لمعانٍ أخرى، طالع انحناء (توضيح).
يشير مصطلح **الانحناء** في الرياضيات إلى المقدار الذي ينحرف به الشكل الهندسي عن حالة التسطح (شكل المستوي). هناك فرق أساسي بين الانحناء اللاجوهري (بالإنجليزية: extrinsic curvature)‏ الذي يعرف على الأجسام ضمن الفضاءات (مثلاً:فضاء إقليدي) بحيث يتم تعريف نصف قطر الانحناء للدوائر التي تمس الجسم عند مختلف نقاطه، وبين الانحناء الجوهري (بالإنجليزية: intrinsic curvature)‏ الذي يعرف لكل نقطة في متعدد شعب تفاضلي.

بشكل بسيط يعرف انحناء دائرة على أنه مقلوب نصف قطرها ويكون الانحناء متساوياً في جميع نقاط الدائرة الواحدة (بديهياً بسبب تساوي قيمة نصف القطر في جميع النقاط). وعليه تكون قيمة الانحناء للدوائر الصغيرة أكبر منها في الدوائر الكبيرة. أما بشكل عام فتعطى قيمة الانحناء عند نقطة من منحني ما على أنها انحناء دائرة التقبيل للمنحني في تلك النقطة.

يتم التعبير عن الانحناء في المستوي على أنه قيمة سلمية، بينما في الفضاء الثلاثي الأبعاد أو الفضاءات ذات الأبعاد الأعلى فتأخذ على أنها قيمة اتجاهية يسمى متجه الانحناء والذي يأخذ بعين الاعتبار اتجاه الانحناء بالإضافة إلى حدته. يتم وصف الانحناء للأجسام المعقدة (مثل السطوح في الفضاءات من الدرجة n) باستخدام طرق من الجبر الخطي، كطريقة تنسور الانحناء الريمني.

توضيح
-----

عندما تقود السيارة في طريق تتناوب فيها اجزاء مستقيمة وأخرى منحنية. تلاحظ انك في الجزء المستقيم لست بحاجة لتوجيه عجلة القيادة، ولذلك نقول ان **انحناء الطريق = صفر**. وعندما تواجهة جزء من الشارع ذات منحنى واسع، عليك توجيه عجلة القيادة ولكن قليلا، في هذه المرحلة **الانحناء صغير**. أخيرا عند منعطف ضيق: يجب أن تعمل على توجيه عجلة القيادة بسرعة كبيرة، ولذلك فإنك تبعد عن المسار المستقيم الذي يلامس منحنى الطريق، بسرعة أكبر من السابق، لذلك في هذه المرحلة يمكن القول أن **المنحنى كبير**.

الانحناء في المستوي
-------------------

دائرة التقبيل لمنحني
من أجل أي منحني مستوي C يعطى التعريف الرياضي لقيمة الانحناء باستخدام التمثيل الوسيطي بالنسبة لطول المنحني. لنأخذ مثلاً المنحني النظامي الوسيطي γ(s) حيث s هو طول المنحني. منه يمكن حساب المتجه المماسي الواحدي T، المتجه الناظمي الواحدي N، الانحناء κ(s)، الانحناء الموجه k(s)، ونصف قطر الانحناء عند كل نقطة باستخدام العلاقة التالية:

{\displaystyle T(s)=\gamma '(s),\quad T'(s)=k(s)N(s),\quad \kappa (s)=\|\gamma ''(s)\|=\left|k(s)\right|,\quad R(s)={\frac {1}{\kappa (s)}}.}
من هذه العلاقة نجد أن انحناء الخط المستقيم يعادل الصفر. كما أن انحناء دائرة نصف قطرها R هو قيمة ثابتة تعادل مقلوب نصف القطر كما في العلاقة:

{\displaystyle \kappa ={\frac {1}{R}}.}
أما بالنسبة لأي منحني مستوي عام فإن قيمة الانحناء عند نقطة P منه لا تساوي الصفر وتعادل مقلوب نصف قطر دائرة التقبيل عند تلك النقطة.

### مثال

لنأخذ معادلة القطع المكافئ {\displaystyle y=x^{2}}. من الممكن كتابة هذه المعادلة بالشكل الوسيطي على الشكل {\displaystyle c(t)=(t,t^{2})=(x,y)}

{\displaystyle {\dot {x}}=1,\quad {\ddot {x}}=0,\quad {\dot {y}}=2t,\quad {\ddot {y}}=2}
وبالاستبدال ينتج لدينا:

{\displaystyle \kappa (t)=\left|{\frac {{\dot {x}}{\ddot {y}}-{\dot {y}}{\ddot {x}}}{({{\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2})}^{3/2}}}\right|={1\cdot 2-(2t)(0) \over (1+(2t)^{2})^{3/2}}={2 \over (1+4t^{2})^{3/2}}}

انظر أيضاً
----------

* منحني
* دائرة التقبيل
* انحناءات رئيسية

مراجع
-----

1. ↑  Kobayashi، S.؛ Nomizu، K. *Foundations of Differential Geometry*. جون وايلي وأولاده  ‏. vol. 1 ch. 2–3.`{{استشهاد بكتاب}}`: صيانة CS1: extra punctuation (link)
2. ↑  Pressley، Andrew. *Elementary Differential Geometry* (ط. 1st). ص. 29.
3. ↑  Kline، Morris. *Calculus: An Intuitive and Physical Approach* (ط. 2nd). ص. 458.

وصلات خارجية
------------

* شرح للانحناء الجوهري واللاجوهري باللغة الإنكليزية
* انحناء (Curvatura)

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة اويلر ماكلاورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولن ماكلاورين **·**  ليونهارت أويلر |

* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية
* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: انحناء |



|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)

 |