Палярная сетка, на якой адкладзена некалькі вуглоў з пазнакамі ў градусах.
**Палярная сістэма каардынат** — двухмерная сістэма каардынат, у якой кожны пункт на плоскасці вызначаецца двума лікамі — палярным вуглом і палярным радыусам. Палярная сістэма каардынат асабліва карысная ў выпадках, калі адносіны паміж пунктамі прасцей адлюстраваць у выглядзе радыусаў і вуглоў; ў больш распаўсюджанай, дэкартавай або прамавугольнай сістэме каардынат, такія адносіны можна ўсталяваць толькі шляхам прымянення трыганаметрычных ураўненняў.

Палярная сістэма каардынат задаецца прамянём, які называюць нулявым або палярнай воссю. Пункт, з якога выходзіць гэты прамень, называецца пачаткам каардынат альбо полюсам. Любы пункт на плоскасці вызначаецца двума палярнымі каардынатамі: радыяльнай і вуглавой. Радыяльная каардыната (звычайна пазначаецца {\displaystyle r}) адпавядае адлегласці ад пункта да пачатку каардынат. Вуглавая каардыната таксама называецца палярным вуглом або азімутам і пазначаецца {\displaystyle \varphi }, роўная куце, на які трэба павярнуць супраць гадзінны стрэлкі палярную вось для таго, каб патрапіць у гэты пункт.

Вызначаная такім чынам радыяльная каардыната можа прымаць значэнні ад нуля да бясконцасці, а вуглавая каардыната змяняецца ў межах ад 0° да 360°. Аднак, для зручнасці вобласць значэнняў палярнай каардынаты можна пашырыць за межы поўнага вугла, а таксама дазволіць ёй прымаць адмоўныя значэння, што адказвае павароту палярнай восі па гадзіннікавай стрэлцы.

Графічнае прадстаўленне
-----------------------

Пункт у палярнай сістэме каардынат.
Кожны пункт у палярнай сістэме каардынат можа быць вызначана двума палярнымі каардынатамі, што звычайна называюцца {\displaystyle r} (радыяльная каардыната, вуглавая адлегласць, сустракаецца варыянт {\displaystyle \rho }) і {\displaystyle \varphi } (вуглавая каардыната, палярны вугал, азімут, пазіцыйны вугал, часам пішуць {\displaystyle \theta } альбо {\displaystyle t}). Каардыната {\displaystyle r} адпавядай адлегласці да полюса, а каардыната {\displaystyle \varphi } роўная куце ў напрамку супраць гадзінны стрэлкі ад прамяня праз 0° (часам называецца палярнай воссю).

Палярны радыус вызначаны для любога пункта плоскасці і прымае неадмоўныя значэння {\displaystyle r\geqslant 0}. Палярны вугал {\displaystyle \varphi } вызначаны для любога пункта плоскасці, за выключэннем полюса {\displaystyle O}, і прымае значэння {\displaystyle -\pi <\varphi \leqslant \pi }. Палярны вугал вымяраецца ў радыянах і адлічваецца ад палярнай восі:

* ў дадатным напрамку (супраць напрамкі руху гадзінны стрэлкі), калі значэнне вугла станоўчае;
* у адмоўным кірунку (па кірунку руху гадзіннікавай стрэлкі), калі значэнне вугла адмоўнае.

Напрыклад, пункт з каардынатамі {\displaystyle (3,\;60^{\circ })} будзе выглядаць на графіку як пункт на промні, які ляжыць пад вуглом 60° да палярнай восі, на адлегласці 3 адзінкі ад полюса. Пункт з каардынатамі {\displaystyle (3,\;-300^{\circ })} будзе намаляваная на тым жа месцы.

Камплексныя лікі
----------------

Прыклад камплекснага ліку  *z*  нанесенага на камплексную плоскасць.
Прыклад камплекснага ліку нанесенага на графік з выкарыстаннем формулы Эйлера.
Кожны камплексны лік можа быць прадстаўлены пунктам на камплекснай плоскасці, і, адпаведна, гэты пункт можа вызначацца ў дэкартавых каардынатах (прамавугольная альбо дэкартавая форма), або ў палярных каардынатах (палярная форма). Камплексны лік *z* можа быць запісаны ў прамавугольнай форме як:

{\displaystyle z=x+iy\,}
дзе *i*  — уяўная адзінка, ці ў палярнай:

{\displaystyle z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi )}
і адсюль, як:

{\displaystyle z=re^{i\varphi }\,}
дзе *e* — лік Эйлера. Дзякуючы формуле Эйлера, абодва прадстаўлення эквівалентныя. (Варта адзначыць, што ў гэтай формуле, падобна астатнім формул, якія змяшчаюць узвядзенне ў ступень вуглоў, вугал φ зададзена ў радыянах.)

Для пераходу паміж прамавугольным і палярным прадстаўленнем камплексных лікаў, могуць выкарыстоўвацца прыведзеныя вышэй формулы пераўтварэння паміж сістэмамі каардынат.

Аперацыі множанне, дзяленне і узвядзенне ў ступень з камплекснымі лікамі, як правіла, прасцей праводзіць у палярнай форме. Згодна з правіламі ўзвядзення ў ступень:

* Множанне:

{\displaystyle r\_{0}e^{i\varphi \_{0}}\cdot r\_{1}e^{i\varphi \_{1}}=r\_{0}r\_{1}e^{i(\varphi \_{0}+\varphi \_{1})}\,}
* Дзяленне:

{\displaystyle {\frac {r\_{0}e^{i\varphi \_{0}}}{r\_{1}e^{i\varphi \_{1}}}}={\frac {r\_{0}}{r\_{1}}}e^{i(\varphi \_{0}-\varphi \_{1})}\,}
* Узвядзенне ў ступень (формула Муавра):

{\displaystyle (re^{i\varphi })^{n}=r^{n}e^{in\varphi }\,}

Зноскі
------

1. 1 2  Brown, Richard G. (1997). Andrew M. Gleason. ed. *Advanced Mathematics: Precalculus with Discrete Mathematics and Data Analysis*. Evanston, Illinois: McDougal Littell. ISBN 0-395-77114-5. .
2. ↑  
Smith, Julius O. (2003). "Euler's Identity". *Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT)*. W3K Publishing. ISBN 0-9745607-0-7.