Yn chwilio am gar newydd, mae'r chwaraewr yn dewis un drws, dywedwn drws 1. Mae cylfwynydd y gêm yn agor un o'r drysau eraill, dywedwn drws 3, i ddatgelu gafr, ac yn rhoi cynnig i'r chwaraewr newid o ddrws 1 i ddrws 2.
Mae **Pôs Monty Hall** yn bôs tebygolrwydd, yn seiliedig yn fras ar y rhaglen teledu Americanaidd *Let's Make a Deal*, a enwyd ar ôl ei cyflwynydd gwreiddiol, Monty Hall. Perwyd (a ddatryswyd) y broblem wreiddiol mewn llythyr gan Steve Selvin i'r *American Statistician* yn 1975 ((Selvin 1975a), ((Selvin 1975b). Daeth yn enwog fel cwestiwn o lythyr a ddyfynnir yn golofn Marilyn vos Savant "Ask Marilyn" yn y gylchgrawn *Parade*  yn 1990 ((vos Savant 1990a):

"Tybiwch eich bod ar sioe gêm, a mae ganddoch chi dewis o tri drws: Tu ôl i in drws mae car; tu ôl y gweddill mae geifr. Rydych chi'n dewis drws, dywedwn drws Rhif 1, ac mae'r cyflwynwr, sy'n gwybod beth sydd tu ôl pob drws, yn agor drws arall, dywedwn drws Rhif 3, I dangos gafr. Mae'r cyflwynwr wedyn yn gofyn "Wyt ti eisiau dewis drws Rhif 2? A yw'n fantais newid eich dewis?"

Ymateb Vos Savant oedd dylai'r cystadleuydd newid i dewis y drws arall (Vos Savant 1990a). O dan dybiaethau safonol, mae gan cystadleuwyr sy'n newid eu dewis tebygolrwydd 2/3 o ennill y car, tra bod gan cystadleuwyr sy'n cadw eu dewis gwreiddiol ond tebygolrwydd o 1/3 o ennill y car.Mae'r tebygolrwyddau a rhoddir yn dibynnu ar dybiaethau penodol ar sut mae'r cyflwynwr a'r cystadleuydd yn dewis eu drysau. Y faith allweddol y bod mwy o wybodaeth am drysau 2 a 3 nad oedd ar gael ar dechrau'r gêm, pan ddewisodd y cystadleuydd drws Rhif 1. Mae gweithrediad bwriadol y cyflwynwr yn ychwanegu mwy o werth i'r drws nad oedd y cyflwynwr wedi dewis i'w ddangos, ond nid yw'n ychwanegu unrhyw beth i'r drws a ddewisiodd y cystadleuydd yn wreiddiol.

Gwrthododd llawer o ddarllenwyr golofn Vos Savant i gredu bydd newid eich drws yn fuddiol, er gwaethaf ei esboniad. Ar ôl i'r broblem yn ymddangos yn y *Parade*, ysgrifennodd tua 10,000 o ddarllenwyr, yn cynnwys bron i 1,000 gyda Phd, i'r cylchgrawn, y rhan fwyaf ohonynt yn honni fod vos Savant yn anghywir ((Tierney 1991). Hyd yn oed ar ôl roi esboniadau, rhedeg efelychiadau, a gweld profion mathemategol ffurfiol, mae llawer o bobl dal ddim yn derbyn taw newid drws yw'r strategaeth orau ((vos Savant 1991a). Roedd Paul Erdős, un o'r mathemategwyr enwocaf, yn parhau i wrthod credu hwn nes iddo weld efelychiad cyfrifiadurol yn dangos y canlyniad a rhagwelir (Vazsonyi 1999).

Mae'r broblem ym paradocs o'r fath *veridical*, oherwydd bod y dewis cywir (dylen ni newid drysau) mor gwth-reddfol gall ymddangos yn hurt, ond serch hynny'n amlwg yn wir. Mae'r broblem Monty Hall yn perthyn yn fathemategol agos i'r broblem Tri Carcharwr ac i'r paradocs blwch Bertrand.

Y paradocs
----------

Disgrifiodd Steve Selvin y problem mewn llythyr i'r American Statistician yn 1975, yn ei alw'n y "problem Monty Hall" mewn llythyr dilynol. Ailddatganwyd y problem mewn llythyr gan Craig Whitaker i golofn "Ask Marilyn" yn 1990 (Gardner 1959a) and the Three Shells Problem described in Gardner's book "Aha Gotcha"; 1982.

### Tybiaethau safonol

O dan y dybiaethau safonol, y tebygolrwydd o ennill y car ar ôl newid yn 2/3.
Yn allweddol i'r datrysiad hwn yw ymddygiad y cyflwynydd:

1. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser agor drws ni ddewiswyd gan y cystadleuydd (Mueser a Granberg 1999).
2. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser agor drws i ddatgelu gafr a byth y car.
3. Rhaid i'r cyflwynydd pob amser cynnig y cyfle i newid rhwng y dewis wreiddiol a'r drws sydd gweddill.

### Datrysiad

Tri trefniant cychwynnol i'r gêm. Mewn dau ohonynt, mae'r chwaraewr yn ennill trwy newid ei dewis gwreiddiol.
Mae'r datrysiad a gyflwynir gan vos Savant (1990b) yn *Parade* yn dangos y tri trefniadau posibl o un car a dau gafr tu ôl i dri drws, a'r canlyniad o aros neu newid ar ôl dewis drws 1 ym mhob achos:

| Tu ôl i ddrws 1 | Tu ôl i ddrws 2 | Tu ôl i ddrws 3 | Canlyniad, os aros gyda drws #1 | Canlyniad os newidir drws |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| Gafr | Gafr | **Car** | Ennill gafr | **Ennill car** |
| Gafr | **Car** | Gafr | Ennill gafr | **Ennill car** |
| **Car** | Gafr | Gafr | **Ennill car** | Ennill gafr |

Mae chwaraewr sydd yn aros gyda'i dewis cychwynnol yn ennill mewn dim ond un allan o dri o'r bosibiliadau yma sydd yr un mor debygol i'w ddigwydd, tra bod y chwaraewr sydd yn newid ei dewis yn ennill mewn dau allan o dri.

Ffordd arall o ddeall y datrysiad yw ystyried y ddau drws ni chafodd eu dewis yn gwreiddiol gyda'i gilydd (Adams 1990; Devlin 2003, 2005; Williams 2004; Stibel et al. 2008). Fel dywedodd Cecil Adams (Adams 1990), "mae Monty yn dweud mewn gwirionedd: gallwch gadw eich un drws, neu gallwch gael y ddau drws arall". Nid yw'r siawns 2/3 o ddod o hyd i'r car wedi ei newid gan agor un o'r drysau hyn gan fod Monty, yn gwybod leoliad y car, yn sicr i ddatgelu gafr. Felly nid yw dewis y chwaraewr ar ôl i'r cyflwynydd agor drws yn wahanol i'r cyflwynydd yn cynnig y dewis i newid i'r set o *ddau* drws sydd ar ôl. Mae newid yn yr achos hwn yn amlwg yn rhoi'r chwaraewr tebygolrwydd o 2/3 o ddewis y car.

Cyfeiriadau
-----------