Παράδειγμα: ένα εξάγωνο κομμένο σε τρία κομμάτια μικρότερης διαμέτρου.
Το **πρόβλημα του Μπορσούκ στη γεωμετρία**, για ιστορικούς λόγους, ονομάζεται λανθασμένα ως εικασία του Μπορσούκ, είναι ερώτημα στη διακριτή γεωμετρία.

Το πρόβλημα
-----------

Το 1932 ο Κάρολ Μπορσούκ έδειξε ότι μια συνηθισμένη μπάλα 3 διαστάσεων στον Ευκλείδειο χώρο μπορεί εύκολα να χωρισθεί σε 4 στερεά, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από την μπάλα, και γενικά η *d*-διάστατη μπάλα μπορεί να καλυφθεί με *d* + 1 συμπαγή σύνολα διαμέτρων μικρότερες από την μπάλα. Ταυτόχρονα απέδειξε ότι τα υποσύνολα *d* δεν είναι αρκετά σε γενικές γραμμές. Η απόδειξη βασίζεται στο θεώρημα Μπορσούκ–Ούλαμ. Αυτό οδήγησε τον Μπορσούκ σε μια τόσο γενική ερώτηση:

*Die folgende Frage bleibt offen: Lässt sich jede beschränkte Teilmenge E des Raumes {\displaystyle (n+1)} Mengen zerlegen, von denen jede einen kleineren Durchmesser als E hat;*
Αυτό μπορεί να μεταφραστεί ως:

*Το ακόλουθο ερώτημα παραμένει ανοιχτό: κάθε φραγμένο υποσύνολο Ε του χώρου είναι χωρισμένο σε σύνολα {\displaystyle (n+1)}, καθένα από τα οποία έχει μια μικρότερη διάμετρο από τον Ε;*
Το ερώτημα έχει θετική απάντηση στις ακόλουθες περιπτώσεις:

* *d* = 2 — το οποίο είναι το αρχικό αποτέλεσμα από τον Κάρολ Μπορσούκ (1932).
* *d* = 3 — εμφανίστηκε από τον Γιούλιαν Πέρκαλ (1947), και ανεξάρτητα, 8 χρόνια αργότερα, από τον Χ. Γ. Έγκλστον (1955). Αργότερα, οι Μπράνκο Γκρηνμπάουμ και Αλαντάρ Χέππες βρήκαν μια απλή απόδειξη.
* Για όλα τα *d* σε ομαλούς κυρτούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Χούγκο Χαντβίγκερ (1946).
* Για όλα τα *d* σε κεντρικά-συμμετρικούς φορείς — αποδείχθηκε από τον Α. Σ. Ρίσλινγκ (1971).
* Για όλα τα *d* σε σώματα εκ περιστροφής — αποδείχθηκε από τον Μπόρις Ντέκστερ (1995).

Το πρόβλημα τελικά λύθηκε το 1993 από τους Τζεφ Καχν και Γκιλ Καλάι, οι οποίοι έδειξαν ότι η γενική απάντηση στο ερώτημα του Μπορσούκ είναι *όχι*. Η αναπαράστασή τους δείχνει ότι τα *d* + 1 κομμάτια που δεν επαρκούν για *d* = 1.325 και για κάθε *d* > 2.014.

Το αποτέλεσμα τους βελτιώθηκε το 2003 από τους Χίνριχς και Ρίχτερ, που αναπαράστησαν πεπερασμένα σύνολα για το *d* ≥ 298, το οποίο δεν μπορεί να χωριστεί σε *d*+11 τμήματα με μικρότερη διάμετρο.

Αφότου ο Αντρέι Β. Μπονταρένκο έδειξε το 2013 ότι η εικασία του Μπορσούκ είναι ψευδής για όλα τα *d* ≥ 65,  το τρέχων καλύτερο όριο, λόγω του Τόμας Γιένριχ, είναι το 64.

Εκτός από την εύρεση του ελάχιστου αριθμού *δ* τέτοιων διαστάσεων, εκτός από τον αριθμό τεμαχίων {\displaystyle \alpha (d)>d+1} οι μαθηματικοί ενδιαφέρονται να βρουν την γενική συμπεριφορά της συνάρτησης {\displaystyle \alpha (d)}. Οι Καχν και Καλάι δείχνουν ότι σε γενικές γραμμές (για το *d* αυτό είναι αρκετά μεγάλο) ένας χρειάζεται αριθμό τεμαχίων {\displaystyle \alpha (d)\geq (1.2)^{\sqrt {d}}}. Αναφέρουν επίσης το άνω όριο από τον Οντέντ Σραμ, ο οποίος έδειξε ότι για κάθε *ε*, αν το *d* είναι αρκετά μεγάλο, προκύπτει {\displaystyle \alpha (d)\leq \left({\sqrt {3/2}}+\varepsilon \right)^{d}}. Η σωστή τάξη μεγέθους του *α*(d) είναι ακόμα άγνωστη. Ωστόσο, εικάζεται ότι υπάρχει μια σταθερά *c* > 1 τέτοια ώστε να προκύπτει {\displaystyle \alpha (d)>c^{d}} για όλα τα *d* ≥ 1.

Δείτε επίσης
------------

* Η Εικασία του Χάντβιγκερ καλύπτει κυρτά σώματα με μικρότερα αντίγραφα του εαυτού τους.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Perkal, Julian (1947), «Sur la subdivision des ensembles en parties de diamètre inférieur», *Colloquium Mathematicum* **2**: 45
2. ↑  Eggleston, H. G. (1955), «Covering a three-dimensional set with sets of smaller diameter», *Journal of the London Mathematical Society* **30**: 11–24, doi:10.1112/jlms/s1-30.1.11
3. ↑  Hadwiger, Hugo (1945), «Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers», *Commentarii Mathematici Helvetici* **18** (1): 73–75, doi:10.1007/BF02568103
4. ↑  Hadwiger, Hugo (1946), «Mitteilung betreffend meine Note: Überdeckung einer Menge durch Mengen kleineren Durchmessers», *Commentarii Mathematici Helvetici* **19** (1): 72–73, doi:10.1007/BF02565947
5. ↑  Riesling, A. S. (1971), «Borsuk's problem in three-dimensional spaces of constant curvature», *Ukr. Geom. Sbornik* (Kharkov State University (now National University of Kharkiv)) **11**: 78–83,
6. ↑  Dekster, Boris (1995), «The Borsuk conjecture holds for bodies of revolution», *Journal of Geometry* **52** (1-2): 64–73, doi:10.1007/BF01406827
7. ↑  Kahn, Jeff; Kalai, Gil (1993), «A counterexample to Borsuk's conjecture», *Bulletin of the American Mathematical Society* **29** (1): 60–62, doi:10.1090/S0273-0979-1993-00398-7
8. ↑  Bondarenko, Andriy V. (2013), *On Borsuk’s conjecture for two-distance sets*
9. ↑  Bondarenko, Andriy (2014), «On Borsuk’s Conjecture for Two-Distance Sets», *Discrete & Computational Geometry* **51** (3): 509–515, doi:10.1007/s00454-014-9579-4
10. ↑  Jenrich, Thomas (2013), *A 64-dimensional two-distance counterexample to Borsuk's conjecture*
11. ↑  Jenrich, Thomas; Brouwer, Andries E. (2014), «A 64-Dimensional Counterexample to Borsuk's Conjecture», *Electronic Journal of Combinatorics* **21** (4): #P4.29
12. ↑  Schramm, Oded (1988), «Illuminating sets of constant width», *Mathematika* **35** (2): 180–189, doi:10.1112/S0025579300015175
13. ↑  Alon, Noga (2002), «Discrete mathematics: methods and challenges», *Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Beijing* **1**: 119–135

Περαιτέρω ανάγνωση
------------------

* Oleg Pikhurko, *Algebraic Methods in Combinatorics*, course notes.
* Andrei M. Raigorodskii, The Borsuk partition problem: the seventieth anniversary, *Mathematical Intelligencer* **26** (2004), no. 3, 4–12.
* Raigorodskii, Andreii M. (2008). «Three lectures on the Borsuk partition problem». Στο: Young, Nicholas. *Surveys in contemporary mathematics*. London Mathematical Society Lecture Note Series. **347**. Cambridge University Press. σελίδες 202–247. ISBN 978-0-521-70564-6.

Εξωτερικές συνδέσεις
--------------------

* Weisstein, Eric W. "Εικασία Μπορσούκ". *MathWorld*.