Διάγραμμα που αιτιολογεί την ανισότητα Μπουλ για τρία γεγονότα {\displaystyle A\_{1},A\_{2},A\_{3}}. Κάθε τομή των γεγονότων μετριέται τουλάχιστον από μία φορά από το άθροισμα {\displaystyle \Pr(A\_{1})+\Pr(A\_{2})+\Pr(A\_{3})}, επομένως είναι μεγαλύτερο από την πιθανότητα της ένωσης {\displaystyle \Pr(A\_{1}\cup A\_{2}\cup A\_{3})}.
Στην θεωρία πιθανοτήτων, η **ανισότητα Μπουλ** ή **ιδιότητα της υποπροσθετικότητας** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Boole**) λέει ότι για ένα σύνολο από γεγονότα, η πιθανότητα να συμβεί τουλάχιστον ένα από αυτά είναι το πολύ όσο το άθροισμα της πιθανότητας να συμβεί το κάθε γεγονός ξεχωριστά. Πιο συγκεκριμένα, για κάθε n γεγονότα {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{n}}, ισχύει ότι:307:146:26:39

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i}).}
Πιο γενικά, για κάθε αριθμήσιμο σύνολο γεγονότων {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\ldots } ισχύει ότι

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\leq \sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i}).}

Αποδείξεις
----------

### Περίπτωση n=2

Για την περίπτωση {\displaystyle n=2} γεγονότων, θέλουμε να δείξουμε ότι 

{\displaystyle \Pr(A\_{1})+\Pr(A\_{2})\geq \Pr(A\_{1}\cup A\_{2}).}
Από την ταυτότητα για την ένωση δύο γεγονότων έχουμε ότι 

{\displaystyle \Pr(A\_{1}\cup A\_{2})=\Pr(A\_{1})+\Pr(A\_{2})-\Pr(A\_{1}\cap A\_{2}).}
Επειδή, η πιθανότητα {\displaystyle \Pr(A\_{1}\cap A\_{2})\geq 0}, ισχύει ότι

{\displaystyle 0\leq \Pr(A\_{1})+\Pr(A\_{2})-\Pr(A\_{1}\cup A\_{2}),}
που συνεπάγεται ότι 

{\displaystyle \Pr(A\_{1}\cup A\_{2})\leq \Pr(A\_{1})+\Pr(A\_{2}),}
το οποίο είναι και το ζητούμενο.

### Για κάθε n (μαθηματική επαγωγή)

Θα αποδείξουμε με την χρήση της μαθηματικής επαγωγής ότι ισχύει για οποιαδήποτε {\displaystyle n\geq 1} στο πλήθος γεγονότα. 

**Βασική περίπτωση:** Για {\displaystyle n=1}, η ανισότητα ισχύει ως ισότητα για κάθε γεγονός {\displaystyle A\_{1}}, δηλαδή {\displaystyle \Pr(A\_{1})\leq \Pr(A\_{1})}.

**Επαγωγικό βήμα:** Θεωρούμε ότι ισχύει για {\displaystyle n=k} γεγονότα. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει για {\displaystyle n=k+1} γεγονότα {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{k+1}}. Ξεκινάμε με το αριστερό μέλος,

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{k+1}A\_{i}\right)=\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{k}A\_{i}\cup A\_{k+1}\right)\leq \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{k}A\_{i}\right)+\Pr(A\_{k+1}),}
από την παραπάνω περίπτωση για {\displaystyle n=2}. Χρησιμοποιώντας την επαγωγική υπόθεση για τα γεγονότα {\displaystyle A\_{1},\ldots ,A\_{k}} έχουμε ότι

{\displaystyle {\phantom {\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{k+1}A\_{i}\right)}}\leq \sum \_{i=1}^{k}\Pr(A\_{i})+\Pr(A\_{k+1})}
{\displaystyle {\phantom {\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{k+1}A\_{i}\right)}}=\sum \_{i=1}^{k+1}\Pr(A\_{i}).}
Επομένως, ισχύει και για {\displaystyle n=k+1} και συνεπώς για κάθε {\displaystyle n\in \mathbb {N} \_{+}}.

### Για κάθε αριθμήσιμο πλήθος

Η παραπάνω απόδειξη ισχύει για πεπερασμένο πλήθος γεγονότων. Τώρα θα αποδείξουμε την ανισότητα για κάθε αριθμήσιμο πλήθος γεγονότων {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\ldots }. Ορίζουμε τα γεγονότα {\displaystyle B\_{1},B\_{2},\ldots } ως εξής:

{\displaystyle B\_{i}={\begin{cases}A\_{1}&{\text{αν }}i=1\\A\_{i}\setminus \bigcup \_{j=1}^{i-1}A\_{j}&{\text{διαφορετικά}},\end{cases}}}
έτσι ώστε να είναι ανεξάρτητα {\displaystyle B\_{i}\cap B\_{j}=\emptyset } για i\neq j και {\displaystyle B\_{i}\subseteq A\_{i}}. Συνεπώς, από το αξίωμα για την πιθανότητα ανεξάρτητων γεγονότων

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }A\_{i}\right)=\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{\infty }B\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{\infty }\Pr(B\_{i})\leq \sum \_{i=1}^{\infty }\Pr(A\_{i}),}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \Pr(B\_{i})\leq \Pr(A\_{i})} καθώς {\displaystyle B\_{i}\subseteq A\_{i}}. Επομένως, έπεται η ανισότητα.

Παραδείγματα
------------

### Απλό παράδειγμα

Έστω ότι η πιθανότητα να βρέξει αύριο στην Αθήνα είναι {\displaystyle p\_{1}=0.1} και η πιθανότητα να βρέξει αύριο στην Θεσσαλονίκη είναι {\displaystyle p\_{2}=0.2}. Τότε η ανισότητα Μπουλ δίνει ότι η πιθανότητα να βρέξει σε μία από τις δύο πόλεις είναι το πολύ {\displaystyle p\_{1}+p\_{2}=0.1+0.2=0.3}.

Παρατηρήστε ότι δεν κάναμε καμία υπόθεση ότι τα γεγονότα είναι ανεξάρτητα. Αλλά αν οι πιθανότητες ήταν μεγαλύτερες, για παράδειγμα {\displaystyle p\_{1}=0.6} και {\displaystyle p\_{2}=0.8}, τότε η ανισότητα Μπουλ θα μας έδινε ότι η πιθανότητα να βρέξει σε κάποιο από τα δύο μέρη είναι το πολύ {\displaystyle p\_{1}+p\_{2}=0.6+0.8=1.4}, που δεν είναι χρήσιμο καθώς γνωρίζουμε ήδη ότι κάθε πιθανότητα είναι το πολύ 1.

### Πρόβλημα συλλέκτη κουπονιών

Στο πρόβλημα του συλλέκτη κουπονιών, υπάρχουν n είδη από κουπόνια και σε κάθε στιγμή ο συλλέκτης λαμβάνει ένα καινούργιο κουπόνι τυχαία από τα n διαθέσιμα είδη. Χρησιμοποιώντας την ανισότητα Μπουλ, μπορούμε να δείξουμε ότι με μεγάλη πιθανότητα μετά από {\displaystyle T=2n\log n} βήματα ο συλλέκτης θα έχει συλλέξει όλα τα κουπόνια.

Έστω {\displaystyle A\_{i}} το γεγονός ότι το i-οστό τύπου κουπόνι δεν έχει συλλεχθεί στα πρώτα T βήματα. Τότε


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle p=\Pr(}ο συλλέκτης μάζεψε όλα τα κουπόνια στα T πρώτα βήματα{\displaystyle )=\Pr \left(\neg \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)=1-\Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right).} | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Χρησιμοποιώντας την ανισότητα του Μπουλ έχουμε ότι 

{\displaystyle p\geq 1-\sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i}),}
και επομένως μένει να φράξουμε την πιθανότητα {\displaystyle \Pr(A\_{i})}. Για να μην συλλέξουμε το κανένα κουπόνι είδους i σημαίνει ότι σε κάθε ένα από τα {\displaystyle T=2n\log n} βήματα διαλέξαμε κάποιο άλλο από τα {\displaystyle n-1} κουπόνια. Επομένως, αφού οι επιλογές στα βήματα είναι ανεξάρτητες 

{\displaystyle \Pr(A\_{i})=\left({\frac {n-1}{n}}\right)^{T}=\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{2n\log n}\leq \left(e^{-1/n}\right)^{-2n\log n}=e^{2\log n}=n^{-2}={\frac {1}{n^{2}}},}
όπου χρησιμοποιήσαμε ότι {\displaystyle 1+x\leq e^{x}} για κάθε {\displaystyle x\in \mathbb {R} } και ότι {\displaystyle e^{x\log n}=n^{x}} για κάθε {\displaystyle x\in \mathbb {R} }.

Επομένως, επιστρέφοντας στην (**1**) έχουμε ότι

{\displaystyle p\geq 1-\sum \_{i=1}^{n}\Pr(A\_{i})\geq 1-n\cdot {\frac {1}{n^{2}}}=1-{\frac {1}{n}},}
που ολοκληρώνει την απόδειξη ότι με "μεγάλη πιθανότητα" ο συλλέκτης θα έχει μαζέψει όλων των ειδών τα κουπόνια στα πρώτα T βήματα. Συγκεκριμένα όσο μεγαλώνει το n τόσο μεγαλώνει και η πιθανότητα.

Εφαρμογές
---------

Στην θεωρητική πληροφορική και συγκεκριμένα στην ανάλυση πιθανοτικών αλγορίθμων, η ανισότητα Μπουλ χρησιμοποιείται συχνά για να φράξει την πιθανότητα ένας αλγόριθμος να αποτύχει ή να χρειάζεται πολύ χρόνο να καταλήξει στην σωστή απάντηση.

Κάτω φράγμα
-----------

Στην ίδια εργασία του Τζορτζ Μπουλ παρουσιάζεται και το εξής κάτω φράγμα για την πιθανότητα της ένωσης γεγονότων:

{\displaystyle \Pr \left(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}\right)\geq \max \_{j=1,\ldots ,n}\Pr(A\_{j}),}
χρησιμοποιώντας ότι αφού {\displaystyle \textstyle A\_{j}\subseteq \bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i}}, έχουμε ότι {\displaystyle \textstyle \Pr(A\_{j})\subseteq \Pr(\bigcup \_{i=1}^{n}A\_{i})} για κάθε {\displaystyle j=1,\ldots ,n}, άρα και για το γεγονός με την μέγιστη πιθανότητα.

Ιστορία
-------

Η ανισότητα καλείται και ως ανισότητα Μπουλ από τον Τζορτζ Μπουλ.

Δείτε επίσης
------------

* Ανισότητες Μπονφερρόνι

Παραπομπές
----------

1. 1 2 3  Boole, George (1854). *textsAn investigation of the laws of thought*. New York: Dover.
2. ↑  Νικολετσεας, Σωτήρης Ε.· Σπυράκης, Παύλος Γ. (2003). *Στοιχεία της πιθανοτικής μεθόδου* (PDF). Gutenberg.
3. ↑  Πανάρετος, Ιωάννης. «Εισαγωγή στις πιθανότητες» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 16 Σεπτεμβρίου 2022.
4. ↑  Μπούτσικας, Μιχαήλ. «Βασικές Έννοιες - Προτάσεις Θεωρίας Πιθανοτήτων» (PDF). Τμήμα Στατιστικής και Ασφαλιστικής Επιστήμης, Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 8 Σεπτεμβρίου 2014. Ανακτήθηκε στις 16 Σεπτεμβρίου 2022.
5. ↑  Stirzaker, David (2003). *Elementary probability* (2η έκδοση). Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN 9780511755309.
6. ↑  Motwani, Rajeev. *Randomized algorithms*. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521474658.
7. ↑  Mitzenmacher, Michael. *Probability and computing : randomization and probabilistic techniques in algorithms and data analysis* (2η έκδοση). Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1107154889.
8. ↑  Hoppe, Fred M.; Seneta, Eugene (2012). «Gumbel's Identity, Binomial Moments, and Bonferroni Sums». *International Statistical Review* **80** (2): 269-292. .