**Трыганаметрыя** (ад грэч. τρίγωνον «трохвугольнік» і грэч. μετρειν «вымяраць», г. зн. «вымярэнне трохвугольнікаў») — раздзел матэматыкі пра суадносіны старон і вуглоў у трохвугольніку. Асноўная задача трыганаметрыі — «рашэнне трохвугольніка», г.зн. вылічэнне невядомых велічынь па вядомых.

Гісторыя
--------

Асноўны артыкул: **Гісторыя трыганаметрыі**
Вытокі трыганаметрыі бяруць пачатак у старажытным Егіпце, Вавілоне і даліне Інда больш за 3000 гадоў назад. Індыйскія матэматыкі былі першапраходцамі ва ўжыванні алгебры і трыганаметрыі ў астранамічных разліках. Лагадха — адзіны з самых старажытных вядомых сёння матэматыкаў, які карыстаўся геаметрыяй і трыганаметрыяй у сваёй кнізе «Дж'етыша-веданга» («Jyotisa Vedanga»). Большая частка яго прац якога была знішчана замежнымі захопнікамі.

Грэчаскі матэматык Клаўдзій Пталамей таксама ўнёс вялікі ўклад у развіццё трыганаметрыі.

Трыганаметрычныя функцыі
------------------------

Асноўны артыкул: **Трыганаметрычныя функцыі**
Адзінкавая акружнасць
Лікавыя значэнні трыганаметрычных функцый вугла {\displaystyle \alpha } на трыганаметрычнай акружнасці з адзінкавым радыусам
Возьмем адзінкавую акружнасць на плоскасці (цэнтр у пачатку адліку, радыус 1). Правядзём прамень {\displaystyle l} з пачатку адліку і будзем адлічваць велічыню вугла {\displaystyle \alpha } ад дадатнага праменя восі {\displaystyle Ox} супраць гадзіннікавай стрэлкі. Велічыню вугла можна выражаць у градусах, радыянах ці градах. Мы будзем разглядаць у градусах. Няхай пунктам перасячэння {\displaystyle l} з адзінкавай акружнасцю будзе {\displaystyle M}. Тады па азначэнню:

* функцыя **косінус** {\displaystyle \cos(\alpha )} будзе абсцысай {\displaystyle M},
* функцыя **сінус** {\displaystyle \sin(\alpha )} будзе ардынатай {\displaystyle M}
* функцыя **тангенс** {\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )} будзе дзеллю ардынаты {\displaystyle M} і яе абсцысы: {\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )={\frac {\sin(\alpha )}{\cos(\alpha )}}}
* функцыя **катангенс** {\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )} будзе дзеллю абсцысы {\displaystyle M} і яе ардынаты: {\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )={\frac {\cos(\alpha )}{\sin(\alpha )}}}
* функцыя **секанс** {\displaystyle \sec(\alpha )} будзе дзеллю {\displaystyle {\frac {1}{\sin(\alpha )}}}
* функцыя **касеканс** {\displaystyle \operatorname {cosec} (\alpha )} будзе дзеллю {\displaystyle {\frac {1}{\cos(\alpha )}}}

Графік функцыі y = sin(x)
Графік функцыі y = cos(x)
Функцыі {\displaystyle \sin(\alpha )} і {\displaystyle \cos(\alpha )} вызначаныя на ўсём {\displaystyle \mathbb {R} }, вобласць значэнняў [-1,1] і перыяд {\displaystyle 2\pi }. Функцыя {\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )} не вызначана ў пунктах {\displaystyle \pi n}, {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }, а функцыя {\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )} не вызначана ў пунктах {\displaystyle \pi n+\pi /2}, {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }, і абедзве маюць вобласць значэнняў {\displaystyle \mathbb {R} } і перыяд {\displaystyle \pi }.

Адваротныя трыганаметрычныя функцыі
-----------------------------------

Функцыя, адваротная да

* {\displaystyle \sin(\alpha )} называецца арксінус {\displaystyle \arcsin(\alpha )}
* {\displaystyle \cos(\alpha )} называецца арккосінус {\displaystyle \arccos(\alpha )}
* {\displaystyle \operatorname {tg} (\alpha )} называецца арктангенс {\displaystyle \operatorname {arctg} (\alpha )}
* {\displaystyle \operatorname {ctg} (\alpha )} называецца арккатангенс {\displaystyle \operatorname {arcctg} (\alpha )}

Асноўныя трыганаметрычныя тоеснасці
-----------------------------------

Асноўны артыкул: **Трыганаметрычныя формулы**
Асноўная трыганаметрычная тоеснасць {\displaystyle \sin ^{2}(\alpha )+\cos ^{2}(\alpha )=1}.

Формула косінуса сумы: {\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\alpha )\sin(\beta )}

Формула косінуса рознасці: {\displaystyle \cos(\alpha -\beta )=\cos(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\alpha )\sin(\beta )}

Формула сінуса сумы: {\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )+\sin(\beta )\cos(\alpha )}

Формула сінуса рознасці: {\displaystyle \sin(\alpha -\beta )=\sin(\alpha )\cos(\beta )-\sin(\beta )\cos(\alpha )}

Трыганаметрычныя функцыі комплекснай зменнай
--------------------------------------------

y = sin(x) на комплекснай плоскасці
Раскладзём функцыі {\displaystyle \sin(x)} і {\displaystyle \cos(x)} ў рад Тэйлара:

{\displaystyle \sin(x)=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

{\displaystyle \cos(x)=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {x^{2k}}{(2k)!}}+\dots }

і вызначым трыганаметрычныя функцыі камплекснай зменнай {\displaystyle z}:

{\displaystyle \sin(z)=z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k-1}}{(2k-1)!}}+\dots ,}

{\displaystyle \cos(z)=1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-\dots +(-1)^{k}{\frac {z^{2k}}{(2k)!}}+\dots .}

Большасць уласцівасцей гэтых функцый для рэчаіснай зменнай распаўсюджваецца і на камплексную зменную. Але на камплекснай плоскасці іх вобласць значэнняў — усё {\displaystyle \mathbb {C} }.

Значэнні трыганаметрычных функцый для некаторых вуглоў
------------------------------------------------------

Асноўны артыкул: **Спіс дакладных трыганаметрычных пастаянных**
Значэнні сінуса, косінуса, тангенса, котангенса, секанса і косеканса для некаторых вуглоў прыведзены ў табліцы.
(«∞» азначае, што функцыя ў таком пункце не вызначана і ў яго наваколлі імкнецца да бесканечнасці).

| {\displaystyle \alpha \,\!} | 0°(0 рад) | 30° (π/6) | 45° (π/4) | 60° (π/3) | 90° (π/2) | 180° (π) | 270° (3π/2) | 360° (2π) |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \alpha \,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} |
| {\displaystyle \cos \alpha \,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {2}}{2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {1}{2}}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {tg} \alpha \,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {ctg} \alpha \,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {0}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} |
| {\displaystyle \sec \alpha \,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!} | {\displaystyle {2}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} |
| {\displaystyle \operatorname {cosec} \alpha \,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {2}\,\!} | {\displaystyle {\sqrt {2}}\,\!} | {\displaystyle {\frac {2{\sqrt {3}}}{3}}\,\!} | {\displaystyle {1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} | {\displaystyle {-1}\,\!} | {\displaystyle {\infty }\,\!} |

Значэнні косінуса і сінуса на акружнасці.

Ужыванне
--------

Трыганаметрычныя вылічэнні ўжываюцца практычна ва ўсіх абласцях геаметрыі, фізікі і інжынерыі.

Гл. таксама
-----------

* Сферычная трыганаметрыя
* Эліптычная трыганаметрыя
* Гіпербалічная трыганаметрыя

Літаратура
----------

* *Я. Я. Выгодский «Справочник по элементарной математике»*
* *Ю. Ю. Громов, Н. А. Земской, О. Г. Иванова и др. «Тригонометрия»*
* *И. И. Привалов «Введение в теорию функций комплексного переменного»*

| ⛭Раздзелы матэматыкі |
| --- |
| Асноўныя раздзелы | 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Алгебра |
| --- |
| 
* Элементарная алгебра
* Лінейная алгебра
	+ Полілінейная алгебра
* Абстрактная алгебра

 |
| Абстрактная алгебра | 
* Камутатыўная алгебра
* Тэорыя прадстаўленняў
* Дыферэнцыяльная алгебра
* Гамалагічная алгебра
* Універсальная алгебра
* Тэорыя катэгорый

 |

 |
| 

| Матэматычны аналіз |
| --- |
| 
* Варыяцыйнае злічэнне
* Камплексны аналіз
* Тэорыя меры
* Функцыянальны аналіз
* Гарманічны аналіз
* Нестандартны аналіз

 |

 |
| 

| Геаметрыя і тапалогія |
| --- |
| Геаметрыя | 
* Алгебраічная геаметрыя
* Аналітычная геаметрыя
* Дыферэнцыяльная геаметрыя
* Еўклідава геаметрыя
* Нееўклідава геаметрыя
* Планіметрыя
* Стэрэаметрыя
* Трыганаметрыя

 |
| Тапалогія | 
* Агульная тапалогія
* Алгебраічная тапалогія
* Дыферэнцыяльная тапалогія

 |

 |
| 

| Дыскрэтная матэматыка |
| --- |
| 
* Камбінаторыка
* Тэорыя графаў
* Булева алгебра

 |

 |
| 

| Прыкладная матэматыка |
| --- |
| 
* Матэматычная фізіка
* Матэматычная хімія
* Матэматычная статыстыка
* Матэматычнае мадэляванне
* Тэорыя алгарытмаў
* Лікавыя метады
* Матэматычная эканоміка, Фінансавая матэматыка
* Тэорыя імавернасцей
* Даследаванне аперацый

 |

 |

 |
| Матэматычная логіка (алгебра логікі)  ·  Тэорыя лікаў (✰ арыфметыка) |
| Партал «Навука» | Партал «Матэматыка» | Катэгорыя «Матэматыка» |