في الرياضيات ، تُستخدم **صيغة جمع أبيل** ، التي قدمها نيلز هنريك أبيل ، بشكل متكرر ومٌكثف في نظرية الأعداد ودراسة الدوال الخاصة لحساب المتسلسلات .

الصيغة
------

لتكن {\displaystyle (a\_{n})\_{n=0}^{\infty }} متتالية من الأعداد الحقيقية أو المركبة. تُعرف دالة الجمع الجزئي A بواسطة

{\displaystyle A(t)=\sum \_{0\leq n\leq t}a\_{n}}
لأي عدد حقيقي t. ليكن {\displaystyle x<y} ، ولتكن {\displaystyle \phi } دالة قابلة للإشتقاق بشكل متصل في {\displaystyle [x,y]}. إذاً:

{\displaystyle \sum \_{x<n\leq y}a\_{n}\phi (n)=A(y)\phi (y)-A(x)\phi (x)-\int \_{x}^{y}A(u)\phi '(u)\,du.}
يعتمد برهان الصيغة على تطبيق التكامل بالتجزئة لكل من الدوال A و {\displaystyle \phi } .

### أشكال مختلفة

  

إذا كان المتتالية {\displaystyle (a\_{n})} مفهرسة من {\displaystyle n=1} ، يمكننا أن نعرف {\displaystyle a\_{0}=0}. لتصبح الصيغة السابقة على الشكل الآتي :

{\displaystyle \sum \_{1\leq n\leq x}a\_{n}\phi (n)=A(x)\phi (x)-\int \_{1}^{x}A(u)\phi '(u)\,du.}
من الطرق الشائعة لتطبيق صيغة جمع أبيل هي أن تأخذ {\displaystyle x\to \infty }. فتصبح الصيغة على الشكل الآتي :

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{n=0}^{\infty }a\_{n}\phi (n)&=\lim \_{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int \_{0}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du,\\\sum \_{n=1}^{\infty }a\_{n}\phi (n)&=\lim \_{x\to \infty }{\bigl (}A(x)\phi (x){\bigr )}-\int \_{1}^{\infty }A(u)\phi '(u)\,du.\end{aligned}}}
هذه المعادلات صحيحة متى ما وُجدت كلتا النهايتين على الجانب الأيمن وكانتا منتهيتين.

أمثلة
-----

### الأعداد التوافقية

إذا كانت {\displaystyle a\_{n}=1} بلكل {\displaystyle n\geq 1} و {\displaystyle \phi (x)=1/x,} فإن {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } وتنتج الصيغة

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x}}+\int \_{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{2}}}\,du.}
الطرف الأيسر هو العدد التوافقي {\displaystyle H\_{\lfloor x\rfloor }} .

### تمثيل دالة زيتا

ليكن s عددا عقديا. إذا توفر {\displaystyle a\_{n}=1} حيث {\displaystyle n\geq 1} و {\displaystyle \phi (x)=x^{-s},} إذن {\displaystyle A(x)=\lfloor x\rfloor } وتصير الصيغة

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\lfloor x\rfloor }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {\lfloor x\rfloor }{x^{s}}}+s\int \_{1}^{x}{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}
إذا توفر {\displaystyle \Re (s)>1}, إذن النهاية عندما {\displaystyle x\to \infty } موجودة فتصير الصيغة

{\displaystyle \zeta (s)=s\int \_{1}^{\infty }{\frac {\lfloor u\rfloor }{u^{1+s}}}\,du.}
قد تستعمل هذه المسألة من أجل استنتاج مبرهنة ديريكليه والتي تنص على أن {\displaystyle \zeta (s)} تملك قطبا بسيطا مع باق مساو لواحد عند *s* = 1.

### تمثيل مقلوب دالة زيتا

يمكن أن تستعمل التقنية المستعملة في المثال السابق على متسلسلات دركليه أخرى. إذا كانت {\displaystyle a\_{n}=\mu (n)} هي دالة موبيوس و {\displaystyle \phi (x)=x^{-s}}, إذن {\displaystyle A(x)=M(x)=\sum \_{n\leq x}\mu (n)} هي دالة ميرتنز و

{\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}=s\int \_{1}^{\infty }{\frac {M(u)}{u^{1+s}}}\,du.}
الصيغة صحيحة حين يتوفر {\displaystyle \Re (s)>1}.

انظر أيضًا
----------

* الجمع بالتجزئة
* التكامل بالتجزئة

مراجع
-----

* Apostol، Tom (1976)، *Introduction to Analytic Number Theory*، كتب جامعية في الرياضيات، Springer-Verlag.

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات