Στα εφαρμοσμένα μαθηματικά και τη μαθηματική ανάλυση, η **παράγωγος φράκταλ** ή **παράγωγος Χάουσντορφ** είναι μια μη-Νευτώνεια γενίκευση της παραγώγου που αφορά το μέτρο των φράκταλ, η οποία ορίζεται στη μορφοκλασματική γεωμετρία. Οι φράκταλ παράγωγοι δημιουργήθηκαν για τη μελέτη της ανώμαλης διάχυσης, όπου οι παραδοσιακές προσεγγίσεις δεν λαμβάνουν υπόψη τη μορφοκλασματική φύση του μέσου. Ένα μέτρο φράκταλ *t* κλιμακώνεται ως συνάρτηση του *tα*. Μια τέτοια παράγωγος είναι τοπική, σε αντίθεση με την ομοίως εφαρμοζόμενη μορφοκλασματική παράγωγο. Ο μορφοκλασματικός λογισμός διατυπώνεται ως γενίκευση του καθιερωμένου λογισμού .

Φυσικό πλαίσιο
--------------

Τα πορώδη μέσα, οι υδροφόροι ορίζοντες, οι αναταράξεις και άλλα πεδία παρουσιάζουν συνήθως μορφοκλασματικές ιδιότητες. Οι κλασικοί νόμοι διάχυσης ή διασποράς που βασίζονται σε τυχαίους περιπάτους στον ελεύθερο χώρο (στην ουσία το ίδιο αποτέλεσμα γνωστό ως νόμοι διάχυσης του Φικ, ο νόμος του Ντάρσι και ο νόμος του Φουριέ) δεν είναι εφαρμόσιμοι στα μορφοκλασματικά μέσα. Για να ξεπεραστεί αυτό, έννοιες όπως η απόσταση και η ταχύτητα πρέπει να επαναπροσδιοριστούν για τα μορφοκλασματικά μέσα- ειδικότερα, οι κλίμακες χώρου και χρόνου πρέπει να μετασχηματιστούν ως συναρτήσεις του (*xβ*, *tα*). Οι στοιχειώδεις φυσικές έννοιες όπως η ταχύτητα επαναπροσδιορίζονται ως εξής για τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο (*xβ*, *tα*):

{\displaystyle v'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {dx^{\beta }}{dt^{\alpha }}}\,,\quad \alpha ,\beta >0},
όπου το *Sα,β* αντιπροσωπεύει τον μορφοκλασματικό χωροχρόνο με δείκτες κλιμάκωσης *α* και *β*. Ο παραδοσιακός ορισμός της ταχύτητας δεν έχει νόημα στον μη διαφοροποιήσιμο φράκταλ χωροχρόνο.

Ορισμός
-------

Με βάση τον παραπάνω προβληματισμό, η έννοια της φράκταλ παραγώγου μιας συνάρτησης *u*(*t*) ως προς ένα φράκταλ μέτρο *t* εισάγεται ως εξής:

{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim \_{t\_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t\_{1})-f(t)}{t\_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0},
Ένας πιο γενικός ορισμός δίνεται από τον ακόλουθο ορισμό

{\displaystyle {\frac {\partial ^{\beta }f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim \_{t\_{1}\rightarrow t}{\frac {f^{\beta }(t\_{1})-f^{\beta }(t)}{t\_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\,,\quad \alpha >0,\beta >0}.
Για μια συνάρτηση y(t) στο {\displaystyle F^{\alpha }}-τέλειο μορφοκλασματικό σύνολο F η φράκταλ παράγωγος ή {\displaystyle F^{\alpha }}-παράγωγος της στο t, ορίζεται ως εξής

{\displaystyle D\_{F}^{\alpha }y(t)=\left\{{\begin{array}{ll}{\underset {x\rightarrow t}{F\_{-}lim}}~{\frac {y(x)-y(t)}{S\_{F}^{\alpha }(x)-S\_{F}^{\alpha }(t)}},&if~t\in F;\\0,&otherwise.\end{array}}\right.}.
### Κίνητρο

Οι παράγωγοι μιας συνάρτησης f μπορούν να οριστούν ως προς τους συντελεστές ak στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}\cdot (x-x\_{0})^{k}=\sum \_{k=1}^{\infty }{1 \over k!}{d^{k}f \over dx^{k}}(x\_{0})\cdot (x-x\_{0})^{k}=f(x\_{0})+f'(x\_{0})\cdot (x-x\_{0})+o(x-x\_{0})}

Από αυτή την προσέγγιση μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

{\displaystyle f'(x\_{0})={f(x)-f(x\_{0})-o(x-x\_{0}) \over x-x\_{0}}=\lim \_{x\to x\_{0}}{f(x)-f(x\_{0}) \over x-x\_{0}}}

Αυτό μπορεί να γενικευτεί προσεγγίζοντας την f με συναρτήσεις (xα-(x0)α)k:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{k=1}^{\infty }b\_{k}\cdot (x^{\alpha }-x\_{0}^{\alpha })^{k}=f(x\_{0})+b\_{1}\cdot (x^{\alpha }-x\_{0}^{\alpha })+o(x^{\alpha }-x\_{0}^{\alpha })}

Σημείωση: ο συντελεστής χαμηλότερης τάξης πρέπει να εξακολουθεί να είναι b0=f(x0) αφού εξακολουθεί να είναι η σταθερή προσέγγιση της συνάρτησης f στο x0.

Και πάλι μπορεί κανείς να λάβει άμεσα:

  

{\displaystyle b\_{1}=\lim \_{x\to x\_{0}}{f(x)-f(x\_{0}) \over x^{\alpha }-x\_{0}^{\alpha }}{\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}{df \over dx^{\alpha }}(x\_{0})}

* Το φράκταλ της σειράς Μακλάουριν της f(t) με φράκταλ υποστήριξη F έχει ως εξής:

{\displaystyle f(t)=\sum \_{m=0}^{\infty }{\frac {(D\_{F}^{\alpha })^{m}f(t)|\_{t=0}}{m!}}(S\_{F}^{\alpha }(t))^{m}}

Ιδιότητες
---------

### Συντελεστές διαστολής

Όπως συμβαίνει και στο ανάπτυγμα της σειράς Τέιλορ, οι συντελεστές bk μπορούν να εκφραστούν ως προς τις κλασματικές παραγώγους τάξης k της f:

{\displaystyle b\_{k}={1 \over k!}{\biggl (}{d \over dx^{\alpha }}{\biggr )}^{k}f(x=x\_{0})}

*Ιδέα απόδειξης: υποθέτοντας ότι {\textstyle ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x\_{0})} υπάρχει, bk μπορεί να γραφτεί ως εξής {\textstyle b\_{k}=a\_{k}\cdot ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x\_{0})}*

*μπορεί κανείς πλέον να χρησιμοποιήσει {\textstyle f(x)=(x^{\alpha }-x\_{0}^{\alpha })^{n}\Rightarrow ({d \over dx^{\alpha }})^{k}f(x=x\_{0})=n!\delta \_{n}^{k}} και αφού {\textstyle b\_{n}{\overset {\underset {\mathrm {!} }{}}{=}}1\Rightarrow a\_{n}={1 \over n!}}*

### Σύνδεση με παράγωγο

Αν για μια δεδομένη συνάρτηση f υπάρχουν τόσο η παράγωγος Df όσο και η φράκταλ παράγωγος Dαf, μπορεί κανείς να βρει ένα ανάλογο του κανόνα της αλυσίδας:

{\displaystyle {df \over dx^{\alpha }}={df \over dx}{dx \over dx^{\alpha }}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }{df \over dx}}

Το τελευταίο βήμα αιτιολογείται από το θεώρημα της εμπρόθετης συνάρτησης το οποίο, υπό κατάλληλες συνθήκες, μας δίνει dx/dxα = (dxα/dx)−1

Ομοίως για τον γενικότερο ορισμό:

{\displaystyle {d^{\beta }f \over d^{\alpha }x}={d(f^{\beta }) \over d^{\alpha }x}={1 \over \alpha }x^{1-\alpha }\beta f^{\beta -1}(x)f'(x)}

Μορφοκλασματική παράγωγος για τη συνάρτηση *f*(*t*) = *t*, με τάξη παραγώγου είναι *α* ∈ (0,1]

Εφαρμογή σε ανώμαλη διάχυση
---------------------------

Ως εναλλακτική προσέγγιση μοντελοποίησης του κλασικού δεύτερου νόμου του Φικ, η φράκταλ παράγωγος χρησιμοποιείται για την εξαγωγή μιας γραμμικής εξίσωσης ανώμαλης μεταφοράς-διάχυσης που διέπει τη διαδικασία ανώμαλης διάχυσης,

{\displaystyle {\frac {du(x,t)}{dt^{\alpha }}}=D{\frac {\partial }{\partial x^{\beta }}}\left({\frac {\partial u(x,t)}{\partial x^{\beta }}}\right),-\infty <x<+\infty \,,\quad (1)}
{\displaystyle u(x,0)=\delta (x).}
όπου 0 < *α* < 2, 0 < *β* < 1, και *δ'*(*x*) είναι η συνάρτηση δέλτα του Ντιράκ.

Για να προκύψει η θεμελιώδης λύση, εφαρμόζουμε τον μετασχηματισμό των μεταβλητών

{\displaystyle t'=t^{\alpha }\,,\quad x'=x^{\beta }.}
τότε η εξίσωση (1) γίνεται η εξίσωση κανονικής μορφής διάχυσης, η λύση της (1) έχει την τεντωμένη Γκαουσιανή μορφή:

{\displaystyle u(x,t)={\frac {1}{2{\sqrt {\pi t^{\alpha }}}}}e^{-{\frac {x^{2\beta }}{4t^{\alpha }}}}}
Η μέση τετραγωνική μετατόπιση της παραπάνω εξίσωσης διάχυσης με παράγωγο φράκταλ έχει την ασύμπτωτη:

{\displaystyle \left\langle x^{2}(t)\right\rangle \propto t^{(3\alpha -\alpha \beta )/2\beta }.}

Φράκταλ-κλασματικός λογισμός
----------------------------

Η φράκταλ παράγωγος συνδέεται με την κλασική παράγωγο αν υπάρχει η πρώτη παράγωγος της υπό εξέταση συνάρτησης. Στην περίπτωση αυτή,

{\displaystyle {\frac {\partial f(t)}{\partial t^{\alpha }}}=\lim \_{t\_{1}\rightarrow t}{\frac {f(t\_{1})-f(t)}{t\_{1}^{\alpha }-t^{\alpha }}}\ ={\frac {df(t)}{dt}}{\frac {1}{\alpha t^{\alpha -1}}},\quad \alpha >0}.
Ωστόσο, λόγω της ιδιότητας διαφοροποιησιμότητας ενός ολοκληρώματος, οι κλασματικές παράγωγοι είναι διαφοροποιήσιμες. Ως εκ τούτου, η ακόλουθη νέα έννοια εισήχθη από τον καθηγητή Αμπντον Ατανγκάνα από τη Νότια Αφρική.

Οι ακόλουθοι διαφορικοί τελεστές εισήχθησαν και εφαρμόστηκαν πολύ πρόσφατα. Υποθέτοντας ότι η y(t) είναι συνεχής και κλασματική διαφορίσιμη στο (α, β) με τάξη *β*, ισχύουν διάφοροι ορισμοί μιας κλασματικής-κλασματικής παραγώγου της y(t) με τάξη α κατά Ρίμαν-Λιουβίλ:

* Να διαθέτουν πυρήνα τύπου νόμου ισχύος:

{\displaystyle ^{FFP}D\_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {1}{\Gamma (m-\alpha )}}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int \_{0}^{t}(t-s)^{m-\alpha -1}y(s)ds}

* Να διαθέτουν πυρήνα εκθετικά φθίνοντος τύπου:

{\displaystyle ^{FFE}D\_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {M(\alpha )}{1-\alpha }}{\dfrac {d}{dt^{\beta }}}\int \_{0}^{t}\exp {\Big (}-{\dfrac {\alpha }{1-\alpha }}(t-s){\Big )}y(s)ds},

* Να διαθέτουν γενικευμένο πυρήνα τύπου Mittag-Λέφλερ:

{\displaystyle {}\_{a}^{FFM}D\_{t}^{\alpha }f(t)={\frac {AB(\alpha )}{1-\alpha }}{\frac {d}{dt^{\beta }}}\int \_{a}^{t}f(\tau )E\_{\alpha }\left(-\alpha {\frac {\left(t-\tau \right)^{\alpha }}{1-\alpha }}\right)\,d\tau \,.}

  

Οι παραπάνω διαφορικοί τελεστές έχουν ο καθένας από έναν σχετικό τελεστή φράκταλ-κλασματικού ολοκληρώματος, ως εξής:

* Πυρήνας τύπου δυναμικού νόμου:

{\displaystyle ^{FFP}J\_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\beta }{\Gamma (\alpha )}}\int \_{0}^{t}(t-s)^{\alpha -1}s^{\beta -1}y(s)ds}

* Τύπος πυρήνα εκθετικά φθίνοντος :

{\displaystyle ^{FFE}J\_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{M(\alpha )}}\int \_{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{M(\alpha )}}}.

* Γενικός πυρήνας Μιταγκ-Λεφλέρ:

{\displaystyle ^{FFM}J\_{0,t}^{\alpha ,\beta }{\Big (}y(t){\Big )}={\dfrac {\alpha \beta }{AB(\alpha )}}\int \_{0}^{t}s^{\beta -1}y(s)(t-s)^{\alpha -1}ds+{\dfrac {\beta (1-\alpha )t^{\beta -1}y(t)}{AB(\alpha )}}}.
Το FFM αναφέρεται ως φράκταλ-κλασματικό με τον γενικευμένο πυρήνα Μιταγκ-Λεφλέρ.

Μορφολασματικός μη-τοπικός λογισμός
-----------------------------------

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο του δεξιόστροφου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {x}{\mathcal {I}}\_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int \_{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S\_{F}^{\alpha }(t)-S\_{F}^{\alpha }(x))^{1-\beta }}}d\_{F}^{\alpha }t}.

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο του αριστερόπλευρου κλασματικού ολοκληρώματος Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {a}{\mathcal {I}}\_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (\beta )}}\int \_{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S\_{F}^{\alpha }(x)-S\_{F}^{\alpha }(t))^{1-\beta }}}d\_{F}^{\alpha }t.}

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {x}{\mathcal {D}}\_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(-D\_{F}^{\alpha })^{n}\int \_{x}^{b}{\frac {f(t)}{(S\_{F}^{\alpha }(t)-S\_{F}^{\alpha }(x))^{-n+\beta +1}}}d\_{F}^{\alpha }t}

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Ρίμαν-Λιουβίλ τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {a}{\mathcal {D}}\_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}(D\_{F}^{\alpha })^{n}\int \_{a}^{x}{\frac {f(t)}{(S\_{F}^{\alpha }(x)-S\_{F}^{\alpha }(t))^{-n+\beta +1}}}d\_{F}^{\alpha }t}

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο της δεξιόστροφης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {x}^{C}{\mathcal {D}}\_{b}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int \_{x}^{b}(S\_{F}^{\alpha }(t)-S\_{F}^{\alpha }(x))^{n-\beta -1}(-D\_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d\_{F}^{\alpha }t}

* Το μορφοκλασματικό ανάλογο της αριστερόπλευρης κλασματικής παραγώγου Καπούτο τάξης {\displaystyle \beta \in \mathbb {R} } της f ορίζεται από:

{\displaystyle {a}^{C}{\mathcal {D}}\_{x}^{\beta }f(x)={\frac {1}{\Gamma (n-\beta )}}\int \_{a}^{x}(S\_{F}^{\alpha }(x)-S\_{F}^{\alpha }(t))^{n-\beta -1}(D\_{F}^{\alpha })^{n}f(t)d\_{F}^{\alpha }t}

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* «FracLac User's Guide».  An online guide to lacunarity theory and analysis using free, open source biological imaging software.

Βιβλιογραφία
------------

* Chen, W. (2006). «Time–space fabric underlying anomalous diffusion». *Chaos, Solitons and Fractals* **28** (4): 923–929. doi:10.1016/j.chaos.2005.08.199. Bibcode: 2006CSF....28..923C.
* Kanno, R. (1998). «Representation of random walk in fractal space-time». *Physica A* **248** (1–2): 165–175. doi:10.1016/S0378-4371(97)00422-6. Bibcode: 1998PhyA..248..165K.
* Chen, W.; Sun, H.G.; Zhang, X.; Korosak, D. (2010). «Anomalous diffusion modeling by fractal and fractional derivatives». *Computers and Mathematics with Applications* **59** (5): 1754–8. doi:10.1016/j.camwa.2009.08.020.
* Sun, H.G.; Meerschaert, M.M.; Zhang, Y.; Zhu, J.; Chen, W. (2013). «A fractal Richards' equation to capture the non-Boltzmann scaling of water transport in unsaturated media». *Advances in Water Resources* **52** (52): 292–5. doi:10.1016/j.advwatres.2012.11.005. PMID 23794783. Bibcode: 2013AdWR...52..292S.
* Cushman, J.H.; O'Malley, D.; Park, M. (2009). «Anomalous diffusion as modeled by a nonstationary extension of Brownian motion». *Phys. Rev. E* **79** (3): 032101. doi:10.1103/PhysRevE.79.032101. PMID 19391995. Bibcode: 2009PhRvE..79c2101C.
* Mainardi, F.; Mura, A.; Pagnini, G. (2010). «The M-Wright Function in Time-Fractional Diffusion Processes: A Tutorial Survey». *International Journal of Differential Equations* **2010**: 104505. doi:10.1155/2010/104505. Bibcode: 2010arXiv1004.2950M.

Δείτε επίσης
------------

* Αλγόριθμος διαμαντιού τετραγώνου
* Καμπύλη που γεμίζει το χώρο
* Νιφάδα του Κοχ
* Καμπύλη Χίλμπερτ
* Καμπύλη του δράκου
* Σπόγγος του Μένγκερ

* Σύνολο Μάντελμπροτ
* Σύνολο Julia
* Σύνολο Κάντορ
* Οικοδομήσιμο Σύμπαν

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Chen, Wen· Sun, HongGuang (26 Φεβρουαρίου 2022). *Fractional Derivative Modeling in Mechanics and Engineering*. Springer Nature. ISBN 978-981-16-8802-7.
2. ↑  «Application of Hausdorff fractal derivative».
3. 1 2  Khalili Golmankhaneh, Alireza (2022). *Fractal Calculus and its Applications*. Singapore: World Scientific Pub Co Inc. σελ. 328. doi:10.1142/12988. ISBN 978-981-126-110-7.
4. ↑  Rajković, Predrag M.; Marinković, Slađana D.; Stanković, Miomir S. (2007). «FRACTIONAL INTEGRALS AND DERIVATIVES IN q-CALCULUS». *Applicable Analysis and Discrete Mathematics* **1** (1): 311–323. ISSN 1452-8630. .
5. 1 2 3  Atangana, Abdon; Sania, Qureshi (2019). «Modeling attractors of chaotic dynamical systems with fractal–fractional operators». *Chaos, Solitons & Fractals* **123**: 320–337. doi:10.1016/j.chaos.2019.04.020. Bibcode: 2019CSF...123..320A.
6. ↑  «A new definition of the fractal derivative».
7. ↑  West, Bruce (2010). «Fractal Physiology and the Fractional Calculus: A Perspective». *Frontiers in Physiology* **1**. doi:10.3389/fphys.2010.00012/full. ISSN 1664-042X. .

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |