Абсалютная велічыня гама-функцыі на камплекснай плоскасці
**Гама-функцыя** (або **Эйлераў інтэграл другога роду**) — матэматычная функцыя, якая пашырае паняцце фактарыяла на поле камплексных лікаў. Звычайна абазначаецца грэчаскай літарай **гама** Γ(*z*).

Для натуральных *n* справядліва роўнасць:

{\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!}
Гама-функцыя вызначана для ўсіх камплексных лікаў, за выключэннем адмоўных цэлых і нуля. Для камплексных лікаў з дадатнай рэчаіснай часткай, функцыя вызначаецца з дапамогаю збежнага неўласцівага інтэграла:

{\displaystyle \Gamma (t)=\int \limits \_{0}^{\infty }x^{t-1}e^{-x}\,dx.}
Гэту інтэгральную функцыю можна аналітычна працягнуць на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем недадатных цэлых лікаў (дзе функцыя мае простыя полюсы). Атрыманая ў выніку мераморфная функцыя і называецца гама-функцыяй.

Была ўведзена Леанардам Эйлерам, а сваім абазначэннем гама-функцыя абавязана Лежандру.

Азначэнні
---------

Графік гама-функцыі рэчаіснай зменнай
### Інтэгральнае азначэнне

Калі рэчаісная частка камплекснага ліку {\displaystyle z} дадатная, то Гама-функцыя вызначаецца праз інтэграл

{\displaystyle ~\Gamma (z)=\int \limits \_{0}^{+\infty }t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} :\mathrm {Re} (z)>0}
На ўсю камплексную плоскасць функцыя аналітычна працягваецца праз тоеснасць

{\displaystyle ~\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}
Існуе непасрэдны аналітычны працяг зыходнай формулы на ўсю камплексную плоскасць, т. зв. інтэграл Рымана-Ханкеля

{\displaystyle ~\Gamma (z)={\frac {1}{e^{i2\pi {\mathrm {z} }}-1}}\int \limits \_{L}\!t^{{\mathrm {z} }-1}e^{-t}\,dt,\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
дзе контур {\displaystyle L} — любы контур на камплекснай плоскасці, які абходзіць пункт {\displaystyle t=0} супраць гадзіннікавай стрэлкі, і канцы якога ідуць на бесканечнасць уздоўж дадатнай рэчаіснае восі.

Наступныя выразы з'яўляюцца альтэрнатыўнымі азначэннямі Гама-функцыі.

### Азначэнне па Гаусу

Яно вернае для ўсіх камплексных {\displaystyle z}, за выключэннем 0 і адмоўных цэлых лікаў

{\displaystyle \Gamma (z)=\lim \limits \_{n\to \infty }{\frac {n!\,n^{z}}{z(z+1)(z+2)\cdots (z+n)}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
### Азначэнне па Эйлеру

{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\left(\prod \limits \_{n=1}^{\infty }{\left(1+{\frac {1}{n}}\right)}^{z}{\left(1+{\frac {z}{n}}\right)}^{-1}\right)={\frac {1}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{\mathrm {z} }}{1+{\frac {\mathrm {z} }{n}}}},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \}.}
### Азначэнне па Веерштрасу

{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},\quad z\in \mathbb {C} \setminus \{0,-1,-2,\ldots \},}
дзе {\displaystyle \gamma =\lim \limits \_{n\to \infty }\left(\sum \limits \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}-\ln {n}\right)\approx 0,57722} — пастаянная Эйлера — Маскероні.

### Заўвагі

* Вышэйпрыведзены інтэграл збягаецца абсалютна, калі рэчаісная частка камплекснага ліку {\displaystyle z} дадатна.
* Прымяняючы інтэграванне па частках, можна паказаць, што тоеснасць
{\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}

справядліва для падынтэгральнага выразу.
* Паколькі {\displaystyle \Gamma (1)=1}, для ўсіх натуральных лікаў {\displaystyle n}

{\displaystyle \Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)=\ldots =n!\cdot \Gamma (1)=n!}
* {\displaystyle \Gamma (z)} з'яўляецца мераморфнаю на камплекснай плоскасці і мае полюсы ў пунктах {\displaystyle z=0,\;-1,\;-2,\;-3,\;\ldots }

Звязаныя азначэнні
------------------

* Калі-нікалі выкарыстоўваецца альтэрнатыўны запіс, так званая *пі-функцыя*, якая звязана з гама-функцыяй наступным чынам:
{\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z).}
* У інтэграле з азначэння гама-функцыі, межы інтэгравання нязменныя. Разглядаюць таксама няпоўную гама-функцыю, якую вызначаюць падобным інтэгралам са зменнай верхняй ці ніжняй мяжою інтэгравання. Вылучаюць верхнюю няпоўную гама-функцыю, якую часта абазначаюць як гама-функцыю ад двух аргументаў:

{\displaystyle \Gamma (a,z)=\int \limits \_{\mathrm {z} }^{\infty }{t^{a-1}e^{-t}\,dt},}
і ніжнюю няпоўную гама-функцыю, якую таксама абазначаюць малой літарай «гама»:

{\displaystyle \gamma (a,z)=\int \limits \_{0}^{\mathrm {z} }{t^{a-1}e^{-t}\,dt}.}

Уласцівасці
-----------

Графік модуля гама-функцыі на камплекснай плоскасці.

* Формула дапаўнення Эйлера:
{\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z}.}
* З яе вынікае формула памнажэння Гаусаbeen:
{\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\frac {1}{n}}\right)\ldots \Gamma \left(z+{\frac {n-1}{n}}\right)=n^{{\frac {1}{2}}-nz}\cdot (2\pi )^{\frac {n-1}{2}}\Gamma (nz),}
* якую пры n=2 называюць формулай падваення Лежандра:
{\displaystyle \Gamma (z)\;\Gamma \left(z+{\frac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).\,\!}
* Гама-функцыя мае полюс у {\displaystyle z=-n} для любога натуральнага {\displaystyle n} і нуля; вылік у гэтым пункце задаецца так:
{\displaystyle \operatorname {Res} \_{z=-n}\Gamma (z)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}
* Наступнае прадстаўленне гама-функцыі ў выглядзе бесканечнага здабытку, як паказаў Веерштрас, верна для ўсіх камплексных {\displaystyle z}, акрамя недадатных цэлых лікаў:
{\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod \_{k=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{k}}\right)^{-1}e^{z/k},}

дзе {\displaystyle \gamma } — пастаянная Эйлера — Маскероні.
* Важная ўласцівасць, якая вынікае з гранічнага азначэння:
{\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})}.
* Гама-функцыя бесканечна дыферэнцавальная, і
{\displaystyle \Gamma ^{\prime }(x)=\psi (x)\Gamma (x),}

дзе {\displaystyle \psi (x)} часта называюць «псі-функцыяй», ці дыгама-функцыяй.
* Гама-функцыя і бэта-функцыя звязаны наступнымі суадносінамі:
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {\Gamma (x)\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}

### Асобныя значэнні

* Найбольш вядомыя значэнні гама-функцыі ад няцэлага аргумента:
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}.}
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{4}}\right)={\sqrt {\frac {(2\pi )^{3/2}}{AGM({\sqrt {2}},1)}}},}
дзе *AGM*(*x*, *y*) — сярэдняе арыфметыка-геаметрычнае  (англ.) (бел. лікаў *x* і *y*.
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {3}{2}}\right)={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.}
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}+n\right)={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}\cdot \left[{n-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}
{\displaystyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}-n\right)={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}\,{\sqrt {\pi }}={\sqrt {\pi }}/\left[{-{\frac {1}{2}} \choose n}n!\right]}

Гл. таксама
-----------

* Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера
* K-функцыя
* G-функцыя Барнса
* Бэта-функцыя
* Гама-размеркаванне
* Няпоўная гама-функцыя
* Формула Стырлінга

Літаратура
----------

* *Купцов Л. П.* Гамма-функция // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 1.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.*. Gamma Function **(нявызн.)**. *MathWorld*.