ميّز عن مميز.
في الجبر الخطي، **المُحَدِّد** (بالإنجليزية: Determinant)‏ لمصفوفة مربعة *n*×*n*، هو عدد يمكن أن يحسب من خلال مداخل المصفوفة المربعة، يحدد عددا من خصائص التحويل الخطي الذي تصفه هذه المصفوفة.
يكون الُمحَدِّد مساوٍيا لصفر إذا وفقط إذا كانت المصفوفة **غير** معكوسة (أنظر معكوس المصفوفة ).

يرمز عادة لمحدد مصفوفة ما *A* {\displaystyle \!\,|A|} أو {\displaystyle \!\,\det(A)} .

للمحدد معنى هندسي: إذا كانت *A* مصفوفة مربعة حقيقية، فإن القيمة المطلقة لمحددها مساويةٌ لحجم متوازي السطوح (في فضاء إقليدي)، ورؤوس متوازي السطوح هي أعمدة المحدد.

تعريف
-----

### محدد مصفوفة 2X2

لمحدد 2X2، طريقة الحساب هي:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc\ }
على سبيل المثال:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2\\1&3\end{vmatrix}}=1\cdot 3-2\cdot 1=1\ }
لذلك المصفوفة هي معكوسة. وبالتالي، معكوس المصفوفة هو:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\1&3\end{bmatrix}}^{-1}={\begin{bmatrix}3&-2\\-1&1\end{bmatrix}}}
بالرغم من ذلك المصفوفة الآتية هي غير معكوسة:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}1&2\\2&4\end{bmatrix}}}
لذلك، بما أنها غير معكوسة، حساب المحدد هو 0:

{\displaystyle {\begin{vmatrix}1&2\\2&4\end{vmatrix}}=1\cdot 4-2\cdot 2=0}
### محدد مصفوفة 3X3

إحدى طرق تحديد محدد المصفوفة 3×3:

{\displaystyle \det(A)={\begin{vmatrix}a&d&g\\b&e&h\\c&f&i\end{vmatrix}}=(a.e.i+d.h.c+g.b.f)-(d.b.i+a.h.f+g.e.c)}
### محدد مصفوفة nXn

يُحدد محدد مصفوفة ذات بُعد ما باستعمال صيغة لايبنتس أو صيغة لابلاس.

صيغة لايبنتس من أجل حساب محدد مصفوفة A بعدها *n* × *n* تأتي فيما يلي:

{\displaystyle \det(A)=\sum \_{\sigma \in S\_{n}}\operatorname {sgn}(\sigma )\prod \_{i=1}^{n}a\_{i,\sigma \_{i}}.\ }
انظر إلى تبديل (رياضيات) وإلى زمرة متماثلة.

خصائص المحدد
------------

1. {\displaystyle \det(I\_{n})=1} حيث *I**n* هي مصفوفة الوحدة ذات البعد *n* × *n*.
2. {\displaystyle \det(A^{\rm {T}})=\det(A).} حيث {\displaystyle A^{\textsf {T}}} تعني منقولة المصفوفة A.
3. {\displaystyle \det(A^{-1})={\frac {1}{\det(A)}}=\det(A)^{-1}.}
4. إذا كانت A و B مصفوفتين مربعتين، فإن:
{\displaystyle \det(AB)=\det(A)\det(B).}
5. {\displaystyle \det(cA)=c^{n}\det(A)} حيث A مصفوفة بعدها *n* × *n*.
6. إذا كانت A مصفوفة مثلثية (أي أن *a**i*,*j* = 0 كلما توفر *i* > *j*، أو بشكل مماثل، كلما توفر *i* < *j*)، فإن محدد هذه المصفوفة هو جداء عناصرها الواقعة على القطر الرئيسي:

{\displaystyle \det(A)=a\_{1,1}a\_{2,2}\cdots a\_{n,n}=\prod \_{i=1}^{n}a\_{i,i}.}

الحساب
------

حيث تطبيقات من قبيل معرفة قابلية عكس مصفوفة أو حساب القيم الذاتية أو المتجهات الذاتية لمصفوفة لا تستعمل نهائيا المحدد، بل تستعمل تقنيات أخرى أكثر تطورا.

انظر إلى صيغة لايبنتس من أجل حساب المحدد وإلى امتداد لابلاص. يبقى حساب محدد مصفوفة مسألة نظرية. ناذرا ما يحسب المحدد في إطار الجبر الخطي العددي.

التاريخ
-------

من حيث التاريخ، استعمل مفهوم المحدد قبل اعتبار المصفوفات بكثير : في الأصل استعمل المحدد خاصيةً لأنظمة المعادلات الخطية. يحدد المحدد ما إذا كان لنظام معادلات خطية معين حل واحد من عدمه. يكون لهذا النظام حل واحد إذا كان المحدد مختلفا عن الصفر. استعمل هذا المعنى لأول مرة من طرف كتاب الرياضيات الصيني الدروس التسعة حول فن الرياضيات (والذي كُتب في حوال القرن الثلاث قبل الميلاد).
في أوروبا، اعتُبر المحدد 2\*2 من طرف عالم الرياضيات كاردانو في نهاية القرن السادس عشر، واعتُبر المحدد من حجم أكبر من ذلك من طرف عالم الرياضيات الألماني لايبنتس.

انظر أيضا
---------

* بفافي مصفوفة

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن محدد (مصفوفات) على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2019-04-13.
2. ↑  "معلومات عن محدد (مصفوفات) على موقع catalogue.bnf.fr". catalogue.bnf.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-05-02.
3. ↑  "معلومات عن محدد (مصفوفات) على موقع bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 2020-03-14.

وصلات خارجية
------------

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: محدد |



| * ع
* ن
* ت
مواضيع الجبر الخطي |
| --- |
| **معادلة خطية** | نظام المعادلات الخطية-محدد>(محدد مقتصر-صيغة كوشي-بينيه-قاعدة كرامر-حذف غاوس-جوردان )-خوارزمية شتراسن |
| **مصفوفات** | نظرية المصفوفة - جمع المصفوفات - ضرب المصفوفات - مصفوفة التحويلِ الأساسية-متعددة حدود مميزة- أثر - مبرهنة كايلي-هاميلتون - قيمة خاصة ، شعاع خاص - شكل جوردان الطبيعي - رتبة - مصفوفة معكوسة ، مصفوفة قابلة للعكس > مقلوب كاذب -مصفوفة مصاحبة-تحويل رياضي > ( الجداء نقطة -مصفوفة متماثلة-مصفوفة متعامدة- مصفوفة متماثلة منحرفة - نقل مترافق - مصفوفة الوحدة - مصفوفة هيرميتية، ضد هيرميتي )

- معرف إيجابي، نصف معرف إيجابي ، مصفوفة إيجابية معرفة- بفافي مصفوفة -تقدير

-مصفوفة قطرية، قطر رئيسي > مصفوفة قطورة - مصفوفة Tridiagonal - مصفوفة هيسينبرغ - مصفوفة مثلثية - نظرية طيفية - مصفوفة قياسية-مصفوفة تويبليتز - مصفوفة هانكل - مصفوفة فانديرموند-مصفوفة كتلوية-مصفوفة متناثرة - مصفوفة دفع - هوية مصفوفة وودبوري - مبرهنة بيرون-فروبانيوس |
| **تفكيك مصفوفة** | تفكيك تشوليسكي-تفكيك لو-تفكيك كيو آر-نظرية طيفية-تفكيك قيمة مفرد-تفكيك شور>تكملة شور |
| **حسابات** | تحويل هاوسهولدر-طريقة مجموع المربعات الدنيا-عملية غرام شميت |
| **متجهات** | ضرب قياسي-تركيب خطي-مدى خطي-استقلال خطي-أساس خطي-شعاع تنسيقي |
| **فضاء شعاعي** | أمثلة الفراغات الشعاعية-تحويل خطي> تحويل غاليلي، تحويل لورينتز-فضاء عمود-فضاء صف-فضاء ملغي ، بطلان- نظرية بطلان غريزة النموِ- فضاء ثنائي > دالة خطية- تعامد - متمم متعامد - إسقاط متعامد - دوران غير صحيح - فضاء جزئي |
| **جبر متعدد الخطية** | تينسور > ( معالجة كلاسيكية للتينسورات - معالجة متوسطة للتينسور - معالجة خالية من التنسورات ) - موتر >(جبر خارجي-جبر متماثل ) |
| **فضاء تآلفي** | تحويل أفيني-زمرة أفينية-هندسة تآلفية |
| **فضاء إسقاطي** | تحويل إسقاطي-هندسة إسقاطية-سطح الدرجة الثانية |

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علوم

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |