***p*-адычны лік** (дзе *p* — нейкі выбраны просты лік) — элемент пашырэння поля рацыянальных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем поля рацыянальных лікаў адносна *p*-адычнай нормы, вызначанай на аснове ўласцівасцей дзялімасці цэлых лікаў на *р*.

*p*-адычныя лікі ўвёў Курт Хензэль[de] у 1897 годзе.

Поле *p*-адычных лікаў звычайна абазначаецца {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} ці {\displaystyle \mathbf {Q} \_{p}}.

Алгебраічная пабудова
---------------------

### Цэлыя *p*-адычныя лікі

#### Стандартнае азначэнне

Няхай *p* — некаторы просты лік.
**Цэлым *p*-адычным лікам** называецца бесканечная паслядоўнасць {\displaystyle x=\{x\_{1},x\_{2},\ldots \}} цэлых лікаў {\displaystyle x\_{n}}, якія задавальняюць умову:

{\displaystyle x\_{n}\equiv x\_{n+1}{\pmod {p^{n}}}.}
Дзве паслядоўнасці {\displaystyle {x\_{n}}} і {\displaystyle {y\_{n}}} вызначаюць адзін і той жа цэлы *p*-адычным лік тады і толькі тады, калі

{\displaystyle x\_{n}\equiv y\_{n}{\pmod {p^{n}}}}
для ўсіх *n* ≥ 1.

Складанне і множанне цэлых *p*-адычных лікаў вызначаецца як пачленнае складанне і множанне такіх паслядоўнасцей. Для іх непасрэдна правяраюцца ўсе аксіёмы кальца.

#### Азначэнне праз праектыўны ліміт

У тэрмінах праектыўных лімітаў[ru] кальцо цэлых *p*-адычных лікаў вызначаецца як ліміт

{\displaystyle \lim \_{\leftarrow }\mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }
кольцаў {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} } вылікаў па модулю {\displaystyle p^{n}} адносна натуральных праекцый {\displaystyle \mathbb {Z} /{p^{n+1}}\mathbb {Z} \to \mathbb {Z} /{p^{n}}\mathbb {Z} }.

Такія пабудовы можна правесці ў выпадку не толькі простага ліку {\displaystyle p}, але і любога састаўнога ліку {\displaystyle m} — атрымаецца т. зв. кальцо {\displaystyle m}-адычных лікаў, але гэтае кальцо ў адрозненне ад {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} утрымлівае дзельнікі нуля, таму далейшыя пабудовы, якія разглядаюцца ніжэй, для яго непрыдатныя.

#### Уласцівасці

Кальцо цэлых *p*-адычных лікаў звычайна абазначаецца {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}. Звычайныя цэлыя лікі ўкладваюцца ў {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} відавочным чынам: {\displaystyle x=\{x,x,\ldots \}} і з’яўляюцца падкальцом.

Беручы ў якасці элемента класа вылікаў лік {\displaystyle a\_{n}=x\_{n}\,{\bmod {\,}}{p^{n}}} (такім чынам, {\displaystyle 0\leq a\_{n}<p^{n}}), мы можам запісаць кожны цэлы *p*-адычны лік у выглядзе {\displaystyle x=\{a\_{1},a\_{2},\ldots \}} адназначным чынам. Такое прадстаўленне называецца *кананічным*.

Запісваючы кожнае *an* у *p*-ічнай сістэме злічэння {\displaystyle a\_{n}=b\_{n-1}\ldots b\_{1}b\_{0}} і, улічваючы, што

{\displaystyle a\_{n}\equiv a\_{n+1}\!\!{\pmod {p^{n}}},}
мы можам усякі *p*-адычны лік у кананічным выглядзе прадставіць як

{\displaystyle x=\{b\_{0},b\_{1}b\_{0},b\_{2}b\_{1}b\_{0},\ldots \}}
ці запісаць у выглядзе бесканечнай паслядоўнасці лічбаў у *p*-ічнай сістэме злічэння

{\displaystyle x=\{\ldots b\_{k}\ldots b\_{1}b\_{0}\}.}
Дзеянні над такімі паслядоўнасцямі ажыццяўляюцца па звычайных правілах складання, адымання і множання «слупком» у *p*-ічнай сістэме злічэння.

У такой форме запісу натуральным лікам і нулю адпавядаюць *p*-адычныя лікі з канечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, якія супадаюць з лічбамі зыходнага ліку. Адмоўным лікам адпавядаюць *p*-адычныя лікі з бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў, напрыклад у пяцярковай сістэме −1=…4444=(4).

### *p*-адычныя лікі

#### Азначэнне як поля дзелей

***p*-адычным лікам** называецца элемент поля дзелей {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} кальца {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} цэлых *p*-адычных лікаў.
Гэтае поле называецца **полем *p*-адычных лікаў**.

#### Уласцівасці

Поле *p*-адычных лікаў утрымлівае ў сабе поле рацыянальных лікаў.

Няцяжка даказаць, што любы цэлы *p*-адычны лік, някратны *p*, будзе абарачальным у колцы {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}}, а кратнае *p* адназначна запісваецца ў выглядзе {\displaystyle xp^{n}}, дзе лік *x* не дзеліцца на *p* і таму абарачальны, а *n* > 0.

Таму любы ненулявы элемент поля {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} можна запісаць у выглядзе {\displaystyle xp^{n}}, дзе *x* не кратнае *p*, а *n* любое.

Калі *n* адмоўнае, то, зыходзячы з прадстаўлення цэлых *p*-адычных лікаў у выглядзе паслядоўнасці лічбаў у *p*-ічнай сістэме злічэння, мы можам запісаць такі *p*-адычны лік у выглядзе паслядоўнасці

{\displaystyle x=\{\ldots b\_{k}\ldots b\_{2}b\_{1}b\_{0},b\_{-1}\ldots b\_{-n}\},}
г.зн. фармальна прадставіць у выглядзе *p*-ічнага дробу з канечным лікам лічбаў пасля коскі і, магчыма, бесканечнаю колькасцю ненулявых лічбаў да коскі.

Дзяліць такія лікі можна аналагічна «школьнаму» правілу, але пачынаючы з малодшых, а не старшых разрадаў ліку.

Метрычная пабудова
------------------

Любы ненулявы рацыянальны лік *x* можна запісаць як

{\displaystyle r=p^{n}\,{\frac {a}{b}},}
дзе *a* і *b* — цэлыя лікі, якія не дзеляцца на *p*, а *n* — цэлы лік, які ў такім прадстаўленні вызначаецца адназначна.

Тады *p*-адычная норма ліку *x* вызначаецца як

{\displaystyle |x|\_{p}=p^{-n}.}
Для нуля *p*-адычная норма паводле азначэння роўная нулю:

{\displaystyle |0|\_{p}=0.}
Поле *p*-адычных лікаў ёсць папаўненне поля рацыянальных лікаў з метрыкаю {\displaystyle d\_{p}}, вызначанаю *p*-адычнай нормай:

{\displaystyle d\_{p}(x,y)=|x-y|\_{p}.}
Гэтая пабудова аналагічная пабудове поля рэчаісных лікаў як папаўнення поля рацыянальных лікаў пры дапамозе нормы, якая з’яўляецца звычайнаю абсалютнаю велічынёю.

Норма {\displaystyle |r|\_{p}} працягваецца па непарыўнасці да нормы на {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}}.

Уласцівасці
-----------

* Кожны элемент *x* поля *p*-адычных лікаў можна прадставіць у выглядзе збежнага рада

{\displaystyle x=\sum \_{i=n\_{0}}^{\infty }a\_{i}p^{i}}
дзе {\displaystyle n\_{0}} — некаторы цэлы лік, а {\displaystyle a\_{i}} — цэлыя неадмоўныя лікі, не большыя чым {\displaystyle p-1}. А іменна, у якасці {\displaystyle a\_{i}} тут выступаюць лічбы з запісу *x* у сістэме злічэння з асноваю *p*. Такая сума заўсёды збягаецца ў метрыцы {\displaystyle d\_{p}} да самога {\displaystyle x}.
* *p*-адычная норма {\displaystyle |x|\_{p}} задавальняе моцную няроўнасць трохвугольніка

{\displaystyle |x-z|\_{p}\leq \max\{|x-y|\_{p},|y-z|\_{p}\}.}
* Лікі {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \_{p}} з умоваю {\displaystyle |x|\_{p}\leq 1} утвараюць кальцо {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} цэлых *p*-адычных лікаў, якое з’яўляецца папаўненнем кальца цэлых лікаў {\displaystyle \mathbb {Z} \subset \mathbb {Q} } у норме {\displaystyle |x|\_{p}}.
* Лікі {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \_{p}} з умоваю {\displaystyle |x|\_{p}=1} утвараюць мультыплікатыўную групу і называюцца *p*-адычнымі адзінкамі.
* Сукупнасць лікаў {\displaystyle x\in \mathbb {Q} \_{p}} з умоваю {\displaystyle |x|\_{p}<1} з’яўляецца галоўным ідэалам у {\displaystyle \mathbb {Z} \_{p}} з утваральным элементам *p*.

* Метрычная прастора {\displaystyle (\mathbb {Z} \_{p},d\_{p})} гомеаморфная Кантараву мноству, а прастора {\displaystyle (\mathbb {Q} \_{p},d\_{p})} гомеаморфная Кантараву мноству з выразаным пунктам.
* Для розных *p* нормы {\displaystyle |x|\_{p}} незалежныя, а палі {\displaystyle \mathbb {Q} \_{p}} неізаморфныя.
* Для любых элементаў {\displaystyle r\_{\infty }}, {\displaystyle r\_{2}}, {\displaystyle r\_{3}}, {\displaystyle r\_{5}}, {\displaystyle r\_{7}}, … такіх, што {\displaystyle r\_{\infty }\in \mathbb {R} } і {\displaystyle r\_{p}\in \mathbb {Q} \_{p}}, можна знайсці паслядоўнасць рацыянальных лікаў {\displaystyle x\_{n}} такіх, што для любога *p* {\displaystyle |x\_{i}-r\_{p}|\_{p}\to 0} і {\displaystyle |x\_{i}-r\_{\infty }|\to 0}.

Выкарыстанне
------------

* Калі {\displaystyle F(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})} — мнагачлен з цэлымі каэфіцыентамі, то вырашальнасць пры ўсіх *k* параўнання

{\displaystyle F(x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n})\equiv 0{\pmod {p^{k}}}}
раўназначная вырашальнасці ўраўнення
{\displaystyle F(x\_{1},x\_{2},\cdots ,x\_{n})=0}
у цэлых *p*-адычных ліках. Неабходнаю ўмоваю вырашальнасці гэтага ўраўнення ў цэлых ці рацыянальных ліках з’яўляецца яго вырашальнасць у кольцах ці, адпаведна, палях *p*-адычных лікаў пры ўсіх *p*, а таксама ў полі рэчаісных лікаў. Для некаторых класаў мнагачленаў (напрыклад, для квадратычных форм) гэтая ўмова з’яўляецца таксама дастатковаю.
На практыцы для праверкі вырашальнасці ўраўнення ў цэлых *p*-адычных ліках дастаткова праверыць вырашальнасць названага параўнання для пэўнага канечнага ліку значэнняў *k*. Напрыклад, згодна з лемаю Хензеля[en], пры {\displaystyle n=1} дастатковаю ўмоваю для вырашальнасці параўнання пры ўсіх натуральных *k* будзе наяўнасць простага рашэння ў параўнання па модулю *p* (г.зн. простага кораня ў адпаведнага ўраўнення ў полі вылікаў па модулю *p*). Інакш кажучы, пры {\displaystyle n=1} для праверкі наяўнасці кораня ў ураўнення у цэлых *p*-адычных ліках, як правіла, дастаткова рашыць адпаведнае параўнанне пры {\displaystyle k=1}.

Зноскі
------

1. ↑  чытаецца: *пэ-адычны*; адпаведна: *два-адычны*, *тры-адычны* і г.д.
2. ↑  *Kurt Hensel.* Über eine neue Begründung der Theorie der algebraischen Zahlen // *Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung*. — 1897. — Т. 6. — № 3. — С. 83—88. (ням.)

Літаратура
----------

* Robert, Alain M. (2000). *A Course in* p*-adic Analysis*. Springer. ISBN 0-387-98669-3.
* *Беккер Б. Востоков С. Ионин Ю.* 2-адические числа // *Квант*. — 1979. — Т. 2. — С. 26—31.
* *Боревич З. И. Шафаревич И. Р.* Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
* *Коблиц Н.* р-адические числа, р-адический анализ и дзета-функции. — М.: Мир, 1982.
* *Радына А. Я. Радына Я. В.* Элементарныя ўводзіны ў р-адычны аналіз. — Мн.: БДПУ, 2006.
* *Серр Ж.-П.* Курс арифметики. — М.: Мир, 1972.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.*. p-adic Number **(нявызн.)**. *MathWorld*.

* *p-adic integers* (англ.) на сайце PlanetMath.
* *p*-adic number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
* Completion of Algebraic Closure — on-line lecture notes by Brian Conrad
* An Introduction to *p*-adic Numbers and *p*-adic Analysis Архівавана 13 снежня 2016. — on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
* Efficient p-adic arithmetic (slides)

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Britannica (онлайн) · Universalis |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 12266608w · GND: 4044292-5 · LCCN: sh85096402 · Microsoft: 76704360 |

| ⛭Лікавыя сістэмы |
| --- |
| Злічальныямноствы | 
* Натуральныя лікі ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {N} })
* Цэлыя ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Z} })
* Рацыянальныя ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {Q} })
* Алгебраічныя ({\displaystyle \scriptstyle {\overline {\mathbb {Q} }}})
* Перыяды
* Вылічымыя
* Арыфметычныя

 |
| Рэчаісныя лікіі іх пашырэнні | 
* Рэчаісныя ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {R} })
* Камплексныя ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {C} })
* Кватэрніёны ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {H} })
* Лікі Кэлі (актавы, актаніёны) ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {O} })
* Седэніёны ({\displaystyle \scriptstyle \mathbb {S} })
* Альтэрніёны
* Працэдура Кэлі — Дыксана
* Дуальныя
* Гіперкамплексныя
* Суперрэчаісныя лікі (англ.)
* Гіперрэчаісныя лікі (англ.)
* Сюррэальныя лікі (англ.)

 |
| Іншыялікавыя сістэмы | 
* Кардынальныя лікі
* Парадкавыя лікі (трансфінітныя, ардынал)
* p-адычныя
* Супернатуральныя лікі

 |
| Гл. таксама | 
* Падвойныя лікі
* Ірацыянальныя лікі
* Трансцэндэнтныя
* Лікавы прамень
* Бікватэрніён

 |