في نظرية الاحتمالات، **دالة الكثافة الاحتمالية** (د. ك.ا) 
(بالإنجليزية: probability density function)‏ أو (pdf) هي الدالة الممثلة لأي توزيع احتمالي عن طريق التكامل. وتكون دالة الكثافة الاحتمالية موجبة دائمًا، كما يكون تكاملها من ∞- إلى ∞+ مساويًا لواحد:

{\displaystyle \int \_{-\infty }^{+\infty }f\left(x\right)dx=1}
يمكن وصف دالة الكثافة الاحتمالية بأنها تقويم لاستمرارية منسّج الذي يمثل التكرارات النسبية ضمن مجالات النتائج البيانية.

توزيعات مستمرة بمتغير واحد
--------------------------

تكون للمتغير العشوائي {\displaystyle X} دالة كثافة احتمالية {\displaystyle f\left(X\right)}، حيث قيم هذه الدالة غير سالبة وهي قابلة للتكامل حسب ليبيغ، إذا ما تحقّق :

{\displaystyle P\left[a\leq X\leq b\right]=\int \_{a}^{b}f\left(x\right)dx}
أي أنّ الاحتمال بأن يتخذ المتغير {\displaystyle X} قيمًا في الفترة {\displaystyle \left[a,b\right]} مساوية لتكامل دالة الكثافة الاحتمالية في نفس الفترة. من هنا، فإذا كانت F هي دالة التوزيع التراكمي للمتغير {\displaystyle X}، يتحقق:

{\displaystyle ,F\left(x\right)=\int \_{-\infty }^{x}f\left(u\right)du}
وكذلك، فإنّ:

{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {d}{dx}}F\left(x\right)}
من هنا، فإذا كان لدينا توزريعًا احتماليًا له كثافة {\displaystyle f\left(x\right)}، عندئذ يكون الاحتمال للحصول على قيم في المجال اللامتناهي {\displaystyle \left[x,x+dx\right]} هو {\displaystyle f\left(x\right)dx}.

دوال كثافة احتمالية مهمة
------------------------

* التوزيع المنتظم هو أحد أكثر التوزيعات أهمية واستعمالاً. في صيغته المستمرة نقول أنّ للمتغيّر العشوائي X توزيعًا منتظمًا في الفترة {\displaystyle \left[a,b\right]} إذا كان احتمال حصول X على قيمة ما في فترة جزئية محتواة في الفترة {\displaystyle \left[a,b\right]} مساويًا لاحتمال حصوله على قيمة ما في فترة جزئية أخرى محتواة في الفترة {\displaystyle \left[a,b\right]}، بشرط أن تكون الفترتان بنفس الطول. هذا يقضي بأن يكون لـX نفس الكثافة الاحتمالية على طول الفترة {\displaystyle \left[a,b\right]}، أي:

{\displaystyle f\left(x\right)={\begin{cases}{\frac {1}{b-a}}\quad a\leq x\leq b\\0\quad \quad x<a,x>b\end{cases}}}
* بالنسبة للتوزيع الاحتمالي الطبيعي أو الغاوسي، فإنّ دالة الكثافة الاحتمالية هي:

{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {x^{2}}{2}}}}
هذا في حالة كون المتغيّر عشوائي تابعا لتوزيع طبيعي معياري، أي أنّه ذو قيمة متوقّعة مساوية لصفر، وتباين مساوٍ لواحد. أمّا إذا كانت القيمة المتوقعة مساوية لـ-\mu  والتباين مساويًا لـ-{\displaystyle \sigma ^{2}} تكتب دالة الكثافة الاحتمالية كالتالي:
{\displaystyle f\left(x\right)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {\left(x-\mu \right)^{2}}{2\sigma ^{2}}}}}

استعمالات
---------

* حساب القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي ما يتم وفق المعادلة التالية:

{\displaystyle E\left[X\right]=\int \_{-\infty }^{+\infty }xf\left(x\right)dx}
أي أنّ القيمة المتوقعة لمتغيّر عشوائي هي عبارة عن مركز ثقل دالة الكثافة الاحتمالية خاصته.

انظر أيضًا
----------

* لائحة التوزيعات الاحتمالية
* دالة توزيع تراكمي
* دالة الإمكان

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن دالة الكثافة الاحتمالية على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-04-01.

* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء
* أيقونة بوابةبوابة إحصاء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |