Аперацыя градыента пераўтварае пагорак (злева), калі глядзець на яго зверху, у поле вектараў (справа). Відаць, што вектары накіраваны «ў горку» і тым даўжэйшыя, чым круцейшы нахіл.
У вектарным злічэнні **градые́нт** скалярнага поля — вектарнае поле, якое ўказвае напрамак найхутчэйшага нарастання скалярнага поля, а амплітуда гэтага поля ёсць хуткасць нарастання. У дэкартавых каардынатах градыент роўны вектару частковых вытворных функцыі па адпаведных каардынатах.

Напрыклад, калі ўзяць у якасці {\displaystyle \varphi } вышыню паверхні зямлі над узроўнем мора, то яе градыент у кожным пункце будзе паказваць «напрамак самага крутога пад’ёму», а сваёю велічынёй характарызаваць крутасць схілу.

З матэматычнага пункту гледжання градыент — гэта вытворная скалярнай функцыі, вызначанай на вектарнай прасторы.

Прастора, на якой вызначана функцыя і яе градыент, можа быць, увогуле кажучы, як звычайнай трохмернай прасторай, так і прасторай любой іншай размернасці і любой фізічнай прыроды, ці чыста абстрактнай.

Тэрмін упершыню з’явіўся ў метэаралогіі, а ў матэматыку быў уведзены Максвелам у 1873 г. Абазначэнне *grad* таксама прапанаваў Максвел.

**Стандартныя абазначэнні**:

{\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi }
або, з выкарыстаннем аператара набла,

{\displaystyle \nabla \varphi }
— замест {\displaystyle \varphi } можа быць любое скалярнае поле, абазначанае любою літарай, напрыклад {\displaystyle \mathrm {grad} \,V,\nabla V} — абазначэнне градыента поля *V*.

Азначэнне
---------

У выпадку трохмернай прасторы градыентам
скалярнай функцыі {\displaystyle \varphi =\varphi (x,y,z)} каардынат {\displaystyle x}, {\displaystyle y}, {\displaystyle z} называецца вектарная функцыя з кампанентамі

{\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right).}
Абазначыўшы адзінкавыя вектары (орты) па восях прамавугольных дэкартавых каардынат як {\displaystyle {\vec {e}}\_{x},{\vec {e}}\_{y},{\vec {e}}\_{z},} градыент можна запісаць у выглядзе:

{\displaystyle \mathrm {grad} \,\varphi =\nabla \varphi ={\frac {\partial \varphi }{\partial x}}{\vec {e}}\_{x}+{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}{\vec {e}}\_{y}+{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}{\vec {e}}\_{z}.}
Калі {\displaystyle \varphi } — функцыя {\displaystyle n} зменных {\displaystyle x\_{1},\ldots ,x\_{n},} то яе градыентам называецца {\displaystyle n}-мерны вектар

{\displaystyle \left({\frac {\partial \varphi }{\partial x\_{1}}},\ldots ,{\frac {\partial \varphi }{\partial x\_{n}}}\right),}
кампаненты якога роўныя частковым вытворным {\displaystyle \varphi } па яе адпаведных аргументах.

* Размернасць вектара градыента поля вызначаецца, такім чынам, размернасцю прасторы (ці мнагастайнасці), на якой зададзена гэта скалярнае поле.
* **Аператарам градыента** (які звычайна абазначаюць як {\displaystyle \mathrm {grad} } або {\displaystyle \nabla }) называецца аператар, дзеянне якога на скалярную функцыю (поле) дае яе градыент. Гэты аператар іншы раз называюць проста «градыентам».

Сэнс градыента любой скалярнай функцыі {\displaystyle f} у тым, што яго скалярны здабытак з бесканечна малым вектарам перамяшчэння {\displaystyle d\mathbf {x} } дае поўны дыферэнцыял гэтай функцыі пры адпаведным змяненні каардынат у прасторы, на якой вызначана {\displaystyle f}, г. зн. лінейную (у выпадку агульнага становішча яна ж галоўная) частку змянення {\displaystyle f} пры перамяшчэнні на {\displaystyle d\mathbf {x} }. Прымяняючы адну і тую ж літару для абазначэння функцыі ад вектара і адпаведнай функцыі ад яго каардынат, можна напісаць:

{\displaystyle df={\frac {\partial f}{\partial x\_{1}}}\,dx\_{1}+{\frac {\partial f}{\partial x\_{2}}}\,dx\_{2}+{\frac {\partial f}{\partial x\_{3}}}\,dx\_{3}+\ldots =\sum \_{i}{\frac {\partial f}{\partial x\_{i}}}\,dx\_{i}=(\mathrm {grad} \,\mathbf {f} \cdot d\mathbf {x} ).}

Варта тут заўважыць, што раз формула поўнага дыферэнцыяла не залежыць ад віду каардынат {\displaystyle x\_{i}}, г.зн. ад прыроды параметраў *x* увогуле, то атрыманы дыферэнцыял з’яўляецца скалярным інварыянтам пры любых пераўтварэннях каардынат, а раз {\displaystyle d\mathbf {x} } — гэта вектар, то градыент, вылічаны звычайным спосабам, аказваецца каварыянтным вектарам, г.зн. вектарам, прадстаўленым у дуальным базісе, які толькі і можа даць скаляр пры простым складанні здабыткаў каардынат звычайнага (контраварыянтнага), г.зн. вектарам, запісаным у звычайным базісе. Такім чынам, выраз (увогуле кажучы — для адвольных крывалінейных каардынат) можа быць цалкам правільна і інварыянтна запісаны як:

{\displaystyle df=\sum \_{i}(\partial \_{i}f)\,dx^{i}}

ці, апускаючы згодна з правілам Эйнштэйна знак сумы,

{\displaystyle df=(\partial \_{i}f)\,dx^{i}}

(у ортанарміраваным базісе мы можам пісаць усе індэксы ніжнімі, як мы і рабілі вышэй).
Аднак градыент аказваецца сапраўдным каварыянтным вектарам у любых крывалінейных каардынатах.

Прыклад
-------

Напрыклад, градыент функцыі {\displaystyle \varphi (x,y,z)=2x+3y^{2}-\sin z} будзе роўны:

{\displaystyle \nabla \varphi =\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},{\frac {\partial \varphi }{\partial y}},{\frac {\partial \varphi }{\partial z}}\right)=(2,6y,-\cos z)}

У фізіцы
--------

У розных галінах фізікі выкарыстоўваецца паняцце градыента розных фізічных палёў.

Напрыклад, напружанасць электрастатычнага поля ёсць мінус градыент электрычнага патэнцыялу, напружанасць гравітацыйнага поля (паскарэнне свабоднага падзення) у класічнай тэорыі гравітацыі ёсць мінус градыент гравітацыйнага патэнцыялу. Кансерватыўная сіла ў класічнай механіцы ёсць мінус градыент патэнцыяльнае энергіі.

У прыродазнаўчых навуках
------------------------

Паняцце градыента прымяняецца не толькі ў фізіцы, але і ў сумежных і нават параўнальна далёкіх ад фізікі навуках (іншы раз гэта прымяненне мае колькасны, а часам і проста якасны характар).

Напрыклад, *градыент канцэнтрацыі* — нарастанне ці спаданне па якім-небудзь напрамку канцэнтрацыі растворанага рэчыва, *градыент тэмпературы* — павелічэнне ці памяншэнне па якім-небудзь напрамку тэмпературы асяроддзя і пад.

Градыент такіх велічынь можа быць выкліканы рознымі прычынамі, напрыклад, механічнаю перашкодаю, дзеяннем электрамагнітных, гравітацыйных ці іншых палёў або адрозненнямі ў растваральнай здольнасці пагранічных фаз.

Геаметрычны сэнс
----------------

Разгледзім сямейства ліній узроўню функцыі {\displaystyle \varphi }:

{\displaystyle \gamma (h)=\{(x\_{1},\ldots ,x\_{n}):\varphi (x\_{1},\ldots ,x\_{n})=h\}.}
Няцяжка паказаць, што градыент функцыі {\displaystyle \varphi } у кропцы {\displaystyle {\vec {x}}^{0}} перпендыкулярны яе лініі ўзроўню, якая праходзіць праз гэту кропку. Модуль градыента паказвае найбольшую скорасць змянення функцыі ў наваколлі {\displaystyle {\vec {x}}^{0}}, г.зн. частату ліній узроўню. Напрыклад, лініі ўзроўню вышыні рысуюцца на тапаграфічных картах, пры гэтым модуль градыента паказвае крутасць спуску ці пад’ёму ў дадзенай кропцы.

Сувязь з вытворнаю па напрамку
------------------------------

Прымяняючы правіла дыферэнцавання складанай функцыі, няцяжка паказаць, што
вытворная функцыі {\displaystyle \varphi } па напрамку {\displaystyle {\vec {e}}=(e\_{1},\ldots ,e\_{n})} раўняецца скалярнаму здабытку градыента {\displaystyle \varphi } на **адзінкавы** вектар {\displaystyle {\vec {e}}}:

{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial {\vec {e}}}}={\frac {\partial \varphi }{\partial x\_{1}}}e\_{1}+\ldots +{\frac {\partial \varphi }{\partial x\_{n}}}e\_{n}=(\nabla \varphi ,{\vec {e}})}
Такім чынам, для вылічэння вытворнай па любым напрамку дастаткова знаць градыент функцыі, то бок вектар, кампаненты якога з’яўляюцца яе частковымі вытворнымі.

Градыент у артаганальных крывалінейных каардынатах
--------------------------------------------------

{\displaystyle \operatorname {grad} U(q\_{1},q\_{2},q\_{3})={\frac {1}{H\_{1}}}{\frac {\partial U}{\partial q\_{1}}}{\vec {e}}\_{1}+{\frac {1}{H\_{2}}}{\frac {\partial U}{\partial q\_{2}}}{\vec {e}}\_{2}+{\frac {1}{H\_{3}}}{\frac {\partial U}{\partial q\_{3}}}{\vec {e}}\_{3},}
дзе {\displaystyle H\_{i}} — каэфіцыенты Ламе.

### Палярныя каардынаты (на плоскасці)

Каэфіцыенты Ламе:

{\displaystyle {\begin{array}{l}H\_{1}=1;\\H\_{2}=r.\end{array}}}
Адсюль:

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e\_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e\_{\theta }}}.}
### Цыліндрычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

{\displaystyle {\begin{array}{l}H\_{1}=1;\\H\_{2}=r;\\H\_{3}=1.\end{array}}}
Адсюль:

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,z)={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e\_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e\_{\theta }}}+{\frac {\partial U}{\partial z}}{\vec {e\_{z}}}.}
### Сферычныя каардынаты

Каэфіцыенты Ламе:

{\displaystyle {\begin{array}{l}H\_{1}=1;\\H\_{2}=r;\\H\_{3}=r\sin {\theta }.\end{array}}}
Адсюль:

{\displaystyle \operatorname {grad} U(r,\theta ,\varphi )={\frac {\partial U}{\partial r}}{\vec {e\_{r}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial U}{\partial \theta }}{\vec {e\_{\theta }}}+{\frac {1}{r\sin {\theta }}}{\frac {\partial U}{\partial \varphi }}{\vec {e\_{\varphi }}}.}

Гл. таксама
-----------

* Вектарны аналіз
* Тэарэма Гаўса
* Формулы вектарнага аналізу
* Аператар набла
* Класічная тэорыя поля
* Градыент канцэнтрацыі
* 4-градыент
* Аператар Кэнні

Літаратура
----------

* Дубровин Б. А. Новиков С. П. Фоменко А. Т. Современная геометрия. Учебное пособие для физико-математических специальностей университетов, 1986. стр.30

| ⛭Дыферэнцыяльнае злічэнне |
| --- |
| Асноўнае | 
* Вытворная
* Дыферэнцыял
* Вытворная па напрамку
* Частковая вытворная
* Поўная вытворная функцыі
* Лагарыфмічная вытворная
* Матрыца Якобі
* Матрыца Гессе
* Дыферэнцыяльная форма
* Дыферэнцыяльнае ўраўненне

 |
| Асобныя віды вытворных | 
* Вытворная Лі
* Вытворная Дзіні
* Вытворная Пінкерля
* Вытворная Рымана
* Каварыянтная вытворная
* Вытворная Пеана
* Вытворная Радона — Нікадзіма

 |
| Дыферэнцыяльныя аператары (у розных каардынатах) | 

|  |  |
| --- | --- |
| Першага парадку | 
* Аператар набла
* Градыент
* Дывергенцыя
* Ротар

 |
| Другога парадку | 
* Эліптычны аператар
* Аператар Лапласа
* Аператар Д’Аламбера
* Аператар Лапласа — Бельтрамі

 |
| Вышэйшых парадкаў | 
* Гіпаэліптычны аператар

 |

 |
| Звязаныя тэмы | 
* Лікавае дыферэнцаванне
* Варыяцыйнае злічэнне
* Інтэграл
* Рад Тэйлара

 |