Arwydd neon, glas, yn dangos theorem Bayes, ar ei symlaf.
Arosodiad o ddau ddigwyddiad, er mwyn egluro theorem Bayes.
O fewn damcaniaeth tebygolrwydd ac o fewn ystadegau, mae **theorem Bayes-Price** (a elwir hefyd yn **gyfraith Bayes-Price**; ond tan yn ddiweddar, fel **Theorem Bayes**) yn disgrifio tebygolrwydd rhyw ddigwyddiad, yn seiliedig ar wybodaeth flaenorol o amodau a allai fod yn gysylltiedig â'r digwyddiad. Er enghraifft, os yw canser yn gysylltiedig ag oedran, yna, gan ddefnyddio theorem Bayes, gellir defnyddio oed unigolyn i asesu'n fwy cywir y tebygolrwydd bod ganddynt ganser, o'i gymharu ag asesu tebygolrwydd canser heb wybodaeth am oedran yr unigolyn.

Un o nifer o gymwysiadau theorem Bayes yw anwythiad Bayesaidd, sy'n fath o anwythiad ystadegol. Pan gaiff ei gymhwyso, gall y tebygolrwydd sy'n gysylltiedig â theori Bayes gael dehongliadau tebygolrwydd gwahanol. Gyda'r gwahanol ddehongliad hyn, mae'r theorem yn mynegi sut y dylai meddylfryd goddrychol newid i adlewyrchu'r dystiolaeth gysylltiedig. Mae anwythiad Bayesaidd yn hanfodol i'r ystadegydd Bayesaidd.

Galwyd y theorem ar ôl y Parchedig Thomas Bayes (1701-1761), y gŵr cyntaf i ddarparu hafaliad sy'n caniatáu tystiolaeth newydd i ddiweddaru credoau. Gwnaeth hynny mewn traethawd o'r enw *An Essay towards solving a Problem in the Doctrine of Chances* (1763). Ei gyfaill, y Cymro a'r dyngarwr byd enwog Richard Price o Langeinwyr a sylwodd ar y wybodaeth newydd hon, wrth iddo fynd drwy bapurau Bayes, wedi'i angladd. Datblygwyd y cysyniadau hyn ymhellach gan Pierre-Simon Laplace, a gyhoeddodd y fformiwlâu am y tro cyntaf yn ei waith "Théorie analytique des probabilités" (1812). Rhoddodd Syr Harold Jeffreys algorithm Bayes a gwaith Laplace ar ffurf wirebol (acsiomatig). Ysgrifennodd Jeffreys "fod theorem Bayes i theori tebygolrwydd yr hyn yw theorem Pythagoras i geometreg".

Datganiad o'r theorem
---------------------

Gellir datgan y theorem Bayesaidd, mewn hafaliad, fel:

{\displaystyle P(A\mid B)={\frac {P(B\mid A)\,P(A)}{P(B)}},}
ble mae {\displaystyle A} a {\displaystyle B} yn ddigwyddiadau (mathemategol) a {\displaystyle P(B)\neq 0}.

* {\displaystyle P(A\mid B)} yw'r tebygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad {\displaystyle A} ddigwydd, gan fod {\displaystyle B} yn gywir.
* mae {\displaystyle P(B\mid A)} hefyd yn debygolrwydd amodol: y tebygolrwydd i'r digwyddiad {\displaystyle B} ddigwydd, gan fod {\displaystyle A} yn gywir.
* {\displaystyle P(A)} a {\displaystyle P(B)} yw'r tebygolrwydd o arsylwi {\displaystyle A} a {\displaystyle B} yn annibynnol o'i gilydd; gelwir hyn yn "debygolrwydd amodol".

Enghraifft
----------

Tybiwch fod prawf ar gyfer defnyddio cyffur penodol yn 99% sensitif a 99% yn benodol. Hynny yw, bydd y prawf yn cynhyrchu 99% o ganlyniadau cadarnhaol gwirioneddol i ddefnyddwyr cyffuriau a 99% gwirioneddol negyddol ar gyfer defnyddwyr nad ydynt ar gyffuriau. Tybiwch eto fod 0.5% o bobl yn defnyddio'r cyffuriau dan sylw. Beth yw'r tebygolrwydd bod unigolyn a ddewiswyd ar hap gyda phrawf positif yn ddefnyddiwr cyffuriau?

{\displaystyle {\begin{aligned}P({\text{Defnyddiwr}}\mid {\text{+}})&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})}{P(+)}}\\&={\frac {P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})}{P({\text{+}}\mid {\text{Defnyddiwr}})P({\text{Defnyddiwr}})+P({\text{+}}\mid {\text{Heb fod yn ddefnyddiwr}})P({\text{Heb fod yn ddefnyddiwr}})}}\\[8pt]&={\frac {0.99\times 0.005}{0.99\times 0.005+0.01\times 0.995}}\\[8pt]&\approx 33.2\%\end{aligned}}}
Hyd yn oed os yw unigolyn yn profi'n bositif, mae'n fwy tebygol nad ydynt yn defnyddio'r cyffur. Mae hyn oherwydd bod nifer y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr yn fawr o'i gymharu â nifer y defnyddwyr. Mae nifer y cadarnhaol anghywir (*false positives*) yn gorbwyso'r nifer positif gwirioneddol. Er enghraifft, pe profir 1,000 o unigolion yna disgwylir 995 o bobl nad ydynt ar y cyffuriau a 5 defnyddiwr. O'r 995 nad ydynt yn ddefnyddwyr, disgwylir 0.01 × 995 ≃ 10 cadarnhaol anghywir. O'r 5 defnyddiwr, disgwylir 0.99 × 5 ≈ 5 cadarnhaol anghywir. O blith 15 o ganlyniadau positif, dim ond 5 sy'n ddilys.

Diagram canghennog i egluro'n weledol yr enghraifft a roddir parthed defnyddwyr cyffuriau. Mae U, Ū, "+" and "−" ddigwyddiadau sy'n cynrychioli'r defnyddwyr, y rhai nad ydynt yn ddefnyddwyr, canlyniadau positif a negatif. events representing user, non-user, positive result and negative result. Cyfrifwyd y canrannau (mewn cromfachau).

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  McGrayne, Sharon Bertsch. (2011). **The Theory That Would Not Die* p. 10.*, tud. 10, ar *Google Books*
2. ↑  *"Bayes' theorem "is to the theory of probability what the Pythagorean theorem is to geometry".*
3. ↑  Stuart, A.; Ord, K. (1994), *Kendall's Advanced Theory of Statistics: Volume I—Distribution Theory*, Edward Arnold, §8.7

Dolennau allanol
----------------

* Weisstein, Eric W. "Bayes' Theorem". *MathWorld*.
* Tiwtorial i fyfyrwyr ar ystadegaeth a theorem Bayesaidd.