У фізіцы і матэматыцы, **ураўненнем Гамільтана — Якобі** называецца ўраўненне наступнага выгляду

{\displaystyle H\left(q\_{1},\dots ,q\_{n};{\frac {\partial S}{\partial q\_{1}}},\dots ,{\frac {\partial S}{\partial q\_{n}}};t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0.}
Тут *S* абазначае класічнае дзеянне, {\displaystyle H(q\_{1},\dots ,q\_{n};p\_{1},\dots ,p\_{n};t)} — гамільтаніян, {\displaystyle q\_{i}} — абагульненыя каардынаты.

Непасрэдна адносіцца да класічнай (не квантавай) механікі, аднак добра прыстасавана для ўстанаўлення сувязі паміж класічнай механікай і квантавай, бо яго можна, напрыклад, атрымаць практычна прама з ураўнення Шродзінгера ў прыбліжэнні хуткаасцыліруючай хвалевай функцыі (вялікіх частот і хвалевых лікаў).

У класічнай механіцы ўзнікае звычайна са спецыяльнага кананічнага пераўтварэнні класічнага гамільтаніяна, якое прыводзіць да гэтага нелінейнага дыферэнцыйнага ўраўнення першага парадку, рашэнне якога апісвае паводзіны дынамічнай сістэмы.

Варта адрозніваць ураўненне Гамільтана — Якобі ад ураўненняў руху Гамільтана і Эйлера — Лагранжа. Хоць гэтае ўраўненне і выводзіцца з іх, але ўяўляе сабой адно ўраўненне, якое апісвае дынаміку механічнай сістэмы з любой колькасцю ступеней свабоды *s*, у адрозненне ад *2s* ураўненняў Гамільтана і *s* ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Ураўненне Гамільтана — Якобі дапамагае элегантна вырашыць задачу Кеплера.

Кананічнае пераўтварэнне
------------------------

Ураўненне Гамільтана — Якобі неадкладна вынікае з таго факта, што для любой функцыі *S*(*q, p', t*) (не звяртаючы ўвагі на індэксы), ураўненні руху не змяняюцца для *H*(*q, p, t*) і *H'*(*q', p', t*)

{\displaystyle (1)\qquad {\partial S \over \partial q}=p,\qquad {\partial S \over \partial p'}=q',\qquad H'=H+{\partial S \over \partial t}.}
Новыя ўраўненні руху становяцца

{\displaystyle (2)\qquad {\partial H' \over \partial q'}=-{dp' \over dt},\qquad {\partial H' \over \partial p'}={dq' \over dt}.}
Ураўненне Гамільтана — Якобі паяўляецца са спецыфічнай функцыі *S*, якая робіць *H'* роўным нулю. У гэтым выпадку ўсе яго вытворныя роўныя нулю і

{\displaystyle (3)\qquad {dp' \over dt}={dq' \over dt}=0.}
Такім чынам, у штрыхаванай сістэме каардынат сістэма цалкам стацыянарна ў фазавай прасторы. Аднак, мы яшчэ не вызначылі, пры дапамозе якой функцыі *S* дасягаецца пераўтварэнне ў штрыхаваную сістэму каардынат. Мы выкарыстоўваем той факт, што

{\displaystyle H'(q',p',t)=H(q,p,t)+{\partial S \over \partial t}=0.}
Паколькі ўраўненне (1) дае {\displaystyle p=\partial S/\partial q,} можна запісаць

{\displaystyle H\left(q,{\partial S \over \partial q},t\right)+{\partial S \over \partial t}=0,}
што з’яўляецца ўраўненнем Гамільтана — Якобі.

Рашэнне
-------

Ураўненне Гамільтана — Якобі часта рашаюць метадам раздзялення пераменных[ru]. Няхай некаторая каардыната (для пэўнасці будзем казаць пра {\displaystyle q\_{1}}) і адпаведны ёй імпульс {\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q\_{1}}}} ўваходзяць ва ўраўненне ў форме

{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial t}}+H\left(f\_{1}\left(q\_{1},{\frac {\partial S}{\partial q\_{1}}}\right),q\_{2},\ldots ,q\_{n},{\frac {\partial S}{\partial q\_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial S}{\partial q\_{n}}}\right)=0.}
Тады можна ўзяць

{\displaystyle f\_{1}\left(q\_{1},{\frac {\partial S}{\partial q\_{1}}}\right)=\alpha \_{1},}
{\displaystyle {\frac {\partial S}{\partial q\_{1}}}=g\_{1}(q\_{1},\alpha \_{1}),}
дзе {\displaystyle \alpha \_{1}} — адвольная пастаянная, {\displaystyle g\_{1}} — адваротная функцыя, і рашаць ураўненне Гамільтана — Якобі ўжо з меншай колькасцю зменных. Калі працэс можна працягнуць па ўсіх зменных, то рашэнне ўраўнення прыме выгляд

{\displaystyle S=-\int H(\alpha \_{1},\ldots ,\alpha \_{n})dt+\int g\_{1}(q\_{1},\alpha \_{1})dq\_{1}+\int g\_{2}(q\_{2},\alpha \_{1},\alpha \_{2})dq\_{2}+\ldots +\int g\_{n}(q\_{n},\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{n})dq\_{n}+k,}
дзе {\displaystyle \alpha \_{i}} — адвольныя пастаянныя, {\displaystyle k} — канстанта інтэгравання. Нагадаем, што пры гэтым {\displaystyle S} з’яўляецца функцыяй канчатковай кропкі {\displaystyle (q\_{1},\dots ,q\_{n})}. Так як дзеянне задае кананічнае пераўтварэнне гамільтанавай сістэмы, то яго вытворныя па каардынатах — гэта імпульсы ў новай сістэме каардынат, таму яны павінны захоўвацца:

{\displaystyle \beta \_{i}={\partial S \over \partial \alpha \_{i}}(\mathbf {q} ,\alpha \_{1},\dots ,\alpha \_{n},t).}
Сумесна з ураўненнямі на імпульсы гэта вызначае рух сістэмы.

Гл. таксама
-----------

* Гамільтанава механіка
* Ураўненні Гамільтана

Літаратура
----------

* *Ланцош К.* Вариационные принципы механики. М.: Физматгиз. 1965.
* *Лич Дж. У.* Классическая механика. М.: Иностр. литература, 1961.
* *Павленко Ю. Г.* Лекции по теоретической механике. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. — 392с.
* *Парс Л. А.* Аналитическая динамика. М.: Наука, 1971.

Спасылкі
--------

* *Гамильтона — Якоби уравнение* — артыкул з Фізічнай энцыклапедыі

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 2778860007 |