У матэматыцы і статыстыцы **сярэдняе арыфметычнае** — адна з найбольш распаўсюджаных мер цэнтральнай тэндэнцыі  (руск.) (бел. якая ўяўляе сабой суму ўсіх значэнняў, якія назіраліся, падзеленую на іх колькасць.

Прапанавана (разам з сярэднім геаметрычным і сярэднім гарманічным  (руск.) (бел.) яшчэ піфагарэйцамі.

Прыватнымі выпадкамі сярэдняга арыфметычнага з'яўляюцца генеральнае сярэдняе (генеральная сукупнасці) і выбарачнае сярэдняе (выбаркі).

Увядзенне
---------

Пазначым мноства дадзеных *X* = (*x*1, *x*2, …, *x**n*), тады выбарачнае сярэдняе звычайна пазначаецца гарызантальнай рысай над зменнай ({\displaystyle {\bar {x}}\,}, вымаўляецца «x з рысай»).

Для абазначэння сярэдняга арыфметычнага ўсёй сукупнасці выкарыстоўваецца грэчаская літара μ. Для выпадковай велічыні, для якой вызначана сярэдняе значэнне, μ ёсць імавернаснае сярэдняе ці матэматычнае чаканне выпадковай велічыні. Калі мноства X з'яўляецца сукупнасцю выпадковых лікаў з імавернасным сярэднім μ, тады для любой выбаркі *x**i* з гэтай сукупнасці μ = E{*x**i*} ёсць матэматычнае чаканне гэтай выбаркі.

На практыцы розніца паміж μ і {\displaystyle {\bar {x}}\,} у тым, што μ з'яўляецца тыповай неназіранай зменнай, таму што бачыць мага хутчэй выбарку, а не ўсю генеральную сукупнасць. Таму, калі выбарку прадстаўляць выпадковым чынам (у тэрмінах тэорыі імавернасцей), тады {\displaystyle {\bar {x}}\,} (але не μ) можна трактаваць як выпадковую зменную, якая мае размеркаванне імавернасцей на выбарцы (імавернаснае размеркаванне сярэдняга).

Абедзве гэтыя велічыні вылічаюцца адным і тым жа спосабам:

{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}={\frac {1}{n}}(x\_{1}+\cdots +x\_{n}).}
Калі X — выпадковая пераменная, тады матэматычнае чаканне X можна разглядаць як сярэдняе арыфметычнае значэнняў у паўтаральных вымярэннях велічыні X. Гэта з'яўляецца праявай закона вялікіх лікаў. Таму выбарачнае сярэдняе выкарыстоўваецца для ацэнкі невядомага матэматычнага чакання.

У элементарнай алгебры даказана, што сярэдняе n+1 лікаў больш сярэдняга n лікаў тады і толькі тады, калі новы лік больш, чым старое сярэдняе, менш тады і толькі тады, калі новы лік менш за сярэдняе, і не змяняецца тады і толькі тады, калі новы лік роўны сярэдняму. Чым больш n, тым менш адрозненне паміж новым і старым сярэднімі значэннямі.

Заўважым, што маецца некалькі іншых «сярэдніх» значэнняў, у тым ліку сярэдняй ступені, сярэдняе Калмагорава, гарманічнае сярэдняе, арыфметыка-геаметрычнае сярэдняе і розныя сярэдне-ўзважаныя велічыні.

### Прыклады

* Для трох лікаў складзём іх і падзелім на 3 :

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}}{3}}.}
* Для чатырох лікаў складзём іх і падзелім на 4 :

{\displaystyle {\frac {x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+x\_{4}}{4}}.}
### Бесперапынная выпадковая велічыня

Для непарыўна размеркаванай велічыні {\displaystyle f(x)} сярэдняе арыфметычнае на адрэзку {\displaystyle [a;b]} вызначаецца праз вызначаны інтэграл:

{\displaystyle {\overline {f(x)}}\_{[a;b]}={\frac {1}{b-a}}\int \_{a}^{b}f(x)dx}

Гл. таксама
-----------

* Сярэдняе гарманічнае
* Сярэдняе геаметрычнае
* Медыяна
* Мода

Зноскі
------

1. ↑   Cantrell, David W. "Pythagorean Means" from MathWorld

Спасылкі
--------

* Арифметическая средняя // Энциклопедический словарь Брокгауза и Ефрона: В 86 томах (82 т. и 4 доп.) (руск.). — СПб. 1890—1907.
* Финансовая математика Архівавана 19 верасня 2020.
* Прикладная математика

| ⛭Статыстыка |
| --- |
| 

| Апісальная статыстыка |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Непарыўныяданыя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Каэфіцыент зруху | 
* Сярэдняе (Арыфметычнае, Геаметрычнае, Гарманічнае)
* Медыяна
* Мода

 |
| Варыяцыя | 
* Размах
* Ранг
* Сярэдняе квадратычнае адхіленне
* Каэфіцыент варыяцыі
* Квантыль (Дэцыль, Адсотак/Працэнціль/Перцэнціль/Цэнціль)

 |
| Моманты | 
* Матэматычнае спадзяванне
* Дысперсія
* Асіметрыя
* Эксцэс

 |

 |
| Дыскрэтныяданыя | 
* Частата
* Табліца кантынгентнасці

 |

 |

 |
| 

| Выкарыстоўванне  (англ.) (бел. |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Біястатыстыка | 
* Біяінфарматыка
* Клінічнае выпрабаванне  (руск.) (бел. / даследванне
* Эпідэміялогія
* Медыцынская статыстыка

 |
| Інжынерная статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Хемаметрыка  (руск.) (бел.
* Тэхналагічная распрацоўка  (англ.) (бел.
* Імавернасны дызайн  (англ.) (бел.
* Кіраванне працэсамі  (руск.) (бел. / якасцю  (руск.) (бел.
* Тэорыя надзейнасці  (англ.) (бел.
* Ідынтыфікація сістэм  (руск.) (бел.

 |
| Сацыяльная статыстыка | 
* Актуарныя разлікі
* Перапіс насельніцтва
* Статыстыка злачыннасці  (руск.) (бел.
* Дэмаграфія
* Эканаметрыка
* Нацыянальныя рахункі  (англ.) (бел.
* Афіцыйная статыстыка  (англ.) (бел.
* Генеральная сукупнасць
* Псіхаметрыя  (руск.) (бел.

 |
| Прасторавая статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Картаграфія
* Статыстыка навакольнага асяроддзя  (англ.) (бел.
* Геаінфармацыйныя сістэмы
* Геаграфія
* Крыгінг  (руск.) (бел.

 |

 |

 |

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая кiтайская · Бракгаўза і Эфрона · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4143009-8 · Microsoft: 91851964 · NKC: ph420381 |