Прыклады непарыўных справа функцый размеркавання. У выпадку вызначэння функцый як непарыўных злева, выкалатыя і зафарбаваныя пункты ў месцах разрыву будуць памяняныя месцамі.
**Функцыя размеркавання** выпадковай велічыні — гэта функцыя, якая апісвае імавернасць таго, што выпадковая велічыня прыме значэнне, меншае за некаторы рэчаісны лік. Функцыя размеркавання задае размеркаванне выпадковай велічыні.

Азначэнне
---------

Функцыяй размеркавання выпадковай велічыні завецца функцыя {\displaystyle F\_{\xi }:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }, якая вызначаецца праз роўнасць:70


F

ξ

(
x
)
:=
P
(
ξ
<
x
)
,
∀
x
∈

R

.

{\displaystyle F\_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}

{\displaystyle F_{\xi }(x):=P(\xi <x),\forall x\in \mathbb {R} .}
У некаторых крыніцах функцыя размеркавання вызначаецца з іншым знакам:


F

ξ

(
x
)
:=
P
(
ξ
≤
x
)
,
∀
x
∈

R

.

{\displaystyle F\_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R} .}

{\displaystyle F_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R} .}
Такое вызначэнне ўплывае на ўласцівасць непарыўнасці, робячы функцыю непарыўнай справа, а не злева (гл. § Уласцівасці).

Існуе таксама абагульненне гэтага азначэння на многавымерныя выпадковыя велічыні.

Уласцівасці
-----------

Для функцыі размеркавання {\displaystyle F} кожнай выпадковай велічыні {\displaystyle \xi } справядлівыя наступныя ўласцівасці:71-74:

1. Манатоннасць[en]. Калі {\displaystyle x\_{1}\leq x\_{2}}, то {\displaystyle F(x\_{1})\leq F(x\_{2})}.
2. Абмежаванасць[en]. Маюць месца няроўнасці {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1}, прычым 

lim

x
→
−
∞

F
(
x
)
=
0
,

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }F(x)=0,}

{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0,}

lim

x
→
+
∞

F
(
x
)
=
1
;

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }F(x)=1;}

{\displaystyle \lim _{x\to +\infty }F(x)=1;}
3. Непарыўнасць злева. Для кожнага {\displaystyle x\_{0}\in \mathbb {R} } выконваецца 

lim

x
→

x

0

−

F
(
x
)
=
F
(

x

0

)
.

{\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}^{-}}F(x)=F(x\_{0}).}

{\displaystyle \lim _{x\to x_{0}^{-}}F(x)=F(x_{0}).}

Для кожнай функцыі {\displaystyle F:\mathbb {R} \to [0,1]}, якая адпавядае ўмовам манатоннасці, абмежаванасці і непарыўнасці злева, існуюць імавернасная прастора {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)} і выпадковая велічыня {\displaystyle \xi :\Omega \to \mathbb {R} }, у якой функцыя размеркавання {\displaystyle F\_{\xi }} супадае з {\displaystyle F}. Іншымі словамі, кожная такая функцыя і ёсць функцыяй размеркавання для некаторай выпадковай велічыні.

Часта функцыя размеркавання задаецца праз роўнасць {\displaystyle F\_{\xi }(x):=P(\xi \leq x),\forall x\in \mathbb {R} }. У такім выпадку для яе характэрна ўласцівасць непарыўнасці справа, а не злева.

### Доказы ўласцівасцей

#### Доказ манатоннасці

Няхай {\displaystyle x\_{1}\leq x\_{2}}. Тады {\displaystyle (-\infty ,x\_{1})\subset (-\infty ,x\_{2})}, і таму


ξ

−
1

(
−
∞
,

x

1

)
⊂

ξ

−
1

(
−
∞
,

x

2

)
,

{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,x\_{1})\subset \xi ^{-1}(-\infty ,x\_{2}),}

{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,x_{1})\subset \xi ^{-1}(-\infty ,x_{2}),}
гэта значыць {\displaystyle (\xi <x\_{1})\subset (\xi <x\_{2})}.

Карыстаючыся манатоннасцю імавернасці, атрымліваем



F
(

x

1

)
=
P
(
ξ
<

x

1

)
≤
P
(
ξ
<

x

2

)
=
F
(

x

2

)
.

{\displaystyle F(x\_{1})=P(\xi <x\_{1})\leq P(\xi <x\_{2})=F(x\_{2}).}

{\displaystyle F(x_{1})=P(\xi <x_{1})\leq P(\xi <x_{2})=F(x_{2}).}
#### Доказ абмежаванасці

Няроўнасць {\displaystyle 0\leq F(x)\leq 1} відавочна вынікае з {\displaystyle 0\leq P(\xi <x)\leq 1}.

Разгледзім улучэнні {\displaystyle (-\infty ,-1)\supset (-\infty ,-2)\supset \dots \,}. Заўважым, што {\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)=\varnothing }. Акрамя таго,


ξ

−
1

(
−
∞
,
−
1
)
⊃

ξ

−
1

(
−
∞
,
−
2
)
⊃
…
,

{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,-1)\supset \xi ^{-1}(-\infty ,-2)\supset \dots ,}

{\displaystyle \xi ^{-1}(-\infty ,-1)\supset \xi ^{-1}(-\infty ,-2)\supset \dots ,}


⋂

n
=
1

∞

ξ

−
1

(
−
∞
,
−
n
)
=

ξ

−
1

(

⋂

n
=
1

∞

(
−
∞
,
−
n
)

)

=

ξ

−
1

(
∅
)
=
∅
.

{\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }\xi ^{-1}(-\infty ,-n)=\xi ^{-1}\left(\bigcap \_{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)\right)=\xi ^{-1}(\varnothing )=\varnothing .}

{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }\xi ^{-1}(-\infty ,-n)=\xi ^{-1}\left(\bigcap _{n=1}^{\infty }(-\infty ,-n)\right)=\xi ^{-1}(\varnothing )=\varnothing .}
Па аксіёме непарыўнасці імавернасці атрымліваем


lim

n
→
−
∞

F
(
n
)
=

lim

n
→
+
∞

P
(

ξ

−
1

(
−
∞
,
−
n
)
)
=
0

{\displaystyle \lim \_{n\to -\infty }F(n)=\lim \_{n\to +\infty }P(\xi ^{-1}(-\infty ,-n))=0}

{\displaystyle \lim _{n\to -\infty }F(n)=\lim _{n\to +\infty }P(\xi ^{-1}(-\infty ,-n))=0}
для {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }. Няхай цяпер {\displaystyle x\in \mathbb {R} } імкнецца да {\displaystyle -\infty }. З манатоннасці функцыі размеркавання вынікае {\displaystyle F([x])\leq F(x)\leq F([x]+1).} Калі {\displaystyle x\to -\infty }, абедзве крайнія часткі няроўнасці імкнуцца да нуля. Карыстаючыся тэарэмай аб заціснутай функцыі[en], атрымліваем


lim

x
→
−
∞

F
(
x
)
=
0.

{\displaystyle \lim \_{x\to -\infty }F(x)=0.}

{\displaystyle \lim _{x\to -\infty }F(x)=0.}
Прадставім {\displaystyle \mathbb {R} } як суму {\displaystyle (-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots } і, скарыстаўшы злічоную адытыўнасць, атрымаем



1
=

P

ξ

(

R

)
=

P

ξ

(
(
−
∞
,
0
)
)
+

∑

k
=
0

+
∞

P

ξ

(
[
k
,
k
+
1
)
)
=

{\displaystyle 1=P\_{\xi }(\mathbb {R} )=P\_{\xi }((-\infty ,0))+\sum \_{k=0}^{+\infty }P\_{\xi }([k,k+1))=}

{\displaystyle 1=P_{\xi }(\mathbb {R} )=P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{+\infty }P_{\xi }([k,k+1))=}

=

lim

n
→
+
∞

(

P

ξ

(
(
−
∞
,
0
)
)
+

∑

k
=
0

n
−
1

P

ξ

(
[
k
,
k
+
1
)
)

)

=

{\displaystyle =\lim \_{n\to +\infty }\left(P\_{\xi }((-\infty ,0))+\sum \_{k=0}^{n-1}P\_{\xi }([k,k+1))\right)=}

{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }\left(P_{\xi }((-\infty ,0))+\sum _{k=0}^{n-1}P_{\xi }([k,k+1))\right)=}

=

lim

n
→
+
∞

P

ξ

(
(
−
∞
,
0
)
+
[
0
,
1
)
+
[
1
,
2
)
+
⋯
+
[
n
−
1
,
n
)
)
=

{\displaystyle =\lim \_{n\to +\infty }P\_{\xi }((-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=}

{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,0)+[0,1)+[1,2)+\dots +[n-1,n))=}

=

lim

n
→
+
∞

P

ξ

(
(
−
∞
,
n
)
)
=

lim

n
→
+
∞

F
(
n
)

{\displaystyle =\lim \_{n\to +\infty }P\_{\xi }((-\infty ,n))=\lim \_{n\to +\infty }F(n)}

{\displaystyle =\lim _{n\to +\infty }P_{\xi }((-\infty ,n))=\lim _{n\to +\infty }F(n)}
для {\displaystyle n\in \mathbb {Z} }. Доказ для {\displaystyle x\in \mathbb {R} } праводзіцца аналагічна папярэдняму выпадку праз тэарэму аб заціснутай функцыі.

#### Доказ непарыўнасці злева

Возьмем адвольную нарастальную паслядоўнасць рэчаісных лікаў {\displaystyle (x\_{n})\_{n=1}^{\infty }}, якая збягаецца да {\displaystyle x\_{0}}. Існаванне ліміту[en] {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}^{-}}F(x)} вынікае з манатоннасці {\displaystyle F}. Пакажам, што гэты ліміт роўны {\displaystyle F(x\_{0})}.

Заўважым, што {\displaystyle \varnothing =\bigcup \_{n=1}^{\infty }[x\_{n},x\_{0})} і {\displaystyle [x\_{n},x\_{0})\supset [x\_{n+1},x\_{0})\,\forall n\in \mathbb {N} }. Карыстаючыся аксіёмамі непарыўнасці і адытыўнасцю імавернасці, атрымліваем

{\displaystyle 0=\lim \_{n\to +\infty }P\_{\xi }([x\_{n},x\_{0}))=\lim \_{n\to +\infty }P\_{\xi }((-\infty ,x\_{0})\setminus ((-\infty ,x\_{n}))=}  

{\displaystyle =\lim \_{n\to +\infty }(P\_{\xi }((-\infty ,x\_{0}))-P\_{\xi }((-\infty ,x\_{n})))=}  

{\displaystyle =F(x\_{0})-\lim \_{x\_{n}\to x\_{0}}F(x\_{n}).}  

Адсюль вынікае {\displaystyle \lim \_{x\to x\_{0}^{-}}F(x)=F(x\_{0})}.

Гл. таксама
-----------

* Функцыя імавернасці
* Шчыльнасць імавернасці

Зноскі
------

1. 1 2  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская · Кругасвет |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4192219-0 · Microsoft: 103784038 |