Не блытаць з Пастаянная Эйлера — Маскероні.
Паказана некалькі функцый выгляду *f*(*x*) = *a**x* з рознымі значэннямі асновы *a*.
Лік *e* — адзіная аснова, пры якой вытворная функцыі *f*(*x*) = *a**x* у пункце *x* = 0 раўняецца 1. Дзеля параўнання паказаны графікі для асноў 2 і 4.  

Сіняя крывая: *e**x*;  

пункцірная крывая: 2*x*;  

штрыхавая крывая: 4*x*.  

На рысунку відаць, што чырвоная прамая, праведзеная праз пункт (0,1) з нахілам 1, не з'яўляецца датычнай да графікаў апошніх дзвюх функцый.
Лік ***e*** (таксама **лік Эйлера** або **пастаянная Непера**) — важная матэматычная пастаянная, якая акрамя іншага з'яўляецца асновай натуральнага лагарыфма. Звычайна ў курсах матэматычнага аналізу пастаянную азначаюць як граніцу паслядоўнасці

{\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
пры імкненні *n* да бесканечнасці. Такі выраз ўзнікае пры вывучэнні складанага працэнта.

Эйлераў лік можна вылічыць і як суму бесканечнага рада

{\displaystyle e=1+{\frac {1}{1}}+{\frac {1}{1\cdot 2}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3}}+{\frac {1}{1\cdot 2\cdot 3\cdot 4}}+\cdots .}
Пастаянную можна вызначыць мноствам спосабаў. Напрыклад, іншы раз за азначэнне бяруць наступны факт: *e* — адзіны рэчаісны лік, такі што вытворная (нахіл датычнай прамой) функцыі *f*(*x*) = *e**x* у пункце *x* = 0 роўная 1. Функцыя *e**x*, вызначаная такім чынам, называецца экспаненцыяльнай функцыяй (або натуральнай паказчыкавай функцыяй), адваротнай да яе функцыяй з'яўляецца лагарыфм па аснове *e* — т.зв. натуральны лагарыфм. Натуральны лагарыфм дадатнага ліку *k* можна таксама вызначыць напрамую, як плошчу пад крывой *y* = 1/*x*, якая заключана паміж значэннямі аргумента *x* = 1 і *x* = *k*. Лік *e* — такі лік, натуральны лагарыфм якога роўны 1. Ёсць і іншыя іншыя азначэнні.

Пастаянную *e* часам называюць **Эйлеравым лікам** у гонар швейцарскага матэматыка Леанарда Эйлера (не блытаць з γ — пастаяннай Эйлера-Маскероні, якую іншы раз называюць проста *пастаяннай Эйлера*). Лік *e* таксама вядомы як **пастаянная Непера**, бо першыя вядомыя ўпамінанні гэтага ліку былі знойдзены ў працах Джона Непера, які выкарыстоўваў гэты лік у якасці асновы лагарыфма. Абазначаць лік літарай *e* пачаў Эйлер. Лік *e* мае вялікае значэнне ў матэматыцы і па важнасці стаіць побач с такімі лікамі як 0, 1, π і ўяўная адзінка *i*. Усе пяць лікаў сустракаюцца, мабыць, ва ўсіх галінах матэматыкі. Цікава, што ўсе яны ўваходзяць у тоеснасць Эйлера:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0.}
Як і пастаянная π, *e* — ірацыянальны лік: г.зн. яго нельга запісаць у выглядзе дзелі двух цэлых лікаў. Больш таго, ён трансцэндэнтны: г.зн. не існуе ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі, для якога лік *e* быў бы коранем.

Лікавае значэнне *e* з дакладнасцю 50 дзесятковых знакаў пасля коскі:

2.71828182845904523536028747135266249775724709369995... (паслядоўнасць A001113 у OEIS).

Гісторыя
--------

Першыя ўскосныя ўпамінанні Эйлерава ліку сустракаюцца ў табліцах ў дадатку Неперавай працы па лагарыфмах, апублікаванай у 1618 годзе. Праца ўтрымлівала не саму пастаянную, а проста спіс лагарыфмаў, вылічаных па аснове, прыблізна роўнай 1/*e*. Мяркуюць, што табліцу напісаў Уільям Оўтрэд. Адкрыццё самой пастаяннай прыпісваецца Якабу Бернуллі, які спрабаваў знайсці значэнне граніцы (якая раўняецца *e*):

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
Першыя вядомыя прамыя ўпамінанні пастаяннай Непера былі знойдзены ў пісьмах Лейбніца да Гюйгенса ў 1690 і 1691 гг. Там Лейбніц карыстаецца пастаяннай і абазначае яе літарай *b*. Леанард Эйлер ужыў літару *e* для абазначэння асновы натуральных лагарыфмаў у пісьме да Хрысціяна Гольдбаха 25 лістапада 1731 года. Эйлер пачаў абазначаць пастаянную літарай *e* недзе ў 1727 ці 1728 годзе, у неапублікаванай працы па выбуховых сілах у гарматах,, а першым з'яўленнем *e* ў публікацыі была Эйлерава *Mechanica* (1736). І хоць у наступныя гады некаторыя даследчыкі абазначалі лік літарай *c*, абазначэнне *e* было больш распаўсюджаным і ў выніку стала агульнапрынятым.

Прымяненні
----------

### Складаны працэнт

Даход ад пачатковага укладу $1000 пры 20% гадавых і пры розных частотах налічэння працэнта
Якаб Бернулі адкрыў пастаянную, рашаючы задачу аб складаным працэнце:

Пачатковая сума на рахунку $1.00, працэнтная стаўка па ўкладу складае 100% гадавых. Калі працэнты налічваюцца адзін раз у канцы года, сума на рахунку ў канцы года стане $2.00. Што адбудзецца, калі на працягу года працэнты налічваюцца на рахунак больш часта? (Пры гэтым налічаны на рахунак даход таксама пускаецца ў абарот пад тыя ж працэнты).
Калі працэнты пераводзяцца на рахунак двойчы ў год, сума будзе прырастаць на 50% кожныя 6 месяцаў, і такім чынам пачатковы $1 дамнажаецца на 1.5 двойчы, даючы $1.00×1.52 = $2.25 у канцы года. Паквартальнае накапленне дае $1.00×1.254 = $2.4414... а штомесячнае накапленне дае $1.00×(1+1/12)12 = $2.613035... Калі ёсць *n* прамежкаў накаплення, працэнт на кожным прамежку будзе 100%/*n* і сума ў канцы года складзе $1.00×(1 + 1/*n*)*n*.

Бернулі заўважыў, што гэта паслядоўнасць прыбліжаецца да граніцы з ростам *n* і, адпаведна, са здрабненнем прамежкаў налічэння. Штотыднёвае налічэнне (*n* = 52) дае $2.692597... тады як штодзённае налічэнне (*n* = 365) дае $2.714567... толькі на два цэнты больш. Граніца пры неабмежаваным нарастанні *n* і ёсць лік, вядомы цяпер як *e*; пры *непарыўным* налічэнні, сума на рахунку дасягне $2.7182818.... У агульным выпадку, пачатковая сума на рахунку $1 і гадавы прырост даходу *R* долей пасля *t* гадоў дадуць у выніку *e**Rt* долараў пры непарыўным налічэнні. (Тут *R* — доля, а не працэнт. Так што, для 5% гадавых, *R* = 5/100 = 0.05.)

### Выпрабаванні Бернуллі

Лік *e* ўзнікае і ў тэорыі імавернасцей. Няхай гулец робіць стаўкі ў гульнявым аўтамаце. Імавернасць выйгрышу пры адном запуску аўтамата роўная 1 на *n*. Ігрок робіць стаўку *n* разоў. Тады для вялікіх *n* (напрыклад, мільёна) імавернасць, што гуляка прайграе ўсе стаўкі прыблізна раўняецца 1/*e*. Так, для *n* = 20 гэта ўжэ 1/2.72.

Гэта прыклад выпрабаванняў Бернуллі. Кожны раз, калі ігрок кідае манетку ў аўтамат (робіць стаўку), шанц выйграць — адзін на мільён. Запуск аўтамата мільён разоў мадэліруецца біномным размеркаваннем, якое цесна звязана з біномам Ньютана. Імавернасць *k* разоў выйграць пры мільёне спроб роўная:

{\displaystyle {\binom {10^{6}}{k}}\left(10^{-6}\right)^{k}(1-10^{-6})^{10^{6}-k}.}
У прыватнасці, імавернасць ні разу не выйграць (*k* = 0) роўная:

{\displaystyle \left(1-{\frac {1}{10^{6}}}\right)^{10^{6}}.}
Гэта значэнне вельмі блізкае да наступнай граніцы:

{\displaystyle {\frac {1}{e}}=\lim \_{n\to \infty }\left(1-{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}
### Беспарадкі

Пастаянная *e* ўзнікае і ў камбінаторыцы. Прыкладам можа служыць т.зв. задача аб беспарадках, таксама вядомая як *задача разбору шапак*, якою займаліся Якаб Бернуллі і П'ер Раймонд дэ Мантмор (фр.: Pierre Rémond de Montmort). Вось як гучыць гэта задача:

На вечарынку запрошана *n* гасцей. У дзвярах кожны госць аддае сваю шапку дварэцкаму, які затым ложыць яе ў адну з *n* скрынь, кожная з якіх пазначана іменем аднаго з гасцей. Але дварэцкі не знае гасцей па імёнах (а мо проста чытаць не ўмее) і таму кідае шапкі ў скрыні як папала. Задача дэ Мантмора — знайсці імавернасць таго, што *ні адна* шапка не трапіла ў патрэбную скрыню. Адказ такі:
{\displaystyle p\_{n}=1-{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}-{\frac {1}{3!}}+\cdots +{\frac {(-1)^{n}}{n!}}=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}.}
Калі лік гасцей *n* імкнецца да бесканечнасці, *p**n* прыбліжаецца к 1/*e*. Больш таго, колькасць спосабаў раскідаць шапкі па каробках так, каб ні адна не папала куды трэба, для любога *n* раўняецца ліку *n*!/*e*, акругленаму да найбліжэйшага цэлага.

### Асімптотыкі

Лік *e* натуральным чынам узнікае ў сувязі з мноствам задач, якія закранаюць асімтотыку. Выдатным прыкладам з'яўляецца формула Сцірлінга для асімптотыкі фактарыяла, куды ўваходзяць і *e*, і π:

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Адсюль можна атрымаць:

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}.}

Лік *e* ў аналізе
-----------------

Натуральны лагарыфм у пункце *e*, ln(*e*), роўны 1
Важнасць ліку *e* ў аналізе тлумачыцца найперш патрэбай ажыццяўляць дыферэнцаванне і інтэграванне паказчыкавых функцый і лагарыфмаў. Паказчыкавая функцыя агульнага выгляду *y* = *a**x* мае вытворную, якая задаецца як граніца:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}a^{x}=\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}\left(\lim \_{h\to 0}{\frac {a^{h}-1}{h}}\right).}
Самая правая граніца ў выразе не залежыць ад зменнай *x*: яна залежыць толькі ад асновы *a*. Калі аснова роўная *e*, граніца раўняецца адзінцы, і такім чынам *e* вызначаецца з ураўнення:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}.}
Адсюль відаць, што паказчыкавая функцыя з асновай *e* асабліва зручная пры ажыццяўленні розных аперацый у аналізе. Выбар ліку *e* ў якасці асновы паказчыкавай функцыі значна спрашчае разлікі, у якіх неабходна знаходзіць вытворную.

Выкарыстанне ліку *e* ў якасці асновы таксама спрашчае інтэграванне і дыферэнцаванне лагарыфмічных функцый. Вылічым вытворную функцыі log*a* *x* па азначэнню, г.зн. як граніцу:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{a}x=\lim \_{h\to 0}{\frac {\log \_{a}(x+h)-\log \_{a}(x)}{h}}={\frac {1}{x}}\left(\lim \_{u\to 0}{\frac {1}{u}}\log \_{a}(1+u)\right),}
дзе на апошнім кроку зроблена падстаноўка *u* = *h*/*x*. Апошняя граніца ў гэтым ланцужку роўнасцей ізноў залежыць толькі ад асновы *a*, і калі аснова — *e*, граніца раўняецца адзінцы. Такім чынам,

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\log \_{e}x={\frac {1}{x}}.}
У гэтым выпадку лагарыфм называецца натуральным і абазначаецца як ln. Ён зручнейшы за лагарыфмы па іншых асновах, бо пры аперацыях дыферэнцавання і інтэгравання не прыходзіцца ўсюды цягаць нязручныя множнікі выгляду ln *a*.

Такім чынам, лік *a* = *e* з дапамогай паняцця вытворнай можна вызначыць двума спосабамі. Першы з іх — прыняць, што вытворная паказчыкавай функцыі *a**x* роўная *a**x*, і адсюль знайсці *a*. Другі — сказаць, што вытворная лагарыфма з асновай *a* раўняецца 1/*x* і адтуль знайсці *a*. Абодва спосабы раўназначныя і даюць аднолькавы вынік.

### Іншыя азначэнні

Гл. таксама: Формулы для ліку e
Плошча паміж воссю *x* і графікам *y* = 1/*x* ад *x* = 1 да *x* = *e* роўная 1.
Лік *e* можна вызначыць і іначай: як граніцу паслядоўнасці, ці як суму бесканечнага рада, ці праз нейкія інтэгралы. Вышэй было прыведзена толькі два раўназначныя азначэнні (уласцівасці) ліку *e*, а іменна:

1. Лік *e* — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}e^{t}=e^{t}.}
2. Лік *e* — гэта адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\log \_{e}t={\frac {1}{t}}.}
Можна паказаць, што наступныя тры азначэнні раўназначныя дадзеным раней:

3. Лік *e* — гэта граніца паслядоўнасці:

{\displaystyle e=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}
Ці граніца функцыі:

{\displaystyle e=\lim \_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}}
4. Лік *e* — гэта сума бесканечнага рада

{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots ,}
дзе *n*! — фактарыял ліку *n*.

5. Лік *e* — адзіны дадатны рэчаісны лік, такі што

{\displaystyle \int \_{1}^{e}{\frac {dt}{t}}=1.}

Уласцівасці
-----------

### Аналіз

Паказчыкавая функцыя *e**x* мае важнае значэнне яшчэ і таму, што гэта адзіная не роўная тоесна нулю функцыя (з дакладнасцю да пастаяннага множніка), якая супадае са сваёй вытворнай

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{x}=e^{x}}
і такім чынам, яе першаісная таксама роўная:

{\displaystyle {\begin{aligned}e^{x}&=\int \_{-\infty }^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=\int \_{-\infty }^{0}e^{t}\,dt+\int \_{0}^{x}e^{t}\,dt\\[8pt]&=1+\int \_{0}^{x}e^{t}\,dt.\end{aligned}}}
### Ступенна-паказчыкавыя функцыі

Гл. таксама: Задача Штэйнера
Глабальны максімум функцыі {\displaystyle {\sqrt[{x}]{x}}} дасягаецца ў пункце *x* = *e*.
Глабальны максімум функцыі

{\displaystyle f(x)={\sqrt[{x}]{x}}}
дасягаецца ў *x* = *e*. Гэтак жа, *x* = 1/*e* — пункт, дзе дасягаецца глабальны мінімум функцыі

{\displaystyle f(x)=x^{x}\,}
вызначанай для дадатных *x*.

Больш агульна, *x* = *e*−1/*n* будзе пунктам глабальнага мінімума функцыі

{\displaystyle f(x)=x^{x^{n}}}
для любога *n* > 0.

Па тэарэме Леанарда Эйлера, бесканечная ступенная вежа

{\displaystyle x^{x^{x^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot }}}}}} або ∞{\displaystyle x}
збягаецца, калі і толькі калі *e*−*e* ≤ *x* ≤ *e*1/*e* (або прыблізна паміж 0.0660 і 1.4447).

### Тэорыя лікаў

Лік *e* ірацыянальны. Эйлер даказаў гэта, паказаўшы, што яго раскладанне ў просты непарыўны дроб бесканечнае. (Гл. таксама доказ ірацыянальнасці ліку *e*, які даў Жан Фур'е.)

Больш таго, па тэарэме Ліндэмана — Веерштраса *e* — трансцэндэнтны лік, г.зн. ён не з'яўляецца коранем ніякага ненулявога мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі. Гэта быў першы лік, чыя трансцэндэнтнасць была даказана, і які пры гэтым не быў адмыслова пабудаваны для гэтае мэты (як напрыклад лікі Ліувіля). Трансцэндэнтнасць ліку *e* даказаў Шарль Эрміт у 1873 годзе.

Была выказана здагадка, што лік *e* нармальны, г.зн. калі запісаць лік *e* ў сістэме злічэння для адвольнай асновы, магчымыя лічбы будуць раўнамерна размеркаваны (сустракаюцца з аднолькавай імавернасцю ў любой паслядоўнасці дадзенай даўжыні).

### Камплексныя лікі

Паказчыкавую функцыю *e**x* можна запісаць у выглядзе рада Тэйлара:

{\displaystyle e^{x}=1+{x \over 1!}+{x^{2} \over 2!}+{x^{3} \over 3!}+\cdots =\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}}
Гэты рад дазваляе выявіць мноства важных уласцівасцей функцыі *e**x*, нават калі *x* прымае камплексныя значэнні, яго звычайна выкарыстоўваюць, каб пашырыць азначэнне *e**x* на ўсе камплексныя лікі. Рад для паказчыкавай функцыі разам з радамі Тэйлара для сінуса і косінуса, дазваляе вывесці формулу Эйлера:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x,}
справядлівую для ўсіх *x*. Асобны выпадак пры *x* = π — тоеснасць Эйлера:

{\displaystyle e^{i\pi }=-1,}
з якой вынікае, што на галоўнай галіне лагарыфма,

{\displaystyle \log \_{e}(-1)=i\pi .}
Больш таго, карыстаючыся правіламі ступенявання, атрымліваем тоеснасць

{\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{n}=\left(e^{ix}\right)^{n}=e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx),}
якая называецца формулай Муаўра.

### Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Функцыя агульнага выгляду

{\displaystyle y(x)=Ce^{x}}
ёсць рашэнне дыферэнцыяльнага ўраўнення:

{\displaystyle y'=y.}

Прадстаўленні
-------------

Асноўны артыкул: **Формулы для ліку e**
Лік *e* можна задаць рознымі спосабамі: як бесканечны рад, бесканечны здабытак, непарыўны дроб, ці граніцу паслядоўнасці. Як правіла, асабліва ў курсах матэматычнага аналізу, пастаянную азначаюць як граніцу

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n},}
ці як суму рада

{\displaystyle e=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}},}
якая атрымліваецца з вышэйзгаданага ступеннага рада для *e**x* у *x* = 1.

Менш вядома прадстаўленне ліку *e* непарыўным дробам (паслядоўнасць A003417 у OEIS), якое атрымаў Леанард Эйлер:

{\displaystyle e=[2;1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,\mathbf {6} ,1,1,...\mathbf {2n} ,1,1,...]=[1;\mathbf {0} ,1,1,\mathbf {2} ,1,1,\mathbf {4} ,1,1,...\mathbf {2n} ,1,1,...],}
што ў звычайным запісе выглядае як:

{\displaystyle e=2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}=1+{\cfrac {1}{\mathbf {0} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {2} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{\mathbf {4} +{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}}}}}}}}}}}}.}
А гэты ланцуговы дроб *e* збягаецца ў тры разы хутчэй:

{\displaystyle e=[1;0.5,12,5,28,9,44,13,\ldots ,4(4n-1),(4n+1),\ldots ],}
або ў разгорнутым запісе:

{\displaystyle e=1+{\cfrac {2}{1+{\cfrac {1}{6+{\cfrac {1}{10+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{18+{\cfrac {1}{22+{\cfrac {1}{26+\ddots \,}}}}}}}}}}}}}}.}
Вядома таксама многа іншых прадстаўленняў ліку *e* ў выглядзе непарыўных дробаў, радоў, граніц паслядоўнасцей, бесканечных здабыткаў.

### Стахастычныя прадстаўленні

Акрамя дакладных аналітычных выразаў для ліку *e*, ёсць і імавернасныя метады ацэнкі ліку *e*. Вось адзін з іх: няхай ёсць бесканечная паслядоўнасць незалежных выпадковых велічынь *X*1, *X*2... кожная з якіх раўнамерна размеркавана на адрэзку [0, 1]. Няхай *V* — найменшы лік *n*, для якога сума першых *n* членаў паслядоўнасці большая за 1:

{\displaystyle V=\min {\left\{n\mid X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}>1\right\}}.}
Тады матэматычнае спадзяванне велічыні *V* раўняецца *e*:

{\displaystyle \mathbb {E} [V]=e.}
### Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў

За апошнія дзесяцігоддзі колькасць вядомых лічбаў ліку *e* рэзка ўзрасла. Гэта стала магчыма як дзякуючы росту вылічальных магутнасцей, так і дзякуючы ўдасканаленню алгарытмаў.

**Колькасць вядомых дзесятковых разрадаў ліку *e*** | Дата | Колькасць лічбаў | Аўтар разлікаў |
| --- | --- | --- |
| 1748 | 23 | Леанард Эйлер |
| 1853 | 137 | Уільям Шэнкс(англ.: William Shanks) |
| 1871 | 205 | Уільям Шэнкс |
| 1884 | 346 | Дж. Маркус Бурмэн(англ.: J. Marcus Boorman) |
| 1949 | 2,010 | Джон фон Нейман (на ЭНІАКу) |
| 1961 | 100,265 | Daniel Shanks & John Wrench  |
| 1978 | 116,000 | Стыў Возняк (на Apple II) |
| 1994 (1 красавіка) | 1,000,000 | Robert Nemiroff & Jerry Bonnell  |
| 1999 (21 лістапада) | 1,250,000,000 | Xavier Gourdon  |
| 2000 (16 ліпеня) | 3,221,225,472 | Colin Martin & Xavier Gourdon  |
| 2003 (18 верасня) | 50,100,000,000 | Shigeru Kondo & Xavier Gourdon  |
| 2007 (27 красавіка) | 100,000,000,000 | Shigeru Kondo & Steve Pagliarulo  |
| 2009 (6 траўня) | 200,000,000,000 | Rajesh Bohara & Steve Pagliarulo  |
| 2010 (5 ліпеня) | 1,000,000,000,000 | Shigeru Kondo & Alexander J. Yee  |

У камп'ютарнай культуры
-----------------------

У сучаснай інтэрнэт-культуры як асобы, так і арганізацыі часта аддаюць даніну павагі ліку *e*.

У IPO кампаніі Google у 2004 годзе было аб'яўлена, што кампанія мае намер павялічыць свой прыбытак на $2,718,281,828, што ўяўляе сабой першыя 10 лічбаў ліку *e*. Google таксама прафінансавала рэкламныя шчыты, якія з'явіліся ў цэнтры Крэмніевай даліны, а пазней у Кембрыджы (штат Масачусетс); Сіэтле (штат Вашынгтон) і Осціне (штат Тэхас). На шчытах было напісана

{first 10-digit prime found in consecutive digits of *e*}.com
Па-беларуску гэта гучала б як:

{першы 10-разрадны просты лік, знойдзены ў паслядоўных лічбах ліку *e*}.com
Рашэнне гэтай задачы і наведванне рэкламуемага сайта (цяпер не існуе) вяло да яшчэ больш складанай задачы, рашыўшы якую можна было трапіць на сайт Google Labs, дзе наведвальніку прапаноўвалася пакінуць сваё рэзюме. Першы 10-разрадны просты лік у дзесятковым запісе *e* — 7427466391, і пачынаецца ён на 99-й лічбе.

Яшчэ цікавы прыклад, Дональд Кнут прысвойвае сваёй праграме Metafont нумары версій, якія прыбліжаюцца к ліку *e*. Паслядоўныя версіі пры гэтым выглядаюць так: 2, 2.7, 2.71, 2.718 і гэтак далей. Падобным жа чынам назначаюцца і нумары версій яго TeXа, якія пачынаючы з версіі 3.0 прыбліжаюцца к ліку π: 3.0, 3.1, 3.14, 3.141 і г.д.

Зноскі
------

1. ↑  Encyclopedic Dictionary of Mathematics 142.D
2. ↑  Jerrold E. Marsden, Alan Weinstein (1985). *Calculus*. Springer. ISBN 0-387-90974-5.
3. ↑  Дакладней кажучы, Непер у сваіх табліцах лагарыфмаў у якасці асновы няяўна карыстаўся лікам, прыблізна роўным 1/*e*. Падрабязней гл. кнігу Eli Maor. e: The Story of a Number. pp. 8-10.
4. ↑  *Sondow, Jonathan*. e **(нявызн.)**. *Wolfram Mathworld*.  Wolfram Research. Праверана 10 May 2011.
5. ↑  Howard Whitley Eves (1969). *An Introduction to the History of Mathematics*. Holt, Rinehart & Winston. ISBN 0-03-029558-0.
6. 1 2  The number *e* **(нявызн.)**.  MacTutor History of Mathematics.
7. ↑  Remmert, Reinhold (1991). *Theory of Complex Functions*. Springer-Verlag. p. 136. ISBN 0-387-97195-5.
8. ↑  Euler, *Meditatio in experimenta explosione tormentorum nuper instituta*.
9. ↑  Grinstead, C.M. and Snell, J.L.*Introduction to probability theory Архівавана 27 ліпеня 2011. (published online under the GFDL), p. 85.*
10. ↑  Knuth (1997) *The Art of Computer Programming* Volume I, Addison-Wesley, p. 183 ISBN 0-201-03801-3.
11. ↑  Kline, M. (1998) *Calculus: An intuitive and physical approach*, section 12.3 "The Derived Functions of Logarithmic Functions.", pp. 337 ff, Courier Dover Publications, 1998, ISBN 0-486-40453-6
12. ↑  Kline, M. (1998) *Calculus: An intuitive and physical approach*.
13. ↑  *Sandifer, Ed*. How Euler Did It: Who proved *e* is Irrational? **(нявызн.)**.  MAA Online (1 лютага 2006). Архівавана з першакрыніцы 25 верасня 2006. Праверана 18 чэрвеня 2010.
14. ↑  Hofstadter, D. R. "Fluid Concepts and Creative Analogies: Computer Models of the Fundamental Mechanisms of Thought" Basic Books (1995) ISBN 0-7139-9155-0
15. ↑  Russell, K. G. (1991) *Estimating the Value of e by Simulation* The American Statistician, Vol. 45, No. 1. (Feb. 1991), pp. 66–68.
16. ↑  Dinov, ID (2007) *Estimating e using SOCR simulation*, SOCR Hands-on Activities (retrieved December 26, 2007).
17. ↑  Sebah, P. and Gourdon, X.; The constant e and its computation
18. ↑  Gourdon, X.; Reported large computations with PiFast
19. ↑  *Introductio in analysin infinitorum* p. 90
20. ↑  Daniel Shanks and John W Wrench (1962). "Calculation of Pi to 100,000 Decimals" (PDF). *Mathematics of Computation*. **16** (77): 76–99 (78). We have computed e on a 7090 to 100,265D by the obvious program
21. ↑  Byte Magazine Vol 6, Issue 6 (June 1981) p.392) "The Impossible Dream: Computing e to 116,000 places with a Personal Computer"
22. ↑  Email from Robert Nemiroff and Jerry Bonnell – The Number e to 1 Million Digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
23. ↑  Email from Xavier Gourdon to Simon Plouffe – I have made a new e computation (with verification): 1,250,000,000 digits. None. Retrieved on 2012-02-24.
24. ↑  PiHacks message 177 – E to 3,221,225,472 D(недаступная спасылка). Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
25. ↑  PiHacks message 1071 – Two new records: 50 billions for E and 25 billions for pi(недаступная спасылка). Groups.yahoo.com. Retrieved on 2012-02-24.
26. 1 2  English Version of PI WORLD. Ja0hxv.calico.jp. Retrieved on 2012-02-24.
27. ↑  A list of notable large computations of e. Numberworld.org. Last updated: March 7, 2011. Retrieved on 2012-02-24.
28. ↑  First 10-digit prime found in consecutive digits of e}. Brain Tags. Retrieved on 2012-02-24.
29. ↑  Shea, Andrea. "Google Entices Job-Searchers with Math Puzzle". *NPR*. Праверана 2007-06-09.
30. ↑  *Kazmierczak, Marcus*. Google Billboard **(нявызн.)**(недаступная спасылка).  mkaz.com (29 ліпеня 2004). Архівавана з першакрыніцы 23 верасня 2010. Праверана 9 чэрвеня 2007.
31. ↑  Knuth, Donald. "The Future of TeX and Metafont". *TeX Mag*. **5** (1). Архівавана з арыгінала 19 сакавіка 2012. Праверана 5 жніўня 2013. `{{cite journal}}`: Невядомы параметр `|deadurl=` ігнараваны (прапануецца `|url-status=`) (даведка) Архіўная копія **(нявызн.)**(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 19 сакавіка 2012. Праверана 5 жніўня 2013.Архіўная копія **(нявызн.)**. Архівавана з першакрыніцы 19 сакавіка 2012. Праверана 5 жніўня 2013.

Літаратура
----------

* *Eli Maor.* *e*: The Story of a Number.. — Princeton: Princeton University Press, 1994. — ISBN 0-691-05854-7.
* *Brian J. McCartin.* e: The Master of All(англ.) // *The Mathematical Intelligencer*. — 2006. — Т. 28. — № 2. — С. 10-21.

Спасылкі
--------

|  |  |
| --- | --- |
| commons: | E (лік) на Вікісховішчы |

* Простыя ўводзіны ў паказчыкавыя функцыі і лік *e* для нематэматыкаў (англ.)
* Лік *e* з дакладнасцю 1, 2 і 5 мільёнаў знакаў пасля коскі (англ.)
* Найранейшыя ўжыванні сімвалаў для пастаянных, 13 студзеня 2008 (англ.)
* «Гісторыя ліку *e*» (англ.)
* Пошукавая прылада для ліку *e* (2 мільярдаў даступных для пошуку лічбаў лікаў *e*, π і √2) (англ.)
* '**Sondow, Jonathan *and* Weisstein, Eric W.'**. "e" **(нявызн.)**. *MathWorld*.

```
 (англ.)
```

* <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-*e* Approximations">*Weisstein, Eric W.*. *e* Approximations **(нявызн.)**. *MathWorld*.

```
 (англ.)
```

  


| ⛭Лікі з уласнымі імёнамі |
| --- |
| Рэчаісныя | Пі · Залатое сячэнне · Сярэбранае сячэнне · e (лік Эйлера) · Пастаянная Эйлера — Маскероні · Пастаянныя Фейгенбаума · Пастаянная Гельфонда · Канстанта Бруна · Пастаянная Каталана · Пастаянная Аперы |
| Натуральныя | Чортаў тузін · Лік звера · Лік Рамануджана — Хардзі · Лік Грэма · Лік Ск'юза · Лік Мозера |
| Ступені дзесяці | Мірыяда · Гугал · Асанкхея · Гугалплекс |
| Ступені тысячы | Тысяча · Мільён · Мільярд · Більён · Трыльён · Квадрыльён · Квінтыльён · … · Цэнтыліён |
| Ступені дванаццаці | Тузін · Грос · Маса |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Кругасвет · Ларуса |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4150966-3 · LCCN: sh93008168 · Microsoft: 43918439 · NKC: ph114413 |