| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бэрнулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
* Цэнтральная лімітавая тэарэма
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Матэматы́чнае спадзява́нне**, таксама **матэматычнае чаканне**, **сярэдняе значэнне**, **матспадзяванне** выпадковай велічыні — лікавая характарыстыка выпадковай велічыні *X*. Абазначаецца {\displaystyle M[X]} або {\displaystyle \mathbb {E} [X]}. Характарызуе размяшчэнне значэнняў велічыні {\displaystyle X} і роўнае сярэдняму значэнню яе размеркавання. З закона вялікіх лікаў вынікае, што сярэдняе арыфметычнае значэнне велічыні {\displaystyle X} пры павелічэнні колькасці выпрабаванняў набліжаецца да {\displaystyle \mathbb {E} [X]}.

Паняцце матэматычнага спадзявання ўзнікла ў XVIII стагоддзі ў сувязі з тэорыяй азартных гульняў: калі выйгрышы гульца прымаюць значэнні {\displaystyle X\_{1},X\_{2},\dots X\_{n}}, з імавернасцямі {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\dots ,p\_{n}}, дзе {\displaystyle p\_{1}+p\_{2}+\dots +p\_{n}=1}, то ў сярэднім ён можа спадзявацца на выйгрыш {\displaystyle \mathbb {E} [X]=X\_{1}p\_{1}+X\_{2}p\_{2}+\dots +X\_{n}p\_{n}} (адсюль назва).

Азначэнне
---------

### Агульнае азначэнне праз інтэграл Лебега

Няхай зададзена прастора імавернасцей {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} і азначаная на ёй выпадковая велічыня {\displaystyle X}. То бок, паводле азначэння, {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } — вымерная функцыя. Калі існуе інтэграл Лебега ад {\displaystyle X} па прасторы {\displaystyle \Omega }, то ён завецца матэматычным спадзяваннем, або сярэднім значэннем і абазначаецца {\displaystyle M[X]} або {\displaystyle \mathbb {E} [X]}:

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits \_{\Omega }\!X(\omega )\,dP(\omega ).}
Калі гэты інтэграл не існуе ці роўны {\displaystyle \pm \infty }, кажуць, што ў выпадковай велічыні не існуе матэматычнага спадзявання:111.

### Азначэнне праз функцыю размеркавання выпадковай велічыні

Калі {\displaystyle F\_{X}(x)} — функцыя размеркавання выпадковай велічыні, то яе матэматычнае спадзяванне вызначаецца інтэгралам Лебега — Стыльт’еса:112:

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!x\,dF\_{X}(x)}, {\displaystyle x\in \mathbb {R} }.
### Азначэнне для абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні (праз шчыльнасць размеркавання)

Матэматычнае спадзяванне абсалютна непарыўнай выпадковай велічыні, размеркаванне якой вызначаецца шчыльнасцю {\displaystyle f\_{X}(x)}, роўнае:112

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!xf\_{X}(x)\,dx}.
### Азначэнне для дыскрэтнай выпадковай велічыні

Калі {\displaystyle X} — дыскрэтная выпадковая велічыня, з размеркаваннем

{\displaystyle \mathbb {P} (X=x\_{i})=p\_{i}} , {\displaystyle \sum \limits \_{i}p\_{i}=1},
тады непасрэдна з азначэння інтэграла Лебега вынікае, што:112

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \limits \_{i}x\_{i}\,p\_{i}}.
#### Матэматычнае спадзяванне цэлалікавай выпадковай велічыні

* Калі {\displaystyle X} — дадатная цэлалікавая выпадковая велічыня, якая мае размеркаванне імавернасцей

{\displaystyle \mathbb {P} (X=j)=p\_{j}} , {\displaystyle j=0,1,\dotsc }, {\displaystyle \sum \limits \_{j=0}^{\infty }p\_{j}=1},
то яе матэматычнае спадзяванне можа быць выражана праз утваральную функцыю паслядоўнасці {\displaystyle \{p\_{i}\}}

{\displaystyle P(s)=\sum \_{k=0}^{\infty }\;p\_{k}s^{k}}

Уласцівасці матэматычнага спадзявання
-------------------------------------

* Матэматычнае спадзяванне канстанты ёсць сама канстанта.

{\displaystyle \mathbb {E} [a]=a}
{\displaystyle a\in \mathbb {R} } — канстанта;
* Матэматычнае спадзяванне лінейнае, то бок

{\displaystyle \mathbb {E} [aX+bY]=a\mathbb {E} [X]+b\mathbb {E} [Y]},
дзе {\displaystyle X,Y} — выпадковыя велічыні з канечным матспадзяваннем, а {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } — любыя канстанты;
У прыватнасці, матспадзяванне сумы (рознасці) выпадковых велічынь роўнае суме (рознасці) матспадзяванняў гэтых выпадковых велічынь.
* Матэматычнае спадзяванне захоўвае няроўнасці, гэта значыць калі {\displaystyle 0\leqslant X\leqslant Y} амаль напэўна, і {\displaystyle Y} — выпадковая велічыня з канечным матспадзяваннем, то матспадзяванне выпадковай велічыні {\displaystyle X} таксама канечнае, і больш за тое:

{\displaystyle 0\leqslant \mathbb {E} [X]\leqslant \mathbb {E} [Y]}.
* Матспадзяванне не залежыць ад паводзін выпадковай велічыні на падзеі імавернасці нуль, то бок калі {\displaystyle X=Y} амаль напэўна, то

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\mathbb {E} [Y]}.
* Матспадзяванне здабытку двух незалежных або некарэляваных выпадковых велічынь {\displaystyle X,Y} роўнае здабытку іх матспадзяванняў

{\displaystyle \mathbb {E} [XY]=\mathbb {E} [X]\cdot \mathbb {E} [Y]}.
* Для ўсякай барэлеўскай[en] і інтэгравальнай па меры {\displaystyle dF\_{X}} функцыі {\displaystyle \varphi :X(\Omega )\to \mathbb {R} } матэматычнае спадзяванне {\displaystyle \varphi (X)} існуе і роўнае:113

{\displaystyle \mathbb {E} [\varphi (X)]=\int \_{\mathbb {R} }\varphi (x)dF\_{X}(x).}
### Няроўнасці, звязаныя з матспадзяваннем

Няроўнасць Маркава — для неадмоўнай выпадковай велічыні {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} ^{+}}, азначанай на прасторы імавернасцей {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} з канечным матспадзяваннем {\displaystyle \mathbb {E} (X)}, справядліва няроўнасць:

{\displaystyle \mathbb {P} \left(X\geqslant a\right)\leqslant {\frac {\mathbb {E} (X)}{a}}}, дзе {\displaystyle a>0}.
Няроўнасць Енсена для матспадзявання выпуклай функцыі ад выпадковай велічыні. Няхай {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )} — прастора імавернасцей, {\displaystyle X\colon \Omega \to \mathbb {R} } — азначаная на ёй выпадковая велічыня, {\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} } — выпуклая барэлеўская функцыя, такія што {\displaystyle X,\varphi (X)\in L^{1}(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}, тады

{\displaystyle \varphi (\mathbb {E} (X))\leqslant \mathbb {E} (\varphi (X))}.   

### Тэарэмы, звязаныя з матспадзяваннем

* Тэарэма Леві пра манатонную збежнасць
* Тэарэма Лебега пра мажажыруемую збегнасць

Зноскі
------

1. 1 2 3 4 5  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Заўвагі
-------

1. ↑  На практыцы гэтыя ўмовы часта выконваюцца.

Літаратура
----------

* Матэматычнае спадзяванне і дысперсія // *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 111. — 206 с. — ISBN 978-985-01-1043-5.
* Матэматычнае спадзяванне // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мн.: Тэхналогія, 2001. — С. 212. — 496 с.: іл. — 1 000 экз. — ISBN 985-458-059-8.
* Матэматычнае чаканне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 10: Малайзія — Мугаджары / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2000. — Т. 10. — С. 212. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0169-9 (т. 10).

| ⛭Статыстыка |
| --- |
| 

| Апісальная статыстыка |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Непарыўныяданыя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Каэфіцыент зруху | 
* Сярэдняе (Арыфметычнае, Геаметрычнае, Гарманічнае)
* Медыяна
* Мода

 |
| Варыяцыя | 
* Размах
* Ранг
* Сярэдняе квадратовае адхіленне
* Каэфіцыент варыяцыі
* Квантыль (Дэцыль, Адсотак/Працэнціль/Перцэнціль/Цэнціль)

 |
| Моманты | 
* Матэматычнае спадзяванне
* Дысперсія
* Асіметрыя
* Эксцэс

 |

 |
| Дыскрэтныяданыя | 
* Частата
* Табліца кантынгентнасці

 |

 |

 |
| 

| Выкарыстоўванне  (англ.) (бел. |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Біястатыстыка | 
* Біяінфарматыка
* Клінічнае выпрабаванне / даследаванне
* Эпідэміялогія
* Медыцынская статыстыка

 |
| Інжынерная статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Хемаметрыка  (руск.) (бел.
* Тэхналагічная распрацоўка  (англ.) (бел.
* Імавернасны дызайн  (англ.) (бел.
* Кіраванне працэсамі  (руск.) (бел. / якасцю  (руск.) (бел.
* Тэорыя надзейнасці  (англ.) (бел.
* Ідынтыфікація сістэм  (руск.) (бел.

 |
| Сацыяльная статыстыка | 
* Актуарныя разлікі
* Перапіс насельніцтва
* Статыстыка злачыннасці  (руск.) (бел.
* Дэмаграфія
* Эканаметрыка
* Нацыянальныя рахункі  (англ.) (бел.
* Афіцыйная статыстыка  (англ.) (бел.
* Генеральная сукупнасць
* Псіхаметрыя  (руск.) (бел.

 |
| Прасторавая статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Картаграфія
* Статыстыка навакольнага асяроддзя  (англ.) (бел.
* Геаінфармацыйныя сістэмы
* Геаграфія
* Крыгінг  (руск.) (бел.

 |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Вялікая савецкая (1 выд.) · Britannica (онлайн) · Сучаснай Украіны |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4152930-3 · Microsoft: 141042865 |