Στην θεωρία πιθανοτήτων, η **ανισότητα Ποποβίτσιου** (αναφέρεται και ως **ανισότητα Popoviciu**) αφορά μία οποιαδήποτε πραγματική τυχαία μεταβλητή X η οποία λαμβάνει τιμές στο διάστημα {\displaystyle [m,M]}, και λέει ότι η διακύμανσή της {\displaystyle \operatorname {Var} (X)} φράζεται ως

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}.

Απόδειξη
--------

Έστω {\displaystyle \mu =\operatorname {E} (X)} η αναμενόμενη τιμή της X. Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή {\displaystyle X'=X-\mu } η οποία έχει {\displaystyle \operatorname {E} (X')=0} και {\displaystyle \operatorname {Var} (X')=\operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} ((X')^{2})}.

Επίσης, ισχύει ότι η {\displaystyle X'} είναι φραγμένη ως εξής {\displaystyle m'=m-\mu \leq X'\leq M-\mu =M'}. Επομένως, {\displaystyle X'-m'\geq 0} και {\displaystyle M-X'\geq 0} και συνεπώς

{\displaystyle 0\leq \operatorname {E} ((M'-X')\cdot (X'-m'))}.
Επεκτείνοντας το δεξί μέλος, από την γραμμικότητα της αναμενόμενης τιμής έχουμε ότι 

{\displaystyle 0\leq -M'm'+\operatorname {E} (X')\cdot (M'-m')-\operatorname {E} ((X')^{2})=-M'm'-\operatorname {E} ((X')^{2})}.
Αναδιατάσσοντας, έχουμε ότι


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Var} (X')=\operatorname {E} ((X')^{2})\leq -M'm'}. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Η ανισότητα αριθμητικού-γεωμετρικού μέσου για δύο μεταβλητές {\displaystyle a,b} δίνει ότι

{\displaystyle ab\leq \left({\frac {a+b}{2}}\right)^{2}}.
Για {\displaystyle a=M'=M-\mu } και {\displaystyle b=-m'=-(m-\mu )}, λαμβάνουμε ότι

{\displaystyle -M'm'\leq \left({\frac {M-\mu -(m-\mu )}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}.
Συνδυάζοντας με την (**1**), έχουμε την ζητούμενη ανισότητα

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}}.

Ισότητα
-------

Η ανισότητα ισχύει για ισότητα όταν {\displaystyle \Pr(X=M)=\Pr(X=m)=1/2}.


| Απόδειξη |
| --- |
| Η διακύμανση δίνεται από τον τύπο
{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-(\operatorname {E} (X))^{2}={\frac {m^{2}}{2}}+{\frac {M^{2}}{2}}-\left({\frac {m+M}{2}}\right)^{2}={\frac {m^{2}}{4}}+{\frac {M^{2}}{4}}-{\frac {2mM}{4}}=\left({\frac {M-m}{2}}\right)^{2}.} |

Παραλλαγές
----------

Η ανισότητα αυτή αναφέρεται στην εργασία του Τιβέριου Ποποβίτσιου το 1935. Έκτοτε διάφορες παραλλαγές και γενικεύσεις έχουν παρουσιαστεί.

Η εργασία του Γκραςς δίνει την εξής γενίκευση για δύο τυχαίες μεταβλητές {\displaystyle X\in [m\_{1},M\_{1}]} και {\displaystyle Y\in [m\_{2},M\_{2}]},

{\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)\leq {\frac {(M\_{1}-m\_{1})\cdot (M\_{2}-m\_{2})}{4}}}
όπου {\displaystyle \operatorname {Cov} (X,Y)} είναι η συνδιακύμανση των X και Y. Για {\displaystyle X=Y}, λαμβάνουμε την ανισότητα Ποποβίτσιου.

Ο Μπάτια και ο Ντέιβις παρουσίασαν την εξής γενίκευση

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)\leq \operatorname {E} ((X-m)\cdot (M-X))},
η οποία προκύπτει από την παραπάνω απόδειξη.

Παραπομπές
----------

1. 1 2  Popoviciu, T. (1935). «Sur les équations algébriques ayant toutes leurs racines réelles». *Mathematica (Cluj)* **9**: 129–145.
2. ↑  Lim, Tongseok; McCann, Robert J. (2022). «Geometrical Bounds for Variance and Recentered Moments». *Mathematics of Operations Research* **47** (1): 286–296. doi:https://doi.org/10.1287/moor.2021.1125.
3. ↑  Sharma, Rajesh; Gupta, M.; Kapoor, G. (2010). «Some better bounds on the variance with applications». *Journal of Mathematical Inequalities* (3): 355–363. doi:dx.doi.org/10.7153/jmi-04-32.
4. ↑  Egozcue, Martín; García, Luis Fuentes (2018). «The variance upper bound for a mixed random variable». *Communications in Statistics - Theory and Methods* **47** (22): 5391–9395. doi:https://doi.org/10.1080/03610926.2017.1390136.
5. ↑  Jacobson, Harold I. (1969). «The Maximum Variance of Restricted Unimodal Distributions». *The Annals of Mathematical Statistics* **40** (5): 1746–1752. doi:10.1214/aoms/1177697386. .
6. ↑  Gray, H. L.; Odell, P. L. (1967). «On Least Favorable Density Functions». *SIAM Review* **9** (4): 715–720. doi:https://doi.org/10.1137/1009112.
7. ↑  Abouammoh, A. M.; Mashhour, A. F. (1994). «Variance upper bounds and convolutions of α-unimodal distributions». *Statistics & Probability Letters* **21** (4): 281–289. doi:https://doi.org/10.1016/0167-7152(94)00017-4.
8. ↑  Grüss, G.; García, Luis Fuentes (1935). «Über das maximum des absoluten Betrages von». *Mathematische Zeitschrift* **39** (1): 215–26.
9. ↑  Bhatia, Rajendra; Davis, Chandler (April 2000). «A Better Bound on the Variance». *American Mathematical Monthly* (Mathematical Association of America) **107** (4): 353–357. doi:10.2307/2589180. ISSN 0002-9890. .