Mae'r ffwythiant sin a'i holl polynomialau Taylor yn od-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos {\displaystyle \sin(x)} a'i frasamcaniadau Taylor, polynomialau gradd 1, 3, 5, 7, 9, 11 ac 13.
 Mae'r ffwythiany cosin a'i holl polynomialau Taylor yn eil-ffwythiannau. Mae'r ddelwedd hon yn dangos {\displaystyle \cos(x)} a'i frasamcaniad Taylor o radd 4.
Mewn mathemateg, mae **eil-ffwythiannau** ac **od-ffwythiannau** yn ffwythiannau sy'n bodloni perthnasoedd cymesuredd penodol. Maent yn bwysig mewn nifer o feysydd o ddadansoddiad mathemategol, yn enwedig theori cyfresi pŵer a chyfresi Fourier. Fe'u henwir am baredd pwerau'r ffwythiannau pŵer sy'n bodloni pob amod: mae'r ffwythiant {\displaystyle f(x)=x^{n}} yn *eil-ffwythiant* os yw n yn eilrif, ac mae'n od-ffwythiant os yw n yn odrif.

Diffiniad ac enghreifftiau
--------------------------

Yn gyffredinol, mae ystyriwn ffwythiannau real yn unig wrth ystyried eil-ffwythiannau ac od-ffwythiannau, hynny yw ffwythiannau gwerth real a newidyn real. Fodd bynnag, gall y cysyniadau hyn gael eu diffinio'n fwy cyffredinol ar gyfer ffwythiannau lle mae gan eu parth a'u hamrediad rhyw syniad o wrthdro adiol. Mae hyn yn cynnwys grwpiau Abel, pob modrwy, pob maes, a phob gofod fector. Felly, er enghraifft, gallai ffwythiant real fod yn od-ffwythiant neu'n eil-ffwythiant (neu'r naill na'r llall), a hefyd gallai ffwythiant gwerth cymhlyg gyda newidyn fector, ac ati.

Mae'r enghreifftiau a roddir yn ffwythiannau real, er mwyn dangos cymesuredd eu graffiau.

### Eil-ffwythiannau

 Mae {\displaystyle f(x)=x^{2}} yn enghraifft o eil-ffwythiant.
Gadewch i *f* fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae *f* yn **eil-ffwythiant** os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni ar gyfer pob *x* fel bod *x* ac -*x* ym mharth *f*:



f
(
x
)
=
f
(
−
x
)

{\displaystyle f(x)=f(-x)}

{\displaystyle f(x)=f(-x)}
neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob *x* o'r fath:



f
(
x
)
−
f
(
−
x
)
=
0.

{\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}

{\displaystyle f(x)-f(-x)=0.}
Yn geometryddol, mae graff eil-ffwythiant yn gymesur o gwmpas yr echelin-*y*, sy'n golygu bod ei graff parhau heb ei newid ar ôl adlewyrchiad yn yr echelin-*y*.

Enghreifftiau o eil-ffwythiannau yw:

* Y gwerth absoliwt {\displaystyle x\mapsto |x|,}
* {\displaystyle x\mapsto x^{2},}
* {\displaystyle x\mapsto x^{4},}
* cosine, {\displaystyle \cos ,}
* cosin hyperbolig, {\displaystyle \cosh .}

### Od-ffwythiannau

 Mae {\displaystyle f(x)=x^{3}} yn enghraifft o od-ffwythiant.
Unwaith eto, gadewch i *f* fod yn ffwythiant gwerth real newidyn real. Yna mae *f* yn **rhyfedd** os yw'r hafaliad canlynol yn dal pob *x* fel bod *x* a - *x* ym mharth *f*:



−
f
(
x
)
=
f
(
−
x
)

{\displaystyle -f(x)=f(-x)}

{\displaystyle -f(x)=f(-x)}
neu'n gywerth, os yw'r hafaliad canlynol wedi'i bodloni pob *x* o'r fath:



f
(
x
)
+
f
(
−
x
)
=
0.

{\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}

{\displaystyle f(x)+f(-x)=0.}
Yn geometryddol, mae gan graff od-ffwythiant gymesuredd cylchdro mewn perthynas â'r tarddbwynt, sy'n golygu bod ei graff yn aros yr un fath ar ôl cylchdroi 180 gradd o gwmpas y tarddbwynt.

Enghreifftiau o od-ffwythiannau yw:

* Y ffwythiant unfathiant {\displaystyle x\mapsto x,}
* {\displaystyle x\mapsto x^{3},}
* {\displaystyle \sin ,}
* sin hyperbolig, {\displaystyle \sinh ,}
* Y ffwythiant gwall {\displaystyle \operatorname {erf} .}

 Nid yw {\displaystyle f(x)=x^{3}+1} yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant.

Priodweddau sylfaenol
---------------------

### Unigrwydd

* Os yw ffwythiant yn eil-ffwythiant ac yn od-ffwythiant, yna mae'n hafal i 0 ym mhobman.
* Os yw ffwythiant yn od-ffwythiant, mae gwerth absoliwt y ffwythiant hwnnw yn eil-ffwythiant.

### Adio a thynnu

* Mae swm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae swm dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae'r gwahaniaeth rhwng dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae'r gwahaniaeth rhwng dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae swm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant ddim yn eil-ffwythiant nac yn od-ffwythiant, oni bai bod un o'r ffwythiannau yn hafal i sero dros y parth penodol.

### Lluosi a rhannu

* Mae lluoswm dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
	+ Mae hynny'n awgrymu bod lluoswm unrhyw nifer o eil-ffwythiannau hefyd yn eil-ffwythiant.
* Mae lluoswm dau od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae lluoswm eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae rhannu dau eil-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
* Mae rhannu dau od-ffwythiant yn rhoi eil-ffwythiant.
* Mae rhannu eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn rhoi od-ffwythiant.

### Cyfansoddiad

* Mae cyfansoddiad dau eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad dau od-ffwythiant yn od-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad eil-ffwythiant ac od-ffwythiant yn eil-ffwythiant.
* Mae cyfansoddiad unrhyw ffwythiant gydag eil-ffwythiant yn eil-ffwythiant (ond nid i'r gwrthwyneb).

Cyfeiriadau
-----------

1. 1 2  Gel'Fand, I.M.; Glagoleva, E.G.; Shnol, E.E. (1990). *Functions and Graphs*. Birkhäuser. ISBN 0-8176-3532-7.