Συνάρτηση μάζας πιθανότητας για την αρνητική διωνυμική κατανομή με {\displaystyle r=2,4,6} και {\displaystyle p=0.35}.
Αθροιστική συνάρτηση κατανομής για την αρνητική διωνυμική κατανομή με {\displaystyle r=2,4,6} και {\displaystyle p=0.35}.

Αρνητική Διωνυμική Κατανομή| Συμβολισμός | {\displaystyle {\mathsf {NB}}(r,p)} |
| Παράμετροι | {\displaystyle r\in \mathbb {N} } (πλήθος επιτυχιών), {\displaystyle p\in [0,1]} (πιθανότητα επιτυχίας) |
| Φορέας | {\displaystyle k\in \{0,1,2,\ldots \}} |
| Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας | {\displaystyle {\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}} |
| Μέσος | {\displaystyle r\cdot {\frac {1-p}{p}}} |
| Διάμεσος | {\displaystyle \lfloor n\cdot p\rfloor } ή {\displaystyle \lceil n\cdot p\rceil } |
| Διακύμανση | {\displaystyle r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}} |
| Λοξότητα | {\displaystyle {\frac {1+p}{\sqrt {pr}}}} |
| Κύρτωση | {\displaystyle {\frac {6}{r}}+{\frac {p^{2}}{(1-p)\cdot r}}-3} |
| Πιθανογεννήτρια | {\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)t}}\right)^{r}} για {\displaystyle |t|<1/p} |
| Χαρακτηριστική | {\displaystyle \left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r}} για {\displaystyle t<-\log p} |

Στην θεωρία πιθανοτήτων και στη στατιστική, η **αρνητική διωνυμική κατανομή** είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής. Περιγράφει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα τυχαίο πείραμα με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας {\displaystyle p} μέχρι να έχουμε {\displaystyle r} επιτυχίες.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή {\displaystyle X} που εκφράζει τον αριθμό των αποτυχιών. Συνολικά επαναλαμβάνουμε το πείραμα {\displaystyle r+k} φορές, από τις οποίες η τελευταία είναι επιτυχία.
Η πιθανότητα έως ότου να έχουμε {\displaystyle r\in \mathbb {N} } επιτυχίες να έχουμε {\displaystyle k\in \mathbb {N} } αποτυχίες σε ανεξάρτητα πειράματα με πιθανότητα επιτυχίας {\displaystyle p\in (0,1)} κάθε φορά είναι:

{\displaystyle \operatorname {P} (X=k)={\binom {r+k-1}{r-1}}p^{r}(1-p)^{k}}.

Ορισμός
-------

### Ως άθροισμα γεωμετρικών κατανομών

Έστω {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{k}} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές ώστε {\displaystyle X\_{i}+1} ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(p)}. Τότε, αφού η γεωμετρική κατανομή μετράει το πλήθος των φορών που πρέπει να επαναλάβουμε ένα πείραμα μέχρι μία επιτυχία, έχουμε ότι

{\displaystyle X\_{1}+\ldots +X\_{r}\sim {\mathsf {NB}}(r,p).}

Μέση τιμή
---------

Η μέση τιμή προκύπτει από τον ορισμό ως το άθροισμα {\displaystyle r} τυχαίων μεταβλητών, δηλαδή:

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\operatorname {E} \left[\sum \_{i=1}^{r}X\_{i}\right]=\sum \_{i=1}^{r}\operatorname {E} [X\_{i}]=r\cdot \left({\frac {1}{p}}-1\right)=r\cdot {\frac {1-p}{p}},}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{i}+1]={\frac {1}{p}}}.

Διακύμανση
----------

Αντίστοιχα, από τον ορισμό της διακύμανσης και αφού {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{k}} είναι ανεξάρτητες, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} \left[\sum \_{i=1}^{r}X\_{i}\right]=r\cdot \operatorname {V} [X\_{1}]=r\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}}.

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
-------------------------

Χρησιμοποιώντας ότι {\textstyle X=\sum \_{i=1}^{r}X\_{i}}, για {\displaystyle X\_{i}+1} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [t^{X}]=\operatorname {E} [t^{\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}}]=\prod \_{i=1}^{r}\operatorname {E} [t^{X\_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}
αφού {\displaystyle \operatorname {E} [t^{X\_{i}-1}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)t}}} για {\displaystyle |t|<1/p} από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Χαρακτηριστική συνάρτηση
------------------------

Χρησιμοποιώντας ότι {\textstyle X=\sum \_{i=1}^{r}X\_{i}}, για {\displaystyle X\_{i}+1} ανεξάρτητες τυχαίες μεταβλητές που ακολουθούν την γεωμετρική κατανομή, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]=\operatorname {E} [e^{\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}}]=\prod \_{i=1}^{r}\operatorname {E} [e^{tX\_{i}}]=\left({\frac {p}{1-(1-p)e^{t}}}\right)^{r},}
αφού {\displaystyle \operatorname {E} [e^{t(X\_{i}-1)}]={\frac {pe^{t}}{1-(1-p)e^{t}}}} για {\displaystyle t<-\log p} από τις ιδιότητες της γεωμετρικής κατανομής.

Δείτε επίσης
------------

* Γεωμετρική κατανομή
* Διωνυμική κατανομή

Παραπομπές
----------

1. ↑  Ζιούτας, Γεώργιος. «Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή» (PDF). Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
2. ↑  Κουτρας, Μαρκος. «Πιαθνότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.
3. ↑  Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές Ειδικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 9 Ιουνίου 2023.