في الرياضيات، **التكاملات المثلثية** (بالإنجليزية: Trigonometric integrals)‏ هي إحدى عائلات التكامل التي تطبق على الدوال المثلثية. هناك عدد من التكاملات المثلثية الرئيسية تمت مناقشتها في قائمة تكاملات الدوال المثلثية.

تكامل الجيب
-----------

رسم بياني لتكامل الجيب **Si(x)** عندما يكون 0 ≤ *x* ≤ 8π.
هناك تعريفين مختلفين لتكامل الجيب و هما:

{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\int \_{0}^{x}{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
{\displaystyle {\rm {si}}(x)=-\int \_{x}^{\infty }{\frac {\sin t}{t}}\,dt}
حيث {\displaystyle {\rm {Si}}(x)} هو أصل {\displaystyle \sin x/x} و التي تكون صفراً عندما {\displaystyle x=0}; و {\displaystyle {\rm {si}}(x)} هو أصل {\displaystyle \sin x/x} و التي تكون صفراً عندما {\displaystyle x=\infty }. يكون لدينا:

{\displaystyle {\rm {si}}(x)={\rm {Si}}(x)-{\frac {\pi }{2}}}
لاحظ بأن {\displaystyle {\frac {\sin t}{t}}} هي دالة الجيب الجوهري (Sinc function) و هي أيضاً دالة بيسيل الكروية الرقم صفر.

عندما يكون {\displaystyle x=\infty }, فأنه يُعرف باسم تكامل ديريكليه .

في معالجة الإشارة، تسبب الاهتزازات الناتجة من التكامل الجيبي بعض تجاوزات الحد و المصنوعات الرنينية  (Ringing artifacts) عند استعمال مرشح جيبي جوهري  (Sinc filter)، وتسبب رنين مجال التردد إذا تم استعمال مرشح جيبي جوهري منقوص مثل مرشح الترددات المنخفضة (low-pass filter).

إن ظاهرة غيبس  (Gibbs phenomenon) هي ظاهرة لها علاقة بهذا الموضوع: فعند اعتبار دالة الجيب الجوهرية مرشحاً للترددات المنخفضة، فأنها توازي النقص الحادث في متسلسلة فورييه، مما يؤدي إلى ظاهرة غيبس.

تكامل جيب التمام
----------------

رسم بياني لتكامل جيب التمام **Si(x)** عندما يكون 0 ≤ *x* ≤ 8π.
هناك تعاريف مختلفة لتكامل جيب التمام وهي:

{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\int \_{0}^{x}{\frac {\cos t-1}{t}}\,dt}
{\displaystyle {\rm {ci}}(x)=-\int \_{x}^{\infty }{\frac {\cos t}{t}}\,dt}
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\int \_{0}^{x}{\frac {1-\cos t}{t}}\,dt}
حيث {\displaystyle {\rm {ci}}(x)} هو أصل {\displaystyle \cos x/x} و التي تكون صفراً عندما {\displaystyle x=\infty }. يكون لدينا:

{\displaystyle {\rm {ci}}(x)={\rm {Ci}}(x)\,}
{\displaystyle {\rm {Cin}}(x)=\gamma +\ln x-{\rm {Ci}}(x)\,}

تكامل الجيب الزائدي
-------------------

يعرّف تكامل الجيب الزائدي كالتالي:

{\displaystyle {\rm {Shi}}(x)=\int \_{0}^{x}{\frac {\sinh t}{t}}\,dt={\rm {shi}}(x).}

تكامل جيب التمام الزائدي
------------------------

يعرّف تكامل جيب التمام الزائدي كالتالي:

{\displaystyle {\rm {Chi}}(x)=\gamma +\ln x+\int \_{0}^{x}{\frac {\cosh t-1}{t}}\,dt={\rm {chi}}(x)}
حيث أن \gamma  هو ثابتة أويلر-ماسكيروني.

لولب نيلسن
----------

رسم مجسم نيلسن اللولبي
في الرياضيات, **لولب نيلسن** (بالإنجليزية: Nielsen's spiral)‏, و يسمى أيضاً ب**اللولب المتحصل عليه عن طريق مكاملة الجيب وجيب التمام** (بالإنجليزية: sici spiral)‏، هو لولب معادلاته الوسيطية:

{\displaystyle x=a\,{\mbox{ci}}\,t\,}
{\displaystyle y=a\,{\mbox{si}}\,t\,}
حيث يكون "ci" هو تكامل جيب التمام و "si" هو تكامل الجيب.

هذا الرسم جدير بالذكر ذلك لأن انحنائها تتزايد بنسبة ثابنة بمقدار طولها.

تفكيك
-----

هناك العديد من طرق التفكيك يمكن استخامها لتقدير التكاملات المثلثية, و ذلك يعتمد على مدى المتغير.

### سلسلة تقاربية (لمتغير كبير)

{\displaystyle {\rm {Si}}(x)={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\cos x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\sin x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)={\frac {\sin x}{x}}\left(1-{\frac {2!}{x^{2}}}+...\right)-{\frac {\cos x}{x}}\left({\frac {1}{x}}-{\frac {3!}{x^{3}}}+...\right)}
هذه السلاسل متباعدة, على الرغم من أنه يمكن أن تُستعمل لتخمين أو حتى لأختيار القيم بشكل دقيق عندما يكون {\displaystyle ~{\rm {Re}}(x)\gg 1~}.

### متسلسلات التقارب

{\displaystyle {\rm {Si}}(x)=\sum \_{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!\cdot 3}}+{\frac {x^{5}}{5!\cdot 5}}-{\frac {x^{7}}{7!\cdot 7}}\pm \cdots }
{\displaystyle {\rm {Ci}}(x)=\gamma +\ln x+\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}}=\gamma +\ln x-{\frac {x^{2}}{2!\cdot 2}}+{\frac {x^{4}}{4!\cdot 4}}\mp \cdots }
هذه السلاسل متقاربة عند جميع قيم {\displaystyle ~x~} المعقدة, على الرغم من أنه إذا كان {\displaystyle |x|\gg 1} يكون إيجاد القيم بطيئاً للغاية و مع ذلك فأنها ليست دقيقة, و ذلك في جميع الأحوال.

العلاقة مع التكامل الأسي للمتغير العقدي
---------------------------------------

تُسمى الدالة {\displaystyle {\rm {E}}\_{1}(z)=\int \_{1}^{\infty }{\frac {\exp(-zt)}{t}}{\rm {d}}t\qquad ({\rm {Re}}(z)\geq 0)} بالتكامل الأسي. لهذه الدالة علاقة وثيقة بتكاملات الجيب و جيب التمام:

{\displaystyle {\rm {E}}\_{1}({\rm {i}}\!~x)=i\left(-{\frac {\pi }{2}}+{\rm {Si}}(x)\right)-{\rm {Ci}}(x)=i~{\rm {si}}(x)-{\rm {ci}}(x)\qquad (x>0)}
بما أن كل دالة متضمنة في هذه المعادلة هي دالة تحليلية عدا المقطع التي يكون فيها قيم المتغير سالبة,
ينبغي على مساحة صحة العلاقة أن تُوسع إلى {\displaystyle {\rm {Re}}(x)>0}.
(من هذا المدى, يمكن أن تظهر الحدود التي تكون عبارة عن عوامل صحيحية للعدد {\displaystyle \pi } في هذه العبارة الجبرية).

انظر أيضًا
----------

* تكامل أسي Exponential integral
* دالة التكامل اللوغاريتمي Logarithmic integral function

| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي