Darlun gweledol o fector X mewn parth:

\* yn cael ei luosi â rhif cymhlyg z, yna ei fapio ag f,
\* yn cael ei fapio â f yna ei luosi â z wedi hynny.

Os yw'r ddau o'r rhain yn cymryd y pwynt i'r un lle ar gyfer pob X a z, yna mae f yn bodloni'r amod Cauchy-Riemann.
Ym maes dadansoddi cymhlyg o fewn mathemateg, mae'r **hafaliadau Cauchy-Riemann**, a enwir ar ôl Augustin Cauchy a Bernhard Riemann, yn cynnwys system o ddau hafaliad differol rhannol sydd, ynghyd â meini prawf penodol ar gyfer di-doredd a differadwyedd, yn ffurfio amod angenrheidiol a digonol ar gyfer a ffwythiant cymhlyg i fod yn gymhlyg differadwy, hynny yw, yn holomorffig. Ymddangosodd y system hafaliadau yma'n gyntaf yng ngwaith Jean le Rond d'Alembert. Yn ddiweddarach, cysylltodd Leonhard Euler y system hon â'r ffwythiannau dadansoddol. Yna defnyddiodd Cauchy yr hafaliadau hyn i lunio ei theori ffwythiannau. Ymddangosodd traethawd hir Riemann ar theori ffwythiannau ym 1851.

Yr hafaliadau Cauchy-Riemann ar bâr o ffwythiannau gwerth-real dau newidyn real *u*(*x*, *y*) a *v*(*x*, *y*) yw'r ddau hafaliad:

{\displaystyle {\begin{aligned}(1a)\qquad &{\frac {\partial u}{\partial x}}={\frac {\partial v}{\partial y}}\\[6pt](1b)\qquad &{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {\partial v}{\partial x}}\end{aligned}}}
Fel arfer cymerir *u* a *v* i fod y rhannau real a dychmygol yn y drefn honno o ffwythiant cymhlyg â gwerth newidyn cymhlyg sengl *z* = *x* + *iy*, *f*(*x* + i*y*) = *u*(*x*,*y*) + i*v*(*x*,*y*). Tybiwch fod *u* ac *v* yn nifferadwy-real ar bwynt mewn is-set agored o ℂ, y gellir ei ystyried yn ffwythiannau o ℝ2 i ℝ. Mae hyn yn awgrymu bod deilliadau rhannol *u* ac *v yn* bodoli (er nad oes angen iddynt fod yn ddi-dor) a gallwn amcangyfrif amrywiadau bach o *f* yn llinol. Yna mae *f* = *u* + i*v* yn nifferadwy-cymhlyg ar y pwynt hwnnw os ac yn unig os yw deilliadau rhannol *u* a *v yn* bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann (1a) ac (1b) ar y pwynt hwnnw. Nid yw fodolaeth deilliadau rhannol sy'n bodloni'r hafaliadau Cauchy-Riemann yn unig yn ddigon i sicrhau differadwyedd-cymhlyg ar y pwynt hwnnw. Mae'n angenrheidiol bod *u* ac *v* yn nifferadwy-real, sy'n gyflwr cryfach na bodolaeth y deilliadau rhannol, ond yn gyffredinol, yn wannach na differadwyedd di-dor.

Mae holomorffedd yn briodwedd ffwythiant cymhlyg gan ei fod yn ddifferadwy ym mhob pwynt o is-set agored gysylltiedig o ℂ (gelwir hyn yn barth yn ℂ). O ganlyniad, gallwn ddweud bod ffwythiant cymhlyg *f*, y mae ei rhannau real a dychmygol *u* ac *v* yn ffwythiannau differadwy real, yn holomorffig os a dim ond os yw hafaliadau (1a) ac (1b) wedi'u bodloni trwy gydol y parth. Mae ffwythiannau holomorffig yn ddadansoddol ac mae ffwythiannau dadansoddol yn holomorffig. Mae hyn yn golygu, mewn dadansoddiad cymhlyg, bod ffwythiant sy'n differadwy-cymhlyg dros barth cyfan (holomorffig) yr un peth â ffwythiant dadansoddol. Nid yw hyn yn wir am ffwythiannau real.

Enghraifft syml
---------------

Tybiwch fod {\displaystyle z=x+iy}. Mae'r ffwythiant gwerth cymhlyg{\displaystyle f(z)=z^{2}} yn nifferadwy ar unrhyw bwynt z yn y plân cymhlyg.

{\displaystyle f(z)=(x+iy)^{2}=x^{2}-y^{2}+2ixy}
Y rhannau real {\displaystyle u(x,y)} a ddychmygol {\displaystyle v(x,y)} yw

{\displaystyle u(x,y)=x^{2}-y^{2}}
{\displaystyle v(x,y)=2xy}
ac mae eu deilliadau rhannol yn

{\displaystyle u\_{x}=2x;\quad u\_{y}=-2y;\quad v\_{x}=2y;\quad v\_{y}=2x}
Gwelwn fod yr hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni, yn wir,{\displaystyle u\_{x}=v\_{y}} a {\displaystyle u\_{y}=-v\_{x}}

Dehongliad
----------

Mae'r hafaliadau yn un ffordd o edrych ar yr amod ar ffwythiant i fod yn nifferadwy yn yr ystyr ddadansoddiad cymhlyg: mewn geiriau eraill maent yn crynhoi'r syniad o ffwythiant gwerth cymhlyg trwy gyfrwng calcwlws differol confensiynol.

Tybiwch fod

{\displaystyle f(z)=u(z)+i\cdot v(z)}
yn ffwythiant o rif cymhlyg *z*. Yna diffinnir deilliad cymhlyg *f* ar bwynt *z*0 gan

{\displaystyle \lim \_{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z\_{0}+h)-f(z\_{0})}{h}}=f'(z\_{0})}
yn amodol bod y terfan hwn yn bodoli.

Os yw'r terfyn hwn yn bodoli, yna gellir ei gyfrifo trwy gymryd y terfan wrth i *h* → 0 ar hyd yr echelin real neu'r echelin ddychmygol; yn y naill achos neu'r llall, dylai roi'r un canlyniad. Wrth agosáu ar hyd yr echelin real, darganfyddwn fod

{\displaystyle \lim \_{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z\_{0}+h)-f(z\_{0})}{h}}={\frac {\partial f}{\partial x}}(z\_{0}).}
Ar y llaw arall, wrth agosáu ar hyd yr echelin ddychmygol,

{\displaystyle \lim \_{\underset {h\in \mathbb {R} }{h\to 0}}{\frac {f(z\_{0}+ih)-f(z\_{0})}{ih}}={\frac {1}{i}}{\frac {\partial f}{\partial y}}(z\_{0}).}
Hafaliad deilliad *f* a gymerir ar hyd y ddwy echelin yw

{\displaystyle i{\frac {\partial f}{\partial x}}(z\_{0})={\frac {\partial f}{\partial y}}(z\_{0}),}
sef hafaliadau Cauchy-Riemann (2) ar y pwynt *z*0.

I'r gwrthwyneb, os yw *f* : ℂ → ℂ yn ffwythiant y gellir ei differu wrth gael ei hystyried fel ffwythiant ar ℝ2, yna mae *f* yn nifferadwy-cymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi bodloni. Mewn geiriau eraill, os yw u ac v yn ffwythiannau differol real o ddau newidyn real, yn amlwg mae *u* + *iv* yn ffwythiant (gwerth cymhlyg) differadwy-real, ond mae *u* + *iv* yn nifferadwy-gymhlyg os ac yn unig os yw'r hafaliadau Cauchy-Riemann wedi'u bodloni.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Alembert, Jean Le Rond d', 1717-1783. (1752). *Essai d'une nouvelle théorie de la résistance des fluides*. chez Claude-Antoine Jombert. OCLC 1172099239.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
2. ↑  Ménétriés, E.; Schaus, William (1855). *Enumeratio corporum animalium Musei imperialis Academiae scientiarum Petropolitanae : Classis insectorum, ordo lepidopterorum*. Petropoli :: Typis Academiae scientiarum imperialis,.CS1 maint: extra punctuation (link)
3. ↑  Cauchy, Augustin-Louis, "MÉMOIRE SUR LES INTÉGRALES DÉFINIES", *Oeuvres complètes* (Cambridge University Press): pp. 329–335, ISBN 978-0-511-70217-4, adalwyd 2020-09-30
4. ↑  Riemann, Bernhard, "Grundlagen für eine allgemeine Theorie der Functionen eiuer veränderlichen complexen Grösse. (Inauguraldissertation, Göttingen 1851.)", *Bernard Riemann's Gesammelte mathematische Werke und wissenschaftlicher Nachlass* (Cambridge University Press): pp. 3–47, ISBN 978-1-139-56805-0, adalwyd 2020-09-30

Dolenni allanol
---------------

* Weisstein, Eric W. "Cauchy–Riemann Equations". *MathWorld*.
* Cauchy–Riemann Equations Module by John H. Mathews