Графік кубічнага мнагачлена
**Мнагачле́н**, або **мнагаскла́д**, паліном — алгебраічная сума канечнай колькасці адначленаў, г.зн. складнікаў выгляду

{\displaystyle a\_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\dots x\_{n}^{k\_{n}},}
дзе {\displaystyle a\_{k\_{1},k\_{2},\dots ,k\_{n}}} — пэўны лік (каэфіцыент), *x*1, *x*2, ... ,*x**n* — зменныя, *k*1, *k*2, ... ,*k**n* — цэлыя неадмоўныя лікі.

Мнагачлен ступені *n* ад адной зменнай *x* мае выгляд:

{\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-1}x^{n-1}+\dots +a\_{1}x+a\_{0},}
дзе *a*0, *a*1, ... ,*a**n* — сталыя (пастаянныя) лікі, якія называюцца каэфіцыентамі мнагачлена.

Інакш кажучы, мнагачлен — гэта матэматычны выраз канечнай даўжыні, збудаваны са зменных і каэфіцыентаў толькі шляхам складання, адымання, множання і ўзвядзення ў неадмоўную цэлую ступень (г.зн. могуць прысутнічаць натуральныя ступені зменных і нулявая ступень).
Аднак дзяленне сталых адна на адну можа прысутнічаць, бо па сутнасці дзяленне можна прадставіць праз множанне. Напрыклад, *x*2 − *x*/4 + 7 − мнагачлен, а *x*2 − 4/*x* + 7*x*3/2 − не, таму што ягоны другі складнік (4/*x*) утрымлівае дзяленне на зменную *x*, і да таго ж, ягоны трэці складнік утрымлівае няцэлую ступень зменнай.

Часцей за ўсё, у выпадках, калі нейкая велічыня можа быць запісана ў выглядзе мнагачлена ад нейкага параметра, у якасці прыметніка ўжываецца слова «полінаміяльны», вытворнае ад запазычанага з лацінскай мовы слова «паліном» (лац.: polynomial); напрыклад, паняцце полінаміяльны час, што ўжываецца ў тэорыі складанасці вылічэнняў.

Слова «паліном» (лац.: polynomial) было ўтворана ад грэчаскага «poly», «многа» і сярэдневяковага лацінскага «binomium», «двухчлен». Само гэта слова ўвёў у латынь Франсуа Віет .

Мнагачлены сустракаюцца ў шматлікіх галінах матэматыкі і навукі. Напрыклад, яны выкарыстоўваюцца для пабудовы сістэм алгебраічных ураўненняў, якія апісваюць самыя разнастайныя працэсы і з'явы, ад найпрасцейшых да найскладанейшых. Імі карыстаюцца пры вызначэнні полінаміяльных функцый, якія шырока ўжываюцца ў навуцы, пачынаючы з прыродазнаўчых навук аж да эканомікі і сацыяльных навук. Мнагачлены выкарыстоўваюцца ў матэматычным і лікавым аналізе для прыбліжэння іншых функцый. У вышэйшай матэматыцы мнагачлены выкарыстоўваюцца пры пабудове полінаміяльных колцаў, якія з'яўляюцца адным з найважнейшых паняццяў у абстрактнай алгебры і алгебраічнай геаметрыі.

Віды
----

**Мнагачлен (мнагасклад) ад адной зменнай** − гэта выраз выгляду

{\displaystyle c\_{n}x^{n}+\dots +c\_{1}x+c\_{0},}
дзе {\displaystyle c\_{i}} − сталыя каэфіцыенты, а {\displaystyle x} − зменная.

Прыклад: {\displaystyle x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1.}

**Мнагачлен ад *k* зменных** − канечная сумма, пабудаваная са складнікаў выгляду

{\displaystyle c\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k}}x\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\ldots x\_{k}^{i\_{k}},}
дзе {\displaystyle c\_{i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{k}}} − сталыя каэфіцыенты, {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\ldots x\_{k}} − зменныя,
{\displaystyle i\_{1},i\_{2},\dots ,i\_{k}} − сталыя неадмоўныя лікі.

Прыклад: {\displaystyle 17+12x-y-x^{2}+16xy+5y^{7}} − мнагачлен ад двух зменных.

**Адначлен** − найпрасцейшы мнагачлен, які ўтрымлівае толькі адзін складнік {\displaystyle c\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k}}x\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\ldots x\_{k}^{i\_{k}}.}

Характарыстыкі
--------------

**Ступенню** адначлена {\displaystyle t=c\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k}}x\_{1}^{i\_{1}}x\_{2}^{i\_{2}}\ldots x\_{k}^{i\_{k}}}, дзе {\displaystyle c\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k}}\neq 0}, называецца велічыня
{\displaystyle \deg(t)=i\_{1}+i\_{2}+\ldots +i\_{k}}.

У выпадку {\displaystyle c\_{i\_{1},i\_{2},\ldots ,i\_{k}}=0} (г.зн. *t* = 0) зручна лічыць, што ступень роўная адмоўнай бесканечнасці: {\displaystyle \deg(0)=-\infty .}

Прыклад: {\displaystyle \deg(25x^{3}y^{11}z)=15.}

**Ступенню** мнагачлена называецца найбольшая са ступеней яго складнікаў.

Прыклад: {\displaystyle \deg(x^{10}+15x^{7}-11x^{5}+1)=10.}

Простыя ўласцівасці
-------------------

* Сума мнагачленаў ёсць мнагачлен.
* Здабытак мнагачленаў ёсць мнагачлен.
* Вытворная мнагачлена *a*n*x*n + *a*n-1*x*n-1 + ... + *a*2*x*2 + *a*1*x* + *a*0 роўная мнагачлену n*a*n*x*n-1 + (n-1)*a*n-1*x*n-2 + ... + 2*a*2*x* + *a*1.

Каб вылічыць значэнне мнагачлена ў пункце, трэба прысвоіць зменным значэнні адпаведных каардынат гэтага пункта і выканаць патрэбныя множанні і складанні. Звычайна, у выпадку мнагачленаў ад адной зменнай вылічэнні выконваюцца па найбольш дзейснай схеме Горнера:

{\displaystyle ((\cdots ((a\_{n}x+a\_{n-1})x+a\_{n-2})x+\cdots +a\_{3})x+a\_{2})x+a\_{1})x+a\_{0}.}

Прыклады графікаў
-----------------

Для мнагачленаў ад адной рэчаіснай зменнай можна нарысаваць графік на плоскасці.

* Графік нулявога мнагачлена

*f*(*x*) = 0
вось *x*.
* Графік мнагачлена 0-й ступені (сталай)

*f*(*x*) = *a*0, дзе *a*0 ≠ 0,
лінія, паралельная восі *x*, якая перасякае вось *y* у пункце (0,*a*0).
* Графік мнагачлена 1-й ступені (або лінейнай функцыі)

*f*(*x*) = *a*0 + *a*1*x* , дзе *a*1 ≠ 0,
нахіленая прамая, што перасякае вось *y* у пункце (0,*a*0) і мае вуглавы каэфіцыент *a*1.
* Графік мнагачлена 2-й ступені (квадратнага трохчлена)

*f*(*x*) = *a*0 + *a*1*x* + *a*2*x*2, дзе *a*2 ≠ 0
парабала.
* Графік мнагачлена 3-й ступені (кубічнага мнагачлена)

*f*(*x*) = *a*0 + *a*1*x* + *a*2*x*2 + *a*3*x*3, дзе *a*3 ≠ 0
кубічная крывая.
* Графікі мнагачленаў 2-й ці большай ступені

*f*(*x*) = *a*0 + *a*1*x* + *a*2*x*2 + ... + *a**n**x**n* , дзе *a**n* ≠ 0 і *n* ≥ 2
з'яўляюцца непарыўнымі нелінейнымі крывымі.
* Квадратны мнагачлен:f(x) = x2 - x - 2Квадратны мнагачлен:  
*f*(*x*) = *x*2 - *x* - 2
* Кубічны мнагачлен:f(x) = x3/4 + 3x2/4 - 3x/2 - 2Кубічны мнагачлен:  
*f*(*x*) = *x*3/4 + 3*x*2/4 - 3*x*/2 - 2
* Мнагачлен 4-й ступені:f(x) = 1/14 (x+4)(x+1)(x-1)(x-3) ++ 0.5Мнагачлен 4-й ступені:  
*f*(*x*) = 1/14 (*x*+4)(*x*+1)(*x*-1)(*x*-3) +  
+ 0.5
* Мнагачлен 5-й ступені:f(x) = 1/20 (x+4)(x+2)(x+1)(x-1)(x-3) +  + 2Мнагачлен 5-й ступені:  
*f*(*x*) = 1/20 (*x*+4)(*x*+2)(*x*+1)(*x*-1)(*x*-3) +  
  + 2
* мнагачлен 6-й ступені:f(x) = 1/30 (x+3.5)(x+2)(x+1)(x-1) ×   × (x-3)(x-4) + 2мнагачлен 6-й ступені:  
*f*(*x*) = 1/30 (*x*+3.5)(*x*+2)(*x*+1)(*x*-1) ×   
  × (*x*-3)(*x*-4) + 2
* Мнагачлен 7-й ступені:f(x) = (x-3)(x-2)(x-1)(x)(x+1)(x+2)(x+3)Мнагачлен 7-й ступені:  
*f*(*x*) = (*x*-3)(*x*-2)(*x*-1)(*x*)(*x*+1)(*x*+2)(*x*+3)

Гл. таксама
-----------

* Дыскрымінант

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. ↑  БЭ ў 18 т. Т. 10. Мн. 2000.
3. ↑  
*Florian Cajori.* A History of Mathematics. — AMS, 1991. — ISBN 978-0-8218-2102-2.|

Літаратура
----------

* *Винберг Э. Б.* Алгебра многочленов. — М.: Просвещение, 1980. — 176 с.
* *В. В. Прасолов.* Многочлены. — М.: МЦНМО, 2003. — 336 с. — ISBN 5-94057-077-1.

  


| ⛭Алгебраічныя ўраўненні |
| --- |
| Ураўненні па ступенях | Лінейнае ўраўненне ·  Квадратнае ўраўненне ·  Кубічнае ўраўненне ·  Ураўненне 4-й ступені ·  Ураўненне 5-й ступені ·  Ураўненне 6-й ступені ·  Ураўненне 7-й ступені |
| Іншае | Зваротнае ўраўненне  ·  Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў |
| Асноўныя паняцці | Мнагачлен  ·  Корань мнагачлена  ·  Дыскрымінант  ·  Рэзультант  ·  Сіметрычны мнагачлен |
| Тэарэмы | Тэарэма Віета  ·  Тэарэма Безу  ·  Асноўная тэарэма алгебры  ·  Тэарэма Абеля — Руфіні |