Ar gyfer unrhyw ffwythiant sy'n ddi-dor ar {\displaystyle [a,b]} ac yn ddifferadwy ar {\displaystyle (a,b)} mae yna ryw {\displaystyle c} yn y cyfwng {\displaystyle (a,b)} fel bod y secant sy'n ymuno pwyntiau terfyn y cyfwng {\displaystyle [a,b]} yn baralel i'r tangiad yn {\displaystyle c}.
Mewn mathemateg, mae'r **theorem gwerth-cymedrig** yn nodi, yn fras, os rhoddir arc blanar rhwng dau bwynt terfyn, bodolir o leiaf un pwynt lle mae'r tangiad i'r arc yn baralel i'r secant trwy ei bwyntiau terfyn.

Yn fanwl gywir, os yw {\displaystyle f} yn ffwythiant di-dor ar gyfwng caeedig{\displaystyle [a,b]}, ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored {\displaystyle (a,b)}, yna mae pwynt {\displaystyle c} yn bodoli o fewn {\displaystyle (a,b)} fel bod y tangiad yn *c* yn baralel i'r llinell secant trwy'r pwyntiau terfyn {\displaystyle (a,f(a))} ac {\displaystyle (b,f(b))}, hynny yw,

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}Mae'n un o'r canlyniadau pwysicaf mewn dadansoddiad real.

Hanes
-----

Disgrifiwyd achos arbennig o’r theorem hon yn gyntaf gan Parameshvara (1370–1460), o Ysgol Seryddiaeth a Mathemateg Kerala yn India, yn ei sylwebaethau ar Govindasvāmi a Bhāskara II. Profwyd ffurf gyfyngedig o'r theorem gan Michel Rolle ym 1691; y canlyniad oedd yr hyn a elwir bellach yn theorem Rolle, ac fe'i profwyd ar gyfer polynomialau yn unig, heb dechnegau calcwlws. Cafodd y theorem gwerth-cymedrig yn ei ffurf fodern ei nodi a'i brofi gan Augustin Louis Cauchy ym 1823.

Datganiad ffurfiol
------------------

Mae'r ffwythiant {\displaystyle f} yn cyflawni graddiant y secant rhwng {\displaystyle a} a {\displaystyle b} fel ei deilliad ar y pwynt {\displaystyle \xi \in (a,b)}.
Mae hefyd yn bosibl bod mwy nag un tangiad yn baralel i'r secant.
Gadewch i{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } bod yn ffwythiant di-dor ar y cyfwng caeedig {\displaystyle [a,b]}, ac yn ddifferadwy ar y cyfwng agored {\displaystyle (a,b)}, lle{\displaystyle a<b}. Yna bodolir rhyw {\displaystyle c} o fewn {\displaystyle (a,b)} fel bod

{\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}
Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn cyffredinoli theorem Rolle, sydd â'r dybiaeth bod {\displaystyle f(a)=f(b)}, hynny yw bod ochr dde'r mynegiant uchod yn sero.

Mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dal i fod yn ddilys mewn lleoliad ychydig yn fwy cyffredinol. Nid oes ond angen tybio hynny{\displaystyle f:[a,b]\to \mathbb {R} } yn barhaus ar{\displaystyle [a,b]}, a hynny am bob {\displaystyle x} yn{\displaystyle (a,b)} y terfyn

Mae'r mynegiant {\displaystyle {\frac {f(b)-f(a)}{(b-a)}}} yn rhoi graddiant y llinell sy'n ymuno'r pwyntiau {\displaystyle (a,f(a))} ac {\displaystyle (b,f(b))}, sy'n gord i graff {\displaystyle f}. Mae{\displaystyle f'(x)} yn rhoi graddiant y tangiad i'r gromlin yn y pwynt {\displaystyle (x,f(x))}. Felly mae'r theorem gwerth-cymedrig yn dweud, o ystyried unrhyw gord cromlin esmwyth, y gallwn ddod o hyd i bwynt sy'n gorwedd rhwng diweddbwyntiau'r cord fel bod y tangiad ar y pwynt hwnnw yn baralel i'r cord.

Prawf
-----

Diffiniwch {\displaystyle g(x)=f(x)-rx}, lle mae {\displaystyle r} yn gysonyn. Gan fod {\displaystyle f} yn ddi-dor ar {\displaystyle [a,b]} ac yn ddifferadwy ar {\displaystyle (a,b)}, mae'r un peth yn wir am {\displaystyle g}. Rydyn ni nawr eisiau dewis {\displaystyle r} fel bod {\displaystyle g} yn bodloni amodau theorem Rolle, sef

O theorem Rolle, gan fod {\displaystyle g} yn ddifferadwy ac mae {\displaystyle g(a)=g(b)}, mae yna bodoler rhyw {\displaystyle c} o fewn {\displaystyle (a,b)} lle mae {\displaystyle g'(c)=0}. Mae'n dilyn o'r hafaliad {\displaystyle g(x)=f(x)-rx} bod,

{\displaystyle {\begin{aligned}&g'(x)=f'(x)-r\\&g'(c)=0\\&g'(c)=f'(c)-r=0\\&\Rightarrow f'(c)=r={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}\end{aligned}}}

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  J. J. O'Connor and E. F. Robertson (2000). Paramesvara Archifwyd 2015-04-02 yn y Peiriant Wayback. *MacTutor History of Mathematics archive*.
2. ↑  Ádám Besenyei. "Historical development of the mean value theorem" (PDF).