لمعانٍ أخرى، طالع اشتقاق (توضيح).

الصفحة الرئيسية: اشتقاق

أمثلة عملية للتدريب على الإشتقاق..

مثال 1
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=5}:

{\displaystyle f'(x)=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}=\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {5-5}{h}}=0}

### حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

{\displaystyle f'(5)=0}

مثال 2
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=2x-3}:

{\displaystyle f'(4)\,}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f(4+h)-f(4)}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {2(4+h)-3-(2\cdot 4-3)}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {8+2h-3-8+3}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {2h}{h}}=2}

### حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

{\displaystyle f'(x)=2x-3}

{\displaystyle f(x)=2-0}{\displaystyle f'(x)=2+0}

{\displaystyle f(x)(4)+2}{\displaystyle f'(4)=2}

مثال 3
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=x^{2}\,} :

{\displaystyle f'(x)\,}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {(x+h)^{2}-x^{2}}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {x^{2}+2xh+h^{2}-x^{2}}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {2xh+h^{2}}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}(2x+h)=2x}

### حل اخر باستخدام قواعد المشتقة

{\displaystyle f'(x)=2x}

مثال 4
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)={\sqrt {x}}} :

{\displaystyle f'(x)\,}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {{\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}}}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {({\sqrt {x+h}}-{\sqrt {x}})({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {x+h-x}{h({\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {1}{{\sqrt {x+h}}+{\sqrt {x}}}}}

{\displaystyle ={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}

### حل آخر باستخدام قواعد المشتقة

{\displaystyle f'(x)=x^{1/2}}

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2}}x^{-1/2}}

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}

مثال 5
------

{\displaystyle f''(x)\,}
{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {f'(x+h)-f'(x)}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}}{h}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {\left({\frac {1}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}\right)(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {2{\sqrt {x}}}{2{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {2{\sqrt {x+h}}}{2{\sqrt {x}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {{\frac {x}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}-{\frac {x+h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {\frac {-h}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}}}{h(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{{\sqrt {x}}{\sqrt {x+h}}(2{\sqrt {x+h}}+2{\sqrt {x}})}}}

{\displaystyle =\lim \_{h\rightarrow 0}{\frac {-1}{2{\sqrt {x}}(x+h)+2x{\sqrt {x+h}}}}}

{\displaystyle ={\frac {-1}{4x{\sqrt {x}}}}}

{\displaystyle ={\frac {1}{4x{\sqrt {x}}}}}

مثال 6
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=e^{xsin^{2}x}\,} :

{\displaystyle f'(x)=e^{xsin^{2}x}(xsin^{2}x)'=e^{xsin^{2}x}(sin^{2}x+2xsinxcosx)\,}

مثال 7
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=arcsin{\frac {1+x}{1-x}}\,} :

{\displaystyle f'(x)={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1+x}{1-x}})^{2}}}}({\frac {1+x}{1-x}})'={\frac {1}{(1-x){\sqrt {-x}}}}}

مثال 8
------

لنعتبر {\displaystyle f(x)=(x+\sin {x})} :

{\displaystyle f'(x)=1+\cos {x}}


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة اويلر ماكلاورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولن ماكلاورين **·**  ليونهارت أويلر |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات