**Лімі́т**, у старых і агульных слоўніках названы таксама **грані́ца**  — адно з асноўных паняццяў матэматыкі. Сутнасць паняцця ліміту заключаецца ў тым, што некаторая велічыня, залежная ад зменнай, пры пэўным змяненні апошняй адвольна блізка набліжаецца да пэўнай сталай велічыні. Паняцце блізкасці асноўнае пры азначэнні ліміту. Залежна ад таго, у якіх прасторах яго ўводзяць, паняцце ліміту набывае пэўны сэнс.

На паняцці ліміту грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял, інтэграл.

Ліміт у матэматычным аналізе
----------------------------

### Ліміт паслядоўнасці

Асноўны артыкул: **Ліміт паслядоўнасці**
**Ліміт паслядоўнасці** азначаецца для паслядоўнасці {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} элементаў *x**n* тапалагічнай прасторы *X* пры імкненні *n* да бесканечнасці. Кажуць, што паслядоўнасць {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} *збягаецца да свайго ліміту* {\displaystyle a\in X}, калі для любога наваколля *U*(*a*) элемента *a* існуе нумар *N**U* , такі што для ўсіх *n* ≥ *N**U* выконваецца {\displaystyle x\_{n}\in U(a)}.
Таксама існуе сінанімічнае азначэнне: кажуць, што паслядоўнасць {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} *збягаецца да свайго ліміту* {\displaystyle a\in X}, калі для любога *ε*, якое больш за нуль, існуе *N*, якое залежыць ад *ε*, пры якім для любога n большага за N выконваецца няроўнасць: {\displaystyle \left\vert x\_{n}-a\right\vert <\epsilon }.
Збежнасць паслядоўнасці {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} да ліміту *a* запісваюць як

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}=a.}
### Ліміт функцыі

Асноўны артыкул: **Ліміт функцыі**
Няхай *X* і *Y* — тапалагічныя прасторы. Няхай функцыя *f* : *E* → *Y* вызначана на мностве *E*, якое з’яўляецца падмноствам прасторы *X*. Будзем лічыць, што ў любым наваколлі пункта {\displaystyle x\_{0}\in X} ёсць хаця б адзін пункт мноства *E*.

Пункт {\displaystyle a\in Y} называюць **лімітам функцыі** *f* пры імкненні *x* да *x*0 , калі для ўсякага наваколля *V* пункта *a* ў прасторы *Y* існуе такое наваколле *U*0 пункта *x*0 у прасторы *X*, што для адвольнага пункта {\displaystyle x\in E\cap U\_{0}} яго вобраз *f*(*x*) належыць *V*, г.зн. {\displaystyle f(E\cap U\_{0})\subset V.}

Пры гэтым пішуць

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to x\_{0}}f(x)=a,}
або *f*(*x*) → *a* пры *x* → *x*0.

### Ліміт інтэгральных сум

Асноўны артыкул: **Інтэграванне**
Гл. таксама: Інтэгральная сума
Гл. таксама: Інтэграл Рымана
Гл. таксама: Інтэграл Лебега
Няхай на адрэзку [*a*, *b*] вызначана функцыя  *y* = *f*(*x*). Падзелім гэты адрэзак пунктамі *a* = *x*0 < *x*1 < ... < *x**n* = *b* на *n* частак і на кожным з атрыманых меншых адрэзкаў возьмем адвольны лік {\displaystyle \xi \_{k}\in [x\_{k-1},x\_{k}]}. Інтэгральная сума вызначаецца як

{\displaystyle S\_{n}=f(\xi \_{1})(x\_{1}-x\_{0})+f(\xi \_{2})(x\_{2}-x\_{1})+\dots +f(\xi \_{n})(x\_{n}-x\_{n-1}).}
Калі існуе канечны ліміт інтэгральных сум пры імкненні да нуля найбольшай з рознасцей *x**i* − *x**i*-1, то яна называецца *вызначаным* *інтэгралам Рымана* ад функцыі *f* на адрэзку [*a*, *b*].

Інтэграл Лебега таксама вызначаецца як ліміт інтэгральных сум, толькі гэтыя сумы будуюцца інакш.

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. ↑  
Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
3. ↑  
*Булыко А.Н. Полещук Н.В.* Белорусско-русский, русско-белорусской словарь. — 3-е изд. — Минск: Попурри, 2010. — С. 74, 556.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кiтайская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) · Treccani · Universalis · Universalis |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4316404-3 · Microsoft: 151201525 · NDL: 00567231 |