Простымі словамі, **рад** або **шэраг** — упарадкаваная сума ўсіх элементаў некаторай бесканечнай паслядоўнасці. Упарадкаванасць сумы тут азначае, што складнікі ў суме ідуць у тым жа парадку, што і ў паслядоўнасці.

Няхай {\displaystyle (a\_{n})\_{n=1}^{\infty }} — лікавая паслядоўнасць. Фармальна злучыўшы ўсе яе паслядоўныя элементы знакам плюс (+), атрымаем выраз:

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}=a\_{1}+a\_{2}+\dots +a\_{n}+\dots ,}
які і называецца **лікавым радам** са складнікамі {\displaystyle a\_{1},a\_{2},\dots ,a\_{n},\dots .}

Будзем казаць, што рад

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}}
мае суму, калі існуе ліміт паслядоўнасці {\displaystyle (s\_{n})\_{n=1}^{\infty }} яго частковых сум

{\displaystyle s\_{n}=a\_{1}+a\_{2}+\dots +a\_{n}.}
Гэты ліміт

{\displaystyle s=\lim \_{n\to \infty }s\_{n}}
і называецца **сумай рада**.

Калі сума рада ёсць лік, то такі рад называецца **збежным**, а ва ўсіх астатніх выпадках — **разбежным**.

Варта адзначыць, што ў гэтых азначэннях замест лікаў можна ўзяць элементы адвольнай прасторы, у якой вызначаны аперацыі сумы і лімітавага пераходу.

У матэматычным аналізе часцей за ўсё разглядаюцца:

* лікавыя рады, элементамі (складнікамі) ў якіх з’яўляюцца лікі (рэчаісныя і камплексныя);
* функцыянальныя рады, складнікамі ў якіх з’яўляюцца розныя функцыі;

Найважнейшае пытанне даследавання радоў — гэта іх збежнасць.

Адно з галоўных дастасаванняў лікавых радоў — набліжэнне пэўных лікаў з адвольнай дакладнасцю. Так, напрыклад, набліжаныя значэнні такіх ірацыянальных лікаў, як *e* і π, можна вылічыць з дапамогай адмысловых лікавых радоў.

Азначэнне
---------

Няхай {\displaystyle \{a\_{i}\}\_{i=1}^{\infty }} — лікавая паслядоўнасць; разгледзім нароўні з дадзенай паслядоўнасцю паслядоўнасць

{\displaystyle \{s\_{k}\}\_{k=1}^{\infty },}
кожны элемент якой прадстаўляе сабой суму некаторых элементаў зыходнай паслядоўнасці. У найбольш простым выпадку выкарыстоўваюцца звычайныя частковыя сумы выгляду

{\displaystyle s\_{k}=\sum \_{i=1}^{k}a\_{i}.}
Наогул, для пазначэння рада выкарыстоўваецца знак

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{\infty }a\_{i},}
бо тут паказана зыходная паслядоўнасць элементаў рада, а таксама правіла сумавання.

У адпаведнасці з гэтым кажуць аб збежнасці лікавага рада:

* лікавы рад *збягаецца*, калі збягаецца паслядоўнасць яго частковых сум;
* лікавы рад *разбягаецца*, калі разбягаецца паслядоўнасць яго частковых сум:
* лікавы рад *збягаецца абсалютна*, калі збягаецца рад з модуляў яго складнікаў.

Калі лікавы рад збягаецца, то ліміт {\displaystyle S} паслядоўнасці яго частковых сум носіць назву сумы рада:

{\displaystyle S=\sum \_{i=1}^{\infty }a\_{i}.}

Аперацыі над радамі
-------------------

Няхай зададзены збежныя рады {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}} і {\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}}. Тады:

* іх сумай называецца рад {\displaystyle \sum (a\_{n}+b\_{n});}
* іх здабыткам па Кашы называецца рад {\displaystyle \sum c\_{n}}, дзе {\displaystyle c\_{n}=\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}b\_{n-k}.}

Калі абодва рады збягаюцца, то іх сума збягаецца, калі абодва рады збягаюцца абсалютна, то іх сума збягаецца абсалютна. Калі хоць адзін з радоў збягаецца абсалютна, то здабытак радоў збягаецца.

Крытэр абсалютнай збежнасці
---------------------------

Лікавы (рэчаісны ці камплексны) рад {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} называецца абсалютна збежным, калі збягаецца рад {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }|a\_{k}|}.

Рад {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }a\_{k}} збягаецца абсалютна тады і толькі тады, калі збягаюцца абодва дадатныя рады {\displaystyle b\_{k}} і {\displaystyle c\_{k}}, дзе {\displaystyle a\_{k}=b\_{k}-c\_{k},\left|a\_{k}\right|=b\_{k}+c\_{k},b\_{k}\geqslant 0,c\_{k}\geqslant 0,\forall k.}

Доказ.
Калі збягаецца {\displaystyle \sum \left|a\_{k}\right|,} то па прыкмеце параўнання тым больш збягаюцца {\displaystyle b\_{k}} і {\displaystyle \,c\_{k}.}
Наадварот, калі збягаюцца {\displaystyle b\_{k}} і {\displaystyle c\_{k},} то збягаецца і іх сума {\displaystyle \sum \left|a\_{k}\right|.}

Гл. таксама
-----------

* Функцыянальны рад
* Ступенны рад
* Рад Фур’е

Зноскі
------

1. ↑  Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк. 2006. — с. 124.
2. ↑  Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк. 2006. — с. 125.
3. ↑  Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк. 2006. — с. 125.

Літаратура
----------

* Зверович Э. И. Вещественный и комплексный анализ. В 6 ч. Ч. 1. — Минск: Выш. шк. 2006.
* *В. А. Зорич.* Глава III. Предел. § 1. Предел последовательности // Математический анализ, часть I. — М.: Наука, 1981. — 544 с.
* *Ю. С. Богданов — «Лекции по математическому анализу» — Часть 2 — Минск — Издательство БГУ им. В. И. Ленина — 1978.*
* Математическая энциклопедия. Т. 4 / Гл. ред. И. М. Виноградов. — М.: Советская энциклопедия, 1984. — стлб. 1063—1070.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Series (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.
* Hazewinkel, Michiel, ed (2001). "Series". *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.

| ⛭Паслядоўнасці і рады |
| --- |
| Паслядоўнасць | Лікавая паслядоўнасць • Фундаментальная паслядоўнасць • Лінейная рэкурэнтная паслядоўнасць • Лікі Фібаначы • Паслядоўнасць Баркера • Паслядоўнасць дэ Бройна |
| Рады, асноўнае | Сума рада • Рэшта рада • Умоўная збежнасць • Сячэнне рада |
| Лікавыя рады(дзеянні над лікавымі радамі) | Гарманічны рад • Знакачаргавальны рад • Рад Лейбніца • Рад Дырыхле • Рад Грандзі • 1 − 2 + 3 − 4 + … |
| Функцыянальныя рады | Рад Тэйлара • Рад Ларана • Рад Фур’е • Ступенны рад • Трыганаметрычны рад • Рад Вінера |
| Іншыя віды радоў | Рад Нэймана • Рад Пюізё |


|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Бракгаўза і Эфрона · Кругасвет · Малы Бракгаўза і Эфрона |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BNE: XX526931 · BNF: 11933261z · GND: 4049197-3 · LCCN: sh85120237 · Microsoft: 121152540 · NDL: 00567344 · NKC: ph128240 |

 |