У арыфметыцы **размах** набору, рада або выбаркі даных вызначаецца як розніца паміж найбольшым і найменшым значэннем, або як найбольшая розніца паміж максімумам і мінімумам выбаркі. Ён выражаецца ў тых жа адзінках вымярэння, што і ў арыгінальных даных.

Тым жа часам у апісальнай статыстыцы, канцэпцыя размаху мае больш складанае значэнне. Так, размахам можна назваць найменшы інтэрвал, які ўключае ўсе даныя выбаркі і адзначае статыстычную дысперсію. З-за таго, што размах залежыць толькі ад двух крайніх значэнняў (назіранняў), ён найбольш выкарыстоўваецца для апісання дысперсіі невялікіх набораў даных.

Непарыўныя незалежныя ідэнтычна размеркаваныя (НІР) выпадковыя велічыні
-----------------------------------------------------------------------

Для {\displaystyle n} непарыўных незалежных і ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}з функцыяй размеркавання {\displaystyle G(x)} і функцыяй шчыльнасці імавернасці {\displaystyle g(x)}. У гэтым выпадку выпадковая велічыня {\displaystyle T\_{n}} абазначае іх размах, і вызначаецца як рознасць паміж найвялікшым і найменшым значэннем сярод {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}}, такім чынам {\displaystyle T\_{n}=max(X\_{1},X\_{2},...X\_{n})-min(X\_{1},X\_{2},...X\_{n})}.

### Размеркаванне

Размах {\displaystyle T\_{n}} мае інтэгральную функцыю размеркавання

{\displaystyle F\{T\_{n}\leq t\}=n\int \_{-\infty }^{\infty }g(x)[G(x+t)-G(x)]^{n-1}{\text{d}}x}.

(пры {\displaystyle t\geq 0}; калі {\displaystyle t<0}, то {\displaystyle F\{T\leq t\}=0}).

Гумбель адзначаў, што «*прыгажосць гэтай формулы цалкам псуецца тым фактам, што агулам мы не можам выразіць {\displaystyle G(x+t)} з дапамогай {\displaystyle G(x)} і што лікавае інтэграванне задоўгае і ўтомнае*».

Калі размеркаванне кожнай {\displaystyle X\_{i}} абмежаваны справа (або злева), тады асімптатычнае размеркаванне размаху роўна асімптатычнаму размеркаванню найвялікшай (найменшай) велічыні. Для больш агульных размеркаванняў асімптатычнае размеркаванне можа быць выражана як функцыя Беселя.

### Моманты

Сярэдні размах задаецца формулай

{\displaystyle n\int \_{0}^{1}x(G)[G^{n-1}-(1-G)^{n-1}]\,{\text{d}}G}.
дзе {\displaystyle x(G)} — адваротная функцыя. У выпадку, калі кожная {\displaystyle X\_{i}} мае стандартнае нармальнае размеркаванне, сярэдні размах прадстаўляецца як

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{\infty }(1-(1-\Phi (x))^{n}-\Phi (x)^{n})\,{\text{d}}x}.

Непарыўныя незалежныя неідэнтычна размеркаваныя (ННР) выпадковыя велічыні
-------------------------------------------------------------------------

Для {\displaystyle n} непарыўных незалежных неідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}} з функцыямі размеркавання {\displaystyle G\_{1}(x),G\_{2}(x),...G\_{n}(x)} і функцыямі шчыльнасці імавернасці {\displaystyle g\_{1}(x),g\_{2}(x),...g\_{n}(x)}, размах мае функцыю размеркавання

{\displaystyle F(t)=\sum \_{i=1}^{n}\int \_{-\infty }^{\infty }g\_{i}(x)\prod \_{j=1,j\neq i}^{n}[G\_{j}(x+t)-G\_{j}(x)]\,{\text{d}}x}.

Дыскрэтныя НІР выпадковыя велічыні
----------------------------------

Для {\displaystyle n} дыскрэтных непарыўных незалежных ідэнтычна размеркаваных выпадковых велічынь {\displaystyle X\_{1},X\_{2},...X\_{n}} з функцыяй размеркавання {\displaystyle G(x)} і функцыяй шчыльнасці імавернасці {\displaystyle g(x)} размах {\displaystyle X\_{i}} — гэта размах выбаркі памерам {\displaystyle n} з папуляцыі з функцыяй размеркавання {\displaystyle G(x)}. Мы можам лічыць без страты агульнасці, што носьбіт кожнай {\displaystyle X\_{i}} — гэта {\displaystyle \{1,2,3,...N\}}, дзе {\displaystyle N} — дадатны цэлы лік або бясконцасць.

### Размеркаванне

Размах мае функцыю размеркавання мас

{\displaystyle f(t)={\begin{cases}\sum \_{x=1}^{N}[g(x)]^{n}&t=0\\[6pt]\sum \_{x=1}^{N-t}\left({\begin{alignedat}{2}&[G(x+t)-G(x-1)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t)-G(x)]^{n}\\{}-{}&[G(x+t-1)-G(x-1)]^{n}\\{}+{}&[G(x+t-1)-G(x)]^{n}\\\end{alignedat}}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}
#### Прыклад

Калі мы лічым, што {\displaystyle g(x)=1/N} — дыскрэтнае раўнамернае размеркаванне для ўсіх {\displaystyle x}, тады мы знойдзем, што

{\displaystyle f(t)={\begin{cases}{\frac {1}{N^{n-1}}}&t=0\\[4pt]\sum \_{x=1}^{N-t}\left(\left[{\frac {t+1}{N}}\right]^{n}-2\left[{\frac {t}{N}}\right]^{n}+\left[{\frac {t-1}{N}}\right]^{n}\right)&t=1,2,3\ldots ,N-1.\end{cases}}}

Звязаныя велічыні
-----------------

Размах — гэта спецыфічны прыклад парадкавай статыстыкі. У прыватнасці, размах — гэта лінейная функцыя парадкавай статыстыкі, якая ўносіць яго ў поле L-ацэньвання.

Гл. таксама
-----------

* Матэматычная статыстыка

Зноскі
------

1. ↑  Размах выбаркі // Матэматычная энцыклапедыя / Гал. рэд. В.Бернік. — Мінск: Тэхналогія, 2001. — С. 302.
2. ↑  George Woodbury (2001). *An Introduction to Statistics*. p. 74. ISBN 0534377556.
3. ↑  Ю. H. Макарычев, Н. Г. Миндюк, С. Б. Суворова, И. С. Шлыкова (2007). "3". *Изучение алгебры в 7—9 классах. Пособие для учителей* [руская]. ISBN 978-5-09-024920-1.`{{cite book}}`: Папярэджанні CS1: розныя назвы: authors list (link)
4. 1 2 3  E. J. Gumbel (1947). "The Distribution of the Range". *The Annals of Mathematical Statistics* [англійская]. **18** (3): 384–412. doi:10.1214/aoms/1177730387. JSTOR 2235736.
5. 1 2  Tsimashenka, I.; Knottenbelt, W.; Harrison, P. (2012). "Controlling Variability in Split-Merge Systems". *Analytical and Stochastic Modeling Techniques and Applications* (PDF). Lecture Notes in Computer Science. Vol. 7314. p. 165. doi:10.1007/978-3-642-30782-9\_12. ISBN 978-3-642-30781-2.
6. ↑  H. O. Hartley; H. A. David (1954). "Universal Bounds for Mean Range and Extreme Observation". *The Annals of Mathematical Statistics*. **25** (1): 85–99. doi:10.1214/aoms/1177728848. JSTOR 2236514.
7. ↑  L. H. C. Tippett (1925). "On the Extreme Individuals and the Range of Samples Taken from a Normal Population". *Biometrika*. **17** (3/4): 364–387. doi:10.1093/biomet/17.3-4.364. JSTOR 2332087.
8. 1 2  Evans, D. L.; Leemis, L. M.; Drew, J. H. (2006). "The Distribution of Order Statistics for Discrete Random Variables with Applications to Bootstrapping". *INFORMS Journal on Computing*. **18**: 19. doi:10.1287/ijoc.1040.0105.
9. ↑  Irving W. Burr (1955). "Calculation of Exact Sampling Distribution of Ranges from a Discrete Population". *The Annals of Mathematical Statistics*. **26** (3): 530–532. doi:10.1214/aoms/1177728500. JSTOR 2236482.
10. 1 2  Abdel-Aty, S. H. (1954). "Ordered variables in discontinuous distributions". *Statistica Neerlandica*. **8** (2): 61–82. doi:10.1111/j.1467-9574.1954.tb00442.x.
11. ↑  Siotani, M. (1956). "Order statistics for discrete case with a numerical application to the binomial distribution". *Annals of the Institute of Statistical Mathematics*. **8**: 95–96. doi:10.1007/BF02863574.
12. ↑  Paul R. Rider (1951). "The Distribution of the Range in Samples from a Discrete Rectangular Population". *Journal of the American Statistical Association*. **46** (255): 375–378. doi:10.1080/01621459.1951.10500796. JSTOR 2280515.

Літаратура
----------

* *A Hald.* Statistical Theory with Engineering Applications (англ.). — John Wiley and Sons, Inc.; 1st Edition (January 1, 1952), 1952. — 783 с. — ISBN 978-0471340560.

| ⛭Статыстыка |
| --- |
| 

| Апісальная статыстыка |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| Непарыўныяданыя | 

|  |  |
| --- | --- |
| Каэфіцыент зруху | 
* Сярэдняе (Арыфметычнае, Геаметрычнае, Гарманічнае)
* Медыяна
* Мода

 |
| Варыяцыя | 
* Размах
* Ранг
* Сярэдняе квадратовае адхіленне
* Каэфіцыент варыяцыі
* Квантыль (Дэцыль, Адсотак/Працэнціль/Перцэнціль/Цэнціль)

 |
| Моманты | 
* Матэматычнае спадзяванне
* Дысперсія
* Асіметрыя
* Эксцэс

 |

 |
| Дыскрэтныяданыя | 
* Частата
* Табліца кантынгентнасці

 |

 |

 |
| 

| Выкарыстоўванне  (англ.) (бел. |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| Біястатыстыка | 
* Біяінфарматыка
* Клінічнае выпрабаванне / даследаванне
* Эпідэміялогія
* Медыцынская статыстыка

 |
| Інжынерная статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Хемаметрыка  (руск.) (бел.
* Тэхналагічная распрацоўка  (англ.) (бел.
* Імавернасны дызайн  (англ.) (бел.
* Кіраванне працэсамі  (руск.) (бел. / якасцю  (руск.) (бел.
* Тэорыя надзейнасці  (англ.) (бел.
* Ідынтыфікація сістэм  (руск.) (бел.

 |
| Сацыяльная статыстыка | 
* Актуарныя разлікі
* Перапіс насельніцтва
* Статыстыка злачыннасці  (руск.) (бел.
* Дэмаграфія
* Эканаметрыка
* Нацыянальныя рахункі  (англ.) (бел.
* Афіцыйная статыстыка  (англ.) (бел.
* Генеральная сукупнасць
* Псіхаметрыя  (руск.) (бел.

 |
| Прасторавая статыстыка  (англ.) (бел. | 
* Картаграфія
* Статыстыка навакольнага асяроддзя  (англ.) (бел.
* Геаінфармацыйныя сістэмы
* Геаграфія
* Крыгінг  (руск.) (бел.

 |

 |

 |