У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Ліміт (матэматыка).
**Лімі́т фу́нкцыі** — значэнне, да якога прыбліжаецца (імкнецца) значэнне функцыі, калі яе аргумент імкнецца да некаторага пункта (магчыма, бесканечна аддаленага). Гэта адно з першасных паняццяў матэматычнага аналізу, на якім грунтуюцца асноўныя паняцці матэматычнага аналізу: непарыўнасць, вытворная, дыферэнцыял.

Аперацыя знаходжання ліміту функцыі называецца **лімітавым пераходам**.

Калі функцыя *f*(*x*) мае ліміт *A* ў пункце *a*, гэта абазначаецца наступным чынам:

{\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=A.}

Азначэнне ліміту
----------------

### (ε, δ)-азначэнне (паводле Кашы)

Калі пункт *x* знаходзіцца ў δ-наваколлі пункта *c*, значэнне *f*(*x*) знаходзіцца ў ε-наваколлі *L*
Лік *A* называецца **лімітам** функцыі *f*(*x*) пры імкненні *x* да *a*, калі для любога ліку *ε* > 0 існуе такі лік *δ* > 0, што для ўсіх *x*, якія задавальняюць умову

{\displaystyle 0<|x-a|<\delta ,}
справядлівая няроўнасць

{\displaystyle |f(x)-A|<\varepsilon .}
Або, кажучы словамі, функцыя мае **ліміт** *A* ў некаторым пункце, калі і толькі калі для любога *ε* > 0 можна знайсці такое наваколле гэтага пункта, у межах якога функцыя не адхіляецца ад *A* больш чым на *ε* > 0.

### Азначэнне праз ліміт паслядоўнасці (паводле Гейнэ)

Функцыя *f* мае ў пункце *a* канечны **ліміт** *A*, калі і толькі калі для любой паслядоўнасці {\displaystyle \scriptstyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }}, якая збягаецца да пункта *a*:

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}=a,}
адпаведная паслядоўнасць {\displaystyle \scriptstyle \left(f(x\_{n})\right)\_{n=1}^{\infty }} значэнняў функцыі збягаецца да *A*:

{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }f(x\_{n})=A.}

Крытэрыі і прыкметы існавання канечнага ліміту
----------------------------------------------

### Крытэрый Кашы існавання канечнага ліміту

Функцыя *f*(*x*) мае ў пункце *a* канечны ліміт, калі і толькі калі для адвольнага *ε* > 0 існуе такое *δ* > 0, што для любых *x*1 і *x*2, узятых з δ-наваколля пункта *a*, спраўджваецца няроўнасць

{\displaystyle |f(x\_{1})-f(x\_{2})|<\varepsilon .}
*Заўвага*: Крытэрый Кашы адрозніваецца ад азначэння паводле Кашы тым, што ў крытэрыі ніяк не ўдзельнічае значэнне ліміту. Крытэрый толькі сцвярджае існаванне ліміту, але нічога не кажа пра само лімітнае значэнне.

Уласцівасці
-----------

Калі існуюць канечныя ліміты {\displaystyle \scriptstyle \lim \_{x\to a}f(x)} і {\displaystyle \scriptstyle \lim \_{x\to a}g(x)}, тады справядлівыя сцвярджэнні:

1) Лімітавы пераход з'яўляецца лінейнай аперацыяй. Гэта значыць для адвольных лікаў λ і μ існуе ліміт лінейнай камбінацыі

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to a}(\lambda f(x)+\mu g(x))=\lambda \lim \limits \_{x\to a}f(x)+\mu \lim \limits \_{x\to a}g(x).}
*Заўвага*: з гэтай уласцівасці непасрэдна вынікаюць наступныя роўнасці:

{\displaystyle {\begin{matrix}\lim \limits \_{x\to a}&(f(x)+g(x))&=&\lim \limits \_{x\to a}f(x)+\lim \limits \_{x\to a}g(x),\\\lim \limits \_{x\to a}&(f(x)-g(x))&=&\lim \limits \_{x\to a}f(x)-\lim \limits \_{x\to a}g(x).\end{matrix}}}
2) Існуе ліміт здабытку гэтых функцый, прычым:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to a}(f(x)\cdot g(x))=\lim \limits \_{x\to a}f(x)\cdot \lim \limits \_{x\to a}g(x).}
3) Калі {\displaystyle \scriptstyle \lim \_{x\to a}g(x)\neq 0}, то існуе ліміт дзелі, прычым:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\lim \limits \_{x\to a}f(x)}{\lim \limits \_{x\to a}g(x)}}.}
4) Калі *f*(*x*) > 0 і {\displaystyle \scriptstyle \lim \_{x\to a}f(x)\neq 0}, то існуе ліміт ступені, прычым:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to a}\left(f(x)^{g(x)}\right)=\left(\lim \limits \_{x\to a}f(x)\right)^{\lim \limits \_{x\to a}g(x)}.}

Гл. таксама
-----------

* Аднабаковы ліміт функцыі
* Ліміт у матэматыцы
* Ліміт паслядоўнасці

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.