**Няроўнасць Кашы́ — Буняко́ўскага** звязвае норму і скалярны здабытак вектараў у еўклідавай прасторы.
Гэта няроўнасць раўназначная няроўнасці трохвугольніка для нормы.

Няроўнасць Кашы — Бунякоўскага часам, асабліва ў замежнай літаратуры, называюць *няроўнасцю Шварца* і *няроўнасцю Кашы — Бунякоўскага — Шварца* («няроўнасць КБШ»), хаця працы Шварца на гэту тэму паявіліся толькі праз 25 гадоў пасля прац Бунякоўскага.
Канечнамерны выпадак гэтай няроўнасці называецца **няроўнасцю Кашы** і быў даказан Агюстэнам Кашы ў 1821 годзе.

Фармулёўка
----------

Няхай {\displaystyle L} - лінейная прастора са скалярным здабыткам {\displaystyle \langle x,\;y\rangle }. Няхай {\displaystyle \|x\|} — норма, спароджаная скалярным здабыткам, г.зн. {\displaystyle \|x\|\equiv {\sqrt {\langle x,\;x\rangle }},\;\forall x\in L}. Тады для любых {\displaystyle x,\;y\in L} маем:

{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|,}
прычым роўнасць дасягаецца тады і толькі тады, калі вектары {\displaystyle x} і {\displaystyle y} прапарцыянальныя (калінеарныя).

### Каментарыі

У канечнамерным выпадку можна заўважыць, што {\displaystyle \|x\|^{2}\|y\|^{2}-\langle x,\;y\rangle ^{2}=S(x,\;y)^{2}}, дзе {\displaystyle S(x,\;y)} — плошча паралелаграма, нацягнутага на вектары {\displaystyle x} і {\displaystyle y}.

У агульным выпадку:

{\displaystyle \|x\|^{2}-{\frac {\langle x,\;y\rangle ^{2}}{\|y\|^{2}}}=\left\|x-{\frac {\langle x,\;y\rangle }{\|y\|^{2}}}y\right\|^{2}.}

Прыклады
--------

* У прасторы камплексназначных квадратычна складальных паслядоўнасцей {\displaystyle l^{2}} няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

{\displaystyle \left|\sum \limits \_{k=1}^{\infty }x\_{k}{\bar {y}}\_{k}\right|^{2}\leqslant \left(\sum \_{k=1}^{\infty }|x\_{k}|^{2}\right)\cdot \left(\sum \_{k=1}^{\infty }|y\_{k}|^{2}\right),}
дзе {\displaystyle {\bar {y}}\_{k}} абазначае камплекснае спалучэнне {\displaystyle y\_{k}}.

* У прасторы камплексных квадратычна інтэгравальных функцый {\displaystyle L^{2}(X,\;{\mathcal {F}},\;\mu )} няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:

{\displaystyle \left|\int \limits \_{X}f(x){\overline {g(x)}}\,\mu (dx)\right|^{2}\leqslant \left(\int \limits \_{X}\left|f(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right)\cdot \left(\int \limits \_{X}\left|g(x)\right|^{2}\,\mu (dx)\right).}
* У прасторы выпадковых велічынь з канечным другім момантам {\displaystyle L^{2}(\Omega ,\;{\mathcal {F}},\;\mathbb {P} )} няроўнасць Кашы — Бунякоўскага мае від:
{\displaystyle \mathrm {cov} ^{2}(X,\;Y)\leqslant \mathrm {D} [X]\cdot \mathrm {D} [Y],}

дзе {\displaystyle \mathrm {cov} } абазначае каварыяцыю, а {\displaystyle \mathrm {D} } — дысперсію.

Доказ
-----

* Калі {\displaystyle \langle x,y\rangle \in \mathbb {R} ,} то {\displaystyle \forall \lambda \in \mathbb {R} } справядліва наступнае

{\displaystyle 0\leqslant \langle \lambda x+y,\;\lambda x+y\rangle =\lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle .}
Значыць дыскрымінант мнагачлена {\displaystyle \lambda ^{2}\langle x,\;x\rangle +2\lambda \langle x,\;y\rangle +\langle y,\;y\rangle } недадатны, г.зн.

{\displaystyle D=(2\langle x,\;y\rangle )^{2}-4\langle x,\;x\rangle \langle y,\;y\rangle \leqslant 0.}
Такім чынам,

{\displaystyle |\langle x,\;y\rangle |\leqslant \|x\|\cdot \|y\|.}
* Калі {\displaystyle Im\langle x,y\rangle \neq 0,} то прадставім скалярны здабытак у трыганаметрычным выглядзе {\displaystyle \langle x,y\rangle =re^{i\phi }.}

Вызначым вектар {\displaystyle z=e^{-i\phi }x.}
Тады

{\displaystyle \langle z,y\rangle =e^{-i\phi }\langle x,y\rangle =r=\left|\langle x,y\rangle \right|\in \mathbb {R} } і
{\displaystyle \langle z,z\rangle =e^{-i\phi }\langle x,e^{-i\phi }x\rangle =e^{-i\phi }e^{i\phi }\langle x,x\rangle =\langle x,x\rangle }
Да скалярнага здабытку {\displaystyle \langle z,y\rangle \in \mathbb {R} } прыменім вынік першага пункта доказу.

{\displaystyle \left|\langle x,y\rangle \right|=r=\langle z,y\rangle \leqslant \|z\|\cdot \|y\|=\|x\|\cdot \|y\|}

Зноскі
------

1. ↑  *Bounjakowsky W.* «Mémoires de l’Académie des sciences de St-Pétersbourg. 7 série», 1859, t. 1, № 9.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 184701930 |