الافتراض في نظرية الاحتمالات المعروف باسم **قانون التوقع الكلي** ،  **قانون التوقعات المتكررة**  ( **LIE** ) ، **وقانون آدم** ،  **قاعدة البرج** ،  **ونظرية التنعيم** ،  من بين أسماء أخرى ، تنص على أنه إذا {\displaystyle X} هو متغير عشوائي قيمته المتوقعة {\displaystyle \operatorname {E} (X)} يتم تعريفه و {\displaystyle Y} هو أي متغير عشوائي على نفس فضاء احتمالي ، إذن

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\operatorname {E} (\operatorname {E} (X\mid Y)),}
على سبيل المثال ، القيمة المتوقعة للقيمة المتوقعة المشروطة لـ {\displaystyle X} معطى {\displaystyle Y} هي نفس القيمة المتوقعة لـ {\displaystyle X} .

حالة خاصة واحدة تنص على أنه إذا {\displaystyle {\left\{A\_{i}\right\}}\_{i}} هو قسم منتهي أو معدود من فضاء العينة ، إذن

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum \_{i}{\operatorname {E} (X\mid A\_{i})\operatorname {P} (A\_{i})}.}
ملاحظة: القيمة المتوقعة المشروطة E ( *X* | *Z* ) هي متغير عشوائي تعتمد قيمته على قيمة *Z.* لاحظ أن القيمة المتوقعة المشروطة لـ *X* بالنظر إلى *الحدث* *Z* = *z* هي دالة لـ *z*. إذا كتبنا E ( *X* | *Z* = *z* ) = *g* ( *z* ) فإن المتغير العشوائي E ( *X* | *Z* ) هو *g* ( *Z* ). تنطبق تعليقات مماثلة على التغاير الشرطي.

مثال
----

لنفترض أن هناك مصنعين فقط يزودان السوق بمصابيح كهربائية. مصنع {\displaystyle X} تعمل المصابيح لمدة 5000 ساعة في المتوسط ، في حين أن المصنع {\displaystyle Y} تعمل المصابيح لمدة 4000 ساعة في المتوسط. من المعروف أن المصنع {\displaystyle X} تزود 60٪ من إجمالي المصابيح المتاحة. ما هي المدة المتوقعة التي ستعمل فيها لمبة تم شراؤها؟

بتطبيق قانون التوقع الكلي ، لدينا:

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (L)&=\operatorname {E} (L\mid X)\operatorname {P} (X)+\operatorname {E} (L\mid Y)\operatorname {P} (Y)\\[3pt]&=5000(0.6)+4000(0.4)\\[2pt]&=4600\end{aligned}}}
بحيث أن:

* {\displaystyle \operatorname {E} (L)} هي العمر المتوقع للمصباح ؛
* {\displaystyle \operatorname {P} (X)={6 \over 10}} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع {\displaystyle X} ؛
* {\displaystyle \operatorname {P} (Y)={4 \over 10}} هو احتمال أن يكون المصباح الذي تم شراؤه قد تم تصنيعه بواسطة المصنع {\displaystyle Y} ؛
* {\displaystyle \operatorname {E} (L\mid X)=5000} هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة {\displaystyle X} ؛
* {\displaystyle \operatorname {E} (L\mid Y)=4000} هو العمر المتوقع للمصباح المصنوع بواسطة {\displaystyle Y} .

وبالتالي فإن عمر كل مصباح كهربائي يتم شراؤه يبلغ 4600 ساعة.

الإثبات في الحالات المنتهية والمعدودة
-------------------------------------

دع المتغيرات العشوائية {\displaystyle X} و {\displaystyle Y} ، المعرفة على نفس فضاء الاحتمال ، تفترض مجموعة منتهية أو لا حصر لها من القيم المنتهية. افترض أن {\displaystyle \operatorname {E} [X]} يتم تعريفه ، أي {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X\_{+}],\operatorname {E} [X\_{-}])<\infty }. إذا {\displaystyle \{A\_{i}\}} هو قسم من فضاء الاحتمال {\displaystyle \Omega } ، ومن بعد

{\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum \_{i}{\operatorname {E} (X\mid A\_{i})\operatorname {P} (A\_{i})}.}
**برهان - إثبات.**

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} \left(\operatorname {E} (X\mid Y)\right)&=\operatorname {E} {\Bigg [}\sum \_{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y){\Bigg ]}\\[6pt]&=\sum \_{y}{\Bigg [}\sum \_{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x\mid Y=y){\Bigg ]}\cdot \operatorname {P} (Y=y)\\[6pt]&=\sum \_{y}\sum \_{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y).\end{aligned}}}
إذا كانت السلسلة منتهية ، فيمكننا تبديل التجميعات ، وسيصبح التعبير السابق

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \_{x}\sum \_{y}x\cdot \operatorname {P} (X=x,Y=y)&=\sum \_{x}x\sum \_{y}\operatorname {P} (X=x,Y=y)\\[6pt]&=\sum \_{x}x\cdot \operatorname {P} (X=x)\\[6pt]&=\operatorname {E} (X).\end{aligned}}}
من ناحية أخرى ، إذا كانت السلسلة لا نهائية ، فلا يمكن أن يكون تقاربها مشروطًا ، نظرًا لافتراض أن {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X\_{+}],\operatorname {E} [X\_{-}])<\infty .} السلسلة تتقارب تمامًا إذا كان كلاهما {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{+}]} و {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{-}]} منتهية ، وتتباعد إلى ما لا نهاية عند أي منهما {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{+}]} أو {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{-}]} لانهائية. في كلا السيناريوهين ، يمكن تبادل الملخصات أعلاه دون التأثير على المجموع.

يترك {\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\operatorname {P} )} تكون فضاء احتمالية يكون فيها جبران فرعيان {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1}\subseteq {\mathcal {G}}\_{2}\subseteq {\mathcal {F}}} يتم تعريفها. لمتغير عشوائي {\displaystyle X} في مثل هذه الفضاء ، ينص قانون التنعيم على أنه إذا {\displaystyle \operatorname {E} [X]} يتم تعريفه ، أي {\displaystyle \min(\operatorname {E} [X\_{+}],\operatorname {E} [X\_{-}])<\infty } ، ومن بعد

{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{2}]\mid {\mathcal {G}}\_{1}]=\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{1}]\quad {\text{(a.s.)}}.}
**إثبات**. نظرًا لأن التوقع المشروط هو أحد مشتقات Radon-Nikodym ، فإن التحقق من الخواص التالية يؤسس قانون التسوية:

* {\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{2}]\mid {\mathcal {G}}\_{1}]{\mbox{ is }}{\mathcal {G}}\_{1}} - قابل للقياس
* {\displaystyle \int \_{G\_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{2}]\mid {\mathcal {G}}\_{1}]d\operatorname {P} =\int \_{G\_{1}}Xd\operatorname {P} ,} للجميع {\displaystyle G\_{1}\in {\mathcal {G}}\_{1}.}

أول هذه الخصائص تحمل من خلال تعريف التوقع الشرطي. لإثبات الثانية ،

{\displaystyle {\begin{aligned}\min \left(\int \_{G\_{1}}X\_{+}\,d\operatorname {P} ,\int \_{G\_{1}}X\_{-}\,d\operatorname {P} \right)&\leq \min \left(\int \_{\Omega }X\_{+}\,d\operatorname {P} ,\int \_{\Omega }X\_{-}\,d\operatorname {P} \right)\\[4pt]&=\min(\operatorname {E} [X\_{+}],\operatorname {E} [X\_{-}])<\infty ,\end{aligned}}}
لذلك لا يتجزأ {\displaystyle \textstyle \int \_{G\_{1}}X\,d\operatorname {P} } تم تعريفه (لا يساوي {\displaystyle \infty -\infty } ).

وهكذا فإن الخاصية الثانية قائمة منذ ذلك الحين {\displaystyle G\_{1}\in {\mathcal {G}}\_{1}\subseteq {\mathcal {G}}\_{2}} يدل

{\displaystyle \int \_{G\_{1}}\operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{2}]\mid {\mathcal {G}}\_{1}]d\operatorname {P} =\int \_{G\_{1}}\operatorname {E} [X\mid {\mathcal {G}}\_{2}]d\operatorname {P} =\int \_{G\_{1}}Xd\operatorname {P} .}
**اللازمة - النتيجة.** في حالة خاصة عندما {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{1}=\{\emptyset ,\Omega \}} و {\displaystyle {\mathcal {G}}\_{2}=\sigma (Y)} ، فإن قانون التجانس يخفض إلى

{\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}
**برهان بديل ل {\displaystyle \operatorname {E} [\operatorname {E} [X\mid Y]]=\operatorname {E} [X].}**

هذه نتيجة بسيطة لتعريف القياس النظري للتوقع المشروط. حسب التعريف، {\displaystyle \operatorname {E} [X\mid Y]:=\operatorname {E} [X\mid \sigma (Y)]} هو {\displaystyle \sigma (Y)} - متغير عشوائي قابل للقياس يرضي

{\displaystyle \int \_{A}\operatorname {E} [X\mid Y]d\operatorname {P} =\int \_{A}Xd\operatorname {P} ,}
لكل مجموعة قابلة للقياس {\displaystyle A\in \sigma (Y)}. مع الأخذ {\displaystyle A=\Omega } يثبت المطالبة.

إثبات صيغة التقسيم
------------------

{\displaystyle {\begin{aligned}\sum \limits \_{i}\operatorname {E} (X\mid A\_{i})\operatorname {P} (A\_{i})&=\sum \limits \_{i}\int \limits \_{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \mid A\_{i})\cdot \operatorname {P} (A\_{i})\\&=\sum \limits \_{i}\int \limits \_{\Omega }X(\omega )\operatorname {P} (d\omega \cap A\_{i})\\&=\sum \limits \_{i}\int \limits \_{\Omega }X(\omega )I\_{A\_{i}}(\omega )\operatorname {P} (d\omega )\\&=\sum \limits \_{i}\operatorname {E} (XI\_{A\_{i}}),\end{aligned}}}
حيث {\displaystyle I\_{A\_{i}}} هي وظيفة المؤشر للمجموعة {\displaystyle A\_{i}} .

إذا كان التقسيم {\displaystyle {\{A\_{i}\}}\_{i=0}^{n}} منتهي ، إذن ، بالخطية ، يصبح التعبير السابق

{\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits \_{i=0}^{n}XI\_{A\_{i}}\right)=\operatorname {E} (X),}
وانتهينا.

إذا ، ومع ذلك ، فإن القسم {\displaystyle {\{A\_{i}\}}\_{i=0}^{\infty }} لانهائية ، ثم نستخدم مبرهنة التقارب المحدود لإظهار ذلك

{\displaystyle \operatorname {E} \left(\sum \limits \_{i=0}^{n}XI\_{A\_{i}}\right)\to \operatorname {E} (X).}
في الواقع ، لكل {\displaystyle n\geq 0} و

{\displaystyle \left|\sum \_{i=0}^{n}XI\_{A\_{i}}\right|\leq |X|I\_{\mathop {\bigcup } \limits \_{i=0}^{n}A\_{i}}\leq |X|.}
منذ كل عنصر من عناصر المجموعة {\displaystyle \Omega } يقع في قسم معين {\displaystyle A\_{i}} ، فمن السهل التحقق من أن التسلسل {\displaystyle {\left\{\sum \_{i=0}^{n}XI\_{A\_{i}}\right\}}\_{n=0}^{\infty }} يتقارب بشكل نقطي إلى {\displaystyle X}. بالافتراض الأولي ، {\displaystyle \operatorname {E} |X|<\infty }. يؤدي تطبيق نظرية التقارب المهيمن إلى النتيجة المرجوة.

أنظر أيضا
---------

* قانون الاحتمالات الكلية

مراجع
-----

1. ↑  Weiss، Neil A. (2005). *A Course in Probability*. Boston: Addison–Wesley. ص. 380–383. ISBN:0-321-18954-X.
2. ↑  "Law of Iterated Expectation | Brilliant Math & Science Wiki". *brilliant.org* (بالإنجليزية الأمريكية). Archived from the original on 2023-03-28. Retrieved 2018-03-28.
3. ↑  "Adam's and Eve's Laws". مؤرشف من الأصل في 2022-11-11. اطلع عليه بتاريخ 2022-04-19.
4. ↑  Rhee، Chang-han (20 سبتمبر 2011). "Probability and Statistics" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.
5. ↑  Wolpert، Robert (18 نوفمبر 2010). "Conditional Expectation" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2023-03-26.

* Billingsley، Patrick (1995). *Probability and measure*. New York: John Wiley & Sons. ISBN:0-471-00710-2. (Theorem 34.4)
* Christopher Sims, "Notes on Random Variables, Expectations, Probability Densities, and Martingales", especially equations (16) through (18)

* أيقونة بوابةبوابة إحصاء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات