Στα μαθηματικά ο όρος **εργοδικό** χρησιμοποιείται για να περιγράψει ένα δυναμικό σύστημα το οποίο, σε γενικές γραμμές, έχει την ίδια συμπεριφορά με μέσο όρο τον χρόνο, καθώς και κατά μέσο όρο τον χώρο. Στη φυσική, ο όρος χρησιμοποιείται για να σημαίνει ότι το σύστημα πληροί την εργοδική υπόθεση της θερμοδυναμικής.

Ετυμολογία
----------

Η λέξη εργοδικό προέρχεται από τις ελληνικές λέξεις έργον και οδός, το έργο και η πορεία. Αυτό επιλέχθηκε από τον Λούντβιχ Μπόλτσμαν, ενώ εργαζόταν πάνω σε ένα πρόβλημα στην στατιστική μηχανική.

Επίσημος ορισμός
----------------

Ας είναι {\displaystyle (X,\;\Sigma ,\;\mu \,)} ένας χώρος πιθανοτήτων, και έστω {\displaystyle T:X\to X} ένας μετασχηματισμός που διατηρεί το μέτρο. Λέμε ότι ο *Τ* είναι **εργοδικός** σε σχέση με το \mu  (ή, εναλλακτικά, ότι το \mu  είναι εργοδικό σε σχέση με το *Τ ' »), εάν ένα από τα ακόλουθα είναι αλήθεια:*

* Για κάθε {\displaystyle E\in \Sigma } με {\displaystyle T^{-1}(E)=E\,} είτε {\displaystyle \mu (E)=0\,} ή {\displaystyle \mu (E)=1\,}.
* Για κάθε {\displaystyle E\in \Sigma } με {\displaystyle \mu (T^{-1}(E)\bigtriangleup E)=0}, είτε {\displaystyle \mu (E)=0\,} ή {\displaystyle \mu (E)=1\,} (όπου {\displaystyle \bigtriangleup } δηλώνει την συμμετρική διαφορά).
* Για κάθε {\displaystyle E\in \Sigma } με θετικό μέτρο έχουμε {\displaystyle \mu (\cup \_{n=1}^{\infty }T^{-n}E)=1} .
* Για κάθε δύο σύνολα*Ε*και*Η* θετικού μέτρου, υπάρχει μια*n*> 0 τέτοιο ώστε {\displaystyle \mu (T^{-n}E\cap H)>0}.

### Μετρήσιμες ροές

Οι ορισμοί αυτοί έχουν φυσικά ανάλογα και στην περίπτωση των μετρήσιμων ροών και, γενικότερα, σε πράξεις ημιομάδων που αφήνουν αναλλοίωτο το μέτρο. Ας είναι {*T**t*} μια μετρήσιμη ροή στο (*X*, *Σ*, *μ*). Ένα στοιχείο*Α*της*Σ*είναι αναλλοίωτο mod 0 υπό {*T**t*} αν

{\displaystyle \mu (T^{t}(A)\bigtriangleup A)=0}
για κάθε *t* ∈ **R**. Μετρήσιμα σύνολα αναλλοίωτα mod 0 υπό μια ροή ή μιας δράσης ημιομάδας σχηματίζουν αναλλοίωτη υποάλγεβρα της *Σ*, και το αντίστοιχο δυναμικό σύστημα που διατηρεί το μέτρο είναι εργοδικό αν η αναλλοίωτη υποάλγεβρα είναι η τετριμμένη *σ*-άλγεβρα που αποτελούνται από τα σύνολα με μέτρο 0 και τα συμπληρώματα αυτών στο *Χ*.

Μαρκοβιανές Αλυσίδες
--------------------

Σε μια Μαρκοβιανή Αλυσίδα, η κατάσταση i λέγεται ότι είναι εργοδική αν είναι απεριοδική και θετικά επαναλαμβανόμενη. Εάν όλες οι καταστάσεις σε μια Μαρκοβιανή αλυσίδα είναι εργοδικές, τότε η αλυσίδα λέγεται ότι είναι εργοδική.

Εργοδική αποσύνθεση
-------------------

Εννοιολογικά, εργοδικότητα ενός δυναμικού συστήματος είναι μια ορισμένη αμειωτική ιδιότητα, παρόμοια με τις έννοιες της αμείωτης εκπροσώπησης στην άλγεβρα και του πρώτου αριθμού στην αριθμητική. Ένας γενικός μετασχηματισμός διατήρησης μέτρου ή μια ροή σε ένα χώρο Lebesgue λαμβάνει μια κανονική αποσύνθεση και έτσι αναλύεται σε εργοδικές συνιστώσες, καθεμιά από τις οποίες είναι εργοδική.

Δείτε επίσης
------------

* Εργοδική θεωρία
* Ανάμιξη (μαθηματικά)

Αναφορές
--------

* Walters, Peter (1982), *An Introduction to Ergodic Theory*, Springer, ISBN 0387951520
* Brin, Michael; Garrett, Stuck (2002), *Introduction to Dynamical Systems*, Cambridge University Press, ISBN 0521808413

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* «Outline of Ergodic Theory» Αρχειοθετήθηκε 2007-07-10 στο Wayback Machine. του Steven Arthur Kalikow