Mewn mathemateg, y **ffwythiant cyfri rhifau cysefin** yw'r ffwythiant sy'n rhoi nifer y rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal â rhyw rif real *x*. Fe'i dynodir gan {\displaystyle \pi (x)} (noder nad yw hyn yn cyfeirio i'r rhif π).

60 gwerth cyntaf π(*n*)

Hanes
-----

Mae cyfradd tyfiant y ffwythiant yn ddiddorol iawn yng nghyd-destyn haniaeth rhifau. Cynosododd Gauss a Legendre yn yr 18g fod y cyfradd oddeutu

{\displaystyle x/\operatorname {ln} (x),\,}
neu, a bod yn fanwl gywir, fod

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow +\infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\,}
Dyma yw'r theorem rhifau cysefin.

Algorithmau i ganfod π(*x*)
---------------------------

Ffordd syml o ganfod {\displaystyle \pi (x)}, os nad yw {\displaystyle x} yn rhy fawr, yw defnyddio gogr Eratosthenes i gynhyrchu'r rhifau cysefin sy'n llai na neu'n hafal ag {\displaystyle x}, ac yna'u cyfri.

Ddaw ddull coethach o ganfod {\displaystyle \pi (x)} o du Legendre: cymerwn {\displaystyle x}, os yw {\displaystyle p\_{1}}, {\displaystyle p\_{2}}, …, {\displaystyle p\_{k}} yn rhifau cysefin an-hafal, yna

{\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum \_{i}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}}}\right\rfloor +\sum \_{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}}}\right\rfloor -\sum \_{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}p\_{k}}}\right\rfloor +\cdots ,}
yw nifer y cyfanrifau sy'n llai nag {\displaystyle x} a heb fod yn rhanadwy ag unrhyw {\displaystyle p\_{i}} (dynoda {\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor } y ffwythiant llawr). Mae'r rhif hwn felly'n hafal â

{\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1\,}
lle mai {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{k}} yw'r rhifau cysefin sy'n llai nau neu'n hafal ag ail isradd {\displaystyle x}.

Mewn cyfres o erthyglau a gyhoeddwyd rhwng 1870 a 1885, disgrifiodd Ernst Meissel dull cyfuniadol ymarferol o ganfod {\displaystyle \pi (x)}. Cymerwn mai {\displaystyle p\_{1}}, {\displaystyle p\_{2}}, …, {\displaystyle p\_{n}} yw'r {\displaystyle n} rhif cysefin cyntaf, a dynodwn gyda {\displaystyle \Phi (m,n)} nifer y rhifau naturiol sy'n llai na neu'n hafal ag {\displaystyle m} nad ydynt yn rhanadwy ag unrhyw {\displaystyle p\_{i}}. Yna mae

{\displaystyle \Phi (m,n)=\Phi (m,n-1)-\Phi \left(\left[{\frac {m}{p\_{n}}}\right],n-1\right),\,}
Cymerwn rif naturiol {\displaystyle m}: os mae {\displaystyle n=\pi \left({\sqrt[{3}]{m}}\right)} a {\displaystyle \mu =\pi \left({\sqrt {m}}\right)-n}, yna mae

{\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n(\mu +1)+{\frac {\mu ^{2}-\mu }{2}}-1-\sum \_{k=1}^{\mu }\pi \left({\frac {m}{p\_{n+k}}}\right).\,}
Estynnwyd a symleiddwyd y dull hwn gan Derrick Henry Lehmer ym 1959. Diffiniwn, am {\displaystyle m} real ac {\displaystyle n} a {\displaystyle k} naturiol, {\displaystyle P\_{k}(m,n)} yn nifer y rhifau *m*sy'n llai na neu'n hafal ag *n* gyda'n union *k* o ffactorau cysefin, pob un yn fwy na {\displaystyle p\_{n}}. Ymhellach, gosodwn {\displaystyle P\_{0}(m,n)=1}. Yna mae

{\displaystyle \Phi (m,n)=\sum \_{k=0}^{+\infty }P\_{k}(m,n),\,}
lle dim ond nifer meidraidd o dermau an-sero sydd gan y swm. Gadewn i {\displaystyle y} ddynodi cyfanrif sy'n bodlonni {\displaystyle {\sqrt[{3}]{m}}\leq y\leq {\sqrt {m}}}, and gosod {\displaystyle n=\pi (y)}. Yna mae {\displaystyle P\_{1}(m,n)=\pi (m)-n} a {\displaystyle P\_{k}(m,n)=0} pan mae {\displaystyle k} ≥ 3. Felly mae

{\displaystyle \pi (m)=\Phi (m,n)+n-1-P\_{2}(m,n).}
Gellir cyfrifo {\displaystyle P\_{2}(m,n)} fel a ganlyn:

{\displaystyle P\_{2}(m,n)=\sum \_{y<p\leq {\sqrt {m}}}\left(\pi \left({\frac {m}{p}}\right)-\pi (p)+1\right).\,}
Yn ogystal, gellir cyfrifo {\displaystyle \Phi (m,n)} gyda'r rheolau canlynol:

1. {\displaystyle \Phi (m,0)=\lfloor m\rfloor ;\,}
2. {\displaystyle \Phi (m,b)=\Phi (m,b-1)-\Phi \left({\frac {m}{p\_{b}}},b-1\right).\,}

Anhafaleddau
------------

Mae'r canlynol yn anhafaleddau defnyddiol ar gyfer π(*x*).

{\displaystyle \pi (x)>{\frac {x}{\log x}}} ar gyfer x ≥ 17.
{\displaystyle \pi (x)<1.25506{\frac {x}{\log x}}} ar gyfer x > 1.
{\displaystyle {\frac {x}{\log x+2}}<\pi (x)<{\frac {x}{\log x-4}}} ar gyfer x ≥ 55.
Mae'r canlynol yn anhafaleddau ar gyfer yr *n*fed rhif cysefin, *p**n*.

{\displaystyle n\ \ln n+n\ln \ln n-n<p\_{n}<n\ln n+n\ln \ln n} ar gyfer *n* ≥ 6.
Mae'n anhafaledd ar y chwith yn ddilys ar gyfer n ≥ 1 a'r un ar y dde ar gyfer n ≥ 6.

Mae

{\displaystyle p\_{n}=n\ln n+n\ln \ln n-n+{\frac {n\ln \ln n-2n}{\ln n}}+O\left({\frac {n(\ln \ln n)^{2}}{(\ln n)^{2}}}\right).}
yn frasamcan ar gyfer yr *n*fed rhif cysefin.