|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| حساب المثلثات |
|  |
| مفاهيم رئيسة
* التاريخ
* الاستعمالات
* الدّوال
	+ الدوال العكسية
* حساب مثلثات معممة
* حساب المثلثات الكروية
 |
| أدوات مرجعية
* المتطابقات
* القيم الدقيقة للثوابت
* الجداول
* دائرة الوحدة
 |
| قواعد وقوانين
* الجيوب
* جيوب التمام
* الظّلال
* ظلال التمام
* مبرهنة فيثاغورس
 |
| تفاضل وتكامل
* تعويضات مثلثية
* التكاملات
	+ تكاملات الدوال العكسية
* المشتقات
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

الجيوب وجيوب التمام حول دائرة الوحدة
في الرياضيات، **المتطابقات المثلثية** أو **المطابقات المثلثية** أو **المعادلات المثلثية** هي مجموعة من المساواة تتألف من دوال مثلثية. وتعتبر المتطابقات مفيدة جدًا في تبسيط أو التحويل بين الدوال الرياضية. كما أن لها دورا كبيرا في حل المعادلات الرياضية خاصة في معكوس الدالة (كصيغة كاردان) والتكامل (كتكامل مربع جيب تمام الزاوية).

هي نوع من المعادلات التي تحتوي على قيم الدوال المثلثية (جا، جتا، ظا) أو مقلوباتها بحيث تكون إحدى زوايا المعادلة مجهولة ويحل هذا النوع من المعادلات كباقي المعادلات الجبرية العادية وبطرق التحليل المعروفة.

ملاحظات
-------

* لتجنب الالتباس حول (*sin−1(*x ومثيلاتها هل هي مقاليب أم معاكيس، سيتم استخدام (*csc(*x ومثيلاتها للمقاليب و(*arcsin(*x ومثيلاتها للمعكوسات وهكذا.

| الدالة | الدالة العكسية | المقلوب | معكوس المقلوب |
| --- | --- | --- | --- |
| جيب الزاوية | sin | قوس جيب الزاوية | arcsin | قاطع تمام الزاوية | csc | قوس قاطع تمام الزاوية | arccsc |
| جيب تمام الزاوية | cos | قوس جيب تمام الزاوية | arccos | قاطع الزاوية | sec | قوس قاطع الزاوية | arcsec |
| ظل الزاوية | tan | قوس ظل الزاوية | arctan | ظل تمام الزاوية | cot | قوس ظل تمام الزاوية | arccot |

الجدول التالي يبين بعض وحدات الزوايا والتحويل بينها

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| الدرجات | 30 | 45 | 60 | 90 | 120 | 180 | 270 | 360 |
| الراديان | {\displaystyle \pi /6} | {\displaystyle \pi /4} | {\displaystyle \pi /3} | {\displaystyle \pi /2} | {\displaystyle 2\pi /3} | {\displaystyle \pi } | {\displaystyle 3\pi /2} | {\displaystyle 2\pi } |
| غراد | 33 ⅓ | 50 | 66 ⅔ | 100 | 133 ⅓ | 200 | 300 | 400 |

علاقات أساسية
-------------


|  |  |
| --- | --- |
| متطابقة فيثاغورس المثلثية | {\displaystyle \sin ^{2}\theta +\cos ^{2}\theta =1\,} |
| متطابقة النسبة | {\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sin \theta }{\cos \theta }}} |



كل دالة مثلثية بدلالة مثيلاتها الخمس الأخرى.| الدالة | {\displaystyle (\sin \theta )} | {\displaystyle (\cos \theta )} | {\displaystyle (\tan \theta )} | {\displaystyle (\csc \theta )} | {\displaystyle (\sec \theta )} | {\displaystyle (\cot \theta )} |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin \theta =} | {\displaystyle \sin \theta \ } | {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\tan \theta }{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle {\frac {1}{\csc \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}{\sec \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\ } |
| {\displaystyle \cos \theta =} | {\displaystyle \pm {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}\ } | {\displaystyle \cos \theta \ } | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}{\csc \theta }}\ } | {\displaystyle {\frac {1}{\sec \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\cot \theta }{\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}}\ } |
| {\displaystyle \tan \theta =} | {\displaystyle \pm {\frac {\sin \theta }{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}{\cos \theta }}\ } | {\displaystyle \tan \theta \ } | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\ } | {\displaystyle \pm {\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}\ } | {\displaystyle {\frac {1}{\cot \theta }}\ } |
| {\displaystyle \csc \theta =} | {\displaystyle {\frac {1}{\sin \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}{\tan \theta }}\ } | {\displaystyle \csc \theta \ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sec \theta }{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\ } | {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}\ } |
| {\displaystyle \sec \theta =} | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle {\frac {1}{\cos \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\csc \theta }{\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}}\ } | {\displaystyle \sec \theta \ } | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1+\cot ^{2}\theta }}{\cot \theta }}\ } |
| {\displaystyle \cot \theta =} | {\displaystyle \pm {\frac {\sqrt {1-\sin ^{2}\theta }}{\sin \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {\cos \theta }{\sqrt {1-\cos ^{2}\theta }}}\ } | {\displaystyle {\frac {1}{\tan \theta }}\ } | {\displaystyle \pm {\sqrt {\csc ^{2}\theta -1}}\ } | {\displaystyle \pm {\frac {1}{\sqrt {\sec ^{2}\theta -1}}}\ } | {\displaystyle \cot \theta \ } |

التطابق، والإزاحة والدورية
--------------------------

من دائرة الوحدة يمكن الحصول على المتطابقات التالية..

### التطابق

تنجم عن عملية عكس الزوايا انعكاسات في المتطابقات المثلثية كما في الجدول التالي.

| انعكاس في {\displaystyle \theta =0} | انعكاس في {\displaystyle \theta =\pi /2}(متطابقة مساعدة) | انعكاس في {\displaystyle \theta =\pi } |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(-\theta )&=-\sin \theta \\\cos(-\theta )&=+\cos \theta \\\tan(-\theta )&=-\tan \theta \\\csc(-\theta )&=-\csc \theta \\\sec(-\theta )&=+\sec \theta \\\cot(-\theta )&=-\cot \theta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\sin({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cos \theta \\\cos({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sin \theta \\\tan({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\cot \theta \\\csc({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\sec \theta \\\sec({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\csc \theta \\\cot({\tfrac {\pi }{2}}-\theta )&=+\tan \theta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\pi -\theta )&=+\sin \theta \\\cos(\pi -\theta )&=-\cos \theta \\\tan(\pi -\theta )&=-\tan \theta \\\csc(\pi -\theta )&=+\csc \theta \\\sec(\pi -\theta )&=-\sec \theta \\\cot(\pi -\theta )&=-\cot \theta \\\end{aligned}}} |

### الإزاحة والدورية

| *θ* مزاحة بمقدار π/2 | *θ* مزاحة بمقدار π | *θ* مزاحة بمقدار 2π |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\cos \theta \\\cos(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\sin \theta \\\tan(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\cot \theta \\\csc(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=+\sec \theta \\\sec(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\csc \theta \\\cot(\theta +{\tfrac {\pi }{2}})&=-\tan \theta \end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +\pi )&=-\sin \theta \\\cos(\theta +\pi )&=-\cos \theta \\\tan(\theta +\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +\pi )&=-\csc \theta \\\sec(\theta +\pi )&=-\sec \theta \\\cot(\theta +\pi )&=+\cot \theta \\\end{aligned}}} | {\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\theta +2\pi )&=+\sin \theta \\\cos(\theta +2\pi )&=+\cos \theta \\\tan(\theta +2\pi )&=+\tan \theta \\\csc(\theta +2\pi )&=+\csc \theta \\\sec(\theta +2\pi )&=+\sec \theta \\\cot(\theta +2\pi )&=+\cot \theta \end{aligned}}} |

متطابقات مجموع وفرق الزوايا
---------------------------

|  |  |
| --- | --- |
| الجيب | {\displaystyle \sin(\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \,} |
| جيب التمام | {\displaystyle \cos(\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \,} |
| الظل | {\displaystyle \tan(\alpha \pm \beta )={\frac {\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }}} |
| قوس الجيب | {\displaystyle \arcsin \alpha \pm \arcsin \beta =\arcsin(\alpha {\sqrt {1-\beta ^{2}}}\pm \beta {\sqrt {1-\alpha ^{2}}})} |
| قوس جيب التمام | {\displaystyle \arccos \alpha \pm \arccos \beta =\arccos(\alpha \beta \mp {\sqrt {(1-\alpha ^{2})(1-\beta ^{2})}})} |
| قوس الظل | {\displaystyle \arctan \alpha \pm \arctan \beta =\arctan \left({\frac {\alpha \pm \beta }{1\mp \alpha \beta }}\right)} |

### شكل المصفوفة

{\displaystyle \left[{\begin{matrix}\cos \alpha &-\sin \alpha \\\sin \alpha &\cos \alpha \end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\cos \beta &-\sin \beta \\\sin \beta &\cos \beta \end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\cos(\alpha +\beta )&-\sin(\alpha +\beta )\\\sin(\alpha +\beta )&\cos(\alpha +\beta )\end{matrix}}\right].}
### جيوب وجيوب التمام لمجاميع حدود لانهائية

{\displaystyle \sin \left(\sum \_{i=1}^{\infty }\theta \_{i}\right)=\sum \_{\mathrm {odd} \ k\geq 1}(-1)^{(k-1)/2}\sum \_{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod \_{i\in A}\sin \theta \_{i}\prod \_{i\not \in A}\cos \theta \_{i}\right)}
{\displaystyle \cos \left(\sum \_{i=1}^{\infty }\theta \_{i}\right)=\sum \_{\mathrm {even} \ k\geq 0}~(-1)^{k/2}~~\sum \_{\begin{smallmatrix}A\subseteq \{\,1,2,3,\dots \,\}\\\left|A\right|=k\end{smallmatrix}}\left(\prod \_{i\in A}\sin \theta \_{i}\prod \_{i\not \in A}\cos \theta \_{i}\right)}
### ظلال مجاميع حدود محدودة

{\displaystyle \tan(\theta \_{1}+\cdots +\theta \_{n})={\frac {e\_{1}-e\_{3}+e\_{5}-\cdots }{e\_{0}-e\_{2}+e\_{4}-\cdots }},}
مثال:

{\displaystyle {\begin{aligned}\tan(\theta \_{1}+\theta \_{2}+\theta \_{3})&{}={\frac {e\_{1}-e\_{3}}{e\_{0}-e\_{2}}}={\frac {(x\_{1}+x\_{2}+x\_{3})\ -\ (x\_{1}x\_{2}x\_{3})}{1\ -\ (x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+x\_{2}x\_{3})}},\\\\\tan(\theta \_{1}+\theta \_{2}+\theta \_{3}+\theta \_{4})&{}={\frac {e\_{1}-e\_{3}}{e\_{0}-e\_{2}+e\_{4}}}\\\\&{}={\frac {(x\_{1}+x\_{2}+x\_{3}+x\_{4})\ -\ (x\_{1}x\_{2}x\_{3}+x\_{1}x\_{2}x\_{4}+x\_{1}x\_{3}x\_{4}+x\_{2}x\_{3}x\_{4})}{1\ -\ (x\_{1}x\_{2}+x\_{1}x\_{3}+x\_{1}x\_{4}+x\_{2}x\_{3}+x\_{2}x\_{4}+x\_{3}x\_{4})\ +\ (x\_{1}x\_{2}x\_{3}x\_{4})}},\end{aligned}}}
وهكذا

### قواطع مجاميع حدود محدودة

{\displaystyle \sec(\theta \_{1}+\cdots +\theta \_{n})={\frac {\sec \theta \_{1}\cdots \sec \theta \_{n}}{e\_{0}-e\_{2}+e\_{4}-\cdots }}}
مثلا,

{\displaystyle \sec(\alpha +\beta +\gamma )={\frac {\sec \alpha \sec \beta \sec \gamma }{1-\tan \alpha \tan \beta -\tan \alpha \tan \gamma -\tan \beta \tan \gamma }}.}

صيغ الزوايا المتعددة
--------------------

|  |  |
| --- | --- |
| *Tn* هو متعدد الحدود لشيبيشيف من الدرجة *n* | {\displaystyle \cos n\theta =T\_{n}(\cos \theta )\,}   |
| صيغة دي موافر، {\displaystyle i} هي وحدة تخيلية | {\displaystyle \cos n\theta +i\sin n\theta =(\cos(\theta )+i\sin(\theta ))^{n}\,}     |

{\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left(\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right)}{\sin(x/2)}}.}
### صيغ أضعاف وثلاثيات وأنصاف الزوايا

**أنظر أيضا:** صيغة فايرشتراس 

#### صيغ ضعف زاوية

{\displaystyle \sin(2\theta )=2\sin \theta \cos \theta ={\frac {2\tan \theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \cos(2\theta )=\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta =2\cos ^{2}\theta -1=1-2\sin ^{2}\theta ={\frac {1-\tan ^{2}\theta }{1+\tan ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \tan(2\theta )={\frac {2\tan \theta }{1-\tan ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \cot(2\theta )={\frac {\cot ^{2}\theta -1}{2\cot \theta }}}
{\displaystyle \sec(2\theta )={\frac {\sec ^{2}\theta }{2-\sec ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \csc(2\theta )={\frac {\sec \theta \csc \theta }{2}}}
#### صيغ ثلاثة أضعاف زاوية

{\displaystyle \sin(3\theta )=3\sin \theta -4\sin ^{3}\theta =4\sin \theta \sin({\frac {\pi }{3}}-\theta )\sin({\frac {\pi }{3}}+\theta )}
{\displaystyle \cos(3\theta )=4\cos ^{3}\theta -3\cos \theta =4\cos \theta \cos({\frac {\pi }{3}}-\theta )\cos({\frac {\pi }{3}}+\theta )}
{\displaystyle \tan(3\theta )={\frac {3\tan \theta -\tan ^{3}\theta }{1-3\tan ^{2}\theta }}=\tan \theta \tan({\frac {\pi }{3}}-\theta )\tan({\frac {\pi }{3}}+\theta )}
{\displaystyle \cot(3\theta )={\frac {3\cot \theta -\cot ^{3}\theta }{1-3\cot ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \sec(3\theta )={\frac {\sec ^{3}\theta }{4-3\sec ^{2}\theta }}}
{\displaystyle \csc(3\theta )={\frac {\csc ^{3}\theta }{3\csc ^{2}\theta -4}}}
#### صيغ نصف زاوية

{\displaystyle {\begin{aligned}&\sin {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(2\pi -\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{2}}}\\\end{aligned}}}
حيث {\displaystyle \operatorname {sgn} x=\pm 1} و {\displaystyle \lfloor f(x)\rfloor } هي دالة الجزء الصحيح.

{\displaystyle \sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1-\cos \theta }{2}}}
{\displaystyle \cos {\frac {\theta }{2}}=\operatorname {sgn} \left(\pi +\theta +4\pi \left\lfloor {\frac {\pi -\theta }{4\pi }}\right\rfloor \right){\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{2}}}}
{\displaystyle \cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1+\cos \theta }{2}}}
{\displaystyle {\begin{aligned}\tan {\frac {\theta }{2}}&=\csc \theta -\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1-\cos \theta }{1+\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1+\cos \theta }}\\&={\frac {1-\cos \theta }{\sin \theta }}={\frac {-1\pm {\sqrt {1+\tan ^{2}\theta }}}{\tan \theta }}={\frac {\tan \theta }{1+\sec {\theta }}}\end{aligned}}}
{\displaystyle \cot {\frac {\theta }{2}}=\csc \theta +\cot \theta =\pm \,{\sqrt {\frac {1+\cos \theta }{1-\cos \theta }}}={\frac {\sin \theta }{1-\cos \theta }}={\frac {1+\cos \theta }{\sin \theta }}}

أيضا: {\displaystyle \tan {\frac {\eta +\theta }{2}}={\frac {\sin \eta +\sin \theta }{\cos \eta +\cos \theta }}}

{\displaystyle \tan \left({\frac {\theta }{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)=\sec \theta +\tan \theta }
{\displaystyle {\sqrt {\frac {1-\sin \theta }{1+\sin \theta }}}={\frac {|1-\tan {\frac {\theta }{2}}|}{|1+\tan {\frac {\theta }{2}}|}}}
### جيوب، جيوب التمام، وظلال زوايا متعددة

{\displaystyle \sin n\theta =\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\sin \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
{\displaystyle \cos n\theta =\sum \_{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}\cos ^{k}\theta \,\sin ^{n-k}\theta \,\cos \left({\frac {1}{2}}(n-k)\pi \right)}
{\displaystyle \tan \,(n{+}1)\theta ={\frac {\tan n\theta +\tan \theta }{1-\tan n\theta \,\tan \theta }}.}
{\displaystyle \cot \,(n{+}1)\theta ={\frac {\cot n\theta \,\cot \theta -1}{\cot n\theta +\cot \theta }}.}
### ظل المتوسط

{\displaystyle \tan \left({\frac {\alpha +\beta }{2}}\right)={\frac {\sin \alpha +\sin \beta }{\cos \alpha +\cos \beta }}=-\,{\frac {\cos \alpha -\cos \beta }{\sin \alpha -\sin \beta }}}
### جداء Viète اللانهائي

{\displaystyle \cos \left({\theta \over 2}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 4}\right)\cdot \cos \left({\theta \over 8}\right)\cdots =\prod \_{n=1}^{\infty }\cos \left({\theta \over 2^{n}}\right)={\sin(\theta ) \over \theta }=\operatorname {sinc} \,\theta .}
حيث تشير sinc إلى دالة الجيب الجوهري
وهي تكافئ
{\displaystyle \operatorname {sinc} (x)={\frac {\sin(x)}{x}}}

صيغ اختصار الأس
---------------

| جيب | جيب التمام | أخرى |
| --- | --- | --- |
| {\displaystyle \sin ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 2\theta }{2}}} | {\displaystyle \cos ^{2}\theta ={\frac {1+\cos 2\theta }{2}}} | {\displaystyle \sin ^{2}\theta \cos ^{2}\theta ={\frac {1-\cos 4\theta }{8}}} |
| {\displaystyle \sin ^{3}\theta ={\frac {3\sin \theta -\sin 3\theta }{4}}} | {\displaystyle \cos ^{3}\theta ={\frac {3\cos \theta +\cos 3\theta }{4}}} | {\displaystyle \sin ^{3}\theta \cos ^{3}\theta ={\frac {3\sin 2\theta -\sin 6\theta }{32}}} |
| {\displaystyle \sin ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} | {\displaystyle \cos ^{4}\theta ={\frac {3+4\cos 2\theta +\cos 4\theta }{8}}} | {\displaystyle \sin ^{4}\theta \cos ^{4}\theta ={\frac {3-4\cos 4\theta +\cos 8\theta }{128}}} |
| {\displaystyle \sin ^{5}\theta ={\frac {10\sin \theta -5\sin 3\theta +\sin 5\theta }{16}}} | {\displaystyle \cos ^{5}\theta ={\frac {10\cos \theta +5\cos 3\theta +\cos 5\theta }{16}}} | {\displaystyle \sin ^{5}\theta \cos ^{5}\theta ={\frac {10\sin 2\theta -5\sin 6\theta +\sin 10\theta }{512}}} |

|  | جيب التمام | جيب |
| --- | --- | --- |
| إذا كان n فردي | {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum \_{k=0}^{\frac {n-1}{2}}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} | {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {2}{2^{n}}}\sum \_{k=0}^{\frac {n-1}{2}}(-1)^{({\frac {n-1}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\sin {((n-2k)\theta )}} |
| إذا كان n زوجي | {\displaystyle \cos ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum \_{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} | {\displaystyle \sin ^{n}\theta ={\frac {1}{2^{n}}}{\binom {n}{\frac {n}{2}}}+{\frac {2}{2^{n}}}\sum \_{k=0}^{{\frac {n}{2}}-1}(-1)^{({\frac {n}{2}}-k)}{\binom {n}{k}}\cos {((n-2k)\theta )}} |
|

متطابقات تحويل المجموع إلى الجداء والعكس
----------------------------------------

|  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |  |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 

| من الجداء إلى المجموع |
| --- |
| {\displaystyle \cos \theta \cos \varphi ={\cos(\theta -\varphi )+\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} |
| {\displaystyle \sin \theta \sin \varphi ={\cos(\theta -\varphi )-\cos(\theta +\varphi ) \over 2}} |
| {\displaystyle \sin \theta \cos \varphi ={\sin(\theta +\varphi )+\sin(\theta -\varphi ) \over 2}} |
| {\displaystyle \cos \theta \sin \varphi ={\sin(\theta +\varphi )-\sin(\theta -\varphi ) \over 2}} |

 | 

| من المجموع/الفرق إلى الجداء |
| --- |
| {\displaystyle \sin \theta \pm \sin \varphi =2\sin \left({\frac {\theta \pm \varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta \mp \varphi }{2}}\right)} |
| {\displaystyle \cos \theta +\cos \varphi =2\cos \left({\frac {\theta +\varphi }{2}}\right)\cos \left({\frac {\theta -\varphi }{2}}\right)} |
| {\displaystyle \cos \theta -\cos \varphi =-2\sin \left({\theta +\varphi \over 2}\right)\sin \left({\theta -\varphi \over 2}\right)} |

 |

### متطابقات أخرى ذات صلة

إذا كانت {\displaystyle x+y+z=\pi } تساوي نصف دائرة، فإن:
{\displaystyle \tan(x)+\tan(y)+\tan(z)=\tan(x)\tan(y)\tan(z)}
و {\displaystyle \sin(2x)+\sin(2y)+\sin(2z)=4\sin(x)\sin(y)\sin(z)}
### مبرهنة بطليموس

المقالة الرئيسية: مبرهنة بطليموس
إذا كانت {\displaystyle w+x+y+z=\pi } تساوي نصف دائرة، فإن:
{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(w+x)\sin(x+y)&=\sin(x+y)\sin(y+z)\\&{}=\sin(y+z)\sin(z+w)\\&{}=\sin(z+w)\sin(w+x)=\sin(w)\sin(y)+\sin(x)\sin(z).\end{aligned}}}

مركبات خطية
-----------

{\displaystyle a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cdot \sin(x+\varphi )\,}
حيث:{\displaystyle \varphi ={\begin{cases}\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi -\arcsin \left({\frac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}\right)&{\text{if }}a<0,\end{cases}}}

أو:{\displaystyle \varphi =\arctan \left({\frac {b}{a}}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a\geq 0,\\\pi &{\text{if }}a<0.\end{cases}}}

{\displaystyle a\sin x+b\sin(x+\alpha )=c\sin(x+\beta )\,}
حيث:{\displaystyle c={\sqrt {a^{2}+b^{2}+2ab\cos \alpha }},\,}

و:{\displaystyle \beta =\arctan \left({\frac {b\sin \alpha }{a+b\cos \alpha }}\right)+{\begin{cases}0&{\text{if }}a+b\cos \alpha \geq 0,\\\pi &{\text{if }}a+b\cos \alpha <0.\end{cases}}}

مجاميع أخرى للدوال المثلثية
---------------------------

{\displaystyle \sin {\varphi }+\sin {(\varphi +\alpha )}+\sin {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\sin {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \sin {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}
{\displaystyle \cos {\varphi }+\cos {(\varphi +\alpha )}+\cos {(\varphi +2\alpha )}+\cdots +\cos {(\varphi +n\alpha )}={\frac {\sin {\left({\frac {(n+1)\alpha }{2}}\right)}\cdot \cos {(\varphi +{\frac {n\alpha }{2}})}}{\sin {\frac {\alpha }{2}}}}.}
{\displaystyle a\cos(x)+b\sin(x)={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\cos(x-\operatorname {atan2} \,(b,a))\;}
{\displaystyle \tan(x)+\sec(x)=\tan \left({x \over 2}+{\pi \over 4}\right).}
{\displaystyle \cot(x)\cot(y)+\cot(y)\cot(z)+\cot(z)\cot(x)=1.\,}

تحويلات كسرية خطية معينة
------------------------

{\displaystyle f(x)={\frac {(\cos \alpha )x-\sin \alpha }{(\sin \alpha )x+\cos \alpha }},}
وبالمثل: {\displaystyle g(x)={\frac {(\cos \beta )x-\sin \beta }{(\sin \beta )x+\cos \beta }},}

وعليه: {\displaystyle f(g(x))=g(f(x))={\frac {(\cos(\alpha +\beta ))x-\sin(\alpha +\beta )}{(\sin(\alpha +\beta ))x+\cos(\alpha +\beta )}}.}

{\displaystyle f\_{\alpha }\circ f\_{\beta }=f\_{\alpha +\beta }.\,}

الدوال المثلثية العكسية
-----------------------

{\displaystyle \arcsin(x)+\arccos(x)=\pi /2\;}
{\displaystyle \arctan(x)+\operatorname {arccot}(x)=\pi /2.\;}
{\displaystyle \arctan(x)+\arctan(1/x)=\left\{{\begin{matrix}\pi /2,&{\mbox{if }}x>0\\-\pi /2,&{\mbox{if }}x<0\end{matrix}}\right.}
### مركبات الدوال المثلثية ومعكوساتها

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin[\arccos(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,} | {\displaystyle \tan[\arcsin(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |
| {\displaystyle \sin[\arctan(x)]={\frac {x}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \tan[\arccos(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} |
| {\displaystyle \cos[\arctan(x)]={\frac {1}{\sqrt {1+x^{2}}}}} | {\displaystyle \cot[\arcsin(x)]={\frac {\sqrt {1-x^{2}}}{x}}} |
| {\displaystyle \cos[\arcsin(x)]={\sqrt {1-x^{2}}}\,} | {\displaystyle \cot[\arccos(x)]={\frac {x}{\sqrt {1-x^{2}}}}} |

علاقة بالأس المركب
------------------

{\displaystyle e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)\,} (صيغة أويلر),
{\displaystyle e^{-ix}=\cos(-x)+i\sin(-x)=\cos(x)-i\sin(x)\,}
{\displaystyle e^{i\pi }=-1\,}
{\displaystyle \cos(x)={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}\;}
{\displaystyle \sin(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}\;}
{\displaystyle \tan(x)={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{i({e^{ix}+e^{-ix}})}}\;={\frac {\sin(x)}{\cos(x)}}}
حيث {\displaystyle i^{2}=-1}.

صيغ الجداء اللانهائي
--------------------

|  |  |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin x=x\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
{\displaystyle \sinh x=x\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}n^{2}}}\right)}
{\displaystyle {\frac {\sin x}{x}}=\prod \_{n=1}^{\infty }\cos \left({\frac {x}{2^{n}}}\right)} | {\displaystyle \cos x=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)}
{\displaystyle \cosh x=\prod \_{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {x^{2}}{\pi ^{2}(n-{\frac {1}{2}})^{2}}}\right)} |

المتطابقات الخالية من المتغيرات
-------------------------------

{\displaystyle \cos 20^{\circ }\cdot \cos 40^{\circ }\cdot \cos 80^{\circ }={\frac {1}{8}}}
{\displaystyle \prod \_{j=0}^{k-1}\cos(2^{j}x)={\frac {\sin(2^{k}x)}{2^{k}\sin(x)}}.}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{7}}\cos {\frac {2\pi }{7}}\cos {\frac {3\pi }{7}}={\frac {1}{8}},}
{\displaystyle \sin 20^{\circ }\cdot \sin 40^{\circ }\cdot \sin 80^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{8}}.}
{\displaystyle \cos 24^{\circ }+\cos 48^{\circ }+\cos 96^{\circ }+\cos 168^{\circ }={\frac {1}{2}}.}
{\displaystyle \cos \left({\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(2\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(4\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)}
{\displaystyle \,+\,\cos \left(5\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(8\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)\,+\,\cos \left(10\cdot {\frac {2\pi }{21}}\right)={\frac {1}{2}}.}
### حساب π

{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}}
{\displaystyle {\frac {\pi }{4}}=5\arctan {\frac {1}{7}}+2\arctan {\frac {3}{79}}.}
### بعض قيم الجيب وجيب التمام مفيدة لتقوية الذاكرة

{\displaystyle {\begin{matrix}\sin 0&=&\sin 0^{\circ }&=&{\sqrt {0}}/2&=&\cos 90^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{2}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{6}}\right)&=&\sin 30^{\circ }&=&{\sqrt {1}}/2&=&\cos 60^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{3}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{4}}\right)&=&\sin 45^{\circ }&=&{\sqrt {2}}/2&=&\cos 45^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{4}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{3}}\right)&=&\sin 60^{\circ }&=&{\sqrt {3}}/2&=&\cos 30^{\circ }&=&\cos \left({\frac {\pi }{6}}\right)\\\\\sin \left({\frac {\pi }{2}}\right)&=&\sin 90^{\circ }&=&{\sqrt {4}}/2&=&\cos 0^{\circ }&=&\cos 0\end{matrix}}}
### قيم أخرى شيقة

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{7}}={\frac {\sqrt {7}}{6}}-{\frac {\sqrt {7}}{189}}\sum \_{j=0}^{\infty }{\frac {(3j+1)!}{189^{j}j!\,(2j+2)!}}\!}
{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{18}}={\frac {1}{6}}\sum \_{j=0}^{\infty }{\frac {(3j)!}{27^{j}j!\,(2j+1)!}}\!}
بـالنسبة الذهبية φ:

{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{5}}\right)=\cos 36^{\circ }={{\sqrt {5}}+1 \over 4}=\varphi /2}
{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{10}}\right)=\sin 18^{\circ }={{\sqrt {5}}-1 \over 4}={\varphi -1 \over 2}={1 \over 2\varphi }}

التفاضل والتكامل
----------------

في حساب التفاضل والتكامل، تتطلب العلاقات المذكورة أدناه قياس الزوايا بالتقدير الدائري (راديان)؛ ستصبح العلاقات أكثر تعقيدًا إذا تم قياس الزوايا
بوحدة أخرى مثل الدرجات. إذا كانت الدوال المثلثية معرفة بدلالة الهندسة، إلى جانب تعريفات طول القوس والمساحة ، يمكن إيجاد مشتقاتها من خلال التحقق من نهايتين. الأولى هي:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {\sin x}{x}}=1,}
محققة باستخدام دائرة الوحدة ومبرهنة الساندويتش. النهاية الثانية هي:

{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow 0}{\frac {1-\cos x}{x}}=0}
محققة باستخدام هذه المتطابقة tan *x*/2 = 1 − cos *x*/sin *x*. بعد تحديد هتين النهايتين، يمكن للمرء استخدام تعريف النهاية للمشتقات ومبرهنات الجمع لإظهار أن (sin *x*)′ = cos *x* و (cos *x*)′ = −sin *x*. إذا كانت دالتي الجيب وجيب التمام معرفة بمتسلسلة تايلور الخاصة بهم، فيمكن إيجاد المشتقات عن طريق اشتقاق متسلسلة القوى حدًا بحد.

{\displaystyle {\frac {d}{dx}}\sin x=\cos x}
يمكن اشتقاق باقي الدوال المثلثية باستخدام المتطابقات أعلاه وقواعد التفاضل:

{\displaystyle {\begin{aligned}{d \over dx}\sin x&=\cos x,&{d \over dx}\arcsin x&={1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\cos x&=-\sin x,&{d \over dx}\arccos x&={-1 \over {\sqrt {1-x^{2}}}}\\\\{d \over dx}\tan x&=\sec ^{2}x,&{d \over dx}\arctan x&={1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\cot x&=-\csc ^{2}x,&{d \over dx}\operatorname {arccot} x&={-1 \over 1+x^{2}}\\\\{d \over dx}\sec x&=\tan x\sec x,&{d \over dx}\operatorname {arcsec} x&={1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\\\\{d \over dx}\csc x&=-\csc x\cot x,&{d \over dx}\operatorname {arccsc} x&={-1 \over |x|{\sqrt {x^{2}-1}}}\end{aligned}}\ }
يمكن إيجاد المتطابقات التكاملية في قائمة تكاملات الدوال المثلثية. بعض الأشكال العامة مسرودة أدناه:

{\displaystyle \int {\frac {du}{\sqrt {a^{2}-u^{2}}}}=\sin ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{a^{2}+u^{2}}}={\frac {1}{a}}\tan ^{-1}\left({\frac {u}{a}}\right)+C}
{\displaystyle \int {\frac {du}{u{\sqrt {u^{2}-a^{2}}}}}={\frac {1}{a}}\sec ^{-1}\left|{\frac {u}{a}}\right|+C}

تعاريف أسية
-----------

| الدالة | الدالة المعكوسة |
| --- | --- |
| {\displaystyle \sin \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{2i}}\,} | {\displaystyle \arcsin x=-i\ln \left(ix+{\sqrt {1-x^{2}}}\right)\,} |
| {\displaystyle \cos \theta ={\frac {e^{i\theta }+e^{-i\theta }}{2}}\,} | {\displaystyle \arccos x=-i\ln \left(x+{\sqrt {x^{2}-1}}\right)\,} |
| {\displaystyle \tan \theta ={\frac {e^{i\theta }-e^{-i\theta }}{i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}}\,} | {\displaystyle \arctan x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {i+x}{i-x}}\right)\,} |
| {\displaystyle \csc \theta ={\frac {2i}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} | {\displaystyle \operatorname {arccsc} x=-i\ln \left({\tfrac {i}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {1}{x^{2}}}}}\right)\,} |
| {\displaystyle \sec \theta ={\frac {2}{e^{i\theta }+e^{-i\theta }}}\,} | {\displaystyle \operatorname {arcsec} x=-i\ln \left({\tfrac {1}{x}}+{\sqrt {1-{\tfrac {i}{x^{2}}}}}\right)\,} |
| {\displaystyle \cot \theta ={\frac {i(e^{i\theta }+e^{-i\theta })}{e^{i\theta }-e^{-i\theta }}}\,} | {\displaystyle \operatorname {arccot} x={\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {x-i}{x+i}}\right)\,} |
|  |  |
| {\displaystyle \operatorname {cis} \,\theta =e^{i\theta }\,} | {\displaystyle \operatorname {arccis} \,x={\frac {\ln x}{i}}\,} |

متفرقات
-------

### نواة ديراك

{\displaystyle 1+2\cos(x)+2\cos(2x)+2\cos(3x)+\cdots +2\cos(nx)={\frac {\sin \left[\left(n+{\frac {1}{2}}\right)x\right\rbrack }{\sin \left({\frac {x}{2}}\right)}}.}
### تعويض ظل نصف الزاوية

إذا وضعنا {\displaystyle t=\tan \left({\frac {x}{2}}\right)} :

{\displaystyle \sin(x)={\frac {2t}{1+t^{2}}}} و {\displaystyle \cos(x)={\frac {1-t^{2}}{1+t^{2}}}} و {\displaystyle e^{ix}={\frac {1+it}{1-it}}} .

انظر أيضًا
----------

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: قائمة المتطابقات المثلثية |

* إثبات المتطابقات المثلثية

مراجع
-----

1. ↑  ملخصات ايزي شوم
2. ↑  Abramowitz and Stegun, p. 72, 4.3.20–22
3. ↑  إيريك ويستاين، *Half-Angle Formulas*، ماثوورلد Mathworld *(باللغة الإنكليزية*).

| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المتطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات