**Тэарэма Карно** — тэарэма пра каэфіцыент карыснага дзеяння (ККД) цеплавых рухавікоў. Згодна з гэтай тэарэмай, ККД цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і канструкцыі цеплавога рухавіка і з'яўляецца функцыяй тэмператур награвальніка і халадзільніка.

Гісторыя
--------

У 1824 г. Садзі Карно прыйшоў да высновы: "рухальная сіла цяпла не залежыць ад агентаў, узятых для яе развіцця; яе колькасць выключна вызначаецца тэмпературамі цел, паміж якімі, у канчатковым рахунку, вырабляецца перанос цеплароду"

Логіка разваг Карно была такая: «... можна з дастатковай падставай параўнаць рухальную сілу цяпла з сілай падаючай вады: абедзве маюць максімум, які нельга перасягнуць, якая б ні была б у адным выпадку машына для выкарыстання дзеянні вады, і ў іншым - рэчыва, адведзены для развіцця сілы цяпла

Рухальная сіла падаючай вады залежыць ад вышыні падзення і колькасці вады; рухаючая сіла цяпла таксама залежыць ад колькасці ужытага цеплароду і залежыць ад таго, што можна назваць і што мы насамрэч і будзем называць вышынёй яго падзення, - гэта значыць ад рознасці тэмператур цел, паміж якімі адбываецца абмен цеплароду. Пры падзенні вады рухальная сіла строга прапарцыянальная рознасці узроўняў у верхнім і ніжнім рэзервуары. Пры падзенні цеплароду рухальная сіла без сумневу ўзрастае з рознасцю тэмператур паміж гарачым і халодным целамі ... ».

Некаторыя сучасныя аўтары (К. В. Глаголещ, А. Н. Марозаў з МДТУ ім. Н. Э. Баумана) гавораць ужо аб двух тэарэмах Карно, цытата: "Прыведзеныя вышэй развагі дазваляюць перайсці да фармулёўкі першай і другой тэарэм Карно. Іх можна сфармуляваць у выглядзе двух наступных сцвярджэнняў:

1. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой зварачальнай цеплавой машыны, якая працуе па цыклу Карно, не залежыць ад прыроды працоўнага цела і прылады машыны, а з'яўляецца функцыяй толькі тэмпературы награвальніка і халадзільніка: {\displaystyle \,\!\eta =1-F(T\_{H},T\_{X})}

2. Каэфіцыент карыснага дзеяння любой цеплавой машыны, якая працуе па незваротнам цыкле, менш каэфіцыента карыснага дзеяння машыны з зварачальным цыклам Карно, пры ўмове роўнасці тэмператур іх награвальнікаў і халадзільнікаў: {\displaystyle \,\!\eta \_{n}<\!\eta \_{o}}»

Іншыя аўтары (напрыклад, Б. М. Яворскі і Ю. А. Селязнёў) паказваюць на тры аспекты адной тэарэмы Карно, цытата (cм. стар 151-152.):

«3°. Тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно не залежыць ад прыроды працоўнага цела і вызначаецца толькі тэмпературамі награвальніка {\displaystyle T\_{H}} і халадзільніка {\displaystyle T\_{X}}:

{\displaystyle \,\!\eta \_{k}={\frac {T\_{H}-T\_{X}}{T\_{H}}}=1-{\frac {T\_{X}}{T\_{H}}}}
{\displaystyle \,\!\eta \_{k}<0}, бо практычна немагчыма ажыццявіць ўмову {\displaystyle T\_{H}\rightarrow oo} і тэарэтычна немагчыма ажыццявіць халадзільнік, у якога: {\displaystyle T\_{X}=0}.

4°. Тэрмічны ККД {\displaystyle \,\!\eta \_{o}} адвольнага зварачальнага цыклу не можа перавышаць тэрмічны ККД зварачальнага цыклу Карно, ажыццёўленага паміж тымі ж тэмпературамі {\displaystyle T\_{H}} і {\displaystyle T\_{X}} награвальніка і халадзільніка:

{\displaystyle \,\!\eta \_{o}<{\frac {T\_{H}-T\_{X}}{T\_{H}}}}.
5°. Тэрмічны ККД {\displaystyle \,\!\eta \_{n}} адвольнага незваротнага цыклу заўсёды менш тэрмічнага ККД зварачальнага цыклу Карно, праведзенага паміж тэмпературамі {\displaystyle T\_{H}} і {\displaystyle T\_{X}}:

{\displaystyle \,\!\eta \_{n}<{\frac {T\_{H}-T\_{X}}{T\_{H}}}}.
Пункты 3° - 5° складаюць змест тэарэмы Карно.»

Доказы тэарэмы Карно
--------------------

Існуе некалькі розных доказаў гэтай тэарэмы.

### Доказ Садзі Карно

*... У розных палажэннях поршань адчувае ціску больш ці менш значныя з боку паветра, які знаходзіцца ў цыліндры; пругкая сіла паветра змяняецца як ад змены аб'ёму, так і ад змены тэмпературы, але неабходна заўважыць, што* **пры роўных аб'ёмах, гэта значыць для падобных палажэнняў поршня, пры разрэджанні тэмпература будзе больш высокай, чым пры сціску. Таму ў першым выпадку пругкая сіла паветра будзе больш, а адсюль рухальная сіла, вырабленая рухам ад пашырэння, будзе больш, чым сіла, патрэбная для сціску. Такім чынам, атрымаецца лішак рухальнай сілы, лішак, які можна на што-небудзь ўжыць.** Паветра паслужыць нам цеплавой машынай; мы ўжылі яго нават найбольш выгадным чынам, так як не адбывалася ні аднаго бескарыснага аднаўлення раўнавагі цеплароду.

Сучасны доказ =
---------------

Адзін з доказаў прадстаўлена ў кнізе Д. цёр Хаара і Г. Вергеланда «Элементарная тэрмадынаміка».

Адзін з магчымых варыянтаў тэарэтычнага цыклу Карно
«Працэс D-E. (гл. мал). Паколькі газ ідэальны, {\displaystyle (dU/dV)\_{T}=0} і ўнутраная энергія застаецца сталай. Усе цяпло, атрыманае ад рэзервуара пры тэмпературы {\displaystyle T\_{H}}, ператвараецца ў вонкавую працу:

{\displaystyle Q\_{D-E}=\int \limits \_{ik}^{cd}p{dV}=RT\_{H}\ln {\frac {V\_{cd}}{V\_{ik}}}}. [1]
Працэс В-C. Падобным жа чынам, праца, зробленая пры сціску, ператвараецца ў цяпло, якое перадаецца халоднаму рэзервуару:

{\displaystyle Q\_{B-C}=\int \limits \_{gh}^{ef}p{dV}=RT\_{X}\ln {\frac {V\_{ef}}{V\_{gh}}}}. [2]
Працэсы E-B і C-D. Паколькі газ ідэальны і {\displaystyle U} залежыць толькі ад тэмпературы {\displaystyle T}, з ураўнення {\displaystyle Q=U\_{2}-U\_{1}+A} вынікае, што праца, якая ў адным з гэтых двух адыябатычных працэсаў, цалкам кампенсуе працу, якая здзяйсняецца ў іншым працэсе. Сапраўды, карыстаючыся адыябатычнай умовай {\displaystyle C\_{V}dT+pdV=0}, атрымліваем:

{\displaystyle C\_{V}(T\_{H}-T\_{X})=\int \limits \_{cd}^{gh}pdV=-\int \limits \_{ef}^{ik}pdV}.
Каб знайсці сувязь паміж {\displaystyle V\_{ik}}, {\displaystyle V\_{cd}}, {\displaystyle V\_{gh}} і {\displaystyle V\_{ef}}, заўважым, што, згодна з ураўненням Пуасона {\displaystyle TV^{R/C\_{V}}=const}, у адыябатычных працэсах:

(E → B):{\displaystyle T\_{H}V\_{cd}^{x-1}=T\_{X}V\_{gh}^{x-1}}

(C → D):{\displaystyle T\_{X}V\_{ef}^{x-1}=T\_{H}V\_{ik}^{x-1}}

і, такім чынам,

{\displaystyle {\frac {V\_{cd}}{V\_{ik}}}={\frac {V\_{gh}}{V\_{ef}}}}.
Падстаўляючы гэта суадносіны ў ўраўненні [1] і [2], атрымліваем:

{\displaystyle {\frac {Q\_{B-C}}{Q\_{D-E}}}={\frac {T\_{H}}{T\_{X}}}}.
У той жа час мы прыходзім да выніку ... што ККД аптымальнага цыклу роўны

{\displaystyle \,\!\eta \_{max}={\frac {T\_{H}-T\_{X}}{T\_{H}}}}.»

Зноскі
------

1. ↑  Теорема Карно//Физическая энциклопедия. В 5-ти томах. — М.: Советская энциклопедия. Главный редактор А. М. Прохоров. 1988.

Літаратура
----------

* *S. Carnot.* Réflexions sur la puissance motrice du feu et sur les machines propres à développer cette puissance. — Paris, Gautier-Villars, Imprimeur-Libraire, 1878.
* *Карно Николя Леонар Сади, Перевод В.Р. Бурсиана и Ю.А. Круткова.* Размышления о движущей силе огня и о машинах, способных развивать эту силу.
* *Д. Тер Хаар, Г. Вергеланд.* Элементарная термодинамика. Перевод с английского И. Б. Виханского. Под редакцией Н.М. Плакиды.(D. TER HAAR, Oxford University, H. WERGELAND, Norwegian Institute of Technology, Trondheim. ELEMENTS OF THERMODYNAMICS. Addison-Wesley Publishing Company). — М.: Издательство «Мир», 1968.
* *Яворский Б.М. Детлаф А.А.* Справочник по физике. Для студентов и инженеров вузов. Издание седьмое, исправленное. — М.: Издательство «Наука», 1979.
* *Глаголев К.В. Морозов А.Н.* Физическая термодинамика. — М.: Издательство МГТУ им Н.Э.Баумана, 2004.
* *Яворский Б.М. Селезнев Ю.А.* Физика. Справочное руководство: Для поступающих в вузы. – 5-е изд. переработанное.. — М.: Физматлит, 2004.