Ένα **αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα** (autoregressive conditionally heteroscedastic - ARCH) είναι ένα μοντέλο χρονοσειρών με εφαρμογές στην οικονομετρία που θεωρεί τη διακύμανση του τρέχοντος σφάλματος ως συνάρτηση των διακυμάνσεων των όρων σφάλματος των προηγούμενων χρονικών περιόδων. Πιο συγκεκριμένα, το μοντέλο ARCH υποθέτει αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο  (AutoRegressive model - AR) για τη διακύμανση του σφάλματος.

Αν υποτεθεί αυτοπαλινδρομούμενο μοντέλο κινητού μέσου όρου (AutoRegressive Moving Average model - ARMA) για τη διακύμανση του σφάλματος, τότε το μοντέλο καλείται γενικευμένο αυτοπαλινδρομούμενο με δεσμευμένη ετεροσκεδαστικότητα (**generalized autoregressive conditionally heteroscedastic** - **GARCH**).

Υπό Συνθήκη Μεταβλητότητα - ARCH(q)
-----------------------------------

Ο Engle (1982) χρησιμοποιώντας ένα μοντέλο για τον πληθωρισμό στην Μεγάλη Βρετανία, εισήγαγε το φαινόμενο της υπό συνθήκη μεταβλητότητας, δείχνοντας πως μεγάλα και μικρά σφάλματα πρόβλεψης τείνουν να εμφανίζονται σε ομάδες, πράγμα που υποδεικνύει ότι η διακύμανση έχει έναν τύπο ετεροσκεδαστικότητας η οποία εξαρτάται από τις προηγούμενες τιμές του διαταρακτικού όρου. Ονόμασε αυτού του είδους την ετεροσκεδαστικότητα autoregressive conditional heteroscedasticity δηλαδή υπό συνθήκη μεταβλητότητα. Αυτού του είδους η ετεροσκεδαστικότητα βρίσκει εφαρμογή τόσο στα μοντέλα παλινδρόμησης όσο και στα μοντέλα αυτοπαλινδρόμησης (autoregression). Σύμφωνα με αυτό το μοντέλο, ο διαταρακτικός όρος σε ένα μοντέλο ARCH(1) είναι:

{\displaystyle \varepsilon \_{t}=\nu \_{t}{\sqrt {\alpha \_{0}+\alpha \_{1}\varepsilon \_{t-1}^{2}}}}

  

όπου αποτελεί μια διαδικασία λευκού θορύβου με διακύμανση σ2. Αποδεικνύεται εύκολα με βάση αυτές τις υποθέσεις ότι, τόσο ο μέσος όσο και ο υπό συνθήκη μέσος του διαταρακτικού όρου είναι μηδέν, η διακύμανση είναι σταθερή, αλλά η υπό συνθήκη διακύμανση δεν είναι σταθερή και έχουμε υπό συνθήκη ετεροσκεδαστικότητα. Η παραπάνω σχέση ονομάζεται υπό συνθήκη μεταβλητότητα πρώτου βαθμού καθώς περιλαμβάνει μία υστέρηση του διαταρακτικού όρου. Ο Engle (1982) μας δίνει την γενικευμένη μορφή της υπό συνθήκη μεταβλητότητας με q υστερήσεις ARCH(q):

  

{\displaystyle \varepsilon \_{t}=\nu \_{t}{\sqrt {\alpha \_{0}+\sum \_{j=1}^{q}\alpha \_{j}\varepsilon \_{t-j}^{2}}}}

Γενικευμένη Υπό Συνθήκη Ετεροσκεδαστικότητα - GARCH(p,q)
--------------------------------------------------------

Ο Bollerslev (1986) επέκτεινε την δουλειά του Engle και επέτρεψε στην υπό συνθήκη διακύμανση να έχει την μορφή μιας διαδικασίας ARMA και ανέπτυξαν το υπόδειγμα GARCH(p,q). Σε αυτή την περίπτωση ο διαταρακτικός όρος είναι:

{\displaystyle \varepsilon \_{t}=\nu \_{t}{\sqrt {h\_{t}}}}
όπου

{\displaystyle h\_{t}=\alpha \_{0}+\sum \_{j=1}^{q}\alpha \_{j}\varepsilon \_{t-j}^{2}+\sum \_{j=1}^{p}{\mathit {h}}\_{t-j}}

Υπό Συνθήκη Μεταβλητότητα στον μέσο - ARCH-M(q)
-----------------------------------------------

Οι Engle, Lilien και Robins (1987), μετασχηματίζουν το μοντέλο της υπό συνθήκη μεταβλητότητας έτσι ώστε ο μέσος μιας ακολουθίας να εξαρτάται από την υπό συνθήκη διακύμανση. Αυτά τα μοντέλα ονομάζονται ARCH-M και είναι κατάλληλα προσαρμοσμένα για την μελέτη των αποδόσεων χρηματοοικονομικών προϊόντων. Το μοντέλο που χρησιμοποιούν οι Engle, Lilien και Robins είναι:

{\displaystyle {\mathit {y\_{t}}}=\mu \_{t}+\varepsilon \_{t}}
όπου είναι η διαφορά της απόδοσης ενός επενδυτικού μέσου από την απόδοση των μηδενικού κινδύνου κρατικών ομολογιών, είναι το ασφάλιστρο κινδύνου προκειμένου να επενδύσει στο χρηματοοικονομικό αυτό εργαλείο ένας επενδυτής που αποστρέφεται τον κίνδυνο (risk averse), και είναι το μη-προβλέψιμο σφάλμα. Στα χρηματοοικονομικά, ο κίνδυνος από το χρηματοοικονομικό αυτό εργαλείο μετριέται με την διακύμανση των αποδόσεών του. Οι Engle, Lilien και Robins (1987), υποθέτουν ότι το ασφάλιστρο κινδύνου αποτελεί μια αύξουσα συνάρτηση της υπό συνθήκη διακύμανσης του μη-προβλέψιμου υπολοίπου  :

{\displaystyle \mu \_{t}=\beta +\delta {\mathit {h\_{t}}},\delta >0}
όπου είναι η υπό συνθήκη διακύμανση του η οποία ακολουθεί μια διαδικασία ARCH(q) της μορφής:

{\displaystyle h\_{t}=\alpha \_{0}+\sum \_{j=1}^{q}\alpha \_{j}\varepsilon \_{t-j}^{2}}
Με αυτόν τον τρόπο ο υπό συνθήκη μέσος της ακολουθίας εξαρτάται από την υπό συνθήκη διακύμανση των τυχαίων σφαλμάτων. Αν η υπό συνθήκη διακύμανση είναι σταθερή, τότε το μοντέλο ARCH-M έχει σταθερό ασφάλιστρο κινδύνου (risk-premium). Η μορφή των μοντέλων ARCH-M καθορίζεται όμοια με τα μοντέλα ARCH και GARCH με χρήση του τεστ του πολλαπλασιαστή του Lagrange (Lagrange multiplier test). Η στατιστική που χρησιμοποιείται για τον καθορισμό του μοντέλου, TR2 για το τεστ LM κατανέμεται κάτω από την μηδενική υπόθεση της μη-ύπαρξης ARCH-M επιδράσεων ως μια χ2 κατανομή με βαθμούς ελευθερίας ίσους με τους επιβαλλόμενους περιορισμούς (q).

Εκθετική Γενικευμένη Υπό Συνθήκη Μεταβλητότητα - EGARCH(p,q)
------------------------------------------------------------

Τόσο τα ARCH όσο και τα GARCH μοντέλα είναι σε ένα βαθμό περιοριστικά, υπό την έννοια ότι αφήνουν την υπό συνθήκη διακύμανση να εξαρτάται μόνο από το μέγεθος προγενέστερων διαταραχών (shocks) αλλά όχι και από το πρόσημό τους, καθώς η υπό συνθήκη διακύμανση εξαρτάται από το τετράγωνο των περασμένων διαταραχών. Ένα άλλο πρόβλημα με τα μοντέλα που έχουμε δει ως τώρα είναι ότι κατά την εκτίμηση τέτοιων διαδικασιών πρέπει να θέσουμε επί πλέον περιορισμούς στις παραμέτρους της διακύμανσης, έτσι ώστε αυτή να παραμένει πάντα θετική και πεπερασμένη. Τα μοντέλα ARCH και GARCH υποθέτουν ότι η υπό συνθήκη διακύμανση είναι συνάρτηση μόνο του μεγέθους των υστερήσεων του σφάλματος και όχι του πρόσημού τους, δηλαδή, μόνο το μέγεθος και όχι το πρόσημο των υστερήσεων του σφάλματος καθορίζουν την υπό συνθήκη διακύμανση. Αυτή η υπόθεση είναι περιοριστική και αυτά τα μοντέλα δεν είναι επαρκή για να συλλάβουν και να περιγράψουν το λεγόμενο «φαινόμενο της μόχλευσης» (leverage effect), για το οποίο μίλησε πρώτος ο Black (1976). Ο Black παρατήρησε ότι για τις μετοχές συχνά οι προς τα κάτω διαταραχές των τιμών τους ακολουθούνται από μεγαλύτερη μεταβλητότητα και αστάθεια από ότι οι αυξητικές διαταραχές ίσου μεγέθους. Λόγω αυτών των επιπλοκών, ο Nelson (1991) παρουσίασε μια πιο γενική μορφή για την υπό συνθήκη μεταβλητότητα, το μοντέλο του εκθετικού GARCH(p,q) ή EGARCH(p,q). Στο μοντέλο αυτό έχουμε:

{\displaystyle \log \sigma \_{t}^{2}={\mathit {w\_{0}}}+\sum \_{i=1}^{p}\beta \_{i}\log \sigma \_{t-i}^{2}+\sum \_{j=1}^{q}\left(\alpha \_{j}{\begin{vmatrix}{\frac {\varepsilon \_{t-j}}{\sigma \_{t-j}}}\end{vmatrix}}+\gamma \_{t}{\frac {\varepsilon \_{t-j}}{\sigma \_{t-j}}}\right)}

Σε αυτή την μορφή η υπό συνθήκη διακύμανση εκφράζεται σε λογαριθμική μορφή έτσι ώστε να είναι πάντα θετική και επίσης ο τέταρτος όρος στο δεξί μέρος της εξίσωσης επιτρέπει στο πρόσημο του σφάλματος να επηρεάζει την υπό συνθήκη διακύμανση και έτσι μπορεί να συλληφθεί και περιγραφεί το leverage effect.

Βιβλιογραφία
------------

* Tim Bollerslev. "Generalized Autorregressive Conditional Heteroskedasticity", *Journal of Econometrics*, 31:307-327, 1986.

* Robert F. Engle. "Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of Variance of United Kingdom Inflation", *Econometrica* 50:987-1008, 1982. *(the paper which sparked the general interest in ARCH models)*

* Robert F. Engle. "GARCH 101: The Use of ARCH/GARCH Models in Applied Econometrics", *Journal of Economic Perspectives* 15(4):157-168, 2001. *(a short, readable introduction)*

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* ARCH and GARCH models for forecasting volatility, quantnotes.com