বাস্তব বিশ্লেষণে, গণিতের একটি শাখা, একটি **ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন** হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ কিছু অর্থে অসীমে রূপান্তরিত একটি ফাংশনের আচরণের মতো। একইভাবে, একটি **নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশন** হল একটি বাস্তব পরিবর্তনশীলের একটি ফাংশন যার অসীমতার আচরণ অসীমের কাছাকাছি একটি পাওয়ার ল ফাংশনের (যেমন একটি বহুপদী ) আচরণের অনুরূপ। এই শ্রেণীর ফাংশন উভয়ই জোভান কারামাটা দ্বারা প্রবর্তিত হয়েছিল,   এবং বেশ কিছু গুরুত্বপূর্ণ প্রয়োগ খুঁজে পেয়েছে, উদাহরণস্বরূপ সম্ভাব্যতা তত্ত্বে ।

মৌলিক সংজ্ঞা
------------

সংজ্ঞা ১. একটি পরিমাপযোগ্য ফাংশন *L* : (0, +∞) → (0, +∞) কে ধীর পরিবর্তনশীল বলা হবে (অসীমে) যদি সকল *a* > 0 এর জন্য,

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {L(ax)}{L(x)}}=1.}

সংজ্ঞা ২.ধরি *L* : (0, +∞) → (0, +∞)।তাহলে *L* একটি ক্রমাগত পরিবর্তনশীল ফাংশন হবে যদি এবং কেবল যদি {\displaystyle \forall a>0,g\_{L}(a)=\lim \_{x\to \infty }{\bigg |}{\frac {L(ax)}{L(x)}}{\bigg |}\in \mathbb {R} ^{+}}।সুনির্দিষ্টভাবে,সীমা টিকে নির্দিষ্ট হতে হবে।

এই সংজ্ঞা জোভান কারামাতার দেয়া।  

বিঃদ্রঃ. নিয়মিত পরিবর্তিত ক্ষেত্রে, দুটি ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশনের যোগফল আবার ধীরে ধীরে পরিবর্তিত ফাংশন।

মৌলিক বৈশিষ্ট্য
---------------

নিয়মিত পরিবর্তিত ফাংশনের কিছু গুরুত্বপূর্ণ বৈশিষ্ট্য রয়েছে:  সেগুলির একটি আংশিক তালিকা নীচে রিপোর্ট করা হয়েছে। বিংহ্যাম, গোল্ডই & টিউগেলস (১৯৮৭) দ্বারা মনোগ্রাফে নিয়মিত বৈচিত্র্যের বৈশিষ্ট্যযুক্ত বৈশিষ্ট্যগুলির আরও বিস্তৃত বিশ্লেষণ উপস্থাপন করা হয়েছে।

### সীমাবদ্ধ আচরণের সুষমতা

তত্ত্ব ১.**সংজ্ঞা ১** এবং **২** এ বর্ণিত লিমিটদ্বয় সুষম যদি *a* একটি দৃঢ় ব্যবধানএর মধ্যে সুনির্দিষ্ট। 

### কারামাটার চরিত্রায়ন উপপাদ্য

তত্ত্ব ২. প্রতিটি নিয়মিত পরিবর্তনশীল ফাংশন *f* : (0, +∞) → (0, +∞) এই রুপে থাকে, 

{\displaystyle f(x)=x^{\beta }L(x)}
যেখানে

* β একটি বাস্তব সংখ্যা,
* L একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।

**নোট** এটি বোঝায় যে **সংজ্ঞা ২** -এ ফাংশন *g*(*a*) অবশ্যই নিম্নলিখিত ফর্মের হতে হবে

{\displaystyle g(a)=a^{\rho }}
যেখানে প্রকৃত সংখ্যা *ρ* কে *নিয়মিত পরিবর্তনের সূচক* বলা হয়।

### কারামাটা প্রতিনিধিত্ব উপপাদ্য

একটি ফাংশন *L* ধীর পরিবর্তনশীল হবে যদি এবং কেবল যদি *B* > 0 যেন সকল *x* ≥ *B* এর জন্য ফাংশনটিকে এমনভাবে লেখা যায়

{\displaystyle L(x)=\exp \left(\eta (x)+\int \_{B}^{x}{\frac {\varepsilon (t)}{t}}\,dt\right)}
যেখানে

* *η*(*x*) একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা একটি সসীম সংখ্যায় মিলিত হয় যখন *x* অসীমে পৌঁছায়
* *ε*(*x*) একটি বাস্তব চলকের সীমাবদ্ধ পরিমাপযোগ্য ফাংশন যা শূন্যে মিলিত হয় যখন অসীমে পৌঁছায়।

উদাহরণ
------

* যদি *L* এর একটি সীমা থাকে

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }L(x)=b\in (0,\infty ),}
তাহলে *L* একটি ধীর পরিবর্তনশীল ফাংশন।
* যে কোনো *β* ∈ **R** এর জন্য, ফাংশন *L*(*x*) = log*β* *x* ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয়।
* ফাংশন *L*(*x*) = *x* ধীরে ধীরে পরিবর্তিত হয় না, *L*(*x*) = *x**β* ও হয় না যেকোনো বাস্তব *β*≠ 0 এর জন্য।তবে এই ফাংশন নিয়মিত পরিবর্তনশীল।

আরো দেখুন
---------

* বিশ্লেষণাত্মক সংখ্যা তত্ত্ব
* হার্ডি-লিটলউড টবেরিয়ান উপপাদ্য এবং কারামাটা দ্বারা এর চিকিত্সা

মন্তব্য
-------

1. 1 2 3  See (Galambos ও Seneta 1973)
2. 1 2  See (Bingham, Goldie এবং Teugels 1987).

তথ্যসূত্র
---------

* Bingham, N.H. (2001) [1994], "Karamata theory", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press
* Bingham, N. H.; Goldie, C. M.; Teugels, J. L. (1987), Regular Variation, Encyclopedia of Mathematics and its Applications, vol. 27, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-30787-2, MR 0898871, Zbl 0617.26001
* .Galambos, J.; Seneta, E. (১৯৭৩), "Regularly Varying Sequences", *Proceedings of the American Mathematical Society*, **41** (1): 110–116, আইএসএসএন 0002-9939, জেস্টোর 2038824, ডিওআই:10.2307/2038824 অবাধে প্রবেশযোগ্য উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)