يعبر **موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار** في الفيزياء الفلكية طاقة عن طاقة الجاذبية الكامنة للجسم الناجمة عن جاذبيته والناشئة عن توزع كتلة جسمه. سُمِّيَت هذه الدالة على اسم عالم الفيزياء الفلكية الأمريكي الهندي سوبرامانين تشاندراسخار. وبعبارة أخرى، يعتبر موتر تشاندراسخار تعميم لطاقة الوضع؛ يعطي تتبع موتر تشاندراسخار الطاقة الكامنة للجسم.

التعريف
-------

يُعرَّف موتر طاقة الوضع لتشاندراسخار كما الآتي:

{\displaystyle W\_{ij}=-{\frac {1}{2}}\int \_{V}\rho \Phi \_{ij}d\mathbf {x} =\int \_{V}\rho x\_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x\_{j}}}d\mathbf {x} }
عندما يكون:

{\displaystyle \Phi \_{ij}(\mathbf {x} )=G\int \_{V}\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x\_{i}-x\_{i}')(x\_{j}-x\_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} ,\quad \Rightarrow \quad \Phi \_{ii}=\Phi =G\int \_{V}{\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}d\mathbf {x'} }
بحيث:

* يعبّر {\displaystyle G} عن ثابت الجاذبية.
* يعبّر {\displaystyle \Phi (\mathbf {x} )} عن جهد الجاذبية الذاتي من قانون نيوتن للجاذبية.
* {\displaystyle \Phi \_{ij}} هو النسخة المعممة من {\displaystyle \Phi }.
* يعبّر {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )} عن توزع كثافة المادة.
* يشير V إلى حجم الجسم.

من الواضح أنّ {\displaystyle W\_{ij}} هو موتر مماثل من تعريفه، وأثر موتر تشاندراسخار {\displaystyle W\_{ij}} ما هو إلا الطاقة الكامنة {\displaystyle W}.

{\displaystyle W=W\_{ii}=-{\frac {1}{2}}\int \_{V}\rho \Phi d\mathbf {x} =\int \_{V}\rho x\_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x\_{i}}}d\mathbf {x} }
وبذلك يمكن النظر لموتر تشاندراسخار على أنه تعميم للطاقة الكامنة (طاقة الوضع).

برهان تشاندراسخار
-----------------

لنعتبر مادة ما كتلتها V وكثافتها {\displaystyle \rho (\mathbf {x} )}، بذلك يكون:

{\displaystyle {\begin{aligned}W\_{ij}&=-{\frac {1}{2}}\int \_{V}\rho \Phi \_{ij}d\mathbf {x} \\&=-{\frac {1}{2}}G\int \_{V}\int \_{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {(x\_{i}-x\_{i}')(x\_{j}-x\_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x'} d\mathbf {x} \\&=-G\int \_{V}\int \_{V}\rho (\mathbf {x} )\rho (\mathbf {x'} ){\frac {x\_{i}(x\_{j}-x\_{j}')}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |^{3}}}d\mathbf {x} d\mathbf {x'} \\&=G\int \_{V}d\mathbf {x} \rho (\mathbf {x} )x\_{i}{\frac {\partial }{\partial x\_{j}}}\int \_{V}d\mathbf {x'} {\frac {\rho (\mathbf {x'} )}{|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |}}\\&=\int \_{V}\rho x\_{i}{\frac {\partial \Phi }{\partial x\_{j}}}d\mathbf {x} \end{aligned}}}

موتر تشاندراسخار بالنسبة للجهد السلمي
-------------------------------------

يُعرّف الجهد السلمي كما الآتي:

{\displaystyle \chi (\mathbf {x} )=-G\int \_{V}\rho (\mathbf {x'} )|\mathbf {x} -\mathbf {x'} |d\mathbf {x'} }
وقد برهن تشاندراسخار أنّ:ref>Chandrasekhar, Subrahmanyan. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.</ref>

{\displaystyle W\_{ij}=\delta \_{ij}W+{\frac {\partial ^{2}\chi }{\partial x\_{i}\partial x\_{j}}}}
باعتبار {\displaystyle i=j} فإننا نحصل على {\displaystyle \nabla ^{2}\chi =-2W}، وبالأخذ بمؤثر لابلاس مرة أخرى فإننا نحصل على {\displaystyle \nabla ^{4}\chi =8\pi G\rho }.

المراجع
-------

1. ↑  Chandrasekhar, S; Lebovitz NR (1962). "The Potentials and the Superpotentials of Homogeneous Ellipsoids" (PDF). Ap. J. 136: 1037–1047. بيب كود: 1962ApJ...136.1037C. دُوِي:10.1086/147456. Retrieved March 24, 2012.
2. ↑  Chandrasekhar, S; Fermi E (1953). "Problems of Gravitational Stability in the Presence of a Magnetic Field" (PDF). Ap. J. 118: 116. بيب كود: 1953ApJ...118..116C. دُوِي:10.1086/145732. Retrieved March 24, 2012.
3. 1 2  Chandrasekhar, Subrahmanyan. Ellipsoidal figures of equilibrium. Vol. 9. New Haven: Yale University Press, 1969.
4. ↑  Binney, James; Tremaine, Scott. *Galactic Dynamics: (Second Edition)* (بالإنجليزية). دار نشر جامعة برنستون. pp. 59–60. ISBN:1400828724. Archived from the original on 2017-11-07.

* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء