**Ме́ра Жарда́на** (або **Ме́ра Пеа́на-Жарда́на**) — адзін са спосабаў фармалізацыі паняцця памеру (даўжыні, плошчы і *n*-мернага аб’ёму) у *n*-мернай еўклідавай прасторы.

Пабудова
--------

Мноства вымернае па Жардану, калі ўнутраная мера Жардана раўняецца вонкавай меры Жардана.
Мера Жардана {\displaystyle ~m\Delta } паралелепіпеда {\displaystyle \Delta =\prod \_{i=1}^{n}[a\_{i},\;b\_{i}]} у {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} вызначаецца як здабытак

{\displaystyle m\Delta =\prod \_{i=1}^{n}(b\_{i}-a\_{i}).}
Для абмежаванага мноства {\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}} вызначаюцца:

* вонкавая (знешняя) мера Жардана
{\displaystyle m\_{e}E=\inf \sum \_{k=1}^{N}m\Delta \_{k},\quad \bigcup \_{k}\Delta \_{k}\supset E}
* унутраная мера Жардана
{\displaystyle m\_{i}E=\sup \sum \_{k=1}^{N}m\Delta \_{k},\quad \bigcup \_{k}\Delta \_{k}\subset E,\quad \Delta \_{k}\cap \Delta \_{m}=\varnothing ,} калі {\displaystyle k\neq m,}

дзе {\displaystyle \Delta \_{1},\;\Delta \_{2},\;\ldots ,\;\Delta \_{N}} — паралелепіпеды апісанага вышэй выгляду.

Мноства {\displaystyle ~E} называецца **вымерным па Жардану** (**квадравальным** пры *n* = 2, **кубавальным** пры *n* ≥ 3), калі {\displaystyle ~m\_{e}E=m\_{i}E.} У гэтым выпадку мера Жардана роўная {\displaystyle ~mE=m\_{e}E=m\_{i}E.}

Уласцівасці
-----------

* Мера Жардана застаецца нязменнаю адносна рухаў еўклідавай прасторы.
* Абмежаванае мноства {\displaystyle E\subset \mathbb {R} ^{n}} вымернае па Жардану тады і толькі тады, калі яго мяжа мае нулявую меру Жардана .
	+ У прыватнасці, усе мноствы, чыя мяжа складаецца з канечнага ліку гладкіх крывых і пунктаў, вымерныя па Жардану. Тым не менш, існуюць мноствы, абмежаваныя простай замкнутай крывой Жардана, не вымерныя па Жардану.
* Вонкавая мера Жардана адна і тая ж для {\displaystyle ~E} і {\displaystyle {\bar {E}}} (замыкання мноства {\displaystyle ~E}) і раўняецца меры Барэля {\displaystyle {\bar {E}}}.
* Вымерныя па Жардану мноствы ўтвараюць колца, на яком мера Жардана канечная адытыўная функцыя.

Гісторыя
--------

Такое паняцце меры ўвялі Пеана (1887) і Жардан (1892). Пазней паняцце было абагульнена Лебегам на шырэйшы клас мностваў.

Прыклад мноства, невымернага па Жардану
---------------------------------------

Разглядзім меру Жардана {\displaystyle m,} вызначаную на {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} і няхай {\displaystyle A=\{(x,y)\in \mathbb {R} ^{2}:0\leq x\leq 1,\;0\leq y\leq 1\}} — мноства пунктаў адзінкавага квадрата. Няхай {\displaystyle X=A\cap \mathbb {Q} ^{2}} — мноства ўсіх пунктаў мноства {\displaystyle A} з рацыянальнымі каардынатамі, тады {\displaystyle X} — невымернае па Жардану мноства, бо

{\displaystyle m\_{e}X=1,\;m\_{i}X=0,\;m\_{e}X\neq m\_{i}X,}
г. зн. вонкавая і ўнутраная мера Жардана не супадаюць.

Гл. таксама
-----------

* Мера мноства
* Мера Лебега
* Мера Хаусдорфа
* Мера Барэля (англ.)

Літаратура
----------

* *Колмогоров А.Н. Фомин С.В.* Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
* *Кудрявцев Л. Д. Кутасов А. Д.* Сборник задач по математическому анализу, глава 2;
* *Peano, G.* Applicazioni geometriche del calcolo infinitesimale. — Torino, 1887;
* *Jordan, C.* Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1892. — t. 8. — p. 69—99;