|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| ميكانيكا الكم |
| {\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }معادلة شرودنغر |
| * مقدمة
* معجم
* تاريخ
 |
| خلفية
* ميكانيكا كلاسيكية
* النظرية الكمومية القديمة
* ترميز برا-كيت

* هاملتوني
* تداخل

 |
| أساسيات
* مكاملة
* إزالة الترابط
* تشابك
* مستوى طاقة
* القياس
* غير موضعي
* عدد كمي
* حالة
* تراكب
* تناظر
* نفق
* الريبة
* دالة موجية
	+ انهيار

 |
| تجارب
* عدم مساواة بيل
* دافيسون–جيرمر
* شقي يونغ
* إليزور–فايدمان
* فرانك–هرتز
* تباين ليجت–جارج
* ماخ–زيندر
* بوبر

* ممحاة كمومية
	+ اختيار متأخر

* قطة شرودنغر
* شتيرن–غيرلاخ
* الاختيار المتأخر لويلر

 |
| صيغ
* ملخص

* هايزنبرغ
* التآثر
* المصفوفة
* فضاء الطور
* شرودنغر
* صيغة تكامل المسار

 |
| معادلات
* ديراك
* كلاين-غوردون
* باولي
* ريدبرغ
* شرودنغر

 |
| تفسيرات
* ملخص

* بيشان
* التواريخ المتوافقة
* كوبنهاغن
* دي بروي-بوم
* فرقة
* المتغير الخفي
	+ المحلي
* العوالم المتعددة
* انهيار موضوعي
* منطق كمومي
* العلائقي
* المعاملات

 |
| موضوعات متقدمة
* ميكانيكا الكم النسبية
* نظرية الحقل الكمومي
* علم المعلومات الكمية
* حساب كمومي
* شواشية كمومية
* مصفوفة الكثافة
* نظرية التشتت
* ميكانيكا الإحصاء الكمومي
* التعلم الآلي الكمي
 |
| علماء
* أهارونوف
* بل
* بيته
* بلاكيت
* بلوخ
* بوم
* بور
* بورن
* بوز
* دي بروي
* كومبتون
* ديراك
* دافيسون
* ديباي
* إهرنفست
* أينشتاين
* إيفرت
* فوك
* فيرمي
* فاينمان
* غلاوبر
* جوتزويلر
* هايزنبيرغ
* هيلبرت
* جوردان
* كرامرز
* باولي
* لامب
* لانداو
* لاوي
* موزلي
* ميليكان
* أونس
* بلانك
* رابي
* رامان
* رايدبيرغ
* شرودنغر
* سيمونز
* سومرفيلد
* فون نيومان
* فايل
* فيين
* ويغنر
* زيمن
* تسايلينغر

 |
| شعار بوابة بوابة ميكانيكا الكم |
| * ع
* ن
* ت
 |

أهم ما يميز **الصياغة الرياضية لميكانيكا الكم** عن الصياغات الرياضية للنظريات السابقة لها هو اعتمادها على بنى رياضية مجردة، مثل فضاء هلبرت والمؤثرات على هذه الفضاءات. العديد من هذه البنى لم تكن موجودة قبل بداية القرن العشرين. في المفهوم العام اشتقت هذه البنى واقتبست من التحليل الدالي, وهو موضوع رياضي بحت تتطور بالموازاة مع ميكانيك الكم وتأثر به ليلبي احتياجاته. باختصار فإن الكميات الفيزيائية مثل الطاقة والزخم لم تعد تعتبر دوالا رياضية على بعض فضاءات الطور، لكن مؤثرات على هذه الدوال.

هذه الصياغة لميكانيكا الكم والتي تدعى التكميم القانوني canonical quantization، استمر قيد الاستعمال حتى اليوم، وما زال يشكل أساس الحسابات الألفباء-بدئية ab-initio في الفيزياء الذرية والجيئية وفيزياء الحالة الصلبة.

في قلب هذا الوصف تتواجد فكرة الحالة الكمومية *quantum state* المختلفة جذريا عن النماذج السابقة للواقع الفيزيائي. ففي حين أن الرياضيات تشكل وصفا كاملا وتقوم بحساب كافة الكميات التي يمكن قياسها تجريبيا، فإن هناك حدودا لما يمكن للملاحظ أن يقيسه أو يرصده تجريبيا (هذه الحدود متضمنة داخل نظرية الكم ذاتها وهذا ما يميزها عن غيرها من النظريات الفيزيائية). أول من صرح بهذه المحدودية القياسية كان هايزنبرغ مثبتا فكرته عن طريق تجربة فكرية thought experiment، تم تمثيلها رياضيا عن طريق لا تبديلية non-commutativity المقيسات الكمومية quantum observables.

قبل نشوء ميكانيكا الكم كنظرية مستقلة، كانت الرياضيات المستعملة في الفيزياء تقتصر على الهندسة التفاضلية والمعادلات التفاضلية الجزئية، ونظرية الاحتمالات المستعملة في الميكانيك الإحصائي.

المفاهيم الهندسية تلعب دورا أساسيا في أول نوعين من الرياضيات (الهندسة التفاضلية والمعادلات التفاضلية) لذلك كانت نظريتي النسبية لآينشتاين نظريات هندسية بالمفام الأول تعتمد على مفاهيم هندسية، لكن فينومينولوجيا ميكانيكا الكم بدأت بالظهور بين 1895 و1915, واستمرت لمدة 10 أو خمسة عشر عاما قبل ظهور النظرية الكمومية (حوالي 1925) وبقي الفيزيائيون خلال هذه المدة يفكرون ضمن مصطلحات ومفاهيم ما يمكن تسميته الفيزياء الكلاسيكية، وأيضا باستخدام نفس المفاهيم الرياضية (المحددة والتي تتصف بالكثير من الهندسية والتحديد المكاني). أحد أبرز الأمثلة على هذه الحالة هي قاعدة تكميم سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا Sommerfeld-Wilson-Ishiwara quantization، التي صيغت كلية بناء على فضاء الطور الكلاسيكي.

تاريخ الشكلانية
---------------

### النظرية الكمومية القديمة والحاجة لرياضيات حديثة

المقالة الرئيسة: نظرية الكم القديمة
في عقد 1890، قام ماكس بلانك باشتقاق طيف الجسم الأسود وحل مشكلة الكارثة فوق البنفسجية عن طريق افتراض غير تقليدي أبدا وهو انه عندما يتآثر الإشعاع مع المادة، يمكن أن يتم تبادل الطاقة بشكل وحدات منفصلة صغيرة تدعى الكموم quanta.
كما افترض بلانك وجود تناسبية طردية بين تواتر الإشعاع وكم الطاقة عند هذه التواتر. ثابت التناسب هذا تم إطلاق اسم عليه : ثابت بلانك ورمزه *h* تخليدا لاسم ماكس بلانك،
في عام 1905، شرح آينستاين عدة خواص ومميزات للتأثير الكهرضوئي photoelectric effect بافتراض أن وجود كم للضوء (حسب تفسير بلانك) وهذه الكمات الضوئية تشكل جسيمات حقيقية تدعى الفوتونات.

A sketch to justify مطيافية observations for hydrogen atoms 
في عام 1913، قام نيلز بور بحساب طيف ذرة الهيدروجين بمساعدة نموذج بور للذرة وفيه يكون الإلكترون يحوم حول بروتون ضمن مجموعة منفصلة ومحددة من المدارات (مفهوم المدار كان كلاسيكيا في هذا النموذج)، كان تحديد المدارات المسموح للإلكترون بالدوران فيها يحدد في نموذج بور بأن يكون الزخم الزاوي مضاعف صحيح لثابت بلانك.يمكن للالكترونات أيضا أن تقوم بقفزات كمومية quantum leap من مدار لآخر، باعثا أو ممتصا كما من الطاقة بشكل ضوء يوافق التردد (التواتر) المناسب.

كل هذه التطورات كانت تحدي كبير للفيزيائيين النظريين. حاول بور وسومرفيلد تعديل الميكانيكا الكلاسيكية لاستنتاج نموذج بور بناء على المبادئ الأولية للفيزياء. وكان افتراضاهم أنه من بين جميع المدارت الكلاسيكية التي يمكن لجملة كمومية في فضائها الطوري أن تتبعها، لا يتم السماح إلا لمدارت تحصر مساحات تشكل مضاعفات لثابت بلانك. أجريت تطويرات عديدة على هذه النسخة من الشكلانية أهمها ما يدعى تكميم سومرفيلد-ويلسون-إيشيوارا. ومع ان نموذج بور استطاع تفسير طيف ذرة الهيدروجين البسيطة فإنه لم ستطع التنبؤ بطيف ذرة اعقد بقليل وهي ذرة الهليوم (وهي مسألة أجسام ثلاثة غير القابلة للحل). وبقيت الطبيعة الرياضية لميكانيك الكم غير واضحة.

في عام 1923، لويس دي برولي افترض مبدأ مثنوية موجة-جسيم معمما هذا المبدأ ليس على الفوتونات فقط بل على الالكترونات أي أن الإلكترون يسلك أيضا سلوكا مزدوجا : جسيميا وموجيا، بل إن هذه المبدأ أو هذه الطبيعة تنطبق على كل جملة فيزيائية فأي موجة تمتلك طبيعة جسيمية وكل جسيم أو جسم مادي يمتلك طبيعة موجية.

تطور الوضع كثيرا فيما بعد بين الأعوام 1925-1930، من خلال العمل الرياضي التأسيسي لإرفين شرودنغر وفيرنر هايزنبرغ إضافة لأعمال جون فون نيومان، هيرمان ويل، بول ديراك، وأصبح من الممكن توحيد عدة طرق ومقاربات بدلالة مجموعة جديدة وثورية من الأفكار حول الفيزياء الكمومية.

### النظرية الكمومية الحديثة

قام إرفين شرودنغر بتقديم الميكانيكا الموجية التي تعتبر المحاولة الأولى لاعتبار التكميم الملاحظ للطيف الذري بمساعدة الصياغة الرياضية الدقيقة لمبدأ دي برولي في مثنوية الموجة/جسيم. وضع شرودنغر معادلة تحمل اسمه حاليا، لوصف الموجة التي ترافق الإلكترون الموجود في الذرة وفقا لقاعدة دي برولي، وشرح تكميم الطاقة عن طريق حقيقة معروفة جدا وهي أن المؤثرات التفاضلية من النوع الذي يظهر في معادلته تملك طيفا منفصلا discrete spectrum. لكن شرودنغر نفسه لم يدرك تماما في البدء الطبيعة الاحتمالية الأساسية لميكانيك الكم (كما تنص عليها معادلته), فقد اعتقد أن دالة الموجة (مربع سعة الموجة) يمثل ما يدعى كثافة الشحنة charge density للجسم المتوزع على امتداد حجم فراغي ممتد، يمكن أن يكون غير محدود.
كان ماكس بورن أول من بين التفسير الاحتمالي لدالة الموجة (مربع السعة) على أنه التوزيع الاحتمالي لموضع الجسيم النقطي. بنوع من التقريب، يمكن تشبيه دالة الموجة لشرودنغر بمعادلة هاملتون-جاكوبي الكلاسيكية.

افتراضات النظرية الكمومية
-------------------------

الخلاصة التالية للإطار الرياضي لنظرية الكم يمكن أن يعزى جزئيا لافتراضات postulates فون نيومان.

* كل نظام فيزيائي يترافق مع فضاء هلبرت عقدي complex (مركب) قابل للفصل separable ندعوه *H* مزود بجداء داخلي inner product {\displaystyle \langle \phi \mid \psi \rangle }.

الفضاءات الجزئية أحادية البعد أو ما يدعى بالشعاع Ray ضمن فضاء هلبرت المذكور *H* تترافق مع حالات للنظام الفيزيائي (الجملة الفيزيائية). بصياغة أخرى، الحالات الفيزيائية تميز هنا بصفوف تكافؤ من المتجهات vectorsأحادية البعد في *H*، حيث كل متجهين يمثلان نفس الحالة إذا كان الفرق بينهما هو في عامل الطور phase factor فقط.

*الانفصالية* تشكل فرضية hypothesis ملائمة رياضيا، تتوافق مع التوجه الفيزيائي بأن عدد جيد من الملاحظات (القياسات) كاف لتحديد حالة الجملة أو النظام.

* فضاء هلبرت لنظام مركب composite system هو الجداء التينسوري لفضاء هلبرت Hilbert space tensor product لفضاءات الحالة المترافقة مع أنظمة المكونات component systems.

من أجل النظام اللانسبي المؤلف من عدد محدود من الجزيئات المتمايزة distinguishable، تكون أنظمة المكونات component systems عبارة عن أجزاء فردية individual particles.

* التناظرات الفيزيائية تعمل على فضاء هلبرت للحالات الكمومية بشكل وحدوي unitarily أو بشكل عكس-وحدوي antiunitarily (التناظر الفائق supersymmetry هنا موضوع آخر تماما)
* المقيسات observable الفيزيائية يمكن تمثيلها بمؤثرات ذاتية الانضمام self-adjoint operator معرفة بكثافة densely-defined على *H'*

القيمة المتوقعة (ضمن مفهوم نظرية الاحتمالات) لقيمة المقيس *A* لنظام يتمثل من خلال متجه وحدة
{\displaystyle \left|\psi \right\rangle \in H} هو

{\displaystyle \langle \psi \mid A\mid \psi \rangle }
عن طريق النظرية الطيفية spectral theory، نستطيع مزاوجة توزيع احتمالي مع القيم للمقيس *A* في أي حالة ψ.
يمكننا أيضا أن نظهر أن القيم الممكنة للمقيس *A* في أي حالة يجب أن تنتمي لطيف المقيس *A*.
في حالة خاصة عندما يكون ل*A* طيف متقطع discrete spectrum، تكون القيم الممكنة ل *A* في أي حالة هي القيم الخاصة eigenvalue.

بشكل أكثر تعميما، يمكن تمثيل الحالة بما يدعى مؤثر كثافة density operator، وهو عبارة عن صف أثر trace class، مؤثر ذاتي الانضمام self-adjoint operator لاسالب nonnegative :

\rho  ينظم ليكون الأثر 1.
القيمة المتوقعة ل *A* في الحالة \rho  هي

{\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho )}
إذا كان {\displaystyle \rho \_{\psi }} هو الفضاء الجزئي الاسقاطي العمودي أحادي البعد ل *H* المقيس ب :
{\displaystyle \left|\psi \right\rangle }, عندئذ يكون :

{\displaystyle \operatorname {tr} (A\rho \_{\psi })=\left\langle \psi \mid A\mid \psi \right\rangle }
مؤثرات الكثافة Density operators هي المؤثرات الموجودة في انغلاق محدب في مسقطات مستقلة (متعامدة) أحادية البعد
one-dimensional orthogonal projectors. وبالعكس، تعتبر المسقطات المستقلة أحادية البعد نقطة extreme point لمجموعة من مؤثرات الكثافة. يدعو الفيزيائيون عادة المسقطات المستقلة أحدية البعد «حالات صرفة» *pure states* أما غيرها من مؤثرات الكثافة فتدعى حالات مختلطة *mixed states*.

مراجع
-----

1. ↑  Sellier، Jean Michel (2015). "A signed particle formulation of non-relativistic quantum mechanics". *Journal of Computational Physics*. ج. 297: 254–265. arXiv:1509.06708. Bibcode:2015JCoPh.297..254S. DOI:10.1016/j.jcp.2015.05.036.
2. ↑  Solem، J. C.؛ Biedenharn، L. C. (1993). "Understanding geometrical phases in quantum mechanics: An elementary example". *Foundations of Physics*. ج. 23 ع. 2: 185–195. Bibcode:1993FoPh...23..185S. DOI:10.1007/BF01883623. مؤرشف من الأصل في 2019-05-10.
3. ↑  Mathematics of classical and quantum physics; Courier Dover Publications, 1992. نسخة محفوظة 26 يناير 2020 على موقع واي باك مشين.

|  |
| --- |
| **صياغة رياضية لميكانيكا الكم** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* دروس من ويكي الجامعة.
 |


| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الدالي |
| --- |
| **فضاء هيلبرت** | فضاء إقليدي • فضاء الجداء الداخلي • فضاء هيلبرت • قانون متوازي الأضلاع • قاعدة ممنطمة متعامدة • معامدة Orthogonalization • متممة متعامدة Orthogonal complement • معلاج غرام شميدت Gram-Schmidt process • متعددات الحدود لليجاندر • المصفوفات المتعامدة • مصفوفة وحدوية • مصفوفة طبيعية، معامل طبيعي Normal operator • مصفوفة متماثلة Hermitian operator self-adjoint operator, Hermitian adjoint • متجهة ذاتية، قيمة ذاتية • دالة ممتلكة Eigenfunction • مصفوفة قطرية • معامل إزاحة Shift operator • مصفوفة هيلبرت • شعاع طبيعي Normal vector • متطابقة بيرسيفال Parseval's identity • مبرهنة تمثيل رييس Riesz representation theorem • ترميز برا-كيت Bra-ket notation • مبرهنة طيفية • محدد ايجابيا Positive-definite-خارج قسمة رايلي • مبرهنة ميرسر Mercer's theorem • فضاء هلبرت مجدد النواة Reproducing kernel Hilbert space • صنف تريس Trace class • مبرهنة حد أدنى-حد أعلى • فضاء هلبرت معدل Rigged Hilbert space • مبرهنة هيلينغر-توبليتز Hellinger-Toeplitz theorem • تكاملي مباشر Direct integral • فضاء هلبرت النصفي Semi-Hilbert space |
| **تحليل دالي ، النتائج الكلاسيكية** | فضاء اتجاهي ممنظم >كرة وحدة Unit ball • فضاء باناخ • مبرهنة هاهن-باناخ • فضاء ثنائي Dual space • ثناءة مسبقة Predual • طوبولوجيا ضعيفة • فضاء عاكس Reflexive space • فضاء عاكس حدودياًPolynomially reflexive space • فضاء بير • مبرهنة الإسقاط المفتوح Open mapping theorem • مبرهنة المخطط المغلق • مبدأ الارتباط المتجانس • مبرهنة أرزيلا-أسكولا Arzelà-Ascoli theorem • مبرهنة باناخ-الاوجلو Banach-Alaoglu theorem • قياس اللا انضغاطية Measure of non-compactness |
| **نظرية المؤثر Operator theory**  | انظر *نظرية المؤثر* |
| **أمثلة فضاء باناخ** | فضاء إل بي • فضاء هاردي • فضاء سوبوليف • فضاء تسيرلسون • فضاء با |
| **جبر تجميعي حقيقي و مركب** | نظيم متجانس Uniform norm • نظيم مصفوفة Matrix norm • قطر طيفي Spectral radius • جبر التقسيم المنظم Normed division algebra -نظرية وريشترس • جبر باناخ • جبر نجمي • جبر نجمي بي B-star-algebra • جبر نجمي سي C-star-algebra>جبر نجمي سي شامل Universal C-star-algebra>طيف الجبر النجمي سي Spectrum of a C-star-algebra • عنصر موجب Positive element • دالي خطي موجب Positive linear functional • جبر المعاملات operator algebra > (جبر متداخل • جبر معاملات انعكاسي reflexive operator algebra • جبر كالكين • تمثيل غيلفاند • مبرهنة غيلفاند-نايمارك • إنشاء غيلفاند-نايمارك-سيغال • جبر فون نيومان > جبر فون نيومان الأبيلي • مبرهنة فون نيومان ثنائية التبديل von Neumann double commutant theorem >تبديلي Commutant, ثنائي التبديل bicommutant • حلقة طوبولوجية • هندسة لا تبديلية • جبر قرصي Disk algebra • جبر كولومبو |
| **نظرية الكم** | صياغة رياضية لميكانيكا الكم • مقيس (قابل للقياس ، ملحوظ) Observable • معامل (فيزياء) Operator • حال كمومي >( حال صرف Pure state • حال فوك Fock state ، فضاء فوك Fock space • حال كثافة Density state • حالة متماسكة • صورة هايزنبرغ Heisenberg picture • مصفوفة كثافة • منطق كمومي Quantum logic • عملية كمومية Quantum operation • بدهيات وايتمان Wightman axioms |
| **احتمال** | احتمال حر |
| **لاخطية** | مبرهنات النقطة الملحلحة في الفضاءات اللامتناهية الأبعاد Fixed point theorems in infinite dimensional spaces |

| * ع
* ن
* ت
ميكانيكا الكم |
| --- |
| خلفية | 
* مقدمة
* تاريخ
	+ جدول زمني
* ميكانيكا كلاسيكية
* نظرية الكم القديمة
* معجم

 |
| أساسيات | 
* قاعدة بورن
* رمز براكيت
* مكاملة
* مصفوفة الكثافة
* مستوى طاقة
	+ حالة قاعية
	+ حالة مثارة
	+ مستويات الانفطار
	+ طاقة النقطة-صفر
* تشابك
* هاملتوني
* تداخل
* إزالة الترابط
* القياس
* غير موضعي
* حالة كمومية
* تراكب كمي
* نفق
* نظرية التشتت
* التناظر في ميكانيكا الكم
* الريبة
* دالة موجية
	+ انهيار
	+ ازدواجية موجة-جسيم

 |
| صيغ | 
* صياغة رياضية
* هايزنبرغ
* التآثر
* ميكانيكا المصفوفة
* شرودنغر
* صيغة تكامل المسار
* فضاء الطور

 |
| معادلات | 
* ديراك
* كلاين-غوردون
* باولي
* ريدبرغ
* شرودنغر

 |
| تفسيرات | 
* تفسيرات
* بيشان
* التواريخ المتوافقة
* كوبنهاغن
* دي بروي-بوم
* فرقة
* المتغير الخفي
	+ المحلي
* العوالم المتعددة
* انهيار موضوعي
* منطق كمومي
* العلائقي
* المعاملات
* فون نيومان-ويغنر

 |
| تجارب | 
* عدم مساواة بيل
* دافيسون-جيرمر
* ممحاة الكم للاختيار المتأخر
* شقي يونغ
* فرانك-هرتز
* مقياس التداخل ماخ–زيندر
* إليزور-فايدمان
* بوبر
* الممحاة الكمومية
* شتيرن-غيرلاخ
* الاختيار المتأخر لويلر

 |
| علوم | 
* علم الأحياء الكمومي
* كيمياء الكم
* شواشية كمومية
* علم الكون الكمي
* حساب التفاضل الكمي
* ديناميكا الكم
* هندسة كمية
* معضلة القياس الكمي
* حساب التفاضل والتكامل العشوائي الكمي
* زمكان كمي

 |
| تقانة | 
* خوارزمية الكم
* مضخم كمي
* ناقل كمومي
* أتمتة خلوية كمية
	+ أتمتة محدودة كمية
* قناة كمية
* دائرة كمومية
* نظرية التعقيد الكمومي
* حساب كمومي
	+ جدول زمني
* تشفير كمومي
* إلكترونيات الكم
* تصحيح الخطأ الكمي
* تصوير كمي
* معالجة الصور الكمومية
* معلومات كمومية
* تعمية كمومية
* منطق كمومي
* بوابة منطق كمي
* آلة كمية
* التعلم الآلي الكمي
* مادة خارقة كمية
* علم القياس الكمي
* شبكة كمية
* شبكة عصبية كمية
* بصريات الكم
* برمجة كمومية
* استشعار كمي
* محاكاة كمية
* انتقال آني كمي

 |
| ملحقات | 
* تأثير كازيمير
* ميكانيكا الإحصاء الكمومي
* نظرية الحقل الكمومي
	+ تاريخ
* جاذبية كمية
* ميكانيكا الكم النسبية

 |
| متعلق | 
* قطة شرودنغر
	+ في الثقافة الشعبية
* تصوف كمي

 |
| صفحة تصنيف **التصنيف** •   **البوابة** •   **كومنز** |

* أيقونة بوابةبوابة ميكانيكا الكم
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء