Φρακτάλ του Vicsek (5η επανάληψη της μορφής σταυρού)
Στα μαθηματικά το **φράκταλ του Vicsek**, επίσης γνωστό ως **νιφάδα του Vicsek** ή **φράκταλ του κουτιού**, είναι ένα φράκταλ που προκύπτει από μια κατασκευή παρόμοια με αυτή του χαλιού του Σιερπίνσκι, η οποία προτάθηκε από τον Tamás Vicsek. Χρησιμοποιείται μεταξύ άλλων ως συμπαγής κεραία, ιδίως στα κινητά τηλέφωνα.

Παραλλαγή
6 βήματα ενός χαλιού του Σιερπίνσκι
Αυτοαφινικό (Self-affine) φράκταλ κατασκευασμένο από ένα πλέγμα 3 × 2
Το φράκταλ του κουτιού αναφέρεται επίσης σε διάφορα επαναλαμβανόμενα φράκταλ που δημιουργούνται από ένα τετράγωνο ή ορθογώνιο πλέγμα με διάφορα κουτιά να αφαιρούνται ή να απουσιάζουν και, σε κάθε επανάληψη, σε αυτά που υπάρχουν ή/και σε αυτά που απουσιάζουν, η προηγούμενη εικόνα μικραίνει και σχεδιάζεται μέσα σε αυτά. Το τρίγωνο Σιερπίνσκι μπορεί να προσεγγιστεί από ένα φράκταλ του κουτιού 2 × 2 με μια γωνία αφαιρεμένη. Το χαλί του Σιερπίνσκι είναι ένα φράκταλ 3 × 3 box με το μεσαίο τετράγωνο να έχει αφαιρεθεί.

Κατασκευή
---------

Το βασικό τετράγωνο διασπάται σε εννέα μικρότερα τετράγωνα στο πλέγμα 3 επί 3. Τα τέσσερα τετράγωνα στις γωνίες και το μεσαίο τετράγωνο παραμένουν, ενώ τα υπόλοιπα τετράγωνα αφαιρούνται. Η διαδικασία επαναλαμβάνεται αναδρομικά για κάθε ένα από τα πέντε υποτετράγωνα που απομένουν. Το φράκταλ του Vicsek είναι το σύνολο που προκύπτει στο όριο αυτής της διαδικασίας. Η διάσταση Χάουσντορφ αυτού του φράκταλ είναι {\displaystyle \textstyle {\frac {\log(5)}{\log(3)}}} ≈ 1.46497.

Μια εναλλακτική κατασκευή (που φαίνεται παρακάτω στην αριστερή εικόνα) είναι η αφαίρεση των τεσσάρων γωνιακών τετραγώνων και η παραμονή του μεσαίου τετραγώνου και των τετραγώνων πάνω, κάτω, αριστερά και δεξιά από αυτό. Οι δύο κατασκευές παράγουν πανομοιότυπες οριακές καμπύλες, αλλά η μία περιστρέφεται κατά 45 μοίρες σε σχέση με την άλλη.

* Αυτοομοιότητες I — αφαίρεση γωνιακών τετραγώνων.Αυτοομοιότητες I — αφαίρεση γωνιακών τετραγώνων.
* Αυτοομοιότητες II — διατήρηση γωνιακών τετραγώνων.4Αυτοομοιότητες II — διατήρηση γωνιακών τετραγώνων.4

Τέσσερις επαναλήψεις της μορφής saltire του φράκταλ (πάνω) και της μορφής σταυρού του φράκταλ (κάτω).
Καμπύλη κατά της σταυροβελονιάς, επαναλήψεις 0-4
Νησί σταυροβελονιάς
Προσέγγιση με το παιχνίδι του χάους όπου το άλμα=2/3 γίνεται τυχαία είτε προς το κέντρο είτε προς μία από τις κορυφές ενός τετραγώνου.

Ιδιότητες
---------

Το φράκταλ του Vicsek έχει την εκπληκτική ιδιότητα ότι διαθέτει μηδενικό εμβαδόν αλλά άπειρη περίμετρο, λόγω της μη ακέραιης διάστασής του. Σε κάθε επανάληψη, τέσσερα τετράγωνα αφαιρούνται για κάθε πέντε που διατηρούνται, πράγμα που σημαίνει ότι στην επανάληψη n το εμβαδόν είναι {\displaystyle \textstyle {({\frac {5}{9}})^{n}}} (υποθέτοντας ένα αρχικό τετράγωνο με μήκος πλευράς 1). Όταν το n πλησιάζει το άπειρο, το εμβαδόν προσεγγίζει το μηδέν. Η περίμετρος όμως είναι {\displaystyle \textstyle {4({\frac {5}{3}})^{n}}}, επειδή κάθε πλευρά χωρίζεται σε τρία μέρη και η κεντρική αντικαθίσταται με τρεις πλευρές, οπότε προκύπτει αύξηση από τρία σε πέντε. Η περίμετρος πλησιάζει το άπειρο καθώς αυξάνεται το *n*.

Το όριο του φράκταλ του Vicsek είναι η τετραγωνική καμπύλη του Κoχ τύπου 1.

Αντίστοιχα σε υψηλότερες διαστάσεις
-----------------------------------

Κινούμενη εικόνα του τρισδιάστατου αναλόγου του φράκταλ του Vicsek (τρίτη επανάληψη)
Πτήση προς και γύρω από ένα 3Δ φράκταλ του Vicsek
Υφίσταται ένα τρισδιάστατο ανάλογο του φράκταλ του Vicsek. Κατασκευάζεται υποδιαιρώντας κάθε κύβο σε 27 μικρότερους και αφαιρώντας όλα τα στοιχεία εκτός από τον "κεντρικό σταυρό", τον κεντρικό κύβο και τους έξι κύβους που αγγίζουν το κέντρο κάθε όψης. Η διάσταση του Χάουσντορφ είναι {\displaystyle \textstyle {\frac {\log(7)}{\log(3)}}} ≈ 1.7712.

Αντίστοιχα με το δισδιάστατο φράκταλ του Vicsek, το σχήμα αυτό έχει μηδενικό όγκο. Κάθε επανάληψη διατηρεί 7 κύβους για κάθε 27, με αποτέλεσμα ο όγκος να είναι {\displaystyle \textstyle {({\frac {7}{27}})^{n}}} στην επανάληψη *n*, ο οποίος πλησιάζει το μηδέν καθώς το *n* πλησιάζει στο άπειρο.

Υπάρχει άπειρος αριθμός διασταυρώσεων που αποδίδουν το δισδιάστατο φράκταλ του Vicsek.

|  |  |
| --- | --- |
| Commons logoCommons logo | Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα   **Φρακτάλ του Vicsek** |

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Box Fractal
* Fractal antennas and fractal resonators

Βιβλιογραφία
------------

* Fractal Growth Phenomena
* Dynamics of Fractal Surfaces
* Desiccation Cracks and their Patterns
* Fractals in Science

Δείτε επίσης
------------

* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ
* Χαλί του Σιερπίνσκι
* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν
* Σύστημα-L

Παραπομπές
----------

1. ↑  Shan Fuqi· Gu Hongming· Gao Baoxin (2004). «Analysis of a vicsek fractal patch antenna». *ICMMT 4th International Conference on, Proceedings Microwave and Millimeter Wave Technology, 2004*. Beijing, China: IEEE. σελίδες 98–101. doi:10.1109/ICMMT.2004.1411469. ISBN 9780780384019.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Box Fractal" από το MathWorld.
3. 1 2  Vicsek, Tamas (25 Ιουνίου 1992). *Fractal Growth Phenomena (2nd Edition)*. World Scientific. ISBN 978-981-4506-19-9.
4. ↑  «Box Fractals». 3 Ιανουαρίου 2014.

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |