Συνάρτηση μάζας πιθανότητας Ραντεμάχερ

Κατανομή Rademacher| Φορέας | {\displaystyle x\in \{-1,+1\}} |
| Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας | {\displaystyle {\begin{cases}{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=-1\\{\frac {1}{2}}&{\text{αν }}x=+1\end{cases}}} |
| Μέσος | {\displaystyle 0} |
| Διάμεσος | {\displaystyle [-1,+1]} |
| Διακύμανση | 1 |
| Λοξότητα | {\displaystyle 0} |
| Κύρτωση | 1 |
| Εντροπία | 1 |
| Ροπή | {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\begin{cases}1&{\text{αν }}k{\text{ ζυγός}},\\0&{\text{αν }}k{\text{ μονός}}.\end{cases}}} |
| Πιθανογεννήτρια | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}} |
| Χαρακτηριστική | {\displaystyle \cosh(t)} |

Η **κατανομή Ραντεμάχερ** είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει ένα τυχαίο πείραμα με δύο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας 1/2.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X που παίρνει τιμές {\displaystyle -1} ή {\displaystyle +1}, δηλαδή {\displaystyle X\in \{-1,+1\}}. Για {\displaystyle X=+1} έχουμε επιτυχία και για {\displaystyle X=-1} αποτυχία.
Λέμε ότι η X ακολουθεί την κατανομή Rademacher αν::61

{\displaystyle \operatorname {P} (X=+1)={\frac {1}{2}}} και
{\displaystyle \operatorname {P} (X=-1)={\frac {1}{2}}}.
Αν η τυχαία μεταβλητή Y ακολουθεί την κατανομή Rademacher με παράμετρο p, τότε η {\displaystyle X={\tfrac {Y+1}{2}}} ακολουθεί την κατανομή Μπερνούλλι με παράμετρο {\displaystyle p=1/2}.

Αναμενόμενη τιμή
----------------

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι

{\displaystyle \operatorname {E} [X]={\frac {1}{2}}\cdot (+1)+{\frac {1}{2}}\cdot (-1)=0.}

Διακύμανση
----------

Χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle X=2Y-1} για {\displaystyle Y\sim {\mathsf {Ber}}(1/2)}, έχουμε ότι

{\displaystyle \operatorname {V} [X]=\operatorname {V} [2Y-1]=4\cdot {\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}=1.}

Λοξότητα
--------

Η λοξότητα μίας τυχαίας μεταβλητής ορίζεται ως:

{\displaystyle \gamma \_{1}=\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right].}
Επομένως από την λοξότητα για την κατανομή Μπερνούλλι, έχουμε ότι

{\displaystyle \operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\sigma \_{Y}}}\right)^{3}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma \_{Y}}}\right)^{3}\right]={\frac {1-2\cdot {\frac {1}{2}}}{\sqrt {{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}}=0.}

Κύρτωση
-------

Αντίστοιχα με την λοξότητα, από τον ορισμό της κύρτωσης, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left[\left({\frac {X-\operatorname {E} [X]}{\sigma }}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {2\cdot (Y-\operatorname {E} [Y])}{2\cdot \sigma \_{Y}}}\right)^{4}\right]=\operatorname {E} \left[\left({\frac {Y-\operatorname {E} [Y]}{\sigma \_{Y}}}\right)^{4}\right]={\frac {1}{{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {1}{2}}}}-3=1.\end{aligned}}}

Ροπές
-----

Από τον ορισμό της αναμενόμενης τιμής, έχουμε ότι για κάθε μονό {\displaystyle k\in \mathbb {N} }:

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=0.}
Για κάθε ζυγό {\displaystyle k\in \mathbb {N} } έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]={\frac {1}{2}}\cdot (-1)^{k}+{\frac {1}{2}}\cdot (+1)^{k}=1.}

Εντροπία
--------

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [-\log \_{2}X]=-{\frac {1}{2}}\cdot \log \_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)-{\frac {1}{2}}\cdot \log \_{2}\left({\frac {1}{2}}\right)=1.}

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
-------------------------

Η πιθανογεννήτρια συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle G\_{X}(t)=\operatorname {E} [t^{X}]={\frac {1}{2}}\cdot t^{-1}+{\frac {1}{2}}\cdot t^{+1}.}

Χαρακτηριστική συνάρτηση
------------------------

Η χαρακτηριστική συνάρτηση δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle \operatorname {E} [e^{tX}]={\frac {1}{2}}\cdot e^{t}+{\frac {1}{2}}\cdot e^{-t}=\cosh(t).}

Δείτε επίσης
------------

* Δείκτρια τυχαία μεταβλητή
* Διωνυμική κατανομή
* Κατανομή Μπερνούλλι

Παραπομπές
----------

1. ↑  Παπαδάτος, Νίκος. «Θεωρία Πιθανοτήτων» (PDF). Εθνικόν και Καποδιστριακόν Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 4 Ιουνίου 2023.