Στη Μαθηματική Ανάλυση, με τον όρο **καμπύλη πλήρωσης χώρου** (**space filling curve**) αναφερόμαστε σε καμπύλες που το σύνολο τιμών τους είναι ολόκληρο το μοναδιαίο τετράγωνο {\displaystyle [0,1]^{2}} (ή ολόκληρος ο υπερκύβος {\displaystyle [0,1]^{n}}). Πολλές φορές αυτές οι καμπύλες αναφέρονται και ως καμπύλες Πεάνο, επειδή ο Τζιουζέπε Πεάνο ήταν ο πρώτος μαθηματικός που ανακάλυψε μια τέτοια καμπύλη (παρότι και ο Ντάβιντ Χίλμπερτ είχε αναφερθεί σε παρόμοιες κατασκευές).

Ορισμός
-------

Γενικά, μια συνεχής καμπύλη σε έναν χώρο 2, 3 ή περισσότερων διαστάσεων αποτελεί ένα μονοπάτι ενός σημείου που κινείται με συνεχή τρόπο. Ο επίσημος μαθηματικός ορισμός (ο οποίος εξαλείφει την αοριστία της προηγούμενης φράσης) είναι ο παρακάτω (Τζόρνταν 1887):

Μια καμπύλη (με σημεία που υποδηλώνουν την αρχή και το τέλος) είναι μια συνεχής συνάρτηση {\displaystyle r:[0,1]\longrightarrow X}, όπου ο χώρος X μπορεί να είναι οποιοσδήποτε τοπολογικός χώρος.

Συνήθως, ο χώρος X αναφέρεται σε Ευκλείδειους χώρους όπως ο {\displaystyle R^{2}} (επίπεδη καμπύλη) ή ο {\displaystyle R^{3}} (καμπύλη στο χώρο). Πολύ συχνά με τον όρο καμπύλη αναφερόμαστε στην εικόνα της αντίστοιχης συνάρτησης, δηλαδή στο σύνολο όλων των δυνατών τιμών (σημείων) που μπορεί να πάρει η συνάρτηση. Επιπλέον, μπορούμε να ορίσουμε και καμπύλες χωρίς αρχικό ή τελικό σημείο (π.χ. καμπύλες που εκτείνονται στο άπειρο) αν θεωρήσουμε ως πεδίο ορισμού το ανοικτό σύνολο (0,1) ή ολόκληρο το R.

Μια καμπύλη που γεμίζει το μοναδιαίο τετράγωνο του επίπεδο μπορεί να θεωρηθεί ότι αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής {\displaystyle {\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{2}}. Γενικότερα, μια καμπύλη που γεμίζει τον μοναδιαίο υπερκύβο, αντιστοιχεί σε μια συνεχή και επί συνάρτηση της μορφής {\displaystyle {\vec {r}}:[0,1]\longrightarrow [0,1]^{n}}.

Κατασκευή της καμπύλης Πεάνο

Ιστορικό
--------

Η πρώτη καμπύλη με την ιδιότητα να γεμίζει το χώρο ανακαλύφθηκε το 1890 από τον Τζιουζέπε Πεάνο. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται συνήθως καμπύλη Πεάνο προς τιμήν του μαθηματικού. Σκοπός του Πεάνο ήταν να αποδείξει ότι τα σύνολα {\displaystyle [0,1]} και {\displaystyle [0,1]^{2}} περιέχουν τον ίδιο αριθμό στοιχείων, κάτι που ήδη είχε αποδείξει ο Γκέοργκ Κάντορ. Ο Πεάνο όμως απέδειξε ότι μπορεί να υπάρξει συνεχής και επί απεικόνιση μεταξύ των δύο χώρων. Η απεικόνιση αυτή όμως δεν είναι 1-1 και μάλιστα δεν μπορεί να υπάρξει συνεχής, επί και 1-1 απεικόνιση μεταξύ του {\displaystyle [0,1]} και του {\displaystyle [0,1]^{2}}.Το αρχικό άρθρο του Πεάνο δεν περιείχε κάποια εικόνα της κατασκευής. Ο Πεάνο είχε δώσει έμφαση στη σωστή μαθηματική αναπαράσταση και στις αποδείξεις των ιδιοτήτων της καμπύλης. Ένα χρόνο αργότερα ο Νταβίντ Χίλμπερτ δημοσίευσε  μια άλλη καμπύλη που γεμίζει το {\displaystyle [0,1]^{2}} βασισμένος σε μια παραλλαγή της ιδέας του Πεάνο. Η καμπύλη αυτή ονομάζεται σήμερα καμπύλη Χίλμπερτ. 

Κατασκευή της καμπύλης Hilbert

Ιδιότητες
---------

Όπως αποδείχθηκε αργότερα οι καμπύλες που γεμίζουν το χώρο είναι fractals. Συνήθως οι καμπύλες αυτές δίνονται ως τα όρια συγκεκριμένων ακολουθιών από πολυγωνικές γραμμές.

Αναφορές
--------

1. ↑  Peano, G. (1890-03-01). «Sur une courbe, qui remplit toute une aire plane» (στα γαλλικά). *Mathematische Annalen* **36** (1): 157–160. doi:10.1007/BF01199438. ISSN 0025-5831. .
2. ↑  Hilbert, David (1891-09-01). «Ueber die stetige Abbildung einer Line auf ein Flächenstück» (στα γερμανικά). *Mathematische Annalen* **38** (3): 459–460. doi:10.1007/BF01199431. ISSN 0025-5831. .
3. ↑  Barnsley, Michael (1 Ιανουαρίου 1998). *Fractals everywhere*. AP Professional. ISBN 0120790610. 247668425.