|  |
| --- |
| فرع من الإحصاء |
| نظرية الاحتمال |
|  |
| فرضيات الاحتمال |
| * فضاء احتمالي
* فضاء العينة
* حدث أولي
* حدث
* متغير عشوائي
* قياس الاحتمال
 |
| * الحدث المتمم
* احتمال مشترك
* احتمال هامشي
* احتمال شرطي
 |
| * استقلال
* استقلال شرطي
* قانون الاحتمال الكلي
* قانون الأعداد الكبيرة
* مبرهنة بايز
* متباينة بول
 |
| * مخطط فن
* شجرة الاحتمالات
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

توضيح بصري لنظرية الاحتمالية الكلية
في نظرية الاحتمالات ، **قانون** (أو **صيغة** ) **الاحتمال الكلي** هو قاعدة أساسية تربط الاحتمالات الهامشية بالاحتمالات الشرطية. إنه يعبر عن الاحتمال الكلي لنتيجة يمكن تحقيقها من خلال عدة أحداث متميزة ، ومن هنا جاء الاسم.

القانون
-------

قانون الاحتمال الكلي هو  نظرية تنص ، في حالتها المنفصلة(المتقطعة) ، إذا {\displaystyle \left\{{B\_{n}:n=1,2,3,\ldots }\right\}} هو قسم محدود أو لانهائي من مساحة عينة (بمعنى آخر ، مجموعة من الأحداث المنفصلة الزوجية التي يكون اتحادها هو مساحة العينة بأكملها) وكل حدث {\displaystyle B\_{n}} قابل للقياس ، إذن لأي حدث {\displaystyle A} من نفس مجال الاحتمال :

{\displaystyle P(A)=\sum \_{n}P(A\cap B\_{n})}
أو ، بدلاً من ذلك ، 

{\displaystyle P(A)=\sum \_{n}P(A\mid B\_{n})P(B\_{n}),}
حيث ، لأي {\displaystyle n} لأي منهم {\displaystyle P(B\_{n})=0} تم حذف هذه المصطلحات ببساطة من الجمع ، لأن {\displaystyle P(A\mid B\_{n})} محدود.

يمكن تفسير التجميع على أنه متوسط موزون ، وبالتالي الاحتمال الهامشي ، {\displaystyle P(A)} ، تسمى أحيانًا "الاحتمال المتوسط" ؛  يُستخدم مصطلح "الاحتمال الإجمالي" أحيانًا في الكتابات الأقل رسمية. 

يمكن أيضًا تحديد قانون الاحتمال الكلي للاحتمالات الشرطية:

{\displaystyle P({A|C})={\frac {P({A,C})}{P(C)}}={\frac {\sum \limits \_{n}{P({A,{B\_{n}},C})}}{P(C)}}={\frac {\sum \limits \_{n}P({A\mid {B\_{n}},C})P({{B\_{n}}\mid C})P(C)}{P(C)}}=\sum \limits \_{n}P({A\mid {B\_{n}},C})P({{B\_{n}}\mid C})}
أخذ {\displaystyle B\_{n}} على النحو الوارد أعلاه ، وافتراض {\displaystyle C} هو حدث مستقل عن أي من {\displaystyle B\_{n}} :

{\displaystyle P(A\mid C)=\sum \_{n}P(A\mid C\cap B\_{n})P(B\_{n})}

حالة مستمرة
-----------

يمتد قانون الاحتمال الكلي إلى حالة التكييف على الأحداث الناتجة عن المتغيرات العشوائية المستمرة. يترك {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)} يكون مجال احتمالي. افترض {\displaystyle X} هو متغير عشوائي مع دالة التوزيع {\displaystyle F\_{X}} ، و {\displaystyle A} حدث يوم {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},P)}. ثم ينص قانون الاحتمال الكلي

{\displaystyle P(A)=\int \_{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)dF\_{X}(x).}

إذا {\displaystyle X} يعترف بدالة الكثافة {\displaystyle f\_{X}} ، ثم النتيجة

{\displaystyle P(A)=\int \_{-\infty }^{\infty }P(A|X=x)f\_{X}(x)dx.}

علاوة على ذلك ، بالنسبة للحالة المحددة حيث {\displaystyle A=\{Y\in B\}} ، حيث {\displaystyle B} هي مجموعة Borel ، ثم هذا ينتج

{\displaystyle P(Y\in B)=\int \_{-\infty }^{\infty }P(Y\in B|X=x)f\_{X}(x)dx.}

مثال
----

لنفترض أن هناك مصنعين يزودان السوق بمصابيح كهربائية. تعمل مصابيح Factory *X* لأكثر من 5000 ساعة في 99٪ من الحالات ، بينما تعمل مصابيح المصنع *Y* لأكثر من 5000 ساعة في 95٪ من الحالات. من المعروف أن المصنع *X* يوفر 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة و Y يوفر 40٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي احتمالية أن يعمل المصباح الذي تم شراؤه لمدة تزيد عن 5000 ساعة؟

بتطبيق قانون الاحتمال الكلي ، نحصل على:

{\displaystyle {\begin{aligned}P(A)&=P(A\mid B\_{X})\cdot P(B\_{X})+P(A\mid B\_{Y})\cdot P(B\_{Y})\\[4pt]&={99 \over 100}\cdot {6 \over 10}+{95 \over 100}\cdot {4 \over 10}={{594+380} \over 1000}={974 \over 1000}\end{aligned}}}
حيث أن:

* {\displaystyle P(B\_{X})={6 \over 10}} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع *X* ؛
* {\displaystyle P(B\_{Y})={4 \over 10}} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع *Y* ؛
* {\displaystyle P(A\mid B\_{X})={99 \over 100}} هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة *X* لأكثر من 5000 ساعة ؛
* {\displaystyle P(A\mid B\_{Y})={95 \over 100}} هو احتمال أن يعمل المصباح المصنوع بواسطة *Y* لأكثر من 5000 ساعة.

وبالتالي فإن كل مصباح كهربائي يتم شراؤه لديه فرصة 97.4٪ للعمل لأكثر من 5000 ساعة.

أنظر أيضا
---------

* قانون القيم المتوقعة الكلية

مراجع
-----

1. ↑  Zwillinger, D. Kokoska, S. (2000) *CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae*, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7) page 31.
2. ↑  Zwillinger, D. Kokoska, S. (2000) *CRC Standard Probability and Statistics Tables and Formulae*, CRC Press. (ردمك 1-58488-059-7)ISBN 1-58488-059-7 page 31.
3. ↑  Paul E. Pfeiffer (1978). *Concepts of probability theory*. Courier Dover Publications. ص. 47–48. ISBN:978-0-486-63677-1. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.
4. ↑  Deborah Rumsey (2006). *Probability for dummies*. For Dummies. ص. 58. ISBN:978-0-471-75141-0. مؤرشف من الأصل في 2022-12-21.

* أيقونة بوابةبوابة إحصاء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات