У тэорыі імавернасцей цэнтральная гранічная тэарэма сцвярджае, што пры пэўных умовах размеркаванне імавернасцей сярэдняга значэння выпадковай выбаркі збягаецца  (англ.) (бел. к нармальнаму размеркаванню пры нарастанні аб'ёму выбаркі да бесканечнасці. Пры больш моцных дапушчэннях, **тэарэма Беры — Эсеена** (або **няроўнасць Беры — Эсеена**) колькасна ацэньвае скорасць, з якою гэта збежнасць адбываецца, даючы ацэнку найбольшай пагрэшнасці прыбліжэння сапраўднага размеркавання нармальным. Прыбліжэнне ацэньваецца па адлегласці Калмагорава — Смірнова. У выпадку незалежных выбарак скорасць збежнасці мае парадак *n*−1/2, дзе *n* — аб'ём выбаркі, а пастаянная ацэньваецца праз трэція абсалютныя нарміраваныя моманты.

Сцвярджэнне тэарэмы
-------------------

Фармулёўкі тэарэмы могуць адрознівацца, бо яна была адкрыта незалежна двума матэматыкамі: Эндру Беры (у 1941) і Карлам-Густавам Эсеенам  (англ.) (бел. (1942), які затым, разам з іншымі аўтарамі, некалькі разоў паляпшаў тэарэму на працягу наступных дзесяцігоддзяў.

### Аднолькава размеркаваныя складнікі

Адзін з варыянтаў, які ў нечым ахвяруе агульнасцю дзеля яснасці, гучыць наступным чынам:

Няхай *X*1, *X*2, …, — незалежныя і аднолькава размеркаваныя выпадковыя велічыні з E(*X**i*) = 0, E(*X*2*i*) = σ² > 0, і E(|*X**i*|³) = ρ < ∞. Вызначым выбарачнае сярэдняе:
{\displaystyle Y\_{n}={\frac {X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n}}{n}}.}
Няхай *F**n* ёсць функцыя размеркавання велічыні
{\displaystyle {Y\_{n}{\sqrt {n}} \over {\sigma }},}
а Φ ёсць функцыя стандартнага нармальнага размеркавання.
Тады існуе дадатная пастаянная *C* такая, што для ўсіх *x* і *n* справядліва няроўнасць
{\displaystyle \left|F\_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {C\rho \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}}.\ \ \ \ (1)}
Ілюстрацыя рознасці паміж упамянутымі ў тэарэме функцыямі размеркавання.
Гэта значыць: зададзена паслядоўнасць незалежных аднолькава размеркаваных выпадковых велічынь  (англ.) (бел. з нулявым спадзяваннем і дадатнаю дысперсіяй, і, акрамя таго, з канечным трэцім абсалютным момантам. Тады функцыі размеркавання ўнармаванага выбарачнага сярэдняга і стандартнай нармальнай велічыні адрозніваюцца не больш чым на вызначаную велічыню. Варта заўважыць, што хібнасць прыбліжэння для ўсіх *n* абмежавана велічынёю парадку *n*−1/2.

На працягу гадоў вылічаныя значэнні пастаяннай *C* прыкметна панізіліся са значэння 7.59, атрыманага Эсеенам, да 0.7882, атрыманага ван-Беекам, пасля 0.7655, тады 0.7056, затым 0.7005, потым 0.5894, пазней 0.5129, затым 0.4785. Падрабязны агляд можна знайсці ў артыкулах. Найлепшая ацэнка на 2012 год, *C* < 0.4748, вынікае з няроўнасці

{\displaystyle \sup \_{x\in \mathbb {R} }\left|F\_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.33554(\rho +0.415\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},}
даказанай Шаўцовай, пры ўліку суадносін σ³ ≤ ρ і 0.33554 · 1.415 < 0.4748. Аднак, калі ρ ≥ 1.286σ³, тады ацэнка

{\displaystyle \sup \_{x\in \mathbb {R} }\left|F\_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq {0.3328(\rho +0.429\sigma ^{3}) \over \sigma ^{3}\,{\sqrt {n}}},}
якая таксама даказана Шаўцовай, дае яшчэ стражэйшую верхнюю ацэнку.

Эсеен атрымаў ніжнюю мяжу для пастаяннай

{\displaystyle C\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}\approx 0.40973\approx {\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}+0.01079.}
### Рознаразмеркаваныя складнікі

Няхай *X*1, *X*2, …, — незалежныя выпадковыя велічыні з E(*X*i) = 0, E(*X*i²) = σi² > 0, і E(|*X*i|³) = ρi < ∞. Таксама няхай
{\displaystyle S\_{n}={X\_{1}+X\_{2}+\cdots +X\_{n} \over {\sqrt {\sigma \_{1}^{2}+\sigma \_{2}^{2}+\cdots +\sigma \_{n}^{2}}}}}
унармаваная *n*-я частковая сума. Абазначым *F**n* функцыю размеркавання велічыні *S**n*, а сімвалам Φ — функцыю стандартнага нармальнага размеркавання. Дзеля зручнасці абазначым
{\displaystyle {\vec {\sigma }}=(\sigma \_{1},...\sigma \_{n}),\ {\vec {\rho }}=(\rho \_{1},...\rho \_{n}).}
У 1941 Эндру Беры даказаў, што для ўсіх *n* існуе абсалютная пастаянная *C*1, такая што
{\displaystyle \sup \_{x\in \mathbb {R} }\left|F\_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C\_{1}\cdot \psi \_{1},\ \ \ \ (2)}
дзе
{\displaystyle \psi \_{1}=\psi \_{1}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits \_{i=1}^{n}\sigma \_{i}^{2}}{\Big )}^{-1/2}\cdot \max \_{1\leq i\leq n}{\frac {\rho \_{i}}{\sigma \_{i}^{2}}}.}
Незалежна, у 1942 годзе, Карл Густаў Эсеен даказаў, што для любых *n* існуе абсалютная пастаянная *C*0, такая што
{\displaystyle \sup \_{x\in \mathbb {R} }\left|F\_{n}(x)-\Phi (x)\right|\leq C\_{0}\cdot \psi \_{0},\ \ \ \ (3)}
дзе
{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{0}{\big (}{\vec {\sigma }},{\vec {\rho }}{\big )}={\Big (}{\textstyle \sum \limits \_{i=1}^{n}\sigma \_{i}^{2}}{\Big )}^{-3/2}\cdot \sum \limits \_{i=1}^{n}\rho \_{i}.}
Лёгка пераканацца, што ψ0≤ψ1. Таму няроўнасць (3) прынята называць **няроўнасцю Беры-Эсеена**, велічыня ψ0 называецца **дробам Ляпунова трэцяга парадку**. Больш таго, у выпадку, калі ўсе складнікі *X*1,… *X*n размеркаваны аднолькава

{\displaystyle \psi \_{0}=\psi \_{1}={\frac {\rho \_{1}}{\sigma \_{1}^{3}{\sqrt {n}}}},}
ацэнкі з няроўнасцей (1), (2) і (3) супадаюць.

Адносна *C*0, відавочна, ніжняя мяжа, устаноўленая Эсеенам, застаецца ў сіле:

{\displaystyle C\_{0}\geq {\frac {{\sqrt {10}}+3}{6{\sqrt {2\pi }}}}=0.4097\ldots .}
Верхнія межы для *C*0 пазней былі паніжаны ад зыходнай ацэнкі 7.59 Эсеена да (тут пералічваюцца толькі нядаўнія вынікі) 0.9051 Залатарова, 0.7975 ван-Беека, 0.7915 Шыганава, 0.6379 і 0.5606 Цюрына. На 2011 год найлепшая ацэнка 0.5600 атрымана Шаўцовай.

Гл. таксама
-----------

* Цэнтральная гранічная тэарэма
* Няроўнасць Чарнова  (англ.) (бел.
* Рад Эджворта  (англ.) (бел.

Зноскі
------

1. 1 2  Esseen 1942.
2. 1 2  van Beek 1972.
3. 1 2  Shiganov 1986.
4. ↑  Shevtsova 2007.
5. ↑  Shevtsova 2008.
6. 1 2  Tyurin 2009.
7. 1 2  Korolev and Shevtsova, 2009. Памылка шаблона sfn: няма якара: CITEREFKorolev\_and\_Shevtsova,\_2009 (даведка)
8. 1 2  Tyurin 2010.
9. ↑  Korolev and Shevtsova 2010. Памылка шаблона sfn: няма якара: CITEREFKorolev\_and\_Shevtsova2010 (даведка)
10. 1 2  Shevtsova 2011.
11. 1 2  Esseen 1956.
12. ↑  Zolotarev 1967.
13. ↑  Shevtsova 2010.

Літаратура
----------

* Berry, Andrew C. (1941). "The Accuracy of the Gaussian Approximation to the Sum of Independent Variates". *Transactions of the American Mathematical Society*. **49** (1): 122–136. doi:10.1090/S0002-9947-1941-0003498-3. JSTOR 1990053. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Durrett, Richard (1991). *Probability: Theory and Examples*. Pacific Grove, CA: Wadsworth & Brooks/Cole. ISBN 0-534-13206-5.
* Esseen, Carl-Gustav (1942). "On the Liapunoff limit of error in the theory of probability". *Arkiv för matematik, astronomi och fysik*. **A28**: 1–19. ISSN 0365-4133. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Esseen, Carl-Gustav (1956). "A moment inequality with an application to the central limit theorem". *Skand. Aktuarietidskr*. **39**: 160–170. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Feller, William (1972). *An Introduction to Probability Theory and Its Applications, Volume II* (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-25709-5.
* Korolev, V. Yu.; Shevtsova, I. G. (2010). "On the upper bound for the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". *Theory of Probability and its Applications*. **54** (4): 638–658. doi:10.1137/S0040585X97984449. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Korolev, Victor; Shevtsova, Irina (2010). "An improvement of the Berry–Esseen inequality with applications to Poisson and mixed Poisson random sums". *Scandinavian Actuarial Journal*: 1–25. doi:10.1080/03461238.2010.485370. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Manoukian, Edward B. (1986). *Modern Concepts and Theorems of Mathematical Statistics*. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96186-0.
* Serfling, Robert J. (1980). *Approximation Theorems of Mathematical Statistics*. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-02403-1.
* Shevtsova, I. G. (2008). "On the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". *The Collection of Papers of Young Scientists of the Faculty of Computational Mathematics and Cybernetics* (5): 101–110. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Shevtsova, I. G. (2007). "Sharpening of the upper bound of the absolute constant in the Berry–Esseen inequality". *Theory of Probability and its Applications*. **51** (3): 549–553. doi:10.1137/S0040585X97982591. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Shevtsova, I. G. (2010). "An Improvement of Convergence Rate Estimates in the Lyapunov Theorem". *Doklady Mathematics*. **82** (3): 862–864. doi:10.1134/S1064562410060062. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Shevtsova, Irina (2011). "On the absolute constants in the Berry Esseen type inequalities for identically distributed summands". arXiv:1111.6554 [math.PR]. `{{cite arxiv}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Shiganov, I.S. (1986). "Refinement of the upper bound of a constant in the remainder term of the central limit theorem". *Journal of Soviet mathematics*. **35** (3): 109–115. doi:10.1007/BF01121471. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Tyurin, I.S. (2009). "On the accuracy of the Gaussian approximation". *Doklady Mathematics*. **80** (3): 840–843. doi:10.1134/S1064562409060155. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Tyurin, I.S. (2010). "An improvement of upper estimates of the constants in the Lyapunov theorem". *Russian Mathematical Surveys*. **65** (3(393)): 201–202. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* van Beek, P. (1972). "An application of Fourier methods to the problem of sharpening the Berry–Esseen inequality". *Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und verwandte Gebiete*. **23** (3): 187–196. doi:10.1007/BF00536558. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)
* Zolotarev, V. M. (1967). "A sharpening of the inequality of Berry–Esseen". *Z. Wahrsch. Verw. Geb*. **8** (4): 332–342. doi:10.1007/BF00531598. `{{cite journal}}`: Няправільны `|ref=harv` (даведка)

Спасылкі
--------

* Hazewinkel, Michiel, рэд. (2001). "Berry-Esseen inequality". *Encyclopedia of Mathematics*. Springer. ISBN 978-1-55608-010-4.