|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |



| x | {\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}} |
| --- | --- |
| 1 | 0.841471 |
| 0.1 | 0.998334 |
| 0.01 | 0.999983 |

تقترب ‎(sin x)/x من 1 كلما اقتربت x من الصفر. نقول «نهاية ‎(sin x)/x تساوي 1، مع اقتراب x من الصفر.» وإن كانت الدالة ‎(sin x)/x غير محددة في الصفر.


تعتبر **نهاية** أو **غاية دالة** إحدى المفاهيم الأساسية في التحليل الرياضي، وبشكل عام يمكن القول أن:

للدالة *f* نهاية *L* عند النقطة *p*. مما يعني أن القيم التي تأخذها الدالة *f* تقترب بشكل كبير من القيمة *L* عند النقاط القريبة من *p* أو عندما يقترب المتغير المستقل *x* بشكل كبير من *p*.
نقول أن للدالة "f" نهاية في "L" إذا وجدت قيمة صغيرة "ε>0 "ε حيث f-L|<ε|.

التاريخ
-------

انظر إلى برنارد بولزانو.

تعريفات
-------

يكون العدد الحقيقى b نهاية الدالة (f(x عندما تؤول x إلى a إذا وُجد لكل عدد 0 <**ε**, عدد ઠ (يعتمد عادة على **ε**) حيث ان
لكل x تنتمى G وتحقق العلاقة ઠ> |x-a|> 0 تستلزم أن العلاقة
|**ε**> |f(x) - b تكون متحققة.

وبتعبير آخر، إذا كانت b هي نهاية دالة ما عند النقطة a فإن هذا يستلزم أن تكون قيم الدالة قريبة جدا من العدد b عندما تكون قيم x قريبة قربا كافيا من a.

لتكن {\displaystyle A\subset \mathbb {R} }, النقطة c هي نقطة تراكم (cluster point)لـ A إذا توفر ما يلي:  

لكل {\displaystyle \delta >0} يوجد على الأقل نقطة واحدة {\displaystyle x\in \mathbb {A} } حيث.
{\displaystyle |x-y|<\delta }.

لتكن {\displaystyle A\subset \mathbb {R} }, و c نقطة تراكم لـ A , للدالة f:A→R , يقال عن العدد الحقيقي L أنه نهاية الدالة (f(x التي تؤول إلى c إذا أعطي أي ε>0 يوجد {\displaystyle \delta >0} بحيث إذا كانت {\displaystyle x\in \mathbb {A} } و {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } إذاً {\displaystyle |f(z)-L|<\epsilon }.

العلاقة بالإستمرارية (الإتصال)
------------------------------

كل دالة قابلة للاشتقاق هي دالة مستمرة، ولكن ليست كل دالة مستمرة هي دالة قابلة للاشتقاق، وهذه الخاصية غير مفيدة في حالة دالة فايرشتراس.

خصائص
-----

### قاعدة التسلسل

{\displaystyle \lim \_{y\to d}f(y)=e}, و{\displaystyle \lim \_{x\to c}g(x)=d\Rightarrow \lim \_{x\to c}f(g(x))=e}
 **غير صحيحة**. ولكنها تصير صحيحة إذا توافر أحد الشرطين التاليين: أن يكون f(d) = e (أي أن الدالة f متصلة في d), أو أن الدالة g لا تأخذ القيمة d قرب c (أي أنه يوجد {\displaystyle \delta >0} حيث إذا توفر {\displaystyle 0<|x-c|<\delta } فإن {\displaystyle |g(x)-d|>0}).

### قاعدة لوبيتال

المقالة الرئيسة: قاعدة لوبيتال
### الجمع والتكامل

نظرية

العدد {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } هو نقطة تراكم للمجموعة A الجزئية من R إذا وفقط إذا وجدت متتابعة {\displaystyle \left(a\_{n}\right)} في A بحيث {\displaystyle \lim \_{n\to \infty }a\_{n}=c} و {\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} \;:\;a\_{n}\neq c} .

 مثال:

الفترة المفتوحة{\displaystyle A\_{1}=\left(0,1\right)} كل نقطة في الفترة المغلقة [0,1] هي نقطة تراكم لـ{\displaystyle A\_{1}}.
النقاط 0,1 هي نقاط تراكم لـ {\displaystyle \left(A\_{1}\right)} لكنها لا تنتمي إلى

```
{\displaystyle \left(A\_{1}\right)}. كل النقاط في {\displaystyle \left(A\_{1}\right)} هي نقاط تراكم ل {\displaystyle \left(A\_{1}\right)}
```

1. المجموعة المنتهية ليس لديها نقاط تراكم
2. المجموعة غير المنتهية N ليس لديها نقاط تراكم

نظرية

إذا كانت الدالة f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً f لها نهاية واحدة (وحيدة) إلى c

نظرية

لتكن f:A→R و c نقطة تراكم لـ A إذاً العبارات التالية متكافئة:

{\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }f(x)=L}
إذا أعطي {\displaystyle \epsilon } جوار لـL

```
{\displaystyle \mathbf {V} \_{\epsilon }\left(L\right)} يوجد\delta  جوار لـ c 
{\displaystyle \mathbf {V} \_{\delta }\left(C\right)} بحيث x≠c هي أي نقطة في {\displaystyle \mathbf {V} \_{\epsilon }\left(C\right)\cap \mathbf {A} } إذاً{\displaystyle f(x)\in \mathbf {V} \_{\epsilon }\left(L\right)}
```

### أمثلة

1) {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }b=b}

الحل

أفترض f(x)=b, لكل{\displaystyle x\in \mathbb {R} }, نريد إثبات أن {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }f(x)=b}
، وإذا كان {\displaystyle \epsilon >o}, نفترض {\displaystyle \delta =1}.

(في الحقيقة في أي \delta  موجبة ستكون كافية للغرض«أي أي عدد موجب سيكون مقبول»),

إذا {\displaystyle 0<|x-c|<1} , ((الواحد تعويض عن \delta ))
لدينا {\displaystyle |f(x)-b|=|b-b|=0<\epsilon } وبما أن {\displaystyle \epsilon >0}أجراء تعسفي (إجباري), نستنتج من تعريف النهاية
أن {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }f(x)=b}

2) {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }x=b} 

الحل:

لتكن g(x)=x , لكل {\displaystyle x\in \mathbb {R} } , إذا كان{\displaystyle \epsilon >0} نختار {\displaystyle \delta \_{\left(\epsilon \right)}=\epsilon } إذاًو إذا كانت

```
{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \_{\left(\epsilon \right)}}, يكون لدينا {\displaystyle |g(x)-c|=|x-c|<\epsilon }, بما أن {\displaystyle \epsilon >0}, نستنتج أن {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }g=c}
```

مما يعني أن {\displaystyle \lim \_{x\to \mathbf {c} }x=c}

### نظرية [معيار المتتابعة

إذا كانت f:A→R ولنفرض أن c نقطة تراكم لـA إذا تحقق 1و2 فإنهما متكافئتان:

1/ صورة المتتابعة تحت تأثير الدالة A تؤدي إلى L

```
{\displaystyle \left(\lim \_{x\to \mathbf {c} }f=L\right)}
```

2/ لكل متتابعة {\displaystyle \left(x\_{n}\right)} في A تتقارب إلى c بحيث {\displaystyle x\_{n}\neq c} لكل {\displaystyle n\in \mathbb {N} } , المتتابعه

```
{\displaystyle \left(x\_{n}\right)} تتقارب إلى L
```

### معيار التباعد

لنفرض أن {\displaystyle A\subset \mathbb {R} } ولنفرض أن f:A→R أن C نقطة تراكم

1/ إذا كانت {\displaystyle l\in \mathbb {R} } ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة {\displaystyle x\_{n}} في A و{\displaystyle x\_{n}\neq c} لكل {\displaystyle n\in \mathbb {N} } بحيث المتتابعة {\displaystyle x\_{n}} تتقارب إلى c لكن المتتابعة

```
{\displaystyle \left(f\left(x\_{n}\right)\right)} لا تتقارب إلى L
```

2/الدالة f ليس لها نهاية عند c إذا وفقط إذا وجدت متتابعة {\displaystyle x\_{n}} في A و

```
{\displaystyle x\_{n}\neq c} لكل {\displaystyle n\in \mathbb {N} } بحيث المتتابعة {\displaystyle x\_{n}} تتقارب إلى c لكن المتتابعة.
```

{\displaystyle \left(f\left(x\_{n}\right)\right)} ليست تقاربية في R

### أمثلة

1/ {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}\left({\frac {1}{x}}\right)} غير موجودة

الحل

نفرض أن {\displaystyle \varphi \left(x\right)={\frac {1}{x}}} إذا كانت x>0 سنعتبر c=0
إذا أخذنا المتتابعة لـ{\displaystyle \left(x\_{n}\right)} حيث {\displaystyle n\in \mathbb {N} } ,
{\displaystyle x\_{n}={\frac {1}{x}}} هذا سيؤدي إلى أن {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}x\_{n}=0} لكن
{\displaystyle \left(x\_{n}\right)={\frac {1}{\frac {1}{n}}}=n} وكما نعلم أن المتتابعة
{\displaystyle \left(\varphi \left(x\_{n}\right)\right)=n} ليست تقاربية في R حيث أنها ليست محدودة بالتالي حسب نظرية معيار التباعد فإن {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {1}{x}}} غير موجودة.

انظر أيضًا
----------

* نهاية متتالية،
* قاعدة لوبيتال.

مراجع
-----

1. ↑  "الغايات المنتهية". *engmsy.uobabylon.edu.iq*. مؤرشف من الأصل في 2019-11-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-07-30.
2. ↑  "INTRODUCTION TO REAL ANALYSIS", Robert G. Bartle Donald R. Sherbert, Fourth Edition, John Wiley & Sons,2011
3. ↑  نهايات الدوال

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة اويلر ماكلاورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولن ماكلاورين **·**  ليونهارت أويلر |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: نهاية دالة |