**Су́ма** (лац.: summa — вынік) — вынік аперацыі складання велічынь (лікаў, функцый, вектараў, матрыц і г. д.). Агульнымі для ўсіх выпадкаў з'яўляюцца ўласцівасці камутатыўнасці, асацыятыўнасці для аперацыі складання, а таксама дыстрыбутыўнасці ў адносінах да множання (калі для разгляданых велічынь множанне вызначана), гэта азначае выкананне суадносін:

* перастаўляльны закон

а + b = b + a
* спалучальны закон

а + (b + c) = (а + b) + c
* правы размеркавальны закон

(а + b)с = ас + bc
* левы размеркавальны закон

с(а + b) = ca + cb
У тэорыі мностваў сумай (ці аб'яднаннем) мностваў называецца мноства, элементамі якога з'яўляюцца ўсе элементы складнікаў мностваў, узятыя без паўтораў.

Вызначаная сума
---------------

Часта суму *n* складнікаў *a*k, *a*k+1, …, *a*N абазначаюць вялікай літарай гречаскай літарай Σ (сігма):

{\displaystyle a\_{k}+a\_{k+1}+...+a\_{N}=\sum \_{i=k}^{N}a\_{i}}

Гэта абазначэнне называюць вызначанай (канечнай) сумай *a*i па*i* ад *k* да *N*.  

Для зручнасці замест {\displaystyle \sum \_{i=k}^{N}a\_{i}}, асабліва калі складваць трэба не ўсе складнікі, а толькі тыя, чый нумар задавальняе пэўную ўмову, часам пішуць {\displaystyle \sum \_{P(i)}^{}a\_{i}}, дзе {\displaystyle P(i)\ } — некаторая ўмова для {\displaystyle i\ }, такім чынам {\displaystyle \sum \_{P(i)}^{}a\_{i}} гэта канечная сума ўсіх {\displaystyle a\_{i}\ }, дзе {\displaystyle i\in Z:P(i)\ }  

Уласцівасці вызначанай сумы:

1. {\displaystyle \left(\sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}a\_{i}\right)\left(\sum \_{j=p\_{1}}^{p\_{2}}b\_{j}\right)=\sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}\left(\sum \_{j=p\_{1}}^{p\_{2}}a\_{i}b\_{j}\right)}
2. {\displaystyle \sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}\sum \_{j=p\_{1}}^{p\_{2}}a\_{ij}=\sum \_{j=p\_{1}}^{p\_{2}}\sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}a\_{ij}}
3. {\displaystyle \sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}(a\_{i}+b\_{i})=\sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}a\_{i}+\sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}b\_{i}}
4. {\displaystyle \sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}{z\cdot a\_{i}}=z\cdot \sum \_{i=k\_{1}}^{k\_{2}}a\_{i}}

Прыклады
--------

1. Сума арыфметычнай прагрэсіі:
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}(a\_{0}+b\cdot i)=(n+1){\frac {a\_{0}+a\_{n}}{2}}}
2. Сума геаметрычнай прагрэсіі:
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}a\_{0}\cdot b^{i}=a\_{0}\cdot {\frac {1-b^{n+1}}{1-b}}}
3. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right),\quad p\neq 1,n\geq 0}

Чаму гэта так  

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{i}=\sum \_{i=0}^{n}{1\cdot {\frac {1}{p^{i}}}}=1\cdot {\frac {1-{\left({\frac {1}{p}}\right)}^{n+1}}{1-{\frac {1}{p}}}}={\frac {\frac {p^{n+1}-1}{p^{n+1}}}{\frac {p-1}{p}}}={\frac {p^{n+1}-1}{p^{n}(p-1)}}={\frac {p}{p-1}}\left(1-{\frac {1}{p^{n+1}}}\right)}

1. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(p-1)^{2}}},\quad p\neq 1}

Чаму гэта так  

Доказ:

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}=\sum \_{i=1}^{n}ip^{i}=p\cdot \sum \_{i=1}^{n}ip^{i-1}=p\cdot \sum \_{i=0}^{n-1}(i+1)p^{i}=p\cdot \left(\sum \_{i=0}^{n-1}{ip^{i}}+\sum \_{i=0}^{n-1}p^{i}\right)=p\cdot \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}-p\cdot np^{n}+p\cdot {\frac {1-p^{n}}{1-p}}\Rightarrow }
{\displaystyle \Rightarrow (1-p)\sum \_{k=0}^{n}ip^{i}={\frac {-np^{n-1}(1-p)+p-p^{n+1}}{1-p}}\Rightarrow \sum \_{i=0}^{n}ip^{i}={\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}}

1. {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}p^{i}=(p-1)\sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1,\quad p\neq 1}

Чаму гэта так  

Доказ:

{\displaystyle (p-1)\sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\sum \_{i=0}^{n}((n-i)p^{i})+n+1=(p-1)\left(n\cdot \sum \_{i=0}^{n}p^{i}-\sum \_{i=0}^{n}ip^{i}\right)+n+1=}
{\displaystyle =(p-1)\left(n\cdot {\frac {1-p^{n+1}}{1-p}}-{\frac {np^{n+2}-(n+1)p^{n+1}+p}{(1-p)^{2}}}\right)+n+1=}
{\displaystyle ={\frac {np^{n+2}-np-np^{n+1}+n-np^{n+2}+np^{n+1}+p^{n+1}-p+pn-n+p-1}{p-1}}=}
{\displaystyle ={\frac {p^{n+1}-1}{p-1}}=\sum \_{i=0}^{n}p^{i}}

1. * Пры {\displaystyle p=10\ } атрымліваем {\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}10^{i}=9\cdot \sum \_{i=0}^{n-1}((n-i)10^{i})+n+1}, а гэта паслядоўнасць роўнасцей наступнага выгляду:  
	{\displaystyle 1=9\cdot 0+1,\quad 11=9\cdot 1+2,\quad 111=9\cdot 12+3,\quad 1111=9\cdot 123+4,\quad 11111=9\cdot 1234+5}

Нявызначаная сума
-----------------

Нявызначанай сумай *a*i по *i* называецца такая функцыя *f(i)*, якая абазначаецца
{\displaystyle \sum \_{i}^{}a\_{i}},
что {\displaystyle \forall if(i+1)-f(i)=a\_{i+1}}.

Формула Ньютана — Лейбніца
--------------------------

Асноўны артыкул: **Формула Ньютана — Лейбніца**
Калі знайдзена нявызначаная сума
{\displaystyle \sum \_{i}^{}a\_{i}=f(i)},
тады
{\displaystyle \sum \_{i=k}^{N}a\_{i}=f(N+1)-f(k)}.

Паходжанне слова
----------------

Лацінскае слова *summa* перакладаецца як «галоўны пункт», «сутнасць», «вынік». З XV стагоддзя слова пачынае ўжывацца ў сучасным сэнсе, з'яўляецца дзеяслоў «падсумоўваць» (1489 год).

Гэтае слова пранікла ў многія сучасныя мовы: сума ў рускай, sum ў англійскай, somme ў французскай.

Адмысловы сімвал для абазначэння сумы (S) першым увёў Эйлер у 1755 годзе. У якасці варыянта выкарыстоўвалася грэчаская літара «сігма» Σ. Пазней з прычыны сувязі паняццяў сумавання і інтэгравання, S таксама выкарыстоўвалі для абазначэння аперацыі інтэгравання.

Гл. таксама
-----------

* Кантрольная сума

Літаратура
----------

* Су́ма // Беларуская энцыклапедыя: У 18 т. Т. 15: Следавікі — Трыо / Рэдкал.: Г. П. Пашкоў і інш. — Мн. : БелЭн, 2002. — Т. 15. — С. 265. — 10 000 экз. — ISBN 985-11-0035-8. — ISBN 985-11-0251-2 (т. 15).

  


|  |  |
| --- | --- |
| ⚙️   Слоўнікі і энцыклапедыі | Вялікая расійская (старая версія) · Britannica (онлайн) |
| Нарматыўны кантроль | GND: 4193845-8 |