في نظرية الاحتمالات والإحصاءات، فإن **توزيع لیفي**، المسمى باسم بول لیفي، هو توزيع احتمالي مستمر لمتغير عشوائي غير سلبي. في التحليل الطيفي، يُعرف هذا التوزيع، مع التردد كمتغير تابع، **بملف تعريف فان در والس**. إنها حالة خاصة لتوزيع غاما المعكوس. إنها توزيع مستقر.

 دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لیفي على مخطط السجل

تعريف
-----

دالة كثافة الاحتمال لتوزيع لیفي عبر المجال {\displaystyle x\geq \mu } يكون

{\displaystyle f(x;\mu ,c)={\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}~~{\frac {e^{-{\frac {c}{2(x-\mu )}}}}{(x-\mu )^{3/2}}}}
أين \mu  هي معلمة الموقع و c هي معلمة المقياس. دالة التوزيع التراكمي هي

{\displaystyle F(x;\mu ,c)={\textrm {erfc}}\left({\sqrt {\frac {c}{2(x-\mu )}}}\right)}
أين {\displaystyle {\textrm {erfc}}(z)} هي دالة الخطأ التكميلية. معلمة التحول \mu  له تأثير تحريك المنحنى إلى اليمين بمقدار \mu  ، وتغيير الدعم إلى الفاصل الزمني [ \mu  ،{\displaystyle \infty }). مثل جميع التوزيعات المستقرة ، فإن توزيع Levy له شكل قياسي f (x؛ 0،1) له الخاصية التالية:

{\displaystyle f(x;\mu ,c)dx=f(y;0,1)dy\,}
حيث يتم تعريف *y* على أنه

{\displaystyle y={\frac {x-\mu }{c}}\,}
يتم إعطاء الوظيفة المميزة لتوزيع لیفي بواسطة

{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-{\sqrt {-2ict}}}.}
لاحظ أنه يمكن أيضًا كتابة الوظيفة المميزة بنفس الشكل المستخدم للتوزيع المستقر مع {\displaystyle \alpha =1/2} و {\displaystyle \beta =1}:

{\displaystyle \varphi (t;\mu ,c)=e^{i\mu t-|ct|^{1/2}~(1-i~{\textrm {sign}}(t))}.}
على افتراض {\displaystyle \mu =0}، يتم تحديد اللحظة *n* لتوزيع لیفي غير المحول رسميًا بواسطة:

{\displaystyle m\_{n}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x}\,x^{n}}{x^{3/2}}}\,dx}
التي تختلف عن الجميع {\displaystyle n\geq 0.5} بحيث لا توجد اللحظات الصحيحة لتوزيع لیفي (فقط بعض اللحظات الكسرية).

سيتم تحديد وظيفة توليد اللحظة رسمياً من خلال:

{\displaystyle M(t;c)\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}\int \_{0}^{\infty }{\frac {e^{-c/2x+tx}}{x^{3/2}}}\,dx}
لكن هذا يختلف عن {\displaystyle t>0} وبالتالي لا يتم تعريفه على فاصل زمني حول الصفر ، لذلك لم يتم تحديد وظيفة توليد اللحظة في حد ذاته.

مثل جميع التوزيعات المستقرة باستثناء التوزيع الطبيعي ، يظهر جناح دالة كثافة الاحتمال سلوكًا ذيلًا ثقيلًا يسقط وفقًا لقانون الطاقة:

{\displaystyle f(x;\mu ,c)\sim {\sqrt {\frac {c}{2\pi }}}{\frac {1}{x^{3/2}}}}  مثل  {\displaystyle x\to \infty ,}
مما يدل على أن ليفي ليس فقط ذو الطرف الثقيل ولكنه أيضًا ذو الذيل. هذا موضح في الرسم البياني أدناه، حيث تعمل كثافة الاحتمال لقيم مختلفة من *c* و {\displaystyle \mu =0} يتم رسمها على قطعة أرض. يفي توزيع لیفي القياسي بشرط الاستقرار:

{\displaystyle (X\_{1}+X\_{2}+\dotsb +X\_{n})\sim n^{1/\alpha }X}
حيث {\displaystyle X\_{1},X\_{2},\dotsb ,X\_{n},X} متغيرات لیفي مستقلة مع {\displaystyle \alpha ={\frac {1}{2}}}.

مراجع
-----

1. ↑  *Statistical mechanics of the liquid surface* by Clive Anthony Croxton, 1980, A Wiley-Interscience publication, ISBN 0-471-27663-4, ISBN 978-0-471-27663-0
2. ↑  Maslov, V. P. (1 Apr 2015). "Van der Waals equation from the viewpoint of probability distribution and the triple point as the critical point of the liquid-to-solid transition". *Russian Journal of Mathematical Physics* (بالإنجليزية). **22** (2): 188–200. DOI:10.1134/S1061920815020065. ISSN:1555-6638. Archived from the original on 2018-06-07.
3. ↑  Rogers، Geoffrey L. (2008). "Multiple path analysis of reflectance from turbid media". *Journal of the Optical Society of America A*. ج. 25 ع. 11: 2879–2883. DOI:10.1364/josaa.25.002879.
4. ↑  Applebaum, D. "Lectures on Lévy processes and Stochastic calculus, Braunschweig; Lecture 2: Lévy processes" (PDF). University of Sheffield. ص. 37–53. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2016-04-17.
5. ↑  Ole E.; Mikosch, Thomas; Resnick, Sidney I. (30 Mar 2001). *Lévy Processes: Theory and Applications* (بالإنجليزية). Springer Science & Business Media. ISBN:978-0-8176-4167-2. Archived from the original on 2020-06-14.

|  |
| --- |
| **توزيع احتمالي لیفي** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* أيقونة بوابةبوابة إحصاء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات