Pentagon rheolaidd
Castell Holt, ar lan Afon Dyfrdwy ym mwrdeistref sirol Wrecsam. Codwyd y castell ar ffurf pentagon.
Pentagon (allanol) a phentagon serennog.
Mewn geometreg, **pentagon** yw unrhyw siâp pum-ochr neu 5-gon. Mae swm onglau mewnol pob pentagon syml yn 540°. Gall pentagon fod yn syml neu'n hunan-groestori; gelwir pentagram sy'n hunan-groestori yn rheolaidd neu'n 'bentagon serennog' (gweler Pentagram).

Daw'r gair 'pentagon' o'r Groeg πέντε ***pente*** a γωνία ***gonia***, sef "pump ac ongl".[1]

Pentagonau rheolaidd
--------------------

Symbol Schläfli y pentagon rheolaidd yw {5} ac mae pob ongl fewnol yn 108°; mae'n dilyn felly bod

5 x 108 = 540°.

Mae ganddo hefyd 5 llinell cymesuredd tro (neu 'cymesuredd cylchdro'[2].) a 5 llinell adlewyrchol. Mae croesliniau'r pentagon rheolaidd amgrwm o fewn y 'gymhareb aur', i'w ochrau. Mae ei uchter (y pellter o un ochr i'r fertig cyferbyn) a'i led, yn cael ei dangos fel:

{\displaystyle {\text{Uchder}}={\frac {\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}{2}}\cdot {\text{Ochr}}\approx 1.539\cdot {\text{Ochr}},}
{\displaystyle {\text{Lled}}={\text{Diagonal}}={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\cdot {\text{Ochr}}\approx 1.618\cdot {\text{Ochr}},}
{\displaystyle {\text{Croeslin}}=R\ {\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\cos 18^{\circ }=2R\cos {\frac {\pi }{10}}\approx 1.902R,}
lle dynodir *R* yn radiws yr amgylch.

Gellir dynodi arwynebedd pentagon rheolaidd amgrwm, gydag ochrau o hyd *t* fel:

{\displaystyle A={\frac {t^{2}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}{4}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}\approx 1.720t^{2}.}
Defnyddir y gair **pentagram** (neu 'bentongl') weithiau am yn bentagon serennog. Ei symbol Schläfli yw {5/2}. Mae ei ochrau'n ffurfio croeslinau pentagon rheolaidd amgrwm, ac yn y ffurf hwn mae ochrau'r ddau bentagon o fen y gymhareb aur.

Pan fo'r pentagon rheolaidd o fewn mewngylch, gyda radiws *r*, yna dynodir hyd ei ochrau *t* fel:

{\displaystyle t=R\ {\sqrt {\frac {5-{\sqrt {5}}}{2}}}=2R\sin 36^{\circ }=2R\sin {\frac {\pi }{5}}\approx 1.176R,}
a'i arwynebedd yw:

{\displaystyle A={\frac {5R^{2}}{4}}{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}};}
gan fod arwynebedd y mewngylch yn {\displaystyle \pi R^{2},} mae'r pentagon rheolaidd yn llenwi tua 0.7568 o'i fewngylch.

### Deilliant o fformiwla ei arwynebedd

Arwynebedd pob polygon rheolaidd yw :

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}Pr}
lle dynodir *P* fel perimedr y polygon ac *r* yw'r mewn- radiws (sy'n hafal i'r apothem). Pe amnewidir gwerthoedd y pentagon rheolaidd *p* ac *r*, yna:

{\displaystyle A={\frac {1}{2}}\cdot 5t\cdot {\frac {t\tan(54^{\circ })}{2}}={\frac {5t^{2}\tan(54^{\circ })}{4}}}
gyda hyd yr ochrau yn *t*.

### Mewn-radws

Mae gan bod polygon rheolaidd amgrwm fewngylch. Mae'r apotherm (radiws *r* y mewngylch) y pentagon rheolaidd yn perthyn i hyd yr ochrau *t* drwy:

{\displaystyle r={\frac {t}{2\tan(\pi /5)}}={\frac {t}{2{\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}}}\approx 0.6882\cdot t.}

Enghreifftiau o bentagram a phentagonau ym myd natur
----------------------------------------------------

### Planhigion

* Croestoriad o'r ocra.
* Tegwch y bores.
* Gynoeciwm afal, sy'n cynnwys 5 carpel ar ffurf pentagon serennog.
* Y ffrwyth Carambola.

### Anifeiliaid

* Seren fôr. Mae gan lawer o'r echinodermau gymesuredd.
* Draenog môr.
* Yr ophiuroids

### Mineralau

* Grisial Ho-Mg-Zn
* Grisial pyritohedron crystal of pyrit. Mae ganddo 12 arwyneb polygon.
* Sarn y Cawr, Iwerddon

### Artiffisial

* Castell Holt
* Y Pentagon, pencadlys adran "amddiffyn" Unol Daleithiau America.
* Llain cartref pêl-fas

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  "pentagon, adj. and n." OED Online. Oxford University Press, Mehefin 2014. Web. 17 Awst 2014.
2. ↑  termau.cymru; adalwyd 13 Hydref 2018