|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

في الحساب التكاملي، نشأت **التكاملات الناقصية** أو **التكاملات الإهليلجية** (بالإنجليزية: Elliptic integral)‏ في الأصل فيما يتعلق بمشكلة إيجاد طول قوس من القطع الناقص. تم دراستها لأول مرة من قبل جوليو فاغنانو  وليونهارت أويلر (حوالي 1750). تعرف الرياضيات الحديثة «التكامل الإهليلجي» على أنه أي دالة f يمكن التعبير عنها على شكل:

{\displaystyle f(x)=\int \_{c}^{x}R\left(t,{\sqrt {P(t)}}\right)\,\mathrm {d} t,}
حيث *R* هي دالة كسرية ذات متغيرين، و *P* هي متعددة الحدود من الدرجة الثالثة أو الرابعة بدون جذور متكررة، و *c* هو ثابت.

بشكل عام، لا يمكن التعبير عن التكاملات في هذا الشكل بدلالة الدوال الابتدائية. الاستثناءات لهذه القاعدة العامة هي عندما يكون لـ P جذور متكررة، أو عندما لا تحتوي R (x, y) على قوى فردية لـ y.

تدوين العمدة
------------

التكاملات الاهليلجية غير التامة هي دوال لعمدتين (arguments). أما التكاملات الاهليلجية التامة، فهي دوال لعمدة واحدة.

* *α*: الاختلاف المركزي الزاوي
* *k* = sin *α*: الاختلاف المركزي.
* *m* = *k*2 = sin2 *α*: الوسيط

التكاملات الإهليلجية غير التامة
-------------------------------

### التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الأول

يعرف **التكامل الإهليلجي غير الكامل من النوع الأول** F بـ:

{\displaystyle F(\varphi ,k)=F\left(\varphi \,|\,k^{2}\right)=F(\sin \varphi ;k)=\int \_{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}.}
هذا هو الشكل المثلثي للتكامل؛ بتعويض t = sin (θ) و x = sin (φ)، نحصل على شكل ليجاندر الإهليلجي النظامي:

{\displaystyle F(x;k)=\int \_{0}^{x}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})\cdot (1-k^{2}t^{2})}}}.}
بدلالة السعة φ والاختلاف المركزي الزاوي:

{\displaystyle F(\varphi \setminus \alpha )=F(\varphi ,\sin \alpha )=\int \_{0}^{\varphi }{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}.}
في هذا الترميز، يشير استخدام شريط عمودي كمحدد إلى أن العمدة (argument) التي تليها هي «الوسيط»، بينما تشير الشرطة المائلة للخلف إلى أنها «الاختلاف المركزي الزاوي». يشير استخدام الفاصلة المنقوطة إلى أن العمدة التي تسبقها هي جيب السعة.

### التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثاني

تكتب التكاملات الإهليلجية من النوع الثاني على الشكل المثلثي:

{\displaystyle E(\varphi ,k)=E(\varphi \,|\,k^{2})=E(\sin \varphi ;k)=\int \_{0}^{\varphi }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\,\mathrm {d} \theta .}
شكل جاكوبي:

{\displaystyle E(x;k)=\int \_{0}^{x}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\,\mathrm {d} t.}
وبالمثل، مع الاختلاف المركزي الزاوي:

{\displaystyle E(\varphi \setminus \alpha )=E(\varphi ,\sin \alpha )=\int \_{0}^{\varphi }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}\,\mathrm {d} \theta .}
يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض بـ E:

{\displaystyle m(\varphi )=a\left(E(\varphi ,e)+{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} \varphi ^{2}}}E(\varphi ,e)\right),}
حيث *a* هو المحور الرئيسي للإهليلج (القطع الناقص)، و *e* هو إختلافه المركزي.

### التكامل الإهليلجي غير التام من النوع الثالث

تكتب التكاملات الإهليلجية غير التامة من النوع الثالث Π على الشكل المثلثي:

{\displaystyle \Pi (n;\varphi \setminus \alpha )=\int \_{0}^{\varphi }{\frac {1}{1-n\sin ^{2}\theta }}\cdot {\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-(\sin \theta \sin \alpha )^{2}}}}}
أو

{\displaystyle \Pi (n;\varphi \,|\,m)=\int \_{0}^{\sin \varphi }{\frac {1}{1-nt^{2}}}\cdot {\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-mt^{2})(1-t^{2})}}}.}
يُطلق على العدد n اسم **المميزة** ويمكن أن يأخذ أي قيمة، بغض النظر عن العمدات الأخرى. ومع ذلك، لاحظ أن {\displaystyle \Pi (1;{\tfrac {\pi }{2}}\,|\,m)} لانهائي، مهما كان m.

يعطى طول قوس الزوال من خط الإستواء إلى دائرة العرض φ أيضا بدلالة Π:

{\displaystyle m(\varphi )=a(1-e^{2})\Pi (e^{2};\varphi \,|\,e^{2}).}

التكاملات الإهليلجية التامة
---------------------------

هي حالات خاصة للتكاملات غير التامة عندما تكون السعة تساوي π/2، وبالتالي *x*=1.

### التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الأول *K*(*k*)
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الأول *K* بـ:

{\displaystyle K(k)=F\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=F\left({\frac {\pi }{2}}\,|\,k^{2}\right)=F\left(1;k\right)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}=\int \_{0}^{1}{\frac {\mathrm {d} t}{\sqrt {(1-t^{2})(1-k^{2}t^{2})}}},}
يمكن استخدام مفكوكه:

{\displaystyle K(k)={\frac {\pi }{2}}\sum \_{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}k^{2n}}
يمكن حسابه بكفاءة عالية بدلالة المتوسط الحسابي الهندسي:

{\displaystyle K(k)={\frac {\frac {\pi }{2}}{\operatorname {agm} \left(1,{\sqrt {1-k^{2}}}\right)}}.}
### التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني {\displaystyle E(k)}
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثاني *E* بـ:

{\displaystyle E(k)=E\left({\frac {\pi }{2}},k\right)=E(1;k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}\ \mathrm {d} \theta =\int \_{0}^{1}{\frac {\sqrt {1-k^{2}t^{2}}}{\sqrt {1-t^{2}}}}\mathrm {d} t}.
بالنسبة للقطع الناقص ذو المحور الرئيسي a والمحور الثانوي b، وبالتالي من الاختلاف المركزي {\displaystyle e={\sqrt {1-b^{2}/a^{2}}}}، التكامل الإهليلجي التام من النوع الثاني E (e) يساوي ربع المحيط c للقطع الناقص قسمة المحور الثانوي a. اختصارًا:

{\displaystyle c=4aE(e)}
يمكن استخدام مفكوكه:

{\displaystyle E(k)={\frac {\pi }{2}}\sum \_{n=0}^{\infty }\left[{\frac {(2n)!}{2^{2n}(n!)^{2}}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{1-2n}}={\frac {\pi }{2}}\left\{1-\left({\frac {1}{2}}\right)^{2}{\frac {k^{2}}{1}}-\left({\frac {1\cdot 3}{2\cdot 4}}\right)^{2}{\frac {k^{4}}{3}}-\cdots -\left[{\frac {\left(2n-1\right)!!}{\left(2n\right)!!}}\right]^{2}{\frac {k^{2n}}{2n-1}}-\cdots \right\}.}
حيث {\displaystyle n!!} هو عاملي ثنائي.

### التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث

منحنى التكامل الإهليلجي التام من النوع الثالث {\displaystyle \Pi (n,k)} مع عدة قيم ثابتة لـ n {\displaystyle n}
تعرف التكاملات الإهليلجية التامة من النوع الثالث Π بـ:

{\displaystyle \Pi (n,k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1-n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}
يمكن تعريفهم أحيانًا بالمعكوس الجمعي للمميزة *n*،

{\displaystyle \Pi '(n,k)=\int \_{0}^{\pi /2}{\frac {\mathrm {d} \theta }{(1+n\sin ^{2}\theta ){\sqrt {1-k^{2}\sin ^{2}\theta }}}}.}

انظر أيضًا
----------

* منحنى إهليلجي

مراجع
-----

1. ↑  موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، *معجم مصطلحات الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 207، QID:Q108593221
2. ↑  *معجم الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، القاهرة: مجمع اللغة العربية بالقاهرة، ج. 2، 2000، ص. 97، QID:Q120333812
3. ↑  أحمد شفيق الخطيب (2001). *قاموس العلوم المصور: بالتعريفات والتطبيقات: إنجليزي - عربي* (بالعربية والإنجليزية) (ط. 1). بيروت: مكتبة لبنان ناشرون. ص. 206. ISBN:978-9953-10-218-4. OCLC:50131139. QID:Q124741809.
4. ↑  ميشال إبراهيم ساسين؛ رامي أبو سليمان؛ فادي فرحات (2007). *قاموس المصطلحات العلمية: فيزياء - كيمياء - رياضيات (إنكليزي - فرنسي - عربي) مع مسرد ألفبائي بالألفاظ الفرنسية* (بالعربية والإنجليزية والفرنسية) (ط. 1). بيروت: دار الكتب العلمية. ص. 288. ISBN:978-2-7451-5445-3. OCLC:929661320. QID:Q120799140.

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |
| --- |
| **تكامل ناقصي** في المشاريع الشقيقة: |
|  |  |