System sy'n defnyddio un neu fwy o rifau (neu gyfesurynnau) i ddynodi lleoliad pwynt neu elfen geometreg arall yw **system gyfesurynnau**. Caiff ei defnyddio o fewn mathemateg a daearyddiaeth.

 Defnyddir y system gyfesurynnau sfferig yn gyffredin mewn *ffiseg*. Mae'n aseinio tri rhif (a elwir yn gyfesurynnau) i bob pwynt mewn gofod Ewclidaidd: pellter rheiddiol *r*, ongl *begynol θ* (theta), ac ongl asimwthol *φ* (phi). Defnyddir y symbol *ρ* (rho) yn aml yn lle *r* .
Mae sawl math o systemau gyfesurynnol yn bodoli. Yn ymarferol, mae dewis un system dros system gyfatebol arall yn dibynnu ar ba ddefnydd a wneir ohono. Mae'r erthygl hon yn ymdrin â'r systemau mwyaf cyffredin ac ymarferol.

Cyfesurynnau Cartesaidd
-----------------------

*Prif: System gyfesurynnol Cartesaidd*
Mae system cyfesurynnau Cartesaidd yn enghraifft sylfaenol o system gyfesurynnol. Sail y system yw casglaid, wedi'i drefnu, o linellau sy'n berpendicwlar i'w gilydd. Gelwir y fath system yn system *iawnonglog* (*orthogonal*) am bod pob pâr o echelinau yn ffurfio ongl 90° i'w gilydd. Cyfesurynnau pwynt yw rhestr o rifau real yn nhrefn yr echelinau..

### Un dimensiwn

Mewn un dimensiwn, y linell rifau (real) yw'r unig echelin. Dewisir y tarddiad yn fympwyol. Cyfesuryn pwynt yw'r pellter (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r tardd.

Y linell rifau real
  

### Sawl dimensiwn

Enghraifft dda o gyfesurynnau sawl dimensiwn yw system gyfesurynnol Cartesaidd. Diffinnir hon gan y dewis o echelinau. Mae'r dewis hwn yn fympwyol (ond gweler isod). Gellir creu sawl system fyddai'n disgrifio'r un gofod, ac yn ogystal gellir olrhain perthynnas rhwng y systemau hyn.

* Mewn dau ddimensiwn (*plân 2D*), diffinnir system Cartesaidd gan ddau echelin, o'r enw'r echelin X ac echelin Y yn gonfensiynnol.
* Mewn tri ddimensiwn (*gofod 3D*) mae tri plân perpendicwlar yn diffinio tri echelin: X, Y a Z.
* Yn gyffredinol, mewn *gofod Ewclidaidd N dimensiwn* mae *N* echelin sy'n iawnonglog.

Cyfesurynnau pwynt {\displaystyle P} yw'r pellteroedd mewn unrhyw uned (gydag arwydd +/-) o'r pwynt i'r echelinau, yn yr un drefn â'r echelinau. Mae cyfesurynnau felly yn rifau real, ac fe ddynodir y rhifau real gan {\displaystyle \mathbb {R} }.

Tardd y system yw'r pwynt ble bo'r echelinau'n croesi. Felly cyfesurynnau'r tardd yw (0, 0), neu'r cyfystyr mewn *N* dimensiwn.

Cyfesurynnau Cartesaidd 2D
Cyfesurynnau Cartesaidd 3D
  

### Systemau llaw dde

Mae dewis un echelin yn effeithio dewis yr echelin nesaf. Mewn dau ddimensiwn mae'r echelin X yn rhedeg o'r chwith i'r dde (h.y. o'r negyddol at y positif) Felly gellir gosod echelin Y iawnonglog i bwyntio naill ai tuag i fyny neu i lawr. Mae'r dewis i bwyntio i fyny yn diffinio *system llaw dde*, a dyma'r modd safonol o ddifinio gofod Cartesaidd 2D. Am yr un rheswm, mae'r gofod tri dimensiwn a ddengys uchod yn system llaw dde gonfensiynnol.

(Am resymau hanesyddol yn ymwneud â thechnoleg gwreiddiol sgriniau, mae'r system gyfesurynnau a ddefnyddir mewn graffeg cyfrifiaduron yn defnyddio echelin X letraws o'r chwith i'r dde, ond echelin Y sy'n pwyntio tuag i lawr.)

Cyfesurynnau pegynol
--------------------

Mae'r system cyfesurynnau pegynol yn system gyffredin arall a ddefnyddir yn y plân dau ddimensiwn.

Enwir un pwynt yn *begwn*. Estynnir llinell o'r pegwn i ffurfio'r echelin begynol. Lleolir pwynt {\displaystyle P} drwy fesur y pellter (gydag arwydd +/-) rhyngddo a'r pegwn, ac ongl wedi mesur yn wrthglocwedd o'r echelin pegynol.

Yn gonfensiynol, mae'r echelin begynol yn llorweddol ac yn ymestyn i'r dde, yn debyg i'r echelin X yn y system Gartesaidd. Dynodir y pellter gan {\displaystyle r} (am radiws), a'r ongl gan naill ai {\displaystyle \theta }, {\displaystyle \phi } neu {\displaystyle t}: cyfesurynnau pegynol {\displaystyle P} felly yw {\displaystyle (r,\,\theta )}. Mesurir yr ongl mewn graddau neu radianau (neu "rheiddbwyntiau"). Defnyddir onlgau ym myd mordwyo a thirfesur; mae radianau yn fwy cyffredin ym mathemateg a ffiseg er defnyddir onglau yma hefyd.

Dau bwynt pegynnol
  

Yn y deiagram, *O* yw'r tardd, a 'r linell ddu drwy *OL* yw'r echelin begynol.

Yn ôl y disgrifiad, mae modd cynrychioli pwynt mewn amryw o ffyrdd:

{\displaystyle P=(r,\theta )\,=\,(r,\theta \pm 2n\pi )\,=\,(-r,\theta \pm (2n+1)\pi )}
am bob rhif cyfan {\displaystyle n}. Os oes angen cynrychioliad diamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i {\displaystyle r\geq 0} a'r ongl i'r ystod {\displaystyle [0,360)} gradd neu {\displaystyle [-\pi ,\pi )} radian.

Cyfesurynnau silindraidd
------------------------

Mae cyfesurynnau silindraidd yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu echelin Z, sy'n debyg i echelin Z system Gartesiadd. Mewn system llaw dde, mae'r echelin yn pwyntio tuag i fyny tra bo'r echelin begynol yn lletraws.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn {\displaystyle (r,\theta ,z)}, sef 

* y pellter {\displaystyle r} neu {\displaystyle \rho } ar hyd y radiws o'r echelin Z at y pwynt
* yr ongl asimwth {\displaystyle \theta } neu {\displaystyle \phi } (h.y. yr ongl yn y plân sy'n normal i'r echelin Z ac sy'n cynnwys yr echelin begynol)
* yr uchder {\displaystyle z} o blân yr echelin begynol

Cyfesurynnau Silindraidd
  

Yn y deiagram, *O* yw'r tardd, a'r linell drwy *OA* yw'r echelin begynol. Mae'r echelin Z yn pasio drwy *OL*

Er mwyn cyfeirio at bwynt yn ddiamwys, mae'n arferol cyfyngu'r radiws i {\displaystyle r\geq 0} a'r ongl i'r ystod {\displaystyle [0,360)} gradd neu {\displaystyle [-\pi ,\pi )} radian. Ni chyfyngir yr uchder (h.y. mae {\displaystyle z} yn yr ystod {\displaystyle (-\infty ,+\infty )}.

Cyfesurynnau sfferigol
----------------------

Mae cyfesurynnau sfferigol yn estyn cyfesurynnau pegynol i dri dimensiwn drwy ychwanegu ail echelin yn iawnochrog i'r un wreiddiol. Felly, enwir un echelin yn echelin asimwth a'r llall yn echelin begynol.

Diffinnir pwynt gan dri cyfesuryn {\displaystyle (r,\theta ,\phi )}, sef:

* y pellter {\displaystyle r} neu {\displaystyle \rho } o'r pegwn (sy'n diffinio arwyneb sffêr o'r un radiws)
* yr ongl asimwth {\displaystyle \theta }, debyg i gyfesurynnau silindraidd, a fesurir o'r echelin asimwth
* yr ongl begynol {\displaystyle \phi }, a fesurir o'r echelin begynol.

(Confensiwn mathemategol yw'r dynodiad yma: ym myd ffiseg dynodir yr asimwth gan {\displaystyle \phi } a'r ongl begynol gan {\displaystyle \theta }. Cedwir at gonfensiwn mathemateg yma.)

Pwynt mewn cyfesurynnau sfferigol
  

Dengys y diagram sut caiff yr onglau eu mesur, sef yr asimwth yn gwrthglocwedd o'r echelin asimwth OX, a'r ongl begynol i lawr o'r echelin begynol OZ.

Mae'r system yma yn gyfarwydd ym myd daearyddiaeth a mapiau. Yn fras, lleolir pwynt ar wyneb y ddaear gan onlgau lledred a hydred, sy'n cyfateb i'r onglau asimwth a phegynol yn y system sfferigol. Mae'r hafaliadau {\displaystyle \theta =0,\,r=a} yn diffinio cylch nawnlin (*meridian*); mae {\displaystyle \phi ={\tfrac {\pi }{2}},\,r=a} yn diffinio cylch cyhydedd. Wrth gwrs, nid sffêr berffaith mo'r ddaear, ac fe ddefnyddir amcangyfrifiadau i gynrychioli pwyntiau "go iawn". Ceir mwy ar y testun isod.

Trawsnewidiadau ymysg systemau
------------------------------

Soniwyd uchod nad oes cynrychioliad unigryw o ofod geometrig, h.y. gellir cynrychioli'r un gofod drwy ddwy system wahanol o gyfesurynnau. Mae dulliau trawsnewid ymysg systemau yn galluogi rhywun i fynegi pwynt (neu elfen geometrig)

* mewn dwy system debyg, e.e. dwy system Gartesaidd dau ddimensiwn,
* mewn systemau gwahanol, e.e. system Gartesaidd a phegynol,

drwy ddefnyddio fformwlâu cyfnewid. Gellir olrhain y fformwlâu yn unionsyth o'r diffiniadau uchod.

### Ymysg systemau petryalog

Defnyddir nodiant fector a matrics yn y canlynol.

Pan ysgrifennwyd cyfesurynnau pwynt {\displaystyle P=(x,y,z)} yn flaenorol, rhagdybiwyd bod tair echelin iawnochrog yn bodoli. Gellir ail-ysgrifennu'r cyfesurynnau felly yn nhermau *fectorau uned* sy'n dynodi cyfeiriad yr echelinau. Yn gonfensiynnol, dynodir y fectorau ar hyd echelinau **X**, **Y** a **Z** gan {\displaystyle \mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} }.

Yna mae'r fector

{\displaystyle \mathbf {p} =x\mathbf {i} +y\mathbf {j} +z\mathbf {k} }
yn y sytem yma.

Gelwir y triawd {\displaystyle \{\mathbf {i} ,\,\mathbf {j} ,\,\mathbf {k} \}} yn *sylfaen* (*basis*) i'r system gyfesurynnau. Felly, pe bai dwy system betryalog o'r un dimensiwn yn rhannu tardd, gellir dangos bod y broses o drawsnewid systemau yn gyfystyr â thrawsnewid sylfeini .

Ond pe bai'r ddwy dardd yn wahanol, mae angen ychwanegu *trawsfudiad* o un tardd i'r llall. Felly gellir newid system gyfesurynnau petryalog drwy'r trawsnewidiadau elfennol canlynol, sydd yn enghraifft o *drawsnewidiad affiniol* (*affine transform*)
. Y trawsnewidiadau yw:

* *trawsfudiad*, sy'n symud pwynt drwy rhyw faint benodedig yng ngyfeiriad X ac Y

mewn dau ddimensiwn, {\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}x+t\_{x}\\y+t\_{y}\end{pmatrix}}}
* *cylchdroad*, sy'n troi pwynt drwy rhyw ongl benodedig o amgylch y tardd. Mae cylchdroad wrthglocwedd drwy {\displaystyle \theta } yn dilyn

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}x\cos \theta -y\sin \theta \\y\sin \theta +x\cos \theta \end{pmatrix}}}
* *newid graddfa* yng ngyfeiriadau X ac Y

{\displaystyle {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\to {\begin{pmatrix}xs\_{x}\\ys\_{y}\end{pmatrix}}}
Gellir cynrychioli pob trawsnewidiad o'r math yma gan fatrics. Drwy ategu cyfesurun atodiadol at bwynt dau ddimensiwn, gellir creu trawsfudiad o un tardd i'r llall. Dyma enghraifft o symud **o** system {\displaystyle A} **i** system {\displaystyle B}. Drwy wneud y diffiniadau canlynnol, gellir cyfrifo matrics trawsneewid drwy luosi cadwyn o fatricsau elfennol.

* symud o dardd {\displaystyle A=(x\_{a},y\_{a})} i dardd cyffredin:

{\displaystyle T\_{A}={\begin{pmatrix}1&&0&&-x\_{a}\\0&&1&&-y\_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix}}}
* newid graddfa {\displaystyle S} fel y ddangoswyd uchod, gyda

{\displaystyle s\_{i}={\frac {{\text{uned yn system }}B}{{\text{uned yn system }}A}}} ar y ddau echelin
* cylchdroad {\displaystyle R} drwy'r ongl rhwng echelin X system {\displaystyle A} ac echelin X system {\displaystyle B}, fel y ddangoswyd uchod
* symud o'r tardd cyffredin i dardd {\displaystyle B=(x\_{b},y\_{b})}:

{\displaystyle T\_{B}={\begin{pmatrix}1&&0&&x\_{b}\\0&&1&&y\_{b}\\0&&0&&1\end{pmatrix}}}
Ceir y matrics terfynol drwy lluosi y rhain:

{\displaystyle M\_{AB}=T\_{B}SRT\_{A}}
### Rhwng systemau gwahanol

Dengys y tabl y berthynas rhwng systemau petryalog a systemau pegynol.
  


| System | Petryalog | Pegynol |
| --- | --- | --- |
| Pegynol 
 | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \\y&=&r\sin \theta \end{array}}} | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\end{array}}} |
| Silindraidd
 | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \\y&=&r\sin \theta \\z&=&z\end{array}}} | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\\z&=&z\end{array}}} |
| Sfferigol
 | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}x&=&r\cos \theta \sin \phi \\y&=&r\sin \theta \sin \phi \\z&=&r\cos \phi \end{array}}} | {\displaystyle {\begin{array}{lcl}r&=&{\sqrt {x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\\theta &=&\arctan {\tfrac {y}{x}}\\\phi &=&\arctan {\tfrac {z}{r}}\end{array}}} |

Gweler hefyd
------------

* Cyfesurynnau map
* Geometreg gyfesurynnol
* Cyfesurynnau Cartesaidd petrualog (*Rectangular Cartesian Co-ordinates*)
* Rhif cyd-drefnol (*Co-ordination number*)

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Morris, A.O (1982). *Linear Algebra an introduction* (arg. 2il). Chapman & Hall. t. 63-66. ISBN 0412381001.
2. ↑  Weisstein, Eric W. "Right-Handed Coordinate System". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
3. ↑  Morris, A.O (1982). *Linear Algebra an introduction* (arg. 2il). Chapman & Hall. t. 91-106. ISBN 0412381001.
4. ↑  Weisstein, Eric W. "Affine Transformation". Cyrchwyd 8 Awst 2013.
5. ↑  Weisstein, Eric W. "Polar Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
6. ↑  Weisstein, Eric W. "Cylindrical Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.
7. ↑  Weisstein, Eric W. "Spherical Coordinates". Cyrchwyd 5 Awst 2013.