الإحداثيات الديكارتية.
في الرياضيات الكلاسيكية، **الهندسة التحليلية** (بالإنجليزية: Analytic geometry)‏ وتدعى أيضاً الهندسة الإحداثية أو التنسيقية وسابقاً الهندسة الديكارتية، هي فرع المعرفة الرياضية الذي يدرس الهندسة باستعمال نظام الإحداثيات ومبادئ الجبر والتحليل الرياضي. تُستَّعمل الهندسة التحليلية بشكل واسع في الفيزياء والهندسة التطبيقية كما تمثل الأساس الذي بُني عليه باقي مجالات الهندسة كالهندسة الجبرية والهندسة التفاضلية والهندسة المتقطعة والهندسة الحاسوبية.

تهتم الهندسة التحليلية بالمواضيع ذاتها التي تهتم بها الهندسة التقليدية، غير أنها تتيح طرقاً أيسر لبرهان العديد من النظريات وتلعب دوراً مهما في حساب المثلثات وحساب التفاضل والتكامل، وتهتم أيضاً بدراسة الخواص الهندسية للأشكال باستخدام الوسائل الجبرية. عادة تستخدم جمل إحداثيات ديكارتية لوصف نقاط الفراغ بدلالة أعداد هي الإحداثيات ثم يتم إيجاد المعادلة الجبرية التي تصف الدائرة أوالقطع الناقص أوالقطع المكافيء أو غيرها.

التاريخ
-------

### اليونان القديمة

حلحل عالم الرياضيات اليوناني مينايخموس معضلات وبرهن على مبرهنات باستعمال طرقا تملك الكثير من الشبه مع نظام الإحداثيات وقد قيل في بعض الإحيان أنه هو من ابتكر الهندسة التحليلية.

### الفرس

في القرن الحادي عشر الميلادي، رأى عالم الرياضيات الفارسي عمر الخيام علاقة قوية بين الجبر والهندسة، متجهاً نحو الاتجاه الصحيح حينما ساعد على سد الفراغ الموجود بين الجبر العددي والجبر الهندسي من خلال حلحلته الهندسية للمعادلات التكعيبية العامة، ولكن الخطوة النهائية أتت فيما بعد مع ديكارت.

### أوروبا الغربية

عادة ما تنسب الهندسة التحليلية إلى ديكارت الذي حقق تطورات مهمة نشرها في عمل له عنوانه الهندسة. كتب هذا العمل باللغة الفرنسية ونُشر عام 1637. ولكن بيير دي فيرما كان أيضا من السباقين في تطور الهندسة التحليلية.

*الهندسة الديكارتية* هي تسمية محتملة للهندسة التحليلية. سميت هكذا نسبة إلى ديكارت.

الإحداثيات
----------

المقالة الرئيسة: نظام إحداثي
تمثيل لنظام إحداثي ديكارتي مستو. بُينت أربع نقاط مع إحداثياتهن على صورة (س،ص): (3,2) باللون الأخضر، (−1,3) باللون الأحمر، (−1.5,−2.5) باللون الأزرق، وأصل المَعلم (0,0) باللون البنفسجي.
في الهندسة التحليلية، يزود المستوى بنظام إحداثيات، حيث تمتلك كل نقطة زوجا إحداثيات يعبر عنها بأعداد حقيقية.

### الإحداثيات الديكارتية (في المستوى أو في الفضاء)

أكثر نظم الإحداثيات استعمالا وانتشارا هو نظام الإحداثيات الديكارتي، وفيه يتم تمثيل كل نقطة بزوج مرتب من الإحادثيات يُرمز له بالرمز: (س، ص) أو بالإنجليزية (من اليسار إلى اليمين): {\displaystyle (x,y)}. حيث تمثل (س) الإحداثي الأفقي، وتمثل (ص) الإحداثي الرأسي. ويمكن توسيع ذلك عند الحديث عن الفراغ الثلاثي الأبعاد أو ما يُعرف بالفضاء الإقليدي حيث نستخدم الإحداثي الثالث (ع) أو {\displaystyle (z)} ليتم التعبير عن النقطة على صورة: (س، ص، ع) أو بالإنجليزية: {\displaystyle (x,y,z)}.

يتم تمثيل كل نقطة في المستوي ببعدها عن مستقيمين متعامدين يلتقيان في نقطة تسمى نقطة الأصل (0، 0). يسمي المستقيمان المتعامدان محوري الإحداثيات. المحور الأفقي هو المحور السيني (س) أو محور {\displaystyle (x)} أو محور الأفاصيل، والمحور الرأسي هو المحو الصادي (ص) أو محور {\displaystyle (y)} أو محور الأراتيب.
يحدد موقع النقاط في المستوي بإعطائها إحداثيين على خطي الأعداد على صورة (س، ص) أو بالإنجليزية {\displaystyle (x,y)}.

ويسمي x الإحداثي السيني وهو يحدد موقع النقطة بالنسبة لمحور السينات بينما يحدد {\displaystyle y} الإحداثي الصادي موقع النقطة بالنسبة لمحور الصادات ويكتب هذان الإحداثيان على صورة زوج مرتب {\displaystyle (x,y)}.

* ترتبط كل نقطة في المستوي بزوج مرتب وحيد من الأعداد {\displaystyle (x,y)} وأيضا كل زوج مرتب يرتبط بنقطة واحدة وواحدة فقط في المستوي.
* محوري الإحداثيات يقسمان المستوي الإحداثي إلى أربعة أجزاء :
	+ الربع الأول: وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرطين:{\displaystyle (x>0,y>0)}.
	+ الربع الثاني: وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرطين:{\displaystyle (x<0,y>0)}.
	+ الربع الثالث: وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرطين:{\displaystyle (x<0,y<0)}.
	+ الربع الرابع: وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرطين:{\displaystyle (x>0,y<0)}.

كذلك يمكن وصف المحور السيني والمحور الصادي كمجموعة من النقاط كالتالي :

* المحور السيني : وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرط:(y = 0).
* المحور الصادي: وفيه كل نقطة {\displaystyle (x,y)} تحقق الشرط:(x = 0).

### الإحداثيات القطبية (في المستوى)

المقالة الرئيسة: نظام إحداثي قطبي
في نظام الإحداثيات القطبية، تمثَّل كل نقطة في المستوى الإقليدي بالمسافة *r* التي تفصلها عن أصل المعلم وبالزاوية *θ* علما أن هذه الزاوية تُقاس ابتداءا من محور الأفاصيل، من الجهة الموجبة (أي جهة اليمين)، وفي عكس عقارب الساعة. باستعمال هاتين القاعدتين، تمثَّل نقط المستوى بزوج مرتب (*r*, *θ*). المرور من نظام إحداثيات ديكارتي إلى نظام إحداثيات قطبي وعكس ذلك مُمكنان باستعمال الصيغ التالية:

{\displaystyle x=r\,cos\theta ,\,y=r\,sin\theta ;\,r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}},\,\theta =\arctan(y/x)} .
يعمم هذا النظام إلى الفضاء ثلاثي الأبعاد باستعمال نظام إحداثي أسطواني أو نظام إحداثي كروي.

### الإحداثيات الأسطوانية (في الفضاء)

المقالة الرئيسة: نظام إحداثي أسطواني
في النظام الإحداثي الأسطواني، كل نقطة في الفضاء ممثلة بارتفاعها z، وبشعاعها r المبتعدة به عن المحور z، وبالزاوية *θ*، التي يكونها إسقاط النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفقيين (أي محوري الأفاصيل والأراتوب).

### الإحداثيات الكروية (في الفضاء)

المقالة الرئيسة: نظام إحداثي كروي
في النظام الإحداثي الكروي، كل نقطة في الفضاء ممثلة بالمسافة التي تفصلها عن أصل المعلم، وبالزاوية التي يكونها إسقاط هذه النقطة على المستوى xy نسبة إلى المحورين الأفققين وبالزاوية التي تكونها هذه النقطة نسبة إلى محور الارتفاعات z.

معادلات المنحنيات
-----------------

في الهندسة التحليلية، أي معادلة تمثل مجموعة جزئية من المستوى تسمى مجموعة الحل لهذه المعادلة. على سبيل المثال، المعادلة {\displaystyle y=x} تمثل مجموعة كل النقط في مستوى {\displaystyle xy} التي تكون قيمة إحداثي x تساوي قيمة إحداثي {\displaystyle y}. وهذه النقط تكون خطا مستقيما، وتسمى الصيغة {\displaystyle y=x} بأنها معادلة هذا الخط. وبصورة عامة فإن المعادلات الخطية تمثل خطوطا، والمعادلة التربيعية تمثل قطعا مخروطيا بينما المعادلات ذات الدرجات الأعلى تمثل منحنيات أكثر تعقيدا. فالمعادلة {\displaystyle r^{2}=x^{2}+y^{2}} تمثل دائرة نصف قطرها r.

وعادة، المعادلة الواحدة يمثلها منحنى في المستوى. ولكن لهذه القاعدة بعض الاستثناءات، فمثلا المعادلة: {\displaystyle x=x} تمثل كل المستوى، بينما المعادلة {\displaystyle x^{2}+y^{2}=0} فتمثل نقطة واحدة هي {\displaystyle (0,0)}.

في الفراغ الثلاثي نجد أن المعادلة عادة ما تمثل سطحا، ويكون المنحنى هو تقاطع سطحين معا.

### المسافة والزاوية

الصيغة التي تعطي المسافة بن نقطتين في المستوى تنبثق من مبرهنة فيثاغورس.
لتكن {\displaystyle [AB]} قطعة مستقيمة حيث {\displaystyle A=(x\_{a},y\_{a})} و {\displaystyle B=(x\_{b},y\_{b})} معرفتين في المستوى. المسافة بين النقطتين A و {\displaystyle B}هي :

{\displaystyle AB={\sqrt {(x\_{b}-x\_{a})^{2}+(y\_{b}-y\_{a})^{2}}}\!}
وفي الشكل المجاور تكون المسافة {\displaystyle [d]} بين النقطتين {\displaystyle (x\_{1},y\_{1})} و {\displaystyle (x\_{2},y\_{2})} تعطى بالقانون:

{\displaystyle d={\sqrt {(x\_{2}-x\_{1})^{2}+(y\_{2}-y\_{1})^{2}}}\!}
تقوم الهندسة التحليلية بوصف الأشكال الهندسية بطريقة جبرية عددية، واستخراج معلومات رقمية من تمثيلات هندسية.
مثال الشكل الجبري للدائرة هي : {\displaystyle (x-2)^{2}+(y-2)^{2}=25} حيث نصف قطر الدائرة هنا هو 5 الذي حصلنا عليه من جذر الطرف الآخر من المعادلة.

بعض القوانين في الهندسة التحيلية
--------------------------------

### إحداثيا نقطة منتصف قطعة مستقيمة

إحداثيا نقطة المنتصف لقطعة مستقيمة AB هي :

{\displaystyle [(x1+x2)/2,(y1+y2)/2]}

### ميل الخط المستقيم

ميل الخط المستقيم هو ظل الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم. ويساوي التغير في الاحداثيات الصادية إلى التغير في الاحداثيات السينية.

المستقيم الذي يمر بالنقطتين (x1،y1) و (x2،y2) ميله هو:

م= (y2-y1)/(x2-x1) حيث x1 لا تساوي x2.

م= ظاهـ، حيث هـ هي الزاوية المحصورة بين محور السينات الموجب والمستقيم.

المستقيم الذي يوازي محور الصادات ميله غير محدد، والمستقيم الذي يوازي محور السينات ميله يساوي صفرا.

الهندسة التحليلية المعاصرة
--------------------------

المقالات الرئيسة: هندسة جبرية وهندسة عقدية

مراجع
-----

1. ↑  الدوسري، هلا خلف مترک (1 سبتمبر 2020). "تنمية التفکير الإبداعي في الهندسة التحليلية". *مجلة القراءة والمعرفة*. ج. 20 ع. 1: 249–278. DOI:10.21608/mrk.2020.137166. ISSN:2735-3273.
2. ↑  "معلومات عن هندسة تحليلية على موقع d-nb.info". d-nb.info. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
3. ↑  "معلومات عن هندسة تحليلية على موقع id.loc.gov". id.loc.gov. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
4. ↑  "معلومات عن هندسة تحليلية على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.

انظر أيضا
---------

* معادلة خطية
* فضاء متجهي
* ضرب اتجاهي
* هندسة جبرية

| * ع
* ن
* ت
فروع الرياضيات |
| --- |
| 
* تاريخ
* مخطط
* قائمة الرموز

 |
| أسس الرياضيات | 
* نظرية الفئة
* نظرية المعلومات
* منطق رياضي
* فلسفة الرياضيات
* نظرية المجموعات
* نظرية النمط

 |
| الجبر | 
* جبر مجرد
* جبر تبادلي
* جبر ابتدائي
* نظرية الزمر
* جبر خطي
* جبر متعدد الخطية
* جبر شامل
* جبر تماثلي

 |
| التحليل الرياضي | 
* تفاضل وتكامل
* تحليل حقيقي
* تحليل عقدي
* تحليل فوق عقدي
* معادلة تفاضلية
* تحليل دالي
* تحليل توافقي
* نظرية القياس

 |
| الرياضيات المتقطعة | 
* تركيبات
* نظرية البيان
* نظرية الترتيب

 |
| الهندسة الرياضية | 
* هندسة جبرية
* هندسة تحليلية
* هندسة حسابية
* هندسة تفاضلية
* هندسة متقطعة
* هندسة إقليدية
* هندسة منتهية

 |
| نظرية الأعداد | 
* حسابيات
* نظرية الأعداد الجبرية
* نظرية الأعداد التحليلية
* هندسة ديفونتية

 |
| الطوبولوجيا | 
* طوبولوجيا عامة
* طوبولوجيا جبرية
* طوبولوجيا تفاضلية
* طوبولوجيا هندسية
* نظرية التجانس

 |
| الرياضيات التطبيقية | 
* رياضيات هندسية
* علم الأحياء الرياضي
* كيمياء رياضية
* اقتصاد رياضي
* رياضيات مالية
* فيزياء رياضية
* علم النفس الحسابي
* علم الاجتماع الرياضي
* إحصاء رياضي
* نظرية الاحتمال
* إحصاء
* علم الأنظمة
	+ نظرية التحكم
	+ نظرية الألعاب
	+ بحوث العمليات

 |
| الرياضيات المحوسبة | 
* علم الحاسوب
* نظرية الحوسبة
* نظرية التعقيد الحسابي
* تحليل عددي
* استمثال
* حساب رمزي

 |
| مواضيع ذات صلة | 
* عالم رياضيات
* رياضيات غير رسمية
* رياضيات مسلية
* الرياضيات والفن
* تعليم الرياضيات

 |
| 
* **تصنيف**
* **بوابة**
* **كومنز**
* **ويكي مشروع**

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية

| * ع
* ن
* ت
مواضيع في هندسة رياضية |
| --- |
| فروع الهندسة | 
* هندسة رياضية
* هندسة إقليدية
* هندسة فراغية
* هندسة متعددة الأبعاد
* هندسة لاإقليدية
* هندسة تحليلية

 |

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: هندسة تحليلية |



| ضبط استنادي عدلها في ويكي بيانات |
| --- |
| وطنية | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة لاتفيا الوطنية (LNB)
* مكتبة البرلمان القومي الياباني (NDL)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |
| أخرى | 
* موسوعة أوكرانيا الحديثة (ESU)

 |

|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| الهندسة الرياضية |
|  |
| * اللمحة العامة
* التاريخ
 |
| الفروع
* إقليدية
* لاإقليدية
	+ إهليلجية
		- كروية
	+ زائدية
* لاأرخميدية
* إسقاطية
* نسبية
* تركيبية
* تحليلية
* جبرية
	+ حسابية
	+ ديوفانتية
* تفاضلية
	+ ريمانية
	+ هندسة تماسكية
* عقدية
* منتهية
* متقطعة
	+ رياضية رقمية
* محدبة
* رياضية حاسوبية
* وقعية
 |
| * المبادئ
* الخواص

* بعد

* الإنشاء بالمسطرة والفرجار

* زاوية
* منحنى
* ضلع قطري
* تعامد رياضي
	+ (تعامد هندسي)
* تواز
* رأس

* تطابق
* تشابه
* تناظر
 |
| صفري الأبعاد
* نقطة
 |
| وحيد البعد
* الطول
* مستقيم
	+ قطعة مستقيمة
 |
| المُسطَّحات
* مستو
* مساحة
* مضلع

المثلثات
* مثلث
	+ الارتفاع
	+ الوتر
* مبرهنة فيثاغورس

متوازيات الأضلاع
* متوازي أضلاع
* مربع
* مستطيل
* معين
* شبه معين

رباعيات الأضلاع
* رباعي أضلاع
* شبه منحرف
* طائرة ورقية

المنحنيات
* دائرة
	+ القطر
	+ المحيط
	+ المساحة
* قطع ناقص
 |
| المُجسَّمات
* حجم
* مكعب
	+ متوازي مستطيلات
* أسطوانة
* هرم
* كرة
 |
| ما فوق البعد الثالث
* مكعب رباعي الأبعاد
* كرة نونية الأبعاد
 |
| 
علماء الهندسة |
| وفق الاسم
* أيدا
* أريابهاتا
* أحمس
* ابن الهيثم
* أبلونيوس
* أرخميدس
* عطية
* بولياي
* براهماغوبتا
* كارتن
* كوكستر
* ديكارت
* إقليدس
* أويلر
* غاوس
* غروموف
* هيلبرت
* جيهاديفا
* كاتيايانا
* الخيَّام
* كلاين
* لوباتشيفسكي
* مانافا
* مينكوفسكي
* مينغاتو
* باسكال
* فيثاغورس
* باراميشفارا
* بوانكاريه
* برنارد ريمان
* سكابي
* السجزي
* الطوسي
* فيبلين
* فيراسينا
* يانغ هوي
* ابن الياسمين
* زانج
* **قائمة علماء الهندسة**
 |
| وفق الحقبة
قبل الميلاد
* أحمس
* مانافا
* فيثاغورس
* إقليدس
* أرخميدس
* أبلونيوس

1–1400م
* زانج
* كاتيايانا
* أريابهاتا
* براهماغوبتا
* فيراسينا
* ابن الهيثم
* السجزي
* الخيَّام
* ابن الياسمين
* الطوسي
* يانغ هوي
* باراميشفارا

1400–1700م
* جيهاديفا
* ديكارت
* باسكال
* مينغاتو
* أويلر
* سكابي
* أيدا

1700–1900م
* غاوس
* لوباتشيفسكي
* بولياي
* برنارد ريمان
* كلاين
* بوانكاريه
* هيلبرت
* مينكوفسكي
* كارتن
* فيبلين
* كوكستر

معاصرون
* عطية
* غروموف
 |
| شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |
| * ع
* ن
* ت
 |