У перспектыве, лініі, паралельныя на плоскасці, перасякаюцца ў пункце збегу  (англ.) (бел. на гарызонце.
**Праекты́ўная прасто́ра** над полем *K* — прастора, якая складаецца з прамых (аднамерных падпрастор) некаторай лінейнай прасторы *L*(*K*) над гэтым полем. Прамыя прасторы *L*(*K*) называюцца *пунктамі* праектыўнай прасторы. Гэта азначэнне можна абагульніць на адвольнае цела *K*.

Калі *L* мае размернасць *n*+1, то размернасцю праектыўнай прасторы называецца лік *n*, а сама праектыўная прастора абазначаецца *KP**n* і называецца асацыяванаю з *L*
(каб гэта пазначыць, прынята абазначэнне *P*(*L*)).

Пераход ад вектарнай прасторы *L*(*K*) размернасці *n*+1 да адпаведнай праектыўнай прасторы *KP**n* называецца **праектывізацыяй** прасторы *L*(*K*).

Пункты *KP**n* можна апісаць з дапамогаю аднародных каардынат  (руск.) (бел..

Аксіяматычнае азначэнне
-----------------------

**Праектыўная прастора** можа таксама вызначацца сістэмаю аксіём тыпу гільбертавай  (руск.) (бел.. У гэтым выпадку праектыўная прастора вызначаецца як сістэма, якая складаецца з мноства пунктаў *P*, мноства прамых *L* і дачынення інцыдэнтнасці *I*, якое звычайна выражаецца словамі «пункт ляжыць на прамой» ці «прамая праходзіць праз пункт», і задавальняе наступныя аксіёмы:

* Для любых двух розных пунктаў існуе адзіная прамая, інцыдэнтная абодвум пунктам; (праз любыя два пункты праходзіць толькі адна прамая)
* Кожная прамая інцыдэнтная не менш чым тром пунктам; (на кожнай прамой ляжыць не менш чым тры пункты)
* Калі прамыя *L* і *M* перасякаюцца (маюць агульны інцыдэнтны пункт), пункты *p* і *q* ляжаць на прамой *L*, а пункты *s* і *r* — на прамой *M*, то прамыя *ps* і *qr* перасякаюцца.

*Падпрастораю* праектыўнай прасторы называецца падмноства *T* мноства *P*, такое што для любых {\displaystyle p,q\in P} з гэтага падмноства ўсе пункты прамой *pq* належаць *T*. *Размернасцю* праектыўнай прасторы *P* называецца найбольшы лік *n*, такі што існуе строга нарастаючы ланцуг  (руск.) (бел. падпрастор віду

{\displaystyle \varnothing =X\_{-1}\subset X\_{0}\subset \cdots X\_{n}=P.}
Заўвага: усе сцвярджэнні можна лёгка сфармуляваць з дапамогаю паняцця прыналежнасці, не ўводзячы паняцця інцыдэнтнасці. Аднак паняцце інцыдэнтнасці дазваляе фармуляваць сцвярджэнні ў форме, сіметрычнай адносна паняццяў "пункт" і "прамая". І ў некаторых выпадках гэта аказваецца даволі зручным.

### Класіфікацыя

* Размернасць 0: прастора складаецца з аднаго пункта.
* Размернасць 1: адвольнае непустое мноства пунктаў і адзіная прамая, на якой ляжаць усе гэтыя пункты.
* Размернасць 2 (праектыўная плоскасць  (руск.) (бел.): у гэтым выпадку класіфікацыя больш складаная. Усе плоскасці віду {\displaystyle KP^{n}} для некаторага цела {\displaystyle K} задавальняюць аксіёму Дэзарга  (руск.) (бел. аднак існуюць такія недэзаргавы плоскасці  (англ.) (бел..
* Большыя размернасці: згодна з тэарэмаю Веблена — Юнга  (англ.) (бел. любая праектыўная прастора размернасці больш чым два можа быць атрымана як праектывізацыя модуля  (руск.) (бел. над некаторым целам.

Звязаныя азначэнні і ўласцівасці
--------------------------------

* Няхай {\displaystyle M} — гіперплоскасць у лінейнай прасторы {\displaystyle L}. Праектыўная прастора {\displaystyle P(M)\subset P(L)} называецца праектыўнаю гіперплоскасцю ў {\displaystyle P(L)}.
* На дапаўненні праектыўнай гіперплоскасці {\displaystyle A=P(L)\backslash P(M)} існуе натуральная структура афіннай прасторы  (руск.) (бел..
* Наадварот, узяўшы за аснову афінную прастору {\displaystyle A} можна атрымаць праектыўную прастору як афінную, да якой дабаўлены т. зв. бесканечна аддаленыя пункты. Першапачаткова праектыўная прастора і была ўведзена такім чынам.

Таўталагічнае расслаенне
------------------------

*Таўталагічным расслаеннем* {\displaystyle \gamma ^{n}:E\to \mathbb {R} P^{n}} называецца вектарнае расслаенне  (руск.) (бел. прастораю расслаення якога з'яўляецца падмноства прамога здабытку {\displaystyle \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}}

{\displaystyle E(\gamma ^{n}):={\big \{}(\{\pm \;x\},v)\in \mathbb {R} P^{n}\times \mathbb {R} ^{n+1}:v=\lambda x,\;\lambda \in \mathbb {R} {\big \}}.}
а слоем — рэчаісная прамая {\displaystyle \mathbb {R} }. Кананічная праекцыя {\displaystyle \gamma ^{n}} адлюстроўвае прамую, якая праходзіць праз пункты {\displaystyle \pm x\in \mathbb {R} ^{n+1}}, у адпаведны пункт праектыўнай прасторы. Пры {\displaystyle n\geq 1} гэта расслаенне не з'яўляецца трывіяльным.
Пры {\displaystyle n=1} прастораю расслаення з'яўляецца стужка Мёбіуса.

Зноскі
------

1. ↑  *Veblen, Oswald; Young, John Wesley*. Projective geometry. Vols. 1, 2, Blaisdell Publishing Co. Ginn and Co. New York-Toronto-London, 1965 (Reprint of 1910 edition)

Літаратура
----------

* *Артин Э.* Геометрическая алгебра — М.: Наука, 1969.
* *Дубровин Б. А. Новиков С. П. Фоменко А. Т.* Современная геометрия. Методы и приложения. — М.: Наука, 1979.
* *Кострикин А. И. Манин Ю. И.* Линейная алгебра и геометрия — М.: МГУ, 1980.
* *Хартсхорн Р.* Основы проективной геометрии — М.: Мир, 1970.
* *Шафаревич И. Р. Ремизов А. О.* Линейная алгебра и геометрия, — Физматлит, Москва, 2009.
* *Александров А. Д. Нецветаев Н. Ю.* Геометрия. — Наука, Москва, 1990.
* *Бэр Р.* Линейная алгебра и проективная геометрия. — УРСС, Москва, 2004.
* *Фиников С. П.* Аналитическая геометрия: Курс лекций. — УРСС, Москва, 2008.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 122863779 · LCCN: sh85107383 · Microsoft: 75280867 |