**Galileo se paradoks** is 'n demonstrasie van een van die verrassende eienskappe van oneindige versamelings. Die idees het nie by hom ontstaan nie, maar sy naam het nogtans daarmee in verbinding gebly. In sy laaste wetenskaplike werk, *Twee Nuwe Wetenskappe*, het Galileo Galilei stellings oor positiewe heelgetalle gemaak wat teenstrydig voorkom. Eerstens, sommige getalle is kwadrate van heelgetalle, en andere is nie; daarom moet daar meer heelgetalle wees as kwadrate van heelgetalle. En tog het elke heeltallige kwadraat presies een heelgetal wat sy vierkantswortel is, en elke heelgetal het presies een getal wat sy kwadraat is, so daar kan nie meer van die een as die ander wees nie. Dit is 'n vroeë gebruik van een-tot-een korrespondensie (bijeksie) in die konteks van oneindige versamelings, maar wel nie die eerste nie.

Galileo het tot die slotsom gekom dat die idees van *minder*, *gelyk* en *groter* net op versamelings met eindig veel lede toegepas kan word, en nie op oneindige versamelings nie. In die neëntiende eeu het Georg Cantor gesê dat hierdie beperking nie nodig is nie, deur die konsep van kardinaliteit op 'n betekenisvolle manier uit te brei, sodat die versamelings van heelgetalle en kwadrate dieselfde grootte het, en die reëls daar te stel waarvolgens sekere oneindige versamelings as streng groter as ander gesien kan word.

Galileo se dialoog oor oneindige versamelings
---------------------------------------------

Die relevante gedeelte van sy dialoog in *Twee Nuwe Wetenskappe* word hier weergegee:

*Simplicio*: Hier doen 'n moeilikheid hom voor, wat vir my onoplosbaar voorkom. Omdat dit duidelik is dat ons een lyn kan hê wat langer as 'n ander is, alhoewel hulle albei oneindig baie punte bevat, moet ons toegee dat ons, binne een klas, iets kan hê wat groter as oneindigheid is, want die oneindigheid van punte in die lang lyn is groter as die oneindigheid van punte in die kort lyn. Om op so 'n manier 'n waarde aan 'n oneindige hoeveelheid toe te ken wat groter as oneindigheid is, is heeltemal bo my begrip.
*Salviati*: Dit is een van die moeilikhede wat voorkom wanneer ons met ons beperkte verstand probeer om die oneindige te bespreek en die eienskappe wat ons aan die eindige en beperkte gee, daaraan toe te ken; maar ek dink dit is verkeerd, want ons kan nie van oneindige hoeveelhede praat en sê dat die een groter of kleiner of gelyk is aan 'n ander nie. Om dit te bewys het ek in gedagte 'n argument wat, ter wille van duidelikheid, ek in die vorm van vrae aan Simplicio sal stel, wat hierdie probleem geopper het.
Ek neem aan dat julle weet watter getalle kwadrate van heelgetalle is, en watter nie.
*Simplicio*: Ek is goed bewus dat 'n kwadraatgetal een is wat verkry word uit die vermenigvuldiging van 'n ander getal met homself; dus 4, 9, ens. is kwadrate wat daardeur verkry word dat 2, 3, ens. met hulself vermenigvuldig word.
*Salviati*: Baie goed; en jy weet ook dat, net soos die produkte vierkante of kwadrate genoem word, word die faktore sye of wortels genoem; terwyl die getalle wat nie uit twee gelyke faktore bestaan nie, nie kwadrate is nie. Daarom, as ek beweer dat alle getalle, insluitende beide kwadrate en nie-kwadrate, meer as die kwadrate alleen is, sal ek die waarheid praat, of hoe?
*Simplicio*: Sekerlik.
*Salviati*: As ek verder gaan en vra hoeveel kwadrate daar is, kan ek waarlik antwoord dat daar soveel is soos die ooreenstemmende aantal wortels, aangesien elke kwadraat sy eie wortel het, en elke wortel, sy eie kwadraat, terwyl geen kwadraat meer as een wortel het nie en geen wortel meer as een kwadraat.
*Simplicio*: Presies.
*Salviati*: Maar as ek navraag doen oor hoeveel wortels daar is, kan dit nie ontken word dat daar soveel is as die getalle nie, want elke getal is die wortel van 'n vierkant. As dit toegestaan word, moet ons sê dat daar soveel kwadrate is as wat daar getalle is omdat hulle net soveel as hul wortels is, en al die getalle is wortels. Tog het ons aan die begin gesê dat daar baie meer getalle as kwadrate is, aangesien die groter gedeelte daarvan nie kwadrate is nie. Nie net dit nie, maar die proporsionele getal van kwadrate verminder soos ons na groter getalle oorgaan. Dus tot 100 het ons 10 kwadrate, dit wil sê die kwadrate vorm 1/10 deel van al die getalle; tot 10000, vind ons slegs 1/100 kwadrate te wees; en tot 'n miljoen slegs 1/1000 deel; Aan die ander kant, in 'n oneindige getal, as 'n mens so iets kon begryp, sou hy gedwing moet word om te erken dat daar soveel kwadrate is as wat daar getalle tesame is.
*Sagredo*: Wat moet ons dan onder hierdie omstandighede aanneem?
*Salviati*: Sover ek sien, kan ons net aflei dat die totale aantal van alle getalle oneindig is, dat die aantal kwadrate oneindig is, en dat die aantal van hul wortels oneindig is; nóg is die aantal kwadrate minder as die aantal van al die getalle, of laasgenoemde groter as die vorige; En uiteindelik is die eienskappe "gelyk," "groter" en "minder" nie van toepassing op oneindige hoeveelhede nie, maar slegs op eindige hoeveelhede. Wanneer Simplicio dan verskeie lyne van verskillende lengtes voorstel, en vir my vra hoe dit moontlik is dat die langer lyne nie meer punte bevat as die korteres nie, antwoord ek hom dat die een lyn nie meer of minder of net soveel punte as 'n ander bevat nie, maar dat elke lyn 'n oneindige aantal bevat.