

* εσωτερική ακτίνα της κύριας καρδιοειδούς γωνίας 1/3: ξεκινά από το κέντρο της κύριας καρδιοειδούς γ=0, καταλήγει στο σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 3, το οποίο είναι το σημείο προσγείωσης των (εξωτερικών) ακτίνων της παραμέτρου των γωνιών 1/7 και 2/7εσωτερική ακτίνα της κύριας καρδιοειδούς γωνίας 1/3: ξεκινά από το κέντρο της κύριας καρδιοειδούς γ=0, καταλήγει στο σημείο ρίζας της συνιστώσας περιόδου 3, το οποίο είναι το σημείο προσγείωσης των (εξωτερικών) ακτίνων της παραμέτρου των γωνιών 1/7 και 2/7
* Εσωτερική ακτίνα για γωνία 1/3 της κύριας καρδιοειδούς που κατασκευάζεται με σύμμορφο χάρτη από τον μοναδιαίο κύκλοΕσωτερική ακτίνα για γωνία 1/3 της κύριας καρδιοειδούς που κατασκευάζεται με σύμμορφο χάρτη από τον μοναδιαίο κύκλο

* Μίνι σύνολο Μάντελμπροτ με περίοδο 134 και 2 εξωτερικές ακτίνες Μίνι σύνολο Μάντελμπροτ με περίοδο 134 και 2 εξωτερικές ακτίνες
* 
* 
* 
* Ξύπνημα κοντά στο νησί στην περίοδο 3Ξύπνημα κοντά στο νησί στην περίοδο 3
* Κύματα κατά μήκος της κύριας κεραίαςΚύματα κατά μήκος της κύριας κεραίας

Προγράμματα που μπορούν να σχεδιάσουν εξωτερικές ακτίνες
--------------------------------------------------------

* Mandel  - program by Wolf Jung written in C++ using Qt with source code available under the GNU General Public License
	+ Java applets by Evgeny Demidov ( code of mndlbrot::turn function by Wolf Jung has been ported to Java ) with free source code
	+ ezfract by Michael Sargent, uses the code by Wolf Jung
* OTIS by Tomoki KAWAHIRA  - Java applet without source code
* Spider XView program by Yuval Fisher
* YABMP by Prof. Eugene Zaustinsky Αρχειοθετήθηκε 2006-06-15 στο Wayback Machine. for DOS without source code
* DH\_Drawer Αρχειοθετήθηκε 2008-10-21 στο Wayback Machine. by Arnaud Chéritat written for Windows 95 without source code
* Linas Vepstas C programs  for Linux console with source code
* Program Julia by Curtis T. McMullen written in C and Linux commands for C shell console with source codesource code
* mjwinq program by Matjaz Erat  written in delphi/windows without source code ( For the external rays it uses the methods from quad.c in julia.tar by Curtis T McMullen)
* RatioField by Gert Buschmann, for windows with Pascal source code for Dev-Pascal 1.9.2 (with Free Pascal compiler )
* Mandelbrot program by Milan Va, written in Delphi with source code
* Power MANDELZOOM by Robert Munafo
* ruff by Claude Heiland-Allen

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Intertwined Internal Rays in Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney
* Extending External Rays Throughout the Julia Sets of Rational Maps by Robert L. Devaney With Figen Cilingir and Elizabeth D. Russell
* John Hubbard's presentation, The Beauty and Complexity of the Mandelbrot Set, part 3.1  Αρχειοθετήθηκε 2008-02-26 στο Wayback Machine.
* videos by ImpoliteFruit
* Milan Va. «Mandelbrot set drawing». Ανακτήθηκε στις 15 Ιουνίου 2009. [*νεκρός σύνδεσμος*]

Δείτε επίσης
------------

* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν
* Σύστημα-L

Παραπομπές
----------

1. ↑  J. Kiwi : Rational rays and critical portraits of complex polynomials. Ph. D. Thesis SUNY at Stony Brook (1997); IMS Preprint #1997/15. Αρχειοθετήθηκε 2004-11-05 στο Wayback Machine.
2. ↑  Devaney, Robert L. (4 Μαΐου 2018). *A First Course In Chaotic Dynamical Systems: Theory And Experiment*. CRC Press. ISBN 978-0-429-97203-4.
3. ↑  Gowers, Timothy· Barrow-Green, June (18 Ιουλίου 2010). *The Princeton Companion to Mathematics*. Princeton University Press. ISBN 978-1-4008-3039-8.
4. ↑  Lyubich, Mikhail· Milnor, John Willard (2001). *Laminations and Foliations in Dynamics, Geometry and Topology: Proceedings of the Conference on Laminations and Foliations in Dynamics, Geometry and Topology, May 18-24, 1998, SUNY at Stony Brook*. American Mathematical Soc. ISBN 978-0-8218-1985-2.
5. ↑  Inou, Hiroyuki; Mukherjee, Sabyasachi (2016). «Non-landing parameter rays of the multicorns». *Inventiones Mathematicae* **204** (3): 869–893. doi:10.1007/s00222-015-0627-3. Bibcode: 2016InMat.204..869I.
6. ↑  Atela, Pau (1992). «Bifurcations of dynamic rays in complex polynomials of degree two». *Ergodic Theory and Dynamical Systems* **12** (3): 401–423. doi:10.1017/S0143385700006854.
7. ↑  Petersen, Carsten L.; Zakeri, Saeed (2020). «Periodic Points and Smooth Rays». arXiv:2009.02788 [math.DS].
8. ↑  The iteration of cubic polynomials Part I : The global topology of parameter by BODIL BRANNER and JOHN H. HUBBARD
9. ↑  Stretching rays for cubic polynomials by Pascale Roesch
10. ↑  Komori, Yohei; Nakane, Shizuo (2004). «Landing property of stretching rays for real cubic polynomials». *Conformal Geometry and Dynamics* **8** (4): 87–114. doi:10.1090/s1088-4173-04-00102-x. Bibcode: 2004CGDAM...8...87K. .
11. ↑  A. Douady, J. Hubbard: Etude dynamique des polynˆomes complexes. Publications math´ematiques d’Orsay 84-02 (1984) (premi`ere partie) and 85-04 (1985) (deuxi`eme partie).
12. ↑  Schleicher, Dierk (1997). «Rational parameter rays of the Mandelbrot set». arXiv:math/9711213.
13. ↑  Yunping Jing : Local connectivity of the Mandelbrot set at certain infinitely renormalizable points  Complex Dynamics and Related Topics, New Studies in Advanced Mathematics, 2004, The International Press, 236-264
14. ↑  POLYNOMIAL BASINS OF INFINITY LAURA DEMARCO AND KEVIN M. PILGRIM
15. ↑  How to draw external rays by Wolf Jung
16. ↑  Tessellation and Lyubich-Minsky laminations associated with quadratic maps I: Pinching semiconjugacies Tomoki Kawahira Αρχειοθετήθηκε 2016-03-03 στο Wayback Machine.
17. ↑  Douady Hubbard Parameter Rays by Linas Vepstas
18. ↑  John H. Ewing, Glenn Schober, The area of the Mandelbrot Set
19. ↑  Irwin Jungreis: The uniformization of the complement of the Mandelbrot set. Duke Math. J. Volume 52, Number 4 (1985), 935-938.
20. ↑  Adrien Douady, John Hubbard, Etudes dynamique des polynomes complexes I & II, Publ. Math. Orsay. (1984-85) (The Orsay notes)
21. ↑  Bielefeld, B.; Fisher, Y.; Vonhaeseler, F. (1993). «Computing the Laurent Series of the Map Ψ: C − D → C − M». *Advances in Applied Mathematics* **14**: 25–38. doi:10.1006/aama.1993.1002.
22. ↑  Weisstein, Eric W. "Mandelbrot Set." From MathWorld--A Wolfram Web Resource
23. ↑  An algorithm to draw external rays of the Mandelbrot set by Tomoki Kawahira
24. ↑   External angle at Mu-ENCY (the Encyclopedia of the Mandelbrot Set) by Robert Munafo
25. ↑  Computation of the external argument by Wolf Jung
26. ↑  A. DOUADY, Algorithms for computing angles in the Mandelbrot set (Chaotic Dynamics and Fractals, ed. Barnsley and Demko, Acad. Press, 1986, pp. 155-168).
27. ↑  Adrien Douady, John H. Hubbard: Exploring the Mandelbrot set. The Orsay Notes. page 58
28. ↑  Exploding the Dark Heart of Chaos by Chris King from Mathematics Department of University of Auckland
29. ↑  Topological Dynamics of Entire Functions by Helena Mihaljevic-Brandt
30. ↑  Dynamic rays of entire functions and their landing behaviour by Helena Mihaljevic-Brandt

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |