Pi
Mae'r cysonyn mathemategol **π** (a sillefir hefyd fel **pi**) yn rhif real, anghymarebol sydd yn fras yn hafal i 3.141592654 (i 9 lle degol) ac a gafodd ei enwi gan William Jones, mathemategydd o Gymru. Hwn yw'r gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr yn ôl geometreg Ewclidaidd. Mae gan π nifer o ddefnyddiau mewn Mathemateg, Ffiseg a Pheirianneg. Enwau arall am π yw **Cysonyn Archimedes** a **Rhif Ludolph**. Dethlir Diwrnod Pi ar 14 Mawrth yn flynyddol.

Fe'i diffinnir mewn geometreg Ewclidaidd fel cymhareb (cylchedd) cylch â'i ddiamedr, ac mae ganddo hefyd amryw o ddiffiniadau tebyg. Mae'r rhif 3.14159 yn ymddangos mewn sawl fformiwla ym mhob maes o fathemateg a ffiseg.

Gan ei fod yn Rhif anghymarebol, ni ellir mynegi π fel ffracsiwn cyffredin, er bod ffracsiynau fel 22/7 yn gyffredin a ddefnyddir i'w amcangyfrif. Yn yr un modd, nid yw ei gynrychiolydd degol byth yn dod i ben a byth yn setlo i batrwm ailadroddus. Mae'n ymddangos bod ei ddigidau degol (neu fôn arall ) yn cael eu dosbarthu ar hap, ac fe'u rhagdybir i fodloni math penodol o hap ystadegol.

Mae'n hysbys bod π yn rhif trosgynnol: nid yw'n wraidd unrhyw polynomial â chyfernodau rhesymegol. Mae trosgynniaeth π yn awgrymu ei bod yn amhosib datrys yr her hynafol o sgwario'r cylch gyda chwmpawd a phren mesur!

Roedd gwareiddiadau hynafol fel yr Eifftiaid a'r Babiloniaid, yn gofyn am amcangyfrifon eithaf cywir o π ar gyfer cyfrifiannau ymarferol. Tua 250 CC, creodd y mathemategydd Groegaidd Archimedes algorithm i amcangyfrif π gyda chywirdeb mympwyol. Yn y 5g OC, amcangyfrifodd mathemategwyr Tsieineaidd π i saith digid, tra amcangyfrifodd mathemategwyr Indiaidd hyd at pum digid, y ddau yn defnyddio technegau geometreg. Darganfuwyd y fformiwla gyfrifiadol gyntaf ar gyfer π, yn seiliedig ar gyfresi anfeidrol, mileniwm yn ddiweddarach, pan ddarganfuwyd y gyfres Madhava-Leibniz gan ysgol seryddiaeth a mathemateg Kerala, a ddogfennwyd yn yr *Yuktibhāṣā*, ac a ysgrifennwyd tua 1530.

Ochr yn ochr gyda datblygiad calcwlws, datblygodd y gallu i gyfrifo cannoedd o ddigidau o π, digon ar gyfer yr holl gyfrifiannau gwyddonol ymarferol. Serch hynny, yn yr 20fed a'r 21g, mae mathemategwyr a chyfrifiadurwyr wedi ymestyn cynrychiolaeth degol π i sawl triliwn o ddigidau. Y prif gymhelliant dros y cyfrifiannau hyn yw fel achos prawf i ddatblygu algorithmau effeithlon i gyfrifo cyfresi rhifol, yn ogystal â'r ymgais i dorri record. Defnyddiwyd y cyfrifiadau helaeth dan sylw hefyd i brofi uwchgyfrifiaduron ac algorithmau lluosi manwl iawn.

Diwrnod Pi
----------

*Prif: Diwrnod Pi (mathemateg)*
Ers 1988 mae 14 Mawrth wedi cael ei ddynodi'n ddiwrnod rhyngwladol **π** a datblygodd i fod yn ddathliad byd-eang. Deilliodd y syniad o gael diwrnod pai o San Francisco, Unol Daleithiau'r America, lle defnyddir y fformat 'mis/dydd/blwyddyn' ar gyfer dyddiadau; o ddilyn y patrwm hwn, mae 14 Mawrth yn cyfateb i dri digid cynta'r rhif. Mae'r diwrnod hefyd yn gyfle i hyrwyddo mathemateg yn gyffredinol, yn enwedig pethau pob dydd fel gwiro arian cyfrifoedd banc.

I gydnabod y cysylltiad Cymreig dynodwyd 14 Mawrth yn Ddiwrnod Pai Cymru gan Lywodraeth Cymru yn 2015 i'w ddathlu yn flynyddol o hynny ymlaen.

Diffiniad
---------

Mewn geometreg Ewclidaidd, diffinnir π fel y gymhareb o gylchedd cylch i'w ddiamedr, neu fel cymhareb arwynebedd cylch i arwynebedd sgwâr ag ochrau sy'n hafal i radiws y cylch. Gellir diffinio'r cysonyn π mewn ffyrdd eraill hefyd.

Oherwydd bod ei ddiffiniad mwyaf elfennol yn ymwneud â'r cylch, mae π i'w gael mewn sawl fformiwla mewn trigonometreg a geometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, elipsau a sfferau. Mewn dadansoddiad mathemategol mwy modern, diffinnir y rhif yn lle hynny gan ddefnyddio priodweddau sbectrol y system rhifau real, fel *eigenvalue* neu gyfnod, heb unrhyw gyfeiriad at geometreg. Mae'n ymddangos felly mewn meysydd mathemateg a gwyddorau nad oes ganddynt lawer i'w wneud â geometreg cylchoedd, megis theori rhif ac ystadegau, yn ogystal ag ym mron pob maes ffiseg. Mae hollbresenoldeb π, felly, yn ei wneud yn un o'r cysonion mathemategol mwyaf adnabyddus - y tu mewn a'r tu allan i'r gymuned wyddonol. Cyhoeddwyd sawl llyfr sy'n ymwneud â π, ac mae cyfrifiadau torri record nifer digidau πyn aml yn arwain at benawdau'r newyddion, drwy'r byd, ond yn enwedig yng Nghymru, cartref π.

Mae cylchedd cylch ychydig yn fwy na thair gwaith ei ddiamedr. Gelwir yr union gymhareb hon yn π.
Diffinnir πyn aml fel y gymhareb rhwng cylchedd cylch *C* s ddiffinir yn aml fel "y gymhareb rhwng cylchedd cylch a'i ddiamedr *d*:

{\displaystyle \pi ={\frac {C}{d}}.}
Mae'r gymhareb *C*/*d* yn gysonyn, waeth beth yw maint y cylch. Er enghraifft, os oes gan gylch ddwywaith diamedr cylch arall, bydd ganddo ddwywaith y cylchedd hefyd, gan gadw'r un gymhareb *C*/*d*. Mae'r diffiniad hwn o π yn defnyddio geometreg fflat (Ewclidaidd), er y gellir ymestyn y syniad o gylch i unrhyw geometreg cromlin (di-Ewclidaidd), ond ni fydd y cylchoedd newydd hyn yn bodloni'r fformiwla π = *C*/*d* mwyach. 

Yma, cylchedd cylch yw hyd yr arc o amgylch perimedr y cylch, maint y gellir ei ddiffinio'n ffurfiol yn annibynnol ar geometreg gan ddefnyddio terfynau - cysyniad o fewn calcwlws. Er enghraifft, gall un gyfrifo hyd arc hanner uchaf cylch yr uned yn uniongyrchol, a roddir mewn cyfesurynnau Cartesaidd gan yr hafaliad *x*2 + *y*2 = 1, fel yr integryn:

{\displaystyle \pi =\int \_{-1}^{1}{\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}.}
Mabwysiadwyd integryn fel hyn yn y diffiniad o π gan Karl Weierstrass, a'i diffiniodd yn integryn ym 1841. Nis defnyddir y diffiniad hwn bellach.

π fel llythyren
---------------

Enw'r lythyren Roegaidd π yw *pi*. Defnyddir y sillafiad yma mewn cyd-destun cysodol pan nad oes modd defnyddio'r lythyren Roegaidd neu pan fydd y defnydd o'r symbol yn achosi dryswch.

Y symbol a ddefnyddir gan fathemategwyr i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch â'i ddiamedr yw'r llythyren Roegaidd , sy'n deillio o lythyren gyntaf y gair Groeg perimetros, sy'n golygu cylchedd. Yn ôl Uned Technolegau Iaith Prifysgol Bangor, yn y Gymraeg, yngenir y lythyren Roegaidd hon fel "pi" gan ddilyn yr ynganiad Roegaidd yn hytrach na'r ynganiad Saesneg "pai". Mewn defnydd mathemategol, mae'r llythyren fach yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei phrif lythyren Π, gan fod honno'n dynodi cynnyrch o ddilyniant mewn mathemateg, sy'n cyfateb i sut mae Σ yn dynodi crynhoad.

Gwerth Rhifiadol
----------------

50-lle degol
Gwerth π wedi ei flaendorri i 50 lle degol yw:

* 3.14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

Mae cyfrifiaduron pwerus wedi cyfrifo gwerth rhifiadol π i driliwn o lefydd degol ond nid oes unrhyw batrwm syml o ddigidau wedi ei ddarganfod. Er bod modd cyfrifo π i filiynau o lefydd degol gan ddefnyddio cyfrifiaduron, dylid nodi fod gwerth wedi'i flaendorri i 39 lle degol yn ddigon cywir i gyfrifo cylchedd y bydysawd ac o fewn maint atom hydrogen o'r gwerth cywir. Pur anaml mae angen defnyddio mwy na 4 lle degol mewn gwaith gwyddonol neu ymarferol.

9-lle degol
Dyma werth π wedi ei flaendorri i i'r 9-lle degol cyntaf: 3.141592653. Yn Gymraeg gellir creu cofair (nemonig) drwy roi llythrennau i gynrychioli pob digid: 0 Di; 1 Un; 2 Da; 3 Tr; 4 Pe; 5 Pu; 6 Ch; 7 Sa; 8 Wy; 9 Na; 10 De. Dyma'r cofair:

"Triodd unawd pêr unwaith: pur ei naws a da! Chwydodd Puw trosto!".
(Tr-iodd Un-awd Pê-r Un-nwaith, Pu-r ei Na-ws a Da! Ch-wydodd Pu-w Tr-osto! sef 3-iodd 1-awd 4-r 1-nwaith, 5-r ei 9-ws a 2! 6-wydodd 5-w 3-osto!)

Priodweddau
-----------

Mae π yn rhif anghymarebol (a hefyd yn rhif trosgynnol), ac felly mae gwerth union π yn ehangiad degol anfeidraidd, h. y. nid yw ehangiad degol π yn gorffen neu ailadrodd. Yn rhif anghymarebol, ni all π fod yn ffracsiwn, er bod 22/7 yn cael ei ddefnyddio’n gyffredinol i’w frasamcanu.

Profwyd ei fod yn anghymarebol ym 1761 gan Johann Heinrich Lambert, a'i fod yn drosgynnol gan Ferdinand von Lindemann ym 1882. Dengys y ffaith fod π yn anghymarebol fod sgwario'r cylch yn amhosib.

Cyfrifo π
---------

Gellir mesur **π** yn empeiraidd trwy lunio cylch mawr, mesur ei ddiamedr a'i gylchedd, a chyfrifo'r gymhareb. Yn ogystal, gellir cyfrifo **π** gan ddefnyddio dulliau mathemategol yn unig.

Dyma fformwla Leibniz:

\pi ={\frac {4}{1}}-{\frac {4}{3}}+{\frac {4}{5}}-{\frac {4}{7}}+{\frac {4}{9}}-{\frac {4}{11}}\cdots 
Er bod y gyfres uchod yn un hawdd i'w hysgrifennu a'i chyfrifo, ond nid yw'n amlwg pam ei bod yn cydgyfeirio i π. Yn wir, mae'r cydgyfeirio mor araf fod 300 term yn annigonol i gyfrifo gwerth **π** i 2 le degol!

Ceir dull mwy greddfol trwy ddychmygu cylch â radiws **r** a'i ganol ar y tarddiad. Yna, fe fydd unrhyw bwynt (x,y) sydd â phellter **d** o'r tarddiad, a **d** yn llai nag **r**, o fewn y cylch. Gan ddefnyddio theorem Pythagoras:

{\displaystyle d={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}
Wedi canfod casgliad o bwyntiau o fewn y cylch, gellir amcangyfrifo **A**, arwynebedd y cylch. Gan mai π wedi lluosi â'r radiws sgwâr yw arwynebedd y cylch, gellir amcangyfrifo:

{\displaystyle \pi ={\frac {A}{r^{2}}}}
### Trosgynoldeb

A diagram of a square and circle, both with identical area; the length of the side of the square is the square root of pi Oherwydd bod π yn rhif trosgynnol, nid yw sgwario'r cylch yn bosibl mewn nifer gyfyngedig o gamau gan ddefnyddio offer clasurol cwmpawd a phren mesur.
Yn ogystal â bod yn afresymol, mae π hefyd yn rhif trosgynnol, sy'n golygu nad yw'n ateb unrhyw hafaliad polynomaidd nad yw'n gyson â chyfernodau cymarebol, fel *x*5/120 − *x*3/6 + *x* = 0 

Mae gan drosgyniad π ddau ganlyniad pwysig: yn gyntaf, ni ellir mynegi π gan ddefnyddio unrhyw gyfuniad meidrol o rifau rhesymegol ac ail isradd neu *n-fed isradd* (megis 3√31 neu √10). Yn ail, gan na ellir llunio rhif trosgynnol gyda chwmpawd a phren mesur, nid yw'n bosibl "sgwario'r cylch". Mewn geiriau eraill, mae'n amhosibl llunio, gan ddefnyddio cwmpawd a phren mesur yn unig, sgwâr y mae ei arwynebedd yn union yr un fath ag arwynebedd cylch penodol. Roedd sgwario cylch yn un o broblemau geometreg pwysig yr oes glasurol. Mae mathemategwyr amatur yn y cyfnod modern weithiau wedi ceisio sgwario'r cylch a hawlio llwyddiant - er gwaethaf y ffaith ei fod yn fathemategol amhosibl!

A photograph of the Greek letter pi, created as a large stone mosaic embedded in the ground. Cynrychiolir y cyson π yn y brithwaith hwn y tu allan i Adeilad Adran Fathemateg, Prifysgol Dechnegol Berlin .
Fel pob rhif anghymarebol, ni ellir cynrychioli π fel ffracsiwn cyffredin (a elwir hefyd yn ffracsiwn syml), gan yr union ddiffiniad o rif anghymarebol (h.y. nid rhif cymarebol). Ond gellir cynrychioli pob rhif anghymarebol, gan gynnwys π, gan gyfres anfeidrol o ffracsiynau nythol, a elwir yn ffracsiwn parhaus:

{\displaystyle \pi =3+\textstyle {\cfrac {1}{7+\textstyle {\cfrac {1}{15+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{292+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\textstyle {\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}
Mae blaendorri'r ffracsiwn parhaus ar unrhyw bwynt yn cynhyrchu brasamcan rhesymegol ar gyfer π; y pedwar cyntaf o'r rhain yw 3, 22/7, 333/106, a 355/113. Mae'r niferoedd hyn ymhlith y brasamcanion hanesyddol mwyaf adnabyddus o'r cysonyn. Y brasamcan a gynhyrchir fel hyn yw'r brasamcan cymarebol gorau; hynny yw, mae pob un yn agosach at π nag unrhyw ffracsiwn arall gyda'r un enwadur neu lai. Gan y gwyddom fod π yn drosgynnol, nid yw'n algebraidd (trwy ddiffiniad) ac felly ni all fod yn anghymarebol-gwadratig. Felly, ni all π gael ffracsiwn parhaus cyfnodol. Mae mathemategwyr wedi darganfod sawl ffracsiynau parhaus cyffredinol sy'n amlygu patrymau amlwg, e.e.

{\displaystyle {\begin{aligned}\pi &=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{2+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{2+\ddots }}}}}}}}}}}}=3+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {5^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {7^{2}}{6+\textstyle {\cfrac {9^{2}}{6+\ddots }}}}}}}}}}\\[8pt]&=\textstyle {\cfrac {4}{1+\textstyle {\cfrac {1^{2}}{3+\textstyle {\cfrac {2^{2}}{5+\textstyle {\cfrac {3^{2}}{7+\textstyle {\cfrac {4^{2}}{9+\ddots }}}}}}}}}}\end{aligned}}}

Hanes
-----

### Y gwreiddiau

Roedd y brasamcanion mwyaf adnabyddus o π yn dyddio i fileniwm cynat CC, ac yn gywir i ddau le degol; aeth y mathemategwyt Tsieineaidd ati i wella ar hyn, yn benodol erbyn canol y mileniwm cyntaf, i gywirdeb o saith lle degol. Ar ôl hyn, ni wnaed unrhyw gynnydd pellach tan ddiwedd y cyfnod canoloesol (tua mil o flynyddoedd we3dyn).

Mae'r brasamcanion ysgrifenedig cynharaf o π i'w cael ym Mabilon a'r Aifft, o fewn un y cant o'r gwir werth. Ym Mabilon, ceir tabled clai dyddiedig 1900–1600 CC sy'n ymddangos ei fod yn trin π fel 25/8 = 3.125. Yn yr Aifft, mae gan Papyrus Rhind, a ddyddiwyd i tua 1650 CC (ac a gopïwyd o ddogfen dyddiedig i 1850 CC) fformiwla ar gyfer arwynebedd cylch sy'n trin π fel (16/9)2 ≈ 3.16.

Mae cyfrifiadau seryddol yn y *Shatapatha Brahmana* (tua 4g CC) yn defnyddio brasamcan ffracsiynol o 339/108  ≈ 3.139 (cywirdeb o 9×10−4). Ceir f CC sy'n trin πfel √10 ≈ 3.1622.

### Cyfnod brasamcanu'r polygon

Amcangyfrifo π trwy gyfrifo cylchred polygonau
Roedd yr algorithm cyntaf a gofnodwyd ar gyfer cyfrifo gwerth π yn drwyadl yn ddull geometregol gan ddefnyddio polygonau, ac a ddyfeisiwyd oddeutu 250 CC gan y mathemategydd Groegaidd Archimedes. Roedd yr algorithm polygonal hwn yn frenin ar y pwnc am dros 1,000 o flynyddoedd, ac o ganlyniad gelwir π weithiau fel "cysonyn Archimedes". Cyfrifodd Archimedes ffiniau uchaf ac isaf π trwy dynnu hecsagon rheolaidd y tu mewn a'r tu allan i gylch, a dyblu nifer yr ochrau yn olynol nes iddo gyrraedd polygon rheolaidd 96 ochr. Trwy gyfrifo perimedrau'r polygonau hyn, profodd fod 223/71 < π < 22/7 (hy 3.1408 < π < 3.1429. Man uchaf Archimedes oedd 22/7 a gall fod hyn wedi wedi arwain mathemategwyr eraill at gred boblogaidd gyffredinol bod π yn hafal i 22/7.

Tua 150 OC, noddodd y gwyddonydd Groegaidd-Rufeinig Ptolemi, yn ei *Almagest*, werth π fel 3.1416, y gallai fod wedi'i gael gan Archimedes neu gan Apollonius o Perga. Cyrhaeddodd y mathemategwyr a oedd yn defnyddio algorithmau polygonaidd 39 digid o π ym 1630, record a dorrwyd yn 1699 pan ddefnyddiwyd cyfresi anfeidrol i gyrraedd 71 digid.

A painting of a man studying Datblygodd Archimedes y dull polygonaidd o frasamcanu π.
Yn y 3g CC, yn y Tsieina hynafol, cyfrifwyd π yn 142/45, sef 3.1556. Tua 265 OC, creodd y mathemategydd Wei Kingdom Liu Hui algorithm ailadroddol wedi'i seilio ar bolygonau a'i ddefnyddio gyda pholygon 3,072 ochr i gael gwerth π yn 3.1416. Yn ddiweddarach dyfeisiodd Liu ddull cyflymach o gyfrifo π a chael gwerth o 3.14 gyda pholygon 96 ochr, trwy fanteisio ar y ffaith bod y gwahaniaethau ym maes polygonau olynol yn ffurfio cyfres geometrig â ffactor o 4.

Tua 480 OC cyfrifodd y mathemategydd Tsieineaidd Zu Chongzhi, fod 3.1415926 < π < 3.1415927 ac awgrymodd y brasamcanion π ≈ 355/113 a π ≈ 22/7 = 3.142857142857... a alwodd yn *Milü* ('cymhareb agos") ac *Yuelü* ("cymhareb fras"), yn y drefn honno, gan ddefnyddio algorithm Liu Hui i gymhwyso i polygon 12,288 o ochrau. Mewn cymhariaeth, nid oedd yr iaith Saesneg eto'n bodoli yn y cyfnod hwn. Gyda gwerth cywir ar gyfer ei saith digid degol cyntaf, roedd y gwerth hwn yn parhau i fod y brasamcan mwyaf cywir o π am yr 800 mlynedd nesaf.

Defnyddiodd y seryddwr Indiaidd Aryabhata werth o 3.1416 yn ei *Āryabhaṭīya* (499 OC).

Cyfrifodd Ffibonacci yn 1220 y gwerth o 3.1418 gan ddefnyddio dull polygonal, yn annibynnol ar Archimedes. Mae'n debyg bod yr awdur Eidalaidd Dante wedi defnyddio'r gwerth 3+√2/10 ≈ 3.14142.

### Mabwysiadu'r symbol π

 Y defnydd cynharaf o'r llythyren Roegaidd **π** i gynrychioli cymhareb cylchedd cylch i'w diamedr oedd gan y mathemategydd o Gymru William Jones, a hynny ym 1706
Yn y defnydd cynharaf, roedd y llythyren Roegaidd π yn dalfyriad o'r gair Groeg am gyrion (περιφέρεια, sef y wal o amgylch y cae), ac fe'i cyfunwyd mewn cymarebau â δ (delta, ar gyfer diamedr) neu ρ (ar gyfer radiws) i ffurfio cysonion cylch. Cyn hynny, roedd mathemategwyr weithiau'n defnyddio llythrennau fel *c* neu *p*. ) Y defnydd cyntaf a gofnodwyd i fynegi'r gymhareb cyrion a diamedr oedd yn rhifynnau 1647 a diweddarach o *Clavis Mathematicae* pan ddefnyddiodd yw William Oughtred "{\displaystyle \delta .\pi } ". Yn yr un modd, defnyddiodd Isaac Barrow "{\textstyle {\frac {\pi }{\delta }}} "i gynrychioli'r cyson 3.14 ... tra defnyddiai David Gregory "{\textstyle {\frac {\pi }{\rho }}} "i gynrychioli 6.28. ..

Ond gan Gymro o blwyf Llanfihangel Tre'r Beirdd, ar Ynys Môn y cafwyd y defnydd cyntaf o'r llythyren Roegaidd π <u>yn unig</u> i gynrychioli'r gymhareb cylchedd cylch i'w ddiamedr, sef William Jones yn ei waith yn 1706 *Synopsis Palmariorum Matheseos; neu Gyflwyniad Newydd i Fathemateg*.  Mae'r llythyren Roegaidd yn ymddangos gyntaf yn yr ymadrodd "1/2 cylchred (π)" wrth iddo drafod cylch â radiws o un. Mabwysiadwyd nodiant Jones o dipyn i beth gan fathemategwyr eraill, gyda'r nodiant ffracsiwn yn dal i gael ei ddefnyddio mor hwyr â 1767 gan rai.

Dechreuodd Euler ddefnyddio'r un llythyren Roegaidd hon, gan ddilyn yn sodlau William Jones yn ei *Draethawd yn Esbonio Priodweddau Aer, 1727* , er iddo ddefnyddio π = 6.28... cymhareb y gylchred i'r radiws, yn yr ysgrifen hon a rhywfaint yn ddiweddarach. Defnyddiodd Euler gyntaf π = 3.14... yn ei waith *Mechanica yn* 1736, a pharhaodd yn ei waith *Introductio in analysin infinitorum* pan ysgrifennodd: "er mwyn crynodeb, byddwn yn ysgrifennu'r rhif hwn fel π ; felly mae π yn hafal i hanner cylchedd cylch radiws 1"). Ymledodd y defnydd o'r llythyren Roegaidd yn gyflym, a mabwysiadwyd yr arfer yn gyffredinol wedi hynny yn y byd Gorllewinol, er bod y diffiniad yn dal i amrywio rhwng 3.14 ... a 6.28 ... hyd at 1761.

Yr ymchwil fodern am fwy o ddigidau
-----------------------------------

### Cyfnod cyfrifiadur ac algorithmau ailadroddol

Formal photo of a balding man wearing a suit Roedd John von Neumann yn rhan o'r tîm a ddefnyddiodd gyfrifiadur digidol yn gyntaf, ENIAC, i gyfrifo π.
Ffrwydrodd datblygiad cyfrifiaduron yng nghanol yr 20g a chafwyd sawl helfa am ddigidau pellach o π. Cyrhaeddodd y mathemategwyr John Wrench a Levi Smith 1,120 digid ym 1949 gan ddefnyddio cyfrifiannell desg. Gan ddefnyddio cyfres anfeidrol tangiad gwrthdro (arctan), cyflawnodd tîm dan arweiniad George Reitwiesner a John von Neumann yr un flwyddyn 2,037 o ddigidau gyda chyfrifiad a gymerodd 70 awr o amser cyfrifiadur, ar gyfrifiadur ENIAC. A thorwyd y record, a oedd bob amser yn defnyddio cyfres arctan, dro ar ôl tro: 7,480 digid ym 1957; 10,000 digid ym 1958; 100,000 o ddigidau ym 1961.. nes cyrraedd 1 miliwn o ddigidau ym 1973.

Cyflymodd dau ddatblygiad ychwanegol tua 1980 unwaith eto'r gallu i gyfrifo π. Yn gyntaf, darganfod algorithmau ailadroddol newydd ar gyfer cyfrifo π, a oedd yn llawer cyflymach na'r gyfres anfeidrol; ac yn ail, dyfeisio algorithmau lluosi cyflym a allai luosi niferoedd enfawr yn gyflym iawn. Roedd algorithmau o'r fath yn arbennig o bwysig gan fod y cyfrifiadur yn cael ei neilltuo i luosi, y rhan fwyaf o'r amser. Maent yn cynnwys algorithm Karatsuba, lluosi Toom-Cook, a dulliau trawsnewid Fourier.

Cyhoeddwyd yr algorithmau ailadroddol yn annibynnol ym 1975-1976 gan y ffisegydd Eugene Salamin a'r gwyddonydd Richard Brent. Mae'r rhain yn osgoi dibynnu ar gyfresi anfeidrol gan eu bod yn ailadrodd cyfrifiad penodol, pob iteriad gan ddefnyddio'r allbynnau o gamau blaenorol fel mewnbynnau, ac yn cynhyrchu canlyniad ym mhob cam sy'n cydgyfeirio i'r gwerth a ddymunir. Dyfeisiwyd y dull mewn gwirionedd dros 160 mlynedd ynghynt gan Carl Friedrich Gauss, yn yr hyn a elwir bellach yn ddull cymedrig rhifyddol-geometrig (*arithmetic–geometric mean method* neu'r dull CCB) neu weithiau algorithm Gauss-Legendre. Cafodd ei haddasu gan Salamin a Brent, ac felly cyfeirir ato hefyd fel algorithm Brent-Salamin.

Defnyddiwyd yr algorithmau ailadroddol yn helaeth ar ôl 1980 oherwydd eu bod yn gyflymach nag algorithmau cyfres anfeidrol: tra bo cyfresi anfeidrol fel rheol yn cynyddu nifer y digidau cywir yn ychwanegol mewn termau olynol, mae algorithmau ailadroddol yn *lluosi* nifer y digidau cywir ar bob cam yn gyffredinol. Er enghraifft, mae'r algorithm Brent-Salamin yn dyblu nifer y digidau ym mhob iteriad. Ym 1984, cynhyrchodd y brodyr John a Peter Borwein algorithm ailadroddol sy'n cynyddu bedair gwaith nifer y digidau ym mhob cam; ac ym 1987, un sy'n cynyddu nifer y digidau bum gwaith ym mhob cam. Defnyddiwyd dulliau ailadroddol hefyd gan y mathemategydd Siapaneaidd Yasumasa Kanada i osod sawl record ar gyfrifo π rhwng 1995 a 2002. Daw'r cydgyfeiriant cyflym hwn am bris: mae'r algorithmau ailadroddol yn gofyn am lawer mwy o gof cyfrifiadurol na chyfresi anfeidrol.

Rôl a nodweddion mewn mathemateg
--------------------------------

Oherwydd bod gan π gysylltiad agos â'r cylch, mae i'w gael mewn sawl fformiwla o feysydd geometreg a thrigonometreg, yn enwedig y rhai sy'n ymwneud â chylchoedd, sfferau neu elipsau. Mae canghennau eraill gwyddoniaeth, megis ystadegau, ffiseg, dadansoddiad Fourier, a theori rhif, hefyd yn cynnwys π yn rhai o'u fformiwlâu pwysig.

### Geometreg a thrigonometreg

A diagram of a circle with a square coving the circle's upper right quadrant. Mae arwynebedd y cylch yn hafal i π wedi'i luosi gyda'r arwynebedd llwyd.

Arwynebedd cylch yr uned yw π .
Gweler isod rhai o'r fformiwlâu mwyaf cyffredin sy'n ymwenud a π.

* Cylchedd cylch â radiws r yw 2π*r*.
* Arwynebedd y cylch â radiws *r* yw π*r*2.
* Cyfaint sffêr â radiws *r* yw 4/3π*r*3
* Arwynebedd sffêr â radiws *r* yw 4π*r*2.

Mae'r fformiwlâu uchod yn achosion arbennig o gyfaint y bêl <i id="mwBWQ">n</i>-dimensiwn ac arwynebedd ei ffin, y sffêr dimensiwn (<i id="mwBWY">n</i> −1), a roddir isod.

 Mesur lled triongl Reuleaux fel y pellter rhwng llinellau ategol cyfochrog. Oherwydd nad yw'r pellter hwn yn dibynnu ar gyfeiriad y llinellau, mae'r triongl Reuleaux yn gromlin o led cyson.
Ar wahân i gylchoedd, ceir hefyd cromliniau eraill o led cyson. Yn ôl theorem Barbier, mae gan bob cromlin o led cyson berimedr π wedi'i luosi gyda'i led. Mae gan y triongl Reuleaux (a ffurfiwyd trwy groesffordd tri chylch, pob un wedi'i ganoli lle mae'r ddau gylch arall yn croesi ) yr ardal leiaf bosibl ar gyfer ei lled a gan y cylch mae'r mwyaf.

Yn nodweddiadol mae gan integrynnau pendant sy'n disgrifio cylchedd, arwynebedd neu gyfaint siapiau a gynhyrchir gan gylchoedd werthoedd sy'n cynnwys π. Er enghraifft, rhoddir integryn sy'n nodi hanner arwynebedd cylch radiws un gan:

{\displaystyle \int \_{-1}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\,dx={\frac {\pi }{2}}.}
Yn yr integryn yma mae'r ffwythiant √1 − *x*2 yn cynrychioli hanner uchaf cylch (mae'r ail isradd yn ganlyniad i'r theorem Pythagoras), a'r integryn Nodyn:Intmath yn cyfrifo'r arwynebedd rhwng yr hanner cylch hwnnw a'r echelin x.

Diagram showing graphs of functions Ffwythiannau Sine a cosine yn ailadrodd gyda chyfnod 2π.
Mae'r ffwythiannau trigonometrig yn dibynnu ar onglau, ac yn gyffredinol mae mathemategwyr yn defnyddio radianau fel unedau mesur. Mae π yn chwarae rhan bwysig mewn onglau, a fesurir mewn radianau, a ddiffinnir fel bod cylch cyflawn yn rhychwantu ongl o 2π radian. Mae'r ongl o 180° yn hafal i π radian, ac 1 ° = π/180 radian.

Cyfeiriadau
-----------

1. 1 2 3 4  Weisstein, Eric W. "Pi". *mathworld.wolfram.com* (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-10.
2. ↑  Bogart, Steven. "What Is Pi, and How Did It Originate?". *Scientific American* (yn Saesneg). Cyrchwyd 2020-08-10.
3. ↑  Andrews, Askey & Roy 1999, t. 59.
4. ↑  Gupta 1992.
5. ↑  "πe trillion digits of π". *pi2e.ch*. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 6 December 2016.
6. ↑  Haruka Iwao, Emma (14 Mawrth 2019). "Pi in the sky: Calculating a record-breaking 31.4 trillion digits of Archimedes' constant on Google Cloud". *Google Cloud Platform*. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 19 Hydref 2019. Cyrchwyd 12 April 2019.
7. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18  Arndt & Haenel 2006.
8. ↑  Bailey et al. 1997.
9. ↑  *Y Cymro* arlein; adalwyd 7 Mawrth 2017.
10. ↑  Arndt & Haenel 2006, t. 8.
11. ↑  Apostol, Tom (1967). *Calculus, volume 1* (arg. 2nd). Wiley.. p. 102: "From a logical point of view, this is unsatisfactory at the present stage because we have not yet discussed the concept of arc length." Arc length is introduced on p. 529.
12. ↑  Remmert 2012.
13. ↑  "pi". Dictionary.reference.com. 2 Mawrth 1993. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 28 Gorffennaf 2014. Cyrchwyd 18 Mehefin 2012.
14. ↑  Mayer, Steve. "The Transcendence of π". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 29 Medi 2000. Cyrchwyd 4 Tachwedd 2007.
15. ↑  Posamentier & Lehmann 2004
16. ↑  Eymard & Lafon 1999
17. ↑  Beckmann 1989  
  
Schlager, Neil; Lauer, Josh (2001). *Science and Its Times: Understanding the Social Significance of Scientific Discovery*. Gale Group. ISBN 978-0-7876-3933-4. Cyrchwyd 19 December 2019. p. 185.
18. ↑  Eymard & Lafon 1999
19. ↑  Lange, L.J. (May 1999). "An Elegant Continued Fraction for π". *The American Mathematical Monthly* **106** (5): 456–458. doi:10.2307/2589152. JSTOR 2589152. .
20. 1 2  Rossi 2004.
21. ↑  Legon, J.A.R. *On Pyramid Dimensions and Proportions* (1991) Discussions in Egyptology (20) 25–34 "Egyptian Pyramid Proportions". Archifwyd o'r gwreiddiol ar 18 Gorffennaf 2011. Cyrchwyd 7 Mehefin 2011.
22. ↑  Arndt & Haenel 2006, t. 167.
23. ↑  "The Computation of Pi by Archimedes: The Computation of Pi by Archimedes – File Exchange – MATLAB Central". Mathworks.com. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 25 Chwefror 2013. Cyrchwyd 12 Mawrth 2013.
24. ↑  Boyer & Merzbach 1991.
25. ↑  Arndt & Haenel 2006. Grienberger achieved 39 digits in 1630; Sharp 71 digits in 1699.
26. ↑  Arndt & Haenel 2006, tt. 176–177.
27. 1 2  Boyer & Merzbach 1991
28. ↑  Arndt & Haenel 2006, t. 179.
29. 1 2  Arndt & Haenel 2006, t. 180.
30. 1 2  Jones, William (1706). *Synopsis Palmariorum Matheseos : or, a New Introduction to the Mathematics* (yn Saesneg). tt. 243, 263. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
31. ↑  Oughtred, William (1652). *Theorematum in libris Archimedis de sphaera et cylindro declarario* (yn Lladin). Excudebat L. Lichfield, Veneunt apud T. Robinson. δ.π :: semidiameter. semiperipheria
32. 1 2  Cajori, Florian (2007). *A History of Mathematical Notations: Vol. II* (yn Saesneg). Cosimo, Inc. tt. 8–13. ISBN 978-1-60206-714-1. the ratio of the length of a circle to its diameter was represented in the fractional form by the use of two letters ... J.A. Segner ... in 1767, he represented 3.14159... by δ:π, as did Oughtred more than a century earlier
33. 1 2  Smith, David E. (1958). *History of Mathematics* (yn Saesneg). Courier Corporation. t. 312. ISBN 978-0-486-20430-7.
34. ↑  Archibald, R.C. (1921). "Historical Notes on the Relation {\displaystyle e^{-(\pi /2)}=i^{i}}". *The American Mathematical Monthly* **28** (3): 116–121. doi:10.2307/2972388. JSTOR 2972388. "It is noticeable that these letters are *never* used separately, that is, π is *not* used for 'Semiperipheria'"
35. ↑  See, for example, Oughtred, William (1648). *Clavis Mathematicæ* [*The key to mathematics*] (yn Lladin). London: Thomas Harper. t. 69. (English translation: Oughtred, William (1694). *Key of the Mathematics* (yn Saesneg). J. Salusbury.)
36. ↑  Barrow, Isaac (1860). "Lecture XXIV". In Whewell, William (gol.). *The mathematical works of Isaac Barrow* (yn Lladin). Harvard University. Cambridge University press. tt. 381.
37. ↑  Gregorii, Davidis (1695). "Davidis Gregorii M.D. Astronomiae Professoris Sauiliani & S.R.S. Catenaria, Ad Reverendum Virum D. Henricum Aldrich S.T.T. Decanum Aedis Christi Oxoniae" (yn la). *Philosophical Transactions* **19**: 637–652. Bibcode 1695RSPT...19..637G. doi:10.1098/rstl.1695.0114. JSTOR 102382.
38. ↑  Segner, Joannes Andreas (1756). *Cursus Mathematicus* (yn Lladin). Halae Magdeburgicae. t. 282. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
39. ↑  Euler, Leonhard (1747). Henry, Charles (gol.). *Lettres inédites d'Euler à d'Alembert* (yn Ffrangeg). **19** (cyhoeddwyd 1886). t. 139. E858. Car, soit π la circonference d'un cercle, dout le rayon est = 1 English translation in Cajori, Florian (1913). "History of the Exponential and Logarithmic Concepts". *The American Mathematical Monthly* **20** (3): 75–84. doi:10.2307/2973441. JSTOR 2973441. "Letting π be the circumference (!) of a circle of unit radius"
40. ↑  Euler, Leonhard (1707–1783) (1922). *Leonhardi Euleri opera omnia. 1, Opera mathematica. Volumen VIII, Leonhardi Euleri introductio in analysin infinitorum. Tomus primus / ediderunt Adolf Krazer et Ferdinand Rudio* (yn Lladin). Lipsae: B.G. Teubneri. tt. 133–134. E101. Cyrchwyd 15 Hydref 2017.
41. ↑  Segner, Johann Andreas von (1761). *Cursus Mathematicus: Elementorum Analyseos Infinitorum Elementorum Analyseos Infinitorvm* (yn Lladin). Renger. t. 374. Si autem π notet peripheriam circuli, cuius diameter eſt 2
42. ↑  Arndt & Haenel 2006, t. 205.
43. 1 2  Arndt & Haenel 2006, t. 197.
44. ↑  Reitwiesner 1950.
45. ↑  Arndt & Haenel 2006, tt. 15–17.
46. ↑  Arndt & Haenel 2006, tt. 132, 140.
47. ↑  Arndt & Haenel 2006, tt. 111 (5 times); pp. 113–114 (4 times).
48. 1 2  Bailey, David H. (16 Mai 2003). "Some Background on Kanada's Recent Pi Calculation" (PDF). Archifwyd o'r gwreiddiol (PDF) ar 15 April 2012. Cyrchwyd 12 April 2012.
49. ↑  Bronshteĭn & Semendiaev 1971, tt. 200, 209
50. ↑  Lay, Steven R. (2007), *Convex Sets and Their Applications*, Dover, Theorem 11.11, pp. 81–82, ISBN 9780486458038, .
51. ↑  Gardner, Martin (1991). "Chapter 18: Curves of Constant Width". *The Unexpected Hanging and Other Mathematical Diversions*. University of Chicago Press. tt. 212–221. ISBN 0-226-28256-2.
52. ↑  Rabinowitz, Stanley (1997). "A polynomial curve of constant width". *Missouri Journal of Mathematical Sciences* **9** (1): 23–27. doi:10.35834/1997/0901023. MR 1455287. .
53. ↑  Weisstein, Eric W. "Semicircle". *MathWorld*.
54. 1 2  Ayers 1964, t. 60

1. ↑  In other geometries, the ratio Mai depend on the radius or even not be well defined.
2. ↑  The precise integral that Weierstrass used was {\displaystyle \pi =\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {dx}{1+x^{2}}}.} Remmert 2012, t. 148
3. ↑  The polynomial shown is the first few terms of the Taylor series expansion of the sine function.