**المصفوفة المرافقة** (بالإنجليزية: Comatrix) في الجبر الخطي لمصفوفة مربعة A هي المصفوفة المربعة {\displaystyle com(A)} من نفس الحيز، كل عنصر{\displaystyle com(A)\_{i,j}}، ويسمى بالعامل المرافق، فيها يكتب بدلالة محدد المصفوفة الناتجة عن إلغاء السطر i والعمود j في A. إذا كانت A قابلة للعكس ، فإن مصفوفتها المرافقة تمكن من حساب المصفوفة العكسية ل A.

في ما يلي، نعتبر A مصفوفة مربعة حيزها n، بعناصر في حلقة تبادلية {\displaystyle K}.

تعريف
-----

باعتبار مصفوفة مربعة A، حيزها n ، **العامل المرافق** *Cofactor* ذو الإحداثيات {\displaystyle (i,j)}، الذي هو العنصر {\displaystyle (i,j)} للمصفوفة المرافقة {\displaystyle com(A)}، يساوي:

{\displaystyle \left(\operatorname {com} A\right)\_{i,j}:=\det \left(A'\_{i,j}\right)=(-1)^{i+j}\det \left(A\_{i,j}\right)} بحيث:

* {\displaystyle A'\_{i,j}} هي المصفوفة المربعة التي حيزها n والمشكلة انطلاقا من A، عبر تعويض عناصر العمود j بأصفار باستثناء العنصر {\displaystyle (i,j)} الذي يعوض ب {\displaystyle 1}.
* {\displaystyle A\_{i,j}} هي المصفوفة المربعة التي حيزها {\displaystyle n-1} والمشكلة انطلاقا من A، عبر حذف العمود j والسطر i. محدد {\displaystyle A\_{i,j}} يشكل بالتالي عنصرا من مجموعة مختصرات A.

صيغ لابلاص
----------

يمكن حساب محدد مصفوفة مربعة A فقط انطلاقا من عناصر عمود (أو سطر) واحد ومن معاملاتها المرافقة. هذه الطريقة، المعروفة بصيغة لابلاص (نسبة إلى الرياضياتي الفرنسي بيير لابلاص) تمكن من تحويل مسألة حساب محدد من الرتبة n إلى n عملية حسابية لمحددات من الرتبة {\displaystyle n-1}، وهو ما يشكل تبسيطا أو تخفيفا للعملية، على مستوى القدرة الحسابية.

صيغ لابلاص لحساب المحددات باستعمال المصفوفات المرافقة| البعد | الصيغة |
| --- | --- |
| العمود j | {\displaystyle \det A=\sum \_{i=1}^{n}a\_{i;j}(\operatorname {com} A)\_{i,j}} |
| السطر i | {\displaystyle \det A=\sum \_{j=1}^{n}a\_{i;j}(\operatorname {com} A)\_{i,j}} |

خاصيات
------

* المصفوفة المرافقة لمنقولة **خطأ رياضيات (SVG (يمكن تمكين MathML عبر البرنامج المساعد للمتصفح): رد غير صحيح ("Math extension cannot connect to Restbase.") من الخادم "http://localhost:6011/ar.wikipedia.org/v1/":): A**
 هي منقولة مرافقتها: {\displaystyle com({}^{t}A)={}^{t}com(A)}.
* عملية المرافقة ثابتة حسب عملية الجداء: بالنسبة لمصفوفتين مربعتين A وB: {\displaystyle com(AB)=com(A)\times com(B)}.
* إذا كان {\displaystyle K} حقلا تبادليا:
	+ إذا كانت A قابلة للعكس، أي برتبة n، فإن {\displaystyle com(A)} أيضا قابلة للعكس.
	+ إذا كانت رتبة A تساوي {\displaystyle n-1} (مع {\displaystyle n\geq 2}): {\displaystyle rank(com(A))=1}.
	+ إذا كانت{\displaystyle rank(A)\leq n-2} (مع {\displaystyle n\geq 3}): {\displaystyle com(A)=0}.

أمثلة
-----

### مصفوفة حيزها {\displaystyle 2\times 2}

{\displaystyle \operatorname {com} {\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}}}

### مصفوفة حيزها {\displaystyle 3\times 3}

{\displaystyle \operatorname {com} {\begin{pmatrix}a\_{11}&a\_{12}&&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{22}&&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{32}&&a\_{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}+{\begin{vmatrix}a\_{22}&a\_{23}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{23}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{21}&a\_{22}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\-{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{32}&a\_{33}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{31}&a\_{33}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{31}&a\_{32}\end{vmatrix}}\\+{\begin{vmatrix}a\_{12}&a\_{13}\\a\_{22}&a\_{23}\end{vmatrix}}&-{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{13}\\a\_{21}&a\_{23}\end{vmatrix}}&+{\begin{vmatrix}a\_{11}&a\_{12}\\a\_{21}&a\_{22}\end{vmatrix}}\end{pmatrix}}}

للتذكير، فالمحدد يساوي: {\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}=ad-bc}.

مراجع
-----

1. ↑  "comatrice-bibmath". مؤرشف من الأصل في 2019-12-31.
2. ↑  "Mathématiques L1: Cours complet avec 1 000 tests et exercices corrigés". مؤرشف من الأصل في 2020-01-09.
* أيقونة بوابةبوابة جبر
* أيقونة بوابةبوابة رياضيات