|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

**التكامل السطحي** في علم الرياضيات هو تكامل محدود مأخوذ على سطح جسم، يمكن النظر اليه كتكامل ثنائي تماثلي للتكامل الخطي.
للتكامل الخطي تطبيقات عدة خاصة في مجال الكهرومغناطيسيات.

تعريف التكامل السطحي يعتمد على تقسيم السطح لأجزاء متناهية في الصغر.
مثال توضيحي لعنصر سطحي مفرد. تكون العناصر متناهير في الصغر بحيث يمكن تقريبه كسطح.

التكامل السطحي للمجالات القياسية
--------------------------------

لنعتبر السطح *S* والذي عليه يعرف عليه مجال قياسي *f*. لو تخيلنا السطح *S* قد صنع من مادة ما، ولكل نقطة **x** فيه تكون قيمة *f*(**x**) هي كثافة المادة عند **x**, وعليه يكون التكامل السطحي لـ*f* على السطح *S* هو كتلة المادة لكل وحدة سماكة من *S*,بالطبع شريطة أن يكون السمك متناهي في النحافة.
تكمن إحدى الطرق في حساب التكامل السطحي بأن يتم تقسيم السطح إلى قطع صغيرة جدا بحيث يمكن فرض كل قطعة صغيرة ثابتة الكثافة ومن ثم تحسب الكتلة لوحدة السماكة في كل قطعة بضرب الكثافة بمساحة القطعة، وأخيرا تجمع القيم للحصول على الكتلة الكلية.

لإيجاد صيغة واضحة للتكامل السطحي ينبغي التفكير في نظام إحداثيات مناسب تماما مثل نظام احداثيات الطول والعرض على الكرة. ليكن نظام الاحداثيات المختار هو **x**(*s*, *t*), حيث (*s*, *t*) متغيرة في منطقة ما *T* في الاحداثيات الكارتيزية. حينئذ يعطى التكامل السطحي بالعلاقة:

{\displaystyle \int \_{S}f\,dS=\iint \_{T}f(\mathbf {x} (s,t))\left|{\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right|ds\,dt}
حيث ان التعبير بين العمودين على اليمين هو قيمة الضرب المتجهي للمشتقات الجزئية من **x**(*s*, *t*).

ولو رغبنا بحساب المساحة السطحية لجسم ذي دالة مثلا {\displaystyle z=f\,(x,y)}, فلدينا

{\displaystyle A=\int \_{S}\,dS=\iint \_{T}\left|{\partial \mathbf {r} \over \partial x}\times {\partial \mathbf {r} \over \partial y}\right|dx\,dy}
حيث {\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)=(x,y,f(x,y))}. وعليه, {\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial x}=(1,0,f\_{x}(x,y))}, و{\displaystyle {\partial \mathbf {r} \over \partial y}=(0,1,f\_{y}(x,y))}. أي,

{\displaystyle {\begin{aligned}A&{}=\iint \_{T}\left|\left(1,0,{\partial f \over \partial x}\right)\times \left(0,1,{\partial f \over \partial y}\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint \_{T}\left|\left(-{\partial f \over \partial x},-{\partial f \over \partial y},1\right)\right|dx\,dy\\&{}=\iint \_{T}{\sqrt {\left({\partial f \over \partial x}\right)^{2}+\left({\partial f \over \partial y}\right)^{2}+1}}\,\,dx\,dy\end{aligned}}}
وهي الصيغة الشهيرة التي نستخدمها لإيجاد المساحة السطحية لجسم له دالة. لاحظ أن الصيغ السابقة يعمل بها في الاسطح ثلاثية الأبعاد فقط بسبب وجود الضرب المتجهي.

التكامل السطحي للمجالات المتجهة
-------------------------------

مجال متجه لسطح.
ليكن المجال المتجة **v** على *S*, بمعنى أنه لكل **x** في *S*, يكون (**v**(**x** متجه. تصور أن لدينا مائع يمر خلال *S*, بحيث يكون **v**(**x**) تعطينا سرعة المائع عند **x**. يعرف الفيض على أنه كمية المائع المار في *S* بكمية وحدة زمنية.

يقتضي التوضيح أنه إذا كان المجال المتجه مماسا لـ*S* عند كل نقطة، يصبح الفيض صفرا، لأن المائع يسري بشكل موازي لـ *S*, وليس داخلا ولا خارجا. وكذلك يقتضي أنه لوكان **v** يسري بشكل مائل (مماسي وعمودي) فإن المركبة العمودية فقط هي التي تشارك في الفيض. ولإيجاد الفيض بناء على هذا السبب، يجب أن نأخذ الضرب القياسي لـ**v** مع وحدة العمودي على السطح لـ*S* عند كل نقطة، والتي ستعطينا مجال قياسي، ونكامل المجال المحصل كما في الأعلى. نجد الصيغة:

{\displaystyle \int \_{S}{\mathbf {v} }\cdot \,d{\mathbf {S} }=\int \_{S}({\mathbf {v} }\cdot {\mathbf {n} })\,dS=\iint \_{T}{\mathbf {v} }(\mathbf {x} (s,t))\cdot \left({\partial \mathbf {x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf {x} \over \partial t}\right)ds\,dt.}
الضرب المتجهي على الطرف الأيمن من التعبير هو العمودي على السطح بعد نقل الاحداثيات.

تعرف هذه الصيغة بأنها تكامل مجال المتجه **v** على *S*.

انظر أيضًا
----------

* تكامل حجمي

المصادر
-------

1. ↑  "معلومات عن تكامل سطحي على موقع zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
2. ↑  "معلومات عن تكامل سطحي على موقع bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
3. ↑  "معلومات عن تكامل سطحي على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2020-01-09.

|  |
| --- |
| **تكامل سطح** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي