Артыкул пра аднавымернае нармальнае размеркаванне. Пра многавымернае нармальнае размеркаванне гл. многавымернае нармальнае размеркаванне.

| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
* Цэнтральная лімітавая тэарэма
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Нарма́льнае размеркава́нне** (або **размеркаванне Га́уса**) — размеркаванне імавернасцей, графік шчыльнасці якога нагадвае звон з пікам пасярэдзіне і сіметрычнымі бакамі. З дапамогай нармальнага размеркавання часта мадэлююць велічыні, сканцэнтраваныя вакол аднаго значэння, хаця гэта не адзінае размеркаванне падобнага тыпу.

Нармальнае размеркаванне выконвае важную функцыю ў статыстыцы і іншых навуках, бо часта паўстае ва ўсялякіх прыродных працэсах. Напрыклад, у фізіцы з дапамогай нармальнага размеркавання мадэлюецца хібнасць мерання. У статыстыцы звычайна робіцца дапушчэнне, што памылкі метаду найменшых квадратаў[en] нармальна размеркаваныя.

Цэнтральная лімітавая тэарэма сцвярджае, што пры выкананні некаторых умоў размеркаванне выбаркавага сярэдняга[en] збягаецца да нармальнага размеркавання пры павелічэнні выбаркі. Таму фізічныя велічыні, якія атрымліваюцца як сярэдняе ці сума шэрагу незалежных працэсаў, часта маюць размеркаванні, блізкія да нармальнага.

Часам размеркаванне Гауса называюць звонападобнай крывой (англ.: bell curve, bellshaped curve) праз выгляд графіка яго шчыльнасці, хаця шмат іншых размеркаванняў маюць графік шчыльнасці ў выглядзе звана (напрыклад, размеркаванні Кашы, Ст’юдэнта, лагістычнае[ru]).

Азначэнне
---------

Кажучы строга, **нармальнае размеркаванне** — размеркаванне імавернасцей, чыя функцыя шчыльнасці імавернасцей супадае з функцыяй Гауса:86:

{\displaystyle f(x)={\tfrac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}},}
дзе параметр μ — матэматычнае спадзяванне, медыяна і мода размеркавання, а параметр σ — стандартнае адхіленне (σ² — дысперсія) размеркавання. Пры павелічэнні {\displaystyle \sigma }, графік шчыльнасці нармальнага размеркавання расцягваецца ў гарызантальным кірунку:87.

Такім чынам, аднамернае нармальнае размеркаванне з’яўляецца двухпараметрычным сямействам размеркаванняў.

### Стандартнае нармальнае размеркаванне

У выпадку, калі матэматычнае спадзяванне роўнае 0, а дысперсія — 1, нармальнае размеркаванне называецца **стандартным нармальным размеркаваннем**. Ягоная шчыльнасць апісваецца формулай

{\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}/2}}{\sqrt {2\pi }}},}
прымае найбольшае значэнне {\displaystyle 1/{\sqrt {2\pi }}} у пункце {\displaystyle z=0} і мае пункты перагіну[en] ў {\displaystyle z=+1} і {\displaystyle z=-1}.

Хаця такое азначэнне стандартнага нармальнага размеркавання найбольш распаўсюджана, некаторыя аўтары ўжываюць гэты тэрмін для апісання іншых асобных выпадкаў размеркавання Гауса. Напрыклад, Гаус стандартным нармальным называў размеркаванне са шчыльнасцю

{\displaystyle \varphi (z)={\frac {e^{-z^{2}}}{\sqrt {\pi }}},}
дысперсія якога роўная 1/2. Стывен Стыглер[en] уводзіў азначэнне

{\displaystyle \varphi (z)=e^{-\pi z^{2}},}
што мае простую форму запісу і дысперсію {\displaystyle \sigma ^{2}=1/(2\pi ).}

Функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання звычайна абазначаецца грэчаскай літарай {\displaystyle \Phi } (фі) і мае выгляд інтэграла

{\displaystyle \Phi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{x}e^{-t^{2}/2}\,dt.}

Характарыстыкі
--------------

### Матэматычнае спадзяванне

Каб даказаць, што матэматычнае спадзяванне нармальнага размеркавання роўнае {\displaystyle \mu }, скарыстаемся:121 заменай[en] {\displaystyle t=(x-\mu )/\sigma } і інтэгралам Гауса[en] {\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }e^{-\lambda t^{2}}dt={\sqrt {\frac {\pi }{\lambda }}}:}

{\displaystyle \mathbb {E} [x]=\int \_{-\infty }^{\infty }x{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }(\mu +t\sigma )e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt=}
{\displaystyle ={\frac {\mu }{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }e^{\frac {-t^{2}}{2}}dt+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }te^{\frac {-t^{2}}{2}}dt=}
{\displaystyle ={\frac {\mu {\sqrt {2\pi }}}{\sqrt {2\pi }}}+{\frac {\sigma }{\sqrt {2\pi }}}\left(-e^{\frac {-t^{2}}{2}}\right){\Bigg \vert }\_{-\infty }^{\infty }=\mu .}
### Дысперсія

Дысперсію нармальнага размеркавання можна знайсці наступным чынам:

{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-(\mathbb {E} [X])^{2}}
{\displaystyle =\int \_{-\infty }^{\infty }x^{2}{\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\;e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}dx-\mu ^{2}}
{\displaystyle ={\frac {{\sqrt {2}}\sigma }{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}\int \_{-\infty }^{\infty }({\sqrt {2}}\sigma t+\mu )^{2}e^{-t^{2}}dt-\mu ^{2}\quad } — падстаноўка {\displaystyle t={\frac {x-\mu }{{\sqrt {2}}\sigma }}}
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(2\sigma ^{2}\int \_{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt+2{\sqrt {2}}\sigma \mu \int \_{-\infty }^{\infty }te^{-t^{2}}dt+\mu ^{2}\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)-\mu ^{2}}
{\displaystyle ={\frac {1}{\sqrt {\pi }}}\left(2\sigma ^{2}\int \_{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt+2{\sqrt {2}}\sigma \mu \left[-{\frac {1}{2}}e^{-t^{2}}\right]\_{-\infty }^{\infty }+\mu ^{2}{\sqrt {\pi }}\right)-\mu ^{2}}
{\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }t^{2}e^{-t^{2}}dt}
{\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\int \_{-\infty }^{\infty }\left(-{\frac {1}{2}}t\right)\cdot (-2te^{-t^{2}})dt}
{\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}\left(\left[-{\frac {t}{2}}e^{-t^{2}}\right]\_{-\infty }^{\infty }+{\frac {1}{2}}\int \_{-\infty }^{\infty }e^{-t^{2}}dt\right)\quad } — інтэграванне часткамі[en]
{\displaystyle ={\frac {2\sigma ^{2}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {\sqrt {\pi }}{2}}}
{\displaystyle =\sigma ^{2}.}

Зноскі
------

1. 1 2 3  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. ↑  Stigler, Stephen M. (1982). "A Modest Proposal: A New Standard for the Normal". *The American Statistician*. **36** (2): 137–138. doi:10.2307/2684031. JSTOR 2684031.
3. ↑  Integration by Parts **(нявызн.)**.

| ⛭Размеркаванні імавернасцей |
| --- |
| Дыскрэтныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| з канечнай колькасцю значэнняў | 
* Біномнае
* Бэрнулі
* Гіпергеаметрычнае
* Звыроднае
* Раўнамернае дыскрэтнае

 |
| з бесканечнай колькасцю значэнняў | 
* Адмоўнае біномнае
* Геаметрычнае
* Пуасона

 |

 |
| Абсалютна непарыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| са значэннямі на прамежку | 
* Бэта
* Раўнамернае непарыўнае

 |
| са значэннямі на прамені  | 
* Бэта другога тыпу
* Гама
* Максвела — Больцмана
* Паказнікавае
* Фішэра — Снедэкора
* Хі-квадрат
* Эрланга

 |
| са значэннямі на ўсёй лікавай простай | 
* Кашы
* Нармальнае
* Ст’юдэнта

 |

 |
| Многавымерныя | 
* Дзірыхле
* Многавымернае нармальнае
* Паліномнае

 |
| Іншыя | 
* Сінгулярнае

 |
| 
* Катэгорыя
* Вікісховішча

 |

| ⛭Статыстыка |
| --- |
| 

| Апісальная статыстыка |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Непарыўныяданыя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Каэфіцыент зруху | 
* Сярэдняе (Арыфметычнае, Геаметрычнае, Гарманічнае)
* Медыяна
* Мода

 |
| Варыяцыя | 
* Размах
* Ранг
* Сярэдняе квадратовае адхіленне
* Каэфіцыент варыяцыі
* Квантыль (Дэцыль, Адсотак/Працэнціль/Перцэнціль/Цэнціль)

 |
| Моманты | 
* Матэматычнае спадзяванне
* Дысперсія
* Асіметрыя
* Эксцэс

 |

 |
| Дыскрэтныяданыя | 
* Частата
* Табліца кантынгентнасці

 |

 |

 |
| 

| Выкарыстанне[en] |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Біястатыстыка | 
* Біяінфарматыка
* Клінічнае выпрабаванне / даследаванне
* Эпідэміялогія
* Медыцынская статыстыка

 |
| Інжынерная статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Хемаметрыка  (руск.) (бел.
* Тэхналагічная распрацоўка  (англ.) (бел.
* Імавернасны дызайн  (англ.) (бел.
* Кіраванне працэсамі  (руск.) (бел. / якасцю  (руск.) (бел.
* Тэорыя надзейнасці  (англ.) (бел.
* Ідынтыфікація сістэм  (руск.) (бел.

 |
| Сацыяльная статыстыка | 
* Актуарныя разлікі
* Перапіс насельніцтва
* Статыстыка злачыннасці  (руск.) (бел.
* Дэмаграфія
* Эканаметрыка
* Нацыянальныя рахункі  (англ.) (бел.
* Афіцыйная статыстыка  (англ.) (бел.
* Генеральная сукупнасць
* Псіхаметрыя  (руск.) (бел.

 |
| Прасторавая статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Картаграфія
* Статыстыка навакольнага асяроддзя  (англ.) (бел.
* Геаінфармацыйныя сістэмы
* Геаграфія
* Крыгінг  (руск.) (бел.

 |

 |

 |