في علم الرياضيات، وخاصة في علم الطوبولوجيا التفاضلية، فإن **هيكل الحزمة الشعاعية الثانوي**
يشير إلى هيكل الحزمة الشعاعية الطبيعي (*TE*,*p*\*,*TM*) الموجود على إجمالي الفضاء *TE* المخصص لحزمة المماس الخاصة بالحزمة الشعاعية السلسة (*E*,*p*,*M*)، الناتجة عن الدفع الأمامي *p*\*:*TE*→*TM* لخريطة الإسقاط الأصلية *p*:*E*→*M*.

في الحالة الخاصة (*E*,*p*,*M*)=(*TM*,π*TM*,*M*)، حيث يكون *TE*=*TTM* هو حزمة المماس المزدوجة، والحزمة الشعاعية الثانوية (*TTM*,(π*TM*)\*,*TM*) تكون متماثلة مع حزمة المماس
(*TTM*,π*TTM*,*TM*) لـ *TM* عبر الانعكاس المعياري.

بناء هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية
----------------------------------

بفرض أن (*E*,*p*,*M*) هي الحزمة الشعاعية السلسة من الرتبة *N*. وبما أن الصورة الأصلية (*p*\*)−1(X)⊂*TE* لأية شعاع مماس *X*∈*TM* في معامل الدفع الأمامي *p*\*:*TE*→*TM* الخاص بالإسقاط المعياري *p*:*E*→*M* هي تفرع ثانوي متعدد من فئة البُعد 2*N*، وتصبح مساحة شعاعية مع عوامل الدفع الأمامي

{\displaystyle +\_{\*}:T(E\times E)\to TE\quad ,\quad \lambda \_{\*}:TE\to TE}
للإضافة الأصلية والمضاعفة العددية غير الموجهة

{\displaystyle +:E\times E\to E\qquad ,\qquad \lambda :E\to E}
كما هو الحال في عمليات الفضاء الشعاعي. العامل الثلاثي (*TE*,*p*\*,*TM*) يصبح حزمة شعاعية سلسة مع وجود عمليات الفضاء الشعاعي على أليافه.

### البرهان

بفرض أن (*U*,φ) هو نظام إحداثيات محلية على أساس العامل المتشعب *M* مع φ(*x*)=(*x*1,...*x*n) وبفرض أن

{\displaystyle \psi :W\to \varphi (U)\times \mathbb {R} ^{N}\quad ;\quad \psi (v^{k}e\_{k}|\_{x}):=(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N})}
يكون نظام إحداثيات على *E* ومتناسبًا معه. إذن

{\displaystyle p\_{\*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{p(v)},}
وبالتالي، فإن ألياف هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية عند *X*∈*T**x**M* يكون في صورة

{\displaystyle p\_{\*}^{-1}(X)={\Big \{}\ X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v}\ {\Big |}\ v\in E\_{x}\ ,\ Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbb {R} \ {\Big \}}.}
والآن يتضح أن

{\displaystyle \chi {\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v}{\Big )}={\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{p(v)},(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}){\Big )}}
يعطي تسطيحًا محليًا χ:*TW*→*TU*×**R**2*N* للقيمة (*TE*,*p*\*,*TM*)، وتُقرأ عوامل الدفع الأمامي الخاصة بعمليات الفضاء الشعاعي الأصلية في الإحداثيات المناسبة المُعدلة مثل

{\displaystyle {\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v}{\Big )}+\_{\*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{w}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v+w}}
و

{\displaystyle \lambda \_{\*}{\Big (}X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{v}{\Big )}=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Big |}\_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Big |}\_{\lambda v},}
وبالتالي، فإن كل واحد من الألياف (*p*\*)−1(*X*)⊂*TE* هو مساحة شعاعية، والقيمة الثلاثية (*TE*,*p*\*,*TM*) هي الحزمة الشعاعية السلسة.

الاستقامة الخطية لروابط الحزم الشعاعية
--------------------------------------

تكون رابطة إيهريزمان العامة

{\displaystyle TE=HE\oplus VE}
على حزمة شعاعية (*E*,*p*,*M*) يمكن وصفها من حيث **خريطة الرابط**

{\displaystyle \kappa :T\_{v}E\to E\_{p(v)}\qquad ;\qquad \kappa (X):=\operatorname {vl} \_{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X),}
حيث vl*v*:*E*→*V**v**E* هو عامل الرفع الرأسي، وvpr*v*:*T**v**E*→*V**v**E* يكون الإسقاط الرأسي. ويكون الاقتران

{\displaystyle \nabla :TM\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\quad ;\quad \nabla \_{X}v:=\kappa (v\_{\*}X)}
الناتج عن رابطة إيهريزمان هو المشتق الطردي المتغاير على Γ(*E*) بمعنى أن

* {\displaystyle \nabla \_{X+Y}v=\nabla \_{X}v+\nabla \_{Y}v}
* {\displaystyle \nabla \_{\lambda X}v=\lambda \nabla \_{X}v}
* {\displaystyle \nabla \_{X}(v+w)=\nabla \_{X}v+\nabla \_{X}w}
* {\displaystyle \nabla \_{X}(\lambda v)=\lambda \nabla \_{X}v}
* {\displaystyle \nabla \_{X}(fv)=X[f]v+f\nabla \_{X}v}

وفقط إذا كانت خريطة الرابط خطية من ناحية هيكل الحزمة الشعاعية الثانوية (*TE*,*p*\*,*TM*) على *TE*. فحينها يُطلق على الرابطة أنها *خطية*. لاحظ أن خريطة الرابط تكون خطية تلقائيًا مع هيكل حزمة المماس (*TE*,π*TE*,*E*).

انظر أيضًا
----------

* الرابطة (الحزمة الشعاعية)
* حزمة المماس المزدوجة
* رابطة إيهريزمان
* الحزمة الشعاعية

المراجع
-------


  

* P.Michor. *Topics in Differential Geometry,* American Mathematical Society (2008).

* أيقونة بوابةبوابة طوبولوجيا