الحل الهندسي للمتطابقة الهامة {\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}
في الرياضيات، يطلق اسم **المتطابقات الهامة** أو **المتطابقات الشهيرة** أو **المتساويات الهامة** على بعض المتساويات التي تطبق على أعداد أو حدوديات. و هي تساعد على تسريع عمليات الحساب، تبسيط بعض الكتابات الجبرية، وكذا تحديد العوامل. تساعد **المتطابقات الهامة** كذلك في حل معادلة من الدرجة الثانية و إيجاد حلول المعادلات. 
بينت معظم هذه **المتطابقات الهامة** بالحلول الهندسية ثم عوضت بقيم قوة أكبر عن طريق حسابات جبرية.

متطابقات هامة من الدرجة الثانية
-------------------------------

في هذا القسم بأكمله، *a* و *b* عددان حقيقيان، أو عددان عقديان.
هذه المتطابقات الهامة صحيحة في حلقة تبادلية، حيث *a* و *b* متبادلان.

### خاصيات

**المتطابقات الهامة** من الدرجة الثانية هي:


|  |
| --- |
| {\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}}
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}}
{\displaystyle (a+b)(a-b)=a^{2}-b^{2}} |

المتطابقة الهامة الثانية يمكن أخذها حالة خاصة من المتطابقة الهامة الأولى، مع اعتبار، أنه تم تعويض (***b***)
بـ (***b–***) في المتساوية الأولى.
حسب القاعدة نستنج الخاصية التالية:

|  |
| --- |
| **تعريف جداء هام**:
تسمى التعابير الثلاثة التالية *جداء هاما*
{\displaystyle (a+b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)^{2}{\text{;}}\quad (a-b)(a+b).} |
| — |

و نستنتج أيضا :

|  |
| --- |
| **تعريف مجموع هام**:
تسمى التعابير الثلاثة التالية *مجموعا هاما*
{\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2};\quad a^{2}-2ab+b^{2};\quad a^{2}-b^{2}.} |
| — |

### أمثلة

#### النشر والتعميل

تساعد المتطابقات الهامة على تحويل كتابات بعض التعابير الجبرية، كما في المثال التالي:

{\displaystyle A=(2x-3)^{2}+(x+5)(3-x).}
التعبير *A* هو مجموع عمليتين جبريتين. العملية الأولى تعتبر جداء هاما، يمكن تحويلها إلى جمع:

{\displaystyle (2x-3)^{2}=(2x)^{2}-2\times 2x\times 3+3^{2}=4x^{2}-12x+9\quad {\text{;}}\quad A=4x^{2}-12x+9+(x+5)(3-x).}
يعتمد حل المقطع الثاني على عملية النشر:

{\displaystyle (x+5)(3-x)=x(3-x)+5(3-x)=3x-x^{2}+15-5x=-x^{2}-2x+15.}
بجمع العمليتين نحصل على النتيجة


|  |
| --- |
| {\displaystyle A=4x^{2}-12x+9-x^{2}-2x+15=3x^{2}-14x+24.} |

#### المعادلات من الدرجة الثانية

المقالة الرئيسية: معادلة من الدرجة الثانية
تمكن **المتطابقات الهامة** من حل معادلات من الدرجة الثانية. نعتبر المثال التالي: 

{\displaystyle x^{2}+2x-5=0.}
لحل المعادلة نقوم بحل الجانب الذي لا يحتوي على مجاهيل وذلك باستخراج عدد آخر.

{\displaystyle x^{2}+2x-5=x^{2}+2x+1-6.}
الأعداد الثلاثة الأولى الآن تشكل **مجموعا هاما**، يمكن تطبيق **المتطابقة الهامة** بحيث تصبح المعادلة على شكل:

{\displaystyle x^{2}+2x-5=(x+1)^{2}-6=(x+1)^{2}-({\sqrt {6}})^{2}=0.}
نستنتج الآن **مجموعا هاما** جديدا بحيث تكتب المعادلة على شكل:

{\displaystyle x^{2}+2x-5=(x+1+{\sqrt {6}})(x+1-{\sqrt {6}})=0.}
الجداء *a*.*b* لعددين *a* و *b* يكون منعدما إذا وفقط إذا كان *a* أو *b* منعدما.. حل المعادلة يؤول إلى حل معادلتين من الدرجة الأولى:

{\displaystyle (1)\;x+1+{\sqrt {6}}=0\quad {\text{;}}\quad (2)\;x+1-{\sqrt {6}}=0.}
نجد حلي المعادلة، التي تسمى أيضا جذر الحدودية:


|  |
| --- |
| {\displaystyle x\_{1}=-1-{\sqrt {6}}\quad {\text{;}}\quad x\_{2}=-1+{\sqrt {6}}.} |

### متعددات حدود مرفوعة إلى الدرجة الثانية

|  |
| --- |
| **خاصية**:
لرفع حدودية ذات حدود متعددة إلى الدرجة الثانية، فقط يتم جمع **مربع كل حد في الحدودية** مع **ضعف مجموع الجداءات الممكنة بين الحدود** |
| —مثال:
{\displaystyle (a+b+c)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+2(ab+ac+bc),}
{\displaystyle (a+b+c+d)^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}+2(ab+ac+ad+bc+bd+cd).} |

متطابقات هامة متنوعة
--------------------

### متطابقة أويلر للمربعات الأربعة

متطابقة المربعات الأربعة لأويلر تصل بينها ثمانية أعداد وتأخذ الشكل التالي:

{\displaystyle (a\_{1}^{2}+a\_{2}^{2}+a\_{3}^{2}+a\_{4}^{2})(b\_{1}^{2}+b\_{2}^{2}+b\_{3}^{2}+b\_{4}^{2})}
{\displaystyle =(a\_{1}b\_{1}-a\_{2}b\_{2}-a\_{3}b\_{3}-a\_{4}b\_{4})^{2}+(a\_{1}b\_{2}+a\_{2}b\_{1}+a\_{3}b\_{4}-a\_{4}b\_{3})^{2}}
{\displaystyle +\,(a\_{1}b\_{3}-a\_{2}b\_{4}+a\_{3}b\_{1}+a\_{4}b\_{2})^{2}+(a\_{1}b\_{4}+a\_{2}b\_{3}-a\_{3}b\_{2}+a\_{4}b\_{1})^{2}.}
### متطابقة صوفي جيرمين

متطابقة **صوفي جرمين** تنص على أن لكل عدد *x* و *y*، لدينا:

{\displaystyle x^{4}+4y^{4}=(x^{2}+2y^{2})^{2}-4x^{2}y^{2}=(x^{2}+2y^{2}-2xy)(x^{2}+2y^{2}+2xy)=((x+y)^{2}+y^{2})((x-y)^{2}+y^{2}).}
### متطابقة جون روبرت أرغاند

{\displaystyle (x^{2}+x+1)(x^{2}-x+1)=x^{4}+x^{2}+1.}
### متطابقة كارل فريدريك غوس

{\displaystyle a^{3}+b^{3}+c^{3}-3abc=(a+b+c)(a^{2}+b^{2}+c^{2}-ab-ac-bc)={\frac {1}{2}}(a+b+c)[(a-b)^{2}+(b-c)^{2}+(a-c)^{2}].}
### متطابقات أدريان لوجاندر

{\displaystyle (a+b)^{2}+(a-b)^{2}=2(a^{2}+b^{2}),}
{\displaystyle (a+b)^{2}-(a-b)^{2}=4ab,}
{\displaystyle (a+b)^{4}-(a-b)^{4}=8ab(a^{2}+b^{2}).}
### متطابقات جوزيف لاغرانج

{\displaystyle (a^{2}+b^{2})(x^{2}+y^{2})=(ax+by)^{2}+(ay-bx)^{2},}
{\displaystyle (a^{2}+b^{2}+c^{2})(x^{2}+y^{2}+z^{2})=(ax+by+cz)^{2}+(ay-bx)^{2}+(az-cx)^{2}+(bz-cy)^{2}.}

متطابقة هامة من الدرجة n
------------------------

### نظرية ذات الحدين لنيوتن

المقالة الرئيسية: نظرية ذات الحدين
نفس التقنية المتبعة في **المتطابقة الهامة** ذات الدرجة 2. ليكن **a** و **b** عددين حقيقيين:

{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3};}
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}.}
بطريقة أخرى:

{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4};}
{\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}.}
بنفس الطريقة:

{\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5};}
{\displaystyle (a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}.}
كذلك يمكن جعلها على أي درجة **n** باستعمال**نظرية ذات الحدين** أو **نظرية حد الكرخي — نيوتن**

{\displaystyle (x+y)^{n}=\sum \_{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}.}
معاملات التعبير المعتبر كحدودية في **x** و في **y** تدعى معاملات ثنائية. حتى وإن كان **y** عددا سالبا، فإنه نحصل على نفس التعابير أعلاه.

### أمثلة أخرى

متطابقات هامة من الدرجة الثانية
{\displaystyle (a+b)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2}\,}
{\displaystyle (a-b)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2}\,}
{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)(a+b)\,}
متطابقات هامة من الدرجة الثالثة
{\displaystyle (a+b)^{3}=a^{3}+3a^{2}b+3ab^{2}+b^{3}\,}
{\displaystyle (a-b)^{3}=a^{3}-3a^{2}b+3ab^{2}-b^{3}\,}
{\displaystyle a^{3}+b^{3}=(a+b)(a^{2}-ab+b^{2})\,}
{\displaystyle a^{3}-b^{3}=(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})\,}
متطابقات هامة من الدرجة الرابعة
{\displaystyle (a+b)^{4}=a^{4}+4a^{3}b+6a^{2}b^{2}+4ab^{3}+b^{4}\,}
{\displaystyle (a-b)^{4}=a^{4}-4a^{3}b+6a^{2}b^{2}-4ab^{3}+b^{4}\,}
متطابقات هامة من الدرجة الخامسة
{\displaystyle (a+b)^{5}=a^{5}+5a^{4}b+10a^{3}b^{2}+10a^{2}b^{3}+5ab^{4}+b^{5}\,}
{\displaystyle (a-b)^{5}=a^{5}-5a^{4}b+10a^{3}b^{2}-10a^{2}b^{3}+5ab^{4}-b^{5}\,}
{\displaystyle a^{5}+b^{5}=(a+b)(a^{4}-a^{3}b+a^{2}b^{2}-ab^{3}+b^{4})\,}
{\displaystyle a^{5}-b^{5}=(a-b)(a^{4}+a^{3}b+a^{2}b^{2}+ab^{3}+b^{4})\,}
متطابقات هامة من الدرجة السادسة
{\displaystyle a^{6}+b^{6}=(a^{2}+b^{2})(a^{4}-a^{2}b^{2}+b^{4})\,}
{\displaystyle a^{6}-b^{6}=(a+b)(a-b)(a^{2}+ab+b^{2})(a^{2}-ab+b^{2})\,}
متطابقات هامة من الدرجة السابعة
{\displaystyle a^{7}+b^{7}=(a+b)(a^{6}-ab^{5}+a^{2}b^{4}-a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}-a^{5}b+b^{6})\,}
{\displaystyle a^{7}-b^{7}=(a-b)(a^{6}+ab^{5}+a^{2}b^{4}+a^{3}b^{3}+a^{4}b^{2}+a^{5}b+b^{6})\,}

ملاحظات
-------

1. ↑  هذه المعلومات الواردة هنا وفي المقالة مأخودة أساسا من المصدر التالي: (Brault 2008)
2. ↑  أنظر المقالة معادلة منعدمة

مراجع
-----

1. ↑  "درس المتطابقات الهامة للسنة الثالثة إعدادي - مادة الرياضيات -". *www.mowahadi.com*. مؤرشف من الأصل في 2018-07-15. اطلع عليه بتاريخ 2017-04-13.
2. 1 2 3  *متطابقات هامة* من الموقع الإلكتروني Wouf. نسخة محفوظة 06 نوفمبر 2016 على موقع واي باك مشين.
3. ↑  مشتق من صفحة Y.زكرياء Monka *النشر*، على الموقع m@ths et tiques ص. 2
. نسخة محفوظة 30 ديسمبر 2018 على موقع واي باك مشين.

* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علوم