الدالة {\displaystyle x^{2}} ليس لديها دالة عكسية على المجال {\displaystyle .\mathbb {R} } إذا قمنا باقتصار {\displaystyle x^{2}} على مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة، عندها يكون لها دالة عكسية، المعروفة بأسم الجذر التربيعي لـ*x*.
في الرياضيات، **اقتصار** دالة f  هي دالة جديدة يرمز لها بـ {\displaystyle f\vert \_{A}} أو {\displaystyle f{\upharpoonright \_{A}}}، يُحْصَلُ عليها من خلال اختيار أصغر مجال للدالة الأصلية f.

تعريف
-----

بفرض أن {\displaystyle f:E\to F} هي دالة من مجموعة E لمجموعة F، وإذا كانت المجموعة A هي مجموعة فرعية من E، فإن **اقتصار** f **على** A هي الدالة:


f

|

A

:
A
→
F

{\displaystyle {f|}\_{A}:A\rightarrow F}

{\displaystyle {f|}_{A}:A\rightarrow F}حيث {\displaystyle {f|}\_{A}(x)=f(x)} لكل قيم {\displaystyle x\in A}، بمعنى أن اقتصار f على A هي نفس الدالة f، ولكن معرفة فقط على A.

إذا نظرنا للدالة f على أنها علاقة رياضية {\displaystyle (x,f(x))} في الجداء الديكارتي {\displaystyle E\times F}، فإن اقتصار f على A يمكن تمثيله بالرسم البياني الخاص بها {\displaystyle G({f|}\_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),} حيث العلاقة {\displaystyle (x,f(x))} تمثل الأزواج المرتبة في الرسم البياني {\displaystyle .G}

### امتدادات

يُقال أن دالة F امتداد ( باللغة الأنجليزية "*extension"*) دالة أخرى f إذا كان في كل مرة تكون x في مجال f، فإنها أيضا في مجال F و {\displaystyle f(x)=F(x)}. تحديدًا إذا كانت {\displaystyle \operatorname {domain} f\subseteq \operatorname {domain} F} و {\displaystyle .F{\big \vert }\_{\operatorname {domain} f}=f}

الامتداد الخطي (باللغة الأنجليزية "*linear extension"* وأيضًا *الامتداد المستمر*) للدالة f هو تحويل خطي لـ f (وأيضًا تحويل مستمر).

أمثلة
-----

1. اقتصار الدالة الغير متباينة {\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}} على المجال {\displaystyle \mathbb {R} \_{+}=[0,\infty )} هو التباين {\displaystyle f:\mathbb {R} \_{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}}.
2. دالة المضروب تنتج من اقتصار الدالة غاما على مجموعة الأعداد الصحيحة الموجبة لأننا نطرح 1 من n ، أي: {\displaystyle {\Gamma |}\_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!}.

خصائص الاقتصار
--------------

* اقتصار دالة {\displaystyle f:X\rightarrow Y} على المجال بأكمله {\displaystyle X} يعيد إلى الدالة الأصلية، أي {\displaystyle f|\_{X}=f} .
* اقتصار دالة مرتين هو نفسه اقتصارها مرة واحدة، أي إذا كان {\displaystyle A\subseteq B\subseteq \operatorname {dom} f} ، فإنّ:{\displaystyle (f|\_{B})|\_{A}=f|\_{A}} .
* اقتصار الدالة المحايدة المعرفة على مجموعة {\displaystyle X} على مجموعة فرعية A من {\displaystyle X} هو مجرد تباين قانوني من A إلى {\displaystyle .X}
* اقتصار دالة مستمرة هو عبارة عن دالة مستمرة.

تطبيقات
-------

### دوال عكسية

المقالة الرئيسة: دالة عكسية
لكي يكون لـ الدالة f دالة عكسية، يجب أن تكون تقابلية، وإذا لم تكن f كذلك، يمكن تحديد **دالتها العكسية** عن طريق اقتصارها (تقييدها) على جزء من المجال.

على سبيل المثال، دالة {\displaystyle f(x)=x^{2}}المُعرّفة عموماً على {\displaystyle \mathbb {R} } ليست تقابلية لأن {\displaystyle x^{2}=(-x)^{2}} وذلك لكل x من {\displaystyle .\mathbb {R} }

ومع ذلك، تصبح الدالة {\displaystyle f(x)=x^{2}} تقابلية إذا اقتصرنا على المجال {\displaystyle \mathbb {R} \_{\geq 0}=[0,\infty [}، في هذه الحالة

{\displaystyle f^{-1}(y)={\sqrt {y}}}

ملاحظة:

إذا كنا نود أن نقتصر على المجال {\displaystyle ]-\infty ,0]}، فإن دالتها العكسية ستكون( {\displaystyle -{\sqrt {y}}}) بدلًا من ذلك، ليست هناك حاجة لاقتصار المجال إذا كنا لا نريد إيجاد الدالة العكسية كونها دالة متعددة القيم.

### اختيار المؤثرات

### الحزم

المقالة الرئيسة: حزمة (رياضيات)

انظر أيضاً
----------

* قيد
* انكماش تشويهي
* علاقة ثنائية

مراجع
-----

1. ↑  ترجمة و معنى restriction في قاموس المعاني. قاموس عربي انجليزي نسخة محفوظة 3 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.
2. ↑  
Stoll، Robert (1974). *Sets, Logic and Axiomatic Theories* (ط. 2nd). San Francisco: W. H. Freeman and Company. ص. [36]. ISBN:0-7167-0457-9.
3. ↑  Halmos، Paul (1960). *Naive Set Theory  ‏*. Princeton, NJ: D. Van Nostrand. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. (ردمك 0-387-90092-6) (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. (ردمك 978-1-61427-131-4) (Paperback edition).
4. ↑  Munkres، James R. (2000). *Topology* (ط. 2nd). Upper Saddle River: Prentice Hall. ISBN:0-13-181629-2.
5. ↑  Adams، Colin Conrad؛ Franzosa، Robert David (2008). *Introduction to Topology: Pure and Applied*. Pearson Prentice Hall. ISBN:978-0-13-184869-6.
  

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات