Дыяграма размаху[en] і шчыльнасць імавернасці нармальнага размеркавання *N*(0, *σ*2). На графіку IQR — міжквартыльны размах[en].
Візуалізацыя моды, медыяны і матспадзявання на графіку шчыльнасці імавернасці некаторага размеркавання.
**Шчыльнасць імавернасці** абсалютна непарыўнага размеркавання — функцыя, якая паказвае адносную імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне ў наваколлі[en] некаторага пункту. Напрыклад, калі шчыльнасць імавернасці ў пункце 0 удвая большая за шчыльнасць у пункце 3, то значэнні выпадковай велічыні будуць трапляць у наваколле нуля ўдвая часцей, чым у наваколле тройкі.

Інтэграл шчыльнасці імавернасці па некаторым прамежку[en] (іншымі словамі, плошча пад графікам шчыльнасці) роўны імавернасці таго, што значэнне выпадковай велічыні будзе ляжаць у гэтым прамежку. Шчыльнасць імавернасці прымае толькі неадмоўныя значэнні, а агульная плошча пад цэлым графікам роўная 1:79.

Прыклад
-------

Няхай існуе бактэрыя, якая жыве ў сярэднім ад 4 да 6 гадзін. Дапусцім, што імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў інтэрвале ад 5 да 5.01 гадзіны роўная 0.02 (то бок 2 %), ад 5 да 5.001 гадзіны — 0.002, ад 5 да 5.0001 гадзіны — 0.0002, і гэтак далей. У гэтым выпадку дзель (імавернасць смерці ў інтэрвале)/(працягласць інтэрвалу) роўная {\displaystyle {\frac {0.02}{5.01-5}}=2.} Тады можна сказаць, што шчыльнасць імавернасці смерці бактэрыі ў пункце 5 роўная 2. Каб знайсці імавернасць таго, што бактэрыя загіне ў некаторым невялікім інтэрвале каля 5 гадзін, трэба памножыць даўжыню гэтага інтэрвалу (у гадзінах) на шчыльнасць. Напрыклад, імавернасць таго, што бактэрыя загіне цягам 3 секунд пасля 5 гадзін, роўная {\displaystyle 2\cdot {\frac {3}{60\cdot 60}}\approx 0.0017=0.17\%.}

Трэба заўважыць, што імавернасць будзе дадатнай для інтэрвалаў, у той час як імавернасць таго, што бактэрыя загіне роўна ў 5 гадзін, роўная нулю, хоць і такая падзея гіпатэтычна магчымая. З гэтай прычыны і ўводзіцца паняцце шчыльнасці, звязанае з імавернасцю на інтэрвале.

На практыцы значэнне дачынення паміж імавернасцю і працягласцю інтэрвалу можа змяняцца пры памяншэнні інтэрвалу, а не быць канстантным як у прыкладзе вышэй, таму каб знайсці шчыльнасць у пункце робяць пераход к ліміту

{\displaystyle f\_{X}(t)=\lim \_{\Delta t\to 0}{\frac {P(t\leq X\leq t+\Delta t)}{\Delta t}},}
дзе {\displaystyle X} — выпадковая велічыня (напрыклад, час смерці бактэрыі), {\displaystyle f\_{X}} — шчыльнасць імавернасці, {\displaystyle P(t\leq X\leq t+\Delta t)} — імавернасць таго, што {\displaystyle X} прыме значэнне ад {\displaystyle t} да {\displaystyle t+\Delta t}.

Сувязь з функцыяй размеркавання
-------------------------------

Прыклад шчыльнасці імавернасці (зверху) і адпаведнай функцыі размеркавання (знізу)
Адным са спосабаў задання размеркавання выпадковай велічыні ёсць функцыя размеркавання, якая вызначаецца як:70

{\displaystyle F\_{\xi }(x)=P(\xi <x),}
дзе {\displaystyle \xi } — выпадковая велічыня, {\displaystyle P(\xi <x)} — імавернасць таго, што {\displaystyle \xi } прымае значэнні, меншыя за некаторы рэчаісны лік {\displaystyle x}.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання звязаная са шчыльнасцю імавернасці праз роўнасць {\displaystyle F\_{\xi }(x)=\int \_{-\infty }^{x}f\_{\xi }(t)dt}. Пры гэтым амаль усюды[en] мае месца роўнасць {\displaystyle F\_{\xi }'(x)=f\_{\xi }(x)}, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання:78-79.

Зноскі
------

1. ↑  AP Statistics Review - Density Curves and the Normal Distributions **(нявызн.)**. Архівавана з першакрыніцы 2 April 2015. Праверана 16 March 2015.
2. 1 2 3  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4139581-5 · Microsoft: 197055811, 2909341440 |