في التحليل الرياضي ، يعد **التحليل المقارب** ، المعروف أيضًا باسم **التقارب** ، طريقة لوصف سلوك النهايات.

كتوضيح، افترض أننا مهتمون بخصائص الدالة *f*(*n*) بحيث n هو عدد كبير جدًا. إذا كانت *f*(*n*) = *n*2 + 3*n* إذاً كلما كَبُرت n ، 3*n* تصبح ضئيلة مقارنة بــ *n*2. يُقال أن الدالة *f*(*n*) «*مكافئة بشكل مقارب* لـ *n*2 ، عندما *n* → ∞ ». غالبًا ما يتم كتابة هذا على كشكل *f*(*n*) ~ *n*2 ، والذي يُقرأ « *f*(*n*) مقارب لـ *n*2 ».

كمثال على نتيجة مقاربة مهمة نذكر مبرهنة الأعداد الأولية. لتكن π(*x*) هي الدالة المعدة للأعداد الأولية، أي أن π(*x*) هي عدد الأعداد الأولية التي تقل عن x أو تساويها. ثم تنص المبرهنة على الآتي :

> {\displaystyle .\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}}
> 
>

تعريف
-----

بالنظر إلى الدالتين *f*(*x*) و *g*(*x*) ، نحدد العلاقة الثنائية

> {\displaystyle f(x)\sim g(x)} عندما تؤول x إلى {\displaystyle \infty }.
> 
> 

إذا وفقط إذا (دي بروين  1981)

> {\displaystyle .\lim \_{x\to \infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=1}
> 
> 

الرمز ~ هو تلدة. العلاقة هي علاقة تكافؤ على مجموعة دوال x ؛ يقال أن الدالتين f و g *مكافئتان تقاربيًا (أو بشكل مقارب)*. يمكن أن يكون مجال f و g أي مجموعة بشرط أن تكون فيها النهاية معرفة: على سبيل المثال، الأعداد الحقيقية والأرقام المركبة والأعداد الصحيحة الموجبة.

خصائص
-----

إذا كانت {\displaystyle f\sim g} و {\displaystyle a\sim b} ، ففي ظل بعض الظروف، الآتي صحيح.

* {\displaystyle f^{r}\sim g^{r}} ، لكل r
* {\displaystyle \log(f)\sim \log(g)}
* {\displaystyle f\times a\sim g\times b}
* {\displaystyle f/a\sim g/b}

تسمح هذه الخصائص بتبادل الدوال المتكافئة تقاربيًا بحرية في العديد من التعبيرات الجبرية.

أمثلة على الصيغ المقاربة
------------------------

* عاملي

{\displaystyle n!\sim {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}
- هذا الأخير هو تقريب ستيرلينغ.
* دالة التجزئة

لعدد صحيح موجب n ، تعطي دالة التجزئة {\displaystyle p(n)} عدد طرق كتابة العدد الصحيح n كمجموع من الأعداد الصحيحة الموجبة.
{\displaystyle p(n)\sim {\frac {1}{4n{\sqrt {3}}}}e^{\pi {\sqrt {\frac {2n}{3}}}}}

ملاحظات
-------

1. ↑  Hazewinkel، Michiel، المحرر (2001)، "Asymptotic equality"، *Encyclopedia of Mathematics*، سبرنجر، ISBN:978-1-55608-010-4
2. ↑  Estrada & Kanwal (2002, §1.2)
3. ↑  Howison, S. (2005), *Practical Applied Mathematics*, مطبعة جامعة كامبريدج نسخة محفوظة 22 يوليو 2021 على موقع واي باك مشين.

مراجع
-----

* Balser، W. (1994)، *From Divergent Power Series To Analytic Functions*، شبغنكا، ISBN:9783540485940، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
* de Bruijn، N. G. (1981)، *Asymptotic Methods in Analysis*، Dover Publications، ISBN:9780486642215، مؤرشف من الأصل في 2023-01-17
* Estrada، R.؛ Kanwal، R. P. (2002)، *A Distributional Approach to Asymptotics*، Birkhäuser، ISBN:9780817681302، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
* Miller، P. D. (2006)، *Applied Asymptotic Analysis*، جمعية الرياضيات الأمريكية، ISBN:9780821840788، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
* Murray، J. D. (1984)، *Asymptotic Analysis*، Springer، ISBN:9781461211228، مؤرشف من الأصل في 2021-07-22
* Paris، R. B.؛ Kaminsky، D. (2001)، *Asymptotics and Mellin-Barnes Integrals*، مطبعة جامعة كامبريدج، مؤرشف من الأصل في 2022-04-13

وصلات خارجية
------------

* *Asymptotic Analysis*  —home page of the journal, which is published by IOS Press
* A paper on time series analysis using asymptotic distribution

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات