অন্য ব্যবহারের জন্য অয়লারের ধ্রুবক (দ্ব্যর্থতা নিরসন) দেখুন।

| গাণিতিক ধ্রুবক e |
| --- |
| নিবন্ধের ধারাবাহিকের অংশ |
|  |
| 
Properties |
| * Natural logarithm
* Exponential function
 |
| 
Applications |
| * compound interest
* Euler's identity
* Euler's formula
* half-lives
	+ exponential growth and decay
 |
| 
Defining e |
| * proof that e is irrational
* representations of e
* Lindemann–Weierstrass theorem
 |
| 
ব্যক্তি |
| * জন নেপিয়ার
* লেওনার্ড অয়লার
 |
| 
Related topics |
| * Schanuel's conjecture
 |
| * দে
* স
 |

e একটি গাণিতিক ধ্রুবক, যা অয়লারের সংখ্যা নামে পরিচিত। যার সাংখ্যিক মান হলো 2.718 281 828 45...। উক্ত সংখ্যাটি বিভিন্ন বৈশিষ্ট্য সম্পন্ন। এটি প্রাকৃতিক লগারিদমের ভিত্তি। এটি (1 + 1/*n*)*n* এর সীমা, যখন n এর মান অসীমের সন্নিকটবর্তী। এটি চক্রবৃদ্ধি মুনাফা অধ্যয়নে এটি ব্যবহৃত হয়। এটির কিছু কিছু অসীম ধারার যোগফল নির্ণয়েও কাজে লাগে।

{\displaystyle e=\sum \limits \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+\cdots }

ইতিহাস
------

স্কটিশ গণিতজ্ঞ জন নেপিয়ার ১৬১৮ খ্রিস্টাব্দে উক্ত ধ্রুবকটি সম্পর্কে উল্লেখ করেন। তবে ধ্রুবকটি আবিষ্কার ও সংজ্ঞায়িত করার কৃতিত্ব দেওয়া হয় জ্যাকোব বার্নোলিকে। যিনি নিম্নোক্ত রাশিটির মান বের করার চেষ্টা করছিলেন।

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}

সংজ্ঞা
------

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
অর্থাৎ e হলো প্রদত্ত রাশিটির সীমা, যখন n এর মান অসীম পর্যন্ত বৃদ্ধি পায়। অন্য কথায়, n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, রাশিটির মান তত e এর কাছাকাছি যেতে থাকে।

মান নির্ণয়
-----------

{\displaystyle 1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+...=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}}

উক্ত অসীম ধারাটির সমষ্টি e এর সমান।

প্রমাণটাও সহজ, প্যাসক্যালের দ্বিপদী উপপাদ্য অনুযায়ী, 

{\displaystyle (1+x)^{n}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}x^{n}=1+nx+{\frac {n(n-1)x^{2}}{2!}}+{\frac {n(n-1)(n-2)x^{3}}{3!}}+\ldots }
সুতরাং, যখন {\displaystyle x={\frac {1}{n}}}, তখন,

{\displaystyle (1+{\frac {1}{n}})^{n}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\binom {n}{k}}{\biggl (}{\frac {1}{n}}{\biggr )}^{n}=1+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})}{2!}}+{\frac {1(1-{\frac {1}{n}})(1-{\frac {2}{n}})}{3!}}+\ldots }
যার সীমা হলো e (কারণ n এর মান যত বৃদ্ধি পায়, {\displaystyle {\frac {1}{n}}} এর মান তত শুন্যের দিকে কমতে থাকে)।

সূচক ফাংশন
----------

মূল নিবন্ধ: সূচক ফাংশন
{\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} এর চরম মান *x* = *e* এ ঘটে
{\displaystyle e^{x}} রাশিটিকে x এর ফাংশন হিসেবে ধরে একে সূচক ফাংশন বলা হয়। একে {\displaystyle \exp(x)}ও লেখা হয়।

ফাংশনটিকে একটি অসীম ধারা হিসেবে লেখা যায় (এই ধারাটি কোন নির্দিষ্ট x এর জন্য ফাংশনটির মান নির্ণয়েও ব্যবহৃত হয়),

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {x^{k}}{k!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\ldots }

অয়লারের অভেদ
-------------

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0\;} সমীকরণটি e কে 1, \pi এবং i এর মতন গুরুত্বপূর্ণ সংখ্যার সাথে সম্পর্কিত করে। ১৭৩৭ সালে অয়লার দেখান যে, e একটি অমূলদ সংখ্যা। ১৮৭৩ সালে হেরমিট প্রমাণ করেন যে, e একটি তুরীয় সংখ্যা(\pi পাই এর মত)

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  *বাংলা একাডেমী বিজ্ঞান বিশ্বকোষ ২য় খন্ড*। বাংলা একাডেমী। পৃষ্ঠা ১। আইএসবিএন 984-07-5373-8।
2. ↑  Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
3. ↑  Sondow, Jonathan। "e"। *Wolfram Mathworld*। Wolfram Research। সংগ্রহের তারিখ ১০ মে ২০১১।

বহিঃসংযোগ
---------


উইকিমিডিয়া কমন্সে **অয়লারের ধ্রুবক** সংক্রান্ত মিডিয়া রয়েছে।

|  |  |
| --- | --- |
| কর্তৃপক্ষ নিয়ন্ত্রণ: জাতীয় গ্রন্থাগার উইকিউপাত্তে এটি সম্পাদনা করুন | 
* জার্মানি
* ইসরায়েল
* মার্কিন যুক্তরাষ্ট্র
* চেক প্রজাতন্ত্র

 |