Ο **αριθμός του Γκράχαμ** (αγγλικά: *Graham's number*) είναι ασύλληπτα μεγάλος ακέραιος αριθμός ο οποίος προκύπτει ως το άνω όριο στην απάντηση προβλήματος του μαθηματικού πεδίου της θεωρίας Ράμσεϋ. Ονομάστηκε βάσει του μαθηματικού Ρόναλντ Γκράχαμ ο οποίος χρησιμοποίησε τον αριθμό ως μια απλοποιημένη εξήγηση των άνω ορίων κάποιου προβλήματος στο οποίο εργαζόταν. Το σύνολο των ψηφίων από τα οποία απαρτίζεται ο αριθμός σε τόσο μεγάλη κλίμακα, δεν είναι δυνατό να εκφραστεί με μαθηματικές δυνάμεις ούτε καν υψωμένες διαδοχικά ως {\displaystyle \scriptstyle a^{b^{c^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}}ή τον παραγοντικό τελεστή !, και χρειάζεται ειδική σημειολογία, ενώ δεν είναι δυνατό ούτε να αποτυπωθούν γραπτά καθώς η καταγραφή του συνόλου των ψηφίων θα απαιτούσε μεγαλύτερο χώρο από αυτόν που είναι διαθέσιμος στο παρατηρήσιμο σύμπαν, υποθέτoντας πως το κάθε ψηφίο θα καταλάμβανε τον υπερμικροσκοπικό χώρο του 4.2217 × 10−105 m3 ο οποίος αντιστοιχεί σε μια μονάδα όγκου Πλανκ η οποία είναι η μικρότερη δυνατή μετρήσιμη ποσότητα όγκου. Επίσης, δεν είναι ούτε δυνατό να αναπαρασταθεί γραπτά απλά το σύνολο των ψηφίων του αριθμού αυτού αντί ο ίδιος ο αριθμός. Ωστόσο υπάρχουν τρόποι ώστε να βρεθούν το ποιά είναι τα τελευταία ψηφία του αριθμού, για παράδειγμα τα 12 τελευταία ψηφία του είναι τα ...262464195387.

Ο αριθμός αυτός αργότερα περιγράφθηκε στο επιστημονικό περιοδικό *Scientific American* το 1977, γνωστοποιώντας τον στο ευρύτερο αναγνωστικό κοινό. Κατά την εποχή όπου διατυπώθηκε, αποτέλεσε τον μεγαλύτερο θετικό ακέραιο ο οποίος χρησιμοποιήθηκε ποτέ σε δημοσιευμένη μαθηματική απόδειξη. Ακολούθως το 1980 ο αριθμός δημοσιεύτηκε στο βιβλίο των Ρεκόρ Γκίνες το 1980 κάνοντας τον ακόμη πιο γνωστό. Κατά τις επόμενες δεκαετίες εμφανίστηκαν ακόμη μεγαλύτεροι ακέραιοι όπως ο TREE(3) οι οποίοι είναι πολύ μεγαλύτεροι ακόμη και από τον αριθμό του Γκράχαμ και έχουν επίσης χρησιμοποιηθεί σε δημοσιευμένες μαθηματικές μελέτες, ή οι *αριθμοί busy beaver* οι οποίοι είναι τόσο μεγάλοι ώστε δεν μπορούν να παραχθούν βάσει μικρών αναδρομικών μεθόδων για να περιγράψουν κάποιο άνω όριο. Ωστόσο ο αριθμός του Γκράχαμ είναι κατά πολύ μεγαλύτερος από άλλους μεγάλους γνωστούς αριθμούς, όπως ο αριθμός του Σκιούς και ο αριθμός του Μόζερ, οι οποίοι με την σειρά τους είναι κατά πολύ μεγαλύτεροι από το γκούγκολ.

Ο αριθμός είναι δυνατό να αναπαρασταθεί μέσω της ειδικής μαθηματικής σημειολογίας του Ντόναλντ Κνουθ, γνωστής ως σημειολογίας Κνουθ άνω βέλους η οποία χρησιμοποιείται για εξαιρετικά μεγάλους αριθμούς και την οποία χρησιμοποίησε ο ίδιος ο Γκράχαμ κατά την διατύπωση του αριθμού του.

Χρήση
-----

Παράδειγμα δίχρωμου τρισδιάστατου κύβου ο οποίος περιέχει ένα μονοχρωματισμένο ομοεπίπεδο υπογράφο τεσσάρων κορυφών. Ο υπογράφος αναπαριστάται ξεχωριστά κάτω από τον κύβο.
Ο αριθμός του Γκράχαμ σχετίζεται με το παρακάτω πρόβλημα της θεωρίας Ράμσεΐ:

> Σύνδεσε κάθε ζεύγος γεωμετρικών κορυφών ενός υπερκύβου σε *ν* διαστάσεις ώστε να προκύψει ένας ολοκληρωμένος γράφος 2*ν* κορυφών. Χρωμάτισε κάθε ένα από τα άκρα του γράφου είτε ερυθρό είτε κυανό. Ποια είναι η μικρότερη τιμή του *ν* για την οποία *κάθε* τέτοιος χρωματισμός περιέχει τουλάχιστον έναν μονοχρωματισμένο ολοκληρωμένο υπογράφο σε τέσσερις ομοεπίπεδες κορυφές;
> 
> 

Το 1971, οι Γκράχαμ και Ρόθτσιλντ έλυσαν το πρόβλημα αυτό αποδεικνύοντας πως η λύση είναι *N\**, όπου ισχύει η συνθήκη ορίου 6 ≤ *N\** ≤ *N*, με το *N* να αποτελεί έναν μεγάλο αλλά ρητά καθορισμένο αριθμό {\displaystyle \scriptstyle F^{7}(12)\;=\;F(F(F(F(F(F(F(12)))))))}, όπου {\displaystyle \scriptstyle F(n)\;=\;2\uparrow ^{n}3} στη σημειολογία Κνουθ άνω βέλους. Με την εναλλακτική μέθοδο της αλυσιδωτής σημειολογίας βέλους Κόνγουεϊ ο αριθμός είναι μεταξύ 4 → 2 → 8 → 2 και 2 → 3 → 9 → 2. Το 2004 σμικρύνθηκε μέσω των άνω ορίων στον αριθμό Χέιλς-Τζιούετ σε {\displaystyle \scriptstyle N'\;=\;2\;\uparrow \uparrow \uparrow \;6}. Το 2003 το κάτω όριο διαμορφώθηκε από 6 σε 11, και το 2008 σε 13. Έτσι τα εκτιμώμενα όρια για το *N\** είναι 13 ≤ *N\** ≤ *N'*.

Ορισμός
-------

### Σημειολογία Κνουθ

Ο αριθμός ορίζεται ως:

{\displaystyle \left.{\begin{matrix}G&=&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdots \cdots \cdots \uparrow } 3\\&&\underbrace {\qquad \;\;\vdots \qquad \;\;} \\&&3\underbrace {\uparrow \uparrow \cdots \cdot \cdot \uparrow } 3\\&&3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3\end{matrix}}\right\}{\text{64 επίπεδα}}}

όπου ο αριθμός βελών σε κάθε επίπεδο ορίζεται από την τιμή του επόμενου επιπέδου κάτω από αυτό, όπως:

{\displaystyle G=g\_{64},{\text{ όπου }}g\_{1}=3\uparrow \uparrow \uparrow \uparrow 3,\ g\_{n}=3\uparrow ^{g\_{n-1}}3,}
και όπου η εκθετική γραφή περιγράφει το πόσα βέλη χρησιμοποιούνται. Εν τέλει, ο αριθμός Γκράχαμ περιγράφεται σε 64 τέτοια επίπεδα. Το πρώτο βήμα αφορά τον υπολογισμό του *g*1 με τέσσερα άνω βέλη μεταξύ των 3αριών, το δεύτερο βήμα είναι ο υπολογισμός του *g*2 με *g*1 άνω βέλη μεταξύ των 3αριών, και ακολουθείται η ίδια διαδικασία για όλα τα επόμενα επίπεδα μέχρι τον τελικό υπολογισμό του *G* = *g*64 με *g*63 άνω βέλη μεταξύ των 3αριών.

### Σημειολογία Κόνγουεϊ

Στην αλυσιδωτή σημειολογία βέλους Κόνγουεϊ ο αριθμός εκφράζεται με την μορφή {\displaystyle \scriptstyle f(n)\;=\;3\rightarrow 3\rightarrow n}, και τα όρια του καθορίζονται ως:

{\displaystyle 3\rightarrow 3\rightarrow 64\rightarrow 2<G<3\rightarrow 3\rightarrow 65\rightarrow 2.\,}
### Μέγεθος

Προσεγγιστικά, ο αριθμός των 3αριών σε κάθε επίπεδο, αν αναπαριστώνταν σε εκθετική μορφή θα περιείχε το παρακάτω αριθμούς σε κάθε εκθέτη (σύνολο ψηφίων έτσι ώστε να αναπαρασταθεί ο αριθμός του εκθέτη):

```
ν=1  1ο επίπεδο εκθέτη:  3
     
ν=2  2ο επίπεδο εκθέτη:  3↑3↑3 (το σύνολο 3αριών από το ν-1 επίπεδο είναι 3) = 7625597484987
     
ν=3  3ο επίπεδο εκθέτη:  3↑3↑3↑3↑...↑3 (το σύνολο 3αριών από το ν-1 επίπεδο είναι 7625597484987) = …
     
      ⋮
     
ν=ν *g*1 = *ν*ό επίπεδο:  3↑3↑3↑3↑3↑3↑3↑...↑3 (σύνολο 3αριών από το *ν-1*ό επίπεδο)
```

όπου το σύνολο τριαριών για κάθε επίπεδο εκθέτη δίνεται από το αμέσως προηγούμενο επίπεδο. Ακόμη και το ίδιο το *ν* το οποίο είναι απλώς το σύνολο των επιπέδων εκθέτη, είναι αφάνταστα μεγάλο και δεν μπορεί να αναπαρασταθεί.

Υπολογισμός των τελευταίων ψηφίων
---------------------------------

Ο *πύργος εκθετών* του αριθμού Γκράχαμ είναι της μορφής 3↑↑ν (όπου το ν είναι ένας πάρα πολύ μεγάλος αριθμός), έτσι τα πλέον *δεξιά* ψηφία του ικανοποιούν ορισμένα χαρακτηριστικά τα οποία είναι κοινά σε όλα τα επίπεδα του εκθετικού πύργου. Μια από αυτές τις ιδιότητες είναι ότι *όλα τα επίπεδα τα οποία έχουν ύψος μεγαλύτερο από ψ, διαθέτουν την ίδια ακολουθία ψ των πλέον δεξιών ψηφίων*. Αυτή είναι ειδική περίπτωση μιας πιο γενικής ιδιότητας, πως *τα ψ πλέον δεξιά στοιχεία όλων αυτών των επιπέδων με ύψος μεγαλύτερο από ψ*+2, *είναι* *ανεξάρτητα από τα κορυφαία 3 στον πύργο*, δηλαδή τα κορυφαία 3 μπορούν να αλλαχτούν σε οποιονδήποτε μη αρνητικό ακέραιο χωρίς να επηρεαστούν τα δ πλέον δεξιά ψηφία.

Για ένα ορισμένο ύψος εκθετικού πύργου και σύνολο ψηφίων *ψ*, το πλήρες εύρος των αριθμών με *ψ*-ψηφία (10*ψ* από αυτά) δεν διαδραματίζεται, ωστόσο μια ορισμένη μικρότερη υποομάδα των τιμών αυτών επαναλαμβάνεται κυκλικά. Το μήκος του κύκλου αυτού και κάποιες από τις τιμές (σε παρένθεση) είναι όπως παρακάτω:

Αριθμός διαφορετικών πιθανών τιμών για το 3↑3↑…3↑*x* όταν όλα εκτός από τα *d* τελευταία ψηφία αγνοούνται  
| Αριθμός ψηφίων (ψ) | 3↑*x* | 3↑3↑*x* | 3↑3↑3↑*x* | 3↑3↑3↑3↑*x* | 3↑3↑3↑3↑3↑*x* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 4  (1,3,9,**7**) | 2  (3,**7**) | 1  (**7**) | 1  (**7**) | 1  (**7**) |
| 2 | 20  (01,03,…,**87**,…,67) | 4  (03,27,83,**87**) | 2  (27,**87**) | 1  (**87**) | 1  (**87**) |
| 3 | 100  (001,003,…,**387**,…,667) | 20  (003,027,…**387**,…,587) | 4  (027,987,227,**387**) | 2  (987,**387**) | 1  (**387**) |

Τα συγκεκριμένα πλέον δεξιά *ψ* ψηφία είναι τα ίδια με όλα τα επίπεδα του εκθετικού πύργου, και αναπτύσσονται περαιτέρω καθώς το ύψος αυξάνει.

Ένας απλός αλγόριθμος για τον υπολογισμό των ψηφίων αυτών είναι:

* για χ = 3,
* επανέλαβε, *ψ* φορές την ανάθεση *χ* = 3*χ* mod 10ψ.
* παρέλειψε τα όποια μηδενικά προκύπτουν στην αρχή του αριθμού,
* η τελική τιμή που προκύπτει για το χ αποτελείται από τα *ψ* πλέον δεξιά δεκαδικά ψηφία το 3↑↑*ν*, όπου *ν* > *ψ*. (αν η τελική τιμή του χ έχει λιγότερα από ψ ψηφία, τότε ο απαιτούμενος αριθμός 0 στην αρχή του αριθμού πρέπει να προστεθεί)
* όρισε το *k* ως την πληθικότητα των σταθερών αυτών στοιχείων, τα οποία ικανοποιούν την μαθηματική αναλογία G(mod 10*k*)≡[GG](mod 10*k*).

*k*=*t*-1, όπου G(*t*):=3↑↑*t*. Συνεπάγεται πως g63 ≪ k ≪ g64.

Ο παραπάνω αλγόριθμος παράγει τα 500 πλέον δεξιά (*τελευταία*) ψηφία του αριθμού του Γκράχαμ:

```
  …02425950695064738395657479136519351798334535362521
   43003540126026771622672160419810652263169355188780
   38814483140652526168785095552646051071172000997092
   91249544378887496062882911725063001303622934916080
   25459461494578871427832350829242102091825896753560
   43086993801689249889268099510169055919951195027887
   17830837018340236474548882222161573228010132974509
   27344594504343300901096928025352751833289884461508
   94042482650181938515625357963996189939679054966380
   03222348723967018485186439059104575627262464195387
```

Παραπομπές
----------

1. ↑  John Baez (2013). «A while back I told you about Graham's number...».
2. ↑  «Graham's number records». Iteror.org. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 19 Οκτωβρίου 2013. Ανακτήθηκε στις 9 Απριλίου 2014.
3. ↑  Lavrov, Mikhail; Lee, Mitchell; Mackey, John (2014). «Improved upper and lower bounds on a geometric Ramsey problem». *European Journal of Combinatorics* **42**: 135–144. doi:10.1016/j.ejc.2014.06.003.
4. ↑  Exoo, Geoffrey (2003). «A Euclidean Ramsey Problem». *Discrete & Computational Geometry* **29** (2): 223–227. doi:10.1007/s00454-002-0780-5.  Exoo refers to the Graham & Rothschild upper bound *N* by the term "Graham's number". This is not the "Graham's number" *G* published by Martin Gardner.
5. ↑  Barkley, Jerome (2008). «Improved lower bound on an Euclidean Ramsey problem». arXiv:0811.1055 [math.CO].
6. ↑  «The Math Forum @ Drexel ("Last Eight Digits of Z")». Mathforum.org. Ανακτήθηκε στις 9 Απριλίου 2014.
7. ↑  Ripà, Marco (2011). *La strana coda della serie n^n^...^n* (στα Ιταλικά). UNI Service. ISBN 978-88-6178-789-6.

Σχετική βιβλιογραφία
--------------------

* Gardner, Martin (November 1977). «Mathematical Games». *Scientific American* **237**: 18–28. doi:10.1038/scientificamerican1177-18. . ; reprinted (revised) in Gardner (2001), cited below.
* Gardner, Martin (1989). *Penrose Tiles to Trapdoor Ciphers*. Washington, D.C.: Mathematical Association of America. ISBN 0-88385-521-6.
* Gardner, Martin (2001). *The Colossal Book of Mathematics: Classic Puzzles, Paradoxes, and Problems*. New York, NY: Norton. ISBN 0-393-02023-1.
* Graham, R. L.; Rothschild, B. L. (1971). «Ramsey's Theorem for n-Parameter Sets». *Transactions of the American Mathematical Society* **159**: 257–292. doi:10.2307/1996010. .  The explicit formula for *N* appears on p. 290. This is not the "Graham's number" *G* published by Martin Gardner.
* Graham, R. L.· Rothschild, B. L. (1978). «Ramsey Theory». Στο: Rota, G-C. *Studies in Combinatorics (MAA Studies in Mathematics)*. **17**. Mathematical Association of America. σελίδες 80–99. ISBN 0-88385-117-2.  On p. 90, in stating "the best available estimate" for the solution, the explicit formula for *N* is repeated from the 1971 paper.

Εξωτερικοί σύνδεσμοι
--------------------

* Graham's number- Mathworld
* Padilla, Tony· Parker, Matt. «Graham's Number». *Numberphile*. Brady Haran. Αρχειοθετήθηκε από το πρωτότυπο στις 27 Μαΐου 2014.