Matrics *m* × *n*: mae'r *m* rhes yn llorweddol ac mae'r *n* colofn yn fertigol. Yn aml, dynodir pob elfen o fatrics gan newidyn gyda dau danysgrifiad. Er enghraifft, mae *a*2,1 yn cynrychioli'r elfen yn yr ail res a cholofn gyntaf y matrics.
Mewn mathemateg, mae **matrics** yn arae hirsgwar neu *dabl* o rifau, symbolau, neu fynegiannau, wedi'u trefnu mewn *rhesi* a *cholofnau*. Er enghraifft, dimensiwn y matrics isod yw 2 × 3, oherwydd mae dwy res a thair colofn:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&9&-13\\20&5&-6\end{bmatrix}}.}
Fe elwir yr eitemau unigol mewn matrics *m* × *n* matrics yn *elfennau* neu *gofnodion*. Ar gyfer matrics **A**, yn aml ddynodir yr elfen mewn rhes *i* a cholofn *j* gan *ai,j.*

Os oes ganddynt yr un maint (mae gan y matricsau yr un nifer o resi a'r un nifer o golofnau â'r llall), gellir adio neu dynnu dau fatrics fesul elfen. Y rheol ar gyfer lluosi matrics, fodd bynnag, yw y *gellir lluosi dau fatrics ond pan mae nifer y colofnau yn y cyntaf yn hafal i nifer y rhesi'r ail.* Hynny yw, mae eu dimensiynau mewnol yr un peth, ***n*** ar gyfer lluosi matrics (*m* × ***n***) gan fatrics (***n*** × *p*), sy'n cynhyrchu matrics (*m* × *p*). Ni ellir lluosi'r matricsau y ffordd arall o gwmpas, felly nid yw lluosi matricsau yn gymudol. Gellir lluosi unrhyw fatrics â sgalar fesul elfen. Fel arfer dynodir matricsau gan ddefnyddio priflythrennau Lladin fel {\displaystyle A}, {\displaystyle B} a {\displaystyle C}.

Sylfeini
--------

### Diffiniad

Mae *matrics* yn arae hirsgwar o rifau (neu wrthrychau mathemategol eraill) y diffinnir gweithrediadau fel adio a lluosi ar eu cyfer. Yn fwyaf cyffredin, mae matrics dros faes *F* yn arae hirsgwar o sgalarau, y mae pob un ohonynt yn aelod o *F.* Er enghraifft, mae hwn yn fatrics real:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}-1.3&0.6\\20.4&5.5\\9.7&-6.2\end{bmatrix}}.}
Gelwir y rhifau, symbolau, neu ymadroddion yn y matrics yn *gofnodion* neu'n *elfennau*. Gelwir llinellau llorweddol a fertigol y cofnodion mewn matrics yn *rhesi* a *cholofnau*, yn y drefn honno.

### Maint

Diffinnir maint matrics yn ôl nifer y rhesi a'r colofnau sydd ganddo. Gelwir matrics sydd ag *m* rhes *ac* *n* colofn yn fatrics *m*×*n*. Gelwir *m* ac *n* yn *ddimensiynau*'r matrics. Er enghraifft, mae'r matrics **A** uchod yn fatrics 3×2. Gelwir matricsau â rhes sengl yn *fectorau rhes*, a gelwir y rhai ag un golofn yn *fectorau colofn*. Gelwir matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau yn *fatrics sgwâr*. Gelwir matrics â nifer anfeidrol o resi neu golofnau (neu'r ddau) yn *fatrics anfeidrol*. Mewn rhai cyd-destunau mae'n ddefnyddiol ystyried matrics heb resi na cholofnau, hwn yw'r *matrics gwag*.

Trosolwg o faint matrics| Enw | Maint | Enghraifft | Disgrifiad |
| --- | --- | --- | --- |
| Fector rhes | 1×*n* | {\displaystyle {\begin{bmatrix}3&7&2\end{bmatrix}}} | Matrics gydag un rhes, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector. |
| Fector colofn | *n*×1 | {\displaystyle {\begin{bmatrix}4\\1\\8\end{bmatrix}}} | Matrics gydag un golofn, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli fector. |
| Matrics sgwâr | *n*×*n* | {\displaystyle {\begin{bmatrix}9&13&5\\1&11&7\\2&6&3\end{bmatrix}}} | Matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau, a ddefnyddir weithiau i gynrychioli trawsffurfiad llinol o ofod fector iddo'i hun, megis adlewyrchiad neu gylchdroi. |

### Nodiant

Yn aml ysgrifennir matricsau mewn cromfachau sgwâr neu gromfachau crwn:

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{pmatrix}}=\left(a\_{ij}\right)\in \mathbb {R} ^{m\times n}.}
Mae nodiant matrics yn amrywio'n fawr, ond mae rhai confensiynau cyffredinol. Fel arfer, defnyddir priflythrennau (fel **A** yn yr enghreifftiau uchod) i ddynodi matrics tra defnyddir y llythrennau bach cyfatebol gyda dau indecs isysgrif *(ee,* *a11* neu *a1,1*) i gynrychioli'r cofnodion. Yn ogystal â defnyddio priflythrennau i ddynodi matricsau, mae llawer o awduron yn defnyddio arddull argraffyddol arbennig, yn aml ffont trwm unionsyth (nid yn italig), i wahaniaethu ymhellach rhwng matricsau a gwrthrychau mathemategol eraill.

Weithiau cyfeirir at yr elfen yn y *i*-fed rhes a'r *j*-fed golofn o fatrics **A** fel yr *i,j,* *(i,* *j),* neu *(i,* *j)*fed cofnod y matrics. Dynodir yn gyffredin gan *ai,j*, neu aij. Rhai nodiannau amgen ar gyfer y cofnod hwnnw yw *A*[*i, j*] neu *Ai,j*. Er enghraifft, mae'r (1,3) mynediad y matrics canlynol **A** yw 5 (ddynodir hefyd yn *a13*, *a1,3*, *A[1,3]* neu *A1,3*.

{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}4&-7&\color {red}{5}&0\\-2&0&11&8\\19&1&-3&12\end{bmatrix}}}
Dynodir set yr holl matricsau *m* x *n* gan 𝕄(*m*, *n*).

Gweithrediadau sylfaenol
------------------------

Mae yna nifer o weithrediadau sylfaenol y gellir eu defnyddio i addasu matricsau, er enghraifft *adio matrics*, *lluosi sgalar*, *trawsddodiad*, a *lluosi matrics*.

### Ychwanegiad, lluosi sgalar, a thrawsosod

Gweithrediadau yn cael eu perfformio ar fatricsau| Gweithrediad | Diffiniad | Enghraifft |
| --- | --- | --- |
| Adio | Cyfrifir s*wm* **A** + **B** dau fatrics *m* x *n* **A** a **B** fesul elfen:

(**A** + **B**)*i*,*j* = **A***i*,*j* + **B***i*,*j*, lle 1 ≤ *i* ≤ *m* ac 1 ≤ *j* ≤ *n*. | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&3&1\\1&0&0\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1+0&3+0&1+5\\1+7&0+5&0+0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&3&6\\8&5&0\end{bmatrix}}} |
| Lluosi sgalar | Cyfrifir lluoswm *c***A** o rif *c* (a elwir hefyd yn sgalar ym myd algebra haniaethol) a matrics **A** trwy luosi pob cofnod mewn **A** ag *c*:

(c**A**)*i,j* = c · **A***i,j*.
Gelwir y gweithrediad hwn yn *lluosi sgalar*, ond nid yw ei ganlyniad yn cael ei enwi'n "gynnyrch graddfa" oherwydd defnyddir y term hwnnw ar gyfer rhywbeth arall. | {\displaystyle 2\cdot {\begin{bmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{bmatrix}}} |
| Trawsddodiad | *Trawsosod* matrics *m* x *n* **A** yw'r matrics *n* x *m* **A**T (weithiau wedi dynodi **A**tr neu t**A)** a ffurfiwyd gan droi i mewn i resi golofnau ac i'r gwrthwyneb:

(**A**T)*i, j* = **A***j, i*. | {\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2&3\\0&-6&7\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&0\\2&-6\\3&7\end{bmatrix}}} |

Mae priodweddau cyfarwydd rhifau yn ymestyn i'r gweithrediadau matricsau hyn: er enghraifft, mae adio yn gymudol, hynny yw, nid yw'r swm matrics yn dibynnu ar drefn y symiau: **A**+**B**=**B**+**A**. Mae'r trawsddodiad yn ymddwyn fel y disgwyl gydag adio a lluosi sgalar, e.e. (*c***A**)T = *c*(**A**T) ac (**A** + **B**)T = **A**T + **B**T, ac (**A**T)T = **A**.

### Lluosi matrics

Darlun o luosi matrics **AB** dau fatrics **A** a **B**.Gallwn ddiffinio *lluosi* dau fatrics os ac yn unig os yw nifer colofnau'r matrics chwith yr un peth â nifer y rhesi o'r matrics de. Os yw **A** yn fatrics *m* x *n* ac mae **B** yn fatrics *n* x *p*, yna eu *luoswm* **AB** yw'r matrics *m* x *p* y rhoddir ei gofnodion gan *lluoswm dot* y rhes gyfatebol o **A** a'r golofn gyfatebol **B**:

{\displaystyle [\mathbf {AB} ]\_{i,j}=a\_{i,1}b\_{1,j}+a\_{i,2}b\_{2,j}+\cdots +a\_{i,n}b\_{n,j}=\sum \_{r=1}^{n}a\_{i,r}b\_{r,j},}
lle 1 ≤ *i* ≤ *m* ac 1 ≤ *j* ≤ *p*. Er enghraifft, caiff y cofnod wedi'i danlinellu 2340 ei gyfrifo o (2 × 1000) + (3 × 100) + (4 × 10) = 2340:

{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}{\underline {2}}&{\underline {3}}&{\underline {4}}\\1&0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&{\underline {1000}}\\1&{\underline {100}}\\0&{\underline {10}}\\\end{bmatrix}}&={\begin{bmatrix}3&{\underline {2340}}\\0&1000\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}
Pryd bynnag mae'r lluosi hyn wedi'u diffinio, mae lluosi matrics yn bodloni'r rheolau (**AB**)**C** = **A**(**BC**), hynny yw cysylltiadedd; (**A** + **B**)**C** = **AC** + **BC** ac **C**(**A** + **B**) = **CA** + **CB**, hynny yw mae'n ddosbarthol o'r chwith ac o'r dde). Efallai bod **AB** wedi'i ddiffinio ond nid yw **BA**, oherwydd meintiau'r matricsau **A** a **B**. Hyd yn oed os yw'r ddau luoswm wedi'u diffinio, yn gyffredinol ni fyddant yn gyfartal, hynny yw: **AB** ≠ **BA**.

Mewn geiriau eraill, nid yw lluosi matrics yn gymudol , mewn cyferbyniad amlwg â rhifau cymarebol, real a chymhlyg, lle mae eu lluosymiau yn annibynnol ar drefn y ffactorau. Enghraifft o ddau fatrics nad ydynt yn cymudo â'i gilydd yw:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}3&4\\0&0\\\end{bmatrix}}.}
tra bod

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\3&4\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&1\\0&0\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&1\\0&3\\\end{bmatrix}},}

Matricsau sgwâr
---------------

Matrics sgwâr yw matrics gyda'r un nifer o resi a cholofnau. Gellir ychwanegu a lluosi unrhyw ddau fatrics sgwâr o'r un maint. Mae'r cofnodion *a**ii* yn ffurfio *prif groeslin* y matrics sgwâr. Maent yn gorwedd ar y llinell ddychmygol sy'n rhedeg o'r gornel chwith uchaf i gornel dde isaf y matrics.

### Prif fathau

| Enw | Enghraifft *n* = 3 |
| --- | --- |
| Matrics croeslin | {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&0&0\\0&a\_{22}&0\\0&0&a\_{33}\\\end{bmatrix}}} |
| Matrics trionglog isaf | {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&0&0\\a\_{21}&a\_{22}&0\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\\\end{bmatrix}}} |
| Matrics trionglog uchaf | {\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\0&a\_{22}&a\_{23}\\0&0&a\_{33}\\\end{bmatrix}}} |

#### Matrics croeslin a thrionglog

Os yw holl gofnodion **A** o dan y brif groeslin yn sero, gelwir **A** yn *fatrics trionglog uchaf*. Yn yr un modd, os yw pob cofnod **A** uwchben y brif groeslin yn sero, gelwir **A** yn *fatrics trionglog isaf*. Os yw'r holl gofnodion y tu allan i'r brif groeslin yn sero, gelwir **A** yn *fatrics croeslin*.

#### Matrics unfathol

Y *matrics unfathol* **I***n* o faint *n* yw matrics *n* x *n* lle mae'r holl elfennau ar y prif groeslin yn hafal i 1 a phob elfen arall yn gyfartal i 0, er enghraifft,

{\displaystyle \mathbf {I} \_{1}={\begin{bmatrix}1\end{bmatrix}},\ \mathbf {I} \_{2}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}},\ \cdots ,\ \mathbf {I} \_{n}={\begin{bmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{bmatrix}}}
Mae'n fatrics sgwâr o drefn *n*, a hefyd yn fath arbennig o fatrics croeslin. Fe'i gelwir yn fatrics unfathol oherwydd nad yw lluosi ag ef yn newid matrics:

**AI***n* = **I***m***A** = **A** ar gyfer unrhyw fatrics *m* x *n* **A**.
#### Matrics gwrthdroadwy a'i wrthdro

Gelwir matrics sgwâr **A** yn *gwrthdroadwy* neu'n *anhynod* os bodoler matrics **B** fel bod

**AB** = **BA** = **I***n*,
lle **I***n* yw'r matrics unfathol *n* × *n*. Os yw **B** yn bodoli, mae'n unigryw ac fe'i gelwir yn *fatrics gwrthdro* **A**, a'i dynodir gan **A**−1.

### Prif weithrediadau

#### Olin

Olin matrics sgwâr **A** yw swm ei gofnodion croeslin, a ddynodir gan tr(**A**). Er nad yw lluosi matrics yn gymudol fel y soniwyd uchod, mae olinau luoswm dau fatrics yn annibynnol o drefn y ffactorau: tr(**AB**) = tr(**BA**). Hefyd, mae olin matrics yn hafal i olin ei drawsddodiad, hynny yw, tr(**A**) = tr(**A**T).

#### Determinant

*Determinant* matrics sgwâr **A** (a ddynodir gan det(**A**) neu |**A**|) yw rhif sy'n disgrifio rhai priodweddau penodol y matrics. Mae matrics yn wrthdroadwy os ac yn unig os yw ei determinant yn di-sero. Rhoddir determinant matricsau 2 x 2 gan

{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}}=ad-bc.}

Mae fformiwla Leibniz yn cyffredinoli'r fformiwla hon i bob dimensiwn.

#### Gwerthoedd eigen a fectorau eigen

Gelwir rhif λ a fector di-sero **v** sy'n bodloni

**Av** = λ**v**
yn *werth eigen* a *fector* *eigen* o **A**, yn y drefn honno. Mae'r rhif λ yn werth eigen matrics *n* × *n* **A** os ac yn unig os nad yw **A** −λ**I***n* yn wrthdroadwy, sy'n cyfateb i

{\displaystyle \det({\mathsf {A}}-\lambda {\mathsf {I}})=0.}

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Anton, Howard. (1987). *Elementary linear algebra* (arg. 5th ed). New York: Wiley. ISBN 0-471-84819-0. OCLC 13580207.CS1 maint: extra text (link)
2. ↑  Beauregard, Raymond A. (1973). *A first course in linear algebra; with optional introduction to groups, rings, and fields*. Fraleigh, John B.. Boston,: Houghton Mifflin. ISBN 0-395-14017-X. OCLC 600254.CS1 maint: extra punctuation (link)
3. 1 2 3 4  "Comprehensive List of Algebra Symbols". *Math Vault* (yn Saesneg). 2020-03-25. Cyrchwyd 2020-08-19.
4. ↑  Lang, Serge, 1927-2005,. *Algebra* (arg. Revised Third Edition). New York. ISBN 0-387-95385-X. OCLC 48176673.CS1 maint: extra punctuation (link) CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
5. ↑  Fraleigh, John B. (1976). *A first course in abstract algebra* (arg. 2d ed). Reading, Mass.: Addison-Wesley Pub. Co. ISBN 0-201-01984-1. OCLC 2344185.CS1 maint: extra text (link)
6. ↑  Nering, Evar D. (1974). *Elementary linear algebra*. Philadelphia: W.B. Saunders Co. ISBN 0-7216-6755-4. OCLC 810127.
7. 1 2  Weisstein, Eric W. "Matrix". *mathworld.wolfram.com* (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-19.
8. 1 2 3 4 5 6  Brown, William C. (William Clough), 1943- (1991). *Matrices and vector spaces*. New York: M. Dekker. ISBN 0-8247-8419-7. OCLC 23014977.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
9. 1 2  "How to Multiply Matrices". *www.mathsisfun.com*. Cyrchwyd 2020-08-19.
10. ↑  "Matrix | mathematics". *Encyclopedia Britannica* (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-19.