في الرياضيات، يمثل **المشتق الاتجاهي** لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات على طول متجه **معين** {\displaystyle {\vec {v}}} عند نقطة معينة x معدل تغير هذه الدالة على طول إتجاه هذا المتجه. لذلك فهو يعمم فكرة المشتق الجزئي، حيث يتم أخذ معدل التغير على طول أحد منحنيات الإحداثيات المنحنية، وتكون جميع الإحداثيات الأخرى ثابتة.

الترميز
-------

لتكن f دالة تفاضلية متعددة المتغيرات، يمكن الإشارة إلى المشتق الاتجاهي للدالة f على طول متجه {\displaystyle {\vec {v}}} بأي مما يلي:

* :{\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )}،
* {\displaystyle f'\_{\mathbf {v} }(\mathbf {x} )}،
* {\displaystyle D\_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}،
* {\displaystyle Df(\mathbf {x} )(\mathbf {v} )}،
* {\displaystyle \partial \_{\mathbf {v} }f(\mathbf {x} )}،
* {\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\nabla f(\mathbf {x} )}}،
* {\displaystyle \mathbf {v} \cdot {\frac {\partial f(\mathbf {x} )}{\partial \mathbf {x} }}.}

التعريف
-------

 خط منسوب للدالة {\displaystyle f(x,y)=x^{2}+y^{2}}، يظهر متجه التدرج باللون الأسود، ومتجه الوحدة {\displaystyle \mathbf {u} } تحجيم بواسطة مشتق الاتجاه على طول {\displaystyle \mathbf {u} } باللون البرتقالي. يكون متجه التدرج أطول لأن التدرج يشير إلى اتجاه أكبر معدل لزيادة دالة.المشتق الإتجاهي لدالة تفاضلية متعددة المتغيرات :

> {\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x\_{1},x\_{2},\ldots ,x\_{n})}
> 
> 

على طول متجه :

> {\displaystyle \mathbf {v} =(v\_{1},\ldots ,v\_{n})}
> 
> 

هو الدالة {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }{f}} المُعرفة بالنهاية التالية:

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim \_{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}
> 
> 

إذا كانت الدالة قابلة للإشتقاق في {\displaystyle \mathbf {x} }، فإن المشتق الإتجاهي موجود، ويُعبر عنه ب:

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} }
> 
> 

بحيث {\displaystyle \nabla } ترمز إلى التدرج و \cdot  هو الجداء النقطي، وهذه القاعدة هي مجرد تطبيق لتعريف المشتق الإتجاهي :

> {\displaystyle {\begin{aligned}0&=\lim \_{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)-tD\_{f}(x)(v)}{t}}\\&=\lim \_{t\to 0}{\frac {f(x+tv)-f(x)}{t}}-D\_{f}(x)(v)=\nabla \_{v}f(x)-D\_{f}(x)(v)\\\implies &\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {v} =D\_{f}(x)(v)=\nabla \_{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )\end{aligned}}}
> 
>

خصائص
-----

الكثير من الخصائص المألوفة للمشتق الإعتيادي تصلح للمشتق الاتجاهي. إذا كانت دوال f و {\displaystyle g} معرفة على مجالٍ، والقابلة للإشتقاق في p، فهي تستوفي الخصائص الآتية:

1. قاعدة الجمع :

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }(f+g)=\nabla \_{\mathbf {v} }f+\nabla \_{\mathbf {v} }g.} 
> 
> 

2. قاعدة العامل الثابت :

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }(cf)=c\nabla \_{\mathbf {v} }f.}
> 
> 

3. قاعدة الضرب (أو قاعدة لايبنيس) :

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }(fg)=g\nabla \_{\mathbf {v} }f+f\nabla \_{\mathbf {v} }g.}
> 
> 

4. قاعدة السلسلة ( إذا كانت {\displaystyle h} قابلة للإشتقاق في {\displaystyle g(p)} و {\displaystyle g} في p) :

> {\displaystyle \nabla \_{\mathbf {v} }(h\circ g)(\mathbf {p} )=h'(g(\mathbf {p} ))\nabla \_{\mathbf {v} }g(\mathbf {p} ).}
> 
>

في الهندسة التفاضلية
--------------------

المشتق العمودي
--------------

**المشتق العمودي** هو مشتق اتجاهي على طول متجه عمودي على سطح ما، إذا كان هذا المتجه هو {\displaystyle {\vec {n}}}، فيرمز للمشتق العمودي بالآتي :

> {\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {n} }}=\nabla f(\mathbf {x} )\cdot \mathbf {n} =\nabla \_{\mathbf {n} }{f}(\mathbf {x} )={\frac {\partial f}{\partial \mathbf {x} }}\cdot \mathbf {n} =Df(\mathbf {x} )[\mathbf {n} ].}
> 
>

انظر أيضا
---------

|  |
| --- |
| **مشتق اتجاهي** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* مشتق جزئي
* تدرج
* هندسة تفاضلية

المراجع
-------

1. ↑  Robert Wrede. *Advanced Calculus*.  (بالإنجليزية). Schaum's outlines. `{{استشهاد بكتاب}}`: روابط خارجية في ``|عمل=`` (help)
2. ↑  If the dot product is undefined, the gradient is also undefined; however, for differentiable *f*, the directional derivative is still defined, and a similar relation exists with the exterior derivative.
3. ↑  "Directional Derivatives". *Paul's Online Notes*. مؤرشف من الأصل في 2021-05-01.
4. ↑  Dr Peyam. "Normal Derivative". *Youtube*. مؤرشف من الأصل في 2021-05-26.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي