**Гаўсаў пучок** (сін. гаўсаўскі пучок) - пучок электрамагнітнага выпраменьвання, у якім размеркаванне электрычнага поля ў папярочным сячэнні добра набліжаецца функцыяй Гаўса. Кагерэнтны светлавы пучок з гаўсаўскім размеркаваннем поля мае фундаментальае значэнне ў тэорыі хвалевых пучкоў. Гэты пучок называецца асноўнай модай у адрозненне ад іншых модаў больш высокага парадку.

Матэматычнае апісанне
---------------------

Шукаецца рашэнне наступнага хвалевага раўнання, якое апісвае распаўсюджванне пучка ў выглядзе  :

{\displaystyle \Psi =u(x,y,z)e^{ikz}} ,
дзе {\displaystyle u(x,y,z)} - павольна змяняльная камплексная функцыя, якая вызначае ўласцівасці лазернага промня, якія адрозніваюць яго ад плоскай хвалі. Прымяненне аператара Δ да функцыі Ψ дае:

{\displaystyle \Delta \Psi =\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}-k^{2}u\right)e^{ikz}} .
Калі у гэтым выразе пагрэбаваць другой вытворнай ад {\displaystyle u} па {\displaystyle z} у параўнанні з першай, на аснове хвалевага раўнання Гельмгольца атрымліваецца раўнанне:

{\displaystyle {\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+2ik{\frac {\partial u}{\partial z}}=0} .
Атрыманае раўнанне адносіцца да ўраўненняў парабалічнага тыпу, а набліжэнне, у якім яно атрыманае, называецца парабалічным набліжэннем. Лёгка паказаць, што раўнанню будзе задавальняць гаўсаў пучок, амплітуда якога змяняецца ўздоўж папярочнай каардынаты паводле закона Гаўса.

Для гаўсавага пучка можна запісаць выраз:

{\displaystyle u=a\exp {\left[i\left(p+{\frac {k}{2q}}r^{2}\right)\right]}} ,
дзе r 2 = х 2 + у 2. Параметр р - камплексны зрух фазы падчас распаўсюджвання святла ўздоўж восі z, і q - комплексны параметр пучка, які вызначае гаўсавае размеркаванне поля па каардынаце r, дзе r - адлегласць ад восі. Акрамя таго, q вызначае крывізну хвалевага фронту, які з'яўляецца сферычным каля восі z.

Разгледзім уласцівасці гаўсавага пучка з даўжынёй хвалі λ больш падрабязна. Для гэтага выразім камплексны параметр q праз два параметры пучка R і w

{\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}+i{\frac {\lambda }{\pi w^{2}}},}
дзе R - радыус крывізны хвалевага фронту, а w характарызуе змяненне поля *E* ў папярочнай плоскасці (параметр w называецца шырынёй пучка). Размеркаванне поля ў гэтай плоскасці падпарадкоўваецца закону Гаўса, а w роўнае адлегласці, на якім амплітуда поля памяншаецца ў *e* разоў у параўнанні з полем на восі.

Уласцівасці пучка
-----------------

 Шырыня гаўсава пучка *w* як функцыя ад *z*. 

*w* 0 : перацяжка пучка; *b*: канфакальны параметр; *z*R : рэлееўская даўжыня; Θ: вуглавая разбежнасць пучка
### Шырыня пучка

У некаторай плоскасці, так званай шыйцы каўстычнай паверхні або перацяжцы, гаўсавы пучок сцягваецца да мінімальнай шырыні w0. У гэтай плоскасці, ад якой мэтазгодна вылічваць адлегласць z, фазавы фронт плоскі, а камплексны параметр пучка становіцца чыста ўяўным:

{\displaystyle q\_{0}={\frac {\pi w\_{0}^{2}}{i\lambda }},z\_{R}=iq\_{0},}
дзе zR - рэлееўская даўжыня. Тады шырыня промня на адлегласці z задаецца наступнай формулай:

{\displaystyle w(z)=w\_{0}{\sqrt {1+\left({\frac {\lambda z}{\pi w\_{0}^{2}}}\right)^{2}}}}
### Радыус крывізны

Залежнасць радыусу крывізны ад каардынаты:

{\displaystyle R(z)=z\left(1+\left({\frac {\pi w\_{0}^{2}}{\lambda z}}\right)^{2}\right)}
### Разбежнасць пучка

Абгінальная промня w (z) ставіць сабой гіпербалу, асімптота якой нахіленая да восі пад вуглом

{\displaystyle \theta ={\frac {\lambda }{\pi w\_{0}}}} .
Гэты вугал роўны вуглу дыфракцыі галоўнай моды ў далёкай зоне.

Поўная вуглавая разбежнасць промня складае

{\displaystyle \Theta =2\theta } .

Моды вышэйшых парадкаў
----------------------

 Першыя дзевяць модаў Эрміта-Гаўса
Гаўсавы пучкі - толькі адно з магчымых рашэнняў параксіяльнага хвалевага ўраўнення. Для мадэлявання лазерных прамянёў выкарыстоўваюцца камбінацыі розных артаганальных рашэнняў. У агульным выпадку, калі вызначаецца поўны базіс рашэнняў, то любы пучок можна апісаць як суперпазіцыю рашэнняў з базісу.

Зноскі
------

1. ↑   Гончаренко А. М. Гауссовы пучки света. Мн. «Наука и техника», 1977, 144 с.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кiтайская |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 2778315978 |