| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
* Цэнтральная лімітавая тэарэма
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Умоўная імавернасць** — імавернасць здзяйснення пэўнай выпадковай падзеі пры ўмове таго, што некаторая іншая падзея здзейснілася.

Азначэнне
---------

Ілюстрацыя ўмоўнай імавернасці праз дыяграму Эйлера[en]. Імавернасць P(*A*) = 0.30 + 0.10 + 0.12 = 0.52. Пры гэтым умоўная імавернасць *P*(*A*|*B*1) = 1, *P*(*A*|*B*2) = 0.12 ÷ (0.12 + 0.04) = 0.75 і P(*A*|*B*3) = 0.
Няхай для некаторай падзеі {\displaystyle B} выконваецца {\displaystyle P(B)>0}. Умоўнай імавернасцю {\displaystyle P(A|B)} падзеі {\displaystyle B} пры ўмове, што адбылася падзея {\displaystyle B} (карацей «пры ўмове {\displaystyle B}»), называецца дзель:33



P
(
A

|

B
)
:=

P
(
A
B
)

P
(
B
)

.

{\displaystyle P(A|B):={\frac {P(AB)}{P(B)}}.}

{\displaystyle P(A|B):={\frac {P(AB)}{P(B)}}.}
Часам умоўную імавернасць {\displaystyle P(A|B)} пазначаюць як {\displaystyle P\_{B}(A)}.

Адпаведнасць аксіёмам Калмагорава
---------------------------------

Няхай {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} — імавернасная прастора, а {\displaystyle B\in {\mathcal {A}}} — падзея з дадатнай імавернасцю. Умоўная імавернасць {\displaystyle P(A|B)} вызначае новую імавернасную прастору {\displaystyle (B,{\mathcal {A}}\_{B},P\_{B})}, дзе σ-алгебра {\displaystyle {\mathcal {A}}\_{B}:=\{C|\exists A\in {\mathcal {A}}:C=AB\}.} Такая імавернасная прастора адпавядае аксіёмам тэорыі імавернасцей:33-34.

### Доказ адпаведнасці

Пакажам што выконваюцца аксіёмы неадмоўнасці і нармаванасці:



P
(
C

|

B
)
=
P
(
A
B

|

B
)
=

P
(
A
B
B
)

P
(
B
)

=

P
(
A
B
)

P
(
B
)

≥
0
;

{\displaystyle P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}}={\frac {P(AB)}{P(B)}}\geq 0;}

{\displaystyle P(C|B)=P(AB|B)={\frac {P(ABB)}{P(B)}}={\frac {P(AB)}{P(B)}}\geq 0;}


P

B

(
B
)
=

P
(
B
B
)

P
(
B
)

=
1.

{\displaystyle P\_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}}=1.}

{\displaystyle P_{B}(B)={\frac {P(BB)}{P(B)}}=1.}
Дакажам выкананне аксіёмы адытыўнасці. Няхай {\displaystyle C\_{1},C\_{2}\in {\mathcal {A}}\_{B}} і {\displaystyle C\_{1}C\_{2}=\varnothing }. Існуюць {\displaystyle A\_{1},A\_{2}} такія, што {\displaystyle C\_{1}=A\_{1}B,C\_{2}=A\_{2}B}. Маем



P
(

C

1

+

C

2

|

B
)
=

P
(
(

C

1

+

C

2

)
B
)

P
(
B
)

=

P
(

A

1

B
B
+

A

2

B
B
)

P
(
B
)

=

{\displaystyle P(C\_{1}+C\_{2}|B)={\frac {P((C\_{1}+C\_{2})B)}{P(B)}}={\frac {P(A\_{1}BB+A\_{2}BB)}{P(B)}}=}

{\displaystyle P(C_{1}+C_{2}|B)={\frac {P((C_{1}+C_{2})B)}{P(B)}}={\frac {P(A_{1}BB+A_{2}BB)}{P(B)}}=}

=

P
(

A

1

B
+

A

2

B
)

P
(
B
)

=
P
(

C

1

|

B
)
+
P
(

C

2

|

B
)
.

{\displaystyle ={\frac {P(A\_{1}B+A\_{2}B)}{P(B)}}=P(C\_{1}|B)+P(C\_{2}|B).}

{\displaystyle ={\frac {P(A_{1}B+A_{2}B)}{P(B)}}=P(C_{1}|B)+P(C_{2}|B).}
Возьмем паслядоўнасць {\displaystyle C\_{1}\supset C\_{2}\supset \dots }, для якой {\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }C\_{n}=\varnothing }, дзе ўсе {\displaystyle C\_{n}\in {\mathcal {A}}\_{B}}, г.зн. існуюць {\displaystyle A\_{n}\in {\mathcal {A}}}, такія, што {\displaystyle C\_{n}=A\_{n}B}. Адсюль маем


lim

n
→
∞

P
(

C

n

|

B
)
=

lim

n
→
∞


P
(

A

n

B
)

P
(
B
)

=

1

P
(
B
)

lim

n
→
∞

P
(

A

n

B
)
=
0.

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }P(C\_{n}|B)=\lim \_{n\to \infty }{\frac {P(A\_{n}B)}{P(B)}}={\frac {1}{P(B)}}\lim \_{n\to \infty }P(A\_{n}B)=0.}

{\displaystyle \lim _{n\to \infty }P(C_{n}|B)=\lim _{n\to \infty }{\frac {P(A_{n}B)}{P(B)}}={\frac {1}{P(B)}}\lim _{n\to \infty }P(A_{n}B)=0.}

Асноўныя палажэнні з умоўнай імавернасцю
----------------------------------------

Умоўная імавернасць выкарыстоўваецца ў шэрагу важных для тэорыі імавернасцей палажэнняў.

### Тэарэма множання імавернасцей

Асноўны артыкул: **Тэарэма множання імавернасцей**
Дамнажаючы абодва бакі ў азначэнні ўмоўнай імавернасці атрымліваем формулу для здабытку падзей



P
(
A
B
)
=
P
(
A

|

B
)
P
(
B
)
.

{\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B).}

{\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B).}
Гэтую роўнасць называюць тэарэмай множання імавернасцей:34-36. Існуе таксама яе версія для канечнага мноства падзей {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}}, для якіх выконваецца няроўнасць {\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1})>0}:



P
(

A

1

A

2

…

A

n

)
=
P
(

A

1

)
P
(

A

2

|

A

1

)
P
(

A

3

|

A

1

A

2

)
P
(

A

n

|

A

1

A

2

…

A

n
−
1

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n})=P(A\_{1})P(A\_{2}|A\_{1})P(A\_{3}|A\_{1}A\_{2})P(A\_{n}|A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1}).}

{\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}
### Формула поўнай імавернасці

Асноўны артыкул: **Формула поўнай імавернасці**
Калі {\displaystyle \{A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}\}} — поўная група падзей і {\displaystyle P(A\_{j})>0} для ўсіх {\displaystyle j=1,2,\dots ,n}, то для кожнай падзеі {\displaystyle B} справядліва роўнасць



P
(
B
)
=

∑

k
=
1

n

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)
.

{\displaystyle P(B)=\sum \_{k=1}^{n}P(A\_{k})P(B|A\_{k}).}

{\displaystyle P(B)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k})P(B|A_{k}).}
У формуле поўнай імавернасці падзеі {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}} завуцца гіпотэзамі. Імавернасць {\displaystyle P(B|A\_{k})} завецца ўмоўнай імавернасцю і чытаецца: «імавернасць {\displaystyle B} пры выкананні гіпотэзы {\displaystyle A\_{k}}»:37.

### Тэарэма Баеса

Асноўны артыкул: **Тэарэма Баеса**
Калі {\displaystyle \{A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}\}} — поўная група падзей і ўсе {\displaystyle P(A\_{k})>0}, а {\displaystyle B} — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то:39



P
(

A

k

|

B
)
=

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)

∑

i
=
1

n

P
(

A

i

)
P
(
B

|

A

i

)

.

{\displaystyle P(A\_{k}|B)={\frac {P(A\_{k})P(B|A\_{k})}{\sum \_{i=1}^{n}P(A\_{i})P(B|A\_{i})}}.}

{\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}

Зноскі
------

1. 1 2 3 4 5  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 44492722 |