عرض يبين طريقة إكمال المربع. (Details، animated GIF version)
**إكمال المربع** هي عملية لتحويل الدالة التربيعية من الشكل

{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
إلى الشكل

{\displaystyle a(\cdots \cdots )^{2}+{\mbox{constant}}.\,}
ومصطلح "constant" يعني أنه قيمة ثابتة ولا يعتمد على *x*. والجزء داخل القوسين يكون على صورة (*x* + constant) ، بمعنى أن:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
تحولت إلى

{\displaystyle a(x+h)^{2}+k\,}
بقيم معينة لكلا من *h* و *k*.

استخدامات طريقة إكمال المربع:

* حل المعادلات التربيعية
* رسم المعادلات التربيعية
* حساب التكامل في التفاضل والتكامل مثل تكامل جاوس.
* إيجاد تحويل لابلاس.

ويعد إكمال المربع من العمليات الأساسية في الرياضيات، ويتم استخدامها -حتى بدون الإشارة إليها- في الحسابات التي تحتوي على معادلات تربيعية. كما أن هذه الطريقة تستخدم لاستنتاج طريقة حل المعادلات التربيعية باستخدام المميز.

مقدمة
-----

### تمهيد

يوجد صيغة بسيطة في علم الجبر لحساب مربع كثيرة الحدود ذات الإسمين

{\displaystyle (x+p)^{2}\,=\,x^{2}+2px+p^{2}.\,\!}
مثال:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}(x+3)^{2}\,&=\,x^{2}+6x+9&&(p=3)\\[3pt](x-5)^{2}\,&=\,x^{2}-10x+25\qquad &&(p=-5).\end{alignedat}}}
ففي أي مربع كامل العدد *p* يكون دائما هو نصف معامل *x* ، ويكون الحد الثابت هو مربع *p* أي يساوي *p*2.

### مثال بسيط

في كثيرة الحدود التربيعية التالية:

{\displaystyle x^{2}+10x+28.\,\!}
نجد أنها ليست مربعا كاملا، لأن 28 لا تساوي مربع 5 .

{\displaystyle (x+5)^{2}\,=\,x^{2}+10x+25.\,\!}
بينما يمكننا أن نضع الدالة الأصلية على صورة: (مربع كامل + ثابت) كما يلي:

{\displaystyle x^{2}+10x+28\,=\,(x+5)^{2}+3.}
وهذا ما يسمى **إكمال المربع**.

### وصف عام

لأي كثيرة حدود واحدية المدخل (أي معامل *x* يساوي 1) من الدرجة الثانية (أي تربيعية) على الصورة:

{\displaystyle x^{2}+bx+c,\,\!}
يمكن أن نكون 'مربعا كاملا' له نفس الحدين الأولين

{\displaystyle \left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}\,=\,x^{2}+bx+{\tfrac {1}{4}}b^{2}.}
وهذا المربع الكامل يختلف عن الدالة الأصلية في الحد الثابت فقط. ويمكن أن نكتب

{\displaystyle x^{2}+bx+c\,=\,\left(x+{\tfrac {1}{2}}b\right)^{2}+k,}
حيث *k* هو ثابت. وهذه العملية تسمى **إكمال المربع**. ومثالا لذلك:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x^{2}+6x+11\,&=\,(x+3)^{2}+2\\[3pt]x^{2}+14x+30\,&=\,(x+7)^{2}-19\\[3pt]x^{2}-2x+7\,&=\,(x-1)^{2}+6.\end{alignedat}}}
### غير واحدية المدخل

لأي كثيرة حدود غير واحدية المدخل (معامل *x* لا يساوي 1) على الصورة:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c\,\!}
يمكن أن نقوم باتخاذ *a* معاملا مشتركا، ثم نكمل المربع بالطريقة السابقة.

مثال:

{\displaystyle {\begin{aligned}3x^{2}+12x+27&=3(x^{2}+4x+9)\\&{}=3\left((x+2)^{2}+5\right)\\&{}=3(x+2)^{2}+15\end{aligned}}}
ومعنى هذا أننا يمكن أن نكتب أي كثيرة حدود تربيعية على الصورة

{\displaystyle a(x+h)^{2}+k.\,\!}
### صيغة عامة

يمكن كتابة صيغة عامة لعملية إكمال المربع كالتالي:

{\displaystyle ax^{2}+bx+c\;=\;a(x+h)^{2}+k,}
حيث:

{\displaystyle h={\frac {b}{2a}}\quad {\text{and}}\quad k=c-ah^{2}=c-{\frac {b^{2}}{4a}}}

* حالة خاصة عندما *a*=1:

{\displaystyle x^{2}+bx+c\;=\;(x+h)^{2}+k,}
حيث:

{\displaystyle h={\frac {b}{2}}\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {b^{2}}{4}}}

* وفي حالة المصفوفات (يراعى ترتيب ضرب المصفوفات):

{\displaystyle x^{\mathrm {T} }Ax+x^{\mathrm {T} }b+c=(x-h)^{\mathrm {T} }A(x-h)+k}
حيث:

{\displaystyle h=-{\frac {1}{2}}A^{-1}b\quad {\text{and}}\quad k=c-{\frac {1}{4}}b^{\mathrm {T} }A^{-1}b}
ويجب أن تكون المصفوفة A متماثلة (أي مدور المصفوفة يساوي نفس المصفوفة).

أما لو كانت المصفوفة A غير متماثلة فإن صيغة حساب {\displaystyle h} و k يتم تغييرها إلى الصورة العامة:

{\displaystyle h=-(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}.
و

{\displaystyle k=c-h^{\mathrm {T} }Ah=c-b^{\mathrm {T} }(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}A(A+A^{\mathrm {T} })^{-1}b}.

علاقته بالرسم
-------------

رسم دالة تربيعية مزاحة إلى اليمين بـ *h* = 0, 5, 10, 15
رسم دالة تربيعية مزاحة لأعلى بـ *k* = 0, 5, 10, 15.
رسم لدالة تربيعية مزاحة لأعلى ولليمين بـ 0, 5, 10, 15
رسم أي دالة تربيعية هو قطع مكافئ في مستوى *xy*.
فالدالة التربيعية على صورة:

{\displaystyle (x-h)^{2}+k\quad {\text{or}}\quad a(x-h)^{2}+k}
الأرقام *h* و *k* تمثل إحداثيات نقطة رأس القطع المكافئ. وتمثل *h* الإحداثي *x* لمحور التماثل، بينما تمثل *k* القيمة الصغرى ( أو العظمى إذا كانت *a* < 0 ) للدالة التربيعية.

ويمكن القول أن رسم منحنى الدالة التربيعية *ƒ*(*x*) = *x*2 هو قطع مكافئ، رأسه عند نقطة الأصل  (0, 0).

بينما رسم منحنى الدالة *ƒ*(*x* − *h*) = (*x* − *h*)2 هو قطع مكافئ تمت إزاحته جهة اليمين بالقيمة *h* ورأسه هي (*h*, 0) كما هو مبين بالشكل.

ورسم منحنى الدالة *ƒ*(*x*) + *k* = *x*2 + *k* هو قطع مكافئ تمت إزاحته لأعلى بالقيمة *k*، ورأسه هي نقطة {\displaystyle (0,k)} كما هو مبين بالشكل الثاني.

ويمكن جمع الإزاحتين الأفقية (يمين أو يسار) والرأسية (أعلى أو أسفل) فالدالة *ƒ*(*x* − *h*) + *k* = (*x* − *h*)2 + *k*

هي قطع مكافئ مزاح لليمين بالقيمة *h*، ومزاح لأعلى بالقيمة *k*، ورأسه عند النقطة (*h*, *k*)، كما هو مبين بالشكل الثالث.

حل المعادلات التربيعية
----------------------

تستخدم طريقة إكمال المربع لحل المعادلات التربيعية، ومثال ذلك:

{\displaystyle x^{2}+6x+5=0,\,\!}
الخطوة الأولى هي إكمال المربع:

{\displaystyle (x+3)^{2}-4=0.\,\!}
ثم نحل الحد المربع:

{\displaystyle (x+3)^{2}=4.\,\!}
وبالتالي إما

{\displaystyle x+3=-2\quad {\text{or}}\quad x+3=2,}
إذن

{\displaystyle x=-5\quad {\text{or}}\quad x=-1.}
ويمكن تطبيق ذلك لأي معادلة تربيعية. وعندما يكون معامل *x*2 لا يساوي 1 تكون الخطوة الأولى هي قسمة المعادلة على هذا المعامل. انظر المثال التالي:

{\displaystyle {\begin{array}{c}2x^{2}+7x+6\,=\,0\\[6pt]x^{2}+{\tfrac {7}{2}}x+3\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}-{\tfrac {1}{16}}\,=\,0\\[6pt]\left(x+{\tfrac {7}{4}}\right)^{2}\,=\,{\tfrac {1}{16}}\\[6pt]x+{\tfrac {7}{4}}={\tfrac {1}{4}}\quad {\text{or}}\quad x+{\tfrac {7}{4}}=-{\tfrac {1}{4}}\\[6pt]x=-{\tfrac {3}{2}}\quad {\text{or}}\quad x=-2.\end{array}}}
### الجذور غير النسبية أو المركبة

يمكن استخدام إكمال المربع للحصول على جذور الدالة التربيعية حتى لو كانت تلك الجذور هي جذور غير نسبية أو جذور مركبة.
مثال للجذور غير النسبية:

{\displaystyle x^{2}-10x+18=0.\,\!}
بإكمال المربع نحصل على

{\displaystyle (x-5)^{2}-7=0,\,\!}
وبالتالي

{\displaystyle (x-5)^{2}=7.\,\!}
إذن إما

{\displaystyle x-5=-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x-5={\sqrt {7}},\,}
إذن

{\displaystyle x=5-{\sqrt {7}}\quad {\text{or}}\quad x=5+{\sqrt {7}}.\,}
وعادةً تكتب على الصورة:

{\displaystyle x=5\pm {\sqrt {7}}.\,}
ومثال للمعادلات ذات الجذور المركبة:

{\displaystyle {\begin{array}{c}x^{2}+4x+5\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}+1\,=\,0\\[6pt](x+2)^{2}\,=\,-1\\[6pt]x+2\,=\,\pm i\\[6pt]x\,=\,-2\pm i.\end{array}}}
حيث الرمز *i* يساوي {\displaystyle {\sqrt {-1}}\,}

تطبيقات أخرى
------------

### التكامل

يمكن استخدام إكمال المربع لحساب التكامل كالتالي:

{\displaystyle \int {\frac {dx}{ax^{2}+bx+c}}}
باستخدام قواعد التكامل

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}-a^{2}}}={\frac {1}{2a}}\ln \left|{\frac {x-a}{x+a}}\right|+C\quad {\text{and}}\quad \int {\frac {dx}{x^{2}+a^{2}}}={\frac {1}{a}}\arctan \left({\frac {x}{a}}\right)+C.}
مثال:

{\displaystyle \int {\frac {dx}{x^{2}+6x+13}}.}
بإكمال المربع للمقام نحصل على:

{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,\int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+2^{2}}}.}
وبالتالي يمكن إجراء التكامل بالتعويض.

*u* = *x* + 3,

الذي يُنتج

{\displaystyle \int {\frac {dx}{(x+3)^{2}+4}}\,=\,{\frac {1}{2}}\arctan \left({\frac {x+3}{2}}\right)+C.}
### الأعداد المركبة

العلاقة التالية

{\displaystyle |z|^{2}-b^{\*}z-bz^{\*}+c,\,}
حيث *z* و*b* هما عدادان مركبان، و {\displaystyle b^{\*},z^{\*},} هما العددان المرافقان لهما على الترتيب، و *c* هو عدد حقيقي.

باستخدام القاعدة

{\displaystyle |u|^{2}=uu^{\*},}
يمكن إعادة كتابة العلاقة السابقة على الصورة

{\displaystyle |z-b|^{2}-|b|^{2}+c,\,\!}
والتي يتضح أنها كمية حقيقة

{\displaystyle {\begin{aligned}|z-b|^{2}&{}=(z-b)(z-b)^{\*}\\&{}=(z-b)(z^{\*}-b^{\*})\\&{}=zz^{\*}-zb^{\*}-bz^{\*}+bb^{\*}\\&{}=|z|^{2}-zb^{\*}-bz^{\*}+|b|^{2}.\end{aligned}}}
مثال آخر المعادلة التالية:

{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c,\,\!}
حيث *a* و *b* و *c* و *x* و *y* هي أعداد حقيقية، و *a* > 0 و *b* > 0, يمكن صياغتها على صورة مربع القيمة المطلقة لعدد مركب كالتالي:
نفرض

{\displaystyle z={\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y.}
إذن

{\displaystyle {\begin{aligned}|z|^{2}&{}=zz^{\*}\\&{}=({\sqrt {a}}\,x+i{\sqrt {b}}\,y)({\sqrt {a}}\,x-i{\sqrt {b}}\,y)\\&{}=ax^{2}-i{\sqrt {ab}}\,xy+i{\sqrt {ba}}\,yx-i^{2}by^{2}\\&{}=ax^{2}+by^{2},\end{aligned}}}
وبالتالي

{\displaystyle ax^{2}+by^{2}+c=|z|^{2}+c.\,\!}

المنظور الهندسي
---------------

لإكمال المربع للمعادلة

{\displaystyle x^{2}+bx=a\,}
حيث أن *x*2 تمثل مساحة مربع طول ضلعه *x*،

و*bx* تمثل مساحة مستطيل ضلعاه هما *b* و *x*،

وبالتالي فإن عملية إكمال المربع يمكن اعتبارها إكمال المستطيلات لنصل إلى مربع.

إذا حاولنا إنشاء مربعا كبيرا مكون من (المربع *x*2 ) و(المستطيل *bx* ) معا، سنجد أن هناك ركنا ناقصا يحتاج إلى إكماله. الحد{\displaystyle (b/2)^{2}} الذي يتم إضافته إلى المعادلة يمثل مساحة هذا الركن الذي نحتاجه لإكمال المربع، ومن هنا جاءت التسمية **إكمال المربع**

إكمال المربع بطريقة مختلفة
--------------------------

كما رأينا سابقا فقد أضفنا الحد الثالث *v*2 إلى المعادلة

{\displaystyle u^{2}+2uv\,}
لنحصل على مربع. لكن هناك حالات أخرى نقوم فيها بإضافة الحد الثاني (أو الأوسط) بحيث يكون إما (2*uv*) أو (*2uv-*) إلى المعادلة

{\displaystyle u^{2}+v^{2}\,}
لنحصل على مربع على الصورة:

{\displaystyle u^{2}+v^{2}=u^{2}+2uv+v^{2}-2uv=(u+v)^{2}-2uv\,}
أو

{\displaystyle u^{2}+v^{2}=u^{2}-2uv+v^{2}+2uv=(u-v)^{2}+2uv\,}
### مثال: مجموع رقم موجب ومقلوبه

إذا أردنا إيجاد حاصل جمع أي رقم موجب {\displaystyle x\,} مع مقلوبه {\displaystyle {1 \over x}\,} يمكننا استخدام هذه الطريقة:

{\displaystyle {\begin{aligned}x+{1 \over x}&{}=\left(x-2+{1 \over x}\right)+2\\&{}=\left({\sqrt {x}}-{1 \over {\sqrt {x}}}\right)^{2}+2\end{aligned}}}
واضح أن مجموع أي رقم موجب مع مقلوبه يكون دائما أكبر من أو يساوي 2 لأن مربع أي قيمة حقيقية يكون أكبر من أو يساوي الصفر.

### مثال: تحليل معادلة بسيطة

عند تحليل المعادلة التالية

{\displaystyle x^{4}+324.\,\!}
نجد أنها على صورة

{\displaystyle (x^{2})^{2}+(18)^{2},\,\!}
وبالتالي يمكن استخدام الحد الأوسط على صورة

{\displaystyle 2\*x^{2}\*(18)=36x^{2},\,\!}
فسوف نحصل على

{\displaystyle {\begin{aligned}x^{4}+324&{}=(x^{4}+36x^{2}+324)-36x^{2}\\&{}=(x^{2}+18)^{2}-(6x)^{2}\end{aligned}}}
وهذا هو فرق بين مربعين يتم تحليله كالتالي:

{\displaystyle {\begin{aligned}&{}=(x^{2}+18+6x)(x^{2}+18-6x)\\&{}=(x^{2}+6x+18)(x^{2}-6x+18)\end{aligned}}}
السطر الأخير تم كتابته لتبدو كثيرة الحدود في الصورة المألوفة حسب الترتيب التنازلي لدرجة المتغير *x*.

مصادر
-----

* Algebra 1, Glencoe, ISBN 0-07-825083-8, pages 539–544
* Algebra 2, Saxon, ISBN 0-939798-62-X, pages 214–214, 241–242, 256–257, 398–401

مراجع
-----

1. ↑  Narasimhan، Revathi (2008). *Precalculus: Building Concepts and Connections*. Cengage Learning. ص. 133–134. ISBN:0-618-41301-4. مؤرشف من الأصل في 2023-04-09. Section *Formula for the Vertex of a Quadratic Function*, page 133–134, figure 2.4.8

وصلات خارجية
------------

* إكمال المربع على بلانيت ماث
* كيفية إكمال المربع, Education Portal Academy

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة أويلر-ماكلورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولين ماكلورين **·**  ليونهارت أويلر |

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: إكمال المربع |