إن موتر القصور الذاتي {\displaystyle \mathbf {J} } لأي مثلث (مثل موتر القصور الذاتي لأي جسم) يمكن التعبير عنه من حيث تغاير {\displaystyle \mathbf {C} } الجسم:

{\displaystyle \mathbf {J} =\mathrm {tr} (\mathbf {C} )\mathbf {I} -\mathbf {C} }
في حين يُعرّف التغاير بأنه هو المنطقة التكاملية التي تعلو المثلث:

{\displaystyle \mathbf {C} \triangleq \int \_{\Delta }\rho \mathbf {x} \mathbf {x} ^{\mathrm {T} }\,dA}
إن تغاير أي مثلث في حيز ثلاثي الأبعاد، بافتراض أن الكتلة موزعة بالتساوي على السطح مع كثافة الوحدة، هو

{\displaystyle \mathbf {C} =a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V} }
حيث

* {\displaystyle \mathbf {V} } تمثل مصفوفة 3 × 3 تحتوي على إحداثيات قمة المثلث {\displaystyle (\mathbf {v} \_{0},\mathbf {v} \_{1},\mathbf {v} \_{2})} في الصفوف،
* {\displaystyle a=|(\mathbf {v} \_{1}-\mathbf {v} \_{0})\times (\mathbf {v} \_{2}-\mathbf {v} \_{0})|} هي ضعف مساحة المثلث،
* {\displaystyle \mathbf {S} ={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&1\\1&2&1\\1&1&2\\\end{bmatrix}}}

وفي النهاية، يعطي استبدال تغاير المثلث في تعريف موتر القصور الذاتي النتيجة

{\displaystyle \mathbf {J} ={\frac {a}{24}}(\mathbf {v} \_{0}^{2}+\mathbf {v} \_{1}^{2}+\mathbf {v} \_{2}^{2}+(\mathbf {v} \_{0}+\mathbf {v} \_{1}+\mathbf {v} \_{2})^{2})\mathbf {I} -a\mathbf {V} ^{\mathrm {T} }\mathbf {S} \mathbf {V} }

البرهان على الصيغة
------------------

يتبع البرهان الوارد هنا الخطوات الواردة في المقال.

### التغاير في المثلث القياسي

دعونا نحسب التغاير في المثلث قائم الزاوية مع قمم الرأس
(0,0,0), (1,0,0), (0,1,0).

باتباع تعريف التغاير الذي حصلنا عليه

{\displaystyle \mathbf {C} \_{xx}^{0}=\int \_{\Delta }x^{2}\,dA=\int \_{x=0}^{1}x^{2}\int \_{y=0}^{1-x}\,dy\,dx=\int \_{0}^{1}x^{2}(1-x)\,dx={\frac {1}{12}}}
{\displaystyle \mathbf {C} \_{xy}^{0}=\int \_{\Delta }xy\,dA=\int \_{x=0}^{1}x\int \_{y=0}^{1-x}y\,dy\,dx=\int \_{0}^{1}x{\frac {(1-x)^{2}}{2}}\,dx={\frac {1}{24}}}
{\displaystyle \mathbf {C} \_{yy}^{0}=\mathbf {C} \_{xx}^{0}}
حيث تكون باقي عناصر {\displaystyle C} صفرًا لأن المثلث هو في {\displaystyle z=0}

ونتيجة لذلك

{\displaystyle \mathbf {C} ^{0}={\frac {1}{24}}{\begin{bmatrix}2&1&0\\1&2&0\\0&0&0\\\end{bmatrix}}={\frac {1}{48}}{\begin{bmatrix}1\\-1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&-1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }+{\frac {1}{16}}{\begin{bmatrix}1\\1\\0\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\end{bmatrix}}^{\mathrm {T} }}
### تغاير المثلث الذي تكون قمته في المصدر

مع مراعاة المشغل الخطي

{\displaystyle \mathbf {x} '=\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}}
الذي يرسم المثلث القياسي في المثلث
{\displaystyle \mathbf {v} '\_{0}=\mathbf {0} }, {\displaystyle \mathbf {v} '\_{1}=\mathbf {v} \_{1}-\mathbf {v} \_{0}}, {\displaystyle \mathbf {v} '\_{2}=\mathbf {v} \_{2}-\mathbf {v} \_{0}}. يحتوي أول عمودين من {\displaystyle \mathbf {A} } على {\displaystyle \mathbf {v} '\_{1}} و {\displaystyle \mathbf {v} '\_{2}} على التوالي، بينما يكون العمود الثالث عشوائيًا. ويتساوى مثلث الهدف مع المثلث في المسألة (وعلى وجه الخصوص تكون مساحتهما متساوية) ولكن يتناوبان على قمة الرأس الصفرية في المصدر.

{\displaystyle \mathbf {C} '=\int \_{\Delta '}\mathbf {x} '\mathbf {x} '^{\mathrm {T} }\,dA'=\int \_{\Delta ^{0}}\mathbf {A} \mathbf {x} ^{0}\mathbf {x} ^{0\mathrm {T} }\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }a\,dA^{0}=a\mathbf {A} \mathbf {C} ^{0}\mathbf {A} ^{\mathrm {T} }}
{\displaystyle \mathbf {C} '={\frac {a}{48}}(\mathbf {v} \_{1}-\mathbf {v} \_{2})(\mathbf {v} \_{1}-\mathbf {v} \_{2})^{\mathrm {T} }+{\frac {a}{16}}(\mathbf {v} \_{1}+\mathbf {v} \_{2}-2\mathbf {v} \_{0})(\mathbf {v} \_{1}+\mathbf {v} \_{2}-2\mathbf {v} \_{0})^{\mathrm {T} }}
### التغاير في المثلث في المسألة

يتبقى آخر شيء ينبغي القيام به وهو فهم كيف يتبدل التغاير مع ترجمة جميع النقاط على الكمية الموجهة {\displaystyle \mathbf {v} \_{0}}.

{\displaystyle \mathbf {C} =\int \_{\Delta }(\mathbf {x'} +\mathbf {v} \_{0})(\mathbf {x'} +\mathbf {v} \_{0})^{\mathrm {T} }\,dA=\mathbf {C} '+{\frac {a}{2}}(\mathbf {v} \_{0}\mathbf {v} \_{0}^{\mathrm {T} }+\mathbf {v} \_{0}{\overline {\mathbf {x} }}'^{\mathrm {T} }+{\overline {\mathbf {x} }}'\mathbf {v} \_{0}^{\mathrm {T} })}
حيث

{\displaystyle {\overline {\mathbf {x} }}'=\int \_{\Delta '}\mathbf {x} '\,dA'={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} '\_{1}+\mathbf {v} '\_{2})={\frac {1}{3}}(\mathbf {v} \_{1}+\mathbf {v} \_{2}-2\mathbf {v} \_{0})}
هي المركز الوسطي للمثلث المتقطع

فمن السهل الآن التحقق من أن جميع المعاملات في {\displaystyle \mathbf {C} } قبل {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}\mathbf {v} \_{i}^{\mathrm {T} }} هي {\displaystyle {\frac {a}{12}}} وبعد {\displaystyle \mathbf {v} \_{i}\mathbf {v} \_{j}^{\mathrm {T} }\;(i\neq j)} هي {\displaystyle {\frac {a}{24}}}. ويمكن التعبير عن ذلك في شكل مصفوفة مع {\displaystyle \mathbf {S} } على النحو الوارد أعلاه.

المراجع
-------

1. ↑   Jonathan Blow, Atman J Binstock (2004)
"How to find the inertia tensor (or other mass properties) of a 3D solid body represented by a triangle mesh"

  

* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء