في الرياضيات، **المعادلة التفاضلية الخطية** من الرتبة n هي معادلة من الشكل العام

{\displaystyle f\_{n}(x)y^{(n)}+f\_{n-1}(x)y^{(n-1)}+\cdots +p\_{1}(x)y^{\prime }+f\_{0}(x)y=G(x)\qquad }

حيث {\displaystyle f\_{i}(x)\!} و {\displaystyle {G(x)}\!} هي توابع (أو دالات) معلومة وحيث {\displaystyle p\_{n}(x)\neq 0}، و{\displaystyle y(x)\!} هو تابع مجهول وإيجاد هذا التابع هو بمثابة حل لهذه المعادلة حيث هنا يكمن محور بحث نظرية المعادلات التفاضلية بشكل عام.

وعندما تكون {\displaystyle G(x)=0\!} تسمى المعادلة حينئذٍ **بالمتجانسة** Homogeneous حيث إيجاد حل المعادلة المتجانسة هو خطوة أولى نحو الحل العام للمعادلة اللامتجانسة (مفصل في الأسفل).

عندما تكون المعاملات {\displaystyle p\_{i}(x)\!} مجرد أعداد نقول أن المعادلة هي **ذات معاملات ثابتة**.

مؤثر تفاضلي خطي
---------------

ممكن كتابة المعادلة بواسطة المؤثر: {\displaystyle \ L={\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p\_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p\_{0}} بحيث ان:

{\displaystyle \ L[y]=({\frac {d^{n}}{dx^{n}}}+p\_{n-1}{\frac {d^{n-1}}{dx^{n-1}}}+\dots +p\_{0})y}

وبالتالي يمكن كتابة المعادلة بالصورة الاتية: {\displaystyle \ L\left[y\right]=q(x)}. المعادلة تسمى «خطية» لان المؤثر هو خطي: {\displaystyle \ L\left[\lambda \_{1}y\_{1}+\lambda \_{2}y\_{2}\right]=\lambda \_{1}L\left[y\_{1}\right]+\lambda \_{2}L\left[y\_{2}\right]}.

لان هذا المؤثر التفاضلي يعبّر عن مشتقات، وصفاته الخطية تنبع من قواعد الاشتقاق. من هنا نتسنتج انه إذا كان {\displaystyle v(x)} و {\displaystyle u(x)} حلول للمعادلة التفاضلية المعطاة، فان {\displaystyle v(x)+u(x)} هو أيضا حل، وأيضا {\displaystyle c\_{1}v(x)+c\_{2}u(x)} أيضا حل (بحيث ان {\displaystyle c\_{1},c\_{2}} هي ثوابت اختيارية. كما ذكرنا إذا كان {\displaystyle \ q(x)\equiv 0} المعادلة تسمى *متجانسة'*.

حل المعادلة التفاضلية
---------------------

فيما يخص المعادلة التفاضلية المتجانسة مجموعة الحلول تشكّل فضاء متجهي، نبحث عن قاعدة من هذه الحلول.أي مجموعة دوال {\displaystyle \ y\_{1},\dots ,y\_{n}} يمكن كتابة كل حل للمعادلة بصورة خطية بواسطة الحلول : {\displaystyle \ y=c\_{1}y\_{1}+\dots +c\_{n}y\_{n}}. بحيث {\displaystyle \ c\_{1},\dots ,c\_{n}} ثوابت اختيارية، «حل عام للمعادلة المتجانسة».

إذا يكفي ان نبحث عن الحلول {\displaystyle \ y\_{1},\dots ,y\_{n}} لنجد الحل العام.

لمعادلة خطية غير متجانسة {\displaystyle \ L\left[y\right]=q(x)} الميّزة ان الفرق بين حلّين يعطينا حل للمعادلة المتجانسة {\displaystyle \ L\left[y\right]=0}. أي أن، إذا {\displaystyle \ L\left[y\_{1}\right]=L\left[y\_{2}\right]=q(x)} إذا ينتج {\displaystyle \ L\left[y\_{1}-y\_{2}\right]=L\left[y\_{1}\right]-L\left[y\_{2}\right]=q(x)-q(x)=0}. ومن هنا نتنج صفة مهمة لمعادلة خطية غير متجانسة:

إذا إذا كان {\displaystyle \ y} حل عام للمعادلة الغير متجانسة، و {\displaystyle \ y\_{p}} هو حل خاص لها، إذا {\displaystyle \ y-y\_{p}}, مثلما اوضحنا، هو حل للمعادلة المتجانسة.

وبنصّ آخر، باختصار الحل العام للمعادلة الغير متجانسة عبارة عن :{\displaystyle \ y=y\_{p}+y\_{H}}

{\displaystyle \ y\_{p}} حل خاص للغير متجانسة

{\displaystyle \ y\_{H}} حل عام للمتجانسة

حل المعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة
-----------------------------------------------------

هذه المعادلة هي من الشكل
{\displaystyle p\_{n}y^{(n)}+p\_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p\_{1}y^{\prime }+p\_{0}y=0}

وتحل باستخدام الوسيط
{\displaystyle y=e^{\lambda }\!}

فنحصل على معادلة جبرية من الشكل
{\displaystyle {p\_{n}\lambda ^{n}+p\_{n-1}\lambda ^{n-1}+\cdots +p\_{1}\lambda +p\_{0}=0}}
لها عدد n من الحلول
{\displaystyle \lambda =s\_{0},s\_{1},\dots ,s\_{n-1}}

يقابلها نفس العدد من الحلول للمعادلة التفاضلية

{\displaystyle y\_{i}(x)=e^{s\_{i}x}}
من الممكن برهنة أن هذه الحلول مستقلة خطياً. فيكون الحل العام للمعادلة التفاضلية المتجانسة ذات المعاملات الثابتة من الشكل
{\displaystyle y\_{H}(x)=C\_{0}(x)y\_{0}(x)+C\_{1}(x)y\_{1}+\cdots +C\_{n-1}(x)y\_{n-1}}

حيث{\displaystyle C\_{i}(x)\!} قد تكون أعدادا أو دالات.

حل المعادلة التفاضلية اللامتجانسة ذات المعاملات الثابتة
-------------------------------------------------------

{\displaystyle p\_{n}y^{(n)}+p\_{n-1}y^{(n-1)}+\cdots +p\_{1}y^{\prime }+p\_{0}y=q(x)\!}

تمثيلات أخرى
------------

أحياناً قد يمثل الشكل العام للمعادلة بطريقة أخرى حيث نستبدل المعامل التفاضلي من الرتبة i بالرمز {\displaystyle D^{i}} أي

{\displaystyle y^{(i)}={\frac {d^{i}y}{dx^{i}}}=D^{i}y\!}

وتصبح المعادلة كالتالي

{\displaystyle (p\_{n}(x)D^{n}+p\_{n-1}(x)D^{n-1}+\cdots +p\_{1}(x)D+p\_{0}(x))y=q(x)}

أو
{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}p\_{i}(x)D^{i}y=q(x)\!}

مراجع
-----

1. ↑  Fabien Monfreda (2013). *Etude et résolution d'équations différentielles algébriques avec applications en génie des procédés* (بالفرنسية). Archived from the original on 2020-02-25. `{{استشهاد بكتاب}}`: الوسيط `|وصلة=` and `|مسار=` تكرر أكثر من مرة (help) and الوسيط غير المعروف `|nature ouvrage=` تم تجاهله (help)
2. ↑  Gerhard, Wanner; Ernst, Hairer (1991). *Solving Ordinary Differential Equations II: Stiff and Differential-Algebraic Problems* (بالإنجليزية).

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المكتبة القومية الإسرائيلية (J9U)
* مكتبة الكونغرس (LCNAF)
* مكتبة لاتفيا الوطنية (LNB)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |