**Вонкавая мера** (або **знешняя мера**) — адно з абагульненняў паняццяў даўжыні, плошчы і аб'ёму;
з'яўляецца рэчаісназначнаю функцыяй, вызначанай на ўсіх падмноствах прасторы, якая адпавядае некаторым дадатковым умовам.

Гісторыя
--------

Агульная тэорыя вонкавае меры была распрацована Канстанцінам Каратэадоры з мэтай стварыць падмурак для тэорыі вымерных мностваў і злічальна-адытыўных мер. 
Працы Каратэадоры па вонкавай меры знайшлі нямала прымяненняў у тэорыі вымерных мностваў. Напрыклад, вонкавая мера выкарыстоўваецца ў доказе фундаментальнай тэарэмы Каратэадоры аб працягу меры), таксама яна была выкарыстана Хаусдорфам для вызначэння метрычнага інварыянта, які абагульняе паняцце размернасці, цяпер ён называецца размернасцю Хаусдорфа.

Выпадак лікавай прамой
----------------------

Для адвольнага падмноства {\displaystyle E} лікавай прамой можна знайсці неабмежавана многа розных сістэм, які складаюцца з канечнай ці злічальнай колькасці прамежкаў, аб'яднанне якіх утрымлівае мноства {\displaystyle E.} Назавём такія сістэмы пакрыццямі. А раз для любога пакрыцця сума даўжынь прамежкаў, якія яго ўтвараюць, — велічыня неадмоўная, то яна абмежавана знізу, і таму мноства даўжынь усіх пакрыццяў мае дакладную ніжнюю мяжу. Гэта мяжа, якая залежыць толькі ад мноства {\displaystyle E,} і называецца **вонкаваю мерай**:

{\displaystyle m^{\*}E=\inf \left\{\sum \_{i}\Delta \_{i}\right\}.}
Іншы раз вонкавую меру абазначаюць як:

{\displaystyle m^{\*}E=\varphi (E)=|E|^{\*}.}

Аксіяматычнае азначэнне
-----------------------

Няхай *X* — пэўнае ўніверсальнае мноства.

**Вонкавая мера** на мностве *X* — гэта функцыя

{\displaystyle \mu ^{\*}\colon 2^{X}\to [0,+\infty ],}
якая вызначана на ўсіх падмноствах мноства *X* і адпавядае наступным умовам:

1. *нуль на пустом мностве*: пустое мноства мае нулявую вонкавую меру
{\displaystyle \mu ^{\*}(\varnothing )=0;}
2. *манатоннасць*: для любых двух падмностваў *A* і *B* мноства *X*
{\displaystyle A\subseteq B\Rightarrow \mu ^{\*}(A)\leqslant \mu ^{\*}(B);}
3. *злічальная паўадытыўнасць*: для любой паслядоўнасці {\displaystyle \{A\_{n}\}} падмностваў мноства *X* справядліва няроўнасць:
{\displaystyle \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\right)\leqslant \sum \_{n=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{n}).}

Пашырэнне мер (канструктыўнае азначэнне)
----------------------------------------

Няхай {\displaystyle \mu } — мера, вызначаная на некаторым колцы *K* падмностваў мноства *X*. Справядліва наступная тэарэма:

|  |
| --- |
| 
Няхай функцыя {\displaystyle \mu ^{\*}} вызначана на мностве {\displaystyle 2^{X}} з дапамогай правіла:
1. калі існуе хоць адно злічальнае пакрыццё мноства {\displaystyle A\subseteq X} элементамі з колца *K*, то
{\displaystyle \mu ^{\*}(A):=\inf \left\{\sum \_{n=1}^{\infty }\mu (A\_{n}):A\_{n}\in K,\ n\geq 1,\ A\subseteq \bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\right\},}
2. у адваротным выпадку
{\displaystyle \mu ^{\*}(A):=+\infty .}

Тады {\displaystyle \mu ^{\*}} з'яўляецца вонкавай мерай на *X*, а на колцы *K* супадае з мерай {\displaystyle \mu .}
 |

Часта гэту тэарэму прымаюць у якасці азначэння вонкавай меры. Пры гэтым аксіёмы вонкавай меры (а іменна, *нуль на пустом мностве*, *манатоннасць* і *злічальная паўадытыўнасць*) выводзяцца з аксіём звычайнай меры як уласцівасці (тэарэмы).

Уласцівасці вонкавай меры
-------------------------

* Для любога падмноства *A* і любой паслядоўнасці {\displaystyle \{A\_{n}\}} падмностваў мноства *X*
{\displaystyle A\subseteq \bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\Rightarrow \mu ^{\*}(A)\leqslant \sum \_{n=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{n}).}

*Доказ*: з аксіём манатоннасці і злічальнай адытыўнасці маем:

{\displaystyle A\subseteq \bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\Rightarrow \mu ^{\*}(A)\leqslant \mu ^{\*}\left(\bigcup \_{n=1}^{\infty }A\_{n}\right)\leqslant \sum \_{n=1}^{\infty }\mu ^{\*}(A\_{n}).}

*μ*\*-вымерныя мноствы
----------------------

Дапаўненне мноства *E* ў *X* абазначым як *E'*:

{\displaystyle E'=X\setminus E.}
Няхай {\displaystyle \mu ^{\*}} — некаторая вонкавая мера, вызначаная на мностве *X*.

Мноства {\displaystyle E\subset X} называецца **{\displaystyle \mu ^{\*}}-вымерным**, калі для любога {\displaystyle A\subset X} справядліва роўнасць:

{\displaystyle \mu ^{\*}(A)=\mu ^{\*}(A\cap E)+\mu ^{\*}(A\cap E').}

Гл. таксама
-----------

* Мера Лебега
* Тэарэма Каратэадоры аб працягу меры

Літаратура
----------

* Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит. 1953
* Дороговцев А.Я. Элементы общей теории меры и интеграла. Киев, 1989