Mynegiad, broses neu reol fathemategol sydd yn diffinio perthynas rhwng dau newidyn – y newidyn annibynnol a'r newidyn dibynnol – yw **ffwythiant** (ll. ffwythiannau). Mae ffwythiant yn broses ac yn creu pertynas rhwng pob elfen x o set X, sef 'parth' y ffwythiant, gydag un elfen y o ail set Y, sef *cytbarth* y ffwythiant. Fel arfer os gelwir y ffwythiant yn f, yna ysgrifennir ffwythiant fel ***y* = *f* (*x*)**, yma:

x yw'r newidyn annibynnol, yr ymresymiad neu 'fewnbwn' y ffwythiant.
y yw gwerth y ffwythiant, neu 'allbwn' y ffwythiant; weithiau dywedir mai y yw "delwedd" x wrth f.
f yw'r ffwythiant
Y symbol a ddefnyddir i gynrychioli'r mewnbwn yw newidyn y ffwythiant; yn aml, dywedir fod f yn ffwythiant o'r newidyn x).

Mae **ffwythiant** o set X i set Y yn aseiniad o elfen o Y i bob elfen o X. Gelwir y set X yn barth y swyddogaeth a gelwir y set Y yn 'gyd-barth y ffwythiant'.

Mae ystyr y gair wedi newid cryn dipyn ers ei ddefnydd gwreiddiol, pan gynrychiolai'r gair sut mae maint neu feintiau newidiol yn dibynnu ar faint arall. Er enghraifft, mae lleoliad planed yn ffwythiant o amser. Ymhelaethwyd ar y cysyniad hwn ymhellach dros y blynyddoedd gyda dyfodiad 'calcwswl infinitesimal' ar ddiwedd y 17g a hyd at y 19g, pan oedd y ffwythiannau a ystyriwyd yn ddifferadwy (*differentiable*; hynny yw, roedd ganddynt raddau helaeth o reoleidd-dra). Cafodd y cysyniad o ffwythiant ei ffurfioli ar ddiwedd y 19g o ran theori set, ac mae hyn wedi ehangu'r cysyniad a'i gymhwysiad.

Mae'r gromlin goch yn nodi'r ffwythiant; mae gan pob llinell fertig **un** pwynt-croesi ar y gromlin.
Cynrychiolir ffwythiant mewn modd unigryw iawn, a hynny gan ei graff - mewn set sy'n cynnwys pob pâr (*x*, *f* (*x*)). Pan fo'r parth a'r cytbarth yn set o rifau, efallai y bydd pob pâr o'r fath yn cael ei ystyried fel cyfesurynnau Cartesaidd pwynt yn y plan. Yn gyffredinol, mae'r pwyntiau hyn yn ffurfio cromlin, a elwir hefyd yn graff y ffwythiant. Mae hwn yn gynrychiolaeth ddefnyddiol o'r ffwythiant, a ddefnyddir yn gyffredin ymhobman, er enghraifft mewn papurau newydd.

Cyfystyron
----------

Gellir edrych ar u termau canlynol, ar adegau, fel cyfystyron: 'map', 'mapio', 'trawsnewidiad', a 'gweithredydd'

Y nodiant ar gyfer ffwythiant, ei barth a'i gyd-barth yw

*f*: *X*→*Y*, a gelwir gwerth ffwythiant f ar elfen x o X, a ddynodir gan *f(x)*, yn *ddelwedd x* o dan f, neu gwerth f wedi'i gymhwyso ar gyfer ymresymiad x.

Os diffinnir ffwythiant yn y nodiant hwn, cymerir bod ei barth a'i gyd-barth ymhlyg yn y ddau {\displaystyle \mathbb {R} }, y set o rifau real. Os na ellir gwerthuso'r fformiwla ar bob rhif real, yna cymerir yn mai'r parth yw'r is-set uchaf {\displaystyle \mathbb {R} } y gellir gwerthuso'r fformiwla arno; gweler Parth swyddogaeth.

 Ffwythiant sy'n cysylltu unrhyw un o'r pedwar siâp lliw â'i liw.

Diffiniad
---------

Gelwir ffwythiannau hefyd yn *fapiau* neu'n *faps*, er bod rhai awduron yn gwahaniaethu rhywfaint rhwng "mapiau" a "ffwythiannu".

Mae dau ffwythiant f ac g yn gyfartal os yw eu setiau parth a chyd-barth yr un fath a bod eu gwerthoedd allbwn yn cytuno ar y parth cyfan. Yn fwy ffurfiol, o ystyried *f*: *X* → *Y* a *g*: *X* → *Y*, mae gennym *f* = *g* os ac yn unig os yw *f*(*x*) = *g*(*x*) ar gyfer *x* ∈ *X* .

Nid yw'r parth a'r cyd-barth bob amser yn cael eu rhoi'n benodol pan fydd ffwythiant yn cael ei ddiffinio, ac, heb ryw gyfrifiant, efallai na fyddai rhywun ond yn gwybod bod y parth wedi'i gynnwys mewn set fwy. Yn nodweddiadol, mae hyn yn digwydd mewn dadansoddiad mathemategol, lle mae "ffwythiant o X i Y "yn aml yn cyfeirio at ffwythiant a allai fod ag is-set gywir  o X fel parth. Er enghraifft, fe all "ffwythiant o real at y realau" gyfeirio at ffwythiant o werth-real o newidyn real. Fodd bynnag, nid yw "ffwythiant o real at y realau" yn golygu mai parth y ffwythiant yw'r set gyfan o rifau real, ond dim ond os yw'r parth yn set o rifau real sy'n cynnwys cyfwng agored nad yw'n wag. Yna gelwir ffwythiant o'r fath yn swyddogaeth rannol. Er enghraifft, os yw f yn ffwythiant sydd â'r rhifau real yn barth a chyd-barth, yna mae'r ffwythiant sy'n mapio'r gwerth x i'r gwerth *g*(*x*) = 1/*f*(*x*) yn ffwythiant g o'r real i'r realau, lle mae eu parth yn set o realau x, fel bod. *f*(*x*) ≠ 0.

Ystod neu ddelwedd swyddogaeth yw set delweddau pob elfen yn y parth. 

### Dull perthynol

Yn y dull perthynol (*relational approach*), mae ffwythiant *f*: *X*→*Y* yn berthynas ddeuaidd rhwng X ac Y sy'n cysylltu â phob elfen o X yn unioni bob elfen o Y. Hynny yw, caiff *f* ei ddiffinio gan set G o barau trefnus (*x*, *y*) gyda *x* ∈ *X*, *y* ∈ *Y*, fel bod pob elfen o *X* yn gydran gyntaf o un pâr trefnus yn G. Mewn geiriau eraill, ar gyfer pob *x* yn *X*, mae yna un elfen *y* yn union fel bod y pâr trefnus (x, y ) yn perthyn i'r set o barau sy'n diffinio'r ffwythiant f. Gelwir y set G yn graff f. Mae rhai awduron yn ei uniaethu â'r ffwythiant;  fodd bynnag, mewn defnydd cyffredin, mae'r ffwythiant yn gyffredinol yn cael ei gwahaniaethu oddi wrth ei graff. Yn y dull hwn, diffinnir ffwythiant fel triphlyg trefnus (*X*, *Y*, *G*). Yn y nodiant hwn, mae p'un a yw ffwythiant yn *surjective* (gweler isod) yn dibynnu ar y dewis o Y.

Mae unrhyw is-set o luoswm Cartesaidd dy dwy set *X* ac *Y* yn diffinio perthynas ddeuaidd *R* ⊆ *X* × *Y* rhwng y ddwy set hyn. Gall y berthynas fympwyol gynnwys parau sy'n torri'r amodau angenrheidiol ar gyfer ffwythiant a roddir uchod.

Mae perthynas ddeuaidd yn ffwythiant os

{\displaystyle \forall x\in X,\forall y\in Y,\forall z\in Y,\quad ((x,y)\in R\land (x,z)\in R)\implies y=z.}
Mae perthynas ddeuaidd yn gyfresol os

{\displaystyle \forall x\in X,\exists y\in Y,\quad (x,y)\in R.}
Mae ffwythiant rannol yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol.

Mae ffwythiant yn berthynas ddeuaidd sy'n ffwythiannol ac yn gyfresol. Gellir ailfformiwleiddio priodweddau amrywiol o ffwythiannau a chyfansoddiad swyddogaeth yn iaith perthynas. Er enghraifft, mae ffwythiant yn *injective* os yw'r berthynas wrthwyneb (*converse relation)* (*R*T ⊆ *Y* × *X* yn ffwythiannol, lle diffinnir y berthynas wrthwyneb fel 

*R*T = {(*y*, *x*) | (*x*, *y*) ∈ *R*}.

### Fel elfen o gyfanswm Cartesaidd dros y parth

Gellir nodi'r set o holl ffwythiannau o ryw barth penodol i gyd-barth gyda'r cyfanswm Cartesaidd o gopïau o'r cyd-barth, wedi'u mynegeio gan y parth. Sef, o ystyried setiau *X* a *Y*, mae unrhyw swyddogaeth *f*: *X* → *Y* yn elfen o gyfanswm Cartesaidd o gopïau o fwy nag un *Y* dros y mynegai X a osodwyd:

{\displaystyle f\in Y^{X}:=\prod \_{x\in X}Y.}
Gan edrych ar *f* fel <i>tuple</i> gyda chyfesurynnau, yna ar gyfer pob *x* ∈ *X* mae'r cyfesuryn *x* o'r *tuple* hwn yw gwerth *f*(*x*) ∈ *Y*. Mae hyn yn adlewyrchu'r greddf bod y ffwythiantar x ∈ X *, yn dewis* rhyw elfen *y* ∈ *Y*, sef, *f*(*x*)).

Yn aml, mae cyfansymiau Cartesaidd anfeidrol yn cael eu "diffinio" yn syml fel setiau o ffwythiannauau.

Nodiant
-------

Ceir nifer o ffyrdd safonol ar gyfer dynodi ffwythiannau. Y nodiant a ddefnyddir amlaf yw nodiant ffwythiannau, sef y nodiant cyntaf a ddisgrifir isod.

### Nodiant ffwythiannau

Mewn nodiant ffwythiannau, rhoddir enw, fel f, ar unwaith i'r ffwythiant, a rhoddir ei ddiffiniad gan yr hyn y mae f wneud i'r ddadl benodol x, gan ddefnyddio fformiwla yn nhermau x. Er enghraifft, dynodir y ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau y rhif hwnnw plws 1 hwn fel a ganlyn:

{\displaystyle f(x)=x+1} .
Mae nodiant saeth yn diffinio rheol ffwythiant yn fewnol, heb ei gwneud yn ofynnol rhoi enw i'r ffwythiant. Er enghraifft, {\displaystyle x\mapsto x+1} yw'r ffwythiant sy'n cymryd rhif real fel mewnbwn ac allbynnau'r rhif hwnnw ynghyd ag 1. Unwaith eto, mae parth a chyd-barth o {\displaystyle \mathbb {R} } ymhlyg.

Enghraifft fwy cymhleth yw'r ffwythiant

{\displaystyle f(x)=\sin(x^{2}+1)}.
Yn yr enghraifft hon, mae'r ffwythiant f yn cymryd rhif real fel mewnbwn, yn ei sgwario, yna'n ychwanegu 1 at y canlyniad, yna'n cymryd sin y canlyniad, ac yn dychwelyd y canlyniad terfynol fel yr allbwn.

Pan fydd y symbol sy'n dynodi'r ffwythiant yn cynnwys sawl nod ac na all unrhyw amwysedd godi, gellir hepgor cromfachau nodiant ffwythiannol. Er enghraifft, mae'n gyffredin ysgrifennu sin *x* yn lle sin(*x*).

Defnyddiwyd nodiant ffwythiannol yn gyntaf gan Leonhard Euler ym 1734. Cynrychiolir rhai ffwythiannau a ddefnyddir yn aml gan symbol sy'n cynnwys sawl llythyren (dau neu dri fel arfer, talfyriad o'u henw yn gyffredinol). Yn yr achos hwn, defnyddir teip Rhufeinig yn lle fel arfer, fel "sin" ar gyfer y ffwythiant sin, mewn cyferbyniad â ffont italig ar gyfer symbolau un llythyren.

Wrth ddefnyddio'r nodiant hwn, deuir yn aml ar draws cam-drin nodiant lle gall y nodiant *f*(*x*) gyfeirio at werth f yn x, neu at y ffwythiant ei hun. Os datganwyd y newidyn x yn flaenorol, yna mae'r nodiant f ( x ) yn ddiamwys yn golygu gwerth f at x. 

Fodd bynnag, mae gwahaniaethu rhwng f and *f*(*x*) yn bwysig mewn achosion lle mae ffwythiannau eu hunain yn gweithredu fel mewnbynnau ar gyfer ffwythiannau eraill. (Gelwir ffwythiannau sy'n cymryd ffwythiannau arall fel mewnbwn yn ffwythiant.) Mae dulliau eraill o nodi ffwythiannau, y manylir arnynt isod, yn osgoi'r broblem hon ond fe'u defnyddir yn llai cyffredin.

### Nodiant saeth

Gellir hefyd nodi'r parth a'r cyd-barth yn benodol, er enghraifft:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {sqr} \colon \mathbb {Z} &\to \mathbb {Z} \\x&\mapsto x^{2}.\end{aligned}}}
Mae hyn yn diffinio ffwythiant sqr o'r cyfanrifau i'r cyfanrifau sy'n dychwelyd sgwâr ei fewnbwn.

Fel cymhwysiad cyffredin o'r nodiant saeth, os yw{\displaystyle f\colon X\times X\to Y;\;(x,t)\mapsto f(x,t)} yn ffwythiant mewn dau newidyn, ac rydym am gyfeirio at ffwythiant a gymhwysir yn rhannol {\displaystyle X\to Y} a gynhyrchir trwy osod yr ail ddadl i'r gwerth *t*0 heb gyflwyno enw ffwythiant newydd. Gellid dynodi'r map dan sylw {\displaystyle x\mapsto f(x,t\_{0})} drwy ddefnyddio'r nodiant saeth. Yr ymadrodd *f*(*x*0, *t*0) yn cynrychioli'r ffwythiant newydd hon gydag un ddadl yn unig, ond mae'r ymadrodd *f*(*x*0, *t*0) yn cyfeirio at werth y ffwythiant f ar y pwynt point (*x*0, *t*0).

### Nodiant mynegai

Defnyddir nodiant mynegai yn aml yn lle nodiant ffwythiannol. Hynny yw, yn lle ysgrifennu *f* (*x*), ysgrifennir {\displaystyle f\_{x}.}

Mae hyn yn wir am ffwythiannau y mae eu parth yn set o'r rhifau naturiol. Gelwir ffwythiant o'r fath yn ddilyniant, ac, yn yr achos hwn yr elfen {\displaystyle f\_{n}} yn cael ei alw'r *n-*fed elfen o ddilyniant.

### Nodiant dot

Yn y nodiant {\displaystyle x\mapsto f(x),} nid yw'r symbol x yn cynrychioli unrhyw werth, dim ond deiliad lle (*placeholder*) ydyw, sy'n golygu, os ywx yn cael ei ddisodli gan unrhyw werth ar ochr chwith y saeth, dylid ei ddisodli gan yr un gwerth ar ochr dde'r saeth. Felly, gellir cynrychioli x gan unrhyw symbol, yn aml rhyngosod (yr *interpunct*) "⋅ ". Gall hyn fod yn ddefnyddiol ar gyfer gwahaniaethu'r ffwythiant *f* (⋅) o'i werth *f* (*x*) yn x.

Er enghraifft, gall {\displaystyle a(\cdot )^{2}} gynrychioli'r ffwythiant {\displaystyle x\mapsto ax^{2}}, a gall {\textstyle \int \_{a}^{\,(\cdot )}f(u)\,du} gynrychioli'r ffwythiant a ddiffinnir gan integral â rhwymyn uchaf amrywiol: {\textstyle x\mapsto \int \_{a}^{x}f(u)\,du} .

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  MacLane, Saunders; Birkhoff, Garrett (1967). *Algebra* (arg. First). New York: Macmillan. tt. 1–13.
2. ↑  Hamilton, A. G. *Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics*. Cambridge University Press. t. 83. ISBN 0-521-24509-5.
3. ↑  Halmos 1970, t. 30.
4. ↑  Kaplan 1972, t. 25.
5. ↑  Hamilton, A. G. (1982). *Numbers, sets, and axioms: the apparatus of mathematics*. Cambridge University Press. t. 83. ISBN 978-0-521-24509-8. we are identifying a function with its graph.
6. ↑  Halmos, Naive Set Theory, 1968, sect.9 ("Families")
7. ↑  Ron Larson, Bruce H. Edwards (2010), *Calculus of a Single Variable*, Cengage Learning, p. 19, ISBN 978-0-538-73552-0

|  |  |
| --- | --- |
| Awdurdod | 
* WorldCat
* LCCN: sh85052327
* GND: 4071510-3
* BNF: cb11946892t (data)
* NDL: 00564960
* NKC: ph114594

 |

1. ↑  called the *domain of definition* by some authors, notably computer science