Fərz edək ki, {\displaystyle \sigma } oblastı konturu üzərində düzgün {\displaystyle \gamma } analitik xətti saxlayır.

Teorem
------

{\displaystyle \sigma } oblastında analitik və {\displaystyle \gamma } üzrə sərhəd qiymətləri analitik funksiya olan {\displaystyle f(z)} funksiyasını {\displaystyle \gamma } xəttindən analitik davam etdirmək olar. {\displaystyle f(z)}-in {\displaystyle \gamma } üzrə qiymətləri {\displaystyle z\rightarrow t} olduqda {\displaystyle f(z)}-in {\displaystyle f(t)} limit qiyməti başa düşülür.

### İsbatı

Əvvəlcə teormi xüsusi hal üçün isbat edək. Fərz edək ki, {\displaystyle \gamma } həqiqi oxun {\displaystyle [a,b]} parçasıdır. Onda {\displaystyle \gamma }-nın tənliyi

{\displaystyle {\begin{cases}x=t&\\y=0&\end{cases}}}{\displaystyle \alpha \leq t\leq \beta }
olar. Şərtə görə {\displaystyle f(t)} funksiyası {\displaystyle [a,b]} üzərində analitik olduğundan bu parçanın {\displaystyle x\_{o}} nöqtəsi ətrafında

{\displaystyle f(t)=\sum \limits \_{k=0}^{\infty }C\_{k}(t-x\_{0})^{k}}
olar. Burada {\displaystyle t} evazine kompleks {\displaystyle z} dəyişənini yazsaq

{\displaystyle \varphi (z)=\sum \limits \_{k=0}^{\infty }C\_{k}(z-x\_{0})^{k}}
funksiyasrı {\displaystyle x=x\_{o}} nöqtasinin müəyyən ətratında analitik funksiya olar.

{\displaystyle \omega (z)=\varphi (z)-f(z)}
ile işarə edək. Aydındır ki, {\displaystyle \omega \_{x\_{0}},\sigma \_{x\_{0}}} oblastında analitik funksiya olmaqla {\displaystyle \gamma \_{x\_{0}}} üzrə

{\displaystyle \lim \limits \_{z\rightarrow t}\omega (z)=\lim \limits \_{z\rightarrow t}\varphi (z)-\lim \limits \_{z\rightarrow t}f(z)}
{\displaystyle \omega (t)=f(t)-f(t)=0}
olur. {\displaystyle \gamma \_{x\_{0}}} üzrə {\displaystyle \omega (t)=o} olduğundan Şvarsın simmetriya prinsipinə görə 
{\displaystyle \omega (z)} -i {\displaystyle \gamma } xəttindən analtik davam etdirmək olar, Beləliklə, göstərmiş oluruq ki, {\displaystyle \omega (z)} funksiyası mərkəzi {\displaystyle x\_{0}}olan və {\displaystyle \gamma \_{x\_{0}}} parçası öz daxilinə alan müəyyən bir {\displaystyle \sigma \_{x\_{0}}} ətrafında analitik olmaqla {\displaystyle \gamma \_{x\_{0}}} üzrə sıfra çevrilir. Onda analitik funksiyaların yeganəlik teoreminə görə həmin ətrafda {\displaystyle \omega (z)\equiv o} və yaxud da

{\displaystyle \varphi (z)=f(z)}
olar. Başqa sözlə, {\displaystyle f(z)} funksiyasını {\displaystyle \gamma \_{x\_{0}}} xəttindən analitik davam etdirmsk olar. {\displaystyle x\_{0}} nöqtəsi {\displaystyle [\alpha ,\beta ]} parçasının ixtiyari nöqtəsi olduğundan {\displaystyle f(z)}-i {\displaystyle \gamma } xəttindən analitik davam etdirmək olar. 
Bu üsuldan göründüyü kimi {\displaystyle \varphi (z)} funksiyası {\displaystyle f(z)}-in analitik davamıdır.

İndi ümumi halı tədqiq edək. Fərz edək ki, {\displaystyle z=z(t)} {\displaystyle (\alpha \leq t\leq \beta )} düzgün {\displaystyle \gamma } analitik xəttinin tənliyidir. Şərtə görə {\displaystyle f(z)}, {\displaystyle \gamma } üzrə analitik funksiya olduğundan

{\displaystyle \Phi (t)=f[z(t)]}
funksiyasını hər hansı {\displaystyle t=t\_{0}} nöqtəsi ətrafında sıraya ayırmaq olar:

{\displaystyle \Phi (t)=\sum \limits \_{k=0}^{\infty }\beta \_{k}(t-t\_{0})^{k}.}
Şərtə görə {\displaystyle z^{\prime }(t\_{0})\neq 0} olduğundan {\displaystyle t=t\_{0}}-ın elə {\displaystyle \delta \_{t\_{0}}^{\prime }} ətrafını tapmaq olar ki, həmin ətraf

{\displaystyle z=z(t)}
funksiyası vasitəsilə ilə mərkəzi {\displaystyle \gamma } üzərində olan {\displaystyle \delta \_{t\_{0}}^{\prime }} ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olunsun. {\displaystyle \Phi (t)} mərkəzi {\displaystyle t\_{0}} nöqtəsində olan müəyyən {\displaystyle K\_{t\_{0}}} parçasında analitik funksiya olduğundan bundan əvvəlki hala görə həmin funksiyanı {\displaystyle K\_{t\_{0}}} parçasından analitik davam etdirmək olar. Bu funksiyanın aralitik davamını {\displaystyle \Phi \_{0}(t)} ilə işarə edək. {\displaystyle z=z(t)} funksiyası vasitəsilə {\displaystyle \delta \_{t\_{0}}}-ın {\displaystyle \delta \_{t\_{0}}^{\prime }} ətrafı {\displaystyle \delta \_{t\_{0}}} ətrafına qarşılıqlı birqiymətli inikas olduğundan {\displaystyle t}-in istənilən ətrafında

{\displaystyle z^{\prime }(t)\neq 0}
olar. Ona görə də {\displaystyle t=p(z)}-i {\displaystyle z=z(t)}-nin tərs funksiyasə kimi təyin etmək olar. Onda

{\displaystyle \varphi \_{1}(z)=\Phi \_{0}[p(z)]}
funksiyası {\displaystyle z} nöqtəsini daxilinə alan və {\displaystyle \gamma }-nın hissəsi olan müəyyən bir {\displaystyle \gamma \_{z\_{0}}} qövsündən {\displaystyle f(z)} -in analitik davamı olar. {\displaystyle z\_{0},\gamma } qövsünün ixtiyari nöqtəsi olduğundan aydındır ki, {\displaystyle f(z)} -i {\displaystyle \gamma } xəttindan analtik davam etdirmək olar. Bununla da analitik davam üçün Şvars teoremi tamamilə isbat olunur.

Ədəbiyyat
---------

1. Ə.H.Əhmədov. Xətti analizin üç prinsipi. Dərs vəsaiti. Bakı: «Bakı Universiteti» nəşriyyatı, 2008, 112 s.

2. Elşar Qurban oğlu Orucov. Tətbiqi funksional analizin elementləri: Bakı "BDU nəşriyyatı", 2008, 234 səh. Arxivləşdirilib 2017-05-17 at the Wayback Machine

3. А.Н.Колмогоров, С.М.Фомин. Элементы теории функции и функционального анализа. М. 1988 г

4. Л.А.Люстерник, В.И.Соболев. Элементы функционального анализа. М. 1965г.

5. Л.В.Канторович, Г.П.Акилов. Функциональный анализ в нормированных пространствах.М. 1959 г.

6.М.Рид, Б.Саймон. Методы современной математической физики, т.1.Функциональный анализ, 1977 г.

7.В.А.Треногин. Задачи и упражнения по функциональному анализу.М. 1984 г.

8.Ə.Həbibzadə. Kompleks dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi. Bakı, 1962

Xarici keçidlər
---------------

Функции комплексной переменной