**أوكتونيون** Octonion في الرياضيات هي امتداد كعملية غير تجميعية للكواتيرنيون. أبعادها الثمانية الحقيقية الجبرية في حقل الأعداد الحقيقية هو أوسع حقل بعدي من الممكن الحصول عليه باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. يرمز جبرياً إلى الأوكتونيون بالرمز **O** أو بالحرف العريض {\displaystyle \mathbb {O} }.

ربما بسبب أن الأوكتونيون لاتحقق الخاصة التجميعية لعملية الضرب، فإنها تجذب اهتماماً أقل من الكواتيرنيون، ولكن وعلى الرغم من شهرتها الضئيلة هذه فإن الأوكتونيون لها تطبيقات عدة في مجالات نظرية الأوتار، النسبية الخاصة، المنطق الكوانتي.

التاريخ
-------

تم اكتشاف الأوكتونيون في عام 1843 من قبل العالم جون ت. غرافس، صديق ويليام هاملتون مكتشف الكواتيرنيون.

التعريف
-------

من الممكن اعتبار الأوكتونيون على أنها مجموعات ثمانية (مثل الألحان الثمانية المعد لثماني آلات موسيقية أو مغنينن) من الأعداد الحقيقية. كل أوكتونيون هي اندماج خطي حقيقي لوحدات الزمرة الثمانية البسيطة {1, *i*, *j*, *k*, *l*, *il*, *jl*, *kl*}، وعليه فإن أي أوكتونيون *x* يكون ممكن الكتابة على الشكل التالي:

{\displaystyle x=x\_{0}+x\_{1}\,i+x\_{2}\,j+x\_{3}\,k+x\_{4}\,l+x\_{5}\,il+x\_{6}\,jl+x\_{7}\,kl.}
ذات مكافئ حقيقي *x**a*.

عملية جمع الأوكتونيون تتم بجمع المكافئات المتوافقة، تماماً مثل الأعداد العقدية وكواتيرنيون. عملية الضرب في الأوكتونيون محددة بشكل كامل بجدول الضرب التالي:

| 1 | *i* | *j* | *k* | *l* | *il* | *jl* | *kl* |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| *i* | −1 | *k* | −*j* | *il* | −*l* | −*kl* | *jl* |
| *j* | −*k* | −1 | *i* | *jl* | *kl* | −*l* | −*il* |
| *k* | *j* | −*i* | −1 | *kl* | −*jl* | *il* | −*l* |
| *l* | −*il* | −*jl* | −*kl* | −1 | *i* | *j* | *k* |
| *il* | *l* | −*kl* | *jl* | −*i* | −1 | −*k* | *j* |
| *jl* | *kl* | *l* | −*il* | −*j* | *k* | −1 | −*i* |
| *kl* | −*jl* | *il* | *l* | −*k* | −*j* | *i* | −1 |

### إنشاء كايلي-ديكسون

هناك طريقة أكثر منطقية في تعريف الأوكتونيون باستخدام إنشاء كايلي-ديكسون. حيث كما أنه من الممكن تعريف الكواتيرنيون على أنها زوج من الأعداد العقدية، يمكن تعريف الأوكتونيون على أنها زوج من الكواتيرنيون. حيث يعطى جداء زوجين من الكواتيرنيون (*a*, *b*) و(*c*, *d*) على النحو التالي:

{\displaystyle (a,b)(c,d)=(ac-d^{\*}b,da+bc^{\*})}
حيث {\displaystyle z^{\*}} هو نظير الكواتيرنيون *z*.

### النظير، الطويلة، المقلوب

يعطى نظير الأوكتونيون التالية

{\displaystyle x=x\_{0}+x\_{1}\,i+x\_{2}\,j+x\_{3}\,k+x\_{4}\,l+x\_{5}\,il+x\_{6}\,jl+x\_{7}\,kl}
بالعلاقة:

{\displaystyle x^{\*}=x\_{0}-x\_{1}\,i-x\_{2}\,j-x\_{3}\,k-x\_{4}\,l-x\_{5}\,il-x\_{6}\,jl-x\_{7}\,kl.}
يعرف الجزء الحقيقي للأوكتونيون *x* بالعلاقة:

½*x* + *x*\*) = *x*0)

كما يعرف الجزء التخيلي بالعلاقة:

½(*x* - *x*\*)

تعطى طويلة الأوكتونيون *x* بالعلاقة:

{\displaystyle \|x\|={\sqrt {x^{\*}x}}}
يعطى الجذر التربيعي هنا بالعلاقة: {\displaystyle x^{\*}x=xx^{\*}} وهو دائماً عدد حقيقي غير سالب:

{\displaystyle \|x\|^{2}=x^{\*}x=x\_{0}^{2}+x\_{1}^{2}+x\_{2}^{2}+x\_{3}^{2}+x\_{4}^{2}+x\_{5}^{2}+x\_{6}^{2}+x\_{7}^{2}}
وهذه الطويلة تتوافق مع الطويلة في الفضاء الإقليدي من البعد الثامن **R**8.

إن وجود طويلة للأوكتونيون يتطلب وجود مقلوب لكل أوكتونيون غير صفري. حيث يعطى مقلوب *x* ≠ 0 بالعلاقة:

{\displaystyle x^{-1}={\frac {x^{\*}}{\|x\|^{2}}}}
وهي تحقق

{\displaystyle xx^{-1}=x^{-1}x=1}.

مراجع
-----

1. ↑  (Baez 2002, p. 6)
2. ↑  Hamilton (1848)، "Note, by Sir W. R. Hamilton, respecting the researches of John T. Graves, Esq."، *Transactions of the Royal Irish Academy*، ج. 21، ص. 338–341، مؤرشف من الأصل في 2018-04-26
3. ↑  G Gentili, C Stoppato, DC Struppa and F Vlacci (2009)، "Recent developments for regular functions of a hypercomplex variable"، في Irene Sabadini؛ M Shapiro؛ F Sommen (المحررون)، *Hypercomplex analysis* (ط. Conference on quaternionic and Clifford analysis; proceedings)، Birkhäuser، ص. 168، ISBN:978-3-7643-9892-7، مؤرشف من الأصل في 2016-12-04`{{استشهاد}}`: صيانة CS1: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)

| * ع
* ن
* ت
أنظمة عدد |
| --- |
| مجموعات قابلة للعد | أعداد طبيعية (ℕ) · أعداد صحيحة (ℤ) · أعداد كسرية (ℚ) · أعداد إنشائية · أعداد جبرية (𝔸) · حلقات · أعداد حاسوبية · أعداد حسابية · أعداد صحيحة غاوسية |
| أعداد حقيقية و ماصدقية  | أعداد حقيقية (ℝ) · أعداد مركبة (ℂ) · كواتيرنيون (ℍ) · أوكتونيون (𝕆) · سيدينيون (𝕊) · بناء كايلي-ديكسون · أعداد ثنائية · أعداد عقدية مقسمة · أعداد عقدية ثنائية جنس · أعداد عقدية فائقة · أعداد حقيقية ممتازة · أعداد غير نسبية  · أعداد متسامة · أعداد حقيقية فائقة · حقل ليفي تشيفيتا · أعداد فوق حقيقية |
| أنظمة أخرى | أعداد أصلية · أعداد ترتيبية · *p*-adic numbers · أعداد ما وراء الطبيعة |
|  · تصنيف · قائمة  · |


| ضبط استنادي عدلها في ويكي بيانات |
| --- |
| دولية | 
* المُعرِّف مُتعدِّد الأوجه (FAST)

 |
| وطنية | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)

 |
| أخرى | 
* النظام الجامعي للتوثيق (IdRef)

 |

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: أوكتونيون |