|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| حساب المثلثات |
|  |
| مفاهيم رئيسة
* التاريخ
* الاستعمالات
* الدّوال
	+ الدوال العكسية
* حساب مثلثات معممة
* حساب المثلثات الكروية
 |
| أدوات مرجعية
* المتطابقات
* القيم الدقيقة للثوابت
* الجداول
* دائرة الوحدة
 |
| قواعد وقوانين
* الجيوب
* جيوب التمام
* الظّلال
* ظلال التمام
* مبرهنة فيثاغورس
 |
| تفاضل وتكامل
* تعويضات مثلثية
* التكاملات
	+ تكاملات الدوال العكسية
* المشتقات
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |


| الدالة | مشتقها |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin(x)} | {\displaystyle \cos(x)} |
| {\displaystyle \cos(x)} | {\displaystyle -\sin(x)} |
| {\displaystyle \tan(x)} | {\displaystyle \sec ^{2}x\,} |
| {\displaystyle \cot(x)} | {\displaystyle -\csc ^{2}x\,}  |
| {\displaystyle \sec(x)} | {\displaystyle \sec(x)\tan(x)} |
| {\displaystyle \csc(x)} | {\displaystyle -\csc(x)\cot(x)} |
| {\displaystyle \arcsin(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arccos(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \arctan(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{x^{2}+1}}} |
|
| {\displaystyle \operatorname {arccot}(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{x^{2}+1}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arcsec}(x)} | {\displaystyle {\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} |
| {\displaystyle \operatorname {arccsc}(x)} | {\displaystyle -{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}} |

**تفاضل الدوال المثلثية** هي العملية الحسابية لإيجاد مشتق دالة مثلثية، أو معدل تغيرها بالنسبة لمتغير. على سبيل المثال، يكتب مشتق دالة الجيب على هذا الشكل sin′(a) = cos (a)، وهذا يعني أن معدل تغير sin (*x*) عند زاوية معينة x = a يُعطى بجيب تمام تلك الزاوية.

يمكن إيجاد جميع مشتقات الدوال المثلثية من تلك الخاصة بـ sin (x) و cos (x) عن طريق قاعدة ناتج القسمة المطبقة على الدوال مثل tan (*x*) = sin (*x*) / cos (*x*). بمعرفة هذه المشتقات، يتم إيجاد مشتقات الدوال المثلثية العكسية باستخدام التفاضل الضمني.

مشتقات الدوال المثلثية ودوالها العكسية
--------------------------------------

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin(x)=\cos(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cos(x)=-\sin(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\tan(x)=\left({\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\cos ^{2}(x)+\sin ^{2}(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos ^{2}(x)}}=\sec ^{2}(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot(x)=\left({\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}\right)'={\frac {-\sin ^{2}(x)-\cos ^{2}(x)}{\sin ^{2}(x)}}={\frac {-1}{\sin ^{2}(x)}}=-\csc ^{2}(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sec(x)=\left({\frac {1}{\cos(x)}}\right)'={\frac {\sin(x)}{\cos ^{2}(x)}}={\frac {1}{\cos(x)}}\cdot {\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}=\sec(x)\tan(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\csc(x)=\left({\frac {1}{\sin(x)}}\right)'=-{\frac {\cos(x)}{\sin ^{2}(x)}}=-{\frac {1}{\sin(x)}}\cdot {\frac {\cos(x)}{\sin(x)}}=-\csc(x)\cot(x)}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arcsin(x)={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arccos(x)={\frac {-1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\arctan(x)={\frac {1}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccot}}(x)={\frac {-1}{1+x^{2}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arcsec}}(x)={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
{\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\mbox{arccsc}}(x)={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

إثبات مشتقات الدوال المثلثية
----------------------------

### نهاية sin(*θ*)/*θ* لما *θ* يؤول إلى 0

دائرة ذات المركز O ونصف القطر 1
العصر: منحنيا y = 1 و y = cos θ موضحة باللون الأحمر، ومنحنى y = sin(θ)/θ موضح باللون الأزرق.
يوضح الرسم البياني الموجود على اليسار دائرة ذات المركز O ونصف القطر r = 1. لتكن OA و OB اثنين من نصف القطر يصنعان قوس قياسه θ راديان. بما أننا اعتبرنا النهاية لما θ يؤول إلى الصفر، فقد نفترض أن θ هو عدد موجب صغير، نقول 0 < θ < ½ في الربع الأول.

في الرسم البياني، ليكن R1 المثلث OAB و R2 القطاع الدائري OAB و R3 المثلث OAC. مساحة المثلث OAB هي:

{\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{1})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |OB|\sin \theta ={\tfrac {1}{2}}\sin \theta \,.}
مساحة القطاع الدائري *OAB* هي: {\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{2})={\tfrac {1}{2}}\theta }، بينما مساحة المثلث OAC معطاة بواسطة:

{\displaystyle \mathrm {Area} (R\_{3})={\tfrac {1}{2}}\ |OA|\ |AC|={\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
بما أن كل منطقة تقع في المنطقة التالية، فإن:

{\displaystyle {\text{Area}}(R\_{1})<{\text{Area}}(R\_{2})<{\text{Area}}(R\_{3})\iff {\tfrac {1}{2}}\sin \theta <{\tfrac {1}{2}}\theta <{\tfrac {1}{2}}\tan \theta \,.}
زيادة على ذلك، بما أن sin *θ* > 0 في الربع الأول، فيمكننا القسمة على ½ sin *θ*، معطيًا:

{\displaystyle 1<{\frac {\theta }{\sin \theta }}<{\frac {1}{\cos \theta }}\implies 1>{\frac {\sin \theta }{\theta }}>\cos \theta \,.}
في الخطوة الأخيرة، أخذنا مقاليب الحدود الموجبة الثلاثة، وعكسنا المتباينة.

نستنتج أنه من أجل 0 < θ < ½ π، يكون مقدار sin(*θ*)/*θ* دائما أقل من 1 ودائمًا أكبر من cos(θ). وهكذا، عندما تقترب *θ* من 0، فإن sin(*θ*)/*θ* «عُصِرت» بين سقف ارتفاعه 1 وأرضية ارتفاعها cos *θ*، والتي ترتفع نحو 1؛ لذلك يجب أن تؤول sin(*θ*)/*θ* إلى 1؛ حيث أن *θ* تؤول إلى 0 من الجهة الموجبة:

> {\displaystyle \lim \_{\theta \to 0^{+}}{\frac {\sin \theta }{\theta }}=1\,.}
> 
> 

بالنسبة للحالة التي تكون فيها *θ* عددًا سالبًا صغيرًا –½ π < θ < 0، نستخدم حقيقة أن الجيب دالة فردية:

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0^{-}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin(-\theta )}{-\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {-\sin \theta }{-\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0^{+}}\!{\frac {\sin \theta }{\theta }}\ =\ 1\,.}
### نهاية (cos(θ)-1)/θ لما θ يؤول إلى 0

يتيح لنا القسم الأخير حساب هذه النهاية الجديدة بسهولة نسبية. يتم ذلك عن طريق استخدام حيلة بسيطة. في هذا الحساب، إشارة θ غير مهمة.

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\left({\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\right)\!\!\left({\frac {\cos \theta +1}{\cos \theta +1}}\right)\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos ^{2}\!\theta -1}{\theta \,(\cos \theta +1)}}.}
باستخدام هذه المتطابقة cos2*θ* – 1 = –sin2*θ*،
حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، ونتيجة النهاية من القسم السابق، نجد أن:

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\cos \theta -1}{\theta }}\ =\ \lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {-\sin ^{2}\theta }{\theta (\cos \theta +1)}}\ =\ \left(-\lim \_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim \_{\theta \to 0}\,{\frac {\sin \theta }{\cos \theta +1}}\right)\ =\ (-1)\left({\frac {0}{2}}\right)=0\,.}
### نهاية (tan(θ))/θ لما θ يؤول إلى 0

باستخدام نهاية دالة الجيب، وحقيقة أن دالة الظل فردية، وحقيقة أن نهاية الجداء هو جداء النهايات، نجد:

{\displaystyle \lim \_{\theta \to 0}{\frac {\tan \theta }{\theta }}\ =\ \left(\lim \_{\theta \to 0}{\frac {\sin \theta }{\theta }}\right)\!\left(\lim \_{\theta \to 0}{\frac {1}{\cos \theta }}\right)\ =\ (1)(1)\ =\ 1\,.}
### مشتق دالة الجيب

نحسب مشتق دالة الجيب باستخدام تعريف بواسطة النهاية:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\sin(\theta +\delta )-\sin \theta }{\delta }}.}
باستخدام متطابقة مجموع زاويتين sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α، لدينا:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\sin \theta \cos \delta +\sin \delta \cos \theta -\sin \theta }{\delta }}=\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\sin \delta }{\delta }}\cos \theta +{\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\sin \theta \right).}
باستخدام نهايتي كل من دالة الجيب وجيب التمام:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\sin \theta =(1)\cos \theta +(0)\sin \theta =\cos \theta \,.}
### مشتق دالة جيب التمام

#### من تعريف المشتق

مرة أخرى نحسب مشتق دالة جيب التمام من تعريف بواسطة النهاية:

باستخدام متطابقة مجموع زاويتين cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β، لدينا:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\cos \theta \cos \delta -\sin \theta \sin \delta -\cos \theta }{\delta }}=\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\cos \delta -1}{\delta }}\cos \theta \,-\,{\frac {\sin \delta }{\delta }}\sin \theta \right).}
باستخدام النهايات الأولى:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\cos \theta =(0)\cos \theta -(1)\sin \theta =-\sin \theta \,.}
#### من قاعدة السلسلة

لحساب مشتق دالة جيب التمام من قاعدة السلسلة، لاحظ أولاً الحقائق الثلاث التالية:

{\displaystyle \cos \theta =\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
{\displaystyle \sin \theta =\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \theta =\cos \theta }
الأولى والثانية هما متطبقتان مثلثيتان، والثالث تم إثباته أعلاه. باستخدام هذه الحقائق الثلاث، يمكننا كتابة ما يلي:

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta ={\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\sin \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)}
يمكن اشتقاقها باستخدام قاعدة السلسلة. لتكن {\displaystyle f(x)=\sin x} و {\displaystyle g(\theta )={\tfrac {\pi }{2}}-\theta }، لدينا:

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}f\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)=f^{\prime }\!\left(g\!\left(\theta \right)\right)\cdot g^{\prime }\!\left(\theta \right)=\cos \left({\tfrac {\pi }{2}}-\theta \right)\cdot (0-1)=-\sin \theta }
إذن:

{\displaystyle {\tfrac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\cos \theta =-\sin \theta }.
### مشتق دالة الظل

#### من تعريف المشتقة

لحساب مشتق دالة الظل tan *θ*، نستخدم تعريف بواسطة النهاية:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {\tan(\theta +\delta )-\tan \theta }{\delta }}\right).}
باستخدام المتطابقة المعروفة:
tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β)، لدينا:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}\left[{\frac {{\frac {\tan \theta +\tan \delta }{1-\tan \theta \tan \delta }}-\tan \theta }{\delta }}\right]=\lim \_{\delta \to 0}\left[{\frac {\tan \theta +\tan \delta -\tan \theta +\tan ^{2}\theta \tan \delta }{\delta \left(1-\tan \theta \tan \delta \right)}}\right].}
باستخدام حقيقة أن نهاية الجداء هو جداء نهايتين:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =\lim \_{\delta \to 0}{\frac {\tan \delta }{\delta }}\times \lim \_{\delta \to 0}\left({\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-\tan \theta \tan \delta }}\right).}
باستخدام النهاية الخاصة بدالة الظل، وحقيقة أن tan *δ* يؤول إلى 0 حيث δ يؤول إلى 0:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1\times {\frac {1+\tan ^{2}\theta }{1-0}}=1+\tan ^{2}\theta .}
نرى على الفور أن:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\,\tan \theta =1+{\frac {\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}={\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta \,.}
#### من قاعدة ناتج القسمة

يمكن للمرء حساب مشتق دالة الظل باستخدام قاعدة ناتج القسمة.

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta ={\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}{\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}={\frac {\left(\sin \theta \right)^{\prime }\cdot \cos \theta -\sin \theta \cdot \left(\cos \theta \right)^{\prime }}{\cos ^{2}\theta }}={\frac {\cos ^{2}\theta +\sin ^{2}\theta }{\cos ^{2}\theta }}}
يمكن تبسيط البسط إلى 1 بواسطة متطابقة فيثاغورس، يعطينا:

{\displaystyle {\frac {1}{\cos ^{2}\theta }}=\sec ^{2}\theta }
إذن:

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} \!\theta }}\tan \theta =\sec ^{2}\theta }

إثبات مشتقات الدوال المثلثية العكسية
------------------------------------

يتم إيجاد المشتقات التالية عن طريق وضع متغير y يساوي الدالة المثلثية العكسية التي نرغب في إيجاد مشتقها. باستخدام التفاضل الضمني ثم الحل لـ d*y*/d*x*، يتم إيجاد مشتق الدالة العكسية بدلالة y. لتحويل d*y*/d*x* مرة أخرى إلى كونها بدلالة x، يمكننا رسم مثلث مرجعي على دائرة الوحدة، نعتبر θ هي y. باستخدام مبرهنة فيثاغورس وتعريف الدوال المثلثية العادية، يمكننا في النهاية التعبير عن d*y*/d*x* بدلالة x.

### اشتقاق دالة الجيب العكسية

نعتبر الدالة

{\displaystyle y=\arcsin x\,\!}
حيث

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}\leq y\leq {\frac {\pi }{2}}}
بالتعريف

{\displaystyle \sin y=x\,\!}
نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ d*y*/d*x*:

{\displaystyle {d \over dx}\sin y={d \over dx}x}
{\displaystyle \cos y\cdot {dy \over dx}=1\,\!}
نعوض بـ {\displaystyle \cos y={\sqrt {1-\sin ^{2}y}}}:

{\displaystyle {\sqrt {1-\sin ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
نعوض بـ {\displaystyle x=\sin y}:

{\displaystyle {\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
### اشتقاق دالة جيب التمام العكسية

نعتبر الدالة

{\displaystyle y=\arccos x\,\!}
حيث

{\displaystyle 0\leq y\leq \pi }
بالتعريف

{\displaystyle \cos y=x\,\!}
نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ d*y*/d*x*:

{\displaystyle {d \over dx}\cos y={d \over dx}x}
{\displaystyle -\sin y\cdot {dy \over dx}=1}
نعوض بـ {\displaystyle \sin y={\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\,\!}:

{\displaystyle -{\sqrt {1-\cos ^{2}y}}\cdot {dy \over dx}=1}
نعوض بـ {\displaystyle x=\cos y\,\!}:

{\displaystyle -{\sqrt {1-x^{2}}}\cdot {dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}=-{\frac {1}{\sqrt {1-x^{2}}}}}
### اشتقاق دالة الظل العكسية

نعتبر الدالة

{\displaystyle y=\arctan x\,\!}
حيث

{\displaystyle -{\frac {\pi }{2}}<y<{\frac {\pi }{2}}}
بالتعريف

{\displaystyle \tan y=x\,\!}
نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ d*y*/d*x*:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y={d \over dx}x}
الطرف الأيسر:

{\displaystyle {d \over dx}\tan y=\sec ^{2}y\cdot {dy \over dx}=(1+\tan ^{2}y){dy \over dx}} باستخدام متطابقة فيثاغورس
الطرف الأيمن:

{\displaystyle {d \over dx}x=1}
ومنه:

{\displaystyle (1+\tan ^{2}y){dy \over dx}=1}
نعوض بـ {\displaystyle x=\tan y\,\!} ، نحصل على:

{\displaystyle (1+x^{2}){dy \over dx}=1}
{\displaystyle {dy \over dx}={\frac {1}{1+x^{2}}}}
### اشتقاق دالة ظل التمام العكسية

نعتبر الدالة

{\displaystyle y=\operatorname {arccot} x}
حيث {\displaystyle 0<y<\pi }.

بالتعريف

{\displaystyle \cot y=x}
نشتق كلا طرفي الأخيرة بالنسبة لـ x وحل لـ d*y*/d*x*:

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\cot y={\frac {d}{dx}}x}
الطرف الأيسر:

{\displaystyle {d \over dx}\cot y=-\csc ^{2}y\cdot {dy \over dx}=-(1+\cot ^{2}y){dy \over dx}} باستخدام متطابقة فيثاغورس
الطرف الأيمن:

{\displaystyle {d \over dx}x=1}
ومنه،

{\displaystyle -(1+\cot ^{2}y){\frac {dy}{dx}}=1}
نعوض بـ {\displaystyle x=\cot y}:

{\displaystyle -(1+x^{2}){\frac {dy}{dx}}=1}
{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{1+x^{2}}}}
### اشتقاق دالة القاطع العكسية

#### باستخدام التفاضل الضمني

نعتبر الدالة:

{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x\ \ |x|\geq 1}
بالتعريف

{\displaystyle x=\sec y\ \ y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=\sec y\tan y=|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء القاطع والظل في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
#### باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة القاطع العكسية من مشتق دالة جيب التمام العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

{\displaystyle y=\operatorname {arcsec} x=\arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}
حيث

{\displaystyle |x|\geq 1} و {\displaystyle y\in \left[0,{\frac {\pi }{2}}\right)\cup \left({\frac {\pi }{2}},\pi \right]}
وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على {\displaystyle \arccos \left({\frac {1}{x}}\right)}:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=-{\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)={\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}={\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}={\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}={\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
### اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية

#### باستخدام التفاضل الضمني

لتكن

{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x\ \ |x|\geq 1}
بالتعريف:

{\displaystyle x=\csc y\ \ \ y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
{\displaystyle {\frac {dx}{dy}}=-\csc y\cot y=-|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}
(القيمة المطلقة في التعبير ضرورية حيث أن جداء قاطع التمام وظل التمام في مجال y يكون دائمًا غير سالب، بينما العبارة {\displaystyle {\sqrt {x^{2}-1}}} دائمًا غير سالبة بتعريف الجذر التربيعي الرئيسي، لذلك يجب أن يكون العامل المتبقي غير سالب، والذي يتحقق باستخدام القيمة المطلقة لـ x.)

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {-1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}
#### باستخدام قاعدة السلسلة

بدلاً من ذلك، يمكن اشتقاق دالة قاطع التمام العكسية من مشتق دالة الجيب العكسية باستخدام قاعدة السلسلة.

لتكن

{\displaystyle y=\operatorname {arccsc} x=\arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}
حيث

{\displaystyle |x|\geq 1} و {\displaystyle y\in \left[-{\frac {\pi }{2}},0\right)\cup \left(0,{\frac {\pi }{2}}\right]}
وبعد ذلك، بتطبيق قاعدة السلسلة على {\displaystyle \arcsin \left({\frac {1}{x}}\right)}:

{\displaystyle {\frac {dy}{dx}}={\frac {1}{\sqrt {1-({\frac {1}{x}})^{2}}}}\cdot \left(-{\frac {1}{x^{2}}}\right)=-{\frac {1}{x^{2}{\sqrt {1-{\frac {1}{x^{2}}}}}}}=-{\frac {1}{x^{2}{\frac {\sqrt {x^{2}-1}}{\sqrt {x^{2}}}}}}=-{\frac {1}{{\sqrt {x^{2}}}{\sqrt {x^{2}-1}}}}=-{\frac {1}{|x|{\sqrt {x^{2}-1}}}}}

انظر أيضًا
----------

* جدول المشتقات
* قائمة تكاملات الدوال المثلثية
* قائمة تكاملات الدوال المثلثية العكسية

هوامش وملاحظات
--------------

1. ↑  تسمى أيضًا "قاعدة مشتق الدالة التركيبية (أو الدالة المحصلة)"

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي