У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Група.
**Гру́па** — непустое мноства разам з вызначанаю на ім бінарнай аперацыяй, якая задавальняе пэўныя ўмовы (а іменна, замкнёнасць мноства адносна гэтай аперацыі, спалучальны закон, наяўнасць нейтральнага элемента і наяўнасць для кожнага элемента адваротнага да яго).

У дадзеным выпадку бінарная аперацыя, па сутнасці, з'яўляецца правілам, згодна з якім кожнай упарадкаванай пары элементаў мноства ставіцца ў адпаведнасць нейкі трэці элемент таго ж мноства. Акрамя таго, групавая аперацыя павінна падпарадкоўвацца спалучальнаму закону, у мностве павінен існаваць т.зв. нейтральны элемент, а таксама для кожнага элемента мноства ў гэтым мностве павінен існаваць адваротны (адносна групавой аперацыі) элемент.

Сам тэрмін «група» належыць выдатнаму французскаму матэматыку Эварысту Галуа. Аднак некаторыя тэарэмы тэорыі груп былі даказаны яшчэ Лагранжам.

Строгае азначэнне
-----------------

### Аксіёмы групы

**Гру́пай** называецца непустое мноства *G* разам з бінарнай аперацыяй {\displaystyle \circ :G\times G\to G,} якая задавальняе наступныя ўмовы:

1. **Спалучальны закон**: для любых {\displaystyle a,b,c\in G} справядліва:
{\displaystyle a\circ (b\circ c)=(a\circ b)\circ c}
2. Існуе **нейтральны элемент** {\displaystyle e\in G,} г.зн. такі элемент, што для любога {\displaystyle a\in G} справядліва:
{\displaystyle a\circ e=e\circ a=a}
3. Для кожнага элемента {\displaystyle a\in G} існуе **адваротны элемент** {\displaystyle a^{-1}\in G,} г.зн. такі элемент, што
{\displaystyle a\circ a^{-1}=a^{-1}\circ a=e}

**Заўвага**: група не з'яўляецца проста мноствам; увогуле кажучы, на адным і тым жа мностве можна ўвесці розныя бінарныя аперацыі, адносна кожнай з якіх мноства будзе ўтвараць розныя групы. Іменна таму групу пазначаюць як упарадкаваную пару {\displaystyle (G,\circ ),} хоць часам, калі аперацыя відавочная, дзеля зручнасці знак аперацыі апускаюць і пішуць проста "група *G* ".

Адмысловыя назвы і абазначэнні
------------------------------

Часцей за ўсё, дзеля зручнасці, групавую аперацыю {\displaystyle \circ } называюць **множаннем** (хоць часам анічога агульнага між гэтай аперацыяй і звычайным множаннем няма). Адпаведна, нейтральны элемент *e* называюць **адзінкаю групы**. Пры гэтым сама́ аперацыя абазначаецца гэтак са́ма як і звычайнае множанне:

{\displaystyle a\cdot b} або нават {\displaystyle ab}
Такія назвы і абазначэнні называюцца **мультыплікаты́ўнымі**.

*Заўвага*: нягледзячы на такую назву, гэта не азначае нават таго, што групавая аперацыя падпарадкоўваецца перамяшчальнаму закону.

Калі групавая аперацыя падпарадкоўваецца перамяшчальнаму закону (г.зн. *G* — абелева група), то яе называюць **складаннем** і абазначаюць знакам {\displaystyle +}
(такое «складанне» можа быць зусім непадобным да звычайнага складання). Пры гэтым нейтральны элемент *e* называюць **нулём** абелевай **групы** *G* і абазначаюць яго як 0; адваротны элемент *a*-1 называюць **процілеглым элементам** і пішуць -*a*. Такія назвы і абазначэнні называюцца **адыты́ўнымі**.

Уласцівасці
-----------

* У групе існуе толькі адна адзінка.
* Для кожнага элемента групы існуе роўна адзін адваротны да яго элемент.

Літаратура
----------

* *Кострикин А.И.* Введение в алгебру. Часть I. Основы алгебры. — Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2004.