**Алгебраі́чнае лі́кавае по́ле** (ці проста **лікавае поле**) — гэта канечнае (і як вынік — алгебраічнае) пашырэнне поля рацыянальных лікаў {\displaystyle \mathbb {Q} }. Такім чынам, лікавае поле — гэта поле, якое ўтрымлівае {\displaystyle \mathbb {Q} } і з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над ім.

Лікавыя палі і, больш агульна, алгебраічныя пашырэнні поля рацыянальных лікаў з’яўляюцца асноўным аб'ектам вывучэння алгебраічнай тэорыі лікаў.

Прыклады
--------

* Найменшае і базавае лікавае поле — поле рацыянальных лікаў {\displaystyle \mathbb {Q} }.
* Гаусавы рацыянальныя лікі, якія абазначаюцца {\displaystyle \mathbb {Q} (i)}, — першы нетрывіяльны прыклад лікавага поля. Яго элементы — выразы віду

{\displaystyle a+bi,}
дзе {\displaystyle a} і {\displaystyle b} — рацыянальныя лікі, {\displaystyle i} — уяўная адзінка. Такія выразы можна складваць і перамнажаць па звычайных правілах дзеянняў з камплекснымі лікамі, і ў кожнага ненулявога элемента існуе адваротны, як гэта відаць з роўнасці
{\displaystyle (a+bi)\left({\frac {a}{a^{2}+b^{2}}}-{\frac {b}{a^{2}+b^{2}}}i\right)={\frac {(a+bi)(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}}=1.}
З гэтага вынікае, што рацыянальныя гаусавы лікі ўтвараюць поле, якое з'яўляецца двухмернаю прастораю над {\displaystyle \mathbb {Q} } (г. зн. квадратычным полем).
* Больш агульна, для любога свабоднага ад квадратаў цэлага ліку {\displaystyle d} {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} будзе квадратычным пашырэннем поля {\displaystyle \mathbb {Q} }.
* Кругавое поле {\displaystyle \mathbb {Q} (\zeta \_{n})} атрымліваецца дабаўленнем у {\displaystyle \mathbb {Q} } прымітыўнага кораня *n*-й ступені з адзінкі. Поле павінна ўтрымліваць і ўсе яго ступені (г. зн. усе карані *n*-й ступені з адзінкі), яго размернасць над {\displaystyle \mathbb {Q} } раўняецца функцыі Эйлера {\displaystyle \varphi (n)}.
* Рэчаісныя і камплексныя лікі маюць бесканечную ступень над рацыянальнымі, таму яны не з’яўляюцца лікавымі палямі. Гэта вынікае з незлічальнасці: любое лікавае поле з’яўляецца злічальным.

Кальцо цэлых лікавага поля
--------------------------

Асноўны артыкул: **Цэлы алгебраічны лік**
Паколькі лікавае поле з’яўляецца алгебраічным пашырэннем поля {\displaystyle \mathbb {Q} }, любы яго элемент з’яўляецца коранем некаторага мнагачлена з рацыянальнымі каэфіцыентамі (г. зн. з’яўляецца алгебраічным). Больш таго, кожны элемент з’яўляецца коранем мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, бо можна дамножыць усе рацыянальныя каэфіцыенты на здабытак назоўнікаў. Калі ж дадзены элемент з’яўляецца коранем некаторага прыведзенага (унітарнага) мнагачлена з цэлымі каэфіцыентамі, ён называецца цэлым элементам (ці алгебраічным цэлым лікам). Не ўсе элементы лікавага поля цэлыя: напрыклад, лёгка паказаць, што цэлыя элементы поля рацыянальных лікаў {\displaystyle \mathbb {Q} } — гэта звычайныя цэлыя лікі і толькі яны.

Можна даказаць, што сума і здабытак двух алгебраічных цэлых лікаў — ізноў алгебраічны цэлы лік, таму цэлыя элеманты ўтвараюць падкальцо лікавага поля {\displaystyle K}, якое называецца **кальцом цэлых** поля {\displaystyle K} і абазначаецца {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}}. Поле не ўтрымлівае дзельнікаў нуля і гэтая ўласцівасць наследуецца пры пераходзе да падкальца, таму кальцо цэлых цэластнае; поле дзелей кальца {\displaystyle {\mathcal {O}}\_{K}} — гэта само поле {\displaystyle K}. Кальцо цэлых любога лікавага поля валодае наступнымі трыма ўласцівасцямі: яно цэлазамкнутае, нётэрава і аднамернае. Камутатыўнае кальцо з такімі ўласцівасцямі называецца дэдэкіндавым у гонар Рыхарда Дэдэкінда.

### Раскладанне на простыя і група класаў

У адвольным дэдэкіндавым кальцы існуе адно і толькі адно раскладанне ненулявых ідэалаў у здабытак простых. Аднак не любое кальцо цэлых мае ўласцівасць фактарыяльнасці: ужо для кальца цэлых квадратычнага поля
{\displaystyle {\mathcal {O}}\_{\mathbb {Q} ({\sqrt {-5}})}=\mathbb {Z} [{\sqrt {-5}}]} раскладанне не адзінае:

{\displaystyle 6=2\cdot 3=(1+{\sqrt {-5}})(1-{\sqrt {-5}})}
Увёўшы на гэтым кальцы норму, можна паказаць, што гэтыя раскладанні сапраўды розныя, г.зн. адно нельга атрымаць з другога дамнажэннем на абарачальны элемент.

Ступень парушэння ўласцівасці фактарыяльнасці вымяраюць пры дапамозе групы класаў ідэалаў, гэтая група для кальца цэлых заўсёды канечная і яе парадак называюць лікам класаў.

Базісы лікавага поля
--------------------

### Цэлы базіс

*Цэлы базіс* лікавага поля *F* ступені *n* — гэта мноства

*B* = {*b*1, …, *bn*}
з *n* элементаў кальца цэлых поля *F*, такое што любы элемент кальца цэлых *OF* поля *F* можна толькі адным спосабам запісаць як **Z**-лінейную камбінацыю элементаў *B*; г.зн. для любога *x* з *OF* існуе адзінае раскладанне

*x* = *m*1*b*1 + … + *mnbn*,
дзе *mi* — звычайныя (рацыянальныя) цэлыя лікі. У гэтым выпадку любы элемент *F* можна запісаць як

*m*1*b*1 + … + *mnbn*,
дзе *mi* — рацыянальныя лікі. Пры такім базісе цэлыя элементы *F* вылучаюцца тою ўласцівасцю, што гэта дакладна тыя элементы, для якіх усе *mi* цэлыя.

Выкарыстоўваючы такія працэдуры як лакалізацыя і эндамарфізм Фрабеніуса, можна пабудаваць такі базіс для любога лікавага поля. Его пабудова з’яўляецца ўбудаванаю функцыяй у многіх сістэмах камп'ютарнай алгебры.

### Ступенны базіс

Няхай *F* — лікавае поле ступені *n*. Сярод усіх магчымых базісаў *F* (як **Q**-вектарнай прасторы), існуюць ступенныя базісы, г.зн. базісы віду

*Bx* = {1, *x*, *x*², …, *x**n*−1}
для некаторага *x* ∈ *F*. Згодна з тэарэмаю аб прымітыўным элеменце, такі *x* заўсёды існуе, яго называюць *прымітыўным элементам* дадзенага пашырэння.

Норма і след
------------

Асноўныя артыкулы: **Норма, тэорыя палёў** і **След, тэорыя палёў**
Алгебраічнае лікавае поле з’яўляецца канечнамернаю вектарнаю прастораю над {\displaystyle \mathbb {Q} } (абазначым яе размернасць праз {\displaystyle n}), і дамнажэнне на адвольны элемент поля з’яўляецца лінейным пераўтварэннем гэтае прасторы. Няхай {\displaystyle e\_{1},e\_{2},\ldots e\_{n}} — які-небудзь базіс поля *F*, тады пераўтварэнню {\displaystyle x\mapsto \alpha x} адпавядае матрыца {\displaystyle A=(a\_{ij})}, вызначаная ўмовай

{\displaystyle \alpha e\_{i}=\sum \_{j=1}^{n}a\_{ij}e\_{j},\quad a\_{ij}\in \mathbf {Q} .}
Элементы гэтай матрыцы залежаць ад выбару базіса, аднак ад яго не залежаць усе інварыянты матрыцы, такія як вызначнік і след. У кантэксце алгебраічных пашырэнняў, вызначнік матрыцы дамнажэння на элемент называецца **нормай** гэтага элемента (абазначаецца {\displaystyle N(x)}); след матрыцы — **следам элемента** (абазначаецца {\displaystyle {\text{Tr}}(x)}).

След элемента з’яўляецца лінейным функцыяналам на *F*:

{\displaystyle {\text{Tr}}(x+y)={\text{Tr}}(x)+{\text{Tr}}(y)} и {\displaystyle {\text{Tr}}(\lambda x)=\lambda {\text{Tr}}(x),\lambda \in \mathbb {Q} }.
Норма з’яўляецца мультыплікатыўнай і аднароднай функцыяй:

{\displaystyle N(xy)=N(x)\cdot N(y)} и {\displaystyle N(\lambda x)=\lambda ^{n}N(x),\lambda \in \mathbb {Q} .}
У якасці зыходнага базіса можна выбраць цэлы базіс[⇨], дамнажэнню на цэлы алгебраічны лік (г.зн. на элемент кальца цэлых[⇨]) у гэтым базісе будзе адпавядаць матрыца з цэлымі элементамі. Такім чынам, след і норма любога элемента кальца цэлых з’яўляюцца цэлымі лікамі.

### Прыклад выкарыстання нормы

Хай {\displaystyle d} — натуральны лік, свабодны ад квадратаў, тады {\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {d}})} — квадратычнае поле (і такім чынам, лікавае поле). Выберам у гэтым полі цэлы базіс {\displaystyle (1,{\sqrt {d}})} ({\displaystyle {\sqrt {d}}} — цэлы элемент, бо ён з’яўляецца коранем прыведзенага мнагачлена {\displaystyle x^{2}-d}). У гэтым базісе дамнажэнню на {\displaystyle a+b{\sqrt {d}}} адпавядае матрыца

{\displaystyle {\begin{pmatrix}a&db\\b&a\end{pmatrix}}}
Такім чынам, {\displaystyle N(a+b{\sqrt {d}})=a^{2}-db^{2}}. На элементах кальца {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} гэтая норма прымае цэлыя значэнні. Норма з’яўляецца гомамарфізмам мультыплікатыўнай групы {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {d}}]} на мультыплікатыўную групу {\displaystyle \mathbb {Z} }, таму норма абарачальных элементаў кальца можа быць роўная толькі {\displaystyle 1} або {\displaystyle -1}. Для таго, каб рашыць ураўненне Пеля {\displaystyle a^{2}-db^{2}=1}, дастаткова знайсці ўсе абарачальныя элементы кальца цэлых (так званыя *адзінкі кальца*) і вылучыць сярод іх тыя, што маюць норму {\displaystyle 1}. Згодна з тэарэмай Дзірыхле аб адзінках[ru], усе абарачальныя элементы дадзенага кальца з’яўляюцца ступенямі аднаго элемента (з дакладнасцю да множання на {\displaystyle -1}), таму для знаходжання ўсіх рашэнняў ураўнення Пеля дастаткова знайсці адно фундаментальнае рашэнне.

Гл. таксама
-----------

* Тэорыя Кумера

Літаратура
----------

* *Х. Кох.* Алгебраическая теория чисел. — М.: ВИНИТИ, 1990. — Т. 62. — 301 с. — (Итоги науки и техники. Серия «Современные проблемы математики. Фундаментальные направления».).
* *Чеботарев Н.Г.* Основы теории Галуа. Часть 2. — М.: Едиториал УРСС, 2004.
* *Вейль Г.* Алгебраическая теория чисел. Пер. с англ.. — М.: Едиториал УРСС, 2011.
* *Serge Lang*, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 12657307 |