**Ураўне́нне Шро́дзiнгера** — лінейнае дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных, якое апісвае змяненне ў прасторы (у агульным выпадку, у канфігурацыйнай прасторы) і ў часе чыстага стану, заданага хвалевай функцыяй, у гамільтанавых квантавых сістэмах.

Іграе ў квантавай механіцы такую ж важную ролю, як ураўненні Гамільтана або ўраўненне другога закона Ньютана у класічнай механіцы, або ўраўненні Максвела для электрамагнітных хваль.

Сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе. Ураўненне Шродзiнгера не выводзіцца, а пастуліруецца метадам аналогіі з класічнай оптыкай, на аснове абагульнення эксперыментальных дадзеных.

Ураўненне Шродзiнгера апісвае часціцы без спіна, якія рухаюцца са скарасцямі, шмат меншымі за скорасць святла. У выпадку хуткіх часціц і часціц са спінам выкарыстоўваюцца яго абагульненні (ураўненне Клейна — Гордана[ru], ураўненне Паўлі, ураўненне Дзірака і інш.)

Гісторыя
--------

У пачатку XX ст. навукоўцы прыйшлі да высновы, што паміж прадказаннямі класічнай тэорыі і эксперыментальнымі дадзенымі аб атамнай структуры існуе шэраг разыходжанняў. Адкрыццё ўраўнення Шродзiнгера адбылося ўслед за рэвалюцыйнай здагадкай дэ Бройля, што не толькі святло, але і наогул любыя целы (у тым ліку і любыя мікрачасціцы) валодаюць хвалевымі ўласцівасцямі.

Гістарычна канчатковай фармулёўцы ўраўнення Шродзiнгера папярэднічаў працяглы перыяд развіцця фізікі.

Само ўраўненне сфармулявана Эрвінам Шродзінгерам у 1925 годзе, апублікавана ў 1926 годзе.

Агляд
-----

### Залежнае ад часу ўраўненне

Найбольш агульная форма ўраўнення Шродзінгера — гэта форма, якая ўключае залежнасць ад часу:

|  |
| --- |
| **Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера** (*агульны выпадак*)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi ,} |

дзе *i* — уяўная адзінка; *ħ* — прыведзеная пастаянная Планка, роўная {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}; сімвал ∂∂*t* абазначае частковую вытворную па часу *t*; Ψ — хвалевая функцыя квантавай сістэмы; *Ĥ* — гамільтаніян[ru] (які характарызуе поўную энергію сістэмы).

Прыклад нерэлятывісцкага ўраўнення Шродзінгера ў каардынатным прадстаўленні для кропкавай часціцы масы *m*, якая рухаецца ў патэнцыяльным полі з патэнцыялам {\displaystyle V({\vec {r}},t)}:

|  |
| --- |
| **Залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера** (*для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы*)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ({\vec {r}},t)=\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)\right]\Psi ({\vec {r}},t).} |

У апошнім ураўненні гамільтаніян {\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}},t)}. Сімвалам ∇2 абазначаны лапласіян (дыферэнцыяльны аператар).

### Стацыянарнае ўраўненне

Нестацыянарнае (залежнае ад часу) ураўненне Шродзінгера, апісанае вышэй, прадказвае, што хвалевыя функцыі могуць утвараць стаячыя хвалі, якія называюцца стацыянарнымі станамі[en] (таксама называюцца «арбіталямі», як атамныя і малекулярныя арбіталі[en]). Гэтыя станы асабліва важныя, бо іх асобнае вывучэнне спрашчае пазней задачу рашэння нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для *любога* стану. Стацыянарныя станы можна таксама апісаць больш простай формай ураўнення Шродзінгера, т.зв. *стацыянарным ураўненнем Шродзінгера*.

|  |
| --- |
| **Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*агульнае*)
{\displaystyle {\hat {H}}\Psi =E\Psi ,} |

дзе *E* — пастаянная, роўная поўнай энергіі сістэмы.

Гэта ўраўненне выкарыстоўваецца толькі, калі гамільтаніян[en] сам не залежыць яўна ад часу. Аднак, нават у гэтым выпадку поўная хвалевая функцыя ўсё яшчэ залежыць ад часу.

Словамі ўраўненне можна сфармуляваць так:

*Калі Гамільтанаў аператар дзейнічае на некаторую хвалевую функцыю* Ψ, *і вынік прапарцыянальны гэта жа хвалевай функцыі* Ψ, *тады* Ψ — *стацыянарны стан[en], і пастаянная прапарцыянальнасці E ёсць энергія гэтага стану* Ψ.
У тэрмінах лінейнай алгебры, гэта ўраўненне з’яўляецца характарыстычным ураўненнем аператара Гамільтана, і ў гэтым сэнсе хвалевая функцыя з’яўляецца ўласнай функцыяй[en] аператара Гамільтана.

Як і вышэй, найбольш распаўсюджаны прыклад — нерэлятывісцкае ўраўненне Шродзінгера для адзіночнай часціцы, якая рухаецца ў электрычным полі (але не ў магнітным):

|  |
| --- |
| **Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для адзіночнай нерэлятывісцкай часціцы*)
{\displaystyle \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V({\vec {r}})\right]\Psi ({\vec {r}})=E\,\Psi ({\vec {r}}),} |

дзе абазначэнні супадаюць з уведзенымі раней.

### Некаторыя ўласцівасці

Паколькі квантавая тэорыя не патрабуе поўнага адмаўлення ад законаў Ньютана, а толькі вызначае межы прымянімасці класічнай фізікі, то ўраўненне Шродзiнгера павінна ўзгадняцца з законамі Ньютана ў «гранічным выпадку».

Сярэднія значэнні механічных велічынь для хвалевага пакета, які можна апісаць ураўненнем Шродзiнгера, задавальняюць класічным ураўненням Гамільтана (тэарэма Эрэнфеста).

Ураўненне Шродзiнгера інварыянтнае адносна пераўтварэнняў Галілея. З гэтага факта выцякае шэраг важных вынікаў: існаванне рада аператараў квантавай механікі, звязаных з пераўтварэннямі Галілея, немагчымасць апісання станаў са спектрам мас або нестабільныя элементарныя часціцы ў нерэлятывісцкай квантавай механіцы (тэарэма Баргмана[ru]), існаванне квантавамеханічных інварыянтаў, спароджаных пераўтварэннем Галілея.

Ураўненне Шродзінгера з’яўляецца больш складаным у параўнанні з ураўненнямі Гамільтана класічнай механікі. Ураўненні Гамільтана з’яўляюцца сістэмай звычайных дыферэнцыяльных ураўненняў першага парадку, а ўраўненне Шродзiнгера з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем ў частковых вытворных.

Ураўненне Шродзiнгера, як і ўраўненні Гамільтана, з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе. Яно з’яўляецца матэматычным выразам прынцыпу статыстычнага дэтэрмінізму ў квантавай механіцы — дадзены стан сістэмы вызначае яе наступны стан не адназначна, а толькі з пэўнай імавернасцю, заданай пры дапамозе хвалевай функцыі {\displaystyle \Psi }.

Ураўненне Шродзiнгера лінейнае, гэта значыць, калі хвалевыя функцыі {\displaystyle \Psi } і {\displaystyle \Phi } задавальняюць ураўненню Шродзiнгера, то яму задавальняе любая іх лінейная камбінацыя {\displaystyle \alpha \Psi +\beta \Phi }, дзе {\displaystyle \alpha } і {\displaystyle \beta } — камплексныя лікі. З прычыны гэтага лінейная суперпазіцыя хвалевых функцый не парушаецца ўраўненнем Шродзінгера, і патрэбна аперацыя вымярэння для рэдукцыі хвалевай функцыі. Лінейнасць аператара Шродзінгера з’яўляецца вынікам і абагульненнем прынцыпу суперпазіцыі, які важны для карэктнай фармулёўкі паняцця аперацыі вымярэння.

Для ўсіх квантавых сістэм, якія займаюць абмежаваныя вобласці прасторы, рашэнні ўраўнення Шродзінгера існуюць толькі для злічальнага мноства значэнняў энергіі {\displaystyle E\_{n}} і ўяўляюць сабой злічальнае мноства хвалевых функцый {\displaystyle \Psi \_{n}}, члены якога нумаруюцца наборам квантавых лікаў {\displaystyle n}.

### Абмежаванні прымянімасці

Ураўненне Шродзiнгера не можа растлумачыць спантаннага выпраменьвання[ru], бо хвалевая функцыя ўзбуджанага стану з’яўляецца дакладным рашэннем залежнага ад часу ўраўнення Шродзiнгера.

Ураўненне Шродзiнгера не можа апісваць працэс вымярэння[ru] ў квантавай механіцы, бо яно лінейнае, дэтэрміністычнае і абарачальнае ў часе, а працэс вымярэння нелінейны, стахастычны і неабарачальны ў часе.

Паводле тэарэмы Баргмана[ru], у нерэлятывісцкай квантавай механіцы нельга апісваць станы са спектрам мас ці нестабільныя элементарныя часціцы.

Фармулёўка
----------

### Агульны выпадак

У квантавай фізіцы ўводзіцца камплексназначная функцыя {\displaystyle \Psi }, якая апісвае чысты стан аб’екта і называецца хвалевай функцыяй. У найбольш распаўсюджанай капенгагенскай інтэрпрэтацыі гэтая функцыя звязана з імавернасцю выяўлення аб’екта ў адным з чыстых станаў (квадрат модуля хвалевай функцыі ўяўляе сабой шчыльнасць імавернасці). Паводзіны гамільтанавай сістэмы ў чыстым стане поўнасцю апісваюцца з дапамогай хвалевай функцыі.

Адмовіўшыся ад апісання руху часціцы з дапамогай траекторый, якія атрымліваюцца з законаў дынамікі, і вызначыўшы замест гэтага хвалевую функцыю, неабходна ўвесці ў разгляд ураўненне, якое эквівалентнае законам Ньютана і дае рэцэпт для знаходжання {\displaystyle \Psi } у розных фізічных задачах. Такім ураўненнем з’яўляецца ўраўненне Шродзінгера.

Няхай ёсць сістэма *n* нерэлятывісцкіх часціц, і *j*-я часціца з масай *mj* размешчана ў пункце, які зададзены радыусам-вектарам {\displaystyle {\vec {r}}\_{j}}.

Аператар Гамільтана для такой сістэмы часціц мае выгляд:

{\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {1}{m\_{j}}}\nabla \_{j}^{2}+V({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,t),}
дзе

{\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}} — прыведзеная пастаянная Планка (пастаянная Дзірака); тут {\displaystyle h} — пастаянная Планка;
{\displaystyle m\_{j}} — маса *j*-й часціцы;
{\displaystyle V({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,t)} — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц з радыусамі-вектарамі {\displaystyle {\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots } у момант часу {\displaystyle t};
{\displaystyle \nabla \_{j}^{2}} — аператар Лапласа (ці лапласіян), у якім дыферэнцыраванне праводзіцца па каардынатах *j*-й часціцы, і які ў дэкартавых каардынатах выглядае так:
{\displaystyle \nabla \_{j}^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x\_{j}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y\_{j}^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z\_{j}^{2}}}.}
Хвалевая функцыя сістэмы *n* часціц з’яўляецца функцыяй ад становішча {\displaystyle {\vec {r}}\_{j}} кожнай часціцы і ад часу *t*.
Таму хвалевая функцыя бярэцца ў выглядзе {\displaystyle \Psi =\Psi ({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n},t)=\Psi (x\_{1},y\_{1},z\_{1};\dots ;x\_{n},y\_{n},z\_{n};t).}

Такім чынам, для сістэмы *n* часціц ураўненне Шродзінгера запішацца ў выглядзе:

|  |
| --- |
| **Нестацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для сістэмы n нерэлятывісцкіх часціц*)
{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =-{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {1}{m\_{j}}}\nabla \_{j}^{2}\Psi +V\,\Psi ,} |

дзе *V* — поўная патэнцыяльная энергія сістэмы часціц, якая складаецца з асобных патэнцыяльных энергій узаемадзеяння часціц са знешнім полем і між сабою:

{\displaystyle V=V({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n},t)=\sum \_{j=1}^{n}V\_{j}({\vec {r}}\_{j},t)+\sum \_{1\leq k<j\leq n}V\_{kj}({\vec {r}}\_{k},{\vec {r}}\_{j}).}
Нестацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы
У выпадку адзіночнай часціцы ў трохмернай прасторы Ψ-функцыя з’яўляецца функцыяй трох прасторавых каардынат і часу.
У дэкартавай сістэме каардынат дзеянне аператара Лапласа на функцыю Ψ=Ψ(*x, y, z, t*) выглядае наступным чынам

{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi ={\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}.}
У выніку, ураўненне Шродзінгера для адной часціцы ў дэкартавых каардынатах прыме выгляд:

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial z^{2}}}\right)+V(x,y,z,t)\Psi =i\hbar {\frac {\partial \Psi }{\partial t}},}
дзе {\displaystyle \hbar ={\frac {h}{2\pi }}}, {\displaystyle h} — пастаянная Планка; {\displaystyle m} — маса часціцы, {\displaystyle V(x,y,z,t)} — патэнцыяльная энергія часціцы ў кропцы {\displaystyle (x,y,z)} у момант часу *t*.

### Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера

Час уваходзіць ва ўраўненне Шродзінгера толькі праз першую вытворную па часе і праз магчымую залежнасць патэнцыялу знешняга поля ад часу. Калі знешняе поле, якое дзейнічае на часціцы сістэмы, можна лічыць пастаянным у часе, то рашэнне ўраўнення Шродзінгера павінна быць нескладанай функцыяй адносна часавай пераменнай *t*.
Форма ўраўнення Шродзінгера паказвае, што адносна часу яго рашэнне павінна быць простым, паколькі час уваходзіць у гэта ўраўненне толькі праз першую вытворную ў правай частцы.

Сапраўды, можна паказаць, што асобнае рашэнне[ru] ў выпадку, калі {\displaystyle V=V({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n})} не з’яўляецца функцыяй часу, можна запісаць у выглядзе:

{\displaystyle \Psi ({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n},t)=\psi ({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n})\,e^{-iEt/\hbar },}
дзе функцыя {\displaystyle \psi =\psi ({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n})} для сістэмы *n* нерэлятывісцкіх часціц (з масамі *mj*) павінна задавальняць ураўненню:

|  |
| --- |
| **Стацыянарнае ўраўненне Шродзінгера** (*для сістэмы n нерэлятывісцкіх часціц*)
{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2}}\sum \_{j=1}^{n}{\frac {1}{m\_{j}}}\nabla \_{j}^{2}\psi +V\,\psi =E\,\psi ,} |

якое атрымліваецца з нестацыянарнага ўраўнення Шродзінгера пры падстаноўцы ў яго названага вышэй асобнага рашэння для {\displaystyle \Psi }. Заўважым, што апошняе ўраўненне наогул не ўтрымлівае часу; у сувязі з гэтым яно называецца *стацыянарным ураўненнем Шродзінгера* (г.зн. *ураўненне Шродзінгера, якое не змяшчае часу*).

Стацыянарнае ўраўненне для адзіночнай часціцы
Для адзіночнай часціцы (з масай *m*) хвалевая функцыя {\displaystyle \psi =\psi ({\vec {r}})} павінна задавальняць ураўненню:

{\displaystyle -{{\hbar }^{2} \over 2m}\nabla ^{2}\psi +V\psi =E\psi ,}
якое ў дэкартавых каардынатах прынімае выгляд

{\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\left({\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\psi }{\partial z^{2}}}\right)+V(x,y,z)\psi =E\psi .}
Агульнае рашэнне для стацыянарнага патэнцыялу
Гл. таксама: Хвалевая функцыя
Няхай функцыя патэнцыяльнай энергіі *V* не залежыць ад часу.
Няхай {\displaystyle \psi \_{E}=\psi \_{E}({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n})} ёсць рашэнне стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера для значэння *E*. Тады функцыя

{\displaystyle \Psi \_{E}=\Psi \_{E}({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n},t)=\psi \_{E}\,e^{-iEt/\hbar }}
з’яўляецца асобным рашэннем часавага (нестацыянарнага) ураўнення Шродзінгера і апісвае стан з дакладна вызначанай поўнай энергіяй *E*.

Агульнае рашэнне ўяўляе сабой лінейную камбінацыю[ru] ўсіх асобных рашэнняў Ψ*E*:

{\displaystyle \Psi ({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n},t)=\sum \_{E}c\_{E}\Psi \_{E}=\sum \_{E}c\_{E}\,\psi \_{E}({\vec {r}}\_{1},{\vec {r}}\_{2},\dots ,{\vec {r}}\_{n})\,e^{-iEt/\hbar },}
дзе сума бярэцца па ўсіх значэннях *E*, для якіх існуе фізічна дапушчальнае рашэнне *ψE* стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера, а *cE* — пастаянныя камплексныя лікі (якія называюцца амплітудамі і вылічаюцца з умоў канкрэтнай задачы).

Фізічны сэнс: агульнае рашэнне апісвае стан з нявызначанай энергіяй, які з'яўляецца сумессю (квантавай суперпазіцыяй[ru]) станаў з энергіямі *E* (для якіх амплітуды *cE* ≠ 0).

### Ураўненне Шродзінгера ў электрамагнітным полі

Гамільтаніян нерэлятывісцкай бясспінавай часціцы з масай *m* і зарадам *e* ў электрамагнітным полі, заданым патэнцыяламі[ru] {\displaystyle \varphi =\varphi ({\vec {r}},t)} і {\displaystyle \mathbf {A} =\mathbf {A} ({\vec {r}},t)}, выглядае так:

{\displaystyle {\hat {H}}={\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\varphi ,}
дзе {\displaystyle {\hat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla } — аператар імпульсу[ru]. Патэнцыял электрычнага поля — скалярны і ўваходзіць як звычайны складнік {\displaystyle V=e\varphi }.

Адсюль атрымліваецца *ўраўненне Шродзінгера ў магнітным полі*, якое апісвае такую часціцу:

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left[{\frac {1}{2m}}\left({\hat {\mathbf {p} }}-{\frac {e}{c}}\mathbf {A} \right)^{2}+e\varphi \right]\Psi .}
Гэта ўраўненне і выраз для гамільтаніяна запісаныя ў Гаусавай сістэме адзінак. У сістэме СІ каэфіцыент пры {\displaystyle \mathbf {A} } роўны не {\displaystyle {\tfrac {e}{c}}}, а {\displaystyle e}.

Метады рашэння ўраўнення Шродзінгера
------------------------------------

* Аналітычны метад. Рашэнне шукаецца ў выглядзе дакладнага матэматычнага выразу. Гэты метад прыдатны толькі ў нешматлікіх найпрасцейшых выпадках (аднаэлектронныя атамы[ru], лінейны асцылятар, патэнцыяльная яма з бесканечна высокімі сценкамі і пад.).

* Метад узбурэнняў[ru]. Аператар Гамільтана разглядаецца як сума двух складнікаў. Адзін з іх разглядаецца як няўзбураны аператар, які мае дакладнае аналітычнае рашэнне. Другі складнік разглядаецца як малая ўзбураючая дабаўка да яго. Пры стацыянарным узбурэнні рашэнне заключаецца ў раскладанні ўласных значэнняў і ўласных функцый у рад па ступенях малой пастаяннай узбурэння і ў знаходжанні прыбліжанага рашэння сістэмы атрыманых ураўненняў. Пры нестацыянарным узбурэнні хвалевая функцыя шукаецца ў выглядзе лінейнай камбінацыі ўласных хвалевых функцый з каэфіцыентамі, якія залежаць ад часу.
* Метад Рытца[ru]. Прымяняецца для рашэння стацыянарнага ўраўнення Шродзінгера. Вызначаюцца экстрэмальныя значэнні сярэдняй поўнай энергіі сістэмы пры дапамозе вар’іравання параметраў некаторай пробнай функцыі.
* Метад Хартры — Фока[ru].
* Тэорыя функцыянала шчыльнасці[ru].

Аналогіі і сувязі з іншымі ўраўненнямі
--------------------------------------

Ураўненні Максвела для электрамагнітных хваль у пустой прасторы

{\displaystyle \left\{{\begin{aligned}-c\cdot \operatorname {rot} E&={\frac {\partial H}{\partial t}},\\c\cdot \operatorname {rot} H&={\frac {\partial E}{\partial t}}\end{aligned}}\right.}
можна шляхам увядзення новай камплекснай велічыні {\displaystyle \Psi =E+iH}, якая аналагічная хвалевай функцыі ва ўраўненні Шродзінгера, пераўтварыць у адно ўраўненне

{\displaystyle i{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}=c\cdot \operatorname {rot} \Psi ,}
падобнае на ўраўненне Шродзiнгера.

Ураўненне Шродзiнгера падобнае з ураўненнямі цеплаправоднасці і дыфузіі класічнай фізікі тым, што яно з’яўляецца ўраўненнем першага парадку па часе, і адрозніваецца ад іх наяўнасцю ўяўнага каэфіцыента перад {\displaystyle {\frac {\partial \Psi }{\partial t}}}. Дзякуючы гэтаму множніку яно можа мець і перыядычныя рашэнні.

Ураўненне Шродзінгера можна атрымаць з прынцыпу найменшага дзеяння, разглядаючы як ураўненне Эйлера[ru]

{\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial \psi }}-\sum \_{k=0}^{3}{\frac {\partial }{\partial x\_{k}}}{\frac {\partial L}{\partial \left({\frac {\partial \psi }{\partial x\_{k}}}\right)}}=0}
некаторай варыяцыйнай задачы, у якой шчыльнасць лагранжыяна мае выгляд:

{\displaystyle L=i\hbar \psi ^{\*}{\frac {\partial \psi }{\partial t}}-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla \psi ^{\*}\nabla \psi -U(r,t)\psi ^{\*}\psi -i\hbar {\frac {\partial \psi ^{\*}}{\partial t}}\psi .}

Навадныя меркаванні
-------------------

Да ўраўнення Шродзінгера можна прыйсці, абапіраючыся на адпаведнасць паміж класічнай механікай і геаметрычнай оптыкай. Паняццям матэрыяльнага пункта, траекторыі, скорасці, патэнцыяльнай энергіі, энергіі, варыяцыйнаму прынцыпу Маперцюі[ru] ў класічнай
механіцы адпавядаюць паняцці хвалевага пакета[ru], прамяня, групавой скорасці, фазавай скорасці (паказчык пераламлення), частаты,
варыяцыйнага прынцыпу Ферма ў геаметрычнай оптыцы.

Варыяцыйнаму прынцыпу Маперцюі ў класічнай механіцы

{\displaystyle \int {\sqrt {E-V}}\,ds=\min \qquad } (1)
адпавядае варыяцыйны прынцып Ферма ў оптыцы

{\displaystyle \int {\frac {ds}{v}}=\min .\qquad } (2)
Тут {\displaystyle E} — поўная энергія, {\displaystyle V} — патэнцыйная энергія, {\displaystyle v} — фазавая скорасць. Траекторыя у класічнай механіцы адпавядае прамяню святла ў оптыцы, калі

{\displaystyle {\frac {1}{v(\omega ,x)}}=f(\omega ){\sqrt {E(\omega )-V(x)}}.\qquad } (3)
Хвалевы пакет можна прадставіць у выглядзе

{\displaystyle \sum \_{\omega }a\_{\omega }\cos {2\pi \omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )}}\right)}.\qquad }
Для максімуму пакета справядліва роўнасць:

{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega \left(t-{\frac {x}{v(\omega )}}\right)\right\}.}
З гэтай роўнасці вынікае, што {\displaystyle t=x{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)}. У класічнай механіцы гэтаму адпавядае роўнасць {\displaystyle t={\frac {x}{V\_{g}}}}. З гэтых двух выразаў атрымліваецца формула для групавой скорасці:

{\displaystyle V\_{g}=\left[{\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)\right]^{-1}.\qquad } (4)
Тады ўмову роўнасці скорасці матэрыяльнай кропкі і групавой скорасці хвалевага пакета можна запісаць у выглядзе:

{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}\left({\frac {\omega }{v}}\right)={\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E(\omega )-V(\omega )}}}.\qquad } (5)
Адсюль, скарыстаўшы (3), атрымліваем:

{\displaystyle {\sqrt {\frac {m}{2}}}{\frac {1}{\sqrt {E-V}}}={\frac {d}{d\omega }}\left\{\omega f(\omega ){\sqrt {E-V}}\right\}={\frac {d(\omega f(\omega ))}{d\omega }}{\sqrt {E-V}}+{\frac {\omega f(\omega )}{2{\sqrt {E-V}}}}{\frac {dE}{d\omega }}.}
Параўноўваючы каэфіцыенты пры аднолькавых ступенях {\displaystyle {\sqrt {E-V}}}, знаходзім:

{\displaystyle {\frac {d}{d\omega }}(\omega f(\omega ))=0,\qquad {\sqrt {\frac {m}{2}}}={\frac {\omega f(\omega )}{2}}{\frac {dE}{d\omega }}.}
Першае з іх дае {\displaystyle \omega f(\omega )=\mathrm {const} }, тады з другога вынікае

{\displaystyle {\frac {dE}{d\omega }}=\mathrm {const} ,\qquad E=\hbar \omega ,\qquad f(\omega )={\frac {\sqrt {2m}}{\hbar \omega }}.}
Фазавая скорасць хвалі {\displaystyle v} залежыць ад частаты {\displaystyle \omega }:

{\displaystyle v={\frac {\hbar \omega }{\sqrt {2m}}}{\frac {1}{\sqrt {\hbar \omega -V}}}.\qquad } (6)
Монахраматычная хваля з фазавай скорасцю {\displaystyle v} задавальняе ўраўненню

{\displaystyle \nabla ^{2}\Psi -{\frac {1}{v^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\Psi }{\partial t^{2}}}=0.\qquad } (7)
Асобнае рашэнне гэтага ўраўнення мае выгляд:

{\displaystyle \Psi =ue^{-i\omega t}=ue^{-{\frac {i}{\hbar }}Et},\qquad } (8)
дзе {\displaystyle \omega } — частата хвалі. Падставіўшы рашэнне (8) ва ўраўненне (7), атрымліваем:

{\displaystyle \nabla ^{2}u+{\frac {\omega ^{2}}{v^{2}}}u=0.\qquad } (9)
Падстаўляючы (6) у (9), атрымліваем:

{\displaystyle \nabla ^{2}u+{\frac {2m}{\hbar ^{2}}}(\hbar \omega -V)u=0.\qquad } (10)
З ураўнення (8) атрымліваем:

{\displaystyle \omega u=-{\frac {1}{i}}{\frac {\partial \Psi }{\partial t}}.\qquad } (11)
Падстаўляючы (11) у (10), атрымліваем залежнае ад часу ўраўненне Шродзінгера (12):

{\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi =\left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V\right]\Psi .\qquad } (12)

Абагульненні
------------

* Ураўненне Дзірака
* Ураўненне Паўлі
* Ураўненне Шродзінгера — Ньютана[en]
* Ураўненне Швінгера — Таманагі[ru]

Гл. таксама
-----------

* Хвалевая функцыя
* Тэарэма Эрэнфеста
* Ураўненне Гейзенберга[ru]

Заўвагі
-------

1. ↑  Пригожин, 2006, с. 74
2. ↑  Shankar, 1994, p. 143
3. ↑  Ширков, 1980, с. 24
4. ↑  Ширков, 1980, с. 22
5. ↑  Паули, 1947, с. 47
6. ↑  Кемпфер, 1967, с. 390
7. ↑  Широков, 1972, с. 24
8. ↑  Пенроуз, 2003, с. 234
9. ↑  Паули, 1947, с. 43
10. ↑  Ширков, 1980, с. 464
11. ↑  Вигнер, 1961, с. 67
12. ↑  Мигдал, 1966, с. 49
13. ↑  Вигнер, 2002, с. 145
14. ↑  Кемпфер, 1967, с. 385
15. ↑  Ландау, 2004, с. 19—20
16. ↑  Фок, 1976, с. 89—90
17. ↑  Ширков, 1980, с. 17
18. ↑  Ландау, 2004, с. 75
19. 1 2  Ферми, 1968, с. 25
20. ↑  Грибов, 1999, с. 16
21. ↑  Ширков, 1980, с. 38-39
22. ↑  Грибов, 1999, с. 17
23. 1 2  Ферми, 1968, с. 67
24. ↑  Фок, 1976, с. 99
25. ↑  Ландау, 2004, с. 551
26. ↑  Ферми, 1968, с. 28
27. ↑  Ферми, 1968, с. 191
28. ↑  Ферми, 1968, с. 211
29. ↑  Грибов, 1999, с. 234
30. ↑  Мотт, 1966, с. 21
31. ↑  Блохинцев, 1963, с. 115
32. ↑  Кушниренко, 1971, с. 38
33. ↑  Ферми, 1968, с. 15
34. ↑  Ферми, 1968, с. 17
35. ↑  Ферми, 1968, с. 19
36. ↑  Ферми, 1968, с. 21

Літаратура
----------

* *Шрёдингер Э.* Избранные труды по квантовой механике. М.: Наука, 1976.
* *Березин Ф. А. Шубин М. А.* Уравнение Шредингера. М.: Изд-во МГУ, 1983. 392 с.
* *Кемпфер Ф.* Основные положения квантовой механики. — М.: Мир, 1967. — 391 с.
* *Ландау, Л. Д. Лифшиц, Е. М.* Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 6-е, исправленное. — М.: Физматлит, 2004. — 800 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-9221-0530-2.
* *Фок В. А.* Начала квантовой механики. — Л.: Кубуч, 1932; 2-е изд. — М.: Наука, 1976.
* *В. Паули.* Общие принципы волновой механики. — М.: ОГИЗ, 1947. — 330 с.
* *Пригожин И.* От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках. — М.: КомКнига, 2006. — 296 с. — ISBN 5-484-00313-X.
* *Пенроуз Р.* «Новый ум короля»: о компьютерах, мышлении и законах физики. — М.: Едиториал УРСС, 2003. — 384 с. — ISBN 5-354-00005-X.
* *Кушниренко А. Н.* Введение в квантовую теорию поля. — М.: Высшая школа, 1971. — 304 с.
* *Широков Ю. М. Юдин Н. П.* Ядерная физика. — М.: Наука, 1972. — 670 с.
* *Мотт Н. Снеддон И.* Волновая механика и её применения. — М.: Наука, 1966. — 428 с.
* *Блохинцев Д. И.* Основы квантовой механики. — М.: Наука, 1963. — 619 с.
* *ред. Ширков Д. В.* Физика микромира. — М.: Советская энциклопедия, 1980. — 528 с.
* *Вигнер Е.* Теория групп. — М.: ИЛ, 1961. — 444 с.
* *Мигдал А. Б. Крайнов, В. П.* Приближенные методы квантовой механики. — М.: Наука, 1966. — 152 с.
* *Ферми Э.* Квантовая механика. — М.: Мир, 1968. — 367 с.
* *Вигнер Эуген Пол.* Инвариантность и законы сохранения. Этюды о симметрии. — М.: Едиториал УРСС, 2002. — 320 с. — ISBN 5-354-00191-9.
* *Грибов Л.А. Муштакова С.П.* Квантовая химия. — М.: Гардарики, 1999. — 390 с. — ISBN 5-8297-0017-4.
* Shankar, R. (1994). *Principles of Quantum Mechanics* (2nd ed.). Kluwer Academic/Plenum Publishers. ISBN 978-0-306-44790-7.

Спасылкі
--------

* *Шрёдингера уравнение* — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі
* Сферычна сіметрычныя станы электрона ў атаме вадароду Архівавана 2 красавіка 2015.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая нарвежская · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 119702345 · GND: 4053332-3 · LCCN: sh85118495 · Microsoft: 63036615 · NKC: ph195849 |