**Формулы Віета** — формулы, якія выражаюць каэфіцыенты мнагачлена праз яго карані.

Гэтымі формуламі зручна карыстацца для праверкі правільнасці знаходжання каранёў мнагачлена, а таксама для састаўлення мнагачлена па зададзеных каранях.

Фармулёўка
----------

Калі {\displaystyle c\_{1},c\_{2},\ldots ,c\_{n}} — карані мнагачлена

{\displaystyle x^{n}+a\_{1}x^{n-1}+a\_{2}x^{n-2}+...+a\_{n},}
(кожны корань узяты адпаведную яго кратнасці колькасць разоў), то каэфіцыенты {\displaystyle a\_{1},\ldots ,a\_{n}} выражаюцца ў выглядзе сіметрычнага мнагачлена ад каранёў, а менавіта:

{\displaystyle {\begin{matrix}a\_{1}&=&-(c\_{1}+c\_{2}+\ldots +c\_{n}),\\a\_{2}&=&c\_{1}c\_{2}+c\_{1}c\_{3}+\ldots +c\_{1}c\_{n}+c\_{2}c\_{3}+\ldots +c\_{n-1}c\_{n},\\a\_{3}&=&-(c\_{1}c\_{2}c\_{3}+c\_{1}c\_{2}c\_{4}+\ldots +c\_{n-2}c\_{n-1}c\_{n}),\\&&\ldots \\a\_{n-1}&=&(-1)^{n-1}(c\_{1}c\_{2}\ldots c\_{n-1}+c\_{1}c\_{2}\ldots c\_{n-2}c\_{n}+\ldots +c\_{2}c\_{3}...c\_{n}),\\a\_{n}&=&(-1)^{n}c\_{1}c\_{2}\ldots c\_{n}.\end{matrix}}}
Інакш кажучы, {\displaystyle (-1)^{k}a\_{k}} роўнае суме ўсіх магчымых здабыткаў з {\displaystyle k} каранёў:

{\displaystyle a\_{k}=(-1)^{k}\sum \_{1\leq i\_{1}\leq \dots \leq i\_{k}\leq n}c\_{i\_{1}}\dots c\_{i\_{k}}.}
Калі старшы каэфіцыент мнагачлена {\displaystyle a\_{0}\neq 1}, то для прымянення формулы Віета неабходна спачатку падзяліць усе каэфіцыенты на {\displaystyle a\_{0}} (гэта не ўплывае на значэнне каранёў мнагачлена). У гэтым выпадку формулы Віета даюць выраз для адносін усіх каэфіцыентаў да старшага. З апошняй формулы Віета вынікае, што калі карані мнагачлена цэлалікавыя, то яны з'яўляюцца дзельнікамі яго свабоднага члена, які пры гэтым таксама цэлалікавы.

Доказ
-----

Доказ вынікае з роўнасці, атрыманай раскладаннем мнагачлена па каранях, улічваючы, {\displaystyle a\_{0}=1}

{\displaystyle x^{n}+a\_{1}x^{n-1}+a\_{2}x^{n-2}+...+a\_{n}=(x-c\_{1})(x-c\_{2})\cdots (x-c\_{n}).}
Прыраўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях {\displaystyle x} (тэарэма адзінасці), атрымліваем формулы Віета.

Прыклады
--------

### Квадратнае ўраўненне

Калі {\displaystyle x\_{1}} і {\displaystyle x\_{2}} — карані квадратнага ўраўнення {\displaystyle \ ax^{2}+bx+c=0} ,то

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}=-{\dfrac {b}{a}},\\x\_{1}x\_{2}={\dfrac {c}{a}}.\end{cases}}}
У асобным выпадку, калі {\displaystyle a=1} (прыведзеная форма {\displaystyle x^{2}+px+q=0}), то

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}=-p,\\x\_{1}x\_{2}=q.\end{cases}}}
### Кубічнае ўраўненне

Калі {\displaystyle x\_{1},x\_{2},x\_{3}} — карані кубічнага ўраўнення {\displaystyle p(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0,} то

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}=-{\dfrac {b}{a}},\\x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+x\_{2}x\_{3}={\dfrac {c}{a}},\\x\_{1}x\_{2}x\_{3}=-{\dfrac {d}{a}}.\end{cases}}}

Гл. таксама
-----------

* Тэарэма Безу
* Асноўная тэарэма алгебры


| ⛭Алгебраічныя ўраўненні |
| --- |
| Ураўненні па ступенях | Лінейнае ўраўненне ·  Квадратнае ўраўненне ·  Кубічнае ўраўненне ·  Ураўненне 4-й ступені ·  Ураўненне 5-й ступені ·  Ураўненне 6-й ступені ·  Ураўненне 7-й ступені |
| Іншае | Зваротнае ўраўненне  ·  Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў |
| Асноўныя паняцці | Мнагачлен  ·  Корань мнагачлена  ·  Дыскрымінант  ·  Рэзультант  ·  Сіметрычны мнагачлен |
| Тэарэмы | Тэарэма Віета  ·  Тэарэма Безу  ·  Асноўная тэарэма алгебры  ·  Тэарэма Абеля — Руфіні |