**Квадратычны закон узаемнасці** — сцвярджэнне аб вырашальнасці квадратычнага параўнання па модулю  (руск.) (бел. простага ліку. Часцей за ўсё фармулюецца праз сімвалы Лежандра.

Фармулёўка
----------

Азначэнне сімвала Лежандра
Няхай *a* — цэлы лік, і *p* — просты лік, не роўны 2. Сімвал Лежандра  (руск.) (бел. {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)} вызначаецца наступным чынам:

* {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=0}, калі *a* дзеліцца на *p*;
* {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=1}, калі *a* з'яўляецца квадратычнаю рэштаю  (руск.) (бел. па модулю *p*, г.зн. *a* не дзеліцца на *p* і існуе такі цэлы *x*, што {\displaystyle x^{2}\equiv a{\pmod {p}}};
* {\displaystyle \textstyle \left({\frac {a}{p}}\right)=-1}, калі *a* з'яўляецца квадратычнаю нярэштаю па модулю *p*, г.зн. *a* не дзеліцца на *p* і не з'яўляецца квадратычнаю рэштаю па модулю *p*.

Тэарэма
Квадратычны закон узаемнасці Гауса для сімвалаў Лежандра сцвярджае, што

{\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\frac {(p-1)(q-1)}{4}},}
дзе *р* і *q* — розныя няцотныя простыя лікі.

Таксама справядлівыя наступныя *дапаўненні*:

{\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}}     і     {\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p^{2}-1}{8}}.}

Прымяненні
----------

* Наступны факт, вядомы яшчэ П'еру Ферма: простымі дзельнікамі лікаў {\displaystyle x^{2}+1} могуць быць толькі лік 2 і простыя лікі, прыналежныя арыфметычнай прагрэсіі 
{\displaystyle 4k+1}.

Іншымі словамі, параўнанне 
{\displaystyle ~x^{2}+1\equiv 0{\pmod {p}}}
па простаму модулю {\displaystyle p>2} вырашальнае ў тым і толькі ў тым выпадку, калі {\displaystyle ~p\equiv 1{\pmod {4}}.}
З дапамогаю сімвала Лежандра, апошняе сцвярджэнне можна выразіць наступным чынам:

{\displaystyle \left({\frac {-1}{p}}\right)=(-1)^{\frac {p-1}{2}}.}
* Пытанне аб вырашальнасці параўнання 
{\displaystyle ax^{2}+bx+c\equiv 0{\pmod {p}}}

развязваецца алгарытмам з выкарыстаннем мультыплікатыўнасці сімвала Лежандра і квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гісторыя
--------

Фармулёўка квадратычнага закона ўзаемнасці была вядома яшчэ Эйлеру ў 1783 годзе.
Лежандр сфармуляваў закон незалежна ад Эйлера і даказаў яго ў некаторых асобных выпадках у 1785 годзе.
Поўны доказ быў атрыман Гаусам у 1796 годзе, які пазней даў некалькі яго доказаў, заснаваных на зусім розных ідэях.

Адзін з самых простых доказаў быў прапанаваны Залатаровым  (руск.) (бел. у 1872 годзе.

Пазней былі атрыманы розныя абагульненні квадратычнага закона ўзаемнасці.

Гл. таксама
-----------

* Сімвал Лежандра  (руск.) (бел.
* Сімвал Якобі  (руск.) (бел.
* Сімвал Кронекера — Якобі  (руск.) (бел.

Зноскі
------

1. ↑  Виноградов. Основы теории чисел. С. 70—71.
2. ↑  Euler, Opuscula analytica, Petersburg, 1783.
3. ↑  Zolotareff G. (1872). "Nouvelle démonstration de la loi de de réciprocité de Legendre". *Nouvelles Annales de Mathématiques, 2e série* **11**: 354—362. . (недаступная спасылка)
4. ↑  *Прасолов В. В.* Доказательство квадратичного закона взаимности по Золотареву // *Математическое просвещение*. — 2000. — Т. 4. — С. 140—144.
5. ↑  *Горин Е. А.* Перестановки и квадратичный закон взаимности по Золотареву-Фробениусу-Руссо // *Чебышевский сборник*. — 2013. — В. 4. — Т. 14. — С. 80-94.
6. ↑  *Айерленд К. Роузен М.* Классическое введение в современную теорию чисел. С. 73, 136.

Літаратура
----------

* *И. М. Виноградов.* Основы теории чисел.. — М.: Наука, 1972.
* *К. Айерлэнд, М. Роузен.* Классическое введение в современную теорию чисел.. — М.: Мир, 1987.

Спасылкі
--------

* *Weisstein, Eric W.* Quadratic Reciprocity Theorem (англ.) на старонцы Wolfram MathWorld.