Animeiddiad sy'n arddangos y triawd Pythagoraidd symlaf, 32 + 42 = 52.
Set o rifau yw'r **triawdau Pythagoraidd**, sef tri cyfanrif positif *a*, *b*, ac *c*, lle mae *a*2 + *b*2 = *c*2. Yn aml, caiff y rhifau triphlyg hyn eu sgwennu fel (*a*, *b*, *c*), a'r enghraifft fwyaf adnabyddus yw (3, 4, 5). Os yw (*a*, *b*, *c*) yn driawd Pythagoraidd, yna
mae (*ka*, *kb*, *kc*) hefyd, ar gyfer unrhyw cyfanrif positif *k*.

**Triawd cysefin Pythagoraidd** yw'r set lle mae *a*, *b* ac *c* yn 'gyd-gysefin' (*coprime*), hynny yw, nid oes ganddynt rannydd cyffredin mwy nag 1. Mae'r triongl a gaiff ei ffurfio gyda rhifau triphlyg Pythagoras yn driongl ongl sgwâr, a gelwir ef yn **"driongl Pythagoras"**.

O fewn Theorem Olaf Fermat, mae gan yr hafaliad Pythagoraidd *x*2 + *y*2 = *z*2 nifer anfeidraidd o gyfanrifau positif ar gyfer *x*, *y*, a *z*; sef y triawdau Pythagoraidd hyn.

Daw'r enw o theorem Pythagoras, ac mae'n nodi fod hyd holl ochrau triongl yn bodloni'r fformiwla *a*2 + *b*2 = *c*2. Felly, y triawd yw'r dair ochr hyn, y tri cyfanrif yma o'r triongl ongl sgwâr. Sylwer fod yn rhaid i'r ochrau fod yn gyfanrifau. Er enghraifft, er bod triongl gyda'i hochrau yn *a* = *b* = 1 and *c* = √2 yn driongl ongl sgwâr, nid yw (1, 1, √2) yn driawdau Pythagoraidd gan nad yw √2 yn gyfanrif. Ar ben hyn, nid oes gan 
1 a √2 rannydd cyffredin sy'n gyfanrif, gan nad yw √2 yn anghymarebol.

Gŵyr mathemategwyr am driawdau Pythagoraidd ers canrifoedd ac mae'r enghraifft gynharaf ohonynt i'w weld ar lechen o glai a elwir yn "Plimpton 322" ac a ganfuwyd ym Mabilon ac a ysgythrwy i mewn i'r clai tua 1800 CC. Fe'i canfuwyd gan Edgar James Banks ychydig wedi 1900.

Enghreifftiau
-------------

Ceir 16 triawd cysefin Pythagoraidd, gyda *c* ≤ 100:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (3, 4, 5) | (5, 12, 13) | (8, 15, 17) | (7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | (9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

Noder, fodd bynnag, nad yw (6, 8, 10) yn driawd cysefin Pythagoraidd, gan ei fod yn lluoswm o (3, 4, 5).

Yn ychwanegol at y rhain, mae'r canlynol yn driawdau cysefin Pythagoraidd gyda 100 < *c* ≤ 300:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (20, 99, 101) | (60, 91, 109) | (15, 112, 113) | (44, 117, 125) |
| (88, 105, 137) | (17, 144, 145) | (24, 143, 145) | (51, 140, 149) |
| (85, 132, 157) | (119, 120, 169) | (52, 165, 173) | (19, 180, 181) |
| (57, 176, 185) | (104, 153, 185) | (95, 168, 193) | (28, 195, 197) |
| (84, 187, 205) | (133, 156, 205) | (21, 220, 221) | (140, 171, 221) |
| (60, 221, 229) | (105, 208, 233) | (120, 209, 241) | (32, 255, 257) |
| (23, 264, 265) | (96, 247, 265) | (69, 260, 269) | (115, 252, 277) |
| (160, 231, 281) | (161, 240, 289) | (68, 285, 293) |

Cynhyrchu triawdau
------------------

Triawd cysefin Pythagoraidd. Gwelir yma'r 'coesyn' odrifol *a* ar yr echelin llorweddol a'r coesyn *b* ar yr echelin fertig. Cynhyrchwyd y grid cromlinog hwn gyda chromlinau o'r cysonyn *m* − *n* a'r cysonyn *m* + *n* o fewn fformiwl Euclid.
Mae 'fformiwla Euclid' yn fformiwla ffwndamental ar gyfer cynhyrchu triawdau Pythagoraidd, o dderbyn parau o gyfanrifau *m* ac *n* gyda *m* > *n* > 0. Noda'r fformiwla fod y cyfanrifau

{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2}}
yn ffurfio triawd Pythagoraidd.

Mae'r triawd a gynhyrchir o fformiwla Euclid yn gysefin os a dim ond os yw *m* ac *n* yn gyd-gysefin ac nad yw'r ddau yn odrifau.

Gweler hefyd
------------

* Rhannydd cyffredin mwyaf

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Long (1972, p. 48)
2. ↑  Joyce, D. E. (June 1997), "Book X , Proposition XXIX", *Euclid's Elements*, Clark University,
3. ↑  Mitchell, Douglas W. (July 2001), "An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples", *The Mathematical Gazette* **85** (503): 273–5, doi:10.2307/3622017, JSTOR 3622017