هذه الصفحة تنطوي على عدد من نهايات بعض الدوال الرياضية الشائعة. مع الأخذ بالعلم أن (a) و(b) هي ثوابت عددية غير صفرية.

نهاية الدوال بوجه عام
---------------------

إذا كان {\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L\_{1}} و {\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=L\_{2}} ، فإن:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,[f(x)\pm g(x)]=L\_{1}\pm L\_{2}}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,[f(x)g(x)]=L\_{1}\times L\_{2}}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {L\_{1}}{L\_{2}}}\qquad {\text{ if }}L\_{2}\neq 0}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,f(x)^{n}=L\_{1}^{n}} إذا كان n عدد صحيح موجب.
{\displaystyle \lim \_{x\to c}\,f(x)^{1 \over n}=L\_{1}^{1 \over n}} إذا كان n عدد صحيح موجب، وإذا كان a عدد زوجي، فإن {\displaystyle L\_{1}>0} .
{\displaystyle \lim \_{x\to c}{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{x\to c}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}\qquad {\text{ if }}\lim \_{x\to c}f(x)=\lim \_{x\to c}g(x)=0{\text{ or }}\lim \_{x\to c}|g(x)|=+\infty } (قاعدة لوبيتال)
{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{f(x+h)-f(x) \over h}=f'(x)}
{\displaystyle \lim \_{h\to 0}\left({\frac {f(x+h)}{f(x)}}\right)^{\frac {1}{h}}=\exp \left({\frac {f'(x)}{f(x)}}\right)}
{\displaystyle \lim \_{h\to 0}{\left({f(x(1+h)) \over {f(x)}}\right)^{1 \over {h}}}=\exp \left({\frac {xf'(x)}{f(x)}}\right)}

نهاية بعض الدوال الخاصة
-----------------------

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
{\displaystyle \lim \_{n\to \infty }{\frac {n}{\sqrt[{n}]{n!}}}=e}
{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }2^{n}\underbrace {\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2-\cdots {\sqrt {2}}}}}}}} \_{n-1}=\pi }

نهايات بعض الدوال الأولية
-------------------------

{\displaystyle \lim \_{x\to c}a=a}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}x=c}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}ax+b=ac+b}
{\displaystyle \lim \_{x\to c}x^{r}=c^{r}} ، إذا كان r عدد صحيح موجب.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}{\frac {1}{x^{r}}}=+\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{-}}{\frac {1}{x^{r}}}=}
{\displaystyle -\infty } إذا كان r عدد فردي
{\displaystyle +\infty } إذا كان r عدد زوجي

نهايات الدوال الأسية
--------------------

### دوال من الشكل *ag(x)*

{\displaystyle \lim \_{x\to c}e^{x}=e^{c}}، بسبب إستمرارية{\displaystyle e^{x}}.
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }a^{x}={\begin{cases}\infty ,&a>1\\1,&a=1\\0,&0<a<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }a^{-x}={\begin{cases}0,&a>1\\1,&a=1\\\infty ,&0<a<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{a}}=\lim \_{x\to \infty }{a}^{1/x}={\begin{cases}1,&a>0\\0,&a=0\\{\text{does not exist}},&a<0\end{cases}}}
### دوال من الشكل *xg(x)*

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{x}}=\lim \_{x\to \infty }{x}^{1/x}=1}
### دوال من الشكل *f(x)g(x)*

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left({\frac {x}{x+k}}\right)^{x}={\frac {1}{e^{k}}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+x\right)^{\frac {1}{x}}=e}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1+{\frac {1}{x}}\right)^{x}=e}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1-{\frac {1}{x}}\right)^{x}={\frac {1}{e}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }\left(1+{\frac {k}{x}}\right)^{mx}=e^{mk}}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)^{-{\frac {1}{x}}}=e^{a}\qquad }.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}xe^{-x}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }xe^{-x}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}\left({\frac {a^{x}-1}{x}}\right)=\ln {a},\qquad \forall ~a>0}

نهايات الدوال اللوغاريتمية
--------------------------

### اللوغاريتم الطبيعي

{\displaystyle \lim \_{x\to c}\ln {x}=\ln c}, بسبب استمرارية {\displaystyle \ln {x}}، على وجه الخصوص.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log x=\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to 1}{\frac {\ln(x)}{x-1}}=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\ln(x+1)}{x}}=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {-\ln \left(1+a\left({e^{-x}-1}\right)\right)}{x}}=a}. تتبع هذه النهاية قاعدة لوبيتال.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}x\ln x=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\frac {\ln x}{x}}=0}
### لوغاريتمات ذات أساسات إختيارية

* من أجل a>1 :

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}x=-\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}x=\infty }
* من أجل a<1 :

{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log \_{a}x=\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log \_{a}x=-\infty }

نهايات الدوال المثلثية
----------------------

{\displaystyle \lim \_{x\to a}\sin x=\sin a}
{\displaystyle \lim \_{x\to a}\cos x=\cos a}
هذه النهايات تتبع كلا من استمرارية الجيب وجيب التمام.

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin x}{x}}=1} ، أو بشكل عام:
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{ax}}=1} ، من أجل *a* ≠ 0.
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{x}}=a}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin ax}{bx}}={\frac {a}{b}}} ، من أجل *b* ≠ 0.
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x\sin \left({\frac {1}{x}}\right)=1}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {1-\cos x}{x^{2}}}={\frac {1}{2}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to n^{\pm }}\tan \left(\pi x+{\frac {\pi }{2}}\right)=\mp \infty } من أجل كل عدد صحيح n.
بسبب دورية الدوال المثلثية، ليس لديها نهاية عند ±∞.

النهايات عندما تؤول (x) إلى مالانهاية
-------------------------------------

{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }N/x=0{\text{ for any real }}N}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x/N={\begin{cases}\infty ,&N>0\\{\text{does not exist}},&N=0\\-\infty ,&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }x^{N}={\begin{cases}\infty ,&N>0\\1,&N=0\\0,&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }N^{x}={\begin{cases}\infty ,&N>1\\1,&N=1\\0,&-1<N<1\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }N^{-x}=\lim \_{x\to \infty }1/N^{x}=0{\text{ for any }}N>1}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{x}]{N}}={\begin{cases}1,&N>0\\0,&N=0\\{\text{does not exist}},&N<0\end{cases}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }{\sqrt[{N}]{x}}=\infty {\text{ for any }}N>0}
{\displaystyle \lim \_{x\to \infty }\log x=\infty }
{\displaystyle \lim \_{x\to 0^{+}}\log x=-\infty }

انظر
----

قائمة التكاملات

مراجع
-----

1. 1 2 3  "Some Special Limits". *www.sosmath.com*. مؤرشف من الأصل في 2019-05-14. اطلع عليه بتاريخ 2019-07-31.
2. 1 2  "Limits Cheat Sheet - Symbolab". *www.symbolab.com* (بالإنجليزية). Archived from the original on 2018-08-23. Retrieved 2019-07-31.
3. 1 2 3  "SOME IMPORTANT LIMITS - Math Formulas - Mathematics Formulas - Basic Math Formulas". *www.pioneermathematics.com*. مؤرشف من الأصل في 2019-07-31. اطلع عليه بتاريخ 2019-07-31.
4. ↑  "Limits and Derivatives Formulas" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2017-10-25.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي