Στα μαθηματικά, η **ανισότητα Νέσμπιττ** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Nesbitt**) αφορά οποιουσδήποτε τρεις θετικούς πραγματικούς αριθμούς {\displaystyle a,b,c} και λέει ότι:117-118:84

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {3}{2}}.}
Η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν {\displaystyle a=b=c}.

Αποδείξεις
----------

Η ανισότητα αυτή είναι γνωστή για τους πολλούς τρόπους με τους οποίους μπορεί να αποδειχθεί.:21

### Με ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου

Θεωρούμε {\displaystyle x=b+c}, {\displaystyle y=a+c} και {\displaystyle z=a+b}. Τότε, έχουμε ότι

{\displaystyle a={\tfrac {1}{2}}\cdot (y+z-x)}, {\displaystyle b={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+z-y)}, και {\displaystyle c={\tfrac {1}{2}}\cdot (x+y-z)}.
Επομένως, η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως εξής:

{\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot \left({\frac {y+z-x}{x}}+{\frac {x+z-y}{y}}+{\frac {x+y-z}{z}}\right)\geq {\frac {3}{2}}.}
Αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε την ισοδύναμη ανισότητα

{\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {z}{x}}-1+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}-1+{\frac {x}{z}}+{\frac {y}{z}}-1\geq 3,}
η οποία είναι ισοδύναμη με την

{\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6.}
Η ανισότητα αυτή προκύπτει από την ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για {\displaystyle 6} όρους,

{\displaystyle {\frac {y}{x}}+{\frac {x}{y}}+{\frac {z}{y}}+{\frac {y}{z}}+{\frac {z}{x}}+{\frac {x}{z}}\geq 6\cdot {\sqrt[{6}]{{\frac {y}{x}}\cdot {\frac {x}{y}}\cdot {\frac {z}{y}}\cdot {\frac {y}{z}}\cdot {\frac {z}{x}}\cdot {\frac {x}{z}}}}=6}.
Επίσης, προκύπτει και την σχετικά πιο απλή ειδική περίπτωση της ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για {\displaystyle 2} όρους

{\displaystyle u+{\frac {1}{u}}\geq 2\Leftrightarrow u^{2}-2u+1\geq 0\Leftrightarrow (u-1)^{2}\geq 0,} για οποιοδήποτε {\displaystyle u>0}.
Και από τις δύο αυτές ανισότητες λαμβάνουμε ότι η ισότητα ισχύει αν και μόνο αν {\displaystyle x=y=z}, που είναι ισοδύναμο με {\displaystyle a=b=c}.

### Με ανισότητα Γένσεν

Έστω {\displaystyle S=a+b+c} το άθροισμα των τριών αριθμών. Τότε η ανισότητα Νέσμπιττ, γράφεται ως

{\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq {\frac {3}{2}}.}
Θεωρούμε την συνάρτηση {\displaystyle f:(0,S)\to \mathbb {R} },

{\displaystyle f(x)={\frac {x}{S-x}}.}
Η {\displaystyle f} είναι κυρτή στο διάστημα {\displaystyle (0,S)} καθώς 

{\displaystyle f'(x)={\frac {S}{(S-x)^{2}}}\quad } και {\displaystyle \quad f''(x)={\frac {2S}{(S-x)^{3}}}\geq 0} για κάθε {\displaystyle x\in (0,S)}.
Επομένως, εφαρμόζοντας την ανισότητα Γένσεν για την {\displaystyle f} και τους {\displaystyle a,b,c}

{\displaystyle f(a)+f(b)+f(c)\geq 3\cdot f\left({\frac {a+b+c}{3}}\right),}
η οποία είναι ισοδύναμη με 

{\displaystyle {\frac {a}{S-a}}+{\frac {b}{S-b}}+{\frac {c}{S-c}}\geq 3\cdot {\frac {S/3}{S-S/3}}={\frac {3}{2}}.}
Από την ανισότητα Γένσεν, προκύπτει η ισότητα αν και μόνο αν {\displaystyle a=b=c}.

### Με ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς

Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής μορφή της ανισότητας Κωσύ-Σβαρτς, 

{\displaystyle \left(x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}\right)\cdot \left(y\_{1}^{2}+y\_{2}^{2}+y\_{3}^{2}\right)\geq \left(x\_{1}y\_{1}+x\_{2}y\_{2}+x\_{3}y\_{3}\right)^{2}}
Επιστρέφοντας στην ανισότητα Νέσμπιττ, προσθέτουμε {\displaystyle 3} και στα δύο μέλη της ανισότητας, λαμβάνοντας την ισοδύναμη

{\displaystyle {\frac {a+b+c}{b+c}}+{\frac {b+a+c}{a+c}}+{\frac {c+a+b}{a+b}}\geq {\frac {9}{2}}.}
Παραγοντοποιώντας το αριστερό μέλος, λαμβάνουμε

{\displaystyle \left(a+b+c\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+c}}+{\frac {1}{a+b}}\right)\geq {\frac {9}{2}},}
που είναι επίσης ισοδύναμη με


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(a+c)\right)\cdot \left({\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{a+c}}\right)\geq 9,} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Θέτοντας {\displaystyle x\_{1}={\sqrt {a+b}}}, {\displaystyle x\_{2}={\sqrt {b+c}}}, {\displaystyle x\_{3}={\sqrt {a+c}}} και {\displaystyle y\_{1}=1/{\sqrt {b+c}}}, {\displaystyle x\_{2}=1/{\sqrt {a+b}}}, {\displaystyle x\_{3}=1/{\sqrt {a+c}}} στην ανισότητα Κωσύ-Σβαρτς, αποδεικνύουμε αυτή την ανισότητα.

{\displaystyle \left(\left({\sqrt {a+b}}\right)^{2}+\left({\sqrt {b+c}}\right)^{2}+\left({\sqrt {a+c}}\right)^{2}\right)\cdot \left(\left({\frac {1}{\sqrt {a+b}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {b+c}}}\right)^{2}+\left({\frac {1}{\sqrt {a+c}}}\right)^{2}\right)\geq \left(1+1+1\right)^{2}=9.}
### Με ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου

Στην προηγούμενη απόδειξη μπορούμε να αποδείξουμε την (**1**) χρησιμοποιώντας την ανισότητα αριθμητικού-αρμονικού μέσου για τους αριθμούς {\displaystyle x=a+b}, {\displaystyle y=b+c} και {\displaystyle z=c+a}. Συγκεκριμένα, λαμβάνουμε

{\displaystyle {\frac {(a+b)+(b+c)+(c+a)}{3}}\geq {\frac {3}{{\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}}}.}
Αναδιατάσσοντας τους όρους, καθώς είναι θετικοί, λαμβάνουμε

{\displaystyle \left((a+b)+(b+c)+(c+a)\right)\cdot \left({\frac {1}{a+b}}+{\frac {1}{b+c}}+{\frac {1}{c+a}}\right)\geq 9,}
η οποία είναι ισοδύναμη της ανισότητας Νέσμπιττ.

### Με ανισότητα της αναδιάταξης

Χωρίς βλάβη της γενικότητας, αφού η ανισότητα είναι συμμετρική ως προς τα {\displaystyle a,b,c} μπορούμε να θεωρήσουμε ότι {\displaystyle a\geq b\geq c}, και επομένως έχουμε ότι {\displaystyle a+b\geq a+c\geq b+c} και ότι

{\displaystyle {\frac {1}{b+c}}\geq {\frac {1}{a+c}}\geq {\frac {1}{a+b}}.}
Επομένως από την ανισότητα της αναδιάταξης έχουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {b}{b+c}}+{\frac {c}{a+c}}+{\frac {a}{a+b}},}
και 

{\displaystyle {\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\geq {\frac {c}{b+c}}+{\frac {a}{a+c}}+{\frac {b}{a+b}}.}
Αθροίζοντας της δύο ανισότητες, λαμβάνουμε

{\displaystyle 2\cdot \left({\frac {a}{b+c}}+{\frac {b}{a+c}}+{\frac {c}{a+b}}\right)\geq {\frac {b+c}{b+c}}+{\frac {a+c}{a+c}}+{\frac {a+b}{a+b}}=3.}
Αναδιατάσσοντας, λαμβάνουμε την ανισότητα Νέσμπιττ.

Ιστορία
-------

Η ανισότητα αυτή πήρε το όνομα της από τον Μ. Α. Νέσμπιττ που τη δημοσίευσε ως πρόβλημα στο περιοδικό Educational Times το 1902.

Η ανισότητα Νέσμπιττ είναι μία ειδική περίπτωση της ανισότητας Σαπίρο, η οποία μελετάει κάτω φράγματα για το εξής κυκλικό άθροισμα {\displaystyle n} αριθμών {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n}} :440-443

{\displaystyle {\frac {x\_{1}}{x\_{2}+x\_{3}}}+{\frac {x\_{2}}{x\_{3}+x\_{4}}}+\ldots +{\frac {x\_{n}}{x\_{1}+x\_{2}}}.}

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Nesbitt, A. M. (1902). «Problem 15114». *Educational Times* **55**. .
2. ↑  Venkatachala, B. J. (2018). *Inequalities : an approach through problems* (Second έκδοση). Singapore. ISBN 9789811087325.
3. ↑  Steele, J. Michael (2004). *The Cauchy-Schwarz master class : an introduction to the art of mathematical inequalities*. Cambridge, UK. ISBN 9780511817106.
4. ↑  Στεργίου,, Χ.· Σκομπρης, Ν. (2005). *Αλγεβρικές Ανισότητες*. Σαββάλας. ISBN 9789604235582.
5. ↑  Ψύχας, Βαγγέλης. «Ανισότητες Ι: Βασικές Ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
6. ↑  Στεργίου, Μπάμπης. «Μαθηματικοί Διαγωνισμοί: Εισαγωγή στις ανισότητες» (PDF). Ανακτήθηκε στις 2 Οκτωβρίου 2022.
7. ↑  Mitrinović, D. S.· Pečarić, J. E.· Fink, A. M. (1993). *Classical and new inequalities in analysis*. Dordrecht: Kluwer Academic. ISBN 978-0-7923-2064-7.