**Закон Кюры** — фізічны закон, які апісвае магнітную ўспрымальнасць парамагнетыкаў, якая пры пастаяннай тэмпературы для гэтага віду матэрыялаў прыблізна прама прапарцыянальная прыкладзенаму магнітнаму полю. Закон Кюры пастуліруе, што пры змене тэмпературы і пастаянным знешнім поле, ступень намагнічанасці парамагнетыкаў зваротна прапарцыянальная тэмпературы:

{\displaystyle M=C\cdot {\frac {B}{T}},}
дзе ў адзінках Міжнароднай сістэмы адзінак (СІ): {\displaystyle M} — намагнічанасць матэрыялу, якая атрымліваецца; {\displaystyle B} — магнітнае поле, як вымяраецца ў Тэслах; {\displaystyle T} — абсалютная тэмпература ў Кельвінах; {\displaystyle C} — пастаянная Кюры дадзенага матэрыялу. Гэтыя суадносіны, атрыманае эксперыментальна П. Кюры, выконваюцца толькі пры высокіх тэмпературах або слабых магнітных палях. У адваротным выпадку — гэта значыць пры нізкіх тэмпературах або пры моцных палях — намагнічанасць не падпарадкоўваецца гэтаму закону.

Вывад закона з выкарыстаннем квантавай статыстычнай механікі
------------------------------------------------------------

Магнітная ўспрымальнасць парамагнетыка як функцыя тэмпературы.
Простыя мадэлі парамагнетыкаў засноўваюцца на здагадцы, што гэтыя матэрыялы складаюцца з частак або абласцей (парамагнетонаў), якія не ўзаемадзейнічаюць адзін з адным. Кожная вобласць мае ўласны магнітны момант, які можна пазначыць вектарнай велічынёй {\displaystyle {\vec {\mu }}}. Энергія моманту магнітнага поля можа быць запісана наступным чынам:

{\displaystyle E=-{\vec {\mu }}\cdot {\vec {B}}}
### Вобласці з двума станамі (спін-1/2)

Для таго, каб спрасціць вывад, выкажам здагадку, што кожная з абласцей разгляданага парамагнетыка мае два станы моманту, кірунак якога можа супадаць з кірункам магнітнага поля або быць накіраваным ў процілеглы бок. У дадзеным выпадку магчымыя толькі два значэнні магнітнага моманту {\displaystyle \mu }, {\displaystyle -\mu } і два значэння энергіі {\displaystyle E\_{0}=-\mu B} и {\displaystyle E\_{1}=\mu B}. Пры пошуку магнітнай успрымальнасці парамагнетsка вызначаецца імавернасць для кожнай вобласці апынуцца ў стане, сунакіраваным магнітнаму полю. Іншымі словамі, вызначаецца матэматычнае чаканне намагнічанасці матэрыялу {\displaystyle \mu }:

{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu P\left(\mu \right)+(-\mu )P\left(-\mu \right)={1 \over Z}\left(\mu e^{\mu B\beta }-\mu e^{-\mu B\beta }\right)={2\mu \over Z}\sinh(\mu B\beta ),}
дзе імавернасць сістэмы апісваецца размеркаваннем Больцмана, статыстычная сума {\displaystyle Z} забяспечвае нармалізацыю імавернасцей. Функцыя, якая нармуе, для адной вобласці можа быць прадстаўлена наступным чынам:

{\displaystyle Z=\sum \_{n=0,1}e^{-E\_{n}\beta }=e^{\mu B\beta }+e^{-\mu B\beta }=2\cosh \left(\mu B\beta \right)}
Такім чынам, у двухспінавай мадэлі мы маем :

{\displaystyle \left\langle \mu \right\rangle =\mu \tanh \left(\mu B\beta \right)}
Выкарыстоўваючы атрыманы выраз для адной вобласці, атрымліваем магнітную ўспрымальнасць ўсяго матэрыялу:

> 
> {\displaystyle M=N\left\langle \mu \right\rangle =N\mu \tanh \left({\mu B \over kT}\right)}
> 
> 

Выведзеная вышэй формула носіць назву ўраўнення Ланжавэна для парамагнетыкаў. П. Кюры ў ходзе эксперыментаў выявіў набліжэнне да гэтага закона, якое выконвалася пры высокіх тэмпературах і слабых магнітных палях. Выкажам здагадку, што абсалютнае значэнне тэмпературы {\displaystyle T} вялікае, а {\displaystyle B} мала. У дадзеным выпадку, часам званым рэжымам Кюры, велічыня аргументу гіпербалічнага тангенса малая:

{\displaystyle \left({\mu B \over kT}\right)\ll 1}
І так як вядома, што ў выпадку {\displaystyle |x|\ll 1} выконваюцца суадносіны:

{\displaystyle \tanh x\approx x,}
атрымліваем вынік:

> 
> {\displaystyle \mathbf {M} (T\rightarrow \infty )={N\mu ^{2} \over k}{\mathbf {B} \over T},}

дзе канстанта Кюры роўная {\displaystyle C=N\mu ^{2}/k}. Таксама варта адзначыць, што ў процілеглым выпадку нізкіх тэмператур і моцных палёў, {\displaystyle M} і {\displaystyle N\mu } маюць тэндэнцыю прымаць максімальныя значэнні, што адпавядае выпадку, калі ўсе вобласці маюць магнітны момант, які супадае па кірунку з магнітным полем.

### Агульны выпадак

У агульным выпадку адвольнага размеркавання напрамкаў магнітных момантаў формула становіцца некалькі больш складанай (гл.англ.: Brillouin function). Як толькі значэнне спіна набліжаецца да бясконцасці, формула для магнітнай успрымальнасці прымае класічны выгляд.

Атрыманне з дапамогай класічнай статыстычнай механікі
-----------------------------------------------------

Альтэрнатыўны падыход мяркуе, што парамагнетоны прадстаўляюць з сябе вобласці з магнітнымі момантамі, якія свабодна верцяцца. У дадзеным выпадку іх становішча вызначаецца вугламі ў сферычных каардынатах, а энергія адной вобласці прадстаўляецца ў выглядзе:

{\displaystyle E=-\mu B\cos \theta ,}
дзе {\displaystyle \theta } — вугал паміж кірункам магнітнага моманту і кірункам магнітнага поля, які, выкажам здагадку, накіраваны ўздоўж каардынаты {\displaystyle z}. Адпаведная функцыя для адной вобласці будзе мець выгляд:

{\displaystyle Z=\int \_{0}^{2\pi }d\phi \int \_{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta ).}
Як відаць, у дадзеным выпадку няма відавочнай залежнасці ад вугла {\displaystyle \phi }, і мы таксама можам ажыццявіць замену зменнай {\displaystyle y=\cos \theta }{\displaystyle y=\cos \theta }, што дазваляе атрымаць:

{\displaystyle Z=2\pi \int \_{-1}^{1}dy\exp(\mu B\beta y)=2\pi {\exp(\mu B\beta )-\exp(-\mu B\beta ) \over \mu B\beta }={4\pi \sinh(\mu B\beta ) \over \mu B\beta .}}
Матэматычнае чаканне кампаненты {\displaystyle z} будзе адпавядаць ступені намагнічанасці, а астатнія дзве звернуцца ў нуль пасля інтэгравання па {\displaystyle \phi }:

{\displaystyle \left\langle \mu \_{z}\right\rangle ={1 \over Z}\int \_{0}^{2\pi }d\phi \int \_{0}^{\pi }d\theta \sin \theta \exp(\mu B\beta \cos \theta )\left[\mu \cos \theta \right].}
Для спрашчэння вылічэнняў, запішам выраз у дыферэнцыяльнай форме па зменнай {\displaystyle Z}:

{\displaystyle \left\langle \mu \_{z}\right\rangle ={1 \over ZB}\partial \_{\beta }Z,}
што дае:

{\displaystyle \left\langle \mu \_{z}\right\rangle =\mu L(\mu B\beta ),}
дзе {\displaystyle L} носіць назву функцыі Ланжавэна:

{\displaystyle L(x)=\coth x-{1 \over x}.}
Гэтая функцыя мае сінгулярнасць (разрыў) для маленькіх значэнняў {\displaystyle x}, але на самой справе няма, так як дзве сінгулярнасці кампаненты з процілеглым знакам захоўваюць бесперапыннасць функцыі. На самай справе, яе паводзіны пры невялікіх значэннях аргументу {\displaystyle L(x)\approx x/3}, што захоўвае дзеянне закона Кюры, але з утрая меншым пастаянным множнікам-канстантай Кюры. У выпадку мяжы з вялікім значэннем аргументу прымяненне гэтай функцыі таксама магчыма.

Прымяненне
----------

Захаванне закона Кюры для парамагнетыкаў ў слабым магнітным полі дазваляе іх выкарыстанне ў якасці магнітных тэрмометраў.

Гл. таксама
-----------

* Закон Кюры — Вейса
* Парамагнетызм
* П’ер Кюры

Спасылкі
--------

* *Закон Кюри* — статья с сайта Элементы.ру
* *Закон Кюры* — артыкул з БСЭ