আরএল সিরিজের দুটি মেরুর বর্তনী
একটি **রোধক–আবেশক বর্তনী** ( **আরএল বর্তনী** ), বা **আরএল ফিল্টার** বা **আরএল নেটওয়ার্ক**, রোধক এবং আবেশক এর সমন্বয়ে গঠিত একটি বৈদ্যুতিক বর্তনী যা একটি ভোল্টেজ বা বিদ্যুৎ উৎস দ্বারা চালিত। একটি প্রথম-ক্রম আরএল বর্তনী একটি রোধক এবং একটি আবেশক নিয়ে গঠিত এবং এটি আরএল বর্তনীর সহজতম ধরন।

একটি প্রথম-ক্রম আরএল বর্তনী হলো সহজতম এক এনালগ অসীম তাড়না প্রতিক্রিয়া বৈদ্যুতিক ফিল্টার । এটি একটি রোধক এবং একটি আবেশক নিয়ে গঠিত, যা ভোল্টেজ উৎস দ্বারা চালিত সিরিজ বা বর্তমান উৎস দ্বারা চালিত সমান্তরাল সংযোগে থাকে।

ভূমিকা
------

মৌলিক গৌণ রৈখিক সার্কিট উপাদানগুলো হলো রোধক (আর), ধারক (সি) এবং আবেশক (এল)। এই সার্কিট উপাদানগুলিকে কোন উপাদান ব্যবহৃত হয় তা নির্দেশকারী সংক্ষেপণ সহ চারটি স্বতন্ত্র উপায়ে বৈদ্যুতিক সার্কিট গঠনের জন্য যুক্ত করা যেতে পারে: আরসি সার্কিট, আরএল সার্কিট, এলসি সার্কিট এবং আরএলসি সার্কিট। এই সার্কিটগুলি গুরুত্বপূর্ণ ধরনের আচরণ প্রদর্শন করে যা অ্যানালগ ইলেকট্রনিক্সের ভিত্তি। বিশেষত, তারা প্যাসিভ ফিল্টার হিসাবে ভুমিকা পালন করতে সক্ষম। এই নিবন্ধটি ডায়াগ্রামে দেখানো সিরিজ এবং সমান্তরাল উভয় আরএল সার্কিট বিবেচনা করে।

তবে,বাস্তবে ধারক (এবং আরসি সার্কিট) সাধারণত আবেশকের তুলনায় জনপ্রিয় কারণ তাদের তুলনামুলক সহজে উৎপাদন করা যায় এবং সাধারণত আকারগতভাবে ছোট হয়, বিশেষত উপাদানগুলির উচ্চতর মানের জন্য।

আরসি এবং আরএল উভয় সার্কিটই একটি একক-মেরু ফিল্টার গঠন করে। প্রতিক্রিয়াশীল উপাদান (সি বা এল) লোডের সাথে সিরিজে বা সমান্তরালে রয়েছে কিনা তার উপর নির্ভর করে ফিল্টারটি নিম্ন-প্রবাহ বা উচ্চ-প্রবাহ কিনা তা নির্ধারিত হয়।

প্রায়শই আরএফ এমপ্লিফায়ারগুলির ডিসি পাওয়ার সাপ্লাই হিসাবে আরএল সার্কিট ব্যবহৃত হয়, যেখানে ডিসি বায়াস কারেন্টটি পাস করতে আর আরএফকে বিদ্যুৎ সরবরাহে ফিরে আসা অবরুদ্ধ করতে ইন্ডাক্টর ব্যবহার করা হয়।

*এই নিবন্ধটি আবেশক এর জটিল প্রতিবন্ধকতার প্রতিরূপ এর জ্ঞানের উপর ওপর এবং ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেইনে সংকেত উপস্থাপনার জ্ঞানের ওপর নির্ভর করে ।*

জটিল প্রতিবন্ধকতা
-----------------

আবেশাঙ্ক (হেনরি এককে) বিশিষ্ট একটি আবেশক এর জটিল প্রতিবন্ধকতা ZL ( ওহম এককে) হলো

{\displaystyle Z\_{L}=Ls\,.}
জটিল কম্পাঙ্ক s একটি জটিল সংখ্যা ,

{\displaystyle s=\sigma +j\omega \,,}
যেখানে

* j কাল্পনিক একক এর প্রতিনিধিত্ব করে: *j2*= −1,
* σ সূচকীয় ক্ষয় ধ্রুবক ( রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ডে), এবং
* ω কৌণিক কম্পাঙ্ক (রেডিয়ান প্রতি সেকেন্ডে)।

### আইজেন ফাংশন সমূহ

যে কোনও রৈখিক সময়-অবৈকল্পিক (এলটিআই) সিস্টেমের জটিল-মানসম্পন্ন আইজেন ফাংশনগুলি নিম্নলিখিত ধরনগুলির মধ্যে হয়:

{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {V} (t)&=\mathbf {A} e^{st}=\mathbf {A} e^{(\sigma +j\omega )t}\\\mathbf {A} &=Ae^{j\phi }\\\Rightarrow \mathbf {V} (t)&=Ae^{j\phi }e^{(\sigma +j\omega )t}\\&=Ae^{\sigma t}e^{j(\omega t+\phi )}\,.\end{aligned}}}
অয়লারের সূত্র থেকে, এই আইজেন ফাংশনগুলির বাস্তব অংশ হলো সুচকীয়ভাবে-ক্ষীয়মান সাইনোসয়েডগুলি:

{\displaystyle v(t)=\operatorname {Re} {V(t)}=Ae^{\sigma t}\cos(\omega t+\phi )\,.}
### সাইনোসয়েডাল অবিচল অবস্থা

সাইনোসয়েডাল অবিচলিত অবস্থা একটি বিশেষ ঘটনা যেখানে ইনপুট ভোল্টেজটি একটি প্রকৃত সাইনোসয়েড (কোনও সুচকীয় ক্ষয় ছাড়াই) নিয়ে গঠিত। ফলস্বরূপ,

{\displaystyle \sigma =0}
এবং s এর মূল্যায়ন

{\displaystyle s=j\omega \,.}

সিরিজ বর্তনী
------------

 সিরিজ আরএল সার্কিট
বর্তনীটিকে একটি ভোল্টেজ বিভাজক হিসাবে বিবেচনা করে আমরা দেখতে পাই যে আবেশকের দুইপাশের ভোল্টেজটি হলো:

{\displaystyle V\_{L}(s)={\frac {Ls}{R+Ls}}V\_{\mathrm {in} }(s)\,,}
এবং রোধকের দুইপাশের ভোল্টেজটি হলো:

{\displaystyle V\_{R}(s)={\frac {R}{R+Ls}}V\_{\mathrm {in} }(s)\,.}
### তড়িৎ প্রবাহ

বর্তনীটি সিরিজ সংযোগে থাকায় বর্তনীতে তড়িৎ প্রবাহ সর্বত্র সমান:

{\displaystyle I(s)={\frac {V\_{\mathrm {in} }(s)}{R+Ls}}\,.}
### স্থানান্তর ফাংশন

আবেশকের ভোল্টেজ এর স্থানান্তর ফাংশন

{\displaystyle H\_{L}(s)={\frac {V\_{L}(s)}{V\_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {Ls}{R+Ls}}=G\_{L}e^{j\phi \_{L}}\,.}
একইভাবে, রোধকের ভোল্টেজ এর স্থানান্তর ফাংশন

{\displaystyle H\_{R}(s)={\frac {V\_{R}(s)}{V\_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {R}{R+Ls}}=G\_{R}e^{j\phi \_{R}}\,.}
তড়িৎ প্রবাহের স্থানান্তর ফাংশন

{\displaystyle H\_{I}(s)={\frac {I(s)}{V\_{\mathrm {in} }(s)}}={\frac {1}{R+Ls}}\,.}
#### মেরু এবং শূন্য

স্থানান্তর ফাংশনগুলির একটি একক মেরুর অবস্থান

{\displaystyle s=-{\frac {R}{L}}\,.}
উপরন্তু, আবেশকের স্থানান্তর ফাংশনের একটি শূন্য মূলবিন্দুতে অবস্থিত ।

### গেইন এবং দশা কোণ

উভয় উপাদানের গেইনগুলি উপরের অভিব্যক্তিগুলির মান গ্রহণ করে পাওয়া যায়:

{\displaystyle G\_{L}={\big |}H\_{L}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V\_{L}(\omega )}{V\_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {\omega L}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}}
এবং

{\displaystyle G\_{R}={\big |}H\_{R}(\omega ){\big |}=\left|{\frac {V\_{R}(\omega )}{V\_{\mathrm {in} }(\omega )}}\right|={\frac {R}{\sqrt {R^{2}+\left(\omega L\right)^{2}}}}\,,}
এবং দশা কোণগুলি হলো:

{\displaystyle \phi \_{L}=\angle H\_{L}(s)=\tan ^{-1}\left({\frac {R}{\omega L}}\right)}
এবং

{\displaystyle \phi \_{R}=\angle H\_{R}(s)=\tan ^{-1}\left(-{\frac {\omega L}{R}}\right)\,.}
### ফেজর স্বরলিপি

এই অভিব্যক্তিগুলি একত্রে আউটপুট প্রতিনিধিত্বকারী ফেজরের স্বাভাবিক অভিব্যক্তিতে প্রতিস্থাপিত হতে পারে:

{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{L}&=G\_{L}V\_{\mathrm {in} }e^{j\phi \_{L}}\\V\_{R}&=G\_{R}V\_{\mathrm {in} }e^{j\phi \_{R}}\end{aligned}}}
### তাড়না প্রতিক্রিয়া

প্রতিটি ভোল্টেজের তাড়না প্রতিক্রিয়া হলো সংশ্লিষ্ট স্থানান্তর ফাংশনের বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর । এটি কোনও তাড়না বা ডায়রাক ডেল্টা ফাংশন সমন্বিত ইনপুট ভোল্টেজের জন্য সার্কিটের প্রতিক্রিয়া উপস্থাপন করে।

আবেশক ভোল্টেজের জন্য তাড়না প্রতিক্রিয়া

{\displaystyle h\_{L}(t)=\delta (t)-{\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)=\delta (t)-{\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,,}
যেখানে u ( t ) হ্যাভিসাইড বৈমাত্রেয় ফাংশন এবং **Ԏ** = সময় ধ্রুবক।

একইভাবে, রোধকের ভোল্টেজের জন্য তাড়না প্রতিক্রিয়া

{\displaystyle h\_{R}(t)={\frac {R}{L}}e^{-t{\frac {R}{L}}}u(t)={\frac {1}{\tau }}e^{-{\frac {t}{\tau }}}u(t)\,.}
### জিরো ইনপুট প্রতিক্রিয়া

কোনও আরএল সার্কিটের **জিরো ইনপুট প্রতিক্রিয়া** (জেডআইআর), একে **প্রাকৃতিক প্রতিক্রিয়াও বলে**, সার্কিটের আচরণ বর্ণনা করে যখন এটি ধ্রুবক ভোল্টেজ এবং বিদ্যুৎ প্রবাহ প্রাপ্ত হয় এবং কোনও শক্তি উৎস থেকে বিচ্ছিন্ন হয়ে যায়। একে শূন্য-ইনপুট প্রতিক্রিয়া বলা হয় কারণ এর জন্য কোনও ইনপুট প্রয়োজন হয় না।

একটি আরএল সার্কিটের জেডআইআর হলো:

{\displaystyle I(t)=I(0)e^{-{\frac {R}{L}}t}=I(0)e^{-{\frac {t}{\tau }}}\,.}
### ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন বিবেচনা

এগুলি ফ্রিকোয়েন্সি ডোমেন এক্সপ্রেশন। তাদের বিশ্লেষণগুলি দেখায় যে কোন ফ্রিকোয়েন্সি সার্কিটগুলি (বা ফিল্টারগুলি) অতিক্রম এবং প্রত্যাখ্যান করে। এই বিশ্লেষণটি ফ্রিকোয়েন্সিটি খুব বড় এবং খুব ছোট হয়ে যাওয়ার সাথে সাথে এই গেইনগুলির কী হবে তার বিবেচনার উপর নির্ভর করে।

যখন ω → ∞ :

{\displaystyle G\_{L}\to 1\quad {\mbox{and}}\quad G\_{R}\to 0\,.}
যখন ω → 0 :

{\displaystyle G\_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad G\_{R}\to 1\,.}
এটি দেখায় যে, যদি আউটপুটটি আবেশকে নেওয়া হয়, উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলি অতিক্রান্ত করা হয় এবং নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সিগুলি ক্ষয়(প্রত্যাখ্যাত) করা হয়। সুতরাং, সার্কিটটি একটি *উচ্চ-প্রবাহ ফিল্টার* হিসাবে আচরণ করে। যদি, আউটপুট রোধকে নেওয়া হয় তবে উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সি প্রত্যাখিত হয় এবং নিম্ন ফ্রিকোয়েন্সি অতিক্রান্ত হয়। এই কনফিগারেশনে, সার্কিটটি *নিম্ন-প্রবাহ ফিল্টার* হিসাবে আচরণ করে। আরসি সার্কিটে রোধক আউটপুট এর আচরণের সাথে এটির তুলনা করুন, যেখানে বিপরীত অবস্থা দেখা যায়।

ফিল্টারটি যে ফ্রিকোয়েন্সি পরিসর প্রবাহ করে তাকে তার ব্যান্ডউইথ বলে । যে বিন্দুতে ফিল্টারটি সিগন্যালটিকে তার অর্ধ-ক্ষমতার সিগন্যালে পরিণত করে তাকে তার কাট অফ ফ্রিকোয়েন্সি বলে । এর জন্য সার্কিটের গেইন কমিয়ে

{\displaystyle G\_{L}=G\_{R}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,.}
উপরের সমীকরণের সমাধান করে

{\displaystyle \omega \_{\mathrm {c} }={\frac {R}{L}}{\mbox{ rad/s}}\quad {\mbox{or}}\quad f\_{\mathrm {c} }={\frac {R}{2\pi L}}{\mbox{ Hz}}\,,}
এটি সেই ফ্রিকোয়েন্সি যেখানে ফিল্টারটি তার মূল ক্ষমতাকে অর্ধেক করে দেবে।

স্পষ্টতই, পর্যায়গুলিও ফ্রিকোয়েন্সির উপর নির্ভর করে, যদিও এই প্রভাবটি গেইন পরিবর্তনের চেয়ে কম আকর্ষণীয়।

যখন ω → 0 :

{\displaystyle \phi \_{L}\to 90^{\circ }={\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\quad {\mbox{and}}\quad \phi \_{R}\to 0\,.}
যখন ω → ∞ :

{\displaystyle \phi \_{L}\to 0\quad {\mbox{and}}\quad \phi \_{R}\to -90^{\circ }=-{\frac {\pi }{2}}{\mbox{ radians}}\,.}
তাই ডিসি(0 হার্জ ) তে, রোধকের ভোল্টেজ সিগন্যাল ভোল্টেজের সাথে একই দশায় থাকে যেখানে আবেশক ভোল্টেজ এটির থেকে 90° অগ্রগামী হয়। ফ্রিকোয়েন্সি বৃদ্ধি পাওয়ার সাথে সাথে রোধক ভোল্টেজ সিগন্যাল ভোল্টেজের তুলনায় 90° পশ্চাদগামী হয় এবং আবেশক ভোল্টেজ সিগন্যালের সাথে সমদশায় আসে।

### সময় ডোমেন বিবেচনা

*এই অনুচ্ছেদটি প্রাকৃতিক লোগারিদমিক ধ্রুবক,e সম্পর্কে জ্ঞানের উপর নির্ভর করে* ।
সময় ডোমেন আচরণ প্রমানের সর্বাধিক সোজা উপায় হলো উপরের বর্ণিত VL এবং VR এর অভিব্যক্তিগুলির জন্য ল্যাপ্লেস রূপান্তরগুলি ব্যবহার করা। এটি কার্যকরভাবে jω → s রূপান্তর করে। একটি বৈমাত্রেয় ইনপুট ধরে নিয়ে (যেমন, t = 0 এর আগে Vin = 0 এবং পরে Vin = V ):

{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{\mathrm {in} }(s)&=V\cdot {\frac {1}{s}}\\V\_{L}(s)&=V\cdot {\frac {sL}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\\V\_{R}(s)&=V\cdot {\frac {R}{R+sL}}\cdot {\frac {1}{s}}\,.\end{aligned}}}
 আবেশক ভোল্টেজ বৈমাত্রেয়-প্রতিক্রিয়া।
 রোধক ভোল্টেজ বৈমাত্রেয়-প্রতিক্রিয়া।
আংশিক ভগ্নাংশ বিস্তৃতি এবং বিপরীত ল্যাপ্লেস রূপান্তর হতে:

{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V\_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{L}(t)&=Ve^{-t{\frac {R}{L}}}\\V\_{R}(t)&=V\left(1-e^{-t{\frac {R}{L}}}\right)\,.\end{aligned}}}
সুতরাং, সময় যাওয়ার সাথেসাথে আবেশকের ভোল্টেজ শুন্যগামী হয়, যেখানে রোধকের ভোল্টেজ V-গামী হয়, যা চিত্রগুলিতে দেখানো হয়েছে। এটি একটি স্বজ্ঞাত ধারণার সাথে সামঞ্জস্য রাখে যে, যতক্ষণ সার্কিটের বিদ্যুৎ প্রবাহের পরিবর্তন হয় ততক্ষণ কেবল আবেশকের একটি ভোল্টেজ থাকবে - যখন সার্কিটটি তার স্থির-স্থিতিতে পৌঁছে, বিদ্যুৎ প্রবাহের কোনও পরিবর্তন থাকে না এবং পরিণামে কোনও আবেশক ভোল্টেজ ভোল্টেজ থাকে না।

এই সমীকরণগুলি দেখায় যে একটি সিরিজ আরএল বর্তনীর একটি সময় ধ্রুবক থাকে, যা সাধারণত Ԏ দ্বারা চিহ্নিত করা হয় এবং এটি কোনো উপাদান বরাবর ভোল্টেজ চূড়ান্ত মানের ১/e অংশ উন্নিত (রোধক বরাবর) বা অবনিত (আবেশক বরাবর) হবার জন্য প্রয়োজনীয় সময়। সুতরাং, Ԏ সময়ে VR *V(1-1/e)* তে এবং *V*L *V(1/e)* তে পরিণত হবে।

পরিবর্তনের হার ১-১/e প্রতি Ԏ যা একটি *ভগ্নাংশ* । সুতরাং, t = NԎ থেকে t = ( N + 1)Ԏ এ যেতে, ভোল্টেজটি t = NԎ তে তার লেভেল থেকে চূড়ান্ত মানটির দিকে যাবার পথের ৬৩% চলে যাবে। সুতরাং Ԏ সময় পরে আবেশকের ভোল্টেজ প্রায় 37% এ নেমে যাবে এবং প্রায় 5Ԏ সময় পরে মূলত শূন্যে (0.7%) পরিণত হবে। কিরশফের ভোল্টেজ সূত্র সূচিত করে যে রোধকের ভোল্টেজ একই হারে *বৃদ্ধি পাবে।* যখন ভোল্টেজ উৎসটি একটি শর্ট সার্কিট দ্বারা প্রতিস্থাপন করা হয়, তখন রোধকের ভোল্টেজ সময়ের সাথে সাথে সূচকীয়ভাবে V থেকে 0 এর দিকে হ্রাস পায়। Ԏ সময় পরে রোধকটি প্রায় 37% ডিসচার্জড হবে, এবং 5Ԏ সময় পরে মূলত সম্পূর্ণরূপে চার্জমুক্ত (0.7%) হবে। দ্রষ্টব্য যে, ওহমের সূত্র অনুযায়ী সার্কিটটিতে বিদ্যুৎ প্রবাহ I রোধকের ভোল্টেজের ন্যায় আচরণ করে।

এই ক্ষেত্রে বর্তনীর উত্থান বা পতনের সময়ের বিলম্ব আবেশক এর ব্যাক-ইএমএফ দ্বারা সৃষ্ট যা এর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত তড়িৎ প্রবাহ (যা পরিবর্তিত হতে চেষ্টা করে) কে (এবং ফলস্বরূপ রোধকের ভোল্টেজকে) বর্তনীর সময় ধ্রুবকের তুলনায় অনেক দ্রুত বৃদ্ধি বা হ্রাস পেতে বাধা দেয়। যেহেতু সকল তারের কিছু স্ব-আবেশাঙ্ক এবং রোধ থাকে, তাই সকল সার্কিটের একটি সময় ধ্রুবক থাকে। ফলস্বরূপ, যখন বিদ্যুৎ সরবরাহ চালু হয়, বিদ্যুৎ প্রবাহ তাৎক্ষনিকভাবে তার স্থির-দশার মান, V/R এ পৌঁছায় না। বরং উত্থানটি সম্পূর্ণ হতে বেশ কয়েক সময়-ধ্রুবক পরিমাণ সময় প্রয়োজন হয়। যদি এটি না ঘটত এবং বিদ্যুৎ প্রবাহ অবিলম্বে স্থিতিশীল দশায় পৌঁছাত তবে চৌম্বকীয় ক্ষেত্রের তীব্র পরিবর্তনের দ্বারা অত্যন্ত শক্তিশালী আবেশক বৈদ্যুতিক ক্ষেত্র তৈরি হত - এটি বর্তনী এবং বৈদ্যুতিক বিন্যাসের বায়ু কে বিচ্ছিন্ন করে ফেলত, সম্ভবত উপাদানগুলির(এবং ব্যবহারকারীর) ক্ষতিসাধন করতো ।

এই ফলাফলগুলি সার্কিট বর্ণনাকারী ডিফারেনশিয়াল সমীকরণের সমাধান করেও পাওয়া যেতে পারে:

{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V\_{R}&=V\_{\mathrm {in} }-V\_{L}\,.\end{aligned}}}{\displaystyle {\begin{aligned}V\_{\mathrm {in} }&=IR+L{\frac {dI}{dt}}\\V\_{R}&=V\_{\mathrm {in} }-V\_{L}\,.\end{aligned}}}
প্রথম সমীকরণ একটি সংহতকরণ ফ্যাক্টর ব্যবহার করে সমাধান করা হয় এবং VL প্রদানের জন্য অন্তরীকরণ যোগ‍্য বিদ্যুৎ প্রবাহ দেয়; দ্বিতীয় সমীকরণটি সোজা। সমাধানগুলি ল্যাপ্লেস ট্রান্সফর্মের মাধ্যমে প্রাপ্তগুলির মতোই।

### শর্ট সার্কিট সমীকরণ

শর্ট সার্কিট মূল্যায়নের জন্য, আরএল সার্কিট বিবেচনা করা হয়। আরও সাধারণ সমীকরণটি হলো:

{\displaystyle v\_{in}(t)=v\_{L}(t)+v\_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}{\displaystyle v\_{in}(t)=v\_{L}(t)+v\_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}
{\displaystyle v\_{in}(t)=v\_{L}(t)+v\_{R}(t)=L{\frac {di}{dt}}+Ri}
প্রাথমিক শর্ত :

{\displaystyle i(0)=i\_{0}}
যা ল্যাপ্লেস রূপান্তর দ্বারা সমাধান করা যেতে পারে:

{\displaystyle V\_{in}(s)=sLI-Li\_{0}+RI}
এইভাবে:

{\displaystyle I(s)={\frac {Li\_{o}+V\_{in}}{sL+R}}}
এখন অ্যান্টিটান্সফর্ম হতে:

{\displaystyle i(t)=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {V\_{in}}{sL+R}}\right]}
যদি উৎস ভোল্টেজটি হ্যাভিসাইড স্টেপ ফাংশন (ডিসি) হয়:

{\displaystyle v\_{in}(t)=Eu(t)}
পাওয়া যায়:

{\displaystyle i(t)=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E}{s(sL+R)}}\right]=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right)}
যদি উৎস ভোল্টেজ একটি সাইনোসয়েডাল ফাংশন (এসি) হয়:

{\displaystyle v\_{in}(t)=E\sin(\omega t)\Rightarrow V\_{in}(s)={\frac {E\omega }{s^{2}+\omega ^{2}}}}
পাওয়া যায়:

{\displaystyle i(t)=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{(s^{2}+\omega ^{2})(sL+R)}}\right]=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {E\omega }{2j\omega }}\left({\frac {1}{s-j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}\right){\frac {1}{(sL+R)}}\right]}
{\displaystyle =i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}{\mathcal {L}}^{-1}\left[{\frac {1}{s+{\frac {R}{L}}}}\left({\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}-{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right)+{\frac {1}{s-j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}-{\frac {1}{s+j\omega }}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]}
{\displaystyle =i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{2jL}}e^{-{\frac {R}{L}}t}2j{\text{Im}}\left[{\frac {1}{{\frac {R}{L}}-j\omega }}\right]+{\frac {E}{2jL}}2j{\text{Im}}\left[e^{j\omega t}{\frac {1}{{\frac {R}{L}}+j\omega }}\right]}
{\displaystyle =i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}\left({\frac {R}{L}}\sin(\omega t)-\omega \cos(\omega t)\right)}
{\displaystyle i(t)=i\_{0}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E\omega }{L\left(\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}\right)}}e^{-{\frac {R}{L}}t}+{\frac {E}{L{\sqrt {\left({\frac {R}{L}}\right)^{2}+\omega ^{2}}}}}\sin \left(\omega t-\tan ^{-1}\left({\frac {\omega L}{R}}\right)\right)}

সমান্তরাল সার্কিট
-----------------

 সমান্তরাল আরএল সার্কিট
সমান্তরাল আরএল সার্কিট কোনও প্রবাহ উৎস দ্বারা চালিত না হলে সাধারণত সিরিজ সার্কিটের তুলনায় কম আগ্রহের হয়। এটির মূল কারণ আউটপুট ভোল্টেজ Vout ইনপুট ভোল্টেজ Vin এর সমান - ফলস্বরূপ, এই সার্কিটটি একটি ভোল্টেজ ইনপুট সিগন্যালের ফিল্টার হিসাবে কাজ করে না।

জটিল প্রতিবন্ধকতা সহ:

{\displaystyle {\begin{aligned}I\_{R}&={\frac {V\_{\mathrm {in} }}{R}}\\I\_{L}&={\frac {V\_{\mathrm {in} }}{j\omega L}}=-{\frac {jV\_{\mathrm {in} }}{\omega L}}\,.\end{aligned}}}
এটি দেখায় যে আবেশকটি রোধকের (এবং উৎসের) প্রবাহ কে 90° পিছিয়ে দেয়।

অনেক বিবর্ধক সার্কিটের আউটপুটে সমান্তরাল সার্কিট দেখা যায় এবং উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিগুলিতে ধারক লোডিং প্রভাব থেকে বিবর্ধককে আলাদা করতে ব্যবহৃত হয়। ধারক দ্বারা দশা স্থানান্তরের কারণে কিছু কিছু বিবর্ধক খুব উচ্চ ফ্রিকোয়েন্সিতে অস্থির হয়ে ওঠে এবং স্পন্দিত হয়। এটি শব্দের মান এবং উপাদানের আয়ুকে প্রভাবিত করে (বিশেষত ট্রানজিস্টর), এবং এড়ানো উচিত।

আরএল সার্কিটের প্রয়োগ ক্ষেত্র
------------------------------

* আরএফ বিবর্ধক
* যোগাযোগ ব্যবস্থা
* ছাঁকন বর্তনী
* সিগন্যাল প্রক্রিয়াজাতকরণ
* পরিবর্তনশীল সুরের বর্তনী
* রেডিও তরঙ্গ ট্রান্সমিটার
* অনুরণিত এলসি বর্তনী / আরএলসি বর্তনী

আরও দেখুন
---------

* এলসি সার্কিট
* আরসি সার্কিট
* আরএলসি সার্কিট
* বৈদ্যুতিক নেটওয়ার্ক
* বৈদ্যুতিক বিষয়গুলির তালিকা

তথ্যসূত্র
---------

1. ↑  "What is RL Circuit : Working & Its Uses"।