**فرضية الخط المتعرج** في الرياضيات ، ولا سيما الجبر التماثلي، هي التي تؤكد وجود تسلسل طويل محدد بمجموعات تماثل مركبات متسلسلة بعينها، والنتيجة صالحة في كل زمرة أبيلية .

البرهان
-------

في أي صيغة أبيلية (كصيغة المجموعات الأبيلية أو فئة الفضاءات المتجهة على حقل محدد) ، اجعل {\displaystyle ({\mathcal {A}},\partial \_{\bullet }),({\mathcal {B}},\partial \_{\bullet }')} ،{\displaystyle ({\mathcal {C}},\partial \_{\bullet }'')} مركبات متسلسلة تناسب المتتالية القصيرة التحديدية الآتية:

{\displaystyle 0\longrightarrow {\mathcal {A}}{\stackrel {\alpha }{\longrightarrow }}{\mathcal {B}}{\stackrel {\beta }{\longrightarrow }}{\mathcal {C}}\longrightarrow 0}

ومثل هذا التسلسل مختصر للمخطط التبادلي الآتي:

commutative diagram representation of a short exact sequence of chain complexes

على اعتبار الصفوف متتاليات منضبطة وكل عامود مركبًا تسلسليًّا.
تفترض فرضية الخط المتعرج أن هناك مجموعة من خرائط الحدود:

{\displaystyle \delta \_{n}:H\_{n}({\mathcal {C}})\longrightarrow H\_{n-1}({\mathcal {A}}),}
وخرائط الحدود هذه تجعل المتتابعة الآتية متتابعة منضبطة:

long exact sequence in homology, given by the Zig-Zag Lemma

إن الخرائط {\displaystyle \alpha \_{\*}^{}} و {\displaystyle \beta \_{\*}^{}} هي الخرائط المعتادة المستحدثة بالتجانس، وخرائط الحدود {\displaystyle \delta \_{n}^{}} مشروحة أدناه.

التسمية
-------

أتى اسم الفرضية من سلوك **الخط المتعرج** الذي تنحو نحوه خرائط الحدود في المتتابعة. في طفرة لم تعهد في علم الاصطلاح، تعرف هذه النظرية على نحو شائع أيضًا باسم **فرضية الأفعى**، مع أن هناك نتيجة أخرى في الجبر التجانسي بهذا الاسم. يمكن استخدام فرضية الأفعى الأخرى لإثبات فرضية الخط المتعرج بطريقة مختلفة عما سيذكر أدناه.

تكون خرائط الحدود
-----------------

الخرائط {\displaystyle \delta \_{n}^{}} معرفة ب
اجعل {\displaystyle c\in C\_{n}} تستعرض طائفة في {\displaystyle H\_{n}({\mathcal {C}})} لتكون {\displaystyle \partial \_{n}''(c)=0}. انضباط الصف يتضمن أن تكون {\displaystyle \beta \_{n}^{}} شمولية، لذلك يجب أن تكون هناك بعض عناصر {\displaystyle b\in B\_{n}} على اعتبار أن {\displaystyle \beta \_{n}^{}(b)=c}.

بتبادلية المخطط:

{\displaystyle \beta \_{n-1}\partial \_{n}'(b)=\partial \_{n}''\beta \_{n}(b)=\partial \_{n}''(c)=0.}
بالانضباط:

{\displaystyle \partial \_{n}'(b)\in \ker \beta \_{n-1}=\mathrm {im} \alpha \_{n-1}.}
ولأن {\displaystyle \alpha \_{n-1}^{}} تبادلية، فهناك عنصر وحيد {\displaystyle a\in A\_{n-1}} لتكون {\displaystyle \alpha \_{n-1}(a)=\partial \_{n}'(b)}.
هذه دورة، لأن {\displaystyle \alpha \_{n-2}^{}} شمولية وكذلك

{\displaystyle \alpha \_{n-2}\partial \_{n-1}(a)=\partial \_{n-1}'\alpha \_{n-1}(a)=\partial \_{n-1}'\partial \_{n}'(b)=0,}
ولأن {\displaystyle \partial ^{2}=0}، فإن {\displaystyle \partial \_{n-1}(a)\in \ker \alpha \_{n-2}=\{0\}}.

هذا يعني أن a دورة، ولذلك فهي تمثل طائفة في {\displaystyle H\_{n-1}({\mathcal {A}})}، ويمكننا الآن أن نعرف

{\displaystyle \delta \_{}^{}[c]=[a].}
يمكن بخريطة من خرائط الحدود المذكورة إظهار أنها واضحة التعريف (أي أنها مستقلة عن الخيارين c و b). يستخدم البرهان إثباتات مطاردة المخططات المشابهة لما ذكر أعلاه. وتستخدم أيضًا مثل هذه الإثباتات لإظهار أن المتتابعة المتجانسة منضبطة لدى كل مجموعة.

المراجع
-------

* Hatcher، Allen (2002). *Algebraic Topology*. Cambridge University Press. ISBN:0-521-79540-0. مؤرشف من الأصل في 2018-05-19.
* قالب:Lang Algebra
* Munkres، James R. (1993). *Elements of Algebraic Topology*. New York: Westview Press. ISBN:0-201-62728-0.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات