*Гэты артыкул уключае апісанне тэрміна «энергія спакою».*

*Гэты артыкул уключае апісанне тэрміна «E=mc2»; гл. таксама іншыя значэнні.*

Формула на небаскробе Тайбэй 101 у час аднаго з мерапрыемстваў Сусветнага года фізікі (2005)
**Эквівале́нтнасць ма́сы і эне́ргіі** — фізічная канцэпцыя тэорыі адноснасці, згодна з якою поўная энергія фізічнага аб'екта (фізічнай сістэмы, цела) роўная яго (яе) масе, дамножанай на размерны множнік квадрата хуткасці святла ў вакууме:

{\displaystyle E=mc^{2},}
дзе {\displaystyle E} — энергія аб'екта, {\displaystyle m} — яго маса, {\displaystyle c} — хуткасць святла ў вакууме, роўная 299 792 458 м/с.

У залежнасці ад таго, што разумеюць пад тэрмінамі «маса» і «энергія», дадзеная канцэпцыя можа быць вытлумачыць дваяка:

* з аднаго боку, канцэпцыя азначае, што маса цела (інварыянтная маса, т. зв. *маса спакою*) роўная (з дакладнасцю да пастаяннага множніка c²) энергіі, «заключанай у ім», г. зн. яго энергіі, вымеранай ці вылічанай у спадарожнай сістэме адліку (сістэме адліку спакою), так званай *энергіі спакою*, ці ў шырокім сэнсе унутранай энергіі гэтага цела,
{\displaystyle E\_{0}=mc^{2},}

дзе {\displaystyle E\_{0}} — энергія спакою цела, {\displaystyle m} — яго маса спакою;
* з другога боку, можна сцвярджать, што любому віду энергіі (не абавязкова ўнутранай) фізічнага аб'екта (не абавязкова цела) адпавядае нейкая маса; напрыклад, для любога рушачага аб'екта было ўведзена паняцце рэлятывісцкай масы, роўнай (з дакладнасцю да множніка c²) поўнай энергіі гэтага аб'екта (уключаючы кінетычную),
{\displaystyle m\_{rel}c^{2}=E,}

дзе {\displaystyle E} — поўная энергія аб'екта, {\displaystyle m\_{rel}} — яго рэлятывісцкая маса.
Першая інтэрпрэтацыя не з'яўляецца толькі асобным выпадкам другой. Хоць энергія спакою ёсць асобны выпадак энергіі, а {\displaystyle m} практычна роўная {\displaystyle m\_{rel}} у выпадку нулявой ці малой хуткасці руху цела, але {\displaystyle m} мае па-за рамкамі другой інтэрпрэтацыі свой уласны фізічны змест: гэта велічыня з'яўляецца скалярным (г. зн. выражаным адным лікам) інварыянтным (нязменным пры змене сістэмы адліку) множнікам у азначэнні 4-вектара энергіі-імпульсу, аналагічным ньютанаўскай масе і яе прамым абагульненнем, і да таго ж {\displaystyle m} з'яўляецца модулем 4-імпульсу. У дадатак, іменна {\displaystyle m} (а не {\displaystyle m\_{rel}}) з'яўляецца адзіным скалярам, які не толькі характарызуе інертныя ўласцівасці цела пры малых хуткасцях, але і праз які гэтыя ўласцівасці можна дастаткова проста запісаць для любой скорасці руху цела.

І такім чынам, {\displaystyle m} — інварыянтная маса — фізічная велічыня, якая мае самастойнае і ў многім фундаментальнейшае значэнне.

У сучаснай тэарэтычнай фізіцы канцэпцыю эквівалентнасці масы і энергіі звычайна выкарыстоўваюць у першым сэнсе. Галоўная прычына, чаму прыпісванне масы любому віду энергіі лічыцца чыста тэрміналагічна няўдалым і таму практычна выйшла з ужытку ў стандартнай навуковай тэрміналогіі, заключаецца ў поўнай сінанімічнасці паняццяў масы і энергіі пры таком падыходзе. Акрамя таго, неакуратнае выкарыстанне такога падыходу можа заблытваць і ў канчатковым выніку аказваецца неапраўданым. Такім чынам, у цяперашні час тэрмін «рэлятывісцкая маса» ў прафесійнай літаратуры практычна не сустракаецца, а калі кажуць пра масу, маюць на ўвазе інварыянтную масу. У той жа час тэрмін «рэлятывісцкая маса» ўжываецца для якасных разважанняў у прыкладных пытаннях, а таксама ў адукацыйным працэсе і ў навукова-папулярнай літаратуры. Гэты тэрмін падкрэслівае павелічэнне інертных уласцівасцей рушачага цела разам с яго энергіяй, што само па сабе цалкам змястоўна.

У найбольш універсальнай форме прынцып быў сфармулёван упершыню Альбертам Эйнштэйнам у 1905 годзе, аднак уяўленні аб сувязі энергіі і інертных уласцівасцей цела развіваліся і ў больш ранніх працах іншых даследчыкаў.

У сучаснай культуры формула *E* = *mc*2 з'яўляецца ледзь не самай вядомай з усіх фізічных формул, што абумоўліваецца яе сувяззю са страшнай магутнасцю ядзернай зброі. Акрамя таго, іменна гэта формула з'яўляецца сімвалам тэорыі адноснасці і шырока выкарыстоўваецца папулярызатарамі навукі.

Эквівалентнасць інварыянтнай масы і энергіі спакою
--------------------------------------------------

Гістарычна прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў упершыню сфармулёван у сваёй канчатковай форме пры пабудове спецыяльнае тэорыі адноснасці Альбертам Эйнштэйнам. Ён паказаў, што для свабодна рушачай часціцы, а таксама свабоднага цела і ўвогуле любой замкнёнай сістэмы часціц, справядлівы наступныя суадносіны:

{\displaystyle \ E^{2}-{\vec {p}}^{\,2}c^{2}=m^{2}c^{4},\qquad {\vec {p}}={\frac {E{\vec {v}}}{c^{2}}},}
дзе {\displaystyle E}, {\displaystyle {\vec {p}}}, {\displaystyle {\vec {v}}}, {\displaystyle m} — энергія, імпульс, хуткасць і інварыянтная маса сістэмы ці часціцы, адпаведна, {\displaystyle c} — хуткасць святла ў вакууме. З гэтых выразаў відаць, што ў рэлятывісцкай механіцы, нават калі хуткасць і імпульс цела (масіўнага аб'екта) становяцца нулявымі, яго энергія застаецца ненулявою, застаючыся роўнаю некаторай велічыні, якая вызначаецца масай цела:

{\displaystyle E\_{0}=mc^{2}.}
Гэта велічыня называецца энергіяй спакою, і гэты выраз устанаўлівае эквівалентнасць масы цела гэтай энергіі. На аснове гэтага факта Эйнштэйн зрабіў вывад, што маса цела з'яўляецца адною з форм энергіі, і што тым самым законы захавання масы і энергіі аб'яднаны ў адзін закон захавання.

Энергія і імпульс цела з'яўляюцца кампанентамі 4-вектара энергіі-імпульсу (чатырохімпульсу) (энергія — часавай, імпульс — прасторавымі) і адпаведным чынам пераўтвараюцца пры пераходзе з аднае сістэмы адліку ў другую, а маса цела з'яўляецца лорэнц-інварыянтам, астаючыся пры пераходзе ў іншыя сістэмы адліку нязменнай, і мае сэнс модуля вектара чатырохімпульсу.

Варта таксама адзначыць, што няглядзячы на тое, што энергія і імпульс часціц адытыўныя, г. зн. для сістэмы часціц маем:

{\displaystyle \ E=\sum \_{i}E\_{i}\,,\qquad {\vec {p}}=\sum \_{i}{\vec {p}}\_{i}\,,}
маса часціц адытыўнаю не з'яўляецца, г. зн. маса сістэмы часціц, у агульным выпадку, не роўная суме мас часціц, з якіх яна складаецца.

Такім чынам, энергія (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу) і маса (інварыянтны, неадытыўны модуль чатырохімпульсу) — гэта дзве розныя фізічныя велічыні.

Эквівалентнасць інварыянтнай масы і энергіі спакою азначае, што ў сістэме адліку, у якой свабоднае цела знаходзіцца ў спакоі (уласнай), яго энергія (з дакладнасцю да множніка {\displaystyle \!c^{2}}) роўная яго інварыянтнай масе.

Чатырохімпульс ровен здабытку інварыянтнай масы на 4-хуткасць цела.

{\displaystyle p^{\mu }=m\,U^{\mu }\!,}
У спецыяльнай тэорыі адноснасці гэтыя суадносіны з'яўляюцца адпаведнікам класічнага азначэння імпульсу праз масу і хуткасць.

Паняцце рэлятывісцкай масы
--------------------------

Пасля таго, як Эйнштэйн прапанаваў прынцып эквівалентнасці масы і энергіі, стала відавочна, што паняцце масы можа вытлумачвацца дваяка. З аднаго боку, гэта інварыянтная маса, якая — іменна дзякуючы інварыянтасці — супадае з той масай, што фігуруе ў класічнай фізіцы, з другога — можна ўвесці так званую *рэлятывісцкую масу*, эквівалентную поўнай (уключаючы кінетычную) энергіі фізічнага аб'екта:

{\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }={\frac {E}{c^{2}}},}.
дзе {\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }} — рэлятывісцкая маса, {\displaystyle E} — поўная энергія аб'екта.

Для масіўнага аб'екта (цела) гэтыя дзве масы звязаны між сабою суадносінамі:

{\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }={\frac {m}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}},}
дзе {\displaystyle m} — інварыянтная («класічная») маса, {\displaystyle v} — хуткасць цела.

Энергія і рэлятывісцкая маса — гэта адна і тая ж фізічная велічыня (неінварыянтная, адытыўная, часавая кампанента чатырохімпульсу).

Эквівалентнасць рэлятывісцкай масы і энергіі азначае, што ва ўсіх сістэмах адліку энергія фізічнага аб'екта (з дакладнасцю да множніка {\displaystyle \!c^{2}}) роўная яго рэлятывісцкай масе.

Уведзеная такім чынам рэлятывісцкая маса з'яўляецца каэфіцыентам прапарцыянальнасці паміж трохмерным («класічным») імпульсам і хуткасцю цела:

{\displaystyle {\vec {p}}=m\_{\mathrm {rel} }{\vec {v}}.}
Аналагічныя суадносіны выконваюцца ў класічнай фізіцы для інварыянтнай масы, што таксама прыводзіцца як аргумент на карысць увядзення паняцця рэлятывісцкай масы. Гэта ў далейшым прывяло к тэзісу, што маса цела залежыць ад хуткасці яго руху.

У працэсе стварэння тэорыі адноснасці абмяркоўваліся паняцці падоўжнай і папярочнай масы масіўнай часціцы (цела). Няхай сіла, што дзейнічае на цела, роўная скорасці змянення рэлятывісцкага імпульсу. Тады сувязь сілы {\displaystyle {\vec {F}}} і паскарэння {\displaystyle {\vec {a}}=d{\vec {v}}/dt} істотна змяняецца ў параўнанні з класічнаю механікаю:

{\displaystyle {\vec {F}}={\frac {d{\vec {p}}}{dt}}={\frac {m{\vec {a}}}{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m{\vec {v}}\cdot ({\vec {v}}{\vec {a}})/c^{2}}{(1-v^{2}/c^{2})^{3/2}}}.}
Калі хуткасць перпендыкулярная сіле, то

{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma {\vec {a}},}
а калі паралельная, то

{\displaystyle {\vec {F}}=m\gamma ^{3}{\vec {a}},}
дзе {\displaystyle \gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}} — рэлятывісцкі множнік. Таму {\displaystyle m\gamma =m\_{\mathrm {rel} }} называюць папярочнаю масаю, а {\displaystyle m\gamma ^{3}} — падоўжнаю.

Сцвярджэнне, што маса залежыць ад хуткасці, увайшло ў многія вучэбныя курсы і дзякуючы сваёй парадаксальнасці стала шырока вядомым сярод неспецыялістаў. Аднак у сучаснай фізіцы пазбягаюць выкарыстоўваць тэрмін «рэлятывісцкая маса», ужываючы замест яго паняцце энергіі, а пад тэрмінам «маса» разумеюць інварыянтную масу (спакою). Сярод іншага, выдзяляюцца наступныя недахопы ўвядзення тэрміна «рэлятывісцкая маса»:

* неінварыянтнасць рэлятывісцкай масы адносна пераўтварэнняў Лорэнца;
* сінанімічнасць паняццяў энергія і рэлятывісцкая маса, у выніку чаго новы тэрмін аказваецца лішнім;
* наяўнасць розных па велічыні падоўжнай і папярочнай рэлятывісцкіх мас і немагчымасць лаканічнага запісу аналага другога закону Ньютана ў відзе

{\displaystyle m\_{\mathrm {rel} }{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}};}
* метадалагічныя складанасці выкладання спецыяльнай тэорыі адноснасці, наяўнасць спецыяльных правіл, калі і як трэба карыстацца паняццем «рэлятывісцкая маса», каб пазбягаць памылак;
* блытаніна ў тэрмінах «маса», «маса спакою» і «рэлятывісцкая маса»: частка крыніц проста масай называе адно, частка — другое.

Нягледзячы на названыя недахопы, паняцце рэлятывісцкай масы ўжываецца і ў вучэбнай, і ў навуковай літаратуры. Варта, праўда, адзначыць, што ў навуковых артыкулах паняцце рэлятывісцкай масы выкарыстоўваецца пераважна толькі пры якасных разважаннях як сінонім павелічэння інертнасці часціцы, рушачай з калясветлавою хуткасцю.

Гравітацыйнае ўзаемадзеянне
---------------------------

У класічнай фізіцы гравітацыйнае ўзаемадзеянне апісваецца законам сусветнага прыцягнення Ньютана, і яго велічыня вызначаецца гравітацыйнай масай цела, якая з высокай ступенню дакладнасці роўная па велічыні інертнай масе, пра якую ішла гаворка вышэй, што дазваляе казаць проста пра масу цела.

У рэлятывісцкай фізіцы гравітацыя падпарадкоўваецца законам агульнай тэорыі адноснасці, у аснове якой ляжыць прынцып эквівалентнасці, які заключаецца ў тым, што нельга адрозніць з'явы, якія адбываюцца лакальна ў гравітацыйным полі, ад аналагічных з'яў у неінерцыяльнай сістэме адліку, рушачай з паскарэннем, роўным паскарэнню свабоднага падзення ў гравітацыйным полі. Можна паказаць, што гэты прынцып эквівалентны сцвярджэнню аб роўнасці інертнай і гравітацыйнай мас.

У агульнай тэорыі адноснасці энергія іграе тую ж ролю, што і гравітацыйная маса ў класічнай тэорыі. Сапраўды, велічыня гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў гэтай тэорыі вызначаецца так званым тэнзарам энергіі-імпульсу, які абагульняе паняцце энергіі.

У найпрасцейшым выпадку кропкавай часціцы ў цэнтральна-сіметрычным гравітацыйным полі аб'екта, маса якога намнога большая за масу часціцы, сіла, што дзейнічае на часціцу, вызначаецца выразам:

{\displaystyle {\vec {F}}=-GM{\frac {E}{c^{2}}}{\frac {(1+\beta ^{2}){\vec {r}}-({\vec {r}}{\vec {\beta }}){\vec {\beta }}}{r^{3}}},}
дзе *G* — гравітацыйная пастаянная, *M* — маса цяжкага аб'екта, *E* — поўная энергія часціцы, {\displaystyle \beta =v/c,} *v* — хуткасць часціцы, {\displaystyle {\vec {r}}} — радыус-вектар, праведзены з цэнтра цяжкага аб'екта ў пункт знаходжання часціцы. З гэтага выразу відаць галоўная асаблівасць гравітацыйнага ўзаемадзеяння ў рэлятывісцкім выпадку ў параўнанні з класічнай фізікай: яно залежыць не толькі ад масы часціцы, але і ад велічыні і напрамку яе хуткасці. Апошняя акалічнасць, сярод іншага, не дазваляе ўвесці адназначным чынам нейкую эфектыўную гравітацыйную рэлятывісцкую масу, якая зводзіла б закон прыцягнення да класічнага выгляду.

Гранічны выпадак бязмасавай часціцы
-----------------------------------

Важным гранічным выпадкам з'яўляецца выпадак часціцы з масаю, роўнаю нулю. Прыкладам такой часціцы з'яўляецца фатон — часціца-пераносчык электрамагнітнага ўзаемадзеяння. З прыведзеных вышэй формул вынікае, што для такой часціцы справядлівы наступныя суадносіны:

{\displaystyle E=pc,\qquad v=c.}
Такім чынам, часціца з нулявою масаю незалежна ад сваёй энергіі заўсёды рухаецца з хуткасцю святла. Для бязмасавых часціц увядзенне паняцця «рэлятывісцкай масы» асабліва недарэчнае, бо, напрыклад, пры наяўнасці сілы ў падоўжным напрамку хуткасць часціцы пастаянная, і паскарэнне, у выніку, роўнае нулю, што патрабуе бесканечнай па велічыні эфектыўнай масы цела. У той жа час, наяўнасць папярочнай сілы прыводзіць да змянення напрамку хуткасці, і, такім чынам, «папярочная маса» фатона мае канечную велічыню.

Гэтак жа бяссэнсава для фатона ўводзіць эфектыўную гравітацыйную масу. У выпадку цэнтральна-сіметрычнага поля, разгледжанага вышэй, для фатона, падаючага вертыкальна ўніз, яна будзе роўная {\displaystyle E/c^{2}}, а для фатона, што ляціць перпендыкулярна напрамку на гравітацыйны цэнтр, — {\displaystyle 2E/c^{2}}.

Практычнае значэнне
-------------------

Формула на палубе першага авіяносца з ядзернай сілавой устаноўкай USS Enterprise 31 ліпеня 1964
Атрыманая А. Эйнштэйнам эквівалентнасць масы цела назапашанай у целе энергіі стала адным з галоўных практычна важных вынікаў спецыяльнай тэорыі адноснасці. Суадносіны {\displaystyle E\_{0}=mc^{2}} паказалі, што ў рэчыве ўтрымліваюцца велізарныя (дзякуючы квадрату хуткасці святла) запасы энергіі, якія можна выкарыстоўваць у энергетыцы і ваенных тэхналогіях.

### Колькасныя суадносіны паміж масай і энергіяй

У міжнароднай сістэме адзінак СІ адносіна энергіі і масы *E* / *m* выражаецца ў джоўлях на кілаграм, і яна лікава роўная квадрату значэння хуткасці святла *c* ў метрах у секунду:

*E* / *m* = *c*² = (299 792 458 м/с)² = 89 875 517 873 681 764 Дж/кг (≈9,0×1016 джоўляў на кілаграм).
Такім чынам, 1 грам масы эквівалентны наступным значэнням энергіі:

* 89,9 тэраджоўляў (89,9 ТДж)
* 25,0 мільёнаў кілават-гадзін (25 ГВт·г),
* 21,5 мільярдаў кілакалорый (≈21 Ткал),
* 21,5 кілатон у тратылавым эквіваленце (≈21 кт).

У ядзернай фізіцы часта прымяняецца значэнне адносіны энергіі і масы, выражанае ў мегаэлектронвольтах на атамную адзінку масы — ≈931,494 МэВ/а.а.м.

### Прыклады ўзаемаператварэння энергіі спакою і кінетычнай энергіі

Энергія спакою можа пераходзіць у кінетычную энергію часціц у выніку ядзерных і хімічных рэакцый, калі ў іх маса рэчыва, што ўступіла ў рэакцыю, большая за масу рэчыва, атрыманага ў выніку. Прыкладамі такіх рэакцый з'яўляюцца:

* Анігіляцыя пары часціца-антычасціца з утварэннем двух фатонаў. Напрыклад, пры анігіляцыі электрона і пазітрона ўтвараецца два гама-кванты, і энергія спакою пары поўнасцю пераходзіць у энергію фатонаў:

{\displaystyle e^{-}+e^{+}\rightarrow 2\gamma .}
* Тэрмаядзерная рэакцыя сінтэзу атама гелію з пратонаў і электронаў, у якой рознасць мас гелію і пратонаў пераўтвараецца ў кінетычную энергію гелію і энергію электронных нейтрына

{\displaystyle 2e^{-}+4p^{+}\rightarrow {}\_{2}^{4}\mathrm {He} +2\nu \_{e}+E\_{\mathrm {kin} }.}
* Рэакцыя дзялення ядра ўрану-235 пры сутыкненні з павольным нейтронам. Пры гэтым ядро дзеліцца на два асколкі з меншаю сумарнаю масаю з выпусканнем двух ці трох нейтронаў і выдзяленнем энергіі парадку 200 МэВ, што складае прыкладна 1 працэнт ад масы атама ўрану. Прыклад такой рэакцыі:

{\displaystyle {}\_{92}^{235}\mathrm {U} +{}\_{0}^{1}n\rightarrow {}\_{36}^{93}\mathrm {Kr} +{}\_{56}^{140}\mathrm {Ba} +3~{}\_{0}^{1}n.}
* Рэакцыя гарэння метану:

{\displaystyle \mathrm {CH} \_{4}+2\mathrm {O} \_{2}\rightarrow \mathrm {CO} \_{2}+2\mathrm {H} \_{2}\mathrm {O} .}
У гэтай рэакцыі выдзяляецца прыкладна 35,6 МДж цеплавой энергіі на кубічны метр метану, што складае прыкладна 10−10 ад яго энергіі спакою. Такім чынам, у хімічных рэакцыях пераўтварэнне энергіі спакою ў кінетычную энергію значна ніжэйшае, чым у ядзерных.

Важна адзначыць, што ў практычных прымяненнях ператварэнне энергіі спакою ў энергію выпраменьвання рэдка адбываецца са стопрацэнтнаю эфектыўнасцю. Тэарэтычна поўным ператварэннем было б сутыкненне матэрыі з антыматэрыяй, аднак у большасці выпадкаў замест выпраменьвання ўзнікаюць пабочныя прадукты і ў выніку гэтага толькі вельмі малая колькасць энергіі спакою ператвараецца ў энергію выпраменьвання.

Існуюць таксама адваротныя працэсы, якія павялічваюць энергію спакою, а значыць і масу. Напрыклад, пры награванні цела павялічваецца яго ўнутраная энергія, у выніку чаго ўзрастае маса цела. Іншы прыклад — сутыкненне часціц. У падобных рэакцыях могуць нараджацца новыя часціцы з масамі, істотна большымі, чым у зыходных. «Крыніцаю» масы такіх часціц з'яўляецца кінетычная энергія сутыкнення.

Гісторыя і пытанні прыярытэту
-----------------------------

Джозеф Джон Томсан першы паспрабаваў звязаць энергію і масу
Уяўленне аб масе, якая залежыць ад хуткасці, і аб існаванні сувязі паміж масай і энергіяй пачало фарміравацца яшчэ да з'яўлення спецыяльнай тэорыі адноснасці. Сярод іншага, у спробах узгадніць ураўненні Максвела з ураўненнямі класічнай механікі некаторыя ідеі былі прапанаваны ў артыкулах М. А. Умава, Дж. Дж. Томсана, О. Хэвісайда, Дж. Сірла  (англ.) (бел. М. Абрахама, Х. Лорэнца і А. Пуанкарэ. Аднак толькі ў А. Эйнштэйна гэта залежнасць універсальная, не звязана з эфірам і не абмежавана электрадынамікай.

Лічыцца, што ўпершыню спроба звязаць масу і энергію была зроблена ў працы Дж. Дж. Томсана, якая з'явілася ў 1881 годзе. Томсан у сваёй працы ўводзіць паняцце электрамагнітнай масы, называючы так уклад у інертную масу зараджанага цела, абумоўлены электрамагнітным полем гэтага цела.

Ідэя наяўнасці інерцыі ў электрамагнітнага поля прысутнічае таксама і ў працы О. Хэвісайда, выдадзенай у 1889 годзе. Знойдзеныя ў 1949 годзе чарнавікі яго рукапісу паказваюць, што недзе ў гэты ж час, разглядаючы задачу аб паглынанні і выпраменьванні святла, ён атрымлівае суадносіны паміж масай і энергіяй цела ў выглядзе {\displaystyle E=mc^{2}}.

У 1900 годзе А. Пуанкарэ апублікаваў працу, у якой прыйшоў к вываду, што святло як пераносчык энергіі павінна мець масу, вызначаную выразам {\displaystyle E/v^{2},} дзе *E* — энергія святла, *v* — хуткасць пераносу энергіі.

Хендрык Антон Лорэнц адзначаў залежнасць масы цела ад яго хуткасці
У працах М. Абрахама (1902 год) і Х. Лорэнца (1904 год) было ўпершыню ўстаноўлена, што, увогуле кажучы, для рушачага цела нельга ўвесці адзін каэфіцыент прапарцыянальнасці паміж яго паскарэннем і дзеючай на яго сілай. Імі былі ўведзены паняцці падоўжнай і папярочнай мас, прымененыя для апісання дынамікі часціцы, рушачай з калясветлавой хуткасцю, з дапамогаю другога закону Ньютана. Так, Лорэнц у сваёй працы пісаў:

|  |
| --- |
| 

Такім чынам, у працэсах, пры якіх ёсць паскарэнне ў напрамку руху, электрон паводзіць сябе так, як быццам ён мае масу {\displaystyle m\_{1},} а пры паскарэнні, перпендыкулярным да руху, як быццам мае масу {\displaystyle m\_{2}.} Таму велічыні {\displaystyle m\_{1}} і {\displaystyle m\_{2}} зручна называць «падоўжнаю» і «папярочнаю» электрамагнітнымі масамі.

*Арыгінальны тэкст* (англ.)  

*Hence, in phenomena in which there is an acceleration in the direction of motion, the electron behaves as if it had a mass {\displaystyle m\_{1}}, those in which the acceleration is normal to the path, as if the mass were {\displaystyle m\_{2}}. These quantities {\displaystyle m\_{1}} and {\displaystyle m\_{2}} may therefore properly be called the "longitudinal" and "transverse" electromagnetic masses of the electron*

 |

Эксперыментальна залежнасць інертных уласцівасцей цел ад іх хуткасці была паказана ў пачатку XX стагоддзя ў працах В. Кауфмана (1902 год) и А. Бухерэра  (англ.) (бел. (1908 год).

У 1904—1905 гадах Ф. Хазэнорль  (англ.) (бел. у сваёй працы прыходзіць к вываду, што наяўнасць у поласці выпраменьвання праяўляецца ў тым ліку і так, нібы маса поласці павялічылася.

Альберт Эйнштэйн сфармуляваў прынцып эквівалентнасці энергіі і масы ў найбольш агульным выглядзе
У 1905 годзе з'яўляецца адразу цэлы шэраг асноватворных прац А. Эйнштэйна, у тым ліку і праца, прысвечаная аналізу залежнасці інертных уласцівасцей цела ад яго энергіі. Сярод іншага, пры разглядзе выпускання масіўным целам дзвюх «колькасцей святла» ў гэтай працы ўпершыню ўводзіцца паняцце энергіі нерухомага цела і робіцца наступны вывад:

|  |
| --- |
| 

Маса цела ёсць мера колькасці энергіі ў гэтым целе; калі энергія змяняецца на велічыню *L*, то і маса змяняецца адпаведна на велічыню *L*/9×1020, калі энергію вымяраць у эргах, а масу — у грамах… Калі тэорыя адпавядае фактам, то выпраменьванне пераносіць інерцыю паміж выпраменьваючымі і паглынаючымі целамі

*Арыгінальны тэкст* (ням.)  

*Die Masse eines Körpers ist ein Maß für dessen Energieinhalt; ändert sich die Energie um* L*, so ändert sich die Masse in demselben Sinne um* L*/9×1020 wenn die Energie in Erg und die Masse in Grammen gemessen wird… Wenn die Theorie den Tatsachen entspricht, so überträgt die Strahlung trägheit zwischen den emittierenden und absorbierenden Körpern*

 |

У 1906 годзе Эйнштэйн упершыню гаворыць аб тым, што закон захавання масы з'яўляецца ўсяго толькі асобным выпадкам закону захавання энергіі.

У больш поўнай меры прынцып эквівалентнасці масы і энергіі быў сфармулёван Эйнштэйнам у працы 1907 года, у якой ён піша

|  |
| --- |
| 

…спрашчаючае дапушчэнне {\displaystyle \mu V^{2}=\varepsilon \_{0}} з'яўляецца адначасова выражэннем прынцыпу эквівалентнасці масы і энергіі…

*Арыгінальны тэкст* (ням.)  

*…daß die vereinfachende Festsetzung {\displaystyle \mu V^{2}=\varepsilon \_{0}} zugleich der Ausdruck des Prinzipes der Äquivalenz von Masse und Energie ist…*

 |

Пад спрашчаючым дапушчэннем тут маецца на ўвазе выбар адвольнай пастаяннай у выразе для энергіі. У больш падрабязным артыкуле, які выйшаў у тым жа годзе, Эйнштэйн заўважае, што энергія з'яўляецца таксама і мерай гравітацыйнага ўзаемадзеяння цел.

У 1911 годзе выходзіць праца Эйнштэйна, прысвечаная гравітацыйнаму ўздзеянню масіўных цел на святло. У гэтай працы Эйнштэйн прыпісаў фатону інертную і гравітацыйную масу, роўную {\displaystyle E/c^{2}}, і вывеў для велічыні адхілення светлавога праменя ў полі прыцягнення Сонца значэнне 0,83 дугавой секунды, што ў два разы менш за правільнае значэнне, атрыманае ім жа пазней на аснове развітай агульнай тэорыі адноснасці. Цікава, што тое ж самае палавіннае значэнне атрымаў І. фон Зольднер  (англ.) (бел. яшчэ ў 1804 годзе, але яго праца засталася незаўважанаю.

Эксперыментальна эквівалентнасць масы і энергіі была ўпершыню наглядна паказана ў 1933 годзе. У Парыжы Ірэн і Фрэдэрык Жаліё-Кюры зрабілі фотаздымак працэсу ператварэння кванта святла, пераносчыка энергіі, у дзве часціцы з ненулявою масаю. Прыблізна ў той жа час у Кембрыджы Джон Кокрафт і Эрнест Томас Сінтан Уолтан назіралі выдзяленне энергіі пры дзяленні атама на дзве часткі, сумарная маса якіх аказалася меншаю, чым маса зыходнага атама.

Уплыў на культуру
-----------------

З моманту адкрыцця формула {\displaystyle E=mc^{2}} стала адною з самых вядомых фізічных формул і з'яўляецца сімвалам тэорыі адноснасці. Нягледзячы на тое, што гістарычна формула была ўпершыню прапанавана не Альбертам Эйнштэйнам, цяпер яна звязваецца выключна з яго іменем, напрыклад, іменна гэта формула была выкарыстана ў якасці назвы выпушчанай у 2005 годзе тэлевізійнай біяграфіі вядомага вучонага. Вядомасці формулы садзейнічала шырока выкарыстанае папулярызатарамі навукі контрінтуітыўнае заключэнне, што маса цела павялічваецца з павелічэннем яго хуткасці. Акрамя таго, з гэтай жа формулай звязваецца магутнасць ядзернай энергіі. Так, у 1946 годзе часопіс «Time» на вокладцы адлюстраваў Эйнштэйна на фоне грыба ядзернага выбуху з формулай {\displaystyle E=mc^{2}} на ім.

* Бюст Эйнштэйна ў аўстралійскім Цэнтры навукі і тэхнікі Квестакон (англ.)Бюст Эйнштэйна ў аўстралійскім Цэнтры навукі і тэхнікі Квестакон (англ.)
* «Тэорыя адноснасці», адна з шасці скульптур у ансамблі Walk of Ideas  (ням.) (бел. у Берліне«Тэорыя адноснасці», адна з шасці скульптур у ансамблі *Walk of Ideas*  (ням.) (бел. у Берліне

Гл. таксама
-----------

* Энергія сувязі
* Дэфект масы
* Прынцып эквівалентнасці сіл гравітацыі і інерцыі
* Прынцып адноснасці Эйнштэйна

Зноскі
------

1. ↑  Паколькі гэта маса інварыянтная, яе значэнне заўсёды супадае з тым, што можна стандартным чынам вымераць у спадарожнай сістэме адліку (г. зн. у такой сістэме адліку, якая рухаецца разам з целам і адносна якой хуткасць цела ў дадзены момант нулявая, інакш кажучы, у *сістэме адліку спакою*).
2. ↑  Г. зн. з дакладнасцю да ўніверсальнай сталай, якую можна зрабіць проста роўнай адзінцы, выбраўшы адпаведную сістэму адзінак вымярэння.
3. 1 2 3  
*Einstein A.* Über das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen(ням.) // *Jahrbuch der Radioaktivität*. — 1907. — Vol. 4. — P. 411—462.
  

*Einstein A.* Berichtigung zu der Arbeit: «Uber das Relativitätsprinzip und die aus demselben gezogenen Folgerungen»(ням.) // *Jahrbuch der Radioaktivität*. — 1907. — Vol. 5. — P. 98—99.
  

рускі пераклад: *Эйнштейн А.* О принципе относительности и его следствиях // *Теория относительности. Избранные работы*. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — С. 83—135. — ISBN 5-93972-002-1.
4. 1 2 3  
*Паули В.* §41. Инерция энергии // Теория относительности / В. Л. Гинзбург и В. П. Фролов. — 3-е изд. — М.: Наука, 1991. — С. 166—169. — 328 с. — (Библиотека теоретической физики). — 17 700 экз. — ISBN 5-02-014346-4.
5. ↑  Гэтак жа, як у нерэлятывісцкай тэорыі, маса ўваходзіць як скалярны множнік у азначэнне энергіі і азначэнне імпульса.
6. ↑  Праз {\displaystyle m\_{rel}} (і хуткасць) гэтыя ўласцівасці, канечне, таксама можна запісаць, але далёка не так кампактна, сіметрычна і прыгожа; у другім жа падыходзе прыходзіцца і зусім уводзіць велічыні з некалькімі кампанентамі, напрыклад, розныя «падоўжную масу» і «папярочную масу».
7. 1 2 3 4 5  *Угаров В. А.* Глава 5.6. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
8. 1 2 3 4 5 6 7  
*Окунь Л. Б.* Понятие массы (Масса, энергия, относительность) (Методические заметки) // *УФН*. — 1989. — Т. 158. — С. 511—530.
9. ↑  Галоўным чынам блытаніна можа ўзнікаць іменна паміж масай у такім разуменні і разуменнем, якое стала стандартным, г. зн. інварыянтнай масай (за якой кароткі тэрмін замацаваўся як за велічынёй, што мае самастойн сэнс і не з'яўляецца проста сінонімам энергіі з розніцай, магчыма, толькі на пастаянны каэфіцыент).
10. ↑  Таму ў папулярнай літаратуры і цалкам апраўдана, бо там тэрмін *маса* прызваны апеляваць да фізічнай інтуіцыі праз выкарыстанне знаёмага класічнага паняцця, хоць фармальна, з пункту гледжання прафесійнай тэрміналогіі, ён тут лішні.
11. 1 2 3  
*Окунь Л. Б.* Формула Эйнштейна: E0 = mc2. «Не смеётся ли Господь Бог»? // *УФН*. — 2008. — Т. 178. — С. 541–555.
12. 1 2  *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 47—48. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
13. ↑  У нерэлятывісцкай механіцы, строга кажучы, энергія таксама не абавязана станавіцца нулявой, бо энергія вызначаецца з дакладнасцю да адвольнага складніка, аднак ніякага канкрэтнага фізічнага сэнсу гэты складнік не мае, таму выбіраюць яго звычайна так, каб энергія нерухомага цела раўнялася нулю.
14. ↑  *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 46. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
15. ↑  *Бергман П. Г.* Введение в теорию относительности = Introduction to the theory of relativity / В. Л. Гинзбург. — М.: Государственное издательство иностранной литературы, 1947. — С. 131—133. — 381 с.
16. ↑  *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Теория поля. — Издание 8-е, стереотипное. — М.: Физматлит, 2006. — С. 49. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-9221-0056-4.
17. ↑  *Barut A. O.* Electrodynamics and classical theory of fields & particles. — New York: Dover Publications, 1980. — С. 58. — 235 с. — ISBN 0-486-64038-8.
18. ↑  *Угаров В. А.* Глава 8.5. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
19. ↑  *Угаров В. А.* Дополнение IV. // Специальная теория относительности. — Москва: Наука, 1977.
20. ↑  *Фейнман Р. Лейтон Р. Сэндс М.* Глава 15. Специальная теория относительности // Фейнмановские лекции по физике. Выпуск 1. Современная наука о природе. Законы механики. Выпуск 2. Пространство. Время. Движение. — 6-е изд. — Либроком, 2009. — 440 с. — ISBN 978-5-397-00892-1.
21. ↑  см. напрыклад *Сивухин Д. В.* Общий курс физики. — М.: Наука, 1980. — Т. IV. Оптика. — С. 671—673. — 768 с.
22. ↑  *Сивухин Д. В.* Общий курс физики. — М.: Наука, 1979. — Т. I. Механика. — С. 302—308. — 520 с.
23. ↑  *В. А. Фок* Масса и энергия // *УФН*. — 1952. — В. 2. — Т. 48. — С. 161—165.
24. ↑  *В. Л. Гинзбург, Ю. Н. Ерошенко* Еще раз о принципе эквивалентности // *УФН*. — 1995. — Т. 165. — С. 205—211.
25. ↑  *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Теория поля. — Издание 7-е, исправленное. — М.: Наука, 1988. — С. 349—361. — («Теоретическая физика», том II). — ISBN 5-02-014420-7.
26. ↑  *И. Ю. Кобзарев, Л. Б. Окунь* О массе фотона // *УФН*. — 1968. — Т. 95. — С. 131—137.
27. ↑  USS Baindridge (DLGN/CGN 25) **(нявызн.)**. *NavSource Online: Cruiser Photo Archive*.  NavSource Naval History. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 27 верасня 2010.
28. ↑  *Чернин А. Д.* Формула Эйнштейна(руск.) // *Трибуна УФН*.
29. ↑  *Пайс А.* §7.2. Сентябрь 1905 г. О выражении *E* = *mc*2 // Научная деятельность и жизнь Альберта Эйнштейна. — М.: Наука, 1989. — С. 143—145. — 568 с. — 36 500 экз. — ISBN 5-02-014028-7.
30. ↑  *Thomson J. J.* On the electric and magnetic effects produced by the motion of electrified bodies(англ.) // *Philosophical Magazine*. — 1881. — Т. 11. — С. 229—249.
31. ↑  *Heaviside O.* On the Electromagnetic Effects due to the Motion of Electrification through a Dielectric(англ.) // *Philosophical Magazine*. — 1889. — Т. 27. — С. 324—339.
32. ↑  *Болотовский Б. М.* Оливер Хевисайд. — М.: Наука, 1985. — 254 с.
33. ↑  *Кларк А.* XVI. Человек до Эйнштейна // Голос через океан. — М.: Связь, 1964. — 236 с. — 20 000 экз.
34. ↑  *Poincaré H.* La théorie de Lorentz et le principe de réaction(фр.) // *Archives néerlandaises des sciences exactes et naturelles*. — 1900. — Vol. 5. — P. 252—278.
35. ↑  *Abraham M.* Prinzipien der Dynamik des Elektrons(ням.) // *Phys. Z.*. — 1902. — Vol. 4. — P. 57—63.   
*Abraham M.* Prinzipien der Dynamik des Elektrons(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1903. — Vol. 315. — P. 105—179.
36. ↑  *Lorentz H.* Electromagnetic phenomena in a system moving with any velocity smaller than that of light(англ.) // *Proceedings of the Royal Netherlands Academy of Arts and Sciences*. — 1904. — Vol. 6. — P. 809—831.
37. ↑  Кудрявцев 1971, с. 39.
38. ↑  *Kaufmann W.* Die elektromagnetische Masse des Elektrons(ням.) // *Phys. Z.*. — 1902. — Vol. 4. — P. 54—57.
39. ↑  *Bucherer A. H.* On the principle of relativity and on the electromagnetic mass of the electron. A Reply to Mr. E. Cunningham(англ.) // *Philos. Mag.*. — 1908. — Vol. 15. — P. 316—318.   
*Bucherer A. H.* Messungen an Becquerelstrahlen. Die experimentelle Bestätigung der Lorentz-Einsteinschen Theorie(ням.) // *Phys. Z.*. — 1908. — Vol. 9. — P. 755—762.
40. ↑  *Hasenöhrl F.* Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1904. — Vol. 15 [320]. — P. 344—370.   
*Hasenöhrl F.* Zur Theorie der Strahlung in bewegten Körpern. Berichtigung(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1905. — Vol. 16 [321]. — P. 589—592.
41. ↑  *Stephen Boughn* Fritz Hasenöhrl and E = mc²(англ.) // *The European Physical Journal H*. — 2013. — Vol. 38. — P. 261—278. — DOI:10.1140/epjh/e2012-30061-5 — arΧiv:1303.7162
42. ↑  *Einstein A.* Ist die Trägheit eines Körpers von seinem Energieinhalt abhängig?(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1905. — Vol. 18 [323]. — P. 639—641.
43. ↑  Кудрявцев 1971, с. 51.
44. ↑  *Einstein A.* Das Prinzip von der Erhaltung der Schwerpunktsbewegung und die Trägheit der Energie(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1906. — Vol. 20. — P. 627–633.
45. ↑  *Einstein A.* Über die vom Relativitätsprinzip geforderte Trägheit der Energie(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1907. — Vol. 23 [328]. — P. 371—384.
46. ↑  *Einstein A.* Über den Einfluss der Schwerkraft auf die Ausbreitung des Lichtes(ням.) // *Ann. Phys.*. — 1911. — Vol. 35 [340]. — P. 898—908.
47. ↑  *Einstein A.* Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie(ням.) // *Preussische Akademie der Wissenschaften, Sitzungsberichte*. — 1915. — Vol. 47. — № 2. — P. 831—839.
48. ↑  *von Soldner J.* Ueber die Ablenkung eines Lichtstrals von seiner geradlinigen Bewegung, durch die Attraktion eines Weltkörpers, an welchem er nahe vorbei geht(ням.) // *Astronomisches Jahrbuch für das Jahr*. — 1804. — P. 161—172.
49. ↑  E=mc² (англ.).  The Center for History of Physics. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 22 студзеня 2011.
50. ↑  E=mc² на сайце «*Internet Movie Database*» (англ.)
51. ↑  *Friedman A. J. Donley C. C.* Einstein as Myth and Muse. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1985. — С. 154—155. — 224 с. — ISBN 9780521267205.
52. ↑  Albert Einstein (руск.)(недаступная спасылка).  Time magazine (1 июля 1946). Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 30 студзеня 2011.

Літаратура
----------

* *Джеммер М.* Понятие массы в классической и современной физике. — М.: Прогресс, 1967. — 255 с.

* *Okun L. B.* Energy and mass in relativistic theory. — World Scientific, 2009. — 311 с.

* *Кудрявцев П. С.* Глава третья. Решение проблемы электродинамики движущихся сред // История физики. Т. III От открытия квант до квантовой механики. — М.: Просвещение, 1971. — С. 36—57. — 424 с. — 23 000 экз.

Спасылкі
--------

|  |  |
| --- | --- |
| commons: | Формула Эйнштэйна на Вікісховішчы |

* Einstein Explains the Equivalence of Energy and Matter (англ.).  Амерыканскі інстытут фізікі. — Аўдыёзапіс лекцыі Альберта Эйнштэйна, у якой ён тлумачыць прынцып эквівалентнасці масы і энергіі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 19 жніўня 2010.
* The Antimatter Calculator (англ.)(недаступная спасылка).  Edward Muller's Homepage. — Калькулятар антыматэрыі. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.
* Старонка рукапісу Эйнштэйна 1912 года з ураўненнем E=mc² (англ.)(недаступная спасылка).  Symmetry Magazine. Архівавана з першакрыніцы 25 студзеня 2012. Праверана 31 студзеня 2011.