قانون جيب التمام

معلومات عامة| جزء من | 
حساب مثلثات عدل القيمة على Wikidata |
| سُمِّي باسم | 
غياث الدين الكاشيلازار كارنو عدل القيمة على Wikidata |
| تعريف الصيغة | 
{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos C} عدل القيمة على Wikidata |
| يصف البيان | 
مثلث عدل القيمة على Wikidata |
| القضية الشرطية | 
مبرهنة فيثاغورس عدل القيمة على Wikidata |

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بياناتحول القالب

|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| حساب المثلثات |
|  |
| مفاهيم رئيسة
* التاريخ
* الاستعمالات
* الدّوال
	+ الدوال العكسية
* حساب مثلثات معممة
* حساب المثلثات الكروية
 |
| أدوات مرجعية
* المتطابقات
* القيم الدقيقة للثوابت
* الجداول
* دائرة الوحدة
 |
| قواعد وقوانين
* الجيوب
* جيوب التمام
* الظّلال
* ظلال التمام
* مبرهنة فيثاغورس
 |
| تفاضل وتكامل
* تعويضات مثلثية
* التكاملات
	+ تكاملات الدوال العكسية
* المشتقات
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

في المثلث ABC الزوايا α, β, γ هي المقابلة على الترتيب للأضلاع a, b, c.
**قانون جيب التمام** أو **قانون التجيب** أو **مبرهنة الكاشي** هي مبرهنة في هندسة المثلثات تربط ضلع أي مثلث بضلعيه الآخرين وجيب تمام الزاوية المحصورة بينهما. ينص قانون جيب التمام على أنه في أي مثلث أطوال أضلاعه a, b, c المقابلة للزوايا α, β, γ فإنَّ:

{\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }

{\displaystyle b^{2}=c^{2}+a^{2}-2ca\cos \beta }

{\displaystyle a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha }.

قانون جيب التمام يُعمم نظرية فيثاغورس لأي مثلث بأي زوايا. بوضع {\displaystyle \gamma =90^{\circ }} نجد أنَّ {\displaystyle \cos \gamma =0} ومنها نظرية فيثاغورس {\displaystyle c^{2}=a^{2}+b^{2}}.

التسمية
-------

سُميت بهذا الاسم نسبة إلى العالم غياث الدين الكاشي الذي نشر هذه المبرهنة في كتابه «مفتاح الحساب» عام 1429 م.

التاريخ
-------

شكل. 2 - مثلث ABC مع ارتفاع BH
في كتاب العناصر لإقليدس، نجد مقاربة هندسية لتعميم مبرهنة فيثاغورس: نجد في الكتاب 2 العبارتين 12 و13, حيث يتم التطرق لحالة مثلث عادي بزاوية منفرجة وفي مثلث عادي بزوايا حادة. لكن عدم وجود الدوال المثلثية (آنذاك) وكذلك الجبر أدى إلى استعمال المساحات.

فالعبارة 12 :

«في المثلث المنفرج الزاوية تكون مساحة المربع المنشأ على الضلع المقابل للزاوية المنفرجة مساوياً لمجموع مساحتي المربعين المنشأين على الضلعين الآخرين مضافاً إلى هذا المجموع ضعف مساحة المستطيل الذي بعداه طول أحد هذين الضلعين وطول مسقط الضلع الآخر عليه.»
وفي الشكل المقابل المثلث ABC مثلث منفرج الزاوية في C والقطعة المستقيمة CH هي مسقط الضلع BC على الضلع AC (انظر شكل2) وبالتالي وطبقاً للنظرية يكون

{\displaystyle AB^{2}=CA^{2}+CB^{2}+2(CA)(CH)}
و كان يجب انتظار العرب المسلمين لتظهر الدوال المثلثية لرؤية المبرهنة في تطورها: فالفلكي والرياضي البتاني عمم نتيجة إقليدس في الهندسة الفضائية والتي مكنت من القيام بحساب المسافات بين النجوم. وفي نفس الوقت تم إنشاء جداول للدوال المثلثية والتي أتاحت للعالم غياث الدين الكاشي صياغة المبرهنة في شكلها النهائي.

تطبيقات
-------

مبرهنة الكاشي في تعميم لمبرهنة فيتاغورس، عندما تكون الزاوية :{\displaystyle \gamma } قائمة، أو عندما يكون: {\displaystyle \cos \gamma =0}، المبرهنة تصبح:{\displaystyle \,c^{2}=a^{2}+b^{2}},
و عكسيا.

شكل. 3 - تطبيق المبرهنة :الكاشي زاوية أو ضلع مجهول.
النظرية تستعمل في المثلثات(انظر شكل. 3)حل مثلث، أي تحديد:

* الضلع الثالث لمثلث نعرف فيه زاوية والضلعين المكونين لها:

{\displaystyle \,c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma }}} ;
* زوايا مثلث نعرف فيه الأضلاع:

{\displaystyle \,\gamma =\arccos {\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}}.

البراهين
--------

### بتقسيم المساحات

من بين طرق البرهنة حساب المساحات، حيث يتم ملاحظة ما يلي:

* {\displaystyle a^{2}}, {\displaystyle b^{2}} و{\displaystyle c^{2}} هي مساحات لمربع أضلاعه على التوالي {\displaystyle a}, {\displaystyle b} و{\displaystyle c}
* {\displaystyle ab|\cos \gamma |} وهو ل متوازي أضلاع من جهة{\displaystyle a} و{\displaystyle b} يكونان زاوية {\displaystyle \pi /2-\gamma }، تغيير إشارة: {\displaystyle \cos \gamma } تصبح الزاوية {\displaystyle \gamma } منفرجة تجعل دراسة الحالات ضرورية.

شكل. 4أ - البرهنة بالنسبة للزوايا الحادة : « طريقة التقسيم ».
الشكل 4أ (جانبه) يقسم سباعي بكيفيتين مختلفتين حيث تتم البرهنة في حالة زاوية حادة. يدخل هنا :

* بالوردي، lالمساحات {\displaystyle a^{2}}, {\displaystyle b^{2}} في اليسار، والمساحات {\displaystyle 2ab\cos \gamma } و{\displaystyle c^{2}} في اليمين ;
* بالأزرق، المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار ;
* بالرمادي، بعض المثلثات الإضافية، متطابقة مع المثلث ABC وبنفس العدد في التقسيمين.

تساوي المساحات في اليمين واليسار يعطي

{\displaystyle \,a^{2}+b^{2}=c^{2}+2ab\cos \gamma }.

شكل. 4ب - البرهنة بالنسبة للزوايا المنفرجة : « طريقة التقسيم ».
الشكل 4ب (جانبه) يقسم سداسي بكيفيتين مختلفتين بكيفية برهن في حالة زاوية منفرجة. الشكل يبين

* بالوردي، المساحات {\displaystyle a^{2}}, {\displaystyle b^{2}} و{\displaystyle -2ab\cos \gamma } في اليسار، والمساحات {\displaystyle c^{2}} في اليمين ;
* بالأزرق، مرتين المثلث ABC، في اليمين كما في اليسار.

تساوي المساحتين يمينا ويسارا يعطي

{\displaystyle \,a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma =c^{2}}.
### باستعمال نظرية فيتاغورس

شكل. 5 - البرهنة باستعمال العلاقات المثلثية
الشكل 5 (جانبه) يبين طريقة البرهنة باستعمال مبرهنة فيتاغورس في مثلث قائم الزاوية ناتج عن طريق الارتفاع : {\displaystyle \,c^{2}=(a\sin \gamma )^{2}+(b-a\cos \gamma )^{2}}

بنفس الطريقة نبرهن في حالة مثلث بزاوية منفرجة.

في الهندسة اللاإقليدية
----------------------

### في الهندسة الكروية

طالع أيضًا: حساب المثلثات الكروية
حل المثلث الكروي باستخدام قانون جيب التمام
توجد نسخ مشابهة لقانون جيب التمام للمثلثات المستوية أيضًا في كرة الوحدة (نصف قطرها يساوي 1) وفي المستوي الزائدي. في الهندسة الكروية، يعرّف المثلث بثلاث نقاط **u** و**v**، و **w** على كرة الوحدة، وأقواس الدوائر العظمى التي تربط تلك النقاط.  إذا كانت هذه الدوائر العظمى تصنع الزوايا *A*، *B*، و *C* مع الأضلاع المقابة *a*، *b*، *c* فإن القانون الكروي لجيب التمام ينص أن:

{\displaystyle {\begin{aligned}\cos a&=\cos b\cos c+\sin b\sin c\cos A\\\cos A&=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cos a.\end{aligned}}}
### في الهندسة الزائدية

طالع أيضًا: مثلث زائدي
في الهندسة الزائدية، تُعرف المعادلتين معًا باسم قانون جيب التمام للمثلثات الزائدية. الأولى هي:

{\displaystyle \cosh a=\cosh b\cosh c-\sinh b\sinh c\cos A}
حيث sinh و cosh هي دالتي الجيب وجيب التمام الزائديتان.

والثانية هي:

{\displaystyle \cos A=-\cos B\cos C+\sin B\sin C\cosh a.}
كما هو الحال في الهندسة الإقليدية ، يمكن للمرء استخدام قانون جيب التمام لتحديد الزوايا *A*, *B*, *C* من معرفة الأضلاع *a*، *b*، *c*. على عكس الهندسة الإقليدية، فإن العكس ممكن أيضًا في كلا المثلثين اللاإقليديين: تحدد الزوايا *A*، *B*، *C* الأضلاع *a*، *b*، *c*.

انظر أيضًا
----------

* طريقة التثليث
* قانون الجيب
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* دوال مثلثية
* صيغة مولفيده
* حل المثلثات.

ملاحظات
-------

1. ↑  هي أيضاً تعميم لمبرهنة فيثاغورس على أي زاوية من زوايا المثلث (ليست بالضرورة قائمة).

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: قانون جيب التمام |

مراجع
-----

1. ↑  Java applet version by Prof. D E Joyce of Clark University. نسخة محفوظة 05 أغسطس 2017 على موقع واي باك مشين.

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية
* أيقونة بوابةبوابة العالم الإسلامي

| * ع
* ن
* ت
حساب المثلثات |
| --- |
| الهندسة الإقليدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال المثلثية  | 
* الجيب
* جيب التمام
* الظل
* ظل التمام
* القاطع
* قاطع التمام
* دالة الوتر
* السهم
* القاطع الخارجي

 |
| الدوال العكسية  | 
* قوس الجيب
* قوس جيب التمام
* قوس الظل

 |
| التكاملات  | 
* الجيب
* جيب التمام

 |
| قوانين  | 
* قائمة المتطابقات المثلثية
* مبرهنة فيثاغورس
* مبرهنة طاليس
* قانون الجيب
* قانون جيب التمام
* قانون الظل
* قانون ظل التمام
* صيغة مولفيده

 |

 |  |
| الهندسة الزائدية | 

|  |  |
| --- | --- |
| الدوال الزائدية  | 
* الجيب الزائدية
* التمام الزائدية
* الظل الزائدية

 |
| الدوال العكسية  | 
* جيب التمام الزائدية العكسية
* الجيب الزائدية العكسية
* الظل الزائدية العكسية

 |

 |
| 
* الدوال الإهليلجية
* حساب المثلثات الكروية

 |