**Тэарэма Пойнтынга** (англ.: Poynting's theorem) — тэарэма, якая апісвае закон захавання энергіі электрамагнітнага поля. Тэарэма была даказаная ў 1884 Джонам Генры Пойнтынгам. Усё зводзіцца да наступнай формулы:

{\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+\nabla \cdot \mathbf {S} =-\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} },
Дзе **S** — вектар Пойнтынга, **J** — шчыльнасць току і **E** — электрычнае поле. Шчыльнасць энергіі {\displaystyle u} ({\displaystyle \epsilon \_{0}} — электрычная пастаянная, {\displaystyle \mu \_{0}} — магнітная пастаянная).

{\displaystyle u={\frac {1}{2}}\left(\varepsilon \_{0}\mathbf {E} ^{2}+{\frac {\mathbf {B} ^{2}}{\mu \_{0}}}\right).}
Тэарэма Пойнтынга ў інтэгральнай форме:

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\int \_{V}u\ dV+\oint \_{\partial V}\mathbf {S} \ d\mathbf {A} =-\int \_{V}\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} \ dV},
дзе {\displaystyle \partial V\!} — паверхня, якая абмяжоўвае аб'ём {\displaystyle V\!}.

У тэхнічнай літаратуры тэарэма звычайна запісваецца так ({\displaystyle u} — шчыльнасці энергіі):

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\varepsilon \_{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu \_{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0},
дзе {\displaystyle \varepsilon \_{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}} — шчыльнасць энергіі электрычнага поля, {\displaystyle {\frac {\mathbf {B} }{\mu \_{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}} — шчыльнасць энергіі магнітнага поля і {\displaystyle \mathbf {J} \cdot \mathbf {E} } — магутнасць джоўлявых страт ў адзінцы аб'ёму.

Вывад
-----

Тэарэма можа быць выведзена з дапамогай двух ураўненняў Максвела (для прастаты лічым, што асяроддзе - вакуум (μ = 1, ε = 1); для агульнага выпадку з адвольным асяроддзем, трэба ў формулы да кожнага ε0 і μ0 прыпісаць ε і μ):

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на {\displaystyle \mathbf {B} }, атрымаем:

{\displaystyle \mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=-\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Разгледзім спачатку ураўненне Максвела-Ампера:

{\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu \_{0}\mathbf {J} +\epsilon \_{0}\mu \_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}
Дамножыўшы абедзве часткі ўраўнення на {\displaystyle \mathbf {E} }, атрымаем:

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )=\mathbf {E} \cdot \mu \_{0}\mathbf {J} +\mathbf {E} \cdot \epsilon \_{0}\mu \_{0}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}.}
Адымаючы першае з другога, атрымаем:

{\displaystyle \mathbf {E} \cdot (\nabla \times \mathbf {B} )-\mathbf {B} \cdot (\nabla \times \mathbf {E} )=\mu \_{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon \_{0}\mu \_{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Нарэшце:

{\displaystyle -\nabla \cdot \ (\mathbf {E} \times \mathbf {B} )=\mu \_{0}\mathbf {E} \cdot \mathbf {J} +\epsilon \_{0}\mu \_{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+\mathbf {B} \cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}
Паколькі вектар Пойнтынга {\displaystyle \mathbf {S} } вызначаецца як:

{\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{\mu \_{0}}}\mathbf {E} \times \mathbf {B} }
гэта раўнасільна:

{\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {S} +\epsilon \_{0}\mathbf {E} \cdot {\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}+{\frac {\mathbf {B} }{\mu \_{0}}}\cdot {\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}+\mathbf {J} \cdot \mathbf {E} =0.}

Абагульненне
------------

Механічная энергія апісанай вышэй тэарэмы

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}u\_{m}(\mathbf {r} ,t)+\nabla \cdot \mathbf {S} \_{m}(\mathbf {r} ,t)=\mathbf {J} (\mathbf {r} ,t)\cdot \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t),}
дзе {\displaystyle u\_{m}} — кінетычная энергія шчыльнасці ў сістэме. Яна можа быць апісана як сума кінетычнай энергіі часціц {\displaystyle \alpha }

{\displaystyle u\_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum \_{\alpha }{\frac {m\_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}\_{\alpha }^{2}\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{\alpha }(t)),}
{\displaystyle \mathbf {S\_{m}} } — паток энергіі, або «механічны вектар Пойнтынга»:

{\displaystyle \mathbf {S} \_{m}(\mathbf {r} ,t)=\sum \_{\alpha }{\frac {m\_{\alpha }}{2}}{\dot {r}}\_{\alpha }^{2}{\dot {\mathbf {r} }}\_{\alpha }\delta (\mathbf {r} -\mathbf {r} \_{\alpha }(t)).}
Ураўненне бесперапыннасці энергіі або закон захавання энергіі

{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(u\_{e}+u\_{m}\right)+\nabla \cdot \left(\mathbf {S} \_{e}+\mathbf {S} \_{m}\right)=0,}

Альтэрнатыўныя формы
--------------------

Можна атрымаць і іншыя формы тэарэмы Пойнтынга. Замест таго, каб выкарыстоўваць вектар патоку {\displaystyle \mathbf {S} \propto \mathbf {E} \times \mathbf {B} }, можна выбраць форму Абрагама {\displaystyle \mathbf {E} \times \mathbf {H} }, форму Мінкоўскага {\displaystyle \mathbf {D} \times \mathbf {B} }, або якую-небудзь іншую.