Στη θεωρία συνόλων, η **πληθικότητα της συνέχειας** είναι η πληθικότητα ή το "μέγεθος" του συνόλου των πραγματικών αριθμών {\displaystyle \mathbb {R} }, μερικές φορές ονομάζεται συνεχές. Είναι ένας άπειρος καρδινάλιος αριθμός και συμβολίζεται με {\displaystyle |\mathbb {R} |} ή {\displaystyle {\mathfrak {c}}} (πεζά fraktur script "c").

Οι πραγματικοί αριθμοί {\displaystyle \mathbb {R} } είναι πιο πολλοί από τους φυσικούς αριθμούς {\displaystyle \mathbb {N} }. Επιπλέον,το {\displaystyle \mathbb {R} } έχει το ίδιο πλήθος στοιχείων με το δυναμοσυνολο του {\displaystyle \mathbb {N} }. Συμβολικά, αν η πληθικότητα του {\displaystyle \mathbb {N} } συμβολίζεται ως {\displaystyle \aleph \_{0}}, η πληθικότητα του συνεχούς είναι

{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph \_{0}}>\aleph \_{0}\,.}
Αυτό αποδεικνύεται από τον Georg Cantor το 1874 με μη-υπολογιστική απόδειξη (με σχήματα), μέρος της πρωτοποριακής μελέτης των διαφόρων απείρων, και αργότερα πιο απλά το διαγώνιο επιχείρημά του. Ο Cantor όρισε την πληθικότητα όσον αφορά τις αμφιμονοσήμαντες συναρτήσεις: δύο σύνολα έχουν την ίδια πληθικότητα, αν και μόνο αν υπάρχει μια αμφιμονοσήμαντη συνάρτηση μεταξύ τους.

Μεταξύ δύο οποιοδήποτε πραγματικών αριθμών *α* < *β*, ανεξάρτητα από το πόσο κοντά είναι ο ένας στον άλλον, πάντα υπάρχουν άπειρα πολλοί άλλοι πραγματικοί αριθμοί, και ο Cantor έδειξε ότι είναι τόσοι όσοι  περιέχονται σε ολόκληρο το σύνολο των πραγματικών αριθμών. Με άλλα λόγια, το ανοικτό διάστημα (*α*,*β*) είναι ισάριθμο με το {\displaystyle \mathbb {R} .} Αυτό επίσης ισχύει και για πολλά άλλα άπειρα σύνολα, όπως σε κάθε *n*-διάστατο Ευκλείδειο χώρο {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (βλ χώρο  καμπύλης). Αυτό είναι,

{\displaystyle |(a,b)|=|\mathbb {R} |=|\mathbb {R} ^{n}|.}
Ο μικρότερος άπειρος καρδινάλιος αριθμός είναι ο {\displaystyle \aleph \_{0}} (εβραικό γράμμα -μηδέν). Ο δεύτερος μικρότερος είναι ο {\displaystyle \aleph \_{1}} (εβραικό γράμμα-ένα). Από την υπόθεση του συνεχούς, η οποία υποστηρίζει ότι δεν υπάρχουν σύνολα των οποίων η πληθικότητα είναι αυστηρά μεταξύ του {\displaystyle \aleph \_{0}} και του {\displaystyle {\mathfrak {c}}},συνεπάγεται ότι {\displaystyle {\mathfrak {c}}=\aleph \_{1}}.

Ιδιότητες
---------

### Μη-μετρήσιμο

Ο Georg Cantor εισήγαγε την έννοια της πληθικότητας για να συγκρίνει τα μεγέθη των άπειρων σύνολων.Έδειξε περίφημα ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών είναι αμέτρητα άπειρο, δηλαδή το {\displaystyle {\mathfrak {c}}} να είναι αυστηρά μεγαλύτερο από την των , {\displaystyle \aleph \_{0}}:

{\displaystyle \aleph \_{0}<{\mathfrak {c}}.}
Με άλλα λόγια, υπάρχουν αυστηρά περισσότεροι πραγματικοί αριθμοί από ότι ακέραιοι.Ο Cantor απέδειξε αυτή η δήλωση με πολλούς διαφορετικούς τρόπους. Δείτε την πρώτη μη υπολογιστική του Cantor και το διαγώνιο επιχείρημά του.

### Οι καρδινάλιος ισότητες

Μια παραλλαγή του διαγωνίου επιχειρήματος του Cantor μπορεί να χρησιμοποιηθεί για να αποδειχθεί το θεώρημα του Cantor,το οποίο αναφέρει ότι η πληθικότητα του κάθε συνόλου είναι αυστηρά μικρότερη από το δυναμοσύνολο, δηλαδή |*A*| < 2|*A*|, και έτσι το δυναμοσύνολο *P*(**N**) των φυσικών αριθμών **N** είναι μη μετρήσιμο. Στην πραγματικότητα, μπορεί να αποδειχθεί ότι η πληθικότητα του *P*(**N**) είναι ίση με {\displaystyle {\mathfrak {c}}}:

1. Ορίστε μια απεικόνιση *f* : **R** → *P*(**Q**) από τους πραγματικούς αριθμούς στο δυναμοσύνολο των ρητών με την αποστολή κάθε πραγματικού αριθμού *x* στο σύνολο {\displaystyle \{q\in \mathbb {Q} \mid q\leq x\}} όλων των ρητών μικρότερων ίσων με *x* (με τους πραγματικούς να θεωρούνται ως Dedekind περικοπές, αυτό δεν είναι τίποτα άλλο από την απεικόνιση εγκλεισμού στο σύνολο της σύνολα των ρητών). Αυτή η απεικόνιση είναι ένα προς ένα από τότε που οι πραγματικοί αριθμοί είναι πυκνοί στο **R**. Από τότε που οι πραγματικοί αριθμοί είναι μετρήσιμοι, έχουμε ότι {\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq 2^{\aleph \_{0}}}.
2. Έστω {0,2}**N** είναι το σύνολο των άπειρων ακολουθιών με τιμές στο σύνολο {0,2}. Αυτό το σύνολο έχει σαφώς πληθικότητα {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}} (h φυσική αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία ανάμεσα στο σύνολο των δυαδικών ακολουθιών και *Σ*(**N**) δίνεται από την δείκτρια συνάρτηση). Τώρα συνεργάτης για κάθε τέτοια ακολουθία (*α* *'* ) είναι ο μοναδικός πραγματικός αριθμός στο διάστημα [0,1] με την τριαδική-επέκταση δίνεται από τα ψηφία (*a* *'* ), δηλαδή το *i*-οστό ψηφίο μετά την υποδιαστολή είναι *το αι*. Η εικόνα αυτής της απεικόνισης ονομάζεται σύνολο Cantor. Δεν είναι δύσκολο να δούμε ότι η απεικόνιση αυτή είναι αμφιμονοσήμαντης αντιστοιχίας, αποφεύγοντας τα σημεία με το ψηφίο 1 στην τριαδική επέκταση θα αποφύγουμε τις συγκρούσεις που δημιουργούνται από το γεγονός ότι η τριαδική-επέκταση ενός πραγματικού αριθμού δεν είναι μοναδική. Μετά έχουμε ότι {\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\leq {\mathfrak {c}}}.

Από το θεώρημα του Cantor-Bernstein-Scroeder συμπεραίνουμε ότι 

{\displaystyle {\mathfrak {c}}=|P(\mathbb {N} )|=2^{\aleph \_{0}}.}
(Μια διαφορετική απόδειξη του {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph \_{0}}}  δίνεται στο διαγώνιο επιχείρημα του Cantor.Η απόδειξη αυτή κατασκευάσει μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία από το {0,1} N με τον R.)

Η καρδινάλιος ισότητα {\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}={\mathfrak {c}}} μπορεί να αποδειχθεί με τη χρήση καρδινάλιου αριθμητικής:

{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{2}=(2^{\aleph \_{0}})^{2}=2^{2\times {\aleph \_{0}}}=2^{\aleph \_{0}}={\mathfrak {c}}.}
Με τη χρήση των κανόνων της καρδινάλιου αριθμητικής κάποιος μπορεί επίσης να δείξει ότι 

{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\aleph \_{0}}={\aleph \_{0}}^{\aleph \_{0}}=n^{\aleph \_{0}}={\mathfrak {c}}^{n}=\aleph \_{0}{\mathfrak {c}}=n{\mathfrak {c}}={\mathfrak {c}},}
όπου n είναι οποιαδήποτε πεπερασμένη καρδινάλιος ≥ 2, και 

{\displaystyle {\mathfrak {c}}^{\mathfrak {c}}=(2^{\aleph \_{0}})^{\mathfrak {c}}=2^{{\mathfrak {c}}\times \aleph \_{0}}=2^{\mathfrak {c}},}
όπου {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}} είναι η πληθικότητα του δυναμοσυνόλου του R, και {\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}>{\mathfrak {c}}}.

### Εναλλακτική εξήγηση για {\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph \_{0}}}

Κάθε πραγματικός αριθμός έχει τουλάχιστον μια άπειρη δεκαδική επέκταση. Για παράδειγμα,

1/2 = 0.50000...
1/3 = 0.33333...
{\displaystyle \pi } = 3.14159....
(Αυτό ισχύει ακόμα και όταν η επέκταση επαναλαμβάνεται, όπως στα πρώτα δύο παραδείγματα.) Σε κάθε συγκεκριμένη περίπτωση, ο αριθμός των ψηφίων είναι πεπερασμένος, δεδομένου ότι μπορεί να τεθεί σε ένα-προς-ένα αντιστοιχία με το σύνολο των φυσικών αριθμών Ν.Το γεγονός αυτό καθιστά λογικό να μιλήσουμε για (για παράδειγμα) το πρώτο, το ένα εκατοστό, ή το εκατομμυριοστό ψηφίο π. Δεδομένου ότι οι φυσικοί αριθμοί έχουν πληθικότητα Νο, κάθε πραγματικός αριθμός έχει Νο ψηφία στην επέκτασή του. 

Δεδομένου ότι κάθε πραγματικός αριθμός μπορεί να χωριστεί σε ένα ακέραιο μέρος και ένα δεκαδικό κλάσμα, παίρνουμε 

{\displaystyle {\mathfrak {c}}\leq \aleph \_{0}\cdot 10^{\aleph \_{0}}\leq 2^{\aleph \_{0}}\cdot {(2^{4})}^{\aleph \_{0}}=2^{\aleph \_{0}+4\cdot \aleph \_{0}}=2^{\aleph \_{0}}}
όταν

{\displaystyle \aleph \_{0}+4\cdot \aleph \_{0}=\aleph \_{0}\,.}
Από την άλλη πλευρά,αν έχουμε {\displaystyle 2=\{0,1\}} στο {\displaystyle \{3,7\}} και θεωρούν ότι τα δεκαδικά κλάσματα περιέχουν μόνο 3 ή 7 είναι μόνο ένα μέρος των πραγματικών αριθμών, τότε θα έχουμε

{\displaystyle 2^{\aleph \_{0}}\leq {\mathfrak {c}}\,.}
κι έτσι

{\displaystyle {\mathfrak {c}}=2^{\aleph \_{0}}\,.}

Αριθμοί του Beth
----------------

Η ακολουθία των αριθμών beth ορίζεται από τον καθορισμό
 {\displaystyle \beth \_{0}=\aleph \_{0}} και {\displaystyle \beth \_{k+1}=2^{\beth \_{k}}}. Ετσιτο {\displaystyle {\mathfrak {c}}} είναι ο δεύτερος αριθμός του beth,ο **πρώτος-beth**:

{\displaystyle {\mathfrak {c}}=\beth \_{1}.}
Ο τρίτος αριθμός του beth, **δεύτερος-beth**, είναι ο καρδινάλιος του δυναμοσυνόλου **R** (δηλαδή το σύνολο όλων των υποσυνόλων της πραγματικής γραμμής):

{\displaystyle 2^{\mathfrak {c}}=\beth \_{2}.}

Η υπόθεση του συνεχούς
----------------------

Η περίφημη υπόθεση του συνεχούς ισχυρίζεται ότι το {\displaystyle {\mathfrak {c}}} είναι επίσης ο δεύτερος εβραικός αριθμός {\displaystyle \aleph \_{1}}. Με άλλα λόγια, η υπόθεση του συνεχούς δηλώνει ότι δεν υπάρχει σύνολο
{\displaystyle A\,} του οποίου η πληθικότητα βρίσκεται αυστηρά μεταξύ
{\displaystyle \aleph \_{0}} και {\displaystyle {\mathfrak {c}}}

{\displaystyle \nexists A\quad :\quad \aleph \_{0}<|A|<{\mathfrak {c}}.}
Αυτή η δήλωση είναι τώρα γνωστό ότι είναι ανεξάρτητη από τα αξιώματα της θεωρίας συνόλων του Zermelo-Fraenkel με το αξίωμα της επιλογής
 (ZFC). Δηλαδή, τόσο η υπόθεση και η άρνηση της είναι συνεπείς με αυτά τα αξιώματα.
 Στην πραγματικότητα, για κάθε μη μηδενικό φυσικό αριθμό n, η ισότητα
 {\displaystyle {\mathfrak {c}}} = {\displaystyle \aleph \_{n}} είναι ανεξάρτητη του ZFC (στην περίπτωση που {\displaystyle n=1} είναι η υπόθεση του συνεχούς).Το ίδιο ισχύει και για τους άλλους εβραικούς αριθμούς, αν και σε ορισμένες περιπτώσεις, η ισότητα μπορεί να αποκλειστεί από το θεώρημα König με το σκεπτικό της ομοτελικότητας,  παράδειγμα, {\displaystyle {\mathfrak {c}}\neq \aleph \_{\omega }.} Συγκεκριμένα,το {\displaystyle {\mathfrak {c}}} μπορεί να είναι είτε {\displaystyle \aleph \_{1}} είτε {\displaystyle \aleph \_{\omega \_{1}}}, όπου το {\displaystyle \omega \_{1}} είναι η πρώτη μη αριθμήσιμη τακτική, κι έτσι μπορεί να είναι είτε μια διάδοχος καρδινάλιος είτε ένα όριο καρδιναλίου, και είτε ένας κανονικός καρδινάλιος ή μια μοναδική καρδινάλιος .

Ορισμός του πληθάριθμου του συνεχούς
------------------------------------

Πάρα πολλά σύνολα βασισμένα στα μαθηματικά έχουν πληθάριθμο ίσο με
 {\displaystyle {\mathfrak {c}}}. Κάποια κοινά παραδείγματα είναι τα ακόλουθα:

* the real numbers {\displaystyle \mathbb {R} }
* κάθε (μη εκφυλισμένη) σε ανοικτά ή κλειστά διάστημα στο {\displaystyle \mathbb {R} } (όπως η χρονική μονάδα

{\displaystyle [0,1]})

Για παράδειγμα, για όλα τα {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } όταν {\displaystyle a<b} μπορούμε να ορίσουμε μια αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία
{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to (a,b)\\x&\mapsto {\frac {\arctan x+{\frac {\pi }{2}}}{\pi }}\cdot (b-a)+a\end{aligned}}}
Τώρα θα δείξουμε το πλήθος ενός άπειρου διαστήματος. Για όλα τα {\displaystyle a\in \mathbb {R} } μπορούμε να ορίσουμε την αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία
{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to (a,\infty )\\x&\mapsto {\begin{cases}\arctan x+{\frac {\pi }{2}}+a&{\mbox{if }}x<0\\x+{\frac {\pi }{2}}+a&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}και ομοίως για όλα τα {\displaystyle b\in \mathbb {R} }
{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} &\to (-\infty ,b)\\x&\mapsto {\begin{cases}x-{\frac {\pi }{2}}+b&{\mbox{if }}x<0\\\arctan x-{\frac {\pi }{2}}+b&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}\end{aligned}}}
* οι άρρητοι αριθμοί
* οι υπερβατικοί αριθμοί

Σημειώνουμε ότι το σύνολο των πραγματικών αριθμών οι αλγεβρικοί αριθμοί είναι αριθμήσιμο άπειρο (αποδίδει σε κάθε τύπο του αριθμού του Godel.)Έτσι η πληθικότητα των πραγματικών αλγεβρικών αριθμών είναι {\displaystyle \aleph \_{0}}. Επιπλέον,οι πραγματικοί αλγεβρικοί αριθμοί και οι πραγματικοί υπερβατικοί αριθμοί είναι ξένα σύνολα των οποίων η ένωση είναι το {\displaystyle \mathbb {R} }. Έτσι,αφού η πληθικότητα του {\displaystyle \mathbb {R} } είναι {\displaystyle {\mathfrak {c}}},η πληθικότητα των πραγματικών υπερβατικών αριθμών είναι {\displaystyle {\mathfrak {c}}-\aleph \_{0}={\mathfrak {c}}}.Ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ακολουθεί για πολύπλοκους υπερβατικούς αριθμούς, τη στιγμή που έχουμε αποδείξει ότι
 {\displaystyle \left\vert \mathbb {C} \right\vert ={\mathfrak {c}}}.

* το σύνολο του Cantor
* ο Ευκλείδειος χώρος {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
* οι μιγαδικοί αριθμόι {\displaystyle \mathbb {C} }

 Σημειώνουμε ότι, η απόδειξη της πληθικότητας του Ευκλείδειου χώρου ανά Cantor 's,
{\displaystyle \left\vert \mathbb {R} ^{2}\right\vert ={\mathfrak {c}}}. Εξ'ορισμού ένα {\displaystyle c\in \mathbb {C} } μπορεί μοναδικά να εκφραστεί ως 

  {\displaystyle a+bi} για κάποια {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }. Για αυτό ορίζουμε την αμφιμονοσήμαντη αντιστοιχία
{\displaystyle {\begin{aligned}f\colon \mathbb {R} ^{2}&\to \mathbb {C} \\(a,b)&\mapsto a+bi\end{aligned}}}
* το δυναμοσύνολο των φυσικών αριθμών {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {N} )} (το σύνολο όλων των υποσυνόλων των φυσικών αριθμών)
* το σύνολο των αλληλουχιών των ακεραίων (δηλαδή όλων των λειτουργιών  {\displaystyle \mathbb {N} \rightarrow \mathbb {Z} }, συχνά συμβολίζεται με {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\mathbb {N} }})
* το σύνολο των αλληλουχιών των πραγματικών αριθμών, {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }}
* το σύνολο όλων των συνεχών συναρτήσεων από {\displaystyle \mathbb {R} } στο {\displaystyle \mathbb {R} }
* η Ευκλείδεια τοπολογία στον {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (δηλαδή το σύνολο όλων των ανοιχτών υποσυνόλων του {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}})
* η σ-άλγεβρα του Borel στο {\displaystyle \mathbb {R} } (δηλαδή το σύνολο όλων των Borel θέτει στο {\displaystyle \mathbb {R} }).

Σύνολα με μεγαλύτερη πληθυκότητα
--------------------------------

Σύνολα με πληθικότητα μεγαλύτερη από {\displaystyle {\mathfrak {c}}} περιλαμβάνει:

* το σύνολο όλων των υποσυνόλων του {\displaystyle \mathbb {R} } (δηλαδή το δυναμοσύνολο {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )})
* το σύνολο 2**R** της δείκτριας συνάρτησης ορίζεται σε υποσύνολα των πραγματικών αριθμών (το σύνολο {\displaystyle 2^{\mathbb {R} }} είναι ισόμορφο με το {\displaystyle {\mathcal {P}}(\mathbb {R} )} – η δείκτρια συνάρτηση επιλέγει τα στοιχεία του κάθε υποσυνόλου να περιλαμβάνουν)
* το σύνολο {\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {R} }} όλων των συναρτήσεων από το {\displaystyle \mathbb {R} } στο {\displaystyle \mathbb {R} }
* η σ-άλγεβρα του Lebesgue στο {\displaystyle \mathbb {R} }, δηλαδή,το σύνολο όλων των μετρήσεων του Lebesgue που πραγματοποιούνται στο {\displaystyle \mathbb {R} }.
* οι συμπαγοποιήσεις των Stone-Cech στο {\displaystyle \mathbb {N} }, {\displaystyle \mathbb {Q} } και στο {\displaystyle \mathbb {R} }
* το σύνολο όλων των αυτομορφισμών του πεδίου των μιγαδικών αριθμών.