عند تقويمه، يصبح المنحنى خطًا مستقيمًا بطول نفس طول قوس المنحنى.
 طول القوس s لحلزون لوغاريتمي كدالة لوسيطِه *θ*، بتعبير آخر: *s=f*(*θ*)*.* 
**طول القوس** هو المسافة بين نقطتين على طول مقطع من المنحنى. يسمى تحديد طول مقطع القوس غير المنتظم أيضًا تصحيح المنحنى. أدى ظهور حساب التفاضل والتكامل إلى صيغة عامة توفر حلولاً منغلقة الشكل في بعض الحالات.

إيجاد أطوال قوس باستخدام التكامل
--------------------------------

 ربع الدائرة
إذا كان منحنى مستو في {\displaystyle \mathbb {R} ^{2}} معرف بواسطة المعادلة {\displaystyle y=f(x)}، حيث {\displaystyle f} قابل للتفاضل باستمرار، فهي ببساطة حالة خاصة لمعادلة وسيطية حيث {\displaystyle x=t} و {\displaystyle y=f(t)}. ثم يُعطى طول القوس بواسطة:

{\displaystyle s=\int \_{a}^{b}{\sqrt {1+\left({\frac {dy}{dx}}\right)^{2}}}dx.}
تشمل المنحنيات التي تحتوي على حلول منغلقة الشكل لطول القوس: سلسلي، ودائرة، ودويري، ولولب لوغاريتمي، وقطع مكافئ، وقطع مكافئ شبه تكعيبي  وخط مستقيم. أدى عدم وجود حل منغلق الشكل لطول الأقواس الإهليلجية والزائدية إلى تطوير التكاملات الإهليلجية.

### التكامل العددي

في معظم الحالات، بما في ذلك المنحنيات البسيطة، لا توجد حلول منغلقة الشكل لطول القوس والتكامل العددي ضروري. التكامل العددي للتكامل طول القوس عادة ما تكون فعالة جدا. على سبيل المثال، ضع في اعتبارك مشكلة البحث عن طول ربع دائرة الوحدة من خلال التكامل العددي لطول القوس. النصف العلوي لدائرة الوحدة يمكن أن تكون معلمة كـ {\displaystyle y={\sqrt {1-x^{2}}}}. يتوافق المجال {\displaystyle x\in [-{\sqrt {2}}/2,{\sqrt {2}}/2]} مع ربع الدائرة. بما أن{\displaystyle dy/dx=-x/{\sqrt {1-x^{2}}}} و {\displaystyle 1+(dy/dx)^{2}=1/(1-x^{2})}، فإن طول ربع دائرة الوحدة هو

{\displaystyle \int \_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}\,dx}
يختلف تقدير تربيع غاوس-كرونرود  خمسة عشري النقاط لهذا التكامل البالغ 1.570796326808177 عن الطول الحقيقي لـ:

{\displaystyle {\Big [}\arcsin x{\Big ]}\_{-{\sqrt {2}}/2}^{{\sqrt {2}}/2}={\frac {\pi }{2}}}
بمقدار 1.3×10−11 وتقدير قاعدة التربيع الغاوسي ستة عشري النقاط والذي يبلغ 1.570796326794727 يختلف عن الطول الحقيقي بمقدار 1.7×10−13.

### الأنظمة الإحداثية الأخرى

ليكن {\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t))} منحنى معبر عنه بالإحداثيات القطبية. التحويل الذي يحول الإحداثيات القطبية إلى الإحداثيات الديكارتية هو

{\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta )=(r\cos \theta ,r\sin \theta )}
الدالة المكاملة لتكامل طول القوس هي {\displaystyle |(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )'(t)|}. تظهر قاعدة السلسلة لحقول المتجهات أن{\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} \_{r}r'+\mathbf {x} \_{\theta }\theta '}. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

{\displaystyle (\mathbf {x\_{r}} \cdot \mathbf {x} \_{r})(r')^{2}+2(\mathbf {x} \_{r}\cdot \mathbf {x} \_{\theta })r'\theta '+(\mathbf {x} \_{\theta }\cdot \mathbf {x} \_{\theta })(\theta ')^{2}=(r')^{2}+r^{2}(\theta ')^{2}}
لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات القطبية، يساوي طول القوس:

{\displaystyle \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}}}dt=\int \_{\theta (t\_{1})}^{\theta (t\_{2})}{\sqrt {\left({\frac {dr}{d\theta }}\right)^{2}+r^{2}}}d\theta }
لتكن الآن {\displaystyle \mathbf {C} (t)=(r(t),\theta (t),\phi (t))} منحنى معبر عنه بالإحداثيات الكروية حيث {\displaystyle \theta } هي الزاوية القطبية المقاسة من محور {\displaystyle z}-الموجب و{\displaystyle \phi } هي زاوية السمت. التحويل الذي يحول من الإحداثيات كروية إلى الإحداثيات الديكارتية هو:

{\displaystyle \mathbf {x} (r,\theta ,\phi )=(r\sin \theta \cos \phi ,r\sin \theta \sin \phi ,r\cos \theta )}
يظهر استخدام قاعدة السلسلة مرة أخرى أن: {\displaystyle D(\mathbf {x} \circ \mathbf {C} )=\mathbf {x} \_{r}r'+\mathbf {x} \_{\theta }\theta '+\mathbf {x} \_{\phi }\phi '}. لذا يكون الدالة المكاملة المربّعة لتكامل طول القوس هي:

{\displaystyle (\mathbf {x} \_{r}\cdot \mathbf {x} \_{r})(r'^{2})+(\mathbf {x} \_{\theta }\cdot \mathbf {x} \_{\theta })(\theta ')^{2}+(\mathbf {x} \_{\phi }\cdot \mathbf {x} \_{\phi })(\phi ')^{2}=(r')^{2}+r^{2}(\theta ')^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta (\phi ')^{2}}، حيث {\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} } هو الضرب القياسي للمتجهين {\displaystyle \mathbf {x} } و {\displaystyle \mathbf {y} }.
لذلك بالنسبة للمنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الكروية، يساوي طول القوس:

{\displaystyle \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \left({\frac {d\phi }{dt}}\right)^{2}}}dt}
يظهر حساب مشابه جدًا أن طول قوس المنحنى المعبر عنه بالإحداثيات الأسطوانية يساوي:

{\displaystyle \int \_{t\_{1}}^{t\_{2}}{\sqrt {\left({\frac {dr}{dt}}\right)^{2}+r^{2}\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}+\left({\frac {dz}{dt}}\right)^{2}}}dt}

انظر أيضًا
----------

* قوس (هندسة)
* محيط منحنى مغلق
* جيوديسي
* تقريبيات تكاملية
* تكامل خطي
* حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات

المراجع
-------

1. 1 2  مذكور في: *ISO 80000-3:2019 Quantities and units — Part 3: Space and time*. قسم أو آية أو فقرة أو بند: 3-1.7. الناشر: المنظمة الدولية للمعايير. لغة العمل أو لغة الاسم: الإنجليزية. تاريخ النشر: أكتوبر 2019.
2. ↑  مذكور في: *ISO 80000-3:2006 Quantities and units—Part 3: Space and time*. قسم أو آية أو فقرة أو بند: 3-1.a. الناشر: المنظمة الدولية للمعايير. لغة العمل أو لغة الاسم: الإنجليزية. تاريخ النشر: 1 مارس 2006.
3. ↑  "معلومات عن طول قوس على موقع brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 2017-09-19.
4. ↑  "معلومات عن طول قوس على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2020-04-14.

|  |
| --- |
| **طول قوس** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحدية
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
|  تصنيف  **•**   كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي