**Першаі́сная** функцыі *f*(*x*) − такая функцыя *F*(*x*), вытворная якой для ўсіх *x* з пэўнага прамежку роўная дадзенай функцыі *f*(*x*), гэта значыць, што на ўсім прамежку праўдзіцца роўнасць

{\displaystyle F'(x)=f(x).}
Сукупнасць усіх першаісных функцыі *f*(*x*) на прамежку (*a*,*b*) называецца **нявы́значаным інтэгра́лам** і пазначаецца сімвалам

{\displaystyle \int f(x)\,dx.}
Працэс знаходжання першаіснай называецца **інтэграва́ннем**.

Уласцівасці нявызначанага інтэграла
-----------------------------------

* Калі *F*(*x*) − першаісная функцыі *f*(*x*) на прамежку (*a*,*b*), то ўсякая першаісная функцыі *f*(*x*) на гэтым прамежку ма́е выгляд *F*(*x*) + *C*, дзе *C* - адвольная сталая.

### Сувязь з дыферэнцыялам і вытворнай

* Сувязь першаіснай з вытворнаю

{\displaystyle \left(\int f(x)\,dx\right)'=f(x),}
{\displaystyle \int F'(x)\,dx=F(x)+C.}
* Сувязь першаіснай з дыферэнцыялам

{\displaystyle d\left(\int f(x)\,dx\right)=f(x)\,dx,}
{\displaystyle \int d(F(x))=F(x)+C.}
### Лінейнасць нявызначанага інтэграла

* Няхай *a* ≠ 0 ёсць ненулявою сталаю, тады

{\displaystyle \int a\,f(x)\,dx=a\int f(x)\,dx.}
* Нявызначаны інтэграл сумы роўны суме нявызначаных інтэгралаў:

{\displaystyle \int (f(x)+g(x))\,dx=\int f(x)\,dx+\int g(x)\,dx.}
### Сувязь з інтэгралам Рымана

Асноўны артыкул: **формула Ньютана-Лейбніца**
* *Выраз першаіснай праз інтэграл Рымана.* Няхай *f*(*x*) непарыўная на прамежку [*a* , *b*]. Тады інтэграл Рымана са зменнаю верхняю мяжой

{\displaystyle F(x)=\int \limits \_{a}^{x}f(t)\,dt}
ёсць першаіснаю функцыі *f*(*x*) на прамежку [*a* , *b*] .

* *Формула Ньютана-Лейбніца*. Няхай *F*(*x*) ёсць першаіснаю функцыі *f*(*x*) на прамежку [*a* , *b*], тады праўдзіцца роўнасць

{\displaystyle \int \limits \_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a),}
называная *формулай Ньютана-Лейбніца*.

Асноўныя метады інтэгравання
----------------------------

Асноўны артыкул: **Метады інтэгравання**
### Лінейныя пераўтварэнні

* *Метад раскладання.* Калі
{\displaystyle g(x)=g\_{1}(x)+g\_{2}(x),\,}
то
{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g\_{1}(x)\,dx+\int g\_{2}(x)\,dx.\,}

### Метад падстаноўкі

* *Увядзенне новага аргумента.* Калі
{\displaystyle \int g(x)\,dx=G(x)+C,\,}
то
{\displaystyle \int g(u)\,du=G(u)+C,\,}
дзе {\displaystyle u=\varphi (x)\,} — непарыўна дыферэнцавальная функцыя.

* *Метад падстаноўкі.* Калі {\displaystyle g(x)} — непарыўная, то, прымаючы
{\displaystyle x=\varphi (t),\,}
дзе {\displaystyle \varphi (t)\,} — непарыўна дыферэнцавальная функцыя, атрымаем
{\displaystyle \int g(x)\,dx=\int g(\varphi (t))\,\varphi '(t)\,dt.}

### Інтэграванне па частках

* *Метад інтэгравання па частках.* Калі {\displaystyle u} і {\displaystyle v} — нейкія дыферэнцавальныя функцыі ад *x*, то

{\displaystyle \int u\,dv=uv-\int v\,du.\,}

Першаісная ў камплексным аналізе
--------------------------------

Гл. таксама: Аналітычная функцыя
* Функцыя *f*(*z*) мае першаісную, калі і толькі калі яна аналітычная.

* Першаісная адназначнай функцыі, ўвогуле кажучы, мнагазначная функцыя.

Прыклад:

{\displaystyle \int \limits \_{1}^{z}{\frac {dt}{t}}=\operatorname {Ln} z}

Першаісныя найпрасцейшых элементарных функцый
---------------------------------------------

Асноўны артыкул: **Спіс інтэгралаў**
У агульным выпадку першаісная элементарнай функцыі не ёсць элементарнай функцыяй
(тады як вытворная элементарнай функцыі сама заўсёды элементарная).
Напрыклад, немагчыма выразіць праз элементарныя функцыі такія нявызначаныя інтэгралы:

{\displaystyle \int e^{-x^{2}}\,dx,\qquad \int \sin(x^{2})\,dx,\qquad \int {\frac {e^{x}}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {\sin x}{x}}\,dx,\qquad \int {\frac {dx}{\ln x}}.}
У гэтым раздзеле прыведзены спіс нявызначаных інтэгралаў некаторых найпрасцейшых элементарных функцый:

{\displaystyle \int 0\,dx=C;}
{\displaystyle \int 1\,dx=x+C;}
{\displaystyle \int x^{\alpha }dx={\frac {x^{\alpha +1}}{\alpha +1}}+C,\qquad (\alpha \neq -1);\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{x}}=\ln |x|+C;\,}
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C;\,}
{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,\qquad (a>0,\ a\neq 1);\,}
{\displaystyle \int \cos x\,dx=\sin x+C;\,}
{\displaystyle \int \sin x\,dx=-\cos x+C;\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\cos ^{2}x}}=\operatorname {tg} x+C;\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sin ^{2}x}}=-\operatorname {ctg} x+C;\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{\sqrt {1-x^{2}}}}=\arcsin x+C=-\arccos x+C\_{1},\qquad (C\_{1}={\frac {\pi }{2}}+C);\,}
{\displaystyle \int {\frac {dx}{1+x^{2}}}=\operatorname {arctg} x+C;\,}
{\displaystyle \int \operatorname {ch} x\,dx=\operatorname {sh} x+C;\,}
{\displaystyle \int \operatorname {sh} x\,dx=\operatorname {ch} x+C;\,}

Гл. таксама
-----------

* Вытворная функцыі
* Інтэграл Рымана
* Спіс інтэгралаў

Зноскі
------

1. 1 2  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. 1 2 3  
*Фихтенгольц Г.М.* Курс дифференциального и интегрального исчисления. — Москва: Физматгиз, 1962. — Т. 2.
3. 1 2  
*Воднев В.Т. Наумович А.Ф. Наумович Н.Ф.* Основные математические формулы / Под ред. Богданова Ю.С.. — Минск: Вышэйшая школа, 1980.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4182868-9 · Microsoft: 111468 |