**Адмоўнае біномнае размеркаванне** — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое мадэлюе колькасць няўдач у шэрагу незалежных і аднолькава размеркаваных выпрабаванняў Бэрнулі[en] перад тым, як адбудзецца пэўная, зададзеная параметрам {\displaystyle r}, колькасць поспехаў. Напрыклад, мы можам абазначыць выпаданне 6 на кубіку як поспех, і выпаданне кожнага іншага значэння як няўдачу, і паставіць пытанне колькі няўдачных выпаданняў адбудзецца перш чым мы пабачым трэці поспех ({\displaystyle r=3}). У такім выпадку, размеркаванне імавернасцей колькасці няўдач будзе адмоўным біномным.

У альтэрнатыўнай фармулёўцы мадэлюецца агульная колькасць выпрабаванняў, а не толькі няўдач.

Азначэнне
---------

Няхай праводзіцца серыя незалежных выпрабаванняў Бэрнулі: кожнае выпрабаванне мае два магчымыя зыходы, званыя «поспехам» і «няўдачай». У кожным выпрабаванні імавернасць поспеху роўная {\displaystyle p}, а імавернасць няўдачы {\displaystyle 1-p}. Выпрабаванні праводзяцца да той пары, пакуль не адбудзецца прадвызначаная колькасць {\displaystyle r} поспехаў. Тады размеркаванне імавернасцей, якому падпарадкоўваецца колькасць няўдач сярод праведзеных выпрабаванняў, завецца адмоўным біномным размеркаваннем або размеркаваннем Паскаля, і адпаведная выпадковая велічыня абазначаецца як

{\displaystyle X\sim \operatorname {NB} (r,p).}
### Функцыя імавернасці

Функцыя імавернасці адмоўнага біномнага размеркавання мае выгляд

{\displaystyle p\_{X\sim \operatorname {NB} (r,p)}(k)\equiv \Pr(X=k)={\binom {k+r-1}{k}}(1-p)^{k}p^{r}.}
Значэнне ў дужках гэта біномны каэфіцыент[en], роўны

{\displaystyle {\binom {k+r-1}{k}}={\frac {(k+r-1)!}{(r-1)!\,(k)!}}={\frac {(k+r-1)(k+r-2)\dotsm (r)}{k!}},}
дзе {\displaystyle k} няўдач выбіраюцца з {\displaystyle k+r-1} выпрабавання, а не з {\displaystyle k+r}, бо апошняе выпрабаванне паспяховае і не можа быць няўдачай паводле азначэння.

Гэты біномны каэфіцыент можна запісаць як (абагульнены) біномны каэфіцыент з адмоўнай верхняй часкай, таму размеркаванне і завецца адмоўным біномным:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{\frac {(k+r-1)\dotsm (r)}{k!}}=(-1)^{k}{\frac {\overbrace {(-r)(-r-1)(-r-2)\dotsm (-r-k+1)} ^{k{\text{ množnikaŭ}}}}{k!}}=(-1)^{k}{\binom {-r}{{\phantom {-}}k}}.\end{aligned}}}

Сувязь з іншымі размеркаваннямі
-------------------------------

### Геаметрычнае размеркаванне

Геаметрычнае размеркаванне — асобны выпадак адмоўнага біномнага размеркавання, калі колькасць поспехаў {\displaystyle r} роўная 1:84.

Выпадковую велічыню з адмоўным біномным размеркаваннем можна ўявіць у выглядзе сумы {\displaystyle r} незалежных выпадковых велічынь з геаметрычным размеркаваннем:120.

Зноскі
------

1. ↑  Negative Binomial Distribution **(нявызн.)**. *Wolfram MathWorld*.  Wolfram Research. Праверана 11 October 2020.
2. 1 2  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 199335787 |

| ⛭Размеркаванні імавернасцей |
| --- |
| Дыскрэтныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| з канечнай колькасцю значэнняў | 
* Біномнае
* Бэрнулі
* Гіпергеаметрычнае
* Звыроднае
* Раўнамернае дыскрэтнае

 |
| з бесканечнай колькасцю значэнняў | 
* Адмоўнае біномнае
* Геаметрычнае
* Пуасона

 |

 |
| Абсалютна непарыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| са значэннямі на прамежку | 
* Бэта
* Раўнамернае непарыўнае

 |
| са значэннямі на прамені  | 
* Бэта другога тыпу
* Гама
* Максвела — Больцмана
* Паказнікавае
* Фішэра — Снедэкора
* Хі-квадрат
* Эрланга

 |
| са значэннямі на ўсёй лікавай простай | 
* Кашы
* Нармальнае
* Ст’юдэнта

 |

 |
| Многавымерныя | 
* Дзірыхле
* Многавымернае нармальнае
* Паліномнае

 |
| Іншыя | 
* Сінгулярнае

 |
| 
* Катэгорыя
* Вікісховішча

 |