**Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля** — адна з фундаментальных тэарэм класічнай электрадынамікі, сфармуляваная Андрэ Мары Амперам ў 1826 годзе. У 1861 году Джэймс Максвел зноў вывеў гэтую тэарэму, абапіраючыся на аналогіі з гідрадынамікай, і абагульніў яе (гл. ніжэй). Ураўненне, якое прадстаўляе сабой змест тэарэмы у гэтым абагульненым выглядзе, уваходзіць у лік ураўненняў Максвела. (Для выпадку пастаянных электрычных палёў - гэта значыць у прынцыпе ў магнітастатыцы - верная тэарэма ў першапачатковым выглядзе, які сфармуляваў Ампер і прыведзены у артыкуле першым; для агульнага выпадку правая частка павінна быць дапоўнена членам з вытворнай напружанасці электрычнага поля па часе - гл ніжэй). Тэарэма абвяшчае:

|  |
| --- |
| 
Цыркуляцыя магнітнага поля пастаянных токаў па ўсякім замкнёным контуры прапарцыйная суме сіл токаў, пранізлівых контур цыркуляцыі.
 |

Гэтая тэарэма, асабліва ў замежнай або перакладной літаратуры, называецца таксама тэарэмай Ампера або законам Ампера пра цыркуляцыю (англ. Ampère's circuital law). Апошняя назва мае на ўвазе разгляд закона Ампера ў якасці больш фундаментальнага сцвярджэнні, чым закон Біё — Савара — Лапласа, які ў сваю чаргу разглядаецца ўжо ў якасці следства (што, у цэлым, адпавядае сучаснаму варыянту пабудовы электрадынамікі).

Для агульнага выпадку (класічнай) электрадынамікі формула павінна быць дапоўненая ў правай частцы членам, якія змяшчаюць вытворную па часе ад электрычнага поля (гл. ураўненні Максвела, а таксама параграф «Абагульненне» ніжэй). У такім дапоўненым выглядзе яна ўяўляе сабой чацвёртае ураўненне Максвела ў інтэгральнай форме.

Матэматычная фармулёўка
-----------------------

У матэматычнай фармулёўцы для магнітастатыкы тэарэма мае  наступны выгляд:

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}}
Тут {\displaystyle {\vec {B}}} — вектар магнітнай індукцыі, {\displaystyle {\vec {j}}} — шчыльнасць току; інтэграванне злева вырабляецца па адвольным замкнёным контуры, справа — па адвольнай паверхні, нацягнутай на гэты контур. Дадзеная форма носіць назву інтэгральнай, паколькі ў відавочным выглядзе ўтрымлівае інтэграванне. Тэарэма можа быць таксама прадстаўлена ў дыферэнцыяльнай форме:

{\displaystyle \mathrm {rot} \ {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}}
Эквівалентнасць інтэгральнай і дыферэнцыяльнай формаў вынікае з тэарэмы Стокса.

Прыведзеная вышэй форма справядлівая для вакууму. У выпадку ўжывання яе ў асяроддзі (рэчыве), яна будзе карэктная толькі ў выпадку, калі пад **j** разумець наогул усё токі, гэта значыць ўлічваць і «мікраскапічныя» токі, бягучыя в рэчыве, у тым ліку «мікраскапічныя» токі, бягучыя у абласцях памерамі парадку памеру малекулы (гл. дыямагнетыкі) і магнітныя моманты мікрачасцін (см.напрыклад ферамагнетыкі).

Таму ў рэчыве, калі не грэбаваць яго магнітнымі ўласцівасцямі, часта зручна з поўнага току вылучыць ток намагнічанага (гл. звязаныя токі), выказаўшы яго праз велічыню намагнічанасць {\displaystyle I} і увёўшы вектар напружанасці магнітнага поля

{\displaystyle {\vec {H}}={\vec {B}}-4\pi {\vec {I}}}
Тады тэарэма пра цыркуляцыю запішацца ў форме

{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\_{f}\cdot {\vec {ds}}}
{\displaystyle \mathrm {rot} \ {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}\_{f},}
дзе пад {\displaystyle {\vec {j}}\_{f}} (у адрозненне ад {\displaystyle {\vec {j}}} ў формуле вышэй) маюцца на ўвазе т. зв. свабодныя токі, у якіх ток намагнічання выключаны (што бывае зручна практычна, паколькі {\displaystyle {\vec {j}}\_{f}} - гэта звычайна ўжо ў сутнасці макраскапічныя токі, якія не звязаны з намагнічаныя рэчывы і якія ў прынцыпе няцяжка непасрэдна вымераць).

У дынамічным выпадку - гэта значыць, у агульным выпадку класічнай электрадынамікі - калі палі змяняюцца ў часе (а ў асяроддзях пры гэтым змяняецца і іх палярызацыя) - і гаворка тады ідзе аб абагульненай тэарэме, у якую ўваходзяць {\displaystyle d{\vec {E}}/dt}, - усё сказанае вышэй адносіцца і да мікраскапічным токах, звязаных з зменамі палярызацыі дыэлектрыка. Гэтая частка токаў тады ўлічваецца ў члене {\displaystyle d{\vec {D}}/dt}.

Абагульненне
------------

Асноўны артыкул: **Закон Ампера — Максвела**
Асноўным фундаментальным абагульненнем  тэарэмы з'яўляецца чацвёртае ураўненне Максвела. У інтэгральнай форме яно з'яўляецца прамым абагульненнем на дынамічны выпадак магнітостатычнай формулы, прыведзенай вышэй. Для вакууму :

{\displaystyle \oint {\vec {B}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {1}{c}}\int (4\pi {\vec {j}}+{\frac {\partial {\vec {E}}}{\partial t}})\cdot {\vec {ds}}}
для асяроддзя:

{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}={\frac {4\pi }{c}}\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}
(Як бачым, формулы адрозніваюцца ад прыведзеных вышэй толькі адным дадатковым членам з хуткасцю змены электрычнага поля ў правай часткі).

Дыферэнцыяльную форму гэтага ураўнення:

{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {B}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {E}},}
{\displaystyle \mathbf {rot} {\vec {H}}={\frac {4\pi }{c}}{\vec {j}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}}{\vec {D}}}
(у гаусавай сістэме, для вакууму і асяроддзя адпаведна) - таксама можна пры жаданні лічыць варыянтам абагульнення тэарэмы пра цыркуляцыю магнітнага поля, паколькі яна, вядома, цесна звязана з інтэгральнай.

Практычнае значэнне
-------------------

Магнітнае поле прамалінейнага правадніка з токам.
Тэарэма пра цыркуляцыю гуляе ў магнітастатыцы прыблізна тую ж ролю, што і тэарэма Гауса ў электрастатыцы. У прыватнасці, пры наяўнасці пэўнай сіметрыі задачы, яна дазваляе проста знаходзіць велічыню магнітнага поля ва ўсім прасторы па зададзеных токах. Напрыклад, для вылічэння магнітнага поля ад бясконцага прамалінейнага правадніка з токам па закону Біё — Савара — Лапласа спатрэбіцца вылічыць невідавочны інтэграл, у той час як тэарэма пра цыркуляцыю (з улікам восевай сіметрыі задачы) дазваляе даць імгненны адказ:

{\displaystyle B(r)\cdot 2\pi r={\frac {4\pi }{c}}I\to B(r)={\frac {2I}{cr}}}.

Зноскі
------

1. ↑  Прыведзена тут у гаусавай сістэме адзінак, у сістэме СІ канстанта ў правай частцы замест{\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}} запісваецца як {\displaystyle \mu \_{0}}.
2. ↑  тут і ніжэй выкарыстаная сістэма СГС, у сістэме СІ каэфіцыенты адсутнічаюць
3. ↑  На практыцы пры напісанні ураўненняў для асяроддзя індэкс *f* у токаў як правіла апускаецца, пішацца проста {\displaystyle {\vec {j}}}. Таксама часта не робіцца агаворак аб тым, што гэта менавіта «свабодныя» токі. У такой фенаменалагічнай тэорыі ніякіх іншых токаў відавочна не разглядаецца, хоць насамрэч (фізічна) звязаныя токі, вядома, ёсць, проста «схаваныя» ў іншыя велічыні - {\displaystyle {\vec {I}},{\vec {H}}} т.п. і фармальна выключаны з разгляду.
4. ↑  Паколькі гэта абагульненне грунтуецца на вернасці магнітастатычнага варыянту тэарэмы Ампера пра цыркуляцыю магнітнага поля і захаванні зарада (якое можа быць прынята як пастулат) і можа быць паказана досыць строга адпаведнасць абагульненага ўраўненні гэтых двух пасылкам, а пры накладанні пэўных дадатковых умоў - і адзінасць такога абагульнення, яно ў прынцыпе можа быць таксама сфармулявана ў выглядзе тэарэмы.
5. ↑  У гаусавай сістэме адзінак.
6. ↑  У асноўным тэксце — у СГС. У СІ — так:
{\displaystyle \oint {\vec {H}}\cdot {\vec {dl}}=\int {\vec {j}}\cdot {\vec {ds}}+{\frac {\partial }{\partial t}}\int {\vec {D}}\cdot {\vec {ds}}.}