**دالة ذات قيمة متجهية** ، والتي يشار إليها أيضًا باسم **دالة متجهية** ، هي دالة رياضية لمتغير واحد أو أكثر يكون مداها عبارة عن مجموعة من المتجهات متعددة الأبعاد أو متجهات لا نهائية الأبعاد. يمكن أن تكون مدخلات الدالة المتجهية عدداً أو متجهًا (أي أن أبعاد المجال يمكن أن تكون 1 أو أكبر من 1) ؛ لا يتم تحديد بُعد مجال الدالة بواسطة بُعد النطاق.

مثال: اللولب
------------

رسم بياني للدالة المتجهية **r**(*Z*) = 〈2 cos *Z*, 4 sin *Z*, *Z*〉
من الأمثلة الشائعة لدالة متجهية هي تلك التي تعتمد على متغير حقيقي *واحد* t ، غالبًا ما تمثل الوقت ، مما ينتج متجهًا {\displaystyle v(t)} كنتيجة. من حيث متجهات الوحدة **القياسية** {\displaystyle i,j,k} لنظام الإحداثيات الديكارتية ، يتم تمثيل هذه الأنواع المحددة من الدوال المتجهية بواسطة علاقات مثل :

* {\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }

حيث {\displaystyle f(t)} و{\displaystyle g(t)} و {\displaystyle g(t)} هي **دوال إحداثيات** للمتغير *t* ، ومنطلق هذه الدالة ذات القيمة المتجهية هو تقاطع مجال الوظائف f *و* {\displaystyle g} و {\displaystyle h}. يمكن تمثيل هذه الدوال المتجهية بطريقة مختلفة :

* {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t),h(t)\rangle }

المتجه {\displaystyle r(t)} له ذيله في الأصل ورأسه عند الإحداثيات التي يتم اعطائها بواسطة الدالة.

في المستوى (2D)، يمكننا تمثيل الدوال المتجهية كالآتي :

* {\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} } أو
* {\displaystyle \mathbf {r} (t)=\langle f(t),g(t)\rangle }

الحالة الخطية
-------------

في الحالة الخطية ، يمكن التعبير عن الدالة المتجهية بواسطة المصفوفات :

> {\displaystyle y=Ax+b}
> 
> 

حيث {\displaystyle y} عبارة عن متجه أبعاده هي {\displaystyle n\times 1}، x هو *متجه مدخل أبعاده هي* {\displaystyle k\times 1}، و A عبارة عن مصفوفة أبعادها هي {\displaystyle n\times k} ، و *b* *متجه n* × 1 للمعلمات .

تستعمل الحالة الخطية غالبًا في تحليل الانحدار.

مشتق دالة متجهية ثلاثية الأبعاد
-------------------------------

يمكن اشتقاق العديد من الدوال المتجهية ، مثل الدوال ذات القيمة العددية ، ببساطة عن طريق اشتقاق الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتية. وهكذا ، إذا

> {\displaystyle \mathbf {r} (t)=f(t)\mathbf {i} +g(t)\mathbf {j} +h(t)\mathbf {k} }
> 
> 

هي دالة متجهية ، إذن فإشتقاقها هو

> {\displaystyle {\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}=f'(t)\mathbf {i} +g'(t)\mathbf {j} +h'(t)\mathbf {k} }
> 
> 

يقبل مشتق المتجه التأويل الفيزيائي التالي: إذا كان {\displaystyle r(t)} يمثل موضع جسيم ، فإن المشتق هو سرعة هذا الجسيم

> {\displaystyle \mathbf {v} (t)={\frac {d\mathbf {r} (t)}{dt}}}
> 
> 

وبالمثل ، فإن مشتق السرعة هو التسارع

> {\displaystyle {\frac {d\mathbf {v} (t)}{dt}}=\mathbf {a} (t)}
> 
>

انظر أيضًا
----------

* 
* حقل متجهات
* منحنى
* تمثيل وسيطي

مراجع
-----

1. ↑  Serge Lang. *Calculus of several variables*. `{{استشهاد بكتاب}}`: `|عمل=` تُجوهل (help) and روابط خارجية في ``|عمل=`` (help)

* Kane، Thomas R.؛ Levinson، David A. (1996)، "1–9 Differentiation of Vector Functions"، *Dynamics Online*، Sunnyvale, California: OnLine Dynamics, Inc.، ص. 29–37
* Hu، Chuang-Gan؛ Yang، Chung-Chun (2013)، *Vector-Valued Functions and their Applications*، Springer Science & Business Media، ISBN:978-94-015-8030-4، مؤرشف من الأصل في 2021-06-29

|  |
| --- |
| **دالة متجهية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |