في الجبر الخطي، يعتبر **حذف غاوس-يوردان** نسخة عن الحذف الغاوسي والذي يضع أصفارا فوق وتحت عنصر المحور عندما يتحرك من أعلى صف في المصفوفة المعطاة إلى الأسفل. أي أنه يعيد المصفوفة إلى الصورة المثلثية.

تعود التسمية إلى كارل فريدريش غاوس وفيلهلم يوردان.

تطبيقات إيجاد المعكوس
---------------------

يمكن استعمال حذف غاوس-يوردان في المصفوفة المربعة لحساب معكوسها كما يلي.

{\displaystyle [AI]\Rightarrow A^{-1}[AI]\Rightarrow [IA^{-1}].}
إذا كانت المصفوفة المربعة الأصلية A معطاة بالتعبير:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}2&-1&0\\-1&2&-1\\0&-1&2\end{bmatrix}}.}
حينئذ يمكن بالاستعانة بمصفوفة الوحدة الحصول على:

{\displaystyle [AI]={\begin{bmatrix}2&-1&0&1&0&0\\-1&2&-1&0&1&0\\0&-1&2&0&0&1\end{bmatrix}}.}
وبتطبيق عمليات الصف الأساسية على {\displaystyle [AI]} المصفوفة حتى تصل A صورة الصف المخفض يمكن في النهاية الحصول على النتيجة:

{\displaystyle [IA^{-1}]={\begin{bmatrix}1&0&0&{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\0&1&0&{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\0&0&1&{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}
والان بعكس الوسيط, يمكن الحصول على:

{\displaystyle I={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}\qquad A^{-1}={\begin{bmatrix}{\frac {3}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{4}}\\{\frac {1}{2}}&1&{\frac {1}{2}}\\{\frac {1}{4}}&{\frac {1}{2}}&{\frac {3}{4}}\end{bmatrix}}.}

c++ code for matrix inverse
---------------------------

```
#include <cstdlib>
double\*\* gauss(double \*\*matrix, int diminsion)
{
 double \*\*inverse;
 inverse = (double\*\*) malloc(diminsion \* sizeof (double \*));
 for (int i = 0; i <diminsion; i++)
 inverse[i] = (double\*) malloc(diminsion \* sizeof (double));

 for (int i = 0; i <diminsion; i++)
 for (int j = 0; j <diminsion; j++)
 inverse[i][j] = 0;

 for (int i = 0; i <diminsion; i++)
 inverse[i][i] = 1;

 for (int k = 0; k <diminsion; k++)
 {
 for (int i = k; i <diminsion; i++)
 {
 double val = matrix[i][k];
 for (int j = k; j <diminsion; j++)
 matrix[i][j] /= val;
 for (int j = 0; j <diminsion; j++)
 inverse[i][j] /= val;
 }
 for (int i = k + 1; i <diminsion; i++)
 {
 for (int j = k; j <diminsion; j++)
 matrix[i][j] -= matrix[k][j];
 for (int j = 0; j <diminsion; j++)
 inverse[i][j] -= inverse[k][j];
 }
 }

 for (int i = diminsion - 2; i>= 0; i--)
 {
 for (int j = diminsion - 1; j> i; j--)
 {
 for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
 inverse[i][k] -= matrix[i][j] \* inverse[j][k]; //
 for (int k = 0; k <diminsion; k++)//this part can be can canceled (the two lines)
 matrix[i][k] -= matrix[i][j] \* matrix[j][k]; //
 }
 }
 return inverse;
}

```

| * ع
* ن
* ت
مواضيع الجبر الخطي |
| --- |
| **معادلة خطية** | نظام المعادلات الخطية-محدد>(محدد مقتصر-صيغة كوشي-بينيه-قاعدة كرامر-حذف غاوس-جوردان )-خوارزمية شتراسن |
| **مصفوفات** | نظرية المصفوفة - جمع المصفوفات - ضرب المصفوفات - مصفوفة التحويلِ الأساسية-متعددة حدود مميزة- أثر - مبرهنة كايلي-هاميلتون - قيمة خاصة ، شعاع خاص - شكل جوردان الطبيعي - رتبة - مصفوفة معكوسة ، مصفوفة قابلة للعكس > مقلوب كاذب -مصفوفة مصاحبة-تحويل رياضي > ( الجداء نقطة -مصفوفة متماثلة-مصفوفة متعامدة- مصفوفة متماثلة منحرفة - نقل مترافق - مصفوفة الوحدة - مصفوفة هيرميتية، ضد هيرميتي )

- معرف إيجابي، نصف معرف إيجابي ، مصفوفة إيجابية معرفة- بفافي مصفوفة -تقدير

-مصفوفة قطرية، قطر رئيسي > مصفوفة قطورة - مصفوفة Tridiagonal - مصفوفة هيسينبرغ - مصفوفة مثلثية - نظرية طيفية - مصفوفة قياسية-مصفوفة تويبليتز - مصفوفة هانكل - مصفوفة فانديرموند-مصفوفة كتلوية-مصفوفة متناثرة - مصفوفة دفع - هوية مصفوفة وودبوري - مبرهنة بيرون-فروبانيوس |
| **تفكيك مصفوفة** | تفكيك تشوليسكي-تفكيك لو-تفكيك كيو آر-نظرية طيفية-تفكيك قيمة مفرد-تفكيك شور>تكملة شور |
| **حسابات** | تحويل هاوسهولدر-طريقة مجموع المربعات الدنيا-عملية غرام شميت |
| **متجهات** | ضرب قياسي-تركيب خطي-مدى خطي-استقلال خطي-أساس خطي-شعاع تنسيقي |
| **فضاء شعاعي** | أمثلة الفراغات الشعاعية-تحويل خطي> تحويل غاليلي، تحويل لورينتز-فضاء عمود-فضاء صف-فضاء ملغي ، بطلان- نظرية بطلان غريزة النموِ- فضاء ثنائي > دالة خطية- تعامد - متمم متعامد - إسقاط متعامد - دوران غير صحيح - فضاء جزئي |
| **جبر متعدد الخطية** | تينسور > ( معالجة كلاسيكية للتينسورات - معالجة متوسطة للتينسور - معالجة خالية من التنسورات ) - موتر >(جبر خارجي-جبر متماثل ) |
| **فضاء تآلفي** | تحويل أفيني-زمرة أفينية-هندسة تآلفية |
| **فضاء إسقاطي** | تحويل إسقاطي-هندسة إسقاطية-سطح الدرجة الثانية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة خوارزميات