Riyaziyyatda, {\displaystyle y'+P(x)y=Q(x)y^{n}} formasında yazılan adi diferensial tənliyə **Bernoulli diferensial tənliyi** deyilir.

Burada {\displaystyle n}, 0 və ya 1-dən başqa hər hansı bir real sayıdır.  1695-ci ildə bunu müzakirə edən Yakob Bernulli adını daşıyır. Bernoulli tənlikləri özəl tənliklərdir, çünki məlum dəqiq həlləri olan xətti olmayan diferensial tənliklərdir. Bernoulli tənliyinin məşhur bir özəl hali logistik differensial tənliyidir .

Xətti diferensial tənliyə çevrilmə
----------------------------------

{\displaystyle n=0} olduğu hal üçün diferensial tənlik xəttidir. {\displaystyle n=1} olarsa ayrıla bilər haldadır. Bu hallarda, bu formaların tənliklərini həll etmək üçün standart üsullar tətbiq edilə bilər. {\displaystyle n\neq 0} və {\displaystyle n\neq 1} olduqda {\displaystyle u=y^{1-n}} yerləşdirilirsə hər hansı bir Bernoulli tənliyini xətti diferensial tənliyə endirilir. Məsələn, {\displaystyle n=2} də, {\displaystyle u=y^{-1}} yerləşdirilirsə, {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}+{\frac {1}{x}}y=xy^{2}} diferensial tənliyindən {\displaystyle {\frac {du}{dx}}-{\frac {1}{x}}u=-x} xətti diferensial tənliyi d əldə edilir.

Həll
----

Qoy {\displaystyle x\_{0}\in (a,b)} və 

{\displaystyle \left\{{\begin{array}{ll}z:(a,b)\rightarrow (0,\infty )\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha \in \mathbb {R} \setminus \{1,2\},\\z:(a,b)\rightarrow \mathbb {R} \setminus \{0\}\ ,&{\textrm {if}}\ \alpha =2,\\\end{array}}\right.}
xətti diferensial tənliyin bir həlli olsun 

{\displaystyle z'(x)=(1-\alpha )P(x)z(x)+(1-\alpha )Q(x).}
Onda bizdə {\displaystyle y(x):=[z(x)]^{\frac {1}{1-\alpha }}} var ki aşağıdakının bir həllidir 

{\displaystyle y'(x)=P(x)y(x)+Q(x)y^{\alpha }(x)\ ,\ y(x\_{0})=y\_{0}:=[z(x\_{0})]^{\frac {1}{1-\alpha }}.}
Və bütün fərqli diferensial tənliklər üçün, bütün {\displaystyle \alpha >0} üçün bizdə {\displaystyle y\equiv 0} var ki {\displaystyle y\_{0}=0} üçün həllidir.

Nümunə
------

Bernoulli tənliyini nəzərdən keçirək 

{\displaystyle y'-{\frac {2y}{x}}=-x^{2}y^{2}}
(bu vəziyyətdə daha konkret olaraq Riccati tənliyi ). {\displaystyle y=0} sabit funksiyası bir həlldir. {\displaystyle y^{2}} bölünməsiylə 

{\displaystyle y'y^{-2}-{\frac {2}{x}}y^{-1}=-x^{2}}
Dəyişən dəyişənlər aşağıdakı tənlikləri verir 

{\displaystyle w={\frac {1}{y}}}
{\displaystyle w'={\frac {-y'}{y^{2}}}.}
{\displaystyle -w'-{\frac {2}{x}}w=-x^{2}}
{\displaystyle w'+{\frac {2}{x}}w=x^{2}}
inteqrasiya amili istifadə edərək həll edilə bilər 

{\displaystyle M(x)=e^{2\int {\frac {1}{x}}\,dx}=e^{2\ln x}=x^{2}.}
İlə çarparaq {\displaystyle M(x)} , 

{\displaystyle w'x^{2}+2xw=x^{4},\,}
Sol tərəf {\displaystyle wx^{2}} törəməsidir. Hər iki tərəfi {\displaystyle x}'e görə inteqrasiya etmək aşağıdakılara səbəb olur 

{\displaystyle \int w'x^{2}+2xw\,dx=\int x^{4}\,dx}
{\displaystyle wx^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
{\displaystyle {\frac {1}{y}}x^{2}={\frac {1}{5}}x^{5}+C}
{\displaystyle y} üçün həll 

{\displaystyle y={\frac {x^{2}}{{\frac {1}{5}}x^{5}+C}}}
dır.

İstinadlar
----------

* *Bernulli, Yakob,* "Explicationes, Annotationes & Additiones ad ea, quae in Actis sup. de Curva Elastica, Isochrona Paracentrica, & Velaria, hinc inde memorata, & paratim controversa legundur; ubi de Linea mediarum directionum, alliisque novis", Acta Eruditorum, 1695
* *Hairer, Ernst; Nørsett, Syvert Paul; Wanner, Gerhard,* Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1993, ISBN 978-3-540-56670-0

1. ↑  Weisstein, Eric W. "Bernoulli Differential Equation. Arxivləşdirilib 2021-05-07 at the Wayback Machine" From MathWorld--A Wolfram Web Resource. [*daha etibarlı mənbəyə ehtiyac var*]