**ضرب هادامار** (بالإنجليزية: Hadamard product)‏ في الرياضيات هي عملية ثنائية تأخذ مصفوفتين من نفس البعد و تعطي مصفوفة ثالثة كل عنصر *{\displaystyle ij}* هي جداء العناصر في *{\displaystyle ij}* لهاتين المصفوفتين. تمت تسمية هذا الضرب على شرف عالم الرياضيات الفرنسي جاك هآدمار، أو عالم الرياضيات الألماني ایسای شور.

 ضرب هادامار

تعريف
-----

لمصفوفتين A و B التي لهما أبعاد m \times n، ضرب هادامار {\displaystyle A\circ B} أو {\displaystyle A\odot B} مصفوفة بنفس الأبعاد (أي m \times n ) يتم حساب قيمها على النحو التالي:

{\displaystyle (A\circ B)\_{ij}=(A\odot B)\_{ij}=(A)\_{ij}(B)\_{ij}.}
لم يتم تعريف هذا الضرب للمصفوفات ذات الأبعاد المختلفة.

مثال
----

لمصفوفتين A و B ({\displaystyle 3\times 3}) ضرب هادامار يساوي:

{\displaystyle {\begin{bmatrix}a\_{11}&a\_{12}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&a\_{33}\end{bmatrix}}\circ {\begin{bmatrix}b\_{11}&b\_{12}&b\_{13}\\b\_{21}&b\_{22}&b\_{23}\\b\_{31}&b\_{32}&b\_{33}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a\_{11}\,b\_{11}&a\_{12}\,b\_{12}&a\_{13}\,b\_{13}\\a\_{21}\,b\_{21}&a\_{22}\,b\_{22}&a\_{23}\,b\_{23}\\a\_{31}\,b\_{31}&a\_{32}\,b\_{32}&a\_{33}\,b\_{33}\end{bmatrix}}.}

خواص
----

* إذا A و B المصفوفات التي لها نفس الأبعاد لا تزيد مرتبة ضرب هادمار عن رتب الضرب لمصفوفتين:

{\displaystyle \operatorname {rank} (\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\leq \operatorname {rank} (\mathbf {A} )\operatorname {rank} (\mathbf {B} )}

* إذا A و B و {\displaystyle C} المصفوفات بنفس الأبعاد وکانت k رقمًا حقيقيًا ثم:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\mathbf {A} \circ \mathbf {B} =\mathbf {B} \circ \mathbf {A} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} \circ \mathbf {C} )=(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\circ \mathbf {C} ,\\&\mathbf {A} \circ (\mathbf {B} +\mathbf {C} )=\mathbf {A} \circ \mathbf {B} +\mathbf {A} \circ \mathbf {C} ,\\&\left(k\mathbf {A} \right)\circ \mathbf {B} =\mathbf {A} \circ \left(k\mathbf {B} \right)=k\left(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} \right),\\&\mathbf {A} \circ \mathbf {0} =\mathbf {0} \circ \mathbf {A} =\mathbf {0} .\end{aligned}}}

* للنواقل x و {\displaystyle y} ومصفوفاتهم القطرية {\displaystyle D\_{x}} و {\displaystyle D\_{y}} يتم إنشاء العلاقات التالية:

{\displaystyle \mathbf {x} ^{\*}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\mathbf {y} =\mathrm {tr} \left(\mathbf {D} \_{\mathbf {x} }^{\*}\mathbf {A} \mathbf {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {B} ^{\mathsf {T}}\right),}

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{i}(A\circ B)\_{ij}&=\left(B^{\mathsf {T}}A\right)\_{jj}\\&=\left(AB^{\mathsf {T}}\right)\_{ii}.\end{aligned}}}

{\displaystyle \left(\mathbf {y} \mathbf {x} ^{\*}\right)\circ \mathbf {A} =\mathbf {D} \_{\mathbf {y} }\mathbf {A} \mathbf {D} \_{\mathbf {x} }^{\*}}

* لقيم ذاتية من المصفوفات A و B العلاقة التالية تحمل:

{\displaystyle \prod \_{i=k}^{n}\lambda \_{i}(\mathbf {A} \circ \mathbf {B} )\geq \prod \_{i=k}^{n}\lambda \_{i}(\mathbf {A} \mathbf {B} ),\quad k=1,\ldots ,n,}

وصلات داخلية
------------

* مصفوفة (رياضيات)
* جاك هآدمار
* ضرب المصفوفات
* قيم ذاتية ومتجهات ذاتية
* مصفوفة قطرية

مراجع
-----

1. 1 2  "Comprehensive List of Algebra Symbols". *Math Vault* (بالإنجليزية الأمريكية). 25 Mar 2020. Archived from the original on 2020-11-28. Retrieved 2020-09-06.
2. ↑  Million، Elizabeth (12 أبريل 2007). "The Hadamard Product" (PDF). *buzzard.ups.edu*. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-11-28. اطلع عليه بتاريخ 2020-09-06.
3. ↑  "Hadamard product - Machine Learning Glossary". *machinelearning.wtf*. مؤرشف من الأصل في 2020-11-28.
4. ↑  "linear algebra - What does a dot in a circle mean?". *Mathematics Stack Exchange*. مؤرشف من الأصل في 2020-11-28.
5. 1 2  "Element-wise (or pointwise) operations notation?". *Mathematics Stack Exchange*. مؤرشف من الأصل في 2020-11-28.
6. ↑  Styan، George P. H. (1973)، "Hadamard Products and Multivariate Statistical Analysis"، *Linear Algebra and Its Applications*، ج. 6، ص. 217–240، DOI:10.1016/0024-3795(73)90023-2، hdl:10338.dmlcz/102190
7. ↑  Horn, Roger A.; Johnson, Charles R. (2012). Matrix analysis. Cambridge University Press.
8. ↑  Hiai، Fumio؛ Lin، Minghua (فبراير 2017). "On an eigenvalue inequality involving the Hadamard product". *Linear Algebra and Its Applications*. ج. 515: 313–320. DOI:10.1016/j.laa.2016.11.017.

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات