জ্যামিতিতে **হিরনের সূত্র** (কখনো কখনো **হিরোর সূত্রও** বলা হয়), হিরো অব আলেকজান্দ্রিয়ার নামে, হলো তিনটি বাহু দেওয়া থাকলে ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল নির্ণয়ের সূত্র। ত্রিভুজের অন্যান্য সূত্রের মত, ত্রিভুজটির কোণ কিংবা উচ্চতার মানের প্রয়োজন নেই। 

*a*, *b* এবং *c* বাহুবিশিষ্ট *একটি ত্রিভুজ*

বর্ণনা
------

হিরনের সূত্র অনুসারে a, b এবং c বাহুবিশিষ্ট একটি ত্রিভুজের ক্ষেত্রফল হলো 

{\displaystyle A={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},}
যেখানে s হলো ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা।

{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}.}
হিরনের সূত্রটি নিম্নোক্ত ভাবেও লেখা হয়। 

{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}}
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}}
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}}}}
{\displaystyle A={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}.}

উদাহরণ
------

মনেকরি △*ABC* হলো একটি ত্রিভুজ যার *a* = 4, *b* = 13 এবং *c* = 15

ত্রিভুজটির অর্ধপরিসীমা, s হলো 

{\displaystyle s={\frac {a+b+c}{2}}={\frac {4+13+15}{2}}=16}
তাহলে ত্রিভুজটির ক্ষেত্রফল হলো 

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\sqrt {s\left(s-a\right)\left(s-b\right)\left(s-c\right)}}={\sqrt {16\cdot (16-4)\cdot (16-13)\cdot (16-15)}}\\&={\sqrt {16\cdot 12\cdot 3\cdot 1}}={\sqrt {576}}=24.\end{aligned}}}
এই উদাহরণে প্রতিটি বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা৷ তাই এটিকে হিরনের ত্রিভুজ বলা হয়৷ কিন্তু বাহুর দৈর্ঘ্য পূর্ণসংখ্যা না হলেও হিরনের সূত্র ভালোভাবে কাজ করে।

ইতিহাস
------

এই সূত্রটি আবিষ্কারের কৃতিত্ব দেওয়া হয় হিরন অব আলেকজান্দ্রিয়া কে এবং এর প্রমাণ পাওয়া যায় *মেট্রিকা* বইয়ে। ধারণা করা হয় যে, আর্কিমিডিস এই সূত্রটি দুই শতক আগেই জানতেন।

প্রমাণ
------

বিভিন্ন উপায়ে হিরনের সূত্রটি প্রমাণ করা যায়।

#### Cosine এর নিয়ম ব্যবহার করে ত্রিকোণমিতির সাহায্যে

ধরি, {\displaystyle a,b,c} হলো ত্রিভুজের তিন বাহু এবং *α*, *β*, *γ* হলো বাহু তিনটির বিপরীত কোণ। Cosine এর নিয়ম ব্যবহার করে পাই। 

{\displaystyle \cos \gamma ={\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}
প্রমাণের জন্য নিম্নোক্ত বীজগাণিতিক রাশি পাই 

{\displaystyle \sin \gamma ={\sqrt {1-\cos ^{2}\gamma }}={\frac {\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}{2ab}}.}
a হতে ত্রিভুজটির উচ্চতা *b* sin *γ*। সুতরাং, 

{\displaystyle {\begin{aligned}A&={\frac {1}{2}}({\mbox{base}})({\mbox{altitude}})\\&={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-(a^{2}+b^{2}-c^{2})^{2}}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2}))(2ab+(a^{2}+b^{2}-c^{2}))}}\\&={\frac {1}{4}}{\sqrt {(c^{2}-(a-b)^{2})((a+b)^{2}-c^{2})}}\\&={\sqrt {\frac {(c-(a-b))(c+(a-b))((a+b)-c)((a+b)+c)}{16}}}\\&={\sqrt {{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}{\frac {(a+b+c)}{2}}}}\\&={\sqrt {{\frac {(a+b+c)}{2}}{\frac {(b+c-a)}{2}}{\frac {(a+c-b)}{2}}{\frac {(a+b-c)}{2}}}}\\&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}.\end{aligned}}}
এই প্রমাণে দুটি রাশির বর্গের বিয়োগফলের সূত্র ব্যবহার করে উৎপদকে বিশ্লেষণ করা হয়েছে।

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  "Fórmula de Herón para calcular el área de cualquier triángulo" (স্পেনীয় ভাষায়)। Spain: Ministerio de Educación, Cultura y Deporte। ২০০৪। সংগ্রহের তারিখ ৩০ জুন ২০১২।
2. ↑  Kendig, Keith (২০০০-০৫-০১)। "Is a 2000-Year-Old Formula Still Keeping Some Secrets?"। *The American Mathematical Monthly*। **107** (5): 402–415। আইএসএসএন 0002-9890। ডিওআই:10.1080/00029890.2000.12005213।
3. ↑  Id, Yusuf; Kennedy, E. S. (১৯৬৯)। "A MEDIEVAL PROOF OF HERON'S FORMULA"। *The Mathematics Teacher*। **62** (7): 585–587। আইএসএসএন 0025-5769।