**نظرية الفئة** أو **نظرية الفئات** (بالإنجليزية: Category Theory)‏ في الرياضيات، وتتناول البنى الرياضية المختلفة بطريقة مجردة لتدرس خصائصها الأساسية والعلاقات المتبادلة فيما بينها وهي شديدة الصلة مع الطوبولوجيا الجبرية خصوصا في بداية نشأتها عندما تأسست من قبل صموئيل إيلينبرغ *Samuel Eilenberg* وسوندرز ماكلين في عام 1945. تظهر **الفئات** في جميع فروع الرياضيات وبعض فروع علم الحاسوب النظري والفيزياء الرياضية.

الفئات ، الأشياء ، والمورفيزمات
-------------------------------

تتكون الفئة C من معطيين:

·        جماعة  C0 من العناصر تسمى **أشياء** C نرمز لها، غالبا، بأحرف لاتينية كبيرة X، Y،  Z...

·        جماعة C1 من العناصر تسمى مورفيزمات أو **أسهم** C، غالبا، ما نرمز لها بأحرف صغيرة 𝒻، ℊ، 𝒽.

بحيث تحقق ما يلي:

·        يرتبط بكل سهم أو مورفيزم 𝒻 شيئان، يُسمى الأول بالمصدر أو المجال s(𝒻)  والشيء الثاني بالهدف t(𝒻)، عندما يكون للمورفيزم 𝒻 مصدر X وهدف Y نكتب :  𝒻 :X⟶Y .

·        كل شيء X له سهم مميز يسمى بمورفيزم أو سهم المطابقة idx :X→X. حيث يشير id  إلى identity أي المطابقة، طلبا للاختصار سنستعمل رمزا آخر لسهم المطابقة على X وهو 1X

·      عندما يكون  هدف السهم 𝒻 مطابقا لمصدر السهم ℊ، أي   (ℊ)t(𝒻)=s، ، عندئذ  يمكن تركيب السهمين لنحصل على مورفيزم جديد 𝒻∘ℊ يسمى بالمورفيزم المركب، بحيث إن مصدر السهم المركب 𝒻∘ℊ هو مصدر 𝒻، وهدفه هو هدف ℊ، نكتب ذلك بصيغة رمزية :

s( ℊ∘𝒻)=s(𝒻) و  t( ℊ∘𝒻)=t(ℊ) ، نمثل ذلك مبيانيا على الشكل الآتي:

```
𝒻 :X⟶Y , ℊ :Y⟶Z ⇝ ℊ∘𝒻 :X⟶Z

```
نقرأ المركب 𝒻∘ℊ  هكذا : ℊ بعد 𝒻، أو تركيب  𝒻 مع ℊ ، عملية تركيب الأسهم هي عملية ثنائية جزئية[1] بمعنى أنها غير معرفة على جميع الأسهم، خلافا للعمليات التي رأيناها سابقا مع البنيات الجبرية، ففي الزمرة مثلا عملية الزمرة معرفة على جميع عناصر المجموعة .

يجب أن تحقق هذه البنية ما يلي:

·        الوحدانية : لكل مورفيزم     𝒻 :X⟶Y، التركيبان  𝒻∘idx و 𝒻idy∘ مساويان لــ 𝒻

الرسم البياني في الشكل 67 **تبادلي[1]** ومن ثم فإن :

```
𝒻∘idx = 𝒻∘idy
```
·        التجميعية : إذا كان 𝒻 :X⟶Y و ℊ :Y⟶Z           و Z⟶W:𝒽  فإن :

---

[1] -تبادلي ترجمة للمصطلح الأجنبي commutative

---

[1] - partial binary operation

---

[1] - يتجنب علماء الرياضيات استعمال مصطلح مجموعة وتعويضه بمصطلح جماعة بسبب أزمة الأسس التي عصفت بنظرية المجموعات مع ظهور المفارقات التي ارتبطت بمفهوم المجموعة Set ، لذلك استبدلت بصنف class

[2] -يشير الحرف s إلى المصدر source فمصدر السهم 𝒻  يرمز له بالرمز s(𝒻) ، أما الحرف t فيشير إلى الهدف target ويرمز له بالرمز t(𝒻)

[3] Identity morphism

خلفية حول الموضوع
-----------------

دراسة التصنيفات محاولة لالتقاط ما هو شائع ومشترك في الأصناف المختلفة للبنى الرياضية المتنوعة.

ليكن لدينا الصف **Grp** من الزمر المؤلفة من جميع الأغراض التي لها «بنية زمرة». بشكل أكثر تحديدا، **Grp** تتألف من جميع المجموعات *G* المزودة بعلاقة ثنائية والتي تحقق مجموعة من البدهيات. وعن طريق مجموعة البدهيات تلك يمكن للمرء استنتاج مجموعة من المبرهنات حول الزمر. فمثلا من المسلمات الأساسية يمكن الاستنتاج مباشرة أن العنصر الحيادي للزمرة يكون وحيدا.

وبدلا من التركيز على الأغراض المفردة (الزمر) التي تمتلك نفس الخواص والبنية، كما تفعل النظريات الرياضية عادة، تحاول نظرية التصنيف ان تركز على انحفاظ الشكل - أي العمليات المحافظة على البنية - بين مختلف الأغراض. وقد تبين من دراسة انحفاظات الشكل أنها تمكننا من معرفة المزيد حول بنية الأغراض ذاتها (الزمر هنا). انحفاظات الشكل هنا هي تشاكل الزمر. تشاكل الزمر بين زمرتين «هو ما يحفظ بنية الزمرة» بشكل دقيق - أي أنه إسقاط دقيق لزمرة على أخرى، غنع «عملية» تأخذ الزمرة إلى زمرة أخرى. ومجمل المعلومات حول بنية الزمرة الأولى تصبح في الزمرة الثانية. دراسة تشاكلات الزمر تؤمن وسيلة ممتازة لدراسة الخواص العامة للزمر ونتائج بدهيات الزمر.

المراجع
-------

1. ↑  New Structures for Physics Number 831 in Lecture Notes in Physics. Springer-Verlag, 2011 نسخة محفوظة 17 ديسمبر 2017 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  Rosen، Robert (1958). "The representation of biological system from the standpoint of the theory of categories". *Bulletin of Mathematical Biophysics*. ج. 20: 317–341.
3. ↑  Eilenberg، Samuel؛ MacLane، Saunders (1945). "General theory of natural equivalences". *Transactions of the American Mathematical Society*. ج. 58: 247. DOI:10.1090/S0002-9947-1945-0013131-6. ISSN:0002-9947. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
4. ↑  طارق المالكي (2023). *نظرية الربط البنيوي* (ط. الاولى). دار كنوز المعرفة. ص. 260. ISBN:978-9923-49-146-1.

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: نظرية الفئة |



| * ع
* ن
* ت
فروع الرياضيات التي تهتم بدراسة البنية |
| --- |
| 
* جبر تجريدي
* نظرية الأعداد
* الهندسة الجبرية
* نظرية الزمر
* المونويدات
* التحليل الرياضي
* الطوبولوجيا
* جبر خطي
* نظرية المخططات
* الجبر الشامل
* نظرية الأصناف
* نظرية الترتيب
* القياس

 |

| * ع
* ن
* ت
فروع الرياضيات |
| --- |
| 
* تاريخ
* مخطط
* قائمة الرموز

 |
| أسس الرياضيات | 
* نظرية الفئة
* نظرية المعلومات
* منطق رياضي
* فلسفة الرياضيات
* نظرية المجموعات
* نظرية النمط

 |
| الجبر | 
* جبر مجرد
* جبر تبادلي
* جبر ابتدائي
* نظرية الزمر
* جبر خطي
* جبر متعدد الخطية
* جبر شامل
* جبر تماثلي

 |
| التحليل الرياضي | 
* تفاضل وتكامل
* تحليل حقيقي
* تحليل عقدي
* تحليل فوق عقدي
* معادلة تفاضلية
* تحليل دالي
* تحليل توافقي
* نظرية القياس

 |
| الرياضيات المتقطعة | 
* تركيبات
* نظرية البيان
* نظرية الترتيب

 |
| الهندسة الرياضية | 
* هندسة جبرية
* هندسة تحليلية
* هندسة حسابية
* هندسة تفاضلية
* هندسة متقطعة
* هندسة إقليدية
* هندسة منتهية

 |
| نظرية الأعداد | 
* حسابيات
* نظرية الأعداد الجبرية
* نظرية الأعداد التحليلية
* هندسة ديفونتية

 |
| الطوبولوجيا | 
* طوبولوجيا عامة
* طوبولوجيا جبرية
* طوبولوجيا تفاضلية
* طوبولوجيا هندسية
* نظرية التجانس

 |
| الرياضيات التطبيقية | 
* رياضيات هندسية
* علم الأحياء الرياضي
* كيمياء رياضية
* اقتصاد رياضي
* رياضيات مالية
* فيزياء رياضية
* علم النفس الحسابي
* علم الاجتماع الرياضي
* إحصاء رياضي
* نظرية الاحتمال
* إحصاء
* علم الأنظمة
	+ نظرية التحكم
	+ نظرية الألعاب
	+ بحوث العمليات

 |
| الرياضيات المحوسبة | 
* علم الحاسوب
* نظرية الحوسبة
* نظرية التعقيد الحسابي
* تحليل عددي
* استمثال
* حساب رمزي

 |
| مواضيع ذات صلة | 
* عالم رياضيات
* رياضيات غير رسمية
* رياضيات مسلية
* الرياضيات والفن
* تعليم الرياضيات

 |
| 
* صفحة تصنيف **تصنيف**
* **بوابة**
* صفحة في ويكي كومنز **كومنز**
* صفحة مشروع **ويكي مشروع**

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علم الحاسوب
* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأصناف

| ضبط استنادي عدلها في ويكي بيانات |
| --- |
| وطنية | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |
| أخرى | 
* موسوعة أوكرانيا الحديثة (ESU)

 |