في المنطق الرياضي وعلم الحاسوب، فان **نجمة كلين** (أو **مشغل كلين** أو **الانغلاق كلين**) عملية أحادية، إما على مجموعة من الكلمات أو على مجموعة من الرموز أو الحروف. يتم كتابة تطبيق النجمة كلين للمجموعة *V* على النحو *V* \*. ويتم استخدامها على نطاق واسع لأشكال التعابير النمطية، وهو السياق الذي قدم من قبل كلين ستيفن لتوصيف نظرية التشغيل الذاتي بعينها، حيث تعني «صفر أو أكثر».

1. إذا كانت *V* عبارة عن مجموعة من السلاسل إذا يتم تعريف *V* \* باعتبارها أصغر مجموعة جزئية من *V* والتي تحتوي على الكلمة الفارغة وتغلق بموجب عمليات تسلسل الكلمات. هذا ويمكن أيضا وصف هذه المجموعة بأنها مجموع من السلاسل التي يمكن إجراؤها بواسطة سلسلة الصفر أو المزيد من سلاسل *V*.
2. إذا كانت *V* عبارة عن مجموعة من الرموز أو الأحرف إذا *V* \* هي مجموعة لكل السلاسل خلال رموز المجموعة *V*، بما في ذلك الكلمة الفارغة.

يتم استخدام العمليات في إعادة كتابة القواعد للقواعد المحدثة.

التعريف والتدوين
----------------

المعطى

{\displaystyle V\_{0}=\{\lambda \}\,}
يحدد بشكل تكراري المجموعة

{\displaystyle V\_{i+1}=\{wv\mid w\in V\_{i}{\mbox{ and }}v\in V\}\,} حيث {\displaystyle i\geq 0\,}.
إذا كانت V لغة رسمية، إذا {\displaystyle V\_{i}} والتي هي القوة (الاس) الذي يرمز له ب *i*-th من المجموعة V ، يعتبر اختصار لتسلسل
المجموعة V مع نفسها i من مرات. ولذا {\displaystyle V\_{i}} يمكن أن يتم فهمه على انه مجموعة لجميع الكلمات التي يمكن أن تتمثل على نحو تسلسل للكلمة *i* في المجموعة V.
تعريف النجمة كلين هو {\displaystyle V^{\*}=\bigcup \_{i\in \mathbb {N} }V\_{i}=\left\{\lambda \right\}\cup V\_{1}\cup V\_{2}\cup V\_{3}\cup \ldots .}

ولذا هذا هو تجميع لكافة السلاسل محدودة الطول المحتملة المتولدة من الرموز في V.

في بعض دراسات اللغة الشكلية، (مثل نظرية أفل) فان الاختلاف على عملية نجمة كلين سميت باسم *كلين زائد* وتم استخدامها بالفعل. وزائد كلين يحذف الحد {\displaystyle V\_{0}} في الاتحاد أعلاه. وبعبارة أخرى، زائد كلين هي في المجموعة V V is
{\displaystyle V^{+}=\bigcup \_{i\in \mathbb {N} \setminus \{0\}}\!\!\!\!V\_{i}=V\_{1}\cup V\_{2}\cup V\_{3}\cup \ldots .}

بالإضافة إلى ذلك، يتم استخدام نجمة كلين في النظرية المثالية.

أمثلة
-----

امثلة على تطبيق نجمة كلين على مجموعة من السلاسل:

{"ab", "c"}\* = {λ, "ab", "c", "abab", "abc", "cab", "cc", "ababab", "ababc", "abcab", "abcc", "cabab", "cabc", "ccab", "ccc",...}.
امثلة على تطبيق نجمة كلين على مجموعة من الأحرف:

{'a', 'b', 'c'}\* = {λ, "a", "b", "c", "aa", "ab", "ac", "ba", "bb", "bc", "ca", "cb", "cc",...}.
امثلة على تطبيق نجمة كلين على المجموعة الفارغة:

{\displaystyle \varnothing ^{\*}=\{\lambda \}.}
امثلة على تطبيق زائد كلين على المجموعة الفارغة:

{\displaystyle \varnothing ^{+}=\varnothing \varnothing ^{\*}=\{\}=\varnothing .}
لاحظ انه لكل مجموعة *L*, {\displaystyle L^{+}}تساوي التسلسل في *L* مع{\displaystyle L^{\*}}.
للمقارنة {\displaystyle L^{\*}} يمكن كتابتها مثل {\displaystyle \{\lambda \}\cup L^{+}}.
العمليات {\displaystyle L^{+}} and {\displaystyle L^{\*}} يمكن ان تصف المجموعة ذاتها فقط وفقط إذا كانت المجموعة *L* قيد البحث تتضمن العبارة الفارغة.

تعميم
-----

السلاسل التي تشكل البنية الجبرية مونويد مع تسلسل كما في العملية الثنائية وλ العنصر المحايد. يتم تعريف نجمة كلين لأي مونويد وليس فقط للسلاسل. بالتحديد، فلتكن {\displaystyle (M,\cdot )} مونويد{\displaystyle S\subseteq M}. ثم {\displaystyle S^{\*}} هي أصغر مونويد فرعية ل M تحتوي على {\displaystyle S}، ولهذا، {\displaystyle S^{\*}} تتضمن العنصر المحايد من {\displaystyle (M,\cdot )}، وهو مجموعة {\displaystyle (M,\cdot )} ، وبحيث لو {\displaystyle x,y\in S^{\*}} إذا {\displaystyle x\cdot y\in S^{\*}}.

انظر أيضا
---------

* خوارزمية البحث بأولوية الأفضل
* النظرية المثالية
* كاشف التسلسل

مراجع
-----

تم العثور على تعريف نجمة كلين في تقريبا كل في كتاب عن نظرية كاشف التسلسل. المرجع النوذجي ما يلي:

* جون هوبكروفت and جيفري أولمان. Introduction to Automata Theory Languages and Computation. 1st edition. Addison-Wesley Publishing Company, 1979.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علم الحاسوب
* أيقونة بوابةبوابة منطق