Кожны наступны фіялетавы квадрат атрыманы змяншэннем у 2 разы старон папярэдняга квадрата (пры гэтым ягоная плошча змяншаецца ў 4 разы). Сума плошчаў усіх фіялетавых квадратаў раўняецца траціне плошчы вялікага квадрата.
**Геаметры́чная прагрэ́сія** — паслядоўнасць лікаў *b*1, *b*2, *b*3, ... (*членаў* прагрэсіі), кожны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дамнажэннем на пастаянны лік *q* ≠ 0 (**назо́ўнік** прагрэсіі).

{\displaystyle b\_{n}=b\_{n-1}q,\qquad n=2,3,\dots .}
Сума ўсіх членаў геаметрычнай прагрэсіі (**су́ма бяско́нцай геаметры́чнай прагрэ́сіі**) называецца **геаметры́чным ра́дам**. Часта *геаметрычным радам* называюць і канечную суму некалькіх першых членаў геаметрычнай прагрэсіі.

Такім чынам, любая геаметрычная паслядоўнасць выглядае на ўзор

{\displaystyle a,\ aq,\ aq^{2},\ aq^{3},\ aq^{4},\ \dots ,}
дзе *a* — першы член геаметрычнай прагрэсіі, *q* ≠ 0 - назоўнік геаметрычнай прагрэсіі.

У такіх абазначэннях *геаметрычны рад* мае выгляд:

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots .}

Апісанне
--------

*n*-ы член геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

{\displaystyle b\_{n}=b\_{1}q^{n-1}\quad }
Калі {\displaystyle b\_{1}>0} і {\displaystyle q>1}, прагрэсія з'яўляецца *нарастаючай* паслядоўнасцю, калі {\displaystyle 0<q<1}, — *спадаючай* паслядоўнасцю, а пры {\displaystyle q<0} — *знакачаргавальнай*.

Сваю назву прагрэсія атрымала дзякуючы сваёй **адме́тнай уласці́васці**:

{\displaystyle |b\_{n}|={\sqrt {b\_{n-1}b\_{n+1}}},}
гэта значыць, кожны член роўны сярэдняму геаметрычнаму сваіх суседзяў.

Уласцівасці
-----------

* Лагарыфмы членаў геаметрычнай прагрэсіі (калі яны вызначаны) утвараюць арыфметычную прагрэсію

Доказ
Няхай {\displaystyle w\_{n}=\log \_{p}b\_{n}\ }. Тады для любога *n* > 1

{\displaystyle {\frac {w\_{n-1}+w\_{n+1}}{2}}={\frac {\log \_{p}b\_{n-1}+\log \_{p}b\_{n+1}}{2}}={\frac {\log \_{p}b\_{1}q^{n-2}+\log \_{p}b\_{1}q^{n}}{2}}={\frac {\log \_{p}(b\_{1}^{2}q^{2n-2})}{2}}={\frac {2\cdot \log \_{p}b\_{1}q^{n-1}}{2}}=\log \_{p}b\_{n}=w\_{n}}
Атрыманая роўнасць ёсць адметнай уласцівасцю арыфметычнай прагрэсіі.

* Пашыраная **адметная ўласцівасць** геаметрычнай прагрэсіі:

{\displaystyle b\_{n}^{2}=b\_{n-i}b\_{n+i},\qquad 0\leq i<n}
Доказ
{\displaystyle b\_{n}^{2}=b\_{n}b\_{n}=b\_{1}q^{n-1}b\_{1}q^{n-1}=b\_{1}q^{n-1-i}b\_{1}q^{n-1+i}=b\_{n-i}b\_{n+i}}

* Здабытак першых *n* элементаў геаметрычнай прагрэсіі можна вылічыць па формуле:

{\displaystyle P\_{n}=(b\_{1}\cdot b\_{n})^{\frac {n}{2}}}
Доказ
{\displaystyle P\_{n}=\prod \_{i=1}^{n}b\_{i}=\prod \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}^{n}\prod \_{i=1}^{n}q^{i-1}=b\_{1}^{\frac {n}{2}}b\_{1}^{\frac {n}{2}}q^{\frac {n(0+(n-1))}{2}}=(b\_{1}b\_{1}q^{n-1})^{\frac {n}{2}}=(b\_{1}b\_{n})^{\frac {n}{2}}}

* Здабытак членаў геаметрычнай прагрэсіі з нумарамі ад *k* да *n* можна вылічыць па формуле:

{\displaystyle P\_{k,n}={\frac {P\_{n}}{P\_{k-1}}}}
Доказ
{\displaystyle P\_{k,n}=\prod \_{i=k}^{n}b\_{i}={\frac {\prod \_{i=1}^{n}b\_{i}}{\prod \_{j=1}^{k-1}b\_{j}}}={\frac {P\_{n}}{P\_{k-1}}}}

* Сума *n* першых членаў геаметрычнай прагрэсіі:

{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}b\_{i}={\begin{cases}b\_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}},&q\neq 1,\\nb\_{1},&q=1.\end{cases}}}
Доказ
* Праз пераўтварэнні сумы:
{\displaystyle S\_{n}=\sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+\sum \_{i=2}^{n}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+q\sum \_{i=2}^{n}b\_{1}q^{i-2}=b\_{1}+q\sum \_{i=1}^{n-1}b\_{1}q^{i-1}=b\_{1}+q\sum \_{i=1}^{n}b\_{1}q^{i-1}-b\_{1}q^{n}=qS\_{n}+b\_{1}(1-q^{n})}
Адсюль вынікае
{\displaystyle (1-q)S\_{n}=b\_{1}(1-q^{n}).}

* індукцыяй па *n*:
{\displaystyle n=1:S\_{1}=\sum \_{i=1}^{1}b\_{i}=b\_{1}=b\_{1}{\frac {1-q^{1}}{1-q}}}
{\displaystyle n\rightarrow n+1:S\_{n+1}=\sum \_{i=1}^{n+1}b\_{i}=\sum \_{i=1}^{n}b\_{i}+b\_{n+1}=b\_{1}{\frac {1-q^{n}}{1-q}}+b\_{1}q^{n}=b\_{1}\left({\frac {1-q^{n}}{1-q}}+q^{n}\right)=b\_{1}\left({\frac {1-q^{n}+q^{n}-q^{n+1}}{1-q}}\right)=b\_{1}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}}

Геаметрычны рад
---------------

На рысунку паказаны тры геаметрычныя рады ўзору *r**n*-1 (з назоўнікамі 1/2, 1/3 і 1/4) на 6 крокаў углыб. Першая "цагліна" адлюстроўвае адзінку. Штрыхавая лінія паказвае бясконцую суму паслядоўнасці — лік, да якога канечная сума набліжаецца пры павелічэнні колькасці складнікаў, але ніколі не дасягае (у дадзеным выпадку гэты лік роўны 2, 3/2, і 4/3, адпаведна).
**Геаметры́чны ра́д** — такі бясконцы рад, дзель паслядоўных членаў якога ёсць сталая велічыня. Часам геаметрычны рад яшчэ называюць **сумай бясконцай геаметрычнай прагрэсіі**.
У агульным выпадку, геаметрычны рад можна прадставіць у выглядзе:

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots }
або

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }aq^{k}.}
Геаметрычны рад збягаецца, калі і толькі калі |*q*| < 1.
Суму рада азначаюць як граніцу паслядоўнасці яго частковых сум *S**n*:

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }aq^{k}=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=0}^{n}aq^{k}=\lim \_{n\to \infty }a{\frac {1-q^{n}}{1-q}}.}
А раз |*q*| < 1, то велічыня *q**n* імкнецца да нуля пры неабмежаваным нарастанні *n*. Адсюль атрымліваем, што сума геаметрычнага рада раўняецца:

{\displaystyle a+aq+aq^{2}+aq^{3}+aq^{4}+\dots ={\frac {a}{1-q}}.}
Калі ж |*q*| ≥ 1, геаметрычны рад разбягаецца.

Рысунак паказвае геаметрычны рад 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... які збягаецца да значэння 2
### Перыядычныя дзесятковыя дробы

Гл. таксама: Дзесятковы дроб
Геаметрычныя рады маюць адно цікавае дастасаванне.
Так, любы перыядычны дзесятковы дроб, па сутнасці, ёсць запіс пэўнага геаметрычнага рада.
Справядліва наступная тэарэма:

|  |
| --- |
| 
Бясконцы дзесятковы дроб з'яўляецца перыядычным, калі і толькі калі гэта запіс пэўнага рацыянальнага ліку (г.зн. нейкага звычайнага дробу).
 |

Такім чынам, узнікае задача пераводу перыядычнага дзесятковага дробу ў звычайны.

Прыклады:

{\displaystyle 0{,}(7)=0{,}77777\dots =0{,}7+0{,}07+0{,}007+\dots =7{\frac {1}{10}}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+7\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {7}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {7}{9}}}
{\displaystyle 0{,}(9)=0{,}99999\dots =0{,}9+0{,}09+0{,}009+\dots =9{\frac {1}{10}}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+9\left({\frac {1}{10}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {9}{10}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {9}{9}}=1}
{\displaystyle 0{,}(143)=0{,}143143\dots =0{,}143+0{,}000143+0{,}000000143+\dots =143{\frac {1}{1000}}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{2}+143\left({\frac {1}{1000}}\right)^{3}+\dots ={\frac {\frac {143}{1000}}{1-{\frac {1}{1000}}}}={\frac {143}{999}}}
{\displaystyle 0{,}85(3)=0{,}85333\dots =0{,}85+0{,}003+0{,}0003+\dots ={\frac {85}{100}}+{\frac {3}{1000}}+{\frac {3}{1000}}\cdot {\frac {1}{10}}+{\frac {3}{1000}}\left({\frac {1}{10}}\right)^{2}+\dots ={\frac {17}{20}}+{\frac {\frac {3}{1000}}{1-{\frac {1}{10}}}}={\frac {17}{20}}+{\frac {1}{300}}={\frac {64}{75}}}

Прыклады геаметрычных прагрэсій
-------------------------------

* Паслядоўнасць плошчаў квадратаў, дзе кожны наступны квадрат атрымліваецца злучэннем сярэдзін старон папярэдняга — бясконцая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1/2. Плошчы трохвугольнікаў, якія атрыліваюцца на кожным кроку, таксама ўтвараюць бясконцую геаметрычную прагрэсію з назоўнікам 1/2, сума якой роўная плошчы пачатковага квадрата.
* 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024, 2048, 4096, 8192 — трынаццаць паслядоўных элементаў геаметрычнай прагрэсіі з назоўнікам 2.
* 50; −25; 12,5; −6,25; 3,125; … — бясконцая спадаючая геаметрычная прагрэсія з назоўнікам -½.
* {\displaystyle \pi ,\pi ,\pi ,\pi } — геаметрычная прагрэсія з назоўнікам 1.

Гл. таксама
-----------

* Арыфметычная прагрэсія
* Паказнікавая функцыя

Зноскі
------

1. ↑  БЭ ў 18 т. Т. 5.
2. 1 2  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
3. ↑  
*Роу С.* Геометрические упражнения с куском бумаги. — 2-е изд. — Одесса: Mathesis, 1923.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Вялікая савецкая (1 выд.) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 14367171 |