**Гіпо́тэза Ры́мана** - здагадка аб размеркаванні нулёў дзэта-функцыі Рымана. Яна сцвярджае, што ўсе нетрывіяльныя нулі Рыманавай дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку 12. Гіпотэза была сфармулявана Бернхардам Рыманам у 1859 годзе.

Пакуль невядома якой-небудзь заканамернасці, якая апісвала б размеркаванне простых лікаў сярод натуральных. Рыман выявіў, што колькасць простых лікаў, не большых за *x*, — функцыя размеркавання простых лікаў, якая абазначаецца праз π(*x*), — выражаецца праз размеркаванне так званых «нетрывіяльных нулёў» дзэта-функцыі.

Многія сцвярджэнні аб размеркаванні простых лікаў, у тым ліку аб вылічальнай складанасці некаторых цэлалікавых алгарытмаў, даказаныя пры дапушчэнні справядлівасці гіпотэзы Рымана.

Гіпотэза Рымана ўваходзіць у спіс сямі «праблем тысячагоддзя»  (руск.) (бел. за рашэнне кожнай з якіх Матэматычны інстытут Клэя  (руск.) (бел. (Clay Mathematics Institute, Кембрыдж, Масачусетс) выплаціць узнагароду ў адзін мільён долараў ЗША. У выпадку апублікавання контрпрыкладу да гіпотэзы Рымана, вучоны савет інстытута Клэя мае права вырашыць, ці можна лічыць гэты контрпрыклад канчатковым рашэннем праблемы, ці праблему можна перафармуляваць у вузейшай форме і пакінуць адкрытай (у апошнім выпадку аўтару контрпрыкладу можа быць выплачана невялікая частка ўзнагароды).

Фармулёўка
----------

Рэчаісная (чырвоная) і ўяўная (сіняя) часткі дзэта-функцыі
Дзэта-функцыя Рымана {\displaystyle \zeta (s)} вызначана для ўсіх камплексных {\displaystyle s\neq 1} і мае нулі ў адмоўных цотных {\displaystyle s=-2,-4,-6\dots }.

З функцыянальнага ўраўнення

{\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s}\sin {\pi s \over 2}{\frac {1}{\sin \pi s\Gamma (s)}}\zeta (1-s)}
і яўнага выразу

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}    пры {\displaystyle \operatorname {Re} s>1,}
дзе {\displaystyle \mu (n)} — функцыя Мёбіуса, вынікае, што ўсе астатнія нулі, якія называюцца «нетрывіяльнымі», размяшчаюцца ў паласе {\displaystyle 0\leqslant \operatorname {Re} s\leqslant 1} сіметрычна адносна так званай «крытычнай лініі» {\displaystyle {1 \over 2}+it,\;t\in \mathbb {R} }.

### Гіпотэза Рымана

Гіпотэза Рымана сцвярджае, што:

*Усе нетрывіяльныя нулі дзэта-функцыі маюць рэчаісную частку, роўную 12.*
### Абагульненая гіпотэза Рымана

Асноўны артыкул: **Абагульненая гіпотэза Рымана**
**Абагульненая гіпотэза Рымана** складаецца з таго ж самага сцвярджэння для абагульненняў дзэта-функцыі, якія называюцца L-функцыямі Дзірыхле  (руск.) (бел..

Раўназначныя фармулёўкі
-----------------------

У 1901 годзе Хельге фон Кох  (англ.) (бел. паказаў, што гіпотэза Рымана раўназначная наступнаму сцвярджэнню аб размеркаванні простых лікаў:

{\displaystyle \pi (x)=\int \limits \_{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}+O\left({\sqrt {x}}\ln x\right)} при {\displaystyle x\rightarrow \infty .}
Ёсць яшчэ некалькі раўназначных фармулёвак:

* Для ўсіх {\displaystyle x\geqslant 2657} выконваецца няроўнасць
{\displaystyle \left|\pi (x)-\int \limits \_{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t}}\right|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln x,}

* Для ўсіх {\displaystyle x\geqslant 73.2} справядліва няроўнасць
{\displaystyle |\psi (x)-x|<{\frac {1}{8\pi }}{\sqrt {x}}\,\ln ^{2}(x),}

* Для ўсіх {\displaystyle n>5040} верная няроўнасць
{\displaystyle \sigma (n)<e^{\gamma }n\log \log n,}

дзе σ(*n*) — функцыя дзельнікаў ліку *n*, а γ — пастаянная Эйлера — Маскероні.
* Для ўсіх {\displaystyle n>1} спраўджваецца няроўнасць
{\displaystyle \sigma (n)<H\_{n}+e^{H\_{n}}\ln H\_{n},}

дзе *H**n* — *n*-ы гарманічны лік  (руск.) (бел..
* Для любога дадатнага {\displaystyle \varepsilon } выконваецца няроўнасць
{\displaystyle M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon }),}

дзе *M*(*n*) — функцыя Мертэнса  (руск.) (бел. гл. таксама абазначэнне O вялікае. Мацнейшая гіпотэза {\displaystyle |M(n)|<{\sqrt {n}}\,} была абвергнута ў 1985 годзе.
* Гіпотэза Рымана раўназначная наступнай роўнасці:
{\displaystyle \int \limits \_{0}^{\infty }{\frac {(1-12t^{2})}{(1+4t^{2})^{3}}}\int \limits \_{1/2}^{\infty }\log |\zeta (\sigma +it)|\,d\sigma \,dt={\frac {\pi (3-\gamma )}{32}}}.

* Калі гіпотэза Рымана несправядлівая, то існуе алгарытм, які рана ці позна выявіць яе парушэнне. Адсюль вынікае, што калі адмаўленне гіпотэзы Рымана недаказальнае ў арыфметыцы Пеана, то гіпотэза Рымана верная.

* Гіпотэза Рымана таксама раўназначная сцвярджэнню, што наступнае дыяфантава ўраўненне  (руск.) (бел. не мае рашэнняў у неадмоўных цэлых ліках:

{\displaystyle {\begin{aligned}&(elg^{2}+\alpha -(b-xy)q^{2})^{2}+(q-b^{5^{60}})^{2}+(\lambda +q^{4}-1-\lambda b^{5})^{2}+\\&(\theta +2z-b^{5})^{2}+(u+t\theta -l)^{2}+(y+m\theta -e)^{2}+(n-q^{16})^{2}+\\&((g+eq^{3}+lq^{5}+(2(e-z\lambda )(1+xb^{5}+g)^{4}+\lambda b^{5}+\lambda b^{5}q^{4})q^{4})(n^{2}-n)+\\&(q^{3}-bl+l+\theta \lambda q^{3}+(b^{5}-2)q^{5})(n^{2}-1)-r)^{2}+\\&(p-2ws^{2}r^{2}n^{2})^{2}+(p^{2}k^{2}-k^{2}+1-\tau ^{2})^{2}+\\&(4(c-ksn^{2})^{2}+\eta -k^{2})^{2}+(r+1+hp-h-k)^{2}+\\&(a-(wn^{2}+1)rsn^{2})^{2}+(2r+1+\phi -c)^{2}+\\&(bw+ca-2c+4\alpha \gamma -5\gamma -d)^{2}+\\&((a^{2}-1)c^{2}+1-d^{2})^{2}+((a^{2}-1)i^{2}c^{4}+1-f^{2})^{2}+\\&(((a+f^{2}(d^{2}-a))^{2}-1)(2r+1+jc)^{2}+1-(d+of)^{2})^{2}+\\&(((z+u+y)^{2}+u)^{2}+y-K)^{2}=0\end{aligned}}}
дзе *K* — некаторы вялікі фіксаваны цэлалікавы каэфіцыент (які, у прынцыпе, можна запісаць у яўным выглядзе), а астатнія літары абазначаюць зменныя. Ступень гэтага ўраўнення можна панізіць да чатырох цаною павелічэння колькасці зменных.

Гісторыя
--------

У 1896 годзе Адамар і Вале-Пусен  (руск.) (бел. незалежна даказалі, што нулі дзэта-функцыі не могуць ляжаць на прамых {\displaystyle \operatorname {Re} \,s=0} і {\displaystyle \operatorname {Re} \,s=1}.

У 1900 годзе Давід Гільберт уключыў гіпотэзу Рымана ў спіс 23 нерэшаных праблем як частку восьмай праблемы, сумесна з гіпотэзаю Гольдбаха  (руск.) (бел..

У 1914 годзе Хардзі  (руск.) (бел. даказаў, што на крытычнай лініі знаходзіцца бесканечна многа нулёў, а пазней сумесна з Літлвудам  (руск.) (бел. даў ніжнюю ацэнку долі тых нулёў, што ляжаць на крытычнай лініі. Гэтую ацэнку потым паляпшалі розныя матэматыкі. Таксама ў 1914 годзе Я. П. Громер знайшоў неабходныя і дастатковыя ўмовы справядлівасці гіпотэзы Рымана ў аналітычнай тэорыі лікаў (няроўнасці Громера).

Некаторыя нетрывіяльныя нулі размяшчаюцца экстрэмальна блізка адзін да аднаго. Гэтая ўласцівасць вядома як «з'ява Лемера».

Цітчмарш і Ворас у 1987 годзе паказалі, што дзэта-функцыя можа быць раскладзена ў здабытак праз свае нетрывіяльныя нулі ў раскладанне Адамара.

На 2004 год праверана больш чым 1013 першых нулёў.

Група матэматыкаў Універсітэта Пердзью (ЗША) пад кіраўніцтвам Луі дэ Бранжа (Louis De Branges de Bourcia) прапанавала доказ гіпотэзы Рымана, які, аднак, аказаўся няправільным.

Меркаванні аб справядлівасці гіпотэзы
-------------------------------------

У аглядных працах (Bombieri 2000, Conrey 2003, Sarnak 2008) адзначаецца, што даныя на карысць справядлівасці гіпотэзы Рымана моцныя, але пакідаюць месца для абгрунтаваных сумненняў. Асобныя аўтары, аднак, упэўненыя ў няправільнасці гіпотэзы (напрыклад, так лічыў Джон Літлвуд).

Сярод вынікаў, якія дазваляюць дапускаць праўдзівасць гіпотэзы, можна выдзяліць паспяховы доказ падобных гіпотэз (у тым ліку, гіпотэзы Рымана аб мнагастайнасцях над канечнымі палямі). Гэта найбольш моцны тэарэтычны довад, які дазваляе меркаваць, што ўмова Рымана выконваецца для ўсіх дзэта-функцый  (англ.) (бел. звязаных з аўтаморфнымі адлюстраваннямі  (англ.) (бел. што ўключае класічную гіпотэзу Рымана. Ісціннасць аналагічнай гіпотэзы ўжо даказана для дзэта-функцыі Сельберга  (англ.) (бел. у нечым падобнай на функцыю Рымана, і для дзэта-функцыі Госа  (англ.) (бел. (аналаг дзэта-функцыі Рымана для функцыянальных палёў).

З другога боку, некаторыя з дзэта-функцый Эпштэйна не задавальняюць умову Рымана, хоць і маюць бесканечны лік нулёў на крытычнай лініі. Аднак гэтыя функцыі не выражаюцца праз рады Эйлера і не звязаныя напрамую з аўтаморфнымі адлюстраваннямі.

Да «практычных» довадаў на карысць справядлівасці Рыманавай гіпотэзы адносіцца вылічальная праверка вялікай колькасці нетрывіяльных нулёў дзэта-функцыі ў рамках праекта ZetaGrid.

Звязаныя праблемы
-----------------

### Дзве гіпотэзы Хардзі — Літлвуда

У 1914 годзе Годфры Харальд Хардзі даказаў, што функцыя {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} мае бесканечна многа рэчаісных нулёў.

Няхай {\displaystyle N(T)} ёсць колькасць рэчаісных нулёў, а {\displaystyle N\_{0}(T)} колькасць нулёў няцотнага парадку функцыі {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}, якія ляжаць на прамежку {\displaystyle (0,T]}.

Дзве гіпотэзы Хардзі і Літлвуда (аб адлегласці паміж рэчаіснымі нулямі {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} і аб шчыльнасці нулёў {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}} на прамежках {\displaystyle (T,T+H]} пры досыць вялікім {\displaystyle T>0}, {\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }} і як можна меншым значэнні {\displaystyle a>0}, дзе {\displaystyle \varepsilon >0} адвольна малы лік), вызначылі два напрамкі ў даследаванні дзэта-функцыі Рымана:

1. Для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуе {\displaystyle T\_{0}=T\_{0}(\varepsilon )>0}, такое што пры {\displaystyle T\geqslant T\_{0}} і {\displaystyle H=T^{0{,}25+\varepsilon }} прамежак {\displaystyle (T,T+H]} утрымлівае нуль няцотнага парадку функцыі {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}.
2. Для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуюць такія {\displaystyle T\_{0}=T\_{0}(\varepsilon )>0} і {\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}, што пры {\displaystyle T\geqslant T\_{0}} і {\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} справядліва няроўнасць {\displaystyle N\_{0}(T+H)-N\_{0}(T)\geqslant cH}.

### Гіпотэза А. Сельберга

У 1942 годзе Атле Сельберг даследаваў праблему Хардзі — Літлвуда **2** і даказаў, што для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуюць {\displaystyle T\_{0}=T\_{0}(\varepsilon )>0} і {\displaystyle c=c(\varepsilon )>0}, такія што для {\displaystyle T\geqslant T\_{0}} і {\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }} справядліва няроўнасць {\displaystyle N(T+H)-N(T)\geqslant cH\log T}.

У сваю чаргу, Атле Сельберг выказаў гіпотэзу, што можна паменшыць паказчык ступені {\displaystyle a=0{,}5} для велічыні {\displaystyle H=T^{0{,}5+\varepsilon }}.

У 1984 годзе А. А. Карацуба  (руск.) (бел. даказаў, што пры фіксаваным {\displaystyle \varepsilon } з умоваю {\displaystyle 0<\varepsilon <0{,}001}, даволі вялікім {\displaystyle T} і {\displaystyle H=T^{a+\varepsilon }}, {\displaystyle a={\tfrac {27}{82}}={\tfrac {1}{3}}-{\tfrac {1}{246}}} прамежак {\displaystyle (T,T+H)} утрымлівае не менш за {\displaystyle cH\ln T} рэчаісных нулёў дзэта-функцыі Рымана {\displaystyle \zeta {\Bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\Bigr )}}. Тым самым ён пацвердзіў гіпотэзу Сельберга.

Ацэнкі А. Сельберга і А. А. Карацубы з’яўляюцца непаляпшальнымі па парадку росту пры {\displaystyle T\to +\infty }.

У 1992 годзе А. А. Карацуба даказаў, што аналаг **гіпотэзы Сельберга** справядлівы для «амаль усіх» прамежкаў {\displaystyle (T,T+H]}, {\displaystyle H=T^{\varepsilon }}, дзе {\displaystyle \varepsilon } — адвольна малы фіксаваны дадатны лік. Метад, распрацаваны Карацубам, дазваляе даследаваць нулі дзэта-функцыі Рымана на «звышкароткіх» прамежках крытычнай прамой, г.зн. на прамежках {\displaystyle (T,T+H]}, даўжыня {\displaystyle H} якіх расце павольней за любую, нават адвольна малую, ступень {\displaystyle T}. Сярод іншага, ён даказаў, што для любых зададзеных лікаў {\displaystyle \varepsilon }, {\displaystyle \varepsilon \_{1}} з умоваю {\displaystyle 0<\varepsilon ,\varepsilon \_{1}<1} амаль усе прамежкі {\displaystyle (T,T+H]} пры {\displaystyle H\geqslant \exp {\{(\ln T)^{\varepsilon }\}}} утрымліваюць не менш чым {\displaystyle H(\ln T)^{1-\varepsilon \_{1}}} нулёў функцыі {\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}+it{\bigr )}}. Гэтая ацэнка вельмі блізкая да тае, што вынікае з гіпотэзы Рымана.

Цікавыя факты
-------------

* Вядомы адказ Гільберта на пытанне, якія будуць яго дзеянні, калі ён па нейкай прычыне праспіць пяцьсот гадоў і раптам прачнецца. Матэматык адказаў, што перш за ўсё спытае, ці была даказана гіпотэза Рымана.
* Гіпотэза Рымана адносіцца да знакамітых адкрытых праблем матэматыкі  (руск.) (бел. у лік якіх у свой час уваходзіла і тэарэма Ферма. Як вядома, Ферма зрабіў запіс аб тым, што даказаў сваю тэарэму, не пакінуўшы самога доказу, і тым самым кінуў выклік наступным пакаленням матэматыкаў. Брытанскі матэматык Г. Х. Хардзі скарыстаў сітуацыю з гэтымі праблемамі для забеспячэння ўласнай бяспекі ў час марскіх падарожжаў. Кожны раз перад адпраўкаю ў падарожжа ён адпраўляў аднаму са сваіх калег тэлеграму: ДАКАЗАЎ ГІПОТЭЗУ РЫМАНА КРПК ПАДРАБЯЗНАСЦІ ПА ВЯРТАННІ КРПК. Хардзі лічыў, што бог не дапусціць паўтарэння сітуацыі з тэарэмаю Ферма і дазволіць яму шчасліва вярнуцца з плавання.

Гл. таксама
-----------

* Адкрытыя матэматычныя праблемы

Зноскі
------

1. 1 2  *Weisstein, Eric W.* Riemann Hypothesis (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
2. ↑  Rules for the Millennium Prizes Архівавана 10 снежня 2011.
3. ↑  Гэта выглядае дзіўнавата, бо {\displaystyle \limsup \_{n\rightarrow \infty }{\frac {\sigma (n)}{n\ \log \log n}}=e^{\gamma }.}  
Няроўнасць парушаецца пры *n* = 5040 і некаторых меншых значэннях, але Гай Робін у 1984 годзе паказаў, што яно выконваецца для ўсіх большых цэлых, калі спраўджваецца гіпотэза Рымана.
4. ↑  Jeffrey C. Lagarias (2002). "An elementary problem equivalent to the Riemann hypothesis". *The American Mathematical Monthly* **109** (6): 534–543. doi:10.2307/2695443. .
5. ↑  Andrew Odlyzko, Herman te Riele (1985). "Disproof of the Mertens conjecture". *Journal für die reine und angewandte Mathematik* **357**: 138–160.. Retrieved on 10 чэрвеня 2014.  Архіўная копія **(нявызн.)**. Архівавана з першакрыніцы 11 ліпеня 2012. Праверана 10 чэрвеня 2014.
6. ↑  Yuri Matiyasevich, Hilbert’s Tenth Problem: What was done and what is to be done Архівавана 13 чэрвеня 2010.
7. ↑  *Матиясевич Ю. В.* Десятая проблема Гильберта. — Наука, 1993.
8. ↑  Jones J. P. Undecidable diophantine equations
9. ↑  Martin Davis, Diophantine Equations & Computation Архівавана 24 мая 2010.
10. ↑  Martin Davis, The Incompleteness Theorem
11. ↑  Громмер Яков Пинхусович // Сотрудничество Беларусь — ЕС: наука и культура (руск.)
12. ↑  *Weisstein, Eric W.* Lehmer's Phenomenon (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
13. ↑  Ed Pegg Jr. *«Ten Trillion Zeta Zeros»* (англ.)
14. ↑  Purdue mathematician claims proof for Riemann hypothesis. Purdue News
15. ↑  Deligne P. (1974). "La conjecture de Weil. I". *Publications Mathématiques de l'IHÉS* **43**: 273–307. doi:10.1007/BF02684373. .
16. ↑  Sheats J. (1998). "The Riemann hypothesis for the Goss zeta function for **F**q[T]". *Journal of Number Theory* **71** (1): 121–157. doi:10.1006/jnth.1998.2232.
17. ↑  Hardy, G.H. (1914). "Sur les zeros de la fonction {\displaystyle \zeta (s)}". *Comp. Rend. Acad. Sci.* (158): 1012–1014.
18. ↑  Littlewood, J.E. (1921). "The zeros of Riemann's zeta-function on the critical line". *Math. Zeits.* (10): 283–317.
19. ↑  Selberg, A. (1942). "On the zeros of Riemann's zeta-function". *Shr. Norske Vid. Akad. Oslo* (10): 1–59.
20. ↑  Карацуба, А. А. (1984). "О нулях функции ζ(s) на коротких промежутках критической прямой". *Изв. РАН. Сер. матем.* (48:3): 569–584.
21. ↑  Карацуба, А. А. (1984). "Распределение нулей функции ζ(1/2 + it)". *Изв. РАН. Сер. матем.* (48:6): 1214–1224.
22. ↑  Карацуба, А. А. (1985). "О нулях дзета-функции Римана на критической прямой". *Труды МИАН* (167): 167–178.
23. ↑  Карацуба, А. А. (1992). "О количестве нулей дзета-функции Римана, лежащих на почти всех коротких промежутках критической прямой". *Изв. РАН. Сер. матем.* (56:2): 372–397.
24. ↑  С. Сингх Великая теорема Ферма. ISBN 5-900916-61-8

Літаратура
----------

* *Воронин С. М. Карацуба А. А.* Дзета-функция Римана. — М.: Физматлит, 1994.
* *Дербишир, Джон.* Простая одержимость. Бернхард Риман и величайшая нерешенная проблема в математике. Астрель, 2010. 464 с. ISBN 978-5-271-25422-2.
* *Николенко С.* Проблемы 2000 года: гипотеза Римана // *Компьютерра*. — 2005. — В. 35.
* Bombieri, Enrico (2000) (PDF). *The Riemann Hypothesis - official problem description*. Clay Mathematics Institute.. Retrieved on 2008-10-25.
* Conrey, Brian (2003) (PDF). *The Riemann Hypothesis*. 341–353. .
* Sarnak, Peter (2008). "Problems of the Millennium: The Riemann Hypothesis". in Borwein, Peter; Choi, Stephen; Rooney, Brendan et al. (PDF). *The Riemann Hypothesis*. CMS Books in Mathematics. New York: Springer. pp. 107–115. ISBN 978-0387721255.. Retrieved on 10 чэрвеня 2014.  Архівавана 15 лістапада 2012.

Спасылкі
--------

* Len Goodman and Eric W. Weisstein. Riemann Hypothesis (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.