يندرج استخدام **القوى المعممة** في ميكانيكا لاغرانج ، حيث تتناقض مهامها مع الإحداثيات المعممة. ونحصل عليها من القوى التطبيقية، **F**i, i=1,... n، المؤثرة في أي نظام يتميز بمواصفات محددة في مصطلحات الإحداثيات المعممة. في معادلة الشغل الافتراضي، كل قوة معممة هي معامل اختلاف للإحداثيات المعممة.

الشغل الافتراضي
---------------

يمكن الحصول على القوى المعممة من حساب الشغل الافتراضي, δW, of the applied forces.:265

الشغل الافتراضي للقوى, **F**i, بناءً على الجزيئات Pi, i=1,... n, التي يتم الحصول عليها من

{\displaystyle \delta W=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}\cdot \delta \mathbf {r} \_{i}}
حيث δ**r**i هي النزوح الظاهري للجزيئات Pi.

### الإحداثيات المعممة

لنفترض أن المتجهات الموضعية الجزيئات، **r**i، هي وظيفة الإحداثيات المعممة، qj, j=1,...m. ثم يتم تقدير النزوح الظاهري δ**r**i عن طريق

{\displaystyle \delta \mathbf {r} \_{i}=\sum \_{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} \_{i}}{\partial q\_{j}}}\delta q\_{j},\quad i=1,\ldots ,n,}
حيث δqj هي النزوح الظاهري للإحداثيات المعممة qj.

يصبح الشغل الافتراضي لنظام الجزيئات

{\displaystyle \delta W=\mathbf {F} \_{1}\cdot \sum \_{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} \_{1}}{\partial q\_{j}}}\delta q\_{j}+\ldots +\mathbf {F} \_{n}\cdot \sum \_{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {r} \_{n}}{\partial q\_{j}}}\delta q\_{j}.}
جمع معاملات qj لذلك

{\displaystyle \delta W=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} \_{i}}{\partial q\_{1}}}\delta q\_{1}+\ldots +\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} \_{i}}{\partial q\_{m}}}\delta q\_{m}.}
### القوى المعممة

يمكن صياغة الشغل الافتراضي لأي نظام جزيئات في شكل

{\displaystyle \delta W=Q\_{1}\delta q\_{1}+\ldots +Q\_{m}\delta q\_{m},}
بحيث تكون

{\displaystyle Q\_{j}=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} \_{i}}{\partial q\_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m,}
وتسمى قوى التعميم المرتبطة بالإحداثيات المعممة qj, j=1,...m.

### معادلة السرعة

عند تطبيق مبدأ الشغل الافتراضي نجد سهولة في كثير من الأحيان في الحصول على النزوح الظاهري من سرعات النظام. لنظام الجزيئات n، ندع سرعة كل جزيء Pi be **V**i, then the virtual displacement δ**r**i يمكن صياغته أيضًا في شكل 

{\displaystyle \delta \mathbf {r} \_{i}=\sum \_{j=1}^{m}{\frac {\partial \mathbf {V} \_{i}}{\partial {\dot {q}}\_{j}}}\delta q\_{j},\quad i=1,\ldots ,n.}
يعني ذلك أن القوى المعممة، Qj، يمكن تحديدها كما يلي

{\displaystyle Q\_{j}=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} \_{i}}{\partial {\dot {q}}\_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}

مبدأ ألمبرت (D'Alembert's principle)
------------------------------------

صاغ ألمبرت ديناميكيات الجزيئات كتوازن القوى المطبقة مع أي قوة قصور ذاتي (تُسمى القوة الظاهرة)، مبدأ ألمبرت. قوة القصور الذاتي للجزيء، Pi، للكتلة mi هي

{\displaystyle \mathbf {F} \_{i}^{\*}=-m\_{i}\mathbf {A} \_{i},\quad i=1,\ldots ,n,}
بينما **A**i هو تسريع للجزيء.

إذا اعتمد تكوين نظام الجزيئات على الإحداثيات المعممة qj, j=1,...m، فمن ثم نحصل على قوة القصور الذاتي بواسطة

{\displaystyle Q\_{j}^{\*}=\sum \_{i=1}^{n}\mathbf {F} \_{i}^{\*}\cdot {\frac {\partial \mathbf {V} \_{i}}{\partial {\dot {q}}\_{j}}},\quad j=1,\ldots ,m.}
صيغة ألمبرت لمبدأ نواتج الشغل الافتراضي

{\displaystyle \delta W=(Q\_{1}+Q\_{1}^{\*})\delta q\_{1}+\ldots +(Q\_{m}+Q\_{m}^{\*})\delta q\_{m}.}

انظر أيضاً
----------

* احتكاك.
* آلة بسيطة.

المراجع
-------

1. ↑  Torby، Bruce (1984). "Energy Methods". *Advanced Dynamics for Engineers*. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. ISBN:0-03-063366-4.
2. ↑  T. R. Kane and D. A. Levinson, Dynamics, Theory and Applications, McGraw-Hill, NY, 2005. نسخة محفوظة 06 مارس 2015 على موقع واي باك مشين.

  

* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء