**توطئة شفارتز-زيبل** أو **مبرهنة شفارتز-زيبل** هي نتيجة أساسية في علم الاحتمال ولها تأثير على عدة مجالات في الرياضيات وعلم الحاسوب.

مقدمة
-----

من الشائع جدا معرفة متطابقات متعددة الحدود مثل: {\displaystyle x^{2}-y^{2}=(x-y)(x+y)} أو مبرهنة المربعات الأربع للاغرانج وهي:

{\displaystyle (a\_{1}^{1}+a\_{2}^{2}+a\_{3}^{3}+a\_{4}^{4})(b\_{1}^{1}+b\_{2}^{2}+b\_{3}^{3}+b\_{4}^{4})=(a\_{1}b\_{1}-a\_{2}b\_{2}-a\_{3}b\_{3}-a\_{4}b\_{4})^{2}+(a\_{1}b\_{2}+a\_{2}b\_{1}+a\_{3}b\_{4}-a\_{4}b\_{3})^{2}+(a\_{1}b\_{3}-a\_{2}b\_{4}+a\_{3}b\_{1}+a\_{4}b\_{2})^{2}+(a\_{1}b\_{4}+a\_{2}b\_{3}-a\_{3}b\_{2}+a\_{4}b\_{1})^{2}}
وهناك طريقة بسيطة لفحص هذه المتطابقات وهي عن طريق فتح الأقواس وفحص كل منهما إذا ما كانا متطابقين ! ولكن هذه العملية هي عملية أُسية بالنسبة لطول المدخل، إذ ان عدد احادية الحدود الناتجة عدد هو {\displaystyle {\binom {n+d}{d}}} عندما d هو اعلى درجة احادي الحدود وما نريده إذا هي خوارزمية سريعة (أي تعقيدها الوقتي هو متعدد حدود بالنسبة للمدخل) ولكن هذا غير معلوم للان ومبرهنة شوارتز-زيبل تعطينا خوارزمية **احتمالية** سريعة.

تعريف المسألة
-------------

مسألة تطابق متعددات الحدود هي: معطى دائرة حسابية {\displaystyle C} والتي تحسب متعدد الحدود {\displaystyle p(x\_{1},...x\_{n})} في {\displaystyle F[x\_{1},x\_{2},...x\_{n}]} , جد خوارزمية حتمية التي تفحص إذا ما **p** صفر ويستخدم فقط {\displaystyle Poly(size(C))} حسابات في {\displaystyle \mathbb {F} }

المبرهنة
--------

لنفرض ان {\displaystyle P\in F[x\_{1},x\_{2},...x\_{n}]} متعدد حدودي ليس صفرا ودرجته {\displaystyle d\geq 0} فوق حقل {\displaystyle \mathbb {F} } ولنفرض ان S مجموعة جزئية نهائية ل-{\displaystyle \mathbb {F} } حينها:

{\displaystyle Pr\_{r\_{1},r\_{2},...r\_{n}\in S}[P(r\_{1},r\_{2},...r\_{n})=0]\leq {\frac {d}{|S|}}}

البرهان
-------

سوف نستخدم استقراء رياضي (Induction) على n ,

إذا n=1 , حسب المبرهنة الأساسية في الجبر هناك على الأكثر d جذور لذا فان المبرهنة تصح في هذه الحالة أي انه: {\displaystyle Pr\_{r\_{1}\in S}[P(r\_{1})=0]\leq {\frac {d}{|S|}}}

لنفرض ان المبرهنة صحيحة لكل متعددات الحدود مع {\displaystyle n-1} متغيرات وبدون تقييد العموم نستطيع ان نفترض ان {\displaystyle p} متعدد الحدود ب-{\displaystyle x\_{1}} ونستطيع ان نكتبه بالطريقة التالية:

{\displaystyle p(x\_{1},x\_{2},...x\_{n})=\sum \_{i=1}^{d}x\_{1}^{i}p\_{i}(x\_{2},...x\_{n})} 
بما ان p ليس صفرا يوجد i بحيث ان {\displaystyle p\_{i}} ليس صفراً ونختار i ليكون الأكبر وصفته كما هو مذكور، مفهوم ضمنا أن {\displaystyle deg(p\_{i})\leq d-i} وذلك لان متعدد احادي الحدود {\displaystyle x\_{1}^{i}} درجته i وبما ان حاصل ضرب متعدد الحدود:{\displaystyle p\_{i}(x\_{2},...x\_{n})} مع احادي الحدود هذا هو على الأكثر d لذا فان هذه الصفة صحيحة. الآن نختار عشوائيا {\displaystyle r\_{2},r\_{3},...r\_{n}} من {\displaystyle S} , وحسب فرضية الاستقراء الرياضي:

{\displaystyle Pr\_{r\_{2},...r\_{n}\in S}[p\_{i}(r\_{1},r\_{2},...r\_{n})=0]\leq {\frac {d-i}{|S|}}}.

إذا {\displaystyle p\_{i}(r\_{2},...r\_{n})\neq 0} حينها {\displaystyle p(x\_{1},r\_{2},...r\_{n})} والذي يحوي متغير واحد فقط ما يعيدنا للحالة الاساسية للاستقراء الرياضي أي:

 {\displaystyle Pr[p\_{i}(r\_{1},...r\_{n})=0|p\_{i}(r\_{2},...r\_{n})\neq 0]\leq {\frac {i}{|S|}}}
حينها:

 {\displaystyle Pr[p(r\_{1},...r\_{n})=0]\leq Pr[p\_{i}(r\_{2},...r\_{n})=0]+Pr[p\_{i}(r\_{1},...r\_{n})=0|p\_{i}(r\_{2},...r\_{n})\neq 0]\leq {\frac {d-i}{|S|}}+{\frac {i}{|S|}}={\frac {d}{|S|}}}

استخدامات
---------

1. هذه المبرهنة تقول بانه إذا كان عندنا في الحقل {\displaystyle \mathbb {F} } على الاقل {\displaystyle 2d} اعداد عندها يوجد خوارزمية احتمالية واحتمال خطأه على الأكثر {\frac {1}{2}} وفي حالة انه يوجد اقل حينها نوسع {\displaystyle \mathbb {F} } ونختار نقاط عشوائية لذا فان هذه المسألة تتبع قسم التعقيد co-RP .
2. المبرهنة والتي تبحث مسألة تطابق متعددي حدود لها الكثير من التطبيقات في علم الحاسوب والرياضيات حيث ان مسألة التطابق كانت مهمة في برهنة {\displaystyle IP=PSPACE} مسألة أخرى هي فحص إذا ما مخطوط معطى هو مخطط ثنائي وذلك حسب نظرية برهنها Tutte. ويمتد استخدامها لفحص إذا ما معطى عدد هو اولي.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات