Mewn mathemateg, y **gweddill** yw'r swm "ar ôl", wedi i ni wneud rhywfaint o gyfrifiant. Ceir ystyr ychydig yn wahanol mewn rhifyddeg ac algebra. Mewn rhifyddeg 'y gweddill' "yw'r hyn sydd dros ben" mewn sym rhannu ar ôl rhannu un cyfanrif gyda chyfanrif arall (y cyniferydd rhannu). Mewn algebra, 'y gweddill' yw'r polynomial sydd "ar ôl" wedi i ni dynnu un polynomial oddi wrth un arall. Y *modulus* yw'r weithred sy'n cynhyrchu'r ateb (neu'r 'gweddill') hwn pan roddir rhannyn a rhannydd (*dividend* a *divisor*).

Yn ffurfiol: y gweddill yw'r hyn a adewir ar ôl tynnu un rhif oddi wrth un arall, er y gelwir hyn, yn fwy manwl, "y gwahaniaeth". Gellir dod o hyd i'r defnydd hwn mewn rhai gwerslyfrau elfennol.

Mewn rhifyddeg: rhannu cyfanrifau
---------------------------------

Os yw *a* a *d* yn gyfanrifau, gyda *d* ddim yn sero, gellir profi bod cyfanrifau unigryw *q* ac *r* yn bodoli, fel bod *a* = *qd* + *r* a 0 ≤ *r* < *|d|*. Gelwir rhif *q* yn *"gyniferydd"*, tra gelwir *r* yn *"weddill"*.

Mae'r 'gweddill', fel y caiff ei ddiffinio, uchod, yn cael ei alw'n "weddill positif lleiaf" (*least positive remainder*), neu'n syml "y gweddill". Mae'r cyfanrif *a* naill ai'n lluosrif o *d* neu'n gowredd yn y cyfwng rhwng dau luoswm dilynol o *d*, sef, *q⋅d* a (*q* + 1)*d* (am *q* positif).

Ar adegau, mae'n ddefnyddiol rhannu, fel bod *a* mor agos a phosibl at luoswm y cyfanrif *d*, h.y. gellir sgwennu:

*a* = *k⋅d* + *s*, gyda |*s*| ≤ |*d*/2| ar gyfer *k*.
Yn yr achos yma, gelwir *s* yn "weddill absoliwt lleiaf" (*least absolute remainder*). Fel gyda'r cyniferydd a'r gweddill, mae *k* a *s* yn ganlyniadau unigryw, gydag un eithriad, sef, ble mae:
*d* = 2*n* a *s* = ± *n*. Yn yr eithriad hwn ceir: 

*a* = *k⋅d* + *n* = (*k* + 1)*d* − *n*.
Gellir cyrraedd y gweddill unigryw drwy'r confensiwn o gymryd gwerth *s* fel un positif.

### Enghraifft

Pan gaiff 43 ei rannu gan 5, ceir:

43 = 8 × 5 + 3,
felly, 3 yw'r gweddill positif lleiaf. Ceir hefyd:

43 = 9 × 5 − 2,
felly, −2 yw'r gweddill absoliwt lleiaf.

Mae hyn yr un mor wir os yw *d* yn negatif. Er enghraifft, wrth rannu 43 gyda -5, yna

43 = (−8) × (−5) + 3,
felly, 3 yw'r gweddill positif lleiaf, a,

43 = (−9) × (−5) + (−2)
a −2 yw'r gweddill absoliwt lleiaf.

Pan gaiff 42 ei rannu gan 5, ceir:

42 = 8 × 5 + 2,
gan fod 2 < 5/2, 2 yn weddill positif lleiaf ac ar yr un pryd yn weddill absoliwt lleiaf.

Yn yr enghreifftiau hyn, ceir y gweddill absoliwt lleiaf (y negatif) o'r gweddill positif lleiaf trwy dynnu 5, sef *d*. Mae hyn yn gywir, fel arfer. Wrth rannu â *d*, naill ai:

1. mae'r ddau weddill yn bositif ac felly'n gyfartal, neu
2. mae ganddynt arwyddion cyferbyn.

Os yw'r gweddill positif yn *r*1, a'r negatif yn *r*2, yna

r1 = *r*2 + *d*.

Mewn algebra: rhannu polynominal
--------------------------------

Pan gaiff polynomalau eu rhannu yn y dull Ewclidaidd mae'r weithred yn debyg iawn i rannu cyfanrifau, ac yn arwain at weddill polynomial. Gallem brofi ei fodolaeth drwy'r theorem ganlynol:

O ystyried dau bolynomial un-newidyn *a(x)* a *b(x)* (gyda *b(x)* ddim yn bolynomial sero) a ddiffinir dros faes (yn arbennig y rhifau real neu rifau cymhlyg), yna ceir dau bolynomial *q(x)* (y cynifer) ac *r(x)* (y gweddill) sy'n bodloni:

{\displaystyle a(x)=b(x)q(x)+r(x)}
ble mae

{\displaystyle \deg(r(x))<\deg(b(x)),}
gyda "deg(...)" yn nodi graddau'r polynomial. Ar ben hyn, mae *q*(*x*) a *r*(*x*) yn cael eu diffinio mewn modd unigryw gan eu perthynas.

Mae hyn yn wahanol i'r rhaniad Ewclidaidd o gyfanrifau oherwydd ar gyfer y cyfanrifau, caiff y cyflwr 'gradd' ei ddisodli gan 'arffiniau' ar y gweddill .

Mae rhannu polynomial yn arwain at ganlyniad a elwir yn "Theorem y Gweddill":

Os yw polynomial *f*(*x*) yn cael ei rannu gyda *x* − *k*, y gweddill yw'r *r* = *f*(*k*) cyson.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Ore 1988, p. 30. Ond os yw'r gweddill yn 0, nid yw'n bositif, er ei fod yn cael ei alw'r "weddill positif".
2. ↑  Ore 1988, p. 32
3. ↑  Larson & Hostetler 2007, p. 154
4. ↑  Rotman 2006, p. 267
5. ↑  Larson & Hostetler 2007, p. 157