Graff o ffwythiant mewn du, a llinell tangiad y ffwythiant mewn coch. Mae graddiant y llinell tangiad yn gyfartal â differiad y ffwythiant ar y pwynt sydd wedi ei farcio.
Mae'r cord (glas) yn fras amcan o'r tangiad ar y pwynt (*x*, f(*x*)).
Mesuriad o sut mae ffwythiant mathemategol yn newid wrth i'r mewnbynnau newid yw **differu**. Mae'n rhan o gangen calcwlws o fathemateg.

Diffiniad
---------

Cyn i Isaac Newton a Gottfried Wilhelm Leibniz ddarganfod calcwlws yn y 1670au, fe wyddid eisoes fod graddiant y llinell syth, *y* = *mx* + *c*, yn hafal i newid mewn *y* wedi ei rannu gan newid mewn *x*; Δ*y*/Δ*x* = *m*. Fe wyddid hefyd fod graddiant cromlin ar ryw bwynt yn hafal i raddiant y tangiad ar y pwynt hwnnw. Ond nid oedd ffordd gydlynol o ganfod graddiant cromliniau ac felly ni allai gwyddonwyr astudio cyfraddau anghyson yn hawdd. Ysgogodd y broblem hon ddatblygiad calcwlws.

Nid dim ond *y* sy'n ffwythiant o *x*, mae graddiant y gromlin *y* = f(*x*) yn ffwythiant o *x* hefyd gan nad ydyw'n gyson. Y differiad yw'r ffwythiant hwn. Ystyriwch ddau bwynt sy'n agos iawn at ei gilydd ar y gromlin: (*x*,*y*) ac (*x* + Δ*x*, *y* + Δ*y*). Po leiaf yw Δ*x* yr agosaf y mae Δ*y*/Δ*x* at y graddiant ar y pwynt (*x*,*y*), a phan fo Δ*x* yn agosáu at 0, mae Δ*y*/Δ*x* yn agosáu at derfyn sy'n hafal i raddiant y gromlin ar y pwynt (*x*,*y*). Y differiad yw'r terfyn (*lim*) hwn ac fel arfer fe ddefnyddir y nodiant d*y*/d*x* i'w symboleiddio:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {(y+\Delta y)-y}{(x+\Delta x)-x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {\Delta y}{\Delta x}}}
Gan fod *y* = f(*x*), gellir canfod ffwythiant y graddiant f '(*x*), y differiad, drwy ddefnyddio algebra:

{\displaystyle f'(x)={\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}}=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}}}
### Enghraifft

Wrth ddiferu'r ffwythiant, {\displaystyle f(x)\!=x^{2}}, ceir:

{\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&{}=\lim \_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {(x+\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim \_{\Delta x\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2x\Delta x+(\Delta x)^{2}-x^{2}}{\Delta x}}\\&{}=\lim \_{\Delta x\rightarrow 0}(2x+\Delta x)\\&{}=2x\end{aligned}}}
Hynny yw, wrth i Δ*x* agosáu at 0, mae (2*x* + Δ*x*) yn agosáu at derfyn o 2*x*. Felly fe gasglwn fod y graddiant ar unrhyw bwynt ar y gromlin f(*x*) = *x*2 yn hafal i 2 wedi'i luosi â chyfeirnod *x* y pwynt hwnnw. Er enghraifft y graddiant ar y pwynt (4,16) yw f '(4) = 2 × 4 = 8.

Differiadau cyffredin
---------------------

### Ffwythiannau cyffredin

Isod gweler rhestr o ddifferiadau'r ffwythiannau a ddefnyddir fynychaf mewn calcwlws:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}x^{n}=nx^{n-1}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos x=-\sin x}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan x=\sec ^{2}x}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{a}x={\frac {1}{x\ \ln a}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=a^{x}\ \ln a}
### Rheolau cyffredinol

Mae hefyd ar gael reolau cyffredinol er mwyn hwyluso'r broses o gyfrifo differiadau cymhleth:

* Rheol adio:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f(x)+g(x))=f'(x)+g'(x)}
* Rheol lluosi:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}(f(x)\ g(x))=f'(x)\ g(x)+g'(x)\ f(x)}
* Rheol cadwyn:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}f(g(x))=f'(g(x))\ g'(x)}

Nodiant
-------

Dolenni allanol
---------------

* Cyfrifiannell Ffwythiant WIMS sy'n cyfrifo'r difer ar-lein; mae'r meddalwedd yn galluogi ymarferion rhyngweithiol.
* Cyfrifiannell gwahaniaethu.
* Cyfrifiannell Differu ar-lein.
* "Mathematical Assistant on Web"[*dolen marw*] Cyfrifiannell Differu ar-lein, gan gynnwys eglurhad o'r ateb.
* *Proving Derivatives from First Principles*.
* *Practice finding derivatives of randomly generated functions*