في الرياضيات، تستعمل **قاعدة الرفع إلى أس** أو **قاعدة القوة**(بالإنجليزية: power rule)‏ للتفاضل وتستعمل لبرهنة الصيغتين الموجودتين في الأسفل.

تُعتبر متعددات الحدود من أبسط الدوال المستعملة في الحسبان. وتُعطى مشتقاتها وتكاملها غير المحدود بواسطة القوانين التالية:

{\displaystyle \left(\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}x^{k}\right)'=\sum \_{k=0}^{n}ka\_{k}x^{k-1}}
و

{\displaystyle \int \!\left(\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {a\_{k}x^{k+1}}{k+1}}+C\,\!}.
لذلك, تكون مشتقة {\displaystyle x^{100}} هي {\displaystyle 100x^{99}} والتكامل غير المحدود للقيمة {\displaystyle x^{100}} هو {\displaystyle {\frac {x^{101}}{101}}+C} حيث أن C هو الثابت الكيفي للتكامل.

قاعدة القوة
-----------

تذكر قاعدة القوة *للتفاضل* بأنه إذا كان *n* هو عدد طبيعي, تكون مشتقة {\displaystyle f(x)=x^{n}\!} هي {\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}\!}, وبالتالي تكون القاعدة هي

{\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}.}
و قاعدة القوة *للتكامل* هي

{\displaystyle \int \!x^{n}\,dx={\frac {x^{n+1}}{n+1}}+C}
عندما يكون *n* عدد طبيعي, سيسهل لنا استنتاج الإجابة. ويبقى على المرء فقط القيام باشتقاق هذه المتباينة واستعمال قاعدة القوة والتحويل الخطي للتفاضل على الجانب الأيمن من المعادلة.

### البرهان

لبرهنة قاعدة القوة للتفاضل, يجب استعمال طريقة الاشتقاق كنهاية رياضياتية:

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}.}
و عند تعويض {\displaystyle f(x)=x^{n}} ستكون المعادلة على النحو التالي

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}.}
ثم يمكن للمرء التعبير عن {\displaystyle (x+h)^{n}} باستعمال مبرهنة ثنائية الحد للحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {\sum \_{i=0}^{n}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}-x^{n}}{h}}.}
يمكن كتابة الحد {\displaystyle i=n} من المجموع في جهة مستقلة للحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {\sum \_{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}+x^{n}-x^{n}}{h}}.}
و بسبب إلغاء قيم الحدود {\displaystyle x^{n}} ستكون المعادلة

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {\sum \_{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i}}}{h}}.}
و يمكن إخراج قيمة {\displaystyle h} من جميع الحدود من المجموع للحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {h\sum \_{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}}{h}}.}
و بذلك يمكننا إلغاء قيم {\displaystyle h} من المقام والحصول على

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}\sum \_{i=0}^{n-1}{{n \choose i}x^{i}h^{n-i-1}}.}
و لإيجاد قيمة هذه النهاية نلاحظ بأن {\displaystyle n-i-1>0} لكل {\displaystyle i<n-1} وتساوي صفر لكل{\displaystyle i=n-1.} لذلك نجد قيمة {\displaystyle h^{0}} فقط عندما يكون {\displaystyle i=n-1}, وبالتالي تكون المعادلة

{\displaystyle f'(x)={n \choose {n-1}}x^{n-1}.}
و بإيجاد قيمة المعامل الثنائي الحد سنجد هذه المعادلة

{\displaystyle {n \choose {n-1}}={\frac {n!}{(n-1)!\ 1!}}={\frac {n\ (n-1)!}{(n-1)!}}=n.}
و بالتالي هذه المعادلة

{\displaystyle f'(x)=nx^{n-1}.\!}

تفاضل متعددات الحدود الكيفية
----------------------------

لمفاضلة متعددات الحدود الكيفية, يمكن للمرء استعمال الخاصية الخطية للمؤثر التفاضلي (differential operator) للحصول على:

{\displaystyle \left(\sum \_{r=0}^{n}a\_{r}x^{r}\right)'=\sum \_{r=0}^{n}\left(a\_{r}x^{r}\right)'=\sum \_{r=0}^{n}a\_{r}\left(x^{r}\right)'=\sum \_{r=0}^{n}ra\_{r}x^{r-1}.}
و باستعمال التحويل الخطي للتكامل وقاعدة القوة للتكامل, وباستعمال نفس الخطوات, سنجد المعادلة على النحو التالي

{\displaystyle \int \!\left(\sum \_{k=0}^{n}a\_{k}x^{k}\right)\,dx=\sum \_{k=0}^{n}{\frac {a\_{k}x^{k+1}}{k+1}}+c.}

تعميم
-----

يمكن البرهان بأن قاعدة القوة تكون صحيحة عند أي أس حقيقي, والمعادلة هي

{\displaystyle \left(x^{a}\right)'=ax^{a-1}}
عندما تكون قيمة *a* أي عدد حقيقي ما دام أن قيم *x* من مجال الدوال لكلا الجانبين من المعادلة. وباستعمال هذه الصيغة, مع

{\displaystyle \int \!x^{-1}\,dx=\ln x+c,}
سيستطيع المرء القيام بمفاضلة ومكاملة التركيبات الخطية لقوى القيمة *x*, والتي ليست بالضرورة أن تكون متعددة الحدود.

المراجع
-------

* Larson, Ron; Hostetler, Robert P.; and Edwards, Bruce H. (2003). *Calculus of a Single Variable: Early Transcendental Functions* (3rd edition). Houghton Mifflin Company. ISBN 0-618-22307-X.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات