| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бэрнулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

У тэорыі імавернасцей **імавернасная прастора** або **імавернасная тройка** {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} — матэматычнае паняцце, якое забяспечвае фармальную мадэль выпадковага[en] працэсу або «выпрабавання».

Імавернасная прастора складаецца з трох элементаў:12:

1. Прасторы элементарных падзей {\displaystyle \Omega } — мноства ўсіх магчымых зыходаў выпрабавання.
2. Алгебры падзей {\displaystyle {\mathcal {A}}}, дзе падзеямі называюцца падмноствы {\displaystyle \Omega }.
3. Імавернаснай меры[en] {\displaystyle P}, якая супастаўляе кожнай падзеі з {\displaystyle {\mathcal {A}}} пэўную імавернасць (рэчаісны лік паміж 0 і 1).

Імавернасная прастора павінна адпавядаць аксіёмам тэорыі імавернасцей.

Пара {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}})} называецца вымернай прасторай[en]:68.

Прыклад дыскрэтнай імавернаснай прасторы
----------------------------------------

Для прыкладу разгледзім выпрабаванне, якое палягае ў аднакратным падкіданні двух сіметрычных гульнявых кубікаў. У якасці элементарных падзей возьмем усе магчымыя сумы ачкоў, што выпалі на кубіках:20-21. Тады прастора элементарных падзей мае выгляд 



Ω
=
{
2
,
3
,
4
,
5
,
6
,
7
,
8
,
9
,
10
,
11
,
12
}
.

{\displaystyle \Omega =\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.}

{\displaystyle \Omega =\{2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12\}.}
Значэнне імавернаснай меры для кожнай элементарнай падзеі {\displaystyle \omega }:

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \omega } | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
| {\displaystyle P(\{\omega \})} | {\displaystyle {\frac {1}{36}}} | {\displaystyle {\frac {2}{36}}} | {\displaystyle {\frac {3}{36}}} | {\displaystyle {\frac {4}{36}}} | {\displaystyle {\frac {5}{36}}} | {\displaystyle {\frac {6}{36}}} | {\displaystyle {\frac {5}{36}}} | {\displaystyle {\frac {4}{36}}} | {\displaystyle {\frac {3}{36}}} | {\displaystyle {\frac {2}{36}}} | {\displaystyle {\frac {1}{36}}} |

Алгебрай падзей {\displaystyle {\mathcal {A}}} будзе мноства ўсіх падмностваў {\displaystyle \Omega }. Імавернасць некаторай падзеі {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} зададзім згодна з прынцыпам адытыўнасці як суму імавернасцей усіх элементарных падзей, што ўваходзяць у {\displaystyle A}:



P
(
A
)
=
P

(

⋃

ω
∈
A

{
ω
}

)

=

∑

ω
∈
A

P
(

w

)
.

{\displaystyle P(A)=P\left(\bigcup \_{\omega \in A}\{\omega \}\right)=\sum \_{\omega \in A}P({w}).}

{\displaystyle P(A)=P\left(\bigcup _{\omega \in A}\{\omega \}\right)=\sum _{\omega \in A}P({w}).}
Напрыклад падзею "сума ачкоў кратная 3" можна запісаць як {\displaystyle A=\{3,6,9,12\}}. Імавернасць такой падзеі роўная 



P
(
A
)
=
P
(
{
3
,
6
,
9
,
12
}
)
=

{\displaystyle P(A)=P(\{3,6,9,12\})=}

{\displaystyle P(A)=P(\{3,6,9,12\})=}

=
P
(
{
3
}
)
+
P
(
{
6
}
)
+
P
(
{
9
}
)
+
P
(
{
12
}
)
=

{\displaystyle =P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=}

{\displaystyle =P(\{3\})+P(\{6\})+P(\{9\})+P(\{12\})=}

=

2
36

+

5
36

+

4
36

+

1
36

=

1
3

.

{\displaystyle ={\frac {2}{36}}+{\frac {5}{36}}+{\frac {4}{36}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{3}}.}

{\displaystyle ={\frac {2}{36}}+{\frac {5}{36}}+{\frac {4}{36}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{3}}.}

Геаметрычная імавернасць
------------------------

Асноўны артыкул: **Геаметрычная імавернасць**
Няхай {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} і {\displaystyle \Omega } мае канечны дадатны {\displaystyle n}-мерны аб'ём, які пазначым праз {\displaystyle |\Omega |}. Праз {\displaystyle {\mathcal {A}}} пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу[en] падмностваў {\displaystyle \Omega }. За імавернасць падзеі {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} прымаецца лік



P
(
A
)
=

|

A

|

|

Ω

|

,

{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}

{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}
дзе праз {\displaystyle |A|} пазначаны {\displaystyle n}-мерны аб'ём (мера Лебега) мноства {\displaystyle A}.

Такая мадэль імавернаснай прасторы называецца **геаметрычнай імавернасцю**:24-25. Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега. Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства {\displaystyle \Omega } і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя[en] па гэтым мностве.

Мадэль геаметрычнай імавернасці паказвае існаванне тэарэтычна магчымых падзей, імавернасць якіх роўна нулю. Такой падзеяй з'яўляецца напрыклад пападанне часціцы ў загадзя зададзены пункт, бо аб'ём аднапунктавага мноства роўны нулю.

Зноскі
------

1. 1 2 3 4  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 123623831 · GND: 4410515-0 · LCCN: sh92001869 |