Bo: 'n Plot van 'n reeks van 100 ewekansige getalle wat 'n sinusfunksie verberg. Onder: Die sinusfunksie wys 'n korrelogram wat deur outokorrelasie geproduseer word.
 Visuele vergelyking van konvolusie, kruiskorrelasie en **outokorrelasie**. Vir die bewerkings wat funksie f behels, en met die veronderstelling dat die hoogte van f 1.0 is, word die waarde van die resultaat by 5 verskillende punte aangedui deur die geskakeerde area onder elke punt. Ook die simmetrie van f is die rede {\displaystyle g\*f} en {\displaystyle f\star g} is identies in hierdie voorbeeld.
**Outokorrelasie**, is 'n korrelasie van iets met ditself. Informeel is dit die ooreenkoms tussen waarnemings van 'n ewekansige veranderlike as 'n funksie van tydsverloop. Die analise van outokorrelasie is 'n wiskundige hulpmiddel vir die vind van herhalende patrone, soos die teenwoordigheid van 'n periodieke sein wat deur geraas verduister word, of die identifisering van die ontbrekende fundamentele frekwensie in 'n sein wat deur sy harmoniese frekwensies geïmpliseer word. Dit word dikwels in seinverwerking gebruik vir die ontleding van funksies of reekse waardes, soos tyddomeinseine.

Verskillende studierigtings definieer outokorrelasie verskillend, en nie al hierdie definisies is ekwivalent nie. In sommige velde word die term uitruilbaar met outokovariansie gebruik.

Eenheidswortelprosesse, tendens-stasionêre prosesse, outoregressiewe prosesse en bewegende-gemiddelde prosesse is spesifieke vorme van prosesse met outokorrelasie.

Outokorrelasie van stogastiese prosesse
---------------------------------------

In statistieke is die outokorrelasie van 'n werklike of komplekse ewekansige proses die Pearson-korrelasie tussen waardes van die proses op verskillende tye, as 'n funksie van die twee tye of van die tydsvertraging.

Laat {\displaystyle \left\{X\_{t}\right\}} 'n ewekansige proses wees, en {\displaystyle t} wees enige tydstip ( {\displaystyle t} kan 'n heelgetal wees vir 'n diskrete-tyd proses of 'n reële getal vir 'n kontinue-tyd proses). Dus is {\displaystyle X\_{t}} is die waarde geproduseer deur 'n gegewe afloop van die proses teen 'n tyd {\displaystyle t}. Veronderstel dat die proses 'n gemiddelde {\displaystyle \mu \_{t}} het, en variansie {\displaystyle \sigma \_{t}^{2}} het teen tyd {\displaystyle t}, vir elke {\displaystyle t}.

Dan die definisie van die **outokorrelasiefunksie** tussen tye {\displaystyle t\_{1}} en {\displaystyle t\_{2}}  



R

X
X

⁡
(

t

1

,

t

2

)
=
E
⁡

[

X

t

1


X
¯

t

2


]

{\displaystyle \operatorname {R} \_{XX}(t\_{1},t\_{2})=\operatorname {E} \left[X\_{t\_{1}}{\overline {X}}\_{t\_{2}}\right]}

{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]}  

waar {\displaystyle \operatorname {E} } is die verwagte waarde- operateur en die staaf verteenwoordig komplekse vervoeging. Let daarop dat die verwagting dalk nie goed gedefinieer is nie.

Deur die gemiddelde voor vermenigvuldiging af te trek, lewer die **outo-kovariansiefunksie** tussen tyd {\displaystyle t\_{1}} en {\displaystyle t\_{2}}:   



K

X
X

⁡
(

t

1

,

t

2

)
=
E
⁡

[

(

X

t

1

−

μ

t

1

)

(

X

t

2

−

μ

t

2

)

¯

]

=
E
⁡

[

X

t

1


X
¯

t

2


]

−

μ

t

1


μ
¯

t

2



{\displaystyle \operatorname {K} \_{XX}(t\_{1},t\_{2})=\operatorname {E} \left[(X\_{t\_{1}}-\mu \_{t\_{1}}){\overline {(X\_{t\_{2}}-\mu \_{t\_{2}})}}\right]=\operatorname {E} \left[X\_{t\_{1}}{\overline {X}}\_{t\_{2}}\right]-\mu \_{t\_{1}}{\overline {\mu }}\_{t\_{2}}}

{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})=\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]=\operatorname {E} \left[X_{t_{1}}{\overline {X}}_{t_{2}}\right]-\mu _{t_{1}}{\overline {\mu }}_{t_{2}}}
Let daarop dat hierdie uitdrukking nie goed gedefinieer is vir alle tydreekse of prosesse nie, omdat die gemiddelde moontlik nie bestaan nie, of die variansie nul kan wees (vir 'n konstante proses) of oneindig (vir prosesse met verspreiding wat nie goedgedrade momente het nie, soos sekere tipes magswette).

### Definisie vir 'n wyd-stilstaande stogastiese proses

As {\displaystyle \left\{X\_{t}\right\}} is 'n wyd-stilstaande proses dan die gemiddelde {\displaystyle \mu } en die variansie {\displaystyle \sigma ^{2}} is tydonafhanklik, en verder hang die outokovariansiefunksie slegs af van die vertraging tussen {\displaystyle t\_{1}} en {\displaystyle t\_{2}} : die outokovariansie hang slegs af van die tyd-afstand tussen die waardepaar maar nie van hul posisie in tyd nie. Dit impliseer verder dat die outokovariansie en outokorrelasie uitgedruk kan word as 'n funksie van die tydsvertraging, en dat dit 'n eweredige funksie van die vertraging sal wees {\displaystyle \tau =t\_{2}-t\_{1}}.  
  
 
Dit gee die meer bekende vorme vir die **outokorrelasiefunksie**:  



R

X
X

⁡
(
τ
)
=
E
⁡

[

X

t
+
τ


X
¯

t

]

{\displaystyle \operatorname {R} \_{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X\_{t+\tau }{\overline {X}}\_{t}\right]}

{\displaystyle \operatorname {R} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]}  

en die **outo-kovariansie funksie**:  


K

X
X

⁡
(
τ
)
=
E
⁡

[

(

X

t
+
τ

−
μ
)

(

X

t

−
μ
)

¯

]

=
E
⁡

[

X

t
+
τ


X
¯

t

]

−
μ

μ
¯

{\displaystyle \operatorname {K} \_{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[(X\_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X\_{t}-\mu )}}\right]=\operatorname {E} \left[X\_{t+\tau }{\overline {X}}\_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}}

{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(\tau )=\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]=\operatorname {E} \left[X_{t+\tau }{\overline {X}}_{t}\right]-\mu {\overline {\mu }}}  

Let daarop dat:  



K

X
X

⁡
(
0
)
=

σ

2

.

{\displaystyle \operatorname {K} \_{XX}(0)=\sigma ^{2}.}

{\displaystyle \operatorname {K} _{XX}(0)=\sigma ^{2}.}
### Normalisering

Dit is algemene praktyk in sommige dissiplines (bv. statistiek en tydreeksanalise) om die outokovariansiefunksie te normaliseer sodat mens 'n tydafhanklike Pearson-korrelasiekoëffisiënt kan kry. In ander dissiplines (bv. ingenieurswese) word die normalisering egter gewoonlik laat vaar en word die terme "outokorrelasie" en "outokovariansie" uitruilbaar gebruik.

Die definisie vir die outokorrelasiekoëffisiënt van 'n stogastiese proses is:  



ρ

X
X

(

t

1

,

t

2

)
=

K

X
X

⁡
(

t

1

,

t

2

)

σ

t

1


σ

t

2


=

E
⁡

[

(

X

t

1

−

μ

t

1

)

(

X

t

2

−

μ

t

2

)

¯

]

σ

t

1


σ

t

2



{\displaystyle \rho \_{XX}(t\_{1},t\_{2})={\frac {\operatorname {K} \_{XX}(t\_{1},t\_{2})}{\sigma \_{t\_{1}}\sigma \_{t\_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X\_{t\_{1}}-\mu \_{t\_{1}}){\overline {(X\_{t\_{2}}-\mu \_{t\_{2}})}}\right]}{\sigma \_{t\_{1}}\sigma \_{t\_{2}}}}}

{\displaystyle \rho _{XX}(t_{1},t_{2})={\frac {\operatorname {K} _{XX}(t_{1},t_{2})}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t_{1}}-\mu _{t_{1}}){\overline {(X_{t_{2}}-\mu _{t_{2}})}}\right]}{\sigma _{t_{1}}\sigma _{t_{2}}}}}
As die funksie {\displaystyle \rho \_{XX}} goed gedefinieer is, moet die waarde daarvan in die reeks lê 

{\displaystyle [-1,1]}, met 1 wat perfekte korrelasie aandui en −1 wat perfekte teenkorrelasie aandui.

Vir 'n wyesin stilstaande (WSS) proses is die definisie:


ρ

X
X

(
τ
)
=

K

X
X

⁡
(
τ
)

σ

2

=

E
⁡

[

(

X

t
+
τ

−
μ
)

(

X

t

−
μ
)

¯

]

σ

2



{\displaystyle \rho \_{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} \_{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X\_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X\_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}}

{\displaystyle \rho _{XX}(\tau )={\frac {\operatorname {K} _{XX}(\tau )}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X_{t+\tau }-\mu ){\overline {(X_{t}-\mu )}}\right]}{\sigma ^{2}}}}Die normalisering is belangrik beide omdat die interpretasie van die outokorrelasie as 'n korrelasie 'n skaalvrye maatstaf bied van die sterkte van statistiese afhanklikheid, en omdat die normalisering 'n effek het op die statistiese eienskappe van die geskatte outokorrelasies.

Outokorrelasie van lukrake vektore
----------------------------------

Die (potensieel tydafhanklike) **outokorrelasiematriks** (ook genoem "tweede moment") van 'n (potensieel tydafhanklike) lukrake vektor {\displaystyle \mathbf {X} =(X\_{1},\ldots ,X\_{n})^{\rm {T}}} is 'n {\displaystyle n\times n} matriks wat as elemente die outokorrelasies van alle pare elemente van die ewekansige vektor bevat {\displaystyle \mathbf {X} }. Die outokorrelasiematriks word in verskeie digitale seinverwerkingsalgoritmes gebruik.

Vir 'n lukrake vektor {\displaystyle \mathbf {X} =(X\_{1},\ldots ,X\_{n})^{\rm {T}}} wat lukrake elemente bevat waarvan die verwagte waarde en variansie bestaan, word die **outokorrelasiematriks** gedefinieer deur  : p.190  : p.334


R

X

X

≜
 
E
⁡

[

X

X

T

]

{\displaystyle \operatorname {R} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]}

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }\triangleq \ \operatorname {E} \left[\mathbf {X} \mathbf {X} ^{\rm {T}}\right]}

  

waar {\displaystyle {}^{\rm {T}}} die getransponeerde matriks van dimensies {\displaystyle n\times n} aandui.

Komponentsgewys geskryf:



R

X

X

=

[

E
⁡
[

X

1

X

1

]

E
⁡
[

X

1

X

2

]

⋯

E
⁡
[

X

1

X

n

]


E
⁡
[

X

2

X

1

]

E
⁡
[

X

2

X

2

]

⋯

E
⁡
[

X

2

X

n

]


⋮

⋮

⋱

⋮


E
⁡
[

X

n

X

1

]

E
⁡
[

X

n

X

2

]

⋯

E
⁡
[

X

n

X

n

]



]

{\displaystyle \operatorname {R} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X\_{1}X\_{1}]&\operatorname {E} [X\_{1}X\_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X\_{1}X\_{n}]\\\\\operatorname {E} [X\_{2}X\_{1}]&\operatorname {E} [X\_{2}X\_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X\_{2}X\_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X\_{n}X\_{1}]&\operatorname {E} [X\_{n}X\_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X\_{n}X\_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }={\begin{bmatrix}\operatorname {E} [X_{1}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{1}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{1}X_{n}]\\\\\operatorname {E} [X_{2}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{2}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{2}X_{n}]\\\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\\\\operatorname {E} [X_{n}X_{1}]&\operatorname {E} [X_{n}X_{2}]&\cdots &\operatorname {E} [X_{n}X_{n}]\\\\\end{bmatrix}}}
Indien {\displaystyle \mathbf {Z} } is 'n komplekse lukrake vektor, word die outokorrelasiematriks eerder gedefinieer deur:


R

Z

Z

≜
 
E
⁡
[

Z

Z

H

]
.

{\displaystyle \operatorname {R} \_{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}

{\displaystyle \operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\triangleq \ \operatorname {E} [\mathbf {Z} \mathbf {Z} ^{\rm {H}}].}Hier {\displaystyle {}^{\rm {H}}} dui Hermitiese transponering aan.

Byvoorbeeld, as {\displaystyle \mathbf {X} =\left(X\_{1},X\_{2},X\_{3}\right)^{\rm {T}}} is dan 'n ewekansige vektor {\displaystyle \operatorname {R} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }} is 'n {\displaystyle 3\times 3} matriks wie se {\displaystyle (i,j)} -de inskrywing is {\displaystyle \operatorname {E} [X\_{i}X\_{j}]}.

### Eienskappe van die outokorrelasiematriks

* Die outokorrelasiematriks is 'n Hermitiese matriks vir komplekse ewekansige vektore en 'n simmetriese matriks vir werklike ewekansige vektore.  : p.190
* Die outokorrelasiematriks is 'n positiewe semi-bepaalde matriks,  : p.190 dws {\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {T} }\operatorname {R} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {R} ^{n}} vir 'n werklike ewekansige vektor, en onderskeidelik {\displaystyle \mathbf {a} ^{\mathrm {H} }\operatorname {R} \_{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }\mathbf {a} \geq 0\quad {\text{for all }}\mathbf {a} \in \mathbb {C} ^{n}} in die geval van 'n komplekse ewekansige vektor.
* Alle eiewaardes van die outokorrelasiematriks is reëel en nie-negatief.
* Die *outokorrelasiematriks* is soos volg verwant aan die outokorrelasiematriks:

K

X

X

=
E
⁡
[
(

X

−
E
⁡
[

X

]
)
(

X

−
E
⁡
[

X

]

)

T

]
=

R

X

X

−
E
⁡
[

X

]
E
⁡
[

X

]

T


{\displaystyle \operatorname {K} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} \_{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}}

{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }=\operatorname {E} [(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])(\mathbf {X} -\operatorname {E} [\mathbf {X} ])^{\rm {T}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {X} \mathbf {X} }-\operatorname {E} [\mathbf {X} ]\operatorname {E} [\mathbf {X} ]^{\rm {T}}}en vir komplekse lukrake vektore: 

K

Z

Z

=
E
⁡
[
(

Z

−
E
⁡
[

Z

]
)
(

Z

−
E
⁡
[

Z

]

)

H

]
=

R

Z

Z

−
E
⁡
[

Z

]
E
⁡
[

Z

]

H


{\displaystyle \operatorname {K} \_{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} \_{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}}

{\displaystyle \operatorname {K} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }=\operatorname {E} [(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])(\mathbf {Z} -\operatorname {E} [\mathbf {Z} ])^{\rm {H}}]=\operatorname {R} _{\mathbf {Z} \mathbf {Z} }-\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]\operatorname {E} [\mathbf {Z} ]^{\rm {H}}}

Outokorrelasie van deterministiese seine
----------------------------------------

In seinverwerking word die bogenoemde definisie dikwels sonder die normalisering gebruik, dit wil sê sonder om die gemiddelde af te trek en deur die variansie te deel. Wanneer die outokorrelasiefunksie genormaliseer word deur gemiddelde en variansie, word dit soms na verwys as die **outokorrelasiekoëffisiënt**  of outokorrelasiefunksie.

### Outkorrelasie van deurlopende tydseine

Vir 'n sein {\displaystyle f(t)}, w word deurlopende outokorrelasie {\displaystyle R\_{ff}(\tau )} meed dikwels gedefinieer as die kontinue kruis-korrelasie integraal van {\displaystyle f(t)} met ditself, by lag {\displaystyle \tau }.  : p.411 


R

f
f

(
τ
)
=

∫

−
∞

∞

f
(
t
+
τ
)

f
(
t
)

¯


d

t
=

∫

−
∞

∞

f
(
t
)

f
(
t
−
τ
)

¯


d

t

{\displaystyle R\_{ff}(\tau )=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int \_{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t}

{\displaystyle R_{ff}(\tau )=\int _{-\infty }^{\infty }f(t+\tau ){\overline {f(t)}}\,{\rm {d}}t=\int _{-\infty }^{\infty }f(t){\overline {f(t-\tau )}}\,{\rm {d}}t}
waar {\displaystyle {\overline {f(t)}}} die komplekse vervoeging van {\displaystyle f(t)} verteenwoordig. Let daarop dat die parameter {\displaystyle t} in die integraal is 'n skynveranderlike en is slegs nodig om die integraal te bereken. Dit het geen spesifieke betekenis nie.

### Eienskappe

In die volgende sal ons eienskappe van eendimensionele outokorrelasies slegs beskryf, aangesien die meeste eienskappe maklik van eendimensionele na multidimensioneel oorgedra word. Hierdie eienskappe geld vir wye sintuiglike stilstaande prosesse. 

* 'n Grondslaggewende eienskap van die outokorrelasie is simmetrie, {\displaystyle R\_{ff}(\tau )=R\_{ff}(-\tau )}, wat maklik uit die definisie bewys kan word. In die deurlopende geval,
	+ die outokorrelasie is 'n ewe funksie {\displaystyle R\_{ff}(-\tau )=R\_{ff}(\tau )} wanneer {\displaystyle f} is 'n werklike funksie, en
	+ die outokorrelasie is 'n Hermitiese funksie {\displaystyle R\_{ff}(-\tau )=R\_{ff}^{\*}(\tau )} wanneer {\displaystyle f} is 'n komplekse funksie.
* Die deurlopende outokorrelasiefunksie bereik sy hoogtepunt by die oorsprong, waar dit 'n reële waarde neem, dws vir enige vertraging {\displaystyle \tau }, {\displaystyle |R\_{ff}(\tau )|\leq R\_{ff}(0)}. : p.410 Dit is 'n gevolg van die herrangskikkingsongelykheid. Dieselfde resultaat geld in die diskrete geval.
* Die outokorrelasie van 'n periodieke funksie is self periodiek met dieselfde periode.
* Die outokorrelasie van die som van twee heeltemal ongekorreleerde funksies (die kruiskorrelasie is nul vir almal {\displaystyle \tau } ) is die som van die outokorrelasies van elke funksie afsonderlik.
* Aangesien outokorrelasie 'n spesifieke tipe kruiskorrelasie is, behou dit al die eienskappe van kruiskorrelasie.
* Deur die simbool te gebruik {\displaystyle \*} konvolusie voor te stel en {\displaystyle g\_{-1}} is 'n funksie wat die funksie manipuleer {\displaystyle f} en word gedefinieer as {\displaystyle g\_{-1}(f)(t)=f(-t)}, die definisie vir {\displaystyle R\_{ff}(\tau )} kan geskryf word as: 

R

f
f

(
τ
)
=
(
f
∗

g

−
1

(

f
¯

)
)
(
τ
)

{\displaystyle R\_{ff}(\tau )=(f\*g\_{-1}({\overline {f}}))(\tau )}

{\displaystyle R_{ff}(\tau )=(f*g_{-1}({\overline {f}}))(\tau )}

Multidimensionele outokorrelasie
--------------------------------

Multidimensionele outokorrelasie word op soortgelyke wyse gedefinieer. Byvoorbeeld, in drie dimensies sal die outokorrelasie van 'n vierkant-someerbare diskrete sein wees


R
(
j
,
k
,
ℓ
)
=

∑

n
,
q
,
r

x

n
,
q
,
r



x
¯

n
−
j
,
q
−
k
,
r
−
ℓ

.

{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum \_{n,q,r}x\_{n,q,r}\,{\overline {x}}\_{n-j,q-k,r-\ell }.}

{\displaystyle R(j,k,\ell )=\sum _{n,q,r}x_{n,q,r}\,{\overline {x}}_{n-j,q-k,r-\ell }.}Wanneer gemiddelde waardes van seine afgetrek word voordat 'n outokorrelasiefunksie bereken word, word die resulterende funksie gewoonlik 'n outo-kovariansiefunksie genoem.

Doeltreffende berekening
------------------------

Vir data uitgedruk in 'n diskrete volgorde, is dit dikwels nodig om die outokorrelasie met 'n hoë berekeningsdoeltreffendheid uit te werk. 'n Brute kragmetode gebaseer op die seinverwerkingsdefinisie {\displaystyle R\_{xx}(j)=\sum \_{n}x\_{n}\,{\overline {x}}\_{n-j}} kan gebruik word wanneer die seingrootte klein is. Byvoorbeeld, om die outokorrelasie van die werklike seinvolgorde te bereken {\displaystyle x=(2,3,-1)} (bv {\displaystyle x\_{0}=2,x\_{1}=3,x\_{2}=-1}, en {\displaystyle x\_{i}=0} vir alle ander waardes van i ) met die hand, erken ons eerstens dat die definisie wat sopas gegee is, dieselfde is as die "gewone" vermenigvuldiging, maar met verskuiwings regs, waar elke vertikale optelling die outokorrelasie vir spesifieke vertragingswaardes gee:




2

3

−
1

×

2

3

−
1


−
2

−
3

1



6

9

−
3

+

4

6

−
2


−
2

3

14

3

−
2



{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}

{\displaystyle {\begin{array}{rrrrrr}&2&3&-1\\\times &2&3&-1\\\hline &-2&-3&1\\&&6&9&-3\\+&&&4&6&-2\\\hline &-2&3&14&3&-2\end{array}}}Die vereiste outokorrelasievolgorde is dus {\displaystyle R\_{xx}=(-2,3,14,3,-2)}, waar {\displaystyle R\_{xx}(0)=14,}{\displaystyle R\_{xx}(-1)=R\_{xx}(1)=3,} en {\displaystyle R\_{xx}(-2)=R\_{xx}(2)=-2,} die outokorrelasie vir ander vertragingswaardes is nul. In hierdie berekening voer ons nie die oordragbewerking tydens optel uit soos gewoonlik in normale vermenigvuldiging nie. Let daarop dat ons die aantal bewerkings wat benodig word kan halveer deur die inherente simmetrie van die outokorrelasie te ontgin. As die sein toevallig periodiek is, dws {\displaystyle x=(\ldots ,2,3,-1,2,3,-1,\ldots ),} dan kry ons 'n sirkelvormige outokorrelasie (soortgelyk aan sirkelvormige konvolusie ) waar die linker- en regtersterte van die vorige outokorrelasievolgorde sal oorvleuel en gee {\displaystyle R\_{xx}=(\ldots ,14,1,1,14,1,1,\ldots )} wat dieselfde tydperk as die seinvolgorde het {\displaystyle x.} Die prosedure kan beskou word as 'n toepassing van die konvolusie-eienskap van Z-transformasie van 'n diskrete sein.

Terwyl die brute krag-algoritme orde *n*2 is, bestaan verskeie doeltreffende algoritmes wat die outokorrelasie in orde *n* log(*n*) kan bereken. Byvoorbeeld, die Wiener-Khinchin-stelling maak dit moontlik om die outokorrelasie uit die rou data *X*(*t*) met twee vinnige Fourier-transformasies (FFT) te bereken:  



F

R

(
f
)

=
FFT
⁡
[
X
(
t
)
]

S
(
f
)

=

F

R

(
f
)

F

R

∗

(
f
)

R
(
τ
)

=
IFFT
⁡
[
S
(
f
)
]



{\displaystyle {\begin{aligned}F\_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F\_{R}(f)F\_{R}^{\*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}

{\displaystyle {\begin{aligned}F_{R}(f)&=\operatorname {FFT} [X(t)]\\S(f)&=F_{R}(f)F_{R}^{*}(f)\\R(\tau )&=\operatorname {IFFT} [S(f)]\end{aligned}}}
waar IFFT die inverse vinnige Fourier-transform aandui. Die asterisk dui komplekse vervoeging aan.

Alternatiewelik kan 'n meervoudige τ korrelasie uitgevoer word deur brute kragberekening vir lae τ waardes te gebruik, en dan progressief die *X*(*t*) -data met 'n logaritmiese digtheid te bind om hoër waardes te bereken, wat dieselfde *n* log(*n*) -doeltreffendheid tot gevolg het, maar met laer geheue vereistes.

Skatting
--------

Vir 'n diskrete proses met 'n bekende gemiddelde en variansie waarvoor ons waarneem {\displaystyle n} waarnemings {\displaystyle \{X\_{1},\,X\_{2},\,\ldots ,\,X\_{n}\}}, kan 'n skatting van die outokorrelasiekoëffisiënt verkry word as



R
^

(
k
)
=

1

(
n
−
k
)

σ

2



∑

t
=
1

n
−
k

(

X

t

−
μ
)
(

X

t
+
k

−
μ
)

{\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum \_{t=1}^{n-k}(X\_{t}-\mu )(X\_{t+k}-\mu )}

{\displaystyle {\hat {R}}(k)={\frac {1}{(n-k)\sigma ^{2}}}\sum _{t=1}^{n-k}(X_{t}-\mu )(X_{t+k}-\mu )}vir enige positiewe heelgetal {\displaystyle k<n}. Wanneer die ware gemiddelde {\displaystyle \mu } en variansie {\displaystyle \sigma ^{2}} bekend is, is hierdie skatting **onbevooroordeeld**. As die ware gemiddelde en variansie van die proses nie bekend is nie, is daar verskeie moontlikhede:

* As {\displaystyle \mu } en {\displaystyle \sigma ^{2}} vervang word deur die standaardformules vir steekproefgemiddelde en steekproefafwyking, dan is dit 'n **bevooroordeelde skatting**.
* 'n Periodogram -gebaseerde skatting vervang {\displaystyle n-k} in die bogenoemde formule met {\displaystyle n}. Hierdie skatting is altyd bevooroordeeld; dit het egter gewoonlik 'n kleiner gemiddelde kwadraatfout.
* Ander moontlikhede spruit voort uit die behandeling van die twee gedeeltes van data {\displaystyle \{X\_{1},\,X\_{2},\,\ldots ,\,X\_{n-k}\}} en {\displaystyle \{X\_{k+1},\,X\_{k+2},\,\ldots ,\,X\_{n}\}} afsonderlik en die berekening van afsonderlike steekproefgemiddeldes en/of steekproefafwykings vir gebruik in die definisie van die skatting. </link>[ *<span title="This claim needs references to reliable sources. (May 2020)">verwysing benodig</span>* ]

Die voordeel van skattings van die laaste tipe is dat die stel geskatte outokorrelasies, as 'n funksie van {\displaystyle k}, vorm dan 'n funksie wat 'n geldige outokorrelasie is in die sin dat dit moontlik is om 'n teoretiese proses met presies daardie outokorrelasie te definieer. Ander skattings kan ly aan die probleem dat, indien hulle gebruik word om die variansie van 'n lineêre kombinasie van die {\displaystyle X} se, kan die afwyking wat bereken word negatief mag wees.

Regressie-analise
-----------------

In regressie-analise deur tydreeksdata te gebruik, word outokorrelasie in 'n veranderlike van belang tipies gemodelleer met 'n outoregressiewe model (AR), 'n bewegende gemiddelde model (MA), hul kombinasie as 'n outoregressiewe-bewegende-gemiddelde model (ARMA), of 'n uitbreiding van laasgenoemde genoem 'n outoregressiewe geïntegreerde bewegende gemiddelde model (ARIMA). Met veelvuldige onderling verwante datareekse word vektoroutoregressie (VAR) of sy uitbreidings gebruik.

In gewone kleinste kwadrate kan die toereikendheid van 'n modelspesifikasie gedeeltelik gekontroleer word deur vas te stel of daar outokorrelasie van die regressieresidue is. Problematiese outokorrelasie van die foute, wat self nie waargeneem word nie, kan oor die algemeen opgespoor word omdat dit outokorrelasie in die waarneembare residue produseer. (Foute staan ook bekend as "foutterme" in ekonometrie.) Outokorrelasie van die foute oortree die gewone kleinste kwadrate-aanname dat die foutterme ongekorreleerd is, wat beteken dat die Gauss Markov-stelling nie van toepassing is nie, en dat OLS-beramers nie meer die Beste is nie. Lineêre onbevooroordeelde beramers. Alhoewel dit nie die OLS-koëffisiëntskattings vooroordeel nie, is die standaardfoute geneig om onderskat te word (en die t-tellings oorskat) wanneer die outokorrelasies van die foute by lae vertragings positief is.

Die tradisionele toets vir die teenwoordigheid van eerste-orde outokorrelasie is die Durbin–Watson statistiek of, as die verklarende veranderlikes 'n vertraagde afhanklike veranderlike insluit, Durbin se h statistiek. Die Durbin-Watson kan egter lineêr gekarteer word na die Pearson-korrelasie tussen waardes en hul vertragings.  'n Meer buigsame toets, wat outokorrelasie van hoër ordes dek en van toepassing of die regressors vertragings van die afhanklike veranderlike insluit of nie, is die Breusch-Godfrey-toets. Dit behels 'n hulpregressie, waarin die residue wat verkry word uit die skatting van die model van belang geregresseer word op (a) die oorspronklike regressors en (b) *k* lags van die residue, waar 'k' die volgorde van die toets is. Die eenvoudigste weergawe van die toetsstatistiek van hierdie hulpregressie is *TR* 2, waar *T* die steekproefgrootte is en *R* 2 die bepalingskoëffisiënt is. Onder die nulhipotese van geen outokorrelasie, is hierdie statistiek asimptoties versprei as {\displaystyle \chi ^{2}} met *k* vryheidsgrade.

Reaksies op nie-nul outokorrelasie sluit veralgemeende kleinste kwadrate en die Newey–West HAC beramer in (Heteroskedastisiteit en Outokorrelasie Konsekwent). 

In die skatting van 'n bewegende gemiddelde model (MA), word die outokorrelasiefunksie gebruik om die toepaslike aantal vertraagde foutterme wat ingesluit moet word te bepaal. Dit is gebaseer op die feit dat vir 'n MA proses van orde *q*, ons het {\displaystyle R(\tau )\neq 0}, vir {\displaystyle \tau =0,1,\ldots ,q}, en {\displaystyle R(\tau )=0}, vir {\displaystyle \tau >q}.

Toepassings
-----------

Outokorrelasie se vermoë om herhalende patrone in data te vind lewer baie toepassings op, insluitend:

* Outokorrelasie-analise word baie gebruik in fluoressensie-korrelasiespektroskopie om kwantitatiewe insig in molekulêre vlak diffusie en chemiese reaksies te verskaf.
* Nog 'n toepassing van outokorrelasie is die meting van optiese spektra en die meting van baie kort tydsduur ligpulse wat deur lasers geproduseer word, beide met behulp van optiese outokorrelators.
* Outokorrelasie word gebruik om dinamiese ligverstrooiingsdata te ontleed, wat veral die bepaling van die deeltjiegrootteverspreidings van nanometer-grootte deeltjies of miselle wat in 'n vloeistof gesuspendeer moontlik maak, moontlik maak. 'n Laser wat in die mengsel skyn, produseer 'n spikkelpatroon wat voortspruit uit die beweging van die deeltjies. Outokorrelasie van die sein kan ontleed word in terme van die diffusie van die deeltjies. Hieruit kan die groottes van die deeltjies bereken word, deur die viskositeit van die vloeistof te ken.
* Word in die GPS- stelsel gebruik om reg te stel vir die voortplantingsvertraging, of tydverskuiwing, tussen die tydpunt by die uitsending van die drasein by die satelliete, en die tydpunt by die ontvanger op die grond. Dit word gedoen deur die ontvanger wat 'n replika-sein van die 1 023-bis C/A (Growwe/Verkryging)-kode genereer, en lyne kodeskyfies [-1,1] in pakkies van tien op 'n slag of 10 230 skyfies (1 023) genereer × 10), wat effens skuif soos dit aangaan om te akkommodeer vir die doppler-verskuiwing in die inkomende satellietsein, totdat die replika-sein van die ontvanger en die satellietseinkodes ooreenstem.
* Die kleinhoek X-straalverstrooiingsintensiteit van 'n nanogestruktureerde sisteem is die Fourier-transformasie van die ruimtelike outokorrelasiefunksie van die elektrondigtheid.
* In oppervlakwetenskap en skanderingsondemikroskopie word outokorrelasie gebruik om 'n verband tussen oppervlakmorfologie en funksionele eienskappe te vestig.
* In optika gee genormaliseerde outokorrelasies en kruiskorrelasies die mate van samehang van 'n elektromagnetiese veld.
* In sterrekunde kan outokorrelasie die frekwensie van pulsars bepaal.
* In musiek word outokorrelasie (wanneer toegepas op tydskale kleiner as 'n sekonde) gebruik as 'n toonhoogtebespeuringsalgoritme vir beide instrumentstemmers en "Auto Tune" (gebruik as 'n vervormingseffek of om intonasie vas te stel).  Wanneer dit toegepas word op tydskale groter as 'n sekonde, kan outokorrelasie die musikale maatslag identifiseer, byvoorbeeld om tempo te bepaal.
* Outokorrelasie in ruimte eerder as tyd, via die Patterson-funksie, word deur X-straaldiffraksieiste gebruik om te help om die "Fourier-fase-inligting" te herwin op atoomposisies wat nie deur diffraksie alleen beskikbaar is nie.
* In statistieke help ruimtelike outokorrelasie tussen steekproefliggings ook 'n mens om gemiddelde waarde onsekerhede te skat wanneer 'n heterogene populasie gesteek word.
* Die SEQUEST- algoritme vir die ontleding van massaspektra maak gebruik van outokorrelasie in samewerking met kruiskorrelasie om die ooreenkoms van 'n waargenome spektrum met 'n geïdealiseerde spektrum wat 'n peptied verteenwoordig, te bepaal.
* In astrofisika word outokorrelasie gebruik om die ruimtelike verspreiding van sterrestelsels in die heelal te bestudeer en te karakteriseer en in multi-golflengte waarnemings van lae massa X-straal binaries.
* In paneeldata verwys ruimtelike outokorrelasie na korrelasie van 'n veranderlike met homself deur die ruimte.
* In die ontleding van Markov-ketting Monte Carlo -data moet outokorrelasie in ag geneem word vir korrekte foutbepaling.
* In geowetenskappe (spesifiek in geofisika ) kan dit gebruik word om 'n outokorrelasie seismiese kenmerk te bereken, uit 'n 3D seismiese opname van die ondergrond.
* In mediese ultraklankbeelding word outokorrelasie gebruik om bloedvloei te visualiseer.
* In intertemporele portefeuljekeuse kan die teenwoordigheid of afwesigheid van outokorrelasie in 'n bate se opbrengskoers die optimale gedeelte van die portefeulje om in daardie bate te hou, beïnvloed.
* In numeriese koppelaars is outokorrelasie gebruik om die kragstelselfrekwensie akkuraat te meet.

Reeksafhanklikheid
------------------

**Reeksafhanklikheid** is nou gekoppel aan die idee van outokorrelasie, maar verteenwoordig 'n duidelike konsep (sien Korrelasie en afhanklikheid ). Dit is veral moontlik om reeksafhanklikheid te hê, maar geen (lineêre) korrelasie. In sommige velde word die twee terme egter as sinonieme gebruik.

'n Tydreeks van 'n ewekansige veranderlike het seriële afhanklikheid as die waarde op 'n sekere tyd {\displaystyle t} in die reeks is statisties afhanklik van die waarde op 'n ander tyd {\displaystyle s}. 'n Reeks is reeksonafhanklik as daar geen afhanklikheid tussen enige paar is nie.

As 'n tydreeks {\displaystyle \left\{X\_{t}\right\}} is stilstaande, dan statistiese afhanklikheid tussen die paar {\displaystyle (X\_{t},X\_{s})} sou impliseer dat daar statistiese afhanklikheid tussen alle pare waardes teen dieselfde vertraging is {\displaystyle \tau =s-t}.

Sien ook
--------

* Outokorrelasiematriks
* Outokorrelasie tegniek
* Outokorreleerder
* Cochrane–Orcutt skatting (Transformasie van outokorrelasie fout-terme)
* Korrelasiefunksie
* Korrelalogram
* Kruis-korrelasie
* CUSUM
* Fluoresentasie-korrelasiespektroskopie
* Toonhoogtebespeuringsalgoritme
* Optiese outokorrelasie
* Gedeeltelike outokorrelasiefunksie
* Phylogenetiese outokorrelasie (Galton se probleem)
* Prais–Winsten transformasie
* Geskaalde korrelasie
* Trippelkorrelasie

Bronnelys
---------

* Kmenta, Jan (1986). *Elements of Econometrics* (Second uitg.). New York: Macmillan. pp. 298–334. ISBN 978-0-02-365070-3.
* Marno Verbeek (10 Augustus 2017). *A Guide to Modern Econometrics*. Wiley. ISBN 978-1-119-40110-0.
* Mojtaba Soltanalian, and Petre Stoica. "Computational design of sequences with good correlation properties." IEEE Transactions on Signal Processing, 60.5 (2012): 2180–2193.
* Solomon W. Golomb, and Guang Gong. Signal design for good correlation: for wireless communication, cryptography, and radar. Cambridge University Press, 2005.
* Klapetek, Petr (2018). *Quantitative Data Processing in Scanning Probe Microscopy: SPM Applications for Nanometrology* (Second ed.). Elsevier. pp. 108–112 ISBN 9780128133477.
* Weisstein, Eric W. *Autocorrelation* op MathWorld.

|  |  |
| --- | --- |
| Normdata Edit this at Wikidata | 
* GND: 4335202-9

 |