Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι ίση με το μήκος της υποτείνουσας του ορθογωνίου τριγώνου με πλευρές μήκους 1.
Η **τετραγωνική ρίζα του 2**, ή αλλιώς, γραμμένο στα μαθηματικά, √2 ή 21⁄2, είναι ο θετικός αλγεβρικός αριθμός που, όταν πολλαπλασιαστεί με τον εαυτό του, δίνει τον αριθμό 2. Τεχνικά, ονομάζεται η **κύρια τετραγωνική ρίζα του 2**, έτσι ώστε να διακρίνεται από τον αρνητικό αριθμό με την ίδια ιδιότητα.

Γεωμετρικά, η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός τετραγώνου με πλευρά μήκους 1 (προκύπτει από το Πυθαγόρειο θεώρημα). Ήταν ίσως ο πρώτος γνωστός άρρητος αριθμός.

Ιστορία
-------

Βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα (YBC 7289) με σχολιασμούς. Δείχνει την τετραγωνική ρίζα του 2 σε εξηκονταδική μορφή (1 24 51 10).
Η βαβυλωνιακή πήλινη πλάκα YBC 7289 (1800-1600 π.Χ.) δίνει μια προσέγγιση του √2 σε τέσσερα εξηνταδικά στοιχεία, 1 24 51 10, η οποία έχει ακρίβεια περίπου έξι δεκαδικά ψηφία,  και είναι η κοντινότερη δυνατή εξηκονταδική αναπαράσταση του √2:

{\displaystyle 1+{\frac {24}{60}}+{\frac {51}{60^{2}}}+{\frac {10}{60^{3}}}={\frac {305470}{216000}}=1.41421{\overline {296}}.}
Μια άλλη πρώιμη προσέγγιση δίνεται στα αρχαία Ινδικά μαθηματικά κείμενα, τα Sulbasutras (800-200 π.Χ.) ως εξής: *Αύξηση του μήκους της πλευράς με την τρίτη και της τρίτης από τη δική τέταρτη μικρότερη των τριάντα τέταρτο μέρος του τέταρτου.* Δηλαδή,

{\displaystyle 1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3\times 4}}-{\frac {1}{3\times 4\times 34}}={\frac {577}{408}}=1.41421{\overline {56862745098039}}.}
Η προσέγγιση αυτή είναι η έβδομη στη σειρά από ολοένα και πιο ακριβείς προσεγγίσεις με βάση την ακολουθία των αριθμών του Πελ, η οποία μπορεί να προέρχεται από το συνεχές κλάσμα της επέκτασης του √2. Παρά τον μικρότερο παρονομαστή, είναι μόνο ελαφρώς λιγότερο ακριβές από τη βαβυλωνιακή προσέγγιση.

Πυθαγόρειοι μαθηματικοί ανακάλυψαν ότι η διαγώνιος ενός τετραγώνου είναι μη υπολογίσιμη, ή σε σύγχρονη γλώσσα, η τετραγωνική ρίζα του δύο είναι άρρητη. Λίγα είναι γνωστά σχετικά με το χρόνο ή τις συνθήκες αυτής της ανακάλυψης, αλλά το όνομα του Ιππάσου από το Μεταπόντιο αναφέρεται συχνά. Σύμφωνα με το μύθο, ο Ίππασος δολοφονήθηκε για αυτήν την αποκάλυψη. Η τετραγωνική ρίζα του δύο μερικές φορές αποκαλείται «ο αριθμός του Πυθαγόρα» ή «Πυθαγόρεια σταθερά», για παράδειγμα στο Conway & Guy (1996) .

Υπολογισμός με αλγορίθμους
--------------------------

Υπάρχουν αρκετοί αλγόριθμοι για την προσέγγιση του √2 ως κλάσμα ακεραίων αριθμών. Ο πιο κοινός αλγόριθμος για αυτό, ο οποίος χρησιμοποιείται σε πολλούς υπολογιστές και αριθμομηχανές είναι η βαβυλωνιακή μέθοδος  υπολογισμού τετραγωνικών ριζών. Η μέθοδος λειτουργεί ως εξής:

Πρώτον, διαλέγουμε ένα {\displaystyle a\_{0}>0}, η τιμή του οποίου επηρεάζει μόνο πόσες επαναλήψεις απαιτούνται για την επίτευξη μίας προσέγγισης με συγκεκριμένη ακρίβεια. Στη συνέχεια, χρησιμοποιώντας αυτή την αρχική τιμή, χρησιμοποιεί τον ακόλουθο αναδρομικό υπολογισμό:

{\displaystyle a\_{n+1}={\frac {a\_{n}+{\frac {2}{a\_{n}}}}{2}}={\frac {a\_{n}}{2}}+{\frac {1}{a\_{n}}}}.
Όσο περισσότερες επαναλήψεις τρέξουμε από τον αλγόριθμο (δηλαδή, όσο περισσότερους υπολογισμούς εκτελούμε και όσο μεγαλύτερο είναι το *n*), τόσο καλύτερη προσέγγιση της τετραγωνικής ρίζας του 2 που επιτυγχάνεται. Κάθε επανάληψη περίπου διπλασιάζει το πλήθος των σωστών ψηφίων. Ξεκινώντας με το {\displaystyle a\_{0}=1} οι επόμενες προσεγγίσεις είναι οι εξής (όπου με bold είναι τα δεκαδικά ψηφία που είναι σωστά):

* 3/2 = **1** ,5
* 17/12 = **1,41** 6 ...
* 577/408= **1,41421** 5 ...
* 665857/470832= **1,41421356237** 46 ...

Η τιμή της √2 υπολογίστηκε με 137.438.953.444 δεκαδικά ψηφία από την ομάδα Yasumasa στον Καναδά το 1997. Τον Φεβρουάριο του 2006 το ρεκόρ για τον υπολογισμό του √2 επιτεύχθηκε με την χρήση του προσωπικού υπολογιστή. Ο Σιγκέρου Κόντο υπολόγισε 1 τρισεκατομμύρια δεκαδικά ψηφία το 2010.  Για την επίτευξη αυτού του ρεκόρ, δείτε τον παρακάτω πίνακα. Μεταξύ μαθηματικών σταθερών που είναι δύσκολο να υπολογιστούν, μόνο το π έχει υπολογιστεί με μεγαλύτερη ακρίβεια. 

| Ημερομηνία | Όνομα | Πλήθος ψηφίων |
| --- | --- | --- |
| Ιανουάριος 5, 2022 | Tizian Hanselmann | 10000000001000 |
| Ιούνιος 28, 2016 | Ron Watkins | 10000000000000 |
| Απρίλιος 3, 2016 | Ron Watkins | 5000000000000 |
| Ιανουάριος 20, 2016 | Ron Watkins | 2000000000100 |
| Φεβρουάριος 9, 2012 | Alexander Yee | 2000000000050 |
| Μάρτιος 22, 2010 | Shigeru Kondo | 1000000000000 |

Περεταίρω ανάγνωση
------------------

### Εξωτερικοί σύνδεσμοι

* Gourdon, X.; Sebah, P. (2001), «Pythagoras' Constant: √2», *Numbers, Constants and Computation*, ανακτήθηκε στις 2018-05-09 .
* Weisstein, Eric W. "Pythagoras's Constant" από το MathWorld.
* Η Τετραγωνική Ρίζα του Δύο και 5 εκατομμύρια ψηφία από Jerry Bonnell και Robert J. Nemiroff
* Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι άρρητη, μια συλλογή από αποδείξεις
* Grime, James· Bowley, Roger. «The Square Root √2 of Two». *Numberphile*. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 22 Μαΐου 2017. Ανακτήθηκε στις 9 Μαΐου 2018.

### Ελληνικά άρθρα

* Πανάς Επαμεινώνδας (1977). «Μερικές αποδείξεις της αρρητότητας του ρίζα 2». *Ευκλείδης Β΄* (5): 1-2.
* Ι. Παπαδάτος (1978). «Ιστορική Αναδρομή για την Εύρεση Τετραγωνικής ρίζας Αριθμού». *Ευκλείδης Β΄* (3): 103-104. .
* Α. Χαλάτσης (1990). «Υπολογισμός τετραγωνικής ρίζας με προσέγγιση». *Ευκλείδης Β΄* (3): 10-11. .
* Παπασταυρίδης Σταύρος (1993). «Ο Ασσύμετρος "ρίζα 2"». *Ευκλείδης Β΄* (3): 10-11. .

### Ξενόγλωσσα άρθρα

* Estermann, T. (Ιουνίου 1975). «59.3. The irrationality of √2». *The Mathematical Gazette* **59** (408): 110–110. doi:10.2307/3616647. .
* Moreno, Samuel G.; García−Caballero, Esther M. (Μαρτίου 2020). «104.01 Irrationality of with determinants». *The Mathematical Gazette* **104** (559): 143–146. doi:10.1017/mag.2020.16.
* Apostol, Tom M. (Νοεμβρίου 2000). «Irrationality of The Square Root of Two—A Geometric Proof». *The American Mathematical Monthly* **107** (9): 841–842. doi:10.1080/00029890.2000.12005280. .

Παραπομπές
----------

1. ↑  Fowler and Robson, p. 368.  
Φωτογραφία και περιγραφή της πλακέτας για το ρίζα 2 από την βαβυλωνιακή συλλογή του Yale Αρχειοθετήθηκε 2012-08-13 στο Wayback Machine.
  
Φωτογραφίες υψηλής ευκρίνειας, περιγραφές και ανάλυση της ταμπλέτας για το ρίζα 2 (YBC 7289) από την βαβυλωνιακή συλλογή του Yale
2. ↑  Henderson.
3. ↑  Stephanie J. Stephanie J. «The Pythagorean Theorem». The University of Georgia. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2023.
4. ↑  Clegg, Brian (2004). «The Dangerous Ratio». NRICH. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2023.
5. ↑  Kurt von Fritz, "The discovery of incommensurability by Hippasus of Metapontum", Annals of Mathematics, 1945.
6. ↑  Conway, John H.; Guy, Richard K. (1996), *The Book of Numbers*, Copernicus, σελ. 25
7. ↑  Παρόλο που ο όρος "βαβυλωνιακή μέθοδος" είναι πιο σύνηθης αυτή την εποχή, δεν υπάρχουν ευθείς αποδείξεις που δείχνουν πώς οι Βαβυλώνιοι υπολόγισαν την προσέγγιση του √2 που εμφανίζεται στην πινακίδα YBC 7289. Οι Fowler and Robson δίνουν μια πιο λεπτομερή ανάλυση και ικασίες.  
Fowler and Robson, σελ. 376. Flannery, σελ. 32, 158.
8. ↑  «Constants and Records of Computation». Numbers.computation.free.fr. 12 Αυγούστου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Μαρτίου 2012. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2012.
9. ↑  «Number of known digits». Numbers.computation.free.fr. 12 Αυγούστου 2010. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 1 Μαρτίου 2012. Ανακτήθηκε στις 7 Σεπτεμβρίου 2012.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Καθιερωμένοι όροι | 
* SUDOC: 112539920
* BNF: cb15504722x (data)

 |

 |