У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Дыферэнцыял.
**Дыферэнцыял** (лац.: *Differentia* - рознасць, адрозненне) - лінейная частка прырашчэння функцыі.

Гісторыя
--------

Тэрмін «дыферэнцыял» уведзены Лейбніцам.
Першапачаткова {\displaystyle dx} ўжывалася для абазначэння «бясконца малой» - велічыні, якая менш усякай канчатковай велічыні і ўсё ж не роўная нулю. Падобны погляд апынуўся нязручным ў большасці раздзелаў матэматыкі за выключэннем нестандартнага аналізу.

Абазначэнні
-----------

Звычайна дыферэнцыял функцыі {\displaystyle f} пазначаецца {\displaystyle df}.
Некаторыя аўтары аддаюць перавагу пазначэнню {\displaystyle {\rm {d}}f} шрыфтам прамога напісання, жадаючы падкрэсліць, што дыферэнцыял з'яўляецца аператарам.

Дыферэнцыял ў кропцы {\displaystyle x\_{0}} пазначаецца {\displaystyle d\_{x\_{0}}f}, а часам {\displaystyle df[x\_{0}]},
а таксама {\displaystyle df}, калі значэнне {\displaystyle x\_{0}} ясна з кантэксту.

Адпаведна, значэнне дыферэнцыяла ў кропцы {\displaystyle x\_{0}} ад {\displaystyle h}
можа пазначацца як {\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)}, а часам {\displaystyle df[x\_{0}](h)}, а таксама {\displaystyle df(h)}, калі значэнне {\displaystyle x\_{0}} ясна з кантэксту.

Выкарыстанне знака дыферэнцыяла
-------------------------------

* Знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў выражэнні для інтэграла {\displaystyle \int f(x)\,dx}. Пры гэтым часам (і не зусім карэктна) дыферэнцыял {\displaystyle dx} уводзіцца як частка вызначэння інтэграла.
* Таксама знак дыферэнцыяла выкарыстоўваецца ў пазначэнні Лейбніца для вытворнай {\displaystyle f'(x\_{0})={\frac {df}{dx}}(x\_{0})}. Гэта абазначэнне матываванае тым, што для дыферэнцыялаў функцыі {\displaystyle f} і аналагічнай функцыі {\displaystyle x} верныя суадносіны
* :{\displaystyle d\_{x\_{0}}f=f'(x\_{0}){\cdot }d\_{x\_{0}}x.}

Вызначэнне
----------

### Для функцый

Дыферэнцыял функцыі {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } у кропцы {\displaystyle x\_{0}\in \mathbb {R} } можа быць вызначаны як лінейная функцыя

{\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)=f'(x\_{0})h,}
дзе {\displaystyle f'(x\_{0})} абазначае вытворную {\displaystyle f} у кропцы {\displaystyle x\_{0}}.

Такім чынам {\displaystyle df} ёсць функцыя двух аргументаў {\displaystyle df\colon (x\_{0},h)\mapsto d\_{x\_{0}}f(h)}.

Дыферэнцыял можа быць вызначаны наўпрост, г.зн. без прыцягнення вызначэння вытворнай, як функцыя {\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)}, якая лінейна залежыць ад {\displaystyle h}, і для якой верныя наступныя суадносіны

{\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)=f(x\_{0}+h)-f(x\_{0})+o(|h|).}
### Для адлюстраванняў

Дыферэнцыялам адлюстравання {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} у кропцы {\displaystyle x\_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} называюць лінейны аператар {\displaystyle d\_{x\_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} такі, што выконваецца ўмова

{\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)=f(x\_{0}+h)-f(x\_{0})+o(|h|).}

Звязаныя вызначэння
-------------------

* Адлюстраванне {\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}} называецца *дыферэнцуемым* у кропцы {\displaystyle x\_{0}\in \mathbb {R} ^{n}} калі вызначаны дыферэнцыял{\displaystyle d\_{x\_{0}}f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} ^{m}}.

Уласцівасці
-----------

* Матрыца лінейнага аператара {\displaystyle d\_{x\_{0}}f} роўная матрыцы Якобі; яе элементамі з'яўляюцца частковыя вытворныя.

\*Адзначым, частковыя вытворныя могуць быць вызначаны ў кропцы, дзе дыферэнцыял не вызначаны.
* Дыферэнцыял функцыі {\displaystyle f} звязаны з яе градыентам {\displaystyle \nabla f} наступнымі вызначальнымі суадносінамі

{\displaystyle d\_{x\_{0}}f(h)=\langle (\nabla f)(x\_{0}),h\rangle }
* Аперацыі дыферэнцыявання і інтэгравання з'яўляюцца узаемазваротнымі.

Варыяцыі і абагульненні
-----------------------

* Дыферэнцыялы вышэйшых парадкаў
* Знешні дыферэнцыял
* Дыферэнцыял, дыферэнцыяльная геаметрыя
* Вытворная Пеано
* Вытворная Фрэшэ

Літаратура
----------

* *Г. М. Фихтенгольц* «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

| ⛭Дыферэнцыяльнае злічэнне |
| --- |
| Асноўнае | 
* Вытворная
* Дыферэнцыял
* Вытворная па напрамку
* Частковая вытворная
* Поўная вытворная функцыі
* Лагарыфмічная вытворная
* Матрыца Якобі
* Матрыца Гессе
* Дыферэнцыяльная форма
* Дыферэнцыяльнае ўраўненне

 |
| Асобныя віды вытворных | 
* Вытворная Лі
* Вытворная Дзіні
* Вытворная Пінкерля
* Вытворная Рымана
* Каварыянтная вытворная
* Вытворная Пеана
* Вытворная Радона — Нікадзіма

 |
| Дыферэнцыяльныя аператары (у розных каардынатах) | 

|  |  |
| --- | --- |
| Першага парадку | 
* Аператар набла
* Градыент
* Дывергенцыя
* Ротар

 |
| Другога парадку | 
* Эліптычны аператар
* Аператар Лапласа
* Аператар Д’Аламбера
* Аператар Лапласа — Бельтрамі

 |
| Вышэйшых парадкаў | 
* Гіпаэліптычны аператар

 |

 |
| Звязаныя тэмы | 
* Лікавае дыферэнцаванне
* Варыяцыйнае злічэнне
* Інтэграл
* Рад Тэйлара

 |