পদার্থবিজ্ঞানের সাইন নিয়মের জন্য স্নেলের সূত্র দেখুন।
ত্রিকোণমিতিতে **সাইন নিয়ম** বা **সাইনের সূত্র** (ইংরেজি: Sine rule) বলতে একটি সমীকরণকে বোঝায় যা কোনো ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের প্রতিটির বিপরীত কোণের সাথে সম্পর্ককে চিহ্নিত করে।

ত্রিভুজের তিনটি বাহু ও তাদের বিপরীত কোণ



a

sin
⁡

α


=

b

sin
⁡

β


=

c

sin
⁡

γ


=

2
R

{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R}

{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}\,=\,{\frac {b}{\sin {\beta }}}\,=\,{\frac {c}{\sin {\gamma }}}\,=\,2R}
যেখানে *a*, *b*, ও *c* হল ত্রিভুজের বাহুত্রয়ের দৈর্ঘ্য, ও *α*, *β*, ও *γ* হল বাহুত্রয়ের বিপরীত কোণ (উপরের চিত্র দেখুন) এবং *R* হল ত্রিভুজের পরিবৃত্তের ব্যাসার্ধ। 

সাধারণত এই সূত্র সূক্ষ্মকোণী ত্রিভুজের বাহুর দৈর্ঘ্য নির্ণয়ে ব্যবহার করা হয়।

প্রমাণ
------

পরিবৃত্তসহ ত্রিভুজ
চিত্রানুসারে S হল ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল।

নিম্নে কিছু উদাহরণ দিয়ে বোঝানো হল:

### উদাহরণ ১

চিত্র ১
প্রদত্ত: বাহু *a* = 20, বাহু *c* = 24, ও কোণ *γ* = 40°. কোণ *α* এর মান জানতে চাওয়া হয়েছে।

সাইন নিয়ম অনুসারে,



sin
⁡
α

20

=

sin
⁡
(

40

∘

)

24

.

{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}

{\displaystyle {\frac {\sin \alpha }{20}}={\frac {\sin(40^{\circ })}{24}}.}

α
=
arcsin
⁡

(

20
sin
⁡
(

40

∘

)

24

)

≈

32.39

∘

.

{\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}

{\displaystyle \alpha =\arcsin \left({\frac {20\sin(40^{\circ })}{24}}\right)\approx 32.39^{\circ }.}
α এর আরেকটি মান *α* = 147.61° গৃহীত হয়নি কারণ এর জন্য *α* + *β* + *γ* > 180° হয়ে যাবে।

### উদাহরণ ২

চিত্র ২
ত্রিভুজের দুটি বাহু *a* ও *b* এর দৈর্ঘ্য উভয়েরই *x* হয় ও তৃতীয় বাহুর দৈর্ঘ্য *c* হয়, *a*, *b*, ও *c* এর বিপরীত কোণ তিনটি *α*, *β*, ও *γ* হয় তবে



α
=
β
=

180

∘

−
γ

2

=

90

∘

−

γ
2


sin
⁡
α
=
sin
⁡
β
=
sin
⁡

(

90

∘

−

γ
2

)

=
cos
⁡

(

γ
2

)



c

sin
⁡
γ

=

a

sin
⁡
α

=

x

cos
⁡

(

γ
2

)




c
cos
⁡

(

γ
2

)

sin
⁡
γ

=
x



{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}&\alpha =\beta ={\frac {180^{\circ }-\gamma }{2}}=90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\\[6pt]&\sin \alpha =\sin \beta =\sin \left(90^{\circ }-{\frac {\gamma }{2}}\right)=\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)\\[6pt]&{\frac {c}{\sin \gamma }}={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {x}{\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}}\\[6pt]&{\frac {c\cos \left({\frac {\gamma }{2}}\right)}{\sin \gamma }}=x\end{aligned}}}

পরিবৃত্তের সাথে সম্পর্ক
-----------------------

সূত্রানুসারে, বাহু ও তাদের বিপরীত কোণের সাইনের অনুপাত সর্বদা পরিব্যাসার্ধের দ্বিগুণের সমান।

### প্রমাণ

ত্রিভুজ *ADB* বৃত্তের কেন্দ্রগামী। *d* হল বৃত্তটির ব্যাস
{\displaystyle \angle AOD=} {\displaystyle 180^{\circ }}
সুতরাং, {\displaystyle \angle ABD=90^{\circ }} (অর্ধবৃত্তস্থ কোণ সর্বদা সমকোণ হয়)।



sin
⁡

δ

=

c

2
R

,

{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {c}{2R}},}

{\displaystyle \sin {\delta }={\frac {c}{2R}},}
যেখানে {\displaystyle R={\frac {d}{2}}}

{\displaystyle {\gamma }={\delta }} (যেহেতু সমবৃত্তাংশস্থ কোণ সর্বদা সমান হয়)। সুতরাং, 


sin
⁡

δ

=
sin
⁡

γ

=

c

2
R


{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}}

{\displaystyle \sin {\delta }=\sin {\gamma }={\frac {c}{2R}}}
অনুরূপে প্রমাণ করা যায়,

{\displaystyle {\frac {a}{\sin {\alpha }}}={\frac {b}{\sin {\beta }}}={\frac {c}{\sin {\gamma }}}=2R}

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  Coxeter, H. S. M. and Greitzer, S. L. *Geometry Revisited*. Washington, DC: Math. Assoc. Amer. pp. 1–3, 1967
2. ↑  "Law of Sines"। *www.pballew.net*। ২০১৮-০৯-১৮ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০১৮-০৯-১৮। উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

আরও দেখুন
---------

* কোসাইনের সূত্র

বহিঃসংযোগ
---------

* Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Sine theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
* The Law of Sines at cut-the-knot
* Degree of Curvature
* Finding the Sine of 1 Degree
* Generalized law of sines to higher dimensions