|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| ⟨ | ∣ | ⟩ |
| bra
  |  | ket
  |
| бра
  |  | кет |
| дуж |  | ка |

**Бра** і **кет** (англ.: bracket - дужка) — алгебраічны фармалізм (сістэма абазначэнняў), прызначаны для апісання квантавых станаў. Называется таксама *абазначэннямі* *Дырака*. У матрычнай механіцы такая сістэма абазначэнняў з'яўляецца агульнапрынятай.

Азначэнне і выкарыстанне
------------------------

У квантавай механіцы стан сістэмы апісваецца променем (напрамкам) у сепарабельнай гільбертовай прасторы, ці, што эквівалентна, элементам праектыўнай гільбертавай прасторы {\displaystyle {\mathcal {H}},} элементы якой завуцца «вектары стана» (*«кет-вектары»*) і пазначаюцца сімвалам {\displaystyle |\psi \rangle }.

Кожнаму кет-вектару {\displaystyle |\psi \rangle } ставіцца ў адпаведнасць *бра-вектар* з прасторы, сапружанай да {\displaystyle {\mathcal {H}},} гэта значыць з {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\*}.}

Бра-вектар {\displaystyle \langle \psi |} з прасторы {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\*}}азначаецца раўнаннем:

{\displaystyle \langle \psi |\colon {\mathcal {H}}\to \mathbb {C} \colon \langle \psi |\left(|\rho \rangle \right)=\left(|\psi \rangle ,\;|\rho \rangle \right)} для любога кет-вектара {\displaystyle |\rho \rangle .}

Вольна кажучы, у нейкім сэнсе бра-вектары «супадаюць» з адпаведнымі ім камплексна-сапружанымі кет-вектарамі. Пры гэтым звычайна адбываецца атаясамленне вектараў і функцыяналаў над вектарамі са слупкамі ці радкамі каардынат разлажэння іх па адпаведным базісе {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\*}}ці {\displaystyle {\mathcal {H}}.}

Скалярны здабытак бра-вектара з кет-вектарам (а больш дакладна, дзеянне бра-вектара на кет-вектар) запісваецца у выглядзе {\displaystyle \langle \varphi |\psi \rangle ;} дзве вертыкальныя рысы «зліваюцца», а дужкі не пішуцца. Квадрат вектара, па вызначэнні гильбертовай прасторы, неадмоўны: {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle \geqslant 0.} На вектары, што апісваюць станы сістэмы, накладаецца ўмова нарміроўкі{\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1.}

Лінейныя аператары
------------------

Калі {\displaystyle A\colon H\to H} — лінейны аператар з {\displaystyle H} у {\displaystyle H}, то дзеянне аператара {\displaystyle A} на кет -вектар {\displaystyle |\psi \rangle } запісваецца як {\displaystyle A|\psi \rangle .}

Для кожнага аператара {\displaystyle A} і бра-вектара {\displaystyle \langle \varphi |} уводзіцца функцыянал {\displaystyle (\langle \varphi |A)} з прасторы {\displaystyle {\mathcal {H}}^{\*},} гэта значыць бра-вектар, памножаны на аператар {\displaystyle A}, што азначаецца роўнасцю:

{\displaystyle {\bigg (}\langle \varphi |A{\bigg )}\;|\psi \rangle =\langle \varphi |\;{\bigg (}A|\psi \rangle {\bigg )},} для любого вектара {\displaystyle |\psi \rangle .}
Паколькі месцазнаходзанне дужак не мае значэння, іх звычайна прыбіраюць і пішуць проста {\displaystyle \langle \varphi |A|\psi \rangle .}

Гэтае выражэнне называется свёрткай аператара {\displaystyle A} з бра-вектарам {\displaystyle \langle \varphi |} і кет-вектарам {\displaystyle |\psi \rangle .} Значэнне гэтага выражэння ёсць скаляр (камплексны лік).

У прыватнасці, матрычны элемент аператара {\displaystyle A} ў акрэсленым базісе (у тэнзарных абазначэннях — {\displaystyle A\_{kl}}) запісваецца у абазначэннях Дырака як {\displaystyle \langle k|A|l\rangle ,} а сярэдняе значэнне назіраемай у квантавым стане {\displaystyle \psi } — як {\displaystyle \langle \psi |A|\psi \rangle .}

Множанне вектараў на аператар (кет-вектара — злева, бра-вектара — справа) дае вектары таго ж тыпа і запісвается тым жа спосабам, што і ў лінейнай алгебры (гэта значыць, што бра- і кет-вектары атаясамліваюцца з вектарамі-радкамі і слупкамі, а аператары — з квадратнымі матрыцамі):

{\displaystyle |{\tilde {\psi }}\rangle =A|\psi \rangle ,}
{\displaystyle \langle {\tilde {\varphi }}|=\langle \varphi |A.}
Ураўненне Шродзінгера (для стацыянарнага стана) будзе мець выгляд:

{\displaystyle H|\psi \rangle =E|\psi \rangle ,} дзе {\displaystyle H} — гамильтаніян, а  {\displaystyle E} — скаляр (энергія стану).

Адрозненні бра-кет-абазначэнняў ад традыцыйных
----------------------------------------------

У матэматыцы ўжываецца абазначэнне «эрмітавага» скалярнага здабытку {\displaystyle \langle \varphi ,\;\psi \rangle } ў гільбертавай прасторы, якое мае той жа сэнс, што і перамнажэнне бра на кет. Аднак матэматыкі звычайна разглядаюць вуглавыя дужкі як знак аперацыі, а не часткі абазначэння вектара. Традыцыйнае матэматычнае абазначэнне, у адрозненне ад дыракаўскага, несіметрычнае — абодва вектары лічацца велічынямі аднаго тыпу, і па першым аргуменце з двух аперацыя з'яўляецца антылінейнай.

З іншага боку, здабытак бра і кет з'яўляецца білінейным, але ад двух аргументаў рознага тыпу. Сапружаным да кет-вектара {\displaystyle i|\psi \rangle } ёсць бра-вектар {\displaystyle -i\langle \psi |} (дзе {\displaystyle i} — уяўная адзінка). Аднак, у квантавай механіцы гэтую мудрагелістасць абазначэнняў дазваляецца ігнараваць, паколькі квантавы стан, прадстаўляемы вектарам, не залежыць ад множання вектара на любыя камплексныя лікі, па модулю роўныя адзінцы.

Акрамя таго, выкарыстанне бра і кет дазваляе падкрэсліць адрозненне *стана* {\displaystyle \psi } (запісваецца літарай без дужак і рысак) ад канкрэтных вектараў, што яго прадстаўляюць.

У адрозненне ад алгебраічных абазначэнняў, дзе элементы базісу пазначаюцца як {\displaystyle e\_{k},} у бра-кет-абазначэннях можа указвацца адзін толькі індэкс базіснага элемента, напрыклад: {\displaystyle \langle k|\;,\;|l\rangle .} Гэтым яны падобныя да тэнзарных абазначэнняў, але, у адрозненне ад апошніх, дазваляюць запісваць здабыткі аператараў з вектарамі без выкарыстання дапаўняльных (падтэкставых ці надрадковых) літар.

Матэматычныя ўласцівасці
------------------------

Бра і кет можна выкарыстоўваць і ў чыстай матэматыцы для абазначэння элементаў сапружаных адна да адной лінейных прастораў. Калі, напрыклад, {\displaystyle {\mathcal {H}}=R^{n},} то кет-вектары лічацца пры гэтым «вектарамі-слупкамі», а бра-вектары — «вектарамі-радкамі».

Перамнажэнне бра- і кет-вектараў адзін на аднаго і на аператары можна разглядаць як прыватны выпадак матрычнага фармалізму «радок на слупок». А менавіта, над трэба лічыць кет-вектары матрыцамі памеру {\displaystyle N\times 1}, бра-вектары — памеру {\displaystyle 1\times N}, аператары — памеру {\displaystyle N\times N}, дзе {\displaystyle N} — колькасць станаў квантавай сістэмы (размернасць прасторы {\displaystyle {\mathcal {H}}}). Матрыцы памеру 1 × 1 маюць адзіны элемент і атаясамляюцца са скалярамі. У выпадку бясконцамернае прасторы станаў на «матрыцы» (фактычна рады) даводзіцца накладаць дадатковыя ўмовы збежнасці.

Формула для сапружанага вектара выглядае наступным чынам:

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \langle \psi |={\begin{pmatrix}{\overline {c}}\_{1},{\overline {c}}\_{2},\ldots ,{\overline {c}}\_{N}\end{pmatrix}},} | дзе | {\displaystyle |\psi \rangle ={\begin{pmatrix}c\_{1}\\c\_{2}\\\vdots \\c\_{N}\end{pmatrix}}} |

Запіс тыпа {\displaystyle \langle \ldots \rangle } заўжды азначае скаляр. Бра-вектар заўжды мае дужку злева: {\displaystyle \langle ,} кет-вектар — дужку справа: {\displaystyle \rangle .} Да таго ж, уводзіцца здабытак у «ненатуральным» парадку {\displaystyle |\varphi \rangle \langle \psi |}— (аналагічна матрычнаму множанню вектара-слупка на вектар-радок), якое дае гэтак называемый *кет-бра-аператар*. Аператар {\displaystyle |\psi \rangle \langle \varphi |} мае ранг 1 і з'яўляецца тэнзарным здабыткам {\displaystyle |\psi \rangle } і {\displaystyle \langle \varphi |.} Такія аператары часта разглядаюцца ў тэорыі аператараў і квантавых вылічэннях. У прыватнасці, аператар {\displaystyle |\psi \rangle \langle \psi |} (пры ўмове нарміроўкі {\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1}) з'яўляецца праектарам на стан {\displaystyle \psi }, дакладней, на адпаведную аднамерную лінейную падпрастору ў {\displaystyle {\mathcal {H}}.}

Мае месца асацыятыўнасць:

{\displaystyle \langle \varphi |\cdot A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A|\psi \rangle \ =\ \langle \varphi |A\cdot |\psi \rangle ,}
{\displaystyle |\psi \rangle \cdot \langle \varphi |{\tilde {\psi }}\rangle \ =\ (|\psi \rangle \langle \varphi |)\cdot |{\tilde {\psi }}\rangle }.

Літаратура
----------

* *Белоусов Ю. М.* Курс квантовой механики. Нерелятивистская теория. — М.: МФТИ, 2006. — 408 с.
* *Давыдов А. С.* Квантовая механика. — М.: Наука, 1973. — 704 с.
* *Дирак П. А. М.* Принципы квантовой механики. — М.: Наука, 1979. — 440 с.
* *Мессиа А.* Квантовая механика. — М.: Наука, 1978. — Т. 1. — 478 с.
* *Шпольский Э. В.* Атомная физика. — М.: Наука, 1974. — Т. 2. — 448 с.
* *Ярив А.* Введение в теорию и приложения квантовой механики. — М.: Мир, 1984. — 360 с.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кiтайская |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 16999046 |