Vikipediyada bu ad-soyadlı digər şəxslər haqqında da məqalələr var; bax: Vüqar İsmayılov.

**Vüqar Elman oğlu İsmayılov**  — AMEA Riyaziyyat və Mexanika İnstitutunun Funksiyalar nəzəriyyəsi şöbəsinin müdiri, riyaziyyat üzrə elmlər doktoru, professor.

Həyatı
------

Vüqar Elman oğlu İsmayılov 26 sentyabr 1971-ci ildə Azərbaycan Respublikasının Salyan şəhərində anadan olmuşdur. 1988-1993 cü illərdə Bakı Dövlət Universitetinin mexanika-riyaziyyat fakültəsində ali təhsil almışdır. 1995-1998-ci illərdə AMEA Riyaziyyat və Mexanika İnstitutunun əyani aspiranturasında təhsilini davam etdirmişdir. 2000-ci ildə "Dəyişənlərinin sayı az olan funksiyaların cəmi ilə yaxınlaşma" adlı namizədlik dissertasiyasını, 2014-cü ildə isə "Qeyd edilmiş istiqamətli ridge funksiyalarla yaxınlaşma" mövzusunda doktorluq dissertasiyasını müdafiə etmişdir. 1997-ci ildən 2013-cü ilə kimi AMEA Riyaziyyat və Mexanika İnstitutunun (RMİ) kiçik elmi işçisi, elmi işçisi, böyük elmi işçisi, aparıcı elmi işçisi vəzifələrini icra etmişdir. 2007 və 2008-ci illərdə Texnion - İsrail Texnologiya İnstitutunun riyaziyyat bölməsində "dəvətli alim" (visiting scholar) vəzifəsində çalışmışdır. 2013-cü ildən AMEA RMİ-nin "Funksiyalar nəzəriyyəsi" şöbəsinin müdiridir. AMEA Riyaziyyat və Mexanika İnstitutunun elmi şurasının üzvü, həmin institutun nəzdindəki doktorluq dissertasiya şurasının üzvüdür. 2014-cü ildən "Proceedings of the Institute of Mathematics and Mechanics, NAS of Azerbaijan" jurnalının məsul redaktorudur. Bundan əlavə "Azerbaijan Journal of Mathematics", "Transactions of the Institute of Mathematics and Mechanics, NAS of Azerbaijan" jurnallarının redaksiya heyətinin üzvüdür. 2017-ci ildə Vüqar İsmayılov Oksford Universitetinə dəvət almış və həmin universitetdə "C(X) fəzasının cəbrlər cəmi şəklində göstərilişi" mövzusunda mühazirə oxumuşdur. 2021-ci ildə dünyanın ən böyük riyaziyyat təşkilatı olan Amerika Riyaziyyat Cəmiyyəti Vüqar İsmayılovun "Ridge functions and applications in neural networks" adlı monoqrafiyasını nəşr etmişdir. Qeyd etmək lazımdır ki, bu vaxta qədər Amerika Riyaziyyat Cəmiyyətinin nəşr etdiyi monoqrafiyaların arasında Zaqafqaziyada, hər hansı türkdilli ölkədə və ya hər hansı müsəlman ölkəsində çalışan (həmin ölkənin elm-təhsil təşkilatı adından elmi fəaliyyət göstərən) alimin kitabı yer almamışdır (bax: monoqrafiyaların siyahısı).

Elmi maraq dairələri
--------------------

* Yaxınlaşmalar nəzəriyyəsi
* Ridge funksiyalar, radial funksiyalar
* Neyron şəbəkələr nəzəriyyəsi
* Xətti superpozisiyalarla göstəriliş məsələləri
* Çoxdəyişənli funksiyaların dəyişənlərinin sayı az olan funksiyalarla approksimasiyası
* Kəsilməz funksiyaların cəbrləri cəmi ilə yaxınlaşma

Əsas elmi nəticələri
--------------------

• İxtiyarı çoxdəyişənli funksiyanın qeyd olunmuş istiqamətli ridge funksiyaların cəmləri və xətti superpozisiyalar şəklində göstərilə bilməsi üçün zəruri və kafi şərtlər tapılmışdır.

• Ekstremal ridge funksiyaları üçün Çebışev tipli xarakteristik teorem isbat olunmuşdur.

• Ridge funksiyalar cəmləri ilə yaxınlaşma məsələsində yaxınlaşma xətasının dəqiq qiymətinin tapılması və ən yaxşı yaxınlaşdıran funksiyanın qurulması üçün həm kəsilməz, həm də inteqral metrikalarda praktiki cəhətdən əlverişli, asan hesablana bilən düsturlar tapılmışdır.

• Çəki vektorları sonlu sayda istiqamətdən ibarət çoxluqda dəyişən neyron şəbəkələrin kəsilməz funksiyalar fəzasında sıx olması üçün zəruri və kafi şərtlər tapılmışdır.

• Çoxdəyişənli funksiyaların approksimasiya nəzəriyyəsinin Qolomb teoremi haqqında olan problemi həll edilmişdir. Belə ki, 50-ci illərin axırında Amerikanın Purdue universitetinin professoru M. Qolomb birdəyişənli funksiyaların cəmləri ilə yaxınlaşma xətasını hesablamaq üçün düstur almışdır. Bu düstura bir sıra işlərdə istinad edilmişdir. Lakin 1983-cü ildə Amerika alimi D. Marşall və İrlandiya alimi A. O’Farrell göstərmişlər ki, Qolombun teoreminin isbatında nöqsan var. Bundan sonra uzun müddət Qolomb teoreminin doğru olub-olmaması məsələsi açıq qalmışdır. Bu problem hətta S.Ya. Xavinsonun 1997-ci ildə çap etdirdiyi "Best approximation by linear superpositions (approximate nomography)" kitabında da qeyd edilmişdir. 2008-ci ildə Vüqar İsmayılov isbat etmişdir ki, Qolomb teoremi doğrudur.

• İsbat edilmişdir ki, hər hansı kompakt Hausdorf fəzasında təyin olunmuş kəsilməz funksiyalar xətti superpozisiyalarla göstərilişə malikdirsə, onda bütün digər funksiyalar da belə göstərilişə malikdir. Bu nəticə kəsilməz funksiyalar üçün əvvəllər isbat olunmuş bir çox superpozisiya teoremlərinin kəsilməz olmayan funksiyalar üçün də doğru olmasını söyləməyə imkan verir. Məsələn, bu nəticədən kəsilən funksiyalar üçün A.N. Kolmoqorovun məşhur superpozisiya teoreminin analoqunu almaq mümkündür.

• İsbat edilmişdir ki, hər hansı hamarlıq sinfindən olan çoxdəyişənli funksiya k sayda ridge funksiyanın cəmi şəklində ifadə edilə bilirsə, onda bu funksiya həmin hamarlıq sinfindən olan k sayda ridge funksiyanın və k-1 dərəcəli polinomun cəmi şəklində də ifadə edilə bilir. Bu nəticə ridge funksiyaların approksimasiya nəzəriyyəsindəki Braess və Pinkus problemini polinom dəqiqliyi ilə həll edir. Bir çox hallarda bu nəticə adı çəkilən problemi tam həll edir.

• Gizli laylarda əvvəlcədən qeyd olunmuş sayda neyrona malik ikiqat gizli laylı neyron şəbəkələrin universal approksimasiya xassəsi isbat edilmişdir.

• Alqoritmik olaraq elə universal siqmoidal aktivasiya funksiyası qurulmuşdur ki, bu aktivasiya funksiyasına malik və gizli layında cəmi 2 neyron olan birqat gizli laylı neyron şəbəkə ixtiyarı birdəyişənli kəsilməz funksiyanı istənilən dəqiqiliklə approksimasiya edə bilir. Həmin aktivasiya funksiyasına malik və gizli laylarında yalnız 3n+2 neyron olan ikiqat gizli laylı neyron şəbəkə isə ixtiyarı n-dəyişənli kəsilməz funksiyanı istənilən dəqiqliklə approksimasiya edə bilir.

• Metrik kompaktda təyin olunmuş kəsilməz funksiyanın iki cəbr cəmi ilə approksimasiya məsələsində ən yaxşı yaxınlaşmanın xarakterizasiyası üçün Çebışev tipli teorem isbat edilmişdir. Alınmış nəticə ən yaxşı yaxınlaşma verən polinomun xarakterizasiyası üçün məşhur Çebışev teoreminin analoqudur.

Elmi nəticələrinə olan istinadlar
---------------------------------

Elmi nəticələrinə olan istinadlar 500-dən çox elmi məqalədə öz əksini tapmışdır. Kembric Universitetində nəşr olunmuş "Allan Pinkus, Ridge Functions, Cambridge University Press, 2015, 218 pp." kitabında Vüqar İsmayılovun ridge funksiyalara aid aldığı bir çox teoremlər isbatları ilə birgə geniş işıqlandırılmış və təhlil edilmişdir .

Elmi əsərləri haqqında məlumat
------------------------------

50-dən çox elmi məqalənin müəllifidir. 30-dan çox məqaləsi respublikadan kənarda dərc edilmişdir.

Vüqar İsmayılovun ridge funksiyalar, xətti superpozisiyalar, kəsilməz funksiya cəbrləri və neyron şəbəkələr istiqamətlərində aldığı nəticələr "Journal of Approximation Theory", "Journal of Mathematical Analysis and Applications", "Studia Mathematica", "Journal of Computational and Applied Mathematics", "Advances in Applied Mathematics", "Applicable Analysis", "Numerical Functional Analysis and Optimization", "Comptes Rendus Mathématique", "Neural Computation", "Neural Networks", "Neurocomputing" kimi beynəlxalq miqyasda nüfuz qazanmış elmi jurnallarda dərc olunmuşdur.

Vüqar İsmayılovun "Ridge functions and applications in neural networks" adlı monoqrafiyası Amerika Riyaziyyat Cəmiyyəti tərəfindən nəşr edilmişdir.
Monoqrafiya ridge funksiyalara və onların neyron şəbəkələr nəzəriyyəsindəki tətbiqlərinə həsr olunmuşdur. Ridge funksiyalar elmin müxtəlif sahələrində vacib rol oynayır. Məsələn, onlar xüsusi törəməli diferensial tənlikər nəzəriyyəsində, kompüter tomoqrafiyasında, statistikada geniş istifadə edilir. Ridge funksiyalar həmçinin bir sıra neyron şəbəkə modellərinin əsasını təşkil edir. Monoqrafiyada ridge funksiyaların müxtəlif nəzəri approksimativ xassələri öyrənilir. Kitabda həmçinin ümumiləşmiş ridge funksiyalar tədqiq edilir, onların xətti superpozisiyalarla və Kolmoqorovun superpozisyalar haqqında olan məşhur teoremi ilə əlaqəsi təsvir olunur. Kitabın son hissəsində birqat və ikiqat gizli laylı neyron şəbəkə modelləri müzakirə edilir. Bu hissədə alınmış nəticələr adi və ümumiləşmiş ridge funksiyaların xassələrinə əsaslanır. Baxılan neyron şəbəkə modellərinin universal approksimasiya xassələrinin yeni aspektləri aşkar edilir.

Monoqrafiya funksional analiz, approksimasiya nəzəriyyəsi, həqiqi dəyişənli funksiyalar nəzəriyyəsi sahələrində çalışan mütəxəssislər və PhD tələbələri üçün maraqlı ola bilər. Kitabdan həmçinin neyron şəbəkələr üzrə ixtisaslaşmış tədqiqatçılar və ridge funksiyaların tətbiq olunduğu digər sahələrin mütəxəssisləri istifadə edə bilər.

Kitab haqqında geniş məlumatla Amerika Riyaziyyat Cəmiyyətinin aşağıdakı internet səhifələrində tanış olmaq olar:

Əsas elmi məqalələrinin siyahısı
--------------------------------

* A three layer neural network can represent any multivariate function, *Journal of Mathematical Analysis and Applications* **523** (2023), no. 1, Paper No. 127096,
* (with R.A. Aliev and A.A. Asgarova) The double difference property for the class of locally Hölder continuous functions, *Moscow Mathematical Journal* **22** (2022), no. 3, 393-400,
* (with R.A. Aliev and A.A. Asgarova) On the representation by bivariate ridge functions, *Ukrainian Mathematical Journal* **73** (2021), no. 5, 675-685,
* (with A.Kh. Asgarova) A Chebyshev-type theorem characterizing best approximation of a continuous function by elements of the sum of two algebras, (Russian) *Mat. Zametki* **109** (2021), no. 1, 19-26; English transl. in *Mathematical Notes* **109** (2021), 15-20,
* (with R.A. Aliev) A representation problem for smooth sums of ridge functions, *Journal of Approximation Theory* **257** (2020), 105448, 13 pp,
* Computing the approximation error for neural networks with weights varying on fixed directions, *Numerical Functional Analysis and Optimization* **40** (2019), no. 12, 1395-1409,
* (with R.A. Aliev and A.A. Asgarova) A note on continuous sums of ridge functions, *Journal of Approximation Theory* **237** (2019), 210-221,
* (with N. Guliyev) Approximation capability of two hidden layer feedforward neural networks with fixed weights, *Neurocomputing* **316** (2018), 262-269,
* (with N. Guliyev) On the approximation by single hidden layer feedforward neural networks with fixed weights, *Neural Networks* **98** (2018), 296-304,
* A note on the criterion for a best approximation by superpositions of functions, *Studia Mathematica* **240**(2018), no. 2, 193-199,
* (with A.Kh. Asgarova) On the representation by sums of algebras of continuous functions, *Comptes Rendus Mathematique* **355**(2017), no. 9, 949-955,
* A note on the equioscillation theorem for best ridge function approximation, *Expositiones Mathematicae* **35**(2017), no. 3, 343-349,
* (with A.Kh. Asgarova) Diliberto–Straus algorithm for the uniform approximation by a sum of two algebras, *Proceedings - Mathematical Sciences, Indian Academy of Sciences* **127**(2017), no. 2, 361-374,
* (with E. Savas) Measure theoretic results for approximation by neural networks with limited weights, *Numerical Functional Analysis and Optimization* **38** (2017), no. 7, 819-830,
* Approximation by sums of ridge functions with fixed directions, (Russian) *Algebra i Analiz* **28** (2016), no. 6, 20–69,  English transl. in *St. Petersburg Mathematical Journal* **28** (2017), 741-772,
* On the uniqueness of representation by linear superpositions, *Ukrainskii Matematicheskii Zhurnal* **68** (2016), no. 12, 1620-1628; English transl. in *Ukrainian Mathematical Journal* **68**(2017), no. 12, 1874-1883,
* (with N. Guliyev) A single hidden layer feedforward network with only one neuron in the hidden layer can approximate any univariate function, *Neural Computation***28** (2016), no. 7, 1289–1304,
* (with R. Aliev) On a smoothness problem in ridge function representation, *Advances in Applied Mathematics* **73** (2016), 154–169,
* Approximation by ridge functions and neural networks with a bounded number of neurons, *Applicable Analysis* **94** (2015), no. 11, 2245-2260,
* On the approximation by neural networks with bounded number of neurons in hidden layers, *Journal of Mathematical Analysis and Applications* **417**(2014), no. 2, 963–969,
* (with A. Pinkus) Interpolation on lines by ridge functions, *Journal of Approximation Theory* **175** (2013), 91-113, http://dx.doi.org/10.1016/j.jat.2013.07.010
* Approximation by neural networks with weights varying on a finite set of directions, *Journal of Mathematical Analysis and Applications***389** (2012), Issue 1, 72-83,
* A note on the representation of continuous functions by linear superpositions, *Expositiones Mathematicae***30** (2012), Issue 1, 96-101,
* On the theorem of M Golomb, *Proceedings - Mathematical Sciences, Indian Academy of Sciences***119** (2009), no. 1, 45-52,
* On the representation by linear superpositions, *Journal of Approximation Theory* **151** (2008), Issue 2 , 113-125,
* On the approximation by compositions of fixed multivariate functions with univariate functions, *Studia Mathematica* **183** (2007), 117-126,
* On the best L₂ approximation by ridge functions, *Applied Mathematics E-Notes*, **7** (2007), 71-76,
* Representation of multivariate functions by sums of ridge functions, *Journal of Mathematical Analysis and Applications* **331** (2007), Issue 1, 184-190,
* Characterization of an extremal sum of ridge functions, *Journal of Computational and Applied Mathematics* **205** (2007), Issue 1, 105-115,
* Methods for computing the least deviation from the sums of functions of one variable, (Russian) *Sibirskii Matematicheskii Zhurnal* **47** (2006), no. 5, 1076 -1082; translation in *Siberian Mathematical Journal* **47** (2006), no. 5, 883–888,

Nüfuzlu universitetlərdə oxunmuş mühazirələr
--------------------------------------------

2017-ci ilin mart ayı - Oksford Universitetində "Represenation of C(X) as a sum of its subalgebras and some applications" mövzusunda məruzə edərkən
* **Oksford Universiteti,** Funksional analiz seminarı -- "Representation of C(X) as a sum of its subalgebras and some applications".
* **Texnion - İsrail Texnoloji İnstitutu,** Funksional analiz seminarı -- "Representation of multivariate functions by sums of ridge functions".
* **Tel-Əviv Universiteti,** Approksimasiya nəzəriyyəsi seminarı -- "Approximation by linear combinations of ridge functions".

Beynəlxalq jurnallarda ekspert fəaliyyəti
-----------------------------------------

Vüqar İsmayılov Dünya, Avropa və Yaponiya Neyron Şəbəkələr Cəmiyyətlərinin rəsmi jurnalı olan *Neural Networks* jurnalının dəfələrlə ekspert-rəyçisi olmuşdur. Bundan əlavə o, neyron şəbəkələrə həsr olunmuş *IEEE Transactions on Neural Networks and Learning Systems*, *Neurocomputing*, *Neural Processing Letters* kimi nüfuzlu elmi jurnallardа rəyçilik fəaliyyəti göstərmişdir. Vüqar İsmayılovun rəyçisi olduğu beynəlxalq jurnalların tam siyahısına Web of Science indeksləmə bazasının Author Profile səhifəsində **Peer Review** düyməsini tıklamaqla baxmaq olar.

Regional və beynəlxalq qrant müsabiqələrində iştirak
----------------------------------------------------

* 1 fevral, 2015 - 1 fevral, 2016 – Çoxdəyişənli funksiyaların ridge funksiyaların cəmləri şəklində göstərilməsi (EİF-2013-9(15)-46/11/1-M-04), Azərbaycan Respublikası Prezidenti yanında Elmin İnkişafı Fondunun 3-cü əsas qrant müsabiqəsi (EİF-2013-9), **layihə rəhbəri**.
* 15 oktyabr 2013 - 15 oktyabr 2014 – Ikiqat gizli laya malik neyron şəbəkələrin neft hasilatının optimallaşdırılması məsələlərində rolu, Azərbaycan Respublikası Dövlət Neft Şirkəti Elm Fondunun 2-ci qrant müsabiqəsi (SOCAREF2013), **layihə rəhbəri**.
* 1 mart, 2011 - 1 mart, 2012 – Xətti superpozisiyaların yaxınlaşdırma xassələri və neyron şəbəkələrə tətbiqlər (EIF-2010-1(1)-40/07-1), Azərbaycan Respublikası Prezidenti yanında Elmin İnkişafı Fondunun 1-ci əsas qrant müsabiqəsi (EİF-2010-1), **layihə rəhbəri**.
* 1 yanvar, 2007 – 1 yanvar, 2009 – Çoxdəyişənli funksiyaların ridge funksiyalarla yaxınlaşması, İNTAS beynəlxalq təşkilatının qrant müsabiqəsi, INTAS Fellowship 2006 (Ref. Nr 06-1000015-6283), **layihə rəhbəri**.

Erdöş ədədi
-----------

Vüqar İsmayılovun Erdöş ədədi 2-dir. Erdöş ədədi 2-ni aşmayan alimlərin siyahısı Amerikanın Oakland Universitetinin səhifəsində qoyulmuşdur və Vüqar İsmayılov bu siyahıya daxildir. Hər bir alim öz Erdöş ədədini Amerika Riyaziyyat Cəmiyyətinin Mathematical Reviews bazasının Collaboration Distance səhifəsində **Use Erdős** duyməsini basmaqla hesablaya bilər.

İstinadlar
----------

1. ↑  "AZƏRTAC, Azerbaycan alimi Oksford Universitetində". 2017-03-29 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2017-04-20.
2. ↑  "University of Oxford, Representation of C(X) as a sum of its subalgebras". 2022-04-07 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2017-04-06.
3. ↑  Vugar Ismailov, Ridge Functions and Applications in Neural Networks Arxivləşdirilib 2022-01-22 at the Wayback Machine, American Mathematical Society, 2021
4. ↑  "Azərbaycan aliminin monoqrafiyası Amerika Riyaziyyat Cəmiyyəti tərəfindən çap edilib". 2022-01-10 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-04.
5. ↑  "Azərbaycan riyaziyyatçılarının mühüm nailiyyəti". 2022-01-17 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-10-04.
6. ↑  "List of mathematical surveys and monographs". 2022-06-19 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2022-01-14.
7. ↑  "Vüqar İsmayılovun elmi işlərinə istinadlar". 2018-10-03 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2016-09-05.
8. ↑  Allan Pinkus, Ridge functions Arxivləşdirilib 2018-10-03 at the Wayback Machine, Cambridge University Press, 2015
9. ↑  "Vüqar İsmayılov, Elmi əsərləri". 2020-10-10 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2016-09-05.
10. ↑  "Vüqar İsmayılovun rəyçisi olduğu elmi jurnallar". 2023-11-18 tarixində arxivləşdirilib. İstifadə tarixi: 2023-11-18.
11. ↑  List of all people with Erdos number less than or equal to 2 Arxivləşdirilib 2012-08-05 at Archive.today, The Erdős Number Project, Oakland University

Xarici keçidlər
---------------

* Vugar Ismailov, Homepage
* Funksiyalar nəzəriyyəsi şöbəsi
* Vugar Ismailov, Google Scholar Citations