قيم (π(*n* بالنسبة للأعداد الصحيحة الطبيعية الستين الأولى
في الرياضيات، **الدالة المعدة للأعداد الأولية** (بالإنجليزية: Prime-counting function)‏ هي دالة تعد عدد الأعداد الأولية الأصغر من أو المساوية لعدد حقيقي ما. عادة ما يرمز إليها ب {\displaystyle \scriptstyle \pi (x)} (في هذه الإشارة، {\displaystyle \scriptstyle \pi } لا يشير إلى العدد π).

التاريخ
-------

في نهاية القرن الثامن عشر، حدس كل من كارل فريدريش غاوس وأدريان ماري ليجاندر أن الدالة المعدة للأعداد الأولية تساوي بالتقريب:

{\displaystyle x/\operatorname {ln} (x)\!}
هذا يعني ما يلي:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\operatorname {ln} (x)}}=1.\!}
يطلق على هاته المتساوية اسم مبرهنة الأعداد الأولية. هناك متساوية أخرى متكافئة وهي:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow \infty }\pi (x)/\operatorname {li} (x)=1\!}
حيث li هي دالة التكامل اللوغاريتمي. بُرهن لأول مرة على هذه المبرهنة في عام 1896. كان ذلك من طرف كل من العالمين جاك هادامار وشارل جون دو لا فالي بوسان، الواحد منهما بمعزل عن اللاخر.

لائحة قيم (π(x و(x / ln(x و(li(x
--------------------------------

تظهر هذه اللائحة قيم الدوال الثلاث (π(x و(x / ln(x و(li(x عند قوى العدد عشرة.

| *x* | π(*x*) | π(*x*) − *x* / log *x* | li(*x*) − π(*x*) | *x* / π(*x*) | *x* / log *x*  % Error |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 10 | 4 | 0 | 2 | 2.500 | -8.57% |
| 102 | 25 | 3 | 5 | 4.000 | 13.14% |
| 103 | 168 | 23 | 10 | 5.952 | 13.83% |
| 104 | 1,229 | 143 | 17 | 8.137 | 11.66% |
| 105 | 9,592 | 906 | 38 | 10.425 | 9.45% |
| 106 | 78,498 | 6,116 | 130 | 12.739 | 7.79% |
| 107 | 664,579 | 44,158 | 339 | 15.047 | 6.64% |
| 108 | 5,761,455 | 332,774 | 754 | 17.357 | 5.78% |
| 109 | 50,847,534 | 2,592,592 | 1,701 | 19.667 | 5.10% |
| 1010 | 455,052,511 | 20,758,029 | 3,104 | 21.975 | 4.56% |
| 1011 | 4,118,054,813 | 169,923,159 | 11,588 | 24.283 | 4.13% |
| 1012 | 37,607,912,018 | 1,416,705,193 | 38,263 | 26.590 | 3.77% |
| 1013 | 346,065,536,839 | 11,992,858,452 | 108,971 | 28.896 | 3.47% |
| 1014 | 3,204,941,750,802 | 102,838,308,636 | 314,890 | 31.202 | 3.21% |
| 1015 | 29,844,570,422,669 | 891,604,962,452 | 1,052,619 | 33.507 | 2.99% |
| 1016 | 279,238,341,033,925 | 7,804,289,844,393 | 3,214,632 | 35.812 | 2.79% |
| 1017 | 2,623,557,157,654,233 | 68,883,734,693,928 | 7,956,589 | 38.116 | 2.63% |
| 1018 | 24,739,954,287,740,860 | 612,483,070,893,536 | 21,949,555 | 40.420 | 2.48% |
| 1019 | 234,057,667,276,344,607 | 5,481,624,169,369,961 | 99,877,775 | 42.725 | 2.34% |
| 1020 | 2,220,819,602,560,918,840 | 49,347,193,044,659,702 | 222,744,644 | 45.028 | 2.22% |
| 1021 | 21,127,269,486,018,731,928 | 446,579,871,578,168,707 | 597,394,254 | 47.332 | 2.11% |
| 1022 | 201,467,286,689,315,906,290 | 4,060,704,006,019,620,994 | 1,932,355,208 | 49.636 | 2.02% |
| 1023 | 1,925,320,391,606,803,968,923 | 37,083,513,766,578,631,309 | 7,250,186,216 | 51.939 | 1.93% |
| 1024 | 18,435,599,767,349,200,867,866 | 339,996,354,713,708,049,069 | 17,146,907,278 | 54.243 | 1.84% |
| 1025 | 176,846,309,399,143,769,411,680 | 3,128,516,637,843,038,351,228 | 55,160,980,939 | 56.546 | 1.77% |
| 1026 | 1,699,246,750,872,437,141,327,603 | 28,883,358,936,853,188,823,261 | 155,891,678,121 | 58.850 | 1.70% |
| 1027 | 16,352,460,426,841,680,446,427,399 | 267,479,615,610,131,274,163,365 | 508,666,658,006 | 61.153 | 1.64% |
| 1028 | 157,589,269,275,973,410,412,739,598 | 2,484,097,167,669,186,251,622,127 | 1,427,745,660,374 | 63.456 | 1.58% |
| 1029 | 1,520,698,109,714,272,166,094,258,063 | 23,130,930,737,541,725,917,951,446 | 4,551,193,622,464 | 65.759 | 1.52% |

رسم بياني يبين النسبة بين الدالة المعدة للأعداد الأولية π(*x*) من جهة ومن جهة أخرى دالتين تقتربان منها هما *x*/log *x* و Li(*x*). عندما *x* يكبر (لاحظ أن محمور الأفاصيل x هو لوغارتمي)، كلا النسبتين تؤولان إلى الواحد. النسبة باستعمال *x*/log *x* تقترب من الفوق بشكل بطيء, بينما النسبة باستعمال Li(*x*) تقترب بشكل أسرع ومن التحت.

خوارزميات من أجل تحديد (π(x
---------------------------

تكمن الطريقة الأكثر بساطة من أجل تحديد (π(x إذا لم يكن x كبيرا جدا، في استعمال غربال إراتوستينس من أجل تحديد لائحة الأعداد الأولية الأصغر من x، وبذلك عدها.

هناك طريقة أكثر تطورا وتعود إلى ليجاندر.

{\displaystyle \lfloor x\rfloor -\sum \_{i}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}}}\right\rfloor +\sum \_{i<j}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}}}\right\rfloor -\sum \_{i<j<k}\left\lfloor {\frac {x}{p\_{i}p\_{j}p\_{k}}}\right\rfloor +\cdots }
{\displaystyle \pi (x)-\pi \left({\sqrt {x}}\right)+1}

دوال أخرى تمكن من عد الأعداد الأولية
------------------------------------

انظر إلى تحويل ميلين وإلى دالة فون مانغولدت وإلى صيغة القلب لموبيوس وإلى دالة زيتا لريمان وإلى صيغة بيرون.

صيغ تحققها الدوال المعدة للأعداد الأولية
----------------------------------------

{\displaystyle \psi \_{0}(x)=x-\sum \_{\rho }{\frac {x^{\rho }}{\rho }}-\log 2\pi -{\frac {1}{2}}\log \left(1-x^{-2}\right),}
حيث

{\displaystyle \psi \_{0}(x)=\lim \_{\varepsilon \to 0}{\frac {\psi (x-\varepsilon )+\psi (x+\varepsilon )}{2}}.}
{\displaystyle \Pi \_{0}(x)=\operatorname {li} (x)-\sum \_{\rho }\operatorname {li} (x^{\rho })-\log 2+\int \_{x}^{\infty }{\frac {dt}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}.}
{\displaystyle \int \_{x}^{\infty }{\frac {\mathrm {d} t}{t\left(t^{2}-1\right)\log t}}=\int \_{x}^{\infty }{\frac {1}{t\log t}}\left(\sum \_{m}t^{-2m}\right)\,\mathrm {d} t=\sum \_{m}\int \_{x}^{\infty }{\frac {t^{-2m}}{t\log t}}\,\mathrm {d} t\,\,{\overset {(u=t^{-2m})}{=}}-\sum \_{m}\operatorname {li} (x^{-2m})}
{\displaystyle \pi \_{0}(x)=\operatorname {R} (x)-\sum \_{\rho }\operatorname {R} (x^{\rho })-\sum \_{m}\operatorname {R} (x^{-2m})}
{\displaystyle \operatorname {R} (x)=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n}}\operatorname {li} (x^{1/n})=1+\sum \_{k=1}^{\infty }{\frac {(\log x)^{k}}{k!k\zeta (k+1)}}}
{\displaystyle \operatorname {R} (x)-\sum \_{m=1}^{\infty }\operatorname {R} (x^{-2m})}
{\displaystyle {\bigl (}\pi \_{0}(x)-\operatorname {R} (x){\bigr )}{\frac {\log x}{\sqrt {x}}}.}

متراجحات
--------

فرضية ريمان
-----------

فرضية ريمان تكافئ حدا أكثر دقة للخطأ في تقدير قيمة {\displaystyle \pi (x)}.

{\displaystyle \pi (x)=\operatorname {li} (x)+O({\sqrt {x}}\log {x}).}
وبالتحديد

{\displaystyle |\pi (x)-\operatorname {li} (x)|<{\frac {\sqrt {x}}{8\pi }}\,\log {x},\qquad {\text{for all }}x\geq 2657.}

انظر أيضا
---------

* مسلمة بيرتراند,
* حدسية أوبيرمان

مراجع
-----

1. ↑  إيريك ويستاين، *Prime Counting Function*، ماثوورلد Mathworld *(باللغة الإنكليزية*).
2. ↑  إيريك ويستاين، *Gram Series*، ماثوورلد Mathworld *(باللغة الإنكليزية*).
3. ↑  "Tables of values of pi(x) and of pi2(x)". Tomás Oliveira e Silva. مؤرشف من الأصل في 2006-08-24. اطلع عليه بتاريخ 2008-09-14.

وصلات خارجية
------------

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد

|  |
| --- |
| **الدالة المعدة للأعداد الأولية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |