Mewn cyfuniadeg, mae'r **rhifau Bell** yn cyfri holl ymraniadau posibl set. Mae'r rhifau hyn wedi cael eu hastudio gan fathemategwyr ers y 19eg ganrif, ac mae eu gwreiddiau'n mynd yn ôl i Japan ganoloesol. Fe'u henwir ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt yn y 1930au.

Dynodir y rhifau Bell gan *B**n*, lle *n* yw cyfanrif mwy na neu'n hafal i sero. Gan ddechrau gyda *B*0 = *B*1 = 1, y rhifau Bell cyntaf yw

1, 1, 2, 5, 15, 52, 203, 877, 4140, ... (cyfres A000110 yn yr *On-Line Encyclopedia of Integer Sequences* (OEIS)).
Mae'r rhif Bell *B**n* yn cyfri'r nifer o wahanol ffyrdd o ymrannu set sydd ag union *n* elfen, neu'n gywerth, y nifer o berthnasau cywerthedd arno. *Mae Bn* hefyd yn cyfrif nifer y gwahanol gynlluniau odl ar gyfer cerddi sydd ag *n* llinell.

Yn ogystal ag ymddangos mewn problemau cyfrif, mae gan y niferoedd hyn ddehongliad gwahanol yn nhermau momentau dosraniadau tebygolrwydd. Yn benodol, *Bn* yw *n*-fed moment dosraniad Poisson gyda chymedr 1.

Cyfrif
------

Y 52 ymraniad o set gyda 5 elfen.
Yn gyffredinol, *B* *n* yw nifer ymraniadau set o faint *n*. Diffinnir ymraniad set *S* fel set o is-setiau anwag, digyswllt yn ôl y parau, *S, y* mae eu hundeb yw *S.* Er enghraifft, *B*3 = 5 oherwydd gellir ymrannu set 3-elfen {*a*, *b*, *c*} mewn 5 ffordd wahanol:

{ {*a*}, {*b*}, {*c*} }
{ {*a*}, {*b*, *c*} }
{ {*b*}, {*a*, *c*} }
{ {*c*}, {*a*, *b*} }
{ {*a*, *b*, *c*} }.
*B*0 yw 1 oherwydd un ymraniad yn union sydd o'r set wag. Mae pob aelod o'r set wag yn set ddiamwys a'u hundeb yw'r set wag. Felly, y set wag yw'r unig raniad ohono'i hun. Fel yr awgrymwyd gan y nodiant a osodwyd uchod, nid ydym yn ystyried trefn y rhaniadau na threfn yr elfennau ym mhob rhaniad, oherwydd nid oes gan setiau trefn.

### Ffactorau

Os yw rhif *N* yn gyfanrif positif heb ffactorau sgwâr (hynny yw ei fod yn lluoswm rhyw rif *n* o rifau cysefin unigryw), yna mae *Bn yn* rhoi nifer y gwahanol ymraniadau lluosol *N.* Mae'r rhain yn ffactoriadau o *N* i mewn i rifau mwy nag un. Er enghraifft, 30 yw luoswm y tri rhif cysefin 2, 3 a 5, ac mae ganddo *B*3 = 5 o ffactoriadau:

{\displaystyle 30=2\times 15=3\times 10=5\times 6=2\times 3\times 5}
### Cynlluniau odli

Mae'r rhifau Bell hefyd yn cyfri'r cynlluniau odl cerdd neu bennill *n*-llinell. Mae cynllun odli yn disgrifio pa linellau sy'n odli gyda'i gilydd, ac felly gellir eu dehongli fel ymraniad o'r set o linellau yn is-setiau odledig. Mae cynlluniau odli fel arfer yn cael eu hysgrifennu fel dilyniant o lythrennau Rhufeinig, un fesul llinell, gyda llinellau sy'n odli yn cael yr un llythyren â'i gilydd. Felly ar gyfer pennill pedwar llinell, mae *B*4 = 15 cynllun odli posib: AAAA, AAAB, AABA, AABB, AABC, ABAA, ABAB, ABAC, ABBA, ABBB, ABBC, ABCA, ABCB, ABCC, ac ABCD.

Priodweddau
-----------

### Fformiwlâu symio

Mae rhifau'r Bell yn bodloni perthynas dychweliadol sy'n cynnwys cyfernodau binomial:

{\displaystyle B\_{n+1}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}B\_{k}.}
Gallwn esbonio'r perthynas hwn trwy arsylwi, o ymraniad mympwyol o *n* + 1 eitem, mae cael gwared ar y set sy'n cynnwys yr eitem gyntaf yn gadael ymraniad o set lai o eitemau. Gall y nifer o eitemau hyn fod *k ar* gyfer rhyw rif *k* a all amrywio o 0 i *n*. Mae yna {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} dewis ar gyfer y *k* eitem sydd ar ôl ar ôl i un set gael ei dileu, ac mae *Bk* dewis o sut i'w ymrannu.

Mae fformiwla symio gwahanol yn cynrychioli pob rhif Bell fel swm o *rifau Stirling o'r ail fath*

{\displaystyle B\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}\left\{{n \atop k}\right\}.}
Rhif Stirling {\displaystyle \left\{{n \atop k}\right\}} yw nifer o ffyrdd i ymrannu set maint *n* i mewn yn union *k* is-set anwag. Felly, yn yr hafaliad uchod sy'n cysylltu'r rhifau Bell â'r rhifau Stirling, mae pob ymraniad a gyfrifir ar ochr chwith yr hafaliad yn cael ei gyfri mewn union un o dermau'r swm ar yr ochr dde, yr un lle mae *k* nifer o setiau yn yr ymraniad.

Mae Spivey (2008) wedi rhoi fformiwla sy'n cyfuno'r ddau swm hyn:

{\displaystyle B\_{n+m}=\sum \_{k=0}^{n}\sum \_{j=0}^{m}\left\{{m \atop j}\right\}{n \choose k}j^{n-k}B\_{k}.}
### Rhifyddeg fodiwlaidd

Mae'r rhifau Bell yn ufuddhau cyfathiant Touchard: Os *p* yw unrhyw rif cysefin yna

{\displaystyle B\_{p+n}\equiv B\_{n}+B\_{n+1}{\pmod {p}}}
neu, yn cyffredinoli

{\displaystyle B\_{p^{m}+n}\equiv mB\_{n}+B\_{n+1}{\pmod {p}}.}
### Fel integryn

Mae cymhwyso fformiwla integryn Cauchy i'r ffwythiant generadu esbonyddol yn rhoi'r gynrychiolaeth integryn cymhlyg

{\displaystyle B\_{n}={\frac {n!}{2\pi ie}}\int \_{\gamma }{\frac {e^{e^{z}}}{z^{n+1}}}\,dz.}

Hanes
-----

Enwir rhifau Bell ar ôl Eric Temple Bell, a ysgrifennodd amdanynt ym 1938, yn dilyn papur yn 1934 lle bu'n astudio polynomialau Bell. Nid oedd Bell yn honni ei fod wedi darganfod y niferoedd hyn; yn ei bapur yn 1938, ysgrifennodd fod y rhifau Bell wedi cael eu hymchwilio'n aml, a'u bod wedi cael eu hailddarganfod nifer o weithiau. Mae Bell yn dyfynnu sawl cyhoeddiad cynharach ar y rhifau hyn, gan ddechrau gyda Dobiński (o 1877) sy'n rhoi fformiwla Dobiński ar gyfer y rhifau Bell. Galwodd Bell y rhifau hyn yn "rhifau esbonyddol"; rhoddwyd yr enw "rhifau Bell" a'r nodiant *Bn* ac iddynt gan Becker & Riordan (o 1948).

Ymddangosodd cyfrifiad cynhwysfawr cyntaf o ymraniadau set yn oesoedd canol Japan, lle (wedi ei ysbrydoli gan boblogrwydd y llyfr *Chwedl Genji*) ymddangosodd gêm barlwr o'r enw *genji-ko*, lle rhoddir pum pecyn o arogldarth i'r chwaraewyr i'w arogli, a gofynnir iddynt ddyfalu pa rai oedd yr un fath â'i gilydd a pha rai oedd yn wahanol. Cofnodwyd y 52 datrysiad posibl, a gyfrifwyd gan y rhif Bell *B*5, gan 52 o wahanol ddiagram, a chafodd eu hargraffu uwchben penawdau'r penodau mewn rhai rhifynnau o Chwedl Genji.

Yn ail lyfr nodiadau Srinivasa Ramanujan, ymchwiliodd i mewn i bolynomialau Bell a rhifau Bell.

Cyfeiriadau
-----------

1. 1 2  Gardner, Martin (1978-05). "Mathematical Games". *Scientific American* **238** (5): 24–30. doi:10.1038/scientificamerican0578-24. ISSN 0036-8733. .
2. ↑  Williams, G. T. (1945). "Numbers Generated by the Function ee x-1". *The American Mathematical Monthly* **52** (6): 323–327. doi:10.2307/2305292. ISSN 0002-9890. .
3. ↑  Wilf, Herbert S. 1931-2012. (1994). *Generatingfunctionology* (arg. 2nd ed). Boston: Academic Press. ISBN 0-12-751956-4. OCLC 29831213.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
4. ↑  Conway, John H. (John Horton),. *The book of numbers*. Guy, Richard K.. New York, NY. ISBN 0-387-97993-X. OCLC 32854557.CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link)
5. ↑  Becker, H. W.; Riordan, John (1948-04). "The Arithmetic of Bell and Stirling Numbers". *American Journal of Mathematics* **70** (2): 385. doi:10.2307/2372336. .
6. ↑  Hurst & Schultz (2009).
7. ↑  Simon, Barry (2015). *Advanced Complex Analysis*. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. ISBN 978-1-4704-1101-5.
8. ↑  Bell, E. T. (1934-04). "Exponential Polynomials". *The Annals of Mathematics* **35** (2): 258. doi:10.2307/1968431. .
9. ↑  Bell, E. T. (1938-07). "The Iterated Exponential Integers". *The Annals of Mathematics* **39** (3): 539. doi:10.2307/1968633. .
10. ↑  "Summirung der Reihe 1 + + .". *Journal für die reine und angewandte Mathematik (Crelles Journal)* **1827** (2): 358–363. 1827-01-01. doi:10.1515/crll.1827.2.358. ISSN 0075-4102. .
11. ↑  Becker, H. W.; Riordan, John (1948-04). "The Arithmetic of Bell and Stirling Numbers". *American Journal of Mathematics* **70** (2): 385. doi:10.2307/2372336. .
12. ↑  KNUTH, DONALD E. (2013-06-27), "Two Thousand Years of Combinatorics", *Combinatorics: Ancient and Modern* (Oxford University Press): pp. 3–38, ISBN 978-0-19-965659-2, adalwyd 2020-10-01
13. ↑  Berndt, Bruce C.; Dixit, Atul; Sohn, Jaebum (2011-01). "Character analogues of theorems of Ramanujan, Koshliakov and Guinand". *Advances in Applied Mathematics* **46** (1-4): 54–70. doi:10.1016/j.aam.2009.12.003. ISSN 0196-8858. .