The characteristic function of a uniform *U*(–1,1) random variable. This function is real-valued because it corresponds to a random variable that is symmetric around the origin; however in general case characteristic functions may be complex-valued.
في نظرية الاحتمال والإحصاء، **الدالة المميزة** لمتغير عشوائي *X* حقيقي هي دالة ذات قيم مركبة معرفة على المجال
{\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} \ } حيث:

{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi \_{X}(t)&=\mathbb {E} \left[e^{itX}\right]\\&=\mathbb {E} \left[\cos(tX)\right]+i\ \mathbb {E} \left[\sin(tX)\right].\end{aligned}}}

في حالة وجود دالة كثافة احتمالية للمتغير العشوائي *X* ، فإن **الدالة المميزة** في هذه الحالة هي معكوسة تحويل فورييه ( بمعامل تقريبي {\displaystyle \scriptstyle \ 2\pi \,} ) لدالة الكثافة.
(في بعض الأحيان تستعمل هذه الدالة **خطأ رياضيات (SVG (يمكن تمكين MathML عبر البرنامج المساعد للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "http://localhost:6011/ar.wikipedia.org/v1/":): {\displaystyle \scriptstyle\ \phi\_X(t) = E[e^{2i\pi tX}].}**
)

بشكل أعم، **الدالة المميزة** لمتغير عشوائي حقيقي معرف على المجال {\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ }، هي الدالة ذات القيم المركبة المعرفة على المجال {\displaystyle \scriptstyle \ \mathbb {R} ^{d}\ } بـ :

  

{\displaystyle \phi \_{X}(u)=\mathbb {E} \left[e^{i\langle u,X\rangle }\right]\,}
أين {\displaystyle \scriptstyle \ \langle u,X\rangle \,} هو الجداء القياسي لـ *u* مع *X*.

في حالة المتغير العشوائي*X* المنفصل، تعرف الدالة المميزة بـ :

{\displaystyle G(z)=\mathbb {E} \left[z^{X}\right]}
باعتبار *z* عدد مركب، و نستخلص إذا :

{\displaystyle \phi \_{X}(t)=G\left(e^{it}\right);}
حيث أن الدالة *G* هي امتداد لـ {\displaystyle \scriptstyle \ \phi \_{X}}

خصائص الدالة المميزة
--------------------

* تحدد الدالة المميزة طبيعة التوزيع الاحتمالي لمتغير عشوائي في حالة تساوي دالتين، يعني في حالة تساوي دالتين مميزتين {\displaystyle \phi \_{X}=\phi \_{Y}\,} نستنتج أن للمتغيران {\displaystyle X\,} et {\displaystyle Y\,} نفس دالة التوزيع الاحتمالي.
* إذا كان *X* و *Y* متغيران عشوائيان مستقلان، إذا {\displaystyle \phi \_{X+Y}=\phi \_{X}\,\phi \_{Y}}.

بشكل أعم، إذا كان {\displaystyle X\_{1},\ldots ,X\_{n}} مجموعة من المتغيرات العشوائية المستقلة عن بعضها البعض، فإن

{\displaystyle \phi \_{X\_{1}+\cdots +X\_{n}}=\phi \_{X\_{1}}\cdots \phi \_{X\_{n}}}

وبتطبيق معكوسة تحويل فورييه لـ {\displaystyle \phi \_{X+Y}} نتحصل على قانون دالة التوزيع الاحتمالي للدالة *X+Y*

* توجد أيضا علاقة بين **الدالة المميزة** و **دالة العزوم** لمتغير عشوائي، ففي حالة وجود **دالة العزوم** بالإضافة إلى تقارب المتتالية فإن:

{\displaystyle \phi \_{X}(t)=\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {i^{k}\mu \_{k}}{k!}}t^{k}} أين  **{\displaystyle \mu \_{k}}**  هو عزم ذو درجة k.
تستعمل هذه العلاقة أحيانا لإيجاد المتوسط الحسابي (الذي يمثل العزم ذو درجة 1) والتباين (الذي يمثل العزم ذو درجة 2) حيث أن:

{\displaystyle 1=\phi \_{X}(0),\qquad \mathbb {E} [X]=-i\,\phi \_{X}^{\prime }(0),\qquad \mathbb {E} \left[X^{2}\right]=-\,\phi \_{X}^{\prime \prime }(0)}
{\displaystyle {\textrm {Var}}(X)=-\,\phi \_{X}^{\prime \prime }(0)+\phi \_{X}^{\prime 2}(0)}.
* مثلا العلاقة التالية تستعمل في حساب **الدالة المميزة** لمتغير عشوائي ذو توزيع احتمالي طبيعي موسط ومخزل :

{\displaystyle \phi \_{aX+b}(t)=\phi \_{X}(at)\,e^{itb}}

بعض الدوال المميزة المشهورة
---------------------------

| التوزيع الاحتمالي | الدالة المميزة *φ(t)* |
| --- | --- |
| توزيع احتمالي ثنائي B(*n, p*) |   {\displaystyle \,(1-p+pe^{it})^{n}} |
| توزيع بواسون Pois(*λ*) |   {\displaystyle \,e^{\lambda (e^{it}-1)}} |
| توزيع منتظم U(*a, b*) |   {\displaystyle \,{\frac {e^{itb}-e^{ita}}{it(b-a)}}} |
| توزيع لابلاس L(*μ, b*) |   {\displaystyle \,{\frac {e^{it\mu }}{1+b^{2}t^{2}}}} |
| توزيع احتمالي طبيعي *N*(*μ, σ2*) |   {\displaystyle \,e^{it\mu -{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}t^{2}}} |
| توزيع كاي مريع χ2k |   {\displaystyle \,(1-2it)^{-k/2}} |
| توزيع كوشي Cauchy(*μ, θ*) |   {\displaystyle \,e^{it\mu -\theta |t|}} |
| توزيع غاما Γ(*k, θ*) |   {\displaystyle \,(1-it\theta )^{-k}} |
| توزيع أسي Exp(*λ*) |   {\displaystyle \,(1-it\lambda ^{-1})^{-1}} |
| توزيع طبيعي متعدد الحدود *N*(*μ*, *Σ*) |   {\displaystyle \,e^{it'\mu -{\frac {1}{2}}t'\Sigma t}} |
|

الجدول أعلاه مقتبس من الجدول الموسع للدوال المميزة لاورهيتينغر ( 1973 )

مراجع
-----

1. ↑  Shaw، W. T.؛ McCabe، J. (2009). "Monte Carlo sampling given a Characteristic Function: Quantile Mechanics in Momentum Space". arXiv:0903.1592. `{{استشهاد بأرخايف}}`: الوسيط `|arxiv=` مطلوب (مساعدة)

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة إحصاء

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)

 |