Σχεδιάγραμμα της συνάρτησης ζήτα πρώτων αριθμών
Η **συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών** σχετίζεται με την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν και το θεώρημα πρώτων αριθμών ως προς την κατανομή τους, και διατυπώθηκε για πρώτη φορά το 1891 (Glaisher (1891).

Ιδιότητες
---------

Ορίζεται ως άπειρα σειρά η οποία συγκλίνει για {\displaystyle \Re (s)>1}:

{\displaystyle P(s)=\sum \_{p\,\in \mathrm {\,primes} }{\frac {1}{p^{s}}}={\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{5^{s}}}+{\frac {1}{7^{s}}}+{\frac {1}{11^{s}}}+\cdots .}

Κατά το γινόμενο Όιλερ για την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν *ζ*(*s*):

{\displaystyle \log \zeta (s)=\sum \_{n>0}{\frac {P(ns)}{n}}}
όπου κατά τον τύπο αντιστροφής του Μέμπιους:

{\displaystyle P(s)=\sum \_{n>0}\mu (n){\frac {\log \zeta (ns)}{n}}}
όταν το *s* φτάνει στο 1, τότε ισχύει το {\displaystyle P(s)\sim \log \zeta (s)\sim \log \left({\frac {1}{s-1}}\right)}, κάτι που χρησιμοποιείται στον ορισμό της πυκνότητας Ντίριλεχτ.

Αυτό δίνει την συνέχιση του *P*(*s*) προς {\displaystyle \Re (s)>0}, με άπειρο αριθμό λογαριθμικών μοναδικοτήτων στα σημεία *s* όπου το *ns* είναι πόλος (μόνο όταν *ns* = 1 όταν *n* δεν είναι τετράγωνο μεγαλύτερο ή ίσο από το 1), ή μηδέν της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν *ζ*(**.**). Η γραμμή {\displaystyle \Re (s)=0} είναι φυσικό όριο καθώς οι μοναδικότητες συγκεντρώνονται κοντά σε όλα τα σημεία της γραμμής αυτής.

Αν η ακολουθία οριστεί ως:

{\displaystyle a\_{n}=\prod \_{p^{k}\mid n}{\frac {1}{k}}=\prod \_{p^{k}\mid \mid n}{\frac {1}{k!}}}
τότε:

{\displaystyle P(s)=\log \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n}}{n^{s}}}.}
Η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών σχετίζεται με την σταθερά του Αρτίν μέσω:

{\displaystyle \ln C\_{\mathrm {Artin} }=-\sum \_{n=2}^{\infty }{\frac {(L\_{n}-1)P(n)}{n}}}
όπου *L**n* είναι ο νιοστός αριθμός Λούκας.

Συγκεκριμένες τιμές είναι:

| s | κατά προσέγγιση τιμή P(s) | OEIS |
| --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle {\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+{\tfrac {1}{5}}+{\tfrac {1}{7}}+{\tfrac {1}{11}}+\cdots \to \infty .} |  |
| 2 | {\displaystyle 0{.}45224{\text{ }}74200{\text{ }}41065{\text{ }}49850\ldots } | OEIS A085548 |
| 3 | {\displaystyle 0{.}17476{\text{ }}26392{\text{ }}99443{\text{ }}53642\ldots } | OEIS A085541 |
| 4 | {\displaystyle 0{.}07699{\text{ }}31397{\text{ }}64246{\text{ }}84494\ldots } | OEIS A085964 |
| 5 | {\displaystyle 0{.}03575{\text{ }}50174{\text{ }}83924{\text{ }}25713\ldots } | OEIS A085965 |
| 9 | {\displaystyle 0{.}00200{\text{ }}44675{\text{ }}74962{\text{ }}45066\ldots } | OEIS A085969 |

Ανάλυση
-------

### Ολοκληρώματα

Το ολοκλήρωμα επί της συνάρτησης ζήτα πρώτων αριθμών βρίσκεται συνήθως στο άπειρο, καθώς ο πόλος στο {\displaystyle s=1} εμποδίζει τον ορισμό χαμηλότερων ορίων σε κάποιον πεπερασμένο ακέραιο:

{\displaystyle \int \_{s}^{\infty }P(t)\,dt=\sum \_{p}{\frac {1}{p^{s}\log p}}}
Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά:

| s | κατά προσέγγιση τιμή {\displaystyle \sum \_{p}1/(p^{s}\log p)} | OEIS |
| --- | --- | --- |
| 1 | {\displaystyle 1.63661632\ldots } | OEIS A137245 |
| 2 | {\displaystyle 0.50778218\ldots } | OEIS A221711 |
| 3 | {\displaystyle 0.22120334\ldots } |  |
| 4 | {\displaystyle 0.10266547\ldots } |  |

### Παράγωγα

Το πρώτο παράγωγο είναι:

{\displaystyle P'(s)\equiv {\frac {d}{ds}}P(s)=-\sum \_{p}{\frac {\log p}{p^{s}}}}
Οι αξιοσημείωτες τιμές είναι αυτές όπου τα σύνολα συγκλίνουν αργά:

| s | κατά προσέγγιση τιμή {\displaystyle P'(s)} | OEIS |
| --- | --- | --- |
| 2 | {\displaystyle -0.493091109\ldots } | OEIS A136271 |
| 3 | {\displaystyle -0.150757555\ldots } |  |
| 4 | {\displaystyle -0.060607633\ldots } |  |
| 5 | {\displaystyle -0.026838601\ldots } |  |

Γενικεύσεις
-----------

### Σχεδόν συναρτήσεις ζήτα πρώτων αριθμών

Καθώς η συνάρτηση ζήτα Ρήμαν είναι το άθροισμα αντιστρόφων δυνάμεων επί των ακεραίων, και η συνάρτηση ζήτα πρώτων αριθμών το άθροισμα των αντιστρόφων δυνάμεων των πρώτων αριθμών, οι k-πρώτοι αριθμοί (οι ακέραιοι που είναι γινόμενο του k) φέρνουν κάποια ενδιάμεσα αθροίσματα:

{\displaystyle P\_{k}(s)\equiv \sum \_{n:\Omega (n)=k}{\frac {1}{n^{s}}}}
όπου το \Omega  είναι ο συνολικός αριθμός των παραγόντων οι οποίοι είναι πρώτοι αριθμοί:

| k | s | κατά προσέγγιση τιμή {\displaystyle P\_{k}(s)} | OEIS |
| --- | --- | --- | --- |
| 2 | 2 | {\displaystyle 0.14076043434\ldots } | OEIS A117543 |
| 2 | 3 | {\displaystyle 0.02380603347\ldots } |  |
| 3 | 2 | {\displaystyle 0.03851619298\ldots } | OEIS A131653 |
| 3 | 3 | {\displaystyle 0.00304936208\ldots } |  |

Ο κάθε ακέραιος στον παρονομαστή της συνάρτησης ζήτα Ρήμαν \zeta  μπορεί να ταξινομηθεί από την τιμή του δείκτη k, ο οποίος διασπά την συνάρτηση ζήτα Ρήμαν σε ένα άπειρο άθροισμα του {\displaystyle P\_{k}}:

{\displaystyle \zeta (s)=1+\sum \_{k=1,2,\ldots }P\_{k}(s)}
### Συναρτήσεις ζήτα ισοϋπολοίπου πρώτων αριθμών

Η κατασκευή του αθροίσματος όχι μεταξύ όλων των πρώτων αριθμών αλλά μόνο μεταξύ των αριθμών οι οποίοι ανήκουν στην ίδια τάξη ισοποϋπολοίπων, εισάγει νέου τύπους απείρων σειρών οι οποίες αποτελούν αναγωγή της συνάρτησης L Ντίριλεχτ.

Παραπομπές
----------

1. ↑  «Αρχειοθετημένο αντίγραφο» (PDF). Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο (PDF) στις 1 Αυγούστου 2018. Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2018.
2. ↑  «The Riemann zeta function and prime numbers» (στα αγγλικά). *The Math Less Traveled*. 2017-03-06.. Ανακτήθηκε στις 2018-04-08.
3. ↑  W. Weisstein, Eric. «Prime Zeta Function». *mathworld.wolfram.com* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2018.
4. ↑  AKIDAAdmin. «Τύπος απείρου γινομένου του Euler και πρώτοι». *www.akida.info*. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 20 Οκτωβρίου 2017. Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2018.
5. ↑  Fröberg, Carl-Erik (1968-09-01). «On the prime zeta function» (στα αγγλικά). *BIT Numerical Mathematics* **8** (3): 187–202. doi:10.1007/BF01933420. ISSN 0006-3835. .
6. ↑  «Prime Zeta Function | Brilliant Math & Science Wiki». *brilliant.org* (στα Αγγλικά). Ανακτήθηκε στις 8 Απριλίου 2018.
7. ↑  Weisstein, Eric W. "Artin's Constant" από το MathWorld.

Σχετική βιβλιογραφία
--------------------

* Merrifield, C. W. (1881). «The Sums of the Series of Reciprocals of the Prime Numbers and of Their Powers». *Proceedings of the Royal Society* **33**: 4–10. doi:10.1098/rspl.1881.0063.
* Fröberg, Carl-Erik (1968). «On the prime zeta function». *Nordisk Tidskr. Informationsbehandling (BIT)* **8** (3): 187–202. doi:10.1007/BF01933420. MR 0236123.
* Glaisher, J. W. L. (1891). «On the Sums of Inverse Powers of the Prime Numbers». *Quart. J. Math.* **25**: 347–362.
* Mathar, Richard J. (2008). «Twenty digits of some integrals of the prime zeta function». arXiv:0811.4739.

* Li, Ji (2008). «Prime graphs and exponential composition of species». *J. Combin. Theory A* **115**: 1374–1401. doi:10.1016/j.jcta.2008.02.008. MR 2455584.
* Mathar, Richard J. (2010). «Table of Dirichlet L-series and prime zeta modulo functions for small moduli». arXiv:1008.2547.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Weisstein, Eric W. "Prime Zeta Function" από το MathWorld.