نظام خطي ذو ثلاث متغيرات، تحدد كل معادلة فيه مستوى. نقطة التقاطع هي حل هذا النظام.
في الرياضيات، **نظام المعادلات الخطية** (بالإنجليزية: System of linear equations)‏ هي مجموعة من المعادلات الخطية، تضم نفس المجموعة من المتغيرات. على سبيل المثال:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3x&&\;+\;&&2y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&1&\\2x&&\;-\;&&2y&&\;+\;&&4z&&\;=\;&&-2&\\-x&&\;+\;&&{\tfrac {1}{2}}y&&\;-\;&&z&&\;=\;&&0&\end{alignedat}}}
هو نظام معادلات خطية يضم ثلاث معادلات خطية تحوي ثلاث متغيرات هي x و y و z. **حل** نظام خطي ما تتمثل في إعطاء قيمة عددية لكل متغيراته حيث تتحقق جميع معادلاته في آن واحد. حل المثال السابق يعطي كما يلي:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}x&=&1\\y&=&-2\\z&=&-2\end{alignedat}}}
بما أن المعادلات الثلاثة تبقى صحيحة عند هذه القيم.

انظر إلى جبر خطي عددي وإلى نظام غير خطي وإلى تقريب (رياضيات) وإلى استخطاط وإلى نموذج رياضي.

الشكل العام
-----------

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a\_{11}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{12}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{1n}x\_{n}&&\;=\;&&&b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{22}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{2n}x\_{n}&&\;=\;&&&b\_{2}\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\;\vdots \\a\_{m1}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{m2}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{mn}x\_{n}&&\;=\;&&&b\_{m}.\\\end{alignedat}}}
يمكن كتابة نظام المعادلات الخطية كمعادلات متجهة أو كمعادلات مصفوفة.

**1. معادلات متجهة:**

{\displaystyle x\_{1}{\begin{bmatrix}a\_{11}\\a\_{21}\\\vdots \\a\_{m1}\end{bmatrix}}+x\_{2}{\begin{bmatrix}a\_{12}\\a\_{22}\\\vdots \\a\_{m2}\end{bmatrix}}+\cdots +x\_{n}{\begin{bmatrix}a\_{1n}\\a\_{2n}\\\vdots \\a\_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{bmatrix}}}
**2. معادلات مصفوفة:**

{\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {b} }
{\displaystyle A={\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&\cdots &a\_{1n}\\a\_{21}&a\_{22}&\cdots &a\_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a\_{m1}&a\_{m2}&\cdots &a\_{mn}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {x} ={\begin{bmatrix}x\_{1}\\x\_{2}\\\vdots \\x\_{n}\end{bmatrix}},\quad \mathbf {b} ={\begin{bmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\\vdots \\b\_{m}\end{bmatrix}}}
هناك عدة طرق احل جمل المعادلات الخطية وهي

* حسب المصفوفات غاوس,

* قاعدة كرامر،
* طريقة التعويض.

مجموعة حلول المعادلتين *x* − *y* = −1 و 3*x* + *y* = 9 هي النقطة (2, 3).
مجموعة حلول معادلتين تحتويان على ثلاث متغيرات عادة ما تكون مستقيما.

خصائص
-----

### الاستقلالية

انظر إلى استقلال خطي.

المعادلات *x* − 2*y* = −1, 3*x* + 5*y* = 8, و 4*x* + 3*y* = 7 are linearly dependent.
### التناسق

المعادلتان 3*x* + 2*y* = 6 و 3*x* + 2*y* = 12 غير متناسقتين.
انظر إلى تناقض (منطق)

على سبيل المثال، المعادلتان

{\displaystyle 3x+2y=6} و {\displaystyle \;\;\;\;3x+2y=12} غير متناسقتين.
### التكافؤ

نقول عن نظام خطي انه متكافئ إذا وجدت قيمة عددية وحيدة لكل متغير من متغيراته

على سبيل المثال، المعادلتان

{\displaystyle 3x+y=6} و {\displaystyle \;\;\;\;3x+3y=12} متكافئتان لأن {\displaystyle x=1,y=3}.

حلحلة النظام الخطي
------------------

هناك عدة خوارزميات تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية.

### اقصاء المتغيرات

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;+\;&&3y&&\;-\;&&2z&&\;=\;&&5&\\3x&&\;+\;&&5y&&\;+\;&&6z&&\;=\;&&7&\\2x&&\;+\;&&4y&&\;+\;&&3z&&\;=\;&&8&\end{alignedat}}}
{\displaystyle {\begin{alignedat}{5}-4y&&\;+\;&&12z&&\;=\;&&-8&\\-2y&&\;+\;&&7z&&\;=\;&&-2&\end{alignedat}}}
{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&&\;=\;&&5&&\;+\;&&2z&&\;-\;&&3y&\\y&&\;=\;&&2&&\;+\;&&3z&&&&&\\z&&\;=\;&&2&&&&&&&&&\end{alignedat}}}
### تبسيط الصفوف

المقالة الرئيسة: حذف غاوسي
انظر إلى مصفوفة ممتدة.

### قاعدة كرامر

المقالة الرئيسة: قاعدة كرامر
**قاعدة كرامر** هي صيغة تمكن من حلحلة نظام من المعادلات الخطية، حيث يساوي كل متغير نسبة بين محددتين اثنتين. على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;3y&\;-&\;2z&\;=&\;5\\3x&\;+&\;5y&\;+&\;6z&\;=&\;7\\2x&\;+&\;4y&\;+&\;3z&\;=&\;8\end{alignedat}}}
تعطى بما يلي:

{\displaystyle x={\frac {\,\left|{\begin{matrix}5&3&-2\\7&5&6\\8&4&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;y={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&5&-2\\3&7&6\\2&8&3\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}},\;\;\;\;z={\frac {\,\left|{\begin{matrix}1&3&5\\3&5&7\\2&4&8\end{matrix}}\right|\,}{\,\left|{\begin{matrix}1&3&-2\\3&5&6\\2&4&3\end{matrix}}\right|\,}}.}
### طرق أخرى

#### طريقة الجمع

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}
نضرب المعادلة الأولى في 1- و نجمعها مع الثانية فنجد:

{\displaystyle -2y=-2\,}
أي أن:

{\displaystyle y=1\,}
الآن نعوض y بـ1 فنجد:

{\displaystyle x=2\,}
#### طريقة التعويض

على سبيل المثال، حلحلة النظام التالي:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;+&\;y&\;=&\;3\\x&\;-&\;y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
نأخذ {\displaystyle x=3-y\,} فنجد :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}3&\;-&\;2y&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
أي :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}y&\;=&\;{\frac {3-1}{2}}&\;=&\;1\\\end{alignedat}}}
نعوض قيمة y بـ 1 في المعادلة (1) فنجد :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x+1&\;=&\;3\\\end{alignedat}}}
أي أن :

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}x&\;=&\;3-1&\;=&\;2\\\end{alignedat}}}
هكذا :

{\displaystyle x=2\,} و {\displaystyle y=1\,}

الأنظمة المتجانسة
-----------------

يقال عن نظام من المعادلات الخطية أنه **متجانس** إذا كانت جميع الحدود التي لا ترتبط بمتغيرات تساوي الصفر:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{7}a\_{11}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{12}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{1n}x\_{n}&&\;=\;&&&0\\a\_{21}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{22}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{2n}x\_{n}&&\;=\;&&&0\\\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&\vdots \;\;\;&&&&&\,\vdots \\a\_{m1}x\_{1}&&\;+\;&&a\_{m2}x\_{2}&&\;+\cdots +\;&&a\_{mn}x\_{n}&&\;=\;&&&0.\\\end{alignedat}}}
### مجموعة الحلول

علاقتها بالأنظمة غير المتجانسة

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
2. ↑  "معلومات عن نظام معادلات خطية على موقع enciclopedia.cat". enciclopedia.cat. مؤرشف من الأصل في 2018-01-28.

انظر أيضا
---------

* تبسيط الصفوف،
* المعادلات المترابطة،
* تفكيك المصفوفات،
* مربعات دنيا خطية.

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: نظام معادلات خطية |



| * ع
* ن
* ت
مواضيع الجبر الخطي |
| --- |
| **معادلة خطية** | نظام المعادلات الخطية-محدد>(محدد مقتصر-صيغة كوشي-بينيه-قاعدة كرامر-حذف غاوس-جوردان )-خوارزمية شتراسن |
| **مصفوفات** | نظرية المصفوفة - جمع المصفوفات - ضرب المصفوفات - مصفوفة التحويلِ الأساسية-متعددة حدود مميزة- أثر - مبرهنة كايلي-هاميلتون - قيمة خاصة ، شعاع خاص - شكل جوردان الطبيعي - رتبة - مصفوفة معكوسة ، مصفوفة قابلة للعكس > مقلوب كاذب -مصفوفة مصاحبة-تحويل > ( الجداء نقطة -مصفوفة متماثلة-مصفوفة متعامدة- مصفوفة متماثلة منحرفة - نقل مترافق - مصفوفة الوحدة - مصفوفة هيرميتية، ضد هيرميتي )

- معرف إيجابي، نصف معرف إيجابي ، مصفوفة إيجابية معرفة- بفافي مصفوفة -تقدير

-مصفوفة قطرية، قطر رئيسي > مصفوفة قطورة - مصفوفة Tridiagonal - مصفوفة هيسينبرغ - مصفوفة مثلثية - نظرية طيفية - مصفوفة قياسية-مصفوفة تويبليتز - مصفوفة هانكل - مصفوفة فانديرموند-مصفوفة كتلوية-مصفوفة متناثرة - مصفوفة دفع - هوية مصفوفة وودبوري - مبرهنة بيرون-فروبانيوس |
| **تفكيك مصفوفة** | تفكيك تشوليسكي-تفكيك لو-تفكيك كيو آر-نظرية طيفية-تفكيك قيمة مفرد-تفكيك شور>تكملة شور |
| **حسابات** | تحويل هاوسهولدر-طريقة مجموع المربعات الدنيا-عملية غرام شميت |
| **متجهات** | ضرب قياسي-مجموعة خطية-امتداد خطي-استقلال خطي-أساس خطي-شعاع تنسيقي |
| **فضاء شعاعي** | أمثلة الفراغات الشعاعية-تحويل خطي> تحويل غاليلي، تحويل لورينتز-فضاء عمود-فضاء صف-فضاء ملغي ، بطلان- نظرية بطلان غريزة النموِ- فضاء ثنائي > دالة خطية-تعامد (جبر خطي) - متمم متعامد - إسقاط متعامد - دوران غير صحيح - فضاء جزئي |
| **جبر متعدد الخطية** | تينسور > ( معالجة كلاسيكية للتينسورات - معالجة متوسطة للتينسور - معالجة خالية من التنسورات ) - موتر >(جبر خارجي-جبر متماثل ) |
| **فضاء تآلفي** | تحويل أفيني-زمرة أفينية-هندسة تآلفية |
| **فضاء إسقاطي** | تحويل إسقاطي-هندسة إسقاطية-سطح الدرجة الثانية |

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة جبر