| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае[en]
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Тэарэма множання імавернасцей** дае магчымасць падлічыць імавернасць здабытку некалькіх падзей, выкарыстоўваючы ўмоўную імавернасць.

Фармулёўка:34-36
----------------

### Для дзвюх падзей

Для дзвюх падзей {\displaystyle A} і {\displaystyle B}, такіх што {\displaystyle P(B)>0} выконваецца



P
(
A
B
)
=
P
(
A

|

B
)
P
(
B
)
,

{\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B),}

{\displaystyle P(AB)=P(A|B)P(B),}
дзе {\displaystyle P(A|B)} — умоўная імавернасць {\displaystyle A} пры выкананні {\displaystyle B}.

### Для канечнага мноства падзей

Для канечнага мноства падзей {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}}, такіх што {\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1})>0} выконваецца



P
(

A

1

A

2

…

A

n

)
=
P
(

A

1

)
P
(

A

2

|

A

1

)
P
(

A

3

|

A

1

A

2

)
P
(

A

n

|

A

1

A

2

…

A

n
−
1

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n})=P(A\_{1})P(A\_{2}|A\_{1})P(A\_{3}|A\_{1}A\_{2})P(A\_{n}|A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1}).}

{\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}
### Доказ

Тэарэма даказваецца метадам матэматычнай індукцыі.

Для {\displaystyle n=2} роўнасць вынікае з азначэння ўмоўнай імавернасці {\displaystyle P(A|B)=P(AB)/P(B)}, дамнажаючы абодва бакі на {\displaystyle P(B)}.

Дапусцім, што {\displaystyle n>2} і выконваецца



P
(

A

1

A

2

…

A

n
−
1

)
=
P
(

A

1

)
P
(

A

2

|

A

1

)
P
(

A

3

|

A

1

A

2

)
P
(

A

n
−
1

|

A

1

A

2

…

A

n
−
2

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1})=P(A\_{1})P(A\_{2}|A\_{1})P(A\_{3}|A\_{1}A\_{2})P(A\_{n-1}|A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-2}).}

{\displaystyle P(A_{1}A_{2}\dots A_{n-1})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n-1}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-2}).}
Пазначым {\displaystyle B=A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1}} і атрымаем



P
(

A

1

…

A

n
−
1

A

n

)
=
P
(
B

A

n

)
=
P
(
B
)
P
(

A

n

|

B
)
=

{\displaystyle P(A\_{1}\dots A\_{n-1}A\_{n})=P(BA\_{n})=P(B)P(A\_{n}|B)=}

{\displaystyle P(A_{1}\dots A_{n-1}A_{n})=P(BA_{n})=P(B)P(A_{n}|B)=}

=
P
(

A

1

)
P
(

A

2

|

A

1

)
P
(

A

3

|

A

1

A

2

)
P
(

A

n

|

A

1

A

2

…

A

n
−
1

)
.

{\displaystyle =P(A\_{1})P(A\_{2}|A\_{1})P(A\_{3}|A\_{1}A\_{2})P(A\_{n}|A\_{1}A\_{2}\dots A\_{n-1}).}

{\displaystyle =P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})P(A_{n}|A_{1}A_{2}\dots A_{n-1}).}

Прыклад выкарыстання
--------------------

Разгледзім скрыню з {\displaystyle N} шарамі, {\displaystyle M} з якіх белыя, а астатнія чорныя. Будзем браць паслядоўна тры шары са скрыні. Трэба знайсці імавернасць таго, што першы і трэці выцягнутыя шары — белыя, а другі — чорны.

Пазначым падзеі {\displaystyle A\_{1}} — «першы шар — белы», {\displaystyle A\_{2}} — «другі шар — чорны», {\displaystyle A\_{3}} — «трэці шар — белы». Тады падзея, якая нас цікавіць, — {\displaystyle A\_{1}A\_{2}A\_{3}}. Знойдзем яе імавернасць з дапамогай тэарэмы множання імавернасцей:



P
(

A

1

A

2

A

3

)
=
P
(

A

1

)
P
(

A

2

|

A

1

)
P
(

A

3

|

A

1

A

2

)
=

M
N


N
−
M

N
−
1



M
−
1

N
−
2

.

{\displaystyle P(A\_{1}A\_{2}A\_{3})=P(A\_{1})P(A\_{2}|A\_{1})P(A\_{3}|A\_{1}A\_{2})={\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N-1}}{\frac {M-1}{N-2}}.}

{\displaystyle P(A_{1}A_{2}A_{3})=P(A_{1})P(A_{2}|A_{1})P(A_{3}|A_{1}A_{2})={\frac {M}{N}}{\frac {N-M}{N-1}}{\frac {M-1}{N-2}}.}

Зноскі
------

1. ↑  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 33825631 |