Dau blân geometraidd yn croestori
Tri plân cyfochrog
Mewn mathemateg, mae **plân** yn arwyneb fflat, dau ddimensiwn sy'n ymestyn yr anfeidraidd ymhell. Plân yw'r analog dau ddimensiwn o bwynt (heb ddimensiwn), llinell (un dimensiwn) a lle (neu 'ofod') tri dimensiwn. Gall planau fodoli fel is-blanau (*subspaces*) hefyd, is-blanau o ryw ddimensiwn uwch, fel ystafell o fewn tŷ gada'i waliau'n cael eu hymestyn am byth, y tu allan i'r dyluniad. Dyma a wneir mewn geometreg Ewclidaidd.

Wrth weithio'n gyfan gwbl mewn gofod Ewclidaidd dau ddimensiwn, defnyddir y fannod (***y*** plân), felly mae'r plân yn cyfeirio at y gofod cyfan. Mae llawer o dasgau sylfaenol mewn mathemateg, geometreg, trigonometreg, theori graff, a graffio yn cael eu gwneud mewn lle dau ddimensiwn, neu, mewn geiriau eraill, yn y plân.

Geometreg Ewclidaidd
--------------------

Fel llawer o gysyniadau mathemategol, Euclid oedd y cyntaf i grynhoi ei feddwl yn daclus yn y maes hwn (a'i gofnodi yn *yr Elfennau*), a hynny mewn dull gwirebol (*axiomatic*). Dewisodd lond dwrn o dermau craidd, heb eu diffinio (a elwir yn 'ofynion cyffredinol'; *common notions*) a 'chynosodau' (neu 'wirebau'); defnyddiodd y rhain i brofi nifer o ddatganiadau geometrig. Er nad yw'r plân, yn ei ystyr fodern, yn cael ei ddiffinio'n o fewn *yr Elfennau*, gellir ei ystyried fel rhan o'r gofynion cyffredinol. Ni ddefnyddiodd Euclid rifau erioed i fesur hyd, ongl, neu ardal. Oherwydd hyn, nid yw plân Ewclid yn union yr un fath â'r plân Cartesaidd.

Arwyneb a rannwys ar ffurf grid, felly, yw'r plân Ewclidaidd.

Planau tri dimensiwn mewn gofod Ewclidaidd
------------------------------------------

Mewn gofod Ewclidaidd o unrhyw nifer o ddimensiynau, mae plân wedi'i bennu'n unigryw gan unrhyw un o'r canlynol:

* Tri phwynt nad yw'n unllin (*non-collinear*) (pwyntiau ddim ar linell sengl).
* Llinell a phwynt heb fod ar y linell honno.
* Dwy linell wahanol sy'n croestorri.
* Dwy linell gyfochrog.

### Nodweddion

Mae'r datganiadau canlynol yn dal mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn ond nid mewn dimensiynau uwch, er bod ganddynt analog uwch-ddimensiwn:

* Mae dwy blân wahanol naill ai'n gyfochrog neu maent yn croestorri mewn llinell.
* Mae llinell naill ai'n gyfochrog i'r plân, yn ei groestorri ar un pwynt, neu wedi'i gynnwys yn y plân.
* Rhaid i ddwy linell wahanol, berpendicwlar i'r un plân fod yn gyfochrog â'i gilydd.
* Rhaid i ddwy plân wahanol sy'n perpendicwlar i'r un linell fod yn gyfochrog â'i gilydd.

### Hafaliadau'r plân

Mae gan blanau mewn gofod tri dimensiwn ddisgrifiad naturiol gan ddefnyddio pwynt yn y plân a fector orthogonal iddo (y fector arferol) i nodi ei "oledd" (*inclination*).

Pe ddywedir fod ***r***0 yn fector safle o ryw bwynt *P*0 = (*x*0, *y*0, *z*0), a bod ***n*** = (*a*, *b*, *c*) yn fector di-sero. Mae'r plân a bennir gan y pwynt *P*0 a'r fector **n** yn cynnwys y pwyntiau *P*, gyda fectorau safle **r**, fel bod y fector a dynnir o *P*0 i *P* yn berpendicwlar i **n**. O dwyn i gof bod y ddau factor hyn yn berpendicwlar os yw eu lluoswm-dot yn sero, yna, mae'n dilyn y gellir disgrifio'r plân fel set o bob pwynt **r** fel bod:

{\displaystyle \mathbf {n} \cdot (\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0})=0.}
(Mae'r dot yma'n gyfystyr â'r lluoswm-dot (neu 'luoswm sgalar'). 
O'i ehangu, fe geir:

{\displaystyle a(x-x\_{0})+b(y-y\_{0})+c(z-z\_{0})=0,}
sef y ffurf 'pwynt normal' o hafaliad y plân. hafaliad llinol yw hwn 

{\displaystyle ax+by+cz+d=0,}
ble mae

{\displaystyle d=-(ax\_{0}+by\_{0}+cz\_{0}).}
Y gwrthwyneb: os yw *a*, *b*, *c* a *d* yn gysonion ac nad yw *a*, *b*, na *c* i gyd yn sero, yna mae graff yr hafaliad 

{\displaystyle ax+by+cz+d=0,}
yn blân sydd a'i fector ***n*** = (*a*, *b*, *c*) yn normal. Dyma'r dull arferol o gyflwyno hafaliad y plân.

Gweler hefyd
------------

* Plân arosgo (planau arosgo) - (*oblique plane*)
* Plân ar oledd - *inclined plane*
* plân cyfeirnod - *plane of reference*
* plân cymesuredd *plane of symmetry*

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Anton 1994, p. 155
2. ↑  Anton 1994, p. 156
3. ↑  Weisstein, Eric W. (2009), "Plane", *MathWorld--A Wolfram Web Resource*, adalwyd 2009-08-08