Ο **παράγοντας Λόρεντζ** (Lorentz factor) είναι μια έκφραση που εμφανίζεται σε αρκετές εξισώσεις της ειδικής θεωρίας της σχετικότητας και προκύπτει από τους μετασχηματισμούς του Λόρεντζ. Συμβολίζεται με το ελληνικό γράμμα γάμα *γ* και παίρνει το όνομά του από τους μετασχηματισμούς που κατασκεύασε ο Ολλανδός φυσικός Χέντρικ Λόρεντς.

Ορισμός
-------

Ο παράγοντας Λόρεντζ ορίζεται ως:

{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}
όπου:

* *υ* η σχετική ταχύτητα μεταξύ αδρανειακών συστημάτων,
* β είναι ο λόγος της ταχύτητας *v* προς τη ταχύτητα του φωτός *c*.
* *c* είναι η *ταχύτητα του φωτός στο κενό*.

Αυτή είναι και η ποιο κοινή μορφή του παράγοντα.

Εμφανίσεις του παράγοντα
------------------------

Ακολουθούν διάφοροι τύποι που προκύπτουν από την ειδική θεωρία της σχετικότητας και χρησιμοποιούν τον παράγοντα *γ*:

* Ο **μετασχηματισμός Λόρεντζ:** Στην απλή περίπτωση της κίνησης μόνο κατά τον άξονα *x*, που περιγράφεται την αλλαγή από τις χωροχρονικές συντεταγμένες στο αδρανειακό σύστημα αναφοράς (*x*, *y*, *z*, *t*) σε κάποιο που κινείται με σχετική ταχύτητα *v* (*x'* , *y'* , *z'* , *t'* ):

{\displaystyle t'=\gamma \left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)}
{\displaystyle x'=\gamma \left(x-vt\right)}
Λόγω των παραπάνω μετασχηματισμών προκύπτουν τα ακόλουθα αποτελέσματα:

* **Χρονική διαστολή:** Ο χρόνος (∆*t'* ) μεταξύ δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι που κινείται, είναι μεγαλύτερος από τον χρόνο (∆*t*) μεταξύ των δύο κτύπων όπως μετράται σε ένα ρολόι στο ακίνητο σύστημα αναφοράς:

{\displaystyle \Delta t'=\gamma \Delta t.\,}
* **Συστολή του χώρου:** Το μήκος (∆*x'* ) ενός αντικειμένου όπως μετράται στο κινούμενο σύστημα αναφοράς στο οποίο το ίδιο κινείται, είναι μικρότερο από το μήκος (∆*x*) στο δικό του ακίνητο σύστημα αναφοράς:

{\displaystyle \Delta x'=\Delta x/\gamma .\,\!}
Με χρήση της διατήρησης της ορμής και της ενέργειας οδηγούμαστε στα εξής αποτελέσματα:

* **Σχετικιστική μάζα:** Η μάζα ενός σώματος *m* που βρίσκεται σε κίνηση, εξαρτάται από τον παράγοντα **Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (MathML αν είναι δυνατό (πειραματικό): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): \gamma** 
 και τη μάζα ηρεμίας *m*0:

{\displaystyle m=\gamma m\_{0}.\,}
* **Σχετικιστική ορμή:** Η σχετικιστική ορμή είναι ίδια με την κλασική ορμή, χρησιμοποιώντας την παραπάνω σχετικιστική μάζα:

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}=\gamma m\_{0}{\vec {v}}.\,}
* **Σχετικιστική κινητική ενέργεια:** Η σχετικιστική κινητική ενέργεια παίρνει την εξής μορφή:

{\displaystyle E\_{k}=E-E\_{0}=(\gamma -1)m\_{0}c^{2}}

Εναλλακτικές αναπαραστάσεις
---------------------------

Υπάρχουν και διαφορετικές παραστάσεις του παράγοντα, εκτός από τον αρχικό ορισμό με την ταχύτητα *v*. Όπως με την ορμή και με τον παράγοντα ταχύτητας φ (rapidity).

### Ορμή

Κύριο λήμμα: Ορμή
Λύνοντας τη σχετικιστική ορμή προς τον *γ* οδηγούμαστε στην:

{\displaystyle \gamma ={\sqrt {1+\left({\frac {p}{m\_{0}c}}\right)^{2}}}}
Αυτή η μορφή, αν και χρησιμοποιείται σπάνια, εμφανίζεται στην κατανομή Μάξγουελ–Juttner.

### Παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity)

Εφαρμόζοντας το ορισμό του παράγοντας ταχύτητας φ (rapidity) στην υπερβολική γωνία *φ*: {\displaystyle \tanh \varphi =\beta \,\!} 

προκύπτει ο παράγοντας *γ*:

{\displaystyle \gamma =\cosh \varphi ={\frac {1}{\sqrt {1-\tanh ^{2}\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\,\!}
### Ανάπτυξη σειρών (ταχύτητα)

Η σειρά Μακλόριν του παράγοντα Λόρεντζ είναι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\gamma &={\dfrac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}\\&=\sum \_{n=0}^{\infty }\beta ^{2n}\prod \_{k=1}^{n}\left({\dfrac {2k-1}{2k}}\right)\\&=1+{\tfrac {1}{2}}\beta ^{2}+{\tfrac {3}{8}}\beta ^{4}+{\tfrac {5}{16}}\beta ^{6}+{\tfrac {35}{128}}\beta ^{8}+\cdots \\\end{aligned}}}
Η προσέγγιση *γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2 χρησιμοποιείται για τον υπολογισμό σχετικιστικών φαινομένων σε μικρές ταχύτητες. Έχει σφάλμα 1% για ταχύτητες *v* < 0.4 c (*v* < 120,000 km/s), και σφάλμα 0.1% για ταχύτητες *v* < 0.22 *c* (*v* < 66,000 km/s).

Οι προσεγγίσεις της παραπάνω σειράς, βοηθάει τους φυσικούς να αποδείξουν ότι η ειδική θεωρία της σχετικότητας ανάγεται σε Νευτώνια μηχανική σε χαμηλές ταχύτητες.

Για παράδειγμα οι σχετικιστικές εξισώσεις:

{\displaystyle {\vec {p}}=\gamma m{\vec {v}}}
{\displaystyle E=\gamma mc^{2}\,}
Για *γ* ≈ 1 μετατρέπονται στις κλασικές σχέσεις της Νευτώνιας μηχανικής:

{\displaystyle {\vec {p}}=m{\vec {v}}}
{\displaystyle E=mc^{2}+{\tfrac {1}{2}}mv^{2}}
για *γ* ≈ 1 + 1/2 *β*2.

  

Ο παράγοντας Λόρεντζ επίσης μπορεί να εκφραστεί με ανεστραμμένη μορφή ως:

{\displaystyle \beta ={\sqrt {1-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}}}}
με ασυμπτωτική μορφή:

{\displaystyle \beta =1-{\tfrac {1}{2}}\gamma ^{-2}-{\tfrac {1}{8}}\gamma ^{-4}-{\tfrac {1}{16}}\gamma ^{-6}-{\tfrac {5}{128}}\gamma ^{-8}+\cdots }

Αριθμητικές τιμές
-----------------

Ο παράγοντας Λόρεντζ *γ* συναρτήσει της ταχύτητας. Η αρχική τιμή είναι 1 (όταν *v* = 0) και η όταν η ταχύτητα πλησιάζει την ταχύτητα του φωτός (*v* → *c*), ο *γ* αυξάνεται μέχρι το άπειρο (*γ* → ∞).
Στον παρακάτω πίνακα, η αριστερή στήλη δείχνει τις ταχύτητες ως λόγους της ταχύτητας του φωτός (με μονάδες μέτρησης *c*), η μεσαία την αντίστοιχη τιμή του παράγοντα Λόρεντζ και η τελευταία τον αντίστροφο του παράγοντα Λόρεντζ.

| Ταχύτητα (ως προς c) | Παράγοντας Λόρεντζ | Αντίστροφος παράγοντα Λόρεντζ |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \beta =v/c\,\!} | {\displaystyle \gamma \,\!} | {\displaystyle 1/\gamma \,\!} |
| 0.000 | 1.000 | 1.000 |
| 0.100 | 1.005 | 0.995 |
| 0.200 | 1.021 | 0.980 |
| 0.250 | 1.033 | 0.968 |
| 0.300 | 1.048 | 0.954 |
| 0.400 | 1.091 | 0.917 |
| 0.500 | 1.155 | 0.866 |
| 0.600 | 1.250 | 0.800 |
| 0.700 | 1.400 | 0.714 |
| 0.750 | 1.512 | 0.661 |
| 0.800 | 1.667 | 0.600 |
| 0.866 | 2.000 | 0.500 |
| 0.900 | 2.294 | 0.436 |
| 0.990 | 7.089 | 0.141 |
| 0.999 | 22.366 | 0.045 |
|

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Dynamics and Relativity, J.R. Forshaw, A.G. Smith, Wiley, 2009, ISBN 978-0-470-01460-8
2. ↑  Young· Freedman (2008). *Sears' and Zemansky's University Physics* (12th έκδοση). Pearson Ed. & Addison-Wesley. ISBN 978-0-321-50130-1.
3. ↑  Synge, J.L (1957). The Relativistic Gas. Series in physics. North-Holland. LCCN 57-003567
4. ↑  Kinematics Αρχειοθετήθηκε 2014-11-21 στο Wayback Machine. by J.D. Jackson, See page 7 for definition of rapidity.