**Ураўне́нні Ма́ксвела** — сістэма ўраўненняў у дыферэнцыяльнай або інтэгральнай форме, якія апісваюць электрамагнітнае поле і яго сувязь з электрычнымі зарадамі і токамі ў вакууме і суцэльных асяроддзях. Разам з выразам для сілы Лорэнца, што задае меру ўздзеяння электрамагнітнага поля на зараджаныя часціцы, ураўненні Максвела ўтвараюць поўную сістэму ўраўненняў класічнай электрадынамікі, якую часам называюць *ураўненнямі Максвела — Лорэнца*. Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам на аснове назапашаных к сярэдзіне XIX стагоддзя эксперыментальных вынікаў, адыгралі ключавую ролю ў развіцці ўяўленняў тэарэтычнай фізікі і аказалі моцны, у некаторых выпадках вырашальны, уплыў не толькі на ўсе вобласці фізікі, непасрэдна звязаныя з электрамагнетызмам, але і на многія пазнейшыя фундаментальныя тэорыі, прадмет якіх не зводзіўся да электрамагнетызму (адным з самых яскравых прыкладаў тут можа служыць спецыяльная тэорыя адноснасці).

Гісторыя
--------

Джэймс Клерк Максвел
Ураўненні, сфармуляваныя Джэймсам Клеркам Максвелам, узніклі на аснове шэрага важных эксперыментальных адкрыццяў пачатку XIX стагоддзя. У 1820 годзе Ганс Хрысціян Эрстэд выявіў, што гальванічны ток, які прапускаецца праз провад, прымушае адхіляцца магнітную стрэлку компаса. Гэта адкрыццё прыцягнула шырокую ўвагу навукоўцаў таго часу. У тым жа 1820 Біё і Савар эксперыментальна знайшлі выраз для спароджанай токам магнітнай індукцыі (закон Біё — Савара), і Андрэ Мары Ампер выявіў, што ўзаемадзеянне на адлегласці ўзнікае таксама паміж двума праваднікамі, па якіх прапускаецца ток. Ампер ўвёў тэрмін «электрадынамічны» і выказаў гіпотэзу, што прыродны магнетызм звязаны з існаваннем у магнітах кругавых токаў.

Уплыў току на магніт, выяўлены Эрстэдам, прывёў Майкла Фарадэя да ідэі аб тым, што павінен існаваць і адваротны ўплыў магніта на токі. Пасля працяглых эксперыментаў, ў 1831 годзе, Фарадэй адкрыў, што магніт, які перамяшчаецца каля правадніка, спараджае ў правадніку электрычны ток. Гэта з'ява была названа электрамагнітнай індукцыяй. Фарадэй увёў паняцце «поля сіл» — пэўнага асяроддзя, якое знаходзіцца паміж зарадамі і токамі. Яго разважанні насілі якасны характар, але яны аказалі вялікі ўплыў на даследаванні Максвела.

Пасля адкрыццяў Фарадэя стала ясна, што старыя мадэлі электрамагнетызму (Ампера, Пуасона і інш.) няпоўныя. Неўзабаве з'явілася тэорыя Вебера, заснаваная на дальнадзеянні. Аднак на той момант уся фізіка, акрамя тэорыі прыцягнення, мела справу толькі з блізкадзеючымі сіламі (оптыка, тэрмадынаміка, механіка суцэльных асяроддзяў і інш.). Гаус, Рыман і шэраг іншых навукоўцаў выказвалі здагадкі, што святло мае электрамагнітную прыроду, так што тэорыя электрамагнітных з'яў таксама павінна быць блізкадзеючай. Гэты прынцып стаў істотнай асаблівасцю тэорыі Максвела.

У сваім знакамітым «Трактаце аб электрычнасці і магнетызме» (1873) Максвел пісаў:

> 
> Прыступаючы да вывучэння працы Фарадэя, я выявіў, што яго метад разумення з'яў таксама быў матэматычным, хоць і не прадстаўленым у форме звычайных матэматычных знакаў. Я таксама знайшоў, што гэты метад можна выказаць у звычайнай матэматычнай форме і такім чынам параўнаць з метадамі прафесійных матэматыкаў.
> 
> 
> 

Замяняючы фарадэеўскі тэрмін «поле сіл» на паняцце «напружанасць поля», Максвел зрабіў яго ключавым аб'ектам сваёй тэорыі:

> 
> Калі мы прымем гэта асяроддзе ў якасці гіпотэзы, я лічу, што яно павінна займаць выдатнае месца ў нашых даследаваннях, і што нам варта было б паспрабаваць сканструяваць рацыянальнае ўяўленне аб ўсіх дэталях яго дзеяння, што і было маёй пастаяннай мэтай у гэтым трактаце.
> 
> 
> 

Падобная электрадынамічнае асяроддзе стала абсалютна новым паняццем для ньютанаўскай фізікі. Апошняя вывучала ўзаемадзеянне паміж сабой матэрыяльных цел. Максвел жа запісаў ураўненні, якім павінна падпарадкоўвацца асяроддзе, якое вызначае ўзаемадзеянне зарадаў і токаў і існуе нават у іх адсутнасць.

Электрычны ток стварае магнітную індукцыю (закон Ампера)
Аналізуючы вядомыя эксперыменты, Максвел атрымаў сістэму ўраўненняў для электрычнага і магнітнага палёў. У 1855 годзе ў сваім самым першым артыкуле «Аб фарадэевых сілавых лініях» («On Faraday's Lines of Force») ён упершыню запісаў у дыферэнцыяльнай форме сістэму ўраўненняў электрадынамікі, але не ўводзячы яшчэ ток зрушэння. Такая сістэма ўраўненняў апісвала ўсе вядомыя на той час эксперыментальныя дадзеныя, але не дазваляла звязаць паміж сабой зарады і токі і прадказаць электрамагнітныя хвалі. Упершыню ток зрушэння быў ​​уведзены Максвелам у працы «Аб фізічных сілавых лініях» («On Physical Lines of Force»), якая складаецца з чатырох частак і была апублікавана ў 1861-1862 гадах. Абагульняючы закон Ампера, Максвел ўводзіць ток зрушэння, імаверна, каб звязаць токі і зарады ўраўненнем непарыўнасці, якое ўжо было вядома для іншых фізічных велічынь. Такім чынам, у гэтым артыкуле фактычна была завершана фармулёўка поўнай сістэмы ўраўненняў электрадынамікі. У артыкуле 1864 «Дынамічная тэорыя электрамагнітнага поля» («A dynamical theory of the electromagnetic field») разгледжана сфармуляваная раней сістэма ўраўненняў з 20 скалярных ураўненняў для 20 скалярных невядомых. У гэтым артыкуле Максвел ўпершыню сфармуляваў паняцце электрамагнітнага поля як фізічнай рэальнасці, якая мае ўласную энергію і канечны час распаўсюджвання, які і вызначае з'яву запазнення ​​электрамагнітнага ўзаемадзеяння.

Пераменны паток магнітнага поля стварае электрычнае поле (закон Фарадэя)
Аказалася, што не толькі ток, але электрычнае поле, якое змяняецца з часам, (ток зрушэння) спараджае магнітнае поле. У сваю чаргу, згодна з законам Фарадэя, пераменнае магнітнае поле зноў спараджае электрычнае. У выніку, у пустой прасторы можа распаўсюджвацца электрамагнітная хваля. З ураўненняў Максвела вынікала, што яе хуткасць роўная хуткасці святла, таму Максвел зрабіў выснову аб электрамагнітнай прыродзе святла.

Частка фізікаў выступіла супраць тэорыі Максвела (асабліва шмат пярэчанняў выклікала канцэпцыя току зрушэння). Гельмгольц прапанаваў сваю тэорыю, кампрамісную ў адносінах да мадэлей Вебера і Максвела, і даручыў свайму вучню Генрыху Герцу правесці яе эксперыментальную праверку. Аднак вопыты Герца адназначна пацвердзілі слушнасць тэорыі Максвел

Максвел не ўжываў вектарных абазначэнняў і запісваў свае ўраўненні ў досыць грувасткім кампанентным выглядзе. У сваім трактаце  ён, акрамя таго, часткова выкарыстаў кватэрніённую фармулёўку. Сучасная форма ўраўненняў Максвела з'явілася каля 1884 пасля работ Хэвісайда, Герца і Гібса. Яны не толькі перапісалі сістэму Максвела ў вектарным выглядзе, але і сіметрызавалі яе, перафармуляваўшы ў тэрмінах поля і пазбавіўшыся ад электрычнага і магнітнага патэнцыялаў, істотных у тэорыі Максвела, бо лічылі, што гэтыя функцыі з'яўляюцца толькі непатрэбнымі дапаможнымі матэматычнымі абстракцыямі. Цікава, што сучасная фізіка падтрымлівае Максвела, але не падзяляе негатыўнае стаўленне яго ранніх паслядоўнікаў да патэнцыялаў. Электрамагнітны патэнцыял выконвае важную ролю ў квантавай фізіцы і праяўляецца як фізічна вымяраемая велічыня ў некаторых эксперыментах, напрыклад, у эфекце Ааронава — Бома.

Сістэма ўраўнанняў у фармулёўцы Герца і Хэвісайда некаторы час называлася ўраўненнямі Герца — Хэвісайда. Эйнштэйн у класічным артыкуле «Да электрадынамікі цел у руху»  назваў іх ураўненнямі Максвела — Герца. Часам у літаратуры сустракаецца таксама назва ўраўненні Максвела — Хэвісайда.

Ураўненні Максвела адыгралі важную ролю пры ўзнікненні спецыяльнай тэорыі адноснасці (СТА). Джозэф Лармор (1900) і незалежна ад яго Хендрык Лорэнц (1904 год) знайшлі пераўтварэнні каардынат, часу і электрамагнітных палёў, якія пакідаюць ўраўненні Максвелла інварыянтнымі пры пераходзе ад адной інерцыяльнай сістэмы адліку да іншай. Гэтыя пераўтварэнні адрозніваліся ад пераўтварэнняў Галілея класічнай механікі і, з падачы Анры Пуанкарэ, сталі называцца пераўтварэннямі Лорэнца. Яны сталі матэматычным падмуркам спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Распаўсюджванне электрамагнітных хваль з хуткасцю святла першапачаткова тлумачылася як ўзбурэнне (хваляванне) некаторага асяроддзя, так званага эфіру. Рабіліся шматлікія спробы выявіць рух Зямлі адносна эфіру, аднак яны нязменна давалі адмоўны вынік. Таму Анры Пуанкарэ выказаў гіпотэзу аб прынцыповай немагчымасці выявіць падобны рух (прынцып адноснасці). Яму ж належыць пастулат аб незалежнасці хуткасці святла ад хуткасці яго крыніцы і вывад (разам з Лорэнцам), зыходзячы са сфармуляванага так прынцыпу адноснасці, дакладнага выгляду пераўтварэнняў Лорэнца (пры гэтым былі паказаны і групавыя ўласцівасці гэтых пераўтварэнняў). Гэтыя дзве гіпотэзы (пастулаты) ляглі і ў аснову артыкула Альберта Эйнштэйна (1905 год). З іх дапамогай ён таксама вывеў пераўтварэнні Лорэнца і зацвердзіў іх агульнафізічны сэнс, асабліва падкрэсліўшы магчымасць іх прымянення для пераходу з любой інерцыяльных сістэм адліку ў любую іншую інерцыяльную. Гэта праца фактычна адзначыла сабой пабудову спецыяльнай тэорыі адноснасці. У СТА пераўтварэнні Лорэнца адлюстроўваюць агульныя ўласцівасці прасторы і часу, а мадэль эфіру аказваецца непатрэбнай. Электрамагнітныя палі з'яўляюцца самастойнымі аб'ектамі, існуючымі нароўні з матэрыяльнымі часціцамі.

Класічная электрадынаміка, заснаваная на ўраўненнях Максвелла, ляжыць у аснове шматлікіх прыкладанняў электра- і радыётэхнікі, ЗВЧ і оптыкі. На сённяшні дзень не выяўлена ні аднаго эфекту, які патрабаваў бы перайначвання ўраўненняў. Яны аказваюцца дастасавальнымі і ў квантавай механіцы, калі разглядаецца рух, напрыклад, зараджаных часціц ў знешніх электрамагнітных палях. Таму ўраўненні Максвелла з'яўляюцца асновай мікраскапічнага апісання электрамагнітных уласцівасцей рэчыва.

Ураўненні Максвелла запатрабаваныя таксама ў астрафізіцы і касмалогіі, бо многія планеты і зоркі маюць магнітнае поле. Магнітнае поле вызначае, у прыватнасці, ўласцівасці такіх аб'ектаў, як пульсары і квазары.

На сучасным узроўні разумення ўсё фундаментальныя часціцы з'яўляюцца квантавымі ўзбуджэннямі («квантамі») розных палёў. Напрыклад, фатон — гэта квант электрамагнітнага поля, а электрон — квант спінарнага поля. Таму палявы падыход, прапанаваны Фарадэем і істотна развіты Максвелам, з'яўляецца асновай сучаснай фізікі фундаментальных часціц, у тым ліку яе стандартнай мадэлі.

Гістарычна трохі раней ён адыграў важную ролю ў з'яўленні квантавай механікі ў фармулёўцы Шродзінгера і наогул адкрыцці квантавых ураўненняў, якія апісваюць рух часціц, у тым ліку і рэлятывісцкіх (ураўненне Клейна — Гордана, ураўненне Дзірака), хоць першапачаткова аналогія з ураўненнямі Максвела тут бачылася хутчэй толькі ў агульнай ідэі, тады як пасля аказалася, што яе можна разумець як больш канкрэтную і дэталёвую (як гэта апісана вышэй).

Таксама палявы падыход, які у цэлым узыходзіць да Фарадэя і Максвела, стаў цэнтральным ў тэорыі гравітацыі (у тым ліку ў АТА).

Запіс ураўненняў Максвела і сістэмы адзінак
-------------------------------------------

Запіс большасці ўраўненняў у фізіцы не залежыць ад выбару сістэмы адзінак. Аднак у электрадынаміцы гэта не так. У залежнасці ад выбару сістэмы адзінак ва ўраўненнях Максвела ўзнікаюць розныя каэфіцыенты (канстанты). Міжнародная сістэма адзінак (СІ) з'яўляецца стандартам у тэхніцы і выкладанні, аднак спрэчкі сярод фізікаў аб яе перавагах і недахопах у параўнанні з сіметрычнай гаусавай сістэмай адзінак (СГС) не сціхаюць. Перавага сістэмы СГС ў электрадынаміцы заключаецца ў тым, што ўсе палі ў ёй маюць адну размернасць, а ўраўненні, на думку многіх навукоўцаў, запісваюцца прасцей і натуральней. Таму СГС працягвае прымяняцца ў навуковых публікацыях па электрадынаміцы і ў выкладанні тэарэтычнай фізікі, напрыклад, у курсе тэарэтычнай фізікі Ландау і Ліфшыца. Але для ўжывання на практыцы многія прынятыя ў СГС адзінкі вымярэння нязручныя, бо ці не маюць назвы, як безразмерныя, ці вызначаны неадназначна і адрозніваюцца ў розных пашырэннях сістэмы СГС. Сістэма ж СІ стандартызавана і лепш самаўзгоднена, на гэтай сістэме пабудавана ўся сучасная метралогія. Акрамя таго, сістэма СІ звычайна выкарыстоўваецца ў курсах агульнай фізікі. У сувязі з гэтым усе суадносіны, калі яны па-рознаму запісваюцца ў сістэмах СІ і СГС, далей прыводзяцца ў двух варыянтах.

Часам (напрыклад, у «Фейнманаўскіх лекцыях па фізіцы», а таксама ў сучаснай квантавай тэорыі поля) ужываецца сістэма адзінак, у якой хуткасць святла, электрычная і магнітная пастаянная прымаюцца за адзінку ({\displaystyle c=\varepsilon \_{0}=\mu \_{0}=1}). У такой сістэме ўраўненні Максвела запісваюцца наогул без каэфіцыентаў, усе палі маюць аднолькавую размернасць, а ўсе патэнцыялы — сваю аднолькавую. Такая сістэма асабліва зручная ў каварыянтнай чатырохмернай фармулёўцы законаў электрадынамікі праз 4-патэнцыял і 4-тэнзар электрамагнітнага поля.

Дыферэнцыяльная форма
---------------------

Ураўненні Максвела прадстаўляюць сабой у вектарным запісе сістэму з чатырох ураўненняў, якая зводзіцца ў кампанентным прадстаўленні да васьмі (два вектарныя ураўненні ўтрымліваюць па тры кампаненты кожнае, плюс два скалярныя) лінейных дыферэнцыяльных ураўненняў ў частковых вытворных першага парадку для 12 кампанент чатырох вектарных функцый ({\displaystyle \mathbf {D} ,\;\mathbf {E} ,\;\mathbf {H} ,\;\mathbf {B} }):

| Назва | СГС | СІ | Прыкладнае апісанне словамі |
| --- | --- | --- | --- |
| Закон Гауса | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =4\pi \rho } | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {D} =\rho } | Электрычны зарад з'яўляецца крыніцай электрычнай індукцыі. |
| Закон Гауса для магнітнага поля | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} | Не існуе магнітных зарадаў. |
| Закон індукцыі Фарадэя | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} | Змяненне магнітнай індукцыі спараджае віхравое электрычнае поле. |
| Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} ={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} +{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {j} +{\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}} | Электрычны ток і змяненне электрычнай індукцыі спараджаюць віхравое магнітнае поле. |

Тоўстым шрыфтам у далейшым абазначаюцца вектарныя велічыні, курсівам — скалярныя.

Уведзеныя абазначэнні:

* {\displaystyle \rho \ } — шчыльнасць старонняга электрычнага зараду (у адзінках СІ — Кл/м³);
* {\displaystyle \mathbf {j} } — шчыльнасць электрычнага току (шчыльнасць току праводнасці) (у адзінках СІ — А/м²); у найпрасцейшым выпадку — калі ток спараджаецца адным тыпам носьбітаў зараду, яна выражаецца проста як {\displaystyle \mathbf {j} =\mathbf {u} \rho \_{1}}, дзе {\displaystyle \mathbf {u} } — (сярэдняя) хуткасць руху гэтых носьбітаў у наваколлі дадзенага пункта, {\displaystyle \rho \_{1}} — шчыльнасць зараду гэтага тыпу носьбітаў (яна ў агульным выпадку не супадае з {\displaystyle \rho }); у агульным выпадку гэта выраз трэба усярэдніць па розных тыпах носьбітаў;
* {\displaystyle c\,} — хуткасць святла ў вакууме (299792458 м/с);
* {\displaystyle \mathbf {E} } — напружанасць электрычнага поля (у адзінках СІ — В/м);
* {\displaystyle \mathbf {H} } — напружанасць магнітнага поля (у адзінках СІ — А/м);
* {\displaystyle \mathbf {D} } — электрычная індукцыя (у адзінках СІ — Кл/м²);
* {\displaystyle \mathbf {B} } — магнітная індукцыя (у адзінках СІ — Тл = Вб/м² = кг•с−2•А−1);
* {\displaystyle \nabla } — дыферэнцыяльны аператар набла, які ў дэкартавых каардынатах (*x*, *y*, *z*) мае выгляд:

{\displaystyle \nabla :=\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right),}
пры гэтым:

* {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} \equiv \mathrm {rot} \,\mathbf {E} } азначае ротар вектара,
* {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} \equiv \mathrm {div} \,\mathbf {E} } азначае дывергенцыю вектара.

Прыведзеныя вышэй ураўненні Максвела не ўтвараюць яшчэ поўнай сістэмы ўраўненняў электрамагнітнага поля, бо яны не ўтрымліваюць уласцівасцей асяроддзя, у яком узбуджана электрамагнітнае поле. Суадносіны, якія звязваюць велічыні {\displaystyle \mathbf {E} }, {\displaystyle \mathbf {B} }, {\displaystyle \mathbf {D} }, {\displaystyle \mathbf {H} } і {\displaystyle \mathbf {j} } і ўлічваюць індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя, называюцца матэрыяльнымі ўраўненнямі.

Інтэгральная форма
------------------

Пры дапамозе формул Астраградскага — Гауса і Стокса дыферэнцыяльным ураўненням Максвела можна надаць форму інтэгральных ураўненняў:

| Назва | СГС | СІ | Прыкладнае апісанне словамі |
| --- | --- | --- | --- |
| Закон Гауса | {\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =4\pi Q} | {\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} =Q} | Паток электрычнай індукцыі праз замкнёную паверхню {\displaystyle s} прапарцыянальны велічыні свабоднага зараду, які знаходзіцца ў акружаным паверхняю {\displaystyle s} аб'ёме {\displaystyle v.} |
| Закон Гауса для магнітнага поля | {\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0} | {\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} =0} | Паток магнітнай індукцыі праз замкнёную паверхню роўны нулю (магнітныя зарады не існуюць). |
| Закон індукцыі Фарадэя | {\displaystyle \oint \_{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =} {\displaystyle -{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \_{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} } | {\displaystyle \oint \_{l}\mathbf {E} \cdot d\mathbf {l} =} {\displaystyle -{\frac {d}{dt}}\int \_{s}\mathbf {B} \cdot d\mathbf {s} } | Змяненне патоку магнітнай індукцыі праз незамкнёную паверхню {\displaystyle s,} узятае з адваротным знакам, прапарцыянальнае цыркуляцыі электрычнага поля на замкнёным контуры {\displaystyle l}, які з'яўляецца мяжой паверхні {\displaystyle s}. |
| Тэарэма аб цыркуляцыі магнітнага поля | {\displaystyle \oint \_{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =} {\displaystyle {\frac {4\pi }{c}}I+{\frac {1}{c}}{\frac {d}{dt}}\int \_{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} } | {\displaystyle \oint \_{l}\mathbf {H} \cdot d\mathbf {l} =} {\displaystyle I+{\frac {d}{dt}}\int \_{s}\mathbf {D} \cdot d\mathbf {s} } | Поўны электрычны ток свабодных зарадаў і змяненне патоку электрычнай індукцыі праз незамкнёную паверхню {\displaystyle s,} узятыя ў суме, прапарцыянальныя цыркуляцыі магнітнага поля на замкнёным контуры {\displaystyle l}, які з'яўляецца мяжой паверхні {\displaystyle s}. |

Паток электрычнага поля праз замкнёную паверхню
Уведзеныя абазначэнні:

* {\displaystyle s\ } — двухмерная замкнёная ў выпадку тэарэмы Гауса паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём {\displaystyle v\ }, і адкрытая паверхня ў выпадку законаў Фарадэя і Ампера — Максвелла (яе мяжой з'яўляецца замкнёны контур {\displaystyle l\ }).
* {\displaystyle Q=\int \_{v}\rho \,dv\ } — электрычны зарад, заключаны ў абмежаваным паверхняй {\displaystyle s\ } аб'ёме {\displaystyle v\ } (у адзінках СІ — Кл);
* {\displaystyle I=\int \_{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} \ } — электрычны ток, які праходзіць праз паверхню {\displaystyle s\ } (у адзінках СІ — А).

Пры інтэграванні па замкнёнай паверхні вектар элемента плошчы {\displaystyle d\mathbf {s} } накіраваны з аб'ёму вонкі. Арыентацыя {\displaystyle d\mathbf {s} } пры інтэграванні па незамкнутай паверхні вызначаецца напрамкам правага вінта, які «ўкручваецца» пры павароце ў кірунку абыходу контурнага інтэграла па {\displaystyle d\mathbf {l} }.

Апісанне законаў Максвела словамі, напрыклад, закона Фарадэя, нясе адбітак традыцыі, бо спачатку пры кантралюемым змяненні магнітнага патоку рэгістравалася ўзнікненне электрычнага поля (дакладней электрарухальнай сілы). У агульным выпадку ва ўраўненнях Максвела (як у дыферэнцыяльнай, так і ў інтэгральнай форме) вектарныя функцыі {\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} ,\mathbf {D} ,\mathbf {H} } з'яўляюцца раўнапраўнымі невядомымі велічынямі, якiя вызначаюцца ў выніку рашэння ўраўненняў.

Cіла Лорэнца
------------

Асноўны артыкул: **Сіла Лорэнца**
Пры рашэнні ўраўненняў Максвела размеркаванні зарадаў {\displaystyle \rho \,} і токаў {\displaystyle \mathbf {j} } часта лічацца зададзенымі. З улікам межавых умоў і матэрыяльных ураўненняў гэта дазваляе вызначыць напружанасць электрычнага поля {\displaystyle \mathbf {E} } і магнітную індукцыю {\displaystyle \mathbf {B} }, якія, у сваю чаргу, вызначаюць сілу, якая дзейнічае на пробны зарад {\displaystyle q\,}, што рухаецца з хуткасцю {\displaystyle \mathbf {u} }. Гэтая сіла называецца *сілай Лорэнца*:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +{\frac {q}{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]} | {\displaystyle \mathbf {F} =q\,\mathbf {E} +q\,[\mathbf {u} \times \mathbf {B} ]} |

Электрычны складнік сілы накіраваны па электрычнаму полю (калі {\displaystyle q>0\,}), а магнітны — перпендыкулярны хуткасці зарада і магнітнай індукцыі. Упершыню выраз для сілы, якая дзейнічае на зарад у магнітным полі (электрычная кампанента была вядомая), атрымаў ў 1889 годзе Хэвісайд за тры гады да Хендрыка Лорэнца, які вывеў выраз для гэтай сілы ў 1892 годзе.

У больш складаных сітуацыях у класічнай і квантавай фізіцы ў выпадку, калі пад дзеяннем электрамагнітных палёў свабодныя зарады перамяшчаюцца і змяняюць значэнні палёў, неабходна рашэнне самаўзгодненай сістэмы з ураўненняў Максвелла і ўраўненняў руху, якія ўключаюць сілы Лорэнца. Атрыманне дакладнага аналітычнага рашэння такой поўнай сістэмы звычайна спалучана з вялікімі цяжкасцямі.

Размерныя канстанты ва ўраўненнях Максвела
------------------------------------------

У гаусавай сістэме адзінак СГС усе палі маюць аднолькавую размернасць, і ва ўраўненнях Максвела фігуруе адзіная фундаментальная канстанта {\displaystyle c\,}, якая мае размернасць хуткасці і цяпер называецца хуткасцю святла (іменна роўнасць гэтай канстанты хуткасці распаўсюджвання святла дала Максвелу падставы для гіпотэзы аб электрамагнітнай прыродзе святла).

У сістэме адзінак СІ, каб звязаць электрычную індукцыю і напружанасць электрычнага поля ў вакууме, уводзіцца электрычная пастаянная {\displaystyle \varepsilon \_{0}}:

{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \_{0}\mathbf {E} .}
Магнітная пастаянная {\displaystyle \mu \_{0}\,} з'яўляецца такім жа каэфіцыентам прапарцыянальнасці для магнітнага поля ў *вакууме*:

{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \_{0}\mathbf {H} } Назвы *электрычная пастаянная* і *магнітная пастаянная* зараз стандартызаваныя. Раней для гэтых велічынь таксама выкарыстоўваліся, адпаведна, назвы дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці вакууму.
Хуткасць электрамагнітнага выпраменьвання ў вакууме (хуткасць святла) у СІ ўзнікае пры вывадзе хвалевага ўраўнення:

{\displaystyle c={\frac {1}{\sqrt {\varepsilon \_{0}\mu \_{0}}}}.}
У сістэме адзінак СІ, у якасці *дакладных* размерных канстант вызначаны хуткасць святла ў вакууме {\displaystyle c\ } і магнітная пастаянная {\displaystyle \mu \_{0}\ }. Праз іх выражаецца электрычная пастаянная {\displaystyle \varepsilon \_{0}}.

Прынятыя значэнні хуткасці святла, электрычнай і магнітнай пастаянных прыведзены ў табліцы:

| Сімвал | Назва | Лікавае значэнне | Адзінкі вымярэння СІ |
| --- | --- | --- | --- |
|
| {\displaystyle c\ } | Пастаянная хуткасці святла | {\displaystyle 299\;792\;458} (дакладна) | м/с |
| {\displaystyle \mu \_{0}=4\pi \times 10^{-7}\ } | Магнітная пастаянная | {\displaystyle 1{,}256\;637\;06\dots \times 10^{-6}} | Гн/м |
| {\displaystyle \varepsilon \_{0}=1/(\mu \_{0}c^{2})} | Электрычная пастаянная | {\displaystyle 8{,}854\;187\;82\dots \times 10^{-12}} | Ф/м |

Часам ўводзіцца велічыня, так званае «хвалевае супраціўленне», або «імпеданс» вакууму:

{\displaystyle Z\_{0}={\sqrt {\frac {\mu \_{0}}{\varepsilon \_{0}}}}=\mu \_{0}c=119,916\;983\;2\;\pi \approx 376,730\;313\;461\;77\approx 120\pi } Ом.
*Прыбліжанае* значэнне для {\displaystyle Z\_{0}\ } атрымліваецца, калі для хуткасці святла прыняць значэнне {\displaystyle c=3\cdot 10^{8}} м/c. У сістэме СГС {\displaystyle Z\_{0}=1\ }. Гэта велічыня мае сэнс адносіны амплітуд напружанасцей электрычнага і магнітнага палёў плоскай электрамагнітнай хвалі ў вакууме.

Ураўненні Максвела ў асяроддзі
------------------------------

Каб атрымаць поўную сістэму ўраўненняў электрадынамікі, да сістэмы ўраўненняў Максвела неабходна дадаць матэрыяльныя ўраўненні, якія звязваюць велічыні {\displaystyle \mathbf {j} }, {\displaystyle \mathbf {H} }, {\displaystyle \mathbf {D} }, {\displaystyle \mathbf {E} }, {\displaystyle \mathbf {B} }, у якіх улічаныя індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. Спосаб атрымання матэрыяльных ураўненняў даюць малекулярныя тэорыі палярызацыі, намагнічанасць і электраправоднасці асяроддзя, якія выкарыстоўваюць ідэалізаваныя мадэлі асяроддзя. Прымяняючы да іх ураўненні класічнай або квантавай механікі, а таксама метады статыстычнай фізікі, можна ўстанавіць сувязь паміж вектарамі {\displaystyle \mathbf {j} }, {\displaystyle \mathbf {H} }, {\displaystyle \mathbf {D} } з аднаго боку і {\displaystyle \mathbf {E} }, {\displaystyle \mathbf {B} } з іншага боку.

### Звязаныя зарады і токі

*Злева:* Сукупнасць мікраскапічных дыполяў у асяроддзі ўтварае адзін макраскапічны дыпольны момант і эквівалентная двум зараджаным з процілеглым знакам пласцінам на мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё зарады скампенсаваныя; *Справа:* Сукупнасць мікраскапічных цыркулярных токаў у асяроддзі эквівалентная макраскапічнаму току, які цыркулюе ўздоўж мяжы. Пры гэтым унутры асяроддзя ўсё токі скампенсаваныя.
Пры прыкладанні электрычнага поля да дыэлектрычнага матэрыялу кожная з яго малекул ператвараецца ў мікраскапічны дыполь. Пры гэтым дадатныя ядры атамаў трохі ссоўваюцца ў кірунку поля, а электронныя абалонкі ў процілеглым кірунку. Акрамя гэтага, малекулы некаторых рэчываў першапачаткова маюць дыпольны момант. Дыпольныя малекулы імкнуцца арыентавацца ў кірунку поля. Гэты эфект завецца палярызацыяй дыэлектрыкаў. Такое зрушэнне звязаных зарадаў малекул ў аб'ёме эквівалентнае з'яўленню некаторага размеркавання зарадаў на паверхні, хоць усе малекулы, уцягнутыя ў працэс палярызацыі застаюцца нейтральнымі (гл. малюнак).

Падобным чынам адбываецца і магнітная палярызацыя (намагнічванне) у матэрыялах, у якіх атамы і малекулы маюць магнітныя моманты, звязаныя са спінам і арбітальным момантам ядраў і электронаў. Вуглавыя моманты атамаў можна прадставіць у выглядзе цыркулярных токаў. На мяжы матэрыялу сукупнасць такіх мікраскапічных токаў эквівалентная макраскапічным токам, якія цыркулююць ўздоўж паверхні, нягледзячы на тое, што рух зарадаў ў асобных магнітных дыполях адбываецца толькі ў мікрамаштабе (звязаныя токі).

Разгледжаныя мадэлі паказваюць, што хоць вонкавае электрамагнітнае поле дзейнічае на асобныя атамы і малекулы, яго паводзіны ў многіх выпадках можна разглядаць спрошчана ў макраскапічным маштабе, ігнаруючы дэталі мікраскапічнай карціны.

У асяроддзі вонкавыя электрычныя і магнітныя палі выклікаюць палярызацыю і намагнічванне рэчыва, якія макраскапічна апісваюцца адпаведна вектарам палярызацыі {\displaystyle \mathbf {P} } і вектарам намагнічанасці {\displaystyle \mathbf {M} } рэчыва, а на мікраўзроўні абумоўлены з'яўленнем звязаных зарадаў {\displaystyle \rho \_{b}\ } і токаў {\displaystyle \mathbf {j} \_{b}}. У выніку поле ў асяроддзі аказваецца сумай знешніх палёў і палёў, выкліканых звязанымі зарадамі і токамі.

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \rho \_{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }
{\displaystyle \mathbf {j} \_{b}=c\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} | {\displaystyle \rho \_{b}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }
{\displaystyle \mathbf {j} \_{b}=\nabla \times \mathbf {M} +{\frac {\partial \mathbf {P} }{\partial t}}} |

Палярызацыя {\displaystyle \mathbf {P} } і намагнічанасць рэчыва {\displaystyle \mathbf {M} } звязаны з вектарамі напружанасці і індукцыі электрычнага і магнітнага поля наступнымі суадносінамі:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {D} =\mathbf {E} +4\pi \mathbf {P} }
{\displaystyle \mathbf {B} =\mathbf {H} +4\pi \mathbf {M} } | {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \_{0}\mathbf {E} +\mathbf {P} }
{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \_{0}(\mathbf {H} +\mathbf {M} )} |

Таму, выражаючы вектары {\displaystyle \mathbf {D} } і {\displaystyle \mathbf {H} } праз {\displaystyle \mathbf {E} }, {\displaystyle \mathbf {B} }, {\displaystyle \rho \_{b}\ } і {\displaystyle \mathbf {j} \_{b}}, можна атрымаць матэматычна эквівалентную сістэму ўраўненняў Максвела:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi [\rho \_{f}+\rho \_{b}]} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {1}{\varepsilon \_{0}}}[\rho \_{f}+\rho \_{b}]} |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0} |
| {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} |
| {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}[\mathbf {j} \_{b}+\mathbf {j} \_{f}]+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} | {\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu \_{0}[\mathbf {j} \_{b}+\mathbf {j} \_{f}]+{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} |

Індэксам {\displaystyle f\ } тут пазначаны свабодныя зарады і токі. Ураўненні Максвела ў такой форме з'яўляюцца фундаментальнымі, у тым сэнсе, што яны не залежаць ад мадэлі электрамагнітнай будовы рэчыва. Падзел зарадаў і токаў на свабодныя і звязаныя дазваляе «схаваць» у {\displaystyle \rho \_{b}\ }, {\displaystyle \mathbf {j} \_{b}}, а затым у {\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {M} } і, такім чынам, у {\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {B} } складаны мікраскапічны характар ​​электрамагнітнага поля ў асяроддзі.

### Матэрыяльныя ўраўненні

Матэрыяльныя ўраўненні ўстанаўліваюць сувязь паміж {\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} } і {\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} }. Пры гэтым улічваюцца індывідуальныя ўласцівасці асяроддзя. На практыцы ў матэрыяльных ураўненнях звычайна выкарыстоўваюцца эксперыментальна вызначаныя каэфіцыенты (залежныя ў агульным выпадку ад частаты электрамагнітнага поля), якія сабраны ў розных даведніках фізічных велічынь.

* У слабых электрамагнітных палях, якія параўнальна павольна змяняюцца ў прасторы і ў часе, у выпадку ізатропных, неферамагнітных і несегнетаэлектрычных асяроддзяў справядліва прыбліжэнне, у якім палярызавальнасць і намагнічанасць лінейна залежаць ад прыкладзеных палёў:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {P} =\chi \_{e}\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {M} =\chi \_{m}\mathbf {H} } | {\displaystyle \mathbf {P} =\varepsilon \_{0}\chi \_{e}\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {M} =\chi \_{m}\mathbf {H} ,} |

дзе ўведзеныя безразмерныя канстанты: {\displaystyle \chi \_{e}\ } — дыэлектрычная ўспрымальнасць і {\displaystyle \chi \_{m}\ } — магнітная ўспрымальнасць рэчыва (у сістэме адзінак СІ гэтыя канстанты ў {\displaystyle 4\pi \ } разоў большыя, чым у гаусавай сістэме СГС). Адпаведна, матэрыяльныя ўраўненні для электрычнай і магнітнай індукцыі запісваюцца ў наступным выглядзе:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \mathbf {E} =(1+4\pi \chi \_{e})\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \mathbf {H} =(1+4\pi \chi \_{m})\mathbf {H} } | {\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \_{0}\varepsilon \mathbf {E} =\varepsilon \_{0}(1+\chi \_{e})\mathbf {E} }
{\displaystyle \mathbf {B} =\mu \_{0}\mu \mathbf {H} =\mu \_{0}(1+\chi \_{m})\mathbf {H} ,} |

дзе {\displaystyle \varepsilon \ } — адносная дыэлектрычная пранікальнасць, {\displaystyle \mu \ } — адносная магнітная пранікальнасць. Размерныя велічыні {\displaystyle \varepsilon \_{0}\varepsilon } (у адзінках СІ — Ф/м) і {\displaystyle \mu \_{0}\mu } (у адзінках СІ — Гн/м), якія ўзнікаюць у сістэме СІ, называюцца *абсалютная дыэлектрычная пранікальнасць* і *абсалютная магнітная пранікальнасць* адпаведна.

* У правадніках існуе сувязь паміж шчыльнасцю току і напружанасцю электрычнага поля, якая у добрым прыбліжэнні выражаецца законам Ома:

{\displaystyle \mathbf {j} =\sigma \mathbf {E} ,}
дзе {\displaystyle \sigma } — удзельная праводнасць асяроддзя (у адзінках СІ — Ом−1•м−1).

* У анізатропным асяроддзі {\displaystyle \varepsilon }, {\displaystyle \mu } і {\displaystyle \sigma } з'яўляюцца тэнзарамі {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}}, {\displaystyle {\hat {\mu }}} і {\displaystyle {\hat {\sigma }}}. У сістэме каардынат галоўных восей іх можна апісаць дыяганальнымі матрыцамі. У гэтым выпадку, сувязь паміж напружанасцямі палёў і індукцыямі мае розныя каэфіцыенты па кожнай каардынаце. Напрыклад, у сістэме СІ:

{\displaystyle {\begin{array}{lll}D\_{x}=\varepsilon \_{0}\varepsilon \_{xx}\,E\_{x},~~~~~&D\_{y}=\varepsilon \_{0}\varepsilon \_{yy}\,E\_{y},~~~~~&D\_{z}=\varepsilon \_{0}\varepsilon \_{zz}\,E\_{z},\\[3mm]B\_{x}=\mu \_{0}\mu \_{xx}\,H\_{x},~~~~~&B\_{y}=\mu \_{0}\mu \_{yy}\,H\_{y},~~~~~&B\_{z}=\mu \_{0}\mu \_{zz}\,H\_{z}.\end{array}}}
* Хоць для шырокага класа рэчываў лінейнае прыбліжэнне для слабых палёў выконваецца з высокай дакладнасцю, у агульным выпадку залежнасць паміж {\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} } і {\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} } можа быць нелінейнай. У гэтым выпадку пранікальнасці асяроддзя не з'яўляюцца пастаяннымі, а залежаць ад велічыні поля ў дадзенай кропцы. Акрамя таго, больш складаная сувязь паміж {\displaystyle \mathbf {D} ,\mathbf {H} } і {\displaystyle \mathbf {E} ,\mathbf {B} } назіраецца ў асяроддзях з прасторавай або часавай дысперсіямі. У выпадку прасторавай дысперсіі токі і зарады ў дадзенай кропцы прасторы залежаць ад велічыні поля не толькі ў той жа кропцы, але і ў суседніх кропках. У выпадку часавай дысперсіі палярызацыя і намагнічанасць асяроддзя не вызначаюцца толькі велічынёй поля ў дадзены момант часу, а залежаць таксама ад велічыні палёў у папярэднія моманты часу. У самым агульным выпадку нелінейных і неаднародных асяроддзяў з дысперсіяй, матэрыяльныя ўраўненні ў сістэме СІ прымаюць інтэгральны выгляд:

{\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {r} ,t)=\varepsilon \_{0}\int \_{v}\!\int \limits \_{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}\_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {E} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} ';}
{\displaystyle \mathbf {M} (\mathbf {r} ,t)=\int \_{v}\!\int \limits \_{-\infty }^{t}{\hat {\chi }}\_{m}(\mathbf {r} ,\mathbf {r} ',t-t',\mathbf {E} ,\mathbf {H} )\,\mathbf {H} (\mathbf {r} ',t')\,dt'd^{3}\mathbf {r} '.}.

Аналагічныя ўраўненні атрымліваюцца ў гаусавай сістэме СГС (калі фармальна прыняць {\displaystyle \varepsilon \_{0}=1}).

### Ураўненні ў ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі

У ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}}
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} ={\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}}
{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} ={\mu \mu \_{0}}\mathbf {j} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} |

У аптычным дыяпазоне частот замест дыэлектрычнай пранікальнасці {\displaystyle \varepsilon } выкарыстоўваецца паказчык праламлення {\displaystyle n={\sqrt {\varepsilon \mu }}}, які паказвае адрозненне хуткасці распаўсюджвання монахраматычнай светлавой хвалі ў асяроддзі ад хуткасці святла ў вакууме. Пры гэтым ў аптычным дыяпазоне дыэлектрычная пранікальнасць звычайна прыкметна меншая чым на нізкіх частотах, а магнітная пранікальнасць большасці аптычных асяроддзяў практычна роўная адзінцы. Паказчык праламлення большасці празрыстых матэрыялаў складае ад 1 да 2, дасягаючы 5 у некаторых паўправаднікоў. У вакууме і дыэлектрычная, і магнітная пранікальнасці роўныя адзінцы: {\displaystyle \varepsilon =\mu =1}.

Ураўненні Максвелла ў лінейным асяроддзі з'яўляюцца лінейнымі адносна палёў {\displaystyle (\mathbf {E} ,\mathbf {B} )} і свабодных зарадаў і токаў {\displaystyle (\rho ,\mathbf {j} )}, таму справядлівы прынцып суперпазіцыі:

> 
> Калі размеркавані зарадаў і токаў{\displaystyle (\rho \_{1},\mathbf {j} \_{1})} ствараюць электрамагнітнае поле з кампанентамі{\displaystyle (\mathbf {E} \_{1},\mathbf {B} \_{1})}, а іншыя размеркаванні {\displaystyle (\rho \_{2},\mathbf {j} \_{2})} ствараюць, адпаведна, поле {\displaystyle (\mathbf {E} \_{2},\mathbf {B} \_{2})}, то сумарнае поле, якое ствараецца крыніцамі {\displaystyle (\rho \_{1}+\rho \_{2},\mathbf {j} \_{1}+\mathbf {j} \_{2})}, будзе роўнае {\displaystyle (\mathbf {E} \_{1}+\mathbf {E} \_{2},\mathbf {B} \_{1}+\mathbf {B} \_{2})}.
> 
> 
> 

Пры распаўсюджванні электрамагнітных палёў у лінейным асяроддзі пры адсутнасці зарадаў і токаў сума любых асобных рашэнняў ураўненняў Максвела таксама будзе іх рашэннем.

### Межавыя ўмовы

У многіх выпадках неаднароднае асяроддзе можна прадставіць у выглядзе сукупнасці кавалкава-непарыўных аднародных абласцей, раздзеленых бесканечна тонкімі межамі. Пры гэтым можна рашаць ураўненні Максвела ў кожнай вобласці асобна, а пасля «сшыць» атрыманыя рашэнні на межах. У прыватнасці, пры разглядзе рашэння ў канечным аб'ёме неабходна ўлічваць ўмовы на межах аб'ёму з навакольнай бясконцай прасторай. Межавыя ўмовы атрымліваюцца з ураўненняў Максвела гранічным пераходам. Для гэтага прасцей за ўсё скарыстаць ураўненні Максвелла ў інтэгральнай форме.

Выбіраючы ў другой пары ўраўненняў контур інтэгравання ў выглядзе прамавугольнай рамкі бясконца малой вышыні так, каб рамка перасякала мяжу падзелу двух асяроддзяў, можна атрымаць наступную сувязь паміж кампанентамі поля ў дзвюх абласцях, якія прымыкаюць да мяжы:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\mathbf {E} \_{1}-\mathbf {E} \_{2})\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {0} },
{\displaystyle (\mathbf {H} \_{1}-\mathbf {H} \_{2})\times \mathbf {n} \_{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \_{s}}, | {\displaystyle (\mathbf {E} \_{1}-\mathbf {E} \_{2})\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {0} },
{\displaystyle (\mathbf {H} \_{1}-\mathbf {H} \_{2})\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {j} \_{s}}, |

дзе {\displaystyle \mathbf {n} \_{1-2}} — адзінкавы вектар нармалі да паверхні, які накіраваны з асяроддзя 1 у асяроддзе 2 і мае размернасць, адваротную даўжыні, {\displaystyle \mathbf {j} \_{s}} — шчыльнасць паверхневых *свабодных* токаў уздоўж мяжы (гэта значыць не уключаючы *звязаных токаў* намагнічвання, якія складваюцца на мяжы асяроддзя з мікраскапічных малекулярных і іншых падобных токаў). Першую межавую ўмову можна вытлумачыць як непарыўнасць на мяжы абласцей тангенцыяльных кампанент напружанасцей электрычнага поля (з другой вынікае, што тангенцыяльныя кампаненты напружанасці магнітнага поля непарыўныя толькі пры адсутнасці паверхневых токаў на мяжы).

Аналагічным чынам, выбіраючы вобласць інтэгравання ў першай пары інтэгральных ураўненняў у выглядзе цыліндра бясконца малой вышыні, які перасякае мяжу падзелу так, што яго ўтваральныя перпендыкулярныя мяжы падзелу, можна атрымаць:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle (\mathbf {D} \_{1}-\mathbf {D} \_{2})\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=-4\pi \rho \_{s}},
{\displaystyle (\mathbf {B} \_{1}-\mathbf {B} \_{2})\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=0}, | {\displaystyle (\mathbf {D} \_{1}-\mathbf {D} \_{2})\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=-\rho \_{s}},
{\displaystyle (\mathbf {B} \_{1}-\mathbf {B} \_{2})\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=0}, |

дзе {\displaystyle \rho \_{s}\ } — паверхневая шчыльнасць свабодных зарадаў (гэта значыць, што яна не ўключае ў сябе звязаных зарадаў, якія ўзнікаюць на мяжы асяроддзя з-за дыэлектрычнай палярызацыі самога асяроддзя).

Гэтыя межавыя ўмовы паказваюць непарыўнасць нармальнай кампаненты вектару магнітнай індукцыі (нармальная кампанента электрычнай індукцыі непарыўная толькі пры адсутнасці на мяжы паверхневых зарадаў).

З ураўнення непарыўнасці можна атрымаць межавую ўмову для токаў:

{\displaystyle (\mathbf {j} \_{1}-\mathbf {j} \_{2})\cdot \mathbf {n} \_{1-2}={\frac {\partial }{\partial t}}\rho \_{s}},
Важным асобным выпадкам з'яўляецца мяжа падзелу дыэлектрыка і ідэальнага правадніка. А раз ідэальны праваднік мае бесканечную праводнасць, электрычнае поле ўнутры яго роўнае нулю (інакш яно спараджала б бесканечную шчыльнасць току). Тады ў агульным выпадку зменных палёў з ураўненняў Максвела вынікае, што і магнітнае поле ў правадніку роўнае нулю. У выніку тангенцыяльная кампанента электрычнага і нармальная магнітнага поля на мяжы з ідэальным правадніком роўныя нулю:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {E} \_{1}\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {0} },
{\displaystyle \mathbf {H} \_{1}\times \mathbf {n} \_{1-2}={\frac {4\pi }{c}}\mathbf {j} \_{s}},
{\displaystyle \mathbf {D} \_{1}\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=-4\pi \rho \_{s}},
{\displaystyle \mathbf {B} \_{1}\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=0}, | {\displaystyle \mathbf {E} \_{1}\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {0} },
{\displaystyle \mathbf {H} \_{1}\times \mathbf {n} \_{1-2}=\mathbf {j} \_{s}},
{\displaystyle \mathbf {D} \_{1}\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=-\rho \_{s}},
{\displaystyle \mathbf {B} \_{1}\cdot \mathbf {n} \_{1-2}=0}, |

Законы захавання
----------------

Ураўненні Максвела ўтрымліваюць у сабе законы захавання зараду і энергіі электрамагнітнага поля.

### Ураўненне непарыўнасці

Крыніцы палёў ({\displaystyle \rho ,~\mathbf {j} }) не могуць быць зададзены адвольным чынам. Прымяняючы аперацыю дывергенцыі да чацвёртага ўраўнення (закон Ампера-Максвела) і выкарыстоўваючы першае ўраўненне (закон Гаўса), можна атрымаць ураўненне непарыўнасці для зарадаў і токаў:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0.}

*Вывад ураўнення непарыўнасці*  

Дывергенцыя ад ротара роўная нулю, таму для чацвёртага ўраўнення Максвела (Закон Ампера-Максвела) у сістэме СІ маем:

{\displaystyle 0=\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \nabla \cdot \mathbf {D} }{\partial t}}=\nabla \cdot \mathbf {j} +{\frac {\partial \rho }{\partial t}},}

дзе ў апошняй роўнасці падстаўлена першае ўраўненне (Закон Гауса).

Гэта ўраўненне пры дапамозе інтэгральнай тэарэмы Астраградскага — Гауса можна запісаць у наступным выглядзе:

{\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {j} \cdot d\mathbf {s} =-{\frac {d}{dt}}\int \_{v}\rho \,dv.}
У левай частцы ўраўнення знаходзіцца поўны ток, што працякае праз замкнёную паверхню {\displaystyle s\ }. У правай частцы — змяненне з часам зараду ўнутры аб'ёму {\displaystyle v\ }. Такім чынам, змяненне зараду ўнутры аб'ёму магчыма толькі пры яго прытоку або адтоку праз паверхню {\displaystyle s\ }, якая абмяжоўвае аб'ём.

Ураўненне непарыўнасці, раўназначнае закону захавання зараду, выходзіць далёка за межы класічнай электрадынамікі, застаючыся справядлівым і ў квантавай тэорыі. Таму гэта ўраўненне само па сабе можа быць паложана ў аснову электрамагнітнай тэорыі. Тады, напрыклад, ток зрушэння (вытворная па часе электрычнага поля) павінен абавязкова прысутнічаць у законе Ампера.

З ураўненняў Максвелла для ротараў і ўраўнення непарыўнасці з дакладнасцю да адвольных функцый, незалежных ад часу, вынікаюць законы Гауса для электрычнага і магнітнага палёў.

### Закон захавання энергіі

Гл. таксама: Тэарэма Пойнтынга
Калі дамножыць трэцяе ўраўненне Максвела ў дыферэнцыяльнай форме (закон Фарадэя) скалярна на {\displaystyle \mathbf {H} }, а чацвёртае (закон Ампера — Максвела) — на {\displaystyle -\mathbf {E} } і скласці вынікі, можна атрымаць тэарэму Пойнтынга:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +{\frac {\partial }{\partial t}}\left(w\_{E}+w\_{H}\right)=-\mathbf {E} \mathbf {j} ,}
дзе


| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{4\pi }}\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
{\displaystyle w\_{E}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }
{\displaystyle w\_{H}={\frac {1}{8\pi }}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} } | {\displaystyle \mathbf {S} =\mathbf {E} \times \mathbf {H} }
{\displaystyle w\_{E}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} }
{\displaystyle w\_{H}={\frac {1}{2}}\,\mathbf {H} \cdot \mathbf {B} } |

*Вывад тэарэмы Пойнтынга*  

Пры дапамозе трэцяга і чацвёртага ўраўнення Максвела ў дыферэнцыяльнай форме, у сістэме СІ можна атрымаць:

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ]=\mathbf {E} \mathbf {j} +\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}},~~~~~~~~~~~~~\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]=-\mathbf {H} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Розніца левых частак ураўненняў згортваецца па наступнай формуле вектарнага аналізу (вытворная здабытку):

{\displaystyle \nabla \cdot [\mathbf {E} \times \mathbf {H} ]=\mathbf {H} \cdot [\nabla \times \mathbf {E} ]-\mathbf {E} \cdot [\nabla \times \mathbf {H} ].}

У лінейных, але, магчыма, неізатропных асяроддзях, паміж напружаннямі і індукцыямі існуе лінейная сувязь. Напрыклад, для электрычнага поля
{\displaystyle \mathbf {D} =\varepsilon \_{0}\,{\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} }. 
Калі {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}} — сіметрычная матрыца, якая не залежыць ад часу, то:

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {D} }{\partial t}}=\varepsilon \_{0}\,\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}={\frac {\varepsilon \_{0}}{2}}\,{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {E} )}{\partial t}}={\frac {1}{2}}{\frac {\partial (\mathbf {E} \cdot \mathbf {D} )}{\partial t}}.}

Аналагічна для магнітнага поля.

Вектар {\displaystyle \mathbf {S} } называецца вектарам Пойнтынга (вектарам шчыльнасці патоку электрамагнітнай энергіі) і вызначае колькасць электрамагнітнай энергіі, якая пераносіцца праз адзінку плошчы ў адзінку часу. Інтэграл вектара Пойнтынга па сячэнні хвалі, якая распаўсюджваецца, вызначае яе моц. Важна адзначыць, што, як упершыню паказаў Хэвісайд, фізічны сэнс патоку энергіі мае толькі бязвіхравая частка вектара Пойнтынга. Віхравая частка, дывергенцыя якой роўная нулю, не звязана з пераносам энергіі. Заўважым, што Хэвісайд атрымаў выраз для закона захавання незалежна ад Пойнтынга. У рускамоўнай літаратуры вектар Пойнтынга часта называецца таксама «вектарам Умава — Пойнтынга».

Велічыні {\displaystyle w\_{E}\ } і {\displaystyle w\_{H}\ } вызначаюць аб'ёмныя шчыльнасці энергіі, адпаведна, электрычнага і магнітнага палёў. Пры адсутнасці токаў і звязаных з імі страт тэарэма Пойнтынга з'яўляецца ўраўненнем непарыўнасці для энергіі электрамагнітнага поля. Праінтеграваўшы яго ў гэтым выпадку па некаторым замкнёным аб'ёме і скарыстаўшы тэарэму Астраградскага — Гауса, можна атрымаць закон захавання энергіі для электрамагнітнага поля:

{\displaystyle \oint \_{s}\mathbf {S} \cdot d\mathbf {s} +{\frac {d}{dt}}\int \_{v}(w\_{E}+w\_{H})\,dv=0.}
Гэта ўраўненне паказвае, што пры адсутнасці ўнутраных страт змяненне энергіі электрамагнітнага поля ў аб'ёме адбываецца толькі за кошт магутнасці электрамагнітнага выпраменьвання, што пераносіцца праз мяжу гэтага аб'ёму.

Вектар Пойнтынга звязаны з імпульсам электрамагнітнага поля:

{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {1}{c^{2}}}\int \mathbf {S} \,dv,}
дзе інтэграванне праводзіцца па ўсёй прасторы. Электрамагнітная хваля, паглынаючыся або адлюстроўваючыся ад некаторай паверхні, перадае ёй частку свайго імпульсу, што праяўляецца ў форме светлавога ціску. Эксперыментальна гэты эфект ўпершыню назіраўся П. Н. Лебедзевым ў 1899 годзе.

Патэнцыялы
----------

### Скалярныя і вектарныя патэнцыялы

Закон Фарадэя і закон Гауса для магнітнай індукцыі выконваюцца тоесна, калі электрычнае і магнітнае палі выразіць праз *скалярны* {\displaystyle \varphi } і *вектарны* {\displaystyle \mathbf {A} } патэнцыялы:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } | {\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}}
{\displaystyle \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} } |

*Доказ*  

Калі магнітнае поле роўнае ротару вектарнага патэнцыялу, то дывергенцыя аўтаматычна роўная нулю:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\nabla \cdot [\nabla \times \mathbf {A} ]=[\nabla \times \nabla ]\cdot \mathbf {A} =0.}
Падстаўляючы выраз для напружанасці электрычнага поля ў закон Фарадэя, напрыклад, у сістэме СІ, атрымліваем:

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =\nabla \times \left(-\nabla \varphi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\right)=-\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}=-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}

Пры дадзеных электрычным {\displaystyle \mathbf {E} } і магнітным {\displaystyle \mathbf {B} } палях, скалярны і вектарны патэнцыялы вызначаны неадназначна. Калі {\displaystyle \psi \ } — адвольная функцыя каардынат і часу, то наступнае пераўтварэнне не зменіць значэнне палёў:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }
{\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial \psi }{\partial t}}} | {\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla \psi }
{\displaystyle \varphi \rightarrow \varphi -{\frac {\partial \psi }{\partial t}}.} |

Падобныя пераўтварэнні іграюць важную ролю ў квантавай электрадынаміцы і ляжаць у аснове лакальнай калібравальнай сіметрыі электрамагнітнага ўзаемадзеяння. Лакальная калібравальная сіметрыя ўводзіць залежнасць ад каардынат і часу ў фазу глабальнай калібравальнай сіметрыі, якая, у сілу тэарэмы Нётэр, прыводзіць да закона захавання зараду.

Неадназначнасць вызначэння патэнцыялаў аказваецца зручнай для накладання на іх дадатковых умоў, так званай каліброўкі. Дзякуючы гэтаму, ўраўненні электрадынамікі прымаюць прасцейшы выгляд. Разгледзім, напрыклад, ураўненні Максвелла ў аднародных і ізатропных асяроддзях з дыэлектрычнай ({\displaystyle \varepsilon }) і магнітнай ({\displaystyle \mu \ }) пранікальнасцямі. Для дадзеных {\displaystyle \varphi } і {\displaystyle \mathbf {A} } заўсёды можна падабраць такую ​​функцыю {\displaystyle f}, каб выконвалася *калібравальная ўмова Лорэнца*:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} +{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,{\frac {\partial \varphi }{\partial t}}=0.} |

У гэтым выпадку тыя ўраўненні Максвела, што засталіся, ў аднародных і ізатропных асяроддзях можна запісаць у наступным выглядзе:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \square \phi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}}
{\displaystyle \square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} } | {\displaystyle \square \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}}
{\displaystyle \square \mathbf {A} =-\mu \mu \_{0}\,\mathbf {j} ,} |

дзе {\displaystyle \square } — аператар Д'Аламбера, які і ў сістэме СГС, і ў сістэме СІ мае выгляд:

{\displaystyle \square =\Delta -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}.}
Такім чынам, 8 ураўненняў Максвела для кампанент электрамагнітнага поля (2 вектарныя і 2 скалярныя) пры дапамозе патэнцыялаў можна звесці да 4 ураўненняў (скалярнага для {\displaystyle \varphi } і вектарнага для {\displaystyle \mathbf {A} }). Рашэнні гэтых ураўненняў для кропкавага зараду, які рухаецца адвольным чынам, называюцца патэнцыяламі Ліенара — Віхерта.

Можна ўвесці і іншыя каліброўкі. Так, для рашэння шэрагу задач зручнай аказваецца кулонаўская каліброўка:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}
У гэтым выпадку:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \Delta \phi =-4\pi \,{\frac {\rho }{\varepsilon }}}
{\displaystyle \square \mathbf {A} =-{\frac {4\pi }{c}}\,\mu \,\mathbf {j} \_{\bot }} | {\displaystyle \Delta \phi =-{\frac {\rho }{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}}
{\displaystyle \square \mathbf {A} =-\mu \mu \_{0}\,\mathbf {j} \_{\bot },} |

,

дзе {\displaystyle \mathbf {j} \_{\bot }} — саленаідальная частка току ({\displaystyle \nabla \mathbf {\cdot } {j}\_{\bot }=0}).

Першае ўраўненне апісвае імгненнае (без запазнення) дзеянне кулонаўскай сілы, бо кулонаўская каліброўка неінварыянтная адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Пры гэтым энергію кулонаўскага ўзаемадзеяння можна аддзяліць ад астатніх узаемадзеянняў, што спрашчае квантаванне поля ў гамільтанавым фармалізме.

Вектарны патэнцыял іграе вялікую ролю ў электрадынаміцы і ў квантавай тэорыі поля, аднак для даследавання працэсаў распаўсюджвання электрамагнітных хваль пры адсутнасці токаў і зарадаў яго ўвядзенне часта не прыводзіць да спрашчэння сістэмы, а зводзіцца да простай замены вектараў электрычнага і магнітнага поля на іншы аналагічны вектар, які апісваецца тымі ж ураўненнямі. Так, для гарманічных палёў вектарны патэнцыял будзе проста прапарцыянальны электрычнаму полю (скалярны патэнцыял пры гэтым можна прыняць роўным нулю).

### Вектары Герца

* У 1887 годзе Генрых Герц прапанаваў замест непасрэднага рашэння **ўраўненняў Максвела** для двух вектарных функцый электрычнага і магнітнага палёў або скалярнага і вектарнага патэнцыялаў перайсці да новай адзінай вектарнай функцыі, якая цяпер носіць назву *электрычнага вектара Герца* {\displaystyle {\mathbf {\Pi } }^{e}} і дазваляе ў некаторых выпадках спрасціць рашэнне электрадынамічных задач, зводзячы іх да рашэння скалярнага хвалевага ўраўнення.

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},}
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}},} | {\displaystyle \varphi =-\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e},}
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}},} |
| {\displaystyle \mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t^{2}}},}
{\displaystyle \mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}}.} | {\displaystyle \mathbf {E} ^{e}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {\Pi } ^{e})-{\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t^{2}}},}
{\displaystyle \mathbf {B} ^{e}={\frac {\mu \varepsilon }{c^{2}}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{e}}{\partial t}}.} |

Заўважым, што скалярны {\displaystyle \varphi } і вектарны {\displaystyle \mathbf {A} } патэнцыялы, выражаныя праз вектар Герца, аўтаматычна задавальняюць калібравальнай умове Лорэнца. Вектар Герца ўлічвае ўсе палі, звязаныя са свабоднымі зарадамі і іх токамі.

Падстаўляючы выразы для палёў праз электрычны вектар у два апошнія ўраўненні Максвела, можна атрымаць:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\mathbf {P} \_{f},}
{\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\varepsilon }}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} \_{f}\right].} | {\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}\mathbf {P} \_{f},}
{\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{e}-{\frac {\mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{e}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\varepsilon \varepsilon \_{0}}}\left[\mathbf {P} +\mathbf {P} \_{f}\right].} |

Тут уведзены вектар палярызацыі свабодных зарадаў і токаў:

{\displaystyle \mathbf {j} \_{f}={\frac {\partial }{\partial t}}{\mathbf {P} }\_{f},~~~~~~~~~~~~~~~~\rho \_{f}=-\nabla \cdot {\mathbf {P} }\_{f},}
(пры гэтым ураўненне непарыўнасці для зараду выконваецца аўтаматычна).

Такім чынам, электрычны вектар Герца вызначаецца хвалевымі ўраўненнямі, у правай частцы якіх стаіць палярызавальнасць, абумоўленая свабоднымі, альбо свабоднымі і звязанымі зарадамі, г. зн. электрычнымі дыпольнымі момантамі.

* У 1901 годзе парны электрычнаму вектару Герца магнітны вектар, які таксама традыцыйна называюць іменем Герца, увёў італьянскі фізік Аўгуста Рыгі.

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \varphi =0,}
{\displaystyle \mathbf {A} =\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},} | {\displaystyle \varphi =0,}
{\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {1}{c}}\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m},} |
| {\displaystyle \mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m}}{\partial t}},}
{\displaystyle \mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].} | {\displaystyle \mathbf {D} ^{m}=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\nabla \times {\frac {\partial \mathbf {\Pi } ^{m}}{\partial t}},}
{\displaystyle \mathbf {H} ^{m}=\nabla \times [\nabla \times \mathbf {\Pi } ^{m}].} |

А раз палі, якія апісваюцца магнітным вектарам Герца, не залежаць ад свабодных зарадаў і токаў, а магнітныя манаполі не выяўлены, то патэнцыялы задавальняюць каліброўцы Лорэнца ў выраджаным выглядзе — так званай кулонаўскай каліброўцы ({\displaystyle \varphi =0}, {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} =0}).

Аналагічным чынам можна атрымаць ураўненні для магнітнага патэнцыялу Герца, падстаўляючы выражаныя праз яго палі ў трэцяе і чацвёртае ўраўненні Максвела без току:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=0,}
{\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {4\pi }{\mu }}\mathbf {M} .} | {\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=0,}
{\displaystyle \Delta \mathbf {\Pi } ^{m}-{\frac {\varepsilon }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}{\mathbf {\Pi } ^{m}}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{\mu }}\mathbf {M} .} |

Дзеянне вонкавых магнітных палёў, звязаных са знешнімі крыніцамі, можна ўлічыць, па аналогіі з электрычным вектарам Герца, увядзеннем у правыя часткі дадатковай магнітнай палярызацыі {\displaystyle \mathbf {M} \_{f}}.

Такім чынам, вылучаецца два тыпы электрамагнітных палёў, якія выражаюцца праз электрычны і магнітны патэнцыялы Герца, а адвольнае поле можна прадставіць у выглядзе сумы такіх палёў. Палі, якія выражаюцца праз электрычны вектар Герца, носяць назву палёў электрычнага тыпу або папярочна-магнітных (TM) палёў, бо магнітнае поле для іх артаганальнае кірунку вектара Герца. Адпаведна, палі, якія выражаюцца праз магнітны вектар Герца, называюць палямі магнітнага тыпу або папярочна-электрычнымі палямі (TЕ), электрычнае поле ў якіх артаганальнае спараджаючаму вектару Герца. Палі TM можна прадставіць як палі, якія спараджаюцца размеркаванымі ў прасторы электрычнымі дыполямі, а палі TE, адпаведна, магнітнымі. Вектарныя патэнцыялы Герца, у сваю чаргу, у многіх выпадках можна выразіць праз скалярныя патэнцыялы.

### Патэнцыялы Дэбая

У электрадынаміцы шырока выкарыстоўваюцца скалярныя патэнцыялы, прапанаваныя Дэбаем.

Хвалевае ўраўненне ўяўляе сабой сістэму трох звязаных скалярных ураўненняў, якія распадаюцца на тры скалярных ураўненні Гельмгольца толькі ў дэкартавай сістэме каардынат. Дзеля зручнасці пошуку рашэнняў, адпаведных межавым ўмовам, пажадана выбіраць каардынатныя сістэмы, каардынатныя паверхні якіх блізкія або супадаюць з паверхнямі меж. Адзін з падыходаў да рашэння вектарнага ўраўнення Гельмгольца заключаецца ва ўвядзенні скалярных функцый {\displaystyle \psi \,}, якія задавальняюць скалярнае хвалевае ўраўненне Гельмгольца, і праз якія затым можна выразіць вектарныя палі:

{\displaystyle \nabla ^{2}{\psi }+k^{2}\psi =0.}
{\displaystyle {\mathbf {M} }\_{\psi }=\nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),}
{\displaystyle {\mathbf {N} }\_{\psi }={\frac {1}{k}}\nabla \times \nabla \times ({\mathbf {f} }\psi ),}
{\displaystyle {\mathbf {L} }\_{\psi }=\nabla \psi .}
Тут {\displaystyle \mathbf {f} } — некаторая вектарная функцыя каардынат. Вектар {\displaystyle {\mathbf {L} }\_{\psi }}, апісвае патэнцыяльную частку поля і яго можна прыняць роўным нулю пры адсутнасці свабодных зарадаў.

Калі для некаторай артаганальнай каардынатнай сістэмы існуе функцыя {\displaystyle {\mathbf {f} }({\mathbf {r} })}, прапарцыянальная каардынатнаму вектару, то адвольнае вектарнае поле, якое адпавядае вектарнаму ўраўненню Гельмгольца ў гэтай сістэме, можна прадставіць у выглядзе сумы вектарных функцый, прапарцыянальных вектарам {\displaystyle {\mathbf {M} }\_{\psi }} і {\displaystyle {\mathbf {N} }\_{\psi }}. Як вынікае з ураўненняў Максвела, электрычнаму полю, прапарцыянальнаму {\displaystyle {\mathbf {M} }\_{\psi }}, адпавядае магнітнае поле тыпу {\displaystyle {\mathbf {N} }\_{\psi }} і наадварот. Пры гэтым вектарныя патэнцыялы {\displaystyle {\mathbf {f} }\psi } адпавядаюць вектарам Герца. У гэтым выпадку поле, прапарцыянальнае {\displaystyle {\mathbf {M} }\_{\psi }}, нармальнае вектару {\displaystyle {\mathbf {f} }}, таму яго кампаненты з'яўляюцца тангенцыяльнымі да адпаведнай {\displaystyle {\mathbf {f} }} каардынатнай паверхні. Калі межы ў задачы, што рашаецца, супадаюць з адной з такіх каардынатных паверхняў, то задавальненне межавых ўмоў істотна спрашчаецца.

Такое прадстаўленне магчыма толькі для абмежавага мноства артаганальных каардынатных сістэм. У дэкартавай сістэме каардынат у якасці вектара {\displaystyle {\mathbf {f} }} можа выступаць любы каардынатны вектар. Адпаведныя рашэнні ўяўляюць сабой плоскія хвалі. Для цыліндрычнай сістэмы каардынат {\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathbf {i} }\_{z}}, для сферычнай {\displaystyle {\mathbf {f} }={\mathbf {r} }}. Акрамя таго, такое прадстаўленне магчыма ў канічнай, а таксама адносна восі {\displaystyle z} ў парабалічнай і эліптычнай цыліндрычных сістэмах каардынат.

### Вектары Рымана — Зільберштэйна

Калі ўвесці камплексны вектар Рымана — Зільберштэйна {\displaystyle \mathbf {F} } і камплексна спалучаны яму вектар {\displaystyle \mathbf {F} ^{\*}}:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {8\pi }}}\left[{\sqrt {\epsilon }}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu }}\mathbf {H} \right],} | {\displaystyle \mathbf {F} ={\frac {1}{\sqrt {2}}}\left[{\sqrt {\varepsilon \varepsilon \_{0}}}\mathbf {E} +i{\sqrt {\mu \mu \_{0}}}\mathbf {H} \right],}
 |

то ўраўненні Максвелла зводзяцца да двух:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {2\pi }{\varepsilon }}}\rho ,}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {2\pi \mu }}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} ={\sqrt {\frac {1}{2\varepsilon \varepsilon \_{0}}}}\rho ,}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =i{\sqrt {\frac {\mu \mu \_{0}}{2}}}\mathbf {j} +i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.} |

Пры адсутнасці іншых зарадаў і токаў застаецца толькі другое ўраўненне (першае з-за роўнасці дывергенцыі ротара нулю ў гэтым выпадку задавальняецца аўтаматычна з дакладнасцю да незалежнай ад часу кампаненты):

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} =i{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}{\frac {\partial \mathbf {F} }{\partial t}}.}

У адрозненне ад хвалевага ўраўнення, якое атрымліваецца ў гэтым выпадку для вектараў поля або патэнцыялу, апошняе вектарнае дыферэнцыяльнае ўраўненне мае першы, а не другі парадак і таму ў шэрагу выпадкаў можа быць прасцейшым для рашэння.

Для гарманічнага поля з залежнасцю {\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {F} ^{\pm }e^{\pm i\omega t}} вектар {\displaystyle \mathbf {F} } з'яўляецца уласным вектарам аператара ротара:

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} ^{\pm }=\mp k\mathbf {F} ^{\pm }.}

Пры выбранай нарміроўцы {\displaystyle \mathbf {F} } мае сэнс камплекснай амплітуды электрамагнітнага поля, а яго квадрат модуля

{\displaystyle w=|\mathbf {F} |^{2}\equiv \mathbf {F} ^{\*}\mathbf {F} =w\_{E}+w\_{H}}

мае сэнс шчыльнасці энергіі поля.

Вектар Пойнтынга:

{\displaystyle \mathbf {S} =-{\frac {ic}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\mathbf {F} }^{\*}\times {\mathbf {F} }.}

Вектары {\displaystyle \mathbf {F} } і {\displaystyle \mathbf {F} ^{\*}} можна інтэрпрэтаваць як хвалевыя функцыі цыркулярна палярызаваных фатонаў.

Каварыянтная фармулёўка
-----------------------

З сучаснага пункту гледжання, чатырохмерная каварыянтная фармулёўка электрадынамікі, і ў прыватнасці — запіс ураўненняў Максвела ў такім выглядзе, з'яўляецца фізічна найбольш фундаментальнай.

Практычна яна прыводзіць, акрамя відавочнай каварыянтнасці, да значна большай кампактнасці ўраўненняў, а значыць пэўнай прыгажосці і ў шэрагу выпадкаў зручнасці, і больш арганічна і прама ўключае ў сябе адзінства электрамагнітнага поля.

Пад каварыянтнай фармулёўкай разумеюць два прама і непасрэдна звязаныя варыянты, якія, аднак, адрозніваюцца: Лорэнц-каварыянтная фармулёўка ў плоскай прасторы-часе Мінкоўскага і агульнакаварыянтная фармулёўка для агульнага выпадку скрыўлення прасторы-часу (якая звычайна разглядаецца ў кантэксце агульнай тэорыі адноснасці). Другі варыянт адрозніваецца ад першага тым, што метрыка прасторы-часу ў ім не сталая (што можа азначаць як прысутнасць гравітацыі, так і проста выкарыстанне шырэйшага класа каардынат, напрыклад, адпаведных неінерцыяльным сістэмам адліку), і шмат у чым зводзіцца да замены звычайных вытворных па (чатырохмерных) каардынатах на каварыянтныя вытворныя (у значнай частцы выпадкаў гэта зводзіцца да механічнай замены першых на другія). Акрамя іншага, другі варыянт дазваляе даследаваць узаемадзеянне электрамагнітнага поля з гравітацыяй.

* Ніжэй спачатку разгледжаны (як больш просты) першы варыянт — варыянт лорэнц-каварыянтнай фармулёўкі ў плоскай прасторы-часе.

### Чатырохмерныя вектары

Пры каварыянтным запісе ўраўненняў электрадынамікі ажыццяўляецца пераход ад трохмерных вектараў і скаляраў да чатырохмерных вектараў (4-вектары). Незалежна ад сістэмы адзінак, чатырохмерныя каардынаты (4-вектар каардынат, у кампаненты якога ўваходзяць час і трохмерныя прасторавыя каардынаты), вытворная па гэтых каардынатах (4-вытворная) і шчыльнасць току вызначаюцца наступным чынам:

{\displaystyle x^{\alpha }=(ct,~\mathbf {r} )=(ct,x,y,z),}

{\displaystyle \partial \_{\alpha }={\frac {\partial }{\partial x^{\alpha }}}={\Bigl (}{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial }{\partial t}},~\nabla {\Bigr )}={\Bigl (}{\frac {1}{c}}\,{\frac {\partial }{\partial t}},{\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}{\Bigr )},}
{\displaystyle j^{\alpha }=\rho {\frac {dx^{\alpha }}{dt}}=(c\rho ,~\mathbf {j} )=(c\rho ,j\_{x},j\_{y},j\_{z}).}
Індэкс 4-вектара прымае значэнні {\displaystyle \alpha =0,1,2,3\ }. У кампанентным запісе вектара спачатку ідзе нулявая кампанента, затым — прасторавыя. Напрыклад, час роўны {\displaystyle t=x^{0}/c\ }, а шчыльнасць зараду {\displaystyle \rho =j^{0}/c\ }. У выніку гэтых азначэнняў, закон захавання зараду ў каварыянтнай форме прымае наступны выгляд:

{\displaystyle \partial \_{\alpha }j^{\alpha }=0.}

Тут выкарыстоўваецца наступнае правіла (правіла Эйнштэйна): калі індэкс паўтараецца, то ў формуле маецца на ўвазе сумаванне ад 0 да 3.

*Прыклад*  

Прыведзенае вышэй ураўненне з'яўляецца кампактным запісам ураўнення непарыўнасці:

{\displaystyle \partial \_{0}j^{0}+\partial \_{1}j^{1}+\partial \_{2}j^{2}+\partial \_{3}j^{3}={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \mathbf {j} =0.}

Увядзем 4-вектар патэнцыялу, які мае ў сістэмах СГС і СІ наступныя кампаненты:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle A^{\alpha }=(\varphi ,~~\mathbf {A} )}
{\displaystyle A\_{\alpha }=(\varphi ,-\mathbf {A} )} | {\displaystyle A^{\alpha }=(\varphi /c,~~\mathbf {A} )}
{\displaystyle A\_{\alpha }=(\varphi /c,-\mathbf {A} )} |

Пры каварыянтным запісе мае значэнне, дзе стаіць індэкс у 4-вектара. Калі індэкс знаходзіцца ўнізе, то такі вектар называецца каварыянтным вектарам (або кавектарам), і яго прасторавыя кампаненты маюць адваротны знак у параўнанні з кампанентамі 4-вектара. Узняцце і апусканне індэксаў праводзіцца пры дапамозе метрычнага тэнзара {\displaystyle A\_{\alpha }=g\_{\alpha \beta }A^{\beta }\ }, які ў чатырохмернай прасторы Мінкоўскага мае дыяганальны выгляд з сігнатурай:{\displaystyle g\_{\alpha \beta }=g^{\alpha \beta }={\rm {diag}}(1,-1,-1,-1)\ }.

З дапамогай такога вызначэння 4-вектара патэнцыялу, калібравальную ўмову Лорэнца ў каварыянтнай форме можна запісаць наступным чынам:

{\displaystyle \partial \_{\alpha }A^{\alpha }=0.}

Калі гэта ўмова выконваецца, то ўраўненні Максвела для патэнцыялаў у вакууме пры наяўнасці зарадаў і токаў прымаюць выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \partial ^{2}A^{\alpha }={\frac {4\pi }{c}}\,j^{\alpha }} | {\displaystyle \partial ^{2}A^{\alpha }=\mu \_{0}\,j^{\alpha }}, |

дзе {\displaystyle \partial ^{2}} — аператар Даламбера з адваротным знакам:

{\displaystyle \partial ^{2}=\partial \_{\alpha }\partial ^{\alpha }=-\square ={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}-\Delta .}

Нулявая кампанента ўраўненняў Максвела для 4-вектара патэнцыялу адпавядае ўраўненню для {\displaystyle \varphi }, а прасторавая — для {\displaystyle \mathbf {A} }.

### Тэнзар электрамагнітнага поля

Вызначым каварыянтны тэнзар электрамагнітнага поля пры дапамозе вытворнай ад 4-вектара патэнцыялу:

{\displaystyle F\_{\alpha \beta }=\partial \_{\alpha }A\_{\beta }-\partial \_{\beta }A\_{\alpha }.}
Яўна гэты антысіметрычны тэнзар ({\displaystyle F\_{\alpha \beta }=-F\_{\beta \alpha }\ }) можна прадставіць у наступным выглядзе:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle F\_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E\_{x}&E\_{y}&E\_{z}\\-E\_{x}&0&-B\_{z}&B\_{y}\\-E\_{y}&B\_{z}&0&-B\_{x}\\-E\_{z}&-B\_{y}&B\_{x}&0\end{matrix}}\right),} | {\displaystyle F\_{\alpha \beta }=\left({\begin{matrix}0&E\_{x}/c&E\_{y}/c&E\_{z}/c\\-E\_{x}/c&0&-B\_{z}&B\_{y}\\-E\_{y}/c&B\_{z}&0&-B\_{x}\\-E\_{z}/c&-B\_{y}&B\_{x}&0\end{matrix}}\right).} |

Часавыя кампаненты тэнзара складаюцца з кампанент напружанасці электрычнага поля, а прасторавыя — магнітнага, што можна запісаць наступным чынам: {\displaystyle F\_{\alpha \beta }=(\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}. У тэнзары электрамагнітнага поля з верхнімі індэксамі змяняецца знак у нулявых кампанент (гэта значыць перад кампанентамі электрычнага поля): {\displaystyle F^{\alpha \beta }=(-\mathbf {E} ,\mathbf {B} )}.

Выкарыстоўваючы азначэнне тэнзара электрамагнітнага поля, нескладана праверыць выкананне наступнай тоеснасці:

{\displaystyle \partial \_{\alpha }F\_{\beta \gamma }+\partial \_{\beta }F\_{\gamma \alpha }+\partial \_{\gamma }F\_{\alpha \beta }=0.}
Яго можна перапісаць ў кампактнейшым выглядзе, увёўшы дуальны тэнзар электрамагнітнага поля:

{\displaystyle \partial \_{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0,\qquad {\tilde {F}}^{\alpha \beta }={\frac {1}{2}}\epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\,F\_{\gamma \delta },}
дзе {\displaystyle \epsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }\ } — антысіметрычны сімвал Леві-Чывіты ({\displaystyle \epsilon ^{0123}=1\ }). Гэта ўраўненне з'яўляецца каварыянтным запісам закона Гауса для магнітнага поля і закона электрамагнітнай індукцыі Фарадэя. Кампаненты дуальнага тэнзара {\displaystyle {\tilde {F}}\_{\alpha \beta }} атрымліваюцца з тэнзара {\displaystyle F\_{\alpha \beta }\,}, у выніку перастаноўкі электрычнага і магнітнага палёў: {\displaystyle {\tilde {F}}\_{\alpha \beta }=(\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )}, {\displaystyle {\tilde {F}}^{\alpha \beta }=(-\mathbf {B} ,-\mathbf {E} )}.

Поўная сістэма ўраўненняў Максвела ў каварыянтнай форме мае выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \partial \_{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0}
{\displaystyle \partial \_{\alpha }F^{\alpha \beta }={\frac {4\pi }{c}}j^{\beta },} | {\displaystyle \partial \_{\alpha }{\tilde {F}}^{\alpha \beta }=0}
{\displaystyle \partial \_{\alpha }F^{\alpha \beta }=\mu \_{0}\,j^{\beta }.} |

Па індэксу {\displaystyle \alpha \ }, які ўваходзіць у формулу двойчы, праводзіцца сумаванне ад 0 да 3, а ў правай частцы другога ўраўнення знаходзіцца 4-вектар току. Нулявая кампанента гэтага ўраўнення адпавядае закону Гауса, а прасторавыя — закону Ампера — Максвела.

Пры дапамозе тэнзара электрамагнітнага поля можна атрымаць законы пераўтварэнняў кампанент электрычнага і магнітнага палёў пры іх вымярэнні адносна розных інерцыяльных сістэм адліку:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle E'\_{y}=\gamma \,\left(E\_{y}-{u \over c}\,B\_{z}\right),~~~E'\_{z}=\gamma \,\left(E\_{z}+{u \over c}\,B\_{y}\right),}
{\displaystyle B'\_{y}=\gamma \,\left(B\_{y}+{u \over c}\,E\_{z}\right),~~~B'\_{z}=\gamma \,\left(B\_{z}-{u \over c}\,E\_{y}\right),} | {\displaystyle E'\_{y}=\gamma \,(E\_{y}-u\,B\_{z}),~~~E'\_{z}=\gamma \,(E\_{z}+u\,B\_{y}),}
{\displaystyle B'\_{y}=\gamma \,\left(B\_{y}+{u \over c^{2}}\,E\_{z}\right),~~B'\_{z}=\gamma \,\left(B\_{z}-{u \over c^{2}}\,E\_{y}\right),} |

дзе «штрыхаваныя» велічыні вымяраюцца адносна сістэмы адліку, якая рухаецца ўздоўж восі {\displaystyle x\,}, з хуткасцю {\displaystyle u\,}, адносна сістэмы, у якой вымяраюцца «не штрыхаваныя» кампаненты палёў, а {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-u^{2}/c^{2}}}} — множнік ​​Лорэнца. Кампаненты палёў уздоўж напрамку адноснага руху інерцыяльных сістэм адліку застаюцца нязменнымі: {\displaystyle E'\_{x}=E\_{x},~~B'\_{x}=B\_{x}}.

Ураўненні Максвела ў вакууме інварыянтныя адносна пераўтварэнняў Лорэнца. Гэта паслужыла адным са штуршкоў да стварэння спецыяльнай тэорыі адноснасці.

Электрычнае і магнітнае палі розным чынам змяняюцца пры інверсіі восей прасторавай сістэмы каардынат. Электрычнае поле з'яўляецца палярным вектарам, а магнітнае — аксіяльным вектарам. Можна пабудаваць дзве інварыянтныя адносна пераўтварэнняў Лорэнца велічыні:

{\displaystyle F\_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }=\mathrm {inv} \qquad \varepsilon ^{\alpha \beta \gamma \delta }F\_{\alpha \beta }F\_{\gamma \delta }=\mathrm {inv} .}

Першы інварыянт з'яўляецца скалярам, а другі — псеўдаскалярам, гэта значыць змяняе свой ​​знак пры інверсіі каардынатных восей.

### Лагранжыян

Дзеянне {\displaystyle S\ } і лагранжыян (функцыя Лагранжа) {\displaystyle L\ } для пробнага зараду, які рухаецца ў вонкавым электрамагнітным полі ў сістэме СГС і СІ маюць выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle S=\int (-mc\,ds~-~{\frac {q}{c}}\,A\_{\alpha }\,dx^{\alpha })}
{\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+{\frac {q}{c}}\,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi } | {\displaystyle S=\int (-mc\,ds~-~q\,A\_{\alpha }\,dx^{\alpha })}
{\displaystyle L=-mc^{2}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u^{2}} }{c^{2}}}}}+q\,\mathbf {A} \cdot \mathbf {u} -q\varphi } |

дзе:

* {\displaystyle m\ } — маса часціцы (у адзінках СІ — кг);
* {\displaystyle \mathbf {u} } — яе хуткасць (у адзінках СІ — м/с);
* {\displaystyle q\ } — зарад часціцы (у адзінках СІ — Кл);
* {\displaystyle ds={\sqrt {dx\_{\alpha }dx^{\alpha }}}} — 4-х інтэрвал.

Ураўненні руху зараду пад уздзеяннем сілы Лорэнца ў каварыянтным запісе маюць выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}={\frac {q}{c}}\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx\_{\beta }}{ds}}} | {\displaystyle mc{\frac {d^{2}x^{\alpha }}{ds^{2}}}=q\,F^{\alpha \beta }\,{\frac {dx\_{\beta }}{ds}}.} |

Ураўненні Максвела атрымліваюцца з прынцыпу найменшага дзеяння, у якім дынамічнымі зменнымі з'яўляюцца 4-х патэнцыялы электрамагнітнага поля {\displaystyle A^{\alpha }\ }. Пры гэтым выкарыстоўваецца наступны каварыянтны выраз для дзеяння:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle S=-{\frac {1}{16\pi c}}\int F\_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-{\frac {1}{c^{2}}}\int A\_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x} | {\displaystyle S=-{\frac {1}{4\mu \_{0}}}\int F\_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\,d^{4}x-\int A\_{\alpha }\,j^{\alpha }\,d^{4}x,} |

дзе інтэграванне ажыццяўляецца па інварыянтным 4-аб'ёме {\displaystyle d^{4}x=c\,dt\,dv}.

### Запіс пры дапамозе дыферэнцыяльных форм

Асноўны артыкул: **Дыферэнцыяльныя формы ў электрамагнетызме**
Ураўненні Максвела ў каварыянтнай форме, як і вектарнае прадстаўленне ў трохмернай прасторы, можна запісаць у «бязіндэкснай форме». Для гэтага ўводзіцца аперацыя вонкавага здабытку {\displaystyle \wedge }, якая мае ўласцівасць антысіметрычнасці {\displaystyle \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }=-\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }}. Вонкавы здабытак дазваляе запісваць згорнутыя па ўсіх індэксах выразы з антысіметрычнымі тэнзарамі, такімі як {\displaystyle F\_{\alpha \beta }\ }. Пры гэтым узнікаюць аб'екты, якія называюцца дыферэнцыяльнымі формамі (ці проста формамі). 1-форма патэнцыялу поля вызначаецца наступным чынам (па індэксу {\displaystyle \alpha \ } — сума ад 0 да 3):

{\displaystyle \mathrm {A} =A\_{\alpha }\mathrm {d} x^{\alpha }\ .}

З 1-формы, пры дапамозе аперацыі вокавага дыферэнцыявання {\displaystyle \mathrm {d} \ }, атрымліваецца 2-форма электрамагнітнага поля (ці 2-форма Фарадэя):

{\displaystyle \mathrm {F} =\mathrm {d} \,\mathrm {A} =\mathrm {d} A\_{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }=\partial \_{\beta }A\_{\alpha }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }={\frac {1}{2}}F\_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }.}

Аперацыя вонкавага дыферэнцыявання мае ўласцівасць {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0\ }, што прыводзіць да закона Гауса для магнітнага поля і закону Фарадэя:

{\displaystyle \mathrm {d} \,\mathrm {F} =\mathrm {d} ^{2}\,\mathrm {A} ={\frac {1}{2}}\,\partial \_{\gamma }F\_{\alpha \beta }\,\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{6}}\,(\partial \_{\gamma }F\_{\alpha \beta }+\partial \_{\alpha }F\_{\beta \gamma }+\partial \_{\beta }F\_{\gamma \alpha })~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }=0.}

Для запісу астатніх ураўненняў Максвела ўводзіцца дуальная да {\displaystyle \mathrm {F} \ } 2-форма {\displaystyle ^{\*}\mathrm {F} \ }, якая таксама называецца 2-формай Максвела:

{\displaystyle ~^{\*}\mathrm {F} ={\frac {1}{2}}\,{\tilde {F}}\_{\alpha \beta }~\mathrm {d} x^{\alpha }\wedge \mathrm {d} x^{\beta }={\frac {1}{4}}\,F^{\alpha \beta }\,\epsilon \_{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },}

і 3-форма току:

{\displaystyle ^{\*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }\,\epsilon \_{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },}

дзе {\displaystyle \epsilon \_{\alpha \beta \gamma \delta }\ } — абсалютны антысіметрычны сімвал Леві-Чывіты ({\displaystyle \epsilon \_{0123}=-1\ }). Згортка з сімвалам Леві-Чывіты вонкавага здабытку дыферэнцыялаў называецца аператарам зоркі Ходжа.

У гэтых абазначэннях ураўненні Максвелла ў сістэмах СГС і СІ прымаюць наступны выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{\*}\mathrm {F} ={\frac {4\pi }{c}}\,^{\*}\mathrm {J} ,} | {\displaystyle \mathrm {d} \,\mathrm {F} =0,}
{\displaystyle \mathrm {d} ^{\*}\mathrm {F} =\mu \_{0}\,^{\*}\mathrm {J} .} |

*Доказ*  

Каб паказаць эквівалентнасць гэтых ураўненняў ураўненням Максвела, неабходна запісаць іх у трохмернай вектарнай форме. У гэтым выпадку, у сістэме СГС, ток і 2-форма Максвела маюць выгляд:

{\displaystyle ^{\*}\mathrm {J} =c\rho \mathrm {d} v-\mathbf {j} \mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c,~~~~~~~~~~~~~~~~~^{\*}\mathrm {F} =\mathbf {E} \mathrm {d} \mathbf {s} -\mathbf {B} \mathrm {d} \mathbf {r} \wedge \mathrm {d} t\,c,}

дзе {\displaystyle \mathrm {d} v=\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z} — трохмерны аб'ём, а {\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {s} =(\mathrm {d} y\wedge \mathrm {d} z,~\mathrm {d} z\wedge \mathrm {d} x,\mathrm {d} x\wedge \mathrm {d} y)} — вектар плошчы паверхні ў трохмернай прасторы. А раз:

{\displaystyle \mathrm {d} ^{\*}\mathrm {F} =(\nabla \mathbf {E} )\mathrm {d} v+{\Bigl (}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}-\nabla \times \mathbf {B} {\Bigr )}\mathrm {d} \mathbf {s} \wedge \mathrm {d} t\,c.}

то, з улікам ураўненняў Максвела ў дыферэнцыяльнай форме, атрымаем {\displaystyle ^{\*}\mathrm {J} \ }.

З улікам тоеснасці {\displaystyle \mathrm {d} ^{2}=0\ }, апошняе ўраўненне Максвела, запісанае пры дапамозе дыферэнцыяльных форм, адразу прыводзіць да ураўнення непарыўнасці (закону захавання зараду) :

{\displaystyle \mathrm {d} ^{\*}\mathrm {J} =0\ .}

У такой форме ўраўненні Максвела застаюцца справядлівымі і на адвольнай 4-мернай мнагастайнасці, напрыклад, у скрыўленнай прасторы-часе агульнай тэорыі адноснасці. У гэтым выпадку, у суадносінах дадаткова з'яўляецца вызначнік метрычнага тэнзара {\displaystyle g}. Напрыклад, для току і вонкавага дыферэнцыявання:

{\displaystyle ^{\*}\mathrm {J} =-{\frac {1}{3!}}\,j^{\alpha }{\sqrt {-g}}\,\epsilon \_{\alpha \beta \gamma \delta }~\mathrm {d} x^{\beta }\wedge \mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta },~~~~~~~~~~~~~~\mathrm {d} ^{\*}\mathrm {F} ={\frac {1}{4}}\,F\_{~~;\alpha }^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\,\epsilon \_{\beta \gamma \delta \eta }~\mathrm {d} x^{\gamma }\wedge \mathrm {d} x^{\delta }\wedge \mathrm {d} x^{\eta }.}

### Агульнакаварыянтны запіс у кампанентах

На адвольнай 4-мернай мнагастайнасці, гэта значыць, у агульным выпадку яна можа ўключаць і прастору-час ненулявое крывізны (а таксама адвольных чатырохмерных каардынат, уключаючы выпадкі неінерцыяльных сістэм адліку) электрадынаміка можа быць сфармулявана і ў звычайных індэксных абазначэннях.

У асноўным рэцэпт пераходу ад выпадку нулявой крывізны прасторы-часу і лорэнцавых сістэм адліку ў ім, падрабязна апісанага вышэй, да агульнага выпадку заключаецца ў замене звычайных вытворных па каардынатах на каварыянтныя вытворныя, ўлік таго, што метрыка ў гэтым выпадку не сталая і не мае спецыяльнага лорэнцавага выгляду (гэта значыць практычна адвольная), а таксама пры інтэграванні — напрыклад, пры запісе дзеяння — ўлік таго, што метрыка ўваходзіць у элемент аб'ёму (праз множнік {\displaystyle {\sqrt {-g}}} — корань з мінус вызначніка метрыкі).

Спінарная фармулёўка
--------------------

Ураўненні Максвелла можна запісаць у спінарнай форме:

{\displaystyle \partial \_{\lambda {\dot {\sigma }}}f\_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}+\partial \_{{\dot {\mu }}\sigma }f\_{\lambda }^{\sigma }=2s\_{{\dot {\lambda }}\mu }},

{\displaystyle \partial \_{\lambda {\dot {\sigma }}}f\_{\dot {\mu }}^{\dot {\sigma }}-\partial \_{{\dot {\mu }}\sigma }f\_{\lambda }^{\sigma }=0},

дзе спінар другога рангу {\displaystyle f} вызначаецца ўраўненнем {\displaystyle f\_{\lambda \mu }={\frac {1}{2}}(\partial \_{\lambda {\dot {\sigma }}}\varphi \_{\mu }^{\dot {\sigma }}+\partial \_{\mu \sigma }\varphi \_{\sigma }^{\dot {\sigma }})}, {\displaystyle \varphi \_{\mu \nu }} — чатырохмерны патэнцыял у форме спінара другога рангу, {\displaystyle \partial \_{\mu \nu }} — аператар чатырохмернага градыента ў спінарнай форме, {\displaystyle s\_{\mu \nu }} — шчыльнасць току ў спінарнай форме.

Спектральнае прадстаўленне
--------------------------

У электрадынаміцы вялікае значэнне маюць гарманічныя ваганні. Такія палі можна прадставіць у выглядзе:

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+{\mbox{c. c.}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}],}

{\displaystyle \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t)={\frac {1}{2}}\left[{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}+{\mbox{c. c.}}\right]=\Re [{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} )e^{-i\omega t}].}

дзе {\displaystyle \omega \ } — частата ваганняў поля. Пазначэнне «c. c.» азначае камплекснае спалучэнне папярэдняга складніка. У некаторых работах каэфіцыент 1⁄2 у азначэнні гарманічных амплітуд не выкарыстоўваецца, што прыводзіць да адпаведнай мадыфікацыі ўсіх выразаў, якія залежаць ад гэтага азначэння. У літаратуры таксама часта сустракаецца выбар адваротнага знака ў камплекснай экспаненце. Разгледжаны тут варыянт адпавядае прынятаму ў квантавай тэорыі ў прадстаўленні Шродзінгера.

Усярэдненыя за перыяд шчыльнасці энергіі электрычнага і магнітнага поля роўныя, адпаведна:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{16\pi }}\left[{{\tilde {\mathbf {E} }}^{\*}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{\*}}\right],}
{\displaystyle \langle w\_{E}\rangle ={\frac {\tilde {\varepsilon }}{16\pi }}\,|{\tilde {\mathbf {E} }}|^{2},}
{\displaystyle \langle w\_{H}\rangle ={\frac {\tilde {\mu }}{16\pi }}\,|{\tilde {\mathbf {H} }}|^{2}.} | {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{4}}\left[{\mathbf {E} ^{\*}}\times {\tilde {\mathbf {H} }}+{\tilde {\mathbf {E} }}\times {{\tilde {\mathbf {H} }}^{\*}}\right],}
{\displaystyle \langle w\_{E}\rangle ={\frac {\varepsilon \_{0}{\tilde {\varepsilon }}|{\tilde {\mathbf {E} }}|^{2}}{4}},}
{\displaystyle \langle w\_{H}\rangle ={\frac {\mu \_{0}{\tilde {\mu }}|{\tilde {\mathbf {H} }}|^{2}}{4}}.} |

Выкарыстоўваючы пераўтварэнне Фур'е, на гарманічныя ваганні можна раскласці палі з адвольнай часовай залежнасцю.

{\displaystyle \mathbf {E} (r,t)=\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {E} }}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }},}
{\displaystyle \mathbf {H} (r,t)=\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!{\tilde {\mathbf {H} }}(\mathbf {r} ,\omega )e^{-i\omega t}{\frac {d\omega }{2\pi }}.}

Пераход да спектральных кампанент дазваляе засяродзіцца на каардынатнай залежнасці палёў. Ураўненні Максвела для спектральных кампанент у аднародных асяроддзях пры гэтым прымаюць выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {4\pi {\tilde {\rho }}}{\tilde {\varepsilon }}},} | {\displaystyle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {E} }}={\frac {\tilde {\rho }}{\varepsilon \_{0}{\tilde {\varepsilon }}}},} |
| {\displaystyle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,} | {\displaystyle \nabla \cdot {\tilde {\mathbf {B} }}=0,} |
| {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i{\frac {\omega }{c}}{\tilde {\mathbf {B} }},} | {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {E} }}=i\omega {\tilde {\mathbf {B} }},} |
| {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c}}\left[1+i{\frac {4\pi {\tilde {\sigma }}}{\omega {\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.} | {\displaystyle \nabla \times {\tilde {\mathbf {B} }}=-i{\tilde {\varepsilon }}{\tilde {\mu }}{\frac {\omega }{c^{2}}}\left[1+i{\frac {\tilde {\sigma }}{\omega \varepsilon \_{0}{\tilde {\varepsilon }}}}\right]{\tilde {\mathbf {E} }}.} |

Дыэлектрычная і магнітная пранікальнасці асяроддзя ў спектральным прадстаўленні звязаны з успрымальнасцямі матэрыяльных ураўненняў у інтэгральным прадстаўленні Фур'е-пераўтварэннем:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+4\pi \int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!\chi \_{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,}
{\displaystyle {\tilde {\mu }}(\omega )=1+4\pi \int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!\chi \_{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .} | {\displaystyle {\tilde {\varepsilon }}(\omega )=1+\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!\chi \_{e}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau ,}
{\displaystyle {\tilde {\mu }}(\omega )=1+\int \limits \_{-\infty }^{\infty }\!\chi \_{m}(\tau )e^{i\omega \tau }d\tau .} |

Ураўненні без свабодных зарадаў і токаў
---------------------------------------

Пры адсутнасці свабодных зарадаў і токаў {\displaystyle \rho =0\,}, {\displaystyle \mathbf {j} =0}, у ізатропных і аднародных асяроддзях без дысперсіі ўраўненні Максвела прымаюць наступны выгляд:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}},} | {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~\nabla \cdot \mathbf {B} =0,}
{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}},~~~~~~\nabla \times \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.} |

Рашэннямі гэтых ураўненняў з'яўляецца напружанасць электрычнага поля {\displaystyle \mathbf {E} } і магнітная індукцыя {\displaystyle \mathbf {B} }. Дыэлектрычная {\displaystyle \varepsilon } і магнітная {\displaystyle \mu } пранікальнасці вызначаюцца ўласцівасцямі асяроддзя. Для вакууму {\displaystyle \varepsilon =1}, {\displaystyle \mu =1\,}.

### Хвалевае ўраўненне

Ураўненні Максвела з'яўляюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі першага парадку па каардынатах і часу. Аднак у другой пары ў кожнае ўраўненне ўваходзяць абедзве невядомыя вектарныя функцыі {\displaystyle \mathbf {E} } і {\displaystyle \mathbf {B} }. Пры адсутнасці зарадаў і токаў можна перайсці да ўраўненняў другога парадку, кожнае з якіх залежыць толькі ад аднаго, электрычнага або магнітнага поля:

{\displaystyle \Delta \mathbf {E} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {B} }{\partial t^{2}}}=0.}

Такія ўраўненні называюцца хвалевымі.

*Вывад хвалевага ўраўнення*  

Бяром ротар ад закона Фарадэя, і выкарыстоўваючы закон Ампера-Максвела, атрымліваем (у сістэме СІ):

{\displaystyle \nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \times \left(-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\right)=-{\frac {\partial }{\partial t}}[\nabla \times \mathbf {B} ]=-{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {E} }{\partial t^{2}}}.}
З іншага боку, раскрываючы двайны вектарны здабытак, маем:

{\displaystyle \nabla \times [\nabla \times \mathbf {E} ]=\nabla \,(\nabla \cdot \mathbf {E} )-\Delta \mathbf {E} =-\Delta \mathbf {E} ,}
бо дывергенцыя электрычнага поля ў вакууме роўная нулю. Прыраўноўваючы гэтыя два выразы, атрымліваем хвалевае ўраўненне для электрычнага поля. Аналагічна атрымліваецца хвалевае ўраўненне для магнітнага поля.

У лорэнцаўскай каліброўцы пры адсутнасці зарадаў і токаў хвалевае ўраўненне задавальняюць таксама вектарны і скалярны патэнцыялы:

{\displaystyle \Delta \varphi -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\varphi }{\partial t^{2}}}=0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {A} -{\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\mathbf {A} }{\partial t^{2}}}=0.}

Велічыня {\displaystyle c/{\sqrt {\varepsilon \mu }}}, якая ўваходзіць у хвалевыя ўраўненні, вызначае хуткасць распаўсюджвання электрамагнітных палёў у асяроддзі. Яе максімальнае значэнне {\displaystyle c} дасягаецца ў вакууме, калі {\displaystyle \varepsilon =1} і {\displaystyle \mu =1\,}.

### Ураўненне Гельмгольца

Няхай {\displaystyle \omega } — кругавая частата гарманічнага сігналу і залежнасць ад часу выбрана ў выглядзе {\displaystyle e^{-i\omega t}\,}. Пры адсутнасці электрычных зарадаў у асяроддзі, ураўненне Гельмгольца прымае выгляд:

{\displaystyle \Delta \mathbf {E} +k^{2}\mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~\Delta \mathbf {B} +k^{2}\mathbf {B} =0,}

дзе {\displaystyle k^{2}=\mu \varepsilon {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}}.

Некаторыя дакладныя рашэнні
---------------------------

### Поле кропкавага зарада ў руху

Калі зарад рухаецца з пастаяннай хуткасцю {\displaystyle \mathbf {u} }, то вакол яго ўзнікае магнітнае поле {\displaystyle \mathbf {B} }, а напружанасць электрычнага перастае быць сферычна сіметрычнай:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{\varepsilon }}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}}
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]} | {\displaystyle \mathbf {E} ={\frac {Q}{4\pi \varepsilon \varepsilon \_{0}}}\,{\frac {\mathbf {r} }{r^{3}}}\,{\frac {1-u^{2}/c^{2}}{(1-[\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}/c^{2})^{3/2}}}}
{\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,[\mathbf {u} \times \mathbf {E} ]} |

Адзінкавы вектар {\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {r} /r} накіраваны ад зарада да кропкі вымярэння напружанасці поля. {\displaystyle r\,} — модуль вектара {\displaystyle \mathbf {r} }. Няхай {\displaystyle \theta \,} — вугал паміж вектарамі {\displaystyle \mathbf {u} } і {\displaystyle \mathbf {n} }, тады {\displaystyle [\mathbf {n} \times \mathbf {u} ]^{2}=u^{2}\sin ^{2}\theta }. Пры фіксаванай адлегласці ад зараду напружанасць электрычнага поля мінімальная ў кропках, якія знаходзяцца на лініі руху зараду. Максімальнае значэнне дасягаецца ў плоскасці, якая праходзіць праз зарад перпендыкулярна яго хуткасці. Магнітная індукцыя, па ўласцівасці вектарнага здабытку, перпендыкулярная хуткасці і электрычнаму полю. Раз зарад рухаецца, то ў фіксаванай кропцы прасторы электрычнае і магнітнае палі змяняюцца з часам. Яны задавальняюць ураўненні Максвела з шчыльнасцю зараду і току, прапарцыянальных дэльта-функцыі Дзірака:

{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )=Q\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{0}),~~~~~~~~~~~\mathbf {j} (\mathbf {r} )=\mathbf {u} \,\rho (\mathbf {r} )}
дзе {\displaystyle \mathbf {r} \_{0}} — бягучае становішча зараду.

На пробны зарад {\displaystyle q\,}, які рухаецца ў той жа сістэме адліку, дзейнічае сіла Лорэнца. Яна можа быць атрымана пры дапамозе пераўтварэнняў Лорэнца з закона Кулона і прынцыпу інварыянтавасці зараду. У гэтым сэнсе магнітнае поле па сваёй прыродзе з'яўляецца рэлятывісцкім эфектам.

Калі кропкавы зарад рухаецца з паскарэннем, то поле, што ствараецца ім, залежыць не толькі ад хуткасці, але і ад паскарэння. Складнік поля, які залежыць ад паскарэння, адпавядае выпраменьванню электрамагнітнай хвалі.

### Плоскія электрамагнітныя хвалі

* Дапусцім, што напружанасць электрычнага поля і магнітная індукцыя з'яўляюцца адвольнымі функцыямі наступнай камбінацыі каардынат і часу:

{\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}\mathbf {n} \mathbf {r} -{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}t{\Bigr )},}
дзе {\displaystyle \mathbf {n} } — некаторы пастаянны вектар. У гэтым выпадку {\displaystyle \mathbf {E} } і {\displaystyle \mathbf {B} } задавальняюць ураўненні Максвела пры адсутнасці зарадаў і токаў, калі паміж імі існуе наступная сувязь:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle \mathbf {B} ={\sqrt {\varepsilon \mu }}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]} | {\displaystyle \mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]} |

і яны перпендыкулярныя вектару {\displaystyle \mathbf {n} }, які павінен быць адзінкавым:

{\displaystyle \mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {n} ^{2}=1.}

*Вывад рашэння для плоскай хвалі*  

Калі напружанасць электрычнага поля залежыць ад каардынат і часу ў выглядзе наступнай іх камбінацыі {\displaystyle u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu }}}, то для вытворнай {\displaystyle j\ }-тай кампаненты вектара {\displaystyle \mathbf {E} } па {\displaystyle i\ }-тай каардынаце і часу можна запісаць:

{\displaystyle \nabla \_{i}E\_{j}={\frac {\partial E\_{j}}{\partial r\_{i}}}={\frac {dE\_{j}}{du}}\,{\frac {\partial u}{\partial r\_{i}}}=n\_{i}E\_{j},~~~~~~~~~~~~~~~~{\frac {\partial E\_{j}}{\partial t}}=-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}{\frac {dE\_{j}}{du}},}

і аналагічна для магнітнай індукцыі. Таму ўраўненні Максвелла пры адсутнасці зарадаў і токаў прымаюць выгляд (сістэма СІ):

{\displaystyle {\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {E} )}{du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d(\mathbf {n} \mathbf {B} )}{du}}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ]-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\mathbf {B} {\bigr )}=0,~~~~~~~~{\frac {d}{du}}{\bigl (}[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ]+{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\mathbf {E} {\bigr )}=0.}

Інтэгруючы гэтыя суадносіны па {\displaystyle u\,}, і апускаючы канстанты інтэгравання, якія адпавядаюць пастаянным палям, атрымліваем:

{\displaystyle \mathbf {n} \mathbf {E} =0,~~~~~~~~~\mathbf {n} \mathbf {B} =0,~~~~~~~~~\mathbf {B} ={\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {E} ],~~~~~~~~~\mathbf {E} =-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,[\mathbf {n} \times \mathbf {B} ].}

Падстаўляючы чацвёртае ўраўненне ў трэцяе, атрымліваем {\displaystyle \mathbf {n} ^{2}=1}.

Фізічны сэнс рашэння ў выглядзе плоскай хвалі заключаецца ў наступным. Выберам вось {\displaystyle z\ } дэкартавай сістэмы каардынат так, каб вектар {\displaystyle \mathbf {n} } быў накіраваны ўздоўж яе. Тады электрычныя і магнітныя палі хвалі залежаць ад каардынаты {\displaystyle z\ } і часу {\displaystyle t\ } наступным чынам:

{\displaystyle \mathbf {E} (z,t)=\mathbf {E} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}t{\Bigr )},~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (z,t)=\mathbf {B} {\Bigl (}z-{\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}t{\Bigr )},}

Дапусцім, што ў пачатковы момант часу {\displaystyle t=0\ } напружанасць поля з'яўляецца адвольнай вектарнай функцыяй {\displaystyle z\ }. З цягам часу гэта функцыя будзе зрушвацца ў прасторы ўздоўж восі {\displaystyle z\ } з хуткасцю {\displaystyle c/{\sqrt {\varepsilon \mu }}}.

У электрамагнітнай хвалі ў агульным выпадку напружанасць поля можа быць адвольнай неперыядычнай функцыяй {\displaystyle u=\mathbf {n} \mathbf {r} -ct/{\sqrt {\varepsilon \mu }}}. Напрыклад, рашэнне ў выглядзе плоскай хвалі можа апісваць электрамагнітны імпульс, лакалізаваны ўздоўж напрамку руху. У плоскасці, перпендыкулярнай {\displaystyle \mathbf {n} }, электрамагнітныя палі не змяняюцца, што азначае, што ў гэтай плоскасці плоская хваля не абмежавана і мае плоскі фазавы фронт (іменна таму хваля называецца **плоскай**). Электрычнае і магнітнае палі пры распаўсюджванні плоскай хвалі ўвесь час застаюцца перпендыкулярнымі вектару {\displaystyle \mathbf {n} }, таму такія хвалі называюць «папярочнымі» або «трансверсальнымі». Вектары {\displaystyle \mathbf {E} } і {\displaystyle \mathbf {B} }, па ўласцівасці вектарнага здабытку, таксама перпендыкулярныя адзін аднаму.

{\displaystyle \bullet } Шчыльнасці энергіі электрычнага і магнітнага поля ў плоскай хвалі роўныя адна адной:

| СГС | СІ |
| --- | --- |
| {\displaystyle w\_{E}=w\_{H}={\frac {\varepsilon }{8\pi }}\,\mathbf {E} ^{2}} | {\displaystyle w\_{E}=w\_{H}={\frac {\varepsilon \varepsilon \_{0}}{2}}\,\mathbf {E} ^{2}} |

Вектар Пойнтынга (шчыльнасць патоку энергіі), незалежна ад сістэмы адзінак, звязаны з поўнай шчыльнасцю энергіі наступным чынам:

{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}\,\mathbf {n} \,(w\_{E}+w\_{H}).}

Гэтыя суадносіны адпавядаюць ураўненням сувязі імпульсу і энергіі для бязмасавай часціцы ў рэлятывісцкай тэорыі. Аднак хуткасць {\displaystyle c/{\sqrt {\varepsilon \mu }}} ў асяроддзі меншая, чым хуткасць святла ў вакууме {\displaystyle c\,}.

Цыркулярна і лінейна палярызаваная плоская электрамагнітная хваля
Плоскія і папярочныя хвалі з'яўляюцца матэматычнымі абстракцыямі. Рэальныя хвалі канечнай апертуры з-за эфекту дыфракцыі можна лічыць плоскімі і папярочнымі толькі ў некаторым прыбліжэнні.

{\displaystyle \bullet } Важны асобны выпадак рашэння ў выглядзе плоскіх хваль узнікае, калі напружанасці палёў з'яўляюцца гарманічнымі перыядычнымі функцыямі. Выберам каардынатную вось {\displaystyle z\,}, уздоўж хвалевага вектара {\displaystyle \mathbf {k} }. Тады вектар электрычнага поля (як, зрэшты, і магнітнага) будзе ляжаць у плоскасці {\displaystyle (x,y)\,}, г. зн. {\displaystyle \mathbf {E} =(E\_{x},E\_{y},0)}. Калі па кожнай праекцыі ў гэтай плоскасці электрычнае поле здзяйсняе перыядычныя ваганні, то такую ​​хвалю называюць монахраматычнай плоскай хваляй:

{\displaystyle E\_{x}=a\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi \_{1}),~~~~~~~~~~~~~~~~~~~E\_{y}=b\,\cos(\omega t-\mathbf {k} \mathbf {r} +\phi \_{2}).}

Параўнанне з агульным рашэннем для плоскай хвалі прыводзіць да наступнай сувязі паміж вектарам {\displaystyle \mathbf {k} } і канстантай {\displaystyle \omega \,}, якая называецца ўраўненнем дысперсіі:

{\displaystyle \mathbf {k} =\mathbf {n} \,{\frac {\sqrt {\varepsilon \mu }}{c}}\,\omega ,~~~~~~~~~~~~~\mathbf {k} ^{2}={\frac {\varepsilon \mu }{c^{2}}}\,\omega ^{2}.}

У гэтым выпадку, вектар {\displaystyle \mathbf {k} } называецца хвалевым вектарам, а {\displaystyle \omega \,} — кругавой частатой монахраматычнай электрамагнітнай хвалі. Модуль хвалевага вектара і кругавая частата звязаны з даўжынёй хвалі {\displaystyle \lambda \,} і яе частатой {\displaystyle \nu \,} наступным чынам:

{\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }},~~~~~~~~~\omega =2\pi \nu ,~~~~~~~~~~~\lambda \nu ={\frac {c}{\sqrt {\varepsilon \mu }}}.}

Канстанты {\displaystyle \phi \_{1}\,} і {\displaystyle \phi \_{2}\,} з'яўляюцца зрухамі фазы, а {\displaystyle a\,} і {\displaystyle b\,} — амплітудамі ваганняў уздоўж кожнай восі.

У фіксаванай кропцы прасторы ({\displaystyle \mathbf {k} \mathbf {r} =\mathrm {const} }) вектар электрычнага поля, у агульным выпадку, апісвае ў плоскасці {\displaystyle (x,y)\ } эліпс, таму такія хвалі называюцца эліптычна палярызаванымі. Іх асобным выпадкам з'яўляюцца хвалі, палярызаваныя па крузе. Выраджаны ў прамую эліпс адпавядае ваганням напружанасці поля ўздоўж адной прамой у плоскасці {\displaystyle (x,y)\ }. Такія хвалі называюцца лінейна палярызаванымі. Аналагічная сітуацыя з вектарам магнітнай індукцыі, які ўвесь час перпендыкулярны напружанасці электрычнага поля.

Сувязь з іншымі тэорыямі
------------------------

Ураўненні Максвела цалкам сумяшчальныя з прынцыпамі спецыяльнай тэорыі адноснасці. Яны таксама дастасавальныя пры мікраскапічным апісанні рэчыва, калі зараджаныя часціцы падпарадкоўваюцца прынцыпам квантавай механікі, а электрамагнітнае поле застаецца класічным (не квантавым). У гэтым выпадку квантавыя аб'екты (напрыклад, электроны) апісваюцца ўраўненнем Шродзінгера або ўраўненнем Дзірака, аднак патэнцыялы электрамагнітнага ўзаемадзеяння ў гэтых ураўненнях вызначаюцца класічнымі ўраўненнямі Максвела.

Тым не менш, існуюць з'явы, для апісання якіх патрэбна больш паслядоўнае аб'яднанне палявога падыходу Фарадэя — Максвелла з прынцыпамі квантавай механікі. Яно ажыццяўляецца пры дапамозе метадаў квантавай тэорыі поля ў квантавай электрадынаміцы. У гэтым выпадку форма ўраўненняў Максвела (лагранжыян) застаецца нязменнай, аднак палі становяцца аператарамі, а ўраўненні Максвелла — аператарнымі ўраўненнямі Гейзенберга. Рашэнне падобных ураўненняў прыводзіць да з'яўлення новых эфектаў, якія адсутнічаюць у класічнай тэорыі поля. Гэтыя эфекты істотныя, у прыватнасці, у наступных фізічных сітуацыях:

* Звышмоцныя палі ({\displaystyle E\sim m\_{e}^{2}c^{3}/e\hbar }≈1.32×1018 В/м, дзе {\displaystyle m\_{e}\ } — маса электрона, {\displaystyle e\ } — яго зарад, {\displaystyle \hbar } — пастаянная Планка) — работа такога поля на комптанаўскай даўжыні хвалі электрона роўная па парадку велічыні энергіі спакою электрона, што прыводзіць да самаадвольнай генерацыі электрон-пазітронных пар з вакууму (эфект Швінгера). У выніку ўзнікае эфектыўнае ўзаемадзеянне фатонаў, якое адсутнічае ў класічнай электрадынаміцы і прыводзіць да эфектыўнай змены лагранжыяна поля (напрыклад, на нізкаэнергетычнай граніцы поле апісваецца лагранжыянам Гейзенберга — Эйлера).
* Звышслабыя палі, з энергіяй {\displaystyle \sim \hbar \omega }, дзе {\displaystyle \omega \ } — частата поля (гл. формула Планка). У гэтым выпадку становяцца прыкметнымі асобныя кванты электрамагнітнага поля — фатоны.
* Для апісання эфектаў паглынання і выпускання святла атамамі і малекуламі.
* Для апісання некласічных, напрыклад, сціснутых станаў поля.
* На малых адлегласцях, параўнальных з комптанаўскай даўжынёй хвалі электрона, {\displaystyle \lambda \_{e}=\hbar /m\_{e}c} ≈ 3,86×10−13 м, калі ў выніку вакуумных эфектаў мадыфікуецца, напрыклад, закон Кулона.

Аксіяматычны падыход
--------------------

Гістарычна ўраўненні Максвела ўзніклі ў выніку абагульнення розных эксперыментальных адкрыццяў. Аднак з аксіяматычнага пункту гледжання іх можна атрымаць пры дапамозе наступнай паслядоўнасці крокаў:

* Пастуліруюцца:
	+ закон Кулона (сіла {\displaystyle \mathbf {F} }, якая дзейнічае на пробны зарад {\displaystyle q\,}, з боку нерухомага зарада {\displaystyle Q\,});
	+ інварыянтнасць зараду ў розных інерцыяльных сістэмах адліку;
	+ прынцып суперпазіцыі.
* Пры дапамозе пераўтварэнняў Лорэнца атрымліваецца значэнне для вектара сілы {\displaystyle \mathbf {F} }, якая дзейнічае на пробны зарад, з боку зарада {\displaystyle Q\,}, які раўнамерна рухаецца з хуткасцю {\displaystyle \mathbf {u} }. Атрыманае значэнне супадае з сілай Лорэнца.
* Дывергенцыя і ротар, вылічаныя ад электрычнага ({\displaystyle \mathbf {E} }) і магнітнага ({\displaystyle \mathbf {B} }) складнікаў сілы, даюць ураўненні Максвела для кропкавага зарада. З дапамогай прынцыпу суперпазіцыі яны запісваюцца для адвольнага размеркавання зарадаў і токаў. У заключэнне пастуліруецца прыдатнасць гэтых ураўненняў і да паскоранага руху зарадаў.

Другі падыход заснаваны на лагранжавым фармалізме. Пры гэтым пастуліруецца, што электрамагнітнае поле апісваецца лінейным узаемадзеяннем чатырохмернага патэнцыялу {\displaystyle A^{\alpha }\,}, з чатырох-вектарам электрычнага току {\displaystyle j^{\alpha }\,}, а свабодны лагранжыян прапарцыянальны інварыянтнай згортцы квадрата тэнзара электрамагнітнага поля {\displaystyle F^{\alpha \beta }\,}.

Як у першым, так і ў другім падыходзе лічацца ўстаноўленымі прынцыпы тэорыі адноснасці. Хоць гістарычна яна ўзнікла на аснове ўраўненняў Максвела і другога пастулата Эйнштэйна, вядомы узыходзячы да работ Ігнатоўскага, Франка і Ротэ аксіяматычны спосаб пабудовы СТА, які не выкарыстоўвае пастулата аб інварыянтнай хуткасці святла і ўраўненняў Максвела.

У абодвух аксіяматычных падыходах атрымліваюцца ўраўненні Максвела ў вакууме пры наяўнасцi свабодных зарадаў. Пашырэнне гэтых ураўненняў на электрадынаміку суцэльных асяроддзяў патрабуе далейшага прыцягнення розных мадэльных уяўленняў аб структуры рэчыва.

Адзінасць рашэнняў ураўненняў Максвела
--------------------------------------

Ураўненні Максвела з'яўляюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі ў частковых вытворных. Таму для іх рашэння неабходна задаць пачатковыя і межавыя ўмовы. Пры фіксаваных функцыях шчыльнасці зарада і току для нестацыянарных палёў рашэнне будзе адзінае. Гэты факт фармулюецца ў выглядзе тэарэмы:

> 
> Калі напружанасці электрычнага і магнітнага палёў зададзены ў пачатковы момант часу {\displaystyle t=0} у кожнай кропцы некаторай вобласці прасторы {\displaystyle v} і на працягу ўсяго часу {\displaystyle t\geq 0} зададзены тангенцыяльныя (датычныя) складнікі напружанасці электрычнага або магнітнага поля на мяжы гэтай вобласці {\displaystyle s}, то існуе адзінае рашэнне ўраўненняў Максвела.
> 
> 
> 

*Доказ*  

Няхай электрычная і магнітная індукцыі звязаны з напружанасцямі палёў пры дапамозе наступных матэрыяльных ураўненняў:

{\displaystyle \mathbf {D} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)={\hat {\mu }}(\mathbf {r} )\cdot \mathbf {H} (\mathbf {r} ,t),}

дзе {\displaystyle {\hat {\varepsilon }}(\mathbf {r} )} і {\displaystyle {\hat {\mu }}(\mathbf {r} )} — дадатна вызначаныя, сіметрычныя, стацыянарныя матрыцы. Калі пры дадзеных пачатковых і межавых умовах існуюць два розныя рашэнні, то наступныя велічыні будуць адрознівацца ад нуля:

{\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {E} \_{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {E} \_{1}(\mathbf {r} ,t),~~~~~~~~~~~~~~~~~\mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=\mathbf {H} \_{2}(\mathbf {r} ,t)-\mathbf {H} \_{1}(\mathbf {r} ,t),}

дзе індэксам пазначаны нумар рашэння. А раз пачатковыя і межавыя ўмовы зададзены (аднолькавыя для абодвух магчымых рашэнняў), то:

{\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0,~~~~~~~~~~~~~~~[\mathbf {e} \_{\tau }(\mathbf {r} ,t)\cup \mathbf {h} \_{\tau }(\mathbf {r} ,t)]{\Big |}\_{s}=0.}

Першыя суадносіны адпавядаюць пачатковым умовам, а другія — межавым умовам на паверхні {\displaystyle s}, дзе
{\displaystyle \mathbf {e} =\mathbf {e} \_{n}+\mathbf {e} \_{\tau }}. (Індэкс {\displaystyle n} — нармальны складнік да паверхні, а {\displaystyle \tau } — датычная. Аналагічна для {\displaystyle \mathbf {h} }). 
Падстаноўка функцый {\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)} і {\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)} ва ўраўненні Максвела для ротараў прыводзіць да наступных ўраўненняў:

{\displaystyle k\,\nabla \times \mathbf {e} =-{\frac {\partial ({\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}},~~~~~~~~~~~~~~~~~k\,\nabla \times \mathbf {h} ={\frac {\partial ({\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{\partial t}},}

дзе каэфіцыент {\displaystyle k} роўны {\displaystyle c} ў сістэме СГС і адзінцы ў сістэме СІ. Калі адно з рознасных палёў {\displaystyle \mathbf {e} } або {\displaystyle \mathbf {h} } роўна нулю, то ў сілу нулявых пачатковых умоў, адпаведна, з першага або другога ўраўнення вынікае роўнасць нулю нявызначанага рознаснага поля, адпаведна, {\displaystyle \mathbf {h} } або {\displaystyle \mathbf {e} }, і адзінасць ў гэтых прыватных выпадках даказаная.

Дапусцім, што не роўныя нулю абодва рознасныя палі. Калі першае ўраўненне дамножыць на {\displaystyle \mathbf {h} }, а другое на {\displaystyle \mathbf {e} }, і адняць адно ад другога, атрымаецца наступны выраз:

{\displaystyle -2k\,\nabla \cdot (\mathbf {e} \times \mathbf {h} )={\frac {\partial (\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} )}{\partial t}}+{\frac {\partial (\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )}{\partial t}}.}
Гэты выраз можна праінтэграваць па аб'ёме {\displaystyle v}, і прымяніць тэарэму Гауса:

{\displaystyle -2k\oint \_{s}[\mathbf {e} \times \mathbf {h} ]\,d\mathbf {s} ={\frac {d}{dt}}\int \_{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv.}
Тангенцыяльныя (датычныя) да паверхні {\displaystyle s} кампаненты вектараў {\displaystyle \mathbf {e} \_{\tau }} або \{\displaystyle \mathbf {h} \_{\tau }} пры любым {\displaystyle t\geq 0} роўныя нулю (межавыя ўмовы), таму роўны нулю і інтэграл па паверхні. Такім чынам:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\int \_{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.}
Атрыманыя суадносіны інтэгруюцца па часе. А раз у пачатковы момант часу {\displaystyle t=0} функцыі {\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {r} ,0)=\mathbf {h} (\mathbf {r} ,0)=0}, то канстанта інтэгравання роўная нулю, і пры любым {\displaystyle t}: 

{\displaystyle \int \_{v}(\mathbf {e} \cdot {\hat {\varepsilon }}\cdot \mathbf {e} +\mathbf {h} \cdot {\hat {\mu }}\cdot \mathbf {h} )\,dv=0.}
Падінтэгральная функцыя з'яўляецца дадатна вызначанай (заўсёды большая або роўная нулю). Інтэграл ад такой функцыі роўны нулю толькі ў тым выпадку, калі падінтэгральная функцыя тоесна роўная нулю. Такім чынам, у любы момант часу ўнутры аб'ёму {\displaystyle \mathbf {e} (\mathbf {r} ,t)=0} і {\displaystyle \mathbf {h} (\mathbf {r} ,t)=0}. Таму рашэнні супадаюць.

Для адзінасці рашэння ўраўненняў Максвела замест задання тангенцыяльных кампанент поля можна патрэбаваць выканання на мяжы ўмовы імпеданснага тыпу

{\displaystyle \left(\mathbf {E} \_{\tau }-Z[\mathbf {n} \times \mathbf {H} ]\right){\Big |}\_{s}=0,}
дзе імпеданс {\displaystyle Z} выбраны так, каб выключыць прыток энергіі звонку. Такая ўмова дазваляе сфармуляваць тэарэму адзінасці і ў неабмежаваным выпадку, пры гэтым імпедансная ўмова ператвараецца ва ўмову выпраменьвання Зомерфельда на бесканечнасці.

Для гарманічных ў часе працэсаў адзінасць рашэння задачы без пачатковых умоў забяспечваецца як заўгодна малым паглынаннем энергіі ўнутры аб'ёму {\displaystyle v} ці яе ўцечкай праз паверхню {\displaystyle s} (якія выключаюць уласныя ваганні на рэчаісных рэзанансных частотах).

У стацыянарных задачах электрастатыкі і магнітастатыкі адзінае рашэнне для сталых палёў вызначаецца толькі межавымі ўмовамі.

Лікавае рашэнне ўраўненняў Максвела
-----------------------------------

З развіццём вылічальнай тэхнікі стала магчымым развязваць многія задачы электрадынамікі лікавымі метадамі, якія дазваляюць вызначыць размеркаванне электрамагнітнага поля пры зададзеных пачатковых і межавых умовах, выкарыстоўваючы алгарытмы, заснаваныя на ўраўненнях Максвела.

Асноўнымі метадамі з'яўляюцца праекцыйныя, у якіх рашэнне праецыруецца на які-небудзь зручны функцыянальны базіс, і дыскрэтызацыйныя — вобласць прасторы разбіваецца на мноства малых канечных абласцей.

* У праекцыйным метадзе Бубнова — Галёркіна рашэнне межавой задачы разглядаецца ў выглядзе прыбліжанага канечнага разлажэння па базісных функцыях. Пасля падстаноўкі раскладання ў зыходныя ўраўненні з улікам патрабавання артаганальнасці невязкі, якая атрымліваецца, абраным базісным функцыям атрымліваецца сістэма лінейных ураўненняў для каэфіцыентаў раскладання.

Для камп’ютарных разлікаў часцей прымяняюцца больш універсальныя дыскрэтызацыйныя метады:

* Метад канечных элементаў (FEM), які выкарыстоўваецца для рашэння шырокага класа задач, што зводзяцца да ўраўненняў ў частковых вытворных. У тэорыі электрамагнетызму часцей выкарыстоўваецца для разліку задач электрастатыкі, магнітастатыкі, распаўсюджвання хваль і квазістацыянарных з'яў. У метадзе канечных элементаў вобласць прасторы, у якой шукаецца рашэнне, разбіваецца на вялікую колькасць простых дыскрэтных элементаў, звычайна, але не абавязкова, трохвугольнай (у двухмерным выпадку) або тэтраэдрычнай формы (у трохмерным выпадку). Форма і шчыльнасць элементаў прыстасоўваюцца да патрабаванняў задачы. Паводзіны асобных элементаў разглядаюцца як вынік лінейнага ўзаемадзеяння суседніх вузлоў рашоткі разбіцця пад дзеяннем знешніх сіл і апісваюцца матрычнымі ўраўненнямі. Рашэнне задачы зводзіцца, такім чынам, да рашэння разрэджаных сістэм вялікага ліку лінейных матрычных ураўненняў. Метад рэалізаваны ў многіх камерцыйных і свабодных праграмных пакетах (гл. артыкул Метад канечных элементаў).

* Метад канечных рознасцей ў часавай вобласці (FDTD) для знаходжання часавых і спектральных залежнасцей быў распрацаваны спецыяльна для рашэння ўраўненняў Максвела, у якіх змена электрычнага і магнітнага поля ў часе залежыць ад змены, адпаведна, магнітнага і электрычнага поля ў прасторы. У рамках гэтага метаду вобласць прасторы і часавы прамежак падвяргаюцца раўнамернай дыскрэтызацыі з заданнем пачатковых умоў. Атрыманыя з ураўненняў Максвела канечна-рознасныя ўраўненні развязваюцца ў кожны наступны момант часавай сеткі, пакуль не будзе атрымана рашэнне пастаўленай задачы на ўсём патрэбным часавым прамежку.

Крыніцы
-------

1. ↑  Эрстэд Г. Х. «Вопыты, якія адносяцца да дзеяння электрычнага канфлікту на магнітную стрэлку»
2. ↑  J.-B. Biot and F. Savart, Note sur le Magnétisme de la pile de Volta. — Annales Chim. Phys. — vol. 15. — pp. 222—223 (1820)
3. ↑  *Марио Льоцци.* История физики. — М.: Мир. — С. 253-257. — 464 с.
4. ↑  *Максвелл Дж.К.* Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 349. — 687 с.
5. ↑  *Максвелл Дж.К.* Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 632. — 687 с.
6. ↑  *Максвелл Дж. К.* «О фарадеевых силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 11—88. — 687 с.
7. ↑  *Maxwell J. C.* On Faraday's Lines of Force // *Transactions of the Cambridge Philosophical Society*. — 1856. — Т. 10. — № 1. — С. 155—229.
8. 1 2 3  *Шапиро И. С.* К истории открытия уравнений Максвелла // *УФН*. — 1972. — Т. 108. — № 2. — С. 319-333.
9. ↑  Максвелл Дж. К. «О физических силовых линиях» у кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 107—177. — 687 с.
10. ↑  *Maxwell J. C.* On Physical Lines of Force // *Philosophical Magazine* : Ser. 4. — 1861,1862. — Т. 11,13. — С. 161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95.
11. ↑  Максвелл Дж. К. «Динамическая теория электромагнитного поля» ў кнізе Максвелл Дж. К. Избранные сочинения по теории электромагнитного поля. — М.: ГИТТЛ, 1952. — С. 251—316. — 687 с.
12. ↑  Maxwell J. C. (1865). "A dynamical theory of the electromagnetic field" (PDF). *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*. **155**: 459–512.
13. ↑  *Maxwell J. C.* A Treatise on Electricity And Magnetism, 1873
14. ↑  Paul J. Nahin (2002). *Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age*. JHU Press. pp. 108–112. ISBN 9780801869099.
15. ↑  Aharonov, Y; Bohm, D (1959). "Significance of electromagnetic potentials in quantum theory". *Physical Review*. **115**: 485–491. doi:10.1103/PhysRev.115.485.`{{cite journal}}`: Папярэджанні CS1: розныя назвы: authors list (link)
16. ↑  *Nahin P. J.* Oliver Heaviside: the life, work, and times of an electrical genius of the Victorian age. — JHU Press. — pp. 108—112. — ISBN 978-0-8018-6909-9
17. 1 2  *Einstein A.* Zur Elektrodynamik bewegter Körper Ann Phys. — 1905. — Bd 17. — S. 891. Пераклад на рускую мову: *Эйнштейн А.* К электродинамике движущихся тел
18. ↑  Myron Evans (2001). *Modern nonlinear optics*. John Wiley and Sons. p. 240. ISBN 9780471389316.
19. ↑  *Larmor J.* Aether and matter. — Cambridge. — 1900. — p. 162—193.
20. ↑  *Lorentz H. A.* Electromagnetic Phenomena in a System Moving with any Velocity Smaller than that of Light. — Amst. Proc. — V. 6. — P. 809; 1904. — V. 12. — P. 986.
21. ↑  *Poincare H.* Sur la dynainique de l’electron. — Comptes Rendues, Acad. Sci. — Paris. — 1905. — V. 140. — P. 1504.
22. ↑  Паули В. Теория Относительности. — М.: Наука. — С. 13-17.
23. ↑  Выключэннем сталі эксперыменты Мілера на гары Маунт Вільсан. У далейшым паўтор гэтых эксперыментаў іншымі даследчыкамі на больш дакладнай апаратуры эфекту не выявіў. Гл. Паўтарэнні вопыту Майкельсона
24. ↑  Берестецкий, В. Б. Лифшиц, Е. М. Питаевский, Л. П. Квантовая электродинамика. — Издание 4-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2002. — 720 с. — («Теоретическая физика», том IV). — ISBN 5-9221-0058-0
25. ↑  *Л. Б. Окунь.* Приложение I // Физика элементарных частиц. — М.: Наука, 1984.
26. ↑  *Д. В. Сивухин* О международной системе физических величин(руск.) // *УФН*. — 1979. — Т. 129. — № 10. — С. 335.
27. ↑  *С. Г. Каршенбойм* Фундаментальные физические константы: роль в физике и метрологии и рекомендованные значения(руск.) // *УФН*. — 2005. — Т. 175. — № 3. — С. 271.
28. ↑  Яны змяшчаюць дывергенцыі вектарных палёў, якія з'яўляюцца скалярамі.
29. ↑  Напрыклад, у правадніку звычайна прысутнічаюць носьбіты зараду як мінімум двух тыпаў рознага знака, таму сумарная шчыльнасць зараду ў правадніку можа раўняцца нулю, а ток, тым не менш, можа быць (і тады яго шчыльнасць будзе ненулявая).
30. ↑  *Болотовский Б. М.* Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — С. 43-44. — 260 с. Архівавана 27 верасня 2007.
31. ↑  O. Haviside, «On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric», Phil.Mag. S.5 **27**, p. 324, 1889.
32. ↑  Карцев В. П. «Приключения великих уравнений», М.: Знание, 1986.
33. ↑  Mohr, Peter J.; Taylor, Barry N.; Newell, David B. (2008). CODATA Recommended Values of the Fundamental Physical Constants: 2006. Rev. Mod. Phys. 80: 633—730. doi:10.1103/RevModPhys.80.633.
34. ↑  Значэнні фізічных пастаянных
35. ↑  Напрыклад, Таблицы физических величин / акад. И. К. Кикоин. — М.: Атомиздат, 1976.
36. ↑  Refractive index database
37. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 42-45. — 539 с. — 8000 экз.
38. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 112-113. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
39. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 69-76,95-96. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
40. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 34-35. — 539 с. — 8000 экз.
41. 1 2  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 215-218. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
42. ↑  *Гинзбург В. Л.* Теоретическая физика и астрофизика. — М.: Наука, 1981. — 12 с.
43. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 37-40. — 539 с. — 8000 экз.
44. ↑  *Essex E. A.* Hertz vector potentials of electromagnetic theory. — American Journal of Physics. — 45. — 1977. — 1099—1101.
45. ↑  A. Nisbet, «Hertzian electromagnetic potentials and associated gauge transformations», Proc. of the Royal Soc. of London. Ser. A. 231, #1185, 250—263, 1955.
46. ↑  *P. Debye* Der Lichtdruck auf Kugeln von beliebigem Material(ням.) // *Annalen der Physik*. — 1909. — Т. 30. — С. 57—136.
47. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 345-348. — 539 с. — 8000 экз.
48. ↑  *R. Janaswamy* A note on the {TE/TM} decomposition of electromagnetic fields in three dimensional homogeneous space(англ.) // *IEEE Transactions on Antennas and Propagation*. — 2004. — Т. 52. — С. 2474—2476.
49. ↑  *L. Silberstein* Electromagnetische Grundgleichungen in bivectorieller Behandlung(ням.) // *Annalen der Physik*. — 1907. — Т. 22.
50. 1 2  *I. Bialynicky-Birula* Photon wave function(англ.) // *Progress in Optics*. — 1996. — Т. 36. — С. 245—294.
51. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 40—42. — 539 с. — 8000 экз.
52. ↑  Тут і ніжэй выкарыстоўваюцца найбольш ужывальныя ў сучаснай літаратуры пагадненні (аб нумарацыі каардынат, сігнатуры метрыкі т.п.), якія наогул кажучы могуць быць выбраны і трохі іначай, што сустракаецца ў літаратуры.
53. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 88-90. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
54. ↑  Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 398,399. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9
55. ↑  Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 399. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9
56. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 90-91. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
57. ↑  Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 403. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9
58. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 70-73. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
59. 1 2  Müller-Kirsten H. J. W. Electrodynamics: An Introduction Including Quantum Effects. — Singapore: World Scientific, 2004. — P. 428. — 522 p. — ISBN 981-238-807-9
60. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 102. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
61. ↑  *Болибрух А. А.* Уравнения Максвелла и дифференциальные формы, МЦНМО, 2002.
62. ↑  Мизнер Ч. Торн К. Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 195,196. — 474 с.
63. ↑  Мизнер Ч. Торн К. Уилер Дж. Гравитация. — М.: Мир, 1977. — Т. 1. — С. 153-155. — 474 с.
64. ↑  Ван дер Варден Б.Л. Метод теории групп в квантовой механике, М. Едиториал УРСС, 2004, ISBN 5-354-00700-3
65. ↑  Румер Ю.Б. Спинорный анализ, М. НКТП, 104 стр.
66. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 128-130. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
67. ↑  Берклеевский курс физики. Том 2. Парселл Э. Электричество и магнетизм. — М.: Наука, 1971.
68. ↑  *Schwinger J.* On gauge invariance and vacuum polarization(англ.) // *Phys. Rev. Lett.*. — 1951. — Т. 82. — С. 664.
69. ↑  *Heisenberg W. Euler H.* Folgerungen aus der Dlracschen Theorie des Positrons(ням.) // *Z. Phys.*. — 1936. — Т. 98. — С. 714.
70. ↑  А. В. Белинский, А. С. Чиркин *Ураўненні Максвела* — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі
71. ↑  Парселл Э. Берклеевский курс физики. — М.: Наука. — Т. II. Электричество и магнетизм. — С. 149-181.
72. ↑  Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М. Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — 512 с. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7
73. ↑  *von W. v. Ignatowsky* «Einige allgemeine Bemerkungen zum Relativitätsprinzip» Verh. d. Deutsch. Phys. Ges. 12, 788-96, 1910 (рускі пераклад Архівавана 2 ліпеня 2017.)
74. ↑  *von Philipp Frank* und *Hermann Rothe* «Über die Transformation der Raumzeitkoordinaten von ruhenden auf bewegte Systeme» Ann. der Physik, Ser. 4, Vol. 34, No. 5, 1911, pp. 825—855 (рускі пераклад Архівавана 29 жніўня 2014.)
75. ↑  Стрэттон Дж. А. Теория электромагнетизма. — М.-Л.: ГИТТЛ, 1948. — С. 429-430. — 539 с. — 8000 экз.
76. ↑  *Никольский В. В. Никольская Т. И.* Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 128—130
77. ↑  X. L. Zhou
«On independence, completeness of Maxwell’s equations
and uniqueness theorems in electromagnetics»
Progress In Electromagnetics Research, PIER 64, 117—134, **2006**
pdf Архівавана 2 чэрвеня 2010.
78. ↑  Chew W. C. Jin J. Michielssen E. Song J. (2001). *Fast and Efficient Algorithms in Computational Electromagnetics*. Artech House. ISBN 1-58053-152-0.`{{cite book}}`: Папярэджанні CS1: розныя назвы: authors list (link)
79. ↑  *Никольский В. В. Никольская Т. И.* Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989. — C. 416—436
80. ↑  *Сильвестер П. и Феррари Р.* Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 336 с.
81. ↑  Monk, P. (2003). *Finite Element Methods for Maxwell's Equations*. Clarendon Press, Oxford.
82. ↑  Taflove A. and Hagness S. C. (2005). *Computational Electrodynamics: The Finite-Difference Time-Domain Method*. Artech House.
83. ↑  Jin, J. (2002). *The Finite Element Method in Electromagnetics* (2nd ed.). Wiley-IEEE Press. ISBN 0-47143-818-9.

Заўвагі
-------

1. 1 2  Калі свабодныя магнітныя манаполі будуць эксперыментальна выяўлены, то ў закон Гауса для магнітнага поля трэба будзе ўвесці шчыльнасці магнітных зарадаў, а ў закон індукцыі Фарадэя — шчыльнасці іх токаў.

Гл. таксама
-----------

* Электрадынаміка
* Квантавая электрадынаміка
* Джэймс Клерк Максвел
* Тэорыя Янга — Мілса
* Закон электрамагнітнай індукцыі Фарадэя

Літаратура
----------

Лагатып ВікіцытатнікаЛагатып Вікіцытатніка У Вікікрыніцах ёсць тэксты па тэме  
**Ураўненні Максвела**

Гістарычныя публікацыі
* *Максвелл Дж. К.* Статьи и речи. — М.: Наука, 1968. — 423 с.
* *Maxwell J. C.* A dynamical theory of the electromagnetic field // *Philosophical Transactions of the Royal Society of London*. — 1865. — Т. 155. — С. 459—512.
* *Maxwell J. C.*, A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 1 — 1873 — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* *Maxwell J. C.*, A Treatise on Electricity And Magnetism — Volume 2 — 1873 — Posner Memorial Collection — Carnegie Mellon University
* *Maxwell J. C.* On Physical Lines of Force // *Philosophical Magazine* : Ser. 4. — 1861,1862. — Т. 11,13. — С. 161—175, 281—291, 338—347; 12—23, 85—95.
* *Maxwell J. C.* On Faraday's Lines of Force // *Transactions of the Cambridge Philosophical Society*. — 1856. — Т. 10. — № 1. — С. 155—229.

Гісторыя развіцця
* *Болотовский Б. М.* Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 260 с.
* *Карцев В. П.* Максвелл (Жизнь замечательных людей). — М.: Молодая гвардия, 1976. — 336 с.
* *Карцев В. П.* Приключения великих уравнений. — М. 1986. — 288 с.
* *Шапиро И. С.* К истории открытия уравнений Максвелла // *УФН*. — 1972. — Т. 108. — № 2. — С. 319-333.
* *Купер Л.* Физика для всех. т.1 = *Leon N. Cooper* An Introduction to the Meaning and Structure of Phisics, 1968,1970. — М.: Мир, 1973.

Агульныя курсы фізікі
* *Астахов А. В. Широков Ю. М.* Курс физики, Т. II, Электромагнитное поле. — М.: Наука, 1980. — 360 с.
* *Баскаков С. И.* Основы электродинамики. — М.: Сов. радио, 1973. — 248 с.
* *Калашников С. Г.* Электричество (Общий курс физики, т. 2).. — М.: Физматлит, 6-е изд. 2003. — 624 с. — ISBN 5-9221-0312-1.
* *Матвеев А. Н.* Электричество и магнетизм. — М.: Высшая школа, 1983.
* *Никольский В. В. Никольская Т. И.* Электродинамика и распространение радиоволн. М.: Наука, 1989.
* *Пеннер Д. И. Угаров В. А.* Электродинамика и специальная теория относительности. М.: Просвещение, 1980.
* *Парселл Э.* Электричество и магнетизм. Берклеевский курс физики. Том 2. М.: Наука, 1971.
* *Тоннела М. А.* Основы электромагнетизма и теории относительности. М.: ИЛ, 1962.
* *Фейнман Р. Лейтон Р. Сэндс М.* Фейнмановские лекции по физике. Том 5. Электричество и магнетизм. М.: Мир, 1965
* *Фейнман Р. Лейтон Р. Сэндс М.* Фейнмановские лекции по физике. Том 6. Электродинамика. М.: Мир, 1966

Курсы тэарэтычнай фізікі
* *Баранов А. М. Овчинников С. Г. Золотов О. А. Паклин Н. Н. Титов Л. С.* Теоретическая физика: Электродинамика. Электродинамика сплошных сред. Учебное пособие по курсу «Электродинамика и основы электродинамики сплошных сред» // СФУ, Красноярск, 2008. — 198 с.
* *Джексон Дж.* Классическая электродинамика. — М.: Мир, 1965.
* *Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М.* Теория поля (Теоретическая физика, т. II). — М.: Физматлит, 2003. — 536 с. — ISBN 5-9221-0056-4.
* *Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М.* Электродинамика сплошных сред (Теоретическая физика, т. VIII). — М.: Физматлит, 2005. — 656 с. — ISBN 5-9221-0123-4.
* *Батыгин В. В. Топтыгин И. Н.* Современная электродинамика. Часть 1. Микроскопическая теория. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 736 с. — ISBN 5-93972-492-2.
* *Топтыгин И. Н.* Современная электродинамика. Часть 2. Теория электромагнитных явлений в веществе. — М.: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2005. — 848 с. — ISBN 5-93972-493-0.
* *Тамм И. Е.* Основы теории электричества. — М.: Наука, 1989.
* *Фущич В. И. Никитин А. Г.* Симметрия уравнений Максвелла. — Киев: Наук. думка, 1983. — C. 200.
* *Болибрух А. А.* Уравнения Максвелла и дифференциальные формы. — МЦНМО, 2002.

Рашэнні ўраўненняў Максвела
* *Баландин М. Ю. Шурина Э. П.* Векторный метод конечных элементов: Учебное пособие. — Новосибирск: НГТУ, 2001. — 69 с.
* *Вайнштейн Л. А.* Электромагнитные волны. — М.: Радио и связь, 1988.
* *Вонсовский С. В.* Магнетизм. Магнитные свойства диа-, пара-, ферро-, антиферро-, и ферримагнетиков. — М.: Наука, 1971.
* *Гинзбург В. Л.* Распространение электромагнитных волн в плазме. — 2-е изд. — М.: Наука, 1967.
* *Сильвестер П. и Феррари Р.* Метод конечных элементов для радиоинженеров и инженеров-электриков. — М.: Мир, 1986. — 336 с.

Спасылкі
--------

* Уравнения Максвелла (Научный портал «Элементы большой науки»)



|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая кітайская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Вялікая савецкая (1 выд.) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 12043257h · GND: 4221398-8 · LCCN: sh85082387 · Microsoft: 59282198 · NKC: ph218895 |