**Параметры Стокса** — набор велічынь, якія апісваюць вектар палярызацыі электрамагнітных хваляў, уведзены ў фізіку Дж. Стоксам у 1852 годзе. Параметры Стокса ёсць варыянтам апісання некагерэнтнага ці часткова палярызаванага выпраменьвання ў тэрмінах поўнай інтэнсіўнасці, ступені палярызацыі і формы эліпса палярызацыі.

Азначэнне
---------

Сфера Пуанкарэ дазваляе візуалізаваць параметры Стокса як праекцыі вектара {\displaystyle I} на каардынатныя восі
Выява палярызацый на сферы Пуанкарэ
У выпадку плоскай манахраматычнай хвалі параметры Стокса звязаны з параметрамі палярызацыйнага эліпса наступным чынам:

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{0}&=I=E\_{a}^{2}+E\_{b}^{2}\\S\_{1}&=Q=I\cos 2\psi \cos 2\chi \\S\_{2}&=U=I\sin 2\psi \cos 2\chi \\S\_{3}&=V=I\sin 2\chi \end{aligned}}}
Палярызацыйны эліпс
Тут {\displaystyle E\_{a}} і {\displaystyle E\_{b}} — вялікая і малая паўвосі палярызацыйнага эліпса, {\displaystyle \psi } — вугал павароту палярызацыйнага эліпса адносна адвольнай лабараторнай сістэмы каардынат, мае назву азімута эліптычна-палярызаванага выпраменьвання (ці коратка — азімут), а вугал, вызначаемы з умовы дзелі малой паўвосі да вялікай {\displaystyle \mathrm {tg} \,{\chi }=E\_{b}/E\_{a}} — вугал эліптычнасці эліпса палярызацыі. Няцяжка заўважыць, што {\displaystyle S\_{1}}, {\displaystyle S\_{2}} і {\displaystyle S\_{3}} з'яўляюцца праекцыямі {\displaystyle S\_{0}} на нейкія каардынатныя восі. У выніку незалежнымі являются тры параметры Стокса, паколькі:

{\displaystyle I^{2}=Q^{2}+U^{2}+V^{2}}
Параметры Стокса можна звязать з велічынямі, непасрэдна вымяраемымі на вопыце. Няхай {\displaystyle E\_{1}} і {\displaystyle E\_{2}} — амплітуды змянення вектара {\displaystyle {\vec {E}}} ў двух адвольных артаганальных накірунках, а {\displaystyle \delta } — рознасць фаз ваганняў у гэтых накірунках. Тады:

{\displaystyle {\begin{aligned}S\_{0}&=I=E\_{1}^{2}+E\_{2}^{2}\\S\_{1}&=Q=E\_{1}^{2}-E\_{2}^{2}\\S\_{2}&=U=2E\_{1}E\_{2}\cos \delta \\S\_{3}&=V=2E\_{1}E\_{2}\sin \delta \end{aligned}}}
Заўвага: у дадатак да варыянтаў абазначэнняў {\displaystyle S\_{0}}, {\displaystyle S\_{1}}, {\displaystyle S\_{2}}, {\displaystyle S\_{3}} ці {\displaystyle I}, {\displaystyle Q}, {\displaystyle U}, {\displaystyle V} у некаторых навуковых традыцыях можна сустрэць абазначэнні параметраў вектара {\displaystyle I}, {\displaystyle M}, {\displaystyle C}, {\displaystyle S} або {\displaystyle I}, {\displaystyle P\_{1}}, {\displaystyle P\_{2}}, {\displaystyle P\_{3}} ці {\displaystyle S\_{1}}, {\displaystyle S\_{2}}, {\displaystyle S\_{3}}, {\displaystyle S\_{4}}.

### Прыватныя выпадкі

Выразім з дапамогай параметраў Стокса лінейную палярызацыю. У гэтым выпадку рознасць фаз у любых артаганальных накірунках павінна быць роўная {\displaystyle \delta =m\pi }, дзе {\displaystyle m} — цэлы лік. Тады атрымліваем

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=E\_{1}^{2}+E\_{2}^{2}=E\_{a}^{2}+E\_{b}^{2}\\Q&=I\cos {2\chi }\cos {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E\_{1}E\_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\cos {2\psi }=I\cos {2\psi }\\U&=I\cos {2\chi }\sin {2\psi }=I{\frac {1}{I}}{\sqrt {I^{2}-(2E\_{1}E\_{2})^{2}\sin ^{2}\delta }}\sin {2\psi }=I\sin {2\psi }\\V&=I\sin {2\chi }=I{\frac {2E\_{1}E\_{2}}{I}}\sin {\delta }=0\end{aligned}}}
Няхай лабараторная вось адліку была выбрана гарызантальнай, як часта гэта й робіцца. Калі {\displaystyle \psi =0}, то атрымліваецца гарызантальная лінейная палярызацыя, калі {\displaystyle \psi =\pm {\frac {\pi }{2}}}, то гэта ёсць вертыкальная лінейная палярызацыя.

У табліцы прыведзеныя значэнні параметраў Стокса для трох прыватных выпадкаў

| Палярызацыя | Параметры Стокса
  |
| --- | --- |
| {\displaystyle I} | {\displaystyle Q} | {\displaystyle U} | {\displaystyle V} |
| Лінейная | {\displaystyle I} | {\displaystyle I\cos {2\psi }} | {\displaystyle I\sin {2\psi }} | {\displaystyle 0} |
| Правая кругавая | {\displaystyle I} | {\displaystyle 0} | {\displaystyle 0} | {\displaystyle I} |
| Левая кругавая | {\displaystyle I} | {\displaystyle 0} | {\displaystyle 0} | {\displaystyle -I} |

### Вектары Стокса

Часта чатыры параметры Стокса аб'ядноўваюць у адзін чатырохмерны вектар, што завецца **вектарам Стокса**:

{\displaystyle {\vec {S}}\ ={\begin{pmatrix}S\_{0}\\S\_{1}\\S\_{2}\\S\_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}I\\Q\\U\\V\end{pmatrix}}}
Вектар Стокса ахоплівае прастору непалярызаванага, часткова палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. Для параўнання, вектар Джонса, якi таксама ужываецца для апісання палярызацыі, можна выкарыстоўваць толькі для цалкам палярызаванага выпраменьвання, у выніку той больш карысны для задач, звязаных з кагерэнтным выпраменьваннем.

Уплыў аптычнай сістэмы на палярызацыю святла, якое падае на яе, і зададзенага вектарам Стокса, можна разлічыць з дапамогай пераўтварэння Мюллера.

#### Прыклады

Ніжэй паказаныя вектары Стокса для некаторых простых варыянтаў палярызацыі святла.

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| Гарызантальная палярызацыя | Вертыкальная палярызацыя | Лінейная палярызацыя (+45°) | Лінейная палярызацыя (−45°)
  |
| {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\1\\0\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\-1\\0\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\1\\0\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\-1\\0\end{pmatrix}}} |
| Левая кругавая палярызацыя | Правая кругавая палярызацыя
  |
| {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\-1\end{pmatrix}}} | {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\1\end{pmatrix}}} |
| Непалярызаванае святло
  |
| {\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}}} |

### Параметры Стокса для квазіманахраматычнага выпраменьвання

У квазіманахраматычным выпраменьванні прысутнічаюць хвалі розных, хоть і блізкіх частот. Няхай {\displaystyle a\_{1}} 
і {\displaystyle a\_{2}} — імгненныя амплітуды ў двух узаемна-перпендыкулярных накірунках. Тады параметры Стокса задаюцца наступнымі выражэннямі:

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=\langle a\_{1}^{2}\rangle +\langle a\_{2}^{2}\rangle \\Q&=\langle a\_{1}^{2}\rangle -\langle a\_{2}^{2}\rangle \\U&=2\langle a\_{1}a\_{2}\cos \delta \rangle \\V&=2\langle a\_{1}a\_{2}\sin \delta \rangle \end{aligned}}}
Для вызначэння параметраў Стокса увядзем інтэнсіўнасць {\displaystyle I(\theta ,\epsilon )} ваганняў у накірунку, што ўтварае вугал {\displaystyle \theta } з накірункам восі Ox, калі іх y-кампанента запазняецца на велічыню {\displaystyle \epsilon } у адносінах 
да x-кампаненты. Тады

{\displaystyle {\begin{aligned}I&=I(0^{\circ },0)+I(90^{\circ },0)\\Q&=I(0^{\circ },0)-I(90^{\circ },0)\\U&=I(45^{\circ },0)-I(135^{\circ },0)\\V&=I\left(45^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)-I\left(135^{\circ },{\frac {\pi }{2}}\right)\end{aligned}}}
У адрозненне ад манахраматычнага выпраменьвання, у квазіманахраматычным выпадку параметры Стокса незалежныя і звязаныя няроўнасцю

{\displaystyle I^{2}\geqslant Q^{2}+U^{2}+V^{2}}
Гэту няроўнасць можна растлумачыць, уявіўшы, што квазіманахраматычнае выпраменьванне складаецца з цалкам палярызаванага і цалкам палярызаванага выпраменьвання. На аснове гэтага можна ўвесці ступень палярызацыі:

{\displaystyle p={\frac {\sqrt {Q^{2}+U^{2}+V^{2}}}{I}}}

Камплекснае прадстаўленне
-------------------------

Увядзём камплексную інтэнсіўнасць лінейнае палярызаванае хвалі

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\equiv &|L|e^{i2\theta }\\&\equiv &Q+iU.\\\end{matrix}}}
Можна паказаць, што пры павароце {\displaystyle \theta \rightarrow \theta +\theta '} палярызацыйнага эліпса велічыні {\displaystyle I} і {\displaystyle V} остаются нязменнымі, а велічыні {\displaystyle L}, {\displaystyle Q} і {\displaystyle U} мяняюцца наступным чынам:

{\displaystyle {\begin{matrix}L&\rightarrow &e^{i2\theta '}L,\\Q&\rightarrow &{\mbox{Re}}\left(e^{i2\theta '}L\right),\\U&\rightarrow &{\mbox{Im}}\left(e^{i2\theta '}L\right).\\\end{matrix}}}
Дзякуючы гэтым уласцівасцям параметры Стокса можна звесці да 
трох абагульненых інтэнсіўнасцяў:

{\displaystyle {\begin{matrix}I&\geq &0,\\V&\in &\mathbb {R} ,\\L&\in &\mathbb {C} ,\\\end{matrix}}}
дзе {\displaystyle I} — поўная інтэнсіўнасць, {\displaystyle |V|} — інтэнсіўнасць кампаненты з кругавой палярызацыяй, а {\displaystyle |L|}  — інтэнсіўнасць лінейна палярызаваной кампаненты выпраменьвання. Поўная інтэнсіўнасць палярызаванага выпраменьвання ёсць {\displaystyle I\_{p}={\sqrt {|L|^{2}+|V|^{2}}}}, а арыентацыя і накіраванне кручэння вызначаюцца раўнаннямі

{\displaystyle {\begin{matrix}\theta &=&{\frac {1}{2}}\arg(L),\\h&=&\operatorname {sgn}(V).\\\end{matrix}}}
Паколькі {\displaystyle Q={\mbox{Re}}(L)}, а {\displaystyle U={\mbox{Im}}(L)}, то

{\displaystyle {\begin{matrix}|L|&=&{\sqrt {Q^{2}+U^{2}}},\\\theta &=&{\frac {1}{2}}\tan ^{-1}(U/Q).\\\end{matrix}}}

Гл. таксама
-----------

* Палярызацыя святла

Крыніцы
-------

1. ↑  S. Chandrasekhar 'Radiative Transfer*, Dover Publications, New York, 1960, ISBN 0-486-60590-6, page 25*
2. ↑  Thomas L. Wilson, Kristen Rohlfs, Susane Hüttemeister - Tools of Radio Astronomy, Springer, 2009, ISBN 978-3-540-85121-9, ISBN 978-3-540-85122-6
3. ↑  ГОСТ 23778-79 Измерения оптические поляризационные. Термины и определения. — Государственный комитет СССР по стандартам. — М. 1979. — С. 2-3. — 16 с.
4. ↑  М.Борн, Э. Вольф - Основы Оптики, М. "Наука", 1973

Літаратура
----------

* E. Collett, *Field Guide to Polarization*, SPIE Field Guides vol. **FG05**, SPIE (2005). ISBN 0-8194-5868-6.
* E. Hecht, *Optics*, 2nd ed. Addison-Wesley (1987). ISBN 0-201-11609-X.
* William H. McMaster (1954). "Polarization and the Stokes Parameters". *Am. J. Phys*. **22**: 351. Bibcode:1954AmJPh..22..351M. doi:10.1119/1.1933744.
* William H. McMaster (1961). "Matrix representation of polarization". *Rev. Mod. Phys*. **33**: 8. Bibcode:1961RvMP...33....8M. doi:10.1103/RevModPhys.33.8.

Спасылкі
--------

* Stokes parameters and polarisation