Mewn mathemateg, disgrifiad trylwyr o ddamcaniaeth setiau yw **damcaniaeth setiau wirebol**. Fe'i grëwyd er mwyn mynd i'r afael a'r croesddywediadau megis croesddywediad Russel a chroesddywediad Burali-Forti, a oedd yn rhan annatod o ddamcaniaeth setiau fel y'i datblygwyd gan Frege ac eraill. Mae sawl system wirebol posib i ddamcaniaeth setiau, ond system Zermelo-Fraenkel gyda gwireb ddewis yw'r fwyaf poblogaidd o lawer ymysg mathemategwyr.

Gwirebau ZF
-----------

Strwythur dros resymeg radd-gyntaf yw **damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel**. Setiau yw aelodau'r strwythur, a hafaledd a'r perthynas o aelodaeth yw'r perthynasau arno.

1) Gwireb estyniad: Mae dwy set yn hafal os yw'r un aelodau ganddynt.

{\displaystyle \forall x\forall y(\forall z(z\in x\Leftrightarrow z\in y)\Rightarrow x=y)}
2) Gwireb sylfaen: Mae gan bob set *x* nad yw'n wag aelod *y* fel fod *x* ac *y* yn setiau digyswllt.

{\displaystyle \forall x[\exists y(y\in x)\Rightarrow \exists y(y\in x\land \lnot \exists z(z\in y\land z\in x))]}
3) Gwireb wahanu: Os yw *z* yn set a {\displaystyle \phi \!} yn unrhyw briodwedd a all aelodau *x* o *z* gael, yna mae yna is-set *y* o *z* sy'n cynnwys yr *x* hynny yn *z* sydd ganddynt y priodwedd, a dim arall. Mae'r cyfyngiad i *z* yn angenrheidiol er mwyn osgoi gwrthddywediad Russel. Noder mai cyfres o wirebau yw hon, a bod yn fanwl gywir.

Ar gyfer unrhyw fformwla {\displaystyle \phi \!} yn iaith ZFC gyda newidynnau rhydd ymysg {\displaystyle x,z,w\_{1},\ldots ,w\_{n}\!}:

{\displaystyle \forall z\forall w\_{1}\ldots w\_{n}\exists y\forall x(x\in y\Leftrightarrow (x\in z\land \phi ))}
4) Gwireb bario: Os yw *x* ac *y* yn setiau, yna mae yna set sy'n cynnwys y ddwy ohonynt.

{\displaystyle \forall x\forall y\exists z(x\in z\land y\in z)}
5) Gwireb uniad: I bob set {\displaystyle {\mathcal {F}}} mae yna set *A* sy'n cynnwys pob set sy'n aelod o set sy'n aelod o {\displaystyle {\mathcal {F}}}.

{\displaystyle \forall {\mathcal {F}}\,\exists A\,\forall Y\,\forall x(x\in Y\land Y\in {\mathcal {F}}\Rightarrow x\in A)}
6) Gwireb ail-osod: 
Ar gyfer pob ffwythiant ffurfiol *f* a'i barth yn set, mae yna set sy'n cynnwys amrediad *f* (namyn un amod i osgoi wrthddywediad). Cyfres o wirebau ydyw hon hefyd.
Ar gyfer pob fformwla {\displaystyle \phi \!} yn iaith ZFC gyda'i newidynnau rhydd ymysg {\displaystyle x,y,A,w\_{1},\ldots ,w\_{n}\!}:

{\displaystyle \forall A\,\forall w\_{1},\ldots ,w\_{n}[(\forall x\in A\exists !y\phi )\Rightarrow \exists Y\forall x\in A\exists y\in Y\phi ].}
Ystyr y meintiolydd {\displaystyle \exists !y} yw fod {\displaystyle y\!} o'r fath yn bodoli, a'i bod yn unigryw namyn hafaledd.

Defnyddia'r gwirebau canlynol y nodiant {\displaystyle S(x)=x\cup \{x\}\!}.
Gellid profi o'r gwirebau uchod fod {\displaystyle S(x)\!} yn bodoli a'i bod yn unigryw ar gyfer pob set {\displaystyle x\!}. Os mae yna set yn bodoli o gwbl, maent hefyd yn ymhlygu fod y set wag {\displaystyle \varnothing } yn bodoli a'i bod yn unigryw.

7) Gwireb anfeidredd: Mae yna set *X* sy'n cynnwys y set wag, a phrydbynnag mae *y* 'n aelod o *X*, mae *S(y)* hefyd yn aelod o *X*.

{\displaystyle \exists X\left(\varnothing \in X\land \forall y(y\in X\Rightarrow S(y)\in X)\right)}
8) Gwireb set-pŵer: I bob set *x* mae yna set *y* sy'n cynnwys pob is-set o *x*.

{\displaystyle \forall x\exists y\forall z(z\subseteq x\Rightarrow z\in y)}
Mae {\displaystyle z\subseteq x} yn dalfyriad o {\displaystyle \forall q(q\in z\Rightarrow q\in x)}.

9) Gwireb ddewis: I bob set *X* mae yna berthynas deuol *R* sy'n iawn-drefnu *X*. Golyga hyn fod *R* yn drefn llinol ar *X* a bod elfen lleiaf dan *R* gan bob is-set an-wag o *X*.

{\displaystyle \forall X\exists R(R\;{\mbox{well-orders}}\;X)}

Gweler hefyd
------------

* Gwireb