**Момант выпадковай велічыні** — лікавая характарыстыка размеркавання выпадковай велічыні.

Азначэнне
---------

Момантам парадку {\displaystyle k} выпадковай велічыні {\displaystyle X} адносна пункта {\displaystyle a\in \mathbb {R} } завецца лік

{\displaystyle \nu \_{k}(a):=\mathbb {E} [(X-a)^{k}],}
дзе {\displaystyle \mathbb {E} } — матэматычнае спадзяванне. Кажуць, што момант існуе, калі існуе матэматычнае спадзяванне ў правай частцы роўнасці. Інакш кажуць, што момант не існуе.

Калі {\displaystyle a=0} момант завецца **пачатковым**, а пры {\displaystyle a=\mathbb {E} [X]} — **цэнтральным**.

**Абсалютным** момантам завецца

{\displaystyle m\_{k}(a):=\mathbb {E} [|X-a|^{k}],}
{\displaystyle \displaystyle k}-м **фактарыяльным** момантам[en] выпадковай велічыні {\displaystyle \displaystyle X} называецца велічыня

{\displaystyle \mu \_{k}=\mathbb {E} \left[X(X-1)...(X-k+1)\right],}
калі матэматычнае спадзяванне ў правай частцы гэтай роўнасці існуе.

Для выпадковых вектараў існуе таксама паняцце **змяшанага моманта**. Велічыня {\displaystyle \mathbb {E} [X\_{1}^{k\_{1}}X\_{2}^{k\_{2}}\dots X\_{n}^{k\_{n}}]} завецца змяшаным пачатковым момантам, а {\displaystyle \mathbb {E} [(X\_{1}-\mathbb {E} [X\_{1}])^{k\_{1}}(X\_{2}-\mathbb {E} [X\_{2}])^{k\_{2}}\dots (X\_{n}-\mathbb {E} [X\_{n}])^{k\_{n}}]} — змяшаным цэнтральным момантам парадку {\displaystyle k=k\_{1}+k\_{2}+\dots k\_{n}}.

Прыклады
--------

### Матэматычнае спадзяванне

Асноўны артыкул: **Матэматычнае спадзяванне**
Першы пачатковы момант {\displaystyle \nu \_{1}(0)} ёсць матэматычным спадзяваннем выпадковай велічыні.

### Дысперсія

Асноўны артыкул: **Дысперсія выпадковай велічыні**
Другі цэнтральны момант {\displaystyle \nu \_{2}(\mathbb {E} [X])} завецца дысперсіяй выпадковай велічыні {\displaystyle X.}

Дысперсія — мінімальнае значэнне моманту другога парадку {\displaystyle \nu \_{2}(a),} якое дасягаецца ў пункце {\displaystyle a=\mathbb {E} [X]}.

Моманты другога парадку запісваюцца праз дысперсію як {\displaystyle \nu \_{2}(a)=Var(X)+(E[X]-a)^{2}.}

Уласцівасці
-----------

* Калі існуе момант {\displaystyle \displaystyle k}-га парадку, то існуюць і ўсе моманты ніжэйшых парадкаў {\displaystyle 1\leqslant k'<k}.
* У сілу лінейнасці матэматычнага спадзявання цэнтральныя моманты можна запісаць праз пачатковыя, і наадварот. Напрыклад:

{\displaystyle \displaystyle \mu \_{1}=0,}
{\displaystyle \displaystyle \mu \_{2}=\nu \_{2}-\nu \_{1}^{2},}
{\displaystyle \displaystyle \mu \_{3}=\nu \_{3}-3\nu \_{1}\nu \_{2}+2\nu \_{1}^{3},}
{\displaystyle \displaystyle \mu \_{4}=\nu \_{4}-4\nu \_{1}\nu \_{3}+6\nu \_{1}^{2}\nu \_{2}-3\nu \_{1}^{4},}
{\displaystyle \mu \_{n}=\sum \_{k=0}^{n}(-1)^{n-k}C\_{n}^{k}\nu \_{k}\nu \_{1}^{n-k},}
дзе {\displaystyle \mu \_{n}} — цэнтральны момант, а {\displaystyle \nu \_{n}} — пачатковы момант парадку {\displaystyle k}.

Крыніцы
-------

1. ↑  Звяровіч 2013, с. 128
2. ↑  Звяровіч 2013, с. 130
3. ↑  Крамер 1975, с. 196-197, 284
4. ↑  Звяровіч 2013, с. 136
5. ↑  Звяровіч 2013, с. 128-129.
6. ↑  Звяровіч 2013, с. 130
7. ↑  Звяровіч 2013, с. 129

Літаратура
----------

* *Звяровіч Э. І. Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.
* *Г. Крамер.* Математические методы статистики. — 2-е изд. — М.: Мир, 1975. — С. 196-197, 284. — 648 с.

| ⛭Статыстыка |
| --- |
| 

| Апісальная статыстыка |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Непарыўныяданыя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Каэфіцыент зруху | 
* Сярэдняе (Арыфметычнае, Геаметрычнае, Гарманічнае)
* Медыяна
* Мода

 |
| Варыяцыя | 
* Размах
* Ранг
* Сярэдняе квадратовае адхіленне
* Каэфіцыент варыяцыі
* Квантыль (Дэцыль, Адсотак/Працэнціль/Перцэнціль/Цэнціль)

 |
| Моманты | 
* Матэматычнае спадзяванне
* Дысперсія
* Асіметрыя
* Эксцэс

 |

 |
| Дыскрэтныяданыя | 
* Частата
* Табліца кантынгентнасці

 |

 |

 |
| 

| Выкарыстанне[en] |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Біястатыстыка | 
* Біяінфарматыка
* Клінічнае выпрабаванне / даследаванне
* Эпідэміялогія
* Медыцынская статыстыка

 |
| Інжынерная статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Хемаметрыка  (руск.) (бел.
* Тэхналагічная распрацоўка  (англ.) (бел.
* Імавернасны дызайн  (англ.) (бел.
* Кіраванне працэсамі  (руск.) (бел. / якасцю  (руск.) (бел.
* Тэорыя надзейнасці  (англ.) (бел.
* Ідынтыфікація сістэм  (руск.) (бел.

 |
| Сацыяльная статыстыка | 
* Актуарныя разлікі
* Перапіс насельніцтва
* Статыстыка злачыннасці  (руск.) (бел.
* Дэмаграфія
* Эканаметрыка
* Нацыянальныя рахункі  (англ.) (бел.
* Афіцыйная статыстыка  (англ.) (бел.
* Генеральная сукупнасць
* Псіхаметрыя  (руск.) (бел.

 |
| Прасторавая статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Картаграфія
* Статыстыка навакольнага асяроддзя  (англ.) (бел.
* Геаінфармацыйныя сістэмы
* Геаграфія
* Крыгінг  (руск.) (бел.

 |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая савецкая (1 выд.) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 44563069 |