**Цэнтра́льная грані́чная тэарэма (Ц. Г. Т.)** — агульная назва шэрага тэарэм у тэорыі імавернасцей, якія сцвярджаюць, што сума дастаткова вялікай колькасці слаба залежных выпадковых велічынь, у якіх прыкладна аднолькавыя маштабы (ні адзін са складнікаў не пераважвае, не ўносіць у суму вызначальнага ўкладу), мае размеркаванне, блізкае да нармальнага.

Многія выпадковыя велічыні ў прыкладаннях фарміруюцца пад уплывам некалькіх слаба залежных выпадковых фактараў, таму іх размеркаванне лічаць нармальным. Пры гэтым павінна выконвацца ўмова, што ні адзін з фактараў не пераважвае. Цэнтральныя гранічныя тэарэмы ў гэтых выпадках абгрунтоўваюць прымяненне нармальнага размеркавання.

Класічная Ц. Г. Т
-----------------

Няхай *X*1, ... *X**n*, ... — паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь з канечным матэматычным спадзяваннем µ і дысперсіяй σ2. Няхай таксама

{\displaystyle S\_{n}=\sum \limits \_{i=1}^{n}X\_{i}.}
Тады

{\displaystyle {\frac {S\_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}\to N(0,1)} па размеркаванню пры {\displaystyle n\to \infty ,}
дзе {\displaystyle N(0,1)} — нармальнае размеркаванне з нулявым матэматычным спадзяваннем і стандартным адхіленнем, роўным адзінцы.

Заўвагі
Абазначыўшы сімвалам {\displaystyle {\bar {X}}} выбарачнае сярэдняе першых {\displaystyle n} велічынь:

{\displaystyle {\bar {X}}={\frac {1}{n}}\sum \limits \_{i=1}^{n}X\_{i},}
вынік цэнтральнай гранічнай тэарэмы можна перапісаць у наступным выглядзе:

{\displaystyle {\sqrt {n}}{\frac {{\bar {X}}-\mu }{\sigma }}\to N(0,1)} па размеркаванню пры {\displaystyle n\to \infty }.
Скорасць збежнасці можна ацаніць з дапамогаю няроўнасці Беры — Эсеена.

* Кажучы прасцей, класічная цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што сума {\displaystyle n} незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь мае размеркаванне блізкае да {\displaystyle N(n\mu ,n\sigma ^{2}).} Ці, што тое самае, {\displaystyle {\bar {X}}} мае размеркаванне блізкае да {\displaystyle N(\mu ,\sigma ^{2}/n).}
* Паколькі функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання непарыўная, збежнасць к гэтаму размеркаванню раўназначная папунктавай збежнасці функцый размеркавання к функцыі размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання. Прымаючы {\displaystyle Z\_{n}={\frac {S\_{n}-\mu n}{\sigma {\sqrt {n}}}}}, атрымліваем {\displaystyle F\_{Z\_{n}}(x)\to \Phi (x),\;\forall x\in \mathbb {R} }, дзе {\displaystyle \Phi (x)} — функцыя размеркавання стандартнага нармальнага размеркавання.
* Цэнтральная гранічная тэарэма ў класічнай фармулёўцы даказваецца метадам характарыстычных функцый (тэарэма Леві аб непарыўнасці).
* Увогуле кажучы, са збежнасці функцый размеркавання не выцякае збежнасць шчыльнасцей. Тым не менш у дадзеным класічным выпадку гэта мае месца (пры ўмове, што для размеркавання велічынь *X**i* можна вызначыць шчыльнасць).

Лакальная Ц. Г. Т.
------------------

У дапушчэннях класічнае фармулёўкі, дапусцім у дадатак, што размеркаванне выпадковых велічынь {\displaystyle \{X\_{i}\}\_{i=1}^{\infty }} абсалютна непарыўнае, г. зн. мае шчыльнасць. Тады размеркаванне {\displaystyle Z\_{n}} таксама абсалютна непарыўнае, і больш таго,

{\displaystyle f\_{Z\_{n}}(x)\to {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}} пры {\displaystyle n\to \infty },
дзе {\displaystyle f\_{Z\_{n}}(x)} — шчыльнасць выпадковае велічыні {\displaystyle Z\_{n}}, а ў правай частцы стаіць шчыльнасць стандартнага нармальнага размеркавання.

Абагульненні
------------

Вынік класічнай цэнтральнай гранічнай тэарэмы верны для выпадкаў, значна больш агульных, чым выпадак поўнай незалежнасці і аднолькавага размеркавання.

### Ц. Г. Т. Ляпунова

Ляпуноў сфармуляваў і даказаў гэту тэарэму ў 1901 годзе.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні {*X**i*}  маюць канечныя матэматычныя спадзяванні μ*i* і дысперсіі σ2*i* і абсалютныя моманты E[|*X**i* − μ*i*|2+δ]. Няхай

{\displaystyle B\_{n}^{2}=\sum \_{i=1}^{n}\sigma \_{i}^{2},}
{\displaystyle r\_{n}^{2+\delta }=\sum \_{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[|X\_{i}-\mu \_{i}|^{2+\delta }\right].}
Няхай выконваецца **умова Ляпунова**:

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }{\frac {r\_{n}^{2+\delta }}{B\_{n}^{2+\delta }}}=0.}
Тады

{\displaystyle {\frac {1}{B\_{n}}}\sum \_{i=1}^{n}(X\_{i}-\mu \_{i})\to N(0,1)} па размеркаванню пры {\displaystyle n\to \infty }.
### Ц. Г. Т. Ліндэберга

Ліндэберг даказаў свой варыянт ЦГТ ў 1920-х гадах.

Няхай незалежныя выпадковыя велічыні *X*1, ... *X**n*, ... вызначаны на адной імавернаснай прасторы і маюць канечныя матэматычныя спадзяванні і дысперсіі:

{\displaystyle \mathbb {E} [X\_{i}]=\mu \_{i},\quad \mathrm {D} [X\_{i}]=\sigma \_{i}^{2}.}
Няхай

{\displaystyle B\_{n}^{2}=\sum \limits \_{i=1}^{n}\sigma \_{i}^{2}.}
І няхай выконваецца **ўмова Ліндэберга**: г. зн. для любога ε > 0

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }{\frac {1}{B\_{n}^{2}}}\sum \limits \_{i=1}^{n}\int \limits \_{|x-\mu \_{i}|>\varepsilon B\_{n}}(x-\mu \_{i})^{2}\,dF\_{i}(x)=0,}
дзе *F**i*(*x*) — функцыя размеркавання велічыні *X**i* .

Тады

{\displaystyle {\frac {1}{B\_{n}}}\sum \_{i=1}^{n}(X\_{i}-\mu \_{i})\to N(0,1)} па размеркаванню пры {\displaystyle n\to \infty }.
Заўвагі
* З лінейнасці матэматычнага спадзявання маем
{\displaystyle \mathbb {E} \left[\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}\right]=\sum \limits \_{i=1}^{n}\mu \_{i}.}
* Велічыні *X**i* незалежныя, таму
{\displaystyle \mathrm {D} \left[\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}\right]=\sum \limits \_{i=1}^{n}\sigma \_{i}^{2}=B\_{n}^{2}.}

* Умову Ліндэберга можна перапісаць у наступным відзе:
{\displaystyle \forall \varepsilon >0,\;\lim \limits \_{n\to \infty }{\frac {1}{B\_{n}^{2}}}\sum \limits \_{i=1}^{n}\mathbb {E} \left[(X\_{i}-\mu \_{i})^{2}\,\mathbf {1} \_{\{|X\_{i}-\mu \_{i}|>\varepsilon B\_{n}\}}\right]=0,}
дзе {\displaystyle \mathbf {1} \_{\{\dots \}}} — індыкатарная функцыя  (англ.) (бел..

### Ц. Г. Т. для мартынгалаў

Няхай працэс {\displaystyle (X\_{t})\_{t\in \mathbb {N} }} з'яўляецца мартынгалам  (англ.) (бел. з абмежаванымі прырашчэннямі, г. зн. для ўсіх *t*

{\displaystyle \mathbb {E} \left[X\_{t+1}-X\_{t}\mid X\_{1},\ldots ,X\_{t}\right]=0,}
і існуе такая пастаянная *C*, што для ўсіх *t* амаль напэўна  (англ.) (бел. справядліва няроўнасць

{\displaystyle |X\_{t+1}-X\_{t}|\leq C.}
Будзем таксама лічыць, што {\displaystyle |X\_{1}|\leq C.}

Няхай

{\displaystyle \sigma \_{t}^{2}=\mathbb {E} \left[(X\_{t}-X\_{t-1})^{2}\mid X\_{1},\ldots ,X\_{t-1}\right],}
і рад з σ2*i* разбягаецца з імавернасцю 1  (англ.) (бел.:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }\sigma \_{i}^{2}=\infty .}
Няхай

{\displaystyle \tau \_{\nu }=\min \left\{t:\sum \_{i=1}^{t}\sigma \_{t}^{2}\geq \nu \right\}.}
Тады

{\displaystyle {\frac {X\_{\tau \_{\nu }}}{\sqrt {\nu }}}\to N(0,1)} па размеркаванню пры {\displaystyle n\to \infty }.

Гл. таксама
-----------

* Закон вялікіх лікаў
* Закон паўторнага лагарыфма
* Тэарэма Беры — Эсеена
* Тэарэма Эрдзёша — Каца

Зноскі
------

1. 1 2  Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 241.
2. ↑  Гнеденко. Курс теории вероятностей. с. 237.
3. ↑  Billingsley (1995, Theorem 35.11, p. 476)

Літаратура
----------

* *Прохоров Ю. В.* Центральная предельная теорема // Математическая энциклопедия / И. М. Виноградов (гл. ред.). — М.: Советская энциклопедия. — Т. 5.
* *Гнеденко Б. В.* Курс теории вероятностей. — М.: Едиториал УРСС, 2005. — 448 с.
* *Вентцель Е. С.* Глава 13. Предельные теоремы теории вероятностей // Теория вероятностей. — М.: Наука, 1969. — 576 с.
* *Хинчин А. Я.* Основные законы теории вероятностей. — М.: ГТТИ, 1932. — 576 с.
* Billingsley, Patrick (1995). *Probability and Measure* (Third ed.). John Wiley & sons. ISBN 0-471-00710-2.

Спасылкі
--------

* Предельные теоремы теории вероятностей  (руск.)