Цялесны вугал
**Цялесны вугал** — частка прасторы, якая з’яўляецца аб’яднаннем усіх прамянёў, якія выходзяць з дадзенай кропкі (вяршыні вугла) і перасякаюць некаторую паверхню (якая называецца паверхняй, якая сцягвае дадзены цялесны вугал). Асобнымі выпадкамі цялеснага вугла з’яўляюцца трохгранныя і шматгранныя вуглы. Мяжой цялеснага вугла з’яўляецца некаторая канічная паверхня.

Цялесны вугал вымяраецца адносінай плошчы той часткі сферы з цэнтрам у вяршыні вугла, якая выражаецца гэтым цялесным вуглом, да квадрата радыуса сферы:

{\displaystyle \Omega \,=\,{S \over R^{2}}.}
Відавочна, цялесныя вуглы вымяраюцца адцягненымі (безразмернымі) велічынямі. Адзінкай вымярэння цялеснага вугла ў сістэме СІ з’яўляецца стэрадыян, роўны цялеснаму вуглу, выразаючаму са сферы радыуса {\displaystyle ~r} паверхню з плошчай {\displaystyle ~r^{2}}.
Поўная сфера ўтварае цялесны вугал, роўны {\displaystyle ~4\pi } стэрадыян (поўны цялесны вугал), для вяршыні, размешчанай унутры сферы, у прыватнасці, для цэнтра сферы; такім жа з’яўляецца цялесны вугал, пад якім бачна любая замкнёная паверхня з кропкі, якая цалкам ахопліваецца гэтай паверхняй, але не належыць ёй.
Акрамя стэрадыянаў, цялесны вугал можа вымярацца ў квадратных градусах, квадратных хвілінах і квадратных секундах, а таксама ў долях поўнага цялеснага вугла.

Цялесны вугал мае нулявую фізічную размернасць.

Пазначаецца цялесны вугал звычайна літарай {\displaystyle ~\Omega }.

Дваісты цялесны вугал да дадзенага цялеснага вугла {\displaystyle ~\Omega } вызначаецца як вугал, які складаецца з прамянёў, якія ўтвараюць з любым прамянём вугла {\displaystyle ~\Omega } нявостры вугал.

*Каэфіцыенты пераліку адзінак цялеснага вугла.*

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle ~\Omega } | Стэрадыян
  | Кв. градус
  | Кв. хвіліна
  | Кв. секунда
  | Поўны вугал
  |
| 1 стэрадыян =
  | 1 | (180/π)² ≈≈ 3282,806 кв. градусаў
  | (180×60/π)² ≈≈ 1,1818103×107 кв. хвілін
  | (180×60×60/π)² ≈≈ 4,254517×1010 кв. секунд
  | 1/4π ≈≈ 0,07957747 поўнага вугла
  |
| 1 кв. градус =
  | (π/180)² ≈≈ 3,0461742×10−4 стэрадыян
  | 1 | 60² == 3600 кв. хвілін
  | (60×60)² == 12 960 000 кв. секунд
  | π/(2×180)² ≈≈ 2,424068×10−5 поўнага вугла
  |
| 1 кв. хвіліна =
  | (π/(180×60))² ≈≈ 8,461595×10−8 стэрадыян
  | 1/60² ≈≈ 2,7777778×10−4 кв. градусаў
  | 1 | 60² == 3600 кв. секунд
  | π/(2×180×60)² ≈≈ 6,73352335×10−9 поўнага вугла
  |
| 1 кв. секунда =
  | (π/(180×60×60))² ≈≈ 2,35044305×10−11 стэрадыян
  | 1/(60×60)² ≈≈ 7,71604938×10−8 кв. градусаў
  | 1/60² ≈≈ 2,7777778×10−4 кв. хвілін
  | 1 | π/(2×180×60×60)² ≈≈ 1,87042315×10−12 поўнага вугла
  |
| Поўны вугал =
  | 4π ≈≈ 12,5663706 стэрадыян
  | (2×180)²/π ≈≈ 41252,96125 кв. градусаў
  | (2×180×60)²/π ≈≈ 1,48511066×108 кв. хвілін
  | (2×180×60×60)²/π ≈≈ 5,34638378×1011 кв. секунд
  | 1 |

Вылічэнне цялесных вуглоў
-------------------------

Для адвольнай сцягвальнай паверхні {\displaystyle S} цялесны вугал {\displaystyle \Omega }, пад якім яна бачная з пачатку каардынат, роўны

{\displaystyle \Omega =\iint \limits \_{S}d\Omega =\iint \limits \_{S}\sin \vartheta d\varphi d\vartheta =\iint \limits \_{S}{\frac {(\mathbf {r} /r)\cdot \mathbf {n} dS}{r^{2}}},}

дзе {\displaystyle r,\vartheta ,\varphi } — сферычныя каардынаты элемента паверхні {\displaystyle dS,} {\displaystyle \mathbf {r} } — яго радыус-вектар, {\displaystyle \mathbf {n} } — адзінкавы вектар, нармальны да{\displaystyle dS.}

Уласцівасці цялесных вуглоў
---------------------------

* Поўны цялесны вугал (поўная сфера) роўны {\displaystyle 4\pi } стэрадыян.
* Сума ўсіх цялесных вуглоў, дваістых да ўнутраных цялесных вуглоў выпуклага шматгранніка, роўная поўнаму вуглу.

Велічыні некаторых цялесных вуглоў
----------------------------------

* Трохвугольнік з каардынатамі вяршынь {\displaystyle \mathbf {r} \_{1}}, {\displaystyle \mathbf {r} \_{2}}, {\displaystyle \mathbf {r} \_{3}} бачны з пачатку каардынат пад цялесным вуглом

{\displaystyle \Omega =2\,\mathrm {arctg} \,{\frac {(\mathbf {r} \_{1}\mathbf {r} \_{2}\mathbf {r} \_{3})}{r\_{1}r\_{2}r\_{3}+(\mathbf {r} \_{1}\cdot \mathbf {r} \_{2})r\_{3}+(\mathbf {r} \_{2}\cdot \mathbf {r} \_{3})r\_{1}+(\mathbf {r} \_{3}\cdot \mathbf {r} \_{1})r\_{2}}},}
дзе {\displaystyle (\mathbf {r} \_{1}\mathbf {r} \_{2}\mathbf {r} \_{3})} — змешаны здабытак дадзеных вектараў, {\displaystyle (\mathbf {r} \_{i}\cdot \mathbf {r} \_{j})} — скалярны здабытак адпаведных вектараў, паўтлустым шрыфтам пазначаныя вектары, нармальным шрыфтам — іх даўжыні. Па гэтай формуле можна вылічаць цялесныя вуглы, сцягнутыя адвольнымі шматвугольнікамі з вядомымі каардынатамі вяршынь (для гэтага дастаткова разбіць многавугольнік на неперасякальныя трохвугольнікі).

* Цялесны вугал пры вяршыні прамога кругавога конуса з вуглом раствора α роўны {\displaystyle \Omega =2\pi (1-\cos {\frac {\alpha }{2}})}. Калі вядомы радыус асновы {\displaystyle R} і вышыня {\displaystyle H} конуса, то {\displaystyle \Omega =2\pi (1-{\frac {H}{\sqrt {R^{2}+H^{2}}}})}.

Калі вугал раствора конуса малы,{\displaystyle \Omega \approx {\frac {\pi \alpha ^{2}}{4}}} ({\displaystyle \alpha } выражана ў радыянах), ці {\displaystyle \Omega \approx 0,000239\alpha ^{2}} ({\displaystyle \alpha } выражана ў градусах). Так, цялесны вугал, пад якім з Зямлі бачныя Месяц і Сонца (іх вуглавы дыяметр прыкладна роўны 0,5°), складае каля 6.10−5 стэрадыян, або ≈ 0,0005 % плошчы нябеснай сферы (гэта значыць поўнага цялеснага вугла).

* Цялесны вугал двухграннага вугла ў стэрадыянах роўны падвоенаму значэнню двухграннага вугла ў радыянах:

* Цялесны вугал трохграннага вугла выражаецца па тэарэме Люілье праз яго плоскія вуглы {\displaystyle \theta \_{a},\theta \_{b},\theta \_{c}} пры вяршыні як:

{\displaystyle \Omega =4\,\operatorname {arctg} {\sqrt {\operatorname {tg} \left({\frac {\theta \_{s}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta \_{s}-\theta \_{a}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta \_{s}-\theta \_{b}}{2}}\right)\operatorname {tg} \left({\frac {\theta \_{s}-\theta \_{c}}{2}}\right)}}}, где {\displaystyle \theta \_{s}={\frac {\theta \_{a}+\theta \_{b}+\theta \_{c}}{2}}} — паўперыметр.
Праз двухгранныя вуглы {\displaystyle \alpha ,\beta ,\gamma } цялесны вугал выражаецца як:
{\displaystyle \Omega =\alpha +\beta +\gamma -\pi }
* Цялесны вугал пры вяршыні куба (або любога іншага прамавугольнага паралелепіпеда) роўны {\displaystyle {\frac {1}{8}}} поўнага цялеснага вугла, або {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}} стэрадыян.

* Цялесны вугал, пад якім бачная грань правільнага N-гранніка з яго цэнтра, роўны {\displaystyle {\frac {1}{N}}} поўнага цялеснага вугла, або {\displaystyle {\frac {4\pi }{N}}} стэрадыян.

Гл. таксама
-----------

* Вугал
* Двухгранны вугал
* Трохгранны вугал
* Шматгранны вугал

Зноскі
------

1. ↑  3-6 // Quantities and units—Part 3: Space and time — 1 — ISO, 2006. — 19 p.<a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q15028'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q26711932'></a>
2. 1 2  3-8 // Quantities and units — Part 3: Space and time, Grandeurs et unités — Partie 3: Espace et temps — 2 — ISO, 2019. — 11 p.<a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q15028'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q90137277'></a>
3. ↑  SI A concise summary of the International System of Units, SI — 2019.<a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q68977959'></a>

Спасылкі
--------

|  |  |
| --- | --- |
| commons: | Цялесны вугал на Вікісховішчы |


|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 166070808 |