Мадэль размеркавання цяпла ў корпусе помпы, створаная шляхам рашэння ўраўнення цеплаправоднасці
**Дыферэнцыяльнае ўраўненне**, ці **дыферэнцыяльнае раўнанне** — ураўненне, якое звязвае значэнне некаторай невядомай функцыі ў некаторым пункце і значэнне яе вытворных розных парадкаў у тым жа пункце. Дыферэнцыяльнае ўраўненне змяшчае ў сваім запісе невядомую функцыю, яе вытворныя і незалежныя пераменныя. Аднак не кожнае ўраўненне, якое змяшчае вытворныя невядомай функцыі, з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Напрыклад, {\displaystyle f'(x)=f(f(x))} не з’яўляецца дыферэнцыяльным ураўненнем. Варта таксама адзначыць, што дыферэнцыяльнае ўраўненне можа наогул не змяшчаць невядомую функцыю, некаторыя яе вытворныя і свабодныя зменныя, але абавязкова змяшчаць хоць адну з вытворных.

У прыкладаннях матэматыкі часта ўзнікаюць задачы, у якіх невядомая залежнасць аднаго параметра ад іншага, але магчыма запісаць выраз дзеля хуткасці змены аднаго параметра адносна іншага (вытворнай). У гэтым выпадку задача зводзіцца да знаходжання функцыі па яе вытворнай, звязанай з некаторымі іншымі выразамі.

Гісторыя даследавання
---------------------

Першапачаткова дыферэнцыяльныя ўраўненні ўзніклі з задач механікі, у якіх патрабавалася вызначыць каардынаты цел, іх хуткасці і паскарэнні, якія разглядаюцца як функцыі часу пры розных уздзеяннях. Да дыферэнцыяльных раўнанняў прыводзілі таксама некаторыя разгледжаныя ў той час геаметрычныя задачы.

Асноваю тэорыі дыферэнцыяльных раўнанняў стала дыферэнцыяльнае злічэнне, створанае Лейбніцам і Ньютанам (1642—1727). Сам тэрмін «дыферэнцыяльнае раўнанне» быў прапанаваны ў 1676 годзе Лейбніцам.

З вялікай колькасці работ XVIII стагоддзя па дыферэнцыяльных ураўненнях вылучаюцца працы Эйлера (1707—1783) і Лагранжа (1736—1813). У гэтых працах была развіта тэорыя малых ваганняў і тэорыя лінейных сістэм дыферэнцыяльных ураўненняў; адначасова ўзніклі асноўныя паняцці лінейнай алгебры (уласныя лікі і вектары ў *n*-мерным выпадку). Услед за Ньютанам Лаплас і Лагранж, а пазней Гаус (1777—1855) развіваюць таксама метады тэорыі ўзбурэнняў.

Калі была даказана невырашальнасць алгебраічных ураўненняў у радыкалах, Жазеф Ліувіль (1809—1882) пабудаваў аналагічную тэорыю для дыферэнцыяльных ураўненняў, устанавіўшы немагчымасць рашэння рада раўнанняў (у тым ліку, такіх класічных, як лінейныя ўраўненні другога парадку) у элементарных функцыях і квадратуры. Пазней Софус Лі (1842—1899), аналізуючы пытанне аб інтэграванні раўнанняў у квадратурах, прыйшоў да неабходнасці падрабязна даследаваць групы дыфеамарфізмаў (якія пасля атрымалі назву груп Лі) — так з тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў узнікла адна з самых плённых абласцей сучаснай матэматыкі, далейшае развіццё якой было цесна звязана зусім з іншымі пытаннямі (алгебры Лі яшчэ раней разглядалі Сімеон Дэні Пуасон (1781—1840) і, асабліва, Карл Густаў Якаб Якобі (1804—1851)).
Новы этап развіцця тэорыі дыферэнцыяльных ураўненняў пачынаецца з работ Анры Пуанкарэ (1854—1912), створаная ім «якасная тэорыя дыферэнцыяльных раўнанняў» разам з тэорыяй функцый камплексных зменных прывяла да стварэння сучаснай тапалогіі. Якасная тэорыя дыферэнцыяльных ураўненняў, ці, як цяпер яе часцей называюць, тэорыя дынамічных сістэм, цяпер актыўна развіваецца і мае шмат прыкладанняў у прыродазнаўстве.

Віды дыферэнцыяльных ураўненняў
-------------------------------

### Звычайныя ДУ

Асноўны артыкул: **Звычайнае дыферэнцыяльнае ўраўненне**
**Звычайныя дыферэнцыяльныя ўраўненні** (ЗДУ) — гэта ўраўненні, у якіх невядомая функцыя залежыць ад аднае зменнай. Яны маюць выгляд

{\displaystyle F\left(x,y,y',y'',\dots ,y^{(n)}\right)=0\!}  ці  {\displaystyle F\left(x,y,{\frac {\mathrm {d} y}{\mathrm {d} x}},{\frac {\mathrm {d} ^{2}y}{\mathrm {d} x^{2}}},\dots ,{\frac {\mathrm {d} ^{n}y}{\mathrm {d} x^{n}}}\right)=0,}
дзе {\displaystyle y=y(x)} — невядомая функцыя (магчыма, вектар-функцыя; у такім выпадку часта гавораць аб сістэме дыферэнцыяльных ураўненняў), якая залежыць ад незалежнай зменнай *x*, штрых абазначае дыферэнцаванне па *x*. Лік *n*, роўны найвышэйшаму парадку вытворных, прысутных ва ўраўненні, называецца *парадкам* дыферэнцыяльнага ўраўнення. Найбольш практычна важнымі з’яўляюцца дыферэнцыяльныя ўраўненні першага і другога парадку.

### ДУ ў частковых вытворных

Асноўны артыкул: **Дыферэнцыяльнае ўраўненне ў частковых вытворных**
**Дыферэнцыяльныя ўраўненні ў частковых вытворных** (ДУЧВ) — ураўненні, якія змяшчаюць невядомыя функцыі ад некалькіх зменных і іх частковыя вытворныя. Такія ўраўненні можна запісаць у выглядзе:

{\displaystyle F\left(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{m},z,{\frac {\partial z}{\partial x\_{1}}},{\frac {\partial z}{\partial x\_{2}}},\dots ,{\frac {\partial z}{\partial x\_{m}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\_{1}^{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\_{1}\partial x\_{2}}},{\frac {\partial ^{2}z}{\partial x\_{2}^{2}}},\dots ,{\frac {\partial ^{n}z}{\partial x\_{m}^{n}}}\right)=0,}
дзе {\displaystyle x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{m}} — незалежныя пераменныя, а {\displaystyle z=z(x\_{1},x\_{2},\dots ,x\_{m})} — функцыя гэтых пераменных. Парадак ураўненняў у частковых вытворных можа вызначацца гэтак жа, як для звычайных ДУ.

Ураўненні ў ЧВ другога парадку таксама падзяляюцца на ўраўненні эліптычнага, парабалічнага і гіпербалічнага тыпу.

### Абагульненыя тыпы ДУ

* Дыферэнцыяльнае ўраўненне з запазненнемbeen (ДУЗ) — ураўненне для функцыі адной зменнай (т.зв. *часу*), у якім вытворная функцыі ў пэўны час выражаецца праз значэнні функцыі ў больш раннія часы.
* Стахастычнае дыферэнцыяльнае ўраўненнеbeen (СДУ) — ураўненне, у якім невядомая велічыня з’яўляецца выпадковым працэсам. Такое ўраўненне можа ўключаць зададзеныя стахастычныя працэсы, напрыклад, Вінераўскі працэсbeen у выпадку ўраўненняў дыфузііberu.
* Дыферэнцыяльна-алгебраічнае ўраўненнеbeen (ДАУ) — дыферэнцыяльнае ўраўненне, якое ўключае дыферэнцыяльныя і алгебраічныя залежныя пераменныя, зададзеныя няяўным чынам.

Праграмнае забеспячэнне
-----------------------

* ExpressionsinBar
* Maple: dsolve
* SageMath
* Xcas: desolve(y'=k\*y,y)

Гл. таксама
-----------

* Правіла Рунге — Ромберга

Зноскі
------

1. ↑  Літ.: Русско-белорусский математический словарь. Мн. 1993, С.204.: **Раўнанне дыферэнцыяльнае**. Тлумачальны слоўнік беларускай літаратурнай мовы. Мн.:БелЭн, 2002.: **Дыферэнцыяльнае ўраўненне**
2. ↑
3. ↑
4. ↑

Літаратура
----------

* Дыферэнцыяльныя ўраўненні // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 6: Дадаізм — Застава / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 1998. — Т. 6. С. 301.

### Падручнікі

* В. И. Арнольд. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1966.
* Л. С. Понтрягин. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1974.
* Л. Э. Эльсгольц. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969.
* А. Н. Тихонов, А. Б. Васильева, А. Г. Свешников. Дифференциальные уравнения, 4-е изд. Физматлит, 2005.
* А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.
* А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев, А. И. Журов. Методы решения нелинейных уравнений математической физики и механики. М.: Физматлит, 2005.
* *Чарльз Генри Эдвардс, Дэвид Э. Пенни.* Дифференциальные уравнения и проблема собственных значений: моделирование и вычисление с помощью Mathematica, Maple и MATLAB = Differential Equations and Boundary Value Problems: Computing and Modeling. — 3-е изд. — М.: «Вильямс», 2007. — ISBN 978-5-8459-1166-7.
* *А. Ф. Филиппов.* Введение в теорию дифференциальных уравнений. — Изд. 2-е. — 2007. — 240 с. — ISBN 5354004160.

### Даведнікі

* *Э. Камке.* Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Наука, 1976.
* *В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.* Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. — М.: Физматлит, 2001.
* *Э. Камке.* Справочник по дифференциальным уравнениям в частных производных первого порядка. — М.: Наука, 1966.
* *В. Ф. Зайцев, А. Д. Полянин.* Справочник по дифференциальным уравнениям с частными производными первого порядка. — М.: Физматлит, 2003.
* *А. Д. Полянин.* Справочник по линейным уравнениям математической физики. — М.: Физматлит, 2001.
* *А. Д. Полянин, В. Ф. Зайцев.* Справочник по нелинейным уравнениям математической физики: Точные решения. — М.: Физматлит, 2002.

Спасылкі
--------

* Сайт пад рэдакцыяй А. Д. Паляніна «Мир математических уравнений» — EqWorld (руск.)
* Рускамоўныя рэсурсы па дыферэнцыяльных ураўненнях у Адкрытым Каталозе. (руск.)
* Прыклады рашэння дыферэнцыяльных ураўненняў Архівавана 26 чэрвеня 2012. (руск.)

| ⛭Дыферэнцыяльнае злічэнне |
| --- |
| Асноўнае | 
* Вытворная
* Дыферэнцыял
* Вытворная па напрамку
* Частковая вытворная
* Поўная вытворная функцыі
* Лагарыфмічная вытворная
* Матрыца Якобі
* Матрыца Гессе
* Дыферэнцыяльная форма
* Дыферэнцыяльнае ўраўненне

 |
| Асобныя віды вытворных | 
* Вытворная Лі
* Вытворная Дзіні
* Вытворная Пінкерля
* Вытворная Рымана
* Каварыянтная вытворная
* Вытворная Пеана
* Вытворная Радона — Нікадзіма

 |
| Дыферэнцыяльныя аператары (у розных каардынатах) | 

|  |  |
| --- | --- |
| Першага парадку | 
* Аператар набла
* Градыент
* Дывергенцыя
* Ротар

 |
| Другога парадку | 
* Эліптычны аператар
* Аператар Лапласа
* Аператар Д’Аламбера
* Аператар Лапласа — Бельтрамі

 |
| Вышэйшых парадкаў | 
* Гіпаэліптычны аператар

 |

 |
| Звязаныя тэмы | 
* Лікавае дыферэнцаванне
* Варыяцыйнае злічэнне
* Інтэграл
* Рад Тэйлара

 |

| ⛭Раздзелы матэматыкі |
| --- |
| Асноўныя раздзелы | 

|  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| Алгебра |
| --- |
| 
* Элементарная алгебра
* Лінейная алгебра
	+ Полілінейная алгебра
* Абстрактная алгебра

 |
| Абстрактная алгебра | 
* Камутатыўная алгебра
* Тэорыя прадстаўленняў
* Дыферэнцыяльная алгебра
* Гамалагічная алгебра
* Універсальная алгебра
* Тэорыя катэгорый

 |

 |
| 

| Матэматычны аналіз |
| --- |
| 
* Варыяцыйнае злічэнне
* Камплексны аналіз
* Тэорыя меры
* Функцыянальны аналіз
* Гарманічны аналіз
* Нестандартны аналіз

 |

 |
| 

| Геаметрыя і тапалогія |
| --- |
| Геаметрыя | 
* Алгебраічная геаметрыя
* Аналітычная геаметрыя
* Дыферэнцыяльная геаметрыя
* Еўклідава геаметрыя
* Нееўклідава геаметрыя
* Планіметрыя
* Стэрэаметрыя
* Трыганаметрыя

 |
| Тапалогія | 
* Агульная тапалогія
* Алгебраічная тапалогія
* Дыферэнцыяльная тапалогія

 |

 |
| 

| Дыскрэтная матэматыка |
| --- |
| 
* Камбінаторыка
* Тэорыя графаў
* Булева алгебра

 |

 |
| 

| Прыкладная матэматыка |
| --- |
| 
* Матэматычная фізіка
* Матэматычная хімія
* Матэматычная статыстыка
* Матэматычнае мадэляванне
* Тэорыя алгарытмаў
* Лікавыя метады
* Матэматычная эканоміка, Фінансавая матэматыка
* Тэорыя імавернасцей
* Даследаванне аперацый

 |

 |

 |
| Матэматычная логіка (алгебра логікі)  ·  Тэорыя лікаў (✰ арыфметыка) |
| Партал «Навука» | Партал «Матэматыка» | Катэгорыя «Матэматыка» |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Бракгаўза і Эфрона · Кругасвет · Britannica (11-th) · Britannica (онлайн) · Universalis |
| 

| Нарматыўны кантроль |
| --- |
| BNF: 133183122 · GND: 4012249-9 · LCCN: sh85037890 · Microsoft: 78045399 · NDL: 00560651 · NKC: ph119444 |

 |