Mewn rhesymeg a mathemateg, mae **rhesymeg osodiadol** (neu **galcwlws gosodiadol**) yn system ffurfiol lle gellir ffurfio fformwlâu sy'n cynrychioli gosodiadau trwy gyfuno gosodiadau atomaidd gan ddefnyddio cysylltion rhesymegol, a system o reolau prawf ffurfiol sy'n galluogi dangos fod fformwlâu neilltuol yn "theoremau" o fewn y system.

Mae'r isod yn amlinellu rhesymeg osodiadol safonol. Gellir ffurfio systemau sydd mwy neu lai'n gywerth, ond sy'n amrywio o ran (1) eu hiaith, hynny yw, eu casgliad o symbolau atomaidd a symbolau gweithredyddion, (2) eu set o wirebau, a (3) y set o reolau didwytho.

Disgrifiad cyffredinol o resymeg osodiadol
------------------------------------------

System ffurfiol, {\displaystyle {\mathcal {L}}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )}, yw **rhesymeg osodiadol**, gyda'i fformwlâu wedi eu llunio fel a ganlyn:

* Mae'r *set alffa*, {\displaystyle \mathrm {A} \!}, yn set feidraidd o elfennau a gelwir yn neu'n *newidynnau gosodiadol*. O safbwynt cystrawennol, rhain yw elfennau mwyaf sylfaenol yr iaith ffurfiol {\displaystyle {\mathcal {L}}}, ac fe'u celwir yn *fformwlâu atomig* yn rhinwedd hynny. Yn yr enghreifftiau a ganlyn, y llythrennau *p*, *q*, *r* ac yn y blaen yw elfennau {\displaystyle \mathrm {A} \!}.
* Set feidraidd o elfennau a gelwir yn *symbolau gweithredyddion* yw'r *set omega*, {\displaystyle \Omega \!}. Dosrennir {\displaystyle \Omega \!} yn is-setiau cyd-anghynwysol fel a ganlyn:

{\displaystyle \Omega =\Omega \_{0}\cup \Omega \_{1}\cup \ldots \cup \Omega \_{j}\cup \ldots \cup \Omega \_{m}\,.}
Yn y dosraniad hwn, {\displaystyle \Omega \_{j}\!} yw'r set o symbolau gweithredyddion gydag *ol-der* {\displaystyle j\!}.
Mewn rhai rhesymegau gosodiadol cyffredin, dosrennir {\displaystyle \Omega \!} fel a ganlyn:
{\displaystyle \Omega \_{1}=\{\lnot \}\,,}
{\displaystyle \Omega \_{2}\subseteq \{\land ,\lor ,\rightarrow ,\leftrightarrow \}\,.}
Yn aml, caiff gwerth rhesymegol ei drin fel gweithredydd ag ol-der sero, felly:
{\displaystyle \Omega \_{0}=\{0,\ 1\}\,.}
Defnyddia rai awduron (~) yn lle (¬), a defnyddia rai (&) yn lle ({\displaystyle \land }). Amrywia nodiant yn fwy fyth o ran y set o werthoedd rhesymegol, gyda symbolau megis {gwir, an-wir}, {F, T}, {0, 1}, ac {{\displaystyle \bot }, {\displaystyle \top }} i'w gweld mewn sawl cyd-destun.
* Gan ddibynnu ar y cystrawen a defnyddir, gall fod symbolau ychwanegol, cystrawennol, megis "(", a ")", yn angenrheidiol i gwblhau fformwlâu.

Diffinnir yr *iaith* (ffurfiol) {\displaystyle {\mathcal {L}}} (a gelwir hefyd yn set o *fformwlâu*, neu'n *fformwlwâu-iawn-ffurfedig*), yn anwythol neu'n iterus gan y rheolau canlynol:

1. Sylfaen. Mae unrhyw elfen o'r set {\displaystyle \mathrm {A} \!} yn frawddeg o {\displaystyle {\mathcal {L}}}.
2. Cam (i). os mae *p* yn frawddeg, yna mae ¬*p* yn frawddeg.
3. Cam (ii). os mae *p* a *q* yn frawddegau, yna mae (*p* {\displaystyle \land } *q*), (*p* ∨ *q*), (*p* → *q*), a (*p* ↔ *q*) yn frawddegau.
4. Cau. Does dim byd arall yn frawddeg.

* Mae'r *set zeta,* {\displaystyle \mathrm {Z} \!}, yn set feidraidd o *reolau trawsffurfio* a gelwir yn *rheolau didwythiad* pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.
* Mae'r *set iota,* {\displaystyle \mathrm {I} \!}, yn set feidraidd o *bwyntiau cychwynnol* a gelwir yn *wirebau* pan mae cymhwysiad rhesymegol iddynt.

Enghraifft allweddol. System gyda gwirebau syml
-----------------------------------------------

Gadewch i {\displaystyle {\mathcal {L}}\_{1}={\mathcal {L}}\ (\mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} )}, lle diffinnir {\displaystyle \mathrm {A} ,\ \Omega ,\ \mathrm {Z} ,\ \mathrm {I} } fel a ganlyn:

* Mae'r set {\displaystyle \mathrm {A} \!} digon fawr i fodloni anghenion y drafodaeth:

{\displaystyle \mathrm {A} =\{p,q,r,s,t,u\}\,.}
er enghraifft. O'r tri cysylltydd ar gyfer "ac," "neu," ac "ymhlyga," (∧, ∨, a →), gellir cymryd un fel symbol cyntefig, a diffinio'r lleill gan ei ddefnyddio ynghyd â "nacáu" (¬). (Yn wir, gellir diffinio'r cysylltyddion i gyd yn nhermau un gweithredydd. Wrth gwrs, gellir diffinio "yn unfath â" (↔) yn nhermau'r symbolau eraill, gyda a ↔ b wedi'i diffinio'n (a → b) ∧ (b → a).

Mae fabwysiadu (¬) a (→) fel dau weithredydd cyntefig y resymeg osodiadol dan sylw, yn cyfateb i gael y dosraniad canlynol o {\displaystyle \Omega =\Omega \_{1}\cup \Omega \_{2}}:

{\displaystyle \Omega \_{1}=\{\lnot \}\,.}
{\displaystyle \Omega \_{2}=\{\rightarrow \}\,.}
Darganfu Jan Łukasiewicz system o wirebau sy'n deillio rhesymeg osodiadol. Y gwirebau yw'r fformwlâu canlynol, gydag unrhyw fformwla dilys wedi mewnosod yn lle'r newidynnau:

* {\displaystyle p\to (q\to p)}

* {\displaystyle (p\to (q\to r))\to ((p\to q)\to (p\to r))}

* {\displaystyle (\neg p\to \neg q)\to (q\to p)}

*Modus ponens* yw'r rheol didwytho, hynny yw, o *p* a (*p* → *q*), didwyther *q*. Yna, diffinnir *a* ∨ *b* yn ¬*a* → *b*, ac *a* ∧ *b* yn ¬(*a* → ¬*b*).

|  |
| --- |
| Mae'r erthygl hon yn cynnwys term neu dermau sydd efallai wedi eu bathu'n newydd sbon: **ol-der, fformwla-iawn-ffurfedig** o'r Saesneg "*arity, well-formed-formula*". Gallwch helpu trwy safoni'r termau. |