**Вызначнік**﻿ (або дэтэрмінант) матрыцы − адмысловая функцыя ад каэфіцыентаў квадратнай матрыцы (мнагачлен ад *n*2 зменных), якая раўняецца нулю, калі і толькі калі матрыца выраджаная. Вызначнік як функцыя ад слупкоў (радкоў) матрыцы валодае шэрагам адметных уласцівасцей, сярод якіх
лінейнасць па кожным з аргументаў і косасіметрычнасць (перастаноўка суседніх аргументаў мяняе знак функцыі).

Вызначнік выкарыстоўваецца пры развязанні сістэм лінейных алгебраічных ураўненняў, пры вылічэнні аб'ёмаў (плошчаў, мер), пры замене каардынат і г.д.

Строгае азначэнне
-----------------

### Напрамую праз каэфіцыенты матрыцы

Няхай

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\dots &a\_{nn}\end{pmatrix}}.}
**Вызначнік** *n* × *n*-матрыцы *A* − гэта мнагачлен ад яе каэфіцыентаў, роўны:

{\displaystyle \det A=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn} (\sigma )a\_{1,\sigma (1)}a\_{2,\sigma (2)}\dots a\_{n,\sigma (n)},}
дзе складанне адбываецца па ўсіх перастаноўках *σ* мноства {1,...*n*} , sgn(*σ*) − знак перастаноўкі *σ*, роўны +1, калі *σ* цотная, і роўны -1, калі *σ* няцотная.

### Праз адметныя ўласцівасці

Няхай

{\displaystyle A={\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\dots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\dots &a\_{2n}\\\dots &\dots &\dots &\dots \\a\_{n1}&a\_{n2}&\dots &a\_{nn}\end{pmatrix}}}
− матрыца, каэфіцыенты *a**ij* якой належаць колцу *R*, у якім аперацыя множання перастаўляльная і спалучальная, і, акрамя таго, існуе адзінка.

Абазначым праз *a**i* *i*-ты слупок матрыцы *A*:

{\displaystyle a\_{i}={\begin{pmatrix}a\_{i1}\\a\_{i2}\\\dots \\a\_{in}\end{pmatrix}}.}
**Вызначнікам** называецца функцыя ад матрыцы *A*, якая прымае значэнні з колца *R* і задавальняе наступныя ўмовы:

1. Вызначнік адзінкавай матрыцы (на дыяганалі якой стаяць адзінкі, на астатніх месцах − нулі) роўны адзінцы:
{\displaystyle \det E=1}
2. Вызначнік як функцыя ад *n* слупкоў матрыцы лінейны па кожным сваім асобным аргуменце (слупку):
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\_{1}&\dots &\lambda a'\_{j}+\mu a''\_{j}&\dots &a\_{n}\end{bmatrix}}=\lambda \det {\begin{bmatrix}a\_{1}&\dots &a'\_{j}&\dots &a\_{n}\end{bmatrix}}\ +\ \mu \det {\begin{bmatrix}a\_{1}&\dots &a''\_{j}&\dots &a\_{n}\end{bmatrix}}}
3. Вызначнік як функцыя ад *n* слупкоў матрыцы косасіметрычны (г.зн. мяняе знак на процілеглы пры перастаноўцы двух суседніх слупкоў):
{\displaystyle \det {\begin{bmatrix}a\_{1}&\dots &a\_{j}&a\_{j+1}&\dots &a\_{n}\end{bmatrix}}=-\det {\begin{bmatrix}a\_{1}&\dots &a\_{j+1}&a\_{j}&\dots &a\_{n}\end{bmatrix}}}

Уласцівасці
-----------

* Вызначнік адзінкавай матрыцы роўны адзінцы:
{\displaystyle \det E=1}

* Вызначнік здабытку матрыц раўняецца здабытку вызначнікаў гэтых матрыц:
{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\cdot \det(B)}

* Няхай *r* ёсць скалярнай велічынёю, *A* з'яўляецца квадратнай матрыцай парадку *n*. Тады
{\displaystyle \det(rA)=r^{n}\det(A)}

* Транспанаванне не змяняе велічыні вызначніка:
{\displaystyle \det A^{T}=\det A}

* Няхай колца *R* ёсць полем. Тады
{\displaystyle \det(A^{-1})=(\det A)^{-1}}

* Калі матрыца *A* трохвугольная (г.зн. для верхняй трохвугольнай матрыцы: *a**ij* = 0 пры *i* > *j*; для ніжняй трохвугольнай матрыцы: *a**ij* = 0 пры *i* < *j*), то яе вызначнік роўны здабытку яе дыяганальных элементаў:
{\displaystyle \det A=a\_{11}a\_{22}\dots a\_{nn}.}

Вызначнікі малых парадкаў
-------------------------

Для матрыцы першага парадку **вызначнік** роўны адзінаму элементу гэтай матрыцы:

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}\end{vmatrix}}=a\_{11}}
Для матрыцы 2 × 2 **вызначнік** роўны

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}=a\_{11}a\_{22}-a\_{12}a\_{21}}
Для матрыцы *n* × *n* **вызначнік** можна вылічыць праз вызначнікі меншых парадкаў з дапамогай зваротнага стасунку (вядомага як **раскаданне па першым радку**):

{\displaystyle \Delta =\sum \_{j=1}^{n}(-1)^{1+j}a\_{1j}M\_{1j},}
дзе {\displaystyle M\_{1j}} — дадатковы мінор элемента {\displaystyle a\_{1j}.}

*Заўвага*: каб атрымаць дадатковы мінор *M**ij* элемента *a**ij*, трэба закрэсліць *i*-ты радок і *j*-ты слупок (на перасячэнні якіх знаходзіцца гэты элемент); тое, што застанецца, і будзе дадатковым мінорам.

Адсюль вынікае, што **вызначнік** матрыцы 3 × 3 раўняецца:

{\displaystyle \Delta ={\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}=a\_{11}{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}-a\_{12}{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}+a\_{13}{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}=}
{\displaystyle =a\_{11}a\_{22}a\_{33}-a\_{11}a\_{23}a\_{32}-a\_{12}a\_{21}a\_{33}+a\_{12}a\_{23}a\_{31}+a\_{13}a\_{21}a\_{32}-a\_{13}a\_{22}a\_{31}}

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Літаратура
----------

* *Винберг Э.Б.* Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Бракгаўза і Эфрона · Кругасвет · Малы Бракгаўза і Эфрона · Новы · Britannica (11-th) · Britannica (онлайн) |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BNF: 11975737s · GND: 4138983-9 · LCCN: sh85037299 · Microsoft: 158041659, 2778383128 · NDL: 00562696 · NKC: ph153485 |

 |