{\displaystyle a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a\_{n}}}}}}}}}}

**كسر مستمر** منته، حيث *n* عدد صحيح موجب و*a0* عدد صحيح، و ai عدد صحيح موجب بالنسبة إلى *i=1,…,*n.


في الرياضيات، **الكسر المستمر** (بالإنجليزية: Continued fraction)‏ هو كسر يأخذ الصيغة التالية :

{\displaystyle x=a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{a\_{3}+{\cfrac {1}{\ddots \,}}}}}}}}}
حيث *a*0 عدد صحيح والاعداد *(a**i* (*i* ≠ 0 هي أعداد *موجبة*. يتم تعريف التعبيرات الأطول بالمثل.

إذا سُمح لكل **بسط جزئي** و**مقام جزئي** أن يأخذا قيما اختيارية، والتي يمكن أن تكون دوالا رياضية، يصبح التعبير الناتج كسرا مستمرا معمما.

تحفيز
-----

الهدف الرئيسي من تعريف الكسور المستمرة هو الحصول على تمثيل رياضي بحت للأعداد الحقيقية. الكثير يعلم عن التمثيل العشري للأعداد الحقيقية والتي تعرف بالعلاقة:

{\displaystyle r=\sum \_{i=0}^{\infty }a\_{i}10^{-i},}
حيث *a*0 عدد صحيح، وكل *a**i* آخر هو عنصر في المجموعة {0, 1, 2,... 9}. بهذا التمثيل، يمكن تمثيل العدد باي π على سبيل المثال، بتعاقب من الاعداد (*a**i*) = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2,...).

لهذا التمثيل بعض المشاكل. أحدها أن العديد من الأعداد النسبية تفتقر إلى التمثيل المحدود بهذا النظام. على سبيل المثال العدد 1/3 يمثل بسلسلة متعاقبة (0, 3, 3, 3, 3,....). يمكن للكسور المستمرة تفادي مثل هذه المشاكل.

لنتمعن العدد 415/93، يمكن وصفه على أنه تقريبا 4.4624، وبتقريب أكثر 4. في الحقيقة أكبر بقليل من 4، وبتقريب أكثر 4 + 1/2. ولكن 2 في المقام ليس صحيحا;المقام الأصح هو *أكثر* بقليل من 2، تقريبا 2 + 1/6، أي 415/93 4 + 1/(2 + 1/6). لكن 6 في المقام ليس دقيقا أيضا; أي أن القيمة الدقيقة للمقام هي 6+1/7. إذن 415/93 هو بالحقيقة 4+1/(2+1/(6+1/7)) بالضبط.
بإهمال الاجزاء المتبقية من التعبير 4 + 1/(2 + 1/(6 + 1/7)) يعطى الرمز المختصر [4; 2، 6، 7].

لهذا الترميز بعض الخصائص المميزة:

* تمثيل الكسر المستمر لعدد هو منتهي إذا وإذا كان العدد نسبي.
* تمثيلات الكسور المستمرة للأعداد النسبية البسيطة تكون عادة قصيرة.
* لكل عدد نسبي تمثيل فريد من الكسر المستمر.
* تمثيل الكسر المستمر لعدد غير نسبي هو فريد.
* بنود الكسر المستمر قابلة للمعاودة إذ وإذا كان فقط تمثيل الكسر المستمر عدد مربع غير نسبي.
* تقريب تمثيل الكسر المستمر لعدد *x* ينتج عنه تقريب نسبي لـ*x* والذي يمثل التقريب الأمثل.

حساب تمثيل الكسور المستمرة
--------------------------

ليكن العدد الحقيقي *r*, وليكن *i* الجزء الصحيح و*f* الجزء الكسري ل *r*.
وبالتالي يمثل الكسر المستمر بالصورة *r* is [*i*; …]، حيث "…" هو تمثيل الكسر المستمر لـ 1/*f*. من المعتاد ابدال الفاصلة الأولى بفاصلة منقوطة.

لحساب الكسر المستمر للعدد *r*، اكتب الجزء الصحيح. ثم اطرحه من *r*. إذا كان الفرق هو 0، توقف هنا; مالم جد المقلوب وأستمر بالعمليات السابقة. سيتوقع هذا الاجراء إذا وفقط إذا كان *r* نسبيا.

| **أوجد صورة الكسر المستمر للعدد 3.245** |
| --- |
| {\displaystyle 3\,} | {\displaystyle 3.245\ \left(3{\tfrac {49}{200}}\right)-3\,} | {\displaystyle =0.245\ \left({\tfrac {49}{200}}\right)\,} | {\displaystyle 1/0.245\ \left({\tfrac {200}{49}}\right)\,} | {\displaystyle =4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)\,} |
| {\displaystyle 4\,} | {\displaystyle 4.082\ \left(4{\tfrac {4}{49}}\right)-4\,} | {\displaystyle =0.082\ \left({\tfrac {4}{49}}\right)\,} | {\displaystyle 1/0.082\ \left({\tfrac {49}{4}}\right)\,} | {\displaystyle =12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)\,} |
| {\displaystyle 12\,} | {\displaystyle 12.250\ \left(12{\tfrac {1}{4}}\right)-12\,} | {\displaystyle =0.250\ \left({\tfrac {1}{4}}\right)\,} | {\displaystyle 1/0.250\ \left({\tfrac {4}{1}}\right)\,} | {\displaystyle =4.000\,} |
| {\displaystyle 4\,} | {\displaystyle 4.000-4\,} | {\displaystyle =0.000\,} | **توقف** |  |
| الكسر المستمر لـ 3.245 هو [3; 4, 12, 4] |
| {\displaystyle 3.245=3+{\cfrac {1}{4+{\cfrac {1}{12+{\cfrac {1}{4}}}}}}} |

صور الكسور المستمرة
-------------------

{\displaystyle x=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3}]\;}
أو

{\displaystyle x=a\_{0}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{1}}}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{2}}}+{\frac {1\mid }{\mid a\_{3}}}.}
أو

{\displaystyle x=a\_{0}+{1 \over a\_{1}+}{1 \over a\_{2}+{}}{1 \over a\_{3}+{}}.}
وأحيانا

{\displaystyle x=\left\langle a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3}\right\rangle .\;}
أو

{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ]=\lim \_{n\to \infty }[a\_{0};a\_{1},a\_{2},\,\ldots ,a\_{n}].}

الكسور المستمرة المنتهية
------------------------

هناك صورتان للكسر المستمر المنتهي:

{\displaystyle [a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ,a\_{n},1]=[a\_{0};a\_{1},a\_{2},a\_{3},\,\ldots ,a\_{n}+1].\;}
مثل,

{\displaystyle 2.25=9/4=[2;3,1]=[2;4],\;}
{\displaystyle -4.2=-21/5=[-5;1,3,1]=[-5;1,4].\;}

الكسور المستمرة للمقاليب
------------------------

مثل,

{\displaystyle 2.25={\frac {9}{4}}=[2;4],\;}
{\displaystyle {\frac {1}{2.25}}={\frac {4}{9}}=[0;2,4].\;}

الكسور المستمرة غير المنتهية
----------------------------

{\displaystyle {\frac {a\_{0}}{1}},\qquad {\frac {a\_{1}a\_{0}+1}{a\_{1}}},\qquad {\frac {a\_{2}(a\_{1}a\_{0}+1)+a\_{0}}{a\_{2}a\_{1}+1}},\qquad {\frac {a\_{3}(a\_{2}(a\_{1}a\_{0}+1)+a\_{0})+(a\_{1}a\_{0}+1)}{a\_{3}(a\_{2}a\_{1}+1)+a\_{1}}}.}
وبصيغة أخرى:

{\displaystyle h\_{n}=a\_{n}h\_{n-1}+h\_{n-2},\qquad k\_{n}=a\_{n}k\_{n-1}+k\_{n-2}.}

وتكون الصيغ المتقاربة

{\displaystyle {\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}={\frac {a\_{n}h\_{n-1}+h\_{n-2}}{a\_{n}k\_{n-1}+k\_{n-2}}}.}

بعض المبرهنات المفيدة
---------------------

إذا كان *a*0، *a*1، *a*2،... متوالية من الأعداد الموجبة، تعرف التعاقب {\displaystyle h\_{n}} و{\displaystyle k\_{n}} بالمعاودة:

|  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle h\_{n}=a\_{n}h\_{n-1}+h\_{n-2}\,} |  |  | {\displaystyle h\_{-1}=1\,} |  | {\displaystyle h\_{-2}=0\,} |
| {\displaystyle k\_{n}=a\_{n}k\_{n-1}+k\_{n-2}\,} |  |  | {\displaystyle k\_{-1}=0\,} |  | {\displaystyle k\_{-2}=1\,} |

### نظرية 1

لاي {\displaystyle x\in \mathbb {R} } موجب

{\displaystyle \left[a\_{0};a\_{1},\,\dots ,a\_{n-1},x\right]={\frac {xh\_{n-1}+h\_{n-2}}{xk\_{n-1}+k\_{n-2}}}.}
### نظرية 2

التقاربات [*a*0; *a*1, *a*2,...]تعطى بالعلاقة

{\displaystyle \left[a\_{0};a\_{1},\,\dots ,a\_{n}\right]={\frac {h\_{n}}{k\_{n}}}.}
### نظرية 3

إذا كان التقارب النوني *n* لكسر مستمر هو {\displaystyle h\_{n}/k\_{n}}، حينئذ

{\displaystyle k\_{n}h\_{n-1}-k\_{n-1}h\_{n}=(-1)^{n}.\,}

نشر π في كسر مستمر
------------------

{\displaystyle {\frac {3}{1}},{\frac {22}{7}},{\frac {333}{106}},{\frac {355}{113}},\,\ldots }
{\displaystyle {\frac {3}{1}}+{\frac {1}{1\times 7}}-{\frac {1}{7\times 106}}+{\frac {1}{106\times 113}}-\cdots }
الصورة المختصرة: 

{\displaystyle \pi =[3;7,15,1,292,1,1,1,2,1,3,1,14,2,1,1,2,2,2,2,1,84,\cdots ]}
أو
{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1}{7+{\cfrac {1}{15+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{292+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{3+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{14+{\cfrac {1}{2+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{2+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}
كما أن هناك صيغ أكثر انتظاما:

{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}

أنماط منتظمة من الكسور المستمرة
-------------------------------

{\displaystyle e=\exp(1)=[2;1,2,1,1,4,1,1,6,1,1,8,1,1,10,1,1,12,\dots ]\,\!.}
ولدينا أيضا، عندما *n* عدد صحيح أكبر من الواحد,

{\displaystyle \exp(1/n)=[1;n-1,1,1,3n-1,1,1,5n-1,1,1,7n-1,\dots ]\,\!.}
إذا كانت *n* ّعدد فردي

{\displaystyle \exp(2/n)=[1;(n-1)/2,6n,(5n-1)/2,1,1,\dots ,3k+(n-1)/2,(12k+6)n,3k+(5n-1)/2,1,1,\dots ]\,\!}
الحالة الخاصة عند *n* = 1:

{\displaystyle e^{2}=\exp(2)=[7;2,1,1,3,18,5,1,1,6,30,8,1,1,9,42,11,1,1,\dots ,3k,12k+6,3k+2,1,1,\dots ]\,\!.}
الكسر المستمر لظل المقلوب الزائدي

{\displaystyle \tanh(1/n)=[0;n,3n,5n,7n,9n,11n,13n,15n,17n,19n,\dots ]\,\!}
حيث *n* عدد صحيح موجب; كذلك

{\displaystyle \tan(1)=[1;1,1,3,1,5,1,7,1,9,1,11,1,13,1,15\dots ]\,\!}
و

{\displaystyle \tan(1/n)=[0;n-1,1,3n-2,1,5n-2,1,7n-2,\dots ]\,\!.}
إذا كانت (*I**n*(*x* هي دالة بسل المعدلة من النوع الأول، فإنه يمكن تعريف دالة على الصورة الكسرية *p*/*q*

{\displaystyle S(p/q)={\frac {I\_{p/q}(2/q)}{I\_{1+p/q}(2/q)}},}

{\displaystyle a\_{0}+{\cfrac {1}{a\_{1}+{\cfrac {1}{a\_{2}+{\cfrac {1}{\ddots +{\cfrac {1}{a\_{n}}}}}}}}}}

**كسر متصل منته**,حيث *a*0 هو عدد صحيح ما، و *n* هو عدد صحيح طبيعي و ai *هي أعداد صحيحة طبيعية.*


الكسور المستمرة هي واحدة من الطرق الأكثر طبيعية من أجل تمثيل الأعداد الحقيقية.

على سبيل المثال، العدد π يمثل بسلسلة الأعداد التالية :

(...ai = (3,1,4,1,5,9,2
لتمثيل الأعداد الحقيقية بالكسور المستمرة مجموعة من الخصائص المهمة : 

* التمثيل لعدد حقيقي ما بالكسور المستمرة هو منته إذا وفقط إذا كان ذلك العدد جذريا.
* لكل عدد جذري تمثيل واحد، عموما، بالكسور المستمرة. على سبيل الدقة، كل عدد جذري يمثل بالكسور المستمرة على شكلين اثنين، يحدد منهما الواحد الآخر.

[a0; a1, … an − 1, an] = [a0; a1, … an − 1, an − 1, 1]

* لكل عدد غير جذري، تمثيل وحيد بالكسور المستمرة.

القيم الذاتية والمتجهات الذاتية
-------------------------------

تاريخ الكسور المستمرة
---------------------

* في عام 1737، درس ليونهارت أويلر خصائص الكسور المستمرة واستنتج أن e عدد غير جذري.
* في عام 1761، أثبت يوهان لامبرت لأول مرة أن {\displaystyle {\pi }} عدد غير جذري. استعمل من أجل هذا الهدف الكسور المستمرة الممثِلة ل tan(x).

انظر أيضا
---------

* شجرة ستيرن-بروكوت
* كسر مستمر معمم
* متسلسلة (رياضيات)
* جداء غير منته

مراجع
-----

1. ↑  "Estimating square roots, generalized continued fraction expression for every square root", *The Ben Paul Thurston Blog* نسخة محفوظة 13 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  Hardy، G.H.؛ Wright، E.M. (1979). *An Introduction to the Theory of Numbers* (ط. Fifth). Oxford.
3. ↑  "E101 – Introductio in analysin infinitorum, volume 1". مؤرشف من الأصل في 2015-07-12. اطلع عليه بتاريخ 2008-03-16.

وصلات خارجية
------------

* ما هو الكسر المستمر وما تطبيقاته - موقع إجابة.

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: كسر مستمر |



| * ع
* ن
* ت
مواضيع رئيسية في نظرية الأعداد |
| --- |
| النظرية الجبرية للأعداد • نظرية الأعداد التحليلية • نظرية الأعداد الهندسية • نظرية الأعداد الحاسوبية |
| أعداد • عدد طبيعي • عدد أولي • أعداد منطقة • عدد غير نسبي • عدد جبري • عدد متسام • حساب • حساب طوري • دوال حسابية |
| أشكال تربيعية • دوال-إل • معادلة ديفونتية • تقريب ديوفانتين • كسر مستمر |
| قائمة مواضيع نظرية الأعداد التخليقية • قائمة مواضيع نظرية الأعداد |

* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |