في الرياضيات، دالة **قوس الجيب** (بالإنجليزية: Arcsine)‏ لعدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 هي الدالة العكسية لدالة الجيب، مستقرها هو {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]}، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي المحصور بين –1 و 1 قيمة قوس جيب الخاص به يرمز لها بـ **arcsin** أو **sin -1**. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الجيب المثلثية المقتصرة إلى المجال {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد الوَحْديّ للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس جيب الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الجيب المقتصرة إلى المجال {\displaystyle \left[-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right]} بواسطة انعكاس حول المحور ذو المعادلة *y = x*.

مشتق
----

دالة الجيب العكسية تقبل الإشتقاق على المجال ]–1, 1[ ودالتها المشتقة هي:

{\displaystyle \arcsin 'x={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

### إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:{\displaystyle (\arcsin x)'={d \over dx}\arcsin x}

نضع {\displaystyle \theta =\arcsin x}:

{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\sin \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta \cos \theta }}={\frac {1}{\cos \theta }}={\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}

تمثيل بواسطة متسلسلة
--------------------

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

إذا كانت {\displaystyle |z|\leq 1}،

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin z&=z+{\frac {1}{2}}\cdot {\frac {z^{3}}{3}}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\cdot {\frac {z^{5}}{5}}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}\cdot {\frac {z^{7}}{7}}+\dots \\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(2n-1)!!}{(2n)!!}}\cdot {\frac {z^{2n+1}}{2n+1}}\\&=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {{\binom {2n}{n}}z^{2n+1}}{4^{n}(2n+1)}}.\end{aligned}}}
حيث {\displaystyle (n)!!} هو عاملي ثنائي.

**برهان**
متسلسلة تايلور للدالة المستقة هي:

{\displaystyle {\begin{aligned}\arcsin '(z)&=(1-z^{2})^{-{\frac {1}{2}}}\\&=1+\left(-{\frac {1}{2}}\right)(-z^{2})+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)}{2}}(-z^{2})^{2}+{\frac {\left(-{\frac {1}{2}}\right)\left(-{\frac {3}{2}}\right)\left(-{\frac {5}{2}}\right)}{2\cdot 3}}(-z^{2})^{3}+\cdots \\&=1+{\frac {1}{2}}z^{2}+{\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}z^{4}+{\frac {1\cdot 3\cdot 5}{2\cdot 4\cdot 6}}z^{6}+\dots ,\end{aligned}}}
بمكاملتها نتحصل على المتسلسلة غير المنتهية للدالة.

الشكل التكاملي
--------------

يمكن كتابة هذه الدالة على شكل التكامل غير المحدد :

 {\displaystyle \arcsin x=\int \_{0}^{x}{\frac {1}{\sqrt {1-t^{2}}}}dt}

المشتق العكسي
-------------

 arccos *x* (بالأزرق) و arcsin *x* (بالأحمر)يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الجيب عن طريق التكامل بالتجزئة :

{\displaystyle \int \arcsin x\,\mathrm {d} x=x\arcsin x+{\sqrt {1-x^{2}}}+C}

العلاقة بين قوس الجيب وقوس جيب التمام
-------------------------------------

من أجل كل عدد حقيقي *x* محصور بين –1 و 1 : {\displaystyle \arccos x+\arcsin x={\frac {\pi }{2}}}

على المستوي المركب
------------------

التمثيل البياني اللوني للدالة {\displaystyle \arcsin z}
### الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الجيب باستخدام اللوغاريتم العقدي:

{\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)}

طالع أيضًا
----------

* دوال مثلثية عكسية
* دالة جيب التمام العكسية
* دالة الظل العكسية

مراجع
-----

1. ↑  موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، *معجم مصطلحات الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 36، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
2. ↑  ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (1 يناير 2007). *قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي*. دار الكتب العلمية. ISBN:978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 2020-03-19.
3. ↑  مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957). *مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع*. مؤرشف من الأصل في 2020-08-28.

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية

|  |
| --- |
| **قوس الجيب** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المتطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |