**Асно́ўная тэарэ́ма а́лгебры** сцвярджае, што поле камплексных лікаў алгебраічна замкнута, г. зн.

|  |
| --- |
| Усякі непастаянны мнагачлен (ад аднае зменнай) з камплекснымі каэфіцыентамі мае па меншай меры адзін корань на полі камплексных лікаў. |

Дадзенае сцвярджэнне справядліва і для мнагачленаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі, бо ўсякі рэчаісны лік з'яўляецца камплексным, з нулявой уяўнай часткай.

Не існуе строга алгебраічнага доказу тэарэмы — усе наяўныя прыцягваюць неалгебраічныя канцэпцыі, накшталт паўнаты мноства рэчаісных лікаў або тапалогіі камплекснай плоскасці. Да таго ж, тэарэма не з'яўляецца «асноўнай» у сучаснай алгебры — яна атрымала гэту назву ў часы, калі асноўным напрамкам алгебры быў пошук рашэнняў алгебраічных ураўненняў з рэчаіснымі і камплекснымі каэфіцыентамі.

Доказ
-----

Самы просты доказ гэтай тэарэмы даецца метадамі камплекснага аналізу. Выкарыстоўваецца той факт, што функцыя, якая аналітычная на ўсёй камплекснай плоскасці і не мае асаблівасцей на бесканечнасці, ёсць канстанта. Таму функцыя 1/p, дзе p — мнагачлен, павінна мець хоць адзін полюс на камплекснай плоскасці, і адпаведна, мнагачлен мае хоць адзін корань.

Вынік
-----

Прамым вынікам з тэарэмы з'яўляецца тое, што любы мнагачлена ступені *n* над полем камплексных лікаў мае ў ім роўна *n* каранёў, з улікам іх кратнасці.

### Доказ выніку

У мнагачлена {\displaystyle f(x)} ёсць корань {\displaystyle a}, значыць, па тэарэме Безу, яго можна запісаць у выглядзе {\displaystyle (x-a)g(x)}, дзе {\displaystyle g(x)} — іншы мнагачлен. Прыменім тэарэму да {\displaystyle g(x)} і будзем прымяняць яе такім жа чынам да таго часу, пакуль на месцы {\displaystyle g(x)} не апынецца лінейны множнік.

Гісторыя
--------

Як здагадка гэтая тэарэма ўпершыню сустракаецца ў нямецкага матэматыка Пітэра Роўтэ (пам. 1617). Першыя доказы асноўнай тэарэмы алгебры належаць Жырару, 1629 г. і Дэкарту, 1637 г. у фармулёўцы, якая адрозніваецца ад сучаснай. Маклорэн і Эйлер удакладнілі фармулёўку, надаўшы ёй форму, раўназначную сучаснай:

|  |
| --- |
| Усякі мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі можна раскласці ў здабытак лінейных і квадратычных множнікаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі. |

Д'Аламбер першым у 1746 годзе апублікаваў доказ гэтай тэарэмы. Ён грунтаваўся на леме, што для любога пункта, які не з'яўляецца коранем мнагачлена, знойдзецца пункт з меншым модулем мнагачлена ў ім, г.зн.

{\displaystyle \forall x:f(x)\neq 0\ \Rightarrow \exists y:|f(y)|<|f(x)|.}
Гэты доказ быў бы строгім, калі б Д'Аламбер мог даказаць, што на камплекснай плоскасці значэнне модуля мнагачлена дасягае найменшага значэння. У другой палавіне XVIII стагоддзя з'яўляюцца доказы Эйлера, Лапласа, Лагранжа і іншых. Ва ўсіх гэтых доказах дапускаецца, што нейкія «ідэальныя» карані мнагачлена існуюць, а затым даказваецца, што прынамсі адзін з іх з'яўляецца камплексным лікам.

Гаус першым даў доказ без гэтага дапушчэння, адзіным выкарыстаным ім, але недаказаным сцвярджэннем была тэарэма Бальцана — Кашы для мнагачлена. Яна сцвярджае, што мнагачлен з рэчаіснымі каэфіцыентамі, які прымае як дадатнае, так і адмоўнае значэнне, мае корань. Доказ Гауса, па сутнасці, утрымлівае пабудову поля раскладання мнагачлена.

Гл. таксама
-----------

* Асноўная тэарэма аналізу
* Асноўная тэарэма арыфметыкі

Спасылкі
--------

* *В.М.Тихомиров, В.В.Успенский* Десять доказательств основной теоремы алгебры // *Математическое просвещение*. — МЦНМО, 1997. — № 1. — С. 50-70.
* *В.Б. Алексеев* Теорема Абеля в задачах и решениях // *Математическое просвещение*. — МЦНМО, 2001. — С. 192. Архівавана з першакрыніцы 8 кастрычніка 2010.

| ⛭Алгебраічныя ўраўненні |
| --- |
| Ураўненні па ступенях | Лінейнае ўраўненне ·  Квадратнае ўраўненне ·  Кубічнае ўраўненне ·  Ураўненне 4-й ступені ·  Ураўненне 5-й ступені ·  Ураўненне 6-й ступені ·  Ураўненне 7-й ступені |
| Іншае | Зваротнае ўраўненне  ·  Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў |
| Асноўныя паняцці | Мнагачлен  ·  Корань мнагачлена  ·  Дыскрымінант  ·  Рэзультант  ·  Сіметрычны мнагачлен |
| Тэарэмы | Тэарэма Віета  ·  Тэарэма Безу  ·  Асноўная тэарэма алгебры  ·  Тэарэма Абеля — Руфіні |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) · Universalis |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4155641-0 · Microsoft: 130675340 |