**Дыскрыміна́нт** (лац.: discriminare — падзяляць, адрозніваць) або **адро́знік** мнагачлена — лікавая велічыня, якая дазваляе рабіць высновы пра від каранёў мнагачлена і іх узаемнае становішча.
Так, для мнагачлена

{\displaystyle P(x)=a\_{n}x^{n}+\dots +a\_{1}x+a\_{0}}
дыскрымінант (адрознік) вызначаюць як

{\displaystyle D(P)=a\_{n}^{2n-2}\prod \_{1\leq i<k\leq n}(\alpha \_{i}-\alpha \_{k})^{2},}
дзе {\displaystyle \alpha \_{1},\alpha \_{2},\dots ,\alpha \_{n}} − карані мнагачлена *P*(*x*) (г.зн. рашэнні ўраўнення *P*(*x*) = 0) з улікам іх кратнасцей.

Дыскрымінант мнагачлена роўны нулю, калі і толькі калі мнагачлен мае кратны корань.

**Дыскрымінант (адрознік)** алгебраічнага **ураўнення** *P*(*x*) = 0 вызначаюць як адрознік мнагачлена *P*(*x*).

Найбольш вядомы дыскрымінант (адрознік) квадратнага ўраўнення.

Дыскрымінант квадратнага ўраўнення
----------------------------------

Гл. таксама: Квадратны трохчлен
Гл. таксама: Квадратнае ўраўненне
Карані квадратнага ўраўнення

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
з рэчаіснымі каэфіцыентамі *a*, *b* і *c* можна вылічыць па формуле

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.}
Колькасць рэчаісных рашэнняў залежыць ад знака выразу пад коранем (так званага падкарэннага выразу).

Гэты выраз

{\displaystyle b^{2}-4ac}
называюць **дыскрымінантам квадратнага ўраўнення**

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
і абазначаюць праз *D*.

* Калі *D* > 0, падкарэнны выраз дадатны, і таму формула дае два розныя рэчаісныя рашэнні {\displaystyle x\_{1}} і {\displaystyle x\_{2}}.
* Калі *D* = 0, значэнне квадратнага кораня роўнае нулю, таму формула дае адно рэчаіснае значэнне (яно будзе двухкратным коранем ураўнення, або коранем кратнасці 2).
* Калі *D* < 0, квадратны корань з адмоўнага выразу не вызначан у полі рэчаісных лікаў {\displaystyle \mathbb {R} }. Таму рэчаісных каранёў няма. Аднак становішча змяняецца, калі разглядаць рашэнні над полем камплексных лікаў; у гэтым выпадку маем два (не рэчаісныя) рашэнні, якія з'яўляюцца камплексна спалучанымі адзін да аднаго.

*Заўвага.* Як выразна відаць з вышэйсказанага, значэнне дыскрымінанта (адрозніка) дазваляе адрозніваць выпадкі становішча каранёў ураўнення, адсюль і назва.

Азначэнне ў агульным выпадку
----------------------------

Гл. таксама: Поле раскладання мнагачлена
Няхай {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+\dots +a\_{1}x+a\_{0}\in R[x]} − мнагачлен *n*-ай ступені ад адной зменнай над абсягам цэласнасці *R* (перастаўляльным колцам з адзінкай і без дзельнікаў нуля).
Няхай *K* ёсць поле раскладання мнагачлена {\displaystyle f} (г.зн. у гэтым полі мнагачлен {\displaystyle f} раскладваецца на лінейныя множнікі).

Тады **адрознік** (**дыскрымінант**) мнагачлена вызначаюць як

{\displaystyle D(f)=a\_{n}^{2n-2}\prod \_{1\leq i<j\leq n}(\alpha \_{i}-\alpha \_{j})^{2},}
дзе {\displaystyle \alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{n}} − карані мнагачлена {\displaystyle f}, якія ляжаць у полі *K*.

*Заўвага.* Можна паказаць, што для любога мнагачлена над нейкім абсягам цэласнасці *R* існуе поле раскладання. Так, поле дзелей *Q* колца *R* з'яўляецца найменшым полем, якое змяшчае колца *R*. І ў якасці поля раскладання *K* можна ўзяць алгебраічнае замыканне поля *Q*.

Уласцівасці дыскрымінанта
-------------------------

### Сувязь з рэзультантам

Гл. таксама: Рэзультант
Няхай поле *K* мае нулявую характарыстыку.

Тады адрознік (дыскрымінант) мнагачлена {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+\dots +a\_{1}x+a\_{0}} над полем *K* можна вылічыць як рэзультант мнагачлена {\displaystyle f} і яго вытворнай {\displaystyle f'}, падзелены на старшы каэфіцыент {\displaystyle a\_{n}}:

{\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{n(n-1)/2}}{a\_{n}}}R(f,f').}
Адсюль вынікае тоеснасць

{\displaystyle D(f)=(-1)^{n(n-1)/2}a\_{n}^{n-2}\prod \_{i=1}^{n}f'(\alpha \_{i}).}
### Адрознік як функцыя ад каэфіцыентаў мнагачлена

Гл. таксама: Матрыца Сільвестра
Рэзультант мнагачлена {\displaystyle f(x)=a\_{n}x^{n}+\dots +a\_{1}x+a\_{0}} і яго вытворнай {\displaystyle f'(x)=na\_{n}x^{n-1}+\dots +a\_{1}} роўны вызначніку пэўнай (2*n* − 1)×(2*n* − 1)-матрыцы (так званай матрыцы Сільвестра).
Таму, калі поле *K* мае нулявую характарыстыку, з выразу адрозніка праз рэзультант вынікае формула:

{\displaystyle D(f)={\frac {(-1)^{{\frac {1}{2}}n(n-1)}}{a\_{n}}}\,\det {\begin{pmatrix}a\_{n}&a\_{n-1}&\cdots &a\_{1}&a\_{0}&0&\cdots &0\\0&a\_{n}&a\_{n-1}&\cdots &a\_{1}&a\_{0}&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &0\\0&0&0&a\_{n}&a\_{n-1}&\cdots &a\_{1}&a\_{0}\\na\_{n}&(n-1)a\_{n-1}&\cdots &1a\_{1}&0&0&\cdots &0\\0&na\_{n}&(n-1)a\_{n-1}&\cdots &1a\_{1}&0&\cdots &0\\\vdots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\ddots &\vdots \\0&0&0&na\_{n}&(n-1)a\_{n-1}&\cdots &1a\_{1}&0\\0&0&0&0&na\_{n}&(n-1)a\_{n-1}&\cdots &1a\_{1}\\\end{pmatrix}}.}
Пры вылічэнні вызначніка з першага слупка можна вынесці множнік {\displaystyle a\_{n}}, які скароціцца.

Прыклады
--------

* Адрознік квадратнага мнагачлена *a* *x*2 + *b* *x* + *c* роўны
{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}

* Адрознік кубічнага мнагачлена *a* *x*3 + *b* *x*2 + *c* *x* + *d* раўняецца
{\displaystyle D=b^{2}c^{2}-4ac^{3}-4b^{3}d-27a^{2}d^{2}+18abcd.}

* Адрознік мнагачлена чацвёртай ступені *a*4 *x*4 + *a*3 *x*3 + *a*2 *x*2 + *a*1 *x* + *a*0 роўны
{\displaystyle D={\begin{vmatrix}1~&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0&0\\0~&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}&0\\0~&0&a\_{4}&a\_{3}&a\_{2}&a\_{1}&a\_{0}\\4~&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0&0&0\\0~&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0&0\\0~&0&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}&0\\0~&0&0&4a\_{4}&3a\_{3}&2a\_{2}&1a\_{1}\\\end{vmatrix}}.}

Гл. таксама
-----------

* Рэзультант
* Дыскрымінант поля

Зноскі
------

1. 1 2  
Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.
2. ↑  
Беларуская навуковая тэрміналогія. Выпуск 1. Элементарная матэматыка. — Мінск: Інстытут беларускай культуры, 1922.
3. 1 2  
*Винберг Э.Б.* Курс алгебры. — Москва: Факториал Пресс, 2002.
4. ↑  
*Курош А.Г.* Курс высшей алгебры. — Москва: Наука, 1968.

Літаратура
----------

* Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. М.: Наука, 1975.
* Матэматычная энцыклапедыя. Гал. рэд. В. І. Бернік. Мн.: Тэхналогія, 2001.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Polynomial Discriminant (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.

  


| ⛭Алгебраічныя ўраўненні |
| --- |
| Ураўненні па ступенях | Лінейнае ўраўненне ·  Квадратнае ўраўненне ·  Кубічнае ўраўненне ·  Ураўненне 4-й ступені ·  Ураўненне 5-й ступені ·  Ураўненне 6-й ступені ·  Ураўненне 7-й ступені |
| Іншае | Зваротнае ўраўненне  ·  Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў |
| Асноўныя паняцці | Мнагачлен  ·  Корань мнагачлена  ·  Дыскрымінант  ·  Рэзультант  ·  Сіметрычны мнагачлен |
| Тэарэмы | Тэарэма Віета  ·  Тэарэма Безу  ·  Асноўная тэарэма алгебры  ·  Тэарэма Абеля — Руфіні |