في نظرية التعقيد القسم **PH** هو قسم كل اللغات في هرم متعدد الحدود (Polynomial hierarchy)، وهذا القسم يشمل جزء لا بأس به من الاقسام المعروفة مثل: NP ,co-NP ... وله عدة تعريفات متكافئة.

تعريف
-----

1. نعرف الاقسام التالية:

* {\displaystyle \Sigma \_{1}={\mbox{NP}}}
* وبطريقة البناء عن طريق الاستقراء نعرف: {\displaystyle \Sigma \_{i}={\mbox{NP}}^{\Sigma \_{i-1}}}

في حين أنَّ:{\displaystyle {\mbox{NP}}^{C}} هي مجموعة اللغات التي يمكن تقريرها بواسطة آلة تيورنج كثيرة الحدود غير قطعية مع امكانية الدخول إلى اوراكل من القسم C .
حينها: {\displaystyle {\mbox{PH}}=\cup \_{i=0}^{\infty }\Sigma \_{i}}
2. نعرف القسم {\displaystyle \Sigma \_{i}} بشكل اخر:{\displaystyle {\mbox{L}}\in \Sigma \_{i}} إذا يوجد علاقة محدودة بكثير حدود وقابلة للتمييز بوقت كثير الحدود مع i+1 متغيرات حيث أنَّ: {\displaystyle x\in L\iff \exists y\_{1}\forall y\_{2}\cdots Q\_{i}y\_{i}(x,y\_{1},y\_{2},\cdots ,y\_{i})\in R\_{L}} في حين أنَّ

{\displaystyle Q\_{i}={\begin{cases}\forall ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is even}}\\\exists ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is odd}}\end{cases}}}

يمكن ان نبين أنَّ التعريفان متكافئان وذلك بواسطة الاستقراء لكل i .

على غرار co-NP , P يمكن تعريف اقسام مشابهة وهي: 

* {\displaystyle \Delta \_{1}={\mbox{P}}}
* {\displaystyle \Delta \_{i}={\mbox{P}}^{\Delta \_{i-1}}}
* {\displaystyle \Pi \_{1}={\mbox{co-NP}}}
* {\displaystyle \Pi \_{i}={\mbox{co-NP}}^{\Pi \_{i-1}}}

ويمكن تعريف PH بواسطة {\displaystyle \Delta \_{i}} أو بواسطة {\displaystyle \Pi \_{i}} وذلك لانَّ: 

* {\displaystyle \Pi \_{i}\subseteq \Sigma \_{i+1}}
* {\displaystyle \Sigma \_{i}\subseteq \Pi \_{i+1}}
* {\displaystyle \Sigma \_{i}\cup \Pi \_{i}\subseteq \Delta \_{i}\subseteq \Sigma \_{i+1}\cap \Pi \_{i+1}}

انهيار PH
---------

نقول أنَّ PH انهارت إذا تحقق التالي:

يوجد k بحيث أنَّ {\displaystyle \Sigma \_{k}=\Sigma \_{k+1}}

حيث أنه إذا وجد k كهذا حينها: {\displaystyle \Sigma \_{k}={\mbox{PH}}} واغلب علماء الحاسوب والرياضيات يقولون بعدم انهيار الهرم كثير الحدود، ومع هذا فإنه غير معلوم إذا ما PH مُنهار أو لا !

علاقات مع اقسام أخرى
--------------------

* يمكن بسهولة تبيين أنَّ {\displaystyle {\mbox{PH}}\subseteq {\mbox{PSPACE}}}. وذلك لاننا يمكننا تجربة كل الامكانيات كما في تعريف PH ونستخدم مساحة اضافية متعددة الحدود.
* إذا {\displaystyle {\mbox{NP}}={\mbox{coNP}}} حينها {\displaystyle {\mbox{PH=NP}}}
* لكل i إذا {\displaystyle \Sigma \_{i}=\Pi \_{i}} حينها {\displaystyle {\mbox{PH}}=\Sigma \_{i}}
* مبرهنة سبسر ولوتومان: {\displaystyle {\mbox{BPP}}\subseteq {\mbox{PH}}}
* إذا {\displaystyle {\mbox{NP}}\subseteq {\mbox{P/Poly}}} حينها: {\displaystyle \Sigma \_{2}=\Pi \_{2}} أي انه {\displaystyle {\mbox{PH}}=\Sigma \_{2}} .
* مبرهنة كانان: لكل k، {\displaystyle \Sigma \_{2}} لا يتبع القسم: (**Size**(nk
* مبرهنة تودا: {\displaystyle {\mbox{PH}}\subseteq P^{\#P}}

مسائل كاملة في Σi
-----------------

لكل Σi يمكن تعريف المسألة التالية: ΣiSAT :

المعطى: صيغة {\displaystyle \varphi ({\mbox{x,y}})} والتي هي بشكل SAT

المخرج: هل صحيح أنَّ: {\displaystyle \exists x\forall y\_{1}\exists y\_{2}\cdots Q\_{i}y\_{i}\varphi ({\mbox{x}},{\mbox{y}}\_{1},\cdots ,{\mbox{y}}\_{i})} حيث أنَّ: 

{\displaystyle Q\_{i}={\begin{cases}\forall ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is even}}\\\exists ,&{\mbox{if }}i{\mbox{ is odd}}\end{cases}}}

هذه المسألة كاملة ل-{\displaystyle \Sigma \_{i}}. يمكن ايجاد مسائل أخرى كاملة  في الهامش.

مسائل كاملة في PH
-----------------

لنفرض أن المسألة L هي كاملة في PH ، حينها يوجد k بحيث أنَّ {\displaystyle {\mbox{L}}\in \Sigma \_{k}} وبما أن هذه المسألة كاملة كل مسألة في PH يمكن اختزالها لهذه المسألة أي L ومن ضمن هذه المسائل نأخذ المسائل التي تتبع {\displaystyle \Sigma \_{k+1}} حينها كل مسألة كهذه تتبع أيضا {\displaystyle \Sigma \_{k}} وهذا يعني أنَّ {\displaystyle \Sigma \_{k+1}\subseteq \Sigma \_{k}} وهذا يعني أنَّ {\displaystyle PH=\Sigma \_{k}} وهذا يعني أنَّ الهرم كثير الحدود ينهار ! لذا لا يمكن أن يكون هنالك مسائل كاملة الا إذا انهار PH. وهذا يعطي دليلا أنَّ PH و-PSPACE لا يمكن ان يكونا متساويتيين!

هامش
----

1. ↑  phcom.dvi نسخة محفوظة 12 يوليو 2017 على موقع واي باك مشين.

انظر أيضا
---------

* قسم تعقيد
* نظرية التعقيد الحسابي.
* مسألة P=NP
* خوارزمية

  


| * ع
* ن
* ت
أقسام التعقيد المهمة |
| --- |
| ممكنة للتنفيذ | 
* DLOGTIME
* AC0
* ACC0
* TC0
* L
* SL
* RL
* NL
* NC
* SC
* CC
* P
	+ P-complete
* ZPP
* RP
* BPP
* BQP

 |
| مشكوك في إمكانية تنفيذها | 
* يو بي
* كثير حدود غير قطعي
	+ مسألة كثيرة حدود غير قطعية كاملة
	+ مسائل NP صعبة
	+ Co-NP
	+ مسائل co-NP كاملة
* أي إم
* PH
* بي الزوجي
* بي بي
* P#
	+ مسائل P# كاملة
* IP
* بيسبايس (مسائل PSPACE كاملة)

 |
| غير قابل للتنفيذ | 
* EXPTIME
* NEXPTIME
* EXPSPACE
* ELEMENTARY
* PR
* R
* RE
* ALL

 |
| أقسام هرمية | 
* Polynomial hierarchy
* Exponential hierarchy
* Grzegorczyk hierarchy
* Arithmetic hierarchy
* Boolean hierarchy

 |
| عائلات اقسام | 
* DTIME
* NTIME
* DSPACE
* NSPACE
* براهين قابلة للفحص بشكل احتمالي
* نظام براهين تفاعلي

 |

  

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علم الحاسوب