| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
* Цэнтральная лімітавая тэарэма
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Размеркава́нне імаве́рнасцей** — закон, які ставіць у адпаведнасць кожнаму інтэрвалу значэнняў імавернасць таго, што значэнне выпадковай велічыні патрапіць у гэты інтэрвал.

Размеркаванне імавернасцей — асобны выпадак больш агульнага паняцця імавернаснай меры[en]: функцыі, якая ставіць у адпаведнасць вымерным мноствам з вымернай прасторы імавернасці згодна з аксіёмамі Калмагорава.

Азначэнне
---------

Размеркаваннем выпадковай велічыні {\displaystyle \xi \colon \Omega \to \mathbb {R} } называецца імавернасная мера {\displaystyle P\_{\xi }:{\mathcal {B}}(\mathbb {R} )\to \mathbb {R} }, зададзеная на σ-алгебры ўсіх барэлеўскіх мностваў[en] {\displaystyle B\subset \mathbb {R} } з дапамогай роўнасці:70
{\displaystyle P\_{\xi }(B):=P(\xi \in B)=P(\xi ^{-1}(B)).}

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Функцыя размеркавання
---------------------

Асноўны артыкул: **Функцыя размеркавання**
Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя {\displaystyle F\_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, якая вызначаецца праз роўнасць
{\displaystyle F\_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}

Кожная функцыя размеркавання адпавядае толькі аднаму размеркаванню і наадварот, кожнае размеркаванне адназначна задае функцыю размеркавання:70-71.

Класіфікацыя размеркаванняў
---------------------------

Размеркаванні імавернасцей падзяляюцца паводле характарыстык іх функцый размеркавання на дыскрэтныя, абсалютна непарыўныя, сінгулярныя і змешаныя:77-78.

### Дыскрэтнае размеркаванне

Прыклад функцыі імавернасці і функцыі размеркавання для дыскрэтнага размеркавання
Размеркаванне выпадковай велічыні завецца дыскрэтным, калі яна прымае канечную або злічоную колькасць значэнняў.

Для дыскрэтнага размеркавання існуе так званая функцыя імавернасці {\displaystyle p\_{\xi }}, якая ставіць у адпаведнасць кожнаму значэнню {\displaystyle x\in \mathbb {R} } імавернасць таго, што выпадковая велічыня {\displaystyle \xi } прыме гэтае значэнне:


p

ξ

(
x
)
=
P
(
ξ
=
x
)

{\displaystyle p\_{\xi }(x)=P(\xi =x)}

{\displaystyle p_{\xi }(x)=P(\xi =x)}
Калі колькасць значэнняў невялікая, дыскрэтнае размеркаванне можна задаць з дапамогай табліцы

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Значэнні {\displaystyle \xi } | {\displaystyle x\_{1}} | {\displaystyle x\_{2}} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle x\_{n}} | {\displaystyle \dots } |
| {\displaystyle P(\xi =x\_{k})} | {\displaystyle p\_{1}} | {\displaystyle p\_{2}} | {\displaystyle \dots } | {\displaystyle p\_{n}} | {\displaystyle \dots } |

, дзе {\displaystyle p\_{k}>0} і {\displaystyle \sum \_{k}p\_{k}=1}.

Функцыя размеркавання мае выгляд
{\displaystyle F\_{\xi }(x)=P(\xi <x)=\sum \_{k:x\_{k}<x}p\_{k}}.

Прыклады дыскрэтных размеркаванняў:

* Звыроднае размеркаванне
* Раўнамернае дыскрэтнае размеркаванне
* Размеркаванне Бэрнулі
* Біномнае размеркаванне
* Размеркаванне Пуасона
* Геаметрычнае размеркаванне
* Адмоўнае біномнае размеркаванне
* Гіпергеаметрычнае размеркаванне

### Абсалютна непарыўнае размеркаванне

Прыклад шчыльнасці імавернасці і функцыі размеркавання для абсалютна непарыўнага размеркавання
Размеркаванне выпадковай велічыні завецца абсалютна непарыўным, калі існуе неадмоўная функцыя {\displaystyle f\_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, для якой {\displaystyle \int \_{\mathbb {R} }f\_{\xi }(t)dt=1} і для кожнага барэлеўскага мноства {\displaystyle B\in \mathbb {R} } праўдзіцца {\displaystyle P(\xi \in B)=\int \_{B}f\_{\xi }(t)dt}. Такая функцыя {\displaystyle f\_{\xi }} завецца шчыльнасцю імавернасці выпадковай велічыні {\displaystyle \xi }.

Для абсалютна непарыўных размеркаванняў функцыя размеркавання мае выгляд {\displaystyle F\_{\xi }(x)=\int \_{-\infty }^{x}f\_{\xi }(t)dt}. Пры гэтым амаль усюды[en] мае месца роўнасць {\displaystyle F\_{\xi }'(x)=f\_{\xi }(x)}, то бок шчыльнасць імавернасці ёсць вытворная ад функцыі размеркавання.

Прыклады абсалютна непарыўных размеркаванняў:

* Раўнамернае непарыўнае размеркаванне
* Нармальнае размеркаванне
* Гама-размеркаванне
* Размеркаванне Эрланга
* Размеркаванне Кашы

### Сінгулярнае размеркаванне

Асноўны артыкул: **Сінгулярнае размеркаванне**
Прыклад сінгулярнай функцыі размеркавання — фукнцыя Кантара або «кантарава лесвіца»
Сінгулярным называецца размеркаванне, функцыя размеркавання {\displaystyle F} якога непарыўная, але яе пункты росту маюць лебегаву меру[en] нуль. Такім чынам, вытворная функцыі {\displaystyle F} амаль усюды роўная нулю. Прыклад такой функцыі — функцыя Кантара[en].

### Змешанае размеркаванне

Змешанымі завуцца размеркаванні, якія не адносяцца ні да дыскрэтных, ні да непарыўных, ні да сінгулярных размеркаванняў. Іх функцыі размеркавання заўсёды можна прадставіць як выпуклую камбінацыю[en] дыскрэтнай, непарыўнай і сінгулярнай функцыі размеркавання:80:



F
(
x
)
=

a

1

F

1

(
x
)
+

a

2

F

2

(
x
)
+

a

3

F

3

(
x
)
,

{\displaystyle F(x)=a\_{1}F\_{1}(x)+a\_{2}F\_{2}(x)+a\_{3}F\_{3}(x),}

{\displaystyle F(x)=a_{1}F_{1}(x)+a_{2}F_{2}(x)+a_{3}F_{3}(x),}
дзе {\displaystyle a\_{1},a\_{2},a\_{3}\in [0,1]}, {\displaystyle a\_{1}+a\_{2}+a\_{3}=1}, {\displaystyle F\_{1}} — дыскрэтная, {\displaystyle F\_{2}} — абсалютна непарыўная, {\displaystyle F\_{3}} — сінгулярная функцыі размеркавання.

Гл. таксама
-----------

* Сінгулярнае размеркаванне

Зноскі
------

1. 1 2 3 4  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

Літаратура
----------

* Размеркаванне імавернасцей // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 13: Праміле — Рэлаксін / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2001. — Т. 13. С. 261.