**Камплексная плоскасць** — гэта двухмерная рэчаісная прастора {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, ізаморфная полю камплексных лікаў {\displaystyle \mathbb {C} }. Кожны пункт такой прасторы — гэта ўпарадкаваная пара выгляду {\displaystyle (x,y)}, дзе {\displaystyle x} і {\displaystyle y} — рэчаісныя лікі, і дзе першы элемент пары адпавядае рэчаіснай частцы, а другі элемент пары адпавядае ўяўнай частцы камплекснага ліку {\displaystyle z=x+iy}:

{\displaystyle x=\mathrm {Re} \,z,}
{\displaystyle y=\mathrm {Im} \,z.}
Упарадкаваную пару {\displaystyle (x,y)} натуральна вытлумачваць як радыус-вектар з пачаткам у нулі і з канцом у пункце {\displaystyle (x,y)}. 

З прычыны ізамарфізму {\displaystyle \mathbb {C} } і {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, алгебраічныя аперацыі над камплекснымі лікамі пераносяцца на аперацыі над адпаведнымі ім радыус-вектарамі:

* складанне камплексных лікаў — гэта складанне адпаведных радыус-вектараў;
* множанне камплексных лікаў — гэта пераўтварэнне радыус-вектара, звязанае з яго паваротам і расцяжэннем.

Вынікам кампактыфікацыі (замыкання) камплекснай плоскасці з'яўляецца пашыраная камплексная плоскасць — камплексная плоскасць, дапоўненая бясконца аддаленым пунктам, ізаморфная камплекснай сферы. Камплексная плоскасць звязана з камплекснай сферай, напрыклад, стэрэаграфічнай праекцыяй.

Камплексназначныя функцыі комплекснай пераменнай звычайна інтэрпрэтуюцца як адлюстраванні камплекснай плоскасці або сферы ў сябе. Паколькі прамыя на плоскасці (пры стэрэаграфічнай праекцыі) пераходзяць у акружнасці на сферы, якія ўтрымліваюць бясконца аддалены пункт, камплексныя функцыі зручней разглядаць на сферы.

Разглядаючы на камплекснай плоскасці тапалогію {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}, можна ўводзіць паняцці адкрытых, замкнёных мностваў, і даваць вызначэнні такіх аб'ектаў як крывыя і фармуляваць такія ўласцівасці камплексных функцый як непарыўнасць, дыферэнцавальнасць і аналітычнасць, а камплекснае прадстаўленне дазваляе кампактна апісваць гэтыя ўласцівасці на мове суадносін паміж рэчаіснымі і ўяўнымі часткамі, а таксама, паміж модулямі і аргументамі адпаведных камплексных лікаў.

Асаблівую ролю ў камплексным аналізе адыгрываюць канформныя адлюстраванні.

Мноствы на камплекснай плоскасці
--------------------------------

### Адкрытыя мноствы

Фундаментальнае паняцце наваколля ўводзіцца на камплекснай плоскасці вельмі проста - наваколлем {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}} пункта {\displaystyle z\_{0}\in \mathbb {C} } называецца мноства выгляду {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}=\{z\colon |z-z\_{0}|<r\},\,r>0}. Геаметрычна на камплекснай плоскасці наваколлі маюць вельмі просты выгляд — гэта проста акружнасці з цэнтрам у пэўных пунктах камплекснай плоскасці. Часам бывае зручна разглядаць праколатыя наваколлі {\displaystyle {\dot {\mathcal {U}}}\_{z\_{0}}={\mathcal {U}}\_{z\_{0}}\setminus \{z\_{0}\}}.

Зараз азначым адкрытае мноства — паводле аднаго з варыянтаў класічнага азначэння з агульнай тапалогіі, адкрытым мноства будзе, калі яно для любога свайго пункта змяшчае некаторае яго наваколле. Паняцце наваколля ўжо вызначана, адпаведна, адкрытае мноства на {\displaystyle \mathbb {C} } цалкам вызначана.

### Гранічны пункт і замкнёнае мноства

Вызначыць гранічны пункт таксама няцяжка — пункт {\displaystyle z\_{0}\in \mathbb {C} } будзе гранічным для мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} }, калі для адвольнага наваколля {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}} перасячэнне {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}\cap G} будзе непустым. Іншымі словамі, пункт з'яўляецца гранічным, калі ў адвольнай «блізкасці» да яго заўсёды ёсць пункты мноства. Мноства гранічных пунктаў часам называецца вытворным і абазначаецца як {\displaystyle G'}.

Мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } будзе называцца замкнёным, калі для яго справядліва ўключэнне {\displaystyle G'\subset G}. Ясна відаць, што для адвольнага мноства {\displaystyle G} мноства {\displaystyle {\overline {G}}=G\cup G'} будзе замкнёна; яно называецца замыканнем мноства {\displaystyle G}.

### Мяжа

Кропка {\displaystyle z\_{0}\in \mathbb {C} } называецца межавою для мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} }, калі для адвольнага наваколля {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}} перасячэнні {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}\cap G} і {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}\cap ({\mathbb {C} }\setminus G)} пустыя. Мноства ўсіх межавых пунктаў называецца межавым мноствам {\displaystyle \partial G} або проста мяжой.

### Усюды шчыльныя мноствы

Мноства {\displaystyle E\subset \mathbb {C} } называецца ўсюды шчыльным ў іншым мностве {\displaystyle G\subset \mathbb {C} }, калі для адвольнага пункта {\displaystyle z\_{0}\in G} і любога наваколля {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}} перасячэнне {\displaystyle {\mathcal {U}}\_{z\_{0}}\cap E} непустое.

Звязнасць
---------

### Адлегласць паміж мноствамі

Як вядома з элементарнай матэматыкі, на камплекснай плоскасці адлегласць паміж двума пунктамі роўна модулю іх рознасці. Вызначым адлегласць паміж пунктам {\displaystyle z\_{0}} і некаторым мноствам {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } як велічыню {\displaystyle \mathrm {dist} \,(z\_{0},G)=\inf \_{z\in G}|z-z\_{0}|}.

На аснове гэтага паняцця ўжо можна вызначыць адлегласць паміж двума адвольнымі мноствамі ў {\displaystyle \mathbb {C} }: {\displaystyle \mathrm {dist} \,(G\_{1},G\_{2})=\inf \_{z\in G\_{1}}\mathrm {dist} \,(z,G\_{2})=\inf \_{z\in G\_{2}}\mathrm {dist} \,(z,G\_{1})}.

### Звязнасць

Мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } называецца **звязным**, калі для яго выконваюцца суадносіны {\displaystyle \inf \_{z\_{1},z\_{2}\in G}|z\_{1}-z\_{2}|=0}. Калі дадзеная велічыня не роўная нулю, то мноства называецца **нязвязным**. Можна паказаць, што нязвязнае мноства {\displaystyle G} можна прадставіць у выглядзе аб'яднання (канечнага або злічальнага) {\displaystyle \sum G\_{n}}, дзе {\displaystyle G\_{n}} — неперасякальныя звязныя мноствы, так званыя **звязнымі кампанентамі** мноства {\displaystyle G}. Магутнасць мноства звязных кампанент называецца **парадкам звязнасці**.

Выпуклыя, зорныя і лінейна звязныя мноствы
------------------------------------------

Мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } называецца **зорным** адносна пункта {\displaystyle z\_{0}\in G}, калі для адвольнага пункта {\displaystyle z\in G} справядліва ўключэнне {\displaystyle {\overline {z\_{0}z}}\subset G}.

Мноства {\displaystyle G\subset \mathbb {C} } называецца **выпуклым**, калі яно зорнае адносна любога свайго пункта. Мноства {\displaystyle G^{\*}} называецца **выпуклай абалонкай** мноства {\displaystyle G}, калі яно выпуклае, {\displaystyle G\subset G^{\*}} і для любога выпуклага мноства {\displaystyle G^{\*\*}}, якое змяшчае мноства {\displaystyle G}, выконваецца ўключэнне{\displaystyle G^{\*}\subset G^{\*\*}}.

**Ламанаю** {\displaystyle \Gamma } называецца мноства пунктаў камплекснай плоскасці, што прадстаўляецца ў выглядзе аб'яднання адрэзкаў. Мноства {\displaystyle G} называецца лінейна звязным, калі для двух адвольных пунктаў {\displaystyle z\_{1},z\_{2}\in G} існуе ламаная {\displaystyle \Gamma \subset G} такая, што выконваецца {\displaystyle z\_{1},z\_{2}\in \Gamma }.

Можна даказаць, што любое лінейна звязнае мноства будзе звязным. Адсюль адразу вынікае, што ўсе выпуклыя і зорныя мноствы звязныя.

Крывыя на {\displaystyle \mathbb {C} }
--------------------------------------

### Крывыя і шляхі

Крывой або шляхам на камплекснай плоскасці {\displaystyle \mathbb {C} } называецца адлюстраванне выгляду {\displaystyle \varphi (t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} }. Асабліва варта адзначыць, што пры такім азначэнні можна канкрэтызаваць не толькі выгляд крывой, які будзе залежаць ад аналітычных уласцівасцей функцыі {\displaystyle \varphi (t)}, але і яе кірунак. Для прыкладу, функцыі {\displaystyle \varphi (t)} і {\displaystyle \eta (t)=\varphi (1-t)} будуць вызначаць аднолькавую з віду крывую, але з процілеглымі кірункамі.

### Гоматопія крывых

Крывыя {\displaystyle \varphi \_{0}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} } і {\displaystyle \varphi \_{1}(t)\colon [0;1]\to \mathbb {C} } называюцца **гоматопнымі**, калі існуе крывая {\displaystyle \xi (t,q)\colon [0;1]\times [0;1]\to \mathbb {C} }, якая залежыць ад параметра {\displaystyle q} такім чынам, што {\displaystyle \xi (t,0)\equiv \varphi \_{0}} і {\displaystyle \xi (t,1)\equiv \varphi \_{1}}.

Бясконца аддалены пункт
-----------------------

У камплексным аналізе часта карысна разглядаць *поўную камплексную плоскасць*, дапоўненую у параўнанні са звычайнай бясконца аддаленым пунктам: {\displaystyle z=\infty }. Пры такім падыходзе неабмежавана нарастальная (па модулю) паслядоўнасць лічыцца збежнай да бясконца аддаленага пункта. Алгебраічныя аперацыі з бесканечнасцю не вызначаны, хоць некалькі алгебраічных суадносін маюць месца:

* {\displaystyle {\frac {z}{\infty }}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty )}
* {\displaystyle z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)}

{\displaystyle \varepsilon }-наваколлем бясконца аддаленага пункта лічыцца мноства пунктаў {\displaystyle z}, модуль якіх большы, чым {\displaystyle \varepsilon }, гэта значыць знешняя частка {\displaystyle \varepsilon }-наваколляў пачатку каардынат.

Зноскі
------

1. ↑  *Свешников А. Г. Тихонов А. Н.* Теория функций комплексной переменной. Указ. соч. стр. 20-21.

Літаратура
----------

* *Арнольд В. И.* Геометрия комплексных чисел, кватернионов и спинов, МЦНМО, 2002.
* *Понтрягин Л.* Комплексные числа, Квант, № 3, 1982.
* *Свешников А. Г. Тихонов А. Н.* Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1967, 304с.