**Gofod fectoraidd** yw'r gwrthrych sylfaenol a astudir yn y ganghen o fathemateg o'r enw algebra llinol.

Os ystyrwn fectorau geometrig a'r gweithrediadau pwysicaf y gallem ddiffinio arnynt, sef adio factoraidd a lluosi â scalar, ynghyd â rhai cyfyngiadau naturiol megis cäedigrwydd, cydymaithder ac yn y blaen, fe ddown i ddisgrifiad o strwythyr mathemategol a gelwir yn *ofod fectoraidd*

Nid oes rhaid i'r "fectorau" fod yn fectorau geometrig yn yr ystyr arferol; gallent fod yn unrhyw wrthrychau mathemategol sy'n bodloni'r gwirebau priodol. Er enghraifft, mae'r polynomialau â chyfernodau real yn ffurfio gofod fectoraidd. Mae'r lefel yma o haniaeth yn gwneud gofod fectoraidd yn wrthrych defnyddiol mewn sawl canghen o fathemateg.

Diffiniad ffurfiol
------------------

Mae **gofod fectoraidd dros gorff** *F* (corff y rhifau real neu'r rhifau cymhlyg er enghraifft) yn set *V* ynghyd â'r dau weithred,

* *adio fectorau*: *V* × *V* → *V* ysgrifennir **v** + **w**, lle mae **v**, **w** ∈ *V*, a
* *lluosi â scalar*: *F* × *V* → *V* ysgrifennir *a* **v**, lle mae *a* ∈ *F* and **v** ∈ *V*,

fel fod y fectorau'n ffurfio grŵp abelaidd, a'r ffwythiant â gymer elfen o'r corff i'w weithred scalar yn homomorffiad fodrwyol i'r grŵp o homomorffiadau ar *V*. Rhoddir disgrifiad mwy penodol o'r priodweddau hyn yn yr wyth wireb isod

**Grŵp abelaidd y fectorau:**

1. Mae adio fectorau yn gydymaithderol: Ar gyfer pob **u**, **v**, **w** ∈ *V*, mae **u** + (**v** + **w**) = (**u** + **v**) + **w**.
2. Mae adio fectorau yn gymudol: Ar gyfer pob **v**, **w** ∈ *V*, mae **v** + **w** = **w** + **v**.
3. Elfen unfathiant adio fectoraidd:  Mae **0** ∈ *V*, a gelwir y fector sero, yn bodoli ac yn bodloni **v** + **0** = **v** am unrhyw **v** ∈ *V*.
4. Bodolaeth elfen gwrthdro: Ar gyfer pob **v** ∈ V, fe bodola elfen **w** ∈ *V*, a gelwir *gwrthdro adiol* **v**, fel bod **v** + **w** = **0**.

**Mae lluosi â scalar yn homomorffiad:**

1. Mae lluosi â scalar yn ddosbarthiadol dros adio fectoraidd: Ar gyfer pob *a* ∈ *F* a **v**, **w** ∈ *V*, mae *a* (**v** + **w**) = *a* **v** + *a* **w**.

**Mae'r ffwythiant o'r corff i'r gweithrediadau scalar yn homomorffiad fodrwyaidd:**

1. Mae lluosi â scalar yn gydymaithderol: Ar gyfer pob *a*, *b* ∈ *F* a **v** ∈ *V*, mae *a* (*b* **v**) = (*ab*) **v**.
2. Elfen unfathiant lluosi â scalar: Ar gyfer pob **v** ∈ *V*, mae 1 **v** = **v**, lle dynoda 1 yr unfathiant lluosiadol yn *F*.
3. Mae lluosi â scalar yn ddosbarthiadol dros adiad yn y corff: Ar gyfer pob *a*, *b* ∈ *F* a **v** ∈ *V*, mae (*a* + *b*) **v** = *a* **v** + *b* **v**.

Noder fod dwy wireb caëdigrwydd yn cael eu cynnwys weithiau:

1. Mae adio fectoraidd yn gaëdig: Os mae **u**, **v** ∈ *V*, yna mae **u** + **v** ∈ *V*.
2. Mae lluosi â scalar yn gaëdig: Os mae *a* ∈ *F*, **v** ∈ *V*, yna mae *a* **v** ∈ *V*.

Fodd bynnag, nid oes angen eu cynnwys, gan eu bod ymhlyg yn y diffiniad ffurfiol o'r gweithrediadau fel ffwythiannau i'r set *V*.

Gelwir elfennau *V* yn *fectorau* ac elfennau *F* yn *scalarau*. Mewn llawer o'r cymhwysiadau, y rhifau real neu'r rhifau cymhlyg yw'r scalarau, a throfodir *gofodau fectoraidd real* a *gofodau fectoraidd cymhlyg*.

Fel y cysyniad o gorff ei hun, mae'r diffiniad ffurfiol o ofod fectoraidd yn gwbwl haniaethol. Mae'n debyg i'r cysyniad o fodwl dros fodrwy, yn wir mae'n achos arbennig o'r gwrthrych hwnnw.


|  |
| --- |
| Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: **corff (o'r Almaeneg Körper), gofod fectoraidd, homomorffiad, cydymaithderol, cymudol, modrwy, ac adiol** o'r Saesneg "'*vector space,' 'homomorphism,' 'associative,' 'commutative,' 'ring,' ac 'additive'.*". Gallwch helpu trwy safoni'r termau. |