Παραδείγματα γεωμετρικής κατανομής με {\displaystyle p=0.2,0.35,0.5}.
Παραδείγματα αθροιστικής κατανομής με {\displaystyle p=0.2,0.35,0.5}.

Γεωμετρική Κατανομή| Συμβολισμός | {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(p)} |
| Παράμετροι | {\displaystyle p\in [0,1]} |
| Φορέας | {\displaystyle x\in \{1,2,\ldots \}} |
| Συνάρτηση Μάζας Πιθανότητας | {\displaystyle p\cdot (1-p)^{x-1}} |
| Μέσος | {\displaystyle 1/p} |
| Διάμεσος | {\displaystyle \left\lceil {\frac {-1}{\log \_{2}(1-p)}}\right\rceil } |
| Διακύμανση | {\displaystyle {\frac {1-p}{p^{2}}}} |
| Λοξότητα | {\displaystyle {\frac {2-p}{\sqrt {1-p}}}} |
| Κύρτωση | {\displaystyle 3+{\frac {p^{2}}{1-p}}} |
| Εντροπία | {\displaystyle -\log \_{2}p-{\frac {1-p}{p}}\cdot \log \_{2}(1-p)} |
| Ροπή | {\displaystyle \operatorname {E} [X^{k}]=p} |
| Πιθανογεννήτρια | {\displaystyle {\frac {p\cdot t}{1-(1-p)\cdot t}}} για {\displaystyle |t|<{\frac {1}{1-p}}} |
| Χαρακτηριστική | {\displaystyle {\frac {p\cdot e^{t}}{1-(1-p)\cdot e^{t}}}} για {\displaystyle e^{t}<{\frac {1}{1-p}}} |

Η γεωμετρική κατανομή είναι μια διακριτή συνάρτηση κατανομής τυχαίας μεταβλητής.
Περιγράφει το πλήθος πειραμάτων με δυο πιθανά αποτελέσματα (επιτυχία - αποτυχία) και πιθανότητα επιτυχίας p, μέχρι να έχουμε μια επιτυχία.

Θεωρούμε την τυχαία μεταβλητή X που εκφράζει το πλήθος των πειραμάτων. 
Η πιθανότητα να χρειαστούμε {\displaystyle x\in \{1,2,\ldots \}} πειράματα έως ότου να έχουμε μια επιτυχία με πιθανότητα επιτυχίας p κάθε φορά είναι:

{\displaystyle \operatorname {P} (X=x)=p(1-p)^{x-1}}.

Παραδείγματα
------------

* Το πλήθος των φορών X που πρέπει να ρίξουμε ένα νόμισμα μέχρι να έρθει κορώνα ακολουθεί την κατανομή {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(1/2)}.
* Το πλήθος των φορών X που πρέπει να πάρει κανείς το λαχείο μέχρι να κερδίσει ακολουθεί την κατανομή {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(1/1000)}, αν υποθέσουμε ότι συμμετέχουν {\displaystyle 1000} άτομα κάθε φορά.
* Αν ένας αλγόριθμος έχει πιθανότητα σφάλματος \epsilon , τότε το πλήθος των φορών που πρέπει να τον τρέξουμε έως ότου δώσει την σωστή απάντηση, ακολουθεί την κατανομή {\displaystyle {\mathsf {Geom}}(1/(1-\epsilon ))}.

Μέση τιμή
---------

**Απόδειξη 1η:** Θα χρησιμοποιήσουμε την εξής φόρμουλα για τον υπολογισμό της μέσης τιμής:

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum \_{x=1}^{\infty }\Pr(X\geq x).}
Η πιθανότητα να έρθει η πρώτη επιτυχία μετά το x-οστό πείραμα είναι ίση με την πιθανότητα τα πρώτα {\displaystyle x-1} πειράματα να είναι αποτυχίες, δηλαδή

{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq x)=(1-p)^{x-1}.}
επιστρέφοντας στον τύπο της μέσης τιμής, έχουμε ότι:

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\sum \_{x=1}^{\infty }\Pr(X\geq x)=\sum \_{x=1}^{\infty }(1-p)^{x-1}=\sum \_{x=1}^{\infty }(1-p)^{x}={\frac {1}{1-(1-p)}}={\frac {1}{p}}.}
**Απόδειξη 2η:** Ένας εναλλακτικός τρόπος για την εύρεση την μέσης τιμής είναι ο εξής:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X]&=\sum \_{x=0}^{\infty }x\cdot p\cdot (1-p)^{x-1}\\&=\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot \left(x\cdot (1-p)^{x-1}\right)\\&=\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot {\frac {d}{dp}}\left(-(1-p)^{x}\right)\\&=p\cdot {\frac {d}{dp}}\left(-\sum \_{x=0}^{\infty }(1-p)^{x}\right)\\&=p\cdot {\frac {d}{dp}}\left(-{\frac {1}{p}}\right)\\&=p\cdot {\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {1}{p}}.\end{aligned}}}

Διακύμανση
----------

Ξεκινάμε υπολογίζοντας την τιμή:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [X\cdot (X-1)]&=\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}\cdot x\cdot (x-1)\\&=p\cdot (1-p)\cdot \sum \_{x=2}^{\infty }(1-p)^{x-2}\cdot x\cdot (x-1)\\&=p\cdot (1-p)\cdot \sum \_{x=2}^{\infty }{\frac {d}{dp^{2}}}\left((1-p)^{x}\right)\\&=p\cdot (1-p)\cdot {\frac {d^{2}}{dp^{2}}}\sum \_{x=2}^{\infty }(1-p)^{x}\\&=p\cdot (1-p)\cdot {\frac {d^{2}}{dp^{2}}}{\frac {(1-p)^{2}}{p}}\\&=p\cdot (1-p)\cdot {\frac {d}{dp}}\left(1-{\frac {1}{p^{2}}}\right)\\&=p\cdot (1-p)\cdot {\frac {2}{p^{3}}}\\&=2\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}.\end{aligned}}}
Η διακύμανση τότε δίνεται από τον τύπο:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {V} [X]&=\operatorname {E} [X\cdot (X-1)]+\operatorname {E} [X]-(\operatorname {E} [X])^{2}\\&=2\cdot {\frac {1-p}{p^{2}}}+{\frac {1}{p}}-{\frac {1}{p^{2}}}\\&={\frac {1-p}{p^{2}}}.\end{aligned}}}

Διάμεσος
--------

Θέλουμε να βρούμε την μικρότερη τιμή του x ώστε:

{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq x)=(1-p)^{x}\leq {\frac {1}{2}}.}
Ισοδύναμα,

{\displaystyle x\log \_{2}(1-p)\leq -1.}
Δηλαδή,

{\displaystyle x=\left\lceil {\frac {-1}{\log \_{2}(1-p)}}\right\rceil .}

Εντροπία
--------

Από τον ορισμό της εντροπίας, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [-\log \_{2}X]&=-\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}\cdot \log \_{2}\left(p\cdot (1-p)^{x-1}\right)\\&=-\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}\cdot \log \_{2}p-\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x}\cdot (x-1)\cdot \log \_{2}(1-p)\\&=-(\log \_{2}p)\cdot \sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}-(\log \_{2}(1-p))\cdot \sum \_{x=2}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-2}\cdot (x-1)\\&=-\log \_{2}p-(\log \_{2}(1-p))\operatorname {E} [X-1]\\&=-\log \_{2}p-{\frac {1-p}{p}}\cdot \log \_{2}(1-p).\end{aligned}}}

Πιθανογεννήτρια συνάρτηση
-------------------------

Από τον ορισμό της πιθανογεννήτριας συνάρτησης, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [t^{X}]&=\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}\cdot t^{x}\\&=p\cdot t\cdot \sum \_{x=0}^{\infty }((1-p)\cdot t)^{x-1}\\&=p\cdot t\cdot {\frac {1}{1-(1-p)\cdot t}},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle |t|<{\frac {1}{1-p}}}.

Χαρακτηριστική συνάρτηση
------------------------

Από τον ορισμό της χαρακτηριστικής συνάρτησης, έχουμε ότι:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [e^{tX}]&=\sum \_{x=0}^{\infty }p\cdot (1-p)^{x-1}\cdot e^{tx}\\&=p\cdot e^{t}\cdot \sum \_{x=0}^{\infty }((1-p)\cdot e^{t})^{x-1}\\&=p\cdot e^{t}\cdot {\frac {1}{1-(1-p)\cdot e^{t}}},\end{aligned}}}
χρησιμοποιώντας ότι {\displaystyle e^{t}<{\frac {1}{1-p}}}.

Ιδιότητες
---------

* (**Έλλειψη μνήμης**) Έστω {\displaystyle X\sim {\mathsf {Geom}}(p)}, τότε για κάθε {\displaystyle m,n\geq 0}, ισχύει ότι:

{\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m+n\mid X\geq m)=\operatorname {P} (X\geq n).}

| Απόδειξη |
| --- |
| {\displaystyle \operatorname {P} (X\geq m+n\mid X\geq m)={\frac {\operatorname {P} (X\geq m+n,X\geq m)}{\operatorname {P} (X\geq m)}}={\frac {\operatorname {P} (X\geq m+n)}{\operatorname {P} (X\geq m)}}={\frac {(1-p)^{m+n}}{(1-p)^{m}}}=(1-p)^{n}=\operatorname {P} (X\geq n).} |

* Το ελάχιστο {\displaystyle Z=\min\{X\_{1},X\_{2}\}} δύο ανεξάρτητων γεωμετρικών κατανομών {\displaystyle X\_{1}\sim {\mathsf {Geom}}(p\_{1})} και {\displaystyle X\_{2}\sim {\mathsf {Geom}}(p\_{2})}, ακολουθεί επίσης γεωμετρική κατανομή {\displaystyle Z\sim {\mathsf {Geom}}(p\_{1}+p\_{2}-p\_{1}p\_{2})}.


| Απόδειξη |
| --- |
| Το γεγονός {\displaystyle Z\geq x} συμβαίνει όταν {\displaystyle X\_{1}\geq x} και {\displaystyle X\_{2}\geq x}. Επομένως, για κάθε {\displaystyle x\geq 0}, έχουμε ότι
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {P} (Z\geq x)&=\operatorname {P} (X\_{1}\geq x,X\_{2}\geq x)\\&=\operatorname {P} (X\_{1}\geq x)\cdot \operatorname {P} (X\_{2}\geq x)\\&=(1-p\_{1})^{x}\cdot (1-p\_{2})^{x}\\&=\left((1-p\_{1})\cdot (1-p\_{2})\right)^{x}\\&=\left(1-(p\_{1}+p\_{2}-p\_{1}p\_{2})\right)^{x}.\end{aligned}}}
Συνεπώς η {\displaystyle Z} είναι γεωμετρική κατανομή με παράμετρο {\displaystyle p=p\_{1}+p\_{2}-p\_{1}p\_{2}}. |

Δείτε επίσης
------------

* Γεωμετρική πρόοδος
* Αρνητική διωνυμική κατανομή

Παραπομπές
----------

1. ↑  Μάρας, Ανδρέας. «Βασικές Διακριτές Κατανομές» (PDF). Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.
2. ↑  Μπούτσικας, Μιχαήλ. «Ειδικές Διακριτές, Συνεχείς Κατανομές» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς.
3. ↑  Δημητράκος, Θεοδόσης. «Τυχαίες Μεταβλητές» (PDF). Σχολή θετικών επιστημών, Πανεπιστήμιο Αιγαίου. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.
4. ↑  Κούτρας, Μάρκος. «Πιθανότητες Ι» (PDF). Πανεπιστήμιο Πειραιώς. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.
5. ↑  Πανάρετος, Ιωάννης. «Μερικές ειδικές διακριτές κατανομές» (PDF). Τμήμα Στατιστικής, Οικονομικό Πανεπιστήμιο Αθηνών. Ανακτήθηκε στις 7 Ιουνίου 2023.