في التحليل الرياضي، **قاعدة لوبيتال** (بالإنجليزية: L'Hôpital's rule)‏ تستعمل الاشتقاق بهدف إيجاد النهايات لصيغ غير محددة. تحمل هذه القاعدة اسم الرياضي الفرنسي غييوم دي لوبيتال.

نبذة تاريخية
------------

نشر غييوم دي لوبيتال هذه القاعدة في كتابه الذي صدر عام 1696 *Analyse des Infiniment Petits pour l'Intelligence des Lignes Courbes* (حرفيًًّا: تحليل اللامتناهيات في الصغر لفهم الخطوط المنحنية)، أول كتاب مدرسي حول حساب التفاضل. ومع ذلك، يُعتقد أن القاعدة اكتشفها عالم الرياضيات السويسري يوهان بيرنولي.

مبدأ نظرية اوبيتال
------------------

ليكن a عددا حقيقيا أو حتى {\displaystyle \pm \infty }، حيث تكون الدوال الحقيقية f و{\displaystyle g} معرّفة بقرب a و{\displaystyle g} مخالفة للصفر. لو حاولنا أن نحدد نهاية الكسر {\displaystyle f/g} في *a*، حيث يقترب كل من البسط والمقام، كلاهما نحو الصفر أو كلاهما نحو اللانهاية، فإننا نستطيع أن نشتقهما ونحدد نهاية كسر المشتقات. ولو كانت موجودة، فإن القاعدة تؤكد أن هذه النهاية ستكون مساوية للنهاية التي نبحث عنها.

نص قواعد أوبيتال
----------------

**النص المبسط** : في كتاب أوبيتال، القاعدة الموجودة هي تلك المستعملة عادة في حالة دالتين قابلتين للاشتقاق في a وحيث يكون الكسر {\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}} معرّفا :

لو كان "f" و"g" دالتين قابلتين للاشتقاق في "a"، ومساويتين للصفر في a وحيث يكون الكسر {\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}} معرّفا، فإن
{\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}}.

و لكن، يمكن استعمال قاعدة أوبيتال في حالات أعمّ.

### التعميم الأول

على دوال، حيث {\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}} غير موجود بالضرورة.

لو كان *f* و*g* دالتين قابلتان للاشتقاق على النطاق ]*a* ; *b*[ وحيث نهايتهما في *a*، وإذا كانت g'(x) لا تساوي صفرا على ]a ; b[ وإذا كان {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L} فإن {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}.
هذه النتيجة صالحة مهما كانت النهاية L حقيقية أو لانهائية.

**التعميم الثاني** على دوال تكون نهاياتها في *a* لانهائية.

لو كان *f* و*g* دالتين قابلتان للاشتقاق على [*a* ; *b*] ونهايتهما في *a* لا نهائية، ولو كانت المشتقة g'(x) مخالفة للصفر على [*a* ; *b*] ولو كانت {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L} فإن {\displaystyle \lim \_{x\rightarrow a}{\frac {f(x)}{g(x)}}=L}.
هذه النتيجة صالحة سواء أكانت L نهاية حقيقية أو لا نهائية.

نفس القواعد موجودة لدوال معرّّفة على [*b* ; *a*]

تبقى المبرهنات صالحة عند تعويض *a* بـ {\displaystyle \pm \infty }.

الاستعمالات
-----------

في حالة « {\displaystyle 0/0} »، عادة ما نستعمل الصيغة الأولى :

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\sin(x)}{x^{2}+3x}}={\frac {1}{2\times 0+3}}={\frac {1}{3}}}
في حالة « ∞/∞ »، نستعمل الصيغة الثانية :

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{\ln(x)}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {x}}}}{\frac {1}{x}}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {\sqrt {x}}{2}}=+\infty }
أحيانا، يجب استعمال قاعدة أوبيتال مرات عديدة للوصول إلى النتيجة :

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {\cos(2x)-1}{x^{3}+5x^{2}}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {-2\sin(2x)}{3x^{2}+10x}}=\lim \_{x\to 0}{\frac {-4\cos(2x)}{6x+10}}={\frac {-2}{5}}}
و قد يمكن إيجاد بعض النهايات، التي لا تظهر في شكل نهايات كسور، باستعمال هذه القاعدة :

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {1-{\sqrt {1-1/x}}}{1/x}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {1-{\sqrt {1-h}}}{h}}}
{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }x-{\sqrt {x^{2}-x}}=\lim \_{h\to 0}{\frac {\frac {1}{2{\sqrt {1-h}}}}{1}}={\frac {1}{2}}}
نلاحظ أن الصيغ المعممة لا تعطينا إلا شروطا كافية لوجود النهاية. وبالتالي توجد حالات تكون فيها نهاية كسر المشتقات غير موجودة، في حين أن نهاية كسر الدوال

موجودة :

{\displaystyle \lim \_{x\to 0}{\frac {x^{2}\sin(1/x)}{x}}=\lim \_{x\to 0}x\sin(1/x)=0}
في حين أن :

{\displaystyle {\frac {2x\sin(1/x)-\cos(1/x)}{1}}} ليس لها نهاية في الصفر.
في النهاية، سنعتني بالتأكد من أن *g'(x)* مخالفة للصفر بقرب *a*، بمعنى آخر أن *g* لا تتذبذب كثيرا حول نهاياتها، وإلا فإن القاعدة لا يمكن تطبيقها. على سبيل المثال، إذا كان :

{\displaystyle f(x)=x+\cos(x)\sin(x)\,} و{\displaystyle g(x)=e^{\sin(x)}(x+\cos(x)\sin(x))\,}، فإن
{\displaystyle f'(x)=2\cos ^{2}(x)\,} و{\displaystyle g'(x)=e^{\sin(x)}\cos(x)(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))\,}
و بالتالي

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {2\cos(x)}{e^{\sin(x)}(x+\sin(x)\cos(x)+2\cos(x))}}=0}
و لكن

{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {1}{e^{\sin(x)}}}} لا تملك نهاية في {\displaystyle +\infty } لأن {\displaystyle {\frac {1}{e^{\sin(x)}}}} تتذبذب بين *1/e* و*e*.

الاستدلالات
-----------

### الاستدلال على الصيغة البسيطة

إنها عملية بسيطة على النهايات. بما أن f(a)=g(a)=0، فإن :

{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {x-a}{g(x)-g(a)}}}
بما أن *f* et *g* قابلتان للاشتقاق في *a* وأن الكسر {\displaystyle {\frac {f'(a)}{g'(a)}}} معرّف، نستطيع أن نؤكد أن
1. g'(a) مخالف للصفر، وبالتالي *g(x)* مخالف للصفر على نطاق ]*a* ; *c*]
2. {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)-f(a)}{x-a}}{\frac {x-a}{g(x)-g(a)}}={\frac {f'(a)}{g'(a)}}}
### الاستدلال على التعميم الأول

يحتاج الاستدلال على التعميم الأول لمبرهنة القيمة الوسطى : لو كان f و g قابلتان للاشتقاق على النطاق ]x ; y[ ومتواصلة على [x ; y]، ولو كانت (g(x مخالفة للصفر، فإنه يوجد عدد حقيقي c ينتمي إلى ]x ; y[ حيث :

{\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
و نستطيع أن نعرّف الدالتين بتواصلهما في a بوضع f(a) = g(a) = 0

بما أن (g(x مخالفة للصفر على ]*a* ; *b*[، نستطيع أن نطبق مبرهنة القيمة الوسطى المعممة على النطاق [*a* ; *x*]
لكل عدد حقيقي *x* من ]*a* ; *b*[، يوجد عدد حقيقي *c* من ]*a* ; *b*[ بحيث {\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}.
بما أن {\displaystyle \lim \_{x\to a}c=a} وأن {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f'(a)}{g'(a)}}=L}، فإنه بالمثل لـ {\displaystyle \lim \_{x\to a}{\frac {f(x)}{g(x)}}}.

### الاستدلال على التعميم الثاني

يحتاج الاستدلال على التعميم الثاني إلى نفس المبرهنة التي يجب استعمالها بحذر.
بما أن (g(x مخالفة للصفر على النطاق ]*a* ; *b*[، لكل *x* و*y* مختلفتين من هذا النطاق، يمكننا إذن تطبيق مبرهنة القيمة الوسطى على النطاق [*x* ; *y*]
في كل نطاق [*x* ; *y*]، يوجد عدد حقيقي *c* من [*x* ; *y*] بحيث {\displaystyle {\frac {f(x)-f(y)}{g(x)-g(y)}}={\frac {f'(c)}{g'(c)}}}
بما أن نهايات f و g لا متناهية في a، فإنه يوجد نطاق ]a ; a'[ تكون فيه (g(x مخالفة للصفر، ويمكن كتابة العبارة السابقة إذن بالطريقة الآتية :

{\displaystyle f(x)=(g(x)-g(y)){\frac {f'(c)}{g'(c)}}+f(y)}
{\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}=\left(1-{\frac {g(y)}{g(x)}}\right){\frac {f'(c)}{g'(c)}}+{\frac {f(y)}{g(x)}}}
بما أن {\displaystyle \lim \_{t\to a}{\frac {f'(t)}{g'(t)}}=L}، و*c* تنتمي إلى ]a ; y[، فإننا نستطيع أن نختار *y* بحيث يكون {\displaystyle {\frac {f'(c)}{g'(c)}}} قريبا من الصفر بقدر ما نريد لكل *x* من ]*a* ; *a* + *r*[.

للنهايات في {\displaystyle \pm \infty }، يكفي أن نضع {\displaystyle x=1/t} ونحاول أن نجد نهاية في {\displaystyle 0}.

لتكن f و{\displaystyle g} دالّتين معرّفتين على {\displaystyle [M>0;+\infty [}، قابلتين للاشتقاق على {\displaystyle ]M;+\infty [}، إذا كانت {\displaystyle g'(x)} مخالفة للصفر وكانت {\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L} فإن

{\displaystyle \lim \_{x\to +\infty }{\frac {f(x)}{g(x)}}=\lim \_{t\to 0^{+}}{\frac {f(1/t)}{g(1/t)}}=\lim \_{t\to 0^{+}}{\frac {(-1/t^{2})f'(1/t)}{(-1/t^{2})g'(1/t)}}=\lim \_{x\to +\infty }{\frac {f'(x)}{g'(x)}}=L}

مراجع
-----

1. ↑  . `{{استشهاد ويب}}`: الوسيط `|title=` غير موجود أو فارغ (مساعدة)
2. ↑  Boyer، Carl B.؛ Merzbach، Uta C. (2011). *A History of Mathematics* (ط. 3rd illustrated). John Wiley & Sons. ص. 321. ISBN:978-0-470-63056-3. مؤرشف من الأصل في 2019-12-15.
3. ↑  Stolz, Otto. "Ueber die Grenzwerthe der Quotienten" [About the limits of quotients]. *Mathematische Annalen* (بالألمانية). **15**: 556–559. Archived from the original on 2019-12-12.
4. ↑  pages 145–146: "Proposition I. Problême. Soit une ligne courbe AMD (AP = x, PM = y, AB = a [see Figure 130] ) telle que la valeur de l’appliquée y soit exprimée par une fraction, dont le numérateur & le dénominateur deviennent chacun zero lorsque x = a, c’est à dire lorsque le point P tombe sur le point donné B. On demande quelle doit être alors la valeur de l’appliquée BD. [Solution: ]...si l’on prend la difference du numérateur, & qu’on la divise par la difference du denominateur, apres avoir fait x = a = Ab ou AB, l’on aura la valeur cherchée de l’appliquée bd ou BD." *Translation* : "Let there be a curve AMD (where AP = X, PM = y, AB = a) such that the value of the ordinate y is expressed by a fraction whose numerator and denominator each become zero when x = a; that is, when the point P falls on the given point B. One asks what shall then be the value of the ordinate BD. [Solution: ]... if one takes the differential of the numerator and if one divides it by the differential of the denominator, after having set x = a = Ab or AB, one will have the value [that was] sought of the ordinate bd or BD." نسخة محفوظة 07 يناير 2018 على موقع واي باك مشين.
5. ↑  O'Connor، John J.؛ Robertson, Edmund F. "De L'Hopital biography". *The MacTutor History of Mathematics archive*. Scotland: School of Mathematics and Statistics, University of St Andrews. مؤرشف من الأصل في 2019-10-28. اطلع عليه بتاريخ 2008-12-21.
6. ↑  Boyer، Carl B.؛ Merzbach، Uta C. (2011). *A History of Mathematics* (ط. 3rd illustrated). John Wiley & Sons. ص. 321. ISBN:978-0-470-63056-3. Extract of page 321
7. ↑  إيريك ويستاين، *L'Hospital's Rule*، ماثوورلد Mathworld *(باللغة الإنكليزية*).

|  |  |
| --- | --- |
| مشاريع شقيقة | في كومنز صور وملفات عن: قاعدة لوبيتال |



| * ع
* ن
* ت
مواضيع التفاضل والتكامل |
| --- |
| ما قبل حساب التفاضل والتكامل  | 
* مبرهنة ذي الحدين
* دوال
	+ خطيَّة
	+ مُستمِرة
	+ مُقعَّرة
* العاملي
* فرق محدود
* المتغير الحر والمتغير المقيد
* تمثيل الدالة البياني
* ميل المستقيم
* راديان
* مبرهنة رول
* القاطع
* المماس

 |
| النهايات | 
* صيغة غير مُحدَّدة
* نهاية دالة
	+ وحيدة الجانب
* نهاية متتالية
* درجة التقريب

 |
| حساب التفاضل | 
* مُشتَق
* تفاضلي
* معادلة تفاضلية
* مؤثر تفاضلي
* مبرهنة القيمة المتوسطة
* تدوين التفاضل 
	+ لايبنز
	+ نيوتن
* قواعد التفاضل
	+ الخطيَّة
	+ الرفع إلى أُس
	+ السلسلة
	+ لوبيتال
	+ الضرب
		- قاعدة لايبنيز العامة
	+ ناتج القسمة
* تقنيات أخرى
	+ الدوال العكسية
	+ اللوغاريتم
	+ المعدلات المرتبطة
* نقاط الثبات
	+ اختبار المشتق
	+ مبرهنة القيمة المُتَّطرفة
	+ النقاط الحرجة
* تطبيقات أُخرى
	+ طريقة نيوتن لإيجاد الجذور
	+ سلسلة تايلور

 |
| حساب التكامل | 
* المبرهنة الأساسية
	+ مُشتَق التكامل
* ثابت التكامل
* بالتجزئة
* بالتعويض
	+ مُثلثي
	+ أويلر
	+ فايرشتراس
	+ تربيعي
* شبه المنحرف
* مُشتَق عكسي
* طول القوس
* الحجوم
	+ بالأقراص
	+ بالطبقات الأسطوانية

 |
| حساب المتجهات | 
* مشتق اتجاهي
* المؤثرات
	+ دوران
	+ تباعد
	+ تدرج
	+ لابلاس
* مبرهنات رئيسة
	+ التدرُّج
	+ التباعد
	+ غرين
	+ كلفن وستوكس

 |
| حساب التفاضل والتكامل متعدد المتغيرات | 
* مبرهنة التباعد
* حساب المصفوفات
* حساب هندسي
	+ ياكوبية
	+ هيسية
* معامل لاغرانج
* تكاملات
	+ خط
	+ سطح
	+ حجم
	+ متعدد
* مشتق جزئي
* مواضيع مُتقدِّمة
	+ أشكال تفاضلية
	+ مشتق خارجي
	+ مبرهنة ستوكس المُعمَّمة
	+ حساب المُوتِّر

 |
| المتتاليات والسلاسل | 
* متتالية حسابية هندسية
* أنواع السلاسل
	+ متناوبة
	+ ذات حدين
	+ فورييه
	+ هندسية
	+ متناسقة
	+ قوى
		- تايلور
	+ متداخلة
* اختبارات التقارب
	+ أبيل
	+ السلاسل المتناوبة
	+ كوشي للتكثيف
	+ المقارنة المباشرة
	+ دركليه
	+ التكامل
* مقارنة النهايات 
	+ النسبة
	+ الأصل
	+ الحد النوني

 |
| دوال وأرقام مُميَّزة | 
* أعداد برنولي
* ثابت أويلر
* دالة أسية
* لوغاريتم طبيعي
* تقريب ستيرلينغ

 |
| تاريخ التفاضل والتكامل | 
* شخصيات
	+ تايلور
	+ ماكلورين
	+ لايبنتس
	+ نيوتن
	+ أويلر
* مفاهيم
	+ تسوية
	+ المتناهيات في الصغر
	+ التدفق
	+ قانون الاستمرارية
	+ عمومية الجبر
* كتب
	+ طريقة المبرهنات الميكانيكية
	+ طرق التدفق

 |
| قوائم | 
* قواعد التفاضل
* تكاملات الدوال
	+ اللوغاريتمية
		- الأسية
	+ المثلثية
		- العكسية
		- القواطع 
			* المُكعَّبة
	+ الزائدية
		- العكسية
	+ الكسرية
		- غير الكسرية
* النهايات

 |
| مواضيع متنوعة | 
* الانحناء
* هندسة تفاضلية
	+ للمنحنيات
	+ للسطوح
* صيغة أويلر وماكلورين
* بوق جبريل
* إثبات أن 22/7 أكبر من π
* مسألة ريغيومونتانوس للزاوية العظمى
* مجسم شتاينميتز

 |
|  تصنيف  **•**   كومنز  شعار بوابة بوابة رياضيات  **•**  شعار بوابة بوابة تحليل رياضي  **•**  شعار بوابة بوابة هندسة رياضية |

| * ع
* ن
* ت
مواضيع التحليل الرياضي |
| --- |
| **ما قبل حساب التفاضل والتكامل** | رسم بياني للدالة **·**  دالة خطية **·**  قاطع **·**  ميل **·**  مماس **·**  تقعر **·**  فرق محدود **·**  راديان **·**  عاملي **·**  مبرهنة ثنائي الحدين **·**  إكمال المربع **·**  متغيرات مستقلة ومتغيرات مرتبطة |
| **النهايات** | نهاية دالة **·**  نهاية متسلسلة **·**  شكل غير محدد **·**  جدول النهايات |
| **حساب التفاضل** | اشتقاق **·**  ترميز نيوتن للتفاضل **·**  ترميز لايبنتز للتفاضل **·**  ترميز نقطي للتفاضل **·** اشتقاق ثابت **·**  قاعدة المجموع في التفاضل **·**  قاعدة العامل الثابت في التفاضل **·**  خطية التفاضل **·**  حساب التفاضل والتكامل لعديد الحدود **·**  اشتقاق (أمثلة) **·**  قاعدة السلسلة **·**  قاعدة الجداء **·**  قاعدة ناتج القسمة **·**  دوال عكسية و تفاضلها **·**  تفاضل ضمني **·**  نقطة ثابتة **·**  العظمى والصغرى **·**  اختبار المشتقة الأولى **·**  اختبار المشتقة الثانية **·**  مبرهنة القيمة المتطرفة **·**  معادلة تفاضلية **·**  مؤثر تفاضلي **·**  طريقة نيوتن **·**  مبرهنة تايلور **·**  قاعدة اوبيتال **·**  قاعدة لايبنتز **·**  مبرهنة القيمة المتوسطة **·**  اشتقاق لوغاريتمي **·**  تفاضل (رياضيات) **·**  معدلات مرتبطة |
| **حساب التكامل** | اشتقاق عكسي **·** تكامل غير محدد **·** قاعدة المجموع في التكامل **·**  قاعدة العامل الثابت في التكامل **·**  خطية التكامل **·**  ثابت إختياري في التكامل **·**  المبرهنة الأساسية للتكامل **·**  تكامل بالأجزاء **·**  قاعدة المتسلسلة المعكوسة **·**  تكامل بالتعويض  **·**  استبدال مثلثي **·**  كسور جزئية في التكامل **·**  قاعدة شبه المنحرف |
| **دوال وأعداد خاصة** | لوغاريتم طبيعي **·**  إي (ثابت رياضي) **·**  دالة أسية **·**  تقريب ستيرلنج **·**  أعداد بيرنولي |
| **تكامل عددي** | قائمة مواضيع التحليل العددي **·**  طريقة المستطيل **·**  قاعدة شبه المنحرف **·**  قاعدة سمبسون **·**  متطابقات نيوتن  **·**  تربيع غاوسي |
| **قوائم وجداول** | جدول الاشتقاقات **·** جدول الرموز الرياضية **·** قائمة التكاملات **·** قائمة بتكاملات التوابع المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع غير المنطقة **·** قائمة بتكاملات التوابع المثلثية **·** قائمة بتكاملات التوابع الأسية **·** قائمة بتكاملات التوابع اللوغاريتمية **·** قائمة بتكاملات التوابع القوسية **·** قائمة بتكاملات التوابع المساحية |
| **متغيرات متعددة** | اشتقاق جزئي **·**  تكامل بالأقراص  **·**  بوق جبريل **·**  مصفوفة جاكوبي **·**  مصفوفة هسه **·**  انحناء **·**  مبرهنة غرين **·** نظرية الانحراف **·**  نظرية ستوكس |
| **متسلسلات** | متسلسلة **·**  متسلسلة تايلور، متسلسلة ماكلورين **·**  متسلسلة فورييه **·**  صيغة أويلر-ماكلورين |
| **حساب التفاضل والتكامل غير القياسي** | حساب التفاضل والتكامل غير القياسي **·**  متناهي الصغر |
| **تاريخ التفاضل والتكامل** | عدد لامتناهي **·**  غوتفريد لايبنتز **·**  إسحاق نيوتن **·**  طريقة التدفقات **·**  حساب التفاضل والتكامل اللامتناهي الصغر **·**  ساقية تايلور **·**  كولين ماكلورين **·**  ليونهارت أويلر |

* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة تحليل رياضي