**Біномнае размеркаванне** з параметрамі {\displaystyle n} і {\displaystyle p} — дыскрэтнае размеркаванне імавернасцей, якое апісвае колькасць паспяховых зыходаў пры правядзенні {\displaystyle n} незалежных выпрабаванняў, кожнае з якіх мае два магчымыя зыходы: поспех (з імавернасцю {\displaystyle p}) і няўдача (з імавернасцю {\displaystyle q=1-p}). Кожнае такое выпрабаванне завецца выпрабаваннем Бэрнулі[en], а шэраг зыходаў — працэсам Бэрнулі[en]. Для аднаго выпрабавання ({\displaystyle n=1}) біномнае размеркаванне адпавядае размеркаванню Бэрнулі:81. Біномнае размеркаванне ляжыць у падмурку біномнага крытэрыю[en] статыстычнай значнасці[en].

Біномнае размеркаванне часта выкарыстоўваецца для мадэлявання[en] колькасці «паспяховых» элементаў у выбарцы[en] з вяртаннем[en] памерам {\displaystyle n} з генеральнай сукупнасці памерам {\displaystyle N}. Калі робіцца адбор без вяртання, выпрабаванні не незалежныя, і мадэляваць такую сітуацыю трэба з дапамогай гіпергеаметрычнага размеркавання. Аднак калі {\displaystyle N} значна большае за {\displaystyle n}, біномнае размеркаванне добра яго набліжае і таму часта выкарыстоўваецца.

Азначэнне
---------

### Функцыя імавернасці

Выпадковая велічыня {\displaystyle X}, якая мая біномнае размеркаванне з параметрамі {\displaystyle n\in \mathbb {N} } і {\displaystyle p\in [0,1]} запісваецца як {\displaystyle X\sim B(n,p).} Імавернасць назірання {\displaystyle k} поспехаў у {\displaystyle n} выпрабаваннях Бэрнулі задаецца функцыяй імавернасці:

{\displaystyle p\_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X=k)={\binom {n}{k}}p^{k}(1-p)^{n-k}}
для {\displaystyle k=0,1,2,\dots ,n}, дзе

{\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}}
— біномны каэфіцыент[en], ад якога і паходзіць імя размеркавання. Формула тлумачыцца наступным чынам: імавернасць назірання {\displaystyle k} поспехаў роўная {\displaystyle p^{k}}, а {\displaystyle n-k} няўдач адбываюцца з імавернасцю {\displaystyle (1-p)^{n-k}}. Пры гэтым паспяховымі могуць быць якія-кольвек {\displaystyle k} з шэрагу {\displaystyle n} выпрабаванняў, і існуе {\displaystyle {\tbinom {n}{k}}} спалучэнняў з {\displaystyle n} выпрабаванняў па {\displaystyle k}.

### Функцыя размеркавання

Функцыя размеркавання для {\displaystyle k\in [0,n]} мае выгляд:

{\displaystyle F\_{X\sim B(n,p)}(k)=P(X\leq k)=\sum \_{i=0}^{\lfloor k\rfloor }{n \choose i}p^{i}(1-p)^{n-i},}
дзе {\displaystyle \lfloor k\rfloor } — цэлая частка[en] ад {\displaystyle k}.

### Прыклад

Няхай манетка мае імавернасць 0.3 выпасці рэшкай. Імавернасць пабачыць 4 рэшкі пры яе шасціразовым падкіданні роўная

{\displaystyle p\_{B(6,0.3)}(4)={\binom {6}{4}}0.3^{4}(1-0.3)^{6-4}=0.059535.}

Сувязь з іншымі размеркаваннямі
-------------------------------

### Размеркаванне Бэрнулі

Размеркаванне Бэрнулі — асобны выпадак біномнага размеркавання для {\displaystyle n=1}:81. Іншымі словамі, велічыня {\displaystyle X\sim B(1,p)} мае такое ж размеркаванне, як і велічыня {\displaystyle X\sim Bernoulli(p).}

### Паліномнае размеркаванне

Паліномнае размеркаванне — многавымернае абагульненне біномнага. Яно дазваляе мадэляваць сітуацыі, калі магчымых зыходаў выпрабавання больш за два.

Зноскі
------

1. 1 2  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — С. 69. — ISBN 978-985-01-1043-5.
2. ↑  Westland, J. Christopher (2020). *Audit Analytics: Data Science for the Accounting Profession*. Chicago, IL, USA: Springer. p. 53. ISBN 978-3-030-49091-1.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая нарвежская · Вялікая расійская (старая версія) · Вялікая расійская (навукова-адукацыйны партал) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4145587-3 · LCCN: sh85014113 · LNB: 000327257 · Microsoft: 41054675 · NKC: ph249419 |

| ⛭Размеркаванні імавернасцей |
| --- |
| Дыскрэтныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| з канечнай колькасцю значэнняў | 
* Біномнае
* Бэрнулі
* Гіпергеаметрычнае
* Звыроднае
* Раўнамернае дыскрэтнае

 |
| з бесканечнай колькасцю значэнняў | 
* Адмоўнае біномнае
* Геаметрычнае
* Пуасона

 |

 |
| Абсалютна непарыўныя | 

|  |  |
| --- | --- |
| са значэннямі на прамежку | 
* Бэта
* Раўнамернае непарыўнае

 |
| са значэннямі на прамені  | 
* Бэта другога тыпу
* Гама
* Максвела — Больцмана
* Паказнікавае
* Хі-квадрат
* Эрланга

 |
| са значэннямі на ўсёй лікавай простай | 
* Кашы
* Нармальнае
* Ст’юдэнта

 |

 |
| Многавымерныя | 
* Дзірыхле
* Многавымернае нармальнае
* Паліномнае

 |
| Іншыя | 
* Сінгулярнае

 |
| 
* Катэгорыя
* Вікісховішча

 |