Cynrychiolodd deddfau De Morgan â diagramau Venn. Ymhob achos, y set sydd angen yw'r set o bob pwynt yn y cysgod las.
Mewn rhesymeg osodiadol ac algebra Boole, mae **deddfau De Morgan** yn bâr o reolau trawsnewidiad dilys. Fe'u henwir ar ôl Augustus De Morgan, mathemategydd Prydeinig o'r 19eg ganrif. Mae'r rheolau yn caniatáu mynegi uniadau a chroestoriadau yn nhermau ei gilydd trwy eu cyflenwad.

Gellir mynegi'r rheolau yn Gymraeg fel:

mae cyflenwad uniad dwy set yr yn hafal i groestoriad eu cyflenwadau; a
mae cyflenwad croestoriad dwy set yn hafal i uniad eu cyflenwadau.
neu

nid (A neu B) = nid A ac nid B; a
nid (A a B) = nid A neu beidio B.
Mewn damcaniaeth setiau ac algebra Boole, ysgrifennir y rhain yn ffurfiol fel

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {A\cup B}}&={\overline {A}}\cap {\overline {B}},\\{\overline {A\cap B}}&={\overline {A}}\cup {\overline {B}},\end{aligned}}}
lle

* Setiau yw *A* a *B*,
* *A* yw cyflenwad A,
* ∩ yw'r croestoriad, ac
* ∪ yw'r uniad.

Hanes
-----

Enwir y deddfau ar ôl Augustus De Morgan (1806-1871), a gyflwynodd fersiwn ffurfiol o'r deddfau hyn mewn rhesymeg osodiadol glasurol. Cafodd ffurfiad De Morgan ei ddylanwadu gan waith George Boole a chymhwysodd algebra i resymeg. Serch hynny, gwnaeth Aristoteles sylw tebyg, ac roedd yn hysbys i logistegwyr Groegaidd a Chanoloesol. Er enghraifft, yn y 14g, ysgrifennodd William o Ockham y deddfau mewn geiriau. Gwnaeth Jean Buridan, yn ei *Summulae de Dialectica*, hefyd disgrifio rheolau tebyg i ddeddfau De Morgan. Ond rhoddir clod i De Morgan am nodi’r deddfau yn nhermau rhesymeg ffurfiol fodern, a’u hymgorffori yn iaith rhesymeg. Gellir profi deddfau De Morgan yn hawdd, a gallant hyd yn oed ymddangos yn ddibwys. Serch hynny, mae'r deddfau hyn yn ddefnyddiol wrth wneud casgliadau dilys mewn profion a dadleuon diddwythol.

Prawf ffurfiol
--------------

Fan hyn defnyddiwn {\displaystyle A^{\complement }} i ddynodi cyflenwad A. Mae'r prawf bod{\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }} yn cael ei gwblhau mewn dau gam trwy brofi bod {\displaystyle (A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }} a bod {\displaystyle A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }}.

### Rhan 1

Gadewch i {\displaystyle x\in (A\cap B)^{\complement }}. Yna, {\displaystyle x\not \in A\cap B} .

Oherwydd bod {\displaystyle A\cap B=\{y\;|\;y\in A\land y\in B\}}, rhaid ei fod yn wir fod {\displaystyle x\not \in A} neu {\displaystyle x\not \in B}.

Os yw {\displaystyle x\not \in A}, yna mae {\displaystyle x\in A^{\complement }}, felly mae {\displaystyle x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }}.

Yn yr un modd, os yw {\displaystyle x\not \in B}, yna mae {\displaystyle x\in B^{\complement }}, felly mae {\displaystyle x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }}.

Felly, {\displaystyle \forall x(x\in (A\cap B)^{\complement }\rightarrow x\in A^{\complement }\cup B^{\complement })};

hynny yw, {\displaystyle (A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }}.

### Rhan 2

I brofi'r cyfeiriad gwrthwyneb, gadewch i {\displaystyle x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }}, ac er mwyn cael gwrthddywediad tybiwch fod {\displaystyle x\not \in (A\cap B)^{\complement }}.

O dan y dybiaeth honno, rhaid ei bod yn wir fod {\displaystyle x\in A\cap B},

felly mae'n dilyn bod {\displaystyle x\in A} ac {\displaystyle x\in B}, ac felly bod {\displaystyle x\not \in A^{\complement }} a{\displaystyle x\not \in B^{\complement }}.

Fodd bynnag, mae hynny'n golygu bod {\displaystyle x\not \in A^{\complement }\cup B^{\complement }}, yn groes i'r rhagdybiaeth bod {\displaystyle x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }},

felly, ni all y dybiaeth {\displaystyle x\not \in (A\cap B)^{\complement }} fod yn wir, sy'n golygu bod {\displaystyle x\in (A\cap B)^{\complement }}.

Felly, {\displaystyle \forall x(x\in A^{\complement }\cup B^{\complement }\rightarrow x\in (A\cap B)^{\complement })},

hynny yw, {\displaystyle A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }}.

### Casgliad

Os yw {\displaystyle A^{\complement }\cup B^{\complement }\subseteq (A\cap B)^{\complement }} *ac* {\displaystyle (A\cap B)^{\complement }\subseteq A^{\complement }\cup B^{\complement }}, yna mae {\displaystyle (A\cap B)^{\complement }=A^{\complement }\cup B^{\complement }}; mae hyn yn cyflawni prawf deddf De Morgan.

Gallwn brofi'r ddeddf De Morgan arall, {\displaystyle (A\cup B)^{\complement }=A^{\complement }\cap B^{\complement }}, yn yr un modd.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Copi, Irving M. (1994). *Introduction to logic*. Cohen, Carl, 1931- (arg. 9th ed). New York: Macmillan Pub. ISBN 0-02-325041-0. OCLC 27266936.CS1 maint: extra text (link)
2. ↑  Hurley, Patrick J. 1942-. *A concise introduction to logic* (arg. Twelfth edition). Australia. ISBN 978-1-285-19654-1. OCLC 868318644.CS1 maint: multiple names: authors list (link) CS1 maint: extra text (link)
3. ↑  *DeMorgan’s Theorems Archifwyd 2008-03-23 yn y Peiriant Wayback.* at mtsu.edu
4. ↑  BOCHE SKI, I. M. (2015). *History of formal logic (classic reprint)*. FORGOTTEN Books. ISBN 1-330-37650-1. OCLC 983489835.
5. ↑  William of Ockham, *Summa Logicae*, part II, sections 32 and 33.
6. ↑  Jean Buridan, *Summula de Dialectica*. Trans. Gyula Klima. New Haven: Yale University Press, 2001. See especially Treatise 1, Chapter 7, Section 5. ISBN 0-300-08425-0
7. ↑  Augustus De Morgan (1806–1871) Archifwyd 2010-07-15 yn y Peiriant Wayback. gan Robert H. Orr