Рашотка гаусавых лікаў на камплекснай плоскасці
**Гаусавы цэлыя лікі** (**гаусавы лікі**, **цэлыя камплексныя лікі**) — гэта камплексныя лікі, у якіх і рэчаісная, і ўяўная частка — цэлыя лікі. Упершыню ўведзены Гаусам у манаграфіі «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Мноства гаусавых цэлых лікаў прынята абазначаць {\displaystyle \mathbb {Z} [i],} іх уласцівасці падобныя на ўласцівасці мноства звычайных цэлых лікаў {\displaystyle \mathbb {Z} ,} але ёсць і істотныя адрозненні.

Агульныя ўласцівасці
--------------------

### Азначэнне і класіфікацыя

Фармальнае азначэнне:

{\displaystyle \mathbb {Z} [i]=\{a+bi:a,b\in \mathbb {Z} \}.}
Мноства {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} утрымлівае мноства звычайных цэлых лікаў {\displaystyle \mathbb {Z} } і з’яўляецца яго пашырэннем. Сума, рознасць і здабытак гаусавых лікаў з’яўляюцца гаусавымі лікамі; такая алгебраічная структура называецца колцам. Увесці ў гэтым камплексным колцы ўпарадкаванасць немагчыма. Адзначым таксама, што спалучаны да гаусавага ліку {\displaystyle a+bi} ёсть таксама гаусаў лік {\displaystyle a-bi.}

Кожны лік {\displaystyle z=a+bi} задавальняе квадратнае ўраўненне:

{\displaystyle (z-a)^{2}+b^{2}=0.}
Таму гаусаў лік ёсць цэлы алгебраічны лік.

### Норма

**Норма** для гаусавага ліку {\displaystyle a+bi} вызначаецца як квадрат яго модуля:

{\displaystyle N\left(a+bi\right)=a^{2}+b^{2}=(a+bi){\overline {(a+bi)}}.}
**Уласцівасці нормы**:

* Норма роўная нулю толькі для нуля. У астатніх выпадках норма — дадатны цэлы лік.
* Нормы спалучаных лікаў супадаюць.
* Норма звычайнага цэлага ліку роўная яго квадрату.
* Калі норма няцотная, то яна мае від 4*n* + 1, г. зн. пры дзяленні яе на 4 атрымліваецца астача 1. Ніякі гаусаў лік не можа мець норму віду 4*n* + 3.

Норма, як і модуль, мае ўласцівасць мультыплікатыўнасці:

{\displaystyle N(u\cdot v)=N(u)\cdot N(v).}
Адсюль вынікае, што абарачальнымі элементамі колца (*дзельнікамі адзінкі*) з’яўляюцца тыя элементы, чыя норма роўная 1, г. зн. {\displaystyle \{1;-1;i;-i\}.}

Два гаусавыя лікі называюцца *асацыіраванымі*, калі адзін атрымліваецца з другога дамнажэннем на дзельнік адзінкі. Лёгка бачыць, што асацыіраванасць — дачыненне эквівалентнасці. Прыклад: гаусавы лікі 1 + *i* і 1 − *i* асацыіраваныя, бо:

{\displaystyle 1+i=i(1-i).}
У кожнага ненулявога гаусавага ліку ёсць тры асацыіраваныя з ім. Нормы ўсіх чатырох асацыіраваных паміж сабою лікаў супадаюць.

Тэорыя дзялімасці
-----------------

### Дзяленне цалкам

Дзяленне цалкам гаусавых лікаў вызначаецца звычайным чынам:

|  |
| --- |
| Кажуць, што гаусаў лік {\displaystyle u} **дзеліцца** (**цалкам**) на гаусаў лік {\displaystyle v}, калі існуе трэці гаусаў лік {\displaystyle q} такі, што {\displaystyle u=vq}.
Абазначэнне: {\displaystyle v|u.} |

Чытанне: адзін з трох раўназначных варыянтаў,

* {\displaystyle u} дзеліцца на {\displaystyle v;}
* {\displaystyle v} дзеліць {\displaystyle u;}
* {\displaystyle v} — дзельнік {\displaystyle u.}

Ужываюцца традыцыйныя тэрміны: дзеліва ці кратнае ({\displaystyle u}), дзельнік ({\displaystyle v}) і дзель ({\displaystyle q}). Колькасць дзельнікаў гаусавага ліку заўсёды канечная, колькасць кратных бесканечная.

Прыклад: лік 2 дзеліцца цалкам на 1 + *i*, таму што {\displaystyle ~2=(1+i)(1-i)}.

Усе гаусавы лікі дзеляцца на дзельнікі адзінкі, таму любы гаусаў лік, які не дзеліць адзінку, мае сама менш 8 дзельнікаў: 4 дзельнікі адзінкі і 4 іх здабыткі на сам лік. Гэтыя дзельнікі называюцца **трывіяльнымі**.

Дзяленне цалкам у {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} па сваіх уласцівасцях падобнае на дзяленне цалкам цэлых лікаў. Некаторыя асаблівасці дзялімасці гаусавых лікаў:

* Калі гаусаў лік {\displaystyle z} дзеліцца цалкам на звычайны цэлы лік, то на гэты цэлы лік дзеляцца як рэчаісная, так і ўяўная частка {\displaystyle z.}
* Калі {\displaystyle u|v} і {\displaystyle v|u}, то гэтыя лікі асацыіраваныя.
* Калі {\displaystyle u|v}, то любы з 3 лікаў, асацыіраваных з {\displaystyle v,} дзеліцца на любы з 3 лікаў, асацыіраваных з {\displaystyle u}.
* Калі {\displaystyle u} дзеліцца на {\displaystyle v\;(u=vq)}, то спалучаны да дзялімага ліку {\displaystyle {\overline {u}}} дзеліцца на спалучаны да дзельніка {\displaystyle {\overline {v}}\;({\overline {u}}={\overline {v}}{\overline {q}}).}
* Усе дзельнікі гаусавага ліку {\displaystyle z} з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы {\displaystyle N(z)=z\cdot {\overline {z}}.}
* Норма гаусавага ліку цотная тады і толькі тады, калі гэты лік дзеліцца на {\displaystyle ~1+i.}
* Калі {\displaystyle v|u}, то і норма дзеліва, па мультыплікатыўнасці, дзеліцца цалкам на норму дзельніка. Пры гэтым:

{\displaystyle N\left({\frac {u}{v}}\right)={\frac {N(u)}{N(v)}}.}
### Геаметрычнае прадстаўленне дзялімасці

У кожнага гаусавага ліку {\displaystyle z} ёсць 4 кратныя з тою ж нормаю (і, адпаведна, тым жа модулем) — гэта сам {\displaystyle z} і асацыіраваныя з ім 3 лікі, атрыманыя паслядоўным дамнажэннем {\displaystyle z} на {\displaystyle i}:

{\displaystyle z,\ iz,\ -z,\ -iz.}
Але дамнажэнне на {\displaystyle i} геаметрычна на камплекснай плоскасці адпавядае павароту радыус-вектара ліку на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі, прычым модуль здабытку будзе той жа. Такім чынам, усе 4 лікі ўтвараюць роўнастаронні крыж (выдзелены чырвоным на рысунку), цэнтр і вяршыні якога кратныя {\displaystyle z}. Паслядоўна ссоўваючы гэты крыж ва ўсе бакі на адну з 4 велічынь, асацыіраваных з {\displaystyle z}, атрымліваем на ўсёй плоскасці квадратную рашотку, усе вузлы якой (вяршыні квадратаў) кратныя {\displaystyle z.} Напрыклад, на рысунку {\displaystyle ~4-2i=-2i(1+2i).} Наадварот, любое кратнае {\displaystyle z} супадае з адным з вузлоў рашоткі.

### Простыя гаусавы лікі

Размеркаванне гаусавых простых лікаў на камплекснай плоскасці (простыя лікі выдзелены чырвоным колерам)
**Просты гаусаў лік** — гэта ненулявы лік, які не мае іншых дзельнікаў, акрамя трывіяльных. Лік, які не з’яўляецца простым, называецца **састаўным**. Пры гэтым дзельнікі адзінкі, як і натуральная адзінка, не лічацца ні простымі, ні састаўнымі лікамі.

Некаторыя ўласцівасці простых гаусавых лікаў:

* Калі {\displaystyle a+bi} — просты гаусаў лік, то і спалучаны з ім гаусаў лік {\displaystyle a-bi} таксама просты.
* Калі просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам здабытку гаусавых лікаў, то ён з’яўляецца дзельнікам хоць аднаго з сумножнікаў.
* Норма любога простага гаусавага ліку, акрамя асацыіраваных з {\displaystyle 1+i}, заўсёды няцотная і таму мае від {\displaystyle 4n+1.}

Натуральны просты лік можа не быць гаусавым простым лікам. Напрыклад, лікі 2 і 5 у {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} ужо не простыя:

{\displaystyle 2=(1+i)(1-i);\quad 5=(2+i)(2-i).}
### Узаемна простыя лікі

Калі гаусаў лік {\displaystyle w} з’яўляецца дзельнікам для двух гаусавых лікаў {\displaystyle u} і {\displaystyle v}, ён называецца іх **агульным дзельнікам**. Мноства агульных дзельнікаў двух лікаў заўсёды ўтрымлівае 4 дзельнікі адзінкі; калі іншых агульных дзельнікаў няма, гэтыя лікі называюцца **ўзаемна простымі**.

Адзначым, што калі нормы гаусавых лікаў {\displaystyle ~u,v} узаемна простыя як цэлыя лікі, то і самі лікі {\displaystyle ~u,v} узаемна простыя як гаусавы лікі. Адваротнае несправядліва: нормы ўзаемна простых гаусавых лікаў могуць мець агульныя дзельнікі — напрыклад, {\displaystyle 5+2i} і {\displaystyle 5-2i} узаемна простыя, але іх нормы супадаюць і таму не ўзаемна простыя.

Прывядзём дзве ўласцівасці, падобныя на ўласцівасці цэлых лікаў.

* Калі кожны з двух гаусавых лікаў {\displaystyle u,v} узаемна просты з гаусавым лікам {\displaystyle w,} то і іх здабытак {\displaystyle uv} узаемна просты з {\displaystyle w.}
* Калі {\displaystyle z|uv} і пры гэтым {\displaystyle z} узаемна просты з {\displaystyle u}, то {\displaystyle z|v.}

### Крытэрый Гауса

Гаус указаў вызначальныя прыкметы простага ліку ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}.

|  |
| --- |
| Гаусаў лік {\displaystyle a+bi} з’яўляецца простым тады і толькі тады, калі:* альбо адзін з лікаў {\displaystyle a,b} нулявы, а другі — цэлы просты лік віду {\displaystyle \pm (4n+3)};
* альбо {\displaystyle a,b} абодва не нулі, і норма {\displaystyle a^{2}+b^{2}} — просты натуральны лік.
 |

Прывядзём прыклады простых гаусавых лікаў.

* Да першай часткі крытэрыя: {\displaystyle \pm 3;\ \pm 7;\ \pm 3i.}
* Да другой часткі крытэрыя: {\displaystyle 1\pm i;\ 1\pm 2i;\ 1\pm 4i;\ 4+5i;\ 2-3i;\ 15+22i.}

Некаторыя крыніцы дзеля большае яснасці раздзяляюць другую частку крытэрыя на дзве:

1. Лікі, асацыіраваныя з {\displaystyle 1+i.} Іх норма роўная 2.
2. Лікі, чыя норма ёсць просты натуральны лік віду {\displaystyle 4n+1.}

Сам Гаус такога раздзялення не рабіў.

**Вынікі**.

* Ніякі просты натуральны лік віду {\displaystyle 4n+1} не можа быць простым гаусавым лікам. Простыя натуральныя лікі віду {\displaystyle 4n+3} з’яўляюцца і простымі гаусавымі лікамі.
* Норма простага гаусавага ліку з’яўляецца альбо простым натуральным лікам, альбо квадратам простага натуральнага ліку.
* Просты натуральны лік віду {\displaystyle 4n+1} можна прадставіць як здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў {\displaystyle (a+bi)(a-bi)} ці, што тое самае, як суму квадратаў {\displaystyle a^{2}+b^{2}}. Гэты факт вядомы як Тэарэма Ферма — Эйлера. Іменна пры даследаванні гэтай тэмы, а таксама тэорыі біквадратычных рэшт, Гаус з поспехам прымяніў цэлыя камплексныя лікі. Наадварот, калі просты лік можна прадставіць як суму натуральных квадратаў, то ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} ён састаўны і раскладваецца на два спалучаныя гаусавыя простыя.
* Кожны просты гаусаў лік з’яўляецца дзельнікам аднаго і толькі аднаго простага натуральнага ліку. Гэта значыць, раскладаючы натуральныя простыя на гаусавы множнікі, можна атрымаць усе гаусавы простыя.

### Раскладанне на простыя множнікі

У {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} спраўджваецца аналаг асноўнай тэарэмы арыфметыкі: кожны гаусаў лік, не роўны нулю ці дзельніку адзінкі, раскладаецца на простыя множнікі, прычым гэта раскладанне адназначнае з дакладнасцю да парадку і асацыіраванасці множнікаў.

Прыклад: {\displaystyle 5=(1+2i)(1-2i)=(2-i)(2+i).} Множнікі гэтых двух, з выгляду розных, раскладанняў папарна асацыіраваныя: {\displaystyle 1+2i=i(2-i);\ 1-2i=(-i)(2+i),} так што адназначнасць не парушаецца.

Каб практычна раскласці гаусаў лік {\displaystyle z} на простыя множнікі, можно выкарыстаць прыведзеную вышэй уласцівасць: усе дзельнікі гаусавага ліку з’яўляюцца таксама дзельнікамі яго нормы. Пры гэтым норма ўтрымлівае таксама «лішнія» простыя множнікі, якія адпавядаюць спалучанаму з {\displaystyle z} ліку.

Такім чынам, пачаць трэба з раскладвання нормы ліку {\displaystyle z} на простыя натуральныя множнікі.

1. Множнік 2, калі ён ёсць у раскладанні нормы, раскладваецца як {\displaystyle (1+i)(1-i)}. Трэба ўключыць у выніковае раскладанне тыя з гэтых множнікаў (у адпаведнай ступені), на якія {\displaystyle z} дзеліцца цалкам.
2. Акрамя 2, астатнія множнікі нормы — няцотныя. Множнік віду {\displaystyle 4n+3} з’яўляецца простым гаусавым лікам, таму ён дзеліць не толькі норму {\displaystyle N(z)=~z{\overline {z}}}, але і сам {\displaystyle z.} Але тады гэты множнік дзеліць і спалучаны лік {\displaystyle {\overline {z}}}. Адсюль выцякае, што множнік віду {\displaystyle 4n+3} уваходзіць у раскладанне нормы заўсёды ў цотнай ступені, а ў раскладанне самога {\displaystyle z} — у ступені, удвая меншай.
3. Множнік віду {\displaystyle 4n+1} можна раскласці на здабытак спалучаных простых гаусавых лікаў (ці, што тое самае, на суму квадратаў натуральных лікаў). І тут трэба дзяленнем высветліць, які з сумножнікаў адносіцца да зыходнага ліку, а які — да спалучанага.

Прыклад. Раскладзём на простыя множнікі {\displaystyle 9+12i.} Норма гэтага ліку роўная 225, раскладзём яе на простыя натуральныя множнікі: {\displaystyle ~225=3^{2}\cdot 5^{2}.} Згодна з вышэйсказаным, {\displaystyle ~5=(2-i)(2+i).} Праверкаю пераконваемся, што {\displaystyle 9+12i} дзеліцца толькі на {\displaystyle ~2+i} і не дзеліцца на {\displaystyle ~2-i.} Дзель {\displaystyle 9+12i} на {\displaystyle ~3(2+i)} роўная {\displaystyle ~2+i,} таму канчаткова атрымліваем:

{\displaystyle 9+12i=3\cdot (2+i)^{2}.}

Тэорыя параўнанняў
------------------

### Параўнанні па гаусаваму модулю

Паняцце параўнання па модулю вызначаецца ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} аналагічна таму, як гэта робіцца для цэлых лікаў:

|  |
| --- |
| Няхай {\displaystyle w} — некаторы гаусаў лік. Два гаусавыя лікі {\displaystyle u,v} называюцца **параўнальнымі па модулю** {\displaystyle w}, калі рознасць {\displaystyle u-v} дзеліцца (цалкам) на {\displaystyle w}.
Гэта запісваецца так: {\displaystyle ~u\equiv v{\pmod {w}}.} |

Уласцівасці параўнанняў у {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} у асноўным такія ж, як у цэлых лікаў. Дачыненне параўнальнасці ёсць дачыненне эквівалентнасці, таму {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} разбіваецца на неперасечныя класы вылікаў — кожны такі клас утрымлівае ўсе параўнальныя адзін з адным (па вызначанаму модулю) гаусавы лікі. Для класаў, як і ў выпадку цэлых лікаў, можна вызначыць складанне і множанне, так што атрымліваецца колца вылікаў па гаусаваму модулю.

Прыклад. Возьмем у якасці модуля параўнання {\displaystyle 1+i}. Тады {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} разбіваецца на два класы вылікаў: лікі {\displaystyle a+bi}, у якіх {\displaystyle a,b} аднолькавай цотнасці, трапяць у адзін клас (які ўтрымлівае кратныя для модуля), а лікі з рознай цотнасцю {\displaystyle a,b} — у другі.

У гаусавага параўнання ёсць некаторыя асаблівасці. Напрыклад, калі для цэлых лікаў па модулю 3 існуе 3 класы вылікаў з прадстаўнікамі {\displaystyle 0;\ 1;\ 2,} то для гаусавых лікаў па таму ж модулю колькасць класаў значна большая. Іх прадстаўнікі:

{\displaystyle 0;\ 1;\ 2;\ i;\ 1+i;\ 2+i;\ 2i;\ 1+2i;\ 2+2i.}
Як устанавіў Гаус, колца вылікаў па модулю {\displaystyle a+bi} утрымлівае {\displaystyle ~N(a+bi)=a^{2}+b^{2}} элементаў. З гэтае прычыны прыходзіцца змяняць фармулёўкі некаторых класічных тэарэм, каб яны заставаліся справядлівымі і для гаусавых лікаў. Напрыклад, малая тэарэма Ферма для цэлых лікаў сцвярджае, што {\displaystyle (a^{p}-a)} дзеліцца на {\displaystyle p} для любога простага {\displaystyle p} і натуральнага {\displaystyle a}. Для гаусавых лікаў гэта несправядліва, нават калі абмежавацца натуральнымі значэннямі {\displaystyle p}; напрыклад, для цэлых лікаў {\displaystyle a^{3}-a} заўсёды дзеліцца на 3, а для гаусавых {\displaystyle i^{3}-i=-2i}, і гэта значэнне на 3 не дзеліцца. Адпаведнік малой тэарэмы Ферма для гаусавых лікаў фармулюецца наступным чынам:

|  |
| --- |
| 
Для простага гаусавага ліку {\displaystyle w=a+bi} і любога гаусавага ліку {\displaystyle u} {\displaystyle (u^{N(w)}-u)=(u^{a^{2}+b^{2}}-u)} дзеліцца на {\displaystyle w.}
 |

Праверым на тым жа прыкладзе з {\displaystyle w=3;u=i.} Атрымаем: {\displaystyle ~(i^{9}-i)=0} — дзеліцца на 3.

Назавём клас вылікаў па модулю {\displaystyle w,} у якім утрымліваецца лік {\displaystyle u,} **абарачальным**, калі параўнанне

{\displaystyle ~ux\equiv 1{\pmod {w}}}
мае рашэнне адносна {\displaystyle x.} Клас абарачальны тады і толькі тады, калі гаусавы лікі {\displaystyle u} і {\displaystyle w} узаемна простыя. У прыватнасці, калі модуль параўнанняў {\displaystyle w} — гаусаў просты лік, то кожны ненулявы клас вылікаў мае адваротны элемент, а гэта значыць, што класы вылікаў па простаму модулю ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i]}, як і ў {\displaystyle \mathbb {Z} ,} утвараюць поле.

### Функцыя Эйлера для гаусавых лікаў

Увядзём аналаг функцыі Эйлера для гаусавых лікаў. Азначэнне для цэлых лікаў не падыходзіць хаця б таму, што выраз «ад 1 да *n*», які ўваходзіць у гэта азначэнне, не мае сэнсу для камплексных лікаў. Новае азначэнне:

|  |
| --- |
| **Функцыя Эйлера** {\displaystyle \varphi (z)} для гаусавага ліку {\displaystyle z} вызначаецца як лік абарачальных класаў вылікаў па модулю {\displaystyle z.} |

Вызначаная такім чынам функцыя, як і яе прататып для цэлых лікаў, мультыплікатыўная, таму дастаткова знаць яе значэнні для простых лікаў і іх натуральных ступеней. Калі {\displaystyle z} — просты гаусаў лік, то:

{\displaystyle \varphi (z)=N(z)-1;\quad \varphi (z^{k})=N(z)^{k-1}(N(z)-1).}
Прыклад:

{\displaystyle \varphi (3+4i)=\varphi ((2+i)^{2})=N(2+i)(N(2+i)-1)=5\cdot 4=20.}
Цяпер можна абагульніць прыведзеную ў папярэднім раздзеле малую тэарэму Ферма на выпадак адвольнага (не абавязкова простага) модуля параўнання, г. зн. прывесці аналаг тэарэмы Эйлера:

|  |
| --- |
| Калі гаусаў лік {\displaystyle z} узаемна просты з модулем {\displaystyle w,} то:
{\displaystyle z^{\varphi (w)}\equiv 1{\pmod {w}}} |

### Геаметрычнае прадстаўленне параўнання па модулю

Разгледзім для прыкладу параўнанне па модулю {\displaystyle w=1+2i.} Як сказана ў раздзеле аб геаметрычным прадстаўленні дзялімасці, можна разбіць камплексную плоскасць на квадраты так, што вузлы гэтай рашоткі (вяршыні квадратаў) прадстаўляюць усе магчымыя камплексныя кратныя {\displaystyle ~1+2i.} Тады, па азначэнню, лікі параўнальныя па модулю {\displaystyle w}, калі іх рознасць супадае з адным з вузлоў рашоткі кратных.

Кожны квадрат рашоткі атрымліваецца з любога іншага квадрата зрушэннем (пераносам) на велічыню, кратную {\displaystyle w,} таму рознасць любой кропкі квадрата і выніку яе зрушэння таксама кратная {\displaystyle w.} Адсюль вынікае канчатковы вывад:

|  |
| --- |
| Гаусавы лікі параўнальныя па модулю {\displaystyle w} тады і толькі тады, калі яны займаюць аднолькавае адноснае становішча ў сваіх квадратах рашоткі кратных. |

Напрыклад, параўнальныя ўсе цэнтры квадратаў, ці ўсе сярэдзіны іх адпаведных старон і пад.

Дзяленне з астачаю
------------------

### Азначэнне

У колцы {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} можна вызначыць дзяленне з астачаю (на любы ненулявы гаусаў лік), увёўшы патрабаванне, каб норма астачы была меншая за норму дзельніка:

|  |
| --- |
| Любы гаусаў лік {\displaystyle u} можна раздзяліць з астачаю на любы ненулявы гаусаў лік {\displaystyle v}, г. зн. прадставіць у выглядзе:
{\displaystyle u=vq+r,}
тут дзель {\displaystyle q} і астача {\displaystyle r} — гаусавы лікі, прычым {\displaystyle N(r)<N(v).} |

Нескладана паказаць, што ў якасці дзелі ад дзялення з астачаю можна ўзяць гаусаў лік, найбліжэйшы да дзелі звычайнага дзялення камплексных лікаў.

Неабходна адзначыць, што ўмова «норма астачы меншая за норму дзельніка» недастатковая, каб гарантаваць адназначнасць астачы ад дзялення цалкам. У {\displaystyle \mathbb {Z} [i],} у адрозненне ад {\displaystyle \mathbb {Z} ,} астача неадназначная. Напрыклад, {\displaystyle ~7+2i} можна раздзяліць на {\displaystyle ~3-i} двума спосабамі:

{\displaystyle 7+2i=(3-i)(2+i)+i=(3-i)(1+i)+3.}
Можна гарантаваць толькі тое, што ўсе астачы пападаюць у адзін клас вылікаў па модулю дзельніка.

Прыклад. Раздзелім з астачаю {\displaystyle 11+10i} на {\displaystyle 4+i}. Спачатку знойдзем дзель ад звычайнага камплекснага дзялення:

{\displaystyle {\frac {11+10i}{4+i}}={\frac {(11+10i)(4-i)}{(4+i)(4-i)}}={\frac {54+29i}{17}}\approx 3{,}17+1{,}7i}
Найбліжэйшы да выніку гаусаў лік ровен {\displaystyle 3+2i,} тады астача роўная {\displaystyle ~11+10i-(4+i)(3+2i)=1-i.} У выніку атрымліваем:

{\displaystyle 11+10i=(4+i)(3+2i)+1-i.}
### Найбольшы агульны дзельнік

Колца гаусавых лікаў з’яўляецца еўклідавым, і ў ім заўсёды можна вызначыць найбольшы агульны дзельнік, прычым адназначна з дакладнасцю да дзельнікаў адзінкі.

|  |
| --- |
| Найбольшым агульным дзельнікам НАД{\displaystyle (u,v)} для гаусавых лікаў {\displaystyle u} і {\displaystyle v}, хаця б адзін з якіх ненулявы, называецца іх агульны дзельнік {\displaystyle d}, які дзеліцца на любы іншы агульны дзельнік {\displaystyle u} і {\displaystyle v.} |

Эквівалентнае азначэнне: НАД{\displaystyle (u,v)} ёсць той агульны дзельнік {\displaystyle u,v}, у якога норма найбольшая.

Уласцівасці НАД
* Калі вядомы некаторы НАД, то любы з трох лікаў, асацыіраваных з ім, таксама будзе НАД. У прыватнасці, калі адзін з НАД — дзельнік адзінкі, то такімі ж будуць і астатнія тры НАД.
* Гаусавы лікі ўзаемна простыя тады і толькі тады, калі іх НАД ёсць дзельнік адзінкі.
* Мае месца аналаг суадносін Безу:

|  |
| --- |
| Няхай {\displaystyle u,v} — гаусавы лікі, і хоць адзін з іх не нуль. Тады існуюць такія гаусавы лікі {\displaystyle x,y}, што спраўджваюцца суадносіны:
НАД{\displaystyle (u,v)=xu+yv.} |

Іншымі словамі, найбольшы агульны дзельнік двух гаусавых лікаў можна заўсёды прадставіць як лінейную камбінацыю гэтых лікаў з гаусавымі каэфіцыентамі.
* Вынік суадносін Безу: калі гаусавы лікі {\displaystyle u,v} узаемна простыя, то ўраўненне

{\displaystyle ~xu+yv=1}
адносна {\displaystyle x,y} мае рашэнне ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i].} Замест 1 ў прыведзеным ураўненні можа стаяць любы іншы дзельнік адзінкі, тэарэма пры гэтым застанецца вернаю.

### Алгарытм Еўкліда і практычнае вылічэнне НАД

Для вызначэння НАД ў {\displaystyle \mathbb {Z} [i]} зручна карыстацца алгарытмам Еўкліда, цалкам аналагічным таму, які прымяняецца для цэлых лікаў. НАД атрымліваецца ў гэтай схеме як апошняя ненулявая астатача. Алгарытм Еўкліда можна таксама выкарыстоўваць для знаходжання каэфіцыентаў {\displaystyle x,y} у суадносінах Безу.

Прыклад 1. Знойдзем НАД для {\displaystyle 32+9i} і {\displaystyle 4+11i.}

Крок 1: {\displaystyle 32+9i=(4+11i)(2-2i)+2-5i} (падзялілі з астачаю першы лік на другі)
Крок 2: {\displaystyle 4+11i=(2-5i)(-2+i)+3-i} (падзялілі з астачаю папярэдні дзельнік на астачу папярэдняга кроку)
Крок 3: {\displaystyle 2-5i=(3-i)(1-i)-i} (тое ж дзеянне)
Крок 4: {\displaystyle 3-i=(-i)(1+3i)} (тое ж дзеянне, лік падзяліўся цалкам)
Адзначым, што на кожным кроку норма астачы манатонна памяншаецца. Апошняя ненулявая астача роўная {\displaystyle -i}, гэта дзельнік адзінкі, таму робім вывад, што зыходныя лікі ўзаемна простыя.

Прыклад 2. Знойдзем НАД для {\displaystyle 11+3i} і {\displaystyle 1+8i.}

Крок 1: {\displaystyle 11+3i=(1+8i)(1-i)+2-4i}
Крок 2: {\displaystyle 1+8i=(2-4i)(-1+i)+(-1+2i)}
Крок 3: {\displaystyle 2-4i=(-1+2i)(-2)} (лік падзяліўся цалкам)
Апошняя ненулявая астача роўная {\displaystyle -1+2i}, гэта і ёсць шукаемы НАД. Паслядоўна падстаўляючы замест левых частак роўнасцей правыя (пачынаючы з прадапошняе роўнасці, знізу ўверх), атрымаем суадносіны Безу для НАД:

{\displaystyle -1+2i=(11+3i)(1-i)+(1+8i)(1+2i).}

Некаторыя прыкладанні
---------------------

Гаус выкарыстаў адкрытую ім алгебраічную структуру для глыбокага даследавання біквадратычных вылікаў. Можна назваць і іншыя вобласці паспяховага прымянення гаусавых лікаў. Паказальна, што значная іх частка адносіцца да тэорыі не камплексных, а натуральных лікаў.

### Раскладанне натуральных лікаў на сумы квадратаў

З крытэрыя Гауса выцякае, што просты натуральны лік віду {\displaystyle 4n+1} можна прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў, прычым толькі адным спосабам. Прыклад: {\displaystyle ~29=(2+5i)(2-5i)=2^{2}+5^{2}.}

Раскладанне натуральных лікаў іншага віду не заўсёды магчымае — напрыклад, {\displaystyle 15;19;27;103} і іншыя лікі віду {\displaystyle 4n+3} нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў натуральных лікаў. Састаўныя лікі могуць таксама мець больш чым адзін спосаб раскладання, напрыклад: {\displaystyle ~65=4^{2}+7^{2}=1^{2}+8^{2}.}

Агульная тэарэма:

|  |
| --- |
| 
Натуральны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух квадратаў тады і толькі тады, калі ў яго кананічнае раскладанне ўсе простыя множнікі віду {\displaystyle 4n+3} уваходзяць у цотных ступенях.
 |

Прыклад: {\displaystyle 35=5\cdot 7} нельга прадставіць як суму квадратаў, бо лік {\displaystyle 7=4\cdot 1+3} мае няцотную ступень. Але {\displaystyle 35\cdot 7=5\cdot 7^{2}} прадставіць можна: {\displaystyle 245=7^{2}+14^{2}.}

### Падлік колькасці прадстаўленняў у выглядзе сумы квадратаў

Лік прадстаўленняў {\displaystyle \rho (m)} натуральнага ліку {\displaystyle m} у выглядзе сумы квадратаў можна вызначыць наступным чынам. Раскладзём {\displaystyle m} на простыя натуральныя множнікі:

{\displaystyle m=2^{\lambda }p\_{1}^{\lambda \_{1}}p\_{2}^{\lambda \_{2}}\dots p\_{r}^{\lambda \_{r}}q\_{1}^{\mu \_{1}}q\_{2}^{\mu \_{2}}\dots q\_{s}^{\mu \_{s}},}
тут {\displaystyle p\_{i}} — множнікі віду {\displaystyle 4n+1,} а {\displaystyle q\_{j}} — множнікі віду {\displaystyle 4n+3.} Тады магчымыя 3 выпадкі.

1. Калі хаця б адзін паказчык ступені {\displaystyle \mu \_{j}} няцотны, лік {\displaystyle m} нельга прадставіць у выглядзе сумы квадратаў.
2. Няхай усе {\displaystyle \mu \_{j}} цотныя. Канчатковая формула залежыць ад цотнасці {\displaystyle \lambda \_{i}.} Калі ўсе яны таксама цотныя, формула выглядае так:

{\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}[(\lambda \_{1}+1)(\lambda \_{2}+1)\cdots (\lambda \_{r}+1)+1].}
1. 
2. Калі не ўсе {\displaystyle \lambda \_{i}} цотныя, то формула трохі адрозніваецца:

{\displaystyle \rho (m)={\frac {1}{2}}(\lambda \_{1}+1)(\lambda \_{2}+1)\cdots (\lambda \_{r}+1).}
### Тэорыя піфагоравых троек

Піфагорава тройка — гэта адно з цэлалікавых рашэнняў ураўнення:

{\displaystyle x^{2}+y^{2}=z^{2}.}
Агульнае рашэнне ўраўнення залежыць ад двух цэлых параметраў {\displaystyle m,n}:

{\displaystyle x=m^{2}-n^{2};\;y=2mn;\;z=m^{2}+n^{2}.}
Для генерацыі піфагоравых троек можна скарыстаць такі прыём. Няхай {\displaystyle a+bi} — адвольны гаусаў лік, у якога абедзве кампаненты {\displaystyle a,b} ненулявыя. Узводзячы гэты лік у квадрат, атрымаем некаторы гаусаў лік {\displaystyle ~c+di.} Тады тройка {\displaystyle ~\{|c|;|d|;N(c+di)\}} будзе піфагоравай.

Прыклад: для зыходнага ліку {\displaystyle ~17+12i} атрымліваем піфагораву тройку: {\displaystyle ~(145;408;433).}

### Рашэнне дыяфантавых ураўненняў

Рашэнне многіх дыяфантавых ураўненняў удаецца знайсці, калі скарыстаць апарат гаусавых лікаў. Напрыклад, для ўраўнення {\displaystyle ~x^{2}+y^{2}=2z^{2}} нескладаныя пераўтварэнні даюць два тыпы цэлых узаемна простых рашэнняў, залежных ад цэлых параметраў {\displaystyle a,b}:

1. {\displaystyle x=a^{2}-2ab-b^{2},\;y=a^{2}+2ab-b^{2};}
2. {\displaystyle x=-a^{2}-2ab+b^{2},\;y=a^{2}-2ab-b^{2}.}

У 1850 годзе Віктор Лебег, выкарыстоўваючы гаусавы лікі, даследаваў ураўненне {\displaystyle ~x^{2}+1=y^{n}} і даказаў яго невырашальнасць у натуральных ліках. Іншымі словамі, сярод натуральных лікаў віду {\displaystyle ~n^{2}+1} няма ні аднаго поўнага куба ці іншае ступені, вышэйшай за другую.

Нярэшаныя праблемы
------------------

* Знайсці колькасць гаусавых лікаў, норма якіх меншая за вызначаную натуральную сталую *R*. У раўназначнай фармулёўцы гэта задача вядома як «Гаусава праблема круга» ў геаметрыі лікаў. Гл. паслядоўнасць A000328 у OEIS.
* Знайсці прамыя на камплекснай плоскасці, на якіх бесканечна многа простых гаусавых лікаў. Дзве такія прамыя відавочныя — гэта каардынатныя восі; невядома, ці існуюць іншыя.
* Задача, вядомая пад назваю «Гаусаў роў»: ці можна дайсці да бесканечнасці, пераходзячы ад аднаго простага гаусавага ліку да другога скачкамі загадзя абмежаванай даўжыні? Задача пастаўлена ў 1962 годзе і дагэтуль не развязана.

Відазмяненні і абагульненні
---------------------------

Трохвугольная рашотка лікаў Эйзенштэйна
Яшчэ адным гістарычна важным еўклідавым колцам, падобным па ўласцівасцях на цэлыя лікі, сталі «цэлыя лікі Эйзенштэйна».

Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца {\displaystyle \mathbb {Q} (i),} — гэта камплексныя лікі віду {\displaystyle a+bi}, дзе {\displaystyle a,b} — рацыянальныя лікі. Гэта мноства замкнута адносна ўсіх 4 арыфметычных аперацый, уключаючы дзяленне, і таму з’яўляецца полем, якое пашырае колца гаусавых лікаў.

Гісторыя
--------

У 1820-х гадах Карл Фрыдрых Гаус даследаваў біквадратычны закон узаемнасці, вынікам стала манаграфія «Тэорыя біквадратычных вылікаў» (1828—1832). Іменна ў гэтай працы праявілася карысць цэлых камплексных лікаў для рашэння задач тэорыі лікаў, хоць фармулёўка гэтых задач ніяк не звязана з камплекснымі лікамі. Гаус пісаў, што «натуральную крыніцу агульнай тэорыі трэба шукаць у пашырэнні вобласці арыфметыкі».

Карл Фрыдрых Гаус у 1828 годзе
У кнізе Гауса было паказана, што новыя лікі па сваіх уласцівасцях шмат у чым напамінаюць звычайныя цэлыя лікі. Аўтар апісаў чатыры дзельнікі адзінкі, вызначыў дачыненне асацыіраванасці, паняцце простага ліку, даў крытэрый прастаты і даказаў аналагі асноўнай тэарэмы арыфметыкі, малой тэарэмы Ферма. Далей Гаус падрабязна разгледзеў рэшты па камплекснаму модулю, індэксы і першаісныя карані. Галоўным дасягненнем пабудаванай тэорыі стаў біквадратычны закон узаемнасці, які Гаус абяцаў даказаць у наступным томе; гэты том так і не быў апублікаваны, але ў Гаусавых рукапісах была знойдзена падрабязная схема строгага доказу.

Гаус выкарыстоўваў уведзеныя ім лікі таксама і ў іншых сваіх працах, напрыклад, па алгебраічных ураўненнях. Ідэі Гауса былі развіты ў працах Карла Густава Якаба Якобі і Фердынанда Готхальда Эйзенштэйна. У сярэдзіне XIX стагоддзя Эйзенштэйн, Дзірыхле і Эрміт увялі і даследавалі абагульненае паняцце цэлага алгебраічнага ліку.

Колца гаусавых цэлых лікаў было адным з першых прыкладаў алгебраічнай структуры з непрывычнымі ўласцівасцямі. З часам была адкрыта вялікая колькасць структур такога тыпу, а ў канцы XIX стагоддзя зарадзілася абстрактная алгебра, якая вывучае алгебраічныя ўласцівасці асобна ад аб’ектаў-носьбітаў гэтых уласцівасцей.

Гл. таксама
-----------

* Еўклідава колца
* Квадратычнае поле
* Кватэрніён Гурвіца
* Гаусава праблема круга
* Простыя лікі Эйзенштэйна
* Цэлыя лікі Эйзенштэйна
* Цэлы элемент
* Фактарыяльнае колца

Зноскі
------

1. 1 2  Математическая энциклопедия 1977.
2. ↑  Гаусс К. Ф. 1959, с. 655—754..
3. 1 2 3  Математика XIX века. Том I: Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей 1978, с. 88—92..
4. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 146..
5. ↑  Айерлэнд К. Роузен М. 1987, с. 23.. Памылка шаблона sfn: няма якара: CITEREFАйерлэнд\_К.\_Роузен\_М.1987 (даведка)
6. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 27—28..
7. 1 2 3 4  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 147—149..
8. 1 2 3  Окунев Л. Я. 1941, с. 29..
9. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 32..
10. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 150..
11. 1 2  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 155..
12. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 156..
13. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 41, 44..
14. ↑  A classification of gaussian primes, с. 10..
15. ↑  Гаусс К. Ф. 1959, с. 698..
16. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 158..
17. 1 2 3  Conrad, Keith, Глава 9..
18. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 33—34..
19. ↑  Conrad, Keith, Глава 6..
20. 1 2 3 4 5 6 7 8 9  Conrad, Keith, Глава 7..
21. ↑  Conrad, Keith, Глава 3..
22. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 30—31..
23. ↑  Окунев Л. Я. 1941, с. 35—36..
24. ↑  Conrad, Keith, Глава 4..
25. 1 2  Conrad, Keith, Глава 5..
26. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 153—155..
27. 1 2 3 4  Conrad, Keith, Глава 8..
28. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 164—166..
29. ↑  Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К. 1939, с. 162—163..
30. ↑  *Conway J. H. Sloane N. J. A.* Sphere Packings, Lattices and Groups. — Springer-Verlag. — P. 106.
31. ↑  *Ribenboim, Paulo.* The New Book of Prime Number Records, Ch.III.4.D Ch. 6.II, Ch. 6.IV. — 3rd ed.. — New York: Springer, 1996. — ISBN 0-387-94457-5..
32. ↑  *Guy Richard K.* Unsolved problems in number theory. — 3rd ed.. — New York: Springer, 2004. — P. 55—57.. — ISBN 978-0-387-20860-2.
33. ↑  Hardy G. H. Wright E. M. 1968, с. 189..

Літаратура
----------

* *Айерлэнд К. Роузен М.* Классическое введение в современную теорию чисел. — М.: Мир, 1987. — 416 с.
* *Гаусс К. Ф.* Труды по теории чисел. — М.: Изд-во АН СССР, 1959. — С. 695—754.
* Гауссово число // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1977. — Т. 1.
* *Калужнин Л. А.* Основная теорема арифметики. — М.: Наука, 1969. — 32 с. — (Популярные лекции по математике).
* *Колмогоров А. Н. Юшкевич А. П. (ред.).* Математика XIX века. Математическая логика, алгебра, теория чисел, теория вероятностей. — М.: Наука, 1978. — Т. I.
* *Кузьмин Р. О. Фаддеев Д. К.* Алгебра и арифметика комплексных чисел. Пособие для учителей. — М.: Учпедгиз, 1939. — 187 с.(недаступная спасылка)
* *Окунев Л. Я.* Целые комплексные числа. — М.: Гос. уч.-пед. изд-во Наркомпроса РСФСР, 1941. — 56 с.
* *Сендеров В. Спивак А.* Суммы квадратов и целые гауссовы числа // *Квант*. — 1999. — № 3. — С. 14-22.
* *Hardy G. H. Wright E. M.* An introduction to the theory of numbers. — 4th edition. — Oxford.: Oxford University Press, 1968. — 421 с.

Спасылкі
--------

* Complex Gaussian Integers for 'Gaussian Graphics' (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 14 чэрвеня 2006. Праверана 11 верасня 2013.
* *Butler, Lee A.*. A classification of gaussian primes (англ.)(недаступная спасылка). Архівавана з першакрыніцы 16 верасня 2012. Праверана 11 верасня 2013.
* *Conrad, Keith.*. The gaussian integers (англ.). Праверана 11 верасня 2013.