**Асімпто́та** (ад ст.-грэч. ἀσύμπτωτος — несупадальная, не датычная крывой з бесканечнай галіной) — прамая, якая валодае той уласцівасцю, што адлегласць ад пункта крывой да гэтай прамой імкнецца да нуля пры аддаленні пункта ўздоўж галіны ў бесканечнасць.

Фармальна прамая называецца асімптотай графіка функцыі {\displaystyle f}, калі адлегласць ад пункта {\displaystyle M}, які належыць графіку, да гэтай прамой імкнецца да {\displaystyle 0}.

Віды асімптот
-------------

Існуюць 3 віды асімптот: *вертыкальныя*, *гарызантальныя* і *нахільныя*.

### Вертыкальная асімптота

Калі {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=\infty }, то прамая {\displaystyle x=x\_{0}} — *вертыкальная асімптота*.

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=-\infty } — *ніжняя вертыкальная асімптота*.

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}}f(x)=+\infty } — *верхняя вертыкальная асімптота*.

### Гарызантальная асімптота

Калі існуе канцавы {\displaystyle \lim \_{x\to -\infty (+\infty )}f(x)=A}, то прамая {\displaystyle y=A} *гарызантальная правая (левая) асімптота*.

### Нахільная асімптота

Графік функцыі {\displaystyle x\operatorname {arctg} x} з двума нахільнымі асімптотамі
Няхай крывая {\displaystyle y=f(x)} мае нахільную асімптоту {\displaystyle y=kx+b}. Каб знайсці яе, патрэбна ведаць {\displaystyle k} i {\displaystyle b}.

Паводле азначэння асімптоты функцыі, адлегласць паміж пунктам {\displaystyle M} крывой {\displaystyle y=f(x)} і прамой {\displaystyle y=kx+b} імкнецца да {\displaystyle 0}, калі {\displaystyle x\to \infty }.

Калі {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }(f(x)-(kx+b))=0}, то прамая {\displaystyle y=kx+b} з’яўляецца *нахіленай асімптотай* крывой {\displaystyle y=f(x)}.

З папярэдняга азначэння і {\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\dfrac {1}{x}}=0} вынікае, што:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\Big (}{\dfrac {f(x)}{x}}-k-{\dfrac {b}{x}}{\Big )}=0\ \Rightarrow \ \lim \_{x\to \infty }{\dfrac {f(x)}{x}}=k.}

А таксама вынікае, што:

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }(f(x)-kx)=b.}

**Заўвага 1:** Асімптатычныя змяненні функцыі могуць быць рознымі, калі {\displaystyle x\to +\infty } або {\displaystyle x\to -\infty }. Менавіта таму патрэбна разглядаць абодва выпадкі.

Напрыклад, разгледзім асімптоты функцыі {\displaystyle f(x)=x\operatorname {arctg} x}.
Будзем шукаць нахільныя асімптоты {\displaystyle y=kx+b}, калі {\displaystyle x\to \pm \infty }.

{\displaystyle k\_{1}=\lim \_{x\to +\infty }{\dfrac {x\operatorname {arctg} x}{x}}={\dfrac {\pi }{2}};}

{\displaystyle b\_{1}=\lim \_{x\to +\infty }x{\Big (}\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}{\Big )}=(\infty \cdot 0)=\lim \_{x\to +\infty }{\dfrac {\operatorname {arctg} x-{\dfrac {\pi }{2}}}{\dfrac {1}{x}}}=-\lim \_{x\to +\infty }{\dfrac {x^{2}}{1+x^{2}}}=-1.}

{\displaystyle k\_{2}=\lim \_{x\to -\infty }x\operatorname {arctg} x=-{\dfrac {\pi }{2}};}

{\displaystyle b\_{2}=\lim \_{x\to -\infty }(x\operatorname {arctg} x+{\dfrac {\pi }{2}})=-1.}

Такім чынам, прамыя {\displaystyle y={\dfrac {\pi x}{2}}-1} i {\displaystyle y=-{\dfrac {\pi x}{2}}-1} — нахільныя асімптоты.

**Заўвага 2:** Калі функцыя — алгебраічны дроб выгляду {\displaystyle {\dfrac {f(x)}{g(x)}}}, дзе {\displaystyle f(x)} i {\displaystyle g(x)} — мнагасклады, тады, калі ступень лічніка толькі на адзінку больш за ступень назоўніка, то графік функцыі мае нахільную асімптоту, калі ж ступень лічніка не больш за ступень назоўніка, то — гарызантальную асімптоту.

Літаратура
----------

* *Гуло І. М. Шалік Э. У. Ражко А. К.* Дыферэнцыяльнае злічэнне функцыі адной зменнай: вучэб.-метад. дапам. Мінск: БДПУ, 2011.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Treccani |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 58315980 · NDL: 00574602 |