У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Вытворная.
У матэматычным аналізе **частковая вытворная** — адно з абагульненняў паняцця вытворнай на выпадак функцыі некалькіх зменных.

У яўным выглядзе частковая вытворная функцыі {\displaystyle f} у кропцы {\displaystyle (a\_{1},a\_{2},\ldots ,a\_{n})} вызначаецца наступным чынам:

{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x\_{k}}}(a\_{1},\cdots ,a\_{n})=\lim \_{\Delta x\to 0}{\frac {f(a\_{1},\ldots ,a\_{k}+\Delta x,\ldots ,a\_{n})-f(a\_{1},\ldots ,a\_{k},\ldots ,a\_{n})}{\Delta x}}.}
Графік функцыі *z* = *x*² + *xy* + *y*². Частковая вытворная ў кропцы (1, 1, 3) пры пастаянным *y* адпавядае вуглу нахілу датычнай прамой, паралельнай плоскасці *xz*.
Сячэнні графіка, намаляванага вышэй, плоскасцю *y* = 1

Абазначэнне
-----------

Варта звярнуць увагу, што абазначэнне {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} трэба разумець як *цэльны* сімвал, у адрозненне ад звычайнай вытворнай функцыі адной зменнай {\displaystyle {\frac {df}{dx}},} якую можна прадставіць, як адносіну дыферэнцыялаў функцыі і аргумента. Аднак, і частковую вытворную можна прадставіць як адносіну дыферэнцыялаў, але ў гэтым выпадку неабходна абавязкова паказваць, па якой зменнай ажыццяўляецца прырашчэнне функцыі: {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}={\frac {d\_{x}f}{dx}},} дзе {\displaystyle d\_{x}f} — частковы дыферэнцыял функцыі {\displaystyle f} па зменнай {\displaystyle x}. Часта неразуменне факта цэльнасці сімвала {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} з'яўляецца прычынай памылак і непаразуменняў, як, напрыклад, скарачэнне {\displaystyle \partial x} ў выразе {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}{\frac {\partial x}{\partial t}}} .

Геаметрычная інтэрпрэтацыя
--------------------------

Геаметрычна частковая вытворная з'яўляецца вытворнай па напрамку адной з каардынатных восей. Частковая вытворная функцыі {\displaystyle f} у пункце {\displaystyle {\vec {x}}{\,}^{0}=(x\_{1}^{0},\ldots ,x\_{n}^{0})} па каардынаце {\displaystyle x\_{k}} роўная вытворнай {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial {\vec {e}}}}} па напрамку {\displaystyle {\vec {e}}={\vec {e}}{\,}^{k}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}, дзе адзінка стаіць на *k*-ым месцы.

Прыклады
--------

Аб’ём конуса залежыць ад вышыні і радыуса асновы
Аб’ём V конуса залежыць ад вышыні h і радыуса r, згодна з формулай

{\displaystyle V={\frac {\pi r^{2}h}{3}},}
Частковая вытворная аб’ёму V адносна радыуса r

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial r}}={\frac {2\pi rh}{3}},}
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго радыус мяняецца, а яго вышыня застаецца нязменнай. Напрыклад, калі лічыць адзінкі вымярэння аб’ёму {\displaystyle m^{3}}, а вымярэнні даўжыні {\displaystyle m}, то вышэйназваная вытворная будзе мець размернасць хуткасці змянення аб’ёму {\displaystyle m^{3}/m}, г.зн. змяненне велічыні радыуса на 1 м будзе адпавядаць змяненню аб’ёму конуса на {\displaystyle {\frac {2\pi rh}{3}}} {\displaystyle m^{3}}.

Частковая вытворная адносна h

{\displaystyle {\frac {\partial V}{\partial h}}={\frac {\pi r^{2}}{3}},}
якая паказвае хуткасць, з якой змяняецца аб’ём конуса, калі яго вышыня мяняецца, а яго радыус застаецца нязменным.

Поўная вытворная V адносна r і h

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}=\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}+\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}{\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}}
і

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} h}}=\overbrace {\frac {\pi r^{2}}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial h}}+\overbrace {\frac {2\pi rh}{3}} ^{\frac {\partial V}{\partial r}}{\frac {\operatorname {d} r}{\operatorname {d} h}}}
Адрозненне паміж поўнай і частковай вытворнай — ухіленне ўскосных залежнасцей паміж зменнымі ў апошняй.

Калі (па некаторых прычынах) прапорцыі конуса застаюцца нязменнымі, то вышыня і радыус знаходзяцца ў фіксаванай адносіне *s*,

{\displaystyle s={\frac {h}{r}}={\frac {\operatorname {d} h}{\operatorname {d} r}}.}
Гэта дае поўную вытворную адносна r:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} r}}={\frac {2\pi rh}{3}}+s{\frac {\pi r^{2}}{3}}}
Ураўненні, у якія ўваходзяць частковыя вытворныя, называюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных і шырока вядомыя ў фізіцы, інжынерыі і іншых навуках і прыкладных дысцыплінах.

Зноскі
------

1. ↑  Фихтенгольц, «Курс дифференциального и интегрального исчисления»

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4454857-6 · Microsoft: 53846429 |