في الرياضيات، تصف **مبرهنة متعدد الحدود** كيفية توسيع قوة لمجموع بدلالة قوى المصطلحات في ذلك المجموع. إنه تعميم مبرهنة ذات الحدين من ذات الحدين إلى متعددات الحدود.

المبرهنة
--------

لأي عدد صحيح موجب *n* وأي عدد صحيح غير سالب *m*، تصف الصيغة متعددة الحدود كيف يتوسع مجموع بحدود *m* عند رفعه إلى قوة عشوائية *n*:

{\displaystyle (x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n;\ k\_{1},k\_{2},\cdots ,k\_{m}\geq 0}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}\prod \_{t=1}^{m}x\_{t}^{k\_{t}}\,,}
أين

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}={\frac {n!}{k\_{1}!\,k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}}
هو **معامل متعدد الحدود**. يتم أخذ المجموع على جميع مجموعات مؤشرات الأعداد الصحيحة غير السالبة *{\displaystyle k\_{1}}* إلى *{\displaystyle k\_{m}}* بحيث يكون مجموع كل *{\displaystyle k\_{i}}* هو *n*. أي أنه لكل حد في المفكوك ، يجب جمع أس *i* حتى *n*. أيضًا ، كما هو الحال مع مبرهنة ذات الحدين، فإن الكميات التي تظهر على شكل *{\displaystyle x^{0}}* تؤخذ على أنها تساوي *{\displaystyle 1}* (حتى عندما تكون *x* تساوي صفرًا).

في الحالة *{\displaystyle m=2}* ، تختصر هذه العبارة إلى تلك الخاصة بمبرهنة ذات الحدين.

### مثال

القوة الثالثة من ثلاثي الحدود *{\displaystyle a+b+c}* معطاة من قبل {\displaystyle (a+b+c)^{3}=a^{3}+b^{3}+c^{3}+3a^{2}b+3a^{2}c+3b^{2}a+3b^{2}c+3c^{2}a+3c^{2}b+6abc.}

يمكن حساب ذلك يدويًا باستخدام خاصية التوزيع للضرب على الجمع ، ولكن يمكن أيضًا إجراؤه (ربما بسهولة أكبر) باستخدام مبرهنة متعددة الحدود. من الممكن «قراءة» المعاملات متعددة الحدود من المصطلحات باستخدام صيغة المعامل متعدد الحدود. فمثلا:

{\displaystyle a^{2}b^{0}c^{1}} المعامل {\displaystyle {3 \choose 2,0,1}={\frac {3!}{2!\cdot 0!\cdot 1!}}={\frac {6}{2\cdot 1\cdot 1}}=3.}
{\displaystyle a^{1}b^{1}c^{1}} المعامل {\displaystyle {3 \choose 1,1,1}={\frac {3!}{1!\cdot 1!\cdot 1!}}={\frac {6}{1\cdot 1\cdot 1}}=6.}
### تعبير بديل

يمكن كتابة بيان المبرهنة بإيجاز باستخدام مؤشرات متعددة:

{\displaystyle (x\_{1}+\cdots +x\_{m})^{n}=\sum \_{|\alpha |=n}{n \choose \alpha }x^{\alpha }}
أين

{\displaystyle \alpha =(\alpha \_{1},\alpha \_{2},\dots ,\alpha \_{m})}
و

{\displaystyle x^{\alpha }=x\_{1}^{\alpha \_{1}}x\_{2}^{\alpha \_{2}}\cdots x\_{m}^{\alpha \_{m}}}
### دليل - إثبات

يستخدم هذا الدليل على مبرهنة متعددة الحدود مبرهنة ذات الحدين والاستقراء على *m*.

أولاً ، بالنسبة لـ *{\displaystyle m=1}*، كلا الطرفين يساوي *{\displaystyle x\_{1}^{n}}* نظرًا لوجود حد واحد فقط *{\displaystyle n=k\_{1}}* في المجموع. لخطوة الاستقراء ، افترض أن المبرهنة متعددة الحدود تنطبق على *m*. ثم

{\displaystyle {\begin{aligned}&(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m}+x\_{m+1})^{n}=(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +(x\_{m}+x\_{m+1}))^{n}\\[6pt]={}&\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+K=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}(x\_{m}+x\_{m+1})^{K}\end{aligned}}}
من خلال فرضية الاستقراء. تطبيق مبرهنة ذات الحدين على العامل الأخير ،

{\displaystyle =\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+K=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}\sum \_{k\_{m}+k\_{m+1}=K}{K \choose k\_{m},k\_{m+1}}x\_{m}^{k\_{m}}x\_{m+1}^{k\_{m+1}}}
{\displaystyle =\sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m-1}+k\_{m}+k\_{m+1}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},k\_{m},k\_{m+1}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m-1}^{k\_{m-1}}x\_{m}^{k\_{m}}x\_{m+1}^{k\_{m+1}}}
الذي يكمل الاستقراء. الخطوة الأخيرة تتبع لأن

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},K}{K \choose k\_{m},k\_{m+1}}={n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m-1},k\_{m},k\_{m+1}},}
كما يمكن رؤيته بسهولة عن طريق كتابة المعاملات الثلاثة باستخدام العوامل على النحو التالي:

{\displaystyle {\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m-1}!K!}}{\frac {K!}{k\_{m}!k\_{m+1}!}}={\frac {n!}{k\_{1}!k\_{2}!\cdots k\_{m+1}!}}.}

معاملات متعددة الحدود
---------------------

الارقام

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}}
تظهر في المبرهنة المعاملات متعددة الحدود. يمكن التعبير عنها بعدة طرق ، بما في ذلك كنتيجة لمعاملات ذات الحدين أو عاملي :

{\displaystyle {n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}={\frac {n!}{k\_{1}!\,k\_{2}!\cdots k\_{m}!}}={k\_{1} \choose k\_{1}}{k\_{1}+k\_{2} \choose k\_{2}}\cdots {k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m} \choose k\_{m}}}
### مجموع كل المعاملات متعددة الحدود

التعويض عن *{\displaystyle x\_{i}=1}* لجميع *i* في مبرهنة متعددة الحدود

{\displaystyle \sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}x\_{1}^{k\_{1}}x\_{2}^{k\_{2}}\cdots x\_{m}^{k\_{m}}=(x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{m})^{n}}
يعطي ذلك على الفور

{\displaystyle \sum \_{k\_{1}+k\_{2}+\cdots +k\_{m}=n}{n \choose k\_{1},k\_{2},\ldots ,k\_{m}}=m^{n}.}
### عدد المعاملات متعددة الحدود

عدد الحدود في مجموع متعدد الحدود ، *{\displaystyle \#\_{n,m}}* يساوي عدد المونومرات من الدرجة *n* على المتغيرات *{\displaystyle x\_{1},\cdots ,x\_{m}}*:

{\displaystyle \#\_{n,m}={n+m-1 \choose m-1}.}
يمكن إجراء العد بسهولة باستخدام طريقة النجوم والأشرطة .

### تقييم المعاملات متعددة الحدود

أكبر قوة عدد أولي p يمكن حساب المعامل متعدد الحدود باستخدام تعميم مبرهنة كومر .

التفسيرات
---------

### طرق لوضع الأشياء في صناديق

المعاملات متعددة الحدود لها تفسير اندماجي مباشر ، مثل عدد طرق إيداع *n* كائنات مميزة في *m* صناديق مميزة ، مع *{\displaystyle k\_{1}}* كائنات في الحاوية الأولى، و *{\displaystyle k\_{2}}* كائنات في الحاوية الثانية ، وهكذا. 

### عدد طرق التحديد وفقًا للتوزيع

في الميكانيكا الإحصائية والتوافقيات ، إذا كان لدى المرء توزيع رقمي للتسميات ، فإن المعاملات متعددة الحدود تنشأ بشكل طبيعي من المعاملات ذات الحدين. بالنظر إلى توزيع الأرقام *{\displaystyle n\_{i}}* على مجموعة من العناصر الإجمالية *{\displaystyle N}* ، يمثل *{\displaystyle n\_{i}}* عدد العناصر التي سيتم منحها التصنيف *i*. (في الميكانيكا الإحصائية ، *i* تسمية حالة الطاقة.)

* اختيار *{\displaystyle n\_{1}}* من إجمالي *{\displaystyle N}* ليتم تسميتها *{\displaystyle 1}*. يمكن القيام بذلك {\displaystyle N \choose n\_{1}} طرق.
* من المتبقي *{\displaystyle N-n\_{1}}* عنصر اختر *{\displaystyle n\_{2}}* للتسمية *{\displaystyle 2}*. يمكن القيام بذلك {\displaystyle N-n\_{1} \choose n\_{2}} طرق.
* من المتبقي *{\displaystyle N-n\_{1}-n\_{2}}* عناصر اختر *{\displaystyle n\_{3}}* للتسمية *{\displaystyle 3}*. مرة أخرى ، يمكن القيام بذلك {\displaystyle N-n\_{1}-n\_{2} \choose n\_{3}} طرق.

يؤدي ضرب عدد الاختيارات في كل خطوة إلى:

{\displaystyle {N \choose n\_{1}}{N-n\_{1} \choose n\_{2}}{N-n\_{1}-n\_{2} \choose n\_{3}}\cdots ={\frac {N!}{(N-n\_{1})!n\_{1}!}}\cdot {\frac {(N-n\_{1})!}{(N-n\_{1}-n\_{2})!n\_{2}!}}\cdot {\frac {(N-n\_{1}-n\_{2})!}{(N-n\_{1}-n\_{2}-n\_{3})!n\_{3}!}}\cdots .}
ينتج عن الإلغاء الصيغة المذكورة أعلاه.

### عدد التبديلات الفريدة للكلمات

 المعامل متعدد الحدود كمنتج للمعاملات ذات الحدين ، مع احتساب التباديل لأحرف ميسيسيبي.
المعامل متعدد الحدود {\displaystyle {\binom {n}{k\_{1},\ldots ,k\_{m}}}} هو أيضًا عدد الطرق المميزة لتبديل مجموعة متعددة من العناصر *n* ، حيث *{\displaystyle k\_{i}}* هو تعدد كل عنصر من العناصر i. على سبيل المثال ، عدد التباديل المميز لأحرف الكلمة MISSISSIPPI ، التي تحتوي على 1 M و 4 Is و 4 Ss و 2 Ps ، هو

{\displaystyle {11 \choose 1,4,4,2}={\frac {11!}{1!\,4!\,4!\,2!}}=34650.}
### مثلث باسكال المعمم

يمكن للمرء استخدام نظرية متعددة الحدود لتعميم مثلث باسكال أو هرم باسكال على البسيط لباسكال. يوفر هذا طريقة سريعة لإنشاء جدول بحث للمعاملات متعددة الحدود.

المراجع
-------

1. ↑  National Institute of Standards and Technology (11 مايو 2010). "NIST Digital Library of Mathematical Functions". Section 26.4. مؤرشف من الأصل في 2022-05-16. اطلع عليه بتاريخ 2010-08-30.

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات