|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

في الرياضيات، **متسلسلة القوى** (بالإنجليزية: Power series)‏ (ذات المتغير الواحد) هي متسلسلة لامنتهية على الشكل

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\left(x-c\right)^{n}=a\_{0}+a\_{1}(x-c)+a\_{2}(x-c)^{2}+a\_{3}(x-c)^{3}+\cdots }
حيث تمثل *an* معاملات المتسلسلة و *c* المركز و*x* تكون عادة عددا حقيقيا أو عقديا.

تتشكل هذه المتسلسلات عادة من توابع معروفة بطريقة مشابهة لمتسلسلات تايلور.

في العديد من الحالات، يكون المركز *c* مساويا للصفر، مثلا كما في حالة متسلسلة ماكلاورين.
في هذه الحالات تأخذ متسلسلات القوى شكلا أبسط :

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}=a\_{0}+a\_{1}x+a\_{2}x^{2}+a\_{3}x^{3}+\cdots .}
يُمكن أن ينظَر إلى التمثيل العشري الاعتيادي للأعداد الحقيقية مثالا عن متسلسلات القوى بمعاملات صحيحة وبقيمة ثابتة ل x هي 1/10. على سبيل المثال،

{\displaystyle 3.14=3\*{(1/10)}^{0}+1\*{(1/10)}^{1}+4\*{(1/10)}^{2}}

أمثلة
-----

الدالة الأسية (باللون الأزرق), ومجموع الحدود *n*+1 الأولى لمتسلسلة القوى لماكلورين (باللون الأحمر).
يمكن كتابة كل متعددة حدود على شكل متسلسلة لانهائية. مثلا : {\displaystyle f(x)=x^{2}+2x+3} يمكن كتابته بالشكل التالي : ...+f(x)=3 + 2x + x2+0x3+0x4

المتسلسلة الهندسية : {\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum \_{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,} حيث 1 >|x| .

* معادلة الدالة الاسية : {\displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots ,}
* معادلة الجيب : {\displaystyle \sin(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}

الاثنان الأخيران هما أيضا امثلة لمتسلسلات تايلور.

قطر ومجال التقارب
-----------------

إذا تقاربت متسلسلة ما للقوى في النقطة {\displaystyle x=\alpha }، فإن المتسلسلة تتقارب بالتأكيد لكل x يحقق {\displaystyle |x|<|\alpha |}. مجال التقارب هو القطعة المفتوحة {\displaystyle (-\alpha ,\alpha )}.

لكل متسلسلة قوى يوجد عدد ليس سالبا R ،({\displaystyle 0\leq R<\infty } ) حيث لكل x يحقق |R > |x المتسلسلة تتقارب وإذا |R < |x، المتسلسلة لا تتقارب.
إذا كان R مساويا للصفر، المتسلسلة تتقارب فقط في النقطة x=0. إذا R=∞; حينها المتسلسلة تتقارب لكل x. يسمى R نصف قطر التقارب أو قطر التقارب أو شعاع التقارب للمتسلسلة.

حسب مبرهنة كوشي-هادامار قطر التقارب للسلسلة {\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}x^{n}} هو :

{\displaystyle R=\lim \_{n\to \infty }{\frac {1}{\sqrt[{n}]{|a\_{n}|}}}}

العمليات على متسلسلات القوى
---------------------------

### الجمع والطرح

عندما يُعبر عن دالتين اثنتين f و g بمتسلسلتي قوى حول نفس المركز c، فإنه يُحصل على متسلسلة القوى لمجموعها أو فرقهما بجمع أو طرح، على التوالي، حدود هاتين المتسلسلتين، حدا بِحد. أي أنه :

{\displaystyle f(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}(x-c)^{n}}
{\displaystyle g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }b\_{n}(x-c)^{n}}
إذن

{\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }(a\_{n}\pm b\_{n})(x-c)^{n}.}
### التفاضل والتكامل

{\displaystyle f^{\prime }(x)=\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}n\left(x-c\right)^{n-1}=\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n+1}\left(n+1\right)\left(x-c\right)^{n}}
{\displaystyle \int f(x)\,dx=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {a\_{n}\left(x-c\right)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {a\_{n-1}\left(x-c\right)^{n}}{n}}+k.}

الدوال التحليلية
----------------

المقالة الرئيسة: دالة تحليلية
يُقال عن دالة f معرفة على مجموعة مفتوحة U من R أو من C أنها ***تحليلية*** إذا ساوت محليا متسلسلة قوى متقاربة.

انظر إلى جوار (رياضيات) وإلى دالة تامة الشكل وإلى امتداد تحليلي.

يمكن تحديد متسلسلة القوى لدالة عكسية لدالة تحليلية باستعمال مبرهنة العكس للاغرانج.

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن متسلسلة قوى على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2017-04-02.
2. ↑  "معلومات عن متسلسلة قوى على موقع babelnet.org". babelnet.org.
3. ↑  "معلومات عن متسلسلة قوى على موقع zthiztegia.elhuyar.eus". zthiztegia.elhuyar.eus. مؤرشف من الأصل في 2021-05-13.

انظر أيضًا
----------

* تقريب خطي
* متغير عشوائي

| * ع
* ن
* ت
متسلسلات ومتتاليات |
| --- |
| متتالية حسابية | 

|  |  |
| --- | --- |
| متسلسلة متباعدة  | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ?
* 1 + 2 + 3 + 4 + ?
* متتالية حسابية

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| متتالية هندسية | 

|  |  |
| --- | --- |
| متسلسلة متقاربة  | 
* 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/16 + ?
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ?
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ?

 |
| متسلسلة هندسية متباعدة  | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ?
* 1 + 2 + 4 + 8 + ?
* 1 - 2 + 4 - 8 + ?
* 1 - 1 + 1 - 1 + ? (متسلسلة غراندي)
* قوة العدد اثنين
* قوى 10

 |

 |
| Hypergeometric series | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| متتالية أعداد صحيحة | 
* متتالية كاملة
* مكعب عدد
* عاملي
* عدد فيبوناتشي
* عدد شكلي
* عدد مسبع
* عدد مسدسي
* قائمة
* عدد لوكاس
* رقم بيل
* عدد مخمسي
* عدد مضلعي
* مربع كامل
* عدد مثلثي

 |
| متتاليات  أخرى | 

|  |  |
| --- | --- |
| متسلسلة متباعدة  | 
* 1 - 2 + 3 - 4 + ?
* 1 - 1 + 2 - 6 + 24 - 120 + ?
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ?

 |

* متتالية دورية
 |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: متسلسلة قوى |