**Тэорыя Галуа** — раздзел алгебры, які дазваляе перафармуляваць пэўныя пытанні тэорыі палёў на мове тэорыі груп, робячы іх у пэўным сэнсе больш простымі. Эварыст Галуа сфармуляваў асноўныя сцвярджэнні гэтай тэорыі ў тэрмінах перастановак каранёў зададзенага мнагачлена (з рацыянальнымі каэфіцыентамі); ён быў першым, хто выкарыстаў тэрмін «група» для апісання мноства перастановак, якое замкнута адносна кампазіцыі і змяшчае тоесную перастаноўку. Больш сучасны падыход да тэорыі Галуа заключаецца ў вывучэнні аўтамарфізмаў пашырэння адвольнага поля пры дапамозе групы Галуа, якая адпавядае гэтаму пашырэнню.

Прыкладанне да класічных задач
------------------------------

Тэорыя Галуа дае адзіны элегантны падыход да рашэння такіх класічных задач як

1. Якія фігуры можна пабудаваць цыркулем і лінейкай?
2. Якія алгебраічныя ўраўненні вырашальныя з дапамогай стандартных алгебраічных аперацый (складанне, адніманне, множанне, дзяленне і здабыванне кораня)?

Сіметрыі каранёў
----------------

Сіметрыі каранёў — такія перастаноўкі на мностве каранёў мнагачлена, для якіх любому алгебраічнаму ўраўненню з рацыянальнымі каэфіцыентамі (з некалькімі зменнымі), якому задавальняюць карані, задавальняюць і перастаўленныя карані.

### Прыклад: квадратнае ўраўненне

У мнагачлена другой ступені *a* *x*² + *b* *x* + *c* ёсць два карані *x*1 і *x*2, сіметрычныя адносна кропкі *x*=-*b*/2*a*. Магчымыя два варыянты:

* Калі гэтыя карані рацыянальныя, то ўраўненню *x*-*x*1=0 адпавядае толькі адзін корань, і група ўраўнення трывіяльная.
* Калі карані ірацыянальныя, то група змяшчае адзін нетрывіяльны элемент *x*1⇔*x*2, і ізаморфная {\displaystyle \mathbb {Z} /2\mathbb {Z} }.

### Больш складаны прыклад

Разгледзім цяпер мнагачлен (*x*²−5)²−24.

Яго карані: {\displaystyle a={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},b={\sqrt {2}}-{\sqrt {3}},c=-{\sqrt {2}}+{\sqrt {3}},d=-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}.

Існуе 4! = 24 розныя перастаноўкі каранёў гэтага ўраўнення, але не ўсе яны з'яўляюцца сіметрыямі. Элементы групы Галуа павінны захоўваць любыя алгебраічныя ўраўненні з рацыянальнымі каэфіцыентамі.

Адно з такіх ураўненняў — *a*+*d*=0. Паколькі *a*+*c*≠0, перастаноўка *a*→*a*, *b*→*b*, *c*→*d*, *d*→*c* не ўваходзіць у групу Галуа.

Акрамя таго, можна заўважыць, што (*a*+*b*)²=8, але (*a*+*c*)²=12. Таму перастаноўка *a*→*a*, *b*→*c*, *c*→*b*, *d*→*d* не ўваходзіць у групу.

Канчаткова можна атрымаць, што група Галуа мнагачлена складаецца з чатырох перастановак:

(*a*, *b*, *c*, *d*) → (*a*, *b*, *c*, *d*)
(*a*, *b*, *c*, *d*) → (*c*, *d*, *a*, *b*)
(*a*, *b*, *c*, *d*) → (*b*, *a*, *d*, *c*)
(*a*, *b*, *c*, *d*) → (*d*, *c*, *b*, *a*)
і з'яўляецца чацвярной групай Клейна, ізаморфнай {\displaystyle (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\times (\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )}.

Фармулёўка ў тэрмінах тэорыі палёў
----------------------------------

Тэорыя палёў дае больш агульнае вызначэнне групы Галуа як групы аўтамарфізмаў адвольнага пашырэння Галуа. Сярод іншага, на гэтай мове можна сфармуляваць усе сцвярджэнні адносна «сіметрыі» каранёў мнагачлена. А іменна, няхай каэфіцыенты дадзенага мнагачлена належаць полю *K*. Разгледзім алгебраічнае пашырэнне *L* поля *K* каранямі мнагачлена. Тады група Галуа мнагачлена — гэта група аўтамарфізмаў поля *L*, якія пакідаюць элементы поля *K* на месцы, г.зн. група Галуа пашырэння {\displaystyle L\supset K}. Напрыклад, у папярэднім прыкладзе была разгледжана група Галуа пашырэння {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})\supset \mathbb {Q} }.

Яшчэ больш абстрактны падыход да тэорыі Галуа быў распрацаваны Аляксандрам Гротэндзікам у 1960 годзе. Гэты падыход дазваляе прымяніць асноўныя вынікі тэорыі Галуа да любой катэгорыі, якая валодае зададзенымі ўласцівасцямі (напрыклад, існаваннем каздабыткаў і дэкартавых квадратаў). У прыватнасці, гэта дазваляе перанесці вынікі тэорыі Галуа ў тэорыю накрыццяў. Для таго, каб прымяніць гэтую тэорыю да катэгорыі пашырэнняў палёў, патрабуецца вывучэнне ўласцівасцей тэнзарных здабыткаў палёў[en].

Вырашальныя групы і рашэнне ўраўненняў у радыкалах
--------------------------------------------------

Рашэнні полінаміяльнага ўраўнення *P*(*x*)=0 выражаюцца ў радыкалах тады і толькі тады, калі група Галуа дадзенага ўраўнення вырашальная.

Для любога *n* існуе ўраўненне *n*-й ступені, група Галуа якога ізаморфная сіметрычнай групе *S**n*, г.зн. складаецца з усіх магчымых перастановак. Паколькі групы *S**n* пры *n*> 4 не з'яўляюцца вырашальнымі, існуюць мнагачлены ступені *n*, карані якіх нельга прадставіць пры дапамозе радыкалаў — тэарэма Абеля-Руфіні.

Гл. таксама
-----------

* Вырашальная група

Літаратура
----------

* *Колмогоров А. Н. Юшкевич А. П. (ред.)* Математика XIX века. М.: Наука.

* Том 1 Математическая логика. Алгебра. Теория чисел. Теория вероятностей. 1978.(недаступная спасылка)

* *Постников М. М.* Теория Галуа.(недаступная спасылка) М.: Физматгиз, 1963.
* *Grothendieck, Alexander; Raynaud, Michèle* (2003) [1971], Revêtements étales et groupe fondamental (SGA 1), Documents Mathématiques (Paris) [Mathematical Documents (Paris)] 3, Paris: Société Mathématique de France, arXiv: math/0206203 — ISBN 978-2-85629-141-2
* *Скопенков А. Б.* Some more proofs from the Book: solvability and insolvability of equations in radicals.
* *Lerner L.* Galois Theory without abstract algebra.
* *Эмиль Артин.* Теория Галуа. / Пер. с англ. А. В. Самохина. — 2-е изд. стереотипное. — М.: МЦНМО, 2008. — 66 с. — (Классические монографии: математика). — ISBN 978-5-94057-062-2.