ميّز عن رفع (رياضيات).

**الدالة الأسية** (بالإنجليزية: Exponential Function)‏ هي كل دالة تُكتب على الشكل {\displaystyle f(x)=a^{x}} حيث {\displaystyle x\in \mathbb {R} } و a عدد حقيقي موجب لا يساوي 1، إذا كان {\displaystyle 0<a<1} فإن الدالة {\displaystyle a^{x}} تكون تناقصية وتسمى دالة تضاؤل أسي، أما إذا كان {\displaystyle a>1} فإن الدالة تكون تزايدية وتسمى دالة نمو أسي.

دوال أسية أخرى
--------------

{\displaystyle f(x)=a^{x}+b^{2}x} أو: {\displaystyle f(x)=a^{x}+5.M^{x}-3} أو: {\displaystyle f(x)=a^{x}+e^{x}}
**مثال آخر للدالة الأسية:**

y = ل مرفوعة للقوة x ، وتكتب رياضيا كالآتي:
y = لx
حيث ل> صفر.
أي أن **الدالة الأسية** بصفة عامة:

X = yn

تستخدم في الحاسوب معادلة أسية خاصة اسمها (exp(n. وهي تعادل حالة خاصة للمعادلة الأسية التي هي أصلا {\displaystyle e^{n}} حيث e هو الثابت الطبيعي المسمى عدد أويلر. ذلك لأن الحالة الخاصة {\displaystyle e^{n}} لها استخدامات واسعة في الفيزياء والكيمياء والهندسة الكهربائية والهندسة الميكانيكية والإحصاء وغيرها من العلوم. بعض الدول العربية تستخدم «هـ» بدلا عن e.

خواص الأسس
----------

 مشتق الدالة الأسية {\displaystyle e^{n}} مساو لقيمة الدالة. لكل نقطة من المنحنى (الأزرق)، إذا رسم الخط المماس (الأحمر) والخط العمودي (الأخضر) كما هو مبين، فستكون للمثلث الذي يحددانه مع المحور الأفقي قاعدة طولها 1 (الأخضر). فيكون انحدار الخط المماس (المشتق) في النقطة مساويا لارتفاع المثلث (قيمة الدالة).
التعريف الجبري للدالة الأسية هو أنها تحول المجموع إلى جداء.

من خواص الدالة الأسية:

a0 = 1
a1 = a
الدالة العكسية للدالة الأسية هي اللوغاريتم (log) ذو الأساس a حيث تحول {\displaystyle a^{x}} إلى x وهي تحول الجداء إلى مجموع:

{\displaystyle \log(a^{x})=x\log(a)}
حيث x عدد حقيقي. الرمز log في هذه المقالة ينطبق على اللوغاريتم للأساس 10.

يمكن تحويل الدالة الأسية {\displaystyle a^{x}} إلى أي أساس آخر {\displaystyle b} :

{\displaystyle a^{x}=b^{x\cdot \log \_{b}(a)}}
وتنطبق القوانين التالية عليها:

{\displaystyle a^{0}=1\,}...و... {\displaystyle a^{1}=a\,}
{\displaystyle a^{x+y}=a^{x}\cdot a^{y}}
{\displaystyle a^{x\cdot y}=(a^{x})^{y}}
{\displaystyle a^{-x}={\frac {1}{a^{x}}}=\left({\frac {1}{a}}\right)^{x}}
{\displaystyle a^{x}\cdot \ b^{x}=(a\cdot \ b)^{x}}
وتنطبق تلك القوانين على كل الأساسيات الحقيقية الموجبة {\displaystyle a\,} و{\displaystyle b\,} وعلى جميع الأساسيات الحقيقية والمركبة x.

**من أهم الدوال الأسية** المستعملة في العلوم مثل كالفيزياء النووية والفيزياء الذرية والكهرباء والهندسة الكهربائية هي الدالة ذات الأساس e أي {\displaystyle e^{x}} واللوغاريتم المنتسب إليها يرمز له بالرمز  *ln* ، ويسمى «اللوغاريتم الطبيعي».

الدالة الأسية للأساس e هي الدالة الوحيدة التي تحقق الشرطين:

{\displaystyle f'=f}
{\displaystyle f(0)=1}
أي أنها حل للمعادلة التفاضلية من الدرجة الأولى.

الدالة الأسية للثابت الطبيعي e
------------------------------


هناك الحالة الخاصة عندما يكون **الأساس** هو الثابت الطبيعي e (تستخدم بعض البلاد العربية الثابت الطبيعي «هـ» بدلا عن المعترف به عالميا e).

وتكتب باللغة الإنجليزية:

(x = exp(n
حيث n هو الأُس للأساس **الثابت الطبيعي** الثابت «ه» والذي يساوي 2.718281828

وتوجد في الآلات الحاسبة لكثرة استعمالها.

أو بالتفصيل:

x = en

من خصائص الدالة الأسية للأساس الطبيعي e الخصائص التالية:

{\displaystyle \exp(x+y)=\exp(x)\cdot \exp(y)}
{\displaystyle a^{x}:=\exp(x\cdot \ln a)}
{\displaystyle a^{x}:=e^{x\cdot \ln a}}
وذلك لجميع
{\displaystyle a>0} وجميع x الحقيقية والمركبة.(ln a هو اللوغاريتم الطبيعي للأساس الطبيعي e وليس اللوغاريتم للأساس 10)

تزايد جهد المكثف مع الزمن يتبع دالة أسية للأساس e.
للدالة الأسية للأساس الطبيعي e أهمية كبرى في الفيزياء (مثل: تناقص الضغط الجوي بالارتفاع عن سطح الأرض [أنظر أسفله]) ، وفي الكيمياء (مثل: اعتماد سرعة التفاعل على درجة الحرارة)

وفي الفيزياء بالنسبة إلى الدارة الإلكترونية حيث تتزايد مثلا شحنة مكثف طبقا للدالة الأسية مع الزمن x = en حيث n = t.c حتى تكتمل سعة المكثف. وإذا عملنا على تفريغ المكثف من شحنته يتبع معدل تفريغ الشحنة مع الزمن نفس الدالة الأسية الطبيعية مع جعل الأس بالسالب، أي x = e-t.c.

* ويكون الأس n دائما عددا لا بعديا ، لكنه يتكون عادة من جزئين، ففي حالة المكثف الكهربائي على سبيل المثال يكون n = t.c حيث t الزمن ثانية و c خاصية للمكثف وحدتها [1/ثانية] ، وينتج عن حاصل ضربهما عددا لا بعديا.
* يعطينا الشكل المجاور الشكل المميز للدالة الأسية للأساس e. وطبقا لها تتغير الشحنة الكهربائية الواردة على المكثف مع الزمن حتى يمتلئ تماما.

تعريفات أساسية للدالة الأسية للأساس e
-------------------------------------

يمكن تعريف الدالة الأسية للأساس e بعدة طرق متكافئة، على وجه التخصيص يمكن تعريفها بإستعمال متسلسلة قوى:

{\displaystyle \displaystyle e^{x}=\sum \_{n=0}^{\infty }{\dfrac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\dfrac {x^{2}}{2!}}+{\dfrac {x^{3}}{3!}}+{\dfrac {x^{4}}{4!}}+\cdots }
أقل شيوعا يمكن تعريف ex كحل للمعادلة التالية:

{\displaystyle \displaystyle x=\int \_{1}^{y}{\dfrac {\mathrm {d} t}{t}}.}
هي أيضا تساوي النهاية التالية:

{\displaystyle \displaystyle e^{x}=\lim \limits \_{n\to \infty }\left(1+{\dfrac {x}{n}}\right)^{n}.}

مشتقة الدالة الأسية للأساس e
----------------------------

تتميز الدالة الأسية للأساس e بكونها مساوية لمشتقتها التفاضلية:

{\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}\exp(x)=\exp(x)}
وعندما نختار لها الشرط:

{\displaystyle \exp(0)=1\;}
تصبح الدالة الأسية للثابت الطبيعي e هي الوحيدة التي تفي بذلك الشرطين. بذلك يمكن تعريف الدالة الأسية الطبيعية بأنها حل تلك المعادلة التفاضلية. عندما تكون
{\displaystyle a>0} ينتج:

{\displaystyle a^{x}=\exp(x\cdot \ln a)}
حيث ln a هو اللوغاريتم للأساس الطبيعي e وتنطبق المعادلة:

{\displaystyle {\frac {\mbox{d}}{{\mbox{d}}x}}a^{b\cdot x}=b\ln a\cdot a^{b\cdot x}}
وفي هذه المعادلة لا يلزم استبدال اللوغاريتم الطبيعي بأي لوغاريتم لأساس آخر، حيث يأتي العدد *e* في حساب التفاضل بطريقة «طبيعية» من نفسه.

### المعادلة التفاضلية من النوع {\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=ay+b} حيث a و b عددان حقيقيان

دالة أسية للأساس e: ثلاثة منحنيات للتحلل الإشعاعي لثلاثة مواد لها عمر النصف مختلف.
إن حل هذه المعادلة التفاضلية عبارة عن دالة أسية بحيث {\displaystyle y(x)=\lambda e^{ax}-{\frac {b}{a}}} حيث {\displaystyle \lambda } ثابتة حقيقية تحدد بالاعتماد على الشروط البدئية

**مثال:**

قانون التحلل الإشعاعي لنواة الذرة:

{\displaystyle N(t)=N\_{0}\,e^{-{\lambda }t}\,\!}
وتعطينا تلك المعادلة الأسية عدد الأنوية (N(t التي لم تتحلل بعد مرور الزمن t من مجموع أنوية الذرات N\_0 الكلي عند البداية (عند t = 0).

وتعتمد:{\displaystyle {\lambda }\!} على نوع الذرات الموجودة في العينة، وهي خاصية من خصائص العنصر المشع، وتختلف لليورانيوم عن البلوتونيوم وعن البوتاسيوم-40 مثلا. ووحدتها 1/ثانية.

المجاميع أسية
-------------

ليكن a عنصرا من مجموعة الأعداد الحقيقية حيث {\displaystyle a>1}

**المجموع الأول** 

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n-1}{a^{i}}=a^{0}+a^{1}+a^{2}+\dots +a^{n-1}={\frac {a^{n}-1}{a-1}}}
نهاية هذا المجموع:{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\sum \_{i=1}^{n}}{a^{i}}=+\infty }

**المجموع الثاني** 

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}{\frac {1}{a^{i}}}={\frac {1-a^{n+1}}{a^{n}-a^{n+1}}}={\frac {a^{-n}-a}{1-a}}}
نهاية هذا المجموع:{\displaystyle \lim \_{n\rightarrow \infty }{\sum \_{i=0}^{n}}{\frac {1}{a^{i}}}=\sum \_{i=0}^{\infty }{a^{-i}}={\frac {a}{a-1}}}

أمثلة
-----

### مثال للدالة الأسية بصفة عامة

تزايد الميكروبات: ينقسم الميكروب إلى نصفين مكونا ميكروبين، وينقسم كل منهما إلى نصفين فيصبحوا أربعة ميكروبات. ثم تنقسم الأربعة ميكروبات وتصبح ثمانية ميكروبات.

أي يبلغ عدد الميكروبات بعد 3 انقسامات:

N = 23

N = 8

فإذا أردنا معرفة عدد الميكروبات بعد 6 انقسامات، صغنا المعادلة كالآتي:

N = 26

N = 64

أي أن عدد الميكروبات الناتجة عن ميكروب واحد بعد ستة انقسامات يبلغ 64 ميكروبا.

### امثلة للدالة الأسية للأساس الطبيعي e

**التزايد السكاني:**

يبلغ عدد سكان إحدى المدن 4 ملايين نسمة، فما عدد سكان المدينة بعد ستة سنوات إذا كان معدل تزايد السكان السنوي 2,5 %؟

نكتب المعادلة الآتي:

N = 4. e0,025.6

أو:

(N = 4. Exp(0,025.6
والنتيجة:

مليون نسمة N = 4,647 بعد 6 سنوات.
**مثال 3 :**

**تكوّن النجوم:** تتزايد كتلة أحد النجوم عن طريق اجتذابه للمادة حوله بمعدل 2 و0 % سنويا، فما تكون كتلته بعد 170 سنة؟.

N = 1. e0,002.170

N = 1. e0,34

باستخدام الحاسوب نحصل على زيادة كتلته بنسبة 4 و1 خلال 170 سنة.

**مثال 4:**

تغير كثافة الهواء بالارتفاع عن سطح الأرض. المعادلة هي:

{\displaystyle {\rho }=\rho \_{b}\cdot \exp \left[{\frac {-g\_{0}\cdot M\cdot (h-h\_{b})}{R^{\*}\cdot T\_{b}}}\right]}
حيث الارتفاع h والارتفاع عند سطح الأرض {\displaystyle \ (h\_{b})}.

```
(أنظر تغير الضغط بالارتفاع)
```

اقرأ أيضاً
----------

* الدوال الإبتدائية
* تغير الضغط بالارتفاع
* توزيع بولتزمان
* احصاء ماكسويل-بولتزمان
* تجانس
* اختبار الوحدات

مراجع
-----

1. ↑  Courant؛ Robbins (1996). Stewart (المحرر). *What is Mathematics? An Elementary Approach to Ideas and Methods* (ط. 2nd revised). Oxford University Press. ص. 448. ISBN:0-13-191965-2. مؤرشف من الأصل في 2019-12-19. *This natural exponential function is identical with its derivative.* This is really the source of all the properties of the exponential function, and the basic reason for its importance in applications…
2. ↑  Rudin، Walter (1976). *Principles of Mathematical Analysis* (PDF). New York: McGraw-Hill. ص. 182. ISBN:9780070542358. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2020-05-20.
3. ↑  *HP 48G Series – Advanced User's Reference Manual (AUR)* (ط. 4). هوليت-باكارد. ديسمبر 1994 [1993]. HP 00048-90136, 0-88698-01574-2. مؤرشف من الأصل في 2016-08-06. اطلع عليه بتاريخ 2015-09-06.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة أويلر-ماكلورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولين ماكلورين **·**  ليونهارت أويلر |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحدية
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
|  تصنيف  **•**   كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي

|  |
| --- |
| **دالة أسية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
* كتب من ويكي الكتب.
* دروس من ويكي الجامعة.
 |


| * ع
* ن
* ت
دوال رياضية شائعة |
| --- |
| دوال جبرية كسرية | 
* كثيرة الحدود
* كسرية

 |
| دول جبرية غير كسرية | 
* دالة القوة / جذر نوني

 |
| دوال متسامية | 
* لوغاريتم / دالة أسية
	+ لوغاريتم طبيعي / دالة الأس الطبيعي
* دوال مثلثية / دوال مثلثية عكسية
* دوال زائدية
* دالة إهليلجية

 |