**Непары́ўны дроб** (або **ланцуго́вы дроб**) — гэта матэматычны выраз віду

{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots ]=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+\ldots }}}}}}\;}
дзе *a*0 ёсць цэлы лік, і ўсе астатнія *a**n* — натуральныя лікі (дадатныя цэлыя).

Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе непарыўнага дробу (канечнага ці бесканечнага).
Лік можна прадставіць канечным ланцуговым дробам тады і толькі тады  (руск.) (бел. калі ён рацыянальны. Лік можна прадставіць перыядычным ланцуговым дробам тады і толькі тады, калі ён ёсць квадратычная ірацыянальнасць.

Раскладанне ў непарыўны дроб
----------------------------

Любы рэчаісны лік {\displaystyle x} можна прадставіць (канечным ці бесканечным, перыядычным ці неперыядычным) ланцуговым дробам {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots ]}, дзе

{\displaystyle a\_{0}=\lfloor x\rfloor ,x\_{0}=x-a\_{0},}
{\displaystyle a\_{1}=\left\lfloor {\frac {1}{x\_{0}}}\right\rfloor ,x\_{1}={\frac {1}{x\_{0}}}-a\_{1},}
{\displaystyle \dots }
{\displaystyle a\_{n}=\left\lfloor {\frac {1}{x\_{n-1}}}\right\rfloor ,x\_{n}={\frac {1}{x\_{n-1}}}-a\_{n},}
{\displaystyle \dots }
дзе {\displaystyle \lfloor x\rfloor } абазначае цэлую частку  (руск.) (бел. ліку {\displaystyle x}.

Для рацыянальнага ліку {\displaystyle x} гэта раскладанне абарвецца па дасягненні нулявога {\displaystyle x\_{n}} для некаторага *n*. У гэтым выпадку {\displaystyle x} прадстаўляецца канечным непарыўным дробам {\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},\cdots ,a\_{n}]}.

Для ірацыянальнага {\displaystyle x} усе велічыні {\displaystyle x\_{n}} будуць ненулявыя і працэс раскладання можна працягваць без канца. У гэтым выпадку {\displaystyle x} прадстаўляецца бесканечным ланцуговым дробам {\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots ]}.

Каб хутка раскласці рацыянальны лік у ланцуговы дроб, можна скарыстаць алгарытм Еўкліда.

Падыходныя дробы
----------------

*n*-ым **падыходным дробам** (або **падыходзячым дробам**) для ланцуговага дробу {\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\cdots ]} называецца канечны ланцуговы дроб {\displaystyle [a\_{0};a\_{1},\cdots ,a\_{n}]}. Значэнне падыходнага дробу раўняецца некатораму рацыянальнаму ліку {\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}}. Падыходзячыя дробы з цотнымі нумарамі ўтвараюць нарастаючую паслядоўнасць, граніца якой роўная {\displaystyle x}. Аналагічна, падыходзячыя дробы з няцотнымі нумарамі ўтвараюць спадаючую паслядоўнасць, граніца якой таксама роўная {\displaystyle x}.

Эйлер вывеў зваротныя формулы  (англ.) (бел. для вылічэння лічнікаў і назоўнікаў падыходных дробаў:

{\displaystyle p\_{-1}=1,\quad p\_{0}=a\_{0},\quad p\_{n}=a\_{n}p\_{n-1}+p\_{n-2};}
{\displaystyle q\_{-1}=0,\quad q\_{0}=1,\quad q\_{n}=a\_{n}q\_{n-1}+q\_{n-2}.}
Такім чынам, велічыні {\displaystyle p\_{n}} і {\displaystyle q\_{n}} прадстаўляюцца значэннямі кантынуантаў  (англ.) (бел.:

{\displaystyle p\_{n}=K\_{n+1}(a\_{0},a\_{1},\cdots ,a\_{n})}
{\displaystyle q\_{n}=K\_{n}(a\_{1},a\_{2},\cdots ,a\_{n})}
Паслядоўнасці {\displaystyle \left\{p\_{n}\right\}} і {\displaystyle \left\{q\_{n}\right\}} нарастаюць.

Лічнікі і назоўнікі суседніх падыходных дробаў звязаны суадносінамі:

{\displaystyle p\_{n}q\_{n-1}-q\_{n}p\_{n-1}=(-1)^{n-1},}     (1)
якія можна перапісаць у выглядзе

{\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}-{\frac {p\_{n-1}}{q\_{n-1}}}={\frac {(-1)^{n-1}}{q\_{n-1}q\_{n}}}.}
Адкуль вынікае, што

{\displaystyle \left|x-{\frac {p\_{n-1}}{q\_{n-1}}}\right|<{\frac {1}{q\_{n-1}q\_{n}}}<{\frac {1}{q\_{n-1}^{2}}}.}

Прыбліжэнне рэчаісных лікаў рацыянальнымі
-----------------------------------------

Непарыўныя дробы дазваляюць эфектыўна знаходзіць добрыя рацыянальныя прыбліжэнні рэчаісных лікаў. А іменна, калі рэчаісны лік {\displaystyle x} раскласці ў ланцуговы дроб, то яго падыходныя дробы будуць задавальняць няроўнасць

{\displaystyle \left|x-{\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}\right|<{\frac {1}{q\_{n}^{2}}}.}
Адсюль, сярод іншага, вынікае:

* падыходны дроб {\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}} з'яўляецца найлепшым прыбліжэннем для {\displaystyle x} сярод усіх дробаў, назоўнік якіх не пераўзыходзіць {\displaystyle q\_{n}};
* мера ірацыянальнасці  (руск.) (бел. любога ірацыянальнага ліку не меншая чым 2.

### Прыклады

* Раскладзём лік {\displaystyle \pi }=3,14159265… у непарыўны дроб і падлічым яго падыходныя дробы:
3, 22/7, 333/106, 355/113, 103993/33102, …

Другі падыходны дроб 22/7 — гэта вядомае архімедава прыбліжэнне. Чацвёрты падыходны дроб 355/113 быў упершыю атрыман у Старажытным Кітаі  (руск.) (бел..
* У тэорыі музыкі трэба адшукаць рацыянальнае прыбліжэнне для {\displaystyle \textstyle \log \_{2}{\frac {3}{2}}\approx 0{,}585}. Трэці падыходны дроб 7/12 дазваляе абгрунтаваць класічнае дзяленне актавы на 12 паўтонаў  (руск.) (бел..

Уласцівасці і прыклады
----------------------

* Любы рацыянальны лік можна прадставіць у выглядзе канечнага непарыўнага дробу двума спосабамі, напрыклад:

{\displaystyle 9/4=[2;3,1]=[2;4]\;}
* **Тэарэма Лагранжа**: Лік прадстаўляецца ў выглядзе бесканечнага перыядычнага ланцуговага дробу тады і толькі тады, калі ён з'яўляецца ірацыянальным рашэннем квадратнага ўраўнення з цэлымі каэфіцыентамі.

Напрыклад:
{\displaystyle {\sqrt {2}}=[1;2,2,2,2,\dots ]}
залатое сячэнне {\displaystyle \phi =[1;1,1,1,\dots ]}
* Для алгебраічных лікаў ступені, большай за 2, характар раскладанняў у непарыўны дроб невядомы. Напрыклад, нават для {\displaystyle {\sqrt[{3}]{2}}} невядома, ці канечная колькасць розных лікаў у яго раскладанні (паслядоўнасць A002945 у OEIS).
* Для некаторых трансцэндэнтных лікаў можна знайсці простую заканамернасць. Напрыклад, для асновы натуральнага лагарыфма:

{\displaystyle e-1=[1;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,\ldots ,1,1,2n-2,1,1,2n,\ldots ]}
для ліку
{\displaystyle \operatorname {tg} \,1=[1;1,1,3,1,5,1,7,\ldots ,1,2n+1,1,2n+3,\ldots ]}
* У ліку пі простай заканамернасці не відаць:

{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,2,1,1,15,\dots ]}
* Тэарэма Гауса — Кузьміна  (англ.) (бел.: Амаль для ўсіх  (руск.) (бел. (акрамя мноства нулявой меры) рэчаісных лікаў існуе сярэдняе геаметрычнае каэфіцыентаў адпаведных ім ланцуговых дробаў, і яно роўнае пастаяннай Хінчына  (англ.) (бел..
* Тэарэма Маршала Хола. Калі ў раскладанні ліку {\displaystyle x} у непарыўны дроб, пачынаючы з другога элемента не сустракаюцца лікі, большыя за {\displaystyle n}, то кажуць, што лік {\displaystyle x} адносіцца да класа {\displaystyle F(n)}. Любы рэчаісны лік можна прадставіць у выглядзе сумы двух лікаў з класа {\displaystyle F(4)} і ў выглядзе здабытку двух лікаў з класа {\displaystyle F(4)}. У далейшым было паказана, што любы рэчаісны лік можна прадставіць сумаю трох лікаў з класа {\displaystyle F(3)} і сумаю чатырох лікаў з класа {\displaystyle F(2)}. Колькасць неабходных складнікаў у гэтай тэарэме нельга паменшыць — для прадстаўлення некаторых лікаў названым спосабам меншай колькасці складнікаў недастаткова.

Прыкладанні непарыўных дробаў
-----------------------------

### Тэорыя календара

Пры распрацоўцы сонечнага календара  (руск.) (бел. неабходна знайсці рацыянальнае прыбліжэнне для ліку дзён у годзе, які роўны 365,2421988… Падлічым падыходныя дробы для дробнай часткі гэтага ліку:

{\displaystyle {\frac {1}{4}};{\frac {7}{29}};{\frac {8}{33}};{\frac {31}{128}};{\frac {132}{545}}\cdots }
Першы дроб азначае, што раз у 4 гады трэба дабаўляць дадатковы дзень; гэты прынцып лёг у аснову юліянскага календара. Пры гэтым памылка ў 1 дзень набіраецца за 128 гадоў. Другое значэнне (7/29) ніколі не выкарыстоўвалася. Трэці дроб (8/33), г.зн. 8 высакосных гадоў за перыяд у 33 гады, быў прапанован Амарам Хаямам у XI ст. і даў пачатак персідскаму календару  (руск.) (бел. у якім памылка ў дзень набіраецца за 4500 гадоў (у грыгарыянскім — за 3280 гадоў). Вельмі дакладны варыянт з чацвёртым дробам (31/128, памылка ў суткі набіраецца толькі за 100000 гадоў) прапагандаваў нямецкі астраном Іаган фон Медлер (1864), аднак вялікай цікавасці ён не выклікаў.

### Рашэнне параўнанняў першай ступені

Разгледзім параўнанне  (руск.) (бел.:

{\displaystyle ax\equiv b{\pmod {m}},}
дзе {\displaystyle a,\ b} зададзеныя, прычым можна лічыць, што {\displaystyle a} узаемна простае з {\displaystyle m}. Трэба знайсці {\displaystyle x}.

Раскладзём {\displaystyle {\frac {m}{a}}} у непарыўны дроб. Ён будзе канечны, і апошні падыходны дроб {\displaystyle {\frac {p\_{n}}{q\_{n}}}={\frac {m}{a}}}. Падставім у формулу (1):

{\displaystyle mq\_{n-1}-ap\_{n-1}=(-1)^{n-1}.}
Адсюль вынікае:

{\displaystyle ap\_{n-1}\equiv (-1)^{n}{\pmod {m}}},  ці:  {\displaystyle \ a(-1)^{n}p\_{n-1}\equiv 1{\pmod {m}}.}
Вывад: клас вылікаў {\displaystyle x\equiv (-1)^{n}p\_{n-1}b{\pmod {m}}}  ёсць рашэнне зыходнага параўнання.

### Іншыя прыкладанні

* Доказ ірацыянальнасці лікаў. Напрыклад, з дапамогаю ланцуговых дробаў была даказана ірацыянальнасць значэння дзэта-функцыі Рымана {\displaystyle \zeta (3)}
* Рашэнне ў цэлых ліках ураўнення Пеля  (руск.) (бел.: {\displaystyle \;x^{2}-ny^{2}=1\;} і іншых дыяфантавых ураўненняў  (руск.) (бел..
* Вызначэнне заведама трансцэндэнтнага ліку (гл. тэарэма Ліувіля  (руск.) (бел.)
* Алгарытмы фактарызацыі SQUFOF і CFRAC.
* Характарыстыка артаганальных мнагачленаў  (руск.) (бел.
* Характарыстыка ўстойлівых мнагачленаў  (англ.) (бел.

#### Уласцівасці залатога сячэння

Гл. таксама: Залатое сячэнне
У непарыўным дробе залатога сячэння φ няма цэлых лікаў, большых за 1. Адсюль выцякае цікавы вынік: сярод рэчаісных лікаў лік φ — адзін з самых «цяжкіх» для прыбліжэння рацыянальнымі лікамі. Тэарэма Гурвіца сцвярджае, што любы рэчаісны лік *x* можна прыблізіць дробам *m*/*n* так, што

{\displaystyle \left|x-{m \over n}\right|<{1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}.}
Хоць практычна ўсе рэчаісныя лікі *x* маюць бесканечна многа прыбліжэнняў *m*/*n*, значна бліжэйшых да *x*, чым гэта верхняя мяжа, прыбліжэнні для φ (г.зн. лікі 5/3, 8/5, 13/8, 21/13 і г. д.) на граніцы дасягаюць гэтай мяжы, утрымліваючы адлегласць амаль дакладна на {\displaystyle {\scriptstyle {1 \over n^{2}{\sqrt {5}}}}} ад φ, тым самым ніколі не даючы такога добрага прыбліжэння як, напрыклад, 355/113 для π. Можна паказаць, што любы рэчаісны лік віду (*a* + *b*φ)/(*c* + *d*φ), дзе *a*, *b*, *c* і *d* — цэлыя лікі, такія што *ad* − *bc* = ±1, мае такую ж уласцівасць, як і залатое сячэнне φ; а таксама, што ўсе астатнія рэчаісныя лікі можна прыблізіць намнога лепш.

Гістарычная даведка
-------------------

Антычныя матэматыкі  (руск.) (бел. ўмелі прадстаўляць адносіны несувымерных велічынь у выглядзе ланцужка падыходных адносін, атрымліваючы гэты ланцужок з дапамогаю алгарытма Еўкліда. Відаць, іменна такім спосабам Архімед атрымаў прыбліжэнне {\displaystyle {\sqrt {3}}\approx {\frac {1351}{780}}} — гэта 12-ы падыходны дроб для {\displaystyle {\sqrt {3}}} ці {\displaystyle {\frac {1}{3}}} ад 4-га падыходнага дробу для {\displaystyle {\sqrt {27}}}.

У V стагоддзі індыйскі матэматык Арыябхата прымяняў падобны «метад здрабнення» для рашэння неазначальных ураўненняў першай і другой ступені. З дапамогаю гэтай жа тэхнікі было, мабыць, атрымана вядомае прыбліжэнне ліку {\displaystyle \pi } (355/113). У XVI стагоддзі Рафаэль Бамбелі  (руск.) (бел. здабываў з дапамогаю ланцуговых дробаў квадратныя карані (гл. яго алгарытм).

Пачатак сучаснай тэорыі непарыўных дробаў даў у 1613 годзе П’етра Антоніа Катальдзі. Ён адзначыў іх асноўную ўласцівасць (гранічнае значэнне ляжыць паміж падыходнымі дробамі) і ўвёў абазначэнне, падобнае на сучаснае. Пазней яго тэорыю пашырыў Джон Валіс, які і прапанаваў тэрмін «*непарыўны дроб*». Раўназначны тэрмін «*ланцуговы дроб*» паявіўся ў канцы XVIII стагоддзя.

Прымяняліся гэтыя дробы найперш для рацыянальнага прыбліжэння рэчаісных лікаў; напрыклад, Хрысціян Гюйгенс выкарыстоўваў іх пры праектаванні зубчастых колаў свайго планетарыя. Гюйгенс ужо знаў, што падыходныя дробы заўсёды нескарачальныя і што яны даюць найлепшае рацыянальнае прыбліжэнне.

У XVIII стагоддзі тэорыю ланцуговых дробаў у агульных рысах завяршылі Леанард Эйлер і Жазеф Луі Лагранж.

Гл. таксама
-----------

* Алгарытм Еўкліда
* Лікі Фібаначы
* Абагульнены непарыўны дроб  (англ.) (бел.
* Перыядычны непарыўны дроб  (англ.) (бел.

Зноскі
------

1. ↑  *Шилов Г. Е.* Простая гамма. Устройство музыкальной шкалы. — Популярные лекции по математике. — М.: Физматгиз, 1963. — 20 с.
2. ↑  паслядоўнасць A001203 у OEIS
3. ↑  M. Hall, On the sum and product of continued fractions, Annals of Math. 48 (1947) 966—993.
4. ↑  B. Diviš, On sums of continued fractions, Acta Arith. 22 (1973) 157—173.
5. ↑  T. W. Cusick and R. A. Lee, Sums of sets of continued fractions, Proc. Amer. Math. Soc. 30 (1971) 241-46.
6. ↑  *Бугаенко В. О.* Уравнения Пелля, М.:МЦНМО, 2001. ISBN 5-900916-96-0.
7. ↑  Hardy, G. H.; Wright, E. M. (1979). "Theorem 193". *An Introduction to the Theory of Numbers* (Fifth ed.). Oxford.

Літаратура
----------

* *В. И. Арнольд.* Цепные дроби. — М.: МЦНМО, 2000. — Т. 14. — 40 с. — (Библиотека «Математическое просвещение»).
* *Н. М. Бескин* Цепные дроби // *Квант*. — 1970. — Т. 1. — С. 16—26,62.
* *Н. М. Бескин* Бесконечные цепные дроби // *Квант*. — 1970. — Т. 8. — С. 10—20.
* Ветвящиеся цепные дроби. — К.: Наука, 1986. — 174 с.(недаступная спасылка)
* *А. А. Бухштаб.* Теория чисел. — М.: Просвещение, 1966. — 384 с.
* *И. М. Виноградов.* Основы теории чисел. — М.-Л.: Гос. изд. технико-теоретической литературы, 1952. — 180 с.
* *С. Н. Гладковский.* Анализ условно-периодических цепных дробей, ч. 1. — Незлобная, 2009. — 138 с.
* *И. Я. Депман.* История арифметики. Пособие для учителей. — Изд.второе. — М.: Просвещение, 1965. — С. 253—254. Архівавана 14 мая 2017.
* *Г. Дэвенпорт.* Высшая Арифметика. — М.: Наука, 1965.
* *С. В. Сизый.* Лекции по теории чисел. — Екатеринбург: Уральский государственный университет им. А. М. Горького, 1999.
* *В. Я. Скоробогатько.* Теория ветвящихся цепных дробей и ее применение в вычислительной математике. — М.: Наука, 1983. — 312 с.
* *А. Я. Хинчин.* Цепные дроби. — М.: ГИФМЛ, 1960. Архівавана 2 лістапада 2021.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Кругасвет · Малы Бракгаўза і Эфрона · Новы · Britannica (11-th) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | LCCN: sh85051149 · Microsoft: 20080352 · NDL: 00569391 · NKC: ph441076 |