Графік двайковага лагарыфма

|  |
| --- |
| Арыфметычныя аперацыі |
| 

| Складанне (+) |
| --- |
|  | {\displaystyle \scriptstyle \left.\scriptstyle {\text{складаемае}}\,+\,{\text{складаемае}}\right\}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{сума}}} |
| Адніманне (−) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{памяншаемае}}\,-\,{\text{аднімаемае}}\\\scriptstyle {\text{зменшыва}}\,-\,{\text{аднімнік}}\end{matrix}}\right\}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{рознасць}}} |
| Множанне (×) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\text{сумножнік}}\,\times \,{\text{сумножнік}}\\\scriptstyle {\text{множыва}}\,\times \,{\text{множнік}}\end{matrix}}\right\}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{здабытак}}} |
| Дзяленне (÷) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle \left.{\begin{matrix}\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{дзялімае}}}{\scriptstyle {\text{дзельнік}}}}\\\scriptstyle {\text{ }}\\\scriptstyle {\frac {\scriptstyle {\text{дзеліва}}}{\scriptstyle {\text{дзельнік}}}}\end{matrix}}\right\}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{дзель}}} |
| Ступеняванне (^) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle {\text{аснова}}^{\text{паказчык}}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{ступень}}} |
| ✰ Карэняванне (√) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle {\sqrt[{\text{паказчык}}]{\scriptstyle {\text{падкаранёвы выраз}}}}\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{корань}}} |
| Лагарыфмаванне (log) |
|  | {\displaystyle \scriptstyle \log \_{\text{аснова}}({\text{выраз}})\,=\,} | {\displaystyle \scriptstyle {\text{лагарыфм}}} |

 |

**Лагары́фм** ліку *x* па аснове *b* (ад грэч. λόγος — «слова», «дачыненне» і ἀριθμός — «лік») — такое значэнне ступені, у якую трэба ўзвесці лік *b*, т. зв. **асно́ву**, каб атрымаць значэнне *x*.
Запіс {\displaystyle \log \_{b}a} чытаецца як «*лагарыфм {\displaystyle a} па аснове {\displaystyle b}*».

З азначэння вынікае, што знаходжанне {\displaystyle x=\log \_{b}a} раўназначнае рашэнню ўраўнення

{\displaystyle b^{x}=a.}
Напрыклад, лагарыфм 1000 па аснове 10 роўны 3, бо 1000 ёсць 10 у ступені 3: 1000 = 10·10·10 = 10³.

Вылічэнне лагарыфма называецца **лагарыфмава́ннем**.

Лагарыфмы маюць цікавыя ўласцівасці, якія дазваляюць спрашчаць працаёмкія вылічэнні. Пры пераходзе «ў свет лагарыфмаў» множанне замяняецца на значна прасцейшае складанне, дзяленне — на адыманне, а ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня ператвараюцца адпаведна ў множанне і дзяленне на паказчык ступені. Лаплас казаў, што вынаходніцтва лагарыфмаў, «скараціўшы працу астранома, падвоіла яго жыццё».
У прыкладаннях аснова *b* лагарыфма і лагарыфмуемы лік (аргумент лагарыфма) звычайна рэчаісныя. Тым не менш, існуе шэраг праблем (у тым ліку і прыкладных), дзе карысным аказваецца так званы камплексны лагарыфм.

Азначэнне лагарыфмаў і табліцу іх значэнняў (для трыганаметрычных функцый) упершыню надрукаваў у 1614 годзе шатландскі матэматык Джон Непер. Лагарыфмічныя табліцы, пашыраныя і ўдакладненыя іншымі матэматыкамі, паўсюдна выкарыстоўваліся ў навуковых і інжынерных разліках больш за тры стагоддзі, пакуль не з’явіліся электронныя вылічальныя машыны.

З цягам часу высветлілася, што лагарыфмічная функцыя {\displaystyle y=\log \_{b}x} незаменная і ў шмат якіх іншых галінах чалавечай дзейнасці: развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, вымярэнні фізічных велічынь (напрыклад, частаты і магутнасці гуку), прыбліжэнні розных залежнасцей, тэорыі інфармацыі, тэорыі імавернасцей і г. д. Гэта функцыя ўваходзіць у лік элементарных, лагарыфм адваротны да паказчыкавай функцыі. Часцей за ўсё выкарыстоўваюцца рэчаісныя лагарыфмы па аснове *e* (натуральны), 10 (дзесятковы) і 2 (двайковы).

Рэчаісны лагарыфм
-----------------

Лагарыфм {\displaystyle x=\log \_{b}a} па азначэнню ёсць рашэнне ўраўнення

{\displaystyle b^{x}=a.}
Выпадак {\displaystyle b=1} не вельмі цікавы, бо пры {\displaystyle a\neq 1} гэта ўраўненне не мае рашэння, а пры {\displaystyle a=1} любы лік з’яўляецца рашэннем; у абодвух выпадках лагарыфм не вызначаны. Гэтак жа прыходзім да высновы, што лагарыфм не існуе пры нулявым і адмоўным {\displaystyle b}; акрамя таго, значэнне паказчыкавай функцыі {\displaystyle b^{x}} заўсёды дадатнае, таму варта выключыць і выпадак адмоўнага {\displaystyle a}. Канчаткова атрымліваем:

|  |
| --- |
| 
Рэчаісны лагарыфм {\displaystyle \log \_{b}a} вызначаны пры {\displaystyle b>0,b\neq 1,a>0.}
 |

Як вядома, паказчыкавая функцыя {\displaystyle y=b^{x}} (пры выкананні вышэйзгаданых умоў на {\displaystyle b}) вызначана, манатонная і кожнае значэнне прымае толькі адзін раз, прычым абсяг яе значэнняў утрымлівае ўсе дадатныя рэчаісныя лікі. Адсюль вынікае, што значэнне рэчаіснага лагарыфма дадатнага ліку заўсёды вызначана і адзінае.

Найбольш шырокі ўжытак і шматлікія дастасаванні маюць наступныя віды лагарыфмаў:

* Натуральны: {\displaystyle \ln x}, аснова: лік Ойлера *e*.
* Дзесятковы: {\displaystyle \lg x}, аснова: лік 10.
* Двайковы: {\displaystyle \log \_{2}x} або {\displaystyle \operatorname {lb} x}, аснова: 2. Яны ўжываюцца, напрыклад, у тэорыі інфармацыі, інфарматыцы, у многіх раздзелах дыскрэтнай матэматыкі.

### Уласцівасці

#### Асноўная лагарыфмічная тоеснасць

З азначэння лагарыфма вынікае асноўная лагарыфмічная тоеснасць:

* {\displaystyle a^{\log \_{a}x}=x}
* {\displaystyle \log \_{a}\left(a^{x}\right)=x}

*Вывад*: з роўнасці двух рэчаісных лагарыфмаў вынікае роўнасць лагарыфмаваных выразаў. Сапраўды, калі {\displaystyle \log \_{a}b=\log \_{a}c}, то {\displaystyle a^{\log \_{a}b}=a^{\log \_{a}c}}, адкуль, адпаведна асноўнай тоеснасці: {\displaystyle b=c.}

#### Лагарыфмы адзінкі і ліку, роўнага аснове

* {\displaystyle \log \_{a}1=0,}
* {\displaystyle \log \_{a}a=1.}

#### Арыфметычныя ўласцівасці лагарыфма

* Лагарыфм здабытку:

{\displaystyle \log \_{a}(xy)=\log \_{a}(x)+\log \_{a}(y)}
* Лагарыфм дзелі:

{\displaystyle \log \_{a}\left({\frac {x}{y}}\right)=\log \_{a}(x)-\log \_{a}(y)}
* Лагарыфм ступені:

{\displaystyle \log \_{a}(x^{p})=p\log \_{a}(x)}
* Лагарыфм кораня:

{\displaystyle \log \_{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {\log \_{a}(x)}{p}}}
* Калі аснова лагарыфма ёсць ступень некаторага выразу:

{\displaystyle \log \_{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log \_{a}b.}
*Доказ*: Гэта тоеснасць атрымліваецца адразу, калі ад лагарыфма па аснове {\displaystyle a^{k}} перайсці да лагарыфма па аснове {\displaystyle a}.

Вынікі:

* {\displaystyle \log \_{\sqrt[{n}]{a}}b=n\log \_{a}b;}
{\displaystyle \log \_{a^{k}}{b^{p}}={\frac {p}{k}}\log \_{a}{b};}
{\displaystyle \log \_{a^{k}}b^{k}=\log \_{a}b.}
* Яшчэ адна карысная тоеснасць:

{\displaystyle c^{\log \_{a}b}=b^{\log \_{a}c}}
*Доказ*: Каб даказаць яе, заўважым, што лагарыфмы ў левай і правай частках супадаюць па аснове {\displaystyle a}, а тады, згодна з вынікам з асноўнай лагарыфмічнай тоеснасці, левая і правая часткі тоесна роўныя.

Існуе відавочнае абагульненне прыведзеных формул:

{\displaystyle \log \_{a}|xy|=\log \_{a}|x|+\log \_{a}|y|}
{\displaystyle \log \_{a}\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log \_{a}|x|-\log \_{a}|y|}
Формула для лагарыфма здабытку без цяжкасцей абагульняецца на адвольную колькасць сумножнікаў:

{\displaystyle \log \_{a}(x\_{1}x\_{2}\dots x\_{n})=\log \_{a}(x\_{1})+\log \_{a}(x\_{2})+\dots +\log \_{a}(x\_{n})}
Апісанымі ўласцівасцямі і тлумачыцца, чаму выкарыстанне лагарыфмаў (да вынаходніцтва калькулятараў) істотна палягчала вылічэнні. Напрыклад, множанне шматзначных лікаў {\displaystyle x,y} з дапамогай лагарыфмічных табліц адбывалася па наступнаму алгарытму:

1. Знайсці ў табліцах лагарыфмы лікаў {\displaystyle x,y}.
2. Скласці гэтыя лагарыфмы, атрымаўшы такім чынам (згодна з первай уласцівасцю) лагарыфм здабытку {\displaystyle x\cdot y}.
3. Па лагарыфму здабытку знайсці ў табліцах сам здабытак.

Дзяленне, якое без дапамогі лагарыфмаў істотна больш працаёмкае чым множанне, выконвалася па таму ж алгарытму, толькі з заменай складання лагарыфмаў на адыманне. Гэтак жа спрашчаліся ўзвядзенне ў ступень і здабыванне кораня.

#### Замена асновы лагарыфма

* Ад лагарыфма {\displaystyle \log \_{a}b} па аснове {\displaystyle a} можна перайсці да лагарыфма па другой аснове {\displaystyle c}:

{\displaystyle \log \_{a}b={\frac {\log \_{c}b}{\log \_{c}a}}}
* Вынік: перастаноўка асновы і лагарыфмуемага выразу:

{\displaystyle \log \_{a}b={\frac {1}{\log \_{b}a}}}
### Лагарыфмічная функцыя

Лагарыфмічная функцыя адваротная да паказчыкавай
Графікі лагарыфмічных функцый з асновамі: 2 (жоўты), *e* (чырвоны), 0.5 (сіні)
Двайковы лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 2
Лагарыфм і паказчыкавая функцыя з асновай 1/2
#### Асноўныя уласцівасці

Калі разглядаць лагарыфмаваны лік як зменную, мы атрымаем *лагарыфмічную функцыю* {\displaystyle y=\log \_{a}x}. Яна вызначана пры {\displaystyle a>0;\ a\neq 1;x>0}.

* Абсяг вызначэння: {\displaystyle x>0}.
* Абсяг значэнняў: {\displaystyle E(y)=(-\infty ;+\infty )}.

Гэта крывая часта называецца *лагарыфмікай*.

* З формулы замены асновы лагарыфма відаць, што графікі лагарыфмічных функцый з рознымі асновамі, большымі за адзінку, адрозніваюцца адзін ад аднаго толькі расцяжэннем уздоўж восі {\displaystyle y}:

{\displaystyle \log \_{b}x={\frac {\log \_{a}x}{\log \_{a}b}}}
* Графікі для асноў {\displaystyle a} і {\displaystyle 1/a} сіметрычныя адносна восі *x*.
* З азначэння вынікае, што лагарыфмічная функцыя {\displaystyle y=\log \_{a}x} адваротная да паказнікавай функцыі {\displaystyle y=a^{x}}, таму іх графікі сіметрычныя адносна бісектрысы першага і трэцяга квадрантаў (гл. рысунак). Як і паказнікавая, лагарыфмічная функцыя трансцэндэнтная.
* Лагарыфмічная функцыя строга нарастае пры {\displaystyle a>1} (гл. графікі) і строга спадае пры {\displaystyle 0<a<1}. Графік любой лагарыфмічнай функцыі праходзіць праз кропку {\displaystyle (1;0)}. Функцыя непарыўная і бесканечна дыферэнцавальная ўсюды на сваім абсягу вызначэння.
* Вось ардынат {\displaystyle (x=0)} з’яўляецца вертыкальнаю асімптотай для лагарыфмічнай функцыі, бо:

{\displaystyle \lim \_{x\to +0}\log \_{a}x=-\infty } пры {\displaystyle a>1;}
{\displaystyle \lim \_{x\to +0}\log \_{a}x=+\infty } пры {\displaystyle 0<a<1.}
* Вытворная лагарыфмічнай функцыі:

{\displaystyle (\log \_{a}x)'={\frac {1}{x\ln a}}}
* Першаісная лагарыфмічнай функцыі:

{\displaystyle \int \log \_{a}x\,dx=x\log \_{a}x-{\frac {x}{\ln a}}+C,}
дзе *C* — адвольная сталая.

* З пункту гледжання алгебры, лагарыфмічная функцыя ажыццяўляе (адзіны магчымы) ізамарфізм групы адносна множання дадатных рэчаісных лікаў і групы адносна складання ўсіх рэчаісных лікаў. Іншымі словамі, лагарыфмічная функцыя з’яўляецца адзіным (вызначаным для ўсіх дадатных значэнняў аргумента) непарыўным рашэннем функцыянальнага ўраўнення:

{\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y).}
#### Натуральны лагарыфм

Асноўны артыкул: **Натуральны лагарыфм**
Прыведзеная вышэй агульная формула вытворнай выглядае найпрасцей у выпадку натуральнага лагарыфма:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}.}
З гэтай прычыны ў матэматычных даследаваннях пераважна выкарыстоўваюць іменна натуральныя лагарыфмы. Яны нярэдка з’яўляюцца пры развязанні дыферэнцыяльных ураўненняў, даследаванні статыстычных залежнасцей (напрыклад, размеркавання простых лікаў) і пад.

Натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай
Праінтэграваўшы формулу для вытворнай у прамежку ад {\displaystyle x=1} да {\displaystyle x=b}, атрымліваем:

{\displaystyle \ln b=\int \limits \_{1}^{b}{\frac {dx}{x}}.}
Інакш кажучы, натуральны лагарыфм роўны плошчы пад гіпербалай {\displaystyle y={\frac {1}{x}}} на названым прамежку *x*.

Нявызначаны інтэграл ад натуральнага лагарыфма лёгка знайсці інтэграваннем па частках:

{\displaystyle \int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C.}
У матэматычным аналізе і тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў вялікую ролю адыгрывае паняцце лагарыфмічнай вытворнай функцыі {\displaystyle f(x)}:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)}}.}
##### Раскладанне ў рад і вылічэнне натуральнага лагарыфма

Раскладзём натуральны лагарыфм у рад Тэйлара каля адзінкі:

{\displaystyle \ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}}{4}}+\dots .}
Гэты рад збягаецца пры {\displaystyle -1<x\leq 1.}
У прыватнасці:

{\displaystyle \ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\dots .}
Формула непрыдатная для практычнага вылічэння лагарыфмаў з-за таго, што рад збягаецца вельмі павольна і толькі на вузкім прамежку. Аднак нескладана атрымаць з яе зручнейшую формулу:

{\displaystyle \ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{5}}{5}}+{\frac {x^{7}}{7}}+\dots \right).}
Гэты рад збягаецца хутчэй, і акрамя таго, цяпер левая частка формулы можа прадставіць лагарыфм любога дадатнага ліку.

Карыстацца апошняй формулай трэба так.
Няхай {\displaystyle Z} — лік, лагарыфм якога трэба вылічыць.

1) З ураўнення

{\displaystyle Z={\frac {1+x}{1-x}}}
знаходзім {\displaystyle x}:

{\displaystyle x={\frac {Z-1}{Z+1}}.}
2) Вылічанае значэнне {\displaystyle x} падстаўляем у рад і атрымліваем значэнне {\displaystyle \ln Z}.

Дадзены алгарытм ужо прыдатны да выкарыстання на практыцы пры вылічэнні значэнняў лагарыфмаў, аднак ён не найлепшы з пункту гледжання працаёмкасці. Існуюць больш дзейсныя алгарытмы.

#### Лімітавыя суадносіны

Прывядзём некалькі карысных лімітаў, якія ўтрымліваюць лагарыфмы.

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\log \_{a}(1+x)}{x}}=\log \_{a}e={\frac {1}{\ln a}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +0}x^{b}\log \_{a}x=0\quad (b>0)}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {\log \_{a}x}{x^{b}}}=0\quad (b>0)}
{\displaystyle \ln x=\lim \_{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim \_{n\to \infty }n\left(1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\right)}
{\displaystyle \ln x=\lim \_{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}}
#### Іншыя ўласцівасці

* З тэарэмы Гельфонда вынікае, што калі {\displaystyle a,b} — алгебраічныя лікі ({\displaystyle a\neq 1}), то {\displaystyle \log \_{a}b} або рацыянальны, або трансцэндэнтны. Пры гэтым лагарыфм рацыянальны і роўны {\displaystyle {\frac {p}{q}}} толькі ў тым выпадку, калі лікі {\displaystyle a,b} суадносяцца як {\displaystyle a^{p}=b^{q}}.

* Сума {\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}} (частковая сума гарманічнага рада) пры вялікіх {\displaystyle n} паводзіць сябе як {\displaystyle \ln n+C}, дзе {\displaystyle C\approx 0{,}577215664\dots } — сталая Ойлера — Маскероні.

Камплексны лагарыфм
-------------------

Асноўны артыкул: **Камплексны лагарыфм**
Вызначэнне і ўласцівасці

Для камплексных лікаў лагарыфм вызначаецца гэтак жа, як рэчаісны. На практыцы выкарыстоўваецца амаль выключна натуральны камплексны лагарыфм, які пазначаецца {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} і вызначаецца як рашэнне {\displaystyle w} ураўнення {\displaystyle e^{w}=z} (іншыя, эквівалентныя дадзеным, варыянты вызначэння прыведзены ніжэй).

У полі камплексных лікаў рашэнне гэтага ўраўнення, у адрозненне ад рэчаіснага выпадку, не вызначана адназначна. Напрыклад, згодна з тоеснасцю Эйлера, {\displaystyle ~e^{\pi i}=-1}; аднак таксама {\displaystyle ~e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1}. Гэта звязана з тым, што паказальная функцыя ўздоўж ўяўнай восі з’яўляецца перыядычнай (з перыядам {\displaystyle ~2\pi }), і адно і тое ж значэнне функцыя прымае бясконца шмат разоў. Такім чынам, комплексная лагарыфмічная функцыя {\displaystyle ~w=\mathrm {Ln} \,z} з’яўляецца шматзначнай.

Камплексны нуль не мае лагарыфма, паколькі камплексная экспанента не прыймае нулявога значэння. Ненулявое {\displaystyle z} можна прадставіць у паказальнай форме:

{\displaystyle z=r\cdot e^{i\varphi }}
Тады {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} знаходзіцца па формуле:

{\displaystyle \mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)}
Тут {\displaystyle \ln \,r=\ln \,|z|} — рэчаісны лагарыфм, {\displaystyle k} — адвольны цэлы лік. Адсюль выцякае:

|  |
| --- |
| Камплексны лагарыфм {\displaystyle \mathrm {Ln} \,z} існуе для любога {\displaystyle z\neq 0}, і яго рэчаісная частка вызначаецца адназначна, у той час як уяўная частка мае бясконцае мноства значэнняў, якія адрозніваюцца на цэлае кратнае {\displaystyle 2\pi .}. |

Рэчаісная частка камплекснага лагарыфма
З формулы відаць, што ў аднаго і толькі аднаго са значэнняў уяўная частка знаходзіцца ў інтэрвале {\displaystyle ~(-\pi ,\pi ]}. Гэта значэнне называецца галоўным значэннем комплекснага натуральнага лагарыфма. Адпаведная (ужо адназначная) функцыя называецца галоўнай галіной лагарыфма і пазначаецца {\displaystyle \ln \,z}. Часам праз {\displaystyle \ln \,z} таксама пазначаюць значэнне лагарыфма, якое ляжыць не на галоўнай галіне. Калі {\displaystyle z} — рэчаісны лік, то галоўнае значэнне яго лагарыфма супадае з звычайным рэчаісным лагарыфмам.

З прыведзенай формулы таксама вынікае, што рэчаісная частка лагарыфма вызначаецца наступным чынам праз кампаненты аргумента:

{\displaystyle \operatorname {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})}
На малюнку паказана, што рэчаісная частка як функцыя кампанентаў цэнтральна-сіметрычна і залежыць толькі ад адлегласці да пачатку каардынатаў. Яна атрымліваецца кручэннем графіка рэчаіснага лагарыфма вакол вертыкальнай восі. З набліжэннем да нуля функцыя імкнецца да {\displaystyle -\infty .}

### Прыклады значэнняў комплекснага лагарыфма

Прывядзем галоўнае значэнне лагарыфма ({\displaystyle \ln }) і агульны яго выраз ({\displaystyle \mathrm {Ln} }) для некаторых аргументаў:

{\displaystyle \ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i}
{\displaystyle \ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi }
{\displaystyle \ln(i)=i{\frac {\pi }{2}};\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2}}\pi }
Варта быць асцярожным пры пераўтварэннях комплексных лагарыфмаў, прымаючы пад увагу, што яны шматзначныя, і таму з роўнасці лагарыфмаў якіх-небудзь выразаў не варта роўнасць гэтых выразаў. Прыклад памылковай развагі:

{\displaystyle i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi } — відавочная памылка.
Адзначым, што злева варта галоўнае значэнне лагарыфма, а справа — значэнне з ніжэйшай галіны ({\displaystyle k=-1}). Прычына памылкі — неасцярожнае выкарыстанне ўласцівасці {\displaystyle \log \_{a}{(b^{p})}=p~\log \_{a}b}, якая, наогул кажучы, мае на ўвазе ў комплексным выпадку ўвесь бясконцы набор значэнняў лагарыфма, а не толькі галоўнае значэнне.

### Камплексная лагарыфмічная функцыя і рыманавая паверхня

Камплексны лагарыфм (уяўная частка)
У камплексным аналізе замест разгляду мнагазначных функцый на камплекснай плоскасці прынята іншае рашэнне: разглядаць функцыю як адназначную, але вызначаную не на плоскасці, а на больш складанай разнастайнасці, якоая называецца рыманавай паверхняй. Камплексная лагарыфмічная функцыя таксама адносіцца да гэтай катэгорыі: яе вобраз складаецца з бясконцага ліку галін, закручаных ў выглядзе спіралі. Гэтая паверхню бесперапынная і аднасувязная. Адзіны нуль у функцыі (першага парадку) атрымліваецца пры {\displaystyle z=1}. Асаблівыя пункты: {\displaystyle z=0} і {\displaystyle z=\infty } (пункты разгалінавання бясконцага парадку).

У сілу аднасувязнасці рыманавая паверхня лагарыфма з’яўляецца універсальнай накрываючай для камплекснай плоскасці без пункту {\displaystyle 0}.

### Аналітычны працяг

Лагарыфм камплекснага ліку таксама можа быць вызначаны як аналітычны працяг рэчаіснага лагарыфма на ўсю камплексную плоскасць. Хай крывая {\displaystyle \Gamma } пачынаецца ў адзінцы, не праходзіць праз нуль і не перасякае адмоўную частку рэчаіснай восі. Тады галоўнае значэнне лагарыфма ў канчатковым пункце {\displaystyle w} крывой {\displaystyle \Gamma } можна вызначыць па формуле:

{\displaystyle \ln z=\int \limits \_{\Gamma }{du \over u}}
Калі {\displaystyle \Gamma } — простая крывая (без самаперасячэнняў), то для лікаў, якія ляжаць на ёй, лагарыфмічныя тоеснасці можна ўжываць без боязі, напрыклад:

{\displaystyle \ln(wz)=\ln w+\ln z,~\forall z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma }
Галоўная галіна лагарыфмічнай функцыі бесперапынная і дыферэнцыруема на ўсёй камплекснай плоскасці, акрамя адмоўнай часткі рэчаіснай восі, на якой уяўная частка скокам мяняецца на {\displaystyle 2\pi }. Але гэты факт ёсць следства штучнага абмежавання ўяўнай часткі галоўнага значэння інтэрвалам {\displaystyle ~(-\pi ,\pi ]}. Калі разгледзець усе галіны функцыі, то бесперапыннасць мае месца ва ўсіх пунктах, акрамя нуля, дзе функцыя не вызначана. Калі дазволіць крывой {\displaystyle \Gamma } перасякаць адмоўную частка рэчаіснай восі, то першае такое скрыжаванне пераносіць вынік з галіны галоўнага значэння на суседнюю галіну, а кожнае наступнае скрыжаванне выклікае аналагічнае зрушэнне па галінах лагарыфмічнай функцыі.

З формулы аналітычнага працягу вынікае, што на любой галіне лагарыфма:

{\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ln z={1 \over z}}

Для любой акружнасці {\displaystyle S}, якая ахоплівае пункт {\displaystyle 0}:

{\displaystyle \oint \limits \_{S}{dz \over z}=2\pi i}
Інтэграл бярэцца ў станоўчым напрамку (супраць гадзіннікавай стрэлкі). Гэта тоеснасць ляжыць у аснове тэорыі вылікаў.

Можна таксама вызначыць аналітычнае працяг комплекснага лагарыфма з дапамогай вышэйпрыведзеных радоў: раду 1 або раду 2, — абагульненых на выпадак камплекснага аргументу. Аднак з выгляду гэтых радоў вынікае, што ў адзінцы сума раду роўная нулю, шэта значыць рад адносіцца толькі да галоўнай галіны шматзначнай функцыі камплекснага лагарыфма. Радыус збежнасці абодвух радоў роўны 1.

### Сувязь са зваротнымі трыганаметрычнымі і гіпербалічнымі функцыямі

Паколькі камплексныя трыганаметрычныя функцыі звязаныя з экспанентай (формула Эйлера), то камплексны лагарыфм як зваротная да экспаненты функцыя звязаны са зваротнымі трыганаметрычнымі функцыямі:

{\displaystyle \operatorname {Arcsin} z=-i\operatorname {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})}
{\displaystyle \operatorname {Arccos} z=-i\operatorname {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})}
{\displaystyle \operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}
{\displaystyle \operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)}
Гіпербалічныя функцыі на камплекснай плоскасці можна разглядаць як трыганаметрычныя функцыі ўяўнага аргументу, таму і тут мае месца сувязь з лагарыфмам:

{\displaystyle \operatorname {Arsh} z=\operatorname {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1}})} — зваротны гіпербалічны сінус
{\displaystyle \operatorname {Arch} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)} — зваротны гіпербалічны косінус
{\displaystyle \operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)} — зваротны гіпербалічны тангенс
{\displaystyle \operatorname {Arcth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)} — зваротны гіпербалічны катангенс

Ужыванне на практыцы
--------------------

### Табліцы лагарыфмаў

Лагарыфмічныя табліцы
З уласцівасцей лагарыфма вынікае, што замест працаёмкага множання шматзначных лікаў дастаткова адшукаць (па табліцах) і скласці іхнія лагарыфмы, а потым па тых жа табліцах («Антылагарыфмы») выканаць ступеняванне, г.зн. знайсці значэнне па яго лагарыфму. Выкананне дзялення адрозніваецца толькі тым, што лагарыфмы адымаюцца.

Першыя табліцы лагарыфмаў выдаў Джон Непер (1614), і яны ўтрымівалі толькі лагарыфмы трыганаметрычных функцый, прычым з памылкамі. Незалежна ад яго свае табліцы надрукаваў Ёст Бюргі, друг Кеплера (1620). У 1617 годзе оксфардскі прафесар матэматыкі Генры Брыгс выдаў табліцы, якія ўжо ўключалі дзесятковыя лагарыфмы лікаў ад 1 да 1000, з 8 (пазней — з 14) знакамі. Але і ў табліцах Брыгса выявіліся памылкі. Першае безпамылковае выданне на аснове табліц Георга Вегі (1783) з’явілася толькі ў 1857 годзе ў Берліне (табліцы Брэмікера, *Carl Bremiker*).

У Расіі першыя табліцы лагарыфмаў былі выдадзены ў 1703 годзе пры ўдзеле Л. П. Магніцкага. У СССР было выдадзена некалькі зборнікаў табліц лагарыфмаў:

1. *Брадис В. М.* Четырехзначные математические таблицы. М.: Дрофа, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0. Табліцы Брадзіса, выдаваныя з 1921 года, выкарыстоўваліся ў навучальных установах і ў інжынерных разліках, якія не патрабавалі вялікай дакладнасці. Яны ўтрымлівалі мантысы дзесятковых лагарыфмаў і трыганаметрычных функцый, натуральныя лагарыфмы і некаторыя іншыя карысныя разліковыя прылады.
2. *Вега Г.* Таблицы семизначных логарифмов, 4-е издание, М.: Недра, 1971. Адмысловы зборнік для дакладных вылічэнняў.
3. *Бремикер К.* Логарифмо-тригонометрические таблицы. М.: Наука, 1962. 664 с. Класічныя шасцізначныя табліцы, зручныя для разлікаў з трыганаметрычнымі функцыямі.
4. Пятизначные таблицы натуральных значений тригонометрических величин, их логарифмов и логарифмов чисел, 6-е издание, М.: Наука, 1972.
5. Таблицы натуральных логарифмов, 2-е издание, в 2 томах, М.: Наука, 1971.
6. Десятизначные таблицы логарифмов комплексных чисел. М. 1952.

### Лагарыфмічная лінейка

Асноўны артыкул: **Лагарыфмічная лінейка**
У 1620-я гады Эдмунд Уінгейт і Уільям Оўтрэд вынайшлі першую лагарыфмічную лінейку, якая да з’яўлення кішэнных калькулятараў была незаменнай вылічальнай прыладай інжынера. З дапамогай гэтай невялічкай прылады можна было хутка выконваць усе алгебраічныя аперацыі, у тым ліку з трыганаметрычнымі функцыямі. Дакладнасць разлікаў — каля 3 значных лічб.

Лагарыфмічная лінейка

Гл. таксама
-----------

* Камплексны лік
* Паказнікавая функцыя
* Камплексны лагарыфм
* Ступеняванне
* Лагарыфмічная лінейка
* Сістэмы злічэння
* Спіс інтэгралаў ад лагарыфмічных функцый

Крыніцы
-------

1. ↑  
*Краткий словарь иностранных слов.* М.: Русский язык, 1984.
2. ↑  Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике 1978, с. 184-186..
3. ↑  
Швецов К. И. Бевз Г. П. Справочник по элементарной математике. Арифметика, алгебра. Киев: Наукова Думка, 1966. § 40. Исторические сведения о логарифмах и логарифмической линейке.
4. 1 2  Корн Г. Корн Т. Справочник по математике 1973, с. 34.
5. ↑  
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 229.
6. ↑  
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов. 12-е издание, М.: Просвещение, 2002. Стр. 233.
7. ↑  
Логарифмическая функция. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3.
8. ↑  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 1966, Том I, стр. 159-160.
9. ↑  
*Sasaki T. Kanada Y.* Practically fast multiple-precision evaluation of log(x)(англ.) // *Journal of Information Processing*. — 1982. — В. 4. — Т. 5. — С. 247–250.
10. ↑  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 1966, Том I, стр. 164.
11. ↑  
*Alan Baker.* Transcendental number theory. — Cambridge University Press, 1975. — С. 10. — ISBN 978-0-521-20461-3.
12. ↑  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 1966, Том II, стр. 520-522.
13. ↑  Свешников А. Г. Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной 1967, с. 92-94.
14. ↑  *Болтянский В. Г. Ефремович В. А.* Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — С. 112. — (Библиотечка Квант, выпуск 21).
15. ↑  Свешников А. Г. Тихонов А. Н. Теория функций комплексной переменной 1967, с. 45-46, 99-100..
16. ↑  Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления 1966, Том II, стр. 522-526.
17. ↑  Корн Г. Корн Т. Справочник по математике 1973, с. 624..
18. ↑  История математики, том II 1970, с. 62..
19. ↑  
*Гнеденко Б. В.* Очерки по истории математики в России, издание 2-е. — М.: КомКнига, 2005. — С. 66. — 296 с. — ISBN 5-484-00123-4.
20. ↑  
Логарифмические таблицы //Большая советская энциклопедия.
21. ↑  История математики, том II 1970, с. 65-66..
22. ↑  
*Березин С. И.* Счётная логарифмическая линейка. — М.: Машиностроение, 1968.

Літаратура
----------

* *Выгодский М. Я.* Справочник по элементарной математике (руск.). — М.: Наука, 1978.
* *Корн Г. Корн Т.* Справочник по математике (для научных работников и инженеров) (руск.). — М.: Наука, 1973. — 720 с.
* *Свешников А. Г. Тихонов А. Н.* Теория функций комплексной переменной (руск.). — М.: Наука, 1967. — 304 с.
* *Фихтенгольц Г. М.* Курс дифференциального и интегрального исчисления (руск.). — изд. 6-е. — М.: Наука, 1966. — 680 с.
* Математика XVII столетия // История математики (руск.) / Под редакцией А. П. Юшкевича, в трёх томах. — М.: Наука, 1970. — Т. II.

Спасылкі
--------

* Лагатып Вікісховішча На Вікісховішчы ёсць медыяфайлы па тэме Лагарыфм
* Colin Byfleet, Educational video on logarithms.
* Edward Wright, Translation of Napier’s work on logarithms Архівавана 27 чэрвеня 2007..