في الرياضيات، دالة **قوس جيب التمام** (بالإنجليزية: Arccosine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة جيب التمام، مستقرها هو {\displaystyle [0,\pi ]}، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب التمام الخاص به يرمز لها بـ **arccos** أو **cos -1**. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة جيب التمام المثلثية المقتصرة إلى المجال {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب تمام الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة جيب التمام المقتصرة إلى المجال {\displaystyle [0,\pi ]} بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة *y = x*.

مشتق
----

دالة جيب التمام العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

{\displaystyle \arccos 'x={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

### إثبات

يمكن كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:{\displaystyle (\arccos x)'={d \over dx}\arccos x}

نضع {\displaystyle \theta =\arccos x}:

{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\cos \theta }}={\frac {d\theta }{-d\theta \sin \theta }}={\frac {-1}{\sin \theta }}={\frac {-1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
**إثبات آخر**

يمكن إيجاد مشتقة دالة **arccos(x)** عن طريق تفاضل **مركب دالتين** (**دالة ومعكوسها**):

**-** إذا كانت **cos(arccos(x)) = x** بتفاضل الطرفين معاً ينتج:

{\displaystyle (\cos(\arccos(x))'={-\sin(\arccos(x))}{d \over dx}\arccos x}
أي أن:

{\displaystyle \ (x)'=-{\sqrt {1-\cos ^{2}(\arccos(x))}}{d \over dx}\arccos x}
يُستنتج من ذلك:

{\displaystyle \ 1=-{\sqrt {1-x^{2}}}{d \over dx}\arccos x}
بترتيبها تنتج المشتقة:

{\displaystyle \ {d \over dx}{\arccos(x)}={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

الشكل التكاملي
--------------

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل المحدد:

 {\displaystyle \arccos x=\int \_{1}^{x}{\frac {-1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}

المشتق العكسي
-------------

يمكن الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة:

{\displaystyle \int \arccos(x)dx=x\,\arccos(x)-{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام
-------------------------------------

 arccos *x* (بالأزرق) و arcsin *x* (بالأحمر)
لكل عدد حقيقي *x* محصور بين –1 و 1 :

{\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}

### إثبات

يمكن أن نستنتج العلاقة بين **arccos(x)** و **arcsin(x)** كالتالي:

نأخذ:

{\displaystyle \ y=\arccos(x)}

{\displaystyle \cos(y)=x}

يعني:

{\displaystyle \sin {\left({\frac {\pi }{2}}-y\right)}=x}

ومنه:

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-y=\arcsin(x)}

أي:

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}-\arccos(x)=\arcsin(x)}

و بترتيبها نحصل على:

{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}

**إثبات آخر**

نشتق الدالة {\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)}:

{\displaystyle {\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}+{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} وهي مساوية **للصفر** ، إذن **arccos(x) + arcsin(x)** هي عبارة عن دالة  **ثابتة**.
نستنتج من ذلك أن:

مجموع **arccos(x)** و **arcsin(x)** عدد **حقيقي ثابت** (لأن مشتقة **الثابت** هي **الصفر**) يتم تعيينه أي أن:

{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)=\alpha }

نأخذ **arcsin(x)** إلى الطرف الآخر:

{\displaystyle \arccos(x)=\alpha -\arcsin(x)}

ندخل دالة **الجيب تمام** على الطرفين:

{\displaystyle \ x=\cos(\alpha -\arcsin(x))}

نبسط التعبير باستعمال قاعدة **جيب تمام فرق عددين**:

{\displaystyle \ x=\cos(\alpha )\cos(\arcsin(x))+\sin(\alpha )\sin(\arcsin(x))}

أي أن:

{\displaystyle \ x={\cos(\alpha )}{\sqrt {1-x^{2}}}+{x}{\;\sin(\alpha )}}

و بتعويض **x** ب **0**
و التبسيط نحصل على:

{\displaystyle 0=\cos(\alpha )}

بادخال دالة **معكوس جيب التمام** على الطرفين نحصل على:

{\displaystyle \arccos(0)=\alpha }

أي أن:

{\displaystyle {\frac {\pi }{2}}=\alpha }

و بالتالي نحصل على العلاقة بينهما:

{\displaystyle \arccos(x)+\arcsin(x)={\frac {\pi }{2}}}

التمثيل بواسطة متسلسلة
----------------------

لدينا:

{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x)}

و بتعويض **arcsin(x)** بمتسلسلتها نحصل على متسلسلة دالة **arccos(x)** :

{\displaystyle \arccos(x)={\frac {\pi }{2}}-\sum \_{k=0}^{\infty }{{\frac {(2k-1)!!}{(2k)!!}}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}}}

على المستوي العقدي
------------------

### الشكل اللوغاريتمي

التمثيل البياني اللوني للدالة {\displaystyle \arccos z}
يمكن التعبير عن دالة قوس جيب التمام باستخدام اللوغاريتم العقدي:

{\displaystyle \arccos(x)=-i\,\ln \left(x+i\,{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}\,+i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)={\frac {\pi }{2}}-\arcsin(x).}

طالع أيضًا
----------

* دوال مثلثية عكسية
* دالة الجيب العكسية
* دالة الظل العكسية

مراجع
-----

1. ↑  ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (1 يناير 2007). *قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي*. دار الكتب العلمية. ISBN:978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 2020-03-19. `{{استشهاد بكتاب}}`: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: `|بواسطة=` (مساعدة)
2. ↑  مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957). *مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع*. مؤرشف من الأصل في 2020-08-28. `{{استشهاد بكتاب}}`: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: `|بواسطة=` (مساعدة)

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية

|  |
| --- |
| **قوس جيب التمام** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |