في الرياضيات ، **المتسلسة المتداخلة** هي متسلسة، تكتب على شكل {\displaystyle t\_{n}} بحيث {\displaystyle t\_{n}=a\_{n}-a\_{n+1}} ، أي الفرق بين عددين متتاليتين في المتتالية {\displaystyle (a\_{n})} .

نتيجة لذلك ، تتكون المجاميع الجزئية فقط من عبارتين من المتتالية {\displaystyle (a\_{n})} بعد أن يلغيا بعضهما.

على سبيل المثال ، المتسلسلة :

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}}
(مجموع مقلوبات الأعداد البرونية ) يمكن أن تبسط كالآتي :

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n(n+1)}}&{}=\sum \_{n=1}^{\infty }\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\sum \_{n=1}^{N}\left({\frac {1}{n}}-{\frac {1}{n+1}}\right)\\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {\left(1-{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left({\frac {1}{N}}-{\frac {1}{N+1}}\right)}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1+\left(-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left(-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}\right)+\cdots +\left(-{\frac {1}{N}}+{\frac {1}{N}}\right)-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack \\{}&{}=\lim \_{N\to \infty }\left\lbrack {1-{\frac {1}{N+1}}}\right\rbrack =1.\end{aligned}}}

تعميم
-----

 متسلسلة متداخلة من القوى
المجاميع المتداخلة هي مجاميع محدودة تلغي فيها العبارات المتتالية بعضها البعض ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.

لتكن {\displaystyle a\_{n}} متسلسلة من الأعداد. إذاً،

> {\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=a\_{N}-a\_{0}}
> 
> 

إذا كانت {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 0}، فإن : 

> {\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }\left(a\_{n}-a\_{n-1}\right)=-a\_{0}} 
> 
> 

الجداءات المتداخلة هي جداءات محدودة حيث تلغي العبارات المتتالية المقام بالبسط ، تاركة فقط الأعداد الأولية والنهائية.

لتكن {\displaystyle a\_{n}} متسلسلة من الأعداد. إذاً،

> {\displaystyle \prod \_{n=1}^{N}{\frac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}={\frac {a\_{0}}{a\_{N}}}}
> 
> 

إذا كانت {\displaystyle a\_{n}\rightarrow 1}، فإن :

> {\displaystyle \prod \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n-1}}{a\_{n}}}=a\_{0}}
> 
>

أمثلة أخرى
----------

* يمكن تمثيل العديد من الدوال المثلثية كفرق بين مجموعة من العبارات ، مما يسمح بالإلغاء بين العبارات المتتالية.

> {\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=1}^{N}\sin \left(n\right)&{}=\sum \_{n=1}^{N}{\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(2\sin \left({\frac {1}{2}}\right)\sin \left(n\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\sum \_{n=1}^{N}\left(\cos \left({\frac {2n-1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2n+1}{2}}\right)\right)\\&{}={\frac {1}{2}}\csc \left({\frac {1}{2}}\right)\left(\cos \left({\frac {1}{2}}\right)-\cos \left({\frac {2N+1}{2}}\right)\right).\end{aligned}}}
> 
> 

* بعض المجاميع تحت الشكل الآتي :

> {\displaystyle \sum \_{n=1}^{N}{f(n) \over g(n)}}
> 
> 

بحيث f و {\displaystyle g} هم دوال متعددة الحدود يمكن تقسيم كسرهما إلى كسور جزئية ،  هذه الطريقة لا تستوفي الجمع. على وجه الخصوص :

> {\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {2n+3}{(n+1)(n+2)}}={}&\sum \_{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)\\={}&\left({\frac {1}{1}}+{\frac {1}{2}}\right)+\left({\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}\right)+\left({\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}\right)+\cdots \\&{}\cdots +\left({\frac {1}{n-1}}+{\frac {1}{n}}\right)+\left({\frac {1}{n}}+{\frac {1}{n+1}}\right)+\left({\frac {1}{n+1}}+{\frac {1}{n+2}}\right)+\cdots \\={}&\infty .\end{aligned}}}
> 
> 

المشكلة هي أنه هنا العبارات لا تلغي بعضها البعض.

مراجع
-----

1. ↑  Tom M. Apostol, *Calculus, Volume 1,* Blaisdell Publishing Company, 1962, pages 422–3
2. ↑  Brian S. Thomson and Andrew M. Bruckner, *Elementary Real Analysis, Second Edition*, CreateSpace, 2008, page 85
3. ↑  Weisstein, Eric W. "Telescoping Sum". *MathWorld* (بالإنجليزية). Wolfram. Archived from the original on 2020-11-11.

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات