Тэарэма Піфагора: *a*2 + *b*2 = *c*2
Т.зв. *егіпецкі трохвугольнік*,   
найпрасцейшы піфагораў трохвугольнік:  
 32 + 42 = 52.
**Піфагорава тройка** — упарадкаваная тройка натуральных лікаў *a*, *b* і *c*, такіх што

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}}
Такія тройкі звычайна запісваюць як (*a*, *b*, *c*), напрыклад, (3, 4, 5).
Калі (*a*, *b*, *c*) — піфагорава тройка, тады (*ka*, *kb*, *kc*) — таксама піфагорава для любога натуральнага *k*.

**Нескарачальная піфагорава тройка** — піфагорава тройка, у якой *a*, *b* і *c* узаемна простыя.

Трохвугольнік, стораны якога утвараюць піфагораву тройку, называецца **піфагоравым трохвугольнікам**.

Назва паходзіць ад тэарэмы Піфагора, якая сцвярджае, што ў прамавугольным трохвугольніку даўжыні старон звязаны ўраўненнем

{\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}.}
Больш таго, справядліва і адваротнае сцвярджэнне: калі даўжыні старон некаторага трохвугольніка задавальняюць гэта ўраўненне, то ён прамавугольны. Таму піфагоравы тройкі адпавядаюць прамавугольным трохвугольнікам з цэлымі даўжынямі старон (даўжыні ўсіх трох старон адначасова павінны быць цэлымі лікамі). Варта заўважыць, што не любы прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца піфагоравым. Напрыклад, трохвугольнік са старанамі (1, 1, √2) не піфагораў, бо лік √2 не цэлы (больш таго, ён ірацыянальны).

Прыклады
--------

Кропкавая дыяграма, на якой адзначаны кропкі з каардынатамі (*a*,*b*) піфагоравых троек, для якіх *c* меншы за 6000. Адмоўныя значэнні ўключаны ў дыяграму дзеля большай нагляднасці.
Тут прыведзены 16 нескарачальных піфагоравых троек з *c* ≤ 100:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| ( 3, 4, 5 ) | ( 5, 12, 13) | ( 8, 15, 17) | ( 7, 24, 25) |
| (20, 21, 29) | (12, 35, 37) | ( 9, 40, 41) | (28, 45, 53) |
| (11, 60, 61) | (16, 63, 65) | (33, 56, 65) | (48, 55, 73) |
| (13, 84, 85) | (36, 77, 85) | (39, 80, 89) | (65, 72, 97) |

Заўважым, што, напрыклад, піфагорава тройка (6, 8, 10) скарачальная, бо яна кратна тройцы (3, 4, 5). Скарачальныя тройка лёгка атрымаць з нескарачальных дамнажэннем на натуральны лік.

А тут пералічаны нескарачальныя піфагоравы тройкі з 100 < *c* ≤ 300:

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| (20, 99, 101) | (60, 91, 109) | (15, 112, 113) | (44, 117, 125) |
| (88, 105, 137) | (17, 144, 145) | (24, 143, 145) | (51, 140, 149) |
| (85, 132, 157) | (119, 120, 169) | (52, 165, 173) | (19, 180, 181) |
| (57, 176, 185) | (104, 153, 185) | (95, 168, 193) | (28, 195, 197) |
| (84, 187, 205) | (133, 156, 205) | (21, 220, 221) | (140, 171, 221) |
| (60, 221, 229) | (105, 208, 233) | (120, 209, 241) | (32, 255, 257) |
| (23, 264, 265) | (96, 247, 265) | (69, 260, 269) | (115, 252, 277) |
| (160, 231, 281) | (161, 240, 289) | (68, 285, 293) |

Формулы для троек
-----------------

Нескарачальныя піфагоравы тройкі, паказаныя як адпаведныя трохвугольнікі на графікуНескарачальныя піфагоравы тройкі. Няцотны катэт *a* адкладваецца па гарызантальнай восі, цотны катэт *b* — па вертыкальнай. Крывалінейная сетка ўтворана крывымі, на якіх адна з двух велічынь *m* - *n* і *m* + *n* мае пастаяннае значэнне. Параметры *m* і *n* тыя ж, што ў формуле Еўкліда.
Тройкі, атрыманыя па формуле Еўкліда, ляжаць на конусе *z*2 = *x*2 + *y*2. Пастаянным значэнням *m* ці *n* адпавядаюць часткі парабал на конусе.
**Еўклідава формула** — асноўная формула для вылічэння піфагоравых троек па двум дадатным цэлым параметрам *m* і *n*, дзе *m* > *n*. 

|  |
| --- |
| 
Лікі *a*, *b* і *c*, вылічаныя па Еўклідавай формуле
{\displaystyle a=m^{2}-n^{2},\ \,b=2mn,\ \,c=m^{2}+n^{2},}
утвараюць піфагораву тройку.
 |

Тройка, знойдзеная па Еўклідавай формуле, нескарачальная тады і толькі тады, калі *m* і *n* узаемна простыя і лік *m* − *n* няцотны. Калі ж і *m*, і *n* абодва няцотныя, тады *a*, *b* і *c* будуць цотнымі, і ў выніку тройка будзе скарачальная; тым не менш дзяленне *a*, *b* і *c* на 2 ў выпадку ўзаемна простых *m* і *n* дае нескарачальную тройку.

Зноскі
------

1. ↑  Joyce, D. E. (June 1997). "Book X , Proposition XXIX". *Euclid's Elements*. Clark University.
2. ↑  Mitchell, Douglas W. (July 2001). *An Alternative Characterisation of All Primitive Pythagorean Triples*. **85**. 273–5.