|  |
| --- |
|  |
| Прыклад двух ізаморфных графаў. Ізамарфізм ставіць у адпаведнасць вяршыням аднаго графа вяршыні іншага графа таго ж колеру: дзве вяршыні злучаныя рэбрам у адным графе тады і толькі тады, калі вяршыні тых жа колераў злучаныя рэбрам у іншым графе. |

**Ізамарфізм** (ад стар.-грэч.: ἴσος стар.-грэч.:  ἴσος.  — «роўны, аднолькавы, падобны» і μορφή — «форма») — гэтае вельмі агульнае паняцце, якое азначаецца па-рознаму ў розных раздзелах матэматыкі. Ізамарфізм азначаецца для мностваў, надзеленых некаторай структурай (напрыклад, для груп, кольцаў, вектарных прастор і т. д.).
У агульных рысах яго можна апісаць так: абарачальнае адлюстраванне (біекцыя) між двума мноствамі, надзеленымі структурай, называецца ізамарфізмам, калі яно захоўвае гэтую структуру.
Калі між такімі структурамі існуе ізамарфізм, то яны называюцца **ізаморфнымі.** Ізамарфізм заўжды задае дачыненне эквівалентнасці на класе такіх структур.

Так, напрыклад, два графа называюцца ізаморфнымі, калі паміж імі існуе ізамарфізм: гэта значыць вяршыням аднаго графа можна супаставіць вяршыні іншага графа, так каб злучаным вяршыням першага графа адпавядалі злучаныя вяршыні другога графа і наадварот. Іначай кажучы, два графа ізаморфны, калі яны «аднолькавыя» (з дакладнасцю да перайменавання вяршынь).

У агульным выпадку, аб’екты, паміж якімі існуе ізамарфізм, з’яўляюцца «аднолькава упарадкаванымі» у сэнсе гэтай структуры.

Іншым класічным прыкладам ізаморфных сістэм могуць служыць мноства {\displaystyle \mathbb {R} } усіх рэчаісных лікаў з акрэсленай на ім аперацыяй складання і мноства {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}} дадатніх рэчаісных лікаў з зададзенай на ім аперацыяй множання. Адлюстраванне {\displaystyle x\mapsto \exp(x)} у гэтым выпадку з’яўляецца ізамарфізмам.

Агульная алгебра
----------------

У агульнай алгебры ізамарфізмам называецца абарачальнае адлюстраванне, якое з’яўляецца гомамарфізмам. Ніжэй прыводзяцца некалькі прыкладаў.

### Групы

Няхай
{\displaystyle G}
і {\displaystyle H}  — дзве групы. Біекцыя {\displaystyle f\colon G\to H} называецца ізамарфізмам, калі для любых {\displaystyle a,\;b\in G}

{\displaystyle f(a)f(b)=f(ab)}.
Калі група з’яўляецца тапалагічнай, дадаецца умова гамеаморфнасці адпаведных тапалагічных прастор.

### Палі

Няхай {\displaystyle F\_{1}} і {\displaystyle F\_{2}}  — палі. Біекцыя {\displaystyle f\colon F\_{1}\to F\_{2}} называецца **ізамарфізмам**, калі яна захоўвае абедзве аперацыі поля, гэта значыць для любых {\displaystyle a,b\in F\_{1}} выконваецца

1. {\displaystyle f(a)+f(b)=f(a+b)},
2. {\displaystyle f(a)\cdot f(b)=f(a\cdot b)}.

**Прыклад.** Фактар-кальцо для кальца паліномаў з рэчаіснымі каэфіцыентамі {\displaystyle \mathbb {R} [x]} па модулю палінома {\displaystyle x^{2}+1} з’яўляецца полем, ізаморфным полю камплексных лікаў {\displaystyle \mathbb {C} :}

{\displaystyle \mathbb {R} [x]/(x^{2}+1)\ {\stackrel {\cong }{\longrightarrow }}\ \mathbb {C} }
Для палёў з дадатковай структурай (упарадкаваныя, тапалагічныя палі і г.д.) можа дабавіцца умова, што біекцыя захоўвае таксама гэтыя дадатковыя структуры.

Тэорыя мностваў
---------------

У тэорыі мностваў кожная біекцыя з’яўляецца ізамарфізмам.

На прыклад, два часткова упарадкаваных мноства ізаморфны, калі паміж імі ёсць біекцыя,  якая захоўвае парадак.

Ізамарфізм у тэорыі катэгорый
-----------------------------

У тэорыі катэгорый ізамарфізм гэта абарачальны марфізм, гэта значыць марфізм {\displaystyle \varphi }, для якога існуе такі марфізм {\displaystyle \varphi ^{-1}}
, што кампазіцыі {\displaystyle \varphi ^{-1}\circ \varphi } и {\displaystyle \varphi \circ \varphi ^{-1}} — тоесныя марфізмы. Азначэнні катэгорыі груп, катэгорыі кольцаў, катэгорыі вектарных прастор і іншых структур будуюцца такім чынам, што класічныя азначэнні ізамарфізма груп, кольцаў, вектарных прастор супадаюць з агульным азначэннем у катэгорыі.

Тэорыя графаў
-------------

Граф {\displaystyle G} называецца ізаморфным графу {\displaystyle H}, калі існуе біекцыя {\displaystyle f} з мноства вяршынь графа {\displaystyle G} у мноства вяршынь графа {\displaystyle H}
, якая мае наступную уласцівасць: калі ў графе {\displaystyle G} ёсць рэбра з вяршыні {\displaystyle A} у вяршыню {\displaystyle B}, то ў графе {\displaystyle H} павінна быць рэбра з вяршыні {\displaystyle f(A)} у вяршыню {\displaystyle f(B)} і наадварот — калі ў графе {\displaystyle H} ёсць рэбра з вяршыні {\displaystyle A} у вяршыню {\displaystyle B}, то ў графе {\displaystyle G} павінна быць рэбра з вяршыні {\displaystyle f^{-1}(A)}
у вяршыню {\displaystyle f^{-1}(B)}. У выпадку арыентаванага графа гэтая биекция таксама павінна захоўваць арыентацыю рэбра. У выпадку ўзважанага графа біекцыя таксама павінна захоўваць вагу рэбра.

Звязанные азначэнні
-------------------

Ізамарфізм алгебраічнай сістэмы на сябе называецца аўтамарфізмам.

Літаратура
----------

* *Ван дер Варден Б. Л.* Алгебра.(недаступная спасылка) СПб.: Лань, 2004, 624 стр. ISBN 5-8114-0552-9.