رسم تخطيطي يوضح متوازيات الأضلاع المتداخلة المرتبطة بزوج من المتجهات
في الجبر الخطي، **قاعدة كرامر** (بالإنجليزية: Cramer's rule)‏ هي مبرهنة تعطي حلحلة لنظام معادلات خطية (أو ما قد يدعى *جملة المعادلات الخطية*) بدلالة المحددات.
سميت هذه القاعدة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات السويسري غابرييل كرامر (1704-1752)م.
حسابيا تعتبر هذه الطريقة غير فعالة جدا لذلك فهي نادرة الاستخدام سيما في التطبيقات التي تتضمن العديد من المعادلات. ولذلك تستخدم طريقة غاوس عادة في حل جمل المعادلات المتعددة بدلا من قاعدة كرامر.

الحالة العامة
-------------

ليكن نظاما من n معادلة خطية عدد مجاهيله n، مُثل باستعمال المصوففات كما يلي:

{\displaystyle Ax=b}
حيت A مصفوفة مربعة بُعدها هو *n* × *n* وحيث محددها غير مساو للصفر وحيث المتجهة {\displaystyle x=(x\_{1},\ldots ,x\_{n})^{\mathrm {T} }} هي المتجهة المعبرة عن متغيرات هذا النظام. تنص قاعدة كرامر على هذا النظام يقبل حلحلة وحيدة تعطي لكل متغير من متغيراته القيمة التالية:

{\displaystyle x\_{i}={\frac {\det(A\_{i})}{\det(A)}}\qquad i=1,\ldots ,n}
حيث المصفوفة {\displaystyle A\_{i}} حُصل عليها بتعويض العمود i من المصفوفة A بالمتجهة b.

البرهان
-------

{\displaystyle {\begin{matrix}a\_{11}x\_{1}+a\_{12}x\_{2}+\cdots +a\_{1n}x\_{n}&=&b\_{1}\\a\_{21}x\_{1}+a\_{22}x\_{2}+\cdots +a\_{2n}x\_{n}&=&b\_{2}\\\vdots &\vdots &\vdots \\a\_{n1}x\_{1}+a\_{n2}x\_{2}+\cdots +a\_{nn}x\_{n}&=&b\_{n}.\end{matrix}}}
{\displaystyle x\_{j}={\frac {L\_{(j)}\cdot \mathbf {b} }{\det(A)}}.}
{\displaystyle {\frac {1}{\det(A)}}M=A^{-1}}

مثال
----

ليكن نظام المعادلات الخطية التالي، مكونا من ثلاث معادلات:

{\displaystyle -2x+2y-3z=2}
{\displaystyle -x+y+3z=1}
{\displaystyle 2x-z=-1}
مصفوفة المعاملات هي كما يلي:

{\displaystyle A={\begin{bmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{bmatrix}}}
أما الجانب الأيمن من هذه المعالات الثلات، فقد يمثل بالمتجهة التالية

{\displaystyle b={\begin{bmatrix}2\\1\\-1\end{bmatrix}}}
نظام المعادلات الثلاث أعلاه قد يكتب إذن كما يلي:

{\displaystyle AX=b}
حيث

{\displaystyle X={\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}}
من أجل حساب قيمة x أو y أو z، ينبغي حساب محدد المصفوفة A. يتم هذا الحساب كما يلي رجوعا إلى صيغة لابلاص:

{\displaystyle det(A)={\begin{vmatrix}-2&2&-3\\-1&1&3\\2&0&-1\end{vmatrix}}=-2{\begin{vmatrix}1&3\\0&-1\end{vmatrix}}-2{\begin{vmatrix}-1&3\\2&-1\end{vmatrix}}+-3{\begin{vmatrix}-1&1\\2&0\end{vmatrix}}}
إذن

{\displaystyle det(A)=18}
من أجل حساب قيمة x، يحصل على المصفوفة التالية (بتعويض العمود الأول بالمتجهة b):

{\displaystyle A\_{x}={\begin{bmatrix}2&2&-3\\1&1&3\\-1&0&-1\end{bmatrix}}}
ينبغي حساب محدد {\displaystyle A\_{x}} كما يلي: {\displaystyle det(A\_{x})=-9}

{\displaystyle x={\frac {\det(A\_{x})}{\det(A)}}=-9/18=-1/2}
بنفس الطريقة تحسب y و z.

ايجاد المصفوفة العكسية
----------------------

المقالة الرئيسية: مصفوفة قابلة للعكس § طرق عكس مصفوفة
لتكن مصفوفة A بُعداها هما *n* × *n*.

{\displaystyle A\,\operatorname {adj} A=(\operatorname {adj} A)\,A=\operatorname {det} (A)I}
حيث {\displaystyle \operatorname {adj} A} يشير إلى المصفوفة المصاحبة لهذه المصفوفة وحيث {\displaystyle \operatorname {det} (A)} هو محددها و*I* هي مصفوفة الوحدة.

إذا كان محدد المصفوفة A غير مساو للصفر، فإنها قابلة للعكس ومعكوستها تُحسب كما يلي:

{\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\operatorname {det} (A)}}\operatorname {adj} (A).}

انظر أيضا
---------

* مصفوفة

مراجع
-----

1. ↑  Hedman، Bruce A. (1999). "An Earlier Date for "Cramer's Rule"" (PDF). *Historia Mathematica*. ج. 26 ع. 4: 365–368. DOI:10.1006/hmat.1999.2247. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2018-07-21.
2. ↑  David Poole (2014). *Linear Algebra: A Modern Introduction*. Cengage Learning. ص. 276. ISBN:978-1-285-98283-0.
3. ↑  Levi-Civita، Tullio (1926). *The Absolute Differential Calculus (Calculus of Tensors)*. Dover. ص. 111–112. ISBN:9780486634012. `{{استشهاد بكتاب}}`: يحتوي الاستشهاد على وسيط غير معروف وفارغ: `|بواسطة=` (مساعدة)

وصلات خارجية
------------

| * ع
* ن
* ت
مواضيع الجبر الخطي |
| --- |
| **معادلة خطية** | نظام المعادلات الخطية-محدد>(محدد مقتصر-صيغة كوشي-بينيه-قاعدة كرامر-حذف غاوس-جوردان )-خوارزمية شتراسن |
| **مصفوفات** | نظرية المصفوفة - جمع المصفوفات - ضرب المصفوفات - مصفوفة التحويلِ الأساسية-متعددة حدود مميزة- أثر - مبرهنة كايلي-هاميلتون - قيمة خاصة ، شعاع خاص - شكل جوردان الطبيعي - رتبة - مصفوفة معكوسة ، مصفوفة قابلة للعكس > مقلوب كاذب -مصفوفة مصاحبة-تحويل رياضي > ( الجداء نقطة -مصفوفة متماثلة-مصفوفة متعامدة- مصفوفة متماثلة منحرفة - نقل مترافق - مصفوفة الوحدة - مصفوفة هيرميتية، ضد هيرميتي )

- معرف إيجابي، نصف معرف إيجابي ، مصفوفة إيجابية معرفة- بفافي مصفوفة -تقدير

-مصفوفة قطرية، قطر رئيسي > مصفوفة قطورة - مصفوفة Tridiagonal - مصفوفة هيسينبرغ - مصفوفة مثلثية - نظرية طيفية - مصفوفة قياسية-مصفوفة تويبليتز - مصفوفة هانكل - مصفوفة فانديرموند-مصفوفة كتلوية-مصفوفة متناثرة - مصفوفة دفع - هوية مصفوفة وودبوري - مبرهنة بيرون-فروبانيوس |
| **تفكيك مصفوفة** | تفكيك تشوليسكي-تفكيك لو-تفكيك كيو آر-نظرية طيفية-تفكيك قيمة مفرد-تفكيك شور>تكملة شور |
| **حسابات** | تحويل هاوسهولدر-طريقة مجموع المربعات الدنيا-عملية غرام شميت |
| **متجهات** | ضرب قياسي-تركيب خطي-مدى خطي-استقلال خطي-أساس خطي-شعاع تنسيقي |
| **فضاء شعاعي** | أمثلة الفراغات الشعاعية-تحويل خطي> تحويل غاليلي، تحويل لورينتز-فضاء عمود-فضاء صف-فضاء ملغي ، بطلان- نظرية بطلان غريزة النموِ- فضاء ثنائي > دالة خطية- تعامد - متمم متعامد - إسقاط متعامد - دوران غير صحيح - فضاء جزئي |
| **جبر متعدد الخطية** | تينسور > ( معالجة كلاسيكية للتينسورات - معالجة متوسطة للتينسور - معالجة خالية من التنسورات ) - موتر >(جبر خارجي-جبر متماثل ) |
| **فضاء تآلفي** | تحويل أفيني-زمرة أفينية-هندسة تآلفية |
| **فضاء إسقاطي** | تحويل إسقاطي-هندسة إسقاطية-سطح الدرجة الثانية |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة جبر

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: قاعدة كرامر |