العدد التوافقي {\displaystyle H\_{n}} مع {\displaystyle n=\lfloor x\rfloor } (الخط الأحمر) بحده المقارب {\displaystyle \gamma +\ln(x)} (الخط الأزرق) بحيث \gamma  هو ثابت أويلر-ماسكيروني .
في الرياضيات ، العدد **التوافقي** النوني هو مجموع مقلوبات أول n من الأعداد الطبيعية :



H

n

=
1
+

1
2

+

1
3

+
⋯
+

1
n

=

∑

k
=
1

n

1
k

{\displaystyle H\_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum \_{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}

{\displaystyle H_{n}=1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+\cdots +{\frac {1}{n}}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {1}{k}}}بدءًا من *n* = 1 ، يبدأ تسلسل الأعداد التوافقية:


1
,

3
2

,

11
6

,

25
12

,

137
60

,
…

{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }

{\displaystyle 1,{\frac {3}{2}},{\frac {11}{6}},{\frac {25}{12}},{\frac {137}{60}},\dots }ترتبط الأعداد التوافقية بالمتوسط التوافقي في أن العدد التوافقي النوني هو أيضًا n مضروبة في مقلوب المتوسط التوافقي للأعداد الصحيحة الموجبة الأولى n .

تمت دراسة الأعداد التوافقية منذ العصور القديمة وهي مهمة في مختلف فروع نظرية الأعداد. يطلق عليها أحيانًا اسم متسلسلة توافقية ، وترتبط ارتباطًا وثيقًا بدالة ريمان زيتا ، وتظهر في تعبيرات دوال خاصة مختلفة.

يمكن إعطاء قيمة تقريبية للعدد التوافقي النوني من خلال دالة اللوغاريتم الطبيعي :143وبالتالي فإن المتسلسلة التوافقية المصاحبة تنمو بلا حدود ، وإن كان ذلك ببطء. في عام 1737 ، استخدم ليونارد أويلر تباعد المتسلسلة التوافقية لتقديم برهان جديد على لانهاية الأعداد الأولية. امتد عمله إلى المستوى المعقد بواسطة برنارد ريمان في عام 1859 ، مما أدى مباشرة إلى فرضية ريمان الشهيرة حول توزيع الأعداد الأولية .

  

من خلال مسلمة برتراند يمكن إستنتاج أن ، باستثناء الحالة *n* = 1 ، فإن الأعداد التوافقية ليست أعدادًا صحيحة أبدًا.

خصائص الأعداد التوافقية
-----------------------

من خلال تعريها ، فإن الأعداد التوافقية تستوفي العلاقة



H

n
+
1

=

H

n

+

1

n
+
1


{\displaystyle H\_{n+1}=H\_{n}+{\frac {1}{n+1}}}

{\displaystyle H_{n+1}=H_{n}+{\frac {1}{n+1}}}ترتبط الأعداد التوافقية بأعداد ستيرلنغ من النوع الأول من خلال العلاقة



H

n

=

1

n
!

[

n
+
1

2

]

{\displaystyle H\_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]}

{\displaystyle H_{n}={\frac {1}{n!}}\left[{n+1 \atop 2}\right]}الدوال التالية



f

n

(
x
)
=

x

n

n
!

(
log
⁡
x
−

H

n

)

{\displaystyle f\_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H\_{n})}

{\displaystyle f_{n}(x)={\frac {x^{n}}{n!}}(\log x-H_{n})}تستوفي الخاصية



f

n

′

(
x
)
=

f

n
−
1

(
x
)

{\displaystyle f\_{n}'(x)=f\_{n-1}(x)}

{\displaystyle f_{n}'(x)=f_{n-1}(x)}خاصه



f

1

(
x
)
=
x
(
log
⁡
x
−
1
)

{\displaystyle f\_{1}(x)=x(\log x-1)}

{\displaystyle f_{1}(x)=x(\log x-1)}هو تكامل دالة اللوغاريثم الطبيعي.

الأعداد التوافقية تحقق متطابقات المتسلسلة



∑

k
=
1

n

H

k

=
(
n
+
1
)

H

n

−
n

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}H\_{k}=(n+1)H\_{n}-n}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}=(n+1)H_{n}-n}و



∑

k
=
1

n

H

k

2

=
(
n
+
1
)

H

n

2

−
(
2
n
+
1
)

H

n

+
2
n

{\displaystyle \sum \_{k=1}^{n}H\_{k}^{2}=(n+1)H\_{n}^{2}-(2n+1)H\_{n}+2n}

{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}H_{k}^{2}=(n+1)H_{n}^{2}-(2n+1)H_{n}+2n}
### خصائص مرتبطة ب π

هناك العديد من صيغ الجمع اللانهائية التي تتضمن الأعداد توافقية و π :  



∑

n
=
1

∞


H

n

n
⋅

2

n


=

1
12

π

2

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {H\_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n\cdot 2^{n}}}={\frac {1}{12}}\pi ^{2}}

∑

n
=
1

∞


H

n

2

(
n
+
1

)

2


=

11
360

π

4

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {H\_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{(n+1)^{2}}}={\frac {11}{360}}\pi ^{4}}

∑

n
=
1

∞


H

n

2

n

2

=

17
360

π

4

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {H\_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}^{2}}{n^{2}}}={\frac {17}{360}}\pi ^{4}}

∑

n
=
1

∞


H

n

n

3

=

1
72

π

4

{\displaystyle \sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {H\_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}

{\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {H_{n}}{n^{3}}}={\frac {1}{72}}\pi ^{4}}

الحساب
------

هناك تمثيل تكاملي قدمه أويلر  هو



H

n

=

∫

0

1


1
−

x

n

1
−
x

d
x

{\displaystyle H\_{n}=\int \_{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}

{\displaystyle H_{n}=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx}الصيغة أعلاه يمكن إشتقاقها من خلال المطابقة الجبرية البسيطة



1
−

x

n

1
−
x

=
1
+
x
+
⋯
+

x

n
−
1

{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}

{\displaystyle {\frac {1-x^{n}}{1-x}}=1+x+\cdots +x^{n-1}}باستخدام التعويض *x* = 1 − *u* ، هناك تعبير آخر لـ *H**n* هو




H

n


=

∫

0

1


1
−

x

n

1
−
x

d
x
=

∫

0

1


1
−
(
1
−
u

)

n

u

d
u



=

∫

0

1

[

−

∑

k
=
1

n

(
−
1

)

k


(

n
k

)

u

k
−
1

]

d
u
=
−

∑

k
=
1

n

(
−
1

)

k


(

n
k

)

∫

0

1

u

k
−
1

d
u



=
−

∑

k
=
1

n

(
−
1

)

k

1
k


(

n
k

)



{\displaystyle {\begin{aligned}H\_{n}&=\int \_{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int \_{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int \_{0}^{1}\left[-\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int \_{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum \_{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}H_{n}&=\int _{0}^{1}{\frac {1-x^{n}}{1-x}}\,dx=\int _{0}^{1}{\frac {1-(1-u)^{n}}{u}}\,du\\[6pt]&=\int _{0}^{1}\left[-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}u^{k-1}\right]\,du=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}\int _{0}^{1}u^{k-1}\,du\\[6pt]&=-\sum _{k=1}^{n}(-1)^{k}{\frac {1}{k}}{\binom {n}{k}}\end{aligned}}}

مراجع
-----

1. ↑  Graham، Ronald L.؛ Knuth، Donald E.؛ Patashnik، Oren (1994). *Concrete Mathematics*. Addison-Wesley.
2. ↑  Sondow, Jonathan and Weisstein, Eric W. "Harmonic Number."
3. ↑  Sandifer، C. Edward (2007)، *How Euler Did It*، MAA Spectrum، Mathematical Association of America، ص. 206، ISBN:9780883855638.

  

* 
* 978-0-201-89683-1
* إد سانديفر ، *كيف فعل أويلر - تقدير مشكلة بازل* (2003)
* 
* 
* 

|  |
| --- |
| **عدد توافقي** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات