**توزيع غاما المعمم**| دالة الكثافة الاحتمالية دالة الكثافة الاحتمالية لتوزيع غاما |
| دالة التوزيع التراكمي {{{صورة د.ت.ت}}} |
| **المؤشرات** | {\displaystyle a>0} (scale), {\displaystyle d>0,p>0} |
| **الدعم** | {\displaystyle x\;\in \;(0,\,\infty )} |
| **د۔ك۔ح۔** | {\displaystyle {\frac {p/a^{d}}{\Gamma (d/p)}}x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}} |
| **د۔ت۔ت** | {\displaystyle {\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}} |
| **المتوسط الحسابي** | {\displaystyle a{\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}} |
| **الوسيط الحسابي** | بلا صيغة مغلقة بسيطة. |
| **المنوال** | {\displaystyle a\left({\frac {d-1}{p}}\right)^{\frac {1}{p}}\mathrm {for} \;d>1,\mathrm {otherwise} \;0} |
| **التباين** | {\displaystyle a^{2}\left({\frac {\Gamma ((d+2)/p)}{\Gamma (d/p)}}-\left({\frac {\Gamma ((d+1)/p)}{\Gamma (d/p)}}\right)^{2}\right)} |
| **التجانف** |  |
| **التفرطح** |  |
| **الاعتلاج** | {\displaystyle \ln {\frac {a\Gamma (d/p)}{p}}+{\frac {d}{p}}+\left({\frac {1}{p}}-{\frac {d}{p}}\right)\psi \left({\frac {d}{p}}\right)} |
| **د۔م۔ع** |  |
| **الدالة المميزة** |  |
| **معلومات فيشر** | {{{معلومات فيشر}}} |

**توزيع غاما المعمم** هو توزيع احتمالي مستمر محدد بثلاث معلمات. هذا التوزيع هو في الواقع تعميم لتوزيع غاما لمعلمتين. نظرًا لأن العديد من التوزيعات المستخدمة لتحليل البقاء (مثل التوزيع الأسي، وتوزيع وایبل، وتوزيع غاما ، والتوزيع شبه الطبيعي) هي حالات خاصة لتوزيع غاما **المعمم**، فإنه يُستخدم أحيانًا لتحديد النموذج المناسب وفقًا لمجموعة البيانات.

مواصفات
-------

توزيع غاما المعمم له ثلاث معلمات:‌ {\displaystyle a>0} ،{\displaystyle d>0} و {\displaystyle p>0}. بالنسبة إلى x غير السالب، فإن دالة كثافة احتمالية هي:

{\displaystyle f(x;a,d,p)={\frac {(p/a^{d})x^{d-1}e^{-(x/a)^{p}}}{\Gamma (d/p)}}}

هنا {\displaystyle \Gamma (\cdot )} يظهردالة جاما.

دالة التوزيع التراكمي تساوي:

{\displaystyle F(x;a,d,p)={\frac {\gamma (d/p,(x/a)^{p})}{\Gamma (d/p)}}}

{\displaystyle \gamma (\cdot )} يظهر دالة غاما غير المكتملة.

إذا {\displaystyle d=p} يصبح توزيع غاما المعمم توزيع وايبول. أيضا إذا {\displaystyle p=1} ثم يصبح توزيع غاما المعمم توزيع غاما.

عزم الدوران
-----------

إذا كان *{\displaystyle X}* هو توزيع غاما المعمم، فسيكون عزم الدوران به:

{\displaystyle \operatorname {E} (X^{r})=a^{r}{\frac {\Gamma ({\frac {d+r}{p}})}{\Gamma ({\frac {d}{p}})}}}

تباعد كولباك - ليبلير
---------------------

إذا {\displaystyle f\_{1}} و {\displaystyle f\_{2}} دوال الكثافة هي احتمالات توزيعين معمّمين لغاما، ثم يكون تباعد كولبيك ليبلر مساويًا لـ:{\displaystyle {\begin{aligned}D\_{KL}(f\_{1}\parallel f\_{2})&=\int \_{0}^{\infty }f\_{1}(x;a\_{1},d\_{1},p\_{1})\,\ln {\frac {f\_{1}(x;a\_{1},d\_{1},p\_{1})}{f\_{2}(x;a\_{2},d\_{2},p\_{2})}}\,dx\\&=\ln {\frac {p\_{1}\,a\_{2}^{d\_{2}}\,\Gamma \left(d\_{2}/p\_{2}\right)}{p\_{2}\,a\_{1}^{d\_{1}}\,\Gamma \left(d\_{1}/p\_{1}\right)}}+\left[{\frac {\psi \left(d\_{1}/p\_{1}\right)}{p\_{1}}}+\ln a\_{1}\right](d\_{1}-d\_{2})+{\frac {\Gamma {\bigl (}(d\_{1}+p\_{2})/p\_{1}{\bigr )}}{\Gamma \left(d\_{1}/p\_{1}\right)}}\left({\frac {a\_{1}}{a\_{2}}}\right)^{p\_{2}}-{\frac {d\_{1}}{p\_{1}}}\end{aligned}}}

{\displaystyle \psi (\cdot )} هي دالة دایغما.

وصلات داخلية
------------

* توزيع احتمال
* توزيع غاما
* تباعد كولباك ليبلير

مصادر
-----

1. ↑  Box-Steffensmeier, Janet M. ; Jones, Bradford S. (2004) *Event History Modeling: A Guide for Social Scientists*. Cambridge University Press. (ردمك 0-521-54673-7) (pp. 41-43)
2. 1 2  Stacy, E.W. (1962). "A Generalization of the Gamma Distribution." *Annals of Mathematical Statistics* 33(3): 1187-1192. جايستور 2237889
3. ↑  Johnson, N.L. ; Kotz, S; Balakrishnan, N. (1994) *Continuous Univariate Distributions, Volume 1*, 2nd Edition. Wiley. (ردمك 0-471-58495-9) (Section 17.8.7)
4. 1 2  C. Bauckhage (2014), Computing the Kullback-Leibler Divergence between two Generalized Gamma Distributions, arxiv:1401.6853. نسخة محفوظة 30 نوفمبر 2020 على موقع واي باك مشين.

* أيقونة بوابةبوابة إحصاء
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات