Στην θεωρία των πιθανοτήτων και στατιστική, ένα επίπεδο είναι μια πολυμεταβλητή κατανομή πιθανότητας για την οποία η οριακή πιθανότητα κατανομής ειναι ομοιόμορφη. Copulas χρησιμοποιείται για να περιγράψει την εξάρτηση μεταξύ τυχαίων μεταβλητών. Το όνομα του προέρχεται απο το λατινικό 'link' ή ΄tie' αλλά είναι άσχετο με τη γραμματική copulas στη γλωσσολογία.

Το θεώρημα του Sklar ορίζει ότι κάθε πολυμεταβλητή κοινής διανομής μπορεί να γραφεί σε όρους μονοδιάστατης οριακής κατανομής λειτουργιών και ένα copula το οποίο περιγράφει τη δομή εξάρτησης μεταξύ των μεταβλητών.

Copulas είναι δημοφιλής στην υψηλές διαστατικές στατιστικές εφαρμογές καθώς επιτρέπουν την εύκολη μοντελοποιήση και εκτίμηση της κατανομής των τυχαίων διανυσμάτων με εκτίμηση περιθωριακή και copula ξεχωριστά.Υπάρχουν πολλές παραμετρικές οικογένειες copula διαθέσιμες,οι οποίες έχουν συνήθως παραμέτρους που ελέγχουν τη δύναμη εξάρτησης.Μερικές δημοφιλείς copula περιγράφονται παρακάτω.

Μαθηματικός Ορισμός
-------------------

Θεωρούμε ένα τυχαίο διάνυσμα{\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})}.  Ας υποθέσουμε ότι οι περιθωριακοί είναι συνεχής,δηλαδή το οριακό CDFs {\displaystyle F\_{i}(x)=\mathbb {P} [X\_{i}\leq x]} είναι συνεχής συνάρτηση.Εφαρμόζοντας την πιθανότητα για την μετατροπή του κάθε στοιχείου,το τυχαίο διάνυσμα

{\displaystyle (U\_{1},U\_{2},\dots ,U\_{d})=\left(F\_{1}(X\_{1}),F\_{2}(X\_{2}),\dots ,F\_{d}(X\_{d})\right)}
έχει ομοιόμορφα κατανεμημένες περιθωριακές.

Το επίπεδο της {\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})} ορίζεται ως η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής της {\displaystyle (U\_{1},U\_{2},\dots ,U\_{d})}:

{\displaystyle C(u\_{1},u\_{2},\dots ,u\_{d})=\mathbb {P} [U\_{1}\leq u\_{1},U\_{2}\leq u\_{2},\dots ,U\_{d}\leq u\_{d}].}
Το επίπεδο *C* περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τη δομή εξάρτησης μεταξύ των εξαρτημάτων του {\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})} , ενώ το οριακό αθροιστικές συναρτήσεις κατανομής {\displaystyle F\_{i}} περιέχει όλες τις πληροφορίες σχετικά με τις περιθωριακές κατανομές.

Η σημασία των παραπάνω  είναι ότι η αντιστροφή αυτων των βημάτων μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την παραγωγή ψευδοτυχαίων δειγμάτων από γενικές κατηγορίες πολυμεταβλητών κατανομής πιθανοτήτων.Δηλαδή,δωθείσας μιας διαδικασίας για τη δημιουργία δείγματος {\displaystyle (U\_{1},U\_{2},\dots ,U\_{d})}  από το επίπεδο διανομής,το απαιτούμενο δείγμα μπορεί να κατασκευαστεί ως

{\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})=\left(F\_{1}^{-1}(U\_{1}),F\_{2}^{-1}(U\_{2}),\dots ,F\_{d}^{-1}(U\_{d})\right).}
Οι αντίστροφες {\displaystyle F\_{i}^{-1}}  είναι μη προβληματικές καθώς η{\displaystyle F\_{i}} θεωρήθηκε ότι είναι συνεχής.Ο παραπάνω τύπος για το επίπεδο λειτουργίας μπορεί να ξαναγραφεί έτσι ώστε να ανταποκρίνεται σε αυτό,όπως:

{\displaystyle C(u\_{1},u\_{2},\dots ,u\_{d})=\mathbb {P} [X\_{1}\leq F\_{1}^{-1}(u\_{1}),X\_{2}\leq F\_{2}^{-1}(u\_{2}),\dots ,X\_{d}\leq F\_{d}^{-1}(u\_{d})].}

Ορισμός
-------

Σε όρους πιθανοτήτων {\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]} είναι ένα d-διάστατο επίπεδο αν *C* είναι μια κοινή αθροιστική συνάρτηση κατανομής ενός d-διάστατου τυχαίου διανύσματος του μοναδιαίου κύβου  {\displaystyle [0,1]^{d}} με οριακή ομοιομορφία.

Στην αναλυτική άποψη, {\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]} είναι ένα *d*-διάστατο **επίπεδο** αν

* {\displaystyle C(u\_{1},\dots ,u\_{i-1},0,u\_{i+1},\dots ,u\_{d})=0} το επίπεδο είναι μηδέν, εάν ένα από τα ορίσματα είναι μηδέν,
* {\displaystyle C(1,\dots ,1,u,1,\dots ,1)=u}το επίπεδο είναι ίση με *u* αν ένα όρισμα είναι *το u* και όλους τους άλλους 1,
* *C* είναι *d*-μη φθίνουσα, δηλαδή, για κάθε υπερορθογώνιο{\displaystyle B=\prod \_{i=1}^{d}[x\_{i},y\_{i}]\subseteq [0,1]^{d}} το *Γ*-ο όγκος του *B* είναι μη αρνητικός:
{\displaystyle \int \_{B}dC(u)=\sum \_{\mathbf {z} \in \times \_{i=1}^{d}\{x\_{i},y\_{i}\}}(-1)^{N(\mathbf {z} )}C(\mathbf {z} )\geq 0,}

πού την {\displaystyle N(\mathbf {z} )=\#\{k:z\_{k}=x\_{k}\}}.
Για παράδειγμα, στη διμεταβλητή περίπτωση, {\displaystyle C:[0,1]\times [0,1]\rightarrow [0,1]} είναι μια διμεταβλητή επίπεδο, αν {\displaystyle C(0,u)=C(u,0)=0}, {\displaystyle C(1,u)=C(u,1)=u} και {\displaystyle C(u\_{2},v\_{2})-C(u\_{2},v\_{1})-C(u\_{1},v\_{2})+C(u\_{1},v\_{1})\geq 0} για όλους {\displaystyle 0\leq u\_{1}\leq u\_{2}\leq 1} και {\displaystyle 0\leq v\_{1}\leq v\_{2}\leq 1}.

Το θεώρημα του Sklar
--------------------

Πυκνότητα και το περίγραμμα οικοπέδου μιας διμεταβλητής κατανομής Gaussian 
Πυκνότητα και το περίγραμμα οικοπέδου δύο κανονικών περιθωριακών κοινά με το επίπεδο Gumbel
To θεώρημα του Sklar,που πήρε το όνομα του από τον Abe Sklar,παρέχει το θεωρητικό υπόβαθρο για την εφαρμογή των copulas.To θεώρημα του Sklar αναφέρει ότι κάθε πολυμεταβλητή συνάρτηση αθροιστικής κατανομής 

{\displaystyle H(x\_{1},\dots ,x\_{d})=\mathbb {P} [X\_{1}\leq x\_{1},\dots ,X\_{d}\leq x\_{d}]}
από ένα τυχαίο διάνυσμα{\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})} μπορεί να εκφραστεί σε όρους περιθωριακούς {\displaystyle F\_{i}(x)=\mathbb {P} [X\_{i}\leq x]} και ένα επίπεδο C.Πράγματι:

{\displaystyle H(x\_{1},\dots ,x\_{d})=C\left(F\_{1}(x\_{1}),\dots ,F\_{d}(x\_{d})\right).}
Σε περίπτωση που η πολυμεταβλητή κατανομή έχει μια πυκνότητα  f, και αυτή είναι δεδομένη, έχουμε

{\displaystyle f(x\_{1},\dots x\_{d})=c(F\_{1}(x\_{1}),\dots F\_{d}(x\_{d}))\cdot f\_{1}(x\_{1})\cdot \dots \cdot f\_{d}(x\_{d}),}
όπου c είναι η πυκνότητα του επιπέδου.

Το θεώρημα επίσης αναφέρει οτι με δεδομένο H, το επίπεδο είναι μοναδικό για{\displaystyle \operatorname {Ran} (F\_{1})\times \cdots \times \operatorname {Ran} (F\_{d})}, το οποίο είναι το καρτεσιανό γινόμενο που κυμαίνεται στο οριακό cdf's.Αυτό σημαίνει ότι το επίπεδο είναι μοναδικό αν οι  περιθωριακές {\displaystyle F\_{i}} είναι συνεχείς.

Ισχύει επίσης και το αντίστροφο:με δεδομένο ένα επίπεδο{\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]} και τα περιθωριακά {\displaystyle F\_{i}(x)} τότε η {\displaystyle C\left(F\_{1}(x\_{1}),\dots ,F\_{d}(x\_{d})\right)} ορίζει μια δ-διάστατη αθροιστική συνάρτηση κατανομής.

Το Fréchet–Hoeffding επίπεδο έχει όρια
--------------------------------------

Τα γραφήματα του διμεταβλητού Fréchet–Hoeffding επιπέδου ορίων και του ανεξάρτητου επιπέδου(στη μέση)
Το θεώρημα Fréchet–Hoeffding  (μετά των Maurice René Fréchet και Wassily Hoeffding ) αναφέρει ότι για κάθε επίπεδο {\displaystyle C:[0,1]^{d}\rightarrow [0,1]} και κάθε {\displaystyle (u\_{1},\dots ,u\_{d})\in [0,1]^{d}} τα ακόλουθα όρια:

{\displaystyle W(u\_{1},\dots ,u\_{d})\leq C(u\_{1},\dots ,u\_{d})\leq M(u\_{1},\dots ,u\_{d}).}
Η συνάρτηση **W** ονομάζεται κάτω φραγμένη Fréchet–Hoeffding και ορίζεται ως

{\displaystyle W(u\_{1},\ldots ,u\_{d})=\max \left\{1-d+\sum \limits \_{i=1}^{d}{u\_{i}},0\right\}.}
Η συνάρτηση **M** ονομάζεται άνω φραγμένη Fréchet–Hoeffding και ορίζεται ως

{\displaystyle M(u\_{1},\ldots ,u\_{d})=\min\{u\_{1},\dots ,u\_{d}\}.}
Το ανώτερο όριο ειναι το σημείο αιχμής :*M είναι πάντα ένα επίπεδο, που αντιστοιχεί σε τυχαίες μεταβλητές.*

Το κατώτερο όριο ειναι το σημείο-σοφής τομής,με την έννοια ότι για σταθερό u, υπάρχει ένα επίπεδο C τέτοιο ώστε {\displaystyle {\tilde {C}}(u)=W(u)}. Ωστόσο,*W* είναι ένα επίπεδο μόνο σε δύο διαστάσεις, που σε κάθε περίπτωση αντιστοιχούν τυχαίες μεταβλητές.

Σε δύο διαστάσεις, δηλαδή τη διμεταβλητή περίπτωση,το θεώρημα Fréchet–Hoeffding αναφέρει 

{\displaystyle \max(u+v-1,0)\leq C(u,v)\leq \min\{u,v\}}

Οι οικογένειες copulas
----------------------

Αρκετές οικογένειες των copulas έχουν περιγραφεί.

### Επίπεδο Gaussian

Αθροιστική και πυκνότητα κατανομής του επιπέδου Gaussian με ρ=0.4
Το επίπεδο Gaussian είναι μια διανομή μέσω του μοναδιαίου κύβου {\displaystyle [0,1]^{d}}. Είναι κατασκευασμένο από μια πολυμεταβλητή κανονικής κατανομής στο  {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} χρησιμοποιώντας την πιθανότητα ολοκληρωτικού μετασχηματισμού.

Για ένα δεδομένο πίνακα συσχετισης {\displaystyle R\in \mathbb {R} ^{d\times d}}, το Gaussian επίπεδο με την σχετική παράμετρο  R μπορεί να γραφεί ως

{\displaystyle C\_{R}^{\text{Gauss}}(u)=\Phi \_{R}\left(\Phi ^{-1}(u\_{1}),\dots ,\Phi ^{-1}(u\_{d})\right),}
όπου {\displaystyle \Phi ^{-1}}  είναι η αντίστροφη συνάρτηση κατανομής μιας τυποποιημένης κανονικής κατανομής και {\displaystyle \Phi \_{R}} είναι η από κοινού αθροιστική συνάρτηση κατανομής μιας πολυμεταβλητής κανονικής κατανομής με μέση διανυσματική 0 και πίνακα συνδιασποράς ίσο με τον πίνακα συσχέτισης R.  Ενώ δεν υπάρχει καμία απλή αναλυτική φόρμουλα για το επίπεδο λειτουργίας,{\displaystyle C\_{R}^{\text{Gauss}}(u)}, μπορεί να είναι άνω ή κάτω όρια, και να προσεγγιστεί χρησιμοποιώντας αριθμητική ολοκλήρωση.Η πυκνότητα μπορεί να γραφεί ως

{\displaystyle c\_{R}^{\text{Gauss}}(u)={\frac {1}{\sqrt {\det {R}}}}\exp \left(-{\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u\_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u\_{d})\end{pmatrix}}^{T}\cdot \left(R^{-1}-\mathbf {I} \right)\cdot {\begin{pmatrix}\Phi ^{-1}(u\_{1})\\\vdots \\\Phi ^{-1}(u\_{d})\end{pmatrix}}\right),}
όπου {\mathbf {I}} είναι  ο ταυτοτικός πίνακας.

### Archimedean copulas

To επίπεδο του Αρχιμήδη είναι συνδυαστικό μάθημα των επιπέδων.Πιο κοινά αρχιμήδεια επίπεδα αποδέχονται έναν ειδικό τύπο,κάτι αδύνατον, για παράδειγμα στο επίπεδο του Gaussian.Στην πράξη το επίπεδα του Αρχιμήδη είναι δημοφιλή γιατί επιτρέπουν την μοντελοποιήση της εξάρτησης αυθαίρετα υψηλών διαστάσεων με μία μονο παράμετρο, που διέπουν τη δύναμη εξάρτησης.

Ένα επίπεδο **C** ονομάζεται αρχιμήδειο,αν μπορεί να αντικατασταθει από το

{\displaystyle C(u\_{1},\dots ,u\_{d};\theta )=\psi ^{[-1]}\left(\psi (u\_{1};\theta )+\cdots +\psi (u\_{d};\theta );\theta \right)\,}
όπου{\displaystyle \psi \!:[0,1]\times \Theta \rightarrow [0,\infty )}  είναι συνεχής,γνησίως φθίνουσα και κυρτή συνάρτηση {\displaystyle \psi (1;\theta )=0}. \theta  είναι μια παράμετρος μέσα σε κάποια παράμετρο χώρο  \Theta. \psi  είναι η λεγόμενη γεννήτρια συνάρτηση και {\displaystyle \psi ^{[-1]}} είναι η ψευδοαντίστροφη που ορίζεται από

{\displaystyle \psi ^{[-1]}(t;\theta )=\left\{{\begin{array}{ll}\psi ^{-1}(t;\theta )&{\mbox{if }}0\leq t\leq \psi (0;\theta )\\0&{\mbox{if }}\psi (0;\theta )\leq t\leq \infty .\end{array}}\right.\,}
Επιπλέον ο παραπάνω τύπος για  **C παράγει ένα επίπεδο για το**{\displaystyle \psi ^{-1}\,} αν και μόνο αν {\displaystyle \psi ^{-1}\,} είναι d-μονότονη στο  {\displaystyle [0,\infty )}. Αυτό ισχύει μόνο όταν είναι  {\displaystyle d-2} φορές διαφορίσιμες και τα παράγωγα πληρούν 

{\displaystyle (-1)^{k}\psi ^{-1,(k)}(t;\theta )\geq 0\,}
για κάθε {\displaystyle t\geq 0} και{\displaystyle k=0,1,\dots ,d-2} και{\displaystyle (-1)^{d-2}\psi ^{-1,(d-2)}(t;\theta )} είναι μη αύξουσα και κυρτή.

#### Το πιο σημαντικό αρχημήδειο επίπεδο

Οι παρακάτω πίνακες έχουν αναδείξει τα πιο σημαντικά αρχημήδεια επίπεδα με την αντίστοιχη γεννήτρια.Σημειώστε οτι δεν είναι εντελώς μονότονα,δηλαδή d-μονότονα για κάθε {\displaystyle d\in \mathbb {N} } ή d-μονότονα για ορισμένες  {\displaystyle \theta \in \Theta } μόνο.

Table with the most important Archimedean copulas| Name of Copula | Bivariate Copula {\displaystyle \;C\_{\theta }(u,v)} | parameter {\displaystyle \,\theta } |
| --- | --- | --- |
| Ali-Mikhail-Haq |   {\displaystyle {\frac {uv}{1-\theta (1-u)(1-v)}}} |   {\displaystyle \theta \in [-1,1)} |
| Clayton |   {\displaystyle \left[\max \left\{u^{-\theta }+v^{-\theta }-1;0\right\}\right]^{-1/\theta }} |   {\displaystyle \theta \in [-1,\infty )\backslash \{0\}} |
| Frank 
  |   {\displaystyle -{\frac {1}{\theta }}\log \!\left[1+{\frac {(\exp(-\theta u)-1)(\exp(-\theta v)-1)}{\exp(-\theta )-1}}\right]}   |   {\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \backslash \{0\}}   |
| Gumbel 
  |   {\textstyle \exp \!\left[-\left((-\log(u))^{\theta }+(-\log(v))^{\theta }\right)^{1/\theta }\right]} |   {\displaystyle \theta \in [1,\infty )} |
| Independence 
  |   {\textstyle uv} |
| Joe 
  |   {\textstyle {1-\left[(1-u)^{\theta }+(1-v)^{\theta }-(1-u)^{\theta }(1-v)^{\theta }\right]^{1/\theta }}}   |   {\displaystyle \theta \in [1,\infty )} |

Table of correspondingly most important generators| name | generator {\displaystyle \,\psi \_{\theta }(t)} | generator inverse {\displaystyle \,\psi \_{\theta }^{-1}(t)} |
| --- | --- | --- |
| Ali-Mikhail-Haq |    {\displaystyle \log \!\left[{\frac {1-\theta (1-t)}{t}}\right]} |     {\displaystyle {\frac {1-\theta }{\exp(t)-\theta }}} |
| Clayton |     {\displaystyle {\frac {1}{\theta }}\,(t^{-\theta }-1)\,} |     {\displaystyle \left(1+\theta t\right)^{-1/\theta }}     |
| Frank |    {\textstyle -\log \!\left({\frac {\exp(-\theta t)-1}{\exp(-\theta )-1}}\right)} |     {\displaystyle -{\frac {1}{\theta }}\,\log(1+\exp(-t)(\exp(-\theta )-1))}     |
| Gumbel |    {\displaystyle \left(-\log(t)\right)^{\theta }}     |    {\displaystyle \exp \!\left(-t^{1/\theta }\right)} |
| Independence |     {\displaystyle -\log(t)\,}     |    {\displaystyle \exp(-t)\,} |
| Joe |     {\displaystyle -\log \!\left(1-(1-t)^{\theta }\right)}     |    {\displaystyle 1-\left(1-\exp(-t)\right)^{1/\theta }} |

Προσδοκία για τα μοντέλα του επιπέδου και Monte Carlo ολοκλήρωσης
-----------------------------------------------------------------

Σε στατιστικές εφαρμογές, πολλά προβλήματα μπορούν να διατυπώνεται με τον ακόλουθο τρόπο. Είναι ενδιαφέρονται για την προσδοκία της συνάρτησης απόκρισης {\displaystyle g:\mathbb {R} ^{d}\rightarrow \mathbb {R} } εφαρμόζεται σε κάποιο τυχαίο διάνυσμα {\displaystyle (X\_{1},\dots ,X\_{d})}. Αν συμβολίζουμε το cdf από αυτό το τυχαίο διάνυσμα με H, η ποσότητα του ενδιαφέροντος, μπορεί έτσι να γραφτεί ως

{\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]=\int \_{\mathbb {R} ^{d}}g(x\_{1},\dots ,x\_{d})\,dH(x\_{1},\dots ,x\_{d}).}
Αν H δίνεται από ένα επίπεδο πρότυπο, δηλαδή,

{\displaystyle H(x\_{1},\dots ,x\_{d})=C(F\_{1}(x\_{1}),\dots ,F\_{d}(x\_{d}))}
η προσδοκία αυτή μπορεί να ξαναγραφεί ως

{\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]=\int \_{[0,1]^{d}}g(F\_{1}^{-1}(u\_{1}),\dots ,F\_{d}^{-1}(u\_{d}))\,dC(u\_{1},\dots ,u\_{d}).}
Σε περίπτωση που το επίπεδο **C** είναι απολύτως συνεχής, δηλαδή **C** έχει πυκνότητα **c**, η εξίσωση αυτή μπορεί να γραφτεί ως

{\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]=\int \_{[0,1]^{d}}g(F\_{1}^{-1}(u\_{1}),\dots ,F\_{d}^{-1}(u\_{d}))\cdot c(u\_{1},\dots ,u\_{d})\,du\_{1}\dots du\_{d},}
και αν κάθε οριακή κατανομή έχει την πυκνότητα {\displaystyle f\_{i}} που κατέχει περαιτέρω ότι

{\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]=\int \_{\mathbb {R} ^{d}}g(x\_{1},\dots x\_{d})\cdot c(F\_{1}(x\_{1}),\dots ,F\_{d}(x\_{d}))\cdot f\_{1}(x\_{1})\cdot ...\cdot f\_{d}(x\_{d})\,dx\_{1}\dots dx\_{d}.}
Αν το επίπεδο και τα περιθώρια είναι γνωστά (ή αν έχουν κατ ' εκτίμηση), αυτή η προσδοκία μπορεί να προσεγγιστεί μέσα από το ακόλουθο Monte Carlo αλγόριθμο:

1. Σχεδιάστε ένα δείγμα {\displaystyle (U\_{1}^{k},\dots ,U\_{d}^{k})\sim C\;\;(k=1,\dots ,n)} μεγέθους **n** από το επίπεδο **C**
2. Εφαρμόζοντας το αντίστροφο οριακό cdf, παράγει ένα δείγμα {\displaystyle (X\_{1},\dots ,X\_{d})} από τη ρύθμιση {\displaystyle (X\_{1}^{k},\dots ,X\_{d}^{k})=(F\_{1}^{-1}(U\_{1}^{k}),\dots ,F\_{d}^{-1}(U\_{d}^{k}))\sim H\;\;(k=1,\dots ,n)}
3. Κατά προσέγγιση {\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]} από την εμπειρική τιμή:

{\displaystyle \mathbb {E} \left[g(X\_{1},\dots ,X\_{d})\right]\approx {\frac {1}{n}}\sum \_{k=1}^{n}g(X\_{1}^{k},\dots ,X\_{d}^{k})}

Εμπειρική copulas
-----------------

Κατά τη μελέτη πολυμεταβλητά δεδομένα, θα μπορούσε κανείς να θέλετε να ερευνήσει το υποκείμενο επίπεδο. Ας υποθέσουμε ότι έχουμε παρατηρήσεις

{\displaystyle (X\_{1}^{i},X\_{2}^{i},\dots ,X\_{d}^{i}),\,i=1,\dots ,n}
από ένα τυχαίο διάνυσμα {\displaystyle (X\_{1},X\_{2},\dots ,X\_{d})} με συνεχή περιθώρια. Το αντίστοιχο "αλήθεια" επίπεδο παρατηρήσεις θα είναι η

{\displaystyle (U\_{1}^{i},U\_{2}^{i},\dots ,U\_{d}^{i})=\left(F\_{1}(X\_{1}^{i}),F\_{2}(X\_{2}^{i}),\dots ,F\_{d}(X\_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}
Ωστόσο, η οριακή κατανομή λειτουργίες {\displaystyle F\_{i}} συνήθως δεν είναι γνωστή. Ως εκ τούτου, μπορεί κανείς να κατασκευάσει ψευδο επίπεδο παρατηρήσεις χρησιμοποιώντας την εμπειρική κατανομή λειτουργίες

{\displaystyle F\_{k}^{n}(x)={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} (X\_{k}^{i}\leq x)}
αντί για αυτό. Στη συνέχεια, η ψευδο επίπεδο παρατηρήσεις ορίζονται ως

{\displaystyle ({\tilde {U}}\_{1}^{i},{\tilde {U}}\_{2}^{i},\dots ,{\tilde {U}}\_{d}^{i})=\left(F\_{1}^{n}(X\_{1}^{i}),F\_{2}^{n}(X\_{2}^{i}),\dots ,F\_{d}^{n}(X\_{d}^{i})\right),\,i=1,\dots ,n.}
Το αντίστοιχο εμπειρικό επίπεδο ορίζεται στη συνέχεια ως

{\displaystyle C^{n}(u\_{1},\dots ,u\_{d})={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {1} \left({\tilde {U}}\_{1}^{i}\leq u\_{1},\dots ,{\tilde {U}}\_{d}^{i}\leq u\_{d}\right).}
Τα συστατικά του ψευδο επίπεδο δείγματα μπορούν επίσης να γραφτεί ως {\displaystyle {\tilde {U}}\_{k}^{i}=R\_{k}^{i}/n}, πού {\displaystyle R\_{k}^{i}} είναι η κατάταξη της παρατήρησης {\displaystyle X\_{k}^{i}}:

{\displaystyle R\_{k}^{i}=\sum \_{j=1}^{n}\mathbf {1} (X\_{k}^{j}\leq X\_{k}^{i})}
Ως εκ τούτου,το εμπειρικό επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ως η εμπειρική κατανομή της κατάταξης των δεδομένων που έχουν μετατραπεί.

Εφαρμογές
---------

### Χρηματοοικονομικά

Παραδείγματα διμεταβλητή copulae που χρησιμοποιούνται στα οικονομικά.
Σε σχέση κινδύνου/διαχείρησης χαρτοφυλακίου,copulas χρησιμοποιούνται για την εκτέλεση τεστ άγχους και την ευρωστία σε ελέγχους που είναι ιδιαίτερα σημαντική σε καθεστώτα κρίσης,πανικού όπου ακραία γεγονότα μπορούν να προκύψουν(π.χ. η παγκόσμια οικονομική κρίση του 2007-2008)

Ο τύπος επίσης έχει προσαρμοστεί για χρηματοπιστωτικές αγορές και χρησιμοποιήθηκε για την εκτίμηση της κατανομής πιθανοτήτων των ζημιών στις πισίνες από δάνεια ή ομόλογα.Οι χρήστες του τύπου έχουν επικριθεί για τη δημιουργία 'αξιολόγησης των πολιτισμών' που συνέχισαν να χρησιμοποιούν την απλή copulae παρά το ότι οι απλές εκδόσεις θεωρούνται ως ανεπαρκείς για το σκοπό αυτό.Κατά τη διάρκεια μειωνεκτηματικού καθεστώτος,ένας μεγάλος αριθμός επενδυτών που κατέχουν θέσεις με πιο ριψοκίνδυνα περιουσιακά στοιχεία, όπως μετοχές ή ακίνητη περιουσία μπορεί να αναζητήσουν καταφύγιο σε 'ασφαλέστερες' επενδύσεις όπως μετρητά ή ομόλογα.Αυτό είναι επίσης γνωστό ως φαινόμενο 'πτήσης' προς την ποιότητα και οι επενδυτές τείνουν να βγουν από τις θέσεις τους σε πιο ριψοκίνδυνα περιουσιακά στοιχεία σε μεγάλους αριθμούς σε σύντομο χρονικό διάστημα.Ως αποτέλεσμα,κατά τη διάρκεια μειωνεκτικών καθεστώτων,συσχετίσεις σε μετοχές είναι μεγαλύτερες αυτό όμως από την άλλη πλευρά μπορεί να έχει καταστροφικές επιπτώσεις για την οικονομία.Για παράδειγμα,συχνά διαβάζουμε οικονομικές ειδήσεις οι οποίες αναφέρουν την απώλεια εκατοντάδων εκατομμυρίων δολαρίων στο χρηματηστήριο μέσα σε μια μια μέρα ωστόσο σπάνια διαβάζονται θετικές αναφορές στη χρηματιστηριακή αγορά με κέρδη του ίδιου μεγέθους και στο ίδιο σύντομο χρονιίκό διάστημα.

Copulas είναι χρήσιμο στο χαρτοφυλάκιο/διαχείρισης του κινδύνου και μας βοηθάει στην ανάλυση των επιπτώσεων των μειονεκτηματικών καθεστώτων, επιτρέποντας την μοντελοποίηση των περιθωριακών και της δομής εξάρτησης από ένα πολυμεταβλητό μοντέλο πιθανοτήτων ξεχωριστά. Για παράδειγμα, σκεφτείτε το χρηματιστήριο ως μια αγορά που αποτελείται από ένα μεγάλο αριθμό εμπόρων και κάθε λειτουργικό με τις δικές του στρατηγικές για να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη. Η ατομικιστική συμπεριφορά του κάθε εμπόρου μπορεί να περιγραφεί από τη μοντελοποίηση των περιθωριακών. Ωστόσο, όπως όλοι οι έμποροι λειτουργούν με τo ίδιo συνάλλαγμα, κάθε δράση επιχειρηματία έχει αλληλεπίδραση με άλλους επιχειρηματίες". Αυτή η αλληλεπίδραση μπορεί να περιγραφεί μέσω της μοντελοποίησης της εξάρτησης δομής. Ως εκ τούτου, copulas μας επιτρέπει να αναλύσουμε τα αποτελέσματα της αλληλεπίδρασης που παρουσιάζουν ιδιαίτερο ενδιαφέρον κατά τη διάρκεια μειονέκτηματικών  καθεστώτων, καθώς οι επενδυτές έχουν την τάση να συγκεντρώνουν την επιχειρηματική συμπεριφορά τους και τις αποφάσεις.

Προηγουμένως, επεκτάσιμα μοντέλα επιπέδων για μεγάλες διαστάσεις επιτρέπονται μόνο στη μοντελοποίηση ελλειπτικών δομών εξάρτησης (δηλαδή, Gauss και την Student-t copulas) που δεν επιτρέπουν τη συσχέτιση ασυμμετριών, όπου οι συσχετίσεις διαφέρουν όσον αφορά τα ανοδικά ή καθοδικά καθεστώτα. Ωστόσο, η πρόσφατη ανάπτυξη της αμπέλου copulas (επίσης γνωστή ως ζευγάρι copulas) επιτρέπει την ευέλικτη μοντελοποίηση της εξάρτησης δομής για τα χαρτοφυλάκια μεγάλων διαστάσεων.

Ο Κλέιτον  επιτρέπει την εμφάνιση των ακραίων μειονεκτηματικών εκδηλώσεων και έχει εφαρμοστεί με επιτυχία στην επιλογή χαρτοφυλακίου και τη διαχείριση επιλογής κινδύνων . Το μοντέλο είναι σε θέση να μειώσει τις επιπτώσεις των ακραίων μειονεκτηματικών συσχετισμών και παράγει τη βελτίωση της στατιστικής και των οικονομικών επιδόσεων σε σύγκριση με επεκτάσιμη ελλειπτική εξάρτηση copulas όπως η Gauss και Student-t. Άλλα μοντέλα που αναπτύχθηκαν για τη διαχείριση του κινδύνου σε εφαρμογές πανικού copulas που είναι κολλημένα με εκτιμήσεις της αγοράς του οριακού διανομές για να αναλύσει τις συνέπειες του πανικού καθεστώτα, για το χαρτοφυλάκιο, το κέρδος και την απώλεια διανομής. Πανικός copulas δημιουργείται μέσω προσομοίωσης Monte Carlo, αναμιγνύεται με ένα επανασταθμιστή των πιθανοτήτων του κάθε σεναρίου.

Όσον αφορά την τιμολόγηση παραγώγων, η μοντελοποιήση της εξάρτησης με το επίπεδο λειτουργιών χρησιμοποιείται ευρέως σε εφαρμογές οικονομικής αξιολόγησης των κινδύνων και αναλογιστικής ανάλυσης – για παράδειγμα, στην τιμολόγηση των εξασφαλισμένων χρεωστικών υποχρεώσεων (CDOs). Κάποιοι πιστεύουν ότι η μεθοδολογία εφαρμογής του επιπέδου  Gaussian  σε πιστωτικά παράγωγα είναι ένας από τους λόγους πίσω από την παγκόσμια οικονομική κρίση του 2008-2009.
Παρά αυτή την αντίληψη, υπάρχουν τεκμηριωμένες προσπάθειες του χρηματοπιστωτικού κλάδου, που εμφανίζονται πριν από την κρίση, για την αντιμετώπιση των περιορισμών του επιπέδου Gaussian και σε επίπεδο λειτουργιών γενικότερα συγκεκριμένα, η έλλειψη δυναμικής εξάρτησης. Το Gaussian επίπεδο έχει ελλείψεις, καθώς επιτρέπει την ελλειπτική δομή της εξάρτησης,  όπως η εξάρτηση είναι μόνο το πρότυπο, χρησιμοποιώντας το πίνακα διακύμανσης -συνδιακύμανσης. Αυτή η μεθοδολογία είναι περιορισμένη τέτοια που δεν επιτρέπει την εξάρτηση να εξελίχθει καθώς οι χρηματοοικονομικές αγορές παρουσιάζουν ασύμμετρη εξάρτηση, την οποία συσχετίσεις σε περιουσιακά στοιχεία αυξάνουν σημαντικά κατά τη διάρκεια της ύφεσης σε σύγκριση με την άνοδο. Ως εκ τούτου, προσεγγίσεις στη μοντελοποιήση που χρησιμοποιούν το Gaussian επίπεδο παρουσιάζουν μια φτωχή εκπροσώπηση των ακραίων γεγονότων. , Έχουν γίνει προσπάθειες για να προτείνει μοντέλα που αποκαθιστά κάποιους από τους περιορισμούς του επιπέδου.

Ενώ η εφαρμογή της copulas με πίστωση έχει γίνει δημοφιλής και παρ'όλη την ατυχία κατά τη διάρκεια της παγκόσμιας χρηματοπιστωτικής κρίσης του 2008-2009,είναι αναμφισβήτητα ένα βιομηχανικό πρότυπο μοντέλο για την τιμολόγηση CDOs.Copulas επίσης έχουν εφαρμοστεί και σε άλλες κατηγορίες περιουσιακών στοιχείων ως ένα ευέλικτο εργαλείο για την ανάλυση πολλαπλών στοιχείων παραγώμενων προϊόντων.Η πρώτη τέτοια εφαρμογή έξω από τα πιστωτικά ήταν η χρήση ενός επιπέδου για την κατασκευή μιας ασταθούς επιφάνειας καλαθιού,λαμβάνοντας υπόψην την μεταβλητότητα των συστατικών του καλαθιού.Copulas έχει κερδίσει τη δημοτικότητα στην τιμολόγηση και διαχείρηση των κινδύνων του από επιλογές πολλαπλών στοιχείωνστην παρουσίαση της μεταβλητότητας του χαμόγελου/skew,στη δικαιοσύνη,στο ξένο συνάλλαγμα και στα παράγωγα των επιχειρήσεων σταθερού εισοδήματος.Μερικά τυπικά παραδείγματα εφαρμογών τoυ copulas παρουσιάζονται από κάτω:

* Την ανάλυση και την τιμολόγηση του αστάθες χαμόγελου/skew εξωτικά καλάθια, π. χ. καλύτερο/χειρότερο;
* Την ανάλυση και την τιμολόγηση του αστάθες χαμόγελου                /skew λιγότερο υγρό FX[*αποσαφήνιση που απαιτείται*] cross , το οποίο είναι ουσιαστικά ένα καλάθι: *C* = *S*1/*S*2 ή *C* = *S*1·*S*2;
* Την ανάλυση και την διατίμηση εξάπλωσης επιλογών, ιδίως σε σταθερό εισόδημα, σταθερή ημερομηνία λήξης swap spread επιλογές.
* Η βελτίωση στις εκτιμήσεις για την αναμενόμενη απόδοση και variance-covariance matrix για την εισαγωγή σε εξελιγμένα mean-variance στρατηγικές βελτιστοποίησης.

### Πολιτικών Μηχανικών

Πρόσφατα,οι λειτουργίες copula έχουν εφαρμοστεί επιτυχώς στη κατασκευή βάσεων δεδομένων για την αξιοπιστία στην ανάλυση σε γέφυρες εθνικών οδών και σε διάφορες μελέτες προσομοίωσης για την πόλη,μηχανική και offshore engineering.Οι ερευνητές χρησιμοποιούν επίσης αυτές τις λειτουργίεςστον τομέα μεταφορών για να κατανοήσουν την αλληλεπίδραση της ατομικής συμπεριφοράς των οδηγών η οποία ρυθμίζει τη φύση(την λειτουργία) μιας ολόκληρης ροής κυκλοφορίας.

### Μηχανική Αξιοπιστία

Copulas χρησιμοποιούνται για την αξιοπιστία της ανάλυσης πολύπλοκων συστημάτων των τμημάτων μηχανών με αντιμετωπίζοντας αποτυχημένες μεθόδους.

### Εγγύηση Ανάλυσης Δεδομένων

Cοpulas χρησιμοποιούνται στην εγγύηση ανάλυσης δεδομένων,στην οποία η ουρά εξάρτησης αναλύεται.

### Τυρβώδης καύση

Copulas χρησιμοποιούνται στη μοντελοποιήση της τυρβώδους εν μέρει προαναμεμειγμένας καύσης η οποία είναι κοινή  στον πρακτικό καυστήρα.

### Ιατρική

Οι λειτουργίες copula έχουν χρησιμοποιηθεί επιτυχώς για την ανάλυση της νευρωνικών εξαρτήσεων και μετράει ακίδες στην νευροεπιστήμη.

### Έρευνα Καιρού

Copulas έχουν χρησιμοποιηθεί εκτενώς σε έρευνες που σχετίζονται με το κλίμα και τον καιρό.

### Γενιά Τυχαίου Διανύσματος

Μεγάλα συνθετικά ίχνη από φορείς και στάσιμες χρονικές σειρές μπορούν να δημιουργηθούν χρησιμοποιώντας το εμπειρικό επίπεδο,διατηρώντας παράλληλα ολόκληρη τη δομή εξάρτησης από μικρά σύνολα δεδομένων.Τέτοια εμπειρικά ίχνη είναι χρήσιμα σε διάφορες προσομοιώσεις βασισμένες στη μελέτη της απόδοσης.

Further reading
---------------

* The standard reference for an introduction to copulas. Covers all fundamental aspects, summarizes the most popular copula classes, and provides proofs for the important theorems related to copulas

Roger B. Nelsen (1999), "An Introduction to Copulas", Springer. ISBN 978-0-387-98623-4
* A book covering current topics in mathematical research on copulas:

Piotr Jaworski, Fabrizio Durante, Wolfgang Karl Härdle, Tomasz Rychlik (Editors): (2010): "Copula Theory and Its Applications" Lecture Notes in Statistics, Springer. ISBN 978-3-642-12464-8
* A reference for sampling applications and stochastic models related to copulas is

Jan-Frederik Mai, Matthias Scherer (2012): *Simulating Copulas (Stochastic Models, Sampling Algorithms and Applications).* World Scientific. ISBN 978-1-84816-874-9
* A paper covering the historic development of copula theory, by the person associated with the "invention" of copulas, Abe Sklar.

Abe Sklar (1997): "Random variables, distribution functions, and copulas – a personal look backward and forward" in Rüschendorf, L. Schweizer, B. und Taylor, M. (eds) *Distributions With Fixed Marginals & Related Topics* (Lecture Notes – Monograph Series Number 28). ISBN 978-0-940600-40-9
* The standard reference for multivariate models and copula theory in the context of financial and insurance models

Alexander J. McNeil, Rudiger Frey and Paul Embrechts (2005) "Quantitative Risk Management: Concepts, Techniques, and Tools", Princeton Series in Finance. ISBN 978-0-691-12255-7