Gellir cynrychioli rhif cymhlyg, yn weledol, fel pâr o rifau (*a*, *b*) sy'n ffurfio fector ar ddiagram o'r enw 'diagram Argand', sy'n cynrychioli'r 'plân gymhlyg'. "Re" yw'r echelin real, "Im" yw'r echelin dychmygol, ac mae *i* yn bodloni *i*2 = −1.
**Rhif cymhlyg** yw'r rhif y gellir ei fynegi fel *a* + *bi*, lle mae *a* a *b* yn rhifau real, ac mae *i* yn ateb i'r hafaliad *x*2 = −1. Gan nad oes unrhyw rif real yn bodloni'r hafaliad hwn, gelwir *i* yn "rhif dychmygol". Ar gyfer y rhif cymhlyg *a* + *bi*, gelwir *a* yn "rhan real", a gelwir *b* yn "rhan ddychmygol". Er gwaethaf yr ystyr arferol i'r gair "dychmygol", ystyrir rhifau cymhlyg yn y gwyddorau mathemategol yn "gwbwl real", fel rhifau real, ac maent yn sylfaenol mewn sawl agwedd o'r disgrifiad gwyddonol o'r byd naturiol.

Gellir diffinio'r system rhif cymhlyg fel estyniad algebraidd o'r rhifau real cyffredin trwy rif dychmygol *i*. Mae hyn yn golygu y gellir ychwanegu, tynnu a lluosi rhifau cymhlyg, fel polynomialau yn y newidyn i, gyda'r rheol *i*2 = −1 wedi'i osod. At hynny, gellir rhannu rhifau cymhlyg hefyd gyda rhifau cymhlyg di-sero. Ar y cyfan, mae'r system rhif cymhlyg yn faes o fewn mathemateg.

Mae rhifau cymhlyg yn arwain at theorem sylfaenol algebra: mae gan bob hafaliad polynomial nad yw'n gyson â chyfernodau (neu 'gyd-berthynas'; *coefficients*) ateb cymhleth. Mae'r nodwedd hon yn wir am y rhifau cymhlyg, ond nid y rhifau real. Credir bod y mathemategydd Eidalaidd o'r 16g, Gerolamo Cardano, wedi cyflwyno rhifau cymhlyg yn ei ymdrechion i ddod o hyd i atebion i hafaliadau ciwbig.

Mewn geometreg, mae rhifau cymhlyg yn ymestyn y cysyniad o'r linell-rif un dimensiwn i'r plân gymhlyg dau ddimensiwn, trwy ddefnyddio'r echel lorweddol ar gyfer y rhan real a'r echelin fertigol ar gyfer y rhan ddychmygol. Gellir adnabod y rhif cymhlyg *a* + *bi* gyda'r pwynt (*a*, *b*) yn y plân gymhlyg.

Gellir dweud fod rhif cymhlyg y mae ei ran real yn sero yn rhif dychmygol llwyr; mae'r pwyntiau ar gyfer y rhifau hyn yn gorwedd ar echelin fertigol y plân gymhlyg. Mae rhif cymhlyg y mae ei ran ddychmygol yn sero yn gallu cael ei ystyried yn rhif go iawn; mae ei bwynt yn gorwedd ar echel lorweddol y plân gymhlyg. Gellir hefyd gynrychioli rhifau cymhlyg mewn ffurf pegynnol, sy'n cysylltu pob rhif cymhlyg gyda'i bellter o'r tarddiad (ei faint) a chydag ongl benodol a elwir yn "argiau (neu 'ymresymiad') y rhif cymhlyg" hwn.

Fel hyn, diffinnir rhif cymhlyg fel polynomial gyda chyfernodau go-iawn yn yr un amhenodol *i*, lle mae ei berthynas *i*2 + 1 = 0 ar ei gyfer. Yn seiliedig ar y diffiniad hwn, gellir adio a lluosi rhifau cymhlyg, gan ddefnyddio'r adio a'r lluosi ar gyfer polynomialiaid. Mae'r berthynas *i*2 + 1 = 0 yn cymell y cydraddoldebau i *i*4*k* = 1, *i*4*k*+1 = *i*, *i*4*k*+2 = −1, ac*i*4*k*+3 = −*i*, sy'n dal yr holl gyfanrifau k; mae'r rhain yn caniatáu lleihau unrhyw polynomial sy'n deillio o adio a lluosi rhifau cymhlyg i bolynomial llinol yn i, ac eto o'r ffurf *a* + *bi* gyda chyfernodau go-iawn a, b.

Trosolwg
--------

Ceir atebion i rai hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau cymhlyg, ond ni cheir atebion i hafaliadau sy'n ymwneud â rhifau real. Er enghraifft, nid oes i'r hafaliad:

{\displaystyle (x+1)^{2}=-9}
ateb real, gan na all sgwâr rhif real fod yn negatif.
Mae gan rhifau cymhlyg ateb i'r broblem hon. Gellir ymestyn y rhifau real gydag "***i***" amhenderfynedig (*indeterminate*), a elwir, weithiau, yn "uned amhenderfynedig" ac a ddefnyddir i fodloni'r berthynas *i*2 = −1, fel bod atebion i broblemau fel hyn yn bosibl. Yn yr achos yma, yr ateb yw: −1 + 3*i* and −1 − 3*i*. Gellir dilysu hyn gan ddefnyddio'r ffaith fod *i*2 = −1:

{\displaystyle ((-1+3i)+1)^{2}=(3i)^{2}=(3^{2})(i^{2})=9(-1)=-9,}
{\displaystyle ((-1-3i)+1)^{2}=(-3i)^{2}=(-3)^{2}(i^{2})=9(-1)=-9.}
Yn ôl theorem sylfaenol algebra, mae pob hafaliad polynomial a wneir hyda rhifau real neu gymhlyg gydag un newidyn, yn rhoi ateb a roddir mewn rhifau cymhlyg.

Yn grynno
Mynegir rhif cymhlyg gyda'r nodiant

{\displaystyle a+bi\ }
lle mae *a* a *b* yn rhifau real. *i* yw'r *uned ddychmygol*, ac fe'i diffinnir fel y gwerth ar gyfer *x* sy'n bodloni'r hafaliadau canlynol:

{\displaystyle x^{2}+1=0\,}
{\displaystyle x^{2}=-1\,}
{\displaystyle x={\sqrt {-1}}\,}

Diffiniad
---------

Rhif cymhlyg yw nifer o'r ffurf *a* + *bi* lle mae a a b yn rhifau real, ac *i* yn amhenodol sy'n bodloni *i*2 = −1. Er enghraifft, mae 2 + 3*i* yn rhif cymhlyg. 

Gelwir y rhif real yn y *rhan real* o'r nifer cymhlyg *a* + *bi*; a gelwir y rhif real b yn *rhan ddychmygol*. I bwysleisio nad oes gan y rhan ddychmygol ffactor i; hynny yw, y rhan ddychmygol yw b, ac nid *bi*.

Nodiant
-------

Gellir ystyried rhif real a fel rhif cymhlyg *a* + 0*i*, lle mae ei ran ddychmygol yn 0. Mae'r rhif dychmygol *bi* yn rhif cymhlyg 0 + *bi*, lle mae eu rhan real yn sero. Yn yr un modd â pholynomialiaid, mae'n arferol ysgrifennu a gyfer *a* + 0*i* a *bi* gyfer 0 + *bi*. Ar ben hynny, pan fo'r rhan ddychmygol yn negyddol, hynny yw, *b* = −*|b|* < 0, ysgrifennir *a* − *|b|i* yn lle *a* + (−*|b|*)*i*; er enghraifft, ar gyfer *b* = −4, gellir ysgrifennu 3 − 4*i* yn hytrach na 3 + (−4)*i*.

Dynodir rhan go iawn rhif cymhlyg z gyda Re(*z*), {\displaystyle {\mathcal {Re}}(z)}, neu {\displaystyle {\mathfrak {R}}(z)} ; dynodir rhan ddychmygol rhif cymhleth z gyda Im(*z*), {\displaystyle {\mathcal {Im}}(z)}, neu {\displaystyle {\mathfrak {I}}(z).} Er enghraifft:


Re
⁡
(
2
+
3
i
)
=
2

 and 

Im
⁡
(
2
+
3
i
)
=
3
 
.

{\displaystyle \operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.}

{\displaystyle \operatorname {Re} (2+3i)=2\quad {\text{ and }}\quad \operatorname {Im} (2+3i)=3~.}Dynodir y set o'r holl rifau cymhlyg gan {\displaystyle \mathbb {C} }(testun trwm bwrdd du ) neu **C** (testun trwm unionsyth).

Mewn rhai disgyblaethau, yn enwedig ym maes electromagnetiaeth a pheirianneg drydanol, defnyddir j yn lle i gan fod i yn cael ei ddefnyddio'n aml i gynrychioli cerrynt trydan. Yn yr achosion hyn, ysgrifennir y rhifau cymhlyg fel *a* + *bj*, neu .*a* + *jb*

Delweddu
--------

 Rhif cymhleth z, fel pwynt (du) a'i fector safle (glas)
Felly gellir nodi rhif cymhlyg z gyda phâr trefnus {\displaystyle (\Re (z),\Im (z))} o rifau real, y gellir yn eu tro eu dehongli fel cyfesurynnau pwynt mewn gofod dau ddimensiwn. Y gofod mwyaf uniongyrchol yw'r plân Ewclidaidd gyda chyfesurynnau addas, a elwir wedyn yn blân cymhlyg neu *ddiagram Argand,* a enwir ar ôl Jean-Robert Argand. Gofod amlwg arall y gellir rhagamcanu'r cyfesurynnau arno yw arwyneb dau ddimensiwn sffêr, a elwir wedyn yn sffêr Riemann.

### Plân cymhlyg pegynol

 Mae dadl φ a modwlws r lleoli pwynt yn y plân cymhlyg.
Dewis arall ar gyfer cyfesurynnau yn y plân cymhlyg yw'r system gyfesurynnau pegynol sy'n defnyddio pellter y pwynt z o'r tarddiad (O), a'r ongl wedi'i hymestyn rhwng yr echel real gpositif a'r segment llinell Oz mewn ystyr gwrthglocwedd. Mae hyn yn arwain at ffurf begynol rhifau cymhlyg.

*Gwerth absoliwt* (neu *fodwlws* neu *faint*) rhif cymhlyg *z* = *x* + *yi* yw


r
=

|

z

|

=

x

2

+

y

2

.

{\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}

{\displaystyle r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}.}Os yw z yn rhif real (hynny yw, os *y* = 0), yna *r* = |*x*|. Hynny yw, mae gwerth absoliwt rhif real yn hafal i'w werth absoliwt fel rhif cymhlyg.

Yn ôl theorem Pythagoras, gwerth absoliwt rhif cymhlyg yw'r pellter i darddiad y pwynt sy'n cynrychioli'r rhif cymhlyg yn y plân cymhlyg.

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  Gweler: Nicolas Bourbaki, "1. Foundations of mathematics; logic; set theory", *Elements of the history of mathematics*, Springer, pp. 18–24.
2. ↑  Penrose, Roger (2016). *The Road to Reality: A Complete Guide to the Laws of the Universe* (arg. reprinted). Random House. tt. 72–73. ISBN 978-1-4464-1820-8. tud. 73: "complex numbers, as much as reals, and perhaps even more, find a unity with nature that is truly remarkable. It is as though Nature herself is as impressed by the scope and consistency of the complex-number system as we are ourselves, and has entrusted to these numbers the precise operations of her world at its minutest scales."
3. ↑  Nicolas Bourbaki (1988). "VIII.1". *General topology*. Springer-Verlag.
4. ↑  Burton (1995, p. 294)
5. ↑  Axler, Sheldon (2010). *College algebra*. Wiley. t. 262. ISBN 9780470470770.
6. 1 2  "Complex Numbers". *www.mathsisfun.com*. Cyrchwyd 2020-08-12.
7. ↑  Spiegel, M.R.; Lipschutz, S.; Schiller, J.J.; Spellman, D. (14 April 2009). *Complex Variables*. Schaum's Outline Series (arg. 2nd). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161569-3.
8. ↑  Aufmann, Richard N.; Barker, Vernon C.; Nation, Richard D. (2007). "Chapter P". *College Algebra and Trigonometry* (arg. 6). Cengage Learning. t. 66. ISBN 978-0-618-82515-8.
9. ↑  Brown, James Ward; Churchill, Ruel V. (1996). *Complex variables and applications* (arg. 6th). New York: McGraw-Hill. t. 2. ISBN 978-0-07-912147-9. In electrical engineering, the letter *j* is used instead of *i*.
10. ↑  Pedoe, Dan (1988). *Geometry: A comprehensive course*. Dover. ISBN 978-0-486-65812-4.
11. ↑  Weisstein, Eric W. "Complex Number". *mathworld.wolfram.com*. Cyrchwyd 2020-08-12.
12. ↑  See (Apostol 1981), page 18.

1. ↑  "The plane {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} whose points are identified with the elements of {\displaystyle \mathbb {C} } is called the complex plane" ... "The complete geometric interpretation of complex numbers and operations on them appeared first in the work of C. Wessel (1799). The geometric representation of complex numbers, sometimes called the "Argand diagram", came into use after the publication in 1806 and 1814 of papers by J.R. Argand, who rediscovered, largely independently, the findings of Wessel". — (Solomentsev 2001)