**Метад Рунгэ — Ромберга** — спосаб удакладнення прыбліжаных значэнняў функцыі, атрыманых на сетцы вузлоў з дапамогай некаторых формул. Метад дазваляе павышаць парадак дакладнасці сеткавых формул без увядзення дадатковых вузлоў і ўскладнення саміх формул.

Адно з асноўных прымяненняў — павышэнне дакладнасці сеткавых метадаў лікавага рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў.

Метад даволі агульны і не залежыць ад выгляду формул прыбліжанага вылічэння.

Асноўная ідэя:

* вылічваецца рашэнне выбраным метадам з крокам *h*;
* а затым рашэнне з крокам *r*·*h* (як правіла, у якасці *r* бярэцца цэлы лік, часцей за ўсё 2);
* на аснове гэтых рашэнняў вылічваецца ўдакладненае рашэнне (з дапамогай простых арыфметычных дзеянняў з пагрэшнасці выключаецца член найменшага парадку, г.зн. найбольшы па абсалютнай велічыні).

Апісанне метаду
---------------

Ёсць некаторая функцыя *z*(*x*), дзе *x* прымае значэнні з некаторай вобласці прасторы. Неабходна вылічыць значэнні функцыі *z*(*x*) на вузлах раўнамернай рашоткі (сеткі) ў вобласці.

Няхай ζ(*x*, *h*) — формула для прыбліжанага вылічэння функцыі *z*(*x*) на вузлах раўнамернай сеткі з крокам *h*, такая што для пагрэшнасці справядліва ацэнка:

{\displaystyle z(x)-\zeta (x,h)=\psi (x)h^{p}+O(h^{p+1}).}
Адпаведна, калі ажыццявіць разлік па формуле ζ(*x*, *h*) на раўнамернай сетцы з крокам *r*·*h*, атрымаем:

{\displaystyle z(x)-\zeta (x,rh)=\psi (x)(rh)^{p}+O((rh)^{p+1}).}
Заўважым, што *r* — некаторы пастаянны загадзя выбраны лік. Таму *O*((*rh*) *p*+1) = *O*(*h* *p*+1).

Выразім велічыню *ψ*(*x*)·*h* *p* з гэтых дзвюх роўнасцей, атрымаем *першую формулу Рунгэ*:

{\displaystyle \psi (x)h^{p}={\frac {\zeta (x,h)-\zeta (x,rh)}{r^{p}-1}}+O(h^{p+1}).}
Першы складнік справа і ёсць галоўны член пагрэшнасці. Такім чынам, разлік на другой сетцы дазваляе ацаніць пагрэшнасць разліку на першай (з дакладнасцю да членаў вышэйшых парадкаў).

Падстаўляючы знойдзеную велічыню, атрымліваем *другую формулу Рунгэ*:

{\displaystyle z(x)=\zeta (x,h)+{\frac {\zeta (x,h)-\zeta (x,rh)}{r^{p}-1}}+O(h^{p+1}),}
якае дае прыбліжэнне функцыі *z*(*x*) з большай дакладнасцю.

Такі спосаб павышэння дакладнасці называецца **метадам Рунгэ**.

Абагульненне
------------

Метад Рунгэ абагульняецца на выпадак адвольнага ліку сетак. Няхай функцыя *z*(*x*) мае дастаткова высокія непарыўныя вытворныя. Тады ў раскладаннях Тэйлара, на аснове якіх будуюцца прыбліжаныя формулы, можна браць больш членаў. Гэта дазваляе прадставіць пагрэшнасць у выглядзе рада:

{\displaystyle z(x)-\zeta (x,h)=\sum \_{m\geq p}\psi \_{m}(x)h^{m}.}
Няхай разлік праведзены на *q* розных раўнамерных сетках з крокамі *h**j* , 1 ≤ *j* ≤ *q*. Тады можна выключыць першыя *q* - 1 складнікаў пагрэшнасці. Для гэтага запішам выраз для *z*(*x*) на кожнай з сетак у наступным выглядзе:

{\displaystyle z(x)-\sum \_{m=p}^{p+q-2}\psi \_{m}(x)h\_{j}^{m}=\zeta (x,h\_{j})+O(h^{p+q-1}),\qquad 1\leq j\leq q,}
тут улічана, што *h**j* = *r**j*·*h*, дзе *r**j* — пастаянныя загадзя выбраныя лікі.

Разам гэтыя роўнасці ўтвараюць сістэму лінейных ураўненняў адносна велічынь *z*(*x*) і *ψ**m*(*x*). Развязваючы яе па правілу Крамера, атрымліваем **формулу Ромберга** для ўдакладненага значэння:

{\displaystyle z(x)=\left|{\begin{array}{ccccc}\zeta (x,h\_{1})&h\_{1}^{p}&h\_{1}^{p+1}&\dots &h\_{1}^{p+q-2}\\\zeta (x,h\_{2})&h\_{2}^{p}&h\_{2}^{p+1}&\dots &h\_{2}^{p+q-2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\\zeta (x,h\_{q})&h\_{q}^{p}&h\_{q}^{p+1}&\dots &h\_{q}^{p+q-2}\\\end{array}}\right|\times \left|{\begin{array}{ccccc}1&h\_{1}^{p}&h\_{1}^{p+1}&\dots &h\_{1}^{p+q-2}\\1&h\_{2}^{p}&h\_{2}^{p+1}&\dots &h\_{2}^{p+q-2}\\\dots &\dots &\dots &\dots &\dots \\1&h\_{q}^{p}&h\_{q}^{p+1}&\dots &h\_{q}^{p+q-2}\\\end{array}}\right|^{-1}+\ O(h^{p+q-1}).}
Гэта формула дае павышэнне парадку дакладнасці выніку на *q* - 1 у параўнанні з зыходнаю формулай ζ(*x*, *h*), г.зн. кожная наступная сетка дазваляе павысіць парадак дакладнасці на адзінку.

Зноскі
------

1. ↑  Калиткин. Численные методы. с. 75.
2. ↑  Калиткин. Численные методы. с. 75.
3. ↑  Калиткин. Численные методы. с. 76.

Літаратура
----------

* *Калиткин Н. Н.* Численные методы. — М.: Наука, 1978. Архівавана 4 сакавіка 2016.

* *Ким И. Г. Латыпова Н. В. Моторина О. Л.* Численные методы: учеб.-метод. пособие. Ч. 2.. — Ижевск: «Удмуртский университет», 2013. — 64 с.