Η καμπύλη πεταλούδα μπορεί να ορίζεται από παραμετρικές εξισώσεις των x και y.
Στα μαθηματικά, οι **παραμετρικές εξισώσεις** ορίζουν μια ομάδα ποσοτήτων ως συναρτήσεις μιας ή περισσότερων ανεξάρτητων μεταβλητών που ονομάζονται παράμετροι. Οι παραμετρικές εξισώσεις χρησιμοποιούνται συνήθως για να εκφράσουν τις συντεταγμένες των σημείων που συνθέτουν ένα γεωμετρικό αντικείμενο, όπως μια καμπύλη ή επιφάνεια, σε κάθε περίπτωση οι εξισώσεις συλλογικά ονομάζονται **παραμετρική αναπαράσταση** ή **παραμετροποίηση** του αντικειμένου. Για παράδειγμα, οι εξισώσεις

{\displaystyle x=\cos(t)}
{\displaystyle y=\sin(t)}
έχουν τη μορφή μιας παραμετρικής αναπαράστασης και συγκεκριμένα ενός μοναδιαίου κύκλου, όπου *t* είναι η παράμετρος.

Εκτός από καμπύλες και επιφάνειες, οι παραμετρικές εξισώσεις μπορούν να περιγράψουν τις πολλαπλές και αλγεβρικές ποικιλίες της τριτοβάθμιας διάστασης, με τον αριθμό των παραμέτρων να είναι ίσος με τη διάσταση του συλλέκτη ή την ποικιλία και ο αριθμός των εξισώσεων είναι ίσος με τη διάσταση του χώρου στον οποίο η πολλαπλή ή ποικιλία θεωρείται (για καμπύλες η διάσταση είναι *μία* και *μία* παράμετρος χρησιμοποιείται για επιφάνειες διάσταση *δύο* και *δύο* παράμετροι, κ. λπ.).

Οι παραμετρικές εξισώσεις που χρησιμοποιούνται συνήθως στην κινηματική, όπου η τροχιά ενός αντικειμένου που αντιπροσωπεύεται από τις εξισώσεις ανάλογα με το χρόνο ως παράμετρο. Εξαιτίας αυτής της εφαρμογής, μόνο μια παράμετρος εμφανίζεται συχνά και ονομάζεται *t* ωστόσο, οι παράμετροι μπορούν να εκπροσωπούν άλλες φυσικές ποσότητες (όπως γεωμετρικές μεταβλητές) ή μπορεί να επιλεγούν αυθαίρετα για τη διευκόλυνσή σας. Οι παραμετροποιήσεις είναι μη-μοναδικές και περισσότερα από ένα σετ παραμετρικών εξισώσεων μπορούν να εκφράσουν την ίδια καμπύλη.

Εφαρμογές
---------

### Κινηματική

Αντικείμενο της κινηματικής είναι τα μονοπάτια μέσα στο χώρο που συνήθως περιγράφονται ως παραμετρικές καμπύλες, με χωρικές συντεταγμένες, ανάλογα με την ανεξάρτητη παράμετρο (συνήθως χρόνος). Χρησιμοποιεί με αυτόν τον τρόπο, το σύνολο των παραμετρικών εξισώσεων για τις συντεταγμένες του αντικειμένου που αποτελούν συλλογικά μία διανυσματική τιμή της συνάρτησης για τη θέση. Τέτοιες παραμετρικές καμπύλες μπορούν στη συνέχεια να ενσωματώσουν και να μετασχηματίσουν τους όρους τους. Έτσι, αν η θέση ενός σωματιδίου περιγράφεται παραμετρικά ως

{\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))}
στη συνέχεια, η ταχύτητα μπορεί να βρεθεί ως

{\displaystyle u(t)=r'(t)=(x'(t),y'(t),z'(t))}
και η επιτάχυνση ως

{\displaystyle a(t)=r''(t)=(x''(t),y''(t),z''(t))}
### Μέσα σχεδιασμού στον ηλεκτρονικό υπολογιστή

Μια άλλη σημαντική χρήση των παραμετρικών εξισώσεων είναι στον τομέα των ηλεκτρονικών υπολογιστών και στα μέσα σχεδιασμού με αυτόν (CAD). Για παράδειγμα, εξετάστε τις ακόλουθες τρεις παραστάσεις, οι οποίες συνήθως χρησιμοποιούνται για να περιγράψουν επίπεδες καμπύλες.

| Τύπος (Type) | Γενική μορφή (Form) | Παράδειγμα (Example) | Περιγραφή (Description) |
| --- | --- | --- | --- |
| 1. Explicit | {\displaystyle y=f(x)\,\!} | {\displaystyle y=mx+b\,\!} | Γραμμή |
| *2. Implicit* | {\displaystyle f(x,y)=0\,\!} | {\displaystyle \left(x-a\right)^{2}+\left(y-b\right)^{2}=r^{2}} | Κύκλος |
| *3. Parametric* | {\displaystyle x={\frac {x(t)}{w(t)}}}; {\displaystyle y={\frac {y(t)}{w(t)}}} | {\displaystyle x=a\_{0}+a\_{1}t;\,\!} {\displaystyle y=b\_{0}+b\_{1}t\,\!}
{\displaystyle x=a+r\,\cos t;\,\!} {\displaystyle y=b+r\,\sin t\,\!} | Γραμμή 

Κύκλος |

Τα δύο πρώτα είδη είναι γνωστά ως αναλυτικά ή μη-παραμετρικά, αναπαραστάσεις καμπυλών, σε σύγκριση με παραμετρικές αναπαραστάσεις για χρήση σε εφαρμογές CAD, μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις έχουν ελλείψεις. Ειδικότερα, η μη-παραμετρική αναπαράσταση εξαρτάται από την επιλογή του συστήματος συντεταγμένων και δεν βοηθάει πολύ στους γεωμετρικούς μετασχηματισμούς, όπως για παράδειγμα στις περιστροφές, οι μη-παραμετρικές αναπαραστάσεις ως εκ τούτου, είναι πιο δύσκολο να δημιουργήσουν σημεία σε μια καμπύλη. Αυτά τα προβλήματα μπορούν να αντιμετωπιστούν με το γράψιμο πάλι της μη-παραμετρικής εξίσωσης σε παραμετρική μορφή.

### Ακέραια γεωμετρία

Πολλά προβλήματα στην ακέραια γεωμετρία μπορεί να λυθεί χρησιμοποιώντας παραμετρικές εξισώσεις. Μια κλασική τέτοια λύση είναι η Ευκλείδια παραμετροποίηση ορθογώνιων τριγώνων , όπως ότι τα μήκη των πλευρών *a*, *b* και υποτείνουσα *c* είναι μεταξύ τους ή σχετικά πρώτοι. Καθώς οι *a* και *b* δεν είναι πρώτοι μεταξύ τους (αλλιώς *a*, *b* και *c* δεν θα είναι πρώτοι μεταξύ τους), μπορεί κανείς να μετασχηματίσει το *a* και η παραμετροποίηση να είναι τότε

{\displaystyle a=2mn,b=m^{2}-n^{2},c=m^{2}+n^{2},}
όπου *m* και *n* είναι θετικοί πρώτοι ακέραιοι που δεν είναι τόσο περίεργο.

Πολλαπλασιάζοντας τους *a*, *b* και *c* με έναν αυθαίρετο θετικό ακέραιο, παίρνουμε μια παραμετροποίηση ορθογώνιων τριγώνων των οποίων και οι τρεις πλευρές έχουν ακέραια μήκη.

Μετασχηματισμός
---------------

Μετατρέποντας μια σειρά από παραμετρικές εξισώσεις σε μια ενιαία εξίσωση συνεπάγεται η εξάλειψη της μεταβλητής t από τις ταυτόχρονες εξισώσεις {\displaystyle x=x(t),y=y(t)}. Αυτή η διαδικασία ονομάζεται **μετασχηματισμός**. Αν μία από αυτές τις εξισώσεις μπορούν να επιλυθούν ως προς την *t*, τότε η έκφραση που προκύπτει μπορεί να υποκατασταθεί στην άλλη εξίσωση για να δημιουργηθεί μια εξίσωση που αφορά το *x* και *y* .

Αν η παραμετροποίηση δίνεται από τη ρητή συνάρτηση

{\displaystyle x=p(t)/r(t),y=q(t)/r(t),}
όπου *p*, *q*, *r* είναι σύνολο σχετικά πρώτων πολυωνύμων, με έναν συνιστάμενο υπολογισμό.

Σε υψηλότερη διάσταση (είτε περισσότερες από δύο συντεταγμένες είτε περισσότερες από μία παραμέτρους), ο μετασχηματισμός της ρητής παραμετρικής εξίσωσης μπορεί να γίνει με υπολογισμούς της βάσης Gröbner.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, δεν υπάρχει ενιαία εξίσωση σε κλειστή μορφή που είναι ισοδύναμο με τις παραμετρικές εξισώσεις.

Να πάρουμε για παράδειγμα τον κύκλο ακτίνας *α* ανωτέρω, οι παραμετρικές εξισώσεις

{\displaystyle x=a\cos(t)}
{\displaystyle y=a\sin(t)}
μπορεί να μετασχηματιστεί σε όρους των *x* και *y* με τη Πυθαγόρεια τριγωνομετρική ταυτότητα:

Όπως

{\displaystyle x/a=\cos(t)}
{\displaystyle y/a=\sin(t)}
και

{\displaystyle \cos(t)^{2}+\sin(t)^{2}=1,}
έχουμε

{\displaystyle (x/a)^{2}+(y/a)^{2}=1,}
και έτσι

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=a^{2},}
που είναι η τυπική εξίσωση του κύκλου με κέντρο την αρχή των αξόνων.

Παραδείγματα σε δύο διαστάσεις
------------------------------

### Παραβολή

Η απλούστερη εξίσωση για μια παραβολή,

{\displaystyle y=x^{2}}
μπορεί να παραμετροποιηθεί, χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη παράμετρο *t*, και

{\displaystyle x=t,y=t^{2}} για {\displaystyle -\infty <t<\infty .}
### Ρητές εξισώσεις

Γενικότερα, κάθε καμπύλη που δίνεται από μία ρητή εξίσωση

y=f(x)
μπορεί να παραμετροποιηθεί, χρησιμοποιώντας μια ελεύθερη παράμετρο *t*, και

{\displaystyle x=t,y=f(t)} για {\displaystyle -\infty <t<\infty .}
### Κύκλος

Ένα πιο εξελιγμένο παράδειγμα είναι το ακόλουθο. Θεωρούμε το μοναδιαίο κύκλο που περιγράφεται από τη κοινή (Καρτεσιανή) εξίσωση

x^{2}+y^{2}=1
Η εξίσωση αυτή μπορεί να παραμετροποιηθεί ως εξής:

{\displaystyle (\cos(t),\sin(t))} για {\displaystyle 0\leq t<2\pi }
Με την Καρτεσιανή εξίσωση είναι πιο εύκολο να ελέγξετε αν ένα σημείο βρίσκεται πάνω στον κύκλο ή όχι. Με την παραμετρική έκδοση είναι πιο εύκολο να ερευνήσει κανείς αν υπάρχουν σημεία σε ένα γράφημα.

Σε ορισμένες περιπτώσεις, οι παραμετρικές εξισώσεις που αφορούν μόνο τη ρητή συνάρτηση (που είναι το κλάσμα των δύο πολυωνύμων) προτιμώνται, αν υπάρχουν. Στην περίπτωση του κύκλου, μια τέτοια *παραμετροποίηση* είναι

{\displaystyle x=(1-t^{2})/(1+t^{2})}
{\displaystyle y=2t/(1+t^{2})}
Με αυτή την παραμετρική εξίσωση, το σημείο (-1, 0) δεν αντιπροσωπεύεται από μια πραγματική τιμή του *t*, αλλά από το όριο των *x* και *y* όταν το *t* τείνει στο άπειρο.

### Έλλειψη

Μια έλλειψη στην κανονική της μορφή (κέντρο προέλευσης, με κύριο άξονα κατά μήκος του *X*-άξονα) με ημι-άξονες *a* και *b* μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως

{\displaystyle x=a\cos(t)}
{\displaystyle y=b\sin(t).}
Μια έλλειψη σε γενική μορφή μπορεί να εκφραστεί ως

{\displaystyle x=X\_{c}+a\cos(t)\cos(\varphi )-b\sin(t)\sin(\varphi )}
{\displaystyle y=Y\_{c}+a\cos(t)\sin(\varphi )+b\sin(t)\cos(\varphi )}
καθώς η παράμετρος *t* ποικίλλει από 0 μέχρι 2*d*. Εδώ το {\displaystyle (X\_{c},Y\_{c})} είναι το κέντρο της έλλειψης, και \varphi  είναι η γωνία μεταξύ του X-άξονα και του μεγάλου άξονα της έλλειψης.

Και οι δύο μετασχηματισμοί μπορούν να γίνουν με τη ρητή συνάρτηση χρησιμοποιώντας την εφαπτομένη της μισής γωνίας και {\displaystyle \tan(t/2)=u}.

### Lissajous Καμπύλη

Μία Lissajous καμπύλη είναι παρόμοια με μια έλλειψη, αλλά τα x και y των ημιτονοειδών δεν είναι σε φάση. Σε κανονική θέση, η Lissajous καμπύλη δίνεται από

{\displaystyle x=a\cos(k\_{x}t)}
{\displaystyle y=b\sin(k\_{y}t)}
πού {\displaystyle k\_{x}} και {\displaystyle k\_{y}} είναι σταθερές που περιγράφουν τον αριθμό των λοβών στο σχήμα.

### Υπερβολή

Το άνοιγμα Ανατολής-δύσης μιας υπερβολής μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά από

{\displaystyle x=a\sec(t)+h}

{\displaystyle y=b\tan(t)+k}

ή, λογικά
{\displaystyle x=a(1+t^{2})/(1-t^{2})+h}
{\displaystyle y=2bt/(1-t^{2})+k}
Το άνοιγμα Βορρά-νότου μιας υπερβολής μπορεί να παρασταθεί παραμετρικά ως

{\displaystyle x=b\tan(t)+h}
{\displaystyle y=a\sec(t)+k}

ή, λογικά
{\displaystyle x=2bt/(1-t^{2})+h}
{\displaystyle y=a(1+t^{2})/(1-t^{2})+k}
Όλα τα ζεύγη συντεταγμένων (*h*,*k*) είναι το κέντρο της υπερβολής, *ένα* είναι το μήκος του ημι-μεγάλου άξονα, και *b* είναι το μήκος του ημι-μικρού άξονα.

### Hypotrochoid

Ένα hypotrochoid είναι μια καμπύλη που διαγράφεται από ένα σημείο που επισυνάπτεται σε ένα κύκλο ακτίνας *r* γύρω από το τροχαίο μέσo από ένα σταθερό κύκλο ακτίνας *R*, όπου το θέμα είναι σε απόσταση *d* από το κέντρο του εσωτερικού κύκλου. 

* Ένα hypotrochoid για το οποίο r = dΈνα hypotrochoid για το οποίο r = d
* Ένα hypotrochoid για το οποίο R = 5, r = 3, d = 5Ένα hypotrochoid για το οποίο R = 5, r = 3, d = 5

Οι παραμετρικές εξισώσεις για την hypotrochoids είναι:

{\displaystyle x(\vartheta )=(R-r)\cos(\vartheta )+d\cos((R-r)\vartheta )/r}
{\displaystyle y(\vartheta )=(R-r)\sin(\vartheta )-d\sin((R-r)\vartheta )/r}
### Ορισμένες εξελιγμένες συναρτήσεις

Άλλα παραδείγματα:

{\displaystyle x=[a-b]\cos(t)+b\cos[t(a/b-1)]}
{\displaystyle y=[a-b]\sin(t)-b\sin[t(a/b-1)],k=a/b}
{\displaystyle x=\cos(at)-\cos(bt)^{j}}
{\displaystyle y=\sin(ct)-\sin(dt)^{k}}
Πολλές γραφικές παραστάσεις με την παραλλαγή του k
* j=3 k=3j=3 k=3
* j=3 k=3j=3 k=3
* j=3 k=4j=3 k=4
* j=3 k=4j=3 k=4
* j=3 k=4j=3 k=4

{\displaystyle x=i\cos(at)-\cos(bt)\sin(ct)}
{\displaystyle y=j\sin(dt)-\sin(et)}
{\displaystyle }* i=1 j=2i=1 j=2

Παραδείγματα σε τρεις διαστάσεις
--------------------------------

### Έλικες

Παραμετρική helix
Οι παραμετρικές εξισώσεις είναι κατάλληλες για την περιγραφή των καμπυλών στις μεγαλύτερων διαστάσεων χώρους. Για παράδειγμα:

{\displaystyle x=a\cos(t)}
{\displaystyle y=a\sin(t)}
{\displaystyle z=bt}
περιγράφει μια τρισδιάστατη καμπύλη, οι έλικες, με ακτίνα *α* και αύξηση 2πb μονάδες ανά σειρά. Σημειώνεται ότι οι εξισώσεις είναι ίδιες στο επίπεδο με εκείνες για ένα κύκλο.
Εκφράσεις όπως το παραπάνω συνήθως γράφεται ως

{\displaystyle r(t)=(x(t),y(t),z(t))=(a\cos(t),a\sin(t),bt),}
όπου **r** είναι ένα τρισδιάστατο διάνυσμα.

### Παραμετρικές επιφάνειες

Ένας τόρος με μεγάλη ακτίνα *R* και μικρή ακτίνα *r* μπορεί να ορίζεται παραμετρικά ως

{\displaystyle x=\cos(t)[R+r\cos(u)],}
{\displaystyle y=\sin(t)[R+r\cos(u)],}
{\displaystyle z=r\sin(t)}
όπου οι δύο παράμετροι t και u διαφέρουν και οι δύο μεταξύ 0 και 2p.

* R=2, r=1/2R=2, r=1/2

Καθώς το u ποικίλλει από 0 έως 2p το σημείο στην επιφάνεια κινήσεις για ένα σύντομο κύκλο που διέρχεται από την τρύπα του τόρου. Καθώς το t ποικίλλει από 0 έως 2p το σημείο στην επιφάνεια κινήσεις για ένα μεγάλο κύκλο γύρω από την τρύπα του τόρου.

Δείτε επίσης
------------

* Καμπύλη
* Παραμετρική εκτίμηση
* Θέση διάνυσμα
* Vector-valued function
* Παραμετροποίηση από το μήκος του τόξου
* Παραμετρική παράγωγο

Σημειώσεις
----------

1. ↑  Weisstein, Eric W. «Parametric Equations». *MathWorld*.
2. ↑  Thomas, George B.· Finney, Ross L. (1979). *Calculus and Analytic Geometry* (fifth έκδοση). Addison-Wesley. σελ. 91.
3. ↑  Weisstein, Eric W. «Parameterization». *MathWorld*.
4. ↑  Spitzbart, Abraham (1975). *Calculus with Analytic Geometry*. Gleview, IL: Scott, Foresman and Company. ISBN 0-673-07907-4. Ανακτήθηκε στις 30 Αυγούστου 2015.
5. ↑  Stewart, James (2003). *Calculus* (5th έκδοση). Belmont, CA: Thomson Learning, Inc. σελίδες 687–689. ISBN 0-534-39339-X.
6. ↑  Shah, Jami J.· Martti Mantyla (1995). *Parametric and feature-based CAD/CAM: concepts, techniques, and applications*. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. σελίδες 29–31. ISBN 0-471-00214-3.
7. ↑  See "Equation form and Parametric form conversion" for more information on converting from a series of parametric equations to single function.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Graphing Software στο Curlie
* Web εφαρμογή για να σχεδιάσετε παραμετρικές καμπύλες στο αεροπλάνο