في الرياضيات، **دالة بُول** هي دالة {\displaystyle f(x)=f(x\_{1},\cdots ,x\_{n})} مع n متغيرات {\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\to \{0,1\}} نقول أنَّ f تقبل متجه {\displaystyle a\in \{0,1\}^{n}} إذا 1 =(f(a ونقول انها ترفضه إذا 0 =(f(a. دالة بول ليست بالضرورة متعلقة بكل متغيراتها ونقول أنَّ الدالة f متعلقة بالمتغير xi  إذا يوجد اعداد ثابتة {\displaystyle a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},a\_{i+1},\cdots ,a\_{n}\in \{0,1\}} بحيث أنَّ:

{\displaystyle f(a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},0,a\_{i+1},\cdots ,a\_{n})\neq f(a\_{1},\cdots ,a\_{i-1},1,a\_{i+1},\cdots ,a\_{n})}
بما أنَّه يوجد {\displaystyle 2^{n}} متجهات في {\displaystyle \{0,1\}^{n}} فإن عدد دوال بول {\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\to \{0,1\}} هو {\displaystyle 2^{2^{n}}}.

دوال بول المتناظرة
------------------

دالة بول نقول عنها متناظرة إذا اعتمدت فقط على عدد ال-1 في المُدخل وليس على مكانها أي على توزيعها على المتغيرات، لذا فانه يوجد {\displaystyle 2^{n+1}} دوال كهذه، امثلة لدوال كهذه:

* دالة الحفة (threshold function) {\displaystyle Th\_{k}^{n}(x)=1\iff x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}\geq k}
* دالة الأكثرية (majority function) {\displaystyle Maj\_{n}(x)=1\iff x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}\geq \left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil }
* دالة الزوجية (parity function) {\displaystyle \oplus \_{n}(x)=1\iff x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}=1{\pmod {2}}}
* دالة العد (modular function) {\displaystyle Mod\_{k}(x)=1\iff x\_{1}+x\_{2}+\cdots +x\_{n}=0{\pmod {k}}}

ترجمة الخصائص
-------------

يمكن ترجمة كل خاصية أو صفة إلى دالة بول ملائمة وهذه الصفة يمكن ان تحقق أو لا، مثال: الصفة «العدد أولي» ملائم للدالة PRIME بحيث:

عدد اولي {\displaystyle PRIME(x)=1\iff \sum \_{i=0}^{n}x\_{i}\cdot 2^{i}} .
ولنترجم خصائص المُخططات (graphs) على المجموعة {\displaystyle [n]=\{1,\cdots ,n\}} نُعرف لكل ضلع متغير {\displaystyle x\_{ij}} وهذا المتغير 1 إذا {\displaystyle (i,j)\in E(G)} و-0 خلاف هذا. لذا أي مُتجه قيمه 0-1 بطول {\displaystyle {\binom {n}{2}}} يعطينا مُخطط G. عندها خاصية يمكن ترجمتها بشكل مناسب، بشكل عام:

خاصية مُخطط {\displaystyle f(x)=1\iff }
مثال:

دالة المخطط الكامل (the clique function) أو (Clique(n,k : وهذه الدالة تقبل متجه x إذا وفقط إذا Gx يحوي مخطط كامل مع k رؤوس.

مصفوفة بول
----------

مصفوفة بول هي مصفوفة بحيث أنَّ كل الخلايا قيمتها اما 0 أو 1 .

إذا (f(x,y دالة بول مع 2n متغيرات حينها يمكن النظر اليها على انها مصفوفة،A, بكبر {\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}} بحيث أن كل سطر وعامود موسوم بواسطة مُتجه من {\displaystyle \{0,1\}^{n}} , ويتحقق: (A[x,y]=f(x,y .

عمليات بول
----------

عمليات بول الأساسية هي:

* عملية النقض (negation) ويرمز لها ب- NOT : {\displaystyle \neg x=1-x} وفي بعض الاحيان: {\displaystyle {\bar {x}}}
* عملية الضم (conjuction), ويرمز لها ب- AND : {\displaystyle x\land y=x\cdot y}
* عملية الفصل (disjunction), ويرمز لها ب- OR : {\displaystyle x\lor y=1-(1-y)\cdot (1-x)}
* عملية الزوجية (parity), ويرمز لها ب-XOR : {\displaystyle x\oplus y=x(1-y)+y(1-x)=(x+y){\pmod {2}}}
* عملية الاستلزام (implication) وهي {\displaystyle x\to y=\neg x\lor y}

من هذه العمليات يمكن تركيب دوال بول أكثر تعقيدا من دوال بسيطة.

مثال:

لنفرض أنَّ {\displaystyle f(x,y)=\neg x+(x\lor y)} حينها يمكن أن نبني دالة جديدة: {\displaystyle f'(x,y,z)=\neg f(x,y)\land z}

المكعب الثنائي
--------------

المعكب الثنائي هو مجموعة كل المتجهات (أي {\displaystyle \{0,1\}^{n}}) ويمكن التعبير عنه بواسطة مُخطط (GRAPH) بحيث أنه يوجد لهذا المكعب {\displaystyle 2^{n}} رؤوس وكل رأس موسوم بواسطة مُتجه (vector) من المجموعة {\displaystyle \{0,1\}^{n}} ويوجد ضلع بين رأسين إذا اختلف المتجهين اللذان هما وسما الرأسين في مكان واحد. لذا فانه يوجد {\displaystyle n\ 2^{n}} اضلاع في هذا المخطط، كما انَّه مخطط ثنائي. نرمز لمكعب مع {\displaystyle 2^{n}} رؤوس ب- {\displaystyle Q\_{n}} .

A هو مُكعب جزئي بُعده d هو مجموعة شكلها كالتالي: {\displaystyle A=A\_{1}\times A\_{2}\times \cdots \times A\_{n}} بحيث أنَّ كل Ai هو أحد المجموعات: {\displaystyle \{0\},\{1\},\{0,1\}} بالإضافة إلى أنه فقط ل- d من المجموعات يتحقق التالي: {\displaystyle A\_{i}=\{0,1\}} .

كل دالة بول {\displaystyle f:\{0,1\}^{n}\to \{0,1\}} يمكن النظر اليها على انها تلوين (coloring) {\displaystyle Q\_{n}} بلونين. المخطط الثنائي الجزئي {\displaystyle G\_{f}} نحصل عليه بازالة كل الاضلاع التي رؤوسها تشترك بنفس اللون. الكثافة في المخطط {\displaystyle G\_{f}} له فائدة في تعقيد دوائر بول للدالة f .

الاشكال الطبيعية
----------------

هنالك شكلان طبيعيان لدوال بول: CNF , DNF. لعل أكثر الوسائل بديهية لتمثيل دالة بول هو جدول الحقيقة الخاص بالدالة أي قائمة بكل {\displaystyle 2^{n}} الازواج {\displaystyle (a,f(a))} لكل {\displaystyle a\in \{0,1\}^{n}}. هذه الطريقة اغلب الاحيان غير ملائمة، وسيلة أكثر ملائمة هي DNF و-CNF .

متغير بسيط (literal) هو متغير بول أو ضده أي اما ان يكون {\displaystyle x\_{i}} أو {\displaystyle \neg x\_{i}}. بشكل عام الترميز التالي شائع الاستخدام: {\displaystyle x\_{i}^{1}=x\_{i}} و- {\displaystyle x\_{i}^{0}=\neg x\_{i}} لذا فانه لكل سلسلة {\displaystyle a=(a\_{1},\cdots ,a\_{n})} يتحقق التالي:

{\displaystyle x\_{i}^{1}(a)={\begin{cases}1,&{\mbox{if }}a\_{i}=1\\0,&{\mbox{if }}a\_{i}=0\end{cases}}\ ,x\_{i}^{0}(a)={\begin{cases}0,&{\mbox{if }}a\_{i}=1\\1,&{\mbox{if }}a\_{i}=0\end{cases}}}
احادي الحدود (monomial) هو AND متغيرات بسيطة، والتعبير (clause) هو or متغيرات بسيطة. مثال:

* {\displaystyle x\land y\land \neg z} هو احادي الحدود.
* {\displaystyle x\lor y\lor \neg x\lor z} هو تعبير.

DNF هو OR آحاد الحدود و- CNF هو AND تعابير. كل دالة بول (f(x يمكن التعبير عنها بواسطة (DNF D(x أو (CNF C(x :

 {\displaystyle C(x)=\bigvee \_{a:f(a)=1}\bigwedge \_{i=1}^{n}x\_{i}^{a\_{i}}\quad D(x)=\bigwedge \_{b:f(b)=0}\bigvee \_{i=0}^{n}x\_{i}^{1-b\_{i}}.}

ثنائي دالة البول
----------------

لكل دالة بول يمكن تعريف دالة بول أخرى {\displaystyle f^{d}} وتسمى هذه الدالة ثنائي f. وهي كالتالي:

 {\displaystyle f^{d}(X)={\overline {f({\overline {X}})}}}
لهذه الدالة عدة تطبيقات بشكل طبيعي منها في نظرية التصويت (voting theory).

لهذه الدالة كثير من الخصال منها:

لنفرض أن f,g هما دالتين بوليتين حينها:

1. {\displaystyle (f^{d})^{d}=f}
2. {\displaystyle ({\overline {f}})^{d}={\overline {f^{d}}}}
3. {\displaystyle (f\lor g)^{d}=f^{d}\land g^{d}}
4. {\displaystyle (f\land g)^{d}=f^{d}\lor g^{d}}
5. {\displaystyle f\leq g\iff g^{d}\leq f^{d}}

دوال بول على انها نظام مجموعات
------------------------------

لكل مجموعة جزئية S من المجموعة {\displaystyle \{1,2,\cdots ,n\}} نعرف دالة التشخيص (Characteristic function) {\displaystyle v\_{S}} والتي تحقق:

{\displaystyle v\_{S}(i)=1\iff i\in S}
حينها يمكن تعريف دالة البول على انها علاقة (predicate) {\displaystyle f:2^{[n]}\to \{0,1\}}. ويستطيع المرئ ان ينظر إلى دالة بول {\displaystyle f:2^{[}n]\to \{0,1\}} على انها عائلة المجموعات الجزئية التالية: {\displaystyle {\mathcal {F}}\_{f}=\{S|f(S)=1\}} .

دوال بول أحادية التوجه
----------------------

لكل مُتجهين {\displaystyle x,y\in \{0,1\}^{n}} نكتب {\displaystyle x\leq y} إذا {\displaystyle \forall ix\_{i}\leq y\_{i}}. دالة بول احادية التوجه إذا {\displaystyle x\leq y\Rightarrow f(x)\leq f(y)}. لو نظرنا ل- f على انها علاقة أي {\displaystyle f:2^{[n]}\to \{0,1\}} حينها الدالة f احادية الاتجاه إذا وفقط إذا {\displaystyle f(S)=1} حينها لكل {\displaystyle S\subseteq T} يتحقق {\displaystyle f(T)=1} .

امثلة لدوال احادية الاتجاه هي AND OR , دالة الحفة {\displaystyle TH\_{k}^{n}(x)} ,...

انظر أيضا
---------

* جبر بول
* رابطة منطقية
* جدول الحقيقة

المراجع
-------

1. ↑  موفق دعبول؛ بشير قابيل؛ مروان البواب؛ خضر الأحمد (2018)، *معجم مصطلحات الرياضيات* (بالعربية والإنجليزية)، دمشق: مجمع اللغة العربية بدمشق، ص. 65، OCLC:1369254291، QID:Q108593221
2. ↑  "معلومات عن دالة بول على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2020-01-09.
3. ↑  "معلومات عن دالة بول على موقع babelnet.org". babelnet.org. مؤرشف من الأصل في 2019-12-19.
4. ↑  "معلومات عن دالة بول على موقع bigenc.ru". bigenc.ru. مؤرشف من الأصل في 2019-12-19.

* Stasys Jukna , "Boolean Function Complexity:Advances and Frontiers", Springer

| * ع
* ن
* ت
المنطق الرياضي |
| --- |
| عام | 
* لغة شكلية
* تشكيل قاعدة
* نظام شكلي
* نظام شكلي
* برهان فلسفي
* دلالة الصورية (منطق)
* صيغة التشكيلية
* مجموعة (رياضيات)
* صنف (نظرية المجموعات)
* منطق كلاسيكي
* بديهية
* استنتاج طبيعي
* قاعدة الإستدلال
* علاقات
* مبرهنة
* استتباع منطقي
* نظام بديهي
* نظرية النمط
* رمز (شكلي)
* تركيب (منطق)
* نظرية (منطق رياضي)

 |
| منطق تقليدي | 
* قضية
* استدلال
* حجة منطقية
* صحة
* تفكير منطقي
* قياس (منطق)
* تعارض تربيعي
* مخطط فن

 |
| حساب القضايا - جبر بولياني | 
* دالة بول
* حساب القضايا
* قضية (منطق)
* رابطة منطقية
* جدول الحقيقة

 |
| منطق تحول | 
* منطق الرتبة الأولى
* الكم (منطق)
* محمول (منطق)
* منطق الرتبة الثانية
* Monadic predicate calculus

 |
| نظرية المجموعات المبسطة | 
* مجموعة (رياضيات)
* مجموعة خالية
* تعداد
* الماصدقية
* مجموعة منتهية
* مجموعة غير منتهية
* مجموعة جزئية
* مجموعة قوة
* مجموعة قابلة للعد
* مجموعة غير قابلة للعد
* مجموعة تكرارية
* مجال دالة
* مدى(رياضيات)
* تطبيق (رياضيات)
* دالة
* عملية ثنائية
* زوج مرتب

 |
| نظرية المجموعات | 
* أسس الرياضيات
* نظرية المجموعات حسب تسيرميلو-فرانكل
* بديهية الاختيار
* نظرية المجموعات العامة
* Kripke–Platek set theory
* Von Neumann–Bernays–Gödel set theory
* نظرية مجموعة مورس-كيلي
* Tarski–Grothendieck set theory

 |
| نظرية النموذج | 
* البنية (منطق رياضي)
* تأويل (منطق)
* Non-standard model
* نظرية نموذج تناهي
* قيمة الحقيقة
* صحة

 |
| نظرية البرهان | 
* برهان فلسفي
* نظام شكلي
* نظام شكلي
* مبرهنة
* استتباع منطقي
* علاقات متناهية
* تركيب (منطق)

 |
| نظرية الحاسوبية | 
* استدعاء ذاتي
* مدى(رياضيات)
* مجموعة مرقمة بشكل تراجعي
* مشكل القرار
* أطروحة تشرش-تورينغ
* دوال حسابية
* Primitive recursive function

 |

| * ع
* ن
* ت
المنطق |
| --- |
| مقالات رئيسية | 
* العقل الفلسفي
* تاريخ المنطق
* منطق فلسفي
* منطق رياضي
* ما بعد المنطق
* فلسفة المنطق

 |
| مفاهيم مفتاحية | 
* استنتاج
* قياس
* استقراء
* منطق لاشكلي
* افتراض
* استدلال
* حجة
* تفكير نقدي
* مغالطة
* منطق رياضي
* مجموعة
* نحو
* سيمانتيك
* صيغة جيدة الشكل
* مسلمة
* مبرهنة
* التماسك
* نظرية كاملة
* قابلية القرار
* نظام شكلي
* نظرية المجموعات
* نظرية البرهان
* نظرية النموذج
* نظرية العودية
* منطق الرتبة صفر
* دالة بول
* حسبان القضايا
* جداول الحقيقة
* منطق الرتبة الأولى
* منطق الرتبة الثانية
* منطق طوري
* منطق إبستيمي
* منطق ظرفي
* أنواع منطقية لاكلاسيكية
* منطق الحسوبية
	+ منطق ضبابي
	+ منطق خطي

 |
| جدليات | 
* مفارقة

 |
| شخصيات أساسية | 
* أرسطو
* جورج بول
* جورج كانتور
* رودولف كارناب
* جوتلوب فريجه
* كورت غودل
* ديفيد هيلبرت
* جوزيبه بيانو
* شارل ساندرز پيرس
* هيلاري پوتنام
* بيرتراند راسل
* ألفريد تارسكي
* آلان تورنغ

 |
| قوائم | 
* مواضيع أساسية
* منطقيون
* قواعد الاستدلال
* منطق رياضي
* رياضيات متقطعة
* نظرية المجموعات
* مفارقات
* رموز منطقية

 |

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* مكتبة لاتفيا الوطنية (LNB)

 |

* أيقونة بوابةبوابة فلسفة
* أيقونة بوابةبوابة تعمية
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة علم الحاسوب
* أيقونة بوابةبوابة منطق