Вынікі дадавання членаў рада Фур'е пры прыбліжэнні разрыўнай кавалкава-пастаяннай функцыі
**Рад Фур'е** — прадстаўленне адвольнай функцыі {\displaystyle f} з перыядам {\displaystyle \tau } у выглядзе рада

{\displaystyle f(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \limits \_{k=1}^{+\infty }A\_{k}\cos \left(2\pi {\frac {k}{\tau }}x+\theta \_{k}\right)}
Гэты рад можна таксама запісаць у відзе

{\displaystyle f(x)=\sum \limits \_{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\_{k}e^{i2\pi {\frac {k}{\tau }}x},}
дзе

{\displaystyle A\_{k}} — амплітуда *k*-га гарманічнага вагання,
{\displaystyle 2\pi {\frac {k}{\tau }}=k\omega } — кругавая частата гарманічнага вагання,
{\displaystyle \theta \_{k}} — пачатковая фаза *k*-га вагання,
{\displaystyle {\hat {f}}\_{k}} — *k*-я камплексная амплітуда.
У больш агульным выглядзе радам Фур'е элемента гільбертавай прасторы называецца раскладанне гэтага элемента па артаганальнаму базісу. Існуе мноства сістэм артаганальных функцый: Уолша, Лагера, Кацельнікава і інш.

Раскладанне функцыі ў рад Фур'е з'яўляецца магутным інструментам пры рашэнні самых розных задач дзякуючы таму, што рад Фур'е празрыстым чынам паводзіць сябе пры дыферэнцаванні, інтэграванні, зруху функцыі па аргументу і згортцы функцый.

Рад названы так у гонар французскага матэматыка Жана Фур'е.

Трыганаметрычны рад Фур'е
-------------------------

*Трыганаметрычным радам Фур'е* функцыі {\displaystyle f\in L\_{2}([-\pi ,\pi ])} называюць функцыянальны рад віду

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle f(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }(a\_{n}\cos nx+b\_{n}\sin nx)} | (1) |

дзе

{\displaystyle a\_{0}={\frac {1}{\pi }}\int \limits \_{-\pi }^{\pi }f(x)dx,}
{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits \_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)dx,}
{\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \limits \_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)dx,}
Лікі {\displaystyle a\_{0}}, {\displaystyle a\_{n}} і {\displaystyle b\_{n}} ({\displaystyle n=1,2,\ldots }) называюцца *каэфіцыентамі Фур'е функцыі {\displaystyle f}*. Формулы для іх можна растлумачыць наступным чынам. Дапусцім, трэба прадставіць функцыю {\displaystyle f\in L\_{2}([0,2\pi ])} у выглядзе рада (1), і трэба вызначыць невядомыя каэфіцыенты {\displaystyle a\_{0}}, {\displaystyle a\_{n}} і {\displaystyle b\_{n}}. Калі дамножыць правую частку (1) на {\displaystyle \cos(kx)} і праінтэграваць па прамежку {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}, дзякуючы артаганальнасці ў правай частцы ўсе складнікі будуць роўныя нулю, акрамя аднаго. З атрыманай роўнасці лёгка выражаецца каэфіцыент {\displaystyle a\_{k}}. Гэтак жа для {\displaystyle b\_{k}}.

Рад (1) збягаецца к функцыі {\displaystyle f} у прасторы {\displaystyle L\_{2}([-\pi ,\pi ])}. Іншымі словамі, калі абазначыць праз {\displaystyle S\_{k}(x)} частковыя сумы рада (1):

{\displaystyle S\_{k}(x)={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{k}(a\_{n}\cos nx+b\_{n}\sin nx),}
то іх сярэднеквадратычнае адхіленне ад функцыі {\displaystyle f} будзе імкнуцца к нулю:

{\displaystyle \lim \limits \_{k\rightarrow \infty }\int \limits \_{-\pi }^{\pi }(f(x)-S\_{k}(x))^{2}dx=0.}
Нягледзячы на сярэднеквадратычную збежнасць, рад Фур'е функцыі, увогуле кажучы, не абавязан збягацца к ёй папунктава.

Часта пры рабоце з радамі Фур'е бывае зручней у якасці базіса выкарыстоўваць замест сінусаў і косінусаў экспаненты ўяўнага аргумента. Разгледзім прастору {\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} камплесназначных функцый са скалярным здабыткам

{\displaystyle \langle f,g\rangle :=\int \limits \_{-\pi }^{\pi }f(x){\overline {g(x)}}dx}.
Таксама разгледзім сістэму функцый

{\displaystyle \varphi \_{k}(x)=e^{ikx}=\cos(kx)+i\sin(kx),\quad k\in \mathbb {Z} .}
Як і раней, гэтыя функцыі з'яўляюцца папарна артаганальнымі і ўтвараюць поўную сістэму, і такім чынам, любую функцыю {\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} )} можна раскласці па іх у рад Фур'е:

{\displaystyle f(x)=\sum \limits \_{k=-\infty }^{+\infty }{\hat {f}}\_{k}e^{ikx},}
дзе рад у правай частцы збягаецца к {\displaystyle f} па норме ў {\displaystyle f\in L^{2}([-\pi ,\pi ],\mathbb {C} ).} Тут

{\displaystyle {\hat {f}}\_{k}={\frac {1}{2\pi }}\int \limits \_{-\pi }^{\pi }f(x)e^{-ikx}dx.}
Каэфіцыенты {\displaystyle {\hat {f}}\_{k}} звязаны з класічнымі каэфіцыентамі Фур'е па наступных формулах:

{\displaystyle {\hat {f}}\_{k}={\begin{cases}(a\_{k}-ib\_{k})/2,&k>0,\\a\_{0}/2,&k=0,\\(a\_{|k|}+ib\_{|k|})/2,&k<0.\end{cases}}}
{\displaystyle a\_{k}={\hat {f}}\_{k}+{\hat {f}}\_{-k},\quad k>0,}
{\displaystyle b\_{k}=i({\hat {f}}\_{k}-{\hat {f}}\_{-k}),\quad k>0.}
* Камплексная функцыя рэчаіснай зменнай раскладаецца ў такі ж рад Фур'е па ўяўных экспанентах, як і рэчаісная, але ў адрозненне ад апошняй, у яе раскладанні {\displaystyle {\hat {f}}\_{k}} і {\displaystyle {\hat {f}}\_{-k}} не будуць, наогул кажучы, камплексна спалучанымі.

Абагульненні
------------

### Рады Фур'е ў гільбертавай прасторы

Апісаную вышэй канструкцыю можна абагульніць з выпадка прасторы {\displaystyle L^{2}[-\pi ,\pi ]} з трыганаметрычнай сістэмай на адвольную гільбертаву прастору. Няхай зададзеныя артаганальная сістэма {\displaystyle \{\varphi \_{1},\varphi \_{2},...\varphi \_{n},...\}} ў гільбертавай прасторы {\displaystyle R}
і {\displaystyle f} — адвольны элемент з {\displaystyle R}. Дапусцім, трэба прадставіць {\displaystyle f} у выглядзе (бесканечнай) лінейнай камбінацыі элементаў {\displaystyle \{\varphi \_{k}\}}:

{\displaystyle f=\sum \_{n=1}^{\infty }c\_{n}\varphi \_{n}.}
Дамножым гэты выраз на {\displaystyle \varphi \_{k}}. З улікам артаганальнасці сістэмы функцый {\displaystyle \{\varphi \_{k}\}} усе складнікі рада аказваюцца нулямі, акрамя складніка пры *n* = *k*:

{\displaystyle (f,\varphi \_{k})=c\_{k}\|\varphi \_{k}\|^{2}.}
Паслядоўнасць лікаў

{\displaystyle c\_{k}={\frac {(f,\varphi \_{k})}{\|\varphi \_{k}\|^{2}}}}
называецца *каардынатамі*, ці *каэфіцыентамі Фур'е* элемента {\displaystyle f} па сістэме {\displaystyle \{\varphi \_{k}\}}, а рад

{\displaystyle \sum \_{k}c\_{k}\varphi \_{k}}
называецца **радам Фур'е** элемента {\displaystyle f} па артаганальнай сістэме {\displaystyle \{\varphi \_{k}\}}.

Рад Фур'е любога элемента {\displaystyle f} па любой артаганальнай сістэме збягаецца ў прасторы {\displaystyle R}, але яго сума не абавязкова роўная {\displaystyle f}. Для ортанармаванай сістэмы {\displaystyle {\varphi \_{k}}} у сепарабельнай гільбертавай прасторы наступныя ўмовы раўназначныя:

* сістэма з'яўляецца базісам, г. зн. сума рада Фур'е любога элемента роўная гэтаму элементу.
* сістэма з'яўляецца *поўнай*, г. зн. у {\displaystyle R} не існуе ненулявога элемента, артаганальнага ўсім элементам {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2},\dots ,\varphi \_{n},\dots } адначасова.
* сістэма з'яўляецца *замкнутай*, г. зн. для любога {\displaystyle f\in R} справядліва роўнасць Парсеваля
{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }c\_{k}^{2}=\|f\|^{2}.}
* лінейныя камбінацыі элементаў {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2},...\varphi \_{n},...} шчыльныя ў прасторы {\displaystyle R}.

Калі гэтыя ўмовы не выконваюцца, то сума рада Фур'е элемента {\displaystyle f} роўная яго артаганальнай праекцыі на замыканне лінейнай абалонкі элементаў {\displaystyle \varphi \_{1},\varphi \_{2},\dots ,\varphi \_{n},\dots .} У гэтым выпадку замест роўнасці Парсеваля справядліва *няроўнасць Беселя*:

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }c\_{k}^{2}\leq \|f\|^{2}.}

Прыклады  

Трыганаметрычныя функцыі {\displaystyle \sin(kx)}, {\displaystyle \cos(kx)} утвараюць базіс гільбертавай прасторы {\displaystyle L\_{2}[-\pi ,\pi ]}. Калі мы разгледзім толькі косінусы ці толькі сінусы, то такая сістэма больш не будзе поўнай. Замыканне лінейнай абалонкі функцый {\displaystyle \cos(kx)} — гэта ўсе цотныя функцыі з {\displaystyle L\_{2}}, а замыканне лінейнай абалонкі функцый {\displaystyle \sin(kx)} — усе няцотныя функцыі. Вынікам раскладання функцыі {\displaystyle f} у рады Фур'е па гэтых сістэмах будуць адпаведна цотная і няцотная часткі функцыі {\displaystyle f}: 

{\displaystyle \sum \limits \_{0}^{n}a\_{k}\cos(kx)={\frac {f(x)+f(-x)}{2}},}
{\displaystyle \sum \limits \_{1}^{n}b\_{k}\sin(kx)={\frac {f(x)-f(-x)}{2}}.}
Яшчэ цікавейшая сітуацыя ўзнікае пры разглядзе сістэмы {\displaystyle \{e^{ikx}\}\_{k=0}^{+\infty }}. Гэта сістэма зноў не будзе поўнаю. Замыканне яе лінейнай абалонкі — прастора Хардзі {\displaystyle H\_{2}}. Элементы гэтай прасторы — тыя і толькі тыя функцыі {\displaystyle f\in L\_{2}}, што {\displaystyle f(t)=g(e^{it})}, дзе {\displaystyle g} — гранічныя значэнні некаторай функцыі, аналітычнай у крузе {\displaystyle |z|<1} на мяжы гэтага круга

### Дваістасць Пантрагіна

Асноўны артыкул: **Дваістасць Пантрагіна**
Пры абагульненні радоў Фур'е на выпадак гільбертавых прастор губляюцца ўласцівасці, якія звязваюць рады Фур'е са згорткаю — тое, што каэфіцыенты Фур'е згорткі функцый з'яўляюцца пачленнымі здабыткамі іх каэфіцыентаў Фур'е, і наадварот, каэфіцыенты Фур'е здабытку прадстаўляюцца згорткаю каэфіцыентаў Фур'е сумножнікаў. Гэтыя ўласцівасці ключавыя для прыкладанняў тэорыі Фур'е да рашэння дыферэнцыяльных, інтэгральных і іншых функцыянальных ураўненняў. Таму найбольш цікавымі з'яўляюцца такія абагульненні радоў Фур'е, для якіх гэтыя ўласцівасці захоўваюцца. Такім абагульненнем з'яўляецца тэорыя дваістасці Пантрагіна. Яна разглядае функцыі, зададзеныя на лакальна-кампактных абелевых групах. Аналагам рада Фур'е такой функцыі будзе функцыя, зададзеная на дваістай групе.

Збежнасць рада Фур'е
--------------------

Збежнасць рада Фур'е
### Агляд вынікаў аб збежнасці рада Фур'е

Абазначым праз {\displaystyle S\_{N}(f,x)} частковыя сумы рада Фур'е функцыі {\displaystyle f(x)}:

{\displaystyle S\_{N}(f,x):=\sum \limits \_{k=-N}^{N}{\hat {f}}\_{k}e^{ikx}.}
Далей абмяркоўваецца збежнасць паслядоўнасці функцый {\displaystyle S\_{N}(f,x)} к функцыі {\displaystyle f(x)} у розных сэнсах. Функцыя {\displaystyle f} лічыцца {\displaystyle 2\pi }-перыядычнаю (калі яна зададзена толькі на прамежку {\displaystyle [-\pi ,\pi ]}, яе можна перыядычна працягнуць).

* Калі {\displaystyle f\in L\_{2}([-\pi ,\pi ])}, то паслядоўнасць {\displaystyle S\_{N}(f,x)} збягаецца к функцыі {\displaystyle f(x)} у сэнсе {\displaystyle L\_{2}}. Акрамя таго, {\displaystyle S\_{N}(f,x)} з'яўляюцца найлепшым (у сэнсе адлегласці ў {\displaystyle L\_{2}}) прыбліжэннем функцыі {\displaystyle f} трыганаметрычным мнагачленам ступені не больш за {\displaystyle N}.
* Збежнасць радоў Фур'е ў зададзеным пункце {\displaystyle x\_{0}} — лакальная ўласцівасць, г. зн. калі функцыі {\displaystyle f} і {\displaystyle g} супадаюць у некаторым наваколлі {\displaystyle x\_{0}}, то паслядоўнасці {\displaystyle S\_{N}(f,x\_{0})} і {\displaystyle S\_{N}(g,x\_{0})} альбо адначасова разбягаюцца, альбо адначасова збягаюцца, і ў гэтым выпадку іх граніцы супадаюць.
* Калі функцыя {\displaystyle f} дыферэнцавальная ў пункце {\displaystyle x\_{0}}, то яе рад Фур'е ў гэтым пункце збягаецца к {\displaystyle f(x\_{0})}. Больш дакладныя дастатковыя ўмовы ў тэрмінах гладкасці функцыі {\displaystyle f} задаюцца прыкметаю Дзіні.
* Функцыя, непарыўная ў пункце {\displaystyle x\_{0}}, можа мець разбежны ў ёй рад Фур'е. Але, калі ён збягаецца, то абавязкова к {\displaystyle f(x\_{0})}. Гэта вынікае з таго, што для непарыўнай у {\displaystyle x\_{0}} функцыі {\displaystyle f} паслядоўнасць {\displaystyle S\_{N}(f,x\_{0})} збягаецца па Чэзара к {\displaystyle f(x\_{0})}.
* Калі функцыя {\displaystyle f} разрыўная ў пункце {\displaystyle x\_{0}}, але мае граніцы ў гэтым пункце справа і злева {\displaystyle f(x\_{0}+0)\neq f(x\_{0}-0)}, то пры некаторых дадатковых умовах {\displaystyle S\_{N}(f,x\_{0})} збягаюцца к {\displaystyle (f(x\_{0}+0)+f(x\_{0}-0))/2}. Падрабязней гл. мадыфікаваную прыкмету Дзіні.
* *Тэарэма Карлесана:* калі {\displaystyle f\in L\_{2}([-\pi ,\pi ])}, то яе рад Фур'е збягаецца к ёй амаль усюды. Гэта верна і калі {\displaystyle f\in L\_{p}([-\pi ,\pi ]),p>1}. Аднак, існуюць функцыі з {\displaystyle L\_{1}([-\pi ,\pi ])}, чый рад Фур'е разбягаецца ва ўсіх пунктах (тэарэма Калмагорава).
* Возьмем пункт {\displaystyle x\_{0}\in (-\pi ,\pi )}. Тады мноства ўсіх непарыўных функцый, чый рад Фур'е збягаецца ў гэтым пункце, з'яўляецца мноствам першай катэгорыі ў прасторы {\displaystyle C([-\pi ,\pi ])}. У некаторым сэнсе гэта азначае, што «тыповая» непарыўная функцыя мае разбежны рад Фур'е.

### Спаданне каэфіцыентаў Фур'е і аналітычнасць функцыі

Існуе фундаментальная сувязь паміж аналітычнасцю функцыі і скорасцю спадання яе каэфіцыентаў Фур'е. Чым «лепшая» функцыя, тым скарэй яе каэфіцыенты імкнуцца да нуля, і наадварот. Ступеннае спаданне каэфіцыентаў Фур'е ўласцівае функцыям класа {\displaystyle C^{(k)}}, а экспаненцыяльнае — аналітычным функцыям. Прыклады такой сувязі:

* Каэфіцыенты Фур'е любой інтэгравальнай функцыі імкнуцца да нуля (лема Рымана — Лебега[en]).
* Калі функцыя {\displaystyle f} належыць класу {\displaystyle C^{(k)}([-\pi ,\pi ])}, г. зн. дыферэнцавальная *k* разоў і яе *k*-я вытворная непарыўная, то {\displaystyle {\hat {f}}\_{n}=o\left({\frac {1}{n^{k}}}\right)}
* Калі рад {\displaystyle \sum n^{\alpha }{\hat {f}}\_{n}} збягаецца абсалютна, то {\displaystyle f\in C^{(k)}([-\pi ,\pi ])} пры ўсіх {\displaystyle k<\alpha }.
* Калі функцыя належыць класу Гёльдэра з паказчыкам {\displaystyle \alpha >1/2}, та рад {\displaystyle \sum {\hat {f}}\_{n}} збягаецца абсалютна (тэарэма Бернштэйна).
* Калі {\displaystyle {\hat {f}}\_{n}=O(a^{n}),0<a<1}, то функцыя {\displaystyle f} з'яўляецца аналітычнаю. Справядліва і адваротнае.

Гл. таксама
-----------

* Пераўтварэнне Фур’е
* Хуткае пераўтварэнне Фур'е
* Трыганаметрычны рад
* Прыкмета Жардана
* Прыкмета Дзіні
* Лікавы рад
* АТС тэарэма

Літаратура
----------

* *Жук В.В. Натансон Г.И.* Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
* *Рудин У.* Основы математического анализа. — 1976.
* *Пискунов Н. С.* Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.
* *Зигмунд А.* Тригонометрические ряды. — М.: «Мир», 1965. — Т. 1.

| ⛭Паслядоўнасці і рады |
| --- |
| Паслядоўнасць | Лікавая паслядоўнасць • Фундаментальная паслядоўнасць • Лінейная рэкурэнтная паслядоўнасць • Лікі Фібаначы • Паслядоўнасць Баркера • Паслядоўнасць дэ Бройна |
| Рады, асноўнае | Сума рада • Рэшта рада • Умоўная збежнасць • Сячэнне рада |
| Лікавыя рады(дзеянні над лікавымі радамі) | Гарманічны рад • Знакачаргавальны рад • Рад Лейбніца • Рад Дырыхле • Рад Грандзі • 1 − 2 + 3 − 4 + … |
| Функцыянальныя рады | Рад Тэйлара • Рад Ларана • Рад Фур’е • Ступенны рад • Трыганаметрычны рад • Рад Вінера |
| Іншыя віды радоў | Рад Нэймана • Рад Пюізё |