**Арыфметы́чная прагрэ́сія** — паслядоўнасць лікаў *a*1, *a*2, *a*3, ... кожны наступны з якіх атрымліваецца з папярэдняга дадаваннем пастаяннага ліку *d*, які называецца **ро́знасцю** або **кро́кам** арыфметычнай прагрэсіі.

Ведаючы першы член арыфметычнай прагрэсіі *a*1 і яе рознасць *d*, можна паслядоўна знаходзіць астатнія элементы з дапамогай зваротнай формулы

{\displaystyle a\_{n+1}=a\_{n}+d,\qquad n=1,2,3,\dots ,}
якая вынікае з азначэння. Такім чынам, любую арыфметычную прагрэсію можна пада́ць у выглядзе

{\displaystyle a\_{1},\quad a\_{1}+d,\quad a\_{1}+2d,\quad \dots .}
Арыфметычная прагрэсія ёсць **манатоннай паслядоўнасцю**. Пры *d* > 0 яна нарастае, а пры *d* < 0 спадае. Калі *d* = 0, паслядоўнасць будзе сталай (г.зн. будзе складацца з аднолькавых членаў). Гэтыя сцверджанні вынікаюць са стасунку *a**n*+1 - *a**n* = *d*, справядлівага для членаў арыфметычнай прагрэсіі.

Уласцівасці
-----------

### Агульны член арыфметычнай прагрэсіі

Член арыфметычнай прагрэсіі з нумарам *n* можа быть вылічаны па формуле

{\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d,}
дзе *a*1 — першы член прагрэсіі, *d* — яе рознасць.

Доказ
Карыстаючыся роўнасцю {\displaystyle a\_{n+1}=a\_{n}+d} выпісваем паслядоўна некалькі членаў прагрэсіі:

{\displaystyle a\_{2}=a\_{1}+d}
{\displaystyle a\_{3}=a\_{2}+d=a\_{1}+d+d=a\_{1}+2d}
{\displaystyle a\_{4}=a\_{3}+d=a\_{1}+2d+d=a\_{1}+3d}
{\displaystyle a\_{5}=a\_{4}+d=a\_{1}+3d+d=a\_{1}+4d}
Заўважыўшы заканамернасць, выказваем здагадку, што {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d}. З дапамогай матэматычнай індукцыі пакажам, што здагадка праўдзіцца для ўсіх натуральных *n*:

**Першы крок** індукцыі {\displaystyle (n=1)} :

{\displaystyle a\_{1}=a\_{1}+(1-1)d=a\_{1}} - сцверджанне праўдзівае.

**Пераход** індукцыі:

Хай наша сцверджанне праўдзіцца пры {\displaystyle n=k}, гэта значыць {\displaystyle a\_{k}=a\_{1}+(k-1)d}. Дакажам справядлівасць сцверджання пры {\displaystyle n=k+1}:

{\displaystyle a\_{k+1}=a\_{k}+d=a\_{1}+(k-1)d+d=a\_{1}+kd}

Такім чынам, сцвержанне праўдзіцца і пры {\displaystyle n=k+1}. Гэта азначае, што {\displaystyle a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d} для ўсіх {\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

### Адметная ўласцівасць арыфметычнай прагрэсіі

Паслядоўнасць {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots } ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, калі і толькі калі для яе членаў праўдзіцца тоеснасць 

{\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{n-1}+a\_{n+1}}{2}},\qquad n\geq 2.}
Доказ
**Неабходнасць**:

Раз паслядоўнасць {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots } ёсць арыфметычнай прагрэсіяй, то для {\displaystyle n\geq 2} праўдзяцца роўнасці:

{\displaystyle a\_{n}=a\_{n-1}+d,}
{\displaystyle a\_{n}=a\_{n+1}-d.}
Складваючы гэтыя роўнасці і падзяліўшы абедзве часткі на 2, атрымоўваем {\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{n-1}+a\_{n+1}}{2}}.}

**Дастатковасць**:

Маем, што для кожнага элемента паслядоўнасці, пачынаючы з другога, праўдзіцца {\displaystyle a\_{n}={\frac {a\_{n-1}+a\_{n+1}}{2}}.} Трэба паказаць, што гэта паслядоўнасць ёсць арыфметычнай прагрэсіяй. Прывядзём гэту формулу да выгляду :{\displaystyle a\_{n+1}-a\_{n}=a\_{n}-a\_{n-1}.}

Відавочна, з апошняй роўнасці непасрэдна вынікае дастатковасць.

### Сума першых *n* членаў арыфметычнай прагрэсіі

Суму першых {\displaystyle n} элементаў арыфметычнай прагрэсіі {\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+a\_{2}+\ldots +a\_{n}} можна вылічыць па формулах

{\displaystyle S\_{n}={\frac {a\_{1}+a\_{n}}{2}}\cdot n,}
або

{\displaystyle S\_{n}={\frac {2a\_{1}+(n-1)d}{2}}\cdot n,}
дзе *a*1 — першы член прагрэсіі, *a**n* — член з нумарам *n*, *d* — рознасць прагрэсіі.

Доказ
Запішам суму двума спосабамі:

{\displaystyle {\begin{array}{ccccccccccccccc}S\_{n}&=&a\_{1}&+&a\_{2}&+&a\_{3}&+&\ldots &+&a\_{n-2}&+&a\_{n-1}&+&a\_{n},\\S\_{n}&=&a\_{n}&+&a\_{n-1}&+&a\_{n-2}&+&\ldots &+&a\_{3}&+&a\_{2}&+&a\_{1}.\end{array}}}
У другім радку тая ж сума, але складнікі ў адваротным парадку.

Цяпер складзём абедзве роўнасці, паслядоўна дадаючы ў правай частцы пары складнікаў, якія стаяць на адной вертыкалі:

{\displaystyle 2S\_{n}=(a\_{1}+a\_{n})+(a\_{2}+a\_{n-1})+(a\_{3}+a\_{n-2})+\ldots +(a\_{n-2}+a\_{3})+(a\_{n-1}+a\_{2})+(a\_{n}+a\_{1}).}
Пакажам, што ўсе складнікі (усе дужкі) атрыманай сумы роўныя між сабою. У агульным выглядзе гэтыя складнікі можна пада́ць як {\displaystyle a\_{i}+a\_{n-i+1},\ i=1,2,\ldots ,n}. Скарыстаемся формулай агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

{\displaystyle a\_{i}+a\_{n-i+1}=a\_{1}+(i-1)d+a\_{1}+(n-i+1-1)d=2a\_{1}+(n-1)d,\qquad i=1,2,\ldots ,n.}
Атрымалі, што велічыня кожнага са складнікаў не залежыць ад *i* і роўная {\displaystyle 2a\_{1}+(n-1)d}. У прыватнасці, {\displaystyle a\_{1}+a\_{n}=2a\_{1}+(n-1)d}. А раз такіх складнікаў *n*, то

{\displaystyle 2S\_{n}=(a\_{1}+a\_{n})\cdot n}
Адсюль вынікае роўнасць

{\displaystyle S\_{n}={\frac {a\_{1}+a\_{n}}{2}}\cdot n}.
Другая формула для сумы атрымліваецца падстаноўкай {\displaystyle 2a\_{1}+(n-1)d} замест {\displaystyle a\_{1}+a\_{n}}.

**Заўвага**:

Замест {\displaystyle a\_{1}+a\_{n}} у першай формуле сумы можна ўзяць любы з іншых складнікаў {\displaystyle a\_{i}+a\_{n-i+1},\ i=2,3,\ldots ,n}, бо ўсе яны роўныя між сабой.

### Сувязь паміж арыфметычнай і геаметрычнай прагрэсіямі

Няхай {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots } — арыфметычная прагрэсія з рознасцю {\displaystyle d} і лік {\displaystyle b>0}. Тады паслядоўнасць выгляду {\displaystyle b^{a\_{1}},b^{a\_{2}},b^{a\_{3}},\ldots } ёсць геаметрычнай прагрэсіяй з назоўнікам {\displaystyle b^{d}}.

Доказ
Праверым адметную ўласцівасць для ўтворанай паслядоўнасці:

{\displaystyle {\sqrt {b^{a\_{n-1}}\cdot b^{a\_{n+1}}}}=b^{a\_{n}},\qquad n\geq 2.}
Выкарыстаем выраз агульнага члена арыфметычнай прагрэсіі:

{\displaystyle {\sqrt {b^{a\_{n-1}}\cdot b^{a\_{n+1}}}}={\sqrt {b^{a\_{1}+(n-2)d}\cdot b^{a\_{1}+nd}}}={\sqrt {b^{2a\_{1}+2(n-1)d}}}={\sqrt {(b^{a\_{1}+(n-1)d})^{2}}}=b^{a\_{1}+(n-1)d}=b^{a\_{n}},\qquad n\geq 2.}
А як адметная ўласцівасць праўдзіцца, то паслядоўнасць {\displaystyle b^{a\_{1}},b^{a\_{2}},b^{a\_{3}},\ldots } ёсць геаметрычнаю прагрэсіяй. Яе назоўнік можна знайсці з роўнасці {\displaystyle q={\frac {b^{a\_{2}}}{b^{a\_{1}}}}={\frac {b^{a\_{1}+d}}{b^{a\_{1}}}}=b^{d}.}

### Збежнасць арыфметычнай прагрэсіі

Арыфметычная прагрэсія {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3},\ldots } разбягаецца пры {\displaystyle d\neq 0} і збягаецца пры {\displaystyle d=0}. Прычым

{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}={\begin{cases}+\infty ,&d>0\\-\infty ,&d<0\\a\_{1},&d=0\end{cases}}}
Доказ
Запісаўшы выраз агульнага члена і разгле́дзеўшы граніцу {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }(a\_{1}+(n-1)d)}, атрымліваем патрэбны вынік.

Арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў
--------------------------------------------

Арыфметычную прагрэсію яшчэ называюць **арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 1-га пара́дку**.

**Арыфметы́чнай паслядо́ўнасцю 2-га пара́дку** называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей сама ўтварае арыфметычную паслядоўнасць 1-га парадку (г. зн. простую арыфметычную прагрэсію). У якасці прыклада можна прывесці паслядоўнасць квадратаў натуральных лікаў:

0, 1, 4, 9, 16, 25, 36, ...
рознасці якіх утвараюць арыфметычную прагрэсію з рознасцю 2:

1, 3, 5, 7, 9, 11, ....
Падобным чынам вызначаюцца і арыфметычныя паслядоўнасці вышэйшых парадкаў. А іменна, **арыфметычнай паслядоўнасцю *k*-га парадку** называецца такая паслядоўнасць лікаў, што паслядоўнасць іх рознасцей утварае арыфметычную паслядоўнасць (*k*-1)-га парадку. У прыватнасці, паслядоўнасць *n*-ных ступеняў утварае арыфметычную паслядоўнасць *n*-га парадку.

Прыклады
--------

* Натуральны рад {\displaystyle 1,2,3,4,5,\ldots } — гэта арыфметычная прагрэсія, у якой першы элемент {\displaystyle a\_{1}=1}, а рознасць {\displaystyle d=1}.
* {\displaystyle 1,-1,-3,-5,-7} — першыя 5 членаў арыфметычнай прагрэсіі, дзе {\displaystyle a\_{1}=1} і {\displaystyle d=-2}.
* Суму першых {\displaystyle n} натуральных лікаў можна вылічыць па формуле

{\displaystyle 1+2+3+\ldots +n={\frac {n(n+1)}{2}}.}

Гл. таксама
-----------

* Геаметрычная прагрэсія

Зноскі
------

1. ↑  БЭ ў 18 т. Т. 2.
2. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.І. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі
--------

* Развязанне задач на арыфметычныя прагрэсіі