Каталог эліптычных крывых. Паказана вобласць [−3,3]² (Для *a* = 0 і *b* = 0 функцыя не гладкая і таму не з’яўляецца эліптычнай крывой.)

У матэматыцы, **эліптычная крывая** (**ЭК**) — гладкаяbeen, праектыўнаяbeen алгебраічная крываяberu родуbeen адзін, на якой ёсць вызначаны пункт *O*. Эліптычная крывая — гэта па сутнасці абелева мнагастайнасцьberu, г.зн. на ёй вызначана алгебраічная аперацыя множання, адносна якой пункты крывой утвараюць групу (абавязкова камутатыўную), а пункт *O* служыць адзінкай групы (нейтральным элементам). Часта сама крывая, без выбранага пункта *O*, называецца эліптычнаю крывою.

Любую эліптычную крывую можна прадставіць як плоскую алгебраічную крывую, вызначаную ўраўненнем віду:

{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,}
якое не мае сінгулярнасцейbeen, г.зн. на яго графіку няма завастрэнняўbeen і самаперасячэнняў. (Калі характарыстыка поля каэфіцыентаў раўняецца 2 ці 3, вышэйпрыведзенае ўраўненне не дастаткова агульнае, каб уключыць усе несінгулярныя кубічныя крывыяbeen; гл. ніжэй больш дакладнае азначэнне.) Пункт *O* — гэта, на самай справе, «бесканечна аддалены пунктbeen» на праектыўнай плоскасціbeen.

Калі *y*² = *P*(*x*), дзе *P* — кубічны мнагачлен ад *x* без кратных каранёў, то мы атрымліваем несінгулярную плоскую крывую родуbeen 1, якая, такім чынам, з’яўляецца эліптычнаю крывою. Калі *P* мае чацвёртую ступень і свабодны ад квадратаўbeen, гэтае ўраўненне ізноў апісвае плоскую крывую роду адзін; аднак, для яе няма натуральнага выбару нейтральнага элемента. Больш агульна, любая алгебраічная крывая роду адзін, напрыклад, перасячэнне дзвюх паверхняў другога парадкуbeen, укладзеных у трохмерную праектыўную прастору, называецца эліптычнай крывой пры ўмове, што на ёй ёсць хоць адзін рацыянальны пунктbeen, які б выконваў ролю нейтральнага элемента.

Карыстаючыся тэорыяй эліптычных функцыйbeen, можна паказаць, што эліптычныя крывыя, вызначаныя над полем камплексных лікаў, адпавядаюць укладанням тора ў камплексную праектыўную плоскасцьbeen. Пунты тора таксама ўтвараюць абелеву групу, і па сутнасці, гэтая адпаведнасць з’яўляецца ізамарфізмам групbeen.

Эліптычныя крывыя асабліва важныя ў тэорыі лікаў і складаюць значную вобласць сучасных даследаванняў. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца ў доказе Вялікай тэарэмы Ферма, які быў праведзены Эндру Уайлсам (пры дапамозе Рычарда Тэйлара). Яны таксама знайшлі прыкладанні ў эліптычнай крыптаграфііbeen (ECC) і раскладанні на множнікі цэлых лікаўberu.

Эліптычная крывая — гэта *не* эліпс: гл. аб паходжанні тэрміна ў артыкуле эліптычны інтэгралberu. Тапалагічна камплексная эліптычная крывая ёсць тор.

Эліптычныя крывыя над полем рэчаісных лікаў
-------------------------------------------

Графікі крывых *y*² = *x*³ − *x* і *y*² = *x*³ − *x* + 1
Хаця фармальнае азначэнне эліптычнай крывой даволі тэхнічнае і патрабуе некаторага ведання алгебраічнай геаметрыі, можна апісаць некаторыя асаблівасці эліптычных крывых над полем рэчаісных лікаў, карыстаючыся толькі ўніверсітэцкім курсам алгебры і геаметрыі.

У гэтым кантэксце, эліптычная крывая — гэта плоская крывая, вызначаная ўраўненнем віду

{\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,}
дзе *a* і *b* — рэчаісныя лікі. Такое ўраўненне называецца **ўраўненнем Веерштраса**.

Азначэнне эліптычнай крывой таксама патрабуе, каб крывая была несінгулярнай. Геаметрычна гэта значыць, што графік не мае завастрэнняўbeen, самаперасячэнняў і ізаляваных пунктаў. Алгебраічна гэта ўключае ў сябе вылічэнне дыскрымінанта

{\displaystyle \Delta =-16(4a^{3}+27b^{2}).}
Крывая будзе несінгулярнаю, калі і толькі калі дыскрымінант не роўны нулю. (І хаця множнік −16 выглядае тут недарэчным, ён аказваецца зручным пры глыбейшым вывучэнні эліптычных крывых.)

Графік (на рэчаіснай плоскасці) несінгулярнай крывой мае *дзве* кампаненты, калі яе дыскрымінант дадатны, і *адну* кампаненту, калі ён адмоўны. Напрыклад, на графіках на рысунку справа дыскрымінант у першым выпадку роўны 64, а ў другім раўняецца −368.

Групавы закон
-------------

Дабаўляючы «пункт на бесканечнасці», мы атрымліваем праектыўную версію эліптычнай крывой. Калі *P* і *Q* — два пункты на крывой (г.зн. іх каардынаты з’яўляюцца рашэннямі ўраўнення крывой), тады можна адназначна апісаць трэці пункт, які ляжыць на перасячэнні крывой з прамою, праведзенаю праз пункты *P* і *Q*. Звычайна існуе адзіны пункт на перасячэнні (калі прамая датыкаецца да крывой у пункце, тады гэты пункт трэба ўлічваць двойчы; а калі прамая паралельная восі *y*, трэці пункт вызначаецца як пункт «на бесканечнасці»).


Такім чынам, на крывой можна ўвесці групавую аперацыю, *+*, з наступнымі ўласцівасцямі: бесканечна аддалены пункт будзем разглядаць як 0, нейтральны элемент групы. Калі прамая лінія перасякае крывую ў пунктах *P*, *Q* і *R*, тады будзем лічыць, што ў групе гэтыя пункты звязаны роўнасцю *P* + *Q* + *R* = 0. Можна праверыць, што гэта ператварае крывую ў абелеву групу, і, такім чынам, у абелеву мнагастайнасць.

Няхай *K* — поле, над якім крывая вызначана (г.зн. каэфіцыенты ўраўнення, якое вызначае крывую, узятыя з поля *K*). Абазначым крывую цераз *E*. Тады *K*-рацыянальныя пункты крывой *E* з’яўляюцца пунктамі на *E*, усе каардынаты якіх ляжаць у *K*, уключаючы пункт на бесканечнасці. Мноства *K*-рацыянальных пунктаў абазначаецца як *E*(*K*). Яны таксама ўтвараюць групу, таму што ўласцівасці алгебраічных ураўненняў паказваюць, што калі *P* ляжыць у *E*(*K*), то і −*P* таксама ляжыць у *E*(*K*), і калі два з трох пунктаў *P*, *Q* і *R* ляжаць у *E*(*K*), то і трэці таксама там жа. Больш таго, калі *K* — падполе поля *L*, то *E*(*K*) — падгрупа групы *E*(*L*).

Вышэйназваную групу можна апісаць як алгебраічна, так і геаметрычна. Няхай зададзена крывая *y*² = *x*³ − *px* − *q* над полем *K* (характарыстыка якога не роўная ні 2, ні 3), і пункты *P* = (*xP*, *yP*) і *Q* = (*xQ*, *yQ*) на крывой. Будем лічыць, што *xP* ≠ *xQ*. Няхай *s* — нахіл прамой, праведзенай праз *P* і *Q*; г.зн.

{\displaystyle s={\frac {y\_{P}-y\_{Q}}{x\_{P}-x\_{Q}}}.}
Паколькі *K* — поле, *s* вызначаны карэктна. Тады можна вызначыць *R* = *P* + *Q* = (*xR*, *−yR*) згодна з

{\displaystyle {\begin{aligned}x\_{R}&=s^{2}-x\_{P}-x\_{Q}\\y\_{R}&=y\_{P}+s(x\_{R}-x\_{P})\end{aligned}}}
Калі *xP* = *xQ* (трэцяя і чацвёртая карцінкі вышэй), то ёсць дзве магчымасці: калі *yP* = −*yQ*, уключаючы выпадак, дзе *yP* = *yQ* = 0, тады сума вызначаецца як 0; такім чынам, адваротны пункт для адвольнага пункта крывой атрымліваецца адлюстраваннем адносна восі *x*. Калі *yP* = *yQ* ≠ 0 (другая карцінка), тады *R* = *P* + *P* = 2*P* = (*x**R*, *−y**R*) вызначана па формулах

{\displaystyle {\begin{aligned}s&={\frac {3{x\_{P}}^{2}-p}{2y\_{P}}}\\x\_{R}&=s^{2}-2x\_{P}\\y\_{R}&=y\_{P}+s(x\_{R}-x\_{P})\end{aligned}}}
### Спалучальнасць

Эліптычная групаЭліптычная група
Усе групавыя законы, за выключэннем асацыятыўнасці, адразу ж вынікаюць з геаметрычнага азначэння групавой аперацыі. Анімацыя справа геаметрычна ілюструе закон спалучальнасці.

Варта заўважыць, што сума трох значэнняў на любой з шасці прамых раўняецца нулю. Становішча ўсіх дзевяці пунктаў вызначаецца эліптычнаю крывою, становішчам нуля, і пунктамі *a*, *b* і *c*. Цэнтральны пункт з дзевяці ляжыць на прамой, праведзенай праз *a* і *b + c*, а таксама на прамой праз *a + b* і *c*. Спалучальнасць закона складання раўназначная таму, што крывая праходзіць праз цэнтральны пункт «рашоткі». Адсюль вынікае роўнасць −(*a* + (*b* + *c*)) і −((*a* + *b*) + *c*).

На анімацыі эліптычная крывая і пункт нуль зафіксаваныя, тады як пункты *a*, *b* і *c* перамяшчаюцца па крывой незалежна адзін ад аднаго.

Эліптычныя крывыя над полем камплексных лікаў
---------------------------------------------

Эліптычная крывая над полем камплексных лікаў атрымліваецца як фактар-група камплекснай плоскасці па рашотцы Λ, нацягнутай тут на два фундаментальныя перыяды ω1 і ω2. Таксама паказана 4-кручэнне, якое адпавядае рашотцы 1/4 Λ, якая ўтрымлівае рашотку Λ.
Вытлумачэнне эліптычных крывых як укладанняў тора ў камплексную праектыўную плоскасцьbeen натуральным чынам вынікае з цікавай уласцівасці эліптычных функцый Веерштрасаbeen. Гэтыя функцыі і іх першая вытворная звязаныя формулай

{\displaystyle \wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g\_{2}\wp (z)-g\_{3},}
дзе *g*2 і *g*3 — пастаянныя; {\displaystyle \wp (z)} — эліптычныя функцыя Веерштраса, а {\displaystyle \wp '(z)} — яе вытворная. Відавочна, гэта сувязь выглядае дакладна так жа, як і ўраўненне эліптычнай крывой (над камплекснымі лікамі). Функцыі Веерштраса дваяка перыядычныя, г.зн. яны перыядычныя адносна рашоткіbeen Λ. Па сутнасці, функцыі Веерштраса натуральна вызначаюцца на торы *T* = **C**/Λ. Гэты тор можна ўкласці ў камплексную праектыўную плоскасць з дапамогаю адлюстравання

{\displaystyle z\mapsto [1:\wp (z):\wp '(z)].}
Гэтае адлюстраванне з’яўляецца ізамарфізмам групbeen і пераносіць натуральную структуру групы тора ў праектыўную плоскасць. Яно таксама з’яўляецца ізамарфізмам Рыманавых паверхняўbeen, так што тапалагічна эліптычная крывая выглядае як тор. Калі рашотка Λ звязана праз дамнажэнне на ненулявы камплексны лік *c* з рашоткаю *c*Λ, то адпаведныя крывыя ізаморфныя. Класы ізаморфных эліптычных крывых вызначаюцца па j-інварыянцеbeen.

Класы ізаморфных крывых можна таксама вытлумачыць прасцейшым спосабам. Пастаянныя *g*2 і *g*3, якія называюцца мадулярнымі інварыянтаміbeen, адназначна вызначаюцца па рашотцы, г.зн. па структуры тора. Аднак, камплексныя лікі ўтвараюць поле раскладанняbeen для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, і таму эліптычную крывую можна запісаць як

{\displaystyle y^{2}=x(x-1)(x-\lambda )}
Можна паказаць, што

{\displaystyle g\_{2}={\frac {4^{\frac {1}{3}}}{3}}(\lambda ^{2}-\lambda +1)}
і

{\displaystyle g\_{3}={\frac {1}{27}}(\lambda +1)(2\lambda ^{2}-5\lambda +2)}
так што, мадулярны дыскрымінант[en] роўны

{\displaystyle \Delta =g\_{2}^{3}-27g\_{3}^{2}=\lambda ^{2}(\lambda -1)^{2}}
Тут велічыня λ тут часам называецца мадулярнай лямбда-функцыяйbeen.

Варта заўважыць, што паводле тэарэмы аб уніфармізацыіberu, кожную кампактнуюberu Рыманаву паверхню роду адзін можна прадставіць як тор.

Гэта таксама дазваляе лёгка зразумець, што такое пункты кручэнняbeen на эліптычнай крывой: калі рашотка Λ нацягнута на фундаментальныя перыяды ω1 і ω2, то пункты *n*-кручэння — гэта пункты (класы эквівалентнасці) віду,

{\displaystyle {\frac {a}{n}}\omega \_{1}+{\frac {b}{n}}\omega \_{2}}
дзе *a* і *b* — цэлыя лікі з прамежку ад 0 да *n*−1.

Над полем камплексных лікаў кожная эліптычная крывая мае дзевяць пунктаў перагібуberu. Кожная прамая праз два з гэтых пунктаў таксама праходзіць праз трэці пункт перагіну; дзевяць пунктаў і 12 прамых, праведзеных такім чынам, утвараюць канфігурацыю Хессэbeen.

Эліптычныя крывыя над полем рацыянальных лікаў
----------------------------------------------

Крывая *E*, вызначаная над полем рацыянальных лікаў, таксама вызначана над полем рэчаісных лікаў, і такім чынам, закон складання (пунктаў з рэчаіснымі каардынатамі) з дапамогаю датычнай і сякучай прамой можна прымяніць на *E*. Яўныя формулы паказваюць, што сума двух пунктаў *P* і *Q* з рацыянальнымі каардынатамі зноў мае рацыянальныя каардынаты, бо прамая, якая злучае *P* і *Q* мае рацыянальныя каэфіцыенты. Адсюль можна паказаць, што мноства рацыянальных пунктаў крывой *E* утварае падгрупу групы рэчаісных пунктаў крывой *E*. Як і гэтая група, яна з’яўляецца абелевай, г.зн. *P* + *Q* = *Q* + *P*.

### Структура рацыянальных пунктаў

Найважнейшы вынік заключаецца ў тым, што ўсе пункты можна пабудаваць па метаду датычных і сякучых, пачынаючы з *канечнага* ліку пунктаў. Больш дакладна тэарэма Мордэла – Вейля[en] сцвярджае, што група *E*(**Q**) з’яўляецца канечнаспароджанай[en] (абелевай) групай. Па фундаментальнай тэарэме аб канечнаспароджаных абелевых групах яна з’яўляецца прамою сумаю копій **Z** і канечных цыклічных груп.

Доказ гэтай тэарэмы абапіраецца на два складнікі: першы — паказваем, што для любога цэлага *m* > 1, фактар-група *E*(**Q**)/*mE*(**Q**) будзе канечнаю (слабая тэарэма Мордэла-Вейля). Другі — увядзенне функцыі вышыні[en] *h* на рацыянальных пунктах *E*(**Q**), вызначанай згодна з суадносінамі *h*(*P*0) = 0 і *h*(*P*) = log max(|*p*|, |*q*|) для пункта *P* (не роўнага бесканечна аддаленаму пункту *P*0), абсцыса якога раўняецца рацыянальнаму ліку *x* = *p*⁄*q* (з узаемна простымі[ru] *p* і *q*). Функцыя вышыні *h* мае ўласцівасць, што *h*(*mP*) расце прыблізна як квадрат *m*. Больш таго, на крывой *E* існуе толькі канечная колькасць рацыянальных пунктаў з вышынямі, меншымі за адвольную пастаянную.

Такім чынам, доказ тэарэмы з’яўляецца варыянтам метаду бесканечнага спуску[ru] і грунтуецца на паўтарэнні Еўклідавых дзяленняў на *E*: няхай *P* ∈ *E*(**Q**) — рацыянальны пункт на крывой. Запісваючы пункт *P* як суму 2*P*1 + *Q*1, дзе *Q*1 — прадстаўленне пункта *P* ў фактар-групе *E*(**Q**)/2*E*(**Q**), атрымліваем, што вышыня пункта *P*1 складае каля 1⁄4 вышыні пункта *P* (больш агульна, пры замене 2 на любое *m* > 1, замест 1⁄4 будзе 1⁄*m*2). Робячы тое самае з пунктам *P*1, г.зн. запісваем *P*1 = 2*P*2 + *Q*2, затым *P*2 = 2*P*3 + *Q*3, і г.д. канчаткова выражаем *P* як цэлалікавую лінейную камбінацыю пунктаў *Qi* і пунктаў, чыя вышыня абмежавана фіксаванаю пастаяннаю, выбранаю загадзя: па слабай тэарэме Мордэла-Вейля і другой уласцівасці функцыі вышыні пункт *P* такім чынам выражаецца як цэлалікавая лінейная камбінацыя канечнай колькасці фіксаваных пунктаў.

Тэарэма не эфектыўная, бо дагэтуль не знойдзена агульная працэдура вызначэння прадстаўнікоў групы *E*(**Q**)/*mE*(**Q**).

Ранг[en] групы *E*(**Q**), г.зн. колькасць копій **Z** у *E*(**Q**) ці, што тое самае, колькасць незалежных пунктаў бесканечнага парадку, называецца *рангам* крывой *E*. Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера звязана з вызначэннем рангу. Існуе меркаванне, што ранг крывых можа быць адвольна вялікім, хаця вядомыя толькі прыклады адносна малога рангу. Эліптычная крывая з найбольшым дакладна вядомым рангам — такая:

*y*² + *xy* + *y* = *x*³ − *x*² + 31368015812338065133318565292206590792820353345*x* + 302038802698566087335643188429543498624522041683
Яна мае ранг 19 і была знойдзена Ноамам Элкісам[en] у 2009. Вядомыя таксама крывыя з рангам не менш чым 28, але іх ранг невядомы дакладна.

Што да груп, якія ўтвараюць падгрупу кручэння[en] групы *E*(**Q**), то вядома наступнае: падгрупа кручэння групы *E*(**Q**) з’яўляецца адною з 15 наступных груп (тэарэма належыць Бары Мазуру[en]): **Z**/*N***Z** для *N* = 1, 2, …, 10, ці 12, альбо **Z**/2**Z** × **Z**/2*N***Z** з *N* = 1, 2, 3, 4. Прыклады вядомыя для ўсіх выпадкаў. Больш таго, эліптычныя крывыя, чые групы Мордэла—Вейля над **Q** маюць тыя ж групы кручэння, належаць да параметрызаванага сямейства.

### Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера

Асноўны артыкул: **Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера**
*Гіпотэза Бёрча — Свінертан-Даера* (БСД) — адна з задач тысячагоддзя[ru] Матэматычнага інстытута Клэя[ru]. У гіпотэзе гаворка вядзецца аб аналітычных і арыфметычных аб’ектах, вызначаных разглядаемай эліптычнай крывой.

З аналітычнага боку, важным інгрыдыентам з’яўляецца функцыя камплекснай зменнай, *L*, дзэта-функцыя Хассэ — Вейля[en] крывой *E* над **Q**. Гэта функцыя з’яўляецца варыянтам дзэта-функцыі Рымана і L-функцый Дзірыхле[en]. Яна вызначаецца як Эйлераў здабытак[en], у якім утрымліваецца па аднаму множніку для кожнага простага ліку *p*.

Для крывой *E* над **Q**, зададзенай мінімальным ураўненнем

{\displaystyle y^{2}+a\_{1}xy+a\_{3}y=x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{4}x+a\_{6}}
з цэлымі каэфіцыентамі *ai*, прывядзенне каэфіцыентаў па модулю[en] *p* вызначае эліптычную крывую над канечным полем **F***p* (выключаючы канечныя палі для простых лікаў *p*, пры якіх рэдукаваная крывая мае сінгулярнасць і таму не з’яўляецца эліптычнаю, у такім выпадку кажуць, што *E* з’яўляецца дрэннай рэдукцыяй[en] для *p*).

Дзэта-функцыя эліптычнай крывой над канечным полем **F***p* з’яўляецца, у некаторым сэнсе, утваральнай функцыяй[en], у якой сабрана інфармацыя аб колькасці пунктаў на крывой *E* са значэннямі ў канечных пашырэннях поля[en] **F***p*, палях **F***pn*. Яна задаецца як

{\displaystyle Z(E(\mathbf {F} \_{p}))=\exp \left(\sum \mathrm {card} \left[E({\mathbf {F} }\_{p^{n}})\right]{\frac {T^{n}}{n}}\right)}
Унутраная сума ў экспаненце падобная на раскладанне лагарыфма, і, па факце, вызначаная такім чынам дзэта-функцыя з’яўляецца рацыянальнай функцыяйberu:

{\displaystyle Z(E(\mathbf {F} \_{p}))={\frac {1-a\_{p}T+pT^{2}}{(1-T)(1-pT)}}}
Затым дзэта-функцыя Хассэ — Вейля крывой *E* над **Q** вызначаецца збіраннем гэтай інфармацыі разам, для ўсіх простых *p*. А вызначана яна так:

{\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\prod \_{p}\left(1-a\_{p}p^{-s}+\varepsilon (p)p^{1-2s}\right)^{-1},}
дзе ε(*p*) = 1, калі *E* мае добрую рэдукцыю для *p*, і 0 іначай (у апошнім выпадку *ap* вызначаецца не так, як вышэй).

Гэты здабытак збягаеццаberu толькі пры Re(*s*) > 3/2. Гіпотэза Хассэ сцвярджае, што *L*-функцыя можа быць аналітычна прадоўжанаberu на ўсю камплексную плоскасць і задавальняе функцыянальнае ўраўненнеberu, якое звязвае для любых *s* значэнні *L*(*E*, *s*) і *L*(*E*, 2 − *s*). У 1999 было паказана, што справядлівасць гэтай здагадкі вынікае з доказу гіпотэзы Шымуры — Таніямы — Вейля, якая сцвярджае, што любая эліптычная крывая над *Q* ёсць мадулярная крываяbeen, што ў сваю чаргу паказвае, што яе *L*-функцыя ёсць *L*-функцыя мадулярнай формыbeen, для якой аналітычнае прадаўжэнне вядомае.

Такім чынам, можна гаварыць пра значэнні *L*(*E*, *s*) пры адвольным камплексным ліку *s*. Здагадка Бёрча — Свінертан-Даера звязвае арыфметыку крывой з паводзінамі яе *L*-функцыі ў пункце *s* = 1. Больш дакладна, гіпотэза сцвярджае, што парадак *L*-функцыі ў пункце *s* = 1 раўняецца рангу крывой *E*, і прадказвае сувязь першага складніка рада Ларана функцыі *L*(*E*, *s*) у гэтым пункце з некалькімі велічынямі, прывязанымі да эліптычнай крывой.

Як і гіпотэза Рымана, гэтая здагадка мае мноства вынікаў, уключаючы наступныя два:

* Няхай *n* — няцотны свабодны ад квадратаў лікbeen. Пры справядлівасці гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, *n* будзе плошчай прамавугольнага трохвугольніка з рацыянальнымі даўжынямі старон (кангруэнтным лікамbeen) тады і толькі тады, калі лік троек цэлых лікаў (*x*, *y*, *z*), якія задавальняюць роўнасць {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+8z^{2}=n} раўняецца падвоенаму ліку троек, якія задавальняюць роўнасць {\displaystyle 2x^{2}+y^{2}+32z^{2}=n}. Гэтае сцвярджэнне, па тэарэме Танэлаbeen, связана з тым фактам, што *n* будзе кангруэнтным лікам, калі і толькі калі эліптычная крывая {\displaystyle y^{2}=x^{3}-n^{2}x} мае рацыянальны пункт бесканечнага парадку (адпаведна, пры справядлівасці здагадкі Бёрча — Свінертан-Даера, яе *L*-функцыя мае нуль у пункце 1). Гэта сцвярджэнне цікавае тым, што яго ўмова лёгка правяраецца.
* У іншым напрамку, пэўныя аналітычныя метады дазваляюць ацэньваць парадак нуля пасярэдзіне крытычнай паласы сямействаў *L*-функцый. Пры справядлівасці здагадкі БСД, гэтыя ацэнкі адпавядаюць звесткам аб рангу гэтых сямействаў эліптычных крывых. Напрыклад: дапусцім справядлівасць абагульненай гіпотэзы Рыманаbeen і гіпотэзы Бёрча — Свінертан-Даера, тады сярэдні ранг крывых, вызначаных ураўненнем {\displaystyle y^{2}=x^{3}+ax+b,} меншы чым 2.

### Тэарэма аб мадулярнасці і яе прыкладанне да Вялікай тэарэмы Ферма

Асноўны артыкул: **Тэарэма аб мадулярнасці**
Тэарэма аб мадулярнасціbeen, некалі вядомая як гіпотэза Таніямы — Шымуры — Вейля, сцвярджае, што кожная эліптычная крывая *E* над **Q** з’яўляецца мадулярнаю крывоюbeen, гэта значыць, ейная дзэта-функцыя Хассэ — Вейля з’яўляецца *L*-функцыяй мадулярнай формыbeen вагі 2 і ўзроўню *N*, дзе *N* — праваднікbeen крывой *E* (цэлы лік, які дзеліцца на тыя самыя простыя лікі, што і дыскрымінант крывой *E*, Δ(*E*).) Іншымі словамі, калі пры Re(*s*) > 3/2 запісаць *L*-функцыю ў выглядзе

{\displaystyle L(E(\mathbf {Q} ),s)=\sum \_{n>0}a(n)n^{-s},}
тады выраз

{\displaystyle \sum a(n)q^{n},\qquad q=\exp(2\pi iz),}
вызначае парабалічную мадулярную новаформуbeen вагі 2 і ўзроўню *N*. Для простых лікаў ℓ, якія не дзеляць *N*, каэфіцыент *a*(ℓ) формы раўняецца ℓ — ліку рашэнняў мінімальнага ўраўнення крывой па модулю ℓ.

Напрыклад, для эліптычнай крывой {\displaystyle y^{2}-y=x^{3}-x} з дыскрымінантам (і правадніком) 37 сцэплена (з’яўляецца асацыяванай) форма

{\displaystyle f(z)=q-2q^{2}-3q^{3}+2q^{4}-2q^{5}+6q^{6}+\cdots ,\qquad q=\exp(2\pi iz).}
Для простых лікаў ℓ, не роўных 37, можна праверыць гэту ўласцівасць каэфіцыентаў. Такім чынам, для ℓ = 3 рашэнні ўраўнення па модулю 3 такія: (0, 0), (0, 1), (2, 0), (1, 0), (1, 1), (2, 1), бо і *a*(3) = 3 − 6 = −3.

Гэтая гіпотэза, прапанаваная ў 50-я гады, была поўнасцю даказана каля 1999 на аснове ідэй Эндру Уайлса, які даказаў яе ў 1994 для вялікага сямейства эліптычных крывых.

Існуе некалькі фармулёвак гіпотэзы. Доказ іхняй раўназначнасці складаны і быў адным з асноўных напрамкаў даследаванняў у тэорыі лікаў у другой палавіне 20-га стагоддзя. Мадулярнасць эліптычнай крывой *E* з правадніком *N* можна таксама апісаць, сказаўшы, што існуе рацыянальнае адлюстраваннеbeen, вызначанае над **Q** і не роўнае тоесна пастаяннай, якое пераводзіць мадулярную крывую *X*0(*N*) у *E*. Сярод іншага, пункты крывой *E* можна параметрызаваць мадулярнымі функцыяміbeen.

Напрыклад, мадулярная параметрызацыя крывой {\displaystyle y^{2}-y=x^{3}-x} задаецца так:

{\displaystyle {\begin{aligned}x(z)&=q^{-2}+2q^{-1}+5+9q+18q^{2}+29q^{3}+51q^{4}+\ldots \\y(z)&=q^{-3}+3q^{-2}+9q^{-1}+21+46q+92q^{2}+180q^{3}+\ldots \end{aligned}}}
дзе, як і вышэй, *q* = exp(2π*iz*). Функцыі *x(z)* і *y(z)* з’яўляюцца мадулярнымі вагі 0 і ўзроўню 37; іншымі словамі, яны мераморфныяbeen, вызначаныя на верхняй паўплоскасціbeen Im(*z*) > 0 і задавальняюць роўнасць

{\displaystyle x\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=x(z)}
і тое ж справядліва і для *y(z)* для ўсіх цэлых *a, b, c, d* з *ad* − *bc* = 1 і 37|*c*.

Іншая фармулёўка засноўваецца на супастаўленні прадстаўленняў Галуаbeen, прывязаных з аднаго боку да эліптычных крывых, а з другога — да мадулярных форм. Апошняя фармулёўка выкарыстоўвалася ў доказе гіпотэзы. Разгляд узроўню форм (і іх сувязь з правадніком крывой) — асабліва тонкая справа.

Самым яркім прыкладаннем гіпотэзы стаў доказ Вялікай тэарэмы Ферма (ВТФ). Дапусцім, што для простага ліку *p* > 5 ураўненне Ферма

{\displaystyle a^{p}+b^{p}=c^{p}}
мае рашэнне ў ненулявых цэлых ліках, якое, такім чынам, з’яўляецца контр-прыкладам для ВТФ. Тады эліптычная крывая

{\displaystyle y^{2}=x(x-a^{p})(x+b^{p})}
з дыскрымінантам

{\displaystyle \Delta ={\frac {1}{256}}(abc)^{2p}}
не можа быць мадулярнаю. Такім чынам, доказ здагадкі Таніямы — Шымуры — Вейля для гэтага сямейства эліптычных крывых (т. зв. крывых Хэлгуарча — Фрэя (Hellegouarch-Frey curves)) заключае ў сабе ВТФ. Доказ сувязі паміж гэтымі двума сцвярджэннямі, заснаваны на ідэі Герхарда Фрэяbeen (1985), складаны і тэхнічна закручаны. Сувязь была ўстаноўлена Кенетам Рыбетамbeen у 1987.

### Цэлыя пункты

Гэты раздзел прысвечнаны пунктам *P* = (*x*, *y*) крывой *E*, у якіх *x* — цэлы лік. Наступная тэарэма даказана К. Л. Зігелем: мноства пунктаў *P* = (*x*, *y*) крывой *E*(**Q**), у якіх *x*-каардыната — цэлы лік, канечнае. Гэтую тэарэму можна абагульніць на пункты, чыя *x*-каардыната мае назоўнік, які дзеліцца толькі на фіксаванае канечнае мноства простых лікаў.

Тэарэму можна сфармуляваць эфектыўна. Напрыклад, калі ўраўненне Веерштраса крывой *E* мае цэлыя каэфіцыенты, абмежаваныя пастаяннаю *H*, каардынаты (*x*, *y*) пункта крывой *E*, калі і *x*, і *y* цэлыя, задавальняюць няроўнасць:

{\displaystyle \max(|x|,|y|)<\exp \left(\left[10^{6}H\right]^{{10}^{6}}\right).}
Напрыклад, ураўненне *y*² = *x*³ + 17 мае восем рашэнняў з *y* > 0 :

(*x*,*y*) = (−1, 4), (−2, 3), (2, 5), (4, 9), (8, 23), (43, 282), (52, 375), (5 234, 378 661).
Іншы прыклад, ураўненне Льюнгрэнаbeen задае крывую, чыё ўраўненне ў Веерштрасавай форме выглядае як *y*² = *x*³ − 2*x*, і мае толькі чатыры рашэнні з *y* ≥ 0 :

(*x*,*y*) = (0, 0), (−1, 1), (2, 2), (338, 6214).
### Абагульненне на лікавыя палі

Многія з папярэдніх вынікаў застаюцца справядлівымі, калі поле вызначэння крывой *E* з’яўляецца лікавым полем, г.зн. канечным пашырэннемbeen поля **Q**. Сярод іншага, група *E(K)* *K*-рацыянальных пунктаў эліптычнай крывой *E*, вызначанай над *K*, з’яўляецца канечнаспароджанай, што абагульняе вышэйзгаданую тэарэму Мордэла — Вейля. Тэарэма Лаіка Мерэляbeen паказвае, што для заданага цэлага *d* існуе (з дакладнасцю даbeen ізамарфмізму) толькі канечная колькасць груп, якія могуць быць групамі кручэння групы *E*(*K*) для эліптычнай крывой, вызначанай над лікавым полем *K* ступеніbeen *d*. А дакладней, існуе лік *B*(*d*), такі што для любой эліптычнай крывой *E*, вызначанай над лікавым полем *K* ступені *d* любы пункт кручэння з *E*(*K*) мае парадакbeen, меншы чым *B*(*d*). Тэарэма эфектыўная: пры *d* > 1, калі пункт кручэння мае парадак *p*, для простага *p*, то

{\displaystyle p<d^{3d^{2}}.}
Як і для цэлых пунктаў, тэарэма Зігеля абагульняецца наступным чынам:
няхай *E* — эліптычная крывая, вызначаная над лікавым полем *K*, а *x* і *y* — Веерштрасавы каардынаты. Тады мноства пунктаў крывой *E(K)*, *x*-каардынаты якіх ляжаць у кальцы цэлыхbeen *O**K*, канечнае.

Уласцівасці дзэта-функцыі Хассэ — Вейля і гіпотэзу Бёрча — Свінертан-Даера можна пашырыць на гэты больш агульны выпадак.

Эліптычныя крывыя над полем агульнага віду
------------------------------------------

Эліптычныя крывыя можна вызначыць над любым полем *K*. Фармальна эліптычную крывую вызначаюць як несінгулярную праектыўную алгебраічную крывую над *K* з родамbeen 1 з заданым пунктам, вызначаным над *K*.

Калі характарыстыка поля *K* не роўная ні 2, ні 3, тады любую эліптычную крывую над полем *K* можна запісаць у выглядзе

{\displaystyle y^{2}=x^{3}-px-q,}
дзе *p* і *q* — элементы поля *K*, такія што мнагачлен з правай часткі *x*³ − *px* − *q* не мае кратных каранёў. Калі характарыстыка роўная 2 ці 3, тады трэба ўтрымаць больш членаў.

Для характарыстыкі 3, найбольш агульнае ўраўненне мае выгляд

{\displaystyle y^{2}=4x^{3}+b\_{2}x^{2}+2b\_{4}x+b\_{6},}
дзе *b*2, *b*4, *b*6 — адвольныя сталыя, такія што мнагачлен у правай частцы мае раздзеленыя карані (абазначэнні выбраны з гістарычных прычын).

Для характарыстыкі 2 нават такая колькасць складнікаў не дастатковая, і найбольш агульнае ўраўненне будзе такое

{\displaystyle y^{2}+a\_{1}xy+a\_{3}y=x^{3}+a\_{2}x^{2}+a\_{4}x+a\_{6},}
дзе вызначаная ўраўненнем мнагастайнасць несінгулярная.

Калі б характарыстыка не была перашкодай, любое ўраўненне можна было б прывесці да вышэйназваных форм адпаведнаю заменаю зменных.

Звычайна пад крывой разумеюць мноства ўсіх пунктаў (*x*,*y*), якія задавальняюць адно з вышэйпрыведзеных ураўненняў і такія, што і *x*, і *y* з’яўляюцца элементамі алгебраічнага замыканняbeen поля *K*. Пункты крывой, абедзве каардынаты якіх належаць полю *K*, называюцца ***K*-рацыянальнымі пунктамі**.

Ізагенія
--------

Гл. таксама: Ізагенія
Няхай *E* і *D* — эліптычныя крывыя над полем *k*. *Ізагенія*been паміж *E* і *D* — гэта канечны марфізмbeen *f* : *E* → *D* мнагастайнасцейbeen, які захоўвае базавыя пункты (іншымі словамі, адлюстроўвае зададзеныя пункты на *E* у зададзеныя на *D*).

Дзве крывыя называюцца *ізагеннымі*, калі існуе ізагенія паміж імі. Гэта дачыненне эквівалентнасціbeen, сіметрыя ёсць дзякуючы існаванню дваістай ізагенііbeen. Кожная ізагенія ёсць алгебраічны гомамарфізмbeen і, такім чынам, спараджае гомамарфізм груп эліптычных крывых для *k*-значных пунктаў.

Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі
--------------------------------------

Гл. таксама: Арыфметыка абелевых мнагастайнасцей
Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**61.
Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**71.
Мноства афінных пунктаў эліптычнай крывой *y*² = *x*³ − *x* над канечным полем **F**89.
Няхай *K* = **F***q* — канечнае поле з *q* элементаў, а *E* — эліптычная крывая, вызначаная над *K*. Хаця дакладную колькасць рацыянальных пунктаў эліптычнай крывойbeen *E* над *K* у агульным выпадку даволі складана вылічыць, тэарэма Хассэ аб эліптычных крывыхbeen дае, улічваючы пункт на бесканечнасці, наступную ацэнку:

{\displaystyle |\operatorname {card} E(K)-(q+1)|\leq 2{\sqrt {q}}.}
Іншымі словамі, колькасць пунктаў крывой расце прыблізна як колькасць элементаў у полі. Гэты факт можна растлумачыць і даказаць з дапамогаю некаторай агульнай тэорыі; гл. лакальная дзэта-функцыяbeen, спакойная кагамалогіяbeen.

Мноства пунктаў *E*(**F***q*) з’яўляецца канечнай абелевай групай. Яна ці цыклічная, ці з’яўляецца здабыткам дзвюх цыклічных груп. Напрыклад, крывая, вызначаная ўраўненнем

{\displaystyle y^{2}=x^{3}-x}
над **F**71, мае 72 пункты (71 афінны пункт, уключаючы (0,0), і адзін пункт на бесканечнасціbeen) над гэтым полем, чыя групавая структура задаецца як **Z**/2**Z** × **Z**/36**Z**. Колькасць пунктаў на выбранай крывой можна вылічыць па алгарытму Шуфаbeen.

Вывучэнне крывой над пашырэнняміbeen поля **F***q* аблягчаецца ўвядзеннем лакальнай дзэта-функцыі крывой *E* над **F***q*, вызначанай утваральным радам (таксама гл. вышэй)

{\displaystyle Z(E(K),T):=\exp \left(\sum \_{n=1}^{\infty }\mathrm {card} \left[E(K\_{n})\right]{T^{n} \over n}\right),}
дзе поле *Kn* з’яўляецца (адзіным) пашырэннем поля *K* = **F***q* ступені *n* (г.зн. **F***qn*). Дзэта-функцыя з’яўляецца рацыянальнаю функцыяй ад *T*. Існуе лік *a*, такі што

{\displaystyle Z(E(K),T)={\frac {1-aT+qT^{2}}{(1-qT)(1-T)}}.}
Больш таго,

{\displaystyle {\begin{aligned}Z\left(E(K),{\frac {1}{qT}}\right)&=Z(E(K),T),\\\left(1-aT+qT^{2}\right)&=(1-\alpha T)(1-\beta T)\end{aligned}}}
для некаторых камплексных α, β з абсалютнаю велічынёю {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {q}}}. Гэты вынік з’яўляецца асобным выпадкам гіпотэзы Вейляbeen. Напрыклад, дзэта-функцыя крывой *E* : *y*² + *y* = *x*³ над полем **F**2 задаецца як

{\displaystyle {\frac {1+2T^{2}}{(1-T)(1-2T)}}.}
Гэта вынікае з роўнасці:

{\displaystyle \left|E(\mathbf {F} \_{2^{r}})\right|={\begin{cases}2^{r}+1,&r\equiv 1{\pmod {2}},\\2^{r}+1-2(-2)^{\frac {r}{2}},&r\equiv 0{\pmod {2}}.\end{cases}}}
Гіпотэза Сато — Тэйтаbeen — сцвярджэнне аб тым, як астаткавы член у тэарэме Хассэ, абмежаваны велічынёй {\displaystyle \scriptstyle 2{\sqrt {q}}}, змяняецца для розных простых *q*, калі ўзяць эліптычную крывую E над **Q** і прывесці яе па модулю q. Яна была даказана (для амаль усіх такіх крывых) у 2006 годзе дзякуючы вынікам Тэйлара, Харыса і Шэферд-Бэрана і сцвярджае, што астаткавы член размеркаваны раўнамерна.

Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі прымяняюцца найперш у крыптаграфіі і для раскладання на множнікіbeen вялікіх цэлых лікаў. Гэтыя алгарытмы часта выкарыстоўваюць групавую структуру пунктаў крывой *E*. Алгарытмы, прыдатныя для агульных груп, напрыклад, для групы абарачальных элементаў у канечных палях, **F**\**q*, можна таксама прымяніць да групы пунктаў на эліптычнай крывой. У якасці прыкладу такога алгарытму можна назваць дыскрэтнае лагарыфмаваннеberu. Цікавасць тут у тым, што выбар эліптычнай крывой дапускае большую гібкасць, чым выбар модуля *q* (і, такім чынам, групы абарачальных элементаў у **F***q*). Да таго ж, групавая структура эліптычных крывых у агульным выпадку больш складаная.

Алгарытмы на аснове эліптычных крывых
-------------------------------------

Эліптычныя крывыя над канечнымі палямі ўжываюцца ў некаторых крыптаграфічных прыкладаннях і для раскладання на множнікі цэлых лікаўbeen. Як правіла, агульная ідэя ў такіх прыкладаннях заключаецца ў тым, што вядомы алгарытм, які выкарыстоўвае пэўныя канечныя групы, перапісваецца на выкарыстанне груп рацыянальных пунктаў эліптычных крывых. Падрабязней гл. таксама:

* Крыптаграфія на эліптычных крывыхbeen
* Алгарытм Дыфі — Хэлмана на эліптычных крывыхbeen
* Алгарытм лічбавага подпісу на эліптычных крывыхbeen (ECDSA)
* Алгарытм лічбавага подпісу на крывых Эдвардсаbeen (EdDSA)
* Dual\_EC\_DRBGbeen
* Фактарызацыя метадам эліптычных крывыхbeen
* Праверка на простасць з дапамогай эліптычных крывыхbeen

Альтэрнатыўныя прадстаўленні эліптычных крывых
----------------------------------------------

* Гесіянная крываяbeen
* Крывая Эдвардсаbeen
* Сплеценая крываяbeen
* Сплеценая гесіянная крываяbeen
* Сплеценая крывая Эдвардсаbeen
* Зручная для падваення крывая Дочэ — Ікарта — Коэлаbeen
* Зручная для падтраення крывая Дочэ — Ікарта — Коэлаbeen
* Якабіянная крываяbeen
* Крывая Мантгомерыbeen

Гл. таксама
-----------

* Формула Рымана — Гурвіцаbeen
* Тэарэма Нагела — Лутцbeen

Заўвагі
-------

1. ↑  Silverman 1986, Theorem 4.1
2. ↑  Silverman 1986, pp. 199–205
3. ↑  Гл. таксама J. W. S. Cassels, Mordell’s Finite Basis Theorem Revisited, *Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society* 100, 3-41 і каментарый А. Вейля аб стварэнні яго працы: A. Weil, *Collected Papers*, vol. 1, 520—521.
4. ↑  *Dujella, Andrej*. History of elliptic curves rank records **(нявызн.)**. Праверана 13 May 2014.
5. ↑  Silverman 1986, Theorem 7.5
6. ↑  Silverman 1986, Remark 7.8 in Ch. VIII
7. ↑  Koblitz 1993
8. ↑  D. R. Heath-Brown, The average analytic rank of elliptic curves, *Duke Mathematical Journal* 122-3, 591—623 (2004).
9. ↑  Вылічэнні можна знайсці, напрыклад, у кнізе D. Zagier, «Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms», *Lecture Notes in Mathematics* 1111, Springer, 1985, 225—248.
10. ↑  Комплексны выклад (па-французску) асноўных ідэй можна знайсці ў гэтым бурбакаўскімbeen артыкуле Жана-П’ера Сера. Больш падрабязна гл. Hellegouarch 2001
11. ↑  D. Zagier, «Modular points, modular curves, modular surfaces and modular forms», *Lecture Notes in Mathematics* 1111, Springer, 1985, 225—248.
12. ↑  Гл. аглядны артыкул K. Ribet «From the Taniyama-Shimura conjecture to Fermat’s Last Theorem», Annales de la Faculté des sciences de Toulouse 11 (1990), 116—139.
13. ↑  Падрабязней гл. Silverman 1986, Chapter IX
14. ↑  Silverman 1986, Theorem IX.5.8. даказаная Бэйкерам.
15. ↑  T. Nagell, *L’analyse indéterminée de degré supérieur*, Mémorial des sciences mathématiques 39, Paris, Gauthier-Villars, 1929, pp. 56-59.
16. ↑  Siksek, Samir (1995). *Descents on Curves of Genus I* (PDF). Ph.D. thesis. University of Exeter. pp. 16–17..
17. ↑  Merel, L. (1996). "Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres". *Inventiones Mathematicae* [French]. **124** (1–3): 437–449. doi:10.1007/s002220050059. Zbl 0936.11037.`{{cite journal}}`: Папярэджанні CS1: невядомая мова (link)
18. ↑  Гл. Koblitz 1994, p. 158
19. ↑  Koblitz 1994, p. 160
20. ↑  Harris, M.; Shepherd-Barron, N.; Taylor, R. (2010). "A family of Calabi-Yau varieties and potential automorphy". *Annals of Mathematics*. **171** (2): 779–813. doi:10.4007/annals.2010.171.779.

Літаратура
----------

Серж Лэнгbeen ва ўводзінах да кнігі, прыведзенай ніжэй, зазначыў, што «Пра эліптычныя крывыя можна пісаць бесканечна. (Гэта не пагроза.)» Такім чынам, наступны кароткі спіс з’яўляецца, у найлепшым выпадку, толькі кіраўніцтвам у велізарным аб’ёме даведачнай і навуковай літаратуры, прысвечанай тэарэтычным, алгарытмічным і крыптаграфічным бакам тэорыі эліптычных крывых.

* I. Blake (2000). *Elliptic Curves in Cryptography*. LMS Lecture Notes. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65374-6. `{{cite book}}`: Невядомы параметр `|coauthors=` ігнараваны (прапануецца `|author=`) (даведка)
* Richard Crandall; Carl Pomerance (2001). "Chapter 7: Elliptic Curve Arithmetic". *Prime Numbers: A Computational Perspective* (1st ed.). Springer-Verlag. pp. 285–352. ISBN 0-387-94777-9.
* Cremona, John (1997). *Algorithms for Modular Elliptic Curves* (2nd ed.). Cambridge University Press. ISBN 0-521-59820-6.
* Darrel Hankerson, Alfred Menezes and Scott Vanstone (2004). *Guide to Elliptic Curve Cryptography*. Springer. ISBN 0-387-95273-X.
* Hardy, G. H.; Wright, E. M. (2008) [1938], An Introduction to the Theory of Numbers, Revised by D. R. Heath-Brown and J. H. Silverman. Foreword by Andrew Wiles. (6th ed.), Oxford: Oxford University Press, ISBN 978-0-19-921986-5, Zbl 1159.11001. Chapter XXV
* Hellegouarch, Yves (2001). *Invitation aux mathématiques de Fermat-Wiles*. Paris: Dunod. ISBN 978-2-10-005508-1. `{{cite book}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Husemöller, Dale (2004). *Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 111 (2nd ed.). Springer. ISBN 0-387-95490-2.
* Kenneth Ireland; Michael I. Rosen (1998). "Chapters 18 and 19". *A Classical Introduction to Modern Number Theory*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 84 (2nd revised ed.). Springer. ISBN 0-387-97329-X.
* Anthony W. Knapp (1992). *Elliptic Curves*. Math Notes. Vol. 40. Princeton University Press.
* Koblitz, Neal (1993). *Introduction to Elliptic Curves and Modular Forms*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 97 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-97966-2. `{{cite book}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Koblitz, Neal (1994). "Chapter 6". *A Course in Number Theory and Cryptography*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 114 (2nd ed.). Springer-Verlag. ISBN 0-387-94293-9. `{{cite book}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Serge Lang (1978). *Elliptic curves: Diophantine analysis*. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. Vol. 231. Springer-Verlag. ISBN 3-540-08489-4.
* Henry McKean; Victor Moll (1999). *Elliptic curves: function theory, geometry and arithmetic*. Cambridge University Press. ISBN 0-521-65817-9.
* Ivan Niven (1991). "Section 5.7". *An introduction to the theory of numbers* (5th ed.). John Wiley. ISBN 0-471-54600-3. `{{cite book}}`: Невядомы параметр `|coauthors=` ігнараваны (прапануецца `|author=`) (даведка)
* Silverman, Joseph H. (1986). *The Arithmetic of Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 106. Springer-Verlag. ISBN 0-387-96203-4. `{{cite book}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Joseph H. Silverman (1994). *Advanced Topics in the Arithmetic of Elliptic Curves*. Graduate Texts in Mathematics. Vol. 151. Springer-Verlag. ISBN 0-387-94328-5.
* Joseph H. Silverman; John Tate (1992). *Rational Points on Elliptic Curves*. Springer-Verlag. ISBN 0-387-97825-9.
* John Tate (1974). "The arithmetic of elliptic curves". *Inventiones Mathematicae*. **23** (3–4): 179–206. doi:10.1007/BF01389745. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Lawrence Washington (2003). *Elliptic Curves: Number Theory and Cryptography*. Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-58488-365-0.

Спасылкі
--------

* Лагатып Вікісховішча На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Elliptic curve
* Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001). "Elliptic curve". *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
* The Mathematical Atlas: 14H52 Elliptic Curves Архівавана 23 лютага 2003.
* *Weisstein, Eric W.*. Elliptic Curves **(нявызн.)**. *MathWorld*.

* The Arithmetic of elliptic curves from PlanetMath
* Three Fermat Trails to Elliptic Curves Архівавана 13 ліпеня 2010. Ezra Brown, The College Mathematics Journal, Vol. 31 (2000), pp. 162-172, winner of the MAA writing prize the George Pólya Award.
* Matlab code for implicit function plotting Архівавана 17 сакавіка 2006. — Can be used to plot elliptic curves.
* Interactive introduction to elliptic curves and elliptic curve cryptography with SAGE
* Geometric Elliptic Curve Model(Java-Applet drawing curves)
* Interactive elliptic curve over R and over Zp — Web application that requires HTML5 capable browser.
* Comprehensive database of Elliptic Curves over Q