Στα μαθηματικά, ο **σύνδεσμος Γκάους-Μάνιν** είναι μια σύνδεση σε μια συγκεκριμένη διανυσματική δέσμη σε ένα χώρο βάσης S μιας οικογένειας αλγεβρικών ποικιλιών {\displaystyle V\_{s}}. Οι ίνες της διανυσματικής δέσμης είναι οι ομάδες συνομολογίας Ραμ {\displaystyle H\_{DR}^{k}(V\_{s})} των ινών της οικογένειας {\displaystyle V\_{s}}. Παρουσιάστηκε από τον Γιούρι Μάνιν (1958) για καμπύλες *S* και από τον Αλεξάντερ Γκροτέντιεκ (1966) σε υψηλότερες διαστάσεις.

Τα επίπεδα τμήματα της δέσμης περιγράφονται από διαφορικές εξισώσεις- η πιο γνωστή από αυτές είναι η εξίσωση Πικάρ-Φουκς, η οποία εμφανίζεται όταν η οικογένεια ποικιλιών θεωρείται ως οικογένεια ελλειπτικών καμπυλών. Με διαισθητικούς όρους, όταν η οικογένεια είναι τοπικά τετριμμένη, οι κλάσεις συνομολογίας μπορούν να μετακινηθούν από μια ίνα της οικογένειας σε γειτονικές ίνες, δίνοντας την έννοια του "επίπεδου τμήματος" με καθαρά τοπολογικούς όρους. Η ύπαρξη της σύνδεσης πρέπει να συναχθεί από τα επίπεδα τμήματα.

Διαίσθηση
---------

Έστω ένας ομαλός μορφισμός συστημάτων {\displaystyle X\to B} με χαρακτηριστικό 0. Ως αναλυτικοί μιγαδικοί χώροι, το θεώρημα του Έρεσμαν υποδηλώνει ότι οι ίνες {\displaystyle X\_{b}=f^{-1}(b)} είναι ομαλές πολλαπλότητες και είναι όλες διαφορικές. Οι ομάδες συνομολογίας ντε Ραμ {\displaystyle H^{k}(X\_{b})} είναι επομένως όλες ισόμορφες. Μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την παρατήρηση για να αναρωτηθούμε τι συμβαίνει όταν προσπαθούμε να διαφοροποιήσουμε κλάσεις συνομολογίας χρησιμοποιώντας διανυσματικά πεδία από τον βασικό χώρο {\displaystyle B}.

Ας θεωρήσουμε μια κλάση συνομολογίας {\displaystyle \alpha \in H^{k}(X)} τέτοια ώστε {\displaystyle i\_{b}^{\*}(\alpha )\in H^{k}(X\_{b})} όπου {\displaystyle i\_{b}\colon X\_{b}\to X} είναι το υποσύνολο. Τότε, αν θεωρήσουμε τις κλάσεις 

{\displaystyle \left[i\_{b}^{\ast }\left({\frac {\partial ^{i\_{1}+\cdots +i\_{n}}\alpha }{\partial b\_{1}^{i\_{1}}\cdots \partial b\_{n}^{i\_{n}}}}\right)\right]\in H^{k}(X\_{b})}
τελικά θα υπάρξει μια σχέση μεταξύ τους, που ονομάζεται εξίσωση Πικάρ-Φουκς. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν είναι ένα εργαλείο που κωδικοποιεί αυτή την πληροφορία σε μια σύνδεση στην επίπεδη διανυσματική δέσμη στο {\displaystyle B} που δομείται από την {\displaystyle H^{k}(X\_{b})}.

Παράδειγμα
----------

Ένα συχνά αναφερόμενο παράδειγμα είναι η κατασκευή κατά Ντουόρκ της εξίσωσης Πικάρ-Φουκς. 

Έστω 

{\displaystyle V\_{\lambda }(x,y,z)} είναι η ελλειπτική καμπύλη {\displaystyle x^{3}+y^{3}+z^{3}-\lambda xyz=0\;}.
Εδώ, {\displaystyle \lambda } είναι μια ελεύθερη παράμετρος που περιγράφει την καμπύλη- είναι ένα στοιχείο της μιγαδικής προβολικής γραμμής (η οικογένεια των υπερεπιφανειών σε {\displaystyle n-1} διαστάσεις βαθμού *n*, που ορίζεται αναλογικά, μελετήθηκε εκτενώς τα τελευταία χρόνια, σε σχέση με το θεώρημα της αρθρωτότητας και τις επεκτάσεις του). Έτσι, ο βασικός χώρος της δέσμης θεωρείται ότι είναι η προβολική γραμμή. Για ένα σταθερό {\displaystyle \lambda } στο χώρο βάσης, θεωρήστε ένα στοιχείο {\displaystyle \omega \_{\lambda }} της σχετικής ομάδας συνομολογίας ντε Ραμ.

{\displaystyle \omega \_{\lambda }\in H\_{dR}^{1}(V\_{\lambda }).}
Κάθε τέτοιο στοιχείο αντιστοιχεί σε μια περίοδο της ελλειπτικής καμπύλης. Η συνομολογία είναι δισδιάστατη. Η σύνδεση Γκάους-Μάνιν αντιστοιχεί στη διαφορική εξίσωση δεύτερης τάξης.

{\displaystyle (\lambda ^{3}-27){\frac {\partial ^{2}\omega \_{\lambda }}{\partial \lambda ^{2}}}+3\lambda ^{2}{\frac {\partial \omega \_{\lambda }}{\partial \lambda }}+\lambda \omega \_{\lambda }=0.}

Επεξήγηση D-Πρότυπο
-------------------

Στο πιο αφηρημένο πλαίσιο της θεωρίας των D-Πρότυπων, η ύπαρξη τέτοιων εξισώσεων εντάσσεται σε μια γενική συζήτηση της άμεσης εικόνας.

Εξισώσεις "που προκύπτουν από τη γεωμετρία"
-------------------------------------------

Ολόκληρη η κατηγορία των συνδέσμων Γκάους - Μάνιν χρησιμοποιήθηκε για την προσπάθεια διατύπωσης της έννοιας των διαφορικών εξισώσεων που "προκύπτουν από τη γεωμετρία". Σε σχέση με την εικασία της p-καμπυλότητας του Γκρόθεντιεκ, ο Νίκολας Κατζ απέδειξε ότι η κλάση των συνδέσεων Γκάους-Μάνιν με αλγεβρικούς αριθμητικούς συντελεστές ικανοποιεί την εικασία. Το αποτέλεσμα αυτό συνδέεται άμεσα με την έννοια της συνάρτησης Ζίγκελ G της θεωρίας υπερβατικών αριθμών, για λύσεις μερομορφικών συναρτήσεων. Η εικασία Μπομπιέρι - Ντουόρκ, που αποδίδεται επίσης στον Ιβ Αντρέ, η οποία δίνεται σε περισσότερες από μία εκδοχές, αξιώνει μια αντίστροφη κατεύθυνση: λύσεις ως συναρτήσεις G ή p-καμπυλότητα μηδενική mod p για σχεδόν όλους τους πρώτους p, σημαίνει ότι μια εξίσωση "προκύπτει από τη γεωμετρία".

Δημοσιεύσεις
------------

* Kulikov, Valentine (1998), *Mixed Hodge Structures and Singularities*, Cambridge Tracts in Mathematics, σελ. 1–59  (Gives and excellent introduction to Gauss–Manin connections)
* Dimca, Alexandru, *Sheaves in Topology*, σελ. 55–57,206–207  (Gives example of Gauss–Manin connections and their relation to D-module theory and the Riemmann-Hilbert correspondence)
* Griffiths, Phillip, *Periods of integrals on algebraic manifolds: Summary of main results and discussion of open problems*,   (Gives a quick sketch of main structure theorem of Gauss–Manin connections)
* Barrientos, Ivan, *The Gauss-Manin connection and regular singular points.*,
* Grothendieck, Alexander (1966), «On the de Rham cohomology of algebraic varieties», *Publications Mathématiques de l'IHÉS*, letter to Atiyah, Oct. 14 1963 **29** (29): 95–103, doi:10.1007/BF02684807, ISSN 0073-8301,
* Manin, Ju. I. (1958), «Algebraic curves over fields with differentiation», *Izvestiya Akademii Nauk SSSR. Seriya Matematicheskaya* **22**: 737–756,   English translation in Manin, Ju. I. (1964), «Algebraic curves over fields with differentiation», *American Mathematical Society translations: 22 papers on algebra, number theory and differential geometry*, **37**, Providence, R.I.: American Mathematical Society, σελ. 59–78, ISBN 978-0-8218-1737-7,

Βιβλιογραφία
------------

* *Differential Algebraic Groups of Finite Dimension*
* *Calabi-Yau Varieties and Mirror Symmetry*
* "Modular And Automorphic Forms & Beyond"
* "Singularity Theory I"

Παραπομπές
----------

1. ↑  «Reference for Gauss–Manin Connection». *math.stackexchange.com*.
2. ↑  
Katz, Nicholas M. (2009). «Another look at the Dwork family». *Algebra, Arithmetic, and Geometry Vol II* (PDF). Boston: Birkhäuser. σελίδες 89–126. doi:10.1007/978-0-8176-4747-6\_4. ISBN 978-0-8176-4746-9. MR 2641188.
3. ↑  Reiter, Stefan (2002). «On applications of Katz' middle convolution functor (Deformation of differential equations and asymptotic analysis)» (PDF). *Kyoto University Research Information Repository*.
4. ↑  Totaro, Burt (2007). «Euler and algebraic geometry». *Bulletin of the American Mathematical Society* **44** (4): 541–559. doi:10.1090/S0273-0979-07-01178-0. MR 2338364. .

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |