**Брахмагупта**, **Брамагупта** (санскр.: ब्रह्मगुप्त, каля 598—670) — індыйскі матэматык і астраном. Кіраваў абсерваторыяй ва Удджайне. Сваімі працамі істотна паўплываў на развіццё астраноміі ў Візантыі і краінах ісламу, пачаў выкарыстоўваць алгебраічныя метады для астранамічных разлікаў, увёў правілы аперацый з нулём, дадатнымі і адмоўнымі велічынямі. Да нашагу часу дайшоў яго галоўны твор «Брахма-спхута-сіддханта» («Удасканаленае вучэнне Брахмы», ці «Перагляд сістэмы Брахмы»). Большая частка твора прысвечана астраноміі, два раздзелы (12-ы і 18-ы) — матэматыцы.

Біяграфія
---------

Брахмагупта нарадзіўся прыблізна ў 598 годзе. Гэты вынікае з кнігі «Брахма-спхута-сіддханта», у якой ён паведамляе, што напісаў гэты тэкст ва ўзросце 30-ці гадоў у 628 годзе (Śaka 550). Брахмапутра нарадзіўся ў Бхіламале (сучасны Бхінмал у штаце Раджастан Паўночна-Заходняй Індыі), які тады быў сталіцай зямель дынастыі Gurjara. Яго бацькам быў Джіснугупта. Верагодна, ён пражыў большую частку жыцця ў Бхінмале ў час праўлення (і, магчыма, пры заступніцтве) правіцеля Ўяграмукхі, таму яго нярэдка называюць Бхіламакар'я (настаўнік з Бхілама). Брахмагупта был кіраўніком астранамічнай абсерваторыі ва Удджайне. Абсерваторыя, у якой таксама працаваў Варахаміхіра, была самай лепшай у старажытнай Індыі.

На даследаванні Брахмапутры значна паўплывалі яго рэлігійныя погляды. З'яўляючыся прыхільнікам традыцыйнага індуізму, ён крытыкаваў касмалагічныя погляды, у тым ліку меркаванне Арыябхаты, які сцвярджаў, што сферычная Зямля круціцца. Брахмагупта спрачаўся з Арыябхатай і аб прыродзе сонечных зацьменняў:

|  |
| --- |
| Сярод людзей ёсць такія, якія думаюць, што зацьменні выклікаюцца не Галавой [дракона Раху]. Гэта абсурднае меркаванне, бо гэта яна выклікае зацьменні, і большасць жыхароў свету кажуць, што менавіта яна выклікае іх. У Ведах, якія ёсць Слова Божае, з вуснаў Брахмы гаворыцца, што Галава выклікае зацьменні. Насупраць таго, Арыябхата, ідучы насуперак усім, з варожасці да згаданых святым слоў сцвярджае, што зацьменне выклікаецца не Галавой, а толькі Месяцам і ценню Зямлі… Гэтыя аўтары павінны падпарадкавацца большасці, бо ўсё, што ёсць у Ведах — свяшчэнна. |

Хоць Брахмагупта быў знаёмы з працамі Арыябхаты, невядома, ці быў ён знаёмы з працамі Бхаскары. Работы Брахмагупты ўтрымліваюць шматлікія крытычныя заўвагі ў адрас сучасных яму астраномаў, а змест «Брахма-спхута-сіддханты» сведчыць аб расколе сярод тагачасных індыйскіх матэматыкаў. Рознагалоссі былі абумоўлены ў значнай ступені выбарам астранамічных параметраў і тэорыі. Крытыка тэорый апанентаў Брахмагупты змешчана ў першых дванаццаці раздзелах «Брахма-спхута-сіддханты» і адсутнічае ў трынаццатым і васямнаццатым раздзелах.

Арабскі вучоны Аль-Біруні ў сваёй кнізе «Кітаб аль-Хінд» (каля 1035) прааналізаваў і апісаў ідэі індыйскіх астраномаў. У сваёй працы ён спасылаецца на Брахмагупту, як на самага аўтарытэтнага.

Асноўныя працы
--------------

Вядомыя дзве галоўныя працы Брахмагупты: Brahmasphutasiddhanta (Брахма-спхута-сіддханта) (628), Khandakhadyaka (Кхандакхадзьяка) (665).

### Брахма-спхута-сіддханта

Асноўны артыкул: **Брахма-спхута-сіддханта**
«Брахма-спхута-сіддханта» («удасканаліць вучэнне Брахмы», або «Перагляд сістэмы Брахмы») — самая вядомая праца Брахмагупты, прысвечаная матэматыцы і астраноміі. Трактат напісаны вершамі і ўтрымлівае толькі вынікі без доказаў. Праца складаецца з 25 кіраўнікоў (у іншых крыніцах гаворыцца пра 24 раздзелах і дадатку з табліцамі).

Першыя 10 кіраўнікоў, якія ўяўляюць сабой тыповы тэкст па астраноміі таго перыяду, часта разглядаюцца асобна як першая версія працы, так як існуюць манускрыпты, якія змяшчаюць толькі гэтыя кіраўніка. Гэты тэкст носіць назву Daśādhyāyī. У ім утрымліваюцца у прыватнасці разлікі сярэдняй і сапраўднай даўгаты, вылічэнне сутачнага кручэння, разлік сонечных і месяцавых зацьменняў, метады разліку становішча нябесных цел з цягам часу (эфемерыды), іх узыходаў і заходаў, злучэнняў.

Наступныя 15 кіраўнікоў ўтрымліваюць значныя дапаўненні і ўдакладненні да першых кіраўнікам, а таксама кіраўніка па матэматыцы. Матэматычныя главы даюць уяўленне аб двух асноўных падыходах індыйскіх матэматыкаў: «матэматыка працэдур», ці алгарытмы, і «матэматыка насення», або ўраўненні. 12-я частка кнігі носіць назву «Матэматыка», яна прысвечана найпростым арыфметычным аперацыям, прапорцыям, задачам на змешванне і рады, што складала асноўную частку практычнай матэматыкі ў часы Брахмагупты. 18-я глава, «Распыляльнік», мае прамое стаўленне да алгебры, але паколькі такога тэрміна яшчэ не існавала, названая па першай задачы, разгляданай у главе.

У другой палове VIII стагоддзя, калі Багдадскі халіф з дынастыі Абасидаў Абу-ці-Абас Абд-Алах аль-Мамун (712-775) быў з пасольствам у Індыі, запрасіў у Багдад вучонага з Уджайн па імі Канку, які выкладаў індыйскую сістэму астраноміі на аснове «Брахма-спхута-сіддханта». Халіф замовіў пісьмовы пераклад кнігі на арабскую мову, які быў ажыццёўлены матэматыкам і філосафам Ібрахімам аль-Фазары ў 771 годзе. Пераклад, выкананы ў выглядзе табліц — зіджа — з неабходнымі тлумачэннямі і рэкамендацыямі, атрымаў назву «Вялікі Сіндхінд». Вядома, што гэтай працай карыстаўся аль-Харэзмі для напісання сваіх прац па астраноміі («Зідж аль-Харэзмі») і арыфметыцы («Кніга пра індыйскі рахунак»). Лічыцца, што пераклад апошняй у XI стагоддзі на лацінскую мову адыграў вырашальную ролю ў распаўсюдзе пазіцыйнай сістэмы злічэння.

«Брахма-спхута-сіддханта» была перакладзеная кітайскімі матэматыкамі VII-IX стагоддзяў (вядома па меншай меры чатыры пераклады), дазволіўшы такім чынам распаўсюдзіць дзесятковую сістэму сярод кітайскіх навукоўцаў. У 1817 годзе дзве матэматычныя главы былі перакладзеныя на англійскую Генры Томасам Колбруком.

У 860 годзе індыйскі матэматык Prthudakasvami напісаў каментары да працы, якія носяць назву Vāsanābhāṣya. Ад поўных каментарыяў захавалася толькі некалькі манускрыптаў. Вядома таксама некалькі ананімных каментарыяў да поўнай версіі сачыненні і да першых дзесяці глаў. У Індыі праца Брахмагупты была апублікаваная ў 1902 і 1966 гадах.

### Кхандакхадьяка

Другая праца Брахмагупты, Кхандакхадьяка (A Piece Eatable), была напісана ў 665 годзе. Яна складаецца з 8 раздзелаў. У гэтай працы Брахмагупта удакладніў і спрасціў шэраг астранамічных разлікаў, карыстаючыся шмат у чым сістэмай, прапанаванай Арыябхатай. Акрамя таго, яна ўключае інтэрпаляцыйную формулу для вылічэння сінусам. У VIII стагоддзі Кхандакхадьяка была перакладзеная на арабскую мову пад назвай «Арканд».

Каментарыі да Кхандакхадьякі былі напісаныя ў 864, 966, 1040, 1180 гады, некаторыя з іх не захаваліся. Сама кніга была надрукаваная ў Калькуце ў 1925 і 1941 годзе. Пераклад на англійскую мову ажыццявіў Сенгупта (Prabodh Chandra Sengupta) ў 1934 годзе.

Уклад у матэматыку
------------------

У сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта Брахмагупта даў азначэнне нуля, як выніку адымання ліку ад самога сябе. Ён адзін з першых сфармуляваў правілы арыфметычных аперацый над дадатнымі і адмоўнымі лікамі, разглядаючы пры гэтым дадатныя лікі як маёмасць, а адмоўныя — як доўг. Далей Брахмагупта спрабаваў пашырыць арыфметыку, вызначыўшы дзяленне на нуль. Паводле Брахмапуты,

* Дзель нуля на нуль ёсць нуль;
* Дзель дадатнага ці адмоўнага ліку на нуль ёсць дроб з нулём у назоўніку;
* Дзель нуля на дадатны ці адмоўны лік ёсць нуль.

Брахмагупта прапанаваў тры спосабы множання многаразрадных лікаў у слупок (асноўны і два спрошчаныя), блізкія да сучасных. Асноўны спосаб Брахмагупта назваў «gomutrika», што перакладаецца «як траекторыя мачы каровы» (англ.: "like the trajectory of cow's urine").

Брахмагупта таксама прапанаваў метад прыбліжанага вылічэння квадратнага кораня, раўназначны ітэрацыйнай формуле Ньютана (Newton-Raphson), метад рашэння некаторых нявызначаных квадратных ураўненняў выгляду ax²+c=y², метад рашэння нявызначаных лінейных ураўненняў выгляду ax+c=by, выкарыстоўваючы метад паслядоўных дробаў.

Ён выразіў суму квадратаў і кубаў першых n лікаў праз суму першых n лікаў, сцвярджаючы, што «Сума квадратаў ёсць сума лікаў, памножаная на падвоены лік крокаў, павялічаны на адзінку, і падзеленая на тры. Сума кубаў ёсць квадрат сумы лікаў да аднаго і таго ж ліку». У сімвальнай форме гэта выглядае так:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{2}={\frac {(2n+1)}{3}}\sum \_{k=1}^{n}k;}
{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}k^{3}=\left(\sum \_{k=1}^{n}k\right).}
У працы Кхандакхадзьяка Брахмагупта прапанаваў інтэрпаляцыйную формулу другога парадку[en], якая з'яўляецца асобным выпадкам выведзенай больш чым праз 1000 гадоў інтэрпаляцыйнай формулы Ньютана — Сцірлінга. Ён выкарыстаў яе для інтэрпаляцыі значэнняў сінуса ў складзеных ім трыганаметрычных табліцах. Формула дае ацэнку значэння функцыі *f* пры значэнні яе аргумента *a* + *xh* (пры *h* > 0 і −1 ≤ *x* ≤ 1), калі яе значэнне ўжо вядома ў пунктах *a* − *h*, *a* і *a* + *h*. Яна запісваецца наступным чынам:

{\displaystyle f(a+xh)\approx f(a)+x\left({\frac {\Delta f(a)+\Delta f(a-h)}{2}}\right)+{\frac {x^{2}\Delta ^{2}f(a-h)}{2!}},}
дзе Δ — аператар узыходзячай канечнай рознасці першага парадку, г. зн.

{\displaystyle \Delta f(a)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ f(a+h)-f(a).}
Формула Брахмагупты для чатырохвугольніка
Брахмагупта прапанаваў формулу вылічэння плошчы чатырохвугольніка, упісанага ў акружнасць. Формула Брахмагупты з'яўляецца абагульненнем формулы Герона для плошчы трохвугольніка. А іменна, плошча *S* упісанага ў акружнасць чатырохвугольніка са старанамі *a*, *b*, *c*, *d* і паўперыметрам *p* раўняецца

{\displaystyle S={\sqrt {(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}}.}
Пры гэтым сам Брахмагупта не ўдакладніў, што формула справядлівая толькі для чатырохвугольнікаў, якія можна ўпісаць у акружнасць, таму некаторыя гісторыкі лічаць гэта памылкай Брахмагупты.

Вядома яшчэ адна формула Брахмагупты для радыуса апісанай акружнасці адвольнага трохвугольніка:

{\displaystyle R={\frac {ab}{2h\_{c}}}={\frac {bc}{2h\_{a}}}={\frac {ac}{2h\_{b}}},}
дзе *a*, *b*, *c* — стораны трохвугольніка, *ha*, *hb* і *hc* — яго вышыні.

#### Тоеснасць Брахмагупты

Тоеснасць Брахмагупты сцвярджае, што здабытак дзвюх сум двух квадратаў сам ёсць сума двух квадратаў, прычым двума спосабамі.

{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}=(ac+bd)^{2}+(ad-bc)^{2}.}
Напрыклад,

{\displaystyle (1^{2}+4^{2})(2^{2}+7^{2})=26^{2}+15^{2}=30^{2}+1^{2}.}
#### Тэарэма Брахмагупты

Тэарэма Брахмагупты сцвярджае, што AF = FD
Асноўны артыкул: **Тэарэма Брахмагупты**
Няхай ёсць упісаны чатырохвугольнік, дыяганалі якога ўзаемна перпендыкулярныя. Апусцім з пункта перасячэння дыяганалей перпендыкуляр на адну з яго старон. Працяг гэтага перпендыкуляра па другі бок ад пункта перасячэння дзеліць процілеглую старану чатырохвугольніка на дзве роўныя часткі.

#### Задача Брахмагупты

Задача Брахмагупты — пабудаваць з дапамогай цыркуля і лінейкі ўпісаны чатырохвугольнік па чатырох яго старанах.
Адно з рашэнняў выкарыстоўвае акружнасць Апалонія.

Уклад у астраномію
------------------

Брахмагупта лічыў Зямлю нерухамаю (г. зн. што яна не круціцца вакол сваёй восі) і ў сваёй працы Брахма-спхута-сіддханта прывёў працягласць года як 365 дзён 6 гадзін 5 хвілін і 19 секунд, тады як у наступнай працы Кхандакхадьяка працягласць года прыведзена як 365 дзён 6 гадзін 12 хвілін і 36 секунд. Магчыма, другое значэнне было ўзята ў Арыябхаты.

Астранамічныя ўяўленні Брахмагупты, выкладзеныя ў Брахма-спхута-сіддханта, сведчаць аб высокім узроўні яго даследаванняў і навуковай прадбачлівасці. Так, у сёмым раздзеле працы, які называецца «Аб зацьменні Месяца», Брахмагупта абвяргае ўяўленні аб том, што Месяц знаходзіцца далей ад Зямлі, чым Сонца.

> 
> 
> 7.1. Калі б Месяць быў вышэшы за Сонца, то яго бліжэйшая да Сонца палавіна заўсёды была б асветлена.
> 
> 
> 7.2. Гэтак жа, асветленая Сонцам частка Месяца заўсёды была б бачная, а неасветленая частка заставалася б нябачнай.
> 
> 
> 7.3. Яркасць [асветленай часткі Месяца] павялічваецца ў напрамку Сонца. У канцы светлага паўмесяца палавіна асветлена, а другая палавіна цёмная. Такім чынам, вышыню рагоў паўмесяца можна вылічыць.
> 
> 
> 

Брахмагупта тлумачыць, што раз Месяць бліжэшы да Зямлі, чым Сонца, ступень асветленасці Месяца залежыць ад узаемнага становішча Сонца і Месяца, і можа быць вылічана зыходзячы з велічыні вугла паміж гэтымі двума нябеснымі целамі.

Важным укладам Брахмагупты ў астраномію з'яўляюцца метады разліку становішча нябесных цел з цягам часу (эфемерыды), іх усходаў і заходаў, злучэнняў, а таксама разліку сонечных і месяцавых зацьменняў. Брахмагупта раскрытыкаваў уяўленні пуранічнай касмалогіі пра тое, што Зямля плокая або пустая ў сярэдзіне. Ён сцвярджаў, што Зямля і неба маюць сферычную форму, і што Зямля рухаецца. У 1030 годзе газневідскі астраном Абу аль-Райхан аль-Біруні ў сваёй працы «Та’рых аль-Хінд», пракаменціраваў працу Брахмагупты. Біруні адзначаў, што на заўвагі крытыкаў тэорыі шарападобнай Зямлі («Каб так было, то б камні і дрэвы падалі з зямлі») Брахмагупта адказаў:

> 
> 
> «Наадварот, каб гэта так было [Зямля была плоская], то Зямля не магла б захоўваць сваю форму нават на працягу хвілін. […] Усе цяжкія рэчы прыцягваюцца да цэнтра зямлі […] Зямля аднолькавая з усіх бакоў. Усе людзі на Зямлі стаяць, і ўсе цяжкія рэчы падаюць на зямлю па закону прыроды, так устроена прырода Зямлі, каб прыцягваць і трымаць рэчы, таксама як прырода вады — цячы, агня — гарэць, ветру — прыводзіць у рух … Зямля — гэта адзіная нізкая рэч, усе прадметы заўсёды вернуцца к ёй з любога кірунку, куды б вы іх не кінулі, і ніколі не падымуцца ўверх ад зямлі».
> 
> 
> — Брахмагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)
> 
> 

Пра сілу цяжару Зямлі Брахмагупта казаў:

> 
> «Целы падаюць на зямлю, бо гэта ў прыродзе Зямлі — прыцягваць іх, гэтак жа як у прыродзе вады - цячы.»
> — Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. ISBN 0-12-421171-2.
> 
>

Творы
-----

Асноўная праца Брахмагупты, «Удасканаленнае вучэнне Брахмы» («Брахма-спхута-сіддханта», 628), змяшчае 25 раздзелаў:

1. Аб стане зямнога шара і форме неба і зямлі.
2. Пра абарачэннях свяціл і аб вызначэнні часу; пра тое, як знаходзіць сярэднія становішчы свяціл; аб вызначэнні сінуса дугі.
3. Аб складанні табліцы свяціл.
4. Аб трох праблемах, а менавіта: пра цень, аб мінулай частцы дня і пра гараскоп; а таксама пра тое, як выводзіць адно з іх з іншага.
5. Пра тое, як свяцілы з'яўляюцца з-за прамянёў Сонца і як яны хаваюцца за імі.
6. Пра тое, як паказваецца малады месяц, і пра яго двух рагах.
7. Аб зацьменні Месяца.
8. Аб зацьменні Сонца.
9. Аб цені Месяца.
10. Аб злучэнні і супрацьстаянні свяціл.
11. Аб шыротах свяціл.
12. Аб крытыцы таго, што змяшчаецца ў кнігах і табліцах, і пра адрозніванні правільнага ад няправільнага.
13. Аб арыфметыцы і яе ўжыванні ў вылічэнні адлегласцей і ў іншых выпадках.
14. Аб удакладненні сярэдняга становішча свяціл.
15. Аб выпраўленні табліцы свяціл.
16. Аб дакладным даследаванні трох праблем.
17. Аб адхіленні зацьменняў.
18. Аб дакладным вызначэнні з'яўлення маладога месяца і яго двух рагоў.
19. Аб метадзе «куттака».
20. Аб разліках ў памерах вершаў і метрыцы.
21. Пра акружнасці і інструменты.
22. Аб чатырох мерах часу — па Сонцы, па ўсход, па Месяцы і па месяцавым станцыях.
23. Аб знаках для лікаў і лічбаў у вершаваных творах па гэтым прадмеце.
24. Аб доказах, якія не выкарыстоўваюць матэматыку.

Другая праца Брахмагупты, «Кхандакхадьяка» (655), таксама ўяўляе сабой фундаментальны праца па астраноміі.

Публікацыі
----------

* Brahmagupta. *Brahma-Sphuta-Siddhanta.* New Delhi, 1966. vol. 1.

Заўвагі
-------

1. ↑
2. ↑  *Pas L. v.* Genealogics — 2003.<a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q19847329'></a><a href='https://wikidata.org/wiki/Track:Q19847326'></a>
3. ↑  Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, p. xxxv-xxxvi
4. 1 2  Brahmagupta **(нявызн.)**.  Encyclopedia of World Biography (26 ліпеня 2006). Праверана 20 жніўня 2013.
5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13  *J J O'Connor and E F Robertson*. Brahmagupta **(нявызн.)**(недаступная спасылка).  MacTutor History of Mathematics archive. Архівавана з першакрыніцы 15 верасня 2013. Праверана 20 жніўня 2013.
6. ↑  Plofker, 2007, p. 418—419
7. 1 2 3 4 5 6 7  Brahmagupta **(нявызн.)**.  Complete Dictionary of Scientific Biography. Праверана 20 жніўня 2013.
8. 1 2 3  *Takao Hayashi*. Brahmagupta **(нявызн.)**.  Энцыклапедыя Брытаніка. Праверана 20 жніўня 2013.
9. ↑  *Еремеева А. И. Цицин Ф. А.* История астрономии. Указ. соч. стр. 111.
10. 1 2 3  *Katz V. J. Imhausen A.* История человечества. — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII-XVI века. — P. 410-412. — 796 p. (руск.)
11. 1 2 3  *Pearce Ian*. Brahmagupta, and the influence on Arabia **(нявызн.)**(недаступная спасылка).  MacTutor History of Mathematics archive. Архівавана з першакрыніцы 15 верасня 2013. Праверана 20 жніўня 2013.
12. ↑  Брахмагупта **(нявызн.)**.  Большая советская энциклопедия. Праверана 20 жніўня 2013.
13. ↑  Plofker, 2007, p. 428—434
14. 1 2  Plofker, 2007, p. 428-434
15. ↑  Joseph, George G. (2000). *The Crest of the Peacock*. Princeton, NJ: Princeton University Press. p. 285-286. ISBN 0-691-00659-8. . .
16. ↑  В. В. Прасолов, Задачи по планиметрии
17. ↑  Plofker, 2007, p. 419—420
18. ↑  Брахмагупта // Большой Энциклопедический словарь. 2000

Гл. таксама
-----------

* Гісторыя матэматыкі ў Індыі
* Індыйская астраномія
* Вучэнне пра сігнатуры
* Рашэнне трохвугольнікаў
* Тэарэма Брахмагупты
* Формула Брахмагупты
* Пабудова з дапамогай цыркуля і лінейкі
* en:Brāhmasphuṭasiddhānta
* en:Brahmagupta–Fibonacci identity
* en:Brahmagupta quadrilateral
* en:Brahmagupta's identity
* en:Brahmagupta's problem
* en:Brahmagupta's interpolation formula
* en:Brahmagupta matrix

Зноскі
------

Літаратура
----------

* *Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T.* Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p.  (англ.)
* *Plofker K.* Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J.. — Princeton University Press, 2007. — 685 p.  (англ.)
* *Ван дер Варден Б. Л.* Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. *Успехи математических наук*, 31, вып. 5(191), 1976, с. 57-70.
* *Володарский А. И.* Очерки истории средневековой индийской математики. — М.: Наука, 1977.
* *Юшкевич А. П.* История математики в средние века. — М.: Физматгиз, 1961.
* Gupta R. C. Brahmagupta’s formulas for the area and diagonals of a cyclic quadrilateral. *The Mathematics Education*, 8, 1974, p. 33-36.
* Sarasvati Amma T. A. *Geometry in ancient and medieval India.* Delhi: Motilal Banarsidass, 1979.
* История математики, т.1, М. 1970.

Спасылкі
--------

* 

* Лагатып Вікісховішча На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме **Брахмагупта**
* *Брахмагупта (руск.)* — артыкул з Вялікай савецкай энцыклапедыі(Праверана 15 жніўня 2013)

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Тэматычныя сайты | zbMATH Open · MacTutor History of Mathematics archive |
| Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая нарвежская · Кругасвет · Britannica (онлайн) · Brockhaus · Universalis |
| Генеалогія і некрапалістыка | genealogics.org |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BAV: ADV10008503 · BNC: a1126424x · BNE: XX1211622 · BNF: 12982384t · CiNii: DA16111474 · GND: 120322420 · ISNI: 0000 0000 6299 2448 · LCCN: n87151821 · NTA: 072897678 · SUDOC: 11215591X · VIAF: 39509380 |

 |