У гэтым артыкуле разглядаецца матэматычны базіс агульнай тэорыі адноснасці.

Зыходныя палажэнні
------------------

Нашае інтуітыўнае ўспрыманне паказвае нам, што прастора-час з'яўляецца рэгулярнай і неперарыўнай, гэта значыць не мае «дзірак». Матэматычна гэтыя ўласцівасці азначаюць, што прастора-час будзе мадэлявацца гладкай дыферэнцавальнай мнагастайнасцю 4 вымярэнняў {\displaystyle M\_{4}}, г. зн. прасторай размернасці 4, для якой наваколле кожнай кропкі лакальна падобнае на чатырохмерную эўклідавую прастору. Гладкасць тут азначае дастатковую дыферэнцавальнасць, пакуль без удакладнення яе ступені.

Паколькі, акрамя таго, з добрай дакладнасцю выконваюцца законы спецыяльнай тэорыі адноснасці, то такую мнагастайнасць можна надзяліць лорэнцавай метрыкай, г. зн. нявыраджаным метрычным тэнзарам з сігнатурай {\displaystyle \{-,+,+,+\}} (ці, што эквівалентна, {\displaystyle \{+,-,-,-\}}). Значэнне гэтага раскрываецца ў наступным раздзеле.

Геаметрыя прасторы-часу
-----------------------

### Метрычны тэнзар

Дыферэнцавальная мнагастайнасць M, забяспечанае лорэнцавым метрычным тэнзарам *g* , і прадстаўляе сабой такім чынам *лорэнцаву мнагастайнасць*, якая з'яўляецца асобным выпадак псеўдарыманавай мнагастайнасці (азначэнне «лорэнцаў» будзе ўдакладнена далей у тэксце; гл. ніжэй раздзел Лорэнцава метрыка) .

Возьмем якую-небудзь сістэму каардынат {\displaystyle x^{\mu }} ў наваколлі кропкі {\displaystyle P}, і хай {\displaystyle {\mathbf {e} }\_{\mu }(x)} — лакальны базіс ў датычнай прасторы {\displaystyle T\_{x}M} да мнагастайнасці {\displaystyle M} ў кропцы {\displaystyle x\in M}. Датычны вектар {\displaystyle \mathbf {w} \in T\_{x}M} запішацца тады як лінейная камбінацыя базісных вектараў:

|  |
| --- |
| {\displaystyle \mathbf {w} \ =\ w^{\mu }\ \mathbf {e} \_{\mu }.} |

Пры гэтым велічыні {\displaystyle \ w^{\mu }} называюцца контраварыянтнымі кампанентамі вектара *w*. Метрычны тэнзар {\displaystyle \mathbf {g} } тады — сіметрычная білінейная форма:


|  |
| --- |
| {\displaystyle \mathbf {g} \ =\ g\_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ \otimes \ dx^{\nu },} |

дзе праз {\displaystyle dx^{\mu }} пазначаны дуальны ў адносінах да {\displaystyle {\mathbf {e} }\_{\mu }(x)} базіс ў кадатычный прасторы {\displaystyle T\_{x}^{\*}M}, гэта значыць такія лінейныя формы на {\displaystyle T\_{x}M}, што:

|  |
| --- |
| {\displaystyle dx^{\nu }({\mathbf {e} }\_{\mu })\ =\ \delta \_{\mu }^{\nu }.} |

Далей будзем меркаваць, што кампаненты {\displaystyle g\_{\mu \nu }(x)} метрычнага тэнзара змяняюцца ў прасторы-часе неперарыўна.

Метрычны тэнзар, такім чынам, можа быць прадстаўлены сапраўднай сіметрычнай матрыцай 4x4 :

|  |
| --- |
| {\displaystyle g\_{\mu \nu }\ =\ g\_{\nu \mu }.} |

Наогул любая сапраўдная матрыца 4x4 мае апрыёры 4 x 4 = 16 незалежных элементаў. Умова сіметрыі памяншае гэты лік да 10: на самай справе, застаецца 4 дыяганальныя элементы, да якіх трэба дадаць (16 - 4)/2 = 6 недыяганальных элементаў. Тэнзар {\displaystyle g\_{\mu \nu }} валодае, такім чынам, толькі 10 незалежнымі кампанентамі.

### Скалярны здабытак

Метрычны тэнзар вызначае для кожнай кропкі{\displaystyle x\in M} разнастайнасці псеўда-скалярны здабытак («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара); см. Лорэнцава метрыка) у датычнай да разнастайнасці {\displaystyle M^{}} ў кропцы {\displaystyle x} псеўдаэўклідавай прасторы {\displaystyle T\_{x}M}. Калі {\displaystyle \mathbf {u} } і {\displaystyle \mathbf {v} } — два вектары {\displaystyle T\_{x}M}, іх скалярны здабытак запішацца як:

|  |
| --- |
| {\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} \ =\ \mathbf {g} (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )\ =\ g\_{\mu \nu }\ u^{\mu }\ v^{\nu }} |

У прыватнасці, узяўшы два базісных вектара, атрымліваем кампаненты:

|  |
| --- |
| {\displaystyle g\_{\mu \nu }\ =\ \mathbf {g} ({\mathbf {e} }\_{\mu },{\mathbf {e} }\_{\nu })\ =\ {\mathbf {e} }\_{\mu }\cdot {\mathbf {e} }\_{\nu }} |

Заўвага: калі велічыні w ^ {\ mu} абазначаюць контраварыянтныя кампаненты вектара *w*, то можна вызначыць таксама яго каварыянтныя кампаненты як:

|  |
| --- |
| {\displaystyle w\_{\mu }\ =\ \mathbf {w} \ \cdot \mathbf {e} \_{\mu }.} |

### Элементарная адлегласць — інтэрвал

Разгледзім вектар элементарнага перамяшчэння {\displaystyle d\mathbf {P} \ =\ \epsilon ^{\mu }\mathbf {e} \_{\mu }} паміж кропкай {\displaystyle P^{}} і бясконца блізкай кропкай: {\displaystyle |\epsilon ^{\mu }|\ll 1}. Інварыянтнай інфінітэзімальнай нормай гэтага вэктару будзе сапраўдны лік, які пазначаецца {\displaystyle ds^{2}}, званы квадратам інтэрвалу, і роўны:


|  |
| --- |
| {\displaystyle ds^{2}\ =\ g\_{\mu \nu }(x)\ \epsilon ^{\mu }\ \epsilon ^{\nu }}.
  |

Калі пазначыць кампаненты вектара элементарнага перамяшчэння «па-фізічна» {\displaystyle \epsilon ^{\mu }=dx^{\mu }}, інфінітэзімальны квадрат даўжыні (інтэрвалу) запішацца фармальна як:

|  |
| --- |
| {\displaystyle ds^{2}\ =\ g\_{\mu \nu }(x)\ dx^{\mu }\ dx^{\nu }} |

*Увага*: у гэтай формуле, а таксама і далей, {\displaystyle dx^{\mu }} прадстаўляе сабой сапраўдны лік, які інтэрпрэтуецца фізічна як «інфінітэзімальная змена» каардынаты {\displaystyle x^{\mu }}, а не як дыферэнцыяльная форма!

### Лорэнцава метрыка

Удакладнім цяпер выраз «лорэнцава» (дакладней лакальна лорэнцава), які азначае, што метрычны тэнзар мае сігнатуру (1,3) і лакальна супадае ў першым парадку з лорэнцавай метрыкай спецыяльнай тэорыі адноснасці. Прынцып эквівалентнасці сцвярджае, што можна «сцерці» лакальна поле гравітацыі, выбіраючы лакальна інерцыйных сістэму каардынатаў. З матэматычнага пункту гледжання такі выбар з'яўляецца перафармулёўку вядомай тэарэмы аб магчымасці прывядзення квадратычнай формы да галоўных восях .

У такой лакальна інерцыяльны сістэме каардынатаў {\displaystyle X^{\alpha }} інварыянт {\displaystyle ds^{2}} у кропцы {\displaystyle P} запішацца як:

|  |
| --- |
| {\displaystyle ds^{2}\ =\ \eta \_{\alpha \beta }\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta }\ =\ -\ c^{2}\,dT^{2}\,+\,dX^{2}\,+\,dY^{2}\,+\,dZ^{2},} |

дзе {\displaystyle \eta \_{\alpha \beta }} з'яўляецца метрыкай прасторы-часу Мінкоўскага, а ў малому наваколлі гэтага пункту

|  |
| --- |
| {\displaystyle ds^{2}\ =\ (\eta \_{\alpha \beta }+\delta \_{\alpha \beta })\ dX^{\alpha }\ dX^{\beta },} |

дзе {\displaystyle \delta \_{\alpha \beta }} мае мінімум другі парадак драбніцы па адхіленнях каардынатаў ад кропкі {\displaystyle P}, г. зн. {\displaystyle \delta \_{\alpha \beta }|\_{P}=0,\ \left.{\frac {\partial \delta \_{\alpha \beta }}{\partial X^{\alpha }}}\right|\_{P}=0}. Прымаючы пагадненне знакаў Мізнэра, Торна і Уілера, маем:


|  |
| --- |
| {\displaystyle \eta \_{\alpha \beta }\ =\ \mathrm {diag} \ (-1,\,+1,\,+1,\,+1\,)} |

Далей выкарыстоўваюцца наступныя звычайныя пагадненні:

* грэчаскія індэксы змяняюцца ад 0 да 3. Яны адпавядаюць велічыням ў прасторы-часу.
* лацінскія індэксы змяняюцца ад 1 да 3. Яны адпавядаюць прасторавым складнікам велічынь у прасторы-часу.

Напрыклад, 4 -вектар становішча запішацца ў лакальна інерцыяльнай сістэме каардынат як:

|  |
| --- |
| {\displaystyle X^{\alpha }\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{i}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}X^{0}\\X^{1}\\X^{2}\\X^{3}\end{matrix}}\right)\ =\ \left({\begin{matrix}c\,T\\X\\Y\\Z\end{matrix}}\right).} |

Увага: на самой справе вядомыя, а не інфінітэзімальныя прырашчэння каардынат не ўтвараюць вектара. Вектар з іх узнікае толькі ў аднастайным прасторы нулявой крывізны і трывіяльнай тапалогіі .

Ларэнца характар ​​разнастайнасці {\displaystyle M^{}} забяспечвае, такім чынам, тое, што датычныя да {\displaystyle M^{}} ў кожнай кропцы псеўдаэўклідавай прасторы будуць валодаць псеўдаскалярнымі здабыткамі («псеўда-» у тым сэнсе, што адсутнічае дадатная пэўнасць асацыяванай квадратычнай формы (квадрата вектара)) з трыма строга дадатнымі уласнымі значэннямі (адпаведнымі прасторы) і адным строга адмоўным уласным значэннем (адпаведным часе). У прыватнасці, элементарны інтэрвал «ўласнага часу», які аддзяляе дзве паслядоўных падзеі, заўсёды :

|  |
| --- |
| {\displaystyle d\tau ^{2}\ =\ -{\frac {ds^{2}}{c^{2}}}\ >\ 0.} |

### Агульныя паняцці афіннай звязнасці і каварыянтнай вытворнай

Абагульнена, афіннай звязнасцю называецца аператар {\displaystyle \nabla }, які прыводзіць у адпаведнасць вектарнаму полю {\displaystyle \mathbf {V} } з датычнага пучка {\displaystyle TM} поле эндамарфізмаў {\displaystyle \nabla \mathbf {V} } этого пучка. гэтага пучка. Калі {\displaystyle {\mathbf {w} }\in T\_{x}M} — датычны вектар у пункце {\displaystyle x\in M}, звычайна пазначаюць


|  |
| --- |
| {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {w} }\ \mathbf {V} (x)\ =\ \nabla \mathbf {V} (x,\mathbf {w} ).} |

Кажуць , што {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {V} } з'яўляецца «каварыянтнай вытворнай» вектара {\displaystyle \mathbf {V} } ў напрамку {\displaystyle {\mathbf {w} }}. Выкажам здагадку да таго ж , што {\displaystyle \nabla \mathbf {V} } задавальняе дадатковым умовам: для любой функцыі f справядліва


|  |
| --- |
| {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {w} }(f\mathbf {V} )\ =\ f\ \nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ df(\mathbf {w} )\ \mathbf {V} } |

Каварыянтная вытворная задавальняе наступным двум уласцівасцям лінейнасці:

* лінейнасць па *w*, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў *w* і *u* і сапраўдныя лікі *a* і *b*, мы маем:

|  |
| --- |
| {\displaystyle \nabla \_{(a\mathbf {w} +b\mathbf {u} )}\mathbf {V} \ =\ a\ \nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {V} \ +\ b\ \nabla \_{\mathbf {u} }\mathbf {V} .} |

* лінейнасць па *V*, гэта значыць, якімі б ні былі палі вектараў *X* і сапраўдныя лікі *a* і *b*, мы маем:

|  |
| --- |
| {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {w} }(a\mathbf {X} +b\mathbf {Y} )\ =\ a\ \nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {X} \ +b\ \nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {Y} .} |

Як толькі каварыянтная вытворная вызначана для палёў вектараў, яна можа быць распаўсюджана на тэнзарныя палі з выкарыстаннем правілы Лейбніца: калі {\displaystyle \mathbf {T} } і {\displaystyle \mathbf {S} } — два любых тэнзар, то па азначэнні :


|  |
| --- |
| {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {w} }(\mathbf {T} \otimes \mathbf {S} )\ =\ (\nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {T} )\otimes \mathbf {S} \ +\ \mathbf {T} \otimes (\nabla \_{\mathbf {w} }\mathbf {S} )} |

Каварыантная вытворная поля тэнзара ўздоўж вектара *w* значыць ізноў поле тэнзара таго ж тыпу.

### Звязнасць, асацыяваная з метрыкай

Можна даказаць , што звязнасць, асацыяваная з метрыкай — складнасць Леві-Чывіты [ 1 ], з'яўляецца адзінай звязнасцю, якая акрамя папярэдніх умоў дадаткова забяспечвае тое, што для любых палёў вектараў *X, Y, Z* з *TM*

* {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {X} }(\mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} ))\ =\ \mathbf {g} (\nabla \_{\mathbf {X} }\mathbf {Y} ,\mathbf {Z} )\ +\ \mathbf {g} (\mathbf {Y} ,\nabla \_{\mathbf {X} }\mathbf {Z} )} (метрычнасць — тэнзар неметрычнасці роўны нулю) .

* {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {X} }\mathbf {Y} \ -\ \nabla \_{\mathbf {Y} }\mathbf {X} \ =\ [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]}, где {\displaystyle [\mathbf {X} ,\mathbf {Y} ]} — камутатар Лі ад X і Y (адсутнасць скрута — тэнзар скрута роўны нулю) .

Ураўненні Эйнштэйна
-------------------

Ураўненні гравітацыйнага поля, якія называюцца *ўраўненнямі Эйнштэйна*, запісваюцца так


|  |
| --- |
| {\displaystyle R\_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g\_{\mu \nu }\,R\ +\ \Lambda \ g\_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T\_{\mu \nu },} |

або так


|  |
| --- |
| {\displaystyle E\_{\mu \nu }\ +\ \Lambda \ g\_{\mu \nu }\ =\ {\frac {8\pi G}{c^{4}}}\ T\_{\mu \nu },} |

дзе {\displaystyle \Lambda } — касмалагічная канстанта, {\displaystyle c} — скорасць святла ў вакууме, {\displaystyle G} — гравітацыйная пастаянная, якая з’яўляецца таксама ў законе сусветнага прыцягнення Ньютана, {\displaystyle E\_{\mu \nu }=R\_{\mu \nu }\ -\ {\frac {1}{2}}\,g\_{\mu \nu }\,R} — тэнзар Эйнштэйна, а {\displaystyle T\_{\mu \nu }} — тэнзар энергіі-імпульсу.

Сіметрычны тэнзар {\displaystyle g\_{\mu \nu }} мае толькі 10 незалежных складнікаў, тэнзарнае ўраўненне Эйнштэйна ў зададзенай сістэме каардынат эквівалентна сістэме 10 скалярных ураўненняў. Гэтая сістэма 10 звязаных нелінейных ураўненняў ў частковых вытворных ў большасці выпадкаў вельмі цяжкая для вывучэння.

Тэнзар энергіі-імпульсу
-----------------------

Тэнзар энергіі-імпульсу можа быць запісаны ў выглядзе сапраўднай сіметрычнай матрыцы 4x4:

|  |
| --- |
| {\displaystyle T\_{\mu \nu }\ =\ \left({\begin{matrix}T\_{00}&T\_{01}&T\_{02}&T\_{03}\\T\_{10}&T\_{11}&T\_{12}&T\_{13}\\T\_{20}&T\_{21}&T\_{22}&T\_{23}\\T\_{30}&T\_{31}&T\_{32}&T\_{33}\end{matrix}}\right).} |

У ім выяўляюцца наступныя фізічныя велічыні:

* T00 — аб'ёмная шчыльнасць энергіі. Яна павінна быць дадатнай.
* T10, T20, T30 — шчыльнасці кампанент імпульсу.
* T01, T02, T03 — кампаненты патоку энергіі.
* Пад-матрыца 3 x 3 з чыста прасторавых кампанент:

|  |
| --- |
| {\displaystyle T\_{ik}\ =\ \left({\begin{matrix}T\_{11}&T\_{12}&T\_{13}\\T\_{21}&T\_{22}&T\_{23}\\T\_{31}&T\_{32}&T\_{33}\end{matrix}}\right)} |

— матрыца патокаў імпульсаў. У механіцы вадкасці дыяганальныя кампаненты адпавядаюць ціску, а іншыя складнікі — тангенцыяльным намаганням (высілкам або ў старой тэрміналогіі — нацяжэннем), выкліканым вязкасцю.

Для вадкасці ў спакоі тэнзар энергіі-імпульсу зводзіцца да дыяганальнай матрыцы {\displaystyle ~{\rm {diag}}({{\rho }c^{2}},~p,~p,~p)}, дзе {\displaystyle ~{\rho }} ёсць шчыльнасць масы, а {\displaystyle ~p} — гідрастатычны ціск.

Зноскі
------

1. ↑  Далей мы ўсюды не пішам індэкс 4, які ўдакладняе размернасць мнагастайнасці «M».
2. ↑  Больш дакладна, яны павінны быць прынамсі класа C².

| ⛭Тэорыі гравітацыі |
| --- |
| Стандартныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Класічная фізіка | 
* Тэорыя прыцягнення Ньютана

 |
| Рэлятывісцкая фізіка | 
* Агульная тэорыя адноснасці
* Матэматычная фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці
* Гамільтанава фармулёўка агульнай тэорыі адноснасці

 |
| Прынцыпы | 
* Прынцып эквівалентнасці сіл гравітацыі і інерцыі
* Прынцып Маха
* Геаметрадынаміка (англ.)

 |

 |
| Альтэрнатыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Класічныя | 
* Тэорыя гравітацыі Лесажа
* Мадыфікаваная ньютанаўская дынаміка

 |
| Рэлятывісцкія | 
* Рэлятывісцкая тэорыя гравітацыі
* Калібравальная тэорыя гравітацыі
* Гравітацыя з масіўным гравітонам
* Тэлепаралелізм
* Тэорыя Нордстрэма
* Тэорыя Бранса — Дыке
* Біметрычныя тэорыі гравітацыі
* Несіметрычныя тэорыі гравітацыі
* Тэорыя гравітацыі Уайтхеда (англ.)
* Тэорыя Эйнштэйна — Картана

 |

 |
| Квантавыя | 
* Кананічная квантавая гравітацыя
* Петлявая квантавая гравітацыя
* Паўкласічная гравітацыя (англ.)
* Прычынная дынамічная трыянгуляцыя (англ.)
* Еўклідава квантавая гравітацыя
* Ураўненне Уілера — Дэвіта (англ.)
* Індукаваная гравітацыя (англ.)
* Некамутаціўная геаметрыя (англ.)

 |
| Адзіныя тэорыі поля | 

|  |  |
| --- | --- |
| Шматмерныя | 
* Агульная тэорыя адноснасці ў шматмернай прасторы
* Тэорыя Калуцы — Клейна
* Супергравітацыя

 |
| Струнныя | 
* ✯ Тэорыя струн
* Тэорыя суперструн
* М-тэорыя

 |
| Іншыя | 
* Выключна простая тэорыя ўсяго

 |

 |