| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае[en]
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Тэарэ́ма Ба́еса** — адна з асноўных тэарэм тэорыі імавернасцей, якая дазваляе падлічыць умоўную імавернасць падзеі пры выкананні іншай, статыстычна звязанай з ёй падзеі. Названа ў гонар Томаса Баеса.

Фармулёўка
----------

Калі {\displaystyle \{A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}\}} — поўная група падзей і ўсе {\displaystyle P(A\_{k})>0}, а {\displaystyle B} — падзея, якая таксама адбываецца з дадатнай імавернасцю, то:39



P
(

A

k

|

B
)
=

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)

P
(
B
)

=

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)

∑

i
=
1

n

P
(

A

i

)
P
(
B

|

A

i

)

.

{\displaystyle P(A\_{k}|B)={\frac {P(A\_{k})P(B|A\_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A\_{k})P(B|A\_{k})}{\sum \_{i=1}^{n}P(A\_{i})P(B|A\_{i})}}.}

{\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}
### Доказ

Згодна з тэарэмай множання імавернасцей



P
(
B
)
P
(

A

k

|

B
)
=
P
(

A

k

B
)
=
P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)
.

{\displaystyle P(B)P(A\_{k}|B)=P(A\_{k}B)=P(A\_{k})P(B|A\_{k}).}

{\displaystyle P(B)P(A_{k}|B)=P(A_{k}B)=P(A_{k})P(B|A_{k}).}
Адсюль праз формулу поўнай імавернасці вынікае, што



P
(

A

k

|

B
)
=

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)

P
(
B
)

=

P
(

A

k

)
P
(
B

|

A

k

)

∑

i
=
1

n

P
(

A

i

)
P
(
B

|

A

i

)

.

{\displaystyle P(A\_{k}|B)={\frac {P(A\_{k})P(B|A\_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A\_{k})P(B|A\_{k})}{\sum \_{i=1}^{n}P(A\_{i})P(B|A\_{i})}}.}

{\displaystyle P(A_{k}|B)={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{P(B)}}={\frac {P(A_{k})P(B|A_{k})}{\sum _{i=1}^{n}P(A_{i})P(B|A_{i})}}.}

Інтэрпрэтацыя
-------------

Падзеі {\displaystyle A\_{k}} можна інтэрпрэтаваць як гіпотэзы, {\displaystyle B} — вынік нейкага выпрабавання. Імавернасці {\displaystyle P(A\_{k})} — апрыёрныя[en] (вядомыя або меркаваныя яшчэ перад выпрабаваннем) імавернасці гіпотэз {\displaystyle A\_{k}}. Імавернасці {\displaystyle P(A\_{k}|B)} — апастэрыёрныя[en] (вылічаныя пасля выпрабавання) імавернасці. Такім чынам, тэарэма Баеса дазваляе вылічыць апастэрыёрныя імавернасці гіпотэз праз іхнія апрыёрныя імавернасці і ўмоўныя імавернасці {\displaystyle P(B|A\_{k})}:39.

Прыклад
-------

Няхай маецца дзве скрыні з шарамі. У першай скрыні 9 белых шароў і 1 чорны, а ў другой скрыні 9 чорных шароў і 1 белы. Спачатку выпадкова выбіраецца адна са скрынь, пасля з яе дастаецца шар (у кожнага шара, як і ў кожнай скрыні, імавернасці выбару роўныя паміж сабой). Вядома, што ў канцы працэдуры быў выбраны чорны шар. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што шар даставаўся з першай скрыні.

### Развязанне

Увядзём наступныя абазначэнні:

* {\displaystyle A\_{1}} — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з першай скрыні».
* {\displaystyle A\_{2}} — падзея (гіпотэза) «шар даставаўся з другой скрыні».
* {\displaystyle B} — падзея (вынік выпрабавання) «быў выбраны чорны шар».

З умовы задачы вядомыя апрыёрныя імавернасці {\displaystyle P(A\_{1})=P(A\_{2})=1/2}. З колькасці белых і чорных шароў у кожнай скрыні можна падлічыць умоўныя імавернасці {\displaystyle P(B|A\_{1})=1/10}, {\displaystyle P(B|A\_{2})=9/10}. Патрабуецца знайсці апастэрыёрную імавернасць {\displaystyle P(A\_{1}|B)} — імавернасць выбару першай скрыні, калі вядома, што выняты шар быў чорным.

Скарыстаем тэарэму Баеса:



P
(

A

1

|

B
)
=

P
(

A

1

)
P
(
B

|

A

1

)

P
(

A

1

)
P
(
B

|

A

1

)
+
P
(

A

2

)
P
(
B

|

A

2

)

=

{\displaystyle P(A\_{1}|B)={\frac {P(A\_{1})P(B|A\_{1})}{P(A\_{1})P(B|A\_{1})+P(A\_{2})P(B|A\_{2})}}=}

{\displaystyle P(A_{1}|B)={\frac {P(A_{1})P(B|A_{1})}{P(A_{1})P(B|A_{1})+P(A_{2})P(B|A_{2})}}=}

=

(
1

/

2
)
∗
(
1

/

10
)

(
1

/

2
)
∗
(
1

/

10
)
+
(
1

/

2
)
∗
(
9

/

10
)

=
1

/

10.

{\displaystyle ={\frac {(1/2)\*(1/10)}{(1/2)\*(1/10)+(1/2)\*(9/10)}}=1/10.}

{\displaystyle ={\frac {(1/2)*(1/10)}{(1/2)*(1/10)+(1/2)*(9/10)}}=1/10.}
Можна падлічыць і апастэрыёрную імавернасць другой гіпотэзы:



P
(

A

2

|

B
)
=
1
−
P
(

A

1

|

B
)
=
9

/

10.

{\displaystyle P(A\_{2}|B)=1-P(A\_{1}|B)=9/10.}

{\displaystyle P(A_{2}|B)=1-P(A_{1}|B)=9/10.}
Такім чынам, перад эксперыментам абедзве гіпотэзы мелі роўную імавернасць (апрыёрныя імавернасці роўныя {\displaystyle 1/2}, няма падстаў аддаваць перавагу той ці іншай гіпотэзе). Карыстаючыся вынікамі эксперыменту (выманне чорнага шара), мы абнавілі нашую ўпэўненасць у тым, якая з гіпотэз насамрэч адбылася (у другой гіпотэзы апастэрыёрная імавернасць вышэй, чым у першай). Такая працэдура ляжыць у аснове статыстычнага метаду баесавага высноўвання[en].

Зноскі
------

1. 1 2  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кітайская · Вялікая кітайская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4144221-0 · Microsoft: 207201462 |