Στην άλγεβρα, το **θεώρημα Μπεζού** για τα πολυώνυμα είναι μία ειδική περίπτωση του θεωρήματος διαίρεσης για τα πολυώνυμα, όπου ο διαιρέτης είναι πολυώνυμο πρώτου βαθμού.

**Θεώρημα** (Μπεζού) — Έστω {\displaystyle P(x)} ένα πολυώνυμο και {\displaystyle Q(x)=x-r}. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το {\displaystyle Q(x)} είναι {\displaystyle R(x)=P(r)}.

Παραδείγματα
------------

### Παράδειγμα 1ο

Έστω το πολυώνυμο {\displaystyle P(x)=x^{4}-9x^{2}+2x-2} και {\displaystyle Q(x)=x-3}. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το Q είναι {\displaystyle P(3)=4}.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι 

{\displaystyle P(x)=(x-3)\cdot (x^{3}+3x^{2}+2)+4,}
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με {\displaystyle P(3)=4}.

### Παράδειγμα 2ο

Έστω το πολυώνυμο {\displaystyle P(x)=3x^{4}+2x+5} και {\displaystyle Q(x)=x-2}. Το θεώρημα Μπεζού λέει ότι το υπόλοιπο της διαίρεσης του P με το Q είναι {\displaystyle P(2)=7}.

Από τον αλγόριθμο της διαίρεσης, παίρνουμε ότι 

{\displaystyle P(x)=(x-2)\cdot (3x^{4}+2x+5)+7,}
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι ίσο με {\displaystyle P(2)=7}.

### Παράδειγμα 3ο

Έστω το πολυώνυμο {\displaystyle P(x)=x^{n}-y^{n}}. Τότε, από τις ιδιότητες της παραγοντοποίησης έχουμε ότι

{\displaystyle P(x)=(x-y)\cdot (x^{n-1}+yx^{n-2}+\ldots +y^{n-2}x+y^{n-1}),}
και έπεται ότι το υπόλοιπο με την διαίρεση με το {\displaystyle Q(x)=x-y} είναι μηδέν (που είναι ίσο με {\displaystyle P(y)=0}).

Αποδείξεις
----------

### Με Θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων

Το θεώρημα διαίρεσης πολυωνύμων λέει ότι για τα πολυώνυμα {\displaystyle P(x)} και {\displaystyle Q(x)} υπάρχουν μοναδικά πολυώνυμα {\displaystyle \Pi (x)} και {\displaystyle R(x)} με {\displaystyle \operatorname {deg} (R)<\operatorname {deg} (Q)}, τέτοια ώστε

{\displaystyle P(x)=\Pi (x)\cdot Q(x)+R(x).}
Επομένως, όταν το {\displaystyle Q(x)=x-r}, τότε έχουμε ότι

{\displaystyle P(x)=\Pi (x)\cdot (x-r)+R.}
Για {\displaystyle x=r}, λαμβάνουμε ότι {\displaystyle P(r)=R}.

### Με ταυτότητα διαφοράς δυνάμεων

Θα χρησιμοποιήσουμε την ταυτότητα για κάθε {\displaystyle x,y\in \mathbb {R} } και {\displaystyle r\in \mathbb {N} }, 

{\displaystyle x^{r}-y^{r}=(x-y)\cdot (x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1})}.
και θα γράψουμε {\displaystyle S\_{r}=x^{r-1}+yx^{r-2}+\ldots +y^{r-2}x+y^{r-1}}. Επομένως, 

{\displaystyle {\begin{aligned}P(x)-P(r)&=(a\_{n}x^{n}+\ldots +a\_{1}x+a\_{0})-(a\_{n}r^{n}+\ldots +a\_{1}r+a\_{0})\\&=a\_{n}\cdot (x^{n}-r^{n})+\ldots +a\_{1}\cdot (x-r)\\&=a\_{n}\cdot (x-r)\cdot S\_{n}+\ldots +a\_{1}\cdot (x-r)\cdot S\_{1}\\&=(x-r)\cdot (a\_{n}S\_{n}+\ldots +a\_{1}S\_{1}).\end{aligned}}}
Επομένως, 

{\displaystyle P(x)=(x-r)\cdot (a\_{n}S\_{n}+\ldots +a\_{1}S\_{1})+P(r),}
που επιβεβαιώνει ότι το υπόλοιπο είναι {\displaystyle P(r)}.

Συνέπειες
---------

Το παρακάτω πόρισμα προκύπτει από το γεγονός ότι {\displaystyle P(r)=0} ανν το r είναι ρίζα. 

**Πόρισμα** — Έστω {\displaystyle P(x)} ένα πολυώνυμο και {\displaystyle Q(x)=x-r}. Τότε το Q είναι παράγοντας του P ανν το r είναι ρίζα του P.

**Πόρισμα** — Έστω {\displaystyle P(x)} ένα πολυώνυμο και {\displaystyle Q(x)=ax+b}. Τότε το υπόλοιπο της διαίρεσης του P και του Q είναι {\displaystyle P(-b/a)}.

Δείτε επίσης
------------

* Πολυώνυμο
* Θεώρημα διαίρεσης για πολυώνυμα

Παραπομπές
----------

1. ↑  Βουκούτης, Ναπολέων. *Πολυώνυμα*. Αθήνα: Gutenberg.
2. ↑  Μπασογιάννης, Αθανάσιος Μ. *Πολυώνυμα: Θεωρία, μέθοδοι, ασκήσεις*. Ιωάννινα.
3. ↑  Παπαγιάννης, Ορέστης Β. *Λυμέναι ασκήσεις άλγεβρας-αναλύσεως: πολυώνυμα*. Αθήνα: Λεούσης-Μαστρογιάννης.
4. ↑  Ποσταντζής, Δημήτρης (1977). *Πολυώνυμα: Μεθοδολογία*. Αθήνα.
5. ↑  Ρούτσης, Νίκος (1972). *Πολυώνυμα*. Αθήνα.