Mewn dadansoddi cymhleth, disgyblaeth o fewn mathemateg, mae'r **theorem gwaddod**, a elwir weithiau'n **theorem gwaddod Cauchy**, yn offeryn pwerus i werthuso integrynnau amlin o ffwythiannau analytig dros gromliniau caeedig; yn aml gellir ei ddefnyddio i gyfrifo integrynnau real, a hefyd i gyfrifo cyfresi anfeidraidd. Mae'n cyffredinoli theorem integryn Cauchy a fformiwla integryn Cauchy. O safbwynt geometregol, gellir ei ystyried yn achos arbennig o theorem gyffredinol Stokes.

Datganiad
---------

Mae'r datganiad fel a ganlyn:

 Darlun o'r lleoliad.
Gadewch i U fod yn is-set agored gysylltiedig syml o'r plân cymhlyg sy'n gynnwys set meidraidd o bwyntiau *a*1, ... *a**n*, *U*0 = *U* \ {*a*1, ... *a**n*}, a ffwythiant f sydd wedi'i diffinio ac yn holomorffig ar *U*0. Gadewch γ fod yn gromlin gaeedig yn *U*0, ac yn dynodi rhif dirwyniad (*winding number*) γ o gwmpas *a**k* gan I(*γ*, *a**k*). Mae'r integryn amlin o f o amgylch γ yn hafal i 2π*i* lluosi swm gwaddodion f yn y pwyntiau, pob un yn cael ei gyfrif cymaint o weithiau y mae γ yn troelli o amgylch y pwynt:

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \_{k=1}^{n}\operatorname {I} (\gamma ,a\_{k})\operatorname {Res} (f,a\_{k}).}
Os yw γ yn gromlin gaeedig syml sydd wedi'i gogwyddo'n bositif, mae I(*γ*, *a**k*) = 1 os yw *a**k* tu mewn i γ, a 0 os na, felly

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz=2\pi i\sum \operatorname {Res} (f,a\_{k})}
gyda'r swm dros yr *a**k* sydd tu mewn γ.

Er mwyn gyfrifo integrynnau real, defnyddir y theorem gwaddod yn y ffordd ganlynol: rydym yn ymestyn yr integrand i'r plân cymhlyg a chyfrifo'i gwaddodion (sydd fel arfer yn hawdd), ac rydym yn ymestyn rhan o'r echel real i gromlin gaeedig trwy atodi hanner cylch yn yr hanner plân uchaf neu isaf, gan ffurfio hanner cylch. Yna gallwn gyfrifo'r integryn dros y gromlin hon gan ddefnyddio'r theorem gwaddod. Yn aml, bydd rhan hanner cylch yr integryn yn tueddu tuag at sero wrth i radiws yr hanner cylch dyfu, gan adael dim ond rhan echel real yr integryn, yr un yr oedd gennym ddiddordeb ynddo yn wreiddiol.

Enghreifft
----------

### Integryn ar hyd yr echel go iawn

Mae'r integryn

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itx}}{x^{2}+1}}\,dx}
 Yr amlin C.
yn codi mewn theori tebygolrwydd wrth gyfrifo ffwythiant nodweddiadol y dosraniad Cauchy. Nid yw'n hawdd ei gyfrifo gan ddefnyddio technegau calcwlws elfennol, ond gellir ei gyfrifo trwy ei fynegi fel terfan integrynnau amlin.

Tybiwch fod *t* > 0, a diffiniwch yr amlin C sy'n mynd ar hyd y llinell real o −*a* i a, ac yna'n wrthglocwedd ar hyd hanner cylch wedi'i ganoli ar 0 o a i −*a*. Cymerwch a i fod yn fwy nag 1, fel bod yr uned ddychmygol wedi'i hamgáu o fewn y gromlin. Nawr, ystyriwch yr integryn amlin

{\displaystyle \int \_{C}{f(z)}\,dz=\int \_{C}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz.}
Gan fod *e**itz* yn ffwythiant cyfan (heb unrhyw hynodion ar unrhyw bwynt yn y plân cymhlyg), mae gan y ffwythiant hwn hynodion ond lle mae'r enwadur *z*2 + 1 yn sero. Gan fod *z*2 + 1 = (*z* + *i*)(*z* − *i*), mae hwn yn sero yn *z* = *i* ac *z* = −*i*. Dim ond un o'r pwyntiau hynny sydd yn y rhanbarth sydd wedi'i ffinio gan yr amlin hon. Gan fod *f*(*z*) yn

{\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}&={\frac {e^{itz}}{2i}}\left({\frac {1}{z-i}}-{\frac {1}{z+i}}\right)\\&={\frac {e^{itz}}{2i(z-i)}}-{\frac {e^{itz}}{2i(z+i)}},\end{aligned}}}
gwaddod *f*(*z*) yn *z* = *i* yw

{\displaystyle \operatorname {Res} \_{z=i}f(z)={\frac {e^{-t}}{2i}}.}
Yn ôl y theorem gwaddod felly, mae gennym

{\displaystyle \int \_{C}f(z)\,dz=2\pi i\cdot \operatorname {Res} \limits \_{z=i}f(z)=2\pi i{\frac {e^{-t}}{2i}}=\pi e^{-t}.}
Gellir ymrannu'r amlin C i mewn i'r rhan syth a'r arc grom, fel bod

{\displaystyle \int \_{\mathrm {syth} }f(z)\,dz+\int \_{\mathrm {arc} }f(z)\,dz=\pi e^{-t}\,}
ac felly

{\displaystyle \int \_{-a}^{a}f(z)\,dz=\pi e^{-t}-\int \_{\mathrm {arc} }f(z)\,dz.}
Gan ddefnyddio'r Lema Amcangyfrif, mae gennym

{\displaystyle \left|\int \_{\mathrm {arc} }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz\right|\leq \pi a\cdot \sup \_{\text{arc}}\left|{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\right|\leq \pi a\cdot \sup \_{\text{arc}}{\frac {1}{|z^{2}+1|}}\leq {\frac {\pi a}{a^{2}-1}},}
ac

{\displaystyle \lim \_{a\to \infty }{\frac {\pi a}{a^{2}-1}}=0.}
Felly, mae

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-t}.}
Os yw *t* < 0 yna mae dadl debyg gydag arc C' sy’n troelli o gwmpas −*i* yn hytrach nag *i* yn dangos fod

 Yr amlin C'.
{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{t},}
ac felly, yn olaf mae gennym

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {e^{itz}}{z^{2}+1}}\,dz=\pi e^{-\left|t\right|}.}
(Os yw *t* = 0 yna mae'r integryn yn lleihau i rywbeth gallwn ddefnyddio ddulliau calcwlws elfennol arno, a'i werth yw π. )

Cyfeiriadau
-----------

* Ahlfors, Lars (1979). *Complex Analysis*. McGraw Hill. ISBN 0-07-085008-9.
* Lindelöf, Ernst L. (1905). *Le calcul des résidus et ses applications à la théorie des fonctions* (yn Ffrangeg). Editions Jacques Gabay (cyhoeddwyd 1989). ISBN 2-87647-060-8.
* Mitrinović, Dragoslav; Kečkić, Jovan (1984). *The Cauchy method of residues: Theory and applications*. D. Reidel Publishing Company. ISBN 90-277-1623-4.
* Whittaker, E. T.; Watson, G. N. (1920). *A Course of Modern Analysis* (arg. 3rd). Cambridge University Press.

1. ↑  Whittaker & Watson 1920, §6.1.