Sərbəst dəyişən {\displaystyle x}, axtarılan funksiya {\displaystyle y\left(x\right)} və onun törəməsi {\displaystyle y^{\prime }\left(x\right)} arasıda verilmiş


F

(

x
,
y
,

y

′

)

=
0

(
1
)

{\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)}

{\displaystyle F\left(x,y,y^{\prime }\right)=0\,\,\,(1)}münasibətinə **birtərtibli adi diferensial tənlik** deyilir.Aydındır ki, {\displaystyle F\left(x,y,z\right)} funksiyası {\displaystyle x,y} dəyişənlərinin birindən və ya hər ikisindən asılı olmaya da bilər, lakin (1) tənliyinin diferensial tənlik olması üçün bu funksiya {\displaystyle z}- dən hökmən asılı olmalıdır.



y

′

=
f

(

x
,
y

)



(
2
)

{\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)}

{\displaystyle y^{\prime }=f\left(x,y\right)\,\,\,\,\,\,\,(2)}şəklində olan tənliyə **törəməyə nəzərən həll olunmuş birtərtibli aid diferensial tənlik** deyilir.

> Tutaq ki, {\displaystyle f\left(x,y\right)} funksiyası {\displaystyle XOY} müstəvisinin muəyyən bir {\displaystyle D} oblastında təyin olunmuşdur.
> 
> 

Оblast dedikdə, aşağıdakı 2 şərtini ödəyən boş olmayan {\displaystyle D} nöqtələr çoxluğu başa düşülür: 

1) {\displaystyle D} açıq çoxluqdur, yəni onun hər bir nöqtəsi özünün müəyyən bir ətrafı ilə bu çoxluğa daxildir; 

2) {\displaystyle D} çoxluğu əlaqəli çoxluqdur, yəni onun istənilən iki nöqtəsini tamamilə {\displaystyle D} – nin daxilində yerləşən və təşkilediçilərinin sayı sonlu olan sınıq xətt vasitəsilə birləşdirmək olar.

> **Tərif.** Əgər {\displaystyle \left(a,b\right)} inteqralında diferensiallanan {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 1.
> 
> 
> (
> 
> x
> ,
> φ
> 
> (
> x
> )
> 
> 
> )
> 
> ∈
> D
> ,
> 
> 
> x
> ∈
> 
> (
> 
> a
> ,
> b
> 
> )
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 2.
> 
> φ
> 
> (
> x
> )
> 
> =
> f
> 
> (
> 
> x
> ,
> φ
> 
> (
> x
> )
> 
> 
> )
> 
> ,
> 
> 
> x
> ∈
> 
> (
> 
> a
> ,
> b
> 
> )
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> {\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}}
> 
> {\displaystyle {\begin{array}{l}{1.\,\left(x,\varphi \left(x\right)\right)\in D,\,\,x\in \left(a,b\right)}\\{2.\,\varphi \left(x\right)=f\left(x,\varphi \left(x\right)\right),\,\,x\in \left(a,b\right)}\end{array}}}şərtlərini ödəyirsə, həmin funksiyaya (2) tənliyinin **{\displaystyle \left(a,b\right)} intervalında həlli** deyilir.
> 
> 

 Bəzən diferensial tənliyin həllinin qeyri – aşkar funksiya kimi və ya parametrik şəkildə tapmaq əlverişli olur.

> **Tərif**. Əgər
> 
> 
> 
> 
> 
> ϕ
> 
> (
> 
> x
> ,
> y
> 
> )
> 
> =
> 0
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> 
> (
> 3
> )
> 
> 
> {\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}
> 
> {\displaystyle \phi \left(x,y\right)=0\,\,\,\,\,\,\,\,\,(3)}bərabərliyindən qeyri – aşkar funksiya kimi təyin olunan {\displaystyle y=\varphi \left(x\right)} funksiyası (2) tənliyinin həlli olarsa, (3) münasibətinə (2) tənliyinin **qeyri – aşkar şəkildə həlli** deyilir.
> 
> 

> **Tərif.** Parametrik şəkildə verilmiş
> 
> 


x
=
φ

(
x
)

,
y
=
ψ

(
t
)

,
t
∈

(

α
,
β

)



(
4
)

{\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)}

{\displaystyle x=\varphi \left(x\right),y=\psi \left(t\right),t\in \left(\alpha ,\beta \right)\,\,\,\,\,\,\,(4)}funksiyası hər bir {\displaystyle t} üçün:

1) {\displaystyle \left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)\in D}

2) {\displaystyle x^{\prime }=\varphi ^{\prime }\left(t\right),y^{\prime }=\psi ^{\prime }\left(t\right),\left(\varphi ^{\prime }\left(t\right)\neq 0\right)} sonlu törəmələri və

3) {\displaystyle {\frac {\psi ^{\prime }\left(t\right)}{\varphi ^{\prime }\left(t\right)}}=f\left(\varphi \left(t\right),\psi \left(t\right)\right)} bərabərliyi ödənirsə, onda (4) funksiyasına (2) tənliyinin {\displaystyle \left(\alpha ,\beta \right)} inteqralında **parametrik şəklində həlli** deyilir.

> **Misallar:** 1. {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi birtərtibli aidi diferensial tənlikdir. İnteqral hesabından bilirik ki, onun həlli {\displaystyle y=x^{2}+c\,\,\left(-\infty <x<+\infty \right)} düsturu ilə təyin olunur. Bu düsturdan görürük ki, {\displaystyle y^{\prime }=2x} tənliyi bir yox, sonsuz sayda həllə malikdir. Burada {\displaystyle C} ixtiyari sabitdir.
> 
> 

> Ümumiyyətlə, {\displaystyle y^{\left(n\right)}=0} {\displaystyle n} - tərtibli tənliyin həlli isə {\displaystyle n} dənə sabitdən asılı olan 
> 
> 
> 
> 
> 
> y
> =
> 
> c
> 
> 1
> 
> 
> 
> x
> 
> n
> −
> 1
> 
> 
> +
> 
> c
> 
> 2
> 
> 
> 
> x
> 
> n
> −
> 2
> 
> 
> +
> .
> .
> .
> +
> 
> c
> 
> n
> −
> 1
> 
> 
> x
> +
> 
> c
> 
> n
> 
> 
> 
> 
> {\displaystyle y=c\_{1}x^{n-1}+c\_{2}x^{n-2}+...+c\_{n-1}x+c\_{n}}
> 
> {\displaystyle y=c_{1}x^{n-1}+c_{2}x^{n-2}+...+c_{n-1}x+c_{n}}həllər ailəsinə malikdir.
> 
> 

> 2. {\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}} funksiyası {\displaystyle y^{\prime }=y+e^{2x}} tənliyinin həllidir. 
> 
> 

Doğrudan da, {\displaystyle y=e^{2x}+e^{x}} funksiyası {\displaystyle \left(-\infty ,+\infty \right)} inteqralında təyin olunmuş və diferensiallanandır, onu tənlikdə nəzərə alsaq


2

e

2
x

+

e

x

=

e

2
x

+

e

x

+

e

2
x

{\displaystyle 2e^{2x}+e^{x}=e^{2x}+e^{x}+e^{2x}}

{\displaystyle 2e^{2x}+e^{x}=e^{2x}+e^{x}+e^{2x}}{\displaystyle x}- in bütün qiymətlərində doğru olduğunugörərik.

3. {\displaystyle x=a\cos t,\,\,y=b\sin t} funksiyası {\displaystyle y^{\prime }=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {x}{y}}} tənliyinin aralığında həllidir.

Doğrudan da 



b
cos
⁡
t

−
a
sin
⁡
t

=
−

b

2

a

2

⋅

a
cos
⁡
t

b
sin
⁡
t


{\displaystyle {\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {a\cos t}{b\sin t}}}

{\displaystyle {\frac {b\cos t}{-a\sin t}}=-{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\frac {a\cos t}{b\sin t}}}fiziki, mexanika və s. kimi müxtəlif elm sahələrinin və texnikanın bir çox mühüm məsələlərinin həlli diferensial tənliklərə gətirilir. Bunu aşağıdakı misalda izah edək.

Kütləsi {\displaystyle m} olan maddi nöqtə müəyyən yüksəklikdən ağırlıq qüvvəsinin təsiri ilə sərbəst düşür. Havanın miqavimətini nəzərə almadan nöqtəyə təsir edən {\displaystyle F} qüvvəsi onun hərəkətinin {\displaystyle a} təcili vasitəsilə


F
=
m
a

{\displaystyle F=ma}

{\displaystyle F=ma}kimi tapılır (Nyuton II qanunu). Nöqtəyə ancaq ağırlıq qüvvəsi təsir etdiyindən {\displaystyle F=p=mg} olar.



a
=

d

2
s

(
t
)

d

t

2


=

S

′
′

(
t
)



S

′
′

(
t
)

=
g



S

(
t
)

=

g

t

2

2

+

c

1

t
+

c

2



{\displaystyle {\begin{array}{l}{a={\frac {d^{2s}\left(t\right)}{dt^{2}}}=S^{\prime \prime }\left(t\right)}\\{S^{\prime \prime }\left(t\right)=g}\\{S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+c\_{1}t+c\_{2}}\end{array}}}

{\displaystyle {\begin{array}{l}{a={\frac {d^{2s}\left(t\right)}{dt^{2}}}=S^{\prime \prime }\left(t\right)}\\{S^{\prime \prime }\left(t\right)=g}\\{S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+c_{1}t+c_{2}}\end{array}}}{\displaystyle S^{\prime }\left(0\right)=V\_{0}} və {\displaystyle S\left(0\right)=S\_{0}} məlum olarsa və {\displaystyle C\_{1}=V\_{0}} və {\displaystyle C\_{2}=S\_{0}}


S

(
t
)

=

g

t

2

2

+

V

0

t
+

S

0

.

{\displaystyle S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+V\_{0}t+S\_{0}.}

{\displaystyle S\left(t\right)={\frac {gt^{2}}{2}}+V_{0}t+S_{0}.}

Həmçinin bax
------------

* Riyaziyyat

* Tənlik

Ədəbiyyat
---------

* 1.Q.Т.əhmədov, К.Q.Həsənov, М.H.Yaqubov, Adi diferensial tənliklər kursu, Bakı, Maarif, 1978.

* 2.И.Г.Петровский, Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений, М. Наука, 1984.

* 3.Л.С.Понтрягин, Обыкновеные дифференциальные уравнения, М. Наука, 1982.

* 4.В.В.Степанов, Курс дифференциальных уравнений, М.1959.

* 5.А.Ф.Филиппов, Сборник задач по дифференциальным уравнениям, М. 2004. Arxivləşdirilib 2017-07-21 at the Wayback Machine

* 6.Х.М.Quliyev, К.Q.Həsənov, Diferensial tənliklər. Məsələ və misallar həlləri ilə, Bakı, Çaşıoğlu, 2001.

* 7.М.H.Yaqubov, Y.Т.Mehrəliyev, Birtərtibli adi diferensial tənliklər, BDU, Bakı, 1999.

* 8.Л.Э.Эльсгольц, Дифференциальные уравнения и вариационные исчисление, Москва, 1969.

* 9.Н.М.Матвеев, Методы интегрирования обыкновеных дифференциальных уравнений, Минск, Выщэйщая школа, 1974.

* 10.А.Н.Тихонов, А.Б.Васильева, А.Г.Свешников, Дифференциальные уравнения, Москва, Наука, 1985.