Ілюстрацыя тэарэмы для моманту плошчы.
**Тэарэма Гюйгенса — Штэйнера**, ці проста **тэарэма Штэйнера** (названа па імі швейцарскага матэматыка Якаба Штэйнера і галандскага матэматыка, фізіка і астранома Хрысціяна Гюйгенса): момант інерцыі {\displaystyle J} цела адносна адвольнай восі роўны суме моманту інерцыі гэтага цела {\displaystyle J\_{C}} адносна паралельнай ёй восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела, і здабытку масы цела {\displaystyle m} на квадрат адлегласці {\displaystyle d} паміж восямі:

{\displaystyle J=J\_{C}+md^{2}\,\!}
дзе

{\displaystyle J\_{C}} — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела,
{\displaystyle J} — шуканы момант інерцыі адносна паралельнай восі,
{\displaystyle m} — маса цела,
{\displaystyle d} — адлегласць паміж указанымі восямі.

Выснова
-------

Момант інерцыі, паводле азначэння:

{\displaystyle J=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}({\vec {r'}}\_{i})^{2}\,\!}
Радыус-вектар {\displaystyle {\vec {r'}}\_{i}\,\!} можна распісаць як суму двух вектараў:

{\displaystyle {\vec {r'}}\_{i}={\vec {r}}\_{i}+{\vec {d}}\,\!},
дзе {\displaystyle {\vec {d}}} — радыус-вектар адлегласці паміж старой і новай воссю вярчэння.
Тады выраз для моманту інерцыі прыме від:

{\displaystyle J=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}({\vec {r}}\_{i})^{2}+2\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}{\vec {r}}\_{i}{\vec {d}}+\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}({\vec {d}})^{2}\,\!}
Выносячы за суму {\displaystyle {\vec {d}}}, атрымаем:

{\displaystyle J=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}({\vec {r}}\_{i})^{2}+2{\vec {d}}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}{\vec {r}}\_{i}+d^{2}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}\,\!}
Паколькі старая вось праходзіць праз цэнтр мас, то сумарны імпульс цела будзе роўны нулю:

{\displaystyle \sum \_{i=1}^{n}m\_{i}{\vec {r}}\_{i}=0\,\!}
Тады:

{\displaystyle J=\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}({\vec {r}}\_{i})^{2}+d^{2}\sum \_{i=1}^{n}m\_{i}\,\!}
Адкуль і вынікае шуканая формула:

{\displaystyle J=J\_{C}+md^{2}\,\!},
дзе {\displaystyle J\_{C}} — вядомы момант інерцыі адносна восі, якая праходзіць праз цэнтр мас цела.

Прыклад
-------

Момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго цэнтр і перпендыкулярна стрыжню, (назавём яе воссю {\displaystyle C}) роўны

{\displaystyle J\_{C}={\frac {mL^{2}}{12}}.}
Тады паводле тэарэмы Штэйнера яго момант адносна адвольнай паралельнай восі будзе роўны

{\displaystyle J=J\_{C}+md^{2}\,\!}
дзе {\displaystyle d} — адлегласць паміж шуканай воссю і воссю {\displaystyle C}. У прыватнасці, момант інерцыі стрыжня адносна восі, якая праходзіць праз яго канец і перпендыкулярна стрыжню, можна знайсці паклаўшы ў апошняй формуле {\displaystyle d=L/2}:

{\displaystyle J=J\_{C}+m\left({\frac {L}{2}}\right)^{2}={\frac {mL^{2}}{12}}+{\frac {mL^{2}}{4}}={\frac {mL^{2}}{3}}.}

Пералік тэнзара інерцыі
-----------------------

Тэарэма Гюйнеса — Штэйнера дапушчае абагульненне на тэнзар моманту інерцыі, што дазваляе атрымліваць тэнзар {\displaystyle \mathbf {J} \_{ij}} адносна адвольнага пункта з тэнзара {\displaystyle \mathbf {I} \_{ij}} адносна цэнтра мас. Няхай {\displaystyle \mathbf {a} } — зрушэнне ад цэнтра мас, тады

{\displaystyle \mathbf {J} \_{ij}=\mathbf {I} \_{ij}+m(a^{2}\delta \_{ij}-a\_{i}a\_{j}),}
дзе

{\displaystyle \mathbf {a} =a\_{1}\mathbf {\hat {x}} +a\_{2}\mathbf {\hat {y}} +a\_{3}\mathbf {\hat {z}} } — вектар зрушэння ад цэнтра мас, а {\displaystyle \delta \_{ij}} — сімвал Кронекера.
Як бачна, для дыяганальных элементаў тэнзара (пры {\displaystyle i=j}) формула мае від тэарэмы Гюйгенса — Штэйнера для моманту адносна новай восі.

Гл. таксама
-----------

* Момант інерцыі
* Спіс момантаў інерцыі

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая каталанская |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 119438559 |