Τρίγωνο με πλευρές {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } και κορυφές {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }.
Στην Ευκλείδεια Γεωμετρία, οι **τύποι Mollweide** σε ένα τρίγωνο {\displaystyle \mathrm {AB\Gamma } } με πλευρές {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } και κορυφές {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } }, είναι οι εξής σχέσεις

{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)},
και

{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}.
Οι τύποι παίρνουν το όνομά τους από τον μαθηματικό Karl Mollweide.

Απόδειξη
--------

Θα χρησιμοποιήσουμε τον νόμο των ημιτόνων που λέει ότι 

{\displaystyle {\frac {\alpha }{\sin \mathrm {A} }}={\frac {\beta }{\sin \mathrm {B} }}={\frac {\gamma }{\sin \mathrm {\Gamma } }}=d,}
όπου d η διάμετρος του περιγεγραμμένου κύκλου του τριγώνου. Από εδώ προκύπτει ότι 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \alpha =d\sin \mathrm {A} }, {\displaystyle \beta =d\sin \mathrm {B} } και {\displaystyle \gamma =d\sin \mathrm {\Gamma } }. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(1)** |

Επίσης θα χρησιμοποιήσουμε τον τύπο για το άθροισμα και τη διαφορά ημιτόνων


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\quad } | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(2)** |

και 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} =2\sin \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cdot \cos \left({\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(3)** |

Ακόμα, θα χρησιμοποιήσουμε ότι 


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \mathrm {\Gamma } =2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}. | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(4)** |

**Απόδειξη 1ης σχέσης:** Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (**1**) έχουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} +d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} +\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}.
Έπειτα η (**3**) και η (**4**) δίνουν ότι

{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}}.
Αφού οι {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )}. Χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \cos({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\sin \phi }, καταλήγουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {\alpha +\beta }{\gamma }}\cdot \sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}.
**Απόδειξη 2ης σχέσης:** Χρησιμοποιώντας τις ισότητες (**1**) έχουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {d\sin \mathrm {A} -d\sin \mathrm {B} }{d\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \mathrm {A} -\sin \mathrm {B} }{\sin \mathrm {\Gamma } }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}.
Έπειτα η (**2**) και η (**4**) δίνουν ότι

{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {2\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{2\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}\cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}={\frac {\sin \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}{\sin {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}}}}.
Αφού οι {\displaystyle \mathrm {A} ,\mathrm {B} ,\mathrm {\Gamma } } είναι γωνίες ενός τριγώνου ισχύει ότι {\displaystyle \mathrm {\Gamma } =\pi -(\mathrm {A} +\mathrm {B} )}. Χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle \sin({\tfrac {\pi }{2}}-\phi )=\cos \phi }, καταλήγουμε ότι 

{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\gamma }}\cdot \cos {\frac {\mathrm {\Gamma } }{2}}=\cos \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}.
### Απόδειξη χωρίς λόγια

Μία απόδειξη χωρίς λόγια είχε δοθεί από τον Rex H. Wu.

Εφαρμογές
---------

### Νόμος των εφαπτομένων

Κύριο λήμμα: Νόμος των εφαπτομένων
Διαιρώντας τις δύο εξισώσεις κατά μέλη, λαμβάνουμε τον νόμο των εφαπτομένων

{\displaystyle {\frac {\alpha -\beta }{\alpha +\beta }}={\frac {\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} -\mathrm {B} )\right)}{\tan \left({\tfrac {1}{2}}(\mathrm {A} +\mathrm {B} )\right)}}}.

Παραπομπές
----------

1. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. *Ευθύγραμμος Τριγωνομετρίας*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελίδες 236–237.
2. ↑  Τόγκας, Πέτρος Γ. *Ασκήσεις και προβλήματα τριγωνομετρίας*. Αθήνα: Πέτρου Γ. Τογκα. σελ. 103.
3. ↑  Παπατριανταφύλλου, Ε. (1974). *Μαθηματικά ΣΤ' Γυμνασίου (Θετικής κατευθύνσεως) Τριγωνομετρία*. Αθήνα: Οργανισμός Εκδόσεων Διδακτικών Βιβλίων. σελ. 65.
4. ↑  DeKleine, H. Arthur (Δεκεμβρίου 1988). «Proof Without Words: Mollweide's Equation». *Mathematics Magazine* **61** (5): 281–281. doi:https://doi.org/10.1080/0025570X.1988.11977390. .