Cangen o resymeg fathemategol sy'n ymwneud â phriodweddau setiau yw **damcaniaeth setiau** neu **theori setiau**; gellir ei disgrifio'n anffurfiol fel casgliadau o wrthrychau. yn ymwneud yn bennaf â'r gwrthrychau hynny sy'n berthnasol i fathemateg yn ei chyfanrwydd.

Datblygwyd y ddamcaniaeth yn gyntaf gan Georg Cantor gyda chymorth Richard Dedekind yn y 1870au, yn seiliedig ar waith George Boole. Roedd y ddisgyblaeth yn arloesol gan iddi drin setiau anfeidraidd yn yr un modd â gwrthrychau mathemategol meidraidd. Ar droad y ganrif, darganfuwyd nifer o groesosodiadau a gwrthfynegiadau yn y damcaniaeth wreiddiol, a elwir bellach yn *ddull naïf*. Felly, datblygodd felly sylfaen wirebol (acsiomatig) i ddamcaniaeth setiau, yn debyg i geometreg elfennol. O'r holl ddamcaniaethau setiau gwirebol y mwyaf adnabyddus yw'r system Zermelo–Fraenkel gyda'r wireb o ddewis. Mae'r systemau anffurfiol yr ymchwiliwyd iddynt yn ystod y cyfnod cynnar hwn yn mynd o dan yr enw *damcaniaeth setiau naïf*. Ar ôl darganfod paradocsau o fewn y ddamcaniaeth setiau naïf (megis paradocs Russell, paradocs Cantor a pharadocs Burali-Forti) cynigiwyd amryw o systemau gwirebol yn gynnar yn yr 20g, a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw ddamcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel.

Erbyn heddiw, defnyddir y ddamcaniaeth hon fel system sy'n sylfaenol i fathemateg, yn enwedig ar ffurf damcaniaeth setiau Zermelo-Fraenkel gyda'r wireb o ddewis. Mae ddamcaniaeth setiau hefyd yn darparu'r fframwaith i theori yr anfeidredd, ac mae ganddo gymwysiadau amrywiol mewn gwyddoniaeth gyfrifiadurol (megis yn theori algebra perthynol), athroniaeth a semanteg ffurfiol. Mae ei apêl sylfaenol, ynghyd â’i baradocsau, ei oblygiadau ar gyfer y cysyniad o anfeidredd a’i gymwysiadau lluosog, wedi gwneud damcaniaeth setiau yn faes o ddiddordeb mawr i resymegwyr ac athronwyr mathemateg. Mae ymchwil gyfoes i damcaniaeth setiau yn ymdrin ag ystod eang o bynciau, yn amrywio o strwythur y llinell rif real i astudio cysondeb prifolion mawr.

Hanes
-----

 Georg Cantor
Mae pynciau mathemategol fel arfer yn dod i'r amlwg ac yn esblygu trwy ryngweithio ymhlith llawer o ymchwilwyr. Fodd bynnag, sefydlwyd damcaniaeth setiau mewn un papur academaidd, ym 1874 gan yr Almaenwr Georg Cantor: "Ar Nodweddion y Casgliad o'r Holl Rifau Algebraidd Real" ("Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen").

Ers y 5g CC, gan ddechrau gyda'r mathemategydd Groegaidd Zeno o Elea yn y Gorllewin a mathemategwyr Indiaidd cynnar yn y Dwyrain, roedd mathemategwyr wedi cael trafferth gyda'r cysyniad o anfeidredd. Yn arbennig o nodedig mae gwaith Bernard Bolzano yn hanner cyntaf y 19eg ganrif. Dechreuodd dealltwriaeth fodern o anfeidredd ym 1870-1874, a chafodd ei ysgogi gan waith Cantor mewn dadansoddi go iawn. Dylanwadodd cyfarfod 1872 rhwng Cantor a Richard Dedekind ar feddwl Cantor, a daeth i ben gyda phapur Cantor yn 1874.

Ar y dechrau, polareiddwyd mathemategwyr y dydd, sef cyfoeswyr Cantor, yn llwyr, gyda Karl Weierstrass a Dedekind yn cefnogi Cantor, a Leopold Kronecker, (sydd bellach yn cael ei ystyried yn sylfaenydd adeiladaeth fathemategol) yn ei wrthwynebu. Damcaniaeth setiau Cantor enillodd y frwydr yn y pen draw, oherwydd defnyddioldeb cysyniadau Cantor, fel ei 'gyfatebiaeth un i un' ymhlith setiau, ei brawf bod mwy o rifau real na chyfanrifau, ac "anfeidredd yr anfeidredd" ("paradwys Cantor") sy'n deillio o weithredu'r set pŵer. Arweiniodd hyn at yr erthygl dylanwadol "Mengenlehre", a gyfrannwyd ym 1898 gan Arthur Schoenflies i wyddoniadur Klein.

Daeth y don nesaf o gyffro mewn damcaniaeth setiau tua 1900, pan ddarganfuwyd bod rhai dehongliadau o'r theori wedi arwain at sawl gwrthddywediad, o'r enw gwrthinomau neu baradocsau. Daeth y CymroBertrand Russell ac Ernst Zermelo o hyd i'r paradocs symlaf a mwyaf adnabyddus, a elwir bellach yn baradocs Russell: ystyriwch "set yr holl setiau nad ydyn nhw'n aelodau ohonyn nhw eu hunain", sy'n arwain at wrthddywediad gan fod yn rhaid iddo fod yn ddau beth: yn aelod ohono'i hun ac nid a aelod ohono'i hun. Yn 1899, roedd Cantor ei hun wedi gofyn y cwestiwn "Beth yw rhif prifol set yr holl setiau?", a thrwy hyn wedi sicrhau paradocs cysylltiedig. Defnyddiodd Russell ei baradocs fel thema yn ei adolygiad ym 1903 o fathemateg gyfandirol yn ei *The Principles of Mathematics*. Yn hytrach na'r term a *osodwyd*, defnyddiodd Russell y term Dosbarth, a ddefnyddiwyd yn fwy technegol wedi hynny.

Ym 1906, ymddangosodd y term *set* yn y llyfr *Theory of Sets of Points* gan ŵr a gwraig William Henry Young a Grace Chisholm Young, a gyhoeddwyd gan Cambridge University Press .

Roedd momentwm y trafodaethau ynghylch damcaniaeth setiau yn golygu nad anghofiwyd y ddadl ar y paradocsau. Arweiniodd gwaith Zermelo ym 1908 a gwaith Abraham Fraenkel a Thoralf Skolem ym 1922 at y set o wirebau ZFC, a ddaeth yn set o wirebau a ddefnyddir amlaf ar gyfer damcaniaeth setiau. Dangosodd gwaith dadansoddwyr, fel Henri Lebesgue, ddefnyddioldeb mathemategol y ddamcaniaeth setiau, sydd bellach wedi ei blethu i wead mathemategol fodern. Defnyddir damcaniaeth setiau yn gyffredin fel system sylfaen, er mewn rhai meysydd - fel geometreg algebraidd a thopoleg algebraidd - credir bod y theori categori yn sylfaen fwy addas.

Cysyniadau a nodiant sylfaenol
------------------------------

Mae damcaniaeth setiau yn dechrau gyda pherthynas ddeuaidd sylfaenol rhwng gwrthrych o a set *A*, Os yw o yn *aelod* (neu'n *elfen*) o *A*, defnyddir y nodiant *o* ∈ *A*. Disgrifir set trwy restru elfennau'r set, wedi'u gwahanu gan atalnodau, neu grwpio elfennau tebyg o fewn {}. Gan fod setiau yn wrthrychau, gall y berthynas rhwng yr aelodau hefyd gysylltu setiau a'i gilydd.

Perthynas ddeuaidd ddeilliedig rhwng dwy set yw'r berthynas rhwng yr is-setiau, a elwir hefyd yn *gynhwysiant y set* (set *inclusion\)*. Os yw holl aelodau set *A* hefyd yn aelodau o set *B*, yna mae *A* yn *is*-set o *B*, a ddynodir fel *A* ⊆ *B*. Er enghraifft, mae {1, 2} yn is-set o {1, 2, 3}, ac felly hefyd {2} ond nid yw {1, 4}. Fel yr awgrymir gan y diffiniad hwn, mae set yn is-set ohono'i hun. Ar gyfer achosion lle mae'r posibilrwydd hwn yn anaddas neu lle byddai'n gwneud synnwyr ei wrthod, diffinnir y term fel *is-set briodol.* Mae *A* yn is- *set briodol* o *B* os ac yn unig os yw *A* yn is-set o *B*, ond nid yw *A* yn hafal i *B*. Hefyd, mae 1, 2, a 3 yn aelodau (elfennau) o'r set {1, 2, 3}, ond nid ydyn nhw'n is-setiau ohoni; ac yn eu tro, nid yw'r is-setiau, fel {1}, yn aelodau o'r set {1, 2, 3}.

Yn yr un modd ag y mae rhifyddeg yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar rifau, mae damcaniaeth setiau yn cynnwys gweithrediadau deuaidd ar setiau. Mae'r canlynol yn rhestr rannol ohonynt:

* *Uniad* (*union*) y setiau *A* a *B*, a ddynodir fel *A* ∪ *B*, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelod o *A*, neu *B*, neu'r ddau. Er enghraifft, cyswllt {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {1, 2, 3, 4}.
* *Croestoriad* (*intersection*) y setiau *A* a *B*, a ddynodir fel *A* ∩ *B*, yw'r set o'r holl wrthrychau sy'n aelodau o *A* a *B* .Er enghraifft, croestoriad {1, 2, 3} a {2, 3, 4} yw'r set {2, 3}.
* *Gwahaniaeth (neu 'cyflenwad?) set* *U* ac A, a ddynodir fel *U* \ *A*, yw set holl aelodau *U* nad ydynt yn aelodau o *A*. Y gwahaniaeth set {1, 2, 3} \ {2, 3, 4} yw {1}, ond i'r gwrthwyneb, y gwahaniaeth gosod {2, 3, 4} \ {1, 2, 3} yw {4}. Pan fo *A* yn is-set o *U*, gelwir y gwahaniaeth set *U* \ *A* hefyd yn *wahaniaeth / gyflenwad* *A* yn *U*. Yn yr achos hwn, os yw'r dewis o *U* yn glir o'r cyd-destun, weithiau defnyddir *A**c*, yn hytrach na *U* \ *A*, yn enwedig os yw *U* yn set gyffredinol (*universal set*) fel yn yr astudiaeth o ddiagramau Venn.
* *Gwahaniaeth cymesur* setiau *A* a *B*, a ddynodir fel *A* △ *B* neu *A* ⊖ *B*, yw set yr holl wrthrychau sy'n aelod o naill ai *A* a *B*. Er enghraifft, ar gyfer y setiau {1, 2, 3} a {2, 3, 4}, y set gwahaniaeth cymesur yw {1, 4}. Mae'n set gwahaniaeth o'r cyswllt a'r croestoriad, (*A* ∪ *B*) \ (*A* ∩ *B*) neu (*A* \ *B*) ∪ (*B* \ *A*).
* *Y cyfanswm Cartesaidd* *A* a *B*, a ddynodir fel *A* × *B*, yw'r set y mae ei aelodau i gyd yn barau trefnus (*a*, *b*), lle mae *a* yn aelod o *A*, a *b* yn aelod o *B*. Er enghraifft, cyfanswm Cartesaidd .{1, 2} a {red, white} yw {(1, red), (1, gwyn), (2, coch), (2, gwyn)}.
* *Set bŵer* o set *A*, wedi'i dynodi fel {\displaystyle {\mathcal {P}}(A)}, yw'r set y mae ei haelodau i gyd yn is-setiau posib *A*. Er enghraifft, set pŵer {1, 2} yw { {}, {1}, {2}, {1, 2} }.

Ymhlith y setiau pwysicaf y mae'r set o rifau naturiol, y set o rifau real a'r set wag - y set unigryw sy'n cynnwys dim elfennau. Weithiau gelwir y set wag yn set *nwl*, er bod yr enw hwn yn amwys a gall arwain at sawl dehongliad.

Ontoleg
-------

 Rhan gychwynnol hierarchaeth von Neumann
Mae set yn bur os yw ei holl aelodau'n setiau, ac mae pob aelod o'i aelodau'n setiau.. ac ati. Er enghraifft, mae'r set {{}} sy'n cynnwys y set wag yn unig yn set bur nad-yw'n-wag. Mewn damcaniaeth setiau fodern, mae'n gyffredin cyfyngu sylw i setiau pur *bydysawd von Neumann*, ac mae llawer o systemau damcaniaeth setiau gwirebol wedi'u cynllunio i wirebu'r setiau pur yn unig. Mae yna lawer o fanteision technegol i'r cyfyngiad hwn, ac ychydig o gyffredinolrwydd yn cael ei golli, oherwydd yn y bôn gellir modelu pob cysyniad mathemategol gan setiau pur. Mae setiau ym mydysawd von Neumann wedi'u trefnu'n hierarchaeth gronnus (*cumulative hierarchy*), yn seiliedig ar ba mor ddwfn y mae eu haelodau, aelodau ei aelodau, ac ati yn nythu. Neilltuir trefnolion bob set yn yr hierarchaeth hon (trwy anwythiad trawsffiniol) {\displaystyle \alpha }, a elwir ei *reng.* Diffinnir rheng y set bur {\displaystyle X} fel y trefnolyn lleiaf sy'n uwch na rheng unrhyw un o'i elfennau. Er enghraifft, rhoddir safle 0 i'r set wag, tra bod y set {{}} (sy'n cynnwys y set wag yn unig) yn cael ei phenodi i safle 1. Ar gyfer pob trefnolyn {\displaystyle \alpha }, diffinnir set {\displaystyle V\_{\alpha }} i gynnwys pob set bur gyda rheng llai na {\displaystyle \alpha }. Dynodir y bydysawd von Neumann gyfan fel {\displaystyle V}.

Damcaniaeth set ffurfiol
------------------------

Gellir astudio damcaniaeth setiau elfennol yn anffurfiol ac yn reddfol, ac felly gellir ei dysgu mewn ysgolion cynradd gan ddefnyddio diagramau Venn. Mae'r dull greddfol yn cymryd yn ganiataol y gellir ffurfio set ddosbarth o'r holl wrthrychau sy'n bodloni unrhyw amod diffiniol penodol. Mae'r dybiaeth hon yn arwain at baradocsau, a'r symlaf a'r mwyaf adnabyddus ohonynt yw paradocs Russell a pharadocs Burali-Forti. Dyfeisiwyd damcaniaeth setiau gwirebol yn wreiddiol i gael gwared ar y paradocsau ym myd damcaniaeth setiau.

Cymhwyso
--------

Gellir diffinio llawer o gysyniadau mathemategol yn union gan ddefnyddio cysyniadau damcaniaethol penodol yn unig. Er enghraifft, gellir diffinio strwythurau mathemategol mor amrywiol â graffiau, maniffoldiau, cylchoedd, gofodau fector, ac algebrâu perthynol i gyd fel setiau sy'n bodloni priodweddau gwirebol, amrywiol. Mae cywerthedd a pherthynas trefn (*order relations*) yn hollbresennol mewn mathemateg, a gellir disgrifio theori perthynas mathemategol mewn damcaniaeth setiau. 

Fel a nodwyd yn barod, mae damcaniaeth setiau hefyd yn system sylfaen addawol ar gyfer llawer o fathemateg. Ers cyhoeddi cyfrol gyntaf *Principia Mathematica* gan Bertrand Russell yn 1910, honnwyd y gellir deillio’r mwyafrif (neu hyd yn oed) o ddamcaniaethau mathemategol gan ddefnyddio set o wirebau a ddyluniwyd yn briodol ar gyfer y ddamcaniaeth setiau, ynghyd â llawer o ddiffiniadau, gan ddefnyddio rhesymeg gorchymyn cyntaf neu ail-drefn.. Er enghraifft, gellir deillio priodweddau'r rhifau naturiol a rhifau real o fewn damcaniaeth setiau, oherwydd gellir nodi pob system rif gyda set o ddosbarthiadau cywerth o dan berthynas cywerthedd addas, sydd a'i faes yn set anfeidrol. 

Mae damcaniaeth setiau fel sylfaen ar gyfer dadansoddi mathemategol, topoleg, algebra haniaethol, a mathemateg arwahanol (*discrete mathematics*) yn ddadleuol yn yr un modd; mae mathemategwyr yn derbyn (mewn egwyddor) y gall theoremau yn y meysydd hyn ddeillio o'r diffiniadau perthnasol a gwirebau damcaniaeth setiau. Fodd bynnag, erys mai ychydig o ddeilliadau llawn o theoremau mathemategol cymhlyg o ddamcaniaeth setiau sydd wedi'u dilysu'n ffurfiol, gan fod deilliadau ffurfiol o'r fath yn aml yn llawer hirach na'r proflenni iaith naturiol y mae mathemategwyr yar hyn o bryd yn eu cyflwyno. Mae un prosiect gwirio, Metamath, yn cynnwys deilliadau wedi'u hysgrifennu gan bobl ac wedi'u gwirio gan gyfrifiadur, o fwy na 12,000 o theoremau gan ddechrau o ddamcaniaeth setiau ZFC, rhesymeg trefn gyntaf a rhesymeg osodiadol.

Meysydd astudio
---------------

Mae damcaniaeth setiau yn faes ymchwil mawr mewn mathemateg, gyda llawer o is-feysydd cydberthynol.

### Damcaniaeth set gyfuniadol

Mae damcaniaeth setiau gyfuniadol yn ymwneud ag estyn cyfuniadau cyfyngedig i setiau anfeidrol, ac mae'n cynnwys astudio rhifyddeg prifol ac astudio estyniadau i theorem Ramsey ee theorem Erdős-Rado. Mae damcaniaeth setiau estyniad dwbl (DEST) yn damcaniaeth setiau gwirebol a gynigiwyd gan Andrzej Kisielewicz sy'n cynnwys dau aelod perthynol ar wahân ar fydysawd setiau.

### Damcaniaeth set ddisgrifiadol

*Damcaniaeth set ddisgrifiadol* yw'r astudiaeth o is-setiau o'r llinell real ac, yn fwy cyffredinol, is-setiau o ofodau Pwylaidd. Mae'n dechrau gyda'r astudiaeth o ddosbarthiadau pwynt (*pointclasses*) yn hierarchaeth Borel ac yn ymestyn i astudio hierarchaethau mwy cymhleth fel yr hierarchaeth dafluniol ac hierarchaeth Wadge. Gellir sefydlu llawer o briodweddau setiau Borel yn ZFC, ond mae profi bod yr eiddo hyn yn dal ar gyfer setiau mwy cymhleth yn gofyn am axiomau ychwanegol sy'n gysylltiedig â phenderfyniaeth a chardinaliaid mawr.

### Damcaniaeth set niwlog

Mewn damcaniaeth setiau fel y diffiniodd Cantor a'i wirebu gan Zermelo a Fraenkel, mae gwrthrych naill ai'n aelod o set ai peidio. Mewn *damcaniaeth setiau niwlog* llaciwyd yr amod hwn gan Lotfi A. Zadeh. Oherwydd hyn, mae gan wrthrych *rywfaint o aelodaeth* mewn set, nifer rhwng 0 ac 1. Er enghraifft, mae graddfa aelodaeth person o fewn y set o "bobl dal" yn fwy hyblyg nag ateb ie neu na syml a gall fod yn rhif go iawn fel 0.75.

Roedd y mathemategydd Cymreig Mary Wynne Warner (22 Mehefin 1932 – 1 Ebrill 1998) yn arbenigo mewn **mathemateg niwlog** (*fuzzy mathematics*). Nododd ei hysgrif goffa ym *Mwletin Cymdeithas Fathemategol Llundain* mai topoleg niwlog oedd "y maes lle'r oedd hi'n un o'r arloeswyr ac fe'i cydnabyddir fel un o'r bobl flaenllaw dros y tri deg mlynedd ddiwethaf."

### Prifolion mawr

Mae *prifolyn mawr* (*large cardinal*) yn rhifolyn gydag phriodweddau ychwanegol. Astudir llawer o briodweddau o'r fath, gan gynnwys rhifolion anhygyrch, rhifolion mesuradwy a llawer mwy. Mae'r priodweddau hyn fel rheol yn awgrymu bod yn rhaid i'r rhifolyn fod yn fawr iawn. Hynny yw, mae'r prifolion mawr yn fath penodol o briodwedd o rifau prifol trawsffiniol ac maent, fel yr awgryma'r enw, yn gyffredinol yn "fawr" (er enghraifft, yn fwy na'r α lleiaf fel α=ωα). Ni ellir profi'r cynnig bod rhifolion o'r fath yn bodoli yn y gwirebu (*axiomatization*) mwyaf cyffredin o theori setiau, sef ZFC, a gellir ystyried cynigion o'r fath fel ffyrdd o fesur "faint" y tu hwnt i ZFC sydd angen tybio y gellir profi'r rhai o'r canlyniadau a ddymunir. Mewn geiriau eraill, gellir eu gweld, yn ymadrodd Dana Scott, fel meintioli'r ffaith "os ydych chi eisiau mwy mae'n rhaid i chi dybio mwy" (*"if you want more you have to assume more"*).

Mae yna gonfensiwn bras y gellir nodi canlyniadau y gellir eu profi o ZFC yn unig heb ragdybiaethau, ond os yw'r prawf yn gofyn am ragdybiaethau eraill (megis bodolaeth y prifolion mawr), dylid nodi'r rhain. Mae p'un a yw hyn yn gonfensiwn ieithyddol, neu'n rhywbeth mwy, yn bwynt dadleuol ymhlith ysgolion athronyddol gwahanol.

Mae'r **prifoliyn mawr gwirebol** yn wireb sy'n nodi bod gan y prifolyn neu'r prifolion rywfaint o briodweddau'r prifolyn mawr penodol.

Penderfyniaeth
--------------

Mae *penderfyniaeth* (*determinacy*) yn cyfeirio at y ffaith, o dan ragdybiaethau priodol, bod rhai gemau dau chwaraewr o wybodaeth berffaith yn cael eu pennu o'r dechrau yn yr ystyr bod yn rhaid i un chwaraewr fod â strategaeth fuddugol. Mae bodolaeth y strategaethau hyn yn arwain at ganlyniadau pwysig mewn theori set ddisgrifiadol, gan fod y dybiaeth bod dosbarth ehangach o gemau yn aml yn awgrymu y bydd gan ddosbarth ehangach o setiau briodwedd topolegol. Mae wireb benderfyniaeth (*axiom of determinacy*) yn wrthrych pwysig a astudir yn helaeth; er ei fod yn anghydnaws â'r wireb o ddewis, mae wireb hon yn ei awgrymu, bod holl is-setiau'r llinell real yn ymddwyn yn dda (yn benodol, yn fesuradwy a chyda'r priodwedd set perffaith). Gellir defnyddio'r wireb benderfyniaeth i brofi bod gan graddau Wadge strwythur cain.

Y ddamcaniaeth setiau mewn addysg
---------------------------------

Wrth i ddamcaniaeth setiau ennill ei blwyf fel sylfaen ar gyfer mathemateg fodern, bu cefnogaeth i'r syniad o gyflwyno hanfodion y ddamcaniaeth setiau naïf yn y blynyddoedd cynnar.

Yn yr UD yn y 1960au, nod yr arbrawf 'Math Newydd' (New Math) oedd dysgu damcaniaeth setiau sylfaenol, ymhlith cysyniadau haniaethol eraill, i ddisgyblion cynradd, ond cafodd ei feirniadu'n hallt gan lawer. Dilynwyd hyn gan faes llafur mathemateg rhai ysgolion Ewropeaidd, ac ar hyn o bryd mae'n cynnwys y pwnc ar wahanol lefelau ym mhob gradd ac oedran. Defnyddir diagramau Venn yn eang i egluro perthnasoedd setiau-theoretig sylfaenol i fyfyrwyr ysgolion cynradd (er i John Venn eu dyfeisio'n wreiddiol fel rhan o weithdrefn i asesu dilysrwydd casgliadau mewn term rhesymeg).

Defnyddir damcaniaeth setiau i gyflwyno myfyrwyr i weithredwyr rhesymegol (NID, AC, NEU), a disgrifiadau semantig o setiau (ee "misoedd gan ddechrau gyda'r llythyren *A*"), a allai fod yn ddefnyddiol wrth ddysgu rhaglennu cyfrifiadurol, gan fod rhesymeg boolean yn cael ei ddefnyddio mewn amryw o ieithoedd rhaglennu. Yn yr un modd, mae setiau a gwrthrychau eraill a gesglir ee aml-setiau (*multisets*) a rhestrau, yn fathau o ddata cyffredin mewn gwyddoniaeth gyfrifiadurol a rhaglennu.

Yn ogystal â hynny, cyfeirir yn aml at setiau mewn addysgu mathemategol wrth siarad am wahanol fathau o rifau (**N**, **Z**, **R**, ...), ac wrth ddiffinio ffwythiant mathemategol fel perthynas o un set (y parth) i set arall (yr ystod).

Nodiadau
--------

1. ↑   Yn ei bapur yn 1925 *An Axiomatization of Set Theory ", Sylwodd John von Neumann fod" gosod theori yn ei fersiwn "naïf" gyntaf, oherwydd Cantor, wedi arwain at wrthddywediadau. Dyma'r* antinomies *adnabyddus yn y set o bob set nad ydyn nhw'n cynnwys eu hunain (Russell), o'r set o'r holl rifau trefnol trawsffiniol (Burali-Forti), a'r set o bob real y gellir ei ddiffinio'n derfynol yn rhifau real (Richard)." A rhagddo i arsylwi bod dau "duedd" yn ceisio ailsefydlu damcaniaeth setiau. O'r ymdrech gyntaf, a ddangosir gan Bertrand Russell, Julius König, Hermann Weyl a LEJ Brouwer, von Neumann o'r enw* the overall effect of their activity. .. devastating".

O ran y dull gwirebol a ddefnyddir gan ail grŵp sy'n cynnwys Zermelo, Fraenkel a Schoenflies, roedd von Neumann yn poeni" Ni welwn ond bod y dulliau casglu hysbys sy'n arwain at yr antinomïau yn methu, ond pwy a ŵyr lle nad oes eraill? "ac fe osododd at y dasg," yn ysbryd yr ail grŵp ", i" gynhyrchu, trwy nifer gyfyngedig o weithrediadau cwbl ffurfiol.. . yr holl setiau yr ydym am eu gweld yn cael eu ffurfio "ond heb ganiatáu ar gyfer yr antinomïau. (Ailargraffwyd yr holl ddyfyniadau o von Neumann 1925 yn van Heijenoort, Jean (1967, trydydd argraffiad 1976),  *From Frege to Gödel: A Source Book in Matamataical Logic, 1879–1931* , Gwasg Prifysgol Harvard, Caergrawnt MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk). Gellir gweld crynodeb o'r hanes, a ysgrifennwyd gan van Heijenoort, yn y sylwadau a rhagflaenu papur 191 Neumann 195.

Darllen pellach
---------------

* Devlin, Keith (1993), *The Joy of Sets* (2nd ed.), Springer Verlag, ISBN 0-387-94094-4
* Ferreirós, Jose (2007), *Labyrinth of Thought: A history of set theory and its role in modern mathematics*, Basel: Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
* Johnson, Philip (1972), *A History of Set Theory*, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6,
* Kunen, Kenneth (1980), *Set Theory: An Introduction to Independence Proofs*, North-Holland, ISBN 0-444-85401-0
* Monk, J. Donald (1969), *Introduction to Set Theory*, McGraw-Hill Book Company, ISBN 978-0898740066
* Potter, Michael (2004), *Set Theory and Its Philosophy: A Critical Introduction*, Oxford University Press
* Smullyan, Raymond M.; Fitting, Melvin (2010), *Set Theory And The Continuum Problem*, Dover Publications, ISBN 978-0-486-47484-7
* Tiles, Mary (2004), *The Philosophy of Set Theory: An Historical Introduction to Cantor's Paradise*, Dover Publications, ISBN 978-0-486-43520-6,

Dolenni allanol
---------------

* Daniel Cunningham, erthygl ar y ddamcaniaeth setiau yn y *Gwyddoniadur Rhyngrwyd o Athroniaeth* .
* Jose Ferreiros, erthygl The Early Development of Set Theory yn y *Stanford Encyclopedia of Philosophy* .
* Fforman, Matthew, Akihiro Kanamori, gol. *Llawlyfr Damcaniaeth Setiau.* 3 cyfrol. 2010. Mae pob pennod yn arolygu rhyw agwedd ar ymchwil gyfoes mewn damcaniaeth setiau. Nid yw'n ymdrin â damcaniaeth setiau elfennol sefydledig, y mae Devlin (1993) yn ei defnyddio.
* "Axiomatic set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* "Set theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
* Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre yn gwyddoniadur Klein .
* Rudin, Walter B. (April 6, 1990). "Set Theory: An Offspring of Analysis". *Marden Lecture in Mathematics*. University of Wisconsin-Milwaukee. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2021-12-09. Cyrchwyd 2021-12-09.CS1 maint: BOT: original-url status unknown (link)

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  (Saesneg) set theory. *Encyclopædia Britannica*. Adalwyd ar 8 Awst 2016.
2. ↑  Kunen 1980, t. xi: "Set theory is the foundation of mathematics. All mathematical concepts are defined in terms of the primitive notions of set and membership. In axiomatic set theory we formulate a few simple axioms about these primitive notions in an attempt to capture the basic "obviously true" set-theoretic principles. From such axioms, all known mathematics Mai be derived."
3. ↑  Cantor, Georg (1874), "Ueber eine Eigenschaft des Inbegriffes aller reellen algebraischen Zahlen" (yn de), *Journal für die reine und angewandte Mathematik* **1874** (77): 258–262, doi:10.1515/crll.1874.77.258,
4. ↑  Johnson, Philip (1972), *A History of Set Theory*, Prindle, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-154-6,
5. ↑  Bolzano, Bernard (1975), Berg, Jan, ed. *Einleitung zur Größenlehre und erste Begriffe der allgemeinen Größenlehre*, Bernard-Bolzano-Gesamtausgabe, edited by Eduard Winter et al. **II, A, 7**, Stuttgart, Bad Cannstatt: Friedrich Frommann Verlag, p. 152, ISBN 3-7728-0466-7
6. ↑  Dauben, Joseph (1979), *Georg Cantor: His Mathematics and Philosophy of the Infinite*, Harvard University Press, pp. 30–54, ISBN 0-674-34871-0.
7. ↑  Young, William; Young, Grace Chisholm (1906), *Theory of Sets of Points*, Cambridge University Press,
8. ↑  "Introduction to Sets". *www.mathsisfun.com*. Cyrchwyd 2020-08-20.
9. ↑  Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1970), *Introductory Real Analysis* (Rev. English ed.), New York: Dover Publications, pp. 2–3, ISBN 0486612260, OCLC 1527264,
10. ↑  "set theory | Basics, Examples, & Formulas". *Encyclopedia Britannica* (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-20.
11. ↑  Bagaria, Joan (2020), Zalta, Edward N. ed. "Set Theory", *The Stanford Encyclopedia of Philosophy* (Metaphysics Research Lab, Stanford University), adalwyd 2020-08-20
12. ↑  M. W. Warner, "Fuzzy topology with respect to continuous lattices," *Fuzzy Sets and Systems* 35(1)(1990): 85–91. doi:10.1016/0165-0114(90)90020-7
13. ↑  M. W. Warner, "Towards a Mathematical Theory of Fuzzy Topology" in R. Lowen and M. R. Roubens, eds. *Fuzzy Logic: State of the Art* (Springer 1993): 83–94. ISBN 9789401048903
14. ↑  I. M. James and A. R. Pears, "Obituary: Mary Wynne Warner (1932–1998)" *Bulletin of the London Mathematical Society* 34(6)(December 2001): 745–752. DOI: 10.1112/S0024609302001467
15. ↑  Bell, J.L. (1985). *Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory*. Oxford University Press. viii. ISBN 0-19-853241-5.
16. ↑  Soare, Robert I. (2016). *Turing Computability: Theory and Applications*. tt. 217ff. ISBN 978-3-6423-1932-7.
17. ↑  Kechris, Alexander S. (1995). *Classical Descriptive Set Theory*. Graduate Texts in Mathematics. **156**. Springer-Verlag. t. 52. ISBN 978-0-387-94374-9.
18. ↑  https://www.math.uni-hamburg.de/Infinite Games, Yurii Khomskii (2010) Infinite Games, Yurii Khomskii (2010)
19. ↑  "Infinite Chess, PBS Infinite Series" PBS Infinite Series, with sources including academic papers by J. Hamkins (infinite chess::  and ).
20. ↑  
Benedikt Löwe (2006). *SET THEORY OF INFINITE IMPERFECT INFORMATION*. CiteSeerX.
21. ↑  Frank Ruda (6 Hydref 2011). *Hegel's Rabble: An Investigation into Hegel's Philosophy of Right*. Bloomsbury Publishing. t. 151. ISBN 978-1-4411-7413-0.

Dolenni allanol
---------------

* (Saesneg) *An Introduction to Set Theory* gan William A. R. Weiss (Prifysgol Toronto)
* (Saesneg) Damcaniaeth setiau ar y periaint cyfrifiannol WolframAlpha

|  |  |
| --- | --- |
| Awdurdod | 
* WorldCat
* LCCN: sh85120387
* GND: 4074715-3
* BNF: cb133185505 (data)
* NDL: 00572365
* NKC: ph126563
* BNE: XX4576377

 |