|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

**التكامل بالتعويض** أو **التكامل بتغيير المتغير** (بالإنجليزية: Integration by substitution)‏ أحد الطرق المستعملة في علم التفاضل والتكامل لحساب الاشتقاق العكسي.

لتكن الفترة {\displaystyle I\subseteq {\mathbb {R} }} و{\displaystyle g:[a,b]\to I\,} دالة قابلة للتفاضل. ولنفرض أن {\displaystyle f:I\to \mathbb {R} }. حينئذ

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt=\int \_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx.}
باستخدام التعويض {\displaystyle x=g(t)\,} ينتج {\displaystyle dx/dt=g'(t)\,} وبالتالي {\displaystyle dx=g'(t)\,dt}, وهو التعويض المطلوب لـ{\displaystyle dx\,}.

تستخدم هذه الصيغة لنقل التكامل إلى شكل آخر بحيث يكون سهل الحساب ويمكن أن تستخدم من اليمين لليسار والعكس.

علاقته بالنظرية الأساسية للتكامل
--------------------------------

يمكن اشتقاق التكامل بالتعويض من النظرية الأساسية للتكامل. لتكن *ƒ* و*g*  دالتين تحققان الفرض السابق hypothesis that *ƒ* متصلة على الفترة *I* و{\displaystyle g'\,} متصلة على الفترة المغلقة [*a*,*b*]. وبالتالي تكون الدالة {\displaystyle f(g(t))g'(t)} متصلة أيضا على [*a*,*b*]. وعليه فإن التكاملات

{\displaystyle \int \_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx}
و

{\displaystyle \int \_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt}
موجودان بالفعل، وبقي أن نثبت أنهما متساويان.

بما أن *ƒ* متصلة، فإن لها مشتق عكسي *F*. الدالة {\displaystyle F\circ g} بالتالي تكون معرفة. بما أن *F* و*g* are قابلتان للتفاضل، تعطينا قاعدة السلسلة

{\displaystyle (F\circ g)'(t)=F'(g(t))g'(t)=f(g(t))g'(t).}
وبتطبيق النظرية الأساسية للتكامل مرتين تحصل على

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{a}^{b}f(g(t))g'(t)\,dt&{}=(F\circ g)(b)-(F\circ g)(a)\\&{}=F(g(b))-F(g(a))\\&{}=\int \_{g(a)}^{g(b)}f(x)\,dx,\end{aligned}}}
وهي قاعدة التعويض.

أمثلة
-----

لنعتبر التكامل

{\displaystyle \int \_{0}^{2}x\cos(x^{2}+1)\,dx}
باستخدام التعويض *u* == *x*2 + 1, نحصل على *du* == 2*x* *dx* و

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{x=0}^{x=2}x\cos(x^{2}+1)\,dx&{}={\frac {1}{2}}\int \_{u=1}^{u=5}\cos(u)\,du\\&{}={\frac {1}{2}}(\sin(5)-\sin(1)).\end{aligned}}}
تم التعويض هنا من اليمين لليسار. من المهم التنويه أنه لما كانت النهاية الأسفل *x* == 0 تم ابدالها بـ *u* = 02 + 1 = 1, والنهاية الأعلى *x* = 2 ابدلت بـ *u* = 22 + 1 == 5, وبإعادة التعويض إلى اصله *x* لم يكن ضروريا.

لإبجاد التكامل

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx}
يتوجب استعمال الصيغة من اليسار إلى اليمين:
التعويض *x* == sin(*u*), *dx* == cos(*u*) *du* مفيد لأن {\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}=cos(u)} :

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\sqrt {1-x^{2}}}\;dx=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}{\sqrt {1-\sin ^{2}(u)}}\cos(u)\;du=\int \_{0}^{\frac {\pi }{2}}\cos ^{2}(u)\;du}
التكامل الناتج يمكن حسابه بواسطة التكامل بالتجزئة أو صيغة مضاعفات الزاوية متبوعة بتعويض مناسب أو أكثر.

لاحظ أيضا أن التكامل السابق ماهو إلا حساب لمساحة ربع الدائرة والذي كان بالإمكان إيجادة بقسمة مساحة الدائرة على 4 (و باعتبار نصف قطرها= 1 يصبح الناتج باي\4).

الاشتقاقات العكسية
------------------

يمكن إيجاد المشتق العكسي بواسطة التكامل بالتعويض وذلك بدراسة العلاقة بين *x* و*u*, *dx* و*du* وبالمفاضلة والتعويض.

يمكن استخدام الطريقة التالية لحل المثال السابق:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}\quad \int x\cos(x^{2}+1)\,dx={\frac {1}{2}}\int 2x\cos(x^{2}+1)\,dx\\&{}={\frac {1}{2}}\int \cos u\,du={\frac {1}{2}}\sin u+C={\frac {1}{2}}\sin(x^{2}+1)+C\end{aligned}}}
حيث *C* ثابت اختياري ثابت التكامل.

تعويض المتغيرات المتعددة
------------------------

يمكن استخدام التعويض مع الدوال ذات المتغيرات المتعددة.
هنا التعويض (*v*1,...*v**n*) = *φ*(*u*1, ... *u**n* ) متداخلة وقابلة للتفاضل باستمرار، وتحويل التفاضلات

{\displaystyle dv\_{1}\cdots dv\_{n}=|\det(\operatorname {D} \varphi )(u\_{1},\ldots ,u\_{n})|\,du\_{1}\cdots du\_{n}}
حيث det(D*φ*)(*u*1, ... *u**n* ) يرمز إلى محدد مصفوفة جاكوبي محتويا على التفاضلات الجزئيةلـ *φ* . تعبر هذه الصيغة عن الحقيقة القائلة أن القيمة المطلقةلمحدد متجهات معطاة يساوي حجم متوازي السطوحالممدود.

وبتعبير أدق، تغيير صيغة المتغيرات تنص علية النظرية التالية:

**نظرية**. لتكن *U*, *V*  مجموعات مفتوحة في **R***n* and *φ* : *U* → *V*  an متداخلة دالة قابلة للتفاضل ولها مشتقات جزئية مستمرة، الجاكوبيان الذي لايحوي صفر لكل*x* في *U*. حينئذ لأي قيمة حقيقية، تدعم دمج تابع مستمر *f*, مع دعم مرتبط في *φ*(*U*),

{\displaystyle \int \_{\varphi (U)}f(\mathbf {v} )\,d\mathbf {v} =\int \_{U}f(\varphi (\mathbf {u} ))\left|\det(\operatorname {D} \varphi )(\mathbf {u} )\right|\,d\mathbf {u} .}
يمكن اضعاف شروط النظرية بعدة طرق. أولا شرط استمرارية اشتقاق φ يمكن ابداله بالافتراض الاضعف φ تكون قابلة للاشتقاق فقط ولها انعكاس مستمر هذا مضمون إذا كانت φ قابلة للاشتقاق باستمرار نظرية دالة المعكوس. بالمثل، الشرط Det(Dφ)≠0 يمكن عزله بتطبيق نظرية سارد. الكثير من الإصدارات العامة لهذه النتيجة لا زالت.

تطبيقات في الاحتمالات
---------------------

يمكن استخدام التعويض للإجابة على السؤال المهم في الاحتمالات: إذا علم أن متغير عشوائي {\displaystyle X} له كثافة احتمالية {\displaystyle p\_{x}\,} ومتغير عشوائي آخر {\displaystyle Y\,} له صلة بـ {\displaystyle X\,} بالمعادلة {\displaystyle y=\Phi (x)\,}, فماهي كثافة الاحتمالية {\displaystyle Y\,}?

من السهولة بمكان الإجابة على السؤال السابق بالإجابة أولا بشكل طفيف على سؤال آخر: ماهو احتمال ان تأخذ {\displaystyle Y\,} قيمة في مجموعة فرعية معينة {\displaystyle S\,}? لنرمز لهذه الاحتمالية بـ {\displaystyle P(Y\in S)\,}. بالطلع، إذا كانت {\displaystyle Y\,} لها كثافة احتمالية{\displaystyle p\_{y}\,} فستصبح الإجابة

{\displaystyle P(Y\in S)=\int \_{S}p\_{y}(y)\,dy,}
ولكن هذا لا يفيد لاننا لا نعلم *p**y*; فهي ما نبحث عنه من الوهلة الأولى. يمكننا التقدم خطوة بالنظر للمسألة في المتغير {\displaystyle X\,}. {\displaystyle Y\,} تأخذ قيمة في *S* كلما أخذت *X* قيمة في {\displaystyle \Phi ^{-1}(S)\,}, وعليه

{\displaystyle P(Y\in S)=\int \_{\Phi ^{-1}(S)}p\_{x}(x)\,dx.}
وبالتغيير من *x* إلى *y* نحصل على

{\displaystyle P(Y\in S)=\int \_{\Phi ^{-1}(S)}p\_{x}(x)~dx=\int \_{S}p\_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy.}
وبدمج هذه مع المعادلة الأولى تصبح

{\displaystyle \int \_{S}p\_{y}(y)~dy=\int \_{S}p\_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|~dy}
وبالتالي

{\displaystyle p\_{y}(y)=p\_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|{\frac {d\Phi ^{-1}}{dy}}\right|.}
في الحالة التي يكون {\displaystyle X\,} و{\displaystyle Y\,} معتمدا على متغيرات غير مترابطة، أي {\displaystyle p\_{x}=p\_{x}(x\_{1}\ldots x\_{n})\,}, و{\displaystyle y=\Phi (x)\,}, {\displaystyle p\_{y}\,} يمكن إيجادها بالتعويض في متغيرات متعددة سبق نقاشها. وتكون النتيجة

{\displaystyle p\_{y}(y)=p\_{x}(\Phi ^{-1}(y))~\left|\det \left[D\Phi ^{-1}(y)\right]\right|.}

انظر أيضا
---------

* تكامل بالأجزاء

المراجع
-------

1. ↑  "معلومات عن تكامل بالتعويض على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2020-01-22.
2. ↑  "معلومات عن تكامل بالتعويض على موقع brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 2017-10-31.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات