مخطط يبين ثلاث متتاليات هندسية بسيطة على شكل 1(rn-1) إلى مستوى ستة حدود. العمود الأفقي الأول يمثل الواحد، بينما يمثل الخط المتقطع المجموع غير المنتهي للمتتالية. هو عدد يقترب منه مجموع حدود المتتالية الهندسية بدون أن يلمسه. يساوي هذا العدد الاثنين ({\displaystyle 2}) وثلاثة أنصاف ({\displaystyle 3/2}) وأربعة أثلاث ({\displaystyle 4/3}) على التوالي.
في الرياضيات، **المتتالية الهندسية** هي متتالية عددية كل حد (جملة) من حدودها بعد الأول يُحصل عليه بضرب الحد الذي قبله في عدد ثابت غير منعدم يدعى قدر النسبة (ويعرف كذلك بالأساس والنسبة المشتركة).

هكذا، يكون شكل متتالية هندسية ما على الشكل التالي:

{\displaystyle a,\ ar,\ ar^{2},\ ar^{3},\ ar^{4},\ \ldots }
بينما يكون شكل المتسلسلة الهندسية كما يلي:

{\displaystyle a+ar+ar^{2}+ar^{3}+ar^{4}+\cdots }
تكون المتتالية الهندسية التي يخالف قدر نسبتها صفرا وواحدا وناقص واحد في نمو أسي (أو تحلل أسي)، بخلاف المتتالية الحسابية فنموها يكون خطيا.

الخصائص الأساسية
----------------

لايجاد الحد النوني لمتتالية هندسية، تستعمل المعادلة التالية:

{\displaystyle a\_{n}=a\,r^{n-1}.}
حيث a هي الحد الأول و r هي الفرق العام (يُغير الرمز هنا لتمييز المتتالية الهندسية عن الحسابية), و n هي عدد الحدود (أو الحد المطلوب). فيما يلي مثال :

المتتالية 3، 6، 12 ،24... هي متتالية هندسية حدها الأول هو a = 3, وأساسها هو r = 2 لأن قسمة حد ما على الحد الذي سبقه تعطي دائما اثنين (6 مقسومة على 3 تعطي 2، و 12 مقسومة على 6 تعطي 2 و 24 مقسومة على 12 تعطي 2، وهكذا). لايجاد الحد الخامس، على سبيل المثال (n = 5), تطبق المعادلة المعرفة أعلاه كما يلي:

{\displaystyle a\_{5}=3\*\,2^{5-1}=3\*16=48}
إذن الحد الخامس يساوي 48.

مجموع حدود متتالية هندسية
-------------------------

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}u\_{k}=u\_{0}+\cdots +u\_{n}=u\_{0}(1+q+\cdots +q^{n})=u\_{0}{\frac {1-q^{n+1}}{1-q}}\ \ (q\neq 1)}

المتسلسلة الهندسية
------------------

المقالة الرئيسة: متسلسلة هندسية
المتسلسلة الهندسية هي مجموع حدود المتتالية الهندسية

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}ar^{k}=ar^{0}+ar^{1}+ar^{2}+ar^{3}+\cdots +ar^{n}.\,}
### المتسلسلات الهندسية غير المنتهية

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }ar^{k}=\lim \_{n\to \infty }{\sum \_{k=0}^{n}ar^{k}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a(1-r^{n+1})}{1-r}}=\lim \_{n\to \infty }{\frac {a}{1-r}}-\lim \_{n\to \infty }{\frac {ar^{n+1}}{1-r}}}
مخطط يبين المتسلسلة الهندسية 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... التي تؤول إلى 2.
### الأعداد العقدية

انظر إلى صيغة أويلر.

### وجه التسمية

نعتت المتتالية بالهندسية لأن كل حد من حدودها متوسط هندسي بين ما قبله وما بعده.

العلاقة مع الهندسة ومع عمل اقليدس
---------------------------------

عالج أقليدس في كتابي الأصول الثامن والتاسع المتتاليات الهندسية وعرف عددا من خواصها.

انظر أيضا
---------

* متتالية حسابية،
* متسلسلة هندسية
* دالة أسية
* توزيع هندسي

مراجع
-----

1. ↑  محمد كريم خان الكرماني. رسالة كشف المجهول في علم الحساب واستخراج المجهولات العددية. ص. 4 نسخة محفوظة 08 مارس 2016 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  الأول من اقتراض معنوي (ترجمة اقتراضية) من الفرنسية raison والثاني من الإنجليزية common ratio

| * ع
* ن
* ت
المتتاليات والمتسلسلات |
| --- |
| متتاليات الأعداد الصحيحة | 

|  |  |
| --- | --- |
| بسيطة | 
* متتالية حسابية
* متتالية هندسية
* Harmonic progression  ‏
* مربع كامل
* مكعب عدد
* عاملي
* الأس
	+ الثنائي
	+ الثلاثي
	+ العشري

 |
| مُتقدِّمة (list) | 
* متتالية كاملة
* متتالية فيبوناتشي
* عدد شكلي
* عدد مسبع
* عدد مسدسي
* عدد لوكاس
* رقم بيل
* عدد مخمسي
* عدد مضلعي
* عدد مثلثي

 |

 | Fibonacci spiral with square sizes up to 34. |
| خواص المتتاليات | 
* متتالية كوشي
* الرتابة
* الدورية

 |
| خواص المتسلسلات | 

|  |  |
| --- | --- |
| متسلسلات | 
* متناوبة
* متقاربة
* متباعدة
* متداخلة

 |
| متباعدة | 
* مطلق
* شرطي
* منتظم

 |

 |
| متسلسلات مُضمَّنة | 

|  |  |
| --- | --- |
| متقاربة | 
* 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯
* 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯
* 1/4 + 1/16 + 1/64 + 1/256 + ⋯
* 1 + 1/2*s* + 1/3*s* + ... (دالة زيتا لريمان)

 |
| متباعدة | 
* 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯
* 1 − 1 + 1 − 1 + ⋯ (متسلسلة غراندي)
* 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯
* 1 − 2 + 3 − 4 + ···
* 1 + 2 + 4 + 8 + ⋯
* 1 − 2 + 4 − 8 + ⋯
* متتالية حسابية
* 1 − 1 + 2 − 6 + 24 − 120 + ⋯ (alternating factorials)  ‏
* 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ⋯ (المتسلسلات المتناسقة)
* 1/2 + 1/3 + 1/5 + 1/7 + 1/11 + ⋯ (انحراف مجموع مقلوبات الأعداد الأولية)

 |

 |
| متسلسلات متنوعة | 
* تايلور
* دركليه
* لوران
* فورييه
* بويسو
* Formal power series
* متسلسلة قوى
* متسلسلة مثلثية
* دالة مولدة

 |
| Hypergeometric series  ‏ | 
* Generalized hypergeometric series
* Hypergeometric function of a matrix argument
* Lauricella hypergeometric series
* Modular hypergeometric series
* Riemann's differential equation
* Theta hypergeometric series

 |
| 
* التصنيف

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي