*A* *B*-এর উপসেট, এবং *B* *A*-এর অধিসেট
গণিতে, বিশেষত সেট তত্ত্বে, **উপসেট** (subset), **অধিসেট** (superset) এবং **প্রকৃত** (proper) **উপসেট** বা **অধিসেট** দ্বারা একটি বিশেষ সম্পর্ক (relation) - **অন্তর্ভুক্তি**কে (inclusion) ব্যাখ্যা করা হয়। সাধারণভাবে বললে, **উপসেট** A-এর সকল সদস্য **অধিসেট** B-এর অন্তর্ভুক্ত, কিন্তু B-তে এমন সদস্যও থাকতে পারে, যা A-তে নেই (ডানের চিত্র দেখুন)।

সংজ্ঞা
------

যদি *A* ও *B* সেট হয় এবং *A*-এর প্রত্যেকটি সদস্য *B*-এরও সদস্য হয়, তবে:

* *A* হচ্ছে *B*-এর উপসেট ও প্রকাশ করা হয় *A* ⊆ *B* এভাবে,

এবং

* *B* হচ্ছে *A*-এর অধিসেট ও প্রকাশ করা হয় *B* ⊇ *A* এভাবে।

সংজ্ঞানুসারে একটি সেট তার নিজের উপসেট।

যদি *A*, *B*-এর উপসেট হয়, কিন্তু *A* ও *B* সমান না হয়, তবে *A* হচ্ছে *B*-এর *প্রকৃত* উপসেট। একে লেখা হয় *A* ⊂ *B* এভাবে। অর্থাৎ, *B*-তে এমন একটি উপাদান *x* আছে যা *A*-তে নেই। একইভাবে, *B* ⊃ *A* দ্বারা বোঝায় *B* *A*-এর প্রকৃত অধিসেট।

প্রতীক
------

উপসেটের প্রতীকগুলো মনে রাখার সহজ উপায় হল ⊆ ও ⊂ -এর সাথে ≤ ও < -এর সাদৃশ্য লক্ষ করা। যেমন, যদি *A*, *B*-এর একটি উপসেট হয় (অর্থাৎ *A* ⊆ *B*), তবে *A*-এর উপাদানগুলোর সংখ্যা *B*-এর উপাদানগুলোর সংখ্যার চেয়ে হয় কম, না হলে সমান (অর্থাৎ |*A*| ≤ |*B*|)। একইভাবে যদি *A* ও *B* সসীম সেট হয়, তবে *A* ⊂ *B* নির্দেশ করে |*A*| < |*B*|।

অনেক লেখক ওপরের রীতিটি অনুসরণ করেন না, বরং ⊂ ব্যবহার করে উপসেট নির্দেশ করেন (প্রকৃত উপসেট নয়)। প্রকৃত উপসেট নির্দেশ করার জন্য একটি দ্ব্যর্থতা নিরসনকারী প্রতীক রয়েছে, {\displaystyle \subsetneq } (বা ইউনিকোড-এ ব্যবহৃত চিহ্ন ⊊)। কোন কোন লেখক উপসেট নির্দেশ করার জন্য ⊆ এবং প্রকৃত উপসেট নির্দেশ করার জন্য {\displaystyle \subsetneq } ব্যবহার করেন এবং ⊂ একেবারেই ব্যবহার করেন না।

ওপরের মন্তব্যগুলো অধিসেটের জন্যও প্রযোজ্য।

উদাহরণ
------

* {1, 2} সেটটি {1, 2, 3} সেটের একটি প্রকৃত উপসেট।
* স্বাভাবিক সংখ্যা-র সেটটি মূলদ সংখ্যা-র সেটের একটি প্রকৃত উপসেট।
* {*x* : *x* ২০০০-এর চেয়ে বড় একটি মৌলিক সংখ্যা} সেটটি {*x* : *x* ১০০০-এর চেয়ে বড় একটি সংখ্যা} সেটের একটি (প্রকৃত) উপসেট।
* যেকোন সেট তার নিজের একটি উপসেট, তবে প্রকৃত উপসেট নয়।
* খালি সেট, যাকে ø দিয়ে নির্দেশ করা হয়, যেকোন প্রদত্ত সেট *X*-এর একটি উপসেট (এই বিবৃতিটি একটি তুচ্ছ সত্য, নিচে প্রমাণ দেখুন)। খালি সেট সব সময়ই একটি প্রকৃত উপসেট, কেবল নিজের ক্ষেত্র ছাড়া।

ধর্মাবলি
--------

**প্রস্তাবনা ১**: খালি সেট প্রতিটি সেটের একটি উপসেট।

প্রমাণ: প্রদত্ত যেকোন সেট *A*-র জন্য আমাদেরকে প্রমাণ করতে হবে ø *A*-এর একটি উপসেট। অর্থাৎ দেখাতে হবে ø-এর সব উপাদান *A*-এরও উপাদান।

কিন্তু ø-র কোন উপাদান নেই।

একজন অভিজ্ঞ গণিতবিদের জন্য "ø-র কোন উপাদান নেই, সুতরাং ø-র সব উপাদান *A*-এর উপাদান" একটি তুচ্ছ সত্য, কিন্তু গণিতে নতুন কারও জন্য এটি বোঝা কষ্টকর হতে পারে। যেহেতু ø-এর কোন সদস্য উপাদানই নেই, কীভাবে সেই "উপাদানগুলো" অন্য কোন কিছুর সদস্য উপাদান হতে পারে?

এক্ষেত্রে উলটো দিক থেকে চিন্তা করাটা সহজ। যদি আমরা প্রমাণ করতে চাই ø *A*-র উপসেট **নয়**, আমাদেরকে ø-এর এমন একটি উপাদান খুঁজে বের করতে হবে যেটি *A*-এর উপাদান নয়। কিন্তু এটি অসম্ভব , যেহেতু ø-এর কোন উপাদানই নেই। সুতরাং ø অবশ্যই *A*-এর একটি উপসেট।

নিচের প্রস্তাবনাটি প্রস্তাব করে যে অন্তর্ভুক্তি একটি আংশিক ক্রম।

**প্রস্তাবনা ২**: যদি *A*, *B* ও *C* তিনটি সেট হয় তবে নিচেরগুলো সত্য:

বিপ্রতীপতা:
* *A* ⊆ *A*

বিপরীত-প্রতিসাম্য:
* *A* ⊆ *B* এবং *B* ⊆ *A* যদি এবং কেবল যদি *A* = *B*

অতিক্রাম্য:
* যদি *A* ⊆ *B* এবং *B* ⊆ *C* তবে *A* ⊆ *C*

অন্তর্ভুক্তির অন্যান্য ধর্ম
---------------------------

The usual order on the ordinal numbers is given by inclusion.

For the power set of a set *S*, the inclusion partial order is (up to an order-isomorphism) the Cartesian product of |*S*| (the cardinality of *S*) copies of the partial order on {0,1}, for which 0 < 1.

তথ্যসূত্র
---------

* Jech, Thomas (২০০২)। *Set Theory*। Springer-Verlag। আইএসবিএন 3-540-44085-2।

বহিঃসংযোগ
---------

* উইকিমিডিয়া কমন্সে উপসেট সম্পর্কিত মিডিয়া দেখুন।

* এরিক ডব্লিউ. ওয়াইস্টাইন সম্পাদিত ম্যাথওয়ার্ল্ড থেকে "উপসেট"।