| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бэрнулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
* Цэнтральная лімітавая тэарэма
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Выпадковая велічыня** — матэматычная фармалізацыя лікавай велічыні, якая залежыць ад выпадковай падзеі. Тэрмін «выпадковая велічыня» можа ўводзіць у зман, бо строга кажучы гэта не велічыня, а функцыя ад магчымых падзей з прасторы элементарных падзей на некаторую вымерную прастору[en], часта рэчаісных лікаў.

Азначэнне
---------

Вызначым спачатку {\displaystyle {\mathcal {A}}}-вымерную[en] функцыю. Функцыя {\displaystyle f:\Omega \to \mathbb {R} } называецца {\displaystyle {\mathcal {A}}}-вымернай для некаторай σ-алгебры {\displaystyle {\mathcal {A}}}, калі для кожнага {\displaystyle x\in \mathbb {R} } выконваецца


f

−
1

(
(
−
∞
,
x
)
)
:=
{
ω
∈
Ω

|

f
(
ω
)
<
x
}
∈

A

{\displaystyle f^{-1}((-\infty ,x)):=\{\omega \in \Omega |f(\omega )<x\}\in {\mathcal {A}}}

{\displaystyle f^{-1}((-\infty ,x)):=\{\omega \in \Omega |f(\omega )<x\}\in {\mathcal {A}}}
Выпадковай велічынёй называецца {\displaystyle {\mathcal {A}}}-вымерная функцыя {\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} }, абсяг вызначэння якой супадае з прасторай элементарных падзей {\displaystyle \Omega } імавернаснай прасторы {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}:69.

З гэтага азначэння вынікае таксама, што для кожнага барэлеўскага падмноства[en] {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } праўдзіцца {\displaystyle \xi ^{-1}(B)\in {\mathcal {A}}}. Аналагічным чынам замест {\displaystyle (\xi <x)} у азначэнні можна браць {\displaystyle (\xi \leq x)}, {\displaystyle (\xi >x)}, {\displaystyle (\xi \geq x)}, {\displaystyle (x\_{1}\leq \xi \leq x\_{2})} і г.д.:70

Розніца ў азначэнні выпадковай велічыні і вымернай функцыі палягае ў тым, што ў азначэнні выпадковай велічыні фігуруе імавернасная мера. Пры вывучэнні выпадковых велічынь у тэорыі імавернасцей найчасцей разглядаецца пытанне таго, з якімі канкрэтна імавернасцямі выпадковыя велічыні прымаюць тыя ці іншыя значэнні, у той час як для вымерных функцый у тэорыі меры такога пытання як правіла не ставіцца:69.

Для абазначэння выпадковай велічыні выкарыстоўваюць малыя грэчаскія літары ({\displaystyle \xi }, {\displaystyle \eta } і г.д.) або вялікія лацінскія ({\displaystyle X}, {\displaystyle Y} і г.д.)

Размеркаванне выпадковай велічыні
---------------------------------

Асноўны артыкул: **Размеркаванне імавернасцей**
Размеркаваннем выпадковай велічыні {\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} } называецца імавернасная мера {\displaystyle P\_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } з дапамогай роўнасці
{\displaystyle P\_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).}

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя {\displaystyle F\_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, якая вызначаецца праз роўнасць

{\displaystyle F\_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}
З гэтага азначэння вынікае, што імавернасць пападання значэння выпадковай велічыні ў прамежак {\displaystyle [a,b)} роўная {\displaystyle F(b)-F(a).}

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання:70-71.

Класіфікацыя
------------

Асноўны артыкул: **Размеркаванне імавернасцей § Класіфікацыя размеркаванняў**
Выпадковыя велічыні класіфікуюцца паводле іх размеркаванняў і падзяляюцца, як і размеркаванні, на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя:77-78.

Дыскрэтныя выпадковыя велічыні прымаюць канечную або злічоную колькасць значэнняў і іх размеркаванне можна апісаць з дапамогай функцыі імавернасці {\displaystyle p\_{\xi }(x)=P(\xi =x)}. Размеркаванне абсалютна непарыўных велічынь можна апісаць з дапамогай функцыі шчыльнасці, якая амаль усюды[en] роўная вытворнай ад функцыі размеркавання {\displaystyle f\_{\xi }(x)=F'\_{\xi }(x)}.

З дапамогай функцыі размеркавання можна апісаць размеркаванні ўсіх тыпаў незалежных велічынь.

Прыклады
--------

* Няхай выпадковая велічыня мае дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне, то бок
{\displaystyle \mathbb {P} (X=x\_{i})={\frac {1}{n}},\;i=1,\ldots ,n.}

Тады яе матэматычнае спадзяванне
{\displaystyle M[X]={\frac {1}{n}}\sum \limits \_{i=1}^{n}x\_{i}}
роўнае сярэдняму арыфметычнаму ўсіх прымаемых значэнняў.
* Няхай выпадковая велічыня мае непарыўнае раўнамернае размеркаванне на прамежку {\displaystyle [a,b]}, дзе {\displaystyle a<b}. Тады яе шчыльнасць мае выгляд
{\displaystyle f\_{X}(x)={\frac {1}{b-a}}\mathbf {1} \_{[a,b]}(x),}

а матэматычнае спадзяванне роўнае
{\displaystyle M[X]=\int \limits \_{a}^{b}\!{\frac {x}{b-a}}\,dx={\frac {a+b}{2}}.}
Заўвага: матэматычнае спадзяванне вызначана не для ўсякай выпадковай велічыні.

Функцыі ад выпадковых велічынь
------------------------------

Калі {\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} } — выпадковая велічыня, а функцыя {\displaystyle \varphi :\xi (\Omega )\to \mathbb {R} } барэлеўская[en] (то бок правобраз[en] кожнага барэлеўскага мноства барэлеўскі), то кампазіцыя {\displaystyle \eta =\varphi \circ \xi :\Omega \to \mathbb {R} } ёсць выпадковай велічынёй на той жа імавернаснай прасторы з размеркаваннем

{\displaystyle P\_{\eta }(B)=P\_{\xi }(\varphi ^{-1}(B)),}
дзе {\displaystyle B} — барэлеўскае мноства:90.

На практыцы гэтая ўласцівасць часта выконваецца, бо, напрыклад, усе непарыўныя функцыі — барэлеўскія.

Фукнцыю размеркавання {\displaystyle \eta } можна запісаць як:90

{\displaystyle F\_{\eta }(x)=\int \limits \_{\varphi ^{-1}((-\infty ,x))}dF\_{\xi },}
дзе {\displaystyle F\_{\xi }} — функцыя размеркавання {\displaystyle \xi .}

Калі {\displaystyle \xi } — абсалютна непарыўная выпадковая велічыня са шчыльнасцю {\displaystyle f\_{\xi },} а {\displaystyle \varphi } — строга манатонная і дыферэнцавальная функцыя[en], то {\displaystyle \eta =\varphi (\xi )} будзе мець шчыльнасць:91

{\displaystyle f\_{\eta }(x)=f\_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))\left|\left[\varphi ^{-1}\right]'(x)\right|={\frac {f\_{\xi }(\varphi ^{-1}(x))}{\left|\varphi '(\varphi ^{-1}(x))\right|}}.}
### Прыклад

Залежнасць шчыльнасці ад значэння, на якое дамнажаюць выпадковую велічыню. Плошча пад графікам шчыльнасці застаецца нязменнай і роўнай 1.
Няхай выпадковая велічыня {\displaystyle \xi } мае паказнікавае размеркаванне ({\displaystyle \xi \sim Exp(\lambda )}) са шчыльнасцю

{\displaystyle f\_{\xi }(x)=\lambda e^{-\lambda x}} для {\displaystyle x\geq 0,}
а функцыя {\displaystyle \varphi (x)=2x.} Тады {\displaystyle \varphi ^{-1}(x)=x/2,} а {\displaystyle \eta =\varphi (\xi )=2\xi } — выпадковая велічыня са шчыльнасцю

{\displaystyle f\_{\eta }(x)=f\_{\xi }\left({\frac {x}{2}}\right)\cdot \left|\left({\frac {x}{2}}\right)'\right|=\lambda e^{-\lambda {\frac {x}{2}}}\cdot {\frac {1}{2}}={\frac {\lambda }{2}}e^{-{\frac {\lambda }{2}}x},}
то бок {\displaystyle \eta \sim Exp(\lambda /2).}

Інтуітыўна формулу можна растлумачыць так, што памнажаючы велічыню на два, мы рассоўваем пункты на восі абсцыс адзін ад аднаго такім чынам, што дыстанцыя паміж пунктамі становіцца ў два разы большай, што робіць шчыльнасць у два разы меншай, бо плошча пад графікам шчыльнасці мусіць заставацца роўнай 1. У выпадку нелінейнай манатоннай функцыі {\displaystyle \varphi }, напрыклад {\displaystyle \varphi =x^{3},} інтуіцыя захоўваецца, але дыстанцыі паміж пунктамі будуць змяняцца па-рознаму ў розных пунктах восі абсцыс, адпаведна і значэнне вытворнай у формуле будзе залежаць ад {\displaystyle x}.

Найпрасцейшыя абагульненні
--------------------------

Выпадковая велічыня, увогуле кажучы, можа прымаць значэнні ў любой вымернай прасторы. Тады яе часцей называюць выпадковым вектарам ці выпадковым элементам. Напрыклад,

* Вымерная функцыя {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {R} ^{n}} называецца *n*-мерным выпадковым вектарам (адносна барэлеўскай {\displaystyle \sigma }-алгебры на {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}) або многавымернай выпадковай велічынёй.
* Вымерная функцыя {\displaystyle X:\Omega \to \mathbb {C} ^{n}} называецца *n*-мерным камплексным выпадковым вектарам (таксама адносна адпаведнай барэлеўскай {\displaystyle \sigma }-алгебры).
* Вымерная функцыя, якая адлюстроўвае імавернасную прастору ў прастору падмностваў некаторага (канечнага) мноства, называецца (канечным) выпадковым мноствам.

Гл. таксама
-----------

* Выпадковы працэс
* Функцыя размеркавання
* Матэматычнае спадзяванне

Зноскі
------

1. ↑  Deisenroth, Marc Peter (2020). *Mathematics for machine learning*. A. Aldo Faisal, Cheng Soon Ong. Cambridge, United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN 978-1-108-47004-9. OCLC 1104219401.
2. 1 2 3 4 5 6 7 8  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.
3. ↑  Chapter 5-Borel sets and functions **(нявызн.)**. Праверана 7 кастрычніка 2023.

Літаратура
----------

* *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. 206 с.

Спасылкі
--------

* Многомерные случайные величины (руск.)

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 121355344 · GND: 4129514-6 · LCCN: sh85111355 · Microsoft: 122123141 |