Άδειος ζυγός ισορροπίαςΟι δίσκοι αυτού του ζυγού ισορροπίας περιέχουν μηδέν αντικείμενα, χωρισμένα σε δύο ίσες ομάδες.
Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός. Με άλλα λόγια, η *ομοτιμία* του - η ιδιότητα ενός ακέραιου αριθμού να είναι άρτιος ή περιττός - είναι άρτια. Ο απλούστερος τρόπος για να αποδείξει κανείς ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι να ελέγξει πως επαληθεύει τον ορισμό του "άρτιου": είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2, συγκεκριμένα 0 × 2. Ως αποτέλεσμα, το μηδέν έχει όλες τις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τους άρτιους αριθμούς: το 0 έχει διαιρέτη το 2, το 0 συνορεύει και από τις δύο πλευρές με περιττούς αριθμούς, το 0 είναι το άθροισμα ενός ακεραίου (0) με τον εαυτό του, και ένα σύνολο 0 αντικειμένων μπορεί να χωριστεί σε δύο ίσα σύνολα.

Το μηδέν πληροί τα μοτίβα που έχουν καθοριστεί από άλλους άρτιους αριθμούς. Οι κανόνες ομοτιμίας της αριθμητικής, όπως *άρτιος* − *άρτιος* = *άρτιος*, απαιτούν το 0 να είναι άρτιος. Το μηδέν είναι το ουδέτερο στοιχείο της πρόσθεσης της ομάδας των άρτιων ακέραιων αριθμών, και είναι η βάση του αναδρομικού ορισμού που καθορίζει άλλους άρτιους φυσικούς αριθμούς. Εφαρμογές αυτής της αναδρομής από την θεωρία γραφημάτων μέχρι την υπολογιστική γεωμετρία βασίζονται στο ότι το μηδέν είναι άρτιος. Το 0 δεν διαιρείται απλώς από το 2, διαιρείται από όλους τους θετικούς ακέραιους αριθμούς. Στο δυαδικό σύστημα που χρησιμοποιούν οι υπολογιστές, είναι ιδιαίτερα σημαντικό ότι το 0 διαιρείται από κάθε δύναμη του δύο· υπό αυτήν την έννοια, το 0 είναι ο "πιο άρτιος" αριθμός που υπάρχει.

Στο ευρύ κοινό, η ομοτιμία του μηδενός μπορεί να προκαλεί σύγχυση. Σε πειράματα χρόνου αντίδρασης, οι περισσότεροι άνθρωποι αργούν πιο πολύ να αναγνωρίζουν το 0 ως άρτιο από ότι το 2, το 4, το 6, ή το 8. Μερικοί μαθητές των μαθηματικών — και κάποιοι δάσκαλοι — πιστεύουν πως το μηδέν είναι περιττός, ή και άρτιος και περιττός, ή τίποτα από τα δύο. Έρευνες στην μαθηματική μόρφωση υποδηλώνουν ότι αυτές οι εσφαλμένες αντιλήψεις μπορούν να γίνουν ευκαιρίες μάθησης. Η μελέτη ισοτήτων όπως 0 × 2 = 0 μπορούν να ξεκαθαρίσουν τις αμφιβολίες μαθητών στο να αποκαλούν το 0 αριθμό και να το χρησιμοποιούν στην αριθμητική. Συζητήσεις μέσα στην τάξη μπορούν να οδηγήσουν τους μαθητές στο να εκτιμήσουν τις βασικές αρχές της μαθηματικής λογικής, όπως το πόσο σημαντικοί είναι οι ορισμοί. Ο ορισμός της ομοτιμίας αυτού του εξαιρετικού αριθμού είναι ένα πρώτο παράδειγμα ενός μοτίβου που συναντάται πολύ συχνά στα μαθηματικά: της γενίκευσης μιας γνωστής έννοιας σε ένα άγνωστο περιβάλλον.

Γιατί το μηδέν είναι άρτιος
---------------------------

Ο καθιερωμένος ορισμός του "άρτιου αριθμού" μπορεί να χρησιμοποιηθεί στην άμεση μαθηματική απόδειξη ότι το μηδέν είναι άρτιος. Ένας αριθμός ονομάζεται "άρτιος" όταν είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2. Σαν παράδειγμα, ο λόγος που το 10 είναι άρτιος είναι πως ισούται με 5 × 2. Όμοια, το μηδέν είναι ένα ακέραιο πολλαπλάσιο του 2, δηλαδή 0 × 2, συνεπώς το μηδέν είναι άρτιος.

Επίσης είναι δυνατό να εξηγήσει κανείς γιατί το μηδέν είναι άρτιος χωρίς να αναφερθεί σε επίσημους ορισμούς. Οι παρακάτω εξηγήσεις δίνουν νόημα στην ιδέα ότι το μηδέν είναι άρτιος ως προς τις θεμελιώδεις έννοιες των αριθμών. Βάσει αυτών, κάποιος μπορεί να εκλογικεύσει τον ίδιο τον ορισμό — και για την εφαρμογή του στο μηδέν.

### Βασικές εξηγήσεις

Στα αριστερά, κουτιά με 0, 2, και 4 λευκά αντικείμενα σε ζεύγη· στα δεξιά, 1, 3, και 5 αντικείμενα, με κόκκινο είναι τα αντικείμενα που δεν ανήκουν σε ζεύγηΣτο κουτί με 0 αντικείμενα δεν έχει περισσέψει κανένα κόκκινο αντικείμενο.
Το μηδέν είναι ένας αριθμός, και οι αριθμοί χρησιμοποιούνται στην μέτρηση. Δεδομένου ενός συνόλου αντικειμένων, κάποιος χρησιμοποιεί έναν αριθμό για να περιγράψει πόσα αντικείμενα υπάρχουν στο σύνολο. Το μηδέν είναι η μέτρηση του *κανένα αντικείμενο*; πιο επίσημα, είναι ο αριθμός των αντικειμένων σε ένα κενό σύνολο. Η έννοια της ομοτιμίας χρησιμοποιείται στην δημιουργία συνόλων δύο αντικειμένων. Αν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να χωριστούν σε ομάδες των δύο, χωρίς να περισσεύει κανένα, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι άρτιος. Αν περισσεύει ένα αντικείμενο, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι περιττός. Το κενό σύνολο περιέχει μηδέν ομάδες των δύο, και δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο από αυτήν την ομαδοποίηση, συνεπώς το μηδέν είναι άρτιος.

Οι ιδέες αυτές μπορούν να παρασταθούν σχεδιάζοντας αντικείμενα σε ζεύγη. Είναι δύσκολο να απεικονίσουμε μηδέν ομάδες των δύο, ή να δώσουμε έμφαση στο ανύπαρκτο αντικείμενο που έχει περισσέψει, συνεπώς βοηθάει να σχεδιάσουμε άλλες ομάδες και να τις συγκρίνουμε με τον μηδέν. Για παράδειγμα, στην ομάδα των πέντε αντικειμένων, υπάρχουν δύο ζεύγη. Το πιο σημαντικό είναι ότι περισσεύει ένα αντικείμενο, συνεπώς το 5 είναι περιττός. Στην ομάδα των τεσσάρων αντικειμένων, δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο, συνεπώς το 4 είναι άρτιος. Στην ομάδα του ενός μόνο αντικειμένου, δεν υπάρχουν ζεύγη, και υπάρχει ένα αντικείμενο που περισσεύει, συνεπώς το 1 είναι περιττός. Στην ομάδα των μηδέν αντικειμένων, δεν περισσεύει κανένα αντικείμενο, συνεπώς το 0 είναι άρτιος.

Υπάρχει και άλλος ένας αδιαμφισβήτητος ορισμός της αρτιότητας: αν τα αντικείμενα ενός συνόλου μπορούν να τοποθετηθούν σε δύο ομάδες του ίδιου μεγέθους, τότε ο αριθμός των αντικειμένων είναι άρτιος. Αυτός ο ορισμός είναι ισοδύναμος με τον πρώτο. Και πάλι, το μηδέν είναι άρτιος γιατί το κενό σύνολο μπορεί να διασπαστεί σε δύο ομάδες μηδέν αντικειμένων η κάθε μία.

Οι αριθμοί μπορούν επίσης να παρασταθούν ως σημεία της ευθείας των πραγματικών αριθμών. Όταν διακρίνουμε τους άρτιους αριθμούς από τους περιττούς, το μοτίβο που ακολουθούν γίνεται προφανές, ειδικά όταν συμπεριλάβουμε και τους αρνητικούς αριθμούς:

Ακέραιοι αριθμοί από το −4 εώς το 10; οι άρτιοι αριθμοί παριστάνονται με άδειους κύκλους; οι περιττοί αριθμού με βούλες
Οι άρτιοι και οι περιττοί αριθμοί εναλλάσσονται. Ξεκινώντας από οποιονδήποτε άρτιο αριθμό, μετρώντας προς τα πάνω ή προς τα κάτω ανά δύο φτάνουμε σε άλλους άρτιους αριθμούς, και δεν υπάρχει κανένας λόγος να υπερπηδήσουμε το μηδέν.

Με την εισαγωγή του πολλαπλασιασμού, μπορούμε να ελέγξουμε την ομοτιμία με έναν πιο επίσημο τρόπο χρησιμοποιώντας αριθμητικές εκφράσεις. Κάθε ακέραιος είναι είτε της μορφής (2 × ▢) + 0 είτε της μορφής (2 × ▢) + 1; οι αριθμοί που έχουν την πρώτη μορφή είναι άρτιοι και οι αριθμοί που έχουν την δεύτερη μορφή είναι περιττοί. Για παράδειγμα, το 1 είναι περιττός επειδή 1 = (2 × 0) + 1, και το 0 είναι άρτιος επειδή 0 = (2 × 0) + 0. Η δημιουργία ενός πίνακα αυτών των αποτελεσμάτων ενισχύει την παραπάνω εικόνα της γραμμής των πραγματικών αριθμών.

### Καθορισμός της ομοτιμίας

Ο ακριβής ορισμός ενός μαθηματικού όρου, όπως ότι "άρτιος" σημαίνει "ακέραιο πολλαπλάσιο του δύο", είναι στην τελική μία συνθήκη. Σε αντίθεση με τον "άρτιο", κάποιοι μαθηματικοί όροι είναι σκόπιμα δομημένοι έτσι ώστε να αποκλείουν τετριμμένες ή εκφυλισμένες περιπτώσεις. Οι πρώτοι αριθμοί είναι ένα διάσημο παράδειγμα. Πριν τον 20ό αιώνα, οι ορισμοί των πρώτων αριθμών ήταν ασύμβατοι, και σημαντικοί μαθηματικοί όπως ο Γκόλντμπαχ (Goldbach), ο Λάμπερτ (Lambert), ο Λεζάντρ (Legendre), ο Κέιλι (Cayley), και ο Κρόνεκερ (Kronecker) έγραψαν πως το 1 ήταν πρώτος. Ο σύγχρονος ορισμός του "πρώτου αριθμού" είναι "θετικός ακέραιος με ακριβώς 2 διαιρέτες", οπότε το 1 δεν είναι πρώτος. Αυτός ο ορισμός μπορεί να εκλογικευθεί παρατηρώντας ότι ταιριάζει πιο φυσικά με μαθηματικά θεωρήματα που αφορούν τους πρώτους. Για παράδειγμα, το θεμελιώδες θεώρημα της αριθμητικής είναι πιο εύκολο να οριστεί όταν το 1 δεν θεωρείται πρώτος.

Θα ήταν δυνατόν με παρόμοιο τρόπο να επαναπροσδιοριστεί ο όρος "άρτιος" έτσι ώστε να μην περιλαμβάνει το μηδέν. Όμως, σε αυτήν την περίπτωση, ο νέος ορισμός θα έκανε πιο δύσκολο τον ορισμό θεωρημάτων που αφορούν τους άρτιους αριθμούς. Ήδη η επίδραση μπορεί να φανεί στους αλγεβρικούς κανόνες που διέπουν τους άρτιους και τους περιττούς αριθμούς. Οι πιο σχετικοί κανόνες αφορούν την πρόσθεση, την αφαίρεση, και τον πολλαπλασιασμό:

άρτιος ± άρτιος = άρτιος
περιττός ± περιττός = άρτιος
άρτιος × ακέραιος = άρτιος
Εισάγοντας κατάλληλες τιμές στην αριστερή πλευρά αυτών των κανόνων, μπορούμε να πάρουμε το 0 στην δεξιά πλευρά:

2 − 2 = 0
−3 + 3 = 0
4 × 0 = 0
Οι παραπάνω κανόνες δεν θα ίσχυαν αν το μηδέν δεν ήταν άρτιος. Στην καλύτερη περίπτωση θα χρειάζονταν τροποποίηση. Για παράδειγμα, ένας οδηγός-βοήθημα (test study guide) ισχυρίζεται ότι οι άρτιοι αριθμοί χαρακτηρίζονται ως ακέραια πολλαπλάσια του δύο, αλλά το μηδέν "δεν είναι ούτε άρτιος ούτε περιττός". Αντίστοιχα, οι κανόνες του οδηγού για τους άρτιους και τους περιττούς αριθμούς έχουν και εξαιρέσεις:

άρτιος ± άρτιος = άρτιος **(ή μηδέν)**
περιττός ± περιττός = άρτιος **(ή μηδέν)**
άρτιος × **μη μηδενικός** ακέραιος = άρτιος
Κάνοντας μια εξαίρεση για το μηδέν στον ορισμό της αρτιότητας αναγκάζεται κανείς να κάνει εξαιρέσεις στους κανόνες των άρτιων αριθμών. Από μια άλλη προοπτική, αν πάρουμε τους κανόνες που ακολουθούν οι θετικοί ακέραιοι αριθμοί και απαιτήσουμε να συνεχίσουν να ισχύουν για τους ακέραιους παίρνουμε τον συνήθη ορισμό και την αρτιότητα του μηδενός.

Εκπαίδευση
----------

Bar chart; see description in body textPercentage responses over timeΤο θέμα της ομοτιμίας του μηδενός συχνά αντιμετωπίζεται στα δύο ή τρία πρώτα χρόνια της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης, όταν η έννοια των ζυγών και μονών αριθμών εισάγεται και αναπτύσσεται.

### Γνώσεις των μαθητών

Το διάγραμμα δεξιά απεικονίζει τις πεποιθήσεις των παιδιών για την ομοτιμία του μηδενός, καθώς προχωρούν από την 1 τάξη στην 6 τάξη του Αγγλικού εκπαιδευτικού συστήματος. Τα στοιχεία προέρχονται από τον Len Frobisher, ο οποίος πραγματοποίησε την έρευνά του σε ένα ζευγάρι Άγγλων μαθητών. Ο Φρόμπισερ ενδιαφέρθηκε για το πώς η γνώση της μονοψήφιας ομοτιμίας μεταφράζεται σε γνώση των πολλαπλών ψηφίων ομοτιμίας, και το στοιχείο μηδέν έχει περίοπτη θέση στα αποτελέσματα.

Σε μια πρώτη έρευνα περίπου 400 παιδιών επτά ετών , το 45% επέλεξε *άρτιο* από  *περιττό*, όταν ρωτήθηκε για την ομοτιμία του μηδενός. Μια ακόλουθη έρευνα προσέφερε περισσότερες επιλογές: *κανένα*, *και τα δύο* και *δεν γνωρίζω*. Αυτή τη φορά, ο αριθμός των παιδιών στην ίδια ηλικία για την ταυτοποίηση του μηδενός ως άρτιος έπεσε στο 32%. Η επιτυχία στην απόφαση ότι το μηδέν είναι άρτιος αρχικά εκτοξεύεται και στη συνέχεια τα επίπεδα πέφτουν περίπου 50% από τον 3ο ως 6ο χρόνο. Για σύγκριση, το πιο εύκολο έργο, προσδιορίζοντας το μηδέν ως μονοψήφιο αριθμό, τα επίπεδα ανεβαίνουν σε περίπου 85% επιτυχία.

Σε συνεντεύξεις, ο Φρόμπισερ προκάλεσε το σκεπτικό των μαθητών. Ένα παιδί πέντε χρονών αποφάσισε ότι το μηδέν ήταν ζυγός αριθμός επειδή βρέθηκε 2 φορές στον πίνακα. Ένα ζευγάρι τεσσάρων ετών συνειδητοποίησε ότι το μηδέν μπορεί να χωριστεί σε ίσα μέρη. Ένα άλλο τεσσάρων ετών αιτιολόγησε ότι "ο αριθμός 1 είναι περιττός και αν πάω κάτω αυτόν είναι άρτιος." Οι συνεντεύξεις αποκάλυψαν, επίσης, τις παρερμηνείες πίσω από τις λανθασμένες απαντήσεις. Ένα παιδάκι δύο ετών ήταν "αρκετά πεπεισμένο" ότι ήταν περιττό το μηδέν, με το σκεπτικό ότι "είναι ο πρώτος αριθμός που μετράμε". Ένα τετράχρονο αναφέρεται στο 0 ως "τίποτα" και σκέφτηκε ότι δεν ήταν ούτε περιττό ούτε άρτιο, αφού «δεν είναι καν ένας αριθμός". Σε μια άλλη μελέτη, η Annie Keith παρατηρεί μια κατηγορία 15 μαθητών Β 'τάξης που έπεισε ο ένας τον άλλον ότι το μηδέν ήταν ένας ζυγός αριθμός, βασιζόμενοι στην άρτια-περιττή εναλλαγή και στη πιθανότητα της διάσπασης μιας ομάδας μηδενικών πραγμάτων σε δύο ίσες ομάδες.

Περισσότερες σε βάθος έρευνες διεξήχθησαν από τους Esther Levenson, Pessia Tsamir και Dina Tirosh, που πήραν συνέντευξη από ένα ζευγάρι μαθητών έκτης τάξης, οι οποίοι είχαν μεγάλο βαθμό στα μαθηματικά. Ο ένας μαθητής προτίμησε αφαιρετική εξήγηση στους μαθηματικούς ισχυρισμούς, ενώ ο δεύτερος προτίμησε πρακτικά παραδείγματα. Και οι δύο μαθητές αρχικά πίστευαν ότι το 0 δεν ήταν ούτε άρτιος ούτε περιττός, για διαφορετικούς λόγους. Ο Levenson. έδειξε πως ο συλλογισμός των μαθητών αντικατοπτρίζεται στις έννοιες του μηδενός και της διαίρεσης.

| Claims made by students |
| --- |
| Zero is not even or odd. |
| Zero could be even. |
| Zero is not odd. |
| Zero has to be an even. |
| Zero is not an even number. |
| Zero is always going to be an even number. |
| Zero is not always going to be an even number. |
| Zero is even. |
| Zero is special. |

Η Deborah Loewenberg Ball ανέλυσε τις ιδέες ενός μαθητή τρίτης τάξης για ζυγούς και μονούς αριθμούς και το μηδέν, που μόλις είχε συζητήσει με μια ομάδα της τετάρτης τάξης. Οι μαθητές συζήτησαν την ομοτιμία του μηδενός, τους κανόνες για άρτιους αριθμούς και πώς γίνεται στα μαθηματικά. Οι ισχυρισμοί σχετικά με το μηδέν πήραν πολλές μορφές, όπως φαίνεται στον πίνακα στα δεξιά. Η Deborah Ball και οι συνεργάτες της υποστηρίζουν ότι το επεισόδιο έδειξε πώς οι μαθητές μπορούν να "κάνουν τα μαθηματικά στο σχολείο", σε αντίθεση με την συνήθη μείωση της πειθαρχίας στη μηχανική λύση των ασκήσεων.

Ένα από τα θέματα στην ερευνητική βιβλιογραφία είναι η ένταση μεταξύ της αντίληψης των εικόνων και της έννοιας των ορισμών τους. Ο Levenson κ κάποιοι βαθμοφόροι της έκτης δημοτικού όρισαν τους άρτιους ως πολλαπλάσια του 2 ή αριθμούς που διαιρούνται με το 2, αλλά δεν ήταν αρχικά σε θέση να εφαρμόσουν αυτόν τον ορισμό στο μηδέν, επειδή δεν ήταν σίγουροι για το πώς να πολλαπλασιάσουν ή να διαιρέσουν το μηδέν με το 2. Η συνέντευξη τελικά τους οδήγησε στο συμπέρασμα ότι το μηδέν ήταν άρτιος αν και οι μαθητές ακολούθησαν διαφορετικές διαδρομές σε αυτό το συμπέρασμα, με βάση ένα συνδυασμό εικόνων, ορισμών, πρακτικών εξηγήσεων και αφηρημένων εξηγήσεων. Σε μια άλλη μελέτη, ο David Dickerson και ο Damien Pitman εξέτασαν τη χρήση των ορισμών από πέντε προχωρημένα προπτυχιακού επιπέδου μαθηματικά. Διαπίστωσαν ότι οι φοιτητές ήταν σε μεγάλο βαθμό σε θέση να εφαρμόσουν τον ορισμό της "άρτιας" στο μηδέν, αλλά δεν είχαν ακόμη πεισθεί από αυτήν την αιτιολογία, δεδομένου ότι ερχόταν σε σύγκρουση με την έννοια των εικόνων τους.

### Γνώσεις των εκπαιδευτικών

Ερευνητές της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο του Michigan έχουν συμπεριλάβει την αληθινή ή ψεύτικη προτροπή ότι το "0 είναι άρτιος αριθμός" σε μια βάση δεδομένων με περισσότερες από 250 ερωτήσεις που έχουν σχεδιαστεί για τη μέτρηση της γνώσης του περιεχομένου των εκπαιδευτικών. Γι' αυτούς, το ερώτημα διευκρινίζει "τη κοινή γνώση ... που κάθε μορφωμένος ενήλικος πρέπει να έχει", και είναι "ιδεολογικά ουδέτερη" στο ότι οι απαντήσεις δεν διαφέρουν μεταξύ των παραδοσιακών και μεταρρυθμιστικών μαθηματικών. Σε μια μελέτη του 2000-2004 700 εκπαιδευτικών της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης στις Ηνωμένες Πολιτείες, η συνολική απόδοση σε αυτά τα ερωτήματα προέβλεψε σημαντικά σε βελτιώσεις των μαθητών τυποποιημένη δοκιμή στις βαθμολογίες μετά τη λήψη των εκπαιδευτικών κατηγοριών. Σε μια μελέτη σε βάθος του 2008, οι ερευνητές βρήκαν ένα σχολείο όπου όλοι οι εκπαιδευτικοί θεωρούσαν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε περιττός ούτε ζυγός, συμπεριλαμβανομένου ενός καθηγητή, ο οποίος ήταν υποδειγματικός από όλα τα άλλα μέτρα. Η παρανόηση είχε εξαπλωθεί από ένα μαθηματικό στην κατασκευή τους.

Είναι αβέβαιο πόσες εκπαιδευτικές παρανοήσεις σχετικά με το μηδέν υπήρξαν. Μελέτες του Πανεπιστημίου του Michigan δεν δημοσιεύουν στοιχεία για τα επιμέρους ζητήματα. Η Betty Lichtenberg, η οποία ήταν αναπληρώτρια καθηγήτρια της μαθηματικής εκπαίδευσης στο Πανεπιστήμιο της Νότιας Φλόριντα, σε μια μελέτη του 1972 ανέφερε ότι όταν σε μια ομάδα των μελλοντικών δασκάλων δημοτικού δόθηκε μια αληθινή ή ψευδή δοκιμή, συμπεριλαμβανομένου του στοιχείου "Το μηδέν είναι ένας άρτιος αριθμός ", βρήκαν ότι πρόκειται για ένα "δύσκολο θέμα", με περίπου τα δύο τρίτα να έχουν απαντήσει "Λάθος".

### Συνέπειες στη διδασκαλία

Από μαθηματικής απόψεως, το να αποδείξεις ότι το μηδέν είναι άρτιος είναι ένα απλό θέμα της εφαρμογής του ορισμού, αλλά απαιτείται περισσότερη επεξήγηση στο πλαίσιο της εκπαίδευσης. Το ζήτημα που αφορά τα θεμέλια της απόδειξης για τον ορισμό του "άρτιου" ως "ακέραιο πολλαπλάσιο του 2", δεν είναι πάντα κατάλληλο. Ένας μαθητής κατά τα πρώτα έτη της πρωτοβάθμιας εκπαίδευσης δεν μπορεί ακόμα να έχει μάθει τι σημαίνει "ακέραιος" ή "πολλαπλάσιο", πολύ λιγότερο πώς να πολλαπλασιάζονται με το 0. Επιπλέον, το να δηλώσεις έναν ορισμό της ισότητας για όλους τους ακέραιους μπορεί να φαίνεται σαν μια αυθαίρετη εννοιολογική συντόμευση, μιας που μόνο οι ζυγοί αριθμοί έχουν ερευνηθεί μέχρι στιγμής ότι είναι θετικοί. Αυτό μπορεί να βοηθήσει στο να αναγνωρίσουμε ότι η έννοια αριθμός συμπεριλαμβανομένου του μηδενός στους θετικούς ακέραιους αριθμούς και στους αρνητικούς ακεραίους αριθμούς η ομοτιμία επεκτείνεται σε ένα προβληματικό τρόπο.

Αριθμητική γνώση
----------------

Numbers 0–8, repeated twice, in a complex arrangement; the 0s are on top, separated by a dotted lineStatistical analysis of experimental data, showing separation of 0. In this smallest space analysis, only the clustering of data is meaningful; the axes are arbitrary.
Οι ενήλικοι που πιστεύουν ότι το μηδέν είναι άρτιος αριθμός καταφέρνουν, ωστόσο, να μην είναι εξοικειωμένοι με τη σκέψη τους αυτή ότι είναι άρτιος, έτσι ώστε να επιβραδύνουν αρκετά το χρόνο αντίδρασης τους σε ένα πείραμα. Stanislas Dehaene, πρωτοπόρος στον τομέα της αριθμητικής νόησης διεξήγαγε μια σειρά από τέτοια πειράματα στις αρχές του 1990. Ένα ψηφίο ή αριθμός εμφανίζεται στο υποκείμενο του πειράματος σε μιαοθόνη και ένας υπολογιστής καταγράφει το χρόνο που χρειάζεται αυτός για να πατήσει ένα από τα δύο πλήκτρα ώστε να προσδιορίσει τον αριθμό ως μονό ή ζυγό. Τα αποτελέσματα έδειξαν ότι για το 0 η κίνηση ήταν βραδύτερη από ότι για την επεξεργασία άλλων ζυγών αριθμών. Σε μερικές παραλλαγές του πειράματος διαπιστώθηκαν καθυστερήσεις για διάστημα 60 χιλιοστών του δευτερολέπτου ή περίπου 10% του μέσου χρόνου αντίδρασης-μια μικρή διαφορά, αλλά σημαντική.

Τα πειράματα του Dehaene δεν έχουν σχεδιαστεί αποκλειστικά για την διερεύνηση του 0, αλλά και για να συγκρίνουν ανταγωνιστικά μοντέλα για το πώς η πληροφορία της ομοτιμίας επεξεργάζεται και εξάγεται. Το πιο συγκεκριμένο μοντέλο, η ψυχική υπόθεση υπολογισμού, υποδηλώνει ότι η αντίδραση για το 0 πρέπει να είναι γρήγορη, αφού το 0 είναι ένας μικρός αριθμός και είναι εύκολο να υπολογιστεί 0 × 2 = 0. (Κάποιοι γνωρίζουν να υπολογίζουν και να εμφανίζουν το αποτέλεσμα του πολλαπλασιασμού με το μηδέν ταχύτερα από τον πολλαπλασιασμό των μη μηδενικών αριθμών, όμως είναι πιο αργοί στο να επαληθεύουν προτεινόμενα αποτελέσματα όπως 2 × 0 = 0.) Τα αποτελέσματα των πειραμάτων έδειξαν ότι κάτι πολύ διαφορετικό συνέβαινε: η πληροφορία της ομοτιμίας προφανώς ανακαλούνταν από τη μνήμη μαζί με ένα σύμπλεγμα σχετικών ιδιοτήτων, όπως το να είναι πρώτος ή πολλαπλάσιο του δύο. Τόσο η ακολουθία των δυνάμεων του δύο όσο και η ακολουθία θετικών αριθμών 2, 4, 6, 8, ... είναι καλά διακεκριμένες ψυχικές κατηγορίες, τα μέλη της οποίας είναι ακόμη σε επίπεδο πρωτοτύπου. Το μηδέν δεν ανήκει σε καμία λίστα, ως εκ τούτου και οι βραδύτερες απαντήσεις.

Επαναλαμβανόμενα πειράματα έχουν δείξει μια καθυστέρηση στο μηδέν, σε άτομα από όλες τις ηλικίες και με διαφορετικό εθνικό και γλωσσικό υπόβαθρο. Η ομάδα του Dehaene βρήκε ένα παράγοντα διαφοροποίησης: τις μαθηματικές γνώσεις. Σε ένα από τα πειράματά τους, μαθητές στο École Normale Supérieure χωρίστηκαν σε δύο ομάδες: σε εκείνους με λογοτεχνικές σπουδές και αυτούς που σπουδάζουν μαθηματικά, φυσική, ή βιολογία. Η επιβράδυνση στο 0 "βρέθηκε ουσιαστικά στη [λογοτεχνική] ομάδα", και στην πραγματικότητα, "πριν από το πείραμα, κάποια άτομα δεν ήταν σίγουρα αν το 0 ήταν μονός ή ζυγός και έπρεπε να θυμηθούν τον μαθηματικό ορισμό".

Αυτή η ισχυρή εξάρτηση από την εξοικείωση υπονομεύει εκ νέου την ψυχική υπόθεση υπολογισμού. Το αποτέλεσμα δείχνει επίσης ότι είναι ακατάλληλο να περιλαμβάνεται το μηδέν σε πειράματα όπου ζυγοί και μονοί αριθμοί συγκρίνονται ως ομάδα. Μία μελέτη αναφέρει, "Οι περισσότεροι ερευνητές φαίνεται να συμφωνούν ότι το μηδέν δεν είναι ένας τυπικός, άρτιος αριθμός και δεν θα πρέπει να διερευνηθεί ως μέρος της ψυχικής γραμμής για τους αριθμούς."

Καθημερινές Καταστάσεις
-----------------------

Ορισμένες από τις καταστάσεις, όπου η ομοτιμία του μηδενός εμφανίζεται είναι καθαρά ρητορικές. Το θέμα παρέχει υλικό για πίνακες μηνυμάτων στο Διαδίκτυο και ask-the-expert ιστοσελίδες. Η Linguist Joseph Grimes αναφέρει ότι αν ρωτήσεις "Είναι το μηδέν ζυγός αριθμός;" τα παντρεμένα ζευγάρια είναι ένας καλός τρόπος για να τους κάνεις να διαφωνήσουν. Οι άνθρωποι που πιστεύουν ότι το μηδέν δεν είναι ούτε ζυγός ούτε περιττός μπορούν να χρησιμοποιήσουν την ομοτιμία του μηδενός ως απόδειξη ότι κάθε κανόνας έχει ένα αντιπαράδειγμα, ή σαν ένα παράδειγμα μιας ερώτησης τέχνασμα.

Γύρω στο έτος 2000, τα μέσα μαζικής ενημέρωσης σημείωσαν ένα ασυνήθιστο ζεύγος ορόσημο: "19/11/1999" ήταν η τελευταία ημερολογιακή ημέρα που θα συμβεί για πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα, η οποία αποτελείται μόνο από μονούς αριθμούς , και ότι "η 02/02/2000" ήταν η πρώτη "άρτια" ημέρα σε ένα πολύ μεγάλο χρονικό διάστημα. Παρόλο που αυτά τα αποτελέσματα κάνουν χρήση του μηδενός ως άρτιο αριθμό, μερικοί αναγνώστες διαφωνούν με αυτή την ιδέα.

Σε τυποποιημένη δοκιμή, αν μια ερώτηση ρωτά για τη συμπεριφορά των άρτιων αριθμών, μπορεί να είναι απαραίτητο να έχετε κατά νου ότι το μηδέν είναι άρτιος. Επίσημες δημοσιεύσεις σχετικά με τις GMAT και GRE δοκιμές δηλώνουν ότι είναι άρτιος το 0.

Η ομοτιμία του μηδενός σχετίζεται με την περιττή-άρτια ταξινόμηση, με βάση την οποία μπορούν να οδηγούνται αυτοκίνητα ή να αγοράζεται βενζίνη σε εναλλασσόμενες ημέρες, σύμφωνα με την ομοτιμία του τελευταίου ψηφίου της πινακίδας τους. Το μισό των αριθμών σε μια δεδομένη σειρά τελειώνει σε 0, 2, 4, 6, 8 και το άλλο μισό σε 1, 3, 5, 7, 9, οπότε είναι λογικό να περιλαμβάνει το 0 με τους άλλους άρτιους αριθμούς. Ωστόσο, το 1977, το σύστημα ταξινόμησης του Παρισιού οδήγησε σε σύγχυση: σε μια "μονή μέρα", η αστυνομία απέφυγε την επιβολή προστίμων στους οδηγούς των οποίων οι πινακίδες τελειώνουν στο 0, επειδή δεν ήξεραν αν ήταν άρτιος αριθμός. Για να αποφευχθεί η σύγχυση, η σχετική νομοθεσία προβλέπει ότι μερικές φορές το μηδέν είναι άρτιος. Οι εν λόγω νόμοι έχουν περάσει στην Νέα Νότια Ουαλία και στην Πολιτεία της Maryland.

Στα σκάφη του Ναυτικού των ΗΠΑ, τα ζυγά βρίσκονται στην πλευρά του λιμανιού , αλλά το μηδέν αποκλειστικά εκεί που τέμνουν την κεντρική γραμμή. Δηλαδή, οι αριθμοί διαβάζονται 6-4-2-0-1-3-5 από το λιμάνι προς τα δεξιά. Στο παιχνίδι της ρουλέτας, ο αριθμός 0 δεν μετράται ως μονός ή ζυγός, δίνοντας στο καζίνο ένα πλεονέκτημα σε τέτοια στοιχήματα. Ομοίως, η ομοτιμία του μηδενός μπορεί να επηρεάσει τις επιδόσεις σε prop bets, όταν η έκβαση εξαρτάται από το αν κάποια τυχαία στιγμή ο αριθμός είναι μονός ή ζυγός, και καταλήγει να είναι μηδέν.

Το παιχνίδι του "μονά-ζυγά" επηρεάζεται επίσης: αν και οι δύο παίκτες δείχνουν μηδέν δάκτυλα, ο συνολικός αριθμός των δακτύλων είναι μηδέν, έτσι ώστε ο παίκτης να κερδίζει. Ένα εγχειρίδιο εκπαιδευτικών προτείνει αυτό το παιχνίδι ως ένα τρόπο για να εισάγουν τα παιδιά στην ιδέα ότι το 0 είναι διαιρετό από το 2.

Παραπομπές
----------

### Σημειώσεις

1. ↑  Penner 1999, σελ. 34: Λήμμα B.2.2, *The integer 0 is even and is not odd*. Ο Penner χρησιμοποιεί το μαθηματικό σύμβολο ∃, το υπάρχει, για να δηλώσει την απόδειξη: "To see that 0 is even, we must prove that ∃*k* (0 = 2*k*), and this follows from the equality 0 = 2 ⋅ 0."
2. ↑  Ball, Lewis & Thames (2008, p. 15) discuss this challenge for the elementary-grades teacher, who wants to give mathematical reasons for mathematical facts, but whose students neither use the same definition, nor would understand it if it were introduced.
3. ↑  Compare Lichtenberg (1972, p. 535) Fig. 1
4. ↑  Lichtenberg 1972, σελίδες 535–536 "...numbers answer the question How many? for the set of objects ... zero is the number property of the empty set ... If the elements of each set are marked off in groups of two ... then the number of that set is an even number."
5. ↑  Lichtenberg 1972, σελίδες 535–536 "Zero groups of two stars are circled. No stars are left. Therefore, zero is an even number."
6. ↑  Dickerson & Pitman 2012, σελ. 191.
7. ↑  Lichtenberg 1972, σελ. 537; compare her Fig. 3. "If the even numbers are identified in some special way ... there is no reason at all to omit zero from the pattern."
8. ↑  Lichtenberg 1972, σελίδες 537–538 "At a more advanced level ... numbers expressed as (2 × ▢) + 0 are even numbers ... zero fits nicely into this pattern."
9. ↑  Caldwell & Xiong 2012, σελίδες 5–6.
10. ↑  Gowers 2002, σελ. 118 "The seemingly arbitrary exclusion of 1 from the definition of a prime … does not express some deep fact about numbers: it just happens to be a useful convention, adopted so there is only one way of factorizing any given number into primes." Για μια πιο λεπτομερή συζήτηση, δείτε το Caldwell & Xiong (2012).
11. 1 2 3  Partee 1978, σελ. xxi
12. 1 2  Stewart 2001, σελ. 54 These rules are given, but they are not quoted verbatim.
13. 1 2  Frobisher 1999, σελ. 41
14. ↑  This is the timeframe in United States, Canada, Great Britain, Australia, and Israel; see Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 85).
15. ↑  Frobisher 1999, σελίδες 31 (Introduction); 40–41 (The number zero); 48 (Implications for teaching)
16. ↑  Frobisher 1999, σελίδες 37, 40, 42; results are from the survey conducted in the mid-summer term of 1992.
17. ↑  Frobisher 1999, σελ. 41 "The percentage of Year 2 children deciding that zero is an even number is much lower than in the previous study, 32 per cent as opposed to 45 per cent"
18. ↑  Frobisher 1999, σελ. 41 "The success in deciding that zero is an even number did not continue to rise with age, with approximately one in two children in each of Years 2 to 6 putting a tick in the 'evens' box ..."
19. ↑  Frobisher 1999, σελίδες 40–42, 47; these results are from the February 1999 study, including 481 children, from three schools at a variety of attainment levels.
20. ↑  Frobisher 1999, σελ. 41, attributed to "Jonathan"
21. ↑  Frobisher 1999, σελ. 41, attributed to "Joseph"
22. ↑  Frobisher 1999, σελ. 41,, attributed to "Richard"
23. ↑  Keith 2006, σελίδες 35–68 "There was little disagreement on the idea of zero being an even number. The students convinced the few who were not sure with two arguments. The first argument was that numbers go in a pattern ...odd, even, odd, even, odd, even... and since two is even and one is odd then the number before one, that is not a fraction, would be zero. So zero would need to be even. The second argument was that if a person has zero things and they put them into two equal groups then there would be zero in each group. The two groups would have the same amount, zero"
24. ↑  Levenson, Tsamir & Tirosh 2007, σελίδες 83–95
25. 1 2  Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 27, Figure 1.5 "Mathematical claims about zero."
26. ↑  Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 16.
27. ↑  Levenson, Tsamir & Tirosh 2007; Dickerson & Pitman 2012
28. ↑  Dickerson & Pitman 2012.
29. ↑  Ball, Hill & Bass 2005, σελίδες 14–16
30. ↑  Hill και άλλοι 2008, σελίδες 446–447.
31. ↑  Lichtenberg 1972, σελ. 535
32. ↑  Ball, Lewis & Thames 2008, σελ. 15. See also Ball's keynote for further discussion of appropriate definitions.
33. ↑  As concluded by Levenson, Tsamir & Tirosh (2007, p. 93), referencing Freudenthal (1983, p. 460)
34. ↑  Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 851): "It can also be seen that zero strongly differs from all other numbers regardless of whether it is responded to with the left or the right hand. (See the line that separates zero from the other numbers.)"
35. ↑  See data throughout Dehaene, Bossini & Giraux (1993), and summary by Nuerk, Iversen & Willmes (2004, p. 837).
36. ↑  Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελίδες 374–376
37. ↑  Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελίδες 376–377
38. ↑  Dehaene, Bossini & Giraux 1993, σελ. 376 "In some intuitive sense, the notion of parity is familiar only for numbers larger than 2. Indeed, before the experiment, some L subjects were unsure whether 0 was odd or even and had to be reminded of the mathematical definition. The evidence, in brief, suggests that instead of being calculated on the fly by using a criterion of divisibility by 2, parity information is retrieved from memory together with a number of other semantic properties ... If a semantic memory is accessed in parity judgments, then interindividual differences should be found depending on the familiarity of the subjects with number concepts."
39. ↑  Nuerk, Iversen & Willmes 2004, σελίδες 838, 860–861
40. ↑  The Math Forum participants 2000; Straight Dope Science Advisory Board 1999; Doctor Rick 2001
41. ↑  Grimes 1975, σελ. 156 "...one can pose the following questions to married couples of his acquaintance: (1) Is zero an even number? ... Many couples disagree..."
42. ↑  Wilden & Hammer 1987, σελ. 104
43. ↑  Snow 2001; Morgan 2001
44. ↑  Steinberg 1999; Siegel 1999; Stingl 2006
45. ↑  Sones & Sones 2002 "It follows that zero is even, and that 2/20/2000 nicely cracks the puzzle. Yet it's always surprising how much people are bothered by calling zero even..."; Column 8 readers 2006a "'...according to mathematicians, the number zero, along with negative numbers and fractions, is neither even nor odd,' writes Etan..."; Column 8 readers 2006b "'I agree that zero is even, but is Professor Bunder wise to 'prove' it by stating that 0 = 2 x 0? By that logic (from a PhD in mathematical logic, no less), as 0 = 1 x 0, it's also odd!' The prof will dispute this and, logically, he has a sound basis for doing so, but we may be wearing this topic a little thin ..."
46. ↑  Kaplan Staff 2004, σελ. 227
47. ↑  Graduate Management Admission Council 2005, σελίδες 108, 295–297; Educational Testing Service 2009, σελ. 1
48. ↑  Arsham 2002; The quote is attributed to the *heute* broadcast of October 1, 1977. Arsham's account is repeated by Crumpacker (2007, p. 165).
49. ↑  Sones & Sones 2002 "Penn State mathematician George Andrews, who recalls a time of gas rationing in Australia ... Then someone in the New South Wales parliament asserted this meant plates ending in zero could never get gas, because 'zero is neither odd nor even. So the New South Wales parliament ruled that for purposes of gas rationing, zero is an even number!'"
50. ↑  A 1980 Maryland law specifies, "(a) On even numbered calendar dates gasoline shall only be purchased by operators of vehicles bearing personalized registration plates containing no numbers and registration plates with the last digit ending in an even number. This shall not include ham radio operator plates. Zero is an even number; (b) On odd numbered calendar dates ..." Partial quotation taken from Department of Legislative Reference (1974), *Laws of the State of Maryland, Volume 2*, σελ. 3236, ανακτήθηκε στις 2 June 2013
51. ↑  Cutler 2008, σελίδες 237–238
52. ↑  Brisman 2004, σελ. 153
53. ↑  Smock 2006; Hohmann 2007; Turner 1996
54. ↑  Diagram Group 1983, σελ. 213
55. ↑  Baroody & Coslick 1998, σελ. 1.33

### Βιβλιογραφία

* Ball, Deborah Loewenberg; Lewis, Jennifer; Thames, Mark Hoover (2008), «Making mathematics work in school», *Journal for Research in Mathematics Education* **M14**: 13–44 και 195–200, ανακτήθηκε στις 4 Μαρτίου 2010
* Caldwell, Chris K.; Xiong, Yeng (27 December 2012), «What is the Smallest Prime?», *Journal of Integer Sequences* **15** (9),
* Dickerson, David S; Pitman, Damien J (July 2012), Tai-Yih Tso, επιμ. «Advanced college-level students' categorization and use of mathematical definitions», *Proceedings of the 36th Conference of the International Group for the Psychology of Mathematics Education* **2**: 187–195, ανακτήθηκε στις 2014-06-29
* Gowers, Timothy (2002), *Mathematics: A Very Short Introduction*, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-285361-5
* Lichtenberg, Betty Plunkett (November 1972), «Zero is an even number», *The Arithmetic Teacher* **19** (7): 535–538
* Partee, Barbara Hall (1978), *Fundamentals of Mathematics for Linguistics*, Dordrecht: D. Reidel, ISBN 90-277-0809-6
* Penner, Robert C. (1999), *Discrete Mathematics: Proof Techniques and Mathematical Structures*, River Edje: World Scientific, ISBN 981-02-4088-0
* Stewart, Mark Alan (2001), *30 Days to the GMAT CAT*, Stamford: Thomson, ISBN 0-7689-0635-0

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

|  |  |
| --- | --- |
| Wikiquote logoWikiquote logo | Στα Βικιφθέγματα υπάρχει υλικό σχετικό με το λήμμα:   **Ομοτιμία του μηδενός** |

* Doctor Rick (2001), *Is Zero Even?*, The Math Forum, ανακτήθηκε στις 6 Ιουνίου 2013
* Straight Dope Science Advisory Board (1999), *Is zero odd or even?*, ανακτήθηκε στις 6 Ιουνίου 2013
* Is Zero Even? - Numberphile, βίντεο με τον Dr. James Grime, University of Nottingham