Εσωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } της κορυφής {\displaystyle \mathrm {A} } στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }. Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου λέει ότι {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\tfrac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}.
Στην γεωμετρία, το **θεώρημα διχοτόμου** (ή αλλιώς **θεώρημα εσωτερικής διχοτόμου** ή **πρώτο θεώρημα διχοτόμου**) λέει ότι σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } η διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } ενός τριγώνου χωρίζει την απέναντι πλευρά {\displaystyle \mathrm {B\Gamma } } σε δύο τμήματα με λόγο ανάλογο των δύο άλλων πλευρών.:153-154:191-193:95-96:327-331 Δηλαδή, 

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}
Εξωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } της κορυφής {\displaystyle \mathrm {A} } στο τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } }. Το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου λέει ότι {\displaystyle {\tfrac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\tfrac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}.
Το **δεύτερο θεώρημα διχοτόμου** (ή **θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου**) λέει ότι η εξωτερική διχοτόμος {\displaystyle \mathrm {A\Delta '} } ενός τριγώνου {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με {\displaystyle \mathrm {AB} <\mathrm {A\Gamma } } ικανοποιεί 

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta '} }{\mathrm {\Gamma \Delta '} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}.}

Αποδείξεις
----------

### Με θεώρημα Θαλή

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή {\displaystyle \mathrm {B} } στην {\displaystyle \mathrm {A\Delta } }, που τέμνει την προέκταση της {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } στο σημείο {\displaystyle \mathrm {E} }.

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } } (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και {\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } } (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

{\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},}
και άρα το τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {ABE} } είναι ισοσκελές με {\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} }.

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } και {\displaystyle \mathrm {BE} }, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}.
### Με τύπο για τα εμβαδά

θα χρησιμοποιήσουμε τους εξής δύο τύπους για το εμβαδόν τριγώνου:

{\displaystyle \mathrm {E} ={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{βάση}})\cdot ({\text{ύψος}})={\frac {1}{2}}\cdot ({\text{πρώτη πλευρά }})\cdot ({\text{δεύτερη πλευρά}})\cdot \sin({\text{μεταξύ τους γωνία}}).}
Παρατηρήστε ότι τα τρίγωνα {\displaystyle \mathrm {A\Delta B} } και {\displaystyle \mathrm {A\Delta \Gamma } } έχουν κοινό ύψος το {\displaystyle \mathrm {AH} }. Επομένως τα εμβαδά τους δίνονται από 

{\displaystyle (\mathrm {A\Delta B} )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {AB} \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {B\Delta } \cdot \mathrm {AH} ,}
και 

{\displaystyle (\mathrm {A\Delta \Gamma } )=\mathrm {A\Delta } \cdot \mathrm {A\Gamma } \cdot \sin {\tfrac {\hat {\mathrm {A} }}{2}}={\frac {1}{2}}\cdot \mathrm {\Gamma \Delta } \cdot \mathrm {AH} .}
Διαιρώντας κατά μέλη αυτές τις δύο ισότητες λαμβάνουμε την ζητούμενη σχέση:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}={\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}.}

Εφαρμογές
---------

### Διχοτόμοι τριγώνου συντρέχουν

Έστω {\displaystyle \mathrm {A\Delta \_{A}} }, {\displaystyle \mathrm {B\Delta \_{B}} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta \_{\Gamma }} } οι διχοτόμοι των γωνιών του τριγώνου. Χρησιμοποιώντας το αντίστροφο του θεωρήματος του Τσέβα έχουμε ότι οι διχοτόμοι συντρέχουν, καθώς

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta \_{A}} }{\mathrm {\Gamma \Delta \_{A}} }}\cdot {\frac {\mathrm {\Gamma \Delta \_{B}} }{\mathrm {A\Delta \_{B}} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Delta \_{\Gamma }} }{\mathrm {B\Delta \_{\Gamma }} }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}\cdot {\frac {\mathrm {B\Gamma } }{\mathrm {AB} }}\cdot {\frac {\mathrm {A\Gamma } }{\mathrm {B\Gamma } }}=1.}
Το σημείο στο οποίο συντρέχουν οι διχοτόμοι λέγεται το έγκεντρο του τριγώνου.

### Υπολογισμός ΒΔ και ΓΔ

Έστω {\displaystyle \alpha =\mathrm {B\Gamma } }, {\displaystyle \beta =\mathrm {B\Gamma } } και {\displaystyle \gamma =\mathrm {AB} }, τότε 

{\displaystyle \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}} και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } ={\frac {\alpha \beta }{\beta +\gamma }}}.

| Απόδειξη |
| --- |
| Από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου έχουμε ότι 
{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\gamma }{\beta }},}
και επίσης ισχύει ότι {\displaystyle \mathrm {B\Delta } +\mathrm {\Gamma \Delta } =\alpha }. Επομένως, 
{\displaystyle \mathrm {B\Delta } +\mathrm {B\Delta } \cdot {\frac {\beta }{\gamma }}=\alpha \Rightarrow \mathrm {B\Delta } ={\frac {\alpha \gamma }{\beta +\gamma }}.}
Αντίστοιχα και για την {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta } }. |

### Συντεταγμένες για το έγκεντρο

Έστω {\displaystyle {\vec {\mathrm {A} }},{\vec {\mathrm {B} }},{\vec {\Gamma }}} τα διανύσματα των τριών κορθφών των τριγώνων. Τότε, από το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου και την σχέση των {\displaystyle \mathrm {B\Delta \_{A}} } και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta \_{A}} }, το σημείο {\displaystyle \Delta \_{A}} της διχοτόμου δίνεται από 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {\Delta \_{A}} }}={\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)}.
Επομένως, η εξίσωση της διχοτόμου {\displaystyle \mathrm {A\Delta \_{A}} } δίνεται από 

{\displaystyle t\cdot {\vec {\mathrm {A} }}+(1-t)\cdot {\frac {\alpha }{\beta +\gamma }}\cdot \left({\vec {\mathrm {B} }}+{\vec {\Gamma }}\right)},
για {\displaystyle t\in [0,1]}. Αντίστοιχα, και για τις άλλες διχοτόμους. Το μοναδικό σημείο που ικανοποιεί και τις τρεις εξισώσεις ταυτόχρονα είναι το 

{\displaystyle {\vec {\mathrm {I} }}={\frac {1}{\alpha +\beta +\gamma }}\cdot \left(\alpha \cdot {\vec {\mathrm {A} }}+\beta \cdot {\vec {\mathrm {B} }}+\gamma \cdot {\vec {\mathrm {\Gamma } }}\right)}.
Επομένως, αυτό είναι το έγκεντρο του τριγώνου.

### Απολλώνιος κύκλος

Το θεώρημα της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιείται για τον προσδιορισμό του γεωμετρικού τόπου των σημείων {\displaystyle \mathrm {P} } των οποίων οι αποστάσεις από δοσμένα σημεία {\displaystyle \mathrm {A} } και {\displaystyle \mathrm {B} }, έχουν σταθερό λόγο {\displaystyle k}. Δηλαδή, 

{\displaystyle k={\frac {\mathrm {PA} }{\mathrm {PB} }}.}
Ο γεωμετρικός τόπος αυτών των σημείων είναι ο Απολλώνιος κύκλος.

Θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου
----------------------------

### Απόδειξη

Η απόδειξη είναι η ίδια με αυτή της εσωτερικής διχοτόμου χρησιμοποιώντας το θεώρημα τομής του Θαλή, αλλά το σχήμα είναι διαφορετικό. Για πληρότητα, παραθέτουμε την απόδειξη παρακάτω:

Θεωρούμε την παράλληλη ευθεία από την κορυφή {\displaystyle \mathrm {B} } στην {\displaystyle \mathrm {A\Delta } }, που τέμνει την προέκταση της {\displaystyle \mathrm {A\Gamma } } στο σημείο {\displaystyle \mathrm {E} }.

Από την παραλληλία, προκύπτει ότι {\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {\Delta A\Gamma } } (ως εντός-εκτός επί τα αυτά) και {\displaystyle \angle \mathrm {ABE} =\angle \mathrm {BA\Delta } } (ως εντός-εκτός εναλλάξ). Επομένως,

{\displaystyle \angle \mathrm {BEA} =\angle \mathrm {ABE} ={\tfrac {1}{2}}{\hat {\mathrm {A} }},}
και άρα το τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {ABE} } είναι ισοσκελές με {\displaystyle \mathrm {AE} =\mathrm {AB} }.

Τέλος, από το θεώρημα τομής του Θαλή για τις παράλληλες {\displaystyle \mathrm {A\Delta } } και {\displaystyle \mathrm {BE} }, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AE} }{\mathrm {A\Gamma } }}\Rightarrow {\frac {\mathrm {B\Delta } }{\mathrm {\Gamma \Delta } }}={\frac {\mathrm {AB} }{\mathrm {A\Gamma } }}}.
### Υπολογισμός των ΒΔ' και ΓΔ'

Από το θεώρημα εξωτερικής διχοτόμου και χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \gamma =\mathrm {B\Delta '} -\mathrm {\Gamma \Delta '} }, προκύπτει ότι 

{\displaystyle \mathrm {B\Delta '} ={\frac {\alpha \gamma }{\beta -\gamma }}} και {\displaystyle \mathrm {\Gamma \Delta '} ={\frac {\alpha \beta }{\beta -\gamma }}}.

Δείτε επίσης
------------

* Διχοτόμος γωνίας
* Έγκεντρο τριγώνου
* Απολλώνιος κύκλος

Παραπομπές
----------

1. ↑  Ταβανλής, Χ. *Επίπεδος Γεωμετρία*. Αθήνα: Ι. Χιωτέλης.
2. ↑  Νικολάου, Νικολαος Δ. (1973). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
3. ↑  Κανέλλος, Σπ. Γ. (1975). *Ευκλείδειος Γεωμετρία*. Αθήνα 1975: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων.
4. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. (1957). *Θεωρητική Γεωμετρία*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τόγκα.