كل نقطة في فضاء إقليدي ثلاثي الأبعاد تحدد بواسطة ثلاث إحداثيات.
**الفضاء الإقليدي** (بالإنجليزية: Euclidean space)‏ أو **الفضاء المتجهي الإقليدي**  هو فضاء متجهي {\displaystyle E} معرف على حقل الأعداد الحقيقية {\displaystyle \mathbb {R} } مزود بجداء سلمي {\displaystyle \langle x|y\rangle } (لكل عنصر{\displaystyle x} و {\displaystyle y}من {\displaystyle E}) و بُعده منتهٍ. الفضاء المتجهي {\displaystyle \mathbb {R^{n}} } مثال على الفضاء الإقليدي.

الكرة، هو أكثر الأشكال كمالا في الفضاء نسبة إلى المدرسة الفيثاغورية، وهي أيضا مفهوم مهم جدا في الفهم العصري للفضاءات الإقليدية
الفضاء الإقليدي هو الفضاء الرئيسي للهندسة الكلاسيكية. في الأصل كان هذا الفضاء معرفا فضاء ثنائيَ وثلاثيَ الأبعاد. فيما بعد، عُمم ليصبح من الدرجة n.

قدم علماء الهندسة الإغريق مفهوم الفضاء الإقليدي من أجل نمذجة الكون. الإبداع الكبير الذي جاء به هؤلاء العلماء هو البرهان على جميع خصائص هذا الفضاء في شكل مبرهنات توصلوا إليها انطلاقا من مجموعة من الموضوعات أو المسلمات أو البديهيات. قسمت هذه البديهيات إلى صنفين اثنين، أحدهما هو ما هو بديهي ولا يحتاج إلى برهان (منها على سبيل المثال، البديهية التي تنص على أنه لا يمر أكثر من خط مستقيم واحد من نقطتين معلومتين) والثاني هو ما يُعتقد استحالة البرهان عليه كما هو الحال بالنسبة إلى مسلمة التوازي.

بعد تقديم الهندسة غير الإقليدية خلال القرن التاسع عشر، أعيدت صياغة الموضوعات القديمة من أجل إعطاء تعريف جديد للفضاءات الإقليدية من خلال نظام بديهيات. بُين أن تعريفا معتمدا على الفضاءات المتجهية والجبر الخطي يكافئ التعريف المعتمد على نظام البديهيات. هذا التعريف هو الأكثر استعمالا في الرياضيات المعاصرة.

البنية المترية
--------------

الفضاء المتجهي {\displaystyle {\overrightarrow {E}}}، مرتبطا بالفضاء الإقليدي {\displaystyle E} هو فضاء جداء داخلي. انظر إلى شكل متماثل مزدوج الخطية

{\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {E}}\times {\overrightarrow {E}}&\to \mathbb {R} \\(x,y)&\mapsto \langle x,y\rangle \end{aligned}}}
### المسافة والطول

المقالة الرئيسية: مسافة إقليدية
المسافة (وبالتحديد المسافة الإقليدية) بين نقطتين اثنتين في فضاء إقليدي هي معيار المتجهة التي تعرف الإزاحة التي تربط نقطة بنقطة ثانية ؛ أي أن :

{\displaystyle d(P,Q)=\|{\overrightarrow {PQ}}\|.}
انظر إلى متباينة المثلث وإلى فضاء كامل.

{\displaystyle d(P,Q)\leq d(P,R)+d(R,Q).}
### التعامد

المقالات الرئيسية: تعامد (هندسة) وتعامد (رياضيات)
انظر إلى زاوية قائمة.

### الزوايا

المقالة الرئيسية: زاوية (هندسة)
### الإحداثيات الديكارتية

المقالة الرئيسية: نظام إحداثي ديكارتي
كل فضاء متجي إقليدي يملك قاعدة ممنظمة متعامدة (فعليا، عدد هذه القواعد غير منته عندما يكون عدد الأبعاد أكبر من الاثنين، وعددهن يساوي الاثنين عندما يكون عدد الأبعاد مساويا لواحد).
تتمثل هذه القاعدة في مجموعة من المتجهات {\displaystyle (e\_{1},\dots ,e\_{n})} كلهن متجهات وحدة (أي أن {\displaystyle \|e\_{i}\|=1})، وحيث كل متجهتين منهن متعامدتين الواحدة منهما مع الأخرى (أي أن {\displaystyle e\_{i}\cdot e\_{j}=0} عندما يتوفر *i* ≠ *j*).

### إحداثيات أخرى

المقالة الرئيسية: نظام إحداثي

الطوبولوجيا
-----------

المسافة الإقليدية تجعل من الفضاء الإقليدي فضاءا متريا وبالتالي فضاءا طوبولوجيا.

المجموعات المفتوحة هن مجموعات جزئية تحتوين على جوارات كروية حول كل نقطة من نقطهن.

انظر إلى بُعد طوبولوجي وإلى تشابه الشكل البلوري وإلى طوبولوجيا فضاء جزئي وإلى فضاء كامل وإلى فضاء متراص محليا وإلى مجموعة محاطة.

فضاءات هندسية أخرى
------------------

### الهندسة غير الإقليدية

المقالة الرئيسية: هندسة لاإقليدية
عادة ما تشير الهندسة غير الإقليدية إلى هندسات حيث تكون موضوعة التوازي خاطئة. من بين هذه الهندسات، الهندسة الإهليلجية حيث مجموع زوايا مثلث تزيد عن المائة وثمانين درجة والهندسة الزائدية حيث مجموع زوايا مثلث تقل عن المائة وثمانين درجة. شكل المجيء بهن خلال النصف الثاني من القرن التاسع عشر ثم البرهان على أن نظريتهن متماسكة (إذا لم تكن الهندسة الإقليدية هي بدورها متناقضة) واحدا من المفارقات اللائي انبثقت منهن أزمة أسس الرياضيات خلال بداية القرن العشرين.

### الهندسة الإسقاطية

يمكن اعتبار الفضاء الإسقاطي امتدادًا للفضاء الإقليدي والذي يتضمن الكيانات اللانهائية.

في الهندسة الإسقاطية ، يتكون الفضاء الإسقاطي من نقاط وخطوط ومستويات ، حيث يشمل كل من الكيانات النهائية (أو الكيانات العادية) والكيانات اللانهائية. التي لا تنتمي إلى الفضاء الإقليدي. وبالتالي ، فالاختلاف بين الهندسة الإقليدية والهندسة الإسقاطية يكمن في وجود الكيانات اللانهائية في الفضاء الإسقاطي ، مما يسمح بمعالجة الحالات الهندسية الخاصة بطريقة أكثر اكتمالًا وتماسكًا ، مثل التوازي بين الكيانات الهندسية الرئيسية المستقيمة التي لا تتقاطع في الفضاء الإقليدي.

انظر أيضا
---------

* هندسة ريمانية
* نظام إحداثي ديكارتي
* نظام إحداثي قطبي
* فضاء هلبرت

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن فضاء إقليدي على موقع thes.bncf.firenze.sbn.it". thes.bncf.firenze.sbn.it. مؤرشف من الأصل في 2019-12-14.
2. ↑  "معلومات عن فضاء إقليدي على موقع jstor.org". jstor.org. مؤرشف من الأصل في 2019-05-25.
3. ↑  "معلومات عن فضاء إقليدي على موقع cultureelwoordenboek.nl". cultureelwoordenboek.nl. مؤرشف من الأصل في 2016-12-08.
4. ↑  هندسة وصفية نسخة محفوظة 2022-12-17 على موقع واي باك مشين.

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الدالي |
| --- |
| **فضاء هيلبرت** | فضاء إقليدي • فضاء الجداء الداخلي • فضاء هيلبرت • قانون متوازي الأضلاع • قاعدة ممنطمة متعامدة • معامدة Orthogonalization • متممة متعامدة Orthogonal complement • معلاج غرام شميدت Gram-Schmidt process • متعددات الحدود لليجاندر • المصفوفات المتعامدة • مصفوفة وحدوية • مصفوفة طبيعية، معامل طبيعي Normal operator • مصفوفة متماثلة Hermitian operator self-adjoint operator, Hermitian adjoint • متجهة ذاتية، قيمة ذاتية • دالة ممتلكة Eigenfunction • مصفوفة قطرية • معامل إزاحة Shift operator • مصفوفة هيلبرت • شعاع طبيعي Normal vector • متطابقة بيرسيفال Parseval's identity • مبرهنة تمثيل رييس Riesz representation theorem • ترميز برا-كيت Bra-ket notation • مبرهنة طيفية • محدد ايجابيا Positive-definite-خارج قسمة رايلي • مبرهنة ميرسر Mercer's theorem • فضاء هلبرت مجدد النواة Reproducing kernel Hilbert space • صنف تريس Trace class • مبرهنة حد أدنى-حد أعلى • فضاء هلبرت معدل Rigged Hilbert space • مبرهنة هيلينغر-توبليتز Hellinger-Toeplitz theorem • تكاملي مباشر Direct integral • فضاء هلبرت النصفي Semi-Hilbert space |
| **تحليل دالي ، النتائج الكلاسيكية** | فضاء اتجاهي ممنظم >كرة وحدة Unit ball • فضاء باناخ • مبرهنة هاهن-باناخ • فضاء ثنائي Dual space • ثناءة مسبقة Predual • طوبولوجيا ضعيفة • فضاء عاكس Reflexive space • فضاء عاكس حدودياًPolynomially reflexive space • فضاء بير • مبرهنة الإسقاط المفتوح Open mapping theorem • مبرهنة المخطط المغلق • مبدأ الارتباط المتجانس • مبرهنة أرزيلا-أسكولا Arzelà-Ascoli theorem • مبرهنة باناخ-الاوجلو Banach-Alaoglu theorem • قياس اللا انضغاطية Measure of non-compactness |
| **نظرية المؤثر Operator theory**  | انظر *نظرية المؤثر* |
| **أمثلة فضاء باناخ** | فضاء إل بي • فضاء هاردي • فضاء سوبوليف • فضاء تسيرلسون • فضاء با |
| **جبر تجميعي حقيقي و مركب** | نظيم متجانس Uniform norm • نظيم مصفوفة Matrix norm • قطر طيفي Spectral radius • جبر التقسيم المنظم Normed division algebra -نظرية وريشترس • جبر باناخ • جبر نجمي • جبر نجمي بي B-star-algebra • جبر نجمي سي C-star-algebra>جبر نجمي سي شامل Universal C-star-algebra>طيف الجبر النجمي سي Spectrum of a C-star-algebra • عنصر موجب Positive element • دالي خطي موجب Positive linear functional • جبر المعاملات operator algebra > (جبر متداخل • جبر معاملات انعكاسي reflexive operator algebra • جبر كالكين • تمثيل غيلفاند • مبرهنة غيلفاند-نايمارك • إنشاء غيلفاند-نايمارك-سيغال • جبر فون نيومان > جبر فون نيومان الأبيلي • مبرهنة فون نيومان ثنائية التبديل von Neumann double commutant theorem >تبديلي Commutant, ثنائي التبديل bicommutant • حلقة طوبولوجية • هندسة لا تبديلية • جبر قرصي Disk algebra • جبر كولومبو |
| **نظرية الكم** | صياغة رياضية لميكانيكا الكم • مقيس (قابل للقياس ، ملحوظ) Observable • معامل (فيزياء) Operator • حال كمومي >( حال صرف Pure state • حال فوك Fock state ، فضاء فوك Fock space • حال كثافة Density state • حالة متماسكة • صورة هايزنبرغ Heisenberg picture • مصفوفة كثافة • منطق كمومي Quantum logic • عملية كمومية Quantum operation • بدهيات وايتمان Wightman axioms |
| **احتمال** | احتمال حر |
| **لاخطية** | مبرهنات النقطة الملحلحة في الفضاءات اللامتناهية الأبعاد Fixed point theorems in infinite dimensional spaces |

| * ع
* ن
* ت
 مواضيع الأبعاد الرياضية |
| --- |
| الأفضية البُعدية | 
* المتجهي
* الإقليدي
* التآلفي
* الإسقاطي
* Free module
* متعدد الشعب
* التنوع الجبري
* الزمكان

 | Animated tesseract |
| أبعاد أخرى | 
* كرول
* تغطية لوبيغ
* استقرائي
* هاوسدورف
* مينكوفسكي-بوليغان
* كسيري
* درجات الحرية

 |
| عديدات الأبعاد والأشكال | 
* المستوي الفائق
* السطح الفائق
* المكعب الفائق  ‏
* الكرة الفائقة
* المستطيل الفائق  ‏
* Demihypercube
* كائن عابر للأبعاد
* المبسط

 |
| حسب العدد | 
* الصفري
* الأحادي
* الثنائي
* الثلاثي
* الرباعي
* الخماسي
* السداسي
* السباعي
* الثماني
* التساعي
* سلبي الأبعاد

 |
|  التصنيف |

|  |  |
| --- | --- |
| ضبط استنادي: وطنية عدلها في ويكي بيانات | 
* المكتبة الوطنية الفرنسية (BnF)
* الملف الاستنادي المتكامِل (GND)
* المعرف NDL لـ 00562065 غير صحيح.
* قاعدة البيانات الوطنية التشيكية (NLCR AUT)

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية