**Ураўненне Паўлі** — ураўненне нерэлятывісцкай квантавай механікі, якое апісвае рух зараджанай часціцы са спінам 1/2 (напрыклад, электрона) у вонкавым электрамагнітным полі. Прапанавана Вольфгангам Паўлі ў 1927 годзе. Не блытаць з асноўным кінетычным ураўненнем[ru], якое таксама часам называюць ураўненнем Паўлі.

Ураўненне Паўлі з’яўляецца абагульненнем ураўнення Шродзінгера, якое ўлічвае наяўнасць у часціцы ўласнага механічнага моманту імпульсу — спіна. Часціца са спінам 1/2 можа знаходзіцца ў двух розных спінавых станах з праекцыямі спіна +1/2 і −1/2 на некаторы (адвольна выбраны) кірунак, які прымаецца звычайна за вось *z*. У адпаведнасці з гэтым хвалевая функцыя часціцы {\displaystyle \psi (r,t)} (дзе *r* — каардыната часціцы, *t* — час) з’яўляецца двухкампанентнай:

{\displaystyle \psi (r,t)={\begin{pmatrix}\psi \_{1}(r,t)\\\psi \_{2}(r,t)\end{pmatrix}}.}
Пры паваротах каардынатных восей {\displaystyle \psi \_{1}} i {\displaystyle \psi \_{2}} пераўтвараюцца як кампаненты спінара. У прасторы спінарных хвалевых функцый скалярны здабытак {\displaystyle \psi } i {\displaystyle \psi '} мае выгляд

{\displaystyle (\psi ',\psi )=\int (\psi '\_{1}\psi \_{1}+\psi '\_{2}\psi \_{2})dr.}
Аператары фізічных велічынь з’яўляюцца матрыцамі 2×2, якія для велічынь (назіраных), незалежных ад спіна, кратныя адзінкавай матрыцы.

У сілу агульных законаў электрадынамікі электрычна зараджаная сістэма з ненулявым спінавым момантам {\displaystyle {\vec {s}}} валодае і магнітным момантам, прапарцыянальным {\displaystyle {\vec {s}}}: {\displaystyle {\vec {\mu }}=g{\vec {s}}} (g — гірамагнітныя адносіны). Для арбітальнага моманту {\displaystyle g={e \over 2mc}}, дзе е — зарад, m — маса часціцы; спінавыя гірамагнітныя адносіны аказваюцца ў два разы большымі: {\displaystyle g={e \over mc}}. У вонкавым магнітным полі напружанасці {\displaystyle {\vec {B}}} магнітны момант валодае патэнцыяльнай энергіяй {\displaystyle U=-{\vec {\mu }}\ {\vec {B}}}, дабаўленне якой у гамільтаніян H электрона ў вонкавым электронна-магнітным полі з патэнцыяламі {\displaystyle \phi } і A прыводзіць да ўраўнення Паўлі:

{\displaystyle i\hbar {\partial \psi \over \partial t}={{\hat {\mathcal {H}}}\psi \ }=\left[{1 \over 2m}({\hat {p}}-{e \over c}A{\hat {I}})^{2}+e\varphi {\hat {I}}-{{e\hbar } \over 2mc}({\hat {\sigma }}{\vec {B}})\right]\psi ,}
дзе {\displaystyle {\hat {p}}} — аператар імпульсу, {\displaystyle {\hat {I}}} — адзінкавы аператар, а {\displaystyle {\hat {\sigma }}} прапарцыянальны аператару спіна: {\displaystyle {\hat {s}}={\hbar \over 2}{\hat {\sigma }}}.

Прапанаванае першапачаткова на аснове эўрыстычных меркаванняў ураўненне Паўлі аказалася натуральным следствам рэлятывісцкі-інварыянтнага ўраўнення Дзірака ў слабарэлятывісцкім прыбліжэнні, у якім улічваюцца толькі першыя члены раскладання па адваротных ступенях скорасці святла.

Калі напружанасць вонкавага магнітнага поля не залежыць ад прасторавых каардынат, то арбітальны рух часціцы і змяненне арыентацыі яе спіна адбываюцца незалежна. Хвалевая функцыя пры гэтым мае выгляд {\displaystyle \psi (r,t)=\Phi (r,t)\chi (t)}, дзе {\displaystyle \Phi (r,t)} — скалярная функцыя, якая падпарадкоўваецца ўраўненню Шродзінгера, а спінар {\displaystyle \chi ={\begin{pmatrix}\chi \_{1}\\\chi \_{2}\end{pmatrix}}} задавальняе ўраўненню

{\displaystyle i\hbar {\partial \chi \over \partial t}=-{{e\hbar } \over 2mc}(\sigma {\vec {B}})\chi .}
З гэтага ураўнення вынікае, што сярэдняе значэнне спіна {\displaystyle \langle s\rangle =~{\hbar \over 2}(\chi +\sigma \chi )} прэцэсіруе вакол напрамку магнітнага поля:

{\displaystyle {\frac {d}{dt}}\langle s\rangle =-\omega \_{B}[{\vec {n}}\langle s\rangle ].}
Тут {\displaystyle \omega \_{B}={eB \over mc}} — цыклатронная частата, {\displaystyle {\vec {n}}} — адзінкавы вектар уздоўж магнітнага поля.

На аснове ўраўнення Паўлі можа быць разлічана расшчапленне ўзроўняў электронаў у атаме ў вонкавым магнітным полі з улікам спіна (эфект Зеемана). Аднак больш тонкія рэлятывісцкія эфекты ў атамах, абумоўленыя спінам электрона, могуць быць апісаны толькі пры ўліку больш высокіх членаў раскладання рэлятывісцкага ўраўнення Дзірака па адваротных ступенях скорасці святла.

Гл. таксама
-----------

* Ураўненне Дзірака
* Ураўненне Шродзінгера

Літаратура
----------

* Блохинцев Д. И. Основы квантовой механики. — 5-е изд. — М.: Наука, 1976. — 664 с. параграф 62.
* Давыдов А. С. Квантовая механика. — 2-е изд. — М.: Наука, 1973. — 704 с. параграф 63.
* Паули В. Общие принципы волновой механики. — М.-Л.: ОГИЗ, 1947. — 332 с.
* Ландау Л. Д. Лифшиц Е. М.: Квантовая электродинамика, 2002.
* Физическая энциклопедия / Гл. ред. А. М. Прохоров. Ред. кол. Д. М. Алексеев, А. М. Балдин, А. М. Бонч-Бруевич, А. С. Боровик-Романов и др. — М.: Большая Российская Энциклопедия. Т.3 Магнитоплазменный — Пойнтинга теорема. 1992. — 672 с.