**Функцыяна́л** — гэта функцыя, якая зададзена на адвольным мностве і мае лікавую вобласць значэнняў: звычайна мноства рэчаісных лікаў {\displaystyle \mathbb {R} } або комплексных лікаў {\displaystyle \mathbb {C} }.

Азначэнні
---------

Вобласць вызначэння функцыянала можа быць любым мноствам. Калі вобласць вызначэння з’яўляецца тапалагічнай прасторай, можна вызначыць неперарыўны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца лінейнай прасторай над {\displaystyle \mathbb {R} } або над {\displaystyle \mathbb {C} }, можна вызначыць лінейны функцыянал; калі вобласць вызначэння з’яўляецца ўпарадкаваным мноствам, можна вызначыць манатонны функцыянал.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы {\displaystyle X}, называецца неперарыўным, калі ён неперарыўны як адвображанне ў тапалагічную прастору {\displaystyle \mathbb {R} } або {\displaystyle \mathbb {C} }.

Функцыянал, зададзены на тапалагічнай прасторы {\displaystyle X}, называецца неперарыўным у кропцы {\displaystyle x\in X}, калі ён непарыўны ў гэтай кропцы як адвображанне ў тапалагічную прастору {\displaystyle \mathbb {R} } або {\displaystyle \mathbb {C} }.

У больш шырокім сэнсе функцыяналам называецца любое адвображанне з адвольнага мноства ў адвольнае (не абавязкова лікавае) кальцо.

Зададзены на лінейнай прасторы функцыянал, які захоўвае складанне і множанне на канстанту, называецца лінейным функцыяналам. (Адвображанне плоскасці і ў прасторы ў лінейную прастору называюць аператарам) .

Мабыць, самы просты функцыянал — праекцыя — (супастаўленне вектару адной з яго кампанент або каардынат).

Даволі часта ў ролі плоскасці і ў прасторы выступае тая ці іншая прастора функцый (неперарыўныя функцыі на адрэзку, інтэгравальныя функцыі на плоскасці і г.д.). Таму ў прыкладных галінах пад функцыяналам часта разумеюць функцыю ад функцый, адвображанне, якое пераводзіць функцыю ў лік (рэчаісны або комплексны).

Функцыянал на лінейнай прасторы называецца дадатна вызначаным, калі яго значэнне неадмоўнае і роўна нулю толькі ў нулі.

Адвображанне, якое пераводзіць вектар у яго норму, з’яўляецца выпуклым дадатна вызначаным функцыяналам, гэта адзін з самых распаўсюджаных функцыяналаў. У фізіцы часта выкарыстоўваецца дзеянне — таксама функцыянал.

Задачы аптымізацыі фармулююцца на мове функцыяналаў: знайсці рашэнне (ураўнення, сістэмы ўраўненняў, сістэмы абмежаванняў, сістэмы няроўнасцей, сістэмы ўключэнняў і т. п.), якое дастаўляе экстрэмум (мінімум або максімум) зададзенаму функцыяналу. Функцыяналы таксама разглядаюцца ў варыяцыйным аналізе.

Функцыянал у лінейнай прасторы
------------------------------

Пазней ад паняцця традыцыйнага функцыянала аддзялілася паняцце функцыянала ў лінейнай прасторы, як функцыі, якая адвображвае элементы лінейнай прасторы ў яе прастору скаляраў. Часта (напрыклад, калі прастора функцый з’яўляецца лінейнай прасторай) гэтыя дзве разнавіднасці паняцця «функцыянал» супадаюць, у той жа час яны не тоесныя і не паглынаюць адна адну.

Асабліва важнай разнавіднасцю функцыяналаў з’яўляюцца лінейныя функцыяналы.

Прыклады
--------

* норма функцыі
* значэнне функцыі ў фіксаванай кропцы
* максімум або мінімум функцыі на адрэзку
* велічыня інтэграла ад функцыі
* даўжыня графіка рэчаіснай функцыі рэчаіснай зменнай
* даўжыня крывой, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй рэчаіснага аргумента (даўжыня шляху)
* плошча паверхні, параметрычна зададзенай вектарнай функцыяй двух рэчаісных аргументаў
* скалярны здабытак на фіксаваны вектар
* дзеянне ў механіцы
* функцыянал энергіі

Гл. таксама
-----------

* Аператар (матэматыка)

Заўвагі
-------

1. ↑  Математическая Энциклопедия 1984.

Літаратура
----------

* Математическая Энциклопедия. — М.: Советская Энциклопедия, 1984. — Т. 5.
* Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвертое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с. — 35 000 экз.
* *У.Рудин.* Функциональный анализ. — М.: Мир, 1975.
* Математическая Энциклопедия. Функционал
* Конев В. В. Элементы Функционального Анализа

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4155667-7 · LCCN: sh85052326 · NKC: ph114596 |