Графік функцыі  *y* = *e**x*
**Пака́знікавая функцыя**
, **паказальная функцыя**, экспаненцыяльная функцыя — матэматычная функцыя выгляду

{\displaystyle y=e^{x}=\exp(x),}
дзе е = 2,718… — аснова натуральнага лагарыфму.

Паказнікавая (паказальная) функцыя прымае толькі дадатныя значэнні пры сапраўдных значэннях *х*. На камплекснай плоскасці яна прымае ўсе камплексныя значэнні, акрамя нуля. Графік функцыі называецца экспанентай. Адваротнай да паказнікавай (паказальнай) з’яўляецца лагарыфмічная функцыя (таму паказнікавую функцыю часам называюць **антылагары́фмам**).

У курсе матэматычнага аналізу разглядаецца паказнікавая функцыя віду

{\displaystyle f(x)=a^{x},}
дзе {\displaystyle a} — **аснова** паказнікавай функцыі,
{\displaystyle x} — **паказнік** ступені, аргумент паказнікавай функцыі.

Абсяг (вобласць) вызначэння паказнікавай функцыі ёсць мноствам усіх рэчаісных (сапраўдных) лікаў {\displaystyle \mathbb {R} }.

Звычайна прымаюць, што {\displaystyle a} — рэчаісны (сапраўдны) дадатны лік, не роўны адзінцы.

У тэорыі функцый камплекснай зменнай аснова {\displaystyle a} можа быць любым камплексным лікам, не роўным нулю і адзінцы.

Уласцівасці
-----------

### Сувязь з лагарыфмам

Няхай {\displaystyle a} — рэчаісны лік, {\displaystyle a>0} і {\displaystyle a\neq 1}.

Для любых рэчаісных {\displaystyle x} праўдзяцца наступныя дзве тоеснасці

* {\displaystyle a^{\log \_{a}x}=x}

* {\displaystyle \log \_{a}\left(a^{x}\right)=x}

*Заўвага 1*: гэтыя тоеснасці ёсць сімвальным запісам таго факту, што лагарыфм па аснове {\displaystyle a} ёсць адваротнай функцыяй для паказнікавай функцыі с той жа асновай {\displaystyle a}.

*Заўвага 2*: калі {\displaystyle a\in \mathbb {C} } і {\displaystyle x\in \mathbb {C} }, гэтыя тоеснасці справядлівыя толькі з пэўнымі абмоўкамі.

*Заўвага 3*: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя тоеснасці маюць выгляд

{\displaystyle e^{\ln x}=x,}
{\displaystyle \ln \left(e^{x}\right)=x.}
### Арыфметычныя ўласцівасці

Уласцівасці паказнікавай функцыі напрамую вынікаюць з уласцівасцей аперацыі ўзвядзення ў ступень.

* Сувязь з арыфметычным коранем: няхай {\displaystyle q} — натуральны лік, {\displaystyle p} — цэлы лік. Тады

{\displaystyle {\sqrt[{q}]{a^{p}}}=a^{\frac {p}{q}}}
* Найпрасцейшыя тоеснасці:

{\displaystyle a^{0}=1,}
{\displaystyle a^{1}=a,}
{\displaystyle {\frac {1}{a}}=a^{-1},}
{\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}.}
* Здабытак значэнняў паказнікавай функцыі ў розных пунктах

{\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}=a^{x+y}}
* Узвядзенне паказнікавай функцыі ў ступень

{\displaystyle \left(a^{x}\right)^{y}=a^{x\cdot y}}
* Здабытак паказнікавых функцый з агульным паказнікам

{\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}=(a\cdot b)^{x}}
* Паказнікавая функцыя ад лінейнай функцыі

{\displaystyle a^{k\cdot x+b}=a^{b}\cdot \left(a^{k}\right)^{x}}
*Заўвага*: гэта ўласцівасць можа быць карысная пры пабудове графікаў.

* Пераход да другой асновы

{\displaystyle a^{x}=b^{x\cdot \log \_{b}a}}
*Заўвага*: дзякуючы гэтай і папярэдняй уласцівасці, любую функцыю выгляду

{\displaystyle f(x)=c\cdot a^{k\cdot x+b},}
дзе {\displaystyle a}, {\displaystyle c}, {\displaystyle k} і {\displaystyle b} — некаторыя лікавыя сталыя,
можна прывесці да выгляду

{\displaystyle f(x)=c\_{1}\cdot e^{k\_{1}\cdot x},}
дзе, у сваю чаргу, {\displaystyle c\_{1}} і {\displaystyle k\_{1}} — іншыя лікавыя сталыя, якія залежаць ад {\displaystyle a},{\displaystyle c}, {\displaystyle k} і {\displaystyle b}.

Адсюль і вынікае, што для вывучэння любой паказнікавай функцыі дастаткова ведаць паводзіны натуральнай паказнікавай функцыі
*e**x*.

### Дыферэнцыяльныя і інтэгральныя ўласцівасці

* Вытворная паказнікавай функцыі

{\displaystyle \left(a^{x}\right)'=a^{x}\cdot (\ln a).}
* Першаісная паказнікавай функцыі

{\displaystyle \int a^{x}\,dx={\frac {a^{x}}{\ln a}}+C,}
дзе {\displaystyle C} — адвольная сталая.

*Заўвага*: для натуральнай паказнікавай функцыі гэтыя роўнасці маюць выгляд

{\displaystyle \left(e^{x}\right)'=e^{x},}
{\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C.}

Азначэнні функцыі
-----------------

У гэтым раздзеле пад паказнікавай функцыяй будзем разумець функцыю {\displaystyle f(x)=e^{x}}.

1. Як граніца:

{\displaystyle e^{x}=\lim \_{n\to \infty }\left(1+{\frac {x}{n}}\right)^{n}.}
2. Як сума бясконцага шэрагу:

{\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{x^{n} \over n!}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}+\cdots ,}
дзе сімвалам *n*! пазначаны фактарыял ліку *n*.

3. Паказнікавая функцыя {\displaystyle f(x)=e^{x}} ёсць **адзінай вымéрнай па Лебéгу функцыяй** з умовай {\displaystyle f(1)=e}, якая задавальняе функцыянальнае раўнанне

{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}
для ўсіх {\displaystyle x} і {\displaystyle y}.

  

4. Паказнікавая функцыя {\displaystyle f(x)=e^{x}} ёсць **адзінай усюды непарыўнай функцыяй**, якая задавальняе ўмову {\displaystyle f(1)=e} і функцыянальнае раўнанне

{\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y)}
для ўсіх {\displaystyle x} і {\displaystyle y}.

Формула Ойлера і сувязь з трыганаметрычнымі функцыямі
-----------------------------------------------------

Асноўны артыкул: **Формула Ойлера**
Найбольш цікавыя ўласцівасці функцыі {\displaystyle e^{x}} выяўляюцца толькі пры разглядзе гэтай функцыі на камплекснай плоскасці.

Формула Ойлера:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}

Гл. таксама
-----------

* Ступеняванне
* Лагарыфм

Зноскі
------

1. ↑  Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. ↑  Вучэбная праграма для агульнаадукацыйных устаноў з беларускай мовай навучання. Матэматыка. V—XI класы. Мн.: Нацыянальны інстытут адукацыі, 2009.
3. 1 2 3  
Энциклопедия элементарной математики / Под ред. П.С. Александрова, А.И. Маркушевича и А.Я. Хинчина. — Москва - Ленинград: ГТТИ, 1952. — Т. 3 (Функции и пределы).

Літаратура
----------

* Паказнікавая функцыя // БЭ ў 18 т. Т. 11. Мн. 2000.

Спасылкі
--------

* «Экспонента и число е: просто и понятно»  (руск.) — пераклад артыкула An Intuitive Guide To Exponential Functions & e | BetterExplained  (англ.)