Η μεσοκάθετος \epsilon  του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ.
Στην ευκλείδεια γεωμετρία, η **μεσοκάθετη ευθεία** ή απλά **μεσοκάθετη** (ή αλλιώς **μεσοκάθετος**) ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι μια ευθεία που διέρχεται από το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος και είναι κάθετη σε αυτό.:40:70-72

Η μεσοκάθετη ως γεωμετρικός τόπος
---------------------------------

Η μεσοκάθετη αποτελείται από τα σημεία που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.
**Θεώρημα:** Η μεσοκάθετη ενός ευθύγραμμου τμήματος είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων που ισαπέχουν από τα άκρα του τμήματος.

*Απόδειξη*: Έστω {\displaystyle \mathrm {AB} } ένα ευθύγραμμο τμήμα και \Sigma  ένα σημείο της μεσοκάθετής του. Τα ορθογώνια τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } } και {\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } } είναι ίσα από το κριτήριο πλευράς-γωνίας-πλευράς. Συνεπώς θα είναι {\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } }.

Αντίστροφα, έστω {\displaystyle \mathrm {AB} } το ευθύγραμμο τμήμα και {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } ένα σημείο του επιπέδου τέτοιο ώστε {\displaystyle \mathrm {A\Sigma } =\mathrm {B\Sigma } }. Αν {\displaystyle \mathrm {M} } είναι το ίχνος του {\displaystyle \mathrm {\Sigma } } στο {\displaystyle \mathrm {AB} }, τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {AM\Sigma } } και {\displaystyle \mathrm {BM\Sigma } } είναι ίσα ως ορθογώνια με μία κοινή κάθετη και ίση υποτείνουσα. Τότε θα έχουμε {\displaystyle \mathrm {AM} =\mathrm {BM} }, δηλαδή το {\displaystyle \mathrm {M} } θα είναι το μέσο του {\displaystyle \mathrm {AB} } και η κάθετη {\displaystyle \mathrm {\Sigma M} } θα είναι η μεσοκάθετη. {\displaystyle \square }

Αναλυτική γεωμετρία
-------------------

Έστω {\displaystyle \mathrm {A} } και {\displaystyle \mathrm {B} } δύο σημεία του επιπέδου. Τότε η εξίσωση της ευθείας της μεσοκαθέτου δίνεται από τον τύπο

{\displaystyle y-{\tfrac {\mathrm {A} \_{y}+\mathrm {B} \_{y}}{2}}=-{\tfrac {\mathrm {B} \_{x}-\mathrm {A} \_{x}}{\mathrm {B} \_{y}-\mathrm {A} \_{y}}}\cdot \left(x-{\tfrac {\mathrm {A} \_{x}+\mathrm {B} \_{x}}{2}}\right)},
χρησιμοποιώντας ότι η ευθεία διέρχεται από το το μέσο {\displaystyle \left({\tfrac {\mathrm {A} \_{x}+\mathrm {B} \_{x}}{2}},{\tfrac {\mathrm {A} \_{y}+\mathrm {B} \_{y}}{2}}\right)} του {\displaystyle \mathrm {AB} } και έχει κλίση 

{\displaystyle m={\tfrac {\mathrm {B} \_{x}-\mathrm {A} \_{x}}{\mathrm {B} \_{y}-\mathrm {A} \_{y}}},}
ως κάθετη στο {\displaystyle \mathrm {AB} }.

Γεωμετρική κατασκευή
--------------------

1. Με τον διαβήτη χαράζουμε δύο κύκλους με κέντρα τα {\displaystyle \mathrm {A} } και {\displaystyle \mathrm {B} } και ακτίνα {\displaystyle \mathrm {AB} }.
2. Βρίσκουμε τα σημεία τομής {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {T} \_{2}} των δύο κύκλων.
3. Η ευθεία που ενώνει τα {\displaystyle \mathrm {T} \_{1}} και {\displaystyle \mathrm {T} \_{2}} είναι η μεσοκάθετος του {\displaystyle \mathrm {AB} }.

Μεσοκάθετοι τριγώνου
--------------------

Οι μεσοκάθετοι ενός τριγώνου διέρχονται από το περίκεντρο.
Κύριο λήμμα: Περιγεγραμμένος κύκλος
**Θεώρημα:** Οι μεσοκάθετοι των τριών πλευρών ενός τριγώνου τέμνονται στο ίδιο σημείο. Το σημείο αυτό είναι το κέντρο του περιγεγραμμένου κύκλου και ονομάζεται περίκεντρο.

*(Απόδειξη)* Έστω {\displaystyle \mathrm {O'} } η τομή των μεσοκαθέτων των πλευρών {\displaystyle \mathrm {AB} } και {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } }. Τότε από την ιδιότητα των σημείων της μεσοκαθέτου που ισαπέχουν από τα άκρα του ευθυγράμμου τμήματος, έχουμε ότι 

{\displaystyle \mathrm {AO'} =\mathrm {BO'} } και {\displaystyle \mathrm {BO'} =\mathrm {\Gamma O'} }.
Άρα το {\displaystyle \mathrm {O'} } ισαπέχει και από το σημείο {\displaystyle \mathrm {\Gamma } }. Συνεπώς, ανήκει στην μεσοκάθετο του {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } }. Καταλήγουμε ότι οι μεσοκάθετοι των {\displaystyle \mathrm {AB} }, {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } και {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } συντρέχουν στο {\displaystyle \mathrm {O'} }. {\displaystyle \square }

Δείτε επίσης
------------

* Ισοσκελές τρίγωνο
* Διάμεσος (γεωμετρία)
* Περιγεγραμμένος κύκλος

Παραπομπές
----------

1. ↑  Ταβανλής, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτελη.
2. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Γεωμετρικοί τόποι στην ευκλείδεια γεωμετρία |
| --- |
|  |
| 
* Διχοτόμος γωνίας
* Κύκλος
* Μεσοκάθετη ευθύγραμμου τμήματος
* Μεσοπαράλληλη ευθεία
 |

 |