Qrup anlayışı və bu əsasla yaranan qrup nəzəriyyəsi müasir riyaziyyatın çox vacib sahəsidir.
Qrupa həm başqa cəbri strukturların köməyi ilə, həm də müstəqil sürətdə tərif vermək olar. Məsələn, deyə bilərik ki, elementlərinin hamısının tərsi olan monoidə qrup deyilir. Yaxud: neytral və simmetrik elementlərə malik olan yarımqrupa qrup deyilir.
Lakin yaxşı olar ki, qrupun müstəqil tərifi ilə də tanış olaq.
Boş olmayan {\displaystyle G} çoxluğunda aşağıdakı şərtlər ödənərsə, ona vurma əməlinə nəzərən qrup deyilir:

1) {\displaystyle G} çoxluğunda vurma əməli təyin edilir, yəni:

{\displaystyle \forall (a,b\in G)} üçün {\displaystyle a\cdot b=c}, {\displaystyle c\in G}

(başqa sözlə, {\displaystyle G} çoxluğu vurma əməlinə nəzərən cəbri qapalıdır);

2) Vurmada assosiativlik qanunu doğrudur, yəni:

{\displaystyle (ab)c=a(bc);}

3) {\displaystyle G} çoxluğunda vahid element vardır, yəni:

{\displaystyle \forall (a\in G)} üçün {\displaystyle \exists (e\in G)}, {\displaystyle ae=ea=a;}

4) {\displaystyle G}-nin hər bir elementinin tərsi var, belə ki:

{\displaystyle \forall (a\in G)} üçün {\displaystyle \exists !(a^{-1}\in G),} {\displaystyle aa^{-1}=a^{-1}a=e.}

2),3),4) şərtləri qrupun aksiomları adlanır.
Bunlaradan əlavə {\displaystyle ab=ba} (yəni vurmada kommutativlik qanunu) doğru olarsa, buna kommutativ qrup, yaxud Abel qrupu deyirlər.
Analoji olaraq toplama əməlonə nəzərən qrupa tərif verilir, yəni {\displaystyle G} çoxluğunda
1){\displaystyle a,b\in G} üçün {\displaystyle a+b\in G}(toplama əməlinin təyini);
2){\displaystyle a+b+c=a+(b+c)} (toplamada assosiativlik qanunu);
3){\displaystyle a+0=0+a=a} (sıfır elementinin varlığı);
4){\displaystyle a+a'=a'+a=0,} {\displaystyle a'=-a} (əks elementin varlığı)
şərti və aksiomları ödənərsə, {\displaystyle G}-yə toplama əməlinə nəzərən qrup deyilir. Burada da yenə {\displaystyle a+b=b+a} aksiomu ödənərsə, buna kommutativ və ya Abel qrupu deyirlər.
Qruppoid, yarımqrup və monoiddə olduğu kimi, burada da vurmaya nəzərən qrupu multiplikativ, toplamaya nəzərən qrupu isə additiv qrup adlandıraraq birincini, ikincini isə kimi və ya daha qısavə kimi işarə edirlər. Bunlarda neytral elementi uyğun olaraq "tərs" və "əks" element adlandırırlar.
Bir cəhətidə qeyd edək: xüsusi şərtləşmə olmadıqdaəksər riyazi ədəbiyyatda qrup dedikdə, adətən ilk növbədə vurmaya nəzərən qrup nəzərdə tutulur və çox zaman da toplamaya nəzərən qrupdan danışanda ilk növbədə onu Abel (kommutativ) qrupu kimi qəbul edirlər.
Qrupun elementləri sayı sonlu və sonsuz olarsa, buna uyğun olaraq onu sonlu və sonsuz qrup adlandırırlar.
qrupun elementləri sayını (başqa sözlə "gücünü") işarə etmək üçün {\displaystyle CardG}, {\displaystyle \mid G\mid }, {\displaystyle (G:e)} kimi simvolların birindən istifadə edilir.
Qruplar nəzəriyyəsinin mühüm bir qolunu məhz sonlu qruplar nəzəriyyəsi təşkil edir.
*Sonlu qrupun elementləri sayına onun tərtibi deyilir.*

Qruplar nəzəriyyəsinin çox vacib anlayışlarından bib altqrup anlayışıdır.

**Tərif.** *{\displaystyle G} qrupunun {\displaystyle G'} altçoxluğu {\displaystyle G'\subset G} öz növbəsində {\displaystyle G}-də təyin edilən cəbri əmələ (vurmaya) nəzərən qrup əmələ gətirirsə (başqa sözlə, vurmada "qapalılıq" şərtini ödəyirsə), onda {\displaystyle G'}-ə {\displaystyle G}-nin altqrupu deyilir.*
Bu tərifdən nəticə kimi alınan və {\displaystyle G'}-in {\displaystyle G} üçün altqrup olmasını təsdiq edən aşağıdakı əlaməti bilmək faydalıdır.

**Teorem.** {\displaystyle <G,\cdot >} qrupunun {\displaystyle G'} altçoxluğunun altqrup olması üçün:

1) {\displaystyle a,b\in G'} üçün {\displaystyle ab\in G'} (qapalılıq şərti)

2){\displaystyle a\in G'} üçün {\displaystyle a^{-1}\in G'}

şərtlərinin ödənməsi həm zəruri, həm də kafidir.

**Ədəbiyyat**

* Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
* *В. А. Ильин, Э. Г. Позняк* Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
* *Беклемишев Д. В.* Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.