У матэматыцы, **меры Хаусдорфа** — сямейства вонкавых мер, прапанаваных Феліксам Хаўсдорфам. Меры Хаусдорфа кожнаму падмноству прасторы {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} (ці больш агульна, любой метрычнай прасторы) ставяць у адпаведнасць некаторы неадмоўны лік або дадатную бесканечнасць. Нуль-мерная Хаусдорфава мера раўняецца колькасці пунктаў у мностве (калі мноства канечнае) ці +∞ (калі мноства бесканечнае). Аднамерная мера Хаусдорфа простай крывой у {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} раўняецца даўжыні гэтай крывой. Гэтак жа двухмерная Хаусдорфава мера вымернага мноства ў {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} прапарцыянальная плошчы мноства. Адсюль відаць, што паняцце меры Хаусдорфа абагульняе паняцці колькасці (або магутнасці канечнага мноства), даўжыні, плошчы і аб'ёму. На самай справе існуюць *d*-мерныя меры Хаусдорфа для любога *d* ≥ 0 (не абавязкова цэлага). Гэтыя меры ляжаць у аснове геаметрычнай тэорыі меры. Яны таксама натуральным чынам узнікаюць у гарманічным аналізе і тэорыі патэнцыялу.

Азначэнне
---------

Няхай {\displaystyle (X,\rho )} — метрычная прастора. Дыяметр мноства {\displaystyle U\subset X} абазначым наступным чынам:

{\displaystyle \operatorname {diam} U:=\sup\{\rho (x,y):x,y\in U\}.}
Прымем па азначэнню:

{\displaystyle \operatorname {diam} \varnothing :=0.}
Няхай {\displaystyle S} — адвольнае падмноства {\displaystyle X,} а {\displaystyle \delta >0} — рэчаісны лік. Вызначым функцыю

{\displaystyle H\_{\delta }^{d}(S):=\inf \left\{\sum \_{i=1}^{\infty }(\operatorname {diam} U\_{i})^{d}:\bigcup \_{i=1}^{\infty }U\_{i}\supseteq S,\ \operatorname {diam} U\_{i}<\delta \right\}.}
Тут дакладная ніжняя мяжа бярэцца па ўсіх злічальных пакрыццях мноства {\displaystyle S} мноствамі {\displaystyle U\_{i}\subset X} з дыяметрамі, меншымі за *δ*.

Варта заўважыць, што {\displaystyle H\_{\delta }^{d}(S)} манатонна спадае пры нарастанні *δ*, бо чым большае *δ* — тым больш магчымых пакрыццяў мноства, што, відавочна, можа толькі панізіць дакладную ніжнюю мяжу. Адсюль вынікае, што граніца

{\displaystyle \lim \limits \_{\delta \to 0}H\_{\delta }^{d}(S)}
існуе, але можа раўняцца дадатнай бесканечнасці.

Няхай

{\displaystyle H^{d}(S):=\sup \_{\delta >0}H\_{\delta }^{d}(S)=\lim \_{\delta \to 0}H\_{\delta }^{d}(S).}
Функцыя {\displaystyle H^{d}(S)} з'яўляецца вонкаваю мерай (а дакладней, метрычнай вонкавай мерай) і называецца ***d*-мернаю мерай Хаусдорфа** мноства *S*.

Па агульнай тэорыі, яе абмежаванне на σ-алгебру вымерных па Каратэадоры мностваў з'яўляецца мерай. Дзякуючы ўласцівасцям метрычнай вонкавае меры, усе барэлеўскія падмноствы прасторы *X* вымерныя адносна меры *H**d*.

У вышэйпрыведзеным азначэнні мноствы ў пакрыццях могуць быць адвольнымі. Нягледзячы на гэта, можна разглядаць пакрыцці ці аднымі толькі адкрытымі мноствамі, ці толькі замкнутымі, у выніку гэта ўсё роўна прывядзе да той жа меры, хоць прыбліжэнні {\displaystyle H\_{\delta }^{d}(S)} пры гэтым могуць адрознівацца. Калі {\displaystyle X} — унармаваная прастора, можна разглядаць пакрыцці толькі выпуклымі мноствамі. Але калі браць пакрыцці толькі шарамі, у выніку атрымаецца іншая мера.

Уласцівасці Хаусдорфавых мер
----------------------------

Варта заўважыць, што калі *d* — дадатны цэлы лік, *d*-мерная Хаусдорфава мера на {\displaystyle \mathbb {R} ^{d}} ёсць проста змененая ў маштабе *d*-мерная мера Лебега {\displaystyle \lambda \_{d}}, якая ўнармавана так, што Лебегава мера адзінкавага куба [0,1]*d* роўная 1. На самай справе, для любога Барэлеўскага мноства *E*:

{\displaystyle \lambda \_{d}(E)=2^{-d}\alpha \_{d}H^{d}(E)\,}
дзе *α**d* — аб'ём адзінкавага *d*-шара; яго можна вылічыць праз гама-функцыю Эйлера

{\displaystyle \alpha \_{d}={\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}})^{d}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}={\frac {\pi ^{d/2}}{\Gamma ({\frac {d}{2}}+1)}}.}
**Заўвага**. Некаторыя аўтары ў якасці азначэння меры Хаусдорфа прымаюць іншае, якое трохі адрозніваецца ад прыведзенага вышэй, розніца заключаецца ў том, што яе нармуюць так, каб Хаусдорфава *d*-мерная мера ў выпадку еўклідавай прасторы дакладна супадала з Лебегавай мерай.

Сувязь з размернасцю Хаусдорфа
------------------------------

Існуе шэраг раўназначных азначэнняў размернасці Хаусдорфа. Напрыклад, такое:

{\displaystyle \operatorname {dim} \_{\mathrm {Haus} }(S)=\inf\{d\geq 0:H^{d}(S)=0\}=\sup\{d\geq 0:H^{d}(S)>0\},}
дзе прынята па азначэнню

{\displaystyle \inf \varnothing :=\infty .}

Абагульненні
------------

У геаметрычнай тэорыі меры і сумежных раздзелах для вымярэння памеру падмноства метрычнай прасторы з мерай часта выкарыстоўваецца т.зв. аб'ём Мінкоўскага. Для зручных (г.зн. не вельмі складаных і мудрагелістых) абсягаў у еўклідавай прасторы гэтыя два паняцці памеру супадаюць з дакладнасцю да пастаяннага множніка, які залежыць ад дамоўленасцей. А іменна, кажуць, што падмноства прасторы {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} называецца ***m*-выпрастальным** (*квадравальным*, *кубавальным*), калі яно з'яўляецца вобразам абмежаванага падмноства прасторы {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} пры Ліпшыцавым адлюстраванні. Калі *m* < *n*, тады *m*-мерны аб'ём Мінкоўскага замкнутага *m*-выпрастальнага падмноства ў {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} раўняецца *m*-мернай меры Хаусдорфа, дамножанай на {\displaystyle 2^{-m}\alpha \_{m}.}

У фрактальнай геаметрыі некаторыя фракталы з Хаусдорфавай размернасцю *d* маюць нулявую або бесканечную *d*-меру Хаусдорфа. Напрыклад, амаль напэўна траекторыя плоскага броўнаўскага руху мае размернасць Хаусдорфа 2, а яе двухмерная мера Хаусдорфа роўная нулю. Каб "вымераць" "памер" такіх мностваў, была прыдумана наступнае абагульненне паняцця Хаусдорфавай меры:

У азначэнні меры складнікі {\displaystyle |U\_{i}|^{d}} замяняюцца на {\displaystyle \phi (U\_{i}),} дзе {\displaystyle \phi } — любая манатонна нарастаючая функцыя мноства, якая задавальняе ўмову {\displaystyle \phi (\varnothing )=0.}
Вызначаная так мера называецца Хаусдорфавай мерай мноства {\displaystyle S} з функцыяй размернасці {\displaystyle \phi }, ці {\displaystyle \phi }-Хаусдорфавай мераю. Можа здарыцца, што *d*-мернае мноства {\displaystyle S} будзе мець звычайную меру Хаусдорфа {\displaystyle H^{d}(S)=0,} але пры адпаведным выбары функцыі {\displaystyle \phi } можна дабіцца выканання няроўнасці

{\displaystyle 0<H^{\phi }(S)<+\infty .}
У якасці прыкладаў функцый размернасці можна прывесці такія:

{\displaystyle \phi (t)=t^{2}\,\log \log {\frac {1}{t}}}
або

{\displaystyle \phi (t)=t^{2}\,\log {\frac {1}{t}}\,\log \log \log {\frac {1}{t}}.}
Першая функцыя дае амаль напэўна дадатную і σ-канечную меру для броўнаўскай траекторыі ў {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} пры *n* > 2, а апошняя — пры *n* = 2.

Гл. таксама
-----------

* Размернасць Хаусдорфа
* Вонкавая мера
* Тэорыя меры
* Геаметрычная тэорыя меры

Зноскі
------

1. ↑  Federer. Geometric measure theory, 1969. §2.10.2
2. ↑  Yeh, J. (2006). *Real analysis: theory of measure and integration*. p. 681. .
3. ↑  Federer. Geometric measure theory, 1969. Theorem 3.2.39. (Праўда, у гэтай кнізе гэты множнік уключаны ў азначэнне меры Хаусдорфа, і таму ў самой фармулёўцы тэарэмы 3.2.39 аб'ём Мінкоўскага роўны меры Хаусдорфа.)
4. ↑  
Mattila. Geometry of sets and measures in euclidean spaces, 1995. p. 60.

Літаратура
----------

* Evans, Lawrence C.; Gariepy, Ronald F. (1992). *Measure Theory and Fine Properties of Functions*. CRC Press.
* Federer, Herbert (1969). *Geometric Measure Theory*. Springer-Verlag. ISBN 3-540-60656-4.
* Yan Kun (2007), Fractal Measure.
* Hausdorff, Felix (1918). *Dimension und äusseres Mass*. **79**. 157–179. doi:10.1007/BF01457179.
* *Mattila P.* Geometry of sets and measures in Euclidean spaces. Fractals and rectifiability.. — Cambridge Studies in Advanced Mathematics, 44. — Cambridge: Cambridge University Press, 1995.
* Morgan, Frank (1988). *Geometric Measure Theory*. Academic Press.
* *Yeh J.* Real analysis: theory of measure and integration. — 2nd ed. — World Scientific, 2006. — xxi+738 с.

Спасылкі
--------

* Размернасць Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі  (англ.)
* Мера Хаусдорфа ў Энцыклапедыі матэматыкі  (англ.)

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | LCCN: sh85059319 · Microsoft: 73225184 · NDL: 00563038 |