تربط **الدالة الغودرمانية** أو **دالة غودرمان**، التي سميت على اسم كريستوف غودرمان (1798–1852)، الدوال المثلثية بالدوال الزائدية دون استخدام الأعداد المركبة.

تعرّف بـ :

{\displaystyle \operatorname {gd} x=\int \_{0}^{x}\operatorname {sech} t\,\mathrm {d} t.}

الخصائص
-------

### التعريفات البديلة

{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} x&=\arcsin \left(\tanh x\right)=\arctan(\sinh x)=\operatorname {arccsc} (\coth x)\\[6pt]&=\operatorname {sgn}(x)\arccos \left(\operatorname {sech} x\right)=\operatorname {sgn}(x)\operatorname {arcsec} (\cosh x)\\[6pt]&=2\arctan \left(\tanh {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=2\arctan \left(e^{x}\right)-{\frac {\pi }{2}}=-i\ln \left(\operatorname {sech} x+i\tanh x\right)\\[6pt]&=-{\frac {i}{2}}\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{1-i\sinh x}}\right)=-i\ln \left({\frac {1+i\sinh x}{\cosh x}}\right)\\[6pt]&=-i\ln \left({\frac {1+i\tanh {\frac {x}{2}}}{1-i\tanh {\frac {x}{2}}}}\right)=-i\ln \left(i\tanh \left({\frac {x}{2}}-{\frac {i\pi }{4}}\right)\right)~.\end{aligned}}}
### بعض المتطابقات

{\displaystyle {\begin{aligned}\sin(\operatorname {gd} x)&=\tanh x\;;&\csc(\operatorname {gd} x)&=\coth x\;;\\[6pt]\cos(\operatorname {gd} x)&=\operatorname {sech} x\;;&\sec(\operatorname {gd} x)&=\cosh x\;;\\[6pt]\tan(\operatorname {gd} x)&=\sinh x\;;&\cot(\operatorname {gd} x)&=\operatorname {csch} x\;;\\[6pt]\tan \left({\frac {\operatorname {gd} x}{2}}\right)&=\tanh {\frac {x}{2}}~.\end{aligned}}}
### الدالة العكسية

 رسم بياني لمعكوس دالة غودرمانية
{\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {gd} ^{-1}x&=\int \_{0}^{x}\sec t\,\mathrm {d} t\qquad {\text{ for }}\quad -{\frac {\pi }{2}}<x<{\frac {\pi }{2}}\\[8pt]&=\ln \left|{\frac {1+\sin x}{\cos x}}\right|={\frac {1}{2}}\ln \left|{\frac {1+\sin x}{1-\sin x}}\right|=\ln \left|{\frac {1+\tan {\frac {x}{2}}}{1-\tan {\frac {x}{2}}}}\right|\\[8pt]&=\ln \left|\tan x+\sec x\right|=\ln \left|\tan \left({\frac {x}{2}}+{\frac {\pi }{4}}\right)\right|\\[8pt]&=\operatorname {artanh} (\sin x)=\operatorname {arsinh} (\tan x)\\[6pt]&=2\operatorname {artanh} \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\\[6pt]&=\operatorname {arcoth} (\csc x)=\operatorname {arcsch} (\cot x)\\[6pt]&=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arcosh} (\sec x)=\operatorname {sgn} (x)\operatorname {arsech} (\cos x)\\[6pt]&=-i\operatorname {gd} (ix)~.\end{aligned}}}
### بعض المتطابقات

{\displaystyle {\begin{aligned}\sinh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\tan x\;;&\operatorname {csch} \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\cot x\;;\\[6pt]\cosh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\sec x\;;&\operatorname {sech} \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\cos x\;;\\[6pt]\tanh \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\sin x\;;&\coth \left(\operatorname {gd} ^{-1}x\right)&=\csc x~.\end{aligned}}}
### المشتقات

{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {gd} x=\operatorname {sech} x\;;\quad {\frac {\operatorname {d} }{\operatorname {d} x}}\operatorname {gd} ^{-1}x=\sec x~.}

أنظر أيضا
---------

* دوال زائدية عكسية
* إسقاط مركاتور
* منحنى متساوي المماسات
* قائمة المطابقات المثلثية

مراجع
-----

1. ↑  موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، *معجم مصطلحات الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 294، QID:Q108593221
2. ↑  
Olver، F.W.J.؛ Lozier، D.W.؛ Boisvert، R.F.؛ Clark، C.W.، المحررون (2010). *NIST Handbook of Mathematical Functions*. Cambridge University Press. مؤرشف من الأصل في 2022-05-14.
3. ↑  
*Handbook of Mathematical Sciences* (ط. 5th). Boca Raton, FL: CRC Press. 1987. ص. 323–325.
4. ↑  
إيريك ويستاين، *Gudermannian*، ماثوورلد Mathworld *(باللغة الإنكليزية*).

|  |
| --- |
| **دالة غودرمانية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات