Схема эксперыменту дыфракцыі на круглай адтуліне
**Дыфракцыя Фрэнеля** — дыфракцыйная карціна, якая назіраецца на невялікай адлегласці ад перашкоды, ва ўмовах, калі асноўны ўнёсак у інтэрферэнцыйную карціну даюць межы экрана.

На малюнку схематычна намаляваны (злева) непразрысты экран з круглай адтулінай (апертура), злева ад якой размешчана крыніца святла. Выява фіксуецца на іншым экране — справа. З прычыны дыфракцыі святло, якое праходзіць праз адтуліну, разыходзіцца, таму вобласць, якая была прыцемнена па законах геаметрычнай оптыкі, будзе часткова асветленай. У вобласці, якая пры просталінейным распаўсюдзе святла была б асветленай, назіраюцца ваганні інтэнсіўнасці асвятлення ў выглядзе канцэнтрычных кольцаў.

Дыфракцыйная карціна для дыфракцыі Фрэнеля залежыць ад адлегласці паміж экранамі і ад размяшчэння крыніц святла. Яе можна разлічыць, лічачы, што кожны пункт на мяжы апертуры выпраменьвае сферычную хвалю па прынцыпу Гюйгенса. У пунктах назірання на другім экране хвалі ці ўзмацняюць адна адну, ці гасяцца ў залежнасці ад рознасці ходу, а значыць інтэрферыруюць паміж сабой. Гэты дапоўнены прынцып мае назву прынцыпу Гюйгенса-Фрэнеля.

Інтэграл Фрэнеля
----------------

У скалярнай тэорыі дыфракцыі размеркаванне электрычнага поля дыфрагавальнага святла у пункце *(x,y,z)* задаецца выразам Рэлея-Зомерфельда:

{\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }\iint \_{-\infty }^{+\infty }{E(x',y',0){\frac {e^{ikr}}{r}}\cos \theta }dx'dy'}
дзе {\displaystyle r={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+z^{2}}}}, {\displaystyle i\,} — уяўная адзінка, і {\displaystyle \cos \theta ={\frac {z}{r}}} — косінус кута паміж кірункамі *z* і *r*. У аналітычным выглядзе гэты інтэграл прадстаўляльны толькі для найпростых геаметрый адтулін, таму ён вылічаецца звычайна лічбавымі метадамі.

### Апраксімацыя Фрэнэля

Галоўная цяжкасць пры вылічэнні інтэграла ўяўляе сабою выраз для *r*. Па-першае, спросцім вылічэнні, зрабіўшы замену зменных:

{\displaystyle \rho ^{2}=(x-x')^{2}+(y-y')^{2}\,}
Падстаўляючы гэты выраз замест *r*, знойдзем:

{\displaystyle r={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}}
Скарыстаемся раскладаннем Тэйлара у шэраг

{\displaystyle {\sqrt {1+u}}=(1+u)^{1/2}=1+{\frac {u}{2}}-{\frac {u^{2}}{8}}+\cdots }
і выкажам *r* у выглядзе

{\displaystyle r=z{\sqrt {1+{\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}}}=z\left[1+{\frac {\rho ^{2}}{2z^{2}}}-{\frac {1}{8}}\left({\frac {\rho ^{2}}{z^{2}}}\right)^{2}+\cdots \right]=z+{\frac {\rho ^{2}}{2z}}-{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}+\cdots }
Калі мы разгледзім усе члены раскладання, гэта будзе дакладным выразам. Падставім гэты выраз у аргумент экспанентнай функцыі пад інтэгралам; ключавую ролю ў набліжэнні Фрэнэля гуляе грэбаванне трэцім членам у раскладанні, які мяркуецца малым. Каб гэта было магчымым, ён павінен слаба ўплываць на паказчык ступені. Іншымі словамі, ён павінен быць нашмат менш, чым перыяд паказчыку экспаненты, гэта значыць {\displaystyle 2\pi }:

{\displaystyle k{\frac {\rho ^{4}}{8z^{3}}}\ll 2\pi .}
Выяўляючы *k* у тэрмінах даўжыні хвалі,

{\displaystyle k={2\pi \over \lambda }\,}
атрымаем наступныя суадносіны:

{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{3}\lambda }}\ll 8}
Памнажаючы абодва бакі на {\displaystyle z/\lambda }, атрымаем

{\displaystyle {\frac {\rho ^{4}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }}
ці, падстаўляючы раней атрыманы выраз для ρ2, 

{\displaystyle {\frac {[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]^{2}}{z^{2}\lambda ^{2}}}\ll 8{z \over \lambda }}
Калі гэта ўмова выконваецца для ўсіх значэнняў *x*, *x'* , *y* і *y'* , тады мы можам занядбаць трэцім членам у раскладанні Тэйлара. Больш таго, калі трэці член малы, тое ўсё наступныя складнікі больш высокіх парадкаў таксама малыя, і імі можна занядбаць. Тады можна апраксімаваць выраз, выкарыстоўваючы два члена раскладання:

{\displaystyle r\approx z+{\frac {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}}{2z}}}
Гэты выраз завецца *набліжэннем Фрэнэля*, а няроўнасць, атрыманая раней, ёсць умова дастасавальнасці гэтага набліжэння.

### Дыфракцыя Фрэнэля

Умова дастасавальнасці досыць слабая і дазваляе ўсе характэрныя памеры ўзяць як параўнальныя велічыні, калі апертура шмат менш, чым даўжыня шляху. Да таго ж, нас цікавіць толькі малая вобласць недалёка ад крыніцы, велічыні *x* і *y* шмат менш, чым *z*, выкажам здагадку {\displaystyle \theta \approx 0}, што азначае {\displaystyle \cos \theta \approx 1}, і *r* у назоўніку можна апраксімаваць выразам {\displaystyle r\approx z}.

У супрацьлегласць дыфракцыі Фраўнгофера, дыфракцыя Фрэнэля павінна ўлічваць крывізну хвалевага фронта, каб правільна ўлічыць адносныя фазы інтэрферуючых хваль.

Электрычнае поле для дыфракцыі Фрэнэля ў пункце *(x,y,z)* дадзена ў выглядзе:

{\displaystyle E(x,y,z)=-{i \over \lambda }{e^{ikz} \over z}\iint \_{-\infty }^{+\infty }E(x',y',0)e^{{ik \over 2z}[(x-x')^{2}+(y-y')^{2}]}dx'dy'}
Гэта - інтэграл дыфракцыі Фрэнэля; ён азначае, што, калі набліжэнне Фрэнэля сапраўднае, то поле, якое распаўсюджваецца, з'яўляецца хвалей, якая пачынаецца ў апертуры і рухаецца ўздоўж *z*. Інтэграл мадулюе амплітуду і фазу сферычнай хвалі. Аналітычнае рашэнне гэтага выраза магчыма толькі ў рэдкіх выпадках. Для далейшага спрашчэння, сапраўднага толькі для нашмат большых адлегласцяў ад крыніцы дыфракцыі, гл. дыфракцыя Фраўнгофера.

Гл. таксама
-----------

* Дыфракцыя Фраўнгофера
* Інтэграл Кірхгофа
* Інтэгралы Фрэнэля

Зноскі
------

1. ↑  Набліжэнне аднак было на папярэднім кроку, калі мы выказалі здагадку, што {\displaystyle e^{ikr}/r} рэальная хваля. У рэчаіснасці не існуе сапраўднага рашэння вектарнага раўнання Гельмгольца, толькі для скалярнага. Гл. скалярнае хвалевае набліжэнне

Спасылкі
--------

*