**Laplas teoremi**- determinantların minorlar üzrə ayrılışı.

**TEOREM** *(Laplas)*.{\displaystyle n}-tərtibli {\displaystyle D} determinantının ixtiyari {\displaystyle k} sayda {\displaystyle (1\leq k\leq n-1)} sətrini (sütununu) seçib bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunlardan mümkün olan bütün müxtəlif {\displaystyle k} tərtibli minorlar düzəltsək, onda bu minorların öz cəbri tamamlayıcıları ilə hasilləri cəmi determinantın özünə bərabər olar.

**İSBATI**. Tutaq ki, {\displaystyle n}-tərtibli {\displaystyle D} determinantında hər hansı {\displaystyle i\_{1},i\_{2},...i\_{k}} nömrəli sətirləri qeyd edib, həmin sətirlərdən bunların nisbi vəziyyətini dəyişmədən alınan {\displaystyle k\times n} ölçülü matrisdən buradakı {\displaystyle \alpha \_{i\_{1}},\alpha \_{i\_{2}},...\alpha \_{i\_{k}}} sütunlarının köməyi ilə bütün mümkün ola bilən müxtəlif {\displaystyle k}-tərtibli {\displaystyle M\_{1},M\_{2},...M\_{s}} minorlarını düzəltmişik (bunun üçün "kombinezon sayağı" qaydadan istifadə edirlər, yəni seçilmiş {\displaystyle k} dənə {\displaystyle \alpha \_{i\_{1}},\alpha \_{i\_{2}},...\alpha \_{i\_{k}}} nömrəli sətirlərin nisbi vəziyyətini dəyişmədən bunların hər dəfə heç olmasa bir nömrəsi ilə fərqlənən müxtəlif ardıcıl nömrəli sütunlarla kəsişmələrinə baxmaq gərəkdir). Bu yolla düzəldilən {\displaystyle M\_{1},M\_{2},...M\_{s}} minorlarının cəbri tamamlayıcıları {\displaystyle A\_{1},A\_{2},...A\_{s}} olsun. Göstərməliyik ki:

{\displaystyle D=M\_{1}A\_{1}+M\_{2}A\_{2}+...+M\_{s}A\_{s}=\sum \_{i=1}^{S}M\_{i}A\_{i}} (1)

{\displaystyle M\_{i}A\_{i}}-lər öz işarələri ilə verilən {\displaystyle D} determinantının hədləridir. Həmçinin buradakı {\displaystyle M\_{1},M\_{2},...M\_{s}} minorları bir-birindən heç olmasa bir sütunu ilə fərqləndiyi üçün (1) cəmindəki toplananlar da ortaq həddə malik olmamalıdır. Deməli, (1) cəmində iştirak edən hasillərdən alınan hədlər hamısı verilən {\displaystyle n}-tərtibli determinantın müxtəlif hədləridir. Teoremin isbatını tamamlamaq üçün bu hədlərin sayının {\displaystyle n!} olduğunu göstərməliyik.
{\displaystyle M\_{i}(i={\overline {1,s}})} minorlarının hər biri {\displaystyle k}-tərtibli olduğundan bunların hədləri sayı {\displaystyle k!}, cəbri tamamlayıcılar isə {\displaystyle (n-k)} tərtibli olduğundan bunlardakı hədlərin sayı {\displaystyle (n-k)!} olur. {\displaystyle M\_{i}A\_{i}} hasilinin hər birində determinantın {\displaystyle k!(n-k)!} sayda həddi olmalıdır. (1) cəmində {\displaystyle s} sayda toplanan olduğundan burada iştirak edən müxtəlif hədlərin sayı {\displaystyle s\cdot k!(n-k)!} dənə olmalıdır. Buradakı {\displaystyle s} əmsallı determinantın {\displaystyle k} sayda sətrindən düzəldilməsi mümkün ola bilən {\displaystyle k} tərtibli minorların sayıdır. Bu minorların düzəldilməsi qaydası və quruluşu elədir ki, onlar bir-birindən ancaq sütunlar ilə fərqlənirlər(heç olmasa bir sütunu ilə). Onda belə minorların sayı {\displaystyle s=C\_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}} olmalıdır. Deməli, (1) cəmində olan hədlərin ümumi sayı

{\displaystyle {\frac {n!}{k!(n-k)!}}\cdot k!(n-k)!=n!}

olur, yəni bu cəmdə determinantın təkrar olunmamaq şərti ilə bütün {\displaystyle n!} sayda hədlərinin hamısı iştirak edir.

**Ədəbiyyat**

* Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
* *В. А. Ильин, Э. Г. Позняк* Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
* *Беклемишев Д. В.* Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.