|  |
| --- |
| جزء من سلسلة مقالات حول |
| التفاضل والتكامل |
| \* **المبرهنة الأساسية**
* نهايات الدوال
* استمرارية
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* مبرهنة رول
* تفاضل وتكامل كسري
 |
| حساب التفاضل
* اشتقاق
* حساب المتغيرات
* تفاضل ضمني
* مبرهنة تايلور
* معدلات مرتبطة
* متطابِقات

قواعد
* قاعدة القوة
* قاعدة الضرب
* قاعدة ناتج القسمة
* قاعدة التسلسل
* قاعدة لايبنتز للتكامل
 |
| حساب التكامل
* تكامل
* قائمة التكاملات
* تكاملات معتلة
* تكامل ريمان
* تكامل متعدد

التكامل بواسطة
* التجزئة
* الأقراص
* الطبقات الأسطوانية
* التعويض
* التعويضات المثلثية
* الكسور الجزئية
* تغيير الرتب
 |
| حساب المتسلسلات
* متسلسلة هندسية (حسابية هندسية)
* متسلسلة متناسقة
* متسلسلة متناوبة
* متسلسلة قوى
* متسلسلة ذو الحدين
* متسلسلة تايلور

اختبارات التقارب
* اختبار الحد النوني
* اختبار النسبة
* اختبار الجذر
* اختبار التكامل للتقارب
* اختبار المقارنة
* اختبار مقارنة النهاية
* اختبار متسلسلة متناوبة
* اختبار التكثف لكوشي
* اختبار دركليه
* اختبار أبيل
 |
| حساب المتجهات
* تدرج
* تباعد
* دوران (إلتواء)
* لابلاسي
* مبرهنة التدرج
* مبرهنة غرين
* مبرهنة ستوكس
* مبرهنة التباعد
* مبرهنة كلفن-ستوكس (مبرهنة الدوران)
 |
| حساب متعدد المتغيرات
* حسبان المصفوفات
* اشتقاق جزئي
* تكامل متعدد
* تكامل خطي
* تكامل سطحي
* تكامل حجمي
* جاكوبي
 |
| شعار بوابة بوابة رياضيات |
| * ع
* ن
* ت
 |

النهاية عند قيمة لا متناهية.
**النهاية** أو **الغاية** (بالإنجليزية: Limit)‏ أحد المفاهيم الأساسية في الرياضيات ، وبشكل خاص في التفاضل والتكامل والتحليل الرياضي،  ويقصد بها أن متغير ما تابع لمتغير آخر تقترب قيمته اعتباطيا من ثابت ما لأن المتغير الآخر يتغير بطريقة محددة.

تكمن أهمية النهاية في أنها تستعمل لتعريف مفاهيم أساسية أخرى في الرياضيات مثل: الاستمرارية والاشتقاقية والتكامل.

التاريخ
-------

نشأ مفهوم النهاية في إطار الحاجة لحساب الأطوال والمساحات والأحجام لأشكال مثل الدائرة والكرة، ويعد مفهوم النهاية تطويرا لطريقة الاستنفاذ التي عرفها اليونانيون القدماء والتي استخدمها أرخميدس لحساب مساحة الدائرة.

نهاية دالة
----------

المقالة الرئيسية: نهاية دالةتعريف: نقول ان لدالة {\displaystyle f(x)} نهاية تساوي {\displaystyle L} لما يؤول {\displaystyle x} إلى {\displaystyle a}، إذا استطعنا جعل قيم {\displaystyle f(x)} تقترب بشكل تعسفي من قيم{\displaystyle L} وذلك بأخذ قيم {\displaystyle x} لتكون قريبة من قيم{\displaystyle a} بشكل كافي دون أن يتساويا.

ونكتب هذا على الشكل: {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)=L}.

ويجدر الذكر هنا أن المساوة في الشكل اعلاه ليست حقيقة وتكتب اصطلاحا فقط لسهولتها والاًصل هو: {\displaystyle \lim \_{x\to a}f(x)\rightarrow L}

في عام 1821م قدم العالم أوغستين لوي كوشي متبوعا كارل ويرستراس تعريفا رسميا وأكثر دقة لنهاية وهو ما يعرف الآن بتعريف {\displaystyle \epsilon -\sigma } لنهاية.

نهاية متتالية
-------------

المقالة الرئيسية: نهاية متتالية
نقول أن المتتالية{\displaystyle u\_{n}} العددية تقبل العدد الحقيقي {\displaystyle L}كنهاية إذا وفقط إذا كان كل مجال مفتوح يشمل {\displaystyle L} يشمل أيضا كل حدود المتتالية ابتداء من رتبة معينة ونكتب: {\displaystyle \lim \_{n\to +\infty }u\_{n}=L}أو نكتب: {\displaystyle \lim u\_{n}=L}(حيث أن النهاية لا تحسب إلا عند {\displaystyle +\infty }).

ويتلخص مفهوم النهاية في أنه طريقة لإيجاد القيمة التي يجب أن يأخذها متغير تابع عندما يؤول المتغير المستقل إلى قيمة معينة، وذلك حتى عندما يتعذر حساب المتغير التابع مباشرة من قواعد الحساب والجبر.

كمثال: ما القيمة التي يصل إليها المقدار {\displaystyle \sin(x)/x} عندما تؤول {\displaystyle x} إلى الصفر؟

من الواضح أن التعويض المباشر في هذه الصيغة يعطي خارج قسمة صفر على صفر، وهي كمية غير معينة، لذلك نلاحظ أن المقدار {\displaystyle \sin(x)/x} أقل من الواحد الصحيح وأكبر من {\displaystyle \cos x} لأي قيمة للمتغير {\displaystyle x} قريبة من الصفر، وحيث أن {\displaystyle \cos(0)=1} فإننا نستنتج أن نهاية المقدار {\displaystyle \sin(x)/x} هي الواحد.

مثال آخر: فإذا افترضنا أن المتغير المستقل س معرف على المجال المفتوح ]+1,+2[ واقتربت س من منتصف المجال +1.5 دون أن تصل لها، ورافق ذلك أن الدالة تا (س)= س - 1.5 تقترب نتيجة ذلك من القيمة ولنقل (0) فهذا يعني أن نهاية التابع تا (س) هي 0 عندما تقترب س من القيمة +1.5.

إذا افترضنا أن الدالة {\displaystyle f} معرفة على المجال المفتوح الذي يحتوي العدد {\displaystyle c} وكان {\displaystyle L} من مجموعة الأعداد الحقيقية:

وكان من أجل أي عدد {\displaystyle \varepsilon >0} يوجد عدد
{\displaystyle \delta >0} بحيث يتحقق الشرط:

مهما كانت {\displaystyle x} ضمن المجال فإن:

{\displaystyle 0<|x-c|<\delta \ } فإن هذا يقتضي أن {\displaystyle |f(x)-L|<\varepsilon \ }.

لنفترض أن الدالة (*f*(*x* هي دالة حقيقية وأن *c* عدد حقيقي أيضا:

عندئذ نقول:

{\displaystyle \lim \_{x\to c}f(x)=L}
مما يعني أن الدالة {\displaystyle f(x)} تكون قريبة جدا حسبما نريد من
{\displaystyle L} عندما تقترب {\displaystyle x} من العدد {\displaystyle c} ونعبر عن ذلك لغة (أن نهاية {\displaystyle f(x)}، عندما تقترب
{\displaystyle x} من {\displaystyle c}، هي {\displaystyle L}).

مراجع
-----

1. ↑  "الغايات المنتهية". *engmsy.uobabylon.edu.iq*. مؤرشف من الأصل في 2019-11-24. اطلع عليه بتاريخ 2020-07-30.
2. 1 2  "Encyclopedia of Mathematics". ISBN:1402006098. مؤرشف من الأصل في 2019-04-18.
3. ↑  محمد، سويقات؛ حسن، خليفة (2016). *محاضرات من مقرر الرياضيات*. سوريا: جامعة الأندلس الخاصة للعلوم الطبية. ص. 1. `{{استشهاد بكتاب}}`: `|عمل=` تُجوهل (مساعدة) وروابط خارجية في ``|عمل=`` (مساعدة)
4. ↑  JAMES; STEWART. *CALCULUS EARLY TRANSCENDENTALS* (بالإنجليزية). Thomson Brooks/Cole. p. 88. ISBN:1-800-423-0563. `{{استشهاد بكتاب}}`: تأكد من صحة `|isbn=` القيمة: طول (help)
5. ↑  Judith V؛ Grabiner. "Who Gave You the Epsilon? Cauchy and the Origins of Rigorous Calculus". *Mathematical Association of America*: 185–194. مؤرشف من الأصل في 2019-07-24.
6. ↑  مراد، محمد فاتح (2007). *الرياضيات لسنة الثالثة من التعليم الثانوي العام والتكنولوجي*. الجزائر: الديوان الوطني للمطبوعات المدرسية. ج. الثاني. ISBN:978-9947-20-534-1. مؤرشف من الأصل في 2019-09-04.

انظر أيضا
---------

* نهاية دالة أو متتالية
* تفاضل
* تكامل المحدود وغير محدود

|  |
| --- |
| **نهاية** في المشاريع الشقيقة: |
|  | 
* صور وملفات صوتية من كومنز.
* كتب من ويكي الكتب.
 |


|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المعرف NDL لـ 00567231 غير صحيح.

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات