**Перахо́д між сістэ́мамі злічэ́ння** − перавод ліку з адной сістэмы злічэння ў іншую. Патрэба ў пераходзе да іншай сістэмы злічэння можа ўзнікнуць пры выкананні арыфметычных дзеянняў з лікамі, запісанымі ў розных сістэмах злічэння. Класічны прыклад – перавод ліку з дзесятковай сістэмы ў двайковую, або наадварот.

Калі адначасова ўжываюцца адразу некалькі сістэм злічэння, то, каб пазбегнуць неадназначнасцей, у запісе ліку ніжнім індэксам пазначаюць аснову сістэмы, у якой ён запісан. Напрыклад, {\displaystyle 56\_{8}} абазначае «васьмерковы лік 56».

Перавод ліку з дзесятковай сістэмы ў іншую пазіцыйную сістэму
-------------------------------------------------------------

Разгледзім пазіцыйную сістэму злічэння з асновай B (B-ковую сістэму). Лік A, які ў гэтай сістэме запісваецца як {\displaystyle {\overline {d\_{n-1}\dots d\_{1}d\_{0}}}} (дзе {\displaystyle d\_{i}} – лічба B-ковай сістэмы), роўны

{\displaystyle A={\overline {d\_{n-1}\dots d\_{1}d\_{0}}}\_{B}=d\_{n-1}B^{n-1}+d\_{n-2}B^{n-2}+...+d\_{2}B^{2}+d\_{1}B+d\_{0}}
Можна заўважыць, што ўсе складнікі ў выразе справа дзеляцца на B, акрамя {\displaystyle d\_{0}.} Гэта значыць, што пры дзяленні A на B з астачай астача раўняецца {\displaystyle d\_{0}} (улічваючы, што {\displaystyle d\_{i}<B}). У той жа час, няпоўная дзель A на B (або цэлая частка звычайнай дзелі) раўняецца

{\displaystyle \left[{\frac {d\_{n-1}B^{n-1}+d\_{n-1}B^{n-2}+\dots +d\_{2}B^{2}+d\_{1}B+d\_{0}}{B}}\right]=d\_{n-1}B^{n-2}+d\_{n-2}B^{n-3}+\dots +d\_{2}B+d\_{1}={\overline {d\_{n-1}d\_{n-2}\dots d\_{2}d\_{1}}}\_{B}}
Мы атрымалі новы B-ковы лік, і яго апошняя лічба (паводле гэткай жа логікі) ёсць астачай ад яго дзялення на B. У той жа час, гэтая лічба ёсць перадапошняю лічбай ліку A (у B-ковым прадстаўленні). Такім чынам, паслядоўна дзелячы A (а потым вынік ад дзялення) на B, мы будзем паслядоўна атрымліваць у астачы ўсе лічбы B-ковага ліка A, ад наймалодшай да найстарэйшай.

У выніку маем наступны **алгарытм пераводу ліку з дзесятковай сістэмы ў B-ковую**:

1) У якасці ліку X узяць лік A

2) падзяліць лік X на B.

3) Астачу ад дзялення запісаць злева ад ужо атрыманых лічбаў ліку. (Калі папярэдніх лічбаў яшчэ няма, проста запісаць гэту лічбу.)

4) У якасці ліку X узяць няпоўную дзель X на B.

5) Калі X не роўны нулю, перайсці на крок 2.

Напрыклад,

*Перавесці лік 345 у трайковую сістэму злічэння*

|  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- |
| 345 | / 3 = | 115 | 0 |
| 115 | / 3 = | 38 | 1 |
| 38 | / 3 = | 12 | 2 |
| 12 | / 3 = | 4 | 0 |
| 4 | / 3 = | 1 | 1 |
| 1 | / 3 = | 0 | 1 |

Такім чынам, {\displaystyle 345\_{10}=110210\_{3}}.

Перавод ліку ў дзесятковую сістэму з іншай пазіцыйнай сістэмы
-------------------------------------------------------------

**Алгарытм пераводу ліку з B-ковай сістэмы ў дзесятковую** заключаецца ў выкананні адваротных дзеянняў у адваротным парадку:

1) Прысвоіць ліку X значэнне 0

2) Прыбавіць к ліку X найстарэйшую (самую левую) лічбу ліку

3) Дамножыць X на B.

4) Дадаць да X наступную (другую злева) лічбу B-ковага ліку

5) Дамножыць X на B.

6) Працягваць паслядоўна дадаваць лічбы да выніку і дамнажаць яго на B, паступова пераходзячы злева направа ад старэйшых разрадаў да малодшых. Тое, што атрымаецца пасля прыбаўлення самай малодшай лічбы, і будзе дзесятковым запісам ліку.

Напрыклад,

*Перавесці лік 110100111012 з двайковай сістэмы злічэння ў дзесятковую*

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
|   |   | 1 |   |   | 1 | \* 2 = | 2 |
| 2 | + | 1 | = | 3; | 3 | \* 2 = | 6 |
| 6 | + | 0 | = | 6; | 6 | \* 2 = | 12 |
| 12 | + | 1 | = | 13; | 13 | \* 2 = | 26 |
| 26 | + | 0 | = | 26; | 26 | \* 2 = | 52 |
| 52 | + | 0 | = | 52; | 52 | \* 2 = | 104 |
| 104 | + | 1 | = | 105; | 105 | \* 2 = | 210 |
| 210 | + | 1 | = | 211; | 211 | \* 2 = | 422 |
| 422 | + | 1 | = | 423; | 423 | \* 2 = | 846 |
| 846 | + | 0 | = | 846; | 846 | \* 2 = | 1692 |
| 1692 | + | 1 | = | 1693 |   |   |   |

Такім чынам, 110100111012 = 169310 .

У асобных выпадках пераход між сістэмамі злічэння можа быць прасцейшым. Так, пры пераходзе між двайковай і шаснаццатковай сістэмамі дастаткова замяніць кожны шаснаццатковы разрад камбінацыяй з чатырох двайковых разрадаў (або наадварот).