**Тэарэма Эмі Нётэр** сцвярджае, што кожнай неперарыўнай сіметрыі фізічнай сістэмы адпавядае некаторы закон захавання.

Так, закон захавання энергіі адпавядае аднароднасці часу,

закон захавання імпульсу — аднароднасці прасторы,

закон захавання моманту імпульсу — ізатрапіі прасторы,

закон захавання электрычнага зараду — калібровачнай сіметрыі і г. д.

Тэарэма звычайна фармулюецца для сістэм, якія валодаюць функцыяналам дзеяння, і выражае сабой інварыянтнасць лагранжыяна адносна некаторай неперарыўнай групы пераўтварэнняў.

Тэарэма ўстаноўлена ў працах навукоўцаў Гётынгенскай школы Д. Гільберта, Ф. Клейна і Э. Нётэр. У найбольш распаўсюджанай фармулёўцы была даказана Эмі Нётэр ў 1918 годзе.

Фармулёўка
----------

### Класічная механіка

Кожнай аднапараметрычнай групе дыфеамарфізмаў {\displaystyle g^{s}(q\_{i})}, якія захоўваюць функцыю Лагранжа, адпавядае першы інтэграл сістэмы, роўны

{\displaystyle I=\sum \_{i=1}^{n}\left({\frac {d}{ds}}g^{s}(q\_{i})\right){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}}
У тэрмінах інфінітэзімальных пераўтварэнняў, хай інфінітэзімальнае пераўтварэнне каардынат мае выгляд

{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)}
і функцыя Лагранжа {\displaystyle L(q,{\dot {q}},t)} інварыянтная адносна гэтых пераўтварэнняў, гэта значыць

{\displaystyle {\frac {d}{ds}}L({\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t),{\dot {{\vec {q}}\_{0}}}+s{\dot {\vec {\psi }}}({\vec {q}},t),t)=0}
Тады ў сістэмы існуе першы інтэграл, роўны

{\displaystyle I=\left({\vec {\psi }}({\vec {q}},t);{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)=\sum \_{i=1}^{n}\psi \_{i}({\vec {q}},t){\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}\_{i}}}.}
Тэарэму можна абагульніць на выпадак пераўтварэнняў, якія закранаюць таксама і час, калі прадставіць яе рух як працэс, што залежыць ад некаторага параметра {\displaystyle \tau }, прычым у працэсе руху {\displaystyle t=\tau }. Тады з пераўтварэнняў

{\displaystyle g^{s}({\vec {q}})={\vec {q}}\_{0}+s{\vec {\psi }}({\vec {q}},t)}
{\displaystyle g^{s}(t)=t\_{0}+s\xi ({\vec {q}},t)}
вынікае першы інтэграл

{\displaystyle I=\xi L+\left({\vec {\psi }}-\xi {\dot {\vec {q}}};{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\vec {q}}}}}\right)}
### Тэорыя поля

Тэарэма Нётэр дапускае прамое абагульненне на выпадкі сістэм з бесканечным лікам ступеней свабоды, прыкладам якіх з’яўляюцца гравітацыйнае і электрамагнітнае поле. А менавіта, няхай функцыя Лагранжа сістэмы залежыць ад {\displaystyle n} патэнцыялаў, якія залежаць, у сваю чаргу, ад {\displaystyle k} каардынат. Функцыянал дзеяння будзе мець выгляд

{\displaystyle S=\int L(A^{i},\;\partial \_{\mu }A^{i},\;x^{\mu })\,d\Omega ,\quad i=1,\ldots ,\;n,\quad \mu =1,\;\ldots ,\;k,\quad d\Omega =dx^{1}\ldots dx^{k}.}
Няхай аднапараметрычная група {\displaystyle g^{s}} дыфеамарфізмаў прасторы патэнцыялаў захоўвае функцыю Лагранжа, тады захоўваецца вектар

{\displaystyle J^{\mu }=\left({\frac {d}{ds}}g^{s}A^{i}\right){\frac {\partial L}{\partial (\partial \_{\mu }A^{i})}},}
званы **вектарам патоку Нётэр**. Па індэксах, якія паўтараюцца, падразумяваецца падсумоўванне, {\displaystyle \partial \_{\mu }={\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}}. Сэнс захавання вектара патоку Нётэр ў тым, што

{\displaystyle \ \partial \_{\mu }J^{\mu }=0,}
таму паток {\displaystyle J} праз любую замкнёную паверхню ў прасторы каардынат роўны 0. У прыватнасці, калі вылучыць сярод каардынат адну, званую *часам*, і разгледзець гіперплоскасці пастаяннага часу, то паток {\displaystyle J} праз такую ​​гіперплоскасць пастаянны ў часе, пры ўмове досыць хуткага змяншэння поля на бесканечнасці і некампактнай гіперпаверхні, каб паток вектара праз бакавую мяжу вобласці прасторы паміж дзвюма гіперпаверхнямі быў роўны 0. У класічнай тэорыі поля такой уласцівасцю валодае, напрыклад, тэнзар энергіі-імпульсу для электрамагнітнага поля. У вакууме лагранжыян поля не залежыць яўна ад каардынат, таму паяўляецца велічыня, якая захоўваецца і звязваецца з патокам энергіі-імпульсу.

### Дыферэнцыяльныя ўраўненні

Хай маецца варыяцыйная задача з функцыяналам дзеяння {\displaystyle S=\int L({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )\,d{\boldsymbol {x}}}. Тут {\displaystyle L} — лагранжыян, {\displaystyle x} — незалежныя зменныя, {\displaystyle u} — залежныя зменныя, гэта значыць функцыі ад {\displaystyle x}. {\displaystyle L} можа залежаць таксама і ад вытворных {\displaystyle u} па {\displaystyle x}, не абавязкова толькі першага парадку.

Варыяцыйная задача для такога функцыянала прыводзіць да дыферэнцыяльных ураўненняў Эйлера — Лагранжа, якія можна запісаць у выглядзе

{\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} (L)=0~,~\alpha =1\dots q,}
дзе {\displaystyle \mathrm {E} } — аператары Эйлера-Лагранжа:

{\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} ={\frac {\partial }{\partial u\_{\alpha }}}-\sum \_{i=1}^{p}{\frac {d}{dx\_{i}}}{\frac {\partial }{\partial u\_{x\_{i}}^{\alpha }}}+\dots ,}
{\displaystyle u\_{x\_{i}}^{\alpha }} — вытворная функцыі {\displaystyle u^{\alpha }} па зменнай {\displaystyle x\_{i}}. Шматкроп’е азначае, што калі {\displaystyle L} залежыць ад вытворных парадку вышэй першага, то трэба дадаць адпаведныя складнікі ў {\displaystyle \mathrm {E} }. У кампактным запісе {\displaystyle \mathrm {E\_{\alpha }} =\sum \_{J}(-D)\_{J}{\frac {\partial }{\partial u\_{J}^{\alpha }}}}, дзе {\displaystyle J} — мультыіндэкс. Сумаванне вядзецца па ўсіх складніках такіх, што вытворная {\displaystyle u\_{J}^{\alpha }} ўваходзіць у {\displaystyle L}.

Тэарэма Нётэр звязвае так званыя варыяцыйныя сіметрыі функцыянала {\displaystyle S} з законамі захавання, якія будуць выконвацца на рашэннях ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

#### Законы захавання

Закон захавання для сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў — гэта выраз выгляду

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0,}

які справядліў на рашэннях гэтай сістэмы, г. зн. такі, што калі падставіць у яго гэтыя дыферэнцыяльныя ўраўненні, атрымаецца тоеснасць. У дадзеным выпадку разглядаюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні Эйлера — Лагранжа. Тут {\displaystyle \mathrm {Div} } — поўная дывергенцыя (дывергенцыя з поўнымі вытворнымі) па {\displaystyle x}. {\displaystyle {\vec {P}}} — гладкія функцыі {\displaystyle u}, {\displaystyle x} і вытворных {\displaystyle u} па {\displaystyle x}.

Трывіяльнымі законамі захавання называюцца законы захавання,

* для якіх {\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0} само па сабе з’яўляецца тоеснасцю без уліку якіх-небудзь дыферэнцыяльных ураўненняў;
* або для якіх {\displaystyle {\vec {P}}} ператвараецца ў 0 адразу пры падстаноўцы дыферэнцыяльных ураўненняў, без вылічэння дывергенцыі (захоўваецца тоесны нуль на рашэннях);
* або для якіх {\displaystyle {\vec {P}}} ёсць лінейная камбінацыя папярэдніх тыпаў.

Калі для двух законаў захавання з функцыямі {\displaystyle {\vec {P}}} і {\displaystyle {\vec {R}}} рознасць {\displaystyle {\vec {P}}-{\vec {R}}} дае трывіяльны закон захавання, такія два закона захавання называюцца эквівалентнымі.

Кожны закон захавання эквівалентны закону захавання ў характарыстычнай форме — гэта значыць такому, для якога

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}={\vec {Q}}\cdot {\vec {\Delta }},}
дзе {\displaystyle \Delta } — выразы, якія ўваходзяць у вызначэнне сістэмы дыферэнцыяльных ураўненняў: {\displaystyle {\vec {\Delta }}=0}. Для апісанага выпадку {\displaystyle \Delta \_{\alpha }=E\_{\alpha }(L)} і

{\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=\sum \_{\alpha }Q\_{\alpha }E\_{\alpha }(L).}
{\displaystyle Q\_{\alpha }} залежаць ад {\displaystyle u}, {\displaystyle x} і вытворных {\displaystyle u} па {\displaystyle x} і называюцца характарыстыкамі закона захавання.

#### Варыяцыйныя сіметрыі

Хай маецца абагульненае вектарная поле

{\displaystyle {\vec {v}}=\sum \_{i=1}^{p}\xi ^{i}{\frac {\partial }{\partial x^{i}}}+\sum \_{\alpha =1}^{q}\varphi \_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}}.}
«Абагульненае» разумеецца ў тым сэнсе, што {\displaystyle \xi } і {\displaystyle \varphi } могуць залежаць не толькі ад {\displaystyle u} і {\displaystyle x}, але і ад вытворных {\displaystyle u} па {\displaystyle x}.

**Азначэнне:** {\displaystyle {\vec {v}}} называецца варыяцыйнай сіметрыяй функцыянала {\displaystyle S}, калі існуе набор функцый {\displaystyle {\vec {\mathrm {B} }}({\vec {u}},{\vec {x}},\dots )} такі, што

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}(L)+L\,\mathrm {Div} {\vec {\xi }}=\mathrm {Div} \,{\vec {\mathrm {B} }}.}
{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}} — працяг {\displaystyle {\vec {v}}}. Працяг ўлічвае, што дзеянне {\displaystyle {\vec {v}}} на {\displaystyle u} і {\displaystyle x} выклікае таксама інфінітэзімальную змену вытворных, і задаецца формуламі

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}={\vec {v}}+\sum \_{\alpha ,J}\varphi \_{\alpha }^{J}{\frac {\partial }{\partial u\_{J}^{\alpha }}}~,~\varphi \_{\alpha }^{J}=D\_{J}{\bigl (}\varphi \_{\alpha }-\sum \_{i}\xi ^{i}u\_{i}^{\alpha }{\bigr )}.}
У формуле для працягу неабходна браць, акрамя {\displaystyle {\vec {v}}}, складнікі з такімі {\displaystyle \partial /\partial u\_{J}^{\alpha }}, для якіх {\displaystyle u\_{J}^{\alpha }} ўваходзяць у {\displaystyle L} або, у агульным выпадку, у той выраз, на які працяг дзейнічае.

Сэнс вызначэння варыяцыйнай сіметрыі заключаецца ў тым, што {\displaystyle {\vec {v}}} — гэта інфінітэзімальныя пераўтварэнні, якія ў першым парадку мяняюць функцыянал {\displaystyle S} такім чынам, што ўраўненні Эйлера — Лагранжа пераўтвараюцца ў эквівалентныя. Справядлівая

**тэарэма**: калі {\displaystyle {\vec {v}}} з’яўляецца варыяцыйнай сіметрыяй, то {\displaystyle {\vec {v}}} з’яўляецца (абагульненай) сіметрыяй ураўненняў Эйлера — Лагранжа:

{\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} \_{\alpha }(L)\vert \_{{\vec {\mathrm {E} }}(L)=0}=0.}
Гэта формула азначае, што інфінітэзімальныя змены выразаў {\displaystyle \mathrm {E} \_{\alpha }(L)}, запісаныя тут у выглядзе {\displaystyle \mathrm {pr} \,{\vec {v}}\,\mathrm {E} \_{\alpha }(L)}, ператвараюцца ў 0 на рашэннях.

#### Характарыстыкі вектарных палёў

Набор функцый {\displaystyle Q\_{\alpha }=\varphi \_{\alpha }-\sum \_{i}\xi ^{i}u\_{i}^{\alpha }} (у абазначэннях, дадзеных вышэй) завецца характарыстыкай вектарнага поля {\displaystyle {\vec {v}}}. Замест {\displaystyle {\vec {v}}} можна браць вектарнае поле

{\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}=\sum \_{\alpha }Q\_{\alpha }{\frac {\partial }{\partial u^{\alpha }}},}
якое называецца эвалюцыйным прадстаўніком {\displaystyle {\vec {v}}}.

{\displaystyle {\vec {v}}} і {\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}} вызначаюць па сутнасці адну і тую ж сіметрыю, таму, калі вядомыя характарыстыкі {\displaystyle Q\_{\alpha }}, можна лічыць, што тым самым зададзена і сіметрыя. Працяг {\displaystyle {\vec {v}}\_{Q}} вызначаецца аналагічна працягу {\displaystyle {\vec {v}}}, але фармальна прасцей, бо не трэба асобна ўлічваць ўклад ад {\displaystyle \xi }.

Тэарэма Нётэр ўстанаўлівае сувязь паміж характарыстыкамі законаў захавання і характарыстыкамі вектарных палёў.

#### Тэарэма Нётэр

Абагульненае вектарнае поле {\displaystyle {\vec {v}}} вызначае групу сіметрыі функцыянала {\displaystyle S} у тым і толькі ў тым выпадку, калі яго характарыстыка {\displaystyle {\vec {Q}}} з’яўляецца характарыстыкай закона захавання {\displaystyle \mathrm {Div} {\vec {P}}=0} для адпаведных ураўненняў Эйлера — Лагранжа.

Законы захавання
----------------

У класічнай механіцы законы захавання энергіі, імпульсу і моманту імпульсу выводзяцца з аднароднасці/ізатропнасці лагранжыяна сістэмы — лагранжыян (функцыя Лагранжа) не мяняецца з часам сам па сабе і не змяняецца пераносам або паваротам сістэмы ў прасторы. Па сутнасці, гэта азначае тое, што пры разглядзе нейкай замкнёнай у лабараторыі сістэмы будуць атрыманы адны і тыя ж вынікі незалежна ад размяшчэння лабараторыі і часу правядзення эксперыменту. Іншыя сіметрыі лагранжыяна сістэмы, калі яны ёсць, ці адпавядаюць іншым велічыням, што захоўваюцца ў дадзенай сістэме (інтэграле руху); напрыклад, сіметрыя лагранжыяна гравітацыйнай і кулонаўскай задачы двух цел прыводзіць да захавання не толькі энергіі, імпульсу і моманту імпульсу, але і вектара Лапласа — Рунге — Ленца.

Літаратура
----------

* *Арнольд В. И.* Математические методы классической механики, изд. 5-ое, — м: Едиториал УРСС, 2003, ISBN 5-354-00341-5
* *Ибрагимов Н. Х.* Группы преобразований в математической физике. — м: Наука, 280 с. 1983 г.

Спасылкі
--------

* Пераклад артыкула Нётэр на англійскую
* Артыкул пра Тэарэму Нётэр, by John Baez  (англ.)
* E. Noether’s Discovery of the Deep Connection Between Symmetries and Conservation Laws by Nina Byers
* Тэарэма Нётэр на MathPages.  (англ.)
* Symmetric energy-momentum tensor in Maxwell, Yang-Mills, and Proca theories obtained using only Noether’s theorem.  (англ.)
* *Giachetta G. Mangiarotti L. Sardanashvily G.* On the notion of gauge symmetries of generic Lagrangian field theory. — J. Math. Phys. **50** (2009) 012903; arXiv 0807.3003.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | Microsoft: 80892491 |