**Δημόσιο Χρέος** είναι το σύνολο των οφειλών σε χρηματικές μονάδες του ευρύτερου δημόσιου τομέα. Στον όρο "ευρύτερος δημόσιος τομέας" συμπεριλαμβάνονται όλα τα επίπεδα δημόσιας διοίκησης ενός κράτους: κυβέρνηση, περιφέρεια, δήμος κ.λπ. Το δημόσιο χρέος αυξάνεται από έτος σε έτος κατά το ποσό που ο ετήσιος κρατικός προϋπολογισμός παρουσιάζει έλλειμμα, ή αντιστρόφως μειώνεται κατά το ποσό που παρουσιάζει πλεόνασμα.

Το δημόσιο χρέος είναι ταυτοτικά (δηλαδή εξ ορισμού) ίσο με τον ιδιωτικό πλούτο, δηλαδή όσα χρωστάει το δημόσιο σε ιδιώτες τόσα ακριβώς οι ιδιώτες έχουν να λαμβάνουν από το δημόσιο, όπου στους «ιδιώτες» περιλαμβάνεται κατά σύμβαση και ο εξωτερικός τομέας (Rest of the World στους λογαριασμούς SNA).

Γενική διάκριση
---------------

Καθώς η εκάστοτε κυβέρνηση αντλεί τα έσοδά της από το μεγαλύτερο μέρος των πολιτών του κράτους, δηλαδή των φορολογούμενων, το δημόσιο χρέος έμμεσα είναι χρέος των φορολογούμενων. Ενώ κάτοχοι του χρέους ως περιουσιακού στοιχείου (δηλαδή αυτοί στους οποίους είναι πληρωτέο) είναι οι ιδιώτες, οι τράπεζες,τα κράτη και οποιοσδήποτε θεσμικός ή ιδιώτης επενδυτής έχει αγοράσει και κατέχει κρατικά ομόλογα. Το δημόσιο χρέος διακρίνεται σε "εσωτερικό χρέος", δηλαδή από πιστωτές που βρίσκονται εντός της συγκεκριμένης χώρας, και σε "εξωτερικό χρέος", δηλαδή από πιστωτές που εδρεύουν εκτός της χώρας, στο εξωτερικό. Η διάκριση αυτή έχει ιδιαίτερη σημασία όταν μάλιστα το εξωτερικό χρέος αναφέρεται σε άλλο νόμισμα, έναντι του εσωτερικού που αναφέρεται στο εθνικό ή εσωτερικό νόμισμα, (για τα κράτη μέλη της ΕΕ το κοινό νόμισμα θεωρείται εσωτερικό).

Οι κυβερνήσεις προκειμένου να καλύψουν τις δημόσιες δαπάνες χρηματοδοτούνται πρωτίστως με φορολογικά έσοδα, ένα μέρος όμως αυτών, αρκετά αξιόλογο καλύπτεται συνηθέστερα από δημόσιο δανεισμό, εκδίδοντας και πουλώντας ομόλογα ή άλλα αξιόγραφα. 

* Κάθε προσφυγή σε δημόσιο δανεισμό για κάλυψη δημοσίων δαπανών επιφέρει αναγκαστικά είτε τη δημιουργία, είτε την προσαύξηση του υφιστάμενου δημόσιου χρέους. Τούτο ουσιαστικά απεικονίζει και την θέση του συνόλου των υποχρεώσεων του Δημοσίου, (του κράτους), σε δεδομένη στιγμή, έναντι των κάθε κατηγορίας δανειστών του.

Επιμέρους διάκριση
------------------

Το εσωτερικό δημόσιο χρέος διακρίνεται επιμέρους ανάλογα της πηγής αλλά και της μορφής δανεισμού από την οποία έγινε η άντληση του προϊόντος του δανείου, που μπορεί να αφορά υποχρεώσεις σε φυσικά πρόσωπα, επιχειρήσεις, τράπεζες κ.λπ. μπορεί όμως να αναφέρεται και σε χρέος εντόκων γραμματίων, χρέος από κρατικά ομόλογα κ.λπ.

Μια ιδιαίτερα σπουδαία διάκριση που γίνεται επίσης, είναι αυτή ανάμεσα στο **καταναλωτικό** και **παραγωγικό δημόσιο χρέος**, που χαρακτηρίζεται ανάλογα εκ του σκοπού κάλυψης του δανείου, προκειμένου να καλυφθούν αντίστοιχα καταναλωτικές ή επενδυτικές δαπάνες του Δημοσίου. Εκ της διάκρισης αυτής καθίσταται εμφανές ότι ο καταναλωτικός δανεισμός είναι ιδιαίτερα επιζήμιος και λίαν επικίνδυνος καθόσον διογκώνει το χρέος, χωρίς να διευρύνεται η παραγωγική δυνατότητα της οικονομίας και κατ΄ επέκταση του εθνικού εισοδήματος. Σε τελείως αντίθεση με το παραγωγικό δημόσιο χρέος όπου η τυχόν αύξησή του, ουσιαστικά, συμπορεύεται με τη βελτίωση της παραγωγικής δυνατότητας της οικονομίας.

Εκ του τελευταίου αυτού λόγου συχνά υποστηρίζεται από πολλούς, δίκαια, ότι το "παραγωγικό δημόσιο χρέος είναι αυτοεξυπηρετούμενο". Πράγματι, μέσω αυτού αυξάνεται το εθνικό εισόδημα αφού επιταχύνοντας τις επενδύσεις χρηματοδότησης από το προϊόν του δανείου, παρέχεται η δυνατότητα στο Δημόσιο για εξεύρεση πρόσθετων πόρων αναγκαίων στην εξόφληση του δανείου.

Παρουσίαση
----------

Το σύνολο του δημόσιου χρέους, υπολογιζόμενο αθροιστικά του εσωτερικού και του εξωτερικού καταδεικνύεται στη συνέχεια κατά εκατοστιαία αναλογία του ΑΕΠ της χώρας. Επισημαίνεται ότι η καταγραφή του Δημόσιου χρέους σε ποσοστό του ΑΕΠ είναι απλά ενδεικτική. Για ασφαλέστερα συμπεράσματα της κατάστασης - θέσης της οικονομίας μιας χώρας θα πρέπει να λαμβάνονται υπόψη και άλλοι παράμετροι - παράγοντες που έχουν σχέση με τον υφιστάμενο τύπο εμπορίου, των συναλλαγών, τον ρυθμό ανάπτυξης, το εύρος των επενδύσεων κ.λπ.

* Την επιμέλεια της δημοσιότητας του Δημόσιου χρέους των χωρών έχουν οι δημόσιες στατιστικές υπηρεσίες σύμφωνα με στοιχεία που παρέχονται από τα καθ΄ ύλη αρμόδια υπουργεία Οικονομίας και Οικονομικών.

Διεθνής σύγκριση
----------------

Δημόσιο χρέος επί ποσοστού του ΑΕΠ, ανά χώρα.

| Κράτος | Δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ονομαστικού ΑΕΠ κατά το 2020 (ΟΟΣΑ) |
| --- | --- |
| Ιαπωνία | 256,9% |
| Ελλάδα | 236,9% |
| Ιταλία | 183,9% |
| Ηνωμένες Πολιτείες | 161,4% |
| Πορτογαλία | 157,1% |
| Ηνωμένο Βασίλειο | 154,1% |
| Ισπανία | 146,8% |
| Γαλλία | 145,8% |
| Βέλγιο | 142,4% |
| Καναδάς | 141,6% |
| Αυστρία | 107,3% |
| Ολλανδία | 69,8% |
| Ιρλανδία | 68,7% |
| Γερμανία | 67,8% |
| Σουηδία | 62,9% |
| Ελβετία | 43,8% |
| Λουξεμβούργο | 32,6% |
| Εσθονία | 24,8% |
| Πηγή: ΟΟΣΑ |

Ο λόγος χρέους / ΑΕΠ
--------------------

Πέρα από την απόλυτη αξία του χρέους, ένας σημαντικός δείκτης της οικονομικής και χρηματοοικονομικής βιωσιμότητας του κράτους (όπως προβλέπεται και από το επικαιροποιημένο κείμενο του Συμφώνου Σταθερότητας και Ανάπτυξης στην Ευρωπαϊκή Ένωση) είναι η σχέση μεταξύ του δημόσιου χρέους και του ακαθάριστου εγχώριου προϊόντος, καθώς ο λόγος μεταξύ των δύο αυτών μεγεθών αποτελεί ένα σημαντικό δείκτη ή παράμετρο. Το κράτος είναι σε θέση να αποκαταστήσει το δημόσιο χρέος του, για παράδειγμα μέσω της φορολογίας.
Το δημόσιο χρέος που ανέφεραν οι παράμετροι της Συνθήκης του Μάαστριχτ δεν υπολογίζει το λεγόμενο άδηλο χρέος, δηλαδή τις δαπάνες κρατών για κοινωνική πρόνοια, υγεία και συντάξεις.

Όσον αφορά τη σχέση μεταξύ του δημόσιου χρέους και του ακαθάριστου εγχώριου προϊόντος, υπάρχουν τέσσερις πιθανές καταστάσεις στις οποίες το κράτος μπορεί περιέλθει σε ένα δεδομένο έτος:

1. Ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι μικρότερος από το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων και υπάρχει επίσης ένα πρωτογενές έλλειμμα σε σχέση με το ΑΕΠ, με την έννοια ότι τα έξοδα του κράτους είναι περισσότερα από τα έσοδα σε σχέση με το ΑΕΠ. Στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα τείνει να αυξηθεί η επ 'αόριστον.
2. Ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι μεγαλύτερος από το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων, αλλά εξακολουθεί να υπάρχει το πρωτογενές έλλειμμα του προϋπολογισμού σε σχέση με το ΑΕΠ. Στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα συγκλίνει σε μια φθίνουσα θέση της σε μια συγκεκριμένη τιμή (η οποία ονομάζεται Σταθερή Κατάσταση (οικονομικά) αν και μόνο αν, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ είναι μεγαλύτερη από την αρχική σταθεροποιηθεί η κατάσταση. Ειδικότερα, στην περίπτωση αυτή, ότι ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ μειώνεται, είναι απαραίτητο ότι το ΑΕΠ θα αυξηθεί σε τέτοιο βαθμό ώστε να καταστεί η difference*n*-i αρκετά μεγάλη και το πρωτογενές έλλειμμα είναι μάλλον μικρή δυνατό. Εάν ο λόγος χρέους / ΑΕΠ είναι μικρότερο από την αρχική σταθερή κατάσταση, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα είναι πάντα συγκλίνουν προς την σταθερή κατάσταση, αλλά σε αύξουσα σειρά.
3. Ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ of*n*is μικρότερο από το επιτόκιο των κυβερνητικών ομολόγων, αλλά οι αλλαγές έχουν αυξήσει τους φόρους, οπότε υπάρχει ένα πρωτογενές έλλειμμα και τα έσοδα είναι περισσότερα απο τα έξοδα. Στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα μειωθεί μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα αν και μόνο αν, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ είναι μικρότερος από την αρχική σταθερή κατάσταση. Πιο συγκεκριμένα, αν ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ μειώνεται, τότε η διαφορά *n - i* γίνεται αρκετά μικρή και τα έσοδα είναι υψηλά. Εάν ο λόγος χρέους / ΑΕΠ είναι μεγαλύτερος από την αρχική σταθερή κατάσταση, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα τείνει να αυξηθεί επ 'αόριστον**.**
4. Ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι μεγαλύτερος από το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων και υπάρχει πρωτογενές πλεόνασμα δηλαδή τα έσοδα είναι μεγαλύτερα από τα εξόδα. Στην περίπτωση αυτή, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ θα μειωθεί γρήγορα στο μηδέν.

### Μαθηματική επεξεργασία του χρέους / ΑΕΠ

Η ακόλουθη εξίσωση διαφορά για το λόγο χρέους / ΑΕΠ δείχνει πως η αξία του δημόσιου χρέους τη χρονική στιγμή t είναι ίση με την ονομαστική αξία του χρέους του προηγούμενου έτους πολλαπλασιαζόμενο επί (1 + i), όπου i είναι το ονομαστικό επιτόκιο ομολόγων του Δημοσίου καθώς και το πρωτογενές έλλειμμα (η διαφορά μεταξύ της παραγωγής και των δημοσίων εσόδων, εξαιρουμένων των πληρωμών τόκων) 

{\displaystyle \ B\_{t}=B\_{t-1}(1+i)+D\_{t}:}
Διαιρώντας την εξίσωση για το ΑΕΠ και με την παραδοχή ότι η αύξηση του ΑΕΠ από τη χρονική στιγμή t-1 τη χρονική στιγμή t είναι ίση με 1 + n (n είναι ο ρυθμός αύξησης του ονομαστικού ΑΕΠ), παίρνουμε την εξίσωση διαφορά {\displaystyle b\_{t}} :

{\displaystyle {\frac {B\_{t}}{Y\_{t}}}={\frac {B\_{t-1}}{Y\_{t}}}(1+i)+{\frac {D\_{t}}{Y\_{t}}}}
{\displaystyle {\frac {B\_{t}}{Y\_{t}}}={\frac {\frac {B\_{t-1}}{Y\_{t-1}}}{\frac {Y\_{t}}{Y\_{t-1}}}}(1+i)+{\frac {D\_{t}}{Y\_{t}}}}
Τώρα, αν υποθέσουμε μια σταθερή αναλογία του πρωτογενούς ελλείμματος προς το ΑΕΠ, έχουμε:

{\displaystyle b\_{t}=b\_{t-1}{\frac {1+i}{1+n}}+d}
Υπολογισμός {\displaystyle b\_{1}} έχουμε:

{\displaystyle b\_{1}=b\_{0}{\frac {1+i}{1+n}}+d}
Υπολογισμός {\displaystyle b\_{2}} , παίρνουμε:

{\displaystyle b\_{2}=b\_{1}{\frac {1+i}{1+n}}+d=b\_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d}
Υπολογισμός {\displaystyle b\_{3}} έχουμε:

{\displaystyle b\_{3}=b\_{2}{\frac {1+i}{1+n}}+d=b\_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d}
Υπολογισμός {\displaystyle b\_{t}} έχουμε:

{\displaystyle b\_{t}=b\_{0}\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t-1}d+....+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d}
Ορισμός {\displaystyle K:=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)}

και τον τόπο:

{\displaystyle S\_{n}:=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t-1}d+....+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{3}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{2}d+\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)d+d}
έχουμε:

{\displaystyle \ S\_{n}:=K^{t-1}d+....+K^{3}d+K^{2}d+Kd+d}
Πολλαπλασιάζοντας {\displaystyle S\_{n}} για K, έχουμε:

{\displaystyle \ -S\_{n}K=-K^{t}d-....-K^{4}d-K^{3}d-K^{2}d-dK}
Συνοψίζοντας τις δύο εξισώσεις, μέλος σε μέλος, τότε θα έχουμε:

{\displaystyle \ S\_{n}-S\_{n}K=-K^{t}d+d} η οποία παράγει:
{\displaystyle \ S\_{n}={\frac {1-K^{t}}{1-K}}d}
Ως εκ τούτου έχουμε:

{\displaystyle \ b\_{t}=K^{t}b\_{0}+{\dfrac {1-K^{t}}{1-K}}d=\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}b\_{0}+{\dfrac {\left(1-\left({\frac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\right)}{1-{\frac {1+i}{1+n}}}}d}
η οποία είναι ίση με:

{\displaystyle b\_{t}=\left({\dfrac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\left[b\_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]+d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)}
Με βάση την ακολουθία {\displaystyle b\_{t}} είναι αδύνατο να γνωρίζουμε ποια είναι η σχέση χρέους / ΑΕΠ μετά από 1 χρόνο, 2 χρόνια, ... t χρόνια γνωρίζοντας {\displaystyle b\_{0}} , εγώ, εγώ δ

Για να εκτιμηθεί σε ποιες περιπτώσεις το ποσοστό του δημόσιου χρέους προς το ΑΕΠ αυξάνεται ή μειώνεται, δεδομένου ότι η ακολουθία {\displaystyle b\_{t}} ορίζεται σε έτη 1, 2, .. t, εάν λάβουμε υπόψη την αντίστοιχη λειτουργία που ορίζεται σε όλη την ώρα και δεν της, μόνο φέτος, καθώς συνεχίζονται οι εργασίες για την T μπορεί κανείς να υπολογίσει τα παράγωγα, όπου η λειτουργία αυτή αυξάνεται ή μειώνεται σε όλη την T του θα είναι αύξουσα ή φθίνουσα σειρά, μόνο τα έτη 1, 2, .. t αντιπροσωπεύει ένα υποσύνολο του T.
Επομένως, η παράγωγος είναι ίση με:

{\displaystyle {\dfrac {\mathrm {d} b(t)}{\mathrm {d} t}}=K^{t}\log(K)\left(b\_{0}-{\dfrac {d}{1-K}}\right)}

  

#### Δεύτερη περίπτωση: (d> 0 και Κ <1, και στη συνέχεια n>i)

{\displaystyle d>0eK<1} e quindi {\displaystyle n>i}.
Εάν τα αποτελέσματα υπερβαίνουν τα έσοδα του κράτους, αλλά ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι μεγαλύτερο από το επιτόκιο των ομολόγων του Δημοσίου, έχουμε:

{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}>0:}
και
{\displaystyle \log(K)<0}
τότε:

αν το παράγωγο είναι θετικό (δηλαδή για :{\displaystyle b\_{0}} ), ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ αυξάνεται
αν το παράγωγο είναι αρνητικό (δηλαδή για :{\displaystyle b\_{0}>{\dfrac {d}{1-K}}} ), ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ μειώνεται.
Ο όρος :{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}={\dfrac {d(1+n)}{n-i}}} είναι μια στατική κατάσταση, έτσι ώστε ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ μειώνεται είναι απαραίτητο ότι ο λόγος χρέους / ΑΕΠ είναι μεγαλύτερη από την αρχική σε σταθερή κατάσταση και τι συμβαίνει αν το n είναι αρκετά μεγάλο σε σχέση με το i και όταν D είναι αρκετά μικρή, ώστε η αρχική οφειλή είναι μεγαλύτερη από την σταθερή κατάσταση.

Επιπλέον, δεδομένου ότι :{\displaystyle \lim \_{t\to +\infty }{b\_{t}}={\dfrac {d}{1-K}}} , ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ συγκλίνει σε σταθερή κατάσταση (αύξηση ή μείωση).

#### Τρίτη περίπτωση: (d<0 και Κ>1 και έτσι n<i)

{\displaystyle d<0eK>1} e quindi {\displaystyle n<i}.
Σε περίπτωση που τα κρατικά έσοδα υπερβαίνει τις δαπάνες και, εάν ο ρυθμός ανάπτυξης του ΑΕΠ είναι μικρότερο από το επιτόκιο των ομολόγων του Δημοσίου, έχουμε:

{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}>0}
και
{\displaystyle \log(K)>0}
τότε

αν το παράγωγο είναι θετικό (δηλαδή για :{\displaystyle b\_{0}>{\dfrac {d}{1-K}}} ), ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ αυξάνεται
αν το παράγωγο είναι αρνητικό (δηλαδή για :{\displaystyle b\_{0}} ), ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ μειώνεται.
Η διάρκεια :{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}={\dfrac {d(1+n)}{n-i}}} παρουσιάζει μια στατική κατάσταση, επομένως, να το χρέος / ΑΕΠ μειώνεται, είναι απαραίτητο το χρέος / ΑΕΠ είναι μικρότερη από την αρχική σταθερή κατάσταση και τι συμβαίνει αν το n είναι σχεδόν ίσο με το i και όταν D είναι αρκετά μεγάλο, έτσι ώστε το χρέος είναι μικρότερο από την αρχική σταθερή κατάσταση.

Επιπλέον :{\displaystyle \lim \_{t\to +\infty }{b\_{t}}=+\infty } όταν ο λόγος χρέους / ΑΕΠ αυξάνεται, ενώ έχουμε ότι :{\displaystyle \lim \_{t\to +\infty }{b\_{t}}=-\infty } όταν ο λόγος χρέους / ΑΕΠ μειώνεται, γιατί τον υπολογισμό του απροσδιόριστη μορφή του τύπου :{\displaystyle \infty -\infty } είναι που λαμβάνονται ως αποτέλεσμα :-\infty  , οπότε σε αυτή την περίπτωση μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ ακυρώνεται.

#### Τέταρτη περίπτωση (d<0 και Κ<1, και στη συνέχεια n>i)

{\displaystyle d<0} e {\displaystyle K<1} e quindi {\displaystyle n<i}.
Σε περίπτωση που τα κρατικά έσοδα υπερβαίνει τις δαπάνες και το ρυθμό αύξησης του ΑΕΠ είναι μεγαλύτερο από το επιτόκιο των ομολόγων του Δημοσίου, έχουμε:

{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}<0}
και
{\displaystyle \log(K)<0}
τότε το παράγωγο είναι πάντα αρνητική, έτσι {\displaystyle b\_{t}} μειώνεται και είναι πάντα:

{\displaystyle \lim \_{t\to +\infty }b\_{t}={\dfrac {d}{1-K}}}
έτσι μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, ο δείκτης χρέους / ΑΕΠ ακυρώνεται.

#### Πρώτη περίπτωση: (d> 0 και Κ> 1 και έτσι n<i)

{\displaystyle d>0eK>1} e quindi {\displaystyle n<i}.
Εάν τα αποτελέσματα του κράτους υπερβαίνουν τα έσοδα και το ποσοστό αύξησης του ΑΕΠ είναι μικρότερο από το επιτόκιο των ομολόγων του Δημοσίου, έχουμε:

{\displaystyle {\dfrac {d}{1-K}}<0}
και
{\displaystyle \log(K)>0}
τότε το παράγωγο είναι πάντα θετικό, ώστε να {\displaystyle b\_{t}} αυξάνεται και είναι

{\displaystyle \lim \_{t\to +\infty }b\_{t}=+\infty }
### Μαθηματική επεξεργασία του λόγου χρέους / ΑΕΠ σε σταθερά επίπεδα

Δεδομένης της διαδοχής χρέος / ΑΕΠ

{\displaystyle b\_{t}=\left({\dfrac {1+i}{1+n}}\right)^{t}\left[b\_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]+d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)}
προσθέτοντας και αφαιρώντας το δικαίωμα της παραπάνω εξίσωση, ο όρος b\_{0} και αναδιατάσσοντας τους όρους, έχουμε:

{\displaystyle b\_{t}=b\_{0}+\left[b\_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]\left[\left({\dfrac {1+i}{1+n}}\right)^{t}-1\right]}
Σημειώνεται ότι αποδεικνύει ότι:

{\displaystyle b\_{t}=b\_{0}}
και στη συνέχεια, το δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ παραμένει σταθερή ανάγκη:

{\displaystyle (1)\quad \left[b\_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]=0}
Μπορεί να φαίνεται ότι για i = n το δημόσιο χρέος ως ποσοστό του ΑΕΠ παραμένει σταθερή, αλλά αυτό δεν είναι μια υπόθεση είναι σωστή, διότι:

{\displaystyle \lim \_{n\to i}b\_{t}=b\_{0}+dt}
Αυτός ο λόγος χρέους / ΑΕΠ παραμένει σταθερή ανάγκη να ακυρώσετε (1), το κράτος μπορεί να δράσει μέσω μιας οικονομικής πολιτικής τόσο b\_{0} της δ (έλλειμμα / ΑΕΠ, που είναι η διαφορά μεταξύ των εσόδων και των δαπανών σε σχέση με το ΑΕΠ) σε πρακτική μπορεί να λειτουργήσει μόνο και μόνο επειδή τα επιτόκια ακολουθούν κυρίως τη λογική των χρηματοπιστωτικών αγορών, ενώ n (ρυθμός ανάπτυξης του ΑΕΠ) μπορεί να καταστήσει τις πολιτικές για την αύξηση της, για παράδειγμα με τη μείωση του κόστους εργασίας, αλλά, σε κάθε περίπτωση, Επίσης, η παρέμβαση του n δεν είναι απλή, διότι το κράτος δεν μπορεί να προβλέψει σε αυτήν την περίπτωση, δεδομένου ότι η μείωση του κόστους εργασίας θα επηρεάσει n. Στην πράξη, για την επίτευξη ισοσκελισμένου προϋπολογισμού και ποια είναι η επαναφορά εξίσωση (1), το κράτος πρέπει να ενεργεί κατά κύριο λόγο στην b\_{0} και d.
Για παράδειγμα, εάν το δημόσιο χρέος σε σχέση με το ΑΕΠ είναι 120% και στη συνέχεια b\_{0}=120% το κράτος μπορεί για παράδειγμα να πωλούν κάποια από τα προϊόντα του, προκειμένου να μειωθεί b\_{0} με αποτέλεσμα τη μείωση του d για να αποκτήσει το μηδενισμό εξίσωση (1) αποφεύγοντας έτσι την υπερβολική μείωση της έξοδα υπερβαίνουν τα έσοδα.
Για παράδειγμα, εάν ο λόγος χρέους / ΑΕΠ είναι η αρχική

{\displaystyle b\_{0}={\dfrac {B\_{0}}{Y\_{0}}}=120\%}
και η αρχική χρέους

{\displaystyle B\_{0}=2.000} δισ. €
τότε το ΑΕΠ είναι

{\displaystyle Y\_{0}={\dfrac {2.000}{1,20}}=1.666} δις €
Αν ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι n=1\% και το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων είναι i=7\%
Έτσι, αυτό δείχνει ότι:

{\displaystyle (1)\quad \left[b\_{0}-d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\right]=0}

  

θα πρέπει να είναι:

{\displaystyle d={\dfrac {b\_{0}(n-i)}{1+n}}={\dfrac {1,20(0,01-0,07)}{1+0,01}}=-0,071=-7,1\%}

  

αλλά ως ΑΕΠ = € 1,666 δισεκατομμύρια από τότε

{\displaystyle D=d\*Y=-1.666\*7,1\%=-118,286} δισ. €
έτσι ώστε ο λόγος χρέους / ΑΕΠ παραμένει σταθερή πρέπει να υπάρχει πρωτογενές πλεόνασμα € 118,286 δισεκατομμύρια από τα οποία είναι ότι τα έσοδα είναι περισσότερα από την έξοδο των € 118,286 δισεκατομμύρια.

### Δημόσιο χρέος και οικονομική ανάπτυξη

Σύμφωνα με οικονομολόγους της  κεϋνσιανής σχολής, κομμένα τρέχουσες δαπάνες για τη χρηματοδότηση του χρέους έχει αρνητική επίδραση στην φόρο, δεδομένου ότι οι δαπάνες της κυβέρνησης είναι ένα χρήσιμο εργαλείο για να είναι σε θέση να τονώσει οικονομική ανάπτυξη. Η ανακήρυξη του σε κατάσταση αφερεγγυότητας πτώχευσης του δημόσιου χρέους της, καθώς και τη δημιουργία μιας απώλεια για τους πιστωτές, είναι επομένως πιθανό να δούμε με τη σειρά τους μειώνουν την οικονομική τους ανάπτυξη, γιατί δεν μπορεί να παρέμβει με Οικονομική Πολιτική για την υποστήριξη της η ίδια η ανάπτυξη (για παράδειγμα, πολιτικές για τη στήριξη της θέμα) με τη χρήση των δημοσίων δαπανών. Ομοίως, αν το χρέος είναι μεγάλο μέρος των δημοσίων δαπανών θα πρέπει να χρησιμοποιηθεί για την κάλυψη / χρηματοδότησης του χρέους με τις ίδιες επιπτώσεις στην οικονομική ανάπτυξη. Δημόσιο χρέος και την οικονομική ανάπτυξη, ως εκ τούτου, τείνουν να είναι μακρο-οικονομικές πτυχές της αντίθεσης του κράτους.
Η ανάλυση της λειτουργίας {\displaystyle b\_{t}} Σημειώνεται ότι:

{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }b\_{t}=d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\quad se\quad n>i}
όπως:

{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }b\_{t}=\pm \infty \quad se\quad n<i}
Έτσι, αν ο ρυθμός αύξησης του ΑΕΠ είναι μεγαλύτερο από το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων σε μακροπρόθεσμη βάση το δημόσιο χρέος θα φτάσει σε κατάσταση ισορροπίας λέγεται ότι σύμφωνα με τη θεωρία της ασυμπτωτικά σταθερά συστήματα, όπου n <i το χρέος αποκλίνει στο κοινό {\displaystyle \pm \infty } τότε το χρέος ονομάζεται ασταθής. Ως εκ τούτου, οι πολιτικές που στοχεύουν στην αύξηση της οικονομικής ανάπτυξης και για την προβολή αυτών {\displaystyle n>i} τείνει να σταθεροποιηθεί το δημόσιο χρέος.
Προφανώς, στην περίπτωση που διαπιστώνεται:

{\displaystyle \lim \_{t\to \infty }b\_{t}=-\infty \quad per\quad n<i}
είναι ευνοϊκή, διότι το χρέος έχει την τάση να εξαφανίζονται μετά από ένα ορισμένο χρονικό διάστημα, αλλά αν υποτεθεί ότι αυτό που συμβαίνει:

{\displaystyle b\_{0}<d\left({\dfrac {1+n}{n-i}}\right)\quad con\quad d<0}
Έτσι, η καλύτερη στρατηγική για να ακολουθήσει για να μειώσει το δημόσιο χρέος σε περίπτωση που ο ρυθμός ανάπτυξης του ΑΕΠ είναι μικρότερο από το επιτόκιο των κρατικών ομολόγων είναι η μείωση {\displaystyle b\_{0}}, μέσω της πώλησης της την περιουσία τους από το κράτος και να εξασφαλιστεί ότι τα έσοδα είναι μεγαλύτερες από τις εκροές.

δημόσιο χρέος και την οικονομική ανάπτυξη
-----------------------------------------

Μπορείτε να αξιολογήσει ποιες είναι οι συνέπειες του ΑΕΠ, την απασχόληση, το επίπεδο των τιμών και των επιτοκίων της αλλαγής των κρατικών δαπανών και της «προσφοράς χρήματος από την κεντρική τράπεζα, συγκεντρώνοντας το υπόδειγμα IS-LM και το κεϋνσιανό μοντέλο Μοντέλο μ.Χ. -AS.

Σύμφωνα με την κεϋνσιανή υπόθεση, επενδύσεις σε τίτλους των νοικοκυριών (εξοικονόμηση S) δεν εξαρτάται μόνο από το επιτόκιο, αλλά και από το επίπεδο του εισοδήματος (ΑΕΠ), ως εκ τούτου S = Sy, όπου s είναι η οριακή ροπή προς αποταμίευση με 0 <s < 1. Οι τίτλοι των οικογενειών μπορούν να χρηματοδοτήσουν ή εταιρικών επενδύσεων I (r) με r το επιτόκιο ή η δημόσια δαπάνη του κράτους G ως εκ τούτου:

{\displaystyle (1)\quad sY=I(r)+G}
Η λειτουργία μειώνεται σε r στην πραγματικότητα οι εταιρείες χαμηλότερο επιτόκιο θα είναι πρόθυμοι να επενδύσουν για να λαμβάνει δάνεια στην αγορά κεφαλαίων με χαμηλότερο ρυθμό.Ως εκ τούτου:

{\displaystyle I^{'}(r)<0}
Το οικονομικό μας σύστημα όλες οι δραστηριότητες που πρόκειται να πραγματοποιηθούν σε δύο κατηγορίες: ". Χρήματος" που κερδίζουν οι τόκοι, που ονομάζεται «τίτλους» και εκείνων που δεν καταβάλλουν τόκους που ονομάζεται
Η ζήτηση για τα χρήματα είναι το ποσό των χρημάτων που πρέπει να παρέχουν στις οικογένειες για την αγορά. Επίσης, αυξάνει με την αύξηση του ΑΕΠ, στην πραγματικότητα, αν το ΑΕΠ μεγαλώνει καθώς η ανάγκη για χρήματα από τα νοικοκυριά για να διενεργούν τις συναλλαγές τους, ενώ μειώνεται με την αύξηση των αξιών των επιτοκίων, διότι οι οικογένειες θα αισθάνονται πιο βολικό να επενδύουν σε κινητές αξίες, και όχι που έχουν χρήματα.
Η ζήτηση χρήματος είναι επομένως μια διαφορίσιμη συνάρτηση με δύο μεταβλητές Y και r, όπου r είναι το επιτόκιο. Δεδομένου ότι η L (Υ, r) αυξάνοντας σε Υ και μειώνονται σε r είναι:

{\displaystyle L\_{Y}(Y\_{\*},r\_{\*})={\dfrac {\delta L}{\delta Y}}>0}
και

{\displaystyle L\_{r}(Y\_{\*},r\_{\*})={\dfrac {\delta L}{\delta r}}<0}
Η ζήτηση χρήματος αυξάνεται ανάλογα με το επίπεδο των τιμών, στην πραγματικότητα, για παράδειγμα, όταν οι τιμές διπλασιαστεί παίρνει διπλάσια χρήματα ως εξής:

{\displaystyle M\_{D}=p\*L(Y,r)}
Επιπλέον, δεδομένου ότι οι οικονομικοί παράγοντες μπορούν να έχουν ακριβώς το ποσό των χρημάτων που προσφέρονται από την Κεντρική Τράπεζα, τότε η προσφορά χρήματος πρέπει να ισούται με τη ζήτηση χρήματος ως εκ τούτου:

{\displaystyle (2)\quad p\*L(Y,r)=M}
Υποθέτοντας ότι όλο το εμπόριο βασίζεται στην ανταλλαγή των αγαθών και εργασίας, η αξία των περιουσιακών στοιχείων που η εταιρεία έχει να δώσει σε αντάλλαγμα για μια ώρα εργασίας ονομάζεται πραγματικού μισθού. Αλλά δεδομένου ότι η εργασία πωλείται σε αντάλλαγμα για τα χρήματα και αγαθά ο πραγματικός μισθός δίνεται από τη σχέση μεταξύ του ονομαστικού μισθού W και P η τιμή των αγαθών.
Δεδομένου ότι το κέρδος από όλες τις εταιρείες που αποτελούν μέρος της οικονομίας δίνεται από τη διαφορά μεταξύ του ΑΕΠ και του κόστους εργασίας που χρησιμοποιούνται:

{\displaystyle \Pi =f(N)-{\dfrac {W}{P}}N}
όπου f (Ν) είναι οι αυξήσεις ΑΕΠ με τον αριθμό των εργασιών Ν και υποθέτοντας επίσης ότι η συνάρτηση f (Ν) είναι κοίλη και ότι μεγαλώνει όλο και λιγότερο με την αύξηση του Ν, διότι η εργασία χρησιμοποιείται με ένα σταθερό ποσό του κεφαλαίου, ως εκ τούτου, είναι:

{\displaystyle {\dfrac {d(f(N))}{dN}}>0}
και

{\displaystyle {\dfrac {d^{2}(f(N))}{dN}}<0}
Σε περίπτωση που το ΑΕΠ είναι η ισοδυναμία:

{\displaystyle (3)\quad Y=f(N)}
Καθώς οι εταιρείες επιδιώκουν να μεγιστοποιήσουν τα κέρδη από τον υπολογισμό της παραγώγου του κέρδους και θέτοντας ίσο με το 0 έχουμε ότι η ζήτηση για εργατικό δυναμικό των επιχειρήσεων είναι:

{\displaystyle {\dfrac {d(f(N))}{dN}}={\dfrac {W}{P}}}
Οι εργαζόμενοι αποφασίζουν το ποσό της εργασίας που πρέπει να παρέχονται με βάση τον πραγματικό μισθό ίσο με το ποσοστό του ονομαστικού μισθού και του επιπέδου των τιμών αντιληπτή.
Προφανώς, η προσφορά εργασίας αυξάνεται με τον πραγματικό μισθό, επειδή μπορούν να κερδίσουν όλο και περισσότεροι άνθρωποι είναι πιο πιθανό να εργάζονται και με την αύξηση του επιτοκίου των πραγματικών μισθών θα πρέπει να αυξηθεί προκειμένου να πείσει τους ανθρώπους να εργαστούν και όχι να επενδύσουν σε τίτλους υπολογισμό τότε η προσφορά εργασίας S λειτουργία έχουμε:

{\displaystyle {\dfrac {W}{P}}=S(r,N)} με τις μερικές παραγώγους της τόσο θετικά: {\displaystyle S\_{r}>0\quad S\_{N}>0}
Απόκτηση Π / Π από την προηγούμενη έκθεση και την αντικατάσταση του άλλου, έχουμε:

{\displaystyle (4)\quad f^{'}(N)=S(r,N)}
Τώρα θεωρείται σύστημα δίνεται από την υπονοούμενη 4 παραπάνω συνάρτηση όπου το Ρ, r, Υ, Ν και Μ θεωρούνται ενδογενείς μεταβλητές, εξωγενές G:

{\displaystyle {\begin{array}{l}(1)\quad T(Y,r)=-sY+I(r)=-G\\(2)\quad L(Y,r)={\dfrac {M}{P}}\\(3)\quad Y=f(N)\\(4)\quad S(r,N)=f^{'}(N)\end{array}}}
4 λειτουργεί ως Τ, L, Υ, S είναι διαφορίσιμη και η ορίζουσα:

{\displaystyle det(J)=det\left({\begin{array}{cccc}0&{\dfrac {dI(r\_{\*})}{dr}}&-s&0\\{\dfrac {M}{p^{2}}}&L\_{r}(Y\_{\*},r\_{\*})&L\_{y}(Y\_{\*},r\_{\*})&0\\0&0&1&-{\dfrac {dF(N\_{\*})}{dN}}\\0&-S\_{r}(N\_{\*},r\_{\*})&0&-S\_{N}(N\_{\*},r\_{\*})+{\dfrac {d^{2}F(N\_{\*})}{dN}}\end{array}}\right)\neq 0}
Μπορούμε να εφαρμόσουμε το θεώρημα της τοπικής αντιστρεψιμότητα των λειτουργιών τότε υπάρχουν έξι τιμές:

{\displaystyle Y\_{\*},r\_{\*},P\_{\*},N\_{\*},G\_{\*}=-T(Y\_{\*},r\_{\*}),M\_{\*}=L(Y\_{\*},r\_{\*})P\_{\*}}
τέτοια ώστε:

{\displaystyle \left({\begin{array}{cccc}0&{\dfrac {dI(r\_{\*})}{dr}}&-s&0\\{\dfrac {M}{p^{2}}}&L\_{r}(Y\_{\*},r\_{\*})&L\_{y}(Y\_{\*},r\_{\*})&0\\0&0&1&-{\dfrac {dF(N\_{\*})}{dN}}\\0&-S\_{r}(N\_{\*},r\_{\*})&0&-S\_{N}(N\_{\*},r\_{\*})+{\dfrac {d^{2}F(N\_{\*})}{dN}}\end{array}}\right)\left({\begin{array}{cc}dp\\dr\\dY\\dN\end{array}}\right)=\left({\begin{array}{cc}-dG\\{\dfrac {1}{p}}dM\\0\\0\end{array}}\right)}
Υπολογίζοντας την αντίστροφη μήτρα του J και λύνοντας το σύστημα παίρνουμε:

{\displaystyle {\begin{array}{l}(5)\quad dp={\dfrac {p^{2}(L\_{r}S\_{N}-L\_{r}f^{''}(N)-L\_{Y}S\_{r}f^{'}(N))}{(I^{'}(r)S\_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS\_{r}f^{'}(N))M}}dG+{\dfrac {p}{M}}dM\\(6)\quad dr={\dfrac {f^{''}(N)-S\_{N}}{I^{'}(r)S\_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS\_{r}f^{'}(N)}}dG\\(7)\quad dY={\dfrac {S\_{r}f^{'}(N)}{I^{'}(r)S\_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS\_{r}f^{'}(N)}}dG\\(8)\quad dN={\dfrac {S\_{r}}{I^{'}(r)S\_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS\_{r}f^{'}(N)}}dG\end{array}}}
Το πρώτο πράγμα που θα παρατηρήσετε είναι ότι η νομισματική πολιτική, δηλαδή, η μεταβολή της προσφοράς χρήματος από την κεντρική τράπεζα dM, δηλαδή όχι μόνο επηρεάζει τον πληθωρισμό για το επιτόκιο r, Y το ΑΕΠ και τον αριθμό των κατειλημμένων Ν οπότε αν αυξάνει την προσφορά χρήματος αυξάνεται ο πληθωρισμός, αν μειώνεται η προσφορά χρήματος μειώνει επίσης τον πληθωρισμό, ενώ δεν είναι δυνατόν να εκτιμηθεί η επίδραση της αύξησης ή της μείωσης των δημόσιων δαπανών για τον πληθωρισμό, όπως σε (5) ο όρος dG πολλαπλασιάζεται με μια ποσότητα του οποίου σημάδι δεν μπορεί να αξιολογηθεί.

Κάνοντας μαζί του (7) και (8) έχουμε:

{\displaystyle dN={\dfrac {dY}{f^{'}(N)}}}
και δεδομένου ότι ο όρος f^{'}(N)>0 τότε αν το ΑΕΠ αυξάνεται, επίσης, αυξάνει τον αριθμό των εργαζομένων, αν οι χρόνοι του ΑΕΠ μείωση του αριθμού των εργαζομένων.

Έτσι, θέλουν να σπουδάσουν (6), (7) και (8) το μόνο πρόβλημα που τίθεται είναι να αξιολογήσει την ένδειξη της ανισότητας στον ισολογισμό:

{\displaystyle (9)\quad I^{'}(r)S\_{N}-I^{'}(r)f^{''}(N)+sS\_{r}f^{'}(N)>0}
δηλαδή είναι ίση με:

{\displaystyle I^{'}(r)(f^{''}(N)-S\_{N})<sS\_{r}f^{'}(N)}
Σημειώνεται ότι και τα δύο μέλη της ανισότητας είναι θετικά, έτσι ώστε η ανισότητα ικανοποιηθεί, είναι αναγκαίο ότι το πρώτο μέλος της inequation είναι μια θετική ποσότητα μικρότερη από το δεύτερο μέλος.
Δεδομένου ότι η λειτουργία Ι μειώνεται στο D την παράγωγο της συνάρτησης σε ένα ισοδύναμο σημείο προς την τριγωνομετρική εφαπτομένη της γωνίας \alpha σχηματίζεται από γεωμετρική εφαπτομένη με τη λειτουργία στο σημείο αυτό με τον άξονα χ, δεδομένου ότι η συνάρτηση της εφαπτομένης αυξάνεται σε \alpha έτσι ώστε το παράγωγο του Ι είναι αρκετά μικρό, είναι απαραίτητο ότι \alpha είναι όσο το δυνατόν μικρότερη και, κατά συνέπεια, είναι απαραίτητο ότι [1] είναι επίσης αναγκαίο ότι η οριακή ροπή για να σώσει είναι αρκετά μεγάλο και ότι οι άνθρωποι ενδιαφέρονται να επενδύσουν σε τίτλους αντί εργασίας είναι πολλοί. Με τον τρόπο αυτό η ανισότητα (9) είναι ικανοποιητική.
Όπως προκύπτει από τις Συγκριτική Στατική του μοντέλου Classic, αν η τάση να επενδύουν οι επιχειρήσεις είναι χαμηλότερη από την οριακή ροπή προς αποταμίευση και οι άνθρωποι ενδιαφέρονται περισσότερο για επένδυση σε κινητές αξίες, αντί να εργάζονται για την οποία η ανισότητα είναι ικανοποιημένος:

{\displaystyle (1)\quad I^{'}(r)(f^{''}(N)-S\_{N})<sS\_{r}f^{'}(N)}
τότε η μείωση των κρατικών δαπανών μειώνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και αυξάνει το επιτόκιο, έτσι ώστε ο λόγος χρέους / ΑΕΠ τείνει να αυξάνεται. Αντίθετα αύξηση ορισμένων δαπανών αυξάνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και μειώνει το επιτόκιο, έτσι ώστε ο λόγος χρέους / ΑΕΠ τείνει να μειώνεται. Είναι σαφές, επομένως, ότι σε περίπτωση που ικανοποιείται η ανισότητα (1) το κράτος προτού επιδιώξει οποιαδήποτε μείωση των δημοσίων δαπανών θα πρέπει να κάνουν τις πολιτικές για την ενθάρρυνση των επενδύσεων στην πραγματική οικονομία και να τιμωρεί την οριακή ροπή προς αποταμίευση, έτσι ώστε η ανισότητα (1) δεν πληρούνται.

### Περιπτώσεις σωστής δημοσιονομικής πολιτικής

1. Αν η ανισότητα (9) είναι ικανοποιημένη με την αύξηση των κρατικών δαπανών αυξάνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και μειώνει το επιτόκιο.
2. Αν η ανισότητα (9) δεν είναι ικανοποιημένη με τη μείωση των κρατικών δαπανών αυξάνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και μειώνει το επιτόκιο.

### Περιπτώσεις λανθασμένης δημοσιονομικής πολιτικής

1. Αν η ανισότητα (9) είναι ικανοποιημένη με τη μείωση των κρατικών δαπανών μειώνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και αυξάνει το επιτόκιο.
2. Αν η ανισότητα (9) δεν είναι ικανοποιημένοι με την αύξηση των κρατικών δαπανών μειώνει το ΑΕΠ και τον αριθμό των εργαζομένων και αυξάνει το επιτόκιο και ο πληθωρισμός.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Lavoie, Godley, 'Monetary+Economics', p.97.
2. ↑  «OECD (2021), General government debt (indicator). doi: 10.1787/a0528cc2-en». Ανακτήθηκε στις 19 Οκτωβρίου 2021.

  


|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Καθιερωμένοι όροι | 
* WorldCat
* LCCN: sh85036141
* GND: 4043153-8
* BNF: cb119719152 (data)
* NDL: 00566665
* NKC: ph126180
* BNE: XX526974

 |

 |