هذه المقالة عن مبرهنة ليندمان فايرستراس. لمعانٍ أخرى، طالع مبرهنة فايرستراس (توضيح).

|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| **الثابت الرياضي π** |
|  |
| الاستعمالات
* مساحة القرص
* المحيط
	+ صيغ أخرى
 |
| الخواص
* لا نسبية
* عدد متسام
 |
| القيمة
* تقريبات
* تذكّر
* أقل من 22/7
 |
| أشخاص
* أرشميدس
* ليو هوي
* زو تشونغزي
* أريابهاتا
* مادهافا السنغماراي
* لودولف فان ساولن
* سيكي تاكاكازو
* تاكيبي كينكو
* ويليام جونز
* جون ماكن
* ويليام شانكس
* جون رنش
* الإخوان شودنوفسكي
* ياسوماسا كانادا
 |
| تاريخ
* تسلسل زمني
* كتاب
 |
| متعلقات**متعلقات:**
* تربيع الدائرة
* معضلة بازل
* نقطة فينمان
* أخرى
 |
| * شعار بوابة بوابة هندسة رياضية
 |
| * ع
* ن
* ت
 |

في الرياضيات، **مبرهنة ليندمان-فايرشتراس** (بالإنجليزية: Lindemann–Weierstrass theorem)‏ هي نتيجة كثيرة النفع في إثبات تسامي عدد ما من عدمه.

سميت هذه المبرهنة هكذا نسبة إلى عالمي الرياضيات فيردينوند فون ليندمان و كارل فايرشتراس.

البرهان
-------

ظهر أول برهان على تسامي العدد e سنة 1873. سنتبع هنا طريقة ديفيد هيلبرت (1862 - 1943) والذي بسط البرهان الأصلي لتشارلز هيرمت. الفكرة هي كالتالي:

نفترض أن العدد E هو عدد جبري، وذلك للحصول على تناقض في النهاية. إذن توجد مجموعة منتهية من المعاملات الصحيحة {\displaystyle c\_{0},c\_{1},\ldots ,c\_{n}\,} التي تحقق المعادلة:

{\displaystyle c\_{0}+c\_{1}e+c\_{2}e^{2}+\cdots +c\_{n}e^{n}=0\,}
بحيث يكون كلا العددان {\displaystyle c\_{0}} و{\displaystyle c\_{n}} مخالفين للصفر.

نختار عددا كبيرا k بما يكفي وذلك حسب قيمة n.

نضرب طرفي المعادلة بـ {\displaystyle \int \_{0}^{\infty }\,}، في حين سنستعمل الترميز التالي {\displaystyle \int \_{a}^{b}\,} كاختصار للتكامل:

{\displaystyle \int \_{a}^{b}=\int \_{a}^{b}x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,dx\,}.
سنصل إلى المعادلة:

{\displaystyle c\_{0}\int \_{0}^{\infty }+c\_{1}e\int \_{0}^{\infty }+\cdots +c\_{n}e^{n}\int \_{0}^{\infty }=0\,}
والتي يمكن الآن كتابتها على الشكل:

{\displaystyle P\_{1}+P\_{2}=0\,}
حيث

{\displaystyle P\_{1}=c\_{0}\int \_{0}^{\infty }+c\_{1}e\int \_{1}^{\infty }+c\_{2}e^{2}\int \_{2}^{\infty }+\cdots +c\_{n}e^{n}\int \_{n}^{\infty }\,}
{\displaystyle P\_{2}=c\_{1}e\int \_{0}^{1}+c\_{2}e^{2}\int \_{0}^{2}+\cdots +c\_{n}e^{n}\int \_{0}^{n}\,}
الهدف الآن هو أن نبين من أجل k كبير بما يكفي، يستحيل تحقيق المتساويات أعلاه لأن :{\displaystyle {\frac {P\_{1}}{k!}}\,} هو عدد صحيح يخالف الصفر، في حين العدد {\displaystyle {\frac {P\_{2}}{k!}}\,} ليس كذلك.

والسبب في أن {\displaystyle {\frac {P\_{1}}{k!}}\,} عدد صحيح يخالف الصفر يأتي من العلاقة:

{\displaystyle \int \_{0}^{\infty }x^{j}e^{-x}\,dx=j!\,}
وهي صحيحة لكل عدد صحيح موجب j ويمكننا البرهنة عليها بالترجع عن طريق مكاملة بالأجزاء.

ولكي نبرهن على أن:

{\displaystyle \left|{\frac {P\_{2}}{k!}}\right|<1\,} من أجل k كبير بما يكفي
نشير أولا إلى أن {\displaystyle x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k+1}e^{-x}\,} هو جداء الدوال {\displaystyle [x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)]^{k}\,} و{\displaystyle (x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}\,}. وباستعمال المحد العلوي لـ {\displaystyle |x(x-1)(x-2)\cdots (x-n)|\,} و{\displaystyle |(x-1)(x-2)\cdots (x-n)e^{-x}|\,} على المجال {\displaystyle [n,0]} وبما أن:

{\displaystyle \lim \_{k\to \infty }{\frac {G^{k}}{k!}}=0\,} لكل عدد حقيقي G.
وهذا كاف لإكمال البرهان.

يمكن استعمال طريقة ممثالة، مختلفة عن عن المقاربة الأصلية لـ (لندمان)، للبرهنة على أن e عدد متسام. زيادة على ذلك، تلعب بعض التقديرات وبعض خصائص الحدوديات المتماثلة دورا حيويا في البرهان.

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن مبرهنة ليندمان-ويرستراس على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-08-21.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات