**Тэарэма Ліўвіля**, названая ад імя французскага матэматыка Жазэфа Ліувіля, з'яўляецца адной з ключавых тэарэм у матэматычнай фізіцы, статыстычнай фізіцы і гамільтанавай механіцы. Тэарэма Ліувіля абвяшчае

*Функцыя размеркавання[ru] гамільтанавай сістэмы пастаянная ўздоўж любой траекторыі ў фазавай прасторы.*
Тэарэма сцвярджае захаванне ў часе фазавага аб'ёму, або шчыльнасці імавернасці ў фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля
-----------------

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю ў часе функцыі размеркавання (шчыльнасці імавернасці) гамільтанавай сістэмы ў {\displaystyle 6N}-мернай фазавай прасторы ({\displaystyle N} — колькасць часціц у сістэме). Разгледзім гамільтанаву сістэму з каардынатамі {\displaystyle q\_{i}} і спалучанымі імпульсамі {\displaystyle p\_{i}}, дзе {\displaystyle i=1,\dots ,d}, {\displaystyle d=3N}. Тады размеркаванне ў фазавай прасторы {\displaystyle \rho (p\_{i},q\_{i})} вызначае імавернасць {\displaystyle \rho (p,q)\,\mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p} таго, што сістэма будзе знаходзіцца ў элеменце аб'ёму {\displaystyle \mathrm {d} ^{d}q\,\mathrm {d} ^{d}p} сваёй фазавай прасторы.

Ураўненне Ліувіля апісвае эвалюцыю {\displaystyle \rho (p\_{i},q\_{i};t)} ў часе {\displaystyle t} паводле правіла знаходжання поўнай вытворнай функцыі з улікам несціскаемасці патоку ў фазавай прасторы:

{\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \rho }{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\sum \_{i=1}^{d}\left({\frac {\partial \rho }{\partial q\_{i}}}{\frac {\mathrm {d} q\_{i}}{\mathrm {d} t}}+{\frac {\partial \rho }{\partial p\_{i}}}{\frac {\mathrm {d} p\_{i}}{\mathrm {d} t}}\right)=0.}
Вытворныя фазавых каардынат па часе для гамільтанавых сістэм апісваюцца згодна з ураўненнямі Гамільтана:

{\displaystyle {\dot {q}}\_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} q\_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}},}
{\displaystyle {\dot {p}}\_{i}\equiv {\frac {\mathrm {d} p\_{i}}{\mathrm {d} t}}=-{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}.}
Просты доказ тэарэмы заключаецца ў назіранні, што эвалюцыя {\displaystyle \rho } вызначаецца ўраўненнем неразрыўнасці:

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla (\rho \,\mathbf {v} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} +\mathbf {v} \,\mathrm {grad} \rho =0,}
дзе {\displaystyle \mathbf {v} } — скорасць перамяшчэння разглядаемага аб'ёму фазавай прасторы:

{\displaystyle \nabla (\rho \,\mathbf {v} )=\sum \_{i=1}^{d}\left({\frac {\partial (\rho {\dot {q}}\_{i})}{\partial q\_{i}}}+{\frac {\partial (\rho {\dot {p}}\_{i})}{\partial p\_{i}}}\right)}
і заўвагай, што рознасць паміж гэтым выразам і ўраўненнем Ліувіля вызначаецца толькі складнікам, які апісвае дывергенцыю, а менавіта яе адсутнасць, што азначае адсутнасць крыніц або сцёкаў шчыльнасці імавернасці:

{\displaystyle \rho \,\mathrm {div} \mathbf {v} =\rho \sum \_{i=1}^{d}\left({\frac {\partial {\dot {q}}\_{i}}{\partial q\_{i}}}+{\frac {\partial {\dot {p}}\_{i}}{\partial p\_{i}}}\right)=\rho \sum \_{i=1}^{d}\left({\frac {\partial ^{2}H}{\partial q\_{i}\,\partial p\_{i}}}-{\frac {\partial ^{2}H}{\partial p\_{i}\partial q\_{i}}}\right)=0,}
дзе {\displaystyle H} — гамільтаніян, і былі выкарыстаны ўраўненні Гамільтана. Гэта можна прадставіць як рух праз фазавую прастору «патоку вадкасці» кропак сістэмы. Тэарэма азначае, што вытворная Лагранжа або субстанцыянальная вытворная шчыльнасці {\displaystyle d\rho /dt} роўная нулю. Гэта вынікае з ураўнення неразрыўнасці, бо поле скарасцей {\displaystyle ({\dot {p}},{\dot {q}})} у фазавай прасторы бездывергентнае, што ў сваю чаргу вынікае з гамільтанавых ураўненняў для кансерватыўных сістэм.

Геаметрычная інтэрпрэтацыя
--------------------------

Разгледзім траекторыю малой плямы (мноства кропак) у фазавай прасторы. Перамяшчаючыся ўздоўж мноства траекторый, пляма расцягваецца ў адной каардынаце, скажам — {\displaystyle p\_{i}} — але сціскаецца па іншай каардынаце {\displaystyle q\_{i}} так, што здабытак {\displaystyle \Delta p\_{i}\Delta q\_{i}} застаецца канстантай. Плошча плямы (фазавы аб'ём) не змяняецца.

Больш дакладна, фазавы аб'ём {\displaystyle \Gamma } захоўваецца пры зрухах часу. Калі

{\displaystyle \int \limits \_{\Gamma }d^{d}q\,d^{d}p=C,}
і {\displaystyle \Gamma (t)} мноства кропак фазавай прасторы, у якое можа эвалюцыянаваць мноства {\displaystyle \Gamma } у момант часу {\displaystyle t}, тады

{\displaystyle \int \limits \_{\Gamma (t)}d^{d}q\,d^{d}p=C,}
для ўсіх часоў {\displaystyle t}. Аб'ём фазавай прасторы гамільтанавай сістэмы захоўваецца, паколькі эвалюцыя ў часе ў гамільтанавай механіцы — гэта кананічнае пераўтварэнне, а ўсе кананічныя пераўтварэнні маюць адзінкавы якабіян.

Фізічная інтэрпрэтацыя
----------------------

Чаканы поўны лік часціц — інтэграл па ўсёй фазавай прасторы ад функцыі размеркавання:

{\displaystyle N=\int d^{d}q\,d^{d}p\,\rho (p,q)}
(нарміровачны множнік апушчаны). У найпрасцейшым выпадку, калі часціца рухаецца ў эўклідавай прасторы ў полі патэнцыяльных сіл {\displaystyle \mathbf {F} } з каардынатамі {\displaystyle \mathbf {x} } і імпульсамі {\displaystyle \mathbf {p} }, тэарэму Ліувіля можна запісаць у выглядзе

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\mathbf {v} \cdot \nabla \_{\mathbf {x} }\rho +{\frac {\mathbf {F} }{m}}\cdot \nabla \_{\mathbf {p} }\rho =0,}
дзе {\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {\mathbf {x} }}} — скорасць. У фізіцы плазмы гэты выраз называецца ўраўненнем Уласава[ru] і выкарыстоўваецца, каб апісаць вялікую колькасць бессутыкальных часціц, якія рухаюцца ў самаўзгодненым полі[ru] сіл {\displaystyle \mathbf {F} }.

У класічнай статыстычнай механіцы лік часціц {\displaystyle N} вялікі, парадку ліку Авагадра. У стацыянарным выпадку {\displaystyle \partial \rho /\partial t=0} можна знайсці шчыльнасць мікрастанаў, даступных у дадзеным статыстычным ансамблі. Для стацыянарных станаў функцыі размеркавання {\displaystyle \rho } роўная любой функцыі гамільтаніяна {\displaystyle H}, напрыклад, у размеркаванні Максвела — Больцмана {\displaystyle \rho \propto e^{-H/kT}}, дзе {\displaystyle T} — тэмпература, {\displaystyle k} — пастаянная Больцмана.

Запіс праз дужку Пуасона
------------------------

Выкарыстоўваючы дужку Пуасона, якая мае ў кананічных каардынатах {\displaystyle (q^{i},p\_{j})} выгляд

{\displaystyle \{A,B\}=\sum \_{i=1}^{N}\left(-{\frac {\partial A}{\partial q^{i}}}{\frac {\partial B}{\partial p\_{i}}}+{\frac {\partial A}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial B}{\partial q^{i}}}\right),}
ураўненне Ліувіля для гамільтанавых сістэм набывае выгляд

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}=-\{\,\rho ,H\,\}.}

Запіс з выкарыстаннем аператара Ліувіля
---------------------------------------

Пры дапамозе аператара Ліувіля 

{\displaystyle i{\hat {L}}=\sum \_{i=1}^{d}\left[{\frac {\partial H}{\partial p\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial q\_{i}}}-{\frac {\partial H}{\partial q\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial p\_{i}}}\right],}
для гамільтанавых сістэм ураўненне набывае выгляд

{\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+i{\hat {L}}\rho =0.}