Прамавугольны трохвугольнік
**Прамавугольны трохвугольнік** — гэта трохвугольнік, у якім адзін вугал прамы (гэта значыць складае 90 градусаў).

Суадносіны паміж бакамі і вугламі прамавугольнага трохвугольніка ляжаць у аснове трыганаметрыі.

Звязаныя азначэнні
------------------

* Бок, супрацьлеглы да прамога вугла, называецца гіпатэнузай (бок c на малюнку вышэй).
* Бакі, прылеглыя да прамога вугла, называюцца катэтамі. Бок a можа быць ідэнтыфікаваны як прылеглы да вугла B і процілеглы да вугла A, а бок b — як прылеглы да вугла A і процілеглы да В.

Тыпы прамавугольных трохвугольнікаў
-----------------------------------

* Калі даўжыні ўсіх трох бакоў прамавугольнага трохвугольніка з'яўляюцца цэлымі лікамі, то трохвугольнік завецца **піфагоравым трохвугольнікам**, а даўжыні яго бакоў утвараюць так званую піфагораву тройку.

Прыкметы роўнасці прамавугольных трохвугольнікаў
------------------------------------------------

* **Па двух катэтах**

Калі катэты аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэтам іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

* **Па катэтах і вострым вугле**

Калі катэт і прылеглы да яго востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя катэту і прылегламу да яго востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

* **Па гіпатэнузе і вострым вугле**

Калі гіпатэнуза і востры вугал аднаго прамавугольнага трохвугольніка адпаведна роўныя гіпатэнузе і востраму вуглу іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

* **Па гіпатэнузе і катэту**

Калі гіпатэнуза і катэт аднаго прамавугольнага трохвугольніка роўныя гіпатэнузе і катэту іншага прамавугольнага трохвугольніка, то такія трохвугольнікі роўныя.

Уласцівасці
-----------

Далей мяркуем, што {\displaystyle a} і {\displaystyle b} даўжыні катэтаў, а {\displaystyle c} даўжыня гіпатэнузы

* *(Тэарэма Піфагора)*
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}

* Плошча прамавугольнага трохвугольніка роўная палове здабытку двух яго катэтаў. Гэта значыць,

* {\displaystyle S={\tfrac {1}{2}}ab.}

* Для медыян {\displaystyle m\_{a}}, {\displaystyle m\_{b}} і {\displaystyle m\_{c}} выконваюцца наступныя суадносіны:

* {\displaystyle m\_{a}^{2}+m\_{b}^{2}=5m\_{c}^{2}={\frac {5}{4}}c^{2}.}

* + У прыватнасці, медыяна, якая падае на гіпатэнузу, роўная палове гіпатэнузы.

### Вышыня

Вышыня прамавугольнага трохвугольніка.
Калі вышыня праведзена з вяршыні з прамым вуглом да гіпатэнузы, то трохвугольнік дзеліцца на два меншыя трохвугольнікі, падобныя зыходнаму і падобныя адзін аднаму. З гэтага вынікае:

* Вышыня ёсць сярэдняе геаметрычнае (сярэдняе прапарцыянальнае) двух сегментаў гіпатэнузы.

* Кожны катэт трохвугольніка ёсць сярэдняе прапарцыянальнае гіпатэнузы і сумежных сегментаў.

* Справядлівыя суадносіны:

{\displaystyle \displaystyle f^{2}=de,} (часам гэта называюць тэарэмай вышыні прамавугольнага трохвугольніка)
{\displaystyle \displaystyle b^{2}=ce,}
{\displaystyle \displaystyle a^{2}=cd,}
дзе *a*, *b*, *c*, *d*, *e*, *f* паказаныя на дыяграме. Такім чынам:
{\displaystyle f={\frac {ab}{c}}.}
* Вышыня, апушчаная на гіпатэнузу, звязана з катэтамі прамавугольнага трохвугольніка суадносінамі:
{\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}+{\frac {1}{b^{2}}}={\frac {1}{f^{2}}}.}

### Іншыя ўласцівасці

Радыус упісанай акружнасці ў прамавугольны трохвугольнік з катэтамі {\displaystyle m\_{a}}, {\displaystyle m\_{b}} і гіпатэнузай {\displaystyle m\_{c}} роўны:

{\displaystyle r={\frac {a+b-c}{2}}={\frac {ab}{a+b+c}}.}
Калі адрэзкі даўжынёй {\displaystyle p} і {\displaystyle q}, выходныя з вяршыні C, дзеляць гіпатэнузу на тры роўныя адрэзкі даўжыні *c*/3, то::pp. 216-217

{\displaystyle p^{2}+q^{2}=5\left({\frac {c}{3}}\right)^{2}.}
Прамавугольны трохвугольнік з'яўляецца адзіным трохвугольнікам з двума, а не трыма, упісанымі квадратамі, якія адрозніваюцца адзін ад аднаго.

Хай *h* і *s* (*h*>*s*) — бакі двух квадратаў, упісаных у прамавугольны трохвугольнік з гіпатэнузай *c*. Тады:

{\displaystyle {\frac {1}{c^{2}}}+{\frac {1}{h^{2}}}={\frac {1}{s^{2}}}.}
Перыметр прамавугольнага трохвугольніка роўны суме радыусаў упісанай і трох апісаных акружнасцей.

Зноскі
------

1. ↑  Wentworth p. 156
2. ↑  Voles, Roger, «Integer solutions of {\displaystyle a^{-2}+b^{-2}=d^{-2}},» *Mathematical Gazette* 83, July 1999, 269—271.
3. ↑  Richinick, Jennifer, "The upside-down Pythagorean Theorem, "*Mathematical Gazette* 92, July 2008, 313—317.
4. ↑  Posamentier, Alfred S. and Salkind, Charles T. *Challenging Problems in Geometry*, Dover, 1996.
5. ↑  Bailey, Herbert, and DeTemple, Duane, «Squares inscribed in angles and triangles», *Mathematics Magazine* 71(4), 1998, 278—284.

Спасылкі
--------

|  |  |
| --- | --- |
| commons: | Прамавугольны трохвугольнік на Вікісховішчы |

* Calculator for right triangles Архівавана 30 верасня 2017.
* Wentworth, G.A. (1895). *A Text-Book of Geometry*. Ginn & Co.. .