Peiriant ffa 
Bwrdd Galton wrth i'r ffa cwympo
Mae'r **peiriant ffa**, a elwir hefyd yn **Fwrdd Galton** neu **quincunx**, yn ddyfais a ddyfeisiwyd gan Syr Francis Galton i arddangos y theorem terfyn canolog. Yn arbennig mae'n dangos bod y dosraniad binomaidd yn agosáu at y dosraniad normal wrth i faint y sampl cynyddu.

Disgrifiad
----------

Mae Bwrdd Galton yn cynnwys bwrdd fertigol gyda rhesi rhyng-ddalennog o begiau. Mae ffa yn cael eu gollwng o'r brig a, phan fydd y ddyfais yn wastad, mae'r ffa yn bownsio naill ai i'r chwith neu'r dde wrth daro'r pegiau. Yn y pen draw, cânt eu casglu mewn biniau ar y gwaelod, lle mae uchder y colofnau o ffa sydd wedi'u cronni yn y biniau yn agosáu at gromlin gloch y dosraniad normal. Mae troshaenu triongl Pascal ar ben y pegiau yn dangos nifer y gwahanol lwybrau y gellir eu cymryd i gyrraedd pob bin.

Gellir gweld modelau gweithiol raddfa fawr o'r ddyfais hon a grëwyd gan Charles a Ray Eames yn arddangosion parhaol yn yr Amgueddfa Wyddoniaeth Boston, Neuadd Wyddoniaeth Efrog Newydd, a'r Amgueddfa Henry Ford. Mae fersiwn arall ar raddfa fawr yn cael ei harddangos yn lobi *Index Fund Advisors* yn Irvine, Califfornia.

Gellir adeiladu peiriannau ffa ar gyfer dosraniadau eraill trwy newid siâp y pinnau neu eu gogwyddo tuag at un cyfeiriad (mae peiriannau ffa bimodaidd yn bosib hyd yn oed ). Adeiladwyd peiriant ffa ar gyfer y dosraniad log-normal (sy'n gyffredin mewn llawer o brosesau naturiol, yn enwedig rhai biolegol), sy'n defnyddio trionglau isosgeles o ledau amrywiol i 'luosi' y pellter y mae'r ffa yn eu teithio yn lle meintiau sefydlog a fyddai'n 'symio'. Cafodd ei adeiladu gan Jacobus Kapteyn wrth astudio a phoblogeiddio ystadegau'r dosraniad lognormal. O 1963 ymlaen cafodd ei gadw ym Mhrifysgol Groningen. Adeiladwyd peiriant ffa log-normal gwell gan Eckhard Limpert.

Dosraniad y ffa
---------------

Os yw ffeuen yn bownsio i'r dde *k* gwaith ar ei ffordd i lawr (ac i'r chwith ar y pegiau sy'n weddill) byddai'n gorffen yn y *k-*fed bin wrth gyfri o'r chwith. Gan ddynodi nifer y rhesi o begiau mewn Bwrdd Galton gan *n*, rhoddir nifer y llwybrau i'r *k*-fed bin ar y gwaelod gan y cyfernod binomial {\displaystyle {n \choose k}}. Os yw'r tebygolrwydd o fownsio i'r dde ar begyn yn *p* (mewn peiriant heb duedd mae *p=0.5*) mae'r tebygolrwydd y bydd y bêl yn gorffen yn y *k*-fed bin yn hafal i {\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{n-k}}. Dyma ffwythiant màs tebygolrwydd y dosraniad binomaidd. 

Yn ôl y theorem terfyn canolog (yn fwy penodol, theorem de Moivre-Laplace), mae'r dosraniad binomaidd yn brasamcanu'r dosraniad normal ar yr amod bod nifer y rhesi a nifer y ffa yn fawr.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Galton, Sir Francis (1894). *Natural Inheritance*. Macmillan.
2. ↑  "The Galton Board". *www.galtonboard.com*. Four Pines Publishing, Inc. Cyrchwyd 2018-03-06.
3. ↑  "Henry Ford museum acquires Eames' Mathematica exhibit". *Auction Central News*. LiveAuctioneers. 20 March 2015. Cyrchwyd 2018-03-06.
4. ↑  "IFA.tv - From Chaos to Order on the Galton Board -- A Random Walker". 23 Rhagfyr 2009. Cyrchwyd 2018-03-06.
5. ↑  Brehmer et al 2018, "Mining gold from implicit models to improve likelihood-free inference": "Simulator Mining Example"
6. ↑  Kapteyn 1903, *Skew frequency curves in biology and statistics* v1; Kapteyn & van Uven 1916, *Skew frequency curves in biology and statistics* v2
7. ↑  Aitchison & Brown 1963, *The Lognormal Distribution, with Special Reference to its Uses in Economics* Archifwyd 2019-08-02 yn y Peiriant Wayback.
8. ↑  Limpert et al 2001, "Log-normal Distributions across the Sciences: Keys and Clues"