Ένα παράδειγμα μορφοκλασματικής κεραίας: μια καμπύλη που γεμίζει το χώρο και ονομάζεται "Νησί Μινκόφσκι" ή "φράκταλ Μινκόφσκι".
Μια **μορφοκλασματική κεραία** είναι μια κεραία που χρησιμοποιεί έναν φράκταλ και αυτο-ομοιόμορφο σχεδιασμό για να μεγιστοποιήσει το αποτελεσματικό μήκος ή να αυξήσει την περίμετρο (στα εσωτερικά τμήματα ή στην εξωτερική δομή) ενός υλικού που μπορεί να λάβει ή να εκπέμψει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία εντός μιας δεδομένης επιφάνειας ή συνολικού όγκου.

Αυτές οι μορφοκλασματικές κεραίες είναι επίσης γνωστές ως καμπύλες πολλαπλών επιπέδων και καμπύλες πλήρωσης χώρου, αλλά η βασική πτυχή είναι η επανάληψη ενός μοτίβου σε δύο ή περισσότερα μεγέθη κλίμακας , ή "επαναλήψεις". Αυτός είναι ο λόγος για τον οποίο οι φράκταλ κεραίες είναι πολύ συμπαγείς, πολυζωνικές ή ευρυζωνικές και έχουν χρήσιμες εφαρμογές στην κυψελοειδή τηλεφωνία και στις μικροκυματικές επικοινωνίες. Η απόκριση μιας μορφοκλασματικής κεραίας διαφέρει σημαντικά από εκείνη των παραδοσιακών κεραιών, δεδομένου ότι είναι ικανή να λειτουργεί με καλή έως εξαιρετική απόδοση σε πολλές διαφορετικές συχνότητες ταυτόχρονα. Κανονικά, οι τυπικές κεραίες πρέπει να "συντονίζονται" για τη συχνότητα για την οποία πρόκειται να χρησιμοποιηθούν - και έτσι οι τυπικές κεραίες λειτουργούν καλά μόνο σε αυτή τη συχνότητα.

Επιπλέον, η μορφοκλασματική φύση της κεραίας συρρικνώνει το μέγεθός της, χωρίς τη χρήση οποιουδήποτε εξαρτήματος, όπως πηνία ή πυκνωτές.

Λογαριθμοπεριοδικές κεραίες και φράκταλς
----------------------------------------

Οι λογαριθμοπεριοδικές κεραίες είναι συστοιχίες που εφευρέθηκαν το 1952 και χρησιμοποιούνται συνήθως ως κεραίες τηλεόρασης, πολύ πριν ο Μάντελμπροτ επινοήσει τη λέξη φράκταλ το 1975. Ορισμένοι συγγραφείς (π.χ. ο Κοέν) θεωρούν ότι οι λογαριθμοπεριοδικές κεραίες αποτελούν μια πρώιμη μορφή φράκταλ κεραίας λόγω της άπειρης αυτοομοιότητάς τους σε όλες τις κλίμακες. Ωστόσο, έχουν πεπερασμένο μήκος ακόμη και στο θεωρητικό όριο με άπειρο αριθμό στοιχείων και επομένως δεν έχουν διάσταση φράκταλ που να υπερβαίνει την τοπολογική τους διάσταση - η οποία είναι ένας τρόπος ορισμού των φράκταλ. Γενικότερα, (π.χ. Pandey) οι συγγραφείς τα αντιμετωπίζουν ως μια ξεχωριστή αλλά συναφή κατηγορία κεραιών.

Κεραίες με μορφοκλασματικά στοιχεία και επιδόσεις
-------------------------------------------------

Τα στοιχεία κεραιών (σε αντίθεση με τις συστοιχίες κεραιών, οι οποίες γενικά δεν περιλαμβάνονται στις μορφοκλασματικές κεραίες) που κατασκευάζονται από αυτο-ομοειδή σχήματα δημιουργήθηκαν για πρώτη φορά από τον Ναθαν Κοέν , τότε καθηγητή στο Πανεπιστήμιο της Βοστώνης, από το 1988.. Οι προσπάθειες του Κοέν με διάφορα σχέδια φράκταλ κεραιών δημοσιεύτηκαν για πρώτη φορά το 1995, σηματοδοτώντας την πρώτη επιστημονική δημοσίευση για τις φράκταλ κεραίες.

Πολλές κεραίες με φράκταλ στοιχεία χρησιμοποιούν τη δομή φράκταλ ως εικονικό συνδυασμό πυκνωτών και πηνίων. Αυτό επιτρέπει στην κεραία να έχει πολλούς διαφορετικούς συντονισμούς, οι οποίοι μπορούν να επιλεγούν και να ρυθμιστούν με την επιλογή του κατάλληλου σχεδιασμού φράκταλ. Αυτή η πολυπλοκότητα προέρχεται από το γεγονός ότι το ρεύμα στη δομή έχει μια πολύπλοκη διάταξη που προκαλείται από την αυτεπαγωγή και την αυτοχωρητικότητα. Σε γενικές γραμμές, αν και το πραγματικό ηλεκτρικό τους μήκος είναι μεγαλύτερο, οι κεραίες με φράκταλ στοιχεία είναι οι ίδιες φυσικά μικρότερες, και πάλι λόγω αυτού του αντιδραστικού φορτίου.

Έτσι, οι κεραίες με μορφοκλασματικά στοιχεία είναι μικρότερες από τις συμβατικές κεραίες και δεν απαιτούν πρόσθετα εξαρτήματα, υπό την προϋπόθεση ότι η δομή έχει την επιθυμητή σύνθετη αντίσταση εισόδου συντονισμού. Γενικά, η διάσταση του φράκταλ μιας κεραίας φράκταλ είναι ένας κακός δείκτης της απόδοσης και της εφαρμογής της. Δεν λειτουργούν όλες οι φράκταλ κεραίες καλά για μια δεδομένη εφαρμογή ή σύνολο εφαρμογών. Οι ερευνητικές μέθοδοι υπολογιστών και οι προσομοιώσεις κεραιών χρησιμοποιούνται συνήθως για τον εντοπισμό των σχεδίων φράκταλ κεραιών που ανταποκρίνονται καλύτερα στις ανάγκες της εφαρμογής.

Μελέτες στη δεκαετία του 2000 κατέδειξαν τα οφέλη της τεχνολογίας των μορφοκλασματικών στοιχείων σε πραγματικές εφαρμογές όπως η τεχνολογία RFID και τα κινητά τηλέφωνα. Τα φράκταλ χρησιμοποιούνται εμπορικά σε κεραίες από τη δεκαετία του 2010. Τα πλεονεκτήματά τους είναι η καλή απόδοση πολλαπλών ζωνών, το μεγάλο εύρος ζώνης και η μικρή επιφάνεια. Το κέρδος με μικρό μέγεθος προκύπτει από την εποικοδομητική παρεμβολή με πολλαπλά μέγιστα ρεύματος, που επιτρέπει η ηλεκτρικά μεγάλη δομή σε μικρή επιφάνεια.

Ορισμένοι ερευνητές αμφισβήτησαν την ανώτερη απόδοση των μορφοκλασματικών κεραιών. Ο S.R. Best (2003) παρατηρήθηκε ότι "η γεωμετρία της κεραίας από μόνη της, είτε πρόκειται για φράκταλ είτε όχι, δεν καθορίζει με απόλυτο τρόπο τις ηλεκτρομαγνητικές ιδιότητες της μικρής κεραίας." Οι Χάνσεν & Κόλιν (2011) εξέτασαν πολυάριθμες εργασίες σχετικά με τις μορφοκλασματικές κεραίες και κατέληξαν στο συμπέρασμα ότι δεν προσφέρουν κανένα πλεονέκτημα σε σχέση με τα πλατιά δίπολα, τα φορτισμένα δίπολα ή τους απλούς βρόχους και ότι οι μη φράκταλ κεραίες είναι πάντα καλύτερες. [Ο Μπαλάνης (2011) αναφέρθηκε σε διάφορες μορφοκλασματικές κεραίες και διαπίστωσε ότι η απόδοσή τους ήταν ισοδύναμη με εκείνη των ηλεκτρικά μικρών κεραιών με τις οποίες συγκρίθηκαν. Οι λογαριθμικές περιοδικές, μια μορφή μορφοκλασματικη κεραία, έχουν τα ηλεκτρομαγνητικά χαρακτηριστικά τους μοναδικά καθορισμένα από τη γεωμετρία, μέσω μιας γωνίας ανοίγματος.

Φρακταλικές κεραίες, αναλλοίωτη συχνότητα και εξισώσεις του Μάξγουελ
--------------------------------------------------------------------

Μια διαφορετική και χρήσιμη ιδιότητα ορισμένων κεραιών με φράκταλ στοιχεία είναι η αυτο-κλιμάκωσή τους. Το 1957, ο V.H. Rumsey παρουσίασε τα αποτελέσματα ότι η κλιμάκωση που καθορίζεται από τη γωνία ήταν μία από τις βασικές απαιτήσεις για να γίνουν οι κεραίες αναλλοίωτες (να έχουν τις ίδιες ιδιότητες ακτινοβολίας) σε έναν αριθμό, ή ένα εύρος, συχνοτήτων. Οι εργασίες του Υ. Mushiake στην Ιαπωνία που ξεκίνησαν το 1948 έδειξαν παρόμοια αποτελέσματα για ανεξάρτητες από τη συχνότητα κεραίες που έχουν αυτοσυμπληρωματικότητα.

Θεωρήθηκε ότι οι κεραίες έπρεπε να ορίζονται από γωνίες για να ισχύει αυτό, αλλά το 1999 ανακαλύφθηκε ότι η αυτοσυμπληρωματικότητα ήταν μία από τις βασικές απαιτήσεις για να γίνουν οι κεραίες αναλλοίωτες σε συχνότητα και εύρος ζώνης. Με άλλα λόγια, η αυτο-ομοιότητα ήταν η βασική απαίτηση, μαζί με τη συμμετρία προέλευσης, για την ανεξαρτησία συχνότητας. Οι κεραίες που ορίζονται από γωνία είναι αυτοομοειδείς, αλλά άλλες αυτοομοειδείς κεραίες είναι ανεξάρτητες συχνότητας παρόλο που δεν ορίζονται από γωνία.

Με βάση τις εξισώσεις του Μάξγουελ, η ανάλυση αυτή έδειξε ότι οι φράκταλ κεραίες προσφέρουν μια κλειστή και μοναδική εικόνα μιας βασικής πτυχής των ηλεκτρομαγνητικών φαινομένων. Δηλαδή: την αναλλοίωτη ιδιότητα των εξισώσεων του Μάξγουελ. Αυτό είναι πλέον γνωστό ως η αρχή Χόχφελντ-Κόεν-Ράμσεϊ (HCR). Η προηγούμενη εργασία του Mushiake σχετικά με την αυτοσυμπληρωματικότητα αποδείχθηκε ότι περιοριζόταν στην ομαλότητα της σύνθετης αντίστασης, όπως αναμενόταν από την Αρχή του Μπαμπινέ, αλλά όχι στην αναλλοίωτη συχνότητα.

Άλλες χρήσεις
-------------

Εκτός από τη χρήση τους ως κεραίες, τα φράκταλ έχουν επίσης βρει εφαρμογή σε άλλα στοιχεία του συστήματος κεραιών, συμπεριλαμβανομένων των φορτίων, των αντίβαρων και των επιπέδων γείωσης.

Τα φράκταλ επαγωγικά και τα φράκταλ συντονισμένα κυκλώματα (φράκταλ αντηχεία) ανακαλύφθηκαν και εφευρέθηκαν επίσης ταυτόχρονα με τις κεραίες με φράκταλ στοιχεία. Ένα αναδυόμενο παράδειγμα είναι τα μεταϋλικά. Μια πρόσφατη εφεύρεση καταδεικνύει τη χρήση στενά στοιβαγμένων φρακταλικών αντηχείων για την κατασκευή του πρώτου ευρυζωνικού μεταϋλικού μανδύα αορατότητας σε μικροκυματικές συχνότητες
.

Τα φράκταλ φίλτρα (ένας τύπος συντονισμένου κυκλώματος) είναι ένα άλλο παράδειγμα όπου έχει αποδειχθεί η υπεροχή της φράκταλ προσέγγισης για μικρότερο μέγεθος και καλύτερη απόρριψη
.

Καθώς τα φράκταλ μπορούν να χρησιμοποιηθούν ως αντίβαρα, φορτία, επίπεδα γείωσης και φίλτρα, όλα τα μέρη που μπορούν να ενσωματωθούν σε κεραίες, θεωρούνται μέρη ορισμένων συστημάτων κεραιών και συνεπώς συζητούνται στο πλαίσιο των μορφοκλασματικών κεραιών.

Δείτε επίσης
------------

* Κυματοδηγός
* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Cohen, Nathan (Summer 1995). «Fractal antennas Part 1». *Communications Quarterly* **5**: 7–22. ISSN 1053-9433. .
2. ↑  Ghosh, Basudeb; Sinha, Sachendra N.; and Kartikeyan, M. V. (2014). *Fractal Apertures in Waveguides, Conducting Screens and Cavities: Analysis and Design*, p.88. Volume 187 of *Springer Series in Optical Sciences*. (ISBN 9783319065359).
3. 1 2  Nathan Cohen (2002) "Fractal antennas and fractal resonators" US Patent 6452553
4. ↑  Albers, Donald J.· Alexanderson, Gerald L. (2008). «Benoît Mandelbrot: In his own words». *Mathematical people: profiles and interviews*. Wellesley, MA: AK Peters. σελ. 214. ISBN 978-1-56881-340-0.
5. ↑  Nathan Cohen, "Fractal antenna and fractal resonator primer", p. 218, ch.8 in, Michael Frame, Nathan Cohen (eds), *Benoit Mandelbrot: A Life In Many Dimensions*, World Scientific, 2015 ISBN 9814635537.
6. ↑  Anil Pandey, *Practical Microstrip and Printed Antenna Design*, p. 5, Artech House, 2019 ISBN 1630816701.
7. ↑  «Fractal Antenna Systems, Inc». *www.fractenna.com*. Ανακτήθηκε στις 22 Απριλίου 2018.
8. ↑  Cohen, N. (Summer 1995). «Fractal antennas, Part 1». *Communications Quarterly*: 12 sidebar, *The First Fractal Antenna*. ISSN 1053-9433. .
9. ↑  Ukkonen, Leena; Sydänheimo, Lauri; Kivikoski, Markku (2007-03). «Read Range Performance Comparison of Compact Reader Antennas for a Handheld UHF RFID Reader». *2007 IEEE International Conference on RFID*: 63–70. doi:10.1109/RFID.2007.346151. .
10. ↑  «volume | PIER Journals». *www.jpier.org* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2023.
11. ↑  Lau, Henry (2019). Practical Antenna Design for Wireless Products. Artech House. p. 208. ISBN 978-1630813260.
12. ↑  Volakis, John; Chen, Ch-Chi & Fujimoto, Kyohei (2010). Small Antennas. McGraw Hill. § 3.2.5. ISBN 9780071625531.
13. ↑  Frame, Michael; Cohen, Nathan (2015). "ch 8: Fractal antenna and fractal resonator primer". Benoit Mandelbrot: A life in many dimensions. World Scientific Press. § 8.4. ISBN 9789814366069.
14. ↑  Best, S.R. (2003). «A comparison of the resonant properties of small space-filling fractal antennas». *IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters* **2**: 197–200. doi:10.1109/1-AWP.2003.819680. ISSN 1548-5757. .
15. ↑   Hansen, Robert C. & Collin, R.E. (2011). Small Antenna Handbook. John Wiley & Sons. ch. 5.13. ISBN 978-1118106853.
16. ↑   Balanis, C.A. (2011). Modern Antenna Handbook. John Wiley & Sons. ch. 10.9. ISBN 978-1-118-20975-2.
17. ↑   Krischke, Alois (2019). Rothammel's Antenna Book. DARC Verlag. 27.5. ISBN 9783000624278.
18. ↑  Rumsey, V.H. (1957). "Frequency Independent Antennas". IRE International Convention Record. Vol. 5. New York, NY: Institute of Radio Engineers. p. 114-118.
19. ↑  «Mushiake, Y. (March 1949). "Origination of self-complementary structure and discovery of its constant-impedance property"». *www.sm.rim.or.jp*. Ανακτήθηκε στις 27 Αυγούστου 2023.
20. ↑  Mushiake, Y. (March 1949). «Origination of self-complementary structure and discovery of its constant-impedance property» (στα ja). *The Journal of the Institute of Electrical Engineers of Japan* **69** (3): 88. .
21. ↑  Hohlfeld R, Cohen N (1999). «Self-similarity and the geometric requirements for frequency independence in Antennae». *Fractals* **7** (1): 79–84. doi:10.1142/S0218348X99000098.
22. ↑  US 7256751, Cohen, Nathan, "Fractal antennas and fractal resonators", published 2007-08-14
23. ↑  U.S. Patent 8,253,639
24. ↑  Cohen, N. (2012). «Body sized wide-band high fidelity invisibility cloak». *Fractals* **20** (3n04): 227–232. doi:10.1142/s0218348x1250020x. Bibcode: 2012Fract..20..227C.
25. ↑  Lancaster, M.· Hong, Jia-Sheng (2001). *Microstrip Filters for RF/Microwave Applications*. New York: Wiley. σελίδες 410–411. ISBN 978-0-471-38877-7.
26. ↑  Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J.; Shirzad, H. (2010). «Mutiband ring fractal monopole antennas for mobile devices». *IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters* **9**: 863–866. doi:10.1109/LAWP.2010.2071372. Bibcode: 2010IAWPL...9..863P.
27. ↑  Pourahmadazar, J.; Ghobadi, C.; Nourinia, J. (2011). «Novel modified pythagorean tree fractal monopole antennas for UWB applications». *IEEE Antennas and Wireless Propagation Letters* **10**: 484–487. doi:10.1109/LAWP.2011.2154354. Bibcode: 2011IAWPL..10..484P.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Κλάδοι των μαθηματικών |
| --- |
|  |
| 
* Άλγεβρα
* Μαθηματική ανάλυση
* Γεωμετρία
* Εφαρμοσμένα μαθηματικά
* Διακριτά μαθηματικά
* Θεμέλια των μαθηματικών
 |

 |


|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |