**Квадра́тнае ўраўне́нне**, або **квадрато́вае раўна́нне** — гэта ўраўненне выгляду

{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0,}
дзе *a*, *b*, *c* — вызначаныя лікі, *a* ≠ 0, *x* — невядомая велічыня.

Развязанне ўраўнення
--------------------

### Тэарэма Віета

Асноўны артыкул: **Тэарэма Віета**
Лікі {\displaystyle x\_{1}} і **Не ўдалося разабраць (SVG (можна ўключыць з дапамогай дапаўнення браўзера): Няслушны адказ («Math extension cannot connect to Restbase.») ад сервера «http://localhost:6011/be.wikipedia.org/v1/»:): {\displaystyle x\_2}**
 ёсць каранямі квадратнага ўраўнення {\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
тады і толькі тады, калі спраўджваюцца роўнасці (так званыя формулы Віета):

{\displaystyle {\begin{cases}x\_{1}+x\_{2}=-{\frac {b}{a}},\\x\_{1}\cdot x\_{2}={\frac {c}{a}}.\end{cases}}}
*Заўвага 1*: тэарэма Віета застаецца справядліваю незалежна ад таго, якія гэтыя карані: рэчаісныя ці камплексныя.

*Заўвага 2*: у выпадку, калі квадратнае ўраўненне мае кратны корань {\displaystyle x\_{1}=x\_{2},} формулы Віета прымаюць выгляд

{\displaystyle 2x\_{1}=-{\frac {b}{a}},}
{\displaystyle x\_{1}^{2}={\frac {c}{a}}.}
**Прыклад**

Теарэмай Віета зручна карыстацца, калі каэфіцыенты квадратнага ўраўнення цэлыя, і старшы каэфіцыент *a* = 1.
У такім выпадку, асабліва калі каэфіцыенты малыя, карані можна знайсці вусна, раскладаючы на множнікі свабодны каэфіцыент.
Вось напрыклад, у нас ёсць ураўненне

{\displaystyle x^{2}-x-6=0}
(*a* = 1, *b* = -1, *c* = -6).

Неабходна, каб задавальняліся роўнасці

{\displaystyle x\_{1}\cdot x\_{2}=-6,}
{\displaystyle x\_{1}+x\_{2}=1.}
Лік 6 мае сваімі дзельнікамі лікі 2 і 3.
Адзін з каранёў — адмоўны, бо здабытак каранёў роўны -6.
Падбіраючы лікі так, каб іх сума была роўнай 1, атрымліваем, што

карані — гэта лікі 3 і -2.
### Дыскрымінант

Асноўны артыкул: **Дыскрымінант**
Перасячэнне парабалай восі **x** у залежнасці ад знака дыскрымінанта (ад колькасці рэчаісных каранёў)
**Дыскрымінатам квадратнага ўраўнення**
{\displaystyle ax^{2}+bx+c=0}
называецца велічыня

{\displaystyle D=b^{2}-4ac.}
* Калі *D* > 0, карані вылічваюць па формуле

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm {\sqrt {D}}}{2a}}.}
* Калі *D* = 0, карані вылічваюць па формуле

{\displaystyle x\_{1}=x\_{2}={\frac {-b}{2a}}.}
* Калі *D* < 0, рэчаісных каранёў няма.

Заўвага: калі *D* < 0, існуюць два камплексныя карані, якія вылічваюцца па формуле

{\displaystyle x\_{1,2}={\frac {-b\pm i{\sqrt {|D|}}}{2a}},}
дзе *i* — так званая ўяўная адзінка, якая азначаецца як лік, квадрат якога роўны -1:

{\displaystyle i^{2}=-1.}
**Прыклад**

Разгледзім тое ж ураўненне

{\displaystyle x^{2}-x-6=0}
(*a* = 1, *b* = -1, *c* = -6).

Вылічым дыскрымінант {\displaystyle D=(-1)^{2}-4\cdot 1\cdot (-6)=25.}

Падстаўляем значэнні ў формулы і атрымліваем:

{\displaystyle x\_{1}={\frac {-(-1)+{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1+5}{2}}=3,}
{\displaystyle x\_{2}={\frac {-(-1)-{\sqrt {25}}}{2\cdot 1}}={\frac {1-5}{2}}=-2.}

Зноскі
------

1. ↑  
Матэматычная энцыклапедыя / гал. рэд. В. Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001.

  


| ⛭Алгебраічныя ўраўненні |
| --- |
| Ураўненні па ступенях | Лінейнае ўраўненне ·  Квадратнае ўраўненне ·  Кубічнае ўраўненне ·  Ураўненне 4-й ступені ·  Ураўненне 5-й ступені ·  Ураўненне 6-й ступені ·  Ураўненне 7-й ступені |
| Іншае | Зваротнае ўраўненне  ·  Сістэма лінейных алгебраічных ураўненняў |
| Асноўныя паняцці | Мнагачлен  ·  Корань мнагачлена  ·  Дыскрымінант  ·  Рэзультант  ·  Сіметрычны мнагачлен |
| Тэарэмы | Тэарэма Віета  ·  Тэарэма Безу  ·  Асноўная тэарэма алгебры  ·  Тэарэма Абеля — Руфіні |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | BNF: 12124598x · LCCN: sh85044517 · Microsoft: 129844170 |