مثلث سيربنسكي - استدعاء ذاتي لمثلثات لتشكيل مشبك هندسي.شكل بصري للاستدعاء الذاتي يعرف ب*تأثير دروست*. تحمل المرأة في الصورة جسم الذي يحتوي على صورة أصغر لها وهي حاملة نفس الجسم، والذي بدوره يحتوي على صورة أصغر لها وهي حاملة نفس الجسم، وهكذا.
**العودية** وتسمى كذلك ا**لتكرارية** و**التعاودية** **والمعاودة** و**الارتدادية** **واستدعاء ذاتي** **والاجترار** هي عملية تكرار الشيء بطريقة مشابهة ذاتيا. على سبيل المثال، عندما يكون سطحا مرآتين متوازيين تماماً مع بعضها البعض الصور المتداخلة هي عبارة عن نوع من استدعاء ذاتي لانهائي. للمصطلح معانٍ متنوعة خاصة لمجموعة منوعة من التخصصات من اللغويات إلى المنطق. الاستعمال الأكثر شيوعاً للعودية هو في الرياضيات وعلم الحاسوب، حيث أنه يشير إلى طريقة لتعريف دوال بحيث أن الدالة المعرفة تُستعمل في تعريف نفسها.

يجب أن تمتلك دالة الاستدعاء الذاتي على خطوتين أساسيتين:

1- وجود شرط توقف معرف بشكل صحيح مثل:

If (x<=1) return 1 

 بدون هذه الخطوة يستمر الاستدعاء إلى مالا نهاية.

2- وجود خطوة الاستدعاء الذاتي التي يجب أن تعرف بشكل صحيح بحيث تؤدي إلى حالة توقف مثل:

(Return x\*factorial(x-1

تعريفات رسمية للعودية
---------------------

في الرياضيات وعلم الحاسوب، تظهر فئة من الكائنات أو الأساليب سلوك استدعاء ذاتي عندما يكون بالإمكان تعريفهم عن طريق خاصيتين:

* حالة أساس بسطية (أو عدة حالات)، و
* مجموعة من القواعد التي تقلص كل الحالات الأخرى نحو حالة الأساس.

مثلا، التعريف بالاستدعاء الذاتي التالي هو تعريف لأسلاف شخص:

* والدا شخص هم أسلافه (حالة الأساس)
* والدا أسلاف شخص هم أيضا أسلافه (خطوة الاستدعاء الذاتي).

متتالية فيبوناتشي هي مثال تقليدي للاستدعاء الذاتي:

* (Fib(0 هو 0 [حالة أساس]
* (Fib(1 هو 1 [حالة أساس]
* لكل الأعداد الصحيحة n> 1:

```
(Fib(n هو ((Fib(n-1) + Fib(n-2) [تعريف بالاستدعاء الذاتي]
```

العديد من البديهيات مبنية على قواعد استدعاء ذاتي. مثلا، التعريف الرسمي للأعداد الطبيعية في نظرية المجموعات هو: *1 هو عدد طبيعي، ولكل عدد طبيعي عدد لاحق، والذي هو بحد ذاته عدد طبيعي.* باستخدام حالة الأساس وقاعدة عود، بالإمكان إنتاج مجموعة كل الأعداد الطبيعية.

توضيح فكاهي يقول: «*لكي تفهم الاستدعاء الذاتي، يجب عليك فهم الاستدعاء الذاتي*». أو ربما بصورة أدق، من أندرو بلوتكين: «*إذا كنت تعرف ما هو الاستدعاء الذاتي، تذكر الجواب فقط. وإلا، جد شخصاً يقف أقرب إلى دوغلاس هوفشتادتر منك; ثم إساله أو إسالها ما هو الاستدعاء الذاتي.*»

كائنات معرفة بالاستدعاء الذاتي تشتمل على الدوال، المجموعات وخاصة الكسيريات.

فكاهات الاستدعاء الذاتي
-----------------------

يتم استخدام الاستدعاء الذاتي بشكل فكاهي في علم الحاسوب، البرمجة، الفلسفة، أو كتب الرياضايات المدرسية; المثالان التاليان قد تكون تعريفات في القاموس:

**استدعاء ذاتي**
راجع «استدعاء ذاتي».
**استدعاء ذاتي**
إذا لم تزل تعرفه، راجع «استدعاء ذاتي».
مثال آخر يوجد في فهرس في صفحة 269 في بعض نسخ كتاب كيرنيغان وريتشي «لغة البرمجة سي»; فإن الفهرس يشير باستدعاء ذاتي إلى نفسه:استعاء ذاتي 86. 139. 141. 182. 202. **269.**

فكاهة مشابهة تظهر في النسخة الإنجليزية من محرك بحث جوجل: عندما تبحث عن recursion، يقترح الموقع «هل تقصد: *Recursion*».

اختصارات الاستدعاء الذاتي تمكن أن تكون نوع من الفكاهة في الاستدعاء الذاتي. بعض الأمثلة:

* بي إتش بي هي اختصار لـ "PHP Hypertext Preprocessor".
* WINE هي اختصار لـ "Wine Is Not an Emulator.
* GNU هي اختصار لـ "GNU's Not Unix"

الاستدعاء الذاتي في الرياضيات
-----------------------------

مثلث سيربنسكي - استدعاء ذاتي لمثلثات لتشكيل مشبك هندسي.
### المجموعات المعرفة بالاستدعاء الذاتي

#### مثال: الأعداد الطبيعية

المثال القانوني للمجموعات المعرفة بالاستدعاء الذاتي هو الأعداد الطبيعية:

1 في {\displaystyle \mathbb {N} }
إذا كان *n* في {\displaystyle \mathbb {N} }، إذن *n* + 1 في {\displaystyle \mathbb {N} }
مجموعة الأعداد الطبيعية هي المجموعة الأصغر التي تحقق الخاصتين السابقين.
### دوال الاستدعاء الذاتي

دالة قد تكون معرفة جزئياً بنفسها. مثال مألوف هو متتالية فيبوناتشي: (F(n) = F(n − 1) + F(n − 2.
ليكون التعريف مفيداً، يجب أن يوصل إلى قيم غير معرفة بالاستدعاء الذاتي، في هذه الحالة F(0) == 0 و F(1) == 1.

دالة اكرمن هي دالة استدعاء ذاتي مشهورة، والتي بخلاف متتالية فيبوناتشي، لا يمكن التعبير عنها بدون الاستدعاء الذاتي.

الاستدعاء الذاتي في علم الحاسوب
-------------------------------

المقالة الرئيسة: استدعاء ذاتي (علم الحاسوب)
طريقة شائعة لتبسيط المسائل هي لتقسيم المسألة إلى مسائل جزئية من نفس النوع. كتقنية برمجة، يطلق عليها فرق تسد وهي المفتاح لتصميم العديد من الخوارزميات المهمة. فرق تسد هي عبارة عن نهج لحل المسائل من الأعلى إلى الأسفل، بحيث يتم حل المسائل عن طريق حل نسخ أصغر من المسألة. نهج معاكس هي برمجة ديناميكية. هذا النهج عبارة عن نهج لحل المسائل من الأسفل إلى الأعلى، بحيث يتم حل المسائل عن طريق حل نسخ أكبر من المسألة، حتى يتم الحصول على الحجم المطلوب.

مثال تقليدي للاستدعاء الذاتي هو تعريف دالة العاملي، مثال بلغلة السي:

```
unsigned int factorial(unsigned int n) 
{
 if (n <= 1) 
 return 1;
 else
 return n \* factorial(n-1);
}

```

تستدعي الدالة نفسها عودياً على نسخة أصغر من المدخل (n-1) وتضرب نتيجة الاستدعاء الذاتي بـ n، حتى تصل إلى حالة الأساس، بشكل مماثل للتعريف الرياضي للعاملي.

مثال تقليدي اخر بلغه السي بلس بلس:

```
#include <iostream>

using namespace std;

int main ()

{

long number;

cout << "Please type a number: ";

cin >> number;

cout << number << "! = "<< factorial (number);

return 0;

```
في المثال السابق قمنا بكتابة إستدعاء ذاتى للدالة، أي الدالة قامت بمناداة نفسها من داخلها.

لاستخدام الاستدعاء الذاتي في خوارزمية إيجابيات وسلبيات. الميزة الرئيسية هي عادةً البساطة. الضرر الرئيسي هو غالباً أن الخوارزمية قد تستلزم كمية كبيرة من الذاكرة إذا كان عمق الاستدعاء الذاتي كبير جداً.

مبرهنة الاستدعاء الذاتي
-----------------------

في نظرية المجموعات، هذه مبرهنة التي تضمن وجود دوال معرفة بالاستدعاء الذاتي. بإعطاء مجموعة X، عنصر a في X ودالة {\displaystyle f:X\rightarrow X}، تنص المبرهنة أنه هنالك دالة مميزة {\displaystyle F:\mathbb {N} \rightarrow X} (حيث أن {\displaystyle \mathbb {N} } ترمز مجموعة الأعداد الطبيعية شاملة الصفر) بحيث أن:{\displaystyle F(0)=a}

{\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}
لأي عدد طبيعي n.

### برهان التميز

لتكن {\displaystyle F:\mathbb {N} \rightarrow X} و{\displaystyle G:\mathbb {N} \rightarrow X} دالتين بحيث أن:

{\displaystyle F(0)=a}
{\displaystyle G(0)=a}
{\displaystyle F(n+1)=f(F(n))}
{\displaystyle G(n+1)=f(G(n))}
بحث أن *a* هو عنصر في *X*.

بالإمكان البرهنة بالاستقراء أن {\displaystyle F(n)=G(n)} لكل الأعداد الطبيعية *n*:

**الأساس**: {\displaystyle F(0)=a=G(0)} وبالتالي فإن المساواة تنطبق أيضا على {\displaystyle n=0}.
**خطوة الاستقراء**: لنفرض أن {\displaystyle F(k)=G(k)} لبعض {\displaystyle k\in \mathbb {N} }. إذن {\displaystyle F(k+1)=f(F(k))=f(G(k))=G(k+1).}
ومن هنا F(k) = G(k) يؤدي إلى F(k+1) = G(k+1).
بالاسقراء , {\displaystyle F(n)=G(n)} لكل {\displaystyle n\in \mathbb {N} }.

### أمثلة

بعض العلاقات العودية الشائعة:

|  |
| --- |
| * نسبة ذهبية: (φ == 1 + (1/φ... بتذكر أن (φ = 1 + (1/φ ثم... (.../φ == 1 + (1/(1+(1/1+1
* عاملي: {\displaystyle n!=n(n-1)!=n(n-1)\cdots 1}
* متتالية فيبوناتشي: {\displaystyle f(n)=f(n-1)+f(n-2)}
* أعداد كاتالان: {\displaystyle C\_{0}=1}, {\displaystyle C\_{n+1}=(4n+2)C\_{n}/(n+2)}
* حساب الفائدة المركبة
* برج هانوي
* دالة اكرمن
 |

طالع أيضا
---------

* العودية اليسرى
* عودية (علم الحاسوب)

مراجع
-----

1. 1 2 3  "LDLP - Librairie Du Liban Publishers". *www.ldlp-dictionary.com*. مؤرشف من الأصل في 2019-12-10. اطلع عليه بتاريخ 2019-03-13.
2. ↑  "LDLP - Librairie Du Liban Publishers". *www.ldlp-dictionary.com*. مؤرشف من الأصل في 2019-12-10. اطلع عليه بتاريخ 2019-03-13.
3. ↑  "بنك المصطلحات الموحدة". *www.arabization.org.ma*. مؤرشف من الأصل في 2019-12-10. اطلع عليه بتاريخ 2019-03-13.
4. ↑  "ترجمة و معنى كلمة Recursion - قاموس المصطلحات - العربية - الإنجليزية". *dictionary.torjoman.com* (بالإنجليزية). Archived from the original on 2019-12-10. Retrieved 2019-03-13.
5. ↑  Hunter، David (2011). *Essentials of Discrete Mathematics*. Jones and Bartlett. ص. 494. مؤرشف من الأصل في 2017-04-01.

| * ع
* ن
* ت
المنطق |
| --- |
| مقالات رئيسية | 
* العقل الفلسفي
* تاريخ المنطق
* منطق فلسفي
* منطق رياضي
* ما بعد المنطق
* فلسفة المنطق

 |
| مفاهيم مفتاحية | 
* استنتاج
* قياس
* استقراء
* منطق لاشكلي
* افتراض
* استدلال
* حجة
* تفكير نقدي
* مغالطة
* منطق رياضي
* مجموعة
* نحو
* سيمانتيك
* صيغة جيدة الشكل
* مسلمة
* مبرهنة
* التماسك
* نظرية كاملة
* قابلية القرار
* نظام شكلي
* نظرية المجموعات
* نظرية البرهان
* نظرية النموذج
* نظرية العودية
* منطق الرتبة صفر
* دالة بول
* حسبان القضايا
* جداول الحقيقة
* منطق الرتبة الأولى
* منطق الرتبة الثانية
* منطق طوري
* منطق إبستيمي
* منطق ظرفي
* أنواع منطقية لاكلاسيكية
* منطق الحسوبية
	+ منطق ضبابي
	+ منطق خطي

 |
| جدليات | 
* مفارقة

 |
| شخصيات أساسية | 
* أرسطو
* جورج بول
* جورج كانتور
* رودولف كارناب
* جوتلوب فريجه
* كورت غودل
* ديفيد هيلبرت
* جوزيبه بيانو
* شارل ساندرز پيرس
* هيلاري پوتنام
* بيرتراند راسل
* ألفريد تارسكي
* آلان تورنغ

 |
| قوائم | 
* مواضيع أساسية
* منطقيون
* قواعد الاستدلال
* منطق رياضي
* رياضيات متقطعة
* نظرية المجموعات
* مفارقات
* رموز منطقية

 |

| * ع
* ن
* ت
المنطق الرياضي |
| --- |
| عام | 
* لغة شكلية
* تشكيل قاعدة
* نظام شكلي
* نظام شكلي
* برهان فلسفي
* دلالة الصورية (منطق)
* صيغة التشكيلية
* مجموعة (رياضيات)
* صنف (نظرية المجموعات)
* منطق كلاسيكي
* بديهية
* استنتاج طبيعي
* قاعدة الإستدلال
* علاقات
* مبرهنة
* استتباع منطقي
* نظام بديهي
* نظرية النمط
* رمز (شكلي)
* تركيب (منطق)
* نظرية (منطق رياضي)

 |
| منطق تقليدي | 
* قضية
* استدلال
* حجة منطقية
* صحة
* تفكير منطقي
* قياس (منطق)
* تعارض تربيعي
* مخطط فن

 |
| حساب القضايا - جبر بولياني | 
* دالة بول
* حساب القضايا
* قضية (منطق)
* رابطة منطقية
* جدول الحقيقة

 |
| منطق تحول | 
* منطق الرتبة الأولى
* الكم (منطق)
* محمول (منطق)
* منطق الرتبة الثانية
* Monadic predicate calculus

 |
| نظرية المجموعات المبسطة | 
* مجموعة (رياضيات)
* مجموعة خالية
* تعداد
* الماصدقية
* مجموعة منتهية
* مجموعة غير منتهية
* مجموعة جزئية
* مجموعة قوة
* مجموعة قابلة للعد
* مجموعة غير قابلة للعد
* مجموعة تكرارية
* مجال دالة
* مدى(رياضيات)
* تطبيق (رياضيات)
* دالة
* عملية ثنائية
* زوج مرتب

 |
| نظرية المجموعات | 
* أسس الرياضيات
* نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل
* بديهية الاختيار
* نظرية المجموعات العامة
* Kripke–Platek set theory
* Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
* نظرية مجموعة مورس-كيلي
* Tarski–Grothendieck set theory

 |
| نظرية النموذج | 
* البنية (منطق رياضي)
* تأويل (منطق)
* Non-standard model
* نظرية نموذج تناهي
* قيمة الحقيقة
* صحة

 |
| نظرية البرهان | 
* برهان فلسفي
* نظام شكلي
* نظام شكلي
* مبرهنة
* استتباع منطقي
* علاقات متناهية
* تركيب (منطق)

 |
| نظرية الحاسوبية | 
* استدعاء ذاتي
* مدى(رياضيات)
* مجموعة مرقمة بشكل تراجعي
* مشكل القرار
* أطروحة تشرش-تورينغ
* دوال حسابية
* Primitive recursive function

 |

| * ع
* ن
* ت
كسيريات |
| --- |
| Characteristics | 
* بعد كسيري
	+ بعد هاوسدورف
	+ Topological dimension
* استدعاء ذاتي
* تشابه ذاتي

 | An image of a fern which exhibits تحويل تآلفي self-similarity. |
| Iterated function system | 
* Barnsley fern
* مجموعة كانتور
* Dragon curve
* ندفة الثلج لكوخ
* إسفنج مينغر
* زربية سيربنسكي
* مثلث سيربنسكي
* Space-filling curve
* T-square

 |
| Strange attractor | 
* Multifractal system

 |
| نظام لامي  ‏ | 
* Space-filling curve

 |
| Escape-time fractals | 
* كسيرية الباخرة المحترقة
* مجموعة جوليا
* كسيرية ليابونوف
* مجموعة ماندلبرو
* كسيرية نوفا

 |
| Random fractals | 
* حركة براونية
* Brownian tree
* Diffusion-limited aggregation
* Fractal landscape
* رحلة ليفي
* نظرية التخلل
* Self-avoiding walk

 |
| علماء | 
* جورج كانتور
* فيليكس هاوسدورف
* غاستون جوليا
* هيلغ فون كوخ
* بول ليفي
* ألكسندر ليابونوف
* بينوا ماندلبروت
* لويس فراي ريتشاردسون
* فاتسواف شيربينسكي

 |
| أخرى | 
* "How Long Is the Coast of Britain?"
	+ مفارقة خط الساحل
* List of fractals by Hausdorff dimension

 |


|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: عودية |



|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |

* أيقونة بوابةبوابة علم الحاسوب
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تقانة المعلومات
* أيقونة بوابةبوابة منطق