في الرياضيات، **المتتالية الحسابية** أو المتتابعة الحسابية (بالإنجليزية: Arithmetic progression)‏ هي متتالية من الأعداد حيث يكون الفرق بين أي حدين متتالين ثابتا. على سبيل المثال فإن 3، 5، 7، 9، 11، 13، … هي متتالية حسابية لها أساس يساوي 2. أي أنّ 3، 5، 7 هي حدود من هذه المتتالية والأساس 2 هو العدد المضاف بين كل حدّين متتاليين.

إذا كان الحد الأول من المتتالية الحسابية هو {\displaystyle a\_{1}} والفرق بين حدين متتاليين هو {\displaystyle d} عندها يعبر عن الحد ذي الترتيب n من متتالية حسابية بالعلاقة التالية:

{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{1}+(n-1)d,}
أو بشكل عام:{\displaystyle \ a\_{n}=a\_{m}+(n-m)d.}

**مثال**

المتتالية 1 ،-3 ،-7، -11,.... حدها الأول هو 1 وأساسها هو 4- لأن الفرق بين حدين متتابعين يساوي دائما 4.
وحتى نحصل على d نطرح كل حد من سابقه كالتالي:

{\displaystyle \ 1-(-3)=4}
لايجاد الحد النوني العشرين على سبيل المثال، تُطبق المعادلة السابقة:

{\displaystyle \ a\_{20}=1+(20-1)\*4=76}

المجموع
-------



|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 2 | + | 5 | + | 8 | + | 11 | + | 14 | = | 40 |
| 14 | + | 11 | + | 8 | + | 5 | + | 2 | = | 40 |
| 

---

 |
| 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | + | 16 | = | 80 |

حساب المجموع 2 + 5 + 8 + 11 + 14. حين تكتب حدود المتتالية عكسيا، وتضاف إلى الحدود نفسها حداً حداً، تكون النتيجة مساوية لقيمة وحيدة متكررة، مساويةً لمجموع الحدين الأول والأخير (2 + 14 = 16). إذن، 16 × 5 = 80 هو ضعف المجموع المراد البحث عنه.


مجموع حدود متتالية حسابية منتهية يسمى **متسلسلة حسابية**. على سبيل المثال،:{\displaystyle 2+5+8+11+14}

### الاستنتاج

{\displaystyle S\_{n}=a\_{1}+(a\_{1}+d)+(a\_{1}+2d)+\cdots +(a\_{1}+(n-2)d)+(a\_{1}+(n-1)d)}
{\displaystyle S\_{n}=(a\_{n}-(n-1)d)+(a\_{n}-(n-2)d)+\cdots +(a\_{n}-2d)+(a\_{n}-d)+a\_{n}.}
{\displaystyle \ 2S\_{n}=n(a\_{1}+a\_{n}).}
{\displaystyle S\_{n}={\frac {n}{2}}(a\_{1}+a\_{n}).}

الجداء
------

جداء حدود متتالية حسابية منتهية، قيمتها الأولى هي a1، والفرق المشترك بين حدودها هو d وعدد عناصرها هو n:

{\displaystyle a\_{1}a\_{2}\cdots a\_{n}=d{\frac {a\_{1}}{d}}d({\frac {a\_{1}}{d}}+1)d({\frac {a\_{1}}{d}}+2)\cdots d({\frac {a\_{1}}{d}}+n-1)=d^{n}{\left({\frac {a\_{1}}{d}}\right)}^{\overline {n}}=d^{n}{\frac {\Gamma \left(a\_{1}/d+n\right)}{\Gamma \left(a\_{1}/d\right)}},}
حيث {\displaystyle \Gamma } هي دالة غاما.

الانحراف المعياري
-----------------

يحسب الانحراف المعياري لممتالية حسابية كما يلي:

{\displaystyle \sigma =|d|{\sqrt {\frac {(n-1)(n+1)}{12}}}}
حيث n هو عدد الحدود في المتتالية وd هو الفرق بين حدين متتابعين ما.

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن متتالية حسابية على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25.
2. ↑  "معلومات عن متتالية حسابية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-11-21.
3. ↑  "معلومات عن متتالية حسابية على موقع vocab.getty.edu". vocab.getty.edu. مؤرشف من الأصل في 2020-04-26.

انظر أيضا
---------

* متتالية
* متتالية هندسية

| * ع
* ن
* ت
المتتاليات والمتسلسلات |
| --- |
| متتاليات الأعداد الصحيحة | 

|  |  |
| --- | --- |
| بسيطة | 
* متتالية حسابية
* متتالية هندسية
* Harmonic progression  ‏
* مربع كامل
* مكعب عدد
* عاملي
* الأس
	+ الثنائي
	+ الثلاثي
	+ العشري

 |
| مُتقدِّمة (list) | 
* متتالية كاملة
* متتالية فيبوناتشي
* عدد شكلي
* عدد مسبع
* عدد مسدسي
* عدد لوكاس
* رقم بيل
* عدد مخمسي
* عدد مضلعي
* عدد مثلثي

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| خواص المتتاليات | 
* متتالية كوشي
* الرتابة
* الدورية

 |
| خواص المتسلسلات | 

|  |  |
| --- | --- |
| متسلسلات | 
* متناوبة
* متقاربة
* متباعدة
* متداخلة

 |
| متباعدة | 
* مطلق
* شرطي
* منتظم

 |

 |
| متسلسلات مُضمَّنة | 

|  |  |
| --- | --- |
| متقاربة | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s* + 1/3*s* + ... (دالة زيتا لريمان)

 |
| متباعدة | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (متسلسلة غراندي)
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 − 2 + 3 − 4 + ···
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* متتالية حسابية
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)  ‏
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (المتسلسلات المتناسقة)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (انحراف مجموع مقلوبات الأعداد الأولية)

 |

 |
| متسلسلات متنوعة | 
* تايلور
* دركليه
* لوران
* فورييه
* بويسو
* Formal power series
* متسلسلة قوى
* متسلسلة مثلثية
* دالة مولدة

 |
| Hypergeometric series  ‏ | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| 
* التصنيف

 |

* أيقونة بوابةبوابة الهند
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |
| --- |
| **متتالية حسابية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)

 |