**Найбольшы агу́льны дзе́льнік** (**НАД**) двух цэлых лікаў *m* і *n* — самы вялікі натуральны лік, які дзеліць і *m*, і *n*. Іншымі словамі, гэта самы вялікі з іх агульных дзельнікаў. Прыклад: для лікаў 70 і 105 найбольшы агульны дзельнік роўны 35.

Найбольшы агульны дзельнік існуе і вызначаны адназначна, калі хаця б адзін з лікаў *m* і *n* не нулявы.

Сустракаюцца наступныя абазначэнні найбольшага агульнага дзельніка *m* і *n*:

* НАД(*m*, *n*)
* (*m*, *n*)
* gcd(*m*, *n*) (ад англ. *Greatest Common Divisor*)
* hcf(*m*, *n*) (ад брыт. англ.  (англ.) (бел. *Highest Common Factor*)

Паняцце найбольшага агульнага дзельніка натуральным чынам абагульняецца на наборы з больш чым двух цэлых лікаў.

Звязаныя азначэнні
------------------

### Найменшае агульнае кратнае

Асноўны артыкул: **Найменшае агульнае кратнае**
**Найменшае агульнае кратнае** (**НАК**) двух цэлых лікаў *m* і *n* — гэта найменшы натуральны лік, які дзеліцца і на *m*, і на *n*. Абазначаецца НАК(*m*,*n*) ці [*m*, *n*], а ў англамоўнай літаратуры lcm(*m*, *n*).

НАК ненулявых лікаў *m* і *n* заўсёды існуе і звязаны з НАД наступнымі суадносінамі:

{\displaystyle (m,n)\cdot [m,n]=m\cdot n.}
Гэта асобны выпадак больш агульнай тэарэмы:
калі {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}} — ненулявыя лікі, {\displaystyle D} — якое-небудзь іх агульнае кратнае, то справядліва формула:

{\displaystyle D=[a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}]\cdot \left({\frac {D}{a\_{1}}},{\frac {D}{a\_{2}}},\dots ,{\frac {D}{a\_{n}}}\right).}
### Узаемна простыя лікі

Асноўны артыкул: **Узаемна простыя лікі**
Лікі *m* і *n* называюцца **ўзаемна-простымі**, калі ў іх няма агульных дзельнікаў, акрамя адзінкі. Для такіх лікаў НАД(*m*, *n*) = 1. І наадварот, калі НАД(*m*, *n*) = 1, то лікі ўзаемна простыя.

Падобным чынам, цэлыя лікі {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots a\_{k}}, дзе {\displaystyle k\geq 2}, называюцца **ўзаемна простымі**, калі іх найбольшы агульны дзельнік роўны адзінцы.

Трэба адрозніваць паняцці *ўзаемнай прастаты*, калі НАД набору лікаў роўны 1, і *папарнай узаемнай прастаты*, калі НАД ровен 1 для кожнай пары лікаў з набору. З папарнае прастаты вынікае ўзаемная прастата, але не наадварот. Напрыклад, НАД(6,10,15) = 1, але любыя пары з гэтага набору не ўзаемна простыя.

Спосабы вылічэння
-----------------

НАД двух лікаў можна эфектыўна вылічыць па алгарытме Еўкліда і бінарным алгарытме.

Акрамя таго, значэнне НАД(*m*, *n*) можна лёгка вылічыць, калі вядома кананічнае раскладанне лікаў *m* і *n* на простыя множнікі:

{\displaystyle n=p\_{1}^{d\_{1}}\cdot \dots \cdot p\_{k}^{d\_{k}},}
{\displaystyle m=p\_{1}^{e\_{1}}\cdot \dots \cdot p\_{k}^{e\_{k}},}
дзе {\displaystyle p\_{1},\dots ,p\_{k}} — розныя простыя лікі, а {\displaystyle d\_{1},\dots ,d\_{k}} і {\displaystyle e\_{1},\dots ,e\_{k}} — неадмоўныя цэлыя лікі (яны могуць быць нулямі, калі адпаведны просты адсутнічае ў раскладанні). Тады НАД(*m*, *n*) і НАК(*m*, *n*) выражаюцца формуламі:

{\displaystyle (n,m)=p\_{1}^{\min(d\_{1},e\_{1})}\cdot \dots \cdot p\_{k}^{\min(d\_{k},e\_{k})},}
{\displaystyle [n,m]=p\_{1}^{\max(d\_{1},e\_{1})}\cdot \dots \cdot p\_{k}^{\max(d\_{k},e\_{k})}.}
Калі лікаў больш чым два: {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots a\_{n}}, іх НАД шукаюць па наступным алгарытме:

{\displaystyle d\_{2}=(a\_{1},a\_{2})}
{\displaystyle d\_{3}=(d\_{2},a\_{3})}
………
{\displaystyle d\_{n}=(d\_{n-1},a\_{n})} — гэта і ёсць шуканы НАД.

Уласцівасці
-----------

* Асноўная ўласцівасць: найбольшы агульны дзельнік *m* і *n* дзеліцца на любы агульны дзельнік гэтых лікаў. Прыклад: для лікаў 12 і 18 найбольшы агульны дзельнік ровен 6; ён дзеліцца на ўсе агульныя дзельнікі гэтых лікаў: 1, 2, 3, 6.
	+ Вынік 1: мноства агульных дзельнікаў *m* і *n* супадае з мноствам дзельнікаў НАД(*m*, *n*).
	+ Вынік 2: мноства агульных кратных *m* і *n* супадае з мноствам кратных НАК(*m*, *n*).
* Калі *m* дзеліцца на *n*, то НАД(*m*, *n*) = *n*. У прыватнасці, НАД(*n*, *n*) = *n*.
* {\displaystyle (a\cdot m,a\cdot n)=|a|\cdot (m,n)} — агульны множнік можна выносіць за знак НАД.
* Калі {\displaystyle D=(m,n)}, то пасля дзялення на {\displaystyle D} лікі становяцца ўзаемна простымі, г.зн. {\displaystyle \left({{\frac {m}{D}},{\frac {n}{D}}}\right)=1}. Гэта азначае, сярод іншага, што для прывядзення дробу да нескарачальнага выгляду трэба падзяліць яе лічнік і назоўнік на іх НАД.
* Мультыплікатыўнасць: калі {\displaystyle a\_{1},a\_{2}} узаемна простыя, то:

{\displaystyle (a\_{1}\cdot a\_{2},b)=(a\_{1},b)\cdot (a\_{2},b)}
* Найбольшы агульны дзельнік лікаў *m* і *n* можна вызначыць як найменшы дадатны элемент мноства ўсіх іхніх лінейных камбінацый  (руск.) (бел.:

{\displaystyle \left\{a\cdot m+b\cdot n\mid a,b\in \mathbb {Z} \right\},}
і таму {\displaystyle (m,n)} можна прадставіць у выглядзе лінейнай камбінацыі лікаў *m* і *n*:
{\displaystyle (m,n)=u\cdot m+v\cdot n.}
Гэта роўнасць называецца **суадносінамі Безу**  (руск.) (бел. а каэфіцыенты {\displaystyle u} і {\displaystyle v} — **каэфіцыентамі Безу**. Каэфіцыенты Безу эфектыўна вылічаюцца пашыраным алгарытмам Еўкліда. Гэтае сцвярджэнне абагульняецца на наборы натуральных лікаў — яго сэнс у тым, што падгрупа групы {\displaystyle \mathbb {Z} }, спароджаная наборам {\displaystyle \{a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n}\}}, — цыклічная  (руск.) (бел. і спараджаецца адным элементам: НАД(*a*1, *a*2, … , *a**n*).

Абагульненні
------------

Паняцце дзялімасці цэлых лікаў натуральным чынам абагульняецца на адвольныя камутатыўныя колцы  (руск.) (бел. такія, як колца мнагачленаў  (руск.) (бел. ці гаусавы цэлыя лікі. Аднак, вызначыць НАД(*a*, *b*) як *найбольшы* з агульных дзельнікаў *a* і *b* нельга, бо ў такіх колцах, увогуле кажучы, не вызначана дачыненне парадку. Таму ў якасці азначэння НАД бярэцца яго асноўная ўласцівасць:

**Найбольшым агульным дзельнікам** НАД(*a*, *b*) называецца той агульны дзельнік, які дзеліцца на ўсе астатнія агульныя дзельнікі элементаў *a* і *b*.
Для натуральных лікаў новае азначэнне раўназначнае старому. Для цэлых лікаў НАД у новым сэнсе ўжо не адназначны: процілеглы яму лік таксама будзе НАД. Для гаусавых лікаў колькасць розных НАД раўняецца ўжо чатыром.

НАД двух элементаў камутатыўнага колца, увогуле кажучы, можа не існаваць. Напрыклад, для наступных элементаў *a* і *b* колца {\displaystyle \mathbb {Z} \left[{\sqrt {-3}}\right]} не існуе найбольшага агульнага дзельніка:

{\displaystyle a=4=2\cdot 2=\left(1+{\sqrt {-3}}\right)\left(1-{\sqrt {-3}}\right),\qquad b=\left(1+{\sqrt {-3}}\right)\cdot 2.}
У еўклідавых колцах  (руск.) (бел. найбольшы агульны дзельнік заўсёды існуе і вызначан з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі  (руск.) (бел. г.зн. колькасць НАД роўная ліку дзельнікаў адзінкі ў колцы.

Гл. таксама
-----------

* Бінарны алгарытм вылічэння НАД
* Дзялімасць
* Еўклідава колца
* Найменшае агульнае кратнае

Зноскі
------

1. ↑  Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. старонка 857

Літаратура
----------

* *Виноградов И. М.* Основы теории чисел.. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.