Mae **annibyniaeth** yn syniad sylfaenol mewn tebygolrwydd. Mae dau ddigwyddiad yn **annibynnol** os nad yw digwyddiad un yn effeithio ar y tebygolrwydd y bydd y llall yn digwydd. Yn yr un modd, mae dau hapnewidyn yn annibynnol os nad yw canlyniad un yn effeithio ar ddosraniad tebygolrwydd y llall.

Wrth ddelio â chasgliadau o fwy na dau ddigwyddiad, mae angen gwahaniaethu rhwng syniad gwan a chryf o annibyniaeth. Gelwir y digwyddiadau yn *annibynnol fesul pâr* os yw unrhyw ddau ddigwyddiad yn y casgliad yn annibynnol o'i gilydd. Mae dweud bod y digwyddiadau yn **gydannibynnol** yn golygu bod pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw gyfuniad o'r digwyddiadau eraill yn y casgliad. Mae syniad tebyg yn bodoli ar gyfer casgliadau o hapnewidynnau.

Mae'r enw "cydannibyniaeth" ond yn ymddangos er mwyn gwahaniaethu'r syniad cryfach oddi wrth "annibyniaeth fesul pâr", sy'n syniad gwannach. Yn llenyddiaeth theori tebygolrwydd, ystadegau a phrosesau stocastig, enwir y syniad cryfach yn syml yn **annibyniaeth**. Mae'n gryfach gan fod annibyniaeth yn awgrymu annibyniaeth fesul pâr, ond nid y gwrthwyneb.

Diffiniad
---------

#### Dau ddigwyddiad

Mae dau ddigwyddiad {\displaystyle A} a {\displaystyle B} yn **annibynnol** (weithiau ysgrifennir fel {\displaystyle A\perp B} neu {\displaystyle A\perp \!\!\!\perp B}) os ac yn unig os yw eu cyd-debygolrwydd yn hafal i luoswm eu tebygolrwyddau:

> {\displaystyle P(A\cap B)=P(A)P(B)}
> 
> 

Mae'r rheswm pam mae hyn yn diffinio annibyniaeth yn fwy eglur wrth ailysgrifennu gyda thebygolrwydd amodol:

{\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (A)={\frac {\mathrm {P} (A\cap B)}{\mathrm {P} (B)}}=\mathrm {P} (A\mid B)}
ac

{\displaystyle \mathrm {P} (A\cap B)=\mathrm {P} (A)\mathrm {P} (B)\iff \mathrm {P} (B)=\mathrm {P} (B\mid A)}.
Felly, nid yw {\displaystyle B} yn digwydd yn effeithio ar debygolrwydd {\displaystyle A}, ac i'r gwrthwyneb. Er y gall y mynegiadau sy'n defnyddio tebygolrwyddau amodol ymddangos yn fwy greddfol, nid y rhain yw'r diffiniad gorau, oherwydd gellir diffinio'r tebygolrwyddau amodol os yw {\displaystyle \mathrm {P} (A)} neu {\displaystyle \mathrm {P} (B)} yn 0. Ar ben hynny, mae'r diffiniad gwreiddiol yn nodi'n glir trwy gymesuredd os yw {\displaystyle A} yn annibynnol o {\displaystyle B}, yna mae {\displaystyle B} hefyd yn annibynnol o {\displaystyle A}.

#### Mwy na dau ddigwyddiad

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i=1}^{n}} yn **annibynnol fesul pâr** os yw pob pâr o ddigwyddiadau yn annibynnol — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob pâr penodol o fynegeion{\displaystyle m,k}, mae:

> {\displaystyle P(A\_{m}\cap A\_{k})=P(A\_{m})P(A\_{k})}
> 
> 

Mae set feidraidd o ddigwyddiadau yn **gydannibynnol** os yw pob digwyddiad yn annibynnol o unrhyw groestoriad o'r digwyddiadau eraill — hynny yw, os ac yn unig os ar gyfer pob {\displaystyle k\leq n} ac am bob is-set {\displaystyle \{B\_{i}\}\_{i=1}^{k}} o {\displaystyle \{A\_{i}\}\_{i=1}^{n}}gyda {\displaystyle k} elfen, mae

> {\displaystyle P\left(\bigcap \_{i=1}^{k}B\_{i}\right)=\prod \_{i=i}^{k}P(B\_{i})}.
> 
>

Priodweddau
-----------

### Hunan-annibyniaeth

Sylwch fod digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw

{\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (A\cap A)=\mathrm {P} (A)\cdot \mathrm {P} (A)\Leftrightarrow \mathrm {P} (A)=0{\text{ or }}\mathrm {P} (A)=1}.
Felly mae digwyddiad yn annibynnol arno'i hun os ac yn unig os yw'n digwydd sicr neu os yw ei gyflenwad yn sicr.

### Gwerth disgwyliedig a chydamrywiad

Os yw {\displaystyle X} ac {\displaystyle Y} yn hapnewidynnau annibynnol, yna mae gan ei gwerthoedd disgwyliedig y briodwedd bod

{\displaystyle \operatorname {E} [XY]=\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y],}
a'r cydamrywiad {\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]} yw sero, oherwydd taw

{\displaystyle \operatorname {cov} [X,Y]=\operatorname {E} [XY]-\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [Y]}.
Nid yw'r gwrthwyneb yn wir: os oes gan ddau hapnewidyn cydamrywiad o 0 mae'n bosib na fyddant yn annibynnol.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Russell, Stuart; Norvig, Peter (2002). *Artificial Intelligence: A Modern Approach*. Prentice Hall. t. 478. ISBN 0-13-790395-2.
2. ↑  Florescu, Ionut (2014). *Probability and Stochastic Processes*. Wiley. ISBN 978-0-470-62455-5.
3. 1 2  Gallager, Robert G. (2013). *Stochastic Processes Theory for Applications*. Cambridge University Press. ISBN 978-1-107-03975-9.
4. 1 2  Feller, W (1971). "Stochastic Independence". *An Introduction to Probability Theory and Its Applications*. Wiley.
5. ↑  Durrett, Richard (1996). *Probability: theory and examples* (arg. Second). page 62