في الرياضيات، **جداء ثلاثي** (بالإنجليزية: Triple product)‏ هو حاصل ضرب ثلاثة متجهات. وتكون نتيجته إما «جداء ثلاثيا غير متجه» أو «جداء ثلاثيا متجها» وهذا الأخير يحدث نادرا في الفيزياء.

جداء ثلاثي غير متجه
-------------------

ثلاثة متجهات تحدد متوازي السطوح .
يعرّف الجداء الثلاثي غير المتجه بأنه حاصل ضرب جداء قياسي لأحد المتجهات في جداء اتجاهي.

### التفسير الهندسي

التفسير الهندسي للجداء الثلاثي غير متجه

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )}
هو حجم متوازي السطوح الممثل بثلاثة متجهات.

### خواصه

* لا يتأثر الجداء الثلاثي غير المتجة بالإزاحة الدورانية ويتكون من ثلاثة متجهات (**a**, **b**, **c**):

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=\mathbf {b} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {a} )=\mathbf {c} \cdot (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )}
* استبدال المتجهين في الجداء الاتجاهي يعكس إشارة ناتج الجداء الثلاثي:

{\displaystyle \mathbf {a} \cdot (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=-\mathbf {a} \cdot (\mathbf {c} \times \mathbf {b} )}
### ترميزات مستخدمة أخرى

تستخدم بعض الرميزات الأخرى للتعبير عن الضرب الثلاثي غير المتجه مثل:
{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}}.

وكذلك: {\displaystyle [{\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}]} و {\displaystyle \langle {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\rangle }.

### شرح الخواص

عملية الضرب الثلاثي غير المتجه ليست عملية تبديلية. ولكن قيمته لا تتغير إذا بادلنا المعاملات تبديلا دورانيا:

{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}=({\vec {b}}\times {\vec {c}})\cdot {\vec {a}}=({\vec {c}}\times {\vec {a}})\cdot {\vec {b}}}.
* ويمكن حساب الجداء الثلاثي بواسطة المحددات، فمثلا ينطبق علي المعادلة:

{\displaystyle {\vec {a}}={\begin{pmatrix}a\_{1}\\a\_{2}\\a\_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {b}}={\begin{pmatrix}b\_{1}\\b\_{2}\\b\_{3}\end{pmatrix}},\ {\vec {c}}={\begin{pmatrix}c\_{1}\\c\_{2}\\c\_{3}\end{pmatrix}}}
ينطبق عليها أن يكون:

{\displaystyle ({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}})=\det {\begin{pmatrix}a\_{1}&b\_{1}&c\_{1}\\a\_{2}&b\_{2}&c\_{2}\\a\_{3}&b\_{3}&c\_{3}\end{pmatrix}}=\det {\begin{pmatrix}a\_{1}&a\_{2}&a\_{3}\\b\_{1}&b\_{2}&b\_{3}\\c\_{1}&c\_{2}&c\_{3}\end{pmatrix}}}
ويمكن إثبات ذلك بإجراء الحساب:

* حيث أن الضرب القياسي يكون عملية تبديلية، فنحصل على:

{\displaystyle ({\vec {a}}\times {\vec {b}})\cdot {\vec {c}}={\vec {a}}\cdot ({\vec {b}}\times {\vec {c}})}.
أي باختيار أقواسا مناسبة يمكن تبديل العلامات الحسابية.

* وبعكس التبادل الدوراني ينتج عند إجراء تبادل دوراني مضاد تغيير للإشارة:

{\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=-\left({\vec {b}},{\vec {a}},{\vec {c}}\right)}
* كما أنه نظرا إلى أن {\displaystyle {\vec {a}}\times {\vec {a}}={\vec {0}}} يكون:

{\displaystyle \left({\vec {a}},{\vec {a}},{\vec {b}}\right)=0}
* والضرب في كمية غير متجهة {\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} } تنتج:

{\displaystyle \left(\alpha \cdot {\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)=\alpha \cdot \left({\vec {a}},{\vec {b}},{\vec {c}}\right)}
وهي عملية تسمى عملية تجميعية.

جداء ثلاثي متجه
---------------

يعرف **الجداء الثلاثي المتجه**  بإنه ضرب اتجاهي لمتجه مضروبا في ضرب اتجاهي آخر. وتنطبق عليه القاعدة التالية:

{\displaystyle \mathbf {a} \times (\mathbf {b} \times \mathbf {c} )=(\mathbf {a} \cdot \mathbf {c} )\mathbf {b} -(\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {c} }
{\displaystyle (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )\times \mathbf {c} =-\mathbf {c} \times (\mathbf {a} \times \mathbf {b} )=-(\mathbf {c} \cdot \mathbf {b} )\mathbf {a} +(\mathbf {c} \cdot \mathbf {a} )\mathbf {b} } .
تعرف المعادلة الأولى بأنها «معادلة لاجرانج» أو «الضرب الثلاثي الممتد»

ويمكن تذكر الجزء الأيمن من المعادلة بالترميز "BAC - CAB" مع تذكر أي متجهات تكون فيها عملية الضرب قياسية (علامة الضرب «النقطية»).

ولإثبات ذلك نبدأ بالمعادلات التي تسهل حسابات المتجهات في الفيزياء. ومن ضمنها معادلات التدرج - مثل تدرج مجال مغناطيسي أو تدرج درجات الحرارة وهي تدرجات تنتسب إلى تغير المكان - وتسهل حسابات المتجهات:

{\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \times (\nabla \times \mathbf {f} )&{}=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )-(\nabla \cdot \nabla )\mathbf {f} \\&{}={\mbox{grad }}({\mbox{div }}\mathbf {f} )-\nabla ^{2}\mathbf {f} .\end{aligned}}}
حيث {\displaystyle \Delta } هي مؤثر لابلاس.

انظر أيضا
---------

* ضرب اتجاهي
* ضرب قياسي
* ضرب المصفوفات
* ضرب ديكارتي
* جداء مباشر

مراجع
-----

1. ↑  مذكور في: *مفردة كهروتقنية دولية*. رقم مفردة لدى تقنية كهربائية دولية (IEV): 102-03-38. الناشر: اللجنة الكهروتقنية الدولية.
2. ↑  جوزيف لوي لاغرانج did not develop the cross product as an algebraic product on vectors, but did use an equivalent form of it in components: see Lagrange, J-L (1773). "Solutions analytiques de quelques problèmes sur les pyramides triangulaires". *Oeuvres*. ج. vol 3. `{{استشهاد بكتاب}}`: `|المجلد=` يحوي نصًّا زائدًا (مساعدة) He may have written a formula similar to the triple product expansion in component form. See also Lagrange's identity and كيوشي إيتو (1987). *Encyclopedic Dictionary of Mathematics*. MIT Press. ص. 1679. ISBN:0-262-59020-4.
3. ↑  
كيوشي إيتو (1993). "§C: Vector product". *Encyclopedic dictionary of mathematics* (ط. 2nd). MIT Press. ص. 1679. ISBN:0-262-59020-4. مؤرشف من الأصل في 2014-10-31.
4. ↑  
Pengzhi Lin (2008). *Numerical Modelling of Water Waves: An Introduction to Engineers and Scientists*. Routledge. ص. 13. ISBN:0-415-41578-0. مؤرشف من الأصل في 2016-12-02.

وصلات خارجية
------------

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة جبر