অন্য ব্যবহারের জন্য Leibniz's rule (disambiguation) দেখুন।

| ক্যালকুলাস |
| --- |
| বিষয়ের উপর একটি ধারাবাহিকের অংশ |
| * মৌলিক উপপাদ্য
* লাইবনিজ সমাকলন সূত্র

* ফাংশনের সীমা
* অবিচ্ছিন্নতা

* গড় মান উপপাদ্য
* রোলের উপপাদ্য

 |
| অন্তরকলন

| 
সংজ্ঞা |
| --- |
| * অন্তরজ (সাধারণীকরণ)

* অন্তরকলন
	+ অসীম
	+ ফাংশনের
	+ মোট

 |
| 
ধারণা |
| 
* অন্তরকলন স্বরলিপি
* দ্বিতীয় অন্তরক
* অন্তর্নিহিত অন্তরকলন
* লগারিদমিক অন্তরীকরন
* সম্পর্কিত হার
* টেলরের উপপাদ্য

 |
| বিধি ও পরিচিতি |
| 
* যোগ
* গুন
* শৃঙ্খল
* সূচক
* ভাগ
* লা'হোপিটাল নিয়ম
* বিপরীত
* সাধারন লাইবনিৎস
* ফা ডি ব্রুনোর সূত্র

 |

 |
| সমাকলন

|  |
| --- |
| * সমাকলনের তালিকাসমূহ
* Integral transform
 |
| 
সংজ্ঞা |
| * Antiderivative
* সমাকলন (improper)
* Riemann integral
* Lebesgue integration
* Contour integration
* Integral of inverse functions
 |
| 
Integration by |
| * Parts
* Discs
* Cylindrical shells
* Substitution (trigonometric, Weierstrass, Euler)
* Euler's formula
* Partial fractions
* Changing order
* Reduction formulae
* Differentiating under the integral sign
 |

 |
| ধারা

|  |
| --- |
| * Geometric (arithmetico-geometric)
* Harmonic
* পর্যায়ক্রমিক
* ঘাত
* দ্বিপদী
* টেলর
 |
| Convergence tests |
| * Summand limit (term test)
* Ratio
* Root
* সমাকলন
* সরাসরি তুলনা
* সীমা তুলনা
* পর্যায়ক্রমিক ধারা
* Cauchy condensation
* Dirichlet
* আবেল
 |

 |
| ভেক্টর

|  |
| --- |
| * গ্র্যাডিয়েন্ট
* ডাইভারজেন্স
* কার্ল
* ল্যাপ্লাসিয়ান
* Directional derivative
* Identities
 |
| 
Theorems |
| * Gradient
* Green's
* Stokes'
* Divergence
* generalized Stokes
 |

 |
| বহুচলক

| 
Formalisms |
| --- |
| * ম্যাট্রিক্স
* টেন্সর
* বাহ্যিক
* জ্যামিতিক
 |
| 
Definitions |
| * Partial derivative
* Multiple integral
* Line integral
* Surface integral
* Volume integral
* Jacobian
* Hessian
 |

 |
| বিশেষ
* Fractional
* Malliavin
* Stochastic
* Variations

 |
| ক্যালকুলাসের শব্দকোষ
* ক্যালকুলাসের শব্দকোষ
* ক্যালকুলাস বিষয়সমূহের তালিকা

 |
| * দে
* স
 |

ক্যালকুলাসে, **লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়ম**, গটফ্রিড উইলহেম লিবনিজের নামানুসারে, গুণের নিয়মকে সাধারণীকরণ করে (যা "লিবনিজের নিয়ম" নামেও পরিচিত)। এটা বলে যে যদি {\displaystyle f} এবং {\displaystyle g} হয় {\displaystyle n} -বার পার্থক্যযোগ্য ফাংশন, তারপর পণ্য {\displaystyle fg} এছাড়াও হয় {\displaystyle n} -সময় পার্থক্যযোগ্য এবং তার {\displaystyle n} তম ডেরিভেটিভ দ্বারা দেওয়া হয়

{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}g^{(k)},}
যেখানে {\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}} হয় দ্বিপদী সহগ এবং {\displaystyle f^{(j)}} নির্দেশ করে *j*এর ডেরিভেটিভ *f* (এবং বিশেষ করে {\displaystyle f^{(0)}=f}).

গুণের নিয়ম এবং গাণিতিক আবেশ ব্যবহার করে নিয়মটি প্রমাণ করা যেতে পারে।

দ্বিতীয় ডেরিভেটিভ
------------------

উদাহরণস্বরূপ, যদি, *n* = 2, নিয়ম দুটি ফাংশনের একটি পণ্যের দ্বিতীয় ডেরিভেটিভের জন্য একটি রাশি দেয়:

{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits \_{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}

দুটির বেশি গুণীতক
-----------------

সূত্রটি এর পণ্যটিতে সাধারণীকরণ করা যেতে পারে *m* ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন *f*1,...*f**m*.

{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits \_{k=0}^{2}{{\binom {2}{k}}f^{(2-k)}(x)g^{(k)}(x)}=f''(x)g(x)+2f'(x)g'(x)+f(x)g''(x).}
যেখানে যোগফল অ-ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সমস্ত *m* -টুপল ( *k* 1 ,... *k* *m* ) জুড়ে প্রসারিত হয় {\displaystyle \sum \_{t=1}^{m}k\_{t}=n,} এবং

{\displaystyle \left(f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{m}\right)^{(n)}=\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}\prod \_{1\leq t\leq m}f\_{t}^{(k\_{t})}\,,}
বহুপদ সহগ। এটি বীজগণিত থেকে বহুপদ সূত্রের অনুরূপ।

লাইবনিজ এর সাধারণ নিয়মের প্রমাণ আবেশ দ্বারা দেখানো যায়। ধরা যাক, {\displaystyle f} এবং {\displaystyle g} হতে {\displaystyle n}- বার ডিফারেনশিয়েবল ফাংশন। বেস কেস যখন {\displaystyle n=1} দাবি করে যে:

{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}
যা স্বাভাবিক গুণের নিয়ম এবং সত্য বলে পরিচিত। পরবর্তী, ধরুন যে বিবৃতি একটি নির্দিষ্ট জন্য ধারণ করে {\displaystyle n\geq 1,} যে,

{\displaystyle (fg)^{(n)}=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}.}
Then,

{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(n+1)}&=\left[\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k)}\right]'\\&=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}g^{(k+1)}\\&=\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum \_{k=1}^{n+1}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}\\&={\binom {n}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum \_{k=1}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+\sum \_{k=1}^{n}{\binom {n}{k-1}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n}{n}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\left(\sum \_{k=1}^{n}\left[{\binom {n}{k-1}}+{\binom {n}{k}}\right]f^{(n+1-k)}g^{(k)}\right)+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&={\binom {n+1}{0}}f^{(n+1)}g^{(0)}+\sum \_{k=1}^{n}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}+{\binom {n+1}{n+1}}f^{(0)}g^{(n+1)}\\&=\sum \_{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}f^{(n+1-k)}g^{(k)}.\end{aligned}}}
এবং তাই প্রকাশটি {\displaystyle n+1,} এর জন্য সঠিক এবং প্রমাণ সম্পূর্ণ।

মাল্টিভেরিয়েবল ক্যালকুলাস
--------------------------

বেশ কয়েকটি ভেরিয়েবলের ফাংশনের আংশিক ডেরিভেটিভের জন্য মাল্টি-ইনডেক্স নোটেশনসহ, লাইবনিজ নিয়ম আরও সাধারণভাবে বলে:

{\displaystyle \partial ^{\alpha }(fg)=\sum \_{\beta \,:\,\beta \leq \alpha }{\alpha \choose \beta }(\partial ^{\beta }f)(\partial ^{\alpha -\beta }g).}
এই সূত্রটি এমন একটি সূত্র বের করতে ব্যবহার করা যেতে পারে যা ডিফারেনশিয়াল অপারেটরগুলোর গঠনের প্রতীক গণনা করে। প্রকৃতপক্ষে, *P* এবং *Q-কে* ডিফারেনশিয়াল অপারেটর হতে দিন (সহগ সহ যা পর্যাপ্তভাবে বহুবার পার্থক্যযোগ্য) এবং {\displaystyle R=P\circ Q.} যেহেতু *R* একটি ডিফারেনশিয়াল অপারেটর, তাই *R-* এর চিহ্নটি দেওয়া হয়েছে:

{\displaystyle R(x,\xi )=e^{-{\langle x,\xi \rangle }}R(e^{\langle x,\xi \rangle }).}
একটি সরাসরি গণনা এখন দেয়:

{\displaystyle R(x,\xi )=\sum \_{\alpha }{1 \over \alpha !}\left({\partial \over \partial \xi }\right)^{\alpha }P(x,\xi )\left({\partial \over \partial x}\right)^{\alpha }Q(x,\xi ).}
এই সূত্রটি সাধারণত লাইবনিজ সূত্র নামে পরিচিত। এটি চিহ্নগুলোর স্থানের মধ্যে গঠনটি সংজ্ঞায়িত করতে ব্যবহৃত হয়, যার ফলে রিং কাঠামো প্ররোচিত হয়।

আরো দেখুন
---------

* 
*

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  Olver, Peter J. (২০০০)। *Applications of Lie Groups to Differential Equations*। Springer। পৃষ্ঠা 318–319। আইএসবিএন 9780387950006।
টেমপ্লেট:Calculus topics