У тэорыі лікаў **тэарэма Грына-Тао**, даказаная Бенам Грынам і Тэрэнцам Тао ў 2004 годзе, сцвярджае, што паслядоўнасць простых лікаў змяшчае адвольна доўгія арыфметычныя прагрэсіі. А дакладней, для любога натуральнага *k* існуюць арыфметычныя прагрэсіі, якія ўтрымліваюць *k* простых лікаў. Па сутнасці, доказ тэарэмы ўяўляе сабою пашырэнне тэарэмы Семерэдзі.

Гісторыя задачы
---------------

Гіпотэза аб існаванні адвольна доўгіх арыфметычных прагрэсій з простых лікаў дастаткова вядомая. Аўтар гэтай гіпотэзы невядомы, і яе можна апісаць як класічную, ці, нават, "народную". У Дзіксанавай "Гісторыі тэорыі лікаў"
адзначана, што каля 1770 года Лагранж і Варынг даследавалі, якой мае быць рознасць арыфметычнай прагрэсіі з *L* простых, і цяжка ўявіць, каб яны не цікавіліся тым, ці былі іхнія ацэнкі дакладнымі для ўсіх *L*.

З’яўленне гэтай гіпотэзы не было нечаканасцю, бо простая эўрыстыка, заснаваная на тэарэме пра размеркаванне простых лікаў наводзіць на думку, што існуе {\displaystyle \gg N^{2}/(\log N)^{k}} *k*-членных паслядоўнасцей простых {\displaystyle p\_{1},p\_{2},\ldots ,p\_{k}} у арыфметычнай прагрэсіі, дзе кожны з {\displaystyle p\_{i}} не перавышае *N*. У 1923 годзе Хардзі і Літльвуд
выставілі адну дужа агульную гіпотэзу, якая ў адмысловым выпадку ўтрымлівае гіпотэзу пра тое, што лік такіх *k*-членных прагрэсій асімптатычна роўны {\displaystyle C\_{k}N^{2}/(\ln N)^{k}} з некаторай яўнай сталай {\displaystyle C\_{k}>0}.

Першы поспех на шляху доказу гэтых здагадак быў дасягнуты ван-дэр-Корпутам,
які, карыстаючыся метадам Вінаградава для сум па простых ліках, даказаў гіпотэзу ў выпадку *k*=3,
гэта значыць, што існуе бясконца многа троек простых лікаў у арыфметычнай прагрэсіі. Аднак, тады пытанне пра даўжэйшыя арыфметычныя паслядоўнасці канчаткова развязана не было.
Пазней былі атрыманы некаторыя іншыя вынікі, якія ўскосна пацвярджалі выказаныя здагадкі.
Развязак задачы пра арыфметычныя прагрэсіі з простых лікаў быў завершаны работай Грына і Тао.

Дакладная фармулёўка
--------------------

Няхай *A* - любое падмноства простых лікаў дадатнай адноснай верхняй шчыльнасці

(гэта значыць,
{\displaystyle \limsup \_{N\to \infty }{\frac {|A\cap [1,k]|}{\pi (k)}}>0,}
дзе {\displaystyle \pi (x)} абазначае колькасць простых лікаў, меншых ці роўных за *x*.)
Тады для любых натуральных *k* мноства *A* ўтрымлівае бясконца многа арыфметычных прагрэсій даўжыні *k*.

Абагульненні
------------

У 2006 годзе Тао і Тамар Цыглер абагульнілі свой вынік на палінаміяльныя прагрэсіі.
Больш дакладна, няхай дадзены любыя цэлалікавыя мнагасклады *P*1(*m*),... *P**k*(*m*) ад адной зменнай *m* з нулявымі сталымі складнікамі, тады існуе бясконца многа цэлых *x*, *m*, такіх што лікі *x* + *P*1(*m*), ... *x* + *P**k*(*m*) адначасова простыя. Адмысловы выпадак, калі мнагасклады роўныя *m*, 2*m*, ... *km*, дае папярэдні вынік пра існаванне арыфметычных прагрэсій даўжыні *k* з простых лікаў.

Лікавыя вынікі
--------------

Вышэйазначаныя вынікі ёсць тэарэмамі існавання і не паказваюць, як знайсці такія прагрэсіі. 18 студзеня 2007 Яраслаў Урублеўскі знайшоў першую вядомую арыфметычную прагрэсію з 24 простых лікаў:

468 395 662 504 823 + 205 619 · 223 092 870 · *n*, для *n* ад 0 да 23.
Сталая 223092870 ёсць здабыткам усіх простых лікаў ад 2 да 23.

17 траўня 2008 года Урублеўскі і Раанан Чэрмані адшукалі першы вядомы выпадак з 25 простых лікаў:

6 171 054 912 832 631 + 366 384 · 223 092 870 · *n*, для *n* = ад 0 да 24.
12 красавіка 2010 Бенуа Перышон, карыстаючыся праграмай Урублеўскага і Джэфа Рэйнальдса ў праекце размеркаваных вылічэнняў PrimeGrid адшукаў першы вядомы выпадак 26 простых лікаў (паслядоўнасць A204189 у OEIS):

43 142 746 595 714 191 + 23 681 770 · 223 092 870 · *n*, для *n* = ад 0 да 25.

Зноскі
------

1. 1 2  
*Ben Green and Terence Tao* The primes contain arbitrarily long arithmetic progressions // *Annals of Mathematics*. — 2008. — В. 2. — Т. 167. — С. 481–547. — DOI:10.4007/annals.2008.167.481 — arΧiv:math.NT/0404188
2. ↑  *L.E. Dickson.* History of the Theory of numbers. — New York: Chelsea publishing company, 1952. — Т. 1 (Divisibility and primality).
3. ↑  
*G.H. Hardy and J.E. Litlewood* Some problems of "partitio numerorum"; III: On the expression of a number as a sum of primes // *Acta Mathematica*. — 1923. — № 44. — С. 1-70.
4. ↑  
*J.G. van der Corput* Über Summen von Primzahlen und Primzahlquadraten // *Math. Ann.*. — 1939. — № 116. — С. 1-50.
5. ↑  
*Terence Tao and Tamar Ziegler* The primes contain arbitrarily long polynomial progressions // *Acta Mathematica*. — 2008. — Т. 201. — С. 213-305. — DOI:10.1007/s11511-008-0032-5 — arΧiv:math.NT/0610050
6. ↑  Jens Kruse Andersen, Primes in Arithmetic Progression Records. Retrieved on 2010-04-13

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 2778026499 |