Darlun 3D o gorn Gabriel.
Ffigwr geometreg yw **Corn Gabriel** (a elwir hefyd yn **trymped Torricelli**) sydd ag arwynebedd anfeidraidd ond cyfaint meidraidd. Mae'r enw'n cyfeirio at y traddodiad Abrahamaidd lle mae'r archangel Gabriel yn chwythu'r corn i gyhoeddi Dydd y Farn, sy'n gysylltu'r dwyfol, neu'r anfeidrol, â'r meidraidd. Astudiwyd priodweddau'r ffigur hwn gyntaf gan y ffisegydd a mathemategydd Eidalaidd Evangelista Torricelli yn yr 17g.

Diffiniad mathemategol
----------------------

Graff {\displaystyle x\mapsto {\tfrac {1}{x}}}.
Ffurfir corn Gabriel trwy gymryd y graff

{\displaystyle x\mapsto {\frac {1}{x}},}
gyda'r parth {\displaystyle x\geq 1}, a'i gylchdroi mewn tri dimensiwn o amgylch yr echelyn-x. Darganfuwyd yn wreiddiol gan ddefnyddio egwyddor Cavalieri cyn cafodd calcwlws ei ddyfeisio. Heddiw gallwn defnyddio calcwlws i gyfrifo cyfaint ac arwynebedd y corn rhwng *x* = 1 ac *x* = *a*, lle *a* > 1. Trwy ddefnyddio integreiddio mae'n bosib dod o hyd i'r cyfaint V ac arwynebedd yr arwyneb A:

{\displaystyle V=\pi \int \limits \_{1}^{a}\left({\frac {1}{x}}\right)^{2}\mathrm {d} x=\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)}
{\displaystyle A=2\pi \int \limits \_{1}^{a}{\frac {1}{x}}{\sqrt {1+\left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)^{2}}}\mathrm {d} x>2\pi \int \limits \_{1}^{a}{\frac {\mathrm {d} x}{x}}=2\pi \ln(a).}
Gall gwerth a fod mor fawr a sydd angen: gallwn gweld o'r hafaliad na fydd cyfaint y corn rhwng *x* = 1 ac *x* = *a* byth fwy na π; fodd bynnag wrth i a cynyddu mae'r cyfaint yn raddol yn agosáu at π. Yn fathemategol, yn defnyddio nodiant terfan calcwlws:

{\displaystyle \lim \_{a\to \infty }V=\lim \_{a\to \infty }\pi \left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi \cdot \lim \_{a\to \infty }\left(1-{\frac {1}{a}}\right)=\pi .}
Mae'r fformiwla arwynebedd uchod yn rhoi arffin is ar gyfer yr arwynebedd i fod fel 2π lluosi'r logarithm naturiol o a. Nid yw'r logarithm naturiol yn ffinedig uwchben. Mae hynny'n golygu, yn yr achos hwn, bod gan y corn arwynebedd anfeidraidd. Hynny yw,

{\displaystyle \lim \_{a\to \infty }A\geq \lim \_{a\to \infty }2\pi \ln(a)=\infty .}

Paradocs ymddangosiadol
-----------------------

Pan ddarganfuwyd priodweddau corn Gabriel yn gyntaf, ystyriwyd bod y ffaith bod cylchdroi rhanbarth anfeidrol o'r plân-xy o amgylch yr echelyn-x yn gallu cynhyrchu gwrthrych gyda cyfaint meidraidd, i fod yn baradocs. Ond, wrth feddwl, gallwn deall y ffenomenon:

Gellir trin y corn fel pentwr o ddisgiau gyda radiws sy'n lleihau. Mae swm y radiws yn cynhyrchu cyfres harmonig anfeidredd. Fodd bynnag, y cyfrifiad cywir yw swm eu sgwariau. Mae gan bob disg radiws *r* = 1/*x* ac arwynebedd π*r*2 neu π/*x*2. Mae'r gyfres 1/*x* yn dargyfeirio ond mae 1/*x*2 yn cydgyfeirio. Yn gyffredinol, ar gyfer unrhyw go iawn *ε* > 0, mae 1/*x*1+*ε* yn cydgyfeirio.

Roedd y paradocs ymddangosiadol hyn yn rhan o ddadl ynglŷn â natur anfeidredd, a oedd yn cynnwys nifer o feddylwyr allweddol yr oes gan gynnwys Thomas Hobbes, John Wallis a Galileo Galilei.

### Paradocs y paentiwr

Oherwydd fod gan y corn gyfaint meidraidd ond arwynebedd anfeidraidd, mae yna'r paradocs canlynol: gallai'r corn gael ei lenwi â swm meidraidd o baent ac eto ni fyddai'r paent hwnnw'n ddigonol i orchuddio ei arwyneb mewnol. Datrysir y paradocs trwy sylweddoli y gall swm meidraidd o baent orchuddio arwynebedd anfeidrol - yn syml mae angen iddo deneuo ar gyfradd ddigon cyflym. Yn yr achos lle mae'r corn wedi'i lenwi â phaent, cyflawnir y teneuo hwn gan y gostyngiad cynyddol mewn diamedr gwddf y corn.

### Gwrthdro

Mae gwrthwyneb i gorn Gabriel yn amhosib - ni ellir creu arwyneb chwyldro sydd ag arwynebedd *meidraidd* ond cyfaint *anfeidraidd*.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Havil, Julian (2007). *Nonplussed!: mathematical proof of implausible ideas*. Princeton University Press. tt. 82–91. ISBN 0-691-12056-0.