আর্থার কেলি (১৮২১–১৮৯৫)উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টন (১৮০৫–১৮৬৫)
**কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব** হচ্ছে আর্থার কেলি ও উইলিয়াম রোয়ান হ্যামিল্টনের নামে নামকরণকৃত রৈখিক বীজগণিতের একটি তত্ত্ব। এ তত্ত্ব অনুসারে প্রত্যেক বর্গ ম্যাট্রিক্স তার ক্যারেক্টারিস্টিক সমীকরণকে সিদ্ধ করে।

যদি A একটি প্রদত্ত *n* × *n* ক্রমের ম্যাট্রিক্স এবং *In* যদি *n* × *n* ক্রমের অভেদ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে A-এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদীকে সঙ্গায়িত করা যায় এভাবে: {\displaystyle p\_{A}(\lambda )=\det(\lambda I\_{n}-A)}। এখানে det হচ্ছে নির্ণায়ক এবং λ একটি চলক। যেহেতু {\displaystyle (\lambda I\_{n}-A)} ম্যাট্রিক্সের ভুক্তিগুলো λ এর (রৈখিক বা ধ্রুবক) বহুপদী, তাই নির্ণায়কও হবে λ এর এক চলক বিশিষ্ট n-ঘাতী বহুপদী, {\displaystyle p\_{A}(\lambda )=\lambda ^{n}+c\_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +c\_{1}\lambda +c\_{0}~}। A ম্যাট্রিক্সে স্কেলার চলক λ-এর পরিবর্তে সদৃশ বহুপদী {\displaystyle p\_{A}(A)} তৈরি করা যায়, যা এভাবে সঙ্গায়িত হয় {\displaystyle p\_{A}(A)=A^{n}+c\_{n-1}A^{n-1}+\cdots +c\_{1}A+c\_{0}I\_{n}~}। কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে এই বহুপদী রাশিটি শূন্য ম্যাট্রিক্সের সমান, অর্থাৎ {\displaystyle p\_{A}(A)=\mathbf {0} }।

উদাহরণ
------

### ১ × ১ ম্যাট্রিক্স

১ × ১ ক্রমের একটি ম্যাট্রিক্স *A* = (*a*) এর জন্য, ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী *p*(*λ*) = *λ* − *a*, আর তাই *p*(*A*) = (*a*) − *a*(1) = 0

### ২ × ২ ম্যাট্রিক্স

উদাহরণস্বরূপ, ধরি

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\3&4\end{pmatrix}}}।
এর ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী

{\displaystyle p(\lambda )=\det(\lambda I\_{2}-A)=\det \!{\begin{pmatrix}\lambda -1&-2\\-3&\lambda -4\end{pmatrix}}=(\lambda -1)(\lambda -4)-(-2)(-3)=\lambda ^{2}-5\lambda -2}
কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুযায়ী, যদি *সঙ্গায়িত* করা হয়

{\displaystyle p(X)=X^{2}-5X-2I\_{2},}
তখন

{\displaystyle p(A)=A^{2}-5A-2I\_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}।
আমরা গণনার মাধ্যমে যাচাই করতে পারি,

{\displaystyle A^{2}-5A-2I\_{2}={\begin{pmatrix}7&10\\15&22\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}5&10\\15&20\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}2&0\\0&2\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}}
সাধারণভাবে কোনো ২ × ২ ম্যাট্রিক্স,

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a&b\\c&d\\\end{pmatrix}}} এর জন্য ক্যারেক্টারিস্টিক বহুপদী  *p*(*λ*) = *λ*2 − (*a* + *d*)*λ* + (*ad* − *bc*)। সুতরাং কেলি–হ্যামিল্টন তত্ত্ব অনুসারে
{\displaystyle p(A)=A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I\_{2}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}};}

| প্রমাণ |
| --- |
| {\displaystyle A^{2}-(a+d)A+(ad-bc)I\_{2}}{\displaystyle ={\begin{pmatrix}a^{2}+bc&ab+bd\\ac+cd&bc+d^{2}\\\end{pmatrix}}-{\begin{pmatrix}a(a+d)&b(a+d)\\c(a+d)&d(a+d)\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I\_{2}}{\displaystyle ={\begin{pmatrix}bc-ad&0\\0&bc-ad\\\end{pmatrix}}+(ad-bc)I\_{2}}{\displaystyle ={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\\\end{pmatrix}}} |

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  আটিয়া, এম. এফ.; ম্যাকডোনাল্ড, আই. জি. (১৯৬৯), *Introduction to Commutative Algebra*, ওয়েস্টভিউ প্রেস, আইএসবিএন 978-0-201-40751-8 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)

বহিঃসংযোগ
---------

* Hazewinkel, Michiel, সম্পাদক (২০০১), "Cayley–Hamilton theorem", *Encyclopedia of Mathematics*, Springer Science+Business Media, আইএসবিএন 978-1-55608-010-4 উদ্ধৃতি টেমপ্লেট ইংরেজি প্যারামিটার ব্যবহার করেছে (link)
* "Proof of Cayley-Hamilton theorem by formal substitutions"। *প্ল্যানেটম্যাথ* (ইংরেজি ভাষায়)।
* "The Cayley–Hamilton theorem"। *ম্যাথপেইজেস* (ইংরেজি ভাষায়)।