Yalnız bir binar cəbri əməlin təyin edildiyi cəbri strukturaya **qruppoid** deyilir; deməli, qruppoid üçün {\displaystyle \otimes } əməlinə nəzərən aşağıdakı şərt ödənməlidir:

{\displaystyle \forall (a,b\in M)} {\displaystyle \exists !(c\in M)} {\displaystyle (a\otimes b=c).}

Qruppoiddə bu şərtdən əlavə assosiativlik xassəsinə aid

{\displaystyle \forall (a,b,c\in M)} {\displaystyle [a\otimes (b\otimes c)=(a\otimes b)\otimes c]}

aksiomu da ödənərsə, buna **yarımqrup**  deyilir. Deməli, yarımqrup elə cəbri strukturdur ki, orada iki şərt ödənir: 1){\displaystyle \otimes } əməlinin təyin edilməsi; 2) bu əməlin assosiativlik xassəsinə malik olması.
Cəbrə aid ədəbiyyatda bəzən yarımqrup əmələ gətirən {\displaystyle M} çoxluğunu məhz **assosiativ qruppoid** adlandırırlar.
Xüsusi şərtləşmə olmadıqda qruppoiddə təyin edilən {\displaystyle \otimes } kompozisiyası adətən vurma əməli kimi qəbul edilir və bu {\displaystyle <\Gamma ,\cdot >} kimi işarə edilir.
Lakin bəzən təyin edilən {\displaystyle \otimes } cəbri əməli toplama kimi də qəbul edilir. Vurma əməlinə nəzərən qruppoidə multiplikativ, toplama əməlinə nəzərən qruppoidə isə additiv qruppoid deyirlər.
Sonrakı mühakimələrimizi adətən multiplikativ qruppoid, yarımqruplar üzərində aparmağı şərtləşək.
Əgər qruppoiddə və yarımqrupda əlavə bir aksiom — vurmada kommutativlik xassəsi {\displaystyle (ab=ba)} ödənərsə, onda uyğun olaraq bunları **kommutativ qruppoid** və **kommutativ yarımqrup** adlandırırlar.
Təriflərdən aydın olur ki, istər qruppoiddə, istərsə də yarımqrupda neytral elementin olması vacib sayılmır.
Yarımqrupda neytral element olarsa, buna **monoid** deyilir. Deməli, monoid elə cəbri strukturdur ki, orada aşağıdakı şərtlər ödənir:

1) {\displaystyle \forall (a,b\in M)} {\displaystyle \exists !(c\in M)} {\displaystyle (a\otimes b=c),}

2) {\displaystyle \forall (a,b,c\in M)} {\displaystyle [a\otimes (b\otimes c)=(a\otimes b)\otimes c],}

3) {\displaystyle \exists (e\in M)} {\displaystyle \forall (a\in M)} {\displaystyle e\otimes a=a\otimes e=a}.

{\displaystyle \otimes } əməlinin vurma və toplama olmasına uyğun olaraq monoidi uyğun olaraq multiplikativ və additiv adlandırmaq olar. {\displaystyle M} çoxluğunun vurma və toplama cəbri əməllərinə nəzərən əmələ gətirdiyi multiplikativ və additiv monoidləri uyğun olaraq {\displaystyle <M,\cdot ,e>,<M,+,\theta >} kimi işarə edə bilərik. Təyin edildiyi əməl kommutativlik xassəsinə malikdirsə, belə monoidə kommutativ monoid deyirlər.
Həqiqi ədədlər çoxluğu {\displaystyle R}-i yada salaq. {\displaystyle R} həqiqi ədələr çoxluğu ayrılıqda həm toplama, həm də vurma əməllərinə görə kommutativ qruppoiddir. Çünki, bu çoxluqda {\displaystyle \forall (a,b\in R)} üçün {\displaystyle a+b=R} və {\displaystyle a\cdot b=R}, yəni {\displaystyle R}-də toplama və vurma əməlləri təyin edilib, həm də {\displaystyle a+b=b+a,ab=ba}. Bu çoxluqda təyin edilən əməllər assosiativlik xassəsinə malik olduğu üçün ayrılıqda hər iki əmələ nəzərən yarımqrupdur. Burada neytral (vahid) element olduğu üçün bu həm də monoiddir, özü də kommutativdir.
Digər bir misala baxaq, {\displaystyle n} natural ədədinə bölünən tam ədədlər çoxluğunu götürək: {\displaystyle nZ=\{nm\mid m\in Z\}} Bu çoxluq toplamaya nəzərən kommutativ monoid əmələ gətirir, vurmaya nəzərən isə vahidi olmayan yarımqrupdur(burada {\displaystyle n>1}).
Qruppoiddə onun ixtiyari elementi üçün şərti ödənərsə, buna **idempotent qruppoid** deyilir.
Əgər qruppoiddə vahid element varsa o, yeganədir.
Qruppoid, yarımqrup, monoid kimi cəbri strukturlar bir çox ümumi və spesifik xassələrə malikdirlər. Bunların öyrənilməsi bir cox cəhətdən qrup anlayışının öyrənilməsini xatırladır, burada geniş analogiya vardır.

**Ədəbiyyat**

* Maarif Əkbərov "Cəbr və Ədədlər nəzəriyyəsi"
* *В. А. Ильин, Э. Г. Позняк* Линейная алгебра, М.: Наука — Физматлит, 1999.
* *Беклемишев Д. В.* Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М.: Физматлит, 2000.
* *Кострикин А. И.* Введение в алгебру. Часть 1. Основы алгебры: Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2004.