نظام إحداثيات إهليلجي
في الهندسة الرياضية، **نظام الإحداثيات الإهليلجية** هو نظام إحداثيات متعامد ثنائي الأبعاد تكون فية خطوط الإحداثيات إهليلجية متّحدة البؤر ووقطوع زائدة .
بؤرتا القطع الناقص {\displaystyle F\_{1}} و{\displaystyle F\_{2}} إجْمالاً تستخرج لتكون ثابتة في {\displaystyle -a} و
{\displaystyle +a} على التوالي، على x محور نظام الإحداثيات الديكارتية.

التعريف الأساسي
---------------

التعريف الأكثر شيوعًا للإحداثيات الإهليلجية {\displaystyle (\mu ,\nu )} هو

{\displaystyle x=a\ \cosh \mu \ \cos \nu }
{\displaystyle y=a\ \sinh \mu \ \sin \nu }
\mu  هو رقم حقيقي غير سالب و {\displaystyle \nu \in [0,2\pi ]}. على المستوي المركب، والعلاقة المكافئة هي

{\displaystyle x+iy=a\ \cosh(\mu +i\nu )}
هذه التعاريف مع تتوافق القطع الناقص والقطع الزائد. التطابق المثلثي

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cosh ^{2}\mu }}+{\frac {y^{2}}{a^{2}\sinh ^{2}\mu }}=\cos ^{2}\nu +\sin ^{2}\nu =1}
يدل على منحنيات ثابتة \mu  من القطوع الناقصة في حين أن المنحنى زائدي المقطع متطابق

{\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}\cos ^{2}\nu }}-{\frac {y^{2}}{a^{2}\sin ^{2}\nu }}=\cosh ^{2}\mu -\sinh ^{2}\mu =1}
يدل على منحنيات ثابتة {\displaystyle \nu } من القطوع الزائدة .

عوامل القياس
------------

في الإحداثيات المتعامدة تعرف أطوا متجهات القواعد بعوامل القياس. وعوامل قياس الإحداثيات الإهليلجية {\displaystyle (\mu ,\nu )} تساوي:

{\displaystyle h\_{\mu }=h\_{\nu }=a{\sqrt {\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu }}=a{\sqrt {\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu }}.}
استخدام متغير الدوال الزائدية والدوال المثلثية، يمكن التعبير عن عوامل القياس بالتساوي كالتالي

{\displaystyle h\_{\mu }=h\_{\nu }=a{\sqrt {{\frac {1}{2}}(\cosh 2\mu -\cos 2\nu )}}.}
وبالتالي، العنصر الا متناهي الصغر للمسساحة يساوي

{\displaystyle dA=h\_{\mu }h\_{\nu }d\mu d\nu =a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)d\mu d\nu =a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)d\mu d\nu ={\frac {a^{2}}{2}}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)d\mu d\nu }
ودالة لابلاس تفسر

{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{a^{2}\left(\sinh ^{2}\mu +\sin ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {1}{a^{2}\left(\cosh ^{2}\mu -\cos ^{2}\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right)={\frac {2}{a^{2}\left(\cosh 2\mu -\cos 2\nu \right)}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \mu ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \nu ^{2}}}\right).}
العوامل التفاضلية الأخرى مثل {\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} } و {\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} } يمكن التعبير عنها في الإحداثيات
{\displaystyle (\mu ,\nu )} عن طريق الاستعاضة عنها بعوامل القياس في الصيغة العامة الموجودة في الإحداثيات المتعامدة.

مراجع
-----

1. ↑  "معلومات عن نظام إحداثي إهليلجي على موقع mathworld.wolfram.com". mathworld.wolfram.com. مؤرشف من الأصل في 2021-12-21.

  


| * ع
* ن
* ت
مواضيع في الهندسة رياضية |
| --- |
| إقليدية | 
* مُتقطِّعة
* مُحدَّبة
* فراغيَّة

 |
| لاإقليدية | 
* إهليلجية
* زائدية
* كروية
* تآلفية
* إسقاطية
* ريمانية
* تماسكية

 |
| أخرى | 
* حساب مثلثات
* زمرة لاي
* هندسة جبرية
* هندسة تفاضلية
* نظام إحداثيات إهليلجي

 |
| قوائم | 
* قائمة الأشكال

 |

* أيقونة بوابةبوابة علم الفلك
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات
* أيقونة بوابةبوابة هندسة رياضية