**معادلة هاميلتون** في الفيزياء (بالإنجليزية:Hamilton function ) {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)} هي معادلة تصف حركة نظام مكون من جسيمات وتعطي طاقته كدالة لموضع الجسيمات و وزخم حركتها. وهي معادلة تعتمد على الزمن t و إحداثيات الوضع {\displaystyle q=(q\_{1},q\_{2}\dots q\_{n})} و زخم الحركة لكل الجسيمات {\displaystyle p=(p\_{1},p\_{2}\dots p\_{n})} .

عند دراسة حركة جسيم كتلته m يتحرك بسرعة أقل بكثير من سرعة الضوء ويوجد في بئر جهدي V (مثال تقريبي : إلكترون يتحرك في جهد نواة الذرة) ، فيمكن حساب طاقة الحركة و طاقة الوضع للجسيم (الإلكترون) بالمعادلة:

{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\frac {\mathbf {p} ^{2}}{2\,m}}+V(\mathbf {q} )}
أما إذا أردنا وصف جسيم حر طليق يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء نحصل على العلاقة بين الطاقة E وزخم الحركة p للجسيم الحر كالآتي:

{\displaystyle E^{2}-\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}=m^{2}\,c^{4}}
حيث c سرعة الضوء ,

وتكون معادلة هاميلتون للجسيم الحر (مع أخذ تأثيرات النظرية النسبية الخاصة لأينشتاين في الحسبان) :

{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,\mathbf {q} ,\mathbf {p} )={\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}\,.}
في ذلك المثالين (جسيم يتحرك في بئر جهدي لنواة أو جسيم حر) لا تعتمد دالة هاميلتون على الزمن ، وعلى ذلك يحتفظ الجسيم بطاقته الابتدائية ، فتكون طاقة الجسيم كمية محفوطة.

دالة هاميلتون و دالة لاغرانج
----------------------------

تمكن تحويل دالة هاميلتون عن طريق تحويل ليجاندر فنحصل على دالة لاغرانج
{\displaystyle {\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})} التي تعتمد على الإحداثيات المعممة للوضع والسرعات ,
{\displaystyle {\dot {q}}=({\dot {q}}\_{1},{\dot {q}}\_{2}\dots {\dot {q}}\_{n})} :

{\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)=\sum \_{k=1}^{n}{\dot {q}}\_{k}\,p\_{k}-{\mathcal {L}}(t,q,{\dot {q}})}
نجد على اليمين السرعات
{\displaystyle {\dot {q}}} التي تؤول إلى الدوال {\displaystyle {\dot {q}}(t,q,p)} عند تعريف زخوم الحركة حيث زخم الحركة p :

{\displaystyle p\_{k}={\frac {\partial {\mathcal {L}}}{\partial {\dot {q}}\_{k}}}}
واستنباطها من السرعات.

وعلى سبيل المثال يعتمد زخم الحركة لجسيم يتحرك بسرعة مقاربة من سرعة الضوء طبقا لدالة لاغرانج :

{\displaystyle {\mathcal {L}}=-m\,c^{2}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}
{\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {m{\dot {\mathbf {q} }}}{\sqrt {1-{\dot {\mathbf {q} }}^{2}/c^{2}}}}}
أي يعتمد زخم الحركة على السرعات .

وبالعكس نجد ان السرعة دالة لزخم الحركة :

{\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\mathbf {p} \,c^{2}}{\sqrt {m^{2}\,c^{4}+\mathbf {p} ^{2}\,c^{2}}}}}
وتحدد دالة هاميلتون تغير مكان الجسيمات و زخمها الحركي مع الزمن من خلال معادلة هاميلتون للحركة .

{\displaystyle {\dot {q}}\_{k}={\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial p\_{k}}}\ ,\quad {\dot {p}}\_{k}=-{\frac {\partial {\mathcal {H}}}{\partial q\_{k}}}\,.}
كذلك يعين معامل هاميلتون التغير مع الزمن في ميكانيكا الكم. ويمكن الحصول عليه في مسائل كثيرة من دالة هاميلتون مع أخذ الكمومية في الاعتبار ، وصياغة الدالة {\displaystyle {\mathcal {H}}(t,q,p)} كدالة للمعاملين {\displaystyle q} و p .

مراجع
-----

1. ↑  les maths en physiques"la physiques à travers le filtre des mathématiques"

انظر أيضا
---------

* ميكانيك لاغرانج
* تحويل ليجاندر
* ستة درجات حرية
* جسيم في صندوق
* جهد يوكاوا

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |

* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي