منح أبراهام دي موافر اسمه للصيغة.
في الرياضيات، **صيغة دي موافر** (بالإنجليزية: De Moivre's formula)‏، والمسماة هكذا نسبة إلى عالم الرياضيات أبراهام دي موافر هي المتطابقة التالية:

{\displaystyle (\cos(x)+i\sin(x))^{n}=\cos(nx)+i\sin(nx)\,}
الصالحة من أجل كل القيم الحقيقية لx و n عدد صحيح؛ و هي نتيجة مباشرة لصيغة أويلر

{\displaystyle exp(ix)=\cos(x)+i\sin(x)\,}

البرهان باستخدام الاستقراء الرياضي
----------------------------------

يمكن دراسة ثلاث حالات للصيغة بحيث تحقق الحل.

من أجل *n* > 0, يمكن الاستعانة بالاستنتاج الاستقرائي. عند *n* = 1, تتحقق صحة الحل بشكل بديهي من صيغة أويلر. يفترض أن يظل الحل صحيحا لأي عدد طبيعي، *k*. أي:{\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{k}=\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right).\,}

وبدراسة الحالة *n* = *k* + 1:

{\displaystyle {\begin{alignedat}{2}\left(\cos x+i\sin x\right)^{k+1}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{k}\left(\cos x+i\sin x\right)\\&=\left[\cos \left(kx\right)+i\sin \left(kx\right)\right]\left(\cos x+i\sin x\right)&&\qquad {\mbox{(1)}}\\&=\cos \left(kx\right)\cos x-\sin \left(kx\right)\sin x+i\left[\cos \left(kx\right)\sin x+\sin \left(kx\right)\cos x\right]\\&=\cos \left[\left(k+1\right)x\right]+i\sin \left[\left(k+1\right)x\right]&&\qquad {\mbox{(2)}}\end{alignedat}}}
العلاقة (1) تم استنباطها من فرضية الاستقراء بينما العلاقة (2) من المتطابقات المثلثية.
وبالتالي فإن الصيغة صحيحة عند *n* = *k* + 1 إذا كانت *n* = *k* صحيحة. ويمكن تعميم الصيغة لكل عدد صحيح موجب، *n*≥1.

إذا كانت *n* = 0 تظل الصيغة {\displaystyle \cos(0x)+i\sin(0x)=1+i0=1} صحيحة، ومن المعروف أن {\displaystyle z^{0}=1}.

إذا كانت *n* < 0, يمكن تعديل الاختيار على *m* بحيث يصبح *n* = −*m*. وبالتالي:{\displaystyle {\begin{aligned}\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}&=\left(\cos x+i\sin x\right)^{-m}\\&={\frac {1}{\left(\cos x+i\sin x\right)^{m}}}\\&={\frac {1}{\left(\cos mx+i\sin mx\right)}}\\&=\cos \left(mx\right)-i\sin \left(mx\right)\\&=\cos \left(-mx\right)+i\sin \left(-mx\right)\\&=\cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right).\end{aligned}}}

أي أن العلاقة صحيحة في جميع الأحوال لكل قيم *n* الصحيحة.

استخدامات صيغة دي موافر
-----------------------

تستخدم هذه الصيغة للبحث عن القوى النونية للأعداد العقدية في الشكل المثلثي:

{\displaystyle z^{n}=r^{n}(\cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)\,)}

و كذلك للحصول على أشكال *(cos(nx* و *(sin(nx* بدلالة *(sin(x* و *(cos(x*.

على سبيل المثال، للحصول على *(cos(2x* و *(sin(2x*، ساوي:

{\displaystyle (\cos(x)+\mathrm {i} \sin(x))^{2}=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\ }.

لدينا:

{\displaystyle \cos ^{2}(x)+2\cos(x)\sin(x)\mathrm {i} -\sin ^{2}(x)=\cos(2x)+\mathrm {i} \sin(2x)\,}.

ساوي الأجزاء الحقيقية والتخيلية للحصول على المعادلتين التاليتين:

{\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}(x)-\sin ^{2}(x)\,}

{\displaystyle \sin(2x)=2\cos(x)\sin(x)\,}.

### حدوديات تشيبيشيف

بافنوتي تشيبيشيف
المقالة الرئيسة: متعددات الحدود لشيبيشيف
صيغة دي موافر تعطي:

{\displaystyle \cos(nx)+\mathrm {i} \sin(nx)={\left(\cos x+\mathrm {i} \sin x\right)}^{n}=\sum \_{p=0}^{n}{n \choose p}\cos ^{n-p}(x)\mathrm {i} ^{p}\sin ^{p}(x)}.

بأخذ الجزء الحقيقي و وضع p=2k ينتج أن:

{\displaystyle \cos(nx)=T\_{n}(\cos x)}

حيث Tn حدودية من الدرجة n، تسمى حدودية تشيبيشيف.

{\displaystyle T\_{n}(X)=\sum \_{0\leq 2k\leq n}{n \choose 2k}(-1)^{k}X^{n-2k}(1-X^{2})^{k}}.

المراجع
-------

* قاموس رياضيات عربي-انجليزي-فرنسي-الجزء الثاني- إهداء الأستاذ إبراهيم الاحمدي (بتصرف).

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات