**Групай Лі** над полем {\displaystyle K} ({\displaystyle K=\mathbb {R} } або {\displaystyle \mathbb {C} }) называецца група {\displaystyle G}, забяспечаная структурай дыферэнцавальнай (гладкай) мнагастайнасці над {\displaystyle K} такім чынам, што адлюстраванні {\displaystyle \operatorname {mul} } і {\displaystyle \operatorname {inv} }:

{\displaystyle \operatorname {mul} :G\times G\to G;\quad \operatorname {mul} (x,y)=xy,}
{\displaystyle \operatorname {inv} :G\to G;\quad \operatorname {inv} x=x^{-1}}
з'яўляюцца гладкімі (у выпадку поля {\displaystyle \mathbb {C} } патрабуюць галаморфнасці уведзеных адлюстраванняў).

Усякая комплексная {\displaystyle n}-мерная група Лі з'яўляецца рэчаіснай групай Лі размернасці {\displaystyle 2n}. Усякая камплексная група Лі па азначэнню з'яўляецца аналітычнай мнагастайнасцю, але і ў рэчаісным выпадку на любой групе Лі існуе аналітычны атлас, у якім адлюстраванні {\displaystyle \operatorname {mul} } і {\displaystyle \operatorname {inv} } запісваюцца аналітычнымі функцыямі.

Групы былі названы ў гонар Софуса Лі. Групы Лі натуральна ўзнікаюць пры разглядзе непарыўных сіметрый. Напрыклад, рухі плоскасці ўтвараюць групу Лі. Групы Лі з'яўляюцца ў сэнсе багацця структуры лепшымі з мнагастайнасцей і ў такой якасці вельмі важныя ў дыферэнцыяльнай геаметрыі і тапалогіі. Яны таксама іграюць значную ролю ў геаметрыі, фізіцы і матэматычным аналізе.

Тыпы груп Лі
------------

Групы Лі класіфікуюцца па сваіх алгебраічных уласцівасцях (прастаце, паўпрастаце, вырашальнасці, нільпатэнтнасці, абелевасці), а таксама па тапалагічных уласцівасцях (звязнасці, адназвязнасці і кампактнасці).

Падгрупы Лі
-----------

Падгрупа {\displaystyle H} групы Лі {\displaystyle G} называецца яе *падгрупай Лі*, калі яна з'яўляецца падмнагастайнасцю ў мнагастайнасці {\displaystyle G}, гэта значыць знойдзецца {\displaystyle m>0} такое, што {\displaystyle H} задаецца ў наваколлі кожнага свайго пункта {\displaystyle p} сістэмай з {\displaystyle k} функцый, якая мае ў {\displaystyle p} ранг {\displaystyle m}. Не ўсякая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі: напрыклад, падгрупа пар віду {\displaystyle (e^{ix},e^{i\pi x})} у торы {\displaystyle \{(e^{ix},e^{iy})\mid x,y\in \mathbb {R} \}} не падгрупа Лі (яна дае усюды шчыльную абмотку тора). Падгрупа Лі заўсёды замкнутая. У рэчаісным выпадку справядліва і адваротнае: замкнутая падгрупа з'яўляецца падгрупай Лі. У камплексным выпадку гэта не так: бываюць рэчаісныя падгрупы Лі камплекснай групы Лі, якія маюць няцотную размернасць, напрыклад, унітарныя матрыцы ў групе абарачальных камплексных матрыц {\displaystyle 2\times 2}.

Хай {\displaystyle H} — падгрупа Лі групы Лі {\displaystyle G}. Мноства {\displaystyle G/H} сумежных класаў (усё роўна, левых ці правых) можна адзіным чынам надзяліць структурай дыферэнцавальнай мнагастайнасці так, каб кананічная праекцыя была дыферэнцавальным адлюстраваннем. Пры гэтым атрымаецца лакальна трывіяльнае расслаенне, і калі {\displaystyle H} — нармальная падгрупа, то фактаргруппа будзе групай Лі.

Дзеянні груп Лі
---------------

Групы Лі часта выступаюць як сіметрыі якой-небудзь структуры на некаторай мнагастайнасці, а таму натуральна, што вывучэнне дзеянняў груп Лі на розных мнагастайнасцях з'яўляецца важным раздзелам тэорыі. Кажуць, што група Лі G дзейнічае на гладкай мнагастайнасці M, калі зададзены гомамарфізм груп a: G → Diff M, дзе Diff M — група дыфеамарфізмаў M. Такім чынам, кожнаму элементу g групы G павінна адпавядаць дыфеаморфнае пераўтварэнне ag мнагастайнасці M, прычым здабытку элементаў і ўзяццю адваротнага элемента адпавядаюць кампазіцыя дыфеамарфізмаў і адваротны дыфеамарфізм. Калі з кантэксту ясна, пра якое дзеянне ідзе гаворка, то вобраз ag(m) пункта m пры дыфеамарфізме, які вызначаецца элементам g, абазначаецца проста gm.

Група Лі натуральна дзейнічае на сабе левымі і правымі зрухамі, а таксама спалучэннямі. Гэтыя дзеянні традыцыйна абазначаюцца *l*, *r* и *a*:

*l**g*(*h*) = *gh*,
*r**g*(*h*) = *hg*,
*a**g*(*h*) = *ghg*−1.
Іншым прыкладам дзеяння з'яўляецца дзеянне групы Лі G на мностве сумежных класаў гэтай групы па якой-небудзь падгрупе Лі *N* ≤ *G*:

*g* (*hN*) = (*gh*)*N*,
Дзеянне групы Лі G на дыферэнцавальнай мнагастайнасці M называецца транзітыўным, калі любы пункт M можна перавесці ў любы іншы з дапамогай дзеяння некаторага элемента G. Мнагастайнасць, на якой зададзена транзітыўнае дзеянне групы Лі называецца аднароднай прасторай гэтай групы. Аднародныя прасторы адыгрываюць важную ролю ў многіх раздзелах геаметрыі. Аднародная прастора групы G дыфеаморфная *G* / st *x*, дзе st *x* — стабілізатар адвольнага пункта.

Алгебра Лі групы Лі
-------------------

Са ўсякай групай Лі можна звязаць некаторую алгебру Лі, якая цалкам адлюстроўвае лакальную структуру групы, ва ўсякім выпадку, калі група Лі звязная.

Вектарнае поле на групе Лі G называецца леваінварыянтным, калі яно перастаўляльнае з левымі зрухамі, гэта значыць

*V*(*lg*\* *f*) = *lg*\* (*Vf*) для ўсіх *g* з *G*, і любой дыферэнцавальнай функцыі *f*.
Раўназначна,

*dlg* (*Vx*) = *Vgx* для ўсіх *x*, *g* з G.
Відавочна, любое леваінварыянтнае вектарнае поле *V* на групе Лі цалкам вызначаецца сваім значэннем *Ve* ў адзінцы. Наадварот, задаўшы адвольны вектар *V* у датычнай прасторы *Ge* да адзінкі, можна разнесці яго левымі зрухамі па ўсёй групе. Атрымліваецца ўзаемна адназначная адпаведнасць паміж датычнай прасторай да групы ў адзінцы і прасторай леваінварыянтных вектарных палёў.

Дужка Лі [*X*,*Y*] леваінварыянтных вектарных палёў будзе леваінварыянтным вектарным полем. Таму *Ge* з'яўляецца алгебрай Лі. Гэтая алгебра называецца *алгебрай Лі групы G*. Звычайна яна абазначаецца адпаведнай малой гатычнай літарай.

Гл. таксама
-----------

* Алгебра Лі
* Унітарная група
* Простая група Лі

Літаратура
----------

* *Винберг Э. Б. Онищик А. Л.* Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. 1988, 1995.
* Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т.20. Группы Ли и алгебры Ли — 1. — М.: ВИНИТИ. 1988.
* *Адамс Дж. Ф.* Лекции по группам Ли, «Наука», 1979.
* *Бурбаки Н.* Группы и алгебры Ли. Главы I—III. — М.: Мир, 1976. — 496 с.
* *Бурбаки Н.* Группы и алгебры Ли. Глава IX. — М.: Мир, 1986. — 174 с.

Спасылкі
--------

* Ресурсы физико-математической библиотеки сайта EqWorld — «Мир математических уравнений»:
* Семинар «Софус Ли». Теория алгебр Ли. Топология групп Ли. М.: ИЛ, 1962 (djvu)
* Серр Ж.-П. Алгебры Ли и группы Ли. М.: Мир, 1969 (djvu)

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Вялікая кiтайская · Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) · Universalis · Universalis |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BNE: XX535210 · BNF: 11946908c · GND: 4035695-4 · LCCN: sh85076786 · Microsoft: 187915474 · NDL: 00567368 · NKC: ph117709 · SUDOC: 02742474X |

 |