У паняцця ёсць і іншыя значэнні, гл. Формула Эйлера, значэнні.
Геаметрычны сэнс формулы Эйлера
**Формула Эйлера** звязвае камплексную экспаненту з трыганаметрычнымі функцыямі. Названа ў гонар Леанарда Эйлера, які яе ўвёў.

Формула Эйлера сцвярджае, што для любога камплекснага ліку (рэчаіснага ў прыватнасці) {\displaystyle x} выконваецца наступная роўнасць:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x},
дзе

{\displaystyle e} — адна з найважнейшых матэматычных пастаянных, вызначаная наступнай формулай: {\displaystyle e=\lim \_{x\to \infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}},
{\displaystyle i} — уяўная адзінка.

Гісторыя
--------

Формула Эйлера ўпершыню была прыведзена ў артыкуле англійскага матэматыка Роджэра Котса (памочніка Ньютана) «Лагаметрыя» (лац.: Logometria), апублікаваным у часопісе «Філасофскія працы Каралеўскага таварыства» ў 1714 годзе і перадрукавана ў кнізе «Гармонія мер» (лац.: Harmonia mensurarum), якая была выдадзена ў 1722 годзе, ужо пасля смерці аўтара. Котс прывёў яе як невялікае сцвярджэнне сярод мноства геаметрычных пабудоў, якое пасля перакладу на сучасную матэматычную мову і выпраўлення памылкі ў знаку, мае выгляд:

{\displaystyle \ln(\cos x+i\sin x)=ix.}
Эйлер апублікаваў формулу ў яе звыклым выглядзе ў артыкуле 1740 года і ў кнізе «Уводзіны ў аналіз бесканечна малых» (лац.: Introductio in analysin infinitorum) (1748), пабудаваўшы доказ на роўнасці бесканечных раскладанняў у ступенныя рады правай і левай частак. Ні Эйлер, ні Котс не ўяўлялі сабе геаметрычнага вытлумачэння формулы: уяўленне аб камплексных ліках як кропках на камплекснай плоскасці з’явілася прыкладна на 50 год пазней у К. Веселя.

Вытворныя формулы
-----------------

З дапамогай формулы Эйлера можна вызначыць функцыі {\displaystyle \sin } і {\displaystyle \cos } наступным чынам:

{\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},}
{\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.}
Далей можна ўвесці паняцце трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Няхай {\displaystyle x=iy}, тады:

{\displaystyle \sin iy={\frac {e^{-y}-e^{y}}{2i}}=i\mathop {\mathrm {sh} } \,y,}
{\displaystyle \cos iy={\frac {e^{-y}+e^{y}}{2}}=\mathop {\mathrm {ch} } \,y.}
Вядомая тоеснасць Эйлера, якая звязвае пяць фундаментальных матэматычных канстант:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0}
з’яўляецца асобным выпадкам формулы Эйлера пры {\displaystyle x=\pi }.

Прымяненне ў камплексным аналізе
--------------------------------

Дзякуючы формуле Эйлера з’явіўся так званы трыганаметрычны і паказчыкавы запіс камплекснага ліку:

{\displaystyle x=a+ib=|x|(\cos \varphi +i\sin \varphi )=|x|e^{i\varphi }.}
Таксама значным вынікам можна лічыць формулы ўзвядзення камплекснага ліку ў адвольную ступень:

{\displaystyle x=|x|e^{i\varphi }}, {\displaystyle x^{n}=|x|^{n}e^{ni\varphi }.}
Геаметрычны сэнс дадзенай формулы наступны: пры ўзвядзенні ліку {\displaystyle x} ў ступень {\displaystyle n} яго адлегласць да цэнтра ўзводзіцца ў ступень {\displaystyle n}, а вугал павароту адносна восі {\displaystyle OX} павялічваецца ў {\displaystyle n} разоў.

Формула ўзвядзення ў ступень верная не толькі для цэлых {\displaystyle n}, але і для рэчаісных. У прыватнасці, паказчыкавы запіс ліку дазваляе знаходзіць карані любой ступені з любога камплекснага ліку.

Узаемасувязь з трыганаметрыяй
-----------------------------

Формула Эйлера выяўляе сувязь паміж матэматычным аналізам і трыганаметрыяй, а таксама дазваляе інтэрпрэтаваць функцыі сінуса і косінуса як узважаныя сумы экспаненцыяльнай функцыі:

{\displaystyle \cos x=\mathrm {Re} \{e^{ix}\}={e^{ix}+e^{-ix} \over 2}}
{\displaystyle \sin x=\mathrm {Im} \{e^{ix}\}={e^{ix}-e^{-ix} \over 2i}.}
Вышэйпрыведзеныя ўраўненні можна атрымаць складваючы ці аднімаючы формулы Эйлера:

{\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x\;}
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos x-i\sin x\;}
з наступным рашэннем адносна сінуса ці косінуса.

Таксама гэтыя формулы могуць служыць вызначэннем трыганаметрычных функцый камплекснай зменнай. Напрыклад, робячы падстаноўку *x* = *iy*, атрымліваем:

{\displaystyle \cos(iy)={e^{-y}+e^{y} \over 2}=\cosh(y),}
{\displaystyle \sin(iy)={e^{-y}-e^{y} \over 2i}=-{1 \over i}{e^{y}-e^{-y} \over 2}=i\sinh(y).}
Камплексныя экспаненты дазваляюць спрасціць трыганаметрычныя разлікі, бо імі прасцей маніпуляваць, чым сінусоіднымі кампанентамі. Адзін з падыходаў прадугледжвае пераўтварэнне сінусоід ў адпаведныя экспаненцыяльныя выразы. Пасля спрашчэння вынік выразу застаецца рэчаісным. Напрыклад:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos x\cdot \cos y&={\frac {(e^{ix}+e^{-ix})}{2}}\cdot {\frac {(e^{iy}+e^{-iy})}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\cdot {\frac {e^{i(x+y)}+e^{i(x-y)}+e^{i(-x+y)}+e^{i(-x-y)}}{2}}\\&={\frac {1}{2}}\left[\underbrace {\frac {e^{i(x+y)}+e^{-i(x+y)}}{2}} \_{\cos(x+y)}+\underbrace {\frac {e^{i(x-y)}+e^{-i(x-y)}}{2}} \_{\cos(x-y)}\right].\end{aligned}}}
Сутнасць іншага падыходу ў прадстаўленні сінусоід ў якасці рэчаісных частак камплекснага выразу і правядзення маніпуляцый непасрэдна з камплексным выразам. Напрыклад:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(nx)&=\mathrm {Re} \{\ e^{inx}\ \}=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot e^{ix}\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot (e^{ix}+e^{-ix}-e^{-ix})\ \}\\&=\mathrm {Re} \{\ e^{i(n-1)x}\cdot \underbrace {(e^{ix}+e^{-ix})} \_{2\cos(x)}-e^{i(n-2)x}\ \}\\&=\cos[(n-1)x]\cdot 2\cos(x)-\cos[(n-2)x].\end{aligned}}}
Гэта формула выкарыстоўваецца для рэкурсіўнага вылічэння значэнняў cos(*nx*) для цэлых значэнняў *n* і адвольных значэнняў *x* (у радыянах).

Доказ
-----

Доказ формулы Эйлера можна правесці з выкарыстаннем рада Маклорэна. Раскладзём функцыю {\displaystyle e^{ix}} у рад Маклорэна ў наваколлі кропкі a = 0 па ступенях {\displaystyle x}. Атрымаем:

{\displaystyle e^{ix}=1+{\frac {ix}{1!}}+{\frac {(ix)^{2}}{2!}}+{\frac {(ix)^{3}}{3!}}+\ldots =\left(1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots \right)+i\left({\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots \right)}

Але

{\displaystyle 1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\ldots =\cos x}

{\displaystyle {\frac {x}{1!}}-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\ldots =\sin x}

Таму {\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}, што і трэба было даказаць.

Паказчыкавая форма камплекснага ліку
------------------------------------

Паказчыкавая і трыганаметрычная формы камплексных лікаў звязаныя паміж сабой формулай Эйлера.

Няхай камплексны лік {\displaystyle z} у трыганаметрычнай форме мае выгляд {\displaystyle z=r(\cos \varphi +i\sin \varphi )}. Згодна з формулай Эйлера выраз у дужках можна замяніць на паказчыкавы выраз. У выніку атрымаем:

{\displaystyle z=re^{i\varphi }}
Гэты запіс называецца паказчыкавай формай камплекснага ліку. Гэтак жа, як і ў трыганаметрычнай форме, тут {\displaystyle r=|z|} **,** {\displaystyle \varphi =\arg z}.

Гл. таксама
-----------

* Формула Муаўра
* Спіс аб'ектаў, названых у гонар Леанарда Эйлера

Зноскі
------

1. ↑  Cotes R. (1714-1716). "Logometria". *Philosophical Transactions of the Royal Society of London* **29**: 32. doi:10.1098/rstl.1714.0002. .  Архіўная копія **(нявызн.)**. Архівавана з першакрыніцы 6 ліпеня 2017. Праверана 6 лістапада 2022.
2. ↑  Cotes R. (1722). *Harmonia mensurarum*. pp. 28. .
3. ↑  González-Velasco Enrique A. (2011). *Journey through Mathematics: Creative Episodes in Its History*. pp. 182. .
4. ↑  Euler L. (1748). "Cap.VIII. De quantitatibus transcendentibus ex Circulo ortis". *Introductio in analysin infinitorum*. **1**. pp. 104. .

Літаратура
----------

* Гутов А. З. Аналог формулы Эйлера для обобщённых синуса и косинуса // Современные методы физико-математических наук. Труды международной конференции. Орёл, 2006. С. 35—37. Архівавана 25 верасня 2020.
* *Корн Г. Корн Т.* Справочник по математике (для научных работников и инженеров). — М.: Наука, 1973.
* *Стиллвелл Д.* Математика и её история. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2004. — 530 с.

Спасылкі
--------

* Hazewinkel, Michiel, ed (2001). "Euler formulas". *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.