| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бэрнулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

У тэорыі імавернасцей **геаметрычная імавернасць** — мадэль імавернаснай прасторы для задач, у якіх прастора элементарных падзей ёсць некаторым падмноствам прасторы {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}:24-25.

Азначэнне
---------

Няхай {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} і {\displaystyle \Omega } мае канечны дадатны {\displaystyle n}-мерны аб’ём, які пазначым праз {\displaystyle |\Omega |}. Праз {\displaystyle {\mathcal {A}}} пазначым некаторую σ-алгебру вымерных па Лебегу[en] падмностваў {\displaystyle \Omega }. За імавернасць падзеі {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} прымаецца лік



P
(
A
)
=

|

A

|

|

Ω

|

,

{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}

{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}},}
дзе праз {\displaystyle |A|} пазначаны {\displaystyle n}-мерны аб’ём (мера Лебега) мноства {\displaystyle A}.

Адпаведнасць геаметрычнай імавернасці аксіёмам неадмоўнасці, нармаванасці і злічонай адытыўнасці вынікае з прыведзенага вышэй азначэння імавернасці падзеі і ўласцівасцей меры Лебега.

Выкарыстанне
------------

Геаметрычная імавернасць служыць мадэллю для задач, дзе часціца выпадкова кідаецца на мноства {\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{n}} і каардынаты падзення раўнамерна размеркаваныя[en] па гэтым мностве.

Прыклады
--------

### Задача Бюфона

Ілюстрацыя да задачы Бюфона
Адзін з прыкладаў выкарыстання геаметрычнай імавернасці — задача Бюфона:26-27.

На гарызантальную паверхню, разлінееную паралельнымі[en] прамымі на адлегласці {\displaystyle 2a} паміж сабой кідаецца іголка даўжынёй {\displaystyle 2l}, {\displaystyle 0<l<a}. Патрабуецца знайсці імавернасць таго, што іголка перасячэ якую-кольвек прамую.

#### Развязанне

Становішча іголкі можна параметрызаваць[en] значэннямі {\displaystyle x} і {\displaystyle \varphi }, дзе {\displaystyle x\in [0,a]} — адлегласць паміж цэнтрам іголкі і бліжэйшай прамой, а {\displaystyle \varphi \in [0,\pi ]} — вугал паміж іголкай і прамымі. Параметры {\displaystyle x} і {\displaystyle \varphi } незалежныя адзін ад аднаго, таму за прастору элементарных падзей можна прыняць прамавугольнік {\displaystyle \Omega =[0,\pi ]\times [0,a]}. 

З ілюстрацыі відаць, што іголка перасякае прамую тады і толькі тады, калі {\displaystyle x\leq \sin {\varphi }}. Такім чынам, падзея перасячэння адпавядае мноству {\displaystyle A=\{(\varphi ,x)|0\leq \varphi \leq \pi ,0\leq x\leq l\sin {\varphi }\}}. Знойдзем плошчу мноства {\displaystyle A}, палічыўшы інтэграл 


|

A

|

=

∫

0

π

l
sin
⁡

φ

d
φ
=
−
l
cos
⁡

ϕ

|

0

π

=
2
l
.

{\displaystyle |A|=\int \_{0}^{\pi }l\sin {\varphi }d\varphi =-l\cos {\phi }{\Bigg |}\_{0}^{\pi }=2l.}

{\displaystyle |A|=\int _{0}^{\pi }l\sin {\varphi }d\varphi =-l\cos {\phi }{\Bigg |}_{0}^{\pi }=2l.}
Па формуле геаметрычнай імавернасці знаходзім 
{\displaystyle P(A)={\frac {|A|}{|\Omega |}}={\frac {2l}{a\pi }}.}

Зноскі
------

1. 1 2  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | LCCN: sh85054125 · Microsoft: 7605037 |