في الرياضيات, تعطي **صيغة أويلر-ماكلورين** (بالإنجليزية: Euler–Maclaurin formula)‏ ارتباطا وثيقا بين التكامل والمجموع.

انظر التفاضل والتكامل.

يمكن استخدام الصيغة لتقريب التكاملات بعدد محدود من المجاميع، أو تقييم مجاميع محدودة وسلاسل غير منتهية باستعمال التكاملات والية التفاضل على نحو مضاد.
على سبيل المثال، العديد من المنشورات المقاربة يتم اشتقاقها من هذه الصيغة وصيغة فاولابر لمجموع القوى هو نتيجة مباشرة لذلك.

اكتشف الصيغةَ كل من ليونارد أويلر وكولين ماكلورين كل على حده في حوالى 1735 (وعممت فيما بعد تحت صيغة داربوكس). احتاج إليها أويلر ليحسب متسلسلة لانهائية بطيئة التقارب بينما استخدمها ماكلورين لحساب التكاملات.

الصيغة
------

إذا كان *n* عددا طبيعيا, وكانت {\displaystyle f(x)\,} دالة أكثر سلاسة(بمعنى أنها قابلة للاشتقاق بما يكفي) معرفة لجميع الأعداد الحقيقية *x* بين 0 و*n*, فإن التكامل

{\displaystyle I=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx}
يمكن تقريبه بالمجموع (والعكس صحيح)

{\displaystyle S={\frac {1}{2}}f(0)+f\left(1\right)+\cdots +f\left(n-1\right)+{\frac {1}{2}}f(n)}
انظر إلى طريقة المستطيل.

تعطي صيغة أويلر-ماكلورين تعابير للفرق بين المجموع والتكامل بدلالة المشتقات العليا {\displaystyle f^{(k)}\,} عند اطراف النقاط على الفترة 0 و*n*. وبوضوح، لأي عدد طبيعي *p*, يكون لدينا (انظر قاعدة شبه المنحرف).

{\displaystyle S-I=\sum \_{k=2}^{p}{{\frac {B\_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)}+R}
حيث *B*1 = −1/2، *B*2 = 1/6، *B*3 = 0، *B*4 = −1/30, *B*5 = 0، *B*6 = 1/42، *B*7 = 0، *B*8 = −1/30,... هي أعداد بيرنولي, و*R* هو حد الخطأ وعادة مايكون صغيرا عند قيم مناسبة لـ*p*. (غالبا يتم كتابة الصيغة بالقيم الزوجية، بما أن أعداد بيرنولي الفردية أصفار عدا *B*1.)

لاحظ أن

{\displaystyle -B\_{1}(f(n)+f(0))={\frac {1}{2}}(f(n)+f(0)).}
وعليه يمكن أيضا كتابة الصيغة كما يلي:

{\displaystyle {\begin{aligned}&\quad \sum \_{i=0}^{n}f(i)=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx-B\_{1}(f(n)+f(0))+\sum \_{k=2}^{p}{\frac {B\_{k}}{k!}}\left(f^{(k-1)}(n)-f^{(k-1)}(0)\right)+R.\end{aligned}}}
باستخدام قاعدة التعويض، يمكن مواءمة هذه الصيغة أيضا للدوال *ƒ* والمعرفة على فترة ما أخرى من الخط الحقيقي.

### الحد المتبقي

انظر إلى متعددة الحدود لبرنولي.

الحد المتبقي *R* يعبر عنه غالبا باستخدام كثيرات حدود بيرنولي الدورية (*P**n*(*x*. تعرف كثيرة حدود بيرنولي *B**n*(*x*)، *n* = 0, 1, 2, ... بشكل تعاودي على أنها

{\displaystyle B\_{0}(x)=1,\,}
{\displaystyle B\_{n}'(x)=nB\_{n-1}(x){\mbox{ and }}\int \_{0}^{1}B\_{n}(x)\,dx=0{\mbox{ for }}n\geq 1.}
حينئذ فإن دوال بيرنولي الدورية *P**n* تعرف بالشكل

{\displaystyle P\_{n}(x)=B\_{n}(x-\lfloor x\rfloor ){\mbox{ for }}x>0,\,}
حيث ترمز{\displaystyle \scriptstyle \lfloor x\rfloor } إلى العدد الصحيح الأكبر والذي لا يكون أكبر من *x*. وعليه، بدلالة *P**n*(*x*), فإن الحد المتبقي *R* يمكن كتابته بالصورة

{\displaystyle R=(-1)^{p+1}\int \_{0}^{n}f^{(p)}(x){P\_{p}(x) \over p!}\,dx,}
بما أن {\displaystyle |P\_{p}(x)|\,} عادة أقل من {\displaystyle 2p!/(2\pi )^{p}\,}, فيمكن توقع حجم الحد المتبقي باستخدام

{\displaystyle \left|R\right|\leq {\frac {2}{(2\pi )^{p}}}\int \_{0}^{n}\left|f^{(p)}(x)\right|\,dx.}

تطبيقات
-------

### مسألة بازل

كانت مسألة بازل تتسأل عن إيجاد المجموع

{\displaystyle 1+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{16}}+{\frac {1}{25}}+\cdots =\sum \_{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}.}
قام اويلر بحساب هذا المجموع بدقة عشرين خانة عشرية باستعمال حدود معدودة من صيغة أويلر ماكلورين سنة 1735. وربما أقنعه هذا بأن المجوموع مكافئا ل π2 / 6, والتي أثبتها في نفس العام.

### مجاميع ذات كثيرة حدود

إذا كانت *f* دالة كثيرة حدود و*p* كبيرة بشكل كاف، فإن الحد المتبقي يتلاشى. على سبيل المثال، إذا كانت *f*(*x*) = *x*3,, فيمكننا اختيار *p* = 2 لتوضيح الاتي بعد التبسيط

{\displaystyle \sum \_{i=0}^{n}i^{3}=\left({\frac {n(n+1)}{2}}\right)^{2}}
(انظر صيغة فاولابر).

### التكامل العددي

تستخدم صيغة أويلر ماكلورين أيضا في تفصيل تحليل الخطأ في التربيع العددي، وخاصة طرق التقدير الاستقرائي المعتمدة عليها. يعتبر تربيع كلينشو-كيرتيس في الأساس تحويلا في المتغيرات لتمثيل تكامل اعتباطي بدلالة تكاملات دوال دورية تكون فيها صيغة أويلر ماكلورين دقيقة جدا (وفي تلك الحالة تأخذ صيغة أويلر ماكلورين شكل تحويل جيب تمام متقطع)

### نشر المحاميع المقارب

في سياق حساب المتسلسلات المقاربة للمجاميع والمتسلسلات, فإن الشكل التالي يكون عالبا أفضل صيغة في أويلر ماكلورين

{\displaystyle \sum \_{n=a}^{b}f(n)\sim \int \_{a}^{b}f(x)\,dx+{\frac {f(a)+f(b)}{2}}+\sum \_{k=1}^{\infty }\,{\frac {B\_{2k}}{(2k)!}}\left(f^{(2k-1)}(b)-f^{(2k-1)}(a)\right),\,}
حيث*a* و*b* أعداد صحيحة. وفي الغالب يبقى النشر مشروعا حتى بعد أحذ النهايات {\displaystyle {\scriptstyle a\to -\infty }\,} أو {\displaystyle {\scriptstyle b\to +\infty }\,}, أو كلاهما. في حالات عديدة يمكن تقدير التكامل في الجانب الأيمن في شكل مغلق بدلالة الدوال الأساسية حتى ولو أن الجمع على الجانب الأيسر غير قادر على ذلك. حينئذ يمكن التعبير عن جميع الحدود في السلسلة المقاربة بدلالة دوال أساسية.

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\sim \underbrace {\int \_{0}^{\infty }{\frac {1}{(z+k)^{2}}}\,dk} \_{=1/z}+{\frac {1}{2z^{2}}}+\sum \_{t=1}^{\infty }{\frac {B\_{2t}}{z^{2t+1}}}.\,}
هنا الجانب الأيسر يساوي {\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}\,}, بالاسم دالة متعدد غاما من الرتبة الأولى المعرفة من خلال {\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)={\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\ln \Gamma (z)}\,}; دالة غاما {\displaystyle {\scriptstyle \Gamma (z)}\,} تساوي {\displaystyle {\scriptstyle (z-1)!}\,} إذا كان {\displaystyle {\scriptstyle z}\,} عدد صحيح. ينتج عن هذا نشر مقارب لـ {\displaystyle {\scriptstyle \psi ^{(1)}(z)}\,}. وهذا النشر بدوره، يخدمنا كنقطة بداية لواحدة من اشتقاقات دقيقة لتوقع الخطأ في تقريب ستيرلينغ لدالة المضروب.

البراهين
--------

### الاشتقاق بالاستقراء الرياضي

باتباع النقاش المعطى في (Apostol).

يمكن تعريف كثيرات حدود بيرنولي *B**n*(*x*), *n* = 0, 1, 2, ... بشكل معاود كما يلي:

{\displaystyle B\_{0}(x)=1,\,}
{\displaystyle B\_{n}'(x)=nB\_{n-1}(x){\mbox{ and }}\int \_{0}^{1}B\_{n}(x)\,dx=0{\mbox{ for }}n\geq 1.}
البعض الأولى من هذه هي

{\displaystyle B\_{1}(x)=x-1/2,\quad B\_{2}(x)=x^{2}-x+1/6,}

{\displaystyle B\_{3}(x)=x^{3}-{\frac {3}{2}}x^{2}+{\frac {1}{2}}x,\quad B\_{4}(x)=x^{4}-2x^{3}+x^{2}-{\frac {1}{30}},\dots }
القيم *B**n*(1) هي أعداد بيرنولي. لاحظ أن
لأجل *n* ≥ 2 يكون لدينا

{\displaystyle B\_{n}(0)=B\_{n}(1)=B\_{n}\quad (:n{\text{th Bernoulli number}}).}
نعرف دوال بيرنولي الدورية *P**n* بالصورة

{\displaystyle P\_{n}(x)=B\_{n}(x-\lfloor x\rfloor ){\mbox{ for }}0<x<1,\,}
حيث {\displaystyle \lfloor x\rfloor } ترمز لأكبر عدد صحيح ليس أكبر من *x*. وعليه فإن *P**n* تتفق مع كثيرات حدود بيرنولي على الفترة (0, 1) كما أنها دورية إذا كان الدور = 1. إذن,

{\displaystyle P\_{n}(0)=P\_{n}(1)=B\_{n}\quad {\text{for }}n>1.}
لأجل*n* = 1,

{\displaystyle P\_{1}(0)=-P\_{1}(1)=B\_{1}.}
والان، باعتبار التكامل

{\displaystyle \int \_{k}^{k+1}f(x)\,dx=\int u\,dv,}
حيث

{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f(x),\\du&{}=f'(x)\,dx,\\v&{}=P\_{1}(x),\\dv&{}=P\_{0}(x)\,dx\quad ({\mbox{since }}P\_{0}(x)=1).\\\end{aligned}}}
التكامل بالتجزيء, نحصل على

{\displaystyle {\begin{aligned}\int \_{k}^{k+1}f(x)\,dx&=uv-\int v\,du&{}\\&={\Big [}f(x)P\_{1}(x){\Big ]}\_{k}^{k+1}-\int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx\\[8pt]&=-B\_{1}(f(k)+f(k+1))-\int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
وبجمع الصورة السابقة *k* = 0 to *k* = *n* − 1, نحصل على

{\displaystyle {\begin{aligned}&\int \_{0}^{1}f(x)\,dx+\dotsb +\int \_{n-1}^{n}f(x)\,dx\\&=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx\\&={\frac {f(0)}{2}}+f(1)+\dotsb +f(n-1)+{f(n) \over 2}-\int \_{1}^{n}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
بإضافة (*ƒ*(0) + *ƒ*(*n*))/2 إلى كلا الطرفين واعادة الترتيب نحصل على

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}f(k)=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx+{f(0)+f(n) \over 2}+\int \_{0}^{n}f'(x)P\_{1}(x)\,dx.\qquad (1)}
يعطي الحدين الأخيرين بالتالي الخطأ عند تقريب التكامل بالمجموع.

فيما يلي لنعتبر

{\displaystyle \int \_{k}^{k+1}f'(x)P\_{1}(x)\,dx=\int u\,dv,}
حيث

{\displaystyle {\begin{aligned}u&{}=f'(x),\\du&{}=f''(x)\,dx,\\v&{}=P\_{2}(x)/2\\dv&{}=P\_{1}(x)\,dx.\end{aligned}}}
وبالتكامل بالتجزيء مرة أخرى، نحصل على

{\displaystyle {\begin{aligned}uv-\int v\,du&{}=\left[{f'(x)P\_{2}(x) \over 2}\right]\_{k}^{k+1}-{1 \over 2}\int \_{k}^{k+1}f''(x)P\_{2}(x)\,dx\\\\&{}={f'(k+1)-f'(k) \over 12}-{1 \over 2}\int \_{k}^{k+1}f''(x)P\_{2}(x)\,dx.\end{aligned}}}
الجمع من *k* = 0 إلى *k* = *n* − 1, ومن ثم بتعويض التكامل الأخير في (1) بالذي أثبتنا للتو أنه مساو له، نجد أنe

{\displaystyle \sum \_{k=0}^{n}f(k)=\int \_{0}^{n}f(x)\,dx+{f(0)+f(n) \over 2}+{\frac {B\_{2}}{2}}(f'(n)-f'(0))-{1 \over 2}\int \_{0}^{n}f''(x)P\_{2}(x)\,dx.}
والآن، لابد أن القارئ قد حزر بأن هذه العملية تكرارية. استطعنا الحصول على إثبات لصيغة مجموع أويلر-ماكلورين بالاستقراء الرياضي, حيث اعتمدت خطوة الاستقراء على التكامل بالتجزيء ومطابقات دوال بيرنولي الدورية.

### الاشتقاق بالتحليل الدالي

يمكن فهم صيغة أويلر ماكلورين بأنها تطبيق مثير للفضول عن بعض أفكار فضاء هيلبرت والتحليل الدالي.

في البداية يتم حصر المسألة في مجال فترة الوحدة [0,1]. لتكن {\displaystyle B\_{n}(x)\,} هي كثيرات حدود بيرنولي. تعطى زمرة دول ثنائية لكثيرات حدود بيرنولي بالعلاقة:

{\displaystyle {\tilde {B}}\_{n}(x)={\frac {(-1)^{n+1}}{n!}}\left[\delta ^{(n-1)}(x-1)-\delta ^{(n-1)}(x)\right]}
حيث δ هي دالة دايراك دلتا. العلاقة السابقة هي رمز لفكرة أخذ المشتقات عند نقطة; بالتالي يكون لدينا

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\tilde {B}}\_{n}(x)f(x)\,dx={\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]}
من أجل *n* > 0 ودالة اعتباطية ولكنها تفاضلية *ƒ*(*x*) على دالة الوحدة. في الحالة *n* = 0, يمكن تعريف {\displaystyle {\tilde {B}}\_{0}(x)=1}. كثيرات حدود بيرنولي، على امتداد ثنائياتها، من مجموعة حالات متعامدة على فترة الوحدة: لدينا

{\displaystyle \int \_{0}^{1}{\tilde {B}}\_{m}(x)B\_{n}(x)\,dx=\delta \_{mn}}
و

{\displaystyle \sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}(x){\tilde {B}}\_{n}(y)=\delta (x-y).}
حينئذ تتبع صيغة مجموع أويلر ماكلورين كتكامل على الآخر. لدينا

{\displaystyle f(x)=\int \_{0}^{1}\sum \_{n=0}^{\infty }B\_{n}(x){\tilde {B}}\_{n}(y)f(y)\,dy}
{\displaystyle =\int \_{0}^{1}f(y)\,dy+\sum \_{n=1}^{N}B\_{n}(x){\frac {1}{n!}}\left[f^{(n-1)}(1)-f^{(n-1)}(0)\right]-{\frac {1}{(N+1)!}}\int \_{0}^{1}B\_{N+1}(x-y)f^{(N)}(y)\,dy.}
وبوضع *x* = 0 وترتيب الحدود، يمكن الحصول على تعبير لـ *ƒ*(0). لاحظ أن أعداد بيرنولي تعرف بأنها *B**n* = *B**n*(0), وأنها تتلاشى للقيم الفردية *n* أكبر من 1.

وبالتالي، باستخدام دالة بيرولي الدورية *P**n* المعرفة أعلاه وبإعادة النقاش حول الفترة [1,2], يمكننا الحصول على تعبير *ƒ*(1). وعلى هذا المنوال يمكن الحصول على تعبير لـ *ƒ*(*n*), *n* = 0, 1, 2, ... *N*, وبإضافتها فوق بعض نحصل على صيغة أويلر ماكلورين. لاحظ أن هذا الاشتقاق لايفترض أن *ƒ*(*x*) قابلة للتفاضل بشكل كاف وذات سلوك صحيح ; خاصة أن *ƒ* يمكن تقريبها بكثيرات حدود; وبشكل مكافئ بأن *ƒ* دالة تحليلية حقيقية.

يمكن إذن النظر إلى صيغة مجموع أويلر-ماكلورين على أنها حصيلة تمثيل دوال على فترة الوحدة بالضرب المباشر لكثيرات حدود بيرنولي وثنائياتها. ومع ذلك لاحظ أن التمثيل ليس مكتملا على مجموعة دوال مربعة قابلة للتكامل. النشر بدلالة كثيرات حدود بيرنولي ليس له نواة عادية. بشكل خاص، sin(2π*nx*) تقع على النواة; تكامل sin(2π*nx*) يتلاشى على فترة الوحدة، كما هو الفرق بين مشتقاته على النقاط الطرفية.

ملاحظات
-------

1. ↑  David J. Pengelley, "Dances between continuous and discrete: Euler's summation formula", in: Robert Bradley and Ed Sandifer (Eds), *Proceedings, Euler 2K+2 Conference (Rumford, Maine, 2002)*، Euler Society, 2003. "نسخة مؤرشفة" (PDF). مؤرشف من الأصل (PDF) في 2017-08-09. اطلع عليه بتاريخ 2018-01-26.
2. ↑  Abramowitz & Stegun (1972), 23.1.30
3. ↑  Apostol، T. M. (1 مايو 1999). "An Elementary View of Euler's Summation Formula". *The*. Mathematical Association of America. ج. 106 ع. 5: 409–418. DOI:10.2307/2589145. ISSN:0002-9890. JSTOR:2589145.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
| صفحة تصنيف تصنيف  **•**  صفحة في ويكي كومنز كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة ماكلاورين، متسلسلة تايلور **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة اويلر ماكلاورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولن ماكلاورين **·**  ليونهارت أويلر |


| * ع
* ن
* ت
ليونهارت أويلر |
| --- |
| 
* معادلة أويلر-لاغرانج
* معادلة أويلر-لوتكا
* صيغة أويلر-ماكلورين
* طريقة أويلر-ماروياما
* ثابتة أويلر-ماسكيروني
* معادلة أويلر-بواسون-داربو
* صيغة أويلر-رودريغز
* معادلة أويلر-تريكومي
* صيغة الكسر المستمر لأويلر
* الحمل الحرج لأويلر
* صيغة أويلر
* متطابقة المربعات الأربع لأويلر
* متطابقة أويلر
* مضخة أويلر ومعادلة العنفة
* مبرهنة الدوران لأويلر
* حدسية مجموع القوى لأويلر
* مبرهنة أويلر
* معادلات أويلر (ميكانيكا الموائع)
* دالة أويلر
* طريقة أويلر
* أعداد أويلر
* عدد أويلر (الفيزياء)
* معادلة جائز أويلر-برنولي
* المواضيع المنسوبة

 |
| صفحة تصنيف تصنيف |

* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات