Diagram dau ddimensiwn o sffêr.
Mae **sffêr** (enw gwrywaidd; o'r Groeg σφαῖρα - sphaira, "pelen") yn wrthrych geometrig perffaith mewn gofod tri dimensiwn; dyma wyneb pêl cwbwl gron sy'n cyfateb yn nhermau dau ddimensiwn i gylch.

Fel cylch mewn gofod dau ddimensiwn, diffinnir sffêr yn fathemategol fel y set o bwyntiau sydd i gyd ar yr un pellter *r* o bwynt penodol, ond mewn man tri dimensiwn. Y pellter *r* yw radiws y bêl, sydd wedi'i ffurfio o bob pwynt gyda pellter llai na *r* o'r pwynt a roddir, sef canolbwynt / canol y bêl fathemategol. Cyfeirir at y rhain hefyd fel "y radiws" a "chanol y cylch". Mae'r linell syth hiraf drwy'r bêl, sy'n cysylltu dwy bwynt y sffêr, yn mynd trwy'r canol gyda'i hyd, felly, ddwywaith y radiws; dyma "ddiamedr" y sffêr a'i bêl.

Ar y cae pêl-droed a mannau eraill y tu allan i fyd mathemateg, caiff y ddau air 'sffêr' a 'phêl eu cyfnewid a'u camddefnyddio'n aml. O fewn mathemateg, perchir y gwahaniaeth, lle mae sffêr yn arwyneb caeedig dau ddimensiwn, wedi'i fewnosod mewn gofod Ewclidaidd tri dimensiwn, ac ar y llaw arall, mae'r bêl yn siâp tri dimensiwn sy'n cynnwys y sffêr a phopeth y tu mewn i'r sffêr (pêl caeedig), neu, yn amlach, dim ond y pwyntiau y tu mewn, ond nid ar y sffêr (pêl agored). Nid yw'r gwahaniaeth hwn bob amser wedi'i gynnal, yn enwedig mae hen gyfeiriadau mathemategol lle ddisgrifir sffêr yn wrthrych solat. Mae hyn yn debyg i'r sefyllfa yn y plân, lle mae'r termau "cylch" a "disg" hefyd cael eu camddefnyddio.

Hafaliadau yn y gofod tri dimensiwn
-----------------------------------

Dau radiws sffêr
Mewn geometreg dadansoddol, mae sffêr sydd a'i ganol (*x*0, *y*0, *z*0) a'i radiws r yn locws i holl bwyntiau (*x*, *y*, *z*), fel bod

{\displaystyle (x-x\_{0})^{2}+(y-y\_{0})^{2}+(z-z\_{0})^{2}=r^{2}.}
Gadewch i a, b, c, d, e fod yn rhifau real, gyda *a* ≠ 0, a rhowch

{\displaystyle x\_{0}={\frac {-b}{a}},\quad y\_{0}={\frac {-c}{a}},\quad z\_{0}={\frac {-d}{a}},\quad \rho ={\frac {b^{2}+c^{2}+d^{2}-ae}{a^{2}}}.}
yna, nid oes gan yr hafaliad

{\displaystyle f(x,y,z)=a(x^{2}+y^{2}+z^{2})+2(bx+cy+dz)+e=0}
unrhyw bwyntiau real fel datrysiadau os {\displaystyle \rho <0}, ac fe'i gelwir yn "sffêr dychmygol".

Os {\displaystyle \rho =0} yna'r unig ddatrysiad o {\displaystyle f(x,y,z)=0} yw'r pwynt {\displaystyle P\_{0}=(x\_{0},y\_{0},z\_{0})} a dywedir bod yr hafaliad yn "hafaliad y sffêr pwynt". Yn olaf, yn achos {\displaystyle \rho >0}, yna {\displaystyle f(x,y,z)=0} yw hafaliad y sffêr sydd a'i ganol yn {\displaystyle P\_{0}} a'i radiws yn {\displaystyle {\sqrt {\rho }}}.

Os yw a yn yr hafaliad uchod yn sero, yna *f*(*x*, *y*, *z*) = 0 yw hafaliad y plân. Felly, gellir ystyried plân yn fath o sffêr gyda radiws anfeidraidd, sydd a'i ganolbwynt yn "bwynt anfeidraidd" (*point at infinity*).

Gellir rhoi pwyntiau sffêr gyda radiws {\displaystyle r>0} a'i ganol {\displaystyle (x\_{0},y\_{0},z\_{0})} ar baramedr, drwy:

{\displaystyle {\begin{aligned}x&=x\_{0}+r\sin \varphi \;\cos \theta \\y&=y\_{0}+r\sin \varphi \;\sin \theta \qquad (-{\pi }/2\leq \varphi \leq {\pi }/2,\;0\leq \theta <2\pi )\\z&=z\_{0}+r\cos \varphi \,\end{aligned}}}
Mae sffêr gyda'i radiws wedi'i ganoli ar sero yn arwyneb integrol o'r ffurf wahaniaethol ganlynol:

{\displaystyle x\,dx+y\,dy+z\,dz=0.}
Mae'r hafaliad hwn yn adlewyrchu safle a fectorau cyflymder pwynt, (*x*, *y*, *z*) a (*dx*, *dy*, *dz*), sy'n teithio ar y sffêr, ac sydd bob amser yn orthogonol i'w gilydd.

Cyfaint mewnol
--------------

Sffêr (mewn coch), gyda'i silindr amgylchol (mewn glas golau).
Mewn gofod tri dimensiwn, mae cyfaint oddi mewn i sffêr (sef cyfaint pêl) yn:

{\displaystyle V={\frac {4}{3}}\pi r^{3}}
lle mae r yn radiws y sffêr. Archimedes a luniodd y fformiwla hon yn gyntaf, gan fynegi fod y cyfaint y tu mewn i sffêr ddwywaith y gwahaniaeth cyfaint y sffêr a chyfaint y silindr sy'n ei amgylchynu.

Yn fyr, gellir canfod fformiwla ei gyfaint drwy ddefnyddio cyfesurynnau sfferig, gydag elfennau'r cyfaint yn

{\displaystyle dV=r^{2}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi }
fel bod

{\displaystyle V=\int \_{0}^{2\pi }\int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta \,d\varphi =2\pi \int \_{0}^{\pi }\int \_{0}^{r}r'^{2}\sin \theta \,dr'\,d\theta =4\pi \int \_{0}^{r}r'^{2}\,dr'\ ={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}
Yn ymarferol, ac fel brasamcan, mae cyfaint mewnol sffêr yn 52.4% o gyfaint y ciwb, gan fod *V* = π/6 *d*3, ble d yw diamedr y sffêr a hyd ochr y ciwb a π/6 ≈ 0.5236. Er enghraifft, mae gan sffêr gyda diamedr o 1 fetr 52.4% o gyfaint y ciwb sydd a hyd ei ymylon yn 1 fetr, neu tua 0.524 m3.

Arwynebedd
----------

Arwynebedd sffêr gyda'i radiws yn r yw:

{\displaystyle A=4\pi r^{2}.}

Cyfeiriadau
-----------

1. ↑  σφαῖρα, Henry George Liddell, Robert Scott, *A Greek-English Lexicon*, on Perseus
2. 1 2  Albert 2016, p. 54
3. ↑  Woods 1961, p. 266
4. ↑  Kreyszig (1972, p. 342)