Το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί να μεταφραστεί ως η περιοχή κάτω από την καμπύλη.
Στα Μαθηματικά, το ολοκλήρωμα μιας μη αρνητικής συνάρτησης μπορεί με τον απλούστερο τρόπο, να θεωρηθεί ως το εμβαδό μεταξύ της γραφικής παράστασης της συνάρτησης και τον άξονα των *x*. **Ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ** είναι μια μαθηματική κατασκευή που επεκτείνει το ολοκλήρωμα σε μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Επίσης, επεκτείνει το πεδίο ορισμού πάνω στο οποίο οι συναρτήσεις αυτές μπορούν να οριστούν. Ήταν ήδη αντιληπτό, πως για μη αρνητικές, αρκετά λείες (αρκετά μεγάλης κλάσης διαφορισιμότητας) συναρτήσεις (όπως οι συνεχείς συναρτήσεις ορισμένες σε κλειστά και φραγμένα διαστήματα) το *εμβαδό κάτω από την καμπύλη* μπορούσε να οριστεί ως το ολοκλήρωμα και υπολογίζονταν χρησιμοποιώντας τεχνικές προσέγγισης με πολύγωνα. Όμως, καθώς οι ανάγκες για χρήση πιό περίπλοκων συναρτήσεων μεγάλωναν (όπως για παράδειγμα στη Θεωρία πιθανοτήτων), έγινε ξεκάθαρο πως απαιτούνταν πιό προσεκτικές μέθοδοι προσέγγισης, για να οριστεί ένα πιό κατάλληλο ολοκλήρωμα. Επίσης, υπήρχε η ανάγκη για ολοκλήρωση σε γενικότερους χώρους πέραν της πραγματικής ευθείας. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ παρέχει όλους τους απαραίτητους κανόνες και έννοιες για να γίνει αυτό.

Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ είναι πολύ σημαντικό στην Πραγματική Ανάλυση, καθώς και σε άλλα πεδία των μαθηματικών. Πήρε το όνομά του από τον Ανρί Λεμπέγκ (1875–1941), ο οποίος το εισήγαγε το 1904. Είναι επίσης η βάση για τους ορισμούς και τη θεμελίωση της αξιωματικής Θεωρίας Πιθανοτήτων.

Ο όρος "ολοκλήρωση κατά Λεμπέγκ" μπορεί να αναφέρεται, είτε γενικά στη θεωρία της ολοκλήρωσης μιας συνάρτησης ως προς ένα γενικό μέτρο, όπως παρουσιάστηκε από τον Λεμπέγκ, ή στην ειδική περίπτωση που το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης ορίζεται πάνω σε ένα υποσύνολο τού άξονα των πραγματικών αριθμών ως προς το μέτρο Λεμπέγκ.

Εισαγωγή
--------

Το ολοκλήρωμα μιας συνάρτησης *f* με όρια ολοκλήρωσης *a* και *b* μπορεί να μεταφραστεί ως το εμβαδό κάτω από τη γραφική παράσταση της *f*. Αυτό είναι εύκολα αντιληπτό για απλές συναρτήσεις, όπως είναι τα πολυώνυμα, αλλά τι σημαίνει αυτό όταν μιλάμε για πιο περίπλοκες συναρτήσεις; Γενικά, για ποια κατηγορία συναρτήσεων έχει νόημα "το εμβαδό κάτω από την καμπύλη"; Η απάντηση έχει τεράστια θεωρητική και πρακτική σημασία.

Κατά το δέκατο ένατο αιώνα, έγιναν προσπάθειες να στηθεί ο Ολοκληρωτικός Λογισμός σε μια πιο αυστηρή βάση, στα πλαίσια μιας γενικότερης αυστηροποίησης των μαθηματικών. Το Ρίμαν ολοκλήρωμα, είναι μια επιτυχημένη τέτοια προσπάθεια που βοηθά στην επίτευξη αυτού τού στόχου. Ο ορισμός που έδωσε ο Ρίμαν, ξεκινά με την κατασκευή μιας ακολουθίας εμβαδών, που εύκολα υπολογίζονται, η οποία συγκλίνει στο ολοκλήρωμα μιας δοσμένης συνάρτησης. Αυτός ο ορισμός είναι επιτυχημένος, με την έννοια ότι δίνει την αναμενόμενη απάντηση σε ήδη λυμένα προβλήματα, καθώς και χρήσιμα αποτελέσματα σε πολλά άλλα προβλήματα.

Ωστόσο, η Ολοκλήρωση κατά Ρίμαν δεν αλληλεπιδρά καλά με τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων, πράγμα που καθιστά δύσκολη την ανάλυση τέτοιων διαδικασιών. Αυτή είναι πρωτεύουσας σημασίας σε άλλους κλάδους των μαθηματικών, όπως για παράδειγμα στην Ανάλυση Φουριέ. Το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ μπορεί καλύτερα να περιγράψει κάτω από ποιές συνθήκες μπορεί το ολοκλήρωμα να βγει έξω από το όριο, με τα ισχυρά θεωρήματα της Μονότονης Σύγκλισης και της Κυριαρχούμενης Σύγκλισης. Ο ορισμός τού Λεμπέγκ, σε αντίθεση με τού Ρίμαν, θεωρεί μια άλλη κατηγορία εύκολα υπολογίσιμων εμβαδών και γι' αυτό το λόγο το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ συμπεριφέρεται καλύτερα. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ καθιστά δυνατό τον υπολογισμό ολοκληρωμάτων για μια ευρύτερη κατηγορία συναρτήσεων. Για παράδειγμα, η συνάρτηση τού Ντίριχλετ, η οποία είναι 0 όταν το όρισμά της είναι άρρητος και 1 όταν είναι ρητός, ενώ δεν είναι Ρίμαν ολοκληρώσιμη, είναι Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη και το ολοκλήρωμά της ισούται με 0.

Η προσέγγιση τού Λεμπέγκ για το ολοκλήρωμα συνοψίζεται σε ένα γράμμα του, όπου γράφει:

> Πρέπει να πληρώσω ένα συγκεκριμένο ποσό. Βγάζω τα χαρτονομίσματα και τα νομίσματα από την τσέπη μου και για να πληρώσω, τα δίνω με τη σειρά που τα βρίσκω μέχρι να φτάσω το συνολικό ποσό. Αυτό είναι το Ρίμαν ολοκλήρωμα. Αλλά μπορώ να πληρώσω διαφορετικά. Αφού βγάλω όλα τα χρήματα από την τσέπη μου, στοιβάζω τα νομίσματα και τα χαρτονομίσματα σε σειρά με βάση την αξία τους και ύστερα πληρώνω δίνοντας τις στοίβες τη μία μετά την άλλη. Αυτό είναι το δικό μου ολοκλήρωμα.
> 
> 

Δηλαδή, μπορούμε να κατανείμουμε τις τιμές μιας συνάρτησης ελεύθερα, διατηρώντας όμως σταθερή την τιμή τού ολοκληρώματος. Η διαδικασία αυτής της ανακατανομής μπορεί να μετατρέψει μια παθολογική συνάρτηση σε μια "όμορφη" συνάρτηση, από την άποψη της ολοκληρωσιμότητας και επομένως μας επιτρέπει την ολοκλήρωση μιας τέτοιας συνάρτησης.

### Διαισθητική ερμηνεία

Ολοκλήρωμα Riemann-Darboux (μπλε) και ολοκλήρωμα Lebesgue (κόκκινο)
Για να πάρετε κάποια διαίσθηση σχετικά με τις διαφορετικές προσεγγίσεις για την ενσωμάτωση, ας φανταστούμε ότι είναι επιθυμητό να βρείτε τον όγκο ενός βουνού (πάνω από το επίπεδο της θάλασσας).

#### Η προσέγγιση Riemann-Darboux

Χωρίστε την βάση του βουνού σε ένα πλέγμα τετραγώνων του 1 μέτρου. Μετρήστε το ύψος του βουνού στο κέντρο κάθε τετραγώνου. Ο όγκος σε ένα τετραγωνικό πλέγμα είναι περίπου 1 τ.μ. × (ύψους του τετραγώνου), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος είναι 1 τ.μ. φορές το άθροισμα των υψών.

#### Η προσέγγιση Lebesgue

Σχεδιάστε ένα χάρτη περίγραμμα του βουνού, όπου τα παρακείμενα περιγράμματα είναι 1 μέτρο ύψος ξεχωριστά. Ο όγκος της γης που περιέχεται σε ένα ενιαίο περίγραμμα είναι περίπου 1 m × (περιοχή του περιγράμματός του), έτσι ώστε ο συνολικός όγκος να είναι το άθροισμα των περιοχών αυτών φοράς 1 m.

### Πιο επίσημος ορισμός

Για να ορίσετε το ολοκλήρωμα Lebesgue απαιτείται η έννοια του μέτρου, το οποίο κατά προσέγγιση συνδέεται, για κάθε σύνολο Α των πραγματικών αριθμών,ένας μη αρνητικός αριθμός μ (A) που αντιπροσωπεύει το «μέγεθος» του Α. Αυτή η έννοια του "μεγέθους" θα πρέπει να συμφωνεί με το μήκος ενός διαστήματος ή την ένωση διαστημάτων. Ας υποθέσουμε ότι η f: ℝ → ℝ + είναι μια μη-αρνητική πραγματική συνάρτηση. Χρησιμοποιώντας την φιλοσοφία της "διαμέρισης του εύρους της f", το ολοκλήρωμα της f θα πρέπει να είναι το άθροισμα πάνω από τ της στοιχειώδης περιοχής που περιλαμβάνεται στη λεπτή οριζόντια λωρίδα μεταξύ y = t και y = t + dt. Αυτή η στοιχειώδης περιοχή είναι ακριβώς

\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right)\,dt.
Έστω

f^{\*}(t)=\mu \left(\{x\mid f(x)>t\}\right).
Το Lebesgue ολοκλήρωμα της f ορίζεται στη συνέχεια από

\int f\,d\mu =\int \_{0}^{\infty }f^{\*}(t)\,dt
όπου το ολοκλήρωμα στα δεξιά είναι ένα συνηθισμένο γενικευμένο ολοκλήρωμα Riemann (σημειώστε ότι η f \* είναι μία μη αρνητική φθίνουσα συνάρτηση, και ως εκ τούτου ορίζεται το ολοκλήρωμα Riemann). Για μια κατάλληλη κατηγορία συναρτήσεων (οι μετρήσιμες συναρτήσεις) ορίζεται το Lebesgue ολοκλήρωμα.

Μια γενική (όχι απαραίτητα θετική) συνάρτηση f είναι Lebesgue ολοκλήρωμα εάν η περιοχή μεταξύ της γραφικής παράστασης της f και του άξονα χ είναι πεπερασμένη:

\int |f|\,d\mu <+\infty .
Σε αυτή την περίπτωση, το ολοκλήρωμα είναι, όπως και στην περίπτωση Riemann, η διαφορά μεταξύ της περιοχής πάνω από τον άξονα χ και της περιοχής κάτω από τον άξονα x:

\int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu 
όπου

{\begin{aligned}f^{+}(x)&=\max(\{f(x),0\})&=&{\begin{cases}f(x),&{\text{if }}f(x)>0,\\0,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\f^{-}(x)&=\max(\{-f(x),0\})&=&{\begin{cases}-f(x),&{\text{if }}f(x)<0,\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}\end{aligned}}

Κατασκευή
---------

Η συζήτηση που ακολουθεί γίνεται παράλληλα με την πιο κοινή επεξηγηματική προσέγγιση στο ολοκλήρωμα Lebesgue. Στην προσέγγιση αυτή, η θεωρία της ολοκλήρωσης έχει δύο διακριτά μέρη:

1. Μια θεωρία των μετρήσιμων συνόλων και μέτρων για αυτά τα σύνολα.
2. Μια θεωρία των μετρήσιμων συναρτήσεων και ολοκληρωμάτων για τις συναρτήσεις αυτές.

Η συνάρτηση της οποίας το ολοκλήρωμα μπορεί να προσεγγιστεί από ορισμένες αποκαλούμενες απλές συναρτήσεις, των οποίων τα ολοκληρώματα μπορούν να γραφτούν από την άποψη του μέτρου. Το ολοκλήρωμα της αρχικής συνάρτησης είναι το όριο του ολοκληρώματος των απλών συναρτήσεων.

### Θεωρία μέτρου

Επιπλέον πληροφορίες: Μέτρο (μαθηματικά)

Η θεωρία μέτρου δημιουργήθηκε αρχικά για να παρέχει μια χρήσιμη αφαίρεση της έννοιας του μήκους των υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής και, γενικότερα, της περιοχής και του όγκου των υποσυνόλων των Euclidean διαστημάτων. Ιδίως,έδωσε μια συστηματική απάντηση στο θέμα ,για το αν το ℝ έχει  μήκος. Όπως παρουσιάστηκε από τις επόμενες αναπτύξεις στην καθορισμένη θεωρία (δείτε το μη-μετρήσιμο σύνολο), είναι πραγματικά αδύνατο να οριστεί ένα μήκος σε όλα τα υποσύνολα ℝ , με τέτοιο τρόπο ώστε να συντηρεί μερικές φυσικές ιδιότητες προσθήκης και σταθερότητας μεταφράσεων. Αυτό σημαίνει ότι η επιλογή μιας κατάλληλης κατηγορίας  μετρήσιμων υποσυνόλων είναι μια ουσιαστική προϋπόθεση.

Το ολοκλήρωμα Riemann χρησιμοποιεί την έννοια του μήκους ρητά. Πράγματι, το στοιχείο του υπολογισμού για το ολοκλήρωμα Riemann είναι το ορθογώνιο [α, β] × [γ, δ], του οποίου  η περιοχή υπολογίζεται  να είναι (β − α) (δ − γ). Η ποσότητα (β − α) είναι το μήκος της βάσης του ορθογωνίου και το (δ − γ) είναι το ύψος του ορθογωνίου. Το ολοκλήρωμα Riemann θα μπορούσε μόνο να χρησιμοποιήσει τα επίπεδα ορθογώνια για να προσεγγίσει την περιοχή κάτω από την καμπύλη,επειδή δεν υπάρχει καμία επαρκής θεωρία για τη μέτρηση των γενικότερων συνόλων.

Στην ανάπτυξη της θεωρίας στα περισσότερα σύγχρονα εγχειρίδια (μετά το 1950), η προσέγγιση στο μέτρο και η ολοκλήρωση είναι αξιωματικές. Αυτό σημαίνει ότι ένα μέτρο σε οποιαδήποτε συνάρτηση μ καθορίζεται σε μια ορισμένη κατηγορία Χ υποσυνόλων ενός καθορισμένου Ε, το οποίο ικανοποιεί έναν ορισμένο κατάλογο ιδιοτήτων. Αυτές οι ιδιότητες μπορούν να αποδειχθούν και να ισχύουν  σε πολλές διαφορετικές περιπτώσεις.

### Ολοκλήρωση

Θεωρούμε ένα χώρο μέτρου (*E*, *X*, μ) όπου *E* είναι ένα σύνολο, *X* είναι μια σ-άλγεβρα υποσυνόλων τού *E*, και το μ είναι ένα μέτρο στο *E* ορισμένο στη *X*.

Παραδείγματος χάριν, το *E* μπορεί να είναι ο ευκλείδειος χώρος ℝ*n* ή ένα Λεμπέγκ-μετρήσιμο υποσύνολό του, *X* η σ-άλγεβρα όλων των Λεμπέγκ-μετρήσιμων υποσυνόλων τού *E*, και μ το μέτρο Λεμπέγκ. Στη θεωρία Πιθανοτήτων, περιορίζουμε τη μελέτη σε κάποιο μέτρο πιθανότητας μ που ικανοποιεί τη σχέση μ(*E*) = 1.

Στη θεωρία Λεμπέγκ, τα ολοκληρώματα ορίζονται για μια κατηγορία συναρτήσεων που ονομάζονται μετρήσιμες συναρτήσεις. Μια πραγματική συνάρτηση *f* στο *E* είναι μετρήσιμη αν:

{\displaystyle \{x\,\mid \,f(x)>t\}\in X\quad {\text{for all}}\ t\in \mathbb {R} .}
Αποδεικνύεται ότι αυτό είναι ισοδύναμο με το να απαιτούμε η αντίστροφη εικόνα οποιουδήποτε Borel υποσυνόλου τού ℝ να ανήκει στο *X*. Υποθέτουμε στο εξής πως αυτό ισχύει. Το σύνολο των μετρήσιμων συναρτήσεων είναι κλειστό ως προς τις αλγεβρικές πράξεις, αλλά το πιό σημαντικό είναι πως είναι κλειστό ως προς τα όρια ακολουθιών συναρτήσεων κάτω από συγκεκριμένες υποθέσεις. Ισχύει ότι οι:

{\displaystyle \sup \_{k\in \mathbb {N} }f\_{k},\quad \liminf \_{k\in \mathbb {N} }f\_{k},\quad \limsup \_{k\in \mathbb {N} }f\_{k}}
είναι μετρήσιμες αν και οι αρχικές ακολουθίες (*f**k*)*k*, όπου *k* ∈ ℕ, αποτελούνται από μετρήσιμες συναρτήσεις.

Κατασκευάζουμε ένα ολοκλήρωμα

{\displaystyle \int \_{E}f\,d\mu =\int \_{E}f\left(x\right)\,\mu \left(dx\right)}
όπου *f* μετρήσιμη συνάρτηση ορισμένη στο *E* σε στάδια:

**Χαρακτηριστικές συναρτήσεις**: Για να δώσουμε μια τιμή στο ολοκλήρωμα της χαρακτηριστικής συνάρτησης 1*S* ενός μετρήσιμου, ως προς το μέτρο μ, συνόλου *S* θέτουμε:

{\displaystyle \int 1\_{S}\,d\mu =\mu (S).}
Παρατηρούμε ότι το αποτέλεσμα μπορεί να είναι και ίσο με +∞, εκτός κι αν το μέτρο μ είναι πεπερασμένο μέτρο.

**Απλές συναρτήσεις**: Ένας πεπερασμένος γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων

{\displaystyle \sum \_{k}a\_{k}1\_{S\_{k}}}
όπου οι συντελεστές *a**k* είναι πραγματικοί αριθμοί και τα σύνολα *Sk* είναι μετρήσιμα, ονομάζεται απλή συνάρτηση. Επεκτείνουμε το ολοκλήρωμα όπως το ορίσαμε παραπάνω, με γραμμικότητα, στις μη-αρνητικές μετρήσιμες απλές συναρτήσεις. Όταν οι συντελεστές *ak* είναι μη-αρνητικοί, θέτουμε

{\displaystyle \int \left(\sum \_{k}a\_{k}1\_{S\_{k}}\right)\,d\mu =\sum \_{k}a\_{k}\int 1\_{S\_{k}}\,d\mu =\sum \_{k}a\_{k}\,\mu (S\_{k}).}
Χρησιμοποιούμε τη σύμβαση ότι 0 × ∞ = 0. Ακόμα κι αν μια απλή συνάρτηση μπορεί να γραφεί με πολλούς τρόπους ως γραμμικός συνδυασμός χαρακτηριστικών συναρτήσεων, το ολοκλήρωμα είναι πάντα το ίδιο. Αυτό αποδεικνύεται χρησιμοποιώντας την ιδιότητα της προσθετικότητας.

Επίσης, για να αποφεύγεται η απροσδιόριστη μορφή ∞ − ∞ υποθέτουμε ότι η παράσταση

{\displaystyle f=\sum \_{k}a\_{k}1\_{S\_{k}}}
είναι τέτοια ώστε αν ∞ − ∞ τότε μ(*S**k*) < ∞. Τότε το ολοκλήρωμα της *f* έχει νόημα και το αποτέλεσμα δεν εξαρτάται από την παράσταση της *f*, αρκεί η παράσταση αυτή να ικανοποιεί τις παραπάνω συνθήκες.

Αν *B* είναι ένα μετρήσιμο υποσύνολο τού *E* και *s* είναι μια μετρήσιμη απλή συνάρτηση, τότε ορίζουμε

{\displaystyle \int \_{B}s\,d\mu =\int 1\_{B}\,s\,d\mu =\sum \_{k}a\_{k}\,\mu (S\_{k}\cap B).}
**Μη αρνητικές συναρτήσεις**: Ας είναι *f* μια μη αρνητική μετρήσιμη επεκτεταμένη (μπορεί να πάρει την τιμή +∞) συνάρτηση στο *E*. Τότε ορίζουμε

{\displaystyle \int \_{E}f\,d\mu =\sup \left\{\,\int \_{E}s\,d\mu :0\leq s\leq f,\ s\ {\text{simple}}\,\right\}.}
Αποδεικνύεται πως αυτό το το ολοκλήρωμα συμπίπτει με το προηγούμενο. Επίσης, όταν το *E* είναι διάστημα της μορφής [*a*, *b*], το ολοκλήρωμα ισούται με ολοκλήρωμα Ρίμαν.
Ορίσαμε λοιπόν, το ολοκλήρωμα της *f* για όλες τις μη-αρνητικές επεκτεταμένες πραγματικές μετρήσιμες συναρτήσεις στο *E*. Για κάποιες συναρτήσεις, το ολοκλήρωμα είναι άπειρο.
We have defined the integral of *f* for any non-negative extended real-valued measurable function on *E*. For some functions, this integral  ∫*E* *f* dμ  will be infinite.

**Signed functions**: Αν η *f* είναι επεκτεταμένη μετρήσιμη συνάρτηση στο *E* με πραγματικές τιμές, γράφουμε

{\displaystyle f=f^{+}-f^{-},\quad }
όπου

{\displaystyle f^{+}(x)=\left\{{\begin{matrix}f(x)&{\text{if }}f(x)>0\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
{\displaystyle f^{-}(x)=\left\{{\begin{matrix}-f(x)&{\text{if }}f(x)<0\\0&{\text{otherwise}}\end{matrix}}\right.}
Παρατηρούμε ότι οι *f*+ και *f*− είναι μη-αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις. Επίσης ισχύει

{\displaystyle |f|=f^{+}+f^{-}.\quad }
Λέμε ότι το ολοκλήρωμα Λεμπέγκ της μετρήσιμης συνάρτησης *f* *ορίζεται* αν τουλάχιστον ένα από τα ολοκληρώματα {\displaystyle \int f^{+}\,d\mu } and {\displaystyle \int f^{-}\,d\mu } είναι πεπερασμένο.

Σε αυτή την περίπτωση *ορίζουμε*

{\displaystyle \int f\,d\mu =\int f^{+}\,d\mu -\int f^{-}\,d\mu .}
Αν

{\displaystyle \int |f|\,d\mu <\infty ,}
τότε λέμε ότι η *f* είναι *Λεμπέγκ ολοκληρώσιμη*.

Ο παραπάνω ορισμός δίνει τις επιθυμητές ιδιότητες τού ολοκληρώματος

Εναλλακτικές διατυπώσεις
------------------------

Είναι δυνατό να αναπτύξουμε ένα ολοκλήρωμα με βάση το μέτρο Lebesque χωρίς να βασιστούμε στον πλήρη μηχανισμό της θεωρίας μέτρου. Μία ακόμα προσέγγιση είναι να παραχθεί από το ολοκλήρωμα Daniell.
Υπάρχει επίσης μια εναλλακτική προσέγγιση να αναπτύξουμε την θεωρία ολοκλήρωσης με μεθόδους συναρτησιακής ανάλυσης.
Το ολοκλήρωμα Riemann υπάρχει για οποιασδήποτε συνεχής συμπαγή συνάρτηση *f* που ορίζονται για ℝ*n* (ή ένα σταθερό ανοικτό υποσύνολο).
Ολοκληρώματα των πιο γενικών συναρτήσεων μπορούν να κατασκευαστούν ξεκινώντας από αυτά τα ολοκληρώματα.
Έστω *Cc*, ο χώρος όλων των πραγματικών τιμών συμπαγών συνεχών συναρτήσεων του ℝ. Ορίζουμε ένα πρότυπο 
*Cc* από : \|f\|=\int |f(x)|\,dx.
Τότε *Cc* είναι μία νόρμα (και ειδικότερα, είναι ένας μετρικός χώρος.) Όλοι οι μετρικοί χώροι έχουν την
ιδιότητα Hausdorff, όπου η *L*1 είναι η ολοκλήρωσή του. Αυτός ο χώρος είναι ισόμορφος με τον χώρο των 
ολοκληρώσιμων συναρτήσεων Lebesque modulo τον υποχώρο των συναρτήσεων με ολοκλήρωμα μηδέν. Επιπλέον, το ολοκλήρωμα Riemann 
∫ είναι ομοιόμορφα συνεχής συνάρτηση με τη νόρμα *Cc*, η οποία είναι πυκνή με την *L*1. Ως εκ τούτου, το ∫ έχει μοναδική επέκταση σε όλο το *L*1. Αυτό το ολοκλήρωμα είναι ακριβώς το ολοκλήρωμα Lebesgue.

Γενικότερα, όταν ο χώρος μέτρου στον οποίο ορίζονται οι συναρτήσεις είναι επίσης ένας τοπολογικά συμπαγής τοπολογικός χώρος (όπως στην περίπτωση του ℝ), είναι συμβατός με την τοπολογία σε κατάλληλη περίπτωση (μέτρο του Radon, του οποίου το μέτρο Lebesgue είναι ένα παράδειγμα) ένα ολοκλήρωμα που ακολουθεί τα παραπάνω μπορεί να οριστεί με τον ίδιο τρόπο, ξεκινώντας από τα ολοκληρώματα των συνεχών συναρτήσεων με συμπάγεια. Πιο συγκεκριμένα, οι συμπαγείς συναρτήσεις οι οποίες αποτελούν διανυσματικό χώρο που μεταφέρει μία φυσική topology, και ένα (Radon) μέτρο ορίζεται ως συνεχής γραμμική συνάρτηση στο χώρο αυτό. Η τιμή του μέτρου μίας συμπαγούς συνάρτησης είναι εξ'ορισμού το ολοκλήρωμα της συνάρτησης. Αυτό προχωρά ώστε να επεκτείνει το μέτρο (το ολοκλήρωμα) σε γενικότερες συναρτήσεις μέσω της συνέχειας, και ορίζει το μέτρο ενός συνόλου ως το ολοκλήρωμα της συνάρτησης δείκτη του. Αυτή είναι μια προσέγγιση του Bourbaki (2004) και ενός πλήθους άλλων συγγραφέων. Για περισσότερες πληροφορίες κοιτάξτε Radon measures.

Δείτε επίσης
------------

* Μπέρναρντ Ρίμαν
* Ολοκλήρωμα
* Μέτρο Λεμπέγκ
* Θεωρία μέτρου
* σ-άλγεβρα