**Размеркава́нне Пуасо́на** — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей выпадковай велічыні з цэлалікавымі неадмоўнымі значэннямі, якое апісвае імавернасць здарэння пэўнай колькасці падзей за акрэслены прамежак часу пры ўмове, што падзеі здараюцца з нязменнай сярэдняй частатой і незалежна ад таго, калі здарылася папярэдняя падзея.

Напрыклад, кругласутачны кол-цэнтр прымае ў сярэднім 180 званкоў на гадзіну. Званкі незалежныя, то бок тое, калі здарыцца наступны званок не залежыць ад таго, калі быў папярэдні, і імавернасць атрымаць званок не залежыць ад часу дня. Тады колькасць званкоў, атрыманых за хвіліну, будзе мець размеркаванне Пуасона з частатой 3. Хутчэй за ўсё за хвіліну будзе 2 ці 3 званкі, але 1 ці 4 таксама верагодныя значэнні. Ёсць невялікая імавернасць атрымаць 0 званкоў і зусім маленькая таго, што іх будзе 10 ці больш.

Гісторыя
--------

Размеркаванне атрымана Сімеонам Дэні Пуасонам у 1873 годзе пры вывядзенні прыбліжанай формулы біномнага размеркавання для вялікага ліку выпрабаванняў. У сваёй працы *Recherches sur la probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile* (1837) ён разважаў над колькасцю несправядлівых абвінавачванняў, выкарыстоўваючы пэўныя выпадковыя велічыні {\displaystyle N}, якія сярод іншага апісвалі колькасць здарэнняў цягам зададзенага прамежку часу:205-207. Аналагічны вынік ужо быў атрыманы ў 1711 годзе Абрахамам дэ Муаўрам у *De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus*. Такім чынам, назва размеркавання — прыклад выканання закона Стыглера[en], і некаторыя аўтары сцвярджаюць, што размеркаванне мусіць мець імя дэ Муаўр.

У 1860 годзе Сайман Ньюкам[en] выкарыстаў размеркаванне Пуасона для ацэнкі колькасці зорак на адзінку прасторы. У 1898 годзе Ладзіслаус Барткевіч[en] прымяняў размеркаванне каб даведацца колькі салдат прускай арміі гіне выпадкова ад конскіх удараў.

Азначэнне
---------

Кажуць, што дыскрэтная выпадковая велічыня {\displaystyle X} мае размеркаванне Пуасона з параметрам {\displaystyle \lambda >0,} калі яе функцыя імавернасці мае выгляд:

{\displaystyle p\_{X\sim \Pi (\lambda )}(k)={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda },}
дзе

* {\displaystyle k} — колькасць здарэнняў падзеі ({\displaystyle k=0,1,2,\ldots })
* {\displaystyle e} — лік Эйлера ({\displaystyle e=2.71828\ldots })
* {\displaystyle !} — фактарыял.

Характарыстыкі
--------------

### Матэматычнае спадзяванне

Матэматычнае спадзяванне размеркавання Пуасона можна знайсці, скарыстаўшыся адным з азначэнняў паказнікавай функцыі:118-119:

{\displaystyle \mathbb {E} [X]=\sum \_{k=0}^{\infty }k{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=e^{-\lambda }\left(0+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}\right)=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=}
{\displaystyle =\lambda e^{-\lambda }\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}=\lambda e^{-\lambda }e^{\lambda }=\lambda .}
### Дысперсія

Каб знайсці дысперсію, спачатку падлічым матэматычнае спадзяванне квадрата выпадковай велічыні з размеркаваннем Пуасона:119:

{\displaystyle \mathbb {E} [X^{2}]=\sum \_{k=0}^{\infty }k^{2}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}e^{-\lambda }=\lambda e^{-\lambda }\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {k\lambda ^{k-1}}{(k-1)!}}=\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}}{(k-1)!}}=}
{\displaystyle =\lambda e^{-\lambda }{\frac {d}{d\lambda }}\lambda e^{\lambda }=\lambda e^{-\lambda }(e^{\lambda }+\lambda e^{\lambda })=\lambda +\lambda ^{2}.}
Цяпер скарыстаемся формулай для дысперсіі:

{\displaystyle Var(X)=\mathbb {E} [X^{2}]-\mathbb {E} [X]^{2}=\lambda +\lambda ^{2}-\lambda ^{2}=\lambda .}

Выкарыстанне
------------

У тэарэтыка-імавернасных мадэлях размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца як прыбліжанае і як дакладнае размеркаванне.

Напрыклад, калі пры *n* незалежных выпрабаваннях падзеі *A*1, ... *A**n* назіраюцца з аднолькавай малой імавернасцю *p*, то імавернасць адначасовага ажыццяўлення якіх-небудзь *k* падзей прыбліжана выражаецца функцыяй *p**k*(*np*) (гл. тэарэма Пуасона).
У прыватнасці, такая мадэль добра апісвае працэс радыеактыўнага распаду і іншыя фізічныя з’явы.

Як дакладнае, размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца ў тэорыі выпадковых працэсаў, напрыклад, пры разліку нагрузкі ліній сувязі, дзе мяркуюць, што колькасці выклікаў на працягу неперасякальных інтэрвалаў часу ёсць незалежныя выпадковыя велічыні, якія падпарадкоўваюцца размеркаванню Пуасона.

Зноскі
------

1. 1 2 3  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. ↑  
Haight, Frank A. (1967). *Handbook of the Poisson Distribution*. New York, NY, US: John Wiley & Sons. ISBN 978-0-471-33932-8.
3. ↑  
Poisson, Siméon D. (1837). *Probabilité des jugements en matière criminelle et en matière civile, précédées des règles générales du calcul des probabilités* [*Research on the Probability of Judgments in Criminal and Civil Matters*] [французская]. Paris, France: Bachelier.
4. ↑  
de Moivre, Abraham (1711). "De mensura sortis, seu, de probabilitate eventuum in ludis a casu fortuito pendentibus" [On the Measurement of Chance, or, on the Probability of Events in Games Depending Upon Fortuitous Chance]. *Philosophical Transactions of the Royal Society* [лацінская]. **27** (329): 213–264. doi:10.1098/rstl.1710.0018.
5. ↑  
de Moivre, Abraham (1718). *The Doctrine of Chances: Or, A Method of Calculating the Probability of Events in Play*. London, Great Britain: W. Pearson. ISBN 9780598843753.
6. ↑  
de Moivre, Abraham (1721). "Of the Laws of Chance". In Motte, Benjamin (рэд.). *The Philosophical Transactions from the Year MDCC (where Mr. Lowthorp Ends) to the Year MDCCXX. Abridg'd, and Dispos'd Under General Heads* [лацінская]. Vol. I. London, Great Britain: R. Wilkin, R. Robinson, S. Ballard, W. and J. Innys, and J. Osborn. pp. 190–219.
7. ↑  
Johnson, Norman L.; Kemp, Adrienne W.; Kotz, Samuel (2005). "Poisson Distribution". *Univariate Discrete Distributions* (3rd ed.). New York, NY, US: John Wiley & Sons, Inc. pp. 156–207. doi:10.1002/0471715816. ISBN 978-0-471-27246-5.
8. ↑  
Stigler, Stephen M. (1982). "Poisson on the Poisson Distribution". *Statistics & Probability Letters*. **1** (1): 33–35. doi:10.1016/0167-7152(82)90010-4.
9. ↑  
Newcomb, Simon (1860). "Notes on the theory of probabilities". *The Mathematical Monthly*. **2** (4): 134–140.
10. ↑  
von Bortkiewitsch, Ladislaus (1898). *Das Gesetz der kleinen Zahlen* [*The law of small numbers*] [нямецкая]. Leipzig, Germany: B.G. Teubner. pp. 1, 23–25.
На старонцы 1 Барткевіч апісвае размеркаванне Пуасона.
На старонках 23-25, Барткевіч прыводзіць прыклад «4. Beispiel: Die durch Schlag eines Pferdes im preußischen Heere Getöteten.» [4. Прыклад: Забітыя конскім ударам салдаты Прускай арміі.]

Літаратура
----------

* Пуасона размеркаванне // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 114—115.

| ⛭Размеркаванні імавернасцей |
| --- |
| Дыскрэтныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| з канечнай колькасцю значэнняў | 
* Біномнае
* Бэрнулі
* Гіпергеаметрычнае
* Звыроднае
* Раўнамернае дыскрэтнае

 |
| з бесканечнай колькасцю значэнняў | 
* Адмоўнае біномнае
* Геаметрычнае
* Пуасона

 |

 |
| Абсалютна непарыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| са значэннямі на прамежку | 
* Бэта
* Раўнамернае непарыўнае

 |
| са значэннямі на прамені  | 
* Бэта другога тыпу
* Гама
* Максвела — Больцмана
* Паказнікавае
* Фішэра — Снедэкора
* Хі-квадрат
* Эрланга

 |
| са значэннямі на ўсёй лікавай простай | 
* Кашы
* Нармальнае
* Ст’юдэнта

 |

 |
| Многавымерныя | 
* Дзірыхле
* Многавымернае нармальнае
* Паліномнае

 |
| Іншыя | 
* Сінгулярнае

 |
| 
* Катэгорыя
* Вікісховішча

 |