Mae'r **dosraniad normal**, neu **dosraniad Gauss**, fel y'i gelwir, yn ddosraniad tebygolrwydd sy'n bwysig mewn sawl maes. Mewn gwirionedd, teulu o ddosraniadau o'r un ffurf ydyw, pob un â gwahanol paramedrau *lleoliad* a *graddfa*: y cymedr a'r gwyriad safonol yn ôl eu trefn. Y **dosraniad normal safonol** yw'r dosraniad normal â chymedr yn hafal i ddim, a gwyriad safonol yn hafal i un. Fe debygir siap ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd i gloch.

Mae'r dosraniad normal yn fodel cyfleus o ffenomena rhifadwy yn y gwyddoniaethau naturiol ac yn y gwyddoniaethau cymdeithasol. Er enghraifft, darganfyddir fod y dosraniad normal yn amcangyfrifiad agos i ystod eang o ganlyniadau profion seicolegol, a ffenomena ffisegol megis cyfrifon ffotonau. Yn aml, ni ddeallir achosion y ffenomena dan sylw; ond fe ellir rhoi gyfiawnhâd damcaniaethol mewn sefyllfäoedd lle caiff llawer iawn o effeithiau bach eu hadio at ei gilydd i greu'r sgôr neu newidyn sy'n cael ei arsylwi. Cyfyd y dosraniad normal yn aml mewn sawl ardal o ystadegath hefyd: er enghraifft, mae dosraniad samplu y cymedr yn led-normal, hyd yn oed os nad yw dosraniad y boblogaeth y gymerir y sampl ohono yn normal. Yn ogystal, mae'r dosraniad normal yn uchafu'r entropi gwybodaeth yn y dosraniadau â'r un cymedr ac amrywiant, sy'n ei wneud yn ddewis priodol o ddosraniad ar fyfer data, lle rydym ni'n gwybod dim ond y cymedr a'r amrywiant. Y dosraniad normal yw'r teulu o ddosraniadau a defnyddir amlach mewn ystadegaeth, ac fe seilir sawl prawf ystadegol ar ddamcaniaeth o normaledd. Mewn tebygolrwydd haniaethol, cyfyd dosraniadau normal fel dosraniadau terfanol sawl teulu o ddosraniadau di-dor ac arwahanol.

### Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd

Mae Ffwythiant dwysedd tebygolrwydd **dosraniad normal** â chymedr {\displaystyle \mu } ac amrywiant {\displaystyle \sigma ^{2}} (yn gyfystyr, gwyriad safonol {\displaystyle \sigma }) yn enghraifft o **Fwythiant Gaussaidd**

{\displaystyle f(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\,\exp \left(-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\right).}
(*gw. hefyd ffwythiant esbonyddol a pi.*)

Os oes gan hap-newidyn {\displaystyle X} y dosraniad hwn, ysgrifenwn {\displaystyle X} ~ {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2})}.
Os mae {\displaystyle \mu =0} a {\displaystyle \sigma =1}, yna fe gelwir y dosraniad yn *ddosraniad normal safonol*, ac mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn symleiddio i:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,\exp \left(-{\frac {x^{2}}{2}}\right).}
Rhai o rinweddau nodweddol y dosraniad normal:

* Mae'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd yn gymesyr o gylch ei werth cymedrol.
* Mae'r cymedr yn hafal i'w modd a'i ganolrif.
* Mae 68.268949% o'r arwynebedd is y graff o fewn un gwyriad safonol i'r cymedr.
* Mae 95.449974% o'r arwynebedd o fewn dau wiriad safonol.
* Mae 99.730020% o'r arwynebedd o fewn tri gwyriad safonol.
* Mae 99.993666% o'r arwynebedd o fewn pedwar gwyriad safonol.
* Mae pwyntiau ymdreiglad y cromlin un gwyriad safonol yn union o'r cymedr.

### Ffwythiant dosraniad cronnus

Diffinnir ffwythiant dosrnaiad cronnus fel y tebygolrwydd fod gan hap-newidyn {\displaystyle X} gwerth sy'n llai na neu'n hafal i {\displaystyle x}, ac fe'i mynegir yn nhermau'r ffwythiant dwysedd tebygolrwydd fel a ganlyn:

{\displaystyle F(x;\mu ,\sigma )={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \_{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {(u-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}\ \right)\,du.}
Ar gyfer ffwythiant dosraniad cronnus normal safonol, a dynodir gan {\displaystyle \Phi }, gwerthyswn y fformwla cyffredinol lle mae {\displaystyle \mu =0} a {\displaystyle \sigma =1},

{\displaystyle \Phi (x)=F(x;0,1)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{x}\exp \left(-{\frac {u^{2}}{2}}\right)\,du.}
Gellir mynegi'r ffwythiant uchod yn nhermau ffwythiant arbennig, y ffwythiant cyfeiliornad *erf* , fel a ganlyn

{\displaystyle \Phi (z)={\frac {1}{2}}\left[1+\operatorname {erf} \left({\frac {z}{\sqrt {2}}}\right)\right].}