У класічнай механіцы, **задача двух цел** заключаецца ў тым, каб вызначыць рух двух кропкавых часціц, якія ўзаемадзейнічаюць толькі адна з адною. Распаўсюджанымі прыкладамі задачы з'яўляюцца спадарожнік, які рухаецца вакол планеты, а таксама планета, якая рухаецца вакол зоркі, дзве зоркі, якія абарачаюцца вакол агульнага цэнтра мас (падвойная зорка), і класічная мадэль электрона, які рухаецца вакол атамнага ядра.

Задачу двух цел можна прадставіць як дзве незалежныя задачы аднаго цела, дзе разглядаецца рух адной часціцы ў вонкавым патэнцыяльным полі. Многія задачы з адным целам можна развязаць дакладна, таму адпаведную задачу з двума целамі таксама можна развязаць. Але задачу з трыма целамі (а тым больш задачу N цел пры N > 3) за выключэннем асобных выпадкаў дакладна развязаць немагчыма.

Два цела з аднолькавай масай, якія рухаюцца вакол агульнага цэнтра мас па эліптычных арбітах.
Два цела з невялікай розніцай у масах рухаюцца па кругавых арбітах вакол агульнага цэнтра мас. Гэты асобы тып арбіты падобны да сістэмы Плутон - Харон.

Пастаноўка задачы
-----------------

Няхай {\displaystyle \mathbf {x} \_{1}} і {\displaystyle \mathbf {x} \_{2}} радыус-вектары двух цел, а {\displaystyle m\_{1}} і {\displaystyle m\_{2}} іх масы. Наша мэта: вызначыць траекторыю {\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)} і {\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)} для любога часу {\displaystyle t}, пры зададзеных пачатковых каардынатах

{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t=0),} {\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t=0)}
і хуткасцях

{\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\_{1}(t=0),} {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\_{2}(t=0)}.
Другі закон Ньютана ў дачыненні да дадзенай сістэмы сцвярджае, што

{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=m\_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}\quad \quad \quad (1)}
{\displaystyle \mathbf {F} \_{21}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=m\_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}\quad \quad \quad (2)}
дзе 

{\displaystyle \mathbf {F} \_{12}} — сіла, якая дзейнічае на першае цела з-за ўзаемадзеяннем з другім целам,
{\displaystyle \mathbf {F} \_{21}} — сіла, якая дзейнічае на другое цела з боку першага.
Складаючы і адымаючы гэтыя два ўраўненні, можна раздзяліць адну задачу на дзве задачы з адным целам, якія можна рашыць незалежна. "Складанне" раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да раўнання, якое апісвае рух цэнтра мас. У адрозненне ад гэтага, "адыманне" раўнання (2) ад раўнання (1) прыводзіць да раўнання, якое апісвае, як вектар {\displaystyle \mathbf {r} \equiv \mathbf {x} \_{1}-\mathbf {x} \_{2}} паміж масамі змяняецца з часам. Рашэнне гэтых незалежных задач можа дапамагчы ў знаходжанні траекторый {\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)} и {\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)}.

### Рух цэнтра мас (першая задача)

Складанне раўнанняў (1) і (2) прыводзіць да роўнасці

{\displaystyle m\_{1}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}+m\_{2}{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}=(m\_{1}+m\_{2}){\ddot {\mathbf {x} }}\_{cm}=\mathbf {F} \_{12}+\mathbf {F} \_{21}=0,}
дзе мы выкарысталі трэці закон Ньютана {\displaystyle \mathbf {F} \_{12}=-\mathbf {F} \_{21}}, і дзе

{\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}\equiv {\frac {m\_{1}\mathbf {x} \_{1}+m\_{2}\mathbf {x} \_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}}
становішча цэнтра мас сістэмы. У выніку раўнанне прыме выгляд

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}\_{cm}=0.}
Яно паказвае, што хуткасць {\displaystyle {\dot {\mathbf {x} }}\_{cm}} цэнтра мас нязменная. Адсюль вынікае, што поўны імпульс {\displaystyle m\_{1}{\dot {\mathbf {x} }}\_{1}+m\_{2}{\dot {\mathbf {x} }}\_{2}} таксама захоўваецца. Становішча і хуткасць цэнтра мас можна атрымаць для любога моманту часу.

### Адносны рух (другая задача)

Адымаючы раўнанне (2) ад раўнання (1) і пераўтвараючы яго, прыходзім да раўнання

{\displaystyle {\ddot {\mathbf {x} }}\_{1}-{\ddot {\mathbf {x} }}\_{2}=\left({\frac {\mathbf {F} \_{12}}{m\_{1}}}-{\frac {\mathbf {F} \_{21}}{m\_{2}}}\right)=\left({\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}\right)\mathbf {F} \_{12},}
дзе мы зноў выкарысталі трэці закон Ньютана {\displaystyle \mathbf {F} \_{12}=-\mathbf {F} \_{21}} і {\displaystyle \mathbf {r} } (азначаны вышэй) - вектар адноснага зрушэння, накіраваны ад другога цела да першага.

Сіла паміж двума целамі павінна быць функцыяй толькі {\displaystyle \mathbf {r} }, а не абсалютных радыус-вектараў {\displaystyle \mathbf {x} \_{1}} і {\displaystyle \mathbf {x} \_{2}}; у адваротным выпадку задача не была б сіметрычнай адносна пераносу ў прасторы і часе, а гэта раўназначна таму, што законы фізікі мяняліся б ад кропкі да кропкі. Такім чынам можна запісаць:

{\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} \_{12}(\mathbf {x} \_{1},\mathbf {x} \_{2})=\mathbf {F} (\mathbf {r} ),}
дзе {\displaystyle \mu } -**прыведзеная маса**

{\displaystyle \mu ={\frac {1}{{\frac {1}{m\_{1}}}+{\frac {1}{m\_{2}}}}}={\frac {m\_{1}m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}.}
Як толькі мы знойдзем рашэнне для {\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}(t)} і {\displaystyle \mathbf {r} (t),} першапачатковыя траекторыі можна запісаць у выглядзе

{\displaystyle \mathbf {x} \_{1}(t)=\mathbf {x} \_{cm}(t)+{\frac {m\_{2}}{m\_{1}+m\_{2}}}\mathbf {r} (t);}
{\displaystyle \mathbf {x} \_{2}(t)=\mathbf {x} \_{cm}(t)-{\frac {m\_{1}}{m\_{1}+m\_{2}}}\mathbf {r} (t)}
як можа быць паказана падстаноўкай ў ўраўненні для {\displaystyle \mathbf {x} \_{cm}(t)} і {\displaystyle \mathbf {r} (t)}.

Рашэнне задачы двух цел
-----------------------

Згодна з трэцім законам Ньютана сілы, з якімі целы дзейнічаюць адно на адно, роўныя па велічыні і процілеглыя па напрамку. Такім чынам, для задачы двух цел можна запісаць

{\displaystyle m\_{1}{\ddot {\mathbf {r} }}\_{1}+m\_{2}{\ddot {\mathbf {r} }}\_{2}=0.}
Праінтэграваўшы гэта раўнанне два разы, атрымаем

{\displaystyle m\_{1}{\dot {\mathbf {r} }}\_{1}+m\_{2}{\dot {\mathbf {r} }}\_{2}=\mathbf {a} ;}
{\displaystyle m\_{1}\mathbf {r} \_{1}+m\_{2}\mathbf {r} \_{2}=\mathbf {a} t+\mathbf {b} ,}
дзе **a** і **b** – некаторыя вектары.

Абазначыўшы праз **r** становішча (радыус-вектар) цэнтра цяжару двух цел і *M* - іх агульную масу:

{\displaystyle ~M=m\_{1}+m\_{2};}
{\displaystyle ~M\mathbf {r} =m\_{1}\mathbf {r} \_{1}+m\_{2}\mathbf {r} \_{2},}
атрымаем

{\displaystyle ~M{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {a} ,}
гэта значыць наступнае: цэнтр мас сістэмы рухаецца з пастаяннай хуткасцю.

Запішам сілы, якія дзейнічаюць на кожнае з цел, наступным чынам

{\displaystyle ~{\ddot {\mathbf {r} }}\_{1}=Gm\_{2}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}};\;\;\;{\ddot {\mathbf {r} }}\_{2}=-Gm\_{1}{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}},}     где     {\displaystyle ~\mathbf {r} =\mathbf {r} \_{2}-\mathbf {r} \_{1}.}
Адымаючы другое раўнанне ад першага, атрымаем

{\displaystyle ~{\ddot {\mathbf {r} }}=-{\frac {\mu \mathbf {r} }{r^{3}}},}     где     {\displaystyle ~\mu =G(m\_{1}+m\_{2}).\;\;\;(1)}
Вектарна памнажаючы апошняе раўнанне на **r** і інтэгруючы, атрымаем

{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\ddot {\mathbf {r} }}=0;}
{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} .}
Пастаянны вектар **h**, які з'яўляецца пастаяннай інтэгравання, называецца кінэтычным момантам сістэмы. Узаемны рух цел адбываецца ў плоскасці, перпендыкулярнай гэтаму вектару. Увядзём сістэму цыліндрычных каардынат **r**,**?**, **z**. Адзінкавыя вектары ўздоўж радыяльнай, трансверсальнай і вертыкальнай восі абазначым як **i**, **j** і **k**. Праекцыі хуткасці на радыяльную і трансверсальную восі складуць

{\displaystyle ~{\dot {\mathbf {r} }}\_{r}=\mathbf {i} {\dot {r}};~~~{\dot {\mathbf {r} }}\_{\phi }=\mathbf {j} r{\dot {\phi }},~~~{\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }}.}
Тады

{\displaystyle ~\mathbf {r} \times {\dot {\mathbf {r} }}=\mathbf {h} ;}
{\displaystyle ~\mathbf {i} r\times (\mathbf {i} {\dot {r}}+\mathbf {j} r{\dot {\phi }})=\mathbf {k} h;}
{\displaystyle ~\mathbf {i} r\times \mathbf {j} r{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;}
{\displaystyle ~\mathbf {k} r^{2}{\dot {\phi }}=\mathbf {k} h;}
{\displaystyle ~r^{2}{\dot {\phi }}=h.}
У левай частцы апошняга выразу стаіць падвоеная плошча трохвугольніка, які апісваецца радыус-вектарам **r** за адзінку часу. Такім чынам, гэтыя суадносіны з'яўляюцца матэматычным запісам другога закона Кеплера.

Раўнанне (1) памнажаем скалярна на хуткасць і інтэгруем. Атрымаем

Падрабязны вывад  

{\displaystyle ~{\dot {\mathbf {r} }}\cdot {\ddot {\mathbf {r} }}=-\mu {\frac {{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {r} }{r^{3}}};}
Распішам апошні выраз у каардынатах:

{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}{\frac {d^{2}x}{dt^{2}}}+{\frac {dy}{dt}}{\frac {d^{2}y}{dt^{2}}}=-{\frac {\mu }{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}\left(x{\frac {dx}{dt}}+y{\frac {dy}{dt}}\right);}
{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu \left(xdx+ydy\right)}{\sqrt {\left(x^{2}+y^{2}\right)^{3}}}}.}
Памецім, што

{\displaystyle ~d\left(r^{2}\right)=d\left(x^{2}+y^{2}\right)=2xdx+2ydy.}
Тады

{\displaystyle ~{\frac {dx}{dt}}d\left({\frac {dx}{dt}}\right)+{\frac {dy}{dt}}d\left({\frac {dy}{dt}}\right)=-{\frac {\mu }{2}}\left(r^{2}\right)^{-3/2}d\left(r^{2}\right).}
Інтэгруючы абедзве часткі, атрымаем

{\displaystyle ~{\frac {1}{2}}\left({\frac {dx}{dt}}\right)^{2}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {dy}{dt}}\right)^{2}=-{\frac {\mu }{2}}{\frac {\left(r^{2}\right)^{-1/2}}{-1/2}}+C;}
{\displaystyle ~{\frac {v^{2}}{2}}={\frac {\mu }{r}}+C;}

{\displaystyle ~{\frac {v^{2}}{2}}-{\frac {\mu }{r}}=C.}
Апошні стасунак з'яўляецца выражэннем закону захавання механічнай энергіі ў сістэме.

Рух двух цел у плоскасці
------------------------

Цікава, што рух двух цел заўсёды адбываецца ў плоскасці. Вызначым імпульс {\displaystyle \mathbf {p} =\mu {\dot {\mathbf {r} }}} і момант імпульсу

{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {r} \times \mathbf {p} }
Хуткасць змянення моманту імпульсу роўная моманту сілы {\displaystyle \mathbf {N} }

{\displaystyle {\frac {d\mathbf {L} }{dt}}={\dot {\mathbf {r} }}\times \mu {\dot {\mathbf {r} }}+\mathbf {r} \times \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} =\mathbf {N} ,}
але законы руху Ньютана выконваюцца для ўсіх фізічных сіл, і кажуць, што сіла, якая дзейнічае паміж двума часціцамі (матэрыяльнымі кропкамі), накіравана па лініі, якая злучае іх, гэта значыць {\displaystyle \mathbf {F} ||\mathbf {r} .} Адсюль {\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} =0} і момант імпульсу захоўваецца. Тады вектар зрушэння {\displaystyle \mathbf {r} } і хуткасць яго змянення {\displaystyle {\dot {\mathbf {r} }}} ляжаць у плоскасці, перпендыкулярнай да пастаяннага вектара {\displaystyle \mathbf {L} }.

Агульнае рашэнне для сілы, якая залежыць ад адлегласці
------------------------------------------------------

Часта бывае зручна перайсці ў палярныя каардынаты, бо рух адбываецца ў плоскасці і для многіх фізічных задач сіла {\displaystyle \mathbf {F} (\mathbf {r} )} ёсць функцыяй радыуса {\displaystyle r.} А раз r-кампанента паскарэння раўняецца {\displaystyle {\ddot {r}}-r{\dot {\theta }}^{2},} ураўненне для r-кампаненты вектара зрушэння {\displaystyle \mu {\ddot {\mathbf {r} }}=\mathbf {F} (r)\equiv F(r)} можна перапісаць у выглядзе

{\displaystyle \mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-\mu r\omega ^{2}=\mu {\frac {d^{2}r}{dt^{2}}}-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r),}
дзе {\displaystyle \omega \equiv {\dot {\theta }}} і момант імпульсу {\displaystyle L=\mu r^{2}\omega } захоўваецца. Захаванне вуглавога моманту дазваляе знайсці рашэнне для траекторыі {\displaystyle r(\theta )}, выкарыстоўваючы замену зменных. Пераходзячы ад {\displaystyle t} да {\displaystyle \theta }

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}={\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}}
атрымаем ўраўненне руху

{\displaystyle {\frac {L}{r^{2}}}{\frac {d}{d\theta }}\left({\frac {L}{\mu r^{2}}}{\frac {dr}{d\theta }}\right)-{\frac {L^{2}}{\mu r^{3}}}=F(r)}
Гэтае ураўненне становіцца квазілінейным пры замене зменных {\displaystyle u\equiv {\frac {1}{r}}} і дамнажэнне абедзвюх частак ўраўнення на {\displaystyle {\frac {\mu r^{2}}{L^{2}}}={\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}}

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u=-{\frac {\mu }{L^{2}u^{2}}}F(1/u)}
### Прымяненне

Для сіл {\displaystyle F}, адваротна прапарцыйных квадрату адлегласці, такіх як гравітацыя або электрастатыка ў класічнай фізіцы, атрымаем

{\displaystyle F={\frac {\alpha }{r^{2}}}=\alpha u^{2}}
для некаторых канстант {\displaystyle \alpha }, ўраўненне для траекторый становіцца лінейным

{\displaystyle {\frac {d^{2}u}{d\theta ^{2}}}+u={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}}
Рашэнне гэтага ўраўнення

{\displaystyle u(\theta )\equiv {\frac {1}{r(\theta )}}={\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}+A\cos(\theta -\theta \_{0}),}
дзе {\displaystyle A>0} і {\displaystyle \theta \_{0}} - пастаянныя. Гэтае рашэнне паказвае, што арбіта ўяўляе сабой канічнае сячэнне, г.зн. эліпс, гіпербалу або парабалу, у залежнасці ад таго {\displaystyle A} меншая за выраз {\displaystyle {\frac {\alpha \mu }{L^{2}}}}, большая ці роўная яму.

Задача двух цел у АТА
---------------------

Нармальная арбіта любога цела, захопленага прыцягненнем іншага цела, уяўляе сабой эліпс або акружнасць - іменна такія арбіты мы назіраем у Сонечнай сістэме. Аднак агульная тэорыя адноснасці сцвярджае, што ў наваколлі вельмі масіўных цел - там, дзе прастора аказваецца моцна скрыўленая дзякуючы наяўнасці каласальнага гравітацыйнага поля спектр магчымых стабільных арбіт значна пашыраецца. У падобных умовах фізічныя аб'екты пачынаюць паводзіць сябе вельмі дзіўна. Напрыклад, цела можа падляцець да чорнай дзіркі па крутой парабале, зрабіць вакол яе некалькі імклівых кароткіх віткоў, а затым зноў закласці выцягнутую пятлю - і гэтак далей.

Прыклад
-------

Любая класічная сістэма, якая складаецца з двух часціц, па азначэнню задача двух цел. У многіх выпадках, аднак, адно цела шмат цяжэйшае за другое, як напрыклад у сістэме Зямлі і Сонца. У такіх выпадках больш цяжкая часціца выконвае ролю цэнтра мас і задача зводзіцца да задачы аб руху аднаго цела ў патэнцыяле другога.. Пры гэтым варта не губляць з ўвазе, што з'яўляецца рызыка страты патрэбнай дакладнасці разлікаў пры злоўжыванні гэтым спрашчэннем. У прыватнасці, знаходжанне месца цэнтра кручэння ў больш масіўным целе расплывісте, у рэаліях яшчэ патрэбен ўлік іншых целаў і палёў. Патрэбен папярэдні аналіз, асабліва пры разліку устояных і стацыянарных арбіт: шматразовае кручэнне непазбежна назапасіць недакладнасці да непрымальнай велічыні памылкі.

Гл. таксама
-----------

* Законы Кеплера
* Задача Бертрана
* Задача трох цел
* Гравітацыйная задача N цел

Зноскі
------

1. ↑  *David Shiga*. 'Periodic table' organises zoo of black hole orbits **(нявызн.)**(недаступная спасылка).  NewScientist.com (13 лютага 2008). Архівавана з першакрыніцы 3 чэрвеня 2012. Праверана 6 ліпеня 2013.

Літаратура
----------

* Курс тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца
* H. Goldstein, (1980) *Classical Mechanics*, 2nd. ed. Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9

| ⛭Нябесная механіка |
| --- |
| Законы і задачы | 
* Законы Ньютана
* Закон сусветнага прыцягнення
* Законы Кеплера
* Задача двух цел
* Задача трох цел
* Гравітацыйная задача N цел
* Задача Бертрана
* Ураўненне Кеплера

 |
| Нябесная сфера | 
Сістэма нябесных каардынат
галактычная
гарызантальная
экватарыяльная
экліптычая
* Міжнародная нябесная сістэма каардынат
* Сферычная сістэма каардынат
* Вось свету
* Нябесны экватар
* Прамое ўзыходжанне
* Схіленне
* Экліптыка
* Раўнадзенства
* Сонцастаянне
* Фундаментальная плоскасць

 |
| Параметры арбіт | 
Кеплеравы элементы арбіты
эксцэнтрысітэт
вялікая паўвось
сярэдняя анамалія
даўгата ўзыходнага вузла
аргумент перыцэнтра
* Апацэнтр і перыцэнтр
* Арбітальная скорасць
* Вузел арбіты
* Эпоха

 |
| Рух нябесных цел | 
* Рух Сонца і планет па нябеснай сферы
* Эфемерыды

Канфігурацыі планет
процістаянне
квадратура
парад планет
* Кульмінацыя
* Сідэрычны перыяд
* Арбітальны рэзананс
* Перыяд вярчэння
* Апярэджванне раўнадзенстваў
* Сінадычны перыяд
* Збліжэнне

Зацьменне
сонечнае зацьменне
месячнае зацьменне
сарас
* Метонаў цыкл
* Пакрыццё
* Праходжанне
* Лібрацыя
* Элангацыя
* Эфект Кодзаі
* Эфект Яркоўскага
* Эфект Джанібекава

 |
| 

| Астрадынаміка |
| --- |
| Касмічны палёт | 
Касмічная скорасць
першая (кругавая)
другая (парабалічная)
трэцяя
чацвёртая
* Формула Цыялкоўскага
* Гравітацыйны манеўр
* Гоманаўская траекторыя
* Метад аскулюючых элементаў
* Прыліўное паскарэнне
* Змена нахілу арбіты
* Стыкоўка
* Пункты Лагранжа
* Эфект «Піянера»

 |
| Арбіты КА | 
* Геастацыянарная арбіта
* Геліяцэнтрычная арбіта
* Геасінхронная арбіта
* Геацэнтрычная арбіта
* Геапераходная арбіта
* Нізкая апорная арбіта
* Палярная арбіта
* Тундра-арбіта
* Сонечна-сінхронная арбіта
* Маланка-арбіта
* Аскулюючая арбіта

 |

 |