لمعانٍ أخرى، طالع تباين (توضيح).

**التباين** (بالإنجليزية: Variance)‏ (في مجال الإحصاء ونظرية الاحتمالات) لمتغير عشوائي أو توزيع احتمالي أو عينة ، هو مقياس للتشتت الإحصائي للقيم الممكنة حول القيمة المتوقّعة، وهو مساوٍ للقيمة المتوقّعة (أو لمتوسّط الحسابي) لتربيع انحرافات القيم المقاسة عن القيمة المتوقّعة (أو المتوسّط). أي أنّ في حين تصف القيمة المتوقّعة الموقع المتوسّط لتوزيع معيّن، يصف التباين مدى انتشار القيم الممكنة لهذا التوزيع حول القيمة المتوقّعة. يطلق على الجذر التربيعي الموجب للتباين اسم الانحراف المعياري، وله نفس وحدات المعطيات الأصلية، ولذا يسهل فهمه أو تفسيره أحيانًا بالمقارنة مع التباين.

إنّ تباين متغيّر عشوائي حقيقي مساوٍ لعزمه المركزي من الرتبة الثانية. وكما لا توجد لبعض التوزيعات قيمة متوقّعة، فللبعض لا يوجد تباينًا. إذا كان للتوزيع تباين، فله أيضًا قيمة متوقّعة، أمّا العكس فليس بالضرورة صحيحًا.

تعريف
-----

يرمز للتباين لمتغير عشوائي {\displaystyle X} بواسطة {\displaystyle \operatorname {V} \left(X\right)} ،

أو الرمز {\displaystyle \operatorname {Var} \left(X\right)} أو الرمز {\displaystyle \sigma \_{X}^{2}}. 

وبالنسبة لمتغير عشوائي {\displaystyle X} ذي قيمة متوقعة {\displaystyle \operatorname {\mu } =\operatorname {E} \left[X\right]} ، وهذا هو متوسط القيم، فإنّ التباين للمتغير {\displaystyle X} هو:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(X\right)=\operatorname {E} \left[\left(X-\mu \right)^{2}\right]}.
وإنّ هذا التعريف صحيح بالنسبة لمتغيرات عشوائية مستمرة أو متقطعة أو لا هذه ولا تلك. وبالإمكان تفكيك المعادلة السابقة لتصبح:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} (X)&=\operatorname {E} [(X-\mu )^{2}]\\&=\operatorname {E} [(X^{2}-2X\mu +\mu ^{2})]\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\mu \operatorname {E} (X)+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-2\mu ^{2}+\mu ^{2}\\&=\operatorname {E} (X^{2})-\mu ^{2}.\end{aligned}}}
كما ويتحقّق:

{\displaystyle \mu =\operatorname {E} \left[X\right]={\mbox{arg}}\left\{{\underset {X}{\mbox{min}}}\left\{\operatorname {E} \left[\left(X-{\tilde {X}}\right)^{2}\right]\right\}\right\}}
{\displaystyle \operatorname {Var} \left[X\right]={\underset {X}{\mbox{min}}}\left\{\operatorname {E} \left[\left(X-{\tilde {X}}\right)^{2}\right]\right\}}
أي أنّ القيمة المتوقّعة {\displaystyle {\tilde {X}}=\mu } تعطي أقل قيمة لمعدّل تربيع الانحرافات عن نقطة معيّنة، وتكون هذه القيمة القصوى هي التباين.

### الحساب المباشر لمتغير عشوائي مستمر

إذا كان المتغير العشوائي {\displaystyle X} مستمرًا ذا دالة كثافة احتمال {\displaystyle p\left(X\right)}، يمكن حسابه بالتكامل:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(X\right)=\int \left(x-\mu \right)^{2}p\left(x\right)dx}
حيث:
{\displaystyle \mu =\int xp\left(x\right)dx}
حيث أنّ التكاملين هما تكاملان محدودان وفق مجال القيم التي ممكن أن يحصل عليها المتغير {\displaystyle X}.

### الحساب المباشر لمتغير عشوائي متقطع

إذا كان المتغير العشوائي {\displaystyle X} متقطعًا ذا دالة كتلة احتمال كالتالي {\displaystyle x\_{1}~p\_{1},x\_{2}~p\_{2},\dots ,x\_{n}~p\_{n}}، بحساب المجموع:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(X\right)=\sum \_{i=1}^{n}\left(x\_{i}-\mu \right)^{2}p\_{i}}، حيث:
{\displaystyle \mu =\sum \_{i=1}^{n}x\_{i}p\_{i}}
بشرط أن يتحقّق: {\displaystyle \textstyle \sum \_{i=1}^{n}p\_{i}=1}

إذا أردنا ترجمة هذه المعادلة للغة بسيطة، فيمكن وصف التباين على أنّه *معدّل تربيع انحرافات* {\displaystyle X} عن قيمته المتوقّعة {\displaystyle \mu }.

أمثلة
-----

### التوزيع الاحتمالي الطبيعي

التوزيع الاحتمالي الطبيعي ذو المتوسط \mu  و التباين \sigma  هو توزيع مستمر (يعرف أيضا باسم **توزيع غاوسي**)، دالة كثافته الاحتمالية تعرف كما يلي:

{\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}.}
في هذا التوزيع، القيمة المتوقعة تساوي \mu  أما التباين فيحسب كما يلي:

{\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\int \_{-\infty }^{\infty }{\frac {x^{2}}{\sqrt {2\pi \sigma ^{2}}}}e^{-{\frac {(x-\mu )^{2}}{2\sigma ^{2}}}}\,dx-\mu ^{2}=\sigma ^{2}.}
### متغير عشوائي بواسوني

إذا كان {\displaystyle X} هو متغير عشوائي بواسوني ذا قيمة وسيطة مقدارها {\displaystyle \lambda }، أي {\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} \left(\lambda \right)}، فإنّ قيمته المتوقعة تساوي {\displaystyle \lambda } وتباينه يساوي:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(X\right)&=\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu ^{2}=\sum \_{n=0}^{\infty }n^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}\\&=\sum \_{n=1}^{\infty }n^{2}{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}=\sum \_{n=1}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{\left(n-1\right)!}}-\lambda ^{2}\\&=\lambda \sum \_{n=1}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n-1}}{\left(n-1\right)!}}-\lambda ^{2}=\lambda \sum \_{n=0}^{\infty }\left(n+1\right){\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}-\lambda ^{2}\\&=\lambda \left(\underbrace {\sum \_{n=0}^{\infty }n{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}} \_{=\operatorname {E} \left[X\right]=\lambda }+\underbrace {\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{n}}{n!}}} \_{=1}\right)-\lambda ^{2}=\lambda ^{2}+\lambda -\lambda ^{2}\\&=\lambda .\\\end{aligned}}}
أي أن تباين المتغير العشوائي وقيمته المتوقعة متساويان.

خواص
----

* إنّ التباين لا يمكن أن يكون قيمة سلبيّة، إذ أنّه مساوٍ لمعدّل قيم غير سلبية (تربيع أبعاد). إذا كان المتغير العشوائي يتّخذ قيمة ممكنة واحدة فقط، فإنّه متغيرًا حتميًا ويكون تباينه صفرًا. أمّا بالنسبة لمجموعة معطيات، فيكون تباينها صفرًا إذا وفقط إذا كانت جميع القيم في المجموعة متساوية.
* إنّ التباين هو قيمة لامتغيّرة بالنسبة لموقع التوزيع الذي تتبع له، أي:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(X\right)=\operatorname {Var} \left(X+b\right)}، لأي قيمة حتمية (غير عشوائية) b.
* إنّ ضرب المتغير العشوائي بقيمة حتميّة، *a*، يؤدي إلى ضرب التباين بتربيع هذه القيمة:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(aX\right)=a^{2}\operatorname {Var} \left(X\right)}
* إذا جمعنا الخاصتين السابقتين، نحصل على المعادلة التالية بالنسبة لأي تحويل أفيني يجري على المتغير العشوائي {\displaystyle X}:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(aX+b\right)=a^{2}\operatorname {Var} \left(X\right)}
* إنّ تباين جمع متغيّرين عشوائيين مختلفين، {\displaystyle X} و{\displaystyle Y}، ذوي قيمتين متوقّعتين، {\displaystyle \mu \_{X}} و{\displaystyle \mu \_{Y}}، معطى كالتالي:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {Var} \left(X+Y\right)&=\operatorname {E} \left[\left(X+Y\right)^{2}\right]-\left(\mu \_{X}+\mu \_{Y}\right)^{2}\\&=\underbrace {\operatorname {E} \left[X^{2}\right]-\mu \_{X}^{2}} \_{\operatorname {Var} \left(X\right)}+\underbrace {\operatorname {E} \left[Y^{2}\right]-\mu \_{Y}^{2}} \_{\operatorname {Var} \left(Y\right)}+2\left(\operatorname {E} \left(XY\right)-\mu \_{X}\mu \_{Y}\right)\\&=\operatorname {Var} \left(X\right)+\operatorname {Var} \left(Y\right)+2\operatorname {Cov} \left(X,Y\right)\\\end{aligned}}}
وبشكل مشابه، فإنّ:
{\displaystyle \operatorname {Var} \left(aX+bY\right)=a^{2}\operatorname {Var} \left(X\right)+b^{2}\operatorname {Var} \left(Y\right)+2ab\operatorname {Cov} \left(X,Y\right)}
حيث أنّ {\displaystyle \operatorname {Cov} \left(X,Y\right)} هو التغاير بين المتغيرين العشوائيين {\displaystyle X} و{\displaystyle Y}. وإذا كان التغاير صفرًا، أي أنّ لا ارتباط بين المتغيرين، فإنّ تباين حاصل جمع المتغيرين يساوي حاصل جمع تباين كل من المتغيرين.
* إنّ تباين حاصل جمع n متغيرات عشوائية يساوي:

{\displaystyle \operatorname {Var} \left(\sum \_{i=1}^{n}X\_{i}\right)=\sum \_{i=1}^{n}\operatorname {Var} \left(X\_{i}\right)+2\sum \_{i<j}\operatorname {Cov} \left(X\_{i},X\_{j}\right)}

تباين المجتمع وتباين العينة
---------------------------

في الواقع العملي (التطبيقي) تباين المجتمع يكون في أغلب الأحيان غير معروف (مجهول) لذلك يجب الاستعاضة عن التباين (تباين المجتمع) بقيمة تقديرية هي تباين العينة:

{\displaystyle {\widehat {V(X)}}=s^{2}={\frac {1}{n-1}}\sum \_{i=1}^{n}(x\_{i}-{\bar {x}})^{2}}
حيث أن {\displaystyle {\bar {x}}} هو الوسط الحسابي للعينة: {\displaystyle {\bar {x}}={\frac {1}{n}}\sum \_{i=1}^{n}{x\_{i}}={\frac {x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}}{n}}}

اقرأ أيضا
---------

* تربيع الانحرافات عن المتوسط

مراجع
-----

1. ↑  Gallica نسخة محفوظة 23 يونيو 2018 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  Sharma، R. (2008). "Some more inequalities for arithmetic mean, harmonic mean and variance". *J. Math. Inequalities*. ج. 2 ع. 1: 109–114. DOI:10.7153/jmi-02-11.
3. ↑  Johnson، Richard؛ Wichern، Dean (2001). *Applied Multivariate Statistical Analysis*. Prentice Hall. ص. 76. ISBN:0-13-187715-1`{{استشهاد بكتاب}}`: صيانة CS1: postscript (link)

| * ع
* ن
* ت
إحصاء |
| --- |
| 

| إحصاء وصفي |
| --- |
| 

|  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| توزيع احتمالي  | 

|  |  |
| --- | --- |
| نزعة مركزية  | 
* متوسط (حسابي، هندسي، توافقي)
* وسيط
* منوال

 |
| التشتت  | 
* التباين
* انحراف معياري
* معامل الاختلاف
* مئين
* مدى
* الانحراف الربيعي

 |
| الشكل  | 
* تجانف
* تفرطح
* عزم
* L-moments

 |

 |
| عدد البيانات  | مؤشر التشتت |
| جداول تلخيص  | 
* مجموعة بيانات
* التوزيع التكراري
* جدول التوافق

 |
| ارتباط  | 
* معامل الارتباط لبيرسون
* ارتباط حسب الرتب (معامل سبيرمان للارتباط، معامل ارتباط كندال حسب الرتب)
* ارتباط جزئي
* مخطط مبعثر

 |
| رسوم إحصائية  | 
* مخطط بياني
* رسم ثنائي النقاط
* الرسم الصندوقي
* لوحة المراقبة
* الارتباط الآلي
* مخطط غابي
* مدرج إحصائي
* مخطط Q-Q
* مخطط التشغيل
* مخطط مبعثر
* مخطط الساق والأوراق
* مخطط راداري

 |

 |

 |
| 

| جمع البيانات |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| دراسات التصميم  | 
* حجم الأثر
* خطأ معياري
* قوة إحصائية
* تحديد حجم العينة

 |
| منهجية المسح  | 
* استعيان
* العينة الطبقية
* استطلاع الرأي
* استبانة

 |
| الاختبار الضابط  | 
* تصميم التجارب
* تجرية عشوائية
* تعيين عشوائي
* تكرار
* تكتل
* انقطاع الانحدار
* التصميم الأفضل

 |
| دراسات غير مضبوطة  | 
* تجربة طبيعية
* شبه تجريبي
* الدراسات الرقابية

 |

 |

 |
| 

| استدلال إحصائي |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| استدلال بايزي  | 
* احتمال بايزي
* ما قبل الاحتمال
* البعدي
* فترة المصداقية
* عامل بيز
* التقدير البييزي
* مقدر تعظيم الاقتران البعدي

 |
| استدلال تكراري  | 
* مجال ثقة
* اختبار الفرضيات
* توزيع المعاينة
* تحليل إحصائي مقارن

 |
| اختبارات محددة  | 
* اختبار Z
* اختبار F
* اختبار t
* اختبار مربع كاي
* مربع كاي بيرسون
* اختبار والد
* اختبار مان وتني "ى"
* شابيرو - ويلك
* رتب ذات إشارة
* نسبة الترجيح

 |
| التقدير العام  | 
* وسيط غير منحاز
* متوسط غير منحاز
* الإمكان الأعظم
* طريقة العزوم
* المسافة الأقل
* المسافات الأقصى
* تقدير الكثافة

 |

 |

 |
| 

| ارتباط وتحليل الانحدار |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| ارتباط  | 
* معامل ارتباط جداء-عزم بيرسون
* ارتباط جزئي
* معامل مربك
* معامل التصميم

 |
| تحليل الانحدار  | 
* الأخطاء والرواسب
* نموذج التحقق من صحة الانحدار
* نماذج التاثيرات المختلطة
* نموذج المعادلات المتزامنة

 |
| انحدار خطي  | 
* انحدار خطي بسيط
* طريقة المربعات الاعتيادية
* النموذج الخطي العام
* انحدار بايزي

 |
| متنبئات غير قياسية  | 
* انحدار غير خطي
* لامعلمي
* شبه حدودي
* متساوي التوتر
* صلب

 |
| النموذج الخطي العام  | 
* عائلة أسية
* لوجستي (بيرنولي)
* ثنائي الحدين
* بواسون

 |
| تحليل شكلي  | 
* تحليل التباين (أنوفا)
* تحليل التباين
* إحصاء متعدد المتغيرات (أنوفا)

 |

 |

 |
| 

| نوعي ومتعدد المتغيرات ومتسلسلات زمنية أو إحصاءات البقاء |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| إحصاء متعدد المتغيرات  | 
* انحدار متعدد
* تحليل العنصر الرئيسي
* التحليل العاملي
* تحليل عنقودي
* الصلات

 |
| تحليل السلاسل الزمنية  | 
* التحليل
* تقدير النزعة
* Box–Jenkins
* نماذج ARMA
* تقدير الكثافة الطيفية

 |
| تحليل البقيا  | 
* دالة البقاء
* كابلن ماير
* اختبار Logrank
* معدل الفشل
* نسبي نماذج المخاطر
* نموذج وقت الفشل المعجل

 |
| بيانات نوعية  | 
* اختبار ماكنمار
* (كابا) كوهين

 |

 |

 |
| 

| تطبيقات |
| --- |
| 

|  |  |
| --- | --- |
| إحصاء هندسي  | 
* هندسة المناهج
* تصميم احتمالي
* معلاج وضبط الجودة
* وثوقية
* تعرف على النظم

 |
| إحصاء مكاني  | 
* علم الإحصاء الجيولوجي
* علم المناخ
* نظم المعلومات الجغرافية
* إحصاء بيئي
* علم الخرائط

 |
| إحصاء حيوي  | 
* وبائيات
* تجربة سريرية
* تصميم التجربة السريرية
* إحصاء طبي

 |
| إحصاء اجتماعي  | 
* علوم اكتوارية
* اقتصاد قياسي
* حسابات قومية
* إحصاء السكان
* قياس نفسي
* إحصاء رسمي
* إحصاء الجريمة

 |

 |

 |
| 
* **التصنيف**
* **البوابة**
* **استعراض**

 |

|  |  |
| --- | --- |
| معرفات كيميائية | 
* **الاتحاد الدولي للكيمياء البحتة والتطبيقية (IUPAC)**: V06602

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة إحصاء

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)

 |

|  |
| --- |
| **تباين** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |