У матэматыцы, **ступенны рад** (ад аднае зменнай) — бесканечны рад віду

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\left(x-c\right)^{n}=a\_{0}+a\_{1}(x-c)^{1}}{\displaystyle +a\_{2}(x-c)^{2}+a\_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
дзе *an* — каэфіцыент пры *n*-м ступенным члене, *c* — пастаянная, а *x* прымае значэнні каля *c* (з гэтае прычыны іншы раз гавораць, што рад *цэнтраваны* ў *c*). Такія рады звычайна ўзнікаюць як рады Тэйлара некаторых вядомых функцый.

У многіх задачах *c* раўняецца нулю, напрыклад, для радоў Маклорэна. У такіх выпадках ступенны рад прымае прасцейшы від

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+a\_{3}x^{3}+\cdots .}
Такія ступенныя рады ўзнікаюць у першую чаргу ў аналізе, але таксама сустракаюцца ў камбінаторыцы (як утваральныя функцыі, разнавіднасць фармальных ступенных радоў) і электратэхніцы (пад назваю Z-пераўтварэнне). Падобны па выгляду дзесятковы запіс рэчаісных лікаў можна таксама разглядаць як прыклад ступенных радоў з цэлымі каэфіцыентамі, але з вызначаным аргументам *x*, роўным 1⁄10. У тэорыі лікаў, паняцце p-адычных лікаў таксама цесна звязана з ідэяй ступенных радоў.

Прыклады
--------

Паказчыкавая функцыя (сіняя), і сума першых *n*+1 членаў яе ступеннага рада Маклорэна (чырвоная).
Любы мнагачлен лёгка можна запісаць у выглядзе ступеннага рада каля любога цэнтра *c*, пры гэтым такі рад будзе ўтрымліваць толькі канечную колькасць ненулявых членаў. Напрыклад, мнагачлен {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3} можна запісаць як ступенны рад у наваколлі пункта {\displaystyle c=0}:

{\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots \,}
ці ў наваколлі пункта {\displaystyle c=1}:

{\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}}{\displaystyle +0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots \,}
ці ў наваколлі любога іншага пункта *c*.

Ступенныя рады можна вобразна разглядаць як «мнагачлены бесканечнае ступені», аднак, строга кажучы, ступенныя рады — не мнагачлены.

Формула для сумы бесканечнай геаметрычнай прагрэсіі

{\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}
справядлівая пры {\displaystyle |x|<1}, — адзін з найважнейшых прыкладаў ступенных радоў.

Іншымі шырокавядомымі прыкладамі ступенных радоў з'яўляюцца формулы для паказчыкавай функцыі

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
і сінуса

{\displaystyle \sin(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}
справядлівыя для ўсіх рэчаісных x.
Названыя рады таксама з'яўляюцца прыкладамі радоў Тэйлара.

Адмоўныя ступені ў ступенных радах не дапускаюцца. Так, напрыклад, рад {\displaystyle 1+x^{-1}+x^{-2}+\cdots }
не разглядаецца як ступенны (хаця з'яўляецца радам Ларана). Дробныя ступені, як напрыклад {\displaystyle x^{1/2}}, таксама не дапушчальныя (гл. аднак рад Пюізё). Каэфіцыенты {\displaystyle a\_{n}} не павінны залежаць ад {\displaystyle x}, таму, напрыклад, выраз:

{\displaystyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots \,}
не з'яўляецца ступенным радам.

Радыус збежнасці
----------------

Ступенны рад можа для адных значэнняў *x* збягацца, а для другіх разбягацца. Усе ступенныя рады *f*(*x*) па ступенях (*x*-*c*) будуць збягацца ў пункце *x* = *c*. (Пры гэтым, каб атрымаць правільнае *f*(*c*) = *a*0, трэба прыняць па азначэнню, што 00 роўны 1.) Калі *c* — не адзіны пункт збежнасці, тады заўсёды існуе лік *r*, 0 < *r* ≤ ∞, такі што рад збягаецца пры |*x* − *c*| < *r* і разбягаецца пры |*x* − *c*| > *r*. Лік *r* называецца **радыусам збежнасці** ступеннага рада; у агульным выпадку ён вызначаецца як

{\displaystyle r=\liminf \_{n\to \infty }\left|a\_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}
ці, што раўназначна, як
{\displaystyle r^{-1}=\limsup \_{n\to \infty }\left|a\_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}
Гэты факт носіць назву тэарэмы Кашы — Адамара.

Радыус збежнасці зручна вылічаць як граніцу

{\displaystyle r^{-1}=\lim \_{n\to \infty }\left|{a\_{n+1} \over a\_{n}}\right|,}
калі яна існуе.

Рад збягаецца абсалютна пры |*x* − *c*| < *r* і раўнамерна на любым кампактным падмностве круга збежнасці {*x* : |*x* − *c*| < *r*}. Г. зн. рад абсалютна і кампактна збежны ўнутры круга збежнасці.

Пры |*x* − *c*| = *r* у агульным выпадку нельга адназначна сказаць збягаецца рад ці не. Тым не менш, у выпадку рэчаісных зменных тэарэма Абеля сцвярджае, што сума рада непарыўная ў *x*, калі рад збягаецца ў *x*. У выпадку камплексных зменных можна сцвярджаць толькі непарыўнасць уздоўж адрэзка, які злучае *c* і *x*.

Аперацыі над ступеннымі радамі
------------------------------

### Складанне і адыманне

Калі дзве функцыі *f* і *g* раскладзены ў ступенныя рады ў наваколлі аднаго пункта *c*, ступенны рад сумы ці рознасці гэтых функцый можна атрымаць пачленным складаннем ці адыманнем адпаведна. Г. зн. калі:

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}}
{\displaystyle g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}}
то

{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(a\_{n}\pm b\_{n})(x-c)^{n}.}
### Множанне і дзяленне

З улікам прыведзеных вышэй абазначэнняў, ступенныя рады здабытку і дзелі функцый можна атрымаць наступным чынам:

{\displaystyle f(x)g(x)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}\right)}
{\displaystyle =\sum \_{i=0}^{\infty }\sum \_{j=0}^{\infty }a\_{i}b\_{j}(x-c)^{i+j}}
{\displaystyle =\sum \_{n=0}^{\infty }\left(\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}b\_{n-i}\right)(x-c)^{n}.}
Паслядоўнасць {\displaystyle m\_{n}=\sum \_{i=0}^{n}a\_{i}b\_{n-i}} вядома як згортка паслядоўнасцей {\displaystyle a\_{n}} і {\displaystyle b\_{n}}.

Для дзелі маем:

{\displaystyle {f(x) \over g(x)}={\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n} \over \sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}}=\sum \_{n=0}^{\infty }d\_{n}(x-c)^{n}}
{\displaystyle f(x)=\left(\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}\right)\left(\sum \_{n=0}^{\infty }d\_{n}(x-c)^{n}\right)}
і далей, параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях, знаходзім невядомыя каэфіцыенты *d**n*.

### Дыферэнцаванне і інтэграванне

Вызначаная ступенным радам функцыя дыферэнцавальная ўнутры абсягу збежнасці. Яе можна лёгка прадыферэнцаваць і праінтэграваць, разглядаючы кожны член паасобку:

{\displaystyle f'(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {a\_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}
Абодва рада маюць той жа радыус збежнасці, што і зыходны рад.

Аналітычныя функцыі
-------------------

Функцыя *f*, вызначаная на некаторым адкрытым падмностве *U* мноства **R** ці **C**, называецца **аналітычнаю**, калі яна лакальна задаецца збежным ступенным радам. Гэта значыць, што для кожнага пункта *a* ∈ *U* ёсць адкрытае наваколле *V* ⊆ *U*, такое што існуе ступенны рад з цэнтрам *a*, які збягаецца да *f*(*x*) для любога *x* ∈ *V*.

Кожны ступенны рад з дадатным радыусам збежнасці задае аналітычную функцыю на ўнутранасці яго абсягу збежнасці. Усе галаморфныя функцыі камплексна аналітычныя. Сумы і здабыткі аналітычных функцый — аналітычныя функцыі, дзелі таксама аналітычныя, калі дзельнік не роўны нулю.

Калі функцыя аналітычная, то яна бесканечна дыферэнцавальная. Але адваротнае ў рэчаісным выпадку, увогуле кажучы, няверна. Для аналітычнай функцыі каэфіцыенты *a**n* можна вылічыць па формуле

{\displaystyle a\_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}
дзе {\displaystyle f^{(n)}(c)} — *n*-я вытворная функцыі *f* у пункце *c*, і {\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}. Гэта значыць, што кожную аналітычную функцыю можна лакальна прадставіць у выглядзе яе рада Тэйлара.

На глабальным узроўні аналітычная функцыя поўнасцю вызначаецца сваімі лакальнымі паводзінамі ў наступным сэнсе: калі *f* і *g* дзве аналітычныя функцыі, вызначаныя на адным і тым жа звязным адкрытым мностве *U*, і існуе элемент *c*∈*U*, такі што *f*(*n*)(*c*) = *g*(*n*)(*c*) для ўсіх *n* ≥ 0, тады *f*(*x*) = *g*(*x*) для ўсіх *x* ∈ *U*.

Калі зададзен ступенны рад з радыусам збежнасці *r*, можна разглядаць аналітычныя працягі гэтага рада, г. зн. аналітычныя функцыі *f*, вызначаныя на мноствах, большых чым { *x* : |*x* − *c*| < *r* }, і ўзгодненыя з даным ступенным радам на гэтым мностве. Лік *r* з'яўляецца найбольшым у наступным сэнсе: заўсёды ёсць камплексны лік *x* на акружнасці |*x* − *c*| = *r*, такі што ў гэтым пункце рад нельга аналітычна працягнуць.

Раскладанне адваротнай да аналітычнай функцыі можна вызначыць, карыстаючыся Лагранжавай тэарэмай аб абарачэнні.

Фармальныя ступенныя рады
-------------------------

Асноўны артыкул: **Фармальны ступенны рад**
У абстрактнай алгебры, імкнуцца да вывучэння сутнасці ступенных радоў, не абмяжоўваючыся палямі рэчаісных і камплексных лікаў і не звяртаючы ўвагі на пытанні збежнасці. Гэта вядзе да паняцця фармальнага ступеннага рада, вельмі карыснага ў алгебраічнай камбінаторыцы.

Ступенныя рады ад некалькіх зменных
-----------------------------------

Для мэт аналізу функцый многіх зменных неабходна пашырэнне тэорыі. Тут, **ступенны рад** — гэта бесканечны рад віду

{\displaystyle f(x\_{1},\dots ,x\_{n})=\sum \_{j\_{1},\dots ,j\_{n}=0}^{\infty }a\_{j\_{1},\dots ,j\_{n}}\prod \_{k=1}^{n}\left(x\_{k}-c\_{k}\right)^{j\_{k}},}
дзе *j* = (*j*1, …, *j**n*) — вектар натуральных лікаў, каэфіцыенты
*a*(*j1,…,jn*) звычайна рэчаісныя ці камплексныя лікі, цэнтр *c* = (*c*1, …, *c**n*) і аргумент *x* = (*x*1, …, *x**n*) звычайна рэчаісныя ці камплексныя вектары. У зручнейшай шматындэксных абазначэннях гэта можна запісаць як

{\displaystyle f(x)=\sum \_{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a\_{\alpha }\left(x-c\right)^{\alpha }.}
Тэорыя такіх радоў больш складаная і мудрагелістая чым для радоў ад аднае зменнай, з больш складанымі абласцямі збежнасці. Напрыклад, ступенны рад {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }x\_{1}^{n}x\_{2}^{n}} збягаецца абсалютна на мностве {\displaystyle \{(x\_{1},x\_{2}):|x\_{1}x\_{2}|<1\}} паміж дзвюма гіпербаламі. (Гэта прыклад *лагарыфмічна выпуклага мноства* ў тым сэнсе, што мноства пунктаў {\displaystyle (\log |x\_{1}|,\log |x\_{2}|)}, дзе {\displaystyle (x\_{1},x\_{2})} ляжыць у вышэйназванай вобласці, ёсць выпуклае мноства. У больш агульным выглядзе можна паказаць, што пры c=0 унутранасць вобласці абсалютнай збежнасці заўсёды ёсць лагарыфмічна выпуклае мноства.) З другога боку, унутры гэтай вобласці збежнасці рад можна дыферэнцаваць і інтэграваць пачленна, гэтак жа як і звычайныя ступенныя рады.

Гл. таксама
-----------

* Тэарэма Тэйлара
* Рад Тэйлара
* Лінейнае прыбліжэнне

Літаратура
----------

* Solomentsev, E.D. (2001). "Power series". in Hazewinkel, Michiel. *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.
* *Гусак А. А.* Ступе́нны шэ́раг // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 223. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Formal Power Series (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
* *Weisstein, Eric W.* Power Series (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
* Complex Power Series Module by John H. Mathews
* Powers of Complex Numbers by Michael Schreiber, Wolfram Demonstrations Project.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кiтайская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 73905626 |