Enghraifft o ddwy boblogaeth gyda'r un cymedr ond amrywiannau gwahanol. Mae gan y boblogaeth goch gymedr 100 ac amrywiant 100 (gwiriad safonol 10) tra bod gan y boblogaeth las gymedr 100 ac amrywiant 2500 (gwiriad safonol 50).
Mewn damcaniaeth tebygolrwydd ac ystadegaeth, **amrywiant** yw disgwyliad gwyriad sgwâr hapnewidyn o'i gymedr. Yn anffurfiol, mae'n mesur i ba raddau y mae set o rifau wedi'u gwasgaru o'u gwerth cymedrig. Mae gan amrywiant rôl bwysig mewn ystadegaeth, lle'i ddefnyddir ar gyfer ystadegaeth ddisgrifiadol, profi rhagdybiaeth, modelu, a samplu Monte Carlo. Mae amrywiant yn bwysig yn y gwyddorau, lle mae dadansoddiad ystadegol o ddata yn gyffredin. Yr amrywiant yw sgwâr y *gwyriad safonol*. Amrywiant hefyd yw ail foment ganolog dosraniad, a chydamrywiad yr hapnewidyn ag ef ei hun. Cynrychiolir amrywiant yn aml gan {\displaystyle \sigma ^{2}}, {\displaystyle s^{2}}, ac {\displaystyle \operatorname {Var} (X)}.[1]

Diffiniad damcaniaeth tebygolrwydd
----------------------------------

Amrywiant hapnewidyn {\displaystyle X} yw gwerth disgwyliedig (cymedr) y gwyriad sgwâr (pellter sgwâr) o gymedr {\displaystyle X}, {\displaystyle \mu =\operatorname {E} [X]}:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right].}
Gellir meddwl am yr amrywiant hefyd fel cydamrywiant hapnewidyn ag ef ei hun:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {Cov} (X,X).}
Gellir ehangu'r mynegiad ar gyfer yr amrywiant fel a ganlyn:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} \left[(X-\operatorname {E} [X])^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}-2X\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\right]\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-2\operatorname {E} [X]\operatorname {E} [X]+\operatorname {E} [X]^{2}\\[4pt]&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\operatorname {E} [X]^{2}\end{aligned}}}
Mewn geiriau eraill, mae amrywiant X yn hafal i gymedr sgwâr X minws sgwâr cymedr X.

### Hapnewidyn arwahanol

Os yw generadur hapnewidyn {\displaystyle X} yn arwahanol gyda ffwythiant màs tebygolrwydd {\displaystyle x\_{1}\mapsto p\_{1},x\_{2}\mapsto p\_{2},\ldots ,x\_{n}\mapsto p\_{n}}, yna

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}\cdot (x\_{i}-\mu )^{2},}
lle {\displaystyle \mu } yw'r gwerth disgwyliedig (cymedr). Hynny yw,

{\displaystyle \mu =\sum \_{i=1}^{n}p\_{i}x\_{i}.}
### Hapnewidyn parhaus

Os oes gan hapnewidyn {\displaystyle X} ffwythiant dwysedd tebygolrwydd {\displaystyle f(x)}, gofod cyflwr (parth) Ω, a ffwythiant dosraniad cronnus cyfatebol {\displaystyle F(x)}, yna

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)=\sigma ^{2}&=\int \_{\Omega }(x-\mu )^{2}f(x)\,dx\\[4pt]&=\int \_{\Omega }x^{2}f(x)\,dx-2\mu \int \_{\mathbb {R} }xf(x)\,dx+\mu ^{2}\int \_{\mathbb {R} }f(x)\,dx\\[4pt]&=\int \_{\Omega }x^{2}\,f(x)\,dx-2\mu \cdot \mu +\mu ^{2}\cdot 1\\[4pt]&=\int \_{\Omega }x^{2}\,f(x)\,dx-\mu ^{2},\end{aligned}}}
lle{\displaystyle \mu } yw gwerth disgwyliedig (cymedr) {\displaystyle X} a roddir gan

{\displaystyle \mu =\int \_{\Omega }xf(x)\,dx}

Enghreifftiau
-------------

### Dis teg

Gellir modelu dis teg chwe ochr fel hapnewidyn arwahanol, X, gyda chanlyniadau 1 i 6, pob un â thebygolrwydd cyfartal 1/6. Gwerth disgwyliedig X yw {\displaystyle (1+2+3+4+5+6)/6=7/2.} Felly, amrywiant X yw

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\sum \_{i=1}^{6}{\frac {1}{6}}\left(i-{\frac {7}{2}}\right)^{2}\\[5pt]&={\frac {1}{6}}\left((-5/2)^{2}+(-3/2)^{2}+(-1/2)^{2}+(1/2)^{2}+(3/2)^{2}+(5/2)^{2}\right)\\[5pt]&={\frac {35}{12}}\approx 2.92.\end{aligned}}}
### Dosraniad esbonyddol

Mae dosraniad esbonyddol gyda pharamedr λ yn ddosraniad parhaus, a rhoddir ei ffwythiant dwysedd tebygolrwydd gan

{\displaystyle f(x)=\lambda e^{-\lambda x}}
ar y cyfwng Ω = [0, ∞).[2] Gellir dangos ei gymedr yw

{\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int \_{0}^{\infty }\lambda xe^{-\lambda x}\,dx={\frac {1}{\lambda }}.}
Gan ddefnyddio integreiddio fesul rhan, a defnyddio'r gwerth disgwyliedig a gyfrifwyd eisoes, mae gennym:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\int \_{0}^{\infty }\left(x-{\frac {1}{\lambda }}\right)^{2}\lambda e^{-\lambda x}\,dx\\&=\lambda \int \_{0}^{\infty }x^{2}e^{-\lambda x}dx-2\int \_{0}^{\infty }xe^{-\lambda x}dx+{\frac {1}{\lambda }}\int \_{0}^{\infty }e^{-\lambda x}dx\\&=\lambda {\frac {2}{\lambda ^{3}}}-2{\frac {1}{\lambda ^{2}}}+{\frac {1}{\lambda }}{\frac {1}{\lambda }}\\&={\frac {1}{\lambda ^{2}}}\end{aligned}}}

Diffiniad Ystadegaeth
---------------------

Yn nodweddiadol ni all arsylwadau yn y byd go iawn fod setiau cyflawn o'r holl arsylwadau posibl y gellid eu gwneud, na fydd amleddau'r arsylwadau yn cynrychioli'r tebygolrwyddau yn fanwl cywir. Felly, yn gyffredinol ni fydd yr amrywiant a gyfrifir o'r set gyfyngedig yn cyfateb i'r amrywiant a fyddai wedi'i gyfrifo o'r boblogaeth lawn o arsylwadau posibl. Mae hyn yn golygu bod rhaid yn *amcangyfrif* y cymedr a'r amrywiant a fyddai wedi cael ei gyfrif o set gyflawn o arsylwadau trwy ddefnyddio hafaliad amcangyfrif. Gelwir hwn yr *amrywiant sampl*.

Rydym yn cymryd sampl o *n* gwerth *Y*1, ... *Y**n* o'r boblogaeth, ac amcangyfrif yr amrywiant ar sail y sampl hon.[3] Mae cymryd amrywiant y data sampl yn uniongyrchol yn rhoi:

{\displaystyle \sigma \_{Y}^{2}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(Y\_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}.}
Fan hyn mae {\displaystyle {\overline {Y}}} yn dynodi cymedr y sampl:

{\displaystyle {\overline {Y}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}Y\_{i}.}
Oherwydd dewiswyd *Y**i* ar hap, mae {\displaystyle {\overline {Y}}} ac {\displaystyle \sigma \_{Y}^{2}} yn hapnewidynnau. Gallwn gyfrifo'u gwerthoedd disgwyliedig gan:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [\sigma \_{Y}^{2}]&=\operatorname {E} \left[{\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(Y\_{i}-{\frac {1}{n}}\sum \_{j=1}^{n}Y\_{j}\right)^{2}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y\_{i}^{2}-{\frac {2}{n}}Y\_{i}\sum \_{j=1}^{n}Y\_{j}+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{j=1}^{n}Y\_{j}\sum \_{k=1}^{n}Y\_{k}\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\operatorname {E} \left[Y\_{i}^{2}\right]-{\frac {2}{n}}\sum \_{j\neq i}\operatorname {E} \left[Y\_{i}Y\_{j}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{j=1}^{n}\sum \_{k\neq j}^{n}\operatorname {E} \left[Y\_{j}Y\_{k}\right]+{\frac {1}{n^{2}}}\sum \_{j=1}^{n}\operatorname {E} \left[Y\_{j}^{2}\right]\right]\\[5pt]&={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left[{\frac {n-2}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)-{\frac {2}{n}}(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n^{2}}}n(n-1)\mu ^{2}+{\frac {1}{n}}\left(\sigma ^{2}+\mu ^{2}\right)\right]\\[5pt]&={\frac {n-1}{n}}\sigma ^{2}.\end{aligned}}}
Felly mae {\displaystyle \sigma \_{Y}^{2}} yn rhoi amcangyfrif o'r amrywiant poblogaeth sydd â bias ffactor o {\displaystyle {\frac {n-1}{n}}}. Felly fe elwir {\displaystyle \sigma \_{Y}^{2}} yr *amrywiant sampl bias*. Mae cywiro ar gyfer y bias hwn yn rhoi'r *amrywiant sampl diduedd*, a ddynodir gan {\displaystyle s^{2}}:

{\displaystyle s^{2}={\frac {n}{n-1}}\sigma \_{Y}^{2}={\frac {n}{n-1}}\left({\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}\left(Y\_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}\right)={\frac {1}{n-1}}\sum \_{i=1}^{n}\left(Y\_{i}-{\overline {Y}}\right)^{2}.}

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Wackerly, Dennis D. 1945- (2008). *Mathematical statistics with applications*. Mendenhall, William. Scheaffer, Richard L. (arg. Seventh edition). Belmont, CA: Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-11081-1. OCLC 183886598.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
2. ↑  Stewart, William J. 1946- (2009). *Probability, Markov chains, queues, and simulation : the mathematical basis of performance modeling*. Princeton, N.J.: Princeton University Press. ISBN 1-4008-3281-0. OCLC 756484370.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
3. ↑  Montgomery, D. C. and Runger, G. C. (1994) *Applied statistics and probability for engineers*, page 201. John Wiley & Sons New York