معادلة تسالكوفسكي الصاروخية

معلومات عامة| سُمِّي باسم | 
كونستانتين تسيولكوفسكي عدل القيمة على Wikidata |
| يدرس | 
نظام متغير الكتلة عدل القيمة على Wikidata |
| يدرسه | 
ملاحة فضائيةrocket dynamics (en) ترجم عدل القيمة على Wikidata |
| تعريف الصيغة | 
{\displaystyle \Delta v=v\_{e}\ln {\frac {m\_{0}}{m\_{f}}}} عدل القيمة على Wikidata |
| في تحديد الصيغة | 
{\displaystyle \Delta v}{\displaystyle v\_{e}}{\displaystyle m\_{0}} عدل القيمة على Wikidata |

تعديل - تعديل مصدري - تعديل ويكي بياناتحول القالب

نسبة الكتلة للصاروخ مقابل السرعة النهائية محسوبة من معادلة الصاروخ.
**معادلة تسالكوفسكي الصاروخية**، أو **معادلة الصاروخ المثالي** (Tsiolkovsky rocket equation)، تصف حركة العربات التي تتبع المبدأ الأساسي للصاروخ: آلة قادرة على تزويد نفسها بالتسارع (كدفع) عبر نفث بعض كتلتها بسرعة عالية وتندفع بالتالي وفقا لمبدأ حفظ كمية الحركة. تربط المعادلة دلتا-في مع سرعة النفث الفعال والكتلة الابتدائية والنهائية للصاروخ (أو أي محرك رد فعلي).

لأي قيادة من هذا النوع (أو رحلة تدخل فيها مراحل من هذه القيادة):

{\displaystyle \Delta v=v\_{\text{e}}\ln {\frac {m\_{0}}{m\_{f}}}}
حيث:

{\displaystyle \Delta v\ } دلتا-في - التغير الأعظمي في السرعة للعربة (في غياب قوى خارجية مؤثرة).
{\displaystyle m\_{0}} الكتلة الابتدائية متضمنة المادة الدافعة.
{\displaystyle m\_{f}} الكتلة النهائية بدون المادة الدافعة، تعرف أيضا بالكتلة الجافة.
{\displaystyle v\_{\text{e}}} سرعة النفث الفعالة.
{\displaystyle \ln } ترمز لدالة اللوغاريتم الطبيعي.
(يمكن أيضا كتابة المعادلة بدلالة الدفع النوعي بدلا من سرعة النفث بالصيغة {\displaystyle v\_{\text{e}}=I\_{\text{sp}}\cdot g\_{0}} حيث {\displaystyle I\_{\text{sp}}} هو الدفع النوعي معبرا عنه بدلالة الزمن و{\displaystyle g\_{0}} الجاذبية القياسية ≈ 9.8 m/s2.)

الاشتقاق
--------

باعتبار المنظومة:

في هذا الاشتقاق نشير بعبارة «الصاروخ» إلى «الصاروخ وكل مادته الدافعة غير المحترقة».

يربط قانون نيوتن للحركة بين القوى الخارجية ({\displaystyle F\_{i}\,}) وبين التغير في الزخم الخطي للنظام ككل (بما في ذلك خرج أو نفث الصاروخ) كما يلي:

{\displaystyle \sum F\_{i}=\lim \_{\Delta t\to 0}{\frac {P\_{2}-P\_{1}}{\Delta t}}}
حيث {\displaystyle P\_{1}\,} هو كمية حركة الصاروخ عند زمن *t=0*:

{\displaystyle P\_{1}=\left({m+\Delta m}\right)V}
و{\displaystyle P\_{2}\,} زخم الصاروخ والكتلة المنفوثة في زمن {\displaystyle t=\Delta t\,}:

{\displaystyle P\_{2}=m\left(V+\Delta V\right)+\Delta mV\_{e}}
وحيث يكون بالنسبة للراصد:

|  |
| --- |
| {\displaystyle V\,} سرعة الصاروخ في زمن *t=0* |
| {\displaystyle V+\Delta V\,} سرعة الصاروخ في زمن {\displaystyle t=\Delta t\,} |
| {\displaystyle V\_{e}\,} سرعة الكتلة المضافة للنفث (وتفقد من قبل الصاروخ) خلال زمن {\displaystyle \Delta t\,} |
| {\displaystyle m+\Delta m\,} كتلة الصاروخ في زمن *t=0* |
| {\displaystyle m\,} كتلة الصاروخ في زمن {\displaystyle t=\Delta t\,} |

سرعة الخرج {\displaystyle V\_{e}} في إطار الراصد لها علاقة بسرعة الخرج في إطار الصاروخ {\displaystyle v\_{e}} بمقدار (حيث أن سرعة النفث في الاتجاه السالب)

{\displaystyle V\_{e}=V-v\_{e}}
ينتج الحل:

{\displaystyle P\_{2}-P\_{1}=m\Delta V-v\_{e}\Delta m\,}
و باستعمال {\displaystyle dm=-\Delta m}، حيث أن إخراج كمية موجبة {\displaystyle \Delta m} ينجم عنه نقصان في الكتلة،

{\displaystyle \sum F\_{i}=m{\frac {dV}{dt}}+v\_{e}{\frac {dm}{dt}}}
في غياب القوى الخارجية تكون {\displaystyle \sum F\_{i}=0} (حفظ كمية الحركة الخطية) و

{\displaystyle m{\frac {dV}{dt}}=-v\_{e}{\frac {dm}{dt}}}
بافتراض ثبات {\displaystyle v\_{e}\,} ، بالإمكان إجراء التكامل للحصول على:

{\displaystyle \Delta V\ =v\_{e}\ln {\frac {m\_{0}}{m\_{1}}}}
أو بصورة مكافئة

{\displaystyle m\_{1}=m\_{0}e^{-\Delta V\ /v\_{e}}}      or      {\displaystyle m\_{0}=m\_{1}e^{\Delta V\ /v\_{e}}}      or      {\displaystyle m\_{0}-m\_{1}=m\_{1}(e^{\Delta V\ /v\_{e}}-1)}
حيث {\displaystyle m\_{0}} هي الكتلة الابتدائية الإجمالية متضمنة المادة الدافعة، {\displaystyle m\_{1}} الكتلة الإجمالية النهائية، و {\displaystyle v\_{e}} سرعة نفث الصاروخ نسبة إلى الصاروخ (الدفعة النوعي، أو إن قسناه زمنيا، يكون ذلك المضروب في تسارع الجاذبية).

القيمة {\displaystyle m\_{0}-m\_{1}} تمثل إجمالي الكتلة المبددة وبالتالي:

{\displaystyle M\_{f}=1-{\frac {m\_{1}}{m\_{0}}}=1-e^{-\Delta V\ /v\_{\text{e}}}}
حيث {\displaystyle M\_{f}} جزء كتلة المادة الدافعة (جزء من الكتلة الإجمالية الأولية التي أُنْفِقَت في صورة كتلة شغالة).

انظر أيضا
---------

* قوة دفع المركبة الفضائية
* كتلة شغالة
* نظام متغير الكتلة

روابط خارجية
------------

* كيفية اشتقاق معادلة الصاروخ
* حاسبة النسبية - تعليم معادلة تسالكوفسكي للصواريخ

* أيقونة بوابةبوابة الفضاء
* أيقونة بوابةبوابة رحلات فضائية
* أيقونة بوابةبوابة الفيزياء