Запыт «sin» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.
Запыт «sec» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.
Запыт «Сінус» перанакіроўваецца сюды; гл. таксама іншыя значэнні.
Графікі трыганаметрычных функцый:      сінуса      косінуса      тангенса      катангенса      секанса      касеканса
**Трыганаметры́чныя фу́нкцыі** — элементарныя функцыі, якія гістарычна ўзніклі пры разгляданні прамавугольных трохвугольнікаў і выражалі залежнасці старон такіх трохвугольнікаў ад вострых вуглоў пры гіпатэнузе (ці, што раўназначна, залежнасць хорд і вышынь ад цэнтральнага вугла ў крузе). Гэтыя функцыі шырока прымяняюцца ў самых розных галінах навукі. У далейшым азначэнне трыганаметрычных функцый было пашырана спачатку на ўсе рэчаісныя лікі, а пасля і на ўсе камплексныя. Раздзел матэматыкі, які займаецца вывучэннем уласцівасцей трыганаметрычных функцый, называецца трыганаметрыяй.

Да трыганаметрычных функцый адносяцца:

прамыя трыганаметрычныя функцыі
* сінус ({\displaystyle \sin x})
* косінус ({\displaystyle \cos x})

вытворныя трыганаметрычныя функцыі
* тангенс ({\displaystyle \operatorname {tg} x})
* катангенс ({\displaystyle \operatorname {ctg} x})

іншыя трыганаметрычныя функцыі
* секанс ({\displaystyle \sec x})
* касеканс ({\displaystyle \operatorname {cosec} x})

У заходняй літаратуры тангенс, катангенс і касеканс часта абазначаюцца {\displaystyle \tan x,\cot x,\csc x}. 

Акрамя гэтых шасці, існуюць таксама некаторыя малаўжывальныя трыганаметрычныя функцыі (версінус і г.д.), а таксама адваротныя трыганаметрычныя функцыі (арксінус, арккосінус і г. д.).

Сінус і косінус рэчаіснага аргумента з'яўляюцца перыядычнымі непарыўнымі і неабмежавана дыферэнцавальнымі рэчаісназначнымі функцыямі. Астатнія чатыры функцыі на рэчаіснай восі таксама рэчаісназначныя, перыядычныя і неабмежавана дыферэнцавальныя на вобласці вызначэння, але маюць разрывы. Тангенс і секанс маюць разрывы другога роду ў пунктах {\displaystyle \pm \pi n+{\frac {\pi }{2}}}, а катангенс і касеканс — у пунктах {\displaystyle \pm \pi n}.

Спосабы вызначэння
------------------

### Геаметрычнае азначэнне

#### Праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка

Прамавугольны трохвугольнік
Звычайна трыганаметрычныя функцыі вызначаюцца геаметрычна. У многіх падручніках па элементарнай геаметрыі да цяперашняга часу трыганаметрычныя функцыі вострага вугла вызначаюцца як адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка. Няхай *OAB* — трохвугольнік з вуглом α. Тады:

* Сінусам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {AB}{OB}}} (адносіна процілеглага катэта да гіпатэнузы).
* Косінусам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {OA}{OB}}} (адносіна прылеглага катэта да гіпатэнузы).
* Тангенсам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {AB}{OA}}} (адносіна процілеглага катэта к прылегламу).
* Катангенсам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {OA}{AB}}} (адносіна прылеглага катэта да процілеглага).
* Секансам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {OB}{OA}}} (адносіна гіпатэнузы да прылеглага катэта).
* Касекансам вугла {\displaystyle \alpha } называецца дзель {\displaystyle {\frac {OB}{AB}}} (адносіна гіпатэнузы да процілеглага катэта).

Пабудаваўшы сістэму каардынат з пачаткам у пункце *O*, напрамкам восі абсцыс уздоўж *OA* і ў выпадку неабходнасці памяняўшы арыентацыю (перавярнуўшы) трохвугольнік так, каб ён знаходзіўся ў першай чвэрці сістэмы каардынат, і затым, пабудаваўшы акружнасць з радыусам, роўным гіпатэнузе, адразу знаходзім, што такое азначэнне функцый дае такі ж вынік, як і прыведзенае ніжэй вызначэнне праз каардынаты пункта на акружнасці.

Азначэнне праз адносіны старон прамавугольнага трохвугольніка пры выкладанні мае пэўныя перавагі, бо не патрабуе ўвядзення паняцця сістэмы каардынат. Але такое азначэнне мае і істотны недахоп: не дае магчымасці вызначыць трыганаметрычныя функцыі для тупых вуглоў, якія неабходна ведаць для рашэння элементарных задач пра тупавугольныя трохвугольнікі (гл.: Тэарэма сінусаў, Тэарэма косінусаў).

#### Як каардынаты пункта на адзінкавай акружнасці

Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла {\displaystyle \alpha } ў адзінкавай акружнасці з цэнтрам у пачатку каардынат
Няхай зададзена дэкартава сістэма каардынат на плоскасці, і пабудавана акружнасць радыуса *R* з цэнтрам у пачатку каардынат *O*. Вымераем вуглы як павароты ад дадатнага напрамку восі абсцыс да прамяня *OB*. Напрамак супраць гадзіннікавай стрэлкі лічыцца дадатным, па гадзіннікавай стрэлцы — адмоўным. Абсцысу пункта *B* абазначым {\displaystyle x\_{B}}, ардынату — {\displaystyle y\_{B}}.

* Сінусам называецца дзель {\displaystyle \sin \alpha ={\frac {y\_{B}}{R}}.}
* Косінусам называецца дзель {\displaystyle \cos \alpha ={\frac {x\_{B}}{R}}.}
* Тангенс вызначаецца як {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha ={\frac {\sin \alpha }{\cos \alpha }}={\frac {y\_{B}}{x\_{B}}}.}
* Катангенс вызначаецца як {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha ={\frac {\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {x\_{B}}{y\_{B}}}.}
* Секанс вызначаецца як {\displaystyle \sec \alpha ={\frac {1}{\cos \alpha }}={\frac {R}{x\_{B}}}.}
* Касеканс вызначаецца як {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha ={\frac {1}{\sin \alpha }}={\frac {R}{y\_{B}}}.}

Ясна, што значэнні трыганаметрычных функцый не залежаць ад велічыні радыуса акружнасці *R* дзякуючы ўласцівасцям падобных фігур. Часта гэты радыус прымаюць роўным адзінцы, тады сінус роўны проста ардынаце {\displaystyle y\_{B}}, а косінус — абсцысе {\displaystyle x\_{B}}. На рысунку 3 паказаны велічыні трыганаметрычных функцый для адзінкавай акружнасці.

Калі {\displaystyle \alpha } — рэчаісны лік, то сінусам {\displaystyle \alpha } ў матэматычным аналізе называецца сінус вугла, радыянная мера якога роўная {\displaystyle \alpha }, гэтак жа і для іншых трыганаметрычных функцый.

### Як рашэнні дыферэнцыяльных ураўненняў

Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як цотнае (косінус) і няцотнае (сінус) рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення

{\displaystyle {\frac {d^{2}}{d\varphi ^{2}}}R(\varphi )=-R(\varphi ),}
з пачатковымі ўмовамі

{\displaystyle \cos(0)=\sin '(0)=1.}
Гэта значыць як функцыі адной зменнай, другая вытворная якіх раўняецца ім самім, узятым з процілеглым знакам:

{\displaystyle \left(\cos x\right)''=-\cos x,}
{\displaystyle \left(\sin x\right)''=-\sin x.}
### Як рашэнні функцыянальных ураўненняў

Функцыі **косінус** і **сінус** можна вызначыць як непарыўныя рашэнні ({\displaystyle f} і {\displaystyle g} адпаведна) сістэмы функцыянальных ураўненняў:

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcl}f(x+y)&=&f(x)f(y)-g(x)g(y),\\g(x+y)&=&g(x)f(y)+f(x)g(y).\end{array}}\right.}

### Праз рады

Скарыстаўшы геаметрыю і ўласцівасці граніц, можна даказаць, што вытворная сінуса раўняецца косінусу, а вытворная косінуса раўняецца мінус сінусу. Тады можна скарыстаць тэорыю радоў Тэйлара і прадставіць сінус і косінус у выглядзе ступенных радоў:

{\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+{\frac {x^{9}}{9!}}-\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}},}
{\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+{\frac {x^{8}}{8!}}-\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{(2n)!}}.}
Карыстаючыся гэтымі формуламі, а таксама тоеснасцямі

{\displaystyle \operatorname {tg} x={\frac {\sin x}{\cos x}},\quad \operatorname {ctg} x={\frac {\cos x}{\sin x}},\quad \sec x={\frac {1}{\cos x}},\quad \operatorname {cosec} x={\frac {1}{\sin x}},}
можна знайсці раскладанні ў рад Тэйлара і іншых трыганаметрычных функцый:

{\displaystyle \operatorname {tg} x=x+{\frac {1}{3}}\,x^{3}+{\frac {2}{15}}\,x^{5}+{\frac {17}{315}}\,x^{7}+{\frac {62}{2835}}\,x^{9}+\dots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}(2^{2n}-1)|B\_{2n}|}{(2n)!}}x^{2n-1},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
{\displaystyle \operatorname {ctg} x={\frac {1}{x}}-{\frac {x}{3}}-{\frac {x^{3}}{45}}-{\frac {2x^{5}}{945}}-{\frac {x^{7}}{4725}}-\dots ={\frac {1}{x}}-\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2^{2n}|B\_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}
{\displaystyle \sec x=1+{\frac {1}{2}}\,x^{2}+{\frac {5}{24}}\,x^{4}+{\frac {61}{720}}\,x^{6}+{\frac {277}{8064}}\,x^{8}+\dots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {|E\_{n}|}{(2n)!}}\,x^{2n},\quad \left(-{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\right),}
{\displaystyle \operatorname {cosec} x={\frac {1}{x}}+{\frac {1}{6}}\,x+{\frac {7}{360}}\,x^{3}+{\frac {31}{15120}}\,x^{5}+{\frac {127}{604800}}\,x^{7}+\dots ={\frac {1}{x}}+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {2(2^{2n-1}-1)|B\_{2n}|}{(2n)!}}\,x^{2n-1},\quad \left(-\pi <x<\pi \right),}
дзе

{\displaystyle B\_{n}} — лікі Бернулі,
{\displaystyle E\_{n}} — лікі Эйлера.

Значэнні трыганаметрычных фунцый для некаторых вуглоў
-----------------------------------------------------

Асноўны артыкул: **Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных**
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, катангенса, секанса і касеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
Сімвал «∞» значыць, што функцыя ў таком пункце не вызначана, і ў яго наваколлі імкнецца к бесканечнасці.

| {\displaystyle \alpha \,\!} | 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \alpha \,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} |
| {\displaystyle \cos \alpha \,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} |
| {\displaystyle \sec \alpha \,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!} | {\displaystyle {2}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {2}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} |

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Уласцівасці трыганаметрычных функцый
------------------------------------

### Найпрасцейшыя тоеснасці

Асноўны артыкул: **Трыганаметрычныя тоеснасці**
Раз сінус і косінус — гэта ардыната і абсцыса пункта, які на адзінкавай акружнасці адпавядае вуглу α, то, згодна з ураўненнем адзінкавай акружнасці ці тэарэмаю Піфагора, маем:

{\displaystyle \sin ^{2}\alpha +\cos ^{2}\alpha =1.\,}
Гэта роўнасць называецца *асноўнай трыганаметрычнай тоеснасцю*.

Дзелячы гэту тоеснасць на квадрат косінуса і сінуса соответственно имеем далее:

{\displaystyle 1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }},}
{\displaystyle 1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha ={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}.}
Акрамя таго, непасрэдна з азначэння тангенса і катангенса вынікае тоеснасць:

{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \cdot \mathop {\mathrm {ctg} } \,\alpha =1.}
### Непарыўнасць

Сінус і косінус — непарыўныя функцыі. Тангенс і секанс маюць пункты разрыву {\displaystyle \pm 90^{\circ },\;\pm 270^{\circ },\;\pm 450^{\circ },\;\dots ;} катангенс і касеканс — {\displaystyle 0^{\circ },\;\pm 180^{\circ },\;\pm 360^{\circ },\;\dots .}

### Цотнасць

Косінус і секанс — цотныя. Астатнія чатыры функцыі — няцотныя, гэта значыць:

{\displaystyle \sin(-\alpha )=-\sin \alpha ,}
{\displaystyle \cos(-\alpha )=\cos \alpha ,}
{\displaystyle \operatorname {tg} (-\alpha )=-\operatorname {tg} \alpha ,}
{\displaystyle \operatorname {ctg} (-\alpha )=-\operatorname {ctg} \alpha ,}
{\displaystyle \sec(-\alpha )=\sec \alpha ,}
{\displaystyle \operatorname {cosec} (-\alpha )=-\operatorname {cosec} \alpha .}
### Перыядычнасць

Функцыі {\displaystyle y=\sin x,} {\displaystyle y=\cos x,} {\displaystyle y=\sec x,} {\displaystyle y=\operatorname {cosec} x} — перыядычныя з перыядам {\displaystyle 2\pi }, функцыі {\displaystyle y=\operatorname {tg} x} і {\displaystyle y=\operatorname {ctg} x} — з перыядам {\displaystyle \pi }.

### Формулы прывядзення

Формуламі прывядзення называюцца формулы наступнага выгляду:

{\displaystyle f(n\pi +\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}
{\displaystyle f(n\pi -\alpha )=\pm f(\alpha ),\,}
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}+\alpha \right)=\pm g(\alpha ),\,}
{\displaystyle f\left({\frac {(2n+1)\pi }{2}}-\alpha \right)=\pm g(\alpha ).\,}
Тут {\displaystyle f} — любая трыганаметрычная функцыя, {\displaystyle g} — адпаведная ёй кафункцыя (г. зн. косінус для сінуса, сінус для косінуса, тангенс для катангенса, катангенс для тангенса, секанс для касеканса і касеканс для секанса), *n* — цэлы лік. Перад атрыманаю функцыяй ставіцца той знак, які мае зыходная функцыя ў зададзенай каардынатнай чвэрці пры ўмове, што вугал α востры, напрыклад:

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{2}}-\alpha \right)=\sin \alpha ,}
Некаторыя формулы прывядзення:

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \beta \,} | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}+\alpha } | {\displaystyle \pi +\alpha \,} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}+\alpha } | {\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\alpha } | {\displaystyle \pi -\alpha \,} | {\displaystyle {\frac {3\,\pi }{2}}-\alpha } | {\displaystyle 2\,\pi -\alpha } |
| {\displaystyle \sin \beta \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} |
| {\displaystyle \cos \beta \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle \sin \alpha \,} | {\displaystyle -\cos \alpha \,} | {\displaystyle -\sin \alpha \,} | {\displaystyle \cos \alpha \,} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \,\beta } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\beta } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } | {\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha } | {\displaystyle -\operatorname {ctg} \,\alpha } |

### Формулы складання

Значэнні трыганаметрычных функцый сумы і рознасці двух вуглоў:

{\displaystyle \sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \,\cos \beta \pm \cos \alpha \,\sin \beta ,}
{\displaystyle \cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \,\cos \beta \mp \sin \alpha \,\sin \beta ,}
{\displaystyle \operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \,\alpha \pm \operatorname {tg} \,\beta }{1\mp \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta }},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \,\beta \pm \operatorname {ctg} \,\alpha }}.}
Падобныя формулы для сумы трох вуглоў:

{\displaystyle \sin \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\sin \alpha \cos \beta \cos \gamma +\cos \alpha \sin \beta \cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta \sin \gamma -\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ,}
{\displaystyle \cos \left(\alpha +\beta +\gamma \right)=\cos \alpha \cos \beta \cos \gamma -\sin \alpha \sin \beta \cos \gamma -\sin \alpha \cos \beta \sin \gamma -\cos \alpha \sin \beta \sin \gamma .}
### Формулы для кратных вуглоў

Формулы двайнога вугла:

{\displaystyle \sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}={\frac {2}{\operatorname {tg} \,\alpha +\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
{\displaystyle \cos 2\alpha =\cos ^{2}\alpha \,-\,\sin ^{2}\alpha =2\cos ^{2}\alpha \,-\,1=1\,-\,2\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} \,\alpha +\operatorname {tg} \,\alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,2\alpha ={\frac {2\,\operatorname {tg} \,\alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}={\frac {2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}}={\frac {2}{\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\,\operatorname {ctg} \,\alpha }}={\frac {\operatorname {ctg} \,\alpha -\operatorname {tg} \,\alpha }{2}}.}
Формулы трайнога вугла:

{\displaystyle \sin \,3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha ,}
{\displaystyle \cos \,3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha ,}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,3\alpha ={\frac {3\,\operatorname {tg} \,\alpha -\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-3\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,3\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -3\,\operatorname {ctg} \,\alpha }{3\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha -1}}.}
Іншыя формулы для кратных вуглоў:

{\displaystyle \sin \,4\alpha =\cos \alpha \left(4\sin \alpha -8\sin ^{3}\alpha \right),}
{\displaystyle \cos \,4\alpha =8\cos ^{4}\alpha -8\cos ^{2}\alpha +1,}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,4\alpha ={\frac {4\,\operatorname {tg} \,\alpha -4\,\operatorname {tg} ^{3}\,\alpha }{1-6\,\operatorname {tg} ^{2}\,\alpha +\operatorname {tg} ^{4}\,\alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,4\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha -6\,\operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha +1}{4\,\operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha -4\,\operatorname {ctg} \,\alpha }},}
{\displaystyle \sin \,5\alpha =16\sin ^{5}\alpha -20\sin ^{3}\alpha +5\sin \alpha ,}
{\displaystyle \cos \,5\alpha =16\cos ^{5}\alpha -20\cos ^{3}\alpha +5\cos \alpha ,}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,5\alpha =\operatorname {tg} \alpha {\frac {\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {tg} ^{4}\alpha -10\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1}},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,5\alpha =\operatorname {ctg} \alpha {\frac {\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +5}{5\operatorname {ctg} ^{4}\alpha -10\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1}},}
{\displaystyle \sin(n\alpha )=2^{n-1}\prod \_{k=0}^{n-1}\sin \left(\alpha +{\frac {\pi k}{n}}\right)}
Апошняя роўнасць вынікае з формулы дапаўнення і формулы Гауса для Гама-функцыі.

З формулы Муаўра можна атрымаць наступныя агульныя выразы для кратных вуглоў:

{\displaystyle \sin(n\alpha )=\sum \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\cos ^{n-2k-1}\alpha \,\sin ^{2k+1}\alpha ,}
{\displaystyle \cos(n\alpha )=\sum \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\cos ^{n-2k}\alpha \,\sin ^{2k}\alpha ,}
{\displaystyle \mathrm {tg} (n\alpha )={\frac {\sin(n\alpha )}{\cos(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {tg} ^{2k+1}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {tg} ^{2k}\alpha }}},}
{\displaystyle \mathrm {ctg} (n\alpha )={\frac {\cos(n\alpha )}{\sin(n\alpha )}}={\dfrac {\displaystyle {\sum \limits \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k}}\mathrm {ctg} ^{n-2k}\alpha }}{\displaystyle {\sum \limits \_{k=0}^{[n/2]}(-1)^{k}{\binom {n}{2k+1}}\mathrm {ctg} ^{n-2k-1}\alpha }}},}
дзе {\displaystyle [n]} — цэлая частка ліку {\displaystyle n}, {\displaystyle {\binom {n}{k}}} — біномны каэфіцыент.

Формулы палавіннага вугла:

{\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{2}}},\quad 0\leqslant \alpha \leqslant 2\pi ,}
{\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{2}}},\quad -\pi \leqslant \alpha \leqslant \pi ,}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {1-\cos \alpha }{\sin \alpha }}={\frac {\sin \alpha }{1+\cos \alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\frac {\sin \alpha }{1-\cos \alpha }}={\frac {1+\cos \alpha }{\sin \alpha }},}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1-\cos \alpha }{1+\cos \alpha }}},\quad 0\leqslant \alpha <\pi ,}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,{\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {1+\cos \alpha }{1-\cos \alpha }}},\quad 0<\alpha \leqslant \pi .}
### Здабыткі

Формулы для здабыткаў функцый двух вуглоў:

{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}},}
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}},}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {tg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}},}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{\sin(\alpha +\beta )-\sin(\alpha -\beta )}},}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,\alpha \,\operatorname {ctg} \,\beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}}.}
Аналагічныя формулы для здабыткаў сінусаў і косінусаў трох вуглоў:

{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \sin \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )+\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
{\displaystyle \sin \alpha \sin \beta \cos \gamma ={\frac {-\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )-\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
{\displaystyle \sin \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\sin(\alpha +\beta -\gamma )-\sin(\beta +\gamma -\alpha )+\sin(\alpha -\beta +\gamma )-\sin(\alpha +\beta +\gamma )}{4}},}
{\displaystyle \cos \alpha \cos \beta \cos \gamma ={\frac {\cos(\alpha +\beta -\gamma )+\cos(\beta +\gamma -\alpha )+\cos(\alpha -\beta +\gamma )+\cos(\alpha +\beta +\gamma )}{4}}.}
Формулы для здабыткаў тангенсаў і катангенсаў трох вуглоў можна атрымаць, падзяліўшы правыя і левыя часткі адпаведных роўнасцей, прадстаўленых вышэй.

### Ступені

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{2}},} | {\displaystyle \operatorname {tg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1-\cos 2\,\alpha }{1+\cos 2\,\alpha }},} |
| {\displaystyle \cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{2}},} | {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{2}\,\alpha ={\frac {1+\cos 2\,\alpha }{1-\cos 2\,\alpha }},} |
| {\displaystyle \sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{4}},} | {\displaystyle \operatorname {tg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }{3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }},} |
| {\displaystyle \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{4}},} | {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{3}\,\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\,\alpha }{3\sin \alpha -\sin 3\,\alpha }},} |
| {\displaystyle \sin ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{8}},} | {\displaystyle \operatorname {tg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}},} |
| {\displaystyle \cos ^{4}\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{8}},} | {\displaystyle \operatorname {ctg} ^{4}\,\alpha ={\frac {\cos 4\alpha +4\cos 2\,\alpha +3}{\cos 4\alpha -4\cos 2\,\alpha +3}}.} |

### Сумы

{\displaystyle \sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}}
{\displaystyle \cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
{\displaystyle \cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}}
{\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}}
{\displaystyle 1\pm \sin {2\alpha }=(\sin \alpha \pm \cos \alpha )^{2}.}
Для функцый ад аргумента {\displaystyle x} існуе прадстаўленне:

{\displaystyle A\sin \ x+B\cos \ x={\sqrt {A^{2}+B^{2}}}\sin(x+\phi ),}
дзе вугал {\displaystyle \phi } вызначаецца з суадносін:

{\displaystyle \sin \phi ={\frac {B}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}},\cos \phi ={\frac {A}{\sqrt {A^{2}+B^{2}}}}.}
### Аднапараметрычнае прадстаўленне

Усе трыганаметрычныя функцыі можна выразіць праз тангенс палавіннага вугла.

{\displaystyle \sin x={\frac {\sin x}{1}}={\frac {2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}{\sin ^{2}{\frac {x}{2}}+\cos ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

{\displaystyle \cos x={\frac {\cos x}{1}}={\frac {\cos ^{2}{\frac {x}{2}}-\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}{\cos ^{2}{\frac {x}{2}}+\sin ^{2}{\frac {x}{2}}}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

{\displaystyle \operatorname {tg} ~x={\frac {\sin x}{\cos x}}={\frac {2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

{\displaystyle \operatorname {ctg} ~x={\frac {\cos x}{\sin x}}={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}

{\displaystyle \sec x={\frac {1}{\cos x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}}}

{\displaystyle \operatorname {cosec} ~x={\frac {1}{\sin x}}={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {x}{2}}}{2\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}}}}

Вытворныя і першаісныя
----------------------

Гл. таксама: Спіс інтэгралаў ад трыганаметрычных функцый
Усе трыганаметрычныя функцыі непарыўна і неабмежавана дыферэнцавальныя на ўсёй вобласці вызначэння:

{\displaystyle (\sin x)'=\cos x,}

{\displaystyle (\cos x)'=-\sin x,}

{\displaystyle (\operatorname {tg} x)'={\frac {1}{\cos ^{2}x}},}

{\displaystyle (\operatorname {ctg} x)'=-{\frac {1}{\sin ^{2}x}},}

{\displaystyle (\sec x)'={\frac {\sin x}{\cos ^{2}x}},}

{\displaystyle (\operatorname {cosec} x)'=-{\frac {\cos x}{\sin ^{2}x}}.}

Нявызначаныя інтэгралы трыганаметрычных функцый на вобласці вызначэння выражаюцца праз элементарныя функцыі наступным чынам:

{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C,}

{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C,}

{\displaystyle \int \operatorname {tg} x\,dx=-\ln \left|\cos x\right|+C,}

{\displaystyle \int \operatorname {ctg} x\,dx=\ln \left|\sin x\right|+C,}

{\displaystyle \int \sec x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} \left({\frac {\pi }{4}}+{\frac {x}{2}}\right)\right|+C,}

{\displaystyle \int \operatorname {cosec} x\,dx=\ln \left|\operatorname {tg} {\frac {x}{2}}\right|+C.}

Трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай
--------------------------------------------

### Азначэнне

Формула Эйлера:

{\displaystyle e^{i\vartheta }=\cos \vartheta +i\sin \vartheta }
дазваляе вызначыць трыганаметрычныя функцыі ад камплексных аргументаў праз паказчыкавую функцыю ці (з дапамогай радоў) як аналітычны працяг іх рэчаісных адпаведнікаў:

{\displaystyle \sin z=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}z^{2n+1}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{2i}}\,={\frac {\operatorname {sh} iz}{i}};}
{\displaystyle \cos z=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n)!}}z^{2n}={\frac {e^{iz}+e^{-iz}}{2}}\,=\operatorname {ch} iz;}
{\displaystyle \operatorname {tg} \,z={\frac {\sin z}{\cos z}}={\frac {e^{iz}-e^{-iz}}{i(e^{iz}+e^{-iz})}};}
{\displaystyle \operatorname {ctg} \,z={\frac {\cos z}{\sin z}}={\frac {i(e^{iz}+e^{-iz})}{e^{iz}-e^{-iz}}};}
{\displaystyle \sec z={\frac {1}{\cos z}}={\frac {2}{e^{iz}+e^{-iz}}};}
{\displaystyle \operatorname {cosec} \,z={\frac {1}{\sin z}}={\frac {2i}{e^{iz}-e^{-iz}}},\,}
дзе {\displaystyle i^{2}=-1.}

Адпаведна, для рэчаіснага *x*,

{\displaystyle \cos x=\operatorname {Re} (e^{ix}),}
{\displaystyle \sin x=\operatorname {Im} (e^{ix}).}
Камплексныя сінус і косінус цесна звязаны з гіпербалічнымі функцыямі:

{\displaystyle \sin(x+iy)=\sin x\,\operatorname {ch} y+i\cos x\,\operatorname {sh} y,}
{\displaystyle \cos(x+iy)=\cos x\,\operatorname {ch} y-i\sin x\,\operatorname {sh} y.}
Большасць пералічаных вышэй уласцівасцей трыганаметрычных функцый захоўваюцца і ў камплексным выпадку. Некаторыя дадатковыя ўласцівасці:

* камплексныя сінус і косінус, у адрозненне ад рэчаісных, могуць прымаць неабмежавана вялікія па модулю значэнні;
* усе нулі камплексных сінуса і косінуса ляжаць на рэчаіснай восі.

### Камплексныя графікі

На наступных графіках адлюстрована камплексная плоскасць, а значэнні функцый выдзелены колерам. Яркасць адпавядае абсалютнаму значэнню (чорны — нуль). Колер змяняецца ад аргумента і вугла згодна з картаю.

**Трыганаметрычныя функцыі ў камплекснай плоскасці**|  |  |  |  |  |  |
| {\displaystyle \sin z\,} | {\displaystyle \cos z\,} | {\displaystyle \operatorname {tg} z\,} | {\displaystyle \operatorname {ctg} z\,} | {\displaystyle \sec z\,} | {\displaystyle \operatorname {cosec} z\,} |

Гісторыя назваў
---------------

Асноўны артыкул: **Гісторыя трыганаметрыі**
Лінія сінуса ў індыйскіх матэматыкаў першапачаткова называлася «арха-джыва» («паўцеціва», г. зн. палавіна хорды), затым слова «арха» было адкінута і лінію сінуса сталі называць проста «джыва». Арабскія перакладчыкі не пераклалі слова «джыва» арабскім словам «ватар», якое абазначае цеціву і хорду, а проста запісалі арабскімі буквамі і сталі называть лінію сінуса «джыба». У арабскай мове кароткія галосныя не абазначаюцца, акрамя таго, доўгае «і» ў слове «джыба» абазначаецца гэтак жа, як і паўгалоснае «й». У выніку, арабы сталі вымаўляць назву лініі сінуса як «джайб», што літаральна значыць «упадзіна», «пазуха». Пры перакладзе арабскіх твораў на латынь еўрапейскія перакладчыкі пераклалі слова «джайб» лацінскім словам sinus, якое мае тое ж значэнне.

Сучасныя кароткія абазначэнні sin і cos уведзены Уільямам Оўтрэдам і замацаваны ў працах Эйлера.

Тэрміны «тангенс» (ад лац.: tangens — датычны) і «секанс» (лац.: secans — сякучы) былі ўведзены дацкім матэматыкам Томасам Фінке (1561—1656) у яго кнізе «Геаметрыя круглага» (Geometria rotundi, 1583).

Сам тэрмін *трыганаметрычныя функцыі* ўведзен Клюгелем у 1770 годзе.

Гл. таксама
-----------

Лагатып ВікіцытатнікаЛагатып Вікіцытатніка У Вікікрыніцах ёсць тэксты па тэме  
**Таблицы интегралов и другие математические функции**

* Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
* Гіпербалічныя функцыі
* Эліптычныя функцыі
* Інтэгральны сінус
* Інтэгральны косінус
* Рашэнне трохвугольнікаў
* Сінус-верзус
* Сферычная трыганаметрыя
* Функцыя Гудэрмана
* Чатырохзначныя матэматычныя табліцы (Табліцы Брадзіса)

Літаратура
----------

* *Бронштейн И. Н. Семендяев К. А.* Прямолинейная тригонометрия // Справочник по математике. — Изд. 7-е, стереотипное. — М.: Государственное издательство технико-теоретической литературы, 1967. — С. 179—184.
* *Двайт Г. Б.* Тригонометрические функции // Таблицы интегралов и другие математические формулы. — 4-е изд. — М.: Наука, 1973. — С. 70—102.
* Maor, Eli, *Trigonometric Delights*, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (February 25, 2002): ISBN 0-691-09541-8.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Трыганаметрычныя функцыі (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
* Анлайн калькулятар: вылічэнне значэнняў трыганаметрычных функцый
* Інтэрактыўная карта значэнняў трыганаметрычных функцый

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Кругасвет · Britannica (онлайн) |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BNF: 12168469v · GND: 4186137-1 · LCCN: sh85137518 · Microsoft: 178009071 · NDL: 00570156 · NKC: ph923034 |

 |