مثال عن جمال الطريقة، برهان بسيط وذكي لمبرهنة فيثاغورث.
العديد من الرياضياتيين يتمتعون بجمال أعمالهم بشكل خاص بالرياضيات بشكل عام، وهذا ينعكس بوصفهم **للجمال الرياضياتي**. البعض يصف الرياضيات على أنها فن أو نشاط إبداعي، وكثيراً ما تقارن بالموسيقى أو الشعر. وقد عبر برتراند راسل عن إحساسه بالجمال الرياضاتي.

وكما عبر بول إيردوس عن نظرته إلى الجمال الرياضي بقوله «لماذا الأعداد جميلة؟ إنه كذات السؤال عن لماذا سيمفونية بيتهوفن التاسعة جميلة؟ إذا لم تعرف لم هي جميلة فسيخبرك شخص ما. أنا أعرف أن الأرقام جميلة، فإن لم تكن هي جميلة فليس هناك أي شيء جميل».

أمثلة متقدمة
------------

### مثلث فيثاغورس

طالع أيضًا: مبرهنة فيثاغورث
نظرة حديثة لإثبات مبرهنة فيثاغوث
من المعروف أن إثبات نظرية فيثاغورس باستعمال مبرهنة إقليدس شاق نسبيا، ولكن التمعن في الشكل التالي للمربع وبداخله مجموعة المثلثات يمكننا من استنتاج النظرية بكل سهولة.
لاحظ أن مساحة المربعين يمين ويسار الصورة هي نفسها ولكن قُسِّمَت إلى مجموعة من المثلثات والمربعات. المربع الداخلي على يمين الصورة مساحته *c2* وتكمله مجموعة المثلثات المحيطة به للحصول على المساحة الكلية للمربع الخارجي. على الجانب الأيسر من الصورة يمكن إعادة توضيع المثلثات داخل المربع الخارجي بحيث تشكل مستطيلات فنلاحظ أن المساحة المتبقية تمثل مربعين مساحة كل منهما *a*2 و*b*2 وهما مكافئان تمام للمربع ذي المساحة *c2*. يذكر أن الصينيين كانوا قد استخدموا هذا الاثبات في أوقات مبكرة.

### المربعات السحرية

المقالة الرئيسة: مربع سحريطالع أيضًا: مثلث سحري ومكعب سحري
مربع سحري 3 × 3. لاحظ أن مجموع الأرقام في أي صف أو عمود أو قطر يساوي 15.
لعبت المربعات السحرية دورا هاما في العصور القديمة، ويرجع بعضها إلى ال 650 قبل الميلاد في الصين. كما استخدمها العرب والمسلمون (انظر كتاب شمس المعارف الكبرى)، وكانت تفيد السحرة في تضليل من حولهم بجمالها الرياضياتي.
في البداية كانت الفكرة تقتصر على حفظ كل شكل يتم التوصل إليه بعد إعادة توزيع الأعداد الطبيعية في المربعات الداخلية. يتألف المربع السحري من مجموعة من المربعات الداخلية بشكل مصفوفة مربعة *n* × *n* وتملأ بالأرقام 1 إلى *n2* بحيث تحقق العلاقة التالية:

* مجموع الأرقام في أي صف يساوي رقم ثابت.
* مجموع الأرقام في أي عمود يساوي نفس الرقم الثابت في السابق.
* مجموع الأرقام في أي قطر رئيسي يساوي أيضا نفس الثابت.

مع تطور الرياضيات استطاع الرياضيون تحليل هذه المربعات وتقسيمها إلى ثلاثة أنواع:

* مربعات سحرية ذات *n* فردية.
* مربعات سحرية ذات *n* زوجية مفردة (أي أن *n*/2 هو فردي).
* مربعات سحرية ذات *n* زوجية مضاغفة (أي أن *n*/2 هو زوجي).

بهذه الطريقة استطاع الرياضياتيون تسهيل عملية الحل لكل نوع على حدة ولأي مربع كان. المربعات السحرية الفردية مثلا تتميز بعملية التدوير بحيث تصبح الصفوف والأعمدة أقطارا بينما الأقطار صفوف وأعمدة. بينما تتميز المربعات السحرية ذات *n* زوجية مضاغفة بالنقل المتماثل. استطاع الرياضياتيون أيضا التحايل على المربعات السحرية ذات *n* زوجية مفردة بتحليلها إلى مربعات فرعية فردية ثم النقل فيما بينها.

بالإضافة للمربع السحري يوجد أيضا المثلث السحري والمكعب السحري.

### النسبة الذهبية

المقالة الرئيسة: الرقم الذهبي
حلزون النسبة الذهبية
لم يسحر هذا الرقم ألباب الرياضياتين فقط بل إن فنانين، مؤرخين، مهندسين، موسيقيين وغيرهم قد افتتنوا به ولأكثر من 2400 عام.

يمكن رؤية هذا الجمال مثلا في حلزون النسبة الذهبية والذي يحقق شرط التناسب الرياضي:{\displaystyle {\frac {a+b}{a}}={\frac {a}{b}}=\varphi \,.}

والذي أيضا يمكن حله رياضيا ليصبح بالشكل:

{\displaystyle \varphi ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}}\approx 1.61803\,39887\ldots \,}
ويمكن أن يأخذ صورا جمالية توضح مدى سهولة احتسابه كما يظهر هنا في كسر مستمر:

{\displaystyle \varphi =1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}}
ومقلوبه:

{\displaystyle \varphi ^{-1}=0+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+{\cfrac {1}{1+\ddots }}}}}}\,.}
### العدد ط أو π

المقالة الرئيسة: ط (رياضيات)
 عندما يكون قطر دائرة =1، يكون محيطها= π.
كان لحساب العدد ط (تقريبيا 3.14) اهتماما بالغا من قدماء الرياضيات حتى عصرنا الحالي، ولم يكن الكاشي أقل اهتماما حيث وصل باستعمال طريقة الاستنزاف لحسابها إلى 16 مرتبة عشرية وذلك قبل ظهور الحاسبات الالية بكثير.
إلا أن جمال الحساب الفعلي ظهر بعد العصور الوسطى والذي تطور فيما بعد ليتم برمجته في الحواسيب.
هنا تبرز معالم الجمال الحسابي في بعض صور ط أو {\displaystyle {\pi }}

{\displaystyle \pi =4(1-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}\cdots \cdots )}

وكذلك سلسلة سرينيفاسا التي تتميز عن الحساب السابق بسرعة التقارب وتم بها حساب π لملايين المراتب العشرية:

{\displaystyle {\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum \_{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}\!}
كما يمكن أن تأخذ {\displaystyle {\pi }} على صورة كسر مستمر :

{\displaystyle \pi =3+{\cfrac {1^{2}}{6+{\cfrac {3^{2}}{6+{\cfrac {5^{2}}{6+{\cfrac {7^{2}}{6+{\cfrac {9^{2}}{6+{\cfrac {11^{2}}{6+{\cfrac {13^{2}}{6+{\cfrac {15^{2}}{6+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}\ ={\cfrac {4}{1+{\cfrac {1^{2}}{3+{\cfrac {2^{2}}{5+{\cfrac {3^{2}}{7+{\cfrac {4^{2}}{9+{\cfrac {5^{2}}{11+{\cfrac {6^{2}}{13+{\cfrac {7^{2}}{15+\cdots }}}}}}}}}}}}}}}}}
### الأعداد المركبة

طالع أيضًا: عدد عقدي
بدأ بـ *e*0 = 1، السير بسرعة *i* بالنسبة لموقع ما ولفترة زمنية مقدارها π، وبإضافة 1، يمكن الوصول إلى النقطة 0.)
كان الرياضي الإيطالي، رافائيل قد ابتكر وحدة تخيلية أسماها {\displaystyle i\,} لحل معضلة وقع فيها الرياضيون عند إيجاد الجذور التربيعية للأعداد السالبة. ومع أنه تعرض للانتقاد بحجة اختراع وحدة لا معنى لها إلا أنه بعد موته بحوالي نصف قرن قام ديكارت بإعادة فرضها كواقع رياضي جديد. ثم ما لبثت أن تطورت نظرية الأعداد المركبة في القرن الثامن عشر لتكون أما للأعداد الحقيقية والتخيلية. أصبحت الأعداد المركبة عنصرا أساسيا في الفيزياء والكيمياء الحديثة حيث أصبح من الممكن تفسير ظواهر تحول الطاقة رياضيا في الصورة المركبة في العديد من المسائل في الكهرومغنطيسية والمتجهات.

تمثل متطابقة أويلر غاية في الجمال لصورة العدد المركب:

{\displaystyle e^{i\pi }+1=0,\,\!}
السبب هو دوران هذه الدالة في المستوى المركب وهذا من المستحيل تصوره في الأعداد الحقيقية مع أن القيمة {\displaystyle e^{i\pi }=-1\,} عدد حقيقي.

يمكن بالصورة الأسية للأعداد المركبة اختصار دوال ذات متغير تخيلي إلى دوال أو أعداد حقيقية كما في الصور التالية:

{\displaystyle i^{i}=e^{-\pi /2}\,}
و:{\displaystyle cos(i\theta )=cosh(\theta )\,}

جمال الرياضيات والعلوم الأخرى
-----------------------------

إن ما يزيد الجمال الرياضياتي كمالا هو تلك الاشتقاقات المستعملة في الفيزياء، الكيمياء، الهندسة والعديد من المجالات العلمية الأخرى. إن القوانين الفيزيائية الأساسية والتي اكتشفت بالملاحظة والتجربة ما كانت لتنمو بدون تنقيح رياضي. يبدو هذا جليًا في أعمال نيوتن في توسيع قوانين الميكانيكا ممثلة بالاتزان والحركة، وقوانين الديناميكا الحرارية. كما أن أعمال ماكسويل في تجميع معادلات الكهرومغنطيسية شاهدًا بارزًا على اشتقاق سرعة الموجة الكهرومغنطيسية بشكل مطلق فتح آفاقًا جديدة واستنتاجات رياضية بحتة في نسبية آينشتين.

انظر أيضًا
----------

* هندسة كسيرية
* النسبة الذهبية
* فلسفة الرياضيات
* الحقيقة

المصادر والملاحظات
------------------

1. ↑  Russell، Bertrand (1919). "The Study of Mathematics". *Mysticism and Logic: And Other Essays*. لونجمان. ص. 60. مؤرشف من الأصل في 2019-07-16. اطلع عليه بتاريخ 2008-08-22.
2. ↑  Devlin، Keith (2000). "Do Mathematicians Have Different Brains?". *The Math Gene: How Mathematical Thinking Evolved And Why Numbers Are Like Gossip*. بيزيك بوكس  ‏. ص. 140. مؤرشف من الأصل في 2019-06-08. اطلع عليه بتاريخ 2008-08-22.`{{استشهاد بكتاب}}`: صيانة الاستشهاد: علامات ترقيم زائدة (link)
3. ↑  Daniel Shanks (2002). *Solved and Unsolved Problems in Number Theory*. American Mathematical Society.
4. ↑  Pythagoras' theorem نسخة محفوظة 07 مارس 2015 على موقع واي باك مشين.
5. ↑  Swaney, Mark. History of Magic Squares. نسخة محفوظة 08 فبراير 2009 على موقع واي باك مشين.
6. ↑  
Mario Livio (23 سبتمبر 2003). *The Golden Ratio: The Story of PHI, the World's Most Astonishing Number*. Broadway. مؤرشف من الأصل في 2018-11-22. `{{استشهاد بكتاب}}`: الوسيط غير المعروف `|ISBN-10=` تم تجاهله (مساعدة)
7. ↑  Max. Hailperin, Barbara K. Kaiser, and Karl W. Knight (1998). *Concrete Abstractions: An Introduction to Computer Science Using Scheme*. Brooks/Cole Pub. Co. مؤرشف من الأصل في 2020-01-26.`{{استشهاد بكتاب}}`: صيانة الاستشهاد: أسماء متعددة: قائمة المؤلفين (link)
8. ↑  Albert A. Martinez, *Negative Math: How Mathematical Rules Can Be Positively Bent* (Princeton University Press, 2005), discusses ambiguities of meaning in imaginary expressions in historical context.

للقراءة أكثر
------------

* - ISBN 0-471-27047-4 The Universal Book of Mathematics - From Abracadabra to Zeno
* Mathematicss, Barry Max Brandenberger, Jr. Editor in Chief MacMillan 2002 - ISBN 0-02-865562-1, ISBN 0-02-865563-X, ISBN 0-02-865564-8, ISBN 0-02-865565-6.


| * ع
* ن
* ت
فلسفة الجمال |
| --- |
| فلاسفة | 
* أبهينافاغوبتا
* تيودور أدورنو
* ليون باتيستا ألبيرتي
* توما الأكويني
* هانس أورس فون بالتازار
* ألكسندر جوتليب بومجارتن
* Clive Bell
* برنارد بوزانكيت
* Edward Bullough
* كولينجوود
* أناندا كوماراسوامي
* آرثر دانتو
* جون ديوي
* دنيس ديدرو
* هوبير دريفوس
* Curt John Ducasse
* Thierry de Duve
* Roger Fry
* نيلسون غودمان
* كليمنت غرينبيرغ
* جورج فيلهلم فريدريش هيغل
* مارتن هايدغر
* ديفيد هيوم
* إيمانويل كانت
* بول كلي
* سوزان لانغر
* ثيودور لبس
* جورج لوكاش
* جان فرانسوا ليوتار
* جوزيف مارغوليس
* جاك ماريتان
* توماس مونرو
* فريدريك نيتشه
* خوسيه أورتيجا إي جاسيت
* Dewitt H. Parker
* Stephen Pepper
* David Prall
* آين راند
* جورج لانسينغ رايموند
* إيفور آرمسترونغ ريتشاردز
* خورخي سانتايانا
* فريدريك شيلر
* أرتور شوبنهاور
* روجر سكروتن
* إرفينغ سينجر
* روبندرونات طاغور
* جورجو فازاري
* Morris Weitz
* Richard Wollheim
* *more...*

 |
| نظريات علم الجمال | 
* كلاسيكية
* Evolutionary aesthetics
* تاريخانية
* حداثة
* العمارة الكلاسيكية الجديدة
* ما بعد الحداثة
* نظرية التحليل النفسي
* رومانسية
* رمزية
* *more...*

 |
| Concepts | 
* Aesthetic emotions
* Aesthetic interpretation
* Art manifesto
* طليعية
* جمال (توضيح)
* سأم
* Camp
* كوميديا
* إبداع
* Cuteness
* اشمئزاز
* Ecstasy
* Elegance
* ترفيه
* شبقية
* شاش
* انسجام
* حكم (تقييم أدلة)
* Kama
* كيتش
* Life imitating art
* Magnificence
* محاكاة (فن)
* إدراك حسي
* كيف (فلسفة)
* Rasa
* Reverence
* أسلوب (فنون مرئية)
* سمو (فلسفة)
* ذوق فني
* عمل فني
* *more...*

 |
| مواضيع متعلقة | 
* جماليات الموسيقى
* Applied aesthetics
* عمارة
* فن
* النقد الفني
* فن الأكل
* تاريخ الرسم
* فكاهة
* جماليات
* Literary merit
* جمال رياضياتي
* الرياضيات والفن
* نظرية الموسيقى
* Neuroesthetics
* تصوير
* Philosophy of design
* Philosophy of film
* فلسفة الموسيقى
* شعر
* نحت
* Theory of painting
* Theory of art
* تراجيديا

 |
| 
* تصنيف:علم الجمال
* Discussion
* Portal
* تصنيف:بذرة فلسفة
* Task Force

 |

| * ع
* ن
* ت
الرياضيات والفن |
| --- |
| مفاهيم | 
* خوارزمية
* سلسلي
* كسيرة
* نسبة ذهبية
* عدد بلاستيكي
* Hyperboloid structure
* Minimal surface
* سطح مكافئ
* رسم منظوري
	+ Camera lucida
	+ حجرة مظلمة
* هندسة إسقاطية
* النسبة
	+ العمارة
	+ جسم الإنسان
* تناظر
* فسيفساء
* Wallpaper group

 | Fibonacci word: detail of artwork by Samuel Monnier, 2009 |
| أشكال | 
* Algorithmic art
* أنامورفوسيس
* فنون الحاسوب
* 4D art
* فن الفراكتال
* زخارف هندسية إسلامية
	+ Girih
	+ جالي
	+ مقرنص
	+ زليج
* عقدة
	+ عقد كلتية
	+ Croatian Interlace
	+ تشابك
* الرياضيات والهندسة المعمارية
	+ قبة جيوديسية
	+ إسلامية
	+ مغولية
	+ هرم
	+ Vastu shastra
* الموسيقى
* أوريغامي
* Textiles
* فن الفيلوغرافيا
* Sculpture
* فسيفساء

 |
| أعمال فنية | 
* List of works designed with the golden ratio
* Continuum
* Octacube
* Pi
* Pi in the Sky

 |
| مبان ومُنشآت | 
* آيا صوفيا
* بانثيون
* بارثينون
* الهرم الأكبر
* ساغرادا فاميليا
* St Mary's Cathedral
* دار أوبرا سيدني
* تاج محل

 |
| فنانين | 

|  |  |
| --- | --- |
| عصر النهضة | 
* باولو أوتشيلو
* بييرو ديلا فرانشيسكا
* آلبرخت دورر
* ليوناردو دا فينشي
	+ الرجل الفيتروفي
* بارميجانينو
	+ Self-portrait in a Convex Mirror

 |
| القرنين19 و20 | 
* وليم بليك
	+ The Ancient of Days
	+ Newton
* جورجيو دي شيريكو
* سلفادور دالي
	+ Crucifixion
	+ The Swallow's Tail
* إيشر
	+ Circle Limit III
	+ Print Gallery
	+ Relativity
	+ Reptiles
	+ الشلال
* كروكت جونسون
* رينيه ماغريت
	+ La condition humaine
* Jean Metzinger
	+ Danseuse au café
	+ L'Oiseau bleu
* مان راي

 |
| حاليا | 
* ماكس بيل
* Martin وErik Demaine
* Scott Draves
* Jan Dibbets
* جون إرنست
* Helaman Ferguson
* Peter Forakis
* Susan Goldstine
* Bathsheba Grossman
* جورج دبليو. هارت
* Desmond Paul Henry
* أنتوني هيل
* تشارلز جنكس
	+ Garden of Cosmic Speculation
* Andy Lomas
* Robert Longhurst
* Jeanette McLeod
* István Orosz
* هينكه أوزينجا
* Hamid Naderi Yeganeh
* Tony Robbin
* Alba Rojo Cama
* Reza Sarhangi
* Oliver Sin
* هيروشي سوجيموتو
* Daina Taimiņa
* Roman Verostko
* Margaret Wertheim

 |

 |
| مُنظرون | 

|  |  |
| --- | --- |
| العصور القديمة | 
* بوليكليتوس
* فيتروفيو
	+ دي أركيتيتورا

 |
| عصر النهضة | 
* لوكا باتشولي
	+ النسبة الذهبية
* بييرو ديلا فرانشيسكا
	+ De prospectiva pingendi
* فيليبو برونليسكي
* ليون باتيستا ألبيرتي
	+ De pictura
	+ De re aedificatoria
* ليوناردو دا فينشي
	+ رسالة في الرسم
* Sebastiano Serlio
* أندريا بالاديو
	+ I quattro libri dell'architettura
* آلبرخت دورر

 |
| الرومانسية | 
* فريدريك ماكودي لوند
* Jay Hambidge
* صموئيل كولمان

 |
| الحديث | 
* Owen Jones
	+ The Grammar of Ornament
* Ernest Hanbury Hankin
* غودفري هارولد هاردي
	+ دفاع رياضياتي
* جورج دافيد بيركهوف
* دوغلاس هوفشتادتر
	+ Gödel, Escher, Bach
* نيكوس سالينكاروس

 |

 |
| منشورات | 
* Journal of Mathematics and the Arts
* Viewpoints: Mathematical Perspective and Fractal Geometry in Art
* Rhythm of Structure

 |
| منظمات | 
* Ars Mathematica
* The Bridges Organization
* European Society for Mathematics and the Arts
* Goudreau Museum of Mathematics in Art and Science
* Institute For Figuring
* Museum of Mathematics

 |
| مواضيع متعلقة | 
* تأثير دروست
* جمال رياضياتي
* أنماط في الطبيعة
* هندسة مقدسة

 |
| 
* 'تصنيف'

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات