Mewn mathemateg, anhafaledd sy'n ddefnyddiol mewn sawl sefyllfa wahanol yw **anhafaledd Cauchy–Schwarz**, (hefyd **anhafaledd Schwarz**, **Anhafaledd Cauchy**, neu **Anhafaledd Cauchy–Bunyakovski–Schwarz**).

Cynrychiolir yr anhafaledd yn gryno fel a ganlyn: 

{\displaystyle (a\_{1}b\_{1}+\cdots +a\_{n}b\_{n})^{2}\leq (a\_{1}^{2}+\cdots +a\_{n}^{2})(b\_{1}^{2}+\cdots +b\_{n}^{2}).}
Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os, y mae

{\displaystyle {\frac {a\_{1}}{b\_{1}}}={\frac {a\_{2}}{b\_{2}}}=\cdots ={\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}.}
Ffordd arall o fynegi hyn yw dweud bod

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle .}
ar gyfer unrhyw elfennau *x* ac *y* o ofod lluoswm mewnol real neu gymhlyg. Mae'r ddwy ochr yn hafal os, a dim ond os mae *x* ac *y* yn llinol-dibynnol (neu, o feddwl yn geometraidd, yn gyfochrog).

Mae'r anhafaledd felly'n darparu cysyniad o'r "ongl rhwng dau fector" i ofod lluoswm mewnol, lle nad yw geometreg Ewclidaidd yn gwneud synnwyr o reidrwydd. Mae felly'n cyfiawnhau meddwl am ofodau lluoswm mewnol fel cyffredinoliad o ofod Ewclidaidd.

Canlyniad pwysig anhafaledd Cauchy–Schwarz yw'r ffaith fod lluoswm mewnol yn ffwythiant di-dor.

Rhoddir ffurf arall o'r anhafaledd gan ddefnyddio nodiant norm: 

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |\leq \|x\|\cdot \|y\|.\,}
Profwyd fersiwn meidraidd-ddimensiynol yr anhafaledd hwn ar gyfer fectorau real gan Cauchy yn 1821, ac yn 1859 profodd V.Ya.Bunyakovsky ei fod yn bosib canfod ffurf integraidd o anhafaledd Cauchy. Profwyd y canlyniad cyffredinol ar gyfer gofod lluoswm mewnol gan K.H.A.Schwarz ym 1885.

Prawf
-----

Gan fod yn amlwg fod yr anhafaledd yn wir pan mae *y* = 0, fe gawn gymryd fod <*y*, *y*> yn an-sero. Gadewch i {\displaystyle \lambda } fod yn rhif cymhlyg. Yna mae

{\displaystyle 0\leq \left\|x-\lambda y\right\|^{2}=\langle x-\lambda y,x-\lambda y\rangle =\langle x,x\rangle -{\bar {\lambda }}\langle x,y\rangle -\lambda \langle y,x\rangle +|\lambda |^{2}\langle y,y\rangle .}
Gan ddewis

{\displaystyle \lambda =\langle x,y\rangle \cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}
gwelwn fod

{\displaystyle 0\leq \langle x,x\rangle -|\langle x,y\rangle |^{2}\cdot \langle y,y\rangle ^{-1}}
sy'n wir os, a dim ond os y mae

{\displaystyle |\langle x,y\rangle |^{2}\leq \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle }
hynny yw:

{\displaystyle {\big |}\langle x,y\rangle {\big |}\leq \left\|x\right\|\left\|y\right\|,}
Sef anhafaledd Cauchy-Schwarz.

Achosion arbennig nodedig
-------------------------

### R*n*

Mewn gofod Ewclidaidd **R***n*, gyda'r lluoswm mewnol arferol, dyma anhafaledd Cauchy-Schwarz:

{\displaystyle \left(\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}y\_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}^{2}\right)\left(\sum \_{i=1}^{n}y\_{i}^{2}\right).}
### **L**2

Yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau sqwâr-integraidd â gwerthoedd cymhlyg, mae gennym fod:

{\displaystyle \left|\int f(x){\overline {g}}(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx.}
Mae anhafaledd Hölder yn gyffredinoliad o hyn.

Defnydd
-------

Fe'i defnyddir yn aml i brofi'r anhafeledd triongl ar gyfer y lluoswm mewnol: cymerwch fectorau *x* ac *y*,

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \|x+y\|^{2}} | {\displaystyle =\langle x+y,x+y\rangle } |
|  | {\displaystyle =\|x\|^{2}+\langle x,y\rangle +\langle y,x\rangle +\|y\|^{2}} |
|  | {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2|\langle x,y\rangle |+\|y\|^{2}} |
|  | {\displaystyle \leq \|x\|^{2}+2\|x\|\|y\|+\|y\|^{2}} |
|  | {\displaystyle =\left(\|x\|+\|y\|\right)^{2}} |

Mae cymryd ail-israddau'n rhoi'r anhafaledd triongl.

Gellir defnyddion anhafaledd Cauchy–Schwarz wrth brofi anhafaledd Bessel.

Deillir ffurf cyffredinol egwyddor ansicrwydd Heisenberg trwy ddefnyddioanhafaledd Cauchy-Schwarz inequality yn y gofod lluoswm mewnol o ffwythiannau ton ffisegol.

Cyffredinoliadau
----------------

Mae yna sawl cyffredinoliad posib o anhafaledd Cauchy-Schwarz yng nghyd-destyn haniaeth gweithredyddion.

|  |
| --- |
| Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: **gofod lluoswm mewnol, gofod fectoraidd normedig** o'r Saesneg "*inner product space, normed vector space*". Gallwch helpu trwy safoni'r termau. |