تعامد دوال الجيب وجيب التمام يجعل تكامل مضروب زوج منهم صفرا
في الرياضيات، **متسلسلة فورييه** (بالإنجليزية: Fourier series)‏ هي طريقة تتيح كتابة أي دالة رياضية دورية في شكل متسلسلة أو مجموع من دوال الجيب وجيب التمام مضروب بمعامل معين.

يعزى اسمها إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه تقديرا لأعماله الفذة في المتسلسلات المثلثية. تسمى عملية البحث عن المعاملات اللائي يُعرفن متسلسة فورييه لدالة ما بتحليل فورييه.

التاريخ
-------

انظر أيضا تاريخ تحليل فورييه.

### البدايات

قد تكون قد ظهرت أولى الاعتبارات للمتسلسلات المثلثية عند العالم البريطاني بروك تايلور في كتاب له عنوانه *Methodus Incrementorum Directa et Inversa* ما قد يترجم إلى العربية ب *طرق تزايدية مباشرة وعكسية*. نُشر هذا الكتاب في عام 1715 حيث أعطى إشارة انطلاق لبحث مكثف حول الحبال المتذبذبة وحول انتشار الصوت. شكل هذان الموضوعان جزءا أساسيا من البحث خلال القرن الثامن عشر كله.

على سبيل المثال، عمل فاختلف كل من لورن دالمبير وليونهارت أويلر ودانييل برنولي على معضلة الحبال المتذبذبة.

سميت هذه المتسلسلات هكذا نسبة إلى العالم الفرنسي جوزيف فورييه (1768-1830)، الذي حقق تطورات مهمة في دراسة المتسلسلات المثلثية، بعد أن تعرضن لبحث بدائي من طرف كل من ليونهارت أويلر ولورن دالمبير ودانييل برنولي. أبدع فورييه هذه المعادلات من أجل حلحلة معادلة الحرارة في صفيحة معدنية، ناشرا نتائجه الأولى في عام 1807، في عمل له عنوانه *بحث حول انتشار الحرارة في الأجسام الصلبة*. نشر بعد ذلك عملا آخر له عنوانه *نظرية تحليلية للحرارة*. كان ذلك عام 1822. أعلن فورييه عن اختراعه الكبير والمتمثل في القول أن كل دالة يمكن أن يُعبر عنها بواسطة متسلسلة مثلثية، عام 1807 في الأكاديمية الفرنسية.

معادلة الحرارة هي معادلة تفاضلية جزئية. قبل عمل فورييه، لم تكن معروفةً حلحلةٌ لمعادلة الحرارة في شكلها العام.

من حيث وجهة نظر معاصرة، تعتبر أعمال فورييه غير رسمية. سبب ذلك هو نقصان في تحديد مفهوم دقيق للدالة وللتكامل في بداية القرن التاسع عشر. فيما، بعد، عمل كل من يوهان بيتر غوستاف لوجون دركليه وبرنارد ريمان على نتائج فورييه بمزيد من الدقة والاحترام للتعريفات الموضوعة آنذاك لمختلف المفاهيم.

رغم أن الهدف الأساسي الذي حفّز تطوير متسلسلات فورييه هو حلحلة معادلة الحرارة، تبين واضحا أن نفس التقنية قد تستعمل في مجالات أخرى واسعة في الرياضيات والفيزياء، بالتحديد، المجالات اللائي يتعلقن بمعادلات تفاضلية خطية بمعاملات ثابتة.

تحويل فورييه
------------

 تقريبات متسلسلة فورييه الأربعة الأولى لدالة دورية مربعة.
تحويل فورييه هو عملية رياضية تستخدم لتحويل الدوال الرياضية من مجال الزمن إلى مجال التردد. وهي مفيدة لتحليل الإشارات ومعرفة الترددات التي تتضمنها، كما أن لها تطبيقاً في حل المعادلات التفاضلية. واسم العملية مشتق من اسم العالم الفرنسي فوريي.
  

إذا رمزنا ب t للزمن  
 واعتبرنا w ترددا فإن تحويل فوريي الذي نرمز له هنا ب M هو تبسيطا دالة تحول إشارة أو دالة من دالة بمتغير هو الزمن إلى دالة بمتغير هو التردد.أما الأصح هو أنها عملية أي operator (أي مثل الضرب والجمع والقسمة ولكنها أكثر تعقيدا حيث أنها عملية بين دالتين وليست عملية بين عددين) على كل فإن تأثير العملية مبين أسفله.
  

{\displaystyle f(t)\_{\leftarrow \_{m}}^{\rightarrow ^{M}}F(w)}
  

و دالة التحويل M أي التي تحول دالة بمتغيير هو الزمن إلى دالة بمتغيير هو التردد يمكن حسابها على النحو الآتي:  

  

{\displaystyle M\left\{f(t)\right\}=F(w)=\int \_{-\infty }^{+\infty }f(t)e^{-jwt}dt}
  

و كما يوجد تحويل فوريي فإنه يوجد تحويل فوريي معاكس رمزت له هنا ب m وهو يقوم بالتحويل العكسي لتحويل فورييه أي من دالة بمتغير قيمته معقدة إلى دالة بمتغير قيمته حقيقية. ويمكن حساب هذه العملية على النحو التالي:

### صيغة فورييه للدوال الدورية ذات الدور 2*π* في صورة مثلثية

بالنسبة للدالة الدورية (*ƒ*(*x* القابلة للتكامل على [−*π*, *π*]، الإعداد

{\displaystyle a\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\cos(nx)\,dx,\quad n\geq 0}
و

{\displaystyle b\_{n}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }f(x)\sin(nx)\,dx,\quad n\geq 1}
يطلق عليها معاملات فورييه للدالة *ƒ*. أحدها يعطي *المجاميع الجزئية لمتسلسلات فورييه* للدالة *ƒ*, يرمز لها عادة بـ

{\displaystyle (S\_{N}f)(x)={a\_{0}}+\sum \_{n=1}^{N}\,[a\_{n}\cos(nwt)+b\_{n}\sin(nwt)]\quad N\geq 0.}
المجاميع الجزئية لـ *ƒ* هي كثيرات حدود مثلثية. يتوقع المرء أن الدوال *S**N* *ƒ* هي تقريبات للدالة *ƒ*، وأن التقارب يتحسن عندما تقترب *N* من مالانهاية. يطلق على المجموع المحدود

{\displaystyle {\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }\,[a\_{n}\cos(nx)+b\_{n}\sin(nx)]}
اسم **متسلسلة فورييه** للدالة *ƒ*.

لا تتقارب متسلسلات فورييه دائما، وحتى عندما تتقارب بالنسبة لقيمة معينة، *x*0 of *x*، فإن مجموع السلسلة عند *x*0 قد تختلف من قيمة *ƒ*(*x*0) للدالة.

#### مثال 1: متسلسلة فورييه بسيطة

مخطط بياني لدالة دورية مكافئة لـ— موجة سن المنشار
مخطط حركي للأجزاء الخمسة الأولى من متسلسلة فورييه
باستعمال الصيغة المذكورة آنفا، لتكن معادلة سن المنشار التالية:

{\displaystyle f(x)=x,\quad \mathrm {for} -\pi <x<\pi ,}
{\displaystyle f(x+2\pi )=f(x),\quad \mathrm {for} -\infty <x<\infty .}
تكون معاملات فورييه هنا

{\displaystyle {\begin{aligned}a\_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }x\cos(nx)\,dx=0,\quad n\geq 0.\\b\_{n}&{}={\frac {1}{\pi }}\int \_{-\pi }^{\pi }x\sin(nx)\,dx=-{\frac {2}{n}}\cos(n\pi )+{\frac {2}{\pi n^{2}}}\sin(n\pi )=2\,{\frac {(-1)^{n+1}}{n}},\quad n\geq 1.\end{aligned}}}
يمكن إثبات أن متسلسلة فورييه تتقارب إلى (*ƒ*(*x* عند كل نقطة *x* حيث *ƒ* قابلة للتفاضل، وبالتالي:


|  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}f(x)&={\frac {a\_{0}}{2}}+\sum \_{n=1}^{\infty }\left[a\_{n}\cos \left(nx\right)+b\_{n}\sin \left(nx\right)\right]\\&=2\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n}}\sin(nx),\quad \mathrm {for} \quad x-\pi \notin 2\pi \mathbf {Z} .\end{aligned}}}
 | 

|  |  |  |
| --- | --- | --- |
|   |   |   |
|   |

 | **(**Eq.1**)** |

نعن*x* = π، تقترب المتسلسلة من 0, وهذا نصف المجموع للنهاية اليسرى واليمنى للدالة *ƒ* عند *x* = π.

تحويل فورييه السريع
-------------------

تحويل فورييه السريع (Fast Fourier Transformation) خوارزمية تمكننا من حساب قيمة تحويل فورييه المتقطع بسرعة. سرعة هذه الخوارزمية تعود إلى أنها لا تقوم بحساب الأجزاء التي يساوي مجموعها صفرا في تحويل فورييه المتقطع. وتنسب الخوارزمية إلى جيمس كولي James W. Cooley وجون تيوكي John W. Tukey الذان قاما بنشر الخوارزمية سنة 1965 وذلك بالصيغة المعروفة اليوم، إلا أن العالم الألماني كارل فريدرش غاوس قام بصياغة خوارزمية شبيهة سنة 1805 واستعملها في حساب مجرى المذنبات بالاس وجونو. كما تم تطوير بعض الحالات الخاصة من الخوارزمية قبل اكتشاف توكي لها (من قبل غود سنة 1960).

تحويل فورييه المتقطع
--------------------

المقالة الرئيسة: تحويل فورييه المتقطع
وهي طريقة حساب تحويل فورييه في الحواسيب.

التردد
------

التردد هو مقياس لتكرار حدث ما في فترة زمنية ما، ووحدته الهيرتز، ويستخدم بشكل أساسي لقياس مقدار تكرار الموجات، فيكون تردد موجة 1 هيرتز يعني أنه في كل ثانية تمر موجة كاملة في نقطة ما هي نقطة
القياس.

مراجع
-----

1. ↑  L. Marton؛ Claire Marton (1990). *Advances in Electronics and Electron Physics*. Academic Press. ص. 369. ISBN:978-0-12-014650-5. مؤرشف من الأصل في 2020-01-26. `{{استشهاد بكتاب}}`: `|archive-date=` / `|archive-url=` timestamp mismatch (مساعدة)
2. ↑  Georgi P. Tolstov (1976). *Fourier Series*. Courier-Dover. ISBN:0-486-63317-9. مؤرشف من الأصل في 2020-01-26.
3. ↑  Fourier, *Collins English Dictionary - Complete & Unabridged* 10th Edition, HarperCollins, accessed 5 May 2017 نسخة محفوظة 22 يوليو 2018 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضا
---------

* تحويل فوريي المنقطع
* تحويل فوريي السريع
* تحليل فورييه
* تحويل فورييه
* متسلسلة لورنت
* نظرية طيفية

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحدية
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
|  تصنيف  **•**   كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة أويلر-ماكلورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولين ماكلورين **·**  ليونهارت أويلر |


|  |
| --- |
| **متسلسلة فورييه** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي

  


|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة القومية الإسبانية (BNE)
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* المعرف NDL لـ 00562088 غير صحيح.
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |