**Ακέραιοι** ονομάζονται όλοι οι φυσικοί αριθμοί μαζί με τους αντίθετους τους και το μηδέν. Το σύνολο των ακεραίων δηλαδή το σύνολο: 

{\mathbb {Z}}=\{0,\pm 1,\pm 2,...\} Συμβολίζεται με το γράμμα {\mathbb {Z}}, αρχικό της λέξης Zahl που στα γερμανικά σημαίνει *αριθμός*.

Το σύνολο {\mathbb {Z}} ορίζεται επίσης ως εξής: {\mathbb {Z}}=\{x-y:x,y\in {\mathbb {N}}\}

  

Όπως και το σύνολο των φυσικών, το σύνολο των ακεραίων είναι άπειρο αριθμήσιμο με πληθάριθμο \aleph \_{0} (*άλεφ-μηδέν*).

Συμβολισμοί
-----------

Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με το γράμμα {\mathbb {Z}}, έντονα τυπωμένο, όπως και όλα τα σημαντικά σύνολα των μαθηματικών. Συναντώνται όμως διαφοροποιήσεις ανάλογα με τη χρήση και τον συγγραφέα, προσθέτοντας στον συμβολισμό επιπλέον εκθέτες ή δείκτες. Συνήθως οι αρνητικοί ακέραιοι συμβολίζονται με {\displaystyle \mathbb {Z} ^{-}}, οι μη αρνητικοί με {\displaystyle \mathbb {Z} ^{\*}}και οι θετικοί με {\displaystyle \mathbb {Z^{+}} }. Ο *δακτύλιος των ακεραίων* μερικές φορές συμβολίζεται με το έντονο {\displaystyle \mathbb {I} }, εκτός από το συνήθες {\mathbb {Z}}.

Αλγεβρικές Ιδιότητες
--------------------

Οι ακέραιοι αριθμοί αποτελούν **αντιμεταθετικό δακτύλιο** ως προς την πρόσθεση και τον πολλαπλασιασμό. Το άθροισμα και το γινόμενο δυο ακεραίων είναι δηλαδή και αυτό ακέραιος. Ισχύουν η αντιμεταθετική και προσετεριστική ιδιότητα ως προς πρόσθεση και πολλαπλασιασμό και ο πολλαπλασιασμός είναι επιμεριστικός ως προς την πρόσθεση.

Οι ακέραιοι αριθμοί δεν αποτελούν **σώμα**. Ο αντίστροφος ενός ακεραίου ως προς τον πολλαπλασιασμό δεν είναι δηλαδή απαραίτητα ακέραιος. Το μικρότερο σώμα που περιέχει τους ακεραίους είναι οι ρητοί αριθμοί.

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| Πρόσθεση | Πολλαπλασιασμός |  |
| a+b\in {\mathbb {Z}} | a\times b\in {\mathbb {Z}} | σύνολο κλειστό ως προς τις πράξεις |
| a+b=b+a\, | a\times b=b\times a | αντιμεταθετική ιδιότητα |
| a+(b+c)=(a+b)+c\, | a\times (b\times c)=(a\times b)\times c | προσεταιριστική ιδιότητα |
| a+0=a\, | a\times 1=a | ουδέτερο στοιχείο |
| a+(-a)=0\, | δεν υπάρχει | αντίθετο στοιχείο |
| a\times (b+c)=(a\times b)+(a\times c) | επιμεριστική ιδιότητα |

Διάταξη
-------

Οι ακέραιοι αποτελούν ένα γνησίως διατεταγμένο σύνολο:

...<-2<-1<0<1<2<...
Οι ακέραιοι αποτελούν επομένως ένα διατεταγμένο δακτύλιο.

Κατασκευή
---------

Représentation des classes d'équivalence pour les nombres de -5 à 5 Οι διακεκομένες μπλε γραμμές συνδεουν τα ισοδύναμα ζευγη. 
Το σύνολο των ακεραίων μπορεί να κατασκευαστεί από τους φυσικούς αριθμούς. 

Θεωρούμε το σύνολο {\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}} των ζευγαριών των φυσικών αριθμών και ορίζουμε την ακόλουθη σχέση ισοδυναμίας:

(a,b)\sim (c,d)\Leftrightarrow a+d=c+b.
Το σύνολο των κλάσεων ισοδυναμίας {\mathbb {N}}\times {\mathbb {N}}\,/\!\sim  ορίζει τους ακέραιους αριθμούς {\mathbb {Z}}. 
Την κλάση ισοδυναμίας του ζεύγους (a,b) τη συμβολίζουμε με [(a,b)] ή a-b.
Έτσι στην κλάση ισοδυναμίας π.χ. του 0 ανήκουν τα μεταξύ τους ισοδύναμα ζεύγη (1,1), (2,2),... .

Ένας ακέραιος αριθμός (a,b) είναι θετικός, όταν a>b, αρνητικός όταν a<b και 0 όταν a=b. Κάθε ακέραιος είναι ισοδύναμος με έναν της μορφής (*n*,0), (0,*n*) ή (0,0), ο οποίος διαλεγεται συνήθως και ως αντιπρόσωπος της αντίστοιχης κλάσης.

Η πρόσθεση και ο πολλαπλασιασμός μπορούν να οριστούν αντίστοιχα με τις πράξεις στους φυσικούς αριθμούς:

[(a,b)]+[(c,d)]=[(a+c,b+d)].\,
[(a,b)]\cdot [(c,d)]=[(ac+bd,ad+bc)].\,
Το αντίστροφο (ως προς την πρόσθεση) στοιχείο προκύπτει από την αναστροφή της σειράς των όρων του ζεύγους:

-[(a,b)]=[(b,a)].\,
Η συνήθης διάταξη δίνεται από τη σχέση:

[(a,b)]<[(c,d)]\Leftrightarrow a+d<b+c.\,

Πληθάριθμος
-----------

Το σύνολο των ακεραίων έχει πληθάριθμο \aleph \_{0} (*άλεφ-μηδέν*), όπως και το σύνολο των φυσικών.
Αυτό αποδεικνύεται από την ύπαρξη αμφιμονότιμης και επί συνάρτησης f:{\mathbb {Z}}\to {\mathbb {N}}, συνάρτησης δηλαδή που κάθε στοιχείο των φυσικών αριθμών είναι μια αντιστοίχιση από ένα ακριβώς στοιχείο των ακεραίων:

f(x)={\begin{cases}2|x|,&x<0\\2x+1,&x\geq 0.\end{cases}}

Δείτε επίσης
------------

|  |  |
| --- | --- |
| Commons logoCommons logo | Τα Wikimedia Commons έχουν πολυμέσα σχετικά με το θέμα   **Ακέραιος αριθμός** |

Σύνολο των 

* φυσικών αριθμών \mathbb{N}
* ρητών αριθμών \mathbb{Q}
* πραγματικών αριθμών \mathbb{R}
* μιγαδικών αριθμών {\displaystyle \mathbb {C} }.

Παραπομπές
----------

1. ↑  (Αγγλικά) «*from the German word Zahl = number*». Conrad Keith. Divisibility and greatest common divisor από kconrad.math.uconn.edu. Αρχειοθετήθηκε 26/01/2019. Ανακτήθηκε 26/01/2019.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Z." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource.. Αρχειοθετήθηκε 13/07/2017. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Z." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource.. Αρχειοθετήθηκε 22/01/2019. Ανακτήθηκε 28/01/2019.
4. ↑  Terr, David and Weisstein, Eric W. "Ring of Integers." From *MathWorld*--A Wolfram Web Resource.. Αρχειοθετήθηκε 15/01/2018. Ανακτήθηκε 28/01/2019.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| π • σ • ε
Σύνολα αριθμών |
| --- |
|  |
| κατά σειρά επέκτασης | 
* φυσικοί ({\mathbb {N}})
* ακέραιοι ({\mathbb {Z}})
* ρητοί ({\mathbb {Q}})
* πραγματικοί ({\mathbb {R}})
* μιγαδικοί ({\mathbb {C}})
* τετραδόνια ({\displaystyle \mathbb {H} })
* οκτόνια ({\displaystyle \mathbb {O} })
 |
|  |
| υποσύνολα φυσικών | 
* περιττοί
* άρτιοι
* πρώτοι
* σύνθετοι
* πρώτοι προς αλλήλους
* δίδυμοι πρώτοι
* πρώτοι κατά Μερσέν
* τέλειοι
* τριγωνικοί
* πυθαγόρειες τριάδες
 |
|  |
| υποσύνολα πραγματικών | 
* αρνητικοί
* θετικοί
* περιοδικοί
* κυκλικοί
* άρρητοι ({\displaystyle \mathbb {Q'} })
* ασύμμετροι
 |
|  |
| υποσύνολα μιγαδικών | 
* φανταστικοί (**Δεν μπόρεσε να γίνει ανάλυση του όρου. (MathML αν είναι δυνατό (πειραματικό): Μη αποδεκτή απάντηση ("Math extension cannot connect to Restbase.") από τον εξυπηρετητή "http://localhost:6011/el.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \mathbb{I}}**
)
* διπλοί
* αλγεβρικοί ({\mathbb {A}})
* υπερβατικοί
 |
|  |
| υπερσύνολα μιγαδικώνsplitσύνθετοι | 
* τετραδόνια ({\displaystyle \mathbb {H} })
* υπερβολικά τετραδόνια
* διπλά τετραδόνια
* οκτόνια ({\displaystyle \mathbb {O} })
* σεντένια ({\displaystyle \mathbb {S} })
* συν-αμφι-τετραδόνια > στους πραγματικούς: συν-μιγαδικοί
* συν-τετραδόνια
* συν-αμφι-μιγαδικοί
* συν-οκτονικοί > στους μιγαδικούς: αμφι-μιγαδικοί
* αμφι-τετραδόνια
* αμφι-οκτόνια
 |
|  |
| θεωρία συνόλων | 
* πληθάριθμοι
* υπερπεπερασμένοι αριθμοί
 |
|  |
| κατά βάση αρίθμησης | 
* δυαδικοί
* τριαδικοί
* επταδικοί
* οκταδικοί
* **δεκαδικοί**
* δεκαεξαδικοί
 |
|  |
| κατά σύστημα αρίθμησης | 
* **αραβικοί**
* ινδικοί
* ρωμαϊκοί
* ελληνικοί
* αρμενικοί
 |
|  |
| μαθηματικές σταθερές | 
* π
* φ
* e
* Googol
 |

 |

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Καθιερωμένοι όροι | 
* GND: 4134668-3
* NDL: 00570428
* NKC: ph135364

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| 

|  |
| --- |
| * Πύλη:Μαθηματικά
 |

 |