**نقطة ثابتة تكرارية** (بالإنجليزية: Fixed-point iteration)‏ تستخدم هذه الطريقة التكرارية لحل المعادلات و تتميز بأنها لا تتطلب حساب قيم أي مشتقات كما في طريقة نيوتن حيث لحل المعادلة {\displaystyle f(x)=0} نحتاج إلى حساب قيمة مشتقة الدالة {\displaystyle {f}} عند كل خطوة.

فكرة هذه الطريقة
----------------

تُعرف النقطة الثابتة لدالة بأنها القيمة التي لا تتغير عندها الدالة {\displaystyle g(p)=p} ولحل معادلة ما {\displaystyle f(x)=0} بطريقة النقطة الثابتة نضع أولًا المعادلة في الصورة {\displaystyle x=g(x)} حيث {\displaystyle g} دالة في x والواقع أنه يمكن وضع أي معادلة {\displaystyle f(x\_{0})=0} في هذه الصورة الخاصة المذكورة بعدد لا نهائي من الطرق. فمثلًا الدالة {\displaystyle f(x)=x^{3}-2x-5} نستطيع كتابتها كالتالي : 
{\displaystyle x^{3}-2x-5=0}

{\displaystyle x=(2x-5)^{1 \over 3}=g\_{1}(x)}

أو {\displaystyle x={{-5+x^{3}} \over 2}=g\_{2}(x)}

أو {\displaystyle x={5 \over {x^{2}-2}}=g\_{3}(x)}

ويتم اختيار صيغة من الصيغ الخاصة {\displaystyle x=g(x)} بحيث يؤدي حلها بطريقة النقطة الثابتة إلى التباعد أو التقارب حسب اختيار الدالة كما سيوضح في النظرية .

نفترض أن لدينا معادلة على الصورة {\displaystyle x=g(x)} و لنبدأ بقيمة قريبة من الجذر و لتكن {\displaystyle x=x\_{0}} ثم نكون المتتالية من تقريب المتتابعة {\displaystyle x\_{n+1}=g(x\_{n});n=0,1,2,......} ومن الواضح أنه إذا كانت لهذه المتتالية {\displaystyle x\_{0},x\_{1},x\_{2}} نهاية {\displaystyle {\xi }} فإن {\displaystyle {\xi }} يكون جذرًا للمعادلة {\displaystyle x=g(x)} و ذلك لأن {\displaystyle {\xi }=g({\xi })} .

مالذي يضمن وجود النقطة الثابتة ؟! و كيف أستطيع تحديد دالة تقاربية ؟! سيوضح ذلك النظرية التالية. نظرية (1)

1. إذا كانت ل دالة و {\displaystyle g\in C[a.b]} أي دالة متصلة و قابلة للاشتقاق وَ {\displaystyle g(x)\in C[a.b]} لأي قيمة {\displaystyle x\in C[a.b]} فإن الدالة {\displaystyle {g}} نقطة ثابتة على الأقل .
2. بالإضافة إلى أن {\displaystyle g'(x)} موجودة في {\displaystyle (a,b)} و العدد الموجب {\displaystyle k,k<1} موجود و يحقق أن {\displaystyle |g'(x)|\leq k,\forall x\in (a,b)} فإنه يوجد بالضبط نقطة واحدة في

{\displaystyle [a.b]}

البرهان : 

1. إذا كانت {\displaystyle g(b)=b} وَ {\displaystyle g(a)=a} حيث أن {\displaystyle a,b} نقط ثابتة .

نفترض أن {\displaystyle g(a)\neq a} وَ {\displaystyle g(b)\neq b}

{\displaystyle g(a)>a,g(b)<b{\Leftarrow }}

{\displaystyle h(x)=g(x)-x,h\in C[a,b]}

{\displaystyle h(a)=g(a)-a>0}

{\displaystyle h(b)=g(b)-b<0}

و باستخدام نظرية القيمة المتوسطة نحصل على :

{\displaystyle \exists c\in [a,b]} بحيث أن {\displaystyle h(c)=0}

{\displaystyle h(c)=g(c)-c{\Leftarrow }}

{\displaystyle g(c)=c{\Leftarrow }}

{\displaystyle {c}{\Leftarrow }} نقطة ثابتة

1. {\displaystyle {g'}} موجودة و يوجد عدد موجب {\displaystyle {k}} بحيث أن : {\displaystyle |g'(x)|\leq k<1}

من نظرية القيمة المتوسطة نفترض أن {\displaystyle {p},{q}} نقطتين ثابتتين {\displaystyle \exists {\xi }\in (p,q)\subseteq [a,b]{\Leftarrow }}

{\displaystyle g'({\xi })={{g(q)-g(p)} \over {q-p}}}

{\displaystyle g(q)-g(p)=(q-p)g'({\xi }){\Leftarrow }}

{\displaystyle |g(q)-g(p)|=|(q-p)g'({\xi })|{\Leftarrow }}

{\displaystyle |g(q)-g(p)|=|(q-p)||g'({\xi })|{\Leftarrow }}

{\displaystyle |q-p|<|q-p|{\Leftarrow }} وهذا يؤدي إلى تناقض إذًا يوجد لدالة {\displaystyle {g}} نقطة ثابتة وحيدة .

نظرية (2)
---------

بالإضافة إلى الشروط السابقة في النظرية (1) {\displaystyle {g'}} موجودة في {\displaystyle (a,b)} و الثابت {\displaystyle 0<k<1} بحيث {\displaystyle |g'(x)|\leq k\forall x\in (a,b)} فإنه يوجد عدد {\displaystyle {p\_{0}}}
{\displaystyle [a,b]} بحيث المتتابعة معرفة كالتالي {\displaystyle {x\_{n}}=g({x\_{n-1}});n\leq 1} هذه المتتابعة تقاربية و تقترب من النقطة الثابتة الوحيدة .

نستفيد من إضافة هذا الشرط في النظرية (2) لمعرفة ما إذا كانت الدالة {\displaystyle {g}} المختارة تقاربية .

حدود الخطأ
----------

نتيجة :

عند تحقق الشروط في نظرية (1) و نظرية (2) فإن حدود الخطأ الناتجة من استخدام {\displaystyle {x\_{n}}} لتقريب إلى {\displaystyle {x}} تعطى بالعلاقة التالية :

{\displaystyle |{x\_{n}}-x|{\leq {k^{n}}}{max[{x\_{0}}-a,b-{x\_{0}}]}}

و أيضًا

{\displaystyle |{x\_{n}}-x|\leq {{k^{n}} \over {1-k}}|{x\_{1}}-{x\_{0}}|\forall n\geq 1}

تقارب طريقة النقطة الثابتة
--------------------------

لإيجاد علاقة تعطي الخطأ {\displaystyle {\epsilon \_{n+1}}} بدلالة {\displaystyle {\epsilon \_{n}}} : نفترض أن {\displaystyle {\xi }} هي القسمة المضبوطة للجذر إذًا :

{\displaystyle {x\_{n}}={\xi }+{\epsilon \_{n}}}

{\displaystyle {x\_{n+}}={\xi }+{\epsilon \_{n+1}}}

وبالتعويض في صيغة النقطة الثابتة : {\displaystyle {x\_{n+1}}=g(x\_{n})}

نحصل على {\displaystyle {\xi }+{\epsilon \_{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon \_{n}})}

{\displaystyle {\epsilon \_{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon \_{n}})-{\xi }}

و بما أن 
{\displaystyle {\xi }} هي القسمة المضبوطة للجذر، أي أنها تحقق المعادلة {\displaystyle g(x)=x}

إذًا {\displaystyle {\xi }=g({\xi })}

إذًا {\displaystyle {\epsilon \_{n+1}}=g({\xi }+{\epsilon \_{n}})-g({\xi })}

و بتطبيق نظرية القيمة المتوسطة نجد أن :

{\displaystyle {\epsilon \_{n+1}}={\epsilon \_{n}}.g'({\eta \_{n}});{\eta \_{n}}\in ({\xi },{{\xi }+{\epsilon \_{n}}})}

{\displaystyle |{\epsilon \_{n+1}}|=|{\epsilon \_{n}}|.|g'({\eta \_{n}})|}

بالتالي يكون شرط التقارب {\displaystyle |g'({\eta \_{n}})|<1,\forall n}

خطوات طريقة النقطة الثابتة
--------------------------

1. نضع {\displaystyle f(x)=0}
2. {\displaystyle f(x)=0{\Rightarrow }g(x)=x}
3. وضع قيمة ابتدائية و لتكن {\displaystyle {x\_{0}}}
4. {\displaystyle {x\_{n}}=g({x\_{n}}-1)} ومن ثم نكرر هذه الخطوة إلى الوصول إلى معيار التوقف المطلوب .

مثال :

1. أثبت أنه يوجد نقطة ثابتة وحيدة لدالة {\displaystyle f(x)=x^{3}-2x-5} .
2. ثم استخدم طريقة النقطة الثابتة لإيجاد جذر الدالة في الفترة {\displaystyle [2,3]} وحيث أن مقدار الخطأ {\displaystyle {\epsilon }=10^{-5}}

الحل : 

1. نختار {\displaystyle f(x)=0}

{\displaystyle x^{3}-2x-5=0}

{\displaystyle x=(2x-5)^{1 \over 3}}

{\displaystyle g(x)=(2x-5)^{1 \over 3}}

نختبرنظرية (1)

{\displaystyle g(2)=2.08\in [2,3],g(3)=2.22\in [2,3]}

ندرس تزايد أو تناقص الدالة لمعرفة أعلى قيمة

{\displaystyle g'(x)={2 \over 3}(2x-5)^{-2 \over 3}}

إذًا هذه الدالة تزايدية مهما أخذت قيمة ل 
{\displaystyle {x}} 
في الفترة 
{\displaystyle [2,3]}

{\displaystyle g''(x)={-4 \over 9}{(2x-5)}^{-5 \over 3}{<0}}
و 
{\displaystyle {g'}} تناقصية في هذه الفترة

{\displaystyle {g''(2)}={0.23},{g''(3)}={0.2}}

وهذا يعني أن أعلى قيمة لدالة {\displaystyle {g'}} 
عند {\displaystyle g''(2)=0.23}

{\displaystyle |g'(x)|<0.23}

إذًا يوجد نقطة ثابتة ووحيدة في الفترة {\displaystyle [2,3]}

1. نفترض أن {\displaystyle x\_{0}=2.5}

{\displaystyle x\_{1}=f(2.5)=2.2544346}

{\displaystyle x\_{2}=2.1036120}

{\displaystyle x\_{3}=2.0959274}

{\displaystyle x\_{4}=2.0947605}

{\displaystyle x\_{5}=2.0945832}

{\displaystyle x\_{6}=2.0945563}

{\displaystyle x\_{7}=2.0945522}

{\displaystyle |{x\_{7}}-{x\_{6}}|=|2.0945563-2.0945522|=4.1\times 10^{-6}<10^{-5}}

مراجع
-----

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات