الخط المنسوب لدالة بيتا
الرسم البياني لدالة بيتا لقيم موجبة لكل من x و y
في الرياضيات، **دالة بيتا** (بالإنجليزية: Beta function)‏، والمعروفة أيضا باسم تكامل أويلر من النوع الأول، هي دالة خاصة تعطي بالعلاقة التالية:

{\displaystyle \mathrm {\mathrm {B} } (x,y)=\int \_{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt\!}
لكل {\displaystyle {\textrm {Re}}(x),{\textrm {Re}}(y)>0.\,}

تعاقب علي دراسة هذه الدالة كل من أويلر وليجاندر والذي أعطاها هذا الاسم هو جاك بينيه. يعد الرمز B هوأحد الحروف الكبيرة في الكتابة اليونانية أما الحرف الصغير له فهو β.

الخصائص
-------

تعتبر دالة بيتا دالة دالة متماثلة ، وهذا يعني:

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (y,x).\!}
يمكن تعريف دالة بيتا بدلالة دالة غاما وذلك عن طريق الصيغة التالية :

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}\!}
عندما يكون كل من x و y عددا صحيحا موجبا تكون صيغة دالة بيتا كالتالي :

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\dfrac {(x-1)!\,(y-1)!}{(x+y-1)!}}\!}
حيث (Gamma (x تساوي (x-1)! عندما يكون x عددا صحيحا موجبا.

وتوجد العديد من الصيغ لدالة بيتا منها :

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=2\int \_{0}^{\pi /2}(\sin \theta )^{2x-1}(\cos \theta )^{2y-1}\,d\theta ,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int \_{0}^{\infty }{\dfrac {t^{x-1}}{(1+t)^{x+y}}}\,dt,\qquad \mathrm {Re} (x)>0,\ \mathrm {Re} (y)>0\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\dfrac {n-y \choose n}{x+n}},\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)={\frac {x+y}{xy}}\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\dfrac {xy}{n(x+y+n)}}\right)^{-1},\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot (t\mapsto t\_{+}^{x+y-1})=(t\to t\_{+}^{x-1})\*(t\to t\_{+}^{y-1})\qquad x\geq 1,y\geq 1,\!}
{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\cdot \mathrm {B} (x+y,1-y)={\dfrac {\pi }{x\sin(\pi y)}},\!}

العلاقة بين دالة بيتا ودالة غاما
--------------------------------

لايجاد التكامل الذي يمثل دالة بيتا، نبدأ بحاصل ضرب دالتين غاما :

{\displaystyle \Gamma (x)\Gamma (y)=\int \_{0}^{\infty }\ e^{-u}u^{x-1}\,du\int \_{0}^{\infty }\ e^{-v}v^{y-1}\,dv=\int \_{0}^{\infty }\int \_{0}^{\infty }\ e^{-u-v}u^{x-1}v^{y-1}\,du\,dv.\!}
بتبديل المتغيرين بوضع *u*=*zt* و (*v*=*z*(1-*t* يتضح ما يلي:

{\displaystyle \int \_{z=0}^{\infty }\int \_{t=0}^{1}\ e^{-z}(zt)^{x-1}(z(1-t))^{y-1}z\,dt\,dz=\int \_{z=0}^{\infty }\ e^{-z}z^{x+y-1}\,dz\int \_{t=0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt.\!}
من أجل حساب هذا التكامل المزدوج والقيام بهذا التغيير للمتغير، انظر إلى مصفوفة جاكوبية ومحددة جاكوبية.
ومن ثم،

{\displaystyle \Gamma (x)\,\Gamma (y)=\Gamma (x+y)\mathrm {B} (x,y).}

المشتقات
--------

تكون مشتقة دالة بيتا علي الصورة :

{\displaystyle {\partial \over \partial x}\mathrm {B} (x,y)=\mathrm {B} (x,y)\left({\Gamma '(x) \over \Gamma (x)}-{\Gamma '(x+y) \over \Gamma (x+y)}\right)=\mathrm {B} (x,y)(\psi (x)-\psi (x+y)),}
حيث {\displaystyle \ \psi (x)} هي دالة ثنائي غاما

التكاملات
---------

يشمل تكامل نورلايد-ريز تكامل دالة بيتا.

التقريب
-------

يمكن تقريب دالة بيتا عن طريق تقريب ستيرلينغ ويعطي الصيغة التالية :

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim {\sqrt {2\pi }}{\frac {x^{x-{\frac {1}{2}}}y^{y-{\frac {1}{2}}}}{\left({x+y}\right)^{x+y-{\frac {1}{2}}}}}}
وذلك لكل من x و y كبيرين، أما ان كان x كبير و y محدود فتكون الصيغة كالتالي:

{\displaystyle \mathrm {B} (x,y)\sim \Gamma (y)\,x^{-y}.}

دالة بيتا غير الكاملة
---------------------

تعتبر **دالة بيتا** غير الكاملة تعميما لدالة بيتا وتعطي بالصيغة:

{\displaystyle \mathrm {B} (x;\,a,b)=\int \_{0}^{x}t^{a-1}\,(1-t)^{b-1}\,dt.\!}
عندما x=1 توؤل دالة بيتا غير الكاملة الي دالة بيتا الكاملة والعلاقة بين الدالتين كالعلاقة بين دالة غاما وتعميماها دالة غاما غير الكاملة.

**دالة بيتا غير الكاملة المنظمة** أو المعرفة اختصارا ب **دالة بيتا المنظمة** تعرف عن طريق دالة بيتا غير الكاملة والكاملة كالتالي:

{\displaystyle I\_{x}(a,b)={\dfrac {\mathrm {B} (x;\,a,b)}{\mathrm {B} (a,b)}}.\!}
بحل هذا التكامل (يمكن حله بالتكامل بالتجزئة) سوف نجد:

{\displaystyle I\_{x}(a,b)=\sum \_{j=a}^{a+b-1}{(a+b-1)! \over j!(a+b-1-j)!}x^{j}(1-x)^{a+b-1-j}.}
### خصائصها

{\displaystyle {\sqrt {\sqrt[{\surd }]{2}}}}
{\displaystyle I\_{1}(a,b)=1\,}
{\displaystyle I\_{x}(a,b)=1-I\_{1-x}(b,a)\,}
{\displaystyle I\_{x}(a+1,b)=I\_{x}(a,b)-{\frac {x^{a}(1-x)^{b}}{aB(a,b)}}\,}

حساب دالة بيتا
--------------

انظر أيضا
---------

* توزيع بيتا
* دالة غاما
* توزيع احتمالي ثنائي

المراجع
-------

1. ↑  "معلومات عن دالة بيتا على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2020-07-25.
2. ↑  "معلومات عن دالة بيتا على موقع id.ndl.go.jp". id.ndl.go.jp. مؤرشف من الأصل في 2019-09-02.

* قالب:Dlmf
* M. Zelen and N. C. Severo. in Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. *Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables.* New York: Dover, 1972. *(See §6.2, 6.6, and 26.5)*
* قالب:Dlmf
* Press، WH؛ Teukolsky، SA؛ Vetterling، WT؛ Flannery، BP (2007)، "Section 6.1 Gamma Function, Beta Function, Factorials"، *Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing* (ط. 3rd)، New York: Cambridge University Press، ISBN:978-0-521-88068-8

وصلات خارجية
------------

* Evaluation of beta function using Laplace transform على بلانيت ماث
* Arbitrarily accurate values can be obtained from:
	+ The Wolfram Functions Site: Evaluate Beta Regularized Incomplete beta
	+ danielsoper.com: Incomplete Beta Function Calculator, Regularized Incomplete Beta Function Calculator

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)

 |

|  |
| --- |
| **دالة بيتا** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |