|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

في الرياضيات، **التكامل الخطي** (بالإنجليزية: Line integral)‏ يدعى أحيانًا بـ**تكامل المسار** أو **تكامل المنحنى**، هو تكامل يتم فيه حساب تكامل الدالة على منحنى. وينبغي عدم الخلط بين هذا التكامل وحساب طول قوس بالتكامل.
هناك العديد من التكاملات الخطية كما أن هناك حالة خاصة من التكامل على مسار مغلق في بعدين أو المستوى العقدي هي تكامل الكفاف.

يمكن أن تكون الدالة المكاملة حقل قياسي أو حقل متجهي. قيمة التكامل الخطي عبارة عن مجموع قيم المجال عند جميع النقاط على المنحنى، يتم توزينها بدالة قياسية معينة على المنحنى (طول القوس عادة، أو بالنسبة لمجال متجه، الضرب القياسي للمجال المتجه مع متجه تفاضلي في المنحنى). هذا التوزين يميز التكامل الخطي عن التكاملات البسيطة المعرفة على فترات. العديد من الصيغ البسيطة في الفيزياء، (على سبيل المثال لحساب الشغل الميكانيكي, {\displaystyle W=\mathbf {F} \cdot \mathbf {s} }) لها تماثليات طبيعية متصلة بدلالة التكاملات الخطية ({\displaystyle W=\int \_{C}\mathbf {F} \cdot d\mathbf {s} }). يستطيع التكامل الخطي إيجاد الشغل الميكانيكي المبذول على جسم متحرك في مجال كهربي أو جاذبية مثلًا.

تفاضل المتجه
------------

يمكن تشبيه التكامل الخطي في تفاضل المتجه كمقياس للتأثير الكلي لمجال معطى على طول المنحنى.

### التكامل الخطي لمجال قياسي

يمكن تفسير التكامل الخطي على مجال قياسي بأنه المساحة تحت المجال المنحوتة بمنحنى معين. تخيل السطح المنشأ بـ*z* = *f*(*x*,*y*) والمنحنى *C* في المستوى *x*-*y*. يكون التكامل الخطي لـ*f* هو المساحة الناتجة من نقش هذه النقاط على السطح *C* مباشرة.

#### تعريف

إذا كان لدينا مجال قياسي *f* : *U* ⊆ **R***n* → **R**, يعرف التكامل الخطي على منحنى *C* ⊂ *U* is
على أنه

{\displaystyle \int \_{C}f\,ds=\int \_{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}
حيث

**r**: [a, b] → *C* تقابل بارامتري للمنحنى *C* بحيث أن **r**(*a*) و**r**(*b*) يعطي النقاط الطرفية لـ*C*.

#### الاشتقاق

باستخدام التعاريف السابقة لـ*f*, *C* وصورتها البارامترية **r**(*t*) يمكن إنشاء التكامل من مجموع ريمان وذلك بتقسيم الفترة [*a*,*b*] إلى *n* فترة طولها Δ*t* = (*b* − *a*)/*n*. وبجعل *ti*النقطة الـi على [*a*,*b*], بالتالي **r**(*t**i*) تعطينا موقع النقطة i على المنحنى. ونكون قد قربنا المنحنى *C* بمسار مضلع.

{\displaystyle I=\lim \_{\Delta t\rightarrow 0}\sum \_{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t\_{i}))\Delta s\_{i}}
وبما أن المسافة بين كل نقطتين متجاورتين هي:

{\displaystyle \Delta s\_{i}=|\mathbf {r} (t\_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t\_{i})|=|\mathbf {r} '(t\_{i})|\Delta t}
وبتعويضها في مجموع ريمان

{\displaystyle I=\lim \_{\Delta t\rightarrow 0}\sum \_{i=1}^{n}f(\mathbf {r} (t\_{i}))|\mathbf {r} '(t\_{i})|\Delta t}
وهذا هو مجموع ريمان للتكامل

{\displaystyle I=\int \_{a}^{b}f(\mathbf {r} (t))|\mathbf {r} '(t)|\,dt.}
### التكامل الخطي لمجال متجه

#### تعريف

بالنسبة لـ مجال متجه **F** : *U* ⊆ **R***n* → **R***n*, يعرف التكامل الخطي على منحنى *C* ⊂ *U*, في اتجاه **r**, كما يلي:

{\displaystyle \int \_{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \_{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt.}
حيث · هو الضرب القياسي **r**: [a, b] → *C* صورة التقابل البارامترية للمنحنى *C* بحيث **r**(*a*) و**r**(*b*) تعطي النقاط ال *C*.
أي أن التكامل الخطي لمجال قياسي ما هو إلا تكامل خطي لمجال متجه تكون المتجهات فيه دائمًا مماسية على الخط.

#### الاشتقاق

المسار المنحنى لجسيم على منحنى داخل مجال متجه متجهات المجال في الأسفل المشاهدة من قبل الجسيم عندما تتحرك على طول المنحنى. إجمالي الضرب القياسي لهذه المتجهات مع مماس المتجه للمنحنى عند كل نقطة من المسار المنحني سينتج عنه التكامل الخطي.
بنفس الطريقة والتعاريف السابقة، ولكن بدلًا من حساب المسافات بين النقاط، سيتم احتساب إزاحات متجهاتها, Δ**s***i*. وبحساب **F** عند جميع النقاط كما سبق وبأخذ الضرب القياسي مع كل إزاحة نحصل على نصيب كل جزء من
*F'* على *C*. بي

{\displaystyle I=\lim \_{\Delta t\rightarrow 0}\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t\_{i}))\cdot \Delta \mathbf {s} \_{i}}
نلاحظ أن متجه الإزاحة بين كل نقطتين متتابعتين على المنحنى هو

{\displaystyle \Delta \mathbf {s} \_{i}=\mathbf {r} (t\_{i}+\Delta t)-\mathbf {r} (t\_{i})=\mathbf {r} '(t\_{i})\Delta t}
وبتعويض ذلك في مجموع ريمان نحصل على

{\displaystyle I=\lim \_{\Delta t\rightarrow 0}\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t\_{i}))\cdot \mathbf {r} '(t\_{i})\Delta t}
وهي كذلك مجموع ريمان للتكامل المعرف آنفًا.

### استقلالية المسار

إذا كان المجال **F** هو تدرج لمجال قياسي *G*, أي,

{\displaystyle \nabla G=\mathbf {F} ,}
فإن الاشتقاق للدالة المركبة من *G* و(**r**(*t* هو

{\displaystyle {\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}=\nabla G(\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)=\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)}
والذي يكون معامل التكامل للتكامل **F** على (**r**(*t*. وعليه إذا علم المسار *C* , فإن

{\displaystyle \int \_{C}\mathbf {F} (\mathbf {r} )\cdot \,d\mathbf {r} =\int \_{a}^{b}\mathbf {F} (\mathbf {r} (t))\cdot \mathbf {r} '(t)\,dt=\int \_{a}^{b}{\frac {dG(\mathbf {r} (t))}{dt}}\,dt=G(\mathbf {r} (b))-G(\mathbf {r} (a)).}
وبتعبير آخر، تكامل **F** على *C* يعتمد فقط على قيم *G* في النقاط (**r**(*b* و(**r**(*a* وهو بالتالي فهو مستقل عن المسار بينها.

### التطبيقات

تطبيقات التكامل الخطي تشمل الشغل في المجالات الميكانيكية، الكهرومغناطيسية وميكانيكا الكم.

التكامل الخطي المركب
--------------------

افرض أن *U* زمرة مفتوحة لعدد مركب **C**, γ : [*a*, *b*] → *U* هي منحنى ممكن التوحيد و*f* : *U* → **C** هي دالة. فإن التكامل

{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\,dz}
يمكن تعريفه على الفتري [*a*, *b*] إلى *a* = *t*0 < *t*1 <... < *t**n* = *b* وبالنظر في التعبير

{\displaystyle \sum \_{1\leq k\leq n}f(\gamma (t\_{k}))(\gamma (t\_{k})-\gamma (t\_{k-1})).}
يصبح التكامل نهاية هذا المجموع عندما تقترب أطوال التقسيمات من الصفر.

إذا كانت \gamma  منحنى متصل قابل للتفاضل، يصبح التكامل الخطي

{\displaystyle \int \_{\gamma }f(z)\,dz=\int \_{a}^{b}f(\gamma (t))\,\gamma \,'(t)\,dt.}
عندما تكون \gamma  منحنى مغلق فإن الصورة

{\displaystyle \oint \_{\gamma }f(z)\,dz}
تستعمل غالبًا للتكامل الخطي لـ *f* على طول \gamma .

### مثال

لتكن الدالة *f*(*z*)=1/*z*, و*C* هي دائرة الوحدة حول 0, والتي يمكن تمثيلها بارامتريًّا بـ *e**it*, علمًا أن *t* في الفترة [0, 2π]. بالتعويض نجد أن:

{\displaystyle \oint \_{C}f(z)\,dz=\int \_{0}^{2\pi }{1 \over e^{it}}ie^{it}\,dt=i\int \_{0}^{2\pi }e^{-it}e^{it}\,dt}
{\displaystyle =i\int \_{0}^{2\pi }\,dt=i(2\pi -0)=2\pi i}
حيث يمكننا استخدام حقيقة أن *z* يمكن كتابتها بالصورة *reit* حيث *r* هي القيمة المطلقة لـ *z*. هذا يثبت على 1 في دائرة الوحدة، ويكون المتغير الوحيد المتبقي هو الزاوية، والتي رمز إليها بـ *t*.
يمكن التحقق من هذه الإجابة من صيغة تكامل كوشي.

ميكانيكا الكم
-------------

إن تشكيل تكامل المسار في ميكانيكا الكم في الواقع لا يشير مباشرة إلى هذا النوع من التكاملات ولكن يشير إلى التكاملات على فضاء من المسارات، لدالة لها مسار ممكن. مع ذلك تبقى هذه التكاملات ذات أهمية في نظرية الاحتمالات والسعات.

انظر أيضًا
----------

* تكامل سطح
* تكامل حجمي

مصادر
-----

1. ↑  "معلومات عن تكامل خطي على موقع psh.techlib.cz". psh.techlib.cz. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
2. ↑  "معلومات عن تكامل خطي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2018-03-14.
3. ↑  "معلومات عن تكامل خطي على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2016-06-12.

|  |
| --- |
| **تكامل خط** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |