في الرياضيات، **المعادلة الدُوَيْرَانِيَّة** أو **متعددة الحدود الدُوَيْرَانِيَّة** أو **كثير الحدود الدُوَيْرَانِي من الدرجة *n*** لأي عدد صحيح موجب *n*، هي متعددة الحدود غير قابل للاختزال الوحيد ذات معاملات صحيحة التي هي قاسمة لـ {\displaystyle x^{n}-1} وليست قاسمة لـ {\displaystyle x^{k}-1} لأي *k* < *n*. جذوره كلها جذور الوحدة البدائية {\displaystyle e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}}، حيث *k* أعداد صحيحة الموجبة أقل من *n*، و *k* و*n* أوليان فيما بينهما (و *i* هي الوحدة التخيلية). وبعبارة أخرى فإن **متعددة** **الحدود الدويرانية من الدرجة *n*** تساوي

{\displaystyle \Phi \_{n}(x)=\prod \_{\stackrel {1\leq k\leq n}{\gcd(k,n)=1}}\left(x-e^{2i\pi {\frac {k}{n}}}\right).}
يمكن تعريفها أيضًا على أنها متعددة الحدود واحدية المدخل ذات معاملات صحيحة وهي متعددة الحدود الدنيا على حقل الأعداد المُنْطقة لأي جذر الوحدة من الدرجة *n* البدائية ({\displaystyle e^{2i\pi /n}} مثال على هذا الجذر).

هناك علاقة مهمة تربط بين كثيرات الحدود الدويرانية وجذور الوحدة البدائية

{\displaystyle \prod \_{d\mid n}\Phi \_{d}(x)=x^{n}-1,}
يوضح أن *x* هو جذر {\displaystyle x^{n}-1} إذا وفقط إذا كانت عبارة عن جذر الوحدة البدائي من الدرجة *d* لبعض *د* الذي يقسم *ن*.

أمثلة
-----

إذا كان *n* عددًا أوليًا، فإن

{\displaystyle \Phi \_{n}(x)=1+x+x^{2}+\cdots +x^{n-1}=\sum \_{k=0}^{n-1}x^{k}.}
إذا كان *n* = 2 *p* حيث *p* هو عدد أولي فردي، فإن

{\displaystyle \Phi \_{2p}(x)=1-x+x^{2}-\cdots +x^{p-1}=\sum \_{k=0}^{p-1}(-x)^{k}.}
بالنسبة من *n* حتى 30، تكون كثيرات الحدود الدويرانية:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \_{1}(x)&=x-1\\\Phi \_{2}(x)&=x+1\\\Phi \_{3}(x)&=x^{2}+x+1\\\Phi \_{4}(x)&=x^{2}+1\\\Phi \_{5}(x)&=x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{6}(x)&=x^{2}-x+1\\\Phi \_{7}(x)&=x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{8}(x)&=x^{4}+1\\\Phi \_{9}(x)&=x^{6}+x^{3}+1\\\Phi \_{10}(x)&=x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi \_{11}(x)&=x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{12}(x)&=x^{4}-x^{2}+1\\\Phi \_{13}(x)&=x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{14}(x)&=x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi \_{15}(x)&=x^{8}-x^{7}+x^{5}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi \_{16}(x)&=x^{8}+1\\\Phi \_{17}(x)&=x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{18}(x)&=x^{6}-x^{3}+1\\\Phi \_{19}(x)&=x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{20}(x)&=x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi \_{21}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{9}-x^{8}+x^{6}-x^{4}+x^{3}-x+1\\\Phi \_{22}(x)&=x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi \_{23}(x)&=x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}\\&\qquad \quad +x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{24}(x)&=x^{8}-x^{4}+1\\\Phi \_{25}(x)&=x^{20}+x^{15}+x^{10}+x^{5}+1\\\Phi \_{26}(x)&=x^{12}-x^{11}+x^{10}-x^{9}+x^{8}-x^{7}+x^{6}-x^{5}+x^{4}-x^{3}+x^{2}-x+1\\\Phi \_{27}(x)&=x^{18}+x^{9}+1\\\Phi \_{28}(x)&=x^{12}-x^{10}+x^{8}-x^{6}+x^{4}-x^{2}+1\\\Phi \_{29}(x)&=x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{17}+x^{16}+x^{15}\\&\qquad \quad +x^{14}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+x+1\\\Phi \_{30}(x)&=x^{8}+x^{7}-x^{5}-x^{4}-x^{3}+x+1.\end{aligned}}}
حالة متعددة الحدود الدويرانية من الدرجة 105 مثيرة للاهتمام لأن 105 هي أقل عدد صحيح موجب الذي هو حاصل ضرب ثلاثة أعداد أولية فردية متمايزة (3 \* 5 \* 7) وهذه كثيرة الحدود هي الأولى التي لها معامل غير 1 ، 0 ، أو −1:

{\displaystyle {\begin{aligned}\Phi \_{105}(x)&=x^{48}+x^{47}+x^{46}-x^{43}-x^{42}-2x^{41}-x^{40}-x^{39}+x^{36}+x^{35}+x^{34}+x^{33}+x^{32}+x^{31}-x^{28}-x^{26}\\&\qquad \quad -x^{24}-x^{22}-x^{20}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{14}+x^{13}+x^{12}-x^{9}-x^{8}-2x^{7}-x^{6}-x^{5}+x^{2}+x+1.\end{aligned}}}

مراجع
-----

1. ↑  موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، *معجم مصطلحات الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 156، QID:Q108593221
2. ↑  Sloane, N. J. A. (ed.). "Sequence A013595". *The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences*. OEIS Foundation.

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة نظرية الأعداد