বহুপদী সমীকরণ{\displaystyle a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\dotsb +a\_{2}x^{2}+a\_{1}x+a\_{0}=0,}

আকারের সমীকরণকে *বহুপদী সমীকরণ* বলা হয়। উল্লেখ্য এখানেও n একটি ধনাত্বক পূর্ণ সংখ্যা এবং {\displaystyle a\_{0},a\_{1},a\_{2}.........a\_{n}} সহগ গুলো *x* বর্জিত সংখ্যা এবং {\displaystyle a\_{n}} অবশ্যই শূন্য নয় কারণ তা সমীকরণের সর্বোচ্চ ঘাতের সহগ।

সাধারণ ধারণা
------------

*x* এর যে মান গুলোর জন্য বহুপদী সমীকরণটি সিদ্ধ হয়, অর্থাৎ বহুপদী রাশিটির মান শূন্য হয় ঐ মানগুলোকে বহুপদী সমীকরণের মূল বলা হয়। বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত *n* হলে এবং *n=1,2,3.....n* এর জন্য বহুপদী সমীকরণকে যথাক্রমে সরল বা একঘাত সমীকরণ, দ্বিঘাত সমীকরণ, ত্রিঘাত সমীকরণ এবং বহুঘাত সমীকরণ বলা হয়।

বহুপদী সমীকরণের উল্লেখযোগ্য উপপাদ্য
-----------------------------------

1. প্রতিটি বহুপদী সমীকরণে কমপক্ষে একটি বাস্তব বা জটিল মূল থাকে।
2. *n* ঘাত বিশিষ্ট বহুপদী সমীকরণে নির্দিষ্টভাবে *n* সংখ্যক মূল থাকবে। দুই বা ততোধিক বা সবকয়টি মূল এর মান একই হতে পারে।
3. যদি কোন বহুপদী *f(x)* কে *x-a* দ্বারা ভাগ করা হয় তবে ভাগশেষ হবে f(a) এটি ভাগশেষ উপপাদ্য নামে পরিচিত।
4. যদি কোন বহুপদী রাশি *f(x)* এর একটি মূল *a* হয় তবে *x-a*, *f(x)* এর একটি উৎপাদক হবে। এটি উৎপাদক উপপাদ্য নামে পরিচিত।
5. *a+ib* যদি কোন বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হয় তবে সমীকরণে নিশ্চিত ভাবে অপর একটি মূল থাকবে যার মান *a-ib* । *a+ib* এবং *a-ib* কে পরষ্পরের অনূবন্ধী জটিল সংখ্যা বলা হয়। অবার {\displaystyle a+{\sqrt {b}}} যেখানে {\displaystyle {\sqrt {b}}} অমূলদ সংখ্যা, বহুপদী সমীকরণের একটি মূল হলে অপর মূলটি হবে {\displaystyle a-{\sqrt {b}}} এরা পরষ্পরের অনূবন্ধী অমূলদ সংখ্যা।

বহুপদী সমীকরণের মূল সহগ সম্পর্ক
-------------------------------

### দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ

কোন বহুপদী রাশির সর্বোচ্চ ঘাত যদি দুই হয় তবে তাকে দ্বিঘাত বহুপদী বলা হয়ে থাকে। ax^2+bx+c=0 একটি দ্বিঘাত বহুপদী সমীকরণ। বহুপদী সমীকরণের স্বীকার্য মতে এতে দুইটি মূল থাকবে। একটি মূলকে *{\displaystyle \alpha }* এবং অপর মূলকে *{\displaystyle \beta }* ধরা হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক হবে-

{\displaystyle \alpha +\beta =-b/a}

{\displaystyle \alpha \beta =c/a}

আবার সমীকরণকে লিখা যায়-

{\displaystyle (x-\alpha )(x-\beta )=0} অথবা {\displaystyle x^{2}-(\alpha +\beta )x+\alpha \beta =0}

#### দ্বিঘাত সমীকরণের মূলের প্রকৃতি

ax^2+bx+c=0 একটি দ্বিঘাত সমীকরণ*(a≠0)* হলে *{\displaystyle b^{2}-4ac}* এর মানকে সমীকরণের নিশ্চায়ক বলা হয়। নিশ্চায়কের মানের উপর মূলের প্রকৃতি নির্ভর করে।

{\displaystyle b^{2}-4ac>0} হলে মূলদ্বয় বাস্তব এবং অসমান

{\displaystyle b^{2}-4ac>0} এর মান পূর্ণ বর্গ হলে মূলদ্বয় মূলদ এবং {\displaystyle b^{2}-4ac>0} এর মান পূর্ণ বর্গ না হলে মূলদ্বয় অমূলদ এবং অমূলদ মূলদ্বয় পরষ্পরের অনুবন্ধী।
{\displaystyle b^{2}-4ac<0} হলে মূলদ্বয় জটিল এবং পরষ্পরের অনুবন্ধী।

{\displaystyle b^{2}-4ac=0} মূলদ্বয় বাস্তব ও সমান। এবং দ্বিপদী রাশিটি একটি পূর্ণবর্গ।

#### অন্যান্য

ax^2+bx+c=0 সমীকরণে

দুটি মূল পরস্পরের সমান ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হবে যদি *b=0* হয়।

কমপক্ষে একটি মূল শূণ্য হওয়ার শর্ত *c=0*

মূলদ্বয় পরস্পরের বিপরীত হওয়ার শর্ত *a=c*

মূলদ্বয় পরষ্পরের বিপরীত ও বিপরীত চিহ্নযুক্ত হওয়ার শর্ত *a=-c* অর্থাৎ *a+c=0*।

### ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ

{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0} আকারের সমীকরণকে ত্রিঘাত বহুপদী সমীকরণ বলা হয়। বহুপদী সমীকরণের উপপাদ্য অনুযায়ী এতে তিনটি মূল রয়েছে। মূলগুলোকে {\displaystyle \alpha }, {\displaystyle \beta } ও {\displaystyle \gamma } দিয়ে প্রকাশ করা হয়। ত্রিঘাত সমীকরণে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক নিম্নরূপ-

{\displaystyle \alpha +\beta +\gamma =-b/a}

{\displaystyle \alpha \beta +\beta \gamma +\gamma \alpha =c/a}

{\displaystyle \alpha \beta \gamma =-d/a}

### সাধারণ সম্পর্ক

{\displaystyle a\_{0}x^{n}+a\_{1}x^{n-1}+\dotsb +a\_{2}x^{n-2}+a\_{3}x^{n-3}+.......+a\_{n-1}x+a\_{n}=0,} একটি বহুপদী সমীকরণ এবং এর মূল গূলো {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\alpha \_{3},.....\alpha \_{n}} হলে মূল ও সহগের মধ্যে সম্পর্ক-

মূলের যোগফল

{\displaystyle \alpha \_{1}+\alpha \_{2}+\alpha \_{3}+......+\alpha \_{n}=-a\_{1}/a\_{0}}

দুটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

{\displaystyle \alpha \_{1}\alpha \_{2}+\alpha \_{2}\alpha \_{3}+......+\alpha \_{n}\alpha \_{1}=a\_{1}/a\_{0}}

তিনটি করে মূলের গুনফলের যোগফল

{\displaystyle \alpha \_{1}\alpha \_{2}\alpha \_{3}+\alpha \_{2}\alpha \_{3}\alpha \_{4}+.......=-a\_{2}/a\_{0}}

সবগুলো মূলের গুনফল

{\displaystyle \alpha \_{1}\alpha \_{2}\alpha \_{3}.....\alpha \_{n}=(-1)^{n}a\_{n}/a\_{0}}

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  *উচ্চমাধ্যমিক বীজগণিত ও ত্রিকোনমিতি*। আফসারুজ্জামান।  Authors list-এ `|প্রথমাংশ1=` এর `|শেষাংশ1=` নেই (সাহায্য); এখানে তারিখের মান পরীক্ষা করুন: `|সংগ্রহের-তারিখ=` (সাহায্য); `|সংগ্রহের-তারিখ=` এর `|ইউআরএল=` প্রয়োজন (সাহায্য)
2. 1 2 3 4  "বহুপদী ও বহুপদী সমীকরণ (Polynomial and polynomial equations)"। *edpdbd.org*। ১০ মার্চ ২০১৬ তারিখে মূল থেকে আর্কাইভ করা। সংগ্রহের তারিখ ২০ জুন ২০১৫।