Стандартныя абазначэнні
Дыяграма Эйлера для тыпаў трыкутнікаў.
**Тро́хвуго́льнік** — геаметрычная фігура, утвораная трыма адрэзкамі, якія злучаюць тры пункты, што не ляжаць на адной прамой. Гэтыя адрэзкі называюцца **старанамі** (бакамі) трохвугольніка, а пункты, злучаныя старанамі, — яго **вяршынямі**.

Трохвугольнік — найпрасцейшы з многавугольнікаў.

Вяршыні трохвугольніка звычайна абазначаюцца вялікімі лацінскімі літарамі (A, B, C), велічыні вуглоў пры адпаведных вяршынях — грэчаскімі літарамі (α, β, γ), а даўжыні процілеглых старон — маленькімі лацінскімі літарамі (a, b, c).

Трохвугольнік з'яўляецца шматграннікам. У еўклідавай геаметрыі трохвугольнік адназначна задае плоскасць. Усе трохвугольнікі з'яўляюцца плоскімі фігурамі.

Класіфікацыя трохвугольнікаў
----------------------------

| Віды трохвугольнікаў паводле велічыні вуглоў |
| --- |
| Востравугольны трохвугольнікВостравугольны | Тупавугольны трохвугольнікТупавугольны | Прамавугольны трохвугольнікПрамавугольны |
|

### Паводле велічыні вуглоў

Раз сума вуглоў трохвугольніка роўная 180°, то не менш чым два вуглы ў трохвугольніку павінны быць вострымі (меншымі за 90°). Вылучаюць наступныя віды трохвугольнікаў:

* Калі ўсе вуглы трохвугольніка вострыя, то трохвугольнік завецца **востравугольным**;
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка тупы (большы за 90°), то трохвугольнік завецца **тупавугольным**;
* Калі адзін з вуглоў трохвугольніка прамы (роўны 90°), то трохвугольнік завецца **прамавугольным**. Дзве стараны, якія ўтвараюць прамы вугал, завуцца **катэтамі**, а старана, процілеглая прамому вуглу, завецца **гіпатэнузай**.

| Віды трохвугольнікаў паводле колькасці роўных старон |
| --- |
| Рознастаронні трохвугольнікРознастаронні | Раўнабедраны трохвугольнікРаўнабедраны | Роўнастаронні трохвугольнікРоўнастаронні |
|

### Паводле колькасці роўных старон

* **Рознастароннім** называецца трохвугольнік, у якога даўжыні старон папарна розныя.
* **Раўнабедраным** завецца трохвугольнік, у якога дзве стараны роўныя. Гэтыя стораны завуцца **бакавымі**, трэцяя старана завецца **асновай**. У раўнабедраным трохвугольніку вуглы пры аснове роўныя. Вышыня, медыяна і бісектрыса раўнабедранага трохвугольніка, апушчаныя на аснову, супадаюць.
* **Роўнастароннім** завецца трохвугольнік, у якога ўсе тры стараны роўныя. У роўнастароннім трохвугольніку ўсе вуглы роўныя 60°, а цэнтры упісанай і апісанай акружнасцей супадаюць.

Няроўнасць трохвугольніка
-------------------------

Стораны трохвугольніка нельга задаваць адвольна, яны звязаныя наступнымі няроўнасцямі

* {\displaystyle a<b+c}
* {\displaystyle b<c+a}
* {\displaystyle c<a+b}

Калі хаця б у адной з гэтых суадносін мае месца роўнасць, трохвугольнік называецца **выраджаным**. Далей усюды маецца на ўвазе нявыраджаны выпадак.

Прыкметы роўнасці трохвугольнікаў
---------------------------------

Трохвугольнік адназначна можна вызначыць па наступных тройках асноўных элементаў:

* a, b, c (роўнасць па трох старанах);
* a, b, γ (роўнасць па дзвюх старанах і вуглу паміж імі);
* a, β, γ (роўнасць па старане і двух прылеглых вуглах).

Адрэзкі і акружнасці, звязаныя з трохвугольнікам
------------------------------------------------

Акружнасць, датычная ўсіх трох старон трохвугольніка, завецца яго **упісанай акружнасцю**. Яна вызначана адназначна. Акружнасць, якая праходзіць праз усе тры вяршыні трохвугольніка, завецца яго **апісанай акружнасцю**. Апісаная акружнасць таксама вызначана адназначна.

**Медыянай** трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завецца адрэзак, які злучае гэту вяршыню з сярэдзінай процілеглай стараны. Усе тры медыяны трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце. Гэты пункт перасячэння называецца **цэнтроідам** або цэнтрам цяжару трохвугольніка. Апошняя назва звязана з тым, што ў трохвугольніка, зробленага з аднароднага матэрыялу, цэнтр цяжару знаходзіцца ў пункце перасячэння медыян. Цэнтроід дзеліць кожную медыяну ў адносіне 1:2, калі лічыць ад асновы медыяны.

Перпендыкуляр, апушчаны з вяршыні трохвугольніка на процілеглую старану або яе працяг, завецца **вышынёй** трохвугольніка. Тры вышыні трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, які называецца **ортацэнтрам** трохвугольніка.

**Бісектрысай** трохвугольніка, праведзенай з дадзенай вяршыні, завуць адрэзак, які злучае гэту вяршыню з пунктам на процілеглай старане і дзеліць вугал пры дадзенай вяршыні папалам. Бісектрысы трохвугольніка перасякаюцца ў адным пункце, і гэты пункт супадае з цэнтрам упісанай акружнасці.

У раўнабедраным трохвугольніку бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя да асновы, супадаюць. Справядліва і адваротнае: калі бісектрыса, медыяна і вышыня, праведзеныя з адной вяршыні, супадаюць, то трохвугольнік раўнабедраны. Калі трохвугольнік рознастаронні, то для любой яго вяршыні бісектрыса, праведзеная з яе, ляжыць паміж медыянай і вышынёй, праведзенымі з той жа вяршыні.

Сярэдзінныя перпендыкуляры да старон трохвугольніка таксама перасякаюцца ў адным пункце, які супадае з цэнтрам апісанай акружнасці.

**Пазаўпісанай акружнасцю** завецца акружнасць, датычная аднае стараны трохвугольніка і працягу дзвюх іншых старон.

Сярэдзіны трох старон трохвугольніка, асновы трох яго вышынь і сярэдзіны трох адрэзкаў, якія злучаюць яго вяршыні з артацэнтрам, ляжаць на адной акружнасці, якая называецца **акружнасцю дзевяці пунктаў**.

У любым трохвугольніку цэнтр цяжару, артацэнтр, цэнтр апісанай акружнасці і цэнтр акружнасці дзевяці пунктаў ляжаць на адной прамой, якая называецца **прамою Эйлера**.

Суадносіны ў трохвугольніку
---------------------------

Калі вядомыя тры велічыні з шасці (тры стараны і тры вуглы), то астатнія можна знайсці па наступных формулах:

### Тэарэма сінусаў

Асноўны артыкул: **Тэарэма сінусаў**
Справядлівыя наступныя суадносіны паміж даўжынямі старон і сінусамі адпаведных процілеглых вуглоў:

{\displaystyle {\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,}
дзе *R* — радыус апісанай акружнасці.

Гэтыя суадносіны называюцца тэарэмаю сінусаў.
Сярод іншага, з тэарэмы вынікае, што калі a < b < c, то α < β < γ.

### Тэарэма косінусаў

Асноўны артыкул: **Тэарэма косінусаў**
Ведаючы дзве стараны трохвугольніка і вугал паміж імі, можна вылічыць трэцюю старану па формуле:

c2 = a2 + b2 — 2ab cos γ.
Гэта формула называецца тэарэмаю косінусаў і з'яўляецца абагульненнем тэарэмы Піфагора.

### Тэарэма пра суму вуглоў трохвугольніка

Асноўны артыкул: **Тэарэма аб суме вуглоў трохвугольніка**
Сума вуглоў любога трохвугольніка раўняецца 180° (π радыян):

α + β + γ = 180° (π)
Гэта сцвярджэнне раўназначнае аксіёме паралельнасці Еўкліда.

### Іншыя суадносіны

Метрычныя суадносіны ў трохвугольніку, прыведзеныя для трохвугольніка {\displaystyle \triangle ABC:}

{\displaystyle {a \over b}={a\_{L} \over b\_{L}}}
{\displaystyle l\_{c}={{\sqrt {ab(a+b+c)(a+b-c)}} \over {a+b}}={\sqrt {ab-a\_{L}b\_{L}}}={\frac {2ab\cos {\frac {\gamma }{2}}}{a+b}}}
{\displaystyle m\_{c}={1 \over 2}{\sqrt {2(a^{2}+b^{2})-c^{2}}}}
{\displaystyle h\_{c}=b\sin \alpha =a\sin \beta ={\frac {2S}{c}}}
{\displaystyle \ d^{2}=R^{2}-2Rr} — формула Эйлера
{\displaystyle {\frac {r}{R}}=4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}=\cos \alpha +\cos \beta +\cos \gamma -1}
**Дзе:**

{\displaystyle \ l\_{a},l\_{b},l\_{c}} — адпаведна бісектрысы вуглоў {\displaystyle A}, {\displaystyle B} і {\displaystyle C},
{\displaystyle \ a\_{L},b\_{L}} — адрэзкі, на якія бісектрысы {\displaystyle \ l\_{c}} дзеліць старану {\displaystyle \ c},
{\displaystyle \ m\_{a},m\_{b},m\_{c}} — медыяны, праведзеныя адпаведна да старон {\displaystyle a}, {\displaystyle b} і {\displaystyle c},
{\displaystyle \ h\_{a},h\_{b},h\_{c}} — вышыні, апушчаныя адпаведна на стораны {\displaystyle a}, {\displaystyle b} і {\displaystyle c},
{\displaystyle \ r} — радыус упісанай акружнасці,
{\displaystyle \ R} — радыус апісанай акружнасці,
{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} — паўперыметр,
{\displaystyle \ S} — плошча,
{\displaystyle \ d} — адлегласць паміж цэнтрамі ўпісанай і апісанай акружнасцей.

Плошча трохвугольніка
---------------------

Найвядомейшая і найпрасцейшая формула:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh\_{b}}
**Дзе:**

{\displaystyle \ b} — даўжыня асновы трохвугольніка (старана, да якой праведзены перпендыкуляр)
{\displaystyle \ h\_{b}} — вышыня, праведзеная да стараны {\displaystyle \ b},
Гэтай формулай зручна карыстацца, калі можна лёгка знайсці вышыню.

Трыганаметрычны спосаб вылічэння вышыні *h*.
### Трыганаметрычны спосаб

Вышыню трохвугольніка можна вылічыць з выкарыстаннем трыганаметрычных формул. У адпаведнасці з абазначэннямі на выяве злева, вышыня роўная {\displaystyle \ h\_{b}=a\sin \gamma }. Калі падставіць вышыню ў формулу {\displaystyle S={\frac {1}{2}}bh\_{b}}, атрымаем:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\frac {1}{2}}ca\sin \beta .}
Акрамя таго, {\displaystyle \sin \alpha =\sin(\pi -\alpha )=\sin(\beta +\gamma ),}, што справядліва і для іншых двух вуглоў:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\frac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\frac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}
### З выкарыстаннем вектараў

Плошчу паралелаграма можна вылічыць з дапамогай вектараў. Няхай вектары *AB* і *AC* накіраваны адпаведна ад *A* да *B* і ад *A* да *C*. Тады плошча паралелаграма *ABDC* роўная *|AB × AC|*, г.зн. лікаваму значэнню вектарнага здабытка *AB* і *AC*. *|AB × AC|* роўны *h · AC*, дзе *h* — вышыня паралелаграма.

Плошча трохвугольніка *ABC* роўная палове плошчы паралелаграма *S = ½|AB × AC|*.

Плошчу трохвугольніка *ABC* таксама можна вылічыць як скалярны здабытак вектараў.

{\displaystyle {\frac {1}{2}}{\sqrt {(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AB} )(\mathbf {AC} \cdot \mathbf {AC} )-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}={\frac {1}{2}}{\sqrt {|\mathbf {AB} |^{2}|\mathbf {AC} |^{2}-(\mathbf {AB} \cdot \mathbf {AC} )^{2}}}\,.}
### Выкарыстанне каардынат

Калі пункт А размешчаны ў пункце пачатку адліку (0, 0) дэкартавай каардынатнай сістэмы, а каардынаты іншых двух пунктаў B = (*x*B, *y*B) і C = (*x*C, *y*C), тады плошчу *S* можна вылічыць як палавіну абсалютнага значэння вызначніка:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x\_{B}&x\_{C}\\y\_{B}&y\_{C}\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}|x\_{B}y\_{C}-x\_{C}y\_{B}|.}
Ці ў агульным выпадку:

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\frac {1}{2}}{\big |}x\_{A}y\_{C}-x\_{A}y\_{B}+x\_{B}y\_{A}-x\_{B}y\_{C}+x\_{C}y\_{B}-x\_{C}y\_{A}{\big |}.}
У трохмернай прасторы плошча трохвугольніка {A = (*x*A, *y*A, *z*A), B = (*x*B, *y*B, *z*B) і C = (*x*C, *y*C, *z*C)} роўная корню квадратнаму з сумы квадратаў адпаведных праекцый на тры галоўныя плоскасці (для якіх *x* = 0 або *y* = 0 або *z* = 0):

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}{\sqrt {\left(\det {\begin{pmatrix}x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}y\_{A}&y\_{B}&y\_{C}\\z\_{A}&z\_{B}&z\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}+\left(\det {\begin{pmatrix}z\_{A}&z\_{B}&z\_{C}\\x\_{A}&x\_{B}&x\_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right)^{2}}}.}
### Формула Герона

Форма трохвугольніка адназначна вызначаецца трыма старанамі. Адпаведна, для таго каб вылічыць плошчу дастаткова ведаць даўжыні старон. Паводле формулы Герона:

{\displaystyle S={\sqrt {p(p-a)(p-b)(p-c)}},} дзе {\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} — **паўперыметр**.
Іншы спосаб запісу формулы Герона:

{\displaystyle S={\frac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}.}
### Іншыя формулы

1. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}r(a+b+c)=pr=(p-b)r\_{b}}
2. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}={\frac {abc}{4R}}}
3. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}={\frac {a^{2}\sin \beta \sin \gamma }{2\sin \alpha }}}
4. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}={2R^{2}\sin \alpha \sin \beta \sin \gamma }}
5. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}={\frac {1}{2}}[x\_{A}(y\_{B}-y\_{C})+x\_{B}(y\_{C}-y\_{A})+x\_{C}(y\_{A}-y\_{B})]} у дадзенай формуле варта звярнуць увагу на абход вяршынь, калі йсці па гадзіннікавай стрэлцы, то атрымаецца тая ж плошча, але з адмоўным знакам
6. {\displaystyle S\_{\triangle ABC}=r^{2}+2rR} — для прамавугольнага трохвугольніка

**Дзе:**

{\displaystyle p={\frac {a+b+c}{2}}} — напаўперыметр,
{\displaystyle \ r} — радыус упісанай акружнасці,
{\displaystyle \ r\_{b}} — радыус пазаўпісанай акружнасці, датычны да стараны {\displaystyle \ b,}
{\displaystyle \ R} — радыус апісанай акружнасці,
{\displaystyle \ (x\_{A},y\_{A});(x\_{B},y\_{B});(x\_{C},y\_{C})} — каардынаты вяршынь трохвугольніка.

Спасылкі
--------

* Лагатып Вікісховішча На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Трохвугольнік

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Бракгаўза і Эфрона · Малы Бракгаўза і Эфрона · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 11946969k · LCCN: sh85137407 · NKC: ph126753 |

| ⛭Шматвугольнікі |
| --- |
| Тыпы | 

|  |
| --- |
| Двухвугольнік · Трохвугольнік · Пяцівугольнік · Шасцівугольнік · Сямівугольнік · Васьмівугольнік · Дзевяцівугольнік · Дзесяцівугольнік • Адзінаццацівугольнік • Дванаццацівугольнік • Трыдэкагон • Тэтрадэкагон • Пентадэкагон • Сямнаццацівугольнік |
| Выпуклыя чатырохвугольнікі | Паралелаграм · Прамавугольнік · Ромб · Трапецыя |
| Правільныямногавугольнікі: | Трохвугольнік · Чатырохвугольнік · Пяцівугольнік · Шасцівугольнік · Сямівугольнік · Васьмівугольнік · Дзевяцівугольнік · ... · 17-вугольнік · ... · 257-вугольнік · ... · 65537-вугольнік |

 |
| Тэорыя іпрактыка | Прыналежнасць пункта многавугольніку · Тэарэма Бояі — Гервіна · Тэарэма Брахмагупты · Тэарэма Гаўса — Ванцеля · Тэарэма Піка · Тэарэма пра суму вуглоў многавугольніка |
| Іншае: | Выпуклы многавугольнік · Гексаграма · Дэльтоід · Зорка · Пентаграма · Планігон |