Y sgwâr wedi sgwario perffaith cyntaf a ddarganfuwyd, un cyfansawdd o ochr 4205 a threfn 55. Mae pob rhif yn dynodi hyd ochr ei sgwâr.
**Sgwario'r sgwâr** yw'r broblem o deilio sgwâr cyfanrifol gan ddefnyddio sgwariau cyfanrifol eraill yn unig. (Mae **sgwâr cyfanrifol** yn sgwâr gyda hyd ochrau sy'n gyfanrif.) Bathwyd yr enw fel cyfatebiaeth ddoniol i'r broblem sgwario'r cylch. Mae sgwario'r sgwâr yn dasg hawdd oni bai bod amodau ychwanegol wedi'u gosod. Y cyfyngiad a astudiwyd fwyaf yw bod y sgwario yn **berffaith**, sy'n golygu bod maint y sgwariau llai i gyd yn wahanol. Problem gysylltiedig yw **sgwario'r plân**. Gellir cyflawni hwn hyd yn oed gyda'r cyfyngiad bod pob rhif naturiol yn digwydd yn union unwaith fel maint sgwâr yn y teils. Trefn sgwâr wedi sgwario yw ei nifer o sgwariau cyfansoddol.

Sgwariau sgwâr perffaith
------------------------

 Teilo'r plân gyda gwahanol sgwariau cyfanrifol gan ddefnyddio'r gyfres Fibonacci 1. Teilio gyda sgwariau ag ochrau rhif Fibonacci bron yn berffaith heblaw am 2 sgwâr o ochr 1. 2. Daeth Duijvestijn o hyd i deilio sgwâr hyd 110 gyda 22 o sgwariau cyfanrif gwahanol. 3. Mae chwyddi'r teilo Fibonacci gan 110, ac amnewid un o'r sgwariau 110 gyda theilo Duijvestijn yn rhoi datrysiad perffaith.
Mae sgwâr wedi sgwario "perffaith" yn sgwâr fel bod gan bob un o'r sgwariau llai faint gwahanol.

Cafodd ei astudio yn gyntaf gan RL Brooks, CAB Smith, AH Stone a WT Tutte ym Mhrifysgol Caergrawnt rhwng 1936 a 1938. Fe wnaethant drawsnewid y teils sgwâr yn gylched drydanol gyfatebol, "ddiagram Smith", trwy ystyried y sgwariau fel gwrthyddion a oedd yn cysylltu â'u cymdogion ar eu hymylon uchaf a gwaelod. Yna'n cymhwyson nhw ddeddfau cylched Kirchhoff a thechnegau dadelfennu cylched iddo. Y sgwâr wedi sgwario perffaith cyntaf a ddarganfuwyd oedd o drefn 69.

Y sgwâr wedi sgwario perffaith cyntaf i gael ei gyhoeddi oedd un cyfansawdd hyd ochr 4205 a threfn 55, gan Roland Sprague ym 1939. Cyhoeddodd Martin Gardner erthygl helaeth a ysgrifennwyd gan WT Tutte am hanes cynnar sgwario’r sgwâr yn ei golofn gemau mathemategol ym mis Tachwedd 1958.

 Diagram Smith o betryal

Sgwariau wedi sgwario syml
--------------------------

Mewn sgwâr wedi sgwario "syml" does dim is-set o'r sgwariau'n ffurfio petryal neu sgwâr. Fel arall mae'n "gyfansawdd".

Ym 1978, darganfu AJW Duijvestijn sgwâr wedi sgwario perffaith syml gyda hyd ochr 112 gyda'r nifer lleiaf o sgwariau gan ddefnyddio chwiliad cyfrifiadur. Fe ddefnyddiodd 21 sgwâr, a phrofwyd ei fod yn lleiafsymiol. Mae'r sgwâr wedi sgwario hwn yn ffurfio logo Cymdeithas Fathemategol y Drindod. Mae hefyd yn ymddangos ar glawr y *Journal of Combinatorial Theory*.

Daeth Duijvestijn o hyd i ddau sgwâr wedi sgwario perffaith syml gyda hyd ochrau 110 a phob un yn cynnwys 22 sgwâr. Daeth TH Willcocks o hyd i un arall. Yn 1999, profodd I. Gambini mai'r tri hyn yw'r sgwariau wedi sgwario perffaith leiaf o ran hyd ochr.

Darganfuwyd y sgwâr wedi sgwario cyfansawdd perffaith leiafsymiol gan TH Willcocks ym 1946, ac mae ganddo 24 sgwâr. Fodd bynnag, nid tan 1982 y profodd Duijvestijn, Pasquale Joseph Federico a P. Leeuw yn fathemategol mai hon oedd yr enghraifft drefn isaf.

Cwilt Mrs. Perkins
------------------

Pan nad oes angen i'r holl sgwariau fod gwahanol feintiau, mae sgwâr wedi sgwario fel nad oes gan hydoedd y sgwariau llai rhannydd cyffredin sy'n fwy nag 1 yn cael ei alw'n "Cwilt Mrs. Perkins". Mewn geiriau eraill, dylai'r rhannwr cyffredin mwyaf o'r holl hydoedd llai bod yn 1.

Y **Broblem Cwilt Mrs. Perkins** yw dod o hyd i Gwilt Mrs. Perkins gyda'r lleiaf o ddarnau ar gyfer sgwâr n × n penodol.

Sgwario'r plân
--------------

Ym 1975, gofynnodd Solomon Golomb y cwestiwn a all sgwariau theilo'r plân cyfan, un o bob hyd ymyl cyfanrif. Fe alwodd hwn y **damcaniaeth teilo heterogenaidd**. Cyhoeddwyd y broblem hon yn ddiweddarach gan Martin Gardner yn ei golofn *Scientific American* ac ymddangosodd mewn sawl llyfr, ond ni chafodd ei datrys am dros 30 mlynedd. Yn 2008 profodd James Henle a Frederick Henle roedd hwn yn bosib.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  "o55-4205-sprague.pdf" (PDF). Cyrchwyd 25 August 2015.
2. ↑  "5. Towards a theory for combinatorial games". *American Mathematical Society*. Cyrchwyd 2017-06-30.
3. ↑  "Brooks, Smith, Stone and Tutte, II". *www.squaring.net*. Cyrchwyd 19 April 2018.
4. ↑  W. Weisstein, Eric. "Perfect Square Dissection". *mathworld.wolfram.com*. Cyrchwyd 19 April 2018.
5. ↑  "Squared Squares; Perfect Simples, Perfect Compounds and Imperfect Simples". Cyrchwyd 25 August 2015.
6. ↑  "Compound Perfect Squares", By A. J. W. Duijvestijn, P. J. Federico, and P. Leeuw, Published in American Mathematical Monthly Volume 89 (1982) pp 15-32
7. ↑  Henle, Frederick V.; Henle, James M. (2008). "Squaring the plane". *American Mathematical Monthly* **115**: 3–12. JSTOR 27642387. .