|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| ميكانيكا الكم |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }معادلة شرودنغر |
| * مقدمة
* معجم
* تاريخ
 |
| خلفية
* ميكانيكا كلاسيكية
* النظرية الكمومية القديمة
* ترميز برا-كيت

* هاملتوني
* تداخل

 |
| أساسيات
* مكاملة
* إزالة الترابط
* تشابك
* مستوى طاقة
* القياس
* غير موضعي
* عدد كمي
* حالة
* تراكب
* تناظر
* نفق
* الريبة
* دالة موجية
	+ انهيار

 |
| تجارب
* عدم مساواة بيل
* دافيسون–جيرمر
* شقي يونغ
* إليزور–فايدمان
* فرانك–هرتز
* تباين ليجت–جارج
* ماخ–زيندر
* بوبر

* ممحاة كمومية
	+ اختيار متأخر

* قطة شرودنغر
* شتيرن–غيرلاخ
* الاختيار المتأخر لويلر

 |
| صيغ
* ملخص

* هايزنبرغ
* التآثر
* المصفوفة
* فضاء الطور
* شرودنغر
* صيغة تكامل المسار

 |
| معادلات
* ديراك
* كلاين-غوردون
* باولي
* ريدبرغ
* شرودنغر

 |
| تفسيرات
* ملخص

* بيشان
* التواريخ المتوافقة
* كوبنهاغن
* دي بروي-بوم
* فرقة
* المتغير الخفي
	+ المحلي
* العوالم المتعددة
* انهيار موضوعي
* منطق كمومي
* العلائقي
* المعاملات

 |
| موضوعات متقدمة
* ميكانيكا الكم النسبية
* نظرية الحقل الكمومي
* علم المعلومات الكمية
* حساب كمومي
* شواشية كمومية
* مصفوفة الكثافة
* نظرية التشتت
* ميكانيكا الإحصاء الكمومي
* التعلم الآلي الكمي
 |
| علماء
* أهارونوف
* بل
* بيته
* بلاكيت
* بلوخ
* بوم
* بور
* بورن
* بوز
* دي بروي
* كومبتون
* ديراك
* دافيسون
* ديباي
* إهرنفست
* أينشتاين
* إيفرت
* فوك
* فيرمي
* فاينمان
* غلاوبر
* جوتزويلر
* هايزنبيرغ
* هيلبرت
* جوردان
* كرامرز
* باولي
* لامب
* لانداو
* لاوي
* موزلي
* ميليكان
* أونس
* بلانك
* رابي
* رامان
* رايدبيرغ
* شرودنغر
* سيمونز
* سومرفيلد
* فون نيومان
* فايل
* فيين
* ويغنر
* زيمن
* تسايلينغر

 |
| شعار بوابة بوابة ميكانيكا الكم |
| * ع
* ن
* ت
 |

في علوم الفيزياء، تعرف **الديناميكا الحرارية الكمومية** أو **ثرموديناميكا الكم** بأنها العلم الذي يهتم بدراسة ديناميكا الحرارة والشغل في أنظمة الكم. بشكل تقريبي، تحاول ثرموديناميكا الكم دمج الديناميكا الحرارية مع ميكانيكا الكم إلى واحدة متماسكة شاملة. النقطة الأساسية التي بدأت منها ميكانيكا الكم كانت في 1900 عندما أبرز ماكس بلانك «فرضية الكم».

حسب الرؤية الديناميكية
----------------------

هناك ارتباط وثيق بين الديناميكا الحرارية الكمومية ونظرية الأنظمة الكمومية المفتوحة. تدخل ميكانيكا الكم الديناميكا في الديناميكا الحرارية، معطيةً أساسًا صلبًا لترموديناميكا الزمن المنتهي. الافتراض الرئيسي هو أن العالم كله نظام كبير مغلق، وبالتالي فإن تطور الزمن محكوم بتحويل وحدوي يولده هاملتوني عالمي. في سيناريو النظام والحوض المدمجين يمكن تفكيك الهاميلتوني إلى:

{\displaystyle H=H\_{S}+H\_{B}+H\_{SB}}

حيث {\displaystyle H\_{S}} هاميلتوني النظام، و{\displaystyle H\_{B}} هاميلتوني الحوض، و{\displaystyle H\_{SB}} هو تفاعل الحوض-النظام. يمكن الحصول على حالة النظام من أثر جزئي على النظام والحوض معًا: {\displaystyle \rho \_{S}(t)=Tr\_{B}(\rho \_{SB}(t))}. الديناميكا المختزلة وصف مكافئ لديناميكا النظام التي تستخدم فقط معاملات النظام. بافتراض خاصية ماركوف للديناميكا فإن المعادلة الأساسية لحركة نظام كمومي مفتوح هي معادلة ليندبالد (جي كي إل إس):

{\displaystyle {\dot {\rho }}\_{S}=-{i \over \hbar }[H\_{S},\rho \_{S}]+L\_{D}(\rho \_{S})}

{\displaystyle H\_{S}} جزء هاميلتوني (هيرميتي) و{\displaystyle L\_{D}}:

{\displaystyle L\_{D}(\rho \_{S})=\sum \_{n}\left(V\_{n}\rho \_{S}V\_{n}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left(\rho \_{S}V\_{n}^{\dagger }V\_{n}+V\_{n}^{\dagger }V\_{n}\rho \_{S}\right)\right)}

هو الجزء التبديدي الذي يصف ضمنيًّا عن طريق معاملات النظام {\displaystyle V\_{n}} أثر الحوض على النظام. تحتم خاصية ماركوف عدم تعلق النظام والحوض ببعضهما في كل الأوقات {\displaystyle \rho \_{SB}=\rho \_{s}\otimes \rho \_{B}}. معادلة (إل-جي كي إس) وحيدة الاتجاه وتؤدي بأي حالة ابتدائية {\displaystyle \rho \_{S}} إلى حل حالة ساكنة لا يتغير مع معادلة الحركة {\displaystyle {\dot {\rho }}\_{S}(t\rightarrow \infty )=0}.

توفر صورة هايزنبرغ ربطًا مباشرًا مع الظواهر الملاحظة في ترموديناميكا الكم. لديناميكا ظاهرة في النظام يمثلها المعامل *{\displaystyle O}* الشكل التالي:

{\displaystyle {\frac {dO}{dt}}={\frac {i}{\hbar }}[H\_{S},O]+L\_{D}^{\*}(O)+{\frac {\partial O}{\partial t}}}

حيث تشتمل احتمالية أن المعامل *{\displaystyle O}* معتمد صراحةً على الزمن.

### ظهور المشتق الزمني للقانون الأول في الديناميكا الحرارية

عندما {\displaystyle O=H\_{S}} يظهر القانون الأول في الديناميكا الحرارية:{\displaystyle {\frac {dE}{dt}}=\left\langle {\frac {\partial H\_{S}}{\partial t}}\right\rangle +\langle L\_{D}^{\*}(H\_{S})\rangle }حيث تفسر الاستطاعة بأنها {\displaystyle P=\left\langle {\frac {\partial H\_{S}}{\partial t}}\right\rangle } وتيار الحرارة{\displaystyle J=\langle L\_{D}^{\*}(H\_{S})\rangle }.

يجب وضع شروط إضافية على المبدد {\displaystyle L\_{D}} ليتوافق مع الديناميكا الحرارية. أولًا يجب أن يصبح الثابت {\displaystyle \rho \_{S}(\infty )} حالة توازن غيبس. هذا يعني أن المبدد {\displaystyle L\_{D}} يجب أن يتبادل مع الجزء الوحدوي الذي ولده {\displaystyle H\_{S}}. أيضًا فإن حالة التوازن ثابتة ومستقرة. يستخدم هذا الافتراض لاشتقاق معيار كوبو-مارتن-شفاينغر لاستقرار التوازن الحراري (أي حالة ك. م. ش.).

يمكن الحصول على مقاربة فريدة ومتجانسة باشتقاق المولد {\displaystyle L\_{D}} في حد الاقتران الضعيف للنظام والحوض. يمكن إهمال طاقة التفاعل في هذا الحد. تمثل هذه المقاربة استمثالًا ترموديناميكيًّا: إذ تسمح بانتقال الطاقة مع إبقاء عزل الجداء الموتري بين النظام والحوض، أي نسخة كمومية من تجزئة إيزوترمية (بثبات درجة الحرارة).

يتضمن السلوك الماركوفي تعاونًا معقدًا بين ديناميكا النظام والحوض. هذا يعني أنه في المعالجات الظواهرية، لا يمكن دمج هاميلتونيات اعتباطية للنظام {\displaystyle H\_{S}} مع مولد (إل- جي كي إس) معطى. هذه الملاحظة مهمة بشكل خاص في سياق الديناميكا الحرارية الكمومية، حيث يميل الناس إلى دراسة الديناميكا الماركوفية بهاميلتوني تحكم اعتباطي. يمكن للاشتقاقات الخاطئة للمعادلة الكمومية الرئيسية أن تقود بسهولة إلى خرق قوانين الديناميكا الحرارية.

الاضطراب الخارجي الذي يعدل هاميلتوني النظام يعدل كذلك تدفق الحرارة. كنتيجة لذلك يجب أن تعاد معايرة مولد إل-جي كي إس. يمكن في حالة التغير البطيء تبني الطريقة الأديباتية واستخدام هاميلتوني النظام الآني لاشتقاق {\displaystyle L\_{D}}. من تصنيفات المشاكل المهمة في الديناميكا الحرارية الكمومية الأنظمة المقادة دوريًّا. توضع محركات الحرارة الكمومية الدورية والبرادات المقادة بالاستطاعة ضمن هذا التصنيف.

اقتُرحت إعادة معاينة علاقة تيار الحرارة المعتمد على الزمن باستخدام تقنيات النقل الكمومي.

اقتُرح اشتقاق الديناميكا المتجانسة وراء حد الاقتران الضعيف.

### ظهور القانون الثاني

القانون الثاني للديناميكا الحرارية ينص على لاعكوسية الديناميكا، أو عدم تناظر عكس الزمن. يجب أن يكون هذا متسقًا مع التعريف التجريبي المباشر: الحرارة تتدفق بشكل عفوي من المنبع الساخن إلى المصرف البارد.

من وجهة نظر استاتيكية (سكونية)، لأجل نظام كمومي مغلق، فإن القانون الثاني في الديناميكا الحرارية نتيجة للتطور الوحدوي. في هذه المقاربة، يجب تعويض تغير الإنتروبيا قبل التغير في النظام الكلي وبعده. تبنى وجهة النظر الديناميكية على التعويض المحلي لتغيرات الإنتروبيا في الأنظمة الفرعية والإنتروبيا المولدة في الأحواض.

#### الإنتروبيا

في الديناميكا الحرارية، الإنتروبيا تتعلق بعملية ملموسة. في ميكانيكا الكم، يترجم هذا إلى قابلية قياس النظام والتلاعب به بناءً على المعلومات المحصلة من القياس. من الأمثلة عفريت ماكسويل، الذي حل مسألته ليو سزيلارد.

تترافق إنتروبيا ظاهرة مدروسة ما مع القياس الإسقاطي الكامل للظاهرة المدروسة {\displaystyle \langle A\rangle } حيث يمتلك المعامل *{\displaystyle A}* تفكيكًا طيفيًّا: {\displaystyle A=\sum \_{j}\alpha \_{i}P\_{j}} حيث {\displaystyle P\_{j}} هي معاملات الإسقاط للقيمة الذاتية {\displaystyle \alpha \_{j}}. احتمال النتيجة j هو {\displaystyle p\_{j}=Tr(\rho P\_{j})}. الإنتروبيا المرافقة للظاهرة المدروسة {\displaystyle \langle A\rangle } هي إنتروبيا شانون فيما يخص النتائج المحتملة:

{\displaystyle S\_{A}=-\sum \_{j}p\_{j}\ln p\_{j}}

أكثر الظواهر المدروسة أهمية في الديناميكا الحرارية هي الطاقة الممثلة بالمعامل الهاميلتوني *{\displaystyle H}* وتترافق مع إنتروبيا الطاقة {\displaystyle S\_{E}}.

اقترح جون فون نيومان استبعاد أكثر ظاهرة مدروسة إعطاءً للمعلومات لتمييز إنتروبيا النظام. يُحصل على هذا الثابت بتقليل الإنتروبيا إلى الحد الأدنى بالنسبة إلى كل الظواهر المدروسة المحتملة. يتبادل معامل أكثر ظاهرة مدروسة إعطاءً للمعلومات مع حالة النظام. يصطلح على تسمية إنتروبيا هذه الظاهرة باسم إنتروبيا فون نيومان وهي تساوي:

{\displaystyle S\_{vn}=-Tr(\rho \ln \rho )}

كنتيجة فإن {\displaystyle S\_{A}\geq S\_{vn}} لأجل كل الظواهر المدروسة. عند التوازن الحراري فإن إنتروبيا الطاقة تساوي إنتروبيا فون نيومان:

{\displaystyle S\_{E}=S\_{vn}}{\displaystyle S\_{vn}}

{\displaystyle S\_{vn}} قيمتها ثابتة بالنسبة إلى تحويل وحدوي يعير الحالة. إنتروبيا فون نيومان {\displaystyle S\_{vn}} قابلة للجمع فقط لأجل حالة نظام تتكون من جداء موتري لأنظمتها الفرعية:

{\displaystyle \rho =\Pi \_{j}\otimes \rho \_{j}}

#### صيغة كلاوسيوس للقانون الثاني

لا يمكن إجراء عملية نتيجتها الوحيدة نقل الحرارة من جسم ذي درجة حرارة أقل إلى جسم ذي درجة حرارة أعلى.

يصبح نص هذا القانون لأجل N حوض حراري مقترن في حالة ساكنة:

{\displaystyle \sum \_{n}{\frac {J\_{n}}{T\_{n}}}\geq 0}

يمكن البرهنة على صيغة ديناميكية للقانون الثاني على أساس متراجحة سبون

{\displaystyle Tr\left(L\_{D}\rho [\ln \rho (\infty )-\ln \rho ]\right)\geq 0}

وهي صحيحة لأي مولد إل-جي كي إس ذي حالة ساكنة {\displaystyle \rho (\infty )}.

يمكن توظيف الاتساق مع الترموديناميكا للتحقق من النماذج الكمومية الديناميكية للنقل. على سبيل المثال، ظهر أن النماذج المحلية للشبكات التي تكون فيها معادلات إل-جي كي إس المحلية مرتبطة بروابط ضعيفة تخرق القانون الثاني للديناميكا الحرارية.

### الشروط الأديباتية الكمومية والترموديناميكية والاحتكاك الكمومي

لا تمتلك العمليات الترموديناميكية الكظومة تغيرًا في الإنتروبيا. يعدل تحكم خارجي عادةً الحالة. يمكن نمذجة نسخة كمومية من العملية الكظومة بهاميلتوني معتمد على الزمن متحكم به خارجيًّا *{\displaystyle H(t)}*. إذا كان النظام معزولًا فإن الديناميكا وحدوية، وبالتالي فإن {\textstyle S\_{vn}}{\displaystyle S\_{vn}}{\displaystyle S\_{vn}} ثابت. تعرف العملية الكمومية الأديباتية بثبات إنتروبيا الطاقة {\displaystyle S\_{E}}. بالتالي فإن شرط الكظامة الكمومي مكافئ لعدم وجود تغير صافٍ في عدد مستويات الطاقة الآنية. هذا يعني أن الهاميلتوني يجب أن يبدل نفسه عند أوقات زمنية مختلفة:

{\displaystyle [H(t),H(t')]=0}

عند عدم تحقق الشروط الأديباتية يطلب عمل إضافي للوصول إلى قيمة التحكم النهائية. لأجل نظام معزول فإن هذا العمل غير قابل للاسترجاع، بما أن الديناميكا وحدوية ويمكن عكسها. الاتساق المخزن في العناصر غير القطرية لمعامل الكثافة يحمل المعلومات المطلوبة لاسترجاع الكلفة الطاقية الإضافية وعكس الديناميكا. هذه الطاقة غير قابل للاسترجاع عادةً بسبب التفاعل مع خوض يسبب تغير طور الطاقة. يتصرف الحوض في هذه الحالة كمقياس للطاقة. هذه الطاقة الضائعة هي المكافئ الكمومي للاحتكاك.

### ظهور الصيغة الديناميكية للقانون الثالث للديناميكا الحرارية

هناك على ما يبدو شكلان مستقلان للقانون الثالث للديناميكا الحرارية وضع كلًّا منهما في الأساس فالتر نيرنست. يعرف الشكل الأول باسم نظرية نيرنست الحرارية ويمكن صياغته كالتالي:

* تسعى إنتروبيا أي مادة نقية في حالة توازن ترموديناميكي إلى الصفر عندما تسعى درجة الحرارة إلى الصفر.

الشكل الثاني هو ديناميكي ويعرف باسم مبدأ عدم الوصول

* من المستحيل بأي إجراء مهما كان مثاليًّا تخفيض تركيبة إلى درجة حرارة الصفر المطلق بعدد منتهٍ من العمليات.

يؤدي القانون الثاني في الديناميكا الحرارية في الحالة الساكنة إلى أن الإنتاج الكلي للإنتروبيا غير سالب. عندما يقترب الحوض البارد من درجة حرارة الصفر المطلق فمن الضروري إقصاء تفرق إنتاج الإنتروبيا في الجانب البارد عندما {\displaystyle T\_{c}\rightarrow 0}، ومنه:

{\displaystyle {\dot {S}}\_{c}\propto -T\_{c}^{\alpha }~~~,~~~~\alpha \geq 0~~.}

لأجل {\displaystyle \alpha =0} فإن تحقيق القانون الثاني يعتمد على إنتاج الإنتروبيا للأحواض الأخرى، والذي يجب أن يعوض إنتاج الإنتروبيا السالب للحوض البارد. تعدل الصيغة الأولى للقانون الثالث هذا القيد. بدل {\displaystyle \alpha \geq 0} يفرض القانون الثالث {\displaystyle \alpha >0}، ضامنًا أن إنتاج الإنتروبيا عند الصفر المطلق في الحوض البارد معدوم: {\displaystyle {\dot {S}}\_{c}=0}. يؤدي هذا الشرط إلى شرط التدريج للتيار الحراري {\displaystyle {J}\_{c}\propto T\_{c}^{\alpha +1}}.

يمكن إعادة صياغة الشكل الثاني المعروف باسم مبدأ عدم الوصول بالشكل التالي:

* لا يمكن لمبرد أن يبرد نظامًا إلى الصفر المطلق في وقت منتهٍ.

ديناميكا عملية التبريد محكومة بالعلاقة:

{\displaystyle {J}\_{c}(T\_{c}(t))=-c\_{V}(T\_{c}(t)){\frac {dT\_{c}(t)}{dt}}~~.}

حيث {\displaystyle c\_{V}(T\_{c})} هي السعة الحرارية للحوض. بأخذ {\displaystyle {J}\_{c}\propto T\_{c}^{\alpha +1}} و{\displaystyle c\_{V}\sim T\_{c}^{\eta }} مع {\displaystyle {\eta }\geq 0} يمكننا تكميم هذا الشكل بتقدير الأس المميز {\displaystyle \zeta } لعملية التبريد

{\displaystyle {\frac {dT\_{c}(t)}{dt}}\propto -T\_{c}^{\zeta },~~~~~T\_{c}\rightarrow 0,~~~~~{\zeta =\alpha -\eta +1}}

تقدم هذه المعادلة العلاقة بين الأس المميز {\displaystyle \zeta } و\alpha. عندما {\displaystyle \zeta <0} فإن الخوض يبرد إلى درجة حرارة الصفر في وقت منتهٍ، ما يعني اختراقًا للقانون الثالث. يتضح من المعادلة الأخيرة أن مبدأ عدم الوصول أكثر تقييدًا من نظرية نيرنست الحرارية.

مراجع
-----

1. ↑  Planck, Max. (1900). *"Entropy and Temperature of Radiant Heat."* Annalen der Physick, vol. 1. no 4. April, pg. 719-37. نسخة محفوظة 14 مايو 2008 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  Planck, Max. (1901). "*On the Law of Distribution of Energy in the Normal Spectrum*". Annalen der Physik, vol. 4, p. 553 ff. نسخة محفوظة 17 ديسمبر 2008 على موقع واي باك مشين.
3. 1 2 3 4  Kosloff، Ronnie (29 مايو 2013). "Quantum Thermodynamics: A Dynamical Viewpoint". *Entropy*. ج. 15 ع. 12: 2100–2128. arXiv:1305.2268. Bibcode:2013Entrp..15.2100K. DOI:10.3390/e15062100. ISSN:1099-4300.
4. ↑  Lindblad، G. (1976). "On the generators of quantum dynamical semigroups". *Communications in Mathematical Physics*. ج. 48 ع. 2: 119–130. Bibcode:1976CMaPh..48..119L. DOI:10.1007/bf01608499. ISSN:0010-3616.
5. ↑  Gorini، Vittorio (1976). "Completely positive dynamical semigroups of N-level systems". *Journal of Mathematical Physics*. ج. 17 ع. 5: 821–825. Bibcode:1976JMP....17..821G. DOI:10.1063/1.522979. ISSN:0022-2488.
6. ↑  Spohn, H.; Lebowitz, J. Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs. Adv. Chem. Phys. 1979, 38, 109.
7. ↑  Alicki، R (1979). "The quantum open system as a model of the heat engine". *Journal of Physics A: Mathematical and General*. ج. 12 ع. 5: L103–L107. Bibcode:1979JPhA...12L.103A. DOI:10.1088/0305-4470/12/5/007. ISSN:0305-4470.
8. ↑  Kosloff، Ronnie (15 فبراير 1984). "A quantum mechanical open system as a model of a heat engine". *The Journal of Chemical Physics*. ج. 80 ع. 4: 1625–1631. Bibcode:1984JChPh..80.1625K. DOI:10.1063/1.446862. ISSN:0021-9606.
9. ↑  Davies، E. B. (1974). "Markovian master equations". *Communications in Mathematical Physics*. ج. 39 ع. 2: 91–110. Bibcode:1974CMaPh..39...91D. DOI:10.1007/bf01608389. ISSN:0010-3616.
10. ↑  Ludovico، María Florencia؛ Lim، Jong Soo؛ Moskalets، Michael؛ Arrachea، Liliana؛ Sánchez، David (21 أبريل 2014). "Dynamical energy transfer in ac-driven quantum systems". *Physical Review B*. ج. 89 ع. 16: 161306(R). arXiv:1311.4945. Bibcode:2014PhRvB..89p1306L. DOI:10.1103/physrevb.89.161306. ISSN:1098-0121.
11. ↑  Esposito، Massimiliano؛ Ochoa، Maicol A.؛ Galperin، Michael (25 فبراير 2015). "Quantum Thermodynamics: A Nonequilibrium Green's Function Approach". *Physical Review Letters*. ج. 114 ع. 8: 080602. arXiv:1411.1800. Bibcode:2015PhRvL.114h0602E. DOI:10.1103/physrevlett.114.080602. ISSN:0031-9007. PMID:25768745.
12. ↑  Lieb، Elliott H.؛ Yngvason، Jakob (1999). "The physics and mathematics of the second law of thermodynamics". *Physics Reports*. ج. 310 ع. 1: 1–96. arXiv:cond-mat/9708200. Bibcode:1999PhR...310....1L. DOI:10.1016/s0370-1573(98)00082-9. ISSN:0370-1573.
13. ↑  Szilard, L. (1929). "Über die Entropieverminderung in einem thermodynamischen System bei Eingriffen intelligenter Wesen" [On the minimization of entropy in a thermodynamic system with interferences of intelligent beings]. *Zeitschrift für Physik* (بالألمانية). **53** (11–12): 840–856. Bibcode:1929ZPhy...53..840S. DOI:10.1007/bf01341281. ISSN:1434-6001.
14. ↑  Brillouin, L. Science and Information Theory ; Academic Press: New York, NY, USA, 1956. 107.
15. ↑  Maruyama، Koji؛ Nori، Franco؛ Vedral، Vlatko (6 يناير 2009). "Colloquium: The physics of Maxwell's demon and information". *Reviews of Modern Physics*. ج. 81 ع. 1: 1–23. arXiv:0707.3400. Bibcode:2009RvMP...81....1M. DOI:10.1103/revmodphys.81.1. ISSN:0034-6861.
16. ↑  Polkovnikov، Anatoli (2011). "Microscopic diagonal entropy and its connection to basic thermodynamic relations". *Annals of Physics*. ج. 326 ع. 2: 486–499. arXiv:0806.2862. Bibcode:2011AnPhy.326..486P. DOI:10.1016/j.aop.2010.08.004. ISSN:0003-4916.
17. ↑  Spohn, H.; Lebowitz, J. Irreversible thermodynamics for quantum systems weakly coupled to thermal reservoirs. Adv. Chem. Phys. 1978, 109, 38.
18. ↑  Levy، Amikam؛ Kosloff، Ronnie (1 يوليو 2014). "The local approach to quantum transport may violate the second law of thermodynamics". *Europhysics Letters*. ج. 107 ع. 2: 20004. arXiv:1402.3825. Bibcode:2014EL....10720004L. DOI:10.1209/0295-5075/107/20004. ISSN:0295-5075.
19. ↑  Kosloff، Ronnie؛ Feldmann، Tova (16 مايو 2002). "Discrete four-stroke quantum heat engine exploring the origin of friction". *Physical Review E*. ج. 65 ع. 5: 055102(R). arXiv:physics/0111098. Bibcode:2002PhRvE..65e5102K. DOI:10.1103/physreve.65.055102. ISSN:1063-651X. PMID:12059626.
20. ↑  Plastina، F.؛ Alecce، A.؛ Apollaro، T. J. G.؛ Falcone، G.؛ Francica، G.؛ وآخرون (31 ديسمبر 2014). "Irreversible Work and Inner Friction in Quantum Thermodynamic Processes". *Physical Review Letters*. ج. 113 ع. 26: 260601. arXiv:1407.3441. Bibcode:2014PhRvL.113z0601P. DOI:10.1103/physrevlett.113.260601. ISSN:0031-9007. PMID:25615295.
21. ↑  Landsberg، P. T. (1 أكتوبر 1956). "Foundations of Thermodynamics". *Reviews of Modern Physics*. ج. 28 ع. 4: 363–392. Bibcode:1956RvMP...28..363L. DOI:10.1103/revmodphys.28.363. ISSN:0034-6861.
22. ↑  Levy، Amikam؛ Alicki، Robert؛ Kosloff، Ronnie (26 يونيو 2012). "Quantum refrigerators and the third law of thermodynamics". *Physical Review E*. ج. 85 ع. 6: 061126. arXiv:1205.1347. Bibcode:2012PhRvE..85f1126L. DOI:10.1103/physreve.85.061126. ISSN:1539-3755. PMID:23005070.

وصلات خارجية
------------

* Quantum Thermodynamics and the Gibbs Paradox
* Quantum Thermodynamics
* On the Classical Limit of Quantum Thermodynamics in Finite Time [PDF-format]
* Quantum Thermodynamics - list of good related articles

* أيقونة بوابةبوابة ميكانيكا الكم
* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء