لدى ندفة الثلج لكوخ تشابه ذاتي متكرر بشكل لا نهائي عند تضخيمه
معيار التشابه الذاتي.
**تشابه ذاتي** (بالإنجليزية: Self-similarity)‏ هو شكل مشابه أو شبه مشابه لجزء من ذاته، هناك العديد من الأمثلة في العالم الحقيقي، مثل السواحل. التشابه الذاتي هو خاصية نموذجية للهندسة الكسيرية. مقياس الثبات  هو شكل دقيق من التشابه الذاتي على سبيل المثال، جانب من ندفة الثلج لكوخ متماثلة وغير ثابتة. يمكن تكبيره باستمرار 3 مرات دون أن يتغير الشكل. يتميز التشابه الواضح في الهندسة الكسيرية بهيكلها الناعم، أو بالتفصيل على المقاييس الصغيرة، في المقابل، أن أي جزء من الخط المستقيم قد يشبه الكل، لا يتم الكشف عن المزيد من التفاصيل.

يقال إن الظاهرة المتغيرة زمنيًا تُظهر تشابهًا ذاتيًا إذا كانت القيمة العددية لكمية ملحوظة معينةf(x,t) مختلفة عند قياسها في أوقات مختلفة، مع بقاء الكمية المقابلة اللابعدية عند قيمة معينة x/tz ثابتة، ويحدث ذلك إذا كانت الكمية f(x,t) تبدي ارتقاءً ديناميكيًا (وهو اختبار يثبت أن منظومة ما تبدي تشابهًا ذاتيَا)، الفكرة هي مجرد امتداد لفكرة التشابه بين مثلثين، إذ يمكنك ملاحظة أن أي مثلثين يعتبران متشابهين إذا كانت القيم العددية لأضلاعهما مختلفة، لكن القيم المقابلة غير البعدية -مثل الزوايا- متطابقة.

التقارب الذاتي
--------------

 شكل كسيري متقارب ذاتيًا مع بعد هاوسدروف=1.8272.
يعتبر التقارب الذاتي في الرياضيات من إحدى سمات الهندسة الكسيرية التي يتم قياس قطعها بكميات مختلفة في الاتجاهين x و y، ولتقدير التشابه الذاتي لهذه الأشكال الكسيرية، يجب إعادة قياسها باستخدام تحويل تآلفي متباين الخواص.

التعريف
-------

يكون الفضاء الطوبولوجي المتراص X متشابه ذاتيًا، إذا تواجدت مجموعة منتهية S تُرَمِّز دالات غير شمولية هوميومرفية {\displaystyle \{f\_{s}:s\in S\}} بحيث يكون:

{\displaystyle X=\bigcup \_{s\in S}f\_{s}(X)}
إذا كان {\displaystyle X\subset Y} نقول عن X أنها متشابهة ذاتيًا إذا كانت المجموعة الجزئية الوحيدة وغير الخالية من Y كما في المعادلة أعلاه{\displaystyle \{f\_{s}:s\in S\}}، ونقول أن

{\displaystyle {\mathfrak {L}}=(X,S,\{f\_{s}:s\in S\})}
يمكن تكرار الأشكال المتشابهة طوبولوجيًا مما يؤدي إلى نظام دالة متكرر، يشكل تركيب الدالات بنية جبرية تدعى مونويد، وفي حال احتوت المجموعة S على عنصرين فقط تدعى ثنائية المونويد، ويمكن تصوير هذه الأخيرة على أنها شجرة ثنائية لانهائية، وبشكل عام إذا كانت المجموعة S تحتوي على عناصر p فقد يتم تمثيل المونويد كشجرة بنظام p-adic.

التماثلات الذاتية لثنائية المونويد هي المجموعة القياسية، ويمكن أن يتم تصويرها على أنها دوران قطعي زائدي للشجرة الثنائية، والفكرة الأكثر عمومية من التشابه الذاتي هي التقارب الذاتي.

أمثلة
-----

يظهر التشابه الذاتي في مجموعة ماندلبرو بالتكبير على نقطة فيغنباوم عند (−1.401155189... 0).
مجموعة ماندلبرو هي أيضًا متشابهة ذاتيًا حول نقاط ميسيورفيتش (Misiurewicz points).

للتشابه الذاتي نتائج مهمة بالنسبة لتصميم شبكات الكمبيوتر، حيث تتميز حركة الشبكة النموذجية بخصائص متشابهة، وعلى سبيل المثال؛ يبدو في هندسة الاتصالات عن بعد أن أنماط حركة بيانات تحويل الرزم متشابهة ذاتيًا من الناحية الإحصائية، وتعني هذه الخاصية أن النماذج البسيطة التي تستخدم توزيع بواسون غير دقيقة، وأن الشبكات المصممة دون مراعاة التشابه الذاتي من المحتمل أن تعمل بطرق غير متوقعة.

وبالمثل، توصف حركات سوق الأوراق المالية بأنها تظهر تقاربًا ذاتيًا، أي أنها تبدو متقاربة ذاتيًا عندما يتم تحويلها عن طريق تحويل تآلفي مناسب لمستوى يظهر التفاصيل.، ويصف أندرو لو التشابه الذاتي لعائدات سجل سوق الأسهم في الاقتصاد القياسي.

قواعد التقسيمات المحددة هي تقنية قوية لبناء مجموعات مماثلة لذاتها، بما في ذلك مجموعة كانتور ومثلث سيربنسكي.

### في السبرانية (سيبرنيطيقا)

يعد نموذج النظام القابل للتطبيق لستافورد بيير، نموذجًا تنظيميًا ذو تسلسل هرمي متشابه ذاتيًا

### في الطبيعة

يمكن العثور على التشابه الذاتي في الطبيعة أيضًا، وإلى الجانب صورة متشابهة ذاتيًا تم إنشاؤها رياضيًا للسرخس، وتبدي تمثيل ملحوظ للسراخس الطبيعية، وكذلك نباتات أخرى -مثل البروكلي الرومانسكي- تُظهر تشابهًا ذاتيًا قويًا.

### في الموسيقى

* تبدي تقنية التلحين الكانون أنماط وكميات متنوعة من التشابه الذاتي، وكذلك الأمر في أجزاء من تقنية الفوغا.
* تعتبر نغمة شيبرد متشابهة ذاتيًا من حيث التردد أو الطول الموجي.
* استخدم الملحن الدانماركي بير نوردجارد تسلسلاً صحيحًا ذاتيًا اسمه «التسلسل اللانهائي» في الكثير من موسيقاه.
* في مجال البحث عن استرجاع المعلومات الموسيقية، يشار إلى التشابه الذاتي عادةً إلى حقيقة أن الموسيقى غالبًا ما تتكون من أجزاء تتكرر في الوقت المناسب

المراجع
-------

1. ↑  Mandelbrot, Benoit B. (1982). *The Fractal Geometry of Nature*, p.44. (ردمك 978-0716711865).
2. ↑  Mandelbrot, Benoit B. (5 مايو 1967). "How long is the coast of Britain? Statistical self-similarity and fractional dimension". *ساينس*. New Series. ج. 156 ع. 3775: 636–638. DOI:10.1126/science.156.3775.636. PMID:17837158. مؤرشف من الأصل في 2015-07-13. اطلع عليه بتاريخ 2016-01-11. PDF نسخة محفوظة 13 يوليو 2015 على موقع واي باك مشين.
3. ↑  Hassan M. K. Hassan M. Z. Pavel N. I. (2011). "Dynamic scaling, data-collapseand Self-similarity in Barabasi-Albert networks". *J. Phys. A: Math. Theor*. ج. 44: 175101. arXiv:1101.4730. Bibcode:2011JPhA...44q5101K. DOI:10.1088/1751-8113/44/17/175101.`{{استشهاد بدورية محكمة}}`: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)
4. ↑  Hassan M. K. Hassan M. Z. (2009). "Emergence of fractal behavior in condensation-driven aggregation". *Phys. Rev. E*. ج. 79: 021406. arXiv:0901.2761. Bibcode:2009PhRvE..79b1406H. DOI:10.1103/physreve.79.021406.
5. ↑  Dayeen F. R. Hassan M. K. (2016). "Multi-multifractality, dynamic scaling and neighbourhood statistics in weighted planar stochastic lattice". *Chaos, Solitons & Fractals*. ج. 91: 228. arXiv:1409.7928. Bibcode:2016CSF....91..228D. DOI:10.1016/j.chaos.2016.06.006.
6. ↑  Leland، W.E.؛ Taqqu، M.S.؛ وآخرون (يناير 1995). "On the self-similar nature of Ethernet traffic (extended version)" (PDF). *IEEE/ACM Transactions on Networking*. ج. 2 ع. 1: 1–15. DOI:10.1109/90.282603. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2017-08-29.
7. ↑  Benoit Mandelbrot (فبراير 1999). "How Fractals Can Explain What's Wrong with Wall Street". Scientific American. مؤرشف من الأصل في 2019-02-28.
8. ↑  Foote، Jonathan (30 أكتوبر 1999). "Visualizing music and audio using self-similarity" (PDF). *Multimedia '99 Proceedings of the seventh ACM international conference on Multimedia (Part 1)*: 77-80. DOI:10.1145/319463.319472. مؤرشف (PDF) من الأصل في 2017-08-09.
9. ↑  Pareyon، Gabriel (أبريل 2011). *On Musical Self-Similarity: Intersemiosis as Synecdoche and Analogy* (PDF). International Semiotics Institute at Imatra; Semiotic Society of Finland. ص. 240. ISBN:978-952-5431-32-2. مؤرشف من الأصل (PDF) في 2017-02-08. اطلع عليه بتاريخ 2018-07-30. (Also see Google Books)

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية

| * ع
* ن
* ت
كسيريات |
| --- |
| Characteristics | 
* بعد كسيري
	+ بعد هاوسدورف
	+ Topological dimension
* استدعاء ذاتي
* تشابه ذاتي

 | An image of a fern which exhibits تحويل تآلفي self-similarity. |
| Iterated function system | 
* Barnsley fern
* مجموعة كانتور
* Dragon curve
* ندفة الثلج لكوخ
* إسفنج مينغر
* زربية سيربنسكي
* مثلث سيربنسكي
* Space-filling curve
* T-square

 |
| Strange attractor | 
* Multifractal system

 |
| نظام لامي  ‏ | 
* Space-filling curve

 |
| Escape-time fractals | 
* كسيرية الباخرة المحترقة
* مجموعة جوليا
* كسيرية ليابونوف
* مجموعة ماندلبرو
* كسيرية نوفا

 |
| Random fractals | 
* حركة براونية
* Brownian tree
* Diffusion-limited aggregation
* Fractal landscape
* رحلة ليفي
* نظرية التخلل
* Self-avoiding walk

 |
| علماء | 
* جورج كانتور
* فيليكس هاوسدورف
* غاستون جوليا
* هيلغ فون كوخ
* بول ليفي
* ألكسندر ليابونوف
* بينوا ماندلبروت
* لويس فراي ريتشاردسون
* فاتسواف شيربينسكي

 |
| أخرى | 
* "How Long Is the Coast of Britain?"
	+ مفارقة خط الساحل
* List of fractals by Hausdorff dimension

 |


|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: تشابه ذاتي |