**Неперарыўная функцыя** (**неперарыўнае адлюстраванне**), або **непарыўная функцыя** (**непарыўнае адлюстраванне**) — функцыя без «скачкоў», г.зн. такая, у якой малое змяненне аргумента прыводзіць да малога змянення значэння функцыі.

Строгае азначэнне
-----------------

### ε-δ азначэнне

Няхай {\displaystyle D\subset \mathbb {R} } і {\displaystyle f:D\to \mathbb {R} }.

Функцыя {\displaystyle f} называецца **непарыўнаю ў пункце** {\displaystyle x\_{0}\in D,} калі для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуе {\displaystyle \delta >0} такое, што для любога

{\displaystyle x\in D,\ |x-x\_{0}|<\delta }
справядліва

{\displaystyle |f(x)-f(x\_{0})|<\varepsilon .}
Функцыя {\displaystyle f} называецца **непарыўнаю на мностве** {\displaystyle E}, калі яна непарыўная ў кожным пункце мноства.

У гэтым выпадку кажуць, што функцыя {\displaystyle f} належыць класу {\displaystyle C^{0}}, і пішуць: {\displaystyle f\in C^{0}(E)} ці, падрабязней, {\displaystyle f\in C^{0}(E,\mathbb {R} )}.

Інакш кажучы, функцыя {\displaystyle f} *непарыўная ў пункце* {\displaystyle x\_{0}}, *гранічным для мноства* {\displaystyle D}, калі {\displaystyle f} *мае граніцу* ў пункце {\displaystyle x\_{0}}, і гэта *граніца супадае са значэннем функцыі* {\displaystyle f(x\_{0})}.

Пункты разрыву
--------------

Калі ўмова ў азначэнні непарыўнасці функцыі ў некаторым пункце парушаецца, то кажуць, што функцыя **мае ў дадзеным пункце разрыў**. Іншымі словамі, калі {\displaystyle A} — значэнне функцыі {\displaystyle f} у пункце {\displaystyle a}, то граніца такой функцыі (калі яна існуе) у гэтым пункце не супадае з {\displaystyle A}. На мове наваколляў умова разрыўнасці функцыі {\displaystyle f} у пункце {\displaystyle a} атрымліваецца адмаўленнем умовы непарыўнасці функцыі ў дадзеным пункце, а іменна: існуе такое наваколле пункта {\displaystyle A} вобласці значэнняў функцыі {\displaystyle f}, што як бы мы блізка не падыходзілі к пункту {\displaystyle a} вобласці вызначэння функцыі {\displaystyle f}, заўсёды знойдуцца такія пункты, чые вобразы будуць за межамі наваколля пункта {\displaystyle A}.

### Скасавальныя пункты разрыву

Калі граніца функцыі *існуе*, але функцыя не вызначана ў гэтым пункце, ці граніца не супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце:

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to a}f(x)\neq f(a),}
то пункт {\displaystyle a} называецца *пунктам скасавальнага разрыву* функцыі {\displaystyle f} (у камплексным аналізе — скасавальны асаблівы пункт).

Калі «паправіць» функцыю {\displaystyle f} у пункце скасавальнага разрыву і прыняць {\displaystyle f(a)=\lim \limits \_{x\to a}f(x),} то атрымаецца функцыя, непарыўная ў дадзеным пункце. Такая аперацыя над функцыяй называецца *давызначэннем функцыі да непарыўнай* ці *давызначэннем функцыі па непарыўнасці*, што і абгрунтоўвае назву, як пункта *скасавальнага* разрыву.

### Пункты разрыву першага і другога роду

Калі граніца функцыі ў дадзеным пункце не існуе (і функцыю нельга давызначыць да непарыўнай), то для лікавых функцый узнікае дзве магчымасці, звязаныя з існаваннем у лікавых функцый *аднабаковых граніц*:

* калі абедзве аднабаковыя граніцы існуюць і канечныя, але хоць адна з іх адрозніваецца ад значэння функцыі ў дадзеным пункце, то такі пункт называюць **пунктам разрыву першага роду**;
* калі хаця б адна з аднабаковых граніц не існуе ці не з'яўляецца канечнаю велічынёю, то такі пункт называюць **пунктам разрыву другога роду**.

Уласцівасці
-----------

### Лакальныя

* Функцыя, непарыўная ў пункце {\displaystyle a\,}, абмежавана ў некаторым наваколлі гэтага пункта.
* Калі функцыя {\displaystyle f\,} непарыўная ў пункце {\displaystyle a\,} і {\displaystyle f(a)>0\,} (ці {\displaystyle \,f(a)<0}), то {\displaystyle f(x)>0\,} (ці {\displaystyle \,f(x)<0}) для ўсіх {\displaystyle \,x}, дастаткова блізкіх да {\displaystyle \,a}.
* Калі функцыі {\displaystyle f\,} і {\displaystyle g\,} непарыўныя ў пункце {\displaystyle \,a}, то функцыі {\displaystyle f+g\,} і {\displaystyle f\cdot g\,} таксама непарыўныя ў пункце {\displaystyle \,a}.
* Калі функцыі {\displaystyle f\,} і {\displaystyle g\,} непарыўныя ў кропцы {\displaystyle a\,} і пры гэтым {\displaystyle \,g(a)\neq 0}, то функцыя {\displaystyle f/g\,} таксама непарыўная ў кропцы {\displaystyle \,a}.
* Калі функцыя {\displaystyle f\,} непарыўная ў пункце {\displaystyle a\,} і функцыя {\displaystyle g\,} непарыўная ў кропцы {\displaystyle \,b=f(a)}, то іх кампазіцыя {\displaystyle \,h=g\circ f} непарыўная ў кропцы {\displaystyle \,a}.

### Глабальныя

* Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любой іншай кампактнай прасторы), раўнамерна непарыўная на ім.
* Функцыя, непарыўная на адрэзку (ці на любым іншым кампактным мностве), абмежавана і дасягае на ім свайго найбольшага і найменшага значэння.
* Вобласцю значэнняў функцыі {\displaystyle f\,}, непарыўнай на адрэзку {\displaystyle \,[a,b]}, з'яўляецца адрэзак {\displaystyle \,[\min f,\ \max f],} дзе мінімум і максімум бяруцца па адрэзку {\displaystyle \,[a,b]}.
* Калі функцыя {\displaystyle f\,} непарыўная на адрэзку {\displaystyle \,[a,b]} і {\displaystyle \,f(a)\cdot f(b)<0,} то існуе кропка {\displaystyle \xi \in (a,b),} у якой {\displaystyle \,f(\xi )=0.}
* Калі функцыя {\displaystyle f\,} непарыўная на адрэзку {\displaystyle \,[a,b]} і лік {\displaystyle \varphi \,} задавальняе няроўнасць {\displaystyle \,f(a)<\varphi <f(b)} ці няроўнасць {\displaystyle \,f(a)>\varphi >f(b),} то існуе пункт {\displaystyle \xi \in (a,b),} у яком {\displaystyle \,f(\xi )=\varphi .}
* Непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў рэчаісную прамую ін'ектыўнае тады і толькі тады, калі дадзеная функцыя на адрэзку строга манатонная.
* Манатонная функцыя на адрэзку {\displaystyle \,[a,b]} непарыўная тады і толькі тады, калі вобласць яе значэнняў ёсць адрэзак з канцамі {\displaystyle f(a)\,} і {\displaystyle \,f(b)}.
* Калі функцыі {\displaystyle f\,} і {\displaystyle g\,} непарыўныя на адрэзку {\displaystyle \,[a,b]}, прычым {\displaystyle \,f(a)<g(a)} і {\displaystyle \,f(b)>g(b),} то існуе пункт {\displaystyle \xi \in (a,b),} у яком {\displaystyle \,f(\xi )=g(\xi ).} Адсюль, сярод іншага, вынікае, што любое непарыўнае адлюстраванне адрэзка ў сябе мае хаця б адзін нерухомы пункт.

Прыклады
--------

### Элементарныя функцыі

Адвольныя мнагачлены, рацыянальныя функцыі, паказчыкавыя функцыі, лагарыфмы, трыганаметрычныя функцыі (прамыя і адваротныя) непарыўныя ўсюды ў сваёй вобласці вызначэння.

### Функцыя са скасавальным разрывам

Функцыя {\displaystyle f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} ,} вызначаная згодна з формулаю

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {\sin x}{x}},&x\neq 0,\\0,&x=0,\end{cases}}}
непарыўная ў любым пункце {\displaystyle x\neq 0.} Пункт {\displaystyle x=0} з'яўляецца пунктам скасавальнага разрыву, бо граніца функцыі

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0}f(x)=\lim \limits \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1\neq 0=f(0).}
### Функцыя знака

Функцыя

{\displaystyle f(x)=\operatorname {sgn} x={\begin{cases}-1,&x<0\\0,&x=0\\1,&x>0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }
называецца функцыяй знака.

Гэта функцыя непарыўная ў кожным пункце {\displaystyle x\neq 0}.

Пункт {\displaystyle x=0} ёсць пунктам разрыву *першага роду*, прычым

{\displaystyle \lim \limits \_{x\to 0-}f(x)=-1\neq 1=\lim \limits \_{x\to 0+}f(x)},
тады як у самім пункце функцыя раўняецца нулю.

### Ступеньчатая функцыя

Ступеньчатая функцыя, вызначаная як

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\geqslant 0\\0,&x<0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }
усюды непарыўная, акрамя кропкі {\displaystyle x=0}, дзе функцыя церпіць разрыў першага роду. Тым не менш, у пункце {\displaystyle x=0} існуе правабаковая граніца, якая супадае са значэннем функцыі ў дадзеным пункце. Такім чынам, гэта функцыя з'яўляецца прыкладам **непарыўнай справа** функцыі *на ўсёй вобласці вызначэння*.

Гэтак жа, ступеньчатая функцыя, вызначаная як

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x>0\\0,&x\leqslant 0\end{cases}},\quad x\in \mathbb {R} }
з'яўляецца прыкладам **непарыўнай злева** функцыі *на ўсёй вобласці вызначэння*.

### Функцыя Дзірыхле

Асноўны артыкул: **Функцыя Дзірыхле**
Функцыя

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}1,&x\in \mathbb {Q} \\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
называецца функцыяй Дзірыхле. Па сутнасці, функцыя Дзірыхле — гэта характарыстычная функцыя мноства рацыянальных лікаў. Гэта функцыя з'яўляецца **ўсюды разрыўнаю функцыяй**, бо на любым прамежку ёсць як рацыянальныя, так і ірацыянальныя лікі.

### Функцыя Рымана

Функцыя

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}{\frac {1}{n}},&x={\frac {m}{n}}\in \mathbb {Q} ,\ (m,n)=1\\0,&x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \end{cases}}}
называецца функцыяй Рымана.

Гэта функцыя з'яўляецца непарыўнаю ўсюды на мностве ірацыянальных лікаў ({\displaystyle \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} }), бо граніца функцыі ў кожным ірацыянальным пункце раўняецца нулю.

Варыяцыі і абагульненні
-----------------------

### Раўнамерная непарыўнасць

Асноўны артыкул: **Раўнамерная непарыўнасць**
Функцыя {\displaystyle f} называецца **раўнамерна непарыўнаю** на {\displaystyle E}, калі для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуе {\displaystyle \delta >0} такое, што для любых двух пунктаў {\displaystyle x\_{1}} і {\displaystyle x\_{2}} такіх, што {\displaystyle |x\_{1}-x\_{2}|<\delta }, спраўджваецца {\displaystyle |f(x\_{1})-f(x\_{2})|<\varepsilon }.

Кожная раўнамерна непарыўная на мностве {\displaystyle E} функцыя, відавочна, з'яўляецца таксама і непарыўнаю на ім. Адваротнае, увогуле кажучы, не справядліва. Аднак, калі вобласць вызначэння — кампакт, то непарыўная функцыя аказваецца таксама і раўнамерна непарыўнаю на гэтым адрэзку.

### Паўнепарыўнасць

Існуе дзве сіметрычныя адна адной уласцівасці — паўнепарыўнасць *знізу* і паўнепарыўнасць *зверху*:

* Функцыя {\displaystyle f} называецца **паўнепарыўнаю знізу** ў пункце {\displaystyle a}, калі для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуе такое наваколле {\displaystyle U\_{E}(a)}, што {\displaystyle f(x)>f(a)-\varepsilon } для ўсякага {\displaystyle x\in U\_{E}(a)};
* Функцыя {\displaystyle f} называецца **паўнепарыўнаю зверху** ў пункце {\displaystyle a}, калі для любога {\displaystyle \varepsilon >0} існуе такое наваколле {\displaystyle U\_{E}(a)}, што {\displaystyle f(x)<f(a)+\varepsilon } для ўсякага {\displaystyle x\in U\_{E}(a)}.

Паміж непарыўнасцю і паўнепарыўнасцю ёсць наступная сувязь:

* Калі ўзяць функцыю {\displaystyle f}, непарыўную ў кропцы {\displaystyle a}, і *паменшыць* значэнне {\displaystyle f(a)} (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную *знізу* ў кропцы {\displaystyle a};
* Калі ўзяць функцыю {\displaystyle f}, непарыўную ў кропцы {\displaystyle a}, і *павялічыць* значэнне {\displaystyle f(a)} (на канечную велічыню), то мы атрымаем функцыю, паўнепарыўную *зверху* ў кропцы {\displaystyle a}.

У адпаведнасці з гэтым можна дапусціць для паўнепарыўных функцый бесканечныя значэнні:

* Калі {\displaystyle f(a)=-\infty }, то будзем лічыць такую функцыю *паўнепарыўнаю знізу* ў кропцы {\displaystyle a};
* Калі {\displaystyle f(a)=+\infty }, то будзем лічыць такую функцыю *паўнепарыўнаю зверху* ў кропцы {\displaystyle a}.

### Аднабаковая непарыўнасць

Функцыя {\displaystyle f} называецца аднабакова непарыўнаю злева (справа) у кожным пункце {\displaystyle x\_{0}} сваёй вобласці вызначэння, калі для аднабаковае граніцы справядліва роўнасць:

{\displaystyle f(x\_{0})=\lim \limits \_{x\to x\_{0}-0}f(x)}
{\displaystyle \left(f(x\_{0})=\lim \limits \_{x\to x\_{0}+0}f(x)\right)}
### Непарыўнасць амаль усюды

На рэчаіснай прамой звычайна разглядаецца простая лінейная мера Лебега. Калі функцыя {\displaystyle f} такая, што яна непарыўная ўсюды на {\displaystyle E}, акрамя, магчыма, мноства меры нуль, то такая функцыя называецца *непарыўнаю амаль усюды*.

У тым выпадку, калі мноства пунктаў разрыву функцыі не больш чым злічальнае, мы атрымліваем клас інтэгравальных па Рыману функцый (гл. крытэрый інтэгравальнасці функцыі па Рыману).

Літаратура
----------

* *Зорич В. А.* Математический анализ, часть I. — М.: Физматлит, 1984. — 544 с.

Спасылкі
--------

|  |  |
| --- | --- |
| commons: | Непарыўнасць функцый на Вікісховішчы |


|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Britannica (онлайн) · Universalis |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 12123565q · GND: 4183162-7 · LCCN: sh85052334 · LNB: 000193599 · Microsoft: 184825909 |