У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Куб (значэнні).
*y*=*x*3, пры цэлых значэннях *x* на адрэзку ад 1 да 25
У арыфметыцы і алгебры, **куб** ліку *x* — гэта яго трэцяя ступень *x*3, г.зн. здабытак трох аднолькавых множнікаў, роўных ліку *x*:

*x*3 = *x* × *x* × *x*.
Куб ліку роўны здабытку самога ліку і яго квадрата:

*x*3 = *x* × *x*2.
Аперацыя ўзвядзення ў куб мае просты геаметрычны сэнс: куб ліку *x* роўны аб'ёму геаметрычнага куба з рабром *x*, адкуль і паходзіць назва самой арыфметычнай аперацыі. Адваротная аперацыя знаходжання ліку, чый куб роўны *n*, называецца здабываннем кубічнага кораня з *n* і вызначае рабро куба з аб'ёмам *n*.

І куб, і кубічны корань з'яўляюцца няцотнымі функцыямі:

(−*n*)3 = −(*n*3).
Куб ліку ці любога іншага матэматычнага выразу абазначаецца верхнім індэксам 3, напрыклад, 23 = 8 ці (*x* + 1)3.

Гісторыя
--------

Вызначэнне кубоў вялікіх лікаў было распаўсюджана ў многіх старажытных цывілізацыях. У старававілонскі перыяд (20 — 16 стст. да н.э.) месапатамскія матэматыкі стварылі клінапісныя таблічкі з табліцамі для вылічэння кубоў і кубічных каранёў. Кубічныя ўраўненні былі вядомы старажытнагрэчаскаму матэматыку Дыяфанту. У 1-м ст. н.э. Герон Александрыйскі вынайшаў метад вылічэння кубічных каранёў. Метады рашэння кубічных ураўненняў і здабывання кубічных каранёў сустракаюцца ў «Матэматыцы ў дзевяці кнігах», кітайскім матэматычным тэксце, састаўленым каля 2-га ст. да н.э. з каментарыямі Лю Хуэя (3 ст. н.э.). Індыйскі матэматык Арыябхата напісаў тлумачэнне кубоў у сваёй працы Арыябхація. У 2010 годзе Альберта Цаноні знайшоў новы алгарытм вылічэння кубоў вялікіх цэлых лікаў, які ў пэўным дыяпазоне значэнняў скарэйшы чым узвядзенне ў квадрат і дамнажэнне.

Паслядоўнасць кубоў
-------------------

Паслядоўнасць кубоў неадмоўных лікаў пачынаецца лікамі:

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1³ = 1 | 11³ = 1331 | 21³ = 9261 | 31³ = 29 791 | 41³ = 68 921 | 51³ = 132 651 |
| 2³ = 8 | 12³ = 1728 | 22³ = 10 648 | 32³ = 32 768 | 42³ = 74 088 | 52³ = 140 608 |
| 3³ = 27 | 13³ = 2197 | 23³ = 12 167 | 33³ = 35 937 | 43³ = 79,507 | 53³ = 148,877 |
| 4³ = 64 | 14³ = 2744 | 24³ = 13 824 | 34³ = 39 304 | 44³ = 85 184 | 54³ = 157 464 |
| 5³ = 125 | 15³ = 3375 | 25³ = 15 625 | 35³ = 42 875 | 45³ = 91 125 | 55³ = 166 375 |
| 6³ = 216 | 16³ = 4096 | 26³ = 17 576 | 36³ = 46 656 | 46³ = 97 336 | 56³ = 175 616 |
| 7³ = 343 | 17³ = 4913 | 27³ = 19 683 | 37³ = 50 653 | 47³ = 103 823 | 57³ = 185 193 |
| 8³ = 512 | 18³ = 5832 | 28³ = 21 952 | 38³ = 54 872 | 48³ = 110 592 | 58³ = 195 112 |
| 9³ = 729 | 19³ = 6859 | 29³ = 24 389 | 39³ = 59 319 | 49³ = 117 649 | 59³ = 205 379 |
| 10³ = 1000 | 20³ = 8000 | 30³ = 27 000 | 40³ = 64 000 | 50³ = 125 000 | 60³ = 216 000 |

Сума кубоў паслядоўных цэлых лікаў
----------------------------------

Сума кубоў першых {\displaystyle n} дадатных натуральных лікаў вылічаецца па формуле:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}i^{3}=1^{3}+2^{3}+3^{3}+...+n^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}
### Вывад формулы

Наглядны доказ таго, што 1³ + 2³ + 3³ + 4³ + 5³ = (1 + 2 + 3 + 4 + 5)²
Формулу сумы кубоў можна вывесці з дапамогай табліцы множання і формулы сумы арыфметычнай прагрэсіі. Разглядаючы ў якасці ілюстрацыі метаду дзве табліцы множання 5×5, правядзём разважанні для табліц памерам *n*×*n*.

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

Табліца множання і кубы лікаў| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |

 | 

Табліца множання і арыфметычная прагрэсія| × | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 1 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
| 2 | 2 | 4 | 6 | 8 | 10 |
| 3 | 3 | 6 | 9 | 12 | 15 |
| 4 | 4 | 8 | 12 | 16 | 20 |
| 5 | 5 | 10 | 15 | 20 | 25 |

 |

Сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці першай табліцы:

{\displaystyle k^{2}+2k\sum \_{l=1}^{k-1}l=k^{2}+2k{\frac {k(k-1)}{2}}=k^{3}.}
А сума лікаў у k-ай (k = 1,2, …) выдзеленай вобласці другой табліцы, якія ўяўляюць сабой арыфметычную прагрэсію:

{\displaystyle k\sum \_{l=1}^{n}l=k{\frac {n(n+1)}{2}}.}
Складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях першай табліцы, атрымліваем такі ж лік, як і складваючы па ўсіх выдзеленых абласцях другой табліцы:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{3}=\sum \_{k=1}^{n}k{\frac {n(n+1)}{2}}={\frac {n(n+1)}{2}}\sum \_{k=1}^{n}k=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}.}

Геаметрычны сэнс
----------------

Куб ліку роўны аб'ёму куба з даўжынёй рабра, роўнай гэтаму ліку.

Дзесятковае разлажэнне
----------------------

* У дзесятковым запісе куб можа заканчвацца на любую лічбу (у адрозненне ад квадрата)
* У дзесятковым запісе дзве апошнія лічбы куба могуць быць 00, 01, 03, 04, 07, 08, 09, 11, 12, 13, 16, 17, 19, 21, 23, 24, 25, 27, 28, 29, 31, 32, 33, 36, 37, 39, 41, 43, 44, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 56, 57, 59, 61, 63, 64, 67, 68, 69, 71, 72, 73, 75, 76, 77, 79, 81, 83, 84, 87, 88, 89, 91, 92, 93, 96, 97, 99. Залежнасць перадапошняй лічбы куба ад апошняй можна прадставіць у выглядзе наступнай табліцы:

| апошняялічба | перадапошняялічба |
| --- | --- |
| 0 | 0 |
| 5 | 2, 7 |
| 4, 8 | цотная |
| 2, 6 | няцотная |
| 1, 3, 7, 9 | любая |

Гл. таксама
-----------

* Кубічны корань — адваротная аперацыя адносна ўзвядзення ў куб.
* Квадрат (алгебра)
* Чацвёртая ступень
* Пятая ступень
* Шостая ступень
* Сёмая ступень
* Восьмая ступень

Зноскі
------

1. ↑  Cooke, Roger (8 November 2012). *The History of Mathematics*. John Wiley & Sons. p. 63. ISBN 978-1-118-46029-0. .
2. ↑  Nemet-Nejat, Karen Rhea (1998). *Daily Life in Ancient Mesopotamia*. Greenwood Publishing Group. p. 306. ISBN 978-0-313-29497-6. .
3. ↑  Van der Waerden, Geometry and Algebra of Ancient Civilizations, chapter 4, Zurich 1983 ISBN 0-387-12159-5
4. ↑  Smyly, J. Gilbart (1920). "Heron's Formula for Cube Root". *Hermathena* (Trinity College Dublin) **19** (42): 64–67. .
5. ↑  Crossley, John; W.-C. Lun, Anthony (1999). *The Nine Chapters on the Mathematical Art: Companion and Commentary*. Oxford University Press. pp. 176, 213. ISBN 978-0-19-853936-0. .
6. ↑
7. ↑  паслядоўнасць A000578 у OEIS
8. ↑  *Роу С.* Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Матезис, 1923. — С. 68—70.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Cubic Number (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 53051483 |