في الرياضيات، دالة **قوس الظل**  (بالإنجليزية: Arctangent)‏ لعدد حقيقي المعرفة على {\displaystyle \mathbb {R} } هي الدالة العكسية لدالة الظل، مستقرها هو {\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[}، وحدتها هي الراديان.

الدالة التي ترفق بكل عدد حقيقي، قيمة قوس الظل الخاص به يرمز لها بـ **arctan** أو **tan -1**. ومن ثم تكون الدالة العكسية لدالة الظل المثلثية المقتصرة إلى المجال {\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} .

في المَعْلم الديكارتي المتعامد والمتجانس (متعامد ممنظم) للمستوي، يتم الحصول على التمثيل البياني لدالة قوس ظل الزاوية انطلاقا من التمثيل البياني لدالة الظل المقتصرة إلى المجال {\displaystyle \left]-{\frac {\pi }{2}},{\frac {\pi }{2}}\right[} بانعكاس حول المحور ذو المعادلة *y = x*.

مشتق
----

دالة الظل العكسية تقبل الإشتقاق على {\displaystyle \mathbb {R} } ودالتها المشتقة هي:

{\displaystyle \arctan 'x={\frac {1}{1+x^{2}}}}

### إثبات

يمكننا كتابة مشتقة الدالة بهذه الصيغة:{\displaystyle (\arctan x)'={d \over dx}\arctan x}

نضع {\displaystyle \theta =\arctan x}:

{\displaystyle {\frac {d\theta }{d\tan \theta }}={\frac {d\theta }{d\theta (1+\tan ^{2}\theta )}}={\frac {1}{1+\tan ^{2}\theta }}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
**إثبات آخر**

يمكن استنتاج مشتقة **قوس الظل** كالتالي:

**1.** معلوم أن **tan(arctan(x))=x** بتفاضل الطرفين:

{\displaystyle (\tan(\arctan(x))'=x'}

نحصل على :

{\displaystyle {(\tan(\arctan(x))^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}

بتبسيط **tan(arctan(x))** نحصل على:

{\displaystyle {(x^{2}+1)}{d \over dx}{\arctan(x)}=1}

و بترتيب التعبير نحصل على مشتقة دالة **قوس الظل** :

{\displaystyle {d \over dx}{\arctan(x)}={\frac {1}{1+x^{2}}}}

تمثيل بواسطة متسلسلة
--------------------

يمكننا تمثيل الدالة بواسطة متسلسلة تايلور:

{\displaystyle \forall x\in [-1,1]\quad \arctan x=\sum \_{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {x^{2k+1}}{2k+1}}=x-{\frac {1}{3}}x^{3}+{\frac {1}{5}}x^{5}-{\frac {1}{7}}x^{7}+\cdots }.

المشتق العكسي
-------------

يتم الحصول على المشتق العكسي لدالة قوس الظل عن طريق التكامل بالتجزئة :

{\displaystyle x\,\arctan x-{\frac {1}{2}}\ln \left(1+x^{2}\right)+C}

على المستوي العقدي
------------------

### الشكل اللوغاريتمي

يمكننا التعبير عن دالة قوس الظل باستخدام اللوغاريتم العقدي:

{\displaystyle \forall x\in \mathbb {C} \setminus \left(i\left(]-\infty ,-1]\cup [1,+\infty [\right)\right)\quad \arctan x={\frac {1}{i}}\operatorname {artanh} (ix)={\frac {1}{2i}}\ln \left({\frac {1+ix}{1-ix}}\right)={\frac {\ln(1+ix)-\ln(1-ix)}{2i}}}
حيث {\displaystyle \operatorname {artanh} x} هي دالة الظل الزائدية العكسية.

### تمثيل الدالة العقدية

التمثيل البياني اللوني للدالة {\displaystyle \arctan z}

طالع أيضًا
----------

* دوال مثلثية عكسية
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل ثنائي العمدة

مراجع
-----

1. ↑  ميشال إبراهيم ورامي أبو سليمان وفادي (1 يناير 2007). *قاموس المصطلحات العلمية - انكليزي/فرنسي/عربي*. دار الكتب العلمية. ISBN:978-2-7451-5445-3. مؤرشف من الأصل في 2020-03-19. `{{استشهاد بكتاب}}`: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: `|بواسطة=` (مساعدة)
2. ↑  مجمع اللغة العربية بالقاهرة (1957). *مجموعة المصطلحات العلمية والفنية التي أقرها المجمع*. مؤرشف من الأصل في 2020-08-28. `{{استشهاد بكتاب}}`: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: `|بواسطة=` (مساعدة)

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية

|  |
| --- |
| **قوس الظل** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
* دروس من ويكي الجامعة.
 |


| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |