| Тэорыя імавернасцей |
| --- |
|  |
| * Імавернасць
	+ Аксіёмы
* Выпадковасць[en]
 |
| * Імавернасная прастора
	+ Геаметрычная імавернасць
* Прастора элементарных падзей
* Выпрабаванне
* Выпадковая падзея
	+ Поўная група падзей
 |
| * Выпадковая велічыня
	+ Матэматычнае спадзяванне
	+ Дысперсія
* Размеркаванне імавернасцей
	+ Бернулі
	+ Біномнае[en]
	+ Нармальнае
* Імавернасная мера[en]
 |
| * Умоўная імавернасць
* Незалежнасць
* Тэарэма множання імавернасцей
* Формула поўнай імавернасці
* Тэарэма Баеса
 |
| * Закон вялікіх лікаў
 |
| * Г
* Р
* П
 |

**Аксіёмы Калмагорава** — асноўныя палажэнні тэорыі імавернасцей, прапанаваныя савецкім матэматыкам Андрэем Калмагоравым у 1933 г. Гэтыя аксіёмы сталі класічнымі і дагэтуль застаюцца найбольш распаўсюджанай аксіяматыкай[en] у сучаснай тэорыі імавернасцей.

Аксіёмы
-------

Для задання аксіём уводзіцца паняцце імавернаснай прасторы — тройкі {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},P)}, дзе {\displaystyle \Omega } — прастора элементарных падзей, {\displaystyle {\mathcal {A}}} — σ-алгебра падмностваў мноства {\displaystyle \Omega }, якія называюцца выпадковымі падзеямі, {\displaystyle P:{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {R} } — рэчаісназначная функцыя[en], якая называецца імавернаснай мерай[en].

Аксіёмы Калмагорава для тэорыі імавернасцей:12-13:

1. Неадмоўнасць. {\displaystyle P(A)\geq 0} для адвольнай падзеі {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}.
2. Нармаванасць. {\displaystyle P(\Omega )=1}, г.зн. імавернасць верагоднай падзеі роўна 1.
3. Адытыўнасць. {\displaystyle P(A+B)=P(A)+P(B)} для якіх-кольвек несумесных падзей {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}.
4. Непарыўнасць. Калі паслядоўнасць {\displaystyle (A\_{n})\_{n=1}^{\infty }} падзей {\displaystyle A\_{n}\in {\mathcal {A}}} такая, што {\displaystyle A\_{1}\supset A\_{2}\supset \dots \supset A\_{n}\supset \dots } і {\displaystyle \bigcap \limits \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}=\varnothing }, то {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }P(A\_{n})=0}.

Аксіёма злічонай адытыўнасці
----------------------------

Часам замест чатырох аксіём Калмагорава прыводзяцца тры, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замяняюцца эквівалентнай ім аксіёмай злічонай адытыўнасці:16-17: 

Для адвольнай злічонай сям'і дыз'юнктных (то бок несумесных) падзей {\displaystyle \{B\_{k}|k\in \mathbb {N} \}} справядліва роўнасць



P

(

∑

k
=
1

∞

B

k

)

=

∑

k
=
1

∞

P
(

B

k

)
.

{\displaystyle P\left(\sum \_{k=1}^{\infty }B\_{k}\right)=\sum \_{k=1}^{\infty }P(B\_{k}).}

{\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(B_{k}).}
З пункту гледжання праўдзівасці сцверджанняў, якія грунтуюцца на аксіёмах Калмагорава, няма розніцы паміж класічным наборам з чатырох аксіём і наборам, дзе аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці замененыя на аксіёму злічонай адытыўнасці, бо гэтыя наборы аксіём эквівалентныя паміж сабой.

### Доказ эквівалентнасці

Дапусцім спачатку, што выконваюцца аксіёмы адытыўнасці і непарыўнасці. Зададзім злічоную сям'ю дыз'юнктных мностваў {\displaystyle A\_{n}:=\sum \_{k=n+1}^{\infty }B\_{k}} і атрымаем, што {\displaystyle A\_{1}\supset A\_{2}\supset \dots \supset A\_{n}\supset \dots }. Пазначым {\displaystyle B:=\sum \_{k=1}^{\infty }B\_{k}} і запішам


⋂

n
=
1

∞

A

n

=

⋂

n
=
1

∞

⋃

k
=
n
+
1

∞

B

k

=

⋂

n
=
1

∞

(

B
∖

⋃

k
=
1

n

B

k

)

=

{\displaystyle \bigcap \_{n=1}^{\infty }A\_{n}=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{k=n+1}^{\infty }B\_{k}=\bigcap \_{n=1}^{\infty }\left(B\setminus \bigcup \_{k=1}^{n}B\_{k}\right)=}

{\displaystyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=n+1}^{\infty }B_{k}=\bigcap _{n=1}^{\infty }\left(B\setminus \bigcup _{k=1}^{n}B_{k}\right)=}

=
B
∖

⋃

n
=
1

∞

⋃

k
=
1

n

B

k

=
B
∖
B
=
∅
.

{\displaystyle =B\setminus \bigcup \_{n=1}^{\infty }\bigcup \_{k=1}^{n}B\_{k}=B\setminus B=\varnothing .}

{\displaystyle =B\setminus \bigcup _{n=1}^{\infty }\bigcup _{k=1}^{n}B_{k}=B\setminus B=\varnothing .}
Такім чынам, {\displaystyle \bigcap \limits \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}=\varnothing } і паводле аксіёмы непарыўнасці {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }P(A\_{n})=0}. З вызначэння {\displaystyle A\_{n}} і аксіёмы адытыўнасці вынікае 



P

(

∑

k
=
1

∞

B

k

)

=
P

(

∑

k
=
1

n

B

k

+

A

n

)

=

∑

k
=
1

n

P
(

B

k

)
+
P
(

A

n

)
.

{\displaystyle P\left(\sum \_{k=1}^{\infty }B\_{k}\right)=P\left(\sum \_{k=1}^{n}B\_{k}+A\_{n}\right)=\sum \_{k=1}^{n}P(B\_{k})+P(A\_{n}).}

{\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{\infty }B_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n}B_{k}+A_{n}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(B_{k})+P(A_{n}).}
Пераходзячы ў апошняй роўнасці да ліміту {\displaystyle n\to \infty } атрымліваем роўнасць з аксіёмы злічонай адытыўнасці.

Цяпер дакажам што выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання адытыўнасці і непарыўнасці. 

Для доказу спатрэбіцца факт таго, што {\displaystyle P(\varnothing )=0}. Сапраўды, прымаючы {\displaystyle B\_{k}=\varnothing } (што можна зрабіць, бо пустое мноства не перасякаецца з самім сабой) атрымліваем 



P
(
∅
)
=
P

(

∑

k
=
1

∞

∅

)

=

∑

k
=
1

∞

P
(
∅
)
.

{\displaystyle P(\varnothing )=P\left(\sum \_{k=1}^{\infty }\varnothing \right)=\sum \_{k=1}^{\infty }P(\varnothing ).}

{\displaystyle P(\varnothing )=P\left(\sum _{k=1}^{\infty }\varnothing \right)=\sum _{k=1}^{\infty }P(\varnothing ).}
Успомнім, што паводле азначэння {\displaystyle P} можа прымаць толькі рэчаісныя значэнні, а з усіх рэчаісных лікаў выкананне прыведзенай вышэй роўнасці магчыма толькі для {\displaystyle P(\varnothing )=0}.

Для адвольных несумесных падзей {\displaystyle A,B} прымем {\displaystyle B\_{1}=A,B\_{2}=B,B\_{3}=B\_{4}=\dots =\varnothing }. Улічваючы аксіёму злічонай адытыўнасці і тое, што {\displaystyle P(\varnothing )=0}, маем



P
(
A
+
B
)
=
P
(

B

1

+

B

2

+
∅
+
∅
+
…
)
=

{\displaystyle P(A+B)=P(B\_{1}+B\_{2}+\varnothing +\varnothing +\dots )=}

{\displaystyle P(A+B)=P(B_{1}+B_{2}+\varnothing +\varnothing +\dots )=}

=
P
(

B

1

)
+
P
(

B

2

)
+
P
(
∅
)
+
⋯
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
.

{\displaystyle =P(B\_{1})+P(B\_{2})+P(\varnothing )+\dots =P(A)+P(B).}

{\displaystyle =P(B_{1})+P(B_{2})+P(\varnothing )+\dots =P(A)+P(B).}
Гэта значыць, што праўдзіцца аксіёма адытыўнасці. 

Возьмем цяпер адвольны набор падзей {\displaystyle A\_{1}\supset A\_{2}\supset \dots \supset A\_{n}\supset \dots }, для якіх {\displaystyle \bigcap \limits \_{n\in \mathbb {N} }A\_{n}=\varnothing }. Пазначым {\displaystyle B\_{n}:=A\_{n}\setminus A\_{n+1}} для ўсіх {\displaystyle n\in \mathbb {N} } і атрымаем дыз'юнктнае мноства падзей {\displaystyle \{B\_{1},B\_{2},\dots ,B\_{n},\dots \}}. Паводле аксіёмы злічонай адытыўнасці, шэраг {\displaystyle \sum \_{k=1}^{\infty }P(B\_{k})} збягаецца і таму паслядоўнасць ягоных астачаў імкнецца да нуля, г.зн.:



0
=

lim

n
→
∞

∑

k
=
n

∞

P
(

B

k

)
=

lim

n
→
∞

∑

k
=
n

∞

P
(

A

k

∖

A

k
+
1

)
=

lim

n
→
∞

P
(

A

n

)
.

{\displaystyle 0=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=n}^{\infty }P(B\_{k})=\lim \_{n\to \infty }\sum \_{k=n}^{\infty }P(A\_{k}\setminus A\_{k+1})=\lim \_{n\to \infty }P(A\_{n}).}

{\displaystyle 0=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(B_{k})=\lim _{n\to \infty }\sum _{k=n}^{\infty }P(A_{k}\setminus A_{k+1})=\lim _{n\to \infty }P(A_{n}).}
Такім чынам мы паказалі, што аксіём адытыўнасці і непарыўнасці дастаткова для выканання аксіёмы злічонай адытыўнасці, а таксама што аксіёмы злічонай адытыўнасці дастаткова для выканання аксіём адытыўнасці і непарыўнасці. Гэта значыць, што аксіёма злічонай адытыўнасці эквівалентная аксіёмам адытыўнасці і непарыўнасці, узятым разам.

Высновы з першых трох аксіём
----------------------------

Грунтуючыся на аксіёмах Калмагорава, можна даказаць шэраг сцверджанняў, карысных для вывучэння тэорыі імавернасцей.

### Адытыўнасць для канечнага мноства падзей

Калі падзеі {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}\in {\mathcal {A}}} парамі несумесныя, то



P

(

∑

k
=
1

n

A

k

)

=

∑

k
=
1

n

P
(

A

k

)
.

{\displaystyle P\left(\sum \_{k=1}^{n}A\_{k}\right)=\sum \_{k=1}^{n}P(A\_{k}).}

{\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).}
#### Доказ:13-14

Доказ будуецца метадам матэматычнай індукцыі з аксіёмы адытыўнасці. Паводле аксіёмы, роўнасць слушная для {\displaystyle n=2}. Для {\displaystyle n>2} дапусцім, што праўдзіцца роўнасць



P

(

∑

k
=
1

n
−
1

A

k

)

=

∑

k
=
1

n
−
1

P
(

A

k

)
.

{\displaystyle P\left(\sum \_{k=1}^{n-1}A\_{k}\right)=\sum \_{k=1}^{n-1}P(A\_{k}).}

{\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k}).}
Выкарыстоўваючы яе і аксіёму адытыўнасці, маем



P

(

∑

k
=
1

n

A

k

)

=
P

(

∑

k
=
1

n
−
1

A

k

+

A

n

)

=
P

(

∑

k
=
1

n
−
1

A

k

)

+
P
(

A

n

)
=

∑

k
=
1

n
−
1

P
(

A

k

)
+
P
(

A

n

)
=

∑

k
=
1

n

P
(

A

k

)
.

{\displaystyle P\left(\sum \_{k=1}^{n}A\_{k}\right)=P\left(\sum \_{k=1}^{n-1}A\_{k}+A\_{n}\right)=P\left(\sum \_{k=1}^{n-1}A\_{k}\right)+P(A\_{n})=\sum \_{k=1}^{n-1}P(A\_{k})+P(A\_{n})=\sum \_{k=1}^{n}P(A\_{k}).}

{\displaystyle P\left(\sum _{k=1}^{n}A_{k}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}+A_{n}\right)=P\left(\sum _{k=1}^{n-1}A_{k}\right)+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n-1}P(A_{k})+P(A_{n})=\sum _{k=1}^{n}P(A_{k}).}
### Правіла сумы

Для адвольных дзвюх падзей {\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}} справядліва роўнасць



P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
.

{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}

{\displaystyle P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B).}
#### Доказ:14

Заўважым, што {\displaystyle P(A\cup B)=A\setminus B+B\setminus A+A\cap B}, дзе ўсе тры падзеі парамі несумесныя. З адытыўнасці для канечнага мноства падзей вынікае



P
(
A
∪
B
)
=
P
(
A
∖
B
)
+
P
(
B
∖
A
)
+
P
(
A
∩
B
)
=

{\displaystyle P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)=}

{\displaystyle P(A\cup B)=P(A\setminus B)+P(B\setminus A)+P(A\cap B)=}

=
(
P
(
A
∖
B
)
+
P
(
A
∩
B
)
)
+
(
P
(
B
∖
A
)
+
P
(
A
∩
B
)
)
−
P
(
A
∩
B
)
=

{\displaystyle =(P(A\setminus B)+P(A\cap B))+(P(B\setminus A)+P(A\cap B))-P(A\cap B)=}

{\displaystyle =(P(A\setminus B)+P(A\cap B))+(P(B\setminus A)+P(A\cap B))-P(A\cap B)=}

=
P
(
A
)
+
P
(
B
)
−
P
(
A
∩
B
)
.

{\displaystyle =P(A)+P(B)-P(A\cap B).}

{\displaystyle =P(A)+P(B)-P(A\cap B).}
### Імавернасць надмноства

Калі {\displaystyle A\subset B}, то {\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)}.

#### Доказ:15

З {\displaystyle A\subset B} вынікае {\displaystyle B=A+B\setminus A}. Тады паводле аксіёмы адытыўнасці маем {\displaystyle P(B)=P(A)+P(B\setminus A)}.

### Імавернасць немагчымай падзеі

{\displaystyle P(\varnothing )=0}.

#### Доказ:15

У формуле імавернасці надмноства прымем {\displaystyle B=A}. Атрымаем 


P
(
A
)
=
P
(
A
)
+
P
(
A
∖
A
)
=
P
(
A
)
+
P
(
∅
)
.

{\displaystyle P(A)=P(A)+P(A\setminus A)=P(A)+P(\varnothing ).}

{\displaystyle P(A)=P(A)+P(A\setminus A)=P(A)+P(\varnothing ).} Адсюль вынікае, што {\displaystyle P(\varnothing )=0}.

### Імавернасць процілеглай падзеі

{\displaystyle P({\bar {A}})=1-P(A)}, дзе {\displaystyle {\bar {A}}} — падзея, процілеглая да {\displaystyle A}.

#### Доказ:15

Сыходзячы з таго, што {\displaystyle \Omega =A+{\bar {A}}}, а таксама з аксіём адытыўнасці і нармаванасці, атрымліваем
{\displaystyle 1=P(\Omega )=P(A+{\bar {A}})=P(A)+P({\bar {A}})}.

### Манатоннасць

Калі {\displaystyle A\subset B}, то {\displaystyle P(A)\leq P(B)}.

#### Доказ:15

З формулы імавернасці надмноства і аксіёмы неадмоўнасці маем



P
(
A
)
=
P
(
B
)
−
P
(
B
∖
A
)
≤
P
(
B
)
.

{\displaystyle P(A)=P(B)-P(B\setminus A)\leq P(B).}

{\displaystyle P(A)=P(B)-P(B\setminus A)\leq P(B).}
### Лікавыя межы імавернасці

Для кожнай падзеі {\displaystyle A\in {\mathcal {A}}} праўдзіцца {\displaystyle 0\leq P(A)\leq 1}.

#### Доказ:15

З таго, што {\displaystyle \varnothing \subset A\subset \Omega } вынікае 



0
=
P
(
∅
)
≤
P
(
A
)
≤
P
(
Ω
)
=
1.

{\displaystyle 0=P(\varnothing )\leq P(A)\leq P(\Omega )=1.}

{\displaystyle 0=P(\varnothing )\leq P(A)\leq P(\Omega )=1.}
### Няроўнасць для імавернасці аб'яднання

Для якіх-кольвек падзей {\displaystyle A\_{1},A\_{2},\dots ,A\_{n}} справядліва няроўнасць



P
(

A

1

∪

A

2

∪
⋯
∪

A

n

)
≤
P
(

A

1

)
+
P
(

A

2

)
+
⋯
+
P
(

A

n

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots \cup A\_{n})\leq P(A\_{1})+P(A\_{2})+\dots +P(A\_{n}).}

{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).}
#### Доказ:15-16

Для {\displaystyle n=2}, з правіла сумы і аксіёмы неадмоўнасці вынікае 



P
(

A

1

∪

A

2

)
=
P
(

A

1

)
+
P
(

A

2

)
−
P
(

A

1

∩

A

2

)
≤
P
(

A

1

)
+
P
(

A

2

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}\cup A\_{2})=P(A\_{1})+P(A\_{2})-P(A\_{1}\cap A\_{2})\leq P(A\_{1})+P(A\_{2}).}

{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2})=P(A_{1})+P(A_{2})-P(A_{1}\cap A_{2})\leq P(A_{1})+P(A_{2}).}
Дапусцім, што для {\displaystyle n-1} выконваецца



P
(

A

1

∪

A

2

∪
⋯
∪

A

n
−
1

)
≤
P
(

A

1

)
+
P
(

A

2

)
+
⋯
+
P
(

A

n
−
1

)
.

{\displaystyle P(A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots \cup A\_{n-1})\leq P(A\_{1})+P(A\_{2})+\dots +P(A\_{n-1}).}

{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n-1}).}
Сумяшчаючы гэтыя няроўнасці, атрымоўваем 



P
(

A

1

∪

A

2

∪
⋯
∪

A

n

)
=
P
(
(

A

1

∪

A

2

∪
⋯
∪

A

n
−
1

)
∪

A

n

)
≤

{\displaystyle P(A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots \cup A\_{n})=P((A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots \cup A\_{n-1})\cup A\_{n})\leq }

{\displaystyle P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n})=P((A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})\cup A_{n})\leq }

≤
P
(

A

1

∪

A

2

∪
⋯
∪

A

n
−
1

)
+
P
(

A

n

)
≤
P
(

A

1

)
+
P
(

A

2

)
+
⋯
+
P
(

A

n

)
.

{\displaystyle \leq P(A\_{1}\cup A\_{2}\cup \dots \cup A\_{n-1})+P(A\_{n})\leq P(A\_{1})+P(A\_{2})+\dots +P(A\_{n}).}

{\displaystyle \leq P(A_{1}\cup A_{2}\cup \dots \cup A_{n-1})+P(A_{n})\leq P(A_{1})+P(A_{2})+\dots +P(A_{n}).}

Зноскі
------

1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10  *Звяровіч Э. І.*, *Радына А. Я.* Элементы тэорыі імавернасцей. — Мінск: Беларусь, 2013. — ISBN 978-985-01-1043-5.

|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Нарматыўны кантроль | Microsoft: 753383 |