| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае[en]
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Незалежнасць** — фундаментальнае паняцце тэорыі імавернасцей і статыстыкі. Дзве падзеі завуцца незалежнымі, калі здзяйсненне адной падзеі ніяк не ўплывае на імавернасць здзяйснення іншай.

Азначэнне
---------

### Для дзвюх падзей

Дзве падзеі {\displaystyle A} і {\displaystyle B} завуцца незалежнымі, калі справядліва роўнасць:41



P
(
A
B
)
=
P
(
A
)
P
(
B
)
.

{\displaystyle P(AB)=P(A)P(B).}

{\displaystyle P(AB)=P(A)P(B).}
Калі гэтая роўнасць не выконваецца, то адпаведныя падзеі будзем называць залежнымі.

З такога азначэння вынікае роўнасць умоўнай імавернасці {\displaystyle P(A|B)} і імавернасці {\displaystyle P(A)}, калі ўмоўная імавернасць існуе ({\displaystyle P(B)>0}):42. Інтуітыўна гэта тлумачыць, чаму выкананне вышэйпрыведзенай роўнасці азначае незалежнасць:



P
(
A

|

B
)
=

P
(
A
B
)

P
(
B
)

=

P
(
A
)
P
(
B
)

P
(
B
)

=
P
(
A
)
.

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).}

{\displaystyle P(A|B)={\frac {P(AB)}{P(B)}}={\frac {P(A)P(B)}{P(B)}}=P(A).}
### Для канечнай колькасці падзей

Падзеі {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}} называюцца незалежнымі, калі для любога падмноства падзей {\displaystyle \{A\_{i\_{1}},A\_{i\_{2}},\dots ,A\_{i\_{k}}\}}, дзе {\displaystyle 1\leq i\_{1}<i\_{2}<\dots <i\_{k}\leq n}, {\displaystyle 2\leq k\leq n}, праўдзіцца роўнасць



P
(

A

i

1


A

i

2

…

A

i

k

)
=
P
(

A

i

1

)
P
(

A

i

2

)
…
P
(

A

i

k

)
.

{\displaystyle P(A\_{i\_{1}}A\_{i\_{2}}\dots A\_{i\_{k}})=P(A\_{i\_{1}})P(A\_{i\_{2}})\dots P(A\_{i\_{k}}).}

{\displaystyle P(A_{i_{1}}A_{i_{2}}\dots A_{i_{k}})=P(A_{i_{1}})P(A_{i_{2}})\dots P(A_{i_{k}}).}
У процілеглым выпадку падзеі {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}} называюцца залежнымі:43-44.

У выпадку незалежнасці падзей {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}}, для кожных двух дыз’юнктных падмностваў[en] {\displaystyle \{A\_{i\_{1}},A\_{i\_{2}},\dots ,A\_{i\_{k}}\}} і {\displaystyle \{A\_{j\_{1}},A\_{i\_{2}},\dots ,A\_{i\_{s}}\}} выконваецца роўнасць умоўнай імавернасці і звычайнай, як і ў выпадку дзвюх падзей:



P
(

A

i

1

,

A

i

2

,
…
,

A

i

k


|

A

j

1

,

A

j

2

,
…
,

A

j

s

)
=
P
(

A

i

1

,

A

i

2

,
…
,

A

i

k

)
.

{\displaystyle P(A\_{i\_{1}},A\_{i\_{2}},\dots ,A\_{i\_{k}}|A\_{j\_{1}},A\_{j\_{2}},\dots ,A\_{j\_{s}})=P(A\_{i\_{1}},A\_{i\_{2}},\dots ,A\_{i\_{k}}).}

{\displaystyle P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}|A_{j_{1}},A_{j_{2}},\dots ,A_{j_{s}})=P(A_{i_{1}},A_{i_{2}},\dots ,A_{i_{k}}).}

Незалежнасць у сукупнасці і парамі
----------------------------------

Незалежнасць канечнай колькасці падзей завецца яшчэ незалежнасцю ў сукупнасці. Як вынікае з азначэння, кожнае падмноства мноства незалежных падзей — у сваю чаргу мноства незалежных падзей. У прыватнасці ўсе пары такіх падзей незалежныя. Такім чынам, з незалежнасці ў сукупнасці вынікае незалежнасць парамі. Аднак адваротнае сцверджанне не мае месца, бо існуюць выпадкі, калі незалежныя парамі падзеі залежныя ў сукупнасці:44.

### Прыклад

Падзеі незалежныя парамі, але залежныя ў сукупнасці
Падзеі незалежныя ў сукупнасці
Разгледзім дзве імавернасныя прасторы. У абодвух выпадках, {\displaystyle \mathrm {P} (A)=\mathrm {P} (B)=1/2} and {\displaystyle \mathrm {P} (C)=1/4}. Падзеі з першай прасторы незалежныя парамі, бо {\displaystyle \mathrm {P} (A|B)=\mathrm {P} (A|C)=1/2=\mathrm {P} (A)}, {\displaystyle \mathrm {P} (B|A)=\mathrm {P} (B|C)=1/2=\mathrm {P} (B)} і {\displaystyle \mathrm {P} (C|A)=\mathrm {P} (C|B)=1/4=\mathrm {P} (C)}; але гэтыя ж тры падзеі залежныя ў сукупнасці. Падзеі ў другой прасторы незалежныя як парамі, так і ў сукупнасці. Каб праілюстраваць розніцу, знойдзем умоўныя імавернасці калі выконваюцца дзве падзеі. У першым выпадку, хоць кожная падзея і незалежная ад кожнай іншай асобна, яна не незалежная ад іх здабытку:

{\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (A)}
{\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {1}{40}}}}={\tfrac {4}{5}}\neq \mathrm {P} (B)}
{\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {4}{40}}{{\frac {4}{40}}+{\frac {6}{40}}}}={\tfrac {2}{5}}\neq \mathrm {P} (C)}
У другім выпадку захоўваецца незалежнасць у сукупнасці:

{\displaystyle \mathrm {P} (A|BC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (A)}
{\displaystyle \mathrm {P} (B|AC)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{16}}}}={\tfrac {1}{2}}=\mathrm {P} (B)}
{\displaystyle \mathrm {P} (C|AB)={\frac {\frac {1}{16}}{{\frac {1}{16}}+{\frac {3}{16}}}}={\tfrac {1}{4}}=\mathrm {P} (C)}

Зноскі
------

1. 1 2 3 4  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 35651441 |