Illustration of numerical integration for the differential equation {\displaystyle y'=y,y(0)=1.} باللون الأزرق: the طريقة أويلر, باللون الأخضر: طريقة النقطة المنتصف, باللون الأحمر: الحلحلة الدقيقة, {\displaystyle y=e^{t}.} طول الخطوة هو {\displaystyle h=1.0.}
تعتبر المعادلات التفاضلية من الأدوات الرياضية الهامة في فهم العديد من المسائل الفيزيائية والهندسية والاجتماعية وقد امتدت أهميتها مؤخرا إلى حقول العلوم الاقتصادية وظهر ما يسمى بالنمذجة الرياضية.

المعادلة التفاضلية هي معادلة تحتوي على مشتقات وتفاضلات لبعض الدوال الرياضية وتظهر بشكل متغيرات المعادلة.

تصنيف المعادلات
---------------

1. معادلات تفاضلية جزئية
2. معادلات تفاضلية عادية : هي معادلة تفاضلية تحتوي على متغير مستقل واحد.

تقسم مسائل المعادلات التفاضلية العادية إلى
------------------------------------------

1. مسائل قيم ابتدائية.
2. مسائل قيم حدية.
3. 

مسائل القيم الابتدائية:

في هذا النوع من المسائل يكون للمعادلة التفاضلية شرط ابتدائي للمتغيرات المستقلة

الشرط الابتدائي يمثل النقطة الابتدائية للدالة التي تمثل حل المعادلة التفاضلية.
,{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,y(a)=\alpha }

فيما يلي بعض الطرق العددية لإيجاد الحل العددي للمعادلة التفاضلية.

قبل استعراض الحل التقريبي للطرق العددية لمسالة القيمة الابتدائية نحتاج لبعض التعاريف والنظريات .

**تعريف**

لتكن {\displaystyle f(t,y)}داله نقول أن f دالة من النوع ليبتشيز في متغير y على المجموعة D ,

{\displaystyle R^{2}\subset D}

إذا وجد L>0

{\displaystyle |f(t,y\_{1})-f(t,y\_{2})|\leq |y\_{1}-y\_{2}|}

كلما أخذنا (t,y\_1),(t,y\_2) في D , يسمى L ثابت ليبتشيز للدالة f

**مثال**

أثبتي أن الدالة |f(t,y)=t|y تحقق شرط ليبتشيز في الفترة

{\displaystyle D=\left\{(t,y):{1\leq t\leq 2},{-3\leq y\leq 4}\right\}}

**الحل :**

لأي زوج من النقاط (t,y\_1),(t,y\_2) في D

{\displaystyle |f(t,y\_{1})-f(t,y\_{2})|=|t|y\_{1}|-t|y\_{2}||=|t|||y\_{1}|-|y\_{2}||\leq 2|y\_{1}-y\_{2}|}

إذا ƒ تحقق شرط ليبتشيز {\displaystyle L=2}

النظرية (1)
-----------

نفرض أن {\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}

بحيث {\displaystyle f(t,y)} دالة متصلة على D إذا كانت f دالة تحقق شرط ليبتشيز في متغير y على المجموعة D

فإن مسألة القيمة الابتدائية

{\displaystyle y'(t)=f(t,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,{y(a)=\alpha }}

{\displaystyle y(t)} لها حل وحيد في الفترة {\displaystyle {a\leq t\leq b}}

**مثال** 

أستخدم نظرية(1) لإثبات أنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

{\displaystyle y'=1+t\sin(ty),\,\,\,{0\leq t\leq 2},\,\,\,y(0)=0}

**الحل :**

t ثابت نطبق نظرية القيمة المتوسطة للدالة

{\displaystyle f(t,y)=1+t\sin(ty)}

نجد أنه عندما {\displaystyle y<y\_{2}} , و {\displaystyle \xi } عدد موجود في {\displaystyle (y\_{1},y\_{2})}

{\displaystyle {\frac {f(t,y\_{1})-f(t,y\_{2})}{(y\_{1},y\_{2})}}\ ={{\frac {\partial }{\partial y}}\left(f(t,\xi )\right)=t^{2}\cos(\xi t)}}

{\displaystyle |f(t,y\_{2})-f(t,y\_{1})|=|y\_{2}-y\_{1}||t^{2}\cos(\xi t)|\leq 4|y\_{2}-y\_{1}|}

f تحقق شرط ليبتشيز والثابت هو {\displaystyle L=4}

وبالإضافة إلى ذلك {\displaystyle f(t,y)}متصلة عند {\displaystyle {0\leq t\leq 2},\,\,\,{-\infty <y<\infty }}

من نظرية (1) إنه يوجد حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

الطرق العددية
-------------

1. طريقة اويلر
2. طريقة تايلور

{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }

### طريقة تايلور من الرتب العليا

{\displaystyle w\_{i}=\alpha }

{\displaystyle w\_{i+1}=w\_{i}+hT^{n}(t\_{i},w\_{i}),\,\,\,{i=0,1,2,...N-1}}

{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}},\,\,\,w\_{i}\cong y(t\_{i})}

### طريقة اويلر

هي تايلور من الرتبة الأولى

{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }

{\displaystyle y\_{i+1}=y\_{i}+hf(t\_{i},y\_{i})}

{\displaystyle h={\frac {(b-a)}{n}},\,\,\,w\_{i}\approx y(t\_{i})}

خطأ أويلر
---------

### نظرية

إذا كانت f متصلة وتحقق شرط ليبتشيز على

{\displaystyle D=\left\{(t,y):{a\leq t\leq b},{-\infty <y<\infty }\right\}}

ويوجد ثابت M بحيث يحقق

{\displaystyle {|y''(t)|\leq M},\,\,\,{t\in [a,b]}}

عندما تكون {\displaystyle y(t)} لها حل وحيد لمسألة القيمة الابتدائية

{\displaystyle y'=f(x,y),\,\,\,{a\leq t\leq b},\,\,\,y(a)=\alpha }

نفرض أن {\displaystyle {w\_{1},w\_{2},w\_{3},...}} بحيث أن الخطأ المتولد من طريقة ايلور لأي عدد موجب N

{\displaystyle {\forall i=0,1,....N}}

{\displaystyle |(y(t\_{i})-w\_{i})|\leq {\frac {hM}{2L}}[e^{L(t\_{i}-a)}-1]}

ملاحظات
-------

1. الخطأ النسبي لطريقة اويلر ناتج عن اختيار أول حدين من متسلسلة تايلور وحذف باقي الحدود.
2. كلما زادت الرتبة في طريقة تايلور فإن الدقة تكون أفضل.

مراجع
-----

* numerical analysis / Richard. Burden /J.Douglas Faires /ninth edition
* مقدمة في التحليل العددي د.مجدي الطويل

| * ع
* ن
* ت
الرياضيات الصناعية والتطبيقية |
| --- |
| محوسبة | 
* خوارزميات
	+ تصميم
	+ تحليل
* نظرية التشغيل الذاتي
* نظرية الترميز
* منطق حسابي
* علم التعمية
* نظرية المعلومات

 |
| متقطعة | 
* حساب رمزي
* نظرية الأعداد الحاسوبية
* تركيبات
* نظرية البيان
* هندسة متقطعة

 |
| تحليل | 
* نظرية التقريب
* تحليل كليفورد
	+ جبر كليفورد
* معادلة تفاضلية
	+ معادلة تفاضلية عادية
	+ معادلة تفاضلية جزئية
	+ معادلة تفاضلية تصادفية
* هندسة تفاضلية
	+ شكل تفاضلي
	+ نظرية المقياس
	+ تحليل هندسي رياضي
* نظام تحريكي
	+ نظرية شواش
	+ نظرية التحكم
* تحليل دالي
	+ جبر المؤثرات
	+ نظرية المؤثرات
* تحليل توافقي
	+ تحليل فورييه
* جبر متعدد الخطية
	+ خارجي
	+ هندسي
	+ موتر
	+ متجه
* حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات
	+ شكلي
	+ هندسي
	+ موتر
	+ متجه
* تحليل عددي
	+ جبر خطي عددي
	+ حلول عددية للمعادلات التفاضلية
	+ حلول عددية للمعادلات التفاضلية الجزئية
	+ الأعداد التي تحققت صحتها
* حساب المتغيرات

 |
| نظرية الاحتمال | 
* توزيع (متغير عشوائي)
* عملية تصادفية / تحليل
* تكامل المسار
* حساب التغايرات العشوائية

 |
| فيزياءرياضية | 
* ميكانيكا تحليلية
	+ لاغرانج
	+ هاملتوني
* نظرية الحقول
	+ كلاسيكي
	+ امتثالي
	+ فعال
	+ مقياس
	+ كمومي
	+ إحصائي
	+ طوبولوجي
* نظرية التقليب
	+ في ميكانيكا الكم
* نظرية الجهد
* نظرية الأوتار
	+ البوزونية
	+ الطوبولوجية
* تناظر فائق
	+ ميكانيكا الكم فائقة التناظر
	+ نظرية التناظر الفائق للديناميات العشوائية

|  |  |
| --- | --- |
| بنية جبرية | 
* جبر الفضاء الفيزيائي
* تكامل فاينمان
* جبر بواسون
* زمرة كمومية
* زمرة استبدال غير متناهي
* نظرية التمثيل
* جبر الزمكان
* جبر فائق
* جبر التناظر الفائق

 |

 |
| نظرية القرار | 
* نظرية الألعاب
* بحوث العمليات
* استمثال
* نظرية الخيار الاجتماعي
* إحصاء
* اقتصاد رياضي
* رياضيات مالية

 |
| تطبيقات أخرى | 
* علم الأحياء
* كيمياء
* علم النفس
* علم الاجتماع
* "الفعالية غير المعقولة للرياضيات في العلوم الطبيعية"

 |
| متعلق | 
* رياضيات

 |
| المنظمات | 
* جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية
	+ الجمعية اليابانية للرياضيات الصناعية والتطبيقية
* جمعية الرياضيات الصناعية والتطبيقية الفرنسية
* المجلس الدولي للرياضيات الصناعية والتطبيقية

 |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي