| {\displaystyle n} | {\displaystyle n!} |
| --- | --- |
| 0 | 1 |
| 1 | 1 |
| 2 | 2 |
| 3 | 6 |
| 4 | 24 |
| 5 | 120 |
| 10 | 3.628.800 |
| 20 | 2,432… · 1018 |
| 50 | 3,041… · 1064 |
| 100 | 9,332… · 10157 |

**Фактарыя́л ліку *n*** (лац.: factorialis — дзеючы, множачы; абазначаецца ***n*!**, чытаецца *эн фактарыя́л*) — здабытак усіх натуральных лікаў ад 1 да *n* уключна:

{\displaystyle n!=1\cdot 2\cdot \ldots \cdot n=\prod \_{i=1}^{n}i.}
Напрыклад:

{\displaystyle 5!=5\times 4\times 3\times 2\times 1=120.}
Па азначэнню лічаць 0! = 1. Фактарыял вызначаны толькі для цэлых неадмоўных лікаў. 

Паслядоўнасць фактарыялаў неадмоўных цэлых лікаў пачынаецца так:

1, 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40 320, 362 880, 3 628 800, 39 916 800, 479 001 600, 6 227 020 800, 87 178 291 200, 1 307 674 368 000, 20 922 789 888 000, 355 687 428 096 000, 6 402 373 705 728 000, 121 645 100 408 832 000, 2 432 902 008 176 640 000, … (паслядоўнасць A000142 у OEIS)
Фактарыялы часта выкарыстоўваюцца ў камбінаторыцы, тэорыі лікаў і функцыянальным аналізе. 

Як функцыя, фактарыял вельмі хутка нарастае. Ён расце хутчэй, чым мнагачлен любой ступені, і хутчэй, чым паказчыкавая функцыя (але павольней, чым двайная экспаненцыяльная функцыя {\displaystyle e^{e^{n}}}).

Уласцівасці
-----------

### Зваротная формула

{\displaystyle n!={\begin{cases}1&n=0,\\n\cdot (n-1)!&n>0.\end{cases}}}
### Камбінаторнае вытлумачэнне

У камбінаторыцы фактарыял натуральнага ліку *n* вытлумачваецца як колькасць перастановак (упарадкаванняў) мноства з *n* элементаў. Напрыклад, для мноства {*A*,*B*,*C*,*D*} з 4-х элементаў існуе 4! = 24 перастаноўкі:

```
ABCD  BACD  CABD  DABC
ABDC  BADC  CADB  DACB
ACBD  BCAD  CBAD  DBAC
ACDB  BCDA  CBDA  DBCA
ADBC  BDAC  CDAB  DCAB
ADCB  BDCA  CDBA  DCBA
```

Камбінаторны сэнс фактарыяла служыць абгрунтаваннем тоеснасці 0! = 1, бо пустое мноства можна ўпарадкаваць толькі адным спосабам.

### Сувязь з гама-функцыяй

Амплітуда і фаза фактарыяла камплекснага аргумента.
Фактарыял звязаны з гама-функцыяй ад цэлалікавага аргумента суадносінамі:

{\displaystyle n!=\Gamma (n+1).}
Такім чынам, гама-функцыю разглядаюць як абагульненне фактарыяла для дадатных рэчаісных лікаў. 

Шляхам аналітычнага працягу яе таксама пашыраюць і на ўсю камплексную плоскасць, за выключэннем асаблівых пунктаў пры {\displaystyle n=-1,-2,-3\ldots .}

Пі-функцыя, вызначаная для ўсіх рэчаісных лікаў, акрамя адмоўных цэлых, і роўная фактарыялу пры натуральных значэннях аргумента.
Больш непасрэдным абагульненне фактарыяла на мноства рэчаісных (і камплексных) лікаў з'яўляецца пі-функцыя, вызначаная як

{\displaystyle \Pi (z)=\int \_{0}^{\infty }t^{z}e^{-t}\,\mathrm {d} t\,.}
Паколькі {\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)\,,} то пі-функцыя натуральнага ліку супадае з яго фактарыялам: {\displaystyle \Pi (n)=n!.} Як фактарыял, пі-функцыя задавальняе зваротныя (рэкурсіўныя) суадносіны

{\displaystyle \Pi (z)=z\Pi (z-1)\,.}
### Формула Стырлінга

Асноўны артыкул: **Формула Стырлінга**
**Формула Стырлінга** — асімптатычная формула для вылічэння фактарыяла:

{\displaystyle n!={\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}\left(1+{\frac {1}{12n}}+{\frac {1}{288n^{2}}}-{\frac {139}{51840n^{3}}}-{\frac {571}{2488320n^{4}}}+{\frac {163879}{209018880n^{5}}}+{\frac {5246819}{75246796800n^{6}}}+O\left(n^{-7}\right)\right),}
гл. O-вялікае. Каэфіцыенты гэтага раскладання даюць паслядоўнасць A001163 у OEIS (лічнікі) і паслядоўнасць A001164 у OEIS (назоўнікі).

У многіх выпадках для прыбліжанага значэння фактарыяла дастаткова разглядаць толькі галоўны член формулы Стырлінга:

{\displaystyle n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.}
Пры гэтым можна сцвярджаць, што

{\displaystyle {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n+1)}<n!<{\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{1/(12n)}.}
Формула Стырлінга дазваляе атрымліваць прыбліжаныя значэнні фактарыялаў вялікіх лікаў без непасрэднага перамнажэння паслядоўнасці натуральных лікаў. Так, з дапамогаю формулы Стырлінга лёгка падлічыць, што 

* 100! ≈ 9,33×10157;
* 1000! ≈ 4,02×102567;
* 10 000! ≈ 2,85×1035 659.

### Раскладанне на простыя лікі

Кожны просты лік *p* ўваходзіць у раскладанне *n*! на простыя множнікі ў ступені

{\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n}{p^{3}}}\right\rfloor +\ldots .}
Такім чынам,

{\displaystyle n!=\prod \_{p}p^{\lfloor {\frac {n}{p}}\rfloor +\lfloor {\frac {n}{p^{2}}}\rfloor +\ldots },}
дзе здабытак бярэцца па ўсіх простых ліках. Няцяжка бачыць, што для ўсякага простага *p*, большага за *n*, адпаведны множнік у здабытку роўны 1, а таму здабытак можна браць толькі па простых *p*, не большых за *n*.

### Іншыя ўласцівасці

* Для натуральнага ліку *n*
{\displaystyle n!^{2}\geqslant n^{n}\geqslant n!\geqslant n.}

Абагульненні
------------

### Двайны фактарыял

**Двайны фактарыял** ліку *n* абазначаецца *n*!! і вызначаецца як здабытак усіх натуральных лікаў у адрэзку [1,*n*], маючых тую ж цотнасць што і *n*. Такім чынам,

{\displaystyle (2k)!!=2\cdot 4\cdot 6\cdots 2k=\prod \_{i=1}^{k}2i=2^{k}\cdot k!,}
{\displaystyle (2k+1)!!=1\cdot 3\cdot 5\cdots (2k+1)=\prod \_{i=0}^{k}(2i+1)={\frac {(2k+1)!}{2^{k}\cdot k!}}={\frac {(2k+1)!}{(2k)!!}}.}
Па азначэнню прымаюць 0!! = 1.

Паслядоўнасць значэнняў *n*!! пачынаецца так:

1, 1, 2, 3, 8, 15, 48, 105, 384, 945, 3840, 10 395, 46 080, 135 135, 645 120, 2 027 025, 10 321 920, 34 459 425, 185 794 560, 654 729 075, 3 715 891 200, 13 749 310 575, 81 749 606 400, 316 234 143 225, 1 961 990 553 600, 7 905 853 580 625, 51 011 754 393 600, … (паслядоўнасць A006882 у OEIS).
### Кратны фактарыял

***m*-кратны фактарыял** ліку *n* абазначаецца {\displaystyle \textstyle n\underbrace {!!\ldots !} \_{m}} і вызначаецца наступным чынам:

Няхай лік *n* можна прадставіць у выглядзе {\displaystyle n=mk-r,} дзе {\displaystyle k\in \mathbb {Z} ,} {\displaystyle r\in \{0,1,\ldots ,m-1\}.} Тады

{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} \_{m}=\prod \_{i=1}^{k}(mi-r).}
Двайны фактарыял з'яўляецца асобным выпадкам *m*-кратнага фактарыяла для *m* = 2.

Кратны фактарыял звязаны з гама-функцыяй наступнымі суадносінамі:

{\displaystyle n\underbrace {!!\ldots !} \_{m}=\prod \_{i=1}^{k}(mi-r)=m^{k}\cdot {\frac {\Gamma \left(k-{\frac {r}{m}}+1\right)}{\Gamma \left(1-{\frac {r}{m}}\right)}}.}
### Спадаючы фактарыял

**Спадаючым фактарыялам** (ці **няпоўным фактарыялам**) называецца выраз

{\displaystyle (n)\_{k}=n^{\underline {k}}=n^{[k]}=n\cdot (n-1)\cdot \ldots \cdot (n-k+1)={\frac {n!}{(n-k)!}}.}
Спадаючы фактарыял дае лік размяшчэнняў з *n* па *k*.

### Нарастаючы фактарыял

**Нарастаючым фактарыялам** называецца выраз

{\displaystyle n^{(k)}=n^{\overline {k}}=n\cdot (n+1)\cdot \ldots \cdot (n+k-1)={\frac {(n+k-1)!}{(n-1)!}}.}
### Прымарыял

**Прымарыял** (англ.: primorial) ліку *n* абазначаецца *n*# і вызначаецца як здабытак усіх простых лікаў, не большых чым *n*. Напрыклад,

11# = 12# = 2 · 3 · 5 · 7 · 11 = 2310.
Паслядоўнасць прымарыялаў (уключаючы {\displaystyle {\textstyle {1\#\equiv 1}}}) пачынаецца так:

1, 2, 6, 30, 210, 2310, 30 030, 510 510, 9 699 690, 223 092 870, 6 469 693 230, 200 560 490 130, 7 420 738 134 810, 304 250 263 527 210, 13 082 761 331 670 030, 614 889 782 588 491 400, 32 589 158 477 190 046 000, 1 922 760 350 154 212 800 000, … (паслядоўнасць A002110 у OEIS).
### Суперфактарыялы

Нейл Слоан і Сайман Плоуф (англ.) у 1995 годзе вызначылі **суперфактарыял** як здабытак першых *n* фактарыялаў. Згодна з гэтым азначэннем, суперфактарыял чатырох роўны 

{\displaystyle \operatorname {sf} (4)=1!\times 2!\times 3!\times 4!=288\,}
(устоянага абазначэння няма, таму выкарыстоўваецца функцыянальнае).

Такім чынам,

{\displaystyle \operatorname {sf} (n)=\prod \_{k=1}^{n}k!=\prod \_{k=1}^{n}k^{n-k+1}=1^{n}\cdot 2^{n-1}\cdot 3^{n-2}\cdots (n-1)^{2}\cdot n^{1}.}
Паслядоўнасць суперфактарыялаў лікаў {\displaystyle n\geqslant 0} пачынаецца так:

1, 1, 2, 12, 288, 34 560, 24 883 200, … (паслядоўнасць A000178 у OEIS).
Ідэя была абагульнена ў 2000 годзе Генры Ботамлі (англ.), што прывяло да **гіперфактарыялаў** (англ.: Superduperfactorial), якія з'яўляюцца здабыткам першых *n* суперфактарыялаў. Паслядоўнасць гіперфактарыялаў лікаў {\displaystyle n\geqslant 1} пачынаецца так:

1, 1, 2, 24, 6912, 238 878 720, 5 944 066 965 504 000, 745 453 331 864 786 800 000 000 000, 3 769 447 945 987 085 600 000 000 000 000 000 000 000 000, 6 916 686 207 999 801 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 … (паслядоўнасць A055462 у OEIS)
Працягваючы рэкурэнтна, можна вызначыць **фактарыял кратнага ўзроўню**, ці *m*-узроўневы фактарыял ліку *n*, як здабытак першых *n* (*m*−1)-узроўневых фактарыялаў, г. зн.

{\displaystyle \operatorname {mf} (n,m)=\operatorname {mf} (n-1,m)\operatorname {mf} (n,m-1)=\prod \_{k=1}^{n}k^{n-k+m-1 \choose n-k},}
дзе {\displaystyle \operatorname {mf} (n,0)=n} для {\displaystyle n>0} і {\displaystyle \operatorname {mf} (0,m)=1.}

### Субфактарыял

Асноўны артыкул: **Субфактарыял**
**Субфактарыял** !*n* вызначаецца як колькасць беспарадкаў парадку *n*, г. зн. перастановак *n*-элементнага мноства без нерухомых пунктаў.

Гл. таксама
-----------

* Фактарыён

Зноскі
------

1. ↑  «Энциклопедия для детей» Аванта+. Математика.
2. ↑  wolframalpha.com.

| ⛭Матэматычныя знакі |
| --- |
| Плюс ( **+** ) ·  Мінус ( **−** ) ·  Знак множання ( **·** або **×** ) ·  Знак дзялення ( **:** або **/** ) ·  Знак кораня ( **√** ) ·  Знак роўнасці ( **=**, **≈**, **≡** і інш.) ·  Знакі няроўнасці ( **≠**, **>**, **<** і інш.) ·  Бесканечнасць ( **∞** ) ·  Знак інтэграла ( **∫** ) ·  Фактарыял ( **!** ) ·  Вертыкальная рыса ( **|** ) ·  Знак градусу ( **°** ) ·  Хвіліна градусу ( **′** ) ·  Секунда градусу ( **″** ) ·  Рыска ( **′** ) ·  Зорачка ( **\*** ) ·  Зваротная касая рыса, бэкслеш ( **\** ) ·  Працэнт ( **%** ) ·  Праміле ( **‰** ) ·  Тыльда ( **~** ) ·  Цыркумфлекс ( **^** ) ·  Плюс-мінус ( **±** ) ·  Абелюс ( **÷** ) |
| Матэматыка ·  Гісторыя матэматычных абазначэнняў |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Britannica (онлайн) · Treccani |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4153607-1 · Microsoft: 183763347 |