Mewn mathemateg, y **rhannydd cyffredin mwyaf** (*greatest common divisor*; GCD) o ddau gyfanrif neu fwy, sydd ddim yn sero, yw'r cyfanrif positif mwyaf a all rannu pob cyfanrif. Mewn geiriau eraill, y GCD o set o rifau yw'r cyfanrif positif mwyaf sy'n rhannu'r holl rifau yn y set heb adael gweddill. Dyma'r lluosrif mwyaf o'r holl rifau yn y set.

Er enghraifft, GCD 8 a 12 ydy 4.

Caiff weithiau ei alw'n **ffactor cyffredin mwyaf** neu 'ffactor cyffredin uchaf'. Gellir ymestyn y cysyniad hwn i polynomialau, ac fe'i gelwir yn 'Polynomial y rhannydd cyffredin mwyaf'.

Trosolwg
--------

Yn yr erthygl hon, byddwn yn dynodi'r hannydd cyffredin mwyaf o ddau gyfanrif  *a*  a  *'fel chd (' 'a' ','*  ').

### Enghraifft

Beth yw rhannydd cyffredin mwyaf y rhifau 54 a 24?

Gellir mynegi'r rhif 54 fel lluoswm (*product*) o ddau gyfanrif, mewn sawl ffordd:

{\displaystyle 54\times 1=27\times 2=18\times 3=9\times 6.\,}
Felly, **rhanyddion 54** yw: {\displaystyle 1,2,3,6,9,18,27,54.\,}

A, **rhanyddion 24** yw: {\displaystyle 1,2,3,4,6,8,12,24.\,}

Gelwir y rhifau sy'n gyffredin rhwng y ddwy restr yma yn **rhanyddion cyffredin**, sef 54 a 24:

{\displaystyle 1,2,3,6.\,}
Y mwyaf o'r rhain yw 6. Chwech, felly, yw rhannydd cyffredin mwyaf y rhifau 54 a 24.
Gellir sgwennu hyn fel:

{\displaystyle \gcd(54,24)=6.\,}
### Ffracsiynau

 *Prif erthygl: Ffracsiwn*
Mae'r dull yma'n hynod o ddefnyddiol i leihau ffracsiynau i'w termau lleiaf. Er enghraifft, gcd(42, 56) = 14, felly,

{\displaystyle {\frac {42}{56}}={\frac {3\cdot 14}{4\cdot 14}}={\frac {3}{4}}.}
### Rhifau cydgysefin

Gelwir dau rif yn 'gydgysefin', neu yn 'gysefin cymharol' (*coprime*), os yw eu rhannydd cyffredin mwyaf yn hafal i 1. Er enghraifft, mae 9 a 28 yn gydgysefin.

Cyfrifo
-------

Gellir cyfrifo'r rhannydd cyffredin mwyaf trwy bennu ffactorau cysefin y ddau rif a chymharu'r ffactorau, fel yn yr enghraifft ganlynol: i gyfrifo gcd(18, 84), fe welwn y ffactorau cysefin 18 = 2 · 32 a 84 = 22 · 3 · 7 a sylwn fod gorgyffwrdd yma rhwng y ddau ymadrodd yw 2 · 3; felly gcd(18, 84) = 6.

O ddydd i ddydd, cyfyngir y defnydd o'r dull hwn i rifau bach yn unig. Mae cyfrifo ffactorau cysefin, fel arfer, yn cymryd llawer hirach!

Dyma enghraifft arall, a ddangosir gan ddiagram Venn. Yma, ceisir canfod rhannydd cyffredin mwyaf 48 a 180. Yn gyntaf, dylid darganfod ffactorau cysefin y ddau rif:

48 = 2 × 2 × 2 × 2 × 3,
180 = 2 × 2 × 3 × 3 × 5.
Mae yma dir canol (y rhan sy'n gorgyffwrdd), sef dau "2" a "3":

Lluoswm lleiaf cyffredin (*Least common multiple*) = 2 × 2 × ( 2 × 2 × 3 ) × 3 × 5 = 720
Rhannydd cyffredin mwyaf = 2 × 2 × 3 = 12.

Algorithm Ewclidaidd
--------------------

 *Prif erthygl: Algorithm Ewclidaidd*
Dull llawer mwy effeithlon yw'r Algorithm Ewclidaidd, sy'n defnyddio algorithm rhannu (e.e. rhannu hir) ar y cyd â'r ffaith bod y GCD o'r ddau rif hefyd yn rhannu eu gwahaniaeth. I gyfrifo CGD (48,18), rhannwch 48 gydag 18 i gael y cyniferydd 2 a gweddill o 12.

Yna rhannwch 18 gyda 12 i gael y cyniferydd 1 a gweddill o 6. Yna rhannwch 12 gyda 6 i gael gweddill 0, sy'n golygu mai 6 yw'r GCD. Sylwch ein bod yn anwybyddu'r cynhwysydd ym mhob cam ac eithrio i sylwi pan gyrhaeddodd y gweddill 0, gan nodi ein bod wedi cyrraedd yr ateb. Yn ffurfiol, gellir disgrifio'r algorithm fel:

Yn ffurfiol, gellir disgrifio'r algorithm fel:

{\displaystyle \gcd(a,0)=a}
{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(b,a\,\mathrm {mod} \,b)},
ble mae

{\displaystyle a\,\mathrm {mod} \,b=a-b\left\lfloor {a \over b}\right\rfloor }.
Os yw'r ddau ymresymiad yn fwy na sero, yna gellir sgwennu'r algorithm mewn dull symlach, fel:

{\displaystyle \gcd(a,a)=a},
{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a-b,b)\quad ,} if *a* > *b*
{\displaystyle \gcd(a,b)=\gcd(a,b-a)\quad ,} if *b* > *a*
Animeiddiad sy'n dangos y dull o gymhwyso Algorithm Ewclidaidd er mwyn canfod rhannydd cyffredin mwyaf 62 a 36 (sef 2).

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Long (1972, p. 33)
2. ↑  Pettofrezzo & Byrkit (1970, p. 34)
3. ↑  Gustavo Delfino, "Understanding the Least Common Multiple and Greatest Common Divisor", Wolfram Demonstrations Project, Cyhoeddwyd: 1 Chwefror 2013.