Не блытаць з раўнамерным непарыўным размеркаваннем.

**Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне** — сіметрычнае[en] размеркаванне імавернасцей, якое ўзнікае, калі выпадковая велічыня мае аднолькавы шанец прыняць кожнае з канечнага набору[en] значэнняў. Кожнае з {\displaystyle n} значэнняў мае імавернасць {\displaystyle {\frac {1}{n}}}.

Просты прыклад раўнамернага дыскрэтнага размеркавання — падкіданне шасціграннага кубіка. Магчымыя значэнні — 1, 2, 3, 4, 5, 6, і пры кожным падкіданні імавернасць выпадзення пэўнага значэння роўная 1/6. Калі б падкідаліся два кубікі і іх значэнні складаліся, размеркаванне такой выпадковай велічыні ўжо не было б раўнамерным, бо розныя сумы маюць розныя імавернасці.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне прынята вызначаць для цэлых лікаў, але яго можна абагульніць і на адвольнае канечнае мноства. Напрыклад, выпадковая перастаноўка[en] атрымліваецца ў выніку выбару з роўнаімаверных перастановак пэўнай даўжыні.

Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне задаецца на ўсіх цэлых ліках у інтэрвале {\displaystyle [a,b]}, дзе {\displaystyle a}, {\displaystyle b} — некаторыя цэлыя лікі і {\displaystyle a\leq b}. Лікі {\displaystyle a} і {\displaystyle b} завуцца параметрамі раўнамернага дыскрэтнага размеркавання. Часам выкарыстоўваецца адзін параметр?! {\displaystyle n} і значэнні велічыні бяруцца з інтэрвалу {\displaystyle [1,n]}. З такой параметрызацыяй функцыя размеркавання мае выгляд
{\displaystyle F(k;a,b)={\frac {\lfloor k\rfloor -a+1}{b-a+1}}}.

Ацэнка максімуму
----------------

Няхай маем выбарку[en] без вяртання з {\displaystyle k} назіранняў з раўнамернага дыскрэтнага размеркавання на цэлых ліках {\displaystyle 1,2,\dotsc ,N}. Патрабуецца ацаніць[en] невядомы максімум {\displaystyle N}. Гэтая задача вядомая пад назвай «задача пра нямецкія танкі[en]», бо яна прымянялася для ацэнкі колькасці вырабленых нямецкіх танкаў падчас Другой сусветнай вайны.

Нязрушаная ацэнка з мінімальнай дысперсіяй[en] задаецца формулай

{\displaystyle {\hat {N}}={\frac {k+1}{k}}m-1=m+{\frac {m}{k}}-1},
дзе {\displaystyle m} — максімум выбаркі, а {\displaystyle k} — памер выбаркі.

Дысперсія ацэнкі роўная

{\displaystyle {\frac {1}{k}}{\frac {(N-k)(N+1)}{(k+2)}}\approx {\frac {N^{2}}{k^{2}}}},
дзе прыблізная роўнасць дасягаецца для невялікіх выбарак {\displaystyle k\ll N}.

Беручы ў якасці ацэнкі выбаркавы максімум {\displaystyle m}, атрымаем ацэнку максімальнай праўдападобнасці, але такая ацэнка будзе зрушанай[en].

Калі элементы выбаркі не пранумараваныя, але іх магчыма памеціць, памер генеральнай сукупнасці можна ацаніць метадам паўторнай лоўлі[en], якім карыстаюцца напрыклад для ацэнкі папуляцыі жывёл.

Дастатковая статыстыка
----------------------

Сямейства раўнамерных дыскрэтных размеркаванняў над інтэрваламі цэлых лікаў (з адной ці дзвюма невядомымі межамі) мае канечнавымерную дастатковую статыстыку[en]: тройку выбаркавага максімуму, мінімуму[en] і памеру выбаркі. Пры гэтым раўнамерныя дыскрэтныя размеркаванні не з’яўляюцца экспанентавым сямействам[en] размеркаванняў, бо іх носьбіт залежыць ад параметраў. Для сямействаў чый носьбіт[en] не залежыць ад параметраў, тэарэма Пітмана-Купмана-Дармуа сцвярджае, што толькі экспанентавыя сямействы маюць дастатковую статыстыку, памернасць якой абмежаваная пры павелічэнні памеру выбаркі. Такім чынам, раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне — просты прыклад абмежавання тэарэмы.

Зноскі
------

1. 1 2  Johnson, Roger (1994). *Estimating the Size of a Population*. *Teaching Statistics*. Vol. 16. pp. 50–52. CiteSeerX 10.1.1.385.5463. doi:10.1111/j.1467-9639.1994.tb00688.x.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 60030299 |

| ⛭Размеркаванні імавернасцей |
| --- |
| Дыскрэтныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| з канечнай колькасцю значэнняў | 
* Біномнае
* Бэрнулі
* Гіпергеаметрычнае
* Звыроднае
* Раўнамернае дыскрэтнае

 |
| з бесканечнай колькасцю значэнняў | 
* Адмоўнае біномнае
* Геаметрычнае
* Пуасона

 |

 |
| Абсалютна непарыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| са значэннямі на прамежку | 
* Раўнамернае непарыўнае

 |
| са значэннямі на прамені  | 
* Гама
* Паказнікавае
* Максвела–Больцмана
* Хі-квадрат
* Эрланга

 |
| са значэннямі на ўсёй лікавай простай | 
* Кашы
* Нармальнае

 |

 |
| Многавымерныя | 
* Дзірыхле
* Многавымернае нармальнае
* Паліномнае

 |
| Іншыя | 
* Сінгулярнае

 |
| 
* Катэгорыя
* Вікісховішча

 |