|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| حساب المثلثات |
|  |
| مفاهيم رئيسة
* التاريخ
* الاستعمالات
* الدّوال
	+ الدوال العكسية
* حساب مثلثات معممة
* حساب المثلثات الكروية
 |
| أدوات مرجعية
* المتطابقات
* القيم الدقيقة للثوابت
* الجداول
* دائرة الوحدة
 |
| قواعد وقوانين
* الجيوب
* جيوب التمام
* الظّلال
* ظلال التمام
* مبرهنة فيثاغورس
 |
| تفاضل وتكامل
* تعويضات مثلثية
* التكاملات
	+ تكاملات الدوال العكسية
* المشتقات
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

 تكون زوايا الحلول الأولية على شكل (cos , sin) في دائرة الوحدة هي مضاعفات 30 و 45 درجة. 
**التعبيرات الجبرية الدقيقة للقيم المثلثية** مفيدة في بعض الأحيان، خاصةً لتبسيط الحلول إلى أشكال جذرية تسمح بمزيد من التبسيط.

جميع الأعداد المثلثية - الجيب أو جيب التمام من مضاعفات كسرية لـ 360° - هي أعداد جبرية (حلول المعادلات متعددة الحدود مع معاملات صحيحة)؛ زيادة على ذلك، يمكن التعبير عنها بدلالة جذور الأعداد المركبة؛ ولكن ليس كل هذه يمكن التعبير عنها بدلالة جذور *حقيقية*. عندما تكون كذلك، فهي قابلة للتعبير بشكل أكثر تحديدًا بدلالة الجذور التربيعية.

جميع قيم الجيب، وجيب التمام، وظلال الزوايا متزايدة بـ 3° يمكن تعبير عنها بدلالة الجذور التربيعية، باستخدام المتطابقات (متطابقة نصف الزاوية، ومتطابقة ضعف الزاوية، ومتطابقة إضافة/طرح الزاوية) وباستخدام القيم لـ 0° و 30° و 36° و 45°. بالنسبة لزاوية عدد صحيح بالدرجات التي ليست مضاعفة لـ 3° (π/60 راديان)، لا يمكن التعبير عن قيم الجيب وجيب التمام والمماس بدلالة الجذور الحقيقية.

وفقًا لمبرهنة نيفن، فإن القيم الكسرية الوحيدة لدالة الجيب التي من أجلها تكون عمدتها (argument) عبارة عن عدد كسري من الدرجات هي: 0، و 1/2، و 1، -1/2 و -1.

وفقًا لمبرهنة باكر، إذا كانت قيمة الجيب أو جيب التمام أو الظل جبرية، فإن الزاوية تكون إما عددًا نسبيًّا من الدرجات أو عددًا متساميًا من الدرجات. وبعبارة أخرى، إذا كانت الزاوية عبارة عن عدد جبري من الدرجات، ولكنها غير كسرية، فإن جميع الدوال المثلثية لها قيم متسامية.

جدول بعض الزوايا الشائعة
------------------------

عدة وحدات القياس زاوية تستخدم على نطاق واسع، بما في ذلك الدرجات، الراديات، والغراد:

1 دائرة كاملة (دورة) = 360 درجات = 2π راديان = 400 غراد.

يعرض الجدول التالي التحويلات والقيم لبعض الزوايا الشائعة:

| دورات | درجات | راديان | غراد | جيب | جيب التمام | ظل |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| 0 | 0° | 0 | 0g | 0 | 1 | 0 |
|
| 1/12 | 30° | π/6 | 33 1/3g | 1/2 | 
√3/2
 | 
√3/3
 |
| 1/8 | 45° | π/4 | 50g | 
√2/2 | 
√2/2 | 1 |
| 1/6 | 60° | π/3 | 66 2/3g | 
√3/2 | 1/2 | 
√3 |
| 1/4 | 90° | π/2 | 100g | 1 | 0 |  |
| 1/3 | 120° | 2π/3 | 133 1/3g | 
√3/2
 | −1/2 | 
−√3 |
| 3/8 | 135° | 3π/4 | 150g | 
√2/2 | 
−√2/2 | −1 |
| 5/12 | 150° | 5π/6 | 166 2/3g | 1/2 | 
−√3/2 | 
−√3/3 |
| 1/2 | 180° | π | 200g | 0 | −1 | 0 |
| 7/12 | 210° | 7π/6 | 233 1/3g | −1/2 | 
−√3/2 | 
√3/3 |
| 5/8 | 225° | 5π/4 | 250g | 
−√2/2 | 
−√2/2 | 1 |
| 2/3 | 240° | 4π/3 | 266 2/3g | 
−√3/2 | −1/2 | 
√3 |
| 3/4 | 270° | 3π/2 | 300g | −1 | 0 |  |
| 5/6 | 300° | 5π/3 | 333 1/3g | 
−√3/2 | 1/2 | 
−√3 |
| 7/8 | 315° | 7π/4 | 350g | −√2/2 | √2/2 | −1 |
| 11/12 | 330° | 11π/6 | 366 2/3g | −1/2 | √3/2 | −√3/3 |
| 1 | 360° | 2π | 400g | 0 | 1 | 0 |

زوايا أخرى
----------

الجدول المثلثية الدقيقة لمضاعفات 3 درجات.
### 0 °: أساسي

{\displaystyle \sin 0=0\,}
{\displaystyle \cos 0=1\,}
{\displaystyle \tan 0=0\,}
{\displaystyle \cot 0=} غير معرف

### 1.5 °: مئة وعشروني الأضلاع المنتظم (المضلع به 120 ضلع)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\sin \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)-\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)}{16}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{120}}\right)=\cos \left(1.5^{\circ }\right)={\frac {\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {5}}+1\right)+\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)}{16}}}

### 1.875 °: ست وتسعوني الاضلاع (مضلع ذو 96 ضلعًا)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\sin \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{96}}\right)=\cos \left(1.875^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}}}

### 2.25 °: المثمن المنتظم (مضلع به 80 ضلع)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\sin \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{80}}\right)=\cos \left(2.25^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}}}

### 2.8125 ° : أربع وستيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو جانبين)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\sin \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{64}}\right)=\cos \left(2.8125^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}}}

### 3 °: ستيني الأضلاع المنتظم (مضلع به 60 ضلع)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\sin \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}+1\right)}{16}}\,}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cos \left(3^{\circ }\right)={\frac {2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {10}}-{\sqrt {2}}\right)\left({\sqrt {3}}-1\right)}{16}}\,}
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\tan \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{60}}\right)=\cot \left(3^{\circ }\right)={\frac {\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right]}{4}}\,}

### 3.75 °: ثماني وأربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 48 ضلعًا)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\sin \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{48}}\right)=\cos \left(3.75^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}}}}

### 4.5 °: أربعيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 40 ضلعًا)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\sin \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{40}}\right)=\cos \left(4.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}}}

### 5.625 °: إثنا وثلاثيني الأضلاع (مضلع ذو 32 ضلعًا)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\sin \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{32}}\right)=\cos \left(5.625^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}}

### 6 °: ثلاثيني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 30 ضلعًا)

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{30}}=\sin 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {30-{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}-1}{8}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{30}}=\cos 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {15}}}{8}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{30}}=\tan 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {10-{\sqrt {20}}}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{30}}=\cot 6^{\circ }={\frac {{\sqrt {27}}+{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+{\sqrt {2420}}}}}{2}}\,}

### 7.5 °: أربع وعشريني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 24 ضلعًا)

{\displaystyle \sin \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\sin \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8-2{\sqrt {6}}-2{\sqrt {2}}}}}
{\displaystyle \cos \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cos \left(7.5^{\circ }\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}}={\frac {1}{4}}{\sqrt {8+2{\sqrt {6}}+2{\sqrt {2}}}}}
{\displaystyle \tan \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\tan \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}-2\ =\left({\sqrt {2}}-1\right)\left({\sqrt {3}}-{\sqrt {2}}\right)}
{\displaystyle \cot \left({\frac {\pi }{24}}\right)=\cot \left(7.5^{\circ }\right)={\sqrt {6}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}+2\ =\left({\sqrt {2}}+1\right)\left({\sqrt {3}}+{\sqrt {2}}\right)}

### 9 °: عشروني الأضلاع المنتظم (مضلع ذو 20 ضلعًا)

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{20}}=\sin 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{20}}=\cos 9^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {\frac {5+{\sqrt {5}}}{2}}}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{20}}=\tan 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1-{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{20}}=\cot 9^{\circ }={\sqrt {5}}+1+{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}

### 11.25 °: ستة عشري الأضلاع المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{16}}=\sin 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{16}}=\cos 11.25^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{16}}=\tan 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}-{\sqrt {2}}-1}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{16}}=\cot 11.25^{\circ }={\sqrt {4+2{\sqrt {2}}}}+{\sqrt {2}}+1}

### 12 °: خمسة عشري الأضلاع المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{15}}=\sin 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{15}}=\cos 12^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {6\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}-1\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{15}}=\tan 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}-{\sqrt {2\left(25-11{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{15}}=\cot 12^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}

### 15 °: إثنا عشري الأضلاع المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{12}}=\sin 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {3}}}}}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{12}}=\cos 15^{\circ }={\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {3}}}}}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{12}}=\tan 15^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{12}}=\cot 15^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}

### 18 °: عشري الأضلاع منتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{10}}=\sin 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{10}}=\cos 18^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{10}}=\tan 18^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{10}}=\cot 18^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}

### 21 °: مجموع 9 درجة + 12 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{60}}=\sin 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}-\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{60}}=\cos 21^{\circ }={\frac {1}{16}}\left(2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\left(1+{\sqrt {5}}\right)\right)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{60}}=\tan 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{60}}=\cot 21^{\circ }={\frac {1}{4}}\left(2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)\right)\left(2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\right)\,}

### 22.5 °: المثمن المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{8}}=\sin 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}},}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{8}}=\cos 22.5^{\circ }={\frac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{8}}=\tan 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{8}}=\cot 22.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1=\delta \_{S}\,}

حيث *δ*S هو العدد الفضي.

### 24 °: مجموع 12 درجة + 12 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{15}}=\sin 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{15}}=\cos 24^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left({\sqrt {6\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}+{\sqrt {5}}+1\right)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{15}}=\tan 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{15}}=\cot 24^{\circ }={\tfrac {1}{2}}\left[{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\right]\,}

### 27 °: مجموع 12 درجة + 15 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{20}}=\sin 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}-{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{20}}=\cos 27^{\circ }={\tfrac {1}{8}}\left[2{\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\;\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{20}}=\tan 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1-{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{20}}=\cot 27^{\circ }={\sqrt {5}}-1+{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}

### 30 °: المسدس المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{6}}=\sin 30^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{6}}=\cos 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{6}}=\tan 30^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{6}}=\cot 30^{\circ }={\sqrt {3}}\,}

### 33 °: مجموع 15 درجة + 18 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {11\pi }{60}}=\sin 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}-1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1+{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {11\pi }{60}}=\cos 33^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left({\sqrt {3}}+1\right){\sqrt {5+{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left(1-{\sqrt {3}}\right)\left({\sqrt {5}}-1\right)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {11\pi }{60}}=\tan 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {11\pi }{60}}=\cot 33^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[2-\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3+{\sqrt {5}}\right)\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5-{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}

### 36 °: الخماسي المنتظم

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{5}}=\sin 36^{\circ }={\frac {1}{4}}{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{5}}=\cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}={\frac {\varphi }{2}},}

حيث *φ* هي النسبة الذهبية؛

{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{5}}=\tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{5}}=\cot 36^{\circ }={\frac {1}{5}}{\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}}

### 39 °: مجموع 18 درجة + 21 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {13\pi }{60}}=\sin 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1-{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}+1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
{\displaystyle \cos {\frac {13\pi }{60}}=\cos 39^{\circ }={\tfrac {1}{16}}\left[2\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt {5-{\sqrt {5}}}}+{\sqrt {2}}\left({\sqrt {3}}-1\right)\left({\sqrt {5}}+1\right)\right]\,}
{\displaystyle \tan {\frac {13\pi }{60}}=\tan 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2-{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2-{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}
{\displaystyle \cot {\frac {13\pi }{60}}=\cot 39^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left[\left(2+{\sqrt {3}}\right)\left(3-{\sqrt {5}}\right)-2\right]\left[2+{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,\right]\,}

### 42 °: مجموع 21 درجة + 21 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {7\pi }{30}}=\sin 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {30+{\sqrt {180}}}}-{\sqrt {5}}+1}{8}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {7\pi }{30}}=\cos 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}-{\sqrt {3}}+{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}{8}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {7\pi }{30}}=\tan 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10+{\sqrt {20}}}}}{2}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {7\pi }{30}}=\cot 42^{\circ }={\frac {{\sqrt {50-{\sqrt {2420}}}}+{\sqrt {27}}-{\sqrt {15}}}{2}}\,}

### 45 °: مربع

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{4}}=\sin 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{4}}=\cos 45^{\circ }={\frac {\sqrt {2}}{2}}={\frac {1}{\sqrt {2}}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{4}}=\tan 45^{\circ }=1\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{4}}=\cot 45^{\circ }=1\,}

### 54 °: مجموع 27 درجة + 27 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{10}}=\sin 54^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}\,\!}
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{10}}=\cos 54^{\circ }={\frac {\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}{4}}}
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{10}}=\tan 54^{\circ }={\frac {\sqrt {25+10{\sqrt {5}}}}{5}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{10}}=\cot 54^{\circ }={\sqrt {5-{\sqrt {20}}}}\,}

### 60 °: مثلث متساوي الأضلاع

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{3}}=\sin 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{3}}=\cos 60^{\circ }={\frac {1}{2}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{3}}=\tan 60^{\circ }={\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{3}}=\cot 60^{\circ }={\frac {\sqrt {3}}{3}}={\frac {1}{\sqrt {3}}}\,}

### 67.5 °: مجموع 7.5 درجة + 60 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {3\pi }{8}}=\sin 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {3\pi }{8}}=\cos 67.5^{\circ }={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\,}
{\displaystyle \tan {\frac {3\pi }{8}}=\tan 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}+1\,}
{\displaystyle \cot {\frac {3\pi }{8}}=\cot 67.5^{\circ }={\sqrt {2}}-1\,}

### 72 °: مجموع 36 درجة + 36 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {2\pi }{5}}=\sin 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2\left(5+{\sqrt {5}}\right)}}\,}
{\displaystyle \cos {\frac {2\pi }{5}}=\cos 72^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {2\pi }{5}}=\tan 72^{\circ }={\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {2\pi }{5}}=\cot 72^{\circ }={\tfrac {1}{5}}{\sqrt {5\left(5-2{\sqrt {5}}\right)}}\,}

### 75 °: مجموع 30 درجة + 45 درجة

{\displaystyle \sin {\frac {5\pi }{12}}=\sin 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)\,}
{\displaystyle \cos {\frac {5\pi }{12}}=\cos 75^{\circ }={\tfrac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)\,}
{\displaystyle \tan {\frac {5\pi }{12}}=\tan 75^{\circ }=2+{\sqrt {3}}\,}
{\displaystyle \cot {\frac {5\pi }{12}}=\cot 75^{\circ }=2-{\sqrt {3}}\,}

### 90 °: أساسي

{\displaystyle \sin {\frac {\pi }{2}}=\sin 90^{\circ }=1\,}
{\displaystyle \cos {\frac {\pi }{2}}=\cos 90^{\circ }=0\,}
{\displaystyle \tan {\frac {\pi }{2}}=\tan 90^{\circ }=} غير معرف
{\displaystyle \cot {\frac {\pi }{2}}=\cot 90^{\circ }=0\,}

قائمة الثوابت المثلثية لـ 2*π*/*n*
----------------------------------

بالنسبة إلى الجذور التكعيبية للأعداد غير الحقيقية التي تظهر في هذا الجدول، يجب أخذ القيمة الأساسية، وهذا يعني أن الجذر التكعيبي يحتوي على أكبر جزء حقيقي؛ هذا الجزء الأكبر الحقيقي هو دائما موجب. لذلك، فإن مجموع الجذور التكعيبية التي تظهر في الجدول كلها أعداد حقيقية موجبة.

{\displaystyle {\begin{array}{r|l|l|l}n&\sin \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\cos \left({\frac {2\pi }{n}}\right)&\tan \left({\frac {2\pi }{n}}\right)\\\hline 1&0&1&0\\\hline 2&0&-1&0\\\hline 3&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&-{\frac {1}{2}}&-{\sqrt {3}}\\\hline 4&1&0&\pm \infty \\\hline 5&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\sqrt {5+2{\sqrt {5}}}}\\\hline 6&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{2}}&{\sqrt {3}}\\\hline 7&{\frac {1}{2}}{\sqrt {{\frac {1}{3}}\left(7-{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)}}&{\frac {1}{6}}\left(-1+{\sqrt[{3}]{\frac {7+21{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {7-21{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 8&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {2}}&1\\\hline 9&{\frac {i}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt[{3}]{\frac {-1+{\sqrt {-3}}}{2}}}+{\sqrt[{3}]{\frac {-1-{\sqrt {-3}}}{2}}}\right)&\\\hline 10&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}+1\right)&{\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}\\\hline 11&&&\\\hline 12&{\frac {1}{2}}&{\frac {1}{2}}{\sqrt {3}}&{\frac {1}{3}}{\sqrt {3}}\\\hline 13&&&\\\hline 14&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\frac {1}{24}}{\sqrt {3\left(80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}\right)}}&{\sqrt {\frac {112-{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}-{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}{80+{\sqrt[{3}]{14336+{\sqrt {-5549064193}}}}+{\sqrt[{3}]{14336-{\sqrt {-5549064193}}}}}}}\\\hline 15&{\frac {1}{8}}\left({\sqrt {15}}+{\sqrt {3}}-{\sqrt {10-2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{8}}\left(1+{\sqrt {5}}+{\sqrt {30-6{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left(-3{\sqrt {3}}-{\sqrt {15}}+{\sqrt {50+22{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 16&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}\right)&{\frac {1}{2}}\left({\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}\right)&{\sqrt {2}}-1\\\hline 17&&{\frac {1}{16}}\left(-1+{\sqrt {17}}+{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}+2{\sqrt {17+3{\sqrt {17}}-{\sqrt {34-2{\sqrt {17}}}}-2{\sqrt {34+2{\sqrt {17}}}}}}\right)&\\\hline 18&{\frac {i}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}-{\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt[{3}]{4+4{\sqrt {-3}}}}+{\sqrt[{3}]{4-4{\sqrt {-3}}}}\right)&\\\hline 19&&&\\\hline 20&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {5}}-1\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {10+2{\sqrt {5}}}}\right)&{\frac {1}{5}}\left({\sqrt {25-10{\sqrt {5}}}}\right)\\\hline 21&&&\\\hline 22&&&\\\hline 23&&&\\\hline 24&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}\right)&{\frac {1}{4}}\left({\sqrt {6}}+{\sqrt {2}}\right)&2-{\sqrt {3}}\end{array}}}

ملاحظات
-------

### استخدامات الثوابت

كمثال على استخدام هذه الثوابت، نعتبر حجم إثنا عشري السطوح المنتظم ، حيث *a* هو طول إحدى أحرفه:

{\displaystyle V={\frac {5a^{3}\cos 36^{\circ }}{\tan ^{2}{36^{\circ }}}}}
باستخدام: {\displaystyle \cos 36^{\circ }={\frac {{\sqrt {5}}+1}{4}}}

{\displaystyle \tan 36^{\circ }={\sqrt {5-2{\sqrt {5}}}}}
يمكن تبسيط هذا إلى:

{\displaystyle V={\frac {a^{3}\left(15+7{\sqrt {5}}\right)}{4}}}
### اشتقاق القيم من المثلثات

مضلع منتظم (ذو n ضلعًا) ومثلثه القائم الأساسي. الزوايا: *a* = 180°/*n* و *b* =90(1 − 2/*n*)°
يعتمد اشتقاق القيم الدقيقة للجيب وجيب التمام والظل على إنشاء المثلثات القائمة.

هنا تستخدم المثلثات القائمة التي أنشئت من قِطَع التناظر للمضلعات العادية لحساب النسب المثلثية الأساسية.  يمثل كل مثلث قائم ثلاث نقاط في مضلع عادي: الرأس، مركز الحافة الحاوية لهذا الرأس، ومركز المضلع. يمكن تقسيم مضلع ذو n ضلعًا إلى 2n مثلثات قائمة ذات زوايا 180/*n*، و 90 − 180/*n*، و 90° ، من أجل n = 3 , 4 , 5 , ....

قابلية إنشاء المضلعات ذات 3 و 4 و 5 و 15 ضلعًا هي الأساس، كما تسمح منصفات الزوايا باشتقاق مضاعفات تلك أعداد الأضلاع في اثنين أيضًا.

* **القابلة للإنشاء**
	+ مضلعات منتظمة ذات 3 × 2*n* ضلعًا، من أجل n = 0, 1, 2, 3, ...
		- مثلث ذو زوايا 30°-60°-90° : مثلث
		- مثلث ذو زوايا 60°-30°-90° : سداسي (ذو 6 أضلاع)
		- مثلث ذو زوايا 75°-15°-90° : إثنا عشري الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 82.5°-7.5°-90° : أربعة وعشروني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 86.25°-3.75°-90° : ثمانية وأربعوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 88.125°-1.875°-90° : ستة وتسعوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 89.0625°-0.9375°-90° : ذو 192 ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 89.53125°-0.46875°-90° : ذو 384 ضلعًا
		- ...
	+ ذو 4 × 2*n* ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 45°-45°-90° : مربع
		- مثلث ذو زوايا 67.5°-22.5°-90° : ثماني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 78.75°-11.25°-90° : ستة عشري الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 84.375°-5.625°-90° : إثنان وثلاثوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 87.1875°-2.8125°-90° : أربعة وستوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 88.09375°-1.40625°-90° : ذو 128 ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا  89.046875°-0.703125°-90° : ذو 256 ضلعًا
		- ...
	+ ذو 5 × 2*n* ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 54°-36°-90° : خماسي الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 72°-18°-90° : عشري الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 81°-9°-90° : عشروني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 85.5°-4.5°-90° : أربعوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 87.75°-2.25°-90° : ثمانوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 88.875°-1.125°-90° : ذو 160 ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 89.4375°-0.5625°-90° : ذو 320 ضلعا
		- ...
	+ ذو 15 × 2*n* ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 78°-12°-90° : خمسة عشري الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 84°-6°-90° : ثلاثوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 87°-3°-90° : ستوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 88.5°-1.5°-90° : ذو 120 ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 89.25°-0.75°-90° : ذو 240 ضلعًا
	+ ...

هناك أيضًا مضلعات منتظمة أخرى قابلة للإنشاء: 17, 51, 85, 255, 257, 353, 449, 641, 1409, 2547, ... 65535, 65537, 69481, 73697, ... 4294967295.)
* **غير القابلة للإنشاء** – التعبيرات الجذرية اللانهائية التي تتضمن أعدادًا حقيقية لتلك نسب أضلاع المثلث ممكنة، وبالتالي فإن مضاعفاتها في اثنين غير ممكنة أيضًا.
	+ ذو 9 × 2*n* ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 70°-20°-90° : تساعي الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 80°-10°-90° : ثمانية عشري الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 85°-5°-90° : ستة وثلاثوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 87.5°-2.5°-90° : إثنا وسبعوني الأضلاع
		- ...
	+ ذو 45 × 2*n* ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 86°-4°-90° : خمسة وأربعوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 88°-2°-90° : تسعوني الأضلاع
		- مثلث ذو زوايا 89°-1°-90° : ذو 180 ضلعًا
		- مثلث ذو زوايا 89.5°-0.5°-90° : ذو 360 ضلعًا
		- ...

انظر أيضا
---------

* مضلع قابل للإنشاء
* انشاء سبعة عشري الأضلاع، يعطي عبارة دقيقة لـ cos 2π/17.
* قائمة المطابقات المثلثية
* مبرهنة نيفن حول القيم الكسرية لجيب مضاعف كسري لـ π
* الدوال المثلثية

المراجع
-------

1. 1 2  Bradie، Brian (سبتمبر 2002). "Exact values for the sine and cosine of multiples of 18°: A geometric approach". *The College Mathematics Journal*. ج. 33 ع. 4: 318–319. DOI:10.2307/1559057. JSTOR:1559057.

روابط خارجية
------------

* المضلعات المنتظمة القابلة للإنشاء
* تسمية المضلعات
* يتضمن Sine and cosine in surds تعبيرات بديلة في بعض الحالات وكذلك تعبيرات لبعض الزوايا الأخرى.

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية