Ο τετραγωνικός αριθμός 16, εκφρασμένος ως το άθροισμα γνωμόνων.
Στα μαθηματικά, **τετραγωνικός αριθμός** ή **τέλειο τετράγωνο** είναι ένας ακέραιος που είναι το τετράγωνο ενός άλλου ακέραιου αριθμού. Με άλλα λόγια, είναι το γινόμενο κάποιου ακέραιου με τον εαυτό του. Για παράδειγμα, το 9 είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, αφού ισούται με 32 και μπορεί να γραφτεί ως 3 × 3.

Ο συνηθισμένος συμβολισμός για το τετράγωνο ενός αριθμού n δεν είναι το γινόμενο *n* × *n*, αλλά η δύναμη *n*2, που συνήθως προφέρεται ως "n τετράγωνο". Το όνομα *τετραγωνικός* αριθμός προέρχεται από το όνομα του ίδιου του σχήματος. Το μοναδιαίο εμβαδόν ορίζεται ως το εμβαδόν ενός μοναδιαίου τετραγώνου (1 × 1). Επομένως, ένα τετράγωνο με μήκος πλευράς n έχει εμβαδόν *n*2. Εάν ένας τετραγωνικός αριθμός αντιπροσωπεύεται από n σημεία, τα σημεία μπορούν να ταξινομηθούν σε σειρές, ώστε κάθε πλευρά του τετραγώνου να έχει τον ίδιο αριθμό σημείων με την τετραγωνική ρίζα του n.

Στους πραγματικούς αριθμούς, οι τετραγωνικοί αριθμοί είναι μη αρνητικοί. Ένας μη αρνητικός ακέραιος είναι τετραγωνικός αριθμός, όταν η τετραγωνική του ρίζα είναι επίσης ακέραιος. Για παράδειγμα, {\displaystyle {\sqrt {9}}=3,} οπότε το 9 είναι ένας τετραγωνικός αριθμός.

  

Για έναν μη αρνητικό ακέραιο n, ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός είναι το *n*2, με το 02 = 0 να είναι ο μηδενικός τετραγωνικός αριθμός. Η έννοια του τετραγώνου μπορεί να επεκταθεί και σε άλλα αριθμητικά συστήματα. Εάν συμπεριληφθούν οι ρητοί αριθμοί, τότε ένας τετραγωνικός αριθμός είναι ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων και, αντιστρόφως, ο λόγος δύο τετραγωνικών ακεραίων είναι ένας τετραγωνικός αριθμός, για παράδειγμα: {\displaystyle \textstyle {\frac {4}{9}}=\left({\frac {2}{3}}\right)^{2}}.

Ξεκινώντας από το 1, υπάρχουν {\displaystyle \lfloor {\sqrt {m}}\rfloor } τετραγωνικοί αριθμοί μέχρι, και συμπεριλαμβανομένου, το m, όπου το {\displaystyle \lfloor x\rfloor } αντιπροσωπεύει τη συνάρτηση δαπέδου (ή συνάρτηση μέγιστου ακεραίου) του αριθμού x.

Παραδείγματα
------------

Οι τετραγωνικοί αριθμοί (ακολουθία A000290 στην OEIS) που είναι μικρότεροι από το 602=3600 είναι:

02 = 0
12 = 1
22 = 4
32 = 9
42 = 16
52 = 25
62 = 36
72 = 49
82 = 64
92 = 81

102 = 100
112 = 121
122 = 144
132 = 169
142 = 196
152 = 225
162 = 256
172 = 289
182 = 324
192 = 361

202 = 400
212 = 441
222 = 484
232 = 529
242 = 576
252 = 625
262 = 676
272 = 729
282 = 784
292 = 841

302 = 900
312 = 961
322 = 1024
332 = 1089
342 = 1156
352 = 1225
362 = 1296
372 = 1369
382 = 1444
392 = 1521

402 = 1600
412 = 1681
422 = 1764
432 = 1849
442 = 1936
452 = 2025
462 = 2116
472 = 2209
482 = 2304
492 = 2401

502 = 2500
512 = 2601
522 = 2704
532 = 2809
542 = 2916
552 = 3025
562 = 3136
572 = 3249
582 = 3364
592 = 3481
Η διαφορά μεταξύ οποιουδήποτε τέλειου τετραγώνου και του προκατόχου του δίνεται από την ταυτότητα *n*2 − (*n* − 1)2 = 2*n* − 1. Ισοδύναμα, μπορούμε να μετρήσουμε τους τετραγωνικούς αριθμούς προσθέτοντας το τελευταίο τετράγωνο, τη ρίζα του τελευταίου τετραγώνου και την τρέχουσα ρίζα, δηλαδή: *n*2 = (*n* − 1)2 + (*n* − 1) + *n*.

Υπάρχουν άπειροι τετραγωνικοί αριθμοί, όπως υπάρχουν και άπειροι φυσικοί αριθμοί.

Ιδιότητες
---------

Ο αριθμός m είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν μπορούμε να συνθέσουμε ένα τετράγωνο από m ίσα (μικρότερα) τετράγωνα:

|  |  |
| --- | --- |
| *m* = 12 = 1 |  |
| *m* = 22 = 4 |  |
| *m* = 32 = 9 |  |
| *m* = 42 = 16 |  |
| *m* = 52 = 25 |  |

Η έκφραση για τον n-οστό τετραγωνικό αριθμό είναι *n*2. Αυτό είναι επίσης ίσο με το άθροισμα των πρώτων n περιττών αριθμών, όπως φαίνεται στις παραπάνω εικόνες, όπου ένα τετράγωνο προκύπτει από το προηγούμενο με την προσθήκη ενός περιττού αριθμού σημείων (με ματζέντα). Ο τύπος είναι ο εξής:



n

2

=

∑

k
=
1

n

(
2
k
−
1
)
.

{\displaystyle n^{2}=\sum \_{k=1}^{n}(2k-1).}

{\displaystyle n^{2}=\sum _{k=1}^{n}(2k-1).}Έτσι, για παράδειγμα, 52 = 25 = 1 + 3 + 5 + 7 + 9.

 Το άθροισμα των πρώτων *n* περιττών ακεραίων είναι *n*2. 1 + 3 + 5 + ... + (2*n* − 1) = *n*2. Τρισδιάστατη κινούμενη απεικόνιση σε ένα τετράεδρο.
Υπάρχουν πολλοί αναδρομικοί μέθοδοι για τον υπολογισμό των τετραγωνικών αριθμών. Για παράδειγμα, ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από τον προηγούμενο, με τον τύπο: *n*2 = (*n* − 1)2 + (*n* − 1) + n = (*n* − 1)2 + (2*n* − 1). Εναλλακτικά, ο n-οστός τετραγωνικός αριθμός μπορεί να υπολογιστεί από τους δύο προηγούμενους, με τον τύπο: *n*2 = 2(*n* − 1)2 − (*n* − 2)2 + 2. Για παράδειγμα,

2 × 52 − 42 + 2 = 2 × 25 − 16 + 2 = 50 − 16 + 2 = 36 = 62.

Το τετράγωνο ενός αριθμού m μείον ένα είναι πάντα το γινόμενο του {\displaystyle m-1} και του {\displaystyle m+1}, δηλαδή:



m

2

−
1
=
(
m
−
1
)
(
m
+
1
)
.

{\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}

{\displaystyle m^{2}-1=(m-1)(m+1).}Για παράδειγμα, αφού 72 = 49, ισχύει ότι {\displaystyle 6\times 8=48}. Εφόσον ένας πρώτος αριθμός έχει διαιρέτες μόνο το 1 και τον εαυτό του, και αφού το *m* = 2 είναι η μόνη μη μηδενική τιμή του *m* η οποία μπορεί να δώσει ως παράγοντα το 1 στη δεξιά πλευρά της παραπάνω εξίσωσης, συμπεραίνουμε ότι το 3 είναι ο μόνος πρώτος αριθμός που είναι ένα λιγότερο από έναν τετραγωνικό αριθμό (3 = 22 − 1).

Γενικότερα, η διαφορά των τετραγώνων δύο αριθμών είναι το γινόμενο του αθροίσματος και της διαφοράς τους. Δηλαδή,


a

2

−

b

2

=
(
a
+
b
)
(
a
−
b
)

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}

{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a+b)(a-b)}
Αυτός είναι ο τύπος διαφοράς τετραγώνων, ο οποίος μπορεί να είναι χρήσιμος και για νοητική αριθμητική: για παράδειγμα, η πράξη 47 × 53 μπορεί εύκολα να υπολογιστεί ως εξής: 502 − 32 = 2500 − 9 = 2491.

Ένας τετραγωνικός αριθμός είναι επίσης το άθροισμα δύο διαδοχικών τριγωνικών αριθμών.

Μια άλλη ιδιότητα ενός τετραγωνικού αριθμού είναι ότι (εκτός από το 0) έχει περιττό αριθμό θετικών διαιρετών, ενώ οι άλλοι φυσικοί αριθμοί έχουν άρτιο αριθμό θετικών διαιρετών. Μια ακέραιη ρίζα είναι ο μόνος διαιρέτης που ενώνεται με τον εαυτό του για να δώσει έναν τετραγωνικό αριθμό, ενώ οι άλλοι διαιρέτες έρχονται σε ζεύγη.

Το θεώρημα των τεσσάρων τετραγώνων του Λαγκράνζ δηλώνει ότι οποιοσδήποτε θετικός ακέραιος μπορεί να γραφτεί ως το άθροισμα τεσσάρων ή λιγότερων τέλειων τετραγώνων. Τρία τετράγωνα δεν επαρκούν για αριθμούς της μορφής 4*k*(8*m* + 7). Ένας θετικός ακέραιος μπορεί να αναπαρασταθεί ως το άθροισμα ακριβώς δύο τετραγώνων, εάν η πρωτογενής ανάλυσή του δεν περιέχει περιττές δυνάμεις πρώτων αριθμών της μορφής 4*k* + 3.

Στη βάση 10, ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τα ψηφία 0, 1, 4, 5, 6 ή 9, ως εξής:

* Εάν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 0, το τετράγωνό του τελειώνει σε ζυγό αριθμό 0 (άρα τουλάχιστον 00) και τα ψηφία που προηγούνται των 0 πρέπει επίσης να σχηματίζουν τετράγωνο.
* Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 1 ή το 9, το τετράγωνό του τελειώνει σε 1 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
* Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 2 ή το 8, το τετράγωνό του τελειώνει σε 4 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι άρτιο.
* Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 3 ή το 7, το τετράγωνό του τελειώνει σε 9 και ο αριθμός που σχηματίζεται από τα προηγούμενα ψηφία του πρέπει να διαιρείται με το τέσσερα.
* Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 4 ή το 6, το τετράγωνό του τελειώνει σε 6 και το προηγούμενο ψηφίο πρέπει να είναι περιττό.
* Αν το τελευταίο ψηφίο ενός αριθμού είναι το 5, το τετράγωνό του τελειώνει σε 25 και τα προηγούμενα ψηφία πρέπει να είναι 0, 2, 06 ή 56.

Στη βάση 12, ένας τετραγωνικός αριθμός μπορεί να τελειώνει μόνο με τετραγωνικά ψηφία, δηλαδή 0, 1, 4 ή 9, ως εξής:

* Αν ένας αριθμός διαιρείται και με το 2 και με το 3 (δηλαδή διαιρείται με το 6), το τετράγωνό του τελειώνει σε 0 και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι 0 ή 3.
* Αν ένας αριθμός δεν διαιρείται ούτε με το 2 ούτε με το 3, το τετράγωνό του τελειώνει σε 1 και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι άρτιο.
* Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 2, αλλά όχι με το 3, το τετράγωνό του τελειώνει σε 4 και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι 0, 1, 4, 5, 8 ή 9.
* Αν ένας αριθμός διαιρείται με το 3, αλλά όχι με το 2, το τετράγωνό του τελειώνει σε 9 και το προηγούμενο ψηφίο του πρέπει να είναι 0 ή 6.

Παρόμοιοι κανόνες μπορούν να δοθούν και για άλλες βάσεις ή και για προηγούμενα ψηφία (για παράδειγμα, για τις δεκάδες αντί για τις μονάδες). Όλοι αυτοί οι κανόνες μπορούν να αποδειχθούν ελέγχοντας έναν σταθερό αριθμό περιπτώσεων και χρησιμοποιώντας τηναριθμητική υπολοίπων.

Σε γενικές γραμμές, εάν ένας πρώτος αριθμός *p* διαιρεί έναν τετραγωνικό αριθμό *m*, τότε το τετράγωνο του p πρέπει επίσης να διαιρεί το m. Αν το p δεν διαιρεί το *m*/*p*, τότε το *m* σίγουρα δεν είναι τέλειο τετράγωνο. Επαναλαμβάνοντας τις διαιρέσεις της προηγούμενης πρότασης, μπορούμε να συμπεράνουμε ότι κάθε πρώτος αριθμός πρέπει να διαιρεί ένα δεδομένο τέλειο τετράγωνο άρτιο αριθμό φορών. Έτσι, ο αριθμός *m* είναι ένας τετραγωνικός αριθμός αν και μόνο αν, στην κανονική του αναπαράσταση, όλοι οι εκθέτες είναι άρτιοι.

Ο έλεγχος ενός τέλειου τετραγώνου μπορεί να χρησιμοποιηθεί και ως εναλλακτικός τρόπος παραγοντοποίησης μεγάλων αριθμών. Αντί να ελέγξουμε τη διαιρετότητα, μπορούμε να δοκιμάσουμε το τετράγωνο: για δεδομένο αριθμό m και κάποιον αριθμό *k*, αν το *k*2 − *m* είναι το τετράγωνο ενός ακέραιου αριθμού *n*, τότε το *k* − *n* διαιρεί το m (αυτή είναι μια εφαρμογή της διαφοράς τετραγώνων). Για παράδειγμα, το 1002 − 9991 είναι το τετράγωνο του 3, επομένως το 100 − 3 διαιρεί το 9991. Αυτό το τεστ είναι ντετερμινιστικό για περιττούς διαιρέτες στο διάστημα από *k* − *n* έως *k* + *n*, όπου το k καλύπτει κάποιο εύρος φυσικών αριθμών {\displaystyle k\geq {\sqrt {m}}.}

Το άθροισμα των πρώτων *n* τετραγωνικών αριθμών είναι:


∑

n
=
0

N

n

2

=

0

2

+

1

2

+

2

2

+

3

2

+

4

2

+
⋯
+

N

2

=

N
(
N
+
1
)
(
2
N
+
1
)

6

.

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}

{\displaystyle \sum _{n=0}^{N}n^{2}=0^{2}+1^{2}+2^{2}+3^{2}+4^{2}+\cdots +N^{2}={\frac {N(N+1)(2N+1)}{6}}.}

Οι πρώτες τιμές αυτών των αθροισμάτων, οι τετραγωνικοί πυραμιδικοί αριθμοί, είναι: (ακολουθία A000330 στην OEIS)

> 0, 1, 5, 14, 30, 55, 91, 140, 204, 285, 385, 506, 650, 819, 1015, 1240, 1496, 1785, 2109, 2470, 2870, 3311, 3795, 4324, 4900, 5525, 6201...
> 
> 

 Απόδειξη χωρίς λέξεις για το θεώρημα αθροίσματος περιττών αριθμών
Το άθροισμα των πρώτων περιττών ακεραίων, ξεκινώντας από το ένα, είναι ένα τέλειο τετράγωνο: 1, 1 + 3, 1 + 3 + 5, 1 + 3 + 5 + 7, κ.λπ. Αυτό εξηγεί και τον νόμο του Γαλιλαίου για τους περιττούς αριθμούς: εάν ένα σώμα που πέφτει από ηρεμία καλύψει μία μονάδα απόστασης στο πρώτο αυθαίρετο χρονικό διάστημα, θα καλύψει 3, 5, 7, κ.λπ. μονάδες απόστασης στα επόμενα χρονικά διαστήματα του ίδιου μήκους. Αυτό βγαίνει από τον τύπο {\displaystyle s=ut+{\tfrac {1}{2}}at^{2}}, για *u* = 0 και για μια σταθερά *a* (επιτάχυνση λόγω βαρύτητας χωρίς αντίσταση αέρα). Οπότε, το *s* είναι ανάλογο του *t*2 και η απόσταση από το σημείο εκκίνησης είναι διαδοχικά τετράγωνα για ακέραιες τιμές του χρόνου που έχουν περάσει.

Το άθροισμα των πρώτων *n* κύβων ισούται με το τετράγωνο του αθροίσματος των πρώτων *n* θετικών ακεραίων. Αυτό είναι γνωστό ως το θεώρημα του Νικομάχου.

Όλες οι τέταρτες δυνάμεις, οι έκτες δυνάμεις, οι όγδοες δυνάμεις κ.ο.κ. είναι τέλεια τετράγωνα.

Μια μοναδική σχέση με τους τριγωνικούς αριθμούς {\displaystyle T\_{n}} είναι:


(

T

n

)

2

+
(

T

n
+
1

)

2

=

T

(
n
+
1

)

2



{\displaystyle (T\_{n})^{2}+(T\_{n+1})^{2}=T\_{(n+1)^{2}}}

{\displaystyle (T_{n})^{2}+(T_{n+1})^{2}=T_{(n+1)^{2}}}

Περιττοί και άρτιοι τετραγωνικοί αριθμοί
----------------------------------------

Τα τετράγωνα άρτιων αριθμών είναι άρτια και διαιρούνται με το 4, αφού (2*n*)2 = 4*n*2. Τα τετράγωνα των περιττών αριθμών είναι περιττά και ίσα με 1 (mod 8), αφού (2*n* + 1)2 = 4*n*(*n* + 1) + 1, και το *n*(*n* + 1) είναι πάντα άρτιος αριθμός. Με άλλα λόγια, όλοι οι περιττοί τετραγωνικοί αριθμοί έχουν υπόλοιπο 1 όταν διαιρούνται με το 8.

Κάθε περιττό τέλειο τετράγωνο είναι ένας κεντρικός οκταγωνικός αριθμός. Η διαφορά μεταξύ δύο περιττών τέλειων τετραγώνων είναι πολλαπλάσιο του 8. Η διαφορά μεταξύ του 1 και οποιουδήποτε υψηλότερου περιττού τέλειου τετραγώνου είναι πάντα οκτώ φορές ενός τριγωνικού αριθμού, ενώ η διαφορά μεταξύ του 9 και οποιουδήποτε υψηλότερου περιττού τέλειου τετραγώνου είναι οκτώ φορές ενός τριγωνικού αριθμού μείον οκτώ. Δεδομένου ότι όλοι οι τριγωνικοί αριθμοί έχουν περιττό διαιρέτη, αλλά δεν υπάρχουν δύο τιμές των αριθμών της μορφής 2*n* που να διαφέρουν κατά μια ποσότητα που περιέχει έναν περιττό διαιρέτη, το μόνο τέλειο τετράγωνο της μορφής 2*n* − 1 είναι το 1 και το μόνο τέλειο τετράγωνο της μορφής 2*n* + 1 είναι το 9.

Ειδικές περιπτώσεις
-------------------

* Αν ο αριθμός είναι της μορφής *m*5 όπου το m αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι *n*25 όπου *n* = *m*(*m* + 1) και αντιπροσωπεύει τα ψηφία πριν από το 25. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 65 μπορεί να υπολογιστεί ως εξής: *n* = 6 × (6 + 1) = 42, οπότε το τετράγωνό του είναι ίσο με 4225.
* Αν ο αριθμός είναι της μορφής *m*0 όπου το *m* αντιπροσωπεύει τα προηγούμενα ψηφία, το τετράγωνό του είναι *n*00 όπου *n* = *m*2. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 70 είναι το 4900.
* Αν ο αριθμός έχει δύο ψηφία και είναι της μορφής 5*m* όπου το *m* αντιπροσωπεύει το ψηφίο των μονάδων, το τετράγωνό του είναι *aabb* όπου *aa* = 25 + *m* και *bb* = *m*2. Για παράδειγμα, για να υπολογίσουμε το τετράγωνο του 57 έχουμε: *m* = 7, 25 + 7 = 32 και 72 = 49, οπότε 572 = 3249.

* Αν ο αριθμός τελειώνει σε 5, το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε 5. Το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει και σε 25, 625, 0625, 90625, ... 8212890625, κ.λπ. Αν ο αριθμός τελειώνει σε 6, το τετράγωνό του θα τελειώνει επίσης σε 6 και το ίδιο ισχύει όταν ο αριθμός τελειώνει σε 76, 376, 9376, 09376, ... 1787109376. Για παράδειγμα, το τετράγωνο του 55376 είναι το 3066501376, οπότε και τα δύο τελειώνουν σε *376*.
* Στη βάση 10, τα δύο τελευταία ψηφία των τετραγωνικών αριθμών ακολουθούν ένα επαναλαμβανόμενο μοτίβο που αντικατοπτρίζεται συμμετρικά γύρω από τα πολλαπλάσια του 25. Στο παράδειγμα του 24 και του 26, όπου και τα δύο είναι ένα λιγότερο και ένα περισσότερο αντίστοιχα από το 25, 242 = 576 και 262 = 676, οπότε και τα δύο τελειώνουν σε 76. Γενικότερα, {\textstyle (25n+x)^{2}-(25n-x)^{2}=100nx}. Ένα ανάλογο μοτίβο ισχύει και για τα τελευταία τρία ψηφία γύρω από τα πολλαπλάσια του 250 και ούτω καθεξής. Κατά συνέπεια, από τα 100 πιθανά τελευταία διψήφια νούμερα, μόνο τα 22 από αυτά εμφανίζονται μεταξύ των τετραγωνικών αριθμών (καθώς το 00 και το 25 επαναλαμβάνονται).

Δείτε επίσης
------------

* Κύβος (άλγεβρα)
* Πυθαγόρεια τριάδα

Σημειώσεις
----------

1. ↑  Μερικοί αποκαλούν επίσης τα τετράγωνα των ρητών αριθμών ως τέλεια τετράγωνα.
2. ↑  Olenick, Richard P.· Apostol, Tom M. (14 Ιανουαρίου 2008). *The Mechanical Universe: Introduction to Mechanics and Heat* (στα Αγγλικά). Cambridge University Press. σελ. 18. ISBN 978-0-521-71592-8.

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

* Conway, JH και Guy, RK *The Book of Numbers*. Νέα Υόρκη: Springer-Verlag, pp. 30–32, 1996.(ISBN 0-387-97993-X)ISBN 0-387-97993-Χ
* Kiran Parulekar. *Εκπληκτικές ιδιότητες των τετραγώνων και οι υπολογισμοί τους*. Kiran Anil Parulekar, 2012