دالة الجيب و جميع الدوال الحدودية المقتربة منها دوال فردية. هذه الصورة تبين {\displaystyle \sin(x)} ومتعددات الحدود المقتربة منها من الدرجات الأولى والثالثة والخامسة والسابعة والتاسعة والحادية عشر والثالثة عشر.
في الرياضيات، **الدوال الزوجية** (بالإنجليزية: Even functions)‏ و**الدوال الفردية** (بالإنجليزية:  Odd functions)‏ هي دوال تحقق شرطا معينا يتعلق بالتماثل.

هذه الدوال مهمة في العديد من مجالات التحليل الرياضي، وخصوصا في متسلسلات القوى ومتسلسلات فورييه.

تعريف
-----

### الدالة الزوجية

*ƒ*(*x*) = *x*2 مثال على الدوال الزوجية.
تكون دالة ما **زوجية** إذا تحقق {\displaystyle f(-x)=f(x)} لكل قيم {\displaystyle x}. أي أن قيمة {\displaystyle y=f(x)} لا تتغير عند وضع {\displaystyle -x}بدلاً من {\displaystyle x}.

إذا لم تكن الدالة زوجية، فهي إما أنها دالة فردية أو أنها لا زوجية ولا فردية.

### الدالة الفردية

*ƒ*(*x*) = *x*3 مثال على الدوال الفردية.
'*الدالة الفردية **أو** الاقتران الفردي**، وتكون الدالة f فردية** إذا كان* {\displaystyle f(-x)=-f(x)} *لكل قيم* {\displaystyle x}.

فمثلا {\displaystyle f(x)=\sin(x)}هي دالة فردية.

لأن {\displaystyle \sin(-x)=-\sin(x)} مهما كانت {\displaystyle x}.

أمثلة
-----

### دالة كثيرة الحدود ذات أسس زوجية فقط

{\displaystyle {\mathcal {}}p(x)=a\_{n}x^{n}+a\_{n-2}x^{n-2}+...+a\_{2}x^{2}+a\_{0}}

حيث {\displaystyle n} عدد زوجي، {\displaystyle \ P(x)=P(-x)}
و الإشارة السالبة ستختفي من كل حد بسبب القوى الزوجية.

مثال :

الدالة التربيعية
{\displaystyle \ y=f(x)=x^{2}+5}

هي دالة زوجية لأن قيمة **y** لا تتغير سواء كانت قيمة مدخل الدالة هو x أو هو -x. على سبيل المثال،

{\displaystyle \ (-3)^{2}=3^{2}=9}

### دالة مثلثية زوجية

دالة جيب التمام

{\displaystyle y=\cos x}

### دالة القيمة المطلقة

{\displaystyle \left\vert x\right\vert =\left\vert -x\right\vert }

### الدالة الصفرية

الدالة الصفرية هي دالة زوجية وفردية في آن معا {\displaystyle f(x)=f(-x)=-f(x)}.
هي الدالة الوحيدة التي تحقق هذه الخاصية.

خصائص أساسية
------------

### الوحدة

* إذا كانت دالة ما زوجية وفردية في آن واحد، فإنها تساوي الصفر حيثما عُرّفت.
* إذا كانت دالة ما فردية، فإن القيمة المطلقة لهذه الدالة تعرف دالة زوجية.

### الجمع والطرح

* جمع أو طرح دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
* جمع أو طرح دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
* جمع دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة لا هي فردية ولا هي زوجية، إلا إذا كانت إحدى الدالتين مساوية للصفر.

### الضرب والقسمة

* جداء دالتين زوجيتين هو دالة زوجية.
* جداء دالتين فرديتين هو دالة زوجية.
* جداء دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة فردية.
* قسمة دالة زوجية على دالة زوجية أخرى هو دالة زوجية.
* قسمة دالة فردية على دالة فردية أخرى هو دالة زوجية.
* قسمة دالة فردية على دالة زوجية أو عكس ذلك يعطي دالة فردية.

### التركيب

* تركيب دالتين زوجيتين يعطي دالة زوجية.
* تركيب دالتين فرديتين يعطي دالة فردية.
* تركيب دالتين إحداهما زوجية والأخرى فردية يعطي دالة زوجية.
* تركيب دالتين لا شرط على الأولى والثانية زوجية هو دالة زوجية (العكس غير صحيح).

المعنى الهندسي
--------------

متناظرة حول محور التراتيب، حيث يظهر ذلك في تمثيل الدوال الزوجية.
و الدالة الفردية متناظرة بالنسبة للمبدا

انظر أيضا
---------

* دالة صفرية
* دالة هرميتية
* متسلسلة تايلور وماكلورين
* متسلسلة فورييه
* تكافؤ (فيزياء)
* زوجية العدد صفر

مراجع
-----

1. ↑  Berners، Dave (أكتوبر 2005). "Ask the Doctors: Tube vs. Solid-State Harmonics". *UA WebZine*. Universal Audio. مؤرشف من الأصل في 2018-01-01. اطلع عليه بتاريخ 2016-09-22. To summarize, if the function f(x) is odd, a cosine input will produce no even harmonics. If the function f(x) is even, a cosine input will produce no odd harmonics (but may contain a DC component). If the function is neither odd nor even, all harmonics may be present in the output.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي