|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

في علم التفاضل والتكامل تعمل **قاعدة لايبنيز العامة** - والتي أعطيت اسمها تيمنًا بمؤسسها غوتفريد لايبنتس - على تعميم قاعدة الضرب (والتي تُعرف أيضًا باسم "**قاعدة لايبنيز**"). حيث تلعب مشتقات الاقترانات دورًا أساسيًا في حساب التفاضل والتكامل وتطبيقاتها. على وجه الخصوص، ويمكن استخدامها لدراسة هندسة المنحنيات، وإيجاد القيم المُثلى للاقترانات، وصياغة المعادلات التفاضلية التي توفر نماذج رياضية في مجالات عدة، مثل: الفيزياء، والكيمياء، والبيولوجيا، والتمويل. 

وتنص القاعدة على أنه إذا كان كل من f و{\displaystyle g} اقترانات قابلة للاشتقاق مرفوعة بقوة n فإن الناتج {\displaystyle fg} هو أيضًا مرفوع بقوة n، ومشتقته الـn فإنها تُعطَى بالشكل التالي:

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}
حيث {\displaystyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}} تعد المعامل الثنائي و {\displaystyle f^{(0)}(x)=f(x)}.

يمكن برهنة هذا من خلال قاعدة الضرب والاستقراء الرياضي *(انظر البرهان أسفله)*.

التاريخ
-------

ظهرت فكرة المشتقة لأول مرة من المحامي والرياضي الشهير بيير دي فيرما (1601–1665) لحل العديد من المسائل، مثل: العثور على المماس لمنحنى عند نقطة. وبحلول عام 1670 وما بعده، أسس إسحق نيوتن (1642–1727) وغوتفريد لايبنيز (1646–1716) لعلم التفاضل والتكامل الحديث، وذلك بإدخال المفاهيم العامة للتفاضل والتكامل وآلية حساب كل منهما، خصوصًا أن كل منهما يعدّ عملية معكوسة للأخرى، كما تم وضع نظام ترميز سهل ومبسط لكل منهما وما زال العمل به جاريًا حتى وقتنا الحالي.

المشتقة الأولى
--------------

في علم التفاضل والتكامل، يمكن تعميم مشتقة حاصل الجمع، الضرب، والاقترانات المركبة أو ما يعرف بقاعدة "السلسلة"، بشكل جيد ومن أي رتبة n من المشتقات. مشتقة حاصل جمع اقترانين هي الأسهل، حيث إنّ مشتقة {\displaystyle f+g} من أي رتبة n هي ببساطة حاصل جمع المشتقات من نفس الرتبة، {\textstyle f(n)+g(n)}. قاعدة لايبنيز العامة، عبارة عن تعميم للمشتقة من الرتبة n لحاصل ضرب اقترانين، وتنص على أنه إذا كان كل من الاقترانين {\displaystyle f(x)} و {\displaystyle g(x)} قابلًا للاشتقاق n من المرات، فإن حاصل ضربهما {\displaystyle fg} عبارة عن اقتران قابل للاشتقاق أيضًا من المرات، ومشتقته من الرتبة n تُعطى بالعلاقة:



(
f
g

)

(
n
)

(
x
)
=

∑

k
=
0

n


(

n
k

)

f

(
n
−
k
)

(
x
)

g

(
k
)

(
x
)

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}

{\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x)}
*حيث* {\textstyle {n \choose k}={n! \over k!(n-k)!}} *هو معامل* ذات الحدّين*، و* {\textstyle f^{(0)}(x)=f(x)}*.* فعلى سبيل المثال، فإن المشتقة الأولى لحاصل الضرب {\displaystyle fg} تُعطى بالعلاقة:



(
f
g

)
′

(
x
)
=

∑

k
=
0

1



(

1
k

)

f

(
k
)

(
x
)

g

(
1
−
k
)

(
x
)

=

(

1
0

)

f

(
0
)

(
x
)

g

(
1
)

(
x
)
+

(

1
1

)

f

(
1
)

(
x
)

g

(
0
)

(
x
)
=
f
(
x
)

g
′

(
x
)
+
g
(
x
)

f
′

(
x
)

{\displaystyle (fg)'(x)=\sum \limits \_{k=0}^{1}{{1 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(1-k)}(x)}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)}

{\displaystyle (fg)'(x)=\sum \limits _{k=0}^{1}{{1 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(1-k)}(x)}={1 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(1)}(x)+{1 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(0)}(x)=f(x)g'(x)+g(x)f'(x)}

المشتقة الثانية {\displaystyle (n=2)}
-------------------------------------

يمكن حساب المشتقة الثانية للاقتران {\displaystyle f(x)} إذا عُلمت مشتقته الأولى {\displaystyle f'(x)} وذلك باشتقاق المشتقة الأولى للاقتران {\displaystyle f(x)} مرة ثانية، أي أن:



(
f

)
″

(
x
)
=

d

d
x

(

f
′

(
x
)
)

{\displaystyle (f)''(x)={\frac {d}{dx}}(f'(x))}

{\displaystyle (f)''(x)={\frac {d}{dx}}(f'(x))}
**بما أن:**



(
f
g

)
′

=

f
′

g
+

g
′

f

{\displaystyle (fg)'=f'g+g'f}

{\displaystyle (fg)'=f'g+g'f}**فإن:**


(
f
g

)
″

=

d

d
x

(
(
f
g

)
″

)
=

d

d
x

(

f
′

g
+

g
′

f
)
=

d

d
x

(

f
′

g
)
+

d

d
x

(

g
′

f
)
=
(

f
″

g
+

f
′

g
′

)
+
(

g
″

f
+

f
′

g
′

)
=

f
″

+
2

f
′

g
′

+

g
″

{\displaystyle (fg)''={\frac {d}{dx}}((fg)'')={\frac {d}{dx}}(f'g+g'f)={\frac {d}{dx}}(f'g)+{\frac {d}{dx}}(g'f)=(f''g+f'g')+(g''f+f'g')=f''+2f'g'+g''}

{\displaystyle (fg)''={\frac {d}{dx}}((fg)'')={\frac {d}{dx}}(f'g+g'f)={\frac {d}{dx}}(f'g)+{\frac {d}{dx}}(g'f)=(f''g+f'g')+(g''f+f'g')=f''+2f'g'+g''}
**وبتطبيق قاعدة لايبنيز نجد أن:**

**(
f
g

)
″

(
x
)
=

∑

k
=
0

2



(

2
k

)

f

(
k
)

(
x
)

g

(
2
−
k
)

(
x
)

=

(

2
0

)

f

(
0
)

(
x
)

g

(
2
)

(
x
)
+

(

2
1

)

f

(
1
)

(
x
)

g

(
1
)

(
x
)
+

(

2
2

)

f

(
2
)

(
x
)

g

(
0
)

(
x
)
=

g
″

(
x
)
+
2

f
′

(
x
)

g
′

(
x
)
+

f
″

(
x
)

{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits \_{k=0}^{2}{{2 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(2-k)}(x)}={2 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(2)}(x)+{2 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(1)}(x)+{2 \choose 2}f^{(2)}(x)g^{(0)}(x)=g''(x)+2f'(x)g'(x)+f''(x)}

{\displaystyle (fg)''(x)=\sum \limits _{k=0}^{2}{{2 \choose k}f^{(k)}(x)g^{(2-k)}(x)}={2 \choose 0}f^{(0)}(x)g^{(2)}(x)+{2 \choose 1}f^{(1)}(x)g^{(1)}(x)+{2 \choose 2}f^{(2)}(x)g^{(0)}(x)=g''(x)+2f'(x)g'(x)+f''(x)}**

برهان القاعدة
-------------

يمكن برهان قاعدة لايبنيز باستخدام مبدأ الاستقراء الرياضي. لتكن: 



∑

k
=
0

1


(

1
k

)

f

(
1
−
k
)

(
x
)

g

(
k
)

(
x
)
=

f
′

(
x
)
g
(
x
)
+
f
(
x
)

g
′

(
x
)

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{1}{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

{\displaystyle \sum _{k=0}^{1}{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}
القاعدة صحيحة عندما {\displaystyle m=1} وذلك لأن:

{\displaystyle (fg)'(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

**و**

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{1}{1 \choose k}f^{(1-k)}(x)g^{(k)}(x)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)}

نفترض أن قاعدة: {\textstyle (fg)^{(m)}(x)=\sum \_{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)} صحيحة لأي عدد صحيح {\displaystyle m\geq 1}

المطلوب الآن برهان صحة العلاقة لمشتقة من الرتبة {\displaystyle (m+1)}، وهذا يتم على النحو التالي:

{\displaystyle {\begin{aligned}(fg)^{(m+1)}(x)&={\frac {\text{d}}{{\text{d}}x}}\sum \_{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&=\sum \_{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m-k)}(x)g^{(k+1)}(x)+\sum \_{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&=\sum \_{k=1}^{m+1}{{m} \choose {k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum \_{k=0}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)\\&={{m} \choose {m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum \_{k=1}^{m}{{m} \choose {k-1}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+\sum \_{k=1}^{m}{{m} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&={{m} \choose {m}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum \_{k=1}^{m}\left[{{m} \choose {k-1}}+{{m} \choose {k}}\right]f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&={{m+1} \choose {m+1}}f(x)g^{(m+1)}(x)+\sum \_{k=1}^{m}{{m+1} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x)+{{m+1} \choose {0}}f^{(m+1)}(x)g(x)\\&=\sum \_{k=0}^{m+1}{{m+1} \choose {k}}f^{(m+1-k)}(x)g^{(k)}(x).\end{aligned}}}

تعميم القاعدة لأكثر من اقترانين
-------------------------------

لتكن {\displaystyle \left(f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{m}\right)^{(n)}} مجموعة من الاقترانات القابلة للاشتقاق n من المرات، فإن حاصل الضرب {\displaystyle \left(f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{m}\right)^{(n)}} قابل للاشتقاق n من المرات، كذلك:



(

f

1

f

2

⋯

f

m

)

(
n
)

=

∑

k

1

+

k

2

+
⋯
+

k

m

=
n


(

n

k

1

,

k

2

,
…
,

k

m


)

∏

1
≤
t
≤
m

f

t

(

k

t

)


{\displaystyle \left(f\_{1}f\_{2}\cdots f\_{m}\right)^{(n)}=\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}\prod \_{1\leq t\leq m}f\_{t}^{(k\_{t})}\,}

{\displaystyle \left(f_{1}f_{2}\cdots f_{m}\right)^{(n)}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{n \choose k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}\prod _{1\leq t\leq m}f_{t}^{(k_{t})}\,}**حيث:** {\textstyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}={\frac {n!}{k\_{1}!\,k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}}

فعلى سبيل المثال، المشتقة الثانية للاقتران g(x)=xexsin x {\displaystyle g(x)=xe^{x}sin(x)} يمكن حسابها باستخدام تعميم قاعدة لايبنيز كما يلي:






d

2

d

x

2


(
x

e

x

s
i
n
(
x
)
)
=



(

2
2.0.0

)

x

(
2
)

e

x

(
0
)

s
i
n
(
x

)

(
0
)

+

2
0.2.0

x

(
0
)

e

x

(
2
)

s
i
n
(
x

)

(
0
)

+

2
0.0.2

x

(
0
)

e

x

(
0
)

s
i
n
(
x

)

(
2
)

+


2
1.1.0

x

(
1
)

e

x

(
1
)

s
i
n
(
x

)

(
0
)

+

2
1.0.1

x

(
1
)

e

x

(
0
)

s
i
n
(
x

)

(
1
)

+

2
0.1.1

x

(
0
)

e

x

(
1
)

s
i
n
(
x

)

(
1
)




=
0
+
x

e

x

s
i
n
x
−
x

e

x

s
i
n
x
+
2
x

e

x

s
i
n
x
+
2
x

e

x

c
o
s
x
+
2
x

e

x

c
o
s
x




=
2

e

x

[
s
i
n
x
+
(
1
+
x
)
c
o
s
x
]



{\displaystyle {\begin{aligned}\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(xe^{x}sin(x))=\\&({\frac {2}{2.0.0}})x^{(2)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.2.0}}x^{(0)}e^{x^{(2)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.0.2}}x^{(0)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(2)}+\\&{\frac {2}{1.1.0}}x^{(1)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{1.0.1}}x^{(1)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(1)}+{\frac {2}{0.1.1}}x^{(0)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(1)}\\&\\&=0+xe^{x}sinx-xe^{x}sinx+2xe^{x}sinx+2xe^{x}cosx+2xe^{x}cosx\\&\\&=2e^{x}[sinx+(1+x)cosx]\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}\\&{\frac {d^{2}}{dx^{2}}}(xe^{x}sin(x))=\\&({\frac {2}{2.0.0}})x^{(2)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.2.0}}x^{(0)}e^{x^{(2)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{0.0.2}}x^{(0)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(2)}+\\&{\frac {2}{1.1.0}}x^{(1)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(0)}+{\frac {2}{1.0.1}}x^{(1)}e^{x^{(0)}}sin(x)^{(1)}+{\frac {2}{0.1.1}}x^{(0)}e^{x^{(1)}}sin(x)^{(1)}\\&\\&=0+xe^{x}sinx-xe^{x}sinx+2xe^{x}sinx+2xe^{x}cosx+2xe^{x}cosx\\&\\&=2e^{x}[sinx+(1+x)cosx]\end{aligned}}}

المراجع
-------

1. ↑  Olver, *Applications of Lie groups to differential equations*, page 318 نسخة محفوظة 25 أبريل 2020 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  Mary L. Boas, *Mathematical Methods in the Physical Sciences*, 3rd Edition, John Wiley & Sons. Inc 2006.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات