У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Ліміт (матэматыка).
Збяганне паслядоўнасці {\displaystyle \scriptstyle (a\_{n})\_{n=1}^{\infty }} да ліміту *a*
**Лімі́т паслядоўнасці**  — пэўная сталая велічыня, да якой прыбліжаецца значэнне элемента паслядоўнасці пры неабмежаваным нарастанні яго нумара.

Калі паслядоўнасць мае ліміт, кажуць, што яна *збягаецца да свайго ліміту*. У процілеглым выпадку (калі ліміту няма) кажуць, што паслядоўнасць *разбягаецца*.

Паняцце ліміту няяўна ўсведамлялі яшчэ ў старажытнай Грэцыі. Яскравым прыкладу можна прывесці апорыю Зянона пра Ахіла і чарапаху. Сучаснае азначэнне паняцця ліміту даў Агюстэн Луі Кашы.

Азначэнне і абазначэнні
-----------------------

Няхай элементы паслядоўнасці {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} належаць тапалагічнай прасторы *X*.

Кажуць, што паслядоўнасць {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} **збягаецца да свайго ліміту** {\displaystyle a\in X} і пішуць

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}=a,}
калі для любога наваколля *U*(*a*) элемента *a* існуе такі нумар *N**U* , што для ўсіх *n* ≥ *N**U* выконваецца {\displaystyle x\_{n}\in U(a).}

Паслядоўнасць, якая мае канечны ліміт, называюць **збе́жнай**.

Калі ж паслядоўнасць не мае ліміту, кажуць, што **паслядоўнасць разбягаецца**, і называюць яе **разбе́жнай**.

Сам запіс

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}}
можна прачытаць, як *«ліміт* *x**n* *пры імкненні* *n* *да бесканечнасці»*.

Ліміт лікавай паслядоўнасці
---------------------------

Асноўны артыкул: **Ліміт лікавай паслядоўнасці**
### Азначэнне

Няхай {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} — лікавая паслядоўнасць.

Кажуць, што лікавая паслядоўнасць {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} **збягаецца да свайго ліміту** {\displaystyle a} і пішуць

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}=a,}
калі для любога *ε* > 0 існуе такі нумар *N*(*ε*) , што для ўсіх *n* ≥ *N*(*ε*) справядліва няроўнасць {\displaystyle |x\_{n}-a|\leq \varepsilon .}

*Заўвага*: члены лікавай паслядоўнасці могуць быць рэчаіснымі, рацыянальнымі або камплекснымі лікамі (ці нават p-адычнымі лікамі). Ад таго, якому з гэтых бесканечных палёў належаць члены паслядоўнасці, уласцівасці ліміту такіх паслядоўнасцей значна не зменяцца.

### Уласцівасці

* *Тэарэма Бальцана — Ваерштраса.* З кожнай абмежаванай паслядоўнасці можна вылучыць збежную падпаслядоўнасць.

Няхай існуюць ліміты {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=a} і {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }b\_{n}=b}, тады існуюць наступныя ліміты:

* ліміт сумы роўны суме лімітаў
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(a\_{n}+b\_{n}\right)=a+b,}
* ліміт рознасці роўны рознасці лімітаў
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(a\_{n}-b\_{n}\right)=a-b,}
* ліміт здабытку роўны здабытку лімітаў
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(a\_{n}\cdot b\_{n}\right)=a\cdot b.}
* Калі {\displaystyle b\neq 0}, то ліміт дзелі роўны дзелі лімітаў
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {a\_{n}}{b\_{n}}}={\frac {a}{b}}}.
* Калі {\displaystyle a>0}, то ліміт ступені існуе і
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}^{b\_{n}}=a^{b}}.

### Важныя прыклады

Асноўны артыкул: **Спіс лімітаў**
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{n}}=0}
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\sqrt[{n}]{n}}=1}
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{n}=e^{z}} для рэчаісных або камплексных лікаў *z*.
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }n(a^{\frac {1}{n}}-1)=\ln a} для рэчаісных *a* > 0.
* {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\dotsb +{\frac {1}{n}}-\ln n\right)=\gamma } (Сталая Ойлера — Маскероні)
* Геаметрычны рад {\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }q^{k}} збягаецца да {\displaystyle {\tfrac {1}{1-q}}} пры {\displaystyle |q|<1,} і разбягаецца пры {\displaystyle |q|\geq 1.}
* Гарманічны рад {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {1}{k}}} разбягаецца.
* Знакачаргавальны гарманічны рад збягаецца {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k+1}}{k}}=\ln 2.}

### Абагульненні

Гл. таксама: Метрычная прастора
Гл. таксама: Ліміт функцыйнай паслядоўнасці
Ліміт лікавай паслядоўнасці з’яўляецца найпрасцейшым прыкладам ліміту паслядоўнасці ў метрычнай прасторы.

Няхай *X* − метрычная прастора, г.зн. *X* — мноствам, для элементаў якога вызначана функцыя адлегласці (або метрыка) {\displaystyle \rho :X\times X\to \mathbb {R} }, якая адпавядае умовам:

* *ρ*(*x*,*y*) = 0, калі і толькі калі *x* = *y*;
* *ρ*(*x*,*y*) = *ρ*(*y*,*x*);
* *ρ*(*x*,*y*) = *ρ*(*x*,*z*) + *ρ*(*z*,*y*)

для адвольных элементаў *x*, *y*, *z* мноства *X*.

Няхай {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} — паслядоўнасцю, члены якой належаць метрычнай прасторы *X*.

Пункт {\displaystyle a\in X} называюць **лімітам паслядоўнасці** {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }} пры імкненні *n* да бесканечнасці, калі для любога *ε* > 0 існуе такі нумар *N*(*ε*) , што для ўсіх *n* ≥ *N*(*ε*) спраўджваецца няроўнасць {\displaystyle \rho (x\_{n},a)\leq \varepsilon .}

Гл. таксама
-----------

* Ліміт (матэматыка)
* Ліміт функцыі

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.