Mewn calcwlws, ac yn fwy cyffredinol mewn dadansoddiad mathemategol, **integru fesul rhan** (yn Saesneg **integration by parts**) yw broses sy'n canfod integryn lluoswm ffwythiannau yn nhermau integryn lluoswm eu deilliad a'u gwrthddeilliad. Fe'i defnyddir yn aml i drawsnewid gwrthddeilliad lluoswm o ffwythiannau i mewn i wrthddeilliad y gellir datrys yn haws. Cafodd ei darganfod gan y mathemategydd Brook Taylor ym 1715.

Os yw {\displaystyle u=u(x)} a {\displaystyle du=u'(x)\,dx}, tra bod {\displaystyle v=v(x)} a{\displaystyle dv=v'(x)dx}, yna mae'r fformiwla integru fesul rhan yn nodi bod

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{a}^{b}u(x)v'(x)\,dx&={\Big [}u(x)v(x){\Big ]}\_{a}^{b}-\int \_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx\\[6pt]&=u(b)v(b)-u(a)v(a)-\int \_{a}^{b}u'(x)v(x)\,dx.\end{aligned}}}
Neu'n fwy cryno,

{\displaystyle \int u\,dv\ =\ uv-\int v\,du.}

Deillio'r fformiwla
-------------------

Gellir deillio'r theorem fel a ganlyn. Ar gyfer dau ffwythiant differadwy di-dor *u*(*x*) a *v*(*x*), mae'r rheol lluoswm differu yn dweud bod:

{\displaystyle {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\ =\ v(x)u'(x)+u(x)v'(x).}
Mae integru'r ddwy ochr mewn perthynas ag *x* yn rhoi:

{\displaystyle \int {\Big (}u(x)v(x){\Big )}'\,dx\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}
ac mae sylweddoli taw integryn amhendant yw gwrthddeilliad yn rhoi:

{\displaystyle u(x)v(x)\ =\ \int u'(x)v(x)\,dx+\int u(x)v'(x)\,dx,}
lle does dim angen nodi' cysonyn integru. Mae hyn yn cynhyrchu'r fformiwla ar gyfer **integru fesul rhan**:

{\displaystyle \int u(x)v'(x)\,dx\ =\ u(x)v(x)-\int u'(x)v(x)\,dx,}
neu yn nhermau'r deilliannau{\displaystyle \ du=u'(x)\,dx,\ \ dv=v'(x)\,dx,\quad }

{\displaystyle \int u(x)\,dv\ =\ u(x)v(x)-\int v(x)\,du.}

Enghreifftiau
-------------

Mae integreiddio â rhannau yn broses hewristig yn hytrach na mecanyddol yn unig ar gyfer datrys integrynnau; o ystyried swyddogaeth sengl i'w hintegreiddio, y strategaeth nodweddiadol yw gwahanu'r swyddogaeth sengl hon yn ofalus i mewn i gynnyrch dwy swyddogaeth *u* ( *x* ) *v* ( *x* ) fel ei bod yn haws gwerthuso'r annatod gweddilliol o'r fformiwla integreiddio â rhannau na'r swyddogaeth sengl.. Mae'r ffurflen ganlynol yn ddefnyddiol wrth ddangos y strategaeth orau i'w chymryd:

* Fel enghraifft syml, ystyriwch:

{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx\ .}

Oherwydd taw 1/*x* yw deilliad ln(*x*), gallwn wneud y rhan ln(*x*) y rhan *u*. Oherwydd taw 1/*x*2 yw gwrthddeilliad -1/*x*, gallwn wneud 1/*x*2*dx* y rhan *dv*. Mae'r fformiwla bellach yn rhoi:

{\displaystyle \int {\frac {\ln(x)}{x^{2}}}\ dx=-{\frac {\ln(x)}{x}}-\int {\biggl (}{\frac {1}{x}}{\biggr )}{\biggl (}-{\frac {1}{x}}{\biggr )}\ dx\ .}

Gellir dod o hyd i wrthddeilliad -1/*x*2 gyda'r rheol pŵer.

* Weithiau mae dod o hyd i gyfuniadau sy'n cynhyrchu atebion syml ddim yn sythweladwy, ac yn aml mae angen arbrofi. Fel enghraifft arall, ystyriwch:

{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx.}

Os dewiswn *u*(*x*) = ln(|sin(*x*)|), ac *v*(*x*) = sec2(x), yna mae *u yn* differu i 1/tan(*x)* ac mae *v* yn integru i tan(*x)*; felly mae'r fformiwla yn rhoi:

{\displaystyle \int \sec ^{2}(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}\ dx=\tan(x)\cdot \ln {\Big (}{\bigl |}\sin(x){\bigr |}{\Big )}-\int \tan(x)\cdot {\frac {1}{\tan(x)}}\,dx\ .}

Mae'r integrand yn symleiddio i 1, felly ei gwrthddeilliad yw *x*.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  "Brook Taylor". *History.MCS.St-Andrews.ac.uk*. Cyrchwyd May 25, 2018.
2. ↑  "Brook Taylor". *Stetson.edu*. Archifwyd o'r gwreiddiol ar 2018-01-03. Cyrchwyd May 25, 2018.