০ + ১ − ২ + ৩ − ৪ + .. ধরার এর প্রথম ১৫,০০০ পদের আংশিক যোগফল।.. গ্রাফটি ডানদিকের ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা এবং বামের ঋণাত্মক পূর্ণসংখ্যার সাথে অবস্থিত।
গণিতে, ১ **− ২ + ৩ − ৪ + ···** একটি অসীম ধারা যার পদগুলি পর্যায়ক্রমিক ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা, পর্যায়ক্রমে চিহ্ন দেওয়া হয়। সিগমা সমষ্টি স্বরলিপি ব্যবহার করে সিরিজের প্রথম *m* পদগুলির যোগফল হিসাবে প্রকাশ করা যেতে পারে

অসীম সিরিজটি ভিন্ন হয়ে যায়, যার অর্থ আংশিক যোগফলের ক্রম, (1, −1, 2, −2, ...), কোন সীমাবদ্ধ সীমার দিকে ঝোঁক নেই। তা সত্ত্বেও, 18 শতকের মাঝামাঝি সময়ে, লিওনহার্ড অয়লার লিখেছিলেন যা তিনি একটি বিরোধপূর্ণ সমীকরণ বলে স্বীকার করেছিলেন:

এই সমীকরণের একটি কঠোর ব্যাখ্যা অনেক পরে আসবে না। ১৮৯০ সালে শুরু করে, আর্নেস্টো সেসারো, এমিল বোরেল এবং অন্যান্যরা অয়লারের প্রচেষ্টার নতুন ব্যাখ্যা সহ ভিন্ন ভিন্ন সিরিজে সাধারণ রাশি নির্ধারণের জন্য সু-সংজ্ঞায়িত পদ্ধতিগুলি তদন্ত করেছিলেন । 1 − 2 + 3 − 4 + ... যোগ করে না এমন কয়েকটি পদ্ধতির মধ্যে Cesàro summation হল একটি, তাই সিরিজটি হল একটি উদাহরণ যেখানে Abel summation- এর মতো একটু শক্তিশালী পদ্ধতি প্রয়োজন।

সিরিজ 1 − 2 + 3 − 4 + ... গ্র্যান্ডির সিরিজ 1 − 1 + 1 − 1 + .... অয়লার এই দুটিকে আরও সাধারণ ক্রম 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... এর বিশেষ ক্ষেত্রে হিসাবে বিবেচনা করেছেন, যেখানে যথাক্রমে *n* = 1 এবং *n* = 0 । গবেষণার এই লাইনটি ব্যাসেল সমস্যা নিয়ে তার কাজকে প্রসারিত করেছে এবং বর্তমানে ডিরিচলেট ইটা ফাংশন এবং রিম্যান জেটা ফাংশন নামে পরিচিত কার্যকরী সমীকরণের দিকে নিয়ে গেছে।

ডাইভারজেন্স
-----------

সিরিজের পদ (1, −2, 3, −4, ...) 0 এর কাছে যায় না; অতএব 1 − 2 + 3 − 4 + ... পরিভাষা দ্বারা পরিবর্তিত হয়। ডাইভারজেন্স সরাসরি সংজ্ঞা থেকেও দেখানো যেতে পারে: একটি অসীম সিরিজ একত্রিত হয় যদি এবং শুধুমাত্র যদি আংশিক রাশির ক্রম সীমাতে একত্রিত হয়, যে ক্ষেত্রে সেই সীমাটি অসীম সিরিজের মান। 1 − 2 + 3 − 4 + ... এর আংশিক যোগফল হল: 

**1**,  

1 − 2 = **−1**,  

1 − 2 + 3 = **2**,  

1 − 2 + 3 − 4 = **−2**,  

1 − 2 + 3 − 4 + 5 = **3**,  

1 − 2 + 3 − 4 + 5 − 6 = **−3**,  

...আংশিক যোগফলের ক্রম দেখায় যে সিরিজটি একটি নির্দিষ্ট সংখ্যার সাথে একত্রিত হয় না: যে কোনো প্রস্তাবিত সীমা *x এর* জন্য, একটি বিন্দু বিদ্যমান থাকে যার পরে পরবর্তী আংশিক যোগফল সবই ব্যবধানের বাইরে থাকে [*x*−1, *x*+1] ), তাই 1 − 2 + 3 − 4 + ... ভিন্ন হয়।

আংশিক যোগফল প্রতিটি পূর্ণসংখ্যাকে ঠিক একবারই অন্তর্ভুক্ত করে-এমনকি 0 যদি কেউ খালি আংশিক যোগফল গণনা করে-এবং এর ফলে সেটের গণনাযোগ্যতা প্রতিষ্ঠিত হয় {\displaystyle \mathbb {Z} } পূর্ণসংখ্যার

সাধারণীকরণ
----------

পি থেকে উদ্ধৃতি। *E212* এর 233*— প্রতিষ্ঠানের ক্যালকুলি ডিফারেনশিয়ালিস এবং সূক্ষ্ম পদ্ধতির বিশ্লেষণের সাথে সূক্ষ্ম পদ্ধতির মতবাদ* । অয়লার অনুরূপ সিরিজ যোগফল, ca. 1755।
1 − 1 + 1 − 1 + ... এর ত্রিগুণ কচি গুণফল হল 1 − 3 + 6 − 10 + ... ত্রিভুজাকার সংখ্যার পর্যায়ক্রমিক ধারা; এর অ্যাবেল এবং অয়লার যোগফল১⁄৮ 1 ⁄ 8 । 1 − 1 + 1 − 1 + ... এর চারগুণ কচি গুণফল হল 1 − 4 + 10 − 20 + ... টেট্রাহেড্রাল সংখ্যার পর্যায়ক্রমিক সিরিজ, যার অ্যাবেল যোগফল১⁄১৬ 1 ⁄ 16 ।

1 − 2 + 3 − 4 + ... একটি সামান্য ভিন্ন দিকের আরেকটি সাধারণীকরণ হল 1 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... *এর* অন্যান্য মানের জন্য সিরিজ। ধনাত্মক পূর্ণসংখ্যা *n* এর জন্য, এই সিরিজের নিম্নলিখিত অ্যাবেল যোগফল রয়েছে: 

যেখানে *B* *n* হল বার্নোলি সংখ্যা । এমনকি *n* এর জন্য, এটি হ্রাস পায়

যা রিম্যান জেটা ফাংশনের নেতিবাচক জোড় মান শূন্য বলে ব্যাখ্যা করা যেতে পারে। এই যোগফলটি 1826 সালে নিলস হেনরিক অ্যাবেলের দ্বারা বিশেষ উপহাসের বিষয় হয়ে ওঠে:
সেসারোর শিক্ষক, ইউজিন চার্লস কাতালানও ভিন্ন ভিন্ন সিরিজকে অপমান করেছেন। কাতালানদের প্রভাবে, সেসারো প্রাথমিকভাবে 1 − 2*n* + 3*n* − 4*n* + ... এর জন্য "প্রচলিত সূত্র" কে "অযৌক্তিক সমতা" হিসাবে উল্লেখ করেছিলেন এবং 1883 সালে সেসারো সেই সময়ের একটি সাধারণ দৃষ্টিভঙ্গি প্রকাশ করেছিলেন যে সূত্রগুলি মিথ্যা ছিল। কিন্তু এখনও একরকম আনুষ্ঠানিকভাবে দরকারী. অবশেষে, তার 1890 সালের *সুর লা গুণিতক ডেস সিরিজে, সেসারো* সংজ্ঞা থেকে শুরু করে একটি আধুনিক পদ্ধতি গ্রহণ করেছিলেন। 

সিরিজটি *n* এর অ-পূর্ণসংখ্যা মানের জন্যও অধ্যয়ন করা হয়; এগুলো ডিরিচলেট ইটা ফাংশন তৈরি করে। 1 − 2 + 3 − 4 + ... সম্পর্কিত সিরিজ অধ্যয়নের জন্য অয়লারের অনুপ্রেরণার অংশটি ছিল ইটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণ, যা সরাসরি রিম্যান জেটা ফাংশনের কার্যকরী সমীকরণের দিকে নিয়ে যায়। অয়লার ইতিমধ্যেই ধনাত্মক জোড় পূর্ণসংখ্যাতে ( ব্যাসেল সমস্যা সহ) এই ফাংশনগুলির মানগুলি খুঁজে বের করার জন্য বিখ্যাত হয়েছিলেন এবং তিনি ধনাত্মক বিজোড় পূর্ণসংখ্যাগুলিতে ( অ্যাপেরির ধ্রুবক সহ) মানগুলি খুঁজে বের করার চেষ্টা করেছিলেন, একটি সমস্যা যা আজও অধরা রয়ে গেছে।. বিশেষ করে ইটা ফাংশনটি অয়লারের পদ্ধতি দ্বারা মোকাবেলা করা সহজ কারণ এর ডিরিচলেট সিরিজটি সব জায়গায় অ্যাবেল সংযোজনযোগ্য; জেটা ফাংশনের ডিরিচলেট সিরিজের যোগফল যেখানে বিচ্ছিন্ন হয় তা বলা অনেক কঠিন। উদাহরণস্বরূপ, জেটা ফাংশনে 1 − 2 + 3 − 4 + ... এর কাউন্টারপার্ট হল নন-অল্টারনেটিং সিরিজ 1 + 2 + 3 + 4 + ... যার আধুনিক পদার্থবিদ্যায় গভীর প্রয়োগ রয়েছে কিন্তু এর জন্য অনেক বেশি শক্তিশালী প্রয়োজন। যোগ করার পদ্ধতি।

তথ্যসূত্র
---------