|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

**الدالة المستمرة** أو **الدالة المتصلة** أو الدالة المتصلة بانتظام (بالإنجليزية: Continuous function)‏ هي دالة رياضية تؤدي فيها تغييرات طفيفة في متغيّر الدالّة إلى تغييرات طفيفة في قيمتها. الدالة التي لا تحقّق هذه الخاصّة تدعى (دالة غير مستمرة) أو (دالة منفصلة). بشكل بديهي، فإنّ دالة ما هي مستمرّة إذا استطعنا أن نرسم رسمها البياني بدون رفع القلم عن الورقة، مع أنّ هذا التعريف ليس دقيقًا.

يعتبر موضوع استمراريّة الدوال أحد المواضيع المبدئية والجوهريّة في الطوبولوجيا. في هذه الصفحة، سيكون الحديث عن دالة ذات مصادر وقيم حقيقيّة.

على سبيل المثال، إذا كانت الدالّة {\displaystyle h\left(t\right)} تمثّل ارتفاع زهرة ما في الزمن {\displaystyle t}، فإنّ هذه الدالة مستمرة. في الواقع، فهنالك قول مأثور في الفيزياء الكلاسيكية يقضي بأنّ **كل شيء في الطبيعة استمراري (مستمر)**. وإذا فرضنا أنّ الدالة {\displaystyle m\left(t\right)} تمثّل ارتفاع رصيد حساب في البنك في الزمن {\displaystyle t}، فإنّ قيمة الدالة «تقفز» كلّما تم سحب بعض المال أو إدخاله إلى الحساب، لذا فإنّ هذه الدالّة غير مستمرّة.

دوال مستمرّة بقيم حقيقيّة
-------------------------

لنفرض دالّة معيّنة بمتغيّر واحد تحوّل أعدادًا حقيقية إلى أعداد حقيقية، وأنّ نطاقها هو مجال فاصل ما (كفترة زمنيّة مثلاً)، مثل الدوال {\displaystyle h} و{\displaystyle m}. بالإمكان رسم دالة كهذه في نظام إحداثي ديكارتي؛ وتكون هذه الدالّة **دالة مستمرة** إذا ما كان رسمها البياني منحنًى واحدًا غير منقطعًا، بدون «ثغرات» أو «قفزات».

التعريف الأدق هو أنّ الدالة {\displaystyle f} هي دالة مستمرة في نقطة معيّنة، {\displaystyle c}، إذا تحقّقت الشروط التالية:

* أن تكون القيمة {\displaystyle f\left(c\right)} معرّفة، أي أنّ {\displaystyle c} هو عنصر تابع لنطاق الدالّة {\displaystyle f}؛
* هنالك نهاية للدالة {\displaystyle f} عند اقترابها من العدد {\displaystyle c} إمّا من اليمين أو من اليسار وهي تساوي {\displaystyle f\left(c\right)}.

وتدعى الدالّة دالة مستمرّة إذا تحقّق الشرطان أعلاه لكل نقطة في نطاق الدالّة. بشكل عام، نقول أنّ الدالة مستمرة على مجموعة جزئية من نطاق الدالّة، إذا كانت مستمرّة في كل نقطة في هذه المجموعة. تسمية الدالة بدالة مستمرة تعني بشكل عام أنّ الدالة مستمرة لكل الأعداد الحقيقيّة.

كثيرًا ما يستخدم التدوين {\displaystyle C\left(\Omega \right)} أو {\displaystyle C^{0}\left(\Omega \right)} للدلالة على مجموعة كل الدوال المستمرّة في النطاق {\displaystyle \Omega }. على هذا النمط، فينوّه التدوين {\displaystyle C^{1}\left(\Omega \right)} إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة والتي مشتقّاتها هي دوال مستمرّة، والتدوين {\displaystyle C^{2}\left(\Omega \right)} إلى مجموعة الدوال القابلة للمفاضلة مرّتين والتي مشتّقاتها الثانية هي دوال مستمرّة، وهكذا دواليك.

تعريفات وأمثلة
--------------

هنالك أكثر من تعريف رياضي واحد لاستمراريّة الدالة، وبالإمكان إثبات تكافئ هذه التعاريف، أي أنّه إذا فرضنا أنّ الدالة مستمرّة وفق أحد التعريفات فبالإمكان برهنة استمراريتها وفق التعريفات الأخرى.

### تعريف الاستمراريّة بحسب كوشي (إبسيلون-دلتا)

بدون اللجوء إلى الحديث عن النقاط الحدوديّة، بالإمكان تعريف الدالة المستمرة بالشكل الآتي:

لننظر مجددًا إلى دالّة {\displaystyle f} بمتغيّر واحد حقيقي قيمها حقيقيّة، ولنفرض أنّ العدد {\displaystyle c} هو أحد عناصر نطاق الدالّة {\displaystyle f}. تكون الدالّة {\displaystyle f} هي دالة مستمرة في النقطة {\displaystyle c} إذا تحقّق أنّ: **لكل** {\displaystyle \varepsilon >0}، مهما كان صغيرًا، **يوجد** عدد {\displaystyle \delta >0}، بحيث أنّ **لكل** {\displaystyle x} في نطاق الدالّة {\displaystyle f} الذي يحقّق {\displaystyle c-\delta <x<c+\delta }، يتحقّق التالي بالنسبة لـ{\displaystyle f\left(x\right)}:

{\displaystyle f\left(c\right)-\varepsilon <f\left(x\right)<f\left(c\right)+\varepsilon }
وبتدوين بديل: إذا كانت المجموعات {\displaystyle I,D}، هي مجموعات جزئية من مجموعة الأعداد الحقيقيّة، {\displaystyle \mathbb {R} }، فإنّ استمراريّة الدالّة {\displaystyle f:I\to D} في النقطة {\displaystyle c\in I} تعني أنّه **لكل** {\displaystyle \varepsilon >0}، **هنالك** {\displaystyle \delta >0} يحقّق **لكل** {\displaystyle x\in I}:

{\displaystyle \left|x-c\right|<\delta \Rightarrow \left|f(x)-f(c)\right|<\varepsilon }
إنّ أوّل من برهن استمراريّة دالّة بهذه الطريقة كان الرياضي أوغستين كوشي. ولتفسير هذا التعريف بصورة بديهيّة: إذا اخترنا أي جوار {\displaystyle \varepsilon }، مهما كان صغيرًا، لـ{\displaystyle f\left(c\right)}، فبالإمكان إيجاد جوار {\displaystyle \delta } لـ{\displaystyle c} بحيث تكون قيم الدالّة في الجوار الأخير موجودة كلّها في الجوار الأوّل.

### تعريف الاستمراريّة بحسب نهايته

أوّل من وضع هذا التعريف كان الرياضي الألماني إدوارد هاينه.

ويقضي التعريف بأنّ الدالّة الحقيقيّة {\displaystyle f} تدعى مستمرّة إذا كانت كلّ متتالية {\displaystyle \left(x\_{n}\right)} تحقّق:
{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }x\_{n}=L,}،
أي أنّه إذا كانت نهايتها هي العدد {\displaystyle L}، يتحقّق كذلك:
{\displaystyle \lim \limits \_{n\to \infty }f(x\_{n})=f\left(L\right)}،
أي أنّ نهاية الدالة عند اقترابها من نهاية المتتالية {\displaystyle \left(x\_{n}\right)} تساوي قيمة الدالة في نهاية المتتالية {\displaystyle \left(x\_{n}\right)}، أي {\displaystyle f\left(L\right)}. هذا وقد افترضنا في التعريف أعلاه أنّ كل حدود المتتالية، ونهايتها كذلك، كلّها موجودة في نطاق الدالة {\displaystyle f}.
### أمثلة

* كل الدوال متعددة الحدود هي دوال مستمرّة؛
* جميع الدوال النسبية والدوال الأسّيّة والدوال اللوغاريتميّة ودوال الجذر التربيعي والدوال المثلثية ودوال القيمة المطلقة جميعها دوال مستمرّة؛
* هنالك بعض الدوال التي هي غير مستمرّة في أيّة نقطة في نطاقها.أشهرها تسمّى دالة ديريخليه، على اسم العالم الألماني يوهان ديريخليه، وتعريفها كالتالي:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\1{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}
أي أنّ الدالة تحصل على القيمة 1 لكل {\displaystyle x} ينتمي إلى مجموعة الأعداد النسبية (أي التي بالإمكان كتابتها على شكل كسر عادي أو عدد كسري)، وعلى القيمة{\displaystyle 0} لكل {\displaystyle x} لا ينتمي إلى تلك المجموعة، أي لكل عدد غير نسبي. بالإمكان برهان أنّه على محور الأعداد الحقيقية، يوجد بين كل عددين نسبيين عدد غير نسبي، وبين كل عددين غير نسبيين عدد نسبي. بالاعتماد على هذا، فإنّ دالة ديريخليه هي دالّة غير مستمرّة في أيّة نقطة؛
* بالمقابل، بعض الدوال، كالدالّة الآتية:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\in \mathbb {R} \setminus \mathbb {Q} \\x{\mbox{ if }}x\in \mathbb {Q} \end{cases}}}
هي دوال مستمرّة في نقطة واحدة فقط. في هذه الحالة فإنّ الدالة مستمرّة في النقطة {\displaystyle x=0}؛
* الدالّة الآتية:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\leq 0\\1{\mbox{ if }}x>0\end{cases}}}
هي دالّة مستمرّة في كل نقاط نطاقها، ما عدا النقطة {\displaystyle x=0}، لذا فإنّها **دالّة غير مستمرّة**. فبالإمكان برهنة عدم استمراريتها وفقًا لتعريف كوشي أعلاه: إذا اخترنا {\displaystyle \varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}، فلا يمكن أن نجد أيّ جوار {\displaystyle \delta } حول النقطة {\displaystyle x=0} تكون فيها قيم الدالة بين {\displaystyle 0-\varepsilon =-{\tfrac {1}{2}}} وبين {\displaystyle 0+\varepsilon ={\tfrac {1}{2}}}، إذ أنّ {\displaystyle f(x)=1>{\tfrac {1}{2}}} لكل {\displaystyle x>0}.

خواص الدوال المستمرّة
---------------------

لنفرض دالّتين مستمرّتين، {\displaystyle f} و{\displaystyle g}، إذًا:

* الدالّتان {\displaystyle f+g} و{\displaystyle f-g} وأي تركيب خطّي لهاتين الدالتين كلّها دوال مستمرّة؛
* الدالّة {\displaystyle f\cdot g} هي دالّة مستمرّة؛
* إذا كانت الدالّة g تحقّق أنّ {\displaystyle g(x)\neq 0} لكل {\displaystyle x} في نطاقها، فإنّ الدالّة {\displaystyle {\tfrac {f}{g}}} هي دالّة مستمرّة؛
* إنّ تركيب الدالتين {\displaystyle f\left(y\right)} و{\displaystyle g\left(x\right)} هو دالّة مستمرّة، أي أنّ الدالّة المركّبة {\displaystyle (f\circ g)(x)=f(g(x))} هي دالّة مستمرّة.

خواص أخرى:

* إذا كانت الدالّة {\displaystyle f\left(x\right)} قابلة للمفاضلة في النقطة {\displaystyle c}، فهي **بالضرورة** مستمرّة في هذه النقطة. أمّا العكس فليس صحيحًا، فعلى سبيل المثال: الدالّة {\displaystyle f(x)=\left|x\right|} هي دالّة مستمرّة في النقطة {\displaystyle x=0} ولكنّها ليست قابلة للمفاضلة في تلك النقطة؛
* مبرهنة القيمة الوسطية:

إذا كانت الدالّة الحقيقية {\displaystyle f\left(x\right)} مستمرّة على المجال الفاصل المغلق {\displaystyle \left[a,b\right]}، وإذا كان {\displaystyle k} عددًا حقيقيًا بين {\displaystyle f\left(a\right)} و{\displaystyle f\left(b\right)}، **فيوجد بالضرورة** عدد {\displaystyle c} في المجال الفاصل {\displaystyle \left[a,b\right]} يحقّق: {\displaystyle f(c)=k}.
مثال توضيحي: إذا ازداد طول طفل من 1 متر إلى 1.5 مترًا من جيل سنتين حتّى جيل 6 سنوات، فبالتأكيد كان طول الطفل 1.25 مترًا في نقطة ما من الزمن بين جيل سنتين وجيل 6 سنوات، لأنّ طول الطفل كدالة من الزمن هي دالّة مستمرّة؛
* إحدى النتائج المهمّة من النظرية السابقة:

إذا كانت الدالّة الحقيقية {\displaystyle f\left(x\right)} مستمرّة على المجال الفاصل المغلق {\displaystyle \left[a,b\right]}، وكانت القيمتان {\displaystyle f\left(a\right)} و{\displaystyle f\left(b\right)} تختلفان بالإشارة، **فتوجد بالضرورة** نقطة {\displaystyle c} في المجال الفاصل {\displaystyle \left[a,b\right]} تحقّق: {\displaystyle f(c)=0}، أي هنالك بالتأكيد نقطة صفرية للدالة *f* في المجال الفاصل.

استمرارية أحادية الجهة
----------------------

قد تكون بعض الدوال مستمرّة من جهّة واحدة فقط، أي من جهّة اليسار أو من جهّة اليمين. وتعرّف الدالّة المستمرّة من اليمين بهذا الشكل: لكل نقطة في نطاق الدالّة، إذا اقتربنا من هذه النقطة من جهّة اليمين فقط، نرى أنّها مستمرّة. من ناحية تعريف كوشي، فإنّه يشبه التعريف الأصلي مع تعديلات بسيطة:

تكون الدالة {\displaystyle f\left(x\right)} مستمرّة في النقطة {\displaystyle x=c} إذا تحقٌق الآتي: **لكل** {\displaystyle \varepsilon >0}، **يوجد** {\displaystyle \delta >0} بحيث:
{\displaystyle 0<x-c<\delta \Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon }
أي أنّ الشرط يتحقّق فقط لجميع النقاط في جوار {\displaystyle \delta } الذي يقع إلى يمين النقطة {\displaystyle c}. وتعرّف الاستمراريّة من اليسار بطريقة مشابهة، مع تعديل الشرط إلى الشرط التالي:

أ. دالة مستمرّة من اليسار؛ ب. دالة مستمرّة من اليمين
{\displaystyle -\delta <x-c<0\Rightarrow |f(x)-f(c)|<\varepsilon }
وتكون الدالة مستمرّة **إذا وفقط إذا** كانت مستمرّة من اليمين وكذلك من اليسار.

### أمثلة

* في بند الأمثلة السابق، ذكرت الدالّة الآتية:

{\displaystyle f(x)={\begin{cases}0{\mbox{ if }}x\leq 0\\1{\mbox{ if }}x>0\end{cases}}}
على أنّها دالّة غير مستمرّة بسبب عدم استمراريّتها في النقطة {\displaystyle x=0}. مع هذا، فإنّ هذه الدالّة هي دالّة مستمرّة من اليسار لكل {\displaystyle x}: لكل نقطة في النطاق، بامكان اختيار جوارًا من جهة اليسار لا نلاحظ فيه أي عدم استمراريّة عند التقدم نحو النقطة فيه. أمّا بالنسبة لاستمراريّة من اليمين فهي لا تتحقّق، لنفس السبب الذي يجعل الدالّة غير مستمرّة.
* إنّ دالة التوزيع التراكمي في نظرية الاحتمالات هي دالّة مستمرّة من اليمين دائمًا.

== مراجع ==\

1. ↑  "معلومات عن دالة مستمرة على موقع brilliant.org". brilliant.org. مؤرشف من الأصل في 2017-11-02.
2. ↑  "معلومات عن دالة مستمرة على موقع universalis.fr". universalis.fr. مؤرشف من الأصل في 2019-07-25.
3. ↑  "معلومات عن دالة مستمرة على موقع britannica.com". britannica.com. مؤرشف من الأصل في 2016-05-06.

|  |
| --- |
| **دالة مستمرة** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
* كتب من ويكي الكتب.
* دروس من ويكي الجامعة.
 |


| * ع
* ن
* ت
طوبولوجيا |
| --- |
| مجالات | 
* الطوبولوجيا العامة
* طوبولوجيا جبرية
* طوبولوجيا توافقية
* طوبولوجيا كمية
* طوبولوجيا تفاضلية
* طوبولوجيا هندسية
* تماثل (رياضيات)
* cohomology
* Set-theoretic

 | Computer graphics rendering of a Klein bottle |
| مفاهيم أساسية | 
* مجموعة مفتوحة / مجموعة مغلقة
* دالة مستمرة
* فضاء طوبولوجي
	+ فضاء متراص
	+ فضاء هاوسدورف
	+ فضاء متري
	+ uniform
* مثلية التوضع
	+ homotopy group
	+ زمرة أساسية
* Simplicial complex
* CW complex
* متتالية منضبطة
* جبر تماثلي
* متعدد شعب

 |

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحدية
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
|  تصنيف  **•**   كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة لاتفيا الوطنية (LNB)

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي