**Матэматычная індукцыя** — у матэматыцы — адзін з метадаў доказу.
Звычайна выкарыстоўваецца, дзеля доказу нейкага сцвярджэння для ўсіх натуральных лікаў.
Для гэтага, даказваецца «першае сцвярджэнне» — база індукцыі, і затым, даказваючы, што калі любое сцвярджэнне ў бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў дакладна, то дакладна і наступнае — крок індукцыі.

Дакладнае апісанне
------------------

Выкажам здагадку, што патрабуецца ўсталяваць справядлівасць бясконцай паслядоўнасці сцвярджэнняў, занумараваных натуральнымі лікамі: {\displaystyle P\_{1},P\_{2},\ldots ,P\_{n},P\_{n+1},\ldots }

Прымем, што

1. Усталявана, што {\displaystyle P\_{1}} дакладна. (Гэтае сцвярджэнне завецца *базай індукцыі*.)
2. Для любога *n* даказана, што калі дакладна {\displaystyle P\_{n}}, то дакладна {\displaystyle P\_{n+1}}. (Гэтае сцвярджэнне завецца *індукцыйным пераходам*.)

Тады ўсё сцвярджэнні нашай паслядоўнасці дакладныя.

Пэўнасць гэтага метаду доказу выцякае з так званай **аксіёмы індукцыі**, пятай з аксіём Пеана, якія вызначаюць натуральныя лікі.

Пэўнасць гэтага метаду доказу эквівалентная таму, што ў любым падмностве натуральных лікаў існуе мінімальны элемент.
Існуе таксама варыяцыя, так званы прынцып поўнай матэматычнай індукцыі. Вось яго строгая фармулёўка:

Хай маецца паслядоўнасць сцвярджэнняў {\displaystyle P\_{1},P\_{2},P\_{3}\ldots }.
Прымем, што

1. Усталявана, што {\displaystyle P\_{1}} дакладна.
2. Для любога натуральнага {\displaystyle n} даказана, што калі дакладныя ўсё {\displaystyle P\_{1},P\_{2},P\_{3}\ldots P\_{n}}, то дакладна і {\displaystyle P\_{n+1}}. (Гэтае сцвярджэнне завецца *індукцыйным пераходам*.)

Тады ўсё сцвярджэнні ў гэтай паслядоўнасці дакладныя.

Прынцып поўнай матэматычнай індукцыі таксама выцякае з аксіёмы індукцыі і яму эквівалентны, гэта значыць яго можна ўзяць замест аксіёмы індукцыі ў аксіёмах Пеана.

Прыклады
--------

**Задача.** Даказаць, што, якое б ні было натуральнае *n* і сапраўднае *q*, адрозненае ад адзінкі, выконваецца роўнасць

{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}
**Доказ.** Індукцыя па *n*.

*База*, *n* = 1:

{\displaystyle 1+q={\frac {(1-q)(1+q)}{1-q}}={\frac {1-q^{1+1}}{1-q}}.}
*Пераход*: выкажам здагадку, што

{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}},}
тады

{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}+q^{n+1}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}+q^{n+1}=}
{\displaystyle ={\frac {1-q^{n+1}+(1-q)q^{n+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{n+1}+q^{n+1}-q^{(n+1)+1}}{1-q}}={\frac {1-q^{(n+1)+1}}{1-q}}},
што і патрабавалася даказаць.

**Каментар:** пэўнасць сцвярджэння {\displaystyle P\_{n}} у гэтым доказе — тое ж, што пэўнасць роўнасці

{\displaystyle 1+q+\cdots +q^{n}={\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}.}
* Гл. таксама доказ аднаколернасці ўсіх канёў.

Варыяцыі і абагульненні
-----------------------

* Трансфінітная індукцыя
* Структурная індукцыя.

Літаратура
----------

* *Н. Я. Виленкин* Индукция. Комбинаторика. Пособие для учителей. М. Просвещение, 1976. — 48 с.
* *Л. И. Головина, И. М. Яглом* Индукция в геометрии, «Популярные лекции по математике», Выпуск 21, Физматгиз 1961. — 100 с.
* *Р. Курант, Г. Роббинс* «Что такое математика?» Глава I, § 2.
* *И. С. Соминский* Метод математической индукции. «Популярные лекции по математике», Выпуск 3, Издательство «Наука» 1965.—58 с.