في نظرية الأعداد، **دوال أوميغا الأولية** {\displaystyle \omega (n)} و {\displaystyle \Omega (n)} (بالإنجليزية: Prime omega functions)‏ تقومان بحساب عدد العوامل الأولية لعدد طبيعي {\displaystyle .n} تقوم {\displaystyle \omega (n)} (أوميغا الصغيرة) بحساب كل *عامل أولي مميز* ، في حين أن الدالة {\displaystyle \Omega (n)} (أوميغا كبيرة) تحسب *العدد الإجمالي* للعوامل الأولية لـ n.

يمكن للمرئ أن يلاحظ أن هاتان الدالتان هما دالتان ضربيتان (انظر دالة الحسابية). على سبيل المثال، إذا كان لدينا تعميل أولي لـ n على النحو التالي {\displaystyle n=p\_{1}^{\alpha \_{1}}p\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots p\_{k}^{\alpha \_{k}}} بحيث{\displaystyle p\_{i}} هو عدد أولي ({\displaystyle 1\leq i\leq k})، فيتم إعطاء دوال أوميغا الأولية بواسطة {\displaystyle \omega (n)=k} و {\displaystyle \Omega (n)=\alpha \_{1}+\alpha \_{2}+\cdots +\alpha \_{k}}. تملك دوال عدّ العوامل الأولية هذه أهمية كبيرة في مبرهنات وعلاقات نظرية الأعداد

خصائص وعلاقات
-------------

{\displaystyle \omega (n)} هي دالة جمعية و {\displaystyle \Omega (n)} هي جمعية بالكامل، نُعرف {\displaystyle \omega (n)} كالآتي:

> {\displaystyle \omega (n)=\sum \_{p\mid n}1}
> 
> 

إذا كان p يقسم n مرة واحدة على الأقل نحسبه مرة واحدة فقط، على سبيل المثال {\displaystyle \omega (12)=\omega (2^{2}3)=2}. أما بالنسبة ل {\displaystyle \Omega (n)} فتُعرّف كالآتي:

> {\displaystyle \Omega (n)=\sum \_{p^{\alpha }\mid \mid n}\alpha }
> 
> 

إذا كان p يقسم n عدد \alpha  من مرات فنحسب القوى، على سبيل المثال {\displaystyle \Omega (12)=\Omega (2^{2}3^{1})=3}. لاحظ أنه {\displaystyle \Omega (n)\geq \omega (n)}.

إذا كان {\displaystyle \Omega (n)=\omega (n)} فإن n هو مربع حر ويعبر عنه باستعمال دالة موبيوس كالآتي: 

> {\displaystyle \mu (n)=(-1)^{\omega (n)}=(-1)^{\Omega (n)}}
> 
> 

إذا كان {\displaystyle \Omega (n)=1} فإن n عدد أولي.

من المعروف أن متوسط ترتيب دالة القواسم يستوفي المتفاوتة {\displaystyle 2^{\omega (n)}\leq d(n)\leq 2^{\Omega (n)}} .

مثل العديد من الدوال الحسابية ، لا توجد صيغة دقيقة ل {\displaystyle \Omega (n)} أو {\displaystyle \omega (n)} لكن هناك تقديرات تقريبية.

يمكن التعبير عن متوسط ترتيب {\displaystyle \omega (n)} بالمتسلسة الآتية 

> {\displaystyle {\frac {1}{n}}\sum \limits \_{k=1}^{n}\omega (k)\sim \log \log n+B\_{1}+\sum \_{k\geq 1}\left(\sum \_{j=0}^{k-1}{\frac {\gamma \_{j}}{j!}}-1\right){\frac {(k-1)!}{(\log n)^{k}}}}
> 
> 

بحيث {\displaystyle B\_{1}\approx 0.26149721} هو ثابت ميرتنز و {\displaystyle \gamma \_{j}} هي ثوابت ستيلتجيس.

الدالة {\displaystyle \omega (n)} لها علاقة وثيقة مع دالة موبيوس ودالة القواسم، نذكر من هذه العلاقات 

> {\displaystyle \sum \_{d\mid n}|\mu (d)|=2^{\omega (n)}}
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{d\mid n}|\mu (d)|k^{\omega (d)}=(k+1)^{\omega (n)}}
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{r\mid n}2^{\omega (r)}=d(n^{2})}
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{r\mid n}2^{\omega (r)}d\left({\frac {n}{r}}\right)=d^{2}(n)}
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{d\mid n}(-1)^{\omega (d)}=\prod \limits \_{p^{\alpha }||n}(1-\alpha )}{\displaystyle \sum \_{\stackrel {1\leq k\leq m}{(k,m)=1}}\gcd(k^{2}-1,m\_{1})\gcd(k^{2}-1,m\_{2})=\varphi (n)\sum \_{\stackrel {d\_{1}\mid m\_{1}}{d\_{2}\mid m\_{2}}}\varphi (\gcd(d\_{1},d\_{2}))2^{\omega (\operatorname {lcm} (d\_{1},d\_{2}))},\ m\_{1},m\_{2}{\text{ odd}},m=\operatorname {lcm} (m\_{1},m\_{2})}
> 
> 
> {\displaystyle \sum \_{\stackrel {1\leq k\leq n}{\operatorname {gcd} (k,m)=1}}\!\!\!\!1=n{\frac {\varphi (m)}{m}}+O\left(2^{\omega (m)}\right)}
> 
>

الإمتداد للمستوى العقدي
-----------------------

تم العثور على استمرار ل {\displaystyle \omega (n)} ، على الرغم من أنها ليست تحليلية في كل مكان.

> {\displaystyle \omega (z)=\log \_{2}\left(\sum \_{x=1}^{\lceil Re(z)\rceil }\operatorname {sinc} \left(\prod \_{y=1}^{\lceil Re(z)\rceil +1}\left(x^{2}+x-yz\right)\right)\right)}
> 
>

انظر أيضا
---------

* دالة جمعية
* دالة حسابية

مراجع
-----

1. ↑  This inequality is given in Section 22.13 of Hardy and Wright.
2. ↑  S. R. Finch, Two asymptotic series, Mathematical Constants II, Cambridge Univ. Press, pp. 21-32,
3. ↑  Each of these started from the second identity in the list are cited individually on the pages دالة حسابية، دالة حسابية, and مؤشر أويلر. The first identity is a combination of two known divisor sums cited in Section 27.6 of the NIST Handbook of Mathematical Functions. نسخة محفوظة 2021-04-26 على موقع واي باك مشين.
4. ↑  Eyvindur Palsson، Zachary Hoelscher. "Counting Restricted Partitions of Integers Into Fractions: Symmetry and Modes of the Generating Function and a Connection to ω(t)". *PUMP*. مؤرشف من الأصل في 2021-01-22.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد