Не блытаць з Адваротная велічыня.
Функцыя {\displaystyle f} і яе адваротная функцыя {\displaystyle f^{-1}}. Калі {\displaystyle f(a)=3}, то 
{\displaystyle f^{-1}(3)=a}
**Адваро́тная фу́нкцыя** — функцыя, якая абарачае вызначаную функцыю: калі функцыя *f* ад аргумента *x* дае значэнне *y*, то яе адваротная функцыя *g* ад *y* дае *x*, г. зн. *f*(*x*) = *y*, і *g*(*y*) = *x*. Коратка гэта можна запісаць так: *g*(*f*(*x*)) = *x*.

Функцыю, адваротную да функцыі *f*, звычайна абазначаюць як *f* −1.

Функцыя, для якой існуе адваротная функцыя, называецца **абарачальнаю**.

Азначэнне
---------

Функцыя {\displaystyle g:Y\to X} з'яўляецца **адваротнаю** да функцыі {\displaystyle f:X\to Y}, калі выконваюцца наступныя тоеснасці:

* {\displaystyle f(g(y))=y} для ўсіх {\displaystyle y\in Y;}
* {\displaystyle g(f(x))=x} для ўсіх {\displaystyle x\in X.}

Існаванне
---------

Каб знайсці адваротную функцыю, трэба развязаць ураўненне {\displaystyle y=f(x)} адносна {\displaystyle x}. Калі яно мае больш чым адзін корань, то функцыі, адваротнай да {\displaystyle f}, не існуе. Такім чынам, функцыя {\displaystyle f(x)} абарачальная на прамежку {\displaystyle (a,b)} тады і толькі тады, калі на гэтым прамежку яна ін'ектыўная.

Для непарыўнай функцыі {\displaystyle F(y)} выразіць {\displaystyle y} з ураўнення {\displaystyle x-F(y)=0} можна ў тым і толькі тым выпадку, калі функцыя {\displaystyle F(y)} манатонная (см. тэарэма пра няяўную функцыю). Тым не менш, непарыўную функцыю заўсёды можна абярнуць на прамежках яе манатоннасці. Напрыклад, {\displaystyle {\sqrt {x}}} з'яўляецца адваротнаю да {\displaystyle x^{2}} на {\displaystyle [0,+\infty )}, хоць на прамежку {\displaystyle (-\infty ,0]} адваротная функцыя іншая: {\displaystyle -{\sqrt {x}}}.

Прыклады
--------

* Калі {\displaystyle F:\mathbb {R} \to \mathbb {R} \_{+},\;F(x)=a^{x}}, дзе {\displaystyle a>0,} то {\displaystyle F^{-1}(x)=\log \_{a}x.}
* Калі {\displaystyle F(x)=ax+b,\;x\in \mathbb {R} }, дзе {\displaystyle a,b\in \mathbb {R} } вызначаныя пастаянныя і {\displaystyle a\neq 0}, то {\displaystyle F^{-1}(x)={\frac {x-b}{a}}.}
* Калі {\displaystyle F(x)=x^{n},x\geq 0,n\in \mathbb {Z} }, то {\displaystyle F^{-1}(x)={\sqrt[{n}]{x}}.}

Уласцівасці
-----------

* Вобласцю вызначэння {\displaystyle F^{-1}} з'яўляецца мноства {\displaystyle Y}, а вобласцю значэнняў — мноства {\displaystyle X}.
* Па азначэнню маем:

{\displaystyle y=F(x)\Leftrightarrow x=F^{-1}(y)}
ці

{\displaystyle F\left(F^{-1}(y)\right)=y,\;\forall y\in Y,}
{\displaystyle F^{-1}(F(x))=x,\;\forall x\in X,}
або карацей

{\displaystyle F\circ F^{-1}=\mathrm {id} \_{Y},}
{\displaystyle F^{-1}\circ F=\mathrm {id} \_{X},}
дзе {\displaystyle \circ } абазначае кампазіцыю функцый, а {\displaystyle \mathrm {id} \_{X},\mathrm {id} \_{Y}} — тоесныя адлюстраванні на {\displaystyle X} і {\displaystyle Y} адпаведна.

* Функцыя {\displaystyle F} з'яўляецца адваротнаю да {\displaystyle F^{-1}}:

{\displaystyle \left(F^{-1}\right)^{-1}=F}.
* Няхай {\displaystyle F:X\subset \mathbb {R} \to Y\subset \mathbb {R} } — біекцыя. Няхай {\displaystyle F^{-1}:Y\to X} яе адваротная функцыя. Тады графікі функцый {\displaystyle y=F(x)} і {\displaystyle y=F^{-1}(x)} сіметрычныя адносна прамой {\displaystyle y=x}.

Раскладанне ў ступенны рад
--------------------------

Адваротную функцыю аналітычнай функцыі можна прадставіць у выглядзе ступеннага рада:

{\displaystyle F^{-1}(y)=\sum \_{k=0}^{\infty }A\_{k}(x\_{0}){\frac {(y-f(x\_{0}))^{k}}{k!}},}
дзе каэфіцыенты {\displaystyle A\_{k}} задаюцца рэкурсіўнаю (зваротнаю) формулай:

{\displaystyle A\_{k}(x)={\begin{cases}A\_{0}(x)=x,\\A\_{n+1}(x)={\frac {A\_{n}'(x)}{F'(x)}}.\end{cases}}}

Гл. таксама
-----------

* Біектыўнае адлюстраванне
* Тэарэма Лагранжа аб абарачэнні радоў
* Адваротныя трыганаметрычныя функцыі