*هذا المقال يتعلق باختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على أعداد ميرسين فقط. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر الذي ينطبق على عدد طبيعي ما أيا كان، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس لأولية عدد ما. من أجل اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل، المرجو النظر إلى اختبار لوكاس-ليهمر-غيزل.*

في الرياضيات، **اختبار لوكاس ليهمر** هو اختبار أولية أعداد ميرسين. اخترع هذا الاختبار من طرف إدوارد لوكاس عام 1856، فطوره لوكاس نفسه عام 1878، كما طوره أيضا ديريك هنري ليهمر في ثلاثينات القرن العشرين.

الاختبار
--------

يعمل اختبار لوكاس-ليهمر كما يلي. ليكن *M**p* = 2*p* − 1 عدد ميرسن حيث p عدد أولي فردي. لنعرف المتتالية {\displaystyle \{s\_{i}\}} كما يلي حيث i عدد طبيعي أكبر من الصفر:

{\displaystyle s\_{i}={\begin{cases}4&{\text{if }}i=0;\\s\_{i-1}^{2}-2&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
الحدود الأولى القليلة من هذه المتتالية هن 4، 14، 194، 37634، ...(انظر إلى موسوعة المتتاليات الصحيحة على الإنترنت). يكون العدد *M**p* أوليا إذا وفقط إذا توفر ما يلي :

{\displaystyle s\_{p-2}\equiv 0{\pmod {M\_{p}}}}
يسمى العدد *s**p* − 2 mod *M**p* *باقي لوكاس-ليهمر للعدد p*.

أمثلة
-----

عدد ميرسن M3 = 23−1 = 7 أولي. اختبار لوكاس-ليهمر يتحقق من ذلك كما يلي. بدايةً، تُعطى القيمة 4 للمتغير s. وبعد ذلك تُغير قيمته. 3−2 = 1 مرةً:

* s ← ((4 × 4) − 2) mod 7 = 0.

بما أن القيمة النهائية ل s هي الصفر، فإن الاستنتاج هو أن M3 أولي.

من ناحية أخرى، M11 = 2047 = 23 × 89 عدد غير أولي. مجددا، *تُعطى القيمة أربعة ل s. ولكن قيمته تُبدل 11−2 = 9 مرةً :*

* s ← ((4 × 4) − 2) mod 2047 = 14
* s ← ((14 × 14) − 2) mod 2047 = 194
* s ← ((194 × 194) − 2) mod 2047 = 788
* s ← ((788 × 788) − 2) mod 2047 = 701
* s ← ((701 × 701) − 2) mod 2047 = 119
* s ← ((119 × 119) − 2) mod 2047 = 1877
* s ← ((1877 × 1877) − 2) mod 2047 = 240
* s ← ((240 × 240) − 2) mod 2047 = 282
* s ← ((282 × 282) − 2) mod 2047 = 1736

بما أن القيمة النهائية ل s لا تساوي الصفر، *الاستنتاج هو M11 = 2047 عدد ليس بأولي. رغم أن M11 = 2047 لا يملك معاملات بديهية، اختبار لوكاس-ليهمر لا يعطي أي إشارة إلى قيمة هذه العوامل.*

البرهان على الصحة
-----------------

برهان الصحة المقدم هنا أبسط من البرهان الأصلي الذي جاء به ليهمر. تذكر التعريف

{\displaystyle s\_{i}={\begin{cases}4&{\text{if }}i=0;\\s\_{i-1}^{2}-2&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}
الهدف هو البرهان على أن *M**p* أولي إذا وفقط إذا توفر {\displaystyle s\_{p-2}\equiv 0{\pmod {M\_{p}}}.}

المتتالية {\displaystyle {\langle }s\_{i}{\rangle }} معرفة بعلاقة استدعاء ذاتي يمكن تعريفها بتعبير منغلق الشكل. ليكن {\displaystyle \omega =2+{\sqrt {3}}} و {\displaystyle {\bar {\omega }}=2-{\sqrt {3}}}. يأتي من ذلك باستعمال البرهان بالترجح ما يلي: أن {\displaystyle s\_{i}=\omega ^{2^{i}}+{\bar {\omega }}^{2^{i}}} لجميع قيم *i*:

{\displaystyle s\_{0}=\omega ^{2^{0}}+{\bar {\omega }}^{2^{0}}=\left(2+{\sqrt {3}}\right)+\left(2-{\sqrt {3}}\right)=4}
و

{\displaystyle {\begin{aligned}s\_{n}&=s\_{n-1}^{2}-2\\&=\left(\omega ^{2^{n-1}}+{\bar {\omega }}^{2^{n-1}}\right)^{2}-2\\&=\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}}+2(\omega {\bar {\omega }})^{2^{n-1}}-2\\&=\omega ^{2^{n}}+{\bar {\omega }}^{2^{n}}.\end{aligned}}}
المرحلة الأخيرة تستعمل {\displaystyle \omega {\bar {\omega }}=\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(2-{\sqrt {3}}\right)=1.} هذه الصيغة المغلقة مستعملة في كل من البرهان على كونه كافيا وفي البرهان على كونه ضروريا.

### كونه كافيا

الهدف هو البرهان على أن {\displaystyle s\_{p-2}\equiv 0{\pmod {M\_{p}}}} تؤدي إلى {\displaystyle M\_{p}} أوليا. فيما يلي برهان يستعمل نظرية الزمر الابتدائية، جاء به J. W. Bruce كما شهد بذلك Jason Wojciechowski.

افترض أن {\displaystyle s\_{p-2}\equiv 0{\pmod {M\_{p}}}.} إذن،

{\displaystyle \omega ^{2^{p-2}}+{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}=kM\_{p}}
حيث *k* عدد صحيح ما. إذن،

{\displaystyle \omega ^{2^{p-2}}=kM\_{p}-{\bar {\omega }}^{2^{p-2}}.}
ضرب الحدين في {\displaystyle \omega ^{2^{p-2}}} يعطي :

{\displaystyle \left(\omega ^{2^{p-2}}\right)^{2}=kM\_{p}\omega ^{2^{p-2}}-(\omega {\bar {\omega }})^{2^{p-2}}.}
إذن،

{\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}=kM\_{p}\omega ^{2^{p-2}}-1.\qquad \qquad (1)}
من أجل الوصول إلى تناقض، , يفترض أن *M**p* هو عدد مركب (أي غير أولي), وليكن *q* أصغر القواسم الأولية ل *M**p*. أعداد ميرسن فردية , إذن، *q* > 2. , لتكن {\displaystyle \mathbb {Z} \_{q}} مجموعة الأعداد الصحيحة بتردد *q*, لتكن {\displaystyle X=\left\{a+b{\sqrt {3}}\mid a,b\in \mathbb {Z} \_{q}\right\}.} الضرب في {\displaystyle X} معرف كما يلي

{\displaystyle \left(a+{\sqrt {3}}b\right)\left(c+{\sqrt {3}}d\right)=[(ac+3bd)\,{\bmod {\,}}q]+{\sqrt {3}}[(ad+bc)\,{\bmod {\,}}q].}
يبدو بشكل واضح أن عملية الضرب مغلقة، أي أن جداء عددين ينتميان إلى المجموعة *X* هو بذاته ينتمي إلى *X*. يرمز إلى عدد عناصر المجموعة *X* ب {\displaystyle |X|.}

بما أن *q* > 2, فإن {\displaystyle \omega } و {\displaystyle {\bar {\omega }}} هي في *X*. المجموعة الجزئية من *X* المكونة من العناصر التي تملك عنصرا معاكسا، تكون زمرة، يرمز إليها ب *X\**، ويرمز إلى عدد عناصرها ب {\displaystyle |X^{\*}|}.

عنصر من *X* والذي لا يملك عنصرا معاكسا هو 0, إذن، {\displaystyle |X^{\*}|\leq |X|-1=q^{2}-1.}

حاليا {\displaystyle M\_{p}\equiv 0{\pmod {q}}} and {\displaystyle \omega \in X}, إذن،

{\displaystyle kM\_{p}\omega ^{2^{p-2}}=0}
in *X*.
إذن، من خلال المعادلة (1),

{\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}=-1}
في *X*, رفع كلا الحدين إلى المربع يعطي ما يلي:

{\displaystyle \omega ^{2^{p}}=1.}
إذن، {\displaystyle \omega } هو موجود في *X*\* وله عنصر معاكس {\displaystyle \omega ^{2^{p}-1}.} أضف إلى ذلك, the رتبة of {\displaystyle \omega } يقسم {\displaystyle 2^{p}.} ولكن {\displaystyle \omega ^{2^{p-1}}\neq 1}, إذن، الرتبة لا تقسم {\displaystyle 2^{p-1}.} إذن، الرتبة هي بالتحديد {\displaystyle 2^{p}.}

رتبة عنصر في زمرة تساوي على الأكثر عدد عانصر تلك الزمرة. إذن،

{\displaystyle 2^{p}\leq |X^{\*}|\leq q^{2}-1<q^{2}.}
ولكن q هو أصغر عامل أولي من بين الأعداد الأولية اللائي يشكلن تفكيك {\displaystyle M\_{p}} إلى جداء عوامل أولية. إذن،

{\displaystyle q^{2}\leq M\_{p}=2^{p}-1.}
هذا يؤدي إلى التناقض {\displaystyle 2^{p}<2^{p}-1}. إذن, {\displaystyle M\_{p}} أولي.

### كونه ضروريا

تطبيقات
-------

يستعمل اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت من أجل البحث عن الأعداد الأولية الكبيرة. انظر إلى أعداد فيرما.

انظر أيضا
---------

* البحث الكبير عن أعداد ميرسين الأولية في الإنترنت.

ملاحظات
-------

1. ↑  Formally, لتكن {\displaystyle \mathbb {Z} \_{q}=\mathbb {Z} /q\mathbb {Z} } and {\displaystyle X=\mathbb {Z} \_{q}[T]/\langle T^{2}-3\rangle }.
2. ↑  Formally, {\displaystyle \omega +\langle T^{2}-3\rangle } and {\displaystyle {\bar {\omega }}+\langle T^{2}-3\rangle } are in *X*. By abuse of language {\displaystyle \omega } and {\displaystyle {\bar {\omega }}} are identified with their images in *X* under the natural ring homomorphism from {\displaystyle \mathbb {Z} [{\sqrt {3}}]} to *X* which sends {\displaystyle {\sqrt {3}}} to *T*.

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن اختبار لوكاس-ليهمر لأولية عدد ما على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-07-16.
2. ↑  Bruce، J. W. (1993). "A Really Trivial Proof of the Lucas–Lehmer Test". *The American Mathematical Monthly*. ج. 100 ع. 4: 370–371. DOI:10.2307/2324959.
3. ↑  Jason Wojciechowski. Mersenne Primes, An Introduction and Overview. 2003.

وصلات خارجية
------------

  


| * ع
* ن
* ت
خوارزميات نظرية الأعداد |
| --- |
| اختبارا ت أولية عدد ما | 
* اختبار أ.ك.أس
* APR test
* Baillie–PSW
* ECPP test
* المنحنيات الإهليلجية
* بوكلينغتن
* فيرما
* لوكاس
* *لوكاس-ليهمر*
* *Lucas–Lehmer–Riesel*
* *مبرهنة بروث*
* *Pépin's*
* اختبار فروبنيوس التربيعي
* Solovay–Strassen
* ميلر-رابن

 |
| توليد الأعداد الأولية | 
* غربال أتكين
* غربال إراتوستينس
* غربال صوندارام
* Wheel factorization

 |
| تحليل عدد صحيح إلى عوامل | 
* Continued fraction (CFRAC)
* Dixon's
* منحنى لنسترا الإهليلجي
* أويلر
* Pollard's rho
* *p* − 1
* *p* + 1
* Quadratic sieve (QS)
* General number field sieve (GNFS)
* *Special number field sieve (SNFS)*
* غربال جذري
* عدد أولي
* Shanks' square forms
* قسمة متكررة
* شوور

 |
| حساب الجداء | 
* الطريقة المصرية القديمة
* Long
* Karatsuba
* Toom–Cook
* Schönhage–Strassen
* Fürer's

 |
| خوارزمية متقطعة | 
* Baby-step giant-step
* Pollard rho
* Pollard kangaroo
* Pohlig–Hellman
* Index calculus
* Function field sieve

 |
| قاسم مشترك أكبر | 
* Binary
* أقليدس
* إقليدس الممددة
* ليهمر

 |
| Modular square root | 
* Cipolla
* Pocklington's
* Tonelli–Shanks

 |
| خوارزميات أخرى | 
* Chakravala
* Cornacchia
* Integer relation
* جذر تربيعي صحيح
* Modular exponentiation
* Schoof's

 |
| 
* *الخط المائل* يدل على أن الخوارزمية قابلة للاستعمال عند أعداد تأخذ أشكال خاصة.
* Smallcaps يدل على خوارزمية قطعية

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد