**Гіпо́тэза Пуанкарэ́** — адна з самых вядомых задач тапалогіі.
Яна дае дастатковую ўмову таго, што прастора з'яўляецца трохвымернаю сфераю з дакладнасцю да дэфармацыі.

Фармулёўка
----------

### Гіпотэза Пуанкарэ

У зыходнай форме гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

|  |
| --- |
| Усякая адназвязная  (руск.) (бел. кампактная  (руск.) (бел. трохмерная мнагастайнасць  (руск.) (бел. без краю гомеаморфная трохмернай сферы. |

### Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ

Абагульненая гіпотэза Пуанкарэ сцвярджае:

|  |
| --- |
| Для любога натуральнага ліку *n* усякая мнагастайнасць размернасці *n* гоматапічна эквівалентная  (руск.) (бел. сферы размернасці *n* тады і толькі тады, калі яна гомеаморфная ёй. |

Зыходная гіпотэза Пуанкарэ з'яўляецца асобным выпадкам абагульненай гіпотэзы пры *n* = 3.

Схема доказу
------------

Паток Рычы  (руск.) (бел. — гэта пэўнае ўраўненне ў частковых вытворных  (руск.) (бел. падобнае на ўраўненне цеплаправоднасці  (руск.) (бел..
Ён дазваляе дэфармаваць рыманаву метрыку на мнагастайнасці, але ў працэсе дэфармацыі могуць утварацца «сінгулярнасці» — пункты, у якіх крывізна імкнецца да бесканечнасці, і дэфармацыю немагчыма працягнуць.
Асноўны крок у доказе заключаецца ў класіфікацыі такіх сінгулярнасцей у трохмерным арыентаваным выпадку.
Пры падыходзе да сінгулярнасці паток спыняюць і ажыццяўляюць «хірургію»  (руск.) (бел. — выкідваюць малую звязную кампаненту ці выразаюць «шыю» (г. зн. адкрытую вобласць дыфеаморфную  (руск.) (бел. прамому здабытку {\displaystyle (0,1)\times S^{2}}), а атрыманыя дзве дзіркі заклейваюць двума шарамі так, што метрыка  (руск.) (бел. атрыманай мнагастайнасці становіцца дастаткова гладкаю — пасля чаго працягваюць дэфармацыю ўздоўж патоку Рычы.

Працэс, апісаны вышэй, называецца «паток Рычы з хірургіяй».
Класіфікацыя сінгулярнасцей дазваляе заключыць, што кожны «выкінуты кавалак» дыфеаморфны  (руск.) (бел. сферычнай прасторавай форме  (руск.) (бел..

Пры доказе гіпотэзы Пуанкарэ пачынаюць з адвольнай рыманавай метрыкі на адназвязнай трохмернай мнагастайнасці {\displaystyle M} і прымяняюць да яе паток Рычы з хірургіяй.
Важным крокам з'яўляецца доказ таго, што ў выніку такога працэсу «выкідваецца» ўсё.
Гэта значыць, што зыходную мнагастайнасць {\displaystyle M} можна прадставіць як набор сферычных прасторавых форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma \_{i}}, злучаных адна з адною трубкамі {\displaystyle [0,1]\times S^{2}}.
Падлік фундаментальнае групы  (руск.) (бел. паказвае, што {\displaystyle M} дыфеаморфная звязнай суме  (руск.) (бел. набору прасторавых форм {\displaystyle S^{3}/\Gamma \_{i}}, і больш таго, усе {\displaystyle \Gamma \_{i}} трывіяльныя.
Такім чынам, {\displaystyle M} з'яўляецца звязнаю сумаю набору сфер, г.зн. сфераю.

Гісторыя
--------

У 1900 годзе Пуанкарэ выказаў здагадку, што трохмерная мнагастайнасць са ўсімі групамі гамалогій як у сферы гомеаморфнае сферы.
У 1904 годзе ён жа знайшоў контрпрыклад, які цяпер называецца сфераю Пуанкарэ  (руск.) (бел. і сфармуляваў канчатковы варыянт сваёй гіпотэзы.
Спробы даказаць гіпотэзу Пуанкарэ прывялі да шматлікіх новых вынікаў у тапалогіі мнагастайнасцей.

Доказы абагульненай гіпотэзы Пуанкарэ для *n* ⩾ 5 атрыманы ў пачатку 1960—1970-х амаль адначасова Смейлам, незалежна і іншымі метадамі Столінгсам  (англ.) (бел. (для *n* ⩾ 7, яго доказ быў пашыраны на выпадкі *n* = 5 і 6 Зееманам  (англ.) (бел.). Доказ значна цяжэйшага выпадку *n* = 4 быў атрыман толькі ў 1982 годзе Фрыдманам. З тэарэмы Новікава аб тапалагічнай інварыянтнасці характарыстычных класаў Пантрагіна вынікае, што існуюць гоматапічна эквівалентныя, але не гомеаморфныя мнагастайнасці ў высокіх размернасцях.

Доказ зыходнай гіпотэзы Пуанкарэ (і больш агульнай гіпотэзы Цёрстана) быў знойдзены толькі ў 2002 годзе Рыгорам Перэльманам.
Пазней доказ Перэльмана быў правераны і прадстаўлены ў разгорнутым выглядзе сама меней трыма групамі навукоўцаў. Доказ выкарыстоўвае паток Рычы з хірургіяй і ў многім прытрымліваецца плана, намечанага Хамільтанам  (руск.) (бел. які таксама першым прымяніў паток Рычы.

### Прызнанне і ацэнкі

* Фрыдман (у 1986 годзе) і Перэльман (у 2006 годзе) сталі Філдсаўскімі лаўрэатамі.
* У 2006 годзе часопіс Science назваў доказ Перэльманам гіпотэзы Пуанкарэ навуковым «прарывам года» («Breakthrough of the Year»  (англ.) (бел.). Гэта першая праца па матэматыцы, якая заслужыла такое званне.
* У 2006 годзе Сільвія Назар  (руск.) (бел. апублікавала нашумелы артыкул «Manifold Destiny»  (руск.) (бел. які расказвае гісторыю доказу гіпотэзы Пуанкарэ.
* 18 сакавіка 2010 года Матэматычны інстытут Клэя  (руск.) (бел. прысудзіў Прэмію тысячагоддзя за доказ гіпотэзы Пуанкарэ Р. Я. Перэльману, але той адмовіўся яе браць.

Гл. таксама
-----------

* Адкрытыя матэматычныя праблемы  (руск.) (бел.
* Задачы тысячагоддзя  (руск.) (бел.

Зноскі
------

1. ↑  *И. Иванов* Полное доказательство гипотезы Пуанкаре предъявлено уже тремя независимыми группами математиков 03/08/06, elementy.ru
2. ↑  Dana Mackenzie (2006). "BREAKTHROUGH OF THE YEAR: The Poincaré Conjecture—Proved". *Science* **314** (5807): 1848-1849. doi:10.1126/science.314.5807.1848. .  (англ.)
3. ↑  Keith Devlin. The biggest science breakthrough of the year. Mathematical Association of America. 2006.
4. ↑  Сярод іншага, «Manifold Destiny» была ўключана ў кнігу The Best American Science Writing за 2007 год.
5. ↑  Sylvia Nasar, David Gruber (2006). "Manifold Destiny: A legendary problem and the battle over who solved it". *The New Yorker* (August 21). .  Рускі пераклад: «Многообразная судьба: Легендарная задача и битва за приоритет».
6. ↑  Prize for Resolution of the Poincaré Conjecture Awarded to Dr. Grigoriy Perelman Архівавана 31 сакавіка 2010. (англ.). Пресс-релиз математического института Клэя.

Літаратура
----------

* Perelman, Grisha (November 11, 2002). "The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications".  *arΧiv:math.DG/0211159* [math.DG].
* Perelman, Grisha (March 10, 2003). "Ricci flow with surgery on three-manifolds".  *arΧiv:math.DG/0303109* [math.DG].
* Perelman, Grisha (July 17, 2003). "Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds".  *arΧiv:math.DG/0307245* [math.DG].
* J. Milnor, The Poincaré Conjecture 99 Years Later: A Progress Report (англ.)
* *С. Николенко* Проблемы 2000: Гипотеза Пуанкаре // *Компьютерра*. — 2006. — № 1-2.
* John W.Morgan, Gang Tian Ricci Flow and the Poincare Conjecture (англ.)
* B. Kleiner, J. Lott Notes on Perelman's papers (англ.)
* Terence Tao Perelman's proof of the Poincaré conjecture: a nonlinear PDE perspective (англ.)